«ПЕРЕДАЧИ С ПРОМЕЖУТОЧНЫМИ ТЕЛАМИ КАЧЕНИЯ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ И МИНИМИЗАЦИЯ ПОТЕРЬ МОЩНОСТИ Монография Могилев ГУ ВПО Белорусско-Российский университет 2010 УДК 621.83.06:004 Рекомендовано к опубликованию Советом ...»

Разработаны и более сложные методики, позволяющие учитывать различные факторы, влияющие на работу подшипников. В [137], например, приводятся выражения для определения моментов трения, которые зависят от нагрузки, на контактных площадках шарика с дорожками качения для внутреннего и наружного колец, коэффициента трения и геометрических параметров эллипсовидной контактной площадки.

В [138, 139] представлены комплексные теоретические модели для определения потерь мощности в радиально-упорных подшипниках с учетом реологических свойств смазочного материала, гидродинамических и эластогидродинамических сил. В [139] теоретические результаты коррелируются с экспериментальными данными, полученными в диапазоне частот вращения от 5 000 до 35 000 об/мин.

В большинстве источников при определении мощности, потерянной на трение в контакте «тело качения–беговые дорожки», предполагается чистое качение. Так, например, в учебной и справочной литературе по деталям машин [140] приводятся формулы для вычисления частот вращения сепаратора n3 и тела качения относительно сепаратора nw при неподвижном внешнем кольце:

где n1, n2 – частоты вращения наружного и внутреннего колец;

D0, dw – диаметр окружности расположения центров тел качения и диаметр тела качения соответственно.

Таким образом, скорость вращения сепаратора считается предопределенной геометрией подшипника и кинематическими параметрами его колец. В известных методиках не учитываются дополнительно возникающие потери при нарушении режима чистого качения и проскальзывании тел качения относительно беговых дорожек колец, вызывающем изменение частоты вращения сепаратора от значения, определяемого выражением (2.48).

Рассмотрим на рисунке 2.9 схему контакта тела качения 4 с внутренним 1 и наружным 2 кольцами радиального подшипника, а также с сепаратором 3. Радиус окружности расположения центров тел качения равен R0. Тело качения 4 с радиусом rw с центром в точке С контактирует с внутренним кольцом 1 в точке А, с наружным кольцом 2 – в точке В.

Предлагаемый способ определения КПД подшипника предусматривает измерение в процессе работы частоты вращения внутреннего кольца 1 – n1, частоты вращения наружного кольца 2 – n2 и частоты вращения сепаратора 3 – n3. Таким образом, становятся известными и угловые скорости внутреннего кольца 1, наружного кольца 2 и сепаратора 3.

Рисунок 2.9 – Схема кинематического взаимодействия тела качения с основными звеньями подшипника Линейные скорости точек А, В и С (соответственно 1, 2 и 3) определятся по следующим формулам:

Знак «–» в выражениях (2.49) учитывает то, что угловая скорость при вращении тела в направлении против хода часовой стрелки положительна, при вращении тела по ходу часовой стрелки – отрицательна.

Применим метод остановки тела качения, рассматривая его движение как мгновенно поступательное, т. е. мысленно сообщим всем его точкам линейную скорость, равную по модулю 3, но направленную в противоположную сторону. При этом точки А, В и С получат также дополнительные линейные скорости, равные по модулю 3, но направленные в противоположную сторону (см. рисунок 2.9). Условные линейные скорости при остановленном теле качения в точках А и В (на рисунке 2.9 они показаны прерывистыми линиями со стрелками) будут равны:

В точке C условная линейная скорость равна нулю (3у = 3 – 3 = 0), т. к. тело качения 4 мысленно остановлено.

Условные угловые скорости тела качения определятся из уравнения зависимости линейной и угловой скоростей:

Знак «–» в выражении (2.52) для угловой скорости 2 у следует из известного векторного уравнения = r, где – вектор линейной скорости точки тела, совершающего вращательное движение; – вектор угловой скорости, направленный вдоль оси вращения; r – радиус-вектор, соединяющий центр, лежащий на оси вращения с рассматриваемой точкой. Так как в данном случае центром является центр тела качения, радиусы-векторы, соединяющие центр С и точки А и В, разнонаправлены, поэтому и угловые скорости в выражениях (2.51) и (2.52) имеют разные знаки.

Абсолютная угловая скорость тела качения с учетом выражений (2.51) и (2.52) определится как среднее значение:

где s – число точек контакта (на рисунке 2.9 s = 2).

При этом в формуле (2.53) и далее контактом тела качения 4 с сепаратором 3 пренебрегаем, т. к. в тяжело нагруженных подшипниках действующая сила между ними незначительна по сравнению с радиальной нагрузкой. Из-за ненагруженности сепаратора, следовательно, пренебрежимо малой будет мощность, расходуемая на трение.

Данное предположение не применимо в подшипниках приборов и механизмов точных перемещений.

Определяем из известной теоремы о сложении угловых скоростей при известной абсолютной угловой скорости относительные угловые скорости тела качения (относительно внутреннего кольца 1r и наружного кольца 2r):

Скорости скольжения в точках контакта А и В найдем как разницу внешних скоростей 1 и 2 и приложенных в этих точках переносной скорости 3 и относительной скорости, равной.rw:

Таким образом, скорости скольжения в точках контакта А и В равны.

Скалярные выражения (2.56) и (2.57) также являются следствием векторного уравнения: i = ski + 3 + ri, что объясняет различие знаков в формулах для определения скоростей скольжения, т. к. радиусывекторы ri, соединяющие центр С с точками А и В, имеют разную направленность.

Равномерное распределение скорости скольжения по двум точкам контакта оправдано в данной системе и тем, что нормальные силы, а значит и силы трения (при одинаковых материалах, термообработке и шероховатости поверхности), будут равны. В данном случае потерями на трение тел качения о сепаратор также пренебрегаем, т. к. сепаратор подшипника не нагружен.

Потери на качение шариков (роликов) при контакте с внутренним и наружным кольцами определятся как сумма произведений моментов сопротивлений качению и относительных угловых скоростей.

где Fsum – суммарная радиальная нагрузка на нагруженные тела качения подшипника;

– коэффициент трения качения.

Согласно теории силового анализа подшипника [140] сила, действующая на наиболее нагруженное тело качения Fr 0, и сила, действующая на i-й шарик в нагруженной зоне Fri, определяются как где P – результирующая радиальная нагрузка на подшипник;

– угловой шаг расположения тел качения ( = 2/z, z – число шариков или роликов);

m – половина нагруженных тел качения (m = z/4, с округлением в меньшую сторону).

Суммарная нагрузка Fsum на нагруженные тела качения будет больше, чем результирующая радиальная нагрузка на подшипник P:

Для высокоскоростных подшипников в выражении (2.59) необходимо также учитывать действие центробежных сил. В этом случае в формулу (2.59) в правую часть добавляется слагаемое:

где mw – масса шарика (ролика).

Потери на скольжение в точках А и В с учетом двойного контакта тел качения:

где f – коэффициент трения скольжения;

равны.

Коэффициент трения качения и коэффициент трения скольжения f определяются по справочной литературе для заданных материалов деталей подшипника.

Суммарные потери мощности [141] с учетом формул (2.49)–(2.60):

П сумм КПД пары подшипников, установленных на валу, определится по формуле = 1 2 П сумм П1, где П1 – мощность, подведенная к валу.

Алгоритм определения КПД упорных и радиально-упорных подшипников будет отличаться учетом гироскопического момента при действии осевой нагрузки.

Определим численно КПД радиального шарикоподшипника 6205, установленного на валу, нагруженного крутящим моментом T = 200 Н·м и вращающегося с частотой n1 = 1256 об/мин. Ориентировочный коэффициент трения для пары «сталь–сталь без смазки» f = 0,15 [142, таблица 7], коэффициент трения качения для пары «закаленная сталь по закаленной стали» = 0,001 см [142, таблица 11].

При численной подстановке для пары подшипников 6205, симметрично установленных относительно зубчатого колеса, при осуществлении чистого качения КПД составит 0,996 в условиях нагружения, описанных выше. Скорость в нижней точке шарика (см.

рисунок 2.9) составляет 2 м/с, а скорость центра шарика – 1 м/с. Если же скорость центра замедлится до 0,5 м/с, то КПД пары подшипников составит 0,991.

Результаты расчетов показывают, что потери в подшипнике определяются преимущественно трением скольжения. При постоянных скоростях вращения внутреннего и наружного колец при изменении частоты вращения сепаратора потери на трение качения остаются постоянными. При этом доля их в общих потерях колеблется от 100 (при чистом качении, с = 1 м/с) до 4 % при увеличении окружной скорости сепаратора до 1,5 м/с или замедлении до 0,5 м/с. Увеличение нагрузки на подшипники увеличивает пропорционально потери на качение и скольжение. КПД подшипника (при постоянных значениях коэффициентов f и ) остается неизменным, т. к. при увеличении потерь мощности увеличивается одновременно мощность, подводимая к валу.

Следует отметить, что вышеприведенный алгоритм не учитывает непосредственно влияние на КПД некоторых существенных факторов (смазочного материала и температуры), однако он позволяет проследить тенденции в изменении потерь мощности в процессе работы подшипника.

Влияние конкретного типа смазки можно учесть значениями коэффициентов трения скольжения и качения на основании данных, полученных экспериментально. Алгоритм был автоматизирован и внедрен на ЗАО «ДОРМАШ» (Орел, Российская Федерация).

На рисунке 2.10 показана схема устройства для практической реализации предлагаемого метода. Устройство состоит из датчиков угловой скорости 5–7, блока синхронизации 8 и персональной ЭВМ 9.

Датчик угловой скорости 5 принимает сигнал от внутреннего кольца 1, датчик 6 – от сепаратора 3, датчик 7 – от наружного кольца 2. Датчики угловой скорости имеют бесконтактный принцип действия (например, фотоэлектрические датчики с прерывателем либо электромагнитные датчики). При этом на основных деталях подшипника 1, 2 и 3 закрепляют диски с отверстиями либо выступы из ферромагнетиков. Блок синхронизации работы датчиков 8 предназначен для обеспечения синхронной работы всех датчиков, настройки и усиления сигнала, поступающего от датчиков, первичной обработки и передачи данных на ЭВМ для их последующей обработки.

Определение мощности, расходуемой на трение в радиальном подшипнике качения, осуществляется следующим образом. Сигналы, определяющие частоты вращения внутреннего кольца n1, наружного кольца n2 и сепаратора n3 от датчиков 5–7 соответственно, поступают в блок синхронизации 8, после обработки – на ЭВМ 9. На ЭВМ информация обрабатывается по программе, составленной по формуле (2.61).

При этом в качестве исходных данных в программу вводятся параметры:

R0, rw, f, и P. Радиусы R0, rw зависят от типоразмера испытываемого подшипника, коэффициенты f, определяются по справочной литературе либо экспериментально, результирующая нагрузка Р рассчитывается по известным формулам курсов теоретической механики и деталей машин в зависимости от передаваемой мощности и расположения подшипников на валу. Текущие значения мощности могут выводиться на монитор компьютера и на печать в виде графиков и табличных данных в зависимости от времени.

