«Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет ЭЛЕКТРОННЫЙ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА [Методические указания] [Типовые программы курсов] [Основные понятия] ...»

1.17. Произвольные системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Однородные системы линейных уравнений. Структура общего решения. Фундаментальная система решений. Неоднородные системы линейных уравнений, структура общего решения.

1.18. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Норма вектора и ее свойства. Ортогональный и ортонормированный базисы. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта. Разложение вектора по ортогональному базису.

1.19. Понятие линейного оператора. Примеры линейных операторов. Ядро, область значений, ранг и дефект линейного оператора. Матрица линейного оператора в заданных базисах. Действия над линейными операторами.

Линейные операторы при моделировании различных процессов. Обратный оператор и его свойства.

1.20. Преобразование координат вектора и матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

Назад Подобные матрицы.

1.21. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженные и самосопряженные операторы и их матрицы. Ортогональные операторы и их матрицы.

1.22. Собственные векторы и собственные значения матриц. Характеристические уравнения и многочлен матрицы. Собственные векторы и собственные значения симметричных матриц. Теорема о полноте собственных векторов.

1.23. Приведение матрицы к диагональному виду. Канонический вид матрицы самосопряженного оператора.

1.24. Линейные формы. Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра знакоопределнности квадратичных форм. Применение квадратичных форм к исследованию кривых и поверхностей второго порядка.

Раздел 2. Введение в математический анализ 2.1. Элементы теории множеств и математической логики. Логические символы, операции над множествами. Необходимое и достаточное условия. Прямая и обратная теоремы. Метод математической индукции. Бином Ньютона. График функции. Способы задания функции. Модуль действительного числа и его свойства. Ограниченные и неограниченные множества. Верхняя и нижняя грани множеств. Аксиома о верхней (нижней) грани.Множество действительных чисел. Понятие функции, обратная функция. Окрестность точки.

2.2. Понятие числовой последовательности и ее предела. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Монотонные последовательности и критерий их сходимости. Число "е".

2.3. Предел функции в точке и на бесконечности. Свойства функций, имеющих предел. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.Виды неопределенностей.

2.4. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функций и их классификация. Непрерывность элементарных функций. Замечательные пределы.

2.5. Сравнение функций. Символы "o" и "O". Эквивалентные функции, их применение к вычислению пределов функций. Сравнение бесконечно малых функций.

2.6. Функции, непрерывные на отрезке и их свойства: теоремы Вейерштрасса, теорема Коши о прохождении функции через нуль, теорема Коши о промежуточном значении. Непрерывность обратной функции. Равномерная Назад непрерывность функции на отрезке. Отделение корня уравнения и метод половинного деления приближенного решения уравнения.

Раздел 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3.1. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Односторонние производные. Уравнение касательной и нормали к кривой. Основные правила дифференцирования. Производная сложнойи обратной функции. Производные элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование параметрически заданных функций. Понятие неявной функции, ее дифференцирование.

3.2. Дифференцируемость функций в точке. Дифференциал функции, его геометрический смысл и применение в приближенных вычислениях. Абсолютная и относительная погрешность. Понятие о методах линеаризации.

Инвариантность формы дифференциала.

3.3. Производные высших порядков.Высшие производные параметрически заданных функций. Формула Лейбница. Дифференциалы высших порядков.

3.4. Локальный экстремум функции. Теорема Ферма. Основные теоремы дифференциального исчисления:

Ролля, Коши, Лагранжа. Применение теорем.

3.5. Правило Лопиталя.

3.6. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа. Основные разложения по формуле Тейлора. Приложения формулы Тей-лора.

3.7. Монотонность и экстремумы функции. Необходимое и достаточное условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Выпуклость и точки перегиба. Достаточное условие выпуклости.

Необходимое условие перегиба. Достаточные условия перегиба. Верти- кальные и наклонные асимптоты графика функции.

3.8. Общая схема исследования поведения функции и построение графика функции.

Раздел 4. Комплексные числа. Многочлены 4.1. Комплексные числа и действия над ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексных чисел. Формулы Муавра и Эйлера.

Извлечение корня из комплексного числа. Свойства комплексно-сопряженных выражений.

4.2. Многочлены и их делимость. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители. Условия тождественности двух многочленов. Признак кратности корня многочлена и функции.

4.3. Рациональные функции. Разложение рациональных функций на сумму простейших дробей. Методы Назад нахождения коэффициентов разложения.

4.4. Понятие об интерполяции и аппроксимации функций.

Раздел 5. Интегральное исчисление функций одной переменной 5.1. Первообразная.Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных неопределенных интегралов. Методы вычисления неопределенных интегралов: непосредственное интегрирование, подстановкой (замена переменной), введение множителя под знак дифференциала,интегрирование по частям.

5.2. Интегрирование рациональных функций, некоторых иррациональных и тригонометрических выражений.

5.3. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл и его свойства. Интегрирование кусочно-непрерывных функций.

5.4. Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница.

5.5. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Интеграл от периодических, четных и нечетных функций. Приближенные методы вычисления определенных интегралов: квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.

5.6. Геометрические приложения определенных интегралов: вычисление площадей плоских фигур, объемов тел, длин дуг, площадей поверхностей вращения.

5.7. Физические приложения определенных интегралов: вычисление работы, давления, массы стержня, центра тяжести, статических моментов и инерции кривой.

5.8. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода и признаки их сходимости. Абсолютная и условная сходимость. Главное значение.

Раздел 6. Дифференциальное исчисление функций многих переменных 6.1. Множества на плоскости и в пространстве. Связные и ограниченные множества. Понятие функции многих переменных (ФМП). Линии и поверхности уровня ФМП. Предел ФМП в точке, его свойства. Повторные пределы. Непрерывность ФМП в точке, свойства непрерывных функций.

6.2. Частные производные и дифференцируемость ФМП. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Дифференцирование сложных функций. Инвариантность формы полного дифференциала. Геометрический смысл частной производной функции двух переменных.

Назад сательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных.

6.4. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Матрица Гессе.

6.5. Формула Тейлора для ФМП.

6.6. Понятие неявной функции, определенной одним уравнением, ее существование и дифференцирование.

6.7. Понятие экстремума ФМП. Необходимое и достаточное условия экстремума. Метод наименьших квадратов. Необходимые и достаточные условия экстремума неявно заданных функций. Наибольшее и наименьшее значение функции в заданной области.

6.8. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

Раздел 7. Интегральное исчисление функций многих переменных 7.1. Задачи, приводящие к двойному интегралу. Определение двойного интеграла и его свойства. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат. Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле.

7.2. Тройной интеграл, его определение, свойства и вычисление в декартовой системе координат.

7.3. Якобиан и его геометрический смысл. Замена переменных в двойных интегралах. Криволинейные координаты. Двойной интеграл в полярной системе координат. Замена переменных в тройных интегралах. Криволинейные координаты в пространстве. Тройной интеграл в цилиндрической и сферической системах координат.

7.4. Приложения кратных интегралов: площадь поверхности, центр тяжести и момент инерции плоской пластинки. Центр тяжести и момент инерции тела.

7.5. Задачи, приводящие к криволинейному интегралу 1-го рода. Свойства и вычисление криволинейных интегралов 1 -го рода.

7.6. Задачи, приводящие к криволинейному интегралу 2-го рода. Свойства и вычисление криволинейных интегралов 2-го рода.

7.7. Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования. Восстановление функции по ее полному дифференциалу. Формула Грина и ее применение к вычислению площадей плоских фигур.

7.8. Поверхностный интеграл 1-го рода, его вычисление, свойства и приложения. Ориентация и нормаль к поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности. Поверхностный интеграл 2-го рода, его вычисление Назад и свойства. Формулы Остроградского и Стокса.

7.9. Понятие об интегралах, зависящих от параметров. Гамма и Бета-функции.

7.10. Скалярные и векторные поля. Векторные линии и их дифференциальные уравнения.

7.11. Поток векторного поля через ориентированную поверхность и его вычисление. Поток вектора через замкнутую поверхность. Дивергенция векторного поля, ее свойства, вычисление и физический смысл. Соленоидальные векторные поля и их свойства.

7.12. Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля, его свойства, вычисление и физический смысл.

Потенциальные поля и их свойства. Условие потенциальности. Потенциал поля и его отыскание. Криволинейные интегралы в потенциальном поле.

7.13. Оператор Гамильтона. Дифференциальные операции 2-го порядка.

Раздел 8. Дифференциальные уравнения и системы 8.1. Прикладные задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). Основные понятия теории ДУ. ДУ 1-го порядка, задача Коши. Общее и частное решение ДУ. Геометрическая интерпретация ДУ 1-го порядка, метод изоклин. Решение ДУ методом последовательных приближений.

8.2. Основные классы ДУ 1-го порядка, интегрируемые в квадратурах: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли, в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Особые решения ДУ 1-го порядка.

