«1.1.Требования ГОС по дисциплине и квалификационные требования Выпускник, получивший квалификацию учителя физики, должен быть готовым осуществлять обучение и воспитание обучающихся с учетом специфики преподаваемого ...»

Задача 10. Стрелок, имеющий 4 патрона, стреляет последовательно по двум мишеням, до поражения обеих мишеней или пока не израсходует все патрона. При попадании в первую мишень стрельба по ней прекращается, и стрелок начинает стрелять по второй мишени. Вероятность попадания при любом выстреле 0,8.

Построить*… отклонение числа поражённых мишеней.

Найти вероятность того, что будет поражена хотя бы одна мишень.

Задача 11. Из ящика, содержащего 4 годных и 3 бракованных детали, наугад извлекают 4 детали.

Построить*… отклонение числа вынутых годных деталей.

Найти вероятность того, что годных деталей будет:

а) менее трех;

б) хотя бы одна.

Задача 12. Имеется набор из четырех карточек, на каждой из которых написана одна из цифр 1, 2, 3, 4. Из набора наугад извлекают карточку, затем ее возвращают обратно, после чего наудачу извлекают вторую карточку.

Построить*… отклонение случайной величины, равной сумме чисел, написанных на вынутых карточках.

Найти вероятность того, что эта сумма:

а) не превзойдет числа 4;

б) будет не менее 6.

Задача 13. Три стрелка независимо друг от друга стреляют в цель. Вероятность попадания каждым стрелком в цель равна 0.6.

Построить*… отклонение числа попаданий, если каждый стрелок делает только один выстрел.

Найти вероятность того, что:

а) будет хотя бы одно попадание;

б) будет не более одного попадания.

Задача 14. Три стрелка независимо друг от друга стреляют каждый по своей мишени один раз. Вероятности попадания при одном выстреле у стрелков равны соответственно:

p1 0,3; p2 0,6; p3 0,7.

Построить*… отклонение числа пораженных мишеней.

Найти вероятность того, что пораженных мишеней будет:

а) хотя бы одна;

б) менее двух.

Задача 15. Опыт состоит из трех независимых подбрасываний одновременно трех монет, каждая из которых с одинаковой вероятностью падает гербом или цифрой вверх.

Построить*… отклонение числа одновременного выпадения двух гербов.

Найти вероятность того, что два герба одновременно выпадут хотя бы один раз.

Задача 16. На пути автомобиля 5 светофоров, каждый из них автомобиль проезжает с вероятностью 0,6.

Построить*… отклонение числа светофоров, которые автомобиль проезжает до первой остановки.

Найти вероятность того, что до первой остановки автомобиль проедет:

а) хотя бы один светофор;

б) более трех светофоров.

Задача 17. Из урны, в которой было 4 белых и 2 черных шара, переложен один шар в другую урну, в которой находилось черных шара и один белый. После перемешивания из последней урны вынимают 3 шара.

Построить*… отклонение числа черных шаров, вынутых из второй урны.

Найти вероятность того, что из нее будет извлечено:

а) по крайней мере, два черных шара;

б) не более двух черных шаров.

Задача 18. Стрелок стреляет по мишени до трех попаданий или до тех пор, пока не израсходует все патроны, после чего прекращает стрельбу. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6.

Построить*… отклонение числа выстрелов, произведенных стрелком, если у стрелка имеется 5 патронов.

Найти вероятность того, что стрелок произведет, по крайней мере, четыре выстрела.

Задача 19. Ракетная установка обстреливает две удаленные цели.

Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Цель при попадании в нее уничтожается. Запуск ракет прекращается после уничтожения обеих целей или после использования имеющихся пяти ракет.

Построить*… отклонение числа запущенных ракет.

Найти вероятность того, что при этом будет запущено:

а) не более трех ракет;

б) от двух до четырех ракет.

Задача 20. Три ракетные установки стреляют каждая по своей цели независимо друг от друга до первого попадания, затем прекращают стрельбу. Каждая ракетная установка имеет две ракеты. Вероятность попадания одной ракеты для первой установки – 0,4, для второй – 0,5, для третьей – 0,6.

Построить*… отклонение числа ракетных установок, у которых осталась неизрасходованная ракета.

Найти вероятность того, что будет хотя бы одна такая установка.

Задача 21. Батарея состоит из трех орудий. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9 для одного из орудий и 0,6 для каждого из двух других. Наугад выбирают два орудия, и каждое из них стреляет один раз.

