«Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет ЭЛЕКТРОННЫЙ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА [Методические указания] [Типовые программы курсов] [Основные понятия] ...»

что и f (t). Первые два из О-условий очевидны. Докажем третье. Для t > 0 имеем Из этой оценки следует, что показатель степени роста (t) равен max{0; 0 }. Пусть (t) (p). Тогда (t) p(p) (+0). Поскольку (+0) = 0, а (t) = f (t), то f (t) p(p), но f (t) F (p), поэтому p(p) = F (p), Действительно, поскольку F аналитическая функция, то возможно дифференцирование по правилу Лейбница Как следствие, получаем:

Пример 22.44. Найдем изображение оригинала t sin wt. Так как Аналогично находим, что причем путь интегрирования лежит в полуплоскости Re p = x > 0.

рования изображения имеем J (p) t = f (t). Но f (t) F (p). Поэтому J (p) = F (p), т.е. J(p) есть одна из первообразных для (F (p)), причем та, которая на бесконечности обращается в нуль. Это означает, что Назад Пример 22.45. Имеем По теореме об интегрировании оригинала Таблица изображений. Из основных свойств изображения и разобранных примеров получаем следующую таблицу для некоторых функций, наиболее часто встречающихся в приложениях.

Назад Свертка функций Сверткой функций f и g на промежутке [0; +) называется функция Из этого определения следует, что свертка функций не зависит от порядка свертываемых функций, т.е. f g = g f. Действительно:

Лемма 22.3. Если функции f и g являются оригиналами с показателями степени роста 0 и соответственно, то их свертка также оригинал с показателем роста 0 = max{0, 0 }.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства нужно проверить выполнение О-условий для (t). Первые два из них очевидным образом выполняются. Проверим третье. Из неравенств Назад где M3, M4 - соответствующие постоянные. Эта оценка в силу произвольности 1 > 0, 2 > 0 и заканчивает доказательство леммы.

Назад Пример 22.46. Найдем оригинал по заданному изображению Поскольку В приложениях операционного исчисления иногда приходится иметь дело со случаем, когда изображение некоторой функции имеет вид pF (p)G(p), причём оригиналы для функций F (p) и G(p) известны. Запишем выражение pF (p)G(p) в следующем виде: pF (p)G(p) = f (+0)G(p) + (pF (p) f (+0))G(p), или в симметричном виде pF (p)G(p) = g(+0)F (p) + (pG(p) g(+0))G(p). Применяя теперь свойство линейности, теорему Бореля, изображение производной и учитывая симметричность свертка, получаем, что оригинал для изображения pF (p)G(p) можно представить каждой из следующих формул Дюамеля:

Назад Формула Меллина Следующее утверждение дает способ нахождения оригинала по заданному изображению.

Теорема 22.112. Пусть функция F (p), аналитическая в полуплоскости Re p > 0, является изображением кусочно-гладкой функции f (t), удовлетворяющей О-условиям с показателем степени роста 0. Тогда имеет место формула Меллина Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию g(t) = ext f (t), x > 0. Функция g(t) кусочнодифференцируема и, как следует из условий теоремы, абсолютно интегрируема на R. Для g(t) рассмотрим её преобразование Фурье Тогда формула обратного преобразования Фурье даёт Отсюда, учитывая, что f (t) = e g(t), получаем Назад Замечание 22.11. Интеграл в правой части формулы (22.71) рассматривается как т.е. понимается в смысле главного значения, что следует из теории преобразования Фурье, которое было использовано при построении интеграла Меллина.

Замечание 22.12. Левая часть в формуле (22.71), т.е. f (t), не зависит от x и все рассуждения при доказательстве теоремы справедливы для любого x > 0. Отсюда следует, что и стоящий в правой части (22.71) интеграл Меллина также не зависит от x и интегрирование можно вести по любой прямой, параллельной мнимой оси и расположенной в полуплоскости Re p = x > 0.

Замечание 22.13. Формула Меллина (22.71) определяет функцию f только в точках её непрерывности, т.к. таким же свойством обладает преобразование Фурье, происходящее от интеграла Фурье.

Замечание 22.14. Из теоремы следует единственность оригинала по отношению к изображению. Если два оригинала f1 (t) и f2 (t) имеют одно и то же изображение F (p), то в точках непрерывности они совпадают, т.к. выражаются через F (p) с помощью одной и той же формулы Меллина (22.71).

Теорема 22.113 (Изображение произведения). Пусть Тогда произведение f (t)·g(t) также является оригиналом с показателем степени роста 0 +0 и имеет место формула Назад Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция f (t)g(t) = h(t) удовлетворяет О-условиям. Её показатель степени роста равен 0 + 0. Изображение для h(t) можно найти, используя интеграл Лапласа Заменим стоящую под знаком интеграла функцию f (t) по формуле Меллина (22.71).

Поменяем порядок интегрирования, что возможно в силу равномерной сходимости обоих интегралов. Тогда Вторая формула доказывается аналогично.

Условия существования оригинала При выводе формулы Меллина предполагалось, что F (p) является изображением некоторого оригинала, т.е.

теорема утверждает, что если f (t) является оригиналом и F (p) его изображение и вдобавок f (t) – кусочногладкая функция, то имеет место формула Меллина. В приложениях приходится сталкиваться со случаем, что есть некоторая функция F (p) и нужно построить для неё оригинал. Но у нас нет пока оснований утверждать, что функция f (t), определяемая формулой Меллина, будет удовлетворять условиям, накладываемым на оригинал.

Следующая теорема даёт достаточные условия того, что F (p) является изображением некоторого оригинала f (t).

Теорема 22.114 (Теорема обращения). Пусть F (p) удовлетворяет следующим условиям.

Назад 1) F (p) аналитична в плоскости Re p > 0 ;

2) В области Re p > 0 функция |F (p)| 0 равномерно относительно arg p, max |F (p)| 0, где 3)F (p) абсолютно интегрируема вдоль любой прямой Re p = x, x > x0, т.е. интеграл сходится.

Тогда при Re p > 0 функция F (p) является изображением функции f (t), определяемой формулой Меллина (22.71).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего покажем, что интеграл в правой части (22.71) существует. Имеем В силу условия 3) теоремы интеграл сходится и, значит, ограничен некоторой постоянной M1 0, поэтому Полученная оценка позволяет сделать вывод, что интеграл в правой части (22.71) сходится, причём для t [0; T ], где T 0, сходимость равномерная. Кроме того, из этой оценки следует, что f (t) имеет ограниченную степень роста, которая равна 0. Для доказательства того, что определяемая по формуле (22.71) функция f (t) является оригиналом, нам ещё следует показать, что:

а) интеграл (22.71) не зависит от x и определяет функцию только переменной t;

Назад б) f (t) = 0 для t < 0;

Докажем эти утверждения.

а) Построим в области Re p > 0 замкнутый контур, состоящий из отрезков 0 < x1 < x2, A > 0, A – постоянная. Из условия 1) теоремы вытекает, что функция F (p)ept регулярна в области, ограниченной контуром, а тогда по интегральной теореме Коши F (p)ept dp = 0. В силу аддитивности интеграла, рассматриваемый интеграл по можно представить в виде суммы четырёх интегралов по отрезкам, составляющим контур. Устремим A + при фиксированных x1 и x2. На основании условия 2) теоремы интегралы по отрезкам [x1 iA; x2 iA] и [x1 + iA; x2 + iA] будут стремиться к нулю, а тогда в пределе получим В силу произвола в выборе x1 и x2 это означает, что интеграл (22.71) не зависит от x и определяет функцию только переменной t.

б) Покажем теперь, что f (t) = 0 для любых t < 0.

Построим замкнутый контур CR, состоящий из отрезка [x1 iR; x2 + iR] и полуокружности R, R = {z| |z x| = R, Re z x}. По интегральной теореме Коши F (p)ept dp = 0 для любых t. Запишем этот интеR грал в виде суммы двух интегралов F (p)e dp + суммы применима лемма Жордана, согласно которой, с учетом условий 1) и 2) теоремы для t < 0 справедливо Назад равенство lim Следовательно, f (t) = 0 для t < 0.

в) Осталось показать, что изображение функции f (t), определяемой формулой (22.71) есть F (p). Возьмём произвольное p0, Re p0 > 0 и покажем что в этой точке значение изображения для f (t) есть F (p0 ). Имеем Внутренний интеграл, как это было показано в а), не зависит от x, поэтому можно считать, что 0 < x < Re p0.

Меняя порядок интегрирования, что возможно в силу локальной равномерной сходимости обоих интегралов, получаем Для вычисления этого интеграла рассмотрим dp, где CR контур из б) и p0 лежит в области, ограi CR p0 p ниченной контуром CR. По интегральной формуле Коши имеем где контур CR обходится так, что ограниченная им конечная область остаётся справа. На основании аддитивности интеграла получаем Назад Интеграл Таким образом, в точке p0 получаем, что f (t) F (p0 ). Поскольку p0 - произвольная точка, удовлетворяющая условию Re p0 > 0, то f (t) F (p), Re p > 0, что и требовалось доказать.

