«МАТЕМАТИКА 2 КЛАСС Методическое пособие Под редакцией Р.Г. Чураковой МосКвА АКАдЕМКНИГА/УЧЕбНИК 2012 УДК 51(072.2) ББК 74.262.21 Ч-37 Чекин, А.Л. Ч-37 Математика [Текст] : 2 кл. : Методическое пособие / А.Л. Чекин; под. ...»

А.Л. ЧЕКИН

МАТЕМАТИКА

2 КЛАСС

Методическое пособие

Под редакцией Р.Г. Чураковой

МосКвА

АКАдЕМКНИГА/УЧЕбНИК

2012

УДК 51(072.2)

ББК 74.262.21

Ч-37

Чекин, А.Л.

Ч-37 Математика [Текст] : 2 кл. : Методическое пособие /

А.Л. Чекин; под. ред. Р.Г. Чураковой. – М. : Академкнига/Учебник, 2012. – 224 с.

ISBN 978-5-49400-074-3 Методическое пособие разработано в соответствии с требованиями федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования второго поколения и концепцией комплекта «Перспективная начальная школа».

Методическое пособие предназначено для учителей начальных классов, обучающих детей по учебнику «Математика», в 2-х частях, 2 класс (автор А.Л. Чекин). В пособие включены: методические рекомендации по развитию основных содержательных линий учебника (по учебным полугодиям); примерное тематическое планирование (по учебным полугодиям); методические указания к заданиям; ожидаемые результаты к концу второго года обучения. Пособие может быть полезно студентам педагогических вузов и колледжей.

УДК 51(072.2) ББК 74.262. © Чекин А.Л., © Оформление. ООО «Издательство «Академкнига/Учебник», ISBN 978-5-49400-074-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КУРСА

Программа курса разработана на основе федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования второго поколения с учетом межпредметных и внутрипредметных связей, логики учебного процесса, задачи формирования у младшего школьника умения учиться.

Предлагаемый начальный курс математики имеет цели:

Математическое развитие младшего школьника: использование математических представлений для описания окружающей действительности в количественном и пространственном отношении; формирование способности к продолжительной умственной деятельности, основ логического мышления, пространственного воображения, математической речи и аргументации, способности различать верные и неверные высказывания, делать обоснованные выводы.

Освоение начальных математических знаний. Формирование умения решать учебные и практические задачи математическими средствами:

– вести поиск информации (фактов, сходства, различий, закономерностей, оснований для упорядочивания и классификации, вариантов);

– понимать значение величин и способов их измерения; использовать арифметические способы для разрешения сюжетных ситуаций (строить простейшие математические модели);

– работать с алгоритмами выполнения арифметических действий, решения задач, проведения простейших построений;

– проявлять математическую готовность к продолжению образования.

ОСОБЕННОСТИ РАЗВИТИЯ ОСНОВНЫХ

СОДЕРЖАТЕЛЬНЫХ ЛИНИЙ КУРСА

ПЕРВОГО ПОЛУГОДИЯ

Изучение чисел Числа второго десятка и все остальные натуральные числа изучаются на основе принципов нумерации (письменной и устной) десятичной системы счисления. В программу второго класса мы включили изучение двузначных и трехзначных чисел. В первом учебном полугодии изучаются главным образом двузначные числа. При этом не следует забывать, что учащиеся уже в первом классе познакомились с понятием двузначного числа, изучили числа второго десятка и разрядный принцип нумерации (на примере разряда единиц и разряда десятков).

Изучение двузначных чисел, больших 20, осуществляется в следующем порядке. Сначала на основе счета десятками мы предлагаем познакомить учащихся с «круглыми» двузначными числами. Два таких числа (10 и 20) учащиеся уже хорошо знают.

Поэтому продолжить эту последовательность в плане письменной нумерации для них не составит особого труда: записи чисел 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 возникают по аналогии. Сложнее дело обстоит с устной нумерацией. Если образование числительных «тридцать», «пятьдесят», «шестьдесят», «семьдесят», «восемьдесят» можно объяснить с опорой на смысловой состав этих слов, что мы попытались сделать с помощью цветового деления слова на две соответствующие части, то для числительных «сорок»

и «девяносто» такой подход неприемлем. Эти числительные следует запомнить, не пытаясь вникнуть в их смысловую структуру на этом этапе изучения чисел.

С другой стороны, данные числительные предоставляют хороший повод обратиться к историческому материалу: учитель может Изучение действий над числами предложить учащимся одну из версий возникновения этих числительных, что явно сыграет положительную роль в развитии познавательного интереса учащихся.

Особо следует сказать об употреблении термина «круглое» число. Данные числа выполняют особую роль и очень часто фигурируют в различных формулировках. Поэтому использование этого термина, на наш взгляд, целесообразно в силу его компактности в сочетании с реальной смысловой основой. Все другие названия существенно загромождают терминологию.

Итак, под «круглым» числом мы понимаем целое число, запись которого заканчивается на 0. Существует такая точка зрения, что сам термин «круглое число» возник в связи с геометрической ассоциацией, которую вызывает цифра 0. Другое объяснение этого термина опирается на значение слова «круглый» в смысле «полный», т. е. при образовании «круглого» числа разряд единиц заполняется «полностью» и происходит переход в разряд десятков. Такие числа принято называть «круглыми» («полными») десятками.

Если полностью заполняются разряд единиц и разряд десятков и происходит переход из разряда единиц в разряд десятков, а из разряда десятков в разряд сотен, то такие числа называются «круглыми» («полными») сотнями и т. п.

Устная и письменная нумерация «некруглых» двузначных чисел строится на разрядном принципе с учетом представления данного числа в виде суммы «круглого» двузначного числа и однозначного числа. Такое представление позволяет конструировать название двузначных чисел из названия «круглого» числа и названия однозначного числа.

В первом полугодии изучается новая разрядная единица – число 100. Другие трехзначные числа пока не рассматриваются. Введение числа 100 построено на идее счета десятками: 100 – это десять десятков. Запись числа 100 можно трактовать сначала как обозначение 10 десятков и 0 единиц, а потом как обозначение 1 сотни, 0 десятков и 0 единиц.

Изучение действий над числами В первом полугодии второго класса продолжается изучение действий сложения и вычитания (вычислительный аспект). Особое внимание уделяется способам и приемам устных вычислений.

При этом последовательность изучения различных приемов строго определена, так как практически каждый новый прием вычисления опирается на ранее изученные.

Особенности развития основных содержательных линий курса Особое внимание мы уделяем поразрядному способу сложения и вычитания. Такое пристальное внимание указанному способу объясняется не тем, что при выполнении устных вычислений этот способ наиболее удобен, а тем, что усвоение этого способа на данном этапе изучения действий создает очень хорошую базу для перехода к изучению алгоритмов письменного сложения и вычитания «столбиком», которое начнется во втором полугодии.

В первом полугодии начинается систематическое изучение действия умножения, которое вводится как сложение одинаковых слагаемых. Сначала учащимся предлагается освоить лишь распознавание и запись этого действия, а его результат они будут находить с помощью сложения. Обращаем внимание на достаточно раннее рассмотрение переместительного свойства умножения, что позволяет объяснить «разумность» правил умножения на 0 и на 1, а также упростить составление таблицы умножения. Отдельно вводятся случаи умножения на 0 и на 1. Составление таблицы умножения (основанное на определении умножения и на умении учащихся выполнять сложение в пределах 100) завершается к концу первого полугодия, а в течение второго полугодия работа с таблицей продолжится, причем работа будет построена таким образом, чтобы в результате нее произошло запоминание всех табличных случаев умножения.

После рассмотрения первых четырех столбиков таблицы умножения мы предлагаем рассмотреть вопрос о порядке выполнения действий (для сложения и умножения). Более раннее рассмотрение этого вопроса нецелесообразно в силу недостаточно подготовленной операционной базы, а откладывание этой темы на более поздний срок существенно обедняет тот набор заданий, который мы можем предложить учащимся при изучении оставшихся случаев умножения.

Изучение геометрического материала В первом полугодии второго класса изучаются следующие геометрические понятия и их свойства: прямая (аспект бесконечности);

луч; углы и их виды (прямой, острый, тупой); углы многоугольника; прямоугольник; квадрат; периметр многоугольника; периметр квадрата и прямоугольника.

Наиболее трудным, на наш взгляд, для усвоения учащимися является вопрос о бесконечности прямой. Это объясняется тем высоким уровнем абстракции, на котором они должны оперировать в своей мыслительной деятельности, чтобы правильно реализовыИзучение геометрического материала вался процесс формирования этого понятия. Это первая встреча учащихся с «бесконечностью», и от того, как она будет организована, во многом зависит успешность формирования аспекта бесконечности при изучении других геометрических и арифметических понятий (луч, плоскость, натуральный ряд чисел и т. д.).

Мы предлагаем дать учащимся представление о бесконечности на основе идеи о бесконечности некоторого процесса (речь идет о так называемой потенциальной бесконечности). Таким «бесконечным» процессом является процесс «продолжения» прямой. Ученики без особого труда понимают, что теоретически этот процесс ничем не ограничен, а то ограничение, которое связано с существованием границы листа бумаги носит лишь технический характер.

После введения понятия «прямая» следующим логическим шагом является переход к рассмотрению понятия «луч». Далее, опираясь на понятие «луч», мы можем ввести понятие «угол» и перейти к рассмотрению видов углов (острый, прямой и тупой углы). Изучая виды углов, мы естественным образом затрагиваем не только геометрический, но и величинный аспект.

Особое внимание следует обратить на то, как предлагается ввести в рассмотрение понятие «прямой угол». Делается это через показ с привлечением модели прямого угла (с этой целью используется чертежный угольник). После этого острый и тупой углы вводятся на основе сравнения с прямым углом. При этом совсем не лишним будет разговор с учениками о смысле используемых терминов для видов углов (прямой, острый и тупой).

При изучении прямоугольника и квадрата следует обратить внимание учеников на тот факт, что прямоугольник является частным случаем (видом) четырехугольника, а квадрат – частным случаем (видом) прямоугольника.

Величинную основу несет в себе и еще одно геометрическое понятие, изучение которого осуществляется в первом полугодии второго класса. Речь идет о понятии «периметр». В основе этого понятия лежит сумма длин отрезков, с чем учащиеся знакомились еще в первом классе. По этой причине, когда мы говорим о периметре многоугольника как сумме длин всех его сторон, от учащихся требуется лишь усвоить новый термин, а сама суть этого понятия им в принципе хорошо знакома.

