«МАТЕМАТИКА 2 КЛАСС Методическое пособие Под редакцией Р.Г. Чураковой МосКвА АКАдЕМКНИГА/УЧЕбНИК 2012 УДК 51(072.2) ББК 74.262.21 Ч-37 Чекин, А.Л. Ч-37 Математика [Текст] : 2 кл. : Методическое пособие / А.Л. Чекин; под. ...»

При выполнении задания 4 учащиеся еще раз смогут закрепить один из случаев первого столбика таблицы умножения. ОсущестУмножение числа 2 на однозначные числа»

вляется это на этапе вычисления ответа данной задачи. Решение задачи аналогично решению задачи 7 из темы «Умножение числа и на число 1».

Тема: «Умножение числа 2 на однозначные числа» (1 урок) Мы переходим к построению второго столбика «Таблицы умножения». Подходы, которые мы будем при этом использовать, подробно описаны в общих рекомендациях к теме «Умножение числа 1 на однозначные числа».

Результатом выполнения задания 1 является составление второго столбика «Таблицы умножения». Значения соответствующих произведений учащимся предлагается вычислить самостоятельно, опираясь на сложение одинаковых слагаемых и используя связь между следующим и предыдущим значениями. Так как первая строчка второго столбика таблицы умножения уже заполнена, то учащимся предлагается завершить заполнение этого столбика. Вопросы о числе однозначных и двузначных значений произведений включены в задание с целью повторения.

При выполнении задания 2 продолжается составление таблицы умножения. В данном случае речь идет о тех строчках в незаполненных столбиках таблицы умножения, которые отличаются от соответствующих строчек второго столбика только порядком следования множителей. Все эти строчки будут занимать второе место в каждом из незаполненных столбиков.

В задании 3 мы еще раз предлагаем учащимся сопоставить сумму одинаковых слагаемых с соответствующим произведением второго столбика и записать это в виде равенства. Основанием для составления равенства следует считать равные значения суммы и произведения. При этом значения сумм вычисляются, а значения произведений находятся по таблице умножения. Последний вопрос этого задания направлен на то, чтобы учащиеся в устной форме вспомнили значения некоторых произведений второго столбика таблицы умножения (при составлении равенств значения произведений находились по таблице, но не записывались) и сравнили эти значения с числом 10.

В задании 4 учащимся предлагается решить задачу, сюжет которой в явном виде отвечает предметному смыслу действия умножения. Учащиеся находят и записывают решение в виде произведения. При вычислении ответа следует сориентировать учащихся на применение «Таблицы умножения».

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие Тема: «Периметр многоугольника» (1 урок) Данная тема является логическим продолжением темы «Длина ломаной». И в этом случае мы будем рассматривать длину ломаной, только теперь речь пойдет о ломаной, являющейся границей многоугольника. Длина границы многоугольника называется его периметром. Мы планируем познакомить учащихся с этим термином.

В преамбуле к заданию 1 и процессе выполнения этого задания учащиеся знакомятся с определением периметра многоугольника.

Необходимую для этого информацию мы вложили в уста Маши и Миши. Учащиеся должны внимательно проанализировать их диалог и следовать тем указаниям, которые им адресованы.

В задании 2 мы знакомим учащихся с практическим приложением понятия «периметр многоугольника». С этой целью предлагается рассмотреть салфетку, имеющую форму многоугольника, и шнур, с помощью которого задается определенная длина. Чтобы ответить на вопрос задания, учащимся необходимо найти периметр многоугольника-салфетки и сравнить полученный результат с заданной длиной (длиной шнура). Результат сравнения следует записать в виде равенства или неравенства.

В задании 3 учащимся сначала предлагается начертить прямоугольник со сторонами 5 см и 4 см. Так как прямоугольник является многоугольником, то можно ставить вопрос о вычислении его периметра. Никаких предварительных измерений производить не нужно, так как длины сторон прямоугольника нам известны из условия. Если кто-то из учеников заявит о том, что в условии даны длины только двух сторон, то обязательно следует напомнить ему о равенстве длин противоположных сторон прямоугольника. Данное задание имеет и пропедевтическую направленность к изучению следующей темы.

Задание 4 относится к заданиям повышенной сложности. Чтобы начертить прямоугольник с заданным периметром, нужно сначала решить, какой длины будут его стороны. Для этого длину в 20 см нужно представить в виде суммы четырех длин, из которых можно образовать две пары равных длин. Например, 20см=6см+4см+6см+4см.

Именно в получении такого представления и состоит сложность данного задания. Аналогичные рассуждения учащиеся уже выполняли (см. задание 6 из темы «Длина ломаной»).

Тема: «Периметр прямоугольника» (1 урок) Данная тема является логическим продолжением предыдущей. Целью изучения данной темы является получение вывода о том, что для вычисления периметра прямоугольника можно пользоваться не общим подходом, а частной формулой. Суть этой формулы заключается в том, что можно сложить длины соседних сторон и умножить эту сумму на 2. Конечно, может возникнуть возражение, что умножать длину на число мы учащихся еще не учили. Это, действительно, так, но умножение величины на целое неотрицательное число выполняется совершенно аналогично тому, как выполняется умножение целых неотрицательных чисел, поэтому специальных разъяснений в этом случае не требуется. Имеет смысл лишь предварительно показать, что периметр прямоугольника можно представить как сумму длин соседних сторон, повторенную дважды.

После этого переход к произведению будет выглядеть совершенно логичным.

Целью выполнения задания 1 является подведение учащихся к выводу: периметр прямоугольника можно вычислять не только на основании определения периметра многоугольника, но и по упрощенной схеме, основанной на том, что у любого прямоугольника имеется две пары равных сторон. Именно на это свойство и нужно акцентировать внимание учащихся.

В задании 2 предлагается сначала начертить прямоугольник с заданными сторонами, а потом вычислить его периметр, не проводя никаких измерений. Это задание аналогично заданию 3 из предыдущей темы, поэтому и работу с ним нужно проводить аналогичным образом.

При выполнении задания 3 учащиеся смогут потренироваться в вычислении периметра прямоугольника по заданным длинам его сторон (никаких измерений производить не нужно). Из всех четырех случаев особое внимание следует обратить на случай 5 см и 1 дм, так как в этом случае длины выражены в разных единицах. Прежде чем складывать такие длины, нужно сначала выразить их в одной и той же единице. В данном случае – в сантиметрах.

Задание 4 относится к заданиям повышенной сложности. При выполнении этого задания учащиеся могут рассуждать двумя способами. Во-первых, можно сначала задать некоторый периметр прямоугольника (например, это может быть 20 см), а потом начертить два разных прямоугольника с таким периметром (такую задачу учащиеся уже решали при выполнении задания 4 из предыдущей темы).

Во-вторых, можно сначала начертить некоторый прямоугольник по выбранным заранее сторонам. После этого вычислить периметр этого прямоугольника, а уже потом построить другой прямоугольник, руководствуясь теми соображениями, которые были изложены в рекомендациях к заданию 4 из предыдущей темы.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие Задание 5 также относится к заданиям повышенной сложности, но такая его характеристика определяется не столько трудностями, с которыми могут столкнуться учащиеся, сколько значимостью этого задания. Работа с этим заданием должна быть построена в полном соответствии с указаниями, которые были даны в общих рекомендациях по изучению данной темы.

Тема: «Умножение числа 3 на однозначные числа» (1 урок) На очереди построение третьего столбика этой таблицы. Подходы, которые мы будем при этом использовать, подробно описаны в общих рекомендациях к теме «Умножение числа 1 на однозначные числа», а логика изложения материала повторяет ту, которой мы придерживались при изучении второго столбика таблицы умножения.

Примечание. Мы специально используем аналогичные задания при изучении различных столбиков таблицы умножения. Сделано это для того, чтобы не отвлекать силы и внимание учащихся на поиск решения заданий, а сосредоточиться на получении результатов решения этих заданий. Такой прием мы уже использовали при изучении различных столбиков таблицы сложения и при изучении чисел первого десятка (см.

учебник по математике для 1 класса).

Результатом выполнения задания 1 является составление третьего столбика «Таблицы умножения». Значение соответствующих произведений учащимся предлагается вычислить самостоятельно, опираясь на сложение одинаковых слагаемых и используя связь между следующим и предыдущим значениями. Так как первая и вторая строчки третьего столбика таблицы умножения уже заполнены, то учащимся предлагается завершить заполнение этого столбика. Вопросы о числе однозначных и двузначных значений произведений, а также о числе десятков в составе полученных двузначных чисел включены в задание с целью повторения.

В задании 2 продолжается составление таблицы умножения.

В данном случае речь идет о тех строчках в незаполненных столбиках таблицы умножения, которые отличаются от соответствующих строчек третьего столбика только порядком следования множителей. Все эти строчки будут занимать третье место в каждом из незаполненных столбиков.

В задании 3 мы еще раз предлагаем учащимся сопоставить сумму одинаковых слагаемых с соответствующим произведением третьего столбика и записать это в виде равенства. Основанием для составУмножение числа 4 на однозначные числа»

ления равенства следует считать равные значения суммы и произведения. При этом значения сумм вычисляются, а значения произведений находятся по таблице умножения.

В задании 4 предлагается составить задачу, решением которой является одно из произведений третьего столбика таблицы умножения, а именно произведение 3•5. Можно предположить, что сюжет таких задач в явном виде будет отвечать предметному смыслу действия умножения, что позволит проиллюстрировать данный случай таблицы умножения на предметном уровне. Само же составление задач – это важный аспект обучения решению задач. Что же касается вычисления ответа, то можно учащимся дополнительно дать такое задание, но тогда обязательно следует их сориентировать на применение таблицы умножения.

В задании 5 предлагается вычислить периметр треугольника, каждая сторона которого равна 5 см. Это задание предлагается учащимся с целью формирования понятия «периметр многоугольника», что находит отражение в получении записи 5см+5см+5см.

С другой стороны, проводится отработка соответствующего табличного случая умножения, пусть даже и на примере умножения величины на число. Запись 5см•3 легко получается из предыдущей записи, если действовать по аналогии с умножением чисел.

Тема: «Умножение числа 4 на однозначные числа» (1 урок) На очереди построение четвертого столбика «Таблицы умножения».

Подходы, которые мы будем при этом использовать, подробно описаны в общих рекомендациях к теме «Умножение числа 1 на однозначные числа».

