[ «1.1.Требования ГОС по дисциплине и квалификационные требования Выпускник, получивший квалификацию учителя физики, должен быть готовым осуществлять обучение и воспитание обучающихся с учетом специфики преподаваемого ...»
1.1.Требования ГОС по дисциплине и квалификационные
требования
Выпускник, получивший квалификацию учителя физики, должен быть
готовым осуществлять обучение и воспитание обучающихся с учетом
специфики преподаваемого предмета; способствовать социализации,
формированию общей культуры личности, осознанному выбору и
последующему освоению профессиональных образовательных программ;
использовать разнообразные приемы, методы и средства обучения;
обеспечивать уровень подготовки обучающихся, соответствующий требованиям Государственного образовательного стандарта; осознавать необходимость соблюдения прав и свобод учащихся, предусмотренных Законом Российской Федерации "Об образовании", Конвенцией о правах ребенка, систематически повышать свою профессиональную квалификацию, участвовать в деятельности методических объединений и в других формах методической работы, осуществлять связь с родителями (лицами, их заменяющими), выполнять правила и нормы охраны труда, техники безопасности и противопожарной защиты, обеспечивать охрану жизни и здоровья учащихся в образовательном процессе.
Выпускник, получивший квалификацию учителя физики, подготовлен к выполнению основных видов профессиональной деятельности учителя математики, решению типовых профессиональных задач в учреждениях среднего общего (полного) образования.
Основная образовательная программа должна быть направлена на обеспечение профессиональной подготовки выпускника, воспитание у него гражданской ответственности, стремления к постоянному профессиональному росту и других личностных качеств. Это может быть достигнуто как включением в основную образовательную программу соответствующих курсов (разделов дисциплин), так и организацией внеаудиторной работы (научно-исследовательской, кружковой, конференций, семинаров, встреч с ведущими специалистами и т.д.).
1.2.Требования к обязательному минимуму содержания изучаемой дисциплины ДПП.ДДС. Дисциплина дополнительной специальности ДПП.ДДС.04 Теория вероятностей и математическая статистика Теория вероятностей и математическая статистика Статистические закономерности. Статистическая устойчивость и статистическое определение вероятности. Пространство элементарных событий, события. Аксиомы теории вероятностей. Свойства вероятности.
Условная вероятность и ее свойства. Формула полной вероятности.
Формулы Байеса. Независимость двух и n событий. Определение случайной величины, ее свойства. Дискретные случайные величины, закон распределения. Основные дискретные распределения: биномиальные, распределение Пуассона. Непрерывные случайные величины.
Геометрические вероятности. Понятие о методе Монте-Карло.
Независимость испытаний. Независимые испытания Бернулли. Предельные теоремы Пуассона и Лапласа. Практическое использование приближенных формул. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.
Дисперсия случайной величины и ее свойства. Среднее квадратичное отклонение. Понятие о моментах. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Понятие о центральной предельной теореме.
Задачи математической статистики. Оценка параметров распределения.
Доверительные интервалы. Задача об оценке независимой вероятности событий по частоте. Понятие о критериях согласия. Понятие о простейших случайных процессах.
2. Цели и задачи изучаемой дисциплины Курс “Теория вероятностей и математическая статистика” предусматривает две основные цели:
Мировоззренческая цель: познакомить студентов с математическим описанием закономерностей, имеющих место в массовых случайных событиях, и тем самым способствовать формированию у студентов статистического мышления и правильных представлений о таких категориях диалектики, как случайность, причинность, закономерность.
Профессиональная цель: подготовить студентов к преподаванию теории вероятностей в школе и формированию у учащихся элементов статистического мышления.
Этим целям соответствует выбор изучаемого материала и расстановка акцентов. В течение всего курса целесообразно знакомить студентов с историей теории вероятностей и её приложениями.
В результате изучения курса “Теория вероятностей и математическая статистика” студенты должны овладеть основными понятиями ( давать определение, разъяснять смысл, приводить примеры, иметь понятия о приложениях), уметь проводить простейшую статистическую обработку экспериментального материала.
Студенты должны быть знакомы с учебной литературой по теории вероятностей, научно-популярной литературой, литературой, адресованной школьникам.
3.Место дисциплины в профессиональной подготовке студентов Новые образовательные стандарты предусматривают введение в курс основной и средней школы элементов комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики. При этом достигается цель формирования у школьника простейших понятий конечной (дискретной) математики;
формирование стохастического мышления. Курс теории вероятностей и математической статистики служит подготовке специалиста к работе в новых условиях.
4. Распределение времени, отведенного на изучение дисциплины по учебному плану Форма учебной работы Форма обучения Общая трудоемкость, всего часов Семинары (с) Лабораторные занятия (лз) Другие виды аудиторных занятий Компьютерное тестирование (зачет, экзамен) 5. Тематический план для очной формы обучения:
Статистические закономерности. Статистическая устойчивость и статистическое определение вероятности.
Пространство элементарных событий, события. Аксиомы теории вероятностей.
Свойства вероятности. Условная вероятность и ее свойства.
Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
Независимость двух и n событий.
Определение случайной величины, ее свойства.
Дискретные случайные величины, закон распределения.
Основные дискретные распределения: биномиальные, распределение Пуассона.
Непрерывные случайные величины. Геометрические вероятности.
Понятие о методе Монте-Карло.
Независимость испытаний.
Независимые испытания Бернулли. Предельные теоремы Пуассона и Лапласа. Практическое использование приближенных формул.
Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Дисперсия случайной величины и ее свойства.
Среднее квадратичное отклонение. Понятие о моментах.
Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.
Теорема Бернулли. Понятие о центральной предельной теореме.
Задачи математической статистики.
Оценка параметров распределения. Доверительные интервалы.
Задача об оценке независимой вероятности событий по частоте.
Понятие о критериях согласия.
Статистическое оценивание и проверка гипотез, статистические методы обработки экспериментальных Понятие о простейших случайных процессах.
Статистические закономерности. Статистическая устойчивость и статистическое определение вероятности. Пространство элементарных событий, события. Аксиомы теории вероятностей. Свойства вероятности.
Условная вероятность и ее свойства. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Независимость двух и n событий.
Независимость испытаний. Независимые испытания Бернулли.
Предельные теоремы Пуассона и Лапласа. Практическое использование приближенных формул.
Случайные величины и их законы распределения.
Определение случайной величины, ее свойства. Дискретные случайные величины, закон распределения. Основные дискретные распределения: биномиальные, распределение Пуассона. Непрерывные случайные величины. Геометрические вероятности. Понятие о методе Монте-Карло. Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Среднее квадратичное отклонение. Понятие о моментах.
Неравенство Чебышева. Закон больших чисел.
Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
Понятие о центральной предельной теореме.
Задачи математической статистики. Оценка параметров распределения.
Доверительные интервалы. Задача об оценке независимой вероятности событий по частоте. Понятие о критериях согласия. Статистическое оценивание и проверка гипотез, статистические методы обработки экспериментальных данных. Понятие о простейших случайных процессах.
