«УПРОЩЕННО-КОГНИТИВНЫЕ ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТЕРЕОМЕТРИИ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ ...»

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

«МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

На правах рукописи

СИТКИН

ЕВГЕНИЙ ЛЕОНИДОВИЧ

УПРОЩЕННО-КОГНИТИВНЫЕ ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

СТЕРЕОМЕТРИИ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ

САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ

13.00.02- теория и методика обучения и воспитания (математика) Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель доктор педагогических наук, профессор Атанасян С.Л.

Москва Оглавление Введение………………………………………………………………… …... ГЛАВА 1. Психолого-педагогические основы обучения геометрии, направленного на самостоятельную познавательную деятельность учащихся…………………………………………………………………………... 1.1 Этапы развития самостоятельной познавательной деятельности учащихся при обучении геометрии в отечественной и зарубежной педагогике

Методики, ориентированные на самостоятельную познавательную 1. деятельность учащихся…………………………………………………………..... 1.3 Особенности когнитивного развития школьников и психология развития их математических способностей в условиях самостоятельной деятельности……………………………………………………………………….. Выводы по первой главе……………………………………………………. ГЛАВА 2. Научно-методические основы разработки упрощеннокогнитивных приемов для решения задач на вычисление расстояний, углов и объемов тел ……………………………………………………………… Отбор предметного содержания для выработки упрощеннокогнитивных приемов решения задач по темам школьного курса стереометрии «Вычисление расстояний и углов в пространстве»……………………………... Отбор предметного содержания для выработки упрощеннокогнитивных приемов изложения теоретического материала по разделу «Объемы тел»……………………………………………………………………… 2.3 Вычисление расстояний и углов в пространстве на основе упрощенно-когнитивных аналитических приемов…. ………………………...... Упрощенно-когнитивные приемы вычисления объемов основных 2. геометрических тел, изучаемых в школе………………………………………… Выводы по второй главе……………………………………………………. ГЛАВА 3. Использование упрощенно-когнитивных приемов и экспериментальное подтверждение эффективности их применения в рамках самостоятельной деятельности учащихся………………… Самостоятельная познавательная деятельность учащихся при 3. изучении стереометрии на основе упрощенно-когнитивных приемов в тесном сотрудничестве с учителем………………………………………………………... Самостоятельная познавательная деятельность учащихся при 3. изучении стереометрии на основе упрощенно-когнитивных приемов, предусматривающая консультирующую роль учителя…………………………. Экспериментальное подтверждение эффективности использования 3. упрощенно-когнитивных приемов для развития самостоятельной деятельности учащихся при изучении стереометрии………………………………………….. Выводы по третьей главе………………………………………………….. Заключение………………………………………………………………... Библиография…………………………………………………………….. Приложение……………………………………………………………….. Введение Актуальность исследования. За последнее время произошли изменения в школьном образовании, требующие новых методик преподавания предметов.

Это обусловлено в основном тем, что в России ввели стандарт второго поколения, основанный на компетентностном подходе к результату обучения, который, в первую очередь, предполагает развитие самостоятельности учащихся как при освоении предметного содержания, так и при оценке собственной деятельности. При этом самостоятельность понимается не только как черта характера, но и как способ деятельности. Поэтому школа должна развить у будущих выпускников навыки самостоятельной познавательной деятельности для получения и совершенствования знаний на всем жизненном пути.

Самостоятельная деятельность формируется и развивается посредством решения различного рода задач, в том числе и математических. Задачи по стереометрии, не входившие в 70-90 годы прошлого столетия в систему итоговой аттестации, с введением ЕГЭ вошли в группу заданий, предназначенных для проверки знаний всех выпускников школ.

В успешном решении стереометрических задач заинтересованы не только учащиеся математических классов, но и учащиеся классов универсального профиля, так как они еще недостаточно твердо определились с выбором профессии и большая их часть проявляет значительный интерес к изучению предмета. Но, если первая категория школьников еще до прихода в старшие классы, жестко ориентирована на углубленное изучение геометрии и в силу развитых математических навыков имеет опыт самостоятельной познавательной деятельности, то учащиеся универсального профиля при изучении такого сложного предмета, как стереометрия, опираются в значительной мере на поддержку со стороны учителя.

Проблеме обучения школьников стереометрии посвящены исследования таких специалистов в этой области предмета, как Э.Г. Готман, В.В. Прасолов, П.Ф. Севрюков, В.А. Смирнов, И.М. Смирнова, А.Н. Смоляков, И.Ф. Шарыгин и другие. Однако, несмотря на пристальное внимание к практике преподавания геометрии в школе, стереометрические задачи, как показывают опросы учащихся, учителей и результаты ЕГЭ, остаются для большинства старшеклассников наиболее сложными.

Особую значимость упомянутые авторы уделяли такой деятельности учащихся, как решение задач на вычисление расстояний, углов в пространстве и вывод формул для объемов основных тел, изучаемых в школе:

1. Задачи на вычисление расстояний и углов представляют обширную группу, объединенную единой тематикой, которые и в отдельности могут являться элементами заданий более сложного содержания, охватывающими значительную часть стереометрического материала.

2. Раздел «Объемы» является завершающим в курсе школьной стереометрии. При его изучении старшеклассники сталкиваются со значительными трудностями при выводе формул для вычисления объемов основных тел, которые преодолеваются с помощью аппарата математического анализа. И, несмотря на то, что изложением раздела занимались такие видные математики и педагоги, как Н.Я. Виленкин, А.Н. Колмогоров, А.Г. Мордкович, все равно использование сложного математического понятия (определенный интеграл) не позволяет многим учащимся освоить логически четкую теорию построения объемов, и им достаточно трудно подвести итоги обучения по предмету.

Самостоятельную деятельность обучающихся также возможно направить на изучение указанной области стереометрии. Решение практических и теоретических задач по этим разделам обеспечит им активное развитие собственной познавательной и математической деятельности.

Сложность заключается в том, что приемы решения задач, рассмотренные как указанными выше специалистами, так и такими авторами пособий по стереометрии, как С.Л. Атанасян, Г.Д. Глейзер, В.А Гусев, В.А. Далингер, А.В.

Погорелов, Н.Х. Розов и др., требуют от учащихся или развитых пространственных представлений и широкого применения планиметрических фактов, или опираются на аппарат векторной алгебры, в многообразии методов которого обучаемые зачастую теряются, не могут рационально подойти к решению задач, накопить опыт и обобщить материал. Именно это и не позволяет большинству учащихся универсального профиля стать активными субъектами учения (обучения в самостоятельной познавательной деятельности), хотя в этих классах школьники способны под руководством учителя решать даже такие сложные задачи стереометрии, как, например, вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми, но в самостоятельной деятельности мысли о заведомо сложных решениях останавливают старшеклассников на очень простых упражнениях.

Опыт обучения в старшей школе и мнение самих учащихся показывают, что для привлечения их к активной учебной деятельности, в том числе к самостоятельному освоению материала, учащимся недостает приемов решения задач, основанных на малом, но содержательном и доступном понятийном аппарате, применение которого позволит обучающимся самостоятельно включиться в изучение предмета и приобрести готовность к самостоятельному поиску решений этих задач иными приемами, требующими развитых пространственных представлений и применения теорем планиметрии. Выделяя эти приемы из других, предварительно можно употребить к ним термин упрощенные.

Таким образом, сложились определенные предпосылки для научнометодической разработки упрощённых приемов, формирующих в процессе самостоятельной познавательной деятельности готовность учащихся к усвоению более глубоких знаний и навыков, и они могли бы лечь в основу формирования простых алгоритмов решения стереометрических задач.

На сновании вышесказанного можно выделить противоречие между существующей потребностью вовлечения школьников в самостоятельную познавательную деятельность при обучении математике, с одной стороны, и, с другой стороны, отсутствием в методике преподавания стереометрии приемов решения задач, формирующих готовность большей части учащихся универсального профиля к самостоятельному изучению стереометрического материала (в рамках разделов) более сложного содержания, базирующегося на пространственных представлениях и планиметрических фактах.

Необходимость устранения указанного противоречия свидетельствует об актуальности темы исследования, определяет проблему, цель, задачи и гипотезу исследования.

Проблема исследования – какими и насколько упрощенными должны быть приемы решения стереометрических задач, чтобы они позволили учащимся универсального профиля не только их применять, но и стимулировали бы их к активной самостоятельной познавательной деятельности при обучении математике, приобретению и закреплению знаний, предусмотренных стандартами.

Объект исследования – процесс обучения старшеклассников стереометрии в классах универсального профиля.

Предмет исследования – вовлечение учащихся универсального профиля в самостоятельную познавательную и математическую деятельность в процессе изучения стереометрии посредством применения упрощенных приемов решения задач.

Цель исследования – разработать упрощенные приемы и методику по их применению, способствующую вовлечению учащихся в рамках школьного курса стереометрии в самостоятельную познавательную деятельность по вычислению расстояний, углов в пространстве и выводу формул для объемов основных тел.

Гипотеза исследования состоит в том, что использование школьниками при обучении стереометрии упрощенных приемов и развитие посредством их самостоятельной познавательной деятельности позволит учащимся:

- эффективно решать задачи различной степени сложности на вычисление расстояний, углов и объемов тел; накопить универсальный опыт решения таких задач и сформировать готовность к усвоению знаний более сложного характера;

- по собственной инициативе перейти к поиску решений задач, основанных на пространственных представлениях и теоремах планиметрии;

- учиться подбирать к задачам различной сложности наиболее оптимальные для себя способы решений (опирающиеся на упрощенные приемы, пространственные представления и теоремы планиметрии и др.).

Предмет, цель и гипотеза исследования определили постановку и решение следующих задач:

1. Проанализировать опыт развития самостоятельной деятельности учащихся при обучении геометрии в России и за рубежом;

2. Выявить методики, стимулирующие самостоятельную познавательную деятельность старшеклассников и отобрать из них ту, которая более соответствует достижению цели вовлечения всех учащихся универсального профиля в самостоятельный познавательный процесс для работы в группе; выделить значимые с точки зрения нашего исследования особенности развития школьников, необходимые им при освоении больших потоков информации;

3. Исследовать и описать компоненты математической деятельности учащихся универсального профиля и определить требования к упрощенным приемам с учетом формирования и развития данных компонентов в условиях самостоятельной деятельности;

4. Отобрать предметное содержание по тематике вычисления расстояний, углов в пространстве и выводу формул для объемов основных тел, изучаемых в школе, на основе которого можно увидеть простые и общие алгоритмы;

5. Разработать для учащихся упрощенные приемы по вычислению расстояний, углов в пространстве и выводу формул для объемов основных тел.