Теоремы разложения Теоремы разложения позволяют по известному изображению F (p) достаточно эффективно восстановить оригинал f (t).

Теорема 22.115 (Первая теорема разложения). Пусть F (p) аналитически продолжима на всю плосc кость комплексного переменного p, а точка p = является правильной для F (p), т.е. F (p) =.

Тогда оригинал для F (p) можно найти по формуле т.е. путем почленного обращения ряда для изображения.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку F (p) 0 при Re p +, то в разложении функции F (p) в ряд Лорана отсутствует свободный член (c0 = 0). Представим F (p) в следующем виде где (p) аналитическая в окрестности бесконечно удаленной точки.

Назад Следовательно, |F (p)| для |p| > R, а M – постоянная. Поэтому для коэффициентов cn получаем следующую оценку (здесь R - окружность |p| = R, где R – фиксировано, ds = |dp| – дифференциал дуги). Из этой оценки вытекает сходимость ряда cn+1. Действительно, Получили сходящуюся мажоранту, поэтому ряд сходится абсолютно для любых t. Кроме того, из этой оценки следует, что сумма ряда cn+1 является функцией с ограниченной степенью роста и ряд сходится равноn!

мерно в любом круге конечного радиуса и определяет тем самым непрерывную функцию. Обозначим сумму этого ряда через и проинтегрируем его почленно в пределах от 0 до. Получим Назад Следовательно, f (t) F (p).

Пример 22.47. Найдем оригинал по изображению Представим F (p) рядом Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки Тогда по предыдущей теореме Таким образом, ln Во многих случаях, когда известно что F (p) –изображение, интеграл Меллина можно вычислить, используя вычеты. Предположим, что функция F (p), заданная первоначально в полуплоскости Re p0 > 0, аналитически продолжима на всю плоскость комплексного переменного p и имеет при этом лишь конечное число изолированных особых точек. Рассмотрим замкнутый контур где R - полуокружность {p| |p x| = R, Re p x}, x > 0. Радиус R выберем так, чтобы все особые точки pk, k = 1, 2,..., n функции F (p) попали в область, ограниченную контуром CR. Тогда по основной теореме о вычетах имеем Интеграл в левой части этого равенства можно представить как сумму двух интегралов и, значит, Назад Переходя в этом равенстве к пределу при R и учитывая, что на основании леммы Жордана (Re p < x и t > 0), в результате получим или Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 22.116 (Вторая теорема разложения). Если функция F (p) удовлетворяет условиям теоремы обращения, аналитически продолжима на всю плоскость комплексного переменного p, имеет при этом лишь конечное число изолированных особых точек pk, k = 1, n, и F (p) 0 при p, Re p < 0, то для t > 0 следует Пример 22.48. Найдем оригинал для изображения Решение. I способ. Функция F (p) удовлетворяет условиям второй теоремы разложения. Следовательно, II способ. Используем теорему об изображении свертки. Так как III способ. Используем свойство интегрирования оригинала. Так как и далее, IV способ. Применим первую теорему разложения V способ. Непосредственно имеем Замечание 22.15. Пусть F (p) = – рациональная функция, т.е. является частным двух многочленов, причем deg F1 < deg F2.

В этом случае оригинал для F можно найти, представив функцию F в виде суммы простейших рациональных функций с последующим использованием формул Назад Оригинал для F может быть также найден и с помощью второй теоремы разложения. В случае, если все корни многочлена F2 (p) просты и равны p1,p2,..., pn, то Если же F2 (p) имеет корни p1,p2,...,pe, кратности которых m1,m2,...,me соответственно, то, вычисляя интеграл Меллина с помощью вычетов, получим Некоторые приложения преобразования Лапласа при решении задач методами операционного исчисления Ограничимся здесь рассмотрением типовых примеров, иллюстрирующих некоторые возможности использования преобразования Лапласа.

Решение интегральных уравнений Вольтерра типа свертки. Использование преобразования Лапласа во многих случаях позволяет эффективно строить решения интегральных уравнений Вольтерра типа свертки.

Уравнение вида называется интегральным уравнением Вольтерра первого рода типа свертки.

Уравнение вида называется интегральным уравнением Вольтерра второго рода типа свертки.

Назад Пример 22.49. Решить уравнение Решение. Пусть x(t) X(p). Применяя к уравнению преобразование Лапласа и используя изображение свертки (теорема Бореля) получаем Следовательно, Пример 22.50. Решить уравнение Решение. Перейдем к изображениям Пример 22.51. Решить интегро-дифференциальное уравнение Отсюда на основании второй теоремы разложения находим, что Назад Вычисление несобственных интегралов. Имеет место следующий результат.

Теорема 22.117 (Формула Парсеваля). Имеет место равенство, называемое формулой Парсеваля где f F, g G.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства рассмотрим Пример 22.52. Вычислить интеграл Дирихле Заметим, что равенство верно и при = 0.

Назад Решение дифференциальных уравнений.

дифференциальных уравнений и систем.

Пример 22.53. Решить уравнение x + x = t, x(0) = x (0) = 1.

Решение. Обозначим x(t) X(p). Используя изображение производной, заключаем, что Применяя к уравнению преобразование Лапласа, получаем откуда находим и восстанавливаем оригинал x(t) по известному изображению X(p) : x(t) = cos t + t.

Пример 22.54. Решить уравнение y 4y + 4y = x3 e2x, y(0) = y (0) = 0.

Решение. Решаем по схеме использованной в примере 22.53. Пусть y(x) Y (p), тогда откуда Продемонстрированным выше способом среди всех решений выделяется требуемое частное решение (без построения общего решения). Операционный метод позволяет при необходимости найти и общее решение.

Пример 22.55. Найти общее решение уравнения x + 4x = 8 sin 2t.

Решение. Будем считать, что x(0) = c1, x (0) = c2, где c1 и c2 – постоянные. Обозначим X(p) x(t) и применим к уравнению преобразование Лапласа:

Отсюда Назад Используем табличный результат t cos 2t, чтобы найти оригинал для изображения 2. С этой целью представим это изображение в следующем виде Следовательно, или При построении решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и нулевыми начальными условиями иногда используют формулы Дюамеля. Осуществить это можно, например, по следующей схеме.

Пусть требуется найти решение начальной задачи Рассмотрим начальную задачу т.е. полагаем неоднородность f равной 1. Пусть В операторной форме уравнение (22.73) запишется в виде X(p)L(p) = F (p), а уравнение (22.74) – в виде Y (p)L(p) =.

Назад Из этих двух соотношений вытекает, что X(p) = pF (p)Y (p). Применяя одну из формул Дюамеля, искомое решение x(t) можно представить в следующем виде либо где y(t) – решение уравнения (22.74).

Пример 22.56. Найти решение начальной задачи x + x = t, x(0) = x (0) = 0.

Решение. Построим сначала решение уравнения y + y = 1, y(0) = y (0) = 0. Используем для этого операционный метод: p2 Y (p) + Y (p) =, откуда, следовательно, Использование преобразования Лапласа возможно и при решении систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод аналогичен тому, который использовался и при решении дифференциальных уравнений.

Пример 22.57. Решить систему уравнений Назад Решая эту алгебраическую систему относительно X(p) и Y (p), находим, что Назад 3.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 3.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений 3.3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.4. Неоднородные линейные уравненияс постоянными коэффициентами 3.5. Фазовая плоскость однородного линейного уравненияс постоянными коэффициентами 3.6. Системы линейных дифференциальных уравненийс постоянными коэффициентами 3.7. Элементарные дифференциальные уравнения 3.8. Уравнения высших порядков 3.9. Системы дифференциальных уравнений 3.10. Существование и единственность решений 3.11. Устойчивость решений дифференциальных систем 3.12. Уравнения второго порядка 3.13. Двумерные системы дифференциальных уравнений 3.14. Уравнения с частными производными первого порядка x x 3.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям Назад Научное описание явлений и процессов в различных системах основывается на выявлении числовых параметров, характеризующих состояние системы. Между указанными характеристиками устанавливаются взаимосвязи, что приводит к появлению математической модели процесса. При составлении моделей и их исследовании используются общие гипотезы и приближенные методы. Сопоставление результатов, полученных с помощью исходных предположений и выбранных методов исследования, с фактическим состоянием реального процесса позволяет внести уточнения в исходные положения и провести затем новый цикл изучения явления на более высоком уровне приближения и достоверности.

При составлении моделей особую роль играет многоуровневое (иерархическое) описание процессов, когда сначала указывают общий закон, которому подчиняются все однотипные явления, а затем находят дополнительные условия, с помощью которых выделяют конкретный процесс. Среди таких способов математического моделирования прежде всего отмечают моделирование с помощью дифференциальных уравнений. Само дифференциальное уравнение связывает параметры процесса со скоростями изменения этих параметров относительно друг друга на основании общих законов, дополнительными же условиями являются, например, начальные значения конкретного процесса.

При решении задач естествознания с помощью дифференциальных уравнений необходимо сначала составить дифференциальное уравнение задачи, т.е. соотношение, связывающее независимую переменную t, трактуемую чаще всего как время, искомую функцию x(t) и скорость ее изменения dx/dt. Затем найти его общее решение и, наконец, учесть условия, с помощью которых можно определить значения постоянных, входящих в общее решение дифференциального уравнения.

