«МАТЕМАТИКА 2 КЛАСС Методическое пособие Под редакцией Р.Г. Чураковой МосКвА АКАдЕМКНИГА/УЧЕбНИК 2012 УДК 51(072.2) ББК 74.262.21 Ч-37 Чекин, А.Л. Ч-37 Математика [Текст] : 2 кл. : Методическое пособие / А.Л. Чекин; под. ...»

конструируемых чисел трудно гарантировать построение всех возможных чисел. Некоторые числа могут быть потеряны. Если числа выстроены по порядку, то найти пропущенное число гораздо легче, чем если бы они располагались хаотично. В этом можно убедиться, выполняя вторую часть задания.

Задание 4 направлено на формирование умения распознавать разрядный состав числа по его краткой десятичной записи. В данном случае интересующие нас числа состоят из 3 сотен, еще 4 десятков и еще нескольких единиц. Такая неопределенность в разряде единиц позволяет указать несколько чисел, удовлетворяющих данному условию. Термин «несколько», характеризующий число в разряде единиц, следует понимать как любое возможное число, в частности, и число 0.

Задание 5 носит комбинаторный характер и относится к заданиям повышенной трудности. Аналогичное задание учащиеся выполняли, но тогда речь шла о двузначных числах. В данном случае нужно построить трехзначные числа из разрядных слагаемых, взятых по одному из каждой группы. При систематическом переборе вариантов, основанном на фиксации разрядного слагаемого старшего разряда и манипуляции с разрядными слагаемыми младших разрядов, учащиеся без особого труда справятся с этим заданием и получат следующие 8 чисел: 543, 549, 573, 579, 843, 849, 873, 879.

При выполнении задания 6 мы еще раз предлагаем учащимся продемонстрировать свои знания в вопросе разложения чисел на разрядные слагаемые. Если ученик знает, как должны выглядеть разрядные слагаемые в каждом разряде, то он без особого труда сможет отобрать равенства, в которых данные числа представлены в виде суммы разрядных слагаемых. Оставшееся равенство 437=400+37 не следует совсем оставлять без внимания. Можно, например, показать, как это равенство преобразуется в интересующий нас вид 437=400+30+7. Рассмотрение этого равенства будет являться пропедевтическим шагом к изучению следующей темы.

Тема: «Трехзначное число – сумма “круглых” сотен и двузначного или однозначного числа» (1–2 урока) Эта тема логически связана с предыдущей, а ее включение в перечень изучаемых тем продиктовано тем, что представление трехзначного числа в виде суммы «круглых» сотен и двузначного или однозначного числа лежит в основе устной нумерации произвольных трехзначных чисел.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие При выполнении задания 1 учащиеся знакомятся с принципом построения названия произвольного трехзначного числа. Так как этот принцип заключается в том, что сначала нужно назвать число «круглых» сотен данного числа, а потом к нему добавить название оставшегося двузначного или однозначного слагаемого, которое совсем не обязательно должно быть разрядным, то первая часть этого задания и посвящена построению требуемого разложения трехзначного числа на сумму двух слагаемых, одно из которых является разрядным слагаемым разряда сотен. Для анализа мы специально взяли число 258, с которым проводилась детальная работа при изучении предыдущей темы.

Примечание. В общем случае название трехзначного числа состоит из трех слов (при этом каждое слово является названием разрядного слагаемого), но возможна ситуация, когда название состоит из одного слова (речь идет о названии «круглых» сотен) или двух слов (имеются в виду числа, в записи которых присутствует цифра 0 или в разряде десятков стоит В задании 2 предлагается вычислить значения выражений, каждое из которых является суммой «круглых» сотен и двузначного или однозначного числа. Данное задание предлагается не только с указанной целью, но и в плане пропедевтики к заданиям 3 и 4.

При выполнении задания 3 учащиеся смогут продемонстрировать свое умение называть трехзначные числа, предварительно представив их в виде суммы «круглых» сотен и некоторого двузначного числа.

Задание 4 является естественным продолжением предыдущего задания и построено совершенно аналогично. Единственным отличием является то, что рассматриваемые трехзначные числа в данном случае раскладываются на сумму «круглых» сотен и соответствующего однозначного числа.

При выполнении задания 5 учащиеся должны продемонстрировать свои знания в области нумерации трехзначных чисел. Если до этого момента перед ними ставилась задача перехода от письменной нумерации к устной, то теперь ситуация носит обратный характер:

от устной нумерации нужно перейти к письменной. Изменение направления перехода от одного типа нумерации к другому позволяет судить о том, насколько осознанно учащиеся усвоили этот вопрос.

При выполнении заданий 6 и 7 дети учатся переходить от записи массы в центнерах и килограммах к записи в килограммах и наоборот. Эти процедуры совершенно аналогичны процедурам, которые мы рассматривали в заданиях 2 и 3, поэтому данные задания соверТрехзначное число больше двузначного»

шенно не случайно включены в эту тему, а к их выполнению учащиеся уже подготовлены. Более того, первая часть каждого из этих заданий создает необходимую базу для дальнейшего их выполнения.

Задания 8 и 9 аналогичны заданиям 6 и 7 соответственно. Отличие состоит лишь в том, что вместо центнеров и килограммов учащимся предлагается поработать с метрами и сантиметрами, т. е. вместо массы речь идет о длине. Во всем остальном полная аналогия.

В задании 10 предлагается выразить 430 см в метрах и дециметрах. Для того чтобы учащиеся смогли выполнить это задание, сначала им предлагается представить число 430 в виде суммы разрядных слагаемых. Если этой «подсказки» будет недостаточно, то можно еще предложить учащимся предварительно выразить 400 см в метрах, а 30 см в дециметрах.

При выполнении задания 11 от учащихся потребуется не только умение выражать данную длину в сантиметрах, но и выполнять сложение длин, выраженных в одних и тех же единицах.

Задание 12 направлено на отработку умения выражать длину, заданную в сантиметрах, в виде составной конструкции, состоящей из метров, дециметров и сантиметров.

Первая часть задания 13 представляет собой задачу на сложение длин, выраженных в разных единицах. Вторая часть этого задания направлена на отработку умения перевода из одних единиц длины в другие.

Примечание. Обращаем внимание, что соотношение между единицами длины сантиметром, дециметром и метром точно такое же, как и между разрядными единицами первого, второго и третьего разрядов. По этой причине задача перехода от записи в сантиметрах к записи в метрах, дециметрах и сантиметрах выполняется автоматически. Например: 279 см = 2 м 7 дм 9 см. Обратная задача носит такой же формальный характер, если каждая единица длины выражена однозначным числом. Например: 6 м 5 дм 2 см = 652 см. Если же какаялибо единица длины выражена двузначным числом, то следует учитывать имеющийся переход через разряд. Например:

Тема: «Трехзначное число больше двузначного» (1 урок) Продолжаем изучение поразрядного способа сравнения чисел. Вынося в название темы такую формулировку, мы хотим еще раз обТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие ратить внимание учащихся на одно из базовых положений этого способа: из двух чисел то больше, у которого цифр в десятичной записи больше.

При выполнении задания 1 учащиеся устанавливают самое большое двузначное число (это число 99) и фиксируют данный факт с помощью набора неравенств, в которых число 99 сравнивается с некоторыми произвольными двузначными числами.

В задании 2 предлагается назвать самое маленькое трехзначное число (это число 100) и сравнить это число с данными трехзначными числами. Подбор этих чисел позволяет, по нашему мнению, подчеркнуть их произвольность, а это, в свою очередь, должно еще раз убедить учащихся, что любое трехзначное число (кроме числа 100) больше числа 100.

В задании 3 логически соединяются результаты, полученные при выполнении первых двух заданий. С этой целью учащимся сначала предлагается сравнить самое маленькое трехзначное число с самым большим двузначным. После того как будет установлено (и записано), что самое маленькое трехзначное больше самого большого двузначного (100>99), можно продолжить рассуждения и достаточно легко прийти к выводу, что любое трехзначное больше любого двузначного. Однако если, по мнению учителя, такое рассуждение учащимся построить затруднительно, то последний вывод можно отложить до выполнения следующего задания.

Дидактической целью задания 4 является построение учащимися утверждения о том, что любое трехзначное число больше любого двузначного. Но в этом случае мы предлагаем прийти к такому выводу совсем другим путем, а не тем, который использовался в заданиях 1, 2 и 3. Этот путь основан на порядковом способе сравнения чисел, который хорошо знаком учащимся. При счете по порядку число, которое идет (названо) раньше, меньше того, которое идет (названо) позже. Именно этот способ сравнения позволяет установить, что любое трехзначное число больше любого двузначного.

Для того чтобы сделать этот вывод более достоверным, мы предлагаем учащимся привести опровергающий пример. Так как такой пример найти не удается, то это индуктивно подтверждает, что его не существует, а значит, сделанный вывод является верным.

При выполнении задания 5 учащиеся смогут еще раз повторить порядок следования двузначных чисел (по убыванию), расположенных между числами 100 и 90.

При выполнении задания 6 учащиеся смогут еще раз обратить внимание на то, что самое маленькое трехзначное число больше любого двузначного и тем более однозначного числа. Для того чтобы они поняли, что искомыми числами являются именно двузначные и однозначные числа, мы предлагаем сначала ответить на вопрос о числе всех двузначных и однозначных чисел. Когда будет установлено, что число всех двузначных чисел равно 90, а однозначных (с учетом числа 0) равно 10, тогда можно будет ассоциативно связать искомые числа (их должно быть 100) с двузначными и однозначными числами. А если после этого воспользоваться правилом сравнения трехзначных и двузначных чисел, а также двузначных и однозначных чисел, то это позволит убедиться, что двузначные числа вместе с однозначными как раз и являются искомыми.

В задании 7 мы делаем попытку связать данную тему с вопросом о разностном сравнении чисел. Для выполнения разностного сравнения двух чисел нужно из большего числа вычесть меньшее (об этом учащиеся хорошо знают).

Но тогда очевиден ход дальнейших рассуждений, если речь идет о разностном сравнении трехзначного числа и двузначного: так как любое трехзначное число больше любого двузначного, то при разностном сравнении таких чисел следует из трехзначного числа вычитать двузначное. Вот в такой необычной форме мы предлагаем возвратиться к правилу сравнения трехзначных и двузначных чисел.

При выполнении задания 8 учащиеся возвращаются к рассмотрению одного из интересных арифметических фактов, который связан с процедурой разностного сравнения. Знакомство с этим фактом осуществлялось при изучении темы «Двузначное число больше однозначного». Речь идет о том, что число пар, составленных из двузначного и однозначного чисел, отличающихся на некоторое фиксированное число (от 1 до 10), равно этому числу. Аналогичная ситуация имеет место и для трехзначных, и для двузначных чисел.

