МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. В. И. ВЕРНАДСКОГО

На правах рукописи

ХАЛИЛОВА ЗАРЕМА ИСМЕТОВНА

УДК 517.98: 517.972

КОМПАКТНЫЕ СУБДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

В БАНАХОВЫХ КОНУСАХ

И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В

ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ

01.01.01 – Вещественный, комплексный и функциональный анализ Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Орлов Игорь Владимирович Симферополь –

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 1 Обзор литературы 2 Сублинейные операторы в нормированных конусах 2.0 Введение. Предварительные сведения.............. 2.1 Абстрактные нормированные конуса и их свойства....... 2.2 Сублинейные операторы в нормированных конусах...... 2.2.1 Сублинейные операторы и их свойства......... 2.2.2 Бисублинейные операторы и их свойства........ 2.3 Сублинейные K–операторы и K–функционалы......... 2.3.1 Сублинейных K–операторы и K–функционалы и их свойства........................... 2.3.2 Бисублинейные K–функционалы и их свойства..... 3 Компактные субдифференциала первого и высших порядков 3.0 Введение............................... 3.1 K–субдифференциалы отображений скалярного аргумента (обзор)................................ 3.2 K-пределы и их основные свойства................ 3.3 K–субдифференциальное исчисление первого порядка..... 3.3.1 K-субдифференциалы по направлению и их свойства. 3.3.2 Слабый K–субдифференциал, K–субдифференциал Гато, K–субдифференциал Фреше............ 3.3.3 Общие свойства сильных K–субдифференциалов.... 3.4 Теорема о среднем для K–субдифференцируемых отображений 3.5 K–субдифференцируемость и субгладкость............ 3.6 Связь K–субдифференцируемости на отрезке с обычной дифференцируемостью....................... 3.7 Компактные субдифференциалы высших порядков....... 3.7.1 K–субдифференциалы второго порядка. Теорема Юнга о симметричности..................... 3.7.2 K–субдифференциалы высших порядков. Общая теорема Юнга........................ 3.7.3 K–субдифференциалы высших порядков от функционалов........................ 3.7.4 K–субдифференциалы и субгладкость высших порядков. 3.7.5 Формула Тейлора в K–субдифференциалах и исследование на экстремум................ 4 Приложения к вариационным задачам с субгладким интегрантом 4.0 Введение. Предварительные сведения.............. 4.1 Приложения K–субдифференциального исчисления первого порядка к экстремальным вариационным задачам с субгладким интегрантом...................... 4.1.1 K–субдифференциал основного вариационного функционала........................ 4.1.2 K–аналоги основной вариационной леммы и уравнения Эйлера–Лагранжа..................... 4.2 Приложения K–субдифференциального исчисления высших порядков к экстремальным вариационным задачам с субгладким интегрантом...................... 4.2.1 Второй K–субдифференциал основного вариационного 4.2.2 K–аналог необходимого условия Лежандра....... 4.2.3 K–аналог достаточных условий Лежандра–Якоби...

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы.

Вариационные задачи с негладким интегрантом составляют важную часть современного вариационного исчисления (см., например, [18], [19], [36], [55], [68]).

Так, например, введение модуля под знак классического вариационного функционала уже приводит к экстремальной задаче, которая не поддается исследованию классическими методами, ввиду нарушения гладкости интегранта.

В подобных ситуациях обычно применяются методы негладкого анализа ([33], [68]), использующие различные типы субдифференциалов, каждый из которых имеет свои преимущества и свою разумную область применимости.

Субдифференциалы, как инструмент негладкого анализа, достаточно давно получили признание в математике (см., например, [7], [40], [45]).

Начиная с классического субдифференциала выпуклого функционала (см., например, [58], [60]), появились и продолжают появляться новые определения субдифференциалов, рассчитанные на применение к различным классам экстремальных и других негладких задач (такие, как известный субдифференциал Ф. Кларка ([53]), субдифференциал Б. Н. Пшеничного ([91], [92]) и многие другие). В большинстве своем эти определения с отображениями в евклидовы пространства, но имеются и более общие.

При всем том, "больным местом" современного субдифференциального исчисления является отсутствие значимой теории субдифференциалов высших порядков. Это ведет, например, к отсутствию достаточных условий экстремума вне рамок выпуклости (в той или иной форме). По существу, это ограничивает общую теорию экстремальных задач "прямыми методами", восходящими к принципу Гильберта-Лебега (см., например, [21], [34], [39]).

Таким образом, назрела необходимость в построении развитого субдифференциального исчисления, включающего исчисления первого и высших порядков, вплоть до формулы Тейлора и теории экстремумов, и имеющего широкую область применимости.

В работах И. В. Орлова и Ф. С. Стонякина ([83], [84], [97]– [102]) был введен и подробно исследован в случае скалярного аргумента так называемый компактный субдифференциал (K–субдифференциал) для отображений вещественного аргумента в ЛВП. В случае пространств Фреше K–субдифференциал оказался адекватным инструментом и позволил найти топологическое решение проблемы Радона – Никодима ([84], [100]).

Естественным образом возник вопрос о переносе понятия K–субдифференциала на случай векторного аргумента. Вопрос диктуется не только внутренней логикой теории, но и соображением (возможно, более важным) о приложениях в вариационном исчислении.

В наших работах ([85]–[87], [114]–[122]) построено развитое K–субдифференциальное исчисление, включающее исчисления первого и высших порядков. Полученные результаты позволяют исследовать вариационные экстремальные задачи с негладким (субгладким) интегрантом, которые не могут быть исследованы классическими методами.

Связь работы с научными программами, планами, темами.

Работа выполнялась в рамках госбюджетной темы кафедры алгебры и функционального анализа Таврического национального университета имени В. И. Вернадского "Проблемы функционального и бесконечномерного анализа"(2011-2015 гг., номер государственной регистрации 0111U000916), в которой автор принимал участие в качестве исполнителя.

Цель и задачи исследования.

Описание нормированных и банаховых конусов. Построение аппарата теории многозначных субаддитивных операторов с компактными выпуклыми значениями (K–операторов) в банаховых конусах.

Применение полученных результатов для построения, в основных чертах, развитой теории компактных субдифференциалов для отображений в банаховых конусах первого и высших порядков, вплоть до формулы Тейлора и теории экстремумов.

Приложения к вариационным функционалам с субгладким интегрантом.

Получение оценки K–субдифференциала первого и второго порядка вариационного функционала, получение компактного выпуклого аналога уравнения Эйлера–Лагранжа, необходимого условия Лежандра, достаточного условия Лежандра–Якоби. Рассмотрение конкретных примеров.