Построить*… отклонение числа попаданий в мишень.

Найти вероятность:

а) хотя бы одного попадания в мишень;

б) хотя бы одного непопадания в мишень.

Задача 22. Группа состоит из пяти отличных, пяти хороших и десяти посредственных студентов. Вероятность правильного ответа на один вопрос экзаменационной программы равна 0,9 для отличного студента, 0,7 для хорошего студента и 0,6 для посредственного студента.

Построить*… отклонение числа правильных ответов на два вопроса наугад выбранного билета одним случайно выбранным студентом данной группы.

Найти вероятность того, что правильным будет ответ хотя бы на один вопрос.

Задача 23. С вероятностью попадания при одном выстреле 0, охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов.

Построить*… отклонение числа промахов.

Найти вероятность того, что промахов будет:

а) менее двух;

б) не менее трех.

Задача 24. Рабочий обслуживает 4 независимо работающих станка. Вероятность того, что в течение часа станок потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,7, для второго – 0,75, для третьего – 0,8 для четвертого – 0,9.

Построить*… отклонение числа станков, которые потребуют внимания рабочего.

Найти вероятность того, что таких станков будет не более половины.

Задача 25. Монету подбрасывают 6 раз.

Построить*… отклонение разности числа появлений герба и числа появлений цифры.

Найти вероятность того, что эта разность будет менее двух.

Задача 26. В кошельке лежат 5 монет по 1 руб., две монеты по руб. и три монеты по 5 руб.

Построить*… отклонение количества рублей, извлеченных из кошелька, если из него извлекают наугад две монеты.

Найти вероятность того, что будет извлечено:

а) не менее четырех рублей;

б) более семи рублей.

Задача 27. Производится по два последовательных выстрела по каждой из трех целей. Вероятность попадания при одном выстреле в любую цель равна 0,7. При попадании в цель стрельба по ней прекращается, неизрасходованный патрон при стрельбе по другим целям не используется.

Построить*… отклонение числа пораженных целей.

Найти вероятность того, что будет поражено хотя бы две цели.

Задача 28. Для контроля трех партий деталей выбираются случайным образом две партии, и из каждой из них берут наугад одну деталь.

Построить*… отклонение числа бракованных деталей, среди двух выбранных, если в первой партии 2/3 недоброкачественных деталей, во второй 1/3, а в третьей бракованных деталей нет.

Найти вероятность того, что среди этих двух деталей будет хотя бы одна доброкачественная.

Задача 29. Имеются два одинаковых ящика с деталями. В первом ящике содержатся 8 деталей, из них 3 бракованных, во втором – детали, из них – 2 бракованных. Из одного ящика вынимают детали.

Построить*… отклонение числа бракованных деталей среди трех вынутых, если выбор ящиков равновероятен.

Найти вероятность того, что будет вынуто не более двух бракованных деталей.

Задача 30. Два студента сдают экзамен, отвечая на два вопроса программы, независимо друг от друга. Вероятность правильного ответа на любой вопрос программы для первого студента – 0,6, для второго – 0,8. При неправильном ответе на вопрос экзамен прекращается.

Построить*… отклонение числа студентов, пытавшихся ответить на оба вопроса.

Найти вероятность того, что будет хотя бы один такой студент.

Тема Непрерывные случайные величины Случайная величина X называется непрерывной случайной величиной, если существует неотрицательная функция f (x) такая, что при любом x выполнено соотношение где, как и раньше, F(x) = (X x) – функция распределения случайной величины X. Функция f (x) называется плотностью распределения (или плотностью распределения вероятностей) случайной величины X (см. с. 31учебного пособия).

Из (1) следует, что F(x) является непрерывной функцией. Напомним, что, кроме того, функция распределения является неубывающей функцией и Плотность распределения обладает следующими свойствами Вероятность попасть на промежуток можно найти, интегрируя плотность распределения (это свойство и свойство (1) эквивалентны) Математическое ожидание (среднее) непрерывной случайной величины X Задача 1. Плотность распределения случайной величины X имеет вид Найти: а) коэффициент a;

б) функцию распределения случайной величины X;

в) вычислить вероятность попадания случайной величины X на Задача 2. Случайная величина X имеет функцию распределения Найти а) плотность распределения f (x), построить графики F (x) и f (x) б) математическое ожидание E(X) и дисперсию D(X);

в) вероятность попадания случайной величины X на отрезок Задача 3. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид б) плотность распределения f (x), построить графики F (x) и f (x);

Задача 4. Плотность распределения случайной величины X имеет вид Найти а) коэффициент A б) функцию распределения F (x), построить графики F (x) и f (x);

в) математическое ожидание E(X) и дисперсию D(X);

г) вероятность попадания случайной величины X в интервал (2 ;

3);

д) вероятность того, что при 4 независимых испытаниях Задача 5. График плотности распределения случайной величины X представляет собой полуэллипс с большей полуосью “a” (a - известно).