8.3. Общие понятия о ДУ высших порядков. Задача Коши. Понятия о краевых задачах для ДУ. Уравнения, допускающие понижения порядка. Приложения ДУ высших порядков к решению физических задач.

8.4. Линейные ДУ высших порядков, общие понятия. Задача Коши. Линейный дифференциальный оператор и его свойства. Линейные однородные ДУ и свойства их решений. Линейная зависимость и независимость систем функций. Определитель Вронского. Условие линейной независимости решений однородного ДУ. Структура общего решения однородного и неоднородного линейного ДУ. Принцип суперпозиции решений. Метод вариации произвольных постоянных. Понижение порядка линейных однородных ДУ.

8.5. Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.Линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов. Приложение к описанию линейных моделей.

8.6. Общие понятия о системах дифференциальных уравнений. Нор- мальные системы 1-го порядка. Автономные системы. Фазовая плоскость и фазовое пространство. Переход от ДУ к системе ДУ. Метод исключения.

Назад Линейные однородные системы ДУ и свойства их решений. Линейная зависимость решений линейной однородной системы ДУ. Структура общего решения линейной однородной системы ДУ. Формула ОстроградскогоЛиувилля. Структура общего решения линейной неоднородной системы ДУ. Метод вариаций произвольных постоянных для неоднородных линейных систем. Формула Коши.

8.7. Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.

Линейные неоднородные системы ДУ с постоянными коэффициентами.

8.8. Понятие устойчивости решений ДУ по Ляпунову.

8.9. Понятие о ДУ в частных производных.

Раздел 9. Числовые и функциональные ряды 9.1. Числовой ряд и его сумма. Действие над рядами. Простейшие свойства числовых рядов. Необходимое условие сходимости ряда.

9.2. Признаки сходимости знакоположительных числовых рядов: признаки сравнения, признаки Даламбера и Коши, интегральный признак. Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Оценка остатка ряда. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

9.3. Функциональные ряды, область сходимости. Равномерная сходимость функциональных рядов. Критерий Коши и признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов: непрерывность суммы, почленное дифференцирование и интегрирование рядов.

9.4. Степенные ряды, Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы, интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

9.5. Ряды Тейлора. Достаточные условия представления функции рядом Тейлора. Разложение основных функций в ряд Тейлора. Применение рядов Тейлора в приближенных вычислениях. Приложение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений и вычислению определенных интегралов.

Раздел 10. Ряды и интеграл Фурье 10.1. Периодические функции. Гармоники. Тригонометрические многочлены. Ортогональные системы функций. Тригонометрический ряд Фурье. Условие Дирихле. Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье.

Ряд Фурье для функций на отрезке длиной 2л;на отрезке вида [0,л], для функций с произвольным периодом; на произвольном отрезке. Комплексная форма ряда Фурье. Приложение рядов Фурье. Спектры.

10.2. Скалярное произведение функций.Норма функции. Ортогональные функции. Многочлены Лежандра и Чебышева. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Свойство минимальности коэффициентов Фурье.

Назад Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля-Стеклова. Сходимость в среднем квадратичном. Полнота и замкнутость ортогональных систем.

10.3. Интеграл Фурье. Косинус- и синус-преобразования Фурье и их свойства. Комплексная форма интеграла Фурье. Спектры функций. Свойства преобразования Фурье.

Раздел 11. Функции комплексной переменной 11.1. Понятие функций комплексной переменной и их геометрическая интерпретация. Предел и непрерывность функций комплексной переменной.

11.2. Производная функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана. Аналитические функции.

Гармонические функции.

11.3. Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции.

11.4. Интеграл от функции комплексной переменной, его вычисление и свойства. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций.

11.5. Ряды в комплексной области. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Степенные ряды в комплексной области. Ряд Тейлора и его коэффициенты. Основные разложения. Ряд Лорана и его область сходимости.

11.6. Нули аналитических функций и их классификация. Устранимые особые точки. Полюсы, их связь с нулями. Существенно особые точки. Теорема Сохоцкого. Поведение функции в бесконечно удаленной точке.

11.7. Вычеты аналитических функций, их вычисление. Основная теорема о вычетах. Вычеты в бесконечно удаленной точке. Полная сумма вычетов. Приложение вычетов к вычислению определенных и несобственных интегралов. Лемма Жордана.

Раздел 12. Операционное исчисление 12.1. Преобразование Лапласа, оригинал и изображение. Теорема о существовании оригинала. Линейность преобразования Лапласа. Смещение в области изображения. Смещение в области оригинала. Изображение свертки оригиналов, теорема Бореля. Дифференцирование и интегрирование оригинала. Дифференцирование и интегрирование изображений. Оригиналы, зависящие от параметра. Несобственные интегралы от оригиналов и изображений. Предельные соотношения для оригиналов и изображений. Интеграл Дюамеля. Графическое задание оригинала.

12.2. Нахождение оригиналов по известным изображениям. Формула Меллина.

Назад нейных ДУ с постоянными коэффициентами.

ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

1. Линейные операции над векторами. Деление отрезка в данном отношении.

2. Действия с матрицами.

3. Метод Гаусса. Определители.

4. Правило Крамера. Обратная матрица. Матричный способ решения систем линейных алгебраических решений.

5. Скалярное произведение векторов.

6. Смешанное произведение векторов.

7. Прямая на плоскости.

8. Прямая и плоскость в пространстве.

9. Кривые и поверхности второго порядка.

10. Линейные векторные пространства. Базис. Ранг системы векторов.

11. Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений. Общие системы линейных алгебраических уравнений.

12. Линейные операторы и их свойства.

13. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

14. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.

15. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

16. Комплексные числа и действия над ними.

17. Числовая последовательность и ее предел. Простейшие приемы вычисления пределов.

18. Предел функции в точке и на бесконечности. Применение пределов к построению графиков элементарных функций.

19. Непрерывность и точки разрыва функции. Классификация точек разрыва функции.

20. Замечательные пределы.

21. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение функций, эквивалентные функции.

22. Геометрический и механический смысл производной. Вычисление производной.

23. Дифференцирование сложных, обратных, неявных и параметрически заданных функций.

24. Дифференциал функции и его приложения.

Назад 25. Производные и дифференциалы высших порядков.

26. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.

27. Формула Тейлора и ее приложения.

28. Вычисление пределов по правилу Лопиталя.

29. Монотонность и экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

30. Исследование функций с помощью первой и второй производных.

31. Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции. Полное исследование и построение графиков функций с помощью производной.

32. Неопределенный интеграл. Табличное интегрирование.

33. Замена переменной и интегрирование по частям.

34. Интегрирование рациональных функций.

35. Интегрирование иррациональных и тригонометрических функций.

36. Определенный интеграл. Замена переменной и интегрирование по частям.

37. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.

38. Несобственные интегралы первого и второго рода.

39. Функции многих переменных (ф.м.п.). Линии и поверхности уровня ф.м.п. Непрерывность ф.м.п.

40. Частные производные функции многих переменных. Частные производные сложной функции и функций, заданных неявно.

41. Частные производные и дифференциалы высших порядков функции многих переменных. Формула Тейлора.

42. Локальный и глобальный экстремум функции многих переменных. Условный экстремум.

43. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Поле направлений и метод изоклин.

44. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения 1 -го порядка.

45. Линейные уравнения первого порядка и уравнение Бернулли.

46. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

47. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

48. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

49. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных.

50. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения со специальной правой частью. Принцип суперпозиции решений.

Назад 51. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений: основные понятия и методы интегрирования.

52. Устойчивость по Ляпунову. Классификация точек покоя. Устойчивость по первому приближению.

53. Двойной интеграл в декартовой системе координат. Изменение порядка интегрирования.

54. Двойной интеграл в полярной системе координат. Приложения.

55. Тройной интеграл в декартовой системе координат.

56. Тройной интеграл в цилиндрической и сферической системах координат. Приложения.

57. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Независимости КРИ от пути интегрирования. Формула Грина.

58. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го типа.

59. Векторное поле и векторные линии. Поток векторного поля через поверхность. Дивергенция векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса.

60. Циркуляция и ротор векторного поля. Теорема Стокса.

61. Числовые ряды: сходимость, сумма и остаток ряда. Необходимый признак сходимости.

62. Знакопостоянные ряды: исследование сходимости при помощи признаков сравнения и достаточных признаков сходимости Даламбера, Коши.

63. Знакоредующиеся ряды: абсолютная и условная сходимость, признак Лейбница, оценка остатка сходящегося ряда.

64. Функциональные ряды: поточечная и равномерная сходимость, признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов: непрерывность суммы, почленное дифференцирование и интегрирование рядов.

65. Степенные ряды: радиус и интервал сходимости. Свойства суммы.

