«Ростов-на-Дону Издательство Южного федерального университета 2012 ББК В2.Я 431 Редакторы: А. О. Ватульян, М. И. Карякин Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов VII ...»

1. Иерархизация пространства состояний и действий моделируемой системы.

2. Логическая спецификация поведения системы, используемая для построения модели.

3. Верификация модели, заключающаяся в проверке истинности формул.

Особенностью предлагаемого подхода является иерархизация системы, поддерживаемая конкретной контекстно-свободной (КС) грамматикой. КС-грамматика G = (S, V, P ), где S главный нетерминальный символ; V множество символов, правила из P имеют вид:

Они иерархизируют пространство действий Ri и их состояний. Правила для состояний St определяются спецификой Ri, в них входит время t, которое может принимать дискретные значения из множества натуральных чисел или интервальные () с включением концов сегмента.

Например, движение штока (MR) описывается правилами:

t1, t2 времена начала и окончания движения штока. Иерархичность является одним из основных признаков сложной системы, использование ее особенностей позволяет за полиномиальное время верифицировать моделируемую систему.

Идентификация и классификация полосовых отслоений в многослойных упругих композитах посредством энергетического и Краснодар, Кубанский государственный университет Современные инженерные конструкции уже сложно представить без использования композитных и гетерогенных материалов, для которых характерны многослойность, анизотропия, функционально-градиентное изменение свойств и пр.

Композиты по многим эксплуатационным параметрам существенно превосходят традиционные однородные материалы. Однако вследствие их сложной структуры растет и вероятность образования таких классов дефектов, как трещины и межфазные отслоения. Идентификация дефектов на практике осуществляется с помощью методов неразрушающего контроля и мониторинга структур (structural health monitoring). Одним из перспективных подходов, позволяющих осуществлять быстрый поиск и идентификацию дефектов, является использование методов, основанных на применении бегущих упругих волн. Последние распространяются на существенные расстояния от источника колебаний практически без затухания и взаимодействуют с неоднородностями любого вида, что позволяет судить о наличии и характере повреждений в исследуемой структуре.

В случае однородных структур эти методы основываются на относительно простых математических и компьютерных моделях, которые заметно усложняются при учете слоистости и гетерогенности материалов даже в отсутствии дефектов.

В настоящей работе изучаются волновые процессы в многослойных композитах при наличии внутренних и интерфейсных полосовых дефектов. Для описания динамики рассматриваемых структур используется интегральный подход.

В случае одиночных и множественных внутренних дефектов применяется метод граничных интегральных уравнений, а описание полностью поврежденных интерфейсов возможно с помощью пружинных граничных условий. Тем самым обеспечивается возможность численного расчета любых динамических характеристик. Проводится вейвлет-анализ сигналов, возбуждаемых в композитах с дефектом. Обсуждается выбор ядра для вейвлет-преобразования в плане его влияния на точность идентификации дефекта. Размер, положение дефекта, а также его характер (степень поврежденности и локализация) определяются с помощью решения задачи минимизации соответствующего функционала. Результаты численных расчетов, основывающиеся на разработанных математических и компьютерных моделях, сопоставляются с экспериментальными данными.

Автор благодарит проф. Е. В. Глушкова и Н. В. Глушкову, инициировавших работу в данном направлении, а также проф. В. Джиурджитцу (Университет Южная Каролина, США) за плодотворное обсуждение данной проблемы.

Работа выполнена в рамках совместного проекта РФФИ-ГФФИУ (№ 11-01-90400-Ф40.1/018) и проекта ФЦП Научные и научно-педагогические кадры инновационной России Минобрнауки № 14.740.11.0578.

Конечно-элементное исследование динамических характеристик модельной системы чрескостного остеосинтеза с устройствами Голубев Г. Ш., Каргин М. А., Наседкин А. В., Родин М. Б.

Ростов-на-Дону, Ростовский государственный медицинский университет Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Ростов-на-Дону, Центральная городская больница № 1 им. Н. А. Семашко При лечении переломов и деформаций сегментов костной системы организма человека широко применяется метод чрескостного остеосинтеза с использованием специальных спицевых, стержневых и кольцевых остеофиксаторов аппарата Илизарова. Проведение спиц через участки кости и закрепление их концов в жестких частях аппарата позволяет осуществлять управляемый остеосинтез необходимую репозицию фрагментов, их жесткую фиксацию в заданном положении, требуемую компрессию или дистракцию. Такие воздействия на кость стимулируют начало остеогенеза и развитие репаративной костной регенерации. В результате при сохранении подвижности больного достигается ускоренное заживление в зоне перелома с возможностью исправления деформации кости в требуемом направлении. Отмеченные достоинства чрескостного остеосинтеза во многом обусловлены жесткостью фиксации фрагментов кости, характеризуемой величиной их деформаций, не превышающих допустимых пределов в условиях движений больного.

Понятно, что в процессе лечения для контроля состояния регенерирующих тканей важно знать характеристики прочности костной мозоли на различных этапах заживления. В работах Л. Б. Маслова ранее исследовались возможности определения упругих модулей регенерирующей ткани в зоне перелома, исходя из резонансных свойств кости с аппаратом Илизарова. Данный доклад также посвящен компьютерному анализу свойств костной мозоли при динамических испытаниях биомеханической модели, состоящей из модели большеберцовой кости с аппаратом Илизарова. Для проведения вычислительных экспериментов использовался конечно-элементный комплекс ANSYS. Построенная в ANSYS твердотельная модель кости позволяла задавать различные ортотропные упругие свойства для областей с компактной и спонгиозной костными тканями, а также неоднородные механические свойства в месте перелома. В конечно-элементной модели для участков кости использовались трехмерные структурные конечные элементы, а для аппарата Илизарова кольца моделировались оболочечными конечными элементами, а стержни и спицы балочными элементами.

Для ряда наборов значений механических свойств костной мозоли в зависимости от периодов регенерации были определены первые резонансные частоты системы, построены амплитудно-частотные характеристики в различных точках кости и аппарата и проведен анализ переходных процессов при заданных динамических внешних воздействиях и условиях закрепления. Дан анализ возможностей использования полученных результатов динамических расчетов для качественной оценки прочности регенерирующей костной ткани.

Компьютерное моделирование влияния деформаций стержней аппарата Илизарова на напряженно-деформированное состояние Ростов-на-Дону, Ростовский государственный медицинский университет Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Ростов-на-Дону, Центральная городская больница № 1 им. Н. А. Семашко Цель данной работы состояла в построении адекватной биомеханической модели конструкции, состоящей из имитатора кости и аппарата Илизарова, а также в проведении вычислительных экспериментов для построенной модели при варьировании входных данных и соответствующих граничных условий с определением напряженно-деформированного состояния (НДС) в зоне перелома кости.

В работе использовалась техника метода конечных элементов, строились пространственные конечно-элементные модели в программном комплексе ANSYS и решались соответствующие статические краевые задачи теории упругости.

Твердотельная модель состояла из следующих основных элементов: имитатора кости с переломом; колец, которые являются основной опорой аппарата Илизарова; стержней, предназначенных для соединения колец; и cпиц, служащих связующим звеном между костью и внешними опорами аппарата. Для достижения оптимального соотношения между точностью конечно-элементных расчетов и относительным минимумом вычислительных затрат указанные части конструкции моделировались в ANSYS соответствующими трехмерными структурными, оболочечными и балочными конечными элементами. Такой подход представляется вполне оправданным с учетом большей жесткости аппарата в сравнении с костной тканью и тем, что здесь анализ НДС в зонах контакта костной ткани с проходящими через нее спицами не являлся объектом исследования.

Построенная модель позволяет задавать ортотропные упругие свойства материалов имитатора кости (областей компактной и спонгиозной тканей), вводить неоднородные жесткостные свойства регенерирующей ткани вблизи места перелома, изменять базовые геометрические и механические характеристики модели и задавать различные нагрузки на имитатор кости. Важным моментом исследования являлся учет посредством уравнений связей деформаций стержней с целью осуществления управляемого остеосинтеза с требуемой компрессией или дистракцией.

В итоге с использованием разработанных программ на командном языке APDL ANSYS были проведены различные прочностные расчеты НДС в зоне перелома при варьировании статических нагрузок на имитатор кости, величин деформаций стержней и жесткостных свойств соединительной ткани костной мозоли на различных периодах заживления (гелеобразной, хрящевой, спонгиозной и нормальной костными тканями).

Полученные таблицы результатов позволяют оценить допустимые величины внешних нагрузок на кость и деформаций стержней аппарата Илизарова в процессе регенерации кости, исходя из критериев допуска на максимальные характеристики напряжений в костной мозоли.

Конечно-элементное моделирование оперативных вмешательств по восстановлению геометрии левого желудочка сердца Саратов, Саратовский государственный университет В настоящее время в мире непрерывно растет число больных с осложненными формами ишемической болезни сердца (ИБС) и в том числе с постинфарктными аневризмами левого желудочка (ЛЖ) и низкой сократительной функцией ЛЖ.

Современная медицина постоянно ищет пути помощи таким больным. Внедрение в клиническую практику методов компьютерного моделирования для прогнозирования возникновения и течения заболеваний позволит значительно улучшить прогноз у данной категории больных.

На сегодняшний день основным методом лечения ИБС и патологий ЛЖ является операционное вмешательство. Было проведено конечно-элементное моделирование оперативного вмешательства по восстановлению геометрии ЛЖ путем наложения заплаты на поврежденный участок стенки желудочка. При моделировании геометрии левого желудочка, учитывающей внутренний рельеф, использовался метод заливки желатином in vitro. Механические характеристики стенки желудочка были получены в ходе эксперимента по сжатию, а для заплат одноосному растяжению на настольной одноколонной испытательной машине Instron 5944 с использованием пневматических захватов. Материалы заплат были исследованы синтетические (политетрафторэтилен) и биологические (ксеноперикард), наиболее часто применяемые на сегодняшний день при хирургическом ремоделировании миокарда ЛЖ сердца человека. Заметим, что синтетические заплаты продемонстрировали практически изотропные свойства с линейным характером поведения графика, а биологические ярко выраженные нелинейные, изотропные.