Для числа 1 таких пар будет одна (100 и 99), а для числа 2 таких пар будет две (100 и 98, 101 и 99).

В задании 9 учащимся сначала предлагается высказать предположение о числе пар из трехзначного числа и двузначного, в которых эти числа отличаются на 10. Сделать это они могут на основании анализа результата выполнения предыдущего задания. Если эмпирических данных, полученных в предыдущем задании, будет недостаточно для того, чтобы сделать обобщение, то можно провести соответствующую проверку и для числа 3, и для числа 4. После того как будет высказано предположение о числе интересующих нас пар для числа 10, учащиеся должны осуществить его проверку, выписав все такие пары (100–90, 101–91, 102–92, 103–93, 104–94, 105–95, 106–96, 107–97, 108–98, 109–99).

Примечание. Рассматриваемое свойство имеет более глубокую арифметическую природу и более общий характер Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие проявления. Однако мы ограничиваемся рассмотрением еще одного частного случая, так как в более общей формулировке это свойство не будет доступно учащимся и не будет соответствовать логике изложения материала.

Тема: «Сравнение трехзначных чисел» (1 урок) В данной теме продолжается изучение поразрядного способа сравнения чисел, который мы начали изучать в первом полугодии и продолжили в предыдущей теме. Теперь на очереди рассмотрение вопроса о сравнении трехзначных чисел между собой, т. е. чисел, в записи которых используется одинаковое число цифр (такие числа мы будем называть одинаковозначными). Познакомиться с интересующим способом сравнения трехзначных чисел учащимся предлагается посредством анализа диалога между Мишей и Машей.

При этом если вариант сравнения по числу сотен в составе каждого числа звучит в готовом виде из уст Маши, то переход к разряду десятков и к разряду единиц (если это необходимо) учащиеся должны осуществить самостоятельно (в качестве элемента помощи Мише).

Допустимость такой постановки вопроса объясняется тем, что со сравнением по разряду десятков и разряду единиц учащиеся уже знакомы из темы «Сравнение двузначных чисел».

При выполнении задания 1 ученики должны продемонстрировать понимание правила сравнения трехзначных чисел при условии, что число сотен в этих числах неодинаковое. В этом случае больше будет то число, в котором число сотен больше. На разряд десятков и разряд единиц в этом случае внимания обращать не нужно. Чтобы акцентировать на этом внимание учащихся, мы предлагаем подчеркивать в записи каждого числа только цифру разряда сотен.

При выполнении задания 2 учащиеся продолжают знакомиться с правилом сравнения трехзначных чисел, но при условии, что число сотен у этих чисел одинаковое. В этом случае все внимание учащихся должно быть сосредоточено на разряде десятков, так как остальные характеристики этих чисел одинаковые: числа одинаковозначные и число сотен в их составе одинаковое. Чтобы акцентировать на этом внимание учащихся, мы предлагаем подчеркивать в записи каждого числа цифру разряда десятков.

Задание 3 аналогично предыдущему заданию, но только теперь вся работа должна проводиться в разряде единиц.

Выполняя задание 4, учащиеся смогут закрепить те знания о правиле сравнения трехзначных чисел, которые они получили при выполнении предыдущих заданий. Результат сравнения данных чисел учащиеся должны записывать в виде соответствующего неравенства, что позволяет повторить вопрос о построении верных числовых неравенств.

При выполнении задания 5 учащиеся сначала могут вычислить значения данных выражений, а уже потом производить сравнение.

При проведении этих вычислений они смогут потренироваться в выполнении тех вычислительных приемов, с которыми они познакомились ранее. Построение правильных числовых равенств или неравенств (а именно в таком виде должен быть записан результат сравнения) – это вопросы, которые отвечают функции повторения.

Задание 6 относится к заданиям повышенной сложности. При его выполнении мы хотим обратить внимание учащихся на самое большое и самое маленькое из всех трехзначных чисел, но делаем мы это не в явном виде, а с помощью постановки вопроса о том, на какое самое большое число могут отличаться два трехзначных числа. Именно для нахождения этого числа учащимся и потребуется сначала вспомнить о самом большом трехзначном числе (это число 999) и о самом маленьком трехзначном числе (это число 100), а уже потом выполнить разностное сравнение чисел 999 и 100. После этого учащимся станет понятно, каким должен быть ответ на последний вопрос задания.

Тема: «Поупражняемся в вычислениях и сравнении чисел»

В данной теме предлагается подборка заданий на закрепление и повторение изученного материала. Как и ранее, эти задания учитель, по своему усмотрению, может предлагать учащимся для работы на уроке или дома.

Задания с 1 по 6 посвящены сложению и вычитанию «круглых»

сотен.

В задании 7 предлагается поупражняться в сложении «круглых»

сотен и двузначных или однозначных чисел.

При выполнении задания 8 учащиеся не только смогут поупражняться в сложении «круглых» сотен с двузначными числами, но и вспомнить некоторые табличные случаи умножения, а также правило порядка выполнения действий для умножения и сложения.

В задании 9 предлагается восстановить пропущенные в записи некоторых чисел цифры. Поиск подходящей цифры в каждом конкретном случае должен быть основан на анализе результата сравнения данной пары чисел. Так, в первых четырех случаях поиск должен привести к однозначному результату (287=287, 568169, Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие 135=135), а в последнем случае два варианта ответа (789>785 или 799>785).

При выполнении заданий 10 и 11 учащиеся смогут поупражняться в сравнении чисел, отыскивая самое большое и самое маленькое число из данного набора чисел.

Задания 12 и 13 относятся к заданиям повышенной сложности.

Кроме привычной для учеников работы по сложению и вычитанию «круглых» сотен, в них заложена еще одна идея, которая заключается в проведении пропедевтической работы к изучению действия деления. И в одном, и в другом задании ответом на поставленный вопрос будут числа, которые, по своей сути, являются значениями соответствующих частных.

Тема: «Одно условие и несколько требований» (1 урок) Данная тема является первой в ряду тем, посвященных вопросу обучения решению составных задач. До этого момента учащиеся уже сталкивались с составными задачами, но целенаправленной и систематической работы по обучению решению таких задач еще не проводилось. Так как решение составной задачи можно трактовать как последовательное решение нескольких взаимосвязанных простых задач, то в методическом плане наша цель заключается в том, чтобы научить детей вычленять эти простые задачи, опираясь на формулировку составной задачи.

В задании 1 предлагается решить две задачи, вычислить и записать их ответы. После этого внимание учащихся должно быть сосредоточено на сравнении формулировок этих задач. Такое сравнение позволяет установить, что данные две задачи имеют одинаковое условие, но разные требования. Таким образом, формулировки этих задач можно объединить и сделать общую формулировку с одним условием и двумя требованиями. Такую конструкцию мы намеренно не хотим называть задачей с несколькими требованиями (хотя и можно было бы ввести такое соглашение), а будем говорить об общей формулировке двух задач (в принципе таких задач может быть и более двух). Для ответа на каждое требование мы должны решить самостоятельную задачу. При этом данные требования между собой не связаны, и отвечать на них можно в любом порядке.

В задании 2 тоже предлагается поработать с двумя задачами, которые имеют общее условие. Поэтому их формулировки также могут быть объединены. Но в этом случае требования задач сформулированы таким образом, что для ответа на втрое требование нужно предварительно получить ответ на первое требование. Другими словами, требования задач взаимосвязаны и порядок выполнения этих требований четко определен. Именно такие взаимосвязанные требования и будут играть ключевую роль для получения решения составной задачи.

В задании 3 предлагается составить две задачи с одинаковым условием и разными требованиями. Сюжет задачи и данные они могут выбрать, опираясь на рисунок. Завершается задание построением объединенной формулировки для составленных задач. В качестве дополнительного задания учащимся можно предложить сформулировать такие требования к выбранному условию, чтобы они были взаимосвязаны, а именно ответ на первое требование должен быть использован для получения ответа на второе требование. Именно с таким дополнением данное задание с полным основанием можно отнести к заданиям повышенной сложности.

Тема: «Введение дополнительных требований» (1 урок) Данная тема является логическим продолжением предыдущей темы и полностью соответствует тому подходу, который был нами избран в вопросе обучения решению составных задач. Если мы научим учащихся правильно вводить дополнительные требования, то мы научим их решать составные задачи!

В задании 1 предлагается поработать с формулировкой составной задачи с помощью системы вопросов. В итоге этой работы должно быть сформулировано дополнительное требование, которое позволит получить ответ на основное требование задачи. Получение ответа на дополнительное требование – это первый шаг в решении данной задачи. Вторым шагом будет получение ответа на основное требование задачи.

В задании 2 предлагается посмотреть на проблему формулировки дополнительного требования с другой точки зрения. К данной задаче дано решение с вычисленным ответом. Вся процедура записана в виде двух действий. Задача учащихся состоит в том, чтобы сформулировать требования, на которые отвечает каждое действие. Если со вторым действием ситуация достаточно ясная: это действие дает ответ на основное требование задачи, то первое действие отвечает на дополнительное требование, которое учащиеся должны сформулировать самостоятельно. Формулировку этого требования можно легко трансформировать в пояснение к этому действию. Такой подход позволяет нам формировать у учащихся осознанную логическую связь между системой требований к условию и действиями, составляющими решение задачи.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие В задании 3 предлагается ученикам самостоятельно предложить дополнительное промежуточное требование, которое позволит получить решение задачи. Если они будут испытывать затруднения в выполнении этого задания, то можно предложить обратить внимание на то, что эта задача по своей сути аналогична задаче из задания 1. Единственное принципиальное отличие данной задачи состоит в том, что процедура уменьшения на некоторое число задана в косвенной форме, т. е. через отношение «больше на …».

При выполнении задания 4 перед учащимися возникает новая проблемная ситуация: простую задачу на вычитание нужно дополнить новым требованием так, чтобы первоначальное основное требование стало дополнительным промежуточным. На первый взгляд сделать это будет совсем не просто. Здесь главное – добиться от учащихся осознанной мыслительной работы, которая должна привести их к мысли о том, что решение данной задачи и полученный ответ – это первое действие в решении задачи с новым требованием. После этого становится понятно, что новое требование должно быть таким, чтобы для получения ответа на него использовался результат первого действия. Большую помощь в правильном выполнении этого задания может оказать тот факт, что возможно проведение аналогии с задачами из заданий 1 и 3.

Тема: «Запись решения задачи по действиям» (1 урок) Данной темой мы продолжаем работу по обучению учащихся решению составных задач. Важным этапом решения задачи является правильное оформление записи решения. В данном случае мы будем говорить о записи решения по действиям, при этом выполненные действия можно сопровождать пояснениями.

