[ «МАТЕМАТИКА 3 КЛАСС Методическое пособие Под редакцией Р.Г. Чураковой МосКвА АКАдЕМКНИГА/УЧЕбНИК 2012 УДК 51(072.2) ББК 74.262.21 Ч-37 Чекин А.Л. Математика [Текст] : 3 кл. : Методическое пособие / Ч-37 А.Л. Чекин; под. ...»
Искомые на таких диаграммах изобразить нельзя. В современных условиях диаграммы сравнения используются очень широко и массово. Этот факт может служить еще одной веской причиной включения диаграмм сравнения в перечень графических конструкций, с которыми имеет смысл познакомить учащихся.
При выполнении задания 387 происходит знакомство учащихся с диаграммой сравнения. Вся подготовительная работа уже проведена при изучении предыдущей темы, поэтому смысл такой диаграммы ученики уже могут установить самостоятельно. Учитель обязательно должен подчеркнуть, что с помощью диаграммы мы изображаем данные, которые содержаться в условии задачи. О требовании задачи в диаграмме речь не идет. Но если данная задача является задачей на разностное сравнение или на кратное сравнение, то с помощью диаграммы можно легко находить ответ этой задачи.
Дополнительную информацию о диаграммах учащиеся могут получить из словаря (с. 148 учебника).
В задании 388 предлагается изобразить данные с помощью диаграммы. Для построения диаграммы учащиеся должны ориентироваться на образец, представленный в задании 387. Принципиальное отличие этой диаграммы будет заключаться в том, что она будет состоять из трех полос. Этот факт следует обсудить с учениками еще до построения самой диаграммы. Не следует забывать и о выборе единичного отрезка на числовом луче. Такой выбор должен быть согласован с длиной полос. Если допустить, что отрезок «в одну клеточку» изображает длину в 1 м, то все три длины, указанные в условии задачи, можно изобразить с помощью полос, которые легко размещаются на тетрадном листе.
При выполнении задания 389 дети учатся изображать с помощью диаграммы отношение между данными. Чтобы показать, что в одном мешке зерна в 2 раза больше, чем в другом, достаточно начертить две полосы, одна из которых в 2 раза длиннее другой.
Никаких единичных отрезков обозначать не нужно.
В задании 390 предлагается с помощью диаграммы узнать, во сколько раз собака тяжелее кошки. При этом никаких абсолютных Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий значений массы собаки и массы кошки из диаграммы узнать нельзя (это сделано специально), но ответить на вопрос задания можно.
Для этого достаточно провести кратное сравнение длин данных полос (см. задание 385). Для удобства выполнения этого задания на числовом луче отмечены отрезки одинаковой длины, с помощью которых можно выполнить необходимые измерения.
На диаграмме из задания 391 представлены данные не только в плане их кратного отношения, но и в абсолютных значениях. Поэтому по этой диаграмме можно восстановить конкретные числовые данные, а уже для них выполнить разностное и кратное сравнение.
Тема: «Диаграмма и решение задач» (1–2 урока) В данной теме мы познакомим учащихся с возможностями диаграмм в плане решения задач. Главным образом, речь пойдет о простых задачах на умножение и деление. Именно для решения таких задач, а также для задач на разностное сравнение, имеет смысл использовать диаграммы сравнения (столбчатые или полосчатые).
При изучении предыдущей темы мы уже познакомили учащихся с тем, как можно использовать диаграммы при решении некоторых типов задач, а сейчас проведем целенаправленную работу.
При выполнении задания 392 еще раз обращаем внимание учащихся на то, как на диаграммах сравнения изображается отношение «в несколько раз больше», а также на то, что в зависимости от расположения числовой оси различают два вида диаграмм сравнения: полосчатые и столбчатые. Для представления соответствующих величин (чисел) сначала удобнее изобразить меньшую величину (10 мешков свеклы), а уже потом большую (в 3 раза больше) с помощью полоски, длина которой находится в этом же отношении с длиной первой полоски. Диаграмма позволяет найти ответ данной задачи без вычислений. Проверку правильности отыскания ответа с помощью диаграммы можно осуществить с помощью арифметического решения этой задачи.
При выполнении задания 393 мы еще раз обращаем внимание учащихся на кратное сравнение, о котором речь шла в заданиях и 390.
В задании 394 предлагается построить диаграмму к условию данной задачи. При этом дается четкое указание на то, что начинать построение имеет смысл с меньшей величины. После того как диаграмма будет построена, найти ответ с ее помощью уже не составит особого труда. Арифметическое решение задачи можно рассматриУчимся решать задачи»
вать как проверку правильности нахождения ответа с помощью диаграммы.
В задании 395 предлагается составить задачу по данной диаграмме. Прежде всего учащиеся должны «прочитать» диаграмму и понять, о каких данных идет речь. После этого можно выбрать такой сюжет задачи, чтобы он соответствовал этим данным. На заключительной стадии составления задачи нужно сформулировать требование. Скорее всего, это будет требование задачи на кратное сравнение или задачи на разностное сравнение.
В задании 396 предлагается с помощью диаграммы восстановить условие задачи на кратное сравнение. Работа может быть выполнена по той же схеме, что и при решении предыдущего задания, только требование этой задачи уже определено. Обязательной составляющей таких заданий мы считаем работу по решению задачи арифметическим способом и по нахождению ответа с помощью диаграммы.
Тема: «Учимся решать задачи»
В данной теме мы предлагаем задания по обучению решению задач с использованием диаграмм. По этой теме может быть организован и проведен отдельный урок, но можно использовать данные задания и фрагментарно на других уроках.
В задании 397 предлагается установить соответствие между данной диаграммой и некоторыми задачами из списка. Такими задачами будут задачи 1, 2 и 4. Эти задачи учащиеся должны решить, а также найти ответ каждой задачи с помощью диаграммы.
В задании 398 предлагается установить соответствие между данной задачей и одной из представленных диаграмм. Такой диаграммой будет диаграмма «в»). Чтобы это установить, достаточно убедиться в том, что на диаграмме изображена величина со значением 900 и что меньшая полоска укладывается в большей полоске 9 раз.
Ответ задачи нужно найти с помощью диаграммы. При этом предлагаемая задача играет важную роль и сама по себе: в сюжете этой задачи дается пропедевтика понятия «скорость», с которым учащиеся столкнутся в программе 4 класса.
В задании 399 учащимся уже предлагается самостоятельно построить диаграмму по условию данной задачи. Начинать построение такой диаграммы имеет смысл с изображения меньшей величины (2 ведра), а уже потом изобразить большую величину (20 ведер).
В качестве единичного отрезка имеет смысл выбрать отрезок «в одну клеточку». С помощью построенной диаграммы можно легко найти Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий ответ данной задачи, но этот ответ можно вычислить, если решить эту задачу арифметическим способом. Совпадение полученных ответов можно рассматривать как некоторую гарантию (но не 100%) получения правильного ответа.
В задании 400 предлагается составить задачу на разностное сравнение, условие которой иллюстрирует диаграмма. Начинать выполнение этого задания следует с прочтения данной диаграммы на предмет установления тех данных, которые изображены на этой диаграмме. После этого можно выбрать соответствующий сюжет задачи. Что же касается требования, то оно известно заранее. При выполнении этого задания может быть организована парная работа, если в то же самое время соседу по парте будет предложено составить по этой же диаграмме задачу не на разностное, а на кратное сравнение. После составления этих задач учащиеся могут провести их сравнительный анализ. Этот анализ может касаться как формулировок, так и решений.
Тема: «Как сравнить углы» (1 урок) Данная тема открывает новый блок тем, в которых рассматриваются вопросы геометрического характера. В этой теме речь пойдет о сравнении углов по величине. С понятием «угол» учащиеся познакомились еще в первом полугодии 2 класса. Они также знают о существовании прямых, острых и тупых углов.
Теперь им предстоит научиться сравнивать углы пока еще без их измерения.
В задании 401 предлагается сравнить данные углы на глаз. Самым маленьким из них является угол под номером 1, а самым большим – угол под номером 3.
В задании 402 предлагается так расположить равные углы, чтобы их стороны не пересекались. Показать это расположение удобно с помощью бумажных моделей углов, которые можно заготовить заранее. Само интересующее нас расположение углов изображено на правом рисунке к заданию 406.
Цель задания 403 – показать учащимся такое расположение углов, при котором можно легко эти углы сравнить по величине.
Таким расположением является расположение углов, показанное на правом рисунке.
В задании 404 от учащихся требуется описать словами такое расположение углов, о котором речь шла при выполнении предыдущего задания. Обязательно нужно добиться того, чтобы они сказали о совмещении вершин данных углов и о совмещении стороны одного угла со стороной другого. Кроме этого, внутренние области углов должны накладываться друг на друга.
Для выполнения задания 405 учащиеся должны ответить на два вопроса: можно ли больший угол расположить внутри меньшего и можно ли расположить меньший угол внутри большего? Ответ на второй вопрос достаточно очевиден. Он будет положительным. Это легко подтвердить разнообразными примерами. Ответ на первый вопрос не так очевиден, но после различных манипуляций с моделями углов учащиеся смогут получить ответ и на него. Этот ответ будет отрицательным. Наиболее интересный случай возникает, когда углы равны. Этот случай мы рассмотрели при выполнении задания 402. К нему мы еще вернемся и при выполнении следующего задания.
В задании 406 учащимся для сравнения предлагаются пары углов с соответственно параллельными сторонами. Эти углы равны, но для учащихся такой факт, естественно, еще неизвестен. Поэтому равенство данных углов в каждой паре они могут установить только с помощью соответствующих моделей. Можно, конечно, предложить учащимся представить, что один из углов перемещается относительно другого, сохраняя направления сторон (другими словами, речь идет о параллельном переносе одного из углов). Тогда они сами могут прийти к выводу, что данные углы можно совместить, а значит, они равны.
Тема: «Как измерить угол» (1 урок) Тема является логическим продолжением предыдущей. Вопрос сравнения углов мы переводим теперь в область измерения. Сама процедура измерения углов принципиально ничем не отличается от процедуры измерения других величин. Для ее реализации нужно выбрать некоторую единицу, которую мы и будем «укладывать»
в измеряемой величине. Сначала эта единица выбирается произвольно, а потом мы должны рассмотреть стандартную единицу. Для измерения углов мы ограничимся только произвольной единицей.
Что же касается использования стандартной единицы – градуса, то об этом учащиеся могут прочитать в словаре (с. 148 учебника).