Рисунок 2.10 – Схема установки для определения потерь мощности в радиальном подшипнике качения Данный способ позволяет определить КПД подшипника в условиях его эксплуатации без остановки машины и демонтажа узла, где установлен подшипник, и проследить характер изменения данной мощности во времени. Так как при измерении и в расчетах используются не усредненные значения мощности, а текущие, повышается точность измерений. Способ позволяет выявить подшипники, в процессе эксплуатации которых мощность, расходуемая на трение, увеличивается, и произвести мероприятия по устранению этого явления, не дожидаясь разрушения подшипника и выхода из строя узла и машины, где он установлен.

2.2.3 Трехточечный (трехлинейный) контакт (плоская модель).

Рассмотрим плоскопараллельное движение тела качения 4, контактирующего с тремя поверхностями 1–3, одна из которых (3) неподвижна (рисунок 2.11). Данная схема соответствует схеме развертки на плоскость поверхностей, замкнутых на цилиндре, и может являться аналогом картины взаимодействия тела качения (шарика или ролика) с основными деталями ППТК многих типов.

Рисунок 2.11 – Контакт тела качения с тремя поверхностями Взаимодействие тел, изображенных на рисунке 2.11, соответствует первой кинематической схеме ППТК (раздел 3), при которой поверхность является ведущей, поверхность 2 – ведомой, поверхность 3 – остановленной. Центр масс тела качения имеет скорость 4. Тела 1 и имеют соответственно скорости 1 и 2, которые в точках контакта А и В передаются телу качения. Известными считаем угловые скорости всех звеньев передачи 1, 2 и 3 (3 = 0) и, соответственно, линейные скорости 1, 2 и 3 (3 = 0), а также скорость движения центра шарика 4.

Эта скорость может быть разложена на переносную и относительную составляющие. Переносная скорость – это скорость центра тела качения вместе с водилом (телом 2), относительная скорость изменяется по периодическому закону (например, по синусоидальному). Определим проекции линейных скоростей на оси координат.

После применения метода остановки водила получим выражения для условных скоростей:

Условные угловые скорости относительно центра О:

Альтернативный метод с нахождением угловой скорости шара с условными МЦС Pv1, Pv2 и Pv3):

Результаты, полученные по формулам (2.68) и (2.70), абсолютно идентичны. На рисунке 2.12 показано, как изменяются угловые скорости тела качения за один оборот ведущего вала для ППТК со следующими параметрами: n1 = 1000 об/мин, Z1 = 1, Z3 = 4, R = 30 мм, А = 12 мм, rs = 3 мм.

Рисунок 2.12 – Изменение условных и общей угловых скоростей тела качения В таблицу 2.1 сведены формулы для определения угловой скорости тела качения в зависимости от линейной скорости входного звена для шести кинематических схем ППТК (см. также таблицу 3.1).

Таблица 2.1 – Выражения для определения угловой скорости тела качения в зависимости от кинематической схемы В таблицу 2.1 передаточные отношения u подставляются по модулю. Результаты также отражают модуль угловой скорости 4. Знак угловой скорости зависит от схемы силового взаимодействия тела качения в данный момент времени с основными звеньями передачи (для ПШП существуют два таких положения).

Скорости скольжения в контакте определятся следующим образом:

Рассмотрим, как изменяются скорости скольжения в контакте одного шарика с деталями передачи (рисунок 2.13).

Мощность, потерянная на скольжение, определяется как произведение скорости скольжения на силу трения скольжения (П sk = sk Fsk ), которая, в свою очередь, равна произведению нормальной реакции в точке контакта на коэффициент трения скольжения (Fsk = fN ).

Определять относительные угловые скорости (как у радиального подшипника) в данном случае нет необходимости, т. к. вращение деталей передачи и тела качения происходят в перпендикулярных плоскостях.

Потери мощности на скольжение Рисунок 2.13 – Изменение условных и общей угловых скоростей тела качения Потери мощности на сопротивление качению:

Для численного определения потерь в передаче необходимо использовать средние значения сил и скоростей звеньев ППТК. Средние скорости (угловые и скольжения) определим, используя интегральную оценку. При этом исследоваться должен отрезок изменения угла поворота ведущего вала, при котором каждое тело качения совершит полный рабочий цикл: 1 = 2 u 1 = 2u.

Средняя угловая скорость при этом определится по формуле Интегральная оценка изменения модуля функции позволяет определить площадь, представить ее эквивалентной площади прямоугольника и, разделив ее на ширину (2u), получить высоту, т. е. усредненное значение искомой функции на данном отрезке.

Тогда средние скорости скольжения:

Суммарные потери мощности, как и для одно- и двухточечного контактов, определяются с учетом количества тел качения. КПД передачи получим из выражения где n – число тел качения в передаче.

Для ППТК с параметрами A = 10 мм, R = 20 мм, Z1 = 1, Z3 = 8, rs = 20 мм, n1 = 1000 об/мин, f = 0,05, = 0,00001 мм КПД составил 0,703, что близко к результатам расчета согласно разработанным ранее моделям.

Доля потерь на трение качения составляет 3,6 % от общих потерь мощности. При изменении амплитуды кривых зацепления потери (и КПД) имеют экстремум.

Рассмотренная плоская модель адекватно отражает процесс работы передачи с роликами в качестве тел качения [143]. Для шариковых передач требуются повышение точности расчетов и создание пространственной модели.

2.2.4 Многоточечный контакт (общий случай, пространственная модель). В общем случае движения тела качения перемещаются в пространстве под действием наложенных связей. Известными считаем координаты точек контакта (i = 1, n) как функции времени, соответственно, скорости точек контакта i, в том числе скорость центра масс c.

При этом векторные выражения представим в форме соответствующих матричных аналогий.

Применяя метод остановки водила, получим условные линейные скорости точек контакта:

Исходя из геометрии механизма и заданных кинематических параметров, находим законы изменения координат точек контакта либо от времени в локальной системе координат, связанной с центром тела качения: xi' = f (t ), y i' = f (t ), z i' = f (t ), либо от угла поворота ведущего звена ( 1 ), учитывая, что при равномерном движении = t.

Далее определяем проекции угловых скоростей из векторного произведения:

Представим равенство (2.83) как матричное уравнение:

Определим из этого уравнения матрицу угловых скоростей. Один из вариантов решения представлен в виде Определяем угловую скорость тела качения:

Скорости скольжения определяем как относительные скорости движения тела качения r с учетом вращательного движения тела качения с угловой скоростью :

Знак «+» принимается в том случае, когда перенесенная в точку контакта окружная скорость rs совпадает по направлению сo скоростью ski, знак «–» – в обратном случае.

Потери П в передаче с телами качения складываются из потерь мощности на трение скольжения Пск, трение качения Пкач и тепловых потерь Птепл:

Потери на трение скольжения в одном контакте где Fski – сила трения скольжения в контакте;

ski – скорость скольжения.

Потери на трение качения:

где Мск.i – сопротивления качению в контакте;

i – угловая скорость вращения шара относительно i-й точки контакта.

Для планетарной шариковой передачи где m – число точек контакта одного тела качения;

нагруженном катящемся контакте В одноточечном контакте чистое качение достижимо при определенных сочетаниях внешних нагрузок (сил и моментов). Задача минимизации потерь мощности в одноточечном контакте при заданных внешних нагрузках сводится к минимизации потерь на скольжение путем уменьшения значений двух параметров, определяющих Пс, – f и sk.

Одноточечный контакт интересен с точки зрения теории колесных машин.

В многоточечном контакте необходимо решать многокритериальную задачу оптимизации.

В двухточечном контакте чистое качение достижимо при сочетаниях кинематических параметров, обеспечивающих совпадение относительных мгновенных центров скоростей Pv1 и Pv2. Данный процесс осуществляется в подшипниках и направляющих качения.

В трех-, четырехточечном и т. д. контактах чистое качение недостижимо. Снижение потерь мощности достижимо уменьшением площади многоугольника, построенного на точках – относительных мгновенных центрах скоростей.

3 Структурный аспект снижения потерь мощности в ППТК 3.1 Классификация передач с телами качения, основные определения и принцип работы ППТК Варианты систематизации и классификации ППТК приводились в [68, 106], наиболее полным является обзор, сделанный в [51]. Нами также были предложены варианты классификации передач исследуемых типов [144–146]. Анализ данных структурных схем показал необходимость дальнейшего их совершенствования. Структура передач с использованием тел качения с учетом проведенного в разделе 1 монографии анализа различных конструкций, с нашей точки зрения, может быть представлена в виде схемы (рисунок 3.1), демонстрирующей также положение в этой структуре выбранного объекта исследований.

Отличием от существующих схем является разделение передач на цилиндрические, плоские, конические не по виду поверхности, на которой выполнены беговые дорожки, а по виду поверхности, на которой располагаются траектории центров тел качения.

В качестве объекта исследований в данной работе выбраны планетарные ППТК, использующие принцип зацепления.

Терминология и принцип работы ППТК. В большинстве литературных источников по теории механизмов и машин и по деталям машин понятие планетарных механизмов и передач неразрывно связано с зубчатыми передачами. Между тем многие исследователи употребляют термин «планетарные передачи» применительно к передачам с телами качения на протяжении многих десятков лет [63, 66, 83–85, 96, 99, 107 и др.], несмотря на то, что в большинстве конструкций движение сателлитов (тел качения) с астрономической точки зрения планетарным можно назвать лишь условно. Однако этот термин также употребляется в справочной технической литературе [43, с. 325–327], встречается в различной научно-технической литературе, не вызывая возражений со стороны специалистов. К тому же в учебной литературе по деталям машин и теории механизмов определение «дифференциальный механизм» также связано с зубчатыми передачами (колесами), в то время как существуют кулачковые дифференциалы.

Таким образом, термин «планетарные» допустим применительно к передачам с промежуточными телами качения.

Рисунок 3.1 – Структура класса механических передач с телами качения Дополнительным доказательством служат кинематические зависимости, которые у зубчатых планетарных передач и у планетарных ППТК аналогичны. В связи с этим – определение: планетарным механизмом с промежуточными телами качения является механизм, состоящий из трех и более основных звеньев, непосредственно участвующих в зацеплении и контактирующих с промежуточным звеном (звеньями) – телами качения – с возможностью осуществления его (их) сложного движения.

Рассмотрим модель планетарного зацепления посредством тел качения. Эти зацепления (шаровинтовые, синусошариковые, эллипсные и др.) образованы рабочими поверхностями деталей (беговыми дорожками, канавками и др.), по которым перекатываются и скользят тела качения, и собственно телами качения (материальных точек). Представим их в виде пространственных периодических кривых. Данные периодические кривые назовем кривыми зацепления. Одно из звеньев (например, промежуточная обойма, сепаратор, вал с пазами и т. д.) может иметь незамкнутые беговые дорожки (в том числе прямолинейной формы). Если пространственные кривые располагаются на цилиндрических поверхностях, то назовем эти кривые цилиндрическими (цилиндрическая синусоида, циклоида и т. д.). R – радиус цилиндрической кривой (радиус окружности, образующей цилиндрическую поверхность, на которой располагаются центры тел качения). Аналогично можно рассматривать кривые на сферических, конических поверхностях и на плоскости.

Пространственные кривые налагаются друг на друга, и точки их пересечения (все или определенная группа) являются центрами тел качения. Периодическая пространственная кривая имеет среднюю (нулевую) линию, относительно которой эту кривую можно представить как периодическую функцию: zi = f ( Z i si ), где zi – длина участка кривой (или прямой), соединяющего среднюю линию и произвольную точку рассматриваемой периодической кривой, при условии, что указанный участок расположен в плоскости, перпендикулярной средней линии, расположен на поверхности, на которой находятся и рассматриваемые периодические кривые, и имеет минимальную длину из всех возможных таких участков (отрезков); Zi – число периодов кривой; si – соответствующее расстояние, отмеренное вдоль средней линии от некоторой точки О, принятой за начало отсчета. Координата s, отмеряемая вдоль средней линии, может измеряться как в единицах длины, так и в радианах, в пределах от 0 до 2 ( = s/R).

