«А.И. Слободянюк Физическая олимпиада: экспериментальный тур 0 Каждый школьник, выучивший две-три (или два-три десятка) формулы из учебника, считает себя достойным участником физической олимпиады любого уровня от ...»

Выполнение этой части начнем с теоретического описания процесса затухания колебаний, которое происходит вследствие трения качения. Так как масса цилиндра палочки, то можно считать, что сила трения качения равна а ее работа Aтр. = MgS, где S - путь, пройденный цилиндром. Работа силы трения равна убыли механической энергии системы. Измерить энергию можно только в точках остановки, в которых кинетическая энергия обращается в нуль, а потенциальная определяется формулой В ходе эксперимента следует измерить координаты точек остановок цилиндра y k (удобно в ходе колебаний их просто отметить, а затем уже измерять их положение). Заметим, что в данной части колебания не обязаны быть малыми. Если движение происходит без проскальзывания, то угол отклонения палочки от вертикали определяется по формуле а путь до k - той остановки равен Таким образом, координаты точек остановки позволяют определить как энергию системы, так и пройденный путь.

Запишем уравнение закона сохранения механической энергии Из этого уравнения получим зависимость, которая может быть получена экспериментально Отношение масс палочки и цилиндра может быть выражено из формулы для периода колебаний Подставляя это выражение в уравнение (5), получим Экспериментально легче измерить длину окружности цилиндра 2R = L, обернув его полоской бумаги. Тем самым получим зависимость, которую можно измерить экспериментально и по которой можно определить коэффициент трения качения В таблице 2 представлены результаты измерений координат точек остановки цилиндра, для наглядности эти же результаты показаны на графике.

Таблица 2.

линейную (в пределах погрешности измерений) связь между переменными.

Рассчитанный по МНК коэффициент наклона графика оказывается равным позволяет рассчитать коэффициент экспериментах Т = 1,9 с, L = 111мм ) результаты экспериментов и окончательный вывод о виде зависимости силы сопротивления воздуха от скорости тела зависят от параметров установки – резкой границы между линейной и квадратичной зависимостями не существует. Поэтому при описании экспериментов необходимо точно описывать использованную экспериментальную установку. Здесь приведены данные, полученные с помощью оборудования, описанного ранее в задаче 33.

Для проведения измерений надо набраться терпения, для получения значимого результата затухание должно быть слабым, поэтому число подсчитанных колебаний должно быть большим. Так в описываемых экспериментах число колебаний более 200, учитывая, что период колебаний примерно равен 3 с, то общее время непрерывных наблюдений составляет около 10 минут. Очевидно, что в данном эксперименте следует фиксировать амплитуду колебаний и подсчитывать через сколько колебаний амплитуда уменьшится до выбранного значения. Результаты измерений числа этих колебаний k для монотонно убывающей амплитуды A представлены в таблице и на графике.

Таблица результатов измерений.

Как и следовало ожидать, амплитуда колебаний монотонно и нелинейно убывает, но по внешнему виду данной зависимости невозможно определить, какой из законов (1) или (2) более точно описывает полученные данные. Поэтому следует провести линеаризацию полученной зависимости, которая в данном случае также очевидна: в первом случае требуется построить график зависимости логарифма амплитуды от числа колебаний; во втором – величины обратной амплитуде колебаний, причем удобнее это сделать в нормированном виде.

Посмотрите на результаты расчетов – вывод однозначен: в данном эксперименте сила сопротивления пропорциональна скорости в первой степени. Коэффициент наклона данной зависимости (из формулы (1) следует, что ln данного коэффициента по МНК дает значение ln 8,57 10 3, следовательно 0,99.

Иными словами, за одно колебание амплитуда убывает всего на 1%.

Для подтверждения сделанного вывода можно сравнить результаты измерений и расчетов по формуле (1) с найденным значением параметра.

На рисунке показан график зависимости разности этих значений от числа колебаний. Выводы: вопервых отклонения теоретических и экспериментальных значений малы (менее 3%), вовторых, носят нерегулярный характер, то есть обусловлены случайными ошибками.

Теоретическое введение (необязательное для учащихся) Если на тело действуют силы трения скольжения и вязкого трения, то по второму закону Ньютона оно приобретает ускорение Чтобы найти зависимость пути, пройденного диском, от его начальной скорости избавимся от времени в этом уравнении Такая замена позволяет разделить переменные в уравнении (1) и проинтегрировать его При малых значениях параметра справедлива приближенная формула Соответственно, при малых значениях формула (4) превращается в Относительная погрешность использования формулы (8) на превышает 5% при < 0, 7.

Отметим, что первое слагаемое в данной формуле описывает пройденный путь без учета сопротивления воздуха, а второе – уменьшение пути из-за влияния воздуха.

Решение.

1. Для определения массы компакт диска можно воспользоваться «рычажным» методом, используя в качестве рычага линейку, и имея в своем распоряжении груз известной массы.

В результате измерений получено, что масса CD равна m = (15,3 ± 0, 7) г 2. Рассмотрим соударение тел. Пусть скорости тел M и m после соударения равны V * и v соответственно. Поскольку соударение абсолютно упругое, выполняются законы сохранения импульса и энергии отсюда нетрудно получить для скорости тела m Для используемого компакт-диска и груза коэффициент = = 1, 73. Относительная погрешность = 2 M + M + m 0, 01. Абсолютная погрешность равна = a 0, 02.

Коэффициент передачи скорости равен = 1, 73 ± 0, 02.

3. Расстояние X измеряется линейкой, прикрепленной к нижней стороне парты скотчем. Для увеличения точности измерений X груз необходимо отпускать, когда он находится в вертикальном положении.

Измерения смещения компакт-диска по миллиметровой бумаге производятся при помощи самой миллиметровой бумаги.

Результаты измерений пройденного пути от начального отклонения груза X приведены в Таблице 1. По результатам измерений построен график s ( X ).

При смещении груза из положения равновесия на расстояние X по горизонтали, он поднимается на высоту где R расстояние от точки подвеса до центра масс груза. При подходе к диску его скорость можно найти из закона сохранения энергии Начальная скорость движения компакт-диска Расстояние от точки крепления нити к лапке штатива до центра масс грузика было равно R = 710 мм.

По измеренным данным и формуле (17) необходимо определить начальную скорость диска v0.

Таблица Зависимость пройденного пути от начальной скорости диска описывается формулой (6).

Для определения коэффициента трения скольжения µ и вязкого трения необходимо эту зависимость линеаризовать и построить график зависимости 2 от v0 (табл. 1).

Данная зависимость – убывающая линейная Коэффициент A определяется по точке пересечения графика с вертикальной осью, а коэффициент B - по тангенсу угла наклона графика к горизонтальной оси. Альтернативный способ определения A и B - по МНК.

Поскольку и расстояние s, и X, и, соответственно, v0, определены с погрешностями, то при делении малых значений друг на друга, результат может получиться абсолютно неверным.

Именно поэтому при построении графика зависимости 2 от v0 и определении коэффициентов A и B необходимо брать лишь точки, соответствующие смещению диска больше 10 мм.

Коэффициент A = 0,11 с2/м, а B = 0, 057 с3/м2. Отсюда Формула (9) применима только для малых значений проверить малость этого выражения. Максимальное значение начальной скорости диска, для которой погрешность формулы не превышает 5%, равно vmax = 0, 7 µ mg / = 0,91м / с.

Как видно из таблицы 1, в эксперименте скорость диска не превышает этого значения.

Иначе точки, соответствующие скоростям, большим максимально допустимой, необходимо было бы отбросить при определении коэффициентов A и B.

1. На рисунке показана схема установки для проведения исследования зависимости деформации пружины от приложенной к ней силы. Из рисунка следует, что в положении равновесия сила упругости пружины определяется формулой где L = 40 см - длина линейки, mg 1,0 Н - сила тяжести, действующая на груз.

Изменяя положение груза x, можно изменять силу, действующую на пружину. В Таблице 1 приведены результаты измерений деформации пружины l, ( мм) от расстояния x, (см) между закрепленным краем линейки и точки подвеса груза.

Таблица 1.

График этой зависимости представлен на рис. Так как сила, приложенная к пружине, пропорциональна координате точке подвеса груза, то требуемый график зависимости деформации от приложенной силы будет иметь тот же вид, только необходимо провести иную градуировку оси абсцисс в соответствии с формулой (1).

Полученный график представляет собой ломанную, состоящую из двух прямолинейных отрезков. Объяснение такой зависимости очевидно: при малых нагрузках деформируется вся пружина, когда деформация пружины достигает значения l 40 мм нить, связывающая часть витков пружины, натягивается и препятствует дальнейшей деформации этих витков, поэтому коэффициент упругости пружины возрастает.

2. В соответствии с законом Гука, сила упругости пропорциональна деформации пружины где k - коэффициент жесткости пружины. Из формул (1) – (2) следует, что коэффициент жесткости пружины может быть рассчитан по формуле Для повышения точности следует воспользоваться полученной зависимостью, из которой следует определить коэффициент наклона первого отрезка Следовательно, коэффициент жесткости пружины равен 3. Легко показать, что жесткость пружины обратно пропорциональна числу свободных витков, или пропорциональна коэффициенту наклона о графика зависимости деформации пружины от координаты груза. Если обозначить - долю витков, обмотанных нитью, то доля свободных витков равна где a 2 = 2,3 = 0,23 - коэффициент наклона второго отрезка на графике рис.2.

По формуле (6) находим Таким образом, обмотано примерно четвертая часть витков (точнее 0,23 ).

проведения измерений заключается в следующем.

расположенного штатива резиновый жгут, степень растяжения которого можно изменять. Затем к середине жгута подвесить груз известной массы и измерить величину прогиба (провисания) жгута x.

Обозначим L - длина нерастянутого жгута, l0 расстояние между точками закрепления жгута на стойке штатива. Удлинение жгута рассчитывается по формуле Сила упругости определяется из условия равновесия груза Изменяя расстояние между точками закрепления можно варьировать силу натяжения жгута и его деформацию.

Масса груза равна 100 г, следовательно mg 1,0 н. Длина нерастянутой резинки в наших экспериментах L = 15 см. Результаты измерений и расчетов представлены в таблице и на графике.

График является прямой линией, поэтому можно считать, что в данном случае закон Гука выполняется (правда он не проходит через начало координат). Коэффициент наклона графика равен жесткости резинки, которая в данном случае оказывается равной Результаты измерения деформации тонкой (ширина 5 мм) и широкой (ширина 10 мм) полосок при увеличении и уменьшении нагрузки приведены в таблице.

Представим теперь полученные зависимости графически в зависимости деформации l, мм от приложенной силы F, H. Для широкой полоски данный график показан на рис.1.

