БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
УТВЕРЖДАЮ
4
Ректор БГУ /
еико
13 г
Учебная программа вступительного экзамена
в магистратуру для специальности
1-31 80 03 Математика
2013
2
СОСТАВИТЕЛИ:
В.Г. Кротов, зав. кафедрой теории функций, доктор физ.-мат. наук, профессор;Я.В. Радьшо, зав, кафедрой функционального анализа, доктор физ.-мат. наук, профессор, член-корреспондент НА}{ Беларуси;
В.И. Громак, зав. кафедрой дифференциальных уравнений и системного анализа, доктор физ.-мат. наук, профессор;
А.В. Лебедев, зав.кафецрой нелинейного анализа и аналитической экономики, доктор физ.-мат. наук, профессор;
В.И. Янчевский, зав, кафедрой геометрии, топологии и методики преподавания математики, доктор физ.-мат. наук, профессор, член-корреспондент НАИ Белару си;
В.В. Беняш-Кривец, зав. кафедрой высшей алгебра и защиты информации, доктор физ.-мат. наук, профессор;
Н.И. Юрчук, зав. кафедрой математической кибернетики, доктор физ.-мат. наук, профессор;
д.Г. Медведев, декан механико-математического факультета, кандидат физ.-мат.
наук, доцент.
РЕКОМЕIТдОВАПА К УТВЕРЖдЕIiШО:
Учебно-методической комиссией механико-математического факультета (протокол Х от 7 2013 г.);
Советом механико-математического факультета (гтротоколот, 2013г.);
Ответственный за редакцию: В.Г. Кротов Ответственный за выпуск: В.Г. Кротов з
ПОЯСIIИТЕЛЫ{АЯ ЗАГIИСIА
На вступительном экзамене в магистратуру студент должен знать:определения математических понятий, участвующих в формулировках — теорем, которые он излагает;
точные формулировки математических теорем;
— формулировки лемм и теорем, используемых при доказательствах.
— уметь:
применять теоршо к решению задач и иллюстрировать определения ма — тематических понятий и формулировки теорем простыми примерами;
проверять выполнимость условий теорем, применяемых при доказатель — ствах.
Члены экзаменационной комиссии могут предлагать студенту в качестве дополнительных вопросов разбор простых примеров, определения и формули ровки теорем из программы.
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
РАЗДЕЛ 1. Алгебра Тема 1.1 Комплексные числа Определение комплексных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа.Комплексное сопряжение. Комплексная плоскость. Полярная система координат.
Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплекс ного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Понятие корня из комплексного числа, извлечение корня из комплексного числа.
Тема 1.2 Многочлены Понятие мяогочлена от одной переменной. Степень многочлена. Неприводи мые многочлены. Разложение на неприводимые многочлены. Значение многочлена в точке, корень многочлена. Производная многочлена. Кратность корня.
Тема 1.3 Матрицы Специальные матрицы: диагональная, нижняя и верхняя треугольные, еди ничная, нулевая, стугтенчатая, вектор-строка, вектор-столбец. Равенство матриц.
Сложение матриц, умножение матрицы на скаляр, умножение матриц, транспо нирование. Элементарные преобразования матрiщ. Обратная матрица. Характе ристический и минимальный многочлен матрицьт. Жорданова клетка, жорданова нормальная форма матрицьт. Определитель квадратной матрицьи произвольного порядка. Миноры и алгебраические дополнения. Определитель Вандермонда.
Тема 1.4 Системы уравнений Системы линейных алгебраических уравнений. Матричная запись системы.
Решение системы. Общее и частное решения системы. Эквивалентные системы.
Элементарные преобразования системы. Свободные и независимые переменные.
Однородные системы. Фундаментальная система решений.
Тема 1.5 Векторные пространства Векторные пространства. Линейная зависимость и независимость векторов.
Базис, размерность. Координаты вектора. Матрица перехода от одного базиса к другому. Подпространство. Ранг системы векторов. Ранг матрицьт. Сумма и пере сечение подпространств. Прямая сумма и дополнение подпространств.