Совсем другая ситуация складывается при рассмотрении вопросов о периметре прямоугольника и периметре квадрата.

В этом случае мы делаем попытку неявно познакомить учащихся с новой для них операцией – умножением величины на натуральное число. Основой для такого подхода является рассуждение по аналогии. Ученики уже умеют заменять сумму одиОсобенности развития основных содержательных линий курса наковых слагаемых (для чисел) соответствующим произведением. Когда они сталкиваются с суммой одинаковых величин (при рассмотрении периметра прямоугольника или периметра квадрата), то по аналогии вполне могут заменить такую сумму произведением величины на число, что им и предлагается сделать. Никаких других объяснений, кроме опоры на аналогию, приводить не следует.

Обучение решению текстовых (сюжетных) арифметических задач Линия по обучению решению арифметических сюжетных (текстовых) задач (условно мы ее называем «алгоритмической») является центральной для данного курса. Ее особое положение определяется тем, что настоящий курс имеет прикладную направленность, которая выражается в умении применять полученные знания на практике. А это, в свою очередь, связано с решением той или иной задачи. При этом для нас важно не только научить учащихся решать задачи, но и правильно формулировать их, используя имеющуюся информацию. Особое внимание мы хотим обратить на тот смысл, который нами вкладывается в термин «решение задачи»: под решением задачи мы понимаем запись (описание) алгоритма, дающего возможность выполнить требование задачи. Сам процесс выполнения алгоритма (получение ответа задачи) важен, но не относится нами к обязательной составляющей умения решать задачи (получение ответа задачи мы относим, прежде всего, к области вычислительных умений).

Такой подход к толкованию термина «решение задачи» нам представляется наиболее правильным. Во-первых, это согласуется с современным «математическим» пониманием сути данного вопроса, во-вторых, ориентация учащихся на «алгоритмическое» мышление будет способствовать более успешному освоению ими основ информатики и новых информационных технологий. Само описание алгоритма решения задачи мы допускаем в трех видах:

1) по действиям (по шагам) с пояснениями;

2) в виде числового выражения, которое мы рассматриваем как свернутую форму описания по действиям, но без пояснений;

3) в виде буквенного выражения (в некоторых случаях в виде формулы или в виде уравнения) с использованием стандартной символики.

Последняя форма описания алгоритма решения задачи будет использоваться только после того, как учащимися достаточно хорошо будут усвоены зависимости между величинами, а также связь между результатом и компонентами действий.

Что же касается самого процесса нахождения решения задачи (а в этом смысле термин «решение задачи» также часто употребляется), то мы в нашем курсе не ставим целью осуществить его полную алгоритмизацию. Более того, мы вполне осознаем, что этот процесс, как правило, содержит этап нестандартных (эвристических) действий, что препятствует его полной алгоритмизации. Но частичная его алгоритмизация (хотя бы в виде четкого усвоения последовательности этапов работы с задачей) не только возможна, но и необходима для формирования у учащихся общего умения решать задачи.

Для формирования умения решать задачи ученики в первую очередь должны научиться работать с текстом и иллюстрациями:

определить, является ли предложенный текст задачей, или как по данному сюжету сформулировать задачу, установить связь между данными и искомым и последовательность шагов по установлению значения искомого.

Другое направление работы с понятием «задача» связано с проведением различных преобразований имеющегося текста и наблюдениями за теми изменениями в ее решении, которые возникают в результате этих преобразований. К этим видам работы относятся:

дополнение текстов, не являющихся задачами, до задачи;

изменение любого из элементов задачи, представление одной той же задачи в разных формулировках;

упрощение и усложнение исходной задачи;

поиск особых случаев изменения исходных данных, приводящих к упрощению решения;

установление задач, которые можно решить при помощи уже решенной задачи, что в дальнейшем становится основой классификации задач по сходству математических отношений, заложенных в них.

Изучение величин Во втором классе продолжится изучение стандартных единиц длины: учащиеся познакомятся с единицей длины – метром. Большое внимание будет уделено изучению таких величин, как «масса» (сам термин «масса» пока не используется) и «время» (во втором полугодии). Сравнение предметов по массе сначала рассматривается в «доизмерительном» аспекте. После чего вводится стандартная Особенности развития основных содержательных линий курса единица массы – килограмм, и изучаются вопросы измерения массы с помощью весов. Далее вводится «новая» стандартная единица массы – центнер. Методико-математическая причина изучения такой единицы массы как центнер именно в этот период состоит в том, что с помощью рассмотрения соотношения между килограммом и центнером очень удобно вести работу по закреплению новой для учащихся счетной единицы «сотня». Аналогичная роль в этом плане отводится и вопросу о соотношении сантиметра и метра.

Работа с данными Работа с данными в этом и в следующем полугодиях должна проводиться в двух видах: во-первых, в процессе выполнения заданий, которые в явном виде относятся к информационной содержательной линии, во-вторых, в процессе выполнения заданий (в виде вспомогательной сопутствующей работы), относящихся к другим содержательным линиям.

В первом случае мы включаем в перечень изучаемых тем такие, которые напрямую относятся к информационной содержательной линии, наполняя их заданиями по работе с данными в явном виде.

Во втором случае наибольший объем работы с данными приходится на задания, связанные с обучением решению текстовых задач (алгоритмическая линия), и на задания, связанные с формированием вычислительных умений (арифметическая линия). Но эта работа имеет уже, как правило, неявный (вспомогательный, сопутствующий) характер с точки зрения поставленных учебных задач.

Основными объектами по работе с данными в первом полугодии являются две таблицы: таблица сложения и таблица умножения однозначных чисел. С ними проводятся такие виды работы, как чтение и заполнение строк и столбцов таблицы; представление информации в таблице и извлечение необходимой информации из нее; использование таблицы для формулировки задания.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

И РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ТЕМ

Тема: «Математика и летние каникулы» (2 урока) Данная тема имеет вводный характер. Ее назначение – «перекинуть своеобразный мостик» между 1-м и 2 классами. Предлагаемая нами форма повторения основных понятий программы 1 класса, а именно предложение оказать помощь Маше, которая после летних каникул испытывает затруднения в выполнении данных ей заданий, должна сыграть свою положительную роль как в плане мотивации, так и в плане психологической комфортности.

Задание 1 направлено на проверку и повторение названия и записи чисел первых двух десятков, естественного порядка их следования друг за другом, места в этой последовательности числа 0, умения вести счет не только в прямом, но и в обратном порядке.

При выполнении задания 2 предлагается вспомнить терминологию, имеющую непосредственное отношение к действиям сложения и вычитания.

Задание 3 направлено на повторение некоторых табличных случаев сложения. При этом спектр предлагаемых для рассмотрения случаев рассредоточен по всей таблице сложения.

Задание 4 еще раз предлагает учащимся обратиться к таблице сложения, но теперь это обращение связано с выполнением действия вычитания, которое является обратным по отношению к сложению. Именно на эту зависимость и следует обратить внимание учащихся. В данном случае нам важно не только правильное нахождение значения разности, но и правильное указание на соответствующий случай сложения.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие Выполнение задания 5 аналогично заданию, которое учащиеся выполняли в конце 1-го года обучения в теме «Задачи на сложение и вычитание» (см. задание 2). Им предлагается вспомнить все этапы работы с задачей.

При выполнении задания 6 учащиеся смогут продемонстрировать свои умения по решению задач на разностное сравнение. Мы особо подчеркиваем, что соответствующая терминология будет введена чуть позже, а сейчас мы рассматриваем такие задачи в пропедевтическом плане, опираясь лишь на соответствующее правило, изученное в первом классе в теме «На сколько больше? На сколько меньше?»

При выполнении задания 7 повторение проходит по двум направлениям: с одной стороны, ведется работа по измерению длины отрезка, с другой стороны, учащимся предлагается вспомнить, как выглядит прямоугольник и одно из важнейших свойств, которым он обладает (равенство противоположных сторон).

При выполнении задания 8 ученики смогут повторить сразу несколько геометрических понятий: четырехугольник, прямоугольник (на основе противопоставления), треугольник, отрезок. При этом они познакомятся и с новым понятием – понятием диагонали (пока еще без обязательного употребления соответствующего термина).

Задание 9 направлено на повторение понятия «точка пересечения». При этом рассматриваются точки пересечения двух кривых линий. Поэтому в данном случае будет уместным сделать обобщение на предмет возможного числа точек пересечения таких линий, объяснив, что их число может быть любым. Дальнейшая работа по этому заданию может быть построена на противопоставлении:

можно рассмотреть задачу о числе точек пересечения двух прямых и о числе точек пересечения двух кривых.

В задании 10 от учащихся требуется начертить ломаную, состоящую из пяти звеньев. Если при этом ломаная будет замкнутая, то вершин у нее будет пять, а если незамкнутая – то шесть.

Задание 11 носит занимательный характер: в геометрическом узоре учащиеся должны отыскать известные им геометрические фигуры. При выполнении этого задания можно устроить соревнование: кто быстрее и без ошибок укажет число фигур каждого вида, используемых в этом узоре. Обращаем внимание на то, что элементом этого узора является геометрическая конструкция, состоящая из круга и квадратов, которую мы в дальнейшем будем использовать в качестве схемы при обучении решению простых задач на сложение и вычитание.

Тема: «Счет десятками и “круглые” десятки»

(2 урока) Изучение темы направлено на расширение изучаемого числового множества. В данном случае речь идет о расширении за счет введения «круглых» двузначных чисел.

При выполнении задания 1 учащиеся знакомятся с принципом образования и построения записи «круглых» двузначных чисел. На самом деле этот принцип не является для них новым: они уже хорошо знакомы с числами 10 и 20. По аналогии могут быть введены и остальные «круглые» двузначные числа. На этапе изучения этих чисел обязательно следует обратить внимание на разрядное значение каждой цифры в записи числа. Что касается термина «круглое число», то это очень удобно в плане компактности формулировок.

Над смысловым значением этого термина также можно вести работу. При проведении такой работы можно воспользоваться разъяснениями, которые мы дали выше в разделе «Особенности развития основных содержательных линий курса» по теме «Изучение чисел».

Основной целью задания 2 является знакомство учащихся с названиями «круглых» двузначных чисел. Такое знакомство мы предлагаем провести с использованием данной в учебнике таблицы.

При работе с таблицей от них потребуется умение сопоставлять различную информацию об одном и том же числе, которую можно получить из соответствующей строчки этой таблицы. Сначала число записано в виде определенного числа десятков, далее представлено изображение этого числа десятков в виде соответствующего числа пучков по 10 палочек. В последнем столбце дается цифровая запись этого числа, которая сопровождается записью соответствующего числительного, причем сделано это с учетом разделения с помощью цвета этого числительного (кроме числительных «сорок»

и «девяносто») на две смысловые части, что позволит перевести процесс запоминания новых терминов на логическую основу.