66. Ряды Тейлора и Маклорена.

67. Применение степенных рядов.

68. Ортогональные системы функций. Тригонометрический ряд Фурье.

69. Комплексная форма ряда Фурье. Спектральные характеристики функции.

70. Интеграл Фурье. Синус и косинус-преобразование Фурье.

71. Основные элементарные функции комплексного переменного (ф.к.п.), дифференцируемость ф.к.п.

Условия Коши-Римана.

72. Интегрирование ф.к.п. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши.

73. Ряды в комплексной области: числовые, степенные, ряды Тейлора.

74. Ряды Лорана.

Назад 75. Изолированные особые точки и их классификация.

76. Вычет однозначной аналитической функции в изолированной особой точке: определение, вычисление.

Основная теорема о вычетах.

77. Вычисление интегралов с помощью вычетов.

78. Преобразование Лапласа. Отыскание оригиналов и изображений.

79. Решение линейных ДУ и систем операционным методом. Применение формулы Дюамеля.

ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОМПЬЮТЕРНЫХ ПРОГРАММ

1. Mathematica 6. 2. Mathcad 2001 Professional 4. Microsoft Oce Excel Назад ТД-I.110 Высшая математика для высших учебных заведений по химико-технологическим, лесотехническим, полиграфическим специальностям и специальностям: 1-36 01 08 Конструирование и производство изделий из композиционных материалов, 1-43 01 06 Энергоэффективные технологии и энергетический 1-08 01 01 Профессиональное обучение (по направлениям) (направление специальности 1-08 01 01-

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

Раздел 1. Введение в математический анализ 1.1. Множества и операции над ними. Грани числовых множеств*.Основные числовые множества. Расширенная числовая прямая*. Элементы математической логики (необходимое и достаточные условия, прямая и обратная теоремы)**. Символы математической логики и их использование. Понятие математической структуры**.

1.2. Отображение, его область определения, значений* и график**. Функция как отображение числовых множеств*. Функция одной переменной, способы ее задания. Примеры функций нескольких переменных*.

Числовые последовательности. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Сложная и обратная функции. Класс элементарных функций.

1.3. Окрестность точки, окрестность бесконечно удаленной точки*. Предел функции в точке и на бесконечности. Бесконечные пределы. Предел на языке « – »*. Односторонние пределы. Свойства пределов. Предел последовательности. Лемма об ограниченной монотонной последовательности*. Бесконечно большие и бесконечно малые функции, их свойства. Замечательные пределы. Число «е». Раскрытие неопределенностей. Точки сгущения последовательности**. Верхний и нижний пределы функции в точке**. Топологическое определение предела**.

1.4. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Односторонняя непрерывность*. Свойства непрерывных функций. Точки разрыва функций и их классификация. Непрерывность элементарных функций. Теоремы о непрерывных функциях на замкнутом промежутке и их применение при решении уравнений и неравенств*.

Назад Непрерывные отображения**. Равномерная непрерывность**. Теорема о замкнутом графике**. Полунепрерывные сверху и снизу функции**.

1.5. Комплексные числа и действия над ними. Комплексная плоскость. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексных чисел. Формулы Муавра и Эйлера. Извлечение корня из комплексного числа*. Понятие о числовых системах с несколькими мнимыми единицами**.

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной 2.1. Дифференцируемость функций в точке. Производная и дифференциал функции, их геометрический и физический* смыслы. Понятие о линеаризации функции*. Уравнение касательной и нормали* к кривой.

2.2. Правила нахождения производной и дифференциала. Производная сложной и обратной функций.

Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование*. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно*.

2.3. Производные и дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы первого дифференциала.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях*. Односторонние производные*.

2.4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях (Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа) и их геометрический смысл.Условия монотонности дифференцируемой функции.

2.5. Правило Лопиталя-Бернулли 2.6. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано*. Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора. Приложения формулы Тейлора*. Аппроксимация функций**.

2.7. Понятие о локальном экстремуме функции. Правила нахождения локального экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функций на замкнутом промежутке. Выпуклые и вогнутые функции и их свойства*, геометрическая интерпретация выпуклости и вогнутости. Нахождение точек перегиба графика функции.

2.8. Асимптоты графика функции. Понятие об асимптотическом разложении.** Общая схема исследования функции и построение ее графика.

Раздел 3. Неопределенный интеграл Назад средственное интегрирование. Интегрируемость непрерывных функций**.

3.2. Методы нахождения неопределенных интегралов: интегрирование по частям и заменой переменной.

3.3. Интегрирование рациональных функций.

3.4. Методы рационализации. Интегрирование простейших иррацио- нальных функций и тригонометрических выражений. Понятие о неберу- щихся интегралах*.

Раздел 4. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 4.1. Матрицы над множеством действительных и комплексных* чисел (над произвольным полем**). Действия над матрицами. Обратная матрица. Кронекерово произведение матриц**.

4.2. Определители 2-го и 3-го порядков, их свойства и вычисление. Определитель матрицы*. Алгебраические дополнения и миноры*. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу)*. Вычисление обратной матрицы. Ранг матрицы*. Элементарные операции над определителями и матрицами*.

4.3. Системы линейных алгебраических уравнений и их решение методами обратной матрицы, Крамера, Гаусса, методом единичных столбцов**. Теорема Кронекера-Капелли*.

4.4. Векторы на плоскости и в пространстве как направленные отрезки. Линейные операции над векторами.

Проекция вектора на ось. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис на плоскости и в пространстве. Декартова система координат. Радиус-вектор точки. Координаты вектора. Направляющие косинусы вектора. Деление отрезка в данном отношении внутренним и внешним** образом. Понятие о векторных диаграммах в науке и технике**.

4.5. Пространство R2, R3, Rn. Понятие векторного пространства (над R*, над произвольным полем**). Конечномерное* и бесконечномерное** векторные пространства и базисные системы в них.

4.6. Скалярное произведение векторов, его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей. Угол между векторами. Условие ортогональности двух векторов. Приложения скалярного произведения*.

4.7. Ориентация тройки векторов в пространстве. Векторное произведение векторов, его свойства и геометрический смысл. Условие коллинеарности векторов. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей. Приложения векторного произведения*.

4.8. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл и выражение через координаты сомножителей. Условие компланарности трех векторов. Приложения смешанного произведения*.

4.9. Предмет аналитической геометрии, изучение геометрических объектов аналитическими средствами.

Назад Метод координат.

4.10. Кривая на плоскости. Уравнение линии. Различные формы уравнения прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых. Расстояние от точки до прямой.

4.11. Кривые второго порядка: Окружность, эллипс, гипербола, парабола. Геометрические свойства и канонические уравнения кривых второго порядка, эксцентриситет*. Унифицированное определение линии второго порядка на плоскости*. Технические пршожения геометрических свойств кривых**.

4.12. Понятие о полярной системе координат на плоскости*. Спираль Архимеда**.

4.13. Прямая и плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей. Угол между прямой и плоскостью. Угол между прямыми*.

4.14. Уравнение поверхности в пространстве. Поверхности вращения, цилиндрические и конические. Линейчатые поверхности**.

4.15. Поверхности второго порядка, их канонические уравнения и исследование методом сечений*. Прямолинейные образующие на поверхностях второго порядка**. Технические приложения геометрических свойств поверхностей**.

4.16. Цилиндрические* и сферические координаты** в пространстве.

4.17. Линейные операторы в конечномерных векторных пространствах и их матричные представления**.

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора**. Диагонализация матриц**. Применение линейных операторов для моделирования различных процессов**.

Раздел 5. Определенный интеграл 5.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла (о площади криволинейной трапеции, о массе материального стержня). Определенный интеграл и его свойства. Классы интегрируемых функций**.

5.2. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона- Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Общая схема применения определенных интегралов (метод интегральных сумм., метод дифференциалов)*. Методы приближенного вычисления определенных интегралов по формулам: прямоугольников, трапеций, Симпсона**.

5.3. Несобственные интегралы от неограниченных функций и по бесконечному промежутку и признаки их сходимости*. Абсолютная и условная сходимость*. Главное значение несобственного интеграла**.

5.4. Интеграл Римана-Стилтъеса и его свойства**.

Раздел 6. Функции нескольких переменных Назад 6.1. Понятие функции нескольких переменных, область определения, значений* и график*. Линии и поверхности* уровня функций нескольких переменных. Предел функции двух переменных в точке. Повторные пределы*. Теорема о двойном пределе*. Непрерывность по совокупности переменных и по каждой переменной в отдельности*.

6.2. Частные производные и дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимые условия дифференцируемости. Достаточное условие дифференцируемости. Дифференцирование сложных и неявно заданных функций нескольких переменных*. Полный и частные дифференциалы функций нескольких переменных*. Инвариантность формы полного дифференциала*.

