«Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет ЭЛЕКТРОННЫЙ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА [Методические указания] [Типовые программы курсов] [Основные понятия] ...»

Последовательность (an ) называют убывающей, если она удовлетворяет условию :

an+1 an при любом n.

Последовательность (an ) называют строго убывающей, если она удовлетворяет условию :

an+1 < an при любом n.

Убывающую и возрастающую последовательности называют монотонными.

Строго убывающую и строго возрастающую последовательности называют строго монотонными.

Последовательность называют монотонной в широком смысле, если она имеет монотонный остаток.

Теорема 1.4 (Критерий сходимости монотонной последовательности). Всякая монотонная ограниченная последовательность сходится.

Число e.

Последовательность an = (1 + ) возрастает и ограничена сверху числом 3. Поэтому она сходится. Ее предел обозначают e. Это иррациональное число, e = 2, 71828... Таким образом Назад Число e играет в математике исключительно важную роль.

Показательную функцию ex называют экспонентой. Часто обозначают ex = exp x.

loge x называют логарифмом натуральным числа x и обозначают lnx.

Принцип вложенных отрезков Теорема 1.5. Пусть последовательность an возрастает, последовательность bn убывает и an bn, n.

Если bn an 0, то обе последовательности имеют общий предел.

тельности ограничены и, поэтому сходятся.Так как bn an 0, то lim an lim bn = 0, т.е. lim an = lim bn.

Теорема имеет ясный геометрический смысл. Если дана последовательность вложенных отрезков и последовательность длин этих отрезков стремится к нулю, то существует, причем единственная, точка, которая принадлежит всем отрезкам.

Принцип выбора Теорема 1.6 (Теорема Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Назад Верхний и нижний пределы последовательности Пусть L - множество пределов подпоследовательностей последовательности (an ). Верхним пределом последовательности (an ) называют sup L, его обозначают Пусть L - множество пределов подпоследовательностей последовательности (an ). Нижним пределом последовательности (an ) называют inf L, его обозначают Последовательность (an ) сходится тогда и только тогда, когда и тогда Назад 2.2.1. Предел Функции одной переменной 2.2.2. Предел функции 2.2.3. Неопределенности 2.2.4. Замечательные пределы 2.2.5. Непрерывность функции 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной 2.2.7. Производные высших порядков 2.2.8. Исследование функций одной переменной 2.2.9. Неопределенный интеграл Назад 2.2.1 Предел Функции одной переменной Функция Функцией, определенной на множестве X со значениями в множестве Y называют закон f, по которому каждому элементу x X ставится в соответствие элемент y Y. Элемент y называют образом элемента x и обозначают y = f (x). При этом записывают f : X Y или, более подробно, Множество X называют областью определения функции.

В этом разделе мы будем рассматривать числовые функции y = f (x) с числовыми значениями, т.е. считать, что X и Y - множества из R. При этом x называют независимой переменной или аргументом функции, а y зависимой переменной Если закон f, определяющий функцию y = f (x), задан посредством формул и область определения функции не указана, то считают, что функция задана в естественной области определения, т.е. на множестве точек, для которых эти формулы имеют смысл.

Композиция функций Пусть функция y = f (x) определена на множестве X и функция x = g(t) определена на множестве T, причем при любом t T значение x = g(t) X. Тогда на множестве T можно определить функцию y = h(t) = f (g(t)).

Эту функцию называют композицией функций f и g и обозначают:

Пример 2.1. Пусть f (x) = ln x и g(t) = sin t, t (0, ). Тогда на интервале (0, ) можно определить функцию ln(sin x), которая является композицией функций ln и sin.

Назад Элементарные функции В школьном курсе математики изучались элементарные функции. Это,прежде всего, основные элементарные функции. К ним относятся:

постоянная функция степенная функция многочлены;

рациональные функции (отношение двух многочленов) показательная функция логарифмическая функция тригонометрические функции обратные тригонометрические функции С помощью композиций и арифметических операций, применяемых конечное число раз к основным элементарным функциям, получают элементарные функции.

Назад Обратная функция Пусть функция y = f (x) определена на X и заполняет своими значениями множество Y, причем каждое значение y Y функция принимает только один раз. Тогда на Y можно определить функцию g(y) которая в точке y принимает значение x = g(y) такое, что f (x) = y. Эту функцию называют обратной функцией для функции y = f (x) и обозначают f 1. Таким образом, Периодическая функция Функцию f (x) называют периодической, если существует такое число T, что Периодом периодическойфункции f (x) называют такое число T, что f (x+T ) = f (xT ) = f (x), x. Обычно периодом считают наименьший положительный период.

Пример 2.2. Функции sin x, cos x периодические с периодом 2. Функции tg x, ctg x периодические с периодом.

Назад Неявное задание функции Пусть задано уравнение и пусть для любого x из множества X существует такое y = y(x), что F (x, y(x)) = 0. В ряде случаев найти явное выражение y = y(x) невозможно. Поэтому говорят, что уравнение F (x, y) = 0 определяет неявную функцию y = y(x).

Параметрическое задание функции Пусть на промежутке T заданы функции x = (t), y = (t), причем функция (t) принимает каждое свое значение x только один раз. Тогда на множестве X значений функции (t) существует обратная функция t = 1 (x) и можно определить функцию y = y(x) = (1 (x)). Говорят, что это функция, заданная параметрически уравнениями Пример 2.3. Пусть x = cos t, y = sin t, t [0, ]). Эти уравнения задают множество точек верхней полуокружности окружности x2 + y 2 = 1.

Назад 2.2.2 Предел функции Окрестности точки Окрестностью точки a называют всякий интервал Ua = (,, ) содержащий точку a.

Если из окрестности Ua точки a удалить саму точку a, то получим множество Ua, называемое проколотой окрестностью точки a.

Точку a R называют предельной точкой множества X, если X Ua = для любой проколотой окрестноa точки a..

сти U Предел функции в точке Пусть функция f определена на множестве X и a - предельная точка множества X. Число A называют пределом функции в точке a, если При этом используют обозначения При определении предела функции в точке a значение функции в этой точке не рассматриваются. Более того, точка a может не принадлежать области определения функции.

Критерий Гейне. Понятие предела функции тесно связано с понятием предела последовательности.

Теорема 2.1. Пусть функция y = f (x) определена на множестве X и a - предельная точка множества X. Предел функции в точке a существует и равен A тогда и только тогда, когда для любой Назад последовательности (xn ) со свойствами: xn a, xn X при любом n, xn = a соответствующая последовательность значений функции (yn ) = (f (xn )) имеет предел A.

Критерий Гейне позволяет перенести основные свойства пределов последовательностей на пределы функций.

Свойства пределов Свойство 1. Функция в точке может иметь только один предел.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если допустить, что функция y = f (x) имеет в точке a два различных предела lim f (x) = A и lim f (x) = B, то любая последовательность со свойствами: xn a, xn X, xn = a при любом n, должна на основании критерия Гейне 2.1 иметь два предела A и B, что невозможно.

Пусть существуют пределы lim f (x) и lim g(x).

Свойство 2. lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x).

вательность со свойствами xn a, xn X xn = a на основании критерия Гейне 2.1(необходимость) имеем:

h(xn ) = f (xn ) + g(xn ) A + B. На основании критерия Гейне (достаточность) h(x) = f (x) + g(x) A + B.

Аналогично доказываются другие свойства пределов функций.

Свойство 3. Если lim f (x) = A, lim g(x) = B, то lim (f (x) + g(x) = A + B.

Свойство 4. Если lim f (x) = A, lim g(x) = B, то lim (f (x) · g(x)) = A · B.

Свойство 6. Если f (x) g(x) при любом x и lim f (x) = A, lim g(x) = B, то A B.

Назад Односторонние пределы Пусть функция f определена на множестве X и a - предельная точка множества X. Число A называют пределом функции в точке a справа если При этом используют обозначения или f (x) A при x a + 0. Это означает, что при вычислении предела в точке a рассматривают только Пусть функция f определена на множестве X и a - предельная точка множества X. Число A называют пределом функции в точке a слева если При этом используют обозначения или f (x) A при x a 0. Это означает, что при вычислении предела в точке a рассматривают только Если предельная точка a = 0, то предел справа обозначают lim f (x) = f (+0) = A или f (x) A при Назад x +0, а предел слева lim f (x) = f (0) = A или f (x) A при x 0.

Функцией Хевисайда 1(x) называют функцию, определяемую по правилу:

Пример 2.4. Рассмотрим функцию Хевисайда f (x) = 1(x). Для этой функции имеем: f (0) = 0, f (+0) = 1. Следовательно, функция Хевисайда не имеет предела в точке 0.

Пределы на бесконечности Если область определения функции содержит какой-либо интервал (a, +), то можно рассматривать предел при x +.

Говорят, что lim f (x) = A, если Аналогично определяют предел при x функции, область определения которой содержит какой-либо интервал (, a).

Говорят, что lim f (x) = A, если Назад Бесконечные пределы Пусть функция f определена на множестве X и a - предельная точка множества X. Говорят, что предел функции в точке a равен +, если При этом используют обозначения lim f (x) = + или f (x) + при x a..

Аналогично определяют предел, равный.

Пусть функция f определена на множестве X и a - предельная точка множества X. Говорят, что предел функции в точке a равен, если При этом используют обозначения lim f (x) = или f (x) при x a..

Замечание 2.2. При вычислении предела функции f (x) в точке a прежде всего подставляют значение x = a в формулу f (x). Если функция f (x) элементарная и точка a принадлежит области определения функции, то полученное при подстановке число и является пределом функции в этой точке.

Назад 2.2.3 Неопределенности При вычислении пределов трудность представляют случаи, когда исследуемая функция в предельной точке представляет собой так называемую неопределенность. Рассмотрим подробнее такие случаи.

Если u(x) 0 и v(x) 0 при x a, то выражение при x a представляет собой неопределенность Если u(x) и v(x) при x a, то выражение при x a представляет собой неопределенv(x) ность [ ].

Если u(x) 0, а v(x) при x a, то выражение u(x) · v(x) при x a представляет собой неопределенность [0 · ].

Если u(x) 0, а v(x) при x a, то выражение v(x)u(x) при x a представляет собой неопределенность [0 ].

Если u(x) 0 и v(x) 0 при x a, то выражение v(x)u(x) при x a представляет собой неопределенность [00 ].

Если u(x), а v(x) 1 при x a, то выражение v(x)u(x) при x a представляет собой неопределенность [1 ].

Если u(x) и v(x) при x a, то выражение u(x) v(x) при x a представляет собой неопределенность [ ].

Назад 2.2.4 Замечательные пределы Замечательный тригонометрический предел Предел называют замечательным тригонометрическим пределом. Обобщением этого замечательного предела является где (x) 0 при x a. Заметим, что числитель и знаменатель функции стремятся к 0 при x 0, т.е. функция при x a представляет собой неопределенность [ ]..

Пример 2.6. lim = 1. Здесь использован замечательный тригонометрический предел, в котором (x) = x 1 0 при предел, в котором (x) = x 1 0 при x 1.

Назад Замечательный показательно-степенной предел Предел называют замечательным показательно-степенным пределом. Обобщением этого замечательного предела является где (x) 0 при x a. В этом случае (1 + (x)) в котором (x) = x + 1 0 при x 1.

Замечательный показательный предел Предел называют замечательным показательным пределом. Обобщением этого замечательного предела является Назад Пример 2.9. lim = lim =. Здесь использован замечательный показательный предел, в котором (x) = Замечательный логарифмический предел Предел называют замечательным логарифмическим пределом. Обобщением этого замечательного предела является логарифмический предел, в котором (x) = x 1 0 при x 1.

