Федеральное агентство по образованию и наук

е Российской Федерации

Тюменский государственный университет

На правах рукописи

Зуева Анастасия Юрьевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОТОИНДУЦИРОВАННОЙ

ТЕРМОКАПИЛЛЯРНОЙ КОНВЕКЦИИ В СЛОЕ ПРОЗРАЧНОЙ ЖИДКОСТИ НА

ПОГЛОЩАЮЩЕЙ ПОДЛОЖКЕ

Специальность 05.13.18. — “Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ” Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук профессор В.Н. Кутрунов

Научный консультант — кандидат физико-математических наук доцент Б.А. Безуглый Тюмень, Оглавление Список используемых обозначений Введение 1 Термокапиллярная конвекция. (Обзор литературы.) 1.1 Механизм фотоиндуцированной термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости........... 1.2 Эффект задержки термокапиллярного отклика......... 1.2.1 Описание эксперимента на определение времени задержки........................... 1.3 Математические модели движения тонкого слоя жидкости.. 1.3.1 Температурное распределение............... 1.3.2 Модели тепло- и массопереноса.............. 1.3.3 Профиль термокапиллярной деформации......... 1.4 Этапы математического моделирования............. 1.5 Численные методы решения задач со свободными границами Выводы................................... 2 Распространение тепла до начала конвективных течений 2.1 Равномерный плоский источник. Разделение теплового потока. 2.2 Температурное поле с гауссовым источником.......... 2.3 Вычисление температуры и времени задержки. Программа «Время задержки».......................... 2.3.1 Вычисление запускающего температурного возмущения......................... 2.3.2 Вычисление времени задержки. Сравнение с экспериментами....................... 2.3.3 Температурное поле. Расчет по программе «Время задержки»......................... Выводы................................... 3 Гидродинамическая модель термокапиллярной конвекции. 3.1 Балансные уравнения и граничные условия........... 3.1.1 Балансные уравнения в векторной форме. Способ учета сил Марангони в модели.............. 3.1.2 Балансные уравнения в осесимметричной системе координат.......................... 3.2 Программирование VOF метода.................. 3.2.1 Дискретизация уравнений................. 3.2.2 Постановка граничных условий.............. 3.2.3 Положение межфазной границы. PLIC-VOF метод... Выводы................................... 4 Разработка программного комплекса «Термокапиллярная конвекция» и некоторые результаты расчета. 4.1 Силы поверхностного натяжения................. 4.1.1 Дискретизация сил поверхностного натяжения..... 4.1.2 Определение положения межфазной границы из кинематического условия.................. 4.1.3 Вычисление кривизны межфазной границы....... 4.2 Исходные данные программы «Термокапиллярная конвекция». Этапы численного счета............... 4.3 Обсуждение основных результатов работы программы «Термокапиллярная конвекция».................. 4.3.1 Процесс установления профиля термокапиллярной 4.3.2 Эволюция полей температуры и скоростей........ Приложение 1. Таблица свойств веществ при нормальных Приложение 2. Тестирование программного комплекса Список используемых обозначений Обозначения:

Латинские:

Bd — динамическое число Бонда;

Bo — статическое число Бонда;

Ma — число Марангони;

Ra — число Рэлея;

a [м] — диаметр пучка лазера в точке падения на слой cp [Дж/кг К] — удельная теплоемкость;

H0 — интенсивность индуцирующего пучка лазера;

h0 [м] — толщина недеформированного слоя жидкости;

k [Вт/м K] — теплопроводность;

L [м] — характерный размер области деформации;

u, v [м/с] — радиальная и вертикальная составляющие скорости.

Греческие:

[м1 ] — коэффициент поглощения лазерного излучения;

— термический коэффициент объемного расширения;

[Н/м·К] — термический коэффициент поверхностного натяжения;

µ [Па·с] — динамическая вязкость;

[Н/м] — поверхностное натяжение;

f [м] — глубина термокапиллярного зеркала.

Индексы:

0 — начальные значения;

f — свободная граница или межфазная поверхность;

g — газ;

l — жидкость;

s — подложка.

Введение поверхностного натяжения вдоль свободной поверхности жидкости, жидкость будет перемещаться по направлению более высокого поверхностного натяжения.” Существует ряд технологических процессов, математическую модель которых можно построить путем решения осесимметричных задач переноса энергии, массы и импульса. Течения, вызваные изменением поверхностного натяжения под действием квазиточечных источников энергии (луч лазера, пучок электронов, электрическая дуга, пламя газовой горелки и т.д.) представляют важный и растущий класс инженерных задач.

Области применения включают новые методы лазерной диагностики жидкостей [1–10], биоинженерию [11], сверление [12], абляцию [13], поверхностное легирование [14], сварка [15–17], резка металлов и диэлектриков [18–20], наплавка [19] и т.д. Скорый прогресс в современных лазерных технологиях способствуют повышению интереса к изучению такого рода течений. Существование сил поверхностного натяжения на границах раздела фаз (жидкость–жидкость, жидкость–газ) может оказывать существенное влияние на тепломассоперенос в жидкости. В случае создания в исследуемом объеме жидкости градиента температур поверхностные термокапиллярные силы могут приводить к появлению быстрых гидродинамических течений.

Изучение конвективных процессов в жидкостях со свободными поверхностями началось с появлением фундаментальных работ Бенара [21,22]. Многие авторы впоследствии предлагали различные теоретические модели обнаруженного им явления [23, 24]. Однако, первые работы, посвященные исследованию термокапиллярной конвекции, вызванной тепловым действием лазерного излучения, появились лишь в 1970х годах [25–28], но долгое время это явление оставалось в тени хорошо изученной естественной термогравитационной конвекции.

Поэтому ценные в практическом отношении свойства фотоиндуцированной термокапиллярной конвекции были раскрыты далеко не в полной мере:

деформированной термокапиллярным вихрем свободной поверхности жидкости, несет полную информацию о ее форме, которая зависит от протекающих конвективных процессов внутри жидкости, что позволяет определять ряд физических характеристик жидкости (вязкость [10, 29], температуропроводность [30]), параметры ее слоя (толщину [1, 5–8], кривизну свободной поверхности [31–33]) и свойства подложки;

том числе автоматизированной [34–36];

3. возможность воздействовать на слой жидкости бесконтактным путем позволяет исследовать агрессивные, радиоактивные, находящиеся в экстремальных физических условиях жидкости.

С учетом того, что для измерений не требуется дорогостоящее специализированное оборудование, а использующиеся маломощные (10 мВт) лазеры не вызывают, в большинстве случаев, необратимых изменений в исследуемых жидкостях, этот тип конвекции перспективен для применения в технологических процессах.

