МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Кемеровский государственный университет»

Математический факультет

ПРОГРАММА

КАНДИДАТСКОГО ЭКЗАМЕНА

по специальности 01.01.04 – «Геометрия и топология»

Кемерово, 2012 Общие положения Цель аспирантской программы по специальности 01.01.04 – Геометрия и топология:

формирование у аспирантов высокого уровня теоретической и профессиональной подготовки, знаний общих концепций и методологических вопросов математики, глубокого понимания основных проблем геометрии и топологии и умения применять полученные знания для решения исследовательских и прикладных задач.

Аспирант за время обучения в аспирантуре обязан сдать кандидатские экзамены по истории и философии науки; иностранному языку и специальной дисциплине (геометрия и топология).

Целью кандидатского экзамена по специальной дисциплине в аспирантуре по специальности «Геометрия и топология» является определение уровня знаний, полученных аспирантом, его готовность к выполнению научно-исследовательской деятельности.

Форма проведения кандидатского экзамена: устная (экзамен).

Критерии оценки ответов при проведении кандидатского экзамена в аспирантуре:

билеты кандидатского экзамена содержат по 3 вопроса по специальности «Геометрия и топология». Результаты оцениваются по 5-балльной шкале. При ответе на вопросы аспирант должен продемонстрировать глубокие знания по предмету. Вопросы составлены таким образом, чтобы охватить все основные направления современной геометрии и топологии, в которых аспирант должен свободно ориентироваться.

Требования к уровню подготовки аспиранта При сдаче кандидатского экзамена по специальной дисциплине аспирант должен:

знать:

• геометрию многообразий и различных геометрических структур;

• дифференциальную геометрию и ее приложения;

• риманову геометрию;

• топологию и геометрию групп Ли и однородных пространств;

• симплектическую и контактную геометрию;

• дискретную и комбинаторную геометрию;

• общую и алгебраическую топологию;

• топологию гладких многообразий;

• маломерную топологию, включая теорию узлов и зацеплений;

• теорию пространств отображений и пространств модулей различных геометрических структур.

уметь:

• применять полученные в области геометрии и топологии знания для решения конкретных научных, практических, педагогических, информационно-поисковых, методических и других задач;

• планировать, организовывать и вести научно-исследовательскую и учебновоспитательную работу.

владеть:

• приемами поиска и использования научной, научно-технической и научнометодической информации.

ПРОГРАММА КАНДИДАТСКОГО ЭКЗАМЕНА

специальность 01.01.04 - геометрия и топология Формула специальности:

Специальность «Геометрия и топология» – область математики, посвященная изучению геометрических структур, топологических пространств и их отображений. Основные составные части специальности: геометрия (в том числе дискретная), общая, алгебраическая и дифференциальная топология. Главные научные цели специальности:

изучение геометрических и топологических структур, возникающих в математике и ее приложениях.

Область исследования:

1. Геометрия многообразий и различных геометрических структур.

2. Дискретная и комбинаторная геометрия.

3. Дифференциальная геометрия и ее приложения.

4. Интегральная геометрия.

5. Симплектическая, контактная и пауссонова геометрия.

6. Общая топология.

7. Алгебраическая топология.

8. Топология гладких многообразий.

9. Маломерная топология, включая теорию узлов и зацеплений.

10. Топология и геометрия особенностей.

11. Теория пространств отображений и пространств модулей различных геометрических структур.

12. Топология и геометрия групп и однородных пространств.

Отрасль наук:

Физико-математические науки.

Введение В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: геометрия (в том числе дискретная), общая, алгебраическая и дифференциальная топология по разделам: геометрия многообразий и различных геометрических структур; дискретная и комбинаторная геометрия; дифференциальная геометрия и ее приложения; интегральная геометрия; симплектическая, контактная и пуассонова геометрия конечномерных и бесконечномерных пространств; общая топология; алгебраическая топология; топология гладких многообразий; маломерная топология, включая теорию узлов и зацеплений;

топология особенностей; теория пространств отображений и пространств модулей различных геометрических структур; топология и геометрия групп и однородных пространств.

Метрическое пространство. Полнота. Теорема Бэра о категории.

Топологическое пространство. Непрерывность. Гомеоморфизм. Аксиомы отделимости. Связность и линейная связность. Фактор-топология. Топологии в функциональных пространствах (отрыто-замкнутая топология в пространстве непрерывных отображений и C^k-топология в пространстве гладких отображений).

Лемма Урысона. Теорема о продолжении непрерывных функций.

