«МАТЕМАТИКА 3 КЛАСС Методическое пособие Под редакцией Р.Г. Чураковой МосКвА АКАдЕМКНИГА/УЧЕбНИК 2012 УДК 51(072.2) ББК 74.262.21 Ч-37 Чекин А.Л. Математика [Текст] : 3 кл. : Методическое пособие / Ч-37 А.Л. Чекин; под. ...»

В задании 47 предлагается проанализировать запись, которую сделал Миша при выполнении умножения столбиком числа на число 22. Эта запись содержит ошибку, о наличии которой учащиеся предупреждаются в формулировке задания. Характер ошибки связан с использованием сокращенного варианта записи, о котором речь шла в предыдущем задании. Для того чтобы акцентировать внимание учащихся на соблюдении правила записи «разряд под соответствующим разрядом», мы специально выбрали в качестве второго множителя число, которое записывается одинаковыми цифрами. Учащимся должно быть очевидно, что умножение числа 213 на 2 и на 20 не может дать один и тот же результат, а ошибочная запись Миши говорит об обратном. Ошибку нужно исправить и сделать запись правильной. На завершающем этапе урока можно предложить учащимся выполнить умножение столбиком с использованием сокращенного варианта записи для нескольких пар чисел. Например, это могут быть числа 34 и 55, 273 и 99, 1358 и 44, 23194 и 12.

Тема: «Поупражняемся в умножении столбиком и повторим пройденное»

В данной теме мы предлагаем подборку заданий, с помощью которых можно проводить работу по закреплению изученного только «Поупражняемся в умножении столбиком и повторим пройденное»

что способа умножения столбиком и частичного повторения материала, изученного в первом учебном полугодии.

Задание 48 можно использовать для закрепления изученного способа умножения столбиком. При этом умножение на однозначное число можно рассматривать как промежуточный этап умножения на двузначное число. Более того, вторая тройка заданий позволяет обратить внимание учащихся на тот факт, что для умножения на «круглое» двузначное число вполне достаточно уметь умножать на соответствующее однозначное число.

В задании 49 предлагается восстановить пропущенные цифры в записи умножения на двузначное число столбиком. Для выполнения этого задания от учащихся потребуется не только достаточно хорошее владение этим способом умножения, но и умение выполнять подбор нужной цифры с последующей проверкой правильности сделанного выбора.

В первом задании сначала нужно выполнить умножение в разряде единиц второго множителя (получится число 1015), после этого подобрать цифру разряда десятков второго множителя (это цифра 3), после чего выполнить сложение и получить окончательный ответ (число 5 365).

Во втором задании также нужно начать с умножения в разряде единиц второго множителя (получится число 9 783), после чего уже нетрудно понять, что неизвестная цифра второго множителя равна 3 (значение второго произведения 97 830). Далее нужно выполнить сложение столбиком и получить окончательный результат (число 107 613). Учитывая нестандартный характер задания, мы отнесли его к заданиям повышенной сложности.

В задании 50 мы еще раз обращаемся к умножению столбиком на однозначное число, трактуя данную процедуру как промежуточную при выполнении умножения столбиком на двузначное число.

В задании 51 предлагается решить задачу на умножение, причем первым действием нужно выполнить умножение на однозначное число, а вторым – на двузначное. При вычислении ответа этой задачи умножение на двузначное число нужно выполнять столбиком.

Примечание. При формулировке задачи мы используем логическую конструкцию с логической связкой «если …, то …».

Сделано это по следующим причинам. Во-первых, мы хотим познакомить учащихся с существованием указанной логической связки на конкретном примере, имея в виду перспективу ее более детального рассмотрения в учебнике 4 класса.

Во-вторых, данная логическая конструкция позволяет нам избежать лишних вопросов со стороны учащихся о реальности рассматриваемого сюжета (напоминаем, что во всех Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий рассматриваемых ситуациях мы стараемся добиться максимальной приближенности к окружающей учащихся реальной действительности). При другой формулировке, когда в условии утверждается, например, что Маша каждый день читала по 15 страниц, то сразу возникает сомнение в правдоподобности этой ситуации: Маша – живой человек, и ей трудно удержаться в таких жестких рамках.

В задании 52 предлагается сформулировать простую задачу на умножение, решением которой было бы произведение 12•175. При вычислении ответа сформулированной задачи учащиеся должны применить правило перестановки множителей и выполнить умножение столбиком на двузначное число. Обращаем особое внимание на тот факт, что использовать правило перестановки множителей нужно только на этапе вычисления ответа, но ни в коем случае не на этапе записи решения.

При выполнении задания 53 учащиеся смогут повторить вопрос об изображении данных с помощью диаграммы сравнения. На основании анализа представленной диаграммы можно легко установить, что в саду яблонь в 9 раз больше, чем груш. После этого можно узнать число яблонь в саду по известному числу груш. При этом умножение соответствующих чисел следует выполнять столбиком.

Задание 54 мы отнесли к заданиям повышенной сложности. При его выполнении учащиеся должны сначала заполнить круговую схему составной задачи на два действия сложения, которую можно решить с помощью произведения 350•3. Это становится возможным, если решением задачи на сложение будет являться выражение 350 + 350 + 350.

Заполнив соответствующим образом представленную схему числовыми данными, учащиеся далее должны сформулировать задачу по этой схеме. При вычислении ответа сформулированной задачи им предлагается выполнить умножение столбиком (осуществляется повторение способа умножения столбиком на однозначное число).

В задании 55 предлагается сформулировать задачу по краткой записи. Данная краткая запись настолько информативна, что из нее учащиеся могут получить информацию не только о решении задачи, но и о ее сюжете. При вычислении ответа сформулированной задачи учащимся предлагается выполнить умножение столбиком.

В задании 56 предлагается составить краткую запись к задаче, заполнив соответствующую таблицу. Предлагаемая задача является простой задачей на увеличение в косвенной форме. Учащиеся должны отразить этот факт при заполнении таблицы: в таблице должно присутствовать отношение «меньше в 15 раз». При вычислении ответа данной задачи учащиеся должны выполнить умножение столбиком на двузначное число.

При выполнении заданий 57 и 58 учащиеся смогут повторить на конкретных примерах знание и взаимосвязь табличных случаев умножения и деления.

Тема: «Как найти неизвестный множитель» (1 урок) Данной темой мы открываем блок тем, содержание которых носит алгебраический характер. В каждой из трех тем этого блока рассматривается правило по нахождению неизвестного компонента соответственно либо действия умножения, либо действия деления.

Указанные правила трактуются как правила, позволяющие найти корень соответствующего уравнения. С аналогичной ситуацией учащиеся уже сталкивались, когда изучали правила нахождения неизвестных компонентов действий сложения и вычитания.

Первая тема этого алгебраического блока посвящена вопросу нахождения неизвестного множителя. При этом в силу переместительного свойства умножения мы не делаем различий между первым и вторым множителями. Теоретической основой для вывода, интересующего нас правила, является знакомое учащимся свойство о взаимосвязи действий умножения и деления.

В задании 59 предлагается вычислить значения трех выражений, на примере которых можно повторить правило, которое связывает умножение и деление. Напомним, что формулировка этого правила звучит так: если значение произведения разделить на один из множителей, то получится другой множитель. Воспроизведение именно этой формулировки и должно стать логическим итогом выполнения данного задания.

В задании 60 учащимся сначала предлагается составить и записать уравнение с неизвестным вторым множителем. Сделать это они могут по аналогии с тем, как составлялись и записывались уравнения с неизвестным слагаемым. Никаких дополнительных разъяснений, на наш взгляд, здесь не требуется. Найти корень уравнения учащиеся могут, применяя метод подбора и опираясь на знание табличного случая умножения, который мы повторили в предыдущем задании.

В задании 61 учащимся предлагается проанализировать уравнение с неизвестным первым множителем. Для нахождения неизвестного первого множителя учащимся предлагается воспользоваться правилом, связывающим умножение с делением. Это правило учащиеся повторили при выполнении задания 59.

В задании 62 предлагается найти корень каждого из данных уравнений, в которых неизвестным является один из множителей. Для Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий нахождения корня учащимся предлагается воспользоваться правилом нахождения неизвестного множителя, формулировка которого дана в тексте этого задания. Так как в процессе выполнения предыдущих заданий этой темы была проведена работа, которую можно считать обоснованием названного выше правила, то в задании мы уже имеем полное право вести речь об использовании этого правила для нахождения корней соответствующих уравнений.

Задание 63 относится к заданиям повышенной сложности. В нем учащимся предлагается для анализа проблемная ситуация, которая носит обратный характер по отношению к рассмотренным ранее:

известно, как вычисляли корень, но неизвестно, для какого уравнения это делали. Если сопоставить процедуру вычисления корня с правилом нахождения неизвестного множителя, то можно установить, что в интересующем нас уравнении неизвестным является один из множителей, а известны значение произведения (это число 48) и один из множителей (это число 8). После такого анализа восстановить уравнение уже не составляет особого труда. Однако следует иметь в виду, что в качестве искомого уравнения может выступать как уравнение х•8 = 48, так и уравнение 8•х = 48. Этот факт обязательно нужно обсудить с учениками. При этом можно организовать как парную работу, так и фронтальную.

В задании 64 предлагается записать решение данной задачи с помощью соответствующего уравнения. Для составления этого уравнения учащиеся должны внимательно проанализировать текст задачи. Дело в том, что имеется большая вероятность ошибочного толкования условия данной задачи.

Некоторые учащиеся могут истолковать условие так, что в нем речь идет о числе учащихся, посетивших краеведческий музей за осенние каникулы. На самом деле это не так. В условии задачи отношением «быть в 8 раз больше» связано число учащихся, посетивших краеведческий музей на момент окончания осенних каникул, с числом учащихся, посетивших этот музей на момент начала осенних каникул. При этом первое из этих чисел известно (это число 72), а второе – неизвестно (оно должно быть обозначено через х). Теперь совершенно ясно, что искомое уравнение выглядит так: х•8=72. Найти корень этого уравнения можно с помощью правила нахождения неизвестного множителя.

Завершить выполнение этого задания учащиеся должны составлением задачи на кратное сравнение, которая будет обратной данной. В условии этой задачи должны фигурировать числа 9 и 72, а требование этой задачи должно содержать вопрос о том, во сколько раз увеличилось за осенние каникулы число учащихся, посетивших краеведческий музей.

Тема: «Как найти неизвестный делитель» (1 урок) При изучении данной темы будут рассмотрены уравнения с неизвестным делителем и правило нахождения неизвестного делителя.

Логика изучения этой темы во многом повторяет логику изучения предыдущей темы.

