«Электрические цепи постоянного тока для моделирования и управления Алгоритмы и аппаратура Вторая редакция, 2006 Израиль Россия 2004 Solomon I. Khmelnik Electric Circuits of direct Current for Modelling and Control ...»

Умножим (2) слева на и (1) – слева на I. Тогда найдем, что из законов Кирхгофа следует тот факт, что суммарная мощность электрической цепи равна нулю:

Рассмотрим теперь функцию Очевидно, и законы Кирхгофа могут быть переписаны в виде:

Найдем необходимые условия оптимума этой функции при ограничениях - уравнениях второго закона Кирхгофа в виде (9). Эти условия имеют вид уравнений (10) и (3), где I является вектором неопределенных множителей Лагранжа для условия (8), которые появляются, когда оптимизируемая функция дополняется слагаемым Далее имеем:

Отсюда следует, что функция (7), имеет глобальный максимум.

Итак, максимизация функции (7) при ограничении в виде уранений второго закона Кирхгофа (8) приводит к уравнениям первого закона Кирхгофа (10) и условию (3). Следовательно, расчет электрической цепи постоянного тока эквивалентен поиску условного максимума функции (7).

Задачи минимизации функции (4) при ограничении (2) и максимизации функции (7) при ограничении (8) являются двойственными.

Уравнения простых цепей постоянного тока всегда имеют единственное решение.

2. Безусловная электрическая цепь.

Рассмотрим электрическую цепь постоянного тока, в которой и G 1 /. Назовем такую электрическую цепь безусловной (смысл такого названия будет ясен из дальнейшего). Очевидно, сопротивления можно рассматривать как дополнительные ветви электрической цепи. Однако мы рассмотрим другой способ, позволяющий описать такие цепи более компактно и, как следствие, существенно уменьшить размерность векторов и матриц.

Вектор токов i, протекающих по сопротивлениям, связан с остальными токами цепи соотношением (1.1.2). Кроме того, Раздел 1. Электрические цепи с сопротивлениями Рассмотрим задачу минимизации функции (1.1.4) при ограничении (1.1.2). В данном случае (1.1.4) принимает следующий вид:

Подставляя (1.1.2) в (23), получаем где Найдем необходимые условия безусловного минимума функции (24). Они имеют вид уравнений или или Учитывая (1.1.2) и (22), получаем уравнения второго закона Кирхгофа (1.1.1). Таким образом, безусловная минимизация функции (24) формально дает тот же результат, что и условная минимизация функции (1.1.4).

электрической цепи минимизируется мощность тепловых потерь – результат безусловной минимизации функции (24) от I стремится к результату условной (условие – первый закон Кирхгофа) минимизации функции (1.1.4) от I и. Таким образом, 1. Расчет электрической цепи постоянного тока эквивалентен расчету соответствующей безусловной цепи при.

2. Расчет безусловной цепи эквивалентен безусловной минимизации функции (24), при которой определяется вектор I токов в ветвях.

3. Задача безусловной минимизации имеет размерность m, в то время, как задача условной минимизации имеет размерность 4. Узловые потенциалы определяются по формуле При этом первый закон Кирхгофа (1.1.2) выполняется с некоторой погрешностью.

3. Алгоритм расчета безусловной электрической цепи.

воспользоваться методом градиентного спуска для расчета электрической цепи. Идею метода рассмотрим для безусловной электрической цепи. Она состоит в следующем. При данных значениях вектора I его новое значение вычисляется по формуле:

где p– градиент вектора I, При этом градиент При изменении вектора от I до I n функция (1.1.24) изменяется на величину F = F ( I n ) F ( I ). Далее имеем:

Оптимальное значение шага определяется из условия Отсюда находим Раздел 1. Электрические цепи с сопротивлениями Таким образом, итерационный процесс поиска минимума функции (1.1.24) позволяет найти вектор I. При этом в каждой итерации:

• вычисляется градиент p по (32) при данном векторе I;

• вычисляется коэффициент a по (33) при данном p;

• вычисляется новое значение вектора I по (31).

2. Электрические цепи с трансформаторами Денниса 1. Простая электрическая цепь с трансформаторами Денниса.

Описываемые далее электрические цепи содержат трансформаторы постоянного тока или трансформаторы мгновенных значений. Такие трансформаторы впервые были рассмотрены Деннисом [4]. Поэтому в дальнейшем они называются трансформаторами Денниса и обозначаютя как TD. Деннис предложил TD как абстрактную математитческую конструкцию (для интерпретации математической теории) и разработал теорию электрических цепей постоянного тока, включающих TD, резисторы, диоды, источники тока и напряжения. При этом не были предложены способы физической реализации TD. Из-за трансформаторами постоянного тока до настоящего времени не использовались.

TD имеет первичную и вторичную обмотки. Мгновенные значения токов и напряжений в этих обмотках связаны между собой также, как действующие значения синусоидальных токов и напряжений в обычном трансформаторе.

На фиг. 1 TD изображен условно. Он содержит две ветви – первичную с током i1 и напряжением e1 и вторичную с током i2 и напряжением e2. TD описываются уравнениями где t – коэффициент трансформации.

Из этих уравнений следует, что e1i1 = e2i2, т.е. мощности, отдаваемые первичной и вторичной ветвями TD в электрическую цепь, в сумме равны нулю – TD является пассивным элементом.

Трансформатор Денниса TD может рассматриваться как узел, где токи суммируются с весовыми коэфициентами. При этом возникает полная аналогия с первым законом Кирхгофа для узлов.

Раздел 2. Электрические цепи с трансформаторами Денниса В главе 3 предлагаются различные варианты физической реализации TD. Тем самым электрические цепи с TD становятся физически реализуемыми.

Рассмотрим теперь специальную матрицу TD – см., например, фиг. 2. Для этой матрицы выполняются соотношения В общем случае обозначим:

j - номер строки, k – номер столбца, J k - суммарный ток всех обмоток, составляющих k- столбец k - общее напряжение на обмотках, составляющих k- столбец I j - ток всех обмоток, составляющих j - строку матрицы, e j - суммарное напряжение всех обмоток, составляющих j строку матрицы, t jk - коэффициенты трансформации.

Фиг. 3. Условное изображение электрической цепи со специальной матрицей TD Раздел 2. Электрические цепи с трансформаторами Денниса Условное изображение матрицы трансформаторов приведено на фиг. 3. В общем случае она описывается следующими уравнениями:

Будем называть k-столбец матрицы трансформаторов трансформаторным узлом. Как и в простой цепи, в обычный узел может быть включен источник тока C и проводимость G. Но, кроме того, источник тока и проводимость могут быть также включены в трансформаторнымй узел. Например, на фиг. 2 показаны источники тока C1, C2, C3 и проводимости G1, G2, G3. В дополнение к предыдущему разделу обозначим:

Т – матрица трансформаторов, в которой выделены строки и = { k } - вектор напряжений на столбцах, i = {ik } - вектор токов в проводимостях столбцов, G = {Gk } - вектор проводимостей столбцов, C = {Ck } - вектор источников тока столбцов, J = {J k } - вектор токов столбцов, e = e j - вектор напряжений строк.

Тогда Заметим, что e I = J, т. е. эта матрица трансформаторов является пассивным элементом.

Первый закон Кирхгофа для трансформаторных узлов имеет вид:

Второй закон Кирхгофа имеет вид:

Рассмотрим функцию Найдем необходимые условия оптимума этой функции при ограничениях вида (1.1.2) и (2). Они имеют вид уравнений (3). Здесь является вектором неопределенных множителей Лагранжа для условия (1.1.2), которые появляются, когда оптимизируемая функция дополняется слагаемым T ( N I + C i ). Кроме того, здесь является вектором неопределенных множителей Лагранжа для условия (2), которые появляются, когда оптимизируемая функция дополняется слагаемым T T T I + C i.

Далее имеем:

Отсюда следует, что функция (4), имеет глобальный минимум.

Итак, минимизация функции (4) при ограничениях вида (1.1.2) и (2) приводит к уравнениям второго закона Кирхгофа (1).

Следовательно, расчет электрической цепи постоянного тока с трансформаторами Денниса также эквивалентен поиску условного минимума функции (4).

Рассмотрим теперь функцию Очевидно, и законы Кирхгофа могут быть переписаны в виде:

Найдем необходимые условия оптимума этой функции при ограничениях – уравнениях второго закона Кирхгофа в виде (8) Эти условия имеют вид уравнений (1.1.10) и (9), где I является вектором неопределенных множителей Лагранжа для условия (7), которые появляются, когда оптимизируемая функция дополняется слагаемым Далее имеем:

Отсюда следует, что функция (6), имеет глобальный максимум.