Результатом выполнения задания 1 является составление четвертого столбика «Таблицы умножения». Значения соответствующих произведений учащимся предлагается вычислить самостоятельно, опираясь на сложение одинаковых слагаемых и используя связь между следующим и предыдущим значениями. Так как первая, вторая и третья строчки четвертого столбика таблицы умножения уже заполнены, то им предлагается завершить заполнение этого столбика. Вопросы о числе однозначных и двузначных значений произведений, а также о числе десятков в составе полученных двузначных чисел включены в задание с целью повторения. Вопрос о числе строчек, которые ученик уже запомнил, призван стимулировать этот вид деятельности учащихся.

При выполнении задания 2 продолжается составление таблицы умножения. В данном случае речь идет о тех строчках в незаТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие полненных столбиках таблицы умножения, которые отличаются от соответствующих строчек четвертого столбика только порядком следования множителей. Все эти строчки будут занимать четвертое место в каждом из незаполненных столбиков.

В задании 3 мы еще раз предлагаем сопоставить сумму одинаковых слагаемых с соответствующим произведением четвертого столбика и записать это в виде равенства. Основанием для составления равенства следует считать равные значения суммы и произведения.

При этом значения сумм вычисляются, а значения произведений находятся по таблице умножения. Последний вопрос этого задания направлен на то, чтобы учащиеся в устной форме вспомнили значения некоторых произведений четвертого столбика таблицы умножения (при составлении равенств значения произведений находились по таблице, но не записывались) и сравнили эти значения с числом 20.

В задании 4 учащимся предлагается вычислить периметр четырехугольника, измерив предварительно каждую его сторону. Это задание, с одной стороны, предлагается учащимся с целью прочного формирования понятия «периметр многоугольника», что находит отражение в получении записи 3см+3см+3см+3см. С другой стороны, проводится отработка соответствующего табличного случая умножения, пусть даже и на примере умножения величины на число. Запись 3см•4 легко получается из предыдущей записи, если действовать по аналогии с умножением чисел.

Тема: «Поупражняемся в вычислениях»

Выполняя задание 1, учащиеся смогут потренироваться в знании изученных табличных случаев умножения, а также повторить изученные ранее приемы сложения и вычитания.

При выполнении задания 2 учащиеся не только смогут поупражняться в знании изученных табличных случаев умножения, но и вспомнить понятия числового равенства и числового неравенства.

В задании 3 учащиеся сначала тренируются в привычном виде работы: преобразуют сумму в произведение. После этого им уже будет нужно выполнить новый вид работы: записать сумму в виде суммы двух произведений. Чтобы справиться с этой частью задания, сначала нужно разбить сумму на две суммы и записать это с помощью скобок, а уже потом каждую сумму в отдельности заменить соответствующим произведением. Это задание носит и пропедевтический характер применительно к изучению свойства умножения числа на сумму.

Чтобы сравнить значения выражений, предложенных в задании 4, учащиеся могут и не вычислять их значения. Для этого им достаточно преобразовать каждое произведение в сумму и сравнить значения соответствующих выражений по числу слагаемых в этих суммах (сами слагаемые в сравниваемых суммах будут одинаковы).

Если же ученики изберут способ решения, основанный на вычислении значений данных выражений, то и такой вариант с дидактической точки зрения нас вполне устраивает: учащиеся смогут потренироваться в знании изученных табличных случаев умножения.

При выполнении задания 5 они еще раз смогут потренироваться в знании изученных табличных случаев умножения, а также узнать, что данные числа (12, 16, 24) можно представить в виде различных произведений.

При выполнении задания 6 учащиеся смогут потренироваться в умении правильно сопоставлять различные словесные формы записи и названия произведений с их цифровой записью.

Задание 7 предполагает парную работу в устной форме: ученики соревнуются в знании первых четырех столбиков таблицы умножения.

В задании 8 предлагается проанализировать первые четыре столбика таблицы умножения на предмет наиболее часто повторяющихся в них значений произведений. Этими значениями будут числа 4, 6, 8, 12, которые повторяются по 3 раза. Проведение такого анализа помогает лучше запомнить отдельные табличные случаи умножения.

Тема: «Умножение и сложение: порядок выполнения действий» (1 урок) Изучение данной темы является первым шагом к пониманию существования действий первой и второй ступеней. Если при изучении действий сложения и вычитания учащиеся усвоили их равноправность в смысле порядка их выполнения, то теперь им придется привыкать к существованию совершенно иной ситуации: умножение имеет приоритет по отношению к сложению в смысле порядка их выполнения. Обоснование такой ситуации мы осуществляем на основе сопоставления выражения и его значения.

При выполнении задания 1 учащиеся вспоминают, как сумму одинаковых слагаемых заменить соответствующим произведением. В качестве дополнительного задания можно предложить учащимся записать какую-то из данных сумм в виде суммы числа и произведения.

При выполнении задания 2 учащиеся вспоминают, как произведение можно записать в виде суммы одинаковых слагаемых.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие В задании 3 дается сначала обоснование разумности приоритета умножения по отношению к сложению в смысле порядка их выполнения. Чтобы учащиеся поняли это обоснование, им достаточно четко следовать тем указаниям, которые даны в тексте задания.

В заключение делается вывод о том, что если в выражении без скобок встречаются действия сложения и умножения, то сначала выполняется умножение, а уже потом – сложение.

При выполнении задания 4 на примере вычисления значений данных выражений учащиеся смогут продемонстрировать не только то, как они поняли только что рассмотренное правило, но и попрактиковаться в знании изученных табличных случаев умножения.

Важной особенностью выражений 2•2+2•3 и 4•5+3•2 является то, что в каждом из них есть указание на выполнение трех действий (одного сложения и двух умножений). Учащиеся должны научиться применять только что изученное правило и для таких выражений.

В задании 5 предлагается составить задачу, решением которой являлось бы выражение 5+4•7. Такой вид работы играет важную положительную роль при обучении решению задач. Обращаем внимание на то, что эта задача не будет являться простой, так как ее решение включает два действия. Учащимся нужно придумать сюжет, в котором простая задача на сложение соединяется с простой задачей на умножение. Что же касается вычисления значения этого выражения, то для учащихся это будет задание на вычисление ответа задачи. При выполнении этой части задания они должны соблюдать порядок выполнения действий и использовать знание соответствующих табличных случаев умножения.

В задании 6 предлагается составить к данному рисунку выражение, которое является суммой двух произведений. Чтобы выполнить это требование, ученик сначала должен записать в виде произведения число красных кругов на рисунке (это произведение 4• или 3•4) и число синих кругов на рисунке (это произведение 2• или 5•2). После этого можно соединить в сумму два произведения, произвольно выбранные по одному из каждой пары. При вычислении значения составленного произведения обязательно следует обратить внимание учащихся на порядок выполнения действий и на использование знания соответствующих табличных случаев умножения.

Тема: «Периметр квадрата» (1 урок) Мы продолжаем изучать вопросы, относящиеся к понятию периметр многоугольника. В данном случае речь пойдет о периметре квадрата. Так как квадрат является частным случаем прямоугольника, то все сведения, полученные при изучении темы «Периметр прямоугольника», учащиеся могут использовать и при изучении данной темы. Цель изучения данной темы состоит в том, чтобы они усвоили, что для вычисления периметра квадрата достаточно длину его стороны умножить на 4, т. е. повторить слагаемые 4 раза.

При выполнении задания 1 учащиеся сначала убеждаются, что для вычисления периметра квадрата достаточно знать длину одной стороны, так как другие стороны квадрата имеют такую же длину.

После этого им предлагается провести нужные измерения и вычислить периметры двух квадратов, изображенных на рисунке.

Вычисления могут быть записаны двумя способами. Если, например, при измерении стороны квадрата получается 2 см, то периметр этого квадрата может быть вычислен одним из двух способов:

2см+2см+2см+2см=8см или 2см•4=8см.

Задание 2 включено с той лишь целью, чтобы учащиеся потренировались в вычислении периметров различных квадратов. Чертить квадраты для этого совсем не нужно.

Задание 3 – задание повышенной сложности. Причиной тому является форма заданной длины стороны квадрата, периметр которого нужно вычислить. Так как длина задана в дециметрах и сантиметрах, то сначала нужно выразить эту длину в одной единице (в данном случае – в сантиметрах). После этого уже можно проводить нужные вычисления. Сами вычисления также являются достаточно сложными. Выполнить эти вычисления учащиеся пока могут только с применением действия сложения (применение умножения здесь исключено). Во всех остальных аспектах это задание повторяет задание 2.

В результате выполнения задания 4 учащиеся должны прийти к выводу: между стороной квадрата и его периметром существует прямая зависимость (на самом деле эта зависимость прямо пропорциональная, но сейчас мы об этом речь не ведем). Она может быть выражена следующим образом: если сторону квадрата увеличить, то и периметр увеличится, а если сторону уменьшить, то и периметр уменьшится.

Задание 5, как и задание 3, относится к заданиям повышенной сложности. В нем учащимся предлагается начертить квадрат, периметр которого равен 40 см. Для этого им сначала нужно узнать сторону этого квадрата. Если бы учащиеся умели делить величину на число, то никаких проблем с отысканием стороны не было бы.

В данном случае они могут пойти только по пути подбора нужного значения с соответствующей проверкой. Единственным упрощающим данную ситуацию фактором является то, что заданный периТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие метр равен 40 см. Вторая часть задания посвящена рассмотрению одного из свойств квадрата, которое связано с понятием периметра:

два квадрата, имеющие одинаковый периметр, равны между собой.

Установить это свойство учащиеся могут с помощью несложных рассуждений.

Если периметр квадрата известен, то можно узнать сторону квадрата, причем никаких других вариантов, кроме найденного, уже не существует (если сторону увеличить, то и периметр увеличится, а если сторону уменьшить, тог и периметр уменьшится). Кроме этого, квадраты с равными сторонами равны между собой; следовательно, квадраты с равными периметрами равны между собой.

В задании 6 мы еще раз возвращаемся как к вычислению периметра квадрата через сложение одинаковых слагаемых, так и к записи этого периметра в виде произведения (речь идет о произведении 6см•4). При этом учащиеся должны объяснить смысл каждого множителя этого произведения.

Задание 7 мы также относим к заданиям повышенной сложности.

В данном случае сложность заключается в том, что сначала ученики должны вычислить периметр данного прямоугольника, выполнив нужные измерения (это аспект повторения). После этого они по заданному периметру в 16 см должны построить квадрат. Такую задачу они уже решали (см. задание 5). Единственное, что им может упростить поиск стороны квадрата, так это знание и применение соответствующего табличного случая умножения (4•4=16).