Как видно, в данном случае деформация полоски оказывается прямо пропорциональной приложенной силе, что свидетельствует о применимости закона Гука. То есть деформации являются упругими и обратимыми, поэтому потерь механической энергии не происходит.

Коэффициент упругости k = оказывается близок к 1,0 10 3. Заметим, что при длине данной полоски в 205 мм ее максимальная относительная деформация составляет 3%.

Принципиально иная ситуация появляется при деформации тонкой полиэтиленовой полоски. График зависимости ее деформации от приложенной нагрузки показан на рис.2, где нижняя ветвь соответствует растяжению, а нижняя - сокращению.

Во-первых, деформация оказывается не пропорциональной приложенной силе (переходит в область пластической деформации); во-вторых, деформации при нагрузке и разгрузке оказываются различными - имеет место остаточная деформация и гистерезис (необратимая деформация), что также свидетельствует о наличии пластичности.

Сравним численные характеристики полученных зависимостей для разных полосок. Как следует приведенных в таблице и на графике данных пластическая деформация начинается при силе превышающей 3 Н (заметим, что относительные деформации в этой точке оказываются приблизительно одинаковыми). Если сравнивать силы, приходящиеся на единицу ширины, то видно, что для широкой полоски этап пластичности должен наступить при силе превышающей 6 Н, поэтому эти данные не противоречат друг другу. Так же следует отметить, что в области упругой деформации коэффициент жесткости тонкой полоски оказывается приблизительно в два раза меньше, что также легко объяснимо - в области упругой деформации модули Юнга у обеих полосок одинаковы, также одинаковы толщины полосок, поэтому коэффициент жесткости пропорционален ширине полоски, что и получено в нашем эксперименте.

2. Легко показать, что потери упругой энергии равны площади полученной петли гистерезиса, которую можно подсчитать численно, с помощью построенного графика.

Задача 45. «Резиновый маятник»

Получим формулу для периода колебаний груза на резиновом подвесе.

На основании второго закона Ньютона запишем где F = F ( x ) - сила упругости, которая сложным образом зависит от величины деформации резинового жгута.

При некоторой длине жгута x0 груз находится в равновесии, то есть F ( x0 ) = mg.

При небольшом отклонении от положения равновесия x зависимость силы упругости аппроксимирована линейной функцией где коэффициент наклона касательной равен производной от функции F ( x ), взятой в точке x0 : k =. Так как положение равновесия зависит от массы подвешенного груза, то и этот коэффициент также зависит от массы груза k (m ). В том же случае, когда сила упругости строго пропорциональная деформации, этот коэффициент остается постоянным.

Заметим, что этот коэффициент нельзя определять как отношение силы упругости к деформации.

Комбинация выражений (1) и (2) приводит к уравнению гармонических колебаний с периодом Таким образом, зависимость коэффициента упругости от нагрузки можно изучать по зависимости периода колебаний от нагрузки.

Результаты измерений зависят от используемых резиновых жгутов. Если использовать полоски резины, вырезанные из медицинского резинового бинта, то для широкой полоски (шириной более 5 мм) закон Гука выполняется в пределах погрешности измерений: деформация пропорциональна массе груза; период колебаний пропорционален корню квадратному из массы. Для более тонкого жгута деформации нелинейно зависят от нагрузки, для резины коэффициент жесткости возрастает с ростом деформации, поэтому период колебаний возрастает медленнее, возможна даже ситуация когда зависимость периода от массы является не монотонной: при небольших массах период возрастает, а затем начинает убывать вследствие более быстрого возрастания коэффициента жесткости резины.

Пример такой зависимости показан на рисунке.

В таблице 1 приведены результаты измерений зависимости прогиба линейки и периода колебаний от массы подвешенного груза.

Таблица 1.

Ниже на графиках построены полученные экспериментальные зависимости.

Как следует из построенного графика, прогиб линейки линейно зависит от массы подвешенного груза. Обработка зависимости = am + b по МНК дает следующие значения параметров Так как b > b, то обосновано можно считать, что прогиб пропорционален массе подвешенного груза. Иными словами в данном случае выполнятся закон Гука: возникающая вертикальная сила упругости пропорциональная деформации где k - жесткость линейки, которая может быть выражена через коэффициент наклона построенного графика Рассчитаем также погрешность этой величины Зависимость периода колебаний от массы груза явно не линейна. Теоретически установить этой зависимости можно на основании уравнения второго закона Ньютона для груза которое является уравнением гармонических колебаний с периодом Для проверки этой зависимости построим график зависимости квадрата периода от массы груза. Действительно данная Коэффициент наклона этого графика так же определяются по МНК Из формулы (6) следует, что его теоретическое значение равно что дает возможность определить жесткость линейки (независимо, на основании результатов измерений периодов колебаний) Это значение в полтора раза превышает жесткость, найденную в статическом случае, следовательно, полученные данные не согласуются друг с другом!

Попробуем проверить данный вывод еще одним способом, исключающим расчет жесткости. В положении равновесия сила тяжести уравновешивается силой упругости mg = k 0, поэтому жесткость линейки выражается через прогиб в положении равновесия k=. Подставляя это выражение в формулу (6) получим Теперь построим зависимость квадрата периода колебаний от прогиба. Зависимость линейна и ее параметры равны a = (2,57 ± 0,08), b = (0,392 ± 0,005)c Заметим, что в данном случае мы не можем считать зависимость пропорциональной, так как параметр b значимо отличен от нуля. Из формулы (8) найдем теоретическое значение коэффициента наклона которое оказывается в полтора раза выше! Таким образом, данные и здесь не согласуются друг с другом.

В чем же причина такого несоответствия? Возможно, что колебания груза не являются строго гармоническими – на верхнем участке они «подпрыгивают». Этот отрицательный результат – тема для ваших самостоятельных исследований!

Зато выполнение пункта 2 данной задачи не вызывает никаких сложностей. Проводим измерения (Таблица 2).

Таблица 2.

L, см L, см Строим графики в «обычном» и логарифмическом масштабах.

Находим коэффициент наклона логарифмической зависимости, равный искомому показателю степени, убеждаемся, что он примерно равен 3, приводим этот результат и получаем максимальные оценки за правильное выполнение этого пункта!

Внимательное ознакомление с условием позволяет более чет уяснить смысл предложенных заданий. Понятно, что во всех пунктах следует пренебрегать деформацией деревянной палочки по сравнению с изгибом пластикового стержня. Поэтому в первой части работы исследуется зависимость деформации от приложенного к стержню момента сил. Можно ожидать, что величина прогиба будет пропорциональная этому моменту сил.

Во второй части необходимо исследовать зависимость прогиба от длины деформируемой части. Фактически полное повторение предыдущей задачи!

Часть 1. Малый груз.

1.1 Понятно, что деформация деревянной палочки значительно меньше, чем деформация пластикового стержня, поэтому ею можно пренебречь.

Так как угол изгиба мал, то величина стрелки прогиба может быть представлена в виде (с учетом приближенной формулы cos 1 ) При подвешивании груза к палочке изгибается весь стержень, поэтому в формуле (1) из условия задачи следует положить x = l. Тогда R = l, а величина стрелки прогиба Измеряемое отклонение конца стержня описывается формулой Момент сил, действующих на стержень, определяется силой тяжести груза массой m1 и деревянной палочки где a - координата центра масс палочки, m0 - ее масса.

Таким образом, получаем формулу, подлежащую экспериментальной проверке которая утверждает, что смещение палочки линейно зависит от координаты точки крепления груза.

1.2 В таблице 1 приведены результаты измерений зависимости смещения конца стержня от координаты точки крепления груза.

Таблица 1.

График этой зависимости показан ниже и показывает, что полученная зависимость близка к линейной. Возможные отклонения связаны с неточностью измерений и возможными остаточными деформациями.

Следует отметить, что прямая не проходит через начало координат. Из полученной формулы (1) следует, что при x = 0 (т. е. когда груз отсутствует) отклонение стержня должно быть положительным – экспериментальные данные противоречат этому выводу!

Обработка полученной зависимости по МНК дает следующие значения параметров линейной зависимости z = ax + b следовательно, не верный знак параметра b не может быть объяснен погрешностями измерений.

Возможное объяснение этого противоречия заключается в начальной деформации стержня! Действительно, при отсутствии груза стрежень вместе с палочкой располагался горизонтально, хотя на него действовал момент силы тяжести палочки. Формула (1) не учитывает этой начальной деформации.

Часть 2. Большой груз.

В данном эксперименте можно считать, что изгибается только часть стержня – от точки крепления до точки подвеса груза. Прежде всего, получим формулу, позволяющую рассчитывать значение стрелки прогиба по измеряемым величинам x и z. Из рисунка следует, что Значение угла изгиба можно выразить через значение стрелки прогиба Подставляя это выражение в формулу (2), получим Отсюда получаем В таблице (2) представлены результаты измерений зависимости z ( x ) и рассчитанные по формуле (3) значения стрелки прогиба (в нашей установке L = 30см ). Ниже приведены требуемые графики.

Таблица 2.

Полученные результаты свидетельствуют, что полученные зависимости не линейны и по виду похожи на степенные функции.

Получим теоретическую зависимость стрелки прогиба от точки крепления груза.

Так как изгибается только часть стержня длиной x, то величина стрелки прогиба рассчитывается по формуле Силами, изгибающими стержень, являются силы тяжести груза и палочки, поэтому Если пренебречь моментом силы тяжести палочки, то получим требуемую степенную зависимость Таким образом, теоретическое значение показателя степени = 3.

полученной формулы (3) можно несколькими способами. Наиболее очевидной линеаризацией является зависимость стрелки прогиба от куба координаты точки подвеса груза x 3.

График данной зависимости очень близок к прямой. Отклонения от линейной зависимости хорошо заметны при малых значениях координаты точки подвеса. Это результат легко объясним:

во-первых, при малых отклонениях точность измерений не велика; вовторых, при малых значениях x более существенное влияние оказывает сила тяжести палочки. Следовательно, в этой области исследуемая зависимость должна отличаться от кубической.

Аналогичные выводы следуют и в том случае, если построить зависимость кубического корня из стрелки прогиба от координаты точки подвеса 3 ( x ). Также при больших значениях координаты точки подвеса зависимость линейна, а при малых – хорошо видны отклонения от этой зависимости.

Отметим, что эта зависимость ( x ) более наглядна, здесь точки располагаются более равномерно. В зависимости x 3 слишком велик диапазон изменения аргумента, а начальные точки тесно группируются вблизи нуля.

Подчеркнем, что в обоих случаях построенные прямые в пределах погрешности проходят через начало координат.

Наконец, для определения показателя степенной зависимости является использование двойного логарифмического масштаба с последующей обработкой по МНК.

закономерности: линейность при больших значениях x и отклонения от нее при малых значениях. Коэффициент наклона прямой (он же показатель степени), построенной по последним точка оказывается равным Таким образом, кубическая зависимость величины стрелки прогиба от точки крепления груза подтверждается экспериментально.

