«МАТЕМАТИКА 3 КЛАСС Методическое пособие Под редакцией Р.Г. Чураковой МосКвА АКАдЕМКНИГА/УЧЕбНИК 2012 УДК 51(072.2) ББК 74.262.21 Ч-37 Чекин А.Л. Математика [Текст] : 3 кл. : Методическое пособие / Ч-37 А.Л. Чекин; под. ...»

Задание 232 является естественным продолжением предыдущего задания. В нем учащиеся также имеют дело с умножением 1 тысячи на некоторые натуральные числа (точнее, на все натуральные числа от 1 до 10), но только теперь первый множитель записан не в виде 1 тыс., а в виде числа 1 000. Такое изменение записи первого множителя никаких принципиальных изменений в сам процесс вычисления не вносит, поэтому нужный результат может быть получен так же, как это было сделано в предыдущем задании, только с обязательным выражением окончательного результата не в виде числа тысяч, а в виде «круглых» тысяч.

Выполнение задания 233 базируется на переместительном свойстве умножения и на результатах предыдущего задания. Завершающая часть этого задания посвящена выводу правила умножения на число 1000, которое связано с приписыванием к записи числа трижды цифры 0. Мы хотим обратить внимание учителя, а это означает и внимание учащихся, на тот факт, что при формулировке этого правила речь нужно вести о записи чисел, а не о самих числах.

В противном случае можно сформировать ошибочное представление о сути действия умножения, которое будет отождествляться с соответствующими цифровыми трансформациями. Нельзя допускать формулировку типа: «Умножить на 1000 – это значит справа приписать три раза цифру 0».

При выполнении задания 234 учащимся предлагается вспомнить ситуацию с увеличением числа в несколько раз, которое осуществляется уже не в два, а в три этапа. В результате такого поэтапного увеличения сначала в 10 раз, после этого еще в 10 раз и, наконец, еще в 10 раз мы получим увеличение в 1000 раз, что и является предметом нашего изучения в этой теме.

Задания 235 и 236 учащиеся смогут выполнить без особого труда, если будут опираться на правило из задания 233. При этом они должны помнить, что увеличение числа в 1000 раз и умножение на число 1000 приводят к одному и тому же результату.

В задании 237 предлагается решить простую задачу, при вычислении ответа которой нужно выполнить умножение на число 1000.

В задании 238 предлагается проверить с помощью калькулятора правильность выполнения умножения на число 1000.

В задании 239 предлагается выразить данную величину в других единицах. При этом единицы подобраны таким образом, что нужный переход осуществляется с помощью умножения данного числа на число 1000 (переход от километров к метрам и от метров к миллиметрам). После того как эта закономерность будет «раскрыта», выполнение заданий превратится в чисто техническую работу.

Тема: «Квадратный километр и квадратный метр» (1 урок) При изучении данной темы учащиеся познакомятся с новой стандартной единицей площади, которая называется квадратным километром, и новой нестандартной, но имеющей большое употребление в реальной жизни, единицей площади, которая называется соткой.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий Кроме этого, будет выведено соотношение между квадратным километром и квадратным метром, в котором впервые на страницах учебника учащиеся столкнуться с числом 1 000 000 (миллион). Активную работу с этим числом предстоит проводить в 4 классе, а сейчас мы предлагаем рассмотреть это число только на ознакомительном уровне. Кроме указанного выше соотношения, будет выведено и соотношение между квадратным километром и «соткой», но это соотношение не входит в перечень соотношений, обязательных для запоминания.

При выполнении задания 240 из диалога Миши и Маши учащиеся получат информацию о новой для них единице площади – квадратном километре и о том, в каких случаях обычно применяется эта единица площади. Два рассмотренных примера (о площади территорий Москвы и Санкт-Петербурга) позволят им получить некоторое представление об использовании этой единицы площади.

В задании 241 учащимся предлагается умозрительно разбить поле прямоугольной формы со сторонами 3 км и 2 км на квадраты со стороной 1 км. Сделав это, они смогут найти площадь этого поля в квадратных километрах (6 кв. км).

При выполнении задания 242 мы предлагаем учащимся познакомиться с нестандартной единицей площади, которая называется соткой. Нужную информацию о сотке учащиеся смогут получить из словаря.

При выполнении задания 243 учащиеся самостоятельно, отвечая на поставленные вопросы, смогут получить соотношение между квадратным километром и квадратным метром. Здесь же они смогут познакомиться и с числом, которое записывается с помощью единицы и шести нулей. Так как мы не ставим сейчас задачу заниматься изучением этого числа, то мы очень коротко говорим о структуре термина «миллион» и о способах получения этого числа. Дополнительную информацию об этом числе учащиеся смогут получить из словаря.

В задании 244 учащимся предлагается заполнить таблицу по принципу дополнения данной площади до 1 кв. км. Задания такого типа хорошо знакомы учащимся.

В задании 245 предлагается выполнить разностное и кратное сравнение между данными единицами площади. Разностное сравнение учащиеся могут выполнить с помощью вычитания столбиком (сравниваемые площади обязательно должны быть выражены в одной и той же единице), а вот кратное сравнение они должны провести не с помощью деления (это для них еще невыполнимая задача), а на основании имеющихся соотношений между интересующими единицами площади.

Тема: «Квадратный миллиметр и квадратный сантиметр»

(1 урок) В этой теме учащиеся познакомятся с новой единицей площади, которая называется квадратным миллиметром.

Принципиальное отличие изучения данной единицы от уже рассмотренных состоит в том, что ранее мы постепенно переходили от квадратного сантиметра к все большим и большим единицам площади, а теперь ситуация изменилась: мы переходим от квадратного сантиметра к меньшей единице площади.

Так как подход, основанный на использовании дробей, мы еще применять не можем, то мы используем другой подход, который основан на том, что «старая» и «новая» единицы площади как бы меняются ролями.

Теперь мы уже не будем «новую» единицу выражать через «старую», как мы это делали, например, для квадратного дециметра (1 кв. дм = 100 кв. см), а будем «старую» единицу выражать через «новую» (1 кв. см = 100 кв. мм). Для достижения максимальной наглядности при изучении квадратного миллиметра мы будем активно использовать миллиметровую бумагу или ее изображение.

При выполнении задания 246 учащиеся смогут познакомиться не только с новой единицей площади – квадратным миллиметром, но и с соотношением между квадратным миллиметром и квадратным сантиметром, а также с существованием особого вида листов бумаги с названием миллиметровка.

С помощью миллиметровки можно не только проиллюстрировать квадратный миллиметр, но и установить интересующее нас соотношение (1 кв. см = 100 кв. мм).

В заданиях 247 и 248 предлагается выполнить перевод площади из квадратных миллиметров в квадратные сантиметры и, наоборот, из квадратных сантиметров в квадратные миллиметры.

При выполнении задания 249 учащиеся смогут поупражняться в сложении и вычитании площадей.

Прежде чем выполнять нужные действия, они должны привести площади к одной и той же единице измерения.

В задании 250 предлагается заполнить таблицу по принципу дополнения данной площади до 1 кв. см. Такого типа задания учащимся знакомы.

В задании 251 предлагается выполнить разностное и кратное сравнение вышеназванных единиц площади (1 кв. мм и 1 кв. см).

Кратное сравнение нужно выполнить на основе соотношения, полученного при выполнении первого задания данной темы.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий Тема: «Квадратный миллиметр и квадратный дециметр»

(1 урок) При изучении данной темы учащиеся будут работать с уже известными им единицами площади. Новизна темы заключается в установлении соотношения между квадратным дециметром и квадратным миллиметром.

При выполнении задания 252 учащиеся самостоятельно, отвечая на поставленные вопросы, должны вывести соотношение между квадратным миллиметром и квадратным дециметром (10 000 кв. мм = 1 кв. дм). Ситуация, которая имеет место в данном случае, аналогична той, с которой мы сталкивались при установлении соотношения между квадратным метром и квадратным сантиметром.

В заданиях 253 и 254 учащимся предлагается поупражняться в переводе данных площадей из квадратных миллиметров в квадратные дециметры и, наоборот, из квадратных дециметров в квадратные миллиметры.

В задании 255 предлагается выполнить сложение и вычитание площадей, осуществив предварительно перевод всех данных площадей в квадратные миллиметры. Вычисления вполне допускают устное их выполнение.

В задании 256 предлагается выполнить столбиком сложение и вычитание площадей. При этом площадь, полученную при сложении, нужно выразить в квадратных дециметрах.

При выполнении задания 257 учащиеся смогут еще раз поупражняться в дополнении данной площади до заданной единицы площади (в этом случае до 1 кв. дм).

В задании 258 учащимся предлагается выполнить разностное и кратное сравнение вышеназванных единиц площади (1 кв. мм и 1 кв. дм). Кратное сравнение нужно выполнить на основе соотношения, полученного при выполнении первого задания данной темы.

В задании 259 предлагается выразить в квадратных миллиметрах значение разности 1 кв. дм – 1 кв. см. Сделать это можно двумя способами. Можно вычислить результат в квадратных сантиметрах, а потом записать его в квадратных миллиметрах, а можно сразу вычислять в квадратных миллиметрах, сделав необходимые преобразования для уменьшаемого и вычитаемого.

Задание 260 относится к заданиям повышенной сложности.

В нем учащимся предлагается на миллиметровке построить фигуру, площадь которой равна 9 900 кв. мм. Естественно, мы предполагаем, что учащиеся смогут найти рациональный путь решения этой задачи, а не выберут тот, который очевиден, но трудно технически выполним.

Отсчитывать 9 900 клеточек по 1 кв. мм не имеет никакого смысла. Для нас важно, чтобы учащиеся догадались, что площадь 9 900 кв. мм можно получить в результате вычитания 100 кв. мм из 10 000 кв. мм, но 100 кв. мм = 1 кв. см, 10 000 кв. мм = 1 кв. дм Поэтому искомую площадь можно рассматривать как результат вычитания 1 кв. см из 1 кв. дм. Теперь для выполнения задания достаточно на миллиметровке отметить квадрат площадью 1 кв. дм и из него удалить квадрат площадью 1 кв. см. Оставшаяся фигура и будет иметь заданную площадь.

Тема: «Квадратный миллиметр и квадратный метр» (1 урок) При изучении данной темы учащиеся будут работать с уже известными им единицами площади. Новизна темы заключается в установлении соотношения между квадратным метром и квадратным миллиметром.

При выполнении задания 261 учащиеся самостоятельно, отвечая на поставленные вопросы, должны вывести соотношение между квадратным миллиметром и квадратным метром (1 000 000 кв. мм = 1 кв. м). Ситуация, которая имеет место в данном случае, аналогична той, с которой мы сталкивались при установлении соотношения между квадратным километром и квадратным метром.