Если пространственную кривую преобразовать так, чтобы ее средняя линия обратилась в прямую, при этом поверхность, несущая пространственную кривую, преобразуется в плоскость, то получим развертку кривой на плоскость (плоскую развертку кривой).

Совместив плоские развертки двух кривых и выбрав общее начало отсчета О, получим модель шарикового зацепления (рисунок 3.2). При этом важно соблюдение условия – длины средних линий у обеих кривых должны быть равны (и численно равны 2R). Средние линии у двух кривых зацепления могут не совпадать.

Рисунок 3.2 – Модель ППТК Традиционно принято обозначение: 1 – первая периодическая кривая, как правило, связанная с ведущим звеном, 3 – другая периодическая кривая. Если точки пересечения кривых 1 и 3 зафиксировать в какой-то момент времени, т. е. сделать неподвижными относительно средней линии (вдоль оси Оs) и одновременно перемещать одну из кривых вдоль этой линии, другая кривая вынуждена будет перемещаться вдоль средней линии в обратную сторону. Точки пересечения кривых (тела качения) начнут совершать колебательное движение вдоль оси Оz, образуя участки кривой (или прямой) 2. Точки пересечения обозначены индексом 4.

Введем обозначения: А1 – амплитуда первой кривой (амплитуда кривой 1); А3 – амплитуда другой кривой, сопряженной с первой кривой (амплитуда кривой 3); Hi = 2Ai – размах соответствующей кривой; i – угол подъема i-й кривой в некоторой точке В, измеряемый как угол между касательной к кривой в этой точке и средней линией.

Принцип работы передач рассмотрим на примере взаимодействия двух кривых (однопериодной и многопериодной), средние линии которых совпадают. По данным кривым формируются беговые дорожки или рабочие поверхности двух основных звеньев передачи, контактирующих с телами качения. Точки пересечения этих кривых (одна из двух существующих групп точек, образованных пересечением разноименных ветвей двух кривых: восходящими и нисходящими) являются точками расположения центров тел качения. При движении одной кривой зацепления (например, кривой 1) на плоской развертке относительно другой кривой (кривой 3) вдоль оси абсцисс точки их пересечения (центры тел качения) в пределах группы также начинают согласованно перемещаться в одном направлении вдоль оси Os в переносном движении, сохраняя при этом постоянство расстояния между соседними точками пересечения относительно оси абсцисс. Одновременно точки пересечения перемещаются в относительном движении по участкам кривых (или прямых) 2, расположенных на третьем звене, которое в рассматриваемой кинематической схеме является ведомым. Если перенести картину зацепления с плоскости на цилиндрические поверхности, то получим передачу, изображенную на рисунке 1.15.

Сделав в рассматриваемой математической модели еще одно допущение о постоянстве углов подъема кривой на плоской развертке, соединим вершины кривых прямыми, получим вместо кривых совокупность наклонных отрезков прямых (кусочно-винтовая линия).

Также можно использовать в качестве кривых зацепления циклоиды, участки спиралей Архимеда и другие кривые.

ППТК с жесткими кинематическими связями можно классифицировать следующим образом [144]. По функциональному назначению ППТК могут образовывать механизмы редукторов, мультипликаторов, дифференциалов, механизмы преобразования вращательного движения в возвратно-поступательное движение [147]. Для планетарных механизмов с одной степенью свободы возможна реализация шести основных кинематических схем (таблица 3.1).

Тип передачи (цилиндрическая, плоская, сферическая, коническая и др.) определяется видом поверхности, на которой расположены траектории центров тел качения, образуемые в процессе работы передачи.

По конструктивному исполнению одной секции (ряда) ППТК можно разделить на три вида (таблица 3.2).

По виду зацепления передача может быть с внутренним (рисунок 3.3, а) и внешним (рисунок 3.3, б) зацеплением. Звено 2 по схеме на рисунке 3.3, б может быть установлено коаксиально звеньям, несущим кривые 1 и 3, а может иметь ось, не совпадающую с осями звеньев 1 и 3 (но параллельную им). Недостаток простейшей передачи с внешним зацеплением – одно тело качения, передающее нагрузку.

Таблица 3.1 – Кинематические схемы ППТК Номер кинематической Таблица 3.2 – Конструктивные исполнения секции ППТК Номер конструктивной а – с внутренним зацеплением; б – с внешним зацеплением Рисунок 3.3 – Модель передачи с различными видами зацепления Как уже было отмечено, все точки пересечения кривых 1 и делятся на две группы: точки пересечения разноименных ветвей кривых (восходящих одной кривой и нисходящих другой кривой и наоборот) и точки пересечения одноименных ветвей кривых. На рисунке 3.3, а для наглядности показаны точки обеих групп, но на практике используют только одну группу (как правило, с разноименными ветвями), т. к. в этом случае условия клинового взаимодействия более благоприятны. Основы теории зацепления ППТК отражены в [68, 106] и др.

По количеству секций (рядов) ППТК могут быть односекционные и многосекционные. По виду тел качения – шариковые и роликовые. По характеру соединений секций многосекционных передач – с параллельным и последовательным соединением. Параллельное соединение секций осуществляется для распределения крутящего момента по потокам и снижения удельных нагрузок. Последовательное соединение секций осуществляется для увеличения общего передаточного отношения механизма. В этом случае секции являются ступенями редуктора (мультипликатора) и по числу ступеней ППТК делятся на одноступенчатые и многоступенчатые.

По равенству амплитуд кривых зацепления – передачи с правильным зацеплением (А1 = А3), обеспечивающие постоянство передаточного отношения [148], и передачи с неправильным зацеплением (А1 А3).

3.2 Структурные резервы повышения КПД ППТК Одним из резервов снижения потерь мощности в ППТК является их структурная оптимизация. Тела качения в виде шариков в большинстве рассмотренных конструкций одновременно контактируют с рабочими поверхностями трех деталей. При этом в контакте тела качения сферической формы с тремя поверхностями неизбежно проскальзывание.

Оно же будет иметь место в передаче с роликовыми сателлитами.

«Чистое» качение (без скольжения) теоретически возможно при контакте ролика с одной поверхностью при условии, что мгновенные центры скоростей расположены на линии контакта, а также с двумя поверхностями (роликовый подшипник качения) при условии наложения определенных связей на кинематические параметры относительного движения этих поверхностей. «Чистое» качение недостижимо при контакте тел качения с тремя и более поверхностями при условии, что эти поверхности (все или несколько) не являются фрагментами одной поверхности.

Решить задачу снижения потерь мощности можно структурным преобразованием механизма, заменив непосредственный контакт тел качения с основными деталями передачи на контакт посредством кинематических соединений. В связи с этим нами разработаны конструкции передач с составными роликовыми сателлитами, контактирующими с кулачковыми поверхностями и пазами посредством подшипников качения. Рассмотрим несколько конструкций таких передач.

Конструкция ППТК с осевым перемещением тел качения.

Цилиндрический тип передач имеет преимущества по небольшим радиальным габаритам и возможность компенсации износа кулачков.

Исследуемая ППТК цилиндрического типа (рисунок 3.4) состоит из входного вала 1, закрепленных на нем цилиндрических торцовых кулачков 2 и 3, образующих замкнутую беговую дорожку 4, цилиндрического наружного торцового кулачка 5 с периодическим профилем 6, ведомого вала 7 с пазами 8. Пазы равномерно расположены на внутренней цилиндрической поверхности вала 7 параллельно оси передачи 9.

Рисунок 3.4 – Схема ППТК цилиндрического типа с качением во всех кинематических парах (пат. РБ 6376 U) Телами качения являются ролики 10 со сферическими участками посередине и двумя цилиндрическими участками 12 и 13 на концах. На цилиндрических участках 12 и 13 каждого из роликов 10 расположены подшипники качения 14 и 15 соответственно. Цилиндрический наружный торцовый кулачок 5 жестко закреплен в корпусе 16. Ведущий вал установлен в корпусе 16 и выходном валу 7 с помощью подшипников и 18, а ведомый вал 7 размещен в корпусе 16 на подшипниках 19 и 20.

При вращении входного вала 1 ролики 10 перемещаются в косом пазу, образованном кулачками 2 и 3, контактируют при этом с профильной поверхностью наружного кулачка 5 и совершают осевые перемещения в относительном движении в пазах 8 вала с пазами 7. При этом переносное движение тел качения вынуждает ведомый вал вращаться с редукцией.

На рисунке 3.5 показан сборочный узел рассматриваемого редуктора и его основные детали.

а – редуцирующий узел (без наружного кулачка); б – основные детали передачи Рисунок 3.5 – Роликовый редуктор Передаточное число редуктора определится так же, как и для традиционной зубчатой планетарной передачи, работающей по схеме 2К-Н: u = 1 + Z 3, где Z3 – число периодов (выступов) профильной поверхности наружного кулачка 5.

Конструкция ППТК с радиальным перемещением тел качения.

Зачастую по условиям компоновки необходимо ограничить размеры передачи в осевом направлении. При этом целесообразно использовать ППТК плоского типа с радиальным перемещением тел качения в процессе работы. Одна из конструкций такой передачи приведена на рисунке 3.6, а.

а – конструктивная схема редуктора; б – 3D-модель редуктора Рисунок 3.6 – Редуктор плоского типа (пат. РБ 6328) Редуктор состоит из корпуса 1, ведущего вала 2 и эксцентрика 3.

Эксцентрик 3 устанавливается на ведущем валу 2 посредством шпонки и фиксируется от осевого перемещения гайкой 5. В конструкцию редуктора с промежуточными телами качения также входят водило 6 и диск 7 с замкнутой периодической канавкой, жестко соединенный с корпусом 1. Водило 6 размещено относительно корпуса 1 и ведущего вала с помощью подшипников качения 8 и 9 соответственно. Диск 7 с замкнутой периодической канавкой имеет на своей торцовой поверхности упомянутую замкнутую периодическую канавку 10, а водило 6 имеет на своей торцовой поверхности радиальные пазы 11. Тела качения 12 в виде роликов сконструированы ступенчатыми и на своих концах несут подшипники качения 13 и 14. Эксцентрик 3 имеет основание 15 в виде диска и рабочую часть 16 с центрирующими буртами 17 и 18.

В основании 15 эксцентрика 3, кроме отверстия со шпоночным пазом для установки на ведущий вал 2, могут быть выполнены другие отверстия для уравновешивания редуктора относительно оси вращения.

Могут также применяться другие известные методы балансировки эксцентрика. Необходимо также уравновешивать систему тел качения.

Система тел качения в передаче с осевыми перемещениями роликов в процессе работы ППТК остается уравновешенной.

На торцовой поверхности водила 6 расположены радиальные пазы 11.

Эти пазы несквозные и имеют прямоугольный профиль для радиального перемещения подшипников качения 13 в процессе работы редуктора.

Диск 7 с замкнутой периодической канавкой изготовлен с отверстиями для крепления к электродвигателю и имеет на своей торцовой поверхности упомянутую замкнутую периодическую канавку 10, изготовленную цилиндрической фрезой для размещения подшипников качения 14.

Центровка тел качения 12 в виде роликов может осуществляться также с помощью центрирующих буртов, выполненных на самом ролике.