Описать опирающиеся на эти приемы алгоритмы решения задач;

6. Разработать методику по применению упрощенных приемов к решению задач стереометрии, способствующую развитию самостоятельной познавательной деятельности учащихся;

7. Экспериментально подтвердить на практике эффективность использования упрощенных приемов при обучении стереометрии.

Методологическую и теоретическую основу диссертационного исследования составили психологические, педагогические и методикоматематические исследования, связанные с рассматриваемой проблемой, в частности:

- теория развивающего обучения (Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, В.С.

Гончаров, В,А. Крутецкий, С.Л. Рубинштейн, С.И. Шапиро, И.С. Якиманская, и др.);

- педагогические основы теории самостоятельной деятельности (В.П.

Беспалько, Ф. Кайзер,,О.Е. Лебедев, Е.В. Чуб, и др.) - теория обучения математической деятельности (В.А.Гусев, В.А. Далингер, А.Н. Острогорский, Д. Пойя, А. Пуанкаре, и др.) - теория обучения решению стереометрических задач (С.Л. Атанасян, Э.Г.

Готман, В.А. Далингер, В.В. Прасолов, П.Ф. Севрюков, И.Ф. Шарыгин и др.) Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования; анализ программ по геометрии для общеобразовательных классов, государственных стандартов общего среднего образования, учебных пособий и дидактический материалов по стереометрии;

беседы с учителями и учащимися; педагогический эксперимент по проверке основных положений диссертации и статистическая обработка его результатов.

1. Определены требования к упрощенно-когнитивным приемам решения стереометрических задач;

2. Разработаны и теоретически обоснованы упрощенно-когнитивные приемы решения задач стереометрии на нахождение расстояний и углов между плоскостями и прямыми в пространстве и выводу формул для вычисления объемов основных тел, изучаемых в школьном курсе стереометрии;

3. Доказана эффективность применения упрощенно-когнитивных приемов при обучении стереометрии и развития через них у различных по способностям к математике школьников как пространственных представлений, так и самостоятельной познавательной деятельности.

Теоретическая значимость состоит в том, что алгоритмы решения задач, используемые в курсах аналитической геометрии высшей школы, упрощены и адаптированы для школьников; разработана методика применения упрощенно-когнитивных приемов для решения задач на вычисление расстояний, углов в пространстве и вывод формул для объемов тел.

Практическая значимость:

1. Разработаны методические рекомендации по применению упрощеннокогнитивных приемов и решения к задачам повышенной сложности по курсу стереометрии с применением упрощенно-когнитивных приемов;

2. Отобраны приемы решения задач, опирающиеся на пространственные представления и теоремы планиметрии, являющиеся руководством для обучающих с целью привлечения к самостоятельной познавательной деятельности разных по способностям к математике учащихся универсального профиля.

Применение упрощенно-когнитивных приемов по выводу формул для вычисления объемов основных тел обеспечивает полное изложение теории объемов в школьном курсе стереометрии и при этом значительно сокращает время изложения. Упрощенно-когнитивные приемы решения задач стереометрии применимы для обучения школьников различного профиля.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Упрощенно-когнитивные приемы и построенные на их основе простые алгоритмы решения задач дают школьникам возможность одновременного применения алгоритмов к задачам различной сложности и тематики в процессе самостоятельной познавательной деятельности, что приводит к развитию навыков дифференцирования, обобщения и более глубокому изучению материала;

2. Разработанная методика реализации упрощенно-когнитивных приемов способствует:

- повышению эффективности обучения стереометрии и стимулирует как готовность, так и переход учащихся к поиску решений задач иными приемами, основанными на пространственных представлениях и теоремах планиметрии;

- переносу навыков обобщения, приобретенных при решении задач на основе упрощенных приемов, на решения, связанные с пространственными представлениями и планиметрическими фактами.

Достоверность результатов исследования и обоснованность выводов обусловлены опорой на теоретические разработки в области психологии, педагогики, методики преподавания математики, а также проведением педагогического эксперимента.

Организация и этапы исследования. Исследование проводилось в период с 2008 по 2013 г. и состояло из трех этапов.

На первом этапе исследования (2008-2009 гг.) осуществлялся анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования, проводились беседы с учителями школы. Анализировались: заинтересованность учащихся, их устные ответы, умение применять знания к задачам различной степени сложности по разделам, связанным с вычислением расстояний и углов в пространстве, с вычислением объемов тел. Это позволило определить цель и задачи исследования.

На втором этапе (2009-2011 гг.) проводилось психологическое тестирование и анкетирование, в ходе которого выяснилось, что учащиеся на начальном этапе готовы воспринимать основы координатно-векторного метода при изучении стереометрии. Были выявлены методические проблемы, возникающие в процессе преподавания стереометрии, что стало в дальнейшем основой для разработки системы задач для учащихся универсального профиля, соответствующих банков рисунков и стереометрических моделей, теоретического материала. Были разработаны упрощенно-когнитивные приемы, построенные на них простые алгоритмы решения стереометрических задач, методика их применения, а также проведена апробация при организации самостоятельной познавательной деятельности слабых по способностям к математике учащихся универсального профиля.

На третьем этапе (2011-2013 гг.) проводился формирующий эксперимент с целью подтверждения выдвинутой гипотезы. Велась работа над текстом диссертационного исследования.

В качестве экспериментальной базы были выбраны ГОУ СОШ №498 и ГОУ ЦО №1874 г. Москвы.

Апробация и внедрение. Основные положения исследования обсуждались в ГОУ СОШ №498, ГОУ ЦО №1874 и СОШ №179 ГАОУ ВПО «Московский институт открытого образования». На кафедре алгебры, геометрии и методики их преподавания ГБОУ ВПО г. Москвы «Московский городской педагогический университет», на Всероссийской научной конференции «Школьное математическое образование: традиции и инновации» (Ульяновск, 2010), Международной научно-практической конференции «Математика и ее приложения.

Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Орел, 2011), Второй российской школе-конференции с международным участием «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (Тверь, 2010). Результаты исследования внедрены в учебный процесс ГОУ СОШ №498, ГОУ ЦО №1874 и СОШ №179 ГАОУ ВПО «Московский институт открытого образования».

Структура и объем работы. Диссертационное исследование состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы из 183 наименований, содержит 1 приложение.

Работа объемом 186 страниц, содержит 53 рисунка, 11 таблиц, 4 схемы.

ГЛАВА 1. Психолого-педагогические основы обучения геометрии, направленного на самостоятельную познавательную Этапы развития самостоятельной познавательной деятельности учащихся при обучении геометрии в отечественной Воспитание творческой личности, с учетом образовательных стандартов второго поколения, является приоритетным направлением образования.

Организация процесса обучения, основанного на реализации стандартов второго поколения [156], опирается на:

- самостоятельную познавательную деятельность учащегося;

- активность обучающегося при изучении нового материала;

- максимальный учет индивидуальных особенностей личности;

- широту полученных знаний.

Учащиеся должны самостоятельно находить и обосновывать собственные решения, выдвигать нестандартные идеи, уметь адаптироваться в меняющихся ситуациях; уметь гибко применять полученные навыки не только предметного, но и социального характера. Самостоятельная деятельность формируется и развивается посредством решения различного рода задач, в том числе и геометрических.

Начиная со второй половины 19 века, с момента издания в 1884 г. методического труда по преподаванию геометрии А.Н. Острогорского - «Материалы по методике геометрии» [108], который рассматривался, исходя из современных представлений, как учебник по общей методике преподавания геометрии [94], стало уделяться внимание к становлению самостоятельной деятельности учащихся. В своем труде А.Н. Острогорский показал, что обучение учеников доказательствам утверждений на основе пространственных представлений приводит их к усвоению только готовых фактов. Развитию у ученика самостоятельной умственной деятельности на начальном этапе может служить аналитический метод как более доступный, с последующим переходом к изучению геометрических объектов синтетическим методом (методом, основанном на пространственных представлениях). Наш опыт преподавания стереометрии подтверждает мнение российского ученого, и мы согласны с авторами пособия [94], которые утверждают, что А.Н. Острогорский фактически стал основоположником проблемного метода в изучении геометрии.

В конце 19 - начале 20 века развивается международное движение за реформу математического образования. Известный немецкий математик и педагог Ф. Клейн настаивал, что психологические соображения должны играть существенно руководящую роль в методике преподавания математики [66]. В течение определенного времени положения, высказанные Клейном, находили свое отражение и в российской педагогике. Одним из важнейших результатов развития методики преподавания геометрии в России начала 20 века является активизация деятельности учащихся на соответствующих ступенях образования и существенное повышение внимания к их самостоятельной деятельности при изучении геометрии, широкое использование аналитического метода в изложении геометрии [94].

Идеология Российских образовательных программ по математике 1919гг. также предполагала развитие самостоятельной деятельности учащихся.

Важнейшим положением программы являлось признание необходимости активной познавательной деятельности учащихся. Данная декларация, по мнению авторов [94], могла способствовать более раннему развитию советской методики познавательного обучения, но это направление не получило своего отражения в педагогическом сообществе по ряду причин, связанных с общей неразберихой на начальном этапе организации системы образования.

В образовательных программах по математике 1925-1926 гг. самостоятельная познавательная деятельность учащихся явно не просматривалась, и к 1933г. преподавание геометрии было жестко ориентировано на передачу учителем готовой информации, что сводило к минимуму самостоятельную познавательную деятельность учащихся [94]. Возникновение советской педагогической психологии в 20-30 гг., связанное с деятельностью Л.С. Выготского, исследования и результаты по психологии мышления могли повлиять на развитие самостоятельной познавательной деятельности учащихся, но постановление ВКПб от 1936г. «О педагогических извращениях в системе Наркомпроса», поставили исследования Л.С. Выготского и его учеников под запрет.