6.3. Градиент и производная по направлению функции нескольких переменных, их свойства. Касательная плоскость и нормаль* к поверхности. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала функции двух переменных*.

6.4. Частные производные и полные дифференциалы* высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных*. Формула Тейлора*.

6.5. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума. Метод наименьших квадратов**. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции в заданной области.

Условный экстремум*. Теорема о неявной функции**. Метод множителей Лагранжа*. Примеры применения при поиске оптимальных условий**.

6.6. Вектор-функция скалярного аргумента, ее предел, непрерывность; вектор-производная и ее геометрическая интерпретация*.

Раздел 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы 7.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

7.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений: определение дифференциального уравнения и его решения, интегральные кривые, виды дифференциальных уравнений, задача Коши, общее и частное решения, общий интеграл*, особые решения*. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, теорема существования и единственности решения задачи Коши. Поле направлений*, геометрическая интерпретация дифференци- ального уравнения 1-го порядка*.

7.3. Основные классы дифференциальных уравнений 1-го порядка, интегрируемых в квадратурах: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли*, в полных дифференциалах**.

Назад кающие понижение порядка.

7.5. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка, фундаментальная система решений, структура общего решения однородного и неоднородного линейных дифференциальных уравнений, вронскиан решений и его свойства*. Метод Эйлера решения однородных линейных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами (в случае различных корней характеристического уравнения*, общий случай**).

7.6. Однородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

характеристическое уравнение, структура общего решения, решение задачи Коши.

7.7. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами: структура общего решения, специальная правая часть, метод подбора частных решений, метод Лагранжа вариации произвольных постоянных*, решение задачи Коши.

7.8. Общее понятие о системах дифференциальных уравнений*, задача Коши*, общий интеграл**. Нормальные системы дифференциальных уравнений*. Линейные системы дифференциальных уравнений с двумя и тремя неизвестными функциями и их решение методом сведения к дифференциальному уравнению относительно одной неизвестной функции. Фазовая плоскость и фазовое пространство**. Формула Коши*. Понятие об устойчивости решений по Ляпунову**.

7.9. Математическое моделирование в экономике и технике с помощью дифференциальных уравнений*, численное решение дифференциальных уравнений**.

Раздел 8. Кратные интегралы 8.1. Измеримые множества на прямой, плоскости и в пространстве*. Мера Жордана.** Общая идея построения кратного интеграла*. Взаимосвязь понятий меры и интеграла**. Общие свойства кратных интегралов*.

8.2. Задачи, приводящие к двойному интегралу. Двойной интеграл и его свойства. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием в декартовых и полярных* координатах. Изменение порядка интегрирования. Преобразование мер, якобиан и его геометрический смысл**. Замена переменных в двойных интегралах**.

8.3. Тройной интеграл, его свойства. Вычисление тройных интегралов повторным интегрированием в декартовых, цилиндрических* и сфери- ческих** координатах. Замена переменных в тройных интегралах*.

8.4. Геометрические и физические* приложения кратных интегралов.

Раздел 9. Криволинейные и поверхностные интегралы 9.1. Ориентированные и неориентированные кривые (дуги). Скалярный и векторный элемент дуги*. Задачи, Назад приводящие к криволинейным интегралам, длина и масса дуги кривой, работа силового поля.

9.2. Криволинейные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление. Сведение криволинейного интеграла второго рода к криволинейному интегралу первого рода**. Приложения криволинейных интегралов*.

9.3. Ориентированные (двусторонние) и неориентированные (односторонние) поверхности. Положительная сторона поверхности. Криволинейные координаты на поверхности*. Скалярный и векторный элемент поверхности*. Задачи, приводящие к поверхностным интегралам, площадь и масса поверхности.

9.4. Поверхностные интегралы первого и второго рода, их свойства и вычисление. Сведение поверхностного интеграла второго рода к поверхностному интегралу первого рода**. Приложения поверхностных интегралов*.

Раздел 10. Теория поля 10.1. Скалярные и векторные поля. Векторные линии* и их дифференциальные уравнения**. Поверхности уровня*. Потенциальные и соленоидальные поля*, эквипотенциальные поверхности**.

10.2. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля, его свойства*, вычисление и физический смысл*.

10.3. Поток векторного поля через ориентированную поверхность, его физический смысл*. Дивергенция векторного поля, ее физический смысл* и вычисление.

10.4. Теоремы Остроградского, Стокса и Грина и их физический смысл*.

10.5. Условия независимости криволинейных интегралов второго рода от формы пути интегрирования.

10.6. Свойства потенциальных полей, условия потенциальности, способы определения потенциала*.

10.7. Свойства соленоидальных полей, условие соленоидальности*. Теорема Гелъмгольца**.

10.8. Оператор Гамильтона и его применение в теории поля*. Оператор Лапласа**.

10.9. Восстановление функции нескольких переменных по ее дифференциалу**. Применение в теории дифференциальных уравнений**.

Раздел 11. Ряды 11.1. Понятие ряда, его общего члена и остатка. Примеры рядов: числовые ряды с действительными (комплексными) членами, функциональные ряды, матричные ряды* и другие**.

11.2. Числовые ряды, сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Критерий сходимости*.

Абсолютная сходимость. Свойства сходящихся числовых рядов. Действия над рядами.

Назад ный, Коши* и другие**.

11.4. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда*. Теорема Римана**.

11.5. Функциональные ряды, область сходимости и сумма ряда. Равномерная сходимость функциональных рядов**. Критерий Коши и признак Вейерштрасса равномерной сходимости**. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов: непрерывность суммы, почленное дифференцирование и интегрирование рядов**.

11.6. Степенные ряды, теорема Абеля. Радиус, интервал и область сходимости* степенного ряда. Непрерывность суммы, интегрирование и дифференцирование степенных рядов*.

11.7. Ряды Тейлора. Необходимое, достаточные условия представления функции рядом Тейлора*. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора.

11.8. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях и к решению дифференциальных уравнений*.

11.9. Применение матричных рядов к определению и исследованию функций от матриц**. Матричная экспонента**.

11.10. Ряды Фурье по тригонометрическим системам на промежутках (; ) и (l; l)*. Ряды Фурье для четных и нечетных функций*. Теорема Дирихле**. Поточечная сходимость и сходимость в среднем*. Пространство (предгильбертово) со скалярным произведением**. Ортогональные системы элементов в предгильбертовом пространстве и ряды Фурье по таким системам**. Неравенство Парсеваля-Стеклова**. Минимальное свойство коэффициентов ряда Фурье**. Тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме**.

11.11. Применение рядов Фурье**.

Раздел 12. Теория вероятностей 12.1. Предмет теории вероятностей. Понятия случайного эксперимента и случайного события. Относительные частоты, закон устойчивости относительных частот (статистическая устойчивость)*. Дискретное вероятностное пространство. Классификация событий. Пространство элементарных событий. Классическое вероятностное пространство. Классическое определение вероятности. Непосредственный подсчет вероятности. Элементы комбинаторики.

12.2. Алгебра и -алгебра событий*. Аксиоматическое построение теории вероятности*. Следствия из аксиом вероятности*. Геометрическая вероятность*.

12.3. Совместные и несовместные события. Теорема сложения вероятностей. Зависимые и независимые Назад события. Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность.

12.4. Полная группа событий. Формула полной вероятности. Формула Бапеса*.

12.5. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Предельные теоремы: Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа*.

12.6. Понятие случайной величины. Типы случайных величин*. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Закон распределения случайной величины*. Вычисление вероятности попадания случайной величины в заданный промежуток*.

12.7. Дискретная случайная величина. Ряд распределения и его свойства*. Особенности графика функции распределения дискретной случайной величины*.

12.8. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения вероятностей и ее свойства.

12.9. Числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсия и их свойства, среднеквадратическое отклонение, начальные и центральные моменты*, мода**, медиана**, эксцесс** и другие**.

12.10. Законы распределения дискретных случайных величин и их числовые характеристики (биномиальный, Пуассона, геометрический* и другие**).

12.11. Распределения непрерывных случайных величин и их числовые характеристики (равномерное, показательное, нормальное и другие**). Функция Лапласа и ее свойства. Правило трех сигм и его практическое значение*.

12.12. Многомерные случайные величины*. Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства*. Таблица распределения дискретной двумерной случайной величины и ее свойства*. Плотность распределения двумерной непрерывной случайной величины и ее свойства*. Законы распределения компонент двумерной случайной величины*. Зависимые и независимые случайные величины*.

12.13. Числовые характеристики двумерной случайной величины*, начальные и центральные моменты**.

Корреляционный момент и его свойства*. Коэффициент корреляции и его свойства*.

12.14. Нормальное двумерное распределение*. Распределение суммы случайных величин**.

