«ПЕРЕДАЧИ С ПРОМЕЖУТОЧНЫМИ ТЕЛАМИ КАЧЕНИЯ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ И МИНИМИЗАЦИЯ ПОТЕРЬ МОЩНОСТИ Монография Могилев ГУ ВПО Белорусско-Российский университет 2010 УДК 621.83.06:004 Рекомендовано к опубликованию Советом ...»

Рисунок 4.18 – Профиль кулачка многопериодной ППТК с числом периодов Z= Рисунок 4.19 – Профиль кулачка многопериодной ППТК с числом периодов Z= Здесь изображены развертки профиля, образующегося при движении центра цилиндрической фрезы радиусом, равным радиусу шарика (ds = 26 мм), по синусоидам с числом периодов Z = 4 (см. рисунок 4.18) и Z = 8 (см. рисунок 4.19), расположенным на цилиндрической поверхности радиусом D = 86 мм. Сплошной линией показан образующийся профиль кулачка, прерывистой линией – развертка центральной синусоиды (траектория движения центра фрезы).

Самопересеченные области приводят к тому, что синусоидальный профиль на вершинах преобразуется в заостренный. Явление искажения профиля может приводить к ухудшению динамической картины зацепления и снижению нагрузочной способности передачи. Однако при незначительных искажениях работа передачи не ухудшится, т. к. на вершинах кривых тела качения в любом случае не передают нагрузку.

Использование передачи с беговыми дорожками, представляющими сочетание дуг окружностей (см. рисунок 4.14), обеспечивает отсутствие самопересечения профиля, хотя данное явление присутствует у однопериодной кривой в ЭДСО-зацеплении.

4.5 Определение скоростей и ускорений звеньев ППТК Ведущее и ведомое звенья ППТК совершают вращательные движения с угловыми скоростями вх и вых соответственно, причем вх = u.вых. В общем случае, принимая во внимание первую кинематическую схему, можно сказать, что тела качения, рассматриваемые как материальные точки, участвуют в сложном движении – относительном вдоль пазов звена 2 (выходного звена) и переносном вращательном вместе с выходным звеном.

Определение скоростей центров тел качения. В таблице 4.2 для каждой кинематической схемы приведены план скоростей и схема взаимного расположения звеньев передачи, при котором строился соответствующий план скоростей (полюс – точка p). Определим скорости для зацеплений с постоянным передаточным отношением (u = const). В таблице 4.3 приведены формулы для вычисления переносной и относительной скоростей центров тел качения для разных кинематических схем. Скорости представлены как функции угловой скорости ведущего звена ( 21 означает скорость перемещения звена 2 относительно звена 1).

Определим аналитически скорости центра масс сателлита при использовании первой кинематической схемы на примере синусоидальных кривых. Относительная скорость определяется как производная по времени от уравнения движения шарика вдоль пазов относительно неподвижной кривой с угловой скоростью ведомого звена:

Таблица 4.2 – Планы скоростей для различных кинематических схем ППТК Примечание – Во всех случаях движение ведущего звена принято слева направо Переносная скорость (скорость тела качения вместе с ведомым звеном):

Абсолютная скорость (скорость шарика вместе с ведомым звеном) в общем случае и для первой кинематической схемы:

Таблица 4.3 – Выражения для определения относительной и переносной скоростей тела качения для различных кинематических схем Для первой кинематической схемы изменение скоростей центра масс тела качения за один оборот ведущего вала многопериодной ППТК приведены на рисунке 4.20 при следующих параметрах передачи:

А = 10 мм, R = 20 мм, n1 = 1000 мин-1. Для остальных кинематических схем выражения для определения скоростей r, e и сведены в таблицу 4.4.

1 – относительная скорость r; 2 – переносная скорость e; 3 – абсолютная скорость Рисунок 4.20 – Изменение скоростей тела качения от угла поворота ведущего вала Таблица 4.4 – Выражения для определения скоростей тел качения ППТК с синусоидальным профилем кривых Номер кинемати- Относительная скорость r ческой схемы Определение ускорений тел качения. По известной теореме о сложении ускорений абсолютное ускорение тела качения a = ar + ae + ac, где ar – относительное ускорение тела качения; ae – переносное ускорение; ac – кориолисово ускорение. Кориолисово ускорение во всех схемах отсутствует, т. к. к e. Относительное ускорение (первая кинематическая схема) при относительном прямолинейном движении определяется как первая производная от относительной скорости по времени.

Переносное движение центров тел качения является криволинейным равномерным. Ускорение точки имеет две составляющие:

нормальную aen и касательную ae : ae = ae + aen = aen.

Изменения ускорений центра масс тела качения за один оборот ведущего вала ППТК (для первой кинематической схемы при параметрах передачи Z1 = 1, Z3 = 4, R = 30 мм, A = 10 мм, u = 5, n1 = 1000 мин-1) проиллюстрированы на рисунке 4.21. Для остальных кинематических схем выражения для определения ускорений тел качения приведены в таблице 4.5.

Ускорение, м/c аe, аr, Рисунок 4.21 – Зависимость переносного (1), относительного (2) и абсолютного ускорений (3) от угла поворота ведущего вала Таблица 4.5 – Выражения для определения ускорений тел качения ческой схемы Определение зависимостей угловых ускорений звеньев ППТК.

При первой кинематической схеме звено 3 (наружный кулачок) неподвижно, т. е. 3 = 0, 3 = 0.

Определим, как изменяется угловое ускорение выходного звена передачи 2 в зависимости от ускорения 1.

Очевидно, что Для правильного зацепления u = const и выражение (4.68) запишется тривиально – 2 = u 1. Подставив это выражение в формулу (4.65), можно определить переносное тангенциальное ускорение тела качения при неустановившемся режиме работы.

4.6 Кинематический анализ редукторно-дифференциальных механизмов, созданных на основе ППТК Проанализируем схему двухступенчатой ППТК, изображенной на рисунке 4.22. Передача состоит из ведущего вала 1, на котором расположены два внутренних кулачка 1' и 1'' с числом периодов Z1 и Z соответственно. Эти кулачки посредством тел качения 4 взаимодействуют с неподвижным звеном передачи – наружным кулачком 3' с числом периодов Z 3 и выходным звеном – наружным кулачком 3'' с числом периодов Z3.

Передача состоит из двух ступеней. Первая ступень сконструирована по первой кинематической схеме. Вторая ступень не имеет остановленных звеньев и может быть условно названа дифференциальной (условно, потому что вся система все равно имеет одну степень свободы и является редуктором). Два подвижных звена первой ступени 1' и являются входными звеньями для второй ступени, вынуждая третье звено вращаться с редукцией (мультипликацией). Звено 1' жестко соединено со звеном 1'', а звено 2 для первой ступени имеет число пазов Z1 + Z 3, а для второй ступени – Z1 + Z 3.

Определим передаточное отношение всего редукторно-дифференциального механизма (РДМ), используя формулу Виллиса и принцип остановки водила для двух ступеней (звено 2 – водило). Для первой ( 3 = 0 ) и второй ступеней соответственно данная формула запишется как Выразив из выражений (4.69) угловую скорость водила 2 и приравняв эти выражения, получим Из уравнения (4.70) с учетом равенства 1 = 1 находим передаточное отношение редуктора:

Если в рассматриваемой кинематической схеме (рисунок 4.22) принять Z 1 = Z 1 и объединить две цепочки тел качения в одну, то получим схему передачи, изображенной на рисунке 4.23. Данную передачу можно назвать трехсинусоидной [122], т. к. происходит взаимодействие трех звеньев, каждое из которых содержит периодическую беговую дорожку. В [68] изложены основы кинематического анализа трехсинусоидных передач. Однако целесообразность дальнейшей разработки в этом направлении сомнительна, по крайней мере, для передач цилиндрического типа, т. к. трехсинусоидные (трехциклоидальные и т. д.) передачи в классическом исполнении имеют ограниченное количество шариков, передающих нагрузку, а их кинематические возможности не превосходят возможности обычных ППТК.

редукторно-дифференциального механизма цилиндрической трехсинусоидной Каждая из шести кинематических схем ППТК может обеспечить вращение двух звеньев. Поочередно соединяя эти звенья с двумя звеньями из трех второй ступени, образуем механизм с одной степенью свободы, в котором выходным звеном является третье подвижное звено второй ступени. Таким образом, на базе каждой кинематической схемы можно реализовать 6 кинематических схем РДМ, а всего реализуемых схем РДМ – 36.

Нами предлагается обозначение РДМ, приведенное на рисунке 4.24.

N – номер кинематической схемы редукторной ступени (D – если ступень дифференциальная);

k1, l1 – подвижные звенья первой ступени, соединенные со звеньями второй ступени; m2, n2 – подвижные звенья второй ступени, соединенные со звеньями первой ступени Рисунок 4.24 – Структура обозначения кинематических схем РДМ Передаточное отношение РДМ, схема которого показана на рисунке 4.24, запишется в следующем виде:

В формуле (4.72) учтена и традиционная для планетарных зубчатых механизмов индексация: звено 1 обозначено a, звено 2 – h, звено 3 – b.

Выделять в отдельную структурную группу передачи с измененным порядком следования редукторной и дифференциальной ступеней, на наш взгляд, нецелесообразно. Если в передаче (см. рисунок 4.22) направить поток мощности в обратную сторону от звена 3'' к звену 1', то для определения передаточного отношения необходимо использовать дробь, обратную дроби в выражении (4.71).

В случае, если дифференциальная ступень будет содержать и входное и выходное звенья, получим преобразованную формулу (4.71) с с измененной индексацией числа периодов.

Сравнивая РДМ с простыми двухступенчатыми передачами со ступенями, соединенными последовательно можно отметить следующее [168]:

– РДМ имеют большую жесткость, т. к. два звена для первой и второй ступеней зафиксированы на общем основании, менее трудоемки в изготовлении и сборке, т. к. имеют меньшее число деталей;

– РДМ имеют меньшую нагрузочную способность, т. к. реактивный момент воспринимает только одно звено. Необходимо также решать вопрос о снижении вредного влияния циркуляции внутренних мощностей.

5 Динамический анализ и оценка механических потерь в ППТК 5.1 Вывод уравнения движения ППТК Рассматриваем модель одной секции передачи с абсолютно жесткими звеньями. Кинетическая энергия ППТК в общем случае где Т1 – кинетическая энергия (КЭ) внутреннего кулачка;

Т3 – кинетическая энергия наружного кулачка;

n – количество тел качения в передаче.

Анализируя первую кинематическую схему передачи (T3 = 0), принимая 1 в качестве обобщенной координаты и учитывая соотношение 2 = 1/u, получим где J1, J2, J4 – моменты инерции тел 1, 2 и 4 соответственно;

с4i – скорость центра масс i-го тела качения;

4i – угловая скорость вращения i-го тела качения вокруг оси, проходящей через центр масс.

Скорость центра масс i-го тела качения определится как геометрическая сумма переносной сe4i и относительной сr4i скоростей:

c 4 i = ce 4i + cr 4i. Согласно данным, приведенным в таблице 4.4, для синусоидальных кривых Угловые скорости 4 в первом приближении можно рассматривать как линейные функции угловой скорости входного вала, т. е. 4 = k1, где k – коэффициент пропорциональности, и принять у всех тел качения равными. Тогда кинетическая энергия ППТК В выражении (5.4) присутствует функция суммы квадратов косинусов. Для упрощения этого выражения и дальнейших расчетов выполним преобразования сумм некоторых тригонометрических функций.