Объект исследования.

Компактные субдифференциалы отображений в банаховых конусах, компактные субдифференциалы вариационных функционалов с субгладким интегрантом.

Предмет исследования.

Основные аналитические свойства K–субдифференцируемых субдифференциалов вариационных функционалов с субгладким интегрантом первого и второго порядка.

Методы исследования.

функционального анализа, вариационного исчисления, дифференциальных уравнений и бесконечномерного математического анализа.

В частности, методы негладкого анализа и бесконечномерного дифференциального исчисления применяются при построении развитого исчисления компактных субдифференциалов отображений векторного аргумента.

Методы функционального анализа применяются при построении функциональной базы, которая включает в себя элементы теории абстрактных нормированных конусов, общей теории сублинейных операторов и функционалов, теории сублинейных K–операторов и K– функционалов.

Методы вариационного исчисления и теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах применяются при исследовании аналога уравнения Эйлера-Лагранжа "включения Эйлера–Лагранжа", а также получении аналогов необходимого условия Лежандра и условий Лежандра–Якоби.

Научная новизна полученных результатов.

1. Впервые исследованы абстрактные банаховы конуса (вообще говоря, не вложенные ни в какое банахово пространство). В частности, получен результат о квазиполноте абстрактных банаховых конусов.

2. Впервые изучены сублинейные K–операторы в банаховых конусах. В частности, получена теорема о квазиполноте банахова конуса ограниченных K–операторов.

3. Впервые, на основе теории K–пределов и K–операторов, построена теория K–субдифференциалов первого порядка в банаховых конусах.

В частности, получены формула полного K–субдифференциала, формула K–субдифференциала композиции.

4. Впервые получены K–аналоги формулы конечных приращений результаты позволили показать, что в достаточно общей ситуации K– субдифференцируемость всюду на отрезке влечет почти всюду классическую дифференцируемость.

5. Впервые построена замкнутая теория K–субдифференциалов высших порядков в банаховых конусах.

В частности, получены K–аналоги ряда основных результатов классического анализа Фреше, от теоремы Юнга до формулы Тейлора и теории экстремумов.

6. Впервые получена оценка компактных субдифференциалов первого и второго порядка вариационного функционала с субгладким интегрантом.

7. Впервые получены субгладкие аналоги основной вариационной леммы и уравнения Эйлера–Лагранжа для основного вариационного функционала.

8. Впервые получены субгладкие аналоги простого и усиленного условий Лежандра, а также условий Лежандра–Якоби для основного вариационного функционала.

Практическое значение полученных результатов.

Диссертация имеет в основном теоретическое значение. Результаты диссертации развивают теорию компактных субдифференциалов для случая векторного аргумента, позволяют исследовать экстремальные вариационные задачи с субгладким интегрантом.

Результаты исследований могут быть использованы в актуальных задачах современного вариационного исчисления и оптимального управления, имеющих приложения в математической физике, в частности, для исследования субгладких задач механики и физики.

Личный вклад соискателя.

Работы [114], [115], [120], [122] опубликованные по теме диссертации, не имеют соавторов. Работы [85], [86], [167] вышли в соавторстве с научным руководителем И. В. Орловым. Результаты, опубликованные в работах [114], [115], [120], [122], получены соискателем самостоятельно. В работах [85], [86], [167] профессору И. В. Орлову принадлежит постановка задачи и общий план исследования, полученные результаты принадлежит соискателю.

Апробация результатов диссертации.

Результаты диссертации докладывались на Международной молодежной математической школе SOPAPH-2012 SMOOTHNESS, OSCILLATIONS

IN ANALYSIS WITH APPLICATIONS IN MATHEMATICALS PHYSICS

(Симферополь, Украина, 17–20 июня, 2012); Fourth International Conference for Young Mathematicians on Dierential Equations and Applications dedicated to Ya. B. Lopatinskii, (Dоnetsk, Ukraine, November 14 – 17, 2012); VIII международной научной конференции для молодых ученых Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях (Харьков, Украина, 17–28 апреля, 2013); International Conference Analysis and mathematical physics (Kharkiv, Ukraine, 24–28 June, 2013); International Conference Nonlinear partial dierential equations (Donetsk, Ukraine, September 9–14, 2013); XXII–XXIII, XXV Крымских осенних математических школах-симпозиумах: КРОМШКРОМШ-2012, КРОМШ-2014 (Ласпи, Судак, Крым, 2011–2012, 2014 г.г.); Крымской международной математической конференции (Судак, Украина, 22 сентября – 4 октября, 2013); XL–XLIII научных конференциях профессорско-преподавательского состава Таврического национального университета им. В. И. Вернадского (Симферополь, Крым, 2011–2014 г.г.);

семинарах кафедры алгебры и функционального анализа Таврического национального университета им. В. И. Вернадского.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в научных работах, из которых в изданиях, входящих в список специализированных научных изданий МОНУ ([85], [86], [114], [115], [120], [122]), публикаций в сборниках тезисов конференций ([87], [116]– [119], [121], [156], [169]).

История вариационного исчисления как раздел функционального анализа (см., например, [8], [10], [15], [22], [40], [45], [48], [49], [51], [54], [64], [72], [110], [113], [123], [129], [179], [182] ) насчитывает более трехсот лет. При этом интерес к вариационному исчислению со стороны самых различных приложений огромен (см., например, [5], [6], [18], [19], [30], [41], [52], [55], [66], [69], [71], [95], [105] – [107], [126], [132], [134], [158], [171], [180]).

Отметим классические курсы вариационного исчисления и теории оптимального управления Н. И. Ахиезера ([6]), И. М. Гельфанда ([25], [149]), Л. Э. Эльсгольца ([131]), В. М. Алексеева ([2], [3]), В. М. Тихомирова ([24], [108]), С. Ф. Фомина ([3]), М. 3. Згуровского и В. С. Мельника ([42]), В. Dacorogna ([141], [142]), М. И. Зеликина ([43], [44]), Ф. П. Васильева ([20], [21]), А. Д. Иоффе ([154]) так и большое количество современных работ А. А. Милютина, А. В. Дмитрука, Н. П. Осмоловского ([35]–[38], [69], [160]), Э. М. Галеева ([23], [24]), Е. А. Андрееву ([4]), В. И. Благодатских ([9]), А. В. Угланова ([112]).

Многие задачи современного вариационного исчисления и оптимального управления связаны с выпуклым и негладким анализом. Негладкие задачи впервые были поставлены и успешно исследованы российским математиком П. Л. Чебышёвым ([127]). Однако П. Л. Чебышёв использовал в своём исследовании только классические, хотя и очень оригинальные методы.