Тема: «Умножение числа 5 на однозначные числа» (1 урок) Результатом выполнения задания 1 является составление пятого столбика «Таблицы умножения». Значения соответствующих произведений учащимся предлагается вычислить самостоятельно, опираясь на сложение одинаковых слагаемых и используя связь между следующим и предыдущим значениями. Так как первая, вторая, третья и четвертая строчки пятого столбика таблицы умножения уже заполнены, то учащимся предлагается завершить заполнение этого столбика. Вопросы о числе однозначных и двузначных значений произведений, а также о числе десятков в полученных двузначных числах включены в задание с целью повторения. Вопрос о числе строчек, которые ученик уже запомнил, призван стимулировать этот вид их деятельности.

При выполнении задания 2 продолжается составление таблицы умножения. В данном случае речь идет о тех строчках в незаполненных столбиках таблицы умножения, которые отличаются от соотУмножение числа 6 на однозначные числа»

ветствующих строчек пятого столбика только порядком следования множителей. Все эти строчки будут занимать пятое место в каждом из незаполненных столбиков.

В задании 3 мы еще раз предлагаем учащимся сопоставить сумму одинаковых слагаемых с соответствующим произведением из пятого столбика, или с суммой числа и произведения, или с суммой двух произведений и записать это в виде равенства. Основанием для составления равенства следует считать равные значения суммы одинаковых слагаемых и другого выражения. При этом значения всех сумм вычисляются, а значения произведений находятся по таблице умножения.

В задании 4 предлагается придумать требование к данному условию так, чтобы решением составленной задачи было произведение 5•4. Сюжет такой задачи, скорее всего, в явном виде будет отвечать предметному смыслу действия умножения. Что же касается вычисления ответа, то следует сориентировать учащихся на применение таблицы умножения.

Тема: «Умножение числа 6 на однозначные числа» (1 урок) Результатом выполнения задания 1 является составление шестого столбика «Таблицы умножения». Значения соответствующих произведений учащимся предлагается вычислить самостоятельно, опираясь на сложение одинаковых слагаемых и используя связь между следующим и предыдущим значениями. Так как строчки с первой по пятую шестого столбика таблицы умножения уже заполнены, то учащимся предлагается завершить заполнение этого столбика. Вопросы о числе однозначных и двузначных значений произведений, а также о числе десятков в полученных двузначных числах включены в задание с целью повторения. Вопрос о числе строчек, которые ученик уже запомнил, призван стимулировать этот вид деятельности учащихся.

При выполнении задания 2 продолжается составление таблицы умножения. В данном случае речь идет о тех строчках в незаполненных столбиках таблицы умножения, которые отличаются от соответствующих строчек шестого столбика только порядком следования множителей. Все эти строчки будут занимать шестое место в каждом из незаполненных столбиков.

В задании 3 мы еще раз предлагаем ученикам сопоставить сумму одинаковых слагаемых с соответствующим произведением из шестого столбика, или с суммой числа и произведения, или с суммой двух произведений и записать это в виде равенства. Основанием Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие для составления равенства следует считать равные значения суммы одинаковых слагаемых и другого выражения. При этом значения всех сумм вычисляются, а значения произведений находятся по таблице умножения. Последний вопрос этого задания направлен на то, чтобы ученики в устной форме вспомнили значения некоторых произведений шестого столбика таблицы умножения (при составлении равенств значения произведений находились по таблице, но не записывались) и сравнили эти значения с числом 12.

В задании 4 учащимся предлагается придумать условие к данному требованию таким образом, чтобы решением получившейся задачи было произведение 6•3. Сюжет составляемой задачи учащиеся должны выбрать в соответствии с данным требованием и имеющейся иллюстрацией. При вычислении ответа составленной задачи учащиеся должны применить знание соответствующего табличного случая умножения.

Тема: «Умножение числа 7 на однозначные числа» (1 урок) Результатом выполнения задания 1 является составление седьмого столбика «Таблицы умножения». Значения соответствующих произведений учащимся предлагается вычислить самостоятельно, опираясь на сложение одинаковых слагаемых и используя связь между следующим и предыдущим значениями. Так как строчки с первой по шестую седьмого столбика таблицы умножения уже заполнены, то учащимся предлагается завершить заполнение этого столбика. Вопросы о числе однозначных и двузначных значений произведений, а также о числе десятков в полученных двузначных числах включены в задание с целью повторения. Вопрос о числе строчек, которые ученики уже запомнили, призван стимулировать этот вид их деятельности.

При выполнении задания 2 продолжается составление таблицы умножения. В данном случае речь идет о тех строчках в незаполненных столбиках таблицы умножения, которые отличаются от соответствующих строчек седьмого столбика только порядком следования множителей. Все эти строчки будут занимать седьмое место в каждом из незаполненных столбиков.

В задании 3 мы еще раз предлагаем сопоставить сумму одинаковых слагаемых с соответствующим произведением из седьмого столбика, или с суммой числа и произведения, или с суммой двух произведений и записать это в виде равенства. Основанием для составления равенства следует считать равные значения суммы одинаковых слагаемых и другого выражения. При этом значения всех сумм вычисляются, а значения произведений находятся по таблиУмножение числа 8 на однозначные числа»

це умножения. Последний вопрос этого задания направлен на то, чтобы учащиеся в устной форме вспомнили значения некоторых произведений седьмого столбика таблицы умножения (при составлении равенств значения произведений находились по таблице, но не записывались) и сравнили эти значения с числом 63.

В задании 4 предлагается дополнить условие и сформулировать требование так, чтобы решением получившейся задачи являлось произведение 7•5. Сюжет составляемой задачи следует выбирать в соответствии с условием и имеющейся иллюстрацией. Что же касается вычисления ответа, то следует сориентировать учащихся на применение таблицы умножения.

Тема: «Поупражняемся в вычислениях»

При выполнении задания 1 учащиеся смогут попрактиковаться в знании табличных случаев умножения из пятого, шестого и седьмого столбиков, а также в выполнении изученных приемов сложения и вычитания.

Выполняя задание 2, учащиеся смогут еще раз продемонстрировать знание табличных случаев умножения и умение составлять верные равенства и неравенства.

В задании 3 предлагается записать данные суммы одинаковых слагаемых в виде произведения и в виде суммы трех произведений.

Таким образом, появляется возможность не только потренироваться в умении преобразовывать сумму одинаковых слагаемых в произведение, но и провести подготовительную работу в плане изучения правила умножения числа на сумму (не только двух слагаемых).

В задании 4 предлагается распознать один из изученных столбиков таблицы умножения по данным его значениям. Желательно, чтобы учащиеся сделали это по памяти.

Тема: «Умножение числа 8 на однозначные числа» (1 урок) Результатом выполнения задания 1 является составление восьмого столбика «Таблицы умножения». Значение соответствующего произведения учащимся предлагается вычислить самостоятельно, опираясь на сложение одинаковых слагаемых и используя связь между следующим и предыдущим значениями. Так как все строчки кроме двух последних восьмого столбика таблицы умножения уже заполнены, то учащимся предлагается завершить заполнение этого столбика. Вопросы о числе однозначных и двузначных значений Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие произведений включены в задание с целью повторения. Вопрос о числе строчек, которые ученик уже запомнил, призван стимулировать этот вид деятельности учащихся.

При выполнении задания 2 продолжается составление таблицы умножения. В данном случае речь идет о тех строчках в незаполненных столбиках таблицы умножения, которые отличаются от соответствующих строчек восьмого столбика только порядком следования множителей. Все эти строчки будут занимать восьмое место в каждом из незаполненных столбиков.

В задании 3 мы еще раз предлагаем сопоставить сумму одинаковых слагаемых или с соответствующим произведением восьмого столбика, или с соответствующей суммой числа и произведения, или с соответствующей суммой двух произведений и записать это в виде равенства. Основанием для составления равенства следует считать равные значения суммы и соответствующего выражения.

При этом значения сумм вычисляются, а значения произведений находятся по таблице умножения.

В задании 4 предлагается дополнить условие и сформулировать требование так, чтобы решением получившейся задачи являлось произведение 8•3. Сюжет составляемой задачи следует выбирать в соответствии с условием. Что же касается вычисления ответа, то следует сориентировать учащихся на применение таблицы умножения.

При выполнении задания 5 учащиеся смогут поупражняться в вычислениях с применением табличных случаев умножения из восьмого столбика таблицы.

Задание 6 возвращает учащихся к задаче о вычислении периметра многоугольника по известной длине всех его сторон. При решении этой задачи обязательно следует сориентировать их на составление двух записей решения: 8см+8см+8см+8см+8см и 8см•5. Числовые данные в этой задаче подобраны так, чтобы при записи ее решения возникло произведение, аналогичное соответствующему произведению из восьмого столбика таблицы умножения. Именно с опорой на этот табличный случай умножения и должен быть вычислен ответ этой задачи.

Задание 7 аналогично заданию 6. Отличие состоит лишь в числовых данных, поэтому запись решения будет выглядеть так:

5см+5см+5см+5см+5см+5см+5см+5см или 5см•8. В числовой интерпретации последнее произведение отличается от аналогичного произведения задачи 6 только порядком следования множителей.

На это обязательно следует обратить внимание учащихся. Само же вычисление ответа может быть проведено либо с опорой на соответствующий табличный случай умножения, либо с опорой на переместительное свойство умножения чисел.

Тема: «Умножение числа 9 на однозначные числа» (1 урок) Мы завершаем построение таблицы умножения. На очереди построение последнего (девятого) столбика этой таблицы. Подходы, которые мы будем при этом использовать, не отличаются от используемых ранее.

Результатом выполнения задания 1 является составление девятого столбика «Таблицы умножения». Значение последнего произведения этого столбика учащимся предлагается вычислить самостоятельно, опираясь на сложение одинаковых слагаемых. Так как все строчки девятого столбика, кроме последней, уже заполнены, то учащимся предлагается завершить заполнение этого столбика.

Вопросы о числе однозначных и двузначных значений произведений включены в задание с целью повторения. Вопрос о числе строчек, которые ученики уже запомнили, призван стимулировать этот вид их деятельности. Последний вопрос этого задания имеет цель обратить внимание учащихся на интересную арифметическую закономерность, существующую для значений произведений этого столбика: цифры разряда единиц изменяются в порядке убывания от 9 до 1, а соответствующие цифры разряда десятков изменяются в порядке возрастания от 1 до 8 (формально можно считать, что от 0 до 8, хотя цифра 0 и не написана).

В задании 2 мы еще раз предлагаем сопоставить сумму одинаковых слагаемых или с соответствующим произведением девятого столбика, или с соответствующей суммой числа и произведения, или с соответствующей суммой двух произведений и записать это в виде равенства. Основанием для составления равенства следует считать равные значения суммы и соответствующего выражения. При этом значения сумм вычисляются, а значения произведений находятся по таблице умножения. Последний вопрос этого задания направлен на запоминание соответствующего случая таблицы умножения.

