Pages: | 1 |

«1.1.Требования ГОС по дисциплине и квалификационные требования Выпускник, получивший квалификацию учителя физики, должен быть готовым осуществлять обучение и воспитание обучающихся с учетом специфики преподаваемого ...»

-- [ Страница 2 ] --

9. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что два наудачу выбранные билета окажутся выигрышными.

Указание: примените формулу умножения вероятностей.

10. В цехе работают семь мужчин и три женщины. По табельным номерам наудачу выбраны три человека. Какова вероятность того, что все трое окажутся мужчинами?

Указание: примените формулу умножения вероятностей.

11. По данным таблицы о размерах проданной обуви установить относительную частоту, с которой каждый размер встречается в таблице.

12. Выберите отрывок текста, содержащий 200 букв. Найдите относительную частоту появления а) буквы а ; б) буквы к ; в) буквы ф. Проанализируйте результат. Какова вероятность выбора буква, к, ф из полного русского алфавита?

13. Подбросьте 100 раз игральную кость и найдите относительную частоту следующих событий:1)выпадение 2 очков; 2) выпадение 6 очков;3)выпадение числа очков, кратного трем; 4) выпадение четного числа очков. Сравните полученные относительные частоты с предварительно найденными значениями вероятностей появления каждого из 4-х событий.

14. Из полного набора костей домино наудачу извлекается одна кость. Чтобы оценить вероятность появления "дубля", повторим этот опыт 100 раз, каждый раз тасуя кости. Вычислите относительную частоту появления "дубля" и сравните её с вероятностью появления этого события.

Указание: в наборе 28 костей, из них "дублей" - 7.

10. Повторные независимые испытания с двумя исходами 10.1. Формула Бернулли.

На практике часто приходится иметь дело с повторными независимыми испытаниями, каждое из которых имеет два исхода, причем вероятность появления события в каждом испытании постоянна и равна р. Будем говорить, что описанный эксперимент удовлетворяет схеме Бернулли. Приведем основные результаты, относящиеся к схеме Бернулли.

1. Вероятность того, что событие А наступит ровно т раз при проведении п независимых испытаний, каждое из которых имеет два исхода (обозначается Рп (т) ), вычисляется по формуле где р - вероятность наступления события А в каждом испытании Вероятность наступления события А хотя бы один раз при проведении п независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, равна где 3. Вероятность того, что событие А при проведении п независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, наступит не менее т1 раз и не более т раз, вычисляется по формуле 4. Наивероятнейшее значение т0 числа наступления события А при проведении п повторных независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, вычисляется по формуле Указания. При решении задач данного параграфа необходимо установить, что рассматриваемый эксперимент удовлетворяет схеме Бернулли,то есть необходимо проверить, что:

1) проводимые испытания независимы, 2) каждое испытание имеет два исхода, 3) вероятность появления события в каждом испытании равна р.

После этого необходимо ввести соответствующее обозначение события, вероятность наступления которого надо вычислить, и выбрать нужную формулу.

Пример 1. Вероятность выигрыша по одному билету денежно-вещевой лотереи равна 0,2. Какова вероятность того, что из шести приобретенных билетов два билета окажутся выигрышными?

Эксперимент состоит в том, что последовательно проверяются 6 билетов, то есть проводится 6 повторных независимых испытаний. Каждое испытание имеет два исхода: билет выигрышный, билет невыигрышный. Вероятность выигрыша в каждом испытании постоянна. Следовательно, схема Бернулли выполняется. Пусть событие (m=2) состоит в том, что 2 билета оказались выигрышными. Тогда по формуле Бернулли (1):

Пример 2. Прибор состоит из шести элементов, включенных в цепь параллельно и работающих независимо друг от друга. Вероятность безотказной работы каждого элемента за время t равна 0,6. Для безаварийной работы прибора достаточно, чтобы хотя бы один элемент был исправен. Какова вероятность того, что за время t прибор будет работать безотказно?

Эксперимент заключается в проведении шести повторных независимых испытаний с двумя исходами каждый. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна q = 0,4. Следовательно, схема Бернулли выполняется. Пусть событие (m 1) означает, что хотя бы один элемент прибора исправен. Тогда по формуле (2) вероятность наступления рассматриваемого события равна Пример 3. Используя условия предыдущего примера, найдите число элементов, которые необходимо включить в прибор, чтобы с вероятностью не менее 0,9 прибор работал безотказно.

Так как в задаче требуется, чтобы выполнялось условие, Прологарифмируем это неравенство, тогда n lg 0,4 lg 0,1. Так как lg 0,4 < 0, то Значит, в приборе должно быть не менее трех элементов для того, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он работал безотказно.

П р и м е р 4. Найдите вероятность осуществления от двух до четырех разговоров по телефону при наблюдении пяти независимых вызовов, если вероятность того, что разговор состоится, равна 0,7.

Эксперимент заключается в проведении пяти повторных испытаний, независимых, с двумя исходами в каждом (разговор состоялся, разговор не состоялся). Вероятность того, что разговор состоится, в каждом испытании постоянна. Следовательно, схема Бернулли выполняется. Пусть событие (2 m 4) означает, что состоялось от двух до четырех разговоров. Тогда по формуле (3) имеем:

нестандартной детали в партии равна 0,05. Найдите наиболее вероятное число нестандартных деталей в этой партии.

Проводится 50 повторных независимых испытаний с двумя исходами в каждом. Вероятность появления нестандартной детали в каждом испытании постоянна. Значит, схема Бернулли выполняется. По формуле (4) имеем:

Так как число деталей может быть только целым, то наиболее вероятное число нестандартных деталей в этой партии равно 2.

Упражнения 1. Для данного участника игры вероятность набросить кольцо на колышек равна 0,3. Какова вероятность того, что при шести бросках 3 кольца окажутся на колышке, если броски считать независимыми?

Ответ: P6 3.

2. На самолете имеются 4 одинаковых двигателя. Вероятность нормальной работы каждого двигателя в полете равна р. Найдите вероятность того, что в полете могут возникнуть неполадки в одном двигателе.

Ответ: P4 1.

3. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,4. Что вероятнее ожидать: отказ двух приборов при испытании четырех или отказ трех приборов при испытании шести, если приборы испытываются независимо друг от друга?

4. Вероятность того, что на некотором предприятии расход электроэнергии не превысит суточной нормы, равна 0,8. Какова вероятность того, что в течение пяти рабочих дней из семи перерасхода электроэнергии не будет?

Ответ: P7 5.

5. Вероятность того, что стрелок попадает в цель при одном выстреле, равна 0,7. Производится 5 независимых выстрелов. Какова вероятность того, что в мишени окажется хотя бы одна пробоина?

Ответ: P5 m 1.

6. В горном районе создано п автоматических сейсмических станций.

Каждая станция в течение года может выйти из строя с вероятностью р.

Какова вероятность того, что в течение года хотя бы одна станция потребует ремонта?

Ответ: Pn m 1.

7. Вероятность появления события А хотя бы один раз при пяти независимых испытаниях равна 0,99757. Какова постоянная вероятность появления этого события при одном испытании?

Ответ: 0,7.

8. Известно, что 5% радиоламп, изготовляемых заводом, являются нестандартными. Из большой партии (независимо друг от друга) производится случайная выборка радиоламп. Сколько ламп надо взять, чтобы с вероятностью не менее 0,9 была извлечена хотя бы одна нестандартная лампа?

Ответ: n 45.

9. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,2. Сколько надо произвести независимых выстрелов, чтобы с вероятностью не менее 0,99 в мишени была хотя бы одна пробоина?

Ответ: n 21.

10. При высаживании не пикированной рассады помидоров только 80% растений приживаются. Найдите вероятность того, что из десяти посаженных кустов помидоров приживется не менее девяти.

Ответ: P10 m 9.

11. Контрольная работа состоит из четырех вопросов. На каждый вопрос приведено 5 ответов, один из которых правильный. Какова вероятность того, что при простом угадывании правильный ответ будет дан: а) на вопроса, б) не менее чем на 3 вопроса?

a) Ответ: P4 3.

b) Ответ: P4 m 3.

12. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,85. Стрелок сделал 25 независимых выстрелов. Найдите наивероятнейшее число попаданий.

Ответ:22.

13. Известно, что вероятность прорастания семян данной партии пшеницы наивероятнейшее число взошедших семян равнялось 100?

Ответ: 105.

14. Произведено 400 независимых испытаний. Какова должна быть вероятность появления события А в каждом испытании (вероятность появления события А в каждом испытании одна и та же), чтобы наиболее вероятное число появления события А при этом равнялось 150?

Ответ: 0,3741 p 0,3765.

15. Какова вероятность получения не менее 70% правильных ответов при простом отгадывании на экзамене, состоящем в определении истинности или ложности десяти утверждений?

Ответ: 0,1719.

16. Контрольная работа состоит из шести задач, причем для успешного выполнения ее необходимо решить любые четыре задачи. Если студент будет решать в течение отведенного времени лишь четыре задачи, то вероятность правильного решения любой из них равна 0,8. Если он попробует решить пять задач, то вероятность правильного решения любой из них равна 0,7, а если он возьмется за решение всех шести задач, придерживаться студент, чтобы иметь наибольшие шансы успешно выполнить работу?

Ответ: m=5.

Практическое занятие № 10.2. Теоремы Лапласа и Пуассона При большом числе испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, применяются приближенные формулы:

1) Если число независимых испытаний п достаточно велико, а вероятность появления события в каждом испытании отлична от 0 и 1, то для вычисления Рп (т) применяют формулу Лапласа :

2)Если число независимых испытаний п достаточно велико и требуется найти вероятность появления события от т1 до т2 раз, то для вычисления Рп m1 m m2 применяют интегральную формулу Лапласа:

где 3)Если число независимых испытаний п достаточно велико, а вероятность появления события в каждом испытании мала, то для вычисления Рп (т) применяют формулу Пуассона:

Для вычислений по формулам (1) и (2) пользуются специальными таблицами функций Лапласа (см. Приложение 3, Приложение 4) x - четная, функция Ф ( х) - нечетная. Формула (2) может быть Функция записана с помощью функции Ф ( х) следующим образом:

При этом важно правильно выбрать соответствующую формулу: (1), (2), (3).

Пример 1. Вероятность получения с конвейера изделия первого сорта равна 0,9. Определите вероятность того, что из взятых на проверку 600 изделий будут первого сорта.

Эксперимент заключается в проведении 600 повторных независимых испытаний с двумя исходами в каждом. Вероятность появления изделия первого сорта в каждом испытании постоянна. Следовательно, схема Бернулли применима.

По условию задачи п = 600, т — 530, р = 0,9. Так как п достаточно велико, а р и 1 —р не малы, то для вычисления вероятности того, что событие А (взятая деталь оказалась первого сорта) появилось 530 раз, можно использовать формулу (1). При этом вычисления осуществляются в следующем порядке:

1) Вначале вычислим 2) Затем находим 3) В силу четности функции (х) имеем (-1,36) = (1,36).

4) По таблице значений (х) находим (1,36) = 0,1582.

5) Следовательно, Пример 2. С базы в магазин отправлено 4000 тщательно упакованных доброкачественных изделий. Вероятность того, что изделие повредится в пути, равна 0,0005. Найдите вероятность того, что в магазин прибудут 3 испорченных изделия Испытания, рассматриваемые в задаче, удовлетворяют схеме Бернулли.

По условию задачи п = 4000, т = 3, Р = 0,0005. Так как п достаточно велико, а р воспользоваться формулой Пуассона. Сначала вычислим: =пр= 2. Тогда по формуле (3) П р и м е р 3. В условиях примера 1 найдите вероятность того, что из взятых на проверку 600 изделий от 530 до 532 изделий (включительно) будут первого сорта.