При выполнении задания 262 учащиеся должны сопоставить между собой два соотношения: 1) между метром и миллиметром, 2) между квадратным метром и квадратным миллиметром. Арифметической основой этих двух соотношений является умножение на число 1000.

При выполнении задания 263 учащиеся смогут еще раз поупражняться в дополнении данной площади до заданной единицы площади (в этом случае до 1 кв. м).

В задании 264 предлагается выполнить разностное и кратное сравнение данных единиц площади (1 кв. м и 1 кв. мм; 1 кв. м и 1000 кв. мм). Кратное сравнение нужно выполнить на основе соотношения, полученного при выполнении первого задания данной темы.

В задании 265 учащимся предлагается выполнить сложение и вычитание площадей, осуществив предварительно перевод всех данных площадей в квадратные миллиметры. Вычисления вполне допускают устное их выполнение.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий В задании 266 предлагается выполнить столбиком сложение и вычитание площадей. При этом площадь, полученную при сложении, нужно выразить в квадратных метрах.

Задание 267 относится к заданиям повышенной сложности. В нем предлагается расположить данные площади в порядке возрастания.

Для этого учащиеся сначала должны перевести все данные площади в квадратные миллиметры. У них должны получиться следующие равенства: 10 кв. дм 1 кв. см 1 кв. мм = 100 101 кв. мм, 1 000 кв.

см 100 кв. мм = 100 100 кв. мм. Теперь уже не составляет особого труда расположить площади в порядке возрастания: 100 000 кв. мм, 100 100 кв. мм, 100 101 кв. мм.

В задании 268 учащимся предлагается выразить в квадратных миллиметрах половину 1 кв. м, т. е. нужно фактически найти половину от 1 000 000 кв. мм. Это будет 500 000 кв. мм.

Тема: «Поупражняемся в использовании единиц площади»

При выполнении заданий 269 и 270 учащиеся смогут поупражняться в сравнении площадей с помощью приведения их к одной и той же единице площади.

В задании 271 учащимся предлагается выполнить разностное сравнение площадей, выполнив вычисления столбиком.

В задании 272 речь идет уже о разностном и кратном сравнении площадей. При этом одна из площадей выражена в сотках. Если и вторую площадь выразить в сотках, то требуемое сравнение можно выполнить без особого труда.

В задании 273 учащимся предлагается решить простую задачу на умножение. При вычислении ответа следует применить умножение столбиком.

В задании 274 предлагается увеличить площадь 125 кв. см в 4 раза;

в 8 раз; в 16 раз. После этого полученные результаты нужно выразить в квадратных дециметрах. Тогда получатся следующие площади: 5 кв. дм, 10 кв. дм, 20 кв. дм. Теперь легко ответить на последний вопрос задания: 10 кв. дм больше, чем 125 кв. см в 8 раз.

В задании 275 учащимся предлагается заполнить таблицу результатами проведенных измерений для двух данных прямоугольников.

Анализируя полученные результаты, они самостоятельно должны прийти к выводу, что если перемножить числа, выражающие длины (в сантиметрах) соседних сторон прямоугольника, то получится число, выражающее площадь этого прямоугольника (в квадратных сантиметрах). Это задание является подготовительным к изучению следующей темы.

Тема: «Вычисление площади прямоугольника» (1 урок) Данной темой мы фактически завершаем по программе 3 класса изучение вопросов, связанных с понятием «площадь фигуры». Все последующие обращения к такому типу вопросам будут иметь характер повторения. В качестве «завершающего аккорда» мы выбрали эту тему совсем не случайно. Во-первых, вопрос о вычислении площади фигуры имеет существенно более важное значение как с теоретической, так и с практической точки зрения, чем вопрос об измерении этой площади. Во-вторых, рассмотрением предыдущих вопросов этого направления мы подготовили необходимую базу для вывода формулы площади прямоугольника. В-третьих, на примере формулы площади прямоугольника учащиеся познакомятся с возможностью записи важнейших свойств и правил с помощью буквенной символики.

В задании 276 учащимся предлагается принять участие в диалоге Маши и Миши, из которого они сначала узнают о проблемной ситуации, заключающейся в том, что нужно найти площадь фигуры без непосредственного ее измерения. После этого им будет предложен вариант разрешения этой проблемной ситуации для прямоугольника. Наконец, они самостоятельно должны объяснить, как можно вычислить площадь бассейна прямоугольной формы со сторонами 3 м и 5 м. В качестве примера бассейн выбран не случайно: водную поверхность бассейна непосредственно измерить не получится, поэтому нужно находить обходной путь, заключающийся в вычислении этой площади.

На первый взгляд может показаться, что мы перешли к формулировке правила вычисления площади прямоугольника без должной подготовительной работы. На самом деле это не так. Необходимая подготовительная работа проводилась постоянно, начиная с первой темы этого направления («Какая площадь больше»). Более того, при выполнении задания 275 учащиеся уже фактически познакомились с тем, как связаны между собой длина, ширина и площадь некоторого прямоугольника.

При выполнении задания 277 учащиеся смогут не только познакомиться с тем, как может быть записано правило вычисления площади прямоугольника (в виде стандартной формулы), но и поупражняться в применении этой формулы. Уже с первых шагов применения этой формулы нужно обязательно обращать внимание учащихся на тот факт, что длина и ширина прямоугольника должны быть выражены в одной и той же единице длины. В этом случае площадь будет выражена в соответствующих «квадратных»

единицах.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий В задании 278 предлагается записать площадь «единичного» квадрата с помощью действия умножения. Записав соответствующие равенства для всех изученных единиц длины, учащиеся еще раз смогут акцентировать свое внимание на правильном употреблении единиц длины и площади при вычислении площади прямоугольника по соответствующей формуле.

В задании 279 учащимся предлагается решить составную задачу, заключительным действием которой будет являться действие по вычислению площади прямоугольника. Таким образом, они впервые столкнутся с ситуацией, когда при решении задачи действие умножения выполняется над двумя величинами. В дальнейшем такая ситуация будет иметь все большее распространение.

В задании 280 предлагается сформулировать задачу по краткой записи. Сформулированная задача по своей сути будет мало отличаться от задачи из задания 279. Принципиальное отличие состоит лишь в том, что речь идет об отношении «меньше на …», которое задано в косвенной форме.

Тема: «Поупражняемся в вычислении площадей и повторим пройденное»

После изучения предыдущей темы мы сразу предлагаем учащимся поупражняться в вычислении площади прямоугольника, учитывая особую важность этого вопроса.

В задании 281 учащимся сначала предлагается с помощью угольника распознать прямоугольник, а уже потом выполнить измерения сторон в миллиметрах и вычислить площадь в квадратных миллиметрах. При этом умножение нужно выполнить столбиком.

При выполнении задания 282 учащиеся смогут поупражняться в использовании формулы площади прямоугольника.

В задании 283 предлагается решить задачу, которая аналогична задаче из задания 279. Отличие состоит лишь в замене отношения «больше в …» на отношение «больше на …» и в использовании других числовых данных.

Задание 284 относится к заданиям повышенной сложности. В нем предлагается решить задачу на вычисление площади прямоугольника, когда длина одной стороны известна (234 см), а длину другой стороны предварительно нужно вычислить. Проблема состоит в том, что для вычисления длины другой стороны нужно правильно выразить ее через данный периметр и длину первой стороны.

Возможны два варианта решения этой проблемы. Во-первых, можно вычислить значение суммы длины и ширины прямоугольЗадачи с избыточными данными»

ника, разделив его пополам, с последующим вычитанием из этого значения известной по условию длины (деление в этом случае выполняется методом подбора). Во-вторых, можно из периметра вычесть две данные длины (234 см + 234 см = 468 см), разделив потом полученный результат пополам (деление в этом случае можно выполнить на основе знания табличных случаев и применения правила деления суммы на число). После того как ширина будет вычислена, площадь этого треугольника без особого труда можно будет вычислить, применив умножение столбиком.

В задании 285 предлагается вычислить площадь данной фигуры. Для этого они сначала должны разбить эту фигуру на два прямоугольника, отрезав узкую прямоугольную часть от широкой прямоугольной части. После этого задача уже становится хорошо знакомой учащимся. В заключение следует не забыть сложить две полученные площади.

В задании 286 учащимся предлагается повторить правила, связывающие умножение с делением и деление с умножением. Что касается уравнения, корнем которого является значение произведения 144•12, то это уравнение с неизвестным делимым (х : 12 = 144).

Тема: «Задачи с избыточными данными» (1 урок) Данная тема открывает новый блок тем, посвященных обучению решению арифметических сюжетных задач. В этой теме речь пойдет о формулировках задач, которые содержат избыточные данные.

Такая ситуация, как правило, позволяет находить ответ на требование задачи различными способами, а это, в свою очередь, позволяет вести речь о выборе оптимального по тем или иным параметрам варианта решения.

При выполнении задания 287 учащиеся на конкретном примере смогут познакомиться с формулировкой задачи, которая содержит избыточные данные. На основе анализа этой формулировки им предлагается самостоятельно получить ответ на вопрос о том, почему в данном случае речь идет о задаче с избыточными данными.

Ключевым словом для получения нужного ответа является слово «лишние». Именно оно характеризует формулировку такой задачи.

В задании 288 учащимся предлагается сформулировать условие задачи по данной краткой записи. В это условие должны быть включены все данные из таблицы. Приведем пример такой формулировки условия: «В гараже находилось 32 автомашины, из которых 15 грузовых и 17 легковых. На стоянке находилось 18 автомашин, из которых 10 грузовых и 8 легковых». Если теперь к этому условию Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий добавить требование о нахождении числа всех автомашин, находящихся в гараже и на стоянке, то полученная формулировка будет формулировкой задачи с избыточными данными (знание числа грузовых и легковых автомашин отдельно нам не требуется). Если бы у нас не было в распоряжении данных из последнего столбика таблицы, то оставшиеся данные были бы уже не лишними: они все были бы задействованы в решении.

В задании 289 учащимся предлагается самим сформулировать задачу с избыточными данными, решить ее, вычислить и записать ответ. После этого они должны переформулировать «свою» задачу, исключив из ее условия лишние данные. Данное задание предоставляет учащимся большое поле для творчества.

В задании 290 предлагается краткая запись задачи с избыточными данными. Роль «лишних» данных здесь может выполнять либо число 290, либо отношение «на 15 больше», либо отношение «на больше». Есть и другие возможности исключения избыточных данных, но учащимся предлагается найти только два возможных варианта. После этого учащиеся должны сформулировать соответствующую задачу, решить ее, записать и вычислить ответ.

