«Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет ЭЛЕКТРОННЫЙ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА [Методические указания] [Типовые программы курсов] [Основные понятия] ...»

Интегрирование рациональных функций. Интегрирование иррациональных выражений. Интегрирование тригонометрических выражений.

Раздел 3. Определенный интеграл Определенный интеграл и его свойства. Интеграл с переменным верхним пределом, формула НьютонаЛейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Вычисление площади, Назад длины дуги и объема при помощи определенного интеграла. Физические приложения определенного интеграла.

Несобственные интегралы. Признаки сходимости несобственных интегралов.

Раздел 4. Линейная алгебра 4.1. Матрицы и действия над ними. Перестановки. Определитель матрицы и его свойства. Методы вычисления определителей. Ранг матрицы. Обратная матрица. Векторы в трехмерном пространстве и операции над ними.

Проекция вектора. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Приложения векторов. Системы координат. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость. Матрица линейного оператора.

Собственные векторы и собственные значения.

4.2. Системы линейных уравнений и их матричная запись. Критерий совместности линейной системы. Формулы Крамера. Метод Гаусса. Системы однородных линейных уравнений.

Раздел 5. Аналитическая геометрия 5.1. Уравнение линии на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Нормальное уравнение прямой. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой.

5.2. Уравнения линии и поверхности в пространстве. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки. Нормальное уравнение плоскости. Угол между двумя плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Параметрическое и каноническое уравнения прямой в пространстве. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки. Угол между прямой и плоскостью.

5.3. Алгебраические линии второго порядка - эллипс, гипербола, парабола. Исследование общего уравнения линии второго порядка. Поверхности второго порядка.

Раздел 6. Функции нескольких переменных 6.1. Определение функции нескольких переменных. Предел функции двух переменных. Непрерывность функции двух переменных. Частные производные. Производная сложной функции. Дифференцирование неявной функции. Полный дифференциал и его применения. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. Экстремум функции нескольких переменных.

Назад тод множителей Лагранжа для нахождения ус- ловного экстремума. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой области. Определение особых точек кривой.

6.2. Скалярное поле и его характеристики. Производная по направлению и градиент. Векторная функция скалярного аргумента. Производная векторной функции. Векторное поле и его характеристики.

Раздел 7. Кратные и криволинейные интегралы 7.1. Двойной интеграл и его свойства. Сведение двойного интеграла к повторным интегралам. Замена переменной в двойном интеграле. Переход к полярным координатам. Тройной интеграл и его свойства. Сведение тройного интеграла к повторным интегралам. Замена переменной в тройном интеграле. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам. Приложения кратных интегралов.

7.2. Криволинейный интеграл 1 рода и его свойства. Вычисление криволинейного интеграла 1 рода. Криволинейный интеграл 2 рода и его свойства. Вычисление криволинейного интеграла 2 рода. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути интегрирования. Поверхностные интегралы 1 и рода и их вычисление. Формулы Остроградского-Гаусса и Стокса.

Раздел 8. Ряды Числовые ряды. Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Разложение функции в степенной ряд.

Раздел 9. Дифференциальные уравнения Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения. Общее и частное решения. Задача Коши.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения.

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Метод подстановки и метод вариации произвольной постоянной для решения линейного дифференциального уравнения 1-го порядка. Уравнение в полных дифференциалах. Дифференциальные уравнения высших порядков. Линейные однородные дифференциальные уравнения и свойства их решений. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянной для нахождения частного решения неоднородного Назад ключения решения нормальной системы дифференциальных уравнений. Решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Раздел 10. Теория вероятностей и математическая статистика 10.1. Предмет теории вероятностей. Пространство элементарных событий. Определение вероятности события. Относительная частота события. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность, формулы Бейеса. Последовательности независимых испытаний. Теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона. Закон распределения дискретной случайной величины. Непрерывные случайные величины. Функция распределения и ее свойства. Плотность распределения вероятностей и ее свойства. Математическое ожидание и дисперсия.

Примеры распределений: биномиальное распределение,распределение Пуассона, равномерное распределение, показательное распределение, нормальное распределение. Закон больших чисел.

10.2. Предмет и задачи математической статистики. Способы отбора и представления статистических данных. Эмпирическая функция распределения выборки. Числовые характеристики выборки. Точечная оценка параметров распределения, метод моментов. Интервальные оценки параметров распределения. Определение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной совокупности при известной дисперсии. Распределение. Статистическая гипотеза. Проверка гипотезы с помощью критерия Пирсона. Статистическая обработка данных об оперативной деятельности органов и подразделений по ЧС. Математическое моделирование оперативной деятельности органов и подразделений по ЧС.

ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

1. Функции и их свойства.

2. Вычисление пределов последовательностей.

3. Вычисление пределов функций.

4. Производная функции и ее вычисление.

5. Определение точек экстремума функции одной переменной.

6. Исследование функций с помощью производной.

7. Комплексные числа и действия с ними.

8. Вычисление неопределенных интегралов.

9. Вычисление определенных интегралов.

10. Приложения определенного интеграла.

Назад 11. Матрицы и действия с ними.

12. Определитель матрицы и его вычисление.

13. Вычисление ранга матрицы.

14. Решение систем линейных уравнений.

15. Метод Гаусса.

16. Решение однородных систем линейных уравнений.

17. Векторы и действия с ними.

18. Скалярное и векторное произведения векторов.

19. Уравнения прямой на плоскости и в пространстве.

20. Общее уравнение плоскости.

21. Линии второго порядка — эллипс, гипербола, парабола.

22. Исследование общего уравнения линии второго порядка.

23. Классификация поверхностей второго порядка.

24. Вычисление предела функции двух переменных и частных производных. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных.

25. Определение экстремума функции двух переменных.

26. Производная по направлению и градиент.

27. Векторное поле и его характеристики.

28. Вычисление кратных интегралов.

29. Вычисление криволинейных интегралов.

30. Вычисление поверхностных интегралов.

31. Исследование сходимости рядов.

32. Решение дифференциальных уравнений первого порядка.

33. Решение линейных дифференциальных уравнений.

34. Решение дифференциальных уравнений высших порядков.

35. Решение линейных однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

36. Решение систем дифференциальных уравнений.

37. Вычисление вероятности случайных событий.

38. Законы распределения случайных величин.

39. Определение числовых характеристик случайных величин.

40. Обработка статистических данных.

Назад ТД-T.003 Математика J Архитектура и строительство (кроме направления 69 Архитектура), и по специальности 1-27 01 01 Экономика и организация производства

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

Раздел 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия 1.1. Матрицы и линейные операции над ними. Произведение матриц. Транспонирование матрицы.

1.2. Определители 2 и 3 порядка и их свойства. Определитель n-го порядка.

1.3. Обратная матрица и ее построение. Теорема существования и единственности обратной матрицы.

1.4. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров и элементарными преобразованиями.

1.5. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Матричный метод решения невырожденных систем. Формулы Крамера. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.

1.6. Декартова система координат. Векторы в пространстве и линейные операции над ними. Условие коллинеарности векторов. Линейная зависимость и независимость векторов. Понятие базиса. Координаты вектора.

1.7. Скалярное произведение векторов, его свойства и механический смысл. Скалярное произведение в координатной форме. Условие перпендикулярности двух векторов.

1.8. Ориентация тройки векторов в пространстве. Векторное произведение векторов, его свойства, геометрический и физический смысл. Векторное произведение в координат ной форме.

1.9. Смешанное произведение векторов, его геометрический и механический смысл. Условие компланарности трех векторов.

1.10. Кривая на плоскости и способы ее задания. Различные виды уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

1.11. Окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения. Приложения геометрических свойств этих кривых. Общее уравнение кривых второго порядка в декартовой системе координат.

Назад Уравнения кривых второго порядка в полярных координатах.

1.12. Плоскость в пространстве и различные формы ее задания. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

1.13. Прямая в пространстве и способы ее задания. Угол между прямыми. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

1.14. Эллипсоид, гиперболоид, параболоид, конус, цилиндр. Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей. Общее уравнение поверхности второго порядка. Поверхности вращения. Цилиндрические и конические поверхности.

1.15. Линейное векторное пространство. Подпространство. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства. Базис и размерность. Координаты векторов. Преобразование координат вектора при замене базиса.

1.16. Евклидово пространство. Неравенство Буняковского-Коши. Ортогональный и ортонормированный базисы. Разложение вектора по ортогональному базису.

1.17. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Действия над линейными операторами. Зависимость между матрицами линейного оператора в различных базисах.

1.18. Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду.

1.19. Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Знакооп- ределенные квадратичные формы. Условия знакоопределенности квадратичных форм. Применение квадратичных форм к исследованию кривых и поверхностей второго порядка.

1.20. Комплексные числа и действия над ними. Поле комплексных чисел. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комп- лексных чисел. Формулы Муавра и Эйлера. Сопряженные числа.

1.21. Алгебраические многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители над полем комплексных и над полем действительных чисел.

1.22. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Методы вычисления коэффициентов разложения.

Раздел 2. Введение в математический анализ 2.1. Множества и действия над ними. Элементы математической логики. Логические символы. Необходимое Назад и достаточное условия. Прямая и обратная теоремы. Метод мате матической индукции. Бином Ньютона.

2.2. Поле действительных чисел. Модуль действительного числа. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Наибольший и наименьший элементы числового множества. Верхняя и нижняя грани числового множества.

2.3. Понятие предела числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Монотонные последовательности, критерий их сходимости. Число. Натуральные логарифмы.

2.4. Предел функции в точке и на бесконечности. Свойства функций, имеющих пре дел. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

2.5. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных в точке. Точки разрыва функции и их классификация. Непрерывность элементарных функций. Замечательные пределы.

2.6. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные функции и их применение к вычислению пределов.