Тема 1.6 Линейные отображения Линейное отображение, его ядро и образ. Ранг и дефект. Матрица линейного оператора. Алгебраические действия над линейными отображениями. Собствен ные значения и собственные векторы.
Тема 1.7 Формы Билинейные, полуторалинейньие и квадратичные формы. Симметрические, кососимметрические билинейньте формы. Ранг формы. Матрица формы. Каноiш ческий вид квадратичной формы. Положительный и отрицательный индекс инер ции, сигнатура квадратичной формы. Знакоопределенные квадратичные формы.
Тема 1.8 Евклидовы и унитарные пространства Бвклидовы и унитарные пространства. Скалярное произведение. Длина векто ра. Угол между векторами в евклидовом пространстве. Ортогональные векторы.
Ортогональный и ортонормированньтй базис. Ортогональное дополнение к под пространству. Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора относительно подпространства. Сопряженный оператор. Унитарные и самосо пряженные операторы.
Тема 1.9 Группы Группа, подгруппа. Циклическая подгруппа. Порядок элемента группы. Нор мальная подгруппа, факторгруппа. Смежный класс. Индекс подгруппы. Гомо морфизм и изоморфизм групп. Ядро гомоморфизма.
Тема 1.10 Кольца Кольцо, поле, подкольцо. Идеал, факторкольцо. Гомоморфизм и изоморфизм колец. Ядро гомоморфизма. Характеристика поля. Степень расширения полей.
РАЗДЕЛ II. Геометрия Тема 2.1 Векторы Понятие вектора в К. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов, базисы и аффинные реперы. Координаты векторов и точек, скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
Тема 2.2 Аффинная геометрия Уравнения прямых и плоскостей в К и К Аффинное пространство АП, аффинная группа и аффинная геометрия. iс -мерная плоскость в АП, характери стика пары плоскостей.
Тема 2.3 Евклидовы пространства Евклидово точечное пространство КП, движения пространства и евклидова геометрия.
Тема 2.4 Кривые и поверхности второго порядка Эллипсы, гиперболы, параболы. Эллинсоиды, гиперболоиды, параболоиды.
Фигуры второго порядка в пространствах АП и К РАЗДЕЛ П’. Топология Тема 3.1 Метрические и топологические пространства Замыкание, внутренность и граница множества в метрическом и топологиче ском пространствах. Ограниченное множество в метрическом пространстве.
Полное метрическое пространство. Непрерывное отображение. Гомеоморфизм.
Тема 3.2 Компактность и связность Понятие компактности. Критерии компактности метрического пространства.
Связность. Понятие связной компоненты топологического пространства. Линей ная связность.
РАЗДЕЛ IУ. Дифференциальная геометрия Тема 4.1 Кривые Понятие кривой. Натуральная параметризация кривой. Репер Френе. Формулы Френе. Кривизна кривой. Кручение кривой.
Тема 4.2 Поверхности Понятие поверхности. Первая фундаментальная форма поверхности. Вторая фундаментальная форма поверхности. Нормальная кривизна поверхности. Типы точек поверхности.
РАЗДЕЛ У. Математический анализ Тема 5.1 Числа и последовательности Понятие вещественньих чисел. Точные границы числовьих множеств. Различ ные формы полноты множества вещественных чисел. Определение предела по следовательности. Предел монотонной последовательности. Критерий Коши схо димости последовательности.
Тема 5.2 Функции одной переменной и ряды Определение предела функции в точке. Определение непрерывности функции в точке. Понятие равномерной непрерывности. Определение производной и диф ференциала функции одной вещественвой переменой. Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Определение ивтеграла Римана. I1нтегрируемость непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница. Понятие числового ряда.
Абсолютная и условная сходимость числовьих рядов. Сходимость ряда Фурье в точке.
Тема 5.3 Функции многих переменных Понятие дифференцируемости функций многих переменных. Матрица Якоби.
Теорема о неявной и обратной функции. Экстремумы функций многих перемен ных. Необходимое условие, достаточные условия существования экстремума.
Условный экстремум функций многих переменных.