Пример 1.1. (Движение материальной точки.) Положение точки M массой m, движущейся по прямой L, в момент времени t характеризуется расстоянием x = x(t) точки M от некоторой фиксированной точки M0 L. Если движение происходит под влиянием силы f, то на основании второго закона Ньютона dQ/dt = f, где Q = mv – количество движения точки M, v = dx/dt – ее скорость. При постоянных m и f, т.е. при равноускоренном движении, получаем откуда находим явное выражение x через t: x(t) = · + v0 t + x0, где v0 – начальная скорость, x0 – начальное положение точки M при t = 0. Если же выясняется, что f зависит от времени t, то модель уточняется и принимает вид m 2 = f (t). Наконец, в случае, когда f зависит от t, x и dx/dt, моделью служит уравнение m 2 = f (t, x, dx/dt). Для исследования этого уравнения требуется принципиально усложненная методика, что связано с изменением структуры всего семейства решений уравнения.

x x 3.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям Назад Пример 1.2. (Рост популяции бактерий.) В питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Численность популяции возt растает со скоростью 1000, где t – время, измеряемое в часах. Требуется найти размер этой популяции в произвольный момент времени t и максимальный размер этой популяции.

Решение. Пусть p(t) – размер популяции в момент времени t. Тогда скорость p (t) изменения численности популяции будет равна Решив это уравнение, учитывая, что размер популяции в момент времени t = 0 равен 1000 особей, получим p(t) = 1000 + 1000.

Исследуя полученную функции на промежутке [0, +), находим ее экстремум p(10) = 1050.

Пример 1.3. (Изменение стоимости оборудования.) Скорость обесценивания оборудования вследствие износа пропорциональна в каждый момент времени его фактической стоимости. Требуется найти закон изменения стоимости оборудования со временем, если его стоимость в начальный момент эксплуатации оборудования равна Q0.

Решение. Обозначим искомую стоимость в произвольно взятый момент времени t через Q(t). Очевидно, что Q(t) > 0 при всех t t0, где t0 – начальный момент эксплуатации оборудования. Так как со временем оборудование обесценивается, то скорость изменения стоимости Q (t) < 0. Тогда, воспользовавшись условием задачи, получаем уравнение где k > 0 – коэффициент пропорциональности, величина которого определяется интенсивностью использования оборудования.

Решением полученного уравнения является функция Q(t) = Cekt, где C – произвольная постоянная. Величину константы C определим, используя тот факт, что в начальный момент эксплуатации стоимость оборудования равна Q0. Тогда, заменив в выражении для Q(t) аргумент t на t0, получим Q0 = Q(t0 ) = Cekt0, откуда C = Q0 ekt0. Следовательно, подставив в выражение для Q(t) найденное значение C, получаем искомый закон изменения стоимости оборудования с течением времени: Q(t) = Q0 ek(tt0 ).

Пример 1.4. (Макроэкономическая модель Солоу.) В экономической теории широко известна макроэкономическая модель Солоу, описывающая развитие экономики как единого целого. Состояние экономики в модели Солоу характеризуется следующими переменными:

X – валовой внутренний продукт (ВВП), т.е. совокупность средств труда и предметов потребления, созданная всеми отраслями материального производства за определеный промежуток времени; K – производственные фонды (или капитал), обеспечивающие ВВП; L – количество работников, занятых в производственной сфере; I – инвестиции, или доля ВВП в стоимостном выражении, направляемая в сферу материального производства. Независимой переменной является время t. Величины X, K, L, и I являются функциями времени. В каждый момент времени t ВВП связан с величинами K и L соотношением X = F (K, L), где F – заданная функция, называемая производственной.

В процессе материального производства за счет износа оборудования расходуется часть фондов. Однако имеет место и увеличение фондов за счет инвестиций. Принимается, что за небольшой промежуток времени t фонды изменяются на величину K = µK(t)t + I(t)t, где первое слагаемое в правой части характеризует часть фондов, утрачиваемых за счет износа, а второе слагаемое определяет приращение фондов за счет инвестиций; µ > 0 – коэффициент пропорциональности.

x x 3.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям Назад Приращение числа работников за время t определяется аналогичным соотношением L = в L(t)t + п L(t)t = (п в )L(t)t, где коэффициенты п и п характеризуют долю выбывших и вновь приступивших к производству работников соответственно.

Из равенств для приращений K и L находим Устремляя здесь t к нулю и переходя к пределу получаем систему дифференциальных уравнений Поскольку, как уже отмечалось, инвестиции I составляют некоторую долю, то можно записать: I(t) = mX(t), где m – коэффициент пропорциональности, характеризующий долю ВВП, направляемую на развитие производства.

Таким образом, получаем макроэкономическую модель Солоу Согласно данной системе уравнений, состояние экономики определяется парой алгебраических (первое и второе) и парой дифференциальных уравнений (третье и четвертое).

Геометрические задачи. При отыскании кривых y = y(x), удовлетворяющих некоторым условиям, нередко бывает легче установить соотношения между дифференциалами переменных x и y, используя геометрический смысл этих понятий, и, следовательно, построить дифференциальное уравнение для функции y(x). Построение касательной, определение длины подкасательной и поднормали основано на том, что определяет угловой коэффициент касательной к кривой y = y(x) в точке (x0, y(x0 )). Подкасательной кривой y = y(x) в точке (x0, y(x0 )) называется проекция на ось абсцисс направленного отрезка касательной, заключенного между точкой касания и точкой пересечения с осью абсцисс. Поднормаль кривой y = y(x) в точке (x0, y(x0 )) – это проекция на ось абсцисс отрезка нормали от точки (x0, y(x0 )) до точки пересечения нормали с осью абсцисс. Иногда при решении геометрических задач получается интегральное уравнение (уравнение, содержащее интеграл искомой функции), которое приводится к дифференциальному уравнению с помощью операции дифференцирования.

x x 3.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям Назад Пример 1.5. Найти кривые, у которых тангенс угла между касательной и положительным направлением оси Ox пропорционален абсциссе точки касания.

Решение. Пусть y = y(x) – искомая функция. Тогда y (x0 ) – есть тангенс упоминаемого в условии задачи угла. Следовательно, y (x0 ) = ax0, где a – коэффициент пропорциональности. Так как требуемое соотношение должно выполняться для всех точек искомой кривой, то имеем дифференциальное уравнение y (x) = ax. Решив его, получим семейство кривых y = ax2 /2 + C, C – произвольная действительная постоянная, удовлетворяющих условию задачи.

Моделирование электрических цепей. Для расчета режима работы электротехнических устройств используются схемы, состоящие из идеализированных элементов, каждый из которых с достаточно хорошим приближением описывает процесс в той или иной части реального устройства. Эти идеализированные элементы различаются в зависимости от того, какой характеристикой реального устройства они обладают. Так, элемент, называемый резистивным, характеризуется только одним параметром – электрическим сопротивлением R, индуктивный элемент – индуктивностью L, емкостный – емкостью C.

Если величины R, L и C являются постоянными, то соответствующие элементы называются линейными и имеют место следующие соотношения, определяющие зависимость между падением напряжения U на элементе и током I, протекающим через этот элемент:

для резистивного элемента U = RI (закон Ома);

для индуктивного элемента U = = LI, где – собственное потокосцепление индуктивного элемента;

для емкостного элемента U = q/C, I = q, где q – заряд емкостного элемента. В случае, когда параметры R, L и C являются функциями тока, заряда или напряжения, соответствующие элементы называются нелинейными, а зависимость между напряжением и током задается (графически или аналитически) с помощью так называемых вольт–амперных, вебер–амперных и т.п. характеристик.

Резистивный, индуктивный и емкостный элементы цепи относятся к пассивным элементам цепи, к активным же элементам цепи относятся так называемые источники электродвижущей силы (эдс) и источники тока.

При составлении уравнений (как дифференциальных, так и алгебраических), описывающих режим работы электрической цепи, кроме указанных соотношений учитывают и конфигурацию схемы электрической цепи, для описания которой используют такие понятия, как ветвь, узел, контур. Ветвь схемы состоит из идеализированных элементов, каждый из которых имеет два вывода (начало и конец), причем к концу каждого предыдущего присоединяется начало следующего. В узле схемы соединяются три и более ветвей. Контур - замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям так, что ни одна ветвь и ни один узел не встречаются более одного раза.

Основными законами электрических цепей являются законы Кирхгофа. По первому закону Кирхгофа x x 3.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям Назад рому закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах в любом контуре электрической цепи в каждый момент времени равна алгебраической сумме эдс этого контура.

Пример 1.6. (Размыкание цепи с катушкой индуктивности.) В схеме, изображенной на рисунке 3.1, катушка индуктивности представлена последовательным соединением индуктивного L и резистивного r элементов, а выключатель – параллельным соединением ключа K и резистивного элемента R.

