«МАТЕМАТИКА 2 КЛАСС Методическое пособие Под редакцией Р.Г. Чураковой МосКвА АКАдЕМКНИГА/УЧЕбНИК 2012 УДК 51(072.2) ББК 74.262.21 Ч-37 Чекин, А.Л. Ч-37 Математика [Текст] : 2 кл. : Методическое пособие / А.Л. Чекин; под. ...»

Тема: «Как найти неизвестное уменьшаемое» (1 урок) При изучении темы учащиеся познакомятся с правилом, которое позволяет решать уравнения с неизвестным уменьшаемым. Вывод соответствующего правила будет проведен совершенно аналогично тому, как это было сделано для правил нахождения неизвестного слагаемого и неизвестного вычитаемого.

При выполнении задания 1 учащиеся должны самостоятельно разобраться в вопросе построения круговой схемы для уравнения с неизвестным уменьшаемым. Для того чтобы акцентировать внимание учащихся на ключевых моментах заполнения круговой схемы, мы предлагаем систему вопросов, на которые учащиеся должны ответить самостоятельно.

В задании 2 продолжается работа по выводу интересующего нас правила. На данном этапе рассуждений учащиеся должны выбрать действие для нахождения неизвестного уменьшаемого, после чего провести вычисления и сделать обобщение в виде соответствующего правила.

При выполнении задания 3 учащиеся смогут продемонстрировать свое умение находить неизвестное уменьшаемое по готовой круговой схеме.

В задании 4 от учащихся сначала требуется составить круговую схему для уравнения с неизвестным уменьшаемым, а уже потом с ее помощью найти это неизвестное уменьшаемое.

В задании 5 предлагается найти корень уравнения, применив правило нахождения неизвестного уменьшаемого. Предварительно можно проговорить с учащимися это правило.

Тема: «Учимся решать уравнения» (1–2 урока) В теме дается подборка заданий, с помощью которых подводится некоторый итог по изучению вопросов, связанных с уравнениями и способами их решения. Этой работе можно целенаправленно посвятить один или два урока, но можно рассредоточить данный материал и использовать его для закрепления и повторения, а также в качестве домашних заданий.

Примечание. На данном этапе изучения уравнений и способов их решения мы предлагаем, по возможности, не употреблять термин «решение уравнения», а говорить о нахождении корня уравнения. Связано это с тем, что под решением уравнения понимают, как правило, множество всех корней данного уравнения, в том числе не исключается и случай, когда уравнение не имеет ни одного корня. Мы же сейчас такие ситуации пока не рассматриваем, а ограничиваемся рассмотрением лишь таких уравнений, которые имеют единственный корень.

Особое внимание следует обратить на последние три задания, так как с их помощью проводится пропедевтическая работа по Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие формированию понятия «равносильные уравнения». Сам термин «равносильные уравнения» мы пока употреблять не будем, а будем говорить об уравнениях, имеющих один и тот же корень.

В задании 1 сначала предлагается распознать готовую круговую схему, которая соответствует данному уравнению с неизвестным слагаемым. Такая форма работы направлена на формирование умения составлять круговую схему по данному уравнению. После того как нужная схема будет выбрана, остается применить ее для нахождения корня уравнения.

Задания 2, 3 и 4 направлены на закрепление полученных знаний о трех типах простейших уравнений и правил, позволяющих решать эти уравнения.

При выполнении задания 5 учащиеся смогут поупражняться не только в применении изученных правил для решения уравнений, но и в выполнении вычислений столбиком.

Задание 6 отнесено к заданиям повышенной сложности. Для его выполнения от учащихся потребуется составить два уравнения, которые имеют один и тот же корень. При этом учащиеся могут рассуждать, например, следующим образом. Если сначала составить два верных числовых равенства на сложение или вычитание, в которых в качестве компонента действия будет фигурировать одно и то же число, то после замены этого числа на неизвестное х получатся два уравнения с одним и тем же корнем.

При выполнении задания 7 учащиеся смогут познакомиться с одним из способов получения равносильных уравнений. Этот способ заключается в увеличении на одно и то же число числа, стоящего в левой части уравнения, и числа, стоящего в правой части уравнения. Аналогичный результат можно получить и с помощью уменьшения указанных чисел на одно и то же число.

Особая сложность задания 8 заключается в том, что учащиеся самостоятельно должны, не решая, распознать уравнения, имеющие один и тот же корень. Опираться они должны на результаты выполнения предыдущего задания. Итогом этой работы должно стать правило, которое позволяет из данного уравнения получить равносильное ему уравнение.

Суть этого правила заключается в том, что прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа приводит к получению равносильного уравнения. Аналогично обстоит дело и с вычитанием одного и того же числа. Требовать от учащихся четкой формулировки соответствующего правила не обязательно, но желательно подвести их к пониманию его сути и научить его применять.

В задании 9 учащимся предлагается уже самостоятельно изменить данное уравнение так, чтобы его корень не изменился. ДруРаспредели предметы поровну»

гими словами, они должны перейти к равносильному уравнению.

Сделать это они смогут, если будут ориентироваться на уравнения из правого столбика предыдущего задания (или на соответствующее правило). Если кем-то из учащихся будут предложены другие правильные варианты решения этого задания, то таких учеников следует поощрить (отметить).

Тема: «Распредели предметы поровну» (1 урок) Данная тема является вводной к изучению действия деления.

Предлагаемые задания должны сориентировать учащихся на выполнение предметных действий, математической основой которых является действие деления. Мы специально не стали выносить в название темы термин «деление», а сформулировали задачу как отыскание способа распределения предметов поровну. Именно в такой формулировке мы подчеркиваем первооснову практических действий.

В задании 1 предлагается помочь Мише в отыскании способа распределения поровну 10 конфет между двумя друзьями Миши.

Так как делить учащиеся в основной массе еще не умеют, то сказать сразу о том, сколько конфет должен получить каждый из друзей, вряд ли у них получится. Но из данного положения есть достаточно простой выход: можно раздавать друзьям конфеты по очереди по одной штуке до тех пор, пока все конфеты не будут распределены.

При выполнении данного задания следует обратить внимание учащихся на тот факт, что качественные отличия самих конфет (если они есть) нас не интересуют. Все внимание должно быть сосредоточено на количественной стороне вопроса.

Задание 2 продолжает ту же смысловую линию, которая была задействована в предыдущем задании. В данном случае распределять предметы поровну нужно уже не на две группы, а на шесть. Но и в этом случае описанный выше прием позволяет получить нужный результат. Для этого достаточно раскладывать предметы по очереди по одному на 6 кучек.

В задании 3 предлагается решить задачу на деление, но решение должно быть не математическим, а практическим.

Задания 4 и 5 относятся к заданиям повышенной сложности.

Эти задания носят логический характер, но не только логика лежит в основе их решения. Большая роль отводится психологической стороне дела. Разделить улов по справедливости – это означает учесть интересы сразу двух сторон. Так как реальный улов не может состоять из одинаковых рыбок, то нельзя применить практический Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие способ распределения, опробованный при решении предыдущих заданий. Следовательно, учащиеся должны искать другой путь решения задачи.

Можно пойти по пути взвешивания всего улова, а также тех частей, на которые он будет разбит. При этом результат взвешивания находить не обязательно, а можно постараться уравновесить две части улова на чашечных рычажных весах. Однако следует понимать, что весы могут быть в наличии далеко не всегда.

Оказывается, существует очень простой и действенный способ, который не требует никаких дополнительных инструментов. Суть его заключается в том, чтобы дать возможность разделить весь улов на две части одному человеку, но при этом поставить его в такие условия, что нарушать принцип справедливости ему будет совсем не выгодно. Таким условием будет следующее: один человек делит улов на две части, а другой человек выбирает себе любую из этих двух частей. Выполнение такого условия гарантирует, что первый человек постарается разделить улов максимально справедливо.

В противном случае он поставит себя в невыгодное положение, так как выбирать будет не он, а другой человек, который и сможет взять себе большую часть улова.

Тема: «Деление. Знак :» (1 урок) Данной темой мы начинаем систематическое изучение действия деления, которое будет продолжено и в 3 классе. Знакомство с действием деления мы предлагаем начать с рассмотрения так называемого деления по содержанию. Оно более доступно для понимания учащихся, чем деление на равные части, так как в этом случае изначально известно, сколько предметов должно находиться в одной части. Это позволяет осуществлять процедуру практического распределения предметов на части не по одному, а выделяя сразу полностью всю часть.

При выполнении задания 1 учащиеся познакомятся с действием деления на основе предметных действий, которые заключаются в осуществлении деления данного набора из 12 одинаковых предметов на группы по 4 предмета, в результате чего получается 3 группы предметов. Вся эта процедура на математическом языке может быть описана с помощью действия деления, которое записывается так: 12:4=3.

В задании 2 предлагается проверить правильность выполнения действия деления для чисел 15 и 3. Сделать это учащиеся могут с помощью 15 счетных палочек, разложив их на кучки по 3 палочки.

Так как число получившихся кучек будет равно 5, то это подтвержЧастное и его значение»

дает верность соответствующей записи действия деления. Последняя часть задания направлена на формирование количественного смысла действия деления.

В задании 3 предлагается проанализировать ситуацию, которая представлена в виде формулировки простой задачи на деление.

Чтобы получить ответ на требование данной задачи, нужно выполнить действие деление. Об этом учащимся сообщается заранее, но ничего не говорится о том, какое число на какое нужно будет разделить. Здесь они должны проявить самостоятельность. Так же самостоятельно учащиеся должны выполнить это действие при помощи знакомой им манипуляции со счетными палочками. После получения результата этого действия учащиеся должны самостоятельно составить следующую запись: 20:2=10.

При выполнении задания 4 учащиеся смогут поупражняться в распознавании записи действия деления. В качестве дополнительного задания можно им предложить назвать каждое из записанных действий и проверить правильность его выполнения.

Тема: «Частное и его значение» (1 урок) При изучении данной темы проводится работа по усвоению терминологии, связанной с действием деления.

В задании 1 учащиеся знакомятся с понятием частного. Отличительной особенностью частного является наличие знака деления в записи этого выражения.

Примечание: при этом если в выражении несколько действий, то деление должно выполняться в последнюю очередь. Именно тогда рассматриваемое выражение называется частным. Например, выражение (12+16):4 является частным, а выражение 8:2+5 частным не является, а является суммой.

При выполнении задания 2 учащиеся смогут продемонстрировать то, как они научились записывать частные.