По условию задачи п = 600, m1 = 530, m2=532, р = 0,9. Так как для вычисления Рп (m) можно использовать формулу Лапласа, а число слагаемых в использовать формулу (2) 1) Вначале вычислим:

при m1 = 530 x1 =(530 — 540) 0,136 = —1,36, при m2 = 531 х2 = (531 — 540) 0,136 = —1,22, 3) В силу четности функции (х) имеем:

(х1) = (1,36), (х2) = (1,22), (х3) = (1,09).

4) По таблице значений (х) находим:

(х1)= 0,1582, (х2) = 0,1895, (x3) = 0,2396.

5) Следовательно, P600 530 m 532 0,136 (0,1582 + 0,1895 + 0,2396)= 0,08.

П р и м е р 4. В условиях примера 1 найдите вероятность того, что из взятых на проверку 600 изделий от 520 до 535 изделий (включительно) будут изделиями первого сорта.

По условию задачи п = 600, т1 =520, т2 = 535, р = 0,9. Так как число независимых испытаний достаточно велико и число слагаемых в сумме Pm равно шестнадцати, то для вычисления P600 520 m 535 можно использовать интегральную теорему Лапласа. По формуле (2):

1) Сначала вычислим 2) По таблице значений функции Лапласа, учитывая ее нечетность, находим:

Ф (t1) и Ф (t2):

3) Следовательно, Пример 5. Используя условия примера 2, найдите вероятность того, что в магазин прибудет от 3 до 5 испорченных изделий.

По условию задачи п = 4000, т1 = 3, т2 = 5, р = 0,0005 и = пр = 2. Так как для вычисления Рп (т) можно использовать формулу P4000 3 m 5 можно использовать формулу (3) Упражнения Найдите вероятность того, что при десяти независимых испытаниях событие А произойдет 4 раза, если вероятность его появления при каждом испытании равна. Вычисление выполните, используя теорему Бернулли и локальную теорему Лапласа. Найдите относительную ошибку полученного результата. Объясните, почему эта ошибка велика.

Ответ:

a) P10 4 0, b) P10 4 0, c) 6,28% Какова вероятность того, что при 80 бросаниях игральной кости шестерка выпадет 10 раз?

Ответ: P80 10 0, Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,2. Что вероятнее: отказ четырех приборов при испытании 20 или отказ шести приборов при испытании 30, если приборы испытываются независимо друг от друга?

Ответ: P20 4 P30 Вероятность того, что на некотором предприятии расход электроэнергии превысит суточную норму, равна 0,2. Какова вероятность того, что за рабочих дней будет зафиксирован перерасход электроэнергии: а) в течение пяти дней, б) от пяти до семи дней включительно?

Ответ: a) P25 5 0, Какова вероятность того, что при 80 бросаниях игральной кости пятерка выпадет от 10 до 20 раз включительно?

Упаковщик укладывает 900 деталей, проверенных ОТК или изготовленных рабочими, имеющими личное клеймо. Вероятность того, что деталь помечена личным клеймом, равна 0,1. Найдите вероятность того, что среди них окажется от 100 до 120 деталей с личным клеймом.

включения каждой из которых за время t равна 0,8. Найдите вероятность того, что одновременно будет включено не менее 4750 ламп.

Вероятность выигрыша на один билет лотереи равна 0,02. Какова вероятность того, что из 100 билетов выигрыш выпадет: а) на два билета, б) хотя бы на один билет, в) на два или три билета?

Вероятность того, что изделие не выдержит испытания, равна 0,005.

Найдите вероятность того, что из 600 проверяемых изделий не выдержат испытания более двух изделий.

Ответ: P600 m 2 0, 10. Вероятность того, что на странице книги могут оказаться опечатки, равна 0,0025. Проверяется книга, содержащая 800 страниц. Найдите вероятность того, что с опечатками окажется: а) 5 страниц, б) от трех до пяти страниц.

Ответ: a) P800 5 0,0361.б) P800 3 m 5 0, 11. С торговой базы в магазин отправлено п доброкачественных изделий.

Вероятность того, что изделие повредится в пути, равна р, причем п велико, а р мало. Известно, что вероятность получения магазином четырех изделий, получивших дефекты, равна вероятности получения магазином пяти изделий с дефектами. Найдите вероятность того, что магазин получит семь изделий с дефектами. Ответ: Pn 7 0,1053.

12. Из полного набора костей домино наудачу 75 раз извлекают по одной кости, причем после каждого извлечения кость возвращается в игру. Какова P75 25 0,0265.

ЧАСТЬ III

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Практическое занятие № 11. Генеральная совокупность и выборка.

Мы приступаем к изучению элементов математической статистики, в которой разрабатываются научно обоснованные методы сбора статистических данных и их обработки.

множество называют статической совокупностью) относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты.

Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным – контролируемый размер детали. Лучший вариант – провести сплошное обследование, то есть изучить каждый объект. Однако в большинстве случаев по разным причинам это сделать невозможно. Препятствием этому может быть большое число объектов, их недоступность. Если, например, нужно знать глубину воронки при взрыве снаряда из опытной партии, то, производя сплошное обследование, мы уничтожим всю партию.

Сплошное обследование проводить экономически нецелесообразно, даже если это возможно. Средством для получения необходимых данных служит выборочное наблюдение.

Определение 9.1. Статистическая совокупность, из которой отбирают часть объектов, называется генеральной совокупностью. Та часть объектов, которая попала на проверку, называется выборочной совокупностью или выборкой.

Число элементов в генеральной совокупности или в выборке называют их объёмами.

Математическая статистика позволяет, анализируя данные, полученные при изучении выборки, сделать правильные выводы о всей совокупности.

П р и м е р 1. Плоды одного дерева 200 штук обследуют на наличие специфического для данного сорта вкуса. Для этого отбирают 10 штук. Здесь 200 - объём генеральной совокупности, а 10-объём выборки. Возможны два принципиально разных способа организации выборки:

1) повторная выборка: выборку формируют следующим образом: обследуется объект из генеральной совокупности и возвращается назад в генеральную совокупность;

2) бесповторная выборка; объект после обследования в генеральную совокупность не возвращается.

На практике в основном применяют второй способ.

Если объем выборки составляет малую часть объема генеральной совокупности, то разница, получаемая вследствие изучения повторной и бесповторной выборок, мала.

репрезентативность.

ставительной), если все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку, то есть выбор объектов генеральной совокупности производится случайно.

Например, для того чтобы оценить будущий урожай плодов сада, можно сделать выборку из генеральной совокупности еще не созревших плодов и исследовать их характеристики. Если вся выборка будет сделана с одного дерева, то она не будет репрезентативной. Репрезентативная выборка должна состоять из случайно выбранных плодов со случайно выбранных деревьев сада.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение х1 наблюдалось n1 раз, х2 –//-//-//- n2 раз, …………………………………………………………… хк -//-//-//- nk раз, n1 + n2 + … + nk - объем выборки. Наблюдаемые значения х1, х2,…, xk называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке - вариационным рядом. Числа наблюдений n1, n2, … nk называют частотами, а их отношения к объему выборки (n.) - относительными частотами.

Замечание. Для контроля: сумма относительных частот равна 1. Докажите это.

Определение 9.3. Статистическим распределением называют перечень вариант (либо последовательности интервалов) и соответствующих им частот или относительных частот.

П р и м е р 2. Перейти от частот к относительным частотам в распределении:

Найдем относительные частоты. Учитывая, что n = 3 + 10 + 7 = 20, будем иметь:

Запишем таблицу относительных частот:

используются полигоны и гистограммы.

Для построения полигона на оси Ох откладывают значения варианты х, на оси Оу Рк* - значения частот nк (или относительных частот).

П р и м е р 3. Построить полигон частот по данному распределению:

прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h,а высоты равны отношениям, (плотность относительной частоты), можно k брать и -относительной частоте вариант, попавших в к - й интервал. Площадь гистограммы равна сумме всех, то есть единице.

П р и м е р 4. Построить гистограмму частот по данному распределению выборки объема, n = 100:

1. Пусть из партии электрических лампочек образована выборка из лампочек. Качество лампочек характеризуется данными таблицы:

Постройте гистограмму частот.

Указание: выбрать на оси Ох масштаб 0,5 см = 100 часов, а по оси Оу 1 единицу масштаба выбрать равной 1 см.

2. Произведено выборочное обследование дальности поездок пассажиров в пригородных электропоездах. Данные обследования приведены в таблице:

Постройте гистограмму частот.

3.Постройте полигон частот по данному распределению выборки:

4. Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки 5. Построить гистограмму частот распределения выборки Указание: длины интервалов различны, поэтому надо делить nk не на h, а на hk, то есть на длину к-го интервала.

7. Построить полигон частот распределения выборки:

Практическое занятие № 12. Меры центральной тенденции.

После того, как статистический материал собран, приступают к анализу полученных данных. Среди статистических характеристик наиболее важное место занимают так называемые средние.

статистическое распределение задано таблицей где По найденному значению x в судят о генеральной средней x Г - то есть о средней в генеральной совокупности.

П р и м е р 1. Пусть из партии в 10000 электрических лампочек образована выборочная совокупность из 200 лампочек. Качество лампочек в генеральной и выборочной совокупностях характеризуется данными Как видно, выборочная средняя дает хорошее приближение средней генеральной, ошибка всего в 20 часов; зато вместо исследования лампочек мы ограничились исследованием 200 лампочек.

П р и м е р 2. Вычислить среднюю заработную плату рабочих цеха № по данным таблицы Определение 10.2. Медианой (Ме) называется значение наблюдаемой величины хк, приходящееся на середину статистического распределения.

Если выборочная совокупность содержит четное число членов, то в качестве Ме берут среднее арифметическое значение 2-х средних членов.

П р и м е р 3. Вычислить медиану статистического распределения:

Объем выборки 79. Следовательно, медианой будет значение х40 в ряду х1, х2, …, х79, в котором каждое из значений повторено столько раз, сколько оно встречается. Таким образом, Me = х40 = 41 размер.

Определение 10.3. Модой (Мо) называется наиболее часто встречающееся значение наблюдаемой величины.

Пример 4. Для примера 3 найти моду. Наибольшей частоте (21) соответствует значение размера обуви 41. Следовательно, Мо = 41 размер.

Упражнения.

1. Результаты измерения роста 100 школьников приведены в таблице:

школьников Найти хB, Мо, Ме.

Указание. Найти середины интервалов и принять их в качестве хк 2. С плодового дерева случайным образом отобрано 10 плодов, их веса в граммах записаны в таблице:

Найти x В, Ме.

4. Ниже приводится статистическое распределение коров по процентному содержанию жира в их молоке:

Найти x в, Me, Mo.

Ответ: x в = 26,75 ; Me = 1/2(x50 + x5l)= 1/2(25 + 25) = 25 ; Мо = 25.

4. Результаты выборочного обследования урожайности пшеницы представлены таблицей:

Найти x в, Me, Mo.

Ответ: x в =15,5 ц.; Me= 1/2(x500 + x50l)= 1/2(16 + 16) = 16 ц., Mo=16 ц.

5. Выборка задана статистическим распределением Найти x в, Me, Mo.

Ответ: x в =8,9; Me= 1/2(x l 0 + x l l)= 1/2(8 + 12) = 10, Mo=12.

6. Выборка задана статистическим распределением Найти x в, Me, Mo.

Ответ: x в =26,75; Me= 1/2(x 5 0 + x 5 l)= 1/2(25 + 25) = 25, Mo=25.

7. Задание:путем опроса n школьниц соберите данные о размере их обуви, составьте таблицу статистического распределения. Найдите x в, Me, Mo.

Указание: за n удобно принять одно из чисел 10, 20, 25.

8. Имеются данные о числе учащихся в 24-х классах:

a) Составьте таблицу cтатистического распределения. Найдите x в, Me, Mo.

Ответ: x в = 23, Мо = 22, Мe= 22,5.

13. Мера рассеивания дискретных данных.

Начнем с примера.