Итак, максимизация функции (6) при ограничении в виде уранений второго закона Кирхгофа (8) приводит к уравнениям первых законов Кирхгофа (1.1.10), (9) и условию (1.1.3). Следовательно, Раздел 2. Электрические цепи с трансформаторами Денниса расчет электрической цепи постоянного тока эквивалентен поиску условного максимума функции (6).

Пример 1. Линейное программирование с ограничениями в виде равенств.

Рассмотрим частный случай электрической цепи, когда N = 0, R = 0, = 0. При расчете такой цепи решается следующая задача - см. (2), (4):

Таким образом, при этом решается задача линейного программирования с ограничениями в виде равенств.

Задачи минимизации функции (4) при ограничении (3) и максимизации функции (6) при ограничении (7) являются двойственными.

Уравнения цепей постоянного тока с трансформаторами Денниса не всегда имеют решение. Это утверждение следует из того, что уравнение (2) не всегда имеет решение.

Схема с «многообмоточными» TD всегда может быть преобразована к схеме с матрицей TD.

Пример 2. «Многообмоточные» TD.

Рассмотрим схему с «многообмоточными» TD, изображенную на фиг. A. Ей эквивалентна схема, представленная на фиг. B, которая содержит матрицу TD. Это становится особенно ясным, если перерисовать ее в виде фиг. C.

Раздел 2. Электрические цепи с трансформаторами Денниса Раздел 2. Электрические цепи с трансформаторами Денниса 2. Безусловная электрическая цепь с трансформаторами Денниса.

Выше уже рассматривалась безусловная электрическая цепь.

Здесь мы дополним ее трансформаторами Денниса и проводимостью G 1 /, которые включены между базовым узлом и каждым трансформатором Денниса. Пример такого включения показан на фиг. 3, где трансформатор с коэффициентом трансформации t заменен двумя другими с коэффициентом трансформации k1 = t и k 2 = 1 соответственно. Очевидно, Первый закон Кирхгофа для обычных узлов имеет вид (1.1.2).

Первый закон Кирхгофа для трансформаторных узлов имеет вид (2).

Рассмотрим задачу минимизации функции (4) при ограничениях (1.1.2) и (2). В данном случае (4) принимает следующий вид:

Подставляя (1.1.2) и (2) в (10), получаем где Найдем необходимые условия безусловного минимума функции (11). Они являются уравнениями второго закона Кирхгофа и имеют вид уравнений или 3. Трансформаторное соединение линий с узлами.

Рассмотрим фиг. 4, где некоторая линия AB с током I подключена к узлу C через трансформатор Денниса с коэффициентом трансформации t. При этом в узел С втекает ток t*I, а потенциалы и точек А и С связаны соотношением = t. Будем полагать, что все линии схемы имеют такое трансформаторное соединение с узлами (в случае прямого соединения линии с узлом будем полагать, что имеет место соединение через трансформатор с t=1), а источники тока H и узловые проводимости G присоединены к узлу непосредственно. Тогда первый закон Кирхгофа для обычных узлов имеет вид (1.1.2), где матрица инциденций состоит из элементов трансформации km-трансформатора, соединяющего k-линию с mузлом. При этом и потенциалы концов линий и узлов связаны соотношением Фиг. 4. Трансформаторное соединение линий с узлами.

Раздел 2. Электрические цепи с трансформаторами Денниса 4. Безусловная электрическая цепь с матрицей трансформаторов.

Будем полагать, что во всех обычных узлах электрической цепи включены узловые сопротивления и источники тока C, а во всех трансформаторных узлах включены узловые сопротивления и источники тока C. Токи, протекающие через сопротивления, как и ранее, будем обозначать через i, i для обычных и трансформаторных узлов соответственно. Такие цепи будем называть электрическими цепями общего вида.

На фиг. 5 показан пример электрической цепи общего вида, где во всех узлах включены узловые сопротивления и источники тока.

На этой фигуре буквами a, b, c обозначены ветви строк трансформаторной матрицы и разрывы обычных ветвей, куда вставлены ветви строк.

При этом справедливы уравнения (1.1.2, 2, 10-15).

Раздел 3. Специальные электрические цепи с ТД 3. Специальные электрические цепи с трансформаторами 1. Двойственные цепи постоянного тока.

Рассмотрим частный случай безусловной электрической цепи с узловыми проводимостями, когда N = 0, C = 0, G = 0. В этом случае в электрической цепи минимизируется функция токов двойственная задача - максимизируется функция потенциалов при условиях В частности, если G = 0, то прямая задача принимает вид:

Если же R = 0, то двойственная задача принимает вид:

Нетрудно заметить, что обе эти задачи совпадают с точностью [N = 0, C = 0, G = 0, R = 0] будем называть двойственными. Они представлены на фиг. 1 и фиг. 2 соответственно.

Фиг. 1. Электрическая цепь 1.

Фиг. 2. Электрическая цепь 2.

Раздел 3. Специальные электрические цепи с ТД 2. Двухматричные цепи постоянного тока.

Рассмотрим цепь, в которой имеется две матрицы с общими ветвями, обозначая их величинами с одним и двумя штрихами соответственно – см. фиг. 3. В такой цепи токи распределяются таким образом, что минимизируется функция токов при условиях – уравнениях первого закона Кирхгофа вида (1.2.1) и Фиг. 3. Двухматричная электрическая цепь.

при условиях – уравнениях второго закона Кирхгофа вида Рассмотрим частный случай, когда При этом из (8) следует:

Далее, из (6), (11) находим, что в этом случае решается следующая задача - минимизируется функция токов при условиях при условиях – уравнениях второго закона Кирхгофа вида 3. Безусловные двухматричные цепи.

Выше уже рассматривалась безусловная электрическая цепь с трансформаторами Денниса. При G 1, G 1, G функция (6) принимает следующий вид:

Для двухматричной цепи первый закон Кирхгофа для обычных узлов имеет вид уравнений (1.1.2), (7), (8). Подставляя эти уравнения в (16), получаем где Необходимые условия безусловного минимума функции (17).

имеют вид уравнений Раздел 4. Электрические цепи с супериндуктивностями 4. Электрические цепи с супериндуктивностями Рассмотрим элемент, называемый далее (для удобства изложения) супериндуктивностью [34]. В ней ток I и напряжение E s связаны уравнением где – S -величина супериндуктивности. Как показано далее (см.

раздел 4) супериндуктивность реализуется внутри регулируемого объекта. В других случаях она может быть выполнена в виде устройства, описанного в разделе 3.5.

Супериндуктивность в электрической цепи играет роль источника напряжения. Следовательно, электрическая цепь (без ветвей третьего типа), содержащая супериндуктивности, описывается уравнениями которые аналогичны уравнениям (1.1.2) (1.1.1) соответственно.

Рассмотрим функционал и докажем, что решение системы уравнений (1, 2) эквивалентно минимизации функционала (3) при условии (1) [34]. В соответствии с методом Лагранжа [37] эта задача эквивалентна минимизации функционала по функциям I (t ), (t ), где - вектор множителей Лагранжа и Для решения этой задачи рассмотрим следующие функции:

Дифференцирование f (.) по I и по соответственно. Сравнивая их с уравнениями (2) и (1), получаем, что системы уравнений (1, 2) эквивалентно минимизации функционала (4) или функционала (3) при ограничении (1).

Таким образом, электрическая цепь с супериндуктивностями может применятся для решения вариационной задачи минимизации функционала (3) так же, как электрическая цепь с сопротивлениями – для решения задачи квадратичного программирования.

Раздел 5. Математические задачи в электрических цепях 5. Математические задачи в электрических цепях 1. Cистемы линейных уравнений N = 0, C = 0, G. При этом задача минимизации (1.2.4, 1.2.2) принимает вид:

Двойственная задача минимизации (1.2.6, 1.2.8, 1.1.2 ) принимает вид:

Способ 1. Рассмотрим задачу (1) при U = 0, R = 1, :

Эта задача эквивалентна решению системы линейных уравнений T T I + C = 0 относительно вектора неизвестных и минимизации квадрата эвклидовой нормы вектора неизвестных I T I. Таким образом, расчет такой цепи эквивалентен решению недоопределенной системы линейных уравнений.