Задача 6. Функция распределения непрерывной случайной величины X имеет вид б) математическое ожидание E(X) и дисперсию D(X).

Задача 7. Случайная величина X распределена по закону “прямоугольного треугольника” в интервале (0; a).

Задача 8. Функция распределения случайной величины X задана графиком Найти математическое ожидание E(X) и дисперсию D(X).

Задача 9. Случайная величина X подчинена “закону равнобедренного треугольника” на участке - a; a.

Задача 10. Случайная величина X распределена по закону Коши Найти а) коэффициент a;

в) вероятность попадания случайной величины X на отрезок г) выяснить существует ли E(X) Задача 11. Случайная величина X подчинена показательному закону распределения с параметром > Найти а) функцию распределения F (x);

б) вероятность того, что случайная величина X примет Задача 12. Случайная величина X подчинена закону Лапласа Найти а) коэффициент a;

б) функцию распределения F (x);

в) математическое ожидание E (X) и дисперсию D (X).

Задача 13. Функция распределения случайной величины X имеет вид Найти математическое ожидание E (X) и дисперсию D (X).

Задача 14. Плотность распределения случайной величины X имеет вид Найти моменты E(X), D(X); (X) и вероятность P(0 < X < 2a).

Задача 15. Плотность распределения случайной величины X имеет вид Задача 16. Функция распределения непрерывной случайной величины X имеет вид Задача 17. Плотность распределения случайной величины X имеет вид Задача 18. Дана функция Найти а) при каком функция f (x) является плотностью распределения некоторой случайной величины X;

б) математическое ожидание E (X) и дисперсию D (X).

Задача 19. Дана плотность распределения случайной величины X Найти а) коэффициент ;

в) математическое ожидание E (X) и дисперсию D (X).

Задача 20. Плотность распределения случайной величины X имеет вид Задача 21. Дана плотность распределения случайной величины X Задача 22. Плотность распределения случайной величины X имеет вид Задача 23. Плотность распределения случайной величины X имеет вид Найти: а) функцию распределения F (x);

б) математическое ожидание E (X) и дисперсию D (X).

Задача 24. Плотность распределения случайной величины X имеет вид Найти а) математическое ожидание E (X) и дисперсию D (X);

б) что вероятнее: в результате испытания окажется, что случайная величина X < 1 или что случайная величина X > 1?

Задача 25. Пусть задана функция распределения непрерывной случайной величины X Найти а) коэффициент a;

б) плотность распределения случайной величины f (x);

в) математическое ожидание E (X) и дисперсию D (X);

Задача 26. Дана плотность распределения случайной величины X Найти: коэффициент A, функцию распределения F (x) и (- 2 X 3).

Задача 27. Случайная величина R – расстояние от точки попадания до центра мишени, распределена по закону Рэлея Найти коэффициент A; моменты E(R) и D(R); моду R, то есть точку максимума плотности распределения случайной величины R.

Задача 28. Плотность распределения случайной величины X имеет вид Найти а) коэффициент c;

Задача 29. Плотность распределения случайной величины X имеет вид Задача 30. Плотность распределения случайной величины X имеет вид Найти а) коэффициент a;

б) вероятность того, что в двух независимых испытаниях случайная величина X примет значения больше чем / 4.

Тема Функции случайных величин Пусть Х– случайная величина, а g=g(t)–измеримая (например, непрерывная) функция, определенная при любом значении x случайной величины X. Обозначим через Y=g(X) функцию от случайной величины X. Нас будет интересовать закон распределения случайной величины Y, при условии, что закон распределения X и функция g=g(t) известны. В разделе 6 (см. с. 51учебного пособия рассмотрены - случай дискретной случайной величины Х и случай монотонной функции g = g(t) и непрерывной случайной величины X. Мы приведем некоторые общие сведения и рассмотрим пример нахождения закона распределения Y g ( X ) при условии, что Х– непрерывная случайная величина, а g=g(t) произвольная измеримая функция.