Назад Замечательный степенной предел Предел называют замечательным степенным пределом. Обобщением этого замечательного предела является котором (x) = x2 0 при x 0.

Назад 2.2.5 Непрерывность функции Непрерывность функции в точке Пусть функция f (x) определена на интервале X и x0 X.

Говорят, что функция f (x) непрерывна в точке x0, если Это означает В силу замечания 2.2, помещенного в параграфе о пределе функции, всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке из области определения.

Односторонняя непрерывность Говорят, что функция f (x) непрерывна справа в точке x0, если f (x0 + 0) = f (x0 ), т.е. если предел функции справа в точке x0 совпадает со значением функции в этой точке. Это означает, что Назад Аналогично определяют непрерывность слева.

Говорят, что функция f (x) непрерывна слева в точке x0, если т.е. если предел функции слева в точке x0 совпадает со значением функции в этой точке. Это означает, что Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна и слева, и справа в этой точке.

Пример 2.12. Рассмотрим функцию Хевисайда Для этой функции имеем: f (0) = 0, f (+0) = 1, f (0) = 1. Следовательно, функция Хевисайда в точке 0 непрерывна справа и не является непрерывной слева, и, следовательно, не является непрерывной в точке 0.

Непрерывность композиции функций Теорема 2.2. Пусть задана композиция функций y = h(t) = f (g(t)). Если функция g непрерывна в точке t0 и функция f непрерывна в точке x0 = g(t0 ), то функция h = f g непрерывна в точке t0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем любое > 0. Так как f непрерывна в точке x0, то > 0, такое, что для всех x, |x x0 |, выполняется неравенство |f (x) f (x0 |. Поскольку g непрерывна в точке t0, то > 0, такое, что для t, а поэтому |f (g(t)) f (x0 )|, т.е. |h(t) h(t0 )|. Таким образом, что означает непрерывность функции h в точке t0.

Назад Локальные свойства непрерывных функций Свойства функции, имеющие место в окрестности (может быть очень маленькой) рассматриваемой точки, называют локальными свойствами функции.

Приведем основные теоремы о локальных свойствах непрерывных функций.

Теорема о локальной ограниченности. Пусть f (x) определена на множестве, содержащем точку x0.

Теорема 2.3. Если функция f (x) непрерывна в точке x0, то существует окрестность этой точки, в которой функция ограничена, т.е. Ux0, и m, M R такие, что Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения непрерывности функции в точке x0, следует, что для всех x из окрестности Ux0 = (x0, x0 + ) точки x0 значения функции удовлетворяют условиям Теорема о локальном сохранении знака. Пусть f (x) определена на множестве, содержащем точку x0.

Теорема 2.4. Если функция непрерывна в точке x0, и f (x0 ) = 0, то существует окрестность этой точки, в которой функция принимает значения, знак которых совпадает со знаком f (x0 ).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f (x0 ) > 0. B определении непрерывности функции в точке x0, положим. Тогда следует, что для всех x из окрестности Ux0 = (x0, x0 + ) точки x0 значения функции удовлетворяют условиям Для случая f (x0 ) < 0 доказательство проводится аналогично.

Назад Непрерывность функции на множестве Говорят, что функция непрерывна на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Говорят, что функция непрерывна на отрезке [a, b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a, b), непрерывна слева в точке b и непрерывна справа в точке a.

Говорят, что функция непрерывна на полуинтервале [a, b), если она непрерывна в каждой точке интервала (a, b), и непрерывна справа в точке a.

Аналогично определяют непрерывность на полуинтервале (a, b].

Множество всех непрерывных на X функций обозначают CX. Например, C[a,b] - множество всех функций, непрерывных на отрезке [a, b].

Теорема о промежуточном значении Теорема 2.5. Если непрерывная на отрезке функция принимает значения разных знаков на концах отрезка, то она принимает на отрезке и значение 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция f (x) непрерывна на [a, b] и, для определенности, f (a) < 0, f (b) > 0.

же f (c0 ) = 0, то функция принимает на концах одного из отрезков [a, c0 ] или [c0, b] значения разных знаков.

Обозначим этот отрезок [a1, b1 ]. Его длина d1 =. Обозначим c1 = Если же f (c1 ) = 0, то функция принимает на концах одного из отрезков [a, c1 ] или [c1, b] значения разных знаba ков. Обозначим этот отрезок [a2, b2 ]. Его длина d1 = и продолжим построения. В результате либо будет построена точка cn = следовательности (an ) и (bn ) имеют общий предел. Обозначим этот предел c. Так как f (an ) < 0 и f (bn ) > 0 и Назад т.е. c = c.

Теорема 2.6. Непрерывная на отрезке функция принимает на этом отрезке все промежуточные значения. (Это значит, что если функция принимает на отрезке значения y1 и y2, то она принимает на этом отрезке и любое значение y, расположенное между y1 и y2.) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть непрерывная функция f (x) принимает на отрезке значения y1 и y2, в точках x1 b x2 соответственно и y - произвольное число, расположенное между y1 и y2. Рассмотрим функцию g(x) = f (x) y. Эта функция непрерывна на отрезке [y1, y2 ] и принимает на концах отрезка значения разных знаков. На основании теоремы о прохождении через нуль 2.5 существует такая точка c [y1, y2 ], что g(c) = 0, т.е. f (c) = y.

Экстремальные значения функции Наибольшее и наименьшее значение функции на множестве X обозначают соответственно Эти значения называют экстремальными значениями функции.

Теоремы Вейерштрасса. Для функции, непрерывной на отрезке, справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.7. Непрерывная на отрезке функция принимает на этом отрезке свои экстремальные значения.

Пример 2.13. Функция f (x) = x2, x [1, 3) имеет который достигается в точке x = 1, и не имеет Назад Функция непрерывна, но задана на полуинтервале, а не на отрезке.

Пример 2.14. Функция f (x) = x2, x [1, 3) и f (3) = 5, определенная на отрезке[1, 3], имеет который достигается в точке x = 1, и не имеет Функция задана на отрезке, но не является непрерывной на отрезке, так как f (3) = 5, а f (3 0) = 9..

Теорема 2.8. Множеством значений непрерывной функции, заданной на отрезке, является отрезок.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция f (x) непрерывна на [a, b]. На основании теоремы Вейерштрасса 2. функция принимает на этом отрезке свое минимальное значение m и свое максимальное значение M и, на основании теоремы о промежуточном значении 2.6 принимает на этом отрезке и любое значение из отрезка [m, M ].

Равномерная непрерывность В определении непрерывности функции в точке x0 из множества X величина зависит не только от, но и от x0.

Однако в ряде случаев существует одно и то же число для всех x X. В таких случаях говорят, что функция равномерно непрерывна на множестве X.

Функцию f (x) называют равномерно непрерывной на множестве X, если Равномерно непрерывная на множестве X функция непрерывна в каждой точке этого множества. Обратное не верно.

Пример 2.15. Функция f (x) = cos элементарная и следовательно, непрерывна на интервале (0, 1). Однако Назад Тогда Значит функция не является равномерно непрерывной на интервале (0, 1).

Вместе с тем справедлива следующая теорема.

Теорема 2.9 (Кантора). Непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна на этом отрезке.

Точки разрыва Непрерывность функции f (x) в точке x0 означает, что Это предполагает выполнение следующих четырех условий (каждое из них сильнее предыдущего).

1. Односторонние пределы f (x0 0) и f (x0 + 0) существуют.

2.Односторонние пределы f (x0 0) и f (x0 + 0) конечны.

Говорят, что точка x0 является точкой разрыва функции f (x), если нарушены условия или, что то же самое, нарушены какие либо из условий 1. Односторонние пределы f (x0 0) и f (x0 + 0) существуют.

2.Односторонние пределы f (x0 0) и f (x0 + 0) конечны.

3. f (x0 0) = f (x0 + 0).

Говорят, что точка x0 является точкой неопределенности функции f (x), если хотя бы один из пределов f (x0 0), f (x0 + 0) не существует.

Назад Пример 2.16. Функция f (x) = cos определена в проколотой окрестности точки 0. Последовательность точек xn = сходится к точке 0, а последовательность значений функции yn = cos xn = cos n = (1) существует правосторонний предел f (+0). Следовательно, точка 0 является точкой неопределенности для функции cos.

Говорят, что точка x0 является точкой бесконечного скачка функции f (x), если оба предела f (x 0), f (x0 + 0) существуют, но хотя бы один из них бесконечен.

Пример 2.17. Функция f (x) = e x определена в проколотой окрестности точки 0. Эта функция имеет односторонние пределы f (0) = 0, f (+0) = +. Следовательно, точка 0 является точкой бесконечного скачка для этой функции.

Говорят, что точка x0 является точкой конечного скачка функции f (x), если оба предела f (x0 0), f (x0 +0) существуют и конечны, но f (x0 0) = f (x0 + 0).

Пример 2.18. Функция Хевисайда имеет односторонние пределы f (0) = 0, f (+0) = 1. Следовательно, точка 0 является точкой конечного скачка для этой функции.

Говорят, что точка x0 является точкой устранимого разрыва функции f (x), если оба предела f (x 0), f (x0 + 0) существуют, конечны, равны но f (x0 0) = f (x0 + 0) = f (x0 ).

Точку конечного скачка и точку устранимого разрыва называют точками разрыва первого рода.

Точку бесконечного скачка и точку неопределенности называют точками разрыва второго рода.

Пример 2.19. Рассмотрим функцию f (x) = 1(x) + 1(x), где 1(x) - функция Хевисайда. Эта функция имеет односторонние пределы f (x0 0) = f (x0 + 0) = 1, но f (0) = 2. Следовательно, точка 0 является для этой функции точкой устранимого разрыва.

В случае, когда функция определена в проколотой окрестности точки x0 и не определена в самой этой точке, также принято считать x0 точкой разрыва. Классификация таких точек проводится по такой же схеме.

Функцию называют кусочно-непрерывной на промежутке X, если она имеет на этом промежутке конечное число точек разрыва и все они являются точками разрыва первого рода.

Назад Сравнение функций Функцию f (x) называют локально ограниченной если существует такое число M, что |f (x)| M для любого x из проколотой окрестности точки a. При этом используют обозначение f (x) = O(1) при x a.

Если lim f (x) = 0, то функцию f (x) называют бесконечно малой функцией при x a.

Если lim Если lim = 0, то говорят, что f (x) является функцией большего порядка, чем g(x). При этом испольg(x) зуют обозначение: f (x) = o(g(x)) при x a.

Локально эквивалентные функции. Пусть функции f (x) и g(x) определены в окрестности точки a.

= 1, то говорят, что f (x) и g(x) - эквивалентные функции при x a. При этом используют Если lim обозначение f (x) g(x) при x a. Отметим, что, если f (x) A при x a, то f (x) A.

Теорема 2.10 (Критерий эквивалентности функций). Функции f (x) и g(x) эквивалентныпри x a тогда и только тогда, когда f (x) = g(x) + o(g(x)).

(x) 0 при x a. Следовательно, f (x) = g(x) + g(x) · (x) причем h(x) = g(x) · (x) = o(g(x)), так как h(x) g(x) Это означает, что f (x) g(x).

Назад При x a наиболее простыми бесконечно малыми функциями являются степенные функции, т.е. функции вида C(x a). В частности при x 0 справедливы следующие формулы:

Доказать эти формулы можно, используя замечательные пределы.

При вычислении пределов можно заменять множители эквивалентнымиим функциями. Точнее, справедлива следующая теорема.

ется аналогично.

x x 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной Назад 2.2.6 Дифференцируемость функции одной переменной Дифференцируемость функции в точке Рассмотрим функцию y = f (x), определенную на интервале X. В точке x0 X дадим переменной x приращение x так, чтобы точка x0 + x X.