Рассмотрим непрерывную периодическую функцию f(ax + b), где a и b – коэффициенты, на интервале [0; 2R]. Интервал разобьем на n равных отрезков с длиной 2R/n. При этом образуется n фигур, ограниченных графиком функции, отрезками на оси абсцисс и линиями, параллельными оси ординат, проведенными на границах отрезков.

Площадь одной фигуры можно считать приблизительно равной площади прямоугольника со сторонами, равными 2R/n и yi, где yi – ордината середины i-го отрезка.

С одной стороны, суммарная площадь S всех фигур (с учетом знаков yi) С другой стороны, эта же площадь S может быть определена интегрированием функции f(x):

Рассмотрим синусоидальную кривую:

причем a – целое число (в рассматриваемой модели a = Z3).

Аналогично доказывается равенство нулю определенного интеграла функции cos(ax + b) с пределами интегрирования 0 и 2R.

Рассмотрим результаты интегрирования квадратов функций.

т. к. интеграл в последнем преобразовании выражения (5.7) равен нулю согласно выражению (5.6).

Аналогично доказывается равенство cos Выражение (5.7) характеризует суммарную площадь, ограниченную функцией sin 2 (ax + b ) и осью абсцисс. Чтобы найти сумму ординат точек, равномерно распределенных вдоль оси абсцисс, необходимо разделить это выражение на длину интервала l = 2R (общая длина участка на оси абсцисс, на которой вычисляется интеграл). Таким образом, для двух видов функций где n – количество интервалов.

Применительно к выражению (5.4) получим:

Выполним преобразования, предусмотренные уравнением Лагd T T ранжа 2-го рода соответствующая обобщенной координате 1.

где Мтр – момент сил трения в передаче.

После преобразований выражение (5.4) примет вид:

Выражение (5.9) можно представить в виде где JП – постоянный инерционный коэффициент, равный выражению в скобках в формуле (5.9).

Для первой и остальных кинематических схем передачи инерционные коэффициенты приведены в таблице 5.1.

Произведя преобразования Лагранжа для выражения (5.10), получим для всех кинематических схем где i – номер кинематической схемы;

j – индекс обобщенной координаты (таблица 5.1).

С учетом формул (5.8) и (5.9) для первой кинематической схемы окончательно Выражение (5.12) представляет уравнение движения трехзвенной ППТК с одним остановленным звеном. Анализируя его, можно отметить, что это выражение представляет собой дифференциальное уравнение вращательного движения. Линейная зависимость углового ускорения от обобщенной силы, а также постоянство во времени инерционного коэффициента JП свидетельствует о постоянстве осевого момента инерции системы тел качения. Это означает то, что несмотря на сложный характер взаимных перемещений тел качения относительно друг друга и неподвижной системы отсчета, всю эту систему можно рассматривать как единое тело, совершающее вращательное движение с массой, приведенной к ведущему валу.

Таблица 5.1 – Формулы для определения инерционных коэффициентов для различных кинематических схем Примечание – Передаточные отношения u в выражениях для JП зависят от номера кинематической схемы Постоянство осевого момента инерции JZ4 для передач цилиндрического типа очевидно, т. к. расстояния от центров тел качения до оси вращения передачи остаются неизменными при любом их взаимном перемещении. Рассмотрим, как определяется момент инерции системы тел качения относительно полюса О (рисунок 5.1) в общем случае для периодической кривой, расположенной на конической поверхности. За полюс примем центр окружности, образованной средней линией.

Рисунок 5.1 – Схема для определения момента инерции системы тел качения относительно полюса О Для каждого центра тела качения справедливо векторное равенство где ri – радиус-вектор, соединяющий центр i-го тела качения (i = 1…n) с полюсом О;

Ri – радиус R средней окружности, представленный в виде вектора;

hi – координата, отмеряемая от средней линии до центра шарика вдоль оси передачи.

Просуммируем выражение (5.13) по всем телам качения:

Рассмотрим проекции выражения (5.14) на оси координат, направив ось Oz по оси передачи, а ось Ox – на тело качения с номером i = 0.

Для цилиндрических синусоид:

Равенство нулю выражений (5.18)–(5.20) следует из выражения (5.6).

Из (5.21) следует, что центр масс системы тел качения совпадает с точкой О и его положение не зависит от взаимного перемещения тел качения в передаче. В общем же случае для конических и плоских передач центр масс системы тел качения не совпадает с центром О, причем эксцентриситет увеличивается по мере увеличения значения угла от 0 до /2. Данный эксцентриситет для синусоидальных кривых определится по формуле [107] Координаты центра масс системы тел качения:

для передачи с взаимодействующими синусоидами (Z1 = 1, Z3 = 4, A = 10 мм, R = 20 мм), расположенными на конической поверхности с углом образующих = /4 (рисунок 5.2).

Рисунок 5.2 – Изменение координат центра масс систем тел качения Исследование численными методами других типов кривых не подтвердило универсальность формулы (5.22). У кусочно-винтовой кривой и кривой, представляющей сочетание дуг окружностей, эксцентриситет rс не является постоянной величиной. Изменение zс повторяет характер исследуемых кривых.

Докажем постоянство полярного момента инерции системы тел качения J0 (полюс – точка О) для цилиндрических передач с синусоидальными кривыми:

Постоянство полярного момента инерции доказывает полную уравновешенность системы тел качения для цилиндрических синусоидальных кривых.

5.2 Анализ динамической модели ППТК Исследование динамической модели механической передачи позволяет оценить устойчивость системы в переходных состояниях, определить резонансные частоты колебаний, определить максимальные нагрузки, действующие на звенья передачи. И если составление дискретной динамической модели для обычных (в том числе и многоступенчатых) трансмиссий не представляет трудностей, то в планетарных передачах необходимо учесть сложное движение сателлитов и то, что они одновременно контактируют с несколькими звеньями. В [169] отмечается, что динамическая модель планетарной передачи имеет топологическое вырождение, что усложняет ее разработку существующими методами. При этом авторами предлагается эквивалентная двухмассовая динамическая модель, учитывающая жесткость только валов трансмиссии. В [170] сложное движение сателлита раскладывается на два самостоятельных вращения – переносное и относительное. Однако в предложенной модели одна из сосредоточенных масс в контуре соединяется с основанием (базой), что позволяет оценить только малые колебания системы относительно равновесного состояния. Переменные типа потока (скорости) будут стремиться к нулю с течением времени. В [171] приводятся динамические модели трансмиссий автомобилей и планетарная передача представлена в виде гираторного (замкнутокольцевого) трехмассового соединения, что также, при торможении одной из сосредоточенных масс, приводит к стремлению угловых скоростей остальных масс к нулю. Для моделирования планетарных коробок передач предложен метод внутренних моментов [172], предполагающий решение системы алгебраических уравнений на каждом шаге интегрирования. Анализ существующих методик свидетельствует о том, что задача создания динамической модели планетарной передачи не решена окончательно, тем более для передач новых типов.

Для анализа малых колебаний системы рассмотрим дискретную модель ППТК, учитывающую крутильные колебания. В общем случае (для дифференциальных механизмов) данная модель будет четырехмассовой, а для редукторов – трехмассовой, в связи с тем, что одно из основных звеньев передачи остановлено – соединено с нулевым (базовым) узлом. Применим структурно-матричный метод [173] для исследования динамики передачи. От выбора кинематической схемы зависит направление сигналов в ветвях орграфа динамической модели.

Передаточные отношения трансформаторных элементов будет определять формула Виллиса:

В общем случае рассматривается система с четырьмя степенями свободы, состоящая из четырех сосредоточенных масс, и вводятся следующие обозначения: 1 – внутренний кулачок, 2 – вал с пазами, 3 – наружный кулачок, 4 – система тел качения. Система имеет разветвление на элементе 4. Сосредоточенные массы (осевые моменты инерции) J1, J2, J3 и J4 отражают инерционные свойства объекта. Фазовыми переменными типа потока являются угловые скорости, а типа потенциала – вращающие моменты. Разработанная модель передачи при торможении наружного кулачка представляет собой последовательное соединение сосредоточенных масс посредством упругих, диссипативных и трансформаторного элементов. Однако на динамику планетарной передачи также оказывает влияние упругость и податливость выступов наружного кулачка (зубьев центрального колеса с внутренним зацеплением), что учтено введением в модель узла 3*, создающего источник потока B 3 (t ). Так как колебания системы, вызванные деформацией выступов (зубьев) остановленного звена, дополнительно приводят к расходу энергии, подводимой к ведущему звену 1, направление сигнала в ветви источника потока B 3 (t ) принимаем от узла 3* к базе, а реакцию внешней среды M B 3 (t ), обусловленную этим источником, также считаем отрицательной. При этом для сохранения кинематической адекватности модели реальному объекту, согласно принципу остановки водила, остановленному звену сообщается условная угловая скорость, равная скорости водила (звена 2):

Орграф и динамическая модель планетарной передачи приведены на рисунке 5.3. Направление сигналов соответствует первой кинематической схеме, при которой звено 1 (а) ведущее, звено 2 (h) ведомое, звено 3 (b) остановлено.

Введем функции выбора Li и Wi для i-го звена:

1) Li = 1, если i-е звено ведущее; L = -1, если i-е звено ведомое или остановленное;

2) Wi = 1, если соответствующая ветвь (сi и µi) подходит к узлу;

Wi = -1, если соответствующая ветвь (сi и µi) ответвляется от узла; Wi = 0, если соответствующая ветвь (сi и µi) не соединена с узлом.

Рисунок 5.3 – Орграф и динамическая модель планетарной передачи (первая кинематическая схема) Матрица инциденций и трансформаторных элементов системы приведена в таблице 5.2. Элементы матрицы трансформаторных элементов принимают значение V = 1, если трансформаторный элемент находится в цепи между соответствующей ветвью и узлом, и V = 0 в остальных случаях. Обозначим как MB1, МВ2 моменты, приложенные к ведущему и ведомому звеньям передачи.

Таблица 5.2 – Матрица инциденций и трансформаторных элементов Математическая модель планетарной передачи будет описываться на основе следующей системы уравнений:

где MУj, MДk – потенциалы (моменты) упругих и диссипативных элементов соответственно;

сj – жесткости упругих элементов;

µk – коэффициенты диссипации;

ИBil, ИУij, ИДik – элементы матрицы инциденций, характеризующие инцидентность l-й, j-й и k-й ветви орграфа i-му узлу соответственно;

Tij – функция, зависящая от значений элементов матрицы трансформаторных элементов;

L – количество источников потенциалов;

N – количество упругих элементов системы;

К – количество диссипативных элементов;

U – количество сосредоточенных масс системы.

Уравнения (5.26)–(5.28) получены на основе уравнений (5.21)–(5.23) [173, с. 161] с учетом специфики планетарной передачи. Особенностью разработанной модели является учет механических потерь в передаче не с помощью КПД трансформаторного элемента, а введением момента трения MТР, условно приложенного к системе сателлитов. Функция Tij определяется согласно следующей зависимости [174]:

где TЭij – инцидентор матрицы трансформаторных элементов;

uxy – передаточное отношение трансформаторного элемента.

Передаточное число трансформаторного элемента Т12 равно u12 = (Z1 + Z 3 ) / Z1, где Z1 – число периодов кривой на звене 1 (число зубьев шестерни а); Z3 – число периодов кривой на звене 3 (число зубьев колеса b). Индексация в обозначениях передаточных чисел принята следующая: 12 – передача движения от звена 1 к звену 2 (3-е звено остановлено). Значения передаточных отношений для всех шести возможных кинематических схем планетарных передач приведены в таблице 4.1.