Способ 2. Рассмотрим задачу (2) при C = 0, R = 0 :

Эта задача эквивалентна решению системы линейных уравнений U = T относительно вектора неизвестных и минимизации квадрата эвклидовой нормы вектора неизвестных T. Таким недоопределенной системы линейных уравнений.

Способ 3. Рассмотрим задачу (1) при U = 0, R = 0 :

Эта задача эквивалентна решению системы линейных уравнений минимизации квадрата эвклидовой нормы невязки i переопределенной системы линейных уравнений.

Пример 1. Минимизация дисперсии. Рассмотрим частный случай задачи (3), когда матрица T представляет собой вектор единичных значений, а вектор I представляет собой скаляр.

При расчете такой цепи решается переопределенная система линейных уравнений с одной переменной I и определяется такое значение I, относительно которого компоненты данного вектора C имеет минимальную дисперсию.

Способ 4. Рассмотрим задачу (2) при C = 0, R = 1, :

Эта задача эквивалентна решению системы линейных уравнений U = T относительно вектора неизвестных и минимизации квадрата эвклидовой нормы невязки I T I. Таким образом, расчет такой цепи эквивалентен решению переопределенной системы линейных уравнений.

Способ 5. Рассмотрим двухматричную цепь, где При этом двойственная задача минимизации (1.3.25) и (1.3.26) принимает вид:

Раздел 5. Математические задачи в электрических цепях Задача (6) эквивалентна решению системы линейных уравнений U = T относительно вектора неизвестных и минимизации квадрата эвклидовой нормы невязки T. Таким образом, расчет такой цепи эквивалентен решению переопределенной системы линейных уравнений.

Глава 1. Линейные электрические цепи Фиг.2. К расчету по способу 2.

Фиг.3. К расчету по способу 3.

Раздел 5. Математические задачи в электрических цепях Итак, одноматричная цепь U = 0, R = 1, = 0 (Способ 1, фиг. 1) и одноматричная цепь C = 0, R = 0 (Способ 2, фиг. 2) решают одну и ту же недоопределенную систему линейных уравнений.

Одноматричная цепь U = 0, R = 0 (Способ 3, фиг. 3), одноматричная цепь C = 0, R = 1 (Способ 4, фиг. 4) и специальная двухматричная цепь (Способ 5, фиг. 5) решают одну и ту же переопределенную систему.линейных уравнений.

При решении хорошо определенной системы линейных уравнений можно воспользоваться любым из этих способов.

2. Квадратичное программирование с ограничениями в виде равенств.

Рассмотрим частный случай двухматричной цепи, когда двухматричная схема имеет вид В этом случае задача при расчете электрической цепи решается следующая задача - минимизируется функция токов – см. (1.3.28) и (1.3.29):

при условии Если матрица A = T T является квадратной, то задача принимает вид задачи квадратичного программирования в традиционной записи:

Заметим, что решение этой задачи существует, если матрица А является положительно определенной. Соответствующая схема изображена на фиг. 6.

Метод решения связан с преобразованием A = T T T, в результате которого определяется матрица T. В том случае, когда матрица А является симметричной, для такого преобразования можно применить LU-разложение матрицы на две треугольные матрицы U = T и L = T T. Способ такого разложения известен [38] и здесь не описывается. В результате такого разложения задача квадратичного программирования (23) также сводится к расчету двухматричной электрической цепи Раздел 5. Математические задачи в электрических цепях Фиг. 5. К задаче квадратичного программирования Пример 2. Строительная площадка. Рассмотрим прямоугольную строительную площадку, разбитую на квадраты с шагом s. Пронумеруем эти квадраты индексами j = 1, J и k = 1, K по двум горизонтальным направлениям и обозначим среднюю высоту площадки квадрата через h. Расстояние между двумя квадратами Неровность всей строительной площадки может быть оценена величиной Работа по выравниванию строительной площадки заключается в том, что высоты квадратов изменяются на величину h. Объем грунта, перемещенного внутри площадки для того, чтобы изменить уровень каждого квадрата Трудоемкость перемещения этого грунта можно оценить величиной Объем грунта на строительной площадке в целом изменяется на величину Этот грунт должен быть ввезен или вывезен со строительной площадки. Задача заключается в том, чтобы обеспечить определенную степень выравнивания строительной площадки при минимизации стоимости всех работ. Другими словами, необходимо минимизировать величину где,, - известные весовые коэффициенты. Если полагать, что стоимость перемещения грунта вне площадки намного превышает стоимость его перемещения внутри площадки то задача принимает вид:

В матричной форме эта задача формулируется следующим образом:

Здесь H = {ha } - вектор начальных высот, H = {ha } - вектор окончательных высот, E - единичный вектор, D = ab J K квадратная матрица. Заметим, что при = 0 решается задача идеального выравнивания.

Раздел 5. Математические задачи в электрических цепях Рассмотрим видоизмененную двухматричную схему Она имеет приведенный на рисунке вид и отличается от ранее описанной тем, что в ней присутствуют источники тока C 0 и вторая группа сопротивлений R. В этом случае при расчете электрической цепи решается следующая задача минимизируется функция токов Если матрица T является квадратной и Z - единичная матрица, то (T + Z ) I = I и задача принимает вид задачи квадратичного программирования:

Если произвести замену то задача (10) станет эквивалентна звадаче (11).

1. Электрические цепи с источниками мощности 1. Нелинейная электрическая цепь.

В отличие от линейных цепей нелинейная цепь постоянного тока дополнительно может содержать источники фиксированной мощности (генерируемой или потребляемой). Эти источники подключаются к некоторым узлам цепи. Потенциалы соответствующих узлов и токи источников мощности не известны.

Мощности генераторов считаются положительными и их токи направлены к узлу. Мощности потребителей считаются отрицательными и их токи направлены от узла. Обозначим (в дополнение к обозначениям для линейных цепей):

Pf - вектор фиксированных мощностей, I f - вектор токов у источников фиксированных мощностей.

Первый закон Кирхгофа имеет в данном случае следующий вид а второй закон Кирхгофа, по-прежнему, имеет вид уравнения (1.1.1).

Источник (или потребитель) мощности P (или (-P)) генерирует ток, направленый к узлу (от узла). При этом уравнения второго закона Кирхгофа для узлов с мощностями могут быть представлены в виде:

где мощности имеют положительное (для источника) или отрицательное (для потребителя) значения, а знаком обозначается покомпонентное деление векторов. Таким образом, Раздел 1. Электрические цепи с источниками мощности для нелинейных цепей с фиксированными мощностями появляются дополнительные уравнения – условие постоянства фиксированных мощностей:

Здесь и далее знаки, означают покомпонентное умножение и деление векторов. Для общности полагаем, что источники токов и фиксированных мощностей включены в каждый узел (но во многих узлах принимают нулевое значение).

Умножим (1) слева на T и (1.1.1) – на I T, а также учтем (3).

Тогда найдем, что из этих уравнений следует тот факт, что суммарная мощность электрической цепи равна нулю:

где P f - сумма компонент вектора Pf.

Рассмотрим теперь функцию где ln(.) означает покомпонентное логарифмирование вектора.

Найдем необходимые условия оптимума этой функции при ограничениях вида (1). Они имеют вид уравнений (1.1.1), (1.1.8) и (3). Здесь является вектором неопределенных множителей Лагранжа для условия (1), которые появляются, когда оптимизируемая функция дополняется слагаемым T (N I + C i I f ). Таким образом, эта задача эквивалентна задаче безусловной минимизации функции Рассмотрим достаточные условия минимума функции (5) по неизвестным I, I f, i при ограничении (1). Первые частные производные этой функции имеют вид:

Рассмотрим вторые частные производные этой функции:

Обозначим:

Тогда получим:

Следовательно, рассматриваемая функция имеет глобальный минимум при Заметим, что в наших обозначениях генерируемая мощность источника мощности является положительной, а генерируемая мощность источника тока является отрицательной. Следовательно, рассматриваемая функция имеет глобальный минимум, если суммарная фиксированная потребляемая мощность не превышает мощность, потребляемую резисторами. В частности, если в цепи есть только генераторы фиксированной мощности, то данное условие соблюдается обязательно.

Раздел 1. Электрические цепи с источниками мощности Пример 1. Двухузловая схема с источником напряжения и мощности. Рассмотрим частный случай, когда источник напряжения нагружен через сопротивление на источник фиксированной мощности. При этом Необходимое и достаточное условия минимума имеют соответственно вид:

Решением этой задачи является ток I = E ± E 4RP. Отсюда следует, что в такой цепи может быть реализована только потребляемая фиксированная мощность.

Пример 2. Двухузловая схема с источниками мощности.