Пример 1. Пусть средняя зарплата рабочих в 1-ом цехе составляет 2000 рублей, причем наименьшая зарплата 900 рублей, а наибольшая - 6000 рублей. Средняя зарплата рабочих во 2-ом цехе тоже 2000 рублей, причем наименьшая зарплата 1500 рублей, а наибольшая - 4000 рублей. Хотя средние зарплаты в обоих цехах одинаковы - 2000 рублей, но сравнивать уровни зарплат в цехах нельзя.

Рассмотренный пример показывает, что надо ввести такие характеристики рассматриваемая величина колеблется вокруг средней.

Определение 11. 1. Размахом вариации называют разность между наибольшим и наименьшим значениями наблюдаемой величины всего статистического распределения: R = x max xmin.

В примере 1 для первого цеха R=6000-900=5100 (руб), для второго цеха R=4000-1500=2500 (руб).

К сожалению, размах вариации- характеристика плохая, поскольку она вычисляется на крайних значениях, которые часто не типичны. Скажем, в рассматриваемом примере 900 руб. оклад уборщицы, а 6000-оклад начальника цеха.

Удачнее всего характеризует колебание наблюдаемой величины около ее выборочной средней так называемое среднее квадратическое отклонение.

Определение 11.2. Средним квадратическим отклонением называют число где Пример 2. Найти среднее квадратическое отклонение по данному статистическому распределению.

Найдем Тогда Замечание. Чем больше значение сpeднeгo квадратического отклонения в тем больше размах колебаний наблюдаемой x k величины вокруг среднего значения xв.

Упражнения.

1. Проведено 10 наблюдений над контрольными участками посева. Данные собраны в таблице:

Ответ: R=7, В =2,2.

3. Вычислить сpeднeе квадратическое отклонение в и размах вариации R по данным таблицы Ответ: в =0,5862 - 0,5862 ; R = 3 - 1 = 2.

3. Средняя заработная плата рабочих цеха № 2 в течение одного дня приведена в таблице:

Ответ: R= 600 руб., в =121 руб. 70 коп.

Приложения 14. Пакет анализа Microsoft Excel 14.1. Основные статистические функции 1. СРЗНАЧ Возвращает среднее (арифметическое) своих аргументов.

2. СТАНДОТКЛОН Оценивает стандартное отклонение по выборке.

Стандартное отклонение - это мера того, насколько широко разбросаны точки данных относительно их среднего.

3. МОДА Возвращает наиболее часто встречающееся или повторяющееся значение в массиве или интервале данных.

4. МЕДИАНА Возвращает медиану вариационного ряда. Медиана — это число, которое является серединой вариационного ряда, то есть половина чисел ряда имеют значения большие, чем медиана, а половина чисел имеют значения меньшие, чем медиана.

Пример. Проведено 10 наблюдений над контрольными участками посева.

Данные собраны в таблице:

Найти среднее значение, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.

Формула Описание (результат) =СРЗНАЧ(B2:K2) Среднее арифметическое приведенных выше чисел (31) Формула Описание (результат) =СТАНДОТКЛОН(B2:K2) Стандартное отклонение среднего урожая (2,2) Формула Описание (результат) =МОДА(B2:K2) Мода или наиболее часто встречающееся число (30) Формула Описание (результат) =МЕДИАНА(B2:K2) Медиана десяти чисел в приведенном выше списке (30) 14.2. Диаграмма Построение диаграммы. Основные правила построения диаграмм.

Без преувеличения можно сказать, что построение диаграмм – одна из наиболее часто используемых возможностей Excel. Обычно диаграммы создаются с помощью мастера диаграмм. Вызвать его можно с помощью опции Диаграмма пункта меню Вставка, или щелчком по кнопке Мастер диаграмм панели инструментов Стандартная.

Диаграмма строится в четыре шага.

Выбирается внешний вид диаграммы. Существует несколько вариантов внешнего вида диаграммы, которые представлены на вкладке Стандартные.

Если предложенные варианты не устраивают, можно перейти на вкладку Нестандартные. Чтобы оценить конечный результат, можно воспользоваться кнопкой Просмотр результата. Переход к следующему шагу мастера диаграмм осуществляется с помощью кнопки Далее. Общее количество шагов и текущий шаг выводятся в заголовке мастера диаграмм.

На втором шаге на вкладке Диапазон данных необходимо указать диапазон данных (поле Диапазон), если это не было сделано раньше, а так же, возможно, уточнить расположение данных Ряды в Строках или в Столбцах. На вкладке Ряд разрешается уточнить имя каждого из рядов данных (список Ряд, поля Список и Значение), а так же указать данные, используемые в качестве Подписи оси Х.

Третий шаг предоставляет возможность оформить различные элементы диаграммы.

На четвертом шаге требуется уточнить, где будет расположена диаграмма. Можно Поместить диаграмму на листе: Отдельном или Имеющемся. После щелчка по кнопке Готово создание диаграммы закончено.

После создания диаграммы может возникнуть необходимость изменить ее местоположение и, возможно, размер. Чтобы переместить диаграмму, надо ухватить ее мышью за край и перенести в любое место листа. Если при этом держать нажатой клавишу Alt, то диаграмма будет располагаться точно по ячейкам (привязываться к ним). Если ухватить один из элементов диаграммы, например легенду, то, возможно, изменить компоновку диаграммы.

Сразу после создания диаграммы может выясниться, что некоторым элементам не хватает места, а некоторые наоборот, слишком велики. Устранить этот недостаток достаточно просто. При щелчке мышью по любому элементу диаграммы, по краям элемента появятся маленькие квадратики. Можно ухватиться за любой из них и протащить его в сторону увеличения или уменьшения размеров.

Если щелкнуть по краю диаграммы, то маленькие квадратики появятся вокруг всего рисунка. В этом случае увеличение или уменьшение размеров будет относиться ко всем элементам диаграммы.

Редактирование диаграммы удобно производить с помощью панели инструментов Диаграмма.

В состав Microsoft Excel входит набор средств анализа данных (так называемый пакет анализа), предназначенный для решения сложных статистических и инженерных задач. Для проведения анализа данных с помощью этих инструментов следует указать входные данные и выбрать параметры; анализ будет проведен с помощью подходящей статистической или инженерной макрофункции, а результат будет помещен в выходной диапазон.

Другие средства позволяют представить результаты анализа в графическом виде.

Графические изображения используются, прежде всего, для наглядного представления статистических данных. Благодаря ним существенно облегчается восприятие и понимание этих данных. Существенна их роль и тогда, когда речь идет о контроле полноты и достоверности исходного статистического материала, используемого для обработки и анализа.

Статистические данные приводятся в виде длинных и сложных статистических таблиц (см., например, табл.1), поэтому бывает весьма трудно обнаружить в них имеющиеся неточности и ошибки.

15. Регрессионный анализ выборки биржевых ставок 15.1. Графическое представление выборки биржевых ставок Графическое представление статистических данных помогает легко и соответствующие изображаемым статистическим данным, аномалии и отклонения. На графике, построенном по данным таблицы 1 (рис.1), наглядно показано распределение курса биржевых ставок в зависимости от времени совершения сделки и цены сделки в рублях.

Графическое представление статистических данных является не только средством иллюстрации статистических данных и контроля их правильности и достоверности. Благодаря своим свойствам оно является важным средством толкования и анализа статистических данных, а в некоторых случаях единственным и незаменимым способом их обобщения и познания. В частности, оно незаменимо при одновременном изучении нескольких взаимосвязанных экономических явлений, так как позволяет с первого взгляда установить существующие между ними соотношения и связи, различие и подобие, а также выявить особенности их изменений во времени.

Однако, чтобы эффективнее использовать графические изображения статистических данных, необходимо овладеть методикой и техникой их построения. К этому следует добавить, что построенное графическое изображение статистических данных биржевых ставок в наибольшей степени соответствует характеру и содержанию изображаемых данных и поставленной задаче их анализа.

Таблица 1. Выборка биржевых ставок относительно времени совершения сделки и цены сделки в рублях за один день работы биржи цена сделки 15.2. Корреляционный и регрессионный анализ выборки Корреляция - один из инструментов пакета анализа Microsoft Excel.

Используется для количественной оценки взаимосвязи двух наборов данных, представленных в безразмерном виде. Коэффициент корреляции выборки представляет собой ковариацию двух наборов данных, деленную на произведение их стандартных отклонений.

Корреляционный анализ дает возможность установить ассоциированы ли наборы данных по величине, то есть: большие значения из одного набора данных связаны с большими значениями другого набора (положительная корреляция); или, наоборот, малые значения одного набора связаны с большими значениями другого (отрицательная корреляция); или данные двух диапазонов никак не связаны (корреляция близка к нулю).

Регрессия также является инструментом пакета анализа данных Microsoft Excel. Линейный регрессионный анализ заключается в подборе графика для набора наблюдений с помощью метода наименьших квадратов. Регрессия используется для анализа воздействия на отдельную зависимую переменную значений одной или более независимых переменных. Например, на курс биржевых ставок влияют несколько факторов, включая такие, как время совершения сделки и ее цена. Регрессия пропорционально распределяет меру качества по этим двум факторам на основе данных функционирования курса биржевых ставок. Результаты регрессии могут быть использованы для предсказания качеств новых, не совершенных еще биржевых сделок. Например, используя результаты таблицы 1, можно с помощью регрессии предсказать цены следующих сделок.

15.3. Интерпретация моделей регрессии Наиболее сложным этапом, завершающим регрессионный анализ, является интерпретация полученных результатов, то есть перевод их с языка статистики и математики на язык экономики.

Интерпретация моделей регрессии осуществляется методами той отрасли знаний, к которой относятся исследуемые явления. Всякая интерпретация начинается со статистической оценки уравнения регрессии в целом и оценки значимости входящих в модель факторных признаков, то есть с изучения, как они влияют на величину результативного признака. Чем больше величина коэффициента регрессии, тем значительнее влияние данного признака на моделируемую обработку биржевых ставок. Особое значение при этом имеет знак перед коэффициентом регрессии. Знаки коэффициентов регрессии говорят о характере влияния на результативный признак статистической обработки биржевых ставок. Если факторный признак имеет плюс, то с увеличением данного фактора результативный признак возрастает; если факторный признак со знаком минус, то с его увеличением результативный признак уменьшается.

Интерпретация этих знаков полностью определяется социально-экономическим содержанием моделируемого признака. Если его величина изменяется в сторону увеличения, то плюсовые знаки факторных признаков имеют положительное влияние. При изменении результативного признака в сторону снижения положительные значения имеют минусовые знаки факторных признаков. Если экономическая теория подсказывает, что факторный признак должен иметь положительное значение, а он со знаком минус, то необходимо проверить расчеты параметров уравнения регрессии.

Корреляционный и регрессионный анализ позволяет определить зависимость между факторами, а также проследить влияние задействованных факторов. Эти показатели имеют широкое применение в обработке статистических данных для достижения наилучших показателей биржевых ставок.

Приложение 1. Задачи по комбинаторике и теории вероятностей для повторения Дано слово “ингредиент”. Сколько различных слов можно составить, переставляя его буквы?

Сколькими способами можно выбирать по 6 участников из состава хора в участников, так, чтобы каждый день были разные составы хора.

У шестизначных чисел три первые цифры четные, а три другие нечетные.

Сколько таких чисел существует?

На конференции 52 человека. Сколькими способами можно выбрать делегатов?

Сколькими способами можно выбрать 1 овцу и 1 свинью, если на ферме Сколько различных ожерелий можно составить из 7 бусинок различных размеров ( надо использовать все 7 бусинок)?

Сколькими способами можно распределить 12 шаров по 3 ящикам?

На диск нанесены 12 бук. Пусть секретное слово состоит из 5 букв. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком незнающим секретного Сколько можно получить различных слов, переставляя буквы слова:

“Миссисипи” В первенстве России по футболу участвуют 18 команд. Разыгрываются 10.

медали золотые, серебряные и бронзовые. Сколькими способами они могут быть распределены?

Пусть из пункта A в B ведут 5 дорог, а из B в C три дороги. Сколько 11.

существует дорог из A в C через B?

У мамы 3 груши и 2 яблока. Каждый день в течение 5 дней подряд она 12.