7. Список основной и дополнительной литературы 1. Боровков А.А. Теория вероятностей, М., Наука, 2. Венцель Е.С. Теория вероятностей, М., Наука, 3. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей, М., Наука, 4. Ивашев-Мусатов О.С. Теория вероятностей и математическая статистика, М., Физматиздат, 5. Лютикас В.Школьнику о теории вероятностей (учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 8-10 классов), М., Просвещение, 6. Солодовников А.С. Теория вероятностей, М., Просвещение, 7. Тарасов Л.В. Мир, построенный на вероятности (книга для учащихся), М., Просвещение, 8. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения, М., 9. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей, М., Наука, 10.Агапов Г.И. Задачник по теории вероятностей, М., Высшая школа, 11.Виленкин Н.Я., Потапов В.Г. Задачник-практикум по теории вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики, М., Просвещение, 12.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики, М., Высшая школа, 13.Сборник задач по теории вероятностей, математической статистики и теории случайных функций под редакцией Свешникова А.А., М., 8. Требования к уровню освоения программы, виды текущего, промежуточного и итогового контроля В результате изучения данной дисциплины студент должен:
Иметь представление о статистических закономерностях; случайном событии и статистическом определении вероятности; пространстве элементарных событий, аксиомах теории вероятности, свойствах вероятности, условной вероятности; независимости событий;
дискретной случайной величине, непрерывной случайной величине;
предельных теоремах Пуассона и Лапласа; математическом ожидании, дисперсии и среднем квадратическом отклонении; теоремах Чебышева, Бернулли; задачах математической статистики; о простейших случайных процессах.
Знать правила вычисления вероятностей случайных событий, формулы полной вероятности и Байеса, основные дискретные и непрерывные законы распределения, моменты случайных величин, оценки параметров распределения, доверительные интервалы.
Владеть методами нахождения вероятностей случайных событий, классическим определением вероятности, формулами Байеса, Бернулли, Лапласа, Пуассона, находить законы распределения случайных величин и их числовые характеристики, методами математической статистики, оценки параметров распределения и статистическими методами обработки экспериментальных данных.
Вопросы к зачету:
1. Статистические закономерности.
2. Статистическая устойчивость и статистическое определение 3. Пространство элементарных событий, события.
4. Аксиомы теории вероятностей. Свойства вероятности.
5. Условная вероятность и ее свойства.
6. Формула полной вероятности.
7. Формулы Байеса.
8. Независимость двух и n событий.
9. Определение случайной величины, ее свойства.
10.Дискретные случайные величины, закон распределения.
11.Основные дискретные распределения: биномиальные, распределение Пуассона.
12. Непрерывные случайные величины.
13. Геометрические вероятности.
14.Понятие о методе Монте-Карло.
15. Независимость испытаний.
16.Независимые испытания Бернулли.
17.Предельные теоремы Пуассона и Лапласа.
18.Практическое использование приближенных формул.
19. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.
20. Дисперсия случайной величины и ее свойства.
21. Среднее квадратичное отклонение.
22.Понятие о моментах.
23.Неравенство Чебышева.
24. Теорема Чебышева.
25.Теорема Бернулли.
26.Понятие о центральной предельной теореме.
27. Задачи математической статистики.
28. Оценка параметров распределения.
29.Доверительные интервалы.
30.Задача об оценке независимой вероятности событий по частоте.
31. Понятие о критериях согласия.
32.Статистическое оценивание и проверка гипотез, статистические методы обработки экспериментальных данных.
33. Понятие о простейших случайных процессах.
Сведения о переутверждении программы на очередной учебный год и Учебный Решение Внесенные Номера листов (страниц)
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ В.Г. БЕЛИНСКОГО
УДК ББК 22.КОМБИНАТОРИКА, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Печатается по решению РИС ПГПУ им. В.Г. Белинского УДК ББК 22. М.А. Родионов, Н. Н. Яремко. Комбинаторика, теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для старшеклассников и студентов.- Пенза: ПГПУ, 2006.-115 с.В предлагаемом учебном пособии представлен вариант изложения курса теории вероятностей и математической статистики. Одной из его особенностей является попытка такого представления стохастического материала, при котором определенная систематичность, важная с точки зрения принципа научности обучения, органично дополнялась бы с существенным дидактическим потенциалом наглядно-интуитивного подхода.
Наличие в тексте пособия многочисленных примеров, исторических «вкраплений», системы контроля, предусмотренная возможность компьютерной поддержки решения задач прикладного характера, позволяют значительно расширить его пользовательский диапазон, в который могут входить учащиеся старших классов, студенты непрофильных специальностей, образовательная область которых включает в себя стохастический материал (психологи, социологи, менеджеры и др.), будущие и действующие учителя математики, которые могут использовать предлагаемое содержание в качестве основы для соответствующего профильного или элективного курса.
Рекомендовано УМО по математике педвузов Волго-Вятского региона в качестве учебного пособия для студентов педагогических специальностей высших учебных заведений ISBN Рецензенты: доктор педагогических наук
, профессор, член-корр. РАО доктор физ.-мат. наук, профессор, академик РАЕН Е.М. Вечтомов
ВВЕДЕНИЕ
Как известно, согласно федеральному компоненту базисного учебного плана и государственному образовательному стандарту начального общего, среднего общего и среднего (полного) общего образования по математике, в школьный курс математики уже несколько лет включена новая содержательная линия «Анализ данных», предполагающая изучение элементов комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики. В соответствии с математического материала на уровнях основной и средней (полной) школ, начинаясь с 5-го и заканчиваясь в 11 классе.вероятностно-статистические знания в общеобразовательной подготовке современного человека, поскольку без минимальной вероятностностатистической грамотности трудно адекватно воспринимать социальную, политическую, экономическую информацию и принимать на ее основе обоснованные решения. Современные физика, химия, биология, весь комплекс социально-экономических наук простроены и развиваются на вероятностностатистической базе, и без соответствующей подготовки невозможно полноценное изучение этих дисциплин уже в средней школе.
содержательных (как в сугубо математическом, так и прикладном отношениях) примерах изучать различные явления и процессы, показывать известную универсальность математических методов, актуализировать основные этапы решения прикладных задач. Кроме того, изучение стохастики способствует коммуникативной культуры, способности ориентироваться во все более сложной социально-экономической обстановке. В частности, появляется возможность адекватно воспринимать и анализировать статистические информации, на их основе делать выводы и принимать «стохастически оправданные» решения.
Несмотря на явные достижения, полученные отечественной методической наукой, надо признать наличие ряда проблем в современном преподавании основ стохастики в школе и вузе.
Одной из таких проблем является дискретное, «точечное» распределение стохастического материала в общей структуре курса, которое не позволяет в должной мере продемонстрировать своеобразную идеологию рассматриваемой отрасли математики, существенно отличающейся от остальных математических разделов, а также не обеспечивает достаточно эффективное развитие мыслительных операций, лежащих в основе математической деятельности, которая наиболее характерна для этой отрасли (гибкость, вариативность, дивергентность, «комбинаторность», прогностичность и т.д.).
С другой стороны, довольно многочисленные систематические курсы теории вероятности и математической статистики, сориентированные на самые различные специальности, в силу излишней формализации зачастую не соответствуют запросам и способностям студентов гуманитарных и «окологуманитарных» специальностей (социологи, психологи, менеджеры и др.). Как следствие данного положения, можно отметить тот факт, что, казалось бы, два близкие между собой предмета «Теория вероятности и математическая статистика» и «Статистические методы в …(психологии, экономике, социологии и т.д.)» осознаются многими студентами как совершенно разные предметные области, причем первая из них, в отличие от второй, по их мнению, ничего общего с будущей профессиональной деятельностью не имеет.
профессиональным подходами в изложении стохастического материала может курс, в котором определенная систематичность, важная с точки зрения принципа научности обучения, органично дополнялась бы с существенным дидактическим потенциалом наглядно-интуитивного подхода. Попытка разработки такого курса представлена в настоящем пособии.
Содержание пособия включает в себя вполне традиционные разделы:
«Комбинаторика», Теория вероятности» и «Элементы математической статистики». В первом разделе рассматриваются основные принципы комбинаторики, с помощью многочисленных примеров раскрывается содержание ее основных понятий: размещений, перестановок и сочетаний. В заключение выводится формула бинома Ньютона и приводятся примеры ее использования.