В настоящее время существует большое число теоретических и экспериментальных работ, посвященных изучению фотоиндуцированной термокапиллярный конвекции в органических жидкостях [1,2,5–10,27–59].

Часть из них посвящена математическому моделированию и теоретическим оценкам конвективных процессов [1, 5, 7, 27, 28, 31, 32, 34, 37–59]. В других предложены практические применения этого явления [2, 6, 8–10, 29, 30, 33– 36]. Важной особенностью термокапиллярный конвекции в органических жидкостях является деформация свободной поверхности — образование термокапиллярного углубления, профиль которого зависит от физических и геометрических свойств исследуемой системы. Существенным отличием может быть расположение источника тепла, который в зависимости от коэффициента поглощения располагается в объеме жидкости, на ее свободной поверхности или на поверхности подложки, на которой находится слой жидкости [1, 5–10, 27–34, 37–59].

Рост практического значения явления фотоиндуцированной термокапиллярной конвекции [2, 6, 8–10, 29, 30, 33–36], в сочетании с тем, что его экспериментальное исследование осложнено большим числом (более 10) влияющих на конвекцию параметров системы «лазерный пучок–жидкий слой–подложка», придает особую актуальность задаче создания адекватной математической модели этого явления.

За последние десятилетия численному моделированию течений с межфазными границами посвящено большое число работ. Тем не менее, подобные задачи остаются сложными для численного моделирования и возбуждают интерес к дальнейшим исследованиям [60–62]. Одним из наиболее ранних и получивших широкое распространие методов решения задач течения жидкость–газ с подвижной границей, является предложенный Харлоу и Уэлчем [63] метод маркеров и ячеек (MAC — Marker And Cell). Однако, в отличие от MAC метод объема жидкости (VOF — Volume Of Fluid) стал более популярным.

поглощающей подложке возникает эффект задержки термокапиллярной конвекции [2]. Эта задержка вызвана тем, что требуется некоторое время d, чтобы тепловое возмущение дошло от подложки до свободной поверхности жидкости и инициировало термокапиллярное течение.

Очевидно, что величина d зависит от толщины h0 слоя жидкости, мощности P пучка лазера, ряда свойств подложки и жидкости и состояния ее свободной поверхности. Возможность использовать время задержки для бесконтактного контроля указанных параметров делает задачу о развитии термокапиллярной конвекции актуальной.

Объектом исследования настоящей работы является эволюция термокапиллярной конвекции. Цель исследования — изучить явление фотоиндуцированной термокапиллярной конвекции в слое прозрачной жидкости на поглощающей подложке, выявить зависимость времени задержки d от свойств системы «лазерный пучок–жидкий слой– подложка», построить численную модель физических процессов в системе на стадии развития конвекции и формирования термокапиллярного углубления.

Излагаемый в работе материал разбит на четыре главы.

термокапиллярной конвекции и наиболее известным ее моделям. Описаны эксперименты по обнаружению фотоиндуцированной термокапиллярной конвекции и возможность ее практического применения. Выделены основные этапы математического моделирования при исследовании термокапиллярной конвекции. Так же проанализированы современные методы численного моделирования задач с межфазными границами.

фотоиндуцированной термокапиллярной конвекции. Исследуются случаи, когда число Рэлея не превышает критического значения, поэтому плавучестью можно пренебречь. Вследствие этого существует задержка термокапиллярной конвекции, т.е. жидкость находится в покое, пока запускающее температурное возмущение не достигнет ее свободной поверхности. Предложена тепловая модель начальной стадии этого эффекта, когда конвективные течения еще не возникли.

Проведено сравнение результатов полуэмпирической модели с экспериментальными данными, полученными в лаборатории «Жидкостные микрогравитационные технологии».

Третья глава посвящена гидродинамическим течениям и теплообмену при термокапиллярной конвекции, вызванной тепловым действием лазерного излучения в слое прозрачной жидкости на поглощающей подложке, строится термогидродинамическая модель явления. Проведено обезразмеривание системы балансных уравнений и граничных условий.

Для численного моделирования реализован VOF метод для решения уравнений при связном движении вязкой несжимаемой жидкости и газа с учетом сохранения энергии. Для дискретизации уравнений использован классический MAC метод первого и второго порядка в цилиндрических координатах с учетом осевой симметрии исследуемого течения. Особенностью модели является совместное решение уравнений для твердой подложки, слоя жидкости и воздуха.

В четвертой главе описан программный комплекс для численного моделирования исследуемого явления. Построены поля скоростей, давлений и температурные поля. На основе предложенной модели вычислено время задержки термокапиллярной конвекции. Получен также профиль термокапиллярной деформации свободной поверхности в различные моменты времени.

В заключении обобщены выводы диссертационной работе.

Апробация работы и публикации. Результаты исследований обсуждались на научных семинарах лаборатории «Жидкостные микрогравитационные технологии», семинарах физического факультета и факультета математики и компьютерных наук, доложены на:

• Девятой Всероссийской конференции студентов–физиков и молодых ученых, Екатеринбург–Красноярск, март–апрель 2003;

• Международной конференции “Advanced Problems in Thermal Convection”, Пермь, ноябрь 2003;

• Федеральной итоговой научно-технической конференции творческой молодежи России по естественным, техническим, гуманитарным наукам, Звенигород, декабрь 2003;

• Первой Всероссийской конференции студентов и молодых ученых Перспективы развития фундаментальных наук, Томск, апрель • 36-ой и 37-ой Региональной молодежной конференции «ПРОБЛЕМЫ

ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ»,

Екатеринбург: УрО РАН, январь–февраль 2005, 2006;

• Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых

«ЗАДАЧИ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ: ТЕОРИЯ,

ЭКСПЕРИМЕНТ И ПРИЛОЖЕНИЯ», Бийск, июль 2005.

опубликованы в работах [57, 59, 65–72].

Глава Термокапиллярная конвекция. (Обзор литературы.) Отсутствие механического равновесия в неравномерном температурном поле приводит к возникновению в жидкости внутренних течений, стремящихся перемешать жидкость так, чтобы в ней установилась постоянная температура. Такое движение, возникающее в поле тяжести, называют свободной или гравитационной конвекцией [73]. В основе гравитационной конвекции лежит механизм сил плавучести. Другим типом конвекции является капиллярная, связанная с неоднородностью поверхностного натяжения жидкости. Причиной движения жидкой поверхности являются градиенты поверхностного натяжения, возникающие вдоль поверхности раздела жидкость–жидкость или жидкость–газ за счет локального изменения температуры или состава жидкости [74,75]. Эффект капиллярной конвекции вызывают различные поверхностные явления.