Зависимость высоты столба газа в трубке от температуры представлена в таблице 1 и на графике (в последнем столбце даны значения высоты уровня воды в широкой трубке).

Таблица 1.

Прекрасно видно, что данная зависимость не линейна, следовательно, влияние давления насыщенных паров воды в трубке существенно. Заметим, что во всех случаях можно пренебречь гидростатическим давлением столба воды по сравнению с атмосферным давлением.

2. В указанном диапазоне «низких» температур данная зависимость близка к линейной.

Поэтому, если не учитывать влияние паров, то зависимость объема воздуха от температуры описывается уравнением Тогда значение абсолютного нуля температур оценивается как измерений это значение равно t 0 = 1 145°С, что весьма далеко от табличного значения. Следовательно, и в этом диапазоне давление паров воды существенно.

3. Для проверки справедливости уравнения Клапейрона-Клаузиуса необходимо из общего давления газов в трубке вычесть давление сухого воздуха. Сухой воздух подчиняется уравнению состояния идеального газа, поэтому для него можно записать где h0 высота столба, которого бы занимал сухой воздух при температуре T0. По прежнему, полагая атмосферное давление значительно большим гидростатического, можно записать Откуда следует, что давление водяного пара можно рассчитать по формуле Расчет давления водяного пара по этой формуле приводит к следующему графику логарифма давления водяного пара от величины, обратной абсолютной температуре (что требует уравнение Клапейрона –Клаузиуса.

Этот график подтверждает справедливость данного уравнения и доказывает, что в данном эксперименте действительно основной вклад вносит давление насыщенного пара.

Найденное по данной зависимости значение удельной теплоты испарения воды очень близко к табличному значению.

Часть 1. Определение фокусного расстояния линзы является традиционной задачей, к тому же рассмотренной нами ранее. Не вызывает сомнения также возможность получение четкого изображения капли с десятикратным увеличением с помощью собирающей линзы. Для примера, приведем пример такого изображения висящей капли (очевидно, что изображение перевернуто).

Вторая и третья части работы носят почти качественный характер.

Получение точных зависимостей затруднительно, поэтому решением задачи следует считать получение зависимостей, правильно отражающих имеющиеся закономерности.

Так высота капли лежащей на не смачиваемой поверхности при малых размерах капли практически равна ее диаметру, при увеличении размера капли ее высота стремится к предельному значению. Это предельное значение высоты капли d может быть оценено из условия равенства лапласовского и гидростатического давлений:

Эта же формула может применяться и для оценки поверхностного натяжения.

Для определения поверхностного натяжения с помощью висящей капли следует получить и зарисовать ее изображение. Затем определить диаметр самой узкой части (перетяжки) Dmin, а также численно вычислить ее объем (по зарисованному профилю) V. Условие равенства силы тяжести и силы поверхностного натяжения на перетяжке позволяет оценить поверхностное натяжение Задача 50. «Исследование поверхностного натяжения спиртовых Для измерения поверхностного натяжения следует использовать капиллярную стеклянную трубку. Погружая ее исследуемый раствор, а затем вынимая, по высоте столбика жидкости, оставшейся в трубке можно определить коэффициент поверхностного натяжения.

Действительно, условие равновесия жидкости в трубке имеет вид где - плотность жидкости; r - радиус капилляра. Из этого условия следует формула определения коэффициента поверхностного натяжения Строго говоря, эта формула не учитывает краевые углы, образуемые жидкостью с внутренними стенками трубки и с ее нижним основанием.

Поэтому измерения зависимости поверхностного натяжения от концентрации следует проводить относительно чистой воды.

Обозначим 0, 0 - плотность и коэффициент поверхностного натяжения чистой воды; h0 - высоту уровня чистой воды в трубке, тогда коэффициент поверхностного натяжения раствора следует рассчитывать по формуле В ходе измерений следует учесть, что плотность раствора зависит от его концентрации. Приготовить раствор известной концентрации можно следующим образом:

с помощью стеклянной трубки легко отмерять одинаковые объемы (капли) жидкостей.

Если раствор приготовлен из n0 капель воды и n1 капель спирта, то объемная относительная концентрация спирта c и плотность раствора определяется формулами Так как случайная погрешность измерения высоты столбика жидкости в капилляре существенна, то необходимо проводить эти измерения несколько раз. Результаты измерений представлены в таблице и на графике.

По данным таблицы построим график зависимости коэффициента поверхностного натяжения раствора от концентрации спирта.

нелинейная, при малых концентрациях коэффициент поверхностного натяжения достаточно быстро падает, а при поверхностное натяжение изменяется гораздо медленнее.

Часть 2. Определение вида зависимости.

Экспериментатор: «Извините, Вы держите график верх ногами!»

Теоретик (перевернув график): «Тогда это тем более понятно!»

Подбор эмпирической зависимости, как мы уже неоднократно убеждались, не совсем корректная операция, потому как она может быть построена различными способами. Покажем это еще один раз, еще раз «наступим на эти грабли».

Первое. Попробуем аппроксимировать полученную зависимость степенной функцией Поступаем традиционным образом: строим график в логарифмическом масштабе и по МНК определяем его параметры.

Удивительно, но показатель степени оказывается равным 0,341, что очень близко к, иными словами, поверхностное натяжение обратно пропорционально кубическому корню из концентрации! Итак, первая аппроксимация имеет вид Возможно, кто-то из теоретиков сможет обосновать эту зависимость. Не смотря на то, что график этой функции проходит достаточно близко к экспериментальным точкам, у этой функции есть один существенный недостаток – при концентрации спирта стремящейся к нулю (то есть для чистой воды) поверхностное натяжение стремится к бесконечности!

Попробуем подобрать такую аппроксимирующую функцию, чтобы при с = поверхностное натяжение было равно поверхностному натяжению воды = 0, а с ростом концентрации монотонно уменьшалось. Этим условиям удовлетворяет функция вида где B и - параметры, подлежащие определению. Для их нахождения можно также воспользоваться МНК, линеаризовав функцию (7) следующим образом Расчет параметров также приводит к «интересному» результату (достойному внимания теоретиков): показатель степени близок 0,773. График полученной функции также неплохо описывает экспериментальные данные, особенно при c = 0, здесь он абсолютно точен!

А если попробовать подобрать функцию, которая при c = 0 (чистая вода) равна поверхностному натяжению воды 0, а при c = 1 (чистый спирт) поверхностному натяжению спирта 1 ? Можно оставить функцию вида (7), в которой параметр B определить нужным образом:

единственный параметр, так чтобы сумма квадратов отклонений теоретических и экспериментальных значений была минимальна.

Поразительно, но и в этом случае показатель степени может удовлетворить теоретиков – оказывается примерно равным. Полученная экспериментальные данные.

Может, имеет смысл приписать величине с 3 смысл «поверхностной концентрации»? В этом «теоретический» вид:

величина обратная поверхностному натяжению раствора равна средневзвешенному от этих величин компонентов раствора, причем в качестве весов выступают «поверхностные концентрации». Вот уж действительно глубочайший кладезь теоретических моделей!

Поднимемся, однако, на твердую почву экспериментальных данных, и зададимся вопросом: какая из функций (6), (8), или (10) лучше описывает результаты измерений? Или следует придумать еще что-то? Построим графики зависимостей разности между теоретическими и экспериментальными значениями от концентрации раствора. Эти графики показывают, что, во-первых, для всех рассмотренных функций относительная погрешность не превышает 10%; вовторых, поведение этих графиков примерно одинаково, что обусловлено погрешностями измерений, а не недостатками моделей. Поэтому ответ на поставленный вопрос очевиден: «Лучше та функция, котрая вам больше нравится!»

Задача 51. «Параллельное соединение проводников»

Часть 1. Градуировка реостата.

Конечно, лучше было бы иметь и амперметр, но хороший вольтметр в паре с резистором известного сопротивления прекрасно его заменяет, особенно, если его сопротивление равно 1 Ому!

Принципиальная электрическая схема, предназначенная для градуировки реостата, показана на рис. 1. Попеременно подключая вольтметр к точкам А и В можно измерить напряжения U 0 на известном сопротивлении R 0 = 9 Ом и U x на реостате R x при задаваемом значении положения движка реостата x. При этом сопротивление реостата рассчитывается по формуле Отметим, что при такой схеме нет необходимости в стабилизации напряжения источника.

Результаты измерений и рассчитанные значения сопротивления реостата даны в таблице 1. На рис. 2 показан градуировочный график: зависимость сопротивления реостата от положения движка.

Таблица 1.

x, мм Как следует из полученных данных, зависимость линейная, но не прямо пропорциональная. Последнее связано с тем, что нуль шкалы не соответствует нулевому сопротивлению реостата. В дальнейшем для определения сопротивления реостата можно пользоваться этим градуировочным графиком, но предпочтительнее описать эту зависимость функционально. Так построенный график описывается линейной функцией 1.4 Коэффициент a в зависимости R x = ax + b является сопротивлением единицы длины обмотки реостата. С помощью полоски миллиметровой бумаги легко измерить длину части обмотки z, состоящей из n прилегающих витков, и длину одного витка l0.

Сопротивление этого участка реостата, рассчитанное по известной формуле для сопротивления проводника, равно С другой стороны, это же сопротивление равно R = az. Приравнивая эти два выражения, получим расчетную формулу для удельного сопротивления Погрешность определения удельного сопротивления рассчитывается по формуле По нашим измерениям:

a = (72,8 ± 1,1) Часть 2. Неизвестное сопротивление.

Измерение сопротивления параллельно соединенных реостата и резистора следует проводить по прежней методике. Результаты измерений напряжений U 0, U x, а также расчетов общего сопротивления реостата и неизвестного резистора Rоб., сопротивления реостата R x при различных положениях движка реостата x приведены в таблице 2.

Таблица 2.

x, мм График9 зависимости общего сопротивления реостата (рис. 4) не позволяет судить о справедливости формулы для общего сопротивления параллельно соединенных резисторов Поэтому для проверки применимости данной формулы следует построить сопротивлениям: Rоб. от Rx. Расчет эти величин представлен в последних столбцах таблицы 2, а график показан на рис.5.

зависимость, с коэффициентом наклона, справедливость формулы (4).

Имеет смысл рассчитать коэффициенты этой зависимости по МНК:

Первый коэффициент действительно очень близок к единице, а второй в соответствии с формулой (4) равен R11.

Поэтому неизвестное сопротивление равно R1 = B 1 = 25,97 Ом, с погрешностью Окончательно получаем R1 = (26,0 ± 1,6)Ом.

По условию задачи его строить не требовалось!

1. Самое поразительное в данном ящике, что при подключении батарейки к любым двум выводам, горит только одна лампочка.

