«РАТАУШКО ЯН ЮРЬЕВИЧ ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ УПРУГИХ И ПОРОУПРУГИХ ТРЁХМЕРНЫХ ТЕЛ НА ОСНОВЕ СОВМЕСТНОГО ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОВ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И РУНГЕ-КУТТЫ Специальность 01.02.04 – механика деформируемого ...»

Рассмотрим также моделирование упругого трёхмерного призматического тела размерами 2 м 2 м 2 м с параметрами материала Е = 105 H / м 2 ; = 0.25 ; = 1кг / м3 под действием давления в виде единичной функции Хевисайда на торец. Задача с такими параметрами решалась в статье [103] в двумерной постановке: см. рис. 78. Здесь для расчёта продольных перемещений полагаем число шагов по времени N, совпадающее с двукратным числом узлов по аргументу параметра преобразования Лапласа, равным 500; для расчёта продольных усилий – =8N=800. Число используемых граничных элементов – 384. На рис. 79 показан график продольных перемещений на нагруженном торце, на рис. 80 – продольных усилий на закреплённом торце. В качестве сравнения приведены аналогичные графики, полученные в исследовании [103]. На рис. 81, представлены графики перемещений и усилий в центральной точке тела.

решение МГЭ в трёхмерной постановке решение из [103], алгоритм Губольта решение из [103], модальная суперпозиция + решение из [103], Javaran решение МГЭ в трёхмерной постановке решение из [103], алгоритм Губольта решение из [103], модальная суперпозиция + решение из [103], Javaran решение МГЭ в трёхмерной постановке Видно совпадение формы и амплитуды отклика на основе трёхмерного граничноэлементного моделирования с результатами из [103]. Таким образом, можно сделать вывод о том, что используемый метод не уступает разрабатываемым в настоящее время мировым аналогам и имеет такие преимущества, как стабильность, качество результатов и возможность решения задач в трёхмерной постановке. На рис. 83-94 представлена комбинированная трёхмерно-полутоновая визуализация границы призматического тела в рамках одного цикла колебаний. Полутоновая визуализация изображает продольные напряжения на закреплённом торце. Палитра моделируется линейкой от - 2. H / м 2 (красный цвет) до 0 H / м 2 (зелёный цвет).

Рис. 85 t=0.008с Рис. 86 t=0.012c Рис. 87 t=0.016с Рис. 88 t=0.020c Рис. 89 t=0.024с Рис. 90 t=0.028c Рис. 91 t=0.032с Рис. 92 t=0.036c 2.5. Задача о действии торцевой силы на пороупругое призматическое тело призматическое тело длиной l 3м с жёстко закреплённым концом. Краевая задача приведена на рис. 95. Отклики перемещения u3 и порового давления p, вызванные силой f t = 1 Н / м 2, наблюдаются на оси консоли, проходящей через точки A и B, путём введения фиктивной границы. Задача решается в трёхмерной постановке. Решение получено на оси Ox3 и соответствует задаче о пороупругом стержне. Применимы аналитические решения задачи о стержне. Для расчётов взяты следующие параметры материала:

известные:

неизвестные: ui (i 1,3, i j, i m), t j, tm, q.

Для расчётов выбрана гранично-элементная сетка из 224 элементов, N=500 и N=125 – числа шагов по времени для вычисления отклика перемещения и порового давления соответственно; распределение узлов по аргументу кусочно-равномерное на промежутках 0, 1 / 2, 1/ 2, ( 0, / 2, / 2, ) в отношении 95% / 5%. На рис. 96, представлено соответственно сравнение откликов перемещения в точке A, и порового давления в точке B, полученных с помощью шаговой схемы на основе метода Радо при разных значениях, с результатами шаговой схемы на основе метода Эйлера при N==2000 [56].

Видно, что для получения результата с помощью шагового метода на узлах схемы Радо достаточно меньшего числа как шагов по времени, так и расчётных узлов по аргументу. Это позволяет значительно сократить вычислительные затраты без потери точности. Для исследования сходимости схемы при измельчении пространственной сетки рассмотрены сетки из 224 (сетка 1), 504 (сетка 2) и 896 (сетка 3) граничных элементов. На рис. 98, 99 приведено соответственно сравнение кривых перемещения и давления, полученных с помощью шаговой схемы на основе метода Радо на разных граничноэлементных сетках, и результатов шаговой схемы на основе метода Эйлера [56].

=N=500, сетка =N=500, сетка =N=500, сетка решение [56] аналитическое решение Графики показывают, что решения, полученные на сетках 2 и 3, ближе к аналитическому решению. Далее будет использоваться гранично-элементная сетка 2 из 504 элементов. Решение [56], построенное с помощью шагового метода на основе схемы Эйлера, значительно уступает шаговому методу на узлах схемы Радо как отклика перемещения, так и отклика порового давления при больших вычислительных затратах.

На рис. 100, 101 представлены соответственно отклики продольных перемещений и поровых давлений в точках, распределённых по оси консоли от l 0 м до l 3м, полученные с помощью шаговой по времени схемы на узлах метода Радо на граничноэлементной сетке из 504 элементов. При расчёте перемещений положено =N=500, поровых давлений – =4N=1000.

На рис. 102-107 приведены результаты моделирования возбуждения медленной продольной волны в зависимости от проницаемости материала: отклик продольных перемещений в точке A (рис. 102), порового давления в точке B (рис. 103), порового потока в точке A (рис. 104), а также перемещений, порового давления и потока в центре тела (рис. 105-107) при значениях = 1.9 10 10 м4 /( Н с) и = 1.9 10 6 м4 /( Н с). Для проведения расчётов в центральной точке тела была введена фиктивная граница.

= 1.9 10 10 м4 /( Н с), численно-аналитическое решение = 1.9 10 6 м4 /( Н с), численно-аналитическое решение = 1.9 10 10 м4 /( Н с), численно-аналитическое решение = 1.9 10 6 м4 /( Н с), численно-аналитическое решение = 1.9 10 10 м4 /( Н с), численно-аналитическое решение = 1.9 10 6 м4 /( Н с), численно-аналитическое решение = 1.9 10 10 м4 /( Н с), численно-аналитическое решение (совпадает с осью = 1.9 10 м /( Н с), ГЭ-решение (совпадает с осью времени) = 1.9 10 6 м4 /( Н с), численно-аналитическое решение продольной волны в пористом материале от коэффициента проницаемости. В работах [91, 94] аналитического решения для отклика давления в одномерном пороупругом стержне. В [46] проведено моделирование медленной волны с использованием метода Дурбина, в [56] – традиционного шагового метода. Результаты, полученные на основе шаговой схемы на узлах Рунге-Кутты, демонстрируют преимущество применяемой гранично-элементной модели по сравнению с гранично-элементной моделью на основе шаговой схемы на узлах метода Эйлера.

визуализация границы пороупругого призматического тела при значении проницаемости = 1.9 106 м4 /( Н с) ; полутоновая визуализация изображает поровый поток.

Полутоновая палитра моделируется линейкой от - 5.285339810-8 м / с (синий цвет) до 6.517311810-8 м / с (красный цвет). Видны изменения амплитуды перемещений (см.

максимальное сжатие в моменты времени t = 0.00184 с, t = 0.00584 с и t = 0.00944 с); смена знака порового потока на нагруженном конце тела (синий цвет сменяет оранжевый).

Рис. 112 t=0.00184с Рис. 113 t=0.00224c Рис. 114 t=0.00264с Рис. 115 t=0.00304c Рис. 116 t=0.00344с Рис. 117 t=0.00384c Рис. 118 t=0.00424с Рис. 119 t=0.00464c Рис. 120 t=0.00504с Рис. 121 t=0.00544c Рис. 122 t=0.00584с Рис. 123 t=0.00624c Рис. 124 t=0.00664с Рис. 125 t=0.00704c Рис. 126 t=0.00744с Рис. 127 t=0.00784c Рис. 128 t=0.00824с Рис. 129 t=0.00864c Рис. 130 t=0.00904с Рис. 131 t=0.00944c В качестве итогов главы II приведём следующие результаты. Представлены граничные интегральные уравнения теории упругости/пороупругости, описана методика получения их дискретных аналогов. Для гранично-элементной дискретизации использованы четырёхугольные восьмиузловые биквадратичные элементы, применяется метод коллокации. Аппроксимация обобщённых граничных функций построена по согласованной модели. Численное интегрирование производится по квадратурным формулам Гаусса с применением алгоритмов понижения порядка и устранения особенностей. Дано описание структуры программного обеспечения, реализующего с применением технологии распараллеливания вычислительных потоков методику гранично-элементного моделирования упругих и пороупругих задач на основе шаговой схемы на узлах метода Эйлера и методов Рунге-Кутты. Предусмотрены возможности использования переменного шага интегрирования по аргументу при получении коэффициентов квадратурной формулы, квадратуры на основе формул интегрирования сильно осциллирующих функций, учёта симметрии подынтегральной функции. С помощью описанной методики решены задачи о действии торцевой силы на упругое и пороупругое призматические тела. Для пороупругого призматического тела продемонстрирован эффект возбуждения продольной медленной волны. Результаты численного моделирования сравниваются с решениями других авторов, аналитическими и численно-аналитическими решениями, что позволяет сделать вывод о преимуществе шаговой схемы МГЭ на узлах методов Рунге-Кутты над традиционной схемой на узлах метода Эйлера. Приведена комбинированная трёхмерно-полутоновая визуализация границы призматических тел; полутоновая виуализация изображает продольные усилия для упругого и поровый поток для пороупругого тел.