Для первой кинематической схемы подматрицы ветвей источников АВ, упругих АУ, диссипативных АД и трансформаторных ТЭ элементов будут иметь следующий вид:

Движение системы, соответственно, будет описываться системой следующих дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши (третья строка матриц не учитывалась, т. к. звено 3 остановлено):

Для решения системы дифференциальных уравнений (5.30)–(5.34) необходимо задание внешних воздействий МВ1, МВ2, Мтр, начальных условий 10, 20, 40, MУ10, MУ20, MУ30 и времени интегрирования.

Начальные угловые скорости можно принять равными нулю либо присвоить им некоторые начальные значения – 10 = 50 рад/c, 20 = 0, 40 = 0. Внешние моменты находятся во взаимосвязи, и их значение необходимо находить из условий статического равновесия системы. При этом M B1 = M B 2 / ( u12 ). Момент трения можно определить по формуле M ТР = М В 2 (1 ), где – КПД передачи. Условно введенный момент внешнего воздействия, формируемый при контакте сателлитов с кулачковыми выступами (зубьями) остановленного звена, определится из Коэффициенты с1 и µ1 характеризуют упругие и диссипативные свойства ведущего вала и внутреннего кулачка, с2 и µ2 – вала с пазами, а с3 и µ3 – выступов наружного кулачка. Жесткость системы тел качения считается в данном случае на несколько порядков выше, чем жесткость других звеньев, и в модели не рассматривается.

Определение момента инерции системы сателлитов J относительно оси передачи. Данный приведенный момент инерции должен учитывать сложный характер движения тел качения. Он определится из равенства значений кинетических энергий при рассмотрении системы тел качения как единого звена, совершающего вращательное движение, и суммы кинетических энергий тел качения, рассматриваемых в отдельности:

где J4 – моменты инерции системы сателлитов (тел качения) относительно оси передачи;

Js4 – момент инерции сателлита (тела качения) относительно оси вращения, проходящей через его центр масс;

с4i – скорость центра масс i-го тела качения;

4i – угловая скорость вращения i-го тела качения вокруг оси, проходящей через центр масс.

Выразим кинетическую энергию всех сателлитов в правой части формулы (5.35) через угловую скорость 4. Скорость центра масс i-го тела качения определится как геометрическая сумма переносной сe4i и относительной сr4i скоростей: c 4 i = ce 4i + cr 4i. Для синусоидальных кривых относительная скорость определяется как производная от уравнения плоской развертки многопериодной кривой по времени:

Угловые скорости 4 нами рассматривались как линейные функции угловой скорости входного вала с коэффициентом пропорциональности k (см. формулы (5.3) и (5.4)). В первом приближении скорости 4 можно также рассматривать как линейные функции угловой скорости 4, т. е.

4 = k p 4, где kp – коэффициент пропорциональности. У всех тел качения эти скорости примем равными. Проекции центров тел качения на плоскость, перпендикулярную оси передачи, распределены равномерно с угловым шагом 2/n. Тогда кинетическая энергия системы сателлитов ППТК определится согласно выражению С учетом доказанного в подразд. 5.1 (уравнения (5.5)–(5.7)) выражение (5.36) окончательно запишется в виде Подставив выражение (5.37) в формулу (5.35), получим Для зубчатых планетарных передач, работающих по схеме 2К-Н, с ведущим звеном а, остановленным звеном b и ведомым звеном h осевой момент инерции J4 в уравнении (5.31) определится по формуле где m – модуль зубчатого зацепления;

za, zg – числа зубьев солнечной шестерни и сателлита соответственно;

Jg – момент инерции сателлита относительно оси вращения, проходящей через центр масс;

Важным являлся вопрос определения угловых жесткостей ci звеньев и их коэффициентов диссипаций i. Угловые жесткости для наружного кулачка и вала с пазами определялись по аналогии с угловыми жесткостями для зубчатых колес [175]:

где с – коэффициент для стальных деталей, с = 15000 МПа;

Для наружного кулачка параметр bw определялся шириной рабочей поверхности, а для вала с пазами – рабочей длиной паза. Угловая жесткость ведущего вала и двух внутренних кулачков определялась по формуле где G – модуль упругости 2-го рода, G = 8·104 МПа;

dн, dв – наружный и внутренний диаметры внутренних кулачков.

Осевые моменты инерции деталей подсчитывались по известным формулам из курса сопротивления материалов. Из-за отсутствия информации и опытных данных коэффициенты диссипации были приняты (1 = 2 = 3 = 1 Нс/м) по аналогии с коэффициентами диссипации звеньев автомобильной трансмиссии [169]. Коэффициент kp был принят равным 5, т. е. за один оборот ведомого вала тело качения совершит пять оборотов вокруг своей оси.

Проанализируем движение системы на основе составленной математической модели при следующих параметрах: J1 = 2,03·10-3 кг·м2, J2 = 0,65·10-3 кг·м2, J3 = 0,5·10-3 кг·м2, J4 = 8,11·10-5 кг·м2, с1 = 17,8·105 Н/м, с2 = 312,7·105 Н/м, с3 = 0,57·105 Н/м, MB1 = 11,1 Н·м, MB2 = 50 Н·м, = 0,9.

Звенья 2, 3 и 4 в начальный момент времени находятся в покое, а ведущему валу сообщена начальная скорость 10 = 50 рад/c.

Передаточное число ППТК равно 5 (Z1 = 1, Z3 = 4), амплитуда A = 10 мм, R = 20 мм.

На рисунке 5.4 показаны изменения угловых скоростей, а на рисунке 5.5 – изменения моментов упругих элементов за период времени t = 0–0,001 с и t = 0–0,005 с соответственно.

Из рисунков 5.4 и 5.5 видно, что процесс стабилизации ППТК при указанных параметрах носит апериодический характер. Значения МУ отражают не реактивный момент на остановленном звене, который определяется из баланса мощностей M B1 + M B 2 + M R 3 = 0, а момент, возникающий из-за жесткости и податливости кулачковых выступов (зубьев) звена 3 (b).

Рисунок 5.4 – Изменение угловых скоростей звеньев ППТК Рисунок 5.5 – Изменение моментов упругих элементов системы Анализ статического состояния передачи. Производные в левых частях уравнений (5.38) и (5.39) примем равными нулю. Также нулю будут равны моменты диссипативных элементов: МД1 = МД2 = МД3 = 0.

При этом Проинтегрировав выражения для MУi в уравнениях (5.32)–(5.34) по времени, получим Подставив уравнения (5.39) в формулы (5.38), получим систему уравнений, переменными в которой будут углы поворота i. Матрица Якоби данной системы (c учетом соотношения 2 = 3 ) будет записана в виде Если собственные значения матрицы Якоби вещественны и отрицательны, приходим к выводу об устойчивости системы, хотя систему дифференциальных уравнений следует признать жесткой, если число обусловленности матрицы Якоби более 105.

5.3 Оценка механических потерь в ППТК на основе плоской и пространственной моделей зацепления Одним из критериев сравнения той или иной конструкции или передачи является механический коэффициент полезного действия (КПД). Теоретической оценкой КПД, несмотря на ее приблизительный характер, не следует пренебрегать, т. к. она позволяет определить основные геометрические параметры передачи, приближенные к оптимальным, и наиболее благоприятные режимы ее работы на стадии проектирования. В дальнейшем необходимо практическое подтверждение результатов теоретических расчетов КПД.

Общий КПД ППТК, как и любого механизма, где Рвх – средняя мощность на входном звене передачи;

Рвых – средняя мощность на выходном звене передачи;

РТР – средняя мощность сил трения;

РТР.з – мощность сил трения в зацеплении;

РТР.о – мощность сил трения в опорах.

Оценим механические потери в зацеплении. Для этого обратимся к плоской модели контакта одного тела качения с рабочими поверхностями деталей передачи. При этом условимся считать R1 = R2 = R3 = R, т. к. при рассмотрении реального зацепления влияние этих радиусов на нагрузочную способность и КПД ППТК неоднозначно.

Вопрос взаимодействия промежуточного тела (плунжера) с поверхностями трех тел рассмотрен при анализе работы автомобильных кулачковых дифференциалов [176, 177]. Некоторые вопросы силового анализа исследуемых передач рассмотрены в [178–181]. В общем случае применительно к планетарным передачам с телами качения (первая кинематическая схема) замкнутый треугольник сил, действующий на шарик (плунжер), приведен на рисунке 5.6.

По теореме синусов (см. рисунок 5.6) Рисунок 5.6 – Система сил, действующих на шарик ППТК (плоская фрикционная модель зацепления), для кинематических схем № 1, 2 и Найдем зависимость силы Р2 от силы Р1:

С учетом выражений выражение для момента М2 запишется как где K – коэффициент передачи.

Мгновенный КПД зацепления для первой кинематической схемы Преобразуя уравнение (5.42), учтем, что для первой кинематической схемы 2 / 1 = 1 / u. Подставив выражение (5.41) в выражение (5.42), окончательно получим Можно выразить из уравнения (5.40) зависимость сил P1 и P3, чтобы определить КПД передачи при второй кинематической схеме:

Для кинематических схем № 5 и 6 силовой многоугольник представлен на рисунке 5.7.

Теорема синусов запишется следующим образом:

Рисунок 5.7 – Силовой треугольник для кинематических схем № 3, 5 и КПД для кинематических схем № 5 и 6 соответственно:

Для кинематической схемы № 3 силовой треугольник также определяется схемой, изображенной на рисунке 5.7:

Для кинематической схемы № 4 силовой треугольник определяется схемой, изображенной на рисунке 5.6:

кинематических схем ППТК сведены в таблицу 5.3 [182].

Таблица 5.3 – Выражение для определения КПД ППТК На рисунке 5.8 показана графическая зависимость мгновенного КПД ППТК от угла подъема 1 в одной ячейке зацепления для различных кинематических схем при коэффициенте трения скольжения f = 0,1 и параметрах передач Z1 = 1, Z3 = 8.

6 – для схемы № Рисунок 5.8 – Зависимость мгновенного КПД ППТК для различных кинематических схем Анализируя графические зависимости на рисунке 5.8, можно сделать следующие выводы.

1 Максимальный КПД достижим в схемах № 4 и 6, однако их практическая полезность неоднозначна – передаточное отношение при указанных параметрах равно 0,9 и 1,11 соответственно. Наиболее целесообразна для использования схема № 1.

2 Передача движения осуществима при любых значениях углов подъема кривых (за исключением 0 и 900, что очевидно) в схемах № 1 и 6.

В остальных схемах существуют диапазоны {от 0 до 1} и {от 2 до /2}, при которых КПД отрицателен (передача движения невозможна из-за явления самоторможения).

Из рисунка 5.8 также видно, что все зависимости имеют максимум приблизительно при 1(3) = 350. На рисунке 5.9 приведена зависимость мгновенного КПД ППТК от угла поворота ведущего вала для схемы № за цикл зацепления для двух случаев (Z1 = Z3 = 1 и Z1 = 1, Z3 = 8 при фиксированных значениях других параметров: A = 10 мм, R = 40 мм, f = 0,1).

1 – однопериодное зацепление; 2 – многопериодное зацепление Рисунок 5.9 – Зависимость мгновенного КПД в одной ячейке зацепления ППТК от угла поворота ведущего вала за цикл зацепления Мгновенный КПД при рассмотрении контакта одного тела качения становится равным нулю при попадании его на вершины кривых (см.

рисунок 5.9).

При разработке пространственной модели очевидно приближение к реальному процессу по сравнению с плоской моделью, т. к. мы уходим от некоторых допущений, упрощавших действительную картину зацепления.