При выполнении задания 3 ученики не только смогут закрепить умение счета десятками, но и потренируются в названии полученных «круглых» двузначных чисел. Кроме этого, в задании представлен и геометрический аспект: от учащихся требуется начертить прямоугольники, причем прямоугольники заданных размеров (с учетом разбиения на клетки). С такого типа разбиениями прямоугольников и других плоских фигур будет проводиться очень серьезная работа при изучении понятия «площадь», а в данный момент осуществляется необходимая пропедевтическая работа.

Расположить «круглые» двузначные числа в порядке возрастания (см. задание 4) учащиеся смогут без особого труда, если будут ориТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие ентироваться на представление этих чисел в виде соответствующего числа десятков и знание порядка следования однозначных чисел.

В задании 5 предлагается устно решить задачу. Решение это может быть основано на выполнении счета десятками по данному рисунку, но может быть выполнено и на основе сложения десятков.

Второй способ является необязательным, так как о сложении десятков речь еще не шла на страницах учебника, но в пропедевтическом плане рассмотреть этот способ было бы желательно.

Тема: «Числовые равенства и числовые неравенства» (1 урок) Изучение данной темы носит, прежде всего, терминологический характер. Математическая запись в виде числового равенства или числового неравенства учащимся хорошо знакома. Но до настоящего момента мы не использовали соответствующую терминологию. После изучения данной темы введенная терминология будет применяться постоянно и систематически. При этом особое внимание следует обратить на распознавание верных и неверных записей. Не давая строгого определения понятия «верное равенство»

(«верное неравенство»), мы предлагаем учащимся осуществлять интуитивное распознавание верных и неверных записей с учетом того, что термин «верное» у них ассоциируется с термином «правильное», а термин «неверное» – с термином «ошибочное». Именно такая трактовка на данном этапе изучения указанных понятий является, на наш взгляд, оптимальной.

При выполнении задания 1 учащиеся активируют интуитивное понимание верной математической записи как записи, не содержащей ошибок. Именно на такой подход в обосновании и должен быть сделан упор при анализе построенных учащимися записей.

В задании 2 осуществляется введение заявленных в теме терминов «числовое равенство» и «числовое неравенство». Делается это на основе противопоставления записей со знаком = записям со знаком > или 13. С такого типа неравенствами учащиеся еще не сталкиЧисловые равенства и числовые неравенства»

вались. Ранее им приходилось иметь дело только с неравенствами, в левой и правой частях которого находились числа. В данном случае в левой части находится сумма чисел. Такую запись сначала следует трактовать как запись, обозначающую результат сравнения значения суммы с числом (при этом само значение суммы вычислять можно, но не обязательно нужно).

В задании 3 предлагается распознать верные числовые равенства.

Когда такие равенства будут выбраны и переписаны в тетрадь, можно перевести обсуждение на оставшиеся равенства: следует обязательно подчеркнуть, что оставшиеся записи также являются числовыми равенствами, но равенствами неверными, так как число, которое записано или получается слева от знака = не совпадает с числом, которое записано или получается справа от знака =.

Задание 4 построено аналогично заданию 3, но только работа проводится с числовыми неравенствами. Как и для числовых равенств мы предлагаем учащимся распознать и выписать верные числовые неравенства, опираясь на интуитивное понимание термина «верный» как синонима «правильный», т. е. не содержащий ошибки. Когда такие неравенства будут выбраны и переписаны в тетрадь, можно перевести обсуждение на оставшиеся неравенства и провести его аналогично тому, как это было сделано при работе с предыдущим заданием.

При выполнении этого задания предполагается проведение парной работы, направленной на закрепление только что введенных понятий. Числовые равенства или неравенства учащиеся могут конструировать с опорой на решение предыдущего задания (см.

задание 3). При этом обязательной проверке должна подвергаться истинность сконструированных записей.

Задание 5 также направлено на формирование умения конструировать верные числовые равенства или неравенства. В данном случае возможности такого конструирования существенно ограничены: учащиеся могут сделать лишь выбор соответствующего знака. Цель ограничения – направить внимание учащихся на необходимость проведения вычислений для выбора правильного знака.

При выполнении заданий 6 и 7 учащиеся продолжат конструировать верные числовые неравенства. Только теперь от них требуется правильно подобрать числа. Причем в задании 6 таких чисел будет всего 10 (имеются в виду целые числа от 0 до 9) и все они должны быть записаны учащимися, а в задании 7 таких чисел бесконечно много, поэтому учащимся предлагается выписать только десять из них. Скорее всего это будут целые числа от 11 до 20 (именно эти числа хорошо знакомы учащимся), но не следует считать ошибкой, Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие если будут названы и другие числа (в том числе и те, которые еще не изучались в нашем курсе).

Тема: «Числовые выражения и их значения» (1 урок) Эта тема, как и предыдущая, носит, прежде всего, терминологический характер. С понятием числового выражения ученики уже знакомы на примере рассмотрения понятий суммы и разности. С этого момента мы можем наряду с терминами «сумма» и «разность»

использовать и обобщающий термин «числовое выражение». Аналогичным образом складывается ситуация и с введением термина «значение числового выражения».

При выполнении задания 1 учащиеся знакомятся с понятием числового выражения на основе противопоставления этого понятия понятиям числового равенства и числового неравенства, с которыми учащиеся познакомились при изучении предыдущей темы.

Такое противопоставление должно закрепить в сознании учащихся понимание того, что ни числовое равенство, ни числовое неравенство числовыми выражениями не являются.

Этот факт можно обосновать тем, что знаки =, >, < по определению не могут входить в состав числового выражения. Таким образом, мы сможем избежать достаточно распространенной ошибки, которая заключается в том, что числовые равенства и неравенства многие учащиеся относят к числовым выражениям. В пропедевтическом плане можно сообщить учащимся, что числовое выражение – это не обязательно сумма или разность (как в нашем примере), но и математические конструкции с использованием знаков других действий, например действий умножения и деления, которые еще будут изучаться во 2 классе.

При выполнении задания 2 изучаются правила составления числовых выражений: во-первых, учащиеся еще раз повторяют перечень тех знаков, которые могут входить в состав числового выражения (цифры, знаки + и –, скобки), во-вторых, перед учащимися по мере усложнения ставится проблема построения «осмысленной»

записи, а не любого набора знаков.

В задании 3 вводится термин «значение числового выражения». Так как учащиеся уже знакомы с терминами «значение суммы» и «значение разности», то новый термин мы предлагаем рассматривать как обобщающий (по аналогии с введением понятия числового выражения).

Примечание. При работе с данным заданием учитель должен найти возможность еще раз обратить внимание учащихся на то, что сумма и разность не исчерпывают все виды чисСложение “круглых” десятков»

ловых выражений. В дальнейшем будет, например, изучаться произведение чисел, которое также является числовым выражением.

Задание 4 предусматривает парную работу. При построении требуемых числовых выражений, учащиеся смогут применить как знание аддитивного состава числа 10 (причем не только табличные случаи, но и разложение на три и более слагаемых), так и знание соответствующих случаев вычитания, построив, например, разность 12–2.

Особое внимание следует обратить на задание 5. С его помощью мы хотим продемонстрировать учащимся правило порядка выполнения действий в выражении со скобками в случаях вычисления значений разностей. Причем рассматривается случай и когда вычитаемое является суммой, и когда вычитаемое является разностью.

Для объяснения данного правила учитель может применить принцип «целостности» выражения, заключенного в скобки: выражение в скобках следует рассматривать как «целостное» выражение, которое ни в коем случае нельзя расчленять для того, чтобы какуюто его часть соединить в одно выражение с тем, что стоит за скобками. В заключение ученикам предлагается осуществить проверку правильности выполнения задания.

Задание 6 носит комбинаторный характер. Мы предлагаем учащимся комбинировать со знаками + и – при составлении числовых выражений. Числа в данной записи подобраны таким образом, чтобы любая возможная комбинация знаков имела смысл. Поэтому в данном задании можно построить четыре различных числовых выражения.

При выполнении задания 7 учащиеся смогут продолжить демонстрацию своих комбинаторных умений. В данном случае в их распоряжении имеются три числа и два знака действий. В какой последовательности располагать данные числа, выбирают сами учащиеся. Искомое выражение имеет вид: 13+7–4. Какие еще выражения составят учащиеся, зависит от их знаний и умений.

Тема: «Сложение “круглых” десятков» (1 урок) Эта тема – естественное продолжение темы «Счет десятками и “круглые” двузначные числа», при изучении которой мы уже делали пропедевтическую попытку знакомства с основополагающим принципом сложения «круглых» десятков.

Задание 1 возвращает учеников к выполнению задания 5 темы «Счет десятками и “круглые” двузначные числа». При решении Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие данной задачи от ученика требуется выполнить сложение десятков, т. е. требуется провести сложение в разряде десятков. Такое сложение производится точно так же, как и сложение в разряде единиц.

Единственное, о чем не следует забывать, так это обязательное указание разряда, в котором производится сложение. Другими словами, если мы складываем десятки, то и в результате у нас будут получаться десятки.

При выполнении задания 2 учащиеся должны следовать тому принципу, о котором речь идет в задании 1.

Задание 3, с одной стороны, направлено на повторение знаний о «круглых» двузначных числах, а с другой – служит связующим звеном при переходе от сложения десятков к сложению «круглых»

двузначных чисел.

Задание 4 следует рассматривать в сопоставлении с заданием 1.

Именно на основе такого сопоставления можно осуществить простой и логичный переход от сложения десятков к сложению «круглых» двузначных чисел.

В задании 5 предлагается представить разными способами число 90 в виде суммы «круглых» двузначных чисел. При этом один из возможных случаев такого представления дается в качестве примера. Отыскать другие случаи учащиеся могут на основе имеющихся знаний о составе числа 9. Таким образом, и при выполнении этого задания можно применить принцип, о котором речь шла в задании 1.

При выполнении задания 6 учащиеся сначала тренируются в сложении «круглых» двузначных чисел. Но только тренировкой дело не ограничивается. Во второй части задания создается проблемная ситуация, разрешить которую они могут двумя способами: либо индуктивно на основе обобщения рассмотренных выше случаев сложения «круглых» двузначных чисел, либо дедуктивно на основе понимания того, что при сложении в разряде десятков мы никогда не сможем повлиять на цифру разряда единиц, т. е. цифра разряда единиц всегда будет равна 0. Второй способ является предпочтительным, но требовать в обязательном порядке такого обоснования от всех учащихся было бы преждевременным.