Глава III Моделирование поверхностных волн на базе МГЭ 3.1. Задача о действии вертикальной силы на поверхность пороупругого полупространства Рассматривается задача о действии вертикальной силы t3 t 0 f t, t 0 1000H / м на элемент поверхности однородного пороупругого полупространства abcd площадью 1м (рис. 133). В качестве закона изменения нагрузки на участок взята функция Хевисайда f (t ) H (t ). Дневная поверхность полупространства свободна и проницаема: на поверхности поровое давление p 0. Для расчётов используются следующие параметры материала (скальная порода):

Задача решалась методом гранично-временных элементов с применением схемы Радо на четырёх гранично-элементных сетках из 704 (сетка 1), 1180 (сетка 2), 1680 (сетка 3) и 1980 (сетка 4) элементов (рис. 134-137).

Рис. 134 сетка Рис. 135 сетка Рис. 136 сетка Динамические отклики исследовались в точках A, B, C, D (рис. 133). Рассмотрим точку D на расстоянии 15 м от центра нагруженного участка. Сеточная сходимость решения для компонент перемещений u1 и u3 продемонстрирована на рис. 138, 139 соответственно.

Для расчётов взяты следующие параметры шагового метода: R=0.997; L=/2=500 – число двукратных узлов на промежутке 0,, из них 475 распределены равномерно на 0, / 2, – на / 2, ; N=250 – число шагов по времени.

На рис. 140, 141 представлены решения, полученные на сетке 3 с помощью метода на узлах схемы Радо, а также на узлах метода Эйлера из [56]. Для сравнения приведены решения на сетке 4.

Из графиков видно, что сетка 3 даёт решение, близкое к результатам [56], при вчетверо большем шаге по времени. Решения на сетках 3 и 4 достаточно близки друг к другу и к решению [56], что позволяет использовать любую из этих сеток для дальнейших расчётов. Далее будем использовать сетку 4. На рис. 142, 143 показано сравнение решений при различных распределениях узлов по аргументу : с равномерным распределением на / 2, и со сгущением узлов в районе. Для схемы на узлах метода Рунге-Кутты такое сгущение узлов позволяет более точно описать вид спектра на дробных узлах.

схема Радо, R=0. На рис. 144, 145 приведено исследование сходимости для компонент перемещений по временному шагу, а на рис. 146, 147 – по аргументу интегрирования на ГЭ-сетке 4.

=8N=1000 =4N=1000 =2N= N==250 N=/2=250 N=/4= пропорциональном изменении числа шагов по времени N и числа узлов по аргументу интегрирования. Результаты сравниваются с решением из [56] на сетке из 2160 элементов.

Данное исследование подтверждает результаты, полученные в [56]. Видно, что для вычисления отклика перемещений с использованием шаговой по времени схемы на узлах метода Радо достаточно 250 узлов по времени и 250 двукратных узлов по аргументу. На рис. 150а, б представлены оценки пороупругого решения по упругой модели.

упругое решение, K = 1.618 1010 Н / м2, G = 6109 H / м2, = 2458 кг / м упругое решение, K = 1.618 1010 Н / м2, G = 6109 H / м2, = 2458 кг / м На рис. 151, 152 показана зависимость отклика компонент перемещения от удалённости точки снятия наблюдений. Наблюдения проводились в пяти точках: на расстоянии 8, 11.7, 15, 18.47 и 23 метра от центра приложения нагрузки.

пропорционально времени прихода волны и обратно пропорционально амплитуде волны в наблюдаемой точке. Компоненты отклика перемещений в разных точках проявляют один и тот же характер изменения во времени.

Одним из аспектов исследования было гранично-временное моделирование эффекта возбуждения третьей волны в сравнении с [56, 189]. Для вычислений в точке E, заглублённой в полупространство на расстояние 3 м, была введена фиктивная граница (рис. 153, 154).

На рис. 155-158 показаны соответственно отклики вертикальных перемещений, усилий, порового давления и потока в точке E при разных значениях коэффициента проницаемости: = 1.9 10 10 м4 /( Н с) и = 1.9 10 6 м4 /( Н с). Для расчётов взято N= узлов по времени и L=500 двукратных узлов по аргументу на [0, ].

ГЭ-решение из [56], = 1.9 10 10 м4 /( Н с), ГЭ-решение из [56], = 1.9 106 м4 /( Н с) ГЭ-решение из [56], = 1.9 10 10 м4 /( Н с), ГЭ-решение из [56], = 1.9 106 м4 /( Н с) Данное исследование продемонстрировало эффект возбуждения медленной волны в отклике порового давления, что подтверждает результаты из [56, 189]. Здесь, в отличие от [189] и вслед за [46, 56], эффект возбуждения медленной волны продемонстрирован и на графике отклика порового потока. В исследованиях [189] рассматривалась сетка, содержащая 342 граничных элемента, в [46] – 1536 граничных элементов, в данной работе – 1176 граничных элементов. Применение шаговой схемы на узлах метода Рунге-Кутты позволило ограничиться 125 узлами по времени против 1000 узлов из [56] и двукратными узлами по аргументу.

На рис. 159-164 представлена трёхмерная визуализация прогиба границ слоя полупространства.

На рис. 165-190 представлена полутоновая визуализация порового потока на фиктивной границе внутри полупространства на промежутке времени 0.00232 0.00332 с.

Палитра моделируется линейкой от - 3.336700210-8 м / с (синий цвет) до 1.725883310-8 м / с (красный цвет). Видны нарастание порового потока и смена его знака.

Рис. 167 t=0.00240с Рис. 168 t=0.00244c Рис. 169 t=0.00248с Рис. 170 t=0.00252c Рис. 171 t=0.00256с Рис. 172 t=0.00260c Рис. 173 t=0.00264с Рис. 174 t=0.00268c Рис. 175 t=0.00272с Рис. 176 t=0.00276c Рис. 177 t=0.00280с Рис. 178 t=0.00284c Рис. 179 t=0.00288с Рис. 180 t=0.00292c Рис. 181 t=0.00296с Рис. 182 t=0.00300c Рис. 183 t=0.00304с Рис. 184 t=0.00308c Рис. 185 t=0.00312с Рис. 186 t=0.00316c Рис. 187 t=0.00320с Рис. 188 t=0.00324c Рис. 189 t=0.00328с Рис. 190 t=0.00332c 3.2. Задача о действии вертикальной силы на поверхность пороупругого полупространства, ослабленного полостью Рассмотрим задачу о действии вертикальной силы на поверхность пороупругого Рассматриваются два варианта полости – сферическая и кубическая. В качестве действующей силы возьмём вертикальную силу P(t ) P0 H (t ), P0 1000Н / м2, на площади S 1м 2 дневной поверхности полупространства. Граница полупространства полагается непроницаемой (q=0). Внутри полупространства расположена сферическая/кубическая полость с диаметром/стороной 10м (рис. 191а, б), причём центр полости находится на h 7,5 м. Исследуются перемещения и поровое давление на поверхности глубине полупространства на расстоянии 15м от области действия силы.

В качестве пороупругого материала возьмём скальную породу c параметрами:

Гранично-элементные сетки строятся с учётом двух плоскостей симметрии.

Четверть сетки содержит для полупространства 420 элементов и 465 узлов, для полости – элементов и 355 узлов (рис. 192а, б). Для расчётов взято N=250 узлов по времени и L= двукратных узлов по аргументу на промежутке [0, ].

На рис. 193-195 представлено исследование влияния формы полости соответственно на отклики перемещений и порового давления на расстоянии l=15м от области действия силы для нагрузок в виде функции Хевисайда.

Сферическая полость Кубическая полость Без полости Сферическая полость Кубическая полость Без полости На рис. 196а, б представлены оценки пороупругого решения в случае сферической полости, а на рис. 197а, б – кубической полости, по упругой модели.

упругое решение, K = 1.618 1010 Н / м2, G = 6109 H / м2, = 2458 кг / м упругое решение, K = 8109 Н / м2, G = 6109 H / м2, = 2458 кг / м упругое решение, K = 1.618 1010 Н / м2, G = 6109 H / м2, = 2458 кг / м упругое решение, K = 8109 Н / м2, G = 6109 H / м2, = 2458 кг / м упругое решение, K = 1.618 1010 Н / м2, G = 6109 H / м2, = 2458 кг / м упругое решение, K = 1.618 1010 Н / м2, G = 6109 H / м2, = 2458 кг / м На рис. 198-200 приведено исследование перемещений и порового давления для полупространства со сферической полостью при удалении от источника нагрузки на 15м, 19.4м, 22.18м, 25.4м. На рис. 201-203 приведено аналогичное исследование для кубической полости.

l=15м l=19.4м l=22.18м l=25.4м l=15м l=19.4м l=22.18м l=25.4м l=15м l=19.4м l=22.18м l=25.4м l=15м l=19.4м l=22.18м l=25.4м На рис. 204, 205 показаны результаты для вертикальных перемещений и порового давления в ближней к поверхности полупространства точке полости (глубина 2.5м), на рис.