Задание 65 имеет цель обратить внимание учащихся на тот факт, что в любом равенстве, отвечающем операции деления, можно менять местами делитель и значение частного, сохраняя истинность самого равенства. Теоретическим основанием этого факта можно считать оба правила о взаимосвязи действий умножения и деления.

Только одно из этих правил нужного обоснования нам предоставить не может. Но эти рассуждения для учащихся проводить совсем необязательно. Достаточно воспользоваться конкретными примерами из формулировки данного задания.

В задании 66 учащимся сначала предлагается составить и записать уравнение с неизвестным делителем. Сделать это они могут по аналогии с тем, как составлялись и записывались уравнения с неизвестным вычитаемым. Никаких дополнительных разъяснений, на наш взгляд, здесь не требуется. Что касается нахождения корня уравнения, то сделать это учащиеся могут, применяя метод подбора и опираясь на знание табличного случая деления, который можно повторить на первом этапе урока.

В задании 67 предлагается проанализировать уравнение с неизвестным делителем. Для нахождения неизвестного делителя учащимся предлагается воспользоваться правилом, связывающим деление с делением. Это правило они сформулировали при выполнении первого задания данной темы.

В задании 68 предлагается найти корень каждого из данных уравнений, в которых неизвестным является делитель. Для нахождения корня учащимся предлагается воспользоваться правилом нахождения неизвестного делителя, формулировка которого дана в тексте этого задания. Так как в процессе выполнения предыдущих заданий этой темы была проведена работа, которую можно считать обоснованием названного выше правила, то в задании мы уже имеем полное право вести речь об использовании этого правила для нахождения корней соответствующих уравнений.

В задании 69 предлагается решить задачу с помощью составления уравнения с неизвестным делителем (уравнение 54 : х = 6).

Это дополнительное указание о типе интересующего нас уравнения призвано направить рассуждения учащихся в нужное нам русло.

Без этого указания они вполне могут составить уравнение с неизвестным множителем (6 • х = 54) и будут правы. Для нахождения Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий корня составленного уравнения учащиеся должны воспользоваться правилом нахождения неизвестного делителя.

В задании 70 учащимся нужно сформулировать задачу по данной краткой записи и уравнению. Если оставить в их распоряжении только краткую запись, то сформулированную задачу, скорее всего, нельзя будет решить с помощью уравнения с неизвестным делителем, а для нас сейчас очень важно получить именно такую задачу, которую можно решить с таким уравнением. Пример интересующей нас задачи: «Когда из 45 тюльпанов составили несколько одинаковых букетов, то в каждом букете оказалось по 5 тюльпанов.

Сколько получилось букетов?».

Задание 71 относится к заданиям повышенной сложности. В нем учащимся предлагается восстановить уравнение по известному решению этого уравнения и по известному его виду. Так как искомое уравнение должно быть уравнением с неизвестным делителем, то для нахождения его корня можно применить соответствующее правило. Если теперь сопоставить это правило с той процедурой, которую осуществила Маша для решения этого уравнения, то становится понятно, что искомым уравнением является следующее уравнение: 48 : х = 8.

Тема: «Как найти неизвестное делимое» (1 урок) При изучении темы будут рассмотрены уравнения с неизвестным делимым и правило нахождения неизвестного делимого. Логика изучения темы во многом повторяет логику изучения двух предыдущих тем.

В задании 72 предлагается вычислить значения двух выражений, на примере которых можно повторить правило, связывающее деление с умножением. Напомним, что формулировка этого правила звучит так: если значение частного умножить на делитель, то получится делимое. Воспроизведение именно этой формулировки и должно стать логическим итогом выполнения данного задания.

В задании 73 учащимся сначала предлагается составить и записать уравнение с неизвестным делимым. Сделать это они могут по аналогии с тем, как составлялись и записывались уравнения с неизвестным уменьшаемым. Никаких дополнительных разъяснений, на наш взгляд, здесь не требуется. Найти корень уравнения учащиеся могут, применяя метод подбора и опираясь на знание табличного случая деления, который мы повторили в предыдущем задании.

В задании 74 предлагается проанализировать уравнение с неизвестным делимым. Для нахождения неизвестного делимого учащимся предУчимся решать задачи с помощью уравнений»

лагается воспользоваться правилом, связывающим деление с умножением. Это правило они повторили при выполнении задания 72.

В задании 75 предлагается найти корень каждого из данных уравнений, в которых неизвестным является делимое. Для нахождения корня учащимся предлагается воспользоваться правилом нахождения неизвестного делимого, формулировка которого дана в тексте этого задания. Так как в процессе выполнения предыдущих заданий этой темы была проведена работа, которую можно считать обоснованием названного выше правила, то в задании мы уже имеем полное право вести речь об использовании этого правила для нахождения корней соответствующих уравнений.

В задании 76 предлагается решить задачу с помощью составления уравнения с неизвестным делимым (уравнение х : 6 = 9, а при некоторой корректировке текста можно говорить и об уравнении х : 9 = 6). Это дополнительное указание о типе интересующего нас уравнения призвано оказать помощь учащимся в решении задачи.

Для нахождения корня составленного уравнения они должны воспользоваться правилом нахождения неизвестного делимого.

В задании 77 учащимся нужно сформулировать задачу по краткой записи и по данному уравнению. Если оставить в их распоряжении только краткую запись, то сформулированную задачу, скорее всего, нельзя будет решить с помощью уравнения с неизвестным делимым, а для нас сейчас очень важно получить именно такую задачу, которую можно решить с помощью такого уравнения. Пример интересующей нас задачи: «Когда некоторое число ложек разложили в коробки по 6 штук в каждую, то коробок потребовалось 7.

Сколько всего ложек раскладывали по коробкам?»

Задание 78 относится к заданиям повышенной сложности. В нем учащимся предлагается восстановить уравнение по известному решению этого уравнения. Так как корень искомого уравнения можно найти с помощью умножения, а правило нахождения неизвестного делимого также требует применять умножение, то можно сделать вывод о возможном типе искомого уравнения: это уравнение должно быть уравнением с неизвестным делимым. Тогда числа и 2 должны быть соответственно значениями частного и делителем (либо наоборот). Таким образом, искомым уравнением является следующее уравнение: х : 2 = 444 (или х : 444 = 2).

Тема: «Учимся решать задачи с помощью уравнений»

Данной темой завершается блок тем алгебраического характера. Задания этой темы можно использовать выборочно на отдельных уроТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий ках и для работы дома. Но вполне возможно, если позволяет учебное время, посвятить целый урок работе с заданиями этой темы.

При выполнении задания 79 учащиеся смогут пополнить свои знания о решении задач с помощью уравнений на примере составления уравнения с неизвестным первым множителем. Это уравнение имеет вид: х • 9 = 54.

В задании 80 учащимся предлагается самим сформулировать задачу, решить которую можно с помощью данного уравнения. Теперь речь идет об уравнении с неизвестным вторым множителем.

Приведем пример искомой задачи: «В одной упаковке находится 9 коробок конфет. Сколько нужно взять таких упаковок, чтобы в них было 36 коробок конфет?»

В задании 81 предлагается записать уравнение с неизвестным делителем, с помощью которого можно решить данную задачу. Указание на конкретный тип уравнения делается для того, чтобы исключить другой вариант решения этой задачи с помощью уравнения с неизвестным множителем (имеется в виду уравнение х • 3 = 6).

Искомое уравнение имеет вид: 6 : х = 3, 2 – корень уравнения.

В задании 82 предлагается сформулировать задачу по краткой записи, после чего записать уравнение с неизвестным делимым, с помощью которого можно решить составленную задачу. Приведем пример такой задачи: «На первой полке стояло 6 банок варенья, а на второй в 3 раза больше. Сколько банок варенья стояло на второй полке?». Эту задачу можно решить с помощью уравнения х : 6 = 3, где через х обозначено искомое число банок на второй полке.

В задании 83 предлагается сформулировать задачу по диаграмме и уравнению с неизвестным делителем, которое составили по данной диаграмме. Прежде чем формулировать задачу, имеет смысл определиться с ее видом. Уравнение подсказывает, что это может быть задача на уменьшение в неизвестное число раз. Приведем пример такой задачи: «Длина ленточки 90 см. Во сколько раз нужно уменьшить эту длину, чтобы получить ленточку длиной 15 см?»

Найти корень данного уравнения можно с помощью диаграммы.

Задание 84 относится к заданиям повышенной сложности. Дело в том, что формулировка задания является не совсем обычной:

учащимся предлагается для решения задачи выбрать одно из двух уравнений, хотя на самом деле оба уравнения могут выполнять эту роль. Корнем и первого и второго уравнений будет число 90. Найти этот корень можно с помощью диаграммы, иллюстрирующей условие данной задачи. В качестве такой диаграммы можно взять диаграмму из предыдущего задания и внести в нее небольшие изменения: на шкале сохранить только число 15, а остальные деления не обозначать числами. Если для нахождения корня уравнения воспользоваться соответствующим правилом, то нужно выполнить умножение числа 15 на число 6. Мы предлагаем это умножение выполнить столбиком.

Задание 85 относится к заданиям повышенной сложности. В нем учащимся предлагается выбрать задачу (из двух предложенных), которую можно решить с помощью данного уравнения. Необычность задания заключается в том, что предложенные задачи не только сами являются арифметическими, но и их сюжет также является арифметическим. Вид предложенного уравнения говорит о том, что в интересующей нас задаче должно фигурировать отношение «больше/меньше в 8 раз» (или что-то эквивалентное этому). Этому требованию отвечает первая из двух данных задач. Обратная задача в этом случае может быть сформулирована следующим образом:

«Если число 72 уменьшить в 8 раз, какое число получится?». Решить эту задачу можно с помощью уравнения 72 : х = 8. Можно сформулировать обратную задачу и по-другому: «Во сколько раз нужно уменьшить число 72, чтобы получить число 9?» Эта задача решается с помощью уравнения 72 : х = 9, где 8 – корень уравнения.

Тема: «Деление на число 1» (1 урок) Этой темой мы начинаем рассмотрение блока тем, посвященных изучению свойств действия деления. Для обоснования этих свойств мы будем использовать взаимосвязь действий умножения и деления и тот алгебраический материал, который был рассмотрен в предыдущем блоке тем. В первом свойстве речь пойдет о делении на число 1. Для его обоснования мы используем правило нахождения неизвестного множителя.