В следующем разделе рассматривается понятие о случайном событии, рассматриваются классическое и статистическое определения вероятности, вводятся основные сопутствующие определения и алгоритмы. Специальному рассмотрению подвергаются испытания, удовлетворяющие схеме Бернулли. В частности, выделяются различные случаи реализации данной схемы, для каждого из которых вводится соответствующая формула расчета вероятности наступления какого-либо события в ходе проведения повторных независимых испытаний (формулы Бернулли, Лапласа и Пуассона).
математической статистики, задействуемые в прикладных исследованиях (меры центральной тенденции, меры рассеивания дискретных данных). Специальное внимание уделяется схеме реализации регрессионного анализа при решении простейших экспериментальных задач.
Изложение каждого вопроса, как правило, производится по единому плану:
1. В начале раздела предлагается одно или несколько заданий в качестве предлагаться на вводном этапе как материал для осмысления и дальнейшего обсуждения.
рассматриваемых стохастических конструкций, вводятся основные определения, и доказываются либо раскрываются на конкретных примерах осуществления обобщенного описания отношений соответствующего класса задач, и вводится по мере возможности общий алгоритм их решения.
3. Далее в ходе совместной работы разбираются наиболее типичные задачные ситуации, демонстрирующие специфику реализации введенного аппарата и в определенной мере «намечающие» область его применимости.
самостоятельного решения задач происходит закрепление на практике изучаемого вопроса. При этом во главу угла ставится не столько полноценное усвоение всех особенностей того или иного метода, сколько актуализация математической подготовки. Решение же последней задачи наиболее эффективно при такой организации учебного процесса, когда отдельные познавательные действия естественным образом вытекают из коллективного характера обсуждения различных вариантов решения.
Выделим ряд положений, лежащих в основе методического аппарата предлагаемой работы:
“правдоподобных” рассуждений наглядно-интуитивного характера.
Недостаточный учет этого требования подспудно содержит в себе опасность несоответствия достигнутой обучаемым стадии психического развития (а также преобладающего компонента их мышления) и характера изложения учебного материала, что, с одной стороны, может привести к нарушению доступности изложения, а с другой – его систематичности и логической обоснованности.
Применительно к предлагаемому курсу сказанное предполагает, в частности, широкую направленность на раскрытие содержания существенных закономерностей “функционирования” аналитических объектов в ходе рассмотрения заданий с четко выраженной «реальной» составляющей, а также визуализацию этих объектов в виде зрительных образов для целесообразной актуализации геометрической интуиции школьников и студентов.
В пособии целенаправленно соблюдается приоритет теории над практикой. Данный приоритет обусловлен приверженностью авторов к таким формам и методам обучения, при которых способы решения задач открываются самими учениками в ходе совместной и индивидуальной поисковой деятельности. В соответствии со сказанным, подавляющую часть материала пособия представляют задачи, которые используются на всех этапах работы:
при раскрытии содержания тех или иных понятий и приемов решения задач, при первичном закреплении введенных формулировок и алгоритмов, в ходе самостоятельной работы, при показе дальнейших перспектив развития материала, при повторении и контроле. Неоднократное успешное применение усвоенных способов позволяет учащимся воспринимать их как собственные «интеллектуальные достояния», а сам поиск и приобретение подобного рода интеллектуальных ценностей становится внутренней потребностью личности.
Следующее положение обуславливает целесообразность компьютерной поддержки материала. Оно совершенно естественно вытекает из специфики содержания предлагаемого курса. Как известно, все выполняемые при помощи компьютера преобразования любой информации реализуются посредством вычислений. Именно числовые конструкции, в том числе, и «стохастические»
— это «родной язык» ЭВМ! И, чтобы стать действительно массовым инструментом, эти конструкции изначально «обречены» были обрести достаточно простое обрамление, привычное для пользователя, на основе объединения соответствующего математического аппарата с электронными таблицами, встроенными в стандартные программные оболочки.
Применительно к теории вероятности и математической статистике, программные средства и, в частности, существующие специализированные математические пакеты программ типа MathCAD, Maple, Statistica, в настоящее время могут не только производить подавляющее большинство необходимых расчетов в рамках основных разделов данного курса, но и, во многих случаях, служить катализатором процессов обработки «не вполне детерминированной»
информации, позволяя пользователю решать возникающие проблемы на всех стадиях моделирования вероятностных процессов. Однако, освоение самих этих пакетов является совершенно самостоятельной задачей, далеко выходящей за рамки функциональных возможностей предлагаемого пособия. В то же время в курс информатики и в школе, и на всех специальностях вузов включено обязательное изучение электронных таблиц Excel. Поэтому авторам пособия, исходя из его функционального назначения, представилось вполне оправданным ограничиться использованием пакета Excel, позволяющим решить подавляющее большинство предлагаемых стохастических задач.
необходимость его обогащения личностно и профессионально значимым материалом. Определяя технологию «внедрения» в содержание курса такого материала, авторы, в качестве одного из ее компонентов, предусмотрели задания, предметная область которых содержит понятия, связанные с реальными «внематическими» представлениями учащихся, либо знакомые по базовому курсу математики. С учетом функциональных особенностей курса в качестве таких заданий в основном предлагались так называемые «псевдореальные задачи», процесс решения таких задач как бы «монологичен», он не требует специальных доопределений и уточнений, характерных для «настоящих» прикладных задач. Эффективность рассмотрения таких задач предполагает соблюдение следующего минимального набора требований.
1. Данные задачи должны соответствовать реальным характеристикам описываемых стохастических процедур.
2. Фабула задачи должна быть относительно «близка по духу»
решающему, отражая значимые стороны его опыта.
3. Арсенал математических средств, освоенных учащимися, должен быть достаточен для решения задачи на уровне, соответствующем данному этапу математической подготовки.
К другим возможностям обогащения содержания предлагаемого курса можно отнести:
1. Привлечение к изложению максимально возможно широкого круга проблем, рассматриваемых в смежных дисциплинах и реальной жизненной практике.
В частности, в пособии затрагивается уже ставшая классической задача регрессионного анализа выборки биржевых ставок, решение которой полностью соответствует последовательности этапов, характерной для любой прикладной деятельности: анализ реальной ситуации с графическим представлением; постановка задачи; выбор, построение и исследование регрессионной модели; интерпретация полученной модели в контексте изначально сформулированной проблемы.
стохастических понятий и методов под воздействием потребностей общественной практики на основе привлечения к основной линии изложения историко-математической информации.
Реализация указанных положений позволяет значительно расширить его пользовательский диапазон, включающий в себя старшеклассников, студентов непрофильных специальностей вузов, будущих и действующих учителей математики, которые могут использовать предлагаемое содержание в качестве основы для соответствующего профильного или элективного курса. Авторы пособия надеются, что его содержание будет востребовано потенциальными пользователями и окажет им определенную помощь в работе и учебе.
ЧАСТЬ I
КОМБИНАТОРИКА
Комбинаторная математика, известная также под названием комбинаторика, является математической дисциплиной, возникшей в древние времена. Многие из задач, которые изучали в прошлом ради развлечения или в силу их эстетической красоты, приобрели в наши дни современное звучание и положили начало развитию комбинаторных методов. Согласно легенде, китайский император Ю наблюдал "магический квадрат" на панцире некоей божественной черепахи.Это первый из известных "магических квадратов":, то есть таких у которых сумма цифр по строкам, столбцам и диагоналям одинакова. В Древней Греции комбинаторикой усиленно занимались Пифагор и его ученики. Они считали, что миром правят числа. Символом совершенства служили числа, равные сумме своих делителей. Например: 6 = 1 + 2 + 3, 28 =1 + 2 + 4+7 + 14. Эти числа были названы совершенными. Символом дружбы служили "дружественные числа", каждое из которых равно сумме делителей другого числа. Например, 220 и 284. Отыскание таких чисел требовало комбинаторного искусства.
