«МАТЕМАТИКА 3 КЛАСС Методическое пособие Под редакцией Р.Г. Чураковой МосКвА АКАдЕМКНИГА/УЧЕбНИК 2012 УДК 51(072.2) ББК 74.262.21 Ч-37 Чекин А.Л. Математика [Текст] : 3 кл. : Методическое пособие / Ч-37 А.Л. Чекин; под. ...»

А.Л. ЧЕКИН

МАТЕМАТИКА

3 КЛАСС

Методическое пособие

Под редакцией Р.Г. Чураковой

МосКвА

АКАдЕМКНИГА/УЧЕбНИК

2012

УДК 51(072.2)

ББК 74.262.21

Ч-37

Чекин А.Л.

Математика [Текст] : 3 кл. : Методическое пособие /

Ч-37

А.Л. Чекин; под. ред. Р.Г. Чураковой. – М. : Академкнига/ Учебник, 2012. – 224 с.

ISBN 978-5-49400-125-2 Методическое пособие разработано в соответствии с требованиями федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования второго поколения и концепцией комплекта «Перспективная начальная школа».

Методическое пособие предназначено для учителей начальных классов, обучающих детей по учебнику «Математика», 3 класс, в 2-х частях (автор А.Л. Чекин). В него включены: методические рекомендации по развитию основных содержательных линий учебника (по учебным полугодиям); примерное тематическое планирование (по учебным полугодиям); методические указания к заданиям; ожидаемые результаты к концу 3-го года обучения.

Пособие может быть полезно студентам педагогических вузов и колледжей.

УДК 51(072.2) ББК 74.262. © Чекин А.Л., © Оформление. ООО «Издательство ISBN 978-5-49400-125-2 «Академкнига/Учебник»,

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КУРСА

Программа курса разработана на основе федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования с учетом межпредметных и внутрипредметных связей, логики учебного процесса, задачи формирования у младшего школьника умения учиться.

Предлагаемый начальный курс математики имеет цели:

Математическое развитие младшего школьника: использование математических представлений для описания окружающей действительности в количественном и пространственном отношении; формирование способности к продолжительной умственной деятельности, основ логического мышления, пространственного воображения, математической речи и аргументации, способности различать верные и неверные высказывания, делать обоснованные выводы.

Освоение начальных математических знаний. Формирование умения решать учебные и практические задачи математическими средствами: вести поиск информации (фактов, сходства, различий, закономерностей, оснований для упорядочивания и классификации, вариантов); понимать значение величин и способов их измерения; использовать арифметические способы для разрешения сюжетных ситуаций (строить простейшие математические модели);

работать с алгоритмами выполнения арифметических действий, решения задач, проведения простейших построений. Проявлять математическую готовность к продолжению образования.

Воспитание критичности мышления, интереса к умственному труду, стремления использовать математические знания в повседневной жизни.

Общая характеристика курса Таким образом, предлагаемый начальный курс математики призван не только ввести ребенка в абстрактный мир математических понятий и их свойств, охватывающий весь материал, содержащийся в примерной программе по математике в рамках федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования второго поколения, но и дать первоначальные навыки ориентации в той части реальной действительности, которая описывается (моделируется) с помощью этих понятий, а именно:

окружающий мир как множество форм, как множество предметов, отличающихся величиной, которую можно выразить числом, как разнообразие классов конечных равночисленных множеств и т. п., а также предложить ребенку соответствующие способы познания окружающей действительности.

Основная дидактическая идея курса может быть выражена следующей формулой: через рассмотрение частного к пониманию общего для решения частного. При этом ребенку предлагается постичь суть предмета через естественную связь математики с окружающим миром. Все это означает, что знакомство с тем или иным математическим понятием осуществляется при рассмотрении конкретной реальной или псевдореальной (учебной) ситуации, соответствующий анализ которой позволяет обратить внимание ученика на суть данного математического понятия. В свою очередь, такая акцентуация дает возможность добиться необходимого уровня обобщений без многочисленного рассмотрения частностей. Наконец, понимание общих закономерностей и знание общих приемов решения открывает ученику путь к выполнению данного конкретного задания даже в том случае, когда с такого типа заданиями ему не приходилось еще сталкиваться. Логико-дидактической основой реализации первой части формулы является неполная индукция, которая в комплексе с целенаправленной и систематической работой по формированию у младших школьников таких приемов умственной деятельности, как анализ и синтез, сравнение, классификация, аналогия и обобщение, приведет ученика к самостоятельному «открытию» изучаемого математического факта. Вторая же часть формулы носит дедуктивный характер и направлена на формирование у учащихся умения конкретизировать полученные знания и применять их к решению поставленных задач.

Отличительной чертой настоящего курса является значительное увеличение роли, которую мы отводим изучению геометрического материала и изучению величин, что продиктовано той группой поставленных целей, в которых затрагивается связь математики с окружающим миром. Без усиления этих содержательных линий невозможно достичь указанных целей, так как ребенок восприниОбщая характеристика курса мает окружающий мир, прежде всего, как совокупность реальных предметов, имеющих форму и величину. Изучение же арифметического материала, оставаясь стержнем всего курса, осуществляется с возможным паритетом теоретической и прикладной составляющих, а в вычислительном плане особое внимание уделяется способам и технике устных вычислений.

Содержание всего курса можно представить как взаимосвязанное развитие пяти основных содержательных линий: арифметической, геометрической, величинной, алгоритмической (обучение решению задач) и информационной (работа с данными). Что же касается вопросов алгебраического характера, то они рассматриваются в других содержательных линиях – главным образом в арифметической и алгоритмической.

ОСОБЕННОСТИ РАЗВИТИЯ ОСНОВНЫХ

СОДЕРЖАТЕЛЬНЫХ ЛИНИЙ КУРСА

ПЕРВОГО ПОЛУГОДИЯ

Изучение чисел В первом полугодии 3 класса учащиеся продолжают изучать письменную и устную нумерацию целых неотрицательных чисел. Следующей разрядной единицей, с которой им предстоит познакомиться, является «тысяча».

Введение этой разрядной единицы осуществляется по той же схеме, которую мы использовали при введении сотни, а именно:

сначала изучается тема «Счет сотнями и “круглое” число сотен», что позволяет подвести учащихся к рассмотрению числа, состоящего из 10 сотен, а далее это число представляется в роли новой разрядной единицы с названием «тысяча».

После введения «тысячи» учащиеся знакомятся с разрядом «единиц тысяч» и соответственно с письменной и устной нумерацией четырехзначных чисел. Далее вводятся в рассмотрение еще два разряда – разряд десятков тысяч и разряд сотен тысяч.

Знание письменной нумерации чисел распространяется до шестизначных чисел, а использование таблицы разрядов и классов позволяет ввести и принцип устной нумерации чисел, основанный на разбиении на классы по три разряда в каждом.

Поразрядный способ применяется и для сравнения чисел. Частные случаи применения этого способа сравнения были изучены учащимися ранее. На данном этапе изучения этого вопроса мы переходим к рассмотрению обобщений и выводу правила сравнения многозначных чисел.

Остановимся более подробно на поурочном планировании тем, цель которых изучение чисел.

Изучение действий над числами В первом полугодии 3 класса продолжается изучение способа сложения (вычитания) многозначных чисел столбиком. При этом в рассмотрение включаются изученные только что числа, вплоть до шестизначных, а сам способ рассматривается уже на уровне алгоритма сложения (вычитания) столбиком, так как учащиеся должны научиться правильно действовать во всех возможных случаях. Мы хотим особо подчеркнуть, что от них не требуется знать формулировку соответствующего алгоритма, но они должны уметь дать правильный ответ на все вопросы, которые могут возникнуть в процессе выполнения этого алгоритма. Полная формулировка самого алгоритма сложения (вычитания) столбиком представляет собой достаточно сложную логическую конструкцию, которую учащимся выстроить или запомнить очень не просто, но это и не обязательно делать. На наш взгляд, вполне достаточно уметь применять соответствующий алгоритм для выполнения вычислений, а для этого требуется знать, как нужно поступать в тех или иных ситуациях, возникающих при сложении (вычитании) многозначных чисел столбиком. Найти ответ на конкретный вопрос, касающийся выполнения алгоритма, гораздо проще, чем строить формулировку, предусматривающую ответы на все вопросы, которые могут возникнуть в процессе выполнения этого алгоритма.

Изучение действия умножения выходит за рамки табличных случаев и распространяется на случай умножения многозначного числа на однозначное. Для этого случая умножения вводится запись в столбик, но сам способ умножения столбиком пока еще не рассматривается. Предшествует изучению этого вопроса рассмотрение двух вспомогательных тем, без которых нельзя обосновать поразрядный способ умножения многозначного числа на однозначное.

Речь идет о случаях умножения «круглого» числа на однозначное и об умножении суммы на число.

Важным моментом в изучении действий умножения и деления является рассмотрение свойства, выражающего взаимосвязь этих действий. На основании этого свойства можно находить значение частного, опираясь на знание соответствующего случая умножения. Обратная связь также существует, но она используется не так часто.

Особое внимание уделяется изучению сочетательного свойства умножения. Обоснование этого свойства построено на рассмотрении вопроса о подсчете числа кубиков, из которых построен прямоугольный параллелепипед: различные варианты разбиения этой фигуры на части позволяют смоделировать различные варианты Особенности развития основных содержательных линий курса первого полугодия расстановки скобок в произведении трех множителей и показать независимость значения этого произведения от такой расстановки.

Сочетательное свойство находит применение при рассмотрении вопроса о группировке множителей (здесь оно применяется вместе с переместительным свойством), а также при рассмотрении вопроса о повторном увеличении числа или величины в несколько раз (без сочетательного свойства умножения нельзя обосновать тот факт, что увеличение, например, в 3 раза, а потом в 2 раза можно заменить увеличением сразу в 6 раз).

Изучение геометрического материала Изучение геометрического материала в первом полугодии 3 класса начинается с повторения понятий «плоская поверхность» и «искривленная поверхность». С этими понятиями учащиеся сталкивались еще в 1 классе перед тем, как приступили к изучению плоских геометрических фигур. На данном этапе обучения понятие «плоская поверхность» позволяет провести пропедевтическую работу в плане знакомства с понятием «плоскость». При этом понятие «плоскость» нас интересует не само по себе, а в связи с вопросом изображения фигур и предметов на плоскости. Прежде всего, учащиеся знакомятся с изображением на плоскости такой фигуры, как куб. Умение изображать куб (или предметы, имеющие форму куба) будет востребовано при рассмотрении геометрической модели для такой разрядной единицы, как тысяча (указанная модель представляет собой куб, состоящий из 10 слоев, каждый из которых состоит из 100 кубиков, расположенных в виде квадрата 10х10). Еще один аспект включения данного блока вопросов в программу первого полугодия 3 класса состоит в том, что мы тем самым обеспечиваем необходимую математическую базу для изучения соответствующих вопросов из курса «Окружающий мир».