Рассмотрим укрупненно алгоритм силового анализа, основанный на методе кинетостатики, на примере одной из разновидностей ППТК.

Выберем единую систему координат для всех рассматриваемых тел так, чтобы ось Oz совпадала с осью передачи, за нулевое положение примем положение одного тела качения в точке с максимальным значением углов подъема беговых дорожек. Анализируем первую кинематическую схему ППТК. Схема силового взаимодействия приведена на рисунке 5.10.

Заданными считаются момент полезных сопротивлений на выходном валу M2, геометрические параметры передачи и коэффициент трения скольжения f. Известными считаются также угловые скорости и ускорения звеньев, а также зависимости между угловыми скоростями и углами поворота после проведенного кинематического анализа ППТК.

1 Определяем значение реакции N 2 :

2 Рассматриваем кинетостатическое равновесие системы тел качения и решаем совместно систему уравнений Fxi = 0; Fyi = 0;

= 0 для тела качения (рисунок 5.10, е):

а – основные детали; б – модель передачи; в – вал с пазами (2); г – внутренний кулачок (1);

д – наружный кулачок (3); е – тело качения; Ф – силы инерции, g – ускорение свободного падения Рисунок 5.10 – Исследуемая ППТК Окончание рисунка 5. Находим значения реакций N1, N3 и S4 в матричной форме, представив систему уравнений (5.51)–(5.53) равновесия в следующем виде:

где a11, …, a33 – коэффициенты при реакциях N1, N3 и S4 в системе уравнений;

b1, b2, b3 – выражения, стоящие в правых частях уравнений (проекции реакции N2 и сил инерции).

3 Поочередно составляем и решаем системы уравнений Fxi = 0; Fyi = 0; Fzi = 0; M zi = 0 для звеньев 1, 2 и 3 согласно схемам, изображенным на рисунке 5.10, в–д. Из данных систем определяются крутящие моменты M 1 и M 3, а также составляющие внешних реакций S 2 x, S 2 y, S 2 z, S1x, S1 y, S1z и S3 x, S3 y, S3 z. Значения полных реакций, образованных этими составляющими, определяют силы давления передачи на опоры (подшипники).

Составляющие реакций в выражениях (5.54) с индексами «х» и «у»

характеризуют радиальные нагрузки, а с индексами «z» – осевые нагрузки на подшипники. Аналогично определяется и результирующая реакция S 2, действующая на вал с пазами 2 со стороны кулачков 1 и 3. По значению реакции S 2 подбирают подшипники качения.

Рассмотрим результаты функционирования разработанной модели на конкретном примере. Имеем передачу с параметрами Z1 = 1, Z3 = 8, R = 20 мм, A = 10 мм, rs = 3 мм (остальные геометрические параметры являются производными от указанных). Частота вращения ведущего вала n1 = 1000 об/мин. Режим работы – установившийся. Крутящий момент на выходном валу M2 = 200 Н·м, коэффициент трения принят f = 0,05.

Результаты (средние значения за цикл зацепления): N2 = 1,2 кН, N1 = 505 Н, N3 = 1 кН, S1x = S1y 0 Н, S1z = 574 Н, S2 = 31 Н, S3x 0 кН, S3y = 5,4 кН, S3z = 4 кН, S4 = 594 Н, M1 = 31,3 Н·м, M3 = 1,9 Н·м, = 0,71.

Мгновенные значения сил и КПД колеблются относительно некоторого среднего значения за цикл зацепления (поворота ведомого вала на угол 2). Это связано с непостоянством суммы синусов и косинусов углов 1 и 3. Однако величина этих колебаний незначительна.

Например, максимальное отклонение КПД от среднего значения при указанных параметрах составляет около = 0,04. При увеличении значений Z3 эти колебания уменьшаются (например, при Z3 = 20, = 0,016).

рекомендации по повышению КПД передач Фактически только два последних уравнения из системы (5.51)–(5.53) определяют значения реакций N1 и N3. Первое уравнение позволяет определить только реакцию S4. Рассматривая установившийся режим работы и пренебрегая силами тяжести деталей передачи, выразим из выражения (5.52) реакцию N3:

Подставив в выражение (5.51) формулу (5.55), получим зависимость между реакциями на ведущем и ведомом звеньях:

где K1, K2 и K3 – коэффициенты.

Учитывая, что крутящий момент на ведущем и ведомом валах можно определить согласно выражениям и используя известную зависимость для определения КПД = M 2 М 1u, можно показать, что Выразив из выражения (5.56) отношение N2/N1 и подставив его в формулу (5.61), получим Функцию * целесообразно определить не как КПД, а как коэффициент передачи, т. к. при его определении присутствуют соотношения радиусов R1 и R2.

Рассмотрим выражение (5.62) со следующими допущениями:

отношение радиусов R2 и R1 примем равным единице, угол – нулю (плоская модель), при этом рассматриваем картину зацепления в статике – коэффициентом К3, зависящим от скоростей вращения звеньев, пренебрегаем. В этом случае Аналитически исследовать зависимость (5.63) неудобно, т. к. там присутствуют многочисленные суммирования. Если рассмотреть модель для определения мгновенного КПД зацепления для одного тела качения для первой кинематической схемы, которая представлена в таблице 5.3, и преобразовать ее для всего зацепления, то можно получить следующую формулу:

Уже на стадии проектирования необходимо оценить КПД.

Выражение для его определения при разработке инженерной методики расчета не должно быть громоздким и не должно содержать функций суммирования. На основании ранее проведенных исследований получены несколько формул для этой оценки.

Во-первых, это преобразованное выражение из таблицы 5.3, где мгновенные значения углов подъема заменены их средними значениями.

Обозначим его 1:

Во-вторых, это выражение (5.63), которое обозначим 2.

Соответствие формул (5.63) и (5.65) реальной картине зацепления необходимо проверить с использованием зависимости (5.64) из таблицы 5.3 без использования средних углов подъема кривых, обозначив КПД 3.

Также необходимо принять во внимание КПД, полученный на основе алгоритма пространственного силового анализа, рассмотренного в предыдущем пункте работы с применением выражения = М2/(M1u) – КПД оказался равным 0,7–0,71. К этому значению нужно приближаться, т. к. в пространственной фрикционной модели было учтено большинство факторов.

Результаты сопоставления графически представлены на рисунке 5.11.

Рисунок 5.11 – К определению КПД на стадии проектирования Из графиков на рисунке 5.11 следует, что значения, полученные согласно зависимости (5.65) наиболее близки к КПД, полученному на основе пространственной фрикционной модели передачи. Ее и будем использовать для инженерных расчетов. Значения 2 увеличатся и графики 2 и 3 совпадут, если не пренебрегать углом. Оба графика 2 и 3 приблизятся к действительному значению КПД, если будет учтено соотношение R2/R1.

Определение оптимального значения амплитуды. Основными параметрами зацепления являются радиус расположения центров шариков R и амплитуда А. Если радиус R во многом определяется максимально допустимыми габаритами, в которые необходимо встроить передачу, то амплитуду А необходимо оптимизировать по критерию минимальных механических потерь.

Преобразуем выражение для определения мгновенного КПД ППТК для первой кинематической схемы, приведенное в таблице 5.3. Выразим его при этом через угол 1.

Разделим выражение (5.66) на cos3, предполагая, что передача при 3 = 900 не существует.

Взяв производную от выражения (5.68) по d1, приравняв ее к нулю, определим угол, при котором осуществим оптимум функции (1). После преобразования этот оптимум будет определен согласно выражению Проанализируем, зависит ли оптимум угла 1 от кинематической схемы. Рассмотрим вторую кинематическую схему. При этом Сравнение выражений (5.68) и (5.70) с помощью средств ЭВМ показало их абсолютную идентичность. Кроме этого, независимость значения оптимального угла 1 от кинематической схемы передачи подтверждается наглядным графиком (см. рисунок 5.8). Поэтому исследовать будем формулу (5.68) как менее громоздкую.

Так как в многопериодной ППТК многопарное зацепление, то при проектировании передачи угол 1опт можно принимать средним углом, который определяется из уравнения (4.14). Тогда arctg Оптимизация величины заглубления шарика в детали передачи.

При заглублении шарика во внутренний кулачок на величину rs или более реакция взаимодействия тел направлена по касательной к окружности радиусом R (рисунок 5.12, а). При заглублении шарика на величину, меньшую rs, реакция N1 отклоняется от касательной на угол.

Рассмотрим выражение, согласно которому определяется момент М1. В случае, когда 0, действительная реакция внутреннего кулачка будет равна N1/cos. Это увеличение не отразится на окружную составляющую силы, однако на увеличении силы трения скажется заметно.

В модели, изображенной на рисунке 5.12, б, были учтены некоторые допущения. Угол определяется по формуле = arcsin(1 rz 2 / R ) как угол между направлением вектора силы N2 и горизонталью (а не касательной к окружности радиусом R2), т. к. разница в значениях углов и ' незначительна. Также направления сил N1 и N3 по схеме на рисунке 5.12 приняты горизонтальными.

Рисунок 5.12 – К вопросу о величине заглубления шарика в детали ППТК Выражение для M1 из условия кинетостатического равновесия ведущего вала запишется в виде При этом динамические нагрузки не учитываем. При изменении угла радиус R1 также изменяется.

Проанализируем, как изменяется крутящий момент M1 на входном валу передачи, для того, чтобы обеспечить крутящий момент на выходном валу M2 = 200 Н·м. Параметры передачи: Z1 = 1, Z3 = 8, rs = 3 мм, R = 20 мм, А = 10 мм, f = 0,05. Рассмотрим также, как изменяется при этом КПД передачи, определяемый по формуле Функция R2/R1 была введена в формулу для определения КПД, т. к.

она присутствует в коэффициенте передачи. Результаты анализа представлены на рисунках 5.13 и 5.14.

Рисунок 5.13 – Изменение момента М1 от угла Рисунок 5.14 – Изменение КПД от угла Анализ этих графиков показывает, что с увеличением значения угла момент M1 возрастает сначала плавно, затем достаточно резко. График КПД имеет оптимум при некотором значении угла, которое, однако, стремится к нулю при увеличении соотношения R/rs. На рисунках 5.13 и 5.14 линиями с индексом 3 показаны соответствующие зависимости при R = 40 мм и прочих равных параметрах.

Таким образом, в силовых передачах угол следует принимать равным нулю и проектировать заглубление шарика во внутренний кулачок на величину rz1 = rs. Приближенность его к оптимальному значению (отличному от нуля для малогабаритных передач) на практике будет обеспечена благодаря кривизне поверхностей кулачка (на рисунке 5. кривизна радиусом R не учтена), а также естественному износу контактирующих кромок.

Заглубление в тело вала с пазами. Рассмотрим выражение (5.61) и проанализируем его с помощью ЭВМ, изменяя угол (рисунок 5.15).

Рисунок 5.15 – Изменение КПД в зависимости от угла При анализе было учтено, что радиус R2 зависит от угла :

График на рисунке 5.15 показывает, что угол необходимо увеличивать. Однако при угле = /2 ППТК из передачи зацеплением превращается в передачу трением. Основной же вопрос заключается в том, что при увеличении угла резко возрастают значения реакции N2 и остальных. Поэтому окончательно решать этот вопрос нужно после проведения прочностных расчетов. Исходя из условия равной прочности можно назначить величину заглубления в вал с пазами rz2 = 0,5rs, тогда такая же величина, равная 0,5rs останется для контакта с поверхностью звена, несущего многопериодную беговую дорожку.