Современная комбинаторика находит применение в биологии при изучении состава белков и ДНК, в химии, в кристаллографии, в экономическом моделировании процессов управления производством, в археологии при изучении древних письменностей, в криминальной науке для разгадки секретных шифров, в математическом программировании, планировании экспериментов.
Комбинаторика изучает расположение элементов в множествах. Обычно число элементов конечно, а их расположение обусловлено определёнными ограничительными условиями. Рассматривают два наиболее общих типа задач.
Первый - ограничительные условия таковы, что существование самой комбинации сомнительно, и исследование состоит в попытках доказать существование этой комбинации. Такие задачи называются проблемами существования. Второй - существование комбинации известно, а при исследовании стремятся определить число комбинаций. Такие задачи называются перечислительными.
Примеры задач первого типа.
Существуют ли другие "магические квадраты"?
П р и м е р 2. Можно ли произвольную географическую карту раскрасить при помощи 4-х красок так, чтобы любые две соседние страны на карте имели бы разный цвет?
Эта задача называется "проблемой 4-х красок". Она была поставлена более 100 лет тому назад. Утвердительное её решение было получено лишь в 1984 г.
Другие примеры задач первого типа дают комбинации, которые встречаются в играх в шахматы, шашки, домино.
Примеры задач второго типа.
П р и м е р 3. Сколько трехбуквенных "слов", в том числе и бессмысленных, можно получить из букв слова "кот", если каждую букву можно использовать только один раз?
Нетрудно перечислись все возможные "слова": кот, кто, отк, окт, ток, тко.
Таких “слов” будет 6.
Для того, чтобы сделать решение наглядным, применяют графическое изображение решения в виде « дерева» (см. рис.1).
По числу последних ветвей «дерева» даётся ответ задачи: 6 «слов». В математике такие рисунки называются графами. «Дерево» - один из примеров графа.
П р и м е р 4. В первенстве по волейболу участвует 6 команд. Сколько игр надо провести, чтобы каждая команда сыграла с каждой другой командой один раз?
Если составить календарь игр (см. рис. 2), то легко найти число проведенных встреч.
Примеры 3 и 4 решались путем простого пересчета требуемых вариантов.
Но очевидно, что более громоздкие задачи потребуют общих приемов и методов. Разработкой этих методов и занимается комбинаторика.
П р и м е р 5. (Задача о коммивояжере.) Составить маршрут авиапутешествия, при котором а) удастся побывать в каждом из 5 городов России: Москве, Санкт-Петербурге, Сочи, Пензе, Екатеринбурге;
б) стоимость проезда будет наименьшей.
Решение этой задачи требует знаний не только комбинаторики и поэтому здесь не может быть приведено.
В данном пособии рассматриваются задачи лишь второго типа, то есть перечислительные задачи, разъясняются простейшие методы и правила комбинаторики, дается достаточное количество упражнений.
1.2. Принципы комбинаторики. Принцип умножения.
В основе решения комбинаторных задач лежат два важных результата, которые ввиду их значимости называют принципами комбинаторики.
П р и м е р 6. Сколько разных трехбуквенных "слов" (в том числе и бессмысленных) можно составить из букв слова "ромб", если каждую букву можно использовать не более одного раза?
Буквы будем записывать в трех клеточках полоски Имеется 4 способа занять первую клетку. В каждом из таких 4-х способов имеется 3 способа занять вторую клетку. Таким образом, есть 4 3 = способов занять I и 2 клетки. В каждом из этих 12 способов есть 2 способа занять 3-ью клетку. Всего получаем 12 2 = 24 способа занять все три клетки.
Полезно проиллюстрировать решение в виде дерева.(см. рис.3) Чтобы не загромождать картинку, последнюю ветвь дерева часто приводят не полностью.
Анализируя этот граф, можно заключить, что каждая основная ветвь делится на одно и то же число ветвей: первая ветвь делится на 4 ветви, вторая ветвь делится на 3 ветви, третья ветвь делится на две ветви. Количество концевых ветвей равно произведению чисел 4, 3 и 2, то есть равно 24. Таким образом, из букв слова "ромб" можно составив 24 трёхбуквенных "слова".
Принцип умножения. Если элемент а пары (а,b) можно выбрать kспособами, и для каждого из таких способов элемент в пары (а,b) можно выбрать l способами, то оба элемента, то есть пару (а,b) можно выбрать k l способами.
Доказательства не приводим. Иллюстрируем принцип умножения графом.(см. рис.4) Он имеет вид дерева, у которого k основных ветвей и каждая из них делится на l ветвей.
См. рисунок-4 при k=4, l = 2. Число концевых ветвей kl = 42 = 8.
Посмотрите на схему ( рис.5). Она удобна для запоминания принципа умножения.
Элемент а в паре может быть выбран k способами, элемент b в той же может быть выбран l способами, тогда пара выбрана k. l способами.
На практике принцип умножения может применяться несколько раз. Вот как он выглядит для троек элементов:
П р и м е р 7. Сколько различных полных обедов можно составить, если в меню 3 первых, 4 вторых и 2 третьих блюда?
По принципу умножения находим 34 2= 24, то есть из данных блюд можно составить 24 полных обеда.
Нарисуйте дерево для этого примера.
П р и м е р 8. Сколько можно получить различных четырехзначных чисел, вставляя пропущенные цифры вместо знака * в число *2 *5?
По принципу умножения находим 9 10 = 90 чисел (на первом месте цифра стоять не может).
П р и м е р 9. Сколько семибуквенных "слов" можно получить из букв слова "выборка", если каждую букву можно использовать только один раз?
Существует 7 способов занять первую клетку, ведь мы можем использовать любую из имеющихся семи букв: в, ы, б, о, р, к, а. В любом из таких вариантов имеется 6 способов занять вторую клетку, например, если первой записана буква б, то во вторую клетку можно записать любую из букв, кроме б, то есть буквы в, н, о, р, к, а - их всего 6. Аналогично, в третью клетку можно записать любую из пяти оставшихся букв, так как две буквы из первоначально имеющихся семи уже выбраны, и т.д. По принципу умножения находим общее число "слов":
7654 321= 5040. Попробуйте построить дерево или его часть для этого примера.
П р и м е р 10. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр {0,2, 4, 6, 8}, при условии, что цифры в этом двузначном числе могут повторяться?
На первое место (то есть на место десятков) можно поставить любую из цифр 2, 4, 6, 8 (цифра 0 не используется, т.к число не может начинаться с 0). Цифры в числе могут повторять, поэтому на второе место можно поставить любую из пяти цифр 0, 2, 4, 6, 8. По принципу умножения находим общее число двузначных чисел, составленных из цифр 0, 2, 4, 6, 8 равно: 4 5=20. Получили, что из цифр {0, 2, 4, 6, 8} можно составить 20 двухзначных чисел.
1.3. Принципы комбинаторики. Принцип сложения.
Имеем два множества: А={A1, A2, …, Ak} и B={ b1, b2, …, bl} без общих элементов. Нужно выбрать только один элемент или из множества А или из множества B. Сколькими способам это можно сделать? На этот вопрос отвечает принцип сложения. Посмотрите на схему.
Выбрать один элемент из множеств А или В можно k + l способами.
Принцип сложения. Если множества А и В не имеют общих элементов, и элемент a можно выбрать из множества А k споcобами, а элемент b можно выбрать из множества В l другими способами, то число способов выбрать элемент " a или b " равно k+1.
Пример 11. На книжной полке стоят 20 книг по алгебре, 12 книг по геометрии, 25 книг по литературе. Сколькими способами можно выбрать книгу по математике?
{ книге по алгебре) {книги по геометрии} {книги по литературе} По принципу сложения получим: 20 +12= 32 способа.
Пример 12. В универсаме в продаже имеется 100 наименований продовольственных товаров, 50 промышленных и 75 хозяйственных.
Сколькими способами можно выбрать непродовольственный товар?
