«Ростов-на-Дону Издательство Южного федерального университета 2012 ББК В2.Я 431 Редакторы: А. О. Ватульян, М. И. Карякин Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов VII ...»

Рассмотрена задача о свободных колебаниях равномерно вращающейся с угловой скоростью 0 многослойной идеальной тяжелой жидкости, частично или полностью заполняющей произвольную полость. Задача нахождения спектра частот колебаний вращающейся m-слойной жидкости сведена к решению краевой задачи на собственные значения, которая может решаться аналитически или численно. Для осесимметричной полости происходит отделение круговой координаты и решение краевой задачи ищется в виде ink = in0 (r, z, k 2 ) exp(ik) (i = 1, m; k = 0, ±1, ±2,...; n = 1, 2, 3,...), где функции in0 (r, z, k 2 ) являются вещественными, а собственные числа n = 20 /n (n собственные частоты колебаний многослойной жидкости) обладают свойством нечетности n (k) = n (k). Значениям k < 0 отвечают прямые волны, бегущие в сторону вращения, k > 0 обратные волны, а k = 0 стоячие волны.

Показано, что спектр собственных колебаний вращающейся m-слойной жидкости состоит из m наборов собственных частот колебаний, отвечающих колебаниям свободной поверхности и m 1 внутренних поверхностей. Спектр каждого набора счетен, имеет единственную предельную точку на бесконечности.

Поверхностные волны сосредоточены на свободной и внутренних поверхностях, что объясняется действием центробежных и гравитационных сил, и экспоненциально затухают при удалении от этих поверхностей вглубь каждой из жидкостей.

Из-за наличия вращения к этому набору добавляются m наборов собственных частот колебаний инерционных волн, отвечающих внутренним волнам.

Получены точные решения краевой задачи для коаксиальной цилиндрической полости в случае быстрого и медленного вращений. Показано, что стратификация приводит к уменьшению собственных частот, т. е. при постоянной массе жидкости собственные частоты колебаний многослойной жидкости меньше собственных колебаний однородной жидкости. Отмечается большая аналогия между появлением свободной поверхности в однородной жидкости, полностью заполняющей полость, и явлением стратификации (появлением внутренних поверхностей). Так, например, если в однородной жидкости произошла стратификация с малым радиусом внутренней поверхности, то это приводит к возникновению предельной частоты 20 /(1 + 2 1 ) (i плотность i-й жидкости).

В случае появления свободной поверхности в однородной жидкости (1 = 0) из последней формулы следует известный результат: 20 /(1 + 2).

О колебаниях вязкоупругого слоя, лежащего на жестком основании Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Владикавказ, Южный математический институт Кожа человека является одним из важнейших естественных живых барьеров человека от внешних агрессивных воздействий. Это во многом определяет огромный интерес ученых при составлении математической модели, описывающей свойства кожного покрова. По своей структуре кожный покров представляет собой многослойный композит, свойства которого меняются по толщине. В настоящее время существует много работ, посвященных исследованию механического поведения кожного покрова. Имеются работы по определению свойств кожной ткани при использовании линейных или нелинейных моделей. В основном задачи идентификации свойств сводятся к определению постоянных характеристик, задача определения неоднородных свойств несколько усложняется. Данные, на основе которых происходит восстановление свойств, как правило, получаются из простейших экспериментов на растяжение-сжатие кусочка биоткани, взятой у трупного материала, и естественно предположить, что при таком подходе могут быть получены лишь приближенные значения характеристик. В связи с этим возникает одна из основных задач биомеханики, определение свойств живых тканей методами in vivo. Для решения подобных практических задач необходимо иметь эффективные методики решения прямых задач о распространении волновых полей от источников, расположенных на поверхности кожного покрова, а также уметь анализировать полученные при этом поверхностные волновые поля.

Математическая модель кожи человека при малых деформациях с учетом характерного реологического поведения может быть описана простейшими моделями вязкоупругости. В самом первом приближении можно применять линейную изотропную теорию вязкоупругости. В данной работе исследована модельная задача о колебаниях вязкоупругого изотропного слоя, лежащего на жестком основании, в случае плоской деформации. Решение задачи в рамках принципа соответствия и концепции комплексных модулей сведено к решению подобной задачи теории упругости. Числовые значения характеристик материала взяты из работы Федорова А. Е. Построены волновые поля смещений. Проведен анализ полученных полей смещений на верхней границе слоя, оценено влияния вязкоупругих свойств на поля перемещений в ближней зоне, осуществлено сравнение с упругими материалами в предельных случаях.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 10-01-00194-а), ФЦП Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009–2013 годы (госконтракт П596).

Неопределенность значений искомых локально-неоднородной Ростов-на-Дону, Донской государственный технический университет Методы статистической механики практически не применяются в условиях бифуркации решений. Одной из причин этого является то, что феноменологические переменные в таком случае вводятся как средние решения уравнения Лиувилля. Другое направление исследований основано на решении уравнения Больцмана, но оно также включает указанный процесс осреднения. Однако известно, что в окрестностях точек бифуркации те или иные возмущения могут качественно изменить свойства искомых. Автором предложен метод частичного осреднения конвективного течения вязкой жидкости в окрестности минимальной точки ветвления. Физическая интерпретация идеи заключается в том, что механические свойства жидкости (плотность, теплоемкость дифференциального элемента, его коэффициент объемного расширения) представляются специальными последовательностями в каждой точке области изменения независимых переменных. Вывод уравнений предполагает использование n топологически неотделимых копий для области течения. Последовательность уравнений движения включают процедуру осреднения в ускорениях и в конвективном переносе энергии. Но в модели автора эта схема параметризуема, что позволяет рассмотреть закономерности в осреднении.

Кроме традиционных для гидродинамики чисел (Грасгофа или Прандтля) предложенные уравнения содержат O(n2 ) других переменных, допускающих вероятностную интерпретацию. При n = 1 исследуемая задача переходит в систему Буссинеска. Численный анализ полученных уравнений показал, что для течения в вертикальной полосе число Прандтля задает решение лишь при <. Если (, + ), 0 < 1, то необходимо указать и другие параметры, имеющие вероятностный смысл. Это свойство позволяет рассматривать проблему воспроизведения результатов физического эксперимента в статистической постановке. Такой подход эффективен, когда требуется для реализации физического эксперимента разделить параметры на те, возмущение которых влияет на критические числа, и другие, таким свойством не обладающих. Проблема здесь заключается в том, что возмущение параметров из первой группы может изменить заключение относительно второй группы.

Асимптотический анализ уравнений Навье-Стокса Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет ограниченная область евклидова пространства R3 с C 3 -гладкой границей ; произвольное положительное число. В бесконечном цилиндре Q R рассмотрим задачу о 2 1 -периодических по t решениях системы где большой параметр. Будем предполагать, что вектор-функции aj (v, x, ), b(v, x, ) и c(v, x, ) со значениями в R3 имеют следующую структуру:

u u0 CR (Sp0 ) и при этом справедливо равенство Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 12-01-00402).

Компромиссный подход к оптимальному проектированию В условиях перехода к реализации основных образовательных программ (ООП) высшего профессионального образования (ВПО) на базе ФГОС-3 возникает необходимость разработки новых подходов к проектированию учебных планов специальностей и направлений подготовки, а также содержания отдельных дисциплин. При этом предусматривается обязательное участие на этапе проектирования структуры и содержания ООП работодателей, их привлечение к реализации ООП с целью формирования необходимых корректирующих и управляющих воздействий.

Рассматривается следующая задача проектирования структуры ООП в ее вариативной части. Пусть в результате экспертных оценок определен набор дисциплин D1, D2,..., Dn, которые могут быть включены в учебный план с учетом имеющейся материально-технической базы и кадровых ресурсов вуза, а также оценок ООП ведущих российских и зарубежных университетов. Предположим, что выступающие в качестве кандидатов на включение в учебный процесс дисциплины Di по их общему числу и суммарному времени, необходимому для реализации T, превышают ресурсы, нормативно установленные ФГОС-3. Для выбора из множества {Di } дисциплин, освоение которых в наибольшей степени обеспечивает формирование востребованных работодателями компетенций, поступим следующим образом.

Установим m видов профессиональной деятельности выпускников, которыми они наиболее часто занимаются после завершения обучения в вузе. Пусть по каждому направлению деятельности имеется квалифицированные специалисты, способные выступить в качестве экспертов для оценки целесообразности включения в учебный план представленных им на рассмотрение дисциплин Di, i = 1, 2,..., n. Эксперты для каждого j-го направления деятельности должны ответить на следующие вопросы:

• следует включать или не включать i-ю дисциплину в учебный план;

• указать, с какой степенью надежности решение о включении дисциплины ими принимается;

• оценить степень влияния i-й дисциплины на формирование востребованных компетенций в j-м направлении деятельности;

• определить, в какой степени решение об исключении Di отрицательно скажется на подготовке специалистов.

Выполненные таким образом экспертные оценки позволяют задать платежную функцию в матричной игре 2 n. После решения этой игры формулируется двухкритериальная задача дискретной оптимизации с булевыми переменными.

В результате решения этой задачи определяется оптимальная компромиссная структура ООП.

Конечно-элементное моделирование пьезокомпозита регулярной Лупейко Т. Г., Насонова Д. В., Соловьев А. Н.

Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Ростов-на-Дону, Донской государственный технический университет Пьезокомпозиты с регулярной структурой, благодаря высокой акустической отдаче, пониженными поперечному пьезомодулю и акустическому импедансу, а также ряду других специфичных характеристик перспективны в качестве ультразвуковых излучателей для дефектоскопии, аппаратов медицинской УЗИдиагностики и ряда других применений. Свойства композитов этого класса зависят от природы их пьезоэлектрической и органической фаз, технологии и целого ряда размерных характеристик. В связи с этим выяснение возможностей и оптимизация свойств этих пьезокомпозитов является достаточно сложной для экспериментального исследования многофакторной задачей, которая, несмотря на большой интерес к этим материалам и их практическую значимость, еще далеко не решена.