В процессе выполнения задания 86 учащиеся должны убедиться в том, что при делении на число 1 всегда получается то число, которое делили. Мы предлагаем рассмотреть конкретную ситуацию, в которой на число 1 нужно разделить число 65. После выполнения всех указаний и получения ответов на все вопросы учащиеся самостоятельно приходят к выводу, что равенство 65 : 1 = 65 является верным. После этого им предлагается заменить в этом равенстве число 65 на некоторое другое число, например на число 317. Так как с этим числом можно повторить все проведенные ранее рассуждения, сомневаться в истинности равенства 317 : 1 = 317 учащимся не приходится. Но число 317 выбрано совершенно произвольно.

На его месте может быть любое другое число. Поэтому полученные равенства носят не частный, а общий характер. Другими словами, при делении любого числа на число 1 получается то число, котоТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий рое делили. К такому выводу должны прийти учащиеся в результате выполнения этого задания. Однако точную формулировку этого свойства мы пока не даем. Это будет сделано в тексте следующего задания.

При выполнении задания 87 учащиеся смогут впервые прочитать формулировку изучаемого свойства, хотя суть этого свойства им уже знакома. Применить это свойство мы предлагаем в несколько необычной ситуации, а именно для решения уравнений с неизвестным делимым и делителем, который равен числу 1. Если стандартное применение данного свойства предполагает переход от частного с делителем 1 к значению этого частного, то в этом задании учащиеся должны осуществить обратный переход: от значения частного к частному с делителем 1.

Примечание. Обращаем внимание учителей на то, в каком виде дана формулировка изучаемого свойства: хотя на данном этапе речь идет только о делении целых неотрицательных чисел, но эту формулировку не нужно изменять и в случае расширения числового множества даже до множества всех действительных чисел, с чем столкнутся учащиеся уже в средней В задании 88 предлагается решить простую задачу на деление.

При этом задача сформулирована таким образом, что в ней описана ситуация, приводящая к делению данного числа по 1. Учащимся уже хорошо знакомы ситуации, в которых выполнялось деление по 2, по 3 и т. д. С делением по 1 они еще не сталкивались. В этом случае наша задача состоит в том, чтобы убедить учащихся в полной аналогичности всех этих ситуаций. Тогда решение задачи может быть легко найдено и записано в виде частного 12 : 1. Вычислить значение этого частного учащиеся могут с помощью только что изученного правила.

В задании 89 предлагается еще раз поработать с ситуацией, которая была предложена в предыдущем задании. Только теперь интересующую нас задачу учащиеся должны сформулировать самостоятельно. Сделать это они могут, применяя метод аналогии.

Завершающая часть данного задания предполагает работу в парах.

В задании 90 предлагается поработать с правилом деления на число 1. Мы еще раз хотим акцентировать внимание учащихся на том факте, что равенство делимого и значения частного (если не рассматривать число 0) возможно тогда и только тогда, когда делитель равен числу 1.

В задании 91 предлагается вычислить значение выражения. После того как будут выполнены действия в скобках (вычисления нужДеление числа на само себя»

но провести столбиком), становится понятно, что действие деления можно выполнить устно, используя изученное только что правило.

В задании 92 для восстановления пропущенных цифр учащиеся должны опираться на правило деления на число 1. В первом случае это является очевидным. Чтобы найти пропущенные цифры, достаточно вспомнить, что при делении на число 1 делимое и значение частного должны быть равны. В итоге должно получиться равенство 273985 : 1 = 273985. Во втором случае ситуация значительно сложнее. Делимое в этом случае самое большое может равняться числу 195. Если искомое делимое делить на 2, на 3 и т. д., то в результате никак не может получиться трехзначное число. А у нас результат является именно трехзначным числом. Значит, делителем является число 1. После установления этого факта восстановить цифры делимого и значения частного можно, как и в предыдущем случае.

В результате получится равенство 175 : 1 = 175.

Тема: «Деление числа на само себя» (1 урок) Следующим свойством действия деления, которое мы предлагаем рассмотреть, является случай деления числа на само себя. Сразу хотим подчеркнуть, что это свойство рассматривается нами только для натуральных чисел (число 0 не рассматривается), о чем специально упоминается в формулировке этого свойства. Число 0 из рассмотрения следует обязательно исключить. Учащимся об этом можно сказать уже при выполнении первого задания данной темы.

При выполнении задания 93, анализируя диалог Маши и Миши, учащиеся получают необходимую информацию для обоснования изучаемого свойства. Теоретической базой в этом случае служит утверждение о том, что если делимое разделить на значение частного, то получится делитель. Другими словами, если в верном равенстве, описывающем действие деления, поменять местами делитель и значение частного, то «новое» равенство также будет верным.

В заключительной части задания учащимся предлагается установить значение частного 12 : 12, используя указанный факт. При этом мы им специально напоминаем, что 12 : 1 = 12.

В задании 94 подход, описанный в предыдущем задании, получает свое продолжение: на основании рассмотрения нескольких частных случаев деления на число 1 учащимся предлагается сделать общий вывод о результате деления числа на само себя. Вывод этот может быть сформулирован следующим образом: так как при делении любого числа на число 1 получается это же самое число, то при делении любого числа на само себя получается число 1. После Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий этого учащиеся должны продемонстрировать на нескольких примерах применение этого факта для вычисления значений соответствующих частных.

В задании 95 мы еще раз обращаем внимание учащихся на существование разнообразных частных, в которых делимое и делитель равны между собой. Для вычисления значений этих частных можно применять фактически установленное к этому моменту правило, формулировка которого впервые дается в тексте этого задания.

В задании 96 предлагается решить простую задачу на деление.

Сюжет предлагаемой задачи таков, что он подводит учащихся к рассмотрению случая деления числа 25 на 25 равных частей. Таким образом, решением задачи будет частное 25 : 25. Тем самым мы показали учащимся, что частное типа 25 : 25 может возникнуть и при описании некоторой реальной ситуации, а не только при формальной работе с числами.

При вычислении значения выражения из задания 97 учащиеся сначала должны выполнить вычитание столбиком, а уже потом убедится в возникновении такого случая деления, о котором речь идет в данной теме. После этого искомый результат, равный числу 1, найти уже не составит особого труда.

В задании 98 предлагается устно найти значение данного выражения. На первый взгляд сделать это практически невозможно.

Но если посмотреть внимательно на суммы, участвующие в данном выражении, то можно легко установить, что они отличаются только порядком следования слагаемых. Поэтому значения этих сумм равны, а значит, можно найти значение их частного без вычисления значения самих сумм. Этим значением будет число 1.

Задание 99 относится к заданиям повышенной сложности. Оно аналогично последнему заданию предыдущей темы. Как и в том задании, первый случай восстановления пропущенных цифр выполняется без особого труда: так как значение частного равно числу 1, то из этого можно сделать вывод, что делимое равно делителю. После этого все пропущенные цифры легко восстанавливаются, и получается равенство 892731 : 892731 = 1.

Для решения второго случая требуются более сложные рассуждения. Сначала учащиеся должны понять, что значение частного и в этом случае может быть равно числу 1. Обоснование того факта, что других вариантов значения частного быть в данном случае не может, является необязательным, и его можно не проводить. Но если об этом зайдет речь, то можно привести следующее обоснование: четырехзначное число, запись которого начинается с цифры 1 не может быть больше четырехзначного числа ни в 2 раза, ни тем более в большее число раз. Поэтому результаДеление числа 0 на натуральное число»

том деления в данном случае может быть только число 1. После этого уже не составляет особого труда восстановить недостающие цифры делимого и делителя и получить следующее равенство:

1475 : 1475 = 1.

Тема: «Деление числа 0 на натуральное число» (1 урок) Следующее свойство деления, которое мы сейчас будем рассматривать, связано с делением числа 0 на произвольное натуральное число. Методика изучения этого свойства ничем принципиально не отличается от методики изучения ранее изученных свойств.

При выполнении заданий 100 и 101 учащиеся на конкретных примерах смогут повторить свойство умножения с числом 0, в котором речь идет о том, что если один из множителей равен 0, то значение этого произведения также равно 0.

В задании 102 учащимся сначала предлагается обратить внимание на тот факт, что у всех данных частных делимое равно 0, а делитель не равен 0. После этого они должны вспомнить правило, согласно которому делимое можно получить в результате умножения значения частного на делитель. Учитывая, что во всех рассматриваемых случаях делимое равно 0, не составляет особого труда понять, что для выполнения указанного правила и значение частного должно быть равно 0. Тем самым учащиеся сами приходят к выводу интересующего нас свойства.

В задании 103 предлагается устно вычислить значение выражения, которое требует при вычислении делителя выполнить два действия сложения с шестизначными числами. На первый взгляд задание выполнить устно практически невозможно, но после устного вычисления делимого, которое оказывается равным 0, становится понятным, что делитель вычислять совсем не нужно.

Каким бы он ни был, значением частного все равно будет число 0. Такой вывод учащиеся могут сделать на основе применения изучаемого свойства, формулировка которого впервые дана в тексте этого задания.

В задании 104 предлагается найти корень уравнения с неизвестным делимым. Так как значение частного в этом уравнении равно 0, то рассмотренное только что правило позволяет без особого труда установить, что искомым корнем является число 0.

В задании 105 учащимся снова предлагается вычислить значение выражения, которое является частным. На первый взгляд их может смутить тот факт, что делитель в этом случае равен числу 15, а делить на 15 они еще не умеют. Однако при вычислении делимого Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий этого частного должно получиться число 0, что говорит о равенстве нулю и искомого значения частного.

В задании 106 предлагается устно вычислить значение частного.

При внимательном рассмотрении этого выражения легко установить, что делимое равно 0. После этого указать значение частного не составляет особого труда.

В задании 107 для восстановления пропущенных цифр учащиеся должны опираться на изученное только что свойство. В первом случае, согласно этому свойству, нужно добиться равенства чисел, участвующих в вычитании в скобках, а делитель тогда может быть любым числом. Примером может служить следующее равенство:

(35792 – 35792) : 278 = 0. Во втором случае можно рассуждать таким образом: однозначное число можно разделить на двузначное только в одном случае, когда это однозначное число равно 0. После этого понятно, что значение частного также будет равно 0 при любом возможном делителе. Примером может служить следующее равенство: 0 : 37 = 0.

В задании 108 предлагается решить задачу с помощью одного выражения. Искомым выражением будет следующее выражение:

(80 – 5 • 16) : 2. Если решать данную задачу по действиям, то после выполнения первых двух действий учащиеся могут сказать, что распределять по двум хранилищам ничего не нужно, так как всю капусту увезли в магазины. Но для нас сейчас важно, чтобы мы смогли с помощью выражения описать всю ситуацию до конца и выполнить и третье действие, состоящее в делении числа 0 на число 2. Это позволяет придать определенный реальный смысл случаю деления числа 0 на натуральное число.