206, 207 – в дальней от поверхности точке полости (глубина 12.5м).

Сферическая полость Кубическая полость Сферическая полость Кубическая полость На рис. 208-211 представлены аналогичные результаты для значения коэффициента проницаемости = 1.9 10 6 м4 /( Н с). Рис. 208, 209 соответствуют ближней, рис. 210, 211 – дальней от поверхности полупространства точке полости.

Сферическая полость Кубическая полость Сферическая полость Кубическая полость Рис. 212-214 демонстрируют исследование зависимости откликов перемещений и порового давления в точке поверхности полупространства, удалённой на l=15м от области действия силы, от формы полости, ослабляющей полупространство, при значении коэффициента проницаемости = 1.9 10 6 м4 /( Н с).

Решение задачи о действии вертикальной силы на полупространство, ослабленное полостью, и исследование влияния формы полости на динамические отклики обобщённых граничных перемещений проведены вслед за [56]. В отличие от [56], приводятся решения = 1.9 10 6 м4 /( Н с), а также в точках, расположенных на полости; все результаты получены с помощью шаговой по времени схемы МГЭ на узлах метода Рунге-Кутты.

3.3. Задача о действии вертикальной силы на поверхность двуслойного полупространства Рассмотрим задачу о действии вертикальной силы t3 t 0 H t, t 0 1000H / м2 на полупространства свободна и проницаема: поровые давления и усилия на границе нулевые, кроме участка нагружения площадью 1м 2. В качестве материалов слоя и полупространства рассмотрим песчаник с параметрами K = 2.1108 Н / м2, G = 9.8 107 H / м2, =1884 кг / м3, расположенный на скальном полупространстве k = 1.9 1010 м4 / ( Н с).

Исследовалось поведение откликов граничных функций в точке A поверхности полупространства, удаленной от области нагрузки на 10 м. Гранично-элементная сетка состоит из 420 элементов на четверти дневной поверхности и 420 элементов на четверти области контакта верхнего слоя с полупространством.

На рис. 216, 217 представлены отклики вертикальных перемещений в точке A для слоя песчаника толщиной h=5м и h=10м соответственно. Для сравнения приведены решения [56] на основе традиционного шагового метода, [46] на основе метода Дурбина и [189] на основе метода квадратур свёрток.

схема Радо, =1000, N=270 решение из [56], шаговый метод схема Радо, =1000, N=270 решение из [56], шаговый метод На графиках виден приход волны Рэлея (t 0.043с) вслед за волной сжатия. При t > 0.05с также видны возмущения, что говорит о приходе отражённых от границы песчаника и скалы волн сжатия. Выбранная толщина слоя песчаника всё ещё позволяет увидеть влияние волны Рэлея, т.к. отражённые волны сжатия достигают наблюдаемой точки после её прихода.

3.4. Задача о действии вертикальной силы на поверхность пороупругого полупространства с выемкой Рассматривается задача о действии вертикальной силы t3 t 0 f t, t 0 1H / м 2 на элемент поверхности однородного пороупругого полупространства площадью 0.25 м 2 (рис.

218). В качестве закона изменения нагрузки на участок взята функция Хевисайда f (t ) H (t ). На расстоянии D 1м от области нагружения находится выемка размерами L 1м, W 0.5 м, H 1м. Дневная поверхность полупространства свободна и проницаема:

на поверхности поровое давление p 0. Для расчётов используются следующие параметры материала (песчаник): K = 1.02 109 Н / м2, G = 1.44 109 H / м2, s = 2650 кг / м3, = 0.23, Задача решалась методом гранично-временных элементов с применением схем Эйлера и Радо на гранично-элементных сетках из 588 (сетка 1), 720 (сетка 2), 972 (сетка 3) элементов с учётом одной плоскости симметрии (рис. 219-221).

Динамические отклики вертикальной компоненты перемещений рассматриваются в точках на расстоянии соответственно l=1.75м (точка A), l=2.67м, l=4.94м, l=6.83м от зоны приложения нагрузки. Для расчётов с использованием схемы Эйлера взяты следующие параметры: R=0.997; L=415 узлов на промежутке из них 400 распределены равномерно на 0, 2, 15 – на 2, ; число шагов по времени N=100. Сеточная сходимость решения с использованием схемы на узлах метода Эйлера в вертикальных перемещениях в точке A продемонстрирована на рис. 222.

Далее будем рассматривать сетку 1 (588 элементов).

На рис. 223-226 показаны результаты исследования схемы на узлах метода Эйлера для выбора оптимального шага в точках l=1.75м, l=2.67м, l=4.94м, l=6.83м соответственно.

На рис. 227-230 представлены решения, полученные с помощью шаговых методов на узлах схем Эйлера и Радо в точках l=1.75м, l=2.67м, l=4.94м, l=6.83м соответственно. Для расчётов с использованием схемы Радо взяты следующие параметры: L=121 двукратный узел на промежутке 0,, из них 113 распределены на 0, 2, 8 – на 2, ; N=30 шагов по времени.

схема Эйлера, N=100, L=415 схема Радо, N=30, = схема Эйлера, N=100, L=415 схема Радо, N=30, = Шаговая по времени схема МГЭ на узлах метода Радо даёт результаты, близкие к решениям на основе традиционной шаговой схемы, но требует гораздо меньше затрат: шагов по времени по сравнению с 100 для схемы на узлах метода Эйлера, и 121 двукратный узел по аргументу по сравнению с 415 однократных для схемы на узлах метода Эйлера.

На рис. 231-234 решения для пространства с выемкой в точках l=1.75м, l=2.67м, l=4.94м, l=6.83м полупространства без выемки.

На рис. 235 представлена зависимость отклика вертикальных перемещений от удалённости наблюдаемой точки от области нагружения.

Глава III посвящена решению задач о воздействии силы на поверхность трёхмерных пороупругих полубесконечных тел (полупространств). Проведено компьютерное моделирование задач о действии вертикальной силы на поверхность пороупругого пространства, в т.ч. с фиктивной границей (в постановке составного полубесконечного тела). Рассматривается выбор оптимальной гранично-элементной и временной сеток. Представлены оценки пороупругого решения по упругой модели.

Приводится исследование поведения откликов перемещений на поверхности с удалением от области приложения нагрузки. На основе задачи о полупространстве с фиктивной границей демонстрируется эффект влияния коэффициента проницаемости на появление медленной волны сжатия. Представлена трёхмерная визуализация границ верхнего слоя полупространства, полутоновая визуализация изменения порового потока на границе полупространства и слоя. Рассматривается также случай различных материалов слоя и полупространства (задача о слое песчаника на скальном полупространстве) при различной толщине слоя. Проводится сравнение результатов с решениями других авторов на основе других схем МГЭ. Решаются задачи о действии вертикальной силы на поверхность полупространства, ослабленного полостью, и полупространства с выемкой. Представлено исследование влияния формы полости на форму откликов перемещений и порового давления в точке поверхности полупространства на заданном расстоянии от приложенной нагрузки.

Представлены оценки пороупругого решения для полупространств со сферической и кубической полостями по упругой модели. Проводится сравнение откликов вертикальных перемещений на поверхности полупространства с выемкой и без выемки на различном расстоянии от области нагружения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В качестве основных результатов работы и выводов отметим следующие положения:

Разработана методика решения краевых задач динамики трёхмерных упругих и пороупругих тел на основе совместного применения метода граничновременных элементов с шаговой схемой на узлах метода Эйлера и методов Рунге-Кутты.

Создано программное обеспечение, реализующее шаговую схему на узлах метода Эйлера и на узлах методов Рунге-Кутты с переменным шагом интегрирования при расчёте коэффициентов квадратурной формулы, возможностью учёта симметрии подынтегральной функции, с использованием алгоритма распараллеливания вычислительных потоков.

Продемонстрирован эффект возбуждения медленной продольной волны в пористых средах в откликах порового давления и потока на примере численноаналитических и численных решений задач на основе шаговой схемы на узлах методов Рунге-Кутты.

Получено решение следующих волновых задач на основе шаговой схемы на узлах методов Рунге-Кутты:

о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на торец упругого и пороупругого призматических тел;

о действии вертикальной силы в виде функции Хевисайда по времени на поверхность однородного и слоистого пороупругих полупространств;

о действии вертикальной силы в виде функции Хевисайда по времени на поверхность пороупругого полупространства, ослабленного полостью, и пороупругого полупространства с выемкой.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Аменицкий А.В. Развитие метода граничных элементов для численного автореф.дис…канд.ф.-м.н.: 01.02.04 / Аменицкий Александр Владимирович.

