«УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО МЕЖДИСЦИПЛИНАРНОМУ КУРСУ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ НАЧАЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ С МЕТОДИКОЙ ПРЕПОДАВАНИЯ Профессиональный модуль Преподавание по программам начального общего образования ...»

350 · 224 = 750 · 112 = 230 · 450 = 115 · 900 = 484 · 750 = 121 · 3000 = 9. Использование распределительного закона умножения.

а) 378 · 239 + 378 · 421 + 378 · 340=378 · (239 + 421 + 340)=378 · 1000 = б) 378 · 239 + 378 · 420 + 378 · 339=378 · (239 + 420 + 339)=378· (240+420+340– 2)= = 378 · (1000 – 2) = в) 537 · 489 – 537 · 128 – 537 · 272 = 537 · ( 489 – 128 – 272) = 537 · (489 – (128 + +272)) = 537 · (489 – 400) = 537 · 89 = 537 · (90 – 1)= 10. Использование правила деления суммы (разности) на число.

14883 123 + 108117 123 = (14883 + 108117) 123 = 123000 123 = 228786 114 – 786 114 = (228786 – 786) 114 = 228000 114 = = 11. Умножение и деление на 5; 50; 500; 25; 125 на основе неизменяемости произведения и частного.

Чтобы умножить на 5, достаточно Чтобы разделить на 5, достаточно умножить на 10 и разделить на 2. умножить на 2 и разделить на 10.

Чтобы умножить на 50, достаточно Чтобы разделить на 50, достаточно умножить на 100 и разделить на 2. умножить на 2 и разделить на 100.

598 · 500 = 299 · 1000 = 299000 423000 500 = 846000 1000 = 2468 · 500 = 1234 · 1000 = 1234000 2431000 500 = 4862000 1000 = Чтобы умножить на 500, достаточно Чтобы разделить на 500, достаточно умножить на 1000 и разделить на 2. умножить на 2 и разделить на 1000.

484 · 25 = 484 · (100 4) = 484 4 · 100 14100 25 = 14100 (100 4) = 141 · Чтобы умножить на 25, достаточно умножить на 100 и разделить на 4. Чтобы разделить на 25, достаточно Частные случаи, приводимые к умножению и делению на 808 · 125 = (808 8) · 1000 = 101000 201000 125 = (201000 1000) · Чтобы умножить на 125, достаточно умножить на 1000 и разделить на 8.

Чтобы умножить на 9, достаточно к множимому приписать нуль и вычесть его.

3. Умножение на 98, 97, 96.

523 · 98 = 523 · (100 – 2) = 48700· 97 = 487 ·52300 3) = Чтобы умножить на 98, 97, 96, достаточно к множимому приписать два нуля и вычесть соответственно удвоенное, утроенное или учетверённое множимое.

4.333 · 999 = 345 · (1000 – 1) = Чтобы умножить на 999, достаточно к множимому приписать три нуля и вычесть множимое.

5. Умножение на 998, 997, 996.

445 370 = 445 · (1000 – 2) = 247 · 997 = 247 · (1000 – 3) = 836 · 996 = 836 · (1000 – 4) = Чтобы умножить на 998, или на 997, или на 996, достаточно к множимому приписать три нуля и вычесть соответственно удвоенное, или утроенное, или учетверённое множимое.

Привести данные дроби к общему наименьшему знаменателю — значит заменить их соответственно равными им дробями, имеющими один и тот же наименьший знаменатель.

2. Проценты и процентные вычисления Процентом числа называется сотая доля этого числа.

Можно различать три следующих типа задач на процентные вычисления:

1. Нахождение процентного отношения первого из данных чисел ко второму, т. е. выражение этого отношения в процентах.

2. Нахождение указанного числа процентов от данного числа.

3. Нахождение числа, если известно несколько процентов этого числа.

Рассмотрим задачи каждого из этих трех типов в отдельности.

1-й тип. Нахождение процентного отношения первого числа ко второму.

Куриное яйцо весит 60 г, а его Даны первое число а и второе скорлупа 3 г. Найти процентное число b, найти процентное отноотношение веса скорлупы к весу шение первого числа ко второвсего яйца. му числу.

1. Найдем отношение веса скор- 1. Найдем отношение первого 2. Выразим найденное отношение в процентах:

Здесь знак % означает множитель 0,01.

Итак, чтобы найти процентное отношение первого числа ко второму, достаточно:

1) разделить первое число на второе;

2) умножить полученное частное на 100 и на 0,01, передав последний множитель в виде знака % (или выражая словом «процент»).