Конструктивно, как уже отмечалось, редуктор предназначен для закрепления непосредственно на двигателе (мотор-редуктор). При этом возможно изготовление и последовательное соединение нескольких секций редукторов с ППТК с целью повышения общего передаточного отношения и крутящего момента на ведомом валу.

Аналогичные конструкции редукторов, включающие тела качения с установленными на их концах подшипниками качения, могут применяться и в ППТК других типов (конических, сферических).

3.3 Структурный анализ ППТК Преобразуем формулу профессора А. П. Малышева [149] для определения подвижности пространственной, сколь угодно сложной механической системы применительно к ППТК:

где W1 – число степеней свободы системы без учета возможной самоустановки тел качения;

W – общее число степеней свободы механизма;

К – число степеней свободы тела качения, обеспечивающее ему самоустановку и не влияющее на перемещение его центра масс в пространстве (К = 3 – для шариков, К = 1 – для роликов);

pi – число кинематических пар i-го класса (число кинематических пар с числом наложенных связей, равным i).

В общем случае формула (3.1) также может быть записана как где N – число основных звеньев передачи (без учета тел качения);

D – число остановленных звеньев;

m – число звеньев, с которыми контактирует тело качения;

Ij – номер класса j-й кинематической пары, образующейся в контакте тела качения с основными деталями передачи.

Исключая известные пары «шар–плоскость», «цилиндр–плоскость»

и др., рассмотрим наиболее распространенные кинематические пары, образуемые телами качения и основными звеньями ППТК с определением их класса (таблица 3.3).

Рассмотрим несколько типов ППТК, сходных по структуре. Число основных звеньев передачи, как правило, равно трем (N = 3), одно звено остановлено (D = 1), каждое тело качения контактирует с рабочими поверхностями трех (m = 3) основных звеньев. В этом случае формула (3.2) упрощается:

В синусошариковой передаче (СШП), где вал с пазами является промежуточным звеном со сквозными прорезями, а наружный кулачок заменяется втулкой с периодической беговой дорожкой на внутренней поверхности (рисунок 3.7, а), тела качения 4 и основные звенья передачи 1, 2 и 3 образуют две пары второго класса и одну пару первого класса, поэтому W1 = 2(1 – R), что свидетельствует о том, что даже с одним телом качения система является переопределенной и степень ее подвижности равна нулю. На практике данный механизм (и все, рассматриваемые ниже) имеет степень подвижности, равную единице (при D = 1).

Таблица 3.3 – Кинематические пары, образуемые телами качения и основными звеньями ППТК Название Рисунок Условное обозначение степеней свободы

II I IV IV II

Класс пары а – вал с пазами – промежуточное звено; б – вал с пазами – наружное звено Рисунок 3.7 – Кинематические схемы шариковых передач Однако теоретически определенные нулевые и отрицательные значения степени подвижности свидетельствуют о необходимости высокой точности изготовления всех деталей, участвующих в зацеплении, и предполагают так называемую «принудительную» сборку, причем требования к изготовлению и сборке возрастают пропорционально отрицательным значениям W1.

Для ППТК с промежуточным внутренним кулачком и валом с пазами в качестве ведомого звена (рисунок 3.7, б) переопределенность возрастает из-за наличия трех пар второго класса, образуемых шариками:

W1 = 2 – 3R. Данную переопределенность можно снизить, заменив линейный контакт наружного кулачка с шариком на точечный, как у синусошариковых передач (контакт шарика со стенками пазов), однако это снизит, в свою очередь, нагрузочную способность передачи.

Для роликовых конструкций (рисунок 3.8) характерно наличие двух кинематических пар четвертого класса и одной – второго (или первого) класса. В итоге W1 = 2 – 5R (или W1 = 2 – 4R). Ролики при этом выполняются ступенчатыми. Центральная их часть может быть цилиндрической либо сферической (см. рисунок 3.8). Сферический участок ролика позволяет повысить длину линии контакта и не влияет на степень подвижности механизма при сравнении его с цилиндрическим участком (без буртов), т. к. в обоих случаях образуются пары второго класса.

Рисунок 3.8 – Кинематическая схема роликовой планетарной передачи Если ввести между телами качения и двумя звеньями передачи промежуточные элементы (подшипники), то получим кинематические схемы с осевым перемещением тел качения (рисунок 3.9, а) и с радиальным их перемещением (рисунок 3.9, б).

Рисунок 3.9 – Кинематические схемы ППТК (роликовых) с контактом посредством подшипников В предлагаемых конструкциях (см. рисунок 3.9) появляется промежуточный элемент 5. При этом число подвижных звеньев увеличивается на S = 2R, на это же число увеличивается число пар пятого класса (вращательных пар, образованных промежуточными элементами и телами качения). В этом случае формула (3.2) для роликовых конструкций после преобразований приобретает следующий вид:

Анализ формулы (3.4) и ее сравнение с формулой (3.2) показывает, что при использовании предлагаемых конструкций роликовых передач с промежуточными элементами число степеней подвижности всего механизма увеличивается на 2. При контакте тела качения 4 с наружным кулачком можно использовать кинематические пары «шар–беговая дорожка» и «цилиндр–беговая дорожка» (см. рисунок 3.9, б). Первый вариант предпочтительнее, т. к. позволяет сохранить две степени свободы механизма при обеспечении линейного контакта и центрирования роликов. Число степеней свободы механизмов уменьшается в линейной зависимости от числа тел качения в передаче. Для определения степени подвижности механизма формулы (3.1)–(3.4) целесообразно использовать с числовым значением R, равным единице, т. к. большие значения числа тел качения предполагают наличие дублирующих связей, что не влияет (теоретически) на общую подвижность передачи.

В случае с плоскими роликовыми передачами (траектории движения центров тел качения в процессе работы лежат на плоскости) пара «цилиндр–беговая дорожка» может исполняться в двух равнозначных вариантах: в виде контакта ролика с выфрезерованной беговой дорожкой на цилиндрической поверхности внутреннего кулачка либо при контакте цилиндрического эксцентрика и ролика с буртами (см. рисунок 3.9, б).

Плоские передачи компактны в осевом направлении и удачно компонуются при разработке многоступенчатых, последовательно соединенных редуцирующих узлов для мотор-редукторов. При этом W1 = 2 – 5R или W1 = 2 – 3R при центральном сферическом участке ролика.

3.4 Результаты экспериментальных исследований различных конструкций редукторов Стенд для определения КПД редукторов. Для определения КПД разработанных на базе ППТК соосных редукторов был создан лабораторный испытательный комплекс, включающий испытательный стенд, первичные преобразователи, персональную ЭВМ с регистраторами сигналов от преобразователей и программным обеспечением для обработки, визуализации и хранения информации.

Схема стенда для испытаний механических передач приведена на рисунке 3.10. Стенд состоит из асинхронного электродвигателя 5 с номинальной мощностью P = 4 кВт и частотой вращения n = 2880 мин-1, нагружателя (машины постоянного тока с параметрами Р = 3,3 кВт, n = 1450 мин-1) 1, испытываемого редуктора 3, датчиков 2 и 4 крутящего момента и частоты вращения. Для регулировки скорости вращения вала двигателя в конструкции стенда предусмотрен частотный преобразователь 6.

Крутящий момент на выходном валу редуктора создается благодаря работе нагружателя в режиме динамического торможения. Увеличение нагрузки на валу машины постоянного тока достигается ступенчатым увеличением сопротивления в якорной цепи. В качестве измерительных устройств использовались изготовленные ООО «ТИЛКОМ» датчики крутящего момента и частоты вращения М20С-50 (номинальный крутящий момент 50 Н·м) и М20С-500 (номинальный крутящий момент 500 Н·м), кинематически соединенные с входным и выходным валами редуктора соответственно.

Рисунок 3.10 – Схема испытательного стенда Каждый датчик (класс точности – 0,2) состоит из вращающейся части – ротора, неподвижной части – статора и декодера. Ротор установлен в статоре на шарикоподшипниках и включает в себя тензоэлемент торсионного типа с наклеенными на нем тензорезисторами, передатчик, катушку воздушного трансформатора питания и передачи данных, фотоэлектрический приёмник датчика частоты вращения и фланцы для установки датчика на объекте. В конструкции стенда статор имеет корпус, внутри которого смонтированы катушки трансформатора питания и приёма данных. Внутри корпуса размещены также электронные блоки приемника сигнала, генератор питания и инфракрасный излучатель датчика частоты вращения. Статор фиксируется таким образом, чтобы предотвратить вращение во время работы.

В процессе работы ротор датчика подвергается нагружению крутящим моментом, в результате чего происходит деформирование тензоэлемента и возникает разбалансировка тензометрической мостовой схемы (тензомоста). Тензомост своим выходом соединен с передатчиком, который усиливает сигнал и преобразует его в цифровой код. Цифровой кодированный сигнал содержит информацию о частоте вращения ротора, идентификационный номер датчика, температуру ротора. Через воздушный трансформатор цифровой сигнал поступает на приёмник статора, где он усиливается и поступает на вход декодера, где происходит его декодирование и преобразование в цифровые сигналы.

При вращении ротора инфракрасный приёмник ротора периодически попадает в зону излучения источника, установленного на статоре, в результате чего на выходе инфракрасного приемника генерируется один импульс за один оборот ротора. Измерение частоты вращения производится методом определения длительности периода вращения, а также путем заполнения периода вращения высокочастотными импульсами (не менее 4000 импульсов в секунду) и последующим их подсчетом. Благодаря высокой частоте заполнения погрешность измерения частоты вращения не превышает 0,1 %.

К конструктивным мерам, обеспечивающим точность измерения крутящего момента и надежность датчика, относятся: отсутствие скользящих электрических и механических контактов; высокая линейность, временная и температурная стабильность схем цифрового преобразования и декодирования сигналов; компенсация температурного ухода нуля и рабочего коэффициента передачи тензометрической мостовой схемы, гальваническая развязка корпуса статора и корпуса декодера. Допуски на размеры посадочных поверхностей присоединительных фланцев ротора установлены в соответствии с шестым квалитетом (торцовые и радиальные биения присоединительных поверхностей – не хуже шестой степени точности). Соединение датчиков с валами испытываемых редукторов и с валами приводного двигателя и нагружателя осуществляется посредством дисковых муфт, предназначенных также для компенсации осевых, радиальных, угловых смещений и температурных деформаций, возникающих при монтаже и в ходе эксплуатации датчиков крутящего момента. Муфты имеют значительную осевую и угловую податливости при высокой крутильной жесткости.

Для отображения измеряемых датчиком величин крутящего момента и частоты вращения используется ПЭВМ с установленным программным обеспечением «Датчик крутящего момента», которое предназначено для автоматизации измерения крутящего момента и частоты вращения на валах, визуализации полученных данных в режиме реального времени и их хранения.

Проведение испытаний и их результаты. Испытаниям подвергались два опытных образца малогабаритных редукторов: с шариковыми и с составными роликовыми сателлитами. Передаточное число обоих редукторов равно 9, максимальный диаметр корпуса – 100 мм у шарикового редуктора, 120 мм – у роликового редуктора. В ходе проводимых экспериментов определялся КПД редукторов при разных частотах вращения ведущего вала и различной степени нагружения ведомого вала. При этом для шарикового редуктора было проведено две серии испытаний с применением сепаратора с прямоугольным и дугообразным профилями пазов при разных режимах работы передачи.