При выполнении задания 1 учащиеся не только смогут продемонстрировать свои умения по введению дополнительных требований, ответы на которые позволяют получить ответ и на основное требование задачи, но и ознакомиться с образцом записи решения задачи по действиям с пояснениями. При этом пояснение следует давать ко всем действиям, кроме последнего, так как пояснением к последнему действию является ответ задачи.

Примечание. Пояснение не обязательно давать в письменном виде. Во многих случаях вполне достаточно получить от ученика пояснение в устной форме, чтобы убедиться в том, что имеет место понимание смысла каждого выполненного действия. По сделанному пояснению можно судить и о том, на какое дополнительное требование данное действие отвечает.

В задании 2 предлагается записать решение представленной задачи по действиям с пояснениями. Сделать это учащиеся должны самостоятельно, опираясь на тот образец, который им был представлен в предыдущем задании. Следует иметь в виду, что учащиеся могут предложить разные варианты решения этой задачи. Выбор первого действия при решении данной задачи будет зависеть от того, какое дополнительное требование будет введено. Возможны три варианта.

1. Сколько метров ткани осталось в первом рулоне?

2. Сколько метров ткани осталось во втором рулоне?

3. Сколько метров ткани было в двух рулонах?

Выбор одного из вариантов будет зависеть от того, как учащиеся будут трактовать сюжет задачи. Можно считать, что материал для продажи отрезали только от первого рулона. Это соответствует первому варианту дополнительного требования. Можно считать, что для продажи материал отрезали только от второго рулона. Это соответствует второму варианту дополнительного требования. Наконец, можно считать, что для продажи материал отрезали от двух рулонов без учета того, сколько метров отрезали от каждого. В этом случае следует использовать третий вариант дополнительного требования.

Второе действие в решении данной задачи уже будет отвечать на основное требование, но его выбор полностью зависит от того, какое действие выполнено первым.

Задание 3 относится к заданиям повышенной сложности. Учащимся предлагается составить задачу по данному решению и ответу. С такого типа заданиями они уже встречались неоднократно, но сложность этого задания заключается в том, что решение состоит из трех действий, а это существенно затрудняет распознавание данных и отношений между ними.

Для того чтобы помочь учащимся в анализе представленной ситуации, мы предлагаем им ряд указаний, которым они должны следовать. Если этих указаний окажется недостаточно, можно обратить их внимание на то, что первые два действия в решении этой задачи аналогичны двум действиям из решения задачи в задании 1.

Отличие состоит только в числах, которые участвуют в этих действиях. Поэтому условие данной задачи можно сформулировать по аналогии с условием задачи из задания 1. Эта формулировка может быть следующей: «На первой машине привезли 15 ящиков помиТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие доров, а на второй – 18 ящиков. На третьей машине привезли на 10 ящиков меньше, чем на первой и второй вместе». Что касается требования задачи, то по данному ответу его восстановить достаточно легко.

Тема: «Запись решения задачи в виде одного выражения»

(1 урок) При изучении этой темы учащиеся познакомятся с другим вариантом записи решения задачи. Речь идет о записи решения в виде одного выражения. При этом вычисление значения данного выражения есть не что иное, как вычисление ответа данной задачи.

Примечание. При использовании выражений для записи решения задачи мы рекомендуем употреблять скобки даже в том случае, когда отбрасывание скобок не меняет порядка выполнения действий. Примером может служить выражение (7+8)–4 из задания 2. С помощью скобок мы имеем возможность акцентировать внимание учащихся на те действия, выполнение которых и приводит к получению ответа на требование задачи. В выражении без скобок такое структурирование проявляется не так четко.

В задании 1 предлагается составить задачу по данному решению и ответу. При этом решение записано по действиям с пояснением.

Такого типа задание учащиеся уже выполняли при изучении предыдущей темы. Более того, им пришлось столкнуться с более сложной ситуацией, чем та, которая предлагается в этом задании. Предлагаемое решение состоит только из двух действий, при анализе которых легко выясняется, что зеленых шариков на 4 меньше, чем красных.

Это и будет одной из составляющих условия задачи. Другую составляющую условия можно получить из первого действия и пояснения к нему. Желательно также привлечь и иллюстрацию. Так как в первом действии мы находим число красных шариков, то это число не может входить в перечень данных. К данным можно отнести число белых шариков (пусть их будет 7). Тогда число красных шариков должно быть на 8 больше, чем число белых. После того как учащиеся выполнят это задание, им еще предстоит к нему вернуться при выполнении следующего задания.

В задании 2 учащимся сначала предлагается составить выражение, которое в итоге окажется решением задачи из предыдущего задания. Чтобы убедиться в этом, они сначала должны сравнить значение составленного выражения с ответом составленной задаУчимся решать задачи и записывать их решения»

чи. После того как учащиеся выяснят, что это совпадение не является случайным, а обусловлено тем, что при вычислении значения данного выражения нужно выполнить те же самые действия и над теми же числами, что и при вычислении ответа данной задачи, им предлагается рассмотреть другой вариант записи решения задачи – в виде одного выражения. При этом запись выражения с вычисленным его значением следует трактовать как запись решения задачи с вычисленным ответом.

При выполнении задания 3 учащиеся смогут продемонстрировать, как они умеют преобразовывать запись решения задачи в виде одного выражения в запись решения по действиям. Для этого им достаточно определить порядок выполнения действий, которому нужно следовать при вычислении значения данного выражения, и записать каждое действие отдельной строчкой. Выбор наименования в данном случае является произвольным, так как о самой формулировке задачи мы речь не ведем. Однако можно дополнительно предложить ученикам составить задачу по этому решению.

При выполнении задания 4 ученики смогут продемонстрировать в явном виде, как они усвоили оба способа записи решения задачи. При этом нахождение решения этой задачи не должно вызывать никаких затруднений, так как с аналогичными задачами они за последнее время встречались неоднократно. Основное внимание должно быть сосредоточено на правильности оформления двух вариантов записи решения: по действиям с пояснением и в виде одного выражения.

Тема: «Учимся решать задачи и записывать их решения»

В данной теме предлагается подборка заданий на закрепление и повторение изученного ранее материала. Использовать эти задания учитель может по своему усмотрению.

Для выполнения задания 1 учащиеся сначала должны понять, о каких задачах идет речь. Так как для составных задач записи решения по действиям и в виде одного выражения не совпадают (убедиться в этом у них было много возможностей), то интересующие нас задачи должны быть простыми. Для подтверждения этого факта можно предложить учащимся записать решение составленной простой задачи по действиям и в виде одного выражения.

Цель задания 2 – напомнить о существовании круговых схем, которые мы использовали для решения простых задач на сложение и вычитание.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие При выполнении заданий 3 и 4 учащиеся не только смогут поупражняться в составлении задач по данному решению и ответу (при этом используются обе формы записи решения), но и в умении переходить от одной формы записи решения к другой.

При выполнении задания 5 от учащихся потребуется умение записывать решение данной задачи в виде выражения, имеющего заданную структуру. Не лишним будет и повторение смысла действия умножения.

С помощью задания 6 мы еще раз хотим вернуть учащихся к вопросу решения составных задач с помощью введения дополнительного промежуточного требования.

В задании 7 предлагается решить задачу и записать решение с вычислением ответа по действиям и в виде одного выражения. Особенность данной задачи состоит в том, что для ее решения нужно выполнить сначала действие умножение, а потом – сложение. Такая последовательность действий встречается при решении задач не очень часто, поэтому возможны определенные затруднения при записи решения в виде одного выражения. Если ученики будут пытаться заменить умножение на сложение одинаковых слагаемых, то такой вариант решения тоже можно принять, но обязательно предложить подумать над вариантом с использованием действия умножения.

Тема: «Запись сложения в строчку и в столбик» (1 урок) При изучении данной темы мы хотим познакомить учащихся с новым способом записи действия сложения. Речь идет о записи в столбик. Пока мы ничего не говорим о преимуществах, которые дает такая запись. Нам важно добиться того, чтобы эта форма записи была признана учениками наряду с хорошо знакомой им записью в строчку.

В задании 1 предлагается выполнить поразрядное сложение чисел 38 и 41, используя знакомую учащимся запись в строчку. Имеет смысл обратить их внимание на то, что поразрядное сложение выполняется без перехода через разряд. Дидактический смысл этого задания станет понятен, когда мы перейдем к рассмотрению следующего задания.

В задании 2 предлагается познакомиться с новой формой записи сложения, а именно с записью сложения в столбик. Так как вычисление значения рассматриваемой суммы выполнено при решении задания 1, то в данной ситуации можно сосредоточить внимание учащихся лишь на той зависимости, которая существует между числами одного разряда слагаемых и значением суммы. Эта завиСпособ сложения столбиком»

симость может быть выражена с помощью следующих равенств:

8+1=9 и 3+4=7. Если такая зависимость учащимися установлена, то это фактически означает, что учащиеся познакомились не только с новой формой записи действия сложения, но и с очень удобным способом выполнения этого действия для случая, когда слагаемые являются двузначными числами, а при поразрядном сложении нет перехода через разряд.

В задании 3 предлагается осуществить переход от записи в столбик к записи в строчку для данных сумм. Так как в задании сложение выполнять не нужно, то рассматриваемые суммы достаточно разнообразны в плане подбора слагаемых. Особо следует обратить внимание учащихся на запись последней суммы. Очень важно подчеркнуть, что такое расположение второго слагаемого под первым совсем не случайно, а базируется на разрядном принципе записи в столбик (цифры одного разряда должны быть записаны друг под другом).

При выполнении задания 4 учащиеся должны продемонстрировать умение переходить от записи в строчку к записи в столбик.

Такая постановка вопроса носит обратный характер по отношению к предыдущему заданию. По этой причине задания 3 и 4 целесообразно предлагать в паре. Как и в предыдущем задании, особое внимание должно быть обращено на последнюю сумму.

Задание 5 отличается от задания 3 лишь тем, что вместо сумм учащимся предлагается поработать с записями, которые дополнительно содержат знак «=». Для того чтобы учащиеся смогли самостоятельно найти замену этому знаку при записи в столбик, можно предложить им еще раз обратиться к записи из задания 2.

Задание 6 составляет с заданием 5 такую же пару взаимосвязанных заданий, как и задания 3 и 4. По этой причине предлагать эти задания также целесообразно в паре.

При выполнении задания 7 учащиеся смогут продемонстрировать то, как они освоили запись суммы в столбик.