Тема: «Выбор рационального пути решения» (1 урок) При изучении данной темы мы познакомим учащихся с одной очень важной проблемой, имеющей отношение как к математике, так и к другим областям знаний и сферам человеческой деятельности. Суть этой проблемы отражена в названии темы. Выбор рационального пути решения в математике может быть осуществлен с учетом одной из двух основных точек зрения. С одной стороны, рациональный путь решения должен быстрее и технически легче приводить к получению ответа, с другой стороны, рациональный путь решения является достижением некоторых своеобразных эстетических показателей, существующих в математике (в этом случае в математике решение принято называть красивым).

В задании 291 предлагается сравнить два варианта решения одной и той же задачи. Они сами смогут установить, что вариант, предложенный Машей, является более удачным: определить число клеток, на которые разбит данный прямоугольник, гораздо легче с помощью умножения, а не с помощью непосредственного пересчета.

В задании 292 предлагается формулировка задачи с избыточными данными. Одним из вариантов решения этой задачи является выражение 50 • 30 – 50 • 20. Учащиеся должны объяснить, почеРазные задачи»

му это выражение является решением данной задачи. Но для нас сейчас важно не столько это, сколько нахождение другого варианта решения, который с полным основанием можно отнести к осуществлению выбора рационального пути решения. Этим решением является произведение 50•10.

Тема: «Разные задачи» (2 урока) При изучении данной темы мы познакомим учащихся с задачами, одни из которых будут являться для них новыми в сюжетном плане (задачи, описывающие процесс «купли-продажи»), другие – в плане их решения (например, задачи 301 и 302). Рассмотрению всех таких задач нужно уделить пристальное внимание. Это позволит не только расширить возможности учащихся в плане решения текстовых задач, но и провести необходимую подготовку к выполнению различных проверочных работ, так как именно такого типа задания обычно включаются в эти проверочные работы.

В задании 293 мы предлагаем учащимся проанализировать простейшую ситуацию, возникающую в процессе оплаты некоторой покупки. Мы исходим из того, что учащимся эта ситуация в той или иной степени знакома из личного опыта. Математической основой для описания этой ситуации служит действие вычитания. Причем речь идет о вычитании величин. С величиной «стоимость», которую можно выразить в рублях, учащимся еще не приходилось сталкиваться в нашем курсе. В 4 классе мы уделим изучению этой величины достаточно большое внимание, а сейчас нас будут интересовать только некоторые вопросы, изучение которых позволит учащимся получить необходимые на данный момент знания в этой области. В частности, они должны систематизировать свои знания о номинале денежных купюр и монет. В данной ситуации сдача может быть выдана 100-рублевой купюрой и двумя монетами (2 рубля и 1 рубль).

В задании 294 предлагается вычислить стоимость всей покупки по известной цене и количеству каждого вида купленного товара.

При этом мы специально задаем цену в таком виде, чтобы ее можно было легко сопоставить с количеством. Фактически для определения стоимости учащимся нужно вычислить значение следующего выражения: 10•2 + 15•3 + 12•1. Последняя часть задания возвращает учащихся к решению предыдущей задачи.

В задании 295 учащимся предлагается назвать купюры и монеты, которые находятся в обращении в настоящее время в нашей стране. Сделать это можно общими усилиями, проведя обсуждение со всеми учениками класса. Разменять же 100-рублевую купюру можТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий но так: 1) 100 = 50 + 50, 2) 100 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + + 10 + 10 + 10, 3) 100 = 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10, 4) 100 = (50 + + 10 + 10 ++ 10 + 10) + 5 + 5.

В задании 296 предлагается решить составную задачу. Вторым действием этого решения должно стать деление величины 36 рублей на 3 равные части. Сделать это учащиеся могут с помощью правила деления суммы на число.

Задание 297 относится к заданиям повышенной сложности.

В нем учащимся предлагается решить задачу, имеющую четкую практическую направленность: нужно отмерить веревку длиной 2 м с помощью 30-сантиметровой линейки. Эту процедуру можно записать с помощью одного выражения: 2 м = 30 см•6 + 20 см. Возможны и другие варианты решения этого задания.

В задании 298 учащимся предложена задача, в которой требуется определить, что тяжелее: пакет с мандаринами или пакет с апельсинами. Для этого они сначала должны определить, сколько килограммов мандаринов положили в один пакет (24 кг : 6 = 4 кг) и сколько килограммов апельсинов положили в один пакет (25 кг : 5 = 5 кг).

Завершить решение нужно записью соответствующего неравенства:

5 кг > 4 кг. Далее можно записать ответ.

При выполнении задания 299 учащиеся познакомятся с новой единицей площади – гектаром. Необходимую информацию об этой единице площади учащиеся могут получить из словаря, а также из условия данной задачи.

Результатом выполнения задания 300 должно стать установление соотношения: 1 га = 10000 кв. м = 100 м • 100 м.

Задание 301 на первый взгляд предлагает учащимся поработать с таблицей, что для учащихся является вполне привычным делом.

Однако этот вид работы является абсолютно новым. Им предлагается из нескольких вариантов данных, представленных в таблице, выбрать тот, который отвечает данному в тексте условию. Для решения задания можно использовать два пути. Первый путь состоит в последовательной проверке каждого набора данных на удовлетворение данным требованиям. Второй путь состоит в нахождении всех данных с последующей сверкой их с данными из таблицы. Так как для осуществления второго пути нужно достаточно хорошо владеть алгебраическим способом решения задачи, то, скорее всего, на данном этапе обучения этот путь использовать не получится. Поэтому остается первый путь. Он и приведет к ответу, что искомая группа туристов записана под номером 2.

Задание 302 относится к заданиям повышенной сложности.

С такого типа задачами учащиеся еще не сталкивались. Фактически в этой задаче им предлагается ответить на вопрос о том, делится ли число 26 нацело на число 5. Для того чтобы обосновать свой ответ, учащиеся могут использовать знание табличных случаев деления на число 5. Числами, которые делятся на число 5, являются числа: 5, 10, 15, 20, 25, 30 и т. д. Легко видеть, что число 26 среди них не находится. Кроме этого, используя данную последовательность, можно установить, какое число мандаринов нужно еще взять, чтобы задача стала выполнимой. Этими числами могут быть числа 4, 9, 14, 19 и т. д. Самое маленькое число с таким свойством – это число 4.

При выполнении задания 303 учащиеся смогут познакомиться с различными вариантами формулы для вычисления периметра. До этого момента вычисление периметра мы не записывали с помощью формулы. Теперь мы хотим научить учащихся это делать.

Первая формула может быть использована для вычисления периметра квадрата (она имеет и более широкую область применения: ее можно использовать для вычисления периметра ромба). Вторую формулу можно использовать для вычисления периметра четырехугольника, у которого имеется три равные стороны (в частности, это может быть равнобедренная трапеция, у которой верхнее основание равно боковой стороне). Третья формула служит для вычисления периметра прямоугольника (она имеет и более широкую область применения: ее можно использовать для вычисления периметра параллелограмма).

Тема: «Учимся формулировать и решать задачи»

Предлагаем подборку заданий на закрепление и повторение полученных знаний и умений по формулировке и решению задач.

В задании 304 предлагается решить задачу на разностное сравнение. Такой тип задач учащимся уже хорошо известен. Поэтому смысл рассмотрения этой задачи состоит в том, чтобы через условие задачи дать им полезную информацию о длине важнейших рек нашей страны, а также предоставить возможность потренироваться в выполнении вычитания столбиком.

Задание 305 продолжает развивать идеи предыдущего задания.

И в нем речь идет о задачах на разностное сравнение. Только теперь такие задачи должны сформулировать сами учащиеся, используя данную информацию о площади некоторых островов, относящихся к территории нашего государства. И в этом случае учащиеся познакомятся с интересной информацией, а также поупражняются в выполнении вычитания столбиком.

В задании 306 предлагается дополнить схему составной задачи данными числами. При заполнении схемы числами нужно обязательно учитывать ее структуру: оба действия вычитания должны Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий быть выполнимы. Примером правильного заполнения схемы может быть следующий вариант: число 365 записывается в левой верхней рамке, число 184 – в левой нижней, а число 273 – в правой верхней рамке. При формулировке задачи по этой схеме можно предложить учащимся использовать сюжет, связанный с числом дней в году (365), числом дней во втором полугодии (184) и числом дней в первых девяти месяцах года (273). Но это не является обязательным, так как можно использовать и любой другой сюжет.

В задании 307 учащимся предлагается сформулировать задачу на кратное сравнение площадей прямоугольников по предложенной иллюстрации. Для этого они сначала должны выполнить необходимые измерения (измерить длину и ширину каждого прямоугольника) и включить эти данные в условие задачи. В процессе решения сформулированной задачи учащиеся смогут повторить формулу, применяемую для вычисления площади прямоугольника.

В задании 308 учащимся предлагается сначала заполнить данную таблицу реальными данными (своим ростом и ростом соседа по парте). После этого они могут по данным таблицы сформулировать задачу на разностное сравнение, повторив тем самым один из способов получения недостающих данных.

Задание 309 относится к заданиям повышенной сложности. В нем учащимся предлагается сформулировать задачу по данному уравнению с неизвестным делимым, но уравнение имеет такой вид, с которым учащимся еще не приходилось иметь дела, так как делитель представлен в виде суммы. Для нахождения корня этого уравнения учащимся предлагается сначала сумму в скобках заменить ее значением, а потом применить знакомое им правило нахождения неизвестного делимого. Что же касается самой задачи, то ее формулировка может быть, например, такой: «Когда воспитательница решила раздать поровну некоторое число воздушных шариков 7 девочкам и 5 мальчикам своей группы, то каждый из детей получил по 3 шарика. Сколько всего воздушных шариков раздала воспитательница?»

В задании 310 предлагается сформулировать задачу по данному решению, записанному в виде одного выражения. Это может быть задача на разностное сравнение, так как последним действием является действие вычитания. Примером такой задачи может быть следующая задача: «Первая команда спортсменов была построена в 4 шеренги по 12 человек в каждой, а вторая – в 6 шеренг по 7 человек в каждой. На сколько больше спортсменов было в первой команде, чем во второй?»

В задании 311 сначала нужно вычислить стоимость всей покупки по аналогии с заданием 294, а потом уже вычислить полагающуюся сдачу со 100 рублей.

Задание 312 относится к заданиям повышенной сложности. При его выполнении учащиеся не только должны оперировать с ценой, указанной в таблице, но и со стоимостью товара не за 1 кг, а за некоторую его часть (например, за 500 г). В этом случае возможностей для составления нужной покупки появляется достаточно много. Например, если каждый вид товара из таблицы купить в количестве 500 г, то стоимость всей покупки будет равна 200 руб.

(80 + 70 + 40 + 10 = 200).

Тема: «Увеличение и уменьшение в одно и то же число раз»

(1 урок) Основная цель изучения данной темы – подготовить необходимую теоретическую базу для вывода правил деления на число 10, на число 100 и на число 1 000, которые предстоит изучать в этом блоке тем. Не следует забывать и о том, что рассматриваемое свойство представляет интерес и само по себе, так как в нем находит выражение существующая связь между действиями умножения и деления.