выдает по 1 фрукту. Сколькими способами это можно сделать?

Из пяти различных красок надо выбрать три различные. Сколькими 13.

способами это можно сделать?

Сколькими способами можно выбрать 2 согласные и 1 гласную из букв 14.

слова “логарифм”?

Найти число способов распределения 8 пассажиров по 8 вагонам, если для 15.

каждого пассажира существенным является только номер вагона, а не занимаемое им место?

16.

перестановкой букв слова “книга”?

Найти число пятизначных чисел, у которых любые две соседние цифры 17.

Имеются пирожные 4 видов: эклеры, наполеоны, бисквитные, песочные.

18.

Сколькими способами покупатель может отобрать 10 пирожных?

В аквариуме 36 рыбок 4 видов поровну. Выбираем 4 рыбки. В скольких 19.

случаях эти рыбки одного вида?

7 пассажиров рассаживаются в 3-х вагонах. В скольких способах в первом 20.

человека, во втором-4 человека и в третьем 1 человек?

21.

вероятность?

Сколько существует различных четырехзначных чисел имеющих две 22.

одинаковые цифры?

Сколько разных трехбуквенных слов можно составить из букв слова 23.

Из 7 красок надо выбрать 4 разные краски. Сколькими способами это можно 24.

Сколько слов можно образовать переставляя буквы слова “математика”?

25.

На собрании выступили 5 человек А,Б,В,Г,Д. В скольких случаях В 26.

выступает следом за А?

5 человек рассаживаются за некруглым столом. В скольких случаях два 27.

фиксированных лица окажутся рядом?

В лотерее из 11 билетов -3 выигрышные. Выбирают 5 билетов. В скольких 28.

случаях 2 из них - выигрышные?

Найти число пятизначных чисел, имеющих в своей записи нули?

29.

30.

распределения оценок?

из колоды карт в 52 листа выбирают 6 карт. В скольких случаях среди них 31.

Из 90 деталей 25 бракованных. В скольких способах из 3 выбранных деталей 32.

ровно 2 - бракованные?

На 5 карточках написаны буквы слова “лилия”. Сколько слов можно 33.

образовать, переставляя карточки?

Сколько существует пятизначных номеров, все цифры которых четны?

34.

Сколько чисел меньших чем миллион, можно написать с помощью цифр 8 и 35.

Сколькими способами можно надеть 5 различных колец на пальцы одной 36.

руки, исключая большой палец?

Сколько существует семизначных чисел, среди цифр которых три нуля?

37.

Надо послать 6 срочных писем. Сколькими способами это можно сделать, 38.

если для передачи писем можно послать 3 курьеров, и каждое из писем можно дать любому из курьеров?

Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из букв 39.

слова “камзол”?

Сколькими способами можно расставить на полке 10 книг, так чтобы 40.

книги, нужные Вам, стояли рядом?

Сколькими способами можно указать на шахматной доске два квадрата?

41.

Множество Е содержит 10 первых букв русского алфавита. Сколько 42.

различных алфавитов из трех букв можно составить из данного множества букв? Какова вероятность того, что случайно выбранный алфавит будет 43. У мамы 3 апельсина и две груши. Каждый день в течение 5 дней она выдает сыну по 1 фрукту. Какова вероятность того, что груши она выдаст в первые два дня?

44. 7 человек рассаживают на 7 местах. Какова вероятность того, что лица A,B.C окажутся рядом?

45. В записанном телефонном номере 5403*** три последние цифры стерлись.

Какова вероятность того, что стерлись одинаковые цифры?

46. Группа, состоящая из 8 человек, занимает места за круглым столом в случайном порядке. Какова вероятность того, что при этом два определенных лица окажутся сидящими рядом?

47. В библиотеке имеются книги по 16 разделам науки. Поступили очередные четыре заказа на литературу. Считая, что любой состав заказанной литературы равновозможен, найти вероятности следующих событий: А - заказаны книги из различных разделов наук, В - заказаны книги из одного и того же раздела науки.

48. Опыт состоит в четырехкратном выборе с возвращением одной из букв алфавита E = {а, б, к, о, м} и выкладывании слова в порядке поступления букв.

Какова вероятность того, что в результате будет выложено слово «мама»?

49. Десять приезжих мужчин, среди которых Петров и Иванов, размещаются в гостинице в два трехместных и один четырехместный номер. Сколько существует способов их размещения? Какова вероятность того, что Петров и Иванов попадут в четырехместный номер?

50. Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 из 25 вопросов программы.

Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Используя понятие условной вероятности, найти вероятность того, что студент знает все эти вопросы.

51. Разыскивая специальную книгу, студент решил обойти три библиотеки. Для каждой библиотеки одинаково вероятно, есть в ее фондах книга или нет. И если книга есть, то одинаково вероятно, занята она другим читателем или нет.

Что более вероятно — достанет студент книгу или нет если известно, что библиотеки комплектуются независимо одна от другой?

52. Пусть имеется три урны с белыми и черными шарами. В первой урне содержатся 3 черных и 2 белых шара, во второй — 2 черных и 2 белых, а в третьей — 5 черных и 4 белых. Наудачу выбирается урна, и из нее наудачу выбирается шар. Найти вероятность того, что выбранный шар — белый.

53. Пусть имеется три урны с белыми и черными шарами. В первой урне содержатся 3 черных и 3 белых шара, во второй — 4 черных и 1 белый, в третьей — 2 черных и 5 белых. Наудачу выбрана урна, и из нее наудачу выбран шар. Этот шар оказался черным. Какова вероятность того, что была выбрана третья урна?

54. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет 3 раза.

55. Двенадцать человек случайным образом рассаживаются на один ряд из 12 мест.

Найти вероятность того, что три определенных человека окажутся рядом.

56. Автомобильный номер состоит из 2 букв и четырех цифр. Найти вероятность того, что номер имеет вид 13-17-АБ.

57. В ящике 8 и 12 красных шаров. Вынули два шара. Какова вероятность того, что они красные.

58. Бросили две игральные кости. Что вероятнее: получить в сумме 5 или 9 очков.

59. Найти вероятность того, что из полной колоды карт извлечены тройка, семерка, туз.

60. Состав урны: 10 шаров, из которых 7 белых. Один шар укатился, цвет его неизвестен. Вынимается 1 шар. Какова вероятность того, что его цвет белый.

61. На полке расставлены 7 книг, в числе которых 2 книги, нужные Вам. Какова вероятность того, что они стоят рядом.

62. В играх первенства участвуют 16 команд, которые разделены на 4 группы.

Какова вероятность того, что 2 фиксированные команды войдут в одну группу.

63. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,1.

Какова вероятность того, что сообщение из 10 знаков не содержит искажений.

64. Вероятность брака равна 0,05. Какова вероятность того, что из 500 изделий ровно 25 бракованных.

65. В книге из 500 страниц имеется 50 опечаток. Какова вероятность того, что на случайно выбранной странице окажется ровно 3 опечатки.

66. Из колоды карт выбирается одна карта. Какова вероятность того, что выбрана карта черной масти.

67. 6 охотников увидели лису и одновременно выстрелили. Вероятность убить лису у каждого 1/3. Какова вероятность того, что лиса будет убита.

68. Найти вероятность того, что при 12000 бросаний игральной кости число выпадений “6” заключено между 1900 и 2150.

69. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре равна 100. Берется на пробу 2 дм 3. Найти вероятность того, что в нем будет обнаружен хотя бы один микроб.

70. Колода карт делится на две стопы по 26 карт. С какой вероятностью в каждой окажется по два туза?

71. Из таблицы случайных чисел наудачу выбраны 200 двухзначных чисел ( от до 99). Определить вероятность того, что число 33 среди них встретиться ровно 3 раза.

72. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника 3 партии из 4 или 5 из 8?

73. Бросили две игральные кости и нашли сумму очков. Что вероятнее получить в сумме 7 или 8 очков?

74. 7 человек рассаживаются на 7 местах. Какова вероятность того, что определенные 4 лица окажутся рядом?

75. Какова вероятность того, что пятизначное число имеет в своей записи два нуля?

76. 12 шаров размещают по трем ящикам. Какова вероятность того, что что все шары окажутся в одном ящике.

77. Из колоды карт из 36 листов вынимаются (без возврата) 4 карты. Вычислить вероятность того, что среди них два туза.

78. Левши в среднем составляют 1%. Какова вероятность того, что из 200 человек не менее 4 левшей.

79. Из 25 контрольных работ 5 оценены “отлично”. Наудачу извлекаем 3 работы.

Какова вероятность того, что среди них одна оценена на “отлично”.

80. Дано множество трехзначных чисел составленных и из цифр 1,2,3,4,5,6,7.

Выбираем одно из таких чисел. Какова вероятность того, что все его цифры различны.

81. Имеется 10000 случайных цифр (от 0 до 9 каждая). Какова вероятность того, что число “девяток” среди них заключено между 940 и 1060.

82. Вероятность забросить мяч в корзину баскетболистом равна 0,6. Произведено бросков. Какова вероятность того, что при этом будет ровно 2 попадания.

Приложение 2. Контрольная работа по комбинаторике и ВАРИАНТ № 1. Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17-ти, если данные два человека не могут быть выбраны вместе?

вероятность того, что будет получен следующий состав: валет, дама и два короля.

3. Вероятность того, что наудачу названный студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй экзамен — 0,8 и третий — 0,7. Найти вероятность того, что студент сдаст хотя бы один экзамен, считая экзамены независимыми друг от друга.

4. В первой урне 2 белых и 4 черных шара, а во второй — 3 белых и 1 черный шар. Из первой урны во вторую переложили два шара, а затем из второй урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар — белый.

5. Какова вероятность того, что сумма трех наудачу взятых отрезков, длина каждого из которых не превосходит l, будет больше l ?

6. В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей - три девочки и два мальчика. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

ВАРИАНТ № 1. В теннисном турнире участвуют 10 мужчин и 6 женщин. Сколькими способами можно составить четыре смешанные пары?

2. В лотерее выпущено n билетов, из которых m выигрышные. Куплено k выигрышный.

3. В первом ящике 1 белый, 2 красных и 3 синих шара; во втором — белых, 6 красных, 4 синих шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров нет синих?

4. Производится серия независимых выстрелов зажигательными снарядами по резервуару с горючим. Каждый снаряд попадает в резервуар с вероятностью p. Если в резервуар попадает один снаряд, то горючее воспламеняется с вероятностью- p, если два снаряда, - с полной достоверностью. Найти вероятность того, что при n выстрелах горючее воспламенится.

5. Найти вероятность того, что монета радиусом 2 см, брошенная на бесконечную шахматную доску с клетками шириной 5 см, пересечет не более одной стороны клетки.

6. В классе 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из трех вопросов, заданных учителем, ответили по одному ученику. Какова вероятность того, что среди ответивших было два мальчика и одна девочка?

ВАРИАНТ 1. Пусть на кону лежит карта - валет треф, а козыри пики. Найти вероятность того, что наудачу взятой из колоды картой карта, лежащая на кону, будет бита.

2. Сколько существует 7- значных телефонных номеров, все цифры которых различные?

3. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при четырех выстрелах равна 0,9919. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

4. По каналу связи передается одна из трех последовательностей букв:

AAAA, BBBB или CCCC, вероятности которых равны соответственно 0,3, 0,4 и 0,3. Буква принимается правильно с вероятностью 0,6; вероятность ее приема за другую — 0,2 и 0,2 (буквы искажаются независимо друг от друга).

Найти вероятность того, что передано AAAA, если получено ABCA.

5. Отрезок AB длина которого 60 см, разделен точкой C в отношении 3:1. На этот отрезок наудачу брошены пять точек. Найти вероятность того, что три из них окажутся левее точки C и две — правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

6. Найти вероятность того, что в 10 испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха 0,4 появятся 6 успехов, причем 3 из них в трех последних испытаниях.