Рассмотрим другой частный случай, когда источник Необходимое условие минимума имеет вид:

Достаточное условие минимума имеет вид:

Эта величина, умноженная на I, равна суммарной мощности в цепи и, следовательно, равна нулю. Отсюда следует, что функция F () имеет глобальный минимум.

2. Безусловная нелинейная электрическая цепь.

По аналогии с линейной электрической цепью постоянного тока рассмотрим безусловную электрическую цепь постоянного тока, в которой каждый узел нагружен на проводимость G 1 /.

Вектор токов i, протекающих по сопротивлениям, связан с остальными токами цепи соотношением (1.1.2), а с вектором узловых потенциалов – соотношением (1.2.2).

Рассмотрим задачу минимизации функции (5) при ограничениях (1). В данном случае (5) принимает следующий вид:

Подставляя (1) в (21), получаем где RN и U N определяются по (1.2.5) и (1.2.6) соответственно.

Найдем необходимые условия безусловного минимума функции (22). Они имеют вид уравнений или или Учитывая (1) и (1.2.2), получаем уравнение второго закона Кирхгофа (1.1.1). Таким образом, безусловная минимизация функции (22) формально дает тот же результат, что и условная минимизация функции (5).

Если, то i 0. Это следует из того, что в нелинейной электрической цепи минимизируется мощность тепловых потерь – см. слагаемое i T i в (21). Следовательно, при результат Раздел 1. Электрические цепи с источниками мощности минимизации функции (6). Таким образом, 1. Расчет нелинейной электрической цепи постоянного тока эквивалентен расчету соответствующей безусловной цепи 2. Расчет безусловной цепи эквивалентен безусловной минимизации функции (22), при которой определяется 3. Задача безусловной минимизации имеет размерность m, в то время, как задача условной минимизации имеет размерность 4. Узловые потенциалы определяются по формуле Кирхгофа (1) выполняется с некоторой погрешностью.

3. Вычислительный алгоритм для нелинейной безусловной электрической цепи.

Существование глобального минимума позволяет воспользоваться методом градиентного спуска для расчета электрической цепи. Идею метода рассмотрим для безусловной нелинейной электрической цепи. Она состоит в следующем.

Рассматривается вектор x = и минимизируемая в нелинейной следующий вид:

или - диагональная матрица с элементами, 0, if Pf does not exist in the current node.

При данных значениях вектора х его новое значение вычисляется по формуле:

где При этом частные производные – градиенты При изменении вектора от x до xn функция (31) изменяется на величину F (a ) = F ( xn ) F ( x). Имеем:

Таким образом, Оптимальное значение шага a определяется из условия Представим величину Раздел 1. Электрические цепи с источниками мощности в виде степенной функции от a:

где Далее имеем:

Ограничиваясь полиномом первой степени, находим:

При P = 0 отсюда следует (1.3.3).

Таким образом, итерационный процесс поиска минимума функции (1) позволяет найти вектор x. При этом вначале Здесь знак «плюс» относится к отрицательной мощности источника, а знак «минус» относится к положительной мощности источника.

Затем в каждой итерации:

• вычисляется градиент p по (33) при данном векторе x;

• вычисляется коэффициент a по (34, 35, 36) при данном p;

• вычисляется новое значение вектора x по (32).

Имея в виду (31) и (33), преобразуем (34) и (35):

Эти же формулы можно представить в следующем виде:

Пример 3. Одноузловая схема. Пусть N = 1, C = 0, Pf > 0.

В начальный момент имеем: I = 0, I f = Pf. Следовательно, В частности, при Pf = 0 имеем:

заканчивается на первой итерации.

2. Недоопределенные электрические цепи с источниками мощности 1. Недоопределенная нелинейная электрическая В отличие от предыдущего рассмотрим нелинейную цепь постоянного тока, в которой дополнительно содержатся источники неопределенной генерируемой мощности. Эти источники подключаются к некоторым узлам цепи. Эти мощности, а также их напряжения (точнее – потенциалы соответствующих узлов) и токи не известны. Мощности генераторов считаются положительными и их токи направлены к узлу. Мощности потребителей считаются отрицательными и их токи направлены от узла.

Обозначим (в дополнение к предыдущему):

Pv - вектор неопределенных мощностей, Iv - вектор токов у источников неопределенных мощностей, v - вектор потенциалов узлов с источниками фиксированных Первый закон Кирхгофа имеет вид:

Второй закон Кирхгофа в ветвях второго типа имеет, по-прежнему, вид (1.1.1). По аналогии с предыдущим уравнения второго закона Кирхгофа для узлов с неопределенными мощностями могут быть представлены в виде:

или где мощности имеют положительное (для источника) или отрицательное (для потребителя) значения. Умножим (1) слева на T и (1.1.1) – на I T, а также учтем (2.1.3) и (3). Тогда найдем, что из этих уравнений следует тот факт, что суммарная мощность электрической цепи равна нулю:

Здесь для общности полагаем, что источники токов, фиксированных и неопределенных мощностей включены в каждый узел (но во многих узлах принимают нулевое значение).

Важно отметить, что система уравнений (1), (2.1.1), (2.1.3), (3) является нелинейной и недоопределенной, так как каждый источник неопределенной мощности добавляет два неизвестных, но для их определения имеется только одно дополнительное условие (3).

Следовательно, формально существует несколько решений этой системы уравнений.

Рассмотрим теперь функцию где (Pv ) – известные функции, которые вводятся для устранения неопределенности. Заметим, что при отсутствии функции (Pv ) система уравнений не имеет решения. Итак, включение в функционал функции (Pv ) приводит к тому, что задача становится определенной.

Рассмотрим достаточные условия минимума функции (5) по неизвестным I, I f, I v, P при ограничении (1). Первые частные производные этой функции имеют вид:

Рассмотрим вторые частные производные этой функции:

Обозначим:

минимум при Заметим, что в наших обозначениях генерируемая мощность источника мощности является положительной, а генерируемая мощность источника тока является отрицательной. Следовательно, при Q=0 рассматриваемая функция имеет глобальный минимум, если суммарная фиксированная и неопределенная потребляемая мощность не превышает мощность, потребляемую резисторами.

При Q>0 глобальный минимум становится более выраженным.

2. Нелинейная недоопределенная безусловная электрическая цепь.

По аналогии с линейной электрической цепью постоянного тока рассмотрим безусловную электрическую цепь постоянного тока, в которой каждый узел нагружен на проводимость G 1 /.

Вектор токов i, протекающих по сопротивлениям, связан с остальными токами цепи соотношением (1.1.2), а с вектором узловых потенциалов – соотношением (1.2.2).

Подставляя (1) в (5), получаем где RN и U N определяются по (1.2.5) и (1.2.6) соответственно.

Найдем необходимые условия безусловного минимума функции (1). Они имеют вид уравнений или или Учитывая (1) и (1.2.2), получаем уравнение второго закона Кирхгофа (1.1.1). Таким образом, безусловная минимизация функции (21) формально дает тот же результат, что и условная минимизация функции (4).

Если, то i 0. Это следует из того, что в нелинейной электрической цепи минимизируется мощность тепловых потерь – см. слагаемое i T i в (21). Следовательно, при результат безусловной минимизации функции (21) от I, I f, Iv, Pv стремится к минимизации функции (5). Таким образом, 1. Расчет нелинейной электрической цепи постоянного тока эквивалентен расчету соответствующей безусловной цепи 2. Расчет безусловной цепи эквивалентен безусловной минимизации функции (21), при которой определяется 3. Задача безусловной минимизации имеет размерность m, в то время, как задача условной минимизации имеет размерность 4. Узловые потенциалы определяются по формуле Кирхгофа (21) выполняется с некоторой погрешностью.

Если функция (Pv ) является сепарабельной, то в соответствии с уравнением (4) могут быть найдены величины Pv, как функции соответствующих токов:

Подставляя эту функцию в (21) получаем более простое для минимизации выражение:

3. Вычислительный алгоритм для безусловной нелинейной недоопределенной электрической цепи.

3.0. Общий алгоритм Существование глобального минимума позволяет воспользоваться методом градиентного спуска для расчета электрической цепи. Идею метода рассмотрим для безусловной нелинейной недоопределенной электрической цепи. Она состоит в минимизируемая в нелинейной недоопределенной безусловной электрической цепи функция (21) принимает следующий вид:

где - диагональная матрица с элементами 0, if Pf does not exist in the current node.

~ - диагональная матрица с элементами 0, if Pv does not exist in the current node.