Исследована модель желудочка, пластика которого была произведена различными типами заплат. В результате были получены графики распределения давления, напряжения, векторов скорости потока, деформаций и касательных напряжений. Анализ основных результатов позволил выявить оптимальный тип заплат для пациента с учетом возрастной группы, пола и вида аневризмы. Установлено, что биологические заплаты являются идеальными при проведении реконструктивных операциях ЛЖ, т. к. наиболее адекватно отвечают физиологическим свойствам миокарда сердца человека.

Результирующие картины подтверждены клинически.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект № 09-01-00804-а).

Исследование нехарактерных внутренних волн в непрерывно стратифицированном океане с инверсиями плотности Григоренко К. С., Матишов Д. Г., Морозов Е. Г., Ольшанская Е. В., Соловьева А. А., Хартиев С. М.

Ростов-на-Дону, Институт аридных зон ЮНЦ РАН Москва, Институт океанологии им. П. П. Ширшова РАН Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Исследуются свободные внутренние гравитационные волны (ВВ) малой амплитуды в непрерывно стратифицированном море постоянной глубины. Проблема сводится к следующей спектральной задаче:

где L(W ) = (0 W ), (z) = 0 (z) N(z), N 2 = 0 ; s спектральный параf метр; N квадрат безразмерной частоты Вяйсяля-Брента.

Рассматривается условие существования ВВ при наличии инверсий плотности. По данным наблюдений, в интрузионных арктических водах довольно часто встречаются слои, содержащие элементы плотностных инверсий (0 > 0, N 2 < 0), что приводит к изменениям по глубине знака функции (z). В этом случае, согласно принятой в литературе классификации, ВВ принято называть нехарактерными.

Показано, что при > f необходимым условием существования положительных значений спектрального параметра s является выполнение неравенства Экспериментальные наблюдения ВВ, подтверждающие теоретические и численные расчеты, проводились 11–12 марта 2010 г. в фиорде Ван-Майен на Шпицбергене. Эта акватория подвержена сильным приливным колебаниям. Открытая в океан часть фиорда расположена в 40 км юго-западнее района измерений. Поток сужается в районе эксперимента и ускоряется, набегая на береговые склоны.

Амплитуда колебаний уровня воды на берегу доходит до 2 метров. Такие приливы генерируют на склонах интенсивные внутренние волны.

Авторы благодарят А. В. Марченко за организацию измерений со льда в фиорде Ван Майен и А. Н. Соловьева за помощь в работе. Работа выполнена при финансовой поддержке ГК № 14.740.11.0202 в рамках ФЦП Научные и научнопедагогические кадры инновационной России на 2009–2013 годы, гранта РФФИ 11-08-00076 и Норвежского научного совета (проект POLRES 196138).

Гемодинамика крупных кровеносных сосудов с учетом распределенного сердца: математическая модель и численный эксперимент Саратов, Саратовский государственный университет Энгельс-2, Саратовский государственный университет В работе представлена одномерная модель гемодинамики крупных кровеносных сосудов с учетом работы вторичного сердца, то есть сокращения стенок артерий с целью ускорения потока крови.

Также представлены результаты численного эксперимента по моделированию крупного кровеносного сосуда без разветвлений, а также по моделированию плечевой артерии человека.

Первым этапом численного эксперимента стало построение модели крупного кровеносного сосуда без бифуркаций. Это позволило на наиболее простом примере рассмотреть работу стенки сосуда по ускорению потока крови. В ходе моделирования был определен характер сокращения стенки, а также величины ее перемещений. Перемещения подбирались исходя из условия, что скорость крови в сосуде после взаимодействия потока со стенкой не может превышать определенных значений. Кроме того, был определен график зависимости давления на входе в сосуд от времени для задания физиологичных граничных условий.

Далее после исследований реальных сосудов in vitro была построена модель плечевой артерии человека с двумя бифуркациями. Свойства материала стенки сосуда определялись на разрывной машине, геометрические параметры получались путем осреднения результатов измерений нескольких образцов. Исследовались мужчины среднего телосложения, в возрасте от 30 до 45 лет. Численный эксперимент по моделированию гемодинамики в этом сосуде позволил получить приближенную к реальности картину работы вторичного сердца. Сокращение стенки в продольном направлении носило такой же характер, как и в предыдущем случае. На выходах из артерий (глубокая артерия плеча, лучевая и локтевая артерии) в случае с сокращающейся стенкой наблюдалось ускорение потока крови по сравнению с экспериментом, в котором действие сосуда на поток не учитывалось. Однако значение средней скорости по сечениям не выходило за рамки физиологических величин, что свидетельствует о правильном задании граничных условий.

В работе проведен анализ результатов моделирования распределенного сердца, сделаны выводы о характере взаимодействия стенки и крови, а также сопоставлены данные, рассчитанные по математической модели и полученные в ходе численного эксперимента. Также был проведен анализ касательных напряжений на стенке сосуда в случае, когда работа вторичного сердца учитывалась, и когда стенка оставалась пассивной.

Использование ресурсов электронного образовательного пространства Демяненко Я. М., Пучкин М. В., Чердынцева М. И.

Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет На основе опыта многолетнего использования системы управления обучением (англ. Learning Management System, LMS) Moodle на факультете математики, механики и компьютерных наук ЮФУ можно выделить некоторые особенности использования таких систем для поддержки учебных курсов. Эти особенности обусловлены спецификой очных курсов, предполагающей еженедельный контакт преподавателя с обучаемыми, и допускают менее строгие требования к структуре и содержанию электронных курсов.

Способы подготовки информационных материалов для размещения в LMS Moodle и целевые форматы электронных документов различаются с точки зрения удобства создания, редактирования, а также возможности индексирования поисковыми системами. Опыт использования системы позволяет рекомендовать формат PDF (Portable Document Format) в качестве наиболее подходящего как для документов, так и для презентационных материалов.

В докладе рассматриваются наименее затратные способы создания учебных курсов, описания их структуры и наполнения учебно-методическими материалами. Отмечается повышенная роль интеграции с образовательными ресурсами сети Интернет, возможность использования гиперссылок на различные электронные ресурсы. Особо следует отметить возможность размещения гиперссылок на различные электронные ресурсы онлайн-библиотек в том случае, если размещение таких ресурсов (например, электронных версий книг) не соответствует законодательству в сфере авторского права. Отмечаются особенности создания проверяемых заданий в LMS с использованием ранее подготовленных электронных учебных пособий, методических указаний и рекомендаций.

Дан обзор возможностей системы в области создания тестовых материалов и механизмов контроля успеваемости. Отмечается чрезмерная трудоемкость создания материалов в распространенных форматах (например, SCORM) для проведения контрольных работ, особенно в курсах, связанных с программированием.

В то же время, механизм размещения исходных кодов программ и проектов (без возможности удаления размещенных материалов), предоставляемый системой, позволяет отслеживать факты заимствования и плагиата при выполнении учебных заданий в том случае, если задания сдавались в разное время (или даже на разных курсах). Также отмечается возможность использования специальных расширений системы (плагинов) для предотвращения плагиата.

Выполнен обзор учебных курсов, реализованных на факультете математики, механики и компьютерных наук ЮФУ в рамках LMS-системы Moodle, рассмотрены отзывы преподавателей компьютерных дисциплин об удобстве и эффективности использования данной системы в процессе обучения.

Идентификация свойств функционально-градиентных материалов Ростов-на-Дону, Южный научный центр РАН Создание более совершенных инженерных конструкций в различных областях строительства и производства требует разработки новых материалов. На сегодняшний день искусственно созданные функционально-градиентные и композиционные материалы являются наиболее востребованными. Это обуславливается в первую очередь их уникальными свойствами (высокой прочностью, технологичностью изготовления) и низкой стоимостью производства. При производстве элементов конструкций из таких материалов и контроле качества их изготовления очень важной и актуальной является задача определения механических свойств. Традиционные экспериментальные методы оценки свойств таких материалов в рамках гипотезы однородности являются достаточно грубыми. По этой причине необходима разработка альтернативных неразрушающих методов идентификации неоднородных характеристик. Эти методы опираются на акустические методы зондирования и аппарат обратных коэффициентных задач, позволяющий восстанавливать неизвестные функции по информации об амплитудно-частотных характеристиках, измеренных в некоторых точках исследуемого объекта.

В настоящей работе исследована задача об идентификации свойств упругой неоднородной по толщине слоистой структуры. Идентификация производилась на основе данных о полях смещений, измеренных на поверхности слоя. С помощью интегрального преобразования Фурье исходная задача была сведена к решению двух несвязанных краевых задач, аналогичных задаче о продольных колебаниях неоднородного стержня. На основе метода линеаризации построен итерационный процесс, использующий последовательное решение интегральных уравнений Фредгольма 1-го и 2-го рода. Для решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода использован метод регуляризации Тихонова. Выход из построенного процесса производился, когда значение функционала невязки становилось меньше погрешности входных измерений. Проведена серия вычислительных экспериментов по восстановлению различных видов неоднородностей.

Результаты экспериментов показали: предложенный подход позволяет достаточно эффективно восстанавливать гладкие законы неоднородности, задачи идентификации кусочно-постоянных неоднородностей требуют дальнейшего исследования. Представлены рекомендации по выбору предпочтительных диапазонов зондирования, при которых восстановление искомых функций осуществляется наиболее точно.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации (МК-6213.2012.1) и ФЦП Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009–2013 годы (госконтракт П596).

Антиплоские колебания предварительно напряженного слоя Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Предварительными напряжениями называются напряжения, которые содержатся в теле при отсутствии внешних воздействий. В живой природе они играют важную роль: увеличивают прочность костной ткани человека и животных, участвуют в ростовых процессах, обеспечивают устойчивость деревьев и т. д. В неживой природе подобные напряжения обычно возникают в ходе различного рода технологических операций (литья, ковки, скрутки, формовки, сварки, резкой температурной обработки и т. д.), а их концентрация наблюдается в окрестности различного рода дефектов (трещины, полости, вкрапления и т. д.). Стоит отметить, что среди наиболее точных методов неразрушающей диагностики неоднородных упругих свойств является акустический метод. В его основе лежит представление о том, что изменение свойств материала ведет к изменению его амплитудно-частотных характеристик.

Рассмотрена задача об антиплоских колебаниях предварительно напряженного анизотропного слоя. Колебания вызываются периодической нагрузкой, приложенной к верней границе слоя, основание слоя жестко закреплено. Для упрощения поставленной задачи использовано интегральное преобразование Фурье.