Первые “негладкие” методы исследования недифференцируемых функций появились в рамках выпуклого анализа (см., например, [47], [57], [65], [68], [73], [74], [88], [89], [90], [94], [130]), который послужил основой для формирования негладкого анализа.

В настоящее время, выпуклый анализ является хорошо развитой например, [42], [103], [136], [139], [147], [150], [161], [171], [172], [173], [179]).

недифференцируемые функции, в первую очередь в связи с теорией негладких экстремальных задач, сформировался во второй половине XX века под влияние работ В. Ф. Демьянова (см., например, [30]–[34], [143]– [145]), Б. Н. Пшеничного ([91], [92]), Ф. Кларка ([53], [140]) и многих других авторов.

В настоящее время имеется огромное число работ, посвящённых различным аспектам негладкого анализа (см., например, [42], [96], [104], [105], [106], [126]).

Отличительной особенностью негладкого анализа, по сравнению с классическим дифференциальным исчислением (см., например, [1], [50], [181]), является его тесная связь с теорией многозначных отображений (см., например, [95], [124], [125]).

являются производная по направлениям и субдифференциал, а также их многочисленные обобщения (см., например, [7], [60], [138], [140], [154], [159]–[162]).

Понятие субдифференциала является базовым в современном выпуклом и негладком анализе ([32], [57] – [59], [62], [63], [150], [157], [174]).

Существует много различных определений субдифференциала (см., например, [35], [60] [138], [178] ), каждое из которых применимо в своей области.

Начиная с классического субдифференциала выпуклого функционала (описанного в известной монографиях Р. Рокафеллара ([94], [172], субдифференциалов, рассчитанные на применение к различным классам субдифференциал Ф. Кларка ([31], [53], [134]), субдифференциал Б. Н. Пшеничного ([94], [172], [173]) и многие другие (см., например, [23], [21], [22], [19]). В большинстве своем это определения для отображений в евклидовых пространствах ([32], [57]), но имеются и более общие.

Субдифференциал выпуклой функции, описывает как локальные, так и глобальные свойства данной функции.

С одной стороны, с помощью субдифференциала можно вычислять производную по направлениям и направления спуска выпуклой функции, а с другой стороны, субдифференциал описывает множество линейных функций, опорных к данной выпуклой функции, которое даёт глобальную информацию о поведении рассматриваемой функции.

Негладкий анализ пошёл по пути обобщения субдифференциала выпуклой функции, на основе его локальных свойств, т. е. как инструмента, описывающего локальные свойства функции.

С целью применения к исследованию проблемы Радона – Никодима для интеграла Бохнера И. В. Орловым несколько лет назад был введен и в совместных работах с Ф. С. Стонякиным (см., например, [83], [97]–[102]) подробно изучен компактный субдифференциал (K–субдифференциал) для отображений вещественного аргумента в ЛВП.

В случае пространств Фреше K–субдифференциал оказался адекватным инструментом и позволил найти топологическое решение проблемы Радона – Никодима (см. [84], [168]).

Естественным образом возник вопрос о переносе понятия на случай векторного аргумента. Вопрос диктуется не только внутренней логикой теории, но и соображением о приложениях в вариационном исчислении.

Оказалось, что аппарат K–субдифференциального исчисления в случае векторного аргумента оказался вполне адекватным задаче вычисления K–субдифференциала вариационного функционала с негладким (субгладким) интегрантом, как в общем случае, так и, например, в практически важных ситуациях модуля гладкого интегранта и т. п. В принципе, эти результаты поддаются переносу на случай вариационных функционалов в пространствах Соболева.

Например, в работах И. В. Орлова ([75] – [82], [163] – [166]), Е. В. Божонок ([11] – [14], [137]), Е. М. Кузьменко ([56]) исследуются вариационные задачи с негладким аргументом в пространствах Соболева.

В них доказаны аналоги классических необходимого условия Лежандра и достаточного условия Лежандра-Якоби для сильного K–экстремума вариационных функционалов одной и многих переменных в пространстве Соболева W2. Достаточное условие сильного K-экстремума в терминах переменных.Эта теория получила довольно широкое развитие с точки зрения приложений.

Таким образом, вариационные задачи составляют важную часть вариационного исчисления (см., например, [26], [39], [42], [46], [52], [93], [171], [183]).

В наших работах ([85] – [87], [114] – [122], [156], [167], [169]) понятие компактного субдифференциала, введенного И. В. Орловым и Ф. С. Стонякиным (см., например, [83], [97]–[102]), на случай векторного аргумента.

Такой переход приводит нас от K–субдифференциала как компактного выпуклого множества к многозначному субаддитивному оператору с компактными выпуклыми значениями (K–оператору). При всем богатстве потока работ по мультиоператорам (см., например, [29], [58], [61], [63], [95], [146], [176]), этот объект не изучался.

Ограниченные K–операторы образуют не банахово пространство, а банахов конус, который не содержится ни в каком банаховом пространстве.

Теория абстрактных локально выпуклых конусов возникла сравнительно недавно (см., например, [16], [17], [28], [27], [62], [128],[133], [135], [148], [151], [152], [153], [155], [170], [175], [177]), а описание абстрактных нормированных конусов также оказалось новой задачей.

Так, например, в наших работах ([85], [86], [114]) введены общие понятия нормированного и банахового конусов.

Для заданных нормированных конусов введено понятие K–оператора.

Введено понятие нормы K–сублинейного оператора и исследован вопрос о непрерывности ограниченных по норме K–операторов.

На базе теории абстрактных конусов и K–операторов, построена замкнутая теория K–субдифференциалов первого и высших порядков в банаховых конусах. Изучены основные свойства и приложения.

Получены K–аналоги формулы конечных приращений и теоремы о среднем в банаховых конусах.

В частности, получены K–аналоги ряда основных результатов классического анализа Фреше, от теоремы Юнга до формулы Тейлора и теории экстремумов.

Как приложения, получены субгладкие аналоги основной вариационной леммы и уравнения Эйлера–Лагранжа для основного вариационного функционала, а также субгладкие аналоги простого и усиленного условий Лежандра, а также условий Лежандра–Якоби для основного вариационного функционала.

Таким образом, замкнутая теория K–субдифференциалов первого и высших порядков для случая векторного аргумента, которая была построена в наших работах ([85]–[87], [114]–[118], [156], [167], [169]), включает в себя приложения к экстремальным вариационным задачам с негладким интегрантом ([119]–[122]), позволяющие исследовать задачи физики и механики (см., например, [67], [109], [111]).