Нами предпринято исследование, в котором сочетаются и взаимно дополняются математическое моделирование и экспериментальное тестирование композитов из пьезоэлектрической и органической фаз с регулярной структурой, отвечающей связности 1-3 и 1-3-2. При этом решены следующие задачи:

• разработана параметрическая конечно-элементная математическая модель пьезокомпозитов этого класса для пакета ANSYS;

• разработаны технологии, позволившие получить новые двухфазные пьезокомпозиты с регулярной структурой и отработаны методики оптимизации их свойств путем взаимодополняющего математического моделирования и экспериментального тестирования;

• установлено влияние на свойства композитов со связностью 1-3 и 1-3-2 природы пьезоэлектрической и органической фаз, а также размерных характеристик их структурных составляющих, в том числе влияние поперечного сечения пьезоэлектрических элементов в диапазоне размеров от 0, В результате получена общая картина изменения резонансных частот и акустической активности пьезокомпозитов этого класса в зависимости от комплекса технологических и размерных факторов.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (гранты № 10-08-01296-а, 10-01-00194-а, 10-08-00093-а, 12-08-91165-ГФЕН_а).

Визуализация решений нелинейных уравнений Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет В среде Delphi создан комплекс графических программ для исследования уравнений и систем, применяемых в физике и биологии: уравнения Дюффинга, уравнения нелинейного осциллятора, уравнений реакции-диффузии (Фишера, ФитцХью-Нагумо), солитонных уравнений (Кортевега-де-Фриза, синусГордона). Для визуализации решений в программах предусмотрено одно или несколько графических окон, в которых изображаются фазовые портреты, графики зависимости параметров друг от друга, а также демонстрируются анимации различных физических процессов: колебания маятника, перемещение точек в фазовом потоке, процесс диффузии, движение бегущих волн. Кроме того, имеются окна для вывода числовых результатов, в которые записываются такие характеристики решаемой задачи, как собственные значения, координаты собственных векторов, период колебаний, значение энергии, координаты положений равновесия и др.

Разработан удобный интерфейс, позволяющий при непрерывном изменении параметров наблюдать автоматическое перестроение фазового портрета и пересчет всех числовых параметров, что позволяет изучать взаимосвязь между числовыми параметрами и видом фазового портрета. Выбор начальных значений реализован с помощью графического интерфейса: точка, соответствующая начальному положению, выбирается на изображении фазового портрета, а от нее автоматически строится кривая, соответствующая решению. Строятся графики зависимости координат от времени. Для изображения фазового потока реализована анимация движения случайного набора точек на фазовом портрете.

Для визуализации решений уравнений в частных производных создана анимация изменения начальной функции в режиме реального времени. Графический интерфейс позволяет также выбрать начальную функцию и краевые условия.

Программы комплекса могут иметь следующие применения:

• изучение свойств решений обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью построения их фазовых портретов;

• наглядная интерпретация фазового потока;

• аналитическое исследование и компьютерное моделирование перестройки фазового портрета при изменении параметров системы;

• визуализация механических движений маятника, соответствующих различным фазовым кривым;

• компьютерное моделирование биомеханических процессов, описываемых уравнениями реакции-диффузии, изучение взаимосвязи уравнений реакции и уравнений реакции-диффузии.

Результаты, получаемые при использовании комплекса, могут быть применены не только для решения дифференциальных уравнений и систем, но и для вычислительных экспериментов.

О влиянии параметров среды Коссера на поведение упругого цилиндра Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Модели механики сплошных сред, основанные на гипотезе о кинематической независимости полей перемещений и поворотов, введены в употребление братьями Коссера более ста лет назад. Новая волна интереса к ним связана, прежде всего, с потребностями наномеханики в моделях упругого поведения объектов, учитывающих структуру материала. Модели, способные учесть микроструктуру тканей в рамках континуального описания, востребованы и во многих разделах биомеханики. Основная проблема, затрудняющая широкое использование моделей микрополярных сред, связана с определением их материальных параметров. Ее решение требует, в частности, определения круга задач, для которых влияние этих параметров является не просто количественно значительным, но и качественно существенным.

В настоящей работе дано несколько постановок задач о деформировании нелинейно-упругого цилиндра, различающихся вариантами полуобратного представления деформации и функциями удельной потенциальной энергии среды Коссера. Причиной напряженно-деформированного состояния цилиндра могут быть как внешние воздействия (растяжение, кручение), так и внутренние дефекты дислокация или дисклинация на оси цилиндра. Во всех случаях полуобратное представление содержало две подлежащие определению функции (радиальное смещение точки цилиндра и угол микроповорота частиц тела), зависящие только от одного скалярного параметра радиуса точки в недеформированном состоянии. В случае моделей, основанных на гипотезе внутренних связей, основными примерами которых являются несжимаемые среды и среды Коссера со стесненным вращением, эти функции находились из условия несжимаемости и условия совпадения микроповоротов среды с поворотами вследствие упругой деформации, соответственно. При этом все дополнительные величины, например, функция давления, также считались функциями одной переменной. Таким образом, во всех случаях изучение проблемы сводилось к анализу системы двух, вообще говоря, нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого или второго порядка.

Цель работы состояла в определении таких воздействий на цилиндр, которые приводят к напряженно-деформированным состояниям, существенно различным в классической теории упругости и теории, учитывающей моментные напряжения. В ряде случаев, например, в задаче о влиянии моментных напряжений на эффект Пойнтинга при кручении, определены модели и диапазоны изменения их материальных параметров, когда величина удлинения цилиндра, вычисляемая на основе двух подходов, отличается более чем на 20%. Для задачи о равновесии цилиндра с клиновой дисклинацией удалось построить модель несжимаемого нелинейно-упругого псевдоконтинуума Коссера, для которого образование дисклинации сопровождается макрозакручиванием цилиндра эффектом, отсутствующим в классической нелинейной теории упругости.

Исследования нелинейного напряженно-деформированного состояния выпуклой оболочки вращения и устойчивости цилиндрической Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Представленная работа состоит из двух частей.

Первая часть посвящена описанию результатов исследований различных полевых характеристик напряженно–деформированного состояния (НДС) выпуклых оболочек вращения с различными типами закрепления торцов (жесткая заделка, шарнирное опирание), подверженных действию внешнего гидростатического давления. Исследования проводились в рамках нелинейных двумерных уравнений теории оболочек, основанных на гипотезах Киргофа–Лява и для различных форм образующих. Для численного анализа уравнения в гаусcовых координатах были преобразованы к цилиндрическим координатам z,. При расчетах использовался метод пристрелки. Одновременно были проведены расчеты НДС в рамках линейной теории, что позволило установить область ее применимости для выбранных форм меридианов. Эти исследования были проведены в широком диапазоне параметров оболочки (длины, толщины и параметров, характеризующих форму срединной поверхности).

Вторая часть посвящена исследованию устойчивости цилиндрической оболочки под действием внешнего гидростатического давления с фиксированными геометрическими и механическими параметрами в условиях жесткой заделки торцов.

Для исследования устойчивости исходная система трех нелинейных уравнений равновесия линеаризовывалась около двух состояний: а) линейного безмоментного напряженно-деформированного состояния; б) нелинейного осесимметричного состояния равновесия. Нетривиальные решения этой системы отыскивались в классе периодических форм, пропорциональных cos, sin. После преобразований задача сводилась к нахождению нетривиальных решений системы восьми обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, содержащий спектральный параметр (обезразмеренное давление). Исследования проводились на основе специального алгоритма, в основе которого лежит метод, сводящий построение решения краевой задачи к решению серии задач Коши со свободными параметрами, определение которых в конечном итоге сводится к алгебраической системе, коэффициенты которой содержат спектральный параметр. Определитель матрицы системы, по сути является характеристическим уравнением, корни которого определяют критические значения давления.

При этом разработанный алгоритм легко позволяет определить формы потери устойчивости, отвечающие критическим значениям параметра.

Проведенная серия расчетов:

1) позволила определить точки сгущения спектра критических давлений для оболочки с выбранными параметрами;

2) для двух типов линеаризаций показала высокую близость значений критических давлений.

Конечно-элементное моделирование мочевыводящей системы Саратов, Саратовский государственный университет В данной работе было проведено конечно-элементное моделирование, которое включает в себя анализ напряжено-деформированного состояния тканей мочевыводящей системы, гемодинамику почечных артерий и перемещение тканей под воздействием внешних сил. В ходе исследования были промоделированы гемодинамика почечной артерии и влияние швов на ткани почки при резекции.

Резекция органосохраняющая хирургическая операция, при которой удаляется пораженная часть органа, а сохраненные части сближаются и ушиваются вплотную. При операциях на почках применяют в основном два вида резекции:

клиновидную и плоскостную. При клиновидной резекции паренхиму клиновидно иссекают в пределах здоровых тканей, почечную лоханку и крупные сосуды не нарушают, сближают края и прошивают, захватывая фиброзную капсулу почки. Плоскостная резекция применяется при необходимости резецировать большой участок почки, при этом отсекаются артерии и вскрывается почечная лоханка. Следовательно, возникает необходимость тщательной перевязки каждого пересеченного сосуда и вскрытой почечной лоханки. На резецированную область накладывают жировую ткань и ушивают фиброзную капсулу.

Для описанного вида операций возможны негативные последствия: рецидив кровотечения и некроз паренхимы. Для предотвращения рецидива кровообращения необходимо изучить гемодинамику почечной артерии. В ходе данной работы была решена задача о течении крови в почечной артерии. Были определены перемещения свободной части артерии (участок от выхода из брюшного отдела аорты до вхождения артерии в почку) и зоны возможного образования атеросклероза.

В местах разветвления почечной артерии наблюдаются области с завихряющимися потоками, в этих же областях наблюдается низкое значение касательного напряжения, что говорит о большой вероятности появления атеросклероза в этих местах.

Для предотвращения некроза паренхимы почки необходимо изучить влияние швов на ткани почки. Конечно-элементный анализ предоставляет возможность исследования воздействий различных видов швов на ткани почки при изменяющейся силе затягивания. Результаты позволяют определить эффективность применения того или иного вида шва и тем самым помочь сделать выбор хирургу во время операции. Было проведено конечно-элементное моделирование влияния швов на ткани почки. Исследовались следующие типы швов: П-образный и двойной. Моделировалась небольшая область паренхимы (данные модуля Юнга были получены ранее, E = 0, 1 МПа) в контакте с нитью. В результате расчетов были получены области напряжено-деформированного состояния ткани почки вокруг области воздействия нити и перемещения тканей под нитью. Например, при затягивании П-образного шва с силой 0,8 Н нить вдавливается в ткань на 4–6 мм.