Представлены задачи нулевого, первого и второго приближения, соответствующие степеням параметра преобразования. Решение прямых задач об отыскании трансформант смещения сведено к решению интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Исследовано влияние уровня предварительных напряжений на амплитудно-частотные характеристики слоя. Рассмотрены обратные задачи об отыскании законов изменения компонент тензора предварительных напряжений в рамках акустического метода. В качестве способа решения этих задач предложен метод построения итерационного процесса. Представлены необходимые соотношения для отыскания неизвестных поправок в виде интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Обсуждены результаты численных экспериментов по восстановлению неизвестных законов изменения компонент предварительных напряжений. Даны рекомендации по организации наиболее эффективной процедуры реконструкции.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (10-01-00194), в рамках реализации ФЦП Научные и научнопедагогические кадры инновационной России на 2009–2013 годы (госконтракт № П596) и ЮМИ (г. Владикавказ).

Энергетические характеристики нелинейного взаимодействия нормальных упругих волн в цилиндрических волноводах Донецк, Донецкий национальный университет Анализ распределений плотностей средних за период потоков мощности нормальных упругих волн в областях поперечных сечений волноводов является неотъемлемым элементом исследования волноводных свойств деформируемых тел с различными физико-механическими и геометрическими характеристиками.

Результаты этого анализа представляют как фундаментальный, так и практический прикладной интерес для поиска оптимизированных режимов возбуждения и приема волн деформаций. Указанные соображения в полной мере относятся и к проблеме оценки энергетических характеристик нелинейного ангармонического взаимодействия пар осесимметричных нормальных упругих волн малой интенсивности в цилиндрических волноводах. В этом контексте рассмотрена задача о малых нелинейных ангармонических возмущениях при распространении вдоль кругового цилиндра из дюралюминия двух одновременно возбужденных осесимметричных бегущих нормальных волн в трех сочетаниях: обе волны являются крутильными; обе волны являются продольно-сдвиговыми волнами ПохгаммераКри; одна из волн является крутильной, а вторая продольно-сдвиговой. Они в общем случае имеют различные частоты и относительные длины и принадлежат одной либо разным модам соответствующего дисперсионного спектра.

В рамках общей теории геометрически и физически нелинейных малых ангармонических возмущений, при распространении данных пар волн генерируются нелинейные вторые гармоники волны удвоенной частоты для каждой из них, рассматриваемых как отдельно взятые уединенные монохроматические нормальные волны, а также нелинейная вторая гармоника комбинационного типа с частотой, равной сумме частот нормальных волн, генерируемая вследствие их нелинейного взаимодействия. Для каждого из указанных сочетаний осесимметричных нормальных волн получены соотношения для расчета плотностей средних за период потоков мощности в нелинейной второй гармонике комбинационного типа через аналитические представления функций волновых перемещений в соответствующей второй гармонике, которая для пар крутильных и пар продольно-сдвиговых нормальных волн является продольно-сдвиговой волной, а для пары, включающей волну кручения и продольно-сдвиговую волну волной крутильного типа. Получены результаты расчета амплитудно-частотных зависимостей для исследуемых энергетических характеристик вторых гармоник; выявлены диапазоны сочетаний параметров рассматриваемых волновых процессов, в которых можно констатировать высокие энергетические уровни взаимодействия, либо малые энергетические показатели для комбинационных гармоник в сравнении с аналогичными энергетическими характеристикам для нелинейных вторых гармоник отдельно взятых нормальных волн.

Конечно-элементное моделирование сыпучей среды Ростов-на-Дону, Донской государственный технический университет В настоящее время не существует общепризнанного метода моделирования сыпучих сред. Несмотря на то, что сыпучие материалы широко распространены, их изучение представляет все более возрастающий интерес как само по себе, так и в связи с наличием большого количества задач, в которых сыпучая среда является одной из составляющих изучаемой системы.

Моделирование контактного взаимодействия твердого тела с сыпучей средой не вызывает особых затруднений, однако взаимодействие частиц друг с другом, несмотря на кажущуюся тривиальность, сопряжено с определенными трудностями. Компьютерное моделирование позволит проанализировать альтернативные варианты конструкции оборудования, выяснить критические значения управляющих параметров, определить наиболее благоприятные условия для проведения процесса.

Для построения модели движения сыпучих сред с помощью гидродинамической теории была выбрана ламинарная модель течения вязкой жидкости. Это обуславливается тем, что переход от ламинарного режима течения к турбулентному осуществляется при числе Рейнольдса Re = LU/ > Recr которое для данного случая меньше.

Скорость движения сыпучей среды равна где n частота вращения привода, s шаг спирали. При этом максимум функции тока равен расходу сыпучей среды.

Численный эксперимент проводился в ANSYS Fluent и полученные результаты отличаются от известных в литературе аналитических решений не более чем на 13%, что позволяет с высокой точностью получать расход в прикладных задачах такого типа.

Таким образом, предложенная схема моделирования движения сыпучей среды достаточно эффективна для решения задач транспортировки сыпучих сред с помощью гибкого шнека и позволяет производить проверочные расчеты модифицированной формы профиля проволоки спирали, избегая дорогостоящих натурных экспериментов, сопряженных с необходимостью изготовления модернизированных шнеков.

Учебник и образовательный стандарт. Что важнее?

Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Новые ФГОС ВПО отличаются от существующих компетентностным подходом. Эта новация способна разрушить единое образовательное пространство.

Компетенции носят абстрактный и декларативный характер.

Ниже приведена выборка компетенций двух направлений подготовки: Математика и Прикладная математика и информатика.

1. Выпускник должен обладать: определением общих форм, закономерностей и инструментальных средств отдельной предметной области; умением понять поставленную задачу; умением формулировать результат; умением строго доказать утверждение; умением на основе анализа увидеть и корректно сформулировать результат; умением самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата; пониманием того, что фундаментальное знание является основой компьютерных наук; обретением опыта самостоятельного различения типов знания.

2. Выпускник должен обладать: способностью демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, пониманием основных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой; способностью приобретать новые научные и профессиональные знания, используя современные образовательные и информационные технологии; способностью понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат; способностью в составе научно-исследовательского производственного коллектива решать задачи профессиональной деятельности;

способностью критически переосмысливать накопленный опыт, изменять при необходимости вид и характер своей профессиональной деятельности.

Попробуйте перебросить набор компетенций с одного направления подготовки на другое, никто этого и не заметит.

В сложившихся условиях именно учебник может стать основой, обеспечивающей единство содержания образования в разных вузах. Нужна министерская программа создания учебников. Положительный опыт имеется. Госкомвуз РФ в 1995–1998 гг. провел конкурс по написанию учебников нового поколения. Были определены победители, получившие гранты. Наш учебник Математика. Общий курс стал победителем конкурса и опубликован четырьмя изданиями. В ЮФУ на этапе его формирования существовали гранты для авторов учебников и учебных пособий. Эти издания были внутривузовскими, а необходимы общероссийские.

Оптимизация в ANSYS спирального пьезоактуатора Ефременко О. Ю., Курбатова Н. В., Чумакова Е. С.

Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Значение роли пьезодвигателей при конструировании различных приборов, в том числе микроманипуляторов, микроскопов, лазерной техники, медицинского оборудования, установок оборонного назначения, а также промышленных и бытовых устройств трудно переоценить. Однако использование пьезоэлементов сложной геометрии, имеющих неплоские поверхности, стало технологически возможно относительно недавно. Так, следствием решения технологических проблем, связанных с конструированием таких пьезоэлементов, спецификой поляризации пьезокерамики и нанесения электродов, стала серия публикаций, посвященных физическому эксперименту по созданию пьезоэлементов винтовой и спиральной геометрии. Для конструирования пьезоэлементов с заданными свойствами требуется вычислительный эксперимент.

Вычислительный эксперимент в рамках компьютерного конечно-элементного моделирования позволяет не только изучить свойства реально созданных образцов, но и прогнозировать поведение искусственных пьезоэлементов сложной тополгии. В предлагаемой работе моделируется и исследуется с помощью пакета ANSYS новый тип пьезоэлектрического привода (двигателя), который получил название винтовой или спиральный.

Выполненные исследования заключаются в построении параметризуемой геометрии модели, определении ее эффективных параметров, оптимальных с точки зрения свойства преобразования электрической энергии в механическую. Такое исследование позволило выявить геометрию и частоты, на которых пьезоэлемент превращается в пьезодвигатель. Были рассмотрены модели, имеющие винтовые элементы (сверло, пружина с круглым и прямоугольным сечениями). Для них варьировались размеры и формы поперечного сечения, с использованием однородной и неоднородной поляризаций. Выбор пьезокерамики и формы нанесения электродов также повлиял на эффективность возбуждения механических колебаний электрическим полем. Были построены пьезоэлементы, для которых продольно-крутильные колебания эффективно возбуждаются электрическим полем, и зависимости величины коэффициента электромеханической связи от параметров модели.

По результатам проведенных исследований можно сделать предположение, что пьезоэлектрические спиральные двигатели отличаются большой гибкостью с точки зрения параметров устройства и могут быть адаптированы для разнообразных применений.

Исследование влияния неоднородности на диаграмму растяжения с помощью программной оболочки анализа задач нелинейной теории Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Учет нелинейности является важным требованием к математическим моделям современной механики сплошной среды, в особенности к применяемым для изучения поведения мягких биологических тканей, которые и в условиях своего естественного функционирования и в процессе оперативного вмешательства испытывают большие деформации. На передний план при этом выходит проблема выбора самой модели, которая позволила бы корректно описывать поведение исследуемой ткани в реальных условиях. В случае простого упругого материала данная проблема сводится к выбору подходящей функции удельной потенциальной энергии деформации и определению ее параметров.

При этом анализ механических экспериментов, реализуемых с использованием тел канонической формы, может быть успешно проведен с помощью полуобратного метода нелинейной теории упругости, который позволяет свести задачу о равновесии тела к краевой задаче для одного или нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение последних с применением численных методов и систем компьютерной алгебры (СКА) позволяет добиться полной автоматизации исследований.