Н.Новгород, 2010. 21 с.

Аменицкий А.В., Белов А.А., Игумнов Л.А., Карелин И.С. Граничные интегральные уравнения для решения динамических задач трехмерной теории пороупругости // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз.сб. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 2009.

Вып.71. С. 164-171.

Аменицкий А.В., Белов А.А., Игумнов Л.А., Литвинчук С.Ю. Гранично-элементное моделирование на основе квадратур сверток динамического состояния составных упругих тел // Вычислительная механика сплошных сред. – Пермь: Изд-во ИМСС УрО РАН. 2008. Т.1, №3. С. 5-14.

Аменицкий А.В., Игумнов Л.А., Карелин И.С. Гранично-элементное моделирование распространения волн в среде Био // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XII международной конф., Ростов-на-Дону, 2008. – Ростов-на-Дону:

Изд-во ООО «ЦВВР». – 2008. – С. 9-12.

Аменицкий А.В., Игумнов Л.А., Карелин И.С. Развитие метода граничных элементов для решения проблемы распространения волн в пористых средах // Проблемы прочности и пластичности: Межвузовский сборник. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 2008. Вып.70. C. 71-78.

Артиков Т.У., Хужаев А. Энергетический анализ волновых движений в задаче Лэмба для пористых сред // Изв. АН УзССР. Сер. техн. н. -1985, № 3. С. 28-33.

Бабешко В.А. К проблеме исследования динамических свойств трещиноподобных тел // ДАН. 1989. Т. 304, № 2. С. 318-321.

Бабешко В.А. Новый метод решений краевых задач механики сплошной среды и математической физики для неклассических областей // ДАН. 1985. Т. 284, № 1.

С.73-76.

Багдоев А.Г., Ерофеев В.И., Шекоян А.В. Линейные и нелинейные волны в диспергирующих сплошных средах. М.: Наука, Физматлит, 2009. 318 с.

Баженов В.Г., Белов А.А., Игумнов Л.А. Гранично-элементное моделирование 10.

динамики кусочно-однородных сред и конструкций. Н.Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2009. 180 с.

Баженов В.Г., Игумнов Л.А. Методы граничных интегральных уравнений и 11.

граничных элементов в решении задач трехмерной динамической теории упругости с сопряженными полями. М.: Физматлит, 2008. 352 с.

Белов А.А, Игумнов Л.А., Петров А.Н. Численное моделирование динамики 12.

пористо-упругих тел и сред // Материалы XVII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова. М.: ООО «ТР-принт. 2011. Т.1. С. 30-31.

Белов А.А., Игумнов Л.А., Карелин И.С. Численное моделирование волн в 13.

пороупругих телах и средах // Современные проблемы механики сплошной среды.

Труды XIII международной конференции, Ростов-на-Дону, 12-15 октября 2009г.

Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР». 2009. С.27-31.

Бордаков Г.А., Миколаевский Э.Ю., Секерж-Зенькович С.Я. Отражение 14.

нестационарных низкочастотных волн в сжимаемой жидкости от пористой среды при нормальном падении // Вулканология и сейсмология. 2000. Т.22, №1. С.72-76.

Ватульян А.О. Граничные интегральные уравнения для эллиптических операторов 15.

// Известия высших учебных заведений Северо-Кавказский Регион. 2000. № 3. С.34Ватульян А.О. О граничных интегральных уравнениях I-го рода в динамических 16.

задачах анизотропной теории упругости // ДАН РАН. 1993. Т. 333, № 3. С.312-314.

Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М:

17.

Физматлит, 2007. 223 с.

Ватульян А.О., Ляпин А.А. Динамическая терема взаимности и фундаментальные 18.

решения для пороупругих сред // Экологический вестник Научных центров ЧЭС.

2010. №4. С. 14-20.

Ватульян А.О., Ляпин А.А. Об обратных коэффициентных задачах пороупругости // 19.

Изв. РАН. МТТ. 2013. № 2. С. 114-121.

Ватульян А.О., Садчиков Е.В. О неклассической формулировке граничных 20.

интегральных уравнений в задачах о колебаниях вязкоупругих анизотропных тел // Труды V международной конференции «Современные проблемы механики сплошных сред». Ростов-на-Дону, 1999. С.53-57.

Ватульян А.О., Садчиков Е.В. О новой формулировке граничных интегральных 21.

уравнений в задачах о колебаниях анизотропных тел // Механика твердого тела.

Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Прямые и обратные задачи для однородных и 22.

неоднородных упругих и электроупругих тел. Ростов-н/Д: Изд-во Южного федерального университета, 2008. 176 с.

Ватульян А.О., Шамшин В.М. Новый вариант граничных интегральных уравнений 23.

и их применение к динамическим пространственным задачам теории упругости // ПММ. 1998. Т. 62, вып. 3. С. 112-119.

Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные 24.

явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999. 246 с.

Галиев Ш.У. Динамика взаимодействие элементов конструкций с волной давления 25.

в жидкости. Киев: Наук, думка, 1977. 172 с.

Гафурбаева С.М., Наримов Ш. Автомодельные решения одной пространственной 26.

задачи теории насыщенных пористых сред. Ташк. хим.-технол. ин-т. Ташкент, 1992.

- 12 е./Деп. в УзНИИНТИ 31.03.92, N 1597-Уз92.

Гафурбаева С.М., Наримов Ш. Направленное сосредоточенное воздействие в 27.

насыщенных пористых средах. Ташк. политехи, ин-т., 1990. - 9 с. / Деп. в УзНИИНТИ 29.6.90, N 1279-Уз90.

Гольдштейн Р.В. К вопросу о применении метода граничных интегральных 28.

уравнений для решения задач механики сплошных сред // Метод граничных интегральных уравнений: Вычислительные аспекты и приложения в механике (Механика: новое в зарубежной науке): сб. ст. М.: Мир, 1978. С.183-209.

Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волны в 29.

сплошных средах. Учеб. пособ. для вузов. М.: Физматлит. 2004. 472 с.

Гришаев А.Г. К моделированию свойств наполненных пористых сред. Упругость и 30.

неупругость. // Материалы 2 Международного научного симпозиума по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 95-летию со дня рождения А.А.Ильюшина, Москва, 19-20 янв. 2006. М.: Ленанд, 2006. С.124-129.

Губайдуллин A.A., Болдырева О.Ю. Волны на поверхности раздела насыщенной 31.

пористой среды и жидкости // ДАН. 2006, Т.409, №3. С.419-421.

Губайдуллин А. А., Болдырева О.Ю. Распространение волн вдоль границы 32.

насыщенной пористой среды и жидкости // Акуст. ж. 2006, Т.52, №2. С.201-211.

Губайдуллин А.А. Распространение линейных и нелинейных волн в насыщенных 33.

пористых средах // 4 Междунар.конф. «Лаврентьев. чтения по мат., мех. и физ.», посвящ. 95-летию со дня рожд. акад. М.А.Лаврентьева, Казань, 3-7 июля 1995: Тез.

докл. Новосибирск, 1995. С.98.

Игумнов Л.А Граничные интегральные уравнения трехмерных задач на плоских 34.

волнах // Докл. РАН. 2006. Т. 409, №5. С. 1-3.

Игумнов Л.А. Применение гранично-элементного подхода к исследованию 35.

динамики трехмерных пористо-упругих тел // Развитие идей Л.А. Галина в механике. Сборник под ред. И.Г. Горячевой. – Ижевск. Регулярная и хаотическая динамика, 2012. С.387-411.

Игумнов Л.А., Литвинчук С.Ю., Петров А.Н. Моделирование поверхностных волн 36.

на упругих, вязко- и пористо-упругих полупространствах // Современные проблемы механики и математики / Под общ. ред. Р.М.Кушнира, Б.И.Пташника. – Львов:

Институт прикладных проблем механики и математики им. Я.С.Подстригача НАН Украины, 2013. С.34-36.

Игумнов Л.А., Ратаушко Я.Ю. Метод гранично-временных элементов на основе 37.

шаговой схемы Рунге-Кутты // Материалы XX Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова. Ярополец, 17-21 февраля 2014. М.: ООО «ТР-принт». 2014.

Игумнов Л.А., Ратаушко Я.Ю. Применение вариантов шагового метода численного 38.

обращения преобразования Лапласа // Вестник Нижегородского университета им.

Н.И. Лобачевского. Сер. Механика. Н.Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2014. №1(2). С.27-29.

Игумнов Л.А., Ратаушко Я.Ю. Применение метода Рунге-Кутты в граничноэлементном моделировании динамики трехмерных пороупругих тел // Математика и математическое моделирование: сборник материалов VIII Всероссийской молодежной научно-инновационной школы. Саров, 8-11 апреля 2014. Саров: ООО «Интерконтакт». 2014. С.35.

Игумнов Л.А., Ратаушко Я.Ю. Совместное применение метода гранично-временных 40.