В задании 3 сначала предлагается выбрать из девятого столбика таблицы умножения то произведение, значение которого труднее всего запомнить. Выбор учащихся, естественно, может быть различным. В любом случае они смогут акцентировать свое внимание на самом трудном для них случае, а это, в свою очередь, поможет запомнить этот случай. После выбора произведения должна быть проведена хорошо знакомая работа по составлению задачи, решением которой было бы это произведение. Вычисление ответа составленной задачи следует проводить с опорой на соответствующий табличный случай умножения. Выполнение заключительной части данного задания предполагает парную работу и взаимный контроль правильности решения задачи.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие При выполнении задания 4 учащиеся смогут поупражняться в вычислениях с применением знаний соответствующих случаев таблицы умножения.

Задания 5 и 6 следует рассматривать в комплексе. Они аналогичны заданиям 6 и 7 из предыдущей темы, поэтому работа с ними должна быть построена в соответствии с рекомендациями, изложенными выше (см. рекомендации к заданиям 6 и 7 из предыдущей темы).

Тема: «Поупражняемся в вычислениях»

При выполнении задания 1 учащиеся смогут попрактиковаться не только в знании табличных случаев умножения из восьмого и девятого столбиков таблицы, но в изученных ранее приемах сложения и вычитания.

Для выполнения задания 2 от учащихся потребуется знание табличных случаев умножения из седьмого, восьмого и девятого столбиков таблицы, а также умение составлять верные числовые равенства или неравенства на основе сопоставления значений сравниваемых выражений.

В задании 3 учащимся предлагается всего лишь по трем данным значениям распознать соответствующий столбик таблицы умножения. Речь идет о восьмом столбике таблицы умножения. Именно его и должны учащиеся записать в тетрадь.

В задании 4 учащимся сначала предлагается сравнить значения выражений в каждой из двух данных пар. Конечно, можно провести соответствующие вычисления и установить, что полученные значения равны. Однако это не самый рациональный путь.

Если учащиеся вспомнят о результатах выполнения задания 5 из предыдущей подборки заданий «Поупражняемся в вычислениях»

(с. 140 учебника), то они и без вычисления смогут прийти к выводу, что значения сравниваемых выражений равны. Рассуждать ученики могут примерно так: произведение 3•7 занимает седьмую строчку в третьем столбике, а произведение 6•7 – седьмую строчку в шестом столбике; если эти произведения сложить, то полученное значение будет таким же, как у произведения 9•7, которое занимает седьмую строчку в девятом столбике (номер этого столбика складывается из номеров двух данных столбиков); с другой стороны, выражение (3+6)•7 можно заменить произведением 9•7, что и позволяет составить верное равенство из данных двух выражений. Для второй пары выражений можно провести аналогичные рассуждения.

При выполнении заданий 5 и 6 учащиеся не только смогут вспомнить значения произведений из третьего, четвертого, пятого, шестого, девятого столбиков таблицы умножения, но и убедиться в существовании свойства таблицы умножения, согласно которому при сложении соответствующих значений (значений в одной и той же строке) двух разных столбиков получается значение, расположенное в этой же строке, но в столбике с номером, равным сумме номеров двух данных столбиков.

Примечание. При изучении данной темы можно предложить учащимся провести игру «Лучший знаток таблицы умножения». Эта игра может быть организована следующим образом: один из учеников класса играет роль знатока таблицы умножения (он отвечает на задания по таблице умножения, которые дают ему ученики класса). Каждый ученик, предложивший задание, должен проконтролировать правильность его выполнения. Учитель играет роль арбитра – решение о замене одного знатока другим принимает учитель. Баллы за правильные ответы можно начислять до тех пор, пока ученик не допустит ошибки.

В задании 7 предлагается сначала составить задачу, решением которой было бы одно из произведений девятого столбика таблицы умножения. Можно предварительно договориться с учениками о том, каким именно будет это произведение. После этого им предлагается решить составленную задачу, хотя само решение уже известно. Поэтому остается только его записать и вычислить ответ этой задачи с помощью таблицы умножения.

В задание 8 предлагается заполнить таблицу значениями из девятого столбика «Таблицы умножения». Причем расположение этих значений в таблице должно получиться таким, чтобы в одном столбике находились числа, запись которых отличается друг от друга только порядком следования цифр. Например, 18 и 81, 27 и и т. п. Если ученики обратят внимание на эту арифметическую закономерность, то это поможет им быстрее запомнить данные табличные случаи умножения.

Тема: «Таблица умножения» однозначных чисел» (1 урок) Данная тема является итоговой в плане построения таблицы умножения однозначных чисел. Последний столбик таблицы был составлен при изучении темы «Умножение числа 9 на однозначные числа». При изучении этой темы мы хотим сделать необходимые Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие обобщения и рассмотреть таблицу умножения уже не по столбикам, а в целом, как единую математическую конструкцию. Особое внимание следует обратить на задания, которые направлены на формирование умения проводить анализ данной таблицы (см. задания 1, 2, 3, 4 и 5).

Цель задания 1 еще раз обратить внимание учащихся на наличие в таблице двойственных случаев, которые отличаются друг от друга только порядком следования множителей. С учетом этой двойственности и происходило заполнение таблицы умножения.

По результатам такого заполнения все дублирующие случаи в таблице должны быть подчеркнуты (если учащиеся при составлении таблицы умножения пользовались образцом из учебника, то все дублирующие случаи отмечены голубым цветом, а основные – розовым). В плане запоминания мы предлагаем учащимся в первую очередь обратить внимание на неподчеркнутые строчки (на образце в учебнике они выделены розовым цветом), так как оставшиеся случаи отличаются от них только перестановкой множителей. Напоминаем, что аналогичная ситуация имела место и при работе с таблицей сложения.

В задании 2 учащимся предлагается найти в таблице самое маленькое значение произведения. Таким случаем будет 1•1=1, и он будет занимать первую строчку первого столбика.

В задании 3 предлагается найти в таблице самое большое значение произведения. Таким случаем будет 9•9=81, и он будет занимать последнюю строчку последнего столбика.

В задании 4 предлагается установить, какое значение произведения встречается в таблице чаще других. На самом деле такое значение не единственное. Больше других (по 4 раза) в таблице встречаются следующие значения произведений: 6, 8, 12, 24.

Учащиеся могут остановить свой выбор на любом из этих значений, но работу следует организовать так, чтобы прозвучали все эти значения. Данное задание относится к категории заданий повышенной сложности по большому объему анализируемой информации.

В задании 5 мы акцентируем внимание учащихся на некоторых табличных случаях умножения. Именно эти случаи выбраны по той причине, что они вызывают у учащихся наибольшие трудности при запоминании.

При выполнении задания 6 учащиеся не только смогут попрактиковаться в знании некоторых табличных случаев умножения, но и в применении изученных приемов сложения и вычитания.

В задании 7 предлагается дополнить условие задачи так, чтобы в результате решения получилось заданное число. Так как по сюУвеличение в несколько раз»

жету данная задача является простой задачей на смысл действия умножения (с аналогичными задачами учащиеся уже много раз имели дело), то для восстановления пропущенного данного учащиеся должны применить свои знания табличных случаев умножения, но применить их не в прямом, а в обратном порядке: по значению произведения и одному из множителей найти другой множитель. Такой ход рассуждений подводит учащихся к знакомству с новым арифметическим действием – действием деления.

Тема: «Увеличение в несколько раз» (1 урок) В теме рассматривается очень важное понятие, имеющее непосредственное отношение к действию умножения. Речь идет об отношениях «больше в... раз». При введении этого отношения мы опираемся на имеющиеся у учащихся знания о действии умножения и не привлекаем для сопоставления известное им отношение «больше на …», хотя в дальнейшем такая работа должна быть обязательно проведена. Обращаем внимание на то, что данные отношения мы будем рассматривать не только для чисел, но и для величин. Поэтому в названии темы мы не указываем, о каком математическом объекте (числе или величине) идет речь.

При выполнении задания 1 учащиеся знакомятся с отношением «больше в … раз» на примере отношения «больше в 2 раза» для чисел. Мы предлагаем учащимся не только усвоить, что увеличение в 2 раза связано с умножением на число 2, но и попытаться понять смысловую основу используемой терминологии.

Задание 2 направлено на закрепление введенного только что отношения «больше в 2 раза» для чисел. Итогом выполнения этого задания должно стать правило, формулировку которого учащиеся дополняют самостоятельно.

При выполнении задания 3 учащиеся знакомятся с отношениями «больше в 3 раза» и «больше в 5 раз» на примере данных чисел.

Определить эти отношения им предлагается самостоятельно, но рассуждать они должны по аналогии.

Задание 4 отнесено к заданиям повышенной сложности. Дело в том, что при его выполнении учащиеся не только должны самостоятельно определить отношение «больше в 4 раза», но и рассмотреть это отношение не для чисел, а для величины «масса».

Вообще, величина (например, масса или длина) позволяет дать очень естественную интерпретацию процедуре увеличения в несколько раз. Поэтому мы и знакомим учащихся с соответствующей ситуацией.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие Тема: «Учимся решать задачи» (2 урока) Выполняя задания этой темы, учащиеся смогут повторить все приемы решения задач, которые они изучали ранее, а также продемонстрировать умение их применять для решения всех основных видов задач, с которыми мы их знакомили (кроме задач на разностное сравнение, так как им было уделено уже достаточно много внимания).

В задании 1 предлагается составить задачу на каждую из трех данных «круговых» схем. При этом схемы предложены такие, что если одна схема соответствует данной задаче, то любая из двух оставшихся будет соответствовать обратной задаче. Тем самым проводится необходимая пропедевтическая работа к введению понятия «обратная задача», с которым учащиеся познакомятся во второй части нашего учебника.

В задании 2 предлагается воспользоваться схемами из задания для решения предложенных задач. После анализа формулировки каждой из трех данных задач учащиеся должны установить, что задаче 1 соответствует схема слева, задаче 2 – средняя схема, а задаче 3 – схема справа. Для правильного выбора схемы достаточно обратить внимание на данные, так как по ним нужная схема легко определяется.

В задании 3 предлагается решить три задачи, а также вычислить и записать ответ к каждой из этих задач. Все эти задачи мы объединили в один блок совсем не случайно: с одной стороны, все они имеют одно и то же решение 7+5, с другой стороны, в их сюжете представлены различные «родственные» ситуации, которые приводят к такому решению. В первой задаче речь идет об увеличении данного числа 7 на число 5. Во второй задаче находится число, которое на 5 больше, чем данное число 7. В третьей задаче находится число, которое равно значению суммы 7+5.