2.7. Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства. Теорема Коши о промежуточном значении. Обратная функция и ее непрерывность.

Раздел 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3.1. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой. Правила дифференцирования, производная сложной и об ратной функции. Производные элементарных функций.Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.

3.2. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Инвариантность формы первого дифференциала. Непрерывность дифференцируемой функции.

3.3. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

3.4. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши. Виды неопределенностей. Правило Лопиталя.

3.5. Формула Тейлора и различные формы ее остаточного члена. Основные разложения элементарных функций по формуле Тейлора и их приложения.

3.6. Монотонность и экстремумы функции. Теорема Ферма. Необходимые и достаточные условия экстремума. Выпуклость и точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

3.7. Кривизна плоской кривой. Радиус кривизны. Понятие об эволюте и эвольвенте. Векторная функция Назад рический и механический смысл производной. Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственной кривой. Кривизна и кручение пространственной кривой. Формулы Френе.

Раздел 4. Интегральное исчисление функций одной переменной 4.1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных неопределенных интегралов. Замена переменной в не- определенном интеграле и интегрирование по частям.

4.2. Интегрирование рациональных функций разложением на сумму простых дробей.

4.3. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции и некоторые иррациональные функции.

4.4. Понятие определенного интеграла. Суммы Дарбу и их свойства. Необходимые и достаточные условия интегрируемости функций. Интегрирование непрерывных и кусочно-непрерывных функций.

4.5. Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница.

4.6. Замена переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям определенного интеграла.

4.7. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур; объемов тел; длин дуг; площадей поверхностей вращения.

4.8. Физические приложения определенных интегралов: вычисление работы; пути; давления; массы; центра тяжести; статических моментов и моментов инерции.

4.9. Несобственные интегралы первого и второго рода. Определения, признаки сходимости, абсолютная и условная сходимость.

Раздел 5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных 5.1. Множества на плоскости и в пространстве. Функции многих переменных (ФМП). Предел ФМП в точке и его свойства. Повторные пределы. Непрерывность ФМП в точке и на множестве.

5.2. Частные производные ФМП. Дифференциал ФМП и его связь с частными производными. Дифференциал сложной функции. Инвариант- ность формы первого дифференциала.

5.3. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению ФМП и градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных.

Назад рование.

5.5. Понятие экстремума ФМП. Необходимое и достаточное условие экстремума. Метод наименьших квадратов. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области. Условный экстремум; метод множителей Лагранжа.

Раздел 6. Интегральное исчисление функций многих переменных 6.1. Определение двойного интеграла и его свойства. Геометрический и физический смысл двойного интеграла. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат. Перемена порядка интегрирования в повторном интеграле.

6.2. Тройной интеграл, его определение, свойства, вычисление в декартовой системе координат.

6.3. Криволинейные координаты на плоскости и в пространстве. Якобиан и его геометрический смысл. Замена переменных в двойном и тройном интегралах. Двойной интеграл в полярной системе координат. Тройной интеграл в цилиндрической и сферической системах координат.

6.4. Приложения кратных интегралов: вычисление объемов; площадей; статических моментов; центра тяжести; моментов инерции.

6.5. Определение, свойства и вычисление криволинейных интегралов первого рода. Приложения криволинейных интегралов первого рода.

6.6. Определение, свойства и вычисление криволинейных интегралов второго рода. Приложения криволинейных интегралов второго рода. Связь криволинейных интегралов первого и второго рода.

6.7. Формула Грина. Независимость криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.

6.8. Площадь поверхности. Поверхностный интеграл первого рода, его вычисление, свойства, приложения.

6.9. Нормаль к поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности. Ориентация двусторонней поверхности. Поверхностный интеграл второго рода, его вычисление и свойства. Формулы Остроградского и Стокса. Связь ПОВИ-1 и ПОВИ-2.

Раздел 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения 7.1. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ). Общее и частное решение ДУ. ДУ 1-го порядка. Задача Коши для ДУ первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ДУ первого порядка. Метод изоклин.

Назад родные; в полных дифференциалах; линейное; Бернулли.

7.3. Общие понятия о ДУ высших порядков. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.Уравнения, допускающие понижение порядка. Понятие о краевых задачах. Линейные однородные ДУ и свойства их решений. Структура общего решения неоднородных линейных ДУ высших порядков.

7.4. Линейные однородные ДУ высших порядков, свойства их решений. Линейная зависимость и независимость системы функций. Определитель Вронского. Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Линейное неоднородное ДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод вариации произвольных постоянных.

7.5. Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.

Линейное неоднородные системы ДУ с постоянными коэффициентами.

7.6. Устойчивость по Ляпунову решений линейных систем второго порядка. Устойчивость нелинейных систем по первому приближению. Фазовая плоскость и особые точки двумерных систем.

Раздел 8. Векторный анализ и элементы теории поля 8.1. Скалярные и векторные поля. Векторные линии поля и их дифференциальные уравнения.

8.2. Потенциальное поле. Потенциальная функция поля. Поток векторного поля.

8.3. Дивергенция векторного поля. Физический смысл формулы Остроградского.

8.4. Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция и ротор векторного поля.

Физический смысл формулы Стокса.

8.5. Оператор Гамильтона. Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа. Дифференциальные операции первого и второго порядков в цилиндрических и сферических координатах.

Раздел 9. Интегралы, зависящие от параметра 9.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Их непрерывность, дифференцирование и интегрирование.

9.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (НИЗОП). Равномерная сходимость НИЗОП, признак Вейерштрасса. Теоремы о не- прерывности, дифференцируемости и интегрируемости НИЗОП.

9.3. Гамма-функция, бетта-функция и их применение.

Раздел 10. Числовые и функциональные ряды Назад 10.1. Числовой ряд и его сумма. Необходимое условие сходимости ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Достаточные условия сходимости ряда: признаки сравнения; признаки Даламбера и Коши; интегральный признак. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.

10.2. Функциональные ряды, сумма ряда и область сходимости. Равномерная сходимость функциональных рядов. Критерий Коши и признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Непрерывность суммы функционального ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование функционального ряда.

10.3. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы степенного ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда.

10.4. Ряды Тейлора. Теорема о единственности разложения функций в ряд Тейлора. Достаточные условия представления функции рядом Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора.

10.5. Применение рядов к решению дифференциальных уравнений, вычислению определенных интегралов.

Назад Раздел 11. Ряд и интеграл Фурье 11.1. Ортогональность тригонометрической системы функций. Тригонометрический ряд Фурье. Достаточные условия сходимости тригонометрических рядов Фурье. Ряд Фурье для функций с периодом 2л, и для функций с произвольным периодом. Тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме.

11.2. Интеграл Фурье. Косинус- и синус-преобразования Фурье и их свойства. Комплексная форма интеграла Фурье.

Раздел 12. Элементы теории функций комплексной переменной 12.1. Функции комплексной переменной. Предел и непрерывность функций комплексной переменной.

12.2. Производная функции комплексной переменной. Понятие аналитической функции, условия КошиРимана. Связь аналитических и гармонических функций. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформные преобразования.

12.3. Интеграл от функции комплексной переменной. Теорема Коши и интегральная формула Коши.

12.4. Функциональные ряды в комплексной области. Степенные ряды в комплексной области: теорема Абеля; радиус и круг сходимости. Ряд Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора. Нули аналитических функций и их классификация.

12.5. Ряд Лорана и область его сходимости. Изолированные особые точки аналитических функций: устранимые особые точки; полюсы и их связь с нулями; существенно особые точки.

12.6. Вычеты аналитических функций. Основная теорема о вычетах. Приложения вычетов к вычислению определенных интегралов.

Раздел 13. Операционное исчисление 13.1. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение. Свойства преобразования Лапласа: линейность;

подобие; дифференцирование оригинала и изображения; интегрирование оригинала и изображения; запаздывание оригинала; смещение изображения; изображение свертки. Формула обращения преобразования Лапласа.

Теорема разложения.

13.2. Применение преобразования Лапласа к решению обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, уравнений с частными производными.

Раздел 14. Уравнения математической физики Назад 14.1. Вывод основных уравнений математической физики: колебаний струны; теплопроводности.

14.2. Методы Даламбера и Фурье решения уравнений математической физики.

14.3. Уравнение Лапласа. Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье.

14.4. Метод сеток решений уравнений математической физики.

Раздел 15. Теория вероятностей 15.1. Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения и сочетания.

15.2. Пространство элементарных событий, алгебра событий. Относительная частота и вероятность события. Аксиоматическое и классическое определения вероятности. Теоремы сложения и умножения.

15.3. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Формула полной вероятности, формулы Байеса.

15.4. Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона. Случайные величины. Функция распределения случай ной величины, ее свойства. Дискретные случайные величины, полигон распределения. Непрерывные случайные величины, функция и плотность распределения.

15.5. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Моменты случайной величины.

15.6. Основные законы распределения. Биномиальный закон распределения, закон распределения Пуассона, равномерный закон распределения, показательный закон распределения, нормальный закон распределения.

Функция Лапласа, правило трех сигм.

15.7. Закон больших чисел и предельные теоремы. Неравенства Маркова и Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. Центральная предельная теорема Ляпунова.

15.8. Системы случайных величин (случайные векторы). Функция и плотность распределения систем двух случайных величин, их свойства. Вероятность попадания случай ной точки в заданную область. Зависимые и независимые случайные величины. Числовые характеристики систем случайных величин. Начальные и центральные моменты. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции.

Раздел 16. Математическая статистика Назад ловые характеристики выборки. Полигон и гистограмма.

16.2. Основные статистические распределения: 2 -распределение, распределение Фишера и Стьюдента.

16.3. Статистические оценки параметров. Точечные и интервальные оценки. Методы нахождения точечных оценок: метод моментов Пирсона, метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов. Интервальные оценки: доверительный интервал, уровень значимости. Доверительный интервал для математического ожидания при известной и неизвестной дисперсии.