Составим дифференциальное уравнение цепи после размыкания ключа K. По второму закону Кирхгофа UL + Ur + UR = E, где UL, Ur, UR – напряжения соответственно на индуктивном L, резистивных r и R элементах; E – действующая в цепи постоянная эдс. Используя зависимости между напряжением на элементах и током в цепи, получаем UL = LI, Ur = rI, UR = RI, где I – действующий в цепи ток, откуда Решением указанной начальной задачи является функция Величина I0 равна E/r, так как в индуктивном элементе ток не может измениться скачком (закон коммутации), а до коммутации, т. е. до размыкания ключа, в катушке был постоянный ток E/r. Напряжение на резистивном элементе R т.е. в первый момент времени после размыкания ключа напряжение скачком возрастает от нуля до ER/r. Поэтому при R r между контактами ключа появляется значительное напряжение, которое может вызвать дуговой разряд. Такой разряд наблюдается, например, в скользящих контактах электрического транспорта.

x x 3.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям Назад Моделирование химических реакций. Химическое уравнение показывает, как в процессе взаимодействия одних веществ образуется другое вещество. Например, уравнение 2H2 +O2 2H2 O показывает, что в результате взаимодействия двух молекул водорода и одной молекулы кислорода получается две молекулы воды. В общем случае химическое уравнение записывается в виде где A1,..., An – молекулы взаимодействующих веществ, B1,..., Bk – молекулы веществ, полученных в результате химической реакции, постоянные a1,..., an, b1,..., bk – натуральные числа, указывающие количество молекул соответствующих веществ, участвующих в реакции.

Скорость, с которой образуется новое вещество, называется скоростью реакции. Действующая же масса или концентрация реагирующего вещества описывается количеством молей этого вещества в единице объема.

Одним из основных законов теории скоростей химических реакций является закон действующих масс:

скорость химической реакции при постоянной температуре пропорциональна произведению концентраций веществ, участвующих в данный момент в реакции.

Пример 1.7. Два жидких химических вещества A1 и A2 объемом 30 и 20 литров соответственно в процессе химической реакции образуют новое химическое вещество B. Известно, что температура в процессе реакции не изменяется, и из каждых трех объемов вещества A1 и одного объема вещества A2 образуется четыре объема вещества B. Требуется найти количество вещества B в произвольный момент времени t, если через 1 час после начала реакции его количество было равно 20 литрам.

Решение. Пусть x(t) – количество вещества B (в литрах), образовавшегося к моменту времени t (в часах). Тогда из условия задачи следует, что к моменту времени t в химическую реакцию вступило x вещества A1 и x – вещества A2. Тогда к указанному моменту осталось 30 x вещества A1 и 20 x вещества A2. В соответствии с законом действующих масс получаем дифференциальное уравнение, описывающее реакцию ное число. Поскольку в начальный момент t = 0 вещества B еще не было, можно считать, что x(0) = 0. Кроме того, из условия следует, что при t = 1 количество веществ B было равно 20 литрам, т.е. x(1) = 20. Используя эти данные, находим, что C = 2 и e = Таким образом, количество вещества B в момент времени t будет равно x x 3.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений Уравнение для отыскания функции относят к дифференциальным, если в нем участвуют производные или дифференциалы искомой функции.

Например, уравнение для отыскания функции y вида y = y sin t + y 2 является дифференциальным, а уравнение y(t) = y(sin t) таковым не является.

Порядком дифференциального уравнения называют порядок старшей производной или старшего дифференциала искомой функции.

Например, уравнения y = x(y 2 + 1) и (x2 + 1)dx + (y 2 + 1)dy = 0 являются уравнениями первого порядка, а уравнение + + x = et является уравнением третьего порядка.

Дифференциальное уравнение называют обыкновенным, если искомая функция зависит от одного аргумента, в противном случае дифференциальное уравнение называется уравнением с частными производными.

Например, уравнения y = y 2 + 2xy + x2 и xdx + ydy = 0 являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, а уравнение x = 0 является уравнением с частными производными.

Построение решений дифференциального уравнения называют интегрированием или разрешением уравнения.

Решением уравнения называют функцию, заданную на промежутке действительной оси и обращающую на этом промежутке уравнение в тождество.

Отметим, что каждое дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений.

Пример 2.1. Общий вид решения простейшего уравнения первого порядка dx/dt = f (t) с функцией f, непрерывной на отрезке I = [a, b], дается неопределенным интегралом x = f ( )d, или x = F (t) + C, где F – первообразная функции f, C – произвольная постоянная. Таким образом, общее решение можно представить в виде x = f ( )d + C, a t b. Для простейшего уравнения второго x x 3.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений Назад порядка d2 x/dt2 = f (t) получаем где C0 и C1 – произвольные постоянные.

Выражения для решений, содержащие все решения дифференциального уравнения, называют полным решением.

Выражения для решений, содержащие в качестве параметров произвольные постоянные, называют общими решениями.

Решение, полученное из общего при конкретных значениях параметров называется частным решением.

Конкретные значения произвольных постоянных определяются из дополнительных условий, которым должно удовлетворять искомое решение.

Если дополнительные условия, которым должно удовлетворять искомое решение, относятся к одному значению аргумента, то их называют начальными.

Если дополнительные условия, которым должно удовлетворять искомое решение, относятся к разным значениям аргумента, то их называют граничными.

Начальные и граничные условия называют краевыми условиями.

Уравнение вместе с начальными условиями составляет начальную задачу.

Уравнение вместе с граничными условиями составляет граничную задачу.

Начальные и граничные задачи называют краевыми задачами.

Начальные условия, задающие значения функции и ее первых производных (общее число значений равно порядку уравнения), называют условиями Коши.

Уравнение вместе с условиями Коши составляет задачу Коши.

Пример 2.2. Задача Коши для простейшего уравнения второго порядка имеет вид (a s b) x x 3.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений Назад Из формулы (2.1) следует, что решением этой задачи является функция Отметим, что приведенная формула полностью решает вопрос об однозначной разрешимости задачи Коши (2.2), но для фактического построения решения необходимо вычисление квадратур (определенных интегралов), что во многих случаях заставляет прибегать к приближенным численным методам.

x x 3.3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными Назад 3.3.1. Основная форма линейного дифференциального уравнения 3.3.2. Линейное уравнение первого порядка с постоянным коэффициентом 3.3.3. Факторизация стационарного оператора Ln 3.3.4. Начальная задача для однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами 3.3.5. Вронскиан и формула Лиувилля–Остроградского.

3.3.6. Линейно зависимые и линейно независимые системы решений 3.3.7. Базис (фундаментальная система решений) x x 3.3.1. Основная форма линейного дифференциального уравнения Назад 3.3.1 Основная форма линейного дифференциального уравнения Линейное дифференциальное уравнение порядка n имеет вид Коэффициенты ak и неоднородность f считаем непрерывными функциями на промежутке I.

Уравнение с нулевой неоднородностью называют однородным.

Одним из решений однородного уравнения является нулевая функция. Введем следующие обозначения: D – от функции z = z(t), вычисленное в точке s. Степень m оператора D определим по индукции с учетом того, что D0 – тождественный оператор (D0 x = x) и Уравнение (3.5) можно представить в виде или в операторной форме где Ln = D + an1 (t)D +... + a0 (t)D. Оператор Ln является линейным, т.е.

C – постоянная. Для линейных уравнений характерны следующие три свойства, порожденные линейностью оператора Ln.

I. (Линейность множества решений) Линейная комбинация с постоянными коэффициентами решений однородного уравнения также является решением того же уравнения, так как Ln xj (t) 0, j = 1,..., m влечет x x 3.3.1. Основная форма линейного дифференциального уравнения Назад II. (Принцип суперпозиции) Если xj (t) – решения уравнений Ln x = fj, j = 1,..., m, то x(t) = x1 (t)+...+ xm (t) – решение уравнения Ln x = f1 +... + fm, так как Ln (x1 (t) +... + xm (t)) = Ln x1 (t) +... + Ln xm (t) = f1 (t) +... + fm (t).

III. (Структура решения неоднородного линейного уравнения) Все решения неоднородного уравнения Ln x = f можно получить, прибавив к частному решению x (t) этого уравнения все решения соответствующего однородного уравнения Ln = 0, так как после замены x = x (t) + получаем Ln x = f (t) Наряду с действительным уравнением (3.5) будем рассматривать и уравнение в котором коэффициенты и неоднородность – комплекснозначные функции. Если коэффициенты этого уравнения – действительные, а неоднородность – комплекснозначная функция, то уравнение (3.4) равносильно системе двух действительных уравнений (z = x + iy) Оператор Ln = Dn + an1 Dn1 +... + a0 D0 с постоянными коэффициентами ak, k = 0,..., n 1, называют линейным стационарным оператором.

Уравнение Ln x = f (t), t I, со стационарным оператором Ln называют линейным стационарным уравнением или линейным уравнением с постоянными коэффициентами.

Линейное стационарное уравнение Ln x = 0 называют однородным линейным стационарным уравнением.

x x 3.3.2. Линейное уравнение первого порядка с постоянным коэффициентом Назад 3.3.2 Линейное уравнение первого порядка с постоянным коэффициентом Линейное уравнение первого порядка с постоянным коэффициентом и неоднородностью f имеет вид Неоднородность f считаем непрерывной на промежутке I функцией.