По принципу сложения получаем ответ: 50+ 75 = 125 способов.
1. В магазине имеется 6 сортов шоколадных конфет и 4 сорта карамели.
Сколько различных покупок конфет одного сорта можно сделать в этом магазине? Сколько можно сделать различных покупок, содержащих один сорт шоколадных конфет и один сорт карамели?
Ответ: 10, 24.
2. Первое предприятие производит 7 различных видов продукции, а второе предприятие - 9. Между предприятиями заключен договор об обмене одним видом своей продукции. Сколькими способами этот обмен может быть осуществлен?
Ответ: 63.
3. Сколько различных трехзначных чисел меньших 400 можно составить из цифр 1,3,5,7,9 при условии, что цифры в записи числа не повторяются?
Ответ: 24.
4. Сколько может существовать телефонных номеров вида 33-45-**?
5. Сколько можно получить различных четырехзначных чисел, вставляя пропущенные цифры на место знака * в число 3* 7*?
6. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?
7. Для запирания сейфов применяют секретные замки, которые открываются лишь тогда, когда набрано "тайное слово". Известно, что "тайное слово" состоит из 5 букв, которые берутся из множества {А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, 3, И, К} и могут повторяться. Сколько неудачных попыток для вскрытия сейфа может быть сделано преступником, не знающим "тайного слова" и набирающим его наудачу?
Сколько пятибуквенных "слов" можно образовать из букв а, б, в, если 1) буква а занимает только первое и второе места в слове? 2) слово начинается слогом "ба"?
9. Сколько "слов", содержащих 6 букв, можно составить из 33 букв русского алфавита при условии, что любые две стоящие рядом буквы различны?
(Например, слово "корова" допускается, а слово "колосс" нет.) Ответ: 333232323232.
10. Имеется 5 билетов денежно-вещевой лотереи, 6 билетов спортлото и билетов автомотолотереи. Сколькими способами можно выбрать один билет спортлото или автомотолотереи?
11. Сколько существует различных положений, в которых могут оказаться четыре переключателя, если каждый из них может быть включен или выключен? Постройте "дерево".
12. В магазине в продаже имеются 15 телевизоров "Сони", 25 телевизоров «Панасоник» и 30 телевизоров "Самсунг". Покупатель решил купить телевизор "Сони" или "Самсунг". Сколькими способами он может это осуществить?
13. В трех ящиках лежат одинаковые детали: в первом - 10 деталей, во втором - 15 деталей, в третьем - 20 деталей. Сколько существует способов извлечь деталь из первого или третьего ящика?
14. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набирает их наудачу. Сколько неудачных попыток может сделать абонент, прежде чем дозвонится?
2. Выборка. Размещения, перестановки и сочетания без 2.1. Выборка, основные виды выборок.
Выборка - одно из главных понятий комбинаторики. Определим это понятие. Пусть мы имеем множество S, состоящее из n элементов.
Определение 2.1. Любой набор, составленный из m элементов множества S, называется выборкой объема m из множества S.
Основные виды выборок: упорядоченные, неупорядоченные, с повторениями, без повторений.
Рассмотрим вначале эти понятия на примерах, а затем опишем в общем виде.
П р и м е р 1. В магазине имеется определенный набор молочных продуктов: молоко, кефир, ряженка, творог, сметана. Этот перечень множество S, n= 5. Мы делаем покупки: одна бутылка молока, пачка творога, баночка сметаны - это выборка из множества S объема m= 3. Порядок, в каком мы делаем покупки, роли не играет, поэтому выборка неупорядоченная.
Каждый из продуктов выбран в одном экземпляре, поэтому такая выборка называется выборкой без повторений.
П р и м е р 2. Учитель входит в класс и назначает 2-х дежурных из присутствующих в классе учеников. Учитель осуществляет выборку из множества S, n=25, объема m= 2. Порядок, в котором названы ученики, роли не играет, поэтому выборка неупорядоченная. Дежурить могут два разных ученика, поэтому выборка без повторений.
П р и м е р 3. Из нечетных цифр составляются трехзначные числа а) так, чтобы все цифры в числе были различны; б) так, чтобы цифры в числе могли повторяться.
Имеем: S= {1, 3, 5, 7, 9}, n= 5.
а) Составляем выборки объема m = 3: составляем числа 351, 513, 719, и т.д. Порядок выбора цифр играет существенную роль, так как, например, числа 351 и 513 различны. Получаем, что выборка упорядоченная. В этом примере требуется, чтобы цифры в числе не повторялись, поэтому выборка без повторений.
б) Составляем выборки объема m= 3: 355, 535, 917, 119 и т.д. Это выборки упорядоченные с повторениями.
П р и м е р 4. Имеем 4 светофора, у каждого из которых два световых сигнала: красный (к) и зеленый (з). Пример выборки:
Здесь S= {к, з}, n= 2. Выборка объёма m= 4, упорядоченная с повторениями. Символически ее можно записать так (к, з, з, з).
Элементы, составляющие упорядоченные выборки, принято заключать в круглые скобки, для неупорядоченных выборок используют фигурные скобки.
П р и м е р 5. В кондитерском магазине продают пирожные 3-х сортов:
песочные (п), заварные (з), воздушные (в). Нужно купить б пирожных.
Примеры покупок (выборок): {п, п, з,з,в,в}, {п, з, з, в, в, п} - это одинаковые выборки ; {п, з, з, з, в, в}, {п, п, п, з, з, з}, {п, з, з, з, в, в} и т.д. Имеем выборки неупорядоченные с повторениями.
П р и м е р 6. В велогонке участвуют 17 спортсменов под номерами от до 17. На электронном табло высвечивают номера трех лидеров.
Имеем S={№1,№2,…,№ 17}, n= 17. Выборка {№3,№1,№ 15} объема m = означает, что первыми идут участники с номерами 3, 1, 15. Выборка объема m = 3 упорядоченная без повторений.
Дадим описание основных типов выборок.
Выборка упорядоченная, если в задаче важен порядок элементов, образующих выборку.
Выборка неупорядоченная, если в задаче не важен порядок элементов, образующих выборку.
Выборка без повторений, если после каждого извлечения элемента из множества S этот элемент не возвращается обратно в S и не может быть повторно использован в данной выборке.
Выборка с повторениями, если после каждого извлечения элемента из множества S этот элемент возвращается обратно в S и может быть повторно использован в данной выборке (эту ситуацию можно несколько видоизменить:
считать, что тотчас же в S появляется точно такой же элемент).
2.2. Размещения, перестановки, сочетания без повторений.
Определение 2.2. Упорядоченная без повторений выборка из nэлементного множества S по m элементов называется размещением без повторений из n по m. Число всех таких размещений обозначают Anm (следует читать "А из n по m ").
Определение 2.З. Размещение из n по n называется перестановкой.
Число всех перестановок обозначают Pn, то есть Pn Ann.
Определение 2.4. Неупорядоченная без повторений выборка из nэлементного множества S по m элементов называется сочетанием без повторений из n по m. Число всех таких сочетаний обозначают Cnm (следует читать "це из n по m "). По определению считают Cn0 1 и С00 1.
Т е о р е м а 2.1. A m = n(n-1)(n-2)…(n-(m-1)).
Доказательство. Первый элемент можно выбрать n способами, после этого второй элемент можно выбрать (n-1) способами (так как второй элемент не такой, как первый). Далее: третий элемент можно выбрать (n-2) способами (так как третий элемент не такой, как первый, и не такой, как второй) и т.д..
Последний элемент можно выбрать n-(m-1) способом. По правилу произведения Следствие. Рn=Ann=n(n-1)(n-2)…(n-(n-1))=n(n-1)…2 1=n!
(n! читают «эн факториал»).