Рост газового пузыря в межзеренной пленке стеклофазы при спекании Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Известно, что при спекании керамики в жидкой фазе (стеклофаза), заполняющей пространство между крупинками порошка при высокой температуре, образуются несплошности (пузырьки). После остывания спеченого образца в межзеренных прослойках стеклофазы остаются поры, которые являются концентраторами напряжения и определяют прочность керамических образцов. Обычно стеклофаза образует межзеренную пленку толщиной h < 10 нм, в которой критический размер пузырька rc > h превышает данный размер. По этой причине пузырек всегда образуется на границе кристаллит–стеклофаза и подчиняется соответствующим условиям зарождения. Дальнейшее исследование условий зарождения несплошностей обусловлены соотношением: 1) кинетики проникания примесей, снижающих адгезионную прочность границы стеклофаза–кристаллит;

2) скоростью удаления соседних кристаллитов друг от друга.

Для определения условий образования пузырьков в стеклофазе важна оценка кинетики насыщения газом слоя стеклофазы в процессе спекания керамики до величины концентрации растворенного газа c, которая заметно влияет на условие зарождения пузырьков. В связи с этим рассмотрен процесс газонасыщения стеклофазы. Стеклофаза описывается как слой вязкой жидкости переменной толщины (t), меняющейся за счет расхождения пары зерен перпендикулярно слою.

Рассмотрен процесс газонасыщения стеклофазы, который обусловлен сорбцией газовой фазы на поверхности мениска слоя стеклофазы, растворение газа внутрь слоя, переносу которого помогают растягивающие напряжения в стеклофазе и стеканию растворенного газа в полость пузырька. Постановка задачи предполагает квазиравновесие системы газ–вязкая жидкость в процессе изменения уширения слоя стеклофазы. В расчете учтена зависимость поверхностной энергии пузырька и менисков стеклофазы от концентрации растворенного газа.

Расчеты показали, что при выбранном предположении о медленном изменения формы слоя стеклофазы и его постоянной температуре выполняются условия зарождения и роста газового пузырька. Давление газа в нанопузырьке в центральной части слоя помогает преодолеть Лапласово давление, препятствующее росту пузырька. Важным обстоятельством, влияющим на полученные выводы, является снижение величины поверхностной энергии внешнего мениска и поверхности пузырька. Расчеты выполнялись с помощью метода конечных элементов, значения постоянных задачи соответствуют стеклорасплаву B2 O3.

Натурное моделирование и интерпретация локомоций Пермь, Пермский государственный университет Изучение локомоций позволяет глубже понять механику движения живых существ, а также оптимизировать работу искусственных самодвижущихся систем.

В последнее время эта тема получает все большее распространение в связи с автоматизацией производства и внедрением техники в различные сферы жизни.

Целью работы является натурное моделирование поворотных и поступательных локомоций. Для экономии времени в качестве универсального объекта использовался человек, способный реализовать заданную программу движения. Каждый тип плоского движения был сведен к квазистатическому и разбит на фазы. Для упрощения движения были ограничены степени свободы исследуемого объекта.

Была проведена цифровая фотосъемка экспериментов. Для определения формы тела и его положения относительно лабораторной системы координат на теле модели были размещены контрастные маркеры, положение которых определялось с применением методов компьютерного видения.

Современные методы описания движений открытых и закрытых многозвенных систем используют классический подход находится лагранжан модели, после чего составляется система дифференциальных уравнений (Вестервельт, Гриззл, Ахмади, Бюлер и пр.). Эта система сильно усложняется при введении ограничений на исследуемую модель (например, запрет на самопересечение звеньев, изменение параметров окружающей среды, появление соударений, изменение характера движений и т. п.). Очень часто такие системы могут быть решены только численно, а оптимизация может занимать достаточно много времени. Нами предлагается подход к описанию движения неточечных объектов, основанный на применении калибровочной теории.

С точки зрения калибровочной теории (Вильчек) было рассмотрено изменение ориентации тела в результате цикла деформаций, то есть замкнутого пути в пространстве формы дела, найдены параметры движения. Система была представлена трехстержневой моделью, проходящей по квадратному пути в пространстве форм. Для описания поступательного движения тела, способного изменять свою форму, был использован метод присоединенной массы. Для анализа движений рассматривались траектории тела в пространстве параметров. По данным измерений вычислялся калибровочный потенциал. Было подтверждено основное соотношение калибровочной теории, согласно которому площадь, ограниченная замкнутой траекторией, пропорциональна угловому или поступательному перемещению тела как целого. В дальнейшем планируется тем же методом исследовать различные варианты плавательных локомоций.

Математическое моделирование в подготовке магистров Краснодар, Кубанский государственный университет Магистратура в области компьютерных наук предполагает подготовку исследователей, обладающих обширными знаниями ряда разделов математики, умения строить и анализировать математические модели как вычислительных и программных систем, так и предметных областей информационных систем.

Модели вычислительных систем (аппаратного обеспечения) используют методы теории массового обслуживания (теории очередей) для оценки производительности ЭВМ на стадии проектирования, теорию процессов восстановления для прогнозирования отказоустойчивости, статистические методы для оценки производительности в процессе эксплуатации.

Модели программного обеспечения очень разнообразны, в качестве основы используют алгебраические конструкции и те области, которые традиционно относятся к дискретной математике: теории графов и гиперграфов, теорию кодирования, рекурсивные функции, комбинаторный анализ. В последнее время возник интерес к неклассическим логикам, применяемым для спецификации и верификации программного обеспечения. В области баз данных используются не только классические разделы алгебры, такие, как теория отношений, моноиды, но и универсальные алгебры, теория категорий. Понятия категорий, функторов, морфизмов, сыгравшие большую роль в построении алгебро-топологических методов, кажутся перспективными и для обобщений при построении моделей информационных систем и предметных областей.

В современных условиях широкого использования многопроцессорных вычислительных систем и компьютерных сетей большое значение приобретают математические модели взаимодействующих процессов. Это и теория Э. Хоара последовательных взаимодействующих процессов, в математическом плане строящаяся на базовых понятиях множествах и последовательностях, но использующая и результаты функционального анализа (теорему о неподвижной точке и др.), и Пи-исчисление Р. Милнора и его же теория биграфов и мобильных процессов, использующая и развивающая теорию категорий.

Информационные технологии предполагают взаимодействие людей и вычислительных систем и, следовательно, появление в моделировании таких понятий, как цели и ограничения. Перспективным здесь является использование деонтической логики, относящейся к классу модальных логик, и дополняющей классическую логику операторами долженствования, разрешенности и запрета.

Перечисленные математические модели составляют основу магистерской программы IT in SE, разрабатываемой на факультете компьютерных технологий и прикладной математики Кубанского государственного университета по проекту ICARUS развития международных программ магистратуры в южном регионе России.

Автор благодарит за поддержку Еврокомиссию (Proj. No: 516857-TEMPUS-1-2011-1-SE-TEMPUS-JPCR).

Кручение, растяжение и раздувание цилиндрической трубки с распределенными винтовыми дислокациями Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет С начала 90-х годов прошлого века, после изобретения графитовых нанотрубок, начался активный рост исследований в этой сфере. В перспективе область применения подобных трубок весьма широка: от нейрокомпьютеров и медицины до создания сверхпрочных нитей и композитных материалов. Однако при современном уровне технологий невозможно получение идеальных нанотрубок, не содержащих внутренних дефектов, таких, как дислокации и дисклинации.

В связи с этим существует необходимость моделирования таких нанотрубок с помощью нелинейной теории оболочек для изучения влияния дефектов на их упругие свойства. В докладе изучается напряженное состояние и нелинейные деформационные характеристики упругой цилиндрической оболочки, содержащей распределенные винтовые дислокации, при кручении, раздувании и осевом растяжении-сжатии. Материал оболочки описывается моделью высокоэластичного неогуковского тела. При решении задачи используется нелинейная теория, предложенная в работе Л. М. Зубова Большие деформации упругих оболочек с распределенными дислокациями // Доклады Академии наук. 2012. Т. 444. № 6.

В рамках данной теории в качестве неизвестных параметров, характеризующих напряженно-деформированное состояние тела, принимаются компоненты тензора дисторсии. Для нахождения этих параметров используются уравнение несовместности и уравнения равновесия в усилиях и моментах. Параметрами рассматриваемой задачи являются осевое удлинение, угол закручивания, диаметр и толщина трубки, а также плотность винтовых дислокаций. Будем считать, что толщина трубки весьма мала, тогда ее изгибной жесткостью можно пренебречь и использовать нелинейную мембранную теорию оболочек. При условии изотропности материала оболочки исходная система уравнений сводится к системе нелинейных алгебраических уравнений. При помощи численных методов получены решения данной системы уравнений для различных значений входных параметров. Было исследовано влияние дислокаций на эффект Пойнтинга при кручении цилиндрической трубки. Установлено, что наличие винтовых дислокаций снижает эффект Пойнтинга: при неизменном угле закручивания удлинение оболочки в продольном направлении будет тем меньше, чем больше плотность дислокаций.

Также показано, что наличие дислокаций снижает сопротивление трубки действию крутящего момента и внутреннего гидростатического давления: с ростом плотности дислокаций уменьшаются значения крутящего момента и внутреннего давления, при которых достигаются заданные значения деформационных характеристик. В докладе приводятся полученные на основе численных расчетов нелинейные зависимости крутящего момента от угла закручивания, продольной силы от осевого удлинения и другие деформационные характеристики упругой оболочки с распределенными дислокациями.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 12-01-00038).