Теорема 3.1. Начальная задача при любых постоянных s I и R однозначно разрешима. Решение представимо в виде Д о к а з а т е л ь с т в о. Из соотношения (xet ) = et (x x) следует, что задача (3.6) равносильна задаче или после замены u = xet Поэтому u(t) = es + e f ( )d. После обратной замены x = uet получаем формулу (3.7).

Если в формуле (3.7) величину заменим произвольной постоянной C, то получим общее решение уравнения (3.5), задающее все решения этого уравнения, т.е. полное решение этого уравнения.

Если в начальной задаче (3.6) постоянную, неоднородность f, начальное данное и искомую функцию x соответственно заменить на комплекснозначные величины = + iµ, h = f + ig, = + i и z = x + iy, то x x 3.3.2. Линейное уравнение первого порядка с постоянным коэффициентом Назад полученная начальная задача имеет единственное решение Для доказательства достаточно повторить приведенные выше выкладки.

Пример 3.1. (Радиоактивный распад) Скорость распада радия прямо пропорциональна его массе. Определить, какой процент первоначальной массы m0 радия распадается через T лет, если известно, что период полураспада радия равен 1600 лет.

Решение. Скорость распада радия равна dm/dt, где m(t) – масса радия в момент t. Обозначив коэффициент пропорциональности буквой k, получим дифференциальное уравнение радиоактивного распада Разрешая эту начальную задачу, находим закон распада радия m(t) = m0 ekt. Так как период полураспада радия равен 1600 лет, то m0 /2 = m0 e1600k и k = ln 2/1600 0, 00043. Количество радия, не распавшегося через T лет, равно m(T ) m0 e0,00043T. Следовательно, через T лет распалось m0 (1 e0,00043T ) радия, что составляет (1 e0,00043T ) · 100% от первоначальной массы радия. В частности, через 199 лет распадается 8, 3% радия, а через 500 лет – 19, 5%.

x x 3.3.3. Факторизация стационарного оператора Ln Назад 3.3.3 Факторизация стационарного оператора Ln Рассмотрим линейный оператор Ln = Dn + an1 Dn1 +... + a0 D0 с постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами ak, k = 0,..., n 1.

Многочлен n + an1 n1 +... + a0 называют характеристическим многочленом оператора Ln = Dn + Корни j с кратностями nj характеристического многочлена оператора Ln называют характеристическими числами кратности nj оператора Ln, j = 1,..., m, m n.

Как известно из алгебры, имеет место тождество Теорема 3.2 (о факторизации линейного стационарного оператора). Линейный стационарный оператор Ln можно представить в виде где j – характеристические числа кратности nj оператора Ln, j = 1,..., m, m n.

Представление стационарного оператора Ln в виде Ln = (D 1 D0 )n1 (D 2 D0 )n2... (D m D0 )nm называют факторизацией (разложением на множители) этого оператора.

Отметим, что в правой части соотношения (3.8) допустима перестановка сомножителей.

x x 3.3.4. Начальная задача для однородного линейного уравнения с постоянными Назад 3.3.4 Начальная задача для однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами Рассмотрим вопросы существования и единственности решения задачи Коши для однородного уравнения со стационарным оператором.

Функцию вида где Qj (t) – многочлены с комплексными коэффициентами, j – комплексные числа, называют квазимногочленом.

Функцию вида где Qj, Qj – многочлены с действительными коэффициентами, j, µj – действительные числа, j = 1,..., m, причем µj = 0 при 0 j d 1, называют действительным квазимногочленом.

Теорема 3.3. При любых комплексных k начальная задача однозначно разрешима в виде квазимногочлена причем коэффициенты многочлена Qj, j = 1,..., m являются линейными формами от величин k, а степень Qj не превосходит nj 1.

x x 3.3.4. Начальная задача для однородного линейного уравнения с постоянными Назад равносильна системе задач При m = 2 числа 1 и m различны, поэтому при m = 1 корень 1 является двукратным и т.е. в обоих случаях получаем формулу (3.10). Для произвольного n доказательство проводится по индукции с использованием факторизации (3.8).

Функцию z = z (t) называют сдвигом функции z = z(t) на s, если z (t) = z(t s).

Лемма 3.1. Сдвиг решения однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами при любом s также является решением этого же уравнения.

x x 3.3.4. Начальная задача для однородного линейного уравнения с постоянными Назад Д о к а з а т е л ь с т в о. Решение z(t) обращает уравнение Ln z = 0 в тождество на R. Поэтому Теорема 3.4. При любых комплексных k и действительном s начальная задача однозначно разрешима в виде квазимногочлена где степень многочлена Qj, j = 1,..., m, не превосходит nj 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть z = z(t) – решение начальной задачи (3.9) и z = z(t s). Так как начальные значения для z(t) и z (t) cвязаны соотношениями Dk z (s) = Dk z(0), то на основании леммы 3.1 и теоремы 3. функция z = z (t) является решением начальной задачи (3.11), причем единственным. Кроме того, cдвиг квазимногочлена (3.10) на s снова является квазимногочленом того же типа.

Следствие 3.4.1. Единственным решением начальной задачи с нулевыми начальными значениями для однородного стационарного линейного уравнения является нулевое решение.

Следствие 3.4.2. Если коэффициенты стационарного оператора Ln действительны, то при любых действительных k и s начальная задача x x 3.3.4. Начальная задача для однородного линейного уравнения с постоянными Назад однозначно разрешима в виде действительного квазимногочлена где степени многочленов Qj, Qj не превосходят nj 1, nj – кратность характеристического числа Общее решение однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами. Рассмотрим квазимногочлен с произвольными комплексными коэффициентами Cij, причем степень Qj в общем случае, т. е. при отличном от нуля старшем коэффициенте Qj, равна nj 1. Общее число коэффициентов равно n.

На основании теоремы 3.4 решение любой начальной задачи представимо в виде квазимногочлена (3.12), причем коэффициенты Cij являются линейными формами относительно k.

Лемма 3.2. При любом натуральном m выполнено Теорема 3.5. Общим решением однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами доставляющим все решения, является квазимногочлен вида (3.12).

x x 3.3.4. Начальная задача для однородного линейного уравнения с постоянными Назад Д о к а з а т е л ь с т в о. Из леммы 3.2 следует, что функции tk ek t при k nj 1 являются решениями уравнения (3.14), так как Dnj tk = 0. Квазимногочлен (3.12) представляет собой линейную комбинацию решений tk ek t, k nj 1, и в силу линейности оператора Ln также является решением уравнения (3.14) при любых Cij.

Число коэффициентов Cij равно n. Кроме того, из теоремы 3.4 следует, что любое решение уравнения (3.14) имеет вид (3.12).

Пример 3.2. Общим решением уравнения D2 z + 2 z = 0, > 0 является квазимногочлен z(t) = C1 eit + C2 eit, так как характеристические числа 1,2 = ±i и n1,2 = 1 (C1, C2 – произвольные комплексные постоянные).

В случае, когда коэффициенты ak стационарного оператора Ln действительные числа, выделяем действительную часть общего решения в виде квазимногочлена (3.12) и приходим к действительному общему решению.

Действительное общее решение представимо в виде действительного квазимногочлена где Qm, Qm – многочлены с произвольными действительными коэффициентами степени nm 1.

Пример 3.3. Действительным общим решением уравнения D2 x + 2 x = 0, > 0, является квазимногочлен x(t) = C1 cos t + C2 sin t, C1, C2 – произвольные действительные постоянные.

Структура общего решения однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами позволяет для решения начальной задачи применить метод неопределенных коэффициентов.

Пример 3.4. Найти решение задачи Коши Поскольку характеристическое уравнение оператора L Решение начальной задачи ищем в виде x(t) = C1 e2t + C2 cos t + C3 sin t. Используя начальные условия, приходим к алгебраической откуда C1 = 1, C2 = 0, C3 = 2. Функция x(t) = e2t 2 sin t разрешает начальную задачу.

x x 3.3.5. Вронскиан и формула Лиувилля–Остроградского.

Назад 3.3.5 Вронскиан и формула Лиувилля–Остроградского.

Пусть функции zj, j = 1,..., n, дифференцируемы n 1 раз на промежутке I.

Определитель называют вронскианом n 1 раз дифференцируемых на промежутке I функций z1,..., zn.

Теорема 3.6 (Формула Лиувилля–Остроградского.). Если функции z1,..., zn являются решениями уравнения (3.14) с постоянными коэффициентами, то их вронскиан Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть n = 2. Решения z1, z2 обращают в тождество уравнение L2 z = 0, поэтому D2 zi = a1 Dzi a0 zi, i = 1, 2.

Следовательно, Таким образом, для вронскиана W получили линейное стационарное уравнение первого порядка DW = a1 W, интегрируя которое, приходим к требуемой формуле Следствие 3.6.1. Вронскиан системы решений либо тождественно равен нулю, либо не обращается в нуль ни в одной точке.

x x 3.3.6. Линейно зависимые и линейно независимые системы решений Назад 3.3.6 Линейно зависимые и линейно независимые системы решений Пусть z1,..., zn – система решений однородного линейного уравнения (3.14).