При подключении к выводам 1-3 вторая лампочка не светится потому, что силы тока не хватает, чтобы раскалить ее спираль – она шунтируется резистором.

Для определения соответствия между выводами необходимо объединять выводы и определять при каком подключении начинают светиться обе лампочки. Это произойдет, если батарейка подключена к выводам 2 и соединенным вместе 1 и 3. Таким образом, можно определить центральный вывод 2.

Чтобы различить выводы 1 и 3 необходимо использовать амперметр – при подключении к батарейке выводов 2 и 3 сила тока будет больше, чем при подключении к выводам 1 и 2.

Схема собрана таким образом, что «А»= 2; «В»=1; «С»=3.

2. Реально провести измерения по предложенной схеме, только подключая к измерительному устройству выводы 2 и 3, в этом случае измеряется вольтамперная характеристика лампочки и параллельно подключенного резистора; а также 2 и соединенных выводов 1 и 3 – в этом случае измеряется вольтамперная характеристика параллельно соединенных двух лампочек и резистора. При подключении одной лампочки (выводы 1,2) изменения напряжения при размыкании ключа К1 незначительны (не более одного деления).

Расчеты необходимых величин проводятся по следующим формулам:

Сопротивление части резистора, к которому подключается исследуемая цепь сопротивление второй части Сила тока в исследуемой цепи рассчитывается по формуле Результаты измерений и расчетов при подключении выводов 2 и 3, приведены в таблице 1.

Таблица 1.

При подключении выводов 2 и соединенных 1 и 3 получаются следующие результаты.

Таблица 2.

При заданном напряжении на входе исследуемой цепи силы токов определяются по формулам:

в первом случае во втором Из этих формул следует, что силы токов через лампочку и резистор могут быть пересчитаны следующим образом:

Результаты расчетов приведены на графиках.

Как видно точность измерений не высока, но, тем не менее, зависимость между токов и напряжением на резисторе может быть признана пропорциональной. По наклону графика определяется сопротивление резистора сопротивления равно R = 3,6 Ом.

Дополнение.

Точность измерений можно сделать существенно выше, используя для измерений числовой мультиметр. Графики, построенные по измерениям с помощью мультиметра, показаны ниже.

Данная задача аналогична предыдущей. Сначала необходимо определить соответствие между выводами на схеме и на коробке. Для этого следует использовать свойство односторонней проводимости диода – если диод включается в цепь, то при изменении полярности источника изменяются значения силы тока.

Затем стандартным методом измеряется сопротивление резистора между выводами 1 и 2.

После этого следует получить вольтамперные характеристики между выводами 1 и 3, и, внимание, между выводом 1 и соединенными выводами 2-3. Эти две характеристики позволяют выделить и построить вольтамперную характеристику диода. Она получается более нелинейной, чем у лампочки накаливания.

Задача 54. «Вольтметр - гальванометр»

Первая часть задачи является традиционной (здесь вольтметр используется по своему прямому назначению). Отметим, что большинство полосковых реостатов имеют нелинейные характеристики – будьте внимательны.

В условии задачи оговорено, как проводить градуировку баллистического гальванометра (того же вольтметра). Заряжая конденсатор до известного напряжения (для этого была необходима первая часть работы) и разряжая его через вольтметр, можно построить зависимость отброса стрелки от заряда конденсатора. Данная зависимость оказывается близкой к линейной.

Первый вопрос третьей части, на первый взгляд кажется странным – конденсатор обладает емкостью, а не сопротивлением. Точнее, у идеального конденсатора сопротивление равно бесконечности. Но разве бывает реально, что-то идеальное?

Заряженный конденсатор разряжается, следовательно, между его обкладками электрический ток все-таки протекает. Для выполнения данной части работы необходимо провести следующую серию экспериментов. Зарядить конденсатор до максимального напряжения и измерить его заряд (с помощью гальванометра) через известный промежуток времени. Затем повторить эти измерения для других промежутков времени.

Тем самым можно построить зависимость заряда на конденсаторе от времени и по ней определить требуемое сопротивление, которое оказывается равным несколько десятков мОм.

В последней части работы между конденсатором и вольтметром следует подсоединить последовательно стержень и металлическую пластинку. В этом случае разряд конденсатора будет проходить только во время удара. Отметим, что за время удара утечкой заряда через конденсатор можно пренебречь. Вольтметр позволяет определить заряд, прошедший через него за время удара. Так как характеристики вольтметра и конденсатора известны, то на основании полученных данных не сложно оценить время удара.

Возможно и иная схема измерений – зарядить конденсатор, частично разрядить его, сделав несколько ударов, а затем измерить оставшийся заряд. Конечно, разброс значений достаточно велик, поэтому в условии ставится цель хотя бы оценить время удара.

Проведенные измерения показывают, что время удара составляет величину меньшую, чем 1 миллисекунда.

Задача 55. «Гальванический лимон»

Часть 1. Так как сопротивление мультиметра значительно превышает внутреннее сопротивление «фруктового» гальванического элемента, то для измерения ЭДС следует напрямую подключить мультиметр к элементу, напряжение на нем с высокой точностью совпадает с ЭДС источника. При использовании медной и цинковой пластинок ЭДС оказывается равной примерно 1 В и практически не зависит от используемого фрукта.

Известно, что ЭДС гальванического элемента определяется, главным образом, материалами электродов.

Часть 2. Для измерения силы тока нужно измерять напряжение на резисторе, который соединен последовательно с гальваническим элементом. Результаты зависимости силы тока I от времени t приведены в таблице 1 и на графике.

Таблица 1.

Как и следовало ожидать – с течением времени сила тока уменьшается (к сожалению, наш лимонный элемент работает не более 10 минут). Возможными причинами этого является окисление электродов и уменьшение концентрации ионов электролита.

По этим данным можно найти зависимость сопротивления элемента ( R = ) от электрического заряда, прошедшего через элемент. Для вычисления этого заряда необходимо численно проинтегрировать зависимость силы тока от времени.

Результаты расчетов показаны на следующем графике. Внутреннее сопротивление элемента возрастает по мере увеличения срока службы элемента. Полученная зависимость монотонно возрастающая, но не линейная. Подбором эмпирических зависимостей мы занимались неоднократно, поэтому приведем, например, вот такую «простую» зависимость где R0 16 Ом - начальное сопротивление, F = 9,6 10 4 - постоянная Фарадея, B 2,5 10 3 Ом, коэффициент найденный методом подбора. Сравните – неплохое соответствие!

Задача 56. «Двигатель и генератор»

Данная тема может быть предметом очень многих задач и темой для самостоятельной экспериментальной исследовательской работы. Результаты существенным образом зависят от используемого оборудования – вида двигателя, источника, механической системы.

Основные результаты кратко можно сформулировать следующим образом:

1. Сила тока при работающем двигателе практически полностью определяется массой подвешенного груза, то есть слабо зависит от приложенного напряжения и примерно пропорциональна массе поднимаемого груза.

2. Мощность двигателя можно определить, измеряя время подъема груза на заданную высоту. Тогда развиваемая полезная мощность равна произведению силы тяжести на скорость подъема. Затрачиваемая мощность равна произведению силы тока на приложенное напряжение.

Теоретической основой описания могут служить следующие уравнения:

Так как сила (или момент силы), развиваемая двигателем пропорциональна силе тока через обмотку (это следует из закона Ампера и постоянства магнитного поля статора), поэтому сила тока оказывается пропорциональной массе поднимаемого груза.

Второе уравнение является уравнением закона сохранения энергии (записанное для мощностей) здесь R - общее сопротивление цепи, v - скорость подъема груза.

Отметим, что кажущееся нарушения законов Ома в данном случае связано с появлением ЭДС индукции в обмотке двигателя при его работе.

Задача 56. «Закон электромагнитной индукции»

1. Измерение периода колебаний проводится обычным способом и дает значение T = 1,74 c.

2. Зарядив конденсатор, проводим измерения зависимости силы напряжения от времени.

Результаты измерений представлены в таблице 1 и на графиках (второй в логарифмическом масштабе).

Таблица 1.

Определенное по методу наименьших квадратов значение времени разрядки равно Сопротивление мультиметра рассчитывается по формуле Примечание.

Время разрядки может быть определено и без использования логарифмического масштаба (все-таки 10 класс). Для этого можно построить зависимость скорости изменения напряжения от напряжения на конденсаторе. Эта зависимость описывается приближенным уравнением и является линейной. Значение времени, определенное по этой зависимости оказывается равным 55с с существенно большей погрешностью.

3. Измерения временной зависимости напряжения на конденсаторе при его разрядке через диод и катушку телефона проводятся аналогично, результаты этих измерений приведены в таблице 2 и на графике.

Таблица 2.

Хорошо заметно, что сопротивление диода (следовательно, и время разряда) не является постоянным, а зависит от приложенного напряжения. Поэтому следует построить зависимость времени разрядки от напряжения на конденсаторе. Эта зависимость может быть рассчитана на основании уравнения (3), из которого следует, что График этой зависимости показан на рисунке.

Отметим, что и в этом случае время разрядки (около 30 с) значительно превышает период колебаний.

4. Результаты измерений зависимости максимального напряжения на конденсаторе от амплитуды колебаний приведены в таблице 3 и на графике.

Таблица 3.

А, см U1, мВ U2, мВ U3, мВ Uср, мВ Полученная зависимость близка к линейной.

5. При прохождении магнита над катушкой в ней индуцируется ЭДС, величина которой определяется законом М. Фарадея Эта ЭДС подзаряжает конденсатор, который разряжается в тот промежуток времени, когда магнит не проходит над катушкой.

Схематическая зависимость напряжения на конденсаторе от времени показана на рисунке. В течение промежутка времени t (магнит проходит над катушкой) напряжение на конденсаторе возрастает от некоторого значения U до максимального U max. Процесс зарядки описывается уравнением Учитывая малость времени t1 по сравнению со временем разрядки, можно записать Здесь в качестве сопротивления цепи следует брать сопротивление катушки, так как во время зарядки диод открыт, и его сопротивлением можно пренебречь. Величина больше чем время прохождения магнита над катушкой (которое меньше, чем одна сотая периода колебаний).

За промежуток времени t 2 примерно равный половине периода колебаний конденсатор разряжается через закрытый диод. Процесс разрядки описывается уравнением из которого можно получить приближенное соотношение Из формул (6)-(9) следует Определим время прохождения магнита над катушкой (точнее над половиной катушки) из закона движения маятника. Так как размер катушки и магнита значительно меньше амплитуды колебаний, то это время оценивается формулой где l сумма диаметра магнита радиуса катушки (в наших экспериментах l 3 см ), а максимальная скорость может быть найдена из закона сохранения энергии где = - круговая частота колебаний маятника. Таким образом, мы получаем, Оценим численные значения слагаемых в формуле (10) Второе слагаемое более чем на порядок меньше первого, поэтому в первом приближении им можно пренебречь. В итоге максимальное напряжение на конденсаторе примерно оказывается равным среднему значению ЭДС и пропорциональным амплитуде колебаний, что неплохо подтверждается экспериментом.