Некоторые задачи устойчивости нелинейно упругих оболочек вращения Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Основной целью представляемой работы является разработка эффективной вычислительной схемы анализа равновесия и устойчивости осесимметричных оболочечных конструкций, в том числе имеющих неканоническую геометрию, при полном учете физической и геометрической нелинейности. Актуальность исследования связана, прежде всего, с расширяющимся кругом моделей, используемых для описания свойств высокоэластичных мембран, используемых в целом ряде технологических процессов, а также для моделирования некоторых биологических объектов и систем. Кроме того, описание поведения мембран из традиционных конструкционных материалов, используемых в приборах точной механики, например, в высокоточных датчиках давления, основывается, как правило, на нелинейных моделях, при этом учет физической нелинейности также является количественно важным.

В работе рассмотрены два типа оболочечных конструкций. К первому относятся гофрированные мембраны, представляющие собой конструкции сферического типа с достаточно произвольным профилем меридиана. Второй тип представляют мембраны цилиндрического типа с возможной гофрировкой в направлении осевой координаты. И те, и другие мембраны относятся к оболочкам вращения, однако системы разрешающих уравнений для них получены различными способами. В первом случае использован факт однозначного проектирования срединной поверхности мембраны на круговую область в плоскости, во втором случае в качестве базовой использовалась цилиндрическая поверхность.

Полученные уравнения являются существенно нелинейными. Следует отметить, что не только численный анализ, но сам вывод этих уравнений представляет собой чрезвычайно трудоемкую задачу. Именно поэтому основные этапы генерирования уравнений, а также их подготовки к вычислительному анализу, были реализованы в среде аналитических вычислений Maple. Разработанная программа позволяет, в частности, достаточно просто переходить от одной модели нелинейно упругого поведения материала оболочки к другой путем простой замены выражения функции удельной потенциальной энергии деформации.

Нелинейные уравнения равновесия исследованы в осесимметричном случае, когда для их анализа требуется решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты моделирования в отдельных специальных случаях сравнивались с решением аналогичных задач трехмерной нелинейной теории упругости.

Для исследования устойчивости построенных решений использован бифуркационный подход, при котором критическими считаются такие значения параметра нагружения, при которых линеаризованная в окрестности некоторого решения изначально нелинейная краевая задача имеет нетривиальное решение. Процесс линеаризации уравнений равновесия также был реализован в среде Maple.

Моделирование пьезоэлектрических излучателей для биомедицинских Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет В докладе отражены особенности математического и компьютерного конечноэлементного моделирования пьезоэлектрических преобразователей для ряда медицинских применений.

Отмечается перспективность использования пористой пьезокерамики в качестве активных элементов, генерирующих сильный ультразвук в биологических тканях. Эффективность пористой пьезокерамики здесь определяется ее высокой объемной пьезочувствительностью в широкой полосе частот и более низким импедансом по сравнению с плотной пьезокерамикой. При этом указанные эффекты усиливаются при повышении степени пористости керамики. В то же время, важнейшие толщинные характеристики (пьезомодуль d33, коэффициенты электромеханической связи kt, k33 ) для ряда пористых пьезоэлектрических композиций практически не зависят от пористости, а соответствующие продольные величины (d31, kp, k31 ) быстро убывают с ростом пористости. Некоторым препятствием для ряда применений пористой пьезокерамики является ее низкая прочность, что приводит к мысли об использовании пьезокомпозитов с упрочняющими фазами. Для моделирования таких композитов можно использовать методы многомасштабного анализа: на микроуровне вычисление эффективных модулей мелкодисперсных фаз; на последующих уровнях расчеты макрокомпозитов с большими размерами различных фаз.

Для моделирования ультразвуковых акустических полей высокой интенсивности с малой фокальной областью исследовались сферические фокусирующие пьезоизлучатели, в том числе с многоэлектродными покрытиями. Здесь нужно отметить необходимость использования мелких конечно-элементных сеток;

элементных систем координат, связанных с неоднородностями поляризации; конечных элементов связи твердых деформируемых и жидких сред; неотражающих импедансных границ и т. д. Существенно, что при высокой интенсивности ультразвука существенную роль играют нелинейные эффекты и температурные поля. Тогда классические уравнения акустики перестают выполняться, и нужно использовать нелинейные уравнения акустики, учитывать диссипативные эффекты и связанность акустических и температурных полей.

При исследованиях температурных полей при ультразвуке использовались уравнения термоэлектроупругости различной связанности и задачи о диссипативном разогреве. В последних задачах расчеты выполняются итерационно: решается задача электроупругости об установившихся колебаниях; по найденному полю смещений вычисляется функция диссипации; решается задача теплопроводности с тепловыми источниками, обусловленными диссипацией энергии; пересчитываются модули электроупругих тел при новой температуре; и т. д.

Отметим, что описанные выше и другие приемы моделирования связанных задач термоэлектроупругости для составных сред могут быть эффективно осуществлены в пакете ANSYS с использованием командного макроязыка APDL.

Обратная задача реконструкции двухмерных неоднородных остаточных Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Задачи о колебаниях тел при наличии предварительного напряженного состояния давно изучаются учеными-исследователями разных стран. Поля предварительных напряжений часто возникают в твердых телах в процессах литья, прокатки, сварки, закалки, термообработки и других технологических операциях, а также могут появиться при жестком соединении разных материалов в контактной зоне. Предварительные напряжения также присутствуют во многих органических структурах в костной и мышечной тканях, стенках кровеносных сосудов; существенные поля предварительных напряжений появляются при росте и формировании новых тканей.

Такие задачи имеют приложения в строительстве, машиностроении, нефтегазовой отрасли, биомеханике, при моделировании технологических процессов при изготовлении сложных композитов и функционально градиентных материалов.

В настоящее время разработка и усовершенствование методов идентификации предварительных напряжений являются актуальной задачей механики деформируемого твердого тела.

Стоит отметить, что наиболее часто при моделировании предварительного напряженного состояния используется модель однородных начальных напряжений, причем при оценке его уровня достаточно измерения скоростей упругих волн. В то же время, в реальной жизни почти всегда предварительное напряженное состояние неоднородно в плане зависимости от координат. Одним из наиболее эффективных неразрушающих методов оценки неоднородного предварительного напряженного состояния является акустический метод.

В настоящей работе проведено теоретическое исследование возможности определения поля неоднородных плоских предварительных напряжений в тонких упругих изотропных пластинах, нагружаемых в режиме стационарных колебаний, с помощью неразрушающего акустического метода. Получены и исследованы численные решения прямых задач с помощью метода конечных элементов.

Сформулирована постановка обратной задачи об идентификации неоднородных двухмерных предварительных напряжений; при этом неизвестные компоненты предварительных напряжений выражены через функцию Эри, представленную в виде линейной комбинации бигармонических полиномов. На основе метода линеаризации обратная задача сведена к итерационному процессу, на каждом шаге которого решается прямая задача и плохо обусловленная система линейных алгебраических уравнений. Проведен ряд вычислительных экспериментов по восстановлению неоднородного плоского предварительного напряженного состояния в прямоугольной пластине.

Об обратной коэффициентной задаче для пороупругой слоистой среды Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Владикавказ, Южный математический институт В настоящее время исследования в области пороупругих сред приобрели большую популярность. Это связано с растущим интересом к новым материалам, таким, как пористая пьезокерамика, пористые структуры в живых организмах (костная ткань), водонасыщенные грунты. Отметим, что костная ткань для моделирования требует модели, состоящей как минимум из двух фаз; наиболее часто такая среда содержит две фазы. Различные процессы фильтрации жидкости в грунте под действием нестационарных нагрузок, их деформирование и осадка могут быть успешно описаны моделями пороупругости. Отметим две модели пороупругой среды: содержащую жидкую и газообразную фазу.

Изучением пороупругих сред ученые начали заниматься относительно недавно. Первые работы в данной области принадлежат М. А. Био. Модель Био сегодня является одной из наиболее популярных моделей для описания пороупругой среды. Основными неизвестными в ней являются векторы смещений твердой и жидкой фаз. В рамках этой модели уже выполнено множество исследований. В то же время достаточно популярна вторая модель, содержащая меньше переменных, в которой неизвестными являются компоненты вектора смещений твердой фазы и давление в порах.

В рамках этой модели в настоящей работе рассмотрена общая постановка задачи об установившихся колебаниях для пороупругого тела с неоднородными характеристиками. Сформулирована слабая постановка задачи и функционал типа Гамильтона, из стационарности которого следуют уравнения и граничные условия пороупругости. Путем введения соответствующих гипотез и упрощения функционала получены частные постановки прямых задач для пороупругих неоднородных стержней и слоистых структур. Решение прямых задач реализовано с помощью метода пристрелки. Сформулирована постановка обратной задачи по идентификации неоднородных упругих модулей материала для слоя.

Для решения обратной задачи использован акустический метод и сведение к итерационному процессу. В качестве дополнительной информации использованы данные о поле смещений на части границы области в конечном наборе частот колебаний. На основании принципа взаимности сформулированы операторные уравнения, связывающие заданные и неизвестные характеристики задач. Каждая итерация процесса решения обратной задачи состоит из решения прямой задачи и интегрального уравнения Фредгольма первого рода. Приведены численные результаты восстановления упругих модулей для задачи о колебаниях пороупругого слоя.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 10-01-00194-а), ФЦП Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009–2013 годы (госконтракт П596).

О некоторых одномерных обратных задачах термоупругости и Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Большой интерес многих ученых и инженеров в последнее время вызывают задачи механики связанных полей, в том числе исследование моделей неоднородной изотропной связанной термоупругости и пороупругости. В работе предложен подход по восстановлению одномерных законов изменения характеристик термоупругой и пороупругой среды.

Рассмотрена неоднородная термоупругая среда конечных размеров, в которой возбуждались неустановившиеся колебания. При помощи слабой постановки задачи в пространстве трансформант по Лапласу и линеаризации получено интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода, позволяющее построить итерационный процесс реконструкции коэффициентов дифференциальных операторов термоупругости по дополнительной информации о граничных полях смещений и температуры. В качестве примера рассмотрена реконструкция модуля Юнга, удельной теплоемкости и коэффициента теплопроводности неоднородного термоупругого стержня. При этом восстанавливался один коэффициент, остальные полагались известными. Далее, используя известную аналогию между задачами термоупругости и пороупругости, было получено интегральное уравнение, позволяющее строить итерационный процесс восстановления коэффициентов модели пороупругости.