элементов с методом Рунге-Кутты для исследования динамики трёхмерных упругих и пороупругих тел // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз.сб. Н.Новгород:

Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2014. №76(1). С.55-64.

Игумнов Л.А., Ратаушко Я.Ю. Фундаментальные и сингулярные решения 41.

изотропной теории упругости и вязкоупругости. Электронное методическое пособие. Н.Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2011. 18с.

Игумнов Л.А., Ратаушко Я.Ю. Шаговый метод обращения преобразования Лапласа 42.

на узлах схемы Рунге-Кутты // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз.сб.

Н.Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2013. №75(3). С.178-184.

43.

переменного шага интегрирования // Проблемы прочности и пластичности:

Межвуз.сб. Н.Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2013. №75(4).

С.280-287.

Игумнов Л.А., Ратаушко Я.Ю., Аменицкий А.В., Белов А.А. Применение метода 44.

гранично-временных элементов для моделирования краевых задач динамики трехмерных упругих и пороупругих тел // Труды VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела. Ростов-на-Дону, 15-18 октября 2013. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ. 2013. Т.I.

С.247-250.

Игумнов Л.А., Ратаушко Я.Ю., Аменицкий А.В., Белов А.А. Применение метода 45.

гранично-временных элементов для моделирования краевых задач динамики трехмерных упругих и пороупругих тел // Тезисы докладов VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела. Ростов-на-Дону, 15-18 октября 2013. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ. 2013.

Карелин И.С. Гранично-элементное моделирование динамики составных 46.

пороупругих тел: дис…канд.ф.-м.н.: 01.02.04: защищена 28.06.2012: утв.11.03.2013 / Карелин Иван Сергеевич. Н.Новгород, 2012. 138 с.

Карелин И.С. Гранично-элементное моделирование динамики составных 47.

пороупругих тел: автореф.дис…канд.ф.-м.н.: 01.02.04 / Карелин Иван Сергеевич.

Н.Новгород, 2012. 19 с.

Келбалиев Г.И. Математическое описание нестационарных процессов, 48.

протекающих в изотропных пористых средах, квазиконтинуальными моделями // Теор. основы хим. технол.- 1985, Т. 19, № 2. -С. 199-206.

Кузнецова Ел.Л., Тарлаковский Д.В. Явная форма решения задачи Лэмба в 49.

произвольной точке полуплоскости // Материалы XII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». Избранные доклады. М.: Изд-во МАИ, 2006. С.104-120.

Масликова Т.И., Поленов В.С. Нестационарные упругие волны в пористых 50.

материалах // Изв. Инж.-технол. акад. Чуваш, респ. 1999 - С. 125130.

Масликова Т.И., Поленов В.С. О нестационарных упругих волнах в пористых 51.

материалах // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2001, № 6. - С. 103-107.

Масликова Т.И., Поленов В.С. О распространении нестационарных упругих волн в 52.

однородных пористых средах // Изв. РАН. Мех.тверд.тела. 2005, № 1. С.104-108.

Мирошников В.В., Фатьянов А.Г. Численное моделирование волновых полей в 53.

пористой среде. // Модель Био Мат. моделирование в геофиз.- Новосибирск, 1989.

Михлин С.Г., Морозов Н.Ф., Паукшто Н.В. Интегральные уравнения в теории 54.

упругости. СПб., 1994. 272 с.

Молотков Л.А. Об источниках, действующих на свободной границе пористой среды 55.

Био, и об отражении волн на этой границе // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2000. С. 217Петров А.Н. Моделирование динамики составных пороупругих тел на основе 56.

метода гранично-временных элементов: Дис… канд. физ.-мат. наук. Н.Новгород, Ратаушко Я.Ю. Анализ термоупругой динамики трехмерных тел методом 57.

граничных элементов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И.

Лобачевского: Доклады Х Всероссийского съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, сер. Механика. Н.Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2011. №4(4). С.1736-1737.

Ратаушко Я.Ю. Метод квадратур сверток для решения граничных интегральных 58.

уравнений: обращение преобразования Лапласа // Форум молодых ученых: тезисы докладов. Н.Новгород 16-18 сентября 2013. Том 1. Н.Новгород: Изд-во ННГУ им.

Н.И. Лобачевского, 2013. С.82-83.

Ратаушко Я.Ю., Игумнов Л.А., Аменицкий А.В., Белов А.А. Применение метода 59.

граничных элементов для решения трехмерных краевых задач вязко- и поровязкоупругости // Тезисы докладов XXV Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых сред и конструкций.

Методы граничных и конечных элементов». Санкт-Петербург 23-26 сентября 2013г.

Т.1. С.164-165.

Ратаушко Я.Ю., Литвинчук С.Ю., Пазин В.П. Численно-аналитическое построение 60.

матриц Грина и Неймана трехмерной теории термоупругости // Материалы Нижегородской сессии молодых ученых. Естественные, математические науки.

Н.Новгород: НИУ РАНХиГС, 2013 г. С.267-270.

Салиев А.А. Взаимодействие нестационарных волн со сферическими границами 61.

раздела в упруго-пористой среде, насыщенной жидкостью. Ташкент, 1989. 126 с.

Салиев А.А. Движение абсолютно твердого шара в упруго-пористой среде под 62.

действием нестационарных волн // Тезисы докладов Всесоюзной конференции «Механика неоднородных структур», Т. I. Львов,1987. С. 245.

Сумбатян М.А. О корректной трактовке одного граничного уравнения в акустике 63.

замкнутых областей // ЖВМ и МФ. 2001. Т. 41, № 3. С. 436-442.

Трофимчук А.Н. Асимптотические решения нестационарных контактных задач для 64.

насыщенных жидкостью пористоупругих сред // Смешанные задачи механики деформируемого тела: 4 Всес. конф., 26-29 сент., 1989: Тезисы доклада. Ч.2. Одесса, 65.

пористоупругой насыщенной жидкостью среды // Доп. Нац. АН Укршни. 1998, Трофимчук А.Н., Гомилко А.М., Савицкий О.А. Динамика пористо-упругих 66.

насыщенных жидкостью сред. К.: Наук, думка, 2003. 230 с.

Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике 67.

деформируемого твердого тела. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1986. 295с.

Якубов С.X Исследование импульсных возмущений в насыщенных пористых 68.

средах // Сиб. физ.-техн. ж. 1992, № 5. - С. 151-154.

Якубов С.X. Исследование импульсных возмущений в насыщенных пористых 69.

средах // Актуал. вопр. теплофиз. и физ. гидрогазодинам.: 4 Всес. конф. мол.

исследователей, Новосибирск, 27-29 марта, 1991: Тезисы доклада. Новосибирск, 70. Achenbach J.D. Wave Propagation in Elastic Solids // North Holland. 1980.

71. Aimi A., Diligenti M., Frangi A., Guardasoni C. A stable 3D energetic Galerkin BEM approach for wave propagation interior problems // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2012. №36. P.1756-1765.

72. Akopyan V.A., Soloviev A.N., Parinov I.A., Shevtsov S.N. Definition of Constants for Piezoceramic Materials. NY, Nova Science Publishers, Inc. 2010. 205 p.

73. Albers B. Monochromatic surface waves at the interface between poroelastic and fluid halfspaces // Proc. R. Soc. A 2006. 462. P.701-723.

74. Albers B., Savidis S.A., Tasan H.E., von Estorff O., Gehlken M. BEM and FEM results of displacements in a poroelastic column // Int. J. Appl. Math. Comput. Sci. 2012. Vol.22.

№4. P.883-896.

75. Albers B., Wilmanski K. Monochromatic surface waves on impermeable boundaries in two-component poroelastic media // Contin. Mech. Thermodyn. 2005. №17. P.269-285.

Aliabadi F. The boundary element method: applications in solids and structures. – John 76.

Wiley, 2002. 598 p.

Aznrez J.J., Maeso O., Domnguez J. BE analysis of bottom sediments in dynamic fluidstructure interaction problems // Eng. Anal. Bound. Elem. 2006. 30(2). Р.124-136.

78. Banjai L. Multistep and multistage boundary integral methods for the wave equation // Max-Planck-Institut fuer Mathematik in den Naturwissenschaften Leipzig, preprint series.

79. Banjai L., Lubich C., Melenk J.M. Runge-Kutta convolution quadrature for operators arising in wave propagation // Numer. Math. 2011. №119. P.1-20.

80. Banjai L., Messner M., Schanz M. Runge-Kutta convolution quadrature for the boundary element method // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2012. P.90-101.

81. Banjai L., Sauter S. Rapid solution of the wave equation in unbounded domains // SIAM J. Numer. Anal. 2008. №47. P.227- 82. Banjai L., Schanz M. Wave Propagation Problems treated with Convolution Quadrature and BEM // Max-Planck-Institut fuer Mathematik in den Naturwissenschaften Leipzig, preprint series. 2010. №60.