Тема: «Делить на 0 нельзя!» (1 урок) Изучению этой темы следует уделить особое внимание. Требует этого и особая сложность изучаемого вопроса, и его особая значимость не только на данный момент, но еще более для дальнейшего обучения в средней школе.

Сложность вопроса заключается в том, что данное свойство необычно уже по своей формулировке: в отличие от ранее изученных свойств его формулировка дается в негативной, а не в позитивной форме. Другая особенность этого свойства заключается в том, что оно носит характер определения, а не теоремы. По этой причине не имеет смысла говорить о каком-либо его доказательстве. Но, как и для любого другого соглашения (определения), вполне уместно поставить вопрос о его разумности. Именно в разумности соглашеДелить на 0 нельзя!»

ния, что на число 0 делить не имеет смысла, мы и должны убедить учащихся.

Сделать это можно на основе достаточно очевидной идеи, которая заключается в существовании знакомой уже учащимся связи между действиями умножения и деления. Если потребовать выполнения этой связи и для случая, когда делитель равен 0, то мы придем к ситуации, когда значение частного вообще установить не удается (деление натурального числа на число 0), либо значением частного может быть любое число (деление числа 0 на число 0).

Ни в том ни в другом случае такое положение дел не согласуется с определением действия деления, которое требует существования значения частного, и притом только одного.

Учащиеся вполне могут обратить внимание на то, что аналогичные рассуждения также показывают невозможность деления, например, числа 1 на число 2 (в натуральных числах). В этом случае им нужно показать, что некоторые другие числа, например число 4, на число 2 разделить можно, а на число 0 нельзя разделить никакое натуральное число. Если уровень подготовки класса позволяет, то можно упомянуть и о дробных числах, которые позволяют разделить число 1 на число 2. При этом мы еще раз подчеркиваем, что проводимые рассуждения ни в коем случае нельзя трактовать как доказательство рассматриваемого свойства.

Что касается значимости этого свойства для дальнейшего изучения математики в средней школе, то она очень существенна, так как правильное понимание ситуации с делением на число 0 даст возможность учащимся правильно истолковывать очень важные вопросы о допустимых значениях переменной, об области определения функции, о решении уравнений и т. п.

В задании 109 предлагается вспомнить правило об умножении на число 0. Именно с этим свойством будут связаны дальнейшие рассуждения, применяемые для обоснования интересующего нас свойства.

В задании 110 учащимся сначала предлагается убедиться в том, что уравнение х • 0 = 127 не имеет корня (именно для этого используется правило об умножении на число 0). С другой стороны, данное уравнение является уравнением с неизвестным множителем.

Учащиеся знают, что неизвестный множитель можно найти, разделив значение произведения на известный множитель. В нашем случае нужно разделить число 127 на число 0. Если бы это можно было сделать, то полученное число должно было бы являться корнем данного уравнения. Так как данное уравнение корня не имеет, то это и означает, что деление числа 127 на число 0 невозможно.

Аналогичную ситуацию мы будем иметь и для любого другого наТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий турального числа, а не только для числа 127. Это и объясняет правило: деление натурального числа на число 0 невозможно (точнее, не определено).

В задании 111 учащимся предлагается на примере данного числового выражения продемонстрировать применение рассмотренного выше правила. Так как при вычислении значения этого выражения нужно выполнить деление на число 0, то это означает, что данное числовое выражение не имеет числового значения (деление на число 0 выполнить невозможно!). После проведения такого рассуждения учащимся уже не составит особого труда привести несколько аналогичных примеров выражений, которые не имеют числового значения.

В задании 112 предлагается из набора выражений выбрать те, значения которых можно вычислить. Для этого учащиеся должны исключить выражения, у которых нет числового значения, т. е. выражения, в которых присутствует деление на число 0.

При выполнении задания 113 мы предлагаем учащимся еще раз рассмотреть ситуацию, связанную с делением на число 0. Только теперь речь пойдет о делении числа 0 на число 0. Проведя рассуждения по той же схеме, что и при выполнении задания 110, учащиеся смогут убедиться в том, что разумно определить однозначно значение частного 0 : 0 невозможно. Это и позволяет сделать вывод о том, что деление числа 0 на число 0 невозможно (точнее, однозначно не определено!). На завершающем этапе выполнения этого задания можно сформулировать правило, которое объединит обе полученные ранее формулировки: «Делить на число 0 нельзя!»

Именно эта формулировка вынесена в название темы. Несмотря на то что данная формулировка носит характер «штампа» и можно было бы дать более строгую с математической точки зрения формулировку, мы решили остановиться на ней по следующим причинам: во-первых, она легко запоминается, во-вторых, она компактно объединяет обе формулировки, в-третьих, она привычно звучит для учителя.

Тема: «Деление суммы на число» (1–2 урока) Полное и строгое название свойства, изучению которого посвящена данная тема, звучит следующим образом: правый дистрибутивный (распределительный) закон деления относительно сложения.

Мы не предлагаем учащимся использовать такую терминологию по тем же самым соображениям, о которых мы говорили при изучении левого дистрибутивного (распределительного) закона умножения относительно сложения в теме «Умножение числа на сумму». Для нас важно, прежде всего, донести до учащихся суть этого свойства, а название его мы будем строить по тому же принципу, который мы применяли при построении названий для правого и левого распределительных законов умножения относительно сложения. Такая аналогия в названии вполне уместна, но она не должна применятся без необходимого анализа ситуации. Учитель в обязательном порядке должен обратить внимание учащихся на тот факт, что левый дистрибутивный закон деления (в отличие от умножения) относительно сложения не имеет места. Другими словами, правила деления числа на сумму не существует!

В задании 114 учащимся предлагается рассмотреть два варианта решения одной и той же задачи, авторство которых в целях создания привычной для учащихся проблемной ситуации приписано Маше и Мише. Если каждый вариант решения записать в виде одного выражения, то из них можно составить равенство, справедливость которого объясняется не столько равенством значений этих выражений (в чем можно убедиться с помощью соответствующих вычислений), сколько в силу изначального построения всей ситуации – Маша и Миша решают одну и ту же задачу, что при правильном решении и гарантирует истинность интересующего нас равенства. При анализе этого равенства нужно научить учащихся различать, в какой части равенства предлагается разделить сумму на число, а в какой – сложить частные.

В задании 115 учащимся предлагается самостоятельно на примере решения аналогичной задачи повторить рассуждения Маши и Миши из предыдущего задания. Учителю нужно еще раз расставить все те акценты, о которых речь шла выше.

В задании 116 учащимся сначала предлагается из данных выражений составить три верных равенства, не вычисляя значений этих выражений. Сделать это они могут лишь с опорой на конструктивные особенности рассматриваемых выражений и на проведение аналогии с выражениями из двух предыдущих заданий. Объяснение возможности составления таких равенств должно опираться на свойство деления суммы на число, которое пока еще не сформулировано, но его суть учащиеся уже должны понимать.

При выполнении задания 117 учащиеся сначала могут познакомиться с формулировкой правила деления суммы на число, после чего им предлагается применить это правило для составления соответствующего равенства.

Примечание. Обращаем внимание, что формулировка данного свойства носит условный характер. Так как в натуральных числах мы не всегда имеем возможность разделить одно число на другое, то и в формулировке этого свойства Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий мы должны данный факт учитывать. Поэтому мы и говорим о том, что если каждое слагаемое можно разделить на данное число, то, выполнив это деление и сложив полученные значения частных, мы найдем результат деления данной суммы на число. Если же такое деление невозможно, то данное свойство на множестве натуральных чисел применять нельзя.

В задании 118 предлагается воспользоваться изученным только что правилом для вычисления значений данных выражений. Особое внимание нужно обратить на последнее выражение, в котором на число нужно разделить сумму трех слагаемых. До этого момента к таким выражениям данное свойство не применялось, но распространить его и на такого типа выражения можно с помощью рассуждений по аналогии и на основании приведенной выше формулировки этого свойства, в которой специально не оговаривается число слагаемых в сумме.

В задании 119 еще раз обращаем внимание учащихся, что рассматриваемое свойство можно применять не ко всем выражениям, имеющим вид деления суммы на число. Нужно еще чтобы слагаемые делились на это число. Именно на основании этого условия и должны они произвести разделение всех выражений на две группы. После этого уже можно производить нужные вычисления.

Задание 120 относится к заданиям повышенной сложности. В нем предлагается выполнить деление, разложив делимое на «удобные»

слагаемые. «Удобство» этих слагаемых должно выражаться в двух фактах: во-первых, каждое слагаемое должно делиться на данное число, во-вторых, учащиеся должны уметь делить полученные слагаемые на данное число. После выполнения деления в первой группе заданий обязательно нужно обратить внимание на то, что во всех представленных случаях значение частного равно 10. В дальнейшем такие случаи деления следует выполнять устно на уровне навыка, приравнивая их к табличным случаям. Выполняя деление во второй группе заданий нужно использовать результаты, полученные при выполнении первой группы заданий.

В задании 121 предлагается решить задачу, решением которой является выражение (25 + 15) : 5. Вычислить ответ данной задачи учащимся предлагается двумя способами: разделив значение суммы на число либо сложив значения двух частных.

Тема: «Деление разности на число» (1–2 урока) В данной теме будет продолжено рассмотрение дистрибутивных (распределительных) законов. Теперь на очереди правый дистрибуДеление разности на число»

тивный закон деления относительно вычитания. При изучении этого свойства мы будем постоянно проводить аналогии с изучением свойства деления суммы на число.

Примечание. Изучение различных дистрибутивных законов в начальном курсе математики продиктовано не только причинами прикладного вычислительного характера, о которых мы уже говорили, но и важным пропедевтическим значением этих законов для изучения систематического курса алгебры в средней школе.

При выполнении задания 122 учащиеся самостоятельно на основе проведенных вычислений должны построить верные равенства, которые и будут иллюстрировать правило деления разности на число.

В задании 123 учащимся сначала предлагается сравнить два равенства. Одно из этих равенств построено согласно знакомому учащимся правилу деления суммы на число, а другое (с этими же числами) – согласно правилу деления разности на число.

Убедиться в истинности этих равенств учащиеся могут разными способами: для первого равенства они могут сослаться на соответствующее правило, а для второго – произвести необходимые вычисления. Далее вступает в силу метод аналогии, применяя который учащиеся могут самостоятельно сформулировать правило деления разности на число. После этого им остается сравнить свою формулировку с той, которая приведена в тексте задания.