В задании 8 мы еще раз напоминаем учащимся о возможности использования круговых схем для решения задач. По данной круговой схеме не только можно составить задачу, но и выбрать действие для ее решения. При этом запись решения предлагается выполнить в столбик. О вычислении ответа речи пока не идет, хотя такой вид работы не исключается.

Тема: «Способ сложения столбиком» (2 урока) При изучении этой темы учащиеся детально познакомятся со способом сложения столбиком. Мы намеренно не говорим об алгоритТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие ме сложения «столбиком», так как пока мы будем рассматривать только частные случаи реализации этого алгоритма, а изучение его в полном объеме заложено в программу 3 класса.

В преамбуле к заданиям темы представлен диалог между Мишей и Машей, из которого учащиеся могут узнать о смысле введения записи в столбик для выполнения сложения.

В задании 1 ученикам предлагается объяснить, как выполняется сложение столбиком на примере сложения чисел 25 и 43. С аналогичной записью сложения они уже встречались при выполнении задания 2 из предыдущей темы. Тогда же было установлено, как можно использовать преимущества такой записи для поразрядного способа сложения. Поэтому с данным заданием учащиеся вполне могут справиться самостоятельно.

Для выполнения задания 2, в котором требуется произвести поразрядное сложение трехзначных чисел, учащиеся должны воспользоваться разрядной таблицей. Здесь числа подобраны так, чтобы при поразрядном сложении не было перехода через разряд, и сама процедура сложения сводится к выполнению сложения однозначных чисел в каждом из трех разрядов с последующей записью получающихся однозначных чисел в соответствующий разряд результата. Заключительная часть задания направлена на то, чтобы обратить внимание учащихся на существующую аналогию между записями сложения чисел в разрядной таблице и столбиком.

В задании 3 еще раз обращается внимание на ту аналогию, о которой речь шла в заключительной части предыдущего задания. Кроме этого, при выполнении задания учащиеся познакомятся с предписанием, которое является первой частью формулировки алгоритма сложения столбиком. Что же касается выполнения действия сложения, то предлагаемый случай ничем принципиально не отличается от рассмотренного в предыдущем задании, поэтому учащиеся могут справиться с ним самостоятельно.

В задании 4 сначала предлагается сложить трехзначные числа, пользуясь предписанием из задания 3. Вторая часть задания направлена на то, чтобы акцентировать внимание учащихся на разрядном принципе применяемого способа вычислений.

Задание 5 еще раз возвращает учащихся к поразрядному способу сложения, но только запись им предлагается использовать двух видов: в строчку и столбиком.

Задание 6 направлено на отработку умения складывать числа столбиком в том случае, когда нет перехода через разряд.

В задании 7 мы вновь обращаемся к использованию разрядной таблицы для поразрядного сложения чисел. Но теперь речь идет о случае, когда возникает переход через разряд. То предписание, коПоупражняемся в вычислениях»

торое содержится в тексте задания, учащимся дословно запоминать не требуется, но уметь объяснить каждый свой шаг при выполнении аналогичного задания они должны научиться. Завершается это задание парной работой, цель которой как раз и состоит в том, чтобы ученики научились объяснять свои действия.

Задание 8 аналогично заданию 5, только в данном случае речь идет о сложении чисел с переходом через разряд.

В задании 9 предлагается ответить на вопрос о возможности получения трехзначного числа при сложении двух двузначных. Скорее всего, на этот вопрос будет получен положительный ответ. При желании учитель может продолжить данную тему, заменив два двузначных числа на двузначное и однозначное. При выполнении сложения столбиком чисел 64 и 36 учащиеся не только смогут убедиться в обоснованности положительного ответа на поставленный в задании вопрос, но и попробовать самостоятельно трансформировать предписание из задания 7 так, чтобы его можно было использовать для сложения чисел 64 и 36.

Тема: «Поупражняемся в вычислениях» (1 урок) Предлагаем подборку заданий на закрепление и повторение. Появление данной темы с таким небольшим временным интервалом продиктовано тем, что материал, рассмотренный в последних двух темах, требует большой и постоянной вычислительной работы.

В задании 1 предлагается выполнить поразрядное сложение, используя запись в строчку и столбиком. При этом еще раз подтверждаются преимущества записи столбиком.

На первый взгляд задание 2 дублирует аналогичное задание предыдущей темы. При более детальном знакомстве с заданием можно увидеть и принципиальное отличие, которое в нем имеется: при сложении данных чисел возникает необходимость перехода через разряд.

Задание 3 направлено на отработку умения выполнять сложение столбиком.

При выполнении задания 4 учащиеся также смогут продемонстрировать свое умение складывать трехзначные числа столбиком, но в формулировке задания об этом сказано в косвенной форме. Все предлагаемые для проверки вычисления выполнены правильно.

В задании 5 мы еще раз напоминаем учащимся о существовании круговых схем, которые можно использовать для нахождения решения простых задач на сложение и вычитание. Делается это для того, чтобы мы могли быть уверены, что при дальнейшем использоТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие вании данных схем (а это предстоит сделать уже в скором времени) учащиеся не будут испытывать затруднений в их прочтении и составлении. Однако, работая со схемой, мы не забываем и о прямом назначении заданий данной темы. Поупражняться в сложении столбиком трехзначных чисел учащиеся смогут и при выполнении данного задания.

Задание 6 относится к заданиям повышенной сложности. Для его выполнения учащиеся должны детально проанализировать предлагаемую ситуацию. Начать анализ следует с разряда единиц. Учащиеся вполне могут установить, что для осуществления перехода через разряд в разряде единиц второе слагаемое в этом разряде должно содержать 9 единиц. Других вариантов здесь нет. Говоря о разряде десятков, можно рассуждать по аналогии и в этом разряде также записать цифру 9. Но есть и другой вариант. Учитывая, что имел место переход через разряд из разряда единиц, в разряде десятков вполне может быть записана цифра 8. Таким образом, в данном задании искомое число не единственное. Можно в качестве второго слагаемого взять число 99, но можно и число 89.

Тема: «Окружность и круг» (1–2 урока) Данной темой мы продолжаем линию по изучению геометрического материала. Эта и две последующие темы посвящены более детальному изучению хорошо знакомой учащимся геометрической фигуры. Речь идет о круге. При этом окружность рассматривается как линия, являющаяся границей круга. В преамбуле к теме через диалог Миши и Маши описана реальная (точнее, псевдореальная) ситуация, в которой явно представлен характеристический признак круга как геометрической фигуры: круг состоит из всех точек, расстояние до которых от заданной точки (центра круга) не превышает заданного значения (радиуса круга). Мы не предлагаем учащимся сейчас знакомиться с определением круга (это будет сделано значительно позже), но познакомить их с сутью этого определения через рассмотрение реальной модели считаем необходимым.

Задание 1 непосредственно связано с той ситуацией, которая описана в преамбуле к данной теме. Мы предлагаем учащимся, решая практическую задачу (предоставить возможность козе пощипать свежей травки), понять, как будет изменяться круг, если менять местоположение его центра или его радиус. Если кто-то из учеников предложит совсем отвязать козу, то такой вариант можно отклонить, ссылаясь на то, что коза может убежать и потеряться.

Задание 2 является обратным по отношению к заданию 1. В нем учащимся предлагается объяснить, за счет чего могла быть получена изображенная на рисунке ситуация. Если при анализе предыдущего задания детально были рассмотрены все предлагаемые варианты, то учащимся не составит особого труда распознать причину, которая приводит к замене одного круга другим.

Задание 3 носит практический характер. Перед учащимися ставится задача о построении круга на местности. С такой ситуацией дети вполне могут столкнуться при организации тех или иных подвижных игр. Самый простой способ, который подсказан в преамбуле к данной теме, заключается в том, чтобы воспользоваться веревкой, один конец которой закреплен там, где должен быть центр этого круга. Другой же конец держит кто-то из детей и совершает вместе с ним движение по кругу, заботясь о том, чтобы веревка всегда была натянута. В процессе этого движения по кругу можно за собой оставлять след на песке любым удобным предметом, например палочкой. Если веревки у детей нет, то ее с успехом могут заменить двое детей. Для этого один из них должен встать в центр предполагаемого круга и не сходить с этого места, а только поворачиваться вокруг оси. Другой же ребенок крепко держит первого за руку и совершает движение по кругу, следя за тем, чтобы их сцепленные руки всегда были в вытянутом состоянии.

В задании 4 мы знакомим учащихся с границей круга, которая носит название «окружность». Перед тем как рассматривать этот вопрос, можно предложить учащимся вспомнить, что они знают о границе фигуры. Они самостоятельно или с помощью учителя должны сказать о том, что границей может быть любая замкнутая линия (кривая или ломаная). Можно при этом сопоставить границу круга с границей прямоугольника.

Вторая часть этого задания посвящена вопросу построения окружностей с помощью циркуля. Учащиеся не только умозрительно должны понять, как с помощью циркуля строится окружность, но и попробовать самостоятельно выполнить такое построение.

При этом им дается понять, что изменение раствора циркуля приводит к изменению размера круга, который задается соответствующей окружностью.

Примечание. С самого начала обучения работы с циркулем следует рекомендовать учащимся начинать построение окружности с того, чтобы они отмечали карандашом точку, в которой будет находиться иголка циркуля. Это целесообразно делать по той причине, что ученики могут сразу не начертить всю окружность, а иголка циркуля может соскочить с данной Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие точки. Тогда, если точка не отмечена карандашом, продолжить работу будет достаточно сложно.

Задание 5 имеет целью познакомить учащихся с тем, как с помощью циркуля строят (проводят) окружность. Учитель должен обратить внимание на два факта: во-первых, следует обязательно подчеркнуть, что ножка циркуля с иголкой должна (будет) располагаться в центре окружности (круга); во-вторых, раствор циркуля в процессе построения окружности не должен изменяться.

Выполняя задание 6, ученики поупражняются в построении с помощью циркуля окружностей (кругов) разного радиуса. Также они смогут закрепить взаимосвязь понятий «окружность» и «круг».

При этом мы обращаем внимание учащихся на принципиальное различие между этими понятиями, для чего просим их закрашивать круги. Аналогичное задание для окружностей предложить нельзя!

В задании 7 предлагается дать свой вариант объяснения того факта, что цирковая арена имеет форму круга. Наиболее очевидный вариант объяснения учащиеся могут сформулировать, опираясь на представленную иллюстрацию. Действительно, лошади, которые часто участвуют в цирковых номерах, могут достаточно быстро и равномерно скакать по кругу, чего нельзя было бы сделать, если бы арена имела, например, форму прямоугольника.