Можно выразить правило нахождения процентного отношения первого числа ко второму иначе.

Так, разделив числитель и знаменатель дроби дробь Чтобы найти процентное отношение первого числа ко второму, достаточно:

1) разделить второе число на 100 (узнается 1% второго числа);

2) разделить первое число на это частное (узнается, сколько в первом числе содержится процентов второго числа);

3) поставить в найденном последнем частном множитель 0,01 в виде знака 2-й тип. Нахождение указанного числа процентов от данного числа.

Научившись находить процентное отношение двух данных чисел, перейдем к первой обратной задаче, а именно: к разысканию указанного числа процентов от данного числа:

Чтобы найти указанное число процентов от данного числа, достаточно умножить данное число на сотую долю указанного числа процентов или, разделив заданное число на 100 (узнается 1% от него), умножить полученное частное на указанное число процентов (узнается все заданное число процентов от него.

3.Приближенные вычисления Всякую величину можно измерять лишь с известным приближением, которое зависти от точности инструментов, употребляемых при измерении, и от личных качеств лица, производящего измерение от его опытности, аккуратности, силы зрения и т. п Избираемая на практике точность зависит от величины результата измерения и от цели, для которой производится измерение.

Выбор приближенного числа. (с недостатком или с избытком) можно производить по следующему правилу: если за последним оставляемым разрядом справа цифра, меньшая 5, то ее вместе с другими следующими за ней цифрами заменить нулями. (Например, вместо 6143 берем 6400.) Если же следует цифра 5 или больше 5, ряда следует увеличить на единицу, заменяя нулями все отбрасываемые цифры.

Следует различать термины «десятичные знаки» и «значащие цифры».

Десятичными знаками числа называются все его цифры, стоящие после знака дробности. Значащими цифрами числа называются все его цифры, кроме нулей, стоящих левее первой значащей цифры, и нулей, поставленных вместо неизвестных или отброшенных цифр. Например: число 10,204 имеет 5 значащих цифр и 3 десятичных знака; число 0,0037 имеет 2 значащих цифры и десятичных знака.

Часто производят округление «до стольких-то значащих цифр».

Например, число 6387 = 6400 округлено до двух значащих цифр. Нули, стоящие вместо отброшенных или неизвестных цифр, не считаются значащими цифрами. Но в числе 100 см = 1 м три значащих цифры, так как в точном числе нули не поставлены вместо неизвестных или отброшенных цифр.

Округляя число 0,06983 до трех значащих цифр, имеем 0,0698, до двух — 0,070, до одной — 0,07. Нули в конце приближенного значения дроби считаются значащими и не опускаются. Зачеркивание нулей в конце дробной части приближенного числа изменяет степень точности числа.

Разность между точным значение числа и его приближенным значением называется абсолютной погрешностью или ошибкой приближенного числа.

Обозначив точное значение числа через х, приближенное его значение с недостатком – через N1, а с избытком – через N2, абсолютную величину погрешностей соответственно через у1 и у2 будем иметь:

Отношение абсолютной погрешности к точному значению величины называется относительной погрешностью.

Так как истинная величина почти никогда не известна, то за относительную погрешность принимают отношение абсолютной погрешности к результату измерения.

Обозначив относительную погрешность через К1 и К2, точное значение — через х, а приближенное значение с недостатком — через Nl с избытком — через N2, будем иметь:

Относительная ошибка (погрешность) есть всегда число отвлеченное. На практике относительную погрешность выражают в процентах очень редко десятичной или обыкновенной дробью, т. е.

Когда нет необходимости производить вычисление со строгим учетом погрешностей, применяются так называемые правила подсчета цифр.

При сложении и вычитании приближенных чисел по правилу подсчета цифр в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков.

При сложении и вычитании различают два случая.

1. Компоненты даны с одинаковой точностью.

Пример: Цифра сотых долей в каждом из слагаемых сомнительна. Она остается сомнительной и в сумме.

2. Точность компонентов различна: 7,54 + 12,3 + 0,724. Поставим на место неизвестных цифр знаки вопроса.

В сумме нет смысла оставлять сотые и тысячные доли, так как во втором слагаемом сотые и тысячные доли неизвестны.

Вычитание приближенных чисел.

1. Компоненты даны с одинаковой точностью.

В остатке сомнительная цифра того же разряда, как и в компонентах.