Сублинейные операторы в нормированных конусах 2.0 Введение. Предварительные сведения С целью применения к исследованию проблемы Радона Никодима для интеграла Бохнера И. В. Орловым и Ф. С. Стонякиным был введен и подробно изучен компактный субдифференциал (K–субдифференциал) для отображений вещественного аргумента в ЛВП (см., например, [83], [97]–[102], [168]).

В случае пространств Фреше K–субдифференциал оказался адекватным инструментом и позволил найти топологическое решение проблемы Радона – Никодима.

Таким образом возник вопрос о переносе понятия на случай векторного аргумента. Вопрос диктуется не только внутренней логикой теории, но и соображением о приложениях в вариационном исчислении. Приложения субдифференциалов к вариационным задачам с негладким интегрантом составляют неотъемлемую часть современного негладкого анализа.

Движение по намеченному пути сразу же приводит нас от K–субдифференциала как компактного выпуклого множества (случай фиксированного направления) к многозначному субаддитивному оператору с компактными выпуклыми значениями (K–оператору).

Сильный K–субдифференциал отображения векторного аргумента оказывается ограниченным сублинейным многозначным оператором с компактными выпуклыми значениями (K–оператором).

Таким образом, возникает потребность хотя бы в минимальном аппарате теории K–операторов.

Ограниченные K–операторы образуют не банахово пространство, а банахов конус, который не содержится ни в каком банаховом пространстве.

Теория абстрактных локально выпуклых конусов возникла сравнительно недавно, а описание абстрактных нормированных конусов также оказалось новой задачей.

Данная глава посвящена построение теории сублинейных и K–сублинейных операторов в нормированных конусах. Глава состоит из введения и трех подразделов.

Первый подраздел содержит общую теорию абстрактных нормированных конусов: вводится определение абстрактного и нормированного конусов, строится локально выпуклая конус-топология, доказана квазиполнота банаховых абстрактных конусов.

В п. 2.2 строится теория сублинейных операторов в нормированных конусах, а также бисублинейных операторов. Исследуются основные свойства, в том числе получен аналог классической изометрии между пространством линейных и билинейных ограниченных операторов.

В п 2.3 рассматривается частный случай сублинейных операторов сублинейные K–операторы. Построена теория сублинейных K–операторов, а также K–функционалов и бисублинейных K–функционалов.

2.1 Абстрактные нормированные конуса и их свойства Вначале дадим определение выпуклого конуса.

Определение 2.1.1. Конусом (выпуклым) назовем некоторое множество векторов X = {x}, снабженное операциями сложения векторов и умножения на неотрицательные скаляры.

При этом операции обладают следующими свойствами:

Замечание 2.1.2. По известному критерию ( cancellation law ), выпуклый конус X может быть изоморфно вложен в некоторое векторное пространство тогда и только тогда, когда для любых x, y, z X.

Простейший пример абстрактного конуса (не удовлетворяющего этому критерию) - конус всех подмножеств векторного пространства.

Определение 2.1.3. Выпуклый конус X назовем нормированным, если для любого его элемента x X определена неотрицательная величина (конус– норма) x, обладающая следующими свойствами:

Конус–норма индуцирует локально выпуклую конус–топологию в X, и, в частности приводит к следующим понятиям.

Определение 2.1.4. Пусть (X, нормированный конус. Введем понятия:

a) –окрестность точки x X :

б) Сходящаяся последовательность xn x :

в) Квазифундаментальная последовательность {xn } :

квазифундаментальная последовательность в X сходится. Квазиполный нормированный конус будем называть банаховым конусом.

д) Квазиметрика: если y = x + h, то полагаем d(x, y) = h ;

e) Ограниченность: множество B X ограничено, если Замечание 2.1.5. Конус–норма (как и вообще конус–топология) порождает не классическую равномерность в X, а лишь направленную квазиравномерность.

В частности, квазиметрика, вообще говоря, не симметрична: если существует d(x, y), то d(y, x) может не существовать.

Определение 2.1.6. Пусть (X, · ) нормированный конус. Обозначим через XK множество всех компактных выпуклых подмножеств X. Нетрудно проверить, что XK образует выпуклый конус относительно поэлементного сложения множеств и умножения на неотрицательные скаляры.

Нулем в XK является множество {0}.

Замечание 2.1.7. 1) В конусе XK возможно, например, (в случае векторного пространства X) умножение и на отрицательные скаляры, однако (1) · C не есть вообще говоря противоположный элемент к C.

2) Конус XK индуктивно упорядочен отношением вложения.

3) Вообще говоря (при X R) конус XK не удовлетворяет "cancellation law".

Замечание 2.1.8. Легко видеть, что C обладает всеми свойствами конуснормы и согласована с отношением порядка в XK.

Покажем теперь, что квазиполнота конуса X влечет квазиполноту и конуса XK.

Лемма 2.1.9. Пусть последовательность {xn } квазифундаментальна в нормированном конусе X. Если некоторая подпоследовательность {xnk } сходится в E к x0 E, то и последовательность {xn } сходится в X к Доказательство. Зафиксируем > 0. Согласно определению сходимости, для достаточно больших номеров nk. В свою очередь, согласно определению квазифундаментальности, для достаточно больших номеров n > N () при любом nk > n верно В итоге получаем при n > N () :

т.е. xn x0.

подмножеств B X введем норму B = sup y. Тогда, если {Ci } последовательность компактов из X, такая, что – также компакт в X.

Доказательство. Заметим сначала, что любой ряд справа в (2.1) абсолютно сходится, так как Отсюда, в силу квазиполноты F, обычным образом вытекает сходимость произведения, определяемой квазиметрикой при Рассмотрим отображение Очевидно, откуда следует Следовательно, непрерывное отображение, откуда, по теореме Вейерштрасса, множество Приведем теперь основной результат этого раздела.

Теорема 2.1.11. Если X банахов конус, то нормированный конус XK также банахов.

подпоследовательность. По условию фундаментальности, Cn = Cn+p + Hnp, где Hnp 0 при n равномерно по p.

Возьмем произвольную последовательность {k > 0}, такую, что и затем выберем возрастающую последовательность номеров {nk } так, чтобы Покажем, что соответствующая подпоследовательность сходится в XK. Положим Поскольку то, в силу леммы 2.1.10, множества H k компактны в X. Поскольку выпуклость H k следует из определения, то H k XK.

Положим Из H k 0 следует Cnk C0 в XK.

Замечание 2.1.12. Примером банахова конуса XK является конус полуплоскостью При этом порядок в R1, соответствующий вложению в RK, следующий:

Заметим, что этот порядок не соответствует обычному порядку в R при диагональном вложении В общем случае также, индуктивный порядок в XK, определяемый вложением, не индуцирует возможный исходный порядок в X.