Тема 5.4 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы Определение интеграла Римана на евклидовых пространствах. Определение криволинейных интегралов 1-го и 2-го рода. Определение поверхностных инте гралов 1-го и 2-го рода. Формула Грина, Стокса и Гаусса-Остроградского.
РАЗДЕЛ УI. Теория функций комплексного переменного Тема 6.1 Аналитические функции Производная функции комплексного переменного и ее геометрический смысл. Условия Коши-Римана. Аналитическая функция. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши.
Тема 6.2 Степенные ряды и вычеты Степенной ряд, радиус сходимости, формула Коши-Адамара для радиуса сходимости. Ряд Тейлора. Ряд Лорана. Изолированные особые точки и их клас сификация. Основная теорема о вычетах.
РАЗДЕЛ УII. Функциональный анализ Тема 7.1 Мера и интеграл Лебега Кольца, алгебры, сг-алгебры множеств. Мера на кольце множеств, ст аддитивная мера на кольце множеств. Борелевские множества, продолжение ме ры по Лебегу. Измеримые множества. Измеримые функции. I4ятеграл Лебега.
Тема 7.2 Метрические и нормированные пространства Сходящаяся последовательность, последовательность Коши в метрическйх пространствах. Сходимость функциональных последовательностей: точечная сходимость, сходимость почти всюду, равномерная сходимость. Отображения:
непрерьтвные, равномерно непрерывные, удовлетворяющие условшо Лiпшица.
Полное метрическое пространство. Сжимающее отображение. Пополнение мет рического пространства. Всюду плотное множество. Норма на векторном про странстве. Банахово пространство. Пространства суммируемых функций.
Тема 7.3 Линейные операторы Линейный ограниченный оператор. Норма линейного ограниченного опера тора. Линейные интегральные операторы. Образ, ядро, график линейного опера тора. Обратимьтй оператор. Собственные значения и собственные векторы ли нейного оператора. Спектр линейного оператора.
Тема 7.4 Гильбертовы пространства Скалярное произведение. Гильбертово пространство. Ортогональньие векто ры. Проекция вектора. Базис в нормированном векторном пространстве, в гиль бертовом пространстве. Ряд Фурье по ортонормированной системе в гильберто вом пространстве.
Тема 7.5 Сопряженное пространство Линейный ограниченный функционал. Пространство, сопряженное к норми рованному векторному пространству. Сопряженный оператор к линейному огра ниченному оператору.
Тема 7.6 Компактные операторы Предкомпактные, компактные множества в метрическом пространстве. Ком пактные операторы.
РАЗДЕЛ УIII. Теория вероятностей Тема 8.1 Вероятность Элементарное событие, случайное событие, пространство элементарных со бытий. Алгебра и о- -алгебра событий. Вероятностное пространство, вероятность.
Классическое, конечное, дискретное, геометрическое вероятностные простран ства. Условная вероятность, независимость событий. Схема Бернулли.
Тема 8.2 Случайные величины и независимость Случайная величина, ее функция распределения. дискретные и абсолютно непрерывные распределения, плотность вероятности. о- -алгебра, порожденная случайной величиной. Распределение вероятностей, независимость случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия, коэффициент корреляции.
Характеристическая функция случайной величины.
Тема 8.3 Последовательности случайных величин Центральная предельная теорема, закон больших чисел, усиленный закон больших чисел. Понятие о случайном процессе, пуассоновский случайный про цесс, случайный процесс броуновского движения.
Тема 8.4 Математическая статистика Выборка, вариационный ряд выборки, статистика. Несмещенность, состоя тельность, оптимальность, эффективность статистической оценки. достаточная статистика, статистическая гипотеза, параметрическая гипотеза, линейная ре грессия, метод наименьших квадратов.
РАЗДЕЛ IХ. Дифференциальньте уравнения Тема 9.1 Основные понятия Обыкновенные дифференциальные уравнения, поле направлений, решение, интегральная кривая, задача Коши.
Тема 9.2 Уравнения 1-го порядка Обыкновенные дифференциальньие уравнения первого порядка с разделяю щимися переменными, линейньте, Риккати и в полных дифференциалах.