Во избежание накопления ошибок при округлении чисел в числах, имеющих больше десятичных знаков, оставляют один знак запасным.

Следует избегать нулей, поставленных взамен неизвестных или отброшенных цифр, выражая приближенное число в боле крупных единицах. например: + 32100 + 5480. Выражаем все слагаемые в тысячах:

72 + 32,1 + 5,48.

Округляем согласно правилу до целых чисел 4.Обработка статистических данных СТАТИСТИКА – это наука, которая занимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных явлениях, происходящих в природе и обществе. Одна из основных задач статистики состоит в надлежащей обработке информации. У статистики есть много других задач: получение и хранение информации, выработка различных прогнозов, оценка их достоверности и т.

д. Ни одна из этих целей не достижима без обработки данных.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА — раздел математики, посвященный методам и правилам обработки и анализа статистических данных — среднее значение случайной величины. Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество. Среднее арифметическое является важной характеристикой ряда чисел, но иногда полезно рассматривать и другие средние.

Модой называют число ряда, которое встречается в этом ряду наиболее часто. Мода – показатель, который широко используется в статистике. Одним из наиболее частых использований моды является изучение спроса.Заметим, что в рядах, рассматриваемых в реальных статистических исследованиях, иногда выделяют больше одной моды. Когда в ряду много данных, то интересными бывают все те значения, которые встречаются гораздо чаще других. Их статистики тоже называют модой.

Одним из статистических показателей различия или разброса данных является размах. Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда данных. Еще одной важной статистической характеристикой ряда данных является его медиана. Обычно медиану ищут в случае, когда числа в ряду являются какими-либо показателями и надо найти, например, человека, показавшего средний результат, фирму со средней годовой прибылью, авиакомпанию, предлагающую средние цены на билеты, и т. д. Медианой ряда, состоящего из нечетного количества чисел, называется число данного ряда, которое окажется посередине, если этот ряд упорядочить. Медианой ряда, состоящего из четного количества чисел, называется среднее арифметическое двух стоящих посередине чисел этого ряда.

Столбчатые, круговые диаграммы.

— графическое представление данных, позволяющее быстро оценить соотношение нескольких величин. Представляет собой геометрическое символьное изображение информации. Классическими диаграммами являются столбчатые и линейные диаграммы. Также они называются гистограммами. Столбчатые диаграммы в основном используются для наглядного сравнения полученных статистических данных или для анализа их изменения за определённый промежуток времени. Построение столбчатой диаграммы заключается в изображении статистических данных в виде вертикальных прямоугольников или трёхмерных прямоугольных столбиков. Каждый столбик изображает величину уровня данного статистического ряда. Все сравниваемые показатели выражены одной единицей измерения, поэтому удаётся сравнить статистические показатели данного процесса. Достаточно распространённым способом графического изображения структуры статистических совокупностей является секторная диаграмма, так как идея целого очень наглядно выражается кругом, который представляет всю совокупность. Относительная величина каждого значения изображается в виде сектора круга, площадь которого соответствует вкладу этого значения в сумму значений. Этот вид графиков удобно использовать, когда нужно показать долю каждой величины в общем объёме. Сектора могут изображаться как в общем круге, так и отдельно, расположенными на небольшом удалении друг от друга. Круговая диаграмма сохраняет наглядность только в том случае, если количество частей совокупности диаграммы небольшое. Если частей диаграммы слишком много, её применение неэффективно по причине несущественного различия сравниваемых структур. Недостаток круговых диаграмм — малая ёмкость, невозможность отразить более широкий объём полезной информации Лабораторные работы не предусмотрено Практические занятия не предусмотрено Задания для самостоятельного выполнения 1. Если к неизвестному числу прибавить 12,5% его, то получится 56,25.

Найти неизвестное число.

3. Выполнить вычисления, применив правило умножения произведения на число:

4. Выполнить вычисления, применив правило умножения числа на произведение:

5. Вычислить, применив распределительный закон:

6.Умножить на 125: 28; 32; 48; 96; 56; 64; 21.

7.Умножить на 9: 85; 93; 87; 98; 79; 243; 373; 415; 2 111.

8.Умножить на 99: 38; 49; 57; 73; 88; 546; 478; 4 111.

9.Умножить на 999: 415; 3415; 718; 420.

10.Умножить на 11: 23; 34; 48; 96; 83; 415; 327; 2 325; 3 415.

11.Разделить на 25: 400; 600; 525; 750; 1800; 2250; 938575; 378500; 896150.