В задании 124 предлагается проиллюстрировать правило деления разности на число с помощью верного равенства, составленного из данных чисел. Результат своей работы они должны сравнить с равенством, приведенным в тексте задания.

При выполнении задания 125 учащиеся смогут поупражняться в применении правила деления разности на число для вычисления значений данных выражений. При этом для всех рассматриваемых выражений это правило применить можно.

При выполнении задания 126 учащимся снова предлагается применить правило деления разности на число для вычисления значения конкретного выражения. Но только теперь нужно проделать предварительную работу: отобрать те выражения, к которым это правило применимо. Условие применимости данного правила в точности повторяет условие применимости правила деления суммы на число.

После этого учащиеся должны вычислить значения оставшихся выражений, но уже без применения указанного правила.

Задание 127 относится к заданиям повышенной сложности. В нем учащимся предлагается на основе анализа представленной записи самостоятельно объяснить, как выполняется деление числа Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий на число 6. Продемонстрировать правильное понимание этого способа они могут на примере деления числа 133 на число 7, которое можно выполнить по аналогии с рассмотренным случаем.

В задании 128 предлагается решить задачу двумя способами:

один вариант решения должен быть представлен выражением (42 – 24) : 6, а другой – выражением 42 : 6 – 24 : 6. Сопоставление двух вариантов решения данной задачи еще раз напомнит учащимся о существовании правила деления разности на число.

В задании 129 учащимся предлагается самостоятельно сформулировать задачу, решением которой является выражение (56 – 32) : 8.

Так как это выражение аналогично выражению, являющемуся решением предыдущей задачи, то при формулировке новой задачи учащиеся могут применять аналогию с формулировкой предыдущей задачи. Если у них получится изменить сюжет, сохранив отношения между данными и искомым, то это нужно обязательно отметить.

В задании 130 предлагается сформулировать задачу по данному решению. Только теперь решением является выражение 56 : 8 – 32 : 8. Легко видеть, что это решение связано с предыдущим решением, с правилом деления разности на число.

Тема: «Поупражняемся в использовании свойств деления и повторим пройденное»

Предлагаем подборку заданий для закрепления и повторения свойств деления и других ранее изученных вопросов.

В задании 131 предлагается устно вычислить значения данных выражений. При вычислении значения первого выражения учащиеся должны заметить, что речь идет о делении числа на само себя.

Поэтому интересующее значение равно числу 1. При вычислении значения второго выражения нужно сначала установить, что в этом случае речь идет о делении числа на число 1. Поэтому искомое значение равно делимому, т. е. числу 365987. При вычислении значения третьего выражения сначала нужно заметить, что речь идет о делении числа 0 на натуральное число с последующим умножением полученного результата (числа 0) на другое натуральное число.

В итоге опять получится число 0.

При выполнении задания 132 учащиеся смогут поупражняться в выполнении деления на основе правила деления суммы на число.

При выполнении задания 133 учащиеся смогут поупражняться в выполнении деления на основе правила деления разности на число.

С помощью задания 134 мы хотим обратить внимание учащихся на существование следующего верного равенства: 1 : 1 = 1.

«Поупражняемся в использовании свойств деления и повторим пройденное»

В задании 135 предлагается вычислить значения таких выражений, с помощью которых можно проиллюстрировать справедливость правила деления суммы на число для случая пяти слагаемых.

Задание 136 относится к заданиям повышенной сложности.

В нем предлагается вычислить значение выражения, которое построено таким образом, что для вычисления его значения сначала нужно применить правило деления разности на число, но не в прямом, а в обратном прочтении. Другими словами, данное выражение, которое представляет собой разность двух частных, нужно «свернуть» в одно частное, где делимое будет представлено разностью соответствующих чисел. После этого вычислить значение выражения уже не составит особого труда. Все преобразования можно записать с помощью следующей цепочки равенств:

653245 : 5 - 653215 : 5 = (653245 - 653215) : 5 = 30 : 5 = В задании 137 предлагается распознать выражение, которое не имеет значения. Таким выражением будет первое из данных выражений, так как в нем заложено деление на число 0. В другом выражении числу 0 равен уже не делитель, а делимое. Поэтому его значение равно нулю.

В задании 138 учащимся предлагается составить уравнение по данному арифметическому сюжету. Искомым уравнением будет следующее уравнение: х : 24 = 312. Для вычисления корня этого уравнения учащиеся должны применить правило нахождения неизвестного делимого, а само вычисление выполнить столбиком (13 – корень уравнения).

В задании 139 учащимся снова предлагается вычислить значение выражения. Данное выражение построено так, что сначала нужно выполнить два действия вычитания. Выполнить действия они должны, применяя вычисление столбиком. После того как будут вычислены эти результаты, учащиеся смогут увидеть, что они оказались равны. Данный факт позволяет теперь легко выполнить действие деления, которое является последним (по порядку выполнения) в данном выражении. Окончательный результат равен числу 1.

В задании 140 предлагается сформулировать задачу по краткой записи. Если проанализировать данную краткую запись, то сюжет задачи легко определяется. Более того, можно легко установить, что интересующая нас задача должна быть составной (в таблице присутствуют два вопросительных знака). Учащиеся сразу должны определить, какой вопросительный знак обозначает искомое, а какой – промежуточное неизвестное. Сделать это они могут, следуя простому правилу: промежуточное неизвестное всегда связано, с одной стороны, с каким-либо данным (или другим промежуточТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий ным неизвестным), а с другой стороны, с искомым. Искомое связано только с промежуточным неизвестным. Таким образом, искомым в задаче должно быть расстояние, пройденное туристами в третий день, а промежуточным неизвестным – расстояние, пройденное во второй день.

Особенностью задачи является и тот факт, что в условии присутствует как отношение «меньше на …», так и отношение «меньше в …», причем отношение «меньше на …» представлено в косвенной форме, что фактически означает применение отношения «больше на …». Приведем пример задачи, которую можно сформулировать по данной краткой записи: «В первый день туристы прошли 25 км, что на 5 км меньше, чем во второй. Сколько километров они прошли в третий день, если в третий день ими было пройдено в 2 раза меньше, чем во второй?»

В задании 141 предлагается решить две задачи, у которых общее условие и разные требования. Для первой задачи можно предложить два варианта решения: один записывается с помощью выражения 27 : 3 – 21 : 3, а другой – с помощью выражения (27 – 21) : 3. Сравнивая два варианта решения, можно обсудить вопрос о преимуществах второго варианта по сравнению с первым (меньше действий, легче вычисления). В этом будет состоять пропедевтическая работа к изучению вопроса о выборе рационального пути решения.

Для второй задачи также можно предложить два варианта решения: один записывается с помощью выражения 27 : 3 + 21 : 3, а другой – с помощью выражения (27 + 21) : 3. И в этом случае можно говорить о выборе рационального пути решения. При анализе вариантов решения каждой задачи обязательно следует акцентировать внимание учащихся и на том факте, что с помощью полученных выражений можно проиллюстрировать соответственно правило деления суммы на число и правило деления разности на число.

В задании 142 предлагается сформулировать задачу по данному уравнению с неизвестным делителем. При этом уравнение построено таким образом, что оно иллюстрирует правило деления числа на само себя. Примером такой задачи может быть следующая задача:

«Почтальон разнес 120 писем поровну некоторому числу адресатов.

В итоге каждый адресат получил по 1 письму. Сколько было адресатов?»

Тема: «Какая площадь больше?» (1–2 урока) Данная тема является первой в блоке тем, посвященных изучению новой для учащихся величины, которая называется площадь. Для знакомства с этой величиной мы используем прием, который применялся уже неоднократно: учащимся предлагается проанализировать «реальную» ситуацию, в которой фигурирует площадь. На основе этого анализа у учащихся должно возникнуть понимание того, что реальные предметы или геометрические фигуры могут отличаться друг от друга не только формой или линейными размерами (длиной, шириной, периметром и т. д.), но и способностью занимать определенную часть поверхности, что и можно охарактеризовать с помощью величины «площадь».

В задании 143 предлагается проанализировать ситуацию, в которой нужно сравнить выполненную Машей и Мишей работу по покраске пола в двух помещениях. При этом проблемную ситуацию мы создаем за счет того, что по периметру эти помещения равны (на этот факт обращает внимание учащихся Миша). Гарантирует ли это, что при покраске пола в этих помещениях будет выполнена одинаковая работа (одинаковость выполненной работы мы оцениваем интуитивно, но привлекать для этой оценки можно затраченное на работу время, расход краски, затраты физических сил и т. п.).

Выход из проблемной ситуации предлагает Маша: для этого нужно мысленно разбить пол в одном и в другом помещениях на одинаковые квадраты (например, квадраты со стороной 1 м) и сосчитать число таких квадратов. После этого станет очевидно, что для покраски пола на веранде нужно покрасить таких квадратов больше (больше на 1 квадрат), чем при покраске пола в комнате. Это и позволит сказать, что площадь веранды больше площади комнаты.

В задании 144 учащимся предлагается на глаз сравнить площади двух данных фигур. Эти фигуры заметно отличаются по площади, поэтому такое сравнение вполне возможно. Если же площади фигур отличаются мало, то сравнить их на глаз, как правило, не удается. Исключение составляет случай, когда одну фигуру можно расположить внутри другой. В этом случае даже небольшое отличие в площади можно легко установить.

В задании 145 предлагается начертить фигуру, площадь которой больше площади одной данной фигуры, но меньше площади другой данной фигуры. При этом данные фигуры разбиты на одинаковые квадраты (квадраты со стороной 1 см), и первая фигура состоит из 7 таких квадратов, а вторая из 9. Не составляет особого труда понять, что искомой фигурой может быть такая фигура, которая состоит из 8 таких квадратов. Начертить искомую фигуру тоже не составляет особого труда, так как она может иметь форму прямоугольника со сторонами 4 см и 2 см.

При выполнении задания 146 учащиеся смогут познакомиться с тем фактом, что площадь прямоугольника в 2 раза больше Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий площади прямоугольного треугольника, который получается в результате разбиения этого прямоугольника на два треугольника с помощью диагонали. При выполнении этого задания учащимся целесообразно поработать с бумажной моделью прямоугольника, которая впоследствии будет разрезана на два треугольника. Этим заданием мы начинаем готовить учащихся к выводу формулы площади треугольника.

При выполнении задания 147 учащиеся смогут познакомиться с возможностью сравнения площадей фигур на основе расположения одной фигуры внутри другой. В этом случае сравнить площади не составляет особого труда. Но они должны понимать, что далеко не всегда фигуру с меньшей площадью можно расположить внутри фигуры с большей площадью. Например, прямоугольник со сторонами 3 см и 1 см имеет меньшую площадь, чем квадрат со стороной 2 см, но этот прямоугольник нельзя расположить внутри этого квадрата.