В задании 3 вводится понятие значения частного как результата действия деления. Таким образом, если записать действие деления для данных чисел, то с одной стороны от знака равенства будет записано частное тех чисел, которые участвуют в делении, а с другой стороны от знака равенства – значение этого частного как результат выполнения указанного действия. Для действия деления сохраняется тот общий терминологический подход, который применялся для других трех арифметических действий.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие При выполнении задания 4 учащиеся смогут поупражняться не только в использовании изученной терминологии, но и в выполнении действия деления на основе манипуляции со счетными палочками или с опорой на соответствующую иллюстрацию.

Задание 5 относится к заданиям повышенной сложности.

Учащимся предлагается составить равенство из двух частных с одинаковыми значениями. Такие частные учащиеся должны сконструировать. Подбирать эти частные наугад – занятие малоперспективное. Чтобы сконструировать такие частные, они могут использовать прием, который заключается в обратном ходе рассуждений. Можно с самого начала допустить, что значение частного будет равно 2. Тогда мы можем рассмотреть два случая с двумя кучками счетных палочек, в одном из которых в каждой кучке лежит по 5 палочек, а в другом – по 6. Это означает, что в первом случае всего палочек 10, а во втором – 12. Теперь уже можно составлять равенство При выполнении задания 6 учащиеся знакомятся с выполнением действия деления с помощью калькулятора. В тексте задания предлагается инструкция по использованию калькулятора для указанных целей.

В задании 7 предлагается решить задачу, аналогичную той, что была предложена в задании 3 из предыдущей темы. По этой причине можно рассчитывать на то, что решение задачи будет найдено без особого труда. Что же касается вычисления ответа, то сделать это можно с помощью калькулятора.

Тема: «Делимое и делитель» (1 урок) Мы продолжаем знакомить учащихся с терминологией, имеющей непосредственное отношение к действию деления.

При выполнении задания 1 учащиеся не только еще раз смогут обратить внимание на количественный смысл частного и соответствующую запись, но и познакомиться со смыслом таких терминов, как делимое и делитель.

В задании 2 учащимся предлагается составить частное по известным делителю и делимому.

При выполнении задания 3 отрабатывается понятие делимого.

При выполнении задания 4 отрабатывается понятие делителя.

В задании 5 предоставляется широкое поле для творчества: учащиеся самостоятельно должны конструировать частные. ОпредеДеление и вычитание»

ленная трудность в выполнении этого задания заключается в том, что далеко не любые числа могут быть использованы для составления частного. Нас, естественно, должны интересовать только те частные, значения которых являются целыми числами. Конструировать эти частные можно двумя способами.

С одной стороны, можно произвольно выбрать значение частного и делитель и найти соответствующее делимое. С другой стороны, можно выбрать делимое и постараться подобрать соответствующий делитель. Первый путь более предпочтительный, так как гарантирует существование нужного делимого. Во втором случае можно столкнуться с тем, что требуемый делитель найти не удастся. У учащихся есть и еще один путь решения данного задания: они могут использовать информацию о частных, полученную при выполнении предыдущих заданий.

Задание 6 относится к заданиям повышенной сложности. Это обусловлено тем, что перед учащимися ставится проблема, с которой они еще не сталкивались при изучении действия деления: нужно построить частное, в котором делимое в 2 раза больше, чем делитель.

Учащиеся самостоятельно должны прийти к выводу, что построение искомого частного следует начинать с выбора делителя. Выбрав делитель произвольным образом, следует переходить к построению делимого путем увеличения делителя в 2 раза. Учащиеся должны вспомнить, какое действие для этого следует выполнить. После выполнения этого действия можно записывать искомое частное. Теперь остается только понять, что значением такого частного будет число 2.

В задании 7 предлагается по рисунку составить частные, которые отличаются делителями. Так как делимое отражает общее число предметов (это число 12), а делитель – число предметов в каждой из групп, на которые можно разбить все предметы (это либо число 4, либо число 2), то получается два варианта частного: 12:4 или 12:2.

Эти частные будут отличаться не только делителями, но и значениями, которые выражают число получившихся групп.

Тема: «Деление и вычитание» (1 урок) В данной теме учащимся будет продемонстрирована имеющая место связь между действием деления и действием вычитания. Традиционно сложилось так, что на существование этой связи и на возможность ее использования практически никакого внимания не обращается.

Мы хотели бы изменить эту ситуацию. На наш взгляд, демонстрация такой связи между делением и вычитанием делает картину Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие существующих взаимосвязей между арифметическими действиями более полной и симметричной. Связь между делением и вычитанием является симметричным аналогом связи между умножением и сложением. Проявляется это не только в возможности введения деления через вычитание, но и в возможности выполнения деления с помощью вычитания (аналогично тому, как умножение можно выполнять с помощью сложения).

В задании 1 подробно описана с использованием соответствующих иллюстраций процедура последовательного вычитания числа из числа 8. От учащихся требуется внимательно проследить за этой процедурой. Результатом этой работы должен стать вывод о том, что число, показывающее, сколько раз можно вычесть число 2 из числа 8, является не чем иным, как значением частного 8:2. При этом данный вывод в сознании учащихся не должен быть жестко связан с этим конкретным примером. Следует подчеркнуть возможность его обобщения.

Задание 2 работает на формирование общего вывода о том, что значение частного можно вычислить с помощью последовательного многократного вычитания делителя из делимого.

Назначение задания 3 аналогично назначению предыдущего задания.

В задании 4 предлагается решить простую текстовую задачу на деление. С самого начала учащиеся ориентированы на то, что решение данной задачи можно и нужно записать в виде частного. При этом ситуация, описанная в задаче, явно указывает на то, что решением задачи является частное 12:2 (12 рисунков нужно разбить на группы по 2 рисунка). Вычисление значения этого частного может быть легко выполнено с помощью последовательного вычитания числа 2 из числа 12. После каждого такого вычитания мы будем получать ответ на вопрос о числе рисунков, которые осталось раскрасить Мише.

В задании 5 предлагается поупражняться в вычислении частных с помощью последовательного многократного вычитания делителя из делимого.

Тема: «Деление и измерение» (1 урок) В данной теме мы знакомим учащихся еще с одним видом связи, имеющим место для действия деления. Речь идет о связи деления с процедурой измерения величины, например длины. Суть этой связи заключается в том, что в результате измерения мы хотим получить ответ на вопрос о том, сколько раз единица измерения уклаДеление и измерение»

дывается в измеряемой величине. Но при выполнении деления по содержанию мы фактически поступаем аналогично: нас интересует ответ на вопрос, на сколько групп с заданным числом предметов можно разбить всю совокупность. Другими словами, мы проводим «измерение» всей совокупности, выбрав в качестве единицы измерения заданную по числу группу предметов.

В задании 1 предлагается сравнить две задачи. Эти задачи аналогичны по своей математической сути. И та и другая задачи решаются с помощью деления числа 40 на число 10. Только для решения первой задачи нужно выполнить знакомое учащимся деление чисел, а для решения второй задачи – деление величин, с чем учащимся еще не приходилось сталкиваться. В заключительной части задания даются необходимые пояснения, которые помогут им сопоставить процесс деления одной величины на другую с процессом измерения первой величины с помощью второй. Переход от деления к измерению может быть показан и с помощью замены глагола «отрезать»

на глагол «отмерять», что позволяет сделать сюжет второй задачи.

Итогом всех рассуждений должен стать вывод о том, что для измерения некоторой величины с помощью другой величины этого же рода можно разделить первую величину на вторую. Тем самым мы узнаем, сколько раз вторая величина укладывается (содержится) в первой.

Задание 2 направлено на закрепление вывода, полученного в результате выполнения предыдущего задания.

Основное назначение задания 3 состоит в том, чтобы показать учащимся существующую связь между делением по содержанию и понятием измерения. При этом мы хотим рассматривать процесс измерения более широко, не только для величин, но и для совокупностей предметов.

В задании 4 предлагается с помощью деления длин ответить на вопрос о том, на сколько костюмов хватит ткани в рулоне. В самой формулировке вопроса мы подчеркиваем, что с помощью деления мы проводим измерение. Для вычисления значения частного 60: учащимся предлагается использовать калькулятор.

Задание 5 относится к заданиям повышенной сложности. Предложенные длины, выраженные в сантиметрах и метрах, нужно измерить в дециметрах с помощью деления. Предварительно учащиеся должны все данные длины представить в сантиметрах, а уже потом выполнить деление этих длин на 10 см. Таким образом, будет получен ответ на вопрос о том, сколько раз по 10 см содержится в каждой из указанных длин. Но ответ на этот вопрос как раз показывает число дециметров в данной длине. Для вычисления соответствующих частных учащиеся могут применять способ подбора.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие Тема: «Деление пополам и половина» (1 урок) При изучении данной темы мы расширим представления учащихся о термине «деление». Наряду с рассмотрением знакомых для них ситуаций, связанных с делением данного числа и данной величины пополам, мы будем рассматривать и процедуру деления пополам различных геометрических фигур. Если в первом случае деление пополам означает деление на число 2, то во втором случае – это разбиение геометрической фигуры на 2 одинаковые фигуры.

При выполнении задания 1 на примере разбиения круга на две одинаковые части учащиеся знакомятся со смыслом термина «деление пополам» для геометрической фигуры. Здесь же вводится термин «половина» для обозначения любой из двух равных частей, на которые разбивается данная фигура. То, как учащиеся усвоили эту новую процедуру и соответствующую терминологию, они могут продемонстрировать на примере самостоятельного деления пополам произвольного квадрата.

В задании 2 дается иная трактовка термина «деление пополам»:

речь идет о делении некоторого данного числа на 2 равные части.

Важно провести четкую смысловую границу между двумя трактовками процедуры «деление пополам». Так, разделить пополам одинаковых конфет означает разбить их на две группы, одинаковые по численности. При этом учащимся сообщается, что число конфет в одной группе можно найти действием деления, только для этого в знакомой уже трактовке действия деления нужно поменять местами делитель и значение частного. Таким образом, в записи действия деления (16:2=8) делитель (2) обозначает, на сколько равных частей разделили делимое (16), а значение частного (8) показывает численность одной такой части. Но разделить 16 конфет пополам совсем не означает, что каждую конфету нужно разделить пополам, хотя и таким способом можно получить два одинаковых набора, каждый из которых состоит из 16 половинок конфет.

При выполнении задания 3 учащиеся могут продемонстрировать то, как они поняли объяснение из задания 2. Действие деление они могут выполнить на предметном уровне или с помощью соответствующей иллюстрации.

В задании 4 продолжается работа по изучению деления пополам для чисел. Теперь это действие рассматривается с точки зрения вычитания. Действительно, разделить пополам – значит найти такое число, которое ровно 2 раза можно вычесть из данного числа. Другими словами, это такое число, при вычитании которого из данного числа получается это же самое число. Например, так как 20–10=10, то число 10 и является половиной от числа 20.

В задании 5 в несколько иной терминологии рассматривается ситуация, описанная в предыдущем задании. По существу, учащимся нужно установить смысловую связь между двумя равенствами:

В задании 6 мы вновь возвращаем учащихся к рассмотрению процедуры деления пополам геометрической фигуры. В данном случае речь идет о делении пополам некоторого прямоугольника. Перед ними ставится задача найти различные варианты деления пополам произвольного прямоугольника. Первоначально ученики должны указать три таких варианта. Скорее всего, это будут варианты, которые «лежат на поверхности» (рис. 21–23).

Если же говорить о других вариантах, то все они могут быть охарактеризованы следующим образом: нужно провести отрезок или другую центрально-симметричную линию через центр (точку пересечения диагоналей) прямоугольника (см. рис. 24 и рис. 25).

При выполнении задания 7 учащиеся смогут установить смысловую связь между делением пополам геометрической фигуры (отрезка) и делением пополам соответствующей величины (длины этого отрезка).

В результате выполнения задания 8 они приходят к выводу, что любая точка прямой делит эту прямую пополам.

Задание 9 является продолжением предыдущего задания. Но только взамен прямой теперь рассматривается луч. Такая замена приводит к совершенно противоположному выводу: нет ни одной точки, которая делила бы этот луч пополам. Для объяснения достаточно сказать о том, что в этом случае одна часть луча будет отрезком, а другая – лучом.

При выполнении задания 10 учащиеся должны сначала назвать фигуры, которые разделены пополам. Такими фигурами будут фигуры под номерами 1, 3 и 6. Заключительная часть задания напоминает учащимся о существовании симметричных фигур. ОтличительТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие ной чертой симметричной фигуры является то, что ось симметрии делит ее на две равные части. Поэтому и отрезок, лежащий на оси симметрии, делит эту фигуру пополам. Доказать это можно, например, с помощью перегибания модели данной фигуры по указанному отрезку.

Тема: «Деление на несколько равных частей и доля» (1 урок) Данная тема является обобщением предыдущей. При ее изучении будут рассматриваться случаи деления на несколько равных частей, а не только на 2 равные части.

При выполнении задания 1 на примере разбиения квадрата на 4 равных квадрата учащиеся знакомятся со случаем деления геометрической фигуры на 4 равные части. При этом прямоугольник, состоящий из двух «маленьких» квадратов, можно рассматривать как половину «большого» квадрата. Другим способом деления квадрата на 4 равные части может являться способ, заключающийся в проведении двух диагоналей, в результате чего квадрат разбивается на 4 равных треугольника (рис. 26).

В задании 2 предлагается умозрительно разделить отрезок пополам, после чего каждую половину еще разделить пополам. Таким способом мы делим отрезок на 4 равные части, и к этому выводу учащиеся должны прийти самостоятельно. После этого они должны практически удостовериться в справедливости сделанного вывода, применив указанную процедуру к отрезку длиной 8 см.

Когда отрезок будет разделен на 4 равные части, то можно поставить вопрос о длине одной такой части, или одной четвертой части, или четвертой доли этого отрезка. Четвертую долю можно называть четвертью по аналогии с тем, как вторую долю мы называем половиной.

Задание 3 относится к заданиям повышенной сложности. В нем учащимся предлагается объяснить смысл фразы о том, что «апельсин состоит из долек». Примерное объяснение может звучать так:

«Структура апельсина такова, что его мякоть разделена на практически равные части, которые по этой причине можно назвать долями или дольками».

Выполняя задание 4, учащиеся смогут детально познакомиться с «новой» трактовкой действия деления. Речь идет о делении на равные части. Первое знакомство с такой трактовкой действия деления состоялось при выполнении задания 2 из предыдущей темы.

Но тогда рассматривался только частный случай деления на равные части, а именно деление пополам или на 2 равные части. Хотя сейчас мы также рассматриваем частный случай (деление на 5 равных частей), но теперь вместе со случаем деления пополам мы вполне можем делать обобщения.

Важно обратить внимание учащихся на то, что обе трактовки деления тесно связаны. И эта связь может быть представлена следующим образом. В первоначальной трактовке запись 15:5=3 означает, что 15 пирожных разложили по 5 пирожных на тарелки, и получилось, что заняли 3 тарелки.

Но можно эту запись трактовать и по-другому: из 15 пирожных можно образовать наборы по 5 пирожных, и число этих наборов будет равно 3 (это полностью соответствует привычной трактовке действия деления); после этого из одного набора разложить по одному пирожному на каждую из 5 тарелок; аналогично поступить со всеми остальными наборами. В результате такой процедуры окажется, что все 15 пирожных разложили поровну на 5 тарелок, получив на одной тарелке 3 пирожных. Поэтому запись действия деления 15:5=3 можно трактовать так: делимое (15) показывает число всех предметов, делитель (5) показывает, на сколько равных частей нужно произвести деление, а значение частного (3) показывает численность одной такой части.

Примечание. Деление «на равные части» отличается от деления «по содержанию» лишь тем смыслом, который мы приписываем делителю и значению частного. В делении «по содержанию» (а именно с этого вида деления мы начали изучать данную операцию) делитель обозначает численность одной части, а значение частного – число таких частей.

В делении «на равные части» все с точностью до наоборот:

делитель обозначает число равных частей, а значение частного – численность одной такой части. При решении текстовых задач на деление важно правильно выбрать нужную трактовку, так как от этого зависит то, какое наименование получит результат. Когда же речь идет о нахождении значения частного с помощью предметных действий или иллюстрации, то можно использовать любую из двух рассмотренных трактовок деления.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие Тема: «Уменьшение в несколько раз» (1 урок) В результате изучения данной темы учащиеся смогут познакомиться с еще одним применением деления «на равные части»: деление некоторого числа или величины на данное число можно рассматривать как уменьшение этого числа или величины в данное число раз.

При этом процедура уменьшения в несколько раз так же связана с действием деления, как процедура увеличения в несколько раз связана с действием умножения.

При выполнении задания 1 учащиеся на простом примере с двумя одинаковыми наборами по 9 солдатиков сначала вспоминают суть процедуры увеличения в 2 раза, а потом переходят к знакомству с процедурой уменьшения в 2 раза. Данная процедура может быть описана с помощью действия деления, причем деления на 2 равные части.

В задании 2 учащимся сначала предлагается уменьшить число 24 в 2 раза, разделив его на 2, после чего это же число нужно уменьшить в 3 раза. Вывод о том, что для уменьшения в 3 раза нужно рассматриваемое число разделить на 3, учащиеся должны сделать самостоятельно, рассуждая по аналогии. После этого аналогичный вывод должен быть получен и для процедуры уменьшения в 4 раза.

В задании 3 рассматривается вопрос об уменьшении в несколько раз данной величины. В данном случае имеет место полная аналогия с уменьшением числа в несколько раз. Процедура уменьшения конкретной длины (полоски длиной 12 см) в 3 раза означает получение одной третьей части этой длины.

Сделать это можно с помощью деления данной длины на 3. Заключительная часть этого задания посвящена повторению вопроса об уменьшении на некоторую величину и о разностном сравнении величин.

Задание 4 относится к заданиям повышенной сложности. Это обусловлено необходимостью проведения многоступенчатых логических рассуждений. Из формулировки задания учащиеся самостоятельно должны понять, что у Маши осталась одна четвертая часть всех тетрадей. Следующий шаг рассуждений должен состоять в том, чтобы связать процедуру получения одной четвертой части с процедурой уменьшения в 4 раза. После этого устанавливается связь между процедурой уменьшения в 4 раза и делением на число 4.

Конкретные вычисления в этом задании связаны с вычислением значения частного 40:4.

Тема: «Действия первой и второй ступеней» (1 урок) Еще один аспект изучения действий над числами заключается в рассмотрении вопроса о порядке их выполнения. Во втором полугодии учащиеся уже узнали о приоритетности умножения над вычитанием аналогично тому, как это было сделано для умножения и сложения в первом полугодии. А теперь, после того как введено действие деления, появилась возможность рассмотрения данной темы. При ее изучении мы предлагаем опираться хотя и на искусственную, но очень удобную ассоциацию, заключающуюся в том, что с действиями первой ступени (сложением и вычитанием) учащиеся познакомились в 1 классе, а с действиями второй ступени (умножением и делением) – во 2 классе. К рассмотрению этого вопроса мы еще вернемся в 3 классе.

В задании 1 мы напоминаем учащимся о действиях, с которыми они познакомились в 1 классе. Эти действия относятся к действиям первой ступени, а выполняются они по порядку слева направо, если в выражении нет других действий и нет скобок.

В задании 2 мы напоминаем учащимся о действиях, с которыми они познакомились во 2 классе. Эти действия относятся к действиям второй ступени, а выполняются они по порядку слева направо, если в выражении нет других действий и нет скобок. В заключительной части этого задания дается формулировка правила порядка выполнения действий одной ступени в выражении без скобок, которое учащимся следует запомнить и научиться применять.

При выполнении задания 3 учащиеся должны продемонстрировать умение вычислять значения выражений, содержащих действие умножения и действие сложения или действие вычитания. В заключительной части этого задания дается формулировка правила порядка выполнения действий в выражении без скобок, содержащем действия первой и второй ступеней. Это правило также учащимся следует запомнить и научиться применять.

Выполняя задание 4, учащиеся смогут продемонстрировать то, как они усвоили сформулированные выше правила порядка выполнения действий.

В задании 5 предлагается составить задачу по данному решению.

Для этого учащимся следует начать с анализа выражения, которое должно быть решением этой задачи. В этом выражении два действия. Первым действием нужно вычислить значение произведения 3•5, а вторым – значение разности 50–15. Теперь можно формулировать задачу. Например, интересующая нас задача может быть сформулирована следующим образом: «В корзине лежало 50 слив.

Сколько слив осталось в корзине после того, как из нее положили Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие на 5 тарелок по 3 сливы?» При вычислении ответа данной задачи учащиеся смогут поупражняться в применении правила порядка выполнения действий.

Задание 6 относится к заданиям повышенной сложности. Это обусловлено тем, что учащимся предлагается решить не привычную для них задачу по вычислению значения выражения, а задачу обратную, заключающуюся в том, чтобы по известным шагам вычисления значения выражения восстановить само это выражение.

Искомым выражением будет следующее: 6•4–5•3.

Тема: «Поупражняемся в вычислениях»

Мы предлагаем подборку заданий на закрепление и повторение понятий, связанных с действием деления и рассмотренных в последних десяти темах.

В задании 1 учащимся предлагается вычислить значения частных с помощью вычитания.

При выполнении задания 2 учащиеся смогут поупражняться в нахождении половины от данного числа, что равнозначно делению данного числа на 2.

При выполнении задания 3 они смогут вспомнить о смысле деления величины на величину этого же рода. Такой случай деления можно трактовать как процедуру измерения первой величины с помощью второй.

В задании 4 учащимся предлагается вспомнить, что стоит за фразой «уменьши число в 5 раз».

С помощью задания 5 можно повторить смысл деления геометрической фигуры (круга) на заданное число частей (на 4 части).

Для того чтобы выполнить задание 6 учащимся сначала нужно понять, какую длину имеет третья часть девятисантиметровой полоски. После этого можно уже отмерить эту часть и закрасить ее.

В задании 7 предлагается с помощью измерений и вычислений установить, какая часть полоски закрашена. Так как вся полоска имеет длину 12 см, а закрашенная часть – 2 см, то можно установить с помощью деления длин, сколько раз 2 см содержится в 12 см. Это число равно 6, поэтому закрашенной будет шестая (одна шестая) часть полоски.

Задания 8 и 9 относятся к заданиям повышенной сложности.

В задании 8 учащимся нужно правильно расставить скобки в данном выражении. Скорее всего, они будут действовать методом проб и ошибок, что вполне естественно. Искомое выражение будет следующим: (4+5)•(7-2).

В задании 9 предлагается начертить прямоугольник со сторонами 8 см и 4 см, а потом разделить его на 4 равные части тремя способами. При выполнении первой части задания лучше использовать не линейку, а клеточки тетради, имея в виду, что 2 клеточки дают длину 1 см. Если вершины прямоугольника будут располагаться точно в вершинах клеток, то это поможет в выполнении второй части задания. Скорее всего, у учащихся не возникнет затруднений с отысканием двух способов деления прямоугольника на 4 равные части. Эти способы заключаются в делении одной из сторон на 4 равные части и проведении через эти точки отрезков, параллельных другой стороне (рис. 27 и рис. 28). Дополнительной подсказкой в этом случае является и выбранная специально длина сторон прямоугольника.

Для нахождения еще одного способа учащиеся должны проявить свои творческие способности. В плане помощи учитель может предложить им сначала разделить прямоугольник пополам на 2 квадрата. После этого они уже самостоятельно должны отыскать новый вариант разбиения, связанный с делением пополам двух полученных квадратов. Возможный вариант решения представлен на рисунке (рис. 29).

Задание 10 относится к заданиям повышенной сложности.

В результате его выполнения учащиеся самостоятельно должны сформулировать вывод о том, что при уменьшении числа сначала в 2 раза, а потом еще в 3 раза данное число в итоге уменьшается в 6 раз. Установить эту закономерность они должны на примере уменьшения в указанное число раз числа 18. После того как будет получено число 3, учащиеся должны понять, во сколько раз нужно уменьшить число 18, чтобы получить число 3. Сделать это они могут с помощью подбора и соответствующей проверки.

При составлении выражения, о котором речь идет в задании 11, учащиеся должны помнить о порядке выполнения действий первой и второй ступеней. В итоге у них должно получится следующее выражение: 20:5+6• Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие В задании 12 предлагается составить выражение с действиями первой и второй ступеней, значение которого равно 56. Начать составление такого выражения разумнее всего с отыскания произведения, значение которого равно 56. После этого каждый множитель можно представлять либо в виде суммы, либо в виде разности.

Тема: «Сколько прошло времени? Солнечные и песочные часы» (1 урок) Этой темой мы открываем серию тем, в которых будет рассматриваться величина «время». О двух аспектах рассмотрения этого понятия было подробно сказано в общих рекомендациях к разделу «Изучение величин». Мы только напомним, что учителю обязательно следует обращать внимание на эту сторону проблемы: время-дата (хронологическое время) и время-продолжительность требуют учета отмеченных ранее особенностей при оперировании с ними. Если проводить геометрическую аналогию, то время-дата – это точка, а время-продолжительность – это отрезок. Совсем не случайно, говоря о хронологическом времени, принято употреблять термин «момент времени», а говоря о времени-продолжительности, часто употребляется термин «интервал времени».

В преамбуле к данной теме мы знакомим учащихся с солнечными часами. На примере солнечных часов достаточно наглядно можно продемонстрировать цикличность основополагающих природных процессов (в данном случае речь идет о вращении Земли вокруг своей оси), которая и лежит в основе измерения времени.

С помощью солнечных часов мы переводим процесс вращения Земли в процесс движения по кругу тени от вертикально стоящего предмета.

При выполнении задания 1 от учащихся потребуется спрогнозировать дальнейшее развитие событий. Учитывая, что в первую половину суток, когда мы «наблюдали» за движением тени от колышка вместе с учащимися, тень постепенно поворачивалась, образуя все больший и больший угол со своим первоначальным положением, учащимся самостоятельно вполне можно прийти к выводу, что в течение второй половины суток этот процесс будет продолжаться. Так как с углами больше развернутого учащиеся пока не знакомы, то описывать этот процесс они могут не с помощью угла, на который осуществляется поворот, а с помощью дополнительного угла, который со временем уменьшается. Можно обратить внимание учащихся еще и на тот факт, что после захода солнца тень совсем исчезнет, но с восходом снова появится, причем в темное время суток тень как бы продолжала такое же движение, как и в светлое время.

В задании 2 мы предлагаем учащимся «посмотреть» на солнечные часы на следующий день в то же самое время. То, что речь идет об одном и том же времени, мы подчеркиваем с помощью специальной фразы о выходе папы из дома на работу (обычно такое событие происходит каждый рабочий день в одно и то же время). Вывод, сделанный по результатам «наблюдений», звучит так: «За сутки тень возвратилась в исходное положение». Другими словами, за сутки тень на солнечных часах описывает круг. Этот факт можно положить в основу объяснения смысла термина «круглые сутки».

В задании 3 предлагается продемонстрировать свои знания о частях суток. Необходимые сведения по этому вопросу они получили при изучении соответствующей темы в 1 классе. Более детально этот вопрос рассматривался на уроках по предмету «Окружающий мир». Для выполнения заключительной части задания учащиеся должны изобразить круг с двумя перпендикулярными диаметрами.

С помощью такого рисунка легко установить, что тень на солнечных часах должна 4 раза повернуться на прямой угол, чтобы описать полный круг.

В задании 4 мы знакомим учащихся с другим видом часов. Теперь речь пойдет о песочных часах. Такие часы учащимся нужно обязательно продемонстрировать, показав, как ими пользоваться.

Песочные часы удобны для отмеривания определенных промежутков времени, при этом разные часы могут быть ориентированы на разные промежутки времени. Если нужно отмерить меньший промежуток времени, чем тот, на который рассчитаны песочные часы, то сделать это с помощью данных песочных часов достаточно затруднительно. Однако песочные часы позволяют легко отмеривать кратные промежутки времени, увеличивая заданный промежуток в некоторое целое число раз. Что касается ситуаций, в которых удобно пользоваться песочными часами, то примеры их могут быть самыми разнообразными. Мы здесь никак не ограничиваем фантазию учащихся.

В задании 5 предлагается отмерить промежуток времени в 25 минут с помощью 5-минутных и 10-минутных песочных часов. Сделать это учащиеся могут разными способами: 1) можно 5 раз воспользоваться 5-минутными часами; 2) можно 1 раз воспользоваться 10-минутными часами и 3 раза – 5-минутными часами; 3) можно 2 раза воспользоваться 10-минутными часами и 1 раз – 5-минутными.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие Тема: «Который час? Полдень и полночь» (1 урок) При изучении данной темы учащиеся познакомятся с циферблатными часами и с процедурой определения времени по этим часам. Пока мы будем рассматривать только такие ситуации, когда показания часов можно описать только с помощью указания соответствующего часа без привлечения минут. Особое внимание будет обращено на такие моменты времени суток, как полдень и полночь.

В задании 1 предлагается назвать время, которое показывают часы на рисунке. Для этого ученики должны обратить внимание на положение часовой стрелки. Минутная стрелка во всех случаях занимает фиксированное положение.

В задании 2 перед учащимися ставится обратная задача: изобразить часы, которые показывают данное время, а именно ровно 3 часа. В этом положении часовая и минутная стрелки образуют прямой угол, на что учащиеся должны обратить внимание. Такой же угол будут образовывать часовая и минутная стрелки ровно в 9 часов. Другие случаи расположения под прямым углом стрелок часов существуют, но точно их указать практически невозможно.

При выполнении задания 3 учащиеся знакомятся с очень важным случаем расположения стрелок на часах. Имеется в виду случай, когда обе стрелки указывают на 12. Такое положение означает либо полдень, либо полночь. При этом полночь – это конец одних суток и начало других, а полдень – это момент времени, который делит сутки пополам.

Цель задания 4 состоит в том, чтобы акцентировать внимание учащихся на повторяющиеся показания часов до полудня и после полудня. По этой причине к показанию часов добавляется указание на часть суток: день или ночь, утро или вечер. Пока мы не предлагаем выходить на обозначение типа 15 часов. Лучше в этом случае говорить о 3-х часах дня (о 3-х часах после полудня).

При выполнении задания 5 учащиеся знакомятся с моментом времени, когда одни сутки сменяют другие.

В задании 6 предлагается ответить на вопрос о том, сколько суток прошло, если часы четырежды показали ровно 12 часов. Так как в течение любых суток часы дважды показывают ровно 12 часов (в полночь и в полдень), то четыре раза ровно 12 часов часы показывают в течение двух суток.

Тема: «Циферблат и римские цифры» (1 урок) При изучении данной темы учащиеся не только продолжат изучать величину время, но и познакомятся с римскими цифрами, которые очень часто присутствуют на циферблатах часов.

В преамбуле к данной теме описана ситуация, с помощью которой объясняется целесообразность знакомства с римскими цифрами.

При выполнении задания 1 учащиеся знакомятся с записью чисел от 1 до 12 римскими цифрами. Осуществляется это на основе сравнения двух циферблатов, один из которых с римскими цифрами. Так как на циферблате на одном и том же месте должно быть записано одно и то же число, то, сравнивая два циферблата, учащиеся вполне могут самостоятельно распознать, какое число записано знаком I, знаком V, знаком X. Продолжая использовать этот прием, можно вести речь и об остальных числах, записанных римскими цифрами.

Примечание. При введении в употребление термина «циферблат» можно обратить внимание учащихся на смысловой состав этого иностранного слова. Первая часть этого слова «цифер» должна быть понятна учащимся без каких-либо дополнительных пояснений. Вторая часть слова «блат» в переводе с немецкого означает «лист». Таким образом, циферблат буквально означает лист с цифрами.

Для выполнения задания 2 учащиеся могут обратиться к циферблату с римскими цифрами из предыдущего задания.

В задании 3 мы обращаем внимание учащихся, что при записи чисел римскими цифрами применяются два правила: правило сложения и правило вычитания. Какое из правил применять, зависит от того, в каком порядке следуют римские цифры в записи числа.

При выполнении задания 4 учащиеся смогут продемонстрировать, как они усвоили правило сложения и правило вычитания, используемые при записи чисел римскими цифрами.

В задании 5 предлагается прочитать числа записанные римскими цифрами. Записи первых трех чисел знакомы учащимся из задания 1. Что касается оставшихся двух чисел, то для их записи используется правило сложения, и учащиеся вполне могут самостоятельно определить, что последние две записи обозначают соответственно числа 15 и 20.

В задании 6 предлагается записать римскими цифрами числа от 11 до 19. При этом дается указание, что запись должна начинаться с обозначения 1 десятка, к которой справа добавляется запись Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие оставшегося числа единиц. Эту вторую часть записи учащиеся могут позаимствовать из задания 1.

В результате выполнения задания 7 учащиеся смогут научиться называть числа третьего десятка по их записи римскими цифрами.

В результате выполнения задания 8 учащиеся смогут научиться записывать числа четвертого десятка римскими цифрами.

Задание 9 относится к заданиям повышенной сложности. Учащимся предлагается без предварительного объяснения выполнить указанные действия над числами, записанными римскими цифрами. Сделать это они могут следующим образом. Сначала следует записать задание в привычном виде с помощью знакомых учащимся десятичных цифр. После этого нужно выполнить указанное действие и получить соответствующий результат. Наконец, полученный результат записать римскими цифрами, и с его помощью дополнить запись соответствующего равенства.

Тема: «Час и минута» (1–2 урока) Мы переходим к рассмотрению стандартных единиц времени. Знание соотношения между такими единицами времени, как час и минута, позволяет осуществлять перевод времени из одних единиц в другие.

При выполнении задания 1 учащиеся самостоятельно устанавливают с помощью изображения циферблата с минутными делениями, что 1 час состоит из 60 минут.

В задании 2 предлагается выразить продолжительность в 1 час 20 минут в минутах. Для этого учащимся достаточно вспомнить, что 1 час состоит из 60 минут.

Задание 3 является продолжением предыдущего задания и выполняется аналогично.

Задание 4 носит обратный характер по отношению к предыдущему. Для его выполнения учащимся нужно из данного числа минут сначала выделить максимальное количество по 60 минут и записать это в часах, а оставшуюся часть записать в минутах.

В задании 5 мы готовим учащихся к распознаванию времени по часам в том случае, когда часы показывают неполный час.

Задание 6 продолжает линию, которую мы начали проводить в предыдущем задании.

В задании 7, которое относится к заданиям повышенной сложности, предлагается записать вычисление половины часа с помощью деления. Для этого учащиеся должны 60 минут разделить пополам.

Сделать это они могут с помощью циферблата часов.

В задании 8 предлагается сопоставить время, которое показывают часы, и время отправления поезда, указанное на табло. После проведенного сравнения становится понятно, что пассажир спешит на поезд, до отправления которого остались считаные минуты.

В заключительной части этого задания мы акцентируем внимание учащихся на особенности демонстрации времени на табло. Для обозначения часов и минут на табло зарезервировано по две ячейки, и если какая-то ячейка временно не задействована, то в ней показывается цифра 0. При этом после полудня показания в ячейках «часы» будут изменяться от 12 до 23.

При выполнении задания 9 учащиеся смогут поупражняться в прочтении показаний времени на электронном табло.

В задании 10 мы обращаем внимание учащихся на то, как на электронном табло будет показан полдень, а как – полночь. Если в первом случае ситуация достаточно простая (табло показывает 12.00), то на второй случай следует обратить внимание (табло должно показывать 00.00). Объяснить такое показание табло можно, если вспомнить, что полночь – это начало новых суток.

Тема: «Учимся узнавать и называть время по часам»

Мы предлагаем подборку заданий на закрепление и повторение материала, изученного в четырех последних темах.

При выполнении заданий 1 и 2 учащиеся упражняются в определении времени по циферблатным часам.

В задании 3 предлагается определить показания данных часов через 25 минут. Для этого учащиеся должны к данному моменту времени прибавить промежуток времени в 25 минут и получить новый момент времени. Сделать это они могут, используя циферблат часов, по которому можно сместить минутную стрелку на 25 минут вперед. Не следует только забывать о часовой стрелке, так как данная процедура может привести к переходу через данный час.

Выполняя задание 4, учащиеся смогут вспомнить, что за сутки часовая стрелка делает два полных оборота, а за половину суток – один, т. е. проходит 12 часов.

В задании 5 предлагается определить продолжительность временного промежутка по показаниям часов (на часах фиксируется начало и конец данного временного промежутка). При этом временной промежуток составляет лишь часть часового интервала от 7 часов до 8 часов, что существенно упрощает поставленную перед учащимися задачу (не нужно выходить за пределы одного обоТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие рота минутной стрелки). Для ее решения достаточно подсчитать число 5-минутных интервалов, которые за данное время прошла минутная стрелка (их будет 9), и умножить это число на 5 минут (9•5 мин = 45 мин). Возможен и другой вариант решения этого задания: можно выполнить разностное сравнение двух дат: 8 ч и 7 ч 15 мин (8 ч – 7 ч 15 мин = 45 мин), что также позволит получить интересующий нас результат.

Задание 5 относится к заданиям повышенной сложности. Учащимся по рисунку следует представить, что поворот тени на солнечных часах на прямой угол означает прохождение тенью одной четверти полного оборота, который осуществляется за 24 часа. Следовательно, четверть оборота тень проходит за 6 часов. Вычислить это можно с помощью деления (24 час : 4 = 6 час).

В задании 6 предлагается перейти от данного момента времени к другому, который был полчаса тому назад. Сделать это можно либо с помощью вычислений (8 час 30 мин – 30 мин = 8 час), либо с помощью отсчета 30 минут по циферблату.

В задании 7 мы знакомим учащихся с другими вариантами прочтения времени по часам.

Тема: «Откладываем равные отрезки» (1 урок) При изучении данной темы мы возвращаемся к рассмотрению геометрического материала. Сейчас наша задача заключается в том, чтобы научить учащихся использовать циркуль для построения отрезка, равного данному. Это умение потребуется от учащихся при решении целого ряда задач на построение, в том числе для решения задачи об откладывании равных отрезков на прямой.

В преамбуле к этой теме устами Маши сообщается о других возможностях использования циркуля как инструмента для геометрических построений.

В задании 1 описана процедура откладывания данного отрезка на произвольном луче от его начала. От учащихся требуется лишь выполнение всех указанных действий. Было бы желательно, чтобы учитель продемонстрировал все шаги построения на доске.

В задании 2 учащимся предлагается самостоятельно построить отрезок, который по длине равен данному. Для этого не требуется измерять этот отрезок. Достаточно с помощью циркуля на произвольном луче (или прямой) выполнить построения, описанные в предыдущем задании.

В задании 3 учащимся предлагается отложить от начала луча пять одинаковых по длине отрезков. Для этого они должны произвольно выбрать первый отрезок, а уже потом с помощью циркуля отложить последовательно друг за другом еще четыре таких же по длине отрезка.

Задание 4 относится к заданиям повышенной сложности. Это связано с тем, что учащиеся самостоятельно должны адаптировать предложенный им способ построения равных по длине отрезков на случай, когда соседние отрезки не лежат на одной прямой. Для этого им достаточно представить всю процедуру построения ломаной как трижды повторяющуюся процедуру откладывания данного отрезка от начала луча, при условии, что отрезок будет выбран произвольно, а «новый» луч не будет лежать на одной прямой со «старым» лучом.

В задании 5 предлагается распознать среди данных многоугольников тот, у которого все стороны равны. Сделать это они должны с помощью циркуля. Процедура проверки должна начинаться с того, что одна из сторон многоугольника «запоминается» с помощью соответствующего раствора циркуля. После этого все другие стороны данного многоугольника по очереди сопоставляются с этим фиксированным раствором циркуля. Если расхождений получено не будет, то мы установили искомый многоугольник.

Тема: «Числа на числовом луче» (1 урок) В теме мы обращаемся к рассмотрению вопроса о порядковых свойствах изученных чисел и о возможности геометрической интерпретации этих свойств. С этой целью будет введено понятие числового луча как удобного способа изображения (моделирования) изученных чисел с точки зрения порядка их следования.

Примечание. При изображении числового луча мы используем стрелку, которая указывает направление увеличения чисел. Для числового луча стрелка не является обязательным компонентом, но, учитывая появление в дальнейшем числовой прямой, где стрелка уже должна присутствовать обязательно, мы в пропедевтическом плане считаем целесообразным уже на этом этапе ввести данное обозначение.

При выполнении задания 1 учащиеся, согласно данному им предписанию, построят числовой луч. При выполнении этого построения учащиеся должны четко усвоить следующие факты: во-первых, начало луча изображает число 0; во-вторых, расстояние между соседними точками, которые изображают соседние числа, одно и то же; в-третьих, процесс построения требуемых точек на луче можно Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие продолжать бесконечно, а следовательно, для каждого известного нам числа можно найти точку, изображающую это число на луче.

В задании 2 от учащихся требуется только показать на данном числовом луче точку, изображающую число 15. Так как не все точки на луче пронумерованы, учащиеся самостоятельно должны восполнить этот пробел.

При выполнении задания 3 учащиеся смогут поупражняться в определении точек, которые изображают данные числа на числовом луче.

В задании 4 мы сначала знакомим учащихся с тем, как можно с помощью числового луча выполнять сложение и вычитание, а уже потом предлагаем попробовать самостоятельно осуществить соответствующие процедуры. Всю необходимую информацию учащиеся могут получить из иллюстраций к данному заданию. Учителю важно обратить внимание на то, что необходимое присчитывание или отсчитывание данных чисел нужно вести по «единичным» отрезкам.

В задании 5 предлагается решить обратную задачу по отношению к предыдущему заданию. По данной иллюстрации учащиеся должны составить следующую запись: 15–8=7. При этом сначала обязательно следует обратить их внимание на число «единичных»

отрезков, заключенных между точками, изображающими числа и 7. А уже после этого переходить к составлению соответствующей записи.

Тема: «Натуральный ряд чисел» (1 урок) При изучении данной темы учащиеся познакомятся с понятием натурального ряда чисел и с термином «натуральное число», который с этого момента мы будем применять ко всем изученным ранее числам, кроме числа 0.

Примечание. В отечественной теоретико-числовой школе принято считать, что число 0 не является натуральным. Это не общепринятая точка зрения. Так, например, французская математическая школа относит число 0 к натуральным числам. Мы, естественно, придерживаемся первой точки зрения.

Данное соглашение является данью определенной традиции, и обсуждать разумность такого соглашения на страницах учебника для 2 класса мы не считаем возможным. Однако если у учащихся возникнет вопрос такого плана, то учитель при ответе может сослаться на природу этих чисел, связанную с их возникновением. Эти числа возникли в результате счета предметов. Для решения этой практической задачи чисНатуральный ряд чисел»

ло 0 не требовалось, поэтому его и не относят к натуральным числам. Сам термин «натуральное число» буквально означает «природное число».

В задании 1 описана процедура построения натурального ряда чисел. Так как вся необходимая подготовительная работа была уже проведена при изучении предыдущей темы, то сама эта процедура учащимся должна быть понятна без дополнительных пояснений.

Что касается объяснения того, почему натуральные числа получили такое название, то оно может быть следующим: числа 1, 2, 3, и т. д. изначально использовались для счета предметов окружающей действительности, т. е. природных (натуральных) предметов, что и подсказало их название.

В задании 2 предлагается записать числа, которые соседствуют слева и справа с числом 327. Это позволяет не только поработать с фрагментом натурального ряда чисел, но и повторить вопросы нумерации и сравнения трехзначных чисел.

В задании 3 предлагается упорядочить данные числа. Для этого учащиеся должны применить правила сравнения чисел, которые изучались в начале второго полугодия. Обязательно нужно обратить их внимание на то, что в натуральном ряду эти числа достаточно далеко отстоят друг от друга.

В задании 4 учащимся фактически предлагается построить фрагмент (отрезок) натурального ряда чисел от числа 526 до числа 535, который состоит из 10 чисел.

В задании 5 предлагается аналогичное задание, только отсчет ведется от числа 209 и по убыванию. Искомый набор чисел должен выглядеть так: 209, 208, 207, …, 200.

В задании 6 учащимся сначала предлагается выполнить разностное сравнение чисел 207 и 197, а потом уменьшить полученное число на 1. Полученное по такому правилу (алгоритму) число (в данном случае это число 9) показывает, сколько натуральных чисел находится между числами 197 и 207. Проверить справедливость этого утверждения учащиеся смогут, выписав по порядку все эти числа и пересчитав их. В дополнение к этому заданию учащимся может быть предложено задание на установление числа натуральных чисел, расположенных, например, между числами 15 и (этих чисел будет 99).

При выполнении задания 7 учащиеся знакомятся со свойствами натурального ряда чисел. Эти свойства заключаются в наличии наименьшего числа (числа 1) и отсутствии наибольшего (бесконечность ряда). Число 0 к натуральным числам не относится. 0 – это целое неотрицательное число, но пока учащимся мы это не сообщаем.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие Задание 8 относится к заданиям повышенной сложности. Сначала учащимся предлагается установить (без пересчета), сколько натуральных чисел находится между числами 40 и 60. Для выполнения этой части задания учащиеся должны применить правило, о котором речь шла в задании 6 данной темы (искомых чисел будет 19, так как (60 – 40)–1=19). Следующая часть задания потребует от учащихся применения этого же правила в обратном порядке: так как между искомыми числами должно располагаться 15 чисел, то разностное сравнение этих чисел должно быть равно 16. Например, можно взять числа 40 и 56. Проверить данный факт учащимся предлагается практическим способом, выписав все «промежуточные» числа. В заключительной части задания мы опять возвращаем учащихся к отрезку натурального ряда от числа 40 до числа 60, но теперь предлагаем им установить (без пересчета), сколько на этом отрезке расположено натуральных чисел, включая концы отрезка. Учитывая, что учащимся уже известно число натуральных чисел, расположенных между числами 40 и 60 (этих чисел 19), им остается только увеличить это число на 2, чтобы учесть еще числа 40 и 60 (концы отрезка). Таким образом, искомое число равно 21. При желании можно сформулировать и общее правило: для установления числа чисел на отрезке натурального ряда, включая его концы, следует увеличить на 1 результат разностного сравнения концов этого отрезка.

В задании 9 (задание повышенной сложности) продолжается работа по изучению свойств натурального ряда чисел. Используя пример из повседневной жизни, мы знакомим учащихся с нечетными числами (соответствующий термин пока не употребляется). Для ответа на поставленный вопрос учащимся нужно самостоятельно продолжить ряд, состоящий из чисел 1, 3, 5, 7 и т. д. до числа 31.

После этого они смогут назвать число чисел в этом ряду. Так как на другой стороне улицы расположены дома с четными номерами, то аналогичное задание можно предложить учащимся и с числами 2, 4, 6, и т. д.

Тема: «Час и сутки» (1 урок) Данной темой мы вновь возвращаем учащихся к изучению величины время. Теперь на очереди рассмотрение таких единиц времени, как час и сутки.

В задании 1 мы предлагаем вспомнить все, что ученики уже знают о соотношении часа и суток и зафиксировать это соотношение в виде соответствующего равенства. Вся работа в этом задании строится на обращении к циферблатным часам.

Для ответа на вопрос, поставленный в задании 2, учащимся нужно выполнить либо сложение одинаковых слагаемых, равных числу 24, либо умножение числа 24 на соответствующее число суток.

При этом для выполнения умножения учащиеся располагают единственной возможностью (не считая сложения одинаковых слагаемых) – применить калькулятор.

В задании 3 учащиеся сталкиваются с обратной ситуацией. Теперь им нужно перевести часы в сутки. Сделать это они могут с помощью деления данного числа часов на продолжительность суток в часах, т. е. на 24 часа. Само действие деления может быть выполнено либо с помощью вычитания, либо методом подбора.

Цель задания 4 – познакомить учащихся с продолжительностью в часах половины суток и четверти суток.

Из всех вопросов задания 5 затруднения в получении ответа может вызвать разве что последний. Так как четверть суток составляет 6 часов, то данные часы через четверть суток будут показывать 16 часов 20 минут.

В задании 6 предлагается ответить на вопрос: через сколько часов заканчиваются сутки, если на часах 6 часов вечера? По часам легко установить, что до окончания данных суток осталось 6 часов.

В задании 7 мы еще раз обращаем внимание учащихся, что на обычных циферблатных часах часовая стрелка совершает полный оборот за 12 часов, т. е. за половину суток. Следовательно, показания часов во второй половине суток будут полностью дублировать соответствующие показания часов из первой половины суток. Окончательный вывод должен быть таким: в течение суток каждое время часы показывают два раза (до полудня и после полудня).

Задание 8 относится к заданиям повышенной сложности. Привести пример времени, когда на часах часовая стрелка совпадает с минутной, не составляет особого труда. Таким примером может служить положение стрелок в полдень или в полночь. Гораздо сложнее обстоит дело с подсчетом числа таких положений за сутки. Их число равно 22. Рассуждать можно приблизительно так: в полночь стрелки часов совпадают; после этого должно пройти чуть больше часа (приблизительно 1 час 5 минут), чтобы минутная стрелка вновь совпала с часовой; до полудня таких положений будет 11, а с полудня все начнет повторяться; всего за сутки эта ситуация повторится 22 раза.

Задание 9 мы также отнесли к заданиям повышенной сложности, но не из-за сложности требуемых от учащихся рассуждений, а из-за их нестандартности. Им достаточно обратить внимание на Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие то, что после 8 часов вечера наступит 9 часов вечера и будильник зазвонит, так как будильник «не различает время до полудня и после полудня». Следовательно, до звонка будильника пройдет только 1 час.

Задание 10 возвращает учащихся к решению задания 6 данной темы. Учитывая, что от 6 часов утра до 6 часов вечера проходит половина суток (12 часов), а от 6 часов вечера до окончания суток (до полуночи) проходит 6 часов (это было установлено при выполнении задания 6), получается, что искомый временной промежуток равен 18 часам (12ч + 6ч =18ч).

Тема: «Сутки и неделя» (1 урок) При изучении данной темы мы продолжим рассматривать единицы времени. Теперь на очереди такая единица, как неделя.

При выполнении задания 1 учащиеся смогут повторить вопросы о числе дней (суток) в неделе и о названии и последовательности дней недели.

При выполнении задания 2 осуществляется повторение смысла таких терминов, как «завтра» и «послезавтра».

При выполнении задания 3 осуществляется повторение смысла таких терминов, как «вчера» и «позавчера».

Смысл задания 4 заключается в том, чтобы установить в сознании учащихся стойкую ассоциацию между названием дня недели и его порядковым номером среди дней недели.

Задание 5 относится к заданиям повышенной сложности, так как предполагает проведение достаточно сложных для них вычислений.

Учащимся нужно вычислить значение произведения 24•7. Сделать это они могут и с помощью калькулятора.

Для выполнения задания 6 учащимся достаточно понять, что от 12 часов дня среды до 12 часов дня пятницы той же недели проходит ровно двое суток или 48 часов.

Задание 7 относится к заданиям повышенной сложности. Из формулировки этого задания учащиеся должны понять, что от начала субботы до конца понедельника следующей недели проходит трое суток (суббота, воскресенье, понедельник).

В задании 8 учащимся предлагается назвать событие, которое повторяется каждые сутки. Это могут быть самые разнообразные события, в том числе и то, которое изображено на рисунке.

В задании 9 учащимся предлагается назвать событие, которое повторяется еженедельно. Это могут быть самые разнообразные события, в том числе и то, которое изображено на рисунке.

Тема: «Сутки и месяц» (1 урок) В этой теме продолжаем изучение единиц времени. Теперь на очереди такая единица времени, как месяц. В строгом математическом смысле месяц не является единицей времени, так как за термином «месяц» скрываются разные по продолжительности промежутки времени. Но в бытовом смысле месяц является общеупотребимой единицей времени, и мы будем детально рассматривать эту единицу.

В задании 1 от учащихся требуется назвать возможное число дней (суток) в одном месяце. Соответствующие знания у них имеются.

В задании 2 предлагается вспомнить названия месяцев, которые состоят из 31 дня, из 30 дней, а также название месяца, в котором число дней непостоянно.

Задание 3 относится к заданиям повышенной сложности. Для ответа на вопрос учащиеся должны самостоятельно воспользоваться данным на рисунке календарем на январь месяц.

При выполнении задания 4 учащиеся должны установить, сколько месяцев длятся летние каникулы и сколько дней длятся зимние каникулы. Каникулярные летние месяцы учащиеся могут просто назвать и сосчитать. Аналогично они могут поступить и с каникулярными зимними днями.

Ответом на первый вопрос задания 5 будет любой из следующих восьми вариантов: март – апрель, апрель – май, май – июнь, июнь – июль, август – сентябрь, сентябрь – октябрь, октябрь – ноябрь, ноябрь – декабрь. Что же касается второго вопроса, то это будут два месяца по 31 дню (декабрь – январь или июль – август).

В задании 6 предлагается ответить на вопрос, сколько полных недель в 1 месяце. Для этого сначала нужно вычислить число дней в двух неделях, в трех неделях, в четырех неделях, в пяти неделях.