Компактность и способы компактификации пространств. Теорема Тихонова о компактности произведения. Расширения Чеха—Стоуна. Разбиение единицы и его приложения. Теорема Вейерштрасса об аппроксимации полиномами непрерывной функции на компакте в евклидовом пространстве.

Лебегово определение размерности. Нерв покрытия и аппроксимация компакта полиэдрами.

Индуктивное определение топологической размерности. Теорема Урысона об эквивалентности.

Хаусдорфова размерность. Ее связь с топологической. Фракталы: канторово множество, ковер Серпинского, их хаусдорфова размерность.

Гомотопическая эквивалентность. Гомотопические классы отображений.

Фундаментальная группа топологического пространства. Группа кос как фундаментальная группа конфигурационного пространства системы точек на плоскости. Гомотопические группы пространств и их гомотопическая инвариантность. Точная гомотопическая последовательность пары. Вычисление k-мерных гомотопических групп n-мерной сферы для k меньших или равных n.

Пространства Эйленберга—Маклейна. H-пространства и группа гомотопических классов отображений в H-пространство. Коммутативность фундаментальной группы Hпространствa.

Группы сингулярных гомологий и когомологий. Симплициальные и клеточные пространства. Симплициальные и клеточные гомологии и когомологии, иx связь с сингулярными. Эйлерова характеристика. Гомотопическая инвариантность групп гомологий. Умножение в когомологиях. Точные гомологическая и когомологическая последовательности пары. Гомологии и когомологии с коэффициентами. Оператор Бокштейна. Связь фундаментальной группы и группы одномерных гомологий.

Двойственность Пуанкаре для многообразий.

Теории гомологий и когомологий. Аксиомы теории гомологий и когомологий.

Теорема единственности для гомологий и когомологий. Группы когомологий как группы классов отображений в пространства Эйленберга—Маклейна.

Кольцо когомологий H-пространства как алгебра Хопфа. Классификация градуированных алгебр Хопфа над полем рациональных чисел.

Гомологии и кольца когомологий проективных пространств. Клетки Шуберта и гомологии многообразий Грассмана.

Накрытия. Лемма о накрывающей гомотопии. Универсальное накрытие. Накрытие и фундаментальная группа. Аксиома о накрывающей гомотопии и расслоение в смысле Серра. Пространство путей и петель, лемма о накрывающей гомотопии для расслоения путей.

Локально тривиальные расслоения. Сечения. Точная гомотопическая последовательность расслоения. Основные понятия теории препятствий (препятствующий коцикл и первое препятствие к сечению расслоения).

Действие монодромии в гомологиях расслоения. Формула Пикара-Лефшеца.

Векторные расслоения. Прямая сумма и тензорное произведение векторных расслоений. Многообразие Грассмана как база универсального векторного расслоения.

Пространства Тома и изоморфизм Тома в гомологиях и когомологиях.

Характеристические классы векторных расслоений.

Понятие о группе K(X) и периодичности Ботта. Группа K(X) как когомологический функтор.

Гладкие многообразия. Криволинейные координаты. Гладкие отображения и дифференциал. Диффеоморфизм. Подмногообразия. Ориентация. Касательные векторы и касательные расслоения. Примеры гладких многообразий. Теория Морса: функции Морса, индуцированное клеточное разбиение, неравенства Морса. Перестройки в многообразиях.

Конструкция Понтрягина—Тома. Понятие бордизма многообразий.

Вложения и погружения. Теорема Уитни о вложении и погружении в евклидовы пространства. Субмерсии и гладкие расслоения. Особые и регулярные точки гладких отображений. Лемма Сарда (формулировка). Степень отображения, ее гомотопическая инвариантность. Применения степени отображения. Степень отображения и интеграл.

Теорема Гаусса—Бонне. Гомотопическая классификация отображений n-мерной сферы в себя. Расслоение Хопфа и классификация отображений трехмерной сферы в двумерную.

Инвариант Хопфа.

Индекс особой точки векторного поля и теорема Эйлера—Пуанкаре.

Двойственность Александера. Индексы пересечения и зацепления.

Исчисление струй. Топологии Уитни в пространствах гладких отображений.

Теоремы трансверсальности. Теорема трансверсальности Тома и ее следствия: лемма Морса, слабая теорема Уитни. Локальная классификация устойчивых отображений плоскости в плоскость и в трехмерное пространство. Число Милнора изолированной особенности функции.