16.4. Статистическая проверка гипотезы. Ошибки первого и второго родов. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий. Критерии согласия Неймана-Пирсона, ?2 -Пирсона, А. 11. Колмогорова.

16.5. Понятие о регрессионном и корреляционном анализе. Линейная регрессия. Определение параметров линейной регрессии методом наименьших квадратов.

16.6. Нелинейная регрессия. Корреляционное отношение.

Назад Назад Абсолютно непрерывная функция распределения вероятно- Базис и размерность пространства Абсолютно сходящийся ряд комплексных чисел Базис системы векторов Абсолютный начальный момент порядка Базисный минор Аддитивная и мультикативная группа Бесконечно малая последовательность Асимптотическая устойчивость линейной системы Биномиальное распределение вероятности Асимптотически несмещённая оценка Биномиальный дифференциал Асимптотически эффективная оценка Блочно-диагональная матрица Назад Векторная функция нескольких переменных Вычет в бесконечно удаленной точке Векторное произведение векторов Векторный потенциал Величина направленного отрезка Величина проекции вектора на вектор Величина проекции вектора на ось Вероятностное пространство Вероятность события Вертикальная асимптота Верхний предел Верхняя граница множества Верхняя грань Вершина параболы Вершины гиперболы Вершины эллипса Внешний объем n-мерного тела Внешний объем тела Внешняя площадь фигуры Внутренний объем n-мерного тела Внутренний объем тела Внутренняя площадь фигуры Возрастающая функция Вписанная фигура Вписанное тело Второй дифференциал Выборочное пространство Назад Гармоническая функция Гармонический ряд Геометрическая вероятностная модель Геометрический вектор Геометрический ряд Гипербола Гистограмма Главная часть ряда Лорана Главные угловые миноры Гладкая дуга в Rn Гладкая кривая комплексной плоскости Гладкая поверхность в Rn Глобальный экстремум функции нескольких переменных Глобальный максимум функции нескольких переменных Глобальный минимум функции нескольких переменных Глобальный экстремум Голоморфная в области функция Голоморфная в точке функция Голоморфная на множестве функция Голоморфность функции в бесконечно удаленной точке Градиент Граница множества Граница множества в Rn Граничная задача Граничная точка множества Граничная точка множества в Rn Граничные условия График функции График функции двух переменных Назад Декартов квадрат множества Дифференцируемость функции комплексного переменного в Декартова прямоугольная система координат в пространстве точке Декартова прямоугольная система координат на плоскости Дифференцируемость функции комплексного переменного Декартовы координаты вектора Дифференцируемость функции нескольких переменных в Декартовы прямоугольные координаты точки в пространстве Длина вектора Декартовы прямоугольные координаты точки на плоскости Деление отрезка в данном отношении Дивергенция Дизъюнкция высказываний Директриса параболы Директрисы гиперболы Директрисы эллипса Дискретная вероятностная модель Дисперсия Дифференциал k-ого порядка Дифференциал векторной функции Назад Естественная область определения Назад Знакоопределенная квадратичная форма Инверсия в перестановке Назад Интервал сходимости.

Инъективное вложение Назад Компонента векторной функции нескольких переменных удаленной точке функции Конечномерное пространство Кратность(порядок) нуля аналитической функции Конечномерность нулевого линейного пространства Кратные корни многочлена Континуум Конформное отображение в бесконечно удаленной точке Криволинейная трапеция Конформное отображение в области Криволинейная трапеция Конформное отображение второго рода Криволинейный интеграл I рода Конформное отображение первого рода Криволинейный интеграл II второго рода Концы кривой комплексной плоскости Кубируемое тело Координатная ось Координатный столбец Координаты вектора Координаты вектора в N -мерном линейном промтранстве Координаты точки в Rn Корень из комплексного числа Корень многочлена Корреляционная матрица Косинус-преобразование Фурье.

Кососимметрическая матрица Коэффициент асимметрии случайной величины Коэффициент вариации Коэффициент корреляции Коэффициент линейного растяжения Коэффициенты линейного дифференциального уравнения Коэффициенты Тейлора Краевая задача Краевые условия Кратность(порядок) нуля аналитической в бесконечно Назад Линейная выражаемость систем Локально ограниченная функция Линейная дифференциальная система Локальные свойства Линейная зависимость векторов в n-мерном линейном Локальный максимум функции нескольких переменных Линейная комбинация векторов в n-мерном линейном Локальный экстремум Линейная комбинация последовательностей Линейная комбинация рядов.

Линейная независимость векторов Линейная оболочка Линейная функция Линейное уравнение с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение порядка n Линейное отображение Линейное стационарное уравнение Линейность интеграла Линейные операции над векторами Линейные операции над матрицами Линейный оператор Линейный стационарный оператор Линия второго порядка Линия уровня Липшицева функция Логарифм натуральный Логарифмическая производная Логарифмический вычет Назад Максимально линейно независимая подсистема системы Множество рациональных чисел Максимально линейно независимая система векторов в Множество сходимости Функциональной последовательноn-мерном линейном пространстве сти.

Математическое ожидание N -мерного случайного вектора Множество уровня Математическое ожидание непрерывной случайной величи- Множество целых чисел Математической ожидание дискретной случайной величины Модуль комплексного числа Матрица квадратичной формы Матрица линейного оператора Матрица перехода Матрица-столбец Матрица-строка Медиана Мера Минор матрицы Минор элемента матрицы Миноры определителя Многозначная функция комплексного переменного Многосвязная область Многочлен Многочлен Тейлора Многочлен Фурье Множество Множество всех подмножеств Множество действительных чисел Множество натуральных чисел Назад Начальный момент k-го порядка Непрерывность функции комплексного переменного на Невырожденность системы линейных уравнений Непрерывность функции нескольких переменных вдоль Недетерминированный эксперимент Непрерывность функции нескольких переменных по одной Независимые в совокупности случайные величины переменной Некоррелированные случайные величины Неравенство Бесселя Неоднородность линейного дифференциального уравнения Несмещённая оценка Неопределенной интеграл функции комплексного перемен- Неустойчивость линейной системы Назад Нормальный вектор плоскости Нормальный вид вещественных квадратичных форм Нормированность вектора Нулевая матрица Нулевая совокупность значений переменных Нулевой вектор Нулевой многочлен Нулевой отрезок Нуль аналитической функции Назад Однородное линейное дифференциальное уравнение Ось параболы Односвязная область Окружность расширенной комплексной плоскости Отрезок Оператор Лапласа Оператор простой структуры Описанная фигура Описанное тело Определенный интеграл Римана Определитель матрицы Оригинал Ориентация декартовой системы координат Ориентация декартовой системы координат на плоскости Ориентация кривой комплексной плоскости Ориентация тройки векторов Ортогональная система векторов Ортогональное преобразование Ортогональность векторов Ортогональность функций Ортонормированный базис Особая точка Особая точка дифференциального уравнения Остаток ряда комплексных чисел Остаточный член Острый экстремум Ось Назад Параметрическое представление поверхности в Rn Полюс Первая квадратичная форма поверхности Полюс инверсии Первообразная функции комплексного переменного Полярная система координат Перестановки с повторениями Последовательность комплексных чисел Период Повторные независимые испытания Правило треугольника Показательно-степенной предел Предел на + бесконечности Полное приращение функции нескольких переменных Предел функции в точке Назад Предел функции в точке слева Производная функции комплексного переменного в точке Предел функции в точке справа Производная функции нескольких переменных Предел функции комплексного переменного Производная функции по направлению Предел функции нескольких переменных Проколотая окрестность точки Предел функции нескольких переменных вдоль множества Предельная точка множества Проколотая окрестность точки комплексной плоскости Предельная точка множества в Rn Проколотая окрестность точки расширенной комплексной Предельная точка множества комплексных чисел плоскости Предельная функция последовательности функций ком- Прообраз подмножества Приведение квадратичной формы к каноническому виду Простой нуль Принцип математической индукции Простой нуль аналитической функции в бесконечно удаленПринцип переноса результатов. ной точке Приращение функции вдоль направления Пространство элементарных событий Произведение линейного оператора на число Противоречие Произведение матрицы на число Произведение многочленов Произведение рядов в форме Коши.

Произведение рядов.

Произведение точки на число в Rn Производная Производная векторной функции Производная многочлена Производная порядка Производная порядка n Назад Равенство отображений Равномерная сходимость Функционального ряда. Рационализирующая подстановка Равномерная сходимость последовательности функций Рациональная функция Равномерная сходимость последовательности. Рационально-тригонометрическая функция Равномерно непрерывная функция нескольких пеменных Ротор Радиус сходимости.

Радиус-вектор Разбиение кривой в Rn Разбиение множества в Rn Разбиение отрезка Разложение вектора Разложение функции в степенной ряд.

Размещения Разность векторов Назад Симметрическая разность множеств Среднеквадратическое отклонение Симметрия относительно окружности Статистический критерий Система дифференциальных уравнений в нормальной форме Стационарная точка функции нескольких переменных Системы с ведущей линейной частью Степенной ряд в комплексной плоскости Случайная величина дискретного типа Сторона поверхности Назад Сумма векторов Сумма линейных операторов Сумма матриц Сумма многочленов Сумма ряда Сумма комплексного ряда Сумма ряда Лорана Сумма ряда функций комплексного переменного Существенно особая точка Сферическая метрика Сферическая система координат Сферические координаты Схема независимых испытание Бернулли Сходимость Функциональной последовательности в точке.

Сходимость последовательности комплексных чисел к бесконечно удаленной точке Сходимость в среднем.