Коэффициент пропорциональности в формуле (14) может быть определен из наклона графика зависимости напряжения от амплитуды колебаний и равен Теперь с его помощью можно оценить максимальный магнитный поток, который создает магнит в катушке 0 K Первые два пункта задачи настолько традиционны, что даже входят в перечень обязательных лабораторных работ.

Пункт 3 достоин внимательного рассмотрения теней и бликов на экране, расположенном за щелью. Фактически здесь рассматривается достаточно простая проблема теней и полутеней. Как известно, размеры полутеней определяются соотношением между размерами источника и размерами препятствия, отбрасывающего тень. То, что в данном случае рассматриваются не тени от непрозрачной полоски, а свет, прошедший через щель сути дела не меняет. Так как пламя свечи вытянуто вертикально, то при вертикальном расположении щели светлая полоска оказывается более резкой и с меньшим размеров полутени, чем при горизонтальном расположении щели.

Объяснение возникновения изображения, полученного с помощью малого отверстия, дается в рамках геометрической оптики – дифракция света в данном случае существенной рол не играет. Изображение получается тем более резким, чем меньше размер отверстия. Правда, в этом случае его яркость заметно меньше. Кроме того, видимая четкость изображения и его яркость ухудшаются при увеличении расстояния между отверстием и экраном.

Задача 59. «Интерференция на бумаге»

Прежде всего, поясним, почему полосы муара могут моделировать результат интерференции. Распределение интенсивности света в интерференционной картине определяется разностью фаз колебаний интерферирующих волн. Если нарисовать пленки, распределение пропускания которых описывается формулой (1), где 1 ( x, y ), 2 ( x, y ) фазы интерферирующих волн, то их наложение воспроизведет интерференционную картину, описываемую функцией Эта функция качественно совпадает с формулой (2). Таким образом, чтобы «угадать»

моделируемую интерференционную схему, необходимо определить какой волне соответствует пропускание соответствующих пленок.

Фаза изменяется с координатой по линейному закону для плоской волны, падающей под некоторым (обычно малым) углом на плоский экран. Поэтому наложение двух изображений с параллельными штрихами моделирует интерференцию двух плоских волн, падающих на экран под малыми углами. В этом случае возникает система параллельных интерференционных полос, расстояние между которыми уменьшается при увеличении угла между падающими волнами. Эта аналогия позволяет легко получить формулу (4), приведенную в условии.

При наложении пленки и листа с параллельными штрихами возникают параллельные полосы муара, ширина которых уменьшается при увеличении угла между штрихами.

Очевидная линеаризация зависимости расстояния между полосами от угла, соответствующая формуле (4) подтверждает ее справедливость и позволяет определить период штрихов на пленке сначала на листе №1, а затем на листе №2.

Распределению фаз, описываемому формулой (3), соответствует сферическая волна, падающая на плоский экран, то есть волна от точечного источника. Поэтому наложение двух систем колец Ньютона моделирует интерференцию волн, испущенных двумя точечными источниками, то есть схему Юнга. На основании формул (2) и (3) можно показать, что при сдвиге двух систем колец на расстояние, возникают прямые равноотстоящие полосы муара, расстояние между которыми описывается формулой Ширина полос оказывается обратно пропорциональной величине сдвига.

График зависимости ширины полосы муара x от величины обратной сдвигу оказывается линейным и позволяет определить требуемый параметр D0.

Интересное дополнение.

Хорошо известно, что в результате интерференции плоской и сферической волн возникает интерференционная картина, описываема кольцами Ньютона. Наложить пленку с прямыми штрихами (плоская волна) на лист с кольцевыми штрихами (сферическая волна), то появляются полосы муара, иллюстрирующие этот эффект – наша теория полос муара похожа на правду!

Задача 60. «Интерференция, дифракция, или…»

Задание 0. Длина волны излучения лазерной указки приведена на ее этикетке.

Задание 1. Без этого упражнения трудно обойтись, потому что значение фокусного расстояния понадобится в дальнейшем.

Задание 2. Обычная задача геометрической оптики – расходящийся пучок падает на собирающую линзу, собирается в фокусе и затем расходится. Диаметр пучка линейно зависит от расстояния до линзы. Теоретически легко получить формулу этой зависимости с учетом угла расходимости исходного пучка, а экспериментально ее измерить практически невозможно, уж больно она мала, неизбежные погрешности измерений практически полностью ее покрывают.

Задание 3. Кто из участников олимпиады не изучал дифракционную решетку? Кусочек диска таковой и является, только отражательной!

Задание 4. Действительно картинка получается очень занимательной – шесть ярких пятен, соединенных тонкими полосками света, настоящий кабалистический знак - звезда Давида! Но этот рисунок получается, если фликер осветить с обратной стороны, в обычном положении свет полностью отражается в обратном направлении. Такая картина легко объяснима, если предположить, что отражающими элементами является система уголковых отражателей – треугольных призм.

Поэтому возникновение таких изображений есть следствие преломления света.

Если же удалить экран на большее расстояние, то можно заметить, что каждое пятно пересечено темными полосами, а это есть результат интерференции лучей преломленных в одном направлении разными призмами. Изменение периода этих интерференционных полос позволяет рассчитать период структуры фликера, например с помощью формулы дифракционной решетки.

1. Без комментариев!

2. Для измерения среднего показателя преломления проще всего измерить расстояние d от задней поверхности пробирки до экрана, на котором фокусируются лучи.

Рассмотрение хода луча в параксиальном приближении приводит к формуле из которой легко определить n.

Отметим, что использование формулы тонкой линзы в данном случае не допустимо, пробирка с водой таковой не является!

3. Радуга образуется лучами, испытавшими два преломления на поверхности пробирки и одно отражение от внутренней поверхности. Важно отметить, что резкий блик возможен только из-за наличия максимума в зависимости угла отклонения этого луча от точки попадания луча на поверхность пробирки.

Экспериментальное доказательство – перекрыть дальнюю половинку пробирки и радуга исчезает.

Численное значение угла 42°.

Зная среднее значение показателя преломления формула, приведенная в условии, принимает вид Угол измеряется легко. Необходимо расположить линейку перпендикулярно найденному направлению на блик на известном расстоянии от пробирки. В наших измерениях это расстояние равнялось L = 520 мм. Если смещение блика на линейке равно x, то изменение угла, очевидно равно =. Таким образом, формула для расчета изменения показателя преломления имеет вид 4. При изменении цвета блика от темно красного, до синего (виден плохо, сразу за зеленым) смещение блика оказалось равным примерно 15 мм, что соответствует изменению показателя преломления на n = 1,1 10 2 (что, кстати, примерно совпадает с табличными данными).

5. При добавлении геля в воду блик монотонно смещается в пределах до примерно x = 25 30 мм. Следовательно, показатель преломления возрастает на величину порядка Задача 62. «Лучше быть рассеянным, чем отраженным! »

При правильной юстировке, когда белый свет проходит строго параллельно оси трубки, можно любоваться замечательным зрелищем. Цвет раствора плавно изменяется от голубого до почти красного. Объяснение этого феномена основывается на характеристиках рассеяния света (сбоку мы и наблюдаем рассеянный свет) – интенсивность рассеянного света обратно пропорциональна четвертой степени длины волны. Такая зависимость носит название закона Релея. Поэтому коротковолновое излучение (фиолетовое, синее, голубое) рассеивается на малом расстоянии от источника, более длинноволновое излучение (желтое, оранжевое, красное) проходит на большее расстояние. Это же явления рассеяния объясняет голубой цвет неба (рассеянный свет) и красный цвет Солнца на закате (прошедший свет из которого убраны цвета малых длин волн).

Таким образом, показатель рассеяния в формуле (1) зависит от длины волны (от цвета). Для монохроматического излучения данная зависимость выполняется достаточно хорошо, что подтверждается прямолинейностью графика в логарифмическом масштабе (для примера приведены полученные зависимости для зеленого света.

Для белого света зависимость интенсивности рассеянного света от пройденного расстояния не является экспоненциальной!

Объяснение этого факта математическое – сумма экспонент – экспонентой не является!

Для теоретического описания полученной зависимости помимо закона рассеяния необходимо знать спектр излучения лампы и спектральную чувствительность фотоприемника. Расчет этой зависимости не входит в перечень заданий, достаточно не получить экспоненциальную зависимость.

Задача 63. «Почти ядерная физика»

Выполнение данного задания требует проведения большого числа измерений в каждом пункте, так как велик статистический разброс начальных скоростей шашек, существенное влияние также оказывает прицельный параметр, существенно влияющий на углы рассеяния.

1. При движении шашки по горизонтальной поверхности на нее действует постоянная по модулю сила трения скольжения Fтр. = µmg, всегда направленная противоположно скорости. Поэтому работа силы трения равна произведению силы на пройденный путь Aтр. = µmgS. Работа силы трения на всем пути до остановки по модулю равна начальной кинетической энергии E k =. Так как сила тяжести и коэффициент трения остаются постоянными, то пройденный до остановки путь пропорционален начальной энергии шашки 2. Для того чтобы уменьшить разброс начальных энергий шашки после удара цилиндра необходимо, прежде всего, точно задавать начальный угол отклонения нити. В наших экспериментах подвешенный груз «стартовал» от упора, в качестве которого использовалась ножка стула (свои эксперименты мы проводили на полу). Во всех измерениях длина нити подвеса оставалась неизменной и равной L = 72 см. Рассчитывать погрешность этой величины нет смысла, так как она заведомо меньше погрешностей других измеряемых флуктуирующих величин (например «длины свободного пробега»).

После довольно продолжительных тренировок нам удалось достичь следующих результатов по стабилизации параметров удара.

Полученные значения дальности (в см) в серии из 17 измерений:

49, 49, 50, 53, 52, 50, 48, 50, 51, 51, 52, 52, 53, 54, 55, 51, 54.

Относительная флуктуация = 4%.

3. При начальном отклонении маятника на угол его скорость в нижней точке может быть найдена по формуле, которая следует из закона сохранения энергии:

Легко показать, что при лобовом столкновении малого тела с гораздо более тяжелым, скорость малого тела изменяет знак на противоположный и увеличивается по модулю на величину 2V0. (для доказательства этого утверждения достаточно перейти в систему отсчета, связанную с массивным телом). Таким образом, при абсолютно упругом ударе цилиндра о шашку последняя приобретет скорость v0 = 2 2 gl (1 cos ). Согласно ранее доказанному, путь, пройденный до остановки, пропорционален квадрату скорости, следовательно, на основании формул (1) и (3) получим Для проверки этого соотношения достаточно построить зависимость пройденного пути S от величины (1 cos ) Нами использовалась методика выполнения этого задания. Изменялось и измерялось расстояние x от нижней точки маятника до стартового упора.