12.Разделить на 125:37 875; 27 375; 29 500; 31 125; 872 125; 915 375.

Форма контроля самостоятельной работы:

Проверка тетрадей, устный опрос Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Назовите свойства арифметических действий 2. Что называют процентом?

3. Какие типы задач на проценты вы знаете?

4. Что называют абсолютной погрешностью приближенного вычисления?

5. Что называют относительной погрешностью приближенного вычисления?

Тема 2.6. Обобщение арифметических представлений в курсе математики начальной школы.

Основные понятия и термины по теме: числовое выражение, выражение с переменной, числовое равенство, числовое неравенство, уравнение, неравенство План изучения темы :

1. Элементы алгебры 2. Методика ознакомления с алгебраическим материалом с целью обобщения арифметических знаний.

Краткое изложение теоретических вопросов:

1. Элементы алгебры Числовое выражение. Записи 3+7, 2468, 3·2-4, (25+3)·2-17 называют числовыми выражениями. Они конструируются из чисел, знаков действий, скобок.

Число, полученное в результате последовательного выполнения действий, называется значением числового выражения. Существуют выражения, которые не имеют числового значения. Например: 8:(4 - 4),. Про такие выражения говорят, что они не имеют смысла.

Выражения с переменной. Рассмотрим запись 2а+3. Она образована из знаков алфавита математического языка: цифр 2 и 3, знака действия сложения «+» и буквы а. Если вместо буквы подставить числа, то будут получаться различные числовые выражения: при а=3 2·3+3, при а=7 2·7+3, при а=-4 2·(-4)+3. В записи буква а называется переменной, а сама запись 2а+3 – выражением с переменной.

Числа, которые разрешается подставлять вместо переменной в выражение, называются значениями переменной, а множество таких чисел – областью определения данного выражения.

Тождественные преобразования выражений. Два выражения называются тождественно равными, если при любых значениях переменных из области определения выражений их соответственные значения равны. Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.

Тождествами являются правила действия с нулем и единицей: а+0=0+а, а·0=0·а, а·1=1·а, а:1=а.

Понятие числового равенства. Пусть а и в - два числовых выражения.

Соединим их знаком равенства. Получим предложение а = в, которое называют числовым равенством.

Например: 3+2=6-1.

Свойства числовых равенств:

1. Если к обеим частям истинного числового равенства а = в прибавить одно и то же числовое выражение с, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство а+с=в+с.

2. Если обе части истинного числового равенства а = в умножить на одно и то же числовое выражение с, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство ас=вс.

Понятие числового неравенства. Пусть а и в - два числовых выражения.

Соединим их знаком «>» (или « в (или а < в), которое называют числовым неравенством.

Например: 6+2 в прибавить одно и то же числовое выражение с, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство а+с>в+с.

2. Если обе части истинного числового равенства а > в умножить на одно и то же числовое выражение с, имеющее смысл и принимающее положительное значение, то получим также истинное числовое неравенство ас>вс.

3. Если обе части истинного числового неравенства а > в умножить на одно и то же числовое выражение с, имеющее смысл и принимающее отрицательное значение, то чтобы получить истинное числовое неравенство, необходимо знак неравенства поменять на противоположный, т.е. получить неравенство ас0 называют неравенствами с одной переменной.

Определение. Пусть f(х) и g(х) - два выражения с переменной х и областью определения Х. Тогда неравенство вида f(х) > g(х) или f(х) < g(х) называется неравенством с одной переменной.

Значение переменной х из множества Х, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением. Найти множество решений данного неравенства – значит решить это неравенство.

Определение. Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.

Теоремы о равносильности неравенств.

Теорема 1. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве Х и h(х) выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х) + h(х) > g(х) = g(х)+ h(х) равносильны на множестве Х.

Следствие 1. Если к обеим частям неравенства f(х) > g(х) прибавить одно и то же действительное число d, то получим неравенство f(х) + d > g(х) + d, равносильное исходному.

Следствие 2. Если какое – либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 2. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве Х и h(х) выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества Х h(х) >0. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х) · h(х) > g(х) · h(х) равносильны на множестве Х.

Следствие. Если обе части неравенства f(х) > g(х) умножить на одно и то же положительное действительное число d, то получим неравенство f(х) · d > g(х) · d, равносильное исходному.

Теорема 3. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве Х и h(х) выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества Х h(х) < 0. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х) · h(х) < g(х) · h(х) равносильны на множестве Х.