Следующий блок геометрических вопросов – формирование умения сравнивать и измерять углы. Простейший способ сравнения углов – это способ «наложения», согласно которому один угол нужно наложить на другой так, чтобы вершина и сторона одного угла совпадали с вершиной и стороной другого угла. При этом внутренние области углов должны иметь не пустое пересечение. При таком расположении мы получим либо полное совпадение углов (это означает, что углы равны), либо один угол составит часть другого (это означает, что угол-«часть» меньше угла-«целого»). В процессе решения заданий на непосредственное сравнение углов учащиеся должны прийти к выводу, что больший угол никогда нельзя разместить внутри меньшего угла. Однако если углы равны, то один Обучение решению сюжетных (текстовых) арифметических задач из них можно разместить внутри другого. Трудность применения этого способа сравнения состоит в том, что он требует умения произвольно перемещать данный угол по плоскости. Это легко и удобно делать, если учащиеся имеют дело с моделями углов (например, моделями, сделанными из картона).

Когда же в распоряжении учащихся имеются только чертежи углов, то применить для их сравнения способ «наложения» совсем не так просто. Для этого нужно уметь от произвольного луча откладывать угол, равный данному, чему мы пока учащихся не учим.

Выход из этого затруднительного положения может быть связан с процедурой измерения углов. Хотя в полном объеме эту процедуру мы не рассматриваем, а ограничиваемся лишь рассмотрением случая измерения одного угла некоторым другим углом (вопросы использования стандартной единицы при измерении углов отнесены в приложение и имеют факультативный характер), но и в этом случае необходимость и полезность введения процедуры измерения углов вполне очевидна.

Заключительный блок геометрических вопросов посвящен изучению видов треугольников. Учащимся предлагается познакомиться с прямоугольными, тупоугольными и остроугольными треугольниками, а также с треугольниками разносторонними и равнобедренными. Равносторонний треугольник рассматривается как частный случай равнобедренного. При проведении классификации треугольников по виду углов следует обратить внимание учащихся на тот факт, что в любом треугольнике обязательно имеется два острых угла, а вот третий угол может быть либо прямым, либо тупым, либо острым. Таким образом, вид треугольника и определяется видом этого третьего угла.

Обучение решению сюжетных (текстовых) арифметических задач В первом полугодии 3 класса мы продолжаем проводить систематическую работу по обучению решению сюжетных арифметических Особенности развития основных содержательных линий курса первого полугодия задач. При этом основное внимание будет уделено разъяснению логической структуры составных задач на сложение и вычитание, способам распознавания и графическому моделированию простых задач на умножение и деление, а также составлению краткой записи в виде таблицы. Что касается выявления логической структуры составных задач на сложение и вычитание, то мы предлагаем этот вопрос изучать на основе построения и анализа графических схем, первичным элементом конструкции которых является хорошо знакомая учащимся круговая схема простой задачи на сложение или вычитание. В зависимости от сложности логической структуры составной задачи такая схема может состоять из нескольких «простых» схем. Мы в основном будем рассматривать «двойные» схемы, которым отвечает решение в два действия, но познакомим учащихся и с «тройными» схемами. Принцип использования таких схем, как и ранее, заключается в следующем: мы обучаем учащихся решению задач через составление разнообразных задач по заданной логической структуре, представленной с помощью данной схемы (сами схемы также варьируются). Когда учащиеся в достаточной степени овладеют этим умением, они смогут без особого труда определять логическую структуру данной задачи и тем самым находить ее решение.

Для графического моделирования простых задач на умножение и деление мы предлагаем использовать диаграммы сравнения. Выбор такой модели определяется следующими соображениями: во-первых, диаграмма сравнения устроена так, что в ее конструкции задействован числовой луч, что позволяет готовить учащихся к изучению системы координат (моделирование с помощью отрезков такой возможности не предоставляет);

во-вторых, диаграммы сравнения – это очень востребованный в настоящее время графический способ представления числовых данных (диаграммы сравнения учащиеся постоянно могут видеть на экранах телевизоров или в периодической печати);

в-третьих, с помощью диаграмм сравнения можно наглядно представить как процедуру увеличения, так и процедуру уменьшения в несколько раз.

Из всех типов диаграмм сравнения мы выбрали для использования так называемые полосчатые диаграммы, в которых числовое данное иллюстрируется с помощью длины (в определенном масштабе) горизонтальной полосы. Такие диаграммы наилучшим образом согласуются с горизонтальным расположением числового луча, которое является для учащихся привычным и хорошо знакомым. Еще одним фактором, определившим данный выбор, является более компактное и рациональное расположение «поОбучение решению сюжетных (текстовых) арифметических задач лосчатых» диаграмм по сравнению, например, с диаграммами в виде вертикальных столбиков («столбчатой» диаграммой).

Формируя общие умения решать арифметические сюжетные задачи, мы особое внимание обращаем на задачи, которые принято называть «задачами на кратное сравнение». Этот тип задач легко распознается по специфическому требованию, в котором речь идет о том, во сколько раз одно число (или величина) больше (или меньше) другого числа (или величины). По этой причине для решения таких задач можно использовать правило «кратного сравнения», с которым учащиеся предварительно уже познакомились. Выполнение этого правила требует выполнения действия деления, которое должно быть заключительным действием искомого решения (если задача простая, то это действие будет единственным). Обращаем внимание на тот факт, что аналогичная ситуация имела место при рассмотрении вопроса о задачах на разностное сравнение. Эту аналогию вполне можно использовать в методических целях, проводя соответствующие параллели между решением задач на кратное сравнение и решением задач на разностное сравнение.

С существованием краткой записи задачи учащиеся познакомились во 2 классе. Теперь мы познакомим их с тем, как можно использовать таблицу для оформления краткой записи задачи. Такая форма краткой записи имеет, на наш взгляд, целый ряд преимуществ по сравнению с традиционной формой краткой записи. Во-первых, запись в виде таблицы более системна и информативна. Не случайно табулирование данных считается одной из простейших, но эффективных форм обработки данных. Во-вторых, при такой форме записи учащиеся постоянно учатся работать с таблицей, что является очень важным умением с точки зрения дальнейшего обучения. В-третьих, мы готовим учащихся к использованию таблицы при осуществлении краткой записи задач с пропорциональными величинами.

В-четвертых, в отдельных случаях краткая запись задачи в виде таблицы может рассматриваться как пропедевтика изучения функциональной зависимости. Мы не предлагали ранее такую форму краткой записи лишь по соображениям возможного возникновения проблем технического порядка при построении таблицы учащимися.

Примечание. Как мы уже отмечали ранее (см. соответствующий раздел методического пособия к учебнику для 2 класса), на процесс формирования общего умения решать задачи большое положительное влияние оказывает практика составления задач, удовлетворяющих тем или иным характеристикам. По этой причине в тексте данного учебника встречается достаточно много заданий такого плана. Работа с этими заОсобенности развития основных содержательных линий курса первого полугодия даниями, если нет никаких специальных указаний, должна строиться в форме диалога учитель – ученики, а сами составленные задачи должны формулироваться учащимися устно.

Изучение величин Изучение величин в первом полугодии 3 класса сводится к изучению новых стандартных единиц длины и массы и соотношению между новыми и старыми единицами. Рассмотрение таких единиц длины, как километр и миллиметр, и таких единиц массы, как грамм и тонна, обусловлено их смысловой связью с введением новой разрядной единицы «тысяча». Именно эта связь определяет не только их выбор, но и их место в последовательности изучаемых вопросов. Единица длины «километр» рассматривается сразу после изучения блока вопросов, посвященных введению разрядной единицы «тысяча». Это позволяет нам не только положить введение «километра» на соответствующую числовую основу, но и провести работу по закреплению понятия «тысяча». При этом учащимся предлагается самостоятельно познакомиться со смысловым составом термина «километр», используя для этого необходимую информацию из словаря-справочника, помещенного в конце учебника. Знакомство со смысловым составом термина «километр» позволит учащимся самостоятельно установить связь между такими единицами массы, как килограмм и грамм. Отличие при изучении пар понятий «метр-километр» и «грамм-килограмм»

состоит лишь в том, что в первом случае термин, начинающийся со слова «кило», обозначает новую единицу (километр), а во втором – старую единицу (килограмм). Но объединяет обе эти терминологические пары общая числовая основа – тысяча. При рассмотрении такой единицы массы, как тонна, мы будем опираться на ту же самую числовую основу, но в терминологическом плане мы уже такой возможности иметь не будем. Тонну в учебных целях можно иногда называть «килокилограммом», но при этом обязательно следует подчеркнуть, что такое название является искусственным и на практике не используется. Число 1000 лежит в основе образования и такой единицы длины, как миллиметр. При этом смысл слова «милли» учащиеся смогут узнать из словаря-справочника, после чего смысловое построение термина «миллиметр» станет им понятно без дополнительных пояснений. Однако последовательность изучаемых тем, связанных с термином «миллиметр», такова, что уяснить смысл этого термина учащиеся смогут и без обращения к словарю-справочнику.

Работа с данными Работа с данными, как и ранее, должна проводиться в двух видах:

во-первых, в процессе выполнения заданий, которые в явном виде относятся к информационно-содержательной линии, во-вторых, в процессе выполнения заданий (в виде вспомогательной сопутствующей работы), относящихся к другим содержательным линиям. В первом случае мы включаем в перечень изучаемых тем такие, которые напрямую относятся к информационно-содержательной линии, наполняя их заданиями по работе с данными в явном виде.

Во втором случае наибольший объем работы с данными приходится на задания, связанные с обучением решению текстовых задач (алгоритмическая линия), и на задания, связанные с изучением чисел и с формированием вычислительных умений (арифметическая линия). Но эта работа носит уже, как правило, неявный (вспомогательный, сопутствующий) характер с точки зрения поставленных учебных задач.

Основными объектами по работе с данными в первом полугодии 3 класса являются следующие: таблица разрядов и классов, табличная форма краткой записи текстовой задачи, диаграммы сравнения (столбчатые и полосчатые). При этом следует обратить особое внимание на возможность использования диаграмм сравнения для решения текстовых задач на кратное и разностное сравнение.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

И РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ТЕМ

И ОТДЕЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Первое полугодие Дадим теперь некоторые методические рекомендации по изучению отдельных тем и выполнению отдельных заданий. При этом для каждой темы будет указано количество уроков, которое следует отвести на ее изучение. Для некоторых тем такое указание является вариативным и имеет вид «1–2 урока». На изучение примерно половины тем с таким вариативным указанием учитель, по своему усмотрению, может отвести по два урока, а на остальные – по одному. Окончательное поурочное планирование следует проводить, исходя из общего количества уроков математики в первом учебном полугодии.