Задание 7 на первый взгляд носит тренировочный характер, но при его выполнении учащиеся столкнутся с ситуацией, которая отличается от рассмотренных ранее. Прежде всего, следует обратить внимание учеников на то, что данные выражения являются выражениями, содержащими скобки. А это, в свою очередь, означает, что для вычисления значения такого выражения нужно применять правило порядка действий, о котором речь шла в задании 5 предыдущей темы.

Более того, было бы желательно, чтобы при обсуждении выполнения этого задания прозвучал и такой путь решения: можно вычислить значение первого выражения, а значения всех остальных выражений будет таким же на основании известных свойств сложения (переместительное свойство, правило прибавления числа к сумме и суммы к числу).

В задании 8 предлагается составить числовое выражение к данному рисунку, на котором изображены три набора пуговиц: в каждом наборе по 10 пуговиц. Когда выражение будет составлено, то учащиеся еще раз потренируются в вычислении значений такого типа выражений.

Тема: «Вычитание “круглых” десятков» (1 урок) Данная тема является логическим продолжением предыдущей. После знакомства со сложением «круглых» двузначных чисел мы предлагаем рассмотреть вычитание «круглых» двузначных чисел, так как при изучении этих тем используется один и тот же методический подход.

Для решения задачи 1 от учащихся требуется выполнить вычитание десятков. Если обратиться к решению задачи 1 из предыдущей темы, то, рассуждая по аналогии, ученики без особого труда могут прийти к выводу, что десятки вычитаются так же, как и единицы.

При этом не следует забывать, что если мы вычитаем из десятков десятки, то в результате также будут получаться десятки (в данный момент мы исключаем случай, когда в результате получается 0, хотя формально и здесь можно говорить о том, что получается 0 десятков).

При выполнении задания 2 учащиеся должны следовать тому принципу, о котором речь идет в задании 1.

Задание 3 следует рассматривать в сопоставлении с заданием 1.

Именно на основе такого сопоставления можно осуществить простой и логичный переход от вычитания десятков к вычитанию «круглых» двузначных чисел.

При выполнении задания 4 учащиеся сначала тренируются в вычитании «круглых» двузначных чисел. Во второй части задания создается проблемная ситуация, разрешить которую они могут двумя способами: либо индуктивно на основе обобщения рассмотренных выше случаев вычитания «круглых» двузначных чисел, либо дедуктивно на основе понимания того, что при вычитании в разряде десятков мы никогда не сможем повлиять на цифру разряда единиц, т. е. цифра разряда единиц всегда будет Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие равна 0. Второй способ является предпочтительным, но требовать в обязательном порядке такого обоснования от всех учащихся было бы преждевременным.

При выполнении задания 5 учащиеся смогут еще раз продемонстрировать, как они усвоили основной принцип выполнения действий с «круглыми» двузначными числами, т. е. свести данное задание к соответствующему действию в разряде единиц, после чего от них потребуется лишь знание того, как можно число 3 представить в виде разности двух однозначных чисел.

Задание 6 на первый взгляд носит тренировочный характер, но при его выполнении ученики столкнутся с ситуацией, которая отличается от рассмотренных ранее.

Прежде всего, следует обратить их внимание на то, что данные выражения являются выражениями, содержащими скобки. А это, в свою очередь, означает, что для вычисления значения такого выражения нужно применять правило порядка действий, о котором речь шла выше. Данное правило следует обязательно повторить с учащимися, несмотря на то, что в данном случае скобки не изменяют естественного (слева направо) порядка выполнения действий.

Кроме того, при выполнении данного задания учащиеся смогут потренироваться в выполнении сразу двух действий – сложения и вычитания.

Задание 7 аналогично заданию 6. Поэтому и работа с ним проводится совершенно аналогичная. Единственным принципиальным отличием является то, что порядок выполнения действий в данных выражениях отличается от естественного, на что и указывают соответствующие скобки.

В задании 8 предлагается сравнить значения выражений. Сделать это ученики смогут двумя способами: во-первых, можно вычислить значение каждого выражения, во-вторых, можно попробовать сравнить значения выражений без их непосредственного вычисления, а используя свойства сложения и вычитания. Очевидно, что второй способ требует более глубоких рассуждений, поэтому мы отдаем предпочтение именно ему, но считать его обязательным для всех учащихся и для всех заданий совсем не следует.

Задание 9 предусматривает парную работу. Прежде чем составлять требуемые разности, учащиеся должны установить, что значение таких разностей может быть равно 10 или 0. После этого они смогут составить такие разности без особого труда. Одна группа разностей будет иметь следующий вид: 90–80, 80–70, 70–60, 60–50, 50–40, 40–30, 30–20, 20–10, а другая выглядит так: 90–90, 80–80, 70–70, 60–60, 50–50, 40–40, 30–30, 20–20, 10–10.

Тема: «Десятки и единицы» (1 урок) Данной темой мы завершаем изучение вопроса о нумерации двузначных чисел.

В задании 1 дается объяснение разрядному принципу письменной нумерации. Учащиеся уже знакомы с указанным принципом записи на примере записи чисел второго десятка. Кроме того, они уже детально познакомились с тем, как записываются «круглые»

двузначные числа. Таким образом, переход к записи «некруглых»

двузначных чисел полностью подготовлен.

В задании 2 речь идет о принципе, лежащем в основе устной нумерации всех оставшихся двузначных чисел, т. е. кроме чисел второго десятка и «круглых» двузначных чисел. Для этого учащимся нужно знать название разрядных слагаемых, одно из которых является «круглым» двузначным числом, а другое – однозначным числом.

При выполнении задания 3 учащиеся смогут закрепить свои знания по письменной и устной нумерации и получить необходимые пропедевтические знания по вопросу сравнения двузначных чисел.

В заключение предлагается осуществить проверку правильности выполнения задания.

В задании 4 отрабатывается умение переходить от устной нумерации к письменной. Основное внимание при изучении нумерации направлено на отработку умения перехода от письменной нумерации к устной, но про умение осуществлять обратный переход тоже не следует забывать.

Заданием 5 мы еще раз возвращаемся к рассмотрению разрядного состава двузначного числа. При выполнении этого задания обязательно следует провести работу по повторению того, какой смысл скрывается за местом (позицией) каждой цифры в записи двузначного числа.

Задание 6 носит комбинаторный характер. Учащимся предлагается построить различные комбинации из данных чисел. Причем одно число обязательно является «круглым» двузначным числом, а другое – однозначным числом. Таких комбинаций можно построить всего 9, и при систематическом переборе ученики легко их смогут построить. После того как требуемые комбинации разрядных слагаемых построены, остается только записать и назвать соответствующие числа.

Тема: «Краткая запись задачи» (1–2 урока) При изучении данной темы начинается целенаправленная систематическая работа по обучению решению арифметических сюжетТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие ных задач. Проведенная подготовительная работа, направленная на формирование понятия «арифметическая текстовая (сюжетная) задача», позволяет нам приступить к рассмотрению этого важнейшего вопроса всего начального курса математики. При обучении решению задач мы будем использовать различные методические подходы, как традиционные, так и нетрадиционные.

Составление краткой записи задачи – подход вполне традиционный. Следует обратить внимание на правильное понимание назначения данного методического приема: составление краткой записи – это один из путей поиска решения задачи. По этой причине учителю не следует требовать от учащихся обязательного составления краткой записи для задач, которые учащиеся смогли решить без использования краткой записи. Однако это замечание не относится к тем заданиям, цель которых – обучение составлению краткой записи.

При выполнении задания 1 учащиеся знакомятся с одним из возможных вариантов краткой записи задачи. Рассматриваемая задача представляет собой пример задачи на смысл действия вычитания в явном виде. Основное внимание следует сосредоточить на сути краткой записи: для чего она нужна (об этом сказано в тексте задания) и как она строится. Об этом нужно провести специальный разговор, обращая внимание учащихся на выбор ключевых слов («сидело», «улетело», «осталось») и на обязательное включение в краткую запись данных чисел и вопросительного знака, обозначающего искомое. В заключительной части задания учащимся предлагается повторить составные части формулировки задачи (условие и требование), выделив их в краткой записи, и решить предложенную задачу с вычислением и записью ответа.

В задании 2 учащимся предлагается из трех вариантов краткой записи выбрать тот, который соответствует данной задачи. Мы специально предложили рассматривать в этом случае только такие варианты, которые имеют одинаковый набор ключевых слов («Было», «Приплыло», «Стало»), а отличие этих вариантов заключается в том, что следует считать искомым, а что данными. Такой подход позволяет обратить внимание учащихся на определенную заданность ключевых слов, а также на возможные вариации с выбором искомого (а соответственно, и с выбором данных). Не следует забывать, что именно второй фактор определяет выбор действия для решения задачи.

В задании 3 учащимся предлагается другой вид работы: нужно дополнить краткую запись так, чтобы по ней можно было бы решить задачу. Ключевые слова этой краткой записи уже даны, поэтому учащимся остается выбрать и расставить данные и исКилограмм»

комое. Желательно рассмотреть все возможные варианты выбора искомого. После того как будет выполнено данное задание, можно предложить учащимся составить устно текстовую задачу по одной из составленных кратких записей. Сюжет такой задачи подскажет иллюстрация или ключевые слова.

В задании 4 от учащихся требуется придумать задачу по данной краткой записи. Если при выполнении предыдущего задания им уже предлагалось выполнить такую работу, то это задание призвано закрепить соответствующее умение. Если же такая работа еще не проводилась, то выполнять ее следует не только с опорой на краткую запись, но и на иллюстрацию.

При выполнении задания 5 от учащихся потребуется продемонстрировать умение составлять краткие записи по тексту задачи. При этом предлагаемый вариант ключевых слов можно сначала обсудить с учащимися, а уже потом обратиться к тому варианту, который дан в учебнике. После того как краткая запись будет составлена, можно провести работу по решению этой задачи с использованием краткой записи.

В задании 6 учащимся предлагается решить задачу с использованием предложенной схемы. Однако и в этом случае имеет смысл сначала составить краткую запись задачи, чтобы сопоставить ее с имеющейся схемой и с краткой записью из предыдущего задания. Все это позволит обратить внимание учеников на возможный различный смысл одних и тех же ключевых слов (речь идет о слове «всего», которое в задании 5 обозначает искомое, а в этом – данное), а также осуществить вполне осознанный выбор действия для решения данной задачи.