Послевоенные образовательные программы вплоть до 1958г. предусматривали преподавание синтетического курса геометрии в информационной модели обучения и развитие логического мышления. Принятый в 1958г. закон «Об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы образования» предполагал улучшение методов преподавания, повышение интереса учащихся, активность, самостоятельность, но фактически данная концепция не нашла своего применения в полной мере. Наше дальнейшее исследование анализа пособия [94] и учебно-методического материала, на который они ссылались [4, 26, 15, 114] и др., позволило сделать следующий вывод: основными целями преподавания геометрии вплоть до конца 20 столетия являлись формирование у школьников геометрических знаний и умений, а так же развитие логического мышления. Во всем многообразии учебников, задачников и методических пособий, появлявшихся в то время по школьной геометрии, решалась только проблема содержания геометрического образования, но не проблема методов обучения. Самостоятельная познавательная деятельность учащихся сводилась к решению разнообразных задач, что у большинства школьников формировало лишь мышление по готовым образцам. Перерождение ученика из пассивного субъекта учебного процесса в активный субъект началось лишь 90-е годы. В то время ярчайший школьный геометр И.Ф. Шарыгин разработал систему «опорных» задач по геометрии, обобщающих весь планиметрический материал. Задачи были рассчитаны на самостоятельный анализ и закрепление учащимися курса планиметрии 9-11 кл. [168]. Нами был сделан вывод, что данная система задач, по своей сути, была первой разработкой, в большей степени ориентированной на самостоятельную деятельность массового школьника, так как задачи в этой системе значительно упрощены, обобщают весь курс школьной планиметрии и мотивируют учащихся на более глубокое изучение предмета, вовлекая их в самостоятельный познавательный процесс.

Анализ развития западноевропейской модели обучения геометрии позволил установить, что Европейская школа в 18-19 веках преследовала цель передачи знаний и умений строить рассуждения по образцу, но в конце 19 века во Франции стали приоритетными развивающие цели, направленные на становление у учащихся созидательных способностей, что предполагало меньшее вмешательство педагога в учебный процесс. После Первой мировой войны французская школа продолжила развитие методической идеи, целью которой была мотивация учащихся на самостоятельную деятельность. Педагогам рекомендовалось серией наводящих вопросов подводить учеников к самостоятельному решению проблемы. Но в Германии, начиная с 20-ых годов, процесс развития самостоятельной деятельности учащихся при изучении геометрии проходил быстрее и на более высоком качественном уровне.

Это произошло благодаря идеям Ф. Клейна о включении в школьный курс геометрии всего, что доступно пониманию учащихся на определенном этапе обучения и дальнейшего смещения центра тяжести от количества действий по образцу (шаблонного знания) до развития самостоятельного математического мышления. Данные идеи предполагают сокращение материала, изучаемого непосредственно под руководством учителя. [94]. Вторая мировая война прервала процесс реформации школьного математического образования в Европе, но на Женевской международной конференции по математическому образованию в 1956 г. были сформулированы основные положения реформы [32], в числе которых были:

- соотнесение преподавания математики с новейшими достижениями в области педагогики, психологии;

- побуждение учащихся к активному изучению математики, вовлечение их в самостоятельную деятельность.

На конференции отмечалась роль математики в развитии свойств личности, необходимых в научной и практической деятельности, формировании знаний, необходимых для изучения других предметов. Данные требования как нельзя лучше отвечают стандартам второго поколения, введенным в настоящее время в России.

На третьем международном конгрессе в 1977 г. [90] были подведены итоги реформирования школьного математического образования и окончательно признана необходимость активной самостоятельной деятельности при изучении предмета. Именно тогда в Германии стала развиваться и внедряться в школьное обучение технология «Методика профессионального обучения, ориентированного на действия». К ней относятся: методика изучения частного случая, методика дидактических задач, методика направляющего текста [Ф. Кайзер, К.

Роттлуфф, 48]. Данные методики основаны на компетентностном подходе к образованию, который можно сформулировать как «совокупность общих целей образования, отбора его содержания, организации образовательного процесса и оценки образовательных результатов при активном участии школьников» [80].

Причем данная технология применима для развития самостоятельной деятельности учащихся в составе группы. В настоящее время методики широко апробируются и внедряются в Российское образование.

Исследование опыта преподавания школьной геометрии показало эффективность следующего варианта развития самостоятельной деятельности учащихся при изучении стереометрии:

- применение учащимися на раннем этапе деятельности основ аналитической геометрии [А.Н. Острогорский];

- включение в изучение максимально возможной стереометрической тематики, доступной пониманию школьников на определенном этапе обучения, [Ф. Клейн] и дальнейшее смещение центра тяжести от количества действий «по образцу» к их качеству, подразумевающее развитие самостоятельного мышления;

-в качестве опоры преподавания рассмотреть одну из методик, ориентированных на активное действие обучаемых, положительно зарекомендовавших себя в Европе и в настоящее время активно апробируемых и используемых в России.

В успешном решении стереометрических задач заинтересованы не только учащиеся математических классов, но и учащиеся классов универсального профиля, так как они еще не достаточно твердо определились с выбором профессии и большая их часть проявляет значительный интерес к изучению предмета. Но, если первая категория школьников еще до прихода в старшие классы жестко ориентирована на углубленное изучение геометрии и в силу развитых математических навыков имеет опыт самостоятельной познавательной деятельности, то учащиеся универсального профиля при изучении такого сложного предмета, как стереометрия, опираются в значительной мере на поддержку со стороны учителя. Мы решили опираться в исследовании именно на эту категорию школьников, причем на одиннадцатые классы, так как в начале программы числится раздел «Метод координат», являющийся основой аналитической геометрии. В предыдущем классе эти учащиеся в разной степени приобрели опыт решения несложных стереометрических задач, опираясь при этом на пространственные представления. В самостоятельной деятельности им предстоит развить и закрепить уже полученные навыки.

1.2 Методики, ориентированные на самостоятельную Развитию компетенций, направленных на самостоятельное получение знаний, во многом способствовала ситуация в Германии, где данный подход впервые стал активно применяться в 70-годы в сфере бизнеса. В российском образовании эта концепция уже в 21 веке стала занимать лидирующую позицию. Данные методики, ориентированные на активное действие обучаемых, в педагогическом сообществе получили широкое распространение под видом так называемых «немецких» методик. Обучение российских педагогов на территории Сибирского региона провел доктор Г. Райер вначале 21 столетия и в настоящее время апробация данных методик проходит на территории Новосибирской области при Институте повышения квалификации учителей [34].

Анализ пособия Е.В. Чуба [164] «Компетентностный подход в образовании. Современные технологии профессионального обучения, ориентированного на действие», позволил установить, что в Германии педагогический процесс осуществляется по трем методикам, ориентированным на самостоятельное действие обучаемого: методика изучения частного случая, методика дидактических задач и методика направляющего текста.

Цель методики - научить учащихся самостоятельно планировать собственную деятельность по выходу из конкретной учебной ситуации.

Особенностью методики является то, что учителем выдается только одно конкретное задание, но его решение должно сопровождаться овладением нескольких теоретических и практических компонентов. Для успешного построения дидактического задания необходимо наличие таких обязательных дидактических компонентов, как: информационные листы, листы планирования, эталоны листов планирования, тестовые задания, эталоны выполнения тестовых заданий.

Цель методики - на основе усвоенной базы знаний самостоятельно организовать собственную учебную деятельность учащихся.

Особенность методики заключается в том, что каждый обучающийся может работать в своем собственном индивидуальном темпе, опираясь на предложенные педагогом дидактические рекомендации - направляющий текст.

Направляющий текст - это открытое учебное задание (алгоритмизированный вариант организации процесса обучения на занятии). Направляющими текстами являются: направляющие алгоритмизированные предложения, направляющие вопросы, рабочий план, бланки для контроля.

Цель данной методики - подготовить обучающихся к самостоятельной деятельности через задания, которые учат их принимать решение в ситуациях, связанных с профессиональной деятельностью.

Особенность методики - данная методика является наиболее сложной в методическом плане. Учебное задание скрыто в предлагаемой проблемной ситуации частного случая. Сложность для обучающего разработать такую ситуацию, а для обучающегося - выявить проблему, скрывающуюся за предлагаемым частным случаем, и отсутствием похожих примеров ее решения.

Нами сделан вывод, исходя из особенностей методики исследования частного случая, что она более подходит для обучения старших возрастных групп при овладении профессиональной деятельностью. Методика дидактических задач и методика направляющего текста могут быть использованы в школе на учебных занятиях всех видов и быть результативными на уроках закрепления и совершенствования знаний. Мы склоняемся больше в пользу методики направляющего текста, так как из ее целей и особенностей вытекает, что:

- направляющий текст представляет собой алгоритмизированное руководство для решения задач, что актуально в нашем исследовании, поскольку в школьный курс стереометрии входят основы аналитической геометрии. Для развития у ученика самостоятельной умственной деятельности на начальном этапе может служить более доступный аналитический метод [108];

- на основе усвоенной базы знаний учащийся может самостоятельно организовать собственную учебную деятельность;

- каждый обучающийся может работать в своем собственном индивидуальном темпе, что наиболее подходит для разноуровневого (по математическим способностям) состава учащихся универсального профиля.

Перечисленные особенности методики направляющего текста совпадают с принципами проведения заключительного тура международной математической олимпиады «Турнир городов». Эта олимпиада стала развиваться в Советском Союзе с начала 80-ых годов прошлого столетия благодаря А.Н. Комогорову и Н.Н. Константинову [150].

На заключительном туре учащиеся получают методические разработки. В них описаны начала решений сложных математических проблем, в которых школьники должны продвинуться без учета фиксации времени. Вначале происходит обучение, затем самостоятельное решение проблемы, и по результатам работы выявляются лучшие команды и школьники. Российские педагоги определили принципы проведения заключительного тура независимо от немецких источников, и данные выводы также говорят в пользу выбранной нами методики.

Анализируя деятельность российских педагогов А.Н. Острогорского и И.Ф Шарыгина, можно сказать, что их идеи и разработки [168] тоже являлись своего рода направляющими текстами, мотивирующими учащихся на самостоятельную познавательную деятельность.