Классификация двумерных замкнутых поверхностей. Группы гомологий и фундаментальные группы двумерных поверхностей. Узлы и зацепления. Движения Райдемайстера. Полином Александера узла. Примеры трехмерных многообразий. Склейка полноторий по диффеоморфизму границы. Диаграмма Хегора трехмерных многообразий.

Теория кривых и поверхностей в трехмерном пространстве: натуральный параметр, кривизна и кручение кривой, формулы Френе, первая и вторая квадратичные формы поверхности, гауссова и средняя кривизны, главные направления и главные кривизны, теорема Менье и формула Эйлера. Деривационные формулы.

Риманова метрика и римановы многообразия. Подмногообразия в евклидовом пространстве и индуцированная метрика. Геометрия Лобачевского. Проективная геометрия.

Тензоры и тензорные поля на гладких многообразиях. Алгебраические операции над тензорами. Симметрические и кососимметрические тензоры. Производная Ли.

Внешние дифференциальные формы, внешнее дифференцирование. Интегрирование внешних дифференциальных форм. Формула Стокса. Точные и замкнутые формы.

Когомологии де Рама. Теорема де Рама (без доказательства). Оператор Лапласа и гармонические формы. Двойственность Пуанкаре.

Ковариантное дифференцирование. Символы Кристоффеля. Тензор кручения.

Римановы симметрические связности. Тензор кривизны Римана и критерий локальной евклидовости римановой метрики, тензор Риччи и скалярная кривизна. Теорема Гаусса о связи между скалярной и гауссовой кривизнами.

Параллельный перенос и геодезические. Формула Эйлера—Лагранжа. Примеры:

геодезические на плоскости, сфере, плоскости Лобачевского, поверхности вращения.

Сопряженные точки и индекс геодезической.

Связности и кривизна в расслоениях. Тождество Бьянки.

Характеристические классы и характеристические числа. Конструкция Чженя— Вейля характеристических классов. Характеристические числа.

Теорема Стокса и инвариантность характеристических чисел относительно бордизма.

Проективная двойственность и преобразования Лежандра.

6. Геометрические структуры на гладких многообразиях Структуры на гладких многообразиях: риманова, почти комплексная, эрмитова, комплексная, кэлерова. Понятие о препятствиях к существованию структур.

Симплектическая структура. Примеры симплектических многообразий. Теорема Дарбу. Существование почти комплексной структуры на симплектическом многообразии.

Скобка Пуассона. Примеры пуассоновых многообразий. Гамильтоновы векторные поля и гамильтоновы системы. Первые интегралы гамильтоновых систем.

Контактные структуры и контактные многообразия. Примеры. Слоения и распределения. Теорема Фробениуса.

Группы Ли и алгебры Ли, присоединенное представление. Алгебра Ли векторных полей. Действия групп Ли на гладких многообразиях. Односвязные и неодносвязные группы Ли. Однородные пространства. Примеры: классические матричные группы Ли, многообразия Грассмана и Штифеля, лагранжевы грассманианы U(n)/O(n) и U(n)/SO(n).

Компактные группы Ли и биинвариантная метрика.

Кольцо когомологий компактной группы Ли. Группы токов и группы диффеоморфизмов как примеры бесконечномерных групп Ли.

Выпуклые множества и разбиения пространства. Разбиения Вороного и Делоне.

Кристаллы как правильные точечные системы. Кристаллографическая группа в евклидовом пространстве. Классификация кристаллографических групп на плоскости.

Правильные многогранники. Теорема Коши о единственности выпуклого многогранника с данным набором граней.

Оценка «5» на экзамене ставится при:

правильном, полном и логично построенном ответе;

умении оперировать специальными терминами;

использовании в ответе дополнительный материал;

иллюстрировать теоретические положения решением задач.

Оценка «4» на экзамене ставится при:

• правильном, полном и логично построенном ответе;

• умении оперировать специальными терминами;

• использовании в ответе дополнительный материал;

• иллюстрировать теоретические положения решением задач, Но в ответе имеются негрубые ошибки или неточности;

возможны затруднения в использовании практического материала;

делаются не вполне законченные выводы или обобщения.

Оценка «3» ставится при схематичном неполном ответе, неумении оперировать специальными терминами или их незнание, с одной грубой ошибкой, неумением приводить примеры практического использования научных знаний.

Оценка «2» ставится при ответе на все вопросы билета с грубыми ошибками, неумением оперировать специальной терминологией, неумением приводить примеры практического использования научных знаний.