Тема: «Килограмм» (1 урок) Данная тема в материале 2 класса открывает линию по изучению величин. Подготовительная работа по изучению этой темы была проведена в 1 классе при изучении темы «Тяжелее и легче». Так как изучение этих тем разделяет достаточно большой временной промежуток, то необходимо сделать некоторые напоминания, связанные с процедурой взвешивания на различных весах.

При выполнении задания 1 учащиеся столкнутся не только с проблемной ситуацией, связанной с сопоставлением величины и численности соответствующего множества (вариации на тему феномена Пиаже, суть которого состоит в том, что дети на определенном возрастном этапе развития с большим трудом преодолевают существующие различия в сравнении предметов (или групп Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие предметов) по величине и по численности; например, для них 2 арбуза всегда больше, чем 5 яблок, даже в том случае, когда их просят сравнить число арбузов с числом яблок), но и познакомятся со стандартной единицей массы – килограммом. Это знакомство должно быть проведено не только на теоретическом, но и на практическом уровне.

Задание 2 направлено на изучение зависимости между числом одинаковых предметов и их массой. Учащиеся должны четко понимать, что чем легче один предмет, тем больше таких предметов нужно, чтобы получить требуемую массу.

Если такое понимание сразу не формируется, то в качестве промежуточного шага можно предложить учащимся рассмотреть ситуацию, когда число предметов первого и второго вида одинаковое.

В этом случае сравнение по массе этих двух групп предметов не может вызвать каких-либо затруднений. Когда будет установлено, что более легкие предметы (в данном задании конфеты «Мечта») легче такого же числа более тяжелых предметов (в данном задании конфеты «Батончик»), то без особого труда можно сделать следующий шаг рассуждений: чтобы уравнять их по массе, нужно увеличить число более легких предметов (конфет «Мечта»). Таким образом, если масса конфет первого и второго вида одна и та же (например, 1 килограмм), то более легких конфет должно быть больше.

При выполнении задания 3 учащиеся знакомятся еще с одним способом измерения массы, который заключается в использовании циферблатных весов.

При выполнении задания 4 учащиеся знакомятся с одним из способов распознавания массы в 1 килограмм, который заключается в использовании чашечных рычажных весов и гирь (или стандартных по массе предметов: пачки соли, пачки сахара и т. п.).

Тема: «Килограмм. Сколько килограммов?» (1 урок) Эта тема является естественным продолжением темы «Килограмм».

В процессе ее изучения ученики должны научиться отвечать на вопрос «Сколько килограммов?» как с помощью взвешивания предметов, так и с помощью простейших вычислений с соответствующими величинами.

Прежде всего (см. задание 1), мы хотим познакомить их с тем фактом, что данную величину, равную какому-либо целому числу килограммов, можно составить из величин по 1 кг совершенно так же, как данное число можно составить из соответствующего числа единиц. Данное свойство величин учащимся хорошо знакомо на интуитивном уровне, так как практика оперирования с реальными предметами постоянно убеждает учащихся, в том что мера целого равняется сумме мер его частей (свойство аддитивности).

При выполнении задания 2 учащиеся должны продемонстрировать свое умение отвечать на вопрос: «Сколько килограммов?»

с помощью взвешивания. При этом мы сейчас совершенно не делаем акцент на том, что при взвешивании реальных предметов получить результат, выраженный точно целым числом килограммов, маловероятно. В данный момент нас интересуют только такие ситуации, поэтому мы их специально строим. Если весы будут показывать результат, который незначительно отличается от целочисленного результата, то можно использовать слова «около», «почти», «приблизительно».

В отличие от предыдущего задания, где требовалось распознать на весах заранее данный результат (2 кг), в задании 3 перед учащимися ставится другая задача: указать конкретный результат взвешивания для каждого из трех случаев. При этом последовательность рассмотрения этих случаев должна быть именно такая, как это указано в задании: сначала нужно записать массу муки, потом гречки и, наконец, печенья.

В задании 4 предлагается решить простую задачу на смысл сложения, но только речь в ней идет о сложении величин. По аналогии со сложением длин можно выполнять и сложение масс. К такому пониманию действий над величинами учащиеся уже подготовлены как на уровне общих идей, так и на уровне конкретных заданий (см. задание 1). При составлении краткой записи мы предлагаем ориентироваться на такой вариант:

Собрала Маша – 5 кг Собрал Миша – 3 кг Собрали вместе – ?

Запись решения может быть двух видов: 5 кг + 3 кг или 5 + 3.

В первом случае речь идет о сложении величин, а во втором – о сложении чисел, которое моделирует сложение данных величин.

Если будет выбран второй вариант записи решения, то в обязательном порядке следует обратить внимание учащихся на то, что обе величины должны быть выражены в одних и тех же единицах, например в килограммах. Если единицы разные, то сразу перевести на числовую модель нельзя. Следует сначала выразить величины в одних и тех же единицах.

В дальнейшем, когда будут введены и другие единицы измерения, об этом факте следует напоминать постоянно. Что касается вычисления ответа, то при правильной записи решения, эта процедура не Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие должна вызывать какие-либо затруднения. И в этом случае возможны два варианта записи: 5 кг + 3 кг = 8 кг или 5 + 3 = 8 (кг).

В задании 5 учащимся предлагается составить задачу, в которой требуется узнать, сколько килограммов муки осталось. Таким образом, требование уже есть, нужно придумать условие. Составленные задачи, скорее всего, будут простыми задачами на вычитание.

Именно такие задачи нужно еще рассмотреть, чтобы познакомить учащихся и с возможностью выполнения вычитания величины из величины такого же рода. Запись решения и вычисление ответа в данном случае будут осуществляться на основе полной аналогии с заданием 4.

Тема: «Учимся решать задачи» (1–2 урока) Этой темой начинается целенаправленная работа по обучению учащихся решению текстовых (сюжетных) арифметических задач. Это совсем не означает, что до этого времени такая работа не проводилась, но именно с этого момента мы ставим перед учащимися данную учебную задачу, обращаться к которой будем теперь постоянно.

При выполнении задания 1 учащиеся познакомятся с одним из возможных способов решения простых задач на сложение и вычитание – моделированием с помощью схемы, составленной на основе диаграммы Эйлера – Венна. Диаграмма Эйлера – Венна, состоящая из двух кругов, из которых один находится внутри другого (см. рис. 1), хорошо знакома учащимся по материалам изучения смысла действий сложения и вычитания в 1 классе.

К привычной диаграмме мы добавляем три квадрата. Они предназначены для записи данных в задаче – чисел и искомого, обозначаемого с помощью вопросительного знака. Верхний квадрат, изображаемый, как и граница соответствующего ему круга Эйлера, синим цветом, служит для записи числа всех рассматриваемых в данной задаче предметов (объектов). Нижний левый квадрат, изображаемый, как и соответствующий ему круг Эйлера, желтым цветом, служит для обозначения числа предметов, выделенных по какому-то признаку среди всех рассматриваемых предметов. Нижний правый квадрат, изображаемый, как и соответствующее ему кольцо, красным цветом, служит для обозначения числа невыделенных ранее (оставшихся) предметов из всех рассматриваемых.

К указанным фигурам добавляются стрелки, соединяющие квадраты, и знаки действий, стоящие около стрелок (см. рис. 2).

Работа со схемой должна начинаться с того, чтобы учащиеся вспомнили, какой круг на схеме изображает все рассматриваемые предметы (круг с границей синего цвета), а какой – выделенную по какому-либо признаку часть (или группу) предметов из всех имеющихся (круг желтого цвета), а также какая область изображает оставшиеся невыделенными предметы (кольцо красного цвета).

После этого должно быть сформировано умение расставлять на схеме данные числа и вопросительный знак как условное обозначение искомого. В результате должна получиться следующая схема (см. рис. 3).

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие Завершающим этапом знакомства со схемой должно стать рассмотрение вопроса о назначении стрелок (см. задание 2). Прежде всего следует обратить внимание учащихся на то, что каждая стрелка соединяет два квадрата на схеме. При этом около каждой стрелки стоит знак либо сложения, либо вычитания. Для нахождения решения задачи нас будет интересовать только та стрелка, которая соединяет квадраты с данными в условии задачи числами: знак, стоящий около этой стрелки, показывает, какое действие над данными числами нужно выполнить, чтобы удовлетворить требование этой задачи.

Примечание. Предлагаемую схему мы будем использовать не только, и даже не столько, в качестве удобного инструмента для поиска решения задачи, а скорее как удобное средство обратного характера: по данному решению сконструировать (сформулировать) сюжетную арифметическую задачу. Именно такой методический прием, на наш взгляд, является очень эффективным при обучении решению простых задач на все арифметические действия.

В задании 2 мы продолжаем работу, направленную на детальное знакомство учащихся с данной схемой: на этот раз мы предлагаем изменить в условии задачи (и, соответственно, на схеме) только один параметр (одно из данных чисел), сохранив все остальные параметры (см. рис. 4).

Такой подход позволяет нам акцентировать внимание учеников на интересующем нас в данный момент элементе схемы, а именно на том квадрате, в котором записывается число всех рассматриваемых предметов (верхний квадрат, изображенный синим цветом).

При этом автоматически выделяется и другой квадрат, в котором записывается число выделенных предметов (нижний левый квадрат, изображенный желтым цветом). Так как самостоятельное составлеПрямая бесконечна»

ние схемы является для учащихся на данном этапе обучения достаточно трудной задачей, то мы, предлагая составить схему к новой задаче, специально рассматриваем такую задачу, формулировка которой практически полностью (за исключением одного данного числа) повторяет задачу из задания 1. Поэтому при составлении новой схемы учащиеся могут воспользоваться данной схемой, сделав только одно изменение: число 15 заменить на число 17.

В задании 3 предлагается составить задачу на сложение и сделать краткую запись к этой задаче. Решать задачу не обязательно.

В задании 4 учащимся предлагается составить устно задачу, которой соответствует схема из задания 3. Так как на этой схеме уже заданы числа и определено действие для решения задачи, то составление другой задачи может быть осуществлено, прежде всего, за счет изменения сюжета. Если у кого-то из учащихся получится разнообразить перечень сформулированных задач задачей на вычитание другого вида, то этот факт должен быть отмечен особо.

Примечание. Умению формулировать самые разнообразные задачи по данному решению мы придаем очень большое значение, считая его одним из основных при обучении учащихся решению простых задач на все арифметические действия.