В то же время достаточно большое количество экспериментальных методик базируется на подходах, не описываемых классическими задачами: неканонической может быть как форма образца, так и условия его закрепления. Это диктует необходимость использования решателей достаточно общего вида, например, основанных на МКЭ.

Актуальной проблемой многих экспериментальных методик является вопрос надежности эксперимента, в частности, гарантии того, что измеряются именно свойства материала, а не конструкции. Важной в этой связи является задача анализа и, при необходимости, устранение влияния пустот и других неоднородностей на процесс измерений. Моделирование поведения тел с геометрическими неоднородностями также диктует необходимость привлечения МКЭ-решателей.

Для решения обозначенных выше проблем в рамках СКА Maple разработана интерактивная оболочка для анализа задач нелинейной теории упругости, реализующая алгоритм автоматической генерации краевых задач равновесия и поддерживающая двусторонний обмен данными со средой КЭ-анализа FlexPDE.

Возможные применения разработанной системы, в том числе для решения некоторых типов обратных задач, продемонстрированы на примере задачи о растяжении прямоугольника с отверстием, при использовании для описания свойств материала модели Блейтца и Ко. Проанализировано влияние размеров и положения неоднородности (круглого отверстия) на диаграмму растяжения. Исследовано влияние положения отверстия на диаграмму растяжения и на параметр утоньшения образца для случая сдвига отверстия вдоль замкнутого контура.

Дано сравнение с аналогичными задачами линейной теории упругости.

Численная верификация редуцированной математической модели мелкого протяженного руслового потока Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет В геоэкологии и рациональном природопользовании водными объектами суши большое значение имеет количественный анализ и прогноз основных гидрологических характеристик русловых потоков (реки, ручьи, каналы и т. п.).

При расчетах гидрологических характеристик водотоков применяются математические модели разных типов. Наиболее простыми в использовании являются формульные ( нульмерные ) и балансовые (камерные) модели. Широко используются также одномерные модели, полученные, например, осреднением по живому сечению потока. Однако применение таких моделей весьма ограничено, поскольку они позволяют вычислять лишь интегральные и усредненные характеристики потоков (расход воды, средняя скорость течения и т. п.). Во многих случаях требуется более детальное описание течения, например, учет его поперечной структуры или возникновения в верхнем слое противотока, вызванного действием ветра. Строго говоря, такой анализ требует привлечения трехмерных моделей, точно описывающих исследуемые процессы. Но на практике получить высокую точность моделирования не удается, поскольку проводимые гидрологические измерения не имеют достаточно высокой точности, необходимой для задания гидрофизических параметров, а также начальных и граничных условий для трехмерных уравнений в частных производных. Кроме того, для русловых потоков сложность и трудоемкость вычислительных экспериментов на основе трехмерных математических моделей усугубляется геометрией расчетной области, сильно вытянутой в продольном направлении. Все вышесказанное объясняет интерес к двумерным и редуцированным трехмерным математическим моделям русловых потоков, сложность которых адекватна точности имеющихся гидрологических данных.

В докладе представлены данные верификации редуцированной математической модели мелкого протяженного руслового потока, полученной ранее методом малого параметра из уравнений Рейнольдса для несжимаемой жидкости, замкнутых на основе гипотезы Буссинеска. Верификация основана на сравнении численного решения уравнений редуцированной математической модели и полных уравнений гидродинамики. Расчеты проводились с использованием конечноэлементного комплекса COMSOL Multiphysics (Femlab), а также программных пакетов Matlab и Maple. Рассмотрены как ламинарные, так и турбулентные течения. Результаты расчетов представлены в виде графиков.

Большие деформации упругих тел с распределенными дислокациями Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Несовместность деформаций, обусловленная наличием непрерывно распределенных дислокаций, является распространенным и важным источником собственных напряжений в твердых телах. Несмотря на то, что полевые уравнения континуальной теории дислокаций известны более 50-ти лет, в литературе почти отсутствуют решения нелинейных краевых задач о равновесии трехмерных тел с распределенными дислокациями. Такое положение обусловлено, в частности, чрезвычайной сложностью дифференциальных уравнений классической нелинейной континуальной теории дислокаций, содержащей в качестве неизвестных функций компоненты тензора деформации, а в качестве заданных функций компоненты тензора плотности дислокаций.

В настоящей работе при решении статических краевых задач нелинейной теории упругости для тел с распределенными дислокациями используется система уравнений несовместности и уравнений равновесия относительно компонент тензора дисторсии или относительно компонент несимметричного тензора напряжений Пиолы. Предложенный подход допускает эффективное применение полуобратного метода и позволяет выделить класс задач, сводящихся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Этот класс включает задачи о равновесии полого шара и полого кругового цилиндра с распределенными дислокациями, а также прямоугольного и кругового брусьев. Для ряда указанных задач найдены точные решения, иллюстрирующие влияние распределенных дефектов на механическое поведение твердых тел. К таким задачам относится обобщенная нелинейная задача Ламе для полого упругого шара с распределенными радиальными винтовыми дислокациями, плотность которых зависит от радиальной координаты. Установлено, что учет влияния радиальных винтовых дислокаций в шаре невозможен в рамках линейной теории упругости, т. е. данные дислокации создают существенно нелинейный эффект. В рамках модели сжимаемого полулинейного материала построено точное решение нелинейной задачи Ламе для цилиндра с учетом распределенных краевых дислокаций. В точной аналитической форме решена также нелинейная задача о кручении кругового полого цилиндра из несжимаемого материала с учетом распределенных радиальных винтовых дислокаций. Исследовано влияние дислокаций на прямой и обратный эффекты Пойнтинга при кручении цилиндра.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 12-01-00038) и ФЦП Научные и научно-педагогические кадры России на 2009–2012 гг.

Реконструкция свойств межфазного слоя в армированных композитах Ростов-на-Дону, Донской государственный технический университет Минск, Белорусский национальный технический университет Изделия из армированных композитов, такие, например, как полимеркомпозитные лонжероны лопастей вертолета, работают в режиме многоциклового нагружения и испытывают деформации растяжения, сжатия и кручения. В результате этого, а также за счет действия климатических факторов, жесткость этих конструкций значительно снижается и проблема расчета их ресурса далека от приемлемого для практики решения. Одна из причин накопления усталостных повреждений проявляется в нарушении адгезии между армирующими волокнами и матрицей. Макромоделирование этого процесса возможно с помощью введения некоторого межфазного слоя, жесткостные свойства которого отличаются от свойств матрицы и существенно зависят от степени расслоения. В отечественной и зарубежной литературе разработан ряд линейных и нелинейных моделей напряженно-деформированного состояния межфазных слоев. Идентификация этих моделей или параметров, их характеризующих, представляется актуальной задачей; решение ее является составной частью решения проблемы оценки ресурса композитных элементов.

В настоящей работе рассмотрен некоторый представительный объем армированного однонаправленными нитями композита. Проведен конечно-элементный анализ напряженного состояния при действии различных типов усилий (растяжение–сжатие, кручение, изгиб), который позволяет использовать аналитические решения задач для многослойного цилиндра для идентификации линейноупругих свойств межфазного слоя. В работе построена система трансцендентных уравнений для определения геометрии и упругих свойств межфазного слоя.

Входной информацией для решения задачи идентификации служат данные экспериментов по определению удлинений, углов поворота номали и углов закручивания. Приведенные результаты численных экспериментов, в том числе с использованием конечно-элементного пакета ANSYS, для различных соотношений между упругими свойствами компонентов модели показали высокую эффективность предложенного метода.

При использовании усложненных моделей межфазного слоя решение прямых задач проводится с помощью МКЭ.

Авторы выражают благодарность А. Н. Соловьеву за внимание к работе.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (гранты № 10-08-01296-а, 10-01-00194-а, 10-08-00093-а, 12-08-91165-ГФЕН_а).

Конечно-элементное моделирование пьезопреобразователя с Ростов-на-Дону, Донской государственный технический университет Разработка устройств накопления энергии является актуальной теоретической и технической проблемой настоящего времени. Один из типов подобных устройств может быть создан на основе использования пьезоэлектрических преобразователей энергии, подверженных внешнему вибрационному гармоническому или периодическому нестационарному механическому воздействию. При этом возникают проблемы оптимального проектирования таких устройств в смысле получения наибольшей электрической энергии.

В работе проведен анализ зарубежной литературы, посвященной данной тематике, в результате которого был выбран прототип исследуемого устройства и пути его совершенствования. Первое направление это оптимизация геометрии, второе направление выбор материалов активного элемента.

В работе рассматривается многослойный пьезоэлектрический преобразователь с цилиндрическим пьезокерамическим элементом, расположенным между некоторым основанием, и дополнительным массивным телом. Рассматривается несколько режимов работы преобразователя, совершающего толщинные колебания, возникающие за счет гармонического колебания его основания или нестационарного воздействия на присоединенное массивное тело. Построены аналитические и численные модели работы устройства. В аналитических моделях рассматриваются одномерные движения, при этом пьезоактивный элемент моделируется двумя способами: в первом в виде пружины, и модель представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение, во втором учитываются его инерционные свойства, что приводит к одномерной по координате краевой задаче.

Для аналитических моделей удается получить формулы для основных энергетических характеристик преобразователя. Численно конструкция моделируется в конечноэлементных пакетах ANSYS и ACELAN.

Проводится модальный, гармонический и нестационарный анализ преобразователя в случае, когда один из электродов пьезоэлемента подключен к электрической цепи, соединенной с устройствами накопления энергии.

На основе анализа аналитической модели и проведенных расчетов выбираются рациональные геометрические характеристики устройства и физические свойства активного элемента (например, использование пъезокомпозитных материалов).

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (гранты № 10-08-01296-а, 10-01-00194-а, 10-08-00093-а, 12-08-91165-ГФЕН_а).

Развитие интернет-портала Биомеханика в России Саратов, Саратовский государственный университет Цель проекта Биомеханика в России состоит в формировании и развитии информационной среды в форме обеспечения научных коммуникаций среди профессиональных аудиторий, осуществляющих НИОКР в области биомеханики, биофизики, медицины.