Значения углов и определяются по следующей формуле:

5.5 Упрощение силовых зависимостей для инженерного расчета передач Для разработки методики инженерного расчета алгоритм силового анализа передачи следует упростить. Анализ формул, использующих суммы синусов и косинусов углов 1 и 3, невозможен без применения ЭВМ. Оценим, можно ли заменить сумму значений углов подъема кривых средним значением этого угла и насколько адекватной будет эта замена.

Введем понятие средних суммарных углов передачи, определяемых по формуле На рисунке 5.16 показано, как изменяются средние суммарные углы кривых за 4 оборота ведущего вала для передачи с параметрами Z1 = 1, Z3 = 8, R = 20 мм, А = 10 мм.

При этом показаны для сравнения значения средних углов кривых, определяемые по формуле (4.14), и значения этих углов, вычисляемые по выражению (4.15).

Анализ графиков на рисунке 5.16 позволяет сделать вывод, что для небольших значений чисел периодов замена значения iсум значением iср полностью оправдана. При увеличении числа периодов среднее значение углов смещается в сторону максимальных значений колебания суммарного среднего угла, что может быть скорректировано поправочными коэффициентами. В целом, замену можно считать адекватной и в дальнейшем, при инженерных расчетах на прочность передачи оперировать средними значениями углов.

При этом выражения (5.51)–(5.53) можно упростить:

1 – 1сум(1); 2 – 1ср(1); 3 – 1max(1); 4 – 3сум(1); 5 – 3cр(1); 6 – 3max(1) Рисунок 5.16 – Анализ выражений, определяющих изменение углов подъема кривых На основе выражений (5.78)–(5.80) получаем Выполненная с помощью ЭВМ численная проверка для передачи с рассмотренными параметрами (Z1 = 1, Z3 = 8, R = 20 мм, A = 10 мм) показала следующие результаты. Значения реакций, вычисленные по формулам (5.82) и (5.83), составили: N1 = 446 H, N3 = 942 H. Коэффициент трения принимался f = 0,05. При этом значения этих же реакций N1(1) и N3(1), полученные на основе анализа неупрощенной пространственной модели, оказались выше примерно на 10 % (рисунок 5.17).

Рисунок 5.17 – Изменение реакций звеньев 1 и 3 за полуоборот ведущего вала Дальнейший анализ графических зависимостей, представленных на рисунке 5.17 показал, что величина погрешности упрощенной модели зависит от числа периодов Z3 и от коэффициента трения. Увеличение коэффициента трения вдвое ( f = 0,1) практически устраняет погрешность.

То же происходит при снижении числа периодов Z3 до единицы. С увеличением Z3 увеличивается погрешность.

Таким образом, установлено, что для инженерных расчетов допустимо использовать зависимости (5.81)–(5.83) при проведении силового анализа, возникающую погрешность можно компенсировать с помощью поправочных коэффициентов.

5.6 Алгоритм определения КПД передач с различными типами сопряженных кривых Нами разработан алгоритм определения КПД ППТК с использованием кривых различных типов.

Заданными считаются уравнения кривых (однопериодной и многопериодной) как функции от абсциссы s и угла поворота ведущего вала 1. Для первой кинематической схемы известны передаточное число u, длина развертки окружности L = 2R. В качестве примера рассмотрим синусоидальные беговые дорожки, сочетание сопряженных дуг окружностей и ветвей эллипса и зацепление посредством кусочновинтовых линий.

По заданным уравнениям составляется n зависимостей, которыми определяются ординаты точек пересечения. Для синусоидальных однопериодной и многопериодной беговых дорожек соответственно:

Для кривой, представляющей сочетание ветвей эллипса, и многопериодной кривой, представляющей сочетание сопряженных дуг окружностей:

где R0 – радиусы сопряженных дуг окружностей многопериодной кривой.

Для однопериодной и многопериодной кусочно-винтовых кривых соответственно:

Определяем углы подъема в точках пересечения:

Определяем крутящий момент на входном звене, необходимый для обеспечения известного крутящего момента на выходе М2:

Определяем КПД передачи:

На рисунке 5.18 показаны результаты изменения КПД за один оборот ведущего вала для различных передач, беговые дорожки которых описаны уравнениями (5.84)–(5.90). При этом геометрические параметры для всех передач были приняты одинаковыми: Z1 = 1, Z3 = 4, R = 10 мм, A = 6 мм. Всплески значений показывают значение КПД при попадании одного из тел качения на вершину кривой, где углы подъема кривых равны нулю. В реальной передаче нагрузка перераспределяется на другие тела качения.

1 – (синусоидальная); 2 – (ЭДСО); 3 – (кусочно-винтовая) Рисунок 5.18 – Изменение КПД передач за оборот ведущего вала Как видно из рисунка 5.18, для заданных геометрических параметров наибольший КПД имеет передача с кусочно-винтовыми кривыми, а наименьший – передача с ЭДСО-зацеплением.

5.7 Силовые зависимости для дифференциалов на базе ППТК В [68] в качестве передачи для создания автотракторного принудительно блокируемого дифференциала предлагается синусошариковая передача. Приведена принципиальная схема дифференциала и пояснен принцип его работы. Вопрос рассмотрен реферативно, как демонстрация одной из возможностей практической реализации СШР.

К конструкции дифференциала предъявляют следующие основные требования [183, с. 194]:

– осуществление пропорционального распределения крутящих моментов между колесами или осями. Для повышения проходимости автомобиля распределение моментов по отдельным колесам и мостам должно осуществляться пропорционально их вертикальным реакциям;

– обеспечение различной частоты вращения ведущих колес, что необходимо при повороте, движении автомобиля по неровной поверхности дороги и в других случаях;

– малые габаритные размеры и масса. Строгое соблюдение габаритных размеров имеет особое значение, т. к. дифференциалы устанавливают обычно внутри главной передачи или раздаточной коробки.

ППТК в полной мере удовлетворяет поставленным требованиям.

Дополнительным преимуществом ППТК по сравнению с кулачковыми и синусошариковыми дифференциалами является возможность исполнения звена, суммирующего движения, как наружного [184, 185]. У СШР и кулачковых дифференциалов это звено (обойма, водило) является промежуточным, и его связь с корпусом и зубчатым колесом главной передачи представляет определенные трудности. На базе ППТК возможно создание межколесного симметричного дифференциала повышенного трения, в том числе и с принудительной блокировкой. Конструкции дифференциалов с однопериодным и многопериодным зацеплением приведены на рисунке 5.19. Применим для ППТК формулу Виллиса с учетом того, что для обращенной схемы механизма передаточное отношение равно минус единице:

Очевидно, что звено 2 должно передавать вращение от главной передачи и быть связанным с корпусом дифференциала. При этом выбираем вторую конструктивную схему ППТК (см. таблицу 3.2) с валом с пазами, являющимся наружным звеном. Вал с пазами становится корпусной деталью механизма, и шпоночные пазы необходимо исполнять на внутренней цилиндрической поверхности.

1 – левая полуось; 2 – корпус; 3 – правая полуось; 4 – тела качения многопериодным зацеплением Баланс внешних моментов, действующий на трехзвенный дифференциальный механизм, выражается уравнением: M 1 + M 3 = M 2, где M1, M3, M2 – крутящие моменты на осях 1, 3 и корпусе 2 дифференциала соответственно.

Рассмотрим дифференциальный механизм, работающий в режиме редуктора. Пусть вал 1 является ведущим. Передаточное отношение при заторможенном корпусе 2 равно (у симметричного дифференциала) минус единице. Вал 3 – выходной. При этом КПД редуктора равен отношению выходной и входной мощностей:

Это выражение справедливо и при вращающемся корпусе дифференциала 2 [183]. В блокирующемся дифференциале, как и в рассматриваемом редукторе, внешний момент и относительная угловая скорость на отстающей оси совпадают по направлению, а на забегающей – противоположны. В рассматриваемом случае ось 1 – отстающая, ось 3 – забегающая. Согласно выражению (5.94) M 3 = M 1 д. Разность моментов M1 и M3 обозначим как момент трения: M TP = M 1 M 3. Крутящие моменты на осях:

В обычном дифференциале МТР приблизительно равен нулю, т. е.

потери на трение пренебрежимо малы и момент, ответвляемый от корпуса дифференциала, делится между полуосями поровну. В блокирующемся дифференциале момент может перераспределяться иначе. Степень перераспределения моментов между осями характеризуется коэффициентом блокировки, который в различной литературе по расчету трансмиссий автомобиля имеет две трактовки:

следующей формулой:

КПД передачи связан с коэффициентом блокировки дифференциала зависимостью где В – колея ведущих колес автомобиля;

R – радиус поворота центра ведущей оси автомобиля.

Анализ выражения (5.98) свидетельствует о том, что относительно низкий КПД ППТК не является препятствием, а, наоборот, способствует применению этих передач для создания межколесных дифференциалов повышенного трения. Это обусловливается следующими причинами:

– КПД передачи, согласно выражению (5.98), является величиной переменной и зависит от радиуса поворота автомобиля;

– из-за большого трения в дифференциале снижаются время и относительная скорость перемещения поверхностей трения, что уменьшает их износ.

6 Обзор технологий изготовления деталей ППТК и разработка методик их расчета 6.1 Вопросы технологии изготовления деталей ППТК 6.1.1 Анализ существующих методов изготовления сложных рабочих поверхностей кулачков. Большинство деталей ППТК рассмотренных типов технологичны, себестоимость их изготовления низкая, что является одним из преимуществ этих передач.

Определенные сложности могут возникнуть при изготовлении одно- и многопериодных беговых дорожек на деталях. Операции изготовления волнообразного (периодического) профиля кулачков (рисунок 6.1) носят специфический характер и не распространены широко в практике общего машиностроения.

Рисунок 6.1 – Кулачки с периодическим профилем на торце Известны методы, применяемые для изготовления кулачковых профилей (рисунок 6.2): обкатка, согласование движений, копирование, копирный и координатный с помощью станков с ЧПУ. Отдельно нужно рассматривать такие способы изготовления деталей со сложными рабочими поверхностями, как литье и штамповка. Они оправданы в случаях массового и крупносерийного производства, кроме того, требуют финишной обработки, что также может быть сопряжено с технологическими трудностями.

Чаще всего изготавливаемый нами профиль являлся синусоидальным. Профиль, близкий к эвольвентному, целесообразнее изготавливать методом обкатки (огибания) специально спрофилированными червячной фрезой, долбяком или зубчатой рейкой. В [186–188] предложен способ обработки торцовых поверхностей резцом-летучкой (резец закреплен на дисковом основании), легко реализуемый на зубофрезерном станке. В [189] для повышения производительности предлагается использовать фрезу-улитку (червячную одновитковую фрезу с прогрессирующим возрастанием профиля зуба). В данном случае наладка оборудования имеет более сложный характер. Технологический процесс изготовления на торце цилиндрической втулки профильной волнообразной поверхности аналогичен обработке зубьев на специальных станках для обработки зубчатых колес. Этот способ наиболее производителен, дает относительно высокую точность изготовления.

М етоды изготовления синусоидальны х кулачковы х Методы изготовления периодических кулачковых поверхностей (огибание) поверхностей Кинематический метод основан на согласовании вращательного движения заготовки nзаг и возвратно-поступательного движения инструмента sp. На рисунке 6.3 показана схема обработки на токарном станке, эта же операция осуществима и на вертикально-фрезерном станке. Для этих целей можно использовать станки с ЧПУ, однако не обязательно.

Профиль можно изготавливать на универсальных токарных и фрезерных станках с использованием специальных приспособлений, сообщающих заготовке возвратно-поступательные движения, согласованные с приводом шпинделя с помощью единой кинематической цепи.