Тема: «Прямая бесконечна» (1 урок) Данной темой открывается изучение геометрического материала во 2 классе. Изучение бесконечности прямой выбрано для этой роли совсем не случайно: понятие «прямая» знакомо учащимся по материалу 1 класса, поэтому мы строим определенную связующую логическую основу в изучении геометрического материала 1 и 2 классов. Однако мы предлагаем повторить уже известный ученикам материал с точки зрения совершенно нового и очень важного свойства – свойства бесконечности.

В задании 1 мы даем разъяснение того важнейшего свойства прямой, о котором речь шла выше. Свойство бесконечности трактуется в данном случае как бесконечность процесса («потенциальная бесконечность»). Таким процессом может являться процесс движения по прямой в любом направлении.

Проиллюстрировать этот процесс мы предлагаем с помощью выполнения практического задания, заключающегося в построении прямой по линейке с возможностью сдвига линейки вдоль прямой в любом направлении и с возможностью подкладывания нового листа бумаги в том случае, когда прямая доведена до края Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие предыдущего листа. Важным моментом в понимании сути рассматриваемого свойства является противопоставление таких двух понятий, как прямая и отрезок. Учитывая, что с понятием отрезка учащиеся достаточно хорошо знакомы, а следовательно, они знают о том, что отрезок обязательно имеет концы, которые являются его граничными точками, мы можем в противовес рассматривать прямую как линию, у которой нет концов, т. е. бесконечную линию.

Такое противопоставление позволяет объяснить и существующие отличия в изображении прямой и отрезка на чертеже. Еще раз мы хотим подчеркнуть, что бесконечность прямой мы рассматриваем как ее неограниченность, в отличие от отрезка, который является ограниченной фигурой.

Задание 2 направлено на отработку умения распознавать изображение прямой на чертеже. На прямой все точки равноправны:

ни одна точка не обладает каким-либо особым свойством, поэтому при изображении прямой ни одна точка никак не выделяется.

Примечание. Если после изображения прямой нам нужно взять на ней некоторую точку, то не следует выбирать и обозначать ее близко к «концу» изображенной на чертеже прямой, так как это может создать ошибочное представление о том, что у прямой может появиться «конечная точка». Аналогичное требование следует соблюдать и в том случае, когда прямую нужно провести через точку (или через точки): процесс построения прямой нельзя заканчивать в данной точке, а нужно обязательно продолжить за нее!

Задание 3 не должно вызывать никаких затруднений: построить две пересекающиеся прямые с точкой пересечения, расположенной на данном листе бумаги, совсем просто. Для этого достаточно начертить крестообразную фигуру.

Задание 4 является естественным продолжением и усложнением задания 3: только в данном случае точка пересечения не должна находиться на данном листе бумаги (что проверяется построением), но должно быть вполне понятно, что такая точка существует. Вторая часть этого задания направлена на то, чтобы познакомить учащихся с существованием параллельных прямых (сам термин «параллельность» мы не предлагаем использовать в обязательном порядке, так как это может создать для некоторых учащихся определенные трудности в его воспроизведении и запоминании, но и не исключаем такой возможности, оставляя решение этого вопроса за учителем). Главное – учащиеся должны понять, что существуют прямые, которые не имеют точек пересечения, и примером таких прямых могут служить прямые (либо горизонтальные, либо вертикальные), на основе которых сделано разбиение на клетки тетрадного листа бумаги.

В задании 5 учащимся предлагается рассмотреть взаимное расположение пяти прямых, которые даны под соответствующими номерами. Так как расположение первых четырех прямых напоминает расположение горизонтальных и вертикальных прямых тетрадного листа в клетку, то указать пары непересекающихся прямых в данном случае учащиеся легко смогут, если будут рассуждать по аналогии, опираясь на предыдущее задание.

Тема: «Сложение “круглых” десятков с однозначными числами» (1 урок) Данная тема носит вспомогательный характер применительно к изучению поразрядного способа сложения (вычитания), которому в дальнейшем будет уделено самое пристальное внимание. Умение складывать «круглые» десятки (не выходящие за пределы двузначных чисел) с однозначными числами потребуется на последнем шаге выполнения поразрядного способа сложения (вычитания),и этим умением учащимся нужно обязательно овладеть.

При выполнении задания 1 учащиеся вспомнят, как можно двузначное число представить в виде суммы разрядных слагаемых. При рассмотрении различных сумм разрядных слагаемых обязательно следует обратить внимание учащихся на то, что первое слагаемое является «круглым» двузначным числом, а второе – однозначным числом.

Задание 2 требует от учащихся умения обратного свойства: восстанавливать число по сумме разрядных слагаемых. Другими словами, учащиеся должны уметь не только переходить от краткой десятичной записи числа к подробной его записи (см. задание 1), но и наоборот: осуществлять переход от подробной записи к краткой.

Например, от подробной записи 50+8 можно перейти к краткой записи 58. Особая ситуация имеет место для «круглых» чисел. Подробная запись такого числа, например числа 50, может быть двух видов: 50+0 или просто 50, так как слагаемое 0 в подробной записи можно опускать.

Примечание. Подробная десятичная запись принципиально отличается от краткой тем, что в подробной записи могут отсутствовать некоторые разрядные слагаемые и совсем не обязательно (хотя и можно) их записывать в виде нулевого слагаемого, а вот в краткой записи наличие нуля при пропуске разрядного слагаемого обязательно! Например, подробная Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие запись для числа 50 может выглядеть как 50+0, но в данном случае второе слагаемое, равное 0, можно и не писать. Тогда подробная запись будет совпадать с краткой: 50=50. Это замечание будет играть существенную роль, когда мы перейдем к рассмотрению трехзначных, четырехзначных и т. д. чисел.

При выполнении задания 3 учащимся предлагается найти значения сумм, составленных из «круглых» двузначных и однозначных чисел. Опираясь на выполнение первых двух заданий, учащиеся могут легко переформулировать это задание, рассматривая данные суммы как суммы разрядных слагаемых, и выполнить его по аналогии с заданием 2.

В задании 4 подводится итог проделанной чуть ранее работы.

Этот итог формулируется в виде правила сложения «круглого» двузначного числа («круглого» десятка) с однозначным, которое запоминать не требуется, а требуется только правильно применять. Если принять во внимание то, о чем сказано в примечании к заданию 3, то данное правило можно рассматривать как правило перехода от подробной десятичной записи к краткой для двузначных чисел.

В задании 5 мы с помощью известной учащимся схемы предлагаем им записать решение некоторой задачи. Это решение совсем не случайно представляет собой сумму «круглого» двузначного числа с однозначным. Предлагая далее вычислить ответ этой задачи, мы по существу даем задание на закрепление изученного только что правила. Заключительная часть этого задания возвращает учащихся от упражнений вычислительного характера к процессу решения задачи.

Тема: «Поупражняемся в вычислениях»

Тема включена в учебник с целью расширить перечень предлагаемых заданий заданиями на закрепление и повторение ранее изученного материала. Задания, объединенные данной темой, будут появляться на страницах учебника с определенной периодичностью.

Такого типа задания можно использовать как дополнительные к уже имеющимся заданиям по соответствующим темам, их можно использовать в качестве домашних заданий, и наконец, выполнению этих заданий можно посвятить и отдельный урок. Выбор области дидактического применения этих заданий мы оставляем учителю.

Задания 1, 2, 3 и 4 относятся к вопросам сложения и вычитания «круглых» двузначных чисел, которые в этих заданиях раскрываются с различных сторон.

«Поразрядное сложение двузначного числа и однозначного без перехода через разряд»

Выполняя задание 5, учащиеся смогут повторить разрядный принцип записи чисел.

В задании 6 объединены сразу несколько вопросов: сложение и вычитание «круглых» двузначных чисел и сложение «круглого»

двузначного числа с однозначным. При выполнении этого задания не следует забывать и о предназначении скобок в записи числового выражения.

При выполнении заданий 7 и 8 должны получиться соответственно следующие равенства:

По данным равенствам легко видеть, какие вопросы можно отрабатывать при выполнении этих заданий. Прежде всего это вопросы, связанные со сложением и вычитанием «круглых» двузначных чисел, а также вопросы, касающиеся порядка выполнения действий в выражении без скобок. Кроме этого, можно обратить внимание учащихся на такой вычислительный прием, как присчитывание (отсчитывание) по 10, а также на взаимосвязь сложения и вычитания.

В заданиях 9 и 10, кроме всех названных выше вопросов вычислительного характера, рассматриваются еще вопросы понятийного характера: речь идет соответственно о понятиях верного числового равенства и верного числового неравенства.

Тема: «Поразрядное сложение двузначного числа и однозначного без перехода через разряд» (1 урок) Данной темой мы открываем серию тем, в которых будет идти речь о поразрядном способе сложения (вычитания) чисел. Подготовительная работа к изучению данной темы была проведена при изучении темы «Сложение “круглых” десятков с однозначными числами».

Задание 1 направлено на то, чтобы актуализировать умение учащихся представлять двузначные числа в виде суммы разрядных слагаемых.

При выполнении задания 2 учащиеся познакомятся с поразрядным способом сложения чисел без перехода через разряд на примере сложения двузначного числа с однозначным. В данном случае способ сложения опирается не только на возможность представления двузначного числа в виде суммы разрядных слагаемых, но и на правило прибавления числа к сумме, с которым учащиеся хорошо знакомы еще с 1 класса. Если внимательно проанализировать образец записи, которая и иллюстрирует данный способ сложения, Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие то можно установить, что прибавление второго слагаемого, которое принадлежит разряду единиц, осуществляется не ко всему первому слагаемому, а только к той его части, которая также принадлежит разряду единиц. Именно этот факт и дает основание назвать данный способ сложения поразрядным.

Так как при сложении чисел в разряде единиц в данном случае мы получаем число, принадлежащее этому же разряду, т. е. мы не выходим за пределы этого разряда, то имеется полное основание уточнить название данного способа сложения выражением «без перехода через разряд», что мы и делаем.

Примечание. Итак, если при проведении вычислений в каком-то разряде мы не выходим за его границы, то перехода через разряд не происходит. Если вычисления производятся в нескольких разрядах, то выражение «без перехода через разряд» означает, что не было перехода через разряд ни в одном из этих разрядов.

Задание 3 направлено на отработку изученного способа сложения. При его выполнении следует требовать от учащихся выполнения подробной записи по образцу из задания 2. При выполнении заданий 3 и 4 в подробной записи может появиться либо дополнительный шаг, связанный с перестановкой слагаемых, либо принципиально новая запись, но построенная на основе аналогии.