При выполнении задания 407 учащиеся могут познакомиться с ситуацией, когда с помощью одной и той же мерки (углалепестка») фактически измерены разные углы. Это позволяет сравнить углы по величине. Мы специально представили ситуацию таким образом, что измеряемые углы построены из угла-мерки ее повторением заданное число раз.
Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий Смоделировать ситуацию, когда для данных углов подбирается угол-мерка, которая укладывается в каждом из данных углов целое число раз, не представляется возможным. Но даже такая искусственно сконструированная ситуация дает полное представление о процессе измерения углов произвольной меркой.
В задании 408 учащимся предлагается начертить прямой угол, а потом измерить его с помощью модели угла-«лепестка». Эта мерка специально имеет такую величину (15°), которая укладывается в прямом угле целое число раз (6 раз).
В задании 409 предлагается измерить данные углы с помощью новой мерки. Сейчас роль мерки будет исполнять угол 1, изображенный на рисунке слева. Два других рисунка позволяют легко установить, сколько раз угол 1 укладывается в каждом из этих двух углов. При выполнении этого задания учащиеся также знакомятся с новым видом записи, в которой участвует символ, обозначающий угол.
При выполнении задания 410 учащиеся на практике смогут убедиться, что два острых угла прямоугольного треугольника в сумме равны прямому углу. Для большей убедительности можно предложить учащимся проделать аналогичные построения с угольником, у которого острые углы имеют величину 30 и 60°.
Тема: «Поупражняемся в измерении и сравнении углов»
Предлагаем подборку заданий для закрепления и повторения материала последних двух тем.
В задании 411 понятие угла мы связываем с углом поворота минутной стрелки на циферблате часов. Использование циферблата часов для сравнения и измерения углов позволяет сделать эти процедуры достаточно понятными и легко выполнимыми. Сначала мы проводим работу с прямым углом. Ему соответствует временной промежуток в 15 минут. Показан прямой угол на рисунках 1 и 3.
Далее мы переходим к рассмотрению острых углов. Таким углам соответствуют временные промежутки, которые меньше 15 минут.
Показаны острые углы на рисунках 2 и 6. Следующая часть задания посвящена тупым углам. Им соответствуют временные промежутки, которые больше 15 минут. Показаны тупые углы рисунках на Выбрать теперь самый большой и самый маленький углы учащимся не составит особого труда. Опираться они могут на сравнение соответствующих временных промежутков. Для указанных временных промежутков можно выполнить и кратное сравнение.
Другими словами, можно измерить данные временные промежутки с помощью 5-минутного временного промежутка. Полученные результаты сравнения легко переносятся на соответствующие углы.
В итоге получится, что угол 2 укладывается три раза в углах 1 и 3, пять раз в 4-м, четыре раза в 5-м и два раза в 6-м.
В задании 412 учащимся предлагается измерить угол, на который минутная стрелка поворачивается за 24 минуты с помощью угла, на который минутная стрелка поворачивается за 4 минуты. С использованием рисунка циферблата часов процедура измерения выполняется достаточно легко. 4 минуты содержатся 6 раз в 24 минутах (это учащиеся могут установить с помощью деления), поэтому результат измерения будет равен 6. Записать это можно так: 2 = 6 1.
В задании 413 предлагается измерить угол, который не изображен, а только задан с помощью соответствующего временного промежутка. Угол-мерка задается аналогично. Результат измерения угла полностью совпадает с результатом измерения соответствующего временного промежутка. Продемонстрировать это с помощью циферблатов часов учащиеся должны самостоятельно в рабочих тетрадях.
При выполнении задания 414 учащиеся смогут поупражняться в измерении углов с помощью циферблата, на котором эти углы удобно изображать. Более того, циферблат позволяет делить данный угол на равные фиксированные части, что и является основой процедуры измерения. Циферблат в данном случае заменяет нам транспортир.
Задание 415 относится к заданиям повышенной сложности. В нем учащимся предлагается сравнить вертикальные углы. Мы не предлагаем знакомить учащихся с термином «вертикальный угол», но со свойством вертикальных углов познакомить их можно. Для установления равенства этих углов учащиеся могут провести различные рассуждения. Они могут воспользоваться бумажными моделями этих углов, могут использовать сравнение на глаз, но могут и попытаться провести некоторое подобие доказательства, в котором каждый из этих углов рассматривается как дополнительный до развернутого (без употребления этого термина) к одному и тому же углу.
Тема: «Прямоугольный треугольник» (1 урок) Эта и последующие четыре темы посвящены изучению видов треугольников. Классификация треугольников, основанная на видах углов в треугольнике, подготовлена изучением предыдущих тем и соответствующими знаниями, полученными учащимися Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий во 2 классе. Именно с этой классификации мы начинаем изучать виды треугольников.
При выполнении задания 416 учащиеся знакомятся с понятием «прямоугольный треугольник». Они должны для себя уяснить, что прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого есть прямой угол. Пока мы ничего не говорим о величине двух других углов треугольника.
В задании 417 предлагается освоить достаточно простой способ построения прямоугольного треугольника, выполнение которого начинается с построения прямого угла.
В задании 418 учащимся предлагается продемонстрировать, как они усвоили рассмотренный выше способ построения прямоугольного треугольника.
При выполнении задания 419 учащиеся познакомятся с одним из способов построения прямоугольного треугольника с заданными длинами двух сторон (речь идет о длине катетов). Кроме того, внимание учащихся будет обращено на связь между прямоугольником и прямоугольным треугольником и на существование прямоугольного треугольника со сторонами 3 см, 4 см и 5 см (так называемая пифагорова тройка чисел).
В задании 420 внимание учащихся будет обращено на связь между прямоугольником и прямоугольным треугольником.
В задании 421 предлагается составить фигуру из двух одинаковых прямоугольных треугольников. Один вариант решения этой задачи возник в процессе выполнения предыдущего задания. Этой фигурой является прямоугольник. Но можно еще составить и треугольник (см. рис. 3). Варианты, приводящие к составлению невыпуклых многоугольников, существуют, но особого интереса не представляют (см. рис. 4).
Задание 422 относится к заданиям повышенной сложности. Учащимся предлагается начертить треугольник. Чтобы разбить треугольник на два прямоугольных треугольника, надо из его вершины провести высоту: в тупоугольном треугольнике – из тупого угла, в прямоугольном – из прямого угла, в остроугольном – из любого.
Как можно разбить квадрат на 4 прямоугольных треугольника (задание 423), показано на рисунке 5.
Задание 424 относится к заданиям повышенной сложности. Учащимся предлагается начертить прямоугольный треугольник, у которого две стороны равны. Если построение треугольника начать с построения прямого угла, на сторонах которого, считая от вершины, откладываются равные отрезки, то задача становится легко выполнимой.
Тема: «Тупоугольный треугольник» (1 урок) От изучения прямоугольных треугольников мы переходим к изучению тупоугольных. Этот вид треугольников имеет смысл рассматривать раньше, чем остроугольные треугольники, так как он распознается по наличию в треугольнике тупого угла. Здесь ситуация аналогична той, которая имела место для прямоугольных треугольников, но принципиально иная, если говорить об остроугольных треугольниках.
В задании 425 учащимся предлагается поупражняться в распознавании тупых углов.
В задании 426 предлагается найти общее свойство изображенных на рисунке треугольников. Таким общим свойством является наличие тупого угла. Именно это свойство и лежит в основе определения тупоугольных треугольников.
В задании 427 предлагается познакомиться с достаточно простым способом построения тупоугольного треугольника, выполнение которого начинается с построения тупого угла. Этот способ аналогичен соответствующему способу построения прямоугольного треугольника.
При выполнении задания 428 учащиеся смогут поупражняться в распознавании на глаз и с применением чертежного угольника с прямым углом тупоугольных и прямоугольных треугольников.
Кроме того, они познакомятся с достаточно простым способом разбиения тупоугольного треугольника на два прямоугольных.
Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий Выполнить задание 429 учащиеся легко смогут, если начнут построение искомого треугольника с построения тупого угла. После этого на сторонах угла можно отложить данные стороны (считая от вершины), а уже потом соединить отрезком концы отложенных сторон.
Для выполнения задания 430 учащимся можно применить тот же прием, который применялся при выполнении предыдущего задания.
В задании 431 мы обращаем внимание учащихся на вид оставшихся двух углов произвольного тупоугольного треугольника. Учащиеся должны уяснить, что эти углы обязательно являются острыми.
Тема: «Остроугольный треугольник» (1 урок) Теперь мы переходим к рассмотрению остроугольных треугольников.
Их определение принципиально отличается от определения прямоугольного и тупоугольного треугольников. Если ранее нам было достаточно убедиться в наличии в треугольнике соответствующего угла (прямого или тупого), то теперь характеристическое свойство состоит в том, что все углы треугольника должны быть острыми.
При выполнении задания 432 учащиеся знакомятся с определением остроугольного треугольника. При этом сначала мы обращаем их внимание на наличие острых углов в любом из рассмотренных ранее видов треугольников (пока мы не акцентируем внимание на числе острых углов), а уже потом формулируем характеристическое свойство остроугольных треугольников.
В заданиях 433 и 434 мы еще раз акцентируем внимание учащихся на том факте, что в прямоугольном и тупоугольном треугольниках имеется по два острых угла.
В результате выполнения задания 435 учащиеся должны четко усвоить, что в остроугольном треугольнике три острых угла, т. е. все углы острые.
В задании 436 учащимся предлагается поупражняться в распознавании остроугольных треугольников на глаз и с помощью чертежного угольника с прямым углом.
Тема: «Разносторонние и равнобедренные треугольники»
(1 урок) При изучении данной темы мы переходим к рассмотрению другой классификации треугольников, которая основана на сравнении длин сторон данного треугольника. В этой классификации существует два класса: разносторонние треугольники и равнобедренные треугольники. Именно эти два вида треугольников мы сейчас и будем рассматривать.
При выполнении задания 437 учащиеся смогут познакомиться с понятием «разносторонний треугольник». Для обозначения этого понятия используется, если можно так выразиться, «говорящий»
термин. Это означает, что в самом термине уже полностью отражена суть данного понятия, и фактически уже не требуется его определять (определение заключено в термине). Из трех треугольников, представленных на рисунке, разносторонним будет треугольник под номером 2.