Изучим подробнее методику направляющего текста непосредственно на примере ее первоисточника, пособии Ф. Кайзер, Х. Камински «Методика преподавания экономики в школе.»[62, 183].

Метод направляющего текста сложился не сразу и впервые стал применяться с 1971 г. как дополнение к существовавшему в Германии проектному методу, целью которого была подготовка специалистов на предприятиях.

В конце 80-ых г.г. на сталелитейных предприятиях Германии стала применяться усложненная структура направляющих текстов, не связанная с проектными работами: в содержание текстов вошли характерные вопросы, создающие возможности получения новой информации и набор знаний для самоконтроля. Именно на этих предприятиях Германии стала вестись целенаправленная работа, направленная на самостоятельное обнаружение и выравнивание недостатков знаний учащихся, работающих над общей проблемой в составе группы. Под выравниванием недостатков знаний здесь подразумевается не доведение всех учащихся до одного определенного уровня знаний и умений, а стремление к достижению своего личного максимума каждым участником образовательного процесса. Тогда немецкими педагогами было установлено, что методика направляющего текста способствует приобретению ключевых компетенций профессиональной деятельности персонала.

Направляющие тексты являются центральным учебным средством, выполняющие в процессе обучения функции управления по выполнению поставленной задачи и интегрируются в данный процесс на раннем этапе. Данная технология содержит шесть этапов в педагогическом процессе. Таблица 1.

содержит основные характеристики этапов.

этапа Этап получе- Содержательный компонент:

ния информатормозящей их работоспозадаче и цель обучения, алгоции ритмизированный направтекст должен быть интереляющий текст для развития Этап планироплана самостоятельной деятель- подготовки у учащихся вания ности по решению поставленной развивается не только задачи группой учащихся. Уча- способность к планирощиеся в рамках рабочей группы ванию и прогнозировасоздают многовариантные подхо- нию, но и ориентир для Этап принятия решения решению поставленной проблемы учителем. Стимулируется и принимается всеми членами ра- дискуссия среди учащихбочей группы решение в пользу ся, во время которой выпредполагаемого оптимального является неверные пути планирования. Материалы, пре- решения, устраняются недоставленные в направляющем ясности. Учителю не ретексте, являются базой для приня- комендуется давать работия решения. тать учащимся по принципу проб и ошибок, оглашать без комментариев Этап осущесттовку, учащиеся приступают к разрабатывались альтернавления приобретению знаний, придержи- тивные планы выполнения Этап контроля. Под контролем в данной методике Время для самоконтроля не помощи бланков для контроля. Санаправляющего текста, помоконтроль служит диагностикой Таблица1. Шесть этапов методики направляющего текста Эти этапы деятельности являются типичными для данной технологии, однако отклонения возможны в зависимости от области применения.

Методичекое обеспечение направляющего текста Направляющие тексты являются письменным руководством, определяющим этапы учебного процесса, где главная роль в управлении отведена учащимся. В качестве направляющих текстов рассматриваются: направляющие предложения, направляющие вопросы, рабочий план, бланки для контроля.

Самоуправление процессами обучения и метод направляющего текста В успешном осуществлении метода направляющего текста значительную роль играет идея самоуправления, причем эффективность процесса обучения будет достигаться тогда, когда учитель становиться консультантом. Обучение при этом не должно регламентироваться педагогом и сосредотачиваться на нем, а развивать те компетенции, которые помогают в возрастающей мере самостоятельно приобретать знания. Основной предпосылкой к осуществлению самоуправляющихся учебных процессов является не управляющая, а поддерживающая роль учителя, который не ограничивает масштаб возможных действий учащихся. При возникновении трудностей в освоении материала поддерживающей функцией может являться беседа. Мы соглашаемся с авторами данной методики [62, 183] в том, что самоуправляющие учебные процессы выделяют индивидуальность каждого ученика. Каждый из них может самостоятельно и относительно независимо от других членов рабочей группы определять темп и стиль обучения в соответствии со своими личными возможностями.

Кроме того мы соглашаемся с авторами и в том, что отказ от форм обучения в пользу самоуправляющего учебного процесса оберегает слабых учеников от беспокоящего чувства неудач, а более сильным ученикам представляет быстрое продвижение вперед. Эти же черты самоуправляющих процессов подчеркивали руководители сталелитейных немецких компаний Кох/Зелька и организатор процесса обучения на АО Форд в Кельне Роттлуфф [62].

Исследование методики направляющего текста как средства развития тех компетенций учащихся, которые помогают в возрастающей мере самостоятельно приобретать новые знания по стереометрии и формировать собственное мышление, позволило сделать следующие выводы:

- под основным направляющим текстом в содержательном компоненте будет пониматься та информация, представленная учителем, которая обеспечит необходимую базу знаний учащимся для организации самостоятельной деятельности;

- в ходе усвоения предоставляемой учителем информации должны происходить качественные сдвиги как на уровне развития самостоятельно й деятельности, так и на уровне овладения математическим материалом (переход от количества действий «по образцу» к их качеству, подразумевающий развитие самостоятельного математического мышления).

Учащимся одиннадцатых классов в самостоятельной познавательной деятельности предстоит переработать объемный материал, вначале средствами аналитической геометрии, а затем заново переосмыслить знания, связанные с пространственными представлениями и теоремами планиметрии, практически по всему курсу стереометрии. Для этого им надо преподнести информацию таким образом, чтобы они не потеряли интерес к учению.

Так как исследованием процессов переработки и хранения больших потоков информации занимается когнитивная психология, то в третьем параграфе рассмотрены особенности когнитивного развития и психология математических способностей школьников с целью выработки требований к поставляемой учащимся информации.

1.3 Особенности когнитивного развития школьников и психология развития их математических способностей в условиях Отечественными психологами давно выявлены закономерности между развитием детей и их воспитанием и обучением. Представляя механизм развития, С.Л. Рубинштейн подчеркивал, что дети «развиваются, воспитываясь и обучаясь, а не развиваются и воспитываются, и обучаются [128, 38, стр. 70].

Это значит, что воспитание и обучение включаются в процесс развития ребенка, а не надстраиваются над ним». Необходимо руководство собственной познавательной деятельностью ребенка, чтобы обучение и воспитание достигали развивающего эффекта [40, стр. 70]. Еще ранее Л.С. Выготский выдвинул идею об определяющей роли обучения в психическом развитии, когда раскрывал влияние обучения на развитие с помощью введенного им понятия зона ближайшего развития, которое рассмотрено далее в нашем исследовании.

Рассмотрим, как подходят к этому вопросу психологи, изучающие понятие когнитивности.

В работе М.А. Холодной [160, стр. 244] понятие когнитивный трактуется следующим образом: «Когнитивный - имеющий отношение к психическим механизмам переработки информации на разных уровнях познавательного отражения (как преобразуется информация в условиях ее восприятия, как организуется хранение информации в долговременной семантической памяти, как строятся дедуктивные умозаключения и т.д.)».

Исследуя природу интеллекта в своей работе «Психология интеллекта:

парадоксы исследования» [160, стр. 197], автор замечает, что раскрывается он через процедуры его приобретения и в современной школе учитель должен реализовывать функцию проектирования процесса интеллектуального развития учащихся.

Разрабатывая специальную обучающую программу под названием "Инструментальное обогащение" [160, стр. 187], М.А. Холодная считает, что учащийся должен приобрести вначале когнитивный опыт, который формируется при прохождении следующих фаз:

1) мотивировка – «создание условий для осознания учащимися необходимости нового способа описания своего предыдущего опыта» (в нашем исследовании опыта решения несложных стереометрических задач с опорой на пространственные представления);

2) категоризация – «введение знаково-символического и визуального обозначения понятия с последующим постепенным увеличением степени обобщенности знаково-символического и визуального "языков" представления его содержания» (в нашем исследовании - применение учащимися основ аналитической геометрии на раннем этапе деятельности);

3) обогащение – «накопление и дифференциация опыта оперирования вводимым понятием, расширение возможных ракурсов осмысления его содержания» (в нашем исследовании обобщение понятий методами аналитической геометрии).

Затем метакогнитивный опыт [160, стр. 189], отвечающий за «психические механизмы, обеспечивающие управление собственной интеллектуальной деятельностью (в том числе непроизвольный и произвольный интеллектуальный контроль» (в нашем исследовании накопление и обобщении опыта решений стереометрических задач более сложного содержания методами, основанными на пространственных представлениях и теоремах планиметрии и контроль за собственной деятельностью).

В своей работе М.А. Холодная обращается к понятию зона ближайшего развития, выдвинутому Л.С. Выготским, когда рассматривает процесс обучения школьников на начальном этапе. И Л.С. Выготский, и современный исследователь В.С. Гончаров рассматривают «когнитивное развитие как аспект общего психического развития ребенка, связанный с изменением его когнитивных компетенций» [40, стр. 6]. В нашем исследовании мы понимаем когнитивные компетенции как формы организации личностью своего интеллектуального опыта, регулирующие ее познавательную активность при изучении стереометрии. При этом основным познавательным процессом во время самостоятельной деятельности является мыслительный процесс, и он должен претерпевать качественные изменения, переходя от простой к более сложной когнитивной компетенции [40, стр. 6].

Когнитивное развитие разделяется на два вида: актуальное и зона ближайшего развития (Л.С. Выготский). Актуальное развитие характеризуется уже сформированными когнитивными компетенциями и позволяет школьникам самостоятельно выполнять действия по решению задач. При создании первоначальной информации по стереометрии можно взять за основу зону ближайшего развития как вид когнитивного развития. Оно характеризуется еще не вполне сформированными когнитивными компетенциями и не позволяет обучаемым с самого начала самостоятельно выполнять действия при решении стереометрических задач, представляющих из математических задач наибольшую трудность. На начальном этапе, по утверждению Л.С. Выготского, «школьнику необходимо сотрудничество со взрослым и центральным моментом в обучения должна быть возможность подниматься в сотрудничестве на более высокую интеллектуальную ступень с помощью подражания [33, стр. 250].», а в нашем исследовании - с помощью решения задач «по образцу». Поэтому зоной ближайшего развития, должна быть область доступных ребенку переходов к актуальному развитию [33, стр. 250]». Под этой областью доступных переходов мы понимаем упрощенные приемы решения задач по стереометрии, рассчитанные на всех обучаемых универсального профиля, которые педагог должен показать учащимся на раннем этапе получения информации в методике направляющего текста и которые должны формировать у учащихся максимальную готовность к переходу когнитивных компетенций на более высокий уровень.