Пусть FX (u ) и f X (u ) – функция распределения и плотность распределения случайной величины X, а FY (v) и fY (v) – функция распределения и плотность распределения случайной величины Y. По определению FY (v) P(Y v). Обозначим через D v множество значений ” x ” случайной величины X, для которых y g ( x) v : Dv {x : y g ( x) v}. Тогда Часто удобнее указать множество D v непосредственно и вычислить PX ( D v).

Пример 1.

Пусть X – непрерывная случайная величина, а g(t)=t 2. Найдем FY (v ) и fY (v ), где Y X 2. Если v 0, то множество D v пусто:

> 0 множество D v имеет вид дифференцируя по v, получим выражение для плотности распределения случайной величины Y через плотность случайной величины X:

Пример 2. Пусть случайная величина X равномерно распределена на v 0 множество Dv пусто: Dv {x : Y ( x) | 3 x | v}. Следовательно, при v 0 плотность распределения fY (v) FY (v) 0. При v > 0 множество Dv имеет вид Укажем функцию распределения FX (u ) равномерного на [2,6] распределения:

При v > 0 выражение 3 – v всегда меньше трех, а при v 1 имеем: 3 v 2.

Следовательно, F (3 v ) 1 v Для того чтобы получить это выражение мы рассмотрели в качестве аргумента “u” функции FX (u ) величину u = 3 – v. Аналогично, Для нахождения моментов Y g ( X ) –- функции от непрерывной случайной величины X можно пользоваться следующими формулами для нахождения математического ожидания E (Y ) :

также определением и свойствами моментов (например, D(X)=E(X-E(X)) 2 ).

Пример 3.

Пусть X N (a, 2 ), то есть случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами а и 2. Напомним, что E ( X ) a, D( X ) 2, а плотность распределения имеет вид f X (t ) Пусть g (t ) 3 t 2 и Y = g(X), Z = 3 X - 2Y + 5, T=2X+3. Найдем E ( Z ) и ковариацию K(X,T). Используя свойства математического ожидания и выражение дисперсии через начальные моменты (см. с. 33, 35 учебного пособия), будем иметь Коэффициент корреляции r(X,T) = 1 (см. с. 49), откуда K(X,T)= (X)(T)= (мы воспользовались тем, что D(aX+b)=a2D(X) для любых постоянных a и b).

Пример 4.

В условиях предыдущего примера при a 1, 2 2 найти E (| X 1|).

Для нахождения математического ожидания воспользуемся первой частью формулы (2) и приведенным выше выражением для плотности замену переменных (t 1)/ 2 y и (t 1) / 2 y в первом и втором Задача 1. Функция распределения FX (t ) случайной величины X имеет вид Случайные величины Y = 2 /X и Z = 2 X + 5 являются функциями от случайной величины X.

Найти: а) плотность распределения fY (t ) случайной величины Y;

Задача 2. Функция распределения FX (t ) случайной величины Х имеет вид Случайные величины Y = X и Z = -3 Х + 2 являются функциями от случайной величины X.

Найти: а) плотность распределения fY (t ) случайной величины Y;

Задача 3. Функция распределения FX (t ) случайной величины Х имеет вид:

функциями случайной величины Х.

Найти: а) функцию распределения FY (t ) случайной величины Y;

б) математическое ожидание E(Z).

Задача 4. Функция распределения FX (t ) случайной величины Х имеет вид:

являются функциями случайной величины Х.

Найти: а) функцию распределения FY (t ) случайной величины Y;

б) математическое ожидание E(Z).

Задача 5. Случайная величина Х имеет стандартное нормальное распределение. Случайные величины Y = - X + 2 и Z X 2 2Y 2 2 XY 3Y являются функциями от случайной величины Х.

Найти: а) плотность распределения fY (t ) случайной величины Y;

б) математическое ожидание E(Z).

Задача 6. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами а =1, =2. Случайные величины Y = (X - 1) / 2 и Z 2 X 2 Y 2 2 XY 2 X 2 являются функциями от случайной величины Х.

Найти: а) плотность распределения fY (t ) случайной величины Y;

Задача 7. Случайная величина Х имеет стандартное нормальное распределение. Случайные величины Y = X 2 и Z = 3 X 2 + Y 2 – 2 X + Y + являются функциями от случайной величины Х.

Найти: а) плотность распределения fY (t ) случайной величины Y;

б) математическое ожидание E(Z).