Величину y = f (x0 + x) f (x0 ) называют приращением функции y = f (x), которое вызвано приращением ее аргумента x.

Если y 0 при x 0, то функция непрерывна в точке x0.

Говорят, что функция f (x) дифференцируема в точке x0, если существует число A (зависящее, вообще говоря, от x0 ), такое, что Теорема 2.12 (Непрерывность дифференцируемой функции).

Дифференцируемая в точке функция непрерывна в этой точке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если функция f (x) дифференцируема в точке x0, то y = A · x + o(x) 0 при Число A (см. дифференцируемость функции) называют производной функции в точке x0 и обозначают символами Из определения дифференцируемости следует, что x x 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной Назад сторонние производные.

Правосторонний предел называют правосторонней производной функции f (x) в точке x0 и обозначают f+ (x0 ).

Левосторонний предел называют левосторонней производной функции f (x) в точке x0 и обозначают f (x0 ).

Функция дифференцируема в точке x0 тогда и только тогда, когда В этом случае Функцию y = f (x) называют дифференцируемой на интервале X = (a, b), если в каждой точке x X существует производная f (x).

Правила дифференцирования Теорема 2.13 (Правила дифференцирования). Пусть u = u(x), v = v(x) дифференцируемые функции и C постоянная.Тогда x x 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной Назад Если h(x) = u(x) · v(x), то h = (u + u)(v + v) uv = vu + uv и при x 0 получаем Производная произведения нескольких дифференцируемых функций получается повторным применением формулы дифференцирования произведения двух функций:

и т.д.

Производная композиции.

Теорема 2.14 (Дифференцирование композиции). Пусть задана композиция функций y = h(t) = (f g)(t) = f (g(t)). Если функция x = g(t) дифференцируема в точке t и функция y = f (x) дифференцируема точке x = g(t), то функция y = h(t) = (f g)(t) = f (g(t)) дифференцируема точке t и x x 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной Назад Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция y = f (x) дифференцируема в точке x. Поэтому y = f (x)x + (x)x, где (x) 0 при x 0.

Функция x = g(t)дифференцируема в точке t. Поэтому x = g (t)t + (t)t, где (t) 0 при t 0.

Поэтому где (t) = f (g(t))(t) + (x)(g (t) + (x)(t).

Функция x = g(t) дифференцируема, и значит непрерывна (см.??.)Поэтому x 0 при t 0 и, следовательно, (x) 0 при t 0. Отсюда следует, что (t) 0 при t 0.

Таким образом, y = f (g(t))g (t)t + (t)t = f (g(t))g (t)t + o(t). Значит функция y = f (g(t)) дифференцируема и (f (g(t)) = f (g(t))g (t).

Производная обратной функции.

Теорема 2.15. Пусть функция y = f (x) имеет обратную функцию x = g(y) = f 1 (y). Если f (x) дифференцируема в точке x0 и f (x0 ) = 0, то обратная функция дифференцируема в точке y0 = f (x0 ) и Производные основных элементарных функций Теорема 2.16 (Производная x). x = 1.

Теорема 2.17 (Производная степени). (xm ) = mxm1.

x x 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной Назад при x 0. Здесь использован замечательный степенной предел.

Теорема 2.18 (Производная экспоненты). (ex ) = ex.

при x 0. Здесь использован замечательный показательный предел.

Теорема 2.19 (Производная показательной функции). (ax ) = ax · ln a.

при x 0. Здесь использован замечательный логарифмический предел.

x x 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной Назад Теорема 2.22 (Производная синуса). (sin x) = cos x.

при x 0. Здесь использован замечательный тригонометрический предел.

Теорема 2.23 (Производная косинуса). (cos x) = sin x.

при x 0. Здесь использован замечательный тригонометрический предел.

Здесь использованы ?? правила дифференцирования дроби.

Теорема 2.25 (Производная котангенса). (ctg x) = 2.

x x 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной Назад Здесь использованы ?? правила дифференцирования дроби.

Теорема 2.26 (Производная арктангенса). (arctg x) =.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция y = arctg x имеет обратную функцию x = tg y, производная которой x = = 1 + tg2 y = 1 + x2. На основании теоремы о производной обратной функции 2.15 получаем:

(tg y) = Теорема 2.28 (Производная арксинуса). (arcsin x) =.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция y = arcsin x имеет обратную функцию x = sin y, производная которой x = (sin y) = cos y = 1 sin2 y = 1 x2. На основании теоремы о производной обратной функции 2. cos(35x +2x2 )· ln 3 · (35x +2x2 ) · (15x2 + 2).

x x 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной Назад Таблица производных C = 0.

(sin x) = cos x.

Приращения функции Приращение x аргумента x вызывает приращение y = f (x + x) f (x) функции y = f (x).

Величины и называют относительными приращениями аргумента x и функции y = f (x) соответx y ственно.

x x 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной Назад Относительное приращение часто выражают в процентах, например, показывает, сколько процентов составляет среднее (на промежутке от x до x + x) относительное приращение функции, если относительное приращение аргумента равно 1 проценту.

Предел называют эластичностью функции y = f (x) по ее аргументу в точке x.

Эластичность функции по ее аргументу в точке x показывает, на сколько процентов изменится значение функции при увеличении аргумента в точке x на 1 процент.

Если функция f (x) дифференцируема, то эластичность функции можно вычислять по формуле которая следует непосредственно из определения эластичности Основные теоремы о дифференцируемых функциях Точки локального экстремума. Пусть c - точка из области определения функции.

Точку x0 называют точкой локального максимума функции f (x), если существует такая окрестность Ux0, что f (x) f (x0 для любого x Ux0.

x x 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной Назад Точку x0 называют точкой локального минимума функции f (x), если существует такая окрестность Ux0, что f (x) f (x0 для любого x Ux0.

Точки локального максимума и локального минимума функции называют точками локального экстремума.

Стационарные точки функции. Пусть функция дифференцируема в точке c.

Точка c называется стационарной точкой функции f (x), если f (c) = 0.

Теорема 2.30 (Теорема Ферма). Пусть функция f (x) определена на (a, b) и x0 (a, b) - точка локального экстремума. Если функция дифференцируема в точке x0, то x0 является стационарной точкой функции.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x0 точка локального максимума функции f (x). Тогда приращение функции Так как f (x) дифференцируема в точке x0, то Следовательно f (x0 ) = 0.

Теорема 2.31 (Теорема Ролля). Пусть функция f (x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b).

Если f (a) = f (b), то на интервале (a, b) существует по крайней мере одна стационарная точка.

x x 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной Назад Д о к а з а т е л ь с т в о. На основании теоремы Вейерштрасса ?? на отрезке [a, b] существуют такие точки x и x, что f (x) = max f (x), f (x) = min f (x). Если f (x) = f (x), то f (x) постоянна на [a, b] и любая точка из (a, b) является стационарной. Если же f (x) = f (x), то хотя бы одна из точек x, x расположена внутри [a, b] и на основании теоремы Ферма 2.30 является стационарной точкой.

Конечные приращения. Пусть функция определена по меньшей мере на отрезке [a, b].

Теорема 2.32 (Теорема Лагранжа). Если функция f (x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b), то на (a, b), существует такая точка c, что Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим вспомогательную функцию Функция (x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и f (a) = f (b) = 0, т.е. она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля2.31. Поэтому существует на (a, b) такая точка c, что (c) = 0, т.е.

Если функция f (x) непрерывна на отрезке с концами a и b и дифференцируема внутри его, то существует такое число (0, 1), что Эту формулу называют формулой конечных приращений. Она является обобщением теоремы Лагранжа2.32. Ее записывают также в виде где - некоторое число из интервала (0, 1).

x x 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной Назад Теорема 2.33 (Теорема Коши). Если функции f (x) и g(x) непрерывны на [a, b], дифференцируемы на (a, b) и g (x) = 0 на (a, b), то на (a, b), существует такая точка c, что Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим вспомогательную функцию Функция (x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и f (a) = f (b) = 0, т.е. она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля2.31. Поэтому существует на (a, b) такая точка c, что (c) = 0, т.е.

Разность g(b)g(a) = 0, иначе, на основании теоремы Ролля, нашлась бы на (a, b) такая точка c1, что g (c1 ) = 0.

Поэтому получаем Правила Лопиталя Пусть X - некоторый промежуток и a предельная точка множества X. Допускаем, что a может быть и + или. Рассмотрим функцию f (x), определенную на множестве X0 = {x|x X, x = a}. Если a - граничная точка промежутка X, то при рассмотрении lim f (x) рассматриваем соответствующий односторонний предел.

Теорема 2.34 (Первое правило Лопиталя). Пусть 2) функции f (x) и g(x) дифференцируемы на X0 ;

x x 2.2.6. Дифференцируемость функции одной переменной Если существует предел (конечный или бесконечный) Теорема 2.35 (Второе правило Лопиталя). Пусть 2) функции f (x) и g(x) дифференцируемы на X0 ;

Если существует предел (конечный или бесконечный) Пример 2.26. Вычислим lim xsin x = [00 ] = lim esin x·ln x.

Назад x+0 x2 x+ Поэтому lim xsin x = e0 = 1.

Назад 2.2.7 Производные высших порядков Последовательное дифференцирование Для функции y = f (x) производной второго порядка называют производную функции f (x), т.е. (f (x)).

Обозначают f (2) (x), f (x), y (2), y,. Таким образом, Для функции y = f (x) производной порядка n называют производную производной порядка n 1. Обознаdn f dn y Производной нулевого порядка считают саму функцию: f (0) (x) = f (x).

Множество всех функций, имеющих на множестве X непрерывные производные до порядка n включительn) (1) но, обозначают CX. Например,C[a,b] - множество всех функций, производные которых являются непрерывными на [a, b] функциями. При этом считают f (a) = f+ (a), f (b) = f (b).

При последовательном вычислении нескольких начальных производных f (1) (x), f (2) (x) f (3) (x),... некоторых элементарных функций легко усматривается закономерность, позволяющая записать формулу для вычисления производной любого порядка. Доказательство таких формул может быть проведено методом математической индукции.

Назад Производные произвольного порядка некоторых элементарных функций Если функции u = u(x), v = v(x) имеют производные порядка n, то Назад Формула Лейбница. Последовательное вычисление производной порядка n произведения функций при больших n становится достаточно трудоемким. В ряде случаев удобно использовать для вычисления такой производной следующую теорему.

Теорема 2.36 (Формула Лейбница). Если функции u = u(x), v = v(x) имеют производные порядка n, Пример 2.27. Вычислим ((x2 3x)ex )(10), воспользовавшись формулой Лейбница 2.36, взяв там u = ex, v = x2 3x. Заметим, что v (k) = 0 при k 3. Поэтому Дифференцирование функций, задаваемых параметрически Теорема 2.37. Пусть формулы x = (t), y = (t), t T задают параметрически функцию y = y(x). Если функции (t) и (t) дифференцируемы и (t) = 0, то функция y = y(x) дифференцируема и ее производная y (x) задается параметрически формулами Д о к а з а т е л ь с т в о. Используем теорему о дифференцировании композиции ?? при дифференцировании сложной функции y = y(t) = y(x(t)).

Откуда Назад Пусть нужно вычислить вторую производную функции y(x), заданной параметрически. Обозначив = (t), получаем формулы, задающие параметрически первую производную y (x) :

Поэтому для вычисления y (x) = (y (x)) можно применить правило дифференцирования функции, заданной параметрически (см.теорему 2.37).

Аналогично вычисляют и производные более высоких порядков.