Систему решений z1,..., zn однородного линейного уравнения называют линейно зависимой, если существуют постоянные C1,..., Cn, не равные нулю одновременно и такие, что при всех t справедливо равенство В противном случае, т.е. когда для любых постоянных C1,..., Cn, не равных нулю одновременно, существует такое t0, что C1 z1 (t0 ) +... + Cn zn (t0 ) = 0, систему решений называют линейно независимой.

Линейная зависимость системы решений равносильна тому, что одно из решений системы является линейной комбинацией остальных. В частности, система, содержащая нулевое решение, линейно зависима.

Теорема 3.7. Система решений z1,..., zn однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами является линейно зависимой тогда и только тогда, когда вронскиан этой системы решений равен нулю по крайней мере в одной точке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Из линейной зависимости системы решений z1,..., zn следует, что одно из решений этой системы является линейной комбинацией остальных и, поэтому, один из столбцов вронскиана также является линейной комбинацией остальных столбцов. Значит, W (t) = 0 при всех t.

Достаточность. Пусть W (t0 ) = 0. Алгебраическая линейная система относительно C1,..., Cn имеет ненулевое решение C1,..., Cn. Решение z(t) = C1 z1 (t)+...+Cn zn (t) удовлетворяет начальным условиям z(t0 ) = Dz(t0 ) =... = D x x 3.3.6. Линейно зависимые и линейно независимые системы решений Назад следовательно, при всех t Следствие 3.7.1. Система решений z1,..., zn однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами является линейно независимой тогда и только тогда, когда ее вронскиан отличен от нуля по крайней мере в одной точке.

x x 3.3.7. Базис (фундаментальная система решений) Назад 3.3.7 Базис (фундаментальная система решений) Рассмотрим систему таких решений 0,..., n1 уравнения (3.14), что В силу следствия теоремы 3.7 эта система решений является линейно независимой, так как ее вронскиан равен единице в нуле.

Теорема 3.8. Любое решение z уравнения (3.14) может быть представлено в виде где Ck = Dk z|t=0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция Ck k представляет собой линейную комбинацию решений k уравнеk= ния (3.14) и поэтому также является его решением, причем В то же время любое решение z уравнения (3.14) в силу теоремы 3.3 однозначно определяется начальными условиями Dk z|t=0 = Ck, k = 0,..., n 1, откуда и следует формула (3.16).

В силу линейности оператора Ln множество решений уравнения (3.14) является линейным пространством.

Из теоремы 3.8 с учетом линейной независимости системы решений 0,..., n1 следует, что пространство решений уравнения (3.14) конечномерно, его размерность равна n, а система функций 0,..., n1 является базисом этого пространства.

Совокупность решений 0,..., n1 задач Коши (3.15) называют базисом (фундаментальной системой решений) уравнения (3.14), нормированным при t = 0.

x x 3.3.7. Базис (фундаментальная система решений) Назад Отметим, что в силу леммы 3.1 система функций 0 (ts),..., n1 (ts) образует базис уравнения (3.14), нормированный при t = s, а решение задачи Коши представимо в виде Непосредственно из свойств линейного пространства следует, что система решений 1,..., n образует базис уравнения (фундаментальную систему решений) (3.14) тогда и только тогда, когда эта система линейно независима. При этом любое решение уравнения (3.14) может быть представлено в виде линейной комбинации Пример 3.5. (Круговой математический маятник) Рассмотрим малые колебания маятника, состоящего из массивного груза, подвешенного на нити. Идеализированной моделью такого маятника является круговой математический маятник, т.е. материальная точка, движущаяся без трения по вертикальной окружности под действием силы тяжести.

Если в момент времени t = 0 материальной точке массой m, находящейся в точке M окружности радиусом l (рис. 3.2), сообщить начальную скорость, направленную перпендикулярно OM и лежащую в вертикальной плоскости, то материальная точка будет совершать колебания в этой плоскости. Положение точки на окружности определяется одним параметром, например углом отклонения от положения равновесия OA.

x x 3.3.7. Базис (фундаментальная система решений) Назад Спроектируем на касательную к окружности силы, действующие на материальную точку. По второму закону Ньютона (знак ""выбран потому, что для положительных значений проекция силы тяжести на касательную направлена к положению равновесия).

Таким образом, дифференциальное уравнение, описывающее движение материальной точки, имеет вид Полученное уравнение является нелинейным. Упростим это уравнение, воспользовавшись тем, что sin при малых колебаниях, т.е.

при малых углах. Получаем линейное дифференциальное уравнение, описывающее колебания кругового математического маятника:

Так как g > 0, l > 0, то характеристическое уравнение 2 + g/l = 0 имеет комплексносопряженные корни ±i, где = g/l. Поэтому функции cos t и 1 sin t образуют базис уравнения (3.19), нормированный при t = 0. Следовательно, решение уравнения (3.19) имеет вид Значения постоянных C1 и C2 зависят от начальной скорости и начального значения 0 угла.

Таким образом, материальная точка совершает колебания, близкие к гармоническим, с частотой = g/l, которая не зависит от массы m и от начальных условий (в предположении, что начальная скорость и начальное отклонение достаточно малы).

Пример 3.6. Рассмотрим переходные процессы в двух различных цепях.

В цепи, состоящей из индуктивного и емкостного элементов L и C соответственно (рис. 3.3,а), емкостный элемент первоначально заряжен до напряжения E. В момент времени t = 0 ключ K замыкается.

В цепи, состоящей из индуктивного L, емкостного C и резистивного R элементов, а также из источника постоянного напряжения E (рис. 3.3,б), до размыкания ключа K протекает постоянный ток I = E/R. В момент времени t = 0 ключ размыкает цепь. Найти закон изменения напряжения на емкостном элементе в обеих цепях.

x x 3.3.7. Базис (фундаментальная система решений) Назад Решение. Составим начальную задачу для цепи, изображенной на рис. 3.3,а. На основании второго закона Кирхгофа, для мгновенного значения заряда q на емкостном элементе после замыкания ключа имеем дифференциальное уравнение Начальные условия для заряда q нахoдим, пользуясь законами коммутации и учитывая, что при t = 0 заряд на емкостном элементе пропорционален напряжению, т.е. q|t=0 = CE, а ток в цепи отсутствует, следовательно, Dq|t=0 = 0.

В цепи, изображенной на рис. 3.3,б, после размыкания ключа ток в цепи будет течь через LC–контур, поэтому дифференциальное уравнение, описывающее процесс в цепи, также будет иметь вид (3.20).

Однако начальные условия будут другими, а именно: q|t=0 = 0, Dq|t=0 = E/R. Так как задачи Коши для обеих цепей различаются начальными условиями, то для отыскания заряда емкостного элемента в каждом из этих случаев воспользуемся формулой (3.16). Функции 0 (t) = cos t и 1 (t) = (sin t)/, = 1/ L/C, являются нормированным при t = 0 базисом уравнения (3.20). Поэтому заряд емкостного элемента в первой цепи изменяется по закону q(t) = CE cos t, а во второй цепи q(t) = sin t. Таким образом, напряжение на емкостном элементе в первой цепи U = E cos t, а во второй цепи U = E sin t/(RC). Полученные выражения показывают, что в обеих цепях возникают незатухающие колебания напряжения на емкостном элементе.

Назад 3.4.1. Функция Кoши линейного оператора 3.4.2. Метод вариации произвольных постоянных 3.4.3. Линейное уравнение с квазимногочленом Назад 3.4.1 Функция Кoши линейного оператора Рассмотрим стационарный оператор Ln, факторизация которого имеет вид (среди чисел j могут быть равные).

Теорема 4.1. Если функция f непрерывна на I, то нулевая начальная задача имеет на I единственное решение где Интегральное представление функции F, входящей в формулу (4.2), не зависит от неоднородности уравнения f.

Функцию называют функцией Кoши оператора Ln, чарактеристические числа которого равны i, i = 1,..., n.

Назад Установим связь между F и базисным решением n1 (см. (3.15)) соответствующего однородного уравнения Теорема 4.2. Функция Коши F совпадает с базисным решением n1, т.е.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть n = 2. Покажем, что F удовлетворяет уравнению (4.4). В силу леммы 4.1 и формулы (4.3) Вычислим F |t=0 и DF |t=0 : F |t=0 = 0, Таким образом, функция F является решением той же начальной задачи, что и функция n1, поэтому в силу теоремы 3.3 функции F и n1 совпадают при всех t.

Для произвольного n доказательство проводится по индукции.

Назад Теорема 4.3. Пусть f непрерывна на I. Тогда при любых s R и k R начальная задача имеет на промежутке I единственное решение:

где k – нормированный в нуле базис соответствующего однородного уравнения (4.4).

образует начальную задачу (4.7) в равносильную задачу мы 3.4 решение задачи (4.9) единственно и может быть представлено в виде (см.(3.17)) (t) = Возвратившись к искомой функции x, получаем (4.8).