Капиллярная конвекция преобладает в слоях жидкости тоньше 1 см со свободной поверхностью [24].

Поверхностные явления отличаются удивительным разнообразием, и хотя многие из них были известны уже в глубокой древности (эффект “слезы крепкого вина”, “танец камфары”, эффект “апельсиновой кожуры”) [76, 77], и даже находили практическое применение (успокоение бурного моря с помощью масла [78]), их природа долгое время оставалась до конца невыясненной.

На протяжении многих веков ученые пытались найти объяснение этим эффектам [74], и только в середине XIX века британский инженер Томпсон [76] и итальянский физик Марангони [79, 80] внесли ясность в понимание механизма капиллярного движения жидкости, которое позже стали называть эффектом Марангони [74, 80].

Первые практические задачи с использованием вызванного светом массопереноса появились с изобретение эвапорографа Черни (1929) [81].

Предполагалось, что в тонкой однородной пленке масла при неоднородном нагреве спроецированным на нее инфракрасным изображением происходит соответствующее неравномерное испарение масла и, таким образом, образуется рельефное изображение, которое визуализируется за счет интерференции на нем белого света. Спустя 10 лет Фишер предложил идею “эйдофора” [82] — прибора для оптического увеличения телевизионного изображения для проекции на большом экране. Здесь также использовалась масляная пленка, которая деформировалась под действием падающего на нее электронного луча.

В том же 1939 году Хершей провел эксперимент [83] по образовании холмика в тонком слое воды на предметном стекле, к которому снизу касались стеклянной палочкой, охлажденной в жидком азоте.

Хершей первым дал правильное объяснение термокапиллярного эффекта и получил приближенное решение уравнения Навье-Стокса для профиля термокапиллярной деформации. Это же решение спустя 20 лет воспроизвел в книге [84] Левич, не сославшись на приоритет Хершей.

В 1956 году Федосов опубликовал статью о термокапиллярном движении [85], где, между прочим, предвидел возможность использования света для инициирования термокапиллярного эффекта. Да Коста [27] и Да Коста и Эскалона [28] исследовали течение и деформацию поверхности связанную с лазерным нагревом поглощающих нефтей, в их работе использовались лазеры длительного действия. Хиджаката и др. [86] произвели несколько новых измерительных экспериментов используя коротко импульсные высокомощные лазеры при взаимодействии с жидкостями: керосин, этанол, октан и R113. Лонгтин и др. [87] на основе этой экспериментальной работы выполнили масштабный анализ и полное численное решение основных уравнений для описания конвекции Марангони при воздействии высокоинтенсивного короткоимпульсного излучения, падающего на свободную поверхность поглощающей диэлектрической жидкости.

Излучение лазера характеризуется рядом свойств, выделяющим его среди других источников электромагнитного излучения: большой мощностью, высокой монохроматичностью, значительной временной и пространственной когерентностью. Лазерное излучение характеризуется узкой направленностью распространения, что обусловлено малым углом расходимости. В процессах обработки материалов лазерным излучением определяющую роль играют энергетические параметры, так как лазерное излучение является одним из видов высококонцентрированных источников энергии [18].

1.1 Механизм фотоиндуцированной термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости.

Явление термокапиллярной конвекции, индуцированной тепловым действием лазерного излучения, впервые наблюдал в 1975 г. Б.А. Безуглый [25] в МГУ им. М.В. Ломоносова. Однако, адекватное объяснение явлению было дано лишь в 1977 г. [26].

Данная работа посвящена гидродинамическим течениям и теплообмену при термокапиллярной конвекции — движения жидкости, вызванные за счет градиента поверхностного натяжения в следствие неоднородности температуры на ее свободной поверхности. Для многих однокомпонентных жидкостей (вода, органические вещества, расплавы солей, жидкие металлы) вдали от критической точки зависимость поверхностного натяжения от температуры близка к линейной: = 0 (T T0 ), поверхностное натяжение уменьшается с увеличением температуры. Здесь 0 — поверхностное натяжение при начальной температуре, — термический коэффициент поверхностного натяжения, T0 — начальная температура. На свободной поверхности с градиентом температуры существует неустойчивость поверхностных сил, которая перемещает область низкого поверхностного натяжения (более теплая) к области высокого (холодная). Поверхностное движение передается соседним слоям жидкости благодаря ее вязкости. Под свободной поверхностью возникает отрицательное давление, которое описывается динамически условием:

где ij = µ(ui /xj + uj /xi ) — тензор вязких напряжений, µ — динамическая вязкость, = (1/R1 + 1/R2 ) — кривизна свободной поверхности z = h(r, t), n — вектор нормали к свободной поверхности, направленный внутрь жидкости, p0 — начальное давление [73]. Когда на поверхности жидкости начинается растекание и, как следствие, ее деформация, под свободной поверхностью возникает отрицательное лапласово давление, т.е. подсос. Сохранение массы требует, чтобы свежая жидкость двигалась в освобожденное пространство (возвратное течение), таким образом возбуждая конвективное движение. Конвекция, вызванная градиентами температуры или концентрации на свободной поверхности жидкости, также известна как конвекция Марангони.

Осесимметричные задачи о термокапиллярной конвекции в жидком Необходимый градиент температуры для возникновения термокапиллярной конвекции можно получить контактным путем — при помощи кондуктивно подведенного источника или стока, который может находиться на поверхности дна (нагревающий или охлаждающий элемент на подложке) [83], Рис. 1.1а. С другой стороны, тепловой источник может находиться непосредственно на свободной поверхности [75, 88–91], Рис. 1.1б, а также внутри жидкости, частично выступая над подложкой [92–94], Рис. 1.1в.

Рис. 1.1. Способы кондуктивного подвода тепла.

Другой способ подведения тепла — электромагнитное излучение, Рис. 1.2. При этом используются как импульсные лазеры [4, 13, 49, 87, 95– 97], так и лазеры непрерывного излучения [17,50,55,98]. Нагрев жидкости пучком лазера может происходит по двум причинам. Если жидкость хорошо поглощает излучение [52, 99, 100], то нагрев происходит в объеме жидкости, по закону Бугера–Ламберта–Бера, Рис. 1.2а. В случае высокого коэффициента поглощения, тепло выделяется в тонком приповерхностном слое [37, 38, 41, 48, 57], Рис. 1.2б, что практически мгновенно приводит к возникновению термокапиллярного течения с последующей деформацией свободной поверхности. Однако, когда жидкость прозрачна, лазерное слой–подложка появляется плоский источник тепла [2, 68, 69, 71], Рис. 1.2в. В этом случае требуется некоторое время, прежде чем на свободной поверхности жидкости возникнет температурное возмущение, способное запустить термокапиллярную конвекцию, которую можно зарегистрировать. Это характерное время эффекта называют “временем задержки” термокапиллярной конвекции. В данной работе рассматривается именно этот тип конвекции.