Доказательство. Пусть число сочетаний без повторений есть Х. В каждом из таких сочетаний по определению порядок не важен. Сочетания состоят из m элементов. Упорядочить каждый m- элементный набор можно Р m способами:
Р m - это число перестановок, которые можно составить из m -элементного множества (см. следствие из теоремы 2.1). Итак, 1-ое сочетание можно упорядочить Р m способами, 2-ое сочетание - Р m, способами, 3-ье - Р m, способаР m способами. Значит, все X сочетаний можно ми, Х-ое сочетание упорядочить X Р m способами. С другой стороны, число способов упорядочить все X сочетаний равно числу размещений из n по m, то есть Аmn. Итак, X Р m = Amn. Откуда Числа C n0, C n,..., C nn называют биномиальными коэффициентами. Для их нахождения при малых значениях числа n удобно применять схему Паскаля, так называемый треугольник Паскаля:
В нем все промежуточные значения вычисляем как суммы чисел предыдущей строки, стоящих слева и справа от вычисляемого значения. Так, например, число 10 = 4 + 6.
Итак, теоремы 2.1 и 2.2 дают важнейшие формулы иллюстрирующий изложенное. Имеем множество S = {а,в,с,d...}, состоящее из n элементов, элементы не повторяются. Множество S мы изобразим в виде "мешка", в котором "лежат" в беспорядке элементы а, в, с, d. Осуществляем выборку объема m,, то есть будем считать, что мы "вынимаем" из "мешка" m элементов. Если "вынутые" элементы упорядочиваются, то есть располагаются по порядку в строчку, то получаем размещения из n элементов по m ; если же не упорядочиваются, то есть помещаются в другой "мешок" в беспорядке, то будем иметь сочетания из n элементов по m. Чтобы запомнить, что n- нижний индекс, а m- верхний индекс в формулах для числа размещений Аnm и числа сочетаний Сnm,этот рисунок также удобен: n- элементов находятся “внизу”, в “мешке”, и из них мы “поднимаем” вверх m элементов.
П р и м е р 7. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6,7, если цифры в числе не повторяются?
Множество S = {1,2,3,4,5,6,7}, n =7. Выборки (3,2,1), (5,1,7), (7,1,5) и т.д.
дают числа 321, 517, 715. Имеем упорядоченную выборку из 7 элементов по без повторений. Таких выборок всего будет А73=7 6 5=210.
Этот пример можно решить и по принципу умножения.
Подумайте, каким будет решение, если допустить, что цифры в числе могут повторяться.
П р и м е р 8. Совет директоров компании состоит из 12 человек.
Сколькими способами можно составить из них делегацию из 3-х человек для переговоров с конкурентами?
Занумеруем членов совета числами от I до 12, получим множество S ={1,2,3,...,12}, n= 12. Примеры выборок (m = 3) : {1,4,12}, {3,8,12} и т.д.
Выборки неупорядоченные, без повторений. Имеем:
Упражнения.
1. Сколькими различными способами можно рассадить в ряд 6 учащихся на шесть свободных мест?
Ответ: 6!
2. Сколькими различными способами можно рассадить в ряд учащихся на 10 свободных мест?
3. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1,2,3,4. при условии, что каждая цифра в записи встречается один раз?
Ответ: 24.
4. Решить уравнения: а) Ax21 156 ; б) Ax2 C 1 256.
Ответ: а) 12; б) 16.
5. Сколькими способам можно выбрать две согласные из букв слова "логарифм"?
Ответ: 10.
6. Совет директоров компании состоит из 15 человек. Сколькими способами на них можно выбрать председателя и его заместителя?
Ответ: A 7. В шахматном турнире сыграно 210 партий, причем каждый участник сыграл с каждым из остальных участников по одной партии. Сколько человек участвовало в турнире?
Ответ: 21.
Ответ: 2 или 3.
9. Упростить выражение:
Ответ: (n-2)2.
10. Сколько всего семизначных телефонных номеров, в каждом из которых ни одна цифра не повторяется?
Ответ: A10.
11. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке?
Ответ: 7!
12. Сколькими способами читатель может выбрать 2 книги из имеющихся?
Ответ: 10.
13. Из 15 солдат надо отправить троих в разведку. Сколькими способами можно сделать выбор?
Ответ: С315.
14. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского на любой другой из этих пяти языков?
Ответ:10.
Указание: S= {р, а, ф, н, м}. Пример выборки: (а, ф) (то есть англофранцузский словарь), выборка упорядоченная без повторений.
15. Сколько "слов", каждое из которых состоит из семи различных букв, можно составить из букв слова "станция"? Ответ: Р7.
16. Сколькими способами 10 человек могут встать в очередь друг за другом?
Ответ: Р10.
17.У человека имеется 9 книг. Сколькими способами он может выбрать книги на обмен?
Ответ: С 18. Сколькими способами можно выбрать трех коней из набора шахматных фигур? Ответ : С34.
Указание: в наборе шахмат имеется 4 коня.
3. Размещения и сочетания с повторениями.
Введем понятия размещения с повторениями и сочетания с повторениями.
Определение 3.1. Упорядоченная с повторениями выборка из nэлементного множества S по m элементов называется размещением с повторениями из n по m. Число всех таких размещений обозначают A m.
Определение 3.2. Неупорядоченная с повторениями выборка из nэлементного множества S по m элементов называется сочетанием с повторениями из n по m. Число всех таких сочетаний обозначают С m.
С помощью принципа умножения можно доказать формулы Принципы умножения и сложения, основные формулы из п. 2 и п. позволяют решать простейшие комбинаторные задачи. Предложим план, по которому удобно работать.
1. Указать множество S и найти n - число его элементов.
2. Выяснить, что является выборкой, и найти m – объем выборки.
3. Определить вид выборки: а) упорядоченная – неупорядоченная; б) с повторениями - без повторений.
4. Подсчитать число выборок по соответствующей формуле.
П р и м е р 1. На железнодорожной станции имеется 5 светофоров.
Сколько может быть различных комбинаций их сигналов, если светофор имеет три состояния: красный (к), желтый (ж), зеленый (з)?
1. S={ к, ж, з}. Обратите внимание, S - это множество цветов, а не светофоров, n= 3.
3.а} Выборка упорядоченная.
имеем размещения с повторениями, то есть число комбинаций равно A 3.
Ответ:
Эту задачу можно было бы решить и по правилу умножения.
П р и м е р 2. Сколькими способами можно разложить в два кармана монет разного достоинства?
I. S= {правый, левый} (обратите внимание, S - это множество карманов, но не монет), n = 2.
2. Пример выборки:
Приведенную запись понимают так: 1 коп. - в левый, 2 коп. - в левый, 3 коп. - в правый, 5 коп. - в левый карман и т.д. Объем выборки m = 9.
3а) Выборка упорядоченная.
Ответ: А29 = 29= 512.
П р и м е р 3. В почтовом отделении продаются открытки 10 видов, Сколькими способами можно купить здесь набор из 8 открыток, если открыток каждого вида имеется не менее восьми штук?
открыток, n = 10.
За). Выборка неупорядоченная.
б). Выборка с повторениями.
имеем сочетания с повторениями C10.
П р и м е р 4. В кондитерском магазине продаются пирожные 4-х видов: эклеры (э), наполеоны (н), бисквиты (б) и песочные (п). Сколькими способами покупатель может выбрать 10 пирожных?
1. S= {э, н, б, п,} n=4.
2. Пример выборки:{э, э, э, э, н, н, б, п, п, п} m=10.
4.Ответ:
П р и м е р 5. В секции "Подарки" универмага имеется в продаже разных видов подарочных наборов по цене 100 рублей каждый. Сколько имеется способов потратить 1000 рублей на покупку праздничных наборов, если 1) все наборы должны быть различными;
2) наборы могут повторяться.
На 1000 рублей можно купить всего 1000:100 = 10 наборов.