При выполнении задания 438 учащиеся смогут познакомиться как со способом построения равнобедренного треугольника, так и с определением этого понятия. Что касается способа построения, то он уже хорошо знаком учащимся: аналогичный способ применялся и при построении прямоугольных треугольников, и при построении тупоугольных треугольников. Причем и равнобедренные треугольники учащиеся уже строили с применением этого способа, но тогда они еще не знали, что строят равнобедренные треугольники.
Задание 439 знакомит учащихся с тем фактом, что равнобедренный треугольник может быть остроугольным.
Задание 440 знакомит учащихся с тем фактом, что равнобедренный треугольник может быть прямоугольным.
Задание 441 знакомит учащихся с тем фактом, что равнобедренный треугольник может быть тупоугольным.
Задание 442 возвращает учащихся к заданию 439. В данном случае дается уже четкое указание на то, чтобы учащиеся начертили равнобедренный остроугольный треугольник.
В задании 443 дается указание учащимся начертить равнобедренный остроугольный треугольник, у которого основание равно 5 см.
При выполнении задания 444 учащиеся практически (с использованием модели) смогут убедиться в том, что равнобедренный треугольник является симметричной фигурой, т. е. имеет ось симметрии.
Для выполнения задания 445 учащимся следует воспользоваться результатами выполнения предыдущего задания: искомой линией разбиения будет ось симметрии равнобедренного треугольника.
Целью задания 446 является акцентирование внимание учащихся на том факте, что разносторонние треугольники и равнобедренные треугольники образуют два класса. Другими словами, нет ни одного треугольника, который являлся бы одновременно и разносторонним и равнобедренным (классы не пересекаются).
Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий Тема: «Равнобедренные и равносторонние треугольники»
(1 урок) В этой теме мы знакомим учащихся с очень важным видом равнобедренного треугольника, который называется равносторонним треугольником. В этом случае, как и в случае разностороннего треугольника, используемый термин является «говорящим». Мы сразу хотим подчеркнуть, что необходимо с самого начала обращать внимание учащихся на тот факт, что равносторонний треугольник – это только частный случай равнобедренного треугольника. Если мы хотим выделить равносторонние треугольники в отдельный класс, то классификация должна быть такой: 1) разносторонние треугольники, 2) равнобедренные, но не равносторонние треугольники, 3) равносторонние треугольники.
При выполнении задания 447 учащиеся с помощью измерения могут убедиться в том, что среди равнобедренных треугольников есть такие, у которых все стороны равны. Это и есть равносторонние треугольники. Соответствующее определение приведено в учебнике.
Задание 448 относится к заданиям повышенной сложности.
При его выполнении учащиеся на практике познакомятся со способом построения равностороннего треугольника с заданной длиной стороны. Применение этого способа требует умения обращаться с циркулем. Мы понимаем, что построения с помощью циркуля могут вызывать определенные затруднения у учащихся, что может привести к техническим ошибкам в построении, поэтому анализ окончательного построения мы предлагаем выполнять по чертежу из учебника. На этом чертеже четко видно, что все стороны построенного треугольника являются радиусами соответствующих окружностей, а это и означает, что они равны и их длина равна длине первоначально построенного отрезка. В конце данного задания мы еще раз предлагаем обратить внимание учащихся на тот факт, что равносторонний треугольник является и равнобедренным.
При выполнении задания 449 учащиеся самостоятельно должны высказать предположение о том, что любой равносторонний треугольник является равнобедренным.
Тема: «Поупражняемся в построении треугольников»
Предлагаем подборку заданий на построение различных видов треугольников.
При выполнении задания 450 учащиеся смогут поупражняться в построении прямоугольного треугольника с заданной длиной двух сторон, а также в распознавании равнобедренных треугольников.
Задание 451 относится к заданиям повышенной сложности. В нем мы предлагаем учащимся составить равносторонний треугольник из четырех одинаковых равносторонних треугольников. Делать это лучше с помощью моделей треугольников, а уже потом найденный вариант зафиксировать в тетради в виде чертежа (см. рис. 6).
Задание 452 относится к заданиям повышенной сложности, а выполнять его нужно, следуя тем же рекомендациями, которые были даны для предыдущего задания. В итоге должен получиться следующий чертеж (рис. 7):
В задании 453 мы возвращаем учащихся к известному им способу построения тупоугольных треугольников с заданной длиной двух сторон. Особенность этого задания заключается в том, что длины сторон даны в сантиметрах и миллиметрах.
В задании 454 предлагается начертить равносторонний треугольник с заданным периметром. Сначала они должны вычислить длину стороны этого треугольника, а уже потом воспользоваться тем способом, который подробно был описан в задании 448.
Выполнение задания 455 учащиеся могут начать с построения острого угла. После этого можно отложить на одной стороне этого угла отрезок длиной 4 см 5 мм (считая от вершины). Далее следует выбрать длину отрезка на второй стороне угла таким образом, чтобы получившийся треугольник был остроугольным. Самый простой вариант выбора заключается в откладывании такого же отрезка. Это будет обеТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий спечивать выполнение задания. Можно, конечно, сделать так, чтобы вторая сторона отличалась от первой, но это отличие не должно быть слишком большим, иначе не получится остроугольного треугольника.
Задание 456 относится к заданиям повышенной сложности. Вариант решения данной задачи показан на рисунке.
Задание 457 относится к заданиям повышенной сложности. Оно носит комбинаторный характер. На чертеже изображено 4 прямоугольных треугольника. Это треугольники, на которые делит прямоугольник каждая его диагональ.
Задание 458 также относится к заданиям повышенной сложности. Прежде чем чертить требуемый треугольник, учащиеся должны понять, о каком треугольнике идет речь. Условие «иметь ось симметрии» может быть обеспечено условием «быть равнобедренным».
Поэтому данное задание можно выполнить, если начертить равнобедренный треугольник со стороной 4 см.
Выполнение заданий 459, 460 и 461 связано с использованием приема, о котором речь шла при выполнении задания 458. Обеспечить наличие оси симметрии у треугольника можно за счет выполнения требования равнобедренности. После этого выполнение данных заданий уже не составит особого труда для учащихся.
Задание 462 относится к заданиям повышенной сложности. Начертить треугольник, у которого три оси симметрии, означает начертить равносторонний треугольник. После того как этот факт установлен, учащиеся должны применить свои умения по построению равностороннего треугольника.
В задании 463 учащимся предлагается начертить равносторонний (в упрощенном варианте равнобедренный) треугольник со стороной 5 см. Для этого они должны повторить прием, который был описан в задании 448.
Тема: «Составные задачи на все действия» (2–3 урока) Данной темой завершается изучение учебного материала первого полугодия. Рассмотрение вопроса о решении составных задач на все дейСоставные задачи на все действия»
ствия является одним из самых важных и сложных вопросов всего курса.
Именно поэтому мы решили завершить учебное полугодие изучением данной темы, посвятив ей 2–3 урока. Предлагаемую систему заданий можно охарактеризовать как систему обобщающего повторения. Для формирования общего умения решать составные задачи очень важным является умение формулировать дополнительные промежуточные требования, получение ответов на которые позволяет получить ответ на основное требование задачи. Именно с этого вопроса мы и начинаем обобщающее повторение, предусмотренное в данной теме.
В задании 464 учащимся предлагается решить предложенные задачи в таком порядке, чтобы решение следующей задачи включало в себя решение предыдущей. Все задачи имеют общее условие.
Отличаются они только требованием. Если провести сопоставление требований с условием, то станет понятно, что требование задачи А можно выполнить сразу (задача А является простой). Если выполнено требование задачи А, то можно выполнить требование задачи В. Если же выполнено требование задачи В, то можно выполнить требование и задачи Б. Таким образом, выстраивается последовательность решения данных задач (А–В–Б). Для выполнения этого задания можно использовать и другой подход, основанный на составлении краткой записи. Можно предложить учащимся составить краткую запись, в которой будет учтено условие и все три требования. Выглядеть она может следующим образом:
Из этой таблицы видно, что сначала нужно ответить на требование задачи А, после этого на требование задачи В и, наконец, на требование задачи Б. Задача Б является примером составной задачи, решение которой состоит из трех действий.
В задании 465 учащимся предлагается самостоятельно сформулировать дополнительные промежуточные требования, позволяющие решить данную задачу. Перед тем как учащиеся приступят к формулировке дополнительных требований, им можно предложить сопоставить данную задачу и задачу Б из предыдущего задания. Можно заметить, что логическая структура этих задач аналогична, поэтому дополнительные требования также нужно формулировать аналогично: сначала нужно узнать, сколько вагонов разгрузили после полудня, потом найти число вагонов, которые разгрузили за весь день, и, наконец, выполнить кратное сравнение найденных двух чисел.
Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий Задание 466 относится к заданиям повышенной сложности. В нем учащимся предлагается сформулировать составную задачу, которая решается в 4 действия (при этом все арифметические действия участвуют в решении). С такими задачами учащиеся еще не сталкивались, поэтому при выполнении задания могут возникнуть определенные затруднения. Преодолеть их можно следующим образом.
Сначала нужно установить порядок действий, на который указывает структура данного выражения. После этого можно предложить учащимся истолковать каждое действие как процесс увеличения или уменьшения некоторого числа. Далее можно предложить подумать над сюжетом задачи, который позволяет рассматривать все случаи увеличения и уменьшения. Таким сюжетом, например, может быть сюжет о численности каждого из пяти видов грибов в корзине (белые, подберезовики, подосиновики, маслята, рыжики). После этого можно уже формулировать задачу. Возможный вариант формулировки выглядит так: «В корзине у Миши лежало 18 маслят, подберезовиков на 10 меньше, чем маслят; подосиновиков в 3 раза больше, чем подберезовиков; белых в 4 раза меньше, чем подосиновиков; рыжиков на 5 больше, чем белых. Сколько рыжиков лежало в корзине?»