При известной величине длины подвеса вычислить косинус труда не представляет.

Для каждого значения x проводилось 10 измерений длины пути, причем «засчитывались» только центральные удары. По этим данным рассчитаны средние значения S и построен необходимый график. В результате проделанной работы оказалось, что построенная зависимость является линейной, что подтверждает справедливость проведенных рассуждений. (Таблица 1, график 1). Средние занчения рассчитаны по 10 результатам измерений.

Таблица 1.

4. Как следует из формулы (3), коэффициент наклона (обозначим его A ) этого графика равен. Определив этот коэффициент, можно найти и значения коэффициента трения µ=. По нашим экспериментальным данным получены следующие результаты (по МНК): A = (360 ± 21) см, и коэффициент трения Мы получили явно завышенное значение коэффициента трения, основная причина этого неупругость удара.

5. При нецентральном упругом ударе тяжелого тела о более легкое скорость последнего определяется формулой, которая следует из законов сохранения энергии и импульса все обозначения остались прежними.

Для экспериментальной проверки этого уравнения представим его в виде v0 = 4V02 cos 2, так как квадрат скорости пропорционален пути до остановки, то достаточно проверить линейности зависимости После каждого удара на бумаге мы определяли положение шайбы после a, b (смещения шайбы вдоль и поперек вектора скорости «ударника»), знание этих величин достаточно, для проверки зависимости (7). Так пройденный путь и квадрат косинуса определяются соотношениями Результаты измерения представлены в следующей на графике. Как видно разброс данных в данном эксперименте значителен, однако, четко видна тенденция увеличения пройденного пути с ростом косинуса угла.

6. – 7. Для исследования столкновения шашек мы использовали следующую схему эксперимента.

Первая шашка располагалась на прежнем месте под «ударником», а вторая на ее пути, на расстоянии h (в наших экспериментах h = 16cм ). После столкновения шашек измерялись отклонения шашек a1,b1, a 2,b2. При центральном ударе первая шашка останавливалась практически на месте второй, а вторая смещалась на некоторое расстояние S1. По результатам таких экспериментов, возможно, определить коэффициент потерь механической энергии где S 0 h средняя «энергия» шашек до удара, S1 - после удара. В результате наших экспериментов получено следующее значение коэффициента потерь Как следует из полученного результата, коэффициент потерь достаточно высок. Еще большее значение имеет этот коэффициент при столкновении с металлическим цилиндром, что подтверждает наш вывод о завышенном значении коэффициента трения.

При исследовании зависимости скорости шашки после удара от угла отклонения можно использовать значения углов и пройденных путей для обеих шашек, так как распределения скоростей для ударяющей и покоящейся шашек одинаковы. Нами проведены измерения для 25 ударов. Результаты обработки представлены на графике.

Делать какие-либо обоснованные выводы из этих данных затруднительно, как это часто и бывает в серьезных научных экспериментах.

качестве такового выбрана задача олимпиады 2007 года, которая состоялась в иранском городе Исфахане. Мы приводим полный текст условия (без описания оборудования и листов ответов) и авторское решение задачи с подробными комментариями.

Попытайтесь сравнить ее стиль с рассмотренными ранее заданиями.

Определение энергии запрещенной зоны тонкой I. Введение Полупроводниками называют материалы, электрические свойства которых находятся между электрическими свойствами проводников и диэлектриков. Для изучения электрических свойств полупроводников рассмотрим хорошо известное явление фотоэффекта Фотоэффект — явление испускания электронов с поверхности материала под действием падающего на его поверхность электромагнитного излучения (фотонов). Фотоэффект имеет место только в случае, если энергия падающего излучения (фотонов) превышает работу выхода электрона (работа выхода — минимально необходимая энергия для испускания электрона с поверхности материала). Таким образом, явление фотоэффекта могут вызвать только те падающие на материал фотоны, энергия h которых больше чем работа выхода электрона ( h — постоянная Планка, — частота).

Рисунок 1. Иллюстрация испускания фотоэлектронов с поверхности металлической пластины.

В действительности понятие о работе выхода в фотоэлектрическом процессе аналогично понятию об энергетической ширине запрещенной зоны полупроводникового материала. В физике твердого тела ширина запрещенной зоны E g определяется разницей энергий между верхней границей валентной зоны и нижней границей зоны проводимости. В случае, когда валентная зона полупроводника полностью заполнена электронами, а его зона проводимости пуста, электроны могут переходить из валентной зоны в зону проводимости при условии получения энергии, величина которой не меньше, чем ширина запрещенной зоны. Таким образом, проводимость полупроводника сильно зависит от ширины его запрещенной зоны.

Так называемый процесс инжиниринга запрещенной зоны материала есть процесс изменения и контроля ширины запрещенной зоны материала путем создания (композиции) определенных полупроводниковых сплавов. На сегоднящний день показано, что изменение наноструктуры полупроводника позволяет управлять шириной его запрещенной зоны.

Незаполненная зона В эксперименте, который Вам предстоит провести, необходимо, используя оптическкие методы, определить ширину запрещенной зоны полупроводниковой тонкой пленки содержащей в себе цепочки наночастиц оксида железа ( Fe2O3 ). Для измерения ширины запрещенной зоны нужно, используя оптический спектр пропускания, изучить свойства оптического поглощения прозрачной пленки. Спектр поглощения испытывает резкое возрастание, если энергия падающего фотона равна ширине запрещенной зоны.

II. Экспериментальное оборудование Вам предоставлено следующее оборудование, находящееся на Вашем рабочем столе:

1. Большой белый ящик, содержащий спектрометр и галогеновую лампу.

2. Маленький ящик, содержащий образец, стекляную подложку, держатель образца, решетку и фоторезистор.

3. Мультиметр 4. Калькулятор 5. Линейка 6. Бумажная пластинка с отверстием в центре 7. Набор белой самоклеящейся бумаги Предоставленный спектрометр содержит гониометр, точность измерения которого 5. Галогеновая лампа установлена на неподвижном плече (тубусе) спектрометра и служит источником излучения (более подробная информация предоставлена в описании аппаратуры) Маленький ящик содержит:

1. Держатель образца с двумя окнами, в одном из которых расположена стеклянная подложка, покрытая пленкой Fe2O3, а во втором — непокрытая стеклянная подложка.

2. Фоторезистор, закрепленный с помощью держателя, служит в качестве фотоприемника.

3. Прозрачная дифракционная решетка (600 линий/мм) Схема экспериментальной установки изображена на рис. Рисунок 3: Схема экспериментальной установки III. Теоретическое описание методов измерения.

Чтобы найти коэффициент пропускания пленки для каждой длины волны, T film ( ), используют следующую формулу:

где I film и I glass интенсивности света, проходящего через стеклянную подложку, покрытую пленкой и света, проходящего через непокрытую стеклянную подложку, соответственно. Величина I может быть измерена при помощи фоторезистора, используемого в качестве фотоприемника. В фоторезисторе электрическое сопротивление уменьшается при увеличении интенсивности падающего света. Величина I может быть определена на основании следующего соотношения:

где R — электрическое сопротивление фоторезистора, C ( ) — зависящий от длины волны света коэффициент. Прозрачная дифракционная решетка спектрометра отклоняет свет различных длин волн на различные углы. Поэтому для исследования зависимости T от длины волны достаточно изменять угол фоторезистора ( ) относительно оптической оси (соответствующей направлению падающего на решетку светового пучка), как указано на рисунке 4. Из уравнения дифракционной решетки:

можно определить угол, соответствующий определенной длине волны, n — целое число, обозначающее порядок дифракции. В данном соотношении d — период решетки, а 0 — угол между вектором, перпендикулярным к поверхности решетки, и оптической осью (смотри рис.4). (Эксперимент предусматривает необходимость размещения решетки перпендикулярно к оптической оси, но поскольку желаемая точность размещения недостижима, то связанные с этим ошибки будут определяться при выпонении задания 1e).

решетка Экспериментально показано, что в случае, если энергия фотона немного больше чем энергия запрещенной зоны, справедливо следующее отношение:

где — коэффициент поглощения пленки, A — константа, зависящая от материала пленки, — константа, которая определяется механизмом поглощения материала пленки и ее структурой. Пропускание описывается известным соотношением, содержащим величину где t — толщина пленки.

0. Вашей установке и контейнеру с образцом (маленькая коробка, содержащая образец с держателем) присвоен номер. Запишите номер вашей установки и номер образца в соответствующие графы листа для ответов.

1. Настройки и измерения:

Первый этап:

Прежде чем начать эксперимент, включите галогеновую лампу для её прогрева. Во время эксперимента лампу лучше не выключать. Не прикасайтесь лампе, поскольку во время эксперимента она сильно разогревается.

Отодвиньте лампу на максимальное расстояние от линзы. Это позволит вам получить параллельный пучок света.

Грубо (не используя фоторезистор) выставьте ноль гониометра.

Освободите фиксатор подвижного тубуса (18) и на глаз установите подвижный тубус вдоль оптической оси. Закрепите подвижный тубус винтом (18).

Освободите нониус с помощью фиксатора (9) и вращением столика установите шкалу нониуса на ноль. Жестко закрепите нониус винтом (9) и винтом тонкой настройки нониуса установите его на ноль. Вставьте дифракционную решетку в держатель, поместите его на столик гониометра и поворачивайте его так, чтобы решетка оказалась примерно перпендикулярено к оптической оси системы.

Далее поместите картонную пластинку с отверстием перед источником света так, чтобы пучок света попадал на решетку. Осторожно поворачивайте решетку до тех пор, пока отраженный от неё пучок не совпадет с падающим. Закрепите столик с помощью фиксирующего винта (12).

Измерив расстояние между картонной пластинкой с отверстием и решеткой, оцените точность этой регулировки Поворачивая подвижный тубус гониометра, определите диапазон углов, в котором наблюдается первый порядок дифракции света (от синего до красного).

Второй этап:

Теперь, закрепите фоторезистор на конце подвижного тубуса. Для юстировки системы с использованием фоторезистора, освободите винт (18) и слегка поворачивая подвижный тубус, добейтесь того, чтобы сопротивление фоторезистора стало минимальным. Для повышения точности юстировки жестко закрепите винт (18) и используйте винт тонкой настройки вращающегося тубуса.

С помощью винта тонкой регулировки нониуса установите его на ноль.

Запишите в отчет минимальное значение ( Rmin ) измеренного 0. сопротивления.