Belyankova Т. I., Kalinchuk V. V. The features of the massive foundation dynamics on 83.

the surface of the fluid-saturated porous medium // Waves Saturated Porous Media, Poznan, Aug. 28-31, 1990: Summ. Poznan, 1990. - P. 17.

84. Beskos D., Maiser G. Boundary element advances in solid mechanics. Berlin: Springer, 85. Biot M.A. General theory of three-dimensional consolidation // J. Appl. Phys. 12(2).

1941. P.155–164.

86. Biot M.A. Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid // J. Appl.

Phys. 26(2). 1955. P.182–185.

Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a uid-saturated porous solid.I. Lowfrequency range. // J. Acoust. Soc. Am. 28(2). 1956. P.168–178.

Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a uid-saturated porous solid.II.

88.

Higher frequency range // J. Acoust. Soc. Am. 28(2). 1956. P.179–191.

89. Bonnet G. Basic singular solutions for a poroelastic medium in the dynamic range // J.Acoust. Soc. Am., 82(5). 1987. P.1758–1762.

90. Bonnet G., Auriault J.-L. Dynamics of saturated and deformable porous media:

Homogenization theory and determination of the solid-liquid coupling coefcients. In N.

Boccara and M. Daoud, editors, Physics of Finely Divided Matter. Springer Verlag, Berlin, 1985. P. 306–316.

91. Bonnet M, Frang A. Analyse des solides deformables par la methode des elements finis // cole polytechnique campus de l’universit de Montral 2500, chemin de Polytechnique Montral, Qc Canada, 2006. 300 p.

Bougacha S., Rosset J.M., Tassoulas J.T. Dynamic stiffness of foundations on fluidfilled poroelastic stratum // J. Engrg. Mech., ASCE. 1993. 119(8). Р.1649–1662.

Bougacha S., Tassoulas J.T., Rosset J.M. Analysis of foundations on fluid-filled 93.

poroelastic stratum // J. Engrg. Mech., ASCE. 1993. 119(8). Р.1632–1648.

94. Bowen R.M. Compressible porous media models by use of the theory of mixtures // Int. J.

Engng. Sci. 1982. 20(6). Р.697-735.

95. Busse A., Schanz M., Antes H. A poroelastic Mindlin plate // Proc. Appl. Math. Mech.

2003. 3(1). Р.260–261.

96. Calvo M.P., Cuesta E., Palencia C. Runge-Kutta convolution quadrature methods for well-posed equations with memory // Numer. Math. 2007. №107. P.589- 97. Cao Z., Cai Y. Isolation of Train-Induced Ground-Borne Vibration by Trenches on a Poroelastic Half-Space // J. Eng. Mech. Vol.139. №5. P.580-593.

98. Carrer J.A.M., Pereira W.L.A., Mansur W.J. Two-dimensional elastodynamics by the time-domain boundary element method: Lagrange interpolation strategy in time integration. // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2012. №36. P.1164-1172.

99. Carter J.P., Booker J.R. Analysis of pumping a compressible pore fluid from a saturated elastic half space // Comput. and Geotechn. 1987, V. 4, № 1. -P. 21-42.

100. Cederbaum G., Li L., Schulgasser K. Poroelastic Structures. Elsevier. Amsterdam. 2000.

101. Chapman B., Jost G., Van Der Pas R. Using OpenMP: Portable Shared Memory Parallel Programming. MIT Press, 2007. 353р.

102. Chen J., Dargush G.F. Boundary element method for dynamic poroelastic and thermoelastic analysis // Internat. J. Solids Structures. 1995. 32(15). Р.2257-2278.

103. Chen Y.C., Hwu Ch. Boundary element method for vibration analysis of two-dimensional anisotropic elastic solids containing holes, cracks or interfaces. // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2014. №40. P.22-35.

104. Cheng A.H.-D., Abousleiman Y. Intrinsic poroelasticity constants and a semilinear model // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. 2008. 32(7). Р.803-831.

105. Cheng A.H.-D., Badmus T., Beskos D.E. Integral equations for dynamic poroelasticity in frequency domain with BEM solution // J.Eng.Mech., ASCE. 1991. 117(5). Р.1136-1157.

106. Cruse T.A., Rizzo F.J. A direct formulation and numerical solution of the general transient elastodynamic problem, I. Aust. // J. Math. Anal. Appl. 1968. 22(1). Р.244-259.

107. Dargush G.F., Chopra M.B. Dynamic analysis of axisymmetric foundations on poroelastic media // J. Engrg. Mech., ASCE. 1996. 122(7). Р.623-632.

108. de Boer R. Highlights in the historical development of the porous media theory: Toward a consistent macroscopic theory // Appl. Mech. Rev. ASME.-1996.- 49, N 4.- P. 201-262.

109. de Boer R. Theory of porous media. Highlights in historical development and current state.- Berlin: Springer, 2000.

110. de Boer R., Ehlers W., Liu Z. One-dimensional transient wave propagation in fluidsaturated incompressible porous media // Arch. Appl. Mech. 1993. 63(1). Р.59-72.

111. Degrande G., De Roeck G., Van Den Broeck P. Wave propagation in layered dry, saturated and unsaturated poroelastic media // Internat. J. Solids Structures. 1998. 35(34– 35). Р.4753-4778.

112. Detournay E., Cheng A.H.-D. Fundamentals of Poroelasticity // Comprehensive Rock Engineering: Principles. Vol.II. Practice & Projects, chapter 5. Pergamon Press, 1993.

Р.113-171.

113. Diebels S., Ehlers W. Dynamik poroser Medien. // Z. angew. Math, und Mech. 1995, B.

75, Suppl. nl. - S. 151-152.

114. Domnguez J. Boundary element approach for dynamic poroelastic problems // Int. J.

Numer. Methods. Engrg. 1992. 35(2). Р.307-324.

115. Domnguez J., Maeso O. Earthquake analysis of arch dams. II: Dam-water-foundation interaction // J. Engrg. Mech., ASCE. 1993. 119(3). Р.513-530.

116. Edelman I., Wilmanski K. Asymptotic analysis of surface waves at vacuum/porous medium and liquid/porous medium interfaces // Continuum Mech. Thermodyn. 2002.

№14. P.25-44.

117. Edelmann I. An analytical interpretation of liquid injection induced microseismicity in porous reservoirs // Soil Dyn. Earthquake Eng. J. 2006. 26(6-7). Р.566–573.

118. Faraji A. Elastic and elastoplastic contact analysis: using boundary elements and mathematical programming. 2005. 121 p.

119. Galvin R.J., Gurevich B. Scattering of a longitudinal wave by a circular crack in a fluidsaturated porous media // Internat. J. Solids Structures. 2007. 44(22–23). Р.7389-7398.

120. Gatmiri B., Jabbari E. Time-domain Green’s functions for unsaturated soils. Part I: Twodimensional solution // Int. J. of Solids and Structures. 2005. №42. P.5971-5990.

121. Gatmiri B., Jabbari E. Time-domain Green’s functions for unsaturated soils. Part II:

Three-dimensional solution // Int. J. of Solids and Structures. 2005. №42. P.5991-6002.

122. Gazetas G., Petrakis E. Offshore caissons on porous saturated soil // In S. Parkash, editor, Proc. of Int. Conf. on Recent Advances in Geotechnical Earthquake Engineering and Soil Dynamics. University of Missouri-Rolla, Rolla. 1981. Р.381-386.

123. Grag S.K., Nafeh A.H., Good A.J. Compressional waves in fluid-saturated elastic porous media // J. Appl. Phys. 1974. 45(5). Р.1968-1974.

124. Ha-Duong T. On Retarded Potential Boundary Integral Equations and their Discretisation // In: Topics in Computational Wave propagation (Eds. M. Ainsworth, P. Davies [et al].

Berlin: Springer-Verlag. 2003. P.301-336.

125. Halpern M.R., Christiano P. Response of poroelastic halfspace to steady-state harmonic surface tractions // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. 1986. №10. Р.609-632.

126. Halpern M.R., Christiano P. Steady-state harmonic response of a ridgid plate bearing on a liquid-saturated poroelastic halfspace // Earthq.Eng.Struct.Dyn. 1986. №14. Р.439-454.

127. Hasheminejad S.M., Avazmohammadi R. Acoustic diffraction by a pair of poroelastic cylinders // Z. Angew. Math. Mech. 2006. 86(8). Р.589-605.

128. Hasheminejad S.M., Hosseini H. Nonaxisymmetric interaction of a spherical radiator in a fluid-filled permeable borehole // Internat. J. Solids Structures. 2008. 45(1). Р.24–47.

129. Hasheminejad S.M., Mehdizadeh S. Acoustic radiation from a finite spherical source placed in fluid near a poroelastic sphere // Arch. Appl. Mech. 2004. 74(1-2). Р.59–74.

130. Heider Y., Markert B, Ehlers W. Dynamic wave propagation in infinite saturated porous media half spaces // Comput. Mech. / Springer. 2012. P.319-336.

131. Hiremath M.S., Sandhu R.S., Morland L.W., and W. E. Wolfe. Analysis of onedimensional wave propagation in a fluid-saturated finite soil column // Int. J. Numer.