Примечание. Предлагаемое распределение учебных часов, отводимых на изучение той или иной темы, не является строго обязательным. Учитель вправе внести изменения в тематическое планирование, исходя из реальной ситуации. Эти изменения могут касаться и сроков окончания работы по первой части учебника. Обращаем внимание на то, что количество часов, рассчитанное для каждого раздела программы на основе примерного тематического планирования не может полностью совпадать с количеством часов, указанным в программе. Дело в том, что большое число тематических уроков нельзя в полном объеме относить только к тому разделу программы, к которому относится тема этого урока. Как правило, на таких уроках осуществляется изучение материала и из других разделов программы. Особенно это касается двух разделов программы: «Действия над числами» и «Арифметические сюжетные задачи». Указанное в программе количество часов следует трактовать как суммарное время, которое мы примерно планируем отвести на изучение данного раздела программы на всех уроках, а не только на уроках соответствующей тематики.

Тема: «Начнем с повторения» (3–4 урока) Название этой темы четко определяет ее методическое назначение.

В течение первых трех (четырех) уроков мы предлагаем учащимся повторить основные вопросы из программы 2 класса. Осуществляться это повторение будет в процессе выполнения предлагаемых заданий.

Задание 1 предназначено для повторения правила поразрядного сравнения изученных чисел.

При выполнении задания 2 учащиеся смогут проверить знание табличных случаев умножения и потренироваться в умении использовать калькулятор для выполнения умножения.

Задание 3 предназначено для восстановления навыков сложения вычитания столбиком. Калькулятор в этих заданиях применяется соответственно для выполнения сложения и вычитания.

В задании 4 учащимся предлагается составить круговую схему для простой задачи на сложение. При составлении этой схемы следует обратить их внимание на то, что искомым в задаче является число всех писем, поэтому вопросительный знак на схеме нужно поставить в верхнем квадрате. После этого расставить данные на схеме уже несоставит особого труда. Когда схема будет заполнена, то выбор действия сложения для решения этой задачи будет легко установлен, несмотря на то, что в условии задачи фигурируют слова «осталось разнести», что может ошибочно ориентировать учащихся на выбор действия вычитания.

Решением задачи 5 будет выражение 5 см – (3 см – 2 см). Для того чтобы выбрать это выражение, учащиеся могут рассуждать следующим образом: за лето Миша в росте обогнал Машу на 1 см, что можно узнать, выполнив разностное сравнение величин 3 см и 2 см, после чего можно узнать, на сколько см Маша выше Миши сейчас, учитывая, что до лета отличие в их росте составляло 5 см в пользу Маши.

При выполнении задания 6 учащиеся смогут повторить алгебраический способ решения сюжетной арифметической задачи.

Вторая часть этого задания посвящена вопросу составления обратной задачи (в данном случае речь идет о двух возможных обратных задачах). При этом для решения обратной задачи учащимся также предлагается составить соответствующее уравнение.

При выполнении задания 7 учащиеся смогут восстановить умение строить окружности заданного радиуса с помощью циркуля Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий и измерительной линейки. При этом длину радиуса предварительно необходимо вычислить, используя знание длины диаметра и соотношение между радиусом и диаметром.

Выполняя задание 8, учащиеся смогут повторить понятия «прямой угол» «тупой угол», «острый угол».

В задании 9 предлагается построить треугольник, у которого две стороны имеют длину по 5 см. Выполнять такое построение можно в следующей последовательности: сначала построить произвольный угол, после этого отложить на его сторонах, считая от вершины, отрезки по 5 см, а затем соединить концы этих отрезков. Построение данного треугольника является еще и пропедевтикой к изучению понятия «равнобедренный треугольник».

При выполнении задания 10 учащиеся смогут повторить понятие «периметр многоугольника», потренироваться в вычислении периметров данных многоугольников, предварительно проведя необходимые измерения, а также повторить формулу для вычисления периметра квадрата.

Решением задачи 11 будет разбиение данной фигуры на 4 одинаковых квадрата.

При выполнении задания 12 учащиеся смогут повторить правила порядка выполнения действий в выражениях со скобками и без скобок, а также поупражняться в выполнении всех четырех арифметических действий.

При выполнении задания 13 учащиеся смогут повторить ряд понятий, имеющих отношение к величине «время», а именно: «полдень», продолжительность суток, дни календаря. Ответом на поставленный в задании вопрос будет следующая дата: «29 августа 12 часов 00 минут».

В заданиях 14 и 15 речь идет о сравнении величин. Для выполнения такого сравнения учащиеся должны вспомнить о том, в каких единицах измеряется каждая из рассматриваемых величин, а также осуществить перевод в удобные для сравнения единицы соответствующей величины.

Задание 16 направлено на повторение «круглых» двузначных чисел, т. е. чисел, которые могут выступать в роли разрядного слагаемого разряда десятков.

В задании 17 «круглые» двузначные числа применяются для получения в результате сложения числа 100. Такие суммы являются аналогом построения числа 10 на основе сложения однозначных чисел. Это задание мы отнесли к заданиям повышенной сложности.

В задании 18 предлагается представить число 100 в виде суммы десяти слагаемых, каждое из которых является «круглым» двузначНачнем с повторения»

ным числом. Такое представление возможно только в одном случае:

слагаемым такой суммы должно быть число 10. Все другие варианты приводят к значению суммы, которое будет больше 100.

Задание 19 выполнить совсем несложно, если выполнено предыдущее задание: учащимся не составит особого труда перейти от суммы 10+10+10+10+10+10+10+10+10+10 к произведению 10•10.

При выполнении задания 20 учащиеся еще раз смогут повторить, какие числа могут выступать в роли разрядных слагаемых для первых трех разрядов. При этом следует помнить, что число 0 формально может являться разрядным слагаемым любого разряда, но при разложении на разрядные слагаемые слагаемое, равное 0, обычно не записывают. Например, 507=500+7. Что же касается записи числа 507, то цифру 0 в соответствующем разряде следует писать обязательно, но указывает эта цифра на отсутствие этого разрядного слагаемого. Вторая часть этого задания направлена на пропедевтику введения «новой» разрядной единицы – тысячи. Анализируя столбик с «круглыми» сотнями, учащиеся самостоятельно смогут записать и другие «круглые» сотни. Скорее всего, их выбор как раз и совпадет с числом 1 000, которое является следующим по порядку числом для чисел первого столбика.

На выполнение задания 21 следует обратить особое внимание.

Это задание направлено не только, и даже не столько, на повторение, сколько на расширение знания об использовании круговых схем для моделирования простых задач на сложение и вычитание.

В первой части задания предлагается вспомнить, какая из двух данных схем отвечает задаче на количественный смысл действия вычитания. После того как этот факт будет установлен, мы предлагаем внести небольшие изменения в формулировку задачи, сделав ее задачей на уменьшение «на несколько» единиц. Так как при таком изменении сюжетная суть задачи практически не изменяется, то учащиеся легко смогут установить связь между этой «новой»

задачей и «старой» схемой. Таким образом, применение круговых схем мы распространяем и на задачи другого типа (речь идет о задачах на уменьшение или увеличение на несколько единиц). Последняя часть задания позволяет распространить использование круговых схем и на задачи, в которых речь идет об уменьшении (увеличении) данной величины на некоторую величину. Так как математическая суть такой задачи принципиально не отличается от ранее рассмотренной задачи, то построение соответствующей круговой схемы не составит для учащихся особого труда. Для того чтобы упростить для учащихся процедуру составления круговой схемы, мы специально рассматриваем задачи с совпадающими числовыми данными.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий Тема: «Умножение и деление» (1 урок) Данная тема выполняет роль своеобразного связующего звена между темами, связанными с действием умножения, и темами, связанными с действием деления, к изучению которых мы переходим. Вопросы, которые затрагиваются при изучении этой темы, играют очень важную роль в понимании существующих взаимосвязей между арифметическими действиями, а также для формирования умения выполнять действие деления.

Связь между умножением и делением аналогична связи между сложением и вычитанием. На этом факте можно построить соответствующие объяснения.

При выполнении задания 22 учащиеся фактически проведут доказательство правила, в котором выражается связь умножения с делением. Формулировка этого правила включена в текст задания и должна быть хорошо усвоена учащимися.

Обязательно следует обратить их внимание на то, что в формулировке этого правила содержатся два случая: произведение можно делить на первый множитель, а можно – на второй.

Целью задания 23 является обоснование правила, которое связывает деление с умножением.

Формулировка этого правила включена в текст задания и должна быть хорошо усвоена учащимися.

В задании 24 предлагается по данным случаям умножения составить и записать соответствующие случаи деления. Так как учащиеся должны опираться на правило, связывающее умножение с делением, то для каждого случая умножения они должны составить два случая деления.

В задании 25 мы продолжаем работать с правилом, связывающим умножение с делением. Учащиеся должны научиться вычислять значение частного, опираясь на соответствующий случай умножения.

На этом этапе обучения можно уже переходить к следующей трактовке процесса отыскания значения частного: значение частного это такое число, которое при умножении на делитель дает делимое (см. правило из задания 23). В такой трактовке число это можно находить «методом подбора».

В задании 26 предлагается составить простую задачу, решением которой будет произведение 5•6. После этого учащимся предлагается составить обратную задачу. Решая прямую и обратную задачи и вычисляя их ответы, они еще раз смогут убедиться в том, что действия умножения и деления взаимосвязаны.

Развитие данной темы найдет свое воплощение в табличных случаях действия деления.

Тема: «Табличные случаи деления» (1 урок) При изучении данной темы учащиеся смогут продолжить рассмотрение вопроса о взаимосвязи действий умножения и деления.

Только теперь область применения соответствующих правил будет касаться не любых возможных случаев умножения, а случаев, которые относятся к табличным. Такое же название принято давать и соответствующим случаям деления.

В задании 27 предлагается для данных табличных случаев умножения составить и записать соответствующие случаи деления. Для составления этих случаев учащиеся должны воспользоваться правилом из задания 22, а для стандартизации соответствующих записей им предложено следовать данному образцу.

В задании 28 предлагается выполнить деление, опираясь на соответствующие случаи умножения. Речь, естественно, идет только о табличных случаях. Сам же процесс отыскания частного описан в задании 25.

В задании 29 предлагается записать все табличные случаи деления, в которых делитель равен числу 3. Сделать это будет для них легче, если перед глазами будет находиться третий столбик таблицы умножения. Тогда можно легко преобразовать все случаи умножения этого столбика в соответствующие случаи деления, в которых делитель равен 3 (используется правило деления значения произведения на первый множитель).