Замечание 2.1.13. В случае индуктивно упорядоченного конуса X, будем говорить, что конус–норма в X согласована с порядком, если В этом случае возможна более грубая топология, также порождаемая нормой:

2.2 Сублинейные операторы в нормированных конусах 2.2.1 Сублинейные операторы и их свойства Дадим определение сублинейного оператора с компактными выпуклыми значениями.

сублинейным, если:

(ii) A(h) = · Ah; (h1, h2 E, 0).

Оператор A назовем надлинейным, если условие (i) заменить условием (iii) A(h1 + h2 ) Ah1 + Ah2.

Определение 2.2.2. Пусть, в условиях определения 2.2.1, F = R. Тогда сублинейный оператор f : E R назовем сублинейным функционалом.

В этом случае условия (i)–(ii) перепишутся в виде:

Соответственно, для надлинейного функционала первое из неравенств (iv) заменяется неравенством:

Замечание 2.2.3. 1) Иногда в определении сублинейного оператора равенство (ii) заменяется неравенством У нас не возникнет потребность в таком ослаблении условия, т. к. K–субдифференциал всегда обладает свойством (ii).

2) Очевидно, сублинейность функционала f равносильна надлинейности функционала (f ). Простейшим примером сублинейного функционала в нормированном конусе служит сама норма:

В случае векторного пространства E легко описать связь сублинейности и линейности функционалов.

Теорема 2.2.4. Пусть E векторное вещественное пространство, f :ER сублинейный (соответственно надлинейный) функционал.

Тогда f линеен в том и только в том случае, если Доказательство. Необходимость утверждения теоремы очевидна. Обратно, пусть f сублинеен и выполнено условие (2.2). Тогда h1, h2 E имеем:

Отсюда следует аддитивность:

Кроме того, позитивная однородность f вместе с равенством (2.2) влечет полную вещественную однородность f. Таким образом, функционал f линеен.

Результат переносится и на сублинейные операторы A : E F, если F упорядоченное векторное пространство.

Введем теперь для произвольных отображений в нормированных конусах понятия непрерывности и полунепрерывности.

Определение 2.2.5. Пусть E, F нормированные конусы, отображение : E F определено в некоторой окрестности U (x) точки x E. Назовем непрерывным в точке x, если Пусть, кроме того, конус F индуктивно упорядочен и норма в F согласована с порядком. Назовем отображение полунепрерывным сверху в точке x, если полунепрерывно снизу в точке x, если Замечание 2.2.6. Одновременная полунепрерывность сверху и снизу равносильна полной непрерывности лишь в случае, когда F векторное пространство (в частности, для функционалов). В общем же случае мы можем только утверждать, что из полной непрерывности следует полунепрерывность сверху. Возможно, здесь следует ввести ко– непрерывность с условием: (x) = (x + h) + y, y <.

Обратимся теперь к вопросу о непрерывности сублинейных операторов.

Вначале введем для них понятие нормы. Далее, E и F нормированные конусы, F индуктивно упорядочен (согласованно с нормой:

Определение 2.2.7. Пусть оператор A : E F сублинейный. Положим (по аналогии с линейным случаем):

Если A < +, назовем оператор A ограниченным.

Предложение 2.2.8. Пусть A(Ai ) : E F сублинейные ограниченные операторы. Тогда:

(ii) A1 + A2 A1 + A2 ;

Замечание 2.2.9. Свойства сублинейной операторной нормы позволяют ввести нормированный операторный конус Lsub (E; F ) ограниченных сублинейных операторов A : E F. Конус Lsub (E; F ) индуктивно упорядочен отношением Важным обстоятельством является то, что, в случае банахова конуса F, конус Lsub (E; F ) также банахов.

Теорема 2.2.10. Пусть E и F нормированные конусы, F индуктивно упорядочен. Тогда конус Lsub (E; F ) также нормированный. Если, кроме того, конус F банахов, то Lsub (E; F ) также банахов конус.

Доказательство. Очевидно, сублинейная операторная норма создает в Lsub (E; F ) структуру нормированного конуса в соответствии с определением 2.2.7. Пусть теперь F банахов конус.

Докажем, что конус Lsub (E; F ) также банахов.

Пусть последовательность {An } Lsub (E; F ). Следовательно, согласно определению 2.1.4, 1) Зафиксируем h E, h 1 и покажем, что последовательность {An h} квазифундаментальна в F. Действительно, в силу (2.3), причём из неравенства Bnp < следует Таким образом, последовательность {An h} квазифундаментальна откуда следует квазифундаментальность {An h}. В силу квазиполноты F, h E в F существует предел 2) Проверим сублинейность оператора A : E F :

a) A(h1 + h2 ) = lim An (h1 + h2 ) lim (An h1 + An h2 ) = b) A(h) = lim An ( · h) = lim ( · An h) = 3) Проверим ограниченность по норме оператора A. Квазифундаментальная последовательность {An } ограничена: An C (n = 1, 2,...). Отсюда следует, что Переходя к пределу при n, получаем откуда Таким образом, 4) Проверим, что An A в Lsub (E; F ). Из условия (2.4), переходя к пределу при p, получаем:

При этом из неравенства Bnp < в пределе следует при n N (), т. е. Bn 0 в Lsub (E; F ). Следовательно, в Lsub (E; F ) при n.

Таким образом, нормированный конус Lsub (E; F ) квазиполный, т. е.

Lsub (E; F ) банахов конус.

непрерывностью. Она отличается от классического линейного случая.

Теорема 2.2.11. Для сублинейного оператора A : E F следующие условия равносильны:

(ii) A непрерывен в нуле;

(iii) A равномерно полунепрерывен сверху на E.

Доказательство.

1) Если A ограничен по норме, то из неравенства Ah A · h немедленно следует непрерывность A в нуле.

2) Пусть A непрерывен в нуле. Тогда При этом, ввиду субаддитивности A, для любого x E :

т.е A равномерно субнепрерывен всюду на E.

3) Пусть A равномерно субнепрерывен всюду на E. Нетрудно видеть, что при этом A непрерывен в нуле, т.е. выполнено условие (2.5). Отсюда получаем:

т.е. A ограничен по норме.

Замечание 2.2.12. По аналогии с линейным случаем, нетрудно доказать, что все сублинейные функционалы f : Rn R автоматически ограничены.

Перейдем к общим свойствам сублинейных ограниченных операторов.

Вначале рассмотрим вопрос о сублинейной композиции и сублинейных операторных матрицах.