12.15. Понятие о законе больших чисел*. Сходимость по вероятности и «почти наверное»*. Неравенство Чебышева*. Закон больших чисел в форме Бернулли, Чебышева* и Хинчина**. Центральная предельная теорема Ляпунова* и ее обобщение**. Нормальное распределение как предельное для биномиального и пуассоновского распределений**. Локальная и интегральная теоремы Лапласа как следствия теоремы Ляпунова**.

Назад Значение закона больших чисел для практики*.

Раздел 13. Элементы математической статистики 13.1. Предмет математической статистики. Генеральная совокупность, выборочный метод. Основное предположение статистики. Вариационный ряд. Статистическое распределение выборки. Интервальный статистический ряд. Полигон и гистограмма. Фиктивная случайная величина и ее числовые характеристики*. Эмпирическая функция распределения.

13.2. Выборочное среднее и выборочная дисперсия и их свойства. Выборочные начальные и центральные моменты*. Асимметрия**. Эксцесс**.

13.3. Статистическое оценивание параметров и закона распределения генеральной совокупности. Точечные и интервальные оценки.

13.4. Свойства точечных оценок (статистик): несмещенность, состоятельность* и эффективность**. Методы получения точечных оценок*. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности. Исправленная выборочная дисперсия. Частость как точечная оценка вероятности события*.

13.5. Понятия о распределениях 2, Стьюдента и Фишера*.

13.6. Интервальная оценка параметров генеральной совокупности. Доверительная вероятность. Доверительные интервалы для оценивания математического ожидания и дисперсии* нормально распределенной генеральной совокупности.

13.7. Статистические гипотезы: параметрические и непараметрические. Статистические критерии и критерии проверки статистических гипотез. Основные этапы проверки гипотезы. Односторонние и двусторонние критические области*. Уровень значимости. Понятие о мощности критерия проверки статистической гипотезы**.

13.8. Статистическая проверка непараметрических гипотез. Критерии согласия ?2 Пирсона и Колмогорова*, критерий знаков**.

13.9. Статистическая проверка параметрических гипотез. Проверка гипотезы о математическом ожидании нормально распределенной случайной величины. Различные случаи альтернативных гипотез*. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормально распределенных случайных величин*. Проверка гипотезы о дисперсии нормально распределенной случайной величины*. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных случайных величин**.

Назад лиза**.

13.11. Элементы регрессионного и корреляционного анализа. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Теоретическая и эмпирическая регрессия*. Кривые регрессии и их свойства*. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства. Проверка значимости коэффициента корреляции.

13.12. Модель линейной регрессии. Уравнения линейной эмпирической регрессии и их нахождение. Оценка точности нахождения коэффициентов линейного уравнения регрессии**. Интервальные оценки коэффициентов линейного уравнения регрессии**. Примеры нелинейной функции регрессии*.

13.13. Понятие о множественной регрессии**.

Раздел 14. Элементы теории случайных процессов и массового обслуживания 14.1. Понятие случайной функции и случайного процесса. Математическое ожидание, дисперсия и корреляционные функции* случайного процесса. Корреляционная функция связи между случайными процессами**.

14.2. Пуассоновские процессы. Стационарные процессы. Суперпозиция случайных процессов*. Элементы спектральной теории случайных процессов**.

14.3. Движение механической системы при воздействии случайных возмущений**.

14.4. Основные понятия теории массового обслуживания. Простейший поток требований. Показательное время обслуживания. Марковские процессы.

14.5. Уравнения Колмогорова. Процессы гибели и размножения. Системы массового обслуживания с отказами.

Раздел 15. Уравнения математической физики 15.1. Основные типы уравнений математической физики*. Вывод уравнения колебаний струны. Начальные и краевые условия. Метод Фурье разделения переменных для решения уравнения колебаний ограниченной струны.

15.2. Метод Даламбера решения уравнения колебаний бесконечной струны.

15.3. Уравнение теплопроводности и его решение методом Фурье разделения переменных.

15.4. Решение задачи Дирихле для круга**. Двумерный ряд Фурье**.

15.5. Понятие о разностных уравнениях**. Метод сеток решения задач математической физики**.

Раздел 16. Элементы теории функции комплексного переменного Назад 16.1. Определение функции комплексной переменной. Понятие об однозначных и многозначных функциях комплексной переменной. Экспоненциальная и логарифмическая функции комплексной переменной. Показательная функция комплексной переменной**. Предел, непрерывность функции комплексной переменной.

16.2. Дифференцируемость функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана. Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции комплексной переменной*. Конформное отображение*.

16.3. Отображения, осуществляемые элементарными функциями: линейной, степенной, дробно-линейной* и другими**.

16.4. Понятие об односвязных и многосвязных областях. Интегрирование функции комплексной переменной. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Формулы для производных аналитических функций*.

16.5. Функции, аналитические в круге. Ряды Тейлора. Функции, аналитические в кольце. Ряды Лорана.

16.6. Изолированные особые точки, их классификация. Теорема Римана*. Вычеты, их вычисление и применение к вычислению интегралов. Принцип аргумента*. Теорема Руше*. Аналитическое продолжение с действительной оси**. Приложения теории функций комплексной переменной*.

Раздел 17. Интегральные преобразования и операционное исчисление 17.1. Понятие об интеграле Фурье*. Преобразование Фурье и его свойства*. Преобразование Лапласа.

Связь преобразований Лапласа и Фурье*. Понятие о быстром преобразовании Фурье**.

17.2. Свойства преобразования Лапласа. Классы оригиналов и изображений. Основные теоремы операционного исчисления.

17.3. Свертка оригиналов и ее свойства. Свертка оригиналов, ее изображение и их свойства*. Лемма Жордана*. Первая и вторая* теоремы разложения.

17.4. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений, диффе- ренциальных уравнений с частными производными* и интегральных уравнений** операционным методом. Понятие о Z-преобразовании*.

Раздел 18. Линейное программирование 18.1. Задачи, приводящие к задачам линейного программирования: задачи о распределении ресурсов, о раскрое материала и другие**. Постановка задачи линейного программирования в нормальной и канонической формах, связь между ними*. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования в нормальной форме. Алгоритм геометрического метода решения задачи линейного программирования.

Назад ское обоснование*, построение первоначального базисного плана, переход к новому базисному плану, алгоритм симплекс-метода, анализ окончательной симплексной таблицы*. Явление зацикливания и его преодоление**.

18.3. Метод искусственного базиса: М-задача, связь исходной задачи с М-задачей, симплекс-таблица для М-задачи и ее анализ*.

18.4. Транспортная задача: постановка, основные понятия, теорема существования, построение первоначального базисного плана, алгоритм метода потенциалов, неединственность оптимального плана*. Двухэтапная транспортная задача**.

18.5. Экономическая задача, приводящая к двойственным задачам линейного программирования**. Основные соотношения теории двойственности**. Условия оптимальности, существования решения двойственных задач линейного программирования**.

18.6. Крайние точки выпуклых множеств**. Свойства решений задач линейного программирования**. Основная теорема линейного программирования**. Теоретическое обоснование симплекс-метода**. Основные теоремы двойственности в линейном программировании**.

18.7. Приложения методов линейного программирования*.

ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИИ

1. Эмпирические зависимости. Метод наименьших квадратов.

2. Эмпирические зависимости. Метод выравнивания.

3. Элементы математической статистики. Точечные и интервальные оценки параметров распределения.

Статистическая проверка гипотез.

4. Элементы теории корреляционного и регрессионного анализа. 5. Линейное программирование. Задача оптимального раскроя материала.

6. Линейное программирование. Транспортная задача.

7. Элементы теории массового обслуживания.

8. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений*. Решение задачи Дирихле методом, конечных разностей*.

Назад

ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Ниже приводится примерный перечень тем практических занятий по материалу базового уровня.

1. Тест по элементарной математике.

2. Функции и их графики. Классификация функций по их свойствам и способам задания.

3. Предел функции в точке и на бесконечности. Числовая последовательность и ее предел.

4. Простейшие приемы вычисления пределов.

5. Замечательные пределы и их применение.

6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их сравнение и свойства.

7. Непрерывность функции в точке и на множестве. Классификация точек разрыва функции.

8. Производная функции, ее вычисление, геометрический и механический смысл.

9. Техника дифференцирования.

10. Дифференциал функции, его геометрический смысл и приложения.

11. Производные и дифференциалы высших порядков.

12. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя-Бернулли (Штольца).

13. Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

14. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба и асимптоты графика функции.

15. Общее исследование функции и построение схемы ее графика.

16. Комплексные числа и действия над ними.

17. Неопределенный интеграл и его свойства. Подведение множителя под знак дифференциала.

18. Непосредственное интегрирование в неопределенном интеграле.

19. Интегрирование по частям и заменой переменной в неопределенном интеграле.

20. Интегрирование простейших рациональных функций.

21. Алгоритм интегрирования рациональных функций. Метод рационализации.