- диагональная матрица с элементами 0, if Pf & Pv does not exist in the current node.

При данных значениях вектора его новое значение вычисляется по формуле:

где При этом частные производные - градиенты При изменении вектора от x до xn функция (31) изменяется на величину F ( a ) = F ( xn ) F ( x ). Имеем:

Таким образом, Представляя величину (2.1.33e) в виде степенной функции (2.1.33f) от a, из (2.1.33g) и (2.1.33h) имеем:

Ограничиваясь полиномом первой степени, находим:

Таким образом, итерационный процесс поиска минимума функции (31) позволяет найти вектор x. При этом вначале устанавливаются следующие значения токов:

отрицательной мощности источника, а знак «минус» относится к положительной мощности источника. Затем в каждой итерации:

• вычисляется градиент p по (33) при данном векторе х;

• вычисляется коэффициент a по (34, 35, 36) при данном p;

• вычисляется новое значение вектора х по (32).

Имея в виду (31) и (33), преобразуем (34) и (35):

Если функция (Pv ) является сепарабельной, то в соответствии с уравнением (33d) могут быть найдены величины P, как функции соответствующих токов:

Подставляя эту функцию в (31) получаем более простое для минимизации выражение:

Коэффициенты для определения шага приобретают следующий вид:

Заметим, что при градиентном спуске величина Iv может проходить через нуль. Для исключения деления на нуль величины Q1,Q2 принимаются равными нулю при Iv <.

Функции (Pv ) могут интерпретироваться различным образом, что эквивалентно различным техническим задачам.

3.1. Минимизация отклонения узловых генерируемых мощностей от планового значения При этом минимизируется отклонение генерируемой мощности Pv от планового значения Pvo с учетом стоимости bv генерации в каждом узле.

Соотношение (33d) при этом принимает вид:

Функция (39) определяется из этого соотношения следующим образом:

При этом 3.2. Минимизация узловых генерируемых мощностей Пусть (Pv ) = bv (Pv )2 и в генератогных узлах имеется также фиксированная мощность Pf. Это фиксированное значение можно генерируемой мощности Pv от планового значения Pf с учетом стоимости bv генерации в каждом узле.

При Pv = 0 из (45, 46, 47) находим:

Подставляя (48) в (45), при Pvo = 0 находим:

или 3.3. Оценка состояния Пусть (Pv ) = bv (Pv ) и к тем же узлам подключен источник фиксированной мощности Pf. Кроме того, к тем же узлам через малое сопротивление r подключен источник напряжения U. По этому сопротивлению течет ток J. Пусть величины Pf и U являются измерениями, сделанными с некоторой погрешностью.

Минимизация функции (21) в этом случае даст такие значения узлового напряжения = U ± Jr и мощности P = Pf ± Pv, которые минимизируют среднеквадратическую ошибку измерений. Таким образом решается задача оценки состояния сети.

3.4. Минимизация отклонения общей стоимости генерации и ее отклонения от планового значения.

При этом Этот вариант может интерпретироваться следующим образом.

Имеется множество источников мощности Pv, которые в сумме составляют минимизируется взвешенная сумма генерации в 3.5. Расчет потокораспределения в энергосистеме Рассмотрим случай, когда отсутствуют фиксированные мощности, но в каждом генераторном узле заданы определенные значения Pvo. Пусть В таком случае задача минимизации эквивалентна расчету потокораспределения при известных узловых мощностях (положительной считается генерируемая в узле мощность).

потокораспределения “Flux”. В этой программе реализован описанный выше метод. Она находится на CD.

3.6. Минимизация отклонения общей стоимости генерации потокораспределение.

При планировании режима обычно 1. Определяют величину суммарной генерации, приблизительно равной прогнозируемой суммарной нагрузке 2. Распределяют суммарную генерацию между электростанциями с учетом стоимости генерации на каждой из них 3. Решают задачу протокораспределения при определенных таким образом узловых мощностях Мощности, выбранные на первых этапах, могут быть несовместимы с уравнениями Кирхгоффа для энергосистемы. Из-за этого приходиться корректировать выбор мощностей электростанции и повторять расчет. Ниже описывается задача «экономичного потокораспределения», решающая указанные задачи одновременно: она потокораспределение, которое минимизирует общую стоимость генерации.

Обозначим:

- суммарная генерация, S - общая стоимость генерируемой мощности.

Суммарная генерация Общую стоимость генерируемой мощности можно определить по формуле Задача минимизации отклонения общей стоимости генерации от планового значения решается, когда Здесь - известный коэффициент, 1 определено далее по формуле (58) в следующем разделе «О минимизации общей стоимости», При этом При решении данной задачи находится такое распределение генерируемых мощностей Pvk, при котором их взвешенная сумма коэффициент, можно более строго соблюдать ограничение по суммарной генерации, а, уменьшая этот коэффициент, уменьшать суммарные потери в линиях электропередач = I R I.

Условие (7) в этом случае принимает вид т.е. суммарная генерация должна выбираться такой, чтобы выполнялось это условие.

Пример 2. Демонстрационная программа экономичного потокораспределения “FluxCost”. В этой программе реализован описанный выше метод. Она находится на CD.

3.7. О минимизации общей стоимости Общую стоимость S генерируемой мощности можно определить по формуле (52). Рассмотрим задачу поиска минимума общей стоимости S при заданной величине суммарной генерации. Это равнозначно поиску минимума функции (52) при ограничении (51). Введем в рассмотрение неопределенный множитель Лагранжа для условия (51). Тогда указанная задача будет равносильна поиску безусловного минимума функции Минимум достигается при условиях (51) и где Заметим, что следствием (54) и (55) является (51) и соотношение avk = 1. Из (52) и (54) находим оптимальное значение общей стоимости:

Заметим еще, что где n – количество генерирующих узлов. Таким образом, для минимизации общей стоимости генерации S при заданной суммарной генерации узловые генерируемые мощности должны быть распределены по формуле (54). При этом минимум общей стоимости определяется по формуле (55).

В предложенных выше задачах нелинейная электрическая цепь энергосистемы является моделью задачи выпуклого программирования. Существование глобального минимума позволяет воспользоваться методом градиентного спуска для расчета этой цепи – вычисления токов и потенциалов. Кроме того, эту цепь можно модифицировать в безусловную цепь, чтобы она стала моделью задачи выпуклого программирования без ограничений - безусловного выпуклого программирования. Выбор величины некоторого параметра безусловной электрической цепи (названного методическим сопротивления ) позволяет сделать расчетные параметры базовой и безусловной электрических цепей сколь угодно близкими. С другой стороны, расчет безусловной электрической цепи сводится к поиску единственного минимума без ограничений. Для решения такой задачи существуют быстродействующие методы градиентного спуска, например, метод сопряженного градиента. При этом существует обратная зависимость между точностью и временем решения. На практике это означает, что диспетчер может быстро перебирать приближенные варианты оптимизации (варьируя уставки), а затем более точно расчитать выбранный вариант 4. Вычислительный алгоритм для нелинейной недоопределенной электрической цепи общего Для поиска минимума воспользуемся методом градиентного спуска. Для этого при данных значениях i,, I f, I v, Pv их новые значения будем вычислять по следующим формулам:

где p - градиент, a - шаг по градиенту. Очевидно, p x = при известных значениях переменных. Эти градиенты вычисляются по (7). Оптимальные значенитя шагов определяются из условий образом, для определения шагов имеем следующую систему уравнений:

Преобразуем эти уравнения к следующему виду:

В этих формулах коэффициенты имеют следующие значения:

Итак, имеется система из пяти уравнений с пятью неизвестными ai, a, a f, av, a p. Таким образом, итерационный процесс поиска минимума функции F позволяет найти неизвестные i,, I f, I v, Pv. При этом в каждой итерации:

2. вычисляются коэффициенты a по указанной системе 3. вычисляются новые значения переменных i,, I f, I v, Pv Поиск может быть существенно ускорен применением метода сопряженных градиентов [5].

5. Система квадратных уравнений.

Рассмотрим решение системы квадратных уравнений (62). Для ее решения воспользуемся итеративным методом Ньютона. На каждой итерации решается система линейных уравнений вида где a = a aold, величины aold известны из предыдущей итерации, величины a являются неизвестными, а функции F ( aold ), (aold ) зависят от aold и также известны. Частные производные имеют следующий вид:

где 3. Электрические цепи с источниками напряжения, фиксированного по модулю 1. Нелинейная безусловная электрическая цепь с фиксированными модулями потенциалов.