Anal. Methods Geomech. 1988. №12. Р.121-139.

132. Hong S.J., Sandhu R.S., Wolfe W.E. On Grag’s solution of Biot’s equations for wave propagation in a one-dimensional fluid-saturated elastic porous solid // Int. J. Numer.

Anal. Methods Geomech. 1988. №12. Р.627-637.

133. Hosten В., Deschamps M., Tittmann В. R. Inhomogeneous wave generation and propagation in lossy anisotropic solids. Application to the characterization of viscoelastic composite materials // J. Acoust. Soc. Amer. 1987, V. 82, № 5. -P. 1763-1770.

134. Igumnov L.A., Ipatov A.A., Litvinchuk S.Yu., Rataushko Ya.Yu. Boundary-Element Analysis of the Dynamics of 3-D Poroelastic Bodies // 2014 International Symposium on Physics and Mechanics of New Materials and Underwater Applications (PHENMA 2014): Abstracts & schedule. Khon Kaen, Thailand, March 27-29, 2014. P.39.

135. Igumnov L.A., Rataushko Ya.Yu. Treating boundary value problems of 3d elastodynamics with conjugate fields by means of Boundary Integral Equations (BIE) method // KKU-IENC2014 “Engineering and Technological Responses to Global Challenges”:

Abstract

collection of the 5th KKU Intern. Engineering Conference 2014.

Pullman Khon Kaen Raja Orchid Hotel, Khon Kaen, Thailand, March 27-29, 2014. P.29.

136. Igumnov L.A., Rataushko Ya.Yu. Treating Boundary Value Problems of 3D Elastodynamics with Conjugate Fields by Means of Boundary Integral Equations (BIE) Method // 2014 International Symposium on Physics and Mechanics of New Materials and Underwater Applications (PHENMA 2014): Abstracts & schedule. Khon Kaen, Thailand, March 27-29, 2014. P.40.

137. Jin B., Liu H. Dynamic response of a poroelastic half space to horizontal buried loading.

Internat // J. Solids Structures. 2001. 38(44-45). Р.8053–8064.

138. Jin B., Liu H. Horizontal vibrations of a disk on a poroelastic half-space // Soil Dyn.

Earthquake Eng. J. 2000. 19(4). Р.269-275.

139. Jin B., Liu H. Rocking vibrations of rigid disk on saturated poroelastic medium // Soil Dyn. Earthquake Eng. J. 2000. 19(7). Р.469-472.

140. Jin B., Liu H. Vertical dynamic response of a disk on a saturated poroelastic halfspace // Soil Dyn. Earthquake Eng. J. 1999. 18(6). Р.437-443.

141. Jin B., Zhong Z. Dynamic stress intensity factor (Mode I) of a penny-shaped crack in infinite poroelastic solid // Int. J. Engng. Sci. 2002. 40(6). Р.637-646.

142. Jiryaee Sharahi M., Kamalian M. Dynamic Analysis of 3D Saturated Poroelastic Media with Boundary Element Mathod // Proc. of the 12th International Conference of International Association for Computer Methods and Advances in Geomechanics (IACMAG). Goa, India, 1-6 October 2008.

143. Kaczmarek Mariusz, Kubik Jozef Wyznaczanie stalych materialowych dla fizycznych i kinematycznych skladnikow osrodka porowatego wypelnionego ciecza // Rozpr. inz.

1985, T. 33, № 4. C. 589-609.

144. Kamalian M., Gatmiri B., Jiryaee Sharahi M. Time domain 3D fundamental solutions for saturated poroelastic media with incompressible constituents // Proc. of the 7th Intern.

Conference on Boundary Element Techniques (BeTeq2006). Paris, France, 2006.

145. Kattis S.E., Beskos D.E., Cheng A.H.-D. 2D dynamic response of unlined andlined tunnels in poroelastic soil to harmonic body waves // Earthquake Eng. Struct. Dyn. 2003.

32(1). P.97-110.

146. Kausel E. Discussion on ’dynamic response of a multi-layered poroelastic medium’ // Earthquake Eng. Struct. Dyn. 1996. 25(10). Р.1165–1167.

147. Kumar Rajneesh, Miglani Aseem, Garg N. R. Plain strain problem of poroelasticity using eigenvalue approach // Proc. Indian Acad. Sei. Earth and Planet. Sei. 2000, V. 109, № 3. P. 371-380.

148. Li P. Boundary element method for wave propagation in partially saturated poroelastic continua // Monographic Series TU Graz. Computation in engineering and Science.

Vol.15. 2012.

149. Li P., Schanz M. Time Domain Boundary Element Formulation for Partially Saturated Poroelasticity // Graz University of Technology, Institute of Applied Mechanics: Preprint series. 2013. №1. – 36 p.

150. Li P., Shanz M. Wave propagation in a one dimensional partially saturated poroelastic column // Geophysical Journal International / Institute of Applied Mechanics. Preprint 151. Liang J., Ba Z., Lee V.W. Diffraction of plane SV waves by a shallow ciculararc canyon in a saturated poroelastic half-space // Soil Dyn.Earthq. Eng.J. 2006. 26(6-7). Р.582-610.

152. Liang J., You H., Lee V.W. Scattering of SV waves by a canyon in a fluid-saturated, poroelastic layered half-space, modeled using the indirect boundary element method // Soil Dyn. Earthquake Eng. J. 2006. 26(6–7). P.611-625.

153. Lin C.-H., Lee V.W., Trifunac M.D. The reflection of plane waves in a poroelastic halfspace saturated with inviscid fluid // Soil Dyn. Earthquake Eng. J. 2005. 25(3). Р.205-223.

154. Lu J.-F., Jeng D.-S. Dynamic analysis of an infinite cylindrical hole in a saturated poroelastic medium // Arch. Appl. Mech. 2006. 76(5–6). Р.263-276.

155. Lu J.-F., Jeng D.-S., Williams S. A 2.5-D dynamic model for a saturated porous medium:

Part II. Boundary element method // Internat. J. Solids Structures. 2008. 45(2). Р.359-377.

156. Lubich C. Convolution quadrature and discretized operational calculus // Numer. Math. I.

1988. 52(2). Р.129-145.

157. Lubich C. Convolution quadrature and discretized operational calculus // Numer. Math. II.

1988. 52(4). Р.413-425.

158. Lubich C., Ostermann A. Runge-Kutta methods for parabolic equations and convolution quadrature // Math. Comput. 1993. №60. P.105-131.

159. Maeso O., Aznrez J.J., Garca F. Dynamic impedances of piles and group of piles in saturated soils // Comput. & Structures. 2005. 83(10–11). P.769-782.

160. Maeso O., Domnguez J. Earthquake analysis of arch dams. I: Dam-foundation interaction // J. Engrg. Mech., ASCE. 1993. 119(3). Р.496–512.

161. Maghoul P., Gatmiri B., Duhamel D. Boundary integral formulation and two-dimensional fundamental solutions for dynamic behavior analysis of unsaturated soils // Soil Dynamics and Earthquake Engineering. 2011. №31. P.1480-1495.

162. Manolis G.D., Beskos D.E. Corrections and additions to the paper “Integral formulation and fundamental solutions of dynamic poroelasticity and thermoelasticity” // Acta Mech.

1990. 83(3-4). Р.223-226.

163. Manolis G.D., Beskos D.E. Integral formulation and fundamental solutions of dynamic poroelasticity and thermoelasticity // Acta Mech. 1989. 76(1-2). Р.89-104.

164. Mansur W.J. A Time-Stepping Technique to Solve Wave Propagation Problems Using the Boundary Element Method // Phd thesis, University of Southampton, 1983.

165. Mayes M.J., Nagy P.B., Adler L., Bonner B.P., Streit R. Ultrasonic surface and bulk wave interaction with fluid-saturated porous solids // Rev.Progr.Quant.Nondestruct.Eval.

Vol.6A: 1st half Proc. 13th Annu.Rev.Progr. Quant. Nondestruct. Eval., La Jolla, Calif., Aug. 3-8, 1986. New-York, London, 1987. P.51-57.

166. Mei C.C., Foda M.A. Wind-induced response in a fluid-filled poroelastic solid with a free surface – a boundary layer theory // Geophys.J.Roy.Astron.Soc. 1981. 66(3). Р.597-631.

167. Mei C.C., Si B.I., Cai D. Scattering of simple harmonic waves by a circular cavity in a fluid-infiltrated poroelastic medium // Wave Motion. 1984. 6(3). Р.265–278.

168. Nenning M. Infinite elements for elasto- and poroelastodynamics // Monographic Series TU Graz. Computation in engineering and Science. Vol.8. 2010.

169. Nenning M., Shanz M. Infinite elements in a poroelastodynamic FEM // International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics / Institute of Applied Mechanics. Preprint №2. 2010.

170. Paul S. On the displacements produced in a porous elastic half-space by an impulsive line load (non-dissipative case) // Pure and Appl. Geophysics. 1976. 114(4). Р.605-614.