22. Интегрирование тригонометрических функций.

23. Интегрирование простейших иррациональностей.

24. Определители, их свойства и вычисление.

25. Операции над матрицами. Вычисление обратной матрицы. Ранг матрицы.

26. Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера.

27. Системы линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли.

28. Линейные операции над векторами. Деление отрезка в данном отношении.

Назад 29. Скалярное произведение векторов и его приложения. 30. Векторное и смешанное произведения векторов и их приложения.

31. Линейные векторные пространства. Базис. Координаты вектора в данном базисе.

32. Прямая линия на плоскости.

33. Линии второго порядка на плоскости.

34. Прямая и плоскость в пространстве.

35. Определенный интеграл, его свойства и вычисление. Формула Ньютона-Лейбница.

36. Интегрирование по частям и заменой переменной в определенном интеграле.

37. Вычисление площади плоской фигуры в декартовых и полярных координатах.

38. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.

39. Несобственные интегралы и их приложения.

40. Функции нескольких переменных: область определения, график, линии и поверхности уровня, непрерывность (по совокупности и по части переменных).

41. Дифференцирование функции нескольких переменных. Полный и частные дифференциалы функции нескольких переменных и их приложения.

42. Частные производные и дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных.

43. Локальные экстремумы функции нескольких переменных. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции нескольких переменных на компакте.

44. Производная функции нескольких переменных по направлению. Градиент.

45. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.

46. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

47. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.

48. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

49. Метод вариации произвольных постоянных для линейных неоднородных дифференциальных уравнений.

50. Метод исключения решения систем линейных дифференциальных уравнений.

51. Вычисление двойного интеграла в декартовых и полярных координатах. Изменение порядка интегрирования.

52. Тройной интеграл и его вычисление сведением к повторным.

53. Геометрические и физические приложения кратных интегралов.

Назад 54. Криволинейные интегралы первого рода, вычисление длины и массы дуги.

55. Криволинейные интегралы второго рода, независимость от пути интегрирования, вычисление работы силового поля.

56. Поверхностные интегралы и их вычисление.

57. Элементы теории поля: циркуляция, ротор и дивергенция и их вычисление.

58. Числовые ряды: основные понятия, необходимый признак сходимости, непосредственный подсчет суммы ряда.

59. Признаки сходимости знакопостоянных рядов.

60. Степенные ряды. Интервал и множество сходимости. Разложение функций в степенные ряды.

61. Ряды Тейлора и Маклорена и их приложения.

62. Элементы комбинаторики.

63. Классическое вероятностное пространство.

64. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности.

65. Схема Бернулли. Предельные теоремы в схеме Бернулли.

66. Дискретные случайные величины.

67. Непрерывные случайные величины.

68. Приложения математических методов в предметах специализации.

ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Основные элементарные функции их графики.

2. Параметрическое и векторное уравнения прямой*.

3. Вывод канонического уравнения гиперболы.

4. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве*.

5. Правило Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений.

6. Логарифмическое дифференцирование*.

7. Линеаризация функций.

8. Применение формулы Тейлора в приближенных вычислениях*.

9. Применение свойств функций, непрерывных на замкнутом промежутке, при решении уравнений и неравенств*.

Назад 10. Техника нахождения частных производных высших порядков функции нескольких переменных.

11. Интеграл Римана-Стилтьеса**.

12. Тройной интеграл в сферических координатах**.

13. Приложения степенных рядов*.

14. Функции случайных величин*.

15. Зависимые некоррелированные случайные величины**.

16. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных генеральных совокупностей*.

17. Численные методы решения дифференциальных уравнений*.

Назад ТД-K.001 Высшая математика

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

Раздел 1. Определители. Матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений Определители второго, третьего и п-гo порядков, их свойства и методы вычисления. Матрицы и действия над ними. Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы, методы его вычисления. Обратные матрицы, их существование и единственность. Системы линейных алгебраических уравнений, методы их решения: матричный метод, метод Крамера, метод последовательных исключений (метод Гаусса). Теорема Кронекера-Капелли.

Раздел 2. Векторная алгебра и метод координат Скалярные и векторные величины. Векторы и линейные операции над ними. Проекция вектора на ось. Теоремы о проекциях. Разложение вектора по базису, декартова система координат. Координаты точки и вектора.

Простейшие задачи, в которых вычисляются: длина вектора; его направляющие косинусы; расстояние между точками; координаты точки, делящей отрезок в данном отношении; координаты центра масс системы n тел. Скалярное произведение векторов, его основные свойства, выражение через координаты перемножаемых векторов.

Векторное произведение векторов, его основные свойства, выражение через координаты перемножаемых векторов. Смешанное произведение векторов, его основные свойства, выражение через координаты перемножаемых векторов. Приложения скалярного, векторного и смешанного произведений векторов в геометрии и механике.

Раздел 3. Элементы линейной алгебры Определение линейного пространства и его размерности; базис и координаты в n-мерном линейном пространстве. Евклидово n-мерное пространство, измерение расстояний и углов, ортонормированный базис, прямые и гиперплоскости. Линейное преобразование (оператор) и его матрица, примеры. Характеристическое уравнение, собственные векторы линейного преобразования, приведение его матрицы к диагональному виду. Квадратичные формы и приведение их к каноническому виду.

Раздел 4. Аналитическая геометрия на плоскости Назад Декартовы и полярные координаты на плоскости. Уравнения линий в декартовых, полярных координатах и в параметрическом виде. Примеры. Теория прямых на плоскости’. Различные виды уравнений прямых: общее, векторно-параметрическое. каноническое, по двум точкам, с угловым коэффициентом, «в отрезках». Условия параллельности и перпендикулярности прямых, вычисление угла между двумя прямыми, расстояния от точки до прямой. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола; их уравнения в декартовых и полярных координатах, в параметрическом виде; их геометрические и оптические свойства и форма; использование в науке и технике.

Раздел 5. Аналитическая геометрия в пространстве Декартовы, цилиндрические и сферические системы координат в пространстве. Различные способы задания уравнений линий и поверхностей в трехмерном пространстве. Теория плоскостей в пространстве. Различные виды уравнения плоскости: общее, по точке и нормальному вектору, по трем точкам, «в отрезках». Взаимное расположение двух плоскостей: условия их параллельности, перпендикулярности, совпадения, вычисление угла между ними. Вычисление расстояния от точки до плоскости. Теория прямых в пространстве. Различные виды уравнений прямых: векторно-параметрическое, канонические, по двум точкам, общие уравнения (пара пересекающихся плоскостей). Взаимное расположение двух прямых в пространстве: условия параллельности, пересечения, скрещиваемости, перпендикулярности. Вычисление расстояния от точки до прямой, угла и расстояния между прямыми. Взаимное расположение прямой и плоскости: условия их параллельности, принадлежности, перпендикулярности; вычисление угла между ними, координат точки их пересечения. Поверхности и их уравнения в пространстве. Каноническая теория поверхностей второго порядка: геометрические свойства и исследование их формы методом сечений. Уравнения поверхностей вращения. Использование теории поверхностей в науке и технике.

Раздел 6. Функции, пределы, непрерывность Множество действительных чисел. Числовые последовательности, их пределы. Существование предела монотонной ограниченной сверху или снизу последовательности (принцип Вейерштрасса). Функции одной переменной, области ее определения и значений, способы задания. Основные элементарные функции и их графики.

Класс элементарных функций. Предел функции в точке и в бесконечности. Односторонние пределы. Свойства пределов. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Сравнение бесконечно малых, эквивалентные бесконечно малые функции, их использование при нахождении пределов. Первый и второй замечательные пределы. Число е и натуральные логарифмы. Непрерывность функции в точке, интервале, на отрезz z Назад ке. Непрерывность основных элементарных и элементарных функций в области их определения. Точки разрыва функции и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Раздел 7. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Производная функции, ее смысл (геометрический, физический, экономический). Производная суммы, разности, произведения, частного функций, сложной и обратной функций. Таблица производных основных элементарных функций. Уравнения касательной и нормали к графику функции. Дифференциал, его геометрический и механический смыслы, свойства. Инвариантность формы дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей вида,,,.Формулы Тейлора и Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа или Пеано. Представление - функций по формуле Маклорена. Использование формул Тейлора и Маклорена в приближенных вычислениях. Необходимые и достаточные условия монотонности функции и ее локального экстремума. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Необходимые и достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции и его точек перегиба. Асимптоты графика функции, методы их отыскания. Схема полного исследования функции и построения ее графика.

Раздел 8. Кривизна плоской линии Длина дуги и ее производная. Определение кривизны, формула для ее вычисления в декартовых координатах, в случае задания линии параметрическими уравнениями, в полярных координатах. Радиус и круг (окружность) кривизны. Центр кривизны и вычисление его координат в случае задания уравнения линии в декартовых координатах и в параметрическом виде. Эволюта и эвольвента (развертка), их свойства. Приложения в теории механизмов и машин.