Сравнивая исследования Л.С. Выготского, М.А. Холодной и В.С. Гончарова, можно сказать, что прохождение учащимися фазы «мотивировка» полностью лежит в зоне ближайшего развития, фазы «категоризация» как в зоне ближайшего развития, так и в области актуального когнитивного развития, так как новая информация, предоставленная учителем, должна обеспечивать переход, фазы «обогащение» - только в области актуального развития.

Существует несколько показателей когнитивного развития. А.К. Маркова обобщила исследования и составила перечень, включающий 22 показателя [89, с. 12-14]. Но мы рассматривали модифицированный перечень В.С. Гончарова [40, стр. 9] и отобрали из него те показатели, уже характеризующие готовность учащихся при изучении стереометрии перейти к самостоятельным формам мышления и, которые мы сможем пронаблюдать в условиях школы:

Показатели когнитивного развития как естественного процесса:

- «мыслительные операции: анализ, синтез, обобщение, абстрагирование, конкретизация, сравнение, классификация (Н.А. Менчинская);

- качества ума: самостоятельность, глубина, критичность (З.И. Калмыкова);

- обобщенный перенос усвоенных знаний на новый материал по собственной инициативе, применение мыслительных операций в новых условиях (Е.Н. Кабанова-Меллер) - обратимость интеллектуальных операций (Ж. Пиаже);

- интеллектуальная инициатива как поиск нового за пределами требуемого (Д.Б. Богоявленская).

Показатели когнитивного развития как результата проектирования:

- анализирующее наблюдение, отвлеченное мышление, практические действия (Л.В. Занков);

- теоретическое мышление: содержательное обобщение, рефлексия, умственное планирование (В.В. Давыдов)».

Отечественными психологами Л.С. Выготским, А.Н. Леонтьевым и С.Л.

Рубинштейном «не отождествлялись процессы обучения и когнитивного развития [40, стр. 67]». В их теории усвоение материала должно сопровождаться овладением формами психической деятельности, что приводит к развитию учащихся.

Таким образом, упрощенные приемы должны позволить учащимся проще накопить когнитивный опыт решением стереометрических задач, дифференцировать и обобщить его методами аналитической геометрии. Учитывая вышесказанное, для еще большего выделения от других приемов, решено назвать их упрощенно-когнитивными.

Исследуем понятие интеллектуальной деятельности, являющейся средством формирования и развития математических способностей обучающихся, чтобы окончательно сформулировать требования к упрощенно-когнитивным приемам и результатам математической деятельности, ожидаемым от учащихся с разными способностями к математике.

Понятие математических способностей психологи трактуют в двух аспектах: творческие и учебные [75]. Нас интересуют учебные способности, т.е. способности к быстрому и успешному овладению знаниями, умениями и навыками в области школьной математики, и конкретно, стереометрии. В Исследованиях В.А. Крутецкого «Психология математических способностей школьников» [75] речь идет о способностях, связанных с самостоятельным овладением математикой в условиях школьного обучения. Причем автор исследования утвердительно отвечает на вопрос, что способности к усвоению математики считаются проявлением математических способностей и особенно глубокое самостоятельное изучение предмета является предпосылкой развития способностей к творческой математической деятельности. Из данного утверждения следует, что две трактовки аспекта не носят различия абсолютного характера. Психологи, анализируя навыки, умения и способности, анализируют тем самым деятельность учащихся, что способствует выявлению психологических особенностей, благоприятствующих обучению. Выявлено, что некоторые психологические особенности: способность обобщения, способность к пространственным представлениям, способность к абстрактному мышлению - столь необходимые для успешного освоения стереометрии, - не являются непременными условиями эффективной деятельности, а одними из условий. Вот какие условия, описанные здесь, выдвигаются автором исследования в качестве непременных для большинства учащихся школ универсального профиля [75]:

1. Положительное отношение к математике;

2. Трудолюбие, целеустремленность, организованность, самостоятельность, настойчивость и чувство удовлетворения, радость творчества и открытия;

3. Наличия во время осуществления деятельности благоприятных психических состояний;

4. Наличия определенного набора знаний и навыков и умений в соответствующей области предмета;

5. Индивидуальные психологические особенности в умственной сфере.

Для успешного осуществления математической деятельности необходима совокупность качеств, где психологические особенности входят лишь в пятую группу. Сам собой напрашивается вывод, что в самостоятельной деятельности, в самоуправляемом процессе обучения, школьники имеют предпосылки для успешного творческого познания стереометрии при наличии совокупности упомянутых качеств. Ненавязчивость предмета и особенность методики направляющего текста - индивидуальный выбор темпа изучения предметного материала, неограниченность во времени для самоконтроля - обеспечивают учащимся условия 1, 2, 3. Учитывая, что алгоритмичность в решении математических задач обеспечивает более быстрое усвоение предмета учащимся универсального профиля, упрощенно-когнитивные приемы в сочетании с методикой обеспечат условия 2, 4, выдвинутые В.А. Крутецким. Конечно, многие решения не подчиняются алгоритмам, тем более в геометрии, но и в геометрии они имеют некое место и могут послужить базой необходимых знаний и умений для поиска «решений не подходящих под стандартное правило, что является существенной особенностью математического мышления» А.Н. Колмогоров [67, стр. 9]. Рассмотрим те компоненты в схеме 1, выделенные психологами [79, 75, 178], которые характеризуют математические способности обучающихся и которые возможно развить как в зоне ближайшего развития, так и в актуальном когнитивном развития.

Эти компоненты рассматривается исследователями [6, 172, 127] даже не как математические способности, а более как готовность к собственной деятельности. Мы это учтем, чтобы избежать ошибок в методических разработках упрощенно-когнитивных приемов и развитии указанных компонентов. Рассмотрим три группы учащихся и их восприятие математического аппарата, на которые В.А. Крутецкий и его сотрудники разбили основной состав испытуемых при проведении исследований: способные, среднеспособные и малоспособные учащиеся.

Схема 1. Компоненты математической деятельности К способным были отнесены учащиеся, быстро и легко усваивающие математический материал, мыслящие творчески и нестандартно. К учащимся средних способностей были отнесены те школьники, которым требуется больше времени для усвоения математического материала, чем учащимся первой группы. «Их знания носят скорее подражательный, чем творческий характер»

[165]. К малоспособным были отнесены те учащиеся, которые с трудом понимают объяснения учителя, не могут решать задачи, сколь-нибудь выходящие за пределы алгоритмов, и нуждаются в дополнительных занятиях.

Особенности получения информации различными категориями учащихся 1) Установлено, что всем учащимся свойственна аналитико-синтетическая обработка воспринимаемого материала, но способные ученики выделяют различные элементы в структуре изучаемого материала, дают им различную оценку, синтезируют, отыскивают математические отношения и зависимости. На это же указывал и С.Л. Рубинштейн: «синтезом является всякое соотнесение, сопоставление, установление связи» [126, стр. 35]. Можно сказать, что данная группа учащихся воспринимает не единичные элементы, а «смысловые математические структуры», но при этом выделяет эти элементы как часть целого.

Учащиеся со средними способностями воспринимают отдельные математические элементы - потеря одного такого элемента означает потерю части смысловой математической конструкции, и для ее восстановления им необходимо предлагать задачу для связывания элементов. В процессе синтеза эта цель достигается. У неспособных учащихся связи устанавливаются с трудом и только с помощью извне.

2) Следующим важным компонентом, характеризующим мышление способных и среднеспособных детей, является свернутость процесса рассуждения. Ориентировочная деятельность в этом случае носит одномоментный характер, поскольку она настолько ограничена во времени, что учащиеся не разделяют отдельных процессов решения задач. Единственным отличием между данными категориями школьников является временной интервал: у учащихся средних способностей этот процесс протекает дольше. Причем способность свертывания процесса, как отмечают Выготский, Богоявленский, Менчинская [23, стр. 90-91], появляется на определенных этапах математической деятельности в результате действия упражнений. Малоспособные учащиеся также отмечены данной характеристикой, но проявляется она лишь после долгих упражнений на простейших задачах.

Особенности переработки информации различными категориями учащихся 1) Способность к обобщению. Способность к обобщению полученной информации имеет двойственный характер: увидеть в частном известное общее и увидеть в единичном случае неизвестное общее. И то и другое характеризует способных и среднеспособных к математике школьников. Способные ученики самостоятельно и быстро, нередко мгновенно, находят за частными математическими деталями скрытую в них общность и по новому видят частные детали, но школьникам средних способностей необходимо время для анализа информации с целью ее обобщения и подсказки учителя. Малоспособным ученикам следует подбирать простые задачи и тренировать их на материале, охватывающем все возможные случаи, чтобы им была доступна хоть какая-то степень обобщения.

2) Гибкость мыслительных процессов. Нами подмечено, что способных учащихся характеризует радость от решения одной задачи различными способами, причем не обязательно оригинальными. Кроме того, они всегда ощущают потребность в поиске решений разными способами. В этот момент они обобщают материал и по-новому, видят частные детали математического аппарата.

Это наблюдение нашло отражение в исследованиях В.А. Крутецкого. Им было доказано, что данная категория учащихся легко переключается на новый способ действия [75, стр. 301], переходя от одной умственной операции к другой.

Справедливо замечание В.А. Крутецкого и о том, что экономичное решение удерживает данную категорию учащихся от поиска новых решений, тогда как неэкономичное решение не оказывает на них сковывающего влияния. Средние учащиеся уже труднее переключаются на другой способ решения, так как прежнее решение их несколько сковывает. В данный момент обучающий должен оказать на них положительное психологическое воздействие. У неспособных учащихся найденное решение вообще отрезает возможность переключения на другой ход мысли. Их отличает инертность и устойчивый, стереотипный характер действий.