Теорема 2.2.13. Пусть E, F, G нормированные конусы, причем F и G индуктивно упорядочены. Если то композиция причем Доказательство. Сублинейность B · A очевидна. Неравенство (2.6) проверяется по той же схеме, что и для линейных ограниченных операторов в нормированных пространствах.

Перейдем к вопросу о матрице сублинейных операторов. Далее подразумевается, что прямая сумма E = Ej и декартово произведение F = Fi нормированных конусов определяются аналогично случаю нормированных пространств. Вначале рассмотрим вопрос о разложении сублинейного оператора в прямую сумму; он отличается от случая нормированных пространств возможным отсутствием такого равенства.

Обозначим Pj : E Ej канонические проекции, и положим Aj = A · Pj (j = 1, n). Тогда справедлива оценка:

Перейдем к вопросу о покоординатном разложении сублинейного оператора; здесь равенство сохраняется.

Обозначим Qi : Fi F канонические инъекции и положим Ai = Qi · A (i = 1, m). Тогда справедливо равенство:

Из результатов предложений 2.2.14 и 2.2.15 следует общее утверждение о разложении сублинейного оператора в матрицу.

конусы, Обозначим, как и ранее, через Pj : E Ej и Qi : Fi F соответствующие канонические проекции и инъекции, и положим Aij = Qi APj (i = 1, m;

j = 1, n). Тогда справедлива оценка:

2.2.2 Бисублинейные операторы и их свойства Введем теперь бисублинейные операторы и выпишем аналог известного изоморфизма между пространствами линейных и билинейных операторов.

упорядочен. Оператор B : E1 E2 F назовем бисублинейным, если он сублинеен по каждой переменной в отдельности, т. е.

Определение 2.2.18. Пусть, в условиях определения 2.2.17, конусы E1, E2, F нормированы. Введем норму бисублинейного оператора B равенством:

Если B <, назовем оператор B ограниченным.

Теорема 2.2.19. В условиях определений 2.2.17–2.2.18 верно:

(ii) B1 + B2 B1 + B2 ;

(iv) B(h, k) B · h · k.

Для бисублинейного оператора B : E1 E2 F следующие условия равносильны:

б) B непрерывен в нуле;

в) B равномерно полунепрерывен сверху на E1 E2.

Замечание 2.2.20. Свойства нормы бисублинейного оператора позволяют, по аналогии с сублинейным случаем, ввести нормированный операторный конус, индуктивно упорядоченный отношением Обозначим его Lsub (E1, E2 ; F ).

Теорема 2.2.21. Если E1, E2 ; F нормированные конусы, F индуктивно индуктивно упорядоченный. При этом, если F –– банахов конус, то конус Lsub (E1, E2 ; F ) также банахов.

пространством линейных и билинейных ограниченных операторов.

Теорема 2.2.22. В условиях и обозначениях теоремы 2.2.21 имеет место изометрия:

которая устанавливается с помощью биекции Замечание 2.2.23. Нетрудно аналогичным образом ввести понятие полисублинейного оператора P : E1... En F, его нормы, а также нормированный упорядоченный конус полисублинейных ограниченных операторов Lsub (E1,...En ; F ). Аналог изометрии (2.7) имеет вид:

Далее, в случае E1 =... = En = E, левую часть (2.8) будем кратко обозначать Ln (E; F ).

Замечание 2.2.24. Используя определение 2.2.17, нетрудно задать бисублинейный оператор как бисублинейную операторную матрицу B = (Bij )i=1,n, где В частности, в теории K–субдифференциалов для нас особенно будет важен случай квадратной бисублинейной "матрицы Гессе" :

2.3 Сублинейные K–операторы и K–функционалы свойства Опишем важный тип сублинейных операторов, которые возникают далее в работе при общем определении компактных субдифференциалов.

Определение 2.3.1. Пусть E выпуклый конус, F нормированный конус, FK нормированный упорядоченный конус выпуклых компактных подмножеств F (см. определение 2.1.6). Сублинейный оператор A : E FK назовем сублинейным K–оператором, или, коротко, K–оператором.

Сублинейный оператор f : E RK назовем сублинейным K–функционалом, или, коротко, K–функционалом.

В случае нормированного конуса E, банахов конус сублинейных ограниченных K–операторов Lsub (E; FK ) будем более коротко обозначать LK (E; F ); банахов конус сублинейных ограниченных K-функционалов Lsub (E; RK ) = LK (E; R) более коротко обозначим EK.

Замечание 2.3.2. Если F нормированное пространство, то для K–операторов из LK (E; F ) можно ввести умножение на отрицательные скаляры:

а также скалярную разность K–операторов:

При этом однако вообще говоря, Теорема 2.3.3. Пусть E Тогда f сублинейный K–функционал в том и только в том случае, если функционал, При этом, в случае нормированного конуса E, K–функционал f = [f ; f ] ограничен в том и только в том случае, если f равномерно полунепрерывен снизу на E, f равномерно полунепрерывен сверху на E.

Доказательство. 1. Так как значения f компактные отрезки в R, то можно принять обозначение где < f (h) f (h) < +. Согласно свойству субаддитивности f, для любых h1, h2 E верно:

что равносильно системе неравенств:

Аналогично, 0, h E имеем:

что равносильно системе равенств Таким образом, f надлинеен, f сублинеен. Обратное утверждение проверяется аналогично.

2. Если f ограничен по норме, то согласно теореме 2.2.11, f равномерно полунепрерывен сверху на E, т. е.

Условия справа в (2.9) равносильно системе неравенств что означает равномерную полунепрерывность для f (снизу) и f (сверху).

Замечание 2.3.4. Отметим также, что для любого K–функционала (не полунепрерывности сверху в точке x E можно записать в следующем виде:

компакт в E (в сильной топологии). Положим Тогда В случае, если E – вещественное гильбертово пространство, можно взять C E и положить fC (h) = (C, h). В частности, при E = R имеем Отметим, что данный K–функционал допускает представление:

fC (h) = [f C (h); f C (h)], где f C (h) = min(C · h), f C (h) = max(C · h).

Построенный пример нетрудно обобщить на K–операторы конечного ранга A : E Rn :

а также на K–операторы со значениями в (lp )K, p 1 :

Определение 2.3.6. Пусть E, F, C нормированные конусы, K–композицией [B · A] K–операторов A и B назовем многозначное отображение:

Теорема 2.3.7. Если A LK (E; F ), B LK (F ; G), то При этом выполнено неравенство:

Для произвольной последовательности {zn } D возможны два случая.