В задании 30 учащимся предлагается записать все табличные случаи деления, в которых значение частного равно 3. Для выполнения этого задания также потребуются случаи из третьего столбика таблицы умножения. Только теперь следует применить правило деления значения произведения на второй множитель.

В задании 31 предлагается решить простую задачу на смысл действия деления (речь идет о случае деления «по содержанию»). Особое внимание следует обратить на процесс вычисления ответа, так как учащиеся должны указать табличный случай умножения, с помощью которого можно и нужно вычислить значение интересующего нас частного.

При выполнении задания 32 учащиеся смогут поупражняться в отыскании табличных случаев деления. Критерий, которым они должны пользоваться, достаточно простой: делитель и значение частного должны быть однозначными числами. Если возникнут затруднения, то учитель может направить их рассуждения в нужное русло с помощью соответствующих вопросов, в которых еще раз обратит их внимание на то, что в таблицу умножения включены только случаи умножения однозначных чисел.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий В задании 33 учащимся предлагается заполнить в рабочей тетради столбики, содержащие табличные случаи деления.

Для выполнения задания 34 учащиеся должны проанализировать все табличные случаи деления и выбрать из них такой, в котором самое большое делимое. Речь идет о случае 81 : 9 = 9.

Для выполнения задания 35 учащимся нужно из всех табличных случаев деления выбрать те, в которых делитель равен значению частного. Этими случаями являются: 1 : 1 = 1, 4 : 2 = 2, 9 : 3 = 3, В задании 36 предлагается составить задачу, решением которой будет частное 36 : 9. Так как решение относится к табличным случаям деления, то вычисление ответа следует свести к знанию этого табличного случая или соответствующего случая умножения.

Задание 37 еще раз возвращает учащихся к анализу всех табличных случаев деления. Им нужно указать все случаи, в которых делимое равно 24. Такими случаями являются: 24 : 3 = 8, 24 : 4 = 6, Тема: «Учимся решать задачи»

В этой теме мы предлагаем подборку заданий на формирование умения распознавать (а следовательно, и решать) простые задачи на умножение и деление. Указанное умение является составной частью общего умения решать арифметические сюжетные задачи.

По данной теме можно организовать отдельный урок, а можно использовать предлагаемые задания фрагментарно при изучении других тем, связанных с действиями умножения и деления. Выбор мы оставляем учителю.

В задании 38 сначала предлагается решить данную задачу (речь идет о простой задаче на умножение), а уже потом составить и решить две обратные задачи. При вычислении ответов обратных задач учащиеся могут воспользоваться правилом, которое связывает умножение с делением, или знанием табличных случаев деления.

В задании 39 предлагается по иллюстрации составить одну задачу на умножение и две задачи на деление. Понятно, что решением первой задачи будет произведение 8•5 (другой вариант трудно предположить), а решением двух других задач частные 40 : и 40 : 8. Скорее всего, составленные задачи на деление будут обратными к составленной задаче на умножение, но для окончательного положительного ответа требуется еще проверить согласованность сюжетов составленных задач.

В задании 40 учащимся предлагается составить задачу по данному решению. Так как составленная задача является простой задачей на умножение, то обратная для нее задача будет простой задачей на деление (на эту закономерность учащиеся уже должны обратить внимание). Поэтому можно было бы записать решение обратной задачи (любой), не составляя саму задачу. Для этого имеется только один вариант: 49 : 7.

В задании 41 предлагается сначала решить данную задачу (речь идет о простой задаче на деление «по содержанию»). После этого им предлагается проверить правильность решения данной задачи с помощью обратной. С указанным способом проверки они познакомились в конце второго класса, поэтому может потребоваться некоторая работа, связанная с повторением этого материала.

В задании 42 учащимся предлагается устно составить задачу, решением которой было бы частное 35 : 5. После этого они должны записать решения обратных задач и вычислить их ответы, не составляя самих обратных задач. Такими решениями будут: 7• (или 5•7 в зависимости от вида деления в решении прямой задачи) и 35 : 7.

Задание 43 аналогично предыдущему заданию, только речь в нем идет о составлении задачи на умножение с решением 7•5. При этом обратные задачи могут иметь два варианта решения: 35 : 5 и 35 : 7.

Это касается всех без исключения типов составленных задач на умножение. Даже в том случае, когда прямая задача является задачей на увеличение в 5 раз, то можно составить две обратные задачи, в одной из которых искомым будет число 7 (число, которое увеличивали), а во втором – число 5 (число, которое показывает, во сколько раз увеличивали).

Задание 44 относится к заданиям повышенной сложности. Учащимся предлагается ответить на вопрос, который ранее не обсуждался. Подсказкой служит вторая часть задания. Для решения 36 : можно составить прямую задачу, а тогда одна из обратных будет иметь такое же решение. Приведем примеры таких задач. «36 карандашей разложили в коробки по 6 карандашей. Сколько коробок потребовалось?» и «36 карандашей разложили в 6 коробок поровну.

Сколько карандашей в одной такой коробке?».

Тема: «Плоские поверхности и плоскость» (1 урок) Данной темой мы начинаем изучение программного материала 3 класса, который относится к геометрической содержательной линии. Такое раннее обращение к данным вопросам продиктовано Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий следующими причинами. Во-первых, при изучении нумерации чисел мы будем опираться на геометрическую модель тысячи в виде куба, разбитого на 1000 маленьких кубиков, и мы должны предварительно познакомить учащихся с кубом и его изображением. Вовторых, вопросы изображения на плоскости будут рассматриваться учащимися в курсе «Окружающий мир», и нам необходимо подготовить для этого соответствующую математическую базу.

В задании 45 мы напоминаем учащимся о существовании плоских и искривленных поверхностей. Знакомство с такими типами поверхностей было проведено еще в 1 классе, но после этого данные понятия в явном виде не рассматривались. При рассмотрении плоских поверхностей всегда следует иметь в виду, что с помощью реальных предметов моделировать плоскую поверхность можно с определенными естественными допущениями.

При выполнении задания 46 учащиеся познакомятся с одним из способов «получения» плоскости в результате некоторого бесконечного процесса. В качестве фигуры, которая участвует в этом процессе, мы выбрали круг, хотя с таким же успехом можно было бы взять и квадрат, и еще много других фигур с определенными свойствами.

Для круга легче всего описать необходимый для заполнения плоскости процесс увеличения размеров этой фигуры. Сам же процесс заполнения плоскости кругами можно трактовать следующим образом: какую бы точку на плоскости мы ни выбрали, всегда найдется такой круг, что эта точка окажется внутри данного круга. Упоминание о том, что аналогичная ситуация будет складываться и тогда, когда вместо круга в данном процессе будет фигурировать квадрат, необходимо для того, чтобы у учащихся не сложилось ошибочного представления о плоскости как о круге очень большого радиуса.

В задании 47 предлагается познакомиться с воображаемой моделью плоскости на основе тонкого листа бумаги, продолжающегося бесконечно в любом направлении. Если учащиеся смогут самостоятельно предложить еще какие-то варианты моделирования плоскости, то это следует только приветствовать.

В задании 48 предлагается нарисовать предметы, имеющие плоскую поверхность. Любой рисунок желательно сопроводить соответствующим комментарием (устным или письменным).

В задании 49 учащимся предлагается изобразить 5 плоских геометрических фигур. Это могут быть любые многоугольники или круги, но если ученик выберет в качестве примера плоскую фигуру произвольной формы, то такой вариант ответа тоже следует принимать как правильный. При выполнении этого задания было бы желательно продемонстрировать им модель плоской геометрической фигуры, сделанной из плотного листа бумаги. На этой модели легИзображения на плоскости»

ко показать, как плоская геометрическая фигура может перестать быть таковой, если ее изогнуть (лист бумаги легко позволяет это сделать).

При выполнении задания 50 учащиеся должны изобразить геометрическую фигуру, которая не является плоской. Из тех фигур, с которыми они знакомы, это может быть шар или куб, но возможны и другие варианты. Так как изображение такой фигуры сопряжено с определенными трудностями, то важен сам факт правильного выбора такой фигуры, а не ее изображение.

В задании 51 мы предлагаем учащимся обратить внимание на факт существования «плоской» тени от «объемных» предметов.

Солнечная тень – это достаточно адекватная модель понятия «параллельная проекция», которое играет ключевую роль в вопросах построения изображений фигур на плоскости. При этом мы сразу обращаем внимание учащихся на тот факт, что по виду тени (проекции) не всегда можно восстановить оригинал. Так, форму круга может иметь тень от мяча, от колеса, от монеты, от тарелки и т. п.

Задание мы отнесли к заданиям повышенной трудности.

В задании 52 (задание повышенной трудности) мы еще раз обращаем внимание учащихся на возможность получения «плоского» изображения реального предмета с помощью солнечного света. При выполнении этого задания учитель может их познакомить и с некоторыми простейшими приемами получения с помощью рук фигур-теней, которые напоминают животных («Театр теней»).

Вторая часть этого задания направлена на знакомство с существующей зависимостью размеров тени от положения солнца на небосводе. Имеющийся опыт должен позволить учащимся установить, что самая длинная тень от вертикального предмета будет тогда, когда солнце находится около линии горизонта (утром или вечером).

В задании 53 мы снова возвращаемся к сопоставлению плоских и искривленных поверхностей, но теперь от учащихся требуется привести (назвать и нарисовать) в качестве примера предмет, в котором сочетаются эти два типа поверхностей. Таким предметом может быть, например, кастрюля, у которой плоское дно и искривленная боковая поверхность. Воображение учащихся может подсказать и много других примеров.

Тема: «Изображения на плоскости» (1–2 урока) Данной темой мы продолжаем изучение вопросов, которые мы начали рассматривать в предыдущей теме. В данном случае мы Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий сосредоточим внимание учащихся не просто на получении любого «плоского» изображения «объемного» предмета, а на возможности построения такого изображения, которое создает эффект «объемности» и делает предмет узнаваемым. Такое изображение в геометрии принято называть наглядным, поэтому мы также будем использовать этот термин для обозначения интересующего нас изображения.

При выполнении задания 54 мы знакомим учащихся с существованием различных изображений одного и того же предмета. При этом одно из данных изображений отличается от другого тем, что оно является более «наглядным» (на нем удается передать «объемность» изображаемого предмета). Именно такие изображения нас будут интересовать в дальнейшем.