В задании 4 предлагается решить задачи, в формулировке которых присутствует только что рассмотренное отношение «больше в … раз». Так как данное отношение в арифметическом смысле связано с действием умножения (об этом учащиеся уже знают), то найти и записать решение каждой из двух задач учащиеся смогут без особого труда. При вычислении ответов задач следует воспользоваться таблицей умножения.

В задании 5 предлагается в сопоставлении решить две задачи, решением которых будет одна и та же разность 12–8, только в первой задаче речь идет об уменьшении данного числа 12 на число 8, а во второй – о нахождении числа, которое было бы на 8 меньше, чем число 12. И в том и в другом случае для решения задачи нужно из вычесть 8, но только в первом случае мы из данного 12-элементного множества удаляем 8-элементное подмножество, а во втором находим число, которое меньше данного числа 12 на 8.

В задании 6 предлагается для каждой из трех задач начертить схему, общий вид которой дан в тексте задания. Это означает, что от учащихся сначала требуется выполнение чисто технической работы, заключающейся в переносе данной схемы в тетрадь, а уже потом заполнение этой схемы на основе анализа формулировки задачи. Для каждой из трех задач должны получиться следующие схемы (см. соответственно рис. 15, рис. 16, рис. 17):

Особое внимание следует обратить на задачу 1. Дело в том, что в формулировке этой задачи присутствует слово «положили», которое может дезориентировать учащихся и привести их к неправильному решению посредством действия сложения. На самом деле эта задача решается с помощью вычитания, а установить это можно с помощью схемы, если правильно расставить на ней данные числа и обозначить искомое. Именно с обозначения искомого удобнее всего начинать заполнение данной схемы. Что же касается двух других задач, то они в явном виде являются задачами на смысл действия вычитания, поэтому заполнение схем для этих задач не должно вызывать у учащихся каких-либо затруднений.

В задании 7 предлагается составить задачу по рисунку. На рисунке изображена фигура, которая состоит из «маленьких» кубиков (прямоугольный параллелепипед размером 5х3х4 кубиков). Если предложить учащимся использовать требование, в котором речь идет о числе «маленьких» кубиков в этой фигуре, то в качестве решения составленных задач могут фигурировать различные произведения, а именно: (5•4)•3, или (3•4)•5, или (5•3)•4 и т. п. Все они будут являться решениями составленной задачи, а, следовательно, значение всех этих произведений будет одно и то же. Таким образом, мы осуществляем пропедевтическую работу по обоснованию сочетательного свойства умножения.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие Тема: «Работа с данными» (1 урок) Данная тема имеет прямое отношение к той содержательной линии нашего курса, которую мы назвали информационной. С такой ситуацией учащиеся еще не сталкивались. Это не означает, что им до этого момента не приходилось проводить работу с данными, но такая работа ранее носила сопутствующий характер: учащиеся работали с данными, входящими в формулировки текстовых задач, заполняли числовыми данными различные таблицы, проводили другую аналогичную работу. Изучение этой темы предполагает проведение целенаправленной работы с данными в ситуации, когда эта работа является основной, а не сопутствующей. В дальнейшем мы периодически будем обращаться к изучению аналогичных тем.

Все задания предложенной темы имеют непосредственное отношение к таблице сложения, которая учащимся хорошо знакома.

Поэтому основной смысл работы состоит не в том, чтобы составить или заполнить таблицу (это уже было сделано ранее), а в том, чтобы научиться извлекать из табулированных данных интересную и полезную информацию.

В заданиях 1 и 2 учащимся предлагается проанализировать таблицу сложения однозначных чисел на предмет того, по какому принципу построены (составлены) столбики этой таблицы. Они обязательно должны обратить внимание на тот факт, что номер столбика совпадает с числом, которое является первым слагаемым во всех суммах этого столбика.

Результатом выполнения задания 3 должно стать четкое понимание учащимися того факта, что первое слагаемое в рассматриваемой сумме однозначных чисел указывает на номер столбика, в котором располагается эта сумма в таблице сложения. Выполнение этого задания предполагает проведение взаимоконтроля.

Результатом выполнения задания 4 должно стать четкое понимание учащимися того факта, что второе слагаемое в рассматриваемой сумме однозначных чисел указывает на номер строки, в которой располагается эта сумма в соответствующем столбике таблицы сложения. Выполнение этого задания предполагает проведение взаимоконтроля.

Задание 5 является обобщением двух предыдущих заданий: учащиеся должны научиться определять местоположение данной суммы в таблице сложения по первому (номер столбика) и второму (номер строки) слагаемому.

Задание 6 носит творческий характер: учащимся предлагается самим придумать вопросы по работе с таблицей и предложить их одноклассникам. Это могут быть самые разные вопросы. НаприСделай сам»

мер, можно говорить о самом маленьком и самом большом значении сумм из данной таблицы. Можно говорить о том числе, которое встречается среди значений сумм во всех столбиках таблицы (это число 10) и т. д.

Тема: «Геометрические фигуры и геометрические величины»

(1 урок) В этой теме мы планируем познакомить учеников с очень важным геометрическим фактом, который заключается в понимании условия, обеспечивающего существование треугольника. Вся работа проводится на основе построения предметной модели.

В задании 1 учащимся сначала предлагается построить модель треугольника из двух карандашей и одной счетной палочки. Чтобы обеспечить возможность построения такой модели, следует взять два карандаша, которые по длине не очень отличаются друг от друга (отличие должно быть меньше длины счетной палочки) и которые по длине не очень короткие (по условию задания их длина не должна быть меньше 10 см). Все эти требования обеспечивают возможность построения из этих предметов модели треугольника.

Выполнение данного задания предполагает осуществление самоконтроля.

При выполнении задания 2 учащиеся столкнутся с ситуацией, которая в определенном смысле носит противоположный характер по отношению к предыдущему заданию. Если выполнить предложенные в задании условия, то они скорее всего не смогут построить модель треугольника из данных предметов (длина двух счетных палочек вместе будет меньше, чем длина карандаша). Если же карандаш имеет достаточно маленькую длину (меньше длины двух счетных палочек в сумме), то модель может быть построена.

Выполнение данного задания предполагает осуществление самоконтроля.

Тема: «Сделай сам»

В данной теме предлагается образец, по которому следует сделать на плотной бумаге заготовку для составления таблицы умножения.

Сделать заготовку учащиеся могут либо на уроке труда под руководством учителя, либо дома под руководством родителей.

ОСОБЕННОСТИ РАЗВИТИЯ ОСНОВНЫХ

СОДЕРЖАТЕЛЬНЫХ ЛИНИЙ КУРСА

ВТОРОГО ПОЛУГОДИЯ

Изучение чисел Во втором полугодии изучаемое числовое множество расширяется за счет рассмотрения трехзначных чисел. Одно трехзначное число – число 100 – учащимся уже хорошо знакомо, так как в первом полугодии изучалась тема «Десять десятков, или сотня», при рассмотрении которой было введено число 100 и обращено внимание учащихся на то, что это число является трехзначным.

Числа 200, 300, 400 и т. д. до числа 900 вводятся на основе счета десятками с опорой на то, что такие числа (как и число 100) выражают «круглое» число десятков, а именно: 20 десятков, 30 десятков, 40 десятков и т. д. Для этих чисел вводится термин «круглые» сотни, а их названия объясняются ученикам на основе разделения соответствующего числительного на две смысловые части (в таблице на странице учебника это делается с помощью цвета).

Следующим шагом в изучении трехзначных чисел является переход к рассмотрению разрядного принципа их записи. Такой переход осуществляется по аналогии с разрядным принципом записи двузначных чисел на основе введения «нового» разряда – разряда сотен. При этом числа 100, 200, 300, …, 900 трактуются как разрядные слагаемые этого «нового» разряда. После этого любое трехзначное число можно рассматривать как сумму разрядных слагаемых из разряда сотен, разряда десятков и разряда единиц.

Для построения устной нумерации трехзначных чисел произвольное трехзначное число нужно представить в виде суммы «круглых»

сотен и двузначного или однозначного числа. По этой причине соответствующая тема включена в перечень тем второй части учебника.

Еще одним направлением изучения чисел во втором полугодии 2 класса является формирование у учащихся понятия натурального ряда чисел. Базой для проведения этой работы является рассмотрение геометрической модели натурального ряда чисел в виде числового луча. Геометрическая фигура «луч» обладает двумя важными свойствами, которые уже знакомы учащимся: у луча есть начало и нет конца. Такими же свойствами обладает и натуральный ряд чисел, что и позволяет провести соответствующую работу по формированию данного понятия на основе указанного сопоставления.

При этом учитель должен обязательно обратить внимание учащихся на то, что натуральный ряд чисел начинается с числа 1, а число 0 не относят к натуральным числам. Что же касается другой особенности строения натурального ряда чисел, заключающейся в его дискретности (прерывности), то формирование этого свойства должно быть основано на использовании понятий «следующий» и «предыдущий». «Шаги», которые нужно делать по числовому лучу для выполнения присчитывания или отсчитывания по одному, также работают на формирование этого свойства.

При изучении операции деления учащиеся знакомятся с понятием доли, что является важным шагом в вопросе изучения чисел:

с этого момента будет проводиться систематическая работа по пропедевтике введения дробных чисел, явное знакомство с которыми предусмотрено программой 4 класса.

Примечание. Письменная нумерация трехзначных чисел ничем принципиально не отличается от письменной нумерации двузначных чисел. Новым для учащихся будет лишь появление «нового» разряда – разряда сотен. В остальном же имеет место полная аналогия. С устной нумерацией трехзначных чисел дело обстоит совсем по-другому. В этом случае мы не можем строить работу по аналогии с устной нумерацией двузначных чисел, а должны показать новый принцип построения числительных, который основан на знании названий «круглых» сотен и названия соответствующего двузначного или однозначного числа, которое остается слагаемым после того, как из данного трехзначного числа выделили в качестве разрядного слагаемого все содержащиеся в нем «круглые» сотни.

На примере нумерации трехзначных чисел можно и нужно обратить внимание учащихся на тот факт, что пропущенный разряд в записи числа обязательно обозначается с помощью цифры 0, а при назывании такого числа этот разряд просто пропускается.