подпоследовательность, содержится в одном By, при некотором y Ah. Так как множество By компактно, то из {zn } можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

2) Никакая подпоследовательность из {zn } не содержится в каком– содержаться только конечное число zn. Следовательно, существует некоторая последовательность {yk } Ah, такая, что каждое Byk содержит некоторую точку znk.

сходящуюся подпоследовательность yki y0 Ah. Так как B непрерывен как отображение в FK, то b) Следовательно, для любого i = 1, 2,... найдется такой элемент zi By0, Так как последовательность {zi } содержится в компакте By0, то из нее можно выделить некоторую сходящуюся подпоследовательность При этом где eij 0, j, откуда следует, что znki z0 при некотором z0 D.

Следовательно, множество D компактно, откуда множество co(D) = co(D) также компактно.

непосредственно.

Замечание 2.3.8. Нетрудно аналогичным образом ввести бисублинейные K–операторы B : E1 E2 FK. В этом случае каноническая изометрия между упорядоченными конусами бисублинейных и сублинейных операторов (2.7) принимает вид:

а в случае полисублинейных операторов:

Перейдем к вопросу о матрице сублинейных K–операторов.

Вначале рассмотрим вопрос о разложении сублинейного K–оператора в прямую сумму; здесь сохраняется результат предложения 2.2.14.

A LK Ej ; F. Обозначим Pj : E Ej канонические проекции, и положим Aj = A · Pj (j = 1, n). Тогда справедлива оценка:

положим Ai h = Qi · (Ah) (i = 1, m). Введем "K–набор" K–операторов Ai : E (Fi )K :

Тогда справедлива оценка:

При этом прямоугольная оценка точна по проекциям:

Из результатов предложений 2.2.14 и 2.2.15 следует общее утверждение о разложении сублинейного K–оператора в так называемую K–матрицу.

и Qi : Fi F соответствующие канонические проекции и инъекции, и положим Aij hj = Qi (APj h) (i = 1, m; j = 1, n). Тогда справедлива оценка:

Опишем детально частный случай K–матриц для сублинейных K–функционалов и K–операторов конечного ранга. Вначале опишем разложение в прямую сумму K–функционалов.

Тогда справедлива оценка:

Предложение 2.3.13. Пусть E Qi : R(i) Rm канонические инъекции. Положим Введем "K–набор" K–функционалов fi : E RK :

Тогда справедлива оценка:

При этом прямоугольная оценка точна по проекциям:

Наконец, опишем общее разложение K–оператора конечного ранга в K–матрицу.

Положим Тогда справедлива оценка ( h = h1 +... + hn E):

Замечание 2.3.15. Приведем полезную для приложений параметрическую модель K–матрицы (в случае K–операторов конечного ранга).

Введём "нижнюю" и "верхнюю" матрицы K–оператора A:

Тогда оценка (2.11) позволяет интерпретировать K–матрицу [fij ; f ij ] как набор матриц прямоугольник [A; A], стягивающий (вдоль главной диагонали) матрицы A и A. Вершинами этого прямоугольника служат 2m матриц, часть строк которых берется из A, а другая часть строк из A.

2.3.2 Бисублинейные K–функционалы и их свойства Дадим определение бисублинейного K–оператора.

Теорема 2.3.16. Пусть E1, E2 – выпуклые конусы, : E1 E2 RK.

Тогда бисублинейный K–функционал в том и только в том случае, если где : E1 E2 R бинадлинейный функционал, : E1 E2 R бисублинейный функционал, (h1, h2 ) (h1, h2 ).

При этом, если E1, E2 нормированные конусы, то K–функционал = [; ] ограничен в том и только в том случае, когда полунепрерывен снизу, полунепрерывен сверху на E1 E2.

Рассматривая, по аналогии с сублинейным случаем, бисублинейный K–функционал мы приходим к порожденной им квадратной бисублинейной K–матрице Аналогом оценки (2.11) здесь служит следующая квадратичная оценка.

Теорема 2.3.17. В рассмотренных условиях справедлива оценка:

Выводы. Введены и исследованы нормированные и банаховые выпуклые конусы. Исследованы общие свойства сублинейных и бисублинейных операторов, действующих в нормированных конусах.

Введены и исследованы сублинейные и бисублинейные K–операторы, действующие в банаховых конусах. В частности, исследованы сублинейные и бисублинейные K-функционалы.

Компактные субдифференциала первого и высших 3.0 Введение Понятие компактного субдифференциала, введенное И. В. Орловым и Ф. С. Стонякиным ([83], [84], [97]–[102], [168]), для случая отображения скалярного аргумента позволило решить классическую проблему Радона– Никодима для интеграла Бохнера. Перенос K–субдифференциала на случай векторного аргумента позволяет исследовать вариационные экстремальные задачи с негладким интегрантом.

Следуя классической схеме Гато-Адамара-Фреше, в данной главе построено K–субдифференциальное исчисление первого порядка.

При этом приходим к следующей трансформации основных объектов:

(i) нормированное пространство – нормированный конус;

(ii) линейный ограниченный оператор – сублинейный ограниченный K–оператор;

(iii) дифференциал Фреше – K–субдифференциал Фреше.

Здесь, помимо необходимого технического аппарата, описан удобный для приложений новый класс субгладких отображений, которые заведомо K–субдифференцируемы.

Установлено также, что любое K–субдифференцируемое на отрезке отображение почти всюду дифференцируемо в обычном смысле.

Примененный подход позволяет дать индуктивное определение K–субдифференциалов второго и высших порядков, что позволяет построить K–субдифференциальное исчисление высшего порядка.

Получены аналоги основных результатов классического анализа Фреше, от теоремы Юнга до формулы Тейлора и теории экстремумов (включая достаточные условия).

Глава состоит из введения и семи основных подразделов. В первом подразделе приведен краткий обзор теории K–субдифференциалов для отображений скалярного аргумента с приложениями к интегралу Бохнера, которая была построена и подробно изучена в работах И. В. Орлова и Ф. С. Стонякина ([83], [84], [97]–[102]).

Во втором подразделе вводятся K–пределы (для нормированных конусов) убывающих систем замкнутых выпуклых подмножеств, посредством которых определяются в дальнейшем K–субдифференциалы. К известным свойствам добавлен новый "признак Вейерштрасса" для K–пределов, фундаментальный для дальнейшего.

В п 3.3. переходим к определению K–субдифференциалов отображений в банаховых конусах, следуя классической схеме гладкого анализа: K–субдифференциал по направлению (компактное выпуклое множество) слабый K–субдифференциал (сублинейный K–оператор) K–субдифференциал Гато (ограниченный K–оператор) K–субдифференциал Фреше (плюс равномерная малость остаточного члена).