ВАРИАНТ № 1. Множество содержит 11 первых букв русского алфавита. Сколько различных алфавитов из трех букв можно составить из данного множества букв? Какова вероятность того, что случайно выбранный алфавит будет содержать букву а ?

2. В лотерее выпущено n билетов, из которых m выигрышные. Куплено k билетов. Найти вероятность того, что из k билетов хотя бы один выигрышный.

3. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,46. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,6.

4. Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? (Считать, что мужчин и женщин одинаковое число.) 5. На отрезке [5, 0] наудачу поставлены две точки, разбившие его на три отрезка. Найти вероятность того, что из этих отрезков можно построить треугольник.

6. В урне 18 белых и 9 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых?

Приложение 4. Таблица значений функции

ЛИТЕРАТУРА

1. Родионов М.А., Парфенов Г.Н. Логическая мозаика. Учебное пособие для школьников. – Пенза, 1999.

2. Родионов М.А., Шершаков В.П., Марина Е.В. От простого к сложному.

Учебно-методическое пособие для школьников и абитуриентов. – Пенза, 2001.

3. Родионов М.А., Пичугина П.Г. Введение в высшую математику.

Учебное пособие для студентов медико-биологических специальностей. – Пенза, 2003.

4. Селютин В.Д. О формировании первоначальных стохастических представлений // Математика в школе – 2003 - № 3.

5. Щербатых С.В. Прикладная направленность обучения стохастике в старших классах средней школы. Автореф. ….. канд. пед. наук – Елец, 2006.

Оглавление ЧАСТЬ I

КОМБИНАТОРИКА

I. Основные комбинаторные задачи.

1.1. Предмет комбинаторики.

1.2. Принципы комбинаторики. Принцип умножения.

1.3. Принципы комбинаторики. Принцип сложения.

2. Выборка. Размещения, перестановки и сочетания без повторений...... 2.1. Выборка, основные виды выборок.

2.2. Размещения, перестановки, сочетания без повторений.

3. Размещения и сочетания с повторениями.

4. Формула бинома Ньютона.

4.1. Возведение двучлена х + 1 в натуральную степень.

4.2. Формула бинома Ньютона.

ЧАСТЬ II

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

5.Понятие о случайном событии.

6. Классическое определение вероятности.

7. Применение комбинаторики к нахождению вероятностей................... 8. Условная вероятность. Независимые события.

9. Статистическое определение вероятности.

10. Повторные независимые испытания с двумя исходами

10.1. Формула Бернулли.

10.2. Теоремы Лапласа и Пуассона

ЧАСТЬ III

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

11. Генеральная совокупность и выборка.

12. Меры центральной тенденции.

13. Мера рассеивания дискретных данных.

14. Пакет анализа Microsoft Excel

14.1. Основные статистические функции

14.2. Диаграмма

15. Регрессионный анализ выборки биржевых ставок

15.1. Графическое представление выборки биржевых ставок

15.2. Корреляционный и регрессионный анализ выборки

15.3. Интерпретация моделей регрессии

Приложение 1. Задачи по комбинаторике и теории вероятностей для повторения

Приложение 2. Контрольная работа по комбинаторике и теории вероятностей

Оглавление

Комбинаторика, теория вероятностей и математическая статистика

Комбинаторика, теория вероятностей и математическая 1. Количество способов выбора стартовой шестерки из восьми игроков равно… 2. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью вероятности D(Х) = … 3. Монета брошена 3 раза. Тогда вероятность того, что герб выпадет ровно 2 раза, равна… 4. Пусть Х – дискретная случайная величина, заданная законом распределения вероятностей р 0,1 0,3 0, 5. Сколько нужно построить дорог с односторонним движением, чтобы соединить 5 сел друг с другом, если ни одна из дорог не должна проходить через какое-либо третье село.

6. В партии из 12 деталей 4 детали первого сорта. Найти вероятность того, что среди двух отобранных друг за другом деталей только одна первого сорта.

7. Студент знает 21 вопрос из 25. Какова вероятность, что он ответит на два предложенных вопроса?

8. В партии из 50 деталей 6% бракованных. Какова вероятность, что наугад выбранная деталь окажется стандартной?

9. Проверкой качества товара занимаются два контролера. Вероятность выявления дефекта первым из них – 0,8, а вторым – 0,95. Найти вероятность того. Что изделие с дефектом будет пропущено.

10. Вероятность поломки первого станка – 0,4, второго – 0,6. Какова вероятность, что хотя бы один из них сломается?

11. Найти вероятность того, что при бросании четырех монет герб выпадет чаще, чем цифра.

12. В магазин поступили телевизоры от трех дистрибьюторов в отношении 1 : 3 : 6. Телевизоры, поступающие от первого дистрибьютора, требуют наладки в 3% случаев, от второго и третьего – соответственно 2% и 1%. Найти вероятность того, что поступивший в магазин телевизор требует наладки.

13. Задана функция распределения дискретной случайной величины Х: F ( х ) 0,25, если 1 х Найти вероятность того, что Х = 1.

14. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров, во втором – 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность. Что они оба белые?

15. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров.

В предлагаемом пособии содержится два типовых расчета:

1) типовой расчет по теории вероятностей, 2) типовой расчет по математической статистике.

Ав-торы – С.И.Федин, О.Э.Яремко.

Типовой расчет по теории вероятностей.

В данном типовом расчете предлагается 30 задач по каждой из 6 тем, перечисленных ниже. Перед задачами даны методические указания и там, где необходимо – примеры. Задачи предлагаются по следующим темам 1. Непосредственный подсчет вероятностей в рамках классической схемы. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

2. Формула полной вероятности и формула Байеса.

3. Повторение опытов (схема Бернулли).

4. Дискретные случайные величины.

5. Непрерывные случайные величины.

6. Функции случайных величин.

Тема Непосредственный подсчет вероятностей в рамках классической схемы. Теоремы сложения и умножения вероятностей Если результаты эксперимента можно представить в виде полной группы исходов, которые попарно несовместны и равновозможны, то вероятность события A равна отношению числа m благоприятствующих этому событию исходов эксперимента к общему числу n всех возможных исходов, т.е.

Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

При решении задач иногда удобно найти вероятность противоположного события A, а затем найти вероятность события A по формуле P(A) 1 P( A ). Вероятность совместного наступления двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого, при условии, что первое событие наступило:

События A и B называются независимыми, если P( A B) P( A) P( B). Для независимых событий появление одного не меняет вероятности появления другого: P( A / B) P( A) и P( B / A) P( B) (см. с. 10-17 учебного пособия).

Задача 1. В ящике в случайном порядке разложено двадцать деталей, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали.

Найти вероятность того, что, по крайней мере, одна из этих деталей окажется стандартной.

Задача 2. Станция метрополитена оборудована тремя независимо работающими эскалаторами. Вероятность безотказной работы в течение дня для пер-вого эскалатора равна 0,9, для второго – 0,95, для третьего – 0,85.

Найти вероятность того, что в течение дня произойдет поломка не более одного эскалатора.

Задача 3. На складе имеются 8 изделий, 3 из них изготовлены заводом N.

Найти вероятность того, что среди 4 наудачу взятых изделий окажется не более половины, изготовленных заводом N.

Задача 4. У распространителя имеется 20 билетов книжной лотереи, среди которых 7 выигрышных. Куплено 3 билета.

Найти вероятность того, что хотя бы один из купленных билетов выигрыш-ный.

Задача 5. Устройство секретного замка включает в себя 4 ячейки. В первой ячейке осуществляется набор одной из четырех букв A, B, C, D, в трех осталь-ных – одной из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (цифры могут повторяться).

Чему равна вероятность того, что замок будет открыт с первой попытки?

Задача 6. Имеются две урны. В первой находятся: один белый шар, черных и 4 красных; во второй – 3 белых, 2 черных и 3 красных. Из каждой урны наугад извлекают по одному шару, после чего сравнивают их цвета.

Найти вероятность того, что цвета извлеченных шаров совпадают.

Задача 7. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных.

Найти вероятность того, что два наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.

Задача 8. Электросхема, состоящая из 4 элементов имеет вид Выход из строя элементов – события независимые в совокупности.

Какова вероятность того, что схема обесточится, если вероятность выхода из строя элементов a 1, a 2, a 3, a 4 соответственно 0,1; 0,2; 0,3; 0,4.

Задача 9. Два охотника по одному разу стреляют в волка. Для первого охотника вероятность попадания в волка 0,7, для второго – 0,8.

Определить вероятность того, что в волка попадет хотя бы один охотник.

Задача 10. Ведется стрельба по самолету, уязвимым агрегатами которого являются два двигателя и кабина пилота. Для того чтобы вывести из строя самолет, достаточно поразить оба двигателя вместе или кабину пилота. При дан-ных условиях стрельбы вероятность поражения первого двигателя равна Р1, второго двигателя - Р2, кабины пилота - Р3. Агрегаты самолета поражаются не-зависимо друг от друга.

Найти вероятность того, что самолет будет поражен.

Задача 11. По мишени производятся три выстрела. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах равны соответственно Р = 0,4;

Р2 = 0,5; Р3 = 0,7.

Какова вероятность того, что в результате этих трех выстрелов в мишени окажется точно одна пробоина.

Задача 12. Студент знает 20 из 25 вопросов программы.

Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменато-ром три вопроса.

Задача 13. Определить вероятность того, что партия из ста изделий, среди которых пять бракованных, будет принята при испытании наудачу выбранной половины всей партии, если условиями приема допускается наличие бракован-ных изделий не более одного из пятидесяти.

Задача 14. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены его внимания потребует первый станок, равна 0,7, второй – 0,75, третий – 0,8.

Найти вероятность того, что в течение смены внимания рабочего потребуют не менее двух станков.

Задача 15. В связке имеются пять различных ключей, из которых только одним можно отпереть дверь. Наудачу выбирается ключ и делается попытка открыть дверь. Ключ, оказавшийся неподходящим, больше не используется.

Найти вероятность того, что для отпирания двери будет использовано не более двух ключей.

Задача 16. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,2, второй – 0,3, третий – 0,4.

Найти вероятность того, что корреспондент услышит вызов радиста.

Задача 17. Студенты выполняют экзаменационную работу в классе контролирующих машин.

Работа состоит из трех задач. Для получения положительной оценки достаточно решить две. Для каждой задачи зашифровано пять ответов, из которых только один правильный. Студент N плохо знает материал и поэтому выбирает ответы для каждой задачи наудачу.

Какова вероятность того, что он получит положительную оценку?

Задача 18. В электрическую цепь включены параллельно два прибора.

Вероятность отказа первого прибора равна 0,1, второго 0,2.

Найти вероятность того, что откажет хотя бы один прибор этой цепи.

Задача 19. Предприятием послана автомашина за различными материалами на четыре базы. Вероятность наличия нужного материала на первой базе равна 0,9, на второй – 0,95, на третьей – 0,8, на четвертой – 0,6.

Найти вероятность того, что только на одной базе не окажется нужного материала.

Задача 20. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый и второй вопросы одинакова, и равна 0,9, на третий – 0,8.

Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить, по крайней мере, на два вопроса билета.

Задача 21. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для каждой игры берут три мяча; после игры их кладут обратно. При выборе мячей, мячи бывшие в употреблении, от ни разу не использованных не отличаются.

Какова вероятность того, что после трех игр в коробке не останется мячей, не побывавших в игре?

Задача 22. Вычислительный центр, который должен производить непрерывную обработку информации, располагает двумя вычислительными устройствами. Известно, что каждое из них имеет вероятность отказа за некоторое время, равную 0,2.

Требуется определить вероятность:

а) того, что откажет только одно устройство;

б) не откажет ни одно из устройств.

Задача 23. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее наудачу.

Определить вероятность того, что ему придется звонить не более чем в четыре места.

Задача 24. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу 4 карты.

Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей.

Задача 25. Вероятность поражения стрелком мишени при каждом выстреле равна 0,9.

Найти вероятность того, что в серии из четырех выстрелов будет меньше четырех промахов.