Рассмотрим источник, у которого фиксирован модуль потенциала на выходе (такая постановка задачи кажется неестественной, но далее станет ясна ее цель). Обозначим токи, потенциалы и модули потенциалов у таких источников через J,, соответственно. Требование постоянства модуля потенциала эквивалентно следующему:

Источник напряжения можно заменить источником тока J с внутренним отрицательным сопротивлением r (зависящим от тока J ), т.е.

Кроме того, в безусловной электрической цепи, содержащей источники с фиксированными модулями потенциалов должны соблюдатся следующие условия:

Для этих цепей рассмотрим функцию следующего вида где – вектор числовых неопределенных множителей, причем каждый множитель тождественно равен нулю для узлов, где отсутствует источник с фиксированным модулем потенциала.

Дифференцируя этот функционал по соответственно:

Раздел 3. Электрические цепи с источниками напряжения, фиксированного по модулю или При Вследствие (2) имеем:

Объединяя (5-8), находим:

Таким образом, где i = i1 + k i2. Объединяя (2, 3, 4, 9), находим:

Раздел 1. Электрические цепи с интеграторами где Из (7) и (11) следует, что матрица В содержит только отрицательные диагональные элементы, т.е. является отрицательно определенной.

Отсюда, в свою очередь следует, что решение дифференциального уравнения (10) является единственным, устойчивым, асимптотически устойчивым (не зависит от начальных условий) [36]. Наличие линейных ограничений не ослабляет этого вывода, если ограничения совместимы. В силу единственности решения каждой из систем (Т) и (10) их решения совпадают. Таким образом, решение системы дифференциальных уравнений (Э) всегда сходится к решению задачи выпуклого программирования (Т).

Таким образом, показано, что электрические схемы с TD эквивалентны электрическим схемам с интеграторами. Поэтому описанные схемы с TD могут быть также реализованы на интеграторах [22, 28, 33].

Далее будут использоваться следующие аналоговые элементы:

многовходовой интегратор (amplifier-INTegrator), преобразователь тока в напряжение CVС (Current to Voltage Converter).

Рассмотрим схему TD, представленную на фиг. 1. Интеграторы INT1 и INT2 реализуют соответственно условия de1 = e1 e2 и de = i1 + i2. В установившемся режиме эти условия превращаются в уравнения TD с единичным коэффициентом трансформации – см.

формулы (1.2.0).

CVC CVC

Аналогичным образом из интеграторов INT и преобразователей CVС может быть построена схема, иммитирующая матрицу трансформаторов – см. главу 1. На фиг. 2 изображена такая схема, где INT1 - группы интеграторов с выходным напряжением v, INT2 - группы интеграторов с выходным напряжением z, G iv - соединение выходов преобразователей CVС тока iv GT z - соединение выходов интеграторов INT2 со входами Интеграторы INT1 и INT2 реализуют соответственно условия условия превращаются в уравнения матрицы TD– см. формулы (1.2.1).

Раздел 1. Электрические цепи с интеграторами

CVC CVC

SUM INT

TCV TCV

5. Матрица трансформаторов – вариант 2.

Аналогичным образом из интеграторов INT, сумматоров SUM и иммитирующая матрицу трансформаторов. На фиг. 4 изображена такая схема, где SUM - группы сумматоров с выходным напряжением v, INT - группы интеграторов с выходным напряжением z, G iv - соединение выходов преобразователей CVС тока iv GT z - соединение выходов интеграторов INT со входами

SUM INT

CVC CVC

Более подробно эта схема изображена на фиг. 5.

Раздел 1. Электрические цепи с интеграторами

INT INT INT INT

CVC CVC CVC CVC

На этой схеме SUM - сумматор с выходным напряжением v j, по которому INT - интегратор с выходным напряжением z m, по которому Глава 3. Аппаратные модели цепей постоянного тока CVС – преобразователь, который преобразует ток ivj или i zm в выходное напряжение, пропорциональное G - матрица связей в схеме, где g mj - признак, равный 1 в том случае, когда выполняются одновременно два • напряжение ivj с выхода преобразователя CVС GT - транспонированная матрица G.

Интеграторы INT реализует векторное условие Сумматоры SUM реализует векторное условие v = G T z. В установившемся режиме эти условия превращаются в следующие векторные уравнения:

Любое подмножество потенциалов v j и z m, может быть входом схемы. Тогда оставшиеся потенциалы являются выходами схемы.

Выходы нагружены на сопротивления и диоды.

Раздел 2. Цепи синусоидального тока, моделирующие цепи постоянного 2. Цепи синусоидального тока, моделирующие цепи постоянного Рассмотрим специальную электрическую цепь [20, 25, 33], которая питается от единственного источника – генератора синусоидального напряжения U. Как будет ясно из дальнейшего, эта электрическая цепь такова, что потенциал любой ее точки также синусоидален и либо синфазен напряжению U, либо противофазен этому напряжению. Таким образом, = U, где - действительное число. В дальнейшем будем называть действующее значение потенциала положительным, если >0, и отрицательным, если 0, получаем вышеприведенные соотношения.

Фиг. 6. Генератор прямоугольных импульсов Раздел 2. Цепи синусоидального тока, моделирующие цепи постоянного Фиг. 7. Временные диаграммы генератора прямоугольных импульсов Пример реализации генератора прямоугольных импульсов приведен на фиг. 6, а его временные диаграммы – на фиг. 7.

Принцип действия этого генератора ясен из этих фигур. При R1>>r1 имеют место следующие соотношения:

Аналогичные соотношения имеют место для потенциалов D и B.

При достаточно большой амплитуде напряжений на вторичной обмотке трансформатора T потенциалы в точках A и B имеют форму, близкую к прямоугольной.

Заметим, что все вентили переменного тока в предлагаемом устройстве управляются единственным генератором прямоугольных импульсов.

Электрическая цепь предлагаемого устройства содержит только перечисленные элементы – сопротивления, вентили переменного Глава 3. Аппаратные модели цепей постоянного тока тока и трансформаторы. Следовательно, потенциал в любой точке может либо совпадать по фазе с напряжением U, либо отличаться по фазе на 180° от этого напряжения. При этом, вентиль переменного тока не может оказаться в условиях, когда напряжение на нем не синфазно и не противофазно напряжению U.

Таким образом, рассматриваемая электрическая цепь синусоидального тока описывается уравнениями вида (1), (3), (4), (7), (8) и (9), а также уравнениями первого и второго законов Кирхгофа.

Переменными в этих уравнениях являются действующие значения синусоидальных напряжений и токов. Аналогичными уравнениями описывается электрическая цепь постоянного тока, содержащая сопротивления, диоды и трансформаторы Денниса [4].

Раздел 3. Оптронная модель трансформатора Денниса 3. Оптронная модель трансформатора Денниса 1. TD с единичным коэффициентом трансформации Далее описывается аналоговая модель трансформатора Денниса с единичным коэффициентом трансформации [27]. Рассмотрим преобразователь, состоящий из двух оптоэлектронных преобразователей ОПР-1 и ОПР-2. Выводы всего преобразователя обозначим как 3 и 4 – см. фиг. 1.

Фиг. 1 Оптронная модель TD с единичным коэффициентом трансформации Обозначим:

e1, e2 - ЭДС на выходе ОПР 1 и 2 соответственно, i1, i2 - ток на входе ОПР 1 и 2 соответственно, j1, j2 - ток на выходе ОПР 1 и 2 соответственно, R1, R2 - входное сопротивление ОПР 1 и 2 соответственно, r1, r2 - внутренне сопротивление ОПР 1 и 2 соответственно, U1, U 2 - напряжение на выводах 3 и 4 соответственно, I1, I 2 - ток на выводах 3 и 4 соответственно, k1, k2 - коэффициент усиления ОПР 1 и 2 соответственно.

Учитывая эти обозначения, находим:

Объединяя эти формулы, получаем:

Складывая два последних выражения почленно, находим:

Предположим, что ток I1 является током внешнего источника, а ток I 2 является током нагрузки Z, т.е.

Тогда из (2) и (4) получаем:

Положим:

окончания переходного процесса Таким образом, после окончания переходного процесса устройство удовлетворяет соотношениям (1) и (13). Учитывая (8), находим, что в установившемся режиме устройство реализует формулы Очевидно, мощность, поставляемая устройством в электрическую цепь, При малых величинах сопротивлений r1, r2 напряжения При этом формула (14) принимает вид Совмещая (15, 16, 19), находим или Итак, устройство в установившемся режиме реализует формулы (15, 19, 20), которые описывают ТД с коэффициентом трансформации h, что и требовалось показать.