В задании 55 предлагается построить изображение данного предмета «способом обведения границы». Этот способ не позволяет построить наглядное изображение, но с его помощью можно легко строить изображения предметов с достаточно сложной конфигурацией границы. Возможности данного способа ограничены тем, что он дает возможность строить изображения предметов только в натуральную величину, причем таких, которые можно расположить на листе бумаги. Полученное таким способом изображение будет напоминать тень, которую оставляет данный предмет при соответствующем его расположении и освещении.

В задании 56 мы обращаем внимание учащихся на тот факт, что при изображении кубика «способом обведения» мы получаем в качестве результата изображение только одной грани. По такому изображению распознать кубик практически невозможно. Это изображение не является наглядным, но как условное изображение кубика оно нас во многих случаях вполне может устроить (например, на схеме или на плане).

В задании 57 мы знакомим учащихся с другим изображением кубика, на котором видны три его грани. Такое изображение является наглядным, и мы будем в дальнейшем использовать именно такое изображение. Более того, мы научим учащихся строить такое изображение.

При выполнении задания 58 учащиеся еще раз столкнутся с проблемой распознавания образа-оригинала по его изображению, которое не является наглядным. Желательно привести как можно больше примеров предметов, которые соответствуют данному изображению.

В задании 59 мы показываем учащимся, за счет изображения каких дополнительных элементов можно сделать изображение мяча (шара) наглядным. В данном случае речь идет о двух линиях, коКуб и его изображение»

торые в геометрии шара носят названия «экватор» и «меридиан», а для реального мяча являются возможным рисунком на его поверхности.

Выполняя задание 60, учащиеся познакомятся с одним из способов построения наглядного изображения прямоугольного параллелепипеда (в частности, куба). Мы не говорим о данных геометрических фигурах учащимся, но обязательно имеем их в виду, называя полученное изображение «аквариумом». Именно аквариум наиболее соответствует полученному изображению, так как прозрачность граней аквариума позволяет видеть все ребра, вершины и грани этой фигуры. Аквариум может иметь как форму куба, так и форму произвольного прямоугольного параллелепипеда. Если изображение аквариума сделать карандашом, а потом стереть «невидимые»

ребра, то получится изображение кубика, с которым учащиеся познакомились при выполнении задания 57.

Тема: «Куб и его изображение» (1 урок) Это завершающая тема данного геометрического блока вопросов.

В процессе ее изучения учащиеся смогут детально познакомиться с геометрической фигурой, которая носит название «куб», и с приемами построения изображения куба на плоскости. Дополнительную информацию о кубе и способе конструирования модели куба учащиеся смогут получить из материалов приложения.

В задании 61 учащимся демонстрируется знакомое им изображение игрального кубика. На этом изображении они могут видеть три грани этого кубика с соответствующим количеством точек на каждой грани. Учитывая, что на гранях игрального кубика изображено с помощью точек от 1 до 6 очков, то легко сделать вывод о числе граней кубика. Можно попросить учеников назвать грани, которые видно на рисунке, и те – которых не видно (для этого можно использовать термины «верхняя», «нижняя», «передняя», «задняя», «левая», «правая»).

При выполнении задания 62 учащиеся смогут четко установить, чем отличается рисунок куба от его чертежа, а также поупражняться в назывании граней куба и определении всех его элементов. Всю необходимую информацию они могут получить самостоятельно из соответствующей статьи словаря (с. 148 в учебнике).

Примечание. Работа со словарем уже хорошо знакома учащимся по применению этого вида работы на уроках по другим предметам. В 3 классе мы приобщаем учащихся к этому виду работы и на уроках математики. Те задания, при выполТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий нении которых имеет смысл обратиться к словарю, специального обозначения не имеют, но в тексте самих заданий есть указание на использование соответствующей статьи словаря.

В задании 63 предлагается начертить куб. При этом дается четкое указание на то, что при выполнении этого задания следует повторить процедуру, с которой учащиеся познакомились при выполнении задания предыдущей темы, где был предложен способ построения изображения аквариума.

Задание 64 относится к заданиям повышенной сложности. При его выполнении учащиеся могут воспользоваться не только изображением игрального кубика и той информацией, которая дана в условии задания, но и реальным игральным кубиком, что существенно упростит получение правильного ответа на поставленный вопрос. Если кубик не использовать, то можно выписать в ряд числа от 1 до 6 и из них составить три пары чисел, значение суммы, которых будет одним и тем же. Такими суммами будут: 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4.

Задание 65 мы тоже отнесли к заданиям повышенной сложности, так как оно является заданием комбинаторного характера.

Прежде чем получить нужный вариант раскрашивания, учащиеся должны попробовать рассмотреть (мысленно) различные варианты, начиная, например, с варианта, при котором каждая грань раскрашена своим цветом (для этого нужно 6 цветов). После этого можно выбрать пару противоположных граней и раскрасить их одним цветом. Такой вариант раскрашивания удовлетворяет условию задания (учащиеся это могут проверить самостоятельно), но для него нужно использовать уже 5 цветов. Если этот прием применить для всех трех пар противоположных граней, то получится способ раскрашивания с использованием всего трех цветов. Это и есть искомый вариант решения данного задания.

Тема: «Поупражняемся в изображении куба»

В этой теме мы предлагаем подборку заданий для закрепления и повторения приемов изображения куба на плоскости. Данные задания по усмотрению учителя можно использовать на отдельных уроках, в качестве домашних заданий, а также при организации специального урока по этой теме. С помощью таких подборок заданий мы наполняем изучаемый материал заданиями тренировочного характера, а в структуре учебника такие темы служат своеобразным разделителем между отдельными блоками изучаемых вопросов. Этот прием мы стали использовать во 2 классе, а в 3 классе он получает свое естественное продолжение.

При выполнении задания 66 учащиеся смогут потренироваться как в построении квадрата с заданной длиной стороны, так и в построении куба, первым этапом которого является построение квадрата.

При выполнении задания 67 от учащихся потребуется не только умение пересчитать кубики, которые явно видны на рисунке, но и включить в число рассматриваемых кубиков те, которые участвуют в данной конструкции, но остаются «невидимыми» на рисунке. Для этого потребуется работа воображения и привлечение пространственных представлений.

При выполнении задания 68 потребуется умение учащихся конструировать куб из некоторого числа одинаковых кубиков. Начинать процесс конструирования следует с построения «нижнего слоя» этого куба. Для этого потребуется минимум 4 кубика. После этого можно построить такой же «верхний слой», который также будет состоять из 4 кубиков. В итоге получится куб, состоящий из 8 одинаковых кубиков. Во второй части задания такой куб учащимся предлагается изобразить.

В задании 69 от учащихся требуется изобразить игральный кубик, на котором выпало 6 очков. Построение искомого изображения должно начинаться с построения чертежа куба, который далее преобразуется в рисунок куба (для этого нужно будет стереть «невидимые» ребра). После этого на верхней грани кубика следует изобразить 6 точек (2 ряда по 3 точки), что и будет означать выпадение на кубике 6 очков.

Начинать выполнение задания 70 следует с того, чтобы определиться, какой предмет, напоминающий по форме куб, каждый ученик будет изображать. После этого можно приступить к построению нужного изображения, используя при этом хорошо знакомый способ построения изображения куба.

В задании 71 предлагается от прямоугольного параллелепипеда, составленного из одинаковых кубиков, оставить (раскрасить) только такую часть, которая имеет форму куба. Решением этого задания может быть и фигура, состоящая только из одного кубика, и фигура, состоящая из 8 кубиков (2х2х2), и фигура, состоящая из 27 кубиков (3х3х3). Это задание мы отнесли к заданиям повышенной сложности.

Задание 72 (задание повышенной сложности) согласуется с предыдущим заданием: в нем также нужно получить изображение куба. Но только теперь учащимся предлагается на рисунке не убирать лишние кубики, а, наоборот, добавить недостающие. Для Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий получения изображения куба к данному изображению можно дорисовать еще один нижний ряд, сделав переднюю грань квадратом, после чего дорисовать сзади еще два таких же вертикальных слоя к двум уже имеющимся. В результате получится изображение куба, состоящего из 64 кубиков (4х4х4).

Тема: «Счет сотнями и “круглое” число сотен» (1 урок) Этой темой мы открываем блок тем, в которых рассматриваются вопросы устной и письменной нумерации, а также способ сравнения чисел на основе нумерации. Сначала мы предлагаем учащимся освоить счет сотнями по той же схеме, как они осваивали счет десятками. После этого мы обращаем внимание на существование таких чисел, которые обозначают «круглое» число сотен. Наименьшим таким числом будет число 10 сотен. Именно оно и будет в дальнейшем выполнять роль новой разрядной единицы.

В задании 73 мы предлагаем учащимся вспомнить геометрическую модель сотни – квадрат, разбитый на 100 маленьких квадратиков (10х10). Этот квадрат будет служить «отправной точкой» для построения модели новой разрядной единицы – тысячи.

Идея задания 74 продолжает идею предыдущего задания. В процессе его выполнения учащиеся «строят» фигуру, которая состоит из кубиков, поставленных на каждую клетку рассмотренного ранее квадрата. Эти кубики одинаковые и по размеру соответствуют клетке квадрата. Таким образом, получилась фигура, состоящая из 100 кубиков, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Эта фигура будет выполнять роль составляющего элемента конструкции, которая в результате должна иметь форму куба.

Задание 75 продолжает два предыдущих задания. Теперь учащимся предлагается рассмотреть и проанализировать фигуру, построенную из одинаковых «слоев», с которыми учащиеся познакомились при выполнении предыдущего задания. Таких слоев в фигуре 10.

Каждый слой состоит из 100 кубиков. Поэтому во всей фигуре 10 сотен кубиков.

В задании 76 предлагается полученное в предыдущем задании число 10 сотен записать в виде произведения в двух вариантах. Сначала в произведении указан первый множитель – число 100. Сделать это можно на основе замены суммы одинаковых слагаемых на соответствующее произведение:

10 сот.=100+100+100+100+100+100+100+100+100+100=100•10.

Во втором варианте указан второй множитель – число 100. Получить такое представление числа 10 сот. можно на основе переместительного свойства умножения (10 сот. = 100•10 = 10•100). Геометрической интерпретацией такого представления будет разбиение куба на 100 вертикальных столбиков, в каждом из которых 10 кубиков.

Примечание. При выполнении этого и других аналогичных заданий от учащихся потребуется умение обращаться с изображением куба, которое они приобрели в процессе изучения тем из предыдущего тематического блока.

В задании 77 учащимся сначала предлагается записать все «круглые» сотни, в которых число сотен выражается однозначным числом, т. е. числа 100, 200, 300, …, 900. После этого учащиеся должны установить, что среди этих чисел нет числа, в котором число сотен – «круглое». Тем самым мы готовим базу для появления такого числа.