Цель задания 4 – обратить внимание учащихся на вычисления «без перехода через разряд» и логически связать это с соответствующим арифметическим условием: значение суммы чисел данного разряда должно быть меньше 10. Учащимся должно быть понятно, что дело не в первом слагаемом, а в значении суммы, которое должно быть меньше 10, иначе произойдет переход через разряд.

Именно такой переход происходит при вычислении значения второй суммы в каждом столбике, на что следует обратить внимание учащихся.

При выполнении задания 5 учащиеся могут продемонстрировать, как они поняли условие, гарантирующее отсутствие перехода через разряд. Данное задание предназначено для парной работы.

Заданием 6 мы продолжаем работу, начатую при выполнении задания 5 из темы «Сложение “круглых” десятков с однозначными числами». Как и ранее, с помощью данной схемы мы решаем две дидактические задачи: во-первых, закрепляем рассмотренный способ сложения двузначного числа с однозначным (это делается при вычислении ответа по решению, подсказанному схемой), во-вторых, ведем обучение решению простых задач на сложение.

«Поразрядное вычитание однозначного числа из двузначного без перехода через разряд»

Тема: «Поразрядное вычитание однозначного числа из двузначного без перехода через разряд» (1 урок) Эта тема логически связана с предыдущей. Предстоит рассмотреть поразрядный способ выполнения действия вычитания без перехода через разряд.

При выполнении задания 1 учащиеся знакомятся с поразрядным способом вычитания однозначного числа из двузначного без перехода через разряд (сравните с заданием 2 из предыдущей темы). Этот способ вычитания опирается не только на возможность представления двузначного числа в виде суммы разрядных слагаемых, но и на правило вычитания числа из суммы. Это позволит обратить внимание учащихся на основные особенности данного способа вычитания:

во-первых, видно, что число десятков в значении разности остается таким же, каким оно было в уменьшаемом; во-вторых, вычитание производится только в разряде единиц без замены разрядных слагаемых на другие числа. Все это позволяет говорить о применении поразрядного способа вычитания без перехода через разряд.

Задание 2 направлено на эмпирическое выяснение условия, при котором поразрядное вычитание осуществляется без перехода через разряд (сравните с заданием 4 из предыдущей темы). Итогом выполнения этого задания должен стать не только выполненный отбор требуемых разностей, но и попытка сформулировать соответствующее условие.

Задание 3 является непосредственным продолжением предыдущего задания. Сначала с помощью учеников класса учитель должен получить формулировку требуемого условия. Например, это может быть следующая формулировка: если вычитаемое не превосходит (меньше или равно) соответствующего разрядного слагаемого уменьшаемого, то поразрядное вычитание выполняется без перехода через разряд. После получения такой или аналогичной формулировки требуемого условия учащиеся должны продемонстрировать, как они умеют этим условием пользоваться.

В задании 4 учащимся предлагается составить задачу по данному решению. С таким видом работы они уже знакомы, а его дидактическое предназначение мы уже подробно обсуждали. При вычислении ответа составленной задачи учащиеся смогут продемонстрировать, как они усвоили рассмотренный способ вычитания.

Задание 5 аналогично заданию 6 из предыдущей темы. Единственное, на что следует обратить особое внимание, так это на принципиальное различие схем в данных заданиях: предыдущая схема соответствует простой задаче на сложение, а данная – простой задаче на вычитание.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие Тема: «Учимся решать задачи» (1 урок) Данной темой мы продолжаем линию по обучению решению задач с использованием схемы, построенной на кругах Эйлера.

В задании 1 учащимся предлагается для данной задачи дополнить уже построенную схему постановкой вопросительного знака, который обозначает искомое. Совершенно ясно, что предлагаемая задача может быть легко решена и без использования этой схемы, но в данном случае мы предлагаем обязательно проделать с учащимися всю работу, предусмотренную в задании, так как именно эта работа должна еще раз детально разъяснить им, как следует строить схему к конкретной задаче. В результате проделанной работы должна получиться следующая схема (рис. 5):

При этом обязательно следует обратить внимание учащихся на знак, стоящий около стрелки, соединяющей данные числа, так как именно этот знак и указывает на действие, которое нужно выполнить для решения данной задачи. Совсем не лишним будет и упоминание о том, что эта стрелка является двусторонней, так как это связано с переместительным свойством умножения. А вот ответить на вопрос, почему эта стрелка (в отличие от других) является двусторонней, можно предложить учащимся.

При выполнении задания 2 работа по построению схемы будет продолжена. В этом случае дополнить предложенную схему нужно данными числами, а искомое на схеме должно быть уже указано (рис. 6).

Начать расстановку данных чисел лучше с числа 19, которое показывает число всех лошадей в табуне. В результате работы должна получиться следующая схема (рис. 7):

Для нахождения решения этой задачи учащиеся должны указать уже совсем на другую стрелку на схеме. Около этой стрелки стоит знак вычитания, что и определяет выбор действия при решении задачи. Можно отметить, что стрелка является односторонней (переместительное свойство для вычитания не выполняется) и направлена от уменьшаемого к вычитаемому.

В заданиях 3 и 4 учащимся предлагается устно составить задачи по данным схемам. Особое внимание следует обратить на то, что составленные задачи должны быть максимально разнообразными.

Тема: «Поупражняемся в вычислениях»

В текст учебника снова включены задания, которые можно использовать для закрепления и повторения изученных ранее тем на последующих уроках.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие Задания 1 и 2 относятся к теме «Поразрядное сложение двузначного числа и однозначного без перехода через разряд». Эти два задания следует предлагать в комплексе.

Задания 3 и 4 относятся к теме «Поразрядное вычитание однозначного числа из двузначного без перехода через разряд». Эти два задания следует давать в комплексе.

В задании 5 обе названные выше темы объединены.

В заданиях 6 и 7 мы еще раз возвращаем учащихся к поразрядному способу сложения двузначного числа с однозначным без перехода через разряд. В задании 6 дополнительно осуществляется повторение переместительного свойства сложения. Задание 7 предусматривает парную работу.

Задания 8 и 9 возвращают учащихся к поразрядному способу вычитания однозначного числа из двузначного без перехода через разряд. При этом задание 8 предусматривает парную работу и проверку правильности его выполнения. Цель задания 9 (кроме отработки соответствующего вычислительного приема) – обучение решению простых задач на вычитание.

Тема: «Прямая и луч» (1 урок) После того как учащиеся повторили понятие прямой и изучили новое для них свойство прямой – свойство бесконечности (это было сделано при изучении темы «Прямая бесконечна»), можно ввести в рассмотрение новое геометрическое понятие – понятие луча, которое как раз и базируется на указанном материале.

В задании 1 учащимся дается разъяснение понятия луча с использованием генетического подхода (т. е. на основе происхождения) к определению этого понятия. Особо следует обратить их внимание на то, как луч изображается на чертеже: с одной стороны, у луча есть начало, которое на чертеже должно быть обязательно отмечено, с другой стороны, у луча нет конца, что показывается с помощью отсутствия на чертеже других особых точек.

В результате выполнения задания 2 учащиеся должны прийти к пониманию того, что любая точка на прямой разбивает эту прямую на два луча с общим началом.

При выполнении задания 3 учащиеся должны проявить свою фантазию и знание объектов окружающего их мира. Скорее всего они назовут луч солнца или луч электрического фонарика. Как вариант может быть назван лазерный луч. Во всех этих случаях обязательно следует обратить внимание учащихся на то, что и у «реальных» лучей обязательно есть начало. Проиллюстрировать бесконечность «реального» луча, к сожалению, не так просто, но все-таки возможно, если, например, вообразить, что луч направлен не на какой-то предмет, а в «свободное пространство».

При выполнении задания 4 учащиеся должны начертить крестообразную фигуру.

При выполнении задания 5 учащимся можно опираться на аналогичное задание из темы «Прямая бесконечна» (см. задание 4).

Выполняя задание 6, учащиеся могут интуитивно опираться на понятие параллельности (как это было при выполнении аналогичного задания для прямых), но могут и должны использовать принципиальное отличие луча от прямой, которое заключается в том, что бесконечность луча имеет одностороннюю направленность. Именно эта особенность луча позволяет расположить на плоскости два луча так, что они и не пересекаются и не параллельны (рис. 8).

При выполнении задания 7 учащиеся знакомятся с существованием сонаправленных лучей, лежащих на одной прямой. Термин «сонаправленные лучи» мы не предлагаем использовать, но если учитель сочтет возможным это сделать, то вводить этот термин следует в паре с термином «противонаправленные лучи», о которых речь шла в задании 2.

Задание 8 носит пропедевтический характер к введению понятия угла.

Задание 9 позволяет учащимся продемонстрировать умение распознавать лучи, выходящие из данной точки. При этом можно вести речь о противонаправленных лучах. Однако основная цель этого задания – подготовить учащихся к введению понятия «угол».

Использование термина «угол» происходит в данном задании на интуитивной основе.

Тема: «Сложение “круглого” десятка и двузначного числа»

(1 урок) Данной темой мы продолжаем изучение поразрядного способа сложения. Мы будем рассматривать один из возможных случаев поразрядного сложения, который заключается в выполнении сложения только в одном разряде – разряде десятков. При этом мы по умолТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие чанию предполагаем, что возможность перехода через разряд не допускается в силу того, что мы рассматриваем только двузначные числа. Вычислительный прием основан на случаях сложения «круглых» двузначных чисел и прибавления к «круглому» двузначному числу однозначного числа.

Задание 1 носит подготовительный характер и направлено на повторение приемов сложения «круглых» двузначных чисел и прибавления к «круглому» двузначному числу однозначного числа. Совсем не лишним в данном случае может оказаться и повторение правила порядка выполнения действий в выражении со скобками.

В задании 2 на примере сложения чисел 30 и 27 осуществляется объяснение способа прибавления к «круглому» двузначному числу произвольного двузначного числа. Данный способ основан на возможности разложения двузначного числа на сумму разрядных слагаемых, на правиле прибавления суммы к числу и на изученных ранее приемах сложения «круглых» двузначных чисел и прибавления к «круглому» числу однозначного числа. Следует обратить внимание учащихся на то, что сложение в данном случае фактически выполняется только в разряде десятков.

В задании 3 учащимся предлагается поупражняться в применении рассмотренного вычислительного приема. При проведении вычислений следует предложить учащимся делать подробные записи.

Задание 4 на первый взгляд аналогично предыдущему заданию.