Глава 3. Аппаратные модели цепей постоянного тока Знак «минус» в формуле (12) при > 0 необходим для обеспечения устойчивости установившегося режима. В разделе 3. показано, что электрическая цепь с интеграторами, удовлетворяющими уравнению (12), является устойчивой.

Добавление в такую цепь TD1-1 и TD1-1 не нарушает устойчивости, т.к. они не изменяют соотношений между параметрами электрической цепи, а осуществляют только гальваническую развязку между выводами устройства.

Раздел 4. Обратимые преобразователи 4. Обратимые преобразователи В разделе 2.5 рассматривались обратимые преобразователи линейные LIT и нелинейные NLIT. Здесь рассматривается их реализация.

Конструкция LIT представлена на фиг. 1. Он состоит из двух источников тока VC-1 и VC-2, управляемых напряжением:

напряжение на одном из них является управляющим для другого.

Фиг. 1. Схема линейного обратимого преобразователя реализующий соотношения вида при e2 < 2. Конструкция синусно-косинусного преобразователя СКП представлена на фиг. 2 [19]. Он содержит tSin - синусный преобразователь tCos - косинусный преобразователь h – источник постоянного напряжения h VC1 – первый источник тока, управляемый напряжением, VC2 – второй источник тока, управляемый напряжением, A1 – первый усилитель A2 – второй усилитель М1 – первый умножитель М2 – второй умножитель Фиг. 2. Схема синусно-косинусного преобразователя На выходе умножителя формируется напряжение x1 = h Sin (e2 ), а на выходе умножителя М2 формируется напряжение x2 = h e1 Cos(e2 ). Выходы этих умножителей управляют величиной тока источников тока соответственно, которые вырабатывают токи i1, i2.

Реализация синусного и косинусного преобразователей может быть основана на формулах, приведенных в примере 2.5.1. Таким образом, эти преобразователи могут быть реализованы на сумматорах и умножителях.

Раздел 5. Супериндуктивность 5. Супериндуктивность Рассмотрим устройство, называемое далее супериндуктивностью [34]. В ней ток I и напряжение E связаны уравнением где – S -величина супериндуктивности. Как показано далее, супериндуктивность реализуется внутри регулируемого объекта. В других случаях она может быть выполнена в виде устройства, представленного на фиг. 1, где Dif-1, Dif-2 - дифференцирующие усилители, VC - усилитель – преобразователь тока в напряжение R - входное сопротивление усилителя K - коэффициент усиления дифференцирующего усилителя h - коэффициент усиления усилителя– преобразователя тока в Очевидно, При достаточно малом R из (2) следует (1), где Глава 4. Управление частотой и мощностью в энергетических системах Глава 4. Управление частотой и мощностью в энергетических 0. Введение В данной главе описываются методы и аппаратура для оптимального управления активной мощностью и частотой энергосистемы. При этом в качестве устройств управления предлагаются электрические цепи постоянного тока, включенные в контур управления вместе с объектом-энергосистемой.

Вначале описываются математические модели задач оптимального управления энергосистемой. Параметрами состояния энергосистемы являются частота, узловые мощности, перетоки по линиям электропередач. Управлениями являются задания на изменение узловых мощностей. При этом рассматривается квадратичный показатель качества, представляющий собой квадратичную функцию от параметров состояния и управлений.

Условиями в этих задачах являются связи между параметрами состояния и управления, а также режимные ограничения на параметры состояния.

Задачам отимального управления соответствуют задачи математического программирования - выпуклого программирования или вариационным задачам с выпуклым функционалом. Эти задачи могут быть реализованы в виде компьютеных программ (в книге указываются примеры таких программ). Однако основное внимание уделяется аналогии между такими задачам и электрическими схемами постоянного тока. Показывается, что для каждой из рассмотренных технологических задач управления и регулирования можно построить некоторую моделирующую электрическую цепь постоянного тока. При этом технологическая задача управления и соответствующая моделирующая электрическую цепь описываются одной и той же задачей математического программирования. Таким образом, электрическая цепь является моделью энергосистемы и Раздел 0. Введение одновременно физической моделью задачи математического программирования.

Рассматриваются два вида эергосистем – без кольцевых связей (см., например, фиг. 1) и с кольцевыми связями (см., например, фиг.

2). В зависимости от вида связей между параметрами рассматриваются линейные и нелинейные модели задач оптимального управления, а в зависимости от длительности решения задачи рассматриваются статические и динамические модели.

Фиг. 1. Пример энергосистемы без кольцевых связей Фиг. 2. Пример энергосистемы с кольцевыми связями Глава 4. Управление частотой и мощностью в энергетических системах На этих фигурах U k - узловая мощность Li - переток мощности по линии электропередач k - потенциалы узлов Статические модели не учитывают динамику процесса регулирования и поэтому при их использовании необходимо применять корректирующие фильтры, которые обеспечивают необходимое качество процесса регулирования – устойчивость, быстродействие, величину перерегулирования. При этом управляющие воздействия преобразуются корректирующими фильтрами в ограниченные по величине фактические управляющие воздействия таким образом, чтобы каждое из них могло быть отработано энергоузлом полностью за время - период измерений и расчета управляющих воздействий. Это приводит к увеличению длительности переходного процесса.

Корректирующие фильтры устанавливаются в каждом канале управления и при этом параметры каждого корректирующего фильтра выбираются в соответствии с динамическими характеристиками определенного и единственного энергоузла. При этом не удается поддержать стабильность частоты во время переходного процесса. Кроме того, само наличие корректирующих фильтров усложняет систему регулирования.

Динамические модели уменьшают длительность переходного процесса и поддерживают постоянство частоты во время переходного процесса. При этом функции, распределенные в статических моделях между регулятором и корректирующими фильтрами, возлагаются на регулятор в динамической модели.

На фиг. 3 показана общая схема объекта с системой регулирования статического типа.

Во всех случаях регулятором является электрическая схема, содержащая имитаторы узлов ИМУ и имитаторы линий электропередач ИЛЭ. Конфигурация соединений ИМУ и ИЛЭ между собой повторяет конфигурацию энергосистемы. Токи имитаторов имитируют параметры состояния и управления.

Диодные ограничители токов, входящие в состав имитаторов, имитируют режимные ограничения на параметры состояния.

Показатель качества оптимального управления имитируется величиной тепловых потерь в электрической схеме. Для этого имитатоы содержат сопротивления R. Тепловые потери в каждом Раздел 0. Введение сопротивлении эквивалентны определенному квадратичному слагаемому в показателе качества.

Фиг. 3. Схема объекта со статической системой регулирования.

Для имитации уставок X и измеренных значений X параметров состояния используются источники тока, управляемые напряжением CVC (Current to Voltage Converter). Значения уставок подаются от диспетчера в виде напряжений на входы CVC.

Значения измеренных значений параметров состояния от объекта подаются в виде напряжений на входы CVC.

Для измерения управлений u и новых значений X параметров состояния используются источники напряжения, управляемого током CV (Voltage to Current Converter). Значения управлений подаются в виде напряжений на объект регулирования через корректирующие фильтры. Новые (прогнозируемые регулятором) значения параметров состояния подаются в виде напряжений на информационные приборы для диспетчера.

На фиг. 4 показана общая схема объекта с системой регулирования динамического типа. Как видно, в ней отсутствуют корректирующие фильтры, а в электрической цепи отсутствуют ветви для имитации прогнозируемых значений параметров состояния.

Глава 4. Управление частотой и мощностью в энергетических системах Фиг. 4. Схема объекта с динамической системой регулирования.

Далее, как правило, используются следующие обозначения.

Рассматривается энергосистема с узлами электропередач k = 1, K. Пусть ak – величина, измеренная в данный момент. Будем обозначать ak - плановое и прогнозируемое значение величины ak, ak - ычисляемое значение величины ak (она должна установиться в результате регулирования), a = {ak } - вектор величин ak.