После настройки системы на минимум сопротивления, оцените точность ( o ) и запишите результат в листе ответов. 0. Замечание: o ошибка, связанная с невозможностью точного балла определения минимума сопротивления фоторезистора.

Указание: После выполнения этого задания зафиксируйте винты нониуса и держателя фоторезистора и не трогайте их в дальнейшем.

Третий этап:

Поверните вращающийся тубус в область дифракции первого порядка.

Найдите угол, при котором сопротивление фоторезистора станет минимальным (что соответствует максимальной интенсивности света). Вы можете с помощью регулировочных винтов слегка изменять наклон столика (на котором закреплена решетка), так чтобы получить еще меньшее сопротивление фоторезистора.

Запишите в соответствующую графу отчета полученное 0. минимальное значение сопротивления ( Rmin ).

Теперь необходимо снова проверить перпендикулярность решетки для регулировки нуля прибора. Для этого вы должны использовать метод совпадения отраженного пучка с падающим (примененный вами в первом опыте).

Внимание: с этого момента проводите эксперимент в темноте (закрывайте крышку ящика при каждом измерении).

Измерения: До начала измерений осмотрите полупроводниковую плёнку (образец) и убедитесь в её целостности. Закрепите держатель с образцом на подвижном тубусе гониометра. Поверните держатель образца так, чтобы образец оказался перед входным отверстием S1 тубуса с фотоприемником, и позаботьтесь, чтобы равномерно покрытая часть образца прикрывала отверстие.

Для уверенности, что вы каждый раз имеете дело с одной и той же частью образца, воспользуйтесь белыми наклейками. Закрепите их на держателе и подвижном тубусе и поставьте на них метки.

Внимание. При измерении больших сопротивлений необходимо давать фоторезистору время отрелаксировать. Для этого перед каждым снятием отсчета необходимо делать паузу в 3 – 4 минуты.

Измерьте сопротивления фоторезистора для стеклянной подложки без покрытия, а так же для стекленной подложки, покрытой полупроводниковым слоем как функции угла (угол измеряется с помощью гониометра между оптической 2. осью и направлением на фоторезистор). Заполните таблицу 1d.

Вам необходимо не менее 20 точек в интервале, найденном вами в пункте 1b. Правильно выбирайте пределы измерений • Оцените погрешность измерения каждой точки. Ваш ответ должен базироваться только на прямых показаниях Четвертый этап.

Проведенная вами юстировка не является абсолютно точной, потому что невозможно абсолютно точно совместить оптическую ось с направлением на фоторезистор или уставить решетку строго перпендикулярно к оптической оси.

Поэтому следует определить асимметрию излучения, дифрагированного на решетке, проводя измерение при отклонении подвижного тубуса в обе стороны от оптической оси (эта асимметрия возникает из-за отклонения нормали к поверхности решетки от оптической оси( o )).

Для определения этой асимметрии необходимо:

1-f Занесите полученные результаты в таблицу 1e.

Постройте график зависимости T film от угла и проведите С помощью этой кривой найдите угол, при котором функция T film имеет разность данного угла с углом = +20°. Другими словами:

Впишите значение в соответствующую таблицу.

Для первого порядка дифракции уравнение (3) можно привести к виду:

где - угол отсчитанный по шкале гониометра.

2. Обработка результатов • Используя уравнение (7), выразите погрешность через (2) и (5) для того, чтобы выразить T film через R и R.

Запишите погрешность для области дифракции • На основании измеренных параметров в части 1, заполните таблицу 2с для каждого угла. Внимание: длину волны вычисляйте при помощи уравнения (7).

• На одной диаграмме постройте графики зависимостей Rglass и R 1 от длины волны. Обратите внимание на то, что из уравнения (2) и вида зависимостей Rglass и R можно качественно представить вид зависимостей I glass 3. Анализ данных Подставив = 1 2 и A = 0.071 ((эВ) /нм) в уравнение (4), можно найти значения E g и t (в единицах эВ и нм, соответственно). Это удобно сделать, построив график в подходящих координатах x y, и выбрав область в которой уравнение (4) выполняется.

в части 1, заполните таблицу 3а для длин волн в окрестности 530 нм и выше. Запишите ваши результаты (x и y) с нужным числом значащих цифр, основываясь на 3-a оценке погрешности только в одной точке.

Обратите внимание на то, что энергию h следует вычислять в эВ, а длину волны в нм. Единицы измерения всех переменных в таблице должны быть записаны в скобках в верхней строке таблицы.

• Постройте график зависимости y от x.

• Проведите прямую через экспериментальные точки в той 3-b Определите область, где выполняется уравнение (4), балла координаты х для точек, через которые вы провели прямую • Обозначим коэффициент наклона проведенной прямой линии символом m. Найдите выражение для толщины Описание оборудования для экономии места мы опустим (это еще 7 страниц), ограничимся фотографией и описанием основного использованного прибора.

Вид прибора сверху показан на рис.2. Основные детали прибора пронумерованы.

Рис.2 Вид прибора сверху.

1. Сетевой шнур.

4. Неподвижный тубус гониометра образца и стекла (показан 9. Фиксатор нониусной шкалы 19. Винт точной регулировки 11. Вращающийся столик для 21. Крепежный винт детектора.

установления горизонтального 24. Крепежный винты станины уровня верхного стола решетки ( гониометра.

показаны отдельно на рисунке 4).

Решение заданий экспериментального тура.

Введение.

Первый взгляд на толщину стопки листов с условием задания экспериментального тура может привести в шоковое состояние. Еще больший ужас вызывает беглое знакомство с содержанием этой стопки: внутренний фотоэффект, зонная теория полупроводников, наночастицы, спектр поглощения, два ящика малознакомых приборов и т.д. Но не выбрасывать же сразу белый флаг!

Не стоит хвататься сразу за детали оборудования и пытаться собрать мозаику без плана, без идеи, без понимания цели.

Поэтому, повторим основную рекомендацию:

Лучше играть по плохому плану, чем вообще без плана!

Единственной альтернативой плохого плана, может служить только хороший план, основанной на понимании целей и методов исследования.

Поэтому еще раз обратимся к условию, для того, чтобы четко уяснить смысл предложенного задания, понять каждый (или почти каждый) шаг работы, описанный в условии.

Так в данном случае основная цель указана в самом названии работы:

определить ширину запрещенной зоны полупроводника. Для тех, кто не знает, что это такое, следует внимательно прочитать Введение. В нем упоминается фотоэффект, который хорошо знаком по школьному курсу физики: выбивание электронов из поверхности под действием света. Фотоэффект характеризуется наличием красной границы – минимальной энергии фотона, необходимой для того, чтобы выбить электрон с поверхности. Однако оказывается, что в данном случае электроны не вылетают из полупроводниковой пленки, а переходят из валентной в зону проводимости. К каким наблюдаемым эффектам могут привести такие переходы? Очевидно, что должна возрастать электрическая проводимость пленки. Но в данном случае не о каких электрических измерениях речи не идет – задача оптическая. Поэтому надо искать оптические характеристики, в которых проявляются переходы из одной зоны в другую.

Понятно, что электроны в зоне проводимости обладают большей энергией, чем в валентной зоне – единственным источником этой дополнительной энергии может служить энергия света. Следовательно, переходы электронов возможны только при поглощении света. Хорошо известно, что в любой системе поглощение света приводит к переходу электрона из одного стационарного состояния в другое. Если эти стационарные состояния дискретны, как в отдельных атомах, то спектр поглощения состоит из отдельных тонких линий. В данном же случае энергетические состояния сливаются в широкие полосы, зоны. Поэтому возможны переходы из любого состояния в валентной зоне в любое состояние в зоне проводимости1, то есть спектр поглощения должен быть сплошным. Но чтобы попасть в зону проводимости электрон должен преодолеть Переходы внутри валентной зоны невозможны, потому что все состояния в ней заполнены, а переход в занятое состояние запрещает принцип Паули. Переходы в зоне проводимости возможны, однако они маловероятны, потому что электронов в этой зоне крайне мало, а попавшие туда электроны быстро ее покидают, возвращаясь в более низкие состояния валентной зоны.

запрещенную зону. Минимальная энергия, которая необходима для этого и есть искомая энергетическая ширина запрещенной зоны E g. Поэтому существует минимальная энергия кванта света, который может перевести электрон в зону проводимости E g, который, следовательно, может поглотиться2. Итак, если фотоны имеют энергию, меньшую ширины запрещенной зоны, то они не поглощаются, те же фотоны обладают энергией большей ширины запрещенной зоны, то они поглощаются. Таким образом, спектр поглощения должен представлять собой ступеньку: до искомой энергии E g - нуль, после нее единица. Поэтому для определения ширины запрещенной зоны можно измерить спектр поглощения и определить значение энергии фотона (можно измерить и длину волны – рассчитать затем энергию фотона легко), при которой полупроводниковая пленка начинает поглощать. Очень просто. Но это результат для теоретиков, реально никогда в эксперименте резкого скачка не получишь, скорее всего, получится какой-то плавный переход, по которому можно будет определить требуемую величину.

Запомним: даже без обработки можно будет примерно оценить ширину зоны по спектру поглощения – энергия фотона, соответствующая резкому возрастанию поглощения3.

Теперь разберемся, как же авторы рекомендуют провести обработку спектра для более точного определения энергии E g. Основой для решения этой задачи является эмпирическая формула (4), в которую входят экспериментально измеряемые величины: частота (выразим через длину волны) и коэффициент поглощения, который выражается через непосредственно измеряемое значение пропускание T с помощью формулы (5). Дальнейший путь известен – нужно будет каким-то образом линеаризовать зависимость (4) и по этой параметрам этой линейной зависимости можно будет найти то, что требуется.

Подведем итог теоретического описания: нужно измерить зависимость коэффициента поглощения от длины волны падающего света.

Теперь разберемся, как провести эти измерения. Для изменения и измерения длины волны у нас имеется гониометр, позволяющий измерять углы с высокой точностью, поэтому и настраивать его (то есть юстировать) нужно будет очень тщательно – причем сначала с помощью лучшего оптического прибора – собственного глаза. Процедура настройки описана очень подробно (вся первая часть набора заданий целых четыре этапа) – с ней лучше разбираться непосредственно с прибором. Кстати и баллы за это дают!

Осталось уяснить, как измерять коэффициент поглощения. В качестве приемника используется фоторезистор, сопротивление которого обратно пропорционально интенсивности падающего света – формула (2).

Сопротивление резистора измеряется с помощью мультиметра, то есть напрямую. Но в этой формуле стоить неизвестный, да еще зависящий от длины волны коэффициент. Кроме того, источник света, галогеновая лампа, дает излучение, интенсивность которого также зависит от длины волны. Поэтому прямо измерять пропускание невозможно. Как и следовало ожидать – измерения относительные, как подсказывает формула (1) – отношение Эта минимальная энергия является полным аналогом знакомой красной границы фотоэффекта.