Пример 2.28. Функция y(x) задана параметрически формулами Тогда Итак, Дифференциалы Дифференцируемость функции означает, что ее приращение представимо в виде Назад Главную часть приращения функции f (x)·x называют дифференциалом и обозначают dy или df (x). Таким образом, Рассмотрим тождественную функцию y = f (x) = x. Для нее dy = dx. С другой стороны dy = x x = x.

Таким образом, x = dx. Поэтому для дифференциала функции получаем формулу:

При вычислении дифференциалов руководствуются правилами дифференцирования ??

водные старших порядков.

Вторым дифференциаломфункции называют дифференциал от дифференциала. Обозначают d2 f (x) или d2 y. Таким образом, d2 y = d(dy). Второй дифференциал называют также дифференциалом второго порядка.

Дифференциалом порядка n функции называют дифференциал от дифференциала порядка n 1. Обозначают dn f (x) или dn y. Таким образом, dn y = d(dn1 y). Дифференциалом нулевого порядка считают d0 y = y.

Теорема 2.38 (Инвариантность формы первого дифференциала). Дифференциал равен произведению производной функции по ее переменной на дифференциал этой переменной и в случае, когда переменная независимая, и в случае, когда переменная является функцией от другой переменной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть y = f (x), причем переменная x сама является функцией, x = x(t). Тогда y можно считать функцией от x, y = y(x) или функцией от t, y = y(t) = y(x(t)). Поэтому dy = yt dt = yx · xt dt.

Поскольку xt dt = dx, то получаем:

Если переменная x независимая, то dx = x не зависит от x и поэтому d2 x = d(dx) = 0 и, тем более 2. Поэтому d2 f (x) = d(f (x)dx)) = (f (x)dx)) dx = (f (x)dx)dx = f (x)(dx)2. Аналогично d x = 0 при k получаем d f (x) = f (k) (x)(dx)k Принято записывать (dx)k = dxk. Таким образом, или Если переменная x сама является функцией, то d2 f (x) = d(f (x)dx)) = d(f (x))dx + f (x)d(dx) = f (x)(dx)2 + f (x)d2 x. Получили:

Формулы для дифференциалов более высоких порядков еще более усложняются.

Формула Тейлора Многочлен Тейлора. Пусть функция f (x) имеет в точке a все производные до порядка n включительно.

Многочлен называют многочленом Тейлора порядка n для функции f (x) в точке a.

Назад Коэффициенты многочлена Tn (x) называют коэффициентами Тейлора функции f (x) в точке a.

Теорема 2.39. Если Tn (x) многочлен Тейлора порядка n в точке a, построенный для функции f (x), Д о к а з а т е л ь с т в о. Проверяется непосредственным вычислением производных Tn (a), k = 0,..., n.

Если обозначить f (x) Tn (x) = Rn (x), то функцию f (x) можно записать Формула Тейлора Пусть функция f (x) имеет в точке a все производные до порядка n включительно.

Представление функции f (x) в виде называют формулой Тейлора порядка n в точке a.

Остаточным членом формулы Тейлора называют разность где Tn (x) - многочлен Тейлора.

Назад Формулу Тейлора функции f (x) в точке a = 0 называют формулой Маклорена.

Следует отметить, что и эту формулу часто называют формулой Тейлора.

Пример 2.29. Запишем формулу Тейлора порядка 3 в точке x0 = 1 для функции f (x) = e2x.

Формула имеет вид Для функции f (x) = e2x имеем и, соответственно, f (1) = e2 ; f (1) = 4e2 ; f (1) = 20e2 ; f (1) = 112e2.

Получаем:

Остаточный член формулы Тейлора Остаточный член формулы Тейлора где Tn (x) - многочлен Тейлора. Он представляет собой погрешность приближенной формулы полученной заменой функции f (x) на многочлен Тейлора Tn (x) порядка n. Остаточный член можно выразить с помощью произвольной дифференцируемой в окрестности точки a функции (x).

Теорема 2.40 (Теорема о представлении остаточного члена). Пусть функция f (x) имеет производную порядка n + 1 и функция (x) дифференцируема в окрестности U точки a. Тогда для любого x U Назад между x и a существует точка c такая, что остаточный член формулы Тейлора порядка n в точке a может быть представлен в виде Остаточный член в форме Лагранжа Теорема 2.41. Пусть функция f (x) имеет в окрестности U точки a производную порядка n + 1. Тогда для любого x U между x и a существует точка c такая, что остаточный член формулы Тейлора порядка n в точке a может быть представлен в виде Д о к а з а т е л ь с т в о. В теореме о представлении остаточного члена возьмем Используя формулу из упомянутой теоремы, получаем Отметим, что можно взять c = a + (x a), где 0 < < 1.

Остаточный член в форме Коши Теорема 2.42. Пусть функция f (x) имеет в окрестности U точки a производную порядка n + 1. Тогда для любого x U существует число (0, 1) такое, что остаточный член формулы Тейлора порядка Назад n в точке a может быть представлен в виде Д о к а з а т е л ь с т в о. В теореме о представлении остаточного члена возьмем Используя формулу из упомянутой теоремы, получаем При этом 0 < < 1. Окончательно получаем Остаточный член в форме Пеано Теорема 2.43. Пусть функция f (x) имеет непрерывную производную порядка n в окрестности точки a. Тогда Назад Основные разложения по формуле Тейлора Разложение экспоненты. Функция f (x) = ex в точке a = 0 имеет производные f (k) (0) = 1 при любом k.

Поэтому, используя формулу Тейлора в точке a = 0, получаем разложение экспоненты:

Используем остаточный член в форме Лагранжа.

Для |x| h получаем Разложение синуса. Функция f (x) = sin x в точке a = 0 имеет производную f (k) (0) = sin(0 + k ). При этом f (2m) (0) = 0, f (2m+1) (0) = (1)m. Поэтому, используя формулу Тейлора в точке a = 0, получаем разложение синуса:

Используем остаточный член в форме Лагранжа.

Для |x| h получаем Назад Разложение косинуса.

При этом f (2m+1) (0) = 0, f (2m) (0) = (1)m. Поэтому, используя формулу Тейлора в точке a = 0, получаем разложение косинуса:

Используем остаточный член в форме Лагранжа.

Для |x| h получаем Разложение логарифма. Функция f (x) = ln(1 + x) имеет производную f (k) (x) = (1)k1 (k 1)!(1 + x)k При этом f (k) (0) = (1)k1 (k 1)!. Поэтому, используя формулу Тейлора в точке a = 0, получаем разложение логарифма натурального:

Для x [0, 1] справедлива оценка остаточного члена Для 1 < x < 1 справедлива оценка остаточного члена Назад Разложение степени бинома. Функция f (x) = (1 + x)µ имеет производную f (k) (x) = µ(µ 1) · · · (µ k + 1)(1 + x)µk. При этом f (k) (0) = µ(µ 1) · · · (µ k + 1). Поэтому, используя формулу Тейлора в точке a = 0, получаем разложение бинома:

Пример 2.30. Вычислим lim x x 2.2.8. Исследование функций одной переменной Назад 2.2.8 Исследование функций одной переменной Монотонность Функцию f (x) называют возрастающей на (a, b), если Функцию f (x) называют строго возрастающей на (a, b), если Функцию f (x) называют убывающей на (a, b), если Функцию f (x) называют строго убывающей на (a, b), если Возрастающую, строго возрастающую функцию, убывающую и строго убывающую функции называют монотонными.

Строго возрастающую функцию, и строго убывающую функции называют строго монотонными.

Назад Замечание 2.3. Постоянная функция является одновременно возрастающей и убывающей.

Критерии монотонности. Пусть f (x) дифференцируемая функция.

Теорема 2.44 (Критерий постоянства). Функция f (x) является постоянной на (a, b) тогда и только тогда, когда f (x) = 0, x (a, b).

Достаточность. Пусть f (x) = 0, x (a, b). Зафиксируем x0 (a, b). Для x (a, b) на основании теоремы Лагранжа?? существует такое c на (a, b), что f (x) f (x0 ) = f (c)(x x0 ) = 0. Следовательно, f (x) = f (x0 ) для любого x (a, b).

Теорема 2.45 (Критерий монотонности). Функция f (x) является возрастающей на (a, b) тогда и только тогда, когда f (x) 0, x (a, b).

Функция f (x) является убывающей на (a, b) тогда и только тогда, когда f (x) 0, x (a, b).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для возрастающей функции.

Достаточность. На основании теоремы Лагранжа?? при любых x1, x2 (a, b) Следовательно, функция возрастает.

Для убывающей функции доказательство проводится аналогично.

Пример 2.31. Рассмотрим функцию f (x) = x3 12x. Для этой функции имеем: f (x) = 3x2 12 = 3(x 2)(x + 2).

Следовательно, f (x) 0 для x (2, 2), функция убывает на (2, 2);

Назад f (x) 0 для x (, 2) (2, +), функция возрастает на каждом из промежутков (, 2) и (2, +).

Теорема 2.46 (Критерий строгой монотонности). Функция f (x) является строго возрастающей на (a, b) тогда и только тогда, когда 2. f (x) не обращается тождественно в ноль ни на одном интервале из (a, b).

Функция f (x) является строго убывающей на (a, b) тогда и только тогда, когда 2. f (x) не обращается тождественно в ноль ни на одном интервале из (a, b).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Строго монотонная функция отличается от монотонной отсутствием интервалов, на которых она принимает постоянные значения. Первые условия теоремы необходимы и достаточны для монотонности функции (См. критерий монотонности 2.45). Вторые условия необходимы и достаточны для отсутствия интервалов постоянства (См. критерий постоянства ??).

Пример 2.32. Функция f (x) = x3 строго возрастает на (, +), хотя f (x) = 3x2 обращается в ноль в точке x0 = 0. Это не противоречит критерию строгой монотонности 2.46, так как f (x) обращается в ноль в одной точке, а не тождественно на каком либо интервале.

Локальный экстремум Необходимое условие локального экстремума. Для изучения локального экстремума функции можно использовать аппарат дифференциального исчисления, предполагая, что исследуемая функция имеет производные требуемого порядка.

Теорема 2.47. Если функция f (x), имеет в точке c (a, b) локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то f (c) = 0, т.е. c должна быть стационарной точкой функции f (x).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство следует из теоремы Ферма. ??

Достаточные условия локального экстремума. Не всякая стационарная точка является точкой локального экстремума. Для исследования наличия и типа локального экстремума в стационарной точке можно использовать следующие теоремы.

Теорема 2.48 (Первое правило исследования стационарных точек).

Назад Пусть функция f (x) дифференцируема на интервале (a, b) и имеет единственную стационарную точку c (a, b).

Если f (x) не меняет знак на (a, b), то f (x) не имеет локального экстремума в точке x0.

Если f (x) < 0 для a < x < c и f (x) > 0 для c < x < b, то f (x) имеет в точке c локальный минимум.

Если f (x) > 0 для a < x < c и f (x) < 0 для c < x < b, то f (x) имеет в точке c локальный максимум.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если f (x) не меняет знак на (a, b), то f (x) строго монотонна на (a, b) и, следовательно, экстремумов на (a, b) нет.

Если f (x) < 0 для a < x < c и f (x) > 0 для c < x < b, то f (x) строго убывает на (a, c) и строго возрастает на (c, b). Следовательно, c - точка локального минимума.

Третий случай рассматривается аналогично.

Пример 2.33. Функция f (x) = x3 (x 1)2 имеет производную Из уравнения 3x2 (x 1)2 + 2x3 (x 1) = x2 (x 1)(5x 3) = 0 находим стационарные точки c1 = 0, c2 =, c3 = 1.

На интервале (1, ) производная f (x) 0, т.е. сохраняет знак в окрестности точки c1 = 0, поэтому экстремума в точке c1 нет.