Раздел 9. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Определение функции нескольких переменных. Область существования (определения) и значений. Предел функции. Непрерывность. Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными дифференциалами и частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала. Геометрический смысл полного дифференциала. Дифференцируемость функций нескольких переменных. Вычисление частных производных сложных функций. Неявные функции, их дифференцирование. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в трехмерном пространстве. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков.

Формула Тейлора. Экстремум функции нескольких переменных.

Назад Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух и трех переменных. Наибольшее и наименьшее значения функций нескольких переменных в замкнутой области. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Производная по направлению, формула для ее вычисления. Градиент функции нескольких переменных, его свойства, связь с производной по направлению, понятие о приложении в методах оптимизации.

Раздел 10. Комплексные числа. Многочлены Комплексные числа, действия с ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа. Действия над комплексными числами: сложение, умножение, деление.

Формула Муавра. Корни из комплексных чисел. Многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры о разложении многочлена на множители. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Разложение рациональных дробей в сумму простейших дробей четырех типов.

Раздел 11. Неопределенные интегралы Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его основные свойства. Таблица основных неопределенных интегралов. Понятие об основных методах интегрирования: непосредственное интегрирование, метод замены переменной (метод подстановки), метод интегрирования по частям. Интегрирование простейших рациональных дробей и любых рациональных дробей. Интегрирование простейших иррациональных функций, теорема Чебышева. Интегрирование некоторых классов функций, содержащих тригонометрические функции. Универсальная и упрощенные подстановки. Понятие о «неберущихся» интегралах.

Раздел 12. Определенные интегралы Определение определенного интеграла, теорема об условиях его существования. Основные свойства определенных интегралов, геометрический смысл. Вычисление определенных интегралов. Формула НьютонаЛейбница. Вычисление определенных интегралов с помощью методов замены переменной и интегрирования по частям. Несобственные интегралы (интегралы с бесконечными пределами интегрирования и от неограниченных функций), теоремы об их сходимости и расходимости. Приближенное вычисление определенных интегралов по формулам прямоугольников, трапеций, парабол (Симпсона). Приложения определенных интегралов к некоторым задачам геометрического и физического содержания. Вычисление площадей плоских фигур, длины дуги кривой, объемов и площадей поверхностей тел вращения, работы переменной силы, давления на помещенную в Назад жидкость пластину, координат центра масс плоской дуги и фигуры, моментов инерции некоторых материальных систем.

Раздел 13. Кратные интегралы Определение двойного интеграла, его основные свойства. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах и его вычисление. Приложения двойных интеграловНВычисление площади плоской пластинки, объема и площади поверхности тела, массы, центра масс и моментов инерции неоднородных пластин. Определение тройного интеграла, его основные свойства. Вычисление тройного интеграла в прямоугольных декартовых координатах.

Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах, его вычисление. Приложения тройных интегралов. Вычисление объемов тел, массы неоднородного тела, координат его центра масс, моментов инерции неоднородных тел.

Раздел 14. Криволинейные интегралы Криволинейные интегралы первого рода (по длине дуги): определение, вычисление в декартовых координатах, в параметрическом случае, в полярных координатах, свойства. Приложения криволинейных интегралов по длине дуги: вычисление длин дуг, массы, координат центра масс, моментов инерции материальной неоднородной дуги, площади цилиндрической поверхности. Криволинейные интегралы второго рода (по координатам):

определение, вычисление в декартовых координатах, в параметрическом случае, в полярных координатах, свойства. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Приложения криволинейных интегралов по координатам: вычисление работы силы на криволинейном пути, площади плоской фигуры, нахождение функции по ее полному дифференциалу.

Раздел 15. Поверхностные интегралы. Элементы теории поля Поверхностные интегралы первого рода: определение, свойства, связь с двойным интегралом, вычисление.

Приложения поверхностных интегралов первого рода к вычислению массы, центра тяжести, моментов инерции материальной неоднородной поверхности. Поверхностные интегралы второго рода: определение, свойства, связь с тройным интегралом (формула Остроградского-Гаусса), связь с криволинейным интегралом (формула Стокса), вычисление. Векторная функция скалярного аргумента. Годограф. Производная векторной функции по скалярному аргументу. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к годографу. Скалярные и векторные поля. Геометрические характеристики полей: поверхности уровня (эквипотенциальные поверхности), Назад векторные линии. Операторы теории поля: градиент, дивергенция, ротор, оператор Лапласа. Дифференциальные операторы 2-го порядка. Поток векторного поля, его физический смысл и вычисление потока векторного поля. Циркуляция векторного поля и ее физический смысл. Формулы Остроградского-Гаусса и Стокса в теории поля, электротехнике. Физический смысл дивергенции и ротора. Простейшие векторные поля: соленоидальное, потенциальное, гармоническое; их свойства.

Раздел 16. Обыкновенные дифференциальные уравнения Некоторые задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Понятие о дифференциальных уравнениях n-го порядка и их решениях. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача и теорема Коши, их геометрическая интерпретация, изоклины, графическое интегрирование, приближенный метод Эйлера. Дифференциальные уравнения: с разделенными и разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к ним, линейные, Бернулли, в полных дифференциалах и приводящиеся к ним с помощью интегрирующего множителя; методы их интегрирования. Понятие об особых точках и решениях дифференциальных уравнений первого порядка, уравнения Клеро и Лагранжа. Огибающие, ортогональные и изогональные траектории. Дифференциальные уравнения второго и высших порядков. Задача и теорема Коши, их геометрическая интерпретация и графическое решение в случае второго порядка. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго и высших порядков, фундаментальная система решений, структура общего решения. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение, нахождение его корней, фундаментальной системы решений и общего решения. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения со специальной и неспециальной правой частью. Методы отыскания частного решения (метод спецструктуры и метод вариации произвольных постоянных Лагранжа). Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений n-го порядка и их решение методом исключения. Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, их решение с помощью характеристического уравнения системы. Приближенные методы решения дифференциальных уравнений и их систем методом, основанном на применении формулы Тейлора, методом Адамса. Приложения дифференциальных уравнений к решению задач геометрического, физического, химического и экономического содержания.

Раздел 17. Ряды Определение числового ряда, его сходимость, расходимость, сумма. Необходимый признак сходимости и Назад ходимости числовых рядов с положительными членами: признаки сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов. Функциональные ряды, области их сходимости и расходимости. Равномерно сходящиеся функциональные ряды, их свойства. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов: равномерная сходимость, непрерывность суммы, возможность почленного интегрирования и дифференцирования в интервале сходимости, неизменность интервала сходимости при почленном дифференцировании и интегрировании.

Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в степенные ряды некоторых функций. Приложения степенных рядов к приближенному нахождению значений функций, неопределенных и определенных интегралов, решений дифференциальных уравнений. Тригонометрические ряды Фурье, их сходимость для кусочно-монотонных функций.

Разложение в ряд Фурье периодических функций с периодом 2, 2l. Ряды Фурье для четных, нечетных, непериодических функций. Приложения рядов Фурье в электротехнике, механике колебательных процессов. Понятие о практическом гармоническом анализе.

Раздел 18. Элементы операционного исчисления Преобразование Лапласа, его свойства. Теоремы линейности, подобия, смещения, запаздывания, дифференцирования изображения и оригинала, свертывания. Таблица оригиналов и изображений. Нахождение оригинала по изображению. Приложения операционного исчисления к решению некоторых типов дифференциальных уравнений, систем дифференциальных уравнений.

Раздел 19. Теория вероятностей Предмет теории вероятностей. Основные понятия. Классификация событий. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Относительная частота случайного события. Закон устойчивости относительных частот. Статистическая вероятность событий. Классическое и геометрическое определения вероятности события.

Понятие об аксиоматическом построении теории вероятностей. Сложение и умножение вероятностей для несовместных, совместных, независимых и зависимых событий. Полная вероятность, вероятность гипотез. Формулы Байеса. Схема и формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Формула Пуассона. Дискретные и непрерывные случайные величины, их законы распределения. Интегральная функция и дифференциальная функция (плотность) распределения, их свойства и графики. Числовые характеристики случайных величин:

Назад метрия и эксцесс, их влияние на свойства распределения случайной величины. Некоторые законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин: биноминальное, геометрическое, Пуассона, равномерное, показательное, нормальное, Вейбулла (гамма-распределение), их свойства. Система дискретных и непрерывных случайных величин. Понятие о их законах распределения. Двумерная случайная величина. Интегральная функция и дифференциальная функция (плотность) распределения двумерной случайной величины. Зависимые и независимые случайные величины. Числовые характеристики двумерной случайной величины: математические ожидания, дисперсии, корреляционный момент, их свойства. Нормальное распределение двумерной случайной величины, его свойства. Понятие о законе больших чисел. Теоремы Бернулли и Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова.