1. Александрян Р.А., Мирзаханян Э.А., Общая топология, М., 1979.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.

3. Берестовский В.Н., Никоноров Ю.Г. "Римановы многообразия и однородные геодезические", 2012. Издательство Южного математического института, Владикавказ.

4. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Ч. 1.

Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей, Ч. 2. Геометрия и топология многообразий и Ч. 3. Методы теории гомологий. М.: Наука, 1986, (Ч. 1 и 2 переизданы. М.: Эдиториал УРСС, 1998).

5. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1, 2. М.: Наука, 6. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М.:

Факториал Пресс, 2000.

7. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. М.: Мир, 8. Новиков С.П., Тайманов И.А. Современные геометрические структуры и поля. М.:

Изд-во МЦНМО, 2004.

9. Новиков С.П. Топология. М. – Ижевск: Ин-т компьютерныx исследований, 2002.

10. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр 3, Гладкие многообразия.

М.,Наука, 1987.

11. Тайманов И.А. Лекции по дифференциальной геометрии. М.—Ижевск: Ин-т компьютерныx исследований, 2002.

12. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии. М.: Наука, 1989.

13. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 14. Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. М.: Мир, 1979.

15. Прасолов В.В., Сосинский А.Б. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия. М.: Изд-во МЦНМО, 1997.

16. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Риманова геометрия // Итоги науки и техники. Серия Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. ВИНИТИ. 2002.

Т. 76. С. 5-262.

17. Александров А.Д. Выпуклые многогранники. М.—Л.: Гостезиздат, 1950.

18. Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. Введение в топологию – М.:Высшая школа, 1980.

19. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М.: Наука, 1981.

20. Голод П.И., Климык А.У. Математические основы теории симметрий. М.— Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001.

21. Келли Дж. Общая топология. М.: Наука, 1981.

22. Люстерник Л.А. Выпуклые фигуры и многогранники. М.—Л.: Гостезиздат, 1956.

23. Милнор Дж. Теория Морса. М.: Мир, 1965.

24. Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по алгебраическим группам и группам Ли. М.:

Наука, 1988.

25. Чжень Ш.-Ш. Комплексные многообразия. М.: Иностранная литература, 1961.

26. Роджерс К. Укладки и покрытия. М.: Мир, 1968.

27. Бредон Г. Введение в теорию компактных групп преобразований. М.: Наука, 1980.

28. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981г.

29. Коксетер Г.С.М. Введение в геометрию. М.: Наука, 1966.

30. Кострикин А.И. Введение в алгебру, М., 31. Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. М.: Мир, 32. Милнор Дж. Теорема об h-кобордизме. М.: Мир, 1969.

33. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия (первое знакомство), издво МГУ, 34. Пресли А., Сигал Г. Группы петель. М.: Мир, 1990.

35. Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М.:

36. Хирш М. Дифференциальная топология. М.: Мир, 1979.

37. Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции. М.: Издво МГУ, 1988.

38. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991.

Программное обеспечение и Интернет-ресурсы 1. http://univertv.ru/video/matematika/ Открытый образовательный видеопортал UniverTV.ru.

2. http://elibrary.ru Научная электронная библиотека eLIBRARY.RU.

просветительских изданий.

4. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library.htm EqWorld – мир математических уравнений.

Учебно-образовательная физико-математическая библиотека.

5. http://www.mathnet.ru – Math-Net.Ru, Общероссийский математический портал.

6. http://arxiv.org – arXiv.org, международный архив электронных научных статей.

7. http://dmvn.mexmat.net/geometry.php – учебные материалы для студентов МехМата 8. http://mathnet.preprints.org – MPRESS, Европейская система поиска математических препринтов.

9. http://www.mccme.ru/pdc/ – МЦНМО, Московский центр непрерывного математического образования.

10. http://elibrary.ru – eLIBRARY.RU, Научная электронная библиотека.

11. http://www.algebraic.ru/doku.php?id=start – Algebraic.ru, математическая энциклопедия.

12. http://www.imath.kiev.ua/~sigma/ – Журнал SIGMA, Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications.

13. http://wiki-geometry.ru/index.php – Электронная математическая энциклопедия по геометрии и анализу.

Программа составлена в соответствии с ФГТ к структуре основной профессиональной образовательной программы послевузовского профессионального образования и с учетом рекомендаций и ОПОП ППО по специальности подготовки аспиранта 01.01.04 – геометия и топология.

Составитель программы: заведующий кафедрой математического анализа, д.ф.-м.н., профессор Смоленцев Н.К.