Задача 8. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами a = -1, = 3. Случайные величины Y = Х+1| и Z = 2 X 2 – Y 2/ - X + 2Y + 1 являются функциями от случайной величины Х.

Найти: а) плотность распределения fY (t ) случайной величины Y;

б) математическое ожидание E(Z).

Задача 9. Плотность распределения fX (t) случайной величины Х имеет вид:

Случайные величины Y = FX (X), где FX ( t) - функция распределения случайной величины Х, и Z= 3 X 2 - 2Y 2 + X Y + Y - 1 являются функциями от случайной величины Х.

Найти: а) функцию распределения FY ( t) случайной величины Y;

б) математическое ожидание E(Z).

Задача 10. Плотность распределения fX (t) случайной величины Х имеет Случайные величины Y= Х 2 и Z = 3 X - 1 являются функциями от случайной величины Х.

Найти: а) функцию распределения FY (t) случайной величины Y;

б) моменты E(Z), D(Z), K(X,Z).

Задача 11. Плотность распределения fX (t) случайной величины Х имеет Случайные величины Y = Х 2 и Z= - 2 X + 3 являются функциями от случайной величины Х.

Найти: а) функцию распределения FY (t) случайной величины Y;

б) моменты E(Z), D(Z), K(X,Z).

Задача 12. Плотность распределения fX (t) случайной величины Х имеет Случайные величины Y = Х 2 и Z = 2 X - 2 являются функциями от случайной величины Х.

Найти: а) плотность распределения fY (t) случайной величины Y;

Задача 13. Плотность распределения fX (t) случайной величины Х имеет Случайные величины Y= 3 Х - 2 и Z = - X - 3 являются функциями от случайной величины Х.

Найти: а) постоянную А;

б) функцию распределения FY (t) случайной величины Y;

Задача 14. Плотность распределения fX (t) случайной величины Х имеет Случайные величины Y = ln X и Z = 2 X + 3 являются функциями от случайной величины Х.

Найти: а) постоянную с;

б) плотность распределения fY (t) случайной величины Y;

Задача 15. Функция распределения FX (t) случайной величины Х имеет Случайные величины Y X и Z 2 X 5 являются функциями от случайной величины Х.

Найти: a) плотность распределения fY (t) случайной величины Y;

Задача 16. Функция распределения FX (t) случайной величины Х имеет Случайные величины Y ln X 2 и Z 4 X 5 являются функциями от случайной величины Х.

Найти: a) плотность распределения fY (t) случайной величины Y;

Задача 17. Плотность распределения fX (t) случайной величины Х имеет вид:

Случайные величины Y exp( 2 X ) и Z 4 X 3 являются функциями от случайной величины Х.

Найти: a) функцию распределения FY (t) случайной величины Y;

Задача 18. Функция распределения FX (t ) случайной величины Х имеет Случайные величины Y exp( X ) и Z 3 X 2 2Y X 1 являются функциями от случайной величины Х.

Найти: a) плотность распределения fY (t) случайной величины Y;

б) математическое ожидание E(Z).

Задача 19. Плотность распределения fX (t) случайной величины Х имеет Случайная величина Y = 1/X является функцией от случайной величины Х.

Найти: а) постоянную с;

б) плотность распределения fY (t) случайной величины Y.

Задача 20. Плотность распределения fX (t) случайной величины Х имеет Случайные величины Y X и Z = 2 X –3 Y 2 + 4 являются функциями от случайной величины Х.

Найти: а) постоянную a;

б) функцию распределения FY (t) случайной величины Y;

в) математическое ожидание E(Z).

Задача 21. Плотность распределения fX,Y (x,y) системы случайных величин (X,Y) имеет вид:

Случайные величины Z = 2 Y + 1 и T = 2 X – Y / 3 + 2 являются функциями от случайных величин X, Y.

Найти: а) плотность распределения fZ (t) случайной величины Z;

Задача 22. Плотность распределения fX,Y (x,y) системы случайных величин (X,Y) имеет вид:

Случайные величины Z = 3Y - 1 и T = - 3 X + 2 Y - 1 являются функциями от случайных величин X, Y.

Найти: а) плотность распределения fZ (t) случайной величины Z;

Задача 23. Плотность распределения fX,Y (x,y) системы случайных величин (X,Y) имеет вид:

Случайные величины Z 2 X 1 и T X 2 4Y 2 являются функциями от случайных величин X, Y.