При выполнении задания 313 учащиеся смогут на конкретных примерах самостоятельно прийти к выводу о том, что последовательное увеличение и уменьшение числа в одно и то же число раз в итоге не изменяет это число.

При выполнении задания 314 учащиеся смогут еще раз получить подтверждение рассматриваемого свойства, но теперь это делается не только на конкретном примере, но и со ссылкой на соответствующее правило (правило, связывающее умножение с делением).

Итогом выполнения задания 315 должно стать формулирование учащимися интересующего нас правила. Сделать это они должны при ответе на последний вопрос данного задания с опорой на результаты предыдущих двух заданий. Ответ должен быть положительным, и звучать он может так: «Если некоторое число сначала увеличить, а потом полученный результат уменьшить в одно и то же число раз, то данное число не изменится».

В задании 316 предлагается число 253 сначала умножить на число 687, полученный результат разделить на это же число 687, а потом полученное число умножить на число 3. Если к этой процедуре применить рассмотренное только что правило, то станет ясно, что на самом деле для получения ответа достаточно умножить число 253 на число 3. Сделать это (в отличие от описанной выше полной последовательности действий) учащиеся смогут без особого труда.

В задании 317 предлагается устно решить задачу в два действия.

На первый взгляд это сделать совсем не просто, так как нужно одно Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий число увеличить в 2 раза, потом другое число уменьшить в 2 раза.

Однако если сопоставить решение с изученным правилом, то легко можно установить, что никаких вычислений производить не нужно: для получения ответа достаточно указать первоначальное число и сделать ссылку на соответствующее правило.

В задании 318 учащимся предлагается вычислить значение каждого из трех данных выражений. Если вычисления будут выполнены правильно, то учащиеся смогут заметить, что в результате получается то же число, с которого начиналось данное выражение.

Рассуждая по аналогии с рассмотренным выше правилом, учащиеся могут прийти к выводу о том, что если некоторое число сначала уменьшить, а потом полученный результат увеличить в одно и то же число раз, то в итоге число не изменится. Это правило учащиеся также могут применять при выполнении различных вычислений, но всегда нужно помнить о том, что первым действием в этой процедуре является действие деления, а оно не всегда выполнимо. Таких проблем с применением ранее рассмотренного правила не бывает, так как в том случае первым действием является умножение, что гарантирует выполнение после него соответствующего действия деления.

Тема: «Деление “круглых” десятков на число 10» (1 урок) В этой теме мы познакомим учащихся со способом выполнения деления «круглых» десятков на число 10, который сводится к простой трансформации записи делимого с помощью отбрасывания справа цифры 0. Этот способ с точностью до наоборот аналогичен способу умножения на число 10. Существование такой возможности напрямую связано с тем, что используемая нами для записи чисел система является позиционной десятичной. Этот же факт играет аналогичную роль и при рассмотрении случаев деления на другие разрядные единицы используемой системы счисления (на число 100, на число 1000 и т. д.).

При выполнении задания 319 учащиеся смогут повторить правило, с которым они познакомились при изучении предыдущей темы.

После того как будет сделана соответствующая запись, можно обратить внимание учащихся на выполнение последнего действия (70 : 10 = 7). Аналогично нужно поступить и с числом 4.

При выполнении задания 320 учащиеся еще раз смогут проследить выполнение следующей цепочки преобразований: число 3 увеличить в 10 раз, а потом полученный результат уменьшить в 10 раз и получить число 3.

В задании 321 учащимся сначала предлагается восстановить всю цепочку действий, связанную с увеличением и уменьшением в 10 раз числа 12, причем двигаясь от числа 120 как к началу этой цепочки, так и к ее окончанию. После этого им предлагается познакомиться с правилом, суть которого им уже знакома по выполнению предыдущих двух заданий. Без сомнения, учащиеся согласятся с выводом Миши, но, как и в случае умножения на число 10, мы хотим предупредить о том, чтобы учащиеся ни в коем случае не употребляли фразы такого типа: «Разделить на число 10 – это значит отбросить справа в записи делимого одну цифру 0» (отождествлять действие деления и процедуру отбрасывания цифры было бы ошибкой).

При выполнении задания 322 учащиеся смогут поупражняться в делении «круглых» десятков на число 10.

В задании 323 учащимся сначала предлагается сформулировать задачу на кратное сравнение по данной диаграмме. Из диаграммы понятно, что решение интересующей нас задачи будет являться частное 110 : 10, значение которого легко найти с помощью изученного только что правила. Что касается сюжета возможной задачи, то он может быть любым.

В задании 324 предлагается с помощью деления выяснить, сколько получится частей, если ленту длиной 320 см разрезать на части по 10 см. Вычисление ответа этой задачи может быть выполнено с помощью изученного только что правила.

В задании 325 предлагается рассматривать переход от длины, выраженной в сантиметрах, к этой же длине, выраженной в дециметрах, как результат уменьшения соответствующего числа в 10 раз.

В этом случае сам переход в числовом выражении можно осуществить за счет деления данного числа сантиметров на число 10. Результат будет получаться уже в дециметрах.

В задании 326 учащимся предлагается сформулировать задачу по краткой записи. Анализ данной краткой записи показывает, что сформулированная задача должна быть простой задачей на уменьшение в 10 раз в косвенной форме. При вычислении ответа этой задачи нужно использовать изученное только что правило.

Тема: «Деление “круглых” сотен на число 100» (1 урок) Между данной темой и предыдущей легко усматривается полная аналогия. Это позволяет нам построить изучение данной темы по той же схеме, по которой мы изучали предыдущую тему.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий При выполнении задания 327 учащиеся смогут еще раз повторить правило, с которым они познакомились при изучении темы «Увеличение и уменьшение в одно и то же число раз». После того как будет сделана соответствующая запись, можно обратить внимание учащихся на выполнение последнего действия (600 : 100 = 6).

Аналогично нужно поступить и с числом 8.

При выполнении задания 328 учащиеся еще раз смогут проследить выполнение следующей цепочки преобразований: число 5 увеличить в 100 раз, а потом полученный результат уменьшить в 100 раз и получить число 5.

В задании 329 учащимся сначала предлагается восстановить всю цепочку действий, связанную с увеличением и уменьшением в 100 раз числа 14, причем двигаясь от числа 1400 как к началу этой цепочки, так и к ее окончанию. После этого им предлагается познакомиться с правилом, суть которого им уже знакома по выполнению предыдущих двух заданий. Без сомнения, они согласятся с выводом Миши, но, как и в случае умножения на число 100, мы хотим предупредить о том, чтобы учащиеся ни в коем случае не употребляли фразы такого типа: «Разделить на число 100 – это значит отбросить справа в записи делимого две цифры 0» (отождествлять действие деления и процедуру отбрасывания цифр было бы ошибкой).

При выполнении задания 330 учащиеся смогут поупражняться в делении «круглых» сотен на число 100.

В задании 331 учащимся сначала предлагается сформулировать задачу на кратное сравнение по данной диаграмме. Из диаграммы понятно, что решением интересующей нас задачи будет являться частное 1100 : 100, значение которого легко найти с помощью изученного только что правила. Что касается сюжета возможной задачи, то он может быть любым.

В задании 332 предлагается с помощью деления выяснить, сколько получится порций, если 2 кг 500 г сметаны расфасовать на порции по 100 г. Вычисление ответа этой задачи может быть выполнено с помощью изученного только что правила.

В задании 333 учащимся предлагается сформулировать задачу по краткой записи. Анализ данной краткой записи показывает, что сформулированная задача должна быть простой задачей на уменьшение в 100 раз в косвенной форме. При вычислении ответа этой задачи нужно использовать изученное только что правило.

В задании 334 учащимся предлагается сформулировать задачу по данному решению. Вычисление ответа сформулированной задачи нужно выполнить с помощью применения изученного только что правила.

Тема: «Деление “круглых” тысяч на число 1000» (1 урок) Между данной темой и двумя предыдущими легко усматривается полная аналогия. Это позволяет нам построить изучение темы по той же схеме, по которой мы изучали предыдущие две темы.

При выполнении задания 335 учащиеся смогут еще раз повторить правило, с которым они познакомились при изучении темы «Увеличение и уменьшение в одно и то же число раз». После того как будет сделана соответствующая запись, можно обратить внимание учащихся на выполнение последнего действия (8000 : 1000 = 8).

Аналогично нужно поступить и с числом 3.

При выполнении задания 336 учащиеся еще раз смогут проследить выполнение следующей цепочки преобразований: число 2 увеличить в 1000 раз, а потом полученный результат уменьшить в раз и получить число 2.

В задании 337 учащимся сначала предлагается восстановить всю цепочку действий, связанную с увеличением и уменьшением в раз числа 16, причем двигаясь от числа 16 000 как к началу этой цепочки, так и к ее окончанию. После этого им предлагается познакомиться с правилом, суть которого уже знакома по выполнению предыдущих двух заданий. Без сомнения, учащиеся согласятся с выводом Миши, но, как и в случае умножения на число 1000, мы хотим предупредить о том, чтобы учащиеся ни в коем случае не употребляли фразы такого типа: «Разделить на число 1000 – значит отбросить справа в записи делимого три цифры 0» (отождествлять действие деления и процедуру отбрасывания цифр было бы ошибкой).

При выполнении задания 338 учащиеся смогут поупражняться в делении «круглых» сотен на число 1000.

В задании 339 учащимся сначала предлагается сформулировать задачу на кратное сравнение по данной диаграмме. Из диаграммы понятно, что решением интересующей нас задачи будет являться частное 11000 : 1000, значение которого легко найти с помощью изученного только что правила. Что касается сюжета возможной задачи, то он может быть любым.

В задании 340 предлагается рассматривать переход от массы, выраженной в граммах, к этой же массе, выраженной в килограммах, как результат уменьшения соответствующего числа в 1000 раз.

В этом случае сам переход в числовом выражении можно осуществить за счет деления данного числа граммов на число 1000. Результат будет получаться уже в килограммах.

В задании 341 учащимся предлагается с помощью деления выяснить, сколько зрителей посетили киносеанс в сельском клубе, если это число в 1000 раз меньше числа 45 000, которое показывает чисТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий ло зрителей, посетивших футбольный матч на городском стадионе.

Вычисление ответа этой задачи может быть выполнено устно с помощью изученного только что правила.

Тема: «Устное деление двузначного числа на однозначное»

(1 урок) При изучении темы учащиеся познакомятся со случаями деления двузначного числа на однозначное, которые выходят за рамки табличных случаев деления. Применение изученных ранее свойств деления позволит сделать процесс вычисления результата и в этих случаях настолько технически простым, что его можно выполнять устно.