В задании 467 мы возвращаем учащихся к схемам составных задач на сложение и вычитание. При этом мы предлагаем несколько упростить построение схем, убрав из конструкций схем стрелочки, соединяющие между собой прямоугольники. Роль соединяющего элемента конструкции будет выполнять теперь только знак соответствующего действия (сложения или вычитания). Данная схема определяет решение задачи, которое состоит из двух действий вычитания. Учащимся предлагается составить другую схему, которая соответствует задаче, решаемой с помощью двух действий вычитания. У них имеется два пути решения: во-первых, они могут использовать данную схему, но с другими числовыми данными, во-вторых, они могут изменить конструкцию схемы, сделав ее, например, следующего вида (рис. 9):
В задании 468 учащимся предлагается рассмотреть четыре схемы составных задач на сложение и вычитание. Каждая из этих схем определяет свою последовательность действий решения соответствующей задачи. Первая схема соответствуют паре «вычитаниесложение», вторая – «сложение-сложение», третья – снова «сложение-сложение», четвертая – «сложение-вычитание». (Тип схемы на «вычитание-вычитание» был рассмотрен в предыдущем задании.) На всех этих схемах есть прямоугольник, с помощью которого две схемы соединяются в одну. В этом прямоугольнике стоит вопросительный знак, обозначающий промежуточное неизвестное, о котором должна идти речь в промежуточном дополнительном требовании. Четкое понимание этого факта поможет учащимся научиться правильно формулировать промежуточные дополнительные требования.
При выполнении задания 469 учащиеся могут использовать схемы из предыдущих двух заданий. Имея перед глазами соответствующую схему, им гораздо проще будет сформулировать требуемую задачу. При выполнении этого задания может быть организована парная работа.
В задании 470 мы предлагаем учащимся поработать с составными задачами на кратное сравнение. Так как составляемые задачи должны относиться к задачам на кратное сравнение, то это означает, что вторым действием решения такой задачи будет действие деления. Первым же действием (согласно заданию) должно быть либо действие сложения, либо – вычитания. Действие сложения (вычитания) можно легко интерпретировать как описание процесса увеличения (уменьшения) на несколько единиц. Этот факт и можно использовать при формулировании задачи.
Задание 471 аналогично предыдущему заданию. Только теперь речь идет о задачах на разностное сравнение (т. е. вторым действием решения будет вычитание). Первое же действие решения (умножение или деление) можно интерпретировать как описание процесса увеличения или уменьшения в несколько раз.
В задании 472 учащимся предлагается только по известному требованию задачи попробовать установить возможные промежуточные требования для этой задачи. Такая постановка вопроса явно работает на формирование общего умения решать задачи, так как учащиеся должны предусмотреть все возможные варианты, исключая те, которые заведомо здесь не подходят. В данном случае роль промежуточных требований могут выполнять требования и 4. Требования 1 и 3 могут быть исключены из рассмотрения, так как для выполнения основного требования не имеет смысла проводить разностное или соответственно кратное сравнение, о чем идет Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий речь в этих требованиях. После того как учащиеся познакомятся с условием данной задачи, им уже не составит особого труда из двух выбранных требований оставить одно – требование под 2. Именно оно будет являться дополнительным промежуточным требованием, позволяющим ответить на основное требование данной задачи.
После этого учащимся можно предложить решить данную задачу, а также вычислить и записать ответ этой задачи.
Тема: «Натуральный ряд и другие числовые последовательности» (1 урок) Данная тема посвящена рассмотрению вопросов, связанных с понятием числовой последовательности, с которым учащиеся уже имели возможность познакомиться ранее.
В процессе выполнения задания 473 учащиеся не только получают возможность поупражняться в нахождении нескольких первых членов числовой последовательности, заданной с помощью данного правила, но и взглянуть на натуральный ряд чисел как на числовую последовательность.
В задании 474 учащимся сначала предлагается найти и записать первые четыре члена каждой из двух данных числовых последовательностей (имеющаяся информация позволяет считать последовательности заданными, так как можно однозначно вычислить любой член каждой из этих последовательностей). После этого учащиеся должны провести сравнительный анализ этих последовательностей на основе соответствующего сопоставления найденных членов этих последовательностей. Результатом такого анализа должно стать понимание учащимися следующего факта: совпадение нескольких первых членов двух последовательностей совсем не означает, что речь идет об одной и той же последовательности.
Тема: «Работа с данными»
Данная тема имеет прямое отношение к той содержательной линии нашего курса, которую мы назвали информационной. С такой ситуацией учащиеся уже сталкивались. Изучение данной темы предполагает проведение целенаправленной работы с данными в ситуации, когда эта работа является основной, а не сопутствующей.
В дальнейшем мы периодически будем обязательно обращаться к изучению аналогичных тем. Предлагаемые в данной теме задания могут быть использованы как дополнительные на разных уроках, так и при проведении тематического урока, построенного на этих заданиях. Их можно также использовать в качестве домашних заданий исследовательского характера.
В задании 475 мы показываем учащимся, как прочитать и анализировать таблицу футбольного (или другого аналогичного) турнира, когда соревнования проходят по круговой системе (каждая команда играет с каждой). Проведенный анализ должен позволить учащимся без особого труда ответить на поставленные вопросы и заполнить предложенную таблицу соответствующими данными. Так, команда «Метеор» набрала 8 очков, команда «Звезда» – 8 очков, команда «Комета» – 4 очка, команда «Планета» – 7 очков, команда «Ракета» – 10 очков, команда «Спутник» – 3 очка. Учитывая, что две команды («Метеор» и «Звезда») набрали одинаковое число очков, можно считать, что они поделили 2-е и 3-е места в итоговой таблице.
Задание 476 является логическим продолжением предыдущего задания. Но теперь от учащихся требуется не только умение читать и анализировать готовую таблицу, но и правильно заполнять таблицу соответствующими данными. При этом сами недостающие данные учащиеся могут придумать, но не забывать о том, что «придуманные» данные должны быть правдоподобными. Обращаем внимание на то, что в данной ситуации мы предлагаем рассмотреть «старый»
(но все еще применяемый) вариант начисления очков.
Задание 477 направлено на формирование у учащихся умения извлекать нужную информацию из имеющейся, представленной в табличной форме. Выполнение задания предполагает парную работу и соответствующий контроль.
При выполнении задания 478 учащиеся знакомятся с еще одним видом табличного представления информации, который называется «График дежурств». Учитывая все условия, интересующая нас таблица может выглядеть следующим образом:
Учитывая, что Юра в пятницу дежурить не может (это выяснилось позже), предложенный график нужно изменить. Сделать это можно, например, так:
Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий В задании 479 учащимся предлагается самостоятельно применить полученные знания и умения по составлению графика дежурств на примере составления графика дежурств по своему классу. Данная работа требует предварительного сбора информации и построения соответствующей таблицы, что сопряжено с большими временными затратами. По этой причине данное задание может быть предложено в качестве домашнего исследовательского задания.
Словарь В данном приложении содержится фрагмент толкового словаря математических терминов. Перечень терминов, которые включены в этот фрагмент, определяется программным материалом первой части учебника, а также значимостью и сложностью соответствующих понятий. Работа со словарем уже хорошо знакома учащимся по применению этого вида работы на уроках по другим предметам.
В 3 классе мы приобщаем учащихся к этому виду работы и на уроках математики. Те задания, при выполнении которых имеет смысл обратиться к данному словарю, специального обозначения не имеют, но в тексте самих заданий есть специальное указание на использование соответствующей статьи словаря. Мы совсем не исключаем, что некоторые учащиеся ознакомятся с содержанием словаря еще до того момента, когда соответствующая информация им потребуется. Такой познавательный интерес учащихся можно только поощрить, но считать такой подход обязательным нецелесообразно.
Приложение 1. Геометрические фигуры и геометрические величины В данном приложении мы знакомим учащихся с очень важной дополнительной информацией, касающейся знакомой им геометричеПриложение 2. Измерение угла в градусах и транспортир ской фигуры, которая называется кубом. Речь пойдет о построении различных моделей куба, в том числе о так называемой развертке куба, а также о «выкройке» куба, с помощью которой можно самостоятельно сделать модель куба.
В задании 1 учащимся предлагается построить модель куба из палочек одинаковой длины. В этом случае получится так называемая каркасная модель, в которой реально представлены только ребра куба (необходимые для построения 12 палочек) и вершины куба (места соединения палочек с помощью пластилина).
В задании 2 речь идет о построении модели куба из одинаковых кубиков. При этом учащиеся сначала должны понять, что предложенная модель не является моделью куба, а чтобы стать таковой, из нее нужно удалить один боковой слой. В этом случае в модели останется 64 кубика, из которых и должна состоять модель куба размером 4х4х4.
В задании 3, как и в предыдущем задании, речь идет о построении модели куба из нужного числа одинаковых кубиков. Учитывая, что изначально кубиков было 36, а 28 (1+27) кубиков в дальнейшем были задействованы, то Мише для построения модели осталось использовать 8 одинаковых кубиков, которые и позволяют построить модель размером 2х2х2.
В задании 4 учащимся предлагается обратить внимание на 7 ребер куба, которые на изображении выделены голубым цветом. Именно по этим ребрам можно произвести разрезы, чтобы получить «развертку» куба.
Далее предлагается рассмотреть две «развертки» куба. Разрезам из данного задания соответствует «развертка», расположенная слева.
В задании 5 приведена «выкройка» куба. Ее можно скопировать на плотную бумагу, а потом из бумаги сделать модель куба, используя заштрихованные части для склеивания. Такой моделью можно пользоваться при выполнении заданий, имеющих отношение к изучению свойств куба.
Приложение 2. Измерение угла в градусах и транспортир В приложении 2 мы знакомим учащихся с дополнительной информацией, касающейся процесса измерения величины угла.
Речь пойдет о стандартной единице, которая применяется для измерения углов и называется градусом, а также об инструменте, используемом для измерения углов и имеющим название транспортир. Этот материал можно использовать на внеклассных занятиях.
Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий При выполнении задания 1 учащиеся смогут познакомиться с единицей величины угла, которая называется градусом. Для демонстрации угла в 1 градус можно использовать демонстрационный транспортир, а можно использовать модель циферблата часов, но эта модель должна иметь достаточно большие размеры для того, чтобы можно было каждую дугу между соседними минутными делениями на циферблате разделить еще на 6 частей. Именно так получится деление прямого угла на 90 равных частей, что и даст возможность показать угол в 1 градус (1°). Соответственно прямой угол будет иметь величину 90°.
При выполнении задания 2 учащиеся смогут познакомиться с инструментом, который используется для измерения величины угла. Желательно, чтобы выполнение этого задания сопровождалось наличием транспортиров у каждого учащегося, но можно проводить работу и по рисунку. Учащиеся должны обратить внимание, что половина окружности, изображенная на транспортире разделена на 180 равных частей (на рисунке это не показано, но на реальном транспортире учащиеся это могут наблюдать).