171. Paul S. On the disturbance produced in a semi-infinite poroelastic medium by a surface load. Pure and Appl. Geophysics. 1976. 114(4). Р.615-627.

172. Philippacopoulos A.J. Axisymmetric vibrations of disk resting on saturated layered halfspace // J. Engrg. Mech. ASCE. 1989. 115(10). Р.2301-2322.

173. Philippacopoulos A.J. Buried point source in a poroelastic half-space // J. Engrg. Mech., ASCE. 1997. 123(8). Р.860–869.

174. Philippacopoulos A.J. Lamb’s problem for fluid-saturated, porous media // Bull. Seismol.

Soc. Am. 1988. 78(2). Р.908-923.

175. Philippacopoulos A.J. Waves in partially saturated medium due to surface loads//J. Eng.

Mech.- 1988, V. 114,№ 10.-P. 1740-1759.

176. Pride Steven R., Gangi Anthony F., Morgan F. Dale Deriving the equations of motion for porous isotropic media // J. Acoust. Soc. Amer. 1992, V. 92, № 6. - P. 3278-3290.

177. Pryl D. Influences of Poroelasticity on Wave Propagation: A Time Stepping Boundary Element. Formulation Herausgegeben vom Mechanik-Zentrum der Technischen Universitt Braunschweig. 2005. 128 p.

178. Qin Q.H. Green’s function and Boundary elements of multifield materials. Elsevier, 2007.

179. Rajapakse R.K.N.D., Senjuntichai T. An indirect boundary integral equation method for poroelasticity // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. 1995. 19(9). P.587-614.

180. Rajapakse R.K.N.D., Senjuntichai T. Dynamic response of a multi-layered poroelastic medium // Earthquake Eng. Struct. Dyn. 1995. №24. Р.703–722.

181. Rberg T. Non-conforming coupling of finite and boundary element methods in time domain // Graz. 2007.

182. Saitoh T., Chikazawa F., Hirose S. Convolution quadrature time-domain boundary element method for 2-d fluid-saturated porous media // App. Math. Modell. 2014.

http://dx.doi.org/10.1016/j.apm.2014.02. 183. Schanz M. Application of 3-d Boundary Element formulation to wave propagation in poroelastic solids // Eng. Anal. Bound. Elem. 2001. 25(4-5). Р.363-376.

184. Schanz M. Dynamic poroelasticity treated by a time domain boundary element method. In T. Burczynski, editor, IUTAM/IACM/IABEM Symposium on Advanced Mathematical and Computational Mechanic Aspects of the Boundary Element Method // Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London. 2001. Р.303-314.

185. Schanz M. On a reformulated Convolution Quadrature based Boundary Element Method // Graz University of Technology, Inst. of Appl. Mech.: Preprint series. 2009. №1. 18 p.

186. Schanz M. Poroelastodynamics: linear models, analytical solution, and numerical methods // Applied mechanics reviews. 2008. 3. 43 p.

187. Schanz M. Wave Propagation in Viscoelastic and Poroelastic Continua: A Boundary Element Approach, volume 2 of Lecture Notes in Applied Mechanics. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2001.

188. Schanz M. Wave Propagation in Viscoelastic and Poroelastic Continua // Berlin Springer, 189. Schanz M., Antes H. Waves in poroelastic half space: Boundary element analyses – Porous media: theory, experiments, and numerical applications // Berlin. Springer. 2002.

P. 383-412.

190. Schanz M., Antes H., Rueberg T. Convolution quadrature boundary element method for quasi-static visco- and poroelastic continua // Computers and Structures. 2005. №83.

P.673-684.

191. Schanz M., Cheng A. H.-D. Transient wave propagation in a one-dimensional poroelastic column // Acta Mech. 2000. 145(1-4). Р.1-18.

192. Schanz M., Cheng A.H.-D. Compressional waves in a one-dimansional poroelastic column // ICTAM 2000: 20th International Congress of Theoretical and Applied Mechanics, Chicago, 27 Aug.-2 sept., 2000: Abstr. Book. Urbana-Champaign (I11) – IUTAM, 2000. P.42.

193. Schanz M., Cheng A.H.-D. Dynamic analysis of a one-dimensional poroviscoelastic column // J. of Appl. Mech. 2001. 68(2). Р.192-198.

194. Schanz M., Rueberg T., Kielhorn L. Time Domain BEM: Numerical Aspects of Collocation and Galerkin Formulations // Recent Advances in Boundary Element Methods: под ред. Manolis G.D., Polyzos D. Springer Science + Business Media B.V.

2009. P.415-432.

195. Schanz M., Steinbach O. Boundary Element Analysis. Berlin: Springer, 2007. 354 p.

196. Senjuntichai T., Mani S., Rajapakse R. K. N. D. Vertical vibration of an embedded rigid foundation in a poroelastic soil // Soil Dyn. Earthquake Eng. J. 2006. 26(6–7). P.626-636.

197. Senjuntichai T., Rajapakse R.K.N.D. Dynamic Green’s functions of homogeneous poroelastic half-plane // J. Engrg. Mech., ASCE. 1994. 120(11). Р.2381–2404.

198. Senjuntichai T., Rajapakse R.K.N.D. Transient response of a circular cavity in a poroelastic medium // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. 1993. 17(6). Р.357-383.

199. Sharma M.D. Comments on “Lamb’s problem for fluid-saturated porous media” // Bull.

Seismol. Soc. Am. 1992. 82(5). Р.2263-2273.

200. Soares D., Telles J.C.F., Mansur W.J. A time-domain boundary element formulation for the dynamic analysis of non-linear porous media // Eng. Anal. Bound. Elem. 2006. 30(5).

Р.363-370.

201. Telles J.C.F. The Boundary Element Method Applied to Inelastic Problems. SpringerVerlag, Berlin, 1983.

202. Theodorakopoulos D.D., Beskos D.E. Flexural vibrations of fissured poroelastic plates // Arch. Appl. Mech. 1993. 63(6). Р.413–423.

203. Theodorakopoulos D.D., Beskos D.E. Flexural vibrations of poroelastic plates // Acta Mech. 1994. №103. Р.191–203.

204. Toseck, A., Kolekov, Y., Schmid, G., Kalinchuk, V. Three-dimensional transient halfspace dynamics using the dual reciprocity boundary element method // Eng. Anal. Bound.

Elem. 2008. 32(7). Р. 597-618.

205. Urthaler P. Analysis of boundary element methods for wave propagation in porous media // Monographic Series TU Graz. Computation in engineering and Science. Vol.14. 2012.

206. Van der Kogel H. Wave phenomena // Comput. and Geotechn. 1987, V. 3, № l.-P. 21-28.

207. Vgenopoulou I., Beskos D.E. Dynamic behavior of saturated poroviscoelastic media // Acta Mech. 1992. 95(1-4). Р.185-195.

208. Vgenopoulou I., Beskos D.E. Dynamic poroelastic soil column and borehole problem analysis // Soil Dyn. Earthquake Eng. J. 1992. 11(6). Р.335–345.

209. Vgenopoulou I., Beskos D.E. Dynamics of saturated rocks. IV: Column and borehole problems // J. Engrg. Mech., ASCE. 1992. 118(9). Р.1795–1813.

210. Wei C., Muraleetharan K.K. A continuum theory of porous media saturated by multiple immiscible fluids: I. Linear poroelasticity // International Journal of Engineering Science.

2002. №40. P.1807- 211. Wei C., Muraleetharan K.K. A continuum theory of porous media saturated by multiple immiscible fluids: II. Lagrangian description and variational structure // International Journal of Engineering Science. 2002. №40. P.1835-1854.

212. Wiebe Th., Antes H. A time domain integral formulation of dynamic poroelasticity // Acta Mech. 1991. 90(1-4). Р.25-137.

213. Xie K.H., Liu G.-B., Shi Z.-Y. Dynamic response of partially sealed circular tunnel in viscoelastic saturated soil // Soil Dyn. Earthquake Eng. J. 2004. 24(12). Р.1003-1011.

214. Zeng X., Rajapakse R.K.N.D. Vertical vibrations of a rigid disk embedded in a poroelastic medium // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. 1999. 23(15). Р.2075-2095.

215. Zhao X. An efficient approach for the numerical inversion of Laplace transform and its application in dynamic fracture analysis of a piezoelectric laminate. // Int. J. of Solids and Structures. 2004. V. 41. P. 3653-3674.

216. Zienkiewicz O.C., Chang C.T., Bettess P. Drained, undrained, consolidating and dynamic behaviour assumptions in soils // Geotechnique, 30(4). 1980. P.385–395.

217. Zienkiewicz O.C., Shiomi T. Dynamic behaviour of saturated porous media; the generalized Biot formulation and its numerical solution // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech., 8. 1984. P.71–96.

218. Zimmerman D., Stern M. Boundary element solution of 3-D wave scatter problems in a poroelastic medium // Eng. Anal. Bound. Elem. 1993. 12(4). Р.223-240.