Особенности развития основных содержательных линий курса второго полугодия Изучение действий над числами Во втором полугодии 2 класса продолжается изучение действий сложения и вычитания (вычислительный аспект). Но теперь особое внимание уделяется не способам и приемам устных вычислений, а способу сложения и способу вычитания «столбиком». Мы намеренно не называем этот способ алгоритмом сложения/вычитания «столбиком», так как не предполагаем знакомить учащихся с полной формулировкой этого алгоритма, а лишь даем примеры использования алгоритма в некоторых типичных случаях (без перехода через разряд и с переходом через разряд).

Во втором полугодии не остается без внимания и действие умножения, но практически вся работа в этом направлении сосредоточена на отработке табличных случаев умножения.

Во второй части учебника осуществляется знакомство учащихся и с действием деления. Вводится деление на основе предметных действий, заключающихся в разбиении некоторой совокупности предметов как на группы, содержащие одно и то же заданное число предметов (так называемое деление по содержанию), так и на заданное число равночисленных частей (так называемое деление на равные части).

Как и при изучении предыдущих трех арифметических действий важное значение придается усвоению соответствующей терминологии: с самых первых уроков мы учим различать делимое и делитель, частное и значение частного. Особое внимание следует обратить на тот факт, что действие деления вводится как самостоятельное действие без опоры на действие умножения. Это позволяет не ставить деление в жесткую определяющую зависимость от умножения, что, в свою очередь, дает возможность избежать формирования ошибочного представления о делении как действии зависимом и второстепенном по сравнению с умножением.

Существующая взаимосвязь арифметических действий устанавливается по ходу их изучения и рассматривается как свойство этих действий. Так, сначала учащиеся знакомятся с тем, как деление связано с вычитанием. Эта взаимосвязь аналогична той, которая существует между умножением и сложением, поэтому она легко воспринимается учащимися и находит практическое применение в качестве вычислительной базы для нахождения значения частного. Например, значение частного 8:2 можно трактовать как число, которое показывает, сколько раз из 8 можно вычесть 2.

Изучение взаимосвязи деления и умножения включено в программу 3 класса, поэтому сейчас мы этот вопрос не затрагиваем.

Но затрагиваем другой важный вопрос, касающийся существующих взаимосвязей. Речь идет о связи деления с измерением величин.

Процедура измерения величины с помощью некоторой выбранной величины-мерки может быть истолкована как деление измеряемой величины на величину-мерку, в результате чего выясняется, сколько раз величина-мерка укладывается в измеряемой величине.

Если распространить этот подход на ситуацию с предметными совокупностями, то «деление по содержанию» есть не что иное, как измерение данной предметной совокупности некоторой выбранной меркой, являющейся частью этой совокупности.

Например, когда мы связываем 15 морковок в пучки по 3 морковки, мы «измеряем» первоначальную совокупность в 15 морковок с помощью мерки-пучка из 3-х морковок и устанавливаем, что эта мерка укладывается в измеряемой совокупности 5 раз. Тот же результат мы получим и при вычислении значения частного 15:3.

Еще один аспект изучения действий над числами заключается в рассмотрении вопроса о порядке их выполнения. Во втором полугодии учащиеся сначала узнают о приоритетности умножения над вычитанием аналогично тому, как это было сделано для умножения и сложения. А после того как вводится действие деления, изучается тема «Действия первой и второй ступеней». При изучении этой темы мы предлагаем опираться хотя и на искусственную, но очень удобную ассоциацию. Она заключается в том, что с действиями первой ступени (сложением и вычитанием) учащиеся знакомятся в 1 классе, а с действиями второй ступени (умножением и делением) – во 2 классе.

Изучение геометрического материала Во втором полугодии 2 класса практически весь геометрический материал посвящен изучению одной геометрической фигуры: речь идет о круге. Все другие рассматриваемые геометрические понятия (окружность, радиус, диаметр) непосредственно связаны с этой фигурой. При этом окружность рассматривается как замкнутая линия, являющаяся границей круга.

Примечание. При рассмотрении понятий круг и окружность важно понимать, что понятие окружности в начальном курсе математики можно изучать без привлечения понятия круга.

Окружность как особый вид замкнутой линии не обязательно связывать с соответствующим ей кругом. Что же касается круга, то его рассмотрение без соответствующей окружности, являющейся границей этого круга, нецелесообразно, хотя Особенности развития основных содержательных линий курса второго полугодия в математике понятие «открытый круг» (т. е. круг без своей границы) имеет достаточно широкое применение.

При введении понятий окружность и круг мы используем хорошо знакомый методический прием: учащимся предлагается рассмотреть реальную ситуацию, в которой в явном виде проявляются все характеристические особенности изучаемых геометрических понятий. Речь идет о козе, которая пасется на лугу (см. тему «Окружность и круг»). Так, вбитый колышек, к которому привязана коза, является аналогом особой точки, называемой центром круга (окружности). Длина веревки задает радиус этого круга. А имеющаяся возможность для козы щипать травку с любой стороны от колышка и на любом расстоянии, не превышающем длину веревки, и является отражением характеристического свойства круга.

Таким образом, реализуется определение круга как геометрического места точек, отстоящих от данной точки на расстояние, не превышающее заданного.

Если же рассматривать движение козы вокруг колышка при натянутой веревке, то мы смоделируем процесс построения окружности. Рассмотрение описанной реальной ситуации целесообразно использовать при знакомстве с понятиями «круг» и «окружность».

Что же касается процесса формирования этих понятий, то в этом случае вся работа должна проводиться с использованием изображений соответствующих геометрических фигур. Суть этой работы может быть сформулирована следующим образом:

чащимся для анализа должно быть предъявлено изображение круга с отмеченным центром, на котором они должны выполнить ряд измерений;

начала нужно измерить расстояние от центра круга до нес скольких точек на границе и убедиться в том, что эти расстояния одинаковые;

осле этого имеет смысл измерить расстояние от центра до любой точки внутри круга и сравнить полученный результат с расстоянием от центра до границы круга;

акую же процедуру следует проделать и с точками, лежащими осле того как указанные процедуры будут выполнены неп сколько раз, можно формулировать общий вывод о том, что любая точка круга (в том числе и точка окружности) отстоит от центра не более чем на заданное расстояние.

Более подробные рекомендации о том, как проводить указанную работу, можно получить из методических указаний к изучению соответствующих тем.

При рассмотрении понятия «радиус» следует иметь в виду возможность двоякого толкования этого термина. С одной стороны, радиус окружности – это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой этой окружности. С другой стороны, радиус – это расстояние от центра окружности до любой ее точки, т. е. длина соответствующего отрезка. Мы будем употреблять термин «радиус»

в обоих смыслах. Аналогичная ситуация имеет место и для термина «диаметр».

Есть свои особенности и при рассмотрении понятия центра для окружности и для круга. Мы имеем в виду следующее:

огда речь идет о центре окружности, то данная точка не прик надлежит рассматриваемой фигуре, хотя и может изображаться на чертеже;

сли же рассматривается центр круга, то эта точка является точкой данной фигуры наряду со всеми другими точками, находящимися внутри окружности и на самой окружности.

Важным умением, которым должны овладеть учащиеся при изучении геометрического материала во втором полугодии, является умение пользоваться циркулем. Причем речь идет не только об умении чертить окружности с помощью циркуля, но и откладывать с его помощью отрезки заданной длины, в том числе и отрезки, равные по длине. Этому вопросу будет посвящена специальная тема «Откладываем равные отрезки». Некоторые возможности циркуля и линейки как инструментов для проведения геометрических построений будут рассмотрены при изучении соответствующей темы в конце учебного года.

В заключение отметим, что изученный геометрический материал найдет свое применение при рассмотрении вопросов, связанных с измерением времени и при построении круговых схем, используемых для решения задач и уравнений.

Обучение решению текстовых арифметических задач Определяющим фактором развития данной содержательной линии во втором полугодии 2 класса является переход от рассмотрения вопросов, связанных с обучением решению только простых задач, к вопросам обучения решению составных задач. При этом проблема обучения решению простых задач не остается без нашего внимания: учащиеся учатся решать простые задачи на умножение и деление, а также простые задачи на сложение и вычитание с помощью уравнений.

Особенности развития основных содержательных линий курса второго полугодия Методические подходы, которые мы используем при обучении решению текстовых арифметических задач, принципиально зависят от того, о простых или составных задачах идет речь. Умение решать простые задачи заключается в правильном выборе действия для ее решения, а это, в свою очередь, опирается на хорошее знание смысла каждого арифметического действия во всех аспектах (количественном, порядковом, величинном). Для решения составных задач важную роль играет другое умение – умение формулировать к данной задаче одно или несколько дополнительных требований, ответы на которые дают необходимую дополнительную информацию, позволяющую получить ответ на основное требование задачи.

Другими словами, нужно научиться представлять решение составной задачи как последовательное решение нескольких взаимосвязанных простых задач, когда полученное искомое одной задачи становится данным для другой задачи.

Для достижения этого необходимо научиться анализировать формулировку задачи в комплексе, т. е. учитывать сразу и условие, и требование. Традиционно принятый в методике анализ от требования или от условия, на наш взгляд, имеет целый ряд существенных недостатков. Дело в том, что такой путь анализа не позволяет видеть конечную цель, а значит, может завести в тупик, так как даже в самых несложных ситуациях существуют различные пути логического продвижения от имеющихся предпосылок, которые приводят к различным выводам.

Например, при поиске решения задачи с требованием «Установить число карандашей в двух коробках» вполне логично возникает вывод о том, что для этого нужно знать число карандашей в каждой коробке, но такой вывод только усложнит ситуацию, если условие в задаче сформулировано следующим образом: «В первой коробке 6 карандашей, а в двух – в 5 раз больше, чем в первой».

Подводя итог вышесказанному, еще раз подчеркнем, что для обучения решению составных задач используется совсем другой подход по сравнению с тем, что применялся при обучении решению простых задач. В случае составной задачи нам важно научить учащихся анализировать формулировку задачи с позиции восстановления недостающих логических звеньев, которые должны соединить условие и требование задачи. В нашей трактовке такими логическими звеньями будут являться дополнительные промежуточные требования, последовательное выполнение которых должно привести к получению информации, позволяющей ответить на основное требование задачи. Для нахождения этих дополнительных условий целесообразно осуществлять логическое продвижение не в одном направлении (от требования к условию или от условия к требоваОбучение решению текстовых арифметических задач нию), как это принято в традиционной методике, а двигаться навстречу от требования и условия поочередно.

Например, после того как определены те данные, которые позволят ответить на требование задачи, нужно обратиться к условию и установить, можно ли эти данные получить из условия как ответ на одно или несколько дополнительных промежуточных требований к задаче. Если ответ будет положительным, то эти дополнительные требования вместе с основным требованием и определят последовательность и содержание шагов для решения данной задачи. Напоминаем, что каждый шаг в решении составной задачи состоит в решении соответствующей простой задачи, поэтому он может быть записан в виде выполнения одного арифметического действия.