Следствие. Если обе части неравенства f(х) > g(х) умножить на одно и то же отрицательное действительное число d, то получим неравенство f(х) · d < g(х) · d, равносильное исходному.

2. Методика ознакомления с алгебраическим материалом с целью обобщения арифметических знаний Методика изучения числовых выражений. Работа над выражениями проходит в два этапа. На первом этапе формируется понятие о простейших выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чисел), а на втором – о сложных (сумма произведения и числа, разность двух частных и т.п.). Ознакомившись с названиями компонентов и результатов действия сложения, учащиеся используют термин «сумма» для обозначения числа, являющегося результатом сложения. Перед изучением приема вычитания вида 9-7, когда возникает практическая необходимость представлять число (уменьшаемое) в виде суммы двух чисел, учащихся знакомят с числовым выражением – суммой этих чисел.

При изучении сложения и вычитания в пределах 10 включаются выражения, состоящие из трех и более чисел, соединенных одинаковыми или различными знаками действий вида: 3+1+1, 4-1-1, 2+2+2+2, 7-4+2.

Знакомство учащихся с выражениями вида 10-(6+2), (7-4)+5 и т.п. готовит их к изучению свойств прибавления числа к сумме, вычитания числа из суммы и др. Далее вводятся термины «числовое выражение» и «значение числового выражения» и изучаются правила порядка действий в числовых выражениях (без скобок и со скобками). Наиболее трудным является правило порядка действий в выражениях без скобок, когда в них содержатся действия первой и второй ступени.

Простейшие случаи использования буквенной символики. Дети знакомятся с буквами латинского алфавита (a, b, c, d и др.). Хорошим упражнением для подготовки к введению буквенной символики являются задачи с пропущенными числами. Чтобы учащиеся осознали, что буквы, входящие в выражение, например b + c, могут принимать множество числовых значений, а само буквенное выражение является обобщенной записью числовых выражений, предусматриваются упражнения на переход от буквенных выражений к числовым. Например: «Прочитайте выражение a+d. Вычислите значение суммы, если a=5, d=20;

a=15, d=8» и т.д.

Методика изучения числовых равенств и неравенств. Числовые равенства и неравенства учащиеся получают в результате сравнения заданных чисел или числовых выражений. Поэтому знаками «>», « 6+3, Методика изучения уравнений. Учащиеся рассматривают простейшие уравнения первой степени с одним неизвестным вида: 7+х=10, х-3=5, х+4= 12+8. Подготовительной работой к введению уравнений являются упражнения на подбор пропущенных чисел в равенствах вида:

4+ =6, -3=7. В процессе выполнения этих задания дети приходят к тому, что неизвестным может быть одно из слагаемых или уменьшаемое ( вычитаемое).

Знакомство с уравнением происходит при решении задачи «К неизвестному числу прибавили 3 и получили 8. Найти неизвестное число». Дети делают запись, + 3 = 8. Далее учитель поясняет, что в математике принято неизвестное число обозначать латинской буквой, например буквой х, получим запись х+3=8, решение уравнения х=5. Учитель поясняет, что такие примеры называют уравнениями. На первых порах учащиеся решают уравнения подбором, а затем на основе связи между компонентами и результатами действий, на основе свойств действий, на основе свойств числовых равенств.

Лабораторные работы Статистическая обработка результатов социологического исследования класса базовой школы с последующим оформлением результатов в столбчатых и круговых диаграммах Практические занятия Формирование умения решения уравнений различными способами, используемыми в разновариантных УМК по математике в начальной школе.

Анализ содержания учебников начальных классов по теме статистика.

Анализ содержания учебников начальных классов по теме Использование уравнений при решении задач Задания для самостоятельного выполнения 1. Составление конспекта занятий и использование материала конспекта в практической работе и выполнении домашних заданий. Проведение сравнительного анализа содержания материала, Последовательность его изучения в различных учебниках для начальных классов. Подготовка к лабораторным и практическим работам. Подбор учебной и методической литературы.

Оформление лабораторных и практических работ. Подготовка к защите.

Проведение сравнительного анализа учебников и учебно-методической литературы подбор упражнений из альтернативных учебников для начальной школы при изучении данной темы.

Выполните задания:

1.Вычислите значение числового выражения: ((36:2-14)+20):2.

2.Установите, при каких значениях переменной не имеет смысл выражение: а) ; б) ; в) 3.Известно, что а < в истинное неравенство. Поставьте вместо * знак