Сходимость ряда Сходимость комплексного ряда Сходимость ряда Лорана Сходящаяся последовательность Сходящаяся последовательность комплексных чисел Сюръективное отображение Назад Убывающая функция Угловой коэффициент Угол между векторами Угол между векторами в евклидовом пространстве Угол между кривыми в бесконечно удаленной точке Угол наклона прямой к оси Угол поворота кривой Унитарная матрица Унитарное пространство Уравнение Лапласа Уравнение кривой на комплексной плоскости Уравнение плоскости в отрезках Уравнение прямой в отрезках Уравнение прямой с угловым коэффициентом Уравнение с частными производными первого порядка Уравнения связей Уровень значимости Условие Коши (для последовательности в Rn ) Условие Липшица Условия Коши Условная вероятность распределения Условная плотность распределения вероятностей Условная функция распределения Условное математическое ожидание дискретной случайной величины Условное математическое ожидание непрерывной случайной величины Условный локальный максимум Условный локальный минимум Назад Фазовая плоскость Фазовое пространство двумерной системы Фазовый график Фазовый график(траектория) двумерной системы Фокальная ось гиперболы Фокальная ось эллипса Фокус параболы Формула Маклорена Формула Стирлинга.

Формула Тейлора Формула интегрирования по частям неопределенного интеграла Формула конечных приращений Фундаментальная последовательность в Rn Фундаментальная система решений Функциональная последовательность.

Функциональный ряд.

Функция, аналитическая в бесконечно удалённой точке Функция, заданная параметрически Функция Функция Жуковского Функция Коши линейного стационарного оператора Функция Хевисайда Функция Хевисайда Функция большего порядка Функция комплексного переменного Функция нескольких переменных Функция одного порядка Функция распределения Назад Характеристическая функция случайного вектора Центр окружности Характеристическая функция случайной величины Центр эллипса Характеристический многочлен Характеристическое уравнение Цилиндрическая система координат Назад Частная производная k-ого порядка Эквивалентность систем Частная сумма ряда функций комплексного переменного Эквивалентные системы векторов Частное решение системы линейных алгебраических урав- Эксцентриситет эллипса Частные суммы ряда комплексных чисел Эластичность функции Члены ряда комплексных чисел Назад Ядро линейного оператора Якобиан Назад 1. Основы высшей математики 2. Математический анализ 3. Дифференциальные уравнения 4. Геометрия и алгебра 5. Теория вероятностей 6. Математическая статистика Назад 1.1. Множества 1.2. Соответствия 1.3. Элементы математической логики 1.4. Отображения 1.5. Бинарные отношения 1.6. Комплексные числа Назад 1.1.1. Основные определения и понятия.

1.1.2. Действия над множествами.

1.1.3. Основные числовые множества Назад 1.1.1 Основные определения и понятия.

Одно из основных понятий современной математики – множество. Это понятие является первоначальным, и не определяется через другие. Когда в математике говорят о множестве, то объединяют некоторые объекты (числа, функции, точки, прямые и т.д.) в одно целое — множество, состоящее из этих объектов. Основатель теории множеств Георг Кантор выразил эту мысль следующими словами: "Множество есть многое, мыслимое нами как единое". Объекты составляющие данное множество называют его элементами, и говорят, что они принадлежат данному множеству. Тот факт, что элемент x принадлежит множеству M записывают с помощью знака следующим образом x M.

Существуют различные способы задания множеств. Конечное множество, т.е. множество содержащее конечное число элементов, может быть задано с помощью непосредственного указания всех элементов этого множества. Например, множество, содержащее три элемента a, b, c, можно записать в виде {a, b, c}. Запись M = {a, {a}} означает, что множество M состоит из элемента a и одноэлементного множества {a}.

Множество, которое не содержит ни одного элемента, называют пустым множеством и обозначают символом.

Другим способом задания множеств, позволяющим задавать не только конечные, но и бесконечные множества, содержащие бесконечное число элементов. В этом случае множество задается с помощью указания его характеристического свойства, т.е такого свойства, которому удовлетворяют все элементы данного множества. Например, множество {0, 1, 2} может быть задано как множество всевозможных остатков от деления целых чисел на число 3. Множество M, определяемое некоторым характеристических свойством P, будем записывать следующим образом M = {x | P (x)}, и говорить в этом случае, что множество M состоит из элементов x, обладающих свойством P. Мы также будем использовать два специальных символа и, называемых кванторами общности и существования, соответственно. Так запись x M P (x) означает, что для любого элемента x, принадлежащего множеству M, выполнено свойство P, а запись x M P (x) означает, что для существует элемент x, принадлежащий множеству M, для которого выполнено свойство P.

Назад 1.1.2 Действия над множествами.

Множество N называется подмножеством множества M, если любой элемент из N является элементом множества M, т.е. N = {x | x M }.

В этом случае будем писать, что N M. Очевидно, что для любого множества M будет выполнено включение M.

Два множества M и N называются равными, если N M и M N.

Равенство двух множеств будем записывать в виде M = N.

Объединением M N множеств M и N называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству M или множеству N, т.е. M N = {x | x M x N }.

Пересечением M N множеств M и N называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству M и множеству N, т.е. M N = {x | x M x N }.

Два множества M И N называются непересекающимися, если M N =.

Разностью M \N множеств M и N называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству M, но не принадлежат N, т.е. M \ N = {x | x M x N }.

Если множество N является подмножеством множества M, то разность M \ N называют дополнением множества N до множества M и обозначают M N.

Как правило все множества (точек, прямых, чисел, функций и т.д.), с которыми приходится иметь дело в том или ином математическом рассуждении, являются подмножеством некоторого одного множества U, называемого в этом случае универсальным множеством. Например, при решении алгебраических уравнений мы можем ограничиться нахождением только их действительных решений и в этом случае в качестве универсального множества рассматривать множество всех действительных чисел R, если же нас интересуют и комплексные корни, то в качестве универсального множества можно рассматривать множество всех комплексных чисел C. В Назад дальнейшем запись N будет обозначать дополнение множества N до выбранного универсального множества.

Очевидно, также, что при выбранном универсальном множестве U для любого множества M будет выполнено включение M U.

Симметрической разностью M N множеств M и N называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые ровно одному из множеств M или N, т.е. M N = (M \ N ) (N \ M ).

Нетрудно заметить, что M N = (M N ) \ (N M ).

Зафиксируем некоторое универсальное множество U. Тогда для любых множеств L, M, N имеют место следующие утверждения.

Докажем, например соотношение 25. Для его доказательства нам надо доказать, в силу 4), что выполнены оба включения (M N ) M N и M N (M N ). Докажем первое из них Назад Аналогично доказывается и второе включение Отметим следующее соотношение двойственности. Если в каждом из приведенных выше соотношений поменять между собой символы U и, и, и, то в результате снова получиться одно из этих свойств, например, таким путем из соотношения 8) получается соотношение 9), из соотношения 16) — соотношение 17) и т.д. Таким образом, каждому утверждению, выведенному из соотношений 1) — 27), соответствует другое двойственное утверждение, получающееся из первого с помощью указанных замен символов.

Множеством всех подмножеств данного множества M называется множество P, элементами которого являются подмножества множества M и только эти подмножества:

Например, для множества M = {a, b, c} множество всех подмножеств содержит 8 элементов и имеет вид P(M ) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

Нетрудно доказать, что если данное множество M содержит n элементов, n N, то во множестве P(M) содержится ровно 2n элементов.

Назад 1.1.3 Основные числовые множества Множество натуральных чисел N является исходным числовым множеством. Натуральные числа (номера) 1, 2, 3, 4,... используют для счета и нумерации предметов.

Множество целых чисел Z содержит все числа n N, числа n, n N, и число 0.

ло можно изображать в виде бесконечной периодической десятичной дроби r = m, a1 a2...ak (p), где m целое число, ai цифры, ai {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, p периодически повторяющаяся группа цифр (период).

Числа из Q позволяют проводить измерения и расчеты с любой степенью приближения. Однако, проводить точные измерения, используя рациональные числа, удается на всегда. Так, например, длина диагонали квадрата со стороной 1 не выражается рациональным числом. Некоторые рациональные числа допускают двоякое изображение в виде периодической десятичной дроби. Например, = 1, 25000... = 1, 25(0) = 1, 24999... = 1, 24(9).

Обычно используют изображение с нулем в периоде и ноль не пишут.

Множество действительных чисел R состоит из всех чисел, которые изображаются бесконечными десятичными дробями a = m, a1 a2...ak..., где m целое число, ai цифры, ai {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

В R можно выполнять арифметические операции - сложение, вычитание, умножение и деление (за исключением деления на число 0 ) по известным правилам. Действительные числа изображают точками на числовой прямой, хотя записывать символически эти числа можно разными способами. Если числам a и b (записанным каким-либо способом) соответствует одна и та же точка числовой прямой, то эти числа называют равными и пишут a = b. Действительные числа можно сравнивать между собой. Говорят, что число a больше числа b, если точка числовой прямой,соответствующая числу a, расположено правее точки, соответствующей числу b. В этом случае записывают: a > b или b < a. Если a > b или a = b, то пишут a b или b a. Числа из R позволяют проводить точные измерения и расчеты. Длина диагонали квадрата со стороной 1 выражается действительным числом 2, которое можно записать также в виде бесконечной непериодической десятичной дроби 2 = 1, 4142135...

Назад Множество A, содержащее все элементы x, удовлетворяющие условию P, обозначаем Промежутки.

Отрезок с концами a, b R, a < b это множество Интервал с концами a, b R, a < b это множество Полуинтервалы Числовая прямая (, +) = R.

Границы числовых множеств Ограниченность множеств. Пусть X числовое множество. Наибольший элемент множества X обозначают maxX, наименьший элемент обозначают minX.

Число a называют верхней границей множества X, если x Множество X называют ограниченным сверху, если у него есть верхняя граница.

Пример 1.1. Для множества X = (3, 5] верхними границами являются числа 6, 113, 5. Это множество ограничено сверху. Множество = (3, +) не имеет верхней границы, оно не ограничено сверху.