При выполнении задания 342 предлагается вспомнить некоторые табличные случаи деления и, соответственно, обратить внимание на существование внетабличных случаев деления двузначного числа на однозначное.

При выполнении задания 343 учащиеся самостоятельно должны найти результат деления числа 70 на число 7. Для этого им достаточно правильно ответить на все поставленные вопросы.

В задании 344 предлагается найти значение каждого из данных частных, имеющих вид частного 70 : 7. Сделать это учащиеся смогут, если обратятся к результатам выполнения предыдущего задания и выполнят соответствующие обобщения.

В задании 345 учащимся предлагается привести пример частного, значение которого равно 10. Это может быть частное, взятое из предыдущего задания, но может быть частное, составленное учеником самостоятельно по аналогии.

В задании 346 число 90 можно рассматривать как 9 десятков, поэтому выполнение деления в этом случае можно трактовать как деление 9 дес. на 3 равные части, что позволяет получить 3 дес.

в качестве результата. Вся процедура может быть описана следующим образом: 90 : 3 = 9 дес. : 3 = 3 дес. = 30.

Можно рассмотреть еще один типичный случай внетабличного деления двузначного числа на однозначное. Он связан с делением «круглых» десятков на однозначное число, которое не равно числу десятков. Для выполнения деления в этом случае достаточно представить делимое в виде суммы «удобных» слагаемых и применить правило деления суммы на число с привлечением рассмотренных только что случаев деления.

10 + 10 + 10 = 30.

При выполнении задания 347 учащиеся смогут повторить прием вычисления значения частного на основе применения правила деления суммы на число. С этим приемом учащиеся уже познакомились при изучении темы «Деление суммы на число». В данный момент мы предлагаем им поупражняться в его применении для случая, когда делимое уже представлено в виде суммы «удобных»

слагаемых.

В задании 348 учащимся предлагается уже самостоятельно выполнить деление двузначного числа на однозначное, представив предварительно делимое в виде суммы «удобных» слагаемых. Выполнение предыдущего задания должно помочь им сделать правильное разбиение делимого на «удобные» слагаемые.

В задании 349 учащимся предлагается решить простую задачу на деление. Ответ этой задачи они вполне могут вычислить устно, так как этот случай деления двузначного числа на однозначное аналогичен случаям, с которыми они имели дело в предыдущем задании.

В задании 350 предлагается найти корень каждого из уравнений.

Так как все уравнения являются уравнениями с неизвестным множителем, то нахождение корня связано с выполнением действия деления.

При этом речь идет о делении двузначного числа на однозначное, которое учащиеся могут выполнить устно. Проверку можно выполнить либо столбиком, либо устно, либо с помощью калькулятора.

В задании 351 предлагается сформулировать задачу, решением которой будет выражение (44 + 28) : 6. При вычислении ответа сформулированной задачи нельзя сразу воспользоваться правилом деления суммы на число. Учащиеся должны сначала выполнить действие сложения, а уже потом действие деления, которое они могут выполнить устно.

Тема: «Устное деление двузначного числа на двузначное»

(1 урок) При изучении данной темы учащиеся познакомятся с еще одним приемом устного выполнения деления для двузначных чисел.

В задании 352 предлагается выполнить деление на двузначное число с помощью правила деления суммы на число и правила деления числа на само себя. После замены соответствующей суммы ее значением учащиеся получат возможность вести речь о разных случаях деления «круглого» двузначного числа на другое «круглое»

двузначное число.

При выполнении задания 353 учащиеся смогут продемонстрировать умение устно выполнять деление «круглого» двузначного числа Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий на «круглое» двузначное число на основе приема, о котором речь шла в предыдущем задании.

В задании 354 учащимся сначала предлагается ответить на вопросы, смысл которых состоит в том, чтобы подвести их к следующему выводу: при делении двузначного числа на двузначное число может получиться только однозначное число. Так как однозначных чисел не очень много, то поиск однозначного значения частного может быть выполнен простым перебором всех возможных значений с последующей их проверкой с помощью умножения. Умение правильно осуществлять такой подбор однозначного значения частного будет играть очень важную роль в дальнейшем, когда мы перейдем к изучению алгоритма письменного деления многозначных чисел.

При выполнении задания 355 учащиеся смогут убедиться в том, что перечень однозначных чисел, которые требуют проверки при поиске результата деления двузначного числа на двузначное может быть существенно ограничен за счет знания особенностей соответствующих табличных случаев умножения.

При выполнении задания 356 учащиеся смогут на примере деления числа 64 на число 4 и на число 16 установить связь между случаями деления двузначного числа на однозначное и на двузначное.

При выполнении задания 357 учащиеся смогут поупражняться в устном выполнении деления двузначного числа на двузначное методом подбора частного.

В задании 358 учащимся предлагается решить задачу на кратное сравнение, при вычислении ответа которой нужно выполнить деление двузначного числа на двузначное. Это деление учащиеся должны выполнить устно.

В задании 359 учащимся предлагается устно найти корень каждого из данных уравнений. Для этого они должны устно выполнить деление двузначного числа на двузначное.

В задании 360 предлагается сформулировать задачу, решением которой будет выражение (100 – 35) : 15. При вычислении ответа этой задачи от учащихся потребуется умение делить двузначное число на двузначное.

Тема: «Поупражняемся в устном выполнении деления и повторим пройденное»

В задании 361 учащимся сначала предлагается устно сделать прикидку, каким будет результат деления в каждом из предложенных случаев, а уже потом проверить правильность своих предположений с помощью проведения устных вычислений. При этом предлагается не только поупражняться в делении двузначного числа на однозначное, но и, применяя тот же прием, выполнить деление трехзначного числа на однозначное: (128 : 8 = (80 + 48) : 8 = 80 : 8 + 48 : 8 = = 10 + 6 = 16).

В задании 362 предлагается устно выполнить деление «круглого»

двузначного числа на однозначное. Сделать это учащиеся смогут, применив правило деления суммы на число.

В задании 363 учащимся предлагается устно выполнить деление «круглых» двузначных чисел на «круглые» двузначные числа.

При выполнении задания 364 учащиеся смогут поупражняться в подборе однозначного частного при делении двузначного числа на двузначное.

При выполнении заданий 365 и 366 они смогут поупражняться в выполнении сложения, вычитания и умножения столбиком. При этом учащиеся смогут еще повторить правило порядка выполнения действий в выражении со скобками.

В задании 367 предлагается решить задачу на кратное сравнение. При вычислении ответа этой задачи нужно выполнить деление двузначного числа на двузначное (96 : 16 = 6). Сюжет этой задачи специально выбран так, чтобы можно было провести пропедевтическую работу к рассмотрению понятия «скорость» и к существующей зависимости между пройденным путем, скоростью и временем.

При выполнении задания 368 учащиеся смогут вспомнить о существовании задач с недостающими данными и о способах получения этих недостающих данных.

В задании 369 учащимся предлагается сформулировать задачу, решением которой будет являться уравнение 15•х = 75. Такой задачей может быть, например: «В книжный магазин привезли несколько упаковок книг по 15 книг в каждой упаковке. Всего привезли 75 книг.

Сколько упаковок книг привезли в магазин?» При нахождении корня данного уравнения нужно устно выполнить деление двузначного числа на двузначное (75 : 15 = 5), 5 – корень уравнения.

Тема: «Построение симметричных фигур» (1 урок) Данной темой мы открываем блок тем геометрического характера.

Понятие симметричной фигуры учащимся уже хорошо знакомо (в 1 классе мы познакомили учащихся с существованием симметричных фигур). На данном этапе обучения мы покажем, как можно построить симметричную фигуру с помощью чертежных инструментов и с использованием бумаги в клетку. При этом учиться строить симметричную фигуру мы начнем с построения симмеТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий тричной точки. Для построения симметричных многоугольников это умение является определяющим.

В задании 370 учащимся предлагается назвать номера фигур, которые проведенная через них прямая делит на две симметричные части. Такими номерами будут 1 и 3. Фигура 2 проведенной прямой делится на две не только несимметричные, но и неравные части. На это обязательно следует обратить внимание учащихся.

При выполнении задания 371 учащиеся смогут познакомиться с характеристическим свойством точки, которая симметрична данной точке относительно данной прямой. Им предлагается критерий, следуя которому можно установить, будет ли точка Е симметрична точке А: отрезок, соединяющий симметричные точки (точки А и Е) будет пересекать данную прямую под прямым углом, а точка пересечения будет являться серединой этого отрезка.

В задании 372 учащимся предлагается самостоятельно воспользоваться тем критерием симметричности, с которым они познакомились в предыдущем задании.

В задании 373 учащимся предлагается начертить равнобедренный треугольник и провести в нем отрезок, который разбивает этот треугольник на две симметричные части (на два треугольника). Построение такого отрезка готовит учащихся к рассмотрению понятия «высота треугольника», о котором речь пойдет позже.

Для того чтобы завершить построение симметричной фигуры из задания 374, учащимся достаточно построить точки, которые будут симметричны данным вершинам многоугольника. Такое построение можно легко выполнить, если воспользоваться клетчатой основой листа бумаги, на котором и будут выполняться построения. После этого построенные точки нужно соединить соответствующими отрезками, и задача будет решена.

Для выполнения задания 375 учащиеся сначала должны понять, что центр искомого круга должен располагаться на данной прямой, причем в любой ее точке. После этого можно построить круг любого радиуса, и задача будет решена.

Для построения прямоугольника, симметричного относительно данной прямой в задании 376, учащиеся сначала должны построить пару точек, симметричных относительно этой прямой. После этого нужно построить еще одну пару симметричных точек, но так, чтобы расстояние между ними было таким же, как и для первой пары.

Соединив последовательно отрезками эти четыре точки, учащиеся и получат искомый прямоугольник.

При выполнении задания 377 рассуждения учащихся должны быть примерно такими: если произвольно выбрать 4 точки и для каждой из них построить симметричную точку, то имеющиеся 8 тоСоставление и разрезание фигур»

чек могут быть вершинами восьмиугольника, симметричного относительно данной прямой. Теперь остается последовательно соединить их отрезками, и задача будет решена.

Тема: «Составление и разрезание фигур» (1 урок) Значимость изучения тем этого блока объясняется двумя причинами. Во-первых, умение разрезать и составлять фигуры постоянно используется в нашем курсе при изучении вопросов, связанных с величиной «площадь»; во-вторых, указанное умение потребуется от учащихся в дальнейшем при изучении систематического курса геометрии в средней школе.

При выполнении задания 378 ученики будут составлять узор из данного набора фигур. Эта работа поможет им правильно понять смысл термина «равносоставленные фигуры», с которым им предстоит познакомиться в самое ближайшее время. Особое внимание нужно обратить на правильное понимание самой процедуры составления узора, которая должна заключаться в приложении одной фигуры к другой с условием, что общей для двух фигур может быть только часть их границы.