В работе натурный эксперимент заменен вычислительным. Коэффициенты дифференциальных операторов уравнений термоупругости и пороупругости восстанавливались в два этапа. На первом этапе определялось начальное приближение в классе положительных ограниченных линейных функций методом минимизации функционала невязки. На втором этапе определялись поправки реконструируемых функций путем решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода. После нахождения поправок строилось новое приближение и осуществлялся итерационный процесс. Критерий выхода из итерационного процесса достижение некоторого порогового значения функционала невязки. Исследовалось влияние шумов, характера нагружения, монотонности функций, параметра связанности на результат реконструкции. Монотонные функции восстанавливались лучше немонотонных. Наибольшая погрешность реконструкции возникала на торцах стержня. Задание торцевых значений восстанавливаемых функций значительно снижало погрешность и в других точках. Вычислительные эксперименты показали, что предложенный метод решения коэффициентных обратных задач термоупругости и пороупругости эффективен для реконструкции монотонных функций.

Автор благодарит А. О. Ватульяна за внимание к работе.

Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 10-01-00194-а), ФЦП Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009–2013 годы (госконтракт П596).

Моделирование систем вторичного подрессоривания многоосных автомобилей (шасси) с учетом биомеханических свойств Особое место, в проблеме улучшения условий труда водителей автотранспортных средств, занимают вопросы виброзащиты от воздействия низкочастотных колебаний, дисперсия которых сосредоточена в диапазоне от 1 до 20 Гц.

Именно в этом диапазоне расположены спектры частот вибраций кабин многоосных автомобилей и основные резонансные частоты организма человека. Степень вредного воздействия колебаний на организм человека зависит от частоты, продолжительности и направления действия вибрации, а также индивидуальных особенностей человека.

Анализ конструкций современных транспортных средств показывает, что различные упругие и демпфирующие элементы находят все большее применение в системах вторичного подрессоривания, в таких узлах, как подвеска кабин, подвеска сидений, силовых агрегатов и других элементов трансмиссии. Поэтому, при моделировании систем вторичного подрессоривания многоосных автомобилей (шасси) необходимо учитывать биодинамические модели тела человека, учитывающие дифференцированное влияние различных колебаний на ощущения человека-оператора.

С точки зрения реакции на механические возбуждения человек представляет собой биомеханическую систему, в которой различные внутренние органы и отдельные части тела человека можно рассматривать как массы, соединенные между собой упруго-диссипативными связями.

Исследование и расчет колебаний систем вторичного подрессоривания многоосных автомобилей производят на основе математической модели эквивалентной их колебаниям. Обобщенная расчетная схема эквивалентная динамической системе вторичного подрессоривания многоосного автомобиля, интерпретируется в виде многомассовой системы с упруго-диссипативными связями. Подрессоренная кабина многоосного автомобиля, идеализируется в виде абсолютно твердого тела и обладает шестью степенями свободы.

Разработанная математическая модель случайных пространственных колебаний системы вторичного подрессоривания многоосного автомобиля отражает взаимосвязь различных движений, внешних воздействий, биодинамических моделей тела человека, а также инерционных и упруго-диссипативных свойств системы и позволяет на стадии проектирования оценить эффективность различных систем вторичного подрессоривания.

Математическое моделирование управляющей деятельности Машинист локомотива, как важнейшее звено сложной динамической системы человек-поезд, выполняет ответственные и сложные управляющие операции, связанные с перемещением на значительные расстояния при больших скоростях пассажирских и грузовых поездов с учетом погодных условий и поездной ситуации. При этом он должен обеспечить безопасное ведение поезда по расписанию, минимальный расход энергоресурсов, поиск и устранение возникающих в процессе движения неисправностей оборудования локомотива, связанных с безопасностью, переключение на резервный комплект и т. д., а также быть готовым оперативно отреагировать на возникающие в процессе вождения нештатные ситуации, связанные с безопасностью.

Как известно, управляющая деятельность машиниста (УДМ) включает анализ начальной и рабочей информации, принятие управляющих решений и реализацию требуемого режима движения поезда. Сведения, накопленные машинистом, являются начальной информацией: правила вождения поездов и обслуживания локомотивов, инструкции; сведения о конструктивных особенностях подвижного состава, железнодорожного пути, контактного провода; устройство сигнализации на железнодорожном транспорте; технические характеристики участка, допускаемые скорости движения и т. д. К рабочей информации относятся сведения, воспринимаемые машинистом в период подготовки к поездке и в течение самой поездки: техническое состояние и реальные параметры локомотива, состава, железнодорожного пути, контактной сети и др. в пути следования, погодные условия, место нахождения и скорости поезда, показания сигналов светофора, текущая поездная ситуация и т. д.

Математическое моделирование УДМ позволяет совершенствовать функции системы автоматического управления и автоведения. Так, с помощью созданной имитационной модели был разработан и оптимизирован алгоритм автоматического управления тормозами поезда для выполнения ограничений скорости, реакции на сигналы светофора (в частности, остановки на красный), остановочного торможения на станции. Результаты были апробированы при сертификационных испытаниях локомотивов ЭП1 и 2ЭС5К на испытательном кольце. Другой актуальной задачей, решаемой с помощью имитационного моделирования, является замена части натурных испытаний бортовых систем управления и автоведения имитационным моделированием на стенде, поскольку испытания на полигонах и участках железной дороги являются чрезвычайно дорогостоящими и трудоемкими. С помощью моделирования УДМ может быть произведен анализ возникающих аварийных ситуаций, выявление потенциальных нарушений безопасности, а также выработаны рекомендации по оптимальному и безопасному вождению поездов.

Ростов-на-Дону, Донской государственный технический университет В настоящее время все больше внимания уделяется исследованиям колебаний неоднородных стержней, в том числе моделям для стержней с надрезом, моделирующим трещинообразный поверхностный дефект. Эти модели важны для решения обратных задач динамики упругих конструкций и диагностики малых дефектов, особенно наиболее опасных-трещин. В настоящей работе представлен способ формулировки асимптотически точных условий сопряжения, моделирующих тонкий разрез, при анализе поперечных колебаний консольно закрепленного стержня. Проведен анализ точности полученных модифицированных условий сопряжения на амплитудно-частотные зависимости и резонансные частоты.

На первом этапе работы исследована модель трехэлементной балки, на каждом участке которой характеристики постоянны. Для консольно закрепленной балки, совершающей установившиеся колебания под действием поперечной силы, приложенной на конце, получено точное аналитическое решение, формирующееся из решений задачи на каждом промежутке, связанных между собой посредством граничных условий и условий сопряжения. Далее исследована аналогичная задача для модели двухэлементной балки, для которой сформулированы асимптотически точные условия на линии сопряжения однородных участков.

Решена задача для построенной модели с использованием сформулированных модифицированных условий сопряжения. Рассмотрен случай исчезающе малого тонкого разреза, в результате которого в полученных условиях выполняется предельный переход, и они сводятся к традиционным. Проведен ряд вычислительных экспериментов, в результате которых исследованы значения погрешностей, обусловленных приближенностью модифицированных граничных условий и их влиянием на динамические характеристики. В проведенных вычислительных экспериментах представлены значения невязок полученных условий при различных значениях длины разреза, глубины пропила, а также центра разреза. Сделаны выводы о том, при каких значениях параметров разреза достигаются наименьшие значения погрешностей. В результате проведения вычислительных экспериментов оценена погрешность полученных условий сопряжения на амплитудно-частотные характеристики балки. Проведенные численные эксперименты продемонстрировали адекватность сформулированных модифицированных условий сопряжения на концах тонкого разреза и их пригодность при моделировании.

Также в данной работе рассмотрены колебания балки с дефектом в виде полости. Исследована возможность диагностирования местоположения и размера дефекта по данным амплитудно-частотным зависимостям.

Автор выражает благодарность Ватульяну А. О. за внимание к работе.

Оперативное вмешательство на сонных артериях с патологией Саратов, Саратовский государственный университет Нарушения мозгового кровообращения являются одной из основных причин смертности в развитых странах. Ишемическая болезнь мозга по распространенности практически соответствует ишемической болезни сердца и составляет около 36% в структуре сердечно-сосудистых заболеваний. Причинами нарушения мозгового кровообращения ишемического характера являются атеросклероз сонных артерий (СА) и их патологическая извитость. Особенно опасным является присутствие сразу обоих нарушений, что встречается у 30% пациентов.

В данной работе рассматривалась S-образная патологическая извитость внутренней сонной артерии (ВСА) в сочетании с атеросклеротическим поражением бифуркации общей сонной артерии (ОСА) и устья внутренней сонной артерии.

Проводилось сравнение гемодинамических параметров, полученных в ходе расчета для пораженной артерии и артерии после реконструктивной операции. Все вычисления проводились по данным, полученным для конкретного пациента.

Воссоздание геометрии пораженной артерии было выполнено в программном комплексе SolidWorks по данным, полученным с помощью мультиспиральной компьютерной томографии с введением контрастного вещества. Была построена правая СА со стенозом 75% в устье ВСА и последующей S-образной извитостью.

Толщина стенки правой ОСА составила 1,1 мм. Входные данные для скорости крови в сосуде были получены с помощью ультразвукового исследования (систола 69 см/с, диастола 35,1 см/с).

Модель сосуда после операции была построена на основе геометрии пораженного сосуда с учетом проведенного хирургического вмешательства. В данном случае ввиду отсутствия фиброзной трансформации стенки артерии выполняли эндартерэктомию с резекцией избыточной длины внутренней сонной артерии и имплантацией ее в старое устье. Для более качественного сравнения результатов расчета скорость на входе в ОСА брали такой же, как и для случая с пораженной артерией.

Для конечно-элементного моделирования был выбран программный пакет ANSYS. Ввиду сложности геометрии для разбиения модели использовалась тетраэдрическая сетка. Кровь считалась ньютоновской жидкостью. Материал стенки предполагался нелинейным. Использовалась модель Муни-Ривлина. Была решена связанная задача взаимодействия стенки сосуда и крови.