Задача 26. Двое играют в шахматы. Игра проводится до выигрыша одним из игроков двух партий подряд. Вероятность выигрыша партии каждым игроком равна 0,5 и не зависит от исхода предыдущих партий.

Найти вероятность того, что игра окончится до четвертой партии.

Задача 27. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью 0,95.

Найти вероятность того, что для ввода двигателя в работу придется включать зажигание не более трех раз.

Задача 28. Электрическая цепь между точками M и N составлена по схеме, приведенной на рисунке. Выход из строя за время T различных элементов цепи – независимые события, имеющие следующие вероятности:

Определить вероятность разрыва цепи за указанный промежуток времени.

Задача 29. Продукция может быть получена из доброкачественных деталей, изготовленных из заготовок с применением двух технологий; в первом случае заготовка проходит три технологические операции, вероятности получения брака при каждой из которых равны соответственно 0,1, 0,2, 0,3. Во втором случае имеются две операции, вероятности получения брака при которых одинаковы и равны 0,3.

Определить, какая технология обеспечивает большую вероятность получе-ния первосортной продукции из заготовки, если в первом случае для доброка-чественной детали вероятность получения из нее первосортной продукции равна 0,9, а во втором 0,8.

Задача 30. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы за время T первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,6; 0,7 и 0,8.

Найти вероятности того, что в промежутке времени T будут безотказно работать:

а) только один элемент;

б) ровно два элемента.

Тема Формула полной вероятности и формула Байеса Будем говорить, что события H1, H2, … Hn образуют полную группу, если в результате эксперимента:

-происходит одно из событий Hi, i=1,…, n.

-события H1, H2, …, Hn попарно несовместны.

В этом случае имеем: P(H1 + H2 + … + Hn ) = P(H1) + P(H2) + … + P(Hn) = и вероятность произвольного события А, произошедшего в условиях данного эксперимента может быть вычислена по формуле полной вероятности:

События H1,…,Hn часто называют гипотезами (см. с. 21-23 учебного пособия).

Пример 1. В коробке находится 4 новых и 3 старых теннисных мяча.

Для первой игры берут случайным образом 2 мяча, после игры кладут их обратно.

Какова вероятность того, что 2 мяча, взятые для 2-ой игры будут новые?

Решение. Рассмотрим следующие гипотезы:

H1 - для первой игры взяты 2 новых мяча;

H2 - для первой игры взяты 1 новый и 1 старый мячи;

H3 - для первой игры взяты 2 старых мяча.

Событие А заключается в том, что для второй игры взяли 2 новых мяча.

Используя классическое определение вероятности (слова – “случайным об-разом“ позволяют считать, что исходы равновозможны) имеем:

Пусть H1, H2, … Hn - полная группа событий и известно, что в результате эксперимента произошло событие А, тогда условная вероятность того, что произошло событие Нi - одно из событий полной группы, вычисляется по формуле Байеса:

Пример 2. Два стрелка по одному разу стреляли по мишени. Известно, что один попадает с вероятностью 0,8; второй - с вероятностью 0,6. После стрельбы в мишени оказалась одна пробоина.

Какова вероятность того, что попал второй стрелок?

Решение. Выберем гипотезы следующим образом:

H1 - не попал ни первый стрелок, ни второй P ( H 1 ) 0,2 0,4 0,08;

H2 - попал первый стрелок и не попал второй P ( H 2 ) 0,8 0,4 0,32;

H3 - не попал первый стрелок и попал второй P ( H 3 ) 0,2 0,6 0,12;

H4 - попали оба стрелка P( H 4 ) 0,8 0,6 0,48.

Тогда, если А - событие, состоящее в том, что один стрелок попал, то:

P(А/H1) = 0, P(А/H2) = 1, P(А/H3) = 1, P(А/H4) = 0.

Очевидно, что нам надо вычислить вероятность события Н3 при условии, что произошло событие A:

Замечание. В рассмотренном примере мы воспользовались независимостью экспериментов: 1 стреляет первый стрелок и 2 стреляет второй стрелок, которая следует из того, что вероятности попаданий фиксированы.

Задача 1. Два стрелка Иванов и Петров, имеющие по два заряда, поочерёдно стреляют в мишень. Вероятность попадания при одном выстреле равна 2/3 для Иванова и 5/6 для Петрова. Первый стрелок определяется по жребию. Для этого кидается монета и, если выпадает герб, то начинает Иванов, а, если цифра, то первым стреляет Петров. Выигрывает стрелок, попавший первым.

Какова вероятность выигрыша для Петрова?

Задача 2. Два стрелка A и B поочерёдно стреляют в мишень до первого попадания, но не более двух раз каждый. Вероятность попадания при одном выстреле для A равна 0,8, для B – 0,6. Первый стрелок определяется жребием: кидается монета и, если выпадает герб, то первым стреляет A, если цифра, то B. В результате стрельбы выиграл стрелок B.

Какова вероятность, что он стрелял первым?

Задача 3. Два стрелка стреляют по одному разу, независимо друг от друга, выбирая одну из двух мишеней Вероятность выбора 1-ой мишени для них 0,5 и 2/3 соответственно, а вероятность попадания в выбранную мишень 0,8 и 0,9.

Какова вероятность ровно одного попадания во вторую мишень?

Задача 4. Два игрока A и B один раз бросают кость и затем два раза монету. Если на кости выпадает 1 или 2, то выигрывает игрок A, если при подбрасываниях монеты появится хотя бы один герб, и игрок B, если гербов не появится. Если же на кости выпадает число, большее двух, то игрок А выигрывает, если появятся два герба, и игрок B в остальных случаях.

Справедлива ли игра?

Задача 5. В двух пакетах находятся конфеты. В первом пакете 16 штук сорта «Белочка» и 8 штук сорта «Жар-птица», во втором 15 сорта «Белочка»

и 5 сорта «Жар-птица». Из первого пакета во второй переложили две конфеты, взятые случайным образом, содержимое второго пакета перемешали и вытащили оттуда одну конфету, которая оказалась «Жарптицей».

Какова вероятность, что из первого пакета во второй переложили одну «Белочку» и одну «Жар-птицу»?

Задача 6. Берут две колоды карт по 52 карты и из первой во вторую перекладывают случайным образом 2 карты. Затем из второй колоды берётся одна карта.

Какова вероятность, что она окажется дамой?

Задача 7. Среди трёх игральных костей одна фальшивая. На фальшивой кости шестёрка появляется с вероятностью 1/3. Бросили две кости и выпали две шестерки.

Какова вероятность, что среди брошенных костей была фальшивая?

Задача 8. Ракета накрывает цель с вероятностью 2/3. По цели выпущено две ракеты. Известно, что при одном попадании цель поражается с вероятностью 1/2, а при двух с вероятностью 5 6. Цель поражена.

Какова вероятность, что в неё попала ровно одна ракета?

Задача 9. Кость А имеет две белые и четыре красные грани, кость В две красные и четыре белые. Сначала бросается монета. Если выпадает герб, то бросают кость А, если цифра, то кость В.

Какова вероятность того, что выпадет красная грань?

Задача 10. 30% телевизоров поступает в магазин с первой фабрики, 20% со второй и остальные с третьей. Брак на этих фабриках составляет 5%, 3% и 4% соответственно. Купленный телевизор оказался бракованным.

Какова вероятность того, что он поступил с третьей фабрики?

Задача 11. Взяли две колоды по 52 карты и случайным образом переложили две карты из первой колоды во вторую. Затем из второй колоды вытащили одну карту, которая оказалась картой пиковой масти.

Какова вероятность того, что среди переложенных карт не было карт пиковой масти?

Задача 12. Готовясь к экзамену, студент должен был подготовить ответы на две серии вопросов, каждая из которых содержала по 10 вопросов. Он выучил 9 вопросов первой серии и 8 второй. Экзаменатор случайно выбирает серию вопросов и два вопроса из нее, на оба из которых студент должен ответить.

Каковы шансы, что студент сдаст экзамен?

Задача 13. В трёх одинаковых урнах находятся шары: в первой с номерами от 1 до 9, во второй от 10 до 20 и в третьей от 21 до включительно. Из случайно взятой урны берётся шар и оказывается, что его номер делится на 5.

Какова вероятность, что этот шар взят из первой урны?

Задача 14. В трёх одинаковых урнах находятся шары: в первой с номерами от 10 до 25, во второй от 26 до 32 и в третьей от 33 до включительно. Из случайно взятой урны берётся шар.

Какова вероятность, что его номер будет простым числом?

Задача 15. Игроки могут с равной вероятностью играть в одну из двух игр. В одной игре используется одна игральная кость, а в другой – две. Счёт в игре в первом случае равен количеству очков, выпавших на кости, а во втором – сумме очков, выпавших на обеих костях. Вы слышите, что выпало два очка.

Какова вероятность, что играют в игру с одной костью?

Задача 16. На трёх дочерей Аню, Катю и Анфису в семье возложена обязанность по мытью тарелок. Аня, как старшая, выполняет 40% всей работы, остальную работу Катя и Анфиса делят пополам. Вероятность того, что Аня разобьёт хотя бы одну тарелку равна 0,02, для Кати и Анфисы эта вероятность равна 0,03 и 0,02 соответственно. Родители слышали звон разбитой посуды.

Какова вероятность, что тарелки мыла Аня?

Задача 17. Первая урна содержит 3 красных, 2 белых и 1 синий шар.

Вторая урна содержит 4 белых и 2 синих шара. Бросается игральная кость.

Если на ней выпало 1 или 6 очков, вынимается шар из первой урны, в противном случае – из второй. Вытащен синий шар.

Какова вероятность, что он взят из второй урны?

Задача 18. Если при бросании кости выпадает больше 2-х очков, то вынимают 2 шара из первой урны, содержащей 1 красный и 4 чёрных шара.

Иначе два шара берутся из второй урны, содержащей 3 красных и 2 чёрных шара. Вытащили 1 красный и 1 чёрный шар.

Какова вероятность, что они взяты из первой урны?

Задача 19. Имеются три одинаковых ящика. В первом ящике лежат белых и 2 чёрных шара; во втором ящике - 3 чёрных; в третьем - 1 чёрный и белых. Некто, случайным образом выбирая ящик, наугад вынимает из него шар.

Какова вероятность, что шар будет белый?

Задача 20. На шахматную доску 4 Ч4 ставят два коня.

Какова вероятность того, что они бьют друг друга?

Задача 21. На шахматную доску 4 Ч4 ставят два ферзя.

Какова вероятность того, что они бьют друг друга?

Задача 22. На шахматную доску 4 Ч4 ставят два слона.

Какова вероятность того, что они не бьют друг друга?

Задача 23. На шахматную доску 4 Ч4 ставят две ладьи.

Какова вероятность того, что они бьют друг друга?

Задача 24. Некто, выходя из точки А, на перекрёстках равновероятно выбирает любую дорогу кроме той, по которой пришёл.

Какова для него вероятность попасть в точку В?

Задача 25. Некто, выходя из точки А, на перекрёстках равновероятно выбирает любую дорогу кроме той, по которой пришёл.

Какова вероятность того, что он попадёт в точку В?

Задача 26. На "жульнической" кости 5 и 6 очков выпадают с вероятностью P (5) P(6) 1 3. Остальные грани выпадают с равными вероятностями.

Какова вероятность выиграть этой костью против "честной" кости, если каждый игрок бросает свою кость один раз?

Задача 27. Половина всех арбузов поступает в магазин с 1 базы, 1/3 - со 2 базы, остальные - с 3 базы. Арбузы с повышенным содержанием нитратов составляют на 1 базе 15%, на 2 базе - 10%, на 3 - 20%.

Какова вероятность купить недоброкачественный арбуз?

Задача 28. В одном ящике было 3 чёрных и 2 белых шара, в другом - черный и 4 белых. Некто унёс один шар, взяв его наугад из случайно выбранного ящика.

Какова теперь вероятность вынуть наугад чёрный шар?