Выполнение задания 379 можно организовать в виде соревнования по составлению различных фигур из 9 одинаковых квадратов.

При этом требования к процедуре составления фигуры должны быть такими же, что и при выполнении предыдущего задания. Эта работа также готовит учащихся к изучению равносоставленных фигур.

При выполнении задания 380 учащиеся имеют возможность познакомиться с понятием «равносоставленные фигуры», но без введения соответствующего определения. Пока они должны опираться лишь на понятный им смысл слова «равносоставленный». С этой целью мы предлагаем им рассмотреть несколько геометрических фигур, которые составлены из других геометрических фигур. Установив пары фигур, которые составлены из одних и тех же фигур, учащиеся могут называть их равносоставленными. Но это еще совсем не означает, что фигуры, составленные из разных наборов фигур, равносоставленными не являются: для таких фигур мы просто не даем пока ответа относительно их равносоставленности. Ни в коем случае такие фигуры не следует называть неравносоставленными.

Критерий, позволяющий определять неравносоставленность фигур, будет дан позже. Он основан на сравнении площадей этих фигур. В данном задании равносоставленными являются два треугольника и прямоугольник, которые составлены из двух одинаковых треугольников, а также прямоугольник, параллелограмм Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий и равнобедренная трапеция (последние два термина для учителя), которые составлены из прямоугольной трапеции (термин для учителя) и треугольника.

В процессе выполнения задания 381 учащиеся на практической основе познакомятся с определением равносоставленных фигур.

В задании 382 предлагается составить один равносторонний треугольник из четырех одинаковых равносторонних треугольников.

Сделать это можно так, как показано на рис.1.

Задание 382 относится к заданиям повышенной сложности.

В нем речь идет о составлении квадрата из 8 одинаковых квадратов (без разрезания данных квадратов на части). Учащиеся самостоятельно на основе безрезультатных попыток решить эту задачу должны прийти к выводу, что сделать это нельзя. Для решения недостает, по крайней мере, еще одного квадрата. Это и есть то минимальное число квадратов, которое обеспечивает выполнимость данного в задаче требования. Если не говорить о минимальности, то можно было бы добавить и 8 квадратов, и 17 квадратов и т. д.

Решение задания 383 показано на рис. 2.

Задание 384 допускает два варианта решения. Оба они показаны на рис. 3.

В задании 385 учащимся уже предлагается решить задачу на разрезание фигуры. При этом, как правило, все разрезы, которые нужно будет делать при решении такого типа задач, должны выполняться по прямой линии. В отдельных случаях допускаются разрезы по ломаной линии или по кривой линии. В данном случае все типы разреза допустимы. Различные варианты решения данной задачи показаны на рис. 4. На каждом изображении точкой отмечен центр квадрата.

Задание 386 относится к заданиям повышенной сложности.

В нем учащимся предлагается разрезать прямоугольник со сторонами 4 см и 2 см на четыре части так, чтобы из них можно было бы составить квадрат. Решение этой задачи показано на рис. 5.

После выполнения нужных построений учащиеся должны ответить на вопрос о равносоставленности данного прямоугольника и построенного квадрата (ответ должен быть положительным), а также на вопрос о площади построенного квадрата. Так как площадь квадрата в данном случае нельзя вычислить по формуле (мы не знаем длину его стороны, а измерения могут дать только приблизительный результат), то учащиеся поставлены перед проблемой, как им найти другой способ получения ответа на данный вопрос.

Решение этой проблемы может заключаться в том, что прямоугольник и квадрат являются равносоставленными фигурами, что гарантирует равенство их площадей. Поэтому площадь квадрата равна площади прямоугольника, т. е. искомая площадь равна 8 кв. см.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий Решение задачи 387 показано на рис. 6.

Решение задачи 388 показано на рис. 7.

Решение задачи 389 показано на рис. 8.

Очевидно, что площадь «старого» квадрата в 2 раза больше площади «нового» квадрата.

Решение задачи 390 показано на рис. 9.

Для решения задачи 391 сначала нужно разрезать один из данных квадратов на 4 равнобедренных прямоугольных треугольника (см. задание 389), а потом воспользоваться решением предыдущей задачи. Очевидно, что площадь построенного квадрата в 2 раза больше площади первоначального.

Задание 392 относится к заданиям повышенной сложности. Его решение показано на рис. 10.

Тема: «Равносоставленные и равновеликие фигуры» (1 урок) Данная тема является логическим продолжением предыдущей темы.

В ней пойдет разговор о связи между понятиями «равносоставленные фигуры» и «равновеликие фигуры». При этом не следует забывать, что мы рассматриваем только плоские фигуры, и для них равновеликость означает равенство площадей. Между этими понятиями существует достаточно очевидная связь, с которой мы уже столкнулись при выполнении задания 386. Эта связь заключается в том, что равносоставленные фигуры являются равновеликими.

Обратная связь носит совсем не очевидный характер, и на нее мы при решении задач опираться не можем.

Примечание. В математике существует теорема Бойаи– Гервина, в которой говорится о том, что два простых равновеликих многоугольника будут и равносоставленными.

При выполнении задания 393 учащиеся в результате ответов на поставленные вопросы самостоятельно должны прийти к выводу, что любые две равносоставленные плоские фигуры являются и равновеликими.

Решение задания 394 показано на рис. 11.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий Прием доказательства равенства площадей двух фигур через их равносоставленность является очень важным: с его помощью выводятся все основные формулы для вычисления площадей различных видов многоугольников, чем учащимся предстоит заниматься в дальнейшем.

При выполнении задания 395 учащиеся не только смогут поупражняться в составлении прямоугольника из двух треугольников, но и еще раз сформулировать результат кратного сравнения между площадью прямоугольного треугольника и площадью соответствующего прямоугольника. Этот результат в дальнейшем будет реализован в формуле площади треугольника.

В задании 396 учащимся предлагается составить прямоугольник из двух данных прямоугольников. Это задание допускает два варианта решения, которые показаны на рис. 12.

Задание 397 относится к заданиям повышенной сложности. В нем требуется начертить треугольник, который равновелик данному прямоугольнику. Рассуждения учащихся в этом случае могут быть такими: из прямоугольника легко получить треугольник, площадь которого в 2 раза меньше, чем площадь прямоугольника (см. решение задачи 393). Если теперь данный прямоугольник заменить на прямоугольник, площадь которого в 2 раза больше (см. задание 396), то, применив к этому прямоугольнику прием получения треугольника с «половинной» площадью, можно утверждать, что он и будет искомым.

Задание 398 относится к заданиям повышенной сложности.

В нем учащимся предлагается назвать номера двух фигур, которые наверняка не являются равносоставленными. Для решения этого задания учащиеся интуитивно должны построить рассуждение по логическому закону контрапозиции: если площади фигур не равны, то они не являются равносоставленными. Легко видеть, что фигуры 1, 2 и 4 состоят из 8 одинаковых квадратов, а фигура 3 из 9 таких же квадратов. Это означает, что площадь фигуры 3 отличается от площадей остальных фигур, поэтому фигура 3 и любая другая из оставшихся фигур образуют пару фигур, которые не являются равносоставленными.

Тема: «Высота треугольника» (1 урок) В данной теме речь пойдет о таком важном элементе треугольника, как его высота. С помощью высоты и основания треугольника можно вычислить его площадь. Этот факт мы сейчас еще не будем использовать по прямому назначению, но соответствующую пропедевтическую работу вести будем.

В задании 399 предлагается проанализировать «реальную» ситуацию по измерению высоты собачей будки. Для нас важно в этом анализе не получаемый результат измерения, а то, как правильно расположить инструмент (например, линейку) для измерения этой высоты.

Ответом должен стать первый рисунок: для измерения высоты нужно располагать линейку под прямым углом к основанию будки.

При выполнении задания 400 учащиеся фактически смогут познакомиться с определением понятия «высота треугольника» для случая, когда высота располагается внутри треугольника. Для знакомства с настоящим определением высоты треугольника учащиеся должны обратиться к словарю.

В задании 401 мы знакомим учеников с другим характеристическим свойством высоты для случая остроугольного треугольника.

Высотой можно назвать проведенный в треугольнике отрезок, который разбивает его на два прямоугольных треугольника. Данный признак высоты можно применять при решении задач на разрезание и составление фигур.

В задании 402 предлагается провести все высоты в равностороннем треугольнике. Соображения симметрии позволяют легко установить, что в равностороннем треугольнике можно провести три высоты. Столько же высот можно провести в любом треугольнике, но пока об этом речь не идет, так как мы не рассматривали случаи, когда высота не находится внутри треугольника.

В задании 403 мы знакомим учащихся со случаем, когда сторона треугольника выполняет высоты к стороне изображенного прямоугольного треугольника.

При выполнении этого задания можно предложить учащимся рассмотреть и тот случай, когда высота лежит за пределами треугольника.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий Тема: «Считаем до 1000000 (повторение)» (1–2 урока) Данная тема открывает блок из пяти тем, при изучении которых учащиеся смогут выполнить краткое повторение всего изученного в этом учебном году материала. Начинаем мы с рассмотрения вопросов письменной и устной нумерации и сравнения чисел.

При выполнении задания 404 учащиеся в процессе заполнения таблицы смогут повторить знание нумерации чисел от однозначных до шестизначных, параллельно осуществляя их сравнение.

Таблица должна быть заполнена следующими числами: первая строчка: 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000; вторая строчка: 9, 99, 999, 9999, 99 999, 999 999. Как дополнение к этой таблице можно рассматривать запись числа 1 000 000, которое следует сразу за числом 999 999. Выполнить разностное и кратное сравнение указанных чисел учащиеся могут устно (если для выполнения вычитания потребуется запись в столбик, то это вполне допустимо).

Что касается случая деления на 10 000, то мы его отдельно не рассматривали, но, рассуждая по аналогии со случаями деления на число 10, на число 100, на число 1000, учащиеся вполне могут выполнить и деление на число 10 000. Последнее требование этого задания вновь возвращает учащихся к записи и названию числа 1 000 000.

Задание 405 посвящено записи в таблице разрядов и классов числа 1 000 000. Легко видеть, что для этого требуется таблица, состоящая по меньшей мере из семи разрядов, а следовательно, двух известных классов учащимся будет уже не достаточно. Нужно вводить в рассмотрение новый класс, который будет детально изучаться в следующем учебном году, а сейчас лишь в пропедевтическом плане можно познакомить учащихся с его названием – это класс миллионов.

Задание 406 относится к заданиям повышенной сложности. Это задание комбинаторного характера. При этом рассмотрение всех возможных комбинаций должно завершиться выбором оптимальной комбинации для данного условия, т. е. такой комбинации, которая представляет запись наибольшего шестизначного числа с привлечением всех данных цифр. Это будет число 654 321. Отыскать это число учащимся поможет знание принципа поразрядного сравнения чисел: в старшем разряде должна быть записана цифра, обозначающая наибольшее число из имеющихся вариантов; далее нужно следовать тому же принципу, но с учетом использования оставшихся цифр.