3) Обратимость мыслительных процессов. Исследования психологов показали, что при установлении прямых связей могут устанавливаться и обратные. Сильные учащиеся достаточно быстро устанавливают взаимообратные связи. После специальных упражнений, направленных на формирование прямых связей, средние учащиеся со временем переходят и к обратным связям, но им требуется больше времени, чем более способным школьникам. У слабых учащихся формирование прямых и обратных связей происходит с большим трудом, с большим временным интервалом, причем обратная задача является для них отдельной, не связанной с прямой.

Особенности хранения математической информации Профессиональным математикам, а тем более школьникам, вовсе не обязательно иметь феноменальную память. Об этом говорил и А. Пуанкаре [122] и русский математик Д. Мордухай-Болтовский [99, стр. 525]. Суть математической памяти заключается в запоминании обобщений, схем рассуждений и действий. Исследования Коваля [статья А.А. Смирнова, 147] показали, что способные учащиеся имеют слабую память на числа, так как для поиска способа решения трудных задач числа не имеют особого значения. Зато математическая память способных учащихся избирательна, не загружает мозг избыточной информацией, что позволяет ее дольше хранить и применять (Брунер Дж.[30, стр.

26]). Средние учащиеся лучше запоминают конкретные данные, чем особенности задач. Как правило, при этом их память перегружена, так как они имеют одни и те же установки на запоминание существенного и несущественного.

Малоспособные учащиеся плохо запоминают схемы рассуждений, им необходимо много усилий и времени для запоминания доказательств и выводов формул. Таким образом, без постоянного повторения решения одних и тех же задач формулировки теорем и формулы быстро забываются.

Способность к пространственным представлениям В своем исследовании В.А Крутецкий [75] изучал возможности пространственных представлений способных и среднеспособных учащихся, на основе им же разработанной типологии (применительно к этим учащимся) умственных способностей в области математики. При этом В.А Крутецкий опирался на те интеллектуальные качества, которые способствовали успешной математической деятельности. Были установлены следующие типы ума: аналитический или абстрактно-математический, геометрический или образно-математический, гармонический (абстрактная и образная модификация). Первые два типа были признаны несколько ограниченными, так как присущие им особенности обеспечивают успешную деятельность лишь в конкретных областях математики. В числе испытуемых, способных школьников, гармоническим складом ума обладала большая часть (23чел. из 34 чел.). Это позволило нам рассмотреть гармонический тип подробнее, так как и в настоящем исследовании на протяжении всей деятельности было существенное преобладание числа обучающихся гармонического типа. Также при поиске или конструировании упрощеннокогнитивных приемов целесообразнее опираться на этот тип учащихся, так как в общем процессе самопознания им может быть отведена роль корректоров знаний менее способных товарищей.

Для данного типа характерно относительное сбалансирование хорошо развитых аналитических и геометрических компонентов при ведущей роли первых. Школьники гармонического типа изобретательны в геометрической интерпретации отношений и зависимостей. Они успешно справляются с простыми задачами на пространственное представление и осуществляют одновременно аналитический и образно-геометрический подход к решению многих задач. Что касается малоспособных учащихся, то они вообще не опираются при решении задач на наглядные схемы.

Анализ исследований Якиманской И.С. [176] в области психологии по развитию пространственного мышления позволил убедиться в правильности выбора математической основы для упрощенно-когнитивных приемов. И раннее утверждение А.Н. Острогорского, и наше предположение о том, что учащиеся лучше воспринимают пространственные объекты, если воспринимают эти объекты не абстрактно, а с привязкой к системе координат, получило подтверждение в трудах И.С. Якиманской. По ее утверждению, пространственное мышление возникает в недрах практической потребности ориентации на местности, а в ходе развития оно выделяется в самостоятельный вид интеллектуальной деятельности. В вышеназванном исследовании показано, что для развития пространственного мышления необходима система отсчета, та как ее изменение нередко влечет за собой перестройку всей системы пространственных соотношений; что произвольная смена точек системы отсчета приводит к динамизму восприятия образов и данная особенность является специфической особенностью пространственного мышления, которая определяет основное направление его формирования в процессе обучения. Нами было подмечено, что введение пространственной системы координат на ранних этапах изучения стереометрии (в качестве пропедевтики) психологически подготавливает учащихся к восприятию предмета, а также благотворно влияет на формирование пространственных представлений.

Известный исследователь в области психологии С.Л. Рубинштейн [126] писал: «Процесс мышления – это, прежде всего, анализирование и синтезирование того, что выделяется анализом». Взаимодействие этих процессов есть внутренние закономерности мышления. Учитывая данную трактовку, мы еще раз утвердились во мнении, что необходимо направлять учащихся к самостоятельной деятельности через познание наиболее упрощенных, алгоритмизированных приемов решения задач, названных нами упрощенно-когнитивными, овладев которыми, они смогут избавиться от чувства тревожности, возникающего из-за нерешенной задачи и осуществить поиск иных приемов решения, развивающих пространственные представления.

Все вышесказанное позволило обозначить следующие требования к упрощенно-когнитивным приемам решения стереометрических задач:

- они должны быть основаны на малом, но содержательном и доступном понятийном математическом аппарате;

- являться основой для простых алгоритмов, которые, в свою очередь, экономны во времени применения, и обобщать максимально возможную стереометрическую тематику;

- быть применимыми к решению сложных стереометрических задач, и доступными всем категориям учащихся универсального профиля; как следствие, избавлять от чувства тревожности;

- в возрастающей мере обеспечивать переход мыслительной деятельности разных по математическим способностям учащихся от зоны ближайшего развития к актуальному когнитивному развитию, в процессе которого учащиеся будут стремиться по собственной инициативе осуществлять поиск решений задач, опираясь на пространственные представления и теоремы планиметрии.

Из всех методик, ориентированных на активные действия обучаемых, «направляющий текст» наиболее полно формирует и развивает самостоятельную деятельность разных по способностям к математике учащихся универсального профиля, так как она направлена на обнаружение и выравнивание недостатков знаний в составе группы.

В исследовании, при реализации методики, направляющим предложением будут служить упрощенно-когнитивные приемы решения стереометрических задач, которым отведена роль развития в зоне ближайшего развития таких компонентов математической деятельности, как: восприятие математического материала; способность к обобщению, к оперированию числовой и буквенной символикой, сокращение мыслительных процессов, затем, уже в актуальном когнитивном развитии гибкость мышления, способность к пространственным представлениям, способность к обратимости мыслительного процесса, математическая память на логические схемы и обобщения, способность «к правильно расчлененному логическому размышлению (А.Н. Колмогоров)».

Так как перечисленный комплекс свойств личности рассматривается исследователями даже не как математические способности, а более как готовность к деятельности, то в дальнейшем это необходимо учесть, чтобы избежать ошибок при развитии указанных компонентов, дифференцируя учащихся по способностям к математике при организации самостоятельной деятельности.

На данном этапе исследования найденных или самостоятельно выработанных упрощенно-когнитивных приемов не существовало, но мы руководствовались прежним опытом работы со школьниками 8-11 классов универсального профиля, когда в самостоятельной деятельности предлагали учащимся систему «опорных задач» И.Ф. Шарыгина [168] при подведении итогов обучения планиметрии. И в практическом плане представляли, какое воздействие на обучающихся должны оказывать упрощенно-когнитивные приемы.

Данная система задач, обобщает и систематизирует знания школьников.

В дальнейшем, при переходе на решения незнакомых планиметрических задач, учащиеся уже мыслили свернутыми структурами, когда руководствовались в процессе решения целым комплексом теорем по той или иной тематике, применяя знания к 5-6 задачам одновременно. Система задач И. Ф Шарыгина уникальна, но опыт преподавания показал, что категория слабых учащихся все же выпадает из процесса самопознания и не все учащиеся со средними к математике способностями реализуют себя полностью. Связано это в первую очередь с тем, что система задач опирается на объемный понятийный аппарат, не подчиняющийся единым алгоритмам. Но, несмотря на это, рассмотренная система задач И.Ф. Шарыгина послужила для нас неким ориентиром в дальнейших исследованиях по поиску подобных аналогов при обучении стереометрии, будь то система задач или приемы решения, после реконструкции которых, их можно определить, как упрощенно-когнитивные.

Глава 2. Научно-методические основы разработки упрощенно-когнитивных приемов для решения задач на вычисление Остановимся на поиске и разработках упрощено-когнитивных приемов с целью развития дальнейшей самостоятельной деятельности по следующим разделам стереометрии, изучаемым в школе: задачи на вычисление расстояний, углов в пространстве и объемов основных пространственных тел.

Компоненты математической деятельности формируются и развиваются как при решении геометрических задач практического характера, так и на теоретическом материале, формирующем основы логического мышления. Задачи на вычисление расстояний и углов в пространстве сами по себе входят в обширную группу задач, объединенную единой тематикой, и являются элементами заданий более сложной структуры, охватывающих практически весь стереометрический материал. Это позволяет при их решении развить наиболее полно все компоненты математической деятельности, за исключением способности «к последовательному, правильно расчлененному логическому рассуждению» (А.Н. Колмогоров). Такую способность целесообразно формировать, по высказыванию И.Ф. Шарыгина, на разделе «Объемы», так как обучаемые с рождения развиваются в трехмерном пространстве, и этот же раздел является завершающим при изучении стереометрии, что важно при подведении итогов деятельности по предмету. Общеизвестно, что в отличие от планиметрии, в которой равные по площади многоугольники равносоставлены (теорема БояиГервина), что позволяет значительно облегчить введение понятия площади, в стереометрии - равные по объему тетраэдр и куб не удовлетворяют этому свойству (следствие из теоремы Дене-Кагана). Преподавание указанного раздела связано со значительными трудностями, которые преодолеваются с помощью аппарата математического анализа. Но даже формальное применение элементов математического анализа не позволяет ясно и понятно изложить учащимся универсального профиля теорию объемов основных тел, изучаемых в школе. Наши опросы учителей показали, что зачастую формулы для вычисления объемов тел не выводятся, а заучиваются, в результате чего школьники получает лишь формальные, отрывочные, лишенные логической взаимосвязи сведения по этому разделу стереометрии. Тем не менее, в результате изложения материала этого заключительного раздела учащийся должен понять связи между освоенными им, в том числе и в результате самостоятельной деятельности, разделами стереометрии.