Если же ответ будет отрицательным, то следует опять обратиться к анализу основного требования и постараться определить другие данные, которые также дадут возможность ответить на это требование. Далее процедура перехода к анализу условия повторяется.

Покажем на примере, как это можно реализовать. Для этого рассмотрим следующую задачу: «В первой корзине лежало 20 яблок, во второй – на 3 больше, чем в первой, а в третьей – на 5 меньше, чем во второй. Сколько яблок лежало в третьей корзине?». Начинаем работу с анализа требования. Единственной полезной информацией, которую мы можем извлечь из требования, является информация о том, что нас интересует число яблок в третьей корзине. Никаких разумных дополнительных требований по этой информации мы сформулировать не можем. Следовательно, нужно переходить к анализу условия, а точнее, к той его части, где речь идет о третьей корзине. В условии сказано, что яблок в третьей корзине на 5 меньше, чем во второй. Это означает, что нам дополнительно нужно узнать, сколько яблок во второй корзине. Вот и определилось дополнительное промежуточное требование. Продолжая анализировать условие применительно к этому дополнительному требованию, мы устанавливаем, что ответ на это требование может быть получен в результате выполнения одного действия сложения, так как число яблок во второй корзине на 3 больше, чем в первой, а в первой их число известно (20 яблок). Таким образом, достаточно ввести одно дополнительное промежуточное требование, чтобы с его помощью получить ответ на основное требование задачи. При этом решение задачи будет состоять из двух действий.

В том случае, когда условие и требование нельзя соединить одним логическим звеном в виде дополнительного требования, а нужно найти несколько последовательных дополнительных требований (составная задача решается в три и более действий), переход от анализа требования к анализу условия и наоборот может осуществляться Особенности развития основных содержательных линий курса второго полугодия несколько раз с постепенным сближением новых полученных данных с новыми сформулированными требованиями. Более детальный разговор на эту тему нам еще предстоит, так как задачи в три и более действий будут предметом изучения в следующих классах. О малой эффективности проведения однонаправленного анализа в таких ситуациях было сказано выше. Мы лишь еще раз хотим подчеркнуть, что однонаправленный анализ имеет высокую степень вероятности завести ученика в «логический тупик». Тогда потребуется возвращаться на исходные позиции и начинать работу заново.

Изучение величин Во втором полугодии изучается величина «время». При этом время рассматривается в двух аспектах: время-дата и времяпродолжительность. Из этих двух проявлений времени величиной в ее традиционном толковании является только времяпродолжительность. Именно время-продолжительность допускает возможность сравнения и возможность сложения с выполнением всех необходимых свойств этого отношения и этой операции.

Время-дата хотя и допускает возможность сравнения с опорой на отношение «раньше – позже», но возможность сложения для нее исключена – даты складывать бессмысленно. С другой стороны, время-дата допускает вычитание. При этом разность двух дат выражает соответствующую продолжительность: чтобы узнать продолжительность некоторого процесса (явления), нужно из даты конца процесса вычесть дату его начала.

Начинается изучение времени с рассмотрения временного промежутка и измерения его продолжительности с помощью солнечных и песочных часов, после чего осуществляется переход к определению времени по циферблатным часам и электронным табло.

С помощью часов устанавливается связь между моментами времени (датами) и интервалами времени (продолжительностью по времени). Вводятся стандартные единицы времени (час, минута, сутки, неделя) и соотношения между ними. Особое внимание уделяется изменяющимся единицам времени (месяц, год), а также соотношениям между ними и постоянными единицами времени. Вводится самая большая изучаемая единица времени – век. Кроме этого, рассматривается операция деления однородных величин, которая трактуется как измерение делимой величины в единицах величиныделителя.

В качестве сопутствующего материала к вопросам об определении времени по циферблатным часам изучаются римские цифры.

Алгебраическая пропедевтика Во втором полугодии начинается систематическое изучение одного из основных алгебраических понятий – понятия уравнения. Хотя в программу мы не включили специальные разделы по изучению алгебраического материала, но это не означает, что алгебраическим вопросам отводится второстепенная роль. Такое положение дел объясняется лишь тем, что объем алгебраического материала не очень большой и этот материал распределен по другим разделам программы, а его назначение, главным образом, носит пропедевтический характер.

Прежде чем рассматривать понятие «уравнение», мы предлагаем учащимся познакомиться с понятием «неизвестное», трактуя это понятие прежде всего как неизвестное число. При этом мы хотим провести границу между неизвестным числом, которое может быть переведено в разряд известных с помощью счета или измерения, и неизвестным числом, для нахождения которого требуется выполнить некоторые вычисления.

К неизвестному числу первого типа относится, например, число рыбок в аквариуме, который мы первый раз видим: для нас это число неизвестно, но при желании мы можем всех рыбок пересчитать.

К неизвестному числу второго типа можно отнести число рыбок, которые уплыли в пруд после того, как ведро с уловом опрокинулось. Мы их сосчитать не можем, но можем вычислить это число, если будем знать, сколько рыбок было поймано и сколько рыбок осталось на берегу. Рассмотрением неизвестных второго типа мы и будем главным образом заниматься, так как именно такие неизвестные участвуют в составлении уравнений. Для обозначения неизвестного на данном этапе мы будем использовать пока только латинскую букву х.

Знакомство с уравнением мы будем проводить на основе сопоставления уравнения и верного числового равенства. Поэтому корень уравнения мы определяем как число, при подстановке которого в уравнение вместо неизвестного получается верное числовое равенство.

После знакомства с простейшими видами уравнений, которые по структуре своей записи аналогичны записям действий сложения и вычитания, учащимся будут предложены правила, позволяющие решать уравнения такого вида. Вывод этих правил будет основан на использовании круговых схем, с которыми учащиеся хорошо знакомы в плане их применения для решения текстовых арифметических задач (речь идет о простых задачах на сложение и вычитание). Для того чтобы использовать эти схемы при решеОсобенности развития основных содержательных линий курса второго полугодия нии уравнений, в них нужно внести совсем небольшие изменения:

заменить на схеме знак «?», с помощью которого обозначается искомое в задаче, на латинскую букву х, с помощью которой обозначается неизвестное в уравнении. Все остальные элементы схемы остаются без изменения. Научиться решать уравнения, хотя бы их некоторые виды, задача совсем не простая и имеет самостоятельное значение. По этой причине мы уделяем данному вопросу достаточно большое внимание уже на первых этапах изучения уравнений. Более того, отдавая дань традиции в выборе способов решения уравнений, с которыми мы знакомим младших школьников (имеется в виду способ подбора и способ, основанный на связи компонентов и результата арифметического действия), мы уже во 2 классе начинаем пропедевтическую работу по введению понятия «равносильные уравнения», на основе которого построены способы решения уравнений, изучаемые в средней школе.

Пока термин «равносильные уравнения» не упоминается, но когда мы предлагаем учащимся составить уравнение, имеющее такой же корень, что и данное уравнение, мы по существу предлагаем им составить уравнение, равносильное данному.

В заключение хотим обратить внимание еще на один аспект изучения алгебраического материала. Имеется в виду вопрос об использовании уравнений для решения текстовых арифметических задач. Этот вопрос является точкой пересечения двух содержательных линий курса: алгебраической и алгоритмической.

В нашей трактовке уравнение, в котором находит отражение связь между данными и искомым рассматриваемой текстовой задачи, можно считать решением данной задачи (по аналогии с тем, как мы решением считали соответствующее числовое выражение). Такая постановка вопроса не противоречит тому, как в общем случае нами толковалось понятие «решение задачи». При записи решения задачи с помощью соответствующего уравнения мы фактически указываем алгоритм (речь идет об алгоритме решения данного уравнения), выполнение которого позволяет получить ответ задачи. Другими словами, когда составлено уравнение, то вопрос о решении задачи уже не стоит. Его заменяет вопрос о решении уравнения, а это не одно и то же.

Так как для уравнений, которые изучаются в начальной и даже в средней школе, существуют алгоритмы их решения (в начальной школе они представлены в виде соответствующих правил), то составленное с учетом условия и требования задачи уравнение мы с полным основанием можем считать одной из возможных форм записи решения этой задачи (наряду с записью по действиям в виде одного числового выражения или в виде формулы).

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

И РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ТЕМ

Тема: «Счет десятками и “круглое” число десятков» (1 урок) Данная тема является своеобразным логическим «мостиком», связывающим материал первого полугодия с материалом второго.

Ученики уже хорошо знают процедуру счета десятками (во всяком случае, от 1 десятка до 10 десятков). Им также известно, что стоит за термином «круглое двузначное число». Теперь им предлагается обратить внимание на тот факт, что число 100 можно рассматривать как число, в котором «круглое» число десятков.

При выполнении задания 1 учащиеся смогут повторить понятие «круглого» числа, представление «круглого» числа как соответствующего числа десятков, а самое главное, установить, что в числе «круглое» число десятков.

Задание 2 носит обратный характер по отношению к предыдущему заданию. После того как учащиеся посчитают десятками число кубиков в каждом наборе, им предлагается записать данное число десятков в виде соответствующего «круглого» числа.

Задание 3 направлено на повторение «круглых» двузначных чисел и порядка их следования. В процессе представления «круглых»

двузначных чисел в виде соответствующего числа десятков учащиеся смогут удостовериться в том, что среди этих чисел нет числа, в котором «круглое» число десятков.

Результатом выполнения задания 4 должно стать понимание того, что число 10 – это самое маленькое «круглое» (число 0 в данной ситуации мы не рассматриваем), а число 100 – самое маленькое число, в котором «круглое» число десятков.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие Тема: «Разряд сотен и название “круглых” сотен» (1 урок) При изучении данной темы учащиеся познакомятся с новой ролью числа 100. Эта роль связана с введением нового разряда – разряда сотен. При этом число 100 выступает в роли «новой» разрядной единицы, а счет сотнями позволяет ввести в рассмотрение «новые»

числа, называемые «круглыми» сотнями.

При выполнении задания 1 учащиеся сначала смогут повторить разрядный смысл записи числа 10, а уже потом самостоятельно по аналогии установить разрядный смысл записи числа 100 с введением в употребление названия третьего разряда – разряда сотен.

В первой части задания 2 требуется установить аддитивный (на основе сложения) и мультипликативный (на основе умножения) состав числа 100. Такой вид работы позволяет с разных позиций взглянуть на процесс образования этой «новой» разрядной единицы. После этого мы предлагаем перейти к рассмотрению записи «нового» числа, которое выражает целое число сотен и к установлению того факта, что сотни складываются и вычитаются так же, как и единицы.