Задание 3 знакомит учащихся с процессом измерения величины угла с помощью транспортира. Обязательно следует обратить внимание учащихся на то, как должен быть расположен транспортир по отношению к измеряемому углу: одна сторона угла совпадает с верхней границей «линейки» транспортира, а вершина угла – со специальной отметкой на этой «линейке». Если транспортир расположен правильно, то вторая сторона угла пройдет через деление на «дуге»
транспортира, которое и укажет величину данного угла. В тексте этого задания содержится и образец записи с использованием специальной символики для результата измерения величины угла.
В задании 4 предлагается выполнить практическое задание с использованием транспортира по построению угла данной величины.
В задании 5 учащимся предлагается начертить прямой угол с помощью транспортира. Сначала они должны вспомнить, что прямой угол имеет величину 90°. После этого задача уже будет полностью аналогична задаче из предыдущего задания.
В задании 6 предлагается начертить острый угол и измерить его с помощью транспортира. К этому моменту учащиеся уже должны понимать, что острый угол имеет величину меньше 90°. Начертив любой острый угол, учащиеся при его измерении должны указать результат, точно выраженный в градусах (о приближенном характере процесса измерения мы сейчас речь не ведем).
Задание 7 аналогично предыдущему заданию, но в нем речь идет о тупом угле.
В задании 8 учащимся предлагается определить величину данного угла с помощью соответствующего рисунка. На этом рисунке вторая сторона угла проходит через деление, соответствующее 150°, но сам угол расположен таким образом, что отсчет нужно вести от другого конца шкалы (на это обязательно нужно обратить внимание учащихся), поэтому величина данного угла равна 30°.
Приложение 3. В часы досуга Данное приложение является традиционным. Материалы этого приложения взяты из книги А.В. Сатарова «Живая арифметика в часы досуга», которая была издана в Москве в 1912 году. При отборе заданий для подобных приложений мы руководствовались следующими соображениями: во-первых, задания должны соответствовать материалу учебника; во-вторых, задания должны иметь занимательную форму; в-третьих, задания должны предоставлять возможность на их основе организовать внеклассную работу по математике.
В предлагаемом задании мы знакомим учащихся с интересными свойствами числа 142857. Учащимся можно предложить проверить вычислением справедливость этих свойств. Для вычислений они могут привлечь калькулятор.
ПРИМЕРНЫЕ ВАРИАНТЫ
ПИСЬМЕННЫХ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Первое полугодие Контрольная работа Вариант 1. Для данной задачи сделай краткую запись в виде таблицы. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.С пришкольного участка собрали 55 кг черной смородины, что на 15 кг меньше, чем красной. Сколько килограммов черной и красной смородины собрали с пришкольного участка?
2. Из данных величин составь два верных равенства и два верных неравенства.
3. Найди значение выражения, выполнив вычисления столбиком.
256471 + 32548 – 4. Расположи следующие числа в порядке возрастания:
5. Запиши данные числа с помощью цифр:
а) две тысячи четыре, б) двадцать пять тысяч двенадцать, в) триста тысяч триста шестьдесят семь, г) пятьсот восемь тысяч двести, д) двести двадцать четыре тысячи шестьсот восемнадцать.
Вариант 1. Для данной задачи сделай краткую запись в виде таблицы. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.
С пришкольного участка собрали 35 ц столовой свеклы, что на 15 ц больше, чем кормовой. Сколько килограммов столовой и кормовой свеклы собрали с пришкольного участка.
2. Из данных величин составь два верных равенства и два верных неравенства.
3. Найди значение выражения, выполнив вычисления столбиком.
367283 + 21736 – 4. Расположи следующие числа в порядке возрастания:
5. Запиши данные числа с помощью цифр:
а) пять тысяч семь, б) тридцать восемь тысяч одиннадцать, в) пятьсот тысяч пятьсот двадцать четыре, г) шестьсот девять тысяч сто, д) двести тридцать две тысячи восемьсот пятнадцать.
Примерные варианты письменных контрольных работ. Первое полугодие Контрольная работа Вариант 1. Сделай краткую запись задачи. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.
К новогоднему празднику учащиеся изготовили 8 хлопушек, а фонариков на 48 больше. Во сколько раз больше учащиеся изготовили фонариков, чем хлопушек?
2. Вычисли значение выражения, сделав для каждого действия отдельные записи.
3. Последовательность начинается с числа 4, а каждое следующее число в 3 раза больше, чем предыдущее. Вычисли третье число этой последовательности и запиши его.
4. Начерти тупоугольный треугольник со сторонами:
5. Изобрази данные с помощью диаграммы и найди ответ задачи.
В театральном кружке занимается 15 учащихся, а в лыжной секции – 60 учащихся. Во сколько раз меньше учащихся занимается в театральном кружке, чем в лыжной секции?
Вариант 1. Сделай краткую запись задачи. Реши задачу. Вычисли и запиши ответ.
К новогоднему празднику учащиеся развесили в классе 7 гирлянд, а шариков на 49 больше. Во сколько раз меньше учащиеся развесили гирлянд, чем шариков?
2. Вычисли значение выражения, сделав для каждого действия отдельные записи.
3. Последовательность начинается с числа 3, а каждое следующее число в 4 раза больше, чем предыдущее. Вычисли третье число этой последовательности и запиши его.
4. Начерти тупоугольный треугольник со сторонами:
5. Изобрази данные с помощью диаграммы и найди ответ задачи.
В фотостудии занимается 25 учащихся, а в легкоатлетической секции – 75 учащихся. Во сколько раз больше учащихся занимается в легкоатлетической секции, чем в фотостудии?
ОСОБЕННОСТИ РАЗВИТИЯ ОСНОВНЫХ
СОДЕРЖАТЕЛЬНЫХ ЛИНИЙ КУРСА
ВТОРОГО ПОЛУГОДИЯ
Изучение чисел Во втором полугодии 3 класса учащиеся продолжают изучать вопросы письменной и устной нумерации целых неотрицательных чисел, но делают это главным образом в плане закрепления и повторения ранее изученного материала.Единственным нововведением в этой области является рассмотрение числа 1 000 000 (миллион), которое возникает в силу необходимости сопоставления таких единиц площади, как квадратный километр и квадратный метр (а также квадратный сантиметр и квадратный миллиметр).
Рассмотрение этого числа на данном этапе обучения носит пропедевтический характер: детальное изучение числа миллион как новой разрядной единицы будет проводиться в 4 классе. Сейчас мы даже не выносим термин «миллион» в название темы, подчеркивая тем самым, что данное число пока не будет являться объектом нашего пристального внимания.
Единственная характеристика этого числа, о которой на этом этапе обучения будет идти речь, заключена в утверждении, что 1 000 000 – это наименьшее семизначное число.
Вопрос сравнения многозначных чисел и включение соответствующих заданий в различные темы второго учебного полугодия продиктованы желанием предоставить обучающимся возможность поупражняться в использовании хорошо знакомого им поразрядного способа сравнения чисел и довести сформированное умение до уровня автоматизма.
Изучение действий над числами Во втором полугодии продолжается изучение алгоритма сложения (вычитания) многозначных чисел столбиком. При этом предлагаемые задания имеют цель предоставить учащимся возможность поупражняться в выполнении этих алгоритмов на множестве изученных уже чисел, но эти упражнения задаются, как правило, не непосредственно (что существенно снижало бы их эффективность в силу однообразия и монотонности такого рода деятельности), а опосредованно через другие виды заданий. В частности, алгоритм сложения многозначных чисел столбиком учащимся постоянно приходится применять при выполнении способа умножения на двузначное число столбиком.
Изучение действия умножения выходит на новый уровень. На базе рассмотренного ранее случая умножения на однозначное число изучается способ умножения на двузначное число столбиком.
Для его обоснования предварительно рассматриваются случаи умножения на число 10 и на остальные «круглые» двузначные числа, а также свойство умножения числа на сумму. Знание именно этих фактов позволяет представить процедуру умножения на двузначное число как последовательное выполнение умножения на однозначное число и на «круглое» двузначное число с последующим сложением полученных результатов. Записи всех этих трех этапов умножения на двузначное число сначала рассматриваются отдельно, а потом объединяются в одну запись, которая и используется в алгоритме умножения столбиком (пока об алгоритме в целом мы речь не ведем, так как учащихся мы обучаем применять только частный случай этого алгоритма).
Достаточно много времени во втором полугодии будет уделено изучению действия деления. Речь пойдет не только о постоянной тренировке в освоении табличных случаев деления, но и о существенном расширении перечня случаев деления, с которыми познакомятся учащиеся. Будут рассмотрены случаи деления «круглых»
десятков на число 10, «круглых» сотен на число 100, «круглых» тысяч на число 1000, а также устные приемы деления двузначных чисел на однозначные (внетабличные случаи) и двузначных чисел на двузначные. Важным моментом, связанным с изучением действия деления, является рассмотрение свойств этой операции. Наряду с такими очевидными свойствами, в которых рассматриваются случаи деления на число 1, деления числа на само себя и деление числа 0 на натуральное число, мы делаем попытку обоснования правила:
«Деление на 0 невозможно!» Обоснование этого правила основано на использовании хорошо известного учащимся свойства, связыОсобенности развития основных содержательных линий курса второго полугодия вающего действия умножения и деления. Если допустить, что натуральное число, например число 127, можно разделить на число и получить в результате какое-то число, то это число при умножении на число 0 (на делитель) должно дать число 127 (делимое), что невозможно в силу свойства умножения на число 0. Именно такие рассуждения мы предлагаем учащимся провести на примере нахождения корня уравнения х•0=127.
Подробнее о том, как мы предлагаем построить изучение этого вопроса, можно узнать из методических рекомендаций к теме «Делить на 0 нельзя!».
Еще два важных свойства деления (деление суммы на число и деление разности на число), которые мы также предлагаем рассмотреть, лежат в основе выполнения приемов деления, которые можно успешно использовать в устных вычислениях.
Изучение геометрического материала Практически все вопросы геометрического характера, которые планируется изучать во втором полугодии 3 класса, имеют непосредственное отношение к понятию «площадь», изучение которого также запланировано на этот период. Такое взаимодействие «геометрической» и «величинной» содержательных линий предоставляет большие возможности в плане обогащения методических приемов и подходов при изучении соответствующих вопросов и геометрического, и величинного характера.
Примечание. Практически весь геометрический материал части 2 учебника 3 класса носит факультативный характер.
Такое структурирование продиктовано тем, что данный материал выходит за рамки утвержденного минимума содержания начального математического образования и не является обязательным для изучения, хотя такое изучение является очень желательным.