В задании 148 предлагается решить задачу на уменьшение на несколько единиц, которое задано в косвенной форме. Особенностью этой задачи является то, что ее сюжет носит геометрический характер и имеет непосредственное отношение к изучаемой теме. Завершить работу над данной задачей нужно не на стадии записи ответа (к чему учащиеся уже привыкли), а реализовать полученный ответ в соответствующем геометрическом построении.

Тема: «Квадратный сантиметр» (1–2 урока) Изучая данную тему, учащиеся познакомятся с единицей площади, которая называется квадратным сантиметром. Начать изучение единиц площади именно с этой единицы продиктовано следующими соображениями: во-первых, квадратный сантиметр легко проиллюстрировать, во-вторых, с изучения сантиметра мы начинали изучение длины, в-третьих, в квадратных сантиметрах можно реально измерять площадь фигур, изображенных в учебнике или на тетрадном листе. Для обозначения этой единицы мы будем использовать сокращение «кв. см». Обозначение, использующее принцип записи возведения в квадрат, мы активно использовать не будем, хотя и познакомим с ним учащихся с помощью соответствующей статьи в словаре (с. 150 учебника, часть 2). Такое решение можно объяснить следующими соображениями: на данном этапе изучения арифметических действий учащиеся еще не знакомы с действием возведения в степень, поэтому смысл использования соответствующего обозначения донести до них будет очень трудно, а оставлять все только на уровне формального запоминания, мы считаем нецелесообразным.

При выполнении задания 149 учащиеся знакомятся с единицей площади, которая называется квадратным сантиметром, с ее полным названием и сокращенной формой записи. При этом очень важно акцентировать внимание учащихся на том, что квадратный сантиметр – это не квадрат со стороной 1 см, а площадь этого квадрата.

В задании 150 предлагается самим начертить фигуру, площадь которой равна 2 кв. см. Сделать это они могут по клеточкам в тетради, учитывая, что квадрат, состоящий из 4-х клеточек, имеет площадь 1 кв. см.

При выполнении задания 151 можно организовать практическую работу по заполнению данного прямоугольника бумажными моделями квадратов со стороной 1 см. Можно эту работу проделать и мысленно, а можно перечертить прямоугольник в тетрадь и разбить его на квадраты на полученном чертеже.

Задание 152 относится к заданиям повышенной сложности.

В нем предлагается начертить два различных прямоугольника с условием, что площадь каждого из них равна 12 кв. см. Если учащимся будет сложно подобрать размеры такого прямоугольника, то можно предложить им сконструировать искомые прямоугольники из 12 квадратов со стороной 1 см. Искомыми прямоугольниками могут быть прямоугольники со сторонами 12 см и 1 см, либо 6 см и 2 см, либо 4 см и 3 см.

В задании 153 предлагается распознать прямоугольник, площадь которого равна 10 кв. см. Для этого они должны произвести необходимые измерения и мысленно разбить каждый прямоугольник на квадраты со стороной 1 см. После этого выбранный прямоугольник нужно перечертить в тетрадь.

Задание 154 относится к заданиям повышенной сложности.

В нем учащимся сначала предлагается начертить прямоугольный треугольник, две стороны которого имеют длину по 1 см. Учащиеся должны догадаться, что этими сторонами могут быть только стороны, образующие прямой угол. Составить квадрат из двух таких прямоугольных треугольников не составляет особого труда. Также легко установить, что площадь этого квадрата равна 1 кв. см. Во второй части задания учащимся предлагается из этих же двух прямоугольных треугольников составить треугольник (нужно сделать соответствующий чертеж). Учащиеся должны понимать, что площадь составленного квадрата и площадь составленного треугольника равны, так как эти фигуры составлены из одних и тех же фигур.

Тем самым мы проводим пропедевтическую работу по изучению темы «Равновеликие и равносоставленные фигуры».

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий В задании 155 предлагается решить задачу на уменьшение в несколько раз, заданное в косвенной форме. При этом сюжет данной задачи имеет непосредственное отношение к изучаемым в данной теме вопросам.

В задании 156 учащимся предлагается начертить два прямоугольника, площади которых отличаются на 3 кв. см. Проще всего это сделать, если ширина прямоугольников будет равна 1 см. Тогда нужное отличие площади будет достигаться за счет соответствующего отличия в длине.

Задание 157 относится к заданиям повышенной сложности.

В нем учащимся предлагается начертить два квадрата, площади которых отличаются на 3 кв. см. Использовать прием, описанный в рекомендациях к предыдущему заданию, здесь уже нельзя. Учащиеся сначала должны догадаться, что такими квадратами могут быть квадраты с площадью 1 кв. см и 4 кв. см. Установить это они могут на основе манипуляции с моделями «единичных» квадратов.

В задании 158 учащимся сначала предлагается начертить квадрат и прямоугольник, не являющийся квадратом, площади которых равны по 9 кв. см. Такими фигурами могут быть квадрат со стороной 3 см и прямоугольник со сторонами 9 см и 1 см. После выполнения разностного сравнения периметров этих фигур, учащиеся смогут убедиться в том, что равенство площадей совсем не означает равенство периметров.

Задание 159 относится к заданиям повышенной сложности.

В нем учащимся предлагается начертить квадрат и прямоугольник с периметром по 20 см. Сторону искомого квадрата они могут вычислить с помощью деления. Стороны прямоугольника можно найти методом подбора (например, 6 см и 4 см). Площадь этих фигур можно найти непосредственным разбиением соответствующего чертежа на квадраты со стороной 1 см. Выполнив разностное сравнение площадей этих фигур, учащиеся смогут убедиться, что равенство периметров не гарантирует равенство площадей.

При выполнении задания 160 учащиеся смогу познакомиться со случаем, когда площадь фигуры численно совпадает с периметром этой фигуры. Примером такой фигуры является квадрат со стороной 4 см. Арифметической основой этого факта является следующее равенство: 4 + 4 + 4 + 4 = 4•4 = 16.

Тема: «Измерение площади многоугольника» (1 урок) Данная тема посвящена изучению всего одного, но очень важного вопроса об измерении площади многоугольника. Учить измерению учащихся мы будем как в квадратных сантиметрах, так и с использованием других нестандартных единиц (площадь клетки тетрадного листа, площадь прямоугольника со сторонами 1 дм или 1 см, площадь квадрата со стороной 50 см). Это нужно делать для того, чтобы учениками была усвоена суть процедуры измерения площади, а не только одна ее сторона, связанная с измерением в квадратных сантиметрах.

При выполнении задания 161 учащиеся смогут повторить выполнение уже хорошо знакомой им процедуры измерения прямоугольника в квадратных сантиметрах.

В задании 162 учащимся сначала предлагается измерить данные фигуры, используя в качестве единицы площади площадь клетки тетрадного листа. Для этого они должны узнать, из скольких клеток состоит каждый многоугольник. После того как площадь данных фигур измерена с помощью клеток, нужно перейти к измерению в квадратных сантиметрах, учитывая, что площадь четырех клеток составляет 1 кв. см. Результат измерения в квадратных сантиметрах можно получить либо с помощью деления, либо с помощью непосредственного разбиения на части, состоящие из четырех клеток.

До выполнения задания 163 учащиеся должны вспомнить, что площадь 1 кв. см – это квадрат из четырех клеток тетради. Тогда им не составит особого труда изобразить фигуру (многоугольник), которая занимает 15 таких квадратов, т. е. ее площадь равна 15 кв. см.

В задании 164 учащимся сначала предлагается измерить площадь прямоугольника со сторонами 1 дм и 1 см в квадратных сантиметрах (результатом будет площадь 10 кв. см), а потом измерить площадь прямоугольника со сторонами 3 см и 2 дм, взяв за основу площадь прямоугольника, рассмотренного выше. Ответом будет число 6, а используемая в этом случае единица площади может быть условно обозначена как «см•дм» Если теперь число 6 умножить на 10, то получится значение площади в квадратных сантиметрах (60 кв. см).

Задание 165 относится к заданиям повышенной сложности.

В нем учащимся фактически предлагается измерить площадь потолка прямоугольной формы со сторонами 5 м и 3 м. В качестве единицы площади они должны использовать площадь потолочной плитки квадратной формы со стороной 50 см. Для получения ответа учащиеся могут использовать рисунок с планом потолка, на котором нанесена разметка для наклеивания потолочной плитки.

Задание 166 относится к заданиям повышенной сложности.

В нем учащимся предлагается сначала измерить площадь прямоугольника в квадратных сантиметрах, а потом вычислить площадь треугольника. Анализ данного чертежа позволяет установить, что площадь треугольника равна площади оставшейся части прямоТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий угольника. Из этого следует, что для получения площади треугольника достаточно разделить площадь прямоугольника пополам. Тем самым мы делаем еще один шаг к выводу формулы площади треугольника, о чем речь пойдет еще впереди.

Тема: «Измерение площади с помощью палетки» (1 урок) Любой процесс измерения предполагает наличие инструмента, с помощью которого это измерение проводится. Для измерения площади таким инструментом является палетка. Палетку нельзя считать универсальным инструментом для измерения площади любой фигуры. Наиболее удобна она при измерении площади прямоугольника, причем прямоугольника, стороны которого выражены целым числом сантиметров. В других ситуациях палетку также можно применять, но это требует знания, по крайней мере, дробей со знаменателем 2. Мы пока ограничимся лишь описанным выше простейшим случаем применения палетки. В этом случае можно с успехом применять усовершенствованный вариант палетки, о котором речь идет в приложении 2 «Сделай сам» (с. 154 учебника, часть 2).

При выполнении задания 167 учащиеся познакомятся с палеткой как инструментом для измерения площади.

При выполнении задания 168 они познакомятся с тем, как правильно применять палетку для измерения площади прямоугольника.

Задание 169 относится к заданиям повышенной сложности. Для его выполнения учащиеся сначала должны вспомнить о том, что они знают о существующей зависимости между площадью треугольника и площадью соответствующего прямоугольника. Для этого им можно напомнить о результатах выполнения задания 146 из темы «Какая площадь больше?» и задания 166 из предыдущей темы. После того как всем учащимся будет ясно, что площадь искомого треугольника в 2 раза меньше площади соответствующего прямоугольника, для выполнения задания достаточно построить прямоугольник с площадью 10 кв. см и разделить его на два равных треугольника.

В задании 170 учащимся предлагается выполнить самостоятельно измерение площади данного прямоугольника с помощью палетки.