Даже без приборов ее можно очень грубо оценить «на глаз»: пленка на просвет имеет желтокоричневый свет, значит, она поглощает в сине-фиолетовой области. Поэтому искомая граница должна лежать где-то в зеленой области в диапазоне 500-600 нм.

интенсивности света, прошедшего через пленку, к интенсивности света, прошедшего через стеклянную подложку. При этом неизвестный коэффициент чувствительности фоторезистора и неизвестная интенсивность падающего света сократится.

Можно подвести итог и обсуждения методики измерений:

- изменяя угол поворота подвижной трубы гониометра, изменяем длину волны света, проходящего через образцы (пластинку с пленкой и чистую) и попадающего на фотоприемник;

- измеряем угол поворота трубы, и по этому углу с помощью формулы (7) рассчитываем длину волны; какой-то угол нужно будет определить заранее, в ходе юстировки;

- для каждой длины волны на пути света выставляем один раз пластинку с пленкой, второй раз чистую пластинку, в обоих случаях измеряем сопротивление фоторезистора (удручает указание – фоторезистор инерционен, необходимо выжидать 3-4 минуты) Таким способом необходимо получить основную таблицу измерений 1d:

угол, два значения сопротивления. Но там еще и погрешности – разберемся по ходу измерений. Это действительно основные измерения – не случайно за эту таблицу дают целых 3 балла.

Далее обработка результатов измерений – она подробно изложена в частях 2 и 3 раздела Задания.

Выполнение работы и результаты4.

1a. Погрешность измерения углов поворота прямо указана в условии, только читать надо внимательно - 5. Можно перевести и в градусы: = 5 =0.08.

1b. Трудно описывать процесс оптической юстировки без прибора, поэтому ограничимся только краткими комментариями к условию. Юстировка традиционно начинается от источника: лампочка вставлена и зажжена, располагаем ее за линзой так, чтобы получить параллельный пучок света. Это пучок падает на пластинку с дифракционной решеткой. Решетка должна быть перпендикулярна падающему потоку. Для этого удобно использовать метод отраженного луча: луч отраженный должен совпадать с лучом падающим.

Именно такой метод и предлагается в данном задании. Оптическая схема этого метода юстировки показана на рис. 1.

Как следует из рисунка, малый угол 0 может быть рассчитан по формуле Так как смещение отраженного луча погрешность установки угла может быть рассчитана по формуле Здесь мы основываемся на результатах, представленных авторами задач.

В качестве r можно взять радиус пучка, расстояние до решетки легко измеримо. Расчет приводит к результату:

Диапазон изменения угла поворота подвижного тубуса гониометра лучше определить на глаз, заглядывая в трубу. При этом можно и подрегулировать трубу так, чтобы яркость луча была максимальна. По результатам авторов области первого порядка дифракции5 соответствует диапазон углов 13 26.

Это чрезвычайно важный результат для дальнейшего: именно в этом диапазоне следует проводить все дальнейшие измерения, поэтому необходимо убедиться в его правильности, по меньшей мере, дважды.

1c. Теперь окончательно заменяем глаз на фоторезистор – тоже очень важная операция (хотя ее стоимость в баллах мала), от ее тщательного выполнения зависит возможность дальнейших основных измерений. Поэтому здесь следовало также немного повозиться, чтобы добиться минимально возможного значения сопротивления резистора. У авторов это значение оказалось равным После того, как было найдено это положение, следовало зафиксировать нуль шкалы измерения углов.

Следующий вопрос сложный, но не слишком принципиальный: малый поворот тубуса не приводит к заметному изменению сопротивления (так световой луч и фоторезистор имеют конечные размеры). Нужно было повернуть тубус (с помощью винта) в одну-другую сторону и оценить в каком диапазоне углов сопротивление фоторезистора не изменяется. В оригинале получено значение 0 = 5 = 0,08°, что лежит в пределах погрешности измерения углов.

Поворачиваем тубус в область измерения (первый порядок дифракции) и определяем минимальное значение сопротивления в этой области. Это действие необходимо, чтобы правильно выбрать диапазон измерения сопротивления и иметь представление о численных значениях дальнейших основных результатов. Понятно, что полученное значение должно быть раз в десять больше, чем в нулевом максимуме. Авторами получено значение Выполнена подготовительная работа. От ее тщательности зависит успех дальнейших измерений, поэтому можно не пожалеть и часа рабочего времени.

При наличии одной минуты этот диапазон можно проверить и теоретически – с помощью формулы дифракционной решетки.

1.d Результаты измерений.

Обратим внимание, что сначала измерения проводились с интервалом в полградуса, а затем в центральной области густота точек увеличена в два раза.

1.e Изначально не совсем понятный пункт. Речь идет о поправке к измерению углов, в очередной (и последний раз) необходимо уточнить положение нормали к решетке. Идея определения этой поправки заключается в использовании дифракции, как первого, так и минус первого порядка. При идеальной установке решетки значения интенсивности света должны быть одинаковы при отклонении на углы + и. Если решетка установлена не строго перпендикулярно, то измерение углов (по разные стороны от оптической оси), при которых интенсивности света одинаковы, позволяет найти необходимую поправку6 для определения длины волны света по формуле (7).

Доказательство этого метода – небольшое тригонометрическое упражнение, основанное на исходной формуле(3), можете провести самостоятельно.

Для более точного определения угла, при котором пропускание пленки такое же, как и при угле 20°, предлагается провести несколько измерений вблизи значения + 20°, и аппроксимировать полученную зависимость.

Эксперимент дал следующие значения пропускания пленки.

погрешность отсчета гониометра.

2-a. Длина волны теперь должна рассчитываться по формуле (7), из нее следует, что погрешность ее определения должна рассчитываться по формуле Полагая 5 1,5 10 3, d = мм 1,7 10 7 м, получим формулу для оценки погрешности длины волны 2,5 cos (нм ).

Величина пропускания рассчитывается по формуле Поэтому ее погрешность оценивается по формуле 2-b. Для углов в нужном диапазоне 13° 26° погрешность определения длины волны лежит в диапазоне = (2,4 2,2)нм.

2-с. Для заполнения таблицы 2.с необходимо использовать формулы Результаты расчетов представлены в таблице.

2-d. Графики зависимости величин обратных сопротивлению фоторезистора от длины волны показаны на следующем рисунке.

неизвестного множителя представляют интенсивности света, падающего на фотоприемник.

Значения длин волн, при которых данные интенсивности максимальны равны:

2-e. График зависимости пропускания полупроводниковой пленки от длины волны.

Как и следовало ожидать, мы получили достаточно плавную кривую перехода от слабого к сильному поглощению.

Действительно, определить по нему пороговое значение не возможно, но диапазон, в котором лежит это значение, угадан правильно.

В этом пункте явно подсказано, как линеаризовать приведенную 3-a.

зависимость Так как = (почему-то это значение приведено не после формулы (4), а только в разделе заданий), то соотношение (4) необходимо умножить на t возвести в квадрат Наконец, проведем необходимый переход к указанным координатам:

здесь (нм ) - длина волны в нанометрах;

Результаты расчетов по этим формулам приведены в таблице:

3-b. График, построенный по этим данным, позволяет четко выделить линейный участок в области x min = 2.24 (эВ), x max = 2.68 (эВ) 3-с. Запишем уравнение линейного участка функции (5) в виде здесь Параметры этой линейной зависимости и их погрешности можно найти методом наименьших квадратов (или по графику). По приведенным данным эти параметры оказываются равными (по МНК) Из формул (9) следует, что искомые параметры пленки рассчитываются по формулам:

Погрешности этих величин оцениваются по формулам:

3-d. Таким образом, получаем окончательный результат:

Заключительные замечания по заданию экспериментального тура.

1. Прежде всего, отметим тщательную и добросовестную разработку задания.

Организаторы олимпиады затратили на ее два года, это задание было выбрано из 22 предложенных. Экспериментальное оборудование было специально заказано одной из иранских фирм. Была разработана специальная процедура тестирования, которое было проведено в ночь перед туром специально подобранной командой. Не случайным является Пункт 0 из заданий (жаль, что он не оценивался в баллах) – для каждого образца были проведены отдельные измерения с помощью более совершенного оборудования. Полученные значения толщины пленки и ширины запрещенной зоны (для каждого образца!) использовались при проверке работ участников (естественно, что они были сообщены и руководителям команд).

2. Главным достоинством задачи, по нашему мнению, высокая точность конечных результатов (погрешность порядка 1%), которая оправдывает жесткие требования к юстировке прибора. Подчеркнем, что эта процедура не слишком сложна, но требует аккуратности и определенных экспериментальных навыков.

3. Возможно, авторы задачи излишне увлеклись расчетом погрешностей7. Так, если оценка погрешности измерения длины волны может быть оправдана (она используется при правильной записи чисел в таблицах измерений), то формула для расчета погрешности пропускания далее нигде не используется.

Аналогично, нигде не используются погрешности измерения сопротивления фоторезистора, оценки погрешностей измерения углов. Единственное основание для этих расчетов – демонстрация того, что они не существенны для окончательных расчетов. Как оказалось, основной источник этой погрешности появляется при расчетах коэффициентов линеаризованной зависимости.

Поэтому вполне можно было ограничиться оценкой погрешностей измерений в какой-либо одной точке.

4. Конечно, выполнение работы в отведенное время затрудняет инерционность фоторезистора8, поэтому провести повторные измерения практически невозможно. С другой стороны, показания фоторезистора более стабильны, чем других фотоприемников.

5. В работе требовалось провести громадное число арифметических расчетов.

Участникам были подарены калькуляторы (без Excel’а) – но расчеты с их помощью напоминают игру виртуоза на пианино. Поэтому при подготовке школьников следует уделять внимание технике расчетов: прежде всего В начальном варианте требовалось рассчитывать погрешности отдельно для каждой экспериментальной точки.

Напомним: время одного измерения 3 минуты, поэтому минимальное время основных измерений (если строго следовать инструкции) – минимум 20 точек, в каждой из которой измерения – итого, 2 20 3 мин = 2 часа.

тщательную подготовку расчетных формул, приведение их к виду наиболее удобному для вычислений.

5. На первый взгляд, излишним является построение графиков 2-d (зависимость проводимости фоторезистора от длины волны) и 2-е (зависимость пропускания пленки от длины волны) – они носят иллюстративный характер и не используются в конечных расчетах. Однако именно они дают возможность наглядно представить физическую сущность проведенных измерений.

6. Наконец, задания излишне детализированы: некоторые подсказки можно было опустить – дать подумать самим участникам.

7. И это задание необходимо было выполнить всего за 5 часов! Поразительно, что нашлись участники, которые смогли это сделать. Приятно отметить, что среди них оказался и один из участников команды Беларуси!