Отметим важную роль критериев K–субдифференцируемости. Также в нем содержится основные теоремы о K–субдифференциалах.

Следующие три пункта посвящены аналогам классических результатов:

получена теорема о среднем для K–субдифференцируемых отображений, исследовано понятия K–субдифференцируемости и субгладкости.

Рассмотрена связь K–субдифференцируемости на отрезке с обычной дифференцируемостью.

Примененный подход позволяет без труда дать индуктивное определение K–субдифференциалов второго и высших порядков. Раздел 3.7 посвящен K–субдифференциальному исчислению высшего порядка. Получены аналоги основных результатов классического анализа Фреше, от теоремы Юнга до формулы Тейлора и теории экстремумов.

В случае нормированных пространств K–субдифференцируемость n-го порядка влечет обычную дифференцируемость (n 1)-го порядка, что существенно упрощает приложения.

Понятие субгладкости распространяется на случай n-го порядка; такие отображения заведомо n раз K–субдифференцируемы.

аргумента (обзор) Для начала приведем краткий обзор теории K–субдифференциалов для отображений скалярного аргумента (см., например, [83], [97]–[102]).

Введем вспомогательное определение K–предела.

Определение 3.1.1. Пусть E убывающая по вложению при +0 система замкнутых выпуклых подмножеств E с непустым компактным пересечением B.

Множество B назовем K–пределом системы {B }>0 при +0 :

если Определение 3.1.2. K–субдифференциал отображения f в точке x I есть K–предел замкнутых выпуклых оболочек разностных отношений:

Замечание 3.1.3. 1) Очевидно, K–субдифференциал есть обобщение обычной производной:

Если K f (x) одноточечный, то верно и обратное.

2) Для вещественных функций f : I R справедлива формула при этом В частности, в угловых точках имеем Таким образом, для выпуклых вещественных функций K–субдифференциал совпадает с обычным субдифференциалом.

Отметим, что K–субдифференциал может существовать и в точках осцилляций.

Пример 3.1.4. Пусть Здесь Приведем ряд простейших свойств K–субдифференциалов.

Теорема 3.1.5. Справедливы следующие утверждения:

a) (f K–субдифференцируемо в точке x) = (f непрерывно в точке x);

б) K (f1 + f2 )(x) K f1 (x) + K f2 (x); (субаддитивность) в) K (f )(x) = · f (x);

г) (A L(E; F )) = (K (A · f )(x) = A(K f (x));

д) ([a; b] [c; d] E) = (K (g(f ))(x) K f (x) · K g(f (x));

В случае, когда одно из отображений дифференцируемо в обычном смысле, включения в пунктах (б), (д), (е), превращаются в точные равенства.

Приведем теорему о среднем для K–субдифференциалов.

Теорема 3.1.6. ([168]) Если отображение f непрерывно на [a; b] и K–субдифференцируемо на (a; b), то выполнено включение:

Предложение 3.2.3. Если существует K- lim B, то при любом существует и K- lim( · B ), причем выполнено равенство:

компактности хотя бы одного из двух K–пределов.

Предложение 3.2.4. Если существуют K–пределы K- lim B и K- lim B, то существует и K–предел их замкнутой суммы (по Минковскому) {B + B }>0, причем выполнено равенство:

Доказательство. Обозначим пределы справа, соответственно, через B 1 и B 2. Непосредственно проверяется, что выполняется включение Для проверки обратного включения воспользуемся свойством из определения 3.2.1. Для заданной окрестности нуля U = U (0) E выберем такую окрестность нуля U = U (0) E и подходящее U, чтобы U +U U и выполнялось:

Отсюда следует:

Таким образом, условие из определения 3.2.1 для B 1 (h) + B 2 (h) выполнено.

При этом:

так как B 1 + B 2 замкнуто. Таким образом, условие из определения 3.2.1 для B 1 + B 2 также выполнено и равенство доказано.

Предложение 3.2.5. Пусть где E1, E2 нормированные конусы. Если существуют K–пределы K- lim B и K- lim B, то существует и K–предел их декартова произведения в E1 E2, причем имеет место равенство:

Доказательство. Обозначим пределы справа в (3.3), соответственно, через B 1 и B 2. Тогда:

т. е. условие из определения 3.2.1 для B 1 B 2 выполнено.

Далее, для любых окрестностей Ui (0) Ei (i = 1, 2) выберем такие Ui > 0, что:

Пусть U = U1 U2, U = min(U1, U2 ). Следовательно:

т. е., условие из определения Следовательно, равенство (3.3) доказано.

который, по аналогии с известным признаком Вейерштрасса, назовем признаком Вейерштрасса для K–пределов.

Теорема 3.2.6. В условиях и обозначениях определения 3.2.1, K–предел K- lim B существует тогда и только тогда, когда найдется такой выпуклый компакт B E, что При этом Доказательство. Необходимость. Пусть B= K- lim B.

Тогда, подставляя B = B во второе условие из определения 3.2.1, мы сразу же приходим к условию (3.4).

т. к.

Допустим, что B = K- lim B, т.е. условие (3.2) из определения 3.2.1 не выполняется. Следовательно, существует такая открытая окрестность U0 (0) E и такая последовательность n 0, что:

Выберем n N точку xn Bn \(B + U0 ). Так как n 0, то из (3.4) следует Из определения квазиметрики теперь следует, что n существует такой что:

Ввиду компактности B, из последовательности {n } выделить сходящуюся подпоследовательность xnk x0 B при k.

При этом, ввиду (3.5), xnk B+U0 (k = 1, 2,...), откуда следует в пределе x0 B. С другой стороны, ввиду убывания {B }>0, последовательность {xnk } сходится в каждом B, начиная с некоторого номера nk0 (для которого nk0 ).

Следовательно, ввиду замкнутости B, x0 B > 0, откуда x B. Получено противоречие, следовательно условие из определения 3.2. выполнено.

Следствие 3.2.7. Пусть {B }>0 и {B }>0 две убывающие по вложению системы замкнутых выпуклых подмножеств E, причем:

Тогда существует K- lim B, причем 3.3.1 K-субдифференциалы по направлению и их свойства.

Всюду далее E, F нормированные конусы, U (x) окрестность точки x E, h E произвольное направление в E, co замкнутая выпуклая оболочка множества в F.

Определение 3.3.1. Назовем K–субдифференциалом отображения f в точке x следующий K–предел (если он существует):

В случае, когда F нормированное пространство, выражение под знаком K–предела в (3.6) можно выразить в более привычной форме, через разностные отношения: