«МАТЕМАТИКА 2 КЛАСС Методическое пособие Под редакцией Р.Г. Чураковой МосКвА АКАдЕМКНИГА/УЧЕбНИК 2012 УДК 51(072.2) ББК 74.262.21 Ч-37 Чекин, А.Л. Ч-37 Математика [Текст] : 2 кл. : Методическое пособие / А.Л. Чекин; под. ...»

Последний шаг вычислений также требует пристального внимания. Во всех случаях, которые мы рассматривали ранее, последний шаг вычислений заключался в переходе от подробной десятичной записи к краткой ее форме. Другими словами, эта процедура была не столько вычислительной, сколько формальной. В данном случае мы сталкиваемся с совершенно иной ситуацией: на последнем этапе следует произвести прибавление двузначного числа к «круглому»

двузначному числу. Как выполнять такое вычисление, учащиеся уже знают. Поэтому мы не стали делать подробную запись этого вычислительного приема, а сразу записали окончательный результат.

Это сделано еще и по той причине, что мы не хотели загромождать запись второстепенными для рассмотрения данного вопроса преобразованиями. Все эти преобразования учащиеся вполне могут выполнить «в уме», тем более, что в данном случае то двузначное число, которое следует прибавить к «круглому» числу, обязательно состоит только из одного десятка, что позволяет достаточно легко найти цифру разряда десятков в окончательном результате. Что касается цифры разряда единиц в окончательном результате, то ее установить еще проще: она совпадает с цифрой разряда единиц того двузначного числа, которое прибавляется к «круглому» числу.

Выполняя задание 2, учащиеся смогут продемонстрировать то, как они поняли рассмотренный вычислительный прием, и закреТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие пить это понимание. Все записи должны быть сделаны учащимися по образцу записи из задания 1.

В задании 3 мы рассматриваем другой вычислительный прием, с которым учащиеся в принципе знакомы (см. комментарий к заданию 4 из предыдущей темы), но подробная запись которого в полном объеме еще не предлагалась. При рассмотрении этой подробной записи следует обратить внимание учащихся на то, что мы представляем в виде суммы не первое слагаемое (как это было в задании 1), а второе. При этом разложение происходит не на разрядные слагаемые (как это было в задании 1), а на «удобные», удобство которых определяется выполнением условия дополнения до «круглого» числа. С этим условием учащиеся в свое время детально познакомились. Выполняя вычисления с применением данного вычислительного приема, учащиеся должны следовать тому образцу (в том числе и в записи), который дан в учебнике.

Задание 4 имеет двойное предназначение: во-первых, при вычислении ответа задачи учащиеся должны продемонстрировать, как они усвоили рассмотренные вычислительные приемы (использовать можно любой, а лучше продемонстрировать оба), во-вторых, проводится работа по обучению решению задач.

Задание 5 по своему дидактическому назначению во многом аналогично заданию 4. Отличие состоит лишь в том, что другое направление приобретает работа по обучению решению задач. При проведении этой работы можно использовать как составление краткой записи, так и составление «круговой» схемы, т. е. схемы с использованием кругов Эйлера.

В задании 6 учащимся предлагается вычислить значения данных сумм любым удобным способом. Желательно, чтобы каждый ученик применил оба вычислительных приема, а также не забыл о возможности перестановки слагаемых. Внимательно следует отнестись к вычислению значений сумм из последнего столбика, так как в этом случае несколько меняется последний шаг вычислений:

прибавлять к «круглому» двузначному числу нужно не произвольное двузначное, а число 10, т. е. «круглое» двузначное.

При выполнении задания 7 учащиеся смогут попрактиковаться в выполнении сразу нескольких вычислительных приемов, изученных ранее.

Задание 8 продолжает дидактическую линию, которую мы проводили в заданиях 4 и 5. Особенность этого задания заключается в том, что представлено еще одно направление в работе по обучению решению задач – составление и решение задачи по данной «круговой» схеме.

Тема: «Вычитание однозначного числа из “круглого” десятка» (1 урок) Данная тема носит прежде всего пропедевтический характер для изучения темы «Поразрядное вычитание однозначного числа из двузначного с переходом через разряд». Ее самостоятельная значимость заключается в том, что учащиеся осваивают вычислительный прием, который в определенном смысле имеет обратный характер приему дополнения до «круглого» числа. Но главное ее предназначение состоит в том, чтобы познакомить учащихся с таким приемом, как «заимствование десятка».

При выполнении задания 1 повторяем прием дополнения двузначного числа до «круглого» с помощью однозначного слагаемого.

При выполнении задания 2 учащиеся сначала должны составить столбик, состоящий из выполненных заданий на дополнение до «круглого» числа. После этого они составляют столбик из невыполненных заданий на вычитание однозначного числа из «круглого» и выполняют эти задания, опираясь на соответствующие случаи сложения из первого столбика.

В задании 3 вспоминаем табличные случаи вычитания однозначного числа из числа 10, знание которых потребуется при выполнении следующего задания.

В задании 4 на примере вычисления значения разности 40–3 рассматривается способ, в котором как раз и представлена «в чистом виде» процедура «заимствования десятка». Заключается эта процедура в следующем: сначала разрядное слагаемое из разряда десятков мы разбиваем на два слагаемых, одно из которых равно 10, а потом однозначное вычитаемое вычитаем именно из этого слагаемого 10, опираясь на правило вычитания числа из суммы, после чего нам остается только перейти от подробной десятичной записи числа к краткой его записи. Все вычисления, которые должны провести ученики при выполнении этого задания, следует строить по данному образцу и сопровождать объяснениями, изложенными выше.

При выполнении задания 5 ученики должны составить пять разностей типа 40–7, 60–7 и т. п. При вычислении значений таких разностей следует использовать рассмотренный вычислительный прием, а при анализе полученных результатов обязательно обратить внимание на тот факт, что при вычитании однозначного числа из «круглого» в результате получается число, в котором число десятков на 1 меньше, чем число десятков в уменьшаемом.

В задании 6 предлагается сравнить данные разности, не вычисляя их значений. Все эти разности представляют собой разности «круглого» числа и однозначного. Требование «не вычислять значеТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие ние разности» включено в формулировку задания для того, чтобы учащиеся сконцентрировали внимание на тех изменениях общего характера, которые происходят с «круглым» числом, если из него вычитается однозначное число. Именно логическая опора на эти закономерности дает возможность выбрать правильный знак для сравнения данных разностей без вычисления их значений. Вполне возможно, что некоторые ученики захотят вычислить значения разностей. В этом случае не следует их каким-то образом «наказывать», но обязательно следует еще раз обратить их внимание на то, как можно найти цифру разряда единиц и цифру разряда десятков десятичной записи искомого значения разности.

Задание 7 выполняет две дидактические функции: закрепление изученного вычислительного приема и обучение решению задач.

Первая функция достаточно очевидна, и она проявится при вычислении ответа задачи. Что касается второй функции, то она представлена более содержательно. Во-первых, учащиеся отрабатывают умение составлять задачи по данному решению. Во-вторых, они учатся распознавать схему, которая отвечает данной задаче, а точнее, решению этой задачи.

Тема: «Поразрядное вычитание однозначного числа из двузначного с переходом через разряд» (1–2 урока) Данная тема посвящена изучению поразрядного способа вычитания с переходом через разряд. Основан этот способ на процедуре «заимствования десятка», с которой учащиеся познакомились при изучении предыдущей темы. Правильное выполнение ими процедуры «перехода через разряд» при вычитании означает, что ученики усвоили данный вычислительный прием, а учитель заложил основу для освоения алгоритма письменного вычитания «столбиком».

При выполнении задания 1 учащимся предлагается вспомнить табличные случаи вычитания, в которых уменьшаемое является двузначным числом. Дело в том, что именно с такими случаями вычитания мы будем иметь дело при выполнении промежуточных вычислений в поразрядном вычитании с переходом через разряд.

Если проанализировать равенства, которые должны составить учащиеся при выполнении задания 2, то можно установить, что они иллюстрируют возможность заимствования 1 десятка (т. е. вычитания числа 10) у первого слагаемого с одновременным прибавлением его ко второму слагаемому без изменения значения всей суммы.

В задании 3 дается подробное объяснение процедуры «заимствования десятка». Обоснование этой процедуры проведено на «Поразрядное вычитание однозначного числа из двузначного с переходом через разряд»

конкретном примере, но возможность обобщения в данном случае базируется не только на этом примере, но и на тех равенствах, которые были составлены при выполнении задания 2. Само объяснение, приведенное в тексте задания, запоминать не требуется. Требуется только его понимание и правильное применение процедуры заимствования. Предложенный текст ответа следует использовать для самопроверки.

Наконец, после проведения необходимой подготовительной работы мы подошли к рассмотрению вычислительного приема (см. задание 4), о котором было заявлено в данной теме. Объяснение этого вычислительного приема сначала предлагается учащимся дать самостоятельно с опорой на данную запись поэтапного вычисления значения разности 24–7, а уже потом приводится текст объяснения, который можно рассматривать как основу для формулировки общего правила. Такое обобщение можно предложить сделать учащимся, но не требовать от них обязательного воспроизведения некоторого единого варианта формулировки данного правила.

При анализе предложенной записи процесса вычисления значения разности 24–7 следует обязательно обратить внимание учащихся на смысл каждого этапа преобразований: сначала число заменяется суммой разрядных слагаемых; далее осуществляется процедура заимствования 1 десятка, которая продиктована невозможностью произвести вычитание в разряде единиц; после этого применяется правило вычитания числа из суммы; далее вступает в действие табличный случай вычитания, о котором речь шла в задании 1; наконец, осуществляется переход от подробной десятичной записи к краткой ее форме. Предложенный вариант объяснения учащиеся могут использовать для самопроверки.

В задании 5 учащимся предлагается продемонстрировать, как они усвоили поразрядный способ вычитания с переходом через разряд.

Для этого вычисление значения каждой разности следует сопровождать подробной записью и соответствующим объяснением.

При выполнении задания 6 учащиеся не только смогут закрепить изученный только что вычислительный прием, но и повторить другие приемы, а именно сложение двузначного числа и «круглого»

двузначного числа, а также сложение двузначного числа и однозначного с переходом через разряд.

В задании 7 предлагается составить задачу, для решения которой нужно выполнить разностное сравнение чисел 23 и 8. Тем самым дается прямое указание на то, с помощью какого действия должна решаться составленная задача. Обязательно следует обратить внимание на процедуру вычисления ответа.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие Тема: «Угол» (1 урок) Рассмотрением понятия «угол» мы продолжаем изучение геометрического материала. Вся необходимая подготовительная работа была проведена при изучении темы «Прямая и луч», но так как это было уже давно, то учителю необходимо напомнить учащимся о том, что такое луч и как он изображается на чертеже. Как это будет сделано, решает учитель. Мы можем предложить свой вариант, который состоит в том, что учитель предлагает ученикам проанализировать на предмет распознавания лучей чертеж, сделанный на доске, на котором изображены пересекающиеся прямые, пересекающиеся лучи и пересекающиеся отрезки. Среди вариантов изображения пересекающихся лучей имеет смысл изобразить угол.

В преамбуле к заданию 1 учащиеся знакомятся с определением угла (оно выражено ответом Маши). В процессе выполнения самого задания 1 дети знакомятся с названиями элементов угла (стороны и вершина) и практикуются в показе элементов угла на чертеже. Когда речь заходит о закрашивании внутренней области угла, то, следуя образцу, учащиеся должны закрасить только ту область, которая соответствует углу меньше развернутого. Углы больше развернутого мы пока не рассматриваем.

При выполнении задания 2 учащиеся знакомятся с углами, которые образуются при пересечении двух прямых. Рассмотрение такой геометрической конструкции позволяет установить, что при пересечении двух прямых под прямым углом все остальные углы также будут прямыми. Кроме этого, проводится пропедевтическая работа по введению понятий «смежные углы» и «вертикальные углы».

В результате выполнения задания 3 ученики убеждаются в возможности построения углов с общей вершиной.

В результате выполнения задания 4 учащиеся убеждаются в возможности построения углов с общей стороной. Повышенная сложность этого задания состоит в том, что такие углы будут иметь не только общую сторону, но и общую вершину, хотя об этом в условии ничего и не сказано. К такому выводу учащиеся должны прийти самостоятельно.

Задание 5 также относится к заданиям повышенной сложности.

Дело в том, что учащиеся должны не только построить два угла с общей стороной и общей вершиной (это они научились делать при решении задания 4), но и расположить их так, чтобы один был внутри другого. Умение так располагать углы требуется при проведении непосредственного сравнения углов по величине, о чем речь пойдет дальше при изучении тем «Какой угол меньше?» и «Прямой, острый и тупой углы».

Тема: «Какой угол меньше?» (1 урок) Рассмотрением этой темы мы готовим учащихся к изучению другой темы – «Прямой, острый и тупой углы», так как введение острого и тупого углов основано на сравнении таких углов с прямым углом (острый угол меньше прямого, а прямой – меньше тупого).

Задание 1 является логическим продолжением задания 5 из предыдущей темы, при выполнении которого учащиеся научились располагать два угла так, чтобы у них были общая вершина и общая сторона, и при этом один угол располагался внутри другого (не выходил за его границу). Только при таком расположении можно сравнивать углы по величине способом наложения и делать вывод о том, какой из двух углов меньше (или больше). Очевидно, что меньше будет тот угол, который располагается внутри.

В задании 2 предлагается распространить рассмотренный выше прием сравнения углов по величине на случай сравнения трех углов.

Принципиально этот случай ничем не отличается от рассмотренного в задании 1, так как сохраняется обязательное условие расположения углов для сравнения способом наложения, о котором мы говорили при рассмотрении предыдущего задания. При этом упорядочение трех углов по величине сводится к попарному сравнению этих углов.

Тема: «Прямой, острый и тупой углы» (1 урок) После того как введено понятие угла и рассмотрен способ их сравнения, естественно можно рассмотреть вопрос о видах углов, что мы и делаем. Отправной точкой рассуждений при рассмотрении этого вопроса является понятие прямого угла, с которым учащихся следует познакомить в первую очередь. Кроме этого, мы будем опираться на процедуру сравнения углов, рассмотрению которой была посвящена предыдущая тема.

Задание 1 включено в данную тему с целью знакомства учащихся с понятием прямого угла, которое вводится в рассмотрение остенсивным способом (через показ). При этом учащиеся сразу знакомятся не только со способом построения прямого угла, но и со способом распознавания прямого угла с помощью чертежного угольника.

При выполнении задания 2 учащиеся познакомятся с понятиями «острый угол» и «тупой угол». Введение этих понятий осуществляется с опорой на процедуру сравнения углов. При этом в качестве своеобразного эталона для сравнения выступает прямой угол, Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие а острый (тупой) угол – это такой угол, который меньше (больше) прямого. Дополнительно учащимся можно предложить поразмышлять на тему о смысловом значении терминов «прямой», «острый»

и «тупой» применительно к понятию угол.

В задании 3 мы предлагаем учащимся определить на глаз, какой из углов острый, какой тупой и какой прямой. Правильность своих выводов ученик может проверить с помощью угольника.

Сложность задания 4 состоит в том, что учащимся предлагается проанализировать возможность расположить одну фигуру внутри другой при условии, что фигуры неограниченны. Чертеж в таком анализе не всегда помогает, так как на чертеже можно изобразить только ограниченную часть данных фигур. Сравнить острый и тупой углы учащиеся могут и умозрительно, сравнивая каждый из углов с прямым и используя на интуитивной основе транзитивность отношения «меньше» (так как любой острый угол меньше прямого и прямой угол меньше любого тупого, то любой острый угол меньше любого тупого угла).

Тема: «Последовательность чисел» (1 урок) В процессе изучения данной темы учащиеся познакомятся с очень важным арифметическим понятием, которое ранее, как правило, не включалось авторами в содержание начального курса математики.

Этим понятием является понятие числовой последовательности.

В 1 классе дети познакомились с упорядоченными множествами на примерах из окружающей действительности (очередь) и из математики (отрезок натурального ряда). Они понимают смысл терминов «первый», «второй», «следующий», «предыдущий». Именно на этой понятийной основе мы и можем сейчас ввести понятие числовой последовательности.

Напомним, что в математике числовой последовательностью называют любую числовую функцию натурального аргумента. Это означает, что для задания числовой последовательности нужно указать правило, по которому каждому натуральному числу ставится в соответствие свое единственное число (в нашем случае это число должно быть целым неотрицательным). Числа последовательности называют ее членами, а их порядковый номер определяется тем натуральным числом, которому этот член соответствует.

Обычно задание последовательности осуществляется либо с помощью формулы общего члена последовательности, либо с помощью рекуррентной (рекурсивной) формулы, с помощью которой можно найти (вычислить) следующий член последовательности по известному предыдущему члену (или по известным предыдущим членам). При этом рекуррентную формулу обязательно нужно дополнить заданием первого члена (или нескольких первых членов) последовательности. В противном случае последовательность не будет задана однозначно.

Для начального курса математики больше подходит второй способ задания числовой последовательности, но представленный не в виде формулы, а в виде словесного правила. В чем мы сможем убедиться, рассматривая задания данной темы и других аналогичных тем.

Одной из отличительных черт числовой последовательности является ее бесконечность. Очевидным примером числовой последовательности является ряд натуральных чисел (в этом случае каждому натуральному числу поставлено в соответствие это же натуральное число). В дальнейшем учащиеся познакомятся и с другими примерами числовых последовательностей, а именно: с последовательностью четных натуральных чисел, с последовательностью нечетных натуральных чисел и др. Существуют и такие последовательности, в которых все члены одинаковые (например, последовательность, все члены которой равны числу 1) или происходит чередование членов (например, последовательность, в которой чередуются числа 0 и 1).

На данном этапе обучения мы не акцентируем внимание на свойстве бесконечности числовой последовательности, а предлагаем рассматривать и анализировать только наборы из нескольких членов той или иной последовательности. Именно по этой причине мы и решили назвать данную тему не «Числовая последовательность», а «Последовательность чисел», перенося акцент на рассмотрение нескольких последовательно расположенных чисел, а не на понятие числовой последовательности в целом. Однако, не говоря в явном виде учащимся о бесконечности числовой последовательности, мы не можем этот факт не иметь в виду при формулировке заданий. Поэтому всегда следует постараться найти возможность сказать им о том, что если они нашли (записали) несколько членов последовательности, то этими членами последовательность не ограничивается (процесс всегда может быть продолжен).

В задании 1 предлагается по известному рекуррентному (рекурсивному) правилу (каждое следующее число на 3 меньше, чем предыдущее) и известному первому члену последовательности – найти третий и четвертый члены этой последовательности (второй член последовательности 11 уже найден Мишей). Сделать это ученики могут с помощью вычитания (11–3=8 и 8–3=5). После того Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие как учащиеся запишут первые четыре числа этой последовательности – 14, 11, 8, 5, – можно сказать о существовании следующего члена последовательности, но переводить разговор на тему бесконечности не имеет смысла, так как множество целых неотрицательных чисел, в рамках которого мы находимся, не позволяет в данном случае нам это сделать.

Задание 2 носит обратный характер по отношению к заданию 1.

Суть задания состоит в том, что учащимся предлагается самим установить правило, по которому могла быть составлена данная последовательность, если известны первые три члена этой последовательности. Важнейшей особенностью такого типа заданий заключается в том, что знание какого-то числа членов последовательности не дает возможности (без дополнительной информации) установить, что собой представляют другие члены этой последовательности.

Именно поэтому в формулировке задания и присутствует неопределенность типа «может получаться каждое следующее число», а не сказано с полной определенностью «получается каждое следующее число».

Когда в результате выполнения этого задания учащиеся сформулируют правило о том, что каждое следующее число на 10 больше, чем предыдущее (при условии, что первое число равно 18), то они зададут лишь одну из возможных последовательностей, в которых первые три члена соответственно представляют собой числа 18, и 38. Ведь правило (пусть оно и выглядит несколько искусственным) может быть, например, и таким: «Для первых трех чисел каждое следующее на 10 больше, чем предыдущее, а для всех остальных чисел последовательности каждое следующее на 5 больше, чем предыдущее». Чтобы получить однозначный ответ, в условие задания должна быть включена дополнительная информация, например, следующего содержания: «Любой следующий член последовательности больше предыдущего на одно и то же число». Этим правилом мы переводим рассматриваемую числовую последовательность в класс арифметических прогрессий. А в этом случае будет достаточно указать первые два члена последовательности, чтобы однозначно задать именно эту последовательность.

Важным свойством рассматриваемой в этом задании последовательности (той последовательности, которая, очевидно, и будет предложена учащимися) является то, что она возрастающая (в отличие от убывающей последовательности из задания 1). Этот факт позволяет нам говорить с учащимися и о том, что без особого труда могут быть найдены (вычислены) четвертое, пятое, шестое и т. д.

числа этой последовательности. Другими словами, можно вести речь о бесконечности числовой последовательности.

Задание 3 аналогично предыдущему заданию, но только в нем речь идет не о возрастающей, а об убывающей числовой последовательности. При этом в данном случае мы сталкиваемся с еще более очевидной неопределенностью, так как ставим вопрос не о правиле, по которому получается следующее число из предыдущего в данной последовательности, а о правиле, по которому может быть составлена данная последовательность. Устранить эту неопределенность можно с помощью введения аналогичного дополнительного требования, о котором мы говорили выше: «Любой следующий член последовательности меньше предыдущего на одно и то же число».

Без введения этого требования четвертым членом данной последовательности в принципе может быть любое число. Однако естественно ожидать, что учащиеся и в этих неопределенных условиях остановят свой выбор на последовательности, которая начинается с числа 90 и в которой каждое следующее число на 15 меньше, чем предыдущее. Проследить бесконечность такой последовательности в наших условиях не представляется возможным.

В задании 4 мы снова возвращаемся к ситуации, когда учащимся известно правило, по которому получается каждое следующее число из предыдущего и известно первое число последовательности (сравни с заданием 1 данной темы). В такой формулировке нахождение первых пяти чисел этой последовательности (точнее, нахождение чисел со второго по пятое включительно) носит вполне определенный (однозначный) характер и связано с последовательным выполнением действия вычитания (о чем явно сказано в формулировке правила). От учащихся потребуется только правильное выполнение цепочки соответствующих действий (90–10=80, 80–10=70, 70– 10=60, 60–10=50). Разговор о бесконечности последовательности на примере данной последовательности вести не имеет смысла по той же причине, о которой было сказано выше.

Тема: «Углы многоугольника» (1 урок) При изучении данной темы мы продолжаем формирование у учащихся понятия угла, рассматривая новый аспект этого понятия – угол многоугольника. Особенность понятия «угол многоугольника»

состоит в том, что стороны многоугольника, которые образуют угол, являются отрезками, а стороны угла (и об этом учащиеся уже знают) должны быть лучами. Налицо противоречие, которое должно быть устранено. Сделано это может быть за счет мысленной замены отрезка лучом, который выходит из данной вершины и на котором лежит данный отрезок.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие При выполнении задания 1 учащиеся смогут познакомиться с особенностями понятия «угол многоугольника» на примере угла треугольника. Если учащиеся будут четко следовать указаниям, данным в задании, то они самостоятельно смогут установить, что скрывается за термином «угол многоугольника». Учитель обязательно должен обратить их внимание на то, о чем было сказано выше в общих рекомендациях к данной теме.

В результате выполнения задания 2 учащиеся должны научиться обозначать дугами углы многоугольника. Кроме этого, мы предлагаем им задуматься над смыслом таких терминов, как пятиугольник, треугольник, четырехугольник, многоугольник. До изучения данной темы такой вопрос ставить было бы преждевременно. Если бы, например, вместо термина «треугольник» использовался бы термин «трехсторонник» или «трехвершинник», то на смысл такого термина можно было бы обращать внимание сразу же, как только речь зашла о сторонах и вершинах треугольника.

При выполнении задания 3 можно попрактиковаться в названии начерченных фигур, обращая внимание на число углов в каждой из них.

В задании 4 предлагается сравнить число углов у двадцатиугольника с числом углов у восьмиугольника. Это задание сформулировано в виде задачи. Не совсем обычно сформулировано условие этой задачи: числовые данные не указаны в явном виде, а должны быть извлечены из названий многоугольников. Так как требование данной задачи является стандартным требованием задачи на разностное сравнение, то нахождение решения этой задачи для учащихся не составит особого труда.

Задание 5 относится к заданиям повышенной сложности. При его выполнении учащиеся должны не только построить семиугольник, используя знание о числе его сторон, но и высказать предположение о том, как связаны между собой число углов и число сторон одного и того же многоугольника. Для проведения обобщения они могут и должны опираться не только на анализ построенного семиугольника, но и на анализ других многоугольников. Например, тех, которые изображены на рисунке к заданию 3.

Тема: «Поупражняемся в вычислениях»

Мы предлагаем еще одну подборку заданий на закрепление и повторение.

Задание 1 направлено на повторение условия перехода через разряд при поразрядном сложении.

В задании 2 предлагается поупражняться в применении поразрядного способа сложения двузначных и однозначных чисел с переходом через разряд.

При выполнении задания 3 учащиеся сначала должны распознать суммы, при вычислении значений которых поразрядным способом будет происходить переход через разряд. После этого им предлагается выписать такие суммы в один столбик (автоматически оставшиеся суммы следует выписать в другой столбик) и вычислить их значения. Учитель, если сочтет нужным, может предложить вычислить значения сумм и из другого столбика (тем самым можно будет повторить и поразрядный способ сложения без перехода через разряд).

Задание 4 направлено на повторение условия перехода через разряд при поразрядном вычитании. После того как будут выбраны разности, удовлетворяющие этому условию, учащиеся должны продемонстрировать умение производить поразрядное вычитание однозначного числа из двузначного с переходом через разряд. Учитель, если сочтет нужным, может предложить вычислить значения оставшихся разностей (тем самым можно будет повторить и поразрядный способ вычитания без перехода через разряд).

При выполнении задания 5 учащиеся смогут поупражняться сразу в двух вычислительных приемах: в сложении и вычитании двузначных и однозначных чисел с переходом через разряд. При вычислении значений данных разностей обязательно следует обратить внимание учащихся на порядок выполнения действий в выражении со скобками.

Задание 6 предлагается для парной работы и имеет характер игры. Дидактическим смыслом такой игры будет являться проверка умения производить вычитание однозначного числа из «круглого»

двузначного числа. При анализе проводимых вычислений обязательно следует обратить внимание учащихся на то, что при применении поразрядного способа вычитания фактически мы имеем дело со случаем перехода через разряд, но в несколько упрощенной форме (заимствовать десяток нужно, но складывать его с числом единиц уменьшаемого не нужно).

Вычислительная сторона задания 7 состоит в повторении приема для выполнения вычитания однозначного числа из «круглого»

двузначного числа. Что же касается другой стороны этого задания, направленной на обучение решению задач, то соответствующая работа должна быть проведена в два этапа: сначала учащиеся должны составить задачу по данному решению, а потом из предложенных трех вариантов «круговых» схем выбрать тот, который отвечает составленной задаче.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие Если ориентироваться только на данное решение, то учащиеся могут остановить свой выбор как на первой схеме, так и на второй (считая слева направо). Но если речь будет идти о конкретной задаче, то желательно указать только одну схему, которая больше отвечает формулировке этой задачи. Руководствоваться при этом нужно следующими соображениями: если в «выделенном» подмножестве число элементов известно и равно 7, то выбрать нужно первую схему; если в «выделенном» подмножестве число элементов неизвестно, то выбрать нужно вторую схему. Для учащихся данная ситуация может быть описана следующим образом: если в составленной задаче число предметов, которые должны быть удалены из первоначально имеющихся, равно 7, то выбрать нужно первую схему; если же число удаляемых предметов неизвестно, то выбрать нужно вторую схему.

Тема: «Разностное сравнение чисел» (1 урок) Изучение данной темы возвращает учащихся к очень важному и хорошо им знакомому вопросу: как узнать, на сколько одно число больше или меньше другого? В 1 классе рассмотрению этого вопроса было уделено достаточно много времени. Но для того, чтобы не загромождать существо дела дополнительной терминологией, мы не стали в то время называть предложенный способ сравнения чисел разностным сравнением. Сейчас мы вполне можем этот терминологический пробел ликвидировать.

При выполнении задания 1 учащиеся вспоминают, какое действие нужно выполнить, чтобы сравнить два числа и ответить на вопрос, на сколько одно число больше (или, соответственно, меньше) другого. Так как интересующим нас действием является действие вычитания, то соответствующее выражение является разностью, что и дает основание назвать такой способ сравнения разностным.

В задании 2 мы хотим напомнить учащимся о том, что если значение разности двух чисел равно 0, то сами эти числа равны. Не следует забывать, что и обратное утверждение также является верным, а именно: если числа равны, то значение их разности равно нулю.

В задании 3 предлагается сначала выполнить разностное сравнение чисел. Для этого в каждой паре они должны из большего числа вычесть меньшее. Именно такая установка должна прозвучать до того, как ученики начнут выполнять вычисления, и прозвучать она может из уст самих учащихся. После того как разностное сравнение выполнено для всех данных пар чисел, нужно классифицировать эти пары по полученным результатам. Лучше делать это в определенной системе, например в порядке возрастания результата сравнения. Для этого сначала нужно выписать все пары чисел, которые отличаются на число 1, потом на число 2 и т. д. до числа 7 (числа, отличающиеся на большее число, в данном задании не представлены).

Задание 4 носит комбинаторный характер. При его выполнении учащиеся должны составить из данных чисел всевозможные разности и среди этих разностей найти такую, значение которой равно 12. Искомой разностью будет разность 18–6. Если кто-то из учащихся не станет рассматривать заведомо неподходящие разности, например разность 28–26, то это следует обязательно отметить и поощрить.

В задании 5 предлагается решить задачу, требование которой состоит фактически из двух вопросов. Первый вопрос (или первая часть вопроса) в полной формулировке звучит так: «Где гусей было меньше в пруду или на берегу?» Отвечая на этот вопрос, учащиеся решают логическую задачу на сравнение чисел 10 и 8 с использованием отношения «меньше». Результат такого сравнения они должны изложить устно, но можно это сделать и письменно в виде неравенства 815, а на второй – значение разности 18–15. Оба эти вопроса можно объединить в одно Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие предложение и сформулировать требование, например, так: «В каком наборе кубиков больше и на сколько больше?»

Тема: «Двузначное число больше однозначного» (1 урок) Данная тема является вводной к изучению поразрядного способа сравнения чисел. Вынося в название данную формулировку, мы хотим на этом примере познакомить учащихся с одним из базовых положений этого способа: из двух чисел то число больше, у которого цифр в десятичной записи больше.

При выполнении задания 1 учащиеся устанавливают самое большое однозначное число (это число 9) и фиксируют данный факт с помощью набора неравенств, в которых число 9 сравнивается с остальными однозначными числами.

В задании 2 предлагается назвать самое маленькое двузначное число (это число 10) и сравнить это число с некоторыми двузначными числами. Подбор этих чисел осуществлен по следующему правилу: в каждом разряде должны быть представлены все цифры, за исключением цифры 0. Такой подбор чисел позволяет, по нашему мнению, подчеркнуть произвольность их выбора, а это, в свою очередь, должно еще раз убедить учащихся в том, что любое двузначное число (кроме числа 10) больше числа 10.

В задании 3 логически соединяются результаты, полученные при выполнении первых двух заданий. С этой целью учащимся сначала предлагается сравнить самое маленькое двузначное число с самым большим однозначным. После того как будет установлено (и записано), что самое маленькое двузначное число больше самого большого однозначного (10>9), можно продолжить рассуждения и достаточно легко прийти к выводу, что любое двузначное число больше любого однозначного. Однако если, по мнению учителя, такое рассуждение учащимся построить затруднительно, то последний вывод можно отложить до выполнения следующего задания.

Дидактической целью задания 4 является построение учащимися утверждения о том, что любое двузначное число больше любого однозначного. Но в этом случае мы предлагаем прийти к такому выводу совсем другим путем, а не тем, который использовался в заданиях 1, 2, 3. Этот путь основан на порядковом способе сравнения чисел:

при счете по порядку число, которое идет (названо) раньше, меньше того, которое идет (названо) позже. Именно этот способ сравнения позволяет установить, что любое двузначное число больше любого однозначного. Для того чтобы сделать этот вывод более достоверным, мы предлагаем учащимся привести опровергающий пример. Так как такой пример найти не удается, то это индуктивно подтверждает, что его не существует, а значит, сделанный вывод является верным.

При выполнении задания 5 учащиеся смогут еще раз повторить порядок следования однозначных чисел (по убыванию), так как именно однозначные числа от 9 до 0 являются теми десятью числами, которые меньше числа 10.

При выполнении задания 6 учащиеся смогут еще раз повторить порядок следования двузначных чисел (по возрастанию). Для того чтобы они поняли, что искомыми числами являются именно двузначные числа, мы предлагаем сначала ответить на вопрос о числе всех двузначных чисел. Когда будет установлено, что число всех двузначных чисел равно 90, тогда можно будет ассоциативно связать искомые числа (их также должно быть 90) с двузначными числами. А если после этого воспользоваться правилом сравнения двузначных и однозначных чисел, то это позволит убедиться, что двузначные числа как раз и являются искомыми.

В задании 7 мы делаем попытку связать данную тему с предыдущей. Для выполнения разностного сравнения двух чисел нужно из большего числа вычесть меньшее (об этом учащиеся хорошо знают).

Но тогда очевиден ход дальнейших рассуждений, если речь идет о разностном сравнении двузначного числа и однозначного: так как любое двузначное число больше любого однозначного, то при разностном сравнении таких чисел следует из двузначного числа вычитать однозначное. Вот в такой необычной форме мы предлагаем возвратиться к правилу сравнения двузначных и однозначных чисел.

При выполнении задания 8 учащиеся знакомятся с одним из интересных арифметических фактов, который связан с процедурой разностного сравнения. Дело в том, что число пар, составленных из двузначного и однозначного числа, отличающихся на некоторое фиксированное число (от 1 до 10), равно этому числу. Установить этот факт учащиеся должны эмпирическим путем, а далее проверить свое предположение на примере построения пар из двузначного числа и однозначного, в которых эти числа отличаются на (10–5, 11–6, 12–7, 13–8, 14–9).

Тема: «Сравнение двузначных чисел» (1 урок) В данной теме продолжается изучение поразрядного способа сравнения чисел, который мы начали изучать в предыдущей теме. Теперь на очереди рассмотрение вопроса о сравнении двузначных чисел, т. е. чисел, в записи которых используется одинаковое число цифр (такие числа мы будем называть одинаковозначными).

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие При выполнении задания 1 учащиеся знакомятся с правилом сравнения двузначных чисел при условии, что число десятков в этих числах неодинаковое. В этом случае больше будет то число, в котором число десятков больше. На разряд единиц в этом случае внимания обращать не нужно. Чтобы акцентировать на этом их внимание, мы предлагаем подчеркивать в записи каждого числа только цифру разряда десятков.

При выполнении задания 2 учащиеся продолжают знакомиться с правилом сравнения двузначных чисел, но при условии, что число десятков у этих чисел одинаковое. В этом случае все внимание учащихся должно быть сосредоточено на разряде единиц, так как остальные характеристики этих чисел одинаковые: числа одинаковозначные и число десятков в их составе одинаковое. Чтобы акцентировать на этом внимание учащихся, мы предлагаем подчеркивать в записи каждого числа цифру разряда единиц.

При выполнении задания 3 учащиеся смогут закрепить те знания о правиле сравнения двузначных чисел, которые они получили при выполнении двух предыдущих заданий. Результат сравнения данных чисел они должны записывать в виде соответствующего неравенства, что позволяет повторить вопрос о построении верных числовых неравенств.

При выполнении задания 4 учащиеся сначала должны вычислить значения данных выражений. При проведении этих вычислений они смогут потренироваться в выполнении тех вычислительных приемов, с которыми познакомились ранее. Построение правильных числовых равенств или неравенств (а именно в таком виде должен быть записан результат сравнения) – это вопросы, которые реализуют функцию повторения.

В задании 5 мы хотим обратить внимание учащихся на самое большое и самое маленькое из всех двузначных чисел, но делаем мы это не в явном виде, а с помощью постановки вопроса о том, на какое самое большое число могут отличаться два двузначных числа.

Именно для нахождения этого числа учащимся и потребуется сначала вспомнить о самом большом двузначном числе (это число 99) и о самом маленьком двузначном числе (это число 10), а уже потом выполнить разностное сравнение чисел 99 и 10.

Тема: «Прямоугольник и квадрат» (1 урок) Данной темой мы продолжаем линию по изучению геометрического материала. Учащимся будет предложено познакомиться с определениями таких хорошо известных им понятий, как прямоугольник и квадрат. Предлагаемые определения построены на основе указания родового понятия (таким понятием для прямоугольника является понятие четырехугольника, а для квадрата – понятие прямоугольника) и видового отличия (в роли видового отличия выступает свойство, заключающееся соответственно в наличии всех прямых углов или в равенстве длин всех сторон).

При выполнении задания 1 учащиеся сначала должны из всех данных четырехугольников выбрать те, у которых все углы прямые.

Сделать это они должны на глаз, проверив правильность своего выбора с помощью угольника. Завершается эта часть задания формулировкой определения прямоугольника, которую учащимся следует запомнить. После этого из всех выбранных прямоугольников следует выбрать те, у которых все стороны имеют одинаковую длину.

Сделать это следует на глаз, проверив правильность своего выбора с помощью измерительной линейки. Завершается вторая часть этого задания формулировкой определения квадрата, которую учащимся следует запомнить.

При выполнении задания 2 учащиеся смогут продемонстрировать, как они усвоили определение квадрата и как они могут воспользоваться особенностями клетчатого листа бумаги для построения квадрата.

В задании 3 еще раз сопоставляются два понятия – прямоугольник и квадрат. Именно такое сопоставление позволяет, с одной стороны, подчеркнуть их общие свойства (это четырехугольники, у которых все углы прямые), а с другой стороны, выделить отличительное свойство квадрата (все стороны квадрата имеют одинаковую длину). Более того, выполняя это задание, учащиеся убедятся в том, что из любого прямоугольника можно получить квадрат, если «лишнюю часть» прямоугольника «отрезать».

Задание 4 носит практический характер: учащимся предлагается поработать с моделью квадрата, вырезанной из листа бумаги. Чтобы учащиеся имели возможность попробовать различные варианты решения, таких моделей квадрата следует заготовить несколько.

Однако не следует очень увлекаться только таким видом работы.

Очень важно, чтобы учащиеся научились показывать выбранный способ «разрезания» квадрата на две одинаковые фигуры просто на чертеже. Что же касается вариантов решения этой задачи, то их можно указать достаточно много. Прежде всего это два очевидных способа: разрезать по диагонали (рис. 9) и разрезать по средней линии (рис. 10). Другие варианты могут быть связаны с проведением любой прямой линии, проходящей через центр квадрата (рис. и рис. 12). Наконец, существуют варианты, в которых разрез производится по кривой линии, но она обязательно должна быть Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие центрально-симметричной относительно центра квадрата и проходить через этот центр (рис. 13).

Данное задание предусматривает практическую самопроверку правильности его выполнения.

Задание 5 носит комбинаторный характер. Решение этой задачи можно выполнить способом систематического перебора. Сначала можно подсчитать число «маленьких» квадратов (это число равно 9), далее можно подсчитать число «средних» квадратов, состоящих из четырех «маленьких» (это число равно 4), наконец, нужно учесть и «большой» квадрат, состоящий из девяти «маленьких» (такой квадрат один). Таким образом, общее число квадратов равно 14.

Тема: «Поразрядное сложение двузначных чисел без перехода через разряд» (1 урок) При изучении данной темы поразрядный способ сложения получает распространение и на случай сложения двузначных чисел, но пока в том варианте, когда переход через разряд отсутствует.

При выполнении задания 1 учащиеся на достаточно простом, но важном примере смогут вспомнить правило прибавления суммы к сумме, которое лежит в основе поразрядного способа сложения двузначных чисел.

Задание 2 предлагается с целью проверки умения применять правило прибавления суммы к сумме для вычисления значений соответствующих выражений. Очевиден и пропедевтический характер данного задания.

Задание 3 также носит пропедевтический характер. При его выполнении учащиеся должны осуществить логический переход от сложения двух сумм разрядных слагаемых к сложению двузначных чисел.

При выполнении задания 4 учащиеся знакомятся с поразрядным способом сложения двузначных чисел и убеждаются в том, что при сложении чисел 26 и 32 нет перехода через разряд ни в разряде единиц, ни в разряде десятков. Вся необходимая подготовительная работа была проведена при выполнении заданий 1, 2, 3.

«Поразрядное сложение двузначных чисел с переходом через разряд»

Выполняя задание 5, учащиеся смогут потренироваться в применении поразрядного способа сложения для сложения двузначных чисел (рассматриваются только такие суммы, при вычислении значений которых нет перехода через разряд). На этом этапе следует обязательно требовать полной записи проводимых вычислений.

Задание 6 выполняет две дидактические функции: с одной стороны, мы продолжаем работу по обучению детей решению задач с использованием «круговых» схем (они учатся составлять задачу по данной схеме и находить решение по этой схеме), с другой стороны, мы предоставляем возможность им потренироваться в применении поразрядного способа для сложения двузначных чисел (сделать это они смогут при вычислении ответа составленной задачи).

При выполнении задания 7 учащиеся не только тренируются в применении только что изученного способа сложения (вычисляя значения данных сумм), но и повторяют вопросы, связанные с понятиями числового равенства и числового неравенства.

Тема: «Поразрядное сложение двузначных чисел с переходом через разряд» (1 урок) Изучение поразрядного способа сложения двузначных чисел с переходом через разряд целесообразно проводить непосредственно после изучения поразрядного способа сложения двузначных чисел без перехода через разряд, что мы и предлагаем сделать. Дело в том, что такой подход позволяет сконцентрировать внимание учащихся именно на процедуре перехода через разряд, так как все другие этапы этого вычислительного приема повторяют те, которые были изучены при рассмотрении предыдущей темы. Сам же переход через разряд осуществляется только в разряде единиц, так как переход в разряде десятков вывел бы нас за пределы того числового множества (однозначные и двузначные числа), в рамках которого мы должны пока находиться.

В задании 1 учащимся предлагается вспомнить, как двузначные числа 27 и 34 раскладываются на разрядные слагаемые. Это задание носит подготовительный характер по отношению к следующему заданию данной темы.

В задании 2 мы их знакомим с поразрядным способом сложения двузначных чисел с переходом через разряд, руководствуясь теми соображениями, о которых было сказано только что в общих рекомендациях по изучению данной темы. Особое внимание следует обратить на процедуру перехода через разряд, которая реализуется на последних двух этапах вычислений: во-первых, при сложении в разряде единиц, которое выполняется на основе таблицы сложеТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие ния, мы получаем двузначное число (что свидетельствует о переходе через разряд), во-вторых, полученное двузначное число мы прибавляем к «круглому» числу, пользуясь уже изученным вычислительным приемом (подробно этот шаг можно не записывать).

Задание 3 следует предлагать учащимся после задания 4 (такая последовательность размещения заданий на страницах учебника продиктована чисто техническими причинами). В задании 3 перед учащимися ставится более сложная задача, чем в задании 4: им нужно выполнить вычисления уже без помощи готовой схемы (хотя они имеют возможность обращаться к той записи, которую только что сделали при выполнении задания 2). На данном этапе изучения этого вычислительного приема рекомендуется использовать только подробную его запись.

При выполнении задания 4 учащиеся смогут потренироваться в выполнении рассмотренного вычислительного приема. Но чтобы несколько упростить стоящую перед ними задачу, мы предлагаем воспользоваться готовой схемой вычислений, предварительно переписав ее к себе в тетрадь.

Задание 5 выполняет двойную дидактическую функцию: вопервых, мы продолжаем работу по обучению детей решению задач (учащиеся отрабатывают умение формулировать задачу по ее краткой записи, составлять «круговую» схему к данной задаче, а также находить решение либо с использованием краткой записи, либо с использованием схемы), во-вторых, закрепляется умение применять изученный вычислительный прием (делается это на этапе вычисления ответа данной задачи).

В задании 6 сначала предлагается установить, при нахождении значений каких сумм способом поразрядного сложения происходит переход через разряд. Тем самым мы еще раз предлагаем учащимся обратить внимание на условие выполнение которого гарантирует переход через разряд. После этого они должны выполнить вычисления, пользуясь изученным приемом. В плане повторения можно предложить вычислить значения и тех сумм, для которых не выполняется условие перехода через разряд.

Тема: «Поупражняемся в вычислениях»

Задание 1 посвящено вопросу сравнения двузначных чисел. При этом при его выполнении применять нужно оба варианта правила:

и сравнение в разряде десятков, и сравнение в разряде единиц.

Задание 2 посвящено вопросу поразрядного сложения двузначных чисел без перехода через разряд. При выполнении этого задаПоупражняемся в вычислениях»

ния разрешается использовать сокращенный вариант записи, при котором все промежуточные вычисления производятся и фиксируются «в уме», а записывается только окончательный результат.

При выполнении задания 3 учащиеся смогут повторить не только поразрядный способ сложения двузначных чисел без перехода через разряд, но и само условие применения этого способа.

В задании 4 предлагается выполнить поразрядное сложение двузначных чисел с переходом через разряд. При выполнении этого задания разрешается использовать сокращенный вариант записи, при котором все промежуточные вычисления производятся и фиксируются «в уме», а записывается только окончательный результат (разрешается и частичное сокращение записи, когда пропускаются только некоторые этапы).

При выполнении задания 5 учащиеся смогут потренироваться в выполнении поразрядного способа сложения двузначных чисел как без перехода, так и с переходом через разряд.

Задание 6 возвращает учащихся к поразрядному способу сложения двузначных чисел без перехода через разряд. Но теперь речь идет о сложении трех двузначных чисел, поэтому, составляя нужную сумму, учащиеся должны позаботиться о том, чтобы соответствующее условие выполнялось не только при сложении первых двух чисел, но и при сложении полученного результата с третьим числом.

Задание 7 продолжает логическую линию, которую мы начали в предыдущем задании. Но теперь речь идет о сложении сразу девяти чисел. Искомый вариант суммы отыскать будет не очень просто, поэтому данное задание мы отнесли к категории сложных. Возможным вариантом решения данного задания будет любая сумма, каждое слагаемое которой равно либо 10, либо 11 (это не исключает и других вариантов решения). При этом чем больше в сумме слагаемых, равных 10, тем больше вариантов для изменения других слагаемых. Если же в сумме не будет ни одного слагаемого, равного 10, то останется лишь один вариант решения данного задания, а именно: 11+11+11+11+11+11+11+11+11.

В задании 8 сначала предлагается проверить, все ли данные равенства являются верными. Хотя из формулировки задания следует, что среди этих равенств могут быть неверные, но на самом деле мы включили в этот перечень только верные равенства. Сделано это для того, чтобы учащиеся случайно не приняли неверное равенство за верное (традиционно считается, что в учебнике не должно содержаться ложных утверждений). При проверке равенств учащиеся должны воспользоваться поразрядным способом сложения двузначных чисел в двух его вариантах: без перехода чеТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие рез разряд и с переходом через разряд. Подробная запись вычислений не требуется, но классификацию равенств следует провести обязательно, так как это позволит проконтролировать умение распознавать соответствующие случаи поразрядного сложения двузначных чисел.

Задание 9 предусматривает парную работу. При его выполнении учащиеся еще раз в деталях смогут повторить поразрядный способ сложения двузначных чисел с переходом через разряд.

Задание 10 еще раз возвращает к поразрядному способу сложения двузначных чисел с переходом через разряд. По результатам проведенных вычислений учащиеся должны проверить, является ли данное неравенство (неравенства) верным.

Тема: «Десять десятков или сотня» (1 урок) Данная тема посвящена знакомству с новой разрядной (или счетной) единицей – сотней. Это знакомство осуществляется на основе генетического подхода, т. е. мы показываем, как эта разрядная единица образуется (порождается). При этом реализация данного подхода осуществляется аналогично тому, как это было сделано при изучении десятка.

При выполнении задания 1 учащиеся знакомятся с новой разрядной единицей – сотней. Это знакомство осуществляется на принципах, о которых было сказано только что в общих рекомендациях к данной теме. Особое внимание следует обратить на появление нового разряда (разряда сотен) в записи числа, а следовательно, и на появление трехзначных чисел.

В задании 2 предлагается построить своеобразную геометрическую модель числа 100, состоящую из 10 полосок по 10 клеточек.

Полоски разрешается располагать любым способом.

При выполнении задания 3 учащиеся познакомятся с геометрической моделью числа 100, которая выглядит как квадрат, разбитый на 10 рядов по 10 клеток (такую модель учащиеся могли построить сами при выполнении предыдущего задания). Изучение данной модели может рассматриваться и как проведение пропедевтической работы к изучению «нового» арифметического действия – действия умножения.

Задание 4 знакомит учащихся с одним из видов аддитивного состава числа 100, построенного на сложении «круглых» двузначных чисел. Отыскание всех вариантов такого состава числа 100 может опираться на умение представлять число 10 в виде суммы двух однозначных слагаемых.

При выполнении задания 5 учащиеся смогут самостоятельно установить местоположение числа 100 в ряду ранее изученных чисел. Очень важно подчеркнуть, что число 100 следует сразу за числом 99, следовательно, оно больше этого числа. Можно также сказать и о том, что число 100 является самым маленьким трехзначным числом.

Тема: «Дециметр и метр» (1 урок) Данная тема продолжает линию по изучению величин. Местоположение этой темы определяется существующей естественной связью между понятием «метр» и числом 100. Рассмотрение сначала соотношения между дециметром и метром (а уже потом между сантиметром и метром) продиктовано желанием еще раз напомнить о том, как порождается сотня из десятков.

Задание 1 имеет цель познакомить учащихся с «новой» единицей длины – метром. Это знакомство построено на аналогии, которая имеет место для соотношений таких единиц длины, как сантиметр и дециметр с одной стороны (это соотношение учащимся уже хорошо известно), и дециметр и метр, с другой стороны. Можно сказать, что учащиеся знакомятся с понятием «метр», повторяя тот путь, который они прошли при знакомстве с сотней.

В задании 2 предлагается рассмотреть и проанализировать рисунок «складного метра», который позволяет им зрительно удостовериться в том, что метр состоит из 10 дециметров, или, другими словами, из 10 десятков сантиметров. Если на уроке учащимся будет продемонстрирован реальный «складной метр», то это сделает изучаемый материал еще более доступным.

В задании 3 ученикам предлагается самостоятельно сделать модель «складного метра» в виде тканевой ленты, на которую наклеены 10 полосок по 1 дм. Естественно, что на этой модели не будет сантиметровых (и тем более миллиметровых) делений, но измерять длину в метрах с помощью этой ленты вполне возможно.

При выполнении задания 4 учащиеся самостоятельно должны построить всевозможные варианты представления 1 метра в виде суммы двух слагаемых, выраженных в дециметрах. Получение таких представлений не составит особого труда, если предварительно учащиеся вспомнят, что в 1 метре 10 дециметров, и, таким образом, данная задача сводится к представлению числа 10 в виде суммы двух однозначных чисел, которую учащиеся уже умеют решать. Использование в формулировке задания термина «дополни» совсем не случайно. Этим мы хотели подчеркнуть, что данное задание аналоТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие гично заданиям по дополнению данных чисел до «круглого» числа.

Здесь же просматривается и более далекая перспектива, связанная с изучением вопросов, касающихся «округления» чисел.

Тема: «Килограмм и центнер» (1 урок) Данная тема продолжает линию по изучению величин. Так же как и для предыдущей темы, ее местоположение определяется той естественной связью, которая существует между понятием «центнер»

и числом 100. Более того, чтобы показать имеющиеся аналогии между различными величинами (между длиной и массой), мы поместили эту тему между двумя темами, в которых речь идет о длине.

В преамбуле к заданию 1 учащиеся знакомятся с новой единицей массы – центнером. Это знакомство осуществляется на основе озвучивания ответа Маши о соотношении между килограммом и центнером. То, что в 1 центнере 100 килограммов, должно закрепиться и в виде зрительного образа, который мы предлагаем сформировать на основе рисунка весов с показанием 100 кг (см. задание 1).

В задании 2 учащимся предлагается представить 1 центнер в виде суммы двух «круглых» слагаемых, выраженных в килограммах. Перед тем как заполнять данную таблицу, имеет смысл вспомнить с учащимися, что в 1 центнере 100 кг и как можно представить число 100 в виде суммы двух «круглых» двузначных чисел.

В задании 3 учащимся предлагается решить задачу, при вычислении ответа которой потребуется сложить две массы, выраженные в центнерах. Так как сложение масс, выраженных в одних единицах, выполняется так же, как и сложение чисел, то специальные разъяснения по этому поводу совсем не обязательны, тем более, что они познакомились с этой операцией при изучении темы «Сколько килограммов?». Для записи решения с вычислением ответа можно использовать две формы записи: 2ц + 3ц = 5ц (величинная форма) или 2+3=5(ц) (числовая форма).

При выполнении задания 4 учащиеся еще раз столкнуться с операцией сложения масс. Умение складывать массы потребуется от них при вычислении ответа данной задачи. Само же решение задачи может быть получено на основе анализа краткой записи.

Что же касается умения составлять задачу по краткой записи, то тренировка этого умения продолжает ту работу, которую мы целенаправленно ведем в связи с проблемой обучения учащихся решению сюжетных арифметических задач. Относительно формы записи решения задачи указания будут те же, что и для решения предыдущей задачи.

В задании 5 предлагается решить еще одну задачу, связанную с вычислением массы некоторого предмета. В данном случае речь идет о мешке сахарного песка, из которого отсыпали 9 кг. Первоначально же в нем был 1 ц сахарного песка. То, что эта задача решается с помощью вычитания, легко устанавливается на основе сопоставления с аналогичными задачами, в сюжете которых речь идет не о массе, а о численности множеств. Для того чтобы данная задача приобрела более знакомый вид, следует посоветовать учащимся перевести 1 центнер в килограммы. После этого учащиеся могут уже записывать решение в виде соответствующей разности масс. Так как операция вычитания масс, выраженных в одной и той же единице, полностью повторяет вычитание чисел, то специальные пояснения на этот счет, по нашему мнению, не требуются, хотя формально данный материал является новым. Для записи решения с вычислением ответа можно использовать две формы записи: 100 кг – 9 кг = 91 кг (величинная форма) или 100 – 9 = 91(кг) (числовая форма).

Тема: «Сантиметр и метр» (1 урок) Данная тема во многом повторяет предыдущую тему, но на материале изучения другой величины.

При выполнении задания 1 устанавливают соотношение между сантиметром и метром. Нельзя сказать, что данное соотношение до этого момента было неизвестно учащимся, но в явном виде оно представлено в учебнике впервые.

Задание 2 имеет практическую направленность. При его выполнении можно использовать измерительную ленту, о построении которой речь шла в задании 3 темы «Дециметр и метр». Запоминание положения разведенных в сторону рук, расстояние между кончиками пальцев которых равно 1 метру, позволяет постоянно «иметь при себе» своеобразную мерку в 1 метр.

Задание 3, как и предыдущее, имеет практическую направленность: учащиеся учатся отмерять заданную длину (в метрах) с помощью измерительной ленты.

Задание 4 аналогично заданию 4 из темы «Дециметр и метр». Отличие состоит лишь в том, что в данном случае требуется дополнить «круглое» число сантиметров до 1 метра. При выполнении этого задания сначала учащиеся должны выразить 1 метр в сантиметрах, а уже потом действовать по ранее отработанной схеме.

При решении задачи из задания 5 учащиеся должны выполнить сложение длин, выраженных в метрах (прийти к такому выводу учаТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие щиеся могут, опираясь на смысл сложения). Запись решения и вычисления ответа должна выглядеть так: 3м+3м=6м или 3+3=6(м) (это для ответа на первый вопрос); 3м+3м+3м=9м или 3+3+3=9(м) (это для ответа на второй вопрос. Легко видеть, что это задание имеет и пропедевтическую направленность на изучение действия умножения, которое начинается со следующей темы.

Задание 6 имеет практическую направленность, и при его выполнении ученики могут воспользоваться результатами задания 2.

В задании 7, как и в задании 4, речь идет о представлении длины в 1 метр в виде суммы двух длин, выраженных в сантиметрах.

Единственное отличие состоит в том, что «дополняющее» слагаемое (кроме первого случая) будет выражено однозначным числом сантиметров. Таким образом, это задание может быть выполнено по аналогии с заданием на дополнение до «круглого» числа.

В задании 8 предлагается решить задачу на вычитание длин.

Установить, что данная задача является задачей на вычитание длин, учащиеся смогут без особого труда, если будут опираться на смысл действия вычитания. Для того чтобы записать решение этой задачи и вычислить ее ответ, нужно сначала выразить длину ленточки в сантиметрах. Тогда эта запись может выглядеть так: 100см–93см=7см или 100–93=7(см). Что же касается вычисления ответа этой задачи, то на первый взгляд перед учащимися поставлена труднопреодолимая проблема. Но это только на первый взгляд. Дело в том, что для нахождения значения разности 100 см–93 см можно воспользоваться результатом предыдущего задания: анализируя заполненную таблицу, можно установить, что 7 см дополняет 93 см до 1 метра.

Поэтому значением указанной разности будет длина 7 см.

Тема: «Сумма и произведение. Знак •» (1 урок) В данной теме мы начинаем изучать «новое» арифметическое действие, называемое умножением. Изучению умножения будет уделено достаточно много внимания. Можно даже сказать, что изучение умножения является центральной проблемой всего материала первого полугодия 2 класса. Действие умножения мы будем вводить традиционно, на основе сложения одинаковых слагаемых. Таким образом, начать мы должны с того, чтобы научить учащихся записывать суммы одинаковых слагаемых в виде произведения.

При выполнении задания 1 учащиеся смогут познакомиться с понятием произведения. Именно с этого понятия мы начинаем изучение нового арифметического действия – умножения. Произведение вводится как сумма одинаковых слагаемых, записанная особым образом. Сначала записывается число, которое является слагаемым в данной сумме; далее ставится специальный знак в виде точки (при необходимости можно познакомить учащихся и с другим знаком для обозначения произведения – знаком «x»);

после этого записывается число, которое показывает, сколько раз повторяется слагаемое в данной сумме.

Таким образом, любую сумму одинаковых слагаемых можно записать в виде произведения, а любое произведение (если в нем второе число не равно 0 и 1) – в виде суммы. Кроме этого, учащиеся знакомятся и с двумя вариантами прочтения записи, являющейся произведением. Знакомство с другими вариантами прочтения таких записей мы рекомендуем осуществить несколько позже, когда они уже будут свободно владеть предложенными вариантами.

Примечание. Мы сразу хотим обратить внимание на привычный для многих способ прочтения произведений. Согласно этому способу, произведения читаются, например, так:

«трижды пять», «семью восемь» и т. п. Этот способ прочтения является очень компактным, и в этом состоит его привлекательность. Но у этого способа есть и оборотная сторона: согласно этому способу, сначала называется второе число произведения, а уже потом – первое, т. е. чтение выполняется справа налево. Например: «трижды пять» – это произведение 5 и 3, а не 3 и 5. Данный факт обязательно нужно учитывать при знакомстве учащихся с этим способом.

Задание 2 направлено на отработку умения записывать суммы одинаковых слагаемых в виде произведения и на усвоения смыслового значения чисел, образующих произведение.

Примечание. С этого момента мы можем при рассмотрении произведений называть их выражениями (как сумму и разность). Обоснованием тому может служить тот факт, что мы определили произведение как сумму.

Задание 3 направлено на отработку умения читать данные произведения и записывать их в виде суммы одинаковых слагаемых.

В задании 4 предлагается записать решение задачи двумя способами: в виде суммы и в виде произведения. Первый способ записи решения ученики смогут найти без особого труда, так как предложенная задача не принципиально отличается от хорошо известных учащимся задач на смысл действия сложения. Второй способ записи решения должен быть построен на основе полученных знаний о связи суммы и произведения. Это задание не только помогает отТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие рабатывать связь между суммой и произведением, но и готовит учащихся к решению простых задач на смысл действия умножения.

В задании 5 учащиеся сталкиваются с проблемой обратного характера: им предлагается проиллюстрировать произведение. Очень важно, чтобы на иллюстрации было правильно представлено каждое число произведения (в соответствии с тем смыслом, о котором было сказано в задании 1). Последний этап задания связан с вычислением значения полученной суммы. Это означает, что мы проводим пропедевтическую работу к пониманию термина «значение произведения».

Тема: «Произведение и множители» (1 урок) При изучении этой темы мы продолжаем работу с понятием «произведение», а также расширяем терминологическую базу учащихся с помощью введения терминов «первый множитель» и «второй множитель».

В задании 1 сначала учащимся предлагается вспомнить, с помощью какого знака записывается произведение и продемонстрировать умение отличать произведение от суммы и от разности. После этого они знакомятся с названиями чисел, которые образуют произведение. Вводится как объединяющий термин («множители»), так и термины, индивидуальные для каждого числа («первый множитель» и «второй множитель»).

При выполнении задания 2 учащиеся смогут потренироваться в составлении произведения по известным (первому и второму) множителям. Последняя часть этого задания посвящена отработке умения переходить от произведения к сумме.

В задании 3 учащимся сначала предлагается записать сумму одинаковых слагаемых в виде произведения, а уже потом объяснить смысл первого и второго множителей на примере этого произведения.

При выполнении задания 4 они сначала должны продемонстрировать умение записывать произведение на основании одного из способов его прочтения. После этого осуществляется отработка распознавания первого и второго множителей в произведении и понимания их смысла.

Задание 5 носит комбинаторный характер: учащиеся должны составить всевозможные произведения из данных чисел. Составление произведений лучше выполнять не хаотично, а на основе систематического перебора. Для этого сначала можно выбрать первый множитель и, не меняя его, составить всевозможные произведения, измеЗначение произведения и умножение»

няя второй множитель. После этого делается другой выбор первого множителя, а ситуация со вторым множителем повторяется. Так поступают до тех пор, пока не переберут все возможные варианты для первого множителя. За комбинаторной сущностью задания не следует забывать и о работе над понятием «произведение».

В задании 6 предлагается записать решение задачи в виде произведения. К выполнению такого задания учащиеся уже подготовлены (см. задание 4 из предыдущей темы). Вычислять значение найденного произведения не требуется (мы еще не знакомили учащихся с термином «значение произведения»). Однако если кто-то из учащихся сможет узнать в произведении 10•10 знакомое число 100, то это обязательно следует отметить.

Тема: «Значение произведения и умножение» (2 урока) Данная тема является основной в плане изучения действия умножения. Не случайно мы планируем отвести на ее изучение 2 урока.

Знакомство учащихся с действием умножения происходит через введение понятия «значение произведения», что позволяет построить равенство, в одной части которого находится произведение, а в другой – значение этого произведения. Именно такое равенство и является записью действия умножения (имеется полная аналогия с записью действий сложения и вычитания), о чем и сообщается учащимся. Само действие умножения определяется как действие по нахождению значения произведения (и здесь имеется полная аналогия с ранее изученными арифметическими действиями).

При выполнении задания 1 учащиеся знакомятся с понятием «значение произведения» и с действием умножения. Это знакомство осуществляется по тому плану, о котором было сказано выше в общих рекомендациях по изучению данной темы.

В задании 2 предлагается научиться вычислять значение произведения на основе сложения одинаковых слагаемых (вот где потребуется умение складывать различные числа, формированием которого мы занимались на протяжении всего предшествующего периода изучения материала 2 класса).

В задании 3 предлагается выполнить умножение данных чисел.

Выполнить учащиеся его могут на основе сложения одинаковых слагаемых.

При выполнении задания 4 ученики учатся распознавать равенства, с помощью которых записано действие умножения. Как должно выглядеть такое равенство, они уже знают. Им остается применить эти знания на практике. В качестве «фоновых» равенств Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие предлагаются равенства, с помощью которых записаны действия сложения и вычитания. Последняя часть задания направлена на то, чтобы еще раз подчеркнуть терминологическое и смысловое различие между «произведением» и «значением произведения».

В задании 5 предлагается решить задачу, в сюжете которой описана ситуация, отвечающая смыслу действия умножения. При записи ее решения от учащихся требуется только правильное использование понятий «первый множитель» и «второй множитель». Вычислять ответ данной задачи не требуется.

В задании 6 перед учащимися ставится проблема, с которой они еще не сталкивались: им нужно установить, при умножении каких чисел получается данное число. Проблема эта решается не очень легко (учитывая небольшой запас их знаний, относящихся к действию умножения), поэтому данное задание мы отметили как трудное. Однако решение ее вполне возможно, если учащиеся сначала попробуют представить данное число в виде суммы одинаковых слагаемых, а потом запишут эту сумму в виде произведения.

В задании 7 предлагается решить задачу, причем сразу дается указание на применение действия умножения. Таким образом, от учащихся требуется только правильно установить числа, которые будут играть роль первого и второго множителей. Особенностью формулировки данной задачи является то, что условие и требование соединены в одном предложении, а в самом условии явно дано только одно число (это число будет являться вторым множителем искомого произведения). Другое число учащиеся должны назвать сами, исходя из имеющихся у них знаний о числе колес легкового автомобиля. Обращаем внимание на то, что в данном случае они должны не только найти решение, но и вычислить ответ этой задачи.

В задании 8 предлагается проанализировать рисунок с точки зрения нахождения двух способов записи числа изображенных на нем звездочек в виде произведения. Эти два способа будут отличаться только порядком следования множителей. По смыслу задания учащимся должно быть понятно, что значения этих двух произведений должны быть равны (они оба выражают число звездочек на рисунке). Такие рассуждения являются пропедевтикой изучения переместительного свойства умножения.

Тема: «Учимся решать задачи» (1 урок) Данной темой будет продолжена линия по обучению решению задач, которая не прерывается практически ни на одном уроке. В данный блок включены простые задачи на смысл действия умножения, но информировать об этом учащихся мы не рекомендуем, чтобы не задавать заранее жесткие рамки в нахождении решения этих задач. Чтобы сосредоточить их внимание только на поиске решения данных задач, мы даже предлагаем не отвлекаться на вычисление и запись ответов.

В задании 1 предлагается решить 6 задач. Так как сюжет каждой задачи отвечает смыслу действия умножения, то поиск и запись решения не должны вызвать у учащихся каких-либо затруднений.

Особое внимание мы предлагаем обратить на первые четыре задачи. Они имеют нестандартную формулировку, так как условие и требование совмещены в одном предложении, а само условие содержит в явном виде только одно данное число (с таким типом формулировки задачи учащиеся уже сталкивались при выполнении задания 7 из предыдущей темы). Недостающую информацию о втором числе учащиеся должны получить самостоятельно, опираясь на свой жизненный опыт и имеющиеся знания об окружающем мире (для справки напоминаем, что у жука 6 лап, а у паука их 8).

В задании 2 предлагается составить задачу по данному решению.

Особое внимание следует обращать на правильную трактовку смысла первого и второго множителей и на максимально возможное разнообразие составленных задач.

Задание 3 следует рассматривать в комплексе с заданием 2. Рекомендации к нему будут аналогичными, но желательно поставить перед учащимися проблему о составлении задачи, которую можно было бы решить как с помощью первого произведения (задание 2), так и с помощью второго. В качестве указания можно предложить учащимся вспомнить о выполнении задания 8 из предыдущей темы.

Такая работа нужна нам в качестве пропедевтики к изучению переместительного свойства умножения.

Задание 4 носит комбинаторный характер: учащимся предлагается найти все варианты расположения 20 ульев при заданном условии и представить эти варианты в виде соответствующих рисунков (разрешается использовать условные обозначения). Соблюдение заданного условия при построении вариантов расположения ульев неминуемо заставит их использовать свои знания о действии умножения. С арифметической точки зрения учащимся предлагается установить, при умножении каких чисел получается число 20. Так как в процессе решения должны возникнуть произведения 4•5 и 5•4, а также 2•10 и 10•2, то сопоставление соответствующих произведений позволит еще раз пропедевтически указать на существование переместительного свойства умножения. Достаточно сложный уровень данного задания отмечен в тексте учебника цветом.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие В задании 5 предлагается по рисунку составить задачу, которая решается с помощью умножения. Числовые данные учащиеся должны установить самостоятельно (по рисунку). Решение составленной задачи записать нужно обязательно, а вот вычислять ответ не требуется.

В задании 6 на первый взгляд речь о задачах не идет. Однако выполнение этого задания фактически означает решение задачи, формулировка которой может выглядеть так: «На рисунке изображено заданное число треугольников. Сколько вершин у этих треугольников?» Это число может быть записано в виде произведения, так как у всех треугольников одно и то же число вершин. При выполнении этого задания мы не только работаем с понятием «произведение»

и учим решать задачи, но и повторяем простейшие свойства такой геометрической фигуры, как треугольник.

Тема: «Перестановка множителей» (1 урок) Тема посвящена рассмотрению одного из важнейших свойств умножения, которое называется переместительным или коммутативным. Рассмотрение этого свойства практически сразу после введения действия умножения продиктовано тем, что именно на этом свойстве будет базироваться рассмотрение случаев умножения на 0 и на 1, а также большого числа табличных случаев умножения.

Для проведения объяснения (можно сказать, и доказательства) этого свойства уже была подготовлена соответствующая база (см. задание 8 из темы «Значение произведения и умножение», а также задания 2, 3 и 4 из предыдущей темы).

Это объяснение опирается на тот факт, что число элементов в прямоугольной таблице можно подсчитывать двумя способами:

с одной стороны, по строкам, с другой стороны, по столбцам. При таком подсчете сначала можно построить одно произведение, а потом другое, которое отличается от первого только порядком следования множителей.

При выполнении задания 1 учащиеся знакомятся с переместительным свойством умножения на основе того подхода, который был изложен выше в общих рекомендациях по изучению данной темы. Обращаем внимание на то, что формулировка этого свойства пока не приводится.

В задании 2 предлагается вычислить значения данных произведений с помощью сложения одинаковых слагаемых. Произведения сгруппированы по столбикам на основе перестановки множителей.

Вычисление и сопоставление соответствующих значений позволяет учащимся на конкретных примерах еще раз убедиться в справедливости переместительного свойства умножения (правила перестановки множителей), формулировкой которого и завершается работа с данным заданием.

В задании 3 предлагается устно восстановить равенства, используя правило перестановки множителей. Для этого учащиеся должны вместо пустых клеточек подобрать числа, при подстановке которых и будут получаться равенства, иллюстрирующие переместительное свойство умножения. В равенствах первого столбика по одному пропущенному числу, в равенствах второго столбика – по два, а в равенствах третьего столбика – три и четыре. При этом увеличение количества пропущенных чисел не обязательно означает увеличение сложности данного задания.

В задании 4 предлагается найти значения некоторых произведений. В помощь им предлагается таблица со значениями некоторых других произведений. Однако если воспользоваться правилом перестановки множителей, то все искомые значения произведений можно найти в этой таблице.

Тема: «Умножение числа 0 и на число 0» (1 урок) В данной теме мы рассматриваем случаи умножения числа 0 на произвольное целое неотрицательное число и случаи умножения произвольных целых неотрицательных чисел на число 0. Для первой группы случаев результат умножения определяется на основе сложения (исключение составляют случаи 0•0 и 0•1). При этом каждое слагаемое равно 0, а число слагаемых равно второму множителю. Для второй группы случаев результат умножения устанавливается по соглашению, а соглашение, в свою очередь, опирается на выполнимость переместительного свойства умножения (исключение составляет лишь случаи 0•0 и 1•0).

Задание 1 включено в данную тему с целью напомнить учащимся о том, что при сложении числа 0 с числом 0 получается число 0.

Имеет смысл обратить внимание учащихся и на то, что значение имеет и любая другая сумма, состоящая из любого числа слагаемых, равных 0.

При выполнении задания 2 сначала нужно выбрать произведения, в которых первый множитель равен 0, а уже потом вычислить значения этих произведений на основе сложения одинаковых слагаемых. После сопоставления полученных результатов делается обобщающий вывод о том, что при умножении числа 0 на любое число в результате получается число 0. Формально под данное объТематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие яснение не попадают только два случая из всех рассматриваемых.

Это случаи 0•0 и 0•1. Но, рассуждая по аналогии, естественно считать, что и в этих двух случаях значение произведения равно 0.

При выполнении задания 3 учащиеся сначала смогут потренироваться в применении только что установленного правила. На основании этого правила составить и записать 10 произведений, значение которых равно 0, не составляет особого труда.

Далее перед учащимися ставится «проблема»: можно ли найти значение произведения 5•0? Решить эту «проблему» на основании определения умножения через сложение одинаковых слагаемых нельзя, так как в этом случае нельзя привычным образом трактовать смысл второго множителя. Но учащиеся уже подготовлены к тому, какой выход можно предложить из этой ситуации. Этот выход основан на применении переместительного свойства умножения: 5•0=0•5=0.

Выполняя задание 4, учащиеся должны завершить подготовительную работу, сделанную в процессе выполнения предыдущего задания, выводом о том, что значение произведения 5•0 по определению следует считать равным 0, иначе будет нарушено правило перестановки множителей (коммутативное свойство умножения), что делать совсем неразумно.

В задании 5 сначала учащимся предлагается вычислить значения некоторых произведений, используя правило перестановки множителей. После этого на основе сопоставления полученных результатов делается обобщающий вывод и формируется правило: при умножении любого числа на число 0 в результате получается число 0. Если не принять такого правила, то тогда переместительное свойство умножения выполняться не будет. А это допустить никак нельзя, так как в справедливости этого свойства учащиеся уже убеждены.

Задание 6 направлено на закрепление правила умножения числа 0 и правила умножения на число 0. По итогам выполнения этого задания должно быть сформулировано следующее свойство умножения: если один из множителей равен 0, то и все произведение равно 0.

В задании 7 предлагается найти и записать решение задачи в виде произведения. Сюжет этой задачи учащимся хорошо знаком. Необычным является лишь то, что в качестве одного из данных чисел фигурирует число 0. Таким образом, решением задачи будет являться произведение 0•3. Найти значение этого произведения можно на основе соответствующего правила, а можно и по смыслу задачи (в вазах не лежало ни одного яблока, т. е. число яблок было равно 0). Решение этой задачи убеждает учащихся в том, что правило умножения числа 0 имеет подтверждение и на предметном уровне.

Тема: «Умножение числа 1 и на число 1» (1 урок) Необходимость рассмотрения данной темы продиктована теми же соображениями, что и необходимость рассмотрения предыдущей темы: случай умножения на число 1 не подходит под определение умножения через сложение одинаковых слагаемых, поэтому этот случай нужно доопределить (ввести некоторое соглашение) и дать обоснование этому соглашению. Такое соглашение состоит в том, что при умножении на число 1 получается число, которое умножали. Разумность такого соглашения объясняется необходимостью соблюдения переместительного свойства умножения: 5•1=1•5=5, (1+1+1+1+1=5).

В задании 1 дается обоснование правила умножения числа 1 на произвольное число. Сначала учащимся предлагается на частных примерах убедиться в том, что при умножении числа 1 на данное число в результате это данное число и получается. После этого они должны сделать обобщающий вывод, который нужно сопоставить с правилом, сформулированным в тексте задания.

В задании 2 предлагается записать десять произведений, значения которых равны второму множителю. Дополнение о том, что число 0 использовать нельзя, сделано с одной лишь целью: мы хотим исключить случаи типа 5•0=0, которые подходят под формулировку задания. Остались лишь случаи типа 1•5=5. Мы даем возможность учащимся продемонстрировать, как они поняли рассмотренное только что правило.

В задании 3 мы хотим обратить внимание учащихся на необходимость выполнения переместительного свойства умножения и в тех случаях, когда один из множителей равен 1. Так как они пока не знают, как вычислить значение произведения, в котором второй множитель равен 1, то составлять верные равенства они могут только на основании применения правила перестановки множителей.

В задании 4 мы еще раз акцентируем внимание учеников на справедливости правила перестановки множителей и в тех случаях, когда один из множителей равен 1. С этой целью мы предлагаем им вычислить значения соответствующих произведений на основании данного правила, что, в свою очередь, неявно говорит о справедливости этого правила. Итогом выполнения этого задания должен стать вывод о том, что если второй множитель равен 1, то значение произведения равно первому множителю.

Целью задания 5 является получение обобщающего правила, в котором были бы соединены оба только что изученных правила. Формулировка этого правила может звучать так: если один из двух множителей равен 1, то значение произведения равно второму множителю.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие В задании 6 мы хотим обратить внимание на один частный случай умножения, который определяется тем, что значение произведения равно 1. В целых неотрицательных числах существует только один такой случай: 1•1=1. Для нахождения этого случая учащиеся могут воспользоваться только что изученными правилами. Их рассуждения могут быть, например, такими: если первый множитель равен 1, то значение произведения равно второму множителю, поэтому, если второй множитель выбрать равным числу 1, то и значение такого произведения будет равно числу 1.

Целью задания 7 является демонстрация одного из только что изученных правил на примере вычисления ответа данной задачи.

Для этого решение данной задачи должно быть записано в виде произведения, о чем мы специально предупреждаем учащихся.

Тема: «Длина ломаной линии» (1 урок) В этой теме пересекаются две содержательные линии курса: с одной стороны, рассматривается такое геометрическое понятие, как ломаная, с другой стороны, речь идет о такой величине, как длина.

Уже в названии этой темы такая двусторонняя ситуация находит отражение. Оба эти понятия учащимся хорошо известны, и наша задача состоит в том, чтобы соединить их, опираясь на возможность сложения длин.

В преамбуле к заданию 1 и в процессе его выполнения учащиеся смогут познакомиться с понятием «длина ломаной», решая соответствующую проблемную ситуацию. Инструкция по разрешению этой проблемной ситуации вложена нами в уста Маши. После выполнения всех пунктов инструкции ученики должны прийти к выводу, что длина ломаной равна сумме длин всех ее звеньев. Соответствующая запись должна выглядеть так:

5см+3см+3см+2см+7см+5см=25см. Возможен и другой вариант записи: 5+3+3+2+7+5=25 (см).

В задании 2 сначала предлагается начертить ломаную, у которой одно звено имеет длину 3 см, а другое – 5 см. Сделать это можно, например, так: из одной точки построить два отрезка соответствующей длины с условием, что они не будут лежать на одной прямой.

После этого учащиеся должны вычислить длину этой ломаной, воспользовавшись тем правилом, которое было получено при выполнении задания 1. Обращаем внимание на то, что измерять длину звеньев ломаной не нужно, так как по условию задания она нам уже известна. Такая ситуация означает, что длину ломаной мы можем вычислить без построения самой ломаной.

При выполнении задания 3 учащиеся смогут потренироваться в вычислении длины ломаных. Так как длина каждой ломаной будет вычислена в сантиметрах, то для ответа на поставленный вопрос учащимся еще предстоит вспомнить, что 1 дм – это 10 см.

В задании 4 предлагается вычислить длину ломаной без соответствующего чертежа. Так как длина каждого звена ломаной известна, то учащимся остается сложить эти длины. Но прежде чем складывать длины, нужно обратить их внимание на то, что длины выражены в разных единицах. Чтобы можно было сложить все длины, нужно выразить их в одних и тех же единицах. В данном случае – в сантиметрах. После получения длины ломаной в сантиметрах мы предлагаем осуществить обратный переход: от сантиметров к дециметрам.

В задании 5 предлагается начертить ломаную, длина которой равна 15 см. Сделать это учащиеся смогут в два этапа. Сначала длину 15 см нужно представить в виде суммы двух или более длин (например, 15см=10см+5см или 15см=5см+5см+5см), а уже потом чертить ломаную по выбранным длинам ее звеньев. При выполнении этого последнего этапа решения задания учащиеся могут опираться на результаты выполнения задания 2.

Задание 6 относится к заданиям повышенной сложности. На первый взгляд это задание мало отличается от предыдущего. Действительно, первый этап выполнения задания во многом повторяет первый этап выполнения предыдущего задания, но уже здесь учащиеся должны предусмотреть возможность построения именно замкнутой ломаной линии.

Для этого нужно предварительно обратить их внимание на то, что замкнутая ломаная линия должна состоять минимум из трех звеньев. Кроме этого, нужно выбрать такую конфигурацию замкнутой ломаной линии, чтобы можно было легко подобрать длину звеньев по заданной общей длине ломаной. Такой конфигурацией может быть либо граница квадрата, либо граница прямоугольника.

Во всех остальных случаях добиться замкнутости линии при заданной длине звеньев очень трудно.

Когда конфигурация линии будет выбрана, можно вести работу по подбору длин ее звеньев. Если речь пойдет о квадрате (или, в общем случае, о ромбе), то длина каждой стороны должна быть равна 5 см. Если же учащиеся остановят свой выбор на прямоугольнике (или, в общем случае, на параллелограмме), то сумма длин двух соседних звеньев должна быть равна сумме длин двух других соседних звеньев, т. е. равна 10 см. После чего длину в 10 см нужно разбить на два слагаемых, например, на 6 см и 4 см. Теперь можно строить прямоугольник со сторонами 6 см и 4 см.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем. Первое полугодие Тема: «Умножение числа 1 на однозначные числа» (1 урок) Итак, мы подошли к изучению таблицы умножения однозначных чисел (кроме числа 0), чему будет посвящен практически весь оставшийся материал первой части учебника. Изучение таблицы умножения мы будем осуществлять на основе постепенного построения столбиков этой таблицы самими учащимися с привлечением имеющихся у них к этому моменту знаний и умений, относящихся к действию умножения. Имеется в виду знание правила умножения с числом 1, умение вычислять значение произведения на основе сложения одинаковых слагаемых, а также знание правила перестановки множителей. Все это имеет смысл предварительно повторить.

Для составления первого столбика таблицы умножения (см. задание 1) мы опираемся на знание учащимися правила умножения на число 1 и на правило перестановки множителей. Конечно, можно было бы сразу воспользоваться правилом умножения числа 1 на произвольное число, но мы хотели еще раз напомнить о правиле перестановки множителей, так как в дальнейшем будем постоянно его использовать. Результат построения первого столбика таблицы умножения должен быть зафиксирован с помощью заполнения соответствующего столбика, расположенного в таблице на обложке тетради для самостоятельной работы.

Примечание. Если ученики класса по какой-либо причине не могут пользоваться тетрадями для самостоятельной работы, то перед изучением данной темы необходимо на плотном листе бумаги сделать заготовку «Таблицы умножения», следуя образцу, данному на с. 159 в первой части учебника в теме В задании 2 предлагается продолжить заполнение таблицы умножения, но теперь речь идет о случаях умножения на число 1. Все эти случаи занимают первые строчки в оставшихся незаполненными столбиках таблицы умножения, а заполнение этих строчек может быть основано на применении правила умножения на число или правила перестановки множителей с привлечением результатов первого столбика.

В задании 3 мы предлагаем повторить имеющуюся связь между произведением и суммой одинаковых слагаемых. Это повторение осуществляется на материале первого столбика таблицы умножения. Последняя часть задания посвящена повторению вопроса сравнения чисел.