Для всех типов редукторов испытания проводились в два этапа – без смазки и со смазочным материалом. Результаты испытаний с использованием смазочного материала, содержащего графит и масло ТАД17-и, представлены на рисунке 3.11.

а – с шариковыми сателлитами при прямоугольном профиле пазов ведомого вала; б – с составными роликовыми сателлитами Рисунок 3.11 – Зависимость КПД редуктора от нагрузки на выходном валу Как показали испытания, при отсутствии смазочного материала КПД шарикового редуктора снижается на 15–20 %, роликового – на 5–10 %.

При использовании дугообразных пазов КПД шарикового редуктора снижается на 5–10 % по сравнению с результатами, приведенными на рисунке 3.11, а.

Испытания проводились при кратковременном режиме работы (в течение 1–1,5 ч), что объясняется спецификой практического использования передач данного типа.

На основании проведенных экспериментов установлено, что КПД ППТК с промежуточными телами качения соответствует КПД червячных передач и существенно зависит от смазочного материала. Конструкция передач с составными роликовыми сателлитами, в отличие от шариковых передач, обеспечивает получение более высоких значений КПД, однако при этом возрастают радиальные габариты редуктора. Доказано, что прямоугольный профиль пазов, в отличие от дугообразного, позволяет достичь в шариковых передачах более высокого КПД. Это объясняется снижением рассеяния окружной силы на ведомом валу. Однако применение прямоугольного профиля пазов заменяет линейный контакт тела качения с выходным валом на точечный, что приводит к возрастанию контактных напряжений. Поэтому его целесообразно использовать для низкоскоростных механизмов или механизмов с ручным приводом.

3.5 Разработка конструкции планетарной зубчато-шариковой передачи Одним из недостатков разрабатываемых в настоящее время ППТК является относительно невысокий их КПД, сопоставимый с КПД червячных передач. При этом одна секция ППТК с осевым перемещением тел качения имеет низкие кинематические возможности, т. к. в одной ступени можно реализовать небольшие значения передаточных отношений (рациональный диапазон: от 0,25 до 9) при условии ограниченности диаметральных размеров (до 100 мм).

Известный аналог – планетарная зубчатая передача, сконструированная по схеме 2К-Н, имеет приблизительно такой же рациональный диапазон передаточных чисел. Увеличение степени редуцирования достигается применением более сложных конструкций.

Например, известна планетарная передача с двумя внутренними зубчатыми зацеплениями, конструкция которой включает водило, соединенное с входным валом, двухвенцовый сателлит и два центральных колеса. Одно из центральных колес является неподвижным и соединено с корпусом, а второе соединено с выходным валом [150, с. 216, схема № 4].

Однако при конструктивном увеличении значений передаточного отношения КПД данной передачи резко снижается, что наглядно демонстрируется в [150, с. 216, таблица 10.16]. Так, при передаточном отношении около 100 КПД рассматриваемого механизма составит 0,64.

Нами разработана конструкция передачи, представляющая собой совмещение в одной конструкции ППТК и планетарной передачи с двухвенцовым сателлитом и традиционным зубчатым зацеплением. При этом возможно сохранение преимуществ обеих передач, а также применение положительных свойств, которые в данных передачах, используемых независимо, преимуществами не являлись.

В предлагаемой планетарной зубчато-шариковой передаче (ПЗШП) с двумя внутренними зубчатыми зацеплениями в двухвенцовый сателлит встроена планетарная шариковая передача, причем одно из трех основных звеньев планетарной шариковой передачи (внутренний кулачок, наружный кулачок и вал с пазами) соединено с водилом, другое основное звено соединено с зубчатым венцом двухвенцового сателлита, который зацепляется с неподвижным центральным зубчатым колесом, а третье основное звено соединено с зубчатым венцом двухвенцового сателлита, который зацепляется с центральным зубчатым колесом, соединенным с выходным валом. При этом зубчатые венцы двухвенцового сателлита получают возможность относительного вращения.

Предлагаемая передача позволит использовать такое преимущество передачи-прототипа (планетарной зубчатой передачи с двухвенцовым сателлитом), как большие значения передаточных отношений при сохранении высокого КПД. У ПЗШП также сохраняется одно из основных преимуществ планетарной шариковой передачи цилиндрического типа – малые габариты в радиальном направлении.

Конструкция ПЗШП (рисунок 3.12) включает входной вал 1, связанный с водилом 2, на котором закреплен внутренний кулачок 3. В эллипсообразном пазу 10 внутреннего кулачка 3 располагаются шарики 4.

Наружный кулачок 5 установлен концентрично внутреннему кулачку 3 и может вращаться относительно него. С наружным кулачком 5 жестко соединен зубчатый венец 6, который зацепляется с центральным зубчатым колесом 7 посредством внутреннего зацепления. Центральное зубчатое колесо 7 закреплено в корпусе 8. Концентрично внутреннему кулачку 3 и наружному кулачку 5 установлен вал с пазами 9, который может вращаться относительно внутреннего кулачка 3 и наружного кулачка 5. Шарики 4 контактируют с эллипсообразым пазом внутреннего кулачка 3, с профильными торцовыми поверхностями наружного кулачка 5 и с пазами 12 вала с пазами 9, с которым соединен зубчатый венец 13, зацепляемый с центральным зубчатым колесом посредством внутреннего зацепления. Центральное зубчатое колесо соединено с выходным валом 15 передачи.

Рисунок 3.12 – Схема ПЗШП Внутренний кулачок 3, наружный кулачок 5, вал с пазами 9, шарики 4 и венцы 6 и 13 образуют двухвенцовый сателлит. При вращении входного вала 1 вращается водило 2 и жестко соединенный с ним внутренний кулачок 3. Также начинает зацепляться зубчатый венец 6 с неподвижным центральным зубчатым колесом 7, вынуждая наружный кулачок 5 поворачиваться относительно внутреннего кулачка 3. При этом тела качения 4 начинают перемещаться по эллипсообразному пазу внутреннего кулачка 3 вдоль рабочих торцовых поверхностей наружного кулачка 5 и вдоль пазов 12 вала с пазами 9. При этом вал с пазами 9 начинает поворачиваться относительно водила 2, внутреннего кулачка 3, наружного кулачка 5, вынуждает поворачиваться соединенный с валом с пазами 9 зубчатый венец 13, который зацепляется с центральным зубчатым колесом 14, вынуждая его вращаться, и, соответственно, вращается связанный с этим центральным зубчатым колесом 14 выходной вал 15. При этом зубчатые венцы 6 и 13 могут вращаться с разной угловой скоростью относительно водила 2.

Передаточное отношение известной планетарной зубчатой передачи-прототипа определяется по известной формуле [150, с. 216, схема № 4]:

где Z7 – число зубьев неподвижного центрального зубчатого колеса 7;

Z6 – число зубьев зубчатого венца 6;

Z13 – число зубьев зубчатого венца 13;

Z14 – число зубьев центрального зубчатого колеса 14.

В предлагаемой зубчато-шариковой передаче передаточное число будет определяться по формуле где uш – передаточное отношение планетарной шариковой передачи, встраиваемой в двухвенцовый сателлит ПЗШП.

Передаточное число планетарной шариковой передачи uш определяется в зависимости от применяемой кинематической схемы. На рисунке 3.12 приведена кинематическая схема, в которой внутренний кулачок 3 остановлен в относительном движении (относительно водила 2), наружный кулачок 5 является входным звеном, а вал с пазами 9 – выходным звеном относительно водила 2. При этом [144] uш = Z 5 (Z 3 + Z 5 ), где Z3 – число периодов беговой дорожки внутреннего кулачка 3; Z5 – число периодов (выступов) профильной торцовой поверхности 11 наружного кулачка 5. Если рассматривать развертку пространственного эллипсообразного паза 10 на плоскость, видно, что эллипс вырождается в однопериодную синусоиду, значит, Z3 = 1.

Необходимо отметить, что согласно теоретическим исследованиям [144], КПД планетарной шариковой передачи при использовании данной схемы выше, чем у традиционно используемой схемы с остановленным наружным кулачком и ведущим внутренним кулачком. Однако использование данной схемы было нерациональным из-за небольших значений передаточных отношений, близких к единице.

Для рассматриваемой на рисунке 3.12 схемы при Z7 = 48, Z6 = 35, Z13 = 19, Z14 = 32 и при отсутствии встроенной в двухвенцовый сателлит планетарной шариковой передачи передаточное отношение u составило бы 5,385. В предлагаемой ПЗШП с вышеуказанными параметрами и с параметрами Z3 = 1, Z5 = 4 оно равно –56 согласно формуле (3.5). При этом КПД в зубчатых зацеплениях больше 0,98, т. к. передаточное отношение невелико. КПД планетарной шариковой передачи также составит 0,9. Общий КПД предлагаемой планетарной зубчато-шариковой передачи будет равен произведению КПД двух передач, зубчатой и шариковой, и будет равен 0,88. При попытке реализовать такое же передаточное отношение, равное 56 в передаче-прототипе, КПД составил бы 0,78, что ниже теоретического КПД предлагаемой передачи.

Если затормозить в относительном движении внутренний кулачок 3, жестко соединив его с водилом 2, вал с пазами 9 – с зубчатым венцом 6, а наружный кулачок 5 – с зубчатым венцом 13 (установив кулачок 5 не с левой стороны, как на рисунке 3.12, а с правой), то передаточное отношение планетарной шариковой передачи, встроенной в двухвенцовый сателлит, определится по формуле [144] uш = (Z3 + Z5 ) Z5. В этом случае, например, при Z7 = 29, Z6 = 19, Z13 = 34, Z14 = 44 общее передаточное отношение u также определится по формуле (3.5). При отсутствии встроенной в двухвенцовый сателлит планетарной шариковой передачи передаточное отношение составило бы –5,573. В предлагаемой передаче с теми же параметрами и с параметрами Z3 = 1, Z5 = 4 оно равно 58,326. При этом также происходит выигрыш в КПД по сравнению с передачей-прототипом.

Всего возможно реализовать 6 различных кинематических схем, поочередно соединяя с водилом 2, т. е. тормозя в относительном движении, одно из трех основных звеньев планетарной шариковой передачи в планетарной зубчато-шариковой передаче (внутренний кулачок 3, наружный кулачок 5 или вал с пазами 9), другое основное звено сделать при этом ведущим и соединить с зубчатым венцом 6, а третье основное звено сделать ведомым и соединить с зубчатым венцом 13. Передаточное отношение ПЗШП будет определяться по формуле (3.5), а передаточное отношение uш – по формулам в таблице 4.1 монографии.

4 Геометрический и кинематический анализ ППТК Целями кинематического анализа механизмов и передач с телами качения являются определение кинематических параметров их основных звеньев (углов подъема, функций положения, скоростей и ускорений), установление взаимозависимостей между этими параметрами, используемых далее для определения потерь мощности.

4.1 Развитие основ теории зацепления с промежуточными телами качения 4.1.1 Общий случай взаимодействия периодических кривых. Вопрос взаимодействия нескольких кривых (в частности, однопериодной и многопериодной) – один из основных в теории ППТК. В [69] доказаны существование двух групп точек пересечения двух цилиндрических синусоид и постоянство расстояния между ними (в пределах группы) при движении одной синусоиды относительно другой вдоль оси абсцисс (при рассмотрении плоских разверток) или, что равнозначно, при повороте цилиндрической поверхности, несущей одну из кривых относительно другой цилиндрической поверхности, совпадающей с первой и несущей другую цилиндрическую кривую. В [107] приводятся доказательства для кусочно-винтовых кривых, т. е. для кривых, являющихся сочетанием восходящих и нисходящих отрезков прямых (на плоской развертке). В [69, 107] авторами делается умозрительное заключение о возможности переноса данных свойств на другие виды кривых; в общем же случае задача не была решена.