2.1 Отбор предметного содержания для выработки упрощенно-когнитивных приемов решения задач по разделу Применение координатного метода и элементов аналитической геометрии значительно облегчает понимание идей и методов решения стереометрических задач, что связано с алгоритмизацией процесса решения. Возникла большая группа стереометрических задач, ориентированных на применение аналитических методов. В курсах стереометрии гуманитарного и естественно-научного профилей появились «нетрадиционные» темы: «Уравнения прямой в пространстве», «Аналитическое задание пространственных фигур», «Многогранники в задачах оптимизации», «Полярные координаты на плоскости», «Сферические координаты в пространстве» [103]. Многие традиционно сложные задачи, связанные с нахождением расстояний между скрещивающимися прямыми, при использовании аналитических методов решения превращаются в задачи, решаемые по стандартному алгоритму. Актуальность внедрения в школе этих методов значительно возросла в связи с ведением стереометрических задач в раздел «С» ЕГЭ. Решение многих из них просто ориентированы на применение аналитических методов, в том числе и на использование скалярного произведения векторов при нахождении перпендикуляра к плоскости. В комплекте по стереометрии для профильных математических классов векторный и координатно-векторный методы используются при решении широкого круга содержательных задач по следующим темам: «Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей», «Вычисление величин углов и расстояний между двумя прямыми, двумя плоскостями, прямой и плоскостью».

На изучение декартовых координат и векторов в пространстве программой предусмотрено 20 часов [105]. Учащиеся уже знакомы с этими понятиями из курса 9 кл., поэтому провести аналогию для пространственных объектов не представляет особой сложности. По завершении обучения учащиеся должны применять свои знания к следующим задачам на вычисление расстояний и углов в пространстве: угол между скрещивающимися прямыми, угол между плоскостями, угол между прямой и плоскостью, расстояние от точки до прямой и плоскости, расстояние между скрещивающимися прямыми.

Наиболее известный и действенный способ, позволяющий решить с помощью векторов задачи на вычисление расстояний и углов, – это метод введения системы векторов, определяющих чертеж. В школе он рассматривается только на дополнительных занятиях, кружках, факультативах и т.п. Для решения задач этим методом разработаны общие алгоритмы, легко запоминающиеся школьниками (см., например, работу Ионина Ю. и Некрасова В. в журнале «Квант» [61]). Метод имеет свои достоинства и недостатки. К числу достоинств можно отнести его универсальность, а к числу недостатков - громоздкость и сложность вычислений. Внимательный, уверенный в себе выпускник, умеющий сосредоточиться на решении задачи, сумеет применить алгоритм и верно осуществить вычисления. Но в условиях экзамена большинство учащихся испытывают стресс, который отрицательно влияет на качество решения задачи. Следовательно, данные приемы решения задач не рассчитаны на все категории школьников, обозначенные В.А. Крутецким, и не могут считаться упрощеннокогнитивными.

Для определения общего упрощенного способа решения задач на вычисление расстояний и углов рассмотрим методическое обеспечение применения аналитического метода решения задач стереометрии, основывающееся на материалах учебников по геометрии Л.С. Атанасяна [15] и А.В. Погорелова [114].

В учебнике А.В. Погорелова в главе «Декартовы координаты и векторы в пространстве» вначале вводится прямоугольная декартовая система координат в пространстве, а затем формулируются три задачи на вычисление углов между скрещивающимися прямыми, двумя плоскостями, прямой и плоскостью. В конце главы рассматриваются действия с координатами векторов, а в качестве примера приводится решение задачи на вычисление угла между скрещивающимися прямыми с использованием скалярного произведения. Других примеров для решения задач с применением аналитических приемов в учебнике нет.

В базовом учебнике Л.С. Атанасяна и др. вначале рассматриваются линейные операции с векторами в пространстве, свойства скалярного произведения, а затем вводятся координаты векторов и точек. Выводится уравнение плоскости и рассматриваются две задачи на вычисление расстояния от точки до плоскости и угла между прямыми. В практической части главы учащимся предлагается решить задачи на вычисление угла между прямой и плоскостью.

В рассмотренных учебниках нет единого подхода к применению аналитического метода для решения задач по указанной тематике.

Рассмотрим несколько учебных пособий по решению задач.

В.В Прасолов, И.Ф. Шарыгин. «Задачи по стереометрии», Москва – Наука, 1989г. [120].

В пособии угол между плоскостями часто определяется как угол между нормалями к плоскостям. Причем для вычисления координат вектора, нормального к плоскости, используется свойство коэффициентов при неизвестных в общем уравнении плоскости, при этом для объяснения этого свойства применяется формула скалярного произведения векторов в координатах. Синус угла между прямой и плоскостью вычисляется как косинус между прямой и нормалью к плоскости, что заметно облегчает решение, но закономерностей, доступных школьникам общеобразовательных классов, в вычислении произвольного вектора, перпендикулярного плоскости выявлено не было. Задач с применением аналитических методов для вычисления расстояний между скрещивающимися прямыми и от точки до плоскости в пособии [120] не предлагается.

А.Г Корянов., А.А. Прокофьев Многогранники: виды задач и методы их решения [70].

В рассматриваемом пособии решения всех задач по указанной тематике представлены векторным или координатно-векторным способом. Широко применяются уравнения плоскостей и формулы для определения координат точек, делящих отрезок в заданном отношении.

Недостатки методов и приемов, описанных в этом пособии, заключаются в следующем. Система векторов, определяющих чертеж, составлена из ребер куба. Такая система дает простую таблицу умножения, так как скалярное произведение векторов, составляющих базис, равно нулю. Соответственно, все вычисления упрощаются. Введение подобной системы векторов в другом теле, например в тетраэдре, приводит к более сложным вычислениям, так как угол между векторами, составляющими базис, может не равняться 90°.

Расстояние между скрещивающимися прямыми вычисляется при помощи координатно-векторного метода с применением формул деления отрезка в заданном отношении, а это значительно увеличивает понятийный аппарат среднего и слабого учеников. Угол между прямой и плоскостью, как и у И.Ф. Шарыгина [120] находится как угол между нормалью и прямой, но координаты вектора, перпендикулярного плоскости, предлагается найти, предварительно определив уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости определяется из формулы, представленной в базовом учебнике Л.С. Атанасяна и др.

Из опыта преподавания в классах универсального профиля мы сделали вывод, что определение уравнения плоскости и решение задач с применением этого уравнения довольно обременительны для учащихся. Учащиеся легко определяют координаты точек в пространстве, усваивают простые и общие алгоритмы для всех задач, но освоить, закрепить и систематизировать за 20 часов многообразие методов, которые предлагают авторы учебного пособия, даже относительно сильным школьникам бывает достаточно трудно.

Готман Э. Г. Стереометрические задачи и методы их решения.— М.:МЦНМО, 2006.—160 с..[41].

Пособие содержит задачи по стереометрии, предназначенные для дополнительных занятий учащихся старших классов. Оно служит также пособием для подготовки к математическим олимпиадами и вступительным экзаменам по математике в высшие учебные заведения. В главе «Векторный метод» очень подробно и доступно для учащихся классов универсального профиля приведена технология перевода геометрических утверждений на векторный язык. Рассматриваются две типовые экзаменационные задачи повышенного уровня сложности: вычисление углов и расстояний между скрещивающимися прямыми векторным способом с использованием системы векторов, определяющих чертеж. В главе «Координатный метод» вычисляется угол между плоскостями, как угол между перпендикулярами к этим плоскостям, но вычисление перпендикуляра к плоскости при этом опирается на признак перпендикулярности прямой и плоскости, что доступно не каждому выпускнику общеобразовательной школы.

Угол между прямой и плоскостью вычисляется как угол между перпендикуляром к плоскости и прямой, но координаты перпендикулярного вектора определяются через уравнение плоскости.

П. Ф. Севрюков, А. Н. Смоляков. Векторы и координаты в решении задач школьного курса стереометрии : учебное пособие / — М.: Илекса;

НИИ Школьных технологий ; Ставрополь: Сервисшкола, 2008. — 164 с.

[136].

В книге изложены методы решения стереометрических задач, основанные на применении векторов и метода координат. Такие задачи включены в варианты вступительных экзаменов в различные вузы, Единого государственного экзамена по математике, учебники для профильной школы и классов с углубленным изучением математики. В этом пособии, как и в других, представлено многообразие аналитических приемов и методов по решению всех задач на вычисление расстояний и углов. Четко представлены алгоритмы векторного способа по каждой задаче с использованием системы векторов, определяющих чертеж.

Координатный способ часто применяется вместе с уравнением плоскости, но и в векторном и координатном способах во всех решениях авторы приходят к системам уравнений и громоздким вычислениям, недоступным большинству учащихся универсального профиля.

Существующие алгоритмы решения задач, использующие таблицы скалярных произведений векторов базиса, обеспечивают решения всего спектра задач на вычисление расстояний и углов в пространстве, но требуют значительных вычислительных навыков, а также особого внимания при выполнении вычислений. Эти алгоритмы, используемые в элективных курсах, не рассчитаны на массового школьника, следовательно, они не удовлетворяют условиям, позволяющим решать задачи с помощью упрощенно-когнитивных приемов. И все же наш анализ аналитических способов решения задач позволил выявить некоторые закономерности для создания упрощенно-когнитивных приемов. Например, авторы В.В Прасолов, И.Ф. Шарыгин [120] в задаче нахождения угла между прямой и плоскостью заменили его на угол между прямой и нормалью к плоскости. Действительно, часто это бывает очень удобно, но при этом авторы пособия не показали алгоритм вычисления координат нормального вектора плоскости. Так же и при решении задач на вычисление угла между плоскостями авторы перечисленных выше пособий [120, 144, 70, 41] угол между плоскостями заменяют на угол между нормальными векторами к этим плоскостям, что в действительности одно и тоже. В этих задачах уже можно определить общие объекты: два вектора, определяющие плоскость, и произвольный вектор, перпендикулярный к плоскости. При вычислении расстояний между скрещивающимися прямыми также используются два направляющих вектора прямых и общий перпендикуляр к ним. Но здесь задача становится более сложной, так как приходится вычислять длину общего перпендикуляра. Наконец, в задаче нахождения расстояния от точки до плоскости используются те же векторы, задающие плоскость, а также перпендикуляр к ней. Во всех перечисленных задачах используются общие объекты: два вектора и вектор, перпендикулярный к ним. Мы имеем основу для самостоятельной выработки упрощеннокогнитивных приемов, обеспечивающих зону ближайшего развития учащегося.