Тема: «Поупражняемся в измерении площадей и повторим пройденное»

В задании 171 предлагается измерить площадь данных многоугольников с помощью палетки.

«Поупражняемся в измерении площадей и повторим пройденное»

В задании 172 учащимся предлагается применить палетку для нахождения площади треугольника. Сделать это можно в два этапа. Сначала измерить площадь соответствующего прямоугольника, а потом вычислить площадь треугольника, разделив ранее полученную площадь пополам.

В задании 173 учащимся сначала предлагается измерить площадь данного прямоугольника в нестандартных единицах: за единицу площади предлагается взять площадь прямоугольника со сторонами 1 дм и 1 см. С такой единицей площади учащиеся уже сталкивались при выполнении задания 164 из темы «Измерение площади многоугольника».

После этого учащиеся переходят к стандартной процедуре измерения с помощью палетки.

Задание 174 относится к заданиям повышенной сложности.

В нем учащимся предлагается сначала выполнить умножение столбиком для двух пар чисел. Особенность данных пар чисел заключается в том, что первый множитель в каждом произведении один и тот же, а вторые множители отличаются, причем во втором случае второй множитель в 4 раза больше, чем в первом. На основании этого факта можно сделать вывод о том, что и значение второго произведения в 4 раза больше, чем значение первого. Доказать это можно с помощью следующего простого преобразования:

154 • 24 = 154 •(6 • 4) = (154 • 6) • 4.

В задании 175 предлагается найти площадь данных многоугольников с помощью палетки. Сделать это они могут следующим образом. Первый многоугольник можно разбить на два прямоугольника, площади которых можно измерить с помощью палетки (для этого достаточно «узкую» часть фигуры отрезать от «широкой» части).

После этого нужно сложить две полученные площади. Во втором случае нужно с помощью палетки измерить площадь «внешнего»

прямоугольника и площадь «внутреннего» прямоугольника. Затем нужно из первой площади вычесть вторую и получить искомый результат.

В задании 176 учащимся предлагается сформулировать задачу по данной краткой записи. Интересующая нас задача (судя по краткой записи) должна быть простой задачей на уменьшение в несколько раз, которое задано в косвенной форме (через отношение «больше в несколько раз»), а сюжет ее имеет непосредственное отношение к вопросу нахождения площади многоугольника. Примером такой задачи может быть следующая задача: «Треугольник имеет площадь 63 кв. см, что в 7 раз больше, чем площадь пятиугольника. Чему равна площадь пятиугольника?» Решить такую задачу уже не составляет для учащихся особого труда.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий Тема: «Умножение на число 100» (1 урок) Данной темой мы предваряем блок тем, в которых будут введены в рассмотрение новые для учащихся единицы площади и установлены соотношения, которые связывают все изученные на данный момент единицы площади (квадратный сантиметр, квадратный дециметр и квадратный метр). Так как умножение на число 100 является арифметической основой таких соотношений, то это и объясняет выбор данной темы в качестве вводной темы. Что касается логики изучения самой темы «Умножение на число 100», то она аналогична логике изучения темы «Умножение на число 10», с которой учащиеся познакомились в самом начале второй части учебника.

В задании 177 учащимся предлагается выполнить умножение 1 сотни на некоторые натуральные числа (в основном однозначные). Сделать это они могут либо на основе сложения одинаковых слагаемых (как это требуется в задании), либо на основе применения правила умножения числа 1 на натуральное число, автоматически распространенного на случай умножения 1 сотни на соответствующее натуральное число (эта ситуация совершенно аналогична той, в которой мы рассматривали умножение на натуральное число некоторой величины, например 1 см или 1 кг). Таким образом, результат умножения (и при первом варианте решения, и при втором) будет выражен соответствующим числом сотен. На заключительной стадии решения можно предложить учащимся записать полученные результаты в виде чисел, которые являются «круглыми» сотнями.

Задание 178 является естественным продолжением предыдущего задания. В нем учащиеся также имеют дело с умножением 1 сотни на некоторые натуральные числа (точнее, на все натуральные числа от 1 до 10), но только теперь первый множитель записан не в виде 1 сот., а в виде числа 100. Такое изменение записи первого множителя никаких принципиальных изменений в сам процесс вычисления не вносит, поэтому нужный результат может быть получен так же, как это было сделано в предыдущем задании, только с обязательным выражением окончательного результата не в виде числа сотен, а в виде «круглых» сотен.

Выполнение задания 179 базируется на переместительном свойстве умножения и на результатах предыдущего задания. Завершающая часть этого задания посвящена выводу правила умножения на число 100, которое связано с приписыванием к записи числа дважды цифры 0. Мы хотим обратить внимание учителя, а это означает и внимание учащихся, на тот факт, что при формулировке этого правила речь нужно вести о записи чисел, а не о самих числах.

В противном случае можно сформировать ошибочное представКвадратный дециметр и квадратный сантиметр»

ление о сути действия умножения, которое будет отождествляться с соответствующими цифровыми трансформациями. Нельзя допускать формулировку типа: «Умножить на 100 – это значит справа приписать два раза цифру 0».

Задания 180 и 181 учащиеся смогут выполнить без особого труда, если будут опираться на правило из задания 179. При этом они должны помнить, что увеличение числа в 100 раз и умножение на число 100 приводят к одному и тому же результату.

При выполнении задания 182 учащимся предлагается вспомнить ситуацию с увеличением числа в несколько раз, которое осуществляется в два этапа. В результате такого поэтапного увеличения сначала в 10 раз, а потом еще в 10 раз, мы получим увеличение в раз, что и является предметом нашего изучения в этой теме.

В задании 183 предлагается решить задачу в два действия, при вычислении ответа которой нужно выполнить умножение на число 100.

В задании 184 предлагается проверить с помощью калькулятора правильность выполнения умножения на число 100. Кроме этого, учащиеся должны для каждого равенства сделать запись в столбик.

В задании 185 предлагается выразить данную длину в других единицах. При этом единицы подобраны таким образом, что нужный переход осуществляется с помощью умножения данного числа на число 100 (от дециметров к миллиметрам). После того как эта закономерность будет «раскрыта», выполнение заданий превратится в чисто техническую работу.

Тема: «Квадратный дециметр и квадратный сантиметр»

(1 урок) При изучении данной темы учащиеся познакомятся с новой единицей площади – квадратным дециметром и установят соотношение между квадратным дециметром и квадратным сантиметром. Так как квадратный дециметр допускает использование на страницах учебника иллюстрации «в натуральную величину», то мы построили введение этой единицы площади с опорой на соответствующий рисунок.

При выполнении заданий 186 и 187 учащиеся смогут с помощью иллюстрации не только непосредственно увидеть квадрат, площадь которого равна 1 квадратному дециметру, но и убедиться в том, что 1 кв. дм состоит из 100 кв. см.

В задании 188 учащимся предлагается мысленно (использовать чертеж мы уже не можем) разбить прямоугольник со сторонами Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий 6 дм и 1 дм на квадраты со стороной 1 дм. После этого учащиеся могут ответить и на вопрос о площади этого прямоугольника, выразить которую они легко могут в квадратных дециметрах.

Задание 189 относится к заданиям повышенной сложности.

В этом задании мы впервые хотим провести параллель между соотношением для дециметра и сантиметра и соотношение для квадратного дециметра и квадратного сантиметра. Смысл существующей зависимости в том, что если для единиц длины соотношение выражено числом 10, то для соответствующих единиц площади соотношение выражено числом 10•10, т. е. числом 100. В явном виде мы эту закономерность не формулируем, но обратить внимание учащихся на этот факт имеет смысл.

В задании 190 учащимся предлагается сначала выразить площадь, данную в квадратных дециметрах, в квадратных сантиметрах, а уже потом выполнить сложение площадей.

Задание 191 является естественным продолжением предыдущего задания. В нем учащимся предлагается выразить в квадратных сантиметрах площади, которые даны в «смешанном виде», т. е. в квадратных дециметрах и квадратных сантиметрах.

В задании 192 предлагается выполнить сложение и вычитание площадей, выраженных в квадратных дециметрах. Требуемые вычисления учащиеся должны выполнить столбиком.

Тема: «Квадратный метр и квадратный дециметр» (1 урок) При изучении этой темы учащиеся познакомятся с новой единицей площади, которая носит название квадратный метр, и установят соотношение между квадратным метром и квадратным дециметром.

Так как квадратный метр мы не можем проиллюстрировать на страницах учебника, то мы вынуждены применять умозрительные рассуждения. При проведении урока по данной теме учитель может использовать модель квадратного метра, изготовленную из плотной бумаги или картона.

В задании 193 учащимся предлагается самостоятельно, используя рассуждения, дать название единице площади, которая представлена квадратом со стороной 1 метр. После этого из двух таких квадратов они мысленно могут составить прямоугольник, площадь которого будет равна 2 кв. м.

В задании 194 предлагается разбить на квадраты со стороной 1 м квадрат со стороной 2 м. После этого они уже без особого труда смогут установить, что площадь квадрата со стороной 2 м равна 4 кв. м.

При выполнении задания 195 учащиеся сначала смогут убедиться в том, что квадрат со стороной 1 м можно разбить на 100 квадратов со стороной 1 дм, что позволяет установить соотношение между соответствующими единицами площади (1 кв. м = 100 кв. дм).

Задание 196 аналогично заданию 189 из предыдущей темы. Поэтому вся работа с этим заданием может полностью повторять проведенную ранее работу с аналогичным заданием.

При выполнении заданий 197 и 198 учащимся предлагается поупражняться в переводе площади из квадратных метров в квадратные дециметры и, наоборот, из квадратных дециметров в квадратные метры.

В задании 199 предлагается выполнить столбиком сложение и вычитание площадей, выраженных в квадратных дециметрах. Полученные результаты нужно выразить в квадратных метрах.

В задании 200 учащимся сначала предлагается сформулировать задачу по данной краткой записи. Интересующая нас задача, судя по краткой записи, должна быть простой задачей на вычитание площадей. Для вычисления ответа сформулированной задачи учащимся можно рекомендовать предварительно выразить данные площади в квадратных дециметрах, а вычитание выполнить столбиком. При работе над задачей обязательно следует обратить внимание на то, что жилую площадь квартиры составляет площадь всех комнат. Другие варианты, частично учитывающие площадь балконов или лоджий, или иных аналогичных помещений, мы рассматривать не будем.

Тема: «Квадратный метр и квадратный сантиметр» (1 урок) При изучении данной темы мы не будем вводить в рассмотрение новые единицы площади, а сосредоточим внимание учащихся на выводе соотношения между квадратным метром и квадратным сантиметром. Арифметической основой получения этого соотношения является умножение на число 100, только в этом случае такое умножение нужно выполнить дважды, т. е. сначала увеличить в 100 раз, а потом еще в 100 раз. В итоге увеличение будет выполнено в 10 000 раз.