Формула (4.8) составляет правило Коши разрешения линейного уравнения с постоянными коэффициентами. Построение решения задачи (4.7) по правилу Коши проводится по следующей схеме:

1) строим нормированный в нуле базис 0,..., n1 соответствующего однородного уравнения Ln x = 0;

2) выделяем из построенного базиса функцию Коши F = n1 ;

3) составляем решение задачи Коши (4.7) по формуле (4.8);

4) если возможно, то проводим аналитическое упрощение полученного решения.

Пример 4.1. Найти по правилу Коши решение нулевой начальной задачи Назад Решение. Так как характеристическое уравнение оператора L2 = D2 +D0 имеет своими корнями числа ±i, то функции 0 (t) = cos t, 1 (t) = sin t образуют нормированный при t = 0 базис уравнения L2 x = 0. В силу формулы (4.6) функцией Коши оператора L2 является 1 (t) = sin t. Искомое решение (см. (4.8)) имеет вид x(t) = sin(t )d. Интегрируя по частям, находим Отметим, что если в формуле (4.8) заменить k на произвольные постоянные Ck, то полученная формула будет доставлять все решения неоднородного уравнения Ln x = f.

x x 3.4.2. Метод вариации произвольных постоянных Назад 3.4.2 Метод вариации произвольных постоянных Рассмотрим метод интегрирования неоднородного уравнения, не требующий нормировки базиса соответствующего однородного уравнения.

Теорема 4.4. Если функция f непрерывна на I и функции 0,..., n1 образуют базис уравнения (4.4), то функция является решением уравнения где непрерывно дифференцируемые функции uk удовлетворяют системе функциональных уравнений Заметим, что при произвольных постоянных Ck формула доставляет все решения уравнения (4.11).

Теорема 4.4 дает метод построения частного решения уравнения (4.11), который называется методом вариации произвольных постоянных или правилом Лагранжа. Применение правила Лагранжа проводится по следующей схеме:

1) строим базис 0,..., n1 однородного уравнения (4.4);

2) находим решения Du0,..., Dun1 системы функциональных уравнений (4.12);

x x 3.4.2. Метод вариации произвольных постоянных Назад 3) составляем решение уравнения (4.11) в виде (4.10);

4) если возможно, то проводим аналитическое упрощение решения (4.10).

Пример 4.2. Построить общее решение уравнения D2 x Dx = (2 t)et /t3, t > 0, по правилу Лагранжа.

Решение. Базисными решениями соответствующего однородного уравненияD2 x Dx = 0 являются функции 0 (t) = 1, 1 (t) = et.

находим Du0 = (2 t)et /t3, Du1 = (2 t)/t3.

Интегрируя, получаем u0 (t) = 2 et + C0 ; u1 = 2 + + C1.

Таким образом, общим решением исходного уравнения является функция x x 3.4.3. Линейное уравнение с квазимногочленом Назад 3.4.3 Линейное уравнение с квазимногочленом Рассмотрим уравнение Ln z = h в случае, когда неоднородность h представляет собой квазимногочлен В силу принципа суперпозиции построение частного решения уравнения в этом случае сводится к разрешению уравнений вида Теорема 4.5. Уравнение (4.13) имеет решение вида где степени многочленов Q и P совпадают; r – кратность того из характеристических чисел j оператора Ln, которое совпадает с (r = 0 при отсутствии указанных характеристических чисел).

В случае, когда коэффициенты оператора Ln действительны и неоднородность h – действительный квазимногочлен, можно показать, что уравнение имеет частное решение вида x = x(t) = tr (Q(t) cos t + Q(t) sin t)et, где степени многочленов Q и Q не превосходят наибольшей из степеней многочленов P и P Замечание 4.1. В силу критерия совпадения квазимногочленов указанные частные решения можно построить методом неопределенных коэффициентов.

Описанный прием построения частного решения составляет правило Эйлера разрешения линейного уравнения с квазимногочленом. Применение правила Эйлера к разрешению уравнения (4.13) проводится по следующей схеме:

1) находим характеристические числа оператора Ln ;

2) выписываем решение уравнения (4.13) в виде (4.14), при этом для нахождения значения r сравниваем характеристические числа оператора Ln с числом ;

Назад 3) подставляя выписанное решение в уравнение (4.13), находим коэффициенты многочлена Q. Алгоритм решения уравнения (правило Эйлера) приведен в виде структурной схемы на рис. 3.4. Входными данными здесь являются коэффициенты ak оператора Ln = Dn + an1 Dn1 +... + a0 D0, количество m и коэффициенты pij многочленов Pi (t) = pi0 +... + pimi tmi, показатели i экспонент ei t. Выходные данные – частное решение z уравнения (4.15).

Пример 4.3. Рассмотрим колебательный контур, состоящий из индуктивного L, емкостного C, резистивного R элементов и источника синусоидального напряжения U = U0 cos(0 t + ) (см. рис. 3.5).

По второму закону Кирхгофа U = U1 + U2 + U3, где U1 = RI, U2 = q/C, U3 = LI – напряжения на резистивном, емкостном и индуктивном элементах соответственно, I = q – сила тока, протекающего в цепи, q – заряд емкостного элемента. Таким образом, дифференциальное уравнение, описывающее процесс в цепи, имеет вид и представляет собой стационарное линейное уравнение второго порядка с квазимногочленом. Так как действительные части корней характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения отрицательны (L > 0, R > 0, C > 0), то все решения этого однородного уравнения стремятся к нулю при t +. Поэтому найденное по правилу Эйлера частное решение уравнения (4.16) Назад qу (t) = A cos 0 t+B sin 0 t соответствует установившемуся процессу в цепи. Подставляя qy (t) в (4.16), получаем систему для нахождения A и B:

Следовательно, Таким образом, Следовательно, сила тока, установившегося в цепи, равна В случае, когда Режим неразветвленной цепи, содержащей индуктивный и емкостный элементы, при котором ток и напряжение совпадают по фазе жению источника), на емкостном элементе UC = = sin(0 t + ), а на индуктивном UL = Lqy = = 0 L sin(0 t + ).

Таким образом, напряжения UC и UL имеют равные амплитуды и противоположны по фазе. При этом, если 1/(0 C) = 0 L > R, то |UL | = |UC | > U0. Частота, при которой наблюдается резонанс напряжений, называется резонансной частотой. Заметим, что резонансная частота совпадает с частотой незатухающих колебаний, которые происходили бы в колебательном контуре при R = 0, U = 0 (см.

пример 3.6). Эта частота называется также собственной частотой колебательного контура.

x x 3.5. Фазовая плоскость однородного линейного уравнения Назад 3.5.1. Фазовые графики 3.5.2. Седло 3.5.3. Узлы 3.5.4. Фокус и центр 3.5.5. Классификация точек покоя 3.5.6. Прямая покоя Назад 3.5.1 Фазовые графики Рассмотрим уравнение с действительными коэффициентами Его полным решением, т.е. общим решением, содержащим все решения, является действительный квазимногочлен с произвольными коэффициентами:

Евклидову плоскость R2 = Oxy называют фазовой для уравнения D2 x + a1 Dx + a0 x = 0, если решения x(t) этого уравнения изображаются на ней в виде фазовых графиков Решение x(t), сохраняющее постоянное значение при всех t, x(t) =, называют стационарным решением.

Точкой покоя (, 0) называют фазовый график стационарного решения x(t) =.

Графики нестационарных решений представляют собой параметрически заданные линии.

Из леммы 3.1 следует, что сдвиг x(t) = x(t s) решения x снова является решением уравнения (5.1).

Фазовые графики решений x и x состоят из одних и тех же точек, т.е. совпадают.

Теорема 5.1. Два фазовых графика уравнения (5.1) либо не имеют общих точек, либо совпадают.

Назад Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что фазовые графики решений x и x имеют общую точку (, ), т.е. существуют такие s и s, что x(s) = x (s ) =, y(s) = y (s ) =. Фазовые графики решения x и его сдвига x(t) = x(t + s s ) совпадают. Решения x и x при t = s имеют одинаковые начальные значения, так как Поэтому, в силу теоремы 3.4, эти решения тождественны. Следовательно, фазовые графики решений x, x и x совпадают, т.е. наличие общей точки у двух фазовых графиков ведет к их совпадению.

В дальнейшем, если не оговорено противное, будем считать Единственной точкой покоя уравнения (5.1) в этом случае является начало координат O = (0, 0), так как вдоль стационарного решения x(t) = выполняется что в силу (5.5) влечет = 0. Говоря о фазовых графиках уравнения (5.1), дальше имеем в виду графики ненулевых решений этого уравнения.

Так как y(t) = Dx(t), то составляющая x(t) фазового графика возрастает в верхней полуплоскости (y > 0) и убывает в нижней полуплоскости (y < 0). Другими словами, движение по фазовому графику при возрастании t в верхней полуплоскости происходит слева направо, а в нижней - справа налево. Касательная к графику в точке (x(t), y(t)) имеет угловой коэффициент поэтому каждый график пересекает ось y = 0 с вертикальной касательной, а прямую - a1 y a0 x = 0 – с горизонтальной касательной.