Тема 9.3 Системы и уравнения п—го порядка Фундаментальная система решений однородных линейных дифференциаль ных уравнений п -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных для неоднородных линейных дифференциальных уравнений п -го порядка.
Тема 9.4 Особые точки и устойчивость Особые точки автономных систем: узел, седло, фокус, центр. Устойчивость решений по Ляпунову, функции Лягiунова.
РАЗДЕЛ Х. Уравнения в частных производных Тема 10.1 Уравнения в частных производных Классификация линейных дифференциальных уравнений с частными произ водными второго порядка. Уравнение малых поперечных колебаний струны.
Уравнение теплопроводности. Гармонические функции. Задача Коши. Смешан ные задачи.
РАЗДЕЛ ХI. Вычислительная математика Тема 11.1 Приближение функций и численное интегрирование Понятие погрешности. Методы приближения функций. Приближенное вы числение интегралов.
Тема 11.2 Системы линейных алгебраических уравнений и проблема собственных значений Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Ите рационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Мето ды решения проблемы собственных значений.
Тема 11.3 Системы нелинейных уравнений Методы численного решения систем нелинейных уравнений. Линейная и квадратичная скорость сходимости.
Тема 11.4 Разностные схемы и их применение Основные понятия теории разностных схем (сетка, устойчивость, сходи мость, аппроксимация). Разностные схемы для уравнений в частных производ ных.
РАЗДЕЛ ХII. Математическая логика Тема 12.1 Математическая логика Алгебра высказываний. Формулы, равносильность формул. Функции алгебры высказываний, способы задания. Исчисление высказываний. Формулы, аксиомьт, правила вывода. Предикатьи, формулы, кванторы, отрицание кванторов. Приве денные и нормальные формулы.
РАЗДЕЛ ХIП. дискретная математика Тема 13.1 дискретная математика Граф, цикл, сеть, поток, циркуляция, мощность потока. Эйлеровы графы.
РАЗДЕЛ ХIУ. Исследование операций Тема 14.1 Исследование операций Игра в нормальной форме, игра с нулевой суммой, матричная игра, цена иг ры, седловая точка.
РАЗДЕЛ ХУ. Методы оптимизации Тема 15.1 Методы оптимизации Экстремум, локальный эксТремум, условный зкстремум функции. Функция Лагранжа. Вариационная задача. Производные в векторных пространствах: про изводная по направлению, вариация по Лагранжу. Вьшукльте множества, вьшук льие функции, вьшуклые экстремальные задачи. Линейная задача, двойственная задача.
ЭКЗАМЕЯАГЩОIШЫиЕ ВОПРОСЫ
1. Поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме, формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел.2. Кольцо многочленов от одной переменной. Корень многочлена, теоре ма Безу, кратность корня. Неприводимые многочленьи над К и С. Теорема о разложении многочлена в произведение неприводимых многочленов.
3.Матрицы и алгебраические операции над ними. Ранг матрицьт и его ос новные свойства. Обратная матрица, критерий существования и методы ее вычисления. Жорданова нормальная форма матрицы.
4. Определители, их основные свойства. Миноры и алгебраические до полнения. Теорема Лапласа. Разложение определителя по элементам строки (столбца). Определитель произведения квадратных матриц.
5. Системы линейных алгебраических уравнений. Критерий совместности. Методы Гаусса и Крамера. Размерность и базис пространства всех реше ний однородной системы линейных уравнений.
б. Векторные пространства. Линейная зависимость и независимость век торов. Базис, размерность. Координаты вектора, их изменение при изменении базиса. Подпространства и операции над ними: пересечение, сумма, прямая сумма.
7. Линейное отображение векторных пространств, его ядро и образ. Мат рица линейного оператора. Матрица суммы и композиции линейных опера торов. Теорема о сумме ранга и дефекта линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы.
8. Билинейные, квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Канонический вид над К и С. Знакоопределенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.
9. Понятие группы, подгруппы, примеры. Нормальная подгруппа, факторгруппа. Теорема Лагранжа. Гомоморфизм и изоморфизм групп. Основная теорема о гомоморфизмах групп.