Одновременно на этом этапе исследования, с целью выработки рекомендаций для обучаемых, обладающих разным уровнем математических способностей, был проведен анализ приемов решения задач на вычисление расстояний и углов в пространстве, опирающихся на пространственные представления. Это будет способствовать организации самостоятельной деятельности при переходе от упрощенно-когнитивных приемов к решению задач иными методами и формирования актуального когнитивного развития учащихся.

Подходы к решению задач по вычислению расстояний и углов в пространстве, основанные на пространственных представлениях Для примера рассмотрим работы известного автора пособий для школьников И.Ф Шарыгина [120, 170, 171], который опубликовал задачи не только для школьников математических классов, но и опорные задачи для учащихся универсального профиля [168]; базовые учебники общеобразовательного профиля Л.С. Атанасяна и др. [15], А.В. Погорелова [114], а также работы авторов задач единого экзамена по стереометрии И.М. Смирновой, В.А. Смирнова [150] и авторов методических разработок по методам решения задач единого экзамена А.Г Корянова, А.А. Прокофьева [70].

И.Ф. Шарыгин писал: «Решение большинства стереометрических задач состоит в том, что данная задача посредством различных приемов сводится к одной или нескольким планиметрическим задачам. Очень часто это делается с помощью вспомогательных сечений или других вспомогательных плоскостей.

Еще одним распространенным методом сведения пространственной задачи к плоской является проектирование. Суть метода состоит в том, что рассматриваемый пространственный объект проектируется на специально выбранную плоскость, в результате чего появляется плоская фигура со свойствами, позволяющими существенно облегчить решение» [167]. Именно эти принципы и ложатся в основу решений некоторых задач по стереометрии.

1) определение: угол между двумя скрещивающимися прямыми считается равным наименьшему углу между двумя пересекающимися прямыми, параллельным этим прямым. [167] Рассмотрим принципы решения таких задач на примере задач таких авторов, как В.В. Прасолов, И.Ф. Шарыгин [120].

Задача. Дан куб АВСDА1В1С1D1. Найти угол между прямыми АС1 и A1B (рис. 1).

Рисунок 1. Иллюстрации к задачам на вычисление угла между прямыми В книге приводится чисто геометрическое решение задачи (рис. 1 а), приводящее к ортогональному проектированию точки A в центр треугольника A1DB. Решение достаточно оригинальное, требующее от ученика нестандартного мышления. Если рассматривать решение, основанное на определении, то, применяя параллельный перенос прямой A1B до пересечения прямых в точке Р, получим треугольник PQC1 (рис.1 в). Дальнейшее вычисление основано на применении свойств равнобедренного треугольника, а в общем случае - теоремы косинусов. Метод параллельного переноса часто применяется при решении задач подобного рода и является наиболее доступным для большинства школьников. Этот метод можно назвать стандартным, но он требует развитого пространственного мышления, так как определить требуемый параллельный перенос бывает достаточно сложно.

Рассмотрим задачу. Дан куб АВСDА1В1С1D1 точка Е – середина С1D1.

Найти угол между прямыми АЕ и D1B (рис.2). Требуется развитое пространственное воображение для обоснования решения задачи и сложные вычисления.

Рисунок 2. Иллюстрация к задаче вычисления угла между прямыми.

2) Определение: угол между плоскостями считается равным наименьшему из четырех двухгранных углов, образовавшихся при их пересечении. За величину двухгранного угла принимают величину его линейного угла. Линейным углом двухгранного угла, называется угол, возникший при пересечении двухгранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру двухгранного угла [167].

Там же рассмотрено утверждение, из которого следует еще один способ вычисления углов между плоскостями. [167] Теорема: пусть в одной из двух плоскостей, пересекающихся под углом, расположена фигура Ф площади S, S1- площадь фигуры Ф1-проекции этой фигуры на другую плоскость. Тогда S1= Scos.

Рассмотрим приведенную в указанном пособии [120] задачу 1.9 и принцип ее решения. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1 С1D1 со сторонами a,b,c найти угол между плоскостями АВС1 и ВDВ1 (рис. 3).

Иллюстрации к задачам на вычисление угла между плоскостями Решение основано на применении теоремы о проекциях, оно довольно трудное для школьника, так как процесс нахождения искомого проектирования опирается на развитое пространственное воображение. Применение такого способа доступно не каждому школьнику. И.Ф. Шарыгин, рассматривая опорные задачи на нахождение углов между плоскостями для школьников классов универсального профиля [168], опирается на вышеупомянутое определение угла между плоскостями.

Рассмотрим задачу: найти угол между смежными боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды ABCDE с заданной стороной основания и боковым ребром (рис. 4). Для ее решения строится секущая плоскость DBF перпендикулярная ребру двухгранного угла. Искомый угол находится по теореме косинусов как соответствующий угол треугольника, полученного в сечении пирамиды. На этом принципе основаны решения многих задач единого государственного экзамена по этой тематике. Но в сборнике задач [146] для подготовки к экзамену встречаются задачи, где отдельные школьники не могут на чертеже построить ребро двухгранного угла или определить линейный угол двухгранного угла, так как эти элементы явно не просматриваются, например, на (рис. 5 а) дан куб АВСDА1В1С1D1. Найти угол между плоскостями АВ1D1 и BA1C1.

Иллюстрации к задачам на вычисление угла между плоскостями Или следующая задача: дана правильная четырехугольная пирамида ABCDE c ребрами равными единице. Найти угол между плоскостями ADE и BCE (рис. 5 в).

А.Г Корянов., А.А. Прокофьев, рассматривая подобные случаи [70], предлагают вместо линейного угла рассмотреть угол с соответственно параллельными сторонами к линейному углу двугранного угла или вычислить угол между перпендикулярами к данным плоскостям. Решения таких задач сопряжены со значительными трудностями. Большинство школьников может понять готовое решение, но самостоятельно его выполняют единицы.

3) Задачи на вычисление угла между прямой и плоскостью. Решение задач по этой теме основано на следующем определении: если прямая пересекает плоскость и не перпендикулярна ей, то за угол между прямой и плоскостью принимают угол между прямой и ее проекцией на плоскость [167].

Задачи, приведенные И.Ф. Шарыгиным, достаточно сложны. Для их решения предлагается координатно-векторный метод. Синтетический же способ решения используется им, в основном, как промежуточный этап решения. В пособиях И.М. Смирновой, В.А. Смирнова [150] и у А.Г Корянова, А.А. Прокофьева [70] такие задачи разбираются отдельно. Иногда они достаточно просты, так как большинство учащихся не испытывает трудностей с построением проекции прямой на плоскость. Яркий пример такой задачи приведен в пособии [150]. Дан куб АВСDА1В1С1D1. Найти угол между прямой АА1 и плоскостью ADB1 (рис.6 а).

Иллюстрации к задачам на вычисление угла между прямой и плоскостью Проекция точки А1 на плоскость ADB1 есть точка F и она явно просматривается. В ряде задач решение основывается на теоремах о взаимном расположении прямых и плоскостей и учащийся должен не только иметь развитое пространственное воображение, но и уметь применять эти теоремы на практике.

Например, в кубе АВСDА1В1С1D1 вычислить угол между прямой АВ1 и плоскостью DBC1 [146] (рис. 6 б). Для решения этой задачи надо применить признак параллельности прямой и плоскости. Но в дидактическом материале [146] чаще встречаются задачи, когда основание перпендикуляра труднодоступно: в правильной четырехугольной пирамиде ABCDE, все ребра которой равны единице, вычислить угол между прямой ВD и плоскостью ВЕС (рис. 6 в). Для успешного решения задач подобного рода учащийся должен применить все свои знания, умения и вычислительную технику. Опыт свидетельствует, что задачи на эту тематику в общей массе являются достаточно сложными для большинства учащихся. Очень подробно описаны различные случаи вычисления углов между прямой и плоскостью в пособии А.Г Корянова, А.А. Прокофьева [70], но единого подхода, рассчитанного на среднего школьника, нет.

4) Определение: расстояние от точки до прямой (плоскости) есть длина перпендикуляра, проведенного к прямой (плоскости) [15].

Расстояние от точки до прямой - задача планиметрическая. Во всей встречающейся литературе перпендикуляр заключается в треугольник с известными сторонами, и задача сводится к вычислению высоты треугольника. Как правило, затруднений у учащихся универсального профиля эти задачи не вызывают.

Этот же подход можно применить и к вычислению расстояния от точки до плоскости, по аналогии заключив искомый перпендикуляр в треугольник.

Кроме того, авторы учебного пособия [70] предлагают найти высоту, используя заранее известный объем.

В базовом учебнике для средних школ [15] приведены следующие утверждения:

- расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости;

- расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью.

Приведенные свойства параллельных прямых и плоскостей также применяются при решении задач в пособиях [150] и [70]. Задачи по этой тематике представлены во всем многообразии. Разнообразие подходов к решению задач рассчитано на хорошо подготовленного ученика. Успешное освоение этих методов достигается с помощью решения большого числа предложенных задач, разных по уровню сложности. Ясно, что не каждый школьник может с этим справится. Из всех способов решений, которые легче всего усваивается школьниками, можно выделить следующий, применяемый к большему числу задач:

для вычисления расстояния от точки до прямой или плоскости рассматриваемый перпендикуляр заключается в треугольник с известными сторонами. Затем применяются теоремы Пифагора, косинусов или синусов.

5) Задача вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми.

Рассмотрим определение этого понятия из разных источников:

А) расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую, параллельную первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми [15];

В) длина общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым и есть расстояние между скрещивающимися прямыми [114].

Авторы учебного пособия [70] предлагают четыре подхода к решению задач на вычисление расстояния между прямыми. Три из них основаны на определениях, приведенных в учебниках [15, 114]. Построить общий перпендикуляр и найти его длину (определение В).

1. Построить плоскость, содержащую одну из прямых и параллельную второй.

Искомое расстояние будет равно расстоянию от любой точки второй прямой до построенной плоскости (определение А).