Так как f (x) > 0 на (0, ) и f (x) < 0 на (, 1), то в точке c2 = функция имеет локальный максимум.

f (x) < 0 на (, 1) и f (x) > 0 на (1, 2), поэтому в точке c3 = 1 функция имеет локальный минимум.

Теорема 2.49 (Второе правило исследования стационарных точек).

Пусть функция f (x) имеет на (a, b) вторую производную f (x), непрерывную в стационарной точке c (a, b).

Если f (c) > 0, то f (x) имеет в точке c локальный минимум.

Если f (c) < 0, то f (x) имеет в точке c локальный максимум.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f (c) > 0. Так как f (x) непрерывна в точке c, то по теореме о локальном сохранении знака 2.4 существует окрестность (, ) точки c, в которой f (x) > 0. Следовательно, на основании критерия строгой монотонности 2.46 производная f (x) строго возрастает на (, ), т.е. f (x) < 0 для < x < c и f (x) > 0 для c < x <. Поэтому f (x) имеет в точке c локальный минимум (см. первое правило исследования стационарных точек. 2.48).

Назад Пример 2.34. Функция f (x) = + sin 2x = 0. Это точки ck = + k, ck = + k, k Z. Вторая производная f (x) = 2 cos 2x имеет значения f (ck ) > 0, каждая из точек ck = + 2k - точкой локального максимума, k Z.

Теорема 2.50 (Третье правило исследования стационарных точек).

Пусть функция f (x) имеет на (a, b) производную f (n) (x), непрерывную в точке c (a, b), и Если число n нечетное, то в точке c экстремума нет.

Если число n четное, то в точке c экстремума есть, причем, если f (n) (c) > 0, то в точке c локальный минимум, а если f (n) (c) < 0, то локальный максимум.

Пример 2.35. Функция f (x) = (x 1)4 + 3 имеет производные f (x) = 4(x 1)3, f (2) (x) = 12(x 1)2, f (3) (x) = 24(x 1), которые равны 0 в точке c = 1, а f (4) (1) = 24 = 0. Следовательно в точке c = 1 функция имеет локальный минимум.

Острый экстремум. Непрерывная функция может иметь локальный экстремум в точках недифференцируемости, т.е. в точках, где производная не существует.

Экстремум функции в точках недифференцируемости, т.е. в точках, где производная не существует, называют острым экстремумом.

Исследование точек недифференцируемости можно проводить так же, как исследование стационарных точек по первому правилу исследования стационарных точек 2.48.

f (0 + x) f (0) Производная f (x) = x 3 отрицательна на (1, 0) и положительна на (0, 1). Значит функция имеет локальный минимум в точке x = 0.

Назад Глобальный экстремум. Пусть функция f (x) определена на множестве X.

Наибольшее и наименьшее значения функции на заданном множестве называют глобальными экстремумами функции (соответственно, глобальным максимумом и глобальным минимумом).

Если функция задана на отрезке и непрерывна на нем, то ее глобальные экстремумы достигаются на этом отрезке (см.теорему Вейерштрасса 2.7). В этом случае для нахождения глобальных экстремумов функции на заданном отрезке [a, b] нужно:

1. Найти стационарные точки c1,..., ck, принадлежащие отрезку.

2. Найти точки недифференцируемости t1,..., tm, принадлежащие отрезку.

3. Вычислить значения f (c1 ),..., f (ck ), f (t1 ),..., f (tm ), f (a), f (b).

Наименьшее и наибольшее из этих чисел и являются глобальными экстремальными значениями функции.

Пример 2.37. Вычислим экстремальные значения функции f (x) = x(x 2) на отрезке X = [1,].

Функция имеет производную f (x) = при x = 0. Функция имеет одну стационарную точку c = 1, она принадлежит отрезку X. Точка t = 0 является точкой недифференцируемости функции, так как отношение не имеет конечного предела при x 0. Эта точка также принадлежит отрезку X.

Вычисляем значения функции в точках 1, 0, 1,.

Получаем числа 1, 0, 3 3, 3. Следовательно, ymax = 3 3, ymin = 1.

Если функция не является непрерывной на рассматриваемом множестве X или множество X не является отрезком, то она может и не иметь глобальных экстремумов на X.

Выпуклые функции Лемма 2.1. Функция взаимно однозначно отображает отрезок [0, 1] на отрезок [a, b].

x x 2.2.8. Исследование функций одной переменной Назад Д о к а з а т е л ь с т в о. Эта функция строго убывает, так как x (t) = a b < 0 (см. критерий строгой монотонности 2.46. Поэтому ее значения на концах отрезка являются, соответственно, максимальным и минимальным. Функция непрерывна и, следовательно, принимает и все промежуточные значения (см. теорему о промежуточном значении 2.6), причем каждое значение принимает только один раз, так как строго убывает.

Определение выпуклости функции. Рассмотрим функцию, определенную на множестве X.

Функцию f (x) называют выпуклой на промежутке X, если x1, x2 X и t [0, 1] выполняется неравенство Выпуклую Функцию называют также выпуклой вниз.

Функцию f (x) называют выпуклой вверх, если функция f (x) выпукла вниз.

Теорема 2.51 (Геометрический смысл выпуклости). Любая дуга AB графика выпуклой (вниз) функции расположена не выше хорды AB.

Любая дуга AB графика выпуклой вверх функции расположена не ниже хорды AB.

A(x1, f (x1 )), B(x2, f (x2 )). Запишем уравнение Y = g(x) хорды AB как уравнение прямой по двум точкам или Пусть Назад Когда t пробегает отрезок [0, 1] точка x пробегает отрезок [x1, x2 ] (см. лемму 2.1). При этом Если функция выпукла, то Дифференцируемые выпуклые функции Теорема 2.52 (Критерий выпуклости).

Для того, чтобы дифференцируемая функция была выпуклой на X, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была возрастающей.

Теорема 2.53 (Критерий выпуклости).

Пусть функция f (x) имеет на X вторую производную f (x).

Для того, чтобы функция была выпуклой(вниз) на X, необходимо и достаточно, чтобы f (x) 0.

Для того, чтобы функция была выпуклой вверх на X, необходимо и достаточно, чтобы f (x) 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем первое утверждение. Условие f (x) 0 является необходимым и достаточным для того, чтобы первая производная f (x) была возрастающей и, следовательно, чтобы функция была выпуклой (вниз) (см. критерий выпуклости 2.52).

Пример 2.38. Функция f (x) = x + arctg x имеет вторую производную f (x) =. Функция выпукла вниз на (, 0), так как на этом промежутке f (x) > 0, и выпукла вверх на (0, +) (см.критерий выпуклости 2.53).

Теорема 2.54.

Касательная к графику выпуклой (вниз) дифференцируемой функции расположена не выше графика.

x x 2.2.8. Исследование функций одной переменной Назад Касательная к графику выпуклой вверх дифференцируемой функции расположена не ниже графика.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем первое утверждение.

Уравнение касательной к графику функции f (x) в точке (x0, f (x0 ) имеет вид Тогда На основании теоремы Лагранжа?? получаем:

где c расположена между x и x0. Если f (x) выпукла, то по критерию выпуклости 2.52 производная f (x) возрастает и поэтому разность f (c) f (x0 ) положительна при x > x0 и отрицательна при x < x0. Таким образом, Точки перегиба. Пусть f (x) дифференцируемая функция.

Точку (c, f (c)) называют точкой перегиба графика функции f (x), если существует такая окрестность (a, b) этой точки, что на (a, c) и на (c, b) функция имеет противоположные направления выпуклости.

Лемма 2.2. Если точка (c, f (c)) является точкой перегиба графика дифференцируемой функции f (x), то c - точка локального экстремума производной f (x).

Пусть, для определенности, на (a, c) функция выпукла вниз а на (c, b) выпукла вверх. На основании критерия выпуклости 2.52 производная f (x) возрастает на (a, c) и убывает на (c, b). Следовательно, c - точка локального максимума для производной f (x).

Назад Теорема 2.55 (Необходимое условия перегиба).

Пусть функция f (x) имеет на X вторую производную f (x). Если точка (c, f (c)) является точкой перегиба графика дифференцируемой функции f (x), то f (c) = 0.

На основании леммы 2 ?? точка c является точкой локального экстремума для f (x) и по теореме Ферма ??

c является стационарной точкой для f (x), т.е. f (c) = 0.

Пусть f (x) дважды дифференцируемая функция. Точку (c, f (c)) называют точкой возможного перегиба, если f (c) = 0.

Пример 2.39. Функция f (x) = x4 имеет вторую производную f (x) = 12x2. Точка (0, 0) является точкой возможного перегиба, но перегиба в этой точке нет, так как функция выпукла вниз на (, +) (см. критерий выпуклости 2.53).

Достаточные условия перегиба.

теоремы.

Теорема 2.56 (Первое правило исследования точек возможного перегиба). Пусть f (x) имеет на X непрерывную вторую производную f (x). Если f (x) меняет знак при переходе через точку c, то точка (c, f (c)) является точкой перегиба.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если f (x) меняет знак при переходе через точку c, то f (x) меняет направление выпуклости ( см.критерий выпуклости 2.53) и, следовательно, точка (c, f (c)) является точкой перегиба.

возможного перегиба. Поскольку f (x) < 0 на (1, 0) и f (x) > 0 на (0, 1), то (0, 0) - точка перегиба (см. первое правило исследования точек возможного перегиба 2.56).

Теорема 2.57 (Второе правило исследования точек возможного перегиба). Пусть f (x) имеет на X непрерывную третью производную f (x). Если f (c) = 0 и f (c) = 0, то точка (c, f (c)) является точкой перегиба.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, для определенности, f (c) > 0. На основании теоремы о локальном сохранении знака 2.4 f (x) > 0 и в некоторой окрестности (a, b) точки c. Поэтому f (x) возрастает на (a, b) и, поскольку f (c) = 0, то f (x) меняет знак при переходе через точку c, т.е. выполнены условия первого правила исследования точек возможного перегиба 2.56.

Назад Пример 2.41. Функция f (x) = x3 3x2 x2 имеет вторую производную f (x) = 6x6. Точка (1, 5) является точкой возможного перегиба. Поскольку f (0) = 6 = 0, то (1, 5) - точка перегиба (см. второе правило исследования точек возможного перегиба 2.58).

Теорема 2.58 (Третье правило исследования точек возможного перегиба). Пусть f (x) имеет на X непрерывную производную f (n) (x) и Если n нечетное число, то точка (c, f (c)) является точкой перегиба. Если n четное, то перегиба нет.

Пример 2.42. Функция f (x) = x6 3x + 2 имеет производные Следовательно, перегиба нет (см. третье правило исследования точек возможного перегиба ??).

Асимптоты Наклонные асимптоты. В ряде случаев при x ± график функции может стать как угодно близким к графику некоторой прямой.

Прямую y = kx + b называют правосторонней наклонной асимптотой функции f (x), если f (x) = kx + b + o(1) при x +.

Прямую y = kx + b называют левосторонней наклонной асимптотой функции f (x), если f (x) = kx + b + o(1) Теорема 2.59. Прямая y = kx + b является правосторонней наклонной асимптотой функции f (x), тогда и только тогда, когда Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Если f (x) = kx + b + o(1) при x +, то Назад Достаточность. Пусть существует конечный предел lim (f (x) kx) = b + o(1), т.е. f (x) = kx + b + o(1).

Имеют место аналогичная теорема для левосторонней наклонной асимптоты.

Пример 2.43. Найдем наклонные асимптоты функции f (x) = 2x + arctg x. Воспользуемся теоремой 2.59 При x + получаем:

Таким образом, прямая y = 2x + является правосторонней наклонной асимптотой.