Рис. 1.2. Распространение тепла за счет лазерного воздействия при различных коэффициентах поглощения жидкости.

Информацию о форме деформированной несет частично отраженный лазерный пучок, поперечном сечении его каустики. На экране возникает интерференционная картина, которая в случае плоскопараллельного слоя окружностей, Рис. 1.3, которую будем Рис. 1.3. Термокапиллярный называть термокапиллярным откликом.

случае неоднородности слоя по толщине или при наличии статической кривизны свободной поверхности, форма отклика отклоняется от круглой. Причина возникновения интерференционной картины подробно рассмотрена в работе [37].

Конвективный процесс внутри слоя жидкости, индуцированный лазерным излучением, и деформация свободной поверхности зависят от большого числа геометрических и физических параметров системы «лазерный пучок–жидкий слой–подложка»: диаметра a пучка лазера в точке падения на слой и его мощности P, толщины слоя жидкости h0, тепловых и оптических свойств подложки (теплопроводности ks, теплоемкости cp s, коэффициента поглощения s ), тепловых, реологических, динамических и оптических свойств жидкости (теплопроводности kl, теплоемкости cp l, вязкости µl, поверхностного натяжения 0, термических коэффициентов объемного расширения = /T и поверхностного натяжения = /T, коэффициента поглощения l ). Всвязи с этим при теоретическом исследовании термокапиллярной конвекции как правило проводится предварительное обезразмеривание уравнений, а введение безразмерных комплексов позволяет сократить число значимых параметров системы. Следует также отметить, что наличие поверхностно-активных веществ даже в ничтожных количествах приводит к полному подавлению термокапиллярной конвекции [101].

На Земле действие гравитации порождает конвективные течения: более холодная, тяжелая жидкость опускается вниз, заставляя более теплую, легкую жидкость подниматься. Пирсон в 1958 году [24] теоретически рассчитал преобладание термокапиллярного или термогравитационного механизма в течении. В космосе, при условии микрогравитации, выступают термокапиллярные течения и они могут быть изучены детально. Камотани и др. [102] выполнили эксперимент термокапиллярного течения в условиях микрогравитации и сравнили результаты с наземным экспериментами.

Несмотря на всю сложность механизма конвективных процессов, зная параметры системы, возникновение какого-либо типа конвекции легко предсказать, используя безразмерные критические числа:

1. динамическое число Бонда характеризует соотношение в системе гравитационных сил и сил, вызванных неоднородностью поверхностного натяжения. Если неоднородность вызвана градиентом температуры:

2. число Рэлея характеризует соотношение сил плавучести и сил вязкого трения:

Часто используется число Грасгофа Gr = Ra/P r, которое появляется при обезразмеривании уравнений Навье–Стокса в приближении Обербека–Буссинеска;

3. число Марангони характеризует соотношение поверхностных сил и сил вязкого трения:

Более подробная классификация безразмерных комплексов в капиллярной гидродинамике представлена в работе Безуглого Б.А. и Ивановой Н.А.

[103], в которой предложен простой способ вывода соотношений между безразмерными комплексами.

термокапиллярный механизмы конвекции действуют одновременно.

Анализ чисел Рэлея и Марангони показывает, что с уменьшением характерного размера системы h0 менее 1 см, капиллярная конвекция становится доминирующей в большинстве жидкостей [24, 104].

1.2 Эффект задержки термокапиллярного отклика.

разнообразных методов лазерной диагностики жидкостей, в этой области предпринимаются новые исследования и разрабатываются новые направления, что свидетельствует о растущей потребности в них. В этом параграфе излагаются физические принципы нового подхода в лазерной диагностике жидкостей, основанного на явлении фотоиндуцированной термокапиллярной конвекции. Основой этого подхода является эффект задержки термокапиллярного отклика, обнаруженный в лаборатории «Жидкостные микрогравитационные технологии» [2]. Экспериментально доказано что время задержки зависит от толщины слоя, мощности лазерного пучка и вязкости жидкости.

В последние годы возрос интерес к лазерным методам диагностики веществ. Это связано с усовершенствованием и широким внедрением лазеров практически во все отрасли науки и техники. Лазер является практически идеальным источником излучения, которое обладает рядом уникальных характеристик. Это позволило не только поднять на новый уровень имеющиеся методы диагностики, но и разработать совершенно новые, которые невозможно было осуществить без лазеров. Эти методы основаны на различных физических эффектах и их многообразие позволяет диагностировать практически любую среду.

Подход с использованием фотоиндуцированной термокапиллярной конвекции хорошо зарекомендовал себя в лазерной диагностике жидкостей, где он имеет ряд преимуществ: 1) простота 2) полная бесконтактность (что актуально в случае неинвизивных измерений) 3) достаточно высокая точность. На его основе создан ряд способов для измерения вязкости [10, 29], толщины слоя жидкости [5–8], концентрации поверхностно-активных веществ в воде [2] и т.д.

1.2.1 Описание эксперимента на определение времени задержки.

В лаборатории «Жидкостные микрогравитационные технологии»

эксперименты с временем задержки термокапиллярной конвекции проводил Чемоданов С.И. [2, 30, 67, 68, 72, 101]. Схема эксперимента показана на Рис. 1.4. Пучок лазера 1 индуцировал термокапиллярную конвекцию в слое 11. Поскольку диаметр возникшей термокапиллярной деформации превосходил диаметр индуцирующего пучка на слое (2.5 мм), границы термокапиллярного отклика были размыты. Для полного охвата зоны деформации свободной поверхности использовали расширенный сферическим зеркалом 6 пробный пучок лазера 2 (диаметр на слое 10 мм), который не вносил заметных возмущений. С помощью Рис. 1.4. Экспериментальная установка. 1 и 2 He-Ne ( = 633 нм) одномодовый индуцирующий (P = 20.9 мВт) и пробный (P = 0.5 мВт) лазеры, 3–6 зеркала, 7 светофильтр, 8 экран, 9 эбонитовая кювета диаметром 65 мм, 10 стеклянная крышка с отверстием диаметром 10 мм, 11 слой жидкости.