Задание 407 относится к заданиям повышенной сложности.

В нем предлагается записать самое маленькое из возможных шеДействия первой и второй ступеней (повторение)»

стизначных чисел при условии использования всех данных шести цифр. Если бы это была запись не числа, а некоторого шестизначного номера, то задача решалась бы очень просто. Нужно с точностью до наоборот следовать принципу, описанному в рекомендациях к предыдущему заданию. В итоге получился бы номер 012345.

Так как запись числа не может начинаться с цифры 0, то в приведенную запись нужно внести коррективы, поменяв местами первую и вторую цифры. В итоге должна получиться следующая запись: 102345. Любой другой вариант расположения цифр приведет к записи числа, которое будет больше указанного. В этом не так уж трудно убедиться.

Задание 408 относится к заданиям повышенной сложности. Ответом к этому заданию являются следующие пары чисел: 10 000 и 9 999, 10 000 и 9 998, 10 001 и 9 999, 10 000 и 9 997, 10 001 и 9 998, 10 002 и 9 999. Итак, получилось шесть пар чисел (1 + 2 + 3 = 6).

В задании 409 предлагается продолжить данный ряд чисел еще тремя числами, сохраняя имеющуюся закономерность. Ответом к заданию будут следующие ряды чисел: 1) 1, 12, 123, 1 234, 12 345, 123 456; 2) 55 555, 4 444, 333, 22, 1; 3) 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000, 1 000 000; 4) 1, 20, 300, 4 000, 50 000, 600 000.

Тема: «Действия первой и второй ступеней (повторение)»

(1–2 урока) При рассмотрении данной темы учащиеся не только смогут повторить способы выполнения всех четырех арифметических действий, но и правила порядка выполнения действий в выражениях со скобками и без скобок.

При выполнении задания 410 учащиеся поупражняются в выполнении столбиком сложения, вычитания и умножения, а также вспомнят правила порядка выполнения действий в выражениях без скобок и со скобками. При этом, выполняя умножение во втором выражении, нужно сначала применить переместительное свойство умножения, а уже потом производить вычисления в строчку или в столбик.

В задании 411 предлагается поработать с расстановкой скобок в данном выражении для достижения нужного результата. Искомый вариант выглядит так: (5•16 – 80) : 10.

В задании 412 предлагается отбросить некоторые скобки, не изменив значения данного выражения. Идея этого задания заключается в том, чтобы учащиеся научились видеть в выражении со Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий скобками те скобки, которые дублируют существующие правила порядка выполнения действий, а поэтому могут быть безболезненно отброшены. В данном случае речь идет о первых двух скобках.

Данное выражение примет вид: 15•4 + 72 : 4 – 65 – 34). Его значением останется число 47.

При выполнении задания 413 от учащихся потребуется не только знание того, какие действия относятся к действиям первой и второй ступеней, но и элемент математического творчества. Проблема может возникнуть с выполнением действия деления, если кто-то выберет его в качестве действия второй ступени.

В этом случае может потребоваться помощь учителя. Чтобы этого избежать, можно заранее предупредить учащихся, что они сами должны уметь находить значение выражения, которое ими будет составлено. Если же будет выбрано действие умножения, то учащиеся должны самостоятельно справиться с вычислением значения такого выражения.

Задание 414 развивает идею предыдущего задания, создавая для учащихся более жесткие рамки для творчества. Примером интересующего нас выражения может быть следующее выражение:

(22 + 33)•(489 – 488).

В задании 415 требуется привести пример выражения, в котором можно заменить действие умножения на действие деления, не изменив при этом значения выражения. Таким примером может служить выражение, которое мы привели в качестве примера в методических рекомендациях к предыдущему заданию.

Задание 416 напоминает учащимся о существовании выражений, не имеющих числового значения. Связано это с вопросом невозможности деления на число 0. По этой причине второе выражение не будет иметь числового значения. В первом же выражении мы столкнемся со случаем деления числа 0 на натуральное число, что в результате дает число 0.

Ответом к заданию 417 будет, например, выражение 500 000 + 500 000 – 1.

Ответом к заданию 418 будет, например, выражение 25689•0: или 0 : 356•58 231.

Ответом к заданию 419 будет, например, выражение 500 : (700 – 200).

В задании 420 учащимся предлагается сравнить значения двух выражений. После проведения вычислений столбиком учащиеся должны получить следующие результаты:

958 714 – (43 625 – 7 896) = 922 985 и 4 273•25 = 106 825. Таким образом, можно составить верное неравенство:

958714 – (43 625 – 7 896) > 4 273•25.

Тема: «Измеряем. Вычисляем. Сравниваем (повторение)»

(1–2 урока) При изучении данной темы учащиеся смогут кратко повторить вопросы, связанные с измерением и вычислением изученных ранее величин.

При выполнении задания 421 учащиеся смогут повторить вопросы, связанные с вычислением периметра и площади прямоугольника.

Задание 422 имеет цель напомнить учащимся о существовании прямоугольников с одинаковым периметром, но разной площадью.

Задание 423 имеет цель напомнить учащимся о существовании прямоугольников с одинаковой площадью, но разными периметрами.

При выполнении задания 424 учащиеся смогут поупражняться в измерении площади фигуры с помощью палетки.

В задании 425 мы напоминаем учащимся о возможности сравнения углов по величине с помощью циферблата часов. В этом случае циферблат заменяет транспортир.

При выполнении задания 426 учащиеся не только смогут повторить процедуру кратного сравнения расстояний и поупражняться в делении на число 100, но и получить первые уроки оперирования с величиной «скорость».

В задании 427 предлагается выполнить разностное сравнение площадей закрашенных фигур при условии, что оба круга имеют одинаковые радиусы. Для решения этого задания учащиеся должны выполнить следующие рассуждения: так как радиусы кругов равны, то равны и сами круги, а значит, они имеют одинаковую площадь; площадь прямоугольника внутри первого круга равна 8 кв. см, а площадь квадрата внутри второго круга – 9 кв. см; так как из первого круга изъяли фигуру меньшей площади (меньше на 1 кв. см), чем из второго, то оставшаяся часть первого круга имеет большую площадь (больше на 1 кв. см), чем оставшаяся часть второго круга.

В задании 428 предлагается произвести взвешивание товара (яблок) по иллюстрации. Учитывая, что пустая чаша весит 300 г, масса яблок на первом рисунке 1 кг 700 г, а на втором – ровно 2 кг.

Тема: «Геометрия на бумаге в клетку (повторение)»

(1–2 урока) Учащиеся смогут повторить основные вопросы геометрического содержания, включенные в программу 3 класса. При этом для решения всех предлагаемых заданий в той или иной мере будет исТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий пользоваться специфика бумаги в клетку, на которой и будут выполнены все иллюстрации.

В задании 429 предлагается вспомнить различные виды треугольников. Необходимые для этого сравнения углов по величине и сторон по длине можно сделать с помощью клеток.

Примером построения треугольника из задания 430 может служить треугольник под номером 3 из предыдущего задания.

В задании 431 предлагается построить по клеткам изображение куба. Для этого учащиеся должны сначала построить два одинаковых квадрата, которые несколько смещены относительно друг друга (это изображения передней и задней граней куба). После этого останется только соединить отрезками соответствующие вершины квадратов.

В задании 432 предлагается воспользоваться бумагой в клетку для построения симметричных точек. Построив точки, симметричные данным, учащиеся могут соединить их отрезками таким образом, чтобы получился восьмиугольник, симметричный данной прямой.

В задании 433 учащимся предлагается вычислить площадь данной фигуры в квадратных сантиметрах. И в этом случае они могут использовать тот факт, что фигура начерчена по клеткам. Посчитав число клеток, из которых состоит данная фигура, учащиеся могут разделить это число на 4 (4 клетки имеют площадь 1 кв. см) и получить площадь данной фигуры, которая будет выражена в квадратных сантиметрах.

В задании 434 требуется построить равнобедренный треугольник с основанием 6 см и высотой 4 см. Если вспомнить, что высота равнобедренного треугольника соединяет середину основания с вершиной, то построить искомый треугольник на бумаге в клетку не составляет особого труда. Для этого сначала нужно построить по клеткам основание, а потом из его середины под прямым углом по клеткам провести высоту. В итоге все три вершины треугольника будут построены. Останется только их соединить отрезками.

В задании 435 требуется построить прямоугольник с площадью 12 кв. см. Учащиеся могут сначала подобрать нужные размеры прямоугольника (например, 6 см и 2 см), а потом построить прямоугольник по этим размерам. Возможен и другой путь. Можно непосредственно «набирать» нужную площадь в 12 кв. см, учитывая, что квадрат из четырех клеток имеет площадь 1 кв. см.

Задание 436 можно легко выполнить, если воспользоваться результатами выполнения предыдущего задания (построенный прямоугольник с площадью 12 кв. см) и фактом, что прямоугольник можно разбить на два одинаковых прямоугольных треугольника.

Если это проделать с построенным ранее прямоугольником, то «Как мы научились формулировать и решать задачи (повторение)»

площадь одного прямоугольного треугольника как раз и будет равна 6 кв. см.

Тема: «Как мы научились формулировать и решать задачи (повторение)» (1–2 урока) При выполнении задания 437 учащиеся смогут повторить не только краткую запись задачи в виде таблицы, но и подходы к решению составных задач. А также случаи задания отношения «больше на …»

(«старше на …») в прямой и косвенной форме.

В задании 438 учащимся предлагается сформулировать три задачи на разностное сравнение, используя данные из таблицы.

В результате предлагаемой работы они смогут не только повторить особенности формулировки задачи на разностное сравнение, но и поупражняться в вычитании столбиком, а также получат интересные сведения из географии нашей страны.

В задании 439 учащимся сначала предлагается составить краткую запись к данной задаче. Сделать это они могут по образцу краткой записи из предыдущего задания. После этого решение задачи можно найти без особого труда.

Задание 440 относится к заданиям повышенной сложности. При его выполнении мы предлагаем учащимся обратить внимание на тот факт, что знание возраста в полных годах еще не является достаточной информацией для определения года рождения человека.

Для этого нужно еще знать, прошел ли уже у этого человека день рождения в текущем году. Если день рождения уже прошел, то из текущего года нужно вычитать данный возраст, а если еще не прошел, то вычитать нужно данный возраст и еще 1 год.

Задание 441 относится к заданиям повышенной сложности. При его выполнении учащиеся смогут продемонстрировать свои умения по поиску рационального пути решения. Дело в том, что для решения этой задачи можно предложить учащимся дополнить условие конкретными данными о массе яблок и груш с условием, что яблок на 7 кг больше, чем груш. После этого вычисляется «новая» масса яблок и «новая» масса груш и проводится их разностное сравнение.