Поскольку вдоль фазового графика Назад то в полуплоскости a1 y a0 x < 0 составляющая y(t) убывает, а в полуплоскости a1 y a0 x > 0 – возрастает, т.е. движение по фазовому графику (при возрастании t) в указанных полуплоскостях происходит вниз и вверх соответственно (рис. 3.6).

При замене аргумента t на t уравнение (5.1) переходит в уравнение При этом все фазовые графики отражаются симметрично относительно оси y = 0 и движение по графикам меняется на противоположное, взаимное же расположение фазовых графиков не меняется. Поэтому дальше считаем Фазовый график решения x будем называть O+ –графиком, если (x(t), y(t)) O при t +. O+ –график будем называть kO+ –графиком, если k при t +, k [, +] = R.

Назад Фазовый график решения x будем называть O –графиком, если (x(t), y(t)) O при t. O –график будем называть kO –графиком, если k при t, k [, +] = R.

Если фазовый график уравнения (5.1) является kO+ – или kO –графиком, то на основании правила Лопиталя и соотношения (5.6) при t + или t Поэтому k = и, учитывая (5.5), k = 0, следовательно, k 2 + a1 k + a0 = 0, т.е. k является характеристическим числом оператора L2. В частности, при комплексных характеристических числах оператора L2 у уравнения (5.1) не существует ни kO, – ни kO+ –графиков.

Назад Рассмотрим случай, когда у оператора L2 действительные характеристические числа имеют разные знаки.

В силу (5.3) на фазовом графике выполняется Если то фазовый график совпадает соответственно с лучом: a) y = 1 x, x > 0; б) y = 1 x, x < 0; в) y = 2 x, x > 0;

г) y = 2 x, x < 0, и является 1 O+ –графиком в случаях а), б) и 2 O –графиком в случаях в), г).

Если C1 C2 = 0, то график лежит между двумя лучами, уходит на бесконечность при t и при t + имея асимптотой в первом случае 1 O+ – луч, во втором – 2 O –луч.

Точка покоя (0, 0) с указанным расположением окрестных фазовых графиков называется седлом (рис. 3.7).

Отметим, что направление движения по графикам можно определить с помощью общей схемы (см. рис. 3.6).

Назад Рассмотрим случай, когда характеристические числа оператора L2 действительны и имеют один знак, т.е. в силу (5.8) они отрицательны. Если характеристические числа различны, то на основании (5.3) x(t) = C1 e1 t + C2 e2 t, y(t) = 1 C1 e1 t + 2 C2 e2 t, 1 < 2 < 0. Фазовые графики являются O+ –графиками. В случаях (5.9) графики оказываются лучами, расположенными во втором и четвертом квадрантах. Если C1 C2 = 0, то и график оказывается 2 O+ –графиком. При t каждый график имеет асимптотой тот из лучей y = 1 x, x > 0 или y = 1 x, x < 0, который отвечает общей схеме (см. рис. 3.6). Точка покоя (0, 0) с таким расположением окрестных фазовых графиков называется бикритическим узлом (рис.3.8).

Если же характеристические числа оператора L2 совпадают, то в силу (5.2) Фазовые графики являются O+ –графиками и, так как для любого графика то все они являются O+ –графиками. Точку покоя с таким расположением графиков называют монокритическим узлом. При t асимптотой для графика служит луч y = x, x > 0 или луч y = x, x < 0 (рис.

3.9).

Назад 3.5.4 Фокус и центр Допустим теперь, что характеристические числа оператора L2 комплексные ± iµ, µ = 0. Если = 0, то в силу (5.8) < 0, и фазовые графики в силу (5.4) имеют вид и являются O+ –графиками.

Составляющие x(t) и y(t) бесконечно много раз меняют знак при t ±, поэтому (см. рис. 3.6) график представляет собой спираль, совершающую бесконечно много оборотов вокруг (0, 0). При таком расположении окрестных фазовых графиков точку покоя (0, 0) называют фокусом (рис. 3.10).

Назад Если = 0, µ = 0, то из (5.10) имеем x = C cos(µt + C), y = Cµ sin(µt + C). Каждый график является эллипсом µ x + y = C. Точку покоя (0, 0) с таким расположением окрестных фазовых графиков называют центром (рис. 3.11).

Назад 3.5.5 Классификация точек покоя Рассмотрим типы точек покоя без учета ограничения a1 0.

Теорема 5.2. Если a0 = 0, то тип точки покоя O = (0, 0) уравнения (5.1) определяется видом характеристических чисел оператора L2, а именно:

Д о к а з а т е л ь с т в о. В случае (5.8) теорема доказана выше. Если же a1 < 0, то преобразуем (5.1), заменив аргумент t на t. При таком преобразовании (5.1) переходит в (5.7). При этом, как отмечено выше, взаимное расположение фазовых графиков не изменится, а следовательно, не изменится и тип точки покоя.

Пример 5.1. Определить тип точки покоя уравнения D2 x + 2Dx + x = 0 в зависимости от значений параметра.

Решение. В силу теоремы 5.2 тип точки покоя определяется видом характеристическое уравнение 2 + 2 + 1 = 0, находим 1,2 = ± 2 1. Если || > 1, то 1 = 2, 1 2 = 1 > 0. Следовательно, точка покоя – бикритический узел. Если = ±1, то 1 = 2 = и точка покоя – монокритический узел. Если || < 1, то 1,2 = ± i 1 2, поэтому при = 0 точка покоя – фокус, а при = 0 точка покоя – центр.

Пример 5.2. (Колебательный контур) Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из индуктивного L, емкостного C, резистивного R элементов и источника напряжения U, соединенных так, как показано на рис. 3.5. В момент времени t = 0 ключ K замыкает цепь. Выяснить, как изменяется заряд q емкостного элемента в зависимости от времени.

Решение. Составим дифференциальное уравнение, описывающее процесс в цепи.

По второму закону Кирхгофа U = U1 + U2 + U3, где U1 = RI, U2 = q/C, U3 = LI – напряжения на резистивном, емкостном и индуктивном элементах соответственно, I = q – сила тока, протекающего в цепи, q – заряд емкостного элемента. Таким образом, искомое уравнение имеет вид Рассмотрим случай U = 0, соответствующий тому, что начальное напряжение в цепи отсутствует. Пусть начальный заряд емкостного элемента равен q0, т. е. q|t=0 = q0. Так как до замыкания ключа тока в цепи нет, то q |t=0 = 0. Таким образом, получаем начальную задачу Назад решением которой является функция Если > 0, то характеристические числа действительны и 2 < 1 < 0 (R > 0, C > 0, L > 0). Поэтому фазовые графики уравнения (5.12) имеют вид, указанный на рис. 3.8. Отметим, что координаты каждой точки на фазовом графике вполне определяют состояние процесса в данный момент времени: абсцисса - заряд емкостного элемента, ордината - силу тока в цепи. Сам фазовый график, таким образом, выражает зависимость между зарядом и силой тока. Из условий (5.13), (5.14) следует, что движение по фазовому графику начинается на оси абсцисс (ось заряда q) и происходит влево. Величина q, убывая, стремится к нулю при t +, причем q /q 1 при t +, т.

е. фазовый график является 1 O+ –графиком, а точка покоя O – бикритическим узлом.

Если = 0, то характеристические числа действительны, отрицательны и равны между собой. Поэтому фазовые графики уравнения (5.12) имеют вид, указанный на рис.3.9. Из начальных условий следует, что и в этом случае движение начинается на оси абсцисс и происходит влево, т. е. величина заряда q, строго убывая, стремится к нулю при t +, причем q(t) при t +. Таким образом, фазовый график является O+ –графиком, а точка покоя O – монокритическим узлом.

Если < 0, то характеристические числа комплексные и имеют отрицательную действительную часть. Поэтому фазовые графики уравнения (5.12) имеют вид, указанный на рис. 3.10. Точка покоя O – фокус. Движение и в этом случае начинается на оси абсцисс, однако изменение величины заряда q носит колебательный характер. Такой процесс называется осцилляторным затухающим, причем затухание амплитуды происходит по экспоненциальному закону (ср. с примером 3.6, где R = 0).

Отметим в заключение физический смысл теоремы 5.1: в реальной электрической цепи процесс протекает вполне определенным образом, в зависимости от начального состояния.

Назад 3.5.6 Прямая покоя Рассмотрим теперь случай a0 = 1 m = 1 m = 0. Уравнение (5.1) принимает вид При любом R функция x(t) =, при всех t является стационарным решением уравнения (5.15). Вся ось y = 0 состоит из точек покоя, т. е. является прямой покоя. Если m = 2 и 1 < 2 = 0, то фазовые графики лежат на лучах y = 1 (x C0 ), y > 0 или y < 0, и направлены к оси y = 0 (рис. 3.12). Если же m = 1, то a1 = a0 = 0 и уравнение (5.15) является уравнением D2 x = 0 с фазовыми графиками x = C0 + C1 t, y = C1, лежащими на горизонтальных прямых и направленными в соответствии с общей схемой (рис. 3.13).

x x 3.6. Системы линейных дифференциальных уравнений Назад 3.6.1. Системы линейных дифференциальных уравнений 3.6.2. Разрешение стационарных линейных дифференциальных систем 3.6.3. Экспонентное представление решений стационарных линейных систем