1). 1. S = {I, 2, 3,..., 19, 20}, n = 20. Здесь цифрами I, 2,..., 20 обозначены виды наборов, 2. Пример выборки: {I, 3, 5, 7, 4, 6, 19, 18, 10, 11} m = 10.
2. Примеры выборок: {1, 3, 5, 7, 4, 6, 19, 18, 10, 11} и {1, 1, 1, 1, 1 1, 1, 1, 10, 11}, m = 10.
4. Ответ:
1. Сколько хорд можно провести через 6 точек, лежащих на одной окружности?
2. Сколькими способами можно распределить 12 различных учебников между 4 школьниками?
Ответ: А412.
Указание: S={а, в, с, д}, где буквами а, в, с, д обозначены школьники.
при этой выборке ученик а получает I, 2, 3, 4, 12 учебники, в - получает 5, 6, 11 учебники, с - 7, 10 учебники и д - 8 и 9 учебники.
3. В состав сборной включены 6 нападающих. Сколькими способами тренер может выставить на поле 3-х нападающих?
Ответ: С63.
4. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?
Ответ: A46.
5: Сколько шестизначных чисел можно написать с помощью цифр а) 8 и 9? б) 0 и I?
Ответ: а) А26 ; б) А2.
6. Сколько можно построить различных прямоугольных параллелепипедов, если длина каждого его ребра выражается любым целым числом от I до 10?
7. Четверо школьников сдают экзамен. Сколькими способами могут быть поставлены им отметки, если известно, что никто из них не получил неудовлетворительной оценки?
Ответ: А 8. Сколькими способами 7 пассажиров могут распределиться по 12 вагонам, если для каждого пассажира существенным является только номер вагона, а не занимаемое им место?
9. В цветочном магазине продаются цветы 6 сортов. Сколько можно составить различных букетов по 10 цветов в каждом?
На плоскости расположено n точек таких, что любые три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках? С n 11. В некотором государстве не было двух человек с одинаковым набором зубов. Какая может быть наибольшая численность населения этого государства? полное число зубов равно 32.
Указание: S = {зуб есть, зуба нет}.
12. Имеется возможность вложить 10000 руб. в акции 15 компаний стоимостью 1000 руб. каждая. Сколькими способами это можно сделать, если а) все приобретаемые акции различны;
б) среди приобретаемых акций могут быть одинаковые?
Ответ а) A1015; б) А 13. В парке имеется 10 аттракционов, стоимость билета на каждый аттракцион 20 руб. Ребенок имеет 100 рублей. Сколькими способами он может их потратить, если а) он решил приобрести билеты на разные аттракционы;
б) он решил посетить некоторые аттракционы по несколько раз?
Ответ: а) А10 б) А 14. В языке племени "мумбо-юмбо"(см.И.Ильф, Е.Петров. Двенадцать стульев) имеется четыре звука А, У, Ы и Е. Имя туземца состоит из пяти букв, причем, допустимы имена типа АУУАА и т.д., то есть допустимы имена с повторениями букв. В племени 400 туземцев. Могут ли у всех них быть разные имена?
15. В одном из фантастических рассказов приведена легенда о том, что Вселенная перестанет существовать, как только будут названы все имена Аллаха. Найдите число всех имен Аллаха, если имя состоит ровно из 12 букв, буквы в имени могут повторяться, а число букв в алфавите 32.
Найдите, сколько времени потребуется, чтобы произнести все эти имена, если на произношение одного имени требуется 3 секунды?
Ответ: 0,5. 1012 лет.
4.1. Возведение двучлена х + 1 в натуральную степень.
Выведем формулу для представления выражения (х + 1) в виде суммы одночленов. Последовательно находим:
(х+1)1 = х+1, (х+1)2 = х2+2х+1, (х+1)3 = х3+3х2+3х+1, (х+1)4 = (х+1)3.(х+1)=х4+4х3+6х2+4х+1 и т.д. Замечаем, что во всех рассмотренных случаях (х+1)n представляет собой многочлен степени n, коэффициенты которого совпадают с элементами соответствующей строки треугольника Паскаля (см. п. 2.2). Например, в разложении:
коэффициенты многочлена соответственно равны: 1, 3, 3, 1 и соответствуют третьей строке треугольника Паскаля. В разложении (х+1)4 = х4+4х3+6х2+4х+ коэффициенты многочлена равны 1, 4, 6, 4, 1 и совпадают с четвертой строкой треугольника Паскаля. Поэтому возникает предположение, что Доказательство этой формулы Вы можете найти в любом более полном курсе комбинаторики.
Биномом называют двучлен а b. Выведем формулу для возведения бинома в любую натуральную степень. Преобразуем выражение (a b ) n :
Положим x. Воспользовавшись формулой (1), получим Итак, Эта формула называется биномиальной формулой Ньютона, а её правая часть - разложением степени бинома. Как уже говорилось выше, биномиальные коэффициенты совпадают с элементами соответствующей строки треугольника биномиальных коэффициентов. Будем последовательно находить натуральные степени числа 1001:
Можно доказать, что числа, стоящие в правой части между нулями, дают биномиальные коэффициенты соответствующей степени.
Биномиальные коэффициенты взяты из шестой строки треугольника Паскаля.
П р и м е р 2. Найти два средних члена разложения бинома a x, b 3 y, будем иметь:
1. Напишите разложение степени бинома:
Найдите четвертый член разложения (8х-5у) переменную х.
4. Сумма третьего от конца и третьего от начала биномиальных коэффициентов разложения членов содержится в этом разложении?
Указание: докажите, что рациональные члены могут быть только при k = 4, 16, 28, 40, 52, 64, 76, 88, 100.
Ответ: 2n.
Указание: положить в разложении ( x 1) n x=1.
6. Найдите разложение степени бинома (2х-3) 8. Упростите:
10. В разложении бинома (3 x )16 найти, какой его член не зависит от х.
Ответ: пятый.
11. Вычислить сумму: C50 2C5 2 2 C52 23 C53 2 4 C54 25 C Ответ: 243.
12. Из цифр I, 2, 3, 4, 5 составлены различные пятизначные числа, не содержащие одинаковых цифр. Сколько среди этих чисел таких, которые а) начинаются цифрой 3?
б) начинаются с числа 54?
Ответ: а) Р4 б) Р3.
13. Сколькими способами можно выбрать четырех человек на четыре различные должности из 9 кандидатов?
Ответ: A94.
14. Из 20 рабочих надо выделить шесть человек для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?
15. В шахматном турнире сыграно 210 партий, причем каждый участник сыграл с каждым из остальных участников по одной партии. Сколько человек участвовало в турнире?
Ответ: 21.
16. Сколькими способами из 12 различных конфет можно составить набор, если в наборе четное количество конфет?
Указание: Найдите отдельно число способов составления набора из 2, 4, 6, 8, 10 и 12 конфет.
17. Мышка Джерри спасается от кота Тома и бежит с горы к полю, а затем улетает с поля. Сколькими способами она может уйти от погони, если с горы ведут 7 тропинок, а с поля она может лететь самолетом, вертолетом или ракетой?
18. Имеется 5 видов блюдец, 4 вида чашек и 7 видов десертных тарелок.
Сколько чайных наборов можно составить, если в каждый набор входят блюдце, чашка, десертная тарелка?
19. Предприятие подало в бюро по трудоустройству заявку на три вакансии слесаря, каменщика и плотника. Сколько способов реализовать заявку предприятия, если в бюро зарегистрировано 25 слесарей, 20 каменщиков и плотников? Ответ: 25
ЧАСТЬ II
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Практическое занятие № 5.Понятие о случайном событии.В комбинаторике царит детерминизм, таким образом, при решении комбинаторной задачи Вы можете с достоверностью найти все требуемые комбинации и утверждать, что невозможно найти другие. Школьная математика имеет дело только с детерминированными утверждениями.