Число a называют нижней границей множества X, если x Назад Множество X называют ограниченным снизу, если у него есть нижняя граница.

Пример 1.2. Для множества X = (3, 5] нижними границами являются числа 6, 103, 3. Это множество ограничено снизу.

Множество = (, 5] не имеет нижней границы, оно не ограничено снизу.

Множество X называют ограниченным, если у него есть нижняя граница и верхняя граница.

Точные границы числовых множеств. Ограниченное сверху множество имеет бесконечное множество верхних границ, ограниченное снизу - бесконечное множество нижних границ.

Наименьшую верхнюю границу множества X называют верхней гранью или точной верхней границей и обозначают supX.

b = supX означает, что выполнены условия:

Наибольшую нижнюю границу множества X называют нижней гранью или точной нижней границей и обозначают inf X.

a = inf X означает, что выполнены условия:

Теорема 1.1 (Теорема о гранях). Непустое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань, ограниченное снизу - нижнюю грань.

Пример 1.3. Для множества X = (3, 5] нижняя грань inf X = 3, верхняя грань supX = 5.

Если множество X не ограничено сверху, то полагают supX = +, если X не ограничено снизу, то полагают inf X =.

Назад Биномиальная формула Ньютона В ряде случаев при построении доказательств, рассуждений и выводов удобно использовать следующее положение, которое называют принципом математической индукции.

Пусть M - множество тех натуральных чисел, для которых истинно высказывание P = P (n). Если Пример 1.4. Докажем формулу Используем принцип математической индукции.

1) Проверим справедливость формулы при n = 1.

1 · 4 = 1(1 + 1)2 - равенство верное.

2) Предположим, что формула верна при n = k, т.е.

3) Докажем, что формула верна при n = k + 1, т.е.

При проведении доказательства используем предположение о верности формулы при n = k.

k(k + 1)2 + (k + 1) · (3k + 4) = (k + 1)(k(k + 1) + (3k + 4)) = (k + 1)(k + 2)2, т.е. формула верна и при n = k + 1.

4) На основании принципа математической индукции делаем вывод, что формула верна при любом n N.

Пусть множество A состоит из n элементов.

Всякое подмножество множества A, содержащее k элементов, k < n, называют сочетанием k элементов из n.

Число всех сочетаний из n элементов по k обозначают Cn.

Назад Д о к а з а т е л ь с т в о. Все n! перестановок n элементов множества A(см.3.622) можно получить следуюk щим образом. Выберем какие-либо k элементов из n. Для этого имеется Cn вариантов. Выбранные элементы допускают k! перестановок, поэтому используя возможности выбора k элементов и все их перестановки, можно получить уже Cn k! различных перестановок элементов множества A. Оставшиеся n k элементов множества A допускают (n k)! перестановок. Поэтому число всех перестановок элементов из A равно Cn k!(n k)!. Таким образом, Отсюда легко получается утверждение теоремы.

Полученная формула позволяет утверждать, что Cn = Cn. После сокращения можно получить следующую формулу для вычисления числа перестановок:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя теорему, получаем Бином Ньютона. Из школьного курса математики известны формулы Назад Используя принцип математической индукции, докажем более общее утверждение.

Теорема 1.3. При любом натуральном n справедлива формула Ньютона 1) При n = 1 формула Ньютона имеет вид (a + b)1 = C1 a + C1 b = 1 · a + 1 · b = a + b, что, конечно же, верно.

3) Докажем, что формула верна при n = k + 1, т.е.

При проведении доказательства используем предположение о верности формулы при n = k.

Назад Тогда т.е. формула Ньютона верна и при n = k + 1.

4) На основании принципа математической индукции делаем вывод, что формула Ньютона верна при любом Назад Назад Пусть X, Y – два непустых множества.

Произвольное подмножество декартова произведения X Y называется соответствием между множествами X и Y.

Если x X и y Y и пара (x, y), то пишут xy. Соответствие можно определить заданием какоголибо свойства, которым обладают все пары, составляющие множество и только они. Если пустое множество, то соответствие называется пустым, а если же = X Y, то соответствие называется полным.

Замечание 2.1. Для соответствия между множествами X и Y наряду с записью xy или (x, y) или (x, y) употребляется также обозначение (, X, Y ).

Областью определения соответствия (обозначается Dom или D ) называется множество элементов x X, для каждого из которых найдется хотя бы один элемент y Y такой, что xy.

Областью значений соответствия (обозначается Im или R ) называется множество элементов y Y, для каждого из которых найдется хотя бы один элемент x X такой, что xy.

Соответствие называется всюду определенным, если Dom = X.

Пусть x X. Тогда множество элементов y Y таких, что xy называется образом элемента x относительно соответствия и обозначается im x.

Прообразом элемента y Y относительно соответствия называется множество элементов x X таких, что xy и обозначается coim y.

Соответствие называется сюръективным, если Im = Y.

Соответствие называется инъективным, если для любых элементов x1, x2 Dom и таких, что x1 = x их образы y1, y2 (x1 y1, x2 y2 ) таковы, что y1 = y2.

Назад Соответствие называется биективным, если оно сюръективно и инъективно.

Для конечных множеств X и Y используются матричное и графовое представление соответствия.

Пусть, например, множество X состоит из m элементов, т.е. имеет вид X = {x1, x2,..., xm }, а множество Y состоит из n элементов, т.е. имеет вид Y = {y1, y2,..., yn }. Тогда соответствию сопоставляется матрица размера m n, строки которой помечены элементами из X, столбцы – элементами из Y, а на пересечении строки xi и столбца yj стоит 1, если xi yj, и 0 в противном случае.

Например, если X = {x1, x2, x3 }, Y = {y1, y2 } и = {(x1, y1 ), (x1, y2 ), (x2, y2 ), (x3, y1 )}, то матрица соответствия имеет вид Верно и обратное утверждение. А именно, каждая матрица подобного вида однозначно определяет соответствие между множествами X и Y.

При графовом представлении соответствия между множествами X и Y элементы этих множеств изображаются точками на плоскости. Обычно эти точки обозначаются теми же символами, что и соответствующие элементы. Точки x и y соединяются направленной дугой от x к y, если xy.

Например, если X = {x1, x2, x3 }, Y = {y1, y2 }, а = {(x1, y1 ), (x1, y2 ), (x2, y2 ), (x3, y1 )}, то это соответствие изобразится следующим ориентированным графом.

Назад 1.3.1. Высказывания.

1.3.2. Пропозициональные формулы.

Назад 1.3.1 Высказывания.

Основу математической логики представляет собой алгебра высказываний (булева алгебра), ключевым понятием которой является высказывание. Это понятие является основным в математической логике и не определяется через другие понятия.

Под высказыванием понимается повествовательное предложение (множество таких предложений), про которое можно однозначно утверждать, что оно истинно или ложно.

Как правило, высказывания обозначаются буквами латинского алфавита. Если высказывание a истинно, то говорят, что оно имеет логическое значение 1 (истина) и пишут (a) = 1; если высказывание a ложно, то говорят, что оно имеет логическое значение 0 (ложь) и пишут (a) = 0.

Операции, выполняемые над высказываниями и порождающие новые высказывания, называются логическими операциями. К таким логическим операциям относятся операции отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция.

Отрицанием некоторого высказывания p называется такое высказывание, которое истинно, когда p ложно, и ложно, когда p истинно.

Отрицание высказывание p обозначается p (читается "не p").

Таким образом, логическое значение высказывания p связано с логически значением высказывания p так, как это показано в следующей таблице (таблица истинности):

В литературе для высказывания p используется также и обозначение p.

Конъюнкцией высказываний p и q называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истины оба высказывания p и q.

Обозначается конъюнкция через p q (возможны также обозначения p & q, p · q) и читается "p и q".

Таблица истинности для конъюнкции имеет вид Назад Дизъюнкцией высказываний p и q называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний.

Обозначается дизъюнкция через p q и читается "p или q".

Таблица истинности для дизъюнкции имеет вид Импликацией высказываний p и q называется такое высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда p истинно и q ложно.

Обозначается дизъюнкция через p = q и читается "из p следует q".

Таблица истинности для импликации имеет вид Назад Эквиваленцией высказываний p и q называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба эти высказывания истины или оба ложны.

Обозначается эквиваленция через p q и читается "p эквивалентно q".

Таблица истинности для эквиваленции имеет вид Назад 1.3.2 Пропозициональные формулы.

Латинские буквы и латинские буквы с индексами, т.е. символы p, q,..., p1, q1,...,p2, q2,..., служащие для обозначения произвольных высказываний, называются пропозициональными переменными, а символы,,, =,, служащие для обозначения логических операций, называются пропозициональными связками.

Пропозициональной формулой называется выражение, построенное из пропозициональных переменных с помощью пропозициональных связок по следующим правилам:

1) каждая пропозициональная переменная является пропозициональной формулой;

2) если P и Q — пропозициональные формулы, то ( P ), (P Q), (P Q), (P = Q), (P Q) также являются пропозициональными формулами;

3) других пропозициональных формул нет.

Замечание 3.1. Пропозиционная переменная называется также переменной логики высказываний, а пропозиционная формула – формулой логики высказываний.

Например, если p, q и r — пропозициональные переменные, то выражение является пропозициональной формулой, а выражение таковой не является.