Полученные результаты покажут, что 4 полные недели по числу дней могут содержаться в 1 месяце, а 5 полных недель уже нет.

При выполнении задания 7 учащиеся еще раз вспомнят о числе дней (суток) в данном месяце. При этом каждый будет говорить о своем месяце, а именно о том месяце, в котором он родился.

Тема: «Месяц и год» (1 урок) Мы продолжаем изучать единицы времени. На очереди рассмотрение такой единицы, как год. Эта единица как месяц может иметь разную продолжительность: обычный год содержит 365 дней (суТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие ток), а високосный – 366. С этим фактом учащихся следует обязательно познакомить.

При выполнении задания 1 учащиеся вспоминают названия всех месяцев года и порядок их следования. Учителю имеет смысл обратить их внимание на порядковую нумерацию месяцев года и постараться сделать эту нумерацию привычной в употреблении.

Задание 2 имеет цель напомнить учащимся о существовании времен года и о том, какие месяцы к какому времени года относятся.

В задании 3 предлагается сравнить возраст двух девочек. Для этого учащимся нужно вспомнить достаточно простую связь, существующую между датами рождения и возрастом: старше тот, кто родился раньше. Так как Света родилась раньше Марины (март наступает раньше, чем май), то Света старше Марины.

В задании 4 предлагается сравнить возраст кошки с возрастом собаки. Так как два данных возраста выражены в разных единицах, то первый шаг решения задания должен состоять в переходе к одной единице. Удобнее выразить возраст в месяцах. Тогда возраст кошки будет равен 15 месяцам. Следовательно, кошка старше собаки, возраст которой 14 месяцев.

В задании 5 учащимся предлагается узнать возраст папы в то время, когда родился Миша. Так как всегда возраст папы отличается от возраста Миши на одну и ту же величину, и эта разница как раз и равна возрасту папы в момент рождения Миши, то вычислить ее можно по имеющимся данным: 35–10=25 (лет).

При выполнении задания 6 учащиеся еще раз должны вспомнить число дней в каждом месяце года, после чего можно вести речь и о числе дней в году. Обязательно следует обратить внимание учащихся на существование високосного года и на порядок чередования обычных и високосных годов. При этом учащиеся должны познакомиться с простейшим правилом появления високосных годов: каждый четвертый год – високосный, при этом отсчет можно вести от 2000 года. Однако это правило действует только для Юлианского календаря (так называемый старый стиль). В Григорианском календаре (так называемый новый стиль) имеются некоторые исключения: года 1700, 1800, 1900, 2100, 2200, 2300, и т. д. считаются обычными, а не високосными, как это принято по «старому стилю».

Дополнительное задание. Сколько воскресений может быть в одном месяце? Необходимо не только подсчитать число воскресений в одном месяце по фрагменту календаря, но и сделать определенные обобщения.

Тема: «Календарь» (1 урок) При изучении темы будет подведен своеобразный итог изучения трех последних тем. Проведение урока по данной теме требует обязательной демонстрации различных видов календарей.

В преамбуле к теме обозначена проблема, которой мы сейчас будем заниматься. Речь идет о рассмотрении различных видов календарей.

В задании 1 предлагается перечислить известные детям виды календарей. Это отрывной календарь, табель-календарь, карманный календарь, перекидной календарь, ежедневник и т. д. При обсуждении назначения каждого вида календаря желательно такой календарь учащимся продемонстрировать.

При выполнении задания 2 учащиеся смогут продемонстрировать свои знания по вопросу следования друг за другом чисел месяца и дней недели.

В задании 3 проверяется умение учащихся пользоваться календарем для определения дня недели указанного числа данного месяца.

Здесь им предлагается и обратный вид работы: определить число месяца по знанию дня недели в этом месяце.

В задании 4 учащимся предлагается сделать календарь на текущий месяц, используя для этого заготовку-образец. Такую заготовку можно сделать заранее дома с помощью родителей.

Тема: «Год и век» (1 урок) Данной темой мы завершаем изучение единиц времени. Последней изучаемой единицей времени является век. На первый взгляд эта единица отвечает требованию постоянства, так как 1 век=100 лет, но на самом деле это не совсем так. Например, в 20 веке было 75 обычных лет и 25 високосных, а в 21 веке будет 76 обычных лет и 24 високосных. Другими словами, продолжительность 20 века на 1 сутки больше продолжительности 21 века.

В преамбуле к теме приведен диалог между Мишей и Машей, из которого учащиеся могут узнать о продолжительности века в годах.

При этом учащимся не предлагается информация в готовом виде, а ставится задача прийти к интересующему выводу самостоятельно на основе смыслового состава синонимичного термина «столетие».

В задании 1 мы еще раз обращаем внимание учащихся на соотношение между веком и годом.

В задании 2 предлагается записать данные века с помощью римских цифр. Здесь учащиеся могут потренироваться в прочтении Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие числа, записанного римскими цифрами, и продемонстрировать свои знания из истории нашей страны.

В задании 3 учащимся сначала сообщается дата начала 21 века.

Этой датой является 1 января 2001 года, а не 1 января 2000 года, как иногда можно это услышать. По аналогии они должны написать дату начала 20 века. Это будет 1 января 1901 года. Соответственно датой окончания 20 века будет 31 декабря 2000 года.

При выполнении заданий 4 и 5 учащиеся смогут потренироваться в переводе в века продолжительности, выраженной в годах.

В задании 6 от учащихся потребуется узнать один из известнейших городов нашей страны по его возрасту (3 века или 300 лет) и по соответствующей иллюстрации. Речь идет о Санкт-Петербурге.

При выполнении задания 7 учащиеся еще раз поупражняются в переводе в годовое исчисление временной продолжительности, выраженной в других единицах. В данном случае это будет смешанный набор, состоящий из века и года.

Задание 8 относится к заданиям повышенной сложности. Учащимся предлагается определить, сколько лет прошло от начала 15 века до начала 21 века. Для ответа на этот вопрос сначала они должны установить, сколько прошло веков. При этом число веков они могут найти простым пересчетом. Им нужно пересчитать следующие века: 15 в., 16 в., 17 в., 18 в., 19 в., 20 в. Получается 6 веков или 600 лет. Если кто-то из учащихся предложит найти интересующее нас число веков не пересчетом, а с помощью вычитания (21–15=6), то это следует только приветствовать.

Задание 9 имеет познавательный характер. Решая задачу формирования умения определять принадлежность данного года к определенному веку, мы параллельно сообщаем учащимся о годе рождения великого русского поэта А.С. Пушкина. Если учащиеся будут испытывать затруднения при определении века, в котором родился А.С. Пушкин, то сначала можно вспомнить дату начала 21 века, 20 века, 19 века, 18 века, а уже потом установить, что 1799 год относится к 18 веку.

Тема: «Учимся пользоваться календарем»

Мы предлагаем подборку заданий, которые призваны научить учащихся свободно пользоваться календарем.

При выполнении задания 1 учащиеся смогут поупражняться в работе с табелем-календарем на 2005 год. Большая часть предлагаемых вопросов требует лишь определенного внимания и простейших вычислений. Некоторые проблемы могут возникнуть при ответе на воДанные и искомое»

прос о числе недель в году. Так как 2005 год начинается с субботы, то у учащихся может возникнуть вопрос о том, с какого дня начинать отсчет. Они привыкли к тому, что неделя начинается с понедельника.

Когда мы формулировали этот вопрос, то под неделей понимался отрезок времени продолжительностью в 7 дней. В этом случае отсчет можно вести с любого дня, в том числе и с субботы. Ответом на поставленный вопрос должно стать число 52. При этом обычный год содержит 52 полные недели и еще 1 день, а високосный год – 52 полные недели и еще 2 дня. Что касается числа воскресений, то это число также равно 52. Однако суббот в 2005 году насчитывается 53.

Для того чтобы выполнить задание 2, учащиеся должны сосчитать общее число дней в сентябре, октябре, ноябре и декабре.

Другими словами, нужно вычислить значение следующей суммы:

30+31+30+31. Искомое число равно 122.

Задание 3 относится к заданиям повышенной сложности. На поставленный в задании вопрос нельзя дать однозначного ответа. Если год обычный, то Саша старше Сережи на 49 дней (16+28+5=49).

Если же год високосный, то – на 50 дней (16+29+5=50).

В задании 4 мы еще раз обращаем внимание учащихся на особенность високосного года, а именно на такую особую дату, как 29 февраля.

Тема: «Данные и искомое» (1 урок) При изучении данной темы учащиеся смогут не только повторить суть понятий «данные» и «искомое», но и основательно подготовиться к изучению следующей темы, в которой речь пойдет об обратной задаче. Эта тема является одной из тех немногих тем, которые имеют непосредственное отношение к информационносодержательной линии нашего курса, так как в ней в явном виде предлагаются задания по работе с данными.

В заданиях 1 и 2 учащимся сначала предлагается назвать данные из условия соответствующей задачи, а также указать искомое из требования этой же задачи. После этого они должны вычислить искомое по двум данным. Другими словами, они должны решить эту задачу и вычислить ее ответ. При этом предлагаемые учащимся задачи между собой тесно связаны. Связь эта заключается в том, что одна задача является обратной по отношению к другой. Но пока мы об этом не говорим, хотя в следующем задании будет обращено внимание учащихся на характер этой связи.

В задании 3 предлагается составить две задачи так, чтобы данное из первой задачи стало искомым во второй. Конечно, учащиеся моТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие гут составлять любые задачи, но лучше ориентировать их сначала на простые задачи на сложение или вычитание. После составления первой задачи ученик должен ее решить, т. е. вычислить искомое, иначе искомое нельзя превратить в данное. В заключение этого задания мы обращаем внимание учащихся на задачи из первых двух заданий. Дело в том, что эти задачи можно использовать для выполнения данного задания.

В задании 4 учащимся предлагается сформулировать задачу, в которой данными будут две величины 12 м и 15 м. Искомое может быть выбрано произвольно. В полном соответствии с выбором искомого должно быть сформулировано и требование. Для того чтобы искомое оказалось равным 27 м, в требовании должна идти речь о сумме двух данных величин.

При выполнении задания 5 учащиеся познакомятся с ситуацией, когда в условии задачи присутствуют «лишние» данные, т. е. данные, которые не участвуют в нахождении искомого.

В задании 6 учащимся фактически предлагается составить три задачи, любые две из которых будут являться обратными по отношению к третьей. Термин «обратная задача» мы пока не употребляем, но обязательно обращаем внимание на то, что в составленных задачах искомое и одно из данных меняются ролями. Именно с этой целью предлагается заключительная часть задания.

Задание 7 относится к заданиям повышенной сложности.