Раздел 20. Элементы математической статистики Предмет и задачи математической статистики. Генеральная совокуп- ность и выборка. Статистическое распределение выборки, полигон, гистограмма, эмпирическая функция распределения. Статистические оценки параметров распределения. Несмещенные, состоятельные и эффективные оценки. Генеральная и выборочная средние. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Генеральная и выборочная дисперсии. Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной. Точность оценки, доверительная вероятность (надежность), доверительный интервал. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном и при неизвестном среднем квадратическом отклонении. Сглаживание экспериментальных зависимостей. Метод наименьших квадратов. Элементы теории корреляции. Две основные задачи теории корреляции. Линии регрессии. Линейная и нелинейная корреляции. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по не сгруппированным и сгруппированным данным. Выборочный коэффициент корреляции. Корреляционное отношение как мера корреляционной зависимости случайных величин.

Статистическая проверка статистических гипотез. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Область принятия гипотезы. Критические точки. Мощность критерия. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия согласия Пирсона. Проверка гипотезы о некотором принятом распределении генеральной совокупности с помощью критерия согласия Колмогорова.

Назад ТД-L.039 Высшая математика

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

Раздел 1. Основы математического анализа 1.1. Функциональная связь. Предел функции. Производная функции. Связь между существованием производной и непрерывностью функции. Основные правила дифференцирования. Производная суммы, частного.

Производная сложной функции.

1.2. Производные высших порядков. Дифференциал функции как главная часть приращения. Применение дифференциала для приближенного вычисления приращения функции.

1.3. Функции многих переменных. Частные производные. Частные и полные дифференциалы функции.

1.4. Неопределенный интеграл и его свойства. Непосредственное интегрирование, интегрирование методом подстановки и по частям.

1.5. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной интегрирования в определенном интеграле. Метод интегрирования по частям. Применение определенного интеграла к вычислению площади плоской фигуры и расчету работы переменной силы.

Раздел 2. Простейшие дифференциальные уравнения 2.1. Основные определения теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Порядок уравнения. Общее и частное решение дифференциального уравнения. Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

2.2. Решение дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

2.3. Моделирование задач физико-химического, фармацевтического и медико-биологического содержания с помощью дифференциальных уравнений.

Раздел 3. Основы теории вероятностей Назад 3.1. Испытания и события. Достоверные невозможные и случайные события. Статистическое и классическое определение вероятности. Теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий.

Произведение событий. Полная вероятность. Повторные независимые испытания. Формула Байеса. Формула Бернулли, локальная и интегральная теоремы Лапласа, формула Пуассона (без вывода).

3.2. Случайные величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины. Биномиальное распределение, распределение Пуассона. Непрерывные случайные величины.

3.3. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Характеристики распределения непрерывных случайных величин.

3.4. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал.

3.5. Нормальный закон распределения (закон Гаусса). Закон больших чисел. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли (без вывода), их вероятностный смысл. Понятие о теореме Ляпунова.

Раздел 4. Элементы математической статистики 4.1. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупность, способы отбора, представительность выборки. Статистическое распределение выборки. Дискретный и интервальный ряды распределения. Полигон, гистограмма. Эмпирическая функция распределения. Понятие о несмещенности, состоятельности и эффективности оценок параметров распределения. Выборочная средняя, выборочная и исправленная дисперсии.

4.2. Доверительные интервалы и доверительная вероятность. Нахождение доверительных границ для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном а. Распределение Стьюдента.

4.3. Прямые (непосредственные) измерения. Абсолютная и относительная погрешности, класс точности.

Косвенные измерения. Применение полного дифференциала для вычисления погрешностей косвенных измерений. Абсолютная и относительная погрешности косвенных измерений.

Назад Раздел 5. Статистическая проверка гипотез 5.1. Сравнение двух средних произвольно распределенных генеральных совокупностей (малые и большие выборки).

5.2. Общие понятия. Нулевая и альтернативная гипотезы. Общая постановка задачи проверки гипотез.

Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости. Критическая область. Проверка гипотез о равенстве генеральных средних. Критерий Стьюдента. Критерий Лапласса.

5.3. Проверка статистической гипотезы о равенстве генеральных дисперсий. Проверка гипотез для дисперсий: F-критерий Фишера. Проверка гипотез о законах распределения:

-критерий. Непараметрические критерии:

U-критерий Вилконсона, критерий Ван-дер-Вардена, критерий знаков. Сравнение нескольких групп.

Раздел 6. Элементы теории корреляции 6.1. Понятие о корреляции и регрессии. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости.

Уравнение линейной регрессии. Оценка параметров линейной регрессии методом наименьших квадратов. Понятие о коэффициенте корреляции, его смысл и свойства. Выборочный коэффициент корреляции. Оценка параметров линейной регрессии по несгруппированным и сгруппированным данным. Понятие о множественной корреляции. Проверка существенности корреляционных связей.

Раздел 7. Основы дисперсионного анализа 7.1. Понятие о дисперсионном анализе. Однофакторный дисперсионный анализ при одинаковом и неодинаковом числе испытаний на уровнях. Общая, факторная и остаточная дисперсии, связь между ними.

7.2. Понятие о двухфакторном и многофакторном анализах.

Раздел 8. анализ временных рядов 8.1. Дискретные и непрерывные временные ряды и их характеристики. Сглаживание временных рядов: метод наименьших квадратов, метод скользящего среднего, экспоненциальное сглаживание. Отыскание тренда временного ряда.

Раздел 9. Методы оптимизации и управления в фармации 9.1. Задачи линейного программирования. Задачи оптимизации в фармации (оптимизация плана производства, перевозок и т.д.). Понятие о целевой функции. Графическое решение задач оптимизации в случае целевой Назад функции двух аргументов. Симплекс-метод.

9.2. Транспортная задача. Матрица транспортной задачи. Пункты поставок и пункты назначения. Тарифы перевозок. Открытая и закрытая транспортная задачи. Оптимизация путем перемещения по циклу при решении транспортной задачи табличным способом.

ПРИМЕРНЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Раздел 1. Основы математического анализа 1.1. Производная функции. Дифференциал функции 1.2. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл.

Контрольная работа № 1: "Производная функции" Раздел 2. Простейшие дифференциальные уравнения 2.1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Контрольная работа №2: "Определенный и неопределенный интегралы" Раздел 3. Основы теории вероятностей 3.1. Случайные события. Вероятность. Теоремы теории вероятности 3.2. Случайные величины. Числовые характеристики дискретных случайных величин 3.3. Распределение непрерывных случайных величин. Характеристики распределения 3.4. Нормальный закон распределения (Закон Гаусса).

Контрольная работа №3 "Случайные события, случайные величины" Раздел 4. Элементы математической статистики 4.1. Статистическое распределение выборки. Ряды распределения. Статистические оценки параметров распределения 4.2. Доверительные интервалы и вероятности. Распределение Стьюдента 4.3. Расчет погрешностей непосредственных и косвенных измерений Раздел 5. Статистическая проверка статистических гипотез Назад 5.1. Сравнение двух средних произвольно распределённых генеральных совокупностей. Малые и большие независимые выборки 5.2. Сравнение дисперсий. Параметрические и непараметрические критерии Раздел 6. Элементы теории корреляции 6.1. Корреляционная зависимость. Отыскание уравнения линейной регрессии 6.2. Отыскание параметрических показателей, проверка существенности корреляционных связей.

Контрольная работа "Статистическая выборка гипотез" Раздел 7. Основы дисперсионного анализа 7.1. Однофакторный, двухфакторный и многофакторный дисперсионный анализы Раздел 8. Анализ временных рядов 8.1. Виды временных рядов. Методы сглаживания временных рядов Раздел 9. Методы оптимизации и управления в фармации 9.1. Задачи оптимизации в фармации. Графический метод решения задач оптимизации 9.2. Транспортная задача. Открытая и закрытая транспортные задачи Назад ТД-P.093 Высшая математика

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

Раздел 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1.1. Числовые множества. Функция и способы ее задания. Предел числовой последовательности. Число е. Предел функции в точке. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Теоремы о пределах функций. Непрерывность функции. Свойства непрерывных в точке функций. Односторонние пределы. Точки разрыва функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

1.2. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Таблица производных. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Дифференцирование обратной функции, неявной функции и функции, заданной параметрическими уравнениями. Логарифмическая производная. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Применение дифференциала.

1.3. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Экстремум функции. Необходимое и достаточные условия экстремума. Определение точек перегиба и асимптот графика функций. Общая схема исследования функции с помощью производных.

Раздел 2. Неопределенный интеграл Комплексные числа. Разложение рациональной функции на простейшие дроби. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов. Интегрирование подстановкой и по частям.