Задачи проекта:

• продвижение биомеханики в России путем привлечения студентов, аспирантов, ученых к выполнению исследований по ключевому направлению науки, технологий и инноваций Живые системы ;

• обеспечение онлайн общения, обмена опытом, консолидации ученых для решения фундаментальных и прикладных проблем биомеханики;

• публикация научных и научно-популярных статей, учебных материалов и пособий, результатов исследований, идей по биомеханике;

• публикация информации о конкурсах, конференциях, школах-семинарах, совещаниях по направлениям биомеханики;

• обеспечение доступа школьников, студентов, аспирантов, ученых, медицинских работников, сотрудников фармацевтических компаний к информации по биомеханике;

• оказание консультативных, аналитических и экспертных услуг в области биомеханики.

Учредителями сайта являются Российский Национальный комитет по теоретической и прикладной механике и Научный совет РАН по биомеханике. Сайт имеет несколько основных разделов: Биомеханика, Новости, Публикации, Объявления, О проекте.

Раздел Биомеханика содержит информацию о российских ученых-биомеханиках, паспорт специальности, данные о диссертационных советах, а также информацию о ведущих научных биомеханических школах в России и мире.

В разделе Новости публикуются новости в мире науки, биомеханики, медицины. В разделе Публикации размещаются учебные и учебно-методические пособия, книги по биомеханике, сборники конференций по биомеханике, статьи и аннотации и т. п. Объявления краткие информационные сообщения о проходящих и будущих конференциях, семинарах, рабочих совещаниях по биомеханике, здесь же публикуется информация об изменениях в работе сайта, а также другие сообщения. Раздел О проекте содержит информацию о целях, задачах проекта, краткий навигатор по сайту, карту сайта, ссылку на подраздел с опросами, форумом, страницу с контактными данными разработчиков и ссылку для регистрации на портале.

Каждый зарегистрированный на сайте пользователь может добавлять свои собственные материалы на сайт: после регистрации становится доступно пользовательское меню.

О построении теории биологической адаптации. Вычислительные Ростов-на-Дону, Южный научный центр РАН В дискретном случае модель динамики популяции является композицией нелинейного оператора, ответственного за процессы гибели и размножения, и линейного оператора M, осуществляющего перемешивание особей между районами. Здесь M квадратная матрица с неотрицательными элементами, а сумма ее элементов в каждом столбце равна 1. Дополним модель динамики фактором адаптации маршрута миграции в зависимости от состояния кормовых ресурсов районов. Это достигается путем имитации эволюционного процесса путем генерации мутантов с различными маршрутами с последующим отбором.

Пусть задана начальная матрица МН. Тогда естественной представляется гипотеза: в процессе адаптации финальная матрица МФ определяется однозначным образом. К сожалению, компьютерные расчеты показали, что исход адаптации сильно зависит от выбора начальной матрицы.

Возможно, существуют менее жесткие характеристики адаптации, чем сама матрица. Тем не менее, не исключено, что некоторые из свойств финальных матриц могут быть универсальными. Оказывается, так и есть на самом деле.

Так, согласно теореме Перрона каждая положительная матрица имеет единственный положительный собственный вектор, который ниже будем называть перроновским. Его компоненты характеризуют относительное время пребывания популяции в районах. Неожиданно удалось обнаружить, что перроновские вектора всех финальных матриц почти одинаковы.

В результате коадаптации матриц миграции хищника и жертвы происходит совпадение их перроновских векторов.

Коадаптация конкурирующих (хищных) популяций значительно сложнее. Если кормовые ресурсы районов примерно равны, то ситуация упрощается. Здесь следует сопоставить финальным матрицам, например, двух конкурентов свой граф смежности. Оказывается, поглощающие структуры (т. е. вершины и циклы) этих графов не пересекаются, а у соответствующих перроновских векторов возникают нули на противоположных местах.

При оптимальном или заданном вылове адаптивное поведение рыбной популяции сводится к однозначному установлению своего перроновского вектора.

В целом, районы, в которых пребывание не является комфортным (мало корма или значительный вылов), популяция посещает достаточно редко.

Таким образом, здесь пространственная адаптация свелась к перестройке временных характеристик поведения популяции. Вероятно, в философской связке пространство–время последний элемент является ведущем фактором. Это указывает на то, что сначала было создано Время, и лишь затем Пространство.

Диффузия водорода в металлах при усталостном разрушении Индейцев Д. А., Полянский В. А., Семенов Б. Н., Санкт-Петербург, Институт проблем машиноведения РАН Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский государственный университет Водород это один из самых распространенных элементов на планете. В твердых материалах водород находится в ловушках различной природы. В зависимости от характера распределения водорода по ловушкам и его концентрации материал приобретает определенные свойства. В конструкционных материалах, таких, как сталь и алюминий, наличие водорода негативно сказывается на механических свойствах. Если водород способен образовывать с материалом соединения с большой энергией связи, например гидриды, то охрупчивание материала происходит при значительно больших концентрациях, чем в случае отсутствия таких ловушек, когда водород образовывает соединения с низкой энергией связи или находится в диффузно-подвижном состоянии. Большое влияние на распределение водорода в материале оказывает не только насыщение из внешней среды, но и распределение механических напряжений по материалу. В процессе механического нагружения водород диффундирует в область растягивающих напряжений (эффект Горского). При циклическом нагружении наблюдается накопление водорода в зонах максимальных напряжений, поскольку в процессе нагружения происходит перераспределение водорода по энергиям связи.

При циклических нагрузках объемное перераспределение водорода приводит к увеличению его концентрации в областях разрушения. В прилегающих к ним областях, напротив, концентрация водорода уменьшается. При одноосном циклическом нагружении распределение концентрации водорода вдоль металлического образца имеет ярко выраженный многоэкстремальный характер с одним основным пиком.

Предложена модель, описывающая наблюдаемое явление. В настоящей работе приведена замкнутая система связанных уравнений переноса примеси при деформации тела, вытекающая из общих законов механики сплошной среды. На этой основе выведено обобщенное уравнение диффузии.

Показано, что учет взаимных связей диффузии и деформации важен при изучении процессов, сопровождающихся вибрацией и чередующимися циклами нагружения-разгрузки материала c примесью. При нестационарном деформировании тела передвижение примеси может быть направлено против энтропийного потока диффузии, вызывать локализацию примеси и отсюда необратимое ухудшение механических свойств материала, например, охрупчивание и разрушение металла в местах концентрации в нем диффузионно-подвижного водорода.

В качестве приложения рассмотрено явление локализации примеси в стержне при его циклическом нагружении. Результаты расчетов по предложенной модели сопоставлены с экспериментами по исследованию перераспределения водорода при циклическом деформировании металлических образцов из сплава алюминий-медь-свинец.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 11-01-00385-а.

Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Рассматривается уравнение Рэлея в пространственно-однородном случае:

Это уравнение, наряду с уравнением Ван-дер-Поля, служит основной моделью для анализа нелинейных колебаний. Здесь µ безразмерный управляющий параметр.

Уравнение Рэлея можно свести к системе:

Известно, что единственное нулевое положение равновесия при µ < 0 асимптотически устойчиво, при µ > 0 неустойчиво. При µ = 0 в системе имеет место бифуркация Хопфа. В настоящей работе найдена асимптотика периодического решения уравнения Рэлея методом Ляпунова-Шмидта.

Учитывая в полученной системе влияние диффузии, приходим к пространственно-распределенной системе уравнений реакции-диффузии:

которая сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению в соответствующем гильбертовом пространстве.

Целью настоящей работы является исследование бифуркационного поведения системы при различных типах краевых условий: Неймана, Дирихле, а также в условиях второй краевой задачи при наличии нулевого среднего. Для отыскания вторичных решений применяется метод Ляпунова-Шмидта в форме, развитой в работах В.И.Юдовича.

Показано, что в случае краевых условий Неймана при изменении параметра µ в системе имеет место колебательная неустойчивость. Найдены главные члены асимптотики периодического решения. Показано, что в этом случае в системе имеет место пространственно-однородный автоколебательный режим.

В случае краевых условий Дирихле в зависимости от значений параметра наблюдается либо колебательная, либо монотонная потеря устойчивости. Определена зависимость типа потери устойчивости от значений параметра, найдена асимптотика вторичного решения методом Ляпунова-Шмидта.

Показано также, что в условиях второй краевой задачи при наличии нулевого среднего возникает пространственно-неоднородный вторичный режим. Найдены главные члены его асимптотики.

Проведены численные эксперименты для сравнения результатов аналитического исследования с численными. Для получения численных решений применен пакет Maple.

Исследование напряженно-деформированного состояния рамы автомобиля методом конечных элементов Камран К. А., Кашкан А. В., Напрасников В. В.

Минск, Белорусский национальный технический университет Основанием двигателя является стальная рама, опертая на вязкоупругие опоры. На одной из поперечин рамы находится несбалансированный двигатель. Дисбаланс двигателя учитывается задаваемой нагрузкой.

Для построения модели использован пакет ANSYS. Использован двадцатиузловой пространственный конечный элемент SOLID186. Использование такого элемента требует больших ресурсов компьютера и времени расчета, особенно при рассмотрении полного динамического анализа. В то же время это избавляет от необходимости упрощающих предположений, связанных с применением стержневых конечных элементов.

Для того, чтобы создать элементы (демпферы, точечную массу), были определены атрибуты каждого из элементов типа COMBIN14, соответствующие номера узлов, между которыми должны строиться эти элементы, и проведено построение элементов путем перечисления этих узлов.

Место приложения силы узел под мотором, закон изменения циклический.

Получены графики, отражающие изменение во времени перемещений узлов конструкции в вертикальном направлении и напряжений в опасных местах конструкции (главных и эквивалентных по теории прочности Мизеса).

Анализ результатов показывает:

• для данной модели достаточно использовать время наблюдения 20 с;

• характер кривых перемещений не вызывает сомнений в устойчивости расчета;

• максимальные перемещения возникают в районе крепления двигателя и в районе крепления рамы к подвеске;

• все перемещения с течением времени уменьшаются, что объясняется выключением двигателя и наличием рассеивающих элементов в подвеске; модули максимумов первого и третьего главных напряжений соизмеримы.

Таким образом, материал конструкции в равной степени подвержен как растяжению, так и сжатию;

• срезывающие напряжения по значениям примерно на два порядка меньше нормальных, поэтому их учет в дальнейших расчетах не существенен;

• в качестве критерия напряженного состояния материала в дальнейших расчетах можно использовать эквивалентные напряжения по теории прочности Мизеса.