10. Понятие кольца, поля, подкольца, подполя, примеры. i4деал, фактор кольцо. Гомоморфизм и изоморфизм колец. Основная теорема о гомомор физмах колец.
11. Свободные векторы в К скалярное, векторное и смешанное произве дения.
12. Различные виды уравнений прямой и плоскости в К и в 13. Эллипс, гипербола, парабола, их уравнения и свойства. Классифика ция кривых второго порядка в К 14. Аффинные пространства АП. Плоскости в АП и их уравнения. Взаим ное расположение двух плоскостей.
15. Евклидовы точечные пространства К’. Ортогональность плоскостей в КП Расстояние от точки до плоскости в КП.
16. Топологическое пространство. Способы задания топологий, сравнение топологий. Внутренность, замыкание, граница множества в топологическом пространстве.
17. Непрерывные отображения топологических пространств и их свой ства. Гомеоморфизм.
18. Компактные и связные топологические пространства. Критерии ком пактности метрического пространства.
19. Кривые в К и в К способы их задания. Натуральная параметриза ция кривой.
20. Кривизна и кручение кривой, их геометрический смысл. Формулы Френе.
21. Поверхности в К и способы их задания. Первая фундаментальная форма поверхности и задачи, решаемые с ее помощью.
22. Нормальная кривизна поверхности. Вторая фундаментальная форма поверхности. Полная (гауссова) кривизна.
23. Вещественные числа и их основные свойства. Поле вещественных чи сел. Важнейшие подмножества в К и их мощность. Теорема Кантора о не счетности множества вещественньтх чисел.
24. Числовьие множества и их границы. Теорема о существовании точных границ.
25. Предел последовательности и его свойства (единственность, операции над последовательностями, предельный переход в неравенствах). Теорема о пределе монотонной последовательности. Число Эйлера.
26. Критерий Коши сходимости последовательности. Предельная точка множества в К, лемма Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки.
27. Лемма Бореля-Лебега о покрытиях отрезка интервалами. Теорема о стягивающейся последовательности отрезков.
28. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа (о конечных приращениях), Коши (об отношении приращений).
29. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей.
30. Формула Тейлора, остаточные члены в форме Пеано, Лагранжа, Коши.
31. Определение интеграла Римана для функций одной переменной. Не обходимое условие интегрируемости. Суммы дарбу и их свойства. Критерий интегрируемости в терминах сумм Дарбу, критерий Лебега интегрируемости.
Классы интегрируемых функций.
32. дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом.
Существование первообразной для непрерывной функции, формула Ньюто на-Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменных в определен ном интеграле.
33. Понятие числового ряда, сходящиеся и расходящиеся ряды. Критерий Коши сходимости числовьих рядов. Признаки сходимости положительных рядов. (Коши с корнем, даламбера, Гаусса).
34. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Признаки дири хле и Абеля.
35. Функциональные ряды и последовательности. Равномерная сходимосты. Критерий Коши равномерной сходимости. Признаки Вейерштрасса, Абеля и дирихле для равномерной сходкмости.
36. Интегральные представления частичных сумм тригонометрического ряда Фурье. Лемма Римана-Лебега. Принцип локализации. Классы поточеч ной сходимости рядов Фурье.
37. диффереiщируемые отображения из в К”. Матрица Якоби.
38. Локальные экстремумы функций одной и многих переменных. Необ ходимые и достаточные условия локального зкстремума функции.
39. Условный экстремум. Необходимые, достаточные условия. Метод множителей Лагранжа.
40. Теоремы о неявной и обратной функциях, условия их дифференциру емости и формулы для производных.
41. Мера Жордана в К” и ее свойства: монотонность, аддитивность, суб аддитивность. I4нтеграл Римана в К” и его свойства. Сведение интеграла к повторному (теорема Фубини), замена переменной в кратном интеграле.
42. Криволинейные интегралы и их основные свойства. Формула Грина.
43. Поверхностные интегралы, формула Стокса, формула Гаусса Остроградского.
Теория функций комплексного переменного 44. Производная от функции комплексного переменного и ее геометриче ский смысл. Условия Коши-Римана.
«