В пораженной СА наблюдался локальный перепад давления, повышение пиковой систолической скорости до 180 см/с, наличие сильно выраженных вихрей дистальнее стеноза и наличие зон низкого касательного напряжения в районе извитости. Сравнение результатов этих двух расчетов показало, что увеличение объемного кровотока на выходе из ВСА после реконструктивного вмешательства составляет около 10%. В прооперированном сосуде отсутствуют завихрения.

Нейросетевая модель магнитного гистерезиса Задача моделирования однонаправленного статического перемагничивания ферромагнитных материалов (магнитного гистерезиса) решается с использованием нейронной сети. Ее структура, активационные функции отдельных нейронов и параметры определяются в частных режимах перемагничивания. Предложенная для моделирования гистерезиса нейронная сеть имеет двухслойную структуру, включает входной блок, скрытый и выходной слои нейронов.

В качестве входных переменных используется набор значений индукции с определенным шагом, задающий траекторию перемагничивания из фиксированной точки, определяемой парой значений индукции и напряженности магнитного поля (B0, H0 ). Эта точка задает начальное состояние ферромагнетика или точку поворота, в которой осуществляется изменение направления перемагничивания (изменение значения приращения индукции). Элементарными носителями гистерезиса в рассматриваемой модели могут выступать операторы, задаваемые прямоугольными или наклонными петлями. Каждый нейрон функционирует биполярно в соответствии с сигмоидальной функцией активации и обеспечивает моделирование приращения намагниченности (магнитного момента) при увеличении внешнего поля до достижения насыщения.

Особенностью предлагаемой модели является использование специальной процедуры сглаживания, что позволяет уменьшить число базовых элементов нейронной сети без потери точности. Количество нейронов, вид и параметры функций активации, а также характеристики операторов входного блока, описывающих элементарный гистерезис, определяются в процессе обучения нейронной сети. В качестве исходных данных, которые могут быть определены с помощью стандартных методик магнитных испытаний ферромагнетиков, используются основная кривая намагничивания (геометрическое место вершин симметричных петель гистерезиса), зависимости потерь на гистерезис от максимума индукции при симметричном перемагничивании, а также предельная петля гистерезиса.

Обучение сводится к решению задачи многокритериальной оптимизации с естественными ограничениями, накладываемыми на параметры модели.

Выполнено моделирование сложных режимов перемагничивания, в том числе, с частными циклами для реальных ферромагнетиков. Приведенные результаты численных экспериментов позволяют оценить точность предложенной математической модели для описания магнитного гистерезиса в различных режимах перемагничивания. Предложенная модель может быть использована для уточненного расчета характеристик электротехнических устройств, содержащих магнитные системы.

Моделирование квазистатических магнитных полей методом Рассматривается задача расчета квазистатического плоскопараллельного магнитного поля в ограниченной области, заполненной ферромагнетиком с линейными и нелинейными характеристиками при заданных условиях типа Дирихле на границе. Задачи такого типа возникают при анализе работы электротехнических устройств различного назначения и определении их интегральных характеристик.

Решение задачи ищется методом Монте-Карло. Рассматривается несколько вариантов модификации алгоритма блуждания по сферам. Нахождение решения в точках расчетной области в процессе блуждания достигается за счет специального выбора радиуса окружностей в зависимости от магнитной проницаемости ферромагнитного материала, которая на каждом шаге блуждания в пределах каждого круга на шаге блуждания предполагается заданной. Величина магнитной проницаемости в пределах элемента дискретизации области (круга) уточняется итерационно. Выход на заданные граничные условия обеспечиваются с помощью итерационной процедуры последовательного нагружения по экспоненциальному закону в зависимости от номера шага итерационного процесса.

Численный алгоритм, обеспечивающий нахождение решения в каждой точке расчетной области методом блуждания по сферам, основан на допущении о специальном распределении магнитной проницаемости в пределах каждого элемента, ограниченного окружностью, неотрицательный радиус которой распределен по равномерному закону. Предельно допустимые значения радиуса оцениваются из условия достижения необходимой точности при принятии допущения о специальных распределениях магнитной проницаемости в каждом круге дискретизации. Величина радиуса, а также направления перемещений точки генерируются методом Монте-Карло с учетом принятого закона распределения радиуса и равномерно по отношению к углу перемещения.

Рассмотрено два варианта реализации алгоритма блуждания по сферам. В первом случае магнитная проницаемость на каждом шаге принимается постоянной. Во втором случае она предполагается зависящей от решения, причем может задаваться нелинейной функцией. При этом для нахождения решения используется специальное преобразование искомого решения, применение которого делает возможным последующее использование метода Монте-Карло.

Предложенный алгоритм протестирован на модельных задачах, а также на более сложных задачах, решение которых находилось численно методом конечных элементов с использованием пакета прикладных программ Elcut.

Исследование распространения гармонических волн в сосуде с функционально заданным переменным диаметром Ростов-на-Дону, НИИ механики и прикл. математики им. Воровича И. И.

Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Исследовано распространение пульсовой волны в артериальном сосуде со стенозом. Стеноз моделируется осесимметричным сужением конечной длины. В качестве примера рассматривается параболическая форма стеноза. Пульсовая волна, возникающая во время систолы, моделируется кривой четвертого порядка.

Исследование проводилось с использованием методов гармонического анализа.

Функция четвертого порядка аппроксимировалась отрезком ряда Фурье. Затем на участках до стеноза и на участке стеноза решение представлялось в виде суперпозиции гармонических волн набегающей волны с положительными волновыми числами и амплитудами и суперпозиции гармонических волн отраженной волны с отрицательными волновыми числами и неизвестными амплитудами. На участке дистальнее стеноза решение отыскивалось в виде суперпозиции гармонических волн с положительными волновыми числами и неизвестными амплитудами. Амплитуды этих волн определялись на основе условий сопряжения.

В работе приводится сравнительный анализ численных результатов, полученных на основе модели Юнга-Менса-Кортевега и модели, где сужение задается функционально. В классической модели Юнга-Менса-Кортевега формула для жесткости вытекает из безмоментной теории тонкостенной цилиндрической оболочки. В модернизированной модели Юнга-Менса-Кортевега для определения фазовой скорости используется формула, полученная при решении трехмерной задачи Лямэ. Данная особенность модели позволяет учитывать случаи, когда толщина стенки сосуда может быть соизмерима с ее внутренним радиусом. В качестве характеристики сопротивления, создаваемого стенозом, были изучены потоки отраженной и прошедшей энергии, функционально зависимые от радиуса и длины сужения. Для оценки энергетических потерь на различных участках (до стеноза, в стенозе и после стеноза) вычислялись векторы потоков энергии набегающей волны и отраженной волны соответственно, и поток энергии прошедшей волны. Результаты численного анализа энергетических коэффициентов прошедшей и отраженной волн, полученные на основе математических моделей, также представлены в работе.

О неустойчивости кругового составного цилиндра при кручении Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Представлена задача нелинейной теории упругости о потере устойчивости сплошного кругового цилиндра, содержащего предварительно напряженное включение. К торцам цилиндра приложен крутящий момент. Включение представляет собой скрученный и растянутый (или сжатый) стержень, который впоследствии вставляется в полый круговой цилиндр. Радиус стержня после предварительной деформации предполагается равным внутреннему радиусу полого цилиндра в ненапряженном состоянии. Образованный таким способом составной цилиндр будет содержать внутренние напряжения. Эти напряжения определенным образом влияют на критические значения внешнего крутящего момента при потере устойчивости, когда ось составного цилиндра перестает быть прямой линией. Для решения задачи устойчивости равновесия составного стержня выбрана неогуковская модель нелинейно-упругого изотропного несжимаемого материала. Докритическое состояние равновесия найдено из точного решения задачи о кручении составного цилиндра с предварительно напряженным включением.

Для описания конечных деформаций кручения и растяжения-сжатия составного цилиндра применяется единая отсчетная конфигурация, которая является естественной (ненапряженной) для внешнего полого цилиндра и предварительно напряженной для материала включения. Это потребовало записи определяющих соотношений неогуковского материала относительно отсчетной конфигурации, не совпадающей с естественным состоянием тела.

Выведены уравнения нейтрального равновесия, линеаризованные граничные условия и условия сопряжения на границе внешней и внутренней частей. Для некоторого класса решений уравнений нейтрального равновесия задача устойчивости приведена к системе однородных дифференциальных уравнений. В результате численного решения полученной системы определены сочетания значений параметров предварительной деформации и крутящего момента, приводящие к бифуркации равновесного состояния рассматриваемого составного цилиндра. На основе полученных данных построены бифуркационные кривые, выражающие зависимости критических значений крутящего момента от параметров деформации включения. Анализ кривых показывает, что при некоторых значениях предварительной деформации кручение составного цилиндра становится более устойчивым, чем кручение однородного цилиндра без внутренних напряжений.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 12-01-00038) и ФЦП Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009–2013 годы (госконтракт П596).

Устойчивость течения Колмогорова и его модификаций Владикавказ, Южный математический институт Рассматривается двумерное x = (x1, x2 ) R2 движение вязкой несжимаемой жидкости под действием поля внешних сил F (x, t), периодического по пространственным переменным x1, x2 с периодами L1 и L2 соответственно, описываемое системой уравнений Навье-Стокса где безразмерная вязкость. Средняя по пространству скорость считается заданной В качестве краевых условий задаются условия периодичности поля скорости v по пространственным переменным x1, x2 с периодами L1, L2 соответственно.

Предполагается, что L2 = 2/, 0.

Строится длинноволновая асимптотика задачи устойчивости стационарного течения, когда основное поле скорости принадлежит классу параллельных (сдвиговых) течений:

К рассматриваемому класу принадлежит течение Колмогорова с синусоидальным профилем скорости, имеющее важные геофизические приложения Показано, что для сдвигового течения критические собственные значения являются нечетными функциями волнового числа, а критическое значение вязкости четной функцией волнового числа.

Для течений с нулевым средним указаны условия, при которых происходит монотонная потеря устойчивости.

Если основной профиль скорости в некоторой точке обращается в ноль и является нечетной функцией относительно этого нуля, то происходит монотонная потеря устойчивости.

Найдены явные выражения нескольких первых членов длинноволновой асимптотики через вспомогательную функцию. Дан алгоритм нахождения k-го члена асимптотики через предыдущие.