Количество скобок при записи пропозициональной формулы можно значительно сократить, если воспользоваться следующими договоренностями. Во-первых, опускать внешнюю пару скобок, в которую заключены все символы, входящие в данную формулу. Во-вторых, считать пропозициональные связки упорядоченными следующим образом:,,, =, и опускать те пары скобок, без которых можно восстановить пропозициональную формулу в соответствии со следующим правилом. Каждое вхождение знака относится к наименьшей формуле, следующей за ним; после того как все скобки, относящиеся к знаку расставлены, каждое вхождение знака связывает наименьшие формулы, которые его окружают и т.д., при этом, если применяют указанное правило к одной пропозициональной связке, то формула просматривается слева направо. В соответствие с этой Назад договоренностью, формула () может быть переписана в виде Каждому набору логических значений пропозициональных переменных, входящих в данную пропозициональную формулу, соответствует определенное логическое значение этой формулы, которое может быть определено, например, с помощью соответствующей таблицы истинности. Если в формулу входит n переменных, то количество строк в такой таблице будет равно 2n, поскольку именно столько существует различных наборов логических значений для входящих в формулу переменных.

Пропозициональную формулу, в которую входит n пропозициональных переменных p1, p2,..., pn, обозначают F (p1, p2,..., pn ).

Пропозициональная формула называется тавтологией (тождественно истинной формулой), если она принимает логическое значение 1 (истина) при всех наборах логических значений входящих в нее пропозициональных переменных.

Утверждение, что формула F (p1, p2,..., pn ) является тавтологией обозначается |= F (p1, p2,..., pn ).

Пример 3.1. Примером тавтологии может служить пропозициональная формула p p (закон исключенного третьего), чья таблица истинности имеет вид Пропозициональная формула называется противоречием (тождественно ложной формулой), если она принимает логическое значение 0 (ложь) при всех наборах логических значений входящих в нее пропозициональных переменных.

Пример 3.2. Примером противоречия может служить пропозициональная формула p p (закон противоречия), чья таблица истинности имеет вид Назад Очевидно, что формула F (p1, p2,..., pn ) — противоречие тогда и только тогда, когда формула F (p1, p2,..., pn ) — тавтология.

Пропозициональные формулы F и G называются логически эквивалентными (равносильными), если пропозициональная формула F G является тавтологией.

Равносильность формул F и G обозначается F G.

Например, формулы (p = q) и ( q = p) являются равносильными. Действительно, это следует из таблицы истинности для формулы (p = q) ( q = p):

Логическая эквивалентность приведенных формул обосновывает способ доказательства утверждений от противного.

Очевидно, что отношение эквивалентности пропозициональных формул удовлетворяет следующим свойствам.

1. F F для любой формулы F (рефлексивность).

2. Если F G, то G F, для любых формул F и G (симметричность).

3. Если F G и G H, то F H для любых формул F, G и H (транзитивность).

Эти свойства позволяют преобразовывать пропозициональные формулы (если нас интересует не структура самой формулы, а лишь то логическое значение, которая она принимает на том или ином наборе логических значений входящих в нее переменных) с помощью замены любой формулы на эквивалентную ей формулу с целью их упрощения или приведения к некоторому стандартному виду.

Назад нальных формул.

Во многих математических рассуждениях представляет интерес следует ли из некоторых утверждений (посылок) то или иное новое утверждение (заключение). На языке математической логики это означает следует ли Назад логически из пропозициональных формул F1,..., Fn формула G и как это проверить средствами математической логики.

Пропозициональная формула G называется логическим следствием пропозициональных формул F1,..., Fn, n 1, если для всех наборов логических значений входящих в формулы G, F1,..., Fn, пропозициональных переменных логическое значение формулы G равно 1 по крайней мере тогда, когда логические значения всех формул F1,..., Fn равны 1.

Если G — логическое следствие формул F1,..., Fn, то пишут F1,..., Fn |= G. Проверку этого факта можно проводить с использованием следующего утверждения.

Теорема 3.1. Пропозициональная формула G является логическим следствием пропозициональных формул F1,..., Fn, n 1, тогда и только тогда, когда пропозициональная формула F1... Fn = G является тавтологией. В частности F |= G тогда и только тогда, когда |= (F = G).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Докажем, что из F1,..., Fn |= G следует (F1... Fn = G).

Предположим противное, то есть предположим, что импликация F1... Fn = G не является тавтологией.

Логическое значение импликации равно 0 лишь в одном случае, когда логическое значение формулы G равно 0, а логическое значение формулы F1... Fn равно 1. Но для того чтобы логическое значение конъюнкции было равно 1 необходимо, чтобы логические значения всех формул F1,..., Fn были равны 1. Но это противоречит тому, что F1,..., Fn |= G, так как по определению логическое значение G должно быть равным 1 всякий раз, когда логические значения всех формул F1,..., Fn равны 1. Полученное противоречие и доказывает необходимость условий теоремы.

Достаточность. Нам надо доказать, что из (F1... Fn = G) следует F1,..., Fn |= G. Если мы предположим противное, то есть G не является логическим следствием F1, Fn, то это означает, что существует хотя бы один набор логических значений пропозициональных переменных, при котором логические значения всех пропозициональных формул F1,..., Fn равны 1, а следовательно логическое значение их конъюнкций также равно 1, а логическое значение пропозициональной формулы G равно 0. Но тогда логическое значение импликации F1... Fn = G равно 0 и, следовательно, формула F1... Fn = G не является тавтологией.

Полученное противоречие и доказывает достаточность условий теоремы.

Пример 3.3. Проверим, является ли логически правильным следующее рассуждение. Если число делится на 10, то оно делится на 2 и на 5. Если число делится на 2, то последняя цифра в его десятичной записи является четной. Если число делится на 5, то последняя цифра в его десятичной записи или 0, или 5. Если последняя цифра числа равна 5, то последняя цифра этого числа не является четной. Значит, если Назад число делится на 10, то последняя в десятичной записи этого числа равна 0.

Обозначим через p высказывание "число делится на 10 через q — "число делится на 2 через r — "число делится на 5 через a — "последняя цифра в десятичной записи числа является четной через b — "последняя цифра в десятичной записи числа равна 5 через c — "последняя цифра в десятичной записи числа равна 0". В этих обозначениях нам надо проверить является ли пропозициональная формула p = c логическим следствием пропозициональных формул p = q r, q = a, r = b c, b = a. В силу доказанной выше теоремы для этого нам следует выяснить является ли тавтологией пропозициональная формула Для доказательства тавтологичности этой формулы воспользуемся выше эквивалентностями (a b) (b a), то и вся получившаяся дизъюнкция будет тавтологией, а вместе с тем будет Поскольку тавтологией и исходная импликация. Следовательно наше рассуждение логически верное.

Назад Пусть X и Z — два произвольных непустых множества.

Соответствие, сопоставляющее каждому элементу из множества X единственный элемент из множества Y, называется отображением множества X в множество Y.

Обозначим отображением множества X в множество Y буквой f и, чтобы подчеркнуть, что f это отображение X в Y, будем записывать Отображение f называют также функцией, заданной на множестве X со значениями во множестве Y. Термин функция чаще всего употребляют для отображений числовых множеств в числовые множества.

Элемент y Y, соответствующий элементу x X при отображении f, называется образом элемента x и обозначается f (x), а элемент x – в этом случае называется прообразом элемента y.

В связи с этим для обозначения отображения употребляют также записи Возможно также употребления записи, при которой в явном виде указывается соответствие между элементами множеств X и Y :

Например, запись означает, что на отрезке [0, 1] задано отображение, которое каждому числу из этого отрезка ставит в соответствие его квадрат.

Два отображения f : X Y и : X Y называется равными, если результаты их действия одинаковы, т.е.

для любого элемента x X выполняется равенство f (x) = (x).

Равенство отображений f и обозначается f =.

Назад Пусть f : X Y и y — некоторый фиксированный элемент из Y.

Множество (возможно пустое) {x X | y = f (x)} всех элементов их X, для которых y является образом при отображении f называется полным прообразом элемента y при отображении f и обозначается f 1 (y).

Множество X называют множеством определения отображения f и обычно обозначают D(f ) или Domf ; подмножество Y множества Y называют множеством значений отображения f, если Y = {y Y | y = f (x), x X}, множество значений отображения f обычно обозначают E(f ) f.

Прообразом подмножества Y Y называется множество всех x X, для которых f (x) Y.

Прообраз подмножества Y обозначается f 1 (Y ), т.е. f 1 (Y ) = {x X | f (x) Y }.

Образом подмножества X X называется множество всех значений отображения f на всех элементах множества X.

Образ подмножества X обозначается f (X ), т.е. f (X ) = {f (x) | x X }.

Композицией двух отображений f : X Y, g : Y Z называют отображение h : X Z, определяемое соотношением h(x) = f (g(x)), x X.

Композиция отображений обычно обозначается f g. Очевидно, что композиция (как операция над отображениями) ассоциативна, т.е. h (f g) = (h f ) g, поэтому при записи композиции нескольких подряд идущих отображений можно опускать скобки. В тех случаях, когда вместо термина отображение используют термин функция, композицию функций называют также сложной функцией.

Отображение f : X Y называется инъективным (инъекцией, вложением, отображением в) если оно переводит разные элементы в разные, т.е. если x1 = x2, то f (x1 ) = f (x2 ).

Отображение f : X Y называется сюръективным (сюръекцией, наложением, отображением на) если множество ее значений совпадает со множеством Y, т.е. если f (X) = Y.

Назад Отображение f : X Y называется биективным (биекцией, взаимно однозначным) если оно одновременно и инъективно и сюръективно.

Замечание 4.1. Если f — биекция, то существует обратное отображение f 1, для которого f 1 (y) = x f (x) = y. Заметим, что для биективного отображения f равенства f 1 (f (x)) = x и f (f 1 (y)) = y выполнены для любых x X и y Y.

Пример 4.1. Рассмотрим четыре отображения:

Отображение f1 не является ни инъективным, ни сюръективным, f2 — иньективно, но не сюръективно, f3 — сюръективно, но не инъективно, а отображение f4 — биективно. Только для последнего отображения существует обратное отображение Назад 1.5.1. Декартово произведение множеств.

1.5.2. Бинарное отношение.