Модель позволяет выполнять дальнейшие исследования на основе ее уточнения и дополнения.

Энергетические характеристики волн Лэмба в анизотропных Кармазин А. В., Кириллова Е. В., Сыромятников П. В.

Карлсруэ, Institute for Technical Mechanics, Karlsruhe University Висбаден, RheinMain University of Applied Sciences Рассматривается задача о гармонических колебаниях многослойного анизотропного композита с плоско-параллельными границами раздела слоев. Колебания возбуждаются поверхностными источниками различной конфигурации, которые представляют собой сосредоточенные нагрузки, распределенные непрерывно или дискретно либо по периметру окружности, либо по периметру кольцевого сектора.

Осредненный вектор Умова-Пойнтинга рассчитывался по полю перемещений и напряжений. Перемещения, представленные двукратным интегралом Фурье, вычислялись в дальней зоне асимптотически методом стационарной фазы и методом интегрирования по теории вычетов вычетов в ближней зоне.

В области низких частот для трех фундаментальных мод Лэмба A0, S0, SH строились плотности потоков механической энергии, излучаемой поверхностным источником. Рассчитывались потоки энергии отдельных мод и суммарные потоки через боковую поверхность цилиндра большого радиуса с центром в месте расположения поверхностного источника. Расчеты проводились для трех симметричных гибридных композитов [90/45/-45]s, [45/-45/0/90]s, [0/45/-45/90]2s из материалов CFRP-T700GC/M21, IM7-Cycom-997-3.

Для каждой из мод исследовались плотности и потоки вектора УмоваПойнтинга в зависимости от частоты, направления распространения волн, вертикальной координаты, вида и модели поверхностного источника, метода расчета, типа и материала композита.

Расчеты полей перемещений, полученные указанными выше методами, сопоставлялись с аналогичными расчетами в конечно-элементном пакете ABAQUS и экспериментальными данными. Сравнение показало хорошее качественное и количественное совпадение результатов.

При возникновении каустик, в поле перемещений и напряжений, рассчитываемых методом стационарной фазы и обусловленных упругой анизотропией, возникает разрыв в виде зоны тени. При расчете методом интегрирования по теории вычетов зона тени отсутствует, что позволяет провести правильный расчет как потоков энергии отдельных мод, так и общего баланса. Расхождения между балансами энергий, полученных двумя методами, различаются на величину потоков через зону тени и могут достигать десятков процентов. Вне зон тени, а также в случае отсутствия каустик, плотности потоков и суммарные потоки, полученные двумя указанными методами, различаются незначительно и в пределах погрешностей вычислений.

Контактная задача для системы цилиндр-сфера-куб с тонкими Ростов-на-Дону, Ростовский гос. университет путей сообщения Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Ростов-на-Дону, НИИ механики и прикл. математики им. Воровича И. И.

Рассматривается задача о контактном взаимодействии частей шкворневого узла. Узел состоит из цилиндрического шкворня, шаровой опоры, кубической обоймы, а также цилиндрической и сферической антифрикционных прокладок.

Задача моделировалась с учетом трения и несимметричного нагружения. Были проведены:

• исследование распределения контактных и эквивалентных напряжений на поверхностях и в глубине контактирующих тел, выявлены места концентрации напряжений;

• исследование влияния несимметричного нагружения на величину и распределение пиковых напряжений;

• сравнение решения с известным решением симметричной задачи и определение пригодности упрощенной симметричной постановки для описания распределения контактных и эквивалентных напряжений;

• исследование зависимости напряжений от жесткости материала прокладок.

Для построения КЭ-модели использовался квадратичный элемент SOLID с контактными парами CONTA174 и TARGE170. В поверхностях контакта разбиение строилось регулярным образом, выделялись зоны канонического разбиения вглубь тел. В условия контакта был добавлен учет трения с коэффициентом µ = 0.1. Модель строилась симметрично по одной из материальных плоскостей.

Нагружение проводилось сосредоточенной силой в специально выделенной зоне шкворня, перемещавшейся только поступательно.

В результате расчетов было определено, что использование упрощенной симметричной постановки задачи допустимо лишь для оценки общего характера распределения контактных и эквивалентных напряжений. Для оценки пиковых значений напряжений в зонах концентрации использовать упрощенную постановку нельзя, так как она завышает их значения. Так же, как и в симметричной задаче, подтвердилось наличие эффекта защемления краев обеих прокладок между жесткими элементами конструкции, что приводит к концентрации напряжений в виде узкой полосы, имеющей перерезывающий характер, на небольшом удалении от краев прокладок. Кроме того, увеличение жесткости материала прокладок в несимметричной постановке увеличивает эквивалентные напряжения, но приводит к перераспределению контактных напряжений, в результате чего последние незначительно изменяются как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения.

О магистерской программе IT in Biomechanics, разрабатываемой в ЮФУ по проекту ICARUS программы Tempus-IV Карнаухова О. С., Карякин М. И., Надолин К. А.

Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет На мехмате ЮФУ реализуется проект ICARUS Internationalised Curricula Advancement at Russian Universities in the Southern Region ( Интернационализация учебных планов на уровне магистра в российских вузах в южном регионе ), ставший победителем конкурса Tempus-IV в 2011 году. Проект был представлен Южным федеральным университетом совместно с тремя российскими и четырьмя европейскими университетами. Проект рассчитан на 3 года и предполагает разработку совместных магистерских программ в области информационных технологий и инжиниринга в соответствии с положениями Болонской декларации.

В ходе реализации проекта предполагается создание четырех таких программ: IT in Electrical Engineering (ЮРГТУ), IT in Software Engineering (КубГУ), IT in Industrial Engineering (ВГУ) и IT in Biomechanics (ЮФУ). Разработку каждой программы будет осуществлять российский университет, и курировать европейский университет-партнер. Программы будут основаны на модульном принципе и включать общий блок ИТ-дисциплин.

Важной задачей проекта ICARUS является углубление и развитие партнерских связей между российскими и европейскими университетами с перспективой получения выпускниками дипломов двух университетов. Для достижения этой цели потребуется составить согласованные учебные планы магистратуры и совместно разработать с учетом опыта европейских университетов-партнеров программы дисциплин специализации, которые будут удовлетворять российским федеральным государственным образовательным стандартам и одновременно соответствовать положениям Болонской декларации.

Следует отметить, что на мехмате ЮФУ накоплен большой опыт академического сотрудничества с зарубежными вузами, в результате которого более десяти выпускников факультета получили дипломы европейских университетов.

В докладе будут отражены результаты совместной работы по проекту ICARUS, достигнутые в ходе исследовательских визитов представителей российских вузов в европейские университеты-партнеры. Основное внимание предполагается уделить обсуждению структуры магистерской программы IT in Biomechanics и вопросам международного сотрудничества университетов по созданию совместных образовательных программ. Предполагается рассмотреть различные модели таких программ: joint degree program (программа совместного диплома), double degree program (программа двух дипломов) и multiple degree program (программа нескольких дипломов) и проанализировать перспективы их реализации.

Работа выполнена при финансовой поддержке Еврокомиссии (проект 516857TEMPUS-1-2011-1-SETEMPUS-JPCR). Доклад отражает личное мнение авторов и Комиссия не несет ответственности за какое бы то ни было использование представленной информации.

Формы потери устойчивости высокоэластичной цилиндрической Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Задачи об устойчивости деформируемых тел имеют большое значение не только с теоретической, но и с прикладной точки зрения. В большинстве работ по устойчивости как тонкостенных конструкций, так и трехмерных тел рассматривается потеря устойчивости при сжимающих нагрузках. Это связано, прежде всего, с решением практических задач, например, строительной механики или сопротивления материалов.

Однако бифуркация равновесия может проявляться и при растягивающих напряжениях. При этом в сравнении с неустойчивостью при сжатии, при растягивающих нагрузках проявляются определенные особенности, такие как неустойчивость при очень больших деформациях, ограниченность использования двумерной теории оболочек, конечный набор моделей материалов, для которых возможна потеря устойчивости.

В данной работе с использованием мембранной теории нелинейно-упругих оболочек исследована устойчивость тонкостенной цилиндрической трубы при раздувании и осевом растяжении.

Были рассмотрены две модели материала: модель Бидермана и модель степенного нелинейно-упругого материала. С использованием линеаризованных уравнений равновесия были построены бифуркационные кривые в виде множества точек на плоскости параметров нагружения. Общее число построенных бифуркационных кривых 500 для каждого типа материала. Определена минимальная достаточная точность построения точек бифуркационных кривых с использованием сингулярного разложения матриц.

Закритическое поведение оболочки исследовано методом Ритца, при этом в качестве координатных функций для метода Ритца выбирались решения линеаризованной задачи для определенного набора точек различных бифуркационных кривых, соответствующих различным модам потери устойчивости. Количество бифуркационных кривых, точки которых использовались в вычислении, варьировалось от одной до десяти. Бифуркационные кривые для вычисления выбирались из различных соображений, в частности, предпочтение отдавалось кривым для небольших номеров мод, наиболее значимых для определения формы потери устойчивости. Построены трехмерные формы закритического равновесного состояния оболочки, проанализирована их зависимость от материальных параметров рассмотренных моделей.

Для проведения вычислений была разработана специальная программная система, основанная на взаимодействии среды аналитических вычислений Maple и компилятора командной строки PascalABC.Net. Использование внешней программы позволило увеличить скорость вычисления в 50–100 раз по сравнению с проведением вычислений в Maple.

О влиянии внутренних напряжений, вызванных изолированным дефектом, на устойчивость цилиндра при сжатии и растяжении Карякин М. И., Поздняков И. В., Шубчинская Н. Ю.

Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Внутренние напряжения, вызванные дефектами кристаллической решетки, оказывают существенное влияние на различные процессы, происходящие в реальных кристаллических телах, такие как ползучесть, пластичность, разрушение и т. п. В ряде случаев именно эти напряжения являются причиной происходящих в кристаллах явлений. Существует целый ряд теоретических причин и экспериментальных фактов, подтверждающих актуальность учета нелинейных слагаемых и эффектов в теории внутренних напряжений. В настоящей работе в рамках нелинейной теории упругости изучен ряд вопросов о влиянии внутренних напряжений на устойчивость процесса растяжения упругого образца.