Задание 8 относится к заданиям повышенной сложности. Для его выполнения учащиеся должны привлечь имеющийся у них запас знаний о различных видах спорта. На поставленный вопрос ответить смогут, скорее всего, мальчики, так как интересующим нас видом спорта является борьба (вольная или классическая). Если кто-то из учащихся знает, что в прошлом соревнования по борьбе часто проводились в цирке (а об этом они могут знать, например, из кинофильма «Борец и клоун»), то такой выбор формы площадки для соревнования борцов станет вполне понятен.

Тема: «Центр и радиус» (1 урок) В данной теме будет продолжено рассмотрение вопросов, имеющих непосредственное отношение к изучению понятий «круг» и «окружность». Речь идет о таких определяющих параметрах окружности (круга), которые называются «центром» и «радиусом».

При выполнении заданий 1 и 2 учащиеся детально познакомятся с такими понятиями, как центр и радиус окружности (круга).

Первое знакомство с этими понятиями уже состоялось при изучении предыдущей темы. Но там оно носило практический характер и не сопровождалось введением соответствующей терминологии.

В данном случае внимание учащихся акцентируется на том, что центр окружности – это точка, равноудаленная от всех точек на окружности, а радиус окружности – это отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности. Для более четкого проявления указанных характеристических свойств данных понятий мы предлагаем рассматривать не одну окружность, а пару концентрических окружностей, которые имеют общий центр, но разные радиусы.

Выполняя задание 3, учащиеся на практике убеждаются в том, что радиусы окружностей можно сравнивать по длине. При этом процедура сравнения полностью повторяет процедуру сравнения отрезков.

При выполнении задания 4 они также на практике смогут убедиться в том, что радиусы одной и той же окружности равны между собой по длине. Этот факт может быть подтвержден еще и тем, что при построении окружности с помощью циркуля его раствор не меняется, а раствор циркуля как раз и задает радиус этой окружности. После установления данного факта вполне определенный смысл приобретает следующая фраза: «У этих окружностей разные радиусы». Понимать это нужно следующим образом: радиус одной окружности по длине отличается от радиуса другой. Этот же факт является основанием для того, чтобы радиусом называть не сам отрезок, а его длину. Мы будем использовать и ту и другую трактовку.

Например, если радиус нужно построить, то речь идет об отрезке, если же радиус нужно вычислить, то речь идет о длине. Последняя часть этого задания является пропедевтическим шагом к изучению понятия «диаметр».

В задании 5 предлагается измерить радиус каждой из нарисованных окружностей. Сделать это можно с помощью циркуля и измерительной линейки, но можно обойтись и без циркуля. Во второй части задания циркуль нужно использовать обязательно.

Тема: «Радиус и диаметр» (1 урок) Мы продолжаем работу, которую начали при изучении двух предыдущих тем. Займемся изучением еще одного понятия, имеющего непосредственное отношение к понятиям «окружность» и «круг».

При выполнении задания 1 учащиеся не только знакомятся с диаметром окружности как с отрезком, соединяющим две точки окружности и проходящим через ее центр, но и устанавливают достаточно очевидную связь между радиусом и диаметром одной окружности.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие Задание 2 направлено на формирование визуального образа диаметра. Полученные при выполнении предыдущего задания умозрительные представления о диаметре должны сейчас быть подкреплены соответствующим наглядным образом.

Задание 3 мы относим к заданиям повышенной сложности. Это связано со второй частью задания. Учащимся совсем не просто решить задачу о построении окружности по заданному диаметру:

они пока еще не знают действия деления и не умеют делить отрезок пополам. Однако если обратиться к первой части задания, то путь решения для второй части легко устанавливается: построение окружности с радиусом 3 см – это построение окружности с диаметром 6 см. Главное, увидеть эту связь между двумя частями задания.

Если же учащиеся какое-то время потратят на то, чтобы выполнить вторую часть задания независимо от первой, то это можно рассматривать как осуществление пропедевтической работы к изучению темы «Деление пополам и половина».

В задании 4 учащимся фактически предлагается решить составную задачу на разностное сравнение. Для выполнения требуемого разностного сравнения они должны сначала вычислить радиус второй окружности, а потом найти диаметр каждой из двух окружностей по ее известному радиусу. Таким образом, решение будет состоять из четырех действий. Однако совсем не исключено, что кто-то из учеников сможет предложить следующее рассуждение:

так как диаметр окружности в 2 раза больше ее радиуса, то величина разностного сравнения диаметров двух окружностей также в 2 раза больше величины разностного сравнения их радиусов. Это означает, что данную задачу можно решить в одно действие: увеличить величину разностного сравнения радиусов (по условию это 3 см) в 2 раза. В результате получим величину разностного сравнения диаметров (6 см).

Для ответа на вопросы, поставленные в задании 5, учащимся достаточно использовать полученные знания о радиусе и диаметре и внимательно провести требуемый подсчет. Важно не сосчитать один и тот же диаметр (как и один и тот же радиус) дважды, что вполне возможно, учитывая заданное расположение диаметров.

В задании 6 предлагается решить задачу на разностное сравнение, сюжет которой построен на изучаемом геометрическом материале.

Так как в требовании задачи дано указание на сравнение диаметров данных окружностей, а в условии речь идет только о диаметре второй окружности, то возникает необходимость ввести дополнительное требование о диаметре первой окружности. Чтобы ответить на это требование, достаточно знать радиус первой окружности и соотношение между радиусом и диаметром одной окружности, что учащимРавные фигуры»

ся уже известно. После того как вычислен диаметр первой окружности, учащимся остается решить логическую задачу на сравнение этих диаметров и арифметическую задачу на их разностное сравнение.

Тема: «Равные фигуры» (1 урок) В процессе изучения данной темы учащиеся познакомятся с отношением равенства на множестве геометрических фигур. Они уже знакомы с этим отношением, заданным на других множествах (равенство чисел, равенство длин, масс и других величин). У них имеется представление и о равенстве отрезков, которое базируется на равенстве длин этих отрезков. При этом следует всегда помнить, что отрезок – это геометрическая фигура, но фигура одномерная (линейная). Для двумерной (плоской) фигуры отношение равенства устанавливается на основе совпадения при наложении (при движении). Учащиеся к такому пониманию должны прийти через интуитивное понимание смысла термина «одинаковый» применительно к реальным предметам. Именно наложение друг на друга реальных предметов в виде моделей плоских фигур с наблюдаемым совпадением этих моделей и будет являться основанием для того, чтобы сделать на данном этапе обучения вывод о равенстве соответствующих фигур.

В задании 1 учащимся сначала предлагается из диалога Маши и Миши понять, как можно установить равенство двух прямоугольников (квадратов, которые по определению являются прямоугольниками) или других плоских фигур практическим способом, а уже потом применить этот способ для данных прямоугольников.

Завершается задание формулировкой определения равенства геометрических фигур, которое можно использовать для одномерных и двумерных геометрических фигур. Для трехмерных геометрических фигур (геометрических тел) это определение нельзя использовать, так как процедура наложения одного геометрического тела на другое лишена практического смысла (для этого нам нужно было бы уметь выходить в четырехмерное пространство!). Поэтому для трехмерных геометрических фигур равенство означает возможность совпадения фигур в результате движения в пространстве. Но пока мы об этом ничего не говорим.

В задании 2 предлагается поупражняться в установлении равенства данных геометрических фигур на основе введенного выше определения.

Примечание. При выполнении заданий данной темы учащиеся постоянно будут иметь дело с моделями геометриТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие ческих фигур. Учителю всегда следует помнить, что модель геометрической фигуры и сама геометрическая фигура это не одно и то же. Когда мы говорим о том, что нужно вырезать круг, раскрасить квадрат и т. п., то мы имеем в виду не геометрическую фигуру, а ее модель. Саму геометрическую фигуру ни вырезать, ни раскрасить, ни потрогать нельзя! Все манипуляции можно и нужно совершать с моделями. Однако, чтобы не усложнять формулировки заданий, мы для краткости говорим о самих фигурах, а не об их моделях. Но все-таки было бы желательно, чтобы учитель нашел возможность разъяснить учащимся, что они непосредственно оперируют не с геометрическими фигурами, а с их моделями и изображениями. При этом окончательный вывод уже относится к геометрическим фигурам.

Тема: «Вычитание суммы из суммы» (1 урок) Рассмотрение данной темы продиктовано тем обстоятельством, что именно на заявленном в теме свойстве базируется поразрядный способ вычитания, когда действие нужно выполнять не в одном разряде, а в нескольких. Без этого свойства невозможно дать приемлемое обоснование тех способов и приемов вычитания, которые мы будем изучать в дальнейшем. При изучении поразрядного способа сложения аналогичную роль играло свойство прибавления суммы к сумме, которое мы рассматривали во втором полугодии 1 класса.

В задании 1 описана похожая на реальную ситуация, в которой показано, как можно сумму вычесть из суммы. Другими словами, речь идет о том, как по-другому найти значение выражения, представляющего собой разность сумм. Простой пример показывает, что для этого можно найти значение другого выражения, представляющего собой сумму разности первых слагаемых и разности вторых слагаемых.

Итак, в первом случае сначала нужно дважды выполнить сложение, а потом один раз вычитание, а во втором наоборот: сначала дважды выполнить вычитание, а потом один раз сложение. При этом не следует забывать, что когда речь идет о вычитании, то важно быть уверенным в возможности его выполнения. По этой причине данное свойство не всегда применимо.

Результатом выполнения задания 2 должно стать понимание учащимися того факта, что выражение, являющееся разностью сумм, можно заменить другим выражением, которое представляет собой сумму двух соответствующих разностей, и при этом значение выВычитание суммы из суммы»

ражения не изменится. Вторая часть задания направлена на рассмотрение примера выражения, для вычисления значения которого нельзя применить данное свойство, так как одна из разностей (разность вторых слагаемых) не может быть вычислена по причине нарушения условия существования значения разности (уменьшаемое оказывается меньше, чем вычитаемое).

Задание 3 направлено на рассмотрение примера выражения, для вычисления значения которого нельзя применить данное свойство, так как одна из разностей (разность вторых слагаемых) не может быть вычислена по причине нарушения условия существования значения разности (уменьшаемое оказывается меньше, чем вычитаемое).

При выполнении задания 4 учащимся предлагается воспользоваться правилом вычитания суммы из суммы. В справедливости этого правила сомнений у учащихся уже не будет, так как вся необходимая работа по его обоснованию уже проведена. Что же касается формулировки этого правила, то в ней учтены те ограничения, которые накладывает на применение этого правила условие существования значения разности. Именно по этой причине формулировка правила дана в виде условного высказывания. Саму формулировку учащимся запоминать совсем не обязательно, а вот применять это свойство при проведении вычислений уметь необходимо.