1.5.3. Отношения эквивалентности и порядка.

1.5.4. Алгебраическая операция.

Назад 1.5.1 Декартово произведение множеств.

Пусть X, Y – два непустых множества.

Декартовым (прямым) произведением множеств X, Y называется множество всех упорядоченных пар Декартово произведение обозначается X Y, т.е.

Декартово произведение X X называется декартовым квадратом множества X и обозначается X 2, т.е.

Пример 5.1. Пусть множество M представляет собой единичный отрезок, т.е. M = {x | 0 x 1}. Тогда декартово произведение M M представляет собой единичный квадрат: M M = {(x, y) | 0 x 1 0 y 1}.

Назад 1.5.2 Бинарное отношение.

Пусть X – произвольное непустое множество.

Всякое подмножество X 2 декартово квадрата множества X называется отношением (бинарным отношением), заданным на множестве X.

Говорят, что элемент x X находится в отношении к элементу y X и пишут xy, если пара (x, y).

Отношение можно определить заданием какого-либо свойства, которым должны обладать все пары, составляющие множество и только они.

x x 1.5.3. Отношения эквивалентности и порядка.

Назад 1.5.3 Отношения эквивалентности и порядка.

Бинарное отношение на множестве X называется отношением эквивалентности, если оно обладает следующими свойствами:

1. xx, для любого x X (рефлексивность);

2. если xy, то yx (симметричность);

3. если xy и yz, то xz (транзитивность).

Отношение эквивалентности обозначается символом. С отношением эквивалентности связано разбиение множества X на классы эквивалентных между собой элементов. Равенство чисел, параллельность прямых являются примерами эквивалентности.

Бинарное отношение на множестве X называется отношение порядка, если оно обладает следующими свойствами:

1. xx для x X (рефлективность);

2. если xy и yx, то x = y (антисимметричность);

3. если xy и yz, то xz (транзитивность).

Отношение порядка обозначается символом.

На множестве N натуральных чисел естественное отношение порядка n m определяется как множество всех пар (n, m), где число n, не больше числа m.

Назад 1.5.4 Алгебраическая операция.

Отображение f : X 2 X называется алгебраической (бинарной) операцией на множестве X.

Другими словами, на множестве X задана алгебраическая операция, если каждой упорядоченной паре (x1, x2 ) элементов множества X поставлен в соответствие определенный элемент x3 X.

В этом случае элемент x3 называется композицией элементов x1 и x2.

Алгебраическая операция обозначается символом или.

Тогда то, что элемент x3 является композицией элементов x1 и x2 при алгебраической операции записываются как x3 = x1 x2.

Алгебраическая операция, заданная на X называется коммутативной, если для любых двух элементов x1, x2 X выполняется равенство Алгебраическая операция, заданная на X называется ассоциативной, если для любых трех элементов x1, x2, x3 множества X выполняется равенство (x1 x2 ) x3 = x1 (x2 x3 ).

Пример некоммутативной операции.

Пусть X = Z, то вычитание не является коммутативной операцией т.к. a b = b a.

Пусть на множестве X задана алгебраическая операция.

Элемент n X называется нейтральным относительно операции, если для любого элемента x X верны равенства x n = n x = x.

Теорема 5.1. Пусть на множестве X задана алгебраическая операция. Тогда, если в множестве X относительно этой операции существует нейтральный элемент, то он единственный.

Д о к а з а т е л ь с т в о. От противного. Пусть существует два нейтральных элемента n и m. Рассмотрим n m. Из определения нейтрального элемента, с одной стороны, имеем n m = n; с другой стороны n m = m, но тогда n = m.

Назад Пусть на множестве X определена алгебраическая операция, относительно которой в X имеется нейтральный элемент n.

Элемент x X называется симметричным элементу x X относительно заданной на множестве X алгебраической операции, если x x = x x = n.

Теорема 5.2. Пусть на множестве X задана ассоциативная операция, относительно которой в множестве X существует нейтральный элемент n. Тогда если для некоторого элемента множества X существует симметричный элемент, то он единственный.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x X и x1 и x2 – два симметричных элемента элементу x. Рассмотрим композицию x1 x x2. С одной стороны,x1 x x2 = (x1 x) x2 = n x2 = x2. С другой стороны x1 x x2 = Назад 1.6.1. Алгебраическая форма записи комплексного числа.Действия над комплексными числами 1.6.2. Геометрическое изображение комплексных чисел 1.6.3. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел 1.6.4. Извлечение корней из комплексных чисел Назад 1.6.1 Алгебраическая форма записи комплексного числа.

Действия над комплексными числами Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi, где a и b – действительные числа, а i – число, которое называется мнимой единицей и является решением уравнения x2 + 1 = 0, т.е. i2 = 1.

Число a называется действительной частью комплексного числа z и обозначается Rez, а число b – мнимой частью числа z и обозначается Imz.

Представление комплексного числа в виде z = a + ib называется алгебраической формой записи этого числа.

Ясно, что множество действительных чисел R является подмножеством всех комплексных чисел, которое обозначается. Множество R получается из множества, если рассматривать комплексные числа вида z = a+o·i.

Два комплексных числа z1 = a1 + b1 i и z2 = a2 + b2 i называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. z1 = z2, тогда и только тогда, когда a1 = a2 и b1 = b2.

Комплексное число вида z = a ib называется сопряженным комплексному числу z = a + ib.

Действительное неотрицательное число обозначается |z|, т.е. |z| = a2 + b2.

Отметим, что || = |z|. Кроме того, zz = (a + bi) (a bi) = a2 + b2, т.е. произведение двух комплексно сопряженных чисел есть действительное неотрицательное число, равное сумме квадратов их действительных и мнимых частей, т. е. равно квадрату их модуля: zz = |z|2.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, производятся по правилам сложения, вычитания и умножения многочленов с учетом того, что i2 = 1, а именно:

Назад Пример 6.1. Рассмотрим два комплексных числа z1 = 1 + i, z2 = 2 + 6i.

Найти: а) |z1 |, |z2 |; б) z1 + z 2 ; в) z1 z2 ; г).

x x 1.6.2. Геометрическое изображение комплексных чисел Назад 1.6.2 Геометрическое изображение комплексных чисел Если для геометрического изображения действительных чисел используются точки числовой прямой, то для изображения комплексных чисел служат точки плоскости.

Действительно, каждому комплексному числу z = a + bi можно поставить в соответствие точку с координатами (a, b) и, наоборот, каждой точке с координатами (a, b) соответствует единственное комплексное число z = a + bi.

Плоскость, точки которой отождествляют с комплексными числами, называют комплексной плоскостью, ось абсцисс – действительной осью (на ней изображаются действительные числа), ось ординат – мнимой осью (на ней изображаются мнимые числа, т.е. комплексные числа, у которых действительная часть равна нулю) комплексной плоскости.

Исходя из этого, каждому комплексному числу z = a+bi соответствует радиус-вектор точки с координатами (a, b), исходящий из начала координат, т. е. из точки (0, 0), и с концом в точке (a, b) (рис. 1). Тогда арифметическим операциям над комплексными числами можно дать геометрическую интерпретацию. Например, сложение и вычитание комплексных чисел z1 = a1 + b1 i и z2 = a2 + b2 i сводится к сложению и вычитанию соответствующих им радиус-векторов (рис. 2).

x x 1.6.3. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел Назад 1.6.3 Тригонометрическая форма записи комплексных чисел Запись комплексного числа в алгебраической форме z = a+bi соответствует на плоскости в прямоугольной системе координат Оху точка с абсциссой a и ординатой b. Вместе с тем, с каждой такой точкой, как сказано выше, связан радиус – вектор этой точки, длина которого равна r и равна модулю комплексного числа z (рис.

1), т.е.

а также угол, образованный этим радиус-вектором с осью Ox, называемый аргументом комплексного числа z и обозначаемый Arg z. Из значений = Arg z выделяется главное значение arg z, удовлетворяющее условию < arg z. Исходя из рис. 1, имеем Но тогда комплексное число z = a + bi может быть записано в виде Представление комплексного числа в виде (6.3) называется тригонометрической формой записи комплексных чисел.

Рассмотрим два комплексных числа в тригонометрической форме Найдем произведение этих чисел. Согласно правилам умножения комплексных чисел (п.1.6.1), получаем Отсюда следует, что:

1) |z1 z 2 | = |z1 |·|z2 | ; 2)Arg (z1 z2 ) = Argz1 +Argz2, т.е. модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.

Из этого утверждения следует формула Муавра, которая доказывается методом математической индукции x x 1.6.3. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел Назад В случае деления комплексных чисел в тригонометрической форме имеем модулей; аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Пример 6.2. Комплексные числа z1 = 1 + i, z2 = 1 3i представить в тригонометрической форме и найти z1 z2 и.

Решение. По формуле (6.2) находим модули комплексных чисел z1 и z2 : r1 = |z1 | = (1)2 + ( 3)2 = 2. Из соотношений (6.3) имеем: cos 1 =, sin 1 =, а cos 2 =, sin 2 =. Но тогда главные значения аргументов чисел z1 и z2 имеют вид: 1 =, 2 =. Следовательно, исходя из формул (6.4), (6.6), получаем Пример 6.3. Вычислить (1 + i).

Решение. Из предыдущего примера имеем 1 + i = 2(cos + i sin ).

Тогда по формуле Муавра (6.5) получаем Назад 1.6.4 Извлечение корней из комплексных чисел Комплексное число z называется корнем n-й степени из комплексного числа z, если () Если z = 0, имеем единственный корень z = 0.

Запишем комплексное число z = a + bi в тригонометрической форме z = r (cos + i sin ).

Теорема 6.1. Для каждого ненулевого комплексного числа z = r (cos + i sin ) существует в точности n значений корня n-й степени из z, которые могут быть определены по формуле Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть корень n z существует и равен (cos + i sin ), т.е.