зеркал 3–5 установку юстировали так, чтобы на экране 8 в поле зрения видеокамеры находились отклики обоих пучков, ослабляя индуцирующий аттенюатором 7 до яркости пробного. Для выставления заданной толщины слоя использовали калиброванную проволочку, а для достижения горизонтальности дна кюветы микрометрический треножник.

Характеристики исследованных жидкостей даны в таблице Приложение 1.

Эксперименты проводили при температуре 21±1 C следующим образом.

В кювету 9 с помощью микропипетки заливали жидкость и закрывали ее стеклянной крышкой 10 с центральным отверстием диаметром 10 мм. Крышка существенно уменьшает испарение и защищает слой от воздействия конвективных токов воздуха. Отверстие обеспечивает доступ к слою для изменения его толщины, не влияя на условия в объеме газовой фазы кюветы, и исключает многократное отражение света от двух поверхностей стекла и поверхности жидкости. После выставления слоя включали видеомагнитофон на запись, открывали затвор, и записывали динамику развития отклика. По кадрам из оцифрованного видеопотока определяли диаметр отклика в программе Photoshop.

Между измерениями выдерживали паузу, чтобы система «подложка– жидкий слой» вернулась в исходное состояние. Время воздействия пучка на подложку составляло несколько секунд, а время релаксации системы — несколько минут. Последнее определяли по влиянию паузы между измерениями на результаты экспериментов, а в опытах брали заведомо большую паузу (4–5 минут).

Рис. 1.5. Эволюция термокапиллярного отклика. На снимках изображен индуцирующий • (слева) и пробный (справа) пучок. (а) отклик, (б) начало деформации, t = d, (в) фокусировка пробного пучка, (г) начало перефокусировки, (д) всплеск.

течение некоторого времени, не меняется. Эту паузу назовем временем задержки термокапиллярного отклика, d, а отраженный от плоского зеркала жидкости пучок (индуцирующий или пробный) на экране — просто откликом, Рис. 1.5(а), тогда как отраженный пучок от уже деформированной термокапиллярной конвекцией жидкой поверхности удобно называть термокапиллярным откликом, Рис. 1.5(б)–(д). Начало деформации отмечали по отклонению свободной поверхности от плоской, наблюдаемому по появлению в центре пробного пучка светлого пятна, Рис. 1.5(б), диаметр которого в момент фокусировки становился минимальным, Рис. 1.5(в). Далее, с увеличением глубины деформации пучка, Рис. 1.5(г), который заканчивается всплеском перефокусировки, Рис. 1.5(д), что отражается в резком увеличении термокапиллярного отклика с последующим его уменьшением.

Эксперименты проводили с четырьмя жидкостями октан, бутанол, возрастания их вязкости. На Рис. 1.6(а) приведены результаты измерения времени задержки как функции мощности лазерного пучка, для различной Рис. 1.6. Зависимость времени задержки термокапиллярного отклика: (а) от мощности пучка при толщине слоя 330, 570, 810, 1410, 2010 мкм снизу вверх соответственно для бутанола и (б) от толщины слоя для различных жидкостей, при P = 20.9 мВт.

толщины слоя бутанола. Такой же характер имеют зависимости от мощности и в случае октана и бензилового спирта. С ростом толщины слоя возрастает и время задержки, Рис. 1.6(б), при этом жидкости выстраиваются по вязкости. Это объясняется тем, что чем выше вязкость, тем большее температурное возмущение должно возникнуть на поверхности чтобы сдвинуть ее. При прочих равных условиях, это приводит к увеличению d.

1.3 Математические модели движения тонкого слоя В начале прошлого столетия Бенар Х. [21, 22] наблюдал образование гексагональных конвективных картин при нагревании тонких слоев жидкости от 0.44 до 1.2 мм толщиной, Рис. 1.7. Лорд Рэлей полагал, что ячеечные картины были вызваны силами плавучести и сформулировал условия возникновения конвекции в своей работе [23], используя линейный анализ устойчивости и предполагая линейный градиент плотности при стационарном теплопереносе. Затем последовал длинный период путаницы в механизме конвекции. Норманд Ч. и др. [105] представили подробный исторический обзор.

Последний получил безразмерный комплекс для капиллярной конвекции Tc h0 /(µ) = Ma, названный позже числом Марангони, критическое значение которого было найдено Рис. 1.7. Ячейки Бенара [21] равным 79.6, а соответствующее критическое волновое число c = 2.0.

По его оценке число Ma в опытах Бенара должно быть больше 80, на основании чего он уверенно объяснил причину конвекции капиллярным механизмом.

Комбинированное влияние поверхностного натяжения и плавучести на конвекцию проанализировал Нилд Д.А. [107] и установил, что при отсутствии конвективного теплообмена с окружающей средой устойчивость определяется соотношением между Ma и числом Рэлея (Ra = gh0 3 Tc /) где Mac и Rac — теоретические критические значения, полученные методом линейного анализа устойчивости, равные соответственно 80 и 669; Tc — разница температур на дне и на свободной поверхности. Закон Нилда показывает, что капиллярные силы преобладают в очень тонких слоях жидкости, когда число Ra пренебрежимо мало. Относительную роль поверхностных сил и подъемных сил можно оценить из отношения числа Ma к числу Ra: = Ma/Ra = /(g0 h0 2 ).

Исходя из вышесказанного, можно оценить толщину hMa [104] слоя жидкости с одной свободной поверхностью, при которой термокапиллярные силы преобладают над термогравитационными, если эта поверхность деформируема Для большинства органических жидкостей hMa < 4.5 мм, а для воды hMa 10 мм [104].

1.3.1 Температурное распределение.

Существуют различные ситуации, когда при тепловом воздействии вклад конвекции незначителен и теплоперенос происходит в основом за счет кондукции (сварка, плавка, резка металлов, нагрев слоя жидкости снизу при малых числах Ra). В таких случаях целесообразно проводить оценку теплового возмущения в системе на основе только уравнения энергии с различными граничными условиями. Наиболее простым случаем является нагрев полубесконечного теплоизолированного тела постоянным непрерывным источником тепла q [108]:

Это решение было расширено для случая затухающего источника и с условием конвективного теплоотвода с поверхности [109].

Серия работ [18, 110–113] посвящена расчетам тепловых процессов при сварке металлов световым потоком лазера. В некоторых случаях возможно представление теплового источника в виде равномерного круга радиуса a.

Это приближение справедливо, когда источник является сосредоточенным и значение a мало по сравнению с другими линейными параметрами системы. Тогда для полуограниченной среды на оси симметрии имеем [108] полубесконечного тела неподвижным нормально-круговым источником описывается выражением [18] где t0 = a2 /4 — постоянная времени, выражающая длительность распространения тепла эквивалентного сосредоточенного источника.