Полученные результаты можно обобщить на случай трехмерных течений, а также применить при исследовании устойчивости периодических по времени течений. Оказывается, существующие в случае нулевого среднего математические трудности мало зависят от размерности пространства по переменной x. Возможность обоснования монотонной потери устойчивости стационарного основного решения играет ключевую роль при рассмотрении основных течений, периодически зависящих от времени.

Модель аспирации нелинейно-упругой сферической оболочки Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Оболочка клетки является важным органом, обеспечивающим ее функционирование. К функциям клеточной мембраны относятся транспорт веществ, сохранение целостности клетки и ее защита. Поэтому изучение механических свойств клеточной мембраны является важным для понимания всей клетки в целом. Математические модели клеточных мембран основываются на экспериментальных данных, по которым можно считать, что сопротивление мембран на изгиб пренебрежимо мало, материал мембран с большой степенью точности можно считать высокоэластичным и несжимаемым. В силу этого, для построения ее математической модели представляется целесообразным использовать нелинейную теорию безмоментных упругих оболочек.

Рассматривается модель микропипеточной аспирации клетки. Клеточную мембрану моделируем тонкой безмоментной нелинейно-упругой оболочкой, действие внутриклеточного вещества на мембрану принимаем как равномерно распределенное нормальное давление. Целью работы является исследование напряженно-деформированного состояния мембраны и построение зависимости между величиной давления в пипетке при аспирации и деформацией клетки.

Рассматривается оболочка постоянной толщины h, которая в отсчетной конфигурации является сферой с радиусом r0. Будем считать, что при аспирации оболочка имеет осесимметричную форму равновесия, которая задается неизвестными функциями R(s) и Z(s). Внешняя нагрузка определяется тремя величинами давлений. Внешнее давление pe представляет собой давление среды на оболочку клетки. Внутреннее давление в клетке обозначим pi. Для поддержания формы клетки оно должно превосходить внешнее давление. Процесс аспирации заключается в создании пониженного давления в пипетке pp, в результате чего клетка начитает втягиваться в микропипетку. Свойства материала задаем функцией потенциальной энергии Бартенева-Хазановича: W = 2µ(1 + 2 + 112 3).

Представлено решение уравнения равновесия оболочки. Система нелинейных ОДУ решается численно. Разработан и реализован в математическом пакете Matlab численный метод решения краевой задачи с неизвестными границами.

Отмечается, что зона контакта между оболочкой и микропипеткой точка или область с заранее неизвестными границами. Результаты вычислений представлены графиками форм деформированных сечений и графиками напряжений при разных условиях.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации (МК–439.2011.1).

Стационарное обтекание тел потоком вязкой несжимаемой жидкости Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Задача трехмерного стационарного обтекания системы тел потоком вязкой несжимаемой жидкости состоит в определении решения системы Навье-Стокса в области R3, являющейся внешностью системы ограниченных тел Bi (i = 1, 2,...N ) с граничным условием и условием на бесконечности Здесь u поле скорости жидкости, p функция давления, Re число Рейнольдса.

Собственно для классической задачи обтекания a = 0, но в дальнейшем рассматриваются общие граничные условия. Например, неоднородные граничные условия возникают при протекании жидкости через поверхность обтекаемых тел или при вращении этих тел (в стационарном случае границы тел должны быть поверхностями вращения).

При малых числах Рейнольдса, несмотря на наличие малого параметра лишь при младших производных, задача не является регулярной в том смысле, что ее решение нельзя представить в виде степенного ряда по параметру Re (парадокс Уайтхеда). В случае обтекания шара и цилиндра при малых числах Рейнольдса построение асимптотики выполнено в работе И. Праудмена и Дж. Пирсона методом сращиваемых асимптотических разложений. В дальнейшем эта методика использовалась многими авторами для исследования различных задач гидродинамики при малых числах Рейнольдса.

В данной работе доказано, что решение системы (1)–(3) при достаточно малых числах Рейнольдса можно представить в виде сходящегося в некотором банаховом пространстве ряда из решений линеаризованных систем Озеена. Найдено представление в виде ряда для силы сопротивления. Развитый подход позволяет рассмотреть некоторые случаи растущих при Re 0 граничных условий.

В качестве приложения общих результатов рассмотрена задача об обтекании вращающегося с постоянной угловой скоростью шара единичного радиуса. В этом случае построено приближенное решение, которое позволяет получить для силы сопротивления строго обоснованную формулу обобщающую известную формулу Рубина-Келлера и при = 0 совпадающую с уточнением формулы Озеена, данным Праудменом и Пирсоном.

Среда интерактивного онлайн обучения InMechLab Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Информационные технологии стали неотъемлемой частью современного учебного процесса. Одним из важных направлений их развития в этой сфере является разработка интерактивных мультимедиа презентаций обучающего характера. Их использование позволяет преподавателям изменить содержание, методы и формы обучения, облегчить процесс понимания материала, повысить мотивацию обучаемых, а значит, в конечном итоге существенно улучшить качество образовательного процесса.

Говоря о механике, нужно отметить, что преподавание многих ее разделов существенно базируется на экспериментальном сопровождении в виде учебных демонстрационных опытов, лабораторного практикума студентов и т. п. Однако практически все университеты мира сталкиваются в этой связи с двумя серьезными проблемами. Оборудование для проведения классических экспериментов почти везде сильно устарело. Современное же оборудование, используемое для испытаний материалов в реальных промышленных лабораториях, весьма дорого. Даже если оно имеется в учебном заведении, то его использование для организации массовых учебных экспериментов не выгодно экономически. Именно поэтому многие учебные заведения начали разработку интерактивных комплексов, облегчающих процесс подготовки к реальным испытаниям или же заменяющих их.

В настоящей работе рассматривается интерактивная онлайн среда обучения InMechLab, связанная с выполнением лабораторных практикумов по механике.

В ходе реального лабораторного практикума студенты должны применять знания и навыки работы с различным экспериментальным оборудованием. Поэтому обучаемому необходимо тщательно изучить методику, теорию и ход предстоящего эксперимента. Для этих целей был разработан цикл программ виртуализации реального эксперимента.

Разработанный комплекс содержит подробные теоретические положения по тематике экспериментов, раздел тестирования и блок визуализации реального эксперимента, предоставляющие возможность пользователю проверить свои знания, прежде чем приступить к реальному испытанию. Успешное прохождение всех стадий игры является допуском к проведению эксперимента в реальной лаборатории.

Одним из важнейших аспектов в обучении является необходимость оценки качества получаемых знаний и навыков. Специально для этих целей разработана подсистема для сбора и предоставления информации об обучаемом преподавателю, которая фиксирует все действия студента (время начала игры и ее продолжительность, текущая стадия, количество выполненных виртуальных работ, допущенные ошибки и т. д.). Это означает, что преподаватель имеет возможность в любое время получить сведения об успешности усвоения материала по теме лабораторной работы как студентом, так и группой в целом.

Моделирование механизмов затухания в пьезокерамических образцах на основе учета деполяризующих факторов Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Моделирование работы любого пьезокерамического преобразователя связано с расчетами физических характеристик, среди которых наиболее информативными и предпочтительными являются амплитудно-частотные характеристики (АЧХ). Часто расчетные и экспериментальные данные различаются вследствие использования математических моделей, в которых далеко не все факторы, влияющие на работу этих преобразователей, учитываются в полной мере. Например, если в расчетной модели игнорируются механизмы затухания, то на резонансных частотах кривые АЧХ имеют неограниченный рост, в то время как в экспериментальных данных такой рост ограничен. Сами механизмы затухания к настоящему времени изучены еще не достаточно полно, а предлагающиеся математические модели порой выглядят искусственно введенными или даже необоснованными.

В настоящей работе рассмотрен один из механизмов затухания, связанный с частичной деполяризацией сегнетоэлектрических керамик в циклических электрических полях. Несмотря на то, что керамические элементы, как правило, работают в малых электрических полях, тем не менее, их предварительная поляризация хоть и ничтожно мала, но изменяется гистерезисным образом с изменением интенсивности электрического поля или механических напряжений в течение одного цикла. Вследствие этого упругие, пьезоэлектрические и диэлектрические свойства также ничтожно мало изменяются и также гистерезисным образом. Но гистерезис вызывает затухание, тем большее, чем больше площадь его петли. В настоящей работе для построения гистерезисных зависимостей физических характеристик за полный цикл изменения электрического поля предложено упругие, диэлектрические и пьезоэлектрические константы моделировать линейными функциями остаточной поляризации, которая носит гистерезисный характер и которую предлагается строить на основе обобщенной модели поляризации Джила-Атертона. Используя технику численного интегрирования, удается определить коэффициенты затухания, в силу чего физические характеристики для процессов установившихся колебаний становятся комплексными. В качестве примера была рассмотрена задача о продольных колебаниях стержневого поперечно поляризованного преобразователя неоднородным образом. Введена гипотеза о том, что интенсивность остаточной поляризации слабо влияет на коэффициенты затухания. После этого, используя технику конечных элементов, были найдены все физические характеристики преобразователя. Основным недостатком предложенного подхода является то обстоятельство, что модель Джила-Атертона была разработана для квазистатических процессов изменения электрического поля.

Поэтому ее применимость ограничена низкими частотами.

Работа выполнена при поддержке фонда РФФИ (грант 12-01-00829-а).

Устойчивость нелинейно-упругих прямоугольных плит из функционально-градиентных материалов Ростов-на-Дону, Южный научный центр РАН Проблема устойчивости равновесия деформируемых тел занимает важное место в механике сплошных сред, так как разрушение различных конструкций нередко происходит именно вследствие потери устойчивости под действием внешних нагрузок. В случае упругой среды теория устойчивости достаточно подробно разработана для однородных материалов. Имеется большое число публикаций по устойчивости как тонких и тонкостенных тел в форме стержней, пластин и оболочек, так и массивных (трехмерных) тел. Однако с распространением новых конструкционных материалов (поликристаллические и композитные материалы, зернистые и порошкообразные материалы, а также пористые материалы и пены), актуальной становится проблема устойчивости тел с функционально-градиентной структурой.