Следовательно,прямая y = 2x является левосторонней наклонной асимптотой.

Вертикальные асимптоты. В ряде случаев в окрестности некоторой точки c (например, если это точка бесконечного скачка) функция стремится к + или к и ее график приближается к вертикальной прямой.

Пусть функция f (x) непрерывна на (a, c) и существует левосторонний предел f (c 0), равный + или.

Тогда прямую x = c называют левосторонней вертикальной асимптотой. Аналогично, если f (x) непрерывна на (c, b) и существует левосторонний предел f (c + 0), равный + или, то прямую x = c называют правосторонней вертикальной асимптотой.

График функции f (x) = имеет вертикальные асимптоты x = 0 и x = 2, поскольку f (0) =, f (+0) = +, f (2 + 0) = +, причем прямая x = 0 - двухсторонняя асимптота.

x x 2.2.8. Исследование функций одной переменной Назад Комплексное исследование функции Графиком функции f (x) с областью определения X называют множество точек Чтобы построить график функции, проводят ее комплексное исследование, при котором выясняют характерные точки графика и промежутки однообразного ее поведения.

Приведем возможный план исследование функции.

1. Для функции f (x), заданной аналитическими выражениями, выясняют область определения X. Если функция периодическая, то находят ее период T (обычно рассматривают наименьший положительный период).

Дальнейшее изучение функции проводят на каком-либо отрезке длины T, например, на [0, T ], а затем используют периодическое продолжение.

Для четной или нечетной функции исследование проводят на промежутке [0, +), а затем продолжают график на X, используя симметричное отражение относительно оси Ox для четной функции и относительно точки O для нечетной функции.

2. Находят точки разрыва и промежутки непрерывности. Выясняют тип точек разрыва и поведение функции в концевых точках интервалов, составляющих область определения.

3. Находят наклонные асимптоты, вертикальные асимптоты.

4. Вычисляют производную f (x). Находят критические точки (стационарные точки и точки, где производная не существует). Выделяют промежутки монотонного поведения функции, используя критерий монотонности2.45. Выясняют наличие и тип локальных экстремумов в критических точках, используя первое правило исследования стационарных точек 2.48.

5. Вычисляют вторую производную f (x). Находят промежутки выпуклости вверх, выпуклости вниз, используя критерий выпуклости ??. Находят точки перегиба, используя необходимое условие перегиба ?? и правило ??.

6. Если нужно, вычисляют производные более высоких порядков для исследования на локальный экстремум и перегиб.

x x 2.2.8. Исследование функций одной переменной Назад лученными в 1. - 6. сведениями. При необходимости строят несколько дополнительных точек графика.

Назад 2.2.9 Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на множестве X, если F (x) = f (x) для любого x X. Поскольку при этом dF (x) = f (x)dx, то F (x) называют также первообразной для выражения f (x)dx.

Для функций f (x), g(x), h(x),... первообразные обозначаются соответственно F (x), G(x), Y (x),...

Если F (x) - первообразная для f (x), то F (x) + 2, F (x) 5 b и т.п. также являются первообразными для f (x).

Теорема 2.60. Множество всех первообразных для функции f (x) задается формулой где F (x) - какая-либо первообразная для f (x), C - произвольная постоянная.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из критерия постоянства ?? следует, что любые две первообразные F1 (x) и F2 (x) функции f (x) отличаются на постоянную, т.к. F1 (x) F2 (x) = 0.

Неопределенный интеграл. Пусть функция f (x) задана на промежутке X.

Неопределенным интегралом называют совокупность всех первообразных функции f (x). Обозначают f (x)dx. Таким образом, f (x)dx = F (x) + C, где F (x) - одна из первообразных, C - произвольная постоянная.

Свойство 1. Из определения несобственного интеграла следует, что Свойство 2. (f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx. Точнее, если F (x) и G(x) - какие-либо первообразные для f (x) и g(x) соответственно, то Назад при любых постоянных и.

Линейностью интеграла называют свойство, выраженное формулой Таблица первообразных dx = ln|x| + C на каждом из интервалов (, 0), (0, +);

Назад грал к нескольким табличным интегралам.

на каждом из интервалов, не содержащем точек k, k Z.

Неберущиеся интегралы Неберущимися интегралами называют неопределенные интегралы от функций, первообразные для которых не являются элементарными функциями. (Более точное название: интегралы, не берущиеся в классе элементарных функций). Неберущимися являются, например, Замена переменной Введение множителя под знак дифференциала. Пусть v = v(x) дифференцируемая на X функция, такая, что f (x) представима в виде Тогда Говорят, что в неопределенном интеграле f (x)dx выполнена замена переменной или подстановка v = v(x).

Назад Линейная подстановка. Частным случаем введения множителя под знак дифференциала является линейная подстановка.

Теорема 2.61 (Теорема о линейной подстановке.). Если a = 0, то межутке T, x (t) = 0, и значения x заполняют X. Тогда Это дает параметрическое задание неопределенного интеграла Если перейти к функции t = t(x), обратной для функции x = x(t), то получаем явное задание интеграла Интегрирование по частям неопределенного интеграла Теорема 2.62. Пусть u(x) и v(x) - дифференцируемые функции, определенные на X. Если v(x)u (x) имеет первообразную на X, то и u(x)v (x) также имеет первообразную на X, причем и, следовательно, Назад Формулу называют формулой интегрирования по частям неопределенного интеграла. Коротко эту формулу записывают в виде Формулу интегрирования по частям следует использовать при вычислении интегралов от функций P (x)ax, P (x) sin bx, P (x) cos bx, где P (x) - многочлен, причем в качестве u(x) нужно брать функцию P (x).

(x + 5) sin 3x + cos 3x + C.

Замечание 2.4. При использовании формулы интегрирования по частям приходится находить функцию v = v(x) по выбранному dv = dv(x). При этом v = v(x) + C. Обычно берут произвольную постоянную C = 0.

Пример 2.54. (x2 + 2x)ex dx = [x2 + 2x = u, ex dx = dv, du = (2x + 2)dx, v = ex ] = (x2 + 2x)ex (2x + 2)ex dx = [2x + 2 = x arctg x + Вычисление Теорема 2.63. Для интеграла Kn (x) справедлива рекуррентная формула Замечание 2.5. Использование рекуррентной формулы n 1 раз позволяет свести вычисление Kn (x) к вычислению K1 (x) = Назад Пример 2.56.

arctg + C.

Интегрирование рациональных функций Теорема 2.64. Любая рациональная функция имеет первообразную в классе элементарных функций.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Как известно (4.2.12) любую рациональную функцию, т.е. функцию вида f (x) = P (x), где P (x) и Q(x) многочлены, можно представить в виде суммы простейших рациональных функций вида Q(x) где p2 4q < 0, m, k, l N. Поэтому для доказательства теоремы достаточно показать, что интеграл от любой из перечисленных функций является берущимся.

Назад уже рассмотрен в 2., т.е. является берущимся.

Таким образом, интеграл от любой простейшей рациональной функции является берущимся, а, следовательно, берется интеграл от любой рациональной функции.

При практическом вычислении интеграла от рациональной функции раскладывают рациональную функцию на сумму простейших и вычисляют интеграл от каждого слагаемого так же, как это выполнялось при доказательстве теоремы об интегрировании рациональных функций 2.64.

Разложение подынтегральной функции на сумму простейших имеет вид Следовательно, При x = 2 получаем Таким образом, Назад Поскольку интеграл от любой рациональной функции является берущимся, то в ряде случаев полезно рассмотреть возможность сведения заданного интеграла к интегралу от рациональной функции.

Если после замены переменной x = x(t) или t = t(x) в интеграле f (x)dx с использованием элементарных функций x(t), t(x) получается интеграл g(t)dt от элементарной функции g(t), то интеграл f (x)dx является берущимся в классе элементарных функций. В таких случаях говорят, что использование замены переменной позволяет рационализировать подынтегральное выражение (рационализировать интеграл), а замену переменной называют рационализирующей подстановкой.

Интегрирование иррациональностей Рациональная функция двух переменных. Пусть u и v две переменные.

Если применить к переменным u и v арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление) конечное число раз, то получим выражение R(u, v), посредством которого каждой паре переменных (u, v) ставится в соответствие число R(u, v). Таким образом, формула R(u, v) задает рациональную функцию двух переменных u и v.

Выражение R m называют дробно-линейной иррациональностью.

ПустьR(u, v) -рациональная функция переменных u и v.

функции, т.е. является берущимся.

(см. свойство ??).

Назад Теорема 2.66. Неопределенный интеграл R(x, ax2 + bx + c)dx выражается через элементарные функции, т.е. является берущимся.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Можно убедиться, что во всех случаях, когда подынтегральная функция определена, есть рационализирующие подстановки (см. свойство ??), в которых t новая переменная:

а) Если b2 4ac = 0, то ax2 + bx + c = a(x x0 )2 и ax2 + bx + c не является иррациональностью, подынтегральная функция является рациональной функцией переменной x. б) Если b2 4ac > 0 и ax2 +bx+c = a(xx1 )(xx2 ), то можно использовать подстановку ax2 + bx + c = t(x x1 ).

в) Если b2 4ac < 0, то ac > 0, т.е. коэффициенты a, c оба положительны или оба отрицательны. Если a > 0 и c > 0 то можно использовать подстановки ax2 + bx + c = ± ax ± t или ± c ± tx соответственно (комбинация знаков произвольная).

Если a < 0 и c < 0, то в этом случае ax2 + bx + c < 0 при всех x и подынтегральная функция не определена.

Подстановки, перечисленные в теореме 1 2.66, называют подстановками Эйлера.

Замечание 2.6. Хотя замена переменных и позволяет в ряде случаев рационализировать интеграл, но может оказаться, что проинтегрировать практически полученную рациональную функцию достаточно трудно или даже невозможно, т. к. не удается разложить ее знаменатель на неприводимые множители.

Получили интеграл от рациональной функции.

Назад Вычисление Выражение xm (a + bxn )p dx называют биномиальным дифференциалом.

Теорема 2.67. Если выполнено хотя бы одно из условий xm (a + bxn )p dx выражается через элементарные функции.

зирующей является подстановка x = z, где t наименьшее общее кратное чисел s1 и s2.

Если p не целое, то положим x = v n. Получим интеграл Если целое, то в этом интеграле подынтегральная функция является дробно-линейной иррациональn ностью и нужно положить рационализирует интеграл.

Теорема 2.68 (Чебышева). Неопределенный интеграл xm (a + bxn )p dx выражается через элементарные функции только в случаях, когда выполнено хотя бы одно из условий Назад (w3 1) Получили интеграл от рациональной функции.

интеграл не берется.

Интегрирование рационально-тригонометрических функций Предполагается, что R(u, v) рациональная функция двух переменных.

Если R(u, v) рациональная функция двух переменных, то функцию R(cos x, sin x) называют рациональнотригонометрической функцией.

Теорема 2.69. Неопределенный интеграл выражается через элементарные функции, т.е. является берущимся.

Назад Д о к а з а т е л ь с т в о. Можно убедиться, что подстановка tg = t всегда рационализирует интеграл. При этом Использование специальных подстановок. Кроме указанной универсальной подстановки рацинализирующими являются также специальные подстановки, а именно:

1. Если R( cos x, sin x) = R(cos x, sin x), то sin x = t.

2. Если R(cos x, sin x) = R(cos x, sin x), то cos x = t.

3. Если R( cos x, sin x) = R(cos x, sin x), то tg x = t.

Пример 2.66.

Пример 2.67.

Пример 2.68.

Вычисление Если n и m целые числа, то функция sinn x cosm x является рационально-тригонометрической функцией и можно использовать подстановки, указанные в теореме 2.69.