Да Коста Дж. в [41] рассчитал температурное распределение в тонком образце нагреваемым гауссовым пучом лазера:

где = x/a, = t/t0. В этом выражении отсутствует зависимость от вертикальной координаты.

Ксу Б.К. и др. в [96] проводят численное моделирование температурных распределений в тонкой пленке поглощающей жидкости на твердой подложке под действием лазерного импульса без учета конвективных жидкая пленка–подложка задается условие сопряжения. Моделирование проводилось конечно-элементым методом со специальной сеткой.

1.3.2 Модели тепло- и массопереноса.

В ряде отечественных и зарубежных работ встречаются упрощенные математические модели термокапиллярной конвекции. Более ранние исследования являются чисто аналитическими. С появлением мощной вычислительной техники современные работы в основном направлены на численное моделирование.

В работах Да Косты Дж. [37, 38, 41] были теоретически оценены глубина термокапиллярного прогиба и профиль углубления:

в случае гауссового распределения интенсивности в индуцирующем лазерном пучке, в предположение, что распределение температуры в жидкости подчиняется распределению интенсивности в пучке, т.е.

является гауссовым:

Глубина деформации оказалась прямо пропорциональна температурному полю. Кроме того получено оценочное выражение для скорости свободной поверхности.

гидродинамических течений, возникающих в жидкой ванне вследствие неоднородного нагрева свободной поверхности жидкости излучением лазера. Здесь рассмотрены некоторые предельные случаи аналитического моделирования термокапиллярных течений при лазерной обработке металлов. Получены оценочные выражения для компонент скорости, поверхности в двумерной декартовой системе координат.

Чан К. и др. [46] разработали двумерную модель нестационарного конвективного теплопереноса и капиллярной конвекции. Численная модель на основе метода SOLA описывает поведение процесса нестационарного теплопереноса при стационарном тепловом потоке.

В большинстве работ по исследованию изменения рельефа поверхности жидкости под действием света изучалась деформация поверхности жидкости за счет неоднородного нагрева, приводящего к локальным изменениям поверхностного натяжения и плотности [37, 41, 42, 52].

Несколько иная ситуация исследуется в работах [114, 115]. В них проводится теоретическое и экспериментальное изучение деформации сфокусированного лазерного импульса в условиях, когда термические эффекты исключены.

Тан М.Дж. и др. [116] на основе длинно-волновой теории провели анализ образования деформации свободной поверхности слоя жидкости под действием термокапиллярной конвекции, вызванной неоднородным спонтанным распределением температуры.

Капиллярная конвекция в жидкостях с малой вязкостью наблюдается при перепадах в поверхностном натяжении порядка 0.1 мН/м. Из экспериментов Низовцева В.В. следует, что в случае вынужденной лазерным излучением конвекции в слоях поглощающих жидкостей толщиной h0 от 100 до 500 мкм существует корреляция между диаметром dr термокапиллярного вихря и диаметром a индуцирующего его пучка лазера [51] Этот же автор [53] экспериментально оценил скорость движения жидкости в термокапиллярном вихре.

Эксперименты показали, что поверхностная скорость линейно зависит от мощности лазера в диапазоне 0.2 1 мВт. При мощности индуцирующего излучения 1 мВт и толщинах слоя бутанола 250 и 350 мкм она составляет 0.25 и 0.5 мм/с соответственно. Расчетные значения близки экспериментальным.

Наиболее информативной, на взляд автора, из работ по теоретическому нагретой лазерным излучением поглощающей жидкости является статья нестационарное термокапиллярное движение в слое вязкой несжимаемой жидкости со свободной поверхностью, в которой в начальный момент времени создана тепловая неоднородность. Получены приближенные Рис. 1.8. Распределение давления и скоростей на свободной поверхности [100].

формулы для полей скорости, температуры и давления в слое жидкости, когда деформация свободной поверхности еще незначительна. На Рис. 1.8(а) показано распределение давления по радиусу для различных глубин при малых временах. На Рис. 1.8(б) и (в) показано распределение радиальной и вертикальной скоростей соответственно на поверхности слоя в различные моменты времени.

алюминиевого слоя под действием импульсного лазера. Проводилось численное моделирование процессов распространения тепла, скорости расплавленного металла и деформации поверхности в следствие неравномерности поверхностного натяжения. В расчет брали одну компоненту скорости. Учитывалась зависимость свойств металла от температуры, т.к. металл подвергался большим перепадам температуры, и в расчеты включено испарение с поверхности металла.

В работе [95] Илбас Б.С. изучает механизм переноса тепла, включающий кондукцию, фазовый переход и процессы конвекции, происходящие при обработке стальной детали излучением Nd:YAG лазера.

Учитывалась зависимость тепловых свойств вещества от температуры.

Проводилось численное моделирование на основе уравнений импульса и неразрывности. Однако в самой работе результаты моделирования не представлены, но автор утверждает, что теоретические оценки хорошо согласуются с результатами проведенных экспериментов.

Особый интерес представляет из себя статья Мерсьера Дж.-Ф.

и Норманда К. [92], где проводится теоретическое исследование преобладания термокапиллярного или термогравитационного механизма конвекции в зависимости от положения горячей проволочки в слое жидкости. Если проволочка находится ниже свободной поверхности на расстоянии более 2.5 мм, то начинает преобладать термогравитационный механизм конвекции и на свободной поверхности образуется холмик.

В противном случае преобладает термокапиллярная конвекция и на свободной поверхности образуется прогиб. Распределение температуры в слое определено методом изображений и для случая термокапиллярного механизма в двумерной декартовой системе координат на свободной поверхности имеет вид а деформация свободной поверхности Отсюда выражаются вертикальная и горизонтальная составляющие скорости на свободной поверхности В формулах использованы обозначения: Bo — статическое число Бонда;

A = d/L — аспект-отношение, где d — толщина слоя жидкости, L — его горизонтальная протяженность.

Лонгтин Дж.П. и др. [87] проводят исследование течений жидкости под действием сил поверхностного натяжения в слое жидкости толщиной 1.2 см в следствие лазерного импульса. В жидкость добавлен фотохромный краситель (изменяет цвет под действием света).

Работа в основном направлена на изучение распространения окрашенного пятна вследствие возникших течений. Для этого проведен масштабный и численный анализ и результаты сравниваются с экспериментальными наблюдениями.

Свободная поверхность считается недеформированной. Также в процессе численного моделирования на основе SIMPLEC алгоритма определено распределение температуры в слое жидкости и скорость на свободной поверхности в различные моменты времени. Максимальная температура достигалась 10 К. При таких условиях влияние сил плавучести незначительно, что и было показано численными экспериментами.