Найти: а) плотность распределения fZ (t) случайной величины Z;

Задача 24. Плотность распределения X,Y (x,y) системы случайных величин (X,Y) имеет вид:

Случайные величины Z = Y - 2 и T = 2X + Y - 5 являются функциями от случайных величин X, Y.

Найти: а) функцию распределения FZ (t) случайной величины Z;

Задача 25. Случайные величины X1 и X2 независимы и имеют распределение Бернулли, задаваемые рядами распределения:

Найти: а) закон распределения случайной величины Y = X1 + X2;

б) математическое ожидание E(2X12 + 3X22 - X1X2 + 2X2 - 4).

Задача 26. Случайные величины X1 и X2 независимы и имеют экспоненциальное распределение, задаваемое плотностью распределения:

Рассмотрим случайные величины Y=X1 + X2 и Z 2 X12 3 X 1 X 2 3 X1 2.

Найти: а) плотность распределения fY (t);

б) математическое ожидание E(Z).

Задача 27. Случайные величины X1 и X2 независимы и имеют распределение Пуассона с параметрами 1 = 1 и 2 = 2.

Найти: а) закон распределения случайной величины Y=X1 + X2, Напомним, что распределение Пуассона имеет дискретная случайная величина X, принимающая целочисленные значения m= 0, 1, 2, … c вероятностями Задача 28. Случайные величины X1 и Х2 независимы и имеют стандартное нормальное распределение.

Найти: а) закон распределения случайной величины Y=X1 + X2 ;

б) математическое ожидание случайной величины Задача 29. Определить функции распределения случайных величин Z1 = max (X,Y) и Z2 = min (X,Y), где X и Y независимые случайные величины, имеющие функции распределения FX ( t) и FY (t) соответственно.

Задача 30. Плотность распределения fX,Y (x,y) системы случайных Найти: а) закон распределения полярных координат точки (X,Y);

ОГЛАВЛЕНИЕ

Тема 1. Непосредственный подсчёт вероятностей в рамках классической схемы. Теоремы сложения и умножения вероятностей………………………….. Тема 2. Формула полной вероятности и формула Байеса ……………………….. Тема 3. Повторение опытов (схема Бернулли) ………………………………….. Тема 4. Дискретные случайные величины ………………………………………. Тема 5. Непрерывные случайные величины …………………………………….. Тема 6. Функции случайных величин.…………………………………………… Практикум по теории вероятностей В урне 3 белых и 4 черных шара. Какова вероятность изъятия из урны трех черных шаров?

n - общее число возможных случаев изъятия 3 шаров из урны.

m - число благоприятных случаев. (все три шара черные) Мишень состоит из 2-х зон, при одном выстреле вероятность попадания в зону 1=0,2, в зону 2=0, Найти вероятность промаха?

A - попадание.

A - промах.

А=А1+А2 ; P(A)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2); P(A1A2)= В урне находится 3 белых и 2 черных шара. Вынимается по 2 шара.

Найти вероятность того, что оба шара белые?

А1 - первый шар белый.

А2 - второй шар белый.

А=А1 А В урне находятся 3 белых и 2 черных шара. Вынимают по очереди 2 шара, причем первый обратно возвращают.

Какова вероятность что будут вынуты оба черных шара?

Имеется 3 урны.

В одной 2 белых и 1 черный шар Во второй 1 белый и 1 черный шар.

В третьей 3 белых и 2 черных шара.

Выбирается одна из урн и из нее 1 шар. Какова вероятность, что шар черный?

А - черный шар. P(A)=?

n=10 m= Второй способ через формулу полной вероятности.

H1; H2; H3;

Проводят 4 независимых опыта. Вероятность события в каждом из опыте равна 0, Построить ряд и многогранник числа событий.

Введем Х-число появлений событий в результате проведенных опытов.

X=X0= X=X1= X=X2= X=X3= X=X4= P0,4=1*1*0,74=0, P1,4= C 4 *0,31*0,73=0, P2,4= C 4 *0,32*0,72= P3,4= C 4 *0,33*0,71= P4,4= C 4 *0,34*0,70= Мишень состоит из 4 зон, производится один выстрел.

Найти вероятность промоха, если вероятность попадание в зоны известна и равна:

P1=0, P2=0, P3=0, P4=0, A - попадание в мишень.

A - промах.

В урне находятся 3 белых и 2 черных шара. Вынимаются 2 шара.

Найти вероятность, что оба шара белые.

А1 - белый шар А2 - белый шар P(A1A2)=?

C=A1A Если первый шар возвращается в урну.

P(A1)=P(A2) a=?