В задании 78 появляется число, в котором число сотен выражается «круглым» числом. Это число 1000, в котором 10 сотен.

Задания 79, 80, 81 относятся к заданиям повышенной сложности.

В задании 79 учащимся предлагается заполнить таблицу, в которой под каждым данным числом должно располагаться ближайшее к нему число, относящееся к «круглым» сотням. Среди этих чисел появится и число 1000. Если ученик затрудняется в определении ближайшего числа из «круглых» сотен, то можно предложить ему выполнить разностное сравнение между данным числом и соседними «круглыми» сотнями. Для числа 500 искомым числом будет само это число, а для числа 10 искомым числом будет число 100.

При выполнении задания 80 от учащихся потребуется не только знание нумерации трехзначных чисел, но и самостоятельный вывод утверждения того, что изменение числа на «круглые» сотни никак не затрагивает разряд единиц и разряд десятков. Поэтому искомым числом будет число 527.

Трудность задания 81 в том, что учащиеся должны будут записать отношение между числами в виде одного выражения, опираясь на то, что количество страниц в тетради и в словаре сравнивается со страницами учебника. Результатом будет запись 10•10•10, значение которого вычислять не требуется (число 1000 мы еще не ввели).

Тема: «Десять сотен, или тысяча» (1 урок) При изучении этой темы мы впервые знакомим учащихся с термином «тысяча», который обозначает уже знакомое им число 10 соТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий тен и является новой разрядной единицей. Логика изучения данной темы практически полностью повторяет логику изучения таких разрядных единиц, как десяток и сотня.

При выполнении задания 82 учащиеся знакомятся с термином «тысяча» и с записью этого числа. В качестве дополнительного вопроса можно предложить учащимся выразить 1 тысячу с помощью десятков.

В задании 83 предлагается обратить внимание учащихся на закономерность построения записи каждой разрядной единицы: запись строится из 1 и соответствующего количества 0.

В задании 84 предлагается решить задачу с двумя требованиями (фактически речь идет о двух задачах с общим условием), для вычисления ответа на которые нужно выполнить сложение (вычитание) тысяч. Данные действия с тысячами выполняются точно так же, как и с единицами (аналогичная ситуация имела место и при рассмотрении десятков, и при рассмотрении сотен).

В задании 85 вводится термин «круглые» тысячи. Смысл этого термина полностью аналогичен смыслу терминов «круглые» десятки и «круглые» сотни. Необходимую информацию о «круглых» тысячах учащиеся могут получить самостоятельно из словаря (с. 148 учебника). Запись целого числа тысяч в виде «круглых» тысяч формально заключается в приписывании к числу тысяч трех нулей справа.

При выполнении задания 86 учащиеся смогут поупражняться в распознавании «круглых» тысяч.

В заданиях 87 и 88 учащимся предлагается поупражняться в сложении и вычитании «круглых» тысяч. Вся необходимая для этого подготовительная работа была проведена при выполнении задания 61.

В задании 89 мы предлагаем учащимся заполнить таблицу, в которой для каждого данного числа будет указано число, дополняющее его до «круглых» тысяч, а также результат этого дополнения (соответствующее число, относящееся к «круглым» тысячам).

Тема: «Разряд единиц тысяч» (1 урок) При изучении этой темы на основе введенной в рассмотрение новой разрядной единицы (тысяча) учащиеся знакомятся с новым разрядом, который носит название «разряд единиц тысяч». Изучение нового разряда происходит с опорой на знание ранее изученных разрядов.

При выполнении задания 90 учащиеся знакомятся с существованием разряда единиц тысяч на примере записи четырехзначных чисел. При этом устанавливается и порядковый номер этого разряда с учетом того, что ранее уже были рассмотрены первые три разряда.

В задании 91 предлагается заполнить разрядную таблицу, вписав в нее данные числа. Особое внимание следует обратить на запись числа 999, так как оно, в отличие от остальных чисел, трехзначное и при заполнении соответствующей строки таблицы разряд единиц тысяч должен быть пропущен.

При выполнении заданий 92 и 93 учащиеся смогут поупражняться в умении определять по записи данного числа количество единиц данного разряда, и строить записи чисел, в которых известно число единиц соответствующего разряда.

В задании 94 предлагается разложить четырехзначное число на сумму «круглых» тысяч и трехзначного числа. Такое представление числа будет играть ключевую роль в процессе построения устной нумерации.

Задание 95 направлено на отработку умения раскладывать числа на сумму разрядных слагаемых. При его выполнении можно обратить внимание учащихся на предыдущее задание, при выполнении которого они научились выделять первое разрядное слагаемое для четырехзначных чисел. Далее нужно только разложить на разрядные слагаемые оставшееся трехзначное число, что они уже хорошо умеют делать.

Задание 96 мы отнесли к заданиям повышенной сложности.

При его выполнении учащиеся должны самостоятельно установить числа, которые могут исполнять роль разрядных слагаемых разряда единиц тысяч. Сделать это они могут по аналогии с другими разрядами, для которых перечень разрядных слагаемых им хорошо известен. При этом все разрядные слагаемые нужно расположить в порядке возрастания.

В задании 97 мы еще раз обращаем внимание учащихся на порядковый номер разряда единиц тысяч и на тот факт, что для четырехзначных чисел этот разряд считается старшим.

В задании 98 мы хотим обратить внимание учащихся на существующую связь между разрядом единиц тысяч и разрядом единиц (пока эта связь выражается только в частичном совпадении названий, но в дальнейшем она будет выражена более существенно).

Тем самым мы готовим учащихся к построению таблицы разрядов и классов.

В задании 99 предлагается решить простую задачу на увеличение в несколько раз (в косвенной форме). Поиск решения не должен вызвать каких-либо затруднений у учащихся, так как с аналогичными заданиями они уже много раз встречались. Что же касается Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий вычисления ответа, то здесь от них потребуется выполнить умножение тысяч на однозначное число. Так как учащиеся уже выполняли сложение и вычитание тысяч по аналогии со сложением и вычитанием единиц, то им не составит особого труда и в этом случае провести вычисления по аналогии: тысячи умножаются на число так же, как и единицы.

Тема: «Названия четырехзначных чисел» (1 урок) Эта тема является естественным продолжением предыдущей темы. До этого момента мы уже достаточно детально рассмотрели вопросы письменной нумерации четырехзначных чисел. Теперь на очереди вопросы устной нумерации этих чисел. Такое пристальное внимание к устной нумерации четырехзначных чисел объясняется тем, что на примере этих чисел можно продемонстрировать принцип устной нумерации, основанный на разбиении на классы. Построение устной нумерации 5- и 6-значных чисел можно уже тогда выполнять по аналогии.

В заданиях 100 и 101 мы еще раз возвращаем учащихся к вопросу о выделении в составе четырехзначных чисел разрядного слагаемого из разряда единиц тысяч. Это разрядное слагаемое относится к «круглым» тысячам, и его название образует первую часть названия данного четырехзначного числа. Вторая часть этого названия образуется из названия оставшегося трехзначного слагаемого, которое получается после выделения из данного четырехзначного числа «круглых» тысяч.

В задании 102 сначала предлагается представить каждое из данных чисел в виде суммы двух слагаемых, первое из которых выделяет «круглые» тысячи в составе этого числа. После этого учащиеся уже могут конструировать названия этих чисел. Тем самым они получают возможность поупражняться в устной нумерации данных чисел.

Задание 103 требует, по сравнению с предыдущим заданием, обратного хода рассуждений: учащиеся должны осуществить переход от устной нумерации числа к письменной. Особенность такого перехода заключается в том, что все представленные числа являются 4-х-значными, но их названия содержат различное количество слов.

В заданиях 104 и 105 предлагается назвать и записать самое большое и самое маленькое четырехзначные числа. Самое маленькое четырехзначное число они уже фактически получили при выполнении задания 76 – это разрядная единица данного разряда, т. е. 1000.

В задании 106 число всех четырехзначных чисел учащиеся могут установить либо непосредственным пересчетом с использованием счета тысячами, либо на основе разностного сравнения, выполненного в предыдущем задании. Они уже знакомы с тем фактом, что значение разности двух чисел на 1 меньше, чем число чисел между данными числами (включая и сами эти числа). Напомнить этот факт можно на простых примерах, когда и значение разности, и сам непосредственный подсчет чисел выполнить достаточно легко.

Выполнить разностное сравнение этих чисел (см. задание 107) учащиеся смогут, используя поразрядный способ вычитания.

Задание 108 относится к заданиям повышенной сложности. Учащимся предлагается записать четыре четырехзначных числа при условии, что каждое следующее в 2 раза больше предыдущего. Так как умножение четырехзначных чисел на 2 может вызвать некоторые затруднения, то обойти эти затруднения можно с помощью сложения.

Важным моментом при выполнении данного задания является выбор первого числа. При осуществлении этого выбора следует учитывать два момента: во-первых, выбранное число должно быть меньше числа 1250, иначе не получится расположить указанные четыре числа в границах четырехзначных чисел; во-вторых, это число должно быть таким, чтобы процесс удвоения выполнялся максимально просто. Самый удачный выбор будет сделан тогда, когда в качестве первого числа будет выбрано число 1 000. Тогда следующие три числа будут такими: 2 000, 4 000, 8 000. Но можно рассмотреть и другой набор. Например: 1 111, 2 222, 4 444, 8 888.

В задании 109 мы еще раз возвращаем учащихся к вопросу устной нумерации четырехзначных чисел. Приведем примеры чисел, которые удовлетворяют указанным требованиям: 1 000, 1 001, 2 003, 5 023, 7 456.

Тема: «Разряд десятков тысяч» (1 урок) При изучении данной темы учащиеся познакомятся с разрядом десятков тысяч, который имеет пятый порядковый номер в системе существующих разрядов. Логика изучения этой темы во многом аналогична логике изучения темы «Разряд единиц тысяч».

При выполнении задания 110 учащиеся смогут повторить местоположение разряда единиц тысяч и познакомиться с местоположением разряда десятков тысяч в записи данного числа.

Задание 111 направлено на отработку умения определять по записи числа количество десятков тысяч в его составе.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий При выполнении задания 112 от учащихся потребуется умение составлять и записывать числа, в составе которых данное число десятков тысяч.

При выполнении задания 113 учащиеся познакомятся с возможным способом устной нумерации пятизначных чисел. Для этого пятизначное число сначала нужно представить в виде суммы «круглых» тысяч и трехзначного числа. После чего следует к названию первого слагаемого добавить название второго слагаемого.

Задание 114 направлено на более детальное понимание сути поразрядной записи числа. Так, для того чтобы уменьшить данное число на 2 десятка тысяч, достаточно уменьшить на 2 цифру в разряде десятков тысяч записи данного числа. В результате получится число 53654.