Большое число работ посвящено исследованию конвективных течений в лазерной ванне расплава [13, 15–17, 46, 97]. В [17] проводится численное моделирование конвективных течений, вызванных силами Марангони, температурного распределения в зависимости от термического коэффициента поверхностного натяжения и формы ванны расплава.

Деформация свободной поверхности не учитывается. В [97] Ажаев В.С. и Уиллис Д.А. исследуют термокапиллярные течения в слое расплавленного металла на твердой подложке, проводят модельные вычисления для формы свободной поверхности и разрыва пленки в следствие термокапиллярных течений.

1.3.3 Профиль термокапиллярной деформации.

В одной из работ Да Косты Дж. [41] проводились исследования термокапиллярной конвекции в слое сильно вязкой жидкости (тяжелая нефть), когда под действием нагрева гауссовым пучком лазера в первую очередь наблюдается возникновение бугорка вследствие расширения жидкости, а затем образуется углубление.

где а Tc = H0 a2 /4kh0 — критическая температура материала, = x/a, = t/t0. В приближении к экспериментам найдена критическая толщина преобладания термогравитационных или термокапиллярных сил.

работу [52], в которой была уточнена форма поверхности жидкости, распределения температурного поля и наличия лапласового давления стационарный профиль термолинзы (сплошные кривые), полученные для распределения температуры (пунктир), инициированной гауссовым пучком (штрихпунктир) при толщине поглощающей жидкости h0 = 1.8 (1), 1.7 (2) и 1.68 мм (3).

В уже упомянутой работе [100] получена приближенная формула для формы свободной поверхности при больших временах, когда деформация уже значительная где T = T, Bd — динамическое число Бонда и все величины безразмерные. На Рис. 1.9(б) показано отклонение формы поверхности от плоской в различные моменты времени.

В [57] получены оценки стационарного профиля термокапиллярной деформации слоя поглощающей жидкости вызванного тепловым действием пучка лазера. Теоретические зависимости сопоставляются с результатами эксперимента, полученными фотоабсорбционным методом. На Рис. 1.10(а) (точки) профили термокапиллярного углубления, образованного в слое этилового спирта толщиной 1.4 мм, лазерным пучком мощностью 8 мВт. Рассчитанный профиль термокапиллярной деформации вполне удовлетворительно совпадает с экспериментальным, что говорит об адекватности теоретической модели реальному физическому явлению. На Рис. 1.10(б) показаны расчетные профили термокапиллярного углубления в зависимости от мощности лазерного излучения. При увеличении мощности пучка (кривые 1–4) от 1 до 8 мВт глубина прогиба в центре термокапиллярного углубления уменьшилась почти в 8 раз. Дальнейшее увеличение мощности пучка (кривая 5) приводит, к разрыву жидкого слоя, который наблюдали в слоях окрашенного бензилового спирта толщиной порядка 200 мкм под действием лазерного пучка мощностью более 10 мВт.

1.4 Этапы математического моделирования Все явление можно разбить на три стадии и рассматривать каждую из них отдельно. На первой стадии жидкость находится в покое и подвергается тепловому воздействию. Как видно из экспериментов, температурного возмущения в жидкости до определенного момента не достаточно для возниконовения конвективных течений. Кроме того, в рассмотрение берутся малые слои (h0 2 мм), когда выполняется условие для числа Рэлея Ra < Ra. Превышение значения числа Рэлея критического Ra = 1100 является необходимым условием возникновения свободной конвекции под действием силы плавучести в слое жидкости толщиной h со свободной поверхностью. Оно было получено Рэлеем при исследовании возникновения ячеек Бенара. При этих ограничениях жидкость можно считать твердым телом и тогда тепло в нем распространяется только по законам теплопроводности.

Вторая стадия, когда деформация свободной поверхности уже началась, но возвратные потоки еще не возникли, будет проходить до обнаружимого всплеска. Здесь конвективные течения жидкости происходят только в приповерхностном слое жидкости за счет неоднородности коэффициента поверхностного натяжения, которое возникает вследствие неравномерного распределения температуры. При линейной зависимости поверхностного натяжения от температуры вторая стадия должна возникать практически мгновенно (как только свободная поверхность почувствует нагрев), но экспериментальные данные говорят о существовании паузы, которая зависит от толщины слоя, свойств жидкости и параметров пучка.

Причиной этого может быть достижение определенного температурного возмущения, которое запускает термокапиллярное течение. В случае локального теплового воздействия применение числа Марангони для определения запускающего температурного возмущения уже не приемлемо и исследование начала термокапиллярной конвекции нужно применять другие способы.

Третья стадия наступает, когда в жидкости образуется вихрь и происходит это лавинообразно. Эта стадия является гидродинамической и требует полной постановки термогидродинамической задачи. Особый интерес составляет именно момент начало этой стадии, который характеризуется параметрами системы «жидкий слой–подложка–лазерный пучок».

1.5 Численные методы решения задач со свободными За последние десятилетия численному моделированию течений со свободными границами или разрывами (межфазная граница, ударная волна) посвящено большое число исследований. Тем не менее, подобные задачи остаются сложными для численного моделирования и возбуждают интерес к дальнейшим исследованиям [60]. Было предложено немало методов для решения определенных и специальных задач, однако ни один из них не стал общепринятым. Поэтому для решения задачи со свободной границей необходимо аккуратно и правильно подобрать метод со осознанием его возможностей и недостатков.

Любое численное моделирование течений требует проведения дискретизации для численной реализации расчетов на компьютере.

Существует два с принципиально различных подхода: методы Эйлера используют опорную структуру (дискретизационные сетку или ячейки, контрольные объемы, узлы и т.д.) фиксированные в пространстве, и вещество (жидкость) двигается внутри этой структуры. В то время как методы Лагранжа используют структуру (маркерные частицы, сетка или ячейки и т.д.) связанные и двигающиеся вместе с веществом. Методы Лагранжа менее полезны, если вследствие течений происходят сильные деформации или изменяется топология, например, когда свободная граница размазывается или разрывается. В этом случае опорная структура должна быть переинициализирована, что может быть очень громоздким. С другой стороны методы Эйлера как правило менее точные вследствие численного рассеивания.

моделирования был выбран метод Эйлера, т.к. это позволяет уменьшить объем вычислений.