При изучении темы «Составление и разрезание фигур» учащиеся не только смогут развить свои умения по геометрическому конструированию, но и заложить необходимую базу для обоснования вывода формул площади треугольника, параллелограмма, трапеции, с чем учащимся придется столкнуться в начале изучения систематического школьного курса геометрии. Аналогичное предназначение в плане перспективы имеют две другие темы геометрического блока, а именно темы «Равносоставленные и равновеликие фигуры» и «Высота треугольника».
Обучение решению текстовых (сюжетных) арифметических задач Единственной темой собственно геометрического содержания, которая включена в перечень обязательных тем, является тема «Построение симметричных фигур». Хотя и эта тема выходит за рамки обязательного минимума содержания, вопросы симметрии мы регулярно рассматриваем, начиная с 1 класса, что продиктовано особой важностью формирования этого понятия для изучения окружающей действительности и ориентации в окружающем мире. Кроме этого, вопросы симметрии играют очень важную роль на уроках трудового обучения.
Обучение решению текстовых (сюжетных) арифметических задач Во втором полугодии мы продолжаем систематическую и целенаправленную работу по формированию общих умений решения сюжетных арифметических задач. Основное внимание будет сосредоточено на работе с задачами с недостающими и с избыточными данными. Работа с понятием «задача» связана с проведением различных преобразований имеющегося текста и наблюдениями за теми изменениями в ее решении, которые возникают в результате этих преобразований. Учащиеся познакомятся с различными способами получения недостающих данных, которые позволяют сделать формулировку задачи полной, т. е. такой, из которой можно получить ответ на поставленное требование. В качестве таких способов мы предлагаем рассмотреть два основных. К 1-му способу мы относим такие действия, которые связаны с непосредственным получением недостающих данных путем счета или измерения (например, подсчет ящиков, которые привезли на склад, или измерение длины стены в комнате). Ко 2-му способу мы относим все действия, которые заключены в получении необходимой информации из дополнительных источников (например, из справочной литературы, из средств массовой информации, из этикеток на товары, из уст знающих эту информацию людей и т. д.). Это направление работы над задачей тесно связано с умением правильно формулировать задачи на основе анализа некоторой реальной ситуации. Овладение именно этим умением позволяет нам говорить о практической направленности данного учебного материала: в реальной жизни постоянно приходится сталкиваться с ситуациями, которые требуют преобразования их в сюжетные арифметические задачи с последующим их решением.
Другое направление работы над задачей связано с формированием умения производить отбор необходимых данных из избыточОсобенности развития основных содержательных линий курса второго полугодия ного перечня данных. Это направление работы напрямую выводит учащихся на проблему поиска оптимального варианта решения задачи, которую мы, как это традиционно принято, трактуем как выбор рационального пути решения. Рационализм выбранного пути решения может проявляться и в минимизации числа выполняемых для получения ответа действий, и в выборе таких действий, выполнить которые технически значительно проще. Можно говорить и о других параметрах рационализации решения задачи (например, применение графических методов решения), но для нас на данном этапе обучения главную роль будет играть умение выбрать вариант решения с минимальным числом действий.
Работа по обучению решению задач не ограничивается только изучением тем, которые имеют непосредственное отношение к этой проблеме. Эта работа должна проводиться практически на каждом уроке. С этой целью мы включаем в перечень заданий и по другим темам задания, связанные с формированием соответствующих умений. Для того чтобы не разрушать целостную картину по изучению соответствующей темы, мы стараемся и такого типа задания каким-либо образом связать с изучаемой темой.
Аналогичным рекомендациям мы предлагаем следовать и учителю в том случае, когда учитель самостоятельно осуществляет подборку задач к уроку.
В качестве дополнительных видов работы, которые учитель может использовать для развития данной содержательной линии, мы можем рекомендовать следующие виды: 1) дополнение текстов, не являющихся задачами, до задачи; 2) изменение любого из элементов задачи; 3) представление одной и той же задачи в разных формулировках; 4) упрощение и усложнение исходной задачи; 5) поиск особых случаев изменения исходных данных, приводящих к упрощению решения; 6) установление задач, которые можно решить при помощи уже решенной задачи, что в дальнейшем становится основой классификации задач по сходству математических отношений, заложенных в них.
Примечание. Мы еще раз хотим подчеркнуть, что на процесс формирования общего умения решать задачи большое положительное влияние оказывает практика составления задач, удовлетворяющих тем или иным характеристикам.
По этой причине в тексте данного учебника встречается достаточно много заданий такого плана. Работа с этими заданиями, если нет никаких специальных указаний, должна строиться в форме диалога «учитель – ученики», а сами составленные задачи должны формулироваться учащимися Изучение величин Изучение величин во втором полугодии сводится главным образом к изучению новой величины, которая носит название площадь. Все другие вопросы величинного характера представлены в плане повторения. Знакомство с величиной «площадь» осуществляется на примере анализа реально-учебной ситуации, в которую поставлены Маша и Миша. Именно на примере сравнения выполняемой ими работы по окраске пола в двух помещениях прямоугольной формы с одинаковым периметром мы создаем проблемную ситуацию, решение которой приводит к необходимости рассмотрения новой величины, называемой площадью. Так как непосредственное сравнение площадей в данной ситуации выполнить невозможно, то уже на этом этапе мы предлагаем проводить такое сравнение фактически с помощью измерения, которое выражается в разбиении на единичные квадраты.
Следующим шагом в изучении данной величины является введение одной из стандартных единиц площади. Роль этой «первой»
стандартной единицы мы отвели квадратному сантиметру. Такой выбор продиктован следующими причинами: 1) квадратный сантиметр удобно иллюстрировать, 2) в квадратных сантиметрах удобно производить измерения (необходимые иллюстрации можно давать на страницах учебника), 3) имеет место аналогия с выбором «первой» стандартной единицы длины. Уже при изучении квадратного сантиметра следует обращать особое внимание учащихся на правильное выполнение процесса измерения площади, который требует такого «заполнения» измеряемой фигуры (поверхности предмета), при котором единичные квадраты заполняют всю фигуру без пропусков и без наложения одного квадрата на другой, за исключением возможной общей части границы. Пример такого правильного заполнения измеряемой фигуры единичными квадратами очень наглядно можно продемонстрировать при использовании палетки в качестве измерительного прибора. Желательно, чтобы на соответствующем уроке каждый ученик имел возможность самостоятельной работы с палеткой. С этой целью можно использовать и «самодельные» палетки (см. в учебнике приложение 2 «Сделай сам»).
Следующим этапом изучения площади является введение других стандартных единиц, таких, как квадратный дециметр, квадратный метр и квадратный километр, и установление соотношений между ними. Важным моментом в изучении вопроса о соотношении единиц площади является установление зависимости, существующей между соотношением единиц площади и соотношением соответствующих единиц длины. Эта связь может быть выражена с поОсобенности развития основных содержательных линий курса второго полугодия мощью умножения на соответствующее «круглое» число, поэтому совсем не случайно изучение данных тем предваряет рассмотрение вопросов об умножении на число 100 и на число 1000. Что касается изучения такой единицы площади, как квадратный миллиметр, то оно осуществляется совершенно аналогично.
Важнейшим этапом в изучении величины «площадь» является рассмотрение вопроса о вычислении площади прямоугольника.
Именно при изучении этого вопроса учащиеся впервые сталкиваются с возможностью установить искомую величину не с помощью ее непосредственного измерения, а с помощью вычисления на основе измерения другой величины (других величин). В данном случае такой «вспомогательной» величиной является длина. Совершенно очевидна большая пропедевтическая значимость изучения этого вопроса: речь идет о перспективе изучения не только всего школьного курса математики, но и о перспективе изучения других школьных курсов, и прежде всего курса физики. Именно при изучении данной темы учащиеся впервые сталкиваются с использованием полноценной формулы (формулы площади прямоугольника), записанной с использованием «буквенных» выражений. В дальнейшем эта практика будет только расширяться и совершенствоваться.
Примечание. При изучении величины «площадь» учитель не должен забывать о том, что к этому направлению работы тесно примыкают и соответствующие темы геометрического характера. К таким темам относятся: «Составление и разрезание фигур», «Равновеликие и равносоставленные фигуры», «Высота треугольника». Изучение данных тем важно и интересно для учащихся само по себе и полезно в плане более глубокого понимания вопросов, имеющих отношение к понятию площади.
Работа с данными Работа с данными, как и ранее, должна проводиться в двух видах:
во-первых, в процессе выполнения заданий, которые в явном виде относятся к информационной содержательной линии; во-вторых, в процессе выполнения заданий (в виде вспомогательной сопутствующей работы), относящихся к другим содержательным линиям.
В первом случае мы включаем в перечень изучаемых тем такие, которые напрямую относятся к информационной содержательной линии, наполняя их заданиями по работе с данными в явном виде.
Во втором случае наибольший объем работы с данными приходится на задания, связанные с обучением решению текстовых задач (алгоритмическая линия), и на задания, связанные с изучением чисел и с формированием вычислительных умений (арифметическая линия). Но эта работа имеет уже, как правило, неявный (вспомогательный, сопутствующий) характер с точки зрения поставленных учебных задач.
Основными объектами по работе с данными во втором полугодии 3 класса являются:
таблица с данными по нескольким признакам, табличная форма краткой записи текстовой задачи, диаграммы сравнения (столбчатые и полосчатые).
При этом следует обратить особое внимание на задачи с недостающими данными, так как умение получать недостающие данные является основным при формулировке и решении возникающих в реальной жизни сюжетных задач. В том случае, когда речь идет о задачах с избыточными данными, на первый план выходит проблема выбора рационального пути решения, что является показателем достижения определенного уровня математической культуры.
Изучение алгебраического материала Изучение алгебраического материала представлено как самостоятельными темами алгебраического характера (речь идет о рассмотрении уравнений с неизвестным множителем, неизвестным делителем и неизвестным делимым), так и отдельными заданиями, при выполнении которых проводится алгебраическая пропедевтика.