Возведем обе части равенства (6.8) в n-ю степень. Используя формулу Муавра, имеем r(cos + i sin ) = n (cos n + i sin ). Отсюда, в силу равенства комплексных чисел, получаем Здесь n r – арифметическое значение корня n-ой степени из положительного числа r.

Докажем, что существует в точности n различных значений корня n-ой степени из z, т.е. достаточно рассматривать k от 0 до n 1. Действительно, при k = 0, n 1 мы получим n значений корня, которые все будут различными, так как увеличение k на единицу влечет за собой увеличение аргумента на. Пусть теперь kn произвольно. Тогда это число k можно представить в виде k = nq + m, q Z, m N, причем 0 m n 1.

Отсюда, имеем Назад т.е. значение аргумента при k = nq + m отличается от значений аргумента при k = m на число кратное 2, и следовательно, мы получим такое же значение корня, как и при k = 0, n 1.

Из формулы (6.7) видно, что все n значений корня n-й степени из комплексного числа z расположены на окружности радиуса n |z| с центром в начале координат и делят эту окружность на n равных частей.

Отметим, что корень n-й степени из любого действительного числа а также имеет n различных значений.

Среди этих значений действительных будет два, одно или ни одного в зависимости от а, (0 > 0 или 0 < 0) и Пример 6.4. Найти 3 1.

Решение. Представим сначала число z = 1 в тригонометрической форме:

1 = 1 · (cos + i sin ). В соответствии с формулой (6.7) имеем Назад 2.1. Предел последовательности 2.2. Функции одной переменной 2.3. Определенный интеграл Римана 2.4. Арифметическое n-мерное пространство 2.5. Функции нескольких переменных.

2.6. Неявные функции 2.7. Векторные функции нескольких переменных 2.8. Площадь и объем.

2.9. Двойной интеграл 2.10. Тройной интеграл 2.11. n-кратный интеграл 2.12. Кривые и поверхности.

2.13. Криволинейный интеграл первого рода 2.14. Криволинейные интегралы второго рода 2.15. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования 2.16. Поверхностный интеграл первого рода 2.17. Поверхностный интеграл второго рода 2.18. Связь поверхностных интегралов с криволинейными и тройными 2.19. Векторный анализ 2.20. Ряды 2.21. Функциональные ряды 2.22. Функции комплексного переменного Назад 2.1.1. Числовая последовательность 2.1.2. Бесконечно малые последовательности 2.1.3. Сходящиеся последовательности 2.1.4. Монотонные последовательности Назад 2.1.1 Числовая последовательность Последовательностью действительных чисел называют отображение упорядоченного естественным образом (по возрастанию) множества N в множество R, при котором каждому n N ставится в соответствие число an. Числа an называют членами (элементами) последовательности.

Пример 1.1. Последовательность ( ) можно записать в виде 1,,, 1,...,,,... Последовательность 1, 1, 1, 1, 1, 1,...

можно задать иначе, указав (в круглых скобках) формулу ее n-го члена: это последовательность((1)n1 ). Говорят также: "задана последовательность an = (1)n1 ".

Подпоследовательности Удалим из последовательности (an ) какие-либо элементы так, что останется бесконечное множество элементов. Оставшиеся элементы не переставляем местами. Они образуют последовательность, называемую подпоследовательностью последовательности (an ).

Если из последовательности (an ) удалить несколько (конечное множество) первых элементов, то получим подпоследовательность, называемую остатком последовательности (an ).

Ограниченная последовательность Последовательность (an ) называют ограниченной, если ограничено множество {an } всех элементов этой последовательности, т.е. если m, M R, n N, m M. При этом используют обозначение an = O(1), которое читают: "an есть о большое от 1".

Пример 1.2. Последовательность an = n(1) т.е. последовательность 1, 2,, 4,, 6,,... имеет ограниченную подпоследовательность 1,,,,..., но не является ограниченной.

Теорема 1.1. Если последовательность ограничена, то ограничен и любой ее остаток. Если какойлибо остаток последовательности ограничен, то и сама последовательность ограничена.

Назад Д о к а з а т е л ь с т в о. Первое утверждение очевидно. Если же последовательность (an ) имеет ограниченный остаток ak+1, ak+2, ak+3,..., т.е. m, M, m M, n k + 1, то, взяв m0 = min{a1,...ak, m}, M0 = max{a1,...ak, M }, получим: n N, m0 an M0, т.е. последовательность (an ) ограничена.

Арифметические комбинации последовательностей Пусть заданы последовательности (an ) и (bn ).

Суммой последовательностей (an ) и (bn ) называют последовательность (an + bn ).

Разностью последовательностей (an ) и (bn ) называют последовательность (an bn ).

Произведением последовательностей (an ) и (bn ) называют последовательность (an bn ).

Частным последовательностей (an ) и (bn ) называют последовательность. Частное может быть определено, если bn = 0, n.

Линейной комбинацией последовательностей (an ) и (bn ) называют последовательность (Aan + Bbn ), где A и B - постоянные.

Если последовательности (an ) и (bn ) ограничены, то их сумма, разность, линейная комбинация и произведение также являются ограниченными последовательностями. Частное может оказаться неограниченной последовательностью.

x x 2.1.2. Бесконечно малые последовательности Назад 2.1.2 Бесконечно малые последовательности Последовательность (n ) называют бесконечно малой последовательностью, если При этом используют обозначение n = o(1), которое читают: "n есть о малое от 1".

Пример 1.3. Рассмотрим последовательность n = ( ). Если n, то ее элементы n удовлетворяют неравенству n =.

Выполнено определение бесконечно малой последовательности, в котором достаточно взять =. Значит, последовательность является бесконечно малой.

Пример 1.4. Пользуясь определением, покажем, что формула n = задает бесконечно малую последовательность. Так как Лемма 1.1. Если где величина M не зависит ни от n, ни от, то последовательность бесконечно малая.

произвольного > 0 построим число 1 = Свойства бесконечно малых последовательностей Свойство 1. Бесконечно малая последовательность ограничена.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (n ),бесконечно малая последовательность. Возьмем фиксированное > 0.

Существует такое, что для всех n > выполняется неравенство n. Значит последовательность (n ) имеет ограниченный остаток, а поэтому и сама последовательность ограничена.

Свойство 2. Сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью, x x 2.1.2. Бесконечно малые последовательности Назад Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (n ) и (n ) - две бесконечно малые последовательности. Для любого > |n + n | + = 2. На основании М-леммы последовательность (n + n ) является бесконечно малой последовательностью.

Свойство 3. Сумма любого фиксированного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказывается по индукции.

Свойство 4. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью, Д о к а з а т е л ь с т в о. Если последовательность (n ) бесконечно малая, а (n ) - ограниченная, то для основании М-леммы последовательность (n · n ) является бесконечно малой.

Свойство 5. Произведение двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью, Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (n ) и (n ) - две бесконечно малые последовательности.Поскольку бесконечно малая последовательность является ограниченной, то можно считать (n ) ограниченной и рассматривать произведение (n · n ) как произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность, что дает бесконечно малую последовательность.

Свойство 6. Произведение любого фиксированного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказывается по индукции.

Свойство 7. Если все элементы бесконечно малой последовательности равны, то они равны нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если (n ) - бесконечно малая последовательность и n = h, h = 0 для всех n, то взяв = получим:

что является противоречием.

Назад 2.1.3 Сходящиеся последовательности Предел последовательности Последовательность (an ) называют сходящейся, если существует такое число a, что Последнее неравенство равносильно тому, что При этом используют обозначение an a или (Читают: an сходится к a или предел an равен a.).

где величина M не зависит ни от n, ни от, то последовательность an сходится к a.

Доказательство проводится так же, как доказательство М-леммы1.1. Сходимость последовательности an к a означает, что Свойства сходящихся последовательностей Свойство 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

равенства второе, получаем : a b = o(1). На основании свойства 7 бесконечно малых последовательностей получаем: a = b.

Свойство 2. Сходящаяся последовательность ограничена.

Назад Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть an a. Возьмем фиксированное > 0. Существует такое, что для всех n > выполняется неравенство a a +. Значит последовательность (an ) имеет ограниченный остаток, а поэтому и сама последовательность ограничена.

Свойство 3. Если an a и bn b, то Aan + Bbn Aa + Bb.

(Aa + Bb) + o(1). Это означает, что Aan + Bbn Aa + Bb.

ao(1) + bo(1) + o(1)o(1) = ab + o(1). Следовательно an · bn a · b.

Свойство 6. Если an a, bn b и an bn, при любом n, то a b.

an a и n 2 bn b +. Если n = max(1, 2 ), то an > bn, что противоречит условию.

бесконечно малой последовательности n = 2 3 и поэтому имеет предел 2. Аналогично, знаменатель имеет предел 3.

Теорема 1.2 (о сжатой последовательности). Если последовательности (an ) и (bn ) имеют общий предел h и an cn bn при любом n, то и последовательность (cn ) сходится к h.

сходится к h.

Бесконечно большие последовательности Последовательность (an ) называют бесконечно большой, если Назад Если все элементы бесконечно большой последовательности с достаточно большими номерами положительны, то пределом этой последовательности считают +. Если все элементы бесконечно большой последовательности с достаточно большими номерами отрицательны, то пределом этой последовательности считают В следующих примерах сравниваются бесконечно большие последовательности.

Фундаментальные последовательности Последовательность (an ) называют фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:

Теорема 1.3 (Критерий Коши). Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Пример 1.9. Рассмотрим последовательность Назад 1.3 сходится.

Назад 2.1.4 Монотонные последовательности Последовательность (an ) называют возрастающей, если она удовлетворяет условию :

an+1 an при любом n.

Последовательность (an ) называют строго возрастающей, если она удовлетворяет условию :

an+1 > an при любом n.