Задача 29. Три стрелка случайным образом распределяют между собой заряда, один из которых холостой. Стрелки попадают в мишень с вероятностями 1/2, 3/4 и 7/8 соответственно.

Какова вероятность хотя бы одного попадания в мишень?

Задача 30. Из 4-х игральных костей одна фальшивая. На ней 6 очков выпадает с вероятностью 1/3. При бросании случайно выбранной кости выпала шестёрка.

Какова вероятность того, что была выбрана фальшивая кость?

Тема Повторение опытов (схема Бернулли).

Пусть проводятся n независимых опытов (экспериментов), в каждом из которых событие A может наступить с вероятностью p. Обычно появление A называют успехом.

Обозначим через q = 1 - p – вероятность того, что событие A не наступает (неудача), и через Bn (m) – событие, заключающееся в том, что в серии из п опытов ровно m опытов закончатся успешно (ровно m раз произойдет событие A).

Тогда для любого m = 0, 1,..., n справедлива формула Бернулли (см. с. учебного пособия).

P( Bn (m) )= C n p mq n -m, Пример. Пусть правильная монета подбрасывается 5 раз.

Какова вероятность, что появилось больше гербов, чем цифр?

Решение. Здесь событие А – появление герба при одном подбрасывании монеты. P(A)=1/2 в любом из 5 опытов (подбрасываний), n=5, m – количество появившихся гербов. Пусть B – событие, состоящее в том, что гербов появилось больше, чем цифр. Событию B соответствуют значения m : 3, 4 и 5, от-куда по формуле Бернулли будем иметь Задача 1. Производиться испытание пяти приборов, каждый из которых выходит из строя с вероятностью 0,1.

Найти вероятность того, что хотя бы два прибора выйдут из строя при испытании.

Задача 2. Производиться 4 выстрела по мишени, вероятность попадания при каждом выстреле 2/3.

Найти вероятность того, что в мишень попадут не менее 2 раз.

Задача 3. Прибор содержит шесть однотипных микросхем, вероятность выхода из строя каждой в течение одного месяца 0,2.

Найти вероятность того, что в течение этого срока из строя выйдет не более половины микросхем.

Задача 4. Накопитель снабжает деталями 8 станков с ЧПУ. В течение минут от каждого станка может поступить заявка на деталь с вероятностью 1/5.

Найти вероятность того, что за 20 минут на накопитель поступит не более трех заявок.

Задача 5. В ралли участвует 10 однотипных машин. Вероятность выхода из строя за период соревнований каждой из них 1/20.

Найти вероятность того, что к финишу придут не менее 8 машин.

Задача 6. Имеется 7 партий деталей, каждая из которых содержит 10% бракованных. Из каждой партии извлекают по 1 детали.

Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей не менее двух бракованных.

Задача 7. Радиолокационная станция ведет наблюдение за шестью объектами в течение некоторого времени. Контакт с каждым из них может быть потерян с вероятностью 0,2.

Найти вероятность того, что хотя бы с тремя объектами контакт будет поддерживаться в течение всего времени.

Задача 8. Прибор состоит из шести однотипных блоков, но может работать при наличии в исправном состоянии не менее трех из них. За год работы каждый из блоков выходит из строя с вероятностью 0,3.

Найти вероятность того, что за год работы прибор не выйдет из строя.

Задача 9. В семье пять детей. Пусть вероятности появления на свет девочки и мальчика полагаются равными.

Найти вероятность того, что в семье не более двух девочек.

Задача 10. Обрабатывающий центр снабжается заготовками от однотипных накопителей, выдающих при поступлении запроса по одной детали. Вероятность того, что на момент запроса в накопителе имеется заготовка, равна 0,9. Экономически достаточная загрузка центра обеспечивается одновременным поступлением по запросам не менее трех деталей.

Найти вероятность того, что при очередном запросе будет обеспечена достаточная загрузка.

Задача 11. Вероятность поражения самолета средствами ПВО объекта 0, Найти вероятность того, что из 8 атакующих объект самолетов к нему прорвется не более шести.

Задача 12. Транспортные средства оптовой базы обеспечивают за день выполнение не более трех заявок. База обслуживает 7 магазинов.

Вероятность заявки от каждого из них в течение дня равна 0,3.

Найти вероятность того, что все поступившие на базу в течение дня заявки будут выполнены.

Задача 13. Производиться испытание на " самовозгорание " пяти телевизоров. Прогонка продолжается двое суток. За указанное время каждый из телевизоров перегревается и "самовозгорается" с вероятностью 0,1.

Найти вероятность того, что на момент окончания испытаний сгорит не более двух телевизоров.

Задача 14. Из урны, содержащей 20% белых и 80% черных шаров, наудачу с последующим возвращением извлекают по одному шару.

Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров будет не менее четырех белых, если процедуру повторяют пять раз.

Задача 15. На участке пять одинаковых станков. Вероятность того, что в произвольный момент каждый из них свободен и готов к обработке поступив-шей детали равна 1/5. На участок для обработки поступают две детали.

Найти вероятность того, что хотя бы одна из них будет сразу же принята к обработке.

Задача 16. Известно, что при прохождении некоторого пролива при плохих метеоусловиях терпит аварию каждое двадцатое судно.

Найти вероятность того, что из восьми вошедших в шторм в этот пролив судов хотя бы три выйдут их него неповрежденными.

Задача 17. Караван из 4 судов пересекает минное поле, вероятность подрыва для каждого из судов считается равной 0,1.

Найти вероятность того, что не менее половины судов уцелеет.

Задача 18. Центр наблюдения поддерживает связь с шестью самолетами, выполняющими учебное задание при условии создания противником активных помех. Связь после ее нарушения не восстанавливается.

Вероятность потери связи за период выполнения задания 0,2.

Найти вероятность того, что в момент окончания задания центр потеряет связь не более чем с третью самолетов.

Задача 19. Обрабатывающий участок состоит из пяти однотипных станков. Вероятность того, что станок исправен 0,8. Плановое задание может быть выполнено, если исправно не менее трех станков.

Найти вероятность того, что плановое задание не будет выполнено.

Задача 20. Предварительный анализ показал, что для поражения военного объекта противника необходим прорыв к нему бомбардировщиков. Самолет поражается ПВО объекта с вероятностью 0,8.

Атаку ведут 8 самолетов.

Найти вероятность того, что объект будет поражен.

Задача 21. Для разорения страховой фирмы необходимо, чтобы в течение года из 10 застрахованных судов хотя бы 5 затонули. Вероятность потерпеть аварию для каждого из судов 1/20.

Найти вероятность того, что страховая фирма в течение года не разориться.

Задача 22. Страховая фирма застраховала 5 однотипных самолетов, каждый на 1 млн. денежных единиц, страховой взнос за каждый самолет фирма получила в размере 500 000 денежных единиц. Вероятность аварии самолета 0,01.

Найти вероятность того, что в течение страхового срока фирма будет иметь доход от этой операции.

Задача 23. Данные о состоянии погоды в некотором регионе сообщают автоматических метеостанций. Для получения уверенной информации для прогноза необходима исправная работа, по крайней мере, пяти из них. В течение года каждая из станций выходит из строя с вероятностью 0,1.

Найти вероятность того, что в течение года центр обработки наблюдений будет получать достаточную для уверенного прогноза информацию.

Задача 24. На ВЦ от каждого из 10 отделов предприятия в течение рабочего дня с вероятностью 0,2 может поступить заявка на выполнение однотипных расчетов. Расчеты ведутся в ночное время, причем до начала рабочего дня может быть выполнено не более 5 заказов.

Найти вероятность того, что не все поступившие на ВЦ заказы будут выполнены.

Задача 25. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле 0,6.

Для получения зачета достаточно, по крайней мере, трех попаданий.

Найти вероятность получить зачет по стрельбе, если делается выстрелов.

Задача 26. Контроллер ОТК проверяет 4 изделия на стандартность.

Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,8 для каждого изделия.

Найти вероятность того, что более половины проверенных изделий стандартно.

Задача 27. Девочка, имеющая 6 колец, бросает их на колышек по одному. Вероятность попадания при каждом броске равна 0,3.

Найти вероятность того, что не менее 4 колец попадут на колышек.

Задача 28. Производиться испытание 4 изделий на надежность.

Вероятность выдержать испытание для каждого изделия 0,7.

Найти вероятность того, что испытание выдержат хотя бы два изделия.

Задача 29. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,3.

Производиться 7 независимых выстрелов. Для разрушения цели необходимо, по крайней мере, четыре попадания.

Найти вероятность разрушения цели.

Задача 30. Устройство состоит из 5 независимо работающих элементов.

Вероятность отказа каждого элемента за год работы равна 0,15.

Найти вероятность того, что за год работы откажут менее трех элементов.

Тема Дискретные случайные величины Дискретной называют случайную величину X, принимающую конечное или счетное (можно перенумеровать) число значений: x1, x2,…. Значение xk принимается с некоторой вероятностью pk P( X xk ) 0. При этом Соответствие, которое каждому значению xk дискретной случайной величины X сопоставляет его вероятность pk, называется законом распределения случайной величины X.

Закон распределения обычно задается в виде таблицы, которая называется рядом распределения:

Функция распределения случайной величины F ( x) P( X x) в дискретном случае является кусочно-постоянной и может быть найдена по формуле Математическим ожиданием (средним значением) дискретной случайной величины X называется число: E ( X ) xk pk.

Если случайная величина принимает счетное число значений, то говорят что математическое ожидание существует, если ряд сходится, при расходимости ряда говорят, что математического ожидания не существует.

Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического Дисперсию удобно вычислять по формуле D(X) M(X 2 ) - (M(X))2.

Средним квадратичным отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии: ( X ) D( X ).

Среднее квадратичное отклонение является одной из характеристик рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее математического ожидания (см. с. 27-30, 32-36 учебного пособия).

В задачах часто используется биномиальное распределение, то есть распределение случайной величины X – числа наступления события A в п независимых опытах, в каждом из которых событие A может произойти с одной и той же вертятностью p. Случайная величина X принимает целочисленные значения m= 0, 1, …, n с вероятностями P( X m) C m p m (1 p) nm.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение случайной величины X, распределенной по биномиальному закону, находятся по формулам E ( X ) np, D( X ) npq, ( X ) npq, где q=1- p.

Для всех вариантов расшифровка задания: ” Построить* … отклонение… ” читается так: ” Построить ряд распределения, найти функцию распределения, математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение…”.

Задача 1. Спортсмен должен последовательно преодолеть 4 препятствия, каждое из которых преодолевается им с вероятностью p = 0,9. Если спортсмен не преодолевает какое-либо препятствие, он выбывает из соревнований.

Построить*…отклонение числа препятствий, преодолённых спортсменом.

Найти вероятность того, что спортсмен преодолеет:

а) не более двух препятствий;

б) более трёх препятствий.

Задача 2. Из коробки, в которой находятся 2 зелёных, 2 чёрных и красных стержней для шариковой руки, случайным образом извлекаются стержня.

Построить*… отклонение числа извлечённых стержней красного цвета.

Найти вероятность того, что при этом красных стержней будет:

а) не менее трёх б) хотя бы один.

Задача 3. База снабжает 6 магазинов. В течение дня от каждого из них с вероятностью 1/3 может поступить заявка.

Построить*… отклонение числа заявок, поступивших на базу за день.

Найти вероятность того, что их будет более пяти.

Задача 4. Наблюдение за районом осуществляется тремя радиолокационными станциями (РЛС). В район наблюдений попал объект, который обнаруживается любой радиолокационной станцией с вероятностью 0,2.

Построить*… отклонение числа РЛС, обнаруживших объект.

Найти вероятность того, что их будет не менее двух.

Задача 5. Опыт состоит из четырёх независимых подбрасываний двух правильных монет, т.е. выпадение герба и цифры равновозможные события.

Построить*… отклонение числа одновременного выпадения двух цифр.

Найти вероятность того, что это событие произойдёт не менее трёх раз.