Рассмотрим класс функций f(s), определенных и непрерывных на интервале [0; 2R], R > 0, удовлетворяющий условию симметрии относительно точки, имеющей абсциссу, равную R (относительно середины указанного интервала), и условию равенства значений функций в начале и конце указанного интервала:

Данные функции можно рассматривать как периодические (однопериодные) с периодом, равным 2R. Из условий (4.1) и (4.2) следует, что s [0, 2R ] :

Рассмотрим также семейство многопериодных периодических функций вида f(Zs - 2Ri), где Z – число периодов функции, размещенной на интервале [0; 2R], (Z N ), i = 0, Z 1. Период такой функции будет равен 2R/Z.

Нам необходимо определить координаты точек пересечения графиков функций z = f(s) и z = f(Zs – 2Ri):

Для монотонных функций справедливо следующее утверждение:

значения функций равны, если равны значения их аргументов.

Определим число точек пересечения этой группы.

Таким образом, число точек пересечения равно Z – 1.

Выражение (4.3) определяет возможные решения функционального уравнения в случае строго монотонной функции f(s). Предположим, что на интервале [0; R] функция z = f(s) имеет одну точку экстремума (максимум) и s [0, R ] f ( s ) = f ( (s )), где (s) – некоторая непрерывная функция, определенная на отрезке [0; R]. Практический интерес представляют функции, обладающие на этом отрезке свойством симметрии f (s ) = f (R s ) – ветвь кривой на данном отрезке симметрична относительно прямой s = R/2, например, функция z = sin(s/R) на отрезке [0; R]. Решение уравнения (4.3) в данном случае что при указанных выше условиях равнозначно уравнению Определим число точек данной группы, используя выражение (4.4) и пределы изменения параметра s:

Из уравнения (4.5) очевидно, что число точек данной группы пересечения равно Z + 1.

Изучим поведение семейств решений в случае параллельного переноса кривой z = f(s) вправо вдоль оси Os. Такому преобразованию соответствует вид функции z = f(s – b), b > 0.

Решения уравнения f (s b ) = f (Zs 2Ri ) имеют вид:

Таким образом, можно отметить следующие свойства полученных семейств решений. Для каждой из серий расстояние между соседними точками по горизонтальной оси является постоянной величиной, равной для первой серии 2R/(Z – 1), для второй – 2R/(Z + 1). При движении кривой z = f(s) вдоль оси Os в положительном направлении точки первого семейства движутся в противоположном направлении с коэффициентом замедления, равным по абсолютной величине 1/(Z – 1), точки второго семейства движутся в попутном направлении с коэффициентом замедления 1/(Z + 1). Доказано [68, 107], что кинематика ППТК рассматриваемого типа подчиняется формуле Виллиса. В таблице 4.1 приведены формулы для определения передаточных отношений ППТК в зависимости от выбранной кинематической схемы.

Таблица 4.1 – Передаточные отношения планетарных передач разных типов звено звено звено передачи (Z– число зубьев) и отношения на рабочих участках беговых В таблице 4.1 также приведены формулы для определения передаточных отношений эллипсных шариковых передач (ЭШП).

Передача имеет неправильное зацепление и является, по сути, механизмом прерывистого движения. Конструкция передачи была предложена автором данной работы в 2002 г. [151, 152].

ЭШП (рисунок 4.1) включает ведущий барабан, состоящий из вала-основания 1, цилиндрических торцовых кулачков 2 и 3, закрепленных на валу основании 1 с помощью винтов 4 и соответственно. В конструкцию передачи также входят [153]:

ведомый барабан 6, неподвижный цилиндрический торцовый кулачок 7, тела качения 8, корпус 9, шпонка 10 и крышка 11.

Цилиндрический торцовый кулачок 7 фиксируется в корпусе посредством шпонки 10. На ведомом барабане 6 изготовлены два продольных паза 12 и 13, направленные вдоль оси передачи.

Цилиндрические торцовые кулачки 2 и 3 ведущего барабана имеют рабочие поверхности 14 и 15, образованные скосами цилиндрической поверхности под углом наклона 1.

Рисунок 4.1 – Схема эллипсной шариковой передачи Неподвижный цилиндрический торцовый кулачок 7 имеет рабочие поверхности 16, образованные скосом цилиндрической поверхности под углом наклона 3. Цилиндрические торцовые кулачки 2 и 3 ведущего барабана установлены на валу-основании 1 так, что рабочие поверхности этих кулачков 14 и 15 параллельны и обращены друг к другу. Таким образом, рабочие поверхности 14 и 15 цилиндрических торцовых кулачков 2 и 3 соответственно и цилиндрическая поверхность вала основания 1 образуют беговую дорожку для тел качения (шариков).

Крышка 11 крепится к корпусу 9 с помощью винтов 17 и предотвращает осевые перемещения деталей передачи.

Передаточное отношение u передачи с телами качения зависит от значения углов наклона 1 и 3 и определяется по формуле из таблицы 4.1: u = 1 + tg 1 tg 3 = 1 + A3 A1. Также через тангенсы углов наклона можно выразить передаточные отношения для всех кинематических схем. ЭШП работает следующим образом. При вращении ведущего барабана тела качения 8 перемещаются по беговой дорожке, образованной рабочими поверхностями 14 и 15 цилиндрических торцовых кулачков 2 и 3 соответственно и цилиндрической поверхности вала основания 1, а также по рабочим поверхностям 16 неподвижного цилиндрического торцового кулачка 7. При этом тела качения 8 также перемещаются вдоль пазов 12 и 13 ведомого барабана 6, вынуждая его совершать вращательное движение с редукцией. Неподвижный кулачок имеет рабочие поверхности 16, где осуществляется редукция, и срезанные вершины, где передачи движения не происходит. Данная конструкция была применена для создания баллонных ключей для грузовых автомобилей [154–157]. Преимуществами ЭШП являются простота изготовления и возможность реализации теоретически любого значения передаточного отношения (в том числе и дробного) на рабочих участках беговых дорожек [158–161].

4.1.2 Основные геометрические параметры ППТК и их кинематическая взаимосвязь. Важным в теории ППТК является вопрос исследования изменения углов подъема кривых, которые определяют КПД передачи.

Угол подъема кривой на плоской развертке и для цилиндрической кривой определяется по формуле Угол подъема плоской кривой определяется как угол между касательной к этой кривой в некоторой ее точке и касательной к окружности, проходящей через эту точку (центр окружности – начало координат О), с известными уравнениями (x0(s) = Rcos(s/R) и y0(t) = Rsin(s/R)):

В общем случае угол подъема кривой будем измерять как угол между касательной к данной кривой в некоторой ее точке и касательной в горизонтальной плоскости к соответствующей поверхности в рассматриваемой точке. Для измерения данного угла используем формулу где a – вектор касательной к пространственной кривой;

– вектор касательной к несущей поверхности в горизонтальной плоскости.

При переходе к плоским кривым координату z можно не рассматривать. Подставив в формулу (4.9) значения координат, полученных для общего случая расположения кривых на конической поверхности с углом наклона образующей к оси Oz, получим Окончательно, согласно выражению (4.6):

На рисунке 4.2 показан фрагмент графика изменения угла подъема синусоиды (z = sin(Zs/R)) для ее цилиндрического и плоского типов для передач с параметрами A = 10 мм, R = 20 мм, Z = 2 (согласно уравнению (4.8)).

Из рисунка 4.2 видно, что передача цилиндрического типа будет более динамически уравновешенной вследствие изменения угла подъема по гармоническому закону, однако в плоской передаче возможно достижение больших значений углов подъема при тех же геометрических параметрах, что способствует увеличению нагрузочной способности.

Рисунок 4.2 – Изменение абсолютных значений угла подъема цилиндрической (1) и плоской (2) синусоид от параметра s Зависимость углов 1 и 3 от угла 1. Выразим изменение углов подъема кривых (на примере синусоид) через изменение угла поворота входного звена. Отметим еще раз, что тангенс угла наклона кривой z = f(s) есть производная dz/ds. Осуществив переход от углового параметра к линейному и обратно, получим где i – номер звена (1 или 3);

i – полярный угол, который отсчитывается от нулевого положения до точки пересечения кривых.

Объясним верхнюю индексацию параметров i и si на примере передач, схемы которых изображены на рисунках 3.7 и 3.8, работающих по первой кинематической схеме. Предположим, что при начальном положении угол поворота внутреннего кулачка 1 = 0. При повороте внутреннего кулачка на некоторый угол 1 тело качения вместе с ведомым валом повернется на угол 2 в том же направлении. При этом угол подъема 1 необходимо определить в точке, повернутой относительно начального положения на угол 1 = 2 – 1. Из теории сложного движения тела (оси слагаемых движений параллельны) следует арифметическое равенство r = a e, где a – угол поворота тела в абсолютном движении относительно стойки (угол поворота ведомого звена); e – угол поворота тела в переносном движении (угол поворота рассматриваемого звена).

Таким образом, в общем случае угол подъема синусоидальной кривой любого звена можно представить как функцию от угла поворота ведущего звена:

где r – угол, характеризующий относительное движение тела качения (перемещение относительно рассматриваемого звена).

Возвращаясь к первой кинематической схеме и формуле (4.9):

Знак минус в выражении (4.13) отражает многопериодную синусоиду зеркально относительно оси Os, т. е. сдвигает кривую на полупериод относительно этой оси. Рассмотрим на рисунке 4.3, как изменяется значение углов подъема 1, 3, а также угла клина = 1 + 3 для одной движущейся точки пересечения кривых, при изменении угла поворота ведущего вала 1 от 0 до 2 (один оборот) при следующих параметрах передачи: Z1 = 1, Z3 = 4, R = 30 мм, А1 = А3 = 10 мм.

За рассматриваемую точку (тело качения) принята точка, в начальный момент времени совпадавшая с началом координат и принадлежащая первой группе точек пересечения синусоид.

Рисунок 4.3 – Изменение углов подъема 1 (1), 3 (2) и угла клина (3) от угла поворота ведущего вала Для проведения прочностных расчетов необходимо рассчитать усредненное значение углов подъема 1ср и 3ср, а также получить аналитическую зависимость для вычисления максимальных значений углов подъема 1max и 3max. Если для упрощения модели принять допущение о постоянстве углов подъема синусоид на рабочих участках кривых (соединить вершины синусоид на плоской развертке прямыми), то получим среднее значение угла подъема кривых. При этом тангенсы средних углов подъема 1ср и 3ср определяются как отношения амплитуды к отрезку средней линии, длина которого кратна числу периодов. Таким образом, где i – номер звена (1 – внутренний кулачок, 3 – наружный кулачок).

Максимальные значения углов наклона кривых 1max и 3max определяются при подстановке cos(Z i r ) = 1 в выражение (4.10).

Для однопериодной синусоиды максимальный угол наклона кривой является углом наклона плоскости, в которой расположен эллипс по отношению к плоскости xOy.

4.2 Исследование ППТК с кривыми, расположенными на различных поверхностях Переход от уравнений кривой на цилиндре к уравнениям на конусе осуществляется посредством поворота образующих на угол относительно точек, лежащих на средней окружности, в плоскостях, где расположены соответствующие образующие и ось Oz (рисунок 4.4). На рисунке 4.4 позицией 1 обозначен след цилиндрической поверхности на плоскости xOz, а позицией 2 – след конической поверхности.