Так, например, при изучении темы «Вычисление площади прямоугольника» учащиеся впервые в данном курсе знакомятся с формулой, построенной на основе буквенного выражения (имеется в виду формула площади прямоугольника S = a · b). Кроме этого, в целом ряде заданий учащимся предлагается либо найти корень уравнения, либо проследить за изменением значения выражения при изменении одного из компонентов этого выражения. Очевидно, что задания и первого, и второго типа имеют непосредственное отношение к основным алгебраическим понятиям, таким, как уравнение и функция.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
И РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ТЕМ
И ОТДЕЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Второе полугодие В методических рекомендациях для каждой темы будет указано количество уроков, которое следует отвести на ее изучение. Для некоторых тем такое указание является вариативным и имеет вид «1–2 урока». На изучение примерно половины тем с таким вариативным указанием учитель, по своему усмотрению, может отвести по два урока, а на остальные – по одному. Окончательное поурочное планирование следует проводить, исходя из общего количества уроков математики во втором учебном полугодии.Примечание. Предлагаемое распределение учебных часов, отводимых на изучение той или иной темы, не является строго обязательным. Учитель вправе внести изменения в тематическое планирование, исходя из реальной ситуации.
Тема: «Умножение на однозначное число столбиком»
(1 урок) Начать вторую часть учебника именно с этой темы мы решили по следующим причинам: во-первых, данная тема очень удачно выполняет роль связующего звена между обеими частями учебника, так как случай умножения на однозначное число столбиком уже рассматривался в первой части и мы можем делать необходимые ссылки;
во-вторых, мы повторяем тот материал, который будет играть важнейшую роль при изучении нескольких ближайших тем; в-третьих, учащиеся смогут не только повторить запись умножения на одноУмножение на однозначное число столбиком»
значное число столбиком, но и поупражняться в применении соответствующего способа умножения с переходом через разряд, на чем ранее мы еще не концентрировали внимание учащихся.
В задании 1 предлагается проверить правильность выполнения умножения на однозначное число с использованием записи в столбик. При этом учащиеся должны разделить представленные случаи умножения на две группы (без перехода через разряд и с переходом через разряд). Представленные в задании записи умножения «в готовом виде» помогут учащимся повторить материал, который они изучали в первом полугодии.
При выполнении задания 2 учащиеся самостоятельно, отвечая на поставленные вопросы, смогут применить способ умножения на однозначное число столбиком для конкретного примера.
При выполнении задания 3 учащиеся знакомятся с формой записи, при которой фиксируется цифра, показывающая место перехода через разряд и соответствующее этому переходу число.
Выполняя задание 4, учащиеся смогут продемонстрировать свои знания и умения по выполнению умножения на однозначное число столбиком.
Задание 5 относится к заданиям повышенной сложности. В нем от учащихся требуется привести пример поразрядного умножения четырехзначного числа на однозначное с двумя переходами через разряд (в разряде единиц и в разряде сотен). Такой случай может быть представлен следующим произведением: 1615•4.
Задание 6 относится к заданиям повышенной сложности. При его выполнении учащиеся смогут продемонстрировать не только соответствующие арифметические знания, но и умения комбинаторного характера. Искомыми числами в данном случае будут следующие числа: 100, 101, 110, 111. Легко видеть, что в записи этих чисел участвуют только цифры 0 и 1. Использование других цифр обязательно приводит к переходу через разряд.
При выполнении задания 7 учащиеся смогут поупражняться в умножении на однозначное число столбиком. Предлагаемые задания достаточно разнообразны по особенностям участвующих в них чисел.
В задании 8 предлагается вспомнить «круговые» схемы составных задач на сложение и вычитание. В данном случае речь идет о задаче, которую можно решить с помощью двух действий сложения. Так как в роли слагаемого во всех случаях выступает одно и то же число (число 125), то можно так сформулировать задачу, чтобы ее можно было решить не только с помощью двух действий сложения, но и с помощью одного действия умножения (125 + 125 + 125 = 125•3). Приведем пример такой задачи: «На спортивную базу привезли 125 комплектов инвентаря для лыжных Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий гонок, столько же горнолыжных комплектов и еще 125 комплектов для бега на коньках. Сколько всего комплектов спортивного инвентаря привезли на базу?» При вычислении ответа составленной задачи нужно применить умножение столбиком.
Примечание. Предложенная схема составной задачи имеет несколько необычный вид: новым для учителя и учащихся является использование «искривленной» стрелки. Это сделано для того, чтобы придать схеме более компактное расположение. Кроме этого, учащимся будет полезно привыкать к использованию различного типа стрелок, так как это является неотъемлемой частью формирования графических умений при изучении математики.
Тема: «Умножение на число 10» (1 урок) Данная тема носит, прежде всего, вспомогательный характер: задания этой темы направлены на подготовку к изучению следующей темы, в которой речь пойдет об умножении на «круглые» двузначные числа, что, в свою очередь, является подготовкой к изучению поразрядного способа умножения на двузначное число. Не следует забывать и о собственном значении изучения случая умножения на число 10, так как этот случай позволяет продемонстрировать учащимся существование такой возможности нахождения значения произведения, которая опирается только на простейшее трансформирование записи данного числа с помощью приписывания справа цифры 0. Существование такой возможности напрямую связано с тем, что используемая для записи чисел система является позиционной десятичной.
Этот же факт будет играть аналогичную роль и при рассмотрении случаев умножения на другие разрядные единицы действующей системы счисления (на число 100, на число 1000 и т. д.).
В задании 9 предлагается выполнить умножение 1 десятка на некоторые натуральные числа (в основном однозначные). Сделать это учащиеся могут либо на основе сложения одинаковых слагаемых (как это требуется в задании), либо на основе применения правила умножения числа 1 на натуральное число, автоматически распространенного на случай умножения 1 десятка на соответствующее натуральное число. Эта ситуация совершенно аналогична той, в которой мы рассматривали умножение на натуральное число некоторой величины, например 1 см или 1 кг.
Таким образом, результат умножения (и при первом варианте решения, и при втором) будет выражен соответствующим числом десятков. На заключительной стадии решения можно предложить учащимся записать полученные результаты в виде чисел, которые являются «круглыми» десятками.
Задание 10 – естественное продолжение предыдущего задания.
В нем учащиеся также имеют дело с умножением 1 десятка на некоторые натуральные числа (точнее, на все натуральные числа от до 10), но только теперь первый множитель записан не в виде 1 дес., а в виде числа 10. Такое изменение записи первого множителя никаких принципиальных изменений в сам процесс вычисления не вносит, поэтому нужный результат может быть получен так же, как это было сделано в предыдущем задании, только с обязательным выражением окончательного результата не в виде числа десятков, а в виде «круглых» десятков.
Выполнение задания 11 базируется на переместительном свойстве умножения и на результатах предыдущего задания. Завершающая часть этого задания посвящена выводу правила умножения на число 10, которое связано с приписыванием к записи числа цифры 0. Мы хотим обратить внимание учителя, а это означает и внимание учащихся, на тот факт, что при формулировке этого правила речь нужно вести о записи чисел, а не о самих числах.
В противном случае можно сформировать ошибочное представление о сути действия умножения, которое будет отождествляться с соответствующими цифровыми трансформациями. Нельзя допускать формулировку типа: «Умножить на 10 – это значит справа приписать 0».
Задания 12 и 13 учащиеся смогут выполнить без особого труда, если будут опираться на правило из задания 11. При этом они должны помнить, что увеличение числа в 10 раз и умножение на число 10 приводят к одному и тому же результату.
При выполнении задания 14 учащимся предлагается вспомнить ситуацию с увеличением числа в несколько раз, которое осуществляется в два этапа. В результате такого поэтапного увеличения сначала в 2 раза, а потом еще в 5 раз, мы получим увеличение в раз, что и является предметом нашего изучения в этой теме.
В задании 15 учащимся предлагается решить простую задачу на умножение, при вычислении ответа которой нужно выполнить умножение на число 10.
В задании 16 предлагается решить уже составную задачу, второе действие решения которой заключается в умножении на число 10. Как выполнить такое умножение, учащиеся уже хорошо знают, поэтому вычисление ответа они должны провести устно и без особого труда.
При выполнении задания 17 учащиеся смогут не только поупражняться в выполнении умножения на число 10 с помощью калькуляТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий тора, но и в правильном построении записи умножения в столбик на число 10.
В задании 18 предлагается выполнить умножение некоторых трехзначных чисел на число 10. Правило выполнения остается тем же самым.
В заданиях 19 и 20 учащимся предлагается выразить данную величину в других единицах. При этом единицы подобраны таким образом, что нужный переход осуществляется с помощью умножения данного числа на число 10 (соответственно от дециметров к сантиметрам и от тонн к центнерам). После того как эта закономерность будет раскрыта, выполнение заданий превратится в чисто техническую работу.
В задании 21 предлагается составить задачу на кратное сравнение по данной диаграмме, после чего в роли соседа по парте они должны составить задачу на разностное сравнение по этой же диаграмме. На диаграмме представлены два числа: число 10 и число 100. Именно с этими числами в качестве данных и должны составить задачи учащиеся. Ответ задачи на кратное сравнение учащиеся могут найти с помощью диаграммы.
Тема: «Умножение на “круглое” двузначное число» (1 урок) Изучение данной темы базируется на результатах изучения предыдущей темы. Темы можно и нужно рассматривать в комплексе, учитывая при этом, что обе эти темы несут на себе пропедевтическую нагрузку применительно к изучению способа умножения на двузначное число столбиком.
Задание 22 имеет целью напомнить учащимся, что каждое «круглое» двузначное число, которое и может только выступать в роли разрядного слагаемого разряда десятков, можно представить в виде произведения соответствующего однозначного числа и числа 10.
При выполнении задания 23 учащиеся знакомятся с тем фактом, что умножение на «круглое» двузначное число можно заменить умножением сначала на соответствующее однозначное число, а потом – на число 10. При этом последние два случая умножения хорошо знакомы учащимся, и их выполнение не является для учащихся трудной проблемой.
Задание 24 направлено на отработку умения переходить от случая умножения на однозначное число к случаю умножения на соответствующее «круглое» двузначное число.
В задании 25 предлагается выполнить умножение на однозначное число и на соответствующее «круглое» двузначное число, используя запись в столбик. Цель такой работы очевидна – подгоУмножение числа на сумму»
товить учащихся к построению записи умножения на двузначное число столбиком.
При выполнении заданий 26 и 27 продолжается работа, начатая в задании 25. Отличие этих заданий состоит лишь в том, что мы предлагаем либо воспользоваться уже известным результатом умножения на однозначное число (задание 26), либо рассмотреть случаи с наличием цифры 0 в записи первого множителя, с которыми ранее учащиеся не встречались (задание 27).