Кинематический метод применительно к изготовлению беговых дорожек СШП детально исследован в [189].

Метод копирования, применяемый для изготовления кулачков, аналогичен такому же способу изготовления зубчатых передач. Фрезерование производится дисковой или пальцевой фрезой с дискретными поворотами с определенным угловым шагом после исполнения очередной впадины с использованием делительной головки. Этот способ менее производителен и точен, однако не требует применения специального оборудования. Обработка может осуществляться долбежным резцом [190]. Сложность заключается лишь в применении специально спрофилированного режущего инструмента. Эта сложность устранима, если изготавливать так называемый адаптированный профиль (речь о нем пойдет ниже).

Рисунок 6.3 – Схема кинематического Рисунок 6.4 – Схема копирного метода При копирном методе обработки необходимые относительные движения инструмента и цилиндрической заготовки моделируются копиром, эталоном (образцовой деталью). Обработка производится на копировально-фрезерных станках с применением специальных приспособлений [191]. Схема этой операции изображена на рисунке 6.4. На оправке устанавливаются изготавливаемый кулачок 1 и копир 2, соответственно им на суппорте укреплены фреза 3, вращающаяся с частотой nфр и имеющая вертикальную подачу sv, и копирный палец 4.

Вращение кулачку и копиру сообщается механически, с постоянной угловой скоростью (с частотой вращения nзаг). Односторонний контакт копирного пальца с копиром осуществляется силовым замыканием с помощью грузов (сила Т).

С совершенствованием станочного парка и появлением высокоточных многофункциональных станков с числовым программным управлением также актуальным становится координатный способ обработки кулачковых профилей. При этом заготовка остается неподвижной, а профиль или беговую дорожку обрабатывает шпиндельная головка станка с ЧПУ, воспроизводящая движение фрезы по координатам, заданным в программе.

В условиях современного машиностроения наиболее перспективными способами формообразования поверхностей многопериодных кулачков являются изготовление на станках с ЧПУ и методом обкатки [192].

6.1.2 Определение координат профиля беговых дорожек.

Определение координат произвольного (в том числе синусоидального) профиля.

Очевидно, что необходимый профиль беговых дорожек звеньев передач и других механизмов с телами качения с минимумом потерь мощности должен обеспечивать непрерывность контакта тел качения и взаимодействующих с ними рабочих поверхностей деталей. Исключение составляют вершины периодических кривых, где при определенных геометрических параметрах беговых дорожек и тел качения контакт все равно прервется. Искомый профиль будет образован следом окружности, центр масс которой перемещается по центральной кривой. Координаты точек профиля можно рассчитать по формулам (4.53) и (4.54), однако данные уравнения не являются параметрическими, что затрудняет их анализ. С учетом рассмотренного в разделе 4 явления искажения профиля определим координаты точек профиля кулачка.

Рассмотрим однопериодную кривую (синусоиду) с единичной амплитудой, по которой перемещается центр окружности с радиусом rs (рисунок 6.5) в системе координат xOz.

Пусть требуемая траектория в декартовой системе координат описывается в явном виде уравнением z = f(x). Тогда для того, чтобы центр масс тела качения совершал движение по этой траектории, необходимо свободное прохождение тела качения по желобу, или свободное прохождение диаметра тела качения, перпендикулярного к направляющей кривой.

Рисунок 6.5 – К выводу уравнений профиля кулачка Пусть (x; z) – координата точки, принадлежащей требуемой кромке дорожки в момент времени t, при котором координаты центра шарика (x0; y0). Приняв радиус шарика равным rs, получаем следующие уравнения:

Решая данную систему уравнений, получим параметрические уравнения линий, ограничивающих желоб.

В системе уравнений (6.9) можно ввести в обоих уравнениях один параметр, если учесть, что значение z0 определяется как z0 = f(x0).

Подставив вместо x0 параметр s, получим Уравнения (6.10) являются универсальными параметрическими, определяющими требуемые линии в случае произвольной траектории центра масс.

Для синусоидальной кривой имеем [193] Определение координат кусочно-винтового профиля.

Уравнение плоской развертки z = f(s) кусочно-винтовой линии приведено в разделе 4. Реальный профиль будет также описываться уравнением кусочно-винтовой линии, смещенной вдоль оси передачи на некоторое расстояние. Для его определения необходимо рассмотреть явление заострения вершин для данного типа кривой (рисунок 6.6). Центр тела качения 1 с радиусом rs перемещается по кусочно-винтовой линии (центральной кривой), имитируя движение инструмента. При этом формируется профиль беговой дорожки 3.

Рисунок 6.6 – Оценка явления подрезания вершин Из геометрических построений и с учетом постоянства угла подъема для кусочно-винтовой линии с числом периодов Z в [107, с. 82–83] получено выражение для определения снижения профиля относительно оси передачи от центральной кривой:

r = rs (1 cos(arctg (2 AZ / R ))) / cos(arctg (2 AZ / R )). Это означает, что для обеспечения непрерывности контакта верхний (или нижний) профиль необходимо сдвинуть вдоль оси Oz на ± r, а вершины срезать либо сделать радиусные закругления [107, рисунок 3.11]. Таким образом, уравнения верхнего и нижнего профилей Определение координат ЭСДО-профиля.

Рассмотрим профиль, остающийся от прохождения центра фрезы с диаметром, равным диаметру тела качения по многопериодной кривой, представляющей собой сочетание сопряженных дуг окружностей.

Результатом будет такой же профиль, однако составленный из полуокружностей разного радиуса. Параметры образованного профиля наружного кулачка приведены на рисунке 6.7.

Получены аналитические зависимости для данного профиля:

при при где s – аргумент, изменяемый от 0 до 2R;

Рисунок 6.7 – Параметры ЭСДО-профиля Преимущество данного профиля заключается в том, что полностью устраняется явление искажения профиля и его самопересечение.

Для однопериодной кривой (рассматриваем только нижнюю часть профиля) Центральная кривая и образующийся профиль показаны на рисунке 6.8. Там же изображены сопряженные ветви эллипса, смещенные на расстояние rs вдоль оси Оz.

Из рисунка 6.8 видно, что для однопериодной кривой c ЭСДО-профилем присутствует явление искажения профиля.

1 – центральная однопериодная кривая ЭДСО-профиля; 2 – сопряженные ветви эллипса, смещенные вдоль оси Oz; 3 – профиль, формируемый фрезой Рисунок 6.8 – К выводу уравнений профиля однопериодной беговой дорожки ЭДСО-зацепления 6.1.3 Адаптация профиля беговых дорожек ППТК к условиям единичного и мелкосерийного производства. В математической модели передачи предполагается, что перемещение материальных точек (тел качения) осуществляется по замкнутым траекториям (цилиндрическим синусоидам). Изготовление синусоидального профиля требует применения специальных приспособлений, инструмента, сложной наладки оборудования. Это целесообразно в условиях средне- и крупносерийного производства. В настоящее время, с учетом уровня развития ППТК, в некоторых случаях целесообразной видится задача адаптации профиля беговой дорожки [194–197], которая позволила бы изготавливать детали передачи на универсальном оборудовании, тем самым значительно снизив затраты на ее производство.

Адаптация синусоидального профиля.

Рассмотрим цилиндрическую многопериодную центральную синусоиду 1, расположенную на цилиндре с радиусом образующей окружности R (рисунок 6.9).

При движении по ней центра сферы сферической фрезы с радиусом, равным радиусу тела качения, образуется профиль 2 торцового кулачка ППТК. Рассмотрим возможность замены данного профиля упрощенным профилем 3 (адаптированным к возможностям универсального станочного оборудования).

Рисунок 6.9 – К вопросу формирования адаптированного профиля Трапециевидный профиль впадины кулачка реализуется на горизонтально-фрезерном станке. Цилиндрическую (трубчатую) заготовку устанавливают в патроне универсальной делительной головки (УДГ). Прорезная фреза на заточном станке профилируется с заданными углами скоса боковых поверхностей (формируется профиль C'M'P'B'). За один проход фрезеруется один или два паза (при четном числе периодов Z и симметричном расположении впадин). Далее заготовка поворачивается в УДГ на рассчитанный угол, и операция повторяется. Возможно использование непрофилированной прорезной фрезы (либо цилиндрической фрезы). В этом случае получение профиля одной или двух впадин, расположенных симметрично, формируется в три приема:

сначала фрезеруется прямоугольный профиль, далее поочередным наклоном делительной головки на определенный угол и фрезерованием прорезной фрезой образуется трапециевидный профиль впадины. Аналогичные операции осуществимы также и на вертикально-фрезерном станке. Финишные операции также без особых трудностей могут быть выполнены на универсальном оборудовании. Нами использовался плоскошлифовальный станок 3Д711ВФ и шлифовальные круги ПП и 2Т.

Круги правились с помощью алмазного карандаша. Из-за возможности потери устойчивости и для осуществления поворотов и наклонов магнитный стол станка заменялся делительной головкой.

При определенном соотношении параметров профиля кулачка и передачи (R, Z, A и rs) возможно применение адаптированного профиля впадины в виде окружности, также без особых трудностей реализуемого в производстве.

Определим радиус фрезы по следующей формуле:

где h – высота профиля, определяемая из системы уравнений (6.11) как абсолютная разность zmax и zmin.

Стандартный диаметр фрезы получим, округлив результат D fr = 2 R fr. Высота установки центра фрезы над базой (за которую принимаем опорный торец кулачка):

где smin – минимальная высота кулачка, измеренная от нижней точки профиля до опорного торца кулачка.

Профиль окружности (торца фрезы) строим по следующей зависимости:

Фрагмент плоской развертки профиля кулачка, получаемый как кривая, огибающая множества положений окружности, центр которой перемещается по синусоиде на плоской развертке, фрагмент проекции на плоскость этой кривой, помещенной на цилиндрическую поверхность и профиль цилиндрической фрезы для кулачка с параметрами Z = 8, A = 11 мм, R = 35 мм, rs = 6 мм, приведены на рисунке 6.10.

Как видно из рисунка 6.10, в данном случае использование в передаче кулачка с адаптированным профилем в виде окружности нецелесообразно и его следует заменить трапециевидным вследствие значительных погрешностей.

На рисунке 6.11, а приведен общий вид кулачка с адаптированным трапециевидным профилем [198], на рисунке 6.11, б – модель кулачка с профилем в виде окружности с параметрами A = 3,5 мм, R = 12,5 мм, Z = 8, rs = 3 мм. В данном случае (малые значения A, R и rs) круглый профиль инструмента воспроизводит необходимую поверхность для контакта с телом качения с достаточной точностью.

Рисунок 6.10 – Плоская развертка профиля впадины (1), проекция профиля впадины на плоскость (2) и профиль фрезы для изготовления адаптированного профиля (3) Рисунок 6.11 – Наружные кулачки с адаптированным профилем впадин Круглый профиль впадины кулачка так же, как и трапециевидный, может изготавливаться на горизонтально-фрезерном станке с помощью стандартной прорезной фрезы и делительной головки.

Адаптация кусочно-винтового профиля.

Проекция однопериодной кусочно-винтовой цилиндрической кривой на плоскость, проходящей через ось передачи, будет описываться уравнением синусоиды (косинусоиды). Средняя линия этой кривой будет параллельна оси передачи, ее амплитуда будет равна R, а длина окружности, образующей цилиндр, на котором она гипотетически может быть замкнута, – 4А. Следовательно, радиус окружности цилиндра – 2А/.