Задача 6. Автоматизированную линию обслуживают 5 манипуляторов.

При плановом осмотре их поочередно проверяют. Если характеристики проверяемого манипулятора не удовлетворяют техническим условиям, вся линия останавливается для переналадки. Вероятность того, что при проверке характеристики манипулятора окажутся неудовлетворительными, равна 0,3.

Построить*… отклонение числа манипуляторов, проверенных до остановки линии.

Найти вероятность того, что до остановки линии будет проверено:

а) не более двух манипуляторов б) более трёх манипуляторов.

Задача 7. На пяти карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5. Две из карточек вынимаются наугад одновременно.

Построить*… отклонение суммы чисел, написанных на этих карточках.

Найти вероятность того, что эта сумма будет:

а) менее шести б) не менее пяти.

Задача 8. Производятся 4 независимых опыта, в каждом из которых с вероятностью 0,2; 0,4; 0,6; 0,8 соответственно может появиться случайное событие A.

Построить*… отклонение числа появлений события А.

Найти вероятность того, что А произойдёт не менее чем в половине опытов.

Задача 9. В коробке имеются 7 карандашей, из которых 5 красных. Из этой коробки наудачу извлекаются 3 карандаша.

Построить*… отклонение числа красных карандашей в выборке.

Найти вероятность того, что в выборке будет:

а) хотя бы один красный карандаш б) менее двух красных карандашей.

Pages: | 1 |

| 3 |

Главная >> Программы

[ СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ ДОКУМЕНТА .pdf ]

Похожие работы:

«ТЕКУЩИЕ МЕЖДУНАРОДНЫЕ И ВСЕРОССИЙСКИЕ ПРОЕКТЫ, КОНКУРСЫ, ГРАНТЫ, СТИПЕНДИИ (добавления по состоянию на 04 декабря 2012 г.) Декабрь 2012 года Стипендиальная программа Чивнинг (Великобритания) Конечный срок подачи заявки: 07 декабря 2012 года Веб-сайт: http://www.fco.gov.uk/en/about-us/what-we-do/scholarships/chevening/, http://www.chevening.org/ Программа стипендий Чивнинг является международной программой стипендий правительства Великобритании. Данная программа, основанная в 1983 году, помогает...»

«ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования НАЦИОНАЛЬНЫЙ МИНЕРАЛЬНО-СЫРЬЕВОЙ УНИВЕРСИТЕТ ГОРНЫЙ Согласовано Утверждаю _ _ Руководитель ООП Зав. кафедрой РМПИ по направлению 130400 проф. В.П.Зубов декан ГФ проф. О.И.Казанин ПРОГРАММА ИТОГОВОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА Направление подготовки (специальность): 130400 Горное дело...»

«Министерство образования и науки РФ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Самарский государственный университет Исторический факультет УТВЕРЖДАЮ Проректор по научной работе А.Ф. Крутов _ 2011 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Теоретические основы педагогической психологии. (ОД.А.06; цикл ОД.А.00 Обязательные дисциплины основной образовательной программы подготовки аспиранта по отрасли Психологические науки, специальность 19.00.07 –...»

«Учреждение образования Белорусский государственный технологический университет УТВЕРЖДЕНА Ректором БГТУ Профессором И.М. Жарским 11.03.2011 г. Регистрационный № УД-538/баз. ТЕХНОЛОГИЯ СТРОИТЕЛЬНОЙ КЕРАМИКИ Учебная программа для специальности 1-48 01 01 Химическая технология неорганических веществ, материалов и изделий специализации 1-48 01 01 09 Технология тонкой функциональной и строительной керамики 2011 г. 2 УДК66:546(073) ББК Т Рекомендована к утверждению: кафедрой технологии стекла и...»

«УТВЕРЖДАЮ Председатель приемной комиссии А.А.Серегин 20 марта 2014 г. ПРОГРАММА вступительных испытаний (профильного экзамена) для поступающих на обучение по программам магистратуры в обособленное структурное подразделение Азово-Черноморский инженерный институт федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ в 2014 году на направление подготовки 36.04.06 Агроинженерия Энергетический...»

«ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Калининградский государственный технический университет (ФГБОУ ВПО КГТУ) УТВЕРЖДАЮ Ректор _В.А.Волкогон 2012 г. ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА по специальности 05.18.07 – Биотехнология пищевых продуктов и биологических активных веществ Калининград 2012 Программа вступительного экзамена разработана: д.т.н., профессором кафедры пищевой...»

«Поздравляем коллектив и клиентов ГК Адепт с 10-летним юбилеем! Благодаря Вашему участию, труду и пониманию компания растет и достигает новых высот! Желаем нашим коллегам и партнерам здоровья, сил и упорства в работе, чтобы приобретенный ценный опыт и высокие результаты работы с каждым годом были все больше и лучше. В честь своего юбилея ГК Адепт в течение 10 недель накануне проводила серию бесплатных обучающих семинаров и вебинаров, а также дарила подарки, связанные с программами Адепт, своим...»

«УТВЕРЖДАЮ Первый проректор по учебной работе ФГБОУ ВПО Алтайский государственный университет Е.С. Аничкин марта 2014 г. ПРОГРАММА вступительного испытания для поступающих на обучение по направлению подготовки научнопедагогических кадров в аспирантуре 41.06.01 Политические науки и регионоведение (наименование направления) Предмет Специальная дисциплина Утверждено на заседании экзаменационной комиссии, протокол № от _ марта 2014 года. Председатель экзаменационной комиссии _ Я.Ю. Шашкова...»

«БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (БНТУ) УТВЕРЖДАЮ Декан факультета энергетического строительства БНТУ П.М. Богославчик _ Регистрационный № УД- _/р. Физика Учебная программа для студентов специальностей: I-70 04 02 Теплогазоснабжение, вентиляция и охрана воздушного бассейна Факультет: ФЭС Кафедра: “Физика” Курсы 1, 2 Семестры 2, 3, 4 Лекции 102 Экзамен 2, 3 семестр Практические (семинарские) Зачет – занятия 34 семестр Лабораторные занятия 85 Курсовой проект (работа) – нет Всего...»

«УТВЕРЖДЕНО ФФиСН, профессор факультета А. В.РУБАНОВ (подпись) (И.О.Фамилия) 2013 (дата утверждения) Регистрационный № УД-/р. ФИЛОСОФИЯ ЦИВИЛИЗАЦИЙ (II часть курса Социальная философия) Учебная программа для специальности: 1-21 02 01 философия Факультет философии и социальных наук Кафедра философии и методологии науки Курс: Семестр: Лекции: 16 часов КСР: 4 часа Зачет: 6 семестр Самостоятельная работа: 139 часов Всего аудиторных часов по дисциплине: Всего часов по дисциплине: 159 Форма получения...»

«Пояснительная записка Рабочая программа разработана на основе Примерной программы основного общего образования Физика 7-9 классы и авторской программы Е. М. Гутник, А. В. Прышкина Физика 7-9 классы, 2009 г. Значение физики в школьном образовании определяется ролью физической науки в жизни современного общества, е влиянием на темпы развития научно – технического прогресса. В задачи обучения физике входят: Развитие мышления учащихся, формирование у них умений самостоятельно приобретать и...»

«Всероссийский музей А.С. Пушкина Музей усадьба Г.Р. Державина Институт русской литературы (Пушкинский Дом) РАН Институт лингвистических исследований РАН 200 лет Беседе любителей русского слова Международная научная конференция 24 26 марта 2011 года Программа конференции 24 марта, четверг 10.30 11.00 — Регистрация участников 11.00 14.00 — Утреннее заседание Заседание ведут: С.М. Некрасов, Н.П. Морозова Вступительное слово Некрасов Сергей Михайлович, директор Всероссийского музея А.С. Пушкина...»

«СОДЕРЖАНИЕ 1. Общие положения 1.1. Основная образовательная программа (ООП) магистратуры (магистерская программа) 1.2. Нормативные документы для разработки магистерской программы 1.3. Общая характеристика магистерской программы 1.4 Требования к уровню подготовки, необходимому для освоения магистерской программы 2. Характеристика профессиональной деятельности выпускника магистерской программы 2.1. Область профессиональной деятельности выпускника 2.2. Объекты профессиональной деятельности...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Саратовский государственный аграрный университет имени Н.И. Вавилова РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ) ЭКОЛОГО-ЭКОНОМИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МЕРОПРИЯТИЙ ПО Дисциплина ПРОТИВОПОЖАРНОМУ ОБУСТРОЙСТВУ ТЕРРИТОРИЙ 280100.62 Природообустройство и Направление подготовки водопользование Профиль подготовки / специализация / Противопожарное...»

«Министерство образования и науки КБР Государственное казенное образовательное учреждение среднего профессионального образования Кабардино-Балкарский автомобильно-дорожный колледж Утверждаю: Директор ГКОУ СПО КБАДК М.А. Абрегов 2013 г. Программа подготовки квалифицированных рабочих, служащих по профессии 190631.01.01 Автомеханик Квалификация Слесарь по ремонту автомобилей. Водитель автомобиля, оператор заправочных станций форма подготовки - очная Нальчик, 2013 г. СОДЕРЖАНИЕ 1. ХАРАКТЕРИСТИКА...»

«Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Технологический институт филиал ФГОУ ВПО Ульяновская государственная сельскохозяйственная академия УТВЕРЖДАЮ Директор института Х.Х.Губейдуллин 27 сентября 2011 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КОНФЛИКТОЛОГИЯ Направление подготовки Направление подготовки 080200.62 Менеджмент Профиль подготовки Производственный менеджмент Квалификация (степень) выпускника – бакалавр. Составитель: Феонычев В.В., ст.преподаватель Димитровград – 1.Цели и задачи дисциплины:...»

«ОРГАНИЗАЦИЯ ОБЪЕДИНЕННЫХ НАЦИЙ КОНВЕНЦИЯ ПО БОРЬБЕ Distr. GENERAL С ОПУСТЫНИВАНИЕМ ICCD/COP(7)/CST/1 19 July 2005 RUSSIAN Original: ENGLISH КОНФЕРЕНЦИЯ СТОРОН Комитет по наук е и технике Седьмая сессия Найроби, 18-20 октября 2005 года Пункт 3 предварительной повестки дня УТВЕРЖДЕНИЕ ПОВЕСТКИ ДНЯ И ОРГАНИЗАЦИЯ РАБОТЫ Предварительная повестка дня и аннотации Записка секретариата СОДЕРЖАНИЕ Пункты Стр. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ПОВЕСТКА ДНЯ I. 1 АННОТАЦИИ К ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ ПОВЕСТКЕ ДНЯ. II. 2 - 41...»

«МИНОБРНАУКИ РОССИИ Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Вятский государственный гуманитарный университет в г. Кирово-Чепецке Кафедра бухгалтерского учета и информационных технологий УТВЕРЖДАЮ: Зав. кафедрой Е.В. Шубникова 09 ноября 2012 г. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС учебной дисциплины Аудит для специальности 080109.65 Бухгалтерский учет, анализ и аудит Кирово-Чепецк Учебно-методический комплекс составлен в...»

«Пояснительная записка Настоящая программа предназначена для поступающих в аспирантуру по кафедре физической географии по направлению 05.06.01 Науки о земле (направленность – 25.00.23 Физическая география и биогеография, география почв и биогеохимия ландшафтов). Программа подготовлена в соответствии с федеральными государственными стандартами высшего профессионального образования (уровень магистра (специалиста)). Введение Программа включает содержание профилирующих учебных дисциплин, входящих в...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Утверждаю: Ректор _ 200 г. Номер внутривузовской регистрации Основная образовательная программа высшего профессионального образования Направление подготовки 030200 Политология Политическая коммуникативистика Квалификация (степень) Магистр Томск 1. Общие положения Основная образовательная программа магистратуры (далее – магистерская 1.1. программа) Политическая...»

наверх

<< ГЛАВНАЯ | КОНТАКТЫ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА (Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

ЧАСТЬ III

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ЛИТЕРАТУРА

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)