В этом задании учащимся предлагается выстроить логическую цепочку обратного характера: от ответа и решения к данным и искомому. Легче всего определяется искомое. Для этого достаточно внимательно прочитать ответ, из которого можно узнать, что искомым является величина, показывающая, на сколько лет брат старше сестры. Сложнее обстоит дело с определением данных. Для этого нужно обратить внимание на решение, из которого можно узнать, что брату 15 лет, а сестре 9 лет. Это и есть интересующие нас данные.

Тема: «Обратная задача» (1 урок) При изучении данной темы мы вводим термин «обратная задача».

Сам же принцип формулировки обратной задачи был рассмотрен при изучении предыдущей темы (см. задания 3 и 6).

Примечание. При работе над понятием «обратная задача»

учителю с самого начала следует обратить внимание на тот факт, что обратная задача отличается от данной только тем, что одно из данных меняется ролями с искомым. Другими словами, искомое обратной задачи – это одно из данных первоначальной задачи, а искомое первоначальной задачи – это одно из данных обратной задачи. Что же касается сюжета и отношений, то в обратной задаче они те же, что и в первоначальной.

При выполнении задания 1 сначала внимание учащихся обращается на принцип построения обратной задачи, а уже потом вводится соответствующий термин. После того как учащиеся вычислят ответы обратных задач, имеет смысл еще раз обратить их внимание на то, что искомое обратной задачи совпадает с одним из данных первоначальной задачи.

Цель задания 2 – обратить внимание учащихся на то, как взаимосвязаны круговые схемы, построенные к данной и обратным задачам. Умение строить схему обратной задачи может помочь учащимся в составлении самой обратной задачи. Это задание относится к заданиям повышенной сложности.

Для выполнения задания 3 учащимся сначала имеет смысл найти схему, которая соответствует данной задаче. После этого выбрать схемы, которые соответствуют обратной задаче, уже не составит особого труда.

Задание 4 относится к задачам повышенной сложности. Сложность этого задания заключается в том, что предлагаемую задачу учащиеся должны считать обратной, а по этой задаче уже восстановить данную. Однако если учащиеся сначала придут к выводу о том, что в паре «данная задача – обратная задача» задачи можно поменять местами, сохранив то же самое отношение, то задание превращается в хорошо им знакомое.

Тема: «Обратная задача и проверка решения данной задачи»

(1 урок) При изучении темы мы хотим познакомить учащихся с одним из способов проверки правильности решения данной задачи, который основан на решении обратной задачи. Этот способ традиционно используется в начальном курсе математики. Однако мы сразу хотим обратить внимание на то, что не следует переоценивать эффективность данного способа проверки. Эта эффективность достаточно низкая. Дело в том, что способ предусматривает составление и решение обратной задачи. А это означает, что учащиеся могут совершить ошибки не при решении данной задачи, а уже при формулировке или решении обратной задачи. О какой же проверке тогда может идти речь?

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие В преамбуле к этой теме из диалога Миши и Маши учащиеся не только смогут узнать о способе проверки решения задачи, но и узнать его суть, которая заключается в том, что вычисленное искомое обратной задачи должно совпадать с одним из данных проверяемой задачи.

В задании 1 учащимся сначала предлагается найти искомое по предложенной круговой схеме. После этого они должны составить схему обратной задачи, поставив на схеме вместо одного из данных чисел вопросительный знак, а вместо вопросительного знака найденное искомое. Следующим шагом является нахождение искомого обратной задачи. Сделать это учащиеся могут с помощью соответствующей схемы. В заключительной части задания учащиеся должны ответить на вопрос о том, совпадает ли последнее искомое с одним из данных первоначальной задачи. Положительный ответ на этот вопрос практически гарантирует правильность решения данной задачи.

Задание 2 относится к заданиям повышенной сложности. При его выполнении учащиеся должны самостоятельно установить причины, по которым найденное искомое может не совпадать ни с одним из данных первоначальной задачи. Таких причин может быть несколько. Во-первых, данная задача может быть решена неправильно. Во-вторых, неправильно может быть составлена обратная задача.

В-третьих, обратная задача также может быть решена неправильно.

Особое внимание мы должны сосредоточить на первой причине, так как именно из-за нее и был предпринят весь этот разговор.

В задании 3 учащимся сначала предлагается решить данную задачу, а после этого проверить правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи. Другими словами, учащимся явно предлагается применить рассмотренный способ проверки, который, скорее всего, должен дать положительный результат.

В задании 4 учащимся также предлагается применить рассмотренный способ проверки, но уже к готовому решению данной задачи. Принципиальное отличие этого случая заключается в том, что проверка должна дать заведомо отрицательный результат.

Тема: «Запись решения задачи в виде уравнения» (1 урок) При изучении данной темы мы не только возвратим учащихся к рассмотрению вопросов алгебраического характера, но и продемонстрируем возможность применения алгебраических понятий при решении арифметических задач. Итак, в данной теме речь пойдет об уравнении как об одном возможном способе записи решения задачи. Более детально о правомерности такой постановки вопроса было сказано выше в общих рекомендациях по изучению алгебраического материала. Алгоритмический характер решения задачи с помощью уравнения в данном случае может быть истолкован следующим образом: «найди корень соответствующего уравнения, проверь, подходит ли он по смыслу задачи; этот корень и будет являться ответом на требование задачи». Ученикам мы об этом не говорим, а учителю об этом знать следует.

В задании 1 учащимся объясняется, как можно составить уравнение, которое будет являться решением данной задачи. Обоснование того, что соответствующее уравнение можно считать решением данной задачи, для учащихся должно состоять в следующем. Найти корень составленного уравнения можно с помощью соответствующего правила. Найденный корень будет являться ответом на требование данной задачи. Следовательно, само уравнение вполне можно считать формой записи решения данной задачи. Сам же процесс составления уравнения по формулировке задачи детально описан в тексте задания. От учащихся требуется четкое выполнение соответствующих указаний, а для дальнейшей аналогичной работы и их запоминание.

В задании 2 предлагается решить задачу с помощью составления уравнения, но сама процедура будет представлена в несколько ином виде. Дело в том, что рассуждения учащиеся должны начинать не сначала, а как бы «изнутри». Им предлагается сразу рассмотреть готовую схему для составления уравнения. Отталкиваясь от этой схемы, учащиеся должны осуществить логическое продвижение в двух направлениях. Во-первых, они должны по этой схеме составить уравнение. Во-вторых, по этой же схеме они должны составить задачу. Если обе части задания выполнены правильно, то можно утверждать, что корень составленного уравнения будет являться ответом составленной задачи.

В задании 3 учащимся предлагается самостоятельно воспроизвести всю процедуру составления уравнения, которое будет являться решением данной задачи. Единственным дополнительным указанием, которое направлено на то, чтобы оказать некоторую помощь учащимся, является упоминание правила нахождения неизвестного слагаемого.

Тема: «Учимся решать задачи с помощью уравнений»

Мы предлагаем подборку заданий на закрепление и повторение.

Все эти задания имеют непосредственное отношение к предыдуТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Второе полугодие щей теме. Если учебное время позволяет, то было бы желательно на этом материале построить отдельный урок.

В задании 1 учащимся предлагается установить, какое из данных уравнений является решением данной задачи. После этого учащиеся должны найти корень этого уравнения, используя правило нахождения неизвестного вычитаемого. Найденный корень и позволит записать ответ данной задачи. Какие же существуют пути выполнения этого задания? Прежде всего, учащиеся могут составить уравнение к данной задаче и сравнить его с теми, которые даны в тексте задания. С точки зрения отработки умения решать задачи с помощью уравнений такой путь является наиболее привлекательным. Но существует и другой путь, который заключается в использовании информации из второй части задания, где сказано, что для решения уравнения нужно использовать правило нахождения неизвестного вычитаемого. Под это правило учащиеся сразу и могут подобрать уравнение. Таким уравнением будет следующее: 30–х=18. Конечно, этот путь не будет в полной мере работать на формирование умения решать задачи с помощью уравнений, но выбравших этот путь учащихся обязательно следует поощрить за нестандартность решения.

В задании 2 от учащихся требуются рассуждения обратного порядка: по данному уравнению они должны составить задачу. Сделать это они могут либо с привлечением круговой схемы, либо с привлечением краткой записи, либо опираясь непосредственно на смысл уравнения. Заключительная часть задания связана с вычислением корня уравнения, что позволит в итоге записать ответ составленной задачи.

При выполнении задания 3 учащиеся «в чистом виде» смогут продемонстрировать свое умение решать задачи путем составления уравнений.

Задание 4 очень похоже на задание 2 из предыдущей темы. Принципиальное отличие состоит лишь в том, что в данном случае учащиеся должны работать со схемой, используемой при решении задач, а в выполненном ранее задании работа проводилась со схемой, используемой для решения уравнений. Однако следует заметить, что отличие это не очень существенно влияет на ход выполнения данного задания.

Задание 5 аналогично предыдущему заданию, но в нем, как и в задании 2 из предыдущей темы, работа проводится со схемой, используемой для решения уравнений.

Задание 6 относится к заданиям повышенной сложности. Учащиеся не только должны составить задачу по данному уравнению, как это требовалось, например, в задании 2, но и составить уравнение для решения обратной задачи. Вторая часть задания предпоВычисляем значения выражений»

лагает, что начнут учащиеся его выполнение с составления обратной задачи, а уже потом перейдут к составлению соответствующего уравнения. Если кто-то из учащихся сможет пропустить этап составления обратной задачи, а сразу перейдет к составлению требуемого уравнения, то это должно получить только одобрение со стороны учителя.

Тема: «Геометрические построения с помощью циркуля и линейки» (1 урок) Итог изучения геометрического материала во втором полугодии 2 класса.

При выполнении задания 1 учащиеся познакомятся со способом построения равностороннего треугольника с помощью циркуля и линейки. Все этапы построения, которые при этом нужно выполнить, учащимися уже освоены ранее. Что касается введения термина «равносторонний треугольник», то его смысл понятен без дополнительных пояснений.

При выполнении задания 2 учащиеся должны продемонстрировать умение проверять равенство сторон треугольника с помощью циркуля.

В задании 3 учащимся предлагается познакомиться со способом деления отрезка пополам с помощью циркуля и линейки.

При выполнении задания 4 учащиеся поупражняются в построении отрезка, равного данному, без использования измерительной линейки, но с использованием циркуля.

Задание 5 относится к заданиям повышенной сложности. Учащиеся самостоятельно должны применить способ деления отрезка пополам, с которым они познакомились в предыдущем задании.

Желательно, чтобы этот способ был освоен.

Тема: «Вычисляем значения выражений» (1 урок) Итог изучения арифметического материала с включением вопросов алгебраического содержания во втором полугодии 2 класса.