В задании 201 проводится подготовительная работа по получению интересующего нас соотношения, которая заключается в поэтапном увеличении числа 1 сначала в 100 раз, а потом еще в 100.

В итоге число 1 увеличивается в 10000 раз. Это число и будет фигурировать в интересующем нас соотношении.

При выполнении задания 202 учащиеся самостоятельно должны осуществить вывод нужного соотношения, который будет опиратьТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий ся на знание соотношений между квадратным дециметром и квадратным сантиметром и соотношения между квадратным метром и квадратным дециметром. Так как каждое из этих соотношений предполагает увеличение в 100 раз одной единицы площади для перехода к другой, то последовательное выполнение этих соотношений позволяет перейти от квадратного сантиметра к квадратному метру и сделать это можно за счет последовательного двукратного увеличения в 100 раз, т. е. увеличение в 10000 раз.

В задании 203 мы еще раз хотим обратить внимание учащихся на тот факт, что если соотношение между единицами длины выражено числом 100, то соотношение между соответствующими единицами площади будет выражено числом 100•100, т. е. числом 10000.

В заданиях 204 и 205 учащимся предлагается поупражняться в переводе площади из квадратных метров в квадратные сантиметры и, наоборот, из квадратных сантиметров в квадратные метры.

В задании 206 предлагается выполнить сложение и вычитание площадей, выразив сначала все площади в квадратных метрах. Необходимые вычисления при этом можно выполнить устно.

В задании 207 предлагается выполнить столбиком сложение и вычитание площадей. После этого полученные при сложении площади нужно выразить в квадратных метрах.

В задании 208 учащимся предлагается заполнить таблицу по принципу дополнения данной площади до 1 кв. м. С такого типа заданиями учащиеся уже хорошо знакомы на примере выполнения аналогичных заданий для других величин (для длины и массы).

Задание 209 относится к заданиям повышенной сложности.

В нем учащимся предлагается решить составную задачу в три действия (первым действием нужно найти жилую площадь квартиры, вторым – нежилую площадь, а уже третьим – выполнить разностное сравнение этих площадей). Для правильного истолкования величин, фигурирующих в формулировке этой задачи, учащихся можно адресовать к выполнению задания 200 из предыдущей темы.

Тема: «Вычисления с помощью калькулятора»

Эта тема регулярно включается нами в перечень изучаемых тем, начиная со второй части учебника 2 класса. Как и ранее, тема носит факультативный характер (это показано с помощью специальной цветной рамки, в которую заключены задания данной темы): ее изучение мы не считаем обязательным, но было бы очень желательно найти временные и технические возможности для ее изучения всеми учениками класса.

При выполнении заданий 210, 211 и 212 учащиеся не только смогут поупражняться в выполнении сложения, вычитания и умножения для многозначных чисел с помощью калькулятора, но и поупражняться в выполнении этих же действий столбиком.

В задании 213 предлагается выполнить кратное сравнение чисел с помощью калькулятора. Для выполнения этого задания учащиеся должны не только вспомнить, что кратное сравнение осуществляется с помощью действия деления, но и на основании перечисленных характеристик установить сами числа, которые нужно сравнивать.

В задании 214 учащимся сначала предлагается вычислить значение выражения с помощью калькулятора. Для этого они должны выполнить все указанные действия, соблюдая порядок выполнения действий в выражении со скобками. Но если с самого начала обратить внимание на то, что в скобках записаны одинаковые разности, то значение этого выражения можно установить и без выполнения вычитания. Получается, что число 15 сначала нужно увеличить в некоторое число раз, а потом уменьшить в это же число раз. В итоге число 15 и получится.

В задании 215 учащимся сначала предлагается записать выражение, значение которого будет вычислено при последовательном нажатии указанных в тексте задания клавиш на калькуляторе. Искомым будет следующее выражение: (238 977 – 238 905) : 9. Значение этого выражения равно числу 8. Для вычисления значения выражения 238 977 – 238 905 : 9 нужно уже следовать другому порядку выполнения действий: сначала нужно с помощью калькулятора выполнить деление числа 238 905 на число 9 и получить число 26 545. После этого нужно выполнить вычитание числа 26 545 из числа 238 977 и получить число 212 432. Обязательно нужно сравнить выражения, значения которых учащиеся вычисляли. Результатом такого сравнения, с одной стороны, может стать акцентирование внимания учащихся на роли скобок в выражении, а с другой стороны, необходимость учета специфических правил очередности выполнения действий при работе с калькулятором.

При выполнении задания 216 учащиеся не только еще раз смогут поупражняться в выполнении действий с помощью калькулятора, но и вспомнить правила нахождения неизвестного множителя, неизвестного делителя, неизвестного делимого.

Тема: «Задачи с недостающими данными» (1–2 урока) Данной темой мы возвращаем учащихся к вопросу формулировки арифметической сюжетной задачи. Проблема обучения решению Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий арифметических сюжетных задач постоянно находится в поле нашего зрения: практически на каждом уроке мы затрагиваем эту проблему в том или ином виде. Но сейчас речь идет о специальной, целенаправленной работе по формированию умения распознавать и осуществлять правильную (полную) формулировку задачи. Без правильной формулировки задачи нет смысла говорить о ее решении.

При выполнении задания 217 учащиеся смогут на конкретном примере познакомиться с таким понятием, как «задача с недостающими данными». Характеристическим свойством такой задачи является невозможность выполнить требование этой задачи из-за отсутствия в условии необходимых для этого данных. Здесь же мы учим и устранять этот пробел с помощью включения дополнительных данных. При этом дополнительными они названы лишь по той причине, что они дополняют формулировку задачи, делая ее полной и позволяющей такую задачу решить.

В задании 218 предлагается из списка похожих по формулировке задач выбрать ту, в которой данных недостает. Такой задачей будет задача из пункта б. Формулировку этой задачи можно дополнить любым реальным отношением, связывающим число карасей, пойманных Мишей, с числом карасей, пойманных Костей. Целесообразно формулировку задачи в этом случае сопровождать краткой записью. Краткая запись в виде таблицы позволяет, как правило, более наглядно показать отсутствие необходимых данных.

В задании 219 учащимся предлагается самостоятельно сформулировать задачу с недостающими данными. Сделать это они могут по аналогии с теми задачи, о которых речь шла выше. При дополнении условия недостающими данными и решении полученной задачи можно организовать парную работу.

В задании 220 учащимся для анализа предлагается еще одна задача с недостающими данными. При выполнении этого задания нужно обратить их внимание на то, что совсем не любое число может быть выбрано в качестве недостающего данного. Кроме естественного ограничения, связанного с тем, что в хоровой студии не может, например, заниматься 1000 человек, есть еще и арифметическое ограничение, связанное с тем, что разделить на число 2 можно только четное число, так как результат обязательно должен быть выражен целым числом.

В задании 221 предлагается дополнить краткую запись задачи возможными недостающими данными. Выбрать эти данные они могут произвольно, лишь бы они отвечали требованию реальности.

На этапе поиска решения сформулированной задачи можно организовать парную работу.

В задании 222 учащимся сначала предлагается определить, какое данное в условии задачи является недостающим. При этом если дополнить условие этим данным, то получится простая задача на сложение. Если же это данное сделать промежуточным неизвестным с помощью, например, отношения «больше на …», то получится уже составная задача.

На этом примере мы еще раз обращаем внимание учащихся на процесс поиска решения составной задачи.

В задании 223 учащиеся сначала должны дополнить схему составной задачи недостающими данными. При этом они также должны учитывать ограничения на использование некоторых данных (в левую свободную рамку нельзя записать данное, превышающее 500 кг). После этого требуется сформулировать задачу по краткой записи, далее ее решить и вычислить ответ.

Тема: «Как получить недостающие данные» (1–2 урока) С помощью заданий этой темы мы хотим познакомить учащихся с теми возможностями, которые можно использовать для получения недостающих данных.

Умение получать необходимые данные является одним из основных умений применения учащимися полученных знаний об арифметических сюжетных задачах на практике. Готовые формулировки задач можно найти только в учебниках. В реальной жизни сначала задачу нужно правильно сформулировать, а уже потом вести речь о ее решении.

Вот здесь и пригодится учащимся умение получать недостающие данные, о чем мы сейчас и будем вести речь.

При выполнении задания 224 учащиеся узнают о том, что недостающие данные можно получить с помощью непосредственного измерения интересующей нас величины.

Задание 225 показывает, что недостающие данные можно получить из справочной литературы.

Задание 226 показывает, что недостающие данные можно узнать у того, кто владеет этой информацией.

В задании 227 учащимся предлагается воспользоваться представленной таблицей для получения недостающих данных. Этот способ получения недостающих данных аналогичен способу, описанному в задании 225.

В задании 228 источником недостающих данных является этикетка на коробке с печеньем. Учащимся нужно научиться получать недостающую информацию и из такого источника.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий Для выполнения задания 229 учащимся нужно обратиться к учебнику по окружающему миру для 3 класса. Этот способ получения недостающих данных аналогичен способу обращения к справочной литературе.

В задании 230 учащимся предлагается получить недостающие данные в результате непосредственного наблюдения за интересующей ситуацией.

Тема: «Умножение на число 1000» (1 урок) Данной темой мы предваряем блок тем, в которых будут введены в рассмотрение новые для учащихся единицы площади (квадратный километр и квадратный миллиметр), а также установлены соотношения, которые связывают изученные на данный момент единицы площади. Так как умножение на число 1000 является арифметической основой таких соотношений, то это и объясняет выбор данной темы в качестве вводной. Что касается логики изучения самой темы «Умножение на число 1000», то она аналогична логике изучения темы «Умножение на число 100», с которой учащиеся познакомились за несколько уроков до этого.

В задании 231 предлагается выполнить умножение 1 тысячи на некоторые натуральные числа (в основном однозначные). Сделать это учащиеся могут либо на основе сложения одинаковых слагаемых (как это требуется в задании), либо на основе применения правила умножения числа 1 на натуральное число, автоматически распространенного на случай умножения 1 тысячи на соответствующее натуральное число (эта ситуация совершенно аналогична той, в которой мы рассматривали умножение на натуральное число некоторой величины, например 1 см или 1 кг). Таким образом, результат умножения (и при первом варианте решения, и при втором) будет выражен соответствующим числом тысяч. На заключительной стадии решения можно предложить учащимся записать полученные результаты в виде чисел, которые являются «круглыми» тысячами.