Примечание. Когда мы говорим об уменьшении (увеличении) некоторой цифры в записи данного числа, то мы допускаем определенную вольность в терминологии. На самом деле уменьшается (увеличивается) не сама цифра, а число, которое записывается с помощью этой цифры. Но если строго следовать требованиям терминологии, то фразы будут получаться очень громоздкими и трудно воспринимаемыми.

Поэтому отмеченная вольность в использовании терминов «число» и «цифра» считается допустимой.

Задания 115, 116, 117 и 118 полностью аналогичны соответствующим заданиям предыдущей темы. Методические рекомендации по работе с ними будут также аналогичны.

Тема: «Разряд сотен тысяч» (1 урок) Мы переходим к изучению следующего разряда – разряда сотен тысяч. Порядковый номер этого разряда – шестой. Данный разряд завершает построение класса тысяч, о чем учащиеся смогут узнать при изучении следующей темы. Что же касается данной темы, то логика ее изучения повторяет логику изучения предыдущей темы.

При выполнении задания 119 учащиеся смогут повторить местоположение цифр разряда единиц тысяч и разряда десятков тысяч в записи данного числа, а также познакомиться с местоположением цифры в записи числа, которая обозначает разряд сотен тысяч.

При выполнении задания 120 учащиеся смогут поупражняться в нахождении цифры разряда сотен тысяч в записи различных чисел, в том числе не только шестизначных.

Задание 121 направлено на формирование умения составлять и записывать числа с заданным числом сотен тысяч, т. е. с заданной цифрой в шестом разряде записи искомого числа, а также на формирование умения переходить от устной нумерации к письменной.

В задании 122 предлагаем решить задачу, в формулировке которой фигурирует число из разряда сотен тысяч. Именно этот факт позволяет установить связь предлагаемой задачи с изучаемой темой.

В задании 123 предлагается записать данные числа в разрядную таблицу, содержащую шесть разрядов. Учащиеся должны понимать, что когда в эту таблицу нужно записать пятизначное или четырехзначное число, то необходимо пропустить один (соответственно два) старших разряда. Другими словами, заполнять таблицу можно справа налево цифрами, которые составляют запись числа, если читать эти цифры в том же порядке (справа налево). Во второй части этого задания от учащихся потребуется вспомнить нумерацию всех изученных разрядов. Искомым числом будет число 654 321.

Задания 124 и 125 аналогичны соответствующим заданиям предыдущей темы. Методические рекомендации по работе с этими заданиями будут также аналогичны.

Тема: «Класс единиц и класс тысяч» (1 урок) Данная тема является логическим продолжением четырех предыдущих. После того как были введены в рассмотрение разряды с четвертого по шестой, мы получили возможность ввести понятие классов, в каждом из которых объединяются по три разряда. Первый класс (считая справа налево) носит название класса единиц, а второй – класса тысяч. Понятие класса активно используется при устной нумерации. В письменной нумерации это понятие существенной роли не играет и без него можно легко обойтись.

При выполнении задания 126 учащиеся не только познакомятся с классом единиц и классом тысяч, но и со способом устной нумерации многозначных чисел на основе использования названия классов.

В задании 127 учащимся предлагается в записи числа отделить специальным знаком класс тысяч от класса единиц. Для шестизначных чисел эта процедура является очевидной. Для чисел, в записи которых меньше цифр, эта процедура может вызвать у учащихся некоторые затруднения. Для их преодоления важно обратить внимание учащихся на тот факт, что разряды нумеруются справа Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий налево, и именно в этом порядке следует отсчитывать по три разряда для выделения класса.

Примечание. Для выделения классов в записи числа мы предлагаем использовать знак, а не привычную точку. Это связано с тем, что в современных условиях может возникнуть путаница в использовании точки как знака для выделения классов и знака для отделения целой части от дробной в записи десятичной дроби (с последним примером использования точки учащиеся могут столкнуться даже при использовании калькулятора).

В задании 128 учащимся предлагается представить данные числа в виде суммы, где первое слагаемое из класса тысяч, а второе – из класса единиц. Фактически речь идет о том же самом разбиении записи числа на классы, но только форма этого разбиения другая.

Задание 129 продолжает предыдущее задание, но требует от учащихся применить полученные знания «в обратном направлении»:

нужно осуществить переход от суммы двух слагаемых, каждое из которых относится к своему классу, к соответствующему числу.

В заданиях 130 и 131 требуется записать самое большое число класса единиц и класса тысяч. Соответственно это будут числа и 999 000.

Тема: «Таблица разрядов и классов» (1 урок) При изучении данной темы учащиеся познакомятся с таблицей разрядов и классов, которая отличается от известной им таблицы разрядов тем, что непосредственно в названии разряда уже не нужно указывать название класса: оно указывается отдельно. Поэтому названия разрядов класса тысяч повторяют названия разрядов класса единиц. При этом если класс не назван, то считается, что разряд принадлежит к классу единиц. Принадлежность разряда любому другому классу должна быть обязательно указана.

При выполнении задания 132 учащиеся познакомятся с видом таблицы разрядов и классов и потренируются в записи чисел в эту таблицу.

В задании 133 учащимся предлагается воспользоваться таблицей разрядов и классов для поразрядного сложения данных чисел. Случай, о котором идет речь во второй части задания, связан с переходом из третьего разряда в четвертый (именно эти разряды являются соседними на границе двух классов). Эту ситуацию мы будем наблюдать при сложении чисел 632 154 и 216 932.

В задании 134 предлагается воспользоваться таблицей разрядов и классов для выполнения вычитания данных чисел. Случай, о котором идет речь во второй части задания, связан с заимствованием из четвертого разряда в третий. Эту ситуацию мы будем наблюдать при вычитании числа 212 833 из числа 439 785.

При выполнении задания 135 учащиеся еще раз поработают с таблицей разрядов и классов. Только теперь характер работы меняется на обратный – от учащихся требуется по данным, полученным из таблицы, назвать и записать соответствующие числа.

При выполнении задания 136 учащиеся снова будут заполнять таблицу разрядов и классов. Отличие этого задания состоит в том, что числа даны с использованием устной нумерации. Поэтому сначала имеет смысл сделать цифровую запись этих чисел, а уже потом переходить к записи в таблице.

Тема: «Поразрядное сравнение многозначных чисел»

(1 урок) Этой темой мы завершаем рассмотрение блока тем, посвященных вопросам устной и письменной нумерации многозначных чисел.

Поразрядный способ сравнения чисел, с которым учащиеся познакомились на примере сравнения двузначных и трехзначных чисел (см. соответствующие темы в учебниках для 1 и 2 классов), имеет непосредственное отношение к вопросам письменной нумерации.

Поэтому и сравнение многозначных чисел с применением этого способа мы рассматриваем именно в этом блоке тем.

В задании 137 мы предлагаем достаточно простой вариант объяснения того факта, что любое шестизначное число больше любого пятизначного. В составе пятизначного числа может быть самое большое число тысяч – 99, а в составе шестизначного – самое маленькое число тысяч – 100.

Так как изменение разрядных слагаемых из класса единиц не может повлиять на число тысяч в составе данного числа, то любое пятизначное число меньше, чем любое шестизначное (по числу тысяч в их составе).

В задании 138 речь идет уже о сравнении шестизначных чисел между собой. Прежде всего рассматривается случай, когда отличие в записи чисел наблюдается только в старшем разряде. Именно со сравнения цифр старшего разряда и начинается процесс сравнения чисел, в записи которых одинаковое число знаков.

При выполнении задания 139 учащиеся потренируются находить числа, которые непосредственно предшествуют данным или непоТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий средственно следуют за ними. При этом мы предлагаем рассмотреть случай перехода от шестизначного числа к пятизначному и от числа, не содержащего в своей записи нулей, к «круглому» числу с пятью нулями в записи.

В задании 140 учащимся еще раз предлагается поработать с понятием «соседние числа». Это понятие имеет отношение к вопросу сравнения чисел по той причине, что знание порядка следования чисел позволяет легко их сравнивать.

В задании 141 предлагается расположить данные числа в порядке убывания. Для выполнения этого задания учащиеся должны применить полученные знания как по сравнению чисел с разным числом цифр в записи, так и по сравнению чисел, содержащих в своей записи одинаковое число цифр. Сначала нужно отыскать число с самым большим числом цифр в записи. Таких чисел будет два: 387 251 и 387 250. Их сравнить удается по последней цифре, так как все цифры до разряда единиц соответственно совпадают. После этого нужно перейти к поиску пятизначных чисел. Таких чисел оказывается три: 20 957, 21 042 и 10 000. Их легко сравнить по числу тысяч в составе каждого числа. Последнее место будет занимать единственное оставшееся четырехзначное число 9 969.

В задании 142 учащимся предлагается воспользоваться записью чисел в разрядной таблице для их сравнения. Такая запись чисел очень удобна для проведения сравнения. Для отыскания самого большого числа нужно сначала обратить внимание на самый старший разряд – разряд сотен тысяч. В нем дважды встречается цифра 6, которая обозначает наибольшее из данных чисел. Если перейти к следующему разряду (разряду десятков тысяч), то в нем опять имеет место повторение цифры. Однако уже в следующем разряде (разряде единиц тысяч) цифры выбранных чисел отличаются, что позволяет определить самое большое число из данных чисел. Этим числом будет число 609 183. Для самого маленького числа вопрос решается очень легко. Им будет единственное из данных пятизначное число 98 739.

При выполнении задания 143 учащиеся смогут удостовериться в том, что при поразрядной записи чисел в столбик их гораздо легче сравнивать. Особенно это видно, когда чисел достаточно много. Если сравнение всех чисел будет вызывать затруднения технического плана, то можно сначала провести сравнение чисел первой строки, а потом сравнение чисел второй строки. После этого можно сравнить самые большие числа первой и второй строк между собой и получить самое большое число всего набора чисел. Аналогично можно поступить и с самыми маленькими числами для каждой строки.

Тема: «Поупражняемся в вычислениях и сравнении чисел»

В данной теме мы предлагаем подборку заданий для закрепления и повторения вопросов устной и письменной нумерации многозначных чисел и сравнения этих чисел.

При выполнении задания 144 учащиеся смогут потренироваться в определении соответствующего разрядного слагаемого по записи данного числа.

Задания 145, 146, 147 и 148 направлены на закрепление умения выполнять сложение и вычитание над «круглыми» тысячами.

При выполнении задания 149 учащиеся смогут поупражняться в распознавании сумм разрядных слагаемых для всех шести разрядов.

Задание 150 мы отнесли к заданиям повышенной сложности.