Задание 5 направлено на отработку умения заменять выражение, представляющее собой разность сумм, другим выражением, которое уже будет являться суммой двух разностей. В этой процедуре замены важно правильно составить разности из соответствующих слагаемых. В данном случае важно обратить внимание учащихся на то, что рассматриваемые суммы представляют собой суммы разрядных слагаемых. По этой причине построенные разности должны состоять из разрядных слагаемых одного и того же разряда. Перегруппировка здесь невозможна, так как значение одной из разностей сразу перестает существовать.

При выполнении задания 6 учащиеся смогут продемонстрировать умение вычислять значения выражения, являющееся разностью сумм, с помощью правила вычитания суммы из суммы.

Задание 7 относится к заданиям повышенной сложности. Это обусловлено двумя причинами: во-первых, при выполнении данного задания учащиеся должны самостоятельно провести обобщение, которое заключается в распространении изученного правила на суммы, состоящие из трех слагаемых; во-вторых, полученное обобщение будет применяться для обоснования поразрядного способа вычитания трехзначных чисел, и к этому выводу учащиеся также должны прийти максимально самостоятельно.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие Тема: «Поразрядное вычитание чисел без перехода через разряд» (1 урок) При изучении данной темы учащиеся познакомятся с поразрядным способом вычитания чисел без перехода через разряд. Теоретической основой для этого способа служит правило вычитания суммы из суммы, которое было рассмотрено в предыдущей теме. Важно понимать, что данное правило в том виде, как оно было сформулировано на страницах учебника, явно позволяет обосновать поразрядный способ вычитания двузначного числа из двузначного.

Что же касается трехзначных чисел, то для его обоснования нужно использовать соответствующее обобщение данного правила. Аналогично будет обстоять дело и с четырехзначными, пятизначными и т. д. числами.

Примечание. Учителю будет полезно знать, что обобщения правила вычитания суммы из суммы, требуемые для обоснования поразрядного способа вычитания многозначных чисел, могут быть получены с помощью многократного применения этого правила для двух слагаемых к суммам, состоящим из трех и более слагаемых. Возможность такого применения опирается на использование сочетательного свойства сложения.

Понятно, что от учащихся нельзя требовать выхода на такой уровень рассуждений, но в выполнимости данного правила для сумм с большим, чем 2, числом слагаемых учащиеся не должны сомневаться, даже если эта уверенность имеет только интуитивную основу.

При выполнении задания 1 учащиеся смогут познакомиться с поразрядным способом вычитания чисел на примере вычисления значения разности 39–12. При этом разность выбрана так, что при вычислении ее значения не требуется переходить через разряд.

Выполняя задание 2, учащиеся смогут поупражняться в применении поразрядного способа вычитания чисел без перехода через разряд. Предварительно они должны отобрать требуемые разности.

Эта часть задания носит характер повторения.

В задании 3 предлагается вычислить значения данных разностей способом поразрядного вычитания. Заключительная часть этого задания готовит учащихся к рассмотрению поразрядного способа вычитания чисел с переходом через разряд, о чем пойдет разговор при изучении следующей темы.

В задании 4 предлагается составить круговую схему к предложенной задаче и с ее помощью решить эту задачу. Для вычисления ответа задачи нужно использовать способ поразрядного вычитания.

В силу достаточно большого объема работы это задание можно отнести к заданиям повышенной сложности.

Тема: «Поразрядное вычитание чисел с переходом через разряд» (1 урок) В данной теме мы продолжаем изучать поразрядный способ вычитания чисел, который начали изучать в предыдущей теме. Теперь на очереди случай поразрядного вычитания с переходом через разряд.

При выполнении задания 1 происходит знакомство учащихся с поразрядным способом вычитания чисел с переходом через разряд. Теоретической основой этого способа также является правило вычитания суммы из суммы, но только в данном случае уменьшаемое представлено не в виде суммы разрядных слагаемых, а в виде суммы удобных слагаемых. Невозможность использования разложения уменьшаемого на разрядные слагаемые объясняется тем, что в этом случае нельзя применить правило вычитания суммы из суммы, на котором и базируется поразрядный способ вычитания.

Обращаем внимание, что используемое разложение на удобные слагаемые основано на принципе «заимствования десятка», с которым учащиеся уже познакомились при изучении поразрядного вычитания однозначного числа из двузначного с переходом через разряд.

При выполнении задания 2 учащимся предлагается вычислить значение разности 31–14 по аналогии с тем, как было вычислено значение разности 31–16 в задании 1.

В задании 3 предлагается сначала произвести отбор интересующих нас разностей, после чего произвести вычисление их значений с использованием поразрядного способа вычитания с переходом через разряд. Мы специально предлагаем сначала рассмотреть случай, когда в разряде единиц уменьшаемого стоит цифра 0. Это позволяет в явном виде показать, что при разбиении уменьшаемого на удобные слагаемые целесообразно заимствовать 1 десяток в разряде десятков и рассматривать его как 10 единиц для того, чтобы можно было выполнить вычитание в разряде единиц.

В задании 4 предлагается вычислить значение разности 750–233, разложив уменьшаемое на удобные слагаемые. При этом вычитаемое следует раскладывать на разрядные слагаемые. Числа, участвующие в этой разности, выбраны не случайно. При выполнении поразрядного вычитания в первых двух разрядах учащиеся столкнутся с ситуацией, которая им знакома по выполнению предыдущего задания. Чуть ранее им уже приходилось вычислять значение разТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие ности 50–33. Этот факт может быть использован учениками и при построении вычислений по несколько иной схеме, а именно:

750–233=(700+50)–(200+33)=(700–200)+(50–33)=500+17=517, которая может быть реализована и в устной форме.

При выполнении задания 5 учащиеся не только смогут еще раз поупражняться в решении простой задачи на вычитание, но и в вычислении значения разности поразрядным способом с переходом через разряд.

Цель задания 6 состоит в том, чтобы отработать умение «заимствовать десяток» у соответствующего разрядного слагаемого при разложении уменьшаемого на удобные слагаемые, как это требуется при вычислении значений разностей поразрядным способом с переходом через разряд. Напоминаем, что поразрядный способ предусматривает разложение на разрядные слагаемые и только в случае невозможности выполнения вычитания в некотором разряде допускает замену разрядных слагаемых удобными (с «заимствованием десятка») для уменьшаемого, но не для вычитаемого.

Тема: «Запись вычитания в строчку и в столбик» (1 урок) При изучении этой темы мы хотим познакомить учащихся с новым способом записи действия вычитания. Речь идет о записи «в столбик».

Пока мы ничего не говорим о преимуществах, которые дает такая запись. Нам важно добиться чтобы эта форма записи для вычитания (как это было уже сделано для сложения) была признана и освоена учениками наряду с хорошо знакомой им записью в «строчку».

В задании 1 предлагается выполнить поразрядное вычитание чисел 78 и 41, используя знакомую им запись в строчку. Имеет смысл обратить внимание учащихся на то, что поразрядное вычитание выполняется без перехода через разряд. Дидактический смысл этого задания станет понятен, когда мы перейдем к рассмотрению следующего задания.

В задании 2 предлагается познакомиться с новой формой записи вычитания, а именно с записью вычитания в столбик. Так как вычисление значения рассматриваемой разности выполнено при решении задания 1, то в данной ситуации можно сосредоточить внимание учащихся лишь на той зависимости, которая существует между числами одного разряда уменьшаемого, вычитаемого и значения разности. Эта зависимость может быть выражена с помощью следующих равенств: 8–1=7 и 7–4=3. Если такая зависимость учащимися установлена, то это фактически означает, что они познакоСпособ вычитания столбиком»

мились не только с новой формой записи действия вычитания, но и с очень удобным способом выполнения этого действия для случая, когда уменьшаемое и вычитаемое являются двузначными числами, а при поразрядном вычитании нет перехода через разряд.

В задании 3 предлагается осуществить переход от записи в столбик к записи в строчку для данных разностей. Так как в данном задании вычитание выполнять не нужно, то рассматриваемые разности достаточно разнообразны в плане подбора уменьшаемых и вычитаемых. Особо следует обратить внимание учащихся на запись последней разности. Очень важно подчеркнуть, что такое расположение вычитаемого под уменьшаемым совсем не случайно, а базируется на разрядном принципе записи в столбик (цифры одного разряда должны быть записаны друг под другом).

При выполнении задания 4 учащиеся должны продемонстрировать умение переходить от записи в строчку к записи в столбик.

Такая постановка вопроса носит обратный характер по отношению к предыдущему заданию. По этой причине задания 3 и 4 целесообразно предлагать в паре. Как и в предыдущем задании, особое внимание должно быть обращено на последнюю разность.

Задание 5 отличается от задания 3 лишь тем, что вместо разностей учащимся предлагается поработать с записями, которые дополнительно содержат знак «=». Для того чтобы учащиеся смогли самостоятельно найти замену этому знаку при записи в столбик, можно предложить им еще раз обратиться к записи из задания или к аналогичным записям для действия сложения.

Задание 6 составляет с заданием 5 такую же пару взаимосвязанных заданий, как и задания 3 и 4. По этой причине предлагать эти задания также целесообразно в паре.

В задании 7 мы еще раз напоминаем учащимся о возможности использования круговых схем для решения задач. По данной круговой схеме можно не только составить задачу, но и выбрать действие для ее решения. При этом запись решения учащимся предлагается выполнить в столбик. О вычислении ответа речи пока не идет, хотя такой вид работы не исключается.

Тема: «Способ вычитания столбиком» (2 урока) При изучении темы учащиеся детально познакомятся со способом вычитания столбиком. Мы намеренно не говорим об алгоритме вычитания столбиком, так как пока мы будем рассматривать только частные случаи реализации этого алгоритма, а изучение его в полном объеме заложено в программу 3 класса.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие В преамбуле к заданиям данной темы представлен диалог между Мишей и Машей, из которого учащиеся могут узнать о смысле введения записи в столбик для выполнения сложения.

В задании 1 предлагается объяснить, как выполняется вычитание столбиком на примере вычитания числа 25 из числа 49. С аналогичной записью вычитания учащиеся уже встречались при выполнении задания 2 из предыдущей темы. Тогда же было установлено, как можно использовать преимущества такой записи для поразрядного способа вычитания. Поэтому с данным заданием они вполне могут справиться самостоятельно.

Для выполнения задания 2, в котором требуется выполнить поразрядное вычитание трехзначных чисел, учащиеся должны воспользоваться разрядной таблицей. Так как данные числа подобраны так, чтобы при поразрядном вычитании не было перехода через разряд, то сама процедура вычитания сводится к выполнению вычитания однозначных чисел в каждом из трех разрядов с последующей записью получающихся однозначных чисел в соответствующий разряд результата. Заключительная часть задания направлена на то, чтобы обратить внимание учащихся на существующую аналогию между записями вычитания чисел в разрядной таблице и столбиком.