Примечание. Аналогичная ситуация имела место при рассмотрении в первой части учебника вопроса о сложении и вычитании десятков. По этой причине мы считаем возможным сократить подготовительную работу при изучении этого вопроса для разряда сотен.

При выполнении задания 3 учащиеся познакомятся с записью и названием чисел 100, 200, …, 900, т. е. с трехзначными числами, которые являются «круглыми» сотнями. Что касается письменной нумерации таких чисел, то она полностью аналогична письменной нумерации «круглых» двузначных чисел с той лишь разницей, что добавляется новый разряд и цифры именно этого разряда указывают на данное число сотен, а в каждом из оставшихся двух разрядов записывается цифра 0.

При изучении устной нумерации рассматриваемых чисел проводить аналогию с «круглыми» двузначными числами не имеет смысла, так как эта аналогия является частичной и не ярко выраженной.

Строить изучение устной нумерации следует на разрядном принципе с опорой на смысловой состав построения числительных, который обозначен с помощью цвета в написании соответствующих слов в таблице. При этом каждое число из данной таблицы имеет и соответствующую иллюстрацию.

Тема: «Сложение “круглых” сотен» (1 урок) При изучении данной темы мы предлагаем рассмотреть вопрос о сложении чисел, которые являются «круглыми» сотнями. Учащимся уже известно, что сложение «круглых» сотен полностью аналогично сложению единиц (см. задание 2 из предыдущей темы). Поэтому учебная задача в данном случае заключается в том, чтобы основательно закрепить эти знания и сформировать умение свободного перехода от сложения сотен к сложению трехзначных чисел, выражающих «круглые» сотни.

В задании 1 предлагается решить задачу и провести соответствующие вычисления с числами, которые представлены как целое число сотен. Выбор действия для решения этой задачи (речь идет о сложении) настолько очевиден, что на этот этап процесса решения задачи не следует обращать особое внимание. Главное, чтобы было обращено внимание на то, какие числа нужно сложить и как это сделать, чтобы вычислить ответ задачи. Будет полезно еще раз напомнить о полной аналогии со сложением единиц.

Задание 2 носит тренировочный характер. При его выполнении учащиеся поупражняются в сложении сотен.

При выполнении задания 3 потребуется умение записывать данное число сотен в виде трехзначного числа, выражающего «круглые» сотни. В произвольном порядке ученикам предстоит рассмотреть и выполнить все девять случаев, которые возможны в рамках разряда сотен. Такая работа носит пропедевтический характер, и ее результаты будут востребованы при выполнении заданий 5 и 6.

Задание 4 следует рассматривать в сопоставлении с заданием этой же темы. Такое сопоставление позволяет установить, что в этих заданиях речь идет о решении практически одной и той же задачи, но только в первом случае данные представлены как целое число сотен, а во втором – как соответствующее число, обозначающее «круглые» сотни. Следовательно, решение и вычисление ответа данной задачи должно происходить совершенно аналогично тому, как это делалось в задании 1. Таким образом, мы получаем возможность обосновать непосредственную связь между сложением сотен и сложением чисел, выражающих «круглые» сотни.

При выполнении задания 5 предлагается поупражняться в сложении трехзначных чисел, выражающих «круглые» сотни. Выполнять такое сложение они могут с опорой на сложение сотен, предварительно представив (устно или письменно) каждое слагаемое в виде целого числа сотен. Вторая часть этого задания требует от учащихся рассуждений, которые могли бы служить обоснованием того факта, что при сложении «круглых» сотен получается число, которое является «круглой» сотней. Эти рассуждения могут строиться как на индуктивной основе с привлечением только что выполненных вычислений, так и на дедуктивной основе с попыткой проаналиТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие зировать ситуацию в общем виде на основе поразрядного способа сложения. Второй вариант является более предпочтительным.

Задание 6 можно рассматривать как усложненный вариант предыдущего задания: для вычисления значения каждого из предлагаемых выражений следует не только выполнить два действия сложения над «круглыми» сотнями, но и учесть порядок их выполнения, который зависит от расстановки скобок.

В задании 7 предлагается составить числовое выражение к данному рисунку. Для составления этого выражения следует использовать «круглые» сотни, которые на иллюстрации представлены 100-клеточными квадратами одного цвета.

Тема: «Вычитание “круглых” сотен» (1 урок) Данная тема является естественным продолжением предыдущей.

Работа с заданиями этой темы строится по аналогии с тем, как это делалось для соответствующих заданий предыдущей темы.

В задании 1 предлагается решить задачу и провести соответствующие вычисления с числами, которые представлены как целое число сотен. Выбор действия для решения этой задачи (речь идет о вычитании) настолько очевиден, что на этот этап процесса решения задачи не следует обращать особое внимание. Главное, чтобы было обращено внимание на то, какое число из какого числа нужно вычесть и как это сделать, чтобы вычислить ответ задачи. Будет полезно еще раз напомнить о полной аналогии с вычитанием единиц.

Задание 2 носит тренировочный характер. При его выполнении учащиеся поупражняются в вычитании сотен.

Задание 3 следует рассматривать в сопоставлении с заданием этой же темы. Такое сопоставление позволяет установить, что в этих заданиях речь идет о решении практически одной и той же задачи, но только в первом случае данные представлены как целое число сотен, а во втором – как соответствующее число, обозначающее «круглые» сотни. Следовательно, решение и вычисление ответа данной задачи должно происходить совершенно аналогично тому, как это делалось в задании 1. Таким образом, мы получаем возможность обосновать непосредственную связь между вычитанием сотен и вычитанием чисел, выражающих «круглые» сотни.

При выполнении задания 4 предлагается поупражняться в вычитании трехзначных чисел, выражающих «круглые» сотни. Выполнять такое вычитание ученики могут с опорой на вычитание сотен, предварительно представив (устно или письменно) каждое уменьшаемое и вычитаемое в виде целого числа сотен. Вторая часть задаТрехзначное число как сумма разрядных слагаемых»

ния требует от них рассуждений, которые могли бы служить обоснованием того факта, что при вычитании «круглых» сотен получается число, которое является «круглой» сотней, или число 0. Эти рассуждения могут строиться как на индуктивной основе с привлечением только что выполненных вычислений, так и на дедуктивной основе с попыткой проанализировать ситуацию в общем виде на основе поразрядного способа вычитания. Второй вариант является более предпочтительным.

Задания 5 и 6 можно рассматривать как усложненный вариант предыдущего задания. Для вычисления значения каждого из предлагаемых выражений следует не только выполнить два действия (сложение и вычитание) над «круглыми» сотнями, но и учесть порядок их выполнения, который зависит от расстановки скобок.

При этом в задании 5 скобки в выражениях расставлены так, что естественный порядок выполнения действий (слева направо) не нарушается, а в задании 6 этот порядок изменен за счет соответствующей расстановки скобок.

В задании 7 предлагается сравнить значения данных числовых выражений, имея в виду выражения из одной пары. Учащиеся, конечно, могут вычислить значения этих выражений, после чего произвести соответствующее сравнение. Но это будет не самый привлекательный способ решения. Гораздо продуктивнее во всех отношениях будет иной подход к решению этого задания. Дело в том, что выражения составлены так, что сравнить их значения можно без проведения вычислений, а только с опорой на соответствующие свойства (связь между результатом и компонентами действия вычитания, вычитание суммы из числа, переместительное свойство сложения). После того как сравнение значений выражений будет выполнено, от учащихся потребуется продемонстрировать умение составлять верные равенства или неравенства. Эту часть задания следует рассматривать как элемент повторения.

Тема: «Трехзначное число как сумма разрядных слагаемых»

(1 урок) При рассмотрении данной темы будет продолжено изучение разрядного (позиционного) принципа нумерации чисел. Учащиеся уже умеют представлять двузначные числа в виде суммы разрядных слагаемых. Теперь им предстоит решить этот вопрос для трехзначных чисел.

В задании 1 продемонстрировано, как можно получить сумму разрядных слагаемых трехзначного числа. Для этого достаточно Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие рассмотреть сумму, состоящую из «круглых» сотен (не более 9), «круглых» десятков (не более 9) и единиц (не более 9). Сумму легко построить с опорой на иллюстрацию в учебнике, в которой используются 100-клеточные квадраты.

При этом получение разрядных слагаемых следует проводить, продвигаясь от старшего разряда к младшему. Такой порядок продиктован тем, что число десятков в составе данного числа правильно определяется только после того, как в нем выделены все имеющиеся сотни, а число единиц – после того, как в нем выделены все имеющиеся сотни и десятки. При постановке перед учащимися соответствующих вопросов данный факт обязательно должен учитываться. Поэтому не случайно мы начинаем спрашивать сначала о том, сколько сотен клеточек закрашено на рисунке. Более того, когда мы переходим к построению следующего разрядного слагаемого, мы подчеркиваем, что нас интересует не просто число десятков закрашенных клеточек, а сколько еще десятков клеточек закрашено, если не считать клеточки в полностью закрашенных 100-клеточных квадратах. В противном случае ученики могли бы говорить о 25 десятках закрашенных клеточек, и были бы правы. Аналогично обстоит дело и с числом единиц.

При выполнении задания 2 учащиеся смогут потренироваться в разложении трехзначного числа на сумму разрядных слагаемых.

Чтобы построить разложение для первого числа (258), можно воспользоваться результатом предыдущего задания. Для следующих трех чисел нужно действовать по аналогии. Последние два числа в своей записи содержат цифру 0, поэтому при разложении этих чисел на разрядные слагаемые будет получаться не три, а два слагаемых (цифра 0 в данном разряде как раз и означает отсутствие соответствующего разрядного слагаемого).

Примечание. Трехзначные числа, в записи которых встречается цифра 0, формально можно записывать в виде суммы трех разрядных слагаемых, обозначая пропущенное разрядное слагаемое в виде слагаемого 0. Так, число 208 можно представить в виде суммы 200+8, но можно и в виде суммы 200+0+ (очевидно, что 200+8=200+0+8). Однако такая форма подробной десятичной записи числа не имеет практического значения. Другое дело, когда речь идет о краткой десятичной записи. Числа 208 и 28 – это разные числа!

При выполнении задания 3 учащиеся должны продемонстрировать не только умение конструировать числа из разрядных слагаемых, но и выстраивать эти числа в определенном порядке (например, в порядке возрастания). Без такой систематизации «Трехзначное число – сумма “круглых” сотен и двузначного или однозначного числа»