Уравнение плоской развертки однопериодной кривой запишется в следующем виде:

Строить данную кривую для дальнейшего моделирования нужно с учетом замены осей координат: вдоль оси абсцисс откладываются значения z, вдоль оси ординат – значения x. Недостатком данной кривой (в однопериодном исполнении) является, как и для однопериодной кривой в ЭДСО-зацеплении, наличие двух точек разрывности функций угла подъема. Это приводит к всплескам нагрузок и увеличению динамических составляющих.

Профиль впадины многопериодной кусочно-винтовой кривой на плоской развертке (2) и его проекция на плоскость, т. е. профиль инструмента для изготовления профиля (2) (при параметрах зацепления R = 20 мм, А = 11 мм, Z3 = 4), представлен на рисунке 6.12.

Профиль строился согласно уравнению плоской развертки кривой (4.41) по алгоритму, изложенному в выражениях (4.53) и (4.54). Также при построении проекции кривой на плоскость учитывался угол µ (см.

рисунок 6.9). Как видно из рисунка 6.12, демонстрирующего также явление самопересечения, профиль впадины при данных геометрических параметрах передачи достаточно точно может заменяться прямыми линиями, и искажение при этом будет незначительным.

Адаптация впадин многопериодного ЭСДО-профиля.

Предположим, профиль изготавливается фрезерованием, методом копирования на цилиндрической поверхности радиусом R = 20 мм цилиндрической фрезой радиусом R0 = 12 мм. Проанализируем профиль одной впадины. Координаты установки фрезы: x0 = 0; y0 = R0. Уравнение профиля, расположенного выше оси абсцисс:

Рисунок 6.12 – Профиль впадины беговой дорожки по уравнениям кусочновинтовой линии и его проекция на плоскость Известно, что проекция полукруглого профиля на плоскость, проходящую параллельно оси передачи через две верхние точки профиля, будет отличаться, что обусловливает необходимость учета этого факта.

Полярный угол p, соответствующий координате x, и соответствующая этому углу абсцисса xp определяются по формулам:

Максимальные значения этих параметров: p max = 2 arcsin( R0 / R ), x p max = R p max / 2. На рисунке 6.13 линией 2 показана развертка на плоскость профиля, образующегося от фрезерования цилиндрической поверхности заготовки цилиндрической фрезой (оси заготовки и фрезы перпендикулярны, подача осуществляется в вертикальной плоскости).

Профиль на развертке образован кривой второго порядка. Оценим приближенность этого профиля к окружности со скорректированным радиусом Rск.

Как видно из рисунка 6.13, линии 2 и 3 практически совпадают.

Таким образом, профиль впадин, образуемый фрезерованием трубчатой детали цилиндрической фрезой с достаточной степенью точности, можно также считать многопериодным ЭСДО-профилем. Для его изготовления с необходимым радиусом R0 (R0 = A) нужно обрабатывать пазы на заготовке фрезой радиусом Rф, равным Rск. Изготовление выступов данного профиля является задачей более сложной, и для ее решения необходимо использование станков с ЧПУ.

1 – окружность радиусом R0; 2 – профиль от фрезерования; 3 – заменяющая окружность Рисунок 6.13 – К вопросу воспроизведения круглого профиля Адаптация профиля однопериодных кулачков (на примере синусоидального профиля).

В рассмотренных конструкциях ППТК ведущее звено состоит из двух кулачков, жестко закрепленных на валу, обращенных рабочими поверхностями друг к другу и смещенных в осевом направлении один относительно другого на расстояние, равное диаметру шарика (P''L = 2rs).

Кулачки, полученные фрезерованием скоса трубчатой цилиндрической заготовки под углом max, образуют беговую дорожку (рисунок 6.14).

Расстояние между рабочими поверхностями, измеренное по нормали к ним, оказывается достаточным для прохождения тела качения только в вершинах – точках V и H. Максимальное значение сужения профиля наблюдается в точках с максимальным углом подъема max (в точке P’ – средней точке отрезка VH), который численно равен углу скоса рабочих поверхностей кулачка. В этом месте ширина канавки Рисунок 6.14 – Адаптация профиля однопериодного кулачка Устранить явление сужения профиля беговой дорожки можно удалением цилиндрической фрезой части металла с торца кулачка. При этом величина максимального врезания фрезы определится как PP ' = rs (1 cos max ). Выбрав точку Н за базовую, определим координаты центра фрезы xфр, yфр и ее радиус Rфр в конечный момент фрезерования при условии VN = JH = 0,1VH. Используя промежуточные вычисления, получим И окончательно Следует отметить, что при расчетах координат профиля кулачков в формулы следует подставлять радиус окружности rs с учетом заглубления тела качения во внутренние кулачки, а он может быть не всегда равен радиусу шарика.

Описанные выше операции фрезерования не представляют трудностей и могут исполняться на универсальном оборудовании стандартным режущим инструментом [199]. Оправданность упрощения профиля беговых дорожек должна тщательно оцениваться вследствие вносимых погрешностей в картину зацепления (нарушение теоретического постоянства контакта) и ухудшения динамики передачи.

6.1.4 Разработка приспособления для коррекции профиля внутреннего кулачка. Устранить явление искажения профиля можно еще одним способом. Для двух кулачков с упрощенным профилем (например, в виде двух втулок со скошенными поверхностями) после изготовления в техпроцесс обработки вводится дополнительная токарная (или фрезерная) операция, осуществляемая с помощью приспособления, изображенного на рисунке 6.15.

Рисунок 6.15 – Схема процесса коррекции паза ведущего вала Приспособление состоит из вала 1, который закреплен с одной стороны в патроне 2, а с другой – фиксируется центром 3. На валу имеются шлицы, по которым может перемещаться втулка 4 со шлицами на внутренней поверхности. На втулке 4 закрепляются два внутренних кулачка 5 и 6 так же, как они крепятся на ведущем валу-основании редуктора, с помощью винтов 7. Осевое перемещение втулки 4 с кулачками 5 и 6 ограничивают гайки 8 и 9 с упорными буртиками.

Спрофилированный резец 10 радиусом rs перемещается только с радиальной подачей sr. При вращении вала 1 с частотой n1 втулка 4 и кулачки 5 и 6 вынуждены также вращаться и совершать колебательные движения вдоль вала 1, что аналогично осевой подаче резца s2. При этом кулачки образованным эллипсовидным пазом периодически самоустанавливаются относительно резца. В процессе резания убираются излишние участки металла в местах с максимальными углами подъема беговых дорожек и обеспечивается прохождение тела качения в процессе работы передачи. Динамическую стабильность процесса и регулировку можно осуществлять с помощью гаек 8 и 9, а также расчетом жесткости пружин 11 и 12.

Аналогичную операцию можно осуществлять на станках фрезерной группы, используя фрезу вместо резца.

6.2 Материалы и термообработка деталей ППТК Выбор материалов необходимо проводить с учетом накопленной информации о работе передач со схожими условиями нагружения. В карданном шарнире автомобиля при передаче момента в обоймах и шариках возникают значительные контактные напряжения. Обоймы при этом выполняются из стали 15НМ с последующей цементацией, шарики – из стали ШХ15 [176, с. 175].

Кулачковые шайбы кулачковых автомобильных дифференциалов изготавливают из сталей 15НВ, 15ХВА, ползуны – из стали ШХ15.

Детали кулачковых дифференциалов подвергают фосфатированию на глубину 0,005–0,010 мм для предотвращения задиров и улучшения антифрикционных свойств. Кулачковые муфты изготавливают из хромоникелевых сталей 20ХН2М, 15ХГН2ТА и др. и безникелевых 20ХГРА, 18ХГТА сталей хорошей прокаливаемости с высокими механическими свойствами [177, с. 238].

Результаты экспериментальных исследований СШП износа взаимодействующих поверхностей наружных втулок свидетельствуют о том, что для уменьшения интенсивности изнашивания их необходимо изготавливать из стали 20ХН4МА (или 20ХН3А) с поверхностным упрочнением до 58–62 HRC на глубину 2–2,5 мм [70]. Часто для изготовления деталей СШП применялась недорогая сталь 40Х с последующей закалкой и отпуском.

Шарики для ППТК в целях экономии средств и обеспечения технологичности процесса изготовления всех деталей передачи целесообразно приобретать в виде свободных деталей (сталь ШХ15), поставляемых отечественными ГПЗ.

Ступенчатые ролики изготавливались нами из стали 40Х (закалка и отпуск) с последующим шлифованием поверхностей контакта с рабочими поверхностями других деталей передачи и предназначенных для размещения подшипников.

6.3 Расчет деталей ППТК на прочность Фрагменты методик расчета основных деталей СШП приведены в [200–203]. Для ППТК цилиндрического типа алгоритмы расчетов отдельных деталей приведены в [204–206].

Критериями работоспособности передач данного типа являются:

– контактная прочность;

– изгибная прочность выступов наружного кулачка;

– износостойкость рабочих поверхностей кулачков и вала с пазами.

Основанием для прочностных расчетов является силовой анализ.

Как показывает анализ выражений (5.81)–(5.83), реакция N2 имеет наибольшее значение: оно в 1,3–2 раза превышает значение силы N3 при различных передаточных числах (от 2 до 100). При расчете на контактную прочность максимальные напряжения в зоне контакта при контакте стальных деталей можно оценить по преобразованной для ППТК с шариковыми сателлитами формуле Герца [7, с. 62]:

где 1 и 2 – коэффициенты, зависящие от геометрии контактирующих тел и определяемые по [7, таблица 1] исходя из соотношения rs / rs1;

Тогда минимально допустимый диаметр шарика ds, мм, по условию контактной прочности из уравнения (6.32) определится согласно выражению где [H] – допускаемые контактные напряжения, МПа.

Аналогично определяется минимальный диаметр ролика (ступени ролика) после преобразований формулы Герца для максимальных напряжений в зоне контакта «цилиндр-плоскость» [140, с. 26]:

где 1 и 2 – коэффициенты, определяемые по формуле (2.29);

lR – длина ступени ролика, контактирующего со звеном 2.

Допускаемые контактные напряжения для ППТК определим, как и для шариковинтовых передач с аналогичным принципом работы, согласно [140, с. 232] по формуле [ Н ] = k Ш [ H 60 ], где [ H 60 ] – допускаемые контактные напряжения при твердости контактирующих поверхностей, не менее 60 HRC; kШ – коэффициент снижения допускаемых напряжений при твердости поверхностей менее 60 HRC. Принимают [ H 60 ] = 2500–3000 МПа при длительной эксплуатации, [ H 60 ] = 4000 МПа – при кратковременной работе. Коэффициент kШ варьируется от (60–62 HRC) до 0,415 (35 HRC), и его определяют по наименее твердой детали в передаче. Окончательно уточнить диаметр шарика и округлить до стандартного значения необходимо согласно сортаменту. Отметим, что для шариковинтовых передач, во избежание преждевременного износа шариков и канавок, рекомендуется зависимость N = 2660d 2 между нормальной силой и диаметром шарика [176, с. 175]. При этом результаты, полученные по формуле (6.33), идентичны при [H] 3000 МПа и отношении rs / rs1 = 0,99.

Необходимо также проверить выступы наружного кулачка, образующие периодический профиль, на прочность при изгибе. Выступ рассмотрим как консольную балку, по аналогии с зубом зубчатого колеса.

Кривизной выступов в плоскости, перпендикулярной оси передачи, пренебрегаем. За расчетное примем сечение у основания выступа.