Далее будем использовать следующие обозначения:

• G j - генерируемая (положительная) или потребляемая (отрицательная) активная мощность узла, G, G - вектор предельных значений узловой мощности (наименьшее и наибольшее соответственно) g j – изменение узловой мощности в результате Lk - переток активной мощности по линии электропередач, Раздел 0. Введение L, L - вектор предельных значений перетока мощности по линии электропередач (наименьшее и наибольшее - вектор разностей фаз напряжений на концах линии - вектор фаз узлового напряжения N = n jk – матрица инциденций, причем n jk = {,0,1} в зависимости от соединения k-узла с j-линией электропередач и от направления перетока, принятого за положительное • S - матрица коэффициентов влияния узловых мощностей на • A, B, C, D – диагональные матрицы известных Глава 4. Управление частотой и мощностью в энергетических системах 1. Статические линейные математические модели В энергосистеме измеренные мощности связаны соотношением или Аналогично, установившиеся в результате регулирования мощности связаны соотношением или Перетоки должны удовлетворять ограничениям вида Генерируемые мощности должны удовлетворять ограничениям вида Очевидно, Заметим, что т.к. в каждой строке матрицы N T содержится ровно по одной «1» и «-1». Из (3, 7) следует, что номинального значения f0 на величину узловой нагрузки уравнение (10) превращается в следующее:

Раздел 1. Статические линейные математические модели Это означает, что при восстановлении номинального значения частоты мощность узловой нагрузки увеличивается на величину S f, где S – вектор статизма генераторных узлов.

Далее описываются задачи оперативной коррекции режима по активной мощности и частоте. Эти задачи в математической формулировке представляют собой минимизацию некоторой функции - показателя качества, при ограничениях, которые накладываются конструкцией энергосистемы. Во многих задачах показатель качества является квадратичной функцией от G, L, g и отражает различные технологические требования. В частном случае при распределении генерируемых мощностей показатель качества должен минимизировать стоимость генерации, стоимость потерь энергии в линиях электропередач, изменения генерируемых мощностей, отклонения генерируемых мощностей от плановых значений (определенных на этапе долгосрочной оптимизации), отклонения нагрузок от прогнозных значений.

При этом оперативная коррекция режима энергетической системы может быть сформулирована как задача минимизации функции при при указанных выше условиях. В этой функции первый член отражает требование минимизации отклонения узловых мощностей от измеренных значений, т.е.

минимизации изменения генерируемых мощностей, второй член отражает требование минимизации отклонения узловых мощностей от плановых или прогнозных значений, третий член отражает требование минимизации стоимости генерации мощности, четвертый член отражает требование минимизации потерь в линиях электропередач.

Другой вариант показателя качества [22, 25, 28, 34] имеет вид Глава 4. Управление частотой и мощностью в энергетических системах Этот показатель качества отражает требование по минимизации изменения генерируемых мощностей (первое слагаемое), по минимизации отклонения генерирующих мощностей от планового режима (второе слагаемое) и по минимизации отклонения перетоков от планового режима (третье слагаемое). При этом, выбирая определенным образом весовые коэффициенты, можно для некоторых (маневренных) электростанций снять второе требование, а для других (базовых) сделать это требование превалирующим над первым.

В задачах с регулированием частоты при дефиците генерируемой мощности показатель качества (11) дополняется слагаемым, отражающим требование по минимизации отклонения частоты от заданного значения, и принимает вид Например, он может иметь вид [10, 13, 14] 2. Оперативная коррекция режима по активной мощности со стабилизацией частоты в энергосистеме без кольцевых связей.

Задача необходима для того, чтобы распределить задания на генерируемые мощности между электростанциями в некоторый расчетный момент времени. Известными являются измеренные в настоящий момент времени значения узловых мощностей и прогнозируемые на расчетный момент времени мощности потребителей. Эта задача может быть сформулирована как задача квадратичного программирования в следующей постановке [17]:

минимизировать (11) при условиях (1, 3, 5, 6, 7) и или Раздел 1. Статические линейные математические модели Условие (12) справедливо, если не учитывать потери в линиях электропередач. Условие (13) отражают требование по стабилизации частоты: управляющие воздействия не изменяют баланс мощности. Показатель качества (11) является квадратичной функцией от G, L, g и отражает различные технологические требования.

Важно отметить, что в энергосистеме без кольцевых связей соотношение (1) или (2) позволяет вычислить перетоки в зависимости от узловых мощностей. Другими словами, система уравнений (2) имеет единственное решение относительно переменных Lk.

Для наглядности все условия задачи перечислены в выделенной части табл. 1.

Итак, в этой постановке данная задача является задачей квадратичного программирования, где неизвестны векторы G, L, g. Эта постановка применима для энергосистем, в которых значения перетоков однозначно определяются значениями узловых мощностей – см. (3). Это относится к энергосистемам без кольцевых связей.

Для решения сформулированной задачи воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа, обозначив их Глава 4. Управление частотой и мощностью в энергетических системах через, для условий (4.1.3, 4.1.7) соответственно. При этом задача превратится в задачу минимизации функции при ограничениях (5, 6). Здесь F0 (...) определена по (11). Это эквивалентно решению предыдущей системы уравнений и уравнений Объединяя три последних условия, получаем Пример 1. Оперативная коррекция режима по активной мощности в электроэнергетической системе без кольцевых связей В этом случае при распределении генерируемых мощностей показатель качества имеет вид (11а). Кроме того, распределение генерируемых мощностей выполняется так, чтобы мощности перетоков удеживались в заданных пределах (определенных по условиям термической, статической и динамической устойчивости).

Имеется демонстрационная программа оперативной коррекция режима по активной мощности в электроэнергетической системе без кольцевых связей “OperCor1”. В этой программе реализован описанный выше метод. Она находится на CD.

3. Оперативная коррекция режима по активной мощности в электроэнергетической системе общего вида с учетом коэффициентов влияния.

В отличие от варианта, рассмотренного выше, здесь предполагается, что энергосистема имеет кольцевые связи. В такой Раздел 1. Статические линейные математические модели энергосистеме всегда известны коэффициенты влияния узловых мощностей на перетоки jk такие, что или Коэффициенты влияния определяются экспериментально и несколько зависят от режима. Поэтому данное уравнение является нестрогим и не может быть совмещено с уравнением (3). При этом оперативная коррекция режима энергетической системы в этом случае может быть сформулирована как задача минимизации функции (11) при условиях (15) и (1, 3, 5, 6, 7, 12, 13) [22, 34].

Для наглядности все условия задачи перечислены в выделенной части табл. 2.

Итак, в этой постановке данная задача является задачей квадратичного программирования, где неизвестны векторы U, L, g. Эта постановка применима к энергосистемам общего вида (с кольцевыми связями).

Глава 4. Управление частотой и мощностью в энергетических системах Для решения сформулированной задачи воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа, обозначив их через, для условий (4.1.7, 4.1.15) соответственно. Заметим, что условие (4.1.3) точно не совместимо с условием (4.1.15) и потому не включено в условие задачи. При этом задача превратится в задачу минимизации функции при ограничениях (4.1.5, 4.1.6). Здесь F0 (...) определена по (4.1.11).

Это эквивалентно решению предыдущей системы уравнений и уравнений Объединяя три последних условия, получаем Пример 2. Демонстрационная программа оперативной электроэнергетической системе общего вида с учетом коэффициентов влияния “OperCor2”. В этой программе реализован описанный выше метод. Она находится на CD.

4. Оперативная коррекция режима по активной мощности с регулированием частоты в энергосистеме общего вида.

Показатель качества может учитывать также требование по регулированию частоты при дефиците генерируемой мощности.

При этом он принимает вид (11е), а в математическую молель включаются дополнительные условия Раздел 1. Статические линейные математические модели где S = {S k } - вектор статизмов Sk нагрузки к-узла, So - статизм энергосистемы в целом, E - единичный вектор.

Условие (18) следует из (12, 12а,17). Для наглядности все условия задачи перечислены в выделенной части табл. 3.

Итак, в этой постановке данная задача является задачей квадратичного программирования, где неизвестны векторы U, L, g, f. Эта постановка применима к энергосистемам общего вида (с кольцевыми связями).

Глава 4. Управление частотой и мощностью в энергетических системах Для решения сформулированной задачи воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа, обозначив их через, для условий (4.1.15, 4.1.20) соответственно. При этом задача превратится в задачу минимизации функции при ограничениях (5, 6, 17). Здесь F0 (...) определена по (11). Это эквивалентно решению системы уравнений, приведенной в выделенной части табл. 3, и уравнений Из (22, 23, 24) находим:

Из (24, 25) находим:

Таким образом, система уравнений, эквивалентная данной оптимизационной задаче должна быть дополнена уравнениями (26, 27).

Раздел 1. Статические линейные математические модели 5. Оперативная коррекция режима по активной мощности с учетом ее стоимости.

Далее рассмотрим математическую модель для распределения активной мощности с учетом ее стоимости. При этом вводится в рассмотрение т.н. расходная характеристика электростанции, т.е.