Пусть периодическая кривая задана уравнением развертки на плоскость z = f(s), а амплитуда кривой А равна отрезку MD или M'D (см. рисунок 4.4).

Рисунок 4.4 – К выводу уравнений конической кривой Параметрические уравнения конической кривой:

В [162] рассматривается взаимодействие тел качения и конической поверхности, однако в данном случае речь идет о рабочей поверхности кулачка, а не о поверхности расположения траекторий тел качения.

При угле = 0 () коническая кривая вырождается в цилиндрическую кривую с известными параметрическими уравнениями:

При угле = /2 коническая кривая вырождается в известную плоскую кривую с параметрическими уравнениями [107]:

Переход от уравнений кривой на цилиндре к уравнениям на сфере осуществляется следующим образом. Пусть периодическая цилиндрическая кривая задана системой параметрических уравнений x = Rcos(s/R), y = Rsin(s/R), z = z(s), где s – изменяемый от 0 до 2R параметр, выполняющий функцию дуговой координаты, а амплитуда кривой А равна отрезку DC или длине дуги D'С (рисунок 4.5).

Рисунок 4.5 – Схема для прямого и обратного перехода от уравнений цилиндрической к уравнениям сферической кривой Преобразования цилиндрической кривой в сферическую осуществляется посредством угла (см. рисунок 4.5) согласно выражению (s) = z(s)/R.

Параметрические уравнения сферической кривой:

Для цилиндрической синусоиды с уравнением координаты z = A sin( Zs / R), которое также является уравнением плоской развертки (на плоскость sOz), параметрические уравнения:

синусоиды примут следующий вид:

В [163] также отмечается, что были получены уравнения кривой на сфере, однако в указанной работе они не приведены. Схема механической передачи [164], реализующей уравнения (4.23)–(4.25), показана на рисунке 4.6.

Рисунок 4.6 – Сферическая планетарная шариковая передача Подтверждено сохранение постоянства углового шага между точками пересечения (в пределах группы) для сферических поверхностей аналитически на основе гомеоморфизма цилиндрических и сферических поверхностей и посредством моделирования зацепления в различных САПР.

Передача (рисунок 4.6) содержит ведущий вал 1 со сферическим внутренним кулачком с замкнутой беговой дорожкой, коаксиально внутреннему кулачку располагается наружный торцовый кулачок 3 с волнообразной торцовой поверхностью и выходной вал 2 с пазами на внутренней сферической поверхности. Данные пазы расположены в плоскостях, проходящих через ось передачи с равномерным угловым шагом. При вращении входного вала тела качения 4 перемещаются по беговой дорожке внутреннего кулачка на входном валу, по рабочим поверхностям наружного кулачка и вдоль пазов выходного вала, вынуждая его вращаться с редукцией.

Наружный кулачок 3 закреплен в корпусе (который на рисунке 4. не показан), а входной и выходной валы размещены в корпусе на подшипниковых опорах с консольным расположением сферических поверхностей.

Рассмотрим обратную задачу. Предположим, существует сферическая кривая, образованная как след плоскости, проходящей через начало координат О, через одну из осей (Ox или Oy) и образующей с другой осью угол (рисунок 4.7).

1 – поверхность сферы; 2 – след плоскости Рисунок 4.7 – К определению уравнений следа плоскости на сфере Данный след будет представлять собой окружность, образованную поворотом средней (лежащей в плоскости xOy) окружности-прообраза с уравнениями { x = R cos(s / R ), y = R sin (s / R ), z = 0 }. Если наклон плоскости осуществлен по отношению к оси Oy, то в результате поворота происходит следующее преобразование уравнений кривой: поскольку осуществляется поворот относительно оси Ох, преобразования координаты х не происходит, т. е. x' = R cos(s / R ) ; в плоскости уОz проекция отрезка ОМ (М – произвольная точка) на ось Оу поворачивается на угол. Пусть точка M на окружности-прообразе имеет координаты (хM, уM), тогда после поворота ее координаты примут вид:

Таким образом, параметрические уравнения кривой, образованной как след плоскости на сферической поверхности, определятся по уравнениям:

Угол, в отличие от угла, зависящего от параметра s (см. рисунок 4.4), имеет фиксированное значение и равен = A / R.

Уравнения (4.26) не в полной мере сопоставимы с уравнениями (4.16)–(4.18). Наличие множителя-коэффициента cos во втором уравнении системы (4.26) приводит к определению при заданном значении параметра s координаты точки М (см. рисунок 4.7), проекция которой на плоскость xOy не лежит на луче, исходящем из центра О под углом s/R к оси Ox. Однако очевидно, что проекция окружности, описываемой уравнениями (4.26), на плоскость xOy будет представлять собой эллипс, уравнение которого При этом ysf = xsf tg ; после преобразований Выразив ysf из уравнения (4.27), подставив в него значение xsf из выражения (4.28) и произведя необходимые преобразования, получим Подставив выражения (4.28) и (4.29) в уравнение сферы x + y sf + z sf = R 2, выразим значение координаты zsf :

Таким образом, параметрические уравнения рассматриваемой сферической кривой, помимо уравнений (4.26), также можно представить в виде выражений (4.28)–(4.30). Если рассматривать эту кривую как однопериодную, преобразовав вышеуказанные уравнения, можно получить уравнения, описывающие семейство многопериодных кривых данного типа:

Схема взаимодействия двух сферических кривых показана на рисунке 4.8.

1 – однопериодная кривая; 2 – четырнадцатипериодная кривая Рисунок 4.8 – Сферические кривые Исследовать свойства пространственных кривых удобно с помощью уравнения развертки на плоскость. Чтобы получить уравнение плоской развертки исследуемой кривой, необходимо согласно уравнению (4.16) произвести следующие преобразования:

Сравним три типа однопериодных (Z = 1) и многопериодных (Z = 4) кривых (рисунок 4.9) с одинаковыми параметрами: А = 10 мм, R = 20 мм.

1, 2 – однопериодные синусоида и кривая по уравнению (4.34); 3, 4 – многопериодные синусоида и кривая по уравнению (4.34); 5, 6 – однопериодная и многопериодная кусочно-винтовые кривые Рисунок 4.9 – Плоские развертки различных кривых Кусочно-винтовые кривые на сфере описываются параметрическими уравнениями:

Уравнение плоской развертки кусочно-винтовой кривой:

Как видно из рисунка 4.9, разница между синусоидой и кривой, описываемой уравнением (4.34), при данных геометрических параметрах минимальна, однако существует. Анализ показал, что изменение абсолютного значения разности между значениями координат z этих кривых от параметра s носит периодический характер.

Одна из конструкций сферической планетарной шариковой передачи (СПШП) представлена на рисунке 4.10, а. При вращении входного вала 1 вращается жестко закрепленный на нем эксцентрик 2, а также внутренний кулачок 3. По кольцевому пазу внутреннего кулачка перемещаются тела качения 4, которые контактируют с торцовыми рабочими поверхностями наружного кулачка 5, который жестко закреплен в корпусе 6. Под действием наложенных связей тела качения также перемещаются вдоль пазов вала 7, вынуждая его вращаться с редукцией. Пазы на валу 7 выполнены при помощи сферической фрезы и располагаются на внутренней цилиндрической поверхности с равномерным угловым шагом. Вал с пазами 7 посредством диска 8 соединен с выходным валом 9.

Механическая передача, реализованная в редукторе с передаточным отношением, равным 15, созданная на основе взаимодействия кривых, описанных уравнениями (4.31)–(4.34), показана на рисунке 4.10, б.

Отличие конструкции редуктора на рисунке 4.10, б от конструкции передачи, представленной на рисунке 4.6, заключается в повышении технологичности изготовления отдельных деталей. В обоих случаях изготовление многопериодной кулачковой поверхности должно производиться на фрезерных станках с ЧПУ. Однако однопериодная синусоида на сфере не является окружностью, а значит, изготовление этой беговой дорожки также сопряжено с необходимостью изготовления ее на станках с ЧПУ, в отличие от передачи на рисунке 4.10, б, где на внутреннем кулачке изготовлена беговая дорожка в виде кольцевого паза, которая может быть выполнена на универсальных станках токарной группы. Внутренний кулачок при этом располагается на валу с осью, наклоненной по отношению к оси Oz на угол.

4.3 Исследование и синтез уравнений взаимодействующих кривых различных типов Синусоидальная форма беговых дорожек была одной из первых, используемых в планетарных шариковых передачах, разрабатываемых в г. Могилеве. Однако она имеет ряд недостатков, один из которых – явление заострения вершин (подробно рассмотренное далее), вследствие чего нарушается постоянство контакта тел качения на вершинах синусоид, что приводит к увеличению шума и динамических нагрузок в передаче при высоких скоростях.

а – конструкция редуктора; б – 3D-модель редуктора Рисунок 4.10 – Планетарный сферический шариковый редуктор В [107] приводятся уравнения других видов кривых – гладкокусочных функций, в частности циклоиды, спирали Архимеда, винтовой линии, сопряженных полуокружностей. Данные уравнения располагают кривые на плоскости с центральной линией в виде окружности.

Преимущества кривых были рассмотрены в указанном источнике только с точки зрения исследования жестких и мягких ударов тел качения на вершинах: проанализированы изменения скоростей и ускорений. В [107] также отмечено, что постоянство углового шага обеспечивается только при сопряжении кривых одного типа.

Нами были получены параметрические уравнения, позволяющие построить и проанализировать некоторые кривые на плоскости и в пространстве.

Для кусочно-винтовой линии (совокупности чередующихся нисходящих и восходящих участков отрезков прямых) на плоскости где i – номер кривой (1 или 3).

Квадратными скобками в выражении (4.39) обозначена математическая операция, выделяющая целую часть числа.

На рисунке 4.11 приведена схема взаимодействия двух кусочновинтовых линий (однопериодной и четырехпериодной).

Движение одной линии относительно другой вдоль оси абсцисс обеспечивается заменой для однопериодной кривой в уравнении (4.25) параметра s на (s ± ), где – изменяемый с некоторым шагом аргумент.

Кусочно-винтовая линия в пространстве опишется следующей системой параметрических уравнений (s – изменяемый от 0 до 2R параметр):

1 – однопериодная кривая; 2 – многопериодная кривая Рисунок 4.11 – К взаимодействию винтовых линий Аналогично рассмотрим уравнения кривой с профилем, в котором кривые представляют собой сочетание дуг окружностей, на плоскости (рисунок 4.12). При этом уравнение многопериодной кривой [165] представлено как где R0 – радиус сопрягаемых полуокружностей.

Параметрические уравнения, описывающие пространственную кривую:

Значение R0 фактически выполняет функцию амплитуды, однако, в отличие от синусоиды, значения числа периодов Z3, радиуса образующей цилиндра R и амплитуды А для круглого профиля взаимозависимы и не могут назначаться произвольно.