Однако при выполнении этого задания учащиеся либо должны применить еще и правило перестановки слагаемых, либо построить аналогичную цепочку рассуждений, но основанную на правиле прибавления числа к сумме. Если учеником будет избран первый вариант решения, то можно разрешить сокращенную запись следующего типа: 44+30=30+44=74. Если же будет избран второй вариант решения, то выполнение подробной записи обязательно. Для сложения этих же чисел она должна выглядеть так:

44+30=(40+4)+30=(40+30)+4=70+4=74.

В задании 5 учащимся предлагается решить задачу с предварительным составлением ее краткой записи. В данном случае нас интересует и процесс отыскания решения, и процесс вычисления ответа, который возвращает учащихся к изучаемому случаю сложения.

При выполнении задания 6 учащиеся в вычислительном плане столкнутся с аналогичной ситуацией (см. задание 5). Что касается работы по обучению решению задач, то данное задание более содержательное: во-первых, учащимся предлагается составить задачу по краткой записи, во-вторых, решить составленную задачу. Очень важно обратить внимание на то, что ключевые слова краткой заВычитание “круглого” десятка из двузначного числа»

писи уже говорят нам о том, что решением составленной задачи должна быть сумма чисел 47 и 50.

При выполнении заданий 7 и 8 учащиеся смогут потренироваться в выполнении сразу нескольких вычислительных приемов.

Кроме сложения «круглого» двузначного числа с двузначным числом они еще вспомнят, как вычитать (см. задание 7) и складывать (см. задание 8) «круглые» двузначные числа. Обращаем внимание на имеющееся различие в формулировках заданий 7 и 8. В первом из них речь идет о вычислении значения выражения, поэтому в тексте даны именно числовые выражения. Во втором речь идет о выполнении указанных действий, поэтому в тексте даны записи (числовыми выражениями они не являются), содержащие знак равенства, который и указывает на то, что требуется найти результат действий (эти записи можно назвать незавершенными записями действий).

В задании 9 мы предлагаем учащимся поработать со схемой, построенной на кругах Эйлера. Важно, чтобы учащиеся обратили внимание на то, что схема задает решение задачи в виде суммы 40+28.

Далее учащиеся составляют задачи по этой схеме. Особо следует поощрить учащихся, которые смогут составить задачи на сложение, в формулировке которых будут фигурировать слова «улетели», «увезли», «уехали» и т. п. Что касается вычисления ответа составленных задач, то для этого учащимся нужно будет сложить числа и 28, а значит, продемонстрировать умение применять только что изученный вычислительный прием.

Тема: «Вычитание “круглого” десятка из двузначного числа»

(1 урок) Данная тема логически связана с предыдущей. Учащимся предлагается освоить аналогичный вычислительный прием для действия вычитания. Этот прием основан на возможности представления двузначного числа (уменьшаемого) в виде суммы разрядных слагаемых и на применении правила вычитания числа из суммы, которое изучалось учащимися в конце 1 класса.

Задание 1 носит подготовительный характер и направлено на повторение приемов вычитания «круглых» двузначных чисел и сложения «круглого» двузначного числа с однозначным числом. Совсем не лишним и в этом случае может оказаться повторение правила порядка выполнения действий в выражении со скобками.

В задании 2 собственно и осуществляется объяснение способа вычитания «круглого» двузначного числа из произвольного двузначного числа на примере вычитания числа 20 из числа 37. Данный способ Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие основан на возможности разложения двузначного числа на сумму разрядных слагаемых, на правиле вычитания числа из суммы и на изученных ранее приемах вычитания «круглых» двузначных чисел и прибавления к «круглому» числу однозначного числа. При анализе предложенного способа вычитания следует обратить внимание учащихся на то, что вычитание выполняется только в разряде десятков.

В задании 3 учащимся предлагается поупражняться в применении рассмотренного вычислительного приема. При проведении вычислений следует предложить им делать подробные записи.

При выполнении задания 4 учащиеся не только должны поупражняться в применении рассмотренного вычислительного приема, но и на основании обобщения рассмотренных случаев подготовить почву для формулировки правила о том, как при вычитании «круглого» числа из двузначного найти цифру разряда единиц и цифру разряда десятков искомого результата без проведения подробных поэтапных вычислений.

Целью задания 5 является получение формулировки следующего правила: в результате вычитания «круглого» числа из двузначного получается число, в записи которого цифра разряда единиц равна цифре разряда единиц уменьшаемого, а цифра разряда десятков находится в результате вычитания в разряде десятков уменьшаемого и вычитаемого.

В задании 6 учащимся предлагается составить задачу так, чтобы ее решением было выражение 48–30. Работу над этим заданием можно начать с выбора ключевых слов и составления краткой записи предполагаемой задачи, особенно это рационально при проведении фронтальной формы работы. После составления краткой записи можно переходить к составлению самой задачи. Обращаем внимание на то, что при вычислении ответа составленной задачи учащиеся смогут применить только что сформулированное правило (см. задание 5).

При выполнении задания 7 следует обратить внимание учащихся на порядок выполнения действий при вычислении значений данных выражений.

Тема: «Дополнение до “круглого” десятка» (1 урок) Данная тема носит пропедевтический характер применительно к изучению одного из приемов сложения, который заключается в прибавлении по частям с получением «круглого» числа в качестве промежуточного результата.

Задание 1 направлено на повторение возможных случаев представления числа 10 в виде суммы двух однозначных чисел. Порядок следования слагаемых можно не учитывать.

Задание 2 логически продолжает задание 1, так как в нем речь снова идет о представлении числа 10 в виде суммы двух однозначных чисел с учетом перестановки слагаемых. По сравнению с предыдущим заданием появится еще четыре дополнительных варианта.

В задании 3 учащимся еще раз предлагается указать возможные варианты представления числа 10 в виде суммы однозначных чисел, но сделать это нужно посредством заполнения соответствующей таблицы. Кроме этого, обязательно следует обратить внимание учащихся на появление в формулировке задания следующей фразы:

«чтобы числа в одном столбике дополняли друг друга до 10».

При выполнении задания 4 учащиеся должны прийти к пониманию следующего правила: если цифры разряда единиц слагаемых обозначают числа, в результате сложения которых получается число 10, то при сложении самих этих слагаемых получится «круглое»

число. (В данном случае мы не рассматриваем ситуацию, когда складываются «круглые» числа).

В результате выполнения задания 5 учащиеся должны понять, от цифр какого разряда слагаемых зависит, будет ли полученное значение «круглым» числом.

Задание 6 направлено на то, чтобы научить учащихся дополнять двузначные числа не только до ближайших «круглых» (что делается с помощью однозначных чисел), но и до других «круглых» двузначных чисел (что делается с помощью соответствующих двузначных слагаемых). Такое умение в вычислительном плане работает на формирование умения дополнять двузначные числа до «круглых»

с помощью однозначных слагаемых. Завершается работа над заданием взаимопроверкой правильности его выполнения.

В задании 7 предлагается решить задачу, опираясь на предложенную схему. Целесообразно сосредоточить внимание учащихся на вычислении ответа этой задачи. Так как мы еще не изучали приемы вычитания двузначного числа из «круглого», то для нахождения значения разности учащимся следует предложить воспользоваться знаниями о связи вычитания и сложения. При такой трактовке этого вычислительного задания мы приходим к выводу, что требуется найти число, которое дополняет двузначное число 26 до «круглого» числа 50. А с такого типа заданиями учащиеся уже хорошо знакомы.

Тема: «Поупражняемся в вычислениях»

Задание 1 возвращает к теме «Сложение “круглых” десятков», но рассматривается этот вопрос совсем с другой точки зрения. В данном случае от учащихся требуется не только умение складывать Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие такие числа, но и понимание того, что при сложении «круглых»

двузначных чисел не обязательно получается двузначное число.

Осуществляется подготовка к введению числа 100 и «круглых» трехзначных чисел, а также проводится пропедевтическая работа в плане понимания возможности перехода через разряд при сложении в разряде десятков.

Задание 2 направлено на повторение разрядного состава двузначных чисел. Учащиеся сначала должны получить два столбика чисел: 1) 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 и 2) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. При любом выборе чисел учащимися важно подчеркнуть, что любое двузначное число можно построить из разрядных слагаемых, взятых соответственно по одному из каждого столбика.

При выполнении задания 3 учащиеся смогут потренироваться в умении прибавлять «круглое» число к двузначному и вычитать «круглое» число из двузначного. Оба вычислительных приема следует применить для вычисления значения каждого из данных выражений.

В задании 4 от учащихся требуется составить неравенства, с помощью которых будет показан результат сравнения данных сумм.

Осуществить правильный выбор знака неравенства учащиеся могут двумя способами: либо они станут вычислять значение каждой суммы, но тогда они столкнуться с проблемой поразрядного сложения двузначного числа и однозначного с переходом через разряд, которую смогут решить, используя прием прибавления по частям, либо постараются решить вопрос без вычисления значения сумм, а только с опорой на интуитивное понимание существующей зависимости значения суммы от слагаемых. В первом случае учащиеся смогут повторить прием дополнения двузначного числа до «круглого».

Задание 5 посвящено вопросу дополнения двузначного числа до «круглого» как с помощью однозначного числа, так и с помощью двузначных чисел.

При выполнении задания 6 учащиеся смогут повторить не только прием дополнения до «круглого» числа (причем в любом варианте), но и прием сложения двузначного числа с «круглым» двузначным числом.

Задание 7 аналогично предыдущему заданию, только вместо умения складывать двузначное число с «круглым» учащиеся должны продемонстрировать умение вычитать «круглое» число из двузначного.

Задание 8 еще раз возвращает к вопросу о дополнении двузначного числа до «круглого». Та занимательная форма, которую мы избрали для этого задания, призвана внести некоторое разнообразие «Сложение двузначного числа и однозначного с переходом через разряд»

в достаточно монотонную работу по отработке вычислительных приемов. Используя идею этого задания, учитель может организовать достаточно масштабную дидактическую игру, целью которой будет отработка данного вычислительного приема.

Тема: «Сложение двузначного числа и однозначного с переходом через разряд» (1–2 урока) Мы переходим к изучению темы, которая играет ключевую роль для освоения поразрядного способа сложения. Правильное выполнение учеником процедуры «перехода через разряд» означает, что он усвоил вычислительный прием, а учитель заложил основу для освоения алгоритма письменного сложения «столбиком».

При выполнении задания 1 учащиеся познакомятся с вычислительным приемом, о котором заявлено в данной теме. При анализе предлагаемой записи особо следует обратить внимание на то, что при сложении в разряде единиц получается число 12, которое не является разрядным слагаемым этого же разряда. Именно это обстоятельство и дает основание говорить о том, что мы вышли за границы разряда единиц, т. е. произошел переход через разряд.