В работе рассмотрены два типа изолированных дефектов: клиновая дисклинация и винтовая дислокация. Для описания механических свойств цилиндра, содержащего дефект, использованы две модели нелинейно-упругого поведения:

полулинейный материал (материал Джона) и материал Блейтца и Ко (общий трехконстантный вариант). Проведен анализ изменения длины ненагруженного цилиндра при образовании в нем дефекта. Показано, в частности, что это изменение длины является нелинейным эффектом, причем его знак удлинение или укорачивание существенно зависит от материальных параметров используемых моделей. Для подтверждения численных результатов использованы асимптотические формулы, полученные в рамках теории эффектов второго порядка.

Для изучения устойчивости цилиндра при растяжении и сжатии использован бифуркационный подход, основанный на линеаризации уравнений равновесия в окрестности решений, полученных с использованием полуобратного метода нелинейной теории упругости. Поиск точек бифуркации при этом основывается на анализе линейной однородной краевой задачи шестого порядка, переменные коэффициенты которой зависят от найденной на первом этапе функции радиального смещения точек цилиндра. Под точками бифуркации понимались такие значения параметра дефекта или какой-либо деформационной характеристики, при котором линеаризованная однородная краевая задача имеет нетривиальное решение. Задача о сжатии рассматривалась, главным образом, как средство верификации разработанной программной системы. В случае растяжения установлено, в частности, что величина коэффициента Пуассона оказывает существенное влияние на устойчивость цилиндра, содержащего изолированный дефект.

Приведены результаты численных расчетов.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 12-01-00038-а) и Южного математического института, г. Владикавказ.

Многомасштабное моделирование сердечно-сосудистой системы Харьков, Харьковский национальный университет Представлен обзор моделей сердечно-сосудистой системы человека, включающих русло системных и внутриорганных артерий и вен большого и малого круга кровообращения, микроциркуляторное русло, сердце и систему управления. В последнее время усилился интерес к синтетическим моделям, которые допускают детальные 3D расчеты для отдельных участков сосудистого русла с учетом их геометрии и реологических свойств стенки при относительной простоте математического моделирования других отделов на основе нульмерных, 1D или 2D моделей, что позволяет проводить расчеты в реальном времени. Ранее авторами была разработана наиболее полная на сегодняшний день модель сосудистого русла, включающая около 1000 артерий системного дерева и около 100000 средних и малых внутриорганных и внутримышечных артерий. Длины, диаметры, толщины и реологические параметры стенок измерялись на трупных препаратах, слепках внутриорганных русел и статистического анализа собственных данных и данных измерений и экспериментов, представленных в литературе.

Расчеты давлений и скоростей течения крови, распространения и отражения пульсовых волн проводятся на базе двух основных моделей: одномерной модели заполненной жидкостью податливой трубки произвольного сечения и двумерной модели осесимметричного течения в трубках из вязкоупругого материала. Одномерная модель представлена гиперболической системой уравнений и допускает решение методом характеристик. Двумерная модель представлена линеаризованными уравнениями Навье-Стокса для жидкости и уравнениями для несжимаемой вязкоупругой стенки. В осесимметричной постановке можно получить аналитическое решение для жидкости и стенки. После нахождения коэффициентов из условий непрерывности скорости, нормальных и тангенциальных напряжений на границе раздела жидкость-стенка, определяется новое положение стенки и решение для деформирующейся стенки получается путем итераций.

Обе модели имеют свои преимущества и недостатки и тестировались на ветвящихся артериальных руслах с анастомозами и без них. Наибольший интерес для детальных 3D расчетов представляют коронарные артерии и каротидный синус. В данной работе обсуждается проблема адекватных граничных условий при стыковке 1D и 3D, 2D и 3D моделей. Граничные условия получены из условий сохранения массы и энергии на участке стыковки моделей с разными пространственными размерностями. Представлены результаты численных расчетов.

Проведен анализ интенсивностей падающих и отраженных волн (wave-intensity analysis), по временам запаздывания передних фронтов которых можно вычислить расстояние до места отражения, соответствующего стенозу, аневризме и другим сосудистым патологиям.

Физико-механические свойства коронарных артерий сердца человека Саратов, Саратовский государственный университет Левая и правая коронарные артерии (КА) сердца являются одними из главных артерий в нашем организме. Устья КА расположены прямо за створками аортального клапана и получают больший объем крови не в систолу (как все остальные органы), а в диастолу сердца, т. е. когда сердце максимально расслаблено. Каждая из КА обладают несколькими крупными ветвями и множеством мелких. Артерии сердца имеют диаметр 2–4 мм. Сужение такого просвета происходит за довольно короткий срок. В связи с этим окклюзия и/или стеноз КА одно из основных заболеваний, ведущих к поражению сердечно-сосудистой системы в целом. Для возможности прогнозирования развития заболевания в зависимости от возрастной группы и пола человека проведено изучение физикомеханических свойств коронарных артерий.

Образцами для эксперимента по одноосному растяжению служили сегменты коронарных артерий сердца человека, изъятые у трупов людей обоего пола не позднее суток после наступления смерти. Исследования проводились в день забора материала, не позднее двух часов после аутопсии. До начала экспериментов образцы сохранялись в физиологическом растворе при температуре 20 ± 1 C o.

Образцы вырезались из сосуда в двух направлениях продольном и окружном. В среднем длина образца составляла l0 = 30 ± 0, 02 мм для продольного и l0 = 8 ± 0, 02 мм для окружного направлений нагружения. Толщину образца определяли цифровым микрометром с погрешностью не более ±0, 005 мм.

Во всех случаях причина смерти была не связана с поражением коронарных артерий. Все материалы были распределены по 4 возрастным группам: I группа 61–70 лет, II группа 51–60 лет, III группа 41-50 лет, IV группа 31– лет.

Исследование механических свойств сосуда проводилось на настольной одноколонной испытательной машине Instron 5944 с использованием BioBath в воздушной и водной среде (раствор хлорида натрия).

В случае проведения эксперимента на растяжение в воздушной среде график показывает нелинейных характер. При проведении эксперимента в физиологическом растворе график демонстрирует ярко выраженный линейный характер, при этом модуль Юнга отличается не более чем на 5 %.

Анализ основных сегментов коронарных артерий показал, что образцы IV группы (31–40 лет) обладают большей эластичностью, нежели образцы I группы (61–70 лет). При поражении стенок сосудов мелкоочаговым и крупноочаговым кардиосклерозом образцы демонстрируют малую эластичность, нежели не пораженные данной патологией, а также уменьшение эластичности при отдаленности сегмента от основной ветви артерии.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 09-01-00804-а.

Моделирование движения крови при наличии стеноза Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет В настоящее время диагностика и лечение стеноза сосудов является одной из важнейших задач медицины. Применительно к сердечно-сосудистой системе, стеноз это сужение кровеносных сосудов вследствие отложений на стенках сосудов. Сужение сосудов препятствует течению крови, следовательно, некоторые части организма испытывают нехватку кислорода и питательных веществ.

В связи с этим чрезвычайно важным становится изучение влияния стеноза на кровоток в артериях.

Рассмотрено течение вязкой жидкости в аксиально-симметричной эластичной трубке при наличии сужения, моделирующего движение крови в сосуде при наличии стеноза. Сделаны следующие допущения: предполагается, что жидкость однородная, вязкая, несжимаемая; плотность стенки трубки постоянна, деформация трубки характеризуется изменением ее радиуса, радиус трубки зависит от координаты и времени; деформации стенки трубки и ее толщина малы по сравнению с радиусом, а характерные длины волновых процессов много больше равновесного радиуса; давление жидкости в потоке одинаково по всему сечению трубки и зависит от координаты и времени. На начальном этапе предполагалось ограничиться анализом нелинейных волн в длинноволновом приближении и при больших числах Рейнольдса. Такое приближение является справедливым для средних и крупных артерий.

В рамках одномерной теории движение жидкости в трубке с переменным радиусом (со стенозом) моделируется системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

На начальном этапе задача решалась в линеаризованной постановке. В рамках такого допущения предполагалось, что давление жидкости в трубке прямо пропорционально возмущениям радиуса стенки трубки. Линеаризованная задача была сведена к канонической системе двух дифференциальных уравнений первого порядка. Найдено решение данной системы, полученное с помощью идей метода Галеркина. В рамках такого подхода решение ищется в виде произведения двух функций, одна из которых зависит от координаты, а вторая- от времени.

Путем осреднения по длине трубки построена задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Проанализировано изменение скорости распространения волн в сосудах и возмущения радиуса стенки сосуда при различных формах стеноза и его положениях, приведены соответствующие графические зависимости.

Идентификация упругих характеристик пороупругого стержня Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет В настоящее время исследования в области пороупругих сред приобрели большую популярность. Это связано с растущим интересом к таким новым областям науки, как, например, биомеханика. Многие ткани организма, в том числе костная ткань, для своего математического описания требуют учета сложной структуры среды. Различные процессы фильтрации жидкости в грунте, осадка также могут быть успешно описаны моделями пороупругости.

Костная ткань по своей природе является неоднородной. Известно, что длинные, или трубчатые, кости отличаются вытянутой формой, причем средняя часть тело кости по форме приближается к цилиндру, а оба конца утолщены в суставные головки. Снаружи трубчатые кости построены из плотного костного вещества. Внутренняя часть суставных головок состоит из губчатого костного вещества, образованного системой взаимно пересекающихся костных перегородок, между которыми в ячейках находится костный мозг. Средняя часть кости обычно имеет внутри более или менее обширную полость, заполненную костным мозгом; у некоторых видов трубчатых костей центральная часть тела наполнена губчатым костным веществом.

Таким образом, для точного описания поведения костной ткани необходимо учитывать сложную пористую структуру, а также неоднородность пороупругих характеристик, как по сечению кости, так и по длине.