В задании 3 еще раз обращается внимание на ту аналогию, о которой речь шла в заключительной части предыдущего задания.

Кроме этого, при выполнении задания учащиеся познакомятся с предписанием, которое является первой частью формулировки алгоритма вычитания столбиком.

Что же касается выполнения действия вычитания, то предлагаемый случай ничем принципиально не отличается от рассмотренного в предыдущем задании, поэтому учащиеся могут справиться с ним самостоятельно.

В задании 4 предлагается выполнить вычитание трехзначного числа из трехзначного, следуя предписанию из задания 3.

Задание 5 направлено на отработку поразрядного способа вычитания с использованием двух форм записи: в строчку и столбиком.

При выполнении задания 6 учащиеся смогут поупражняться в выполнении вычитания столбиком для случая без перехода через разряд.

С задания 7 можно начать второй урок по данной теме. В этом задании учащимся предлагается выполнить вычитание трехзначного числа из трехзначного, следуя несколько иному предписанию.

Указанное предписание предназначено для вычитания трехзначного числа из трехзначного, когда имеет место переход через разряд.

Как и в первом случае, мы не предлагаем учащимся запоминать формулировку каждого пункта этого предписания, но они должны научиться выполнять вычитание аналогичных чисел столбиком, а также трансформировать данное предписание под случай вычитания двузначного числа из двузначного с переходом через разряд.

Задание 8 предполагает парную работу. При его выполнении ученики получают возможность продемонстрировать свое умение поразрядного вычитания чисел с переходом через разряд с помощью разрядной таблицы. Соответствующий алгоритм был описан в предыдущем задании. Это задание выполняется в тетради для самостоятельной работы №2, с. 30. Последняя часть задания предполагает поразрядное вычитание с переходом через разряд, но уже без использования разрядной таблицы.

Задание 9 мы отнесли к заданиям повышенной сложности.

В нем учащимся предлагается ответить на вопрос о возможности получения однозначного числа при вычитании двузначного числа из трехзначного. Скорее всего, на этот вопрос будет получен положительный ответ. Если же с ответом учащиеся будут испытывать затруднения, то следует предложить им выполнить вторую часть задания, а уже потом снова обратиться к первой части.

Тема: «Поупражняемся в вычислениях»

Мы вновь предлагаем подборку заданий на закрепление и повторение. Так как материал, рассмотренный в последних двух темах, требует большой и постоянной вычислительной работы, мы сразу предлагаем поупражняться в приобретенных вычислительных умениях.

В задании 1 предлагается выполнить поразрядное вычитание, используя записи в строчку и в столбик. При этом еще раз подтверждаются преимущества записи в столбик.

На первый взгляд задание 2 дублирует аналогичное задание предыдущей темы. При более детальном знакомстве с заданием можно увидеть и принципиальное отличие, которое в нем имеется:

при вычитании данных чисел возникает необходимость перехода через разряд в виде «заимствования» в соседнем, старшем разряде.

Задание 3 направлено на отработку умения выполнять вычитание столбиком.

При выполнении задания 4 учащиеся также смогут продемонстрировать свое умение вычитать трехзначное число из трехзначного столбиком, но в формулировке задания об этом сказано в косвенной форме. Все предлагаемые для проверки вычисления выполнены правильно.

В задании 5 мы еще раз напоминаем учащимся о существовании круговых схем, которые можно использовать для нахождения решеТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие ния простых задач на сложение и вычитание. Делается это для того, чтобы мы могли быть уверены, что при дальнейшем использовании данных схем (а это предстоит сделать уже в скором времени) они не будут испытывать затруднений в их прочтении и составлении.

Однако, работая со схемой, мы не забываем и о прямом назначении заданий данной темы. Поупражняться в вычитании столбиком трехзначного числа из трехзначного учащиеся смогут и при выполнении данного задания.

Задание 6 относится к заданиям повышенной сложности. Для его выполнения учащиеся должны детально проанализировать предлагаемую ситуацию. Начать анализ следует с разряда единиц.

Ученики вполне могут установить, что для осуществления перехода через разряд в разряде единиц вычитаемое в этом разряде должно содержать 9 единиц. Других вариантов здесь нет. Говоря о разряде десятков уменьшаемого, следует учесть, что после «заимствования»

для разряда единиц в этом разряде также остается число 8. Следовательно, для перехода через разряд в разряде десятков вычитаемого нужно так же записать цифру 9, как это было сделано для разряда единиц. Итак, искомое число – это число 99.

Тема: «Умножение и вычитание: порядок выполнения действий» (1 урок) Изучение данной темы является очередным шагом к пониманию существования действий первой и второй ступеней. Если при изучении действий сложения и вычитания учащиеся усвоили их равноправность в смысле порядка их выполнения, то теперь им придется привыкать к существованию совершенно иной ситуации: умножение имеет приоритет по отношению как к сложению (о чем учащиеся уже хорошо знают), так и к вычитанию в смысле порядка их выполнения. Обоснование такой ситуации для умножения и вычитания мы, как и в первом случае, осуществляем на основе сопоставления выражения и его значения.

В задании 1 сначала дается обоснование первоочередности умножения по отношению к вычитанию в смысле порядка их выполнения. Чтобы учащиеся поняли это обоснование, им достаточно четко следовать тем указаниям, которые даны в тексте задания.

В заключение делается вывод о том, что если в выражении без скобок встречаются действия вычитания и умножения, то раньше выполняется умножение, а уже потом – вычитание.

При выполнении задания 2 учащиеся на примере вычисления значений данных выражений смогут продемонстрировать не тольВычисления с помощью калькулятора»

ко то, как они поняли только что рассмотренное правило, но и попрактиковаться в знании изученных табличных случаев умножения.

Важной особенностью выражения 8•6–4•6 является то, что в нем есть указание на выполнение трех действий (одного вычитания и двух умножений). Учащиеся должны научиться применять только что изученное правило и для таких выражений.

В задании 3 предлагается составить задачу, решением которой являлось бы выражение 100–10•3. Такой вид работы играет важную положительную роль при обучении учащихся решению задач.

Обращаем внимание на то, что эта задача не будет являться простой, так как ее решение включает два действия. Учащимся нужно придумать сюжет, в котором простая задача на вычитание соединяется с простой задачей на умножение. Что же касается вычисления значения этого выражения, то для них это будет задание на вычисление ответа задачи. При выполнении этой части задания учащиеся должны соблюдать порядок выполнения действий, а значение произведения 10•3 вполне может быть вычислено устно как значение соответствующей суммы.

В задании 4 предлагается составить выражение к рисунку, которое является разностью двух произведений. Чтобы выполнить это требование, ученик сначала должен записать в виде произведения число всех кругов на рисунке (это произведение 4•6 или 6•4) и число кругов на рисунке, которые зачеркнуты (это произведение 3•5 или 5•3). После этого можно соединить в разность два произведения, выбранные по одному из каждой пары. При вычислении значения составленного произведения обязательно следует обратить внимание учащихся на порядок выполнения действий и на использование знания соответствующих табличных случаев умножения. Само же полученное значение будет выражать число круглых пуговиц.

Задание 5 тоже относится к заданиям повышенной сложности. При его выполнении учащиеся должны продемонстрировать умение вычислять значения выражений с учетом правила порядка действий. Результатом этой работы должно стать составление соответствующего равенства. При этом составленное равенство можно рассматривать как пропедевтическую иллюстрацию свойства умножения разности на число. Для полноты иллюстрации произведение 5•2 следует представить как 5•(8–6).

Тема: «Вычисления с помощью калькулятора» (1 урок) Необходимым условием изучения данной темы является наличие у учащихся возможности использования калькулятора для выТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие полнения заданий. Умозрительная работа в данном случае крайне неэффективна. Каждый ученик должен получить доступ к калькулятору.

В преамбуле к теме устами Маши мы предлагаем учащимся познакомиться с простейшим правилом пользования калькулятором.

Естественно, это правило не учитывает все возможные случаи работы с калькулятором, но для выполнения одного действия им всегда можно пользоваться.

В задании 1 предлагается применить озвученное выше правило для выполнения указанных действий.

При выполнении задания 2 учащиеся смогут познакомиться с еще одним назначением калькулятора: его можно использовать как инструмент для проверки правильности выполненных вычислений. Все данные вычисления выполнены правильно, в чем учащиеся смогут убедиться не только с помощью калькулятора, но и повторив самостоятельно проведенные вычисления столбиком.

При вычислении значений выражений из задания 3 учащиеся столкнуться с проблемой последовательного выполнения двух действий с помощью калькулятора. В первом случае порядок выполнения действий совпадает с порядком их записи, поэтому и на калькуляторе вычисления можно проводить без фиксации промежуточных результатов.

Во втором случае ситуация принципиально другая: сначала нужно выполнить умножение и зафиксировать полученный результат, а уже после этого выполнить вычитание этого найденного числа из числа 450.

При выполнении задания 4 учащиеся не только смогут поупражняться в проведении вычислений с помощью калькулятора, но и вспомнить переместительное свойство умножения.

В задании 5 сначала предлагается провести указанные вычисления столбиком, а уже потом проверить правильность их выполнения с помощью калькулятора.

В задании 6 калькулятор предлагается использовать как инструмент для контроля знания табличных случаев умножения.

Задание 7 относится к заданиям повышенной сложности.

Сложность этого задания заключается в том, что последовательность нажатия клавиш на калькуляторе не является полностью идентичной последовательности знаков в записи искомого выражения. Недостающие знаки учащиеся должны восстановить самостоятельно, опираясь на знание правила порядка выполнения действий. В итоге должно получиться следующее выражение:

(235–227)•9.

Тема: «Поупражняемся в вычислениях»

В данной теме мы предлагаем небольшую подборку заданий на вычисление значений выражений с учетом правила порядка выполнения действий. Каждое задание при этом преследует еще и свою дидактическую цель. Более того, хотя об этом в формулировках заданий ничего и не сказано, но учитель может по своему усмотрению ориентировать учащихся на выполнение некоторых вычислений с помощью калькулятора.

При выполнении задания 1 учащиеся смогут поупражняться в сложении и вычитании столбиком.

Задание 2 носит явно выраженный творческий характер, так как в нем учащимся предлагается сконструировать выражение по тем действиям, которые нужно выполнить для вычисления его значения.

При выполнении задания 3 учащиеся не только смогут поупражняться в выполнении арифметических действий, но и повторить смысл понятия верного числового равенства.