Процедуру выбора этих параметров для многопериодного зацепления представим в виде следующего алгоритма. Исходным является значение числа периодов Z3, которое определено передаточным отношением. Из условия минимизации потерь мощности на трение скольжения определяем оптимальное значение амплитуды (раздел 6) и приравниваем его радиусу R0. Радиус окружности, образующей цилиндрическую поверхность, определяем по формуле Оцениваем значение полученного радиуса, округляем его до целого значения. Далее необходимо окончательно уточнить радиус R0. В случае ограниченности диаметральных габаритов передачи значение R может задаваться изначально. Тогда Предположим, что сопряженный с многопериодным однопериодный профиль также будет представлять сочетание двух дуг окружностей. Радиус этих дуг определится из следующего уравнения:

Уравнение однопериодного профиля в системе координат sOz будет описано следующим образом:

На рисунке 4.12 показано взаимодействие двух кривых, составленных из участков дуг окружностей.

Исследование взаимодействия двух кривых осуществлялось по следующему алгоритму. Численными методами решались два уравнения, описывающие однопериодную и многопериодную кривые. При этом задавалось два интервала для локализации корней. Например, для кривых, изображенных на рисунке 4.12, это интервалы: {2R/10 6R/10}, {6R/10 R}. Определяемая разница между найденными корнями показывает расстояние между двумя точками пересечения кривых (первой группы). Далее аргументу в уравнении однопериодной кривой задавалось приращение, вследствие чего кривая начинала перемещаться вдоль оси Оs. Процедура определения корней повторялась.

0 12,566 25,133 37,699 50,265 62,832 75,398 87,965 100,531 113,531 125, Рисунок 4.12 – Взаимодействие кривых с «круглым» профилем Исследования проводились не только для двух кривых в виде сопряженных дуг окружностей, но и для многопериодной кривой, состоящей из сопряженных дуг окружностей и взаимодействующей с другими типами кривых. При этом использовалась передача с параметрами:

R = 20 мм, Z1 = 1, Z3 = 4. На рисунке 4.13 показаны результаты анализа.

Постоянство и равенство углового шага между точками пересечения обеспечивается для сопряженных кривых одного типа – двух синусоид и двух кусочно-винтовых линий [166].

1 – две синусоиды (две кусочно-винтовые линии); 2 – две кривые, образованные дугами окружностей; 3 – кусочно-винтовая линия и кривая, образованная дугами окружностей; 4 – синусоида и кривая, образованная дугами окружностей Рисунок 4.13 – Изменение расстояния между точками пересечения различных типов сопрягаемых кривых Две кривые, образованные дугами окружностей, не обеспечивают постоянство углового шага при изменении угла поворота ведущего вала с однопериодной кривой. На рисунке 4.13 показано изменение расстояния между двумя точками пересечения А и B (рисунок 4.12) при повороте ведущего вала от 0 до 90. При этом расстояние между точками пересечения А и В в начальный момент составляло 23,734 мм, а между точкой А и точкой пересечения первой группы, расположенной левее (начало координат), – 25,557 мм (т. е. не обеспечивается равенство углового шага).

Аналогичная ситуация наблюдалась и при взаимодействии кривых разных типов, в частности многопериодной кривой, составленной из дуг окружностей с кусочно-винтовой линией и синусоидой.

Алгоритм синтеза взаимодействующих кривых. Целью синтеза является получение уравнения однопериодной кривой на плоской развертке, обеспечивающего постоянство передаточного отношения при взаимодействии с заданной многопериодной кривой. Исходные данные – уравнение многопериодной кривой на плоскости z = f(s) и число периодов многопериодной кривой Z3.

Исследуем один период многопериодной кривой с заданным уравнением z3 = f(s). Постепенно изменяем аргумент (s) с постоянным шагом. При этом на каждом шаге вычисляем координаты однопериодной кривой по формулам: s1 = s Z 3 ; z1 = z.

Действуя по вышеприведенному алгоритму, было получено уравнение однопериодной кривой, сопряженной с многопериодной кривой, состоящей из сопряженных дуг окружности. Взаимодействие этих кривых показано на рисунке 4.14.

Дальнейшей задачей исследований было определение аналитической зависимости для построения кривой 2. Было предположено, что данная кривая представляет собой сочетание ветвей эллипсов с полуосями R/2 и R0. Данная гипотеза подтвердилась. Было получено уравнение кривой эллипсовидной формы [166]:

1 – однопериодная кривая; 2 – многопериодная кривая Рисунок 4.14 – Взаимодействие кривой, образованной сочетанием ветвей эллипса, и кривой, представляющей сочетание сопряженных дуг окружностей Проведенный анализ взаимодействия двух кривых (однопериодной эллипсовидной и многопериодной, состоящей из сопряженных дуг окружностей) подтвердил правильность зацепления: расстояния между точками пересечения остаются постоянными.

После упрощения зависимостей (4.41) и (4.47) были получены следующие параметрические уравнения в пространственной декартовой системе координат для рассматриваемого профиля для однопериодной цилиндрической кривой:

Многопериодная беговая дорожка (размещенная на цилиндрической поверхности) представляет собой сочетание сопряженных дуг окружностей и описана уравнениями:

Зацепление двух кривых, одна из которых на развертке представляет собой ветви эллипса (Э), а другая – сопряженные дуги окружностей (СДО), обозначим кратко – ЭСДО. Преимущества кривых зацепления в виде ЭСДО будут рассмотрены далее.

4.4 Искажение идеального профиля беговых дорожек под сателлиты и минимизация его влияния Уравнение (на плоской развертке) при смещении одной кривой зацепления относительно другой вдоль оси Oz на расстояние c будет следующим: z(s) = f(s) ± c. Для определенности рассмотрим синусоидальные кривые и положительное смещение c. Тогда уравнение, определяющее точки пересечения кривых z1(s) = z3(s), будет представлено в следующем виде:

где с' – расстояние вдоль оси Oz между некоторыми двумя точками обеих синусоид;

1, 2 – углы поворота ведущего и ведомого валов соответственно.

Параметр с' был введен для тождественности уравнения (4.54) уравнению A sin Z 3 2 = A sin Z1 ( 2 + 1 ), решение которого уже получено.

Выражение (4.54) будет тождественно известному уравнению только при условии с = с' = const.

Согласно доказанному тела качения можно заменить плунжерами стержневидной формы длиной с, равной длине смещения кривых вдоль оси Oz (размер с теоретически может быть произвольным).

Рассмотренные выше модели зацепления посредством промежуточных тел качения предполагали рассмотрение шариков (роликов) как материальных точек. В реальности тело качения (шарик или ролик) имеет определенный диаметр.

Если на плоской развертке сместить одну из кривых зацепления вдоль оси Oz вверх и вниз на расстояние, равное радиусу тела качения, то образуется беговая дорожка, снизу и сверху ограниченная двумя образованными кривыми, параллельными кривой (назовем ее – центральной кривой). Можно сказать, что беговая дорожка была образована траекториями концов отрезка с длиной, равной диаметру тела качения, при перемещении центра этого отрезка по центральной кривой, причем отрезок все время оставался параллельным своему первоначальному положению и оси Oz. Однако перемещение тела качения с диаметром, отличным от нуля, по такой дорожке невозможно из-за заклинивания. Для формирования беговой дорожки под тело качения данный отрезок при перемещении должен быть все время перпендикулярным кривой.

Перпендикулярность отрезка приводит к тому, что верхняя и нижняя границы беговой дорожки отличаются от центральной кривой и воспроизводят ее с искажением. При определенных геометрических параметрах данные кривые могут иметь петли – самопересечения.

Многие исследователи сталкивались с одним из проявлений искажения профиля при изучении профиля беговых дорожек на вершинах при движении центра круглого инструмента по многопериодной периодической кривой. Это явление, называемое самопересечением [106], подрезанием [70] или заострением вершин [68] беговых дорожек, уменьшает длину активных участков зацепления, снижает значение коэффициента перекрытия, что, в свою очередь, приводит к снижению нагрузочной способности и плавности работы передачи.

Рассмотрим явление искажения профиля у ППТК с синусоидальным профилем и оценим его количественно. Центр тела качения движется по однопериодной (центральной) синусоиде, описываемой известным уравнением z = A sin (Z ) = A sin (Zs / R ). Угол плоской развертки изменяется в пределах от 0 до 2, параметр s – соответственно от 0 до 2R (рисунок 4.15).

Уравнения синусоидальных кривых (верхней и нижней границы беговой дорожки с идеальным профилем), смещенных относительно центральной кривой вдоль оси Oz на расстояние, равное радиусу тела качения: zo ( н ) = A sin (Z ) ± rs = A sin (Zs / R ) ± rs.

Тело качения с радиусом rs, центр масс которого перемещается по центральной синусоиде, формирует беговую дорожку с линиями, верхней и нижней, которые являются огибающими множества положений тела качения (эквидистантами) и описываются в общем виде и для синусоид в частности соответствующими уравнениями:

1 – центральная синусоида; 2 – беговая дорожка, образованная двумя синусоидами, смещенными вдоль оси передачи на расстояние ± rs ; 3 – беговая дорожка, формируемая телом качения Рисунок 4.15 – К исследованию явления искажения профиля Абсциссы x в и x н, соответствующие z в и z н, будут равны:

Напомним, что = d ( f ( s )) ds. На рисунке 4.15 показаны беговая дорожка, образованная двумя синусоидами, смещенными относительно центральной синусоиды, и беговая дорожка, образованная движением шарика, для кулачка ППТК с параметрами: Z = 1, А = 10 мм, R = 10 мм, rs = 10 мм.

Абсолютную линейную величину искажения профиля, измеренную по нормали к рабочим поверхностям, определяем как разность идеального (образованного двумя синусоидами) и реального профилей.

Искажения профиля вдоль оси передачи, соответствующие абсциссам s в р и s н, можно определить для верхней и нижней границ беговой дорожки соответственно по формулам:

Характер искажения профиля у верхней и нижней границ беговой дорожки аналогичен, поэтому проанализируем одно из выражений (для верхней границы):

Результаты анализа выражения (4.58) для беговой дорожки с параметрами Z = 1, А = 10 мм, R = 20 мм и различными значениями радиуса тела качения приведены на рисунке 4.16.

Абсолютное искажение Рисунок 4.16 – Зависимость искажения профиля от угла плоской развертки Анализ зависимости (4.58) и рисунка 4.16 свидетельствует о том, что максимальное искажение профиля наблюдается при максимальном значении угла подъема центральной синусоиды [167]. Очевидно, что искажение будет максимальным при = 0,, 2 и т. д. Расчеты bmax производились по формуле После подстановки в выражение (4.59) значения угла как функции от полярного угла получим Анализ выражения (4.60) свидетельствует о том, что влияние амплитуды и размера шарика однозначно. С их увеличением искажение профиля увеличивается. Увеличение размера цилиндрической поверхности имеет экстремум, после прохождения которого увеличение радиуса R уменьшает искажение профиля. Зависимость максимальной величины искажения профиля от амплитуды A линейная, а от радиусов цилиндра и шарика имеет вид кривых, изображенных на рисунке 4.17.

Рисунок 4.17 – Влияние параметров R, rs, А на величину максимального искажения профиля Исследования проводились при изменении одного из параметров и фиксированных значениях других параметров.

Так как шарик контактирует одновременно с двумя поверхностями, образующими беговую дорожку внутреннего кулачка, суммарная погрешность определится как: bсум = 2b. Для шариковых передач в выражения (4.59) и (4.60) следует подставлять не реальный диаметр шарика, а диаметр контактирующей с кулачками окружности dsk, который по свойству хорд определяется согласно выражению: d sk = 2 (d s h )h, где h – глубина канавки сферической формы под шарик на деталях передачи. Если принять h = 0,25ds, то получаем зависимость dsk = 0,866ds.

Зависимость степени искажения от числа периодов можно наблюдать на рисунках 4.18 и 4.19.