В представляемом докладе речь пойдет о реконструкции упругих свойств кости. В качестве простейшей модели был выбран пороупругий неоднородный стержень. Для описания поведения была использована модель пороупругой среды, в которой неизвестными являются компоненты вектора смещений и давление жидкости в порах, а также учитываются высокочастотные слагаемые, что делает многие параметры зависимыми от частоты. Стержень был жестко защемлен на нижнем конце и возбуждался продольной силой в режиме установившихся колебаний на верхнем. Решение прямой задачи отыскивалось численно при помощи методы стрельбы. Приведены амплитудно-частотные характеристики задачи. Выведено операторное соотношение, на основе которого решение обратной задачи сведено к последовательности решений интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода методом Тихонова с автоматическим выбором параметра регуляризации. Для различных законов неоднородности упругого модуля приведены результаты реконструкции в различных частотных диапазонах.

Авторы благодарят А. О. Ватульяна за внимание к работе.

Работа выполнена при частичной поддержке ФЦП Научные и научнопедагогические кадры инновационной России на 2009–2013 годы (госконтракт П596), РФФИ (грант №10-01-00194-а).

Моделирование процессов, протекающих в высыхающей многокомпонентной капле биологической жидкости Астрахань, Астраханский государственный университет Москва, Московский физико-технический институт (гос. университет) В последние десятилетия внимание исследователей привлекли процессы, протекающие при испарении капель жидкости с твердой горизонтальной подложки, что обусловлено как чисто научным интересом, так и многочисленными приложениями. При высыхании капель протекают различные физические и физикохимические процессы, которые могут приводить к формированию разнообразных структур: развиваются гидродинамические течения, в том числе термо- и концентрационно-капиллярные, протекают процессы массопереноса, происходит закрепление и перемещение линии трехфазной границы, форма капли может испытывать существенные искажения и т. д. Процессы образования структур, наблюдаемые при испарении капли, важны при проведении медицинской диагностики, при высокопроизводительном тестировании лекарственных средств, в задачах биосохранения, при струйной печати и в технологии покрытий, для растягивания ДНК и РНК, при производстве полимерных пленок, в производстве наноструктур, создании структурированных поверхностей микро- и наномасштабов и т. д.

Целью работы является создание математической модели, описывающей перераспределение компонентов в капле биожидкости. В данной модели рассматривается тонкая капля (высота капли много меньше радиуса), находящаяся на твердом основании в режиме закрепленной трехфазной границы (пиннинг), что обусловлено наличием растворенных и взвешенных частиц. В работе Дигана и др. нет внятного вывода системы уравнений из физических принципов.

Недостатками являются обращение скорости движения жидкости в бесконечность (v = ) при задании некоторых законов испарения и необходимость введения регуляризаторов. В настоящей модели рассматривается отличие формы капли от равновесной, зависимость давления и плотности потока пара от концентраций веществ внутри капли.

В систему уравнений модели входят уравнение неразрывности (совпадает с уравнением из работы Дигана и др.), уравнение движения на основании закона сохранения импульса (в работе Дигана и др. скорость считатеся из уравнения неразрывности) и уравнения конвекции–диффузии для NaCl и альбумина. Учет отсутствия потока через внешнюю границу приводит к краевым условиям третьего рода. Система решается численно, используются разностные схемы. Алгоритм программы написан на языке С. Предварительные расчеты упрощенной системы показали качественное соотношение с экспериментом.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, проект 1.588.2011 Математическое моделирование процессов самоорганизации в системах микро- и наночастиц.

Чистый изгиб высокоэластичной кривой трубы Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Кривой трубой будем называть оболочку в виде сектора тора с замкнутым поперечным сечением. Рассмотрим тонкостенную кривую трубу с постоянной толщиной стенок h, изготовленную из несжимаемого высокоэластичного материала.

Изгибной жесткостью стенок оболочки будем перенебрагать и при моделировании использовать нелинейную теорию безмоментных оболочек типа Кирхгофа– Лява.

В данной работе исследуем равновесие кривой трубы под действием равномерно распределенного внутреннего давления p и изгибащих моментов M, приложенных по торцам.

Подход к решению такой задачи представлен в работах Л. М. Зубова, А. Либаи и Дж. Г. Симмондса. Он основан на разложении решения на деформацию поперечных сечений и поворот сечений относительно друг друга на некоторый угол.

Использование такого полуобратного подхода позволяет свести задачу статики оболочки к системе обыкновенных дифференциальных уравений.

Полученная краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений является существенно нелинейной. Ее решение осуществляется численным методом пристрелки, на каждом шаге которого интегрирование задачи Коши производится методом Рунге-Кутты с контролем погрешности на шаге.

Численные результаты получены для кривой трубы кругового поперечного сечения радиуса r0 с кривизной центральной оси = 0.1. В качестве модели материала выбрана модель несжимаемого неогуковского материала с постоянной µ.

Вместо пары параметров деформированной конфигурации {p, M } примем пару {p, B}, где B параметр кривизны деформированной трубки. В этом случае изгибающий момент M, действующий по торцам трубки, вычисляется из решения задачи.

Из условий подобия можно получить семейство безразмерных параметров, для которых решение обезразмеренной задачи не зависит от r0, µ и h. Для определяющих параметров задачи безразмерные величины представляются в виде На основе полученных численных данных предлагается прибиженная формула расчета величины изгибающего момента как функции внутреннего давления и кривизны деформированной трубы.

Данное исследование поддержано Президентом Российской Федерации (грант МК-439.2011.1), Министерством образования и науки Российской Федерации (федеральная целевая программа Научные и научно-педагогические кадры инновационной России 2009–2013 годы, госконтракт П596) и Российским фондом фундаментальных исследований (грант 1-08-01152-а).

Равновесие оболочки вращения, радиально растягиваемой по краю Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет В данной работе рассматривается задача о равновесии высокоэластичной тонкостенной оболочки вращения, нагруженной радиальным краевым усилием по одному из краев. Материал оболочки считается изотропным и несжимаемым.

Решение задачи отыскивается в рамках нелинейной теории безмоментных оболочек.

В случае осесимметричной деформации безмоментной оболочки вращения под действием равномерного краевого радиального растяжения из уравнений равновесия можно показать, что часть оболочки в текущей конфигурации становится плоским кольцом, оставшаяся часть оболочки не деформируется. При приложении достаточных усилий возможно расплющивание всей оболочки только за счет радиальных усилий.

В работе уравнения равновесия получены для произвольной оболочки вращения из произвольного изотропного несжимаемого материала. В общем виде уравнения равновесия имеют первый интеграл. Таким образом, задача равновесия оболочки вращения под действием радиальной нагрузки сводится к решению одного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Задача статики формулируется для двух видов граничных условий. В первом случае считается заданным перемещение края оболочки, во втором случае задается внешнее краевое усилие.

В случае цилиндрической оболочки, изготовленной из материала Бартенева– Хазановича или Черныха, решение можно получить в аналитическом виде в эйлеровых координатах.

Для рассматриваемых материалов получено, что существует ограничение на величину радиального растяжения. Для материала Бартенева–Хазановича предельная величина кратности удлинений зависит от длины оболочки и имеет минимальное значение, равное трем. Для двухконстантного материала Черныха предельная величина кратности удлинений зависит от начальной длины оболочки и одного параметра материала. Предельная величина кратности удлинений более или равна трем.

Рассматриваемые материалы применяются для описания некоторых резин в пределах двух-трех кратного растяжения. Таким образом, пределы применимости данных моделей лежат внутри полученных ограничений.

Данное исследование поддержано Президентом Российской Федерации (грант МК-439.2011.1), Министерством образования и науки Российской Федерации (федеральная целевая программа Научные и научно-педагогические кадры инновационной России 2009–2013 годы, госконтракт П596) и Российским фондом фундаментальных исследований (грант 1-08-01152-а).

Термоупругая задача о взаимодействии тормозной колодки и Ростов-на-Дону, Ростовский гос. университет путей сообщения Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Ростов-на-Дону, НИИ механики и прикл. математики им. Воровича И. И.

Методом конечных элементов (МКЭ) исследуется плоская термоупругая контактная задача, моделирующая взаимодействие тормозной колодки и железнодорожного колеса. Построена КЭ модель, содержащая в своем составе не только колесо и тормозную колодку, но и некоторые основные части тормозной рычажной передачи, прижимающей тормозную колодку к поверхности колеса. Сюда относится тормозной башмак и рычаг, взаимодействующий через специальную втулку с тормозным башмаком. Такая модель содержит несколько контактных поверхностей, через которые передаются усилия и тепловые потоки. Задано вращение колеса по достаточно произвольному закону как функция времени, на всех границах колеса и тормозной рычажной передаче вне областей контакта заданы условия отсутствия внешних усилий и свободный теплообмен с окружающей средой. В зоне контакта колодки и колеса задано Кулоновское трение, возбуждающее температруные поля во всей системе. Для описания данной системы тел используются уравнения связанной термоупругости. Также на систему наложены некоторые кинематические условия, состоящие в задании закона вращения колеса и в блокировке определенных направлений перемещения тормозной рычажной передачи.

Задача решалась с помощью КЭ пакета ANSYS 11. Для КЭ модели был использован восьмиузловой элемент PLANE223, контактные поверхности задавались с помощью элементов CONTA172 и TARGET169. Особое внимание было обращено на задание ключевых опций элемента CONTA172. На контактных поверхностях был задан контакт с трением, а сетка строилась канонической и сгущалась. К центру колеса сетка делалась крупнее, так как термоупругие поля в этой зоне не представляют большого интереса. Для оптимизации разбиения были использованы различные встроенные методы. Размеры элементов на противоположных поверхностях в контактной паре были выбраны одинаковыми для корректного решения задачи.

Для моделирования процесса трения был выбран FULL TRANSIENT анализ с таким разбиением по времени, чтобы за один шаг колесо поворачивалось примерно на один градус. Учитывая нелинейность задачи, для решения был использован несиметричный решатель.

Были проведены расчеты НДС и температурных полей в моделируемой системе при различных режимах вращения колеса и различных физико-механических параметрах задачи.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 11-08-00909, 11-08-12087-офи-м-2011).

Собственные колебания вращающейся многослойной идеальной Донецк, Донецкий национальный университет Под действием центробежных и гравитационных сил в однородной вращающейся жидкости может произойти стратификация, т. е. разделение жидкости на слои различной плотности. Это приводит к изменению частотного спектра механической системы и ее параметров (моментов инерции, положения центра масс и т. п.). Так, если вращение твердого тела с однородной жидкостью до стратификации было устойчивым, то после стратификации может стать неустойчивым.