Выполняя задание 4, они поупражняются в проведении вычислений по вычитанию и умножению. Особо следует обратить внимание на порядок выполнения указанных действий.

Для выполнения задания 5 от учащихся потребуется не только умение складывать и вычитать трехзначные числа столбиком, но и умение сравнивать полученные числа, что является обязательным условием проверки верности данных числовых неравенств.

Тема: «Известное и неизвестное» (1 урок) При изучении данной темы учащиеся познакомятся с понятием неизвестного. При этом данный термин мы будем употреблять и для обозначения неизвестного числа, и для обозначения неизвестной величины.

Примечание. Так как число допустимо рассматривать как частный случай величины, то можно вести речь только о неизвестной величине. Однако для учащихся понятие неизвестного числа более доступно, чем понятие неизвестной величины, поэтому мы предлагаем на данном этапе обучения сосредоточить внимание именно на нахождении неизвестных чисел.

В преамбуле к теме описана реальная (или очень похожая на реальную) ситуация, из которой учащиеся могут получить необходимую информацию об известном и неизвестном. При этом неизвестное рассматривается как вычисляемое неизвестное. Измеряемое Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие неизвестное в данном случае нас мало интересует. В чем заключается принципиальное отличие первого типа неизвестного от второго, подробно рассказано в методических рекомендациях общего характера к разделу «Алгебраическая пропедевтика». Завершается данная преамбула фразой о том, что неизвестное очень часто обозначают с помощью латинской буквы х, которая называется «икс».

О других особенностях изучения этого материала речь шла выше при рассмотрении методических рекомендаций общего характера.

В задании 1 мы сразу ориентируем учащихся на понимание того, что конечной целью введения неизвестного является перевод его в разряд известных с помощью соответствующих вычислений.

При выполнении задания 2 учащиеся знакомятся с двумя типами неизвестных. К первому типу мы относим неизвестное, которое может быть переведено в известное с помощью счета или измерения. Такое неизвестное они сразу должны рассматривать как известное, так как пересчет элементов или измерение выполняются автоматически. Другое дело, когда речь идет о неизвестном второго типа, т. е. о неизвестном, которое может быть переведено в известное только с помощью соответствующих вычислений. В этом случае автоматически эта процедура не выполняется. Предварительно еще нужно установить, какие вычисления требуется провести, а уже потом выполнить эти самые вычисления.

При выполнении задания 3 ученики учатся записывать суммы, в которых одно или оба слагаемых неизвестны. При этом когда речь идет о двух неизвестных слагаемых, то они заведомо считаются равными. Такое ограничение позволяет обозначить их одной и той же буквой. В противном случае потребовалось бы вводить еще одну букву для обозначения неизвестного. При желании учитель может рассмотреть и такую ситуацию. Основная цель рассмотрения этого задания состоит в том, чтобы подготовить учащихся к составлению уравнений, о чем речь пойдет при изучении следующей темы.

Задание 4 аналогично предыдущему заданию, только в данном случае работа проводится не с суммой, а с разностью. Особое внимание следует обратить на последний вопрос этого задания. Учащимся можно предложить записать ответ на этот вопрос в виде соответствующего равенства. Таким равенством будет следующее:

х–х=0.

Задание 5 аналогично двум предыдущим заданиям, только в этом случае работа проводится с произведением.

Задание 6 относится к заданиям повышенной сложности. В этом задании учащимся предлагается сделать неизвестное число известным с помощью не арифметических, а логических действий. Рассуждения в данном случае могут быть примерно такими: «В каждом разряде может находиться только однозначное число»; «Так как среди однозначных чисел существует только одна пара, в которой одно число на 8 больше другого, и такой парой являются числа 1 и 9, то искомое число – это число 19»; «Других вариантов нет».

В заданиях 7, 8, 9 и 10 мы еще раз обращаемся к рассмотрению сумм и разностей, в составлении которых участвует неизвестное, обозначенное через х.

Тема: «Числовое равенство и уравнение» (1 урок) При изучении данной темы учащиеся знакомятся с одним из важнейших алгебраических понятий – понятием уравнения. Знакомство это осуществляется на основе сопоставления верного числового равенства и уравнения. При этом уравнение трактуется как равенство с неизвестным. Упоминание с самого начала верного числового равенства позволяет без особого труда ввести понятие корня уравнения.

При выполнении задания 1 учащиеся сразу знакомятся и с понятием уравнения и с понятием корня уравнения. Вся работа строится вокруг анализа и преобразования конкретного числового равенства.

Из этого равенства сначала получается уравнение после замены известного первого слагаемого на неизвестное, а уже потом вводится понятие корня как числа, при подстановке которого в уравнение вместо неизвестного получается верное числовое равенство.

В задании 2 предлагается с помощью проверки установить, какое из данных чисел (8 или 18) является корнем данного уравнения. Такая проверка должна заключаться в замене неизвестного на одно из предложенных чисел и проверке того, будет ли полученное таким образом числовое равенство верным.

В задании 3 мы еще раз предлагаем поупражняться в умении находить корень уравнения методом подбора из данных чисел. При выполнении необходимой проверки учащиеся смогут продемонстрировать свое умение складывать трехзначные числа столбиком.

Выполняя задание 4, учащиеся смогут продемонстрировать свои умения в составлении уравнений. В данном случае речь идет об уравнении, в котором неизвестным является вычитаемое. При составлении такого уравнения они могут опираться на опыт, полученный при решении задания 4 из предыдущей темы.

Задание 5 аналогично предыдущему заданию. Отличие состоит лишь в том, что теперь неизвестным является один из множителей.

При составлении такого уравнения учащиеся могут использовать опыт, полученный при решении задания 5 из предыдущей темы.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие Тема: «Как найти неизвестное слагаемое» (1–2 урока) При изучении данной темы учащиеся познакомятся с правилом, позволяющим находить корень уравнения, если неизвестным является одно из двух слагаемых. Для вывода этого правила мы предлагаем использовать круговую схему, которая уже многократно применялась учениками при решении простых задач на сложение и вычитание. Отличие «новой» схемы будет заключаться лишь в том, что если при решении задачи искомое мы обозначали с помощью вопросительного знака «?», то при решении уравнения неизвестное мы будем обозначать с помощью латинской буквы х. Система заданий данной темы выстроена таким образом, что сначала учащиеся должны познакомиться с тем, как по данному уравнению составлять круговую схему, после чего можно вести речь о решении этого уравнения.

В задании 1 предлагается проанализировать формулировку задачи, составить к ней краткую запись, а также круговую схему с использованием для обозначения искомого буквы х вместо вопросительного знака. Искомым в данной задаче является число тетрадей в закрытой пачке. Но это же число можно считать неизвестным, причем вычисляемым неизвестным. Поэтому использование для обозначения искомого буквы х вполне допустимо.

Итогом выполнения задания 2 должно стать составление следующего уравнения: 17+х=42.

На выполнении заданий 3 и 4 следует сосредоточить особое внимание, так как именно в этом задании осуществляется вывод интересующего нас правила. Данный вывод состоит из нескольких этапов.

Сначала учащимся предлагается рассмотреть вопрос о составлении круговой схемы для уравнения, полученного при выполнении предыдущего задания. В тексте задания учитель и учащиеся могут найти описание последовательности шагов, выполнение которых и приводит к составлению требуемой схемы.

После того как схема составлена, можно переходить к ее использованию. Механизм использования схем для решения уравнений аналогичен механизму поиска решения задачи с помощью круговой схемы.

Когда определено действие, выполнение которого позволяет вычислить корень уравнения, следует перейти к следующему этапу: от конкретного примера нахождения неизвестного слагаемого перейти к формулировке общего правила. Именно формулировкой правила и завершается выполнение задания 4.

Примечание. При выполнении данного задания следует сразу обратить внимание учащихся на форму записи решения уравнения. Им можно предложить следующий образец:

После этой записи можно предложить сделать проверку, смысл которой заключается в том, чтобы убедиться, получится ли верное равенство, если вместо х в уравнение подставить найденный корень – 25. Запись проверки может быть следующей:

После того как учащиеся убеждаются в верности данного равенства, они зачеркивают вопросительный знак.

При выполнении задания 5 учащиеся должны продемонстрировать умение по готовой круговой схеме находить неизвестное слагаемое. В качестве дополнительного задания можно предложить учащимся записать уравнение, для которого составлена данная схема.

В задании 6 учащимся предлагается составить схему к данному уравнению, после чего найти неизвестное слагаемое с помощью составленной схемы. Другими словами, учащиеся самостоятельно должны повторить тот путь, который был пройден при выполнении задания 3.

Для нахождения корня уравнения из задания 7 учащимся нужно воспользоваться правилом нахождения неизвестного слагаемого.

При выполнении задания 8 учащиеся сначала должны продемонстрировать свое умение в составлении уравнений по имеющейся информации о связи неизвестного с известными. После этого они должны найти корень составленного уравнения, применяя правило нахождения неизвестного слагаемого.

Примечание. При выполнении задания 8 учащиеся столкнулись со случаем, когда при решении уравнения необходимые вычисления имеет смысл выполнять в столбик. В этом случае может быть предложена следующая форма записи:

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие Что касается проведения проверки, то она осуществляется по тому же принципу, о котором было сказано в примечании к заданию 4. Если требуются вычисления в столбик, то их записывают рядом с основной записью справа Тема: «Как найти неизвестное вычитаемое» (1 урок) При изучении данной темы учащиеся познакомятся с правилом, которое позволяет решать уравнения с неизвестным вычитаемым.

Вывод соответствующего правила будет проведен совершенно аналогично тому, как это было сделано для правила нахождения неизвестного слагаемого.

При выполнении задания 1 учащиеся должны самостоятельно разобраться в вопросе построения круговой схемы для уравнения с неизвестным вычитаемым. Для того чтобы акцентировать внимание учащихся на ключевых моментах заполнения круговой схемы, мы предлагаем систему вопросов, на которые учащиеся должны ответить самостоятельно.

В задании 2 продолжается работа по выводу интересующего нас правила. На данном этапе рассуждений учащиеся должны выбрать действие для нахождения неизвестного вычитаемого, после чего провести вычисления и сделать обобщение в виде соответствующего правила.

При выполнении задания 3 учащиеся смогут продемонстрировать свое умение находить неизвестное вычитаемое по готовой круговой схеме.

В задании 4 от учащихся сначала требуется составить круговую схему для уравнения с неизвестным вычитаемым, а уже потом с ее помощью найти это неизвестное вычитаемое.

В задании 5 предлагается найти корень уравнения, применив правило нахождения неизвестного вычитаемого. Предварительно можно проговорить с учащимися это правило.