Одним из наиболее ранних и получивших широкое распространие методов решения задач течения жидкость–газ с подвижной границей, является предложенный Харлоу Ф.Х. и Уэлчем Дж.И. [63] метод маркеров и ячеек (MAC). По правде говоря это была комбинация эйлеровского подхода к вычислению области течения с лагранжевыми маркерными частицами, привязанными к жидкости для того, чтобы отличить ее от газа. В то время как схема с разнесенной сеткой и и другие особенности MAC метода стали шаблоном для других эйлеровских подходов, маркерные частицы оказались слишком дорогостоящими с вычислительной точки зрения и поэтому редко использовались. Тем не менее встречались некоторые улучшенные варианты этого метода, например [117–119].

В отличие от MAC метод объема жидкости (VOF) стал более популярным [60, 62, 120–122]. Здесь вместо маркер–частиц используют поле объема жидкой фракции, обозначаемое F. Для каждой вычисляемой ячейки оно определяет долю, заполненную жидкостью, и принимает значения F = 1 в ячейке, полностью заполненной жидкостью; F = 0 в ячейке, заполненной воздухом; и 0 < F < 1 содержащей их межфазную границу. F является свойством, которое меняется при движении жидкости;

в связи с этим имеет место простое адвективное уравнение: DF/Dt = 0.

Ключевым элементом в VOF методе является способ вычисления F :

стандартный конечно-разностный метод страдает от численной диффузии, которая делает значения F слишком гладкими. Поэтому используются специальные методы, часто геометрические, для определения F.

получивашая широкую известность, стала работа Хёрта К.У. и Николса Б.Д. [123]. F -поле в VOF методе является единственным источником информации о фазе. Аппроксимация положения межфазной границы находится при помощи так называемого реконструирования.

Это необходимо для дальнейшего вычисления F, определения локальных свойств (плотности, вязкости, теплопроводности и др.) и для лучшего графического представления. В более ранних версиях [124], обычно

SLIC PLIC

Рис. 1.11. Реальная межфазная граница и соответствующее F -поле. Восстановленная относительным наклоном (PLIC) называемых SLIC (Simple Line Interface Method), межфазную границу аппроксимировали горизонтальной или вертикльной линией в каждой ячейке, Рис. 1.11. Конечно, такого рода реконструкция межфазной границы довольна грубая. Тем не менее, такой подход использовался во многих ранних версиях вплоть до настоящего времени и даже были получены приемлемые результаты при моделирования.

Более точное восстановление межфазной границы возможно при помощи PLIC (Piecewise Linear Interface Construction) метода [125].

В работе при моделировании используется именно этот подход. Здесь межфазная граница аппроксимируется прямыми линиями относительной распределению жидкости в соседних ячейках. Это имеет несколько преимуществ: поток F, при помощи которого переопределяется фаза приближенно известна, поэтому силы поверхностного натяжения в процессе массопереноса проще учесть. Свойства жидкости (плотность и вязкость) более точно локализованы. И наконец, прямые наклонные линии дают более качественное графическое представление.

В девяностых годах появился другой популярный метод — метод уровней (Level Set Method) [126, 127]. Для определения межфазной границы здесь используется новое переменное поле, абсолютное значение которое показывает наикратчайшее расстояние до межфазной границы, принимает положительные значения в жидкости и отрицательные в газе. Набор точек, где = 0, является межфазной границей.

Так же как и F в VOF методе, в первом приближении является свойством среды, которое двигается вместе с ней, поэтому для нее так же справедливо простое адвективное уравнение D/Dt = 0. Однако, в следствие искажения течения, все больше и больше отклоняется от реального расстояния до межфазной границы и поэтому должна быть переинициализирована на каждом шаге по времени в процессе решения дифференциальных уравнений. При численной реализации свойства, такие как плотность и вязкость, не могут резко изменяться на межфазной границе, поэтому становится необходимым провести сглаживание (как правило синусоидальными функциямм) на 3–5 ячеек окрестности межфазной границы.

Метод уровней является хорошей альтернативой VOF методу для моделирования исследуемого явления. Однако автором был выбран VOF метод по причине того, что он более прост в обращения, является явным, геометрически естественным. Кроме того метод уровней неточен и неудобен в применении.

Выводы.

фотоиндуцированной термокапиллярной конвекции с слое прозрачной жидкости на поглощающей подложке. Описаны возможности его практического применения.

2. Приведен обзор литературы, посвященной термокапиллярной конвекции, разобраны существующие математические модели эффекта.

3. Описаны экспериманты, проводимые в лаборатории «Жидкостные микрогравитационные технологии», по выявлению времени задержки термокапиллярной конвекции.

4. Обоснован выбор численного метода для моделирования задачи о термокапиллярной конвекции с горизонтальном слое жидкости.

Глава Распространение тепла до начала конвективных течений Превышение числом Рэлея критического значения Ra = 1100 является необходимым условием возникновения термогравитационной конвекции в слое жидкости толщиной h0 со свободной поверхностью. В рассматриваемых ситуациях число Рэлея не превышает критического значения, поэтому эффектом всплывания можно пренебречь. Вследствие этого до тех пор, пока некоторый градиент температуры не дойдет до свободной поверхности, жидкость можно считать твердым телом и тепло в нем распространяется только по законам теплопроводности. Требуется некоторое время, чтобы тепловое возмущение дошло от подложки до свободной поверхности слоя и запустило термокапиллярное течение. Этот интервал времени будем называть “временем задержки” d. Очевидно, что величина d должна зависеть от толщины слоя жидкости, мощности пучка, теплофизических свойств жидкости и подложки, и состояния ее свободной поверхности. Это наводит на мысль использовать время задержки для бесконтактного экспресс анализа указанных параметров [2].

Рассмотрим следующую задачу, Рис. 2.1: на твердой подложке находится слой прозрачной жидкости толщиной h0. Система «жидкий слой–подложка» нагревается при помощи лазерного пучка, имеющего гауссово распределение. Так как жидкость прозрачная, лазерное излучение поглощается подложкой и она нагревается, тепло начинает распространяться в обе стороны — в подложку и слой жидкости.

В сравнении с размерами слоя жидкости подложку будем считать полубесконечным твердым телом. Диаметральные размеры системы также считаем бесконечными. До тех пор, пока определенное температурное возмущение не дошло до поверхности жидкости и не вызвало градиента поверхностного натяжения (начало термокапиллярной конвекции) тепло в жидкости распространяется кондуктивно (тепловым расширение жидкости пренебрегаем).

При моделировании теплового поля примем следующие допущения:

• физические свойства жидкости и подложки — теплопроводность kl и ks, температуропроводность l и s, плотность l и s — не зависят от температуры;

• учитывая малые значения T, можно пренебречь механизмом передачи тепла посредством излучения.

Сформулированная задача описывается уравнениями теплопроводности в осесимметричной системе координат.