Назад В общем случае при произвольных m, n Q, использование подстановки sin x = t приводит к интегралу в котором подынтегральное выражение является биномиальным дифференциалом. На основании теоремы Чебышева 2.68 утверждается, что интеграл выражается через элементарные функции в следующих случаях:

(cos x) 3 + C.

Назад 2.3.1. Интегральные суммы и интеграл 2.3.2. Условия интегрируемости функции 2.3.3. Геометрический и механический смысл интеграла.

2.3.4. Классы интегрируемых функций.

2.3.5. Свойства интеграла Римана.

2.3.6. Интеграл с переменным верхним пределом.

2.3.7. Вычисление определенного интеграла 2.3.8. Замена переменой в определенном интеграле.

2.3.9. Интегрирование по частям.

Назад 2.3.1 Интегральные суммы и интеграл Разбиением отрезка [a, b ] будем называть всякое конечное, упорядоченное по возрастанию множество точек X = {x0, x1,..., xn } отрезка [a, b ] таких, что x0 = a, xn = b, т.е.

Диаметром разбиения X называют число (X) = max{xk xk1 }, (X) > 0.

Разбиение делит отрезок [a, b ] на части [xk1, xk ], k = 1, 2,..., n, причем Длину отрезка [xk1, xk ] будем обозначать xk :

Пусть X = {x0, x1,..., xn } — разбиение отрезка [a, b ]. На каждой части [xk1, xk ] произвольным образом возьмем промежуточную точку k [xk1, xk ] и построим множество = {1,..., n }. Совокупность (X, ) называют интегральным разбиением отрезка [a, b].

Пусть y = y(x) — заданная на отрезке [a, b ] функция, (X, ) — интегральное разбиение [a, b ] с диаметром.

Интегральной суммой на интегральном разбиении (X, ) называется число Назад Говорят, что интегральная сумма имеет конечный предел I при 0 и записывают lim = I, если Функция y = y(x) называется интегрируемой по Риману (кратко—интегрируемой) на [a, b], если существует конечный предел I интегральной суммы при стремлении диаметра разбиения к 0. При этом сам предел I называют определенным интегралом Римана (кратко — интегралом) от y по [a, b] и обозначают биения (т.е. для любого интегрального разбиения с диаметром ). Отрезок [a, b] называют промежутком интегрирования, a и b — соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, y(x)dx— подынтегральным выражением.

(Xm, m ), интегральных разбиений [a, b ] с диаметрами разбиения m 0 должно выполняться равенство Поэтому для интегрируемой функции y при вычислении интеграла можно использовать специально выбранные последовательности интегральных разбиений (Xm, m ), m 0, так, чтобы легко вычислялся предел lim m.

Вместе с тем, если существует какая-либо последовательность интегральных разбиений (Xm, m ), m 0, Назад для которой (m ) не имеет конечного предела при m (например, m ), то функция y неинтегрируема на [a, b ].

Пример 3.1. Функция Дирихле D(x) неинтегрируема ни на каком отрезке [a, b ], т.к. на любом интегральном разбиении этого отрезка с набором рациональных промежуточных точек k интегральная сумма а с набором иррациональных промежуточных точек что доказывает несуществование lim.

Замечание 3.1. Существуют и другие способы построения определенного интеграла Римана, использующие, например, верхние и нижние суммы Дарбу или ступенчатые функции.

Назад 2.3.2 Условия интегрируемости функции Теорема 3.1 (Необходимое условие интегрируемости). Если функция y интегрируема на [a, b ], то она ограничена на этом отрезке.

Пример функции Дирихле показывает (см. пример 3.1), что одной лишь ограниченности функции недостаточно для ее интегрируемости.

Рассмотрим два интегральных разбиения (X, ) и (X, ) отрезка [a, b ] соответственно с диаметрами и На каждом интегральном разбиении строим интегральные суммы и :

Теорема 3.2 (Критерий Коши). Для интегрируемости функции y на отрезке [a, b ] необходимо и достаточно, чтобы Теорема 3.3 (Об интегрируемости непрерывной функции). Всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.

Замечание 3.2. Обозначим R([a, b ]) множество всех интегрируемых на [a, b ] функций y = y(x). Из теоремы об интегрируемости непрерывной функции вытекает следующее включение C([a, b ]) R([a, b ]), где C([a, b ]) — множество всех непрерывных на [a, b ] функций. Ниже будет показано, что класс R([a, b ]) интегрируемых функций не исчерпывается лишь непрерывными функциями, т.е. существуют интегрируемые функции, которые не являются непрерывными.

Пример 3.2. Функция y = ex непрерывна, а, следовательно, и интегрируема на [a, b ]. Для вычисления интеграла ex dx выбираем Назад специальную последовательность интегральных разбиений (Xm, m ) следующим образом:

Тогда Пример 3.3. Вычисление пределов вида сумма функции y на специальном интегральном разбиении. Например, поскольку функция x непрерывна на отрезке [0, 1 ] и, поэтому, интегрируема.

x x 2.3.3. Геометрический и механический смысл интеграла.

Назад 2.3.3 Геометрический и механический смысл интеграла.

Пусть y = y(x) — определенная на [a, b ] непрерывная неотрицательная функция. Фигуру на плоскости Oxy, ограниченную сверху графиком y = y(x), снизу осьюOx, сбоку прямыми x = a и x = b, называют криволинейной трапецией.

Пусть X — разбиение отрезка [a, b ]. На основании теоремы Вейерштрасса на каждой части разбиения [xk1, xk ] выбираем точку максимума k и точку минимума k функции y. Интегральные суммы на интегральных разбиениях (X, ) и (X, ) дают площади многоугольников, состоящих из прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Первый из этих многоугольников описан около криволинейной трапеции, второй — вписан в трапецию. По теореме об интегрируемости непрерывной функции интегральные суммы и при 0 имеют общий предел который называют площадью рассматриваемой криволинейной трапеции.

Аналогично, если v = (t) — непрерывная скорость прямолинейного движения точки, то путь, пройденный точкой за промежуток времени t0 < t < t1 вычисляется по формуле Назад 2.3.4 Классы интегрируемых функций.

Пусть на отрезке [a, b] задана функция y = y(x). Интегральным колебанием функции y на разбиении X = {x1,..., xn } отрезка [a, b ] называется число где k — колебание y на части [xk1, xk ]:

Из определения интегрального колебания следует, что 0 +. Если на одном из промежутков разбиения колебание k = +, то = +. Причем < + тогда и только тогда, когда функция y ограничена на [a, b ].

Пусть 1 и 2 две интегральные суммы функции y, построенные на интегральных разбиениях (X, ) и (X, ) соответственно:

Тогда Теорема 3.4 (Критерий Дарбу). Для интегрируемости функции y на отрезке [a, b ] необходимо, чтобы > 0 > 0 такое, что для любого разбиения X с диаметром, и достаточно, чтобы > 0существовало такое разбиение X, на котором Назад где число M не зависит ни от, ни от разбиения X.

Замечание 3.3. Кажущееся противоречие в критерии Дарбу объясняется тем, что существование хотя бы одного разбиения со сколь угодно малым интегральным колебанием обеспечивает малость интегральных колебаний на всех разбиениях с достаточно малым диаметром.

Теорема 3.5 (Свойство аддитивности интеграла). Имеет место равенство причем из существования интеграла в левой части этого равенства следует существование обоих интегралов в правой части и, наоборот, если оба интеграла справа существуют, то существует и интеграл слева.

Следствие 3.5.1. Если функция y интегрируема на отрезке [a, b ], то она интегрируема и на любом отрезке [, ] [a, b ].

Укажем теперь все виды функций для которых существует интеграл Римана.

I. Всякая непрерывная на отрезке функция является интегрируемой на этом отрезке.

II. Всякая монотонная на отрезке функция является интегрируемой на этом отрезке.

III. Функция, ограниченная на [a, b ] и интегрируемая на любом отрезке [, ] (a, b ), интегрируема на отрезке [a, b ]. Если функция y интегрируема на [a, b ], то функция y1, определенная на [a, b ] и совпадающая с y на ]a, b [, также интегрируема на [a, b ], причем Ограниченную функцию, заданную на отрезке [a, b ], называют кусочно-монотонной, если существует такое разбиение X отрезка [a, b ], что на каждом интервале ]xk1, xk [ этого разбиения функция монотонна.

Назад Всякая кусочно-монотонная на [a, b ] функция интегрируема на этом отрезке.

V. Всякая функция, определенная и ограниченная на отрезке и имеющая конечное число точек разрыва, интегрируема на этом отрезке. В частности, кусочно-непрерывная на отрезке функция интегрируема.

VI. Если функция y интегрируема на [a, b ], то функция | y| также интегрируема на [a, b ], т.е. y R([a, b ]) = | y| R([a, b ]).

Пример 3.4. Пример функции показывает, что интегрируемость функции | y| не влечет, вообще говоря, интегрируемости функции y.

VII. Произведение интегрируемых функций является интегрируемой функцией, т.е.

VIII. Пусть функция y : [a, b ] [c, d ] интегрируема на [a, b ], а функция z : [c, d ] R непрерывна. Тогда композиция z y : [a, b ] R интегрируема на [a, b ].

Назад 2.3.5 Свойства интеграла Римана.

Определенный интеграл y(x)dx был построен при условии, что a < b. Расширим понятие интеграла, поa лагая В дальнейшем, если не оговорено противное, рассматриваем интеграл с любым взаимным расположением пределов интегрирования.

Определенный интеграл Римана получен из интегральной суммы с помощью предельного перехода и унаследовал ряд свойств суммы (те, которые сохраняются при предельном переходе). Основными свойствами интеграла являются линейность, монотонность и аддитивность.

Линейность интеграла.

Теорема 3.6. Пусть функции y1 и y2 интегрируемы на отрезке I с концами a и b. Тогда их линейная комбинация c1 y1 + c2 y2 с постоянными коэффициентами c1 и c2 также интегрируема на I, причем Свойство, выражаемое формулой (3.1), называют линейностью интеграла. Частные случаи формулы (3.1):

Назад По индукции формула (??) распространяется на любое число слагаемых:

Монотонность интеграла.

Теорема 3.7. Если функции y1 и y2 интегрируемы на отрезке [a, b], a < b, и Теорема означает, что нестрогие неравенства можно интегрировать. Для непрерывных функций справедливо более сильное утверждение.

Теорема 3.8. Пусть функции y1 и y2 интегрируемы на отрезке [a, b ], y1 (x) точке x0 [a, b ] функции y1 и y2 непрерывны. Тогда, если y1 (x0 ) < y2 (x0 ), то Назад Следствие 3.8.1. Если функция y непрерывна на отрезке I с концами a и b, a = b, то Аддитивность интеграла.

Теорема 3.9. Если a, b, c R и функция y интегрируема на отрезке то справедливо следующее равенство Если функция y интегрируема на I и точки a, b, x1,..., xn I, то легко показать, что Оценки интеграла и интегральные неравенства.

Пусть функция y интегрируема на [a, b ]. Если для y известны какие-то оценки, то, используя свойство монотонb Назад M. Тогда справедлива оценка которую называют основной оценкой для интеграла. Подчеркнем, что оценка (3.2) справедлива при a < b.

В частности, если y(x) 0, x, то:

Отметим, что для непрерывной на [a, b ] функции y в формуле (??) можно положить причем m и M являются значениями функции y.

Как показано ранее, из интегрируемости функции y на [a, b ] следует интегрируемость функции |y|. Интегрируя двойное неравенство В общем случае, при любом взаимном расположении пределов интегрирования a и b, справедлива оценка Назад В частности, если | y(x)| M и a < b, то и при любых a и b Теоремы о среднем.