Целью настоящего исследования является изучение бифуркации равновесия нелинейно упругих плит из функционально-градиентных материалов. В рамках общей теории устойчивости трехмерных тел проведен анализ выпучивания прямоугольной плиты при двухосном сжатии-растяжении. Для описания поведения плиты использовалась как классическая (неполярная) модель сплошной среды, так и континуум Коссера. При этом в обоих случаях предполагалось, что упругие свойства материала изменяются по толщине. Такой подход позволил более подробно изучить влияние структуры материала на потерю устойчивости плиты.

Для определения докритического напряженно-деформированного состояния прямоугольной плиты в условиях больших деформаций применялся полуобратный метод нелинейной теории упругости. Используя метод линеаризации в малой окрестности основного состояния, для классической и микрополярной сред построены уравнения нейтрального равновесия, которые решены численно. Для ряда общеупотребительных материалов найдены критические кривые и соответствующие им моды выпучивания, построены области устойчивости в плоскости параметров нагружения, которыми являются коэффициенты осевого сжатия-растяжения. Используя полученные результаты, проанализирован размерный эффект и изучено влияние упругих свойств материала на бифуркацию равновесия. Особое внимание уделено анализу того, как характер изменения свойств материала влияет на потерю устойчивости нелинейно-упругих плит с функционально-градиентной структурой.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 11-08-01152-а и 12-01-00038-а).

Идентификация дефектов в покрытиях из функционально градиентных Ростов-на-Дону, Донской государственный технический университет В данной работе предложен метод реконструкции дефектов в функционально градиентных материалах (ФГМ), в котором проблема сводится к обратным геометрическим задачам теории упругости. Метод основан на применении принципа взаимности для поврежденного и неповрежденного тел. Для этого выбираются некоторые пробные решения для тела из ФГМ, которые являются аналитическими решениями для определенных классов неоднородных свойств материала, в частности рассмотрены функционально неоднородные свойства полиномиального и экспоненциального типа. В качестве дополнительной информации для решения обратной задачи используется поле смещений измеренное на свободной границе тела. В случае малых дефектов и дефектов типа трещин с невзаимодействующими берегами параллельными поверхности слоя, строятся аналитические формулы для определения вертикальной координаты (по толщине слоя) дефекта.

При учете взаимодействия берегов трещин и длительном вибрационном воздействии на исследуемый объект, дефект моделируется внутренним источником тепла, и проблема сводится к обратной задаче стационарной теплопроводности для неоднородного тела. В этом случае дополнительной информацией для решения обратной задачи служит температурный портрет тела. Также, как и в первом случае, использование принципа взаимности и пробных аналитических решений позволяет получить формулы для координат внутренней точки трещины-источника.

После того, как определены координаты дефекта, реконструкция размера дефекта проводится на основе разработанного ранее метода идентификации интерфейсных дефектов. Приведены численные примеры реконструкции дефектов, в которых в качестве измерений использованы решения прямых задач в конечноэлементных пакетах ACELAN, FlexPDE.

Автор выражает благодарность научному руководителю А. Н. Соловьеву за помощь в работе.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (гранты № 10-08-01296-а, 10-01-00194-а, 10-08-00093-а, 12-08-91165-ГФЕН_а).

Одновременная идентификация двух материальных параметров Ростов-на-Дону, Южный федеральный университет Установление связи между вычислительным экспериментом и экспериментом с реальным образцом материала является важной и интересной задачей, особенно в последнее время в связи с широким применением CAE-пакетов для расчетов и моделирования новых конструкций и материалов. В современных программных CAE-пакетах нелинейные материалы могут быть заданы функциями удельной энергии деформации, содержащими несколько параметров, полностью определяющих поведение материала. Значения этих параметров находятся из различных экспериментов, и создание надежного и универсального алгоритма идентификации этих параметров из экспериментальных данных является важной задачей.

В работе представлено применение метода квазилинеаризации для одновременной идентификации двух материальных параметров нелинейного материала.

Рассматривался вычислительный эксперимент по кручению нелинейно упругого полого цилиндра, внутренняя поверхность которого закреплена, а внешняя поворачивалась на заданный угол. Для вывода уравнений равновесия и граничных условий использовался полуобратный метод Сен-Венана. Далее для решения обратной задачи задавалась дополнительная информация в виде перемещения трех точек торца цилиндра вдоль радиального направления и, во второй серии эксперимента, вдоль координаты угла поворота.

Для решения обратной задачи согласно методу квазилинеаризации получена система шести дифференциальных уравнений первого порядка. Далее выбиралось начальное приближение для неизвестных параметров в виде отклонения от их истинного значения, и запускался итерационный метод, на каждом шаге которого решалась одна нелинейная и две линеаризованных краевых задачи.

Критерием выхода служило малое суммарное отклонение от априорных значений в двух точках.

Были проведены расчеты для двух нелинейных материалов потенциала Блейтца и Ко полного вида и потенциала Клоснера-Сегала. Поскольку метод квазилинеаризации является обобщенным градиентным методом НьютонаРафсона, он обладает большой чувствительностью к начальному приближению.

Были определены интервалы начальных приближений, на которых наблюдалась сходимость к истинным значениям параметров. Сделаны выводы о практической пригодности данного метода для одновременной идентификации нескольких параметров. Начальное приближение для метода квазилинеаризации перспективно получать из эвристических методов, например, применяя процедуры генетических алгоритмов.

Автор благодарит А. О. Ватульяна и М. И. Карякина за внимание к работе.

Работа выполнена при поддержке Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009–2013 годы (госконтракт П596).

Математическое моделирование процессов самоорганизации в Астрахань, Астраханский государственный университет В последние десятилетия большое внимание исследователей привлекло высыхание капель жидкостей, содержащих частицы. Интерес вызван многочисленными приложениями. Прежде всего, следует упомянуть вызванную испарением самосборку, технологию струйной печати, технологии создания покрытий и т. д.

Как правило, содержащие частицы капли высыхают с закрепленной линией трехфазной границы. В этом случае возникающие в капле течения выносят частицы на край, что приводит к образованию кольцеобразного осадка (coee ring eect, Deegan et al. Nature, 1997).

Возможны две различные ситуации при высыхании капель, содержащих частицы. Во-первых, частицы внутри жидкости могут взаимодействовать друг с другом чисто механически. В этом случае осадок представляет собой пористую среду. Эта среда не оказывает существенного влияния ни на течения внутри капли, ни на испарение с ее поверхности. Во-вторых, частицы могут образовывать химические связи. В этом случае может протекать фазовый переход, например, золь–гель. Новая фаза препятствует как гидродинамическим течениям, так и испарению с ее поверхности.

Большинство опубликованных в литературе моделей описывают именно первую ситуацию. Только несколько рассматривает образующий осадок как непроницаемый для течений и испарения (Ozava et al., JJAP, 2005; Okuzono et al., PRE, 2009; Tarasevich et al., 2011). Тем не менее, именно испарение капель коллоидов, в которых наблюдается фазовый переход, является исключительно важным в задачах биостабилизации, тестирования лекарственных средств, медицинской диагностике и других задачах. Наибольший практический интерес представляет частный случай, когда время гелеобразования много больше времени испарения растворителя. Тогда гелевая фаза зарождается у края капли и продвигается к ее центру, в то время как центральная часть капли продолжает оставаться золем.

Процесс может быть разделен на три стадии. В течение непродолжительной первой стадии гидродинамические течения выносят взвешенные частицы на край капли, пока их концентрация не достигнет критической, и не начнется фазовый переход. В течение этой стадии вся капля остается однофазной. Во время второй стадии происходит движение фазового фронта золь–гель от края к центру капли. Система является двухфазной. На третей стадии капля, полностью превратившаяся в гель, теряет остатки растворителя. Именно на этой стадии происходит формирование структур.

Работа выполнена по заданию Министерства образования и науки РФ, проект 1.588.2011 Математическое моделирование процессов самоорганизации в системах микро- и наночастиц.

Колебания неоднородного пороупругого слоя с пустыми порами Ростов-на-Дону, Донской государственный технический университет Теория упругости для тел, имеющих распределение пустых пор, получила интенсивное развитие из-за теоретической и практической важности. Она хорошо описывает поведение композитных, керамических, пенистых и пористых материалов. При этом ряд функционально-градиентных материалов отличается тем, что распределение физических характеристик неравномерно, что приводит к их зависимости от координат.

Общая теория пороупругости для тел с пустыми порами была сформулирована Нунциато и Коуином (1979, 1983). Главной особенностью этой теории является введение в определяющие соотношения новой переменной, характеризующей относительный объем пор, который используется в качестве независимой кинематической переменной. Включение новой переменной требует дополнительных сил для обеспечения равновесия объема пор. Данная теория сводится к классической теории упругости в случае, когда объем пустот стремится к нулю. Она играет важную роль в практических проблемах изучения деформирования геологических и синтетических пористых сред, где классическая теория упругости является малопригодной. Некоторые основные проблемы и краткое изложение этой модели были представлены Изэном (1985) и Коуином (1984), который представил взаимосвязь теории тел с пустыми порами с другими моделями теориями упругости и термоупругости. Отметим, что задачи пороупругости для неоднородных структур исследованы мало.

Настоящая работа посвящена исследованию колебаний неоднородного по толщине пороупругого слоя с пустыми порами. В рамках плоской деформации рассмотрена задача об установившихся колебаниях неоднородного по толщине изотропного пористого упругого слоя. Нижняя грань слоя сцеплена с абсолютно жестким основанием, колебания вызываются поверхностной нагрузкой на верхней грани. При известных законах неоднородности для аналогов параметров Ляме положительных функциях вертикальной координаты колебания слоя описываются системой трех уравнений в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами. С помощью преобразования Фурье и обращения некоторых операторов задача сведена к системе трех интегральных уравнений Фредгольма второго рода с непрерывными ядрами. Предложен численный метод нахождения трансформант на основе метода коллокаций. С помощью численного обращения преобразования Фурье осуществлен расчет вектора смещения и функции относительного объема. Проведено сравнение полевых характеристик при различных законах неоднородности и видах нагрузки.

Автор выражает благодарность Ватульяну А. О. за внимание к работе.