В задании 28 предлагается решить простую задачу на умножение, при вычислении ответа которой нужно выполнить умножение на «круглое» двузначное число. Именно этот факт и является основной причиной включения данного задания в систему заданий данной темы В задании 29 предлагается сформулировать задачу по краткой записи. При этом краткая запись построена таким образом, что учащиеся обязательно должны выйти на задачу, решением которой будет являться произведение, в котором второй множитель – «круглое» двузначное число. При вычислении ответа сформулированной задачи учащиеся еще раз смогут поупражняться в умножении на «круглое» двузначное число.
Тема: «Умножение числа на сумму» (1 урок) Назначение темы – подготовить учащихся к изучению способа умножения на двузначное число столбиком. Но не следует данную тему рассматривать только с этой точки зрения, ее назначение гораздо шире и содержательнее. В правиле умножения числа на сумму находит отражение левый дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения. Этот закон (как и правый дистрибутивный закон умножения относительно сложения, выраженный правилом умножения суммы на число) является одним из основных законов, применяемых в алгебраических преобразованиях. По этой причине изучению распределительных законов следует уделять самое пристальное внимание. Введение термина «распределительное свойство умножения относительно сложения» мы оставляем на усмотрение учителя. Причина, которая заставила нас отказаться от обязательного введения соответствующей терминологии, состоит в том, что данное свойство распадается на два (правое и левое), а это существенно усложняет использование и изучение указанных терминов.
Задание 30 является центральным для данной темы. Именно при выполнении этого задания и происходит знакомство учащихТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий ся с правилом умножения числа на сумму. Построено такое знакомство на основе анализа двух вариантов решения одной и той же задачи, которые приписаны нами хорошо известным персонажам – Мише и Маше. Так как оба варианта решения правильные, в чем учащиеся могут убедиться на основе собственного анализа, то составление соответствующего равенства на основе этих двух вариантов решения выглядит вполне логичным и естественным. Если теперь в этом равенстве отвлечься от конкретных чисел, то мы получим математическую основу правила умножения числа на сумму, формулировку которого учащимся нужно обязательно усвоить.
При выполнении задания 31 учащиеся смогут поупражняться в применении только что изученного правила для вычисления значений соответствующих выражений.
Выполнение задания 32 потребует от учащихся умения применять правило умножения числа на сумму для составления соответствующих равенств из данных выражений (без вычисления значений этих выражений, а только на основе анализа их структуры).
В задании 33 мы еще раз хотим поработать с ситуацией, когда решение задачи, записанное в виде выражения, допускает два варианта записи, каждый из которых является частью верного равенства, иллюстрирующего правило умножения числа на сумму. Последний вопрос этого задания, в котором речь идет о выборе варианта, позволяющего более легко вычислить ответ, имеет цель начать подготовительную работу к изучению темы «Выбор рационального пути решения».
Тема: «Умножение на двузначное число» (1–2 урока) Изучение данной темы завершает всю необходимую работу по введению способа умножения на двузначное число столбиком. Мы пока еще не ведем речь об алгоритме умножения столбиком, так как рассматриваем только частный случай умножения (умножение на двузначное число), но этот частный случай является определяющим в понимании сути всего алгоритма. В результате изучения данной темы учащиеся должны усвоить тот факт, что умножение на двузначное число можно выполнить поразрядно, умножая сначала на одно разрядное слагаемое, потом – на другое и складывая полученные числа. При этом нужно учитывать, что умножение на разрядное слагаемое разряда десятков фактически сводится к умножению на однозначное число с последующим увеличением полученного результата в 10 раз.
В задании 34 мы знакомим учащихся с основной идеей поразрядного способа умножения на двузначное число. Она основывается на правиле умножения числа на сумму. Формулировкой именно этого правила и должны завершить учащиеся выполнение этого задания.
В задании 35 идея, рассмотренная в предыдущем задании, находит свое продолжение: мы уже не останавливаемся на этапе применения правила умножения числа на сумму, а идем дальше, предлагая учащимся проанализировать ситуацию, в которой выполняется умножение числа на однозначное число и на «круглое» двузначное число с последующим сложением полученных результатов. Вся необходимая подготовительная работа для проведения такого анализа уже выполнена при изучении предыдущих тем.
При ответе на последний вопрос этого задания следует обратить внимание учащихся не только на факт представления второго множителя в виде суммы разрядных слагаемых, но и на то, что при умножении на однозначное число первый множитель также имеет смысл представлять в виде суммы разрядных слагаемых (с последующим использованием правила умножения суммы на число).
В задании 36 учащимся предлагается реконструировать произведение, значение которого можно найти в результате выполнения двух данных действий умножения и соответствующего действия сложения. Эта реконструкция должна привести учащихся к произведению 35•25, значение которого как раз и можно вычислить, если сначала умножить 35 на 5 и 35 на 20, а потом сложить полученные результаты. Обращаем внимание учителя, что мы специально даем значения произведений в таком порядке, когда сначала рассматривается умножение на число 5, а уже потом – на число 20.
Такого порядка выполнения умножений требует способ умножения столбиком.
При выполнении задания 37 учащиеся смогут поупражняться в выполнении поразрядного способа умножения на двузначное число.
В задании 38 мы еще раз хотим обратить внимание учащихся на тот факт, что умножение на «круглое» двузначное число можно заменить умножением на соответствующее однозначное число с последующим увеличением полученного результата в 10 раз за счет приписывания справа к этому результату цифры 0.
В задании 39 мы предлагаем учащимся самостоятельно завершить процедуру умножения числа 368 на число 25, учитывая, что результаты умножения числа 368 на числа 5 и 20 уже имеются.
В задании 40 предлагается решить задачу, решение которой сводится к умножению числа 24 на сумму 10 + 7. В любом случае для вычисления ответа учащимся нужно будет выполнить умножение числа 24 на числа 10 и 7 с последующим сложением полученных Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий результатов. Тем самым они еще раз поупражняются в применении поразрядного способа умножения на двузначное число.
В задании 41 предлагается сформулировать задачу по краткой записи. Данное задание, кроме своего прямого назначения – формировать умение решать задачи (в данном случае речь идет о задаче на косвенное увеличение в несколько раз), имеет еще и другое назначение. При вычислении ответа сформулированной задачи учащиеся еще раз поупражняются в умножении на число 11, тем более что этот случай вполне допускает устное выполнение.
Тема: «Запись умножения на двузначное число столбиком»
(2 урока) Мы подошли к рассмотрению темы, которая является главной и завершающей в первом блоке тем второй части учебника. Эту тему можно также считать центральной для развития арифметической линии второго учебного полугодия 3 класса. Вся необходимая подготовительная работа уже проведена. Теперь надо грамотно воспользоваться полученными результатами.
При выполнении задания 42 мы сначала предлагаем учащимся повторить поразрядный способ умножения на двузначное число с использованием записи в строчку. После этого каждое из выполненных умножений и сложение полученных результатов мы предлагаем записать в столбик.
Следующий шаг рассуждений требует особого внимания: на этом этапе впервые появляется запись умножения на двузначное число столбиком, которая в очень компактной форме объединяет все три ранее полученные записи. Именно так мы предлагаем обосновать для учащихся целесообразность введения такой формы записи.
Но не только и даже не столько компактность записи в столбик должна стать объектом пристального внимания учащихся. Не менее важно указать на те преимущества, которые предоставляет эта форма записи на этапе сложения полученных значений произведений. Дело в том, что в данной форме записи полученные значения произведений записываются друг под другом с соблюдением всех требований записи сложения столбиком, что позволяет сразу выполнять сложение именно этим способом. Важно отметить, что преимущество записи умножения в столбик по сравнению с записью в строчку именно в этом факте и заключается. При записи умножения в строчку выполнение сложения полученных значений произведений может представлять существенные трудности, а при записи в столбик они устраняются.
Записи умножения в строчку и в столбик порождают и еще одно отличие в процедуре нахождения окончательного результата.
Это отличие состоит в том, что при записи в строчку поразрядное умножение начинают, как правило, с разряда десятков, переходя далее к разряду единиц, а при записи в столбик, наоборот, начинают с разряда единиц, переходя к разряду десятков. На этот факт мы уже обращали внимание в пропедевтическом плане, а теперь это должно стать предметом целенаправленного изучения.
Примечание. На самом деле порядок выполнения поразрядного умножения при записи в столбик никакой роли не играет. С таким же успехом можно было бы начинать умножение со старшего разряда, постепенно переходя к младшим.
Этого нельзя было делать при выполнении сложения и вычитания столбиком, а умножение столбиком таких ограничений не имеет. В качестве иллюстрации возможного изменения порядка выполнения поразрядного умножения при записи в столбик приведем пример записи, которая отличается от привычной нам, но ничем ей не уступает и является теоретически допустимой. Этот порядок выполнения поразрядного умножения при записи в столбик можно показать учащимся в условиях клубной работы.
В задании 43 учащимся предлагается самостоятельно повторить и записать все те этапы выполнения умножения на двузначное число, с которыми они познакомились при выполнении предыдущего задания.
При выполнении задания 44 учащиеся смогут поупражняться в применении способа умножения на двузначное число столбиком.
При этом порядок выполнения заданий должен быть построчным, так как в этом случае можно частично использовать результаты предыдущих вычислений для выполнения новых вычислений.
В задании 45 предлагается решить задачу, решением которой является выражение (12+6)•21. При любом варианте вычисления ответа этой задачи учащиеся столкнутся с необходимостью выполнения умножения на двузначное число, которое они должны выТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий полнить столбиком. Это еще раз позволит учащимся поупражняться в изученном только что способе умножения.
Этим заданием можно закончить первый урок по данной теме, но можно перенести выполнение этого задания и на завершающий этап второго урока. Исходя из реальной ситуации, окончательный выбор должен сделать сам учитель.
Детальному рассмотрению задания 46 можно посвятить начало второго урока по данной теме. При выполнении этого задания учащиеся смогут не только еще раз повторить выполнение умножения на двузначное число столбиком, но и познакомиться с сокращенным вариантом записи, в котором отбрасывается цифра 0, стоящая в записи справа у результата умножения на разрядное слагаемое разряда десятков. С одной стороны, эта форма записи является более привычной (хотя бы для учителей и для родителей), а с другой стороны, на первых порах изучения способа умножения столбиком она может спровоцировать типичную ошибку, которая заключается в нарушении требования записи чисел по принципу «разряд под соответствующим разрядом». Поэтому вводить такую форму записи нужно постепенно, не форсируя событий.
«