Максимальная изгибающая сила, действующая на выступ со стороны тела качения, будет возникать при прохождении шариком средней линии зацепления, при этом угол подъема 3 будет максимальным – 3max. При этом i max = arctg ( Z i Ai / Ri ). Расчетные напряжения изгиба F определяем на растянутой стороне выступа по следующей формуле:

где Nх – растягивающие напряжения изгиба на стороне ВС выступа;

N3x – окружная сила, действующая на выступ наружного кулачка со стороны тела качения;

W – момент сопротивления сечения при изгибе;

hf – расстояние от опасного сечения до точки приложения силы N3.

где s3 – толщина выступа кулачка;

sf – ширина выступа у основания.

Приняв h f A, после подстановок формул (6.35) и (6.36) в выражение (6.34) и элементарных преобразований получим При выводе формулы (6.37) учтены геометрические зависимости rz2 = rz3 = 0,5rs, характеризующие величину заглубления тела качения в канавку вала с пазами и длину контакта шарика с рабочими поверхностями наружного кулачка. Методика определения допускаемых напряжений изгиба для зубчатых передач подробно изложена в ГОСТ 21354-75, для ППТК она аналогична.

Износостойкость деталей передачи можно оценить по следующему условию: N i ski [N sk ], где Ni – сила, действующая на тело качения со стороны основных звеньев ППТК; sk – скорость скольжения в контакте;

[N sk ] – допускаемое значение комплексного показателя, характеризующее износостойкость рабочих поверхностей кулачков и вала с пазами, Н·м/c.

Важным является вопрос определения коэффициента перекрытия, который в случае с ППТК представляет собой количество тел качения, одновременно находящихся в зацеплении с тремя основными звеньями передачи. Общее число шариков в одной секции ППТК равно n = Z 1 + Z 3 = 1 + Z 3, однако в передаче нагрузки участвуют не все тела качения. Для определения коэффициента перекрытия k разработан следующий алгоритм.

На первоначальном этапе рассчитывается максимальная высота выступа кулачка zн (рисунок 6.16), измеренная относительно средней линии. Средняя линия – окружность, расположенная в плоскости xOy с центром в точке О и радиусом R, равным радиусу образующей цилиндрической поверхности, на которой располагаются взаимодействующие кривые с числами периодов Z1 и Z3. Выступ формируется после прохождения по центральной многопериодной кривой инструмента (сферической или цилиндрической фрезы) радиусом, равным радиусу тела качения rs. Исходными данными являются уравнение развертки на плоскость многопериодной кривой z = f(x) и параметры А, Z3, rs, R.

Величина zH определяется из численного решения преобразованной системы уравнений (4.53) и (4.54) с тремя неизвестными x,, zH :

Угол является углом подъема кривой в рассматриваемой точке, т. е. углом между касательной – к кривой в данной точке (например, в точке М) и осью абсцисс (рисунок 6.16).

После определения zH реальная высота профиля корректируется в сторону уменьшения для удаления заостренных участков. Максимальная высота профиля будет равна zmax. Далее система (6.38) записывается в измененном виде:

Неизвестными в данной системе являются параметры x,, xp. После их определения рассчитываем максимальную высоту Ap на развертке кривой на плоскость путем подстановки найденного значения x в уравнение плоской развертки кривой: z max = f ( x). Параметр Ap, отсчитываемый от средней линии, показывает, какая часть кривой задействована в передаче нагрузки. Шарики, перемещаясь в процессе работы передачи по кривой, находясь ниже уровня, определяемого высотой Ap, участвуют в зацеплении. Попадая на участки кривой, расположенные выше этой высоты, они теряют контакт с рабочими поверхностями, хотя их движение остается полностью определенным по беговой дорожке внутреннего кулачка и в пазах вала с пазами.

Рисунок 6.16 – К определению коэффициента перекрытия На рисунке 6.17 приведены графики, отражающие изменения коэффициента перекрытия в зависимости от высоты Ap для передач с амплитудой А = 10 мм, радиусом R = 20 мм с различными типами кривых.

Для численного определения коэффициента k была разработана программа, с помощью которой имитировалось согласованное пошаговое движение тел качения по различным кривым. На каждом шаге вычислений определялось количество шариков, находящихся под уровнем, определяемым параметром Ap. Среднее значение этого количества за цикл работы (за оборот ведущего вала) и определялось как коэффициент перекрытия.

Анализ приведенных графиков позволил прийти к выводу, что зависимость коэффициента перекрытия от параметра Ap представляет собой график полупериода исходной кривой, расположенный вдоль оси ординат. Для получения аналитических зависимостей для определения k, необходимо в исходных уравнениях выразить абсциссу k через ординату Ap.

1 – для синусоиды с Z3 = 9; 2 – для синусоиды с Z3 = 4; 3 – для кусочно-винтовой кривой с Z3 = 4;

4 – для кривой передачи с ЭДСО-профилем с Z3 = Рисунок 6.17 – К определению коэффициентов перекрытия сферической планетарной шариковой передачи Коэффициент перекрытия для синусоиды Для кусочно-винтовой кривой (кривой, представляющей собой сочетание наклонных отрезков) Для сочетания кривых в передаче, схема которой приведена на рисунке 4.10, Для передачи на рисунке 4.10 с параметрами Z1 = 1, Z3 = 14, A = 15 мм, R = 50 мм, rs = 6,15 мм при числе шариков n = 15 коэффициент перекрытия составил k = 6,35.

6.4 Методика расчета и проектирования ППТК Рассмотрим алгоритм расчета основных параметров ППТК для создания редуцирующего узла механизма. Исходные данные для расчета – необходимый максимальный крутящий момент на выходном валу редуктора Мmax, общее передаточное отношение uобщ, материал деталей ППТК и вид их термообработки.

1 Первоначально выбираем тип передачи. Предпочтительным является цилиндрический тип как наиболее исследованный. В случае установленных ограничений на осевые габариты передачи целесообразно применять плоский тип ППТК. В редких случаях с учетом специфических компоновочных требований применяется конический тип передач, при разработке передач с пересекающимися осями и изменяющимся углом их пересечения – сферический тип.

Исходя из заданного закона движения выходного звена механизма и его кинематических характеристик, выбираем тип кривых зацепления.

При проектировании скоростных передач рекомендуется использовать синусоидальные либо циклоидальные кривые. Для механизмов с ручным приводом целесообразно использование кусочно-винтовых кривых. В случае, если закон движения выходного звена механизма носит специфический характер, необходимо использовать алгоритм синтеза кривых зацепления (см. подразд. 4.3).

2 Выбираем кинематическую схему по таблице 3.1 и конструктивное исполнение секции передачи (см. таблицу 3.2) исходя из конкретных условий работы. Как правило, выбираем чаще всего первую кинематическую схему, позволяющую получить максимальное значение передаточного отношения при высоком КПД относительно других кинематических схем. Для механизмов развинчивания труб приемлема кинематическая схема № 2, которая обеспечивает разнонаправленность вращений ведущего и ведомого валов.

Учитывая значения uобщ, принимаем решение о числе секций (ступеней). И если общее передаточное отношение меньше либо равно 12, целесообразно проектировать одну секцию ППТК. Большие значения передаточных отношений в силовой передаче возможно реализовать при R > 100 мм. В плоских передачах при тех же геометрических параметрах можно реализовать передаточное отношение на 10–15 % больше, чем в цилиндрических ППТК. Если ППТК проектируется с большими значениями uобщ, необходимо разрабатывать несколько секций, соединенных последовательно. Далее рассматриваем алгоритм проектирования одной секции ППТК.

Для большинства случаев применения ППТК (исключая дифференциальные механизмы) число периодов кривой ведущего звена Z1 = 1.

Тогда для первой кинематической схемы Z3 = u – 1. Число тел качения в одной секции в этом случае n = Z1 + Z3 = 1 + Z3.

3 Определяем радиус средней окружности кривых R. Как правило, он ограничен максимальным диаметром корпуса механизма, куда встраивается передача, а тот, в свою очередь, зависит от диаметра трубы, скважины и т. д., где применяется разрабатываемый механизм.

В случае, если максимальный диаметр передачи не позволяет расположить большое число периодов на многопериодном звене, принимается решение о проектировании нескольких, последовательно соединенных секций.

4 Предварительно назначаем значение приведенного коэффициента трения. Для контакта тела качения с твердостью около 60 HRC с закаленными стальными рабочими поверхностями (сталь 40X) при граничной смазке (графит и масло ТАД-17И) приведенный коэффициент трения рекомендуется для предварительных расчетов принимать f = 0,05.

5 Оптимальное значение амплитуды определяем по формуле (5.71);

по формуле (4.14) – средние углы подъема кривых ср1 и ср3; по формуле (4.15) – максимальные углы подъема кривых max1 и max3.

6 Определяем коэффициент перекрытия для кривой зацепления. Из решения системы (6.38) находим параметр zH. Решая систему уравнений (6.39), определяем параметры x,, xp. Подставив найденное значение x в уравнение плоской развертки кривой, находим Ар:

Ap = zmax = f(x).

Используем полученные выражения (6.40)–(6.42) для выбранных кривых (известных) или строим график k(Ap) как полупериод выбранной кривой, отраженный вдоль оси ординат. Определяем коэффициент перекрытия k.

7 Определяем силы N1, N2 и N3, действующие в зацеплении по формулам (5.81)–(5.83). При этом вместо числа тел качения n в формулу для определения силы N2 подставляем значение коэффициента перекрытия k при условном двухстороннем контакте тела качения с кулачками и k/2 при одностороннем контакте тела качения с одним из кулачков (см. рисунок 5.10, а). Условный вид контакта определяется на плоской развертке; если беговая дорожка ограничена двумя кривыми (верхней и нижней), то считаем контакт двухсторонним, если одной – односторонним. В рассмотренных конструкциях ППТК кулачки с однопериодной беговой дорожкой являлись составными и обеспечивали двухсторонний контакт. Но он будет действительно двухсторонним, когда и многопериодный кулачок будет составным (рисунок 6.18).

Рисунок 6.18 – Контакт составного ролика с составным многопериодным кулачком 8 Определяем допускаемые контактные напряжения и допускаемые напряжения изгиба исходя из материалов деталей, термообработки и циклограммы нагружений (по рекомендациям подразд. 6.3).

9 Определяем диаметр шарика по формуле (6.33) с учетом допускаемых контактных напряжений. Округляем результат до ближайшего целого значения либо уточняем по сортаменту свободных тел качения. Диаметр ступенчатого ролика определяется как минимальный по формуле (6.34).

10 Рассчитываем геометрию зацепления (подразд. 5.4). Значения углов и определяем по формуле (5.76).

11 Определяем максимальные контактные напряжения и максимальные напряжения изгиба по формулам (6.32) и (6.37) соответственно и сравниваем их с допускаемыми напряжениями.

Проверяем по максимальному значению реакций (N1, N2, N3) прочность подшипников качения (или скольжения), установленных на роликах. При превышении максимальных напряжений допустимого предела и при невозможности изменить основные геометрические параметры передачи (невозможно увеличить R из-за требований компоновки) принимаем решение о проектировании многосекционной ППТК с параллельным соединением секций (рисунки 7.1 и 7.2).

12 Уточняем приведенный коэффициент трения скольжения и коэффициент трения качения по формулам (2.27) и (2.28) соответственно согласно разработанной методике (подразд. 2.1).

13 Определяем потери мощности в передаче по выражению (2.80).

Корректируем геометрию зацепления при необходимости.

14 Исследуем динамическую модель зацепления (подразд. 5.2) для оценки устойчивости системы при переходных состояниях.

Вопросы автоматизации алгоритмов расчетов ППТК рассмотрены в [207].