Но возможен и другой вариант решения. Сначала можно найти то число килограммов, на которое изменилась разность между количеством яблок и количеством груш (6 кг – 4 кг = 2кг). Итак, на 2 кг эта разность изменилась, а так как груш съели больше, то это означает, что существующая разность на эти 2 кг еще увеличилась. Таким образом, ответом на данное требование будет величина в 9 кг (7 кг + 2 кг = 9 кг).

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий В задании 442 учащимся предлагается поупражняться в формулировании задачи по данному решению. Особенностью предложенного выражения является то, что его значение равно 0. Если учащиеся сформулируют задачу на разностное сравнение, то в ответе они должны написать, что сравниваемые числа или величины равны. Приведем пример формулировки возможной задачи:

«В одном зрительном зале стояло 10 рядов по 12 стульев в каждом ряду, а в другом – 8 рядов по 15 стульев в каждом ряду. На сколько больше стульев стояло в первом зале, чем во втором?»

В задании 443 предлагается сформулировать три задачи на кратное сравнение, получив необходимые данные из диаграммы. Из диаграммы учащиеся могут получить данные, которые выражены числами 15, 45, 90. Любая пара этих данных допускает кратное сравнение, причем выполнить его можно, используя устные приемы деления двузначного числа на двузначное. Сюжет задач может быть любым. Здесь мы никак не ограничиваем фантазию учащихся.

Задание 444 относится к заданиям повышенной сложности. Решение этой задачи перекликается с решением задания 441. Так как с капустой пирожков изначально было больше на 5 (30 – 25 = 5), да еще их съели на 2 меньше, то эта разность увеличилась на 2 и составила 7 пирожков (5 + 2 = 7).

Тема: «Числовые последовательности» (1 урок) Задания данной темы возвращают учащихся к рассмотрению вопросов, связанных с числовыми последовательностями.

В задании 445 предлагается записать первые пять чисел последовательности, которая начинается с числа 64 и каждое следующее число в ней в 2 раза меньше, чем предыдущее. Этими числами будут следующие: 64, 32, 16, 8, 4. Если учащимся будет интересно продолжить этот ряд чисел, то дополнить его они смогут лишь еще двумя числами (2 и 1), так как нахождение последующего числа потребует от них умения делить число 1 на число 2, что они еще делать не умеют.

Для того чтобы ответить на вопросы задания 446, учащиеся сначала должны вычислить и записать несколько первых чисел данной последовательности, пока им не станет понятно, чем отличаются эти числа от других, не являющихся членами данной последовательности. Искомыми числами являются числа 6, 16, 26, 36, 46, 56 и т. д. Уже на этом этапе вычисления понятно, что число 46 является членом данной последовательности, а число 50 – нет.

В задании 447 предлагается определить первое число данной последовательности, если известно второе число этой последовательРабота с данными»

ности (15) и правило, согласно которому каждое следующее число на 9 больше, чем предыдущее. Так как второе число данной последовательности на 9 больше, чем первое, то, соответственно, первое на 9 меньше, чем второе. Итак, первое число равно 6 (15 – 9 = 6), а первые четыре числа этой последовательности – числа 6, 15, 24, 33.

Задание 448 относится к заданиям повышенной сложности. Искомыми числами являются числа 29, 22 и 15. Если учащиеся начнут свой выбор с числа 27 (а тем более с числа 22), то они не смогут набрать три числа с указанным свойством. Если продолжить вычисление членов этой последовательности, то получится 5 таких чисел: 29, 22, 15, 8, 1.

Тема: «Работа с данными» (1–2 урока) Тема имеет прямое отношение к той содержательной линии нашего курса, которую мы назвали информационной. Изучение данной темы предполагает проведение целенаправленной работы с данными в ситуации, когда эта работа является основной, а не сопутствующей. В дальнейшем мы периодически будем обязательно обращаться к изучению аналогичных тем. Предлагаемые задания могут быть использованы как дополнительные на разных уроках, так и при проведении тематического урока, построенного на этих заданиях. Их можно также использовать в качестве домашних заданий исследовательского характера.

Задание 449 направлено на то, чтобы научить учащихся сопоставлять две формы представления данных – табличную и диаграммную. Умение строить диаграммы, получая данные из таблицы, имеет важное практическое значение, поэтому мы этому вопросу уделяем пристальное внимание.

Выполняя задание 450, учащиеся не только смогут поупражняться в использовании таблицы и диаграммы для получения ответов на поставленные вопросы, но и на собственном опыте узнают о преимуществах и недостатках этих двух форм представления данных (так, диаграмма позволяет быстро сравнить количественные показатели, но она же, в отличие от таблицы, делает эти показатели «обезличенными»).

В задании 451 учащимся предлагается составить таблицу по данным из таблицы задания 449. Эта новая таблица уже носит «обезличенный» характер, и она по своей сути гораздо ближе к диаграмме, чем к исходной таблице.

В задании 452 предлагается сопоставить данную диаграмму и таблицу из задания 449. Такое сопоставление должно привести Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий учащихся к мысли, что на диаграмме представлено число отличников (4), число учеников, обучающихся на «хорошо» и «отлично» (12), и число учеников, имеющих «тройки» (7).

Словарь В данном приложении содержится фрагмент толкового словаря математических терминов. Перечень терминов, которые включены в это приложение, определяется программным материалом второй части учебника, а также значимостью и сложностью соответствующих понятий. Работа со словарем уже хорошо знакома учащимся, и мы продолжаем ее проводить. Те задания, при выполнении которых имеет смысл обратиться к данному словарю, обозначения не имеют, но в тексте самих заданий есть специальное указание на использование соответствующей статьи словаря. Мы совсем не исключаем, что некоторые учащиеся ознакомятся с содержанием словаря еще до того момента, когда соответствующая информация им потребуется. Такой познавательный интерес учащихся можно только поощрять, но считать такой подход обязательным нецелесообразно.

Приложение 1. Геометрические фигуры и геометрические величины В данное приложение мы включили разнообразные задания геометрического характера, которые можно использовать отдельно на соответствующих уроках, а можно на этом материале построить специальный урок, нацеленный на более глубокое изучение предложенных геометрических вопросов.

В процессе выполнения задания 1 учащиеся не только познакомятся со способом обозначения треугольников (многоугольников), но и смогут поупражняться в использовании чертежного угольника для отыскания прямого угла.

В задании 2 учащимся предлагается начертить два прямоугольных равнобедренных треугольника, из которых затем можно будет составить прямоугольный треугольник. Начать решение этой задачи следует с построения некоторого (произвольного) прямоугольного равнобедренного треугольника. Такое построение легко осуществить, если сначала построить прямой угол, а потом на его сторонах отложить от вершины равные отрезки. Соединив концы отложенных отрезков, мы и получим искомый треугольник. Каким же должен быть второй треугольник? Для ответа на этот вопрос учащиеся должны понимать, что из двух одинаковых прямоугольных треугольников можно легко составить треугольник (соответствующую задачу они уже решали). Поэтому второй треугольник имеет смысл взять равным первому.

Есть и другой путь, позволяющий учащимся прийти к аналогичному выводу: можно начертить квадрат и провести в нем диагонали, после чего учащиеся самостоятельно могут установить, что все треугольники на этом чертеже являются прямоугольными и равнобедренными и что из двух «маленьких» треугольников состоит один «большой».

Решение задания 3 основано на умении выполнять измерения с помощью линейки и на основе этих измерений делать соответствующие выводы. Так как размеры первого прямоугольника 7 см на 4 см, а второго – 6 см на 2 см, то не составляет особого труда установить, что второй прямоугольник легко помещается внутри первого. Для этого их нужно лишь одинаково расположить (например, горизонтально).

Задание 4 относится к заданиям повышенной трудности. Особенность этого задания заключается в том, что построение моделей искомых четырех треугольников должно осуществляться не на плоскости (в этом случае задача не имеет решения), а в пространстве. Соединив шесть одинаковых палочек таким образом, чтобы получить каркасную модель правильного тетраэдра (правильной треугольной пирамиды), учащиеся получат искомые каркасные модели четырех треугольников (это будут грани модели тетраэдра).

В задании 5 учащимся предлагается проверить свой глазомер.

При выполнении этого задания может быть организовано соревнование «Лучший измеритель» (парное, групповое или для всего класса). Для проверки правильности высказанных предположений (измерений на глаз) следует провести соответствующие измерения с помощью рулетки, которые могут проводить два подготовленных для этого ученика.

Приложение 2. Сделай сам В приложении мы предлагаем учащимся самостоятельно сделать палетку. Необходимые указания для этого даны в тексте приложения. Обращаем внимание на то, что предлагаемый вариант палетки с записью соответствующих чисел в квадратах палетки имеет смысл использовать при измерении площади прямоугольников, длины сторон которых выражены целым числом сантиметров. При Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий изготовлении такой палетки можно предложить учащимся найти закономерность расположения данных чисел. Желательно, чтобы они увидели, что в каждой строчке этой таблицы-палетки записаны значения произведений из соответствующего столбика таблицы умножения. Это совсем не случайно, так как площадь прямоугольника и вычисляется с помощью действия умножения. В этом приложении мы также предлагаем задания на применение сделанного инструмента.

Приложение 3. Затруднительные положения В данном приложении, как и ранее, мы предлагаем учащимся и учителям познакомиться с фрагментами некоторых старинных учебных книг. Эти фрагменты, как правило, тематически связаны с содержанием учебника либо представляют интерес в плане развития математических способностей учащихся.

Книга Н.Н. Аменицкого и И.П. Сахарова «Забавная арифметика» учащимся знакома. Мы уже использовали ранее фрагменты из этой книги. В данном случае мы хотим предложить еще несколько заданий занимательного плана.

Решением задания 1 будет следующая очередность действий:

1) мужичок перевозит козу и возвращается; 2) мужичок перевозит волка, а возвращается с козой; 3) мужичок перевозит капусту и возвращается; 4) мужичок перевозит козу.

Решить задание 2 можно следующим образом. Сначала товарный поезд отцепляет на главном пути 10 вагонов, а остальные 40 вагонов увозит на запасной путь. Далее пассажирский поезд проталкивает 10 вагонов вперед, а товарный поезд задним ходом возвращается на основной путь с 40 своими вагонами, но уже за пассажирским поездом. После этого пассажирский поезд задним ходом возвращается к запасной ветке вместе с 10 вагонами товарного поезда и заталкивает их на запасную ветку. Теперь путь для пассажирского поезда свободен.

Приложение 4. Волшебная таблица Данное задание также взято из книги Н.Н. Аменицкого, И.П. Сахарова «Забавная арифметика».