Для его выполнения от учащихся потребуется знание поразрядного способа сравнения чисел. Для восстановления чисел, образующих равенство, следует только в одинаковые разряды записать одинаковые цифры. Тогда получится равенство 526 319 = 526 319. В первом неравенстве важно обратить внимание на третий, четвертый и пятый разряды числа с пропущенными цифрами. Так как в пятом разряде цифры двух данных чисел одинаковые, а в третьем разряде второго числа стоит цифра 7 (по сравнению с цифрой 6 этого же разряда первого числа), то для выполнения неравенства достаточно выбрать цифру четвертого разряда из цифр 5, 6, 7, 8, 9. Выбор цифр первого и второго разрядов в этом задании никакой роли не играет: они могут быть любыми. Во втором неравенстве сравниваемые числа подобраны таким образом, что на место неизвестной цифры можно поставить либо цифру 8, либо цифру 9. Оба варианта обязательно следует обсудить с учащимися.

В задании 151 предлагается решить не совсем обычную задачу.

Особенность ее состоит в том, что она является логической, а не арифметической, хотя условие задачи носит вполне арифметический характер. Логический характер ей придает то требование, которое дополняет данное условие. Решение этой задачи нужно записать в виде двух верных неравенств, из которых будет видно, что клуб любителей русского языка пользуется наибольшей популярностью. Например, этими неравенствами могут быть следующие два неравенства:

1) 8 157 > 7 289 и 2) 8 157 > 7 198. Таким образом, с помощью данной задачи мы не только знакомим учащихся с соответствующим видом логических задач, но и даем возможность поупражняться в сравнении многозначных чисел.

Задание 152 мы отнесли к заданиям повышенной сложности.

При его выполнении учащиеся должны сопоставить цифру данноТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий го разряда и номер следующего разряда. В результате должно получиться число 65 432.

Задание 153 также отнесено к заданиям повышенной сложности.

Начать выполнять это задание нужно с выбора разрядного слагаемого разряда единиц (это может быть любое однозначное число, кроме числа 0).

После того как это разрядное слагаемое выбрано, строим следующее разрядное слагаемое, увеличив данное в 10 раз. Такое увеличение можно выполнить с помощью умножения, но можно и с помощью сложения. Далее все то же самое нужно повторить для второго слагаемого, потом для третьего, для четвертого, для пятого и для шестого.

Проще всего этот процесс будет осуществляться, если первое выбранное слагаемое равно 1. Тогда искомое число будет 111 111.

Другими вариантами искомых чисел будут любые шестизначные числа, записанные одинаковыми цифрами. Например, 222 222 или 999 999.

Тема: «Метр и километр» (1 урок) Этой темой мы открываем новый блок тем, посвященных вопросам изучения новых единиц длины и массы. Рассмотрение этих единиц (километр, грамм и тонна) в одном блоке продиктовано тем, что в основе их получения лежит число 1000. Именно это обстоятельство и определяет местоположение данного блока тем в системе всего программного материала первого полугодия 3 класса, где числу 1000 сразу находится практическое применение.

При выполнении задания 154 учащиеся знакомятся с километром как с новой единицей длины. Знакомство это происходит в результате участия в диалоге Маши и Миши. О самом термине «километр» учащиеся могут получить информацию в словаре (с. 148 учебника).

Задание 155 направлено на формирование умения выражать «круглые» тысячи метров в километрах.

Задание 156 направлено на формирование умения выражать некоторое число километров в метрах.

Задание 157 речь идет о выражении данной длины в километрах и метрах. Учащиеся могут сначала представить данную длину в виде суммы «круглых» тысяч метров и соответствующего слагаемого, в котором меньше 1 000 м. После этого первое слагаемое переводится в километры, и к нему дописывается оставшееся число метров, выраженное вторым слагаемым.

При выполнении задания 158 учащиеся не только смогут поупражняться в сложении длин, но и в переводе полученного результата в километры и метры (как они это делали при выполнении предыдущего задания).

Задание 159 направлено на отработку умения выражать длину 1 км в виде суммы «круглых» сотен метров.

Задание 160 мы отнесли к заданиям повышенной сложности.

Связано это с тем, что учащимся предлагается решить составную задачу, детальным анализом которых мы еще не занимались. Но эта задача такова, что для нахождения ее решения не требуется проводить какие-либо сложные рассуждения. При этом ход рассуждений учащихся может быть различным. Кто-то может предложить сначала узнать расстояние от дома до школы и обратно, а потом повторить это расстояние столько раз, сколько учебных дней в неделе. Обращаем внимание на то, что число дней в учебной неделе учащиеся должны назвать самостоятельно (в формулировке задачи это число не фигурирует). Кто-то может предложить посчитать число километров, которое проходит ученик за учебную неделю от дома до школы. После этого данное расстояние можно удвоить, учитывая, что расстояние от школы до дома является таким же.

В задании 161 предлагается решить простую задачу на вычитание, при вычислении ответа которой учащиеся должны выполнить вычитание длин, выраженных в разных единицах. Сделать это они смогут, если сначала переведут все длины в метры. Есть и другая возможность: провести вычитание по частям. Для этого сначала из 3 км нужно вычесть 2 км, а потом из оставшегося 1 км вычесть 300 м. Последний шаг вычитания они могут осуществить, используя соответствующий результат выполнения задания 159.

При выполнении задания 162 учащиеся смогут поупражняться в вычитании длин, выраженных в километрах и метрах. Для этого сначала они должны осуществить перевод километров в метры, а уже потом выполнять вычитание длин, выраженных только в метрах.

Тема: «Килограмм и грамм» (1 урок) При изучении данной темы учащиеся также познакомятся с новой единицей, но не длины, а массы. Эта новая единица (грамм) связана с уже знакомой единицей (килограммом) также посредством числа 1000. Но связь эта носит обратный характер, если сравнивать с парой «метр–километр»: нужно взять 1000 новых единиц, чтобы Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий получить 1 старую единицу. Об этом сообщается учащимся с помощью соответствующего правила-соотношения.

При выполнении задания 163 учащиеся знакомятся с единицей «грамм». Знакомство это происходит на основе сопоставления терминов «километр» и «килограмм»: так как 1 км = 1000 м, то легко можно прийти к выводу, что 1 кг = 1000 г. К этому выводу подводит учащихся и знание значения слова «кило», с которым они встретились при изучении предыдущей темы.

В задании 164 предлагается выразить некоторое число килограммов в граммах. Это учащиеся сделают по аналогии с заданием на выражение километров в метрах.

В задании 165 предлагается определить, сколько граммов колбасы взвешено на весах. Для выполнения этого задания достаточно предварительно установить, что каждое деление на весах соответствует 100 г. Для этого учащиеся могут попробовать мысленно дописать пропущенные числа на шкале весов.

Задание 166 носит обратный характер по сравнению с заданием 164. Выполнение его ничем принципиально не отличается от выполнения соответствующего задания на выражение «круглых»

тысяч метров в километрах.

Задание 167 аналогично заданию 159, но только теперь им предлагается дополнить данные числа до 1000 не «круглыми» сотнями, а «круглыми» десятками.

В задании 168 предлагается решить простую задачу на вычитание, при вычислении ответа которой учащиеся смогут потренироваться в вычитании величин, выраженных в граммах.

При выполнении задания 169 учащиеся не только смогут поупражняться в сложении величин, выраженных в граммах, но и осуществить перевод граммов в килограммы и граммы. Как записать эти преобразования, показано в образце.

В задании 170 учащимся предлагается поупражняться в вычитании масс, но предварительно они должны выразить в граммах уменьшаемое, которое дано в килограммах.

Тема: «Килограмм и тонна» (1 урок) При изучении этой темы учащиеся познакомятся еще с одной новой единицей массы, которая связана с единицей «килограмм» посредством числа 1 000. Эта единица называется тонной. Эта связь носит такой же характер, как и связь километра и метра. С этой точки зрения можно было бы предложить изучение данной темы сразу после изучения темы «Метр и километр». Но мы этого не сделали по той причине, что в данном случае мы не можем сделать ссылку на аналогию в построении соответствующих терминов. Поэтому сначала мы предложили рассмотреть тему «Килограмм и грамм», а уже потом перейти к рассмотрению данной темы.

При выполнении задания 171 учащиеся знакомятся с новой единицей массы. Для этого мы, как и ранее, включаем учащихся в диалог Маши и Миши, из которого они узнают, что 1 т = 1000 кг.

Задания 172 и 173 аналогичны соответствующим заданиям из двух предыдущих тем. Как их выполнять, учащимся уже хорошо известно.

Задание 174 аналогично соответствующему заданию из предыдущей темы. Отличие состоит лишь в единицах массы, которые здесь фигурируют.

При выполнении задания 175 учащиеся смогут поупражняться в переводе килограммов в тонны и килограммы. Эта процедура полностью аналогична процедуре перевода метров в километры и метры. Форма записи всех преобразований дана в образце.

Задание 176 продолжает предыдущее задание. При его выполнении учащиеся сначала должны выполнить сложение масс, выраженных в килограммах, а уже потом перевести результат в тонны и килограммы.

В задании 177 сначала предлагается выразить уменьшаемое в килограммах, а уже потом выполнить вычитание масс, выраженных в килограммах. Заключительное преобразование состоит в том, чтобы полученный результат снова представить в тоннах и килограммах.

В задании 178 предлагается составить задачу на умножение, в ответе которой получалось бы, что на элеватор привезли 15 т зерна.

При составлении этой задачи сначала имеет смысл обсудить сюжет, который должен быть согласован с ответом. Для этого мы предлагаем учащимся найти нужное объяснение слова «элеватор» (если это слово им не знакомо). После этого можно перейти к анализу математической сути задачи. Так как задача должна решаться с помощью действия умножения, а в ответе должно получиться число 15, то учащимся нужно предложить представить 15 тонн в виде произведения. После этого уже можно формулировать задачу. Например, это может быть следующая задача: «Сколько тонн зерна привезли на элеватор, если его привезли на трех машинах по 5 т зерна в каждой?»

Задание 179 логически связано с предыдущим. Из формулировки задания можно установить, что интересующая нас задача является обратной по отношению к той, которая была составлена при выполнении предыдущего задания (если учащиеся составили задаТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий чу, решением которой является произведение 3 т•5, то об обратной задаче нам уже говорить не имеет смысла). Это задание можно и не привязывать так жестко к предыдущему, а работать с ним как с самостоятельным заданием, учитывая те методические рекомендации, которые были высказаны по предыдущему заданию.

Тема: «Центнер и тонна» (1 урок) При изучении данной темы речь пойдет об уже известных учащимся единицах массы – о центнере и тонне. Сейчас нам важно обратить их внимание на соотношение между этими единицами.