Теорема 3.10 (Первая теорема о среднем). Пусть функция y1 непрерывна на отрезке I с концами a и b, а функция y2 интегрируема и знакопостоянна на I. Тогда существует такая точка I, что Величину M (y) = y(x)dx называют средним значением функции y на отрезке [a, b ].

Теорема 3.11 (Теорема о среднем для определенного интеграла). Если функция y непрерывна на отрезке I с концами a и b, то существует такая точка I, что Назад Для доказательства достаточно в предыдущей теореме положить y1 (x) = y(x), а y2 (x) = 1, x I.

Геометрический смысл теоремы о среднем: если функция y непрерывна на отрезке [a, b ], y(x) 0, то существует по крайней мере одна точка [a, b ] такая, что криволинейная трапеция с верхней стороной y = y(x), a x b, и основанием [a, b ] равновелика прямоугольнику с тем же основанием и высотой y().

2.3.6 Интеграл с переменным верхним пределом.

Рассмотрим функцию y, интегрируемую на отрезке I и для фиксированного I положим Интегрируемость y на I обеспечивает существование интеграла на отрезке I определена функция которую называют интегралом с переменным верхним пределом. Исследуем свойства функции Y.

Теорема 3.12 (О непрерывности интеграла с переменным верхним пределом). Интеграл с переменным верхним пределом от интегрируемой функции есть функция непрерывная, то есть Замечание 3.4. Из теоремы о непрерывности функции Y следует в частности, что если y R([a, b ]), то верны следующие равенства:

Это свойство позволяет расширить класс интегрируемых функций и определить интегралы от неограниченных функций и интегралы по неограниченным промежуткам — несобственные интегралы. Например, если функция y : [a, [ R, a < +, интегрируема на Назад любом отрезке [a, A ] [a, [, то полагают в частности Теорема 3.13 (Теорема Барроу о дифференцируемости интеграла с переменным пределом). Если функция y R(I) и, кроме того, y непрерывна в точке x0 I, то функция Y дифференцируема в точке x0, причем Y (x0 ) = y(x0 ), то есть Замечание 3.5. Если x0 совпадает с одним из концов отрезка I, то под производной функции Y следует понимать ее одностороннюю производную.

y1 y2 и y2 (x) = 0 при x = 0. Тогда, используя правило Лопиталя и теорему Барроу, получаем Это означает, что x x 2.3.6. Интеграл с переменным верхним пределом.

Назад Из теоремы Барроу получаем следующую теорему.

Теорема 3.14 (Теорема о существовании первообразной). Для любой непрерывной на отрезке I функции y существует первообразная Y, определенная по формуле Если множество значений функции принадлежит отрезку I, то и если функция y непрерывна на I, а дифференцируема, то, на основании теоремы о дифференцируемости композиции, получаем Интеграл с переменным нижним пределом Y (x) = верхним пределом, поэтому 2.3.7 Вычисление определенного интеграла называют двойной подстановкой. Если функции Y1 и Y2 отличаются друг от друга на постоянное слагаемое, т.е.

подстановка не зависит от выбора первообразной!).

Теорема 3.15 (Формула Ньютона-Лейбница). Если функция y непрерывна на отрезке I с концами a и b, то Формула Ньютона-Лейбница устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралами от непрерывных функций.

Формула Ньютона-Лейбница позволяет перенести на определенный интеграл от непрерывных функций ряд свойств неопределенных интегралов и, в частности, методы вычисления интегралов.

x x 2.3.8. Замена переменой в определенном интеграле.

Назад 2.3.8 Замена переменой в определенном интеграле.

Теорема 3.16 (О замене переменной ). Пусть функция x = x(z) определена на отрезке Z с концами и, непрерывна вместе со своей производной x и пусть X = x(Z). Если функция y = y(x) непрерывна на X, то справедлива формула замены переменных Замечание 3.6. Если функция x = x(z) является строго монотонной на отрезке Z с концами и, то существует обратная функция z = x1 (x), определенная на отрезке X с концами a = x() и b = x(). Формула (3.3) равносильна формуле В частности, формула (3.4) справедлива, если x (z) = 0 для любого z Z. Если Z = [, ], а X = [A, B ], то Теорема 3.17. Пусть функция y : [a, b ] R интегрируема на отрезке [a, b]. Если функция x :

[, ] R строго монотонна, непрерывно дифференцируема и x([, ]) = [a, b ], то справедлива формула замены переменных Назад 2.3.9 Интегрирование по частям.

Воспользуемся формулой интегрирования по частям неопределенного интеграла и выведем одноименную формулу для определенного интеграла.

Теорема 3.18 (Об интегрировании по частям). Пусть функции u = u(x) и v = (x) непрерывны вместе с производными u и на отрезке X с концами a и b. Тогда Условная запись формулы (3.5) интегрирования по частям x x 2.4. Арифметическое n-мерное пространство Назад 2.4.1. Векторное пространство Rn.

2.4.2. Расстояние в Rn.

2.4.3. Топологические понятия в Rn.

2.4.4. Последовательности в Rn.

Назад 2.4. Пусть Rn — множество всевозможных упорядоченных последовательностей n действительных чисел. Элементы x = (x1, x2,..., xn ) множества Rn будем называть точками, а числа x1,..., xn – координатами (компонентами) точки x.

Точки x = (x1, x2,..., xn ) и y = (y1, y2,..., yn ) считаются равными, если xi = yi, i = 1,..., n.

Заметим, что упорядоченная пара (x1, x2 ) действительных чисел может рассматриваться как точка плоскости с заданной декартовой системой координат. Тогда множество R2 можно отождествить с декартовой плоскостью. Аналогичные рассуждения позволяют отождествить множество R3 с декартовым пространством.

Определим операции сложения элементов множества Rn и умножения этих элементов на действительные числа.

Суммой точек x = (x1, x2,..., xn ) и y = (y1, y2,..., yn ) называется точка Произведением точки x = (x1, x2,..., xn ) на число называется точка Множество Rn относительно операций сложения и умножения на число является действительным векторным пространством и называется n-мерным арифметическим пространством Точки x = (x1, x2,..., xn ) являются векторами n-мерного арифметического пространства. Если в качестве Назад базиса векторного пространства Rn использовать канонический базис то точка x = (x1, x2,..., xn ) представима в виде x = x1 e1 + x2 e2 +... + xn en, и компоненты точки x являются координатами этой точки в указанном базисе.

Назад 2.4. Расстоянием в Rn называют функцию удовлетворяющую условиям:

Легко видеть, что обычное расстояние в R2 или в R3, определяемое формулами соответственно, удовлетворяет условиям 10 –30.

Расстояние в Rn может быть определено аналогично.

Лемма 4.1. Формула определяет расстояние в Rn.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выполнение условий 10 и 20 очевидно. Покажем, что выполнено 30.

Назад Пусть x, y, z – произвольные точки из Rn.

Применяя к последнему слагаемому неравенство Коши-Буняковского получаем откуда следует неравенство треугольника 30.

Расстояние в Rn может быть определено и другими формулами, например, или Множество B(a, r) = {x Rn |d(x, a) < r} называют открытым шаром радиуса r с центром в точке a.

Назад Если в R3 расстояние определено формулой (4.1), то множество B(a, r) при r > 0 является обычным шаром радиуса r с центром в a. Если расстояние определено формулой (4.2), то B(a, r) – куб с центром в точке a и ребром 2r. Если расстояние определено формулой (4.3), то B(a, r) – октаэдр с центром a.

Расстояние в Rn, определяемое формулой называется сферической метрикой.

Расстояние в Rn, определяемое формулой называется кубической метрикой.

Расстояние в Rn, определяемое формулой называется октаэдрической метрикой.

В дальнейшем как правило мы будем использовать сферическую метрику. Однако сферическая, кубическая и октаэдрическая метрики равносильны в том смысле, что точки x и y, близкие в одной метрике, будут близкими и в другой.

Если расстояние d(x, 0) между точками (x1, x2,..., xn ) и (0, 0,..., 0) обозначить через |x|, то для указанных выше метрик Назад 2.4. Множество Va Rn называют окрестностью точки a Rn, если существует открытый шар B(a, r), содержащийся в Va. Множество Va = Va {a} называют проколотой окрестностью точки a.

Множество U Rn называют открытым, если для любой точки x U найдется окрестность Vx U.

Точка x Rn называется граничной точкой множества E Rn, если в любой окрестности точки x есть точки из E и точки из Rn E. Совокупность всех граничных точек множества E называют границей E.

Точку a Rn называют предельной точкой множества M, если в любой проколотой окрестности Va есть точки из M.

Множество F называют замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Диаметром множества A называется число = sup {d(x, y)}.

Множество A называют ограниченным, если его диаметр конечен. Замкнутое ограниченное множество в Rn называют компактным (коротко – компакт).

Назад Пусть на [, ] R определены непрерывные функции i, i (t) R, i = 1,..., n. Отображение называется путем в пространстве Rn. Множество называют непрерывной кривой в Rn с концами Множество M Rn называют связным, если для любых точек x, y M существует такая непрерывная кривая l с концами x и y, что l M.

Открытое связное множество D Rn называют областью.

Назад 2.4. Множество N натуральных чисел считаем упорядоченным по возрастанию естественным образом.

Отображение называют последовательностью точек из Rn.

Последовательность обозначают (ak ).

Задать (ak ) можно, перечисляя все её элементы (точки) a1, a2,..., либо указав закон, по которому для каждого k N можно вычислить ak Rn. Задание последовательности (ak ) равносильно заданию n числовых последовательностей (ak ), i = 1,..., n, – компонент последовательности (ak ).

Пример 4.1. В Rn последовательность (ak ), заданная формулой ak = (k, k2 ), имеет две компоненты (ak ) = (k), (ak ) = (k2 ).

На плоскости получаем последовательность точек: (1,1), (2,4), (3,9), (4,16),...

Говорят, что последовательность (ak ) сходится к пределу a Rn, если Если последовательность (ak ) сходится к пределу a Rn, то пишут lim ak = a или ak a при k +.

Сходимость (ak ) a означает:

где M не зависит от и от k.

Теорема 4.1 (Основной критерий сходимости).

Назад Значит ak a.

Основной критерий сходимости означает, что в последовательности из Rn переходят к пределу покомпонентно. n Критерий позволяет перенести на последовательности из Rn свойства числовых последовательностей.

A0. Сходящаяся последовательность имеет один предел.

B0. Сходящаяся последовательность ограничена.

C0. Справедлив принцип выбора: из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Последовательность (ak ) называют фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:

D0. Справедлив критерий Коши сходимости последовательности: последовательность (ak ) сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Назад 2.5.1. Понятие функции.

2.5.2. Предел.

2.5.3. Непрерывность.

2.5.4. Дифференцируемость.

2.5.5. Экстремум функции Назад 2.5.1 Понятие функции.

Отображение называют функцией переменных x1,..., xn и записывают u = f (x1,..., xn ) или u = f (x). Множество X называют областью определения функции f. Если f задана формулами и X не указано, то под областью определения понимают множество всех x Rn, для которых эти формулы имеют смысл (естественная область определения).

Замечание 5.1. В случае n = 2 или n = 3 для обозначения переменных используют, как правило, символы x, y или x, y, z соответственно.

Множество точек x X R, в которых функция n переменных u = f (x) принимает заданное фиксированное значение c R, называют множеством уровня. При n = 2 множества уровня называют линиями уровня, при n = 3 – поверхностями уровня.

Пример 5.2. Для функции u = Функция двух переменных z = f (x, y) может быть изображена графически.

Графиком функции двух переменных z = f (x, y) с областью определения X называется множество точек пространства R Обычно графиком функции двух переменных является некоторая поверхность.