Например, если в прямоугольном треугольнике катеты равны а и в, то теорема Пифагора утверждает, что гипотенуза с равна: с a 2 b 2.
Основная цель теории вероятностей - изучение случайных (или недетерминированных) явлений. В мире, в котором мы живем, достоверные и невозможные события встречаются крайне редко. Чаще всего событие может быть возможно, но не обязательно - это понятие, промежуточное между достоверным и невозможным событиями.
В повседневной речи мы часто используем слова «вероятность», «случай», «событие». Художественная литература часто обращается к теме вероятного.
Вспомните роман Р. Шекли "31-го июля", в котором ученые с помощью так называемого увеличителя вероятностей добились того, что вероятность появления Дракона стала близкой к единице и в окрестностях средневекового Лондона появилось множество Драконов.
В простейших явлениях уже интуитивное представление позволяет дать правильный ответ о вероятности некоторого события. Например, хорошо известно, что вероятность выпадения герба при подбрасывании монеты равна. Однако, при незначительном усложнении опыта "здравый смысл" может нас подвести. Представим себе, что при каждом из 10 подбрасываний монеты выпал герб. Зададимся вопросом, какой стороной упадет монета в следующий раз. Распространено мнение, что выпадение цифры при этих условиях более вероятно. Правильный ответ: в этом опыте вероятность выпадения цифры равна. Монета не имеет памяти. При каждом подбрасывании, независимо от предыдущего, вероятность выпадения герба и цифры одинакова и равна.
В качестве примера совсем неприемлемого рассуждения можно привести следующий: я не знаю, пойдет сегодня дождь или нет, следовательно, вероятность дождя равна. Это рассуждение к дождю не имеет никакого отношения. Прогноз погоды дается на основе сложных сопоставлений факторов, влияющих на погоду, а не нашего знания или незнания этих факторов.
В своей практической деятельности мы часто встречаемся с явлениями, исход которых нельзя заранее предсказать, результат, как говорят, зависит от случая. Показательна в этом смысле работа страховых компаний.
Теоретически возможно, что в течение короткого промежутка времени большинство клиентов компании потребуют выплаты страховки для возмещения ущерба нанесенного пожаром, наводнением или другим стихийным бедствием. В таком случае страховая компания неизбежно должна была бы "прогореть". Однако страховые компании, как известно, процветают.
Оказывается, что хотя ничего нельзя сказать о будущем определенного клиента, о состоянии большого числа клиентов через определенный срок можно почти наверняка сказать многое и, во всяком случае, можно утверждать, что в течение года потребует выплаты страховки ничтожно малая часть клиентов.
Другой пример. Известно, что спрос на обувь различных размеров как у мужчин, так и у женщин неодинаков. Поэтому обувные фабрики должны выпускать обувь различных размеров в соотношениях, определяемых спросом.
В принципе, чтобы изучить спрос, следовало бы провести опрос всего взрослого населения страны, что является делом дорогим и главное не нужным. Достаточно выбрать две-три тысячи человек и провести их опрос, и по результатам распределения размеров обуви в выборке можно почти точно судить о распределении размеров обуви в целом для страны.
Ещё один пример. Для телефонной станции имеются часы очень напряженной работы - часы "пик", в иное время суток вызовов меньше (особенно их мало ночью). Как рассчитать, на сколько больше телефонисток необходимо привлечь к работе в часы "пик", чем в другое время? Для каждого человека момент времени, в который он воспользуется телефоном, является случайным. Но число вызовов абонентов на телефонной станции в течение каждого часа суток практически уже не является случайным. Зная это число, можно спланировать работу телефонной станции.
Указанные примеры показывают, что при массовом повторении случайных явлений можно наблюдать определенные закономерности. Теория вероятностей изучает закономерности, которые присущи случайным явлениям при их массовых повторениях.
Переходим к основным понятиям и определениям теории вероятностей.
Опыт, эксперимент, наблюдение явления называют Испытаниями являются: бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание игральной кости.
Определение 5.1. Результат, исход испытания называют случайным событием.
Для обозначения случайных событий применяют буквы А, В, С и т.д.
П р и м е р 1. Испытание: однократное подбрасывание монеты. Событие А - выпадение герба Г.
П р и м е р 2. Испытание: проверка лотерейного билета. Событие А выигрыш по данному билету.
Определение 5.2. Случайное событие, которое в результате данного испытания обязательно наступает, называется достоверным. Достоверное событие обозначают буквой.
П р и м е р 3. Испытание: извлечение шара из урны, в которой все шары белые. Событие А - вынут белый шар - достоверное событие.
Определение 5.3. Случайное событие, которое в результате данного испытания заведомо не может произойти, называется невозможным.
Невозможное событие обозначают символом.
Приведите примеры достоверных и невозможных событий.
Не следует путать невозможные события с событиями маловероятными, примеры которых рассмотрим ниже.
а). Обезьяна, барабанящая по пишущей машинке, отпечатала текст "Гамлета". Это событие маловероятно, но не невозможно. Считая, что текст состоит из 27000 букв и пропусков и что имеется 35 клавиш, можно найти, что вероятность этого события равна.
б) Рукопись "Гамлета" возникла случайно. Иными словами, каждая из молекул чернил, повинуясь случаю, нашла свой путь из чернильницы в некоторую точку чернильной линии, составляющей разборчивую рукопись "Гамлета". Это событие маловероятно, но не невозможно. Его вероятность равна в). Живая мышь замерзнет в аду, где температура 2, Вероятность этого чуда равна Познакомимся с основными операциями над случайными событиями.
Определение 5.4. Суммой двух событий А и В называется событие С = А + В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В.
П р и м е р 4. Испытание: подбрасывание игральной кости. Событие А выпадение числа очков, кратного 2, а В - выпадение числа очков кратного 3.
Тогда А + В будет выпадение числа очков, кратного 2 или кратного 3 или одновременно кратного 2 и 3, то есть это выпадение какого-нибудь из чисел 2, 3, 4, 6.
Определение 5.5. Произведением двух событий А и В называется событие С = А В, состоящее в наступлении одновременно событий А и В.
П р и м е р 5. В примере 4 событие С = А В означает, что выпало число очков, кратное 2 и 3 одновременно. Это число 6.
Событием, противоположным А, называется событие А состоящее в том, что событие А не наступает.
П р и м е р 6. Испытание: подбрасывание игральной кости. Событие А выпадение четного числа очков, тогда событие - выпадение нечетного числа очков.
Операции сложения, умножения и взятия противоположного события удобно иллюстрировать диаграммами Эйлера-Венна.
Упражнения.
1. Из урны, содержащей шары белого, черного и синего цвета, наудачу извлекается один шар. События А1 и А2, соответственно, означают появление белого и черного шаров. В чем состоит событие ? A1 ? A1 A2 ? A1 A2 ?
2. Имеется 100 жетонов, занумерованных целыми числами от 1 до 100.
Испытание: извлекают жетон. Событие А - номер извлеченного жетона кратен 2, событие В - номер извлеченного жетона кратен 5. Что означают события А + 3. Дана электрическая цепь с элементами l1 и l2. Событие A1-выход из строя элемента l1 событие А2,- выход из строя элемента l2. Что означают события А1 + А2 и А1 А2 для электрических цепей, представленных на рисунках а) и б)?
4. Испытание: подбрасывание игрального кубика. Событие А – пoявление очков. В чем состоит событие A ?
5. Испытание: проверка 15 электрических лампочек. Событие А -хотя бы одна из них нестандартная. Что означает событие A ?
6. Какие из двух событий А и В противоположны, то есть В = A :
а) событие А – “работа учеником написана на 5”, событие В -работа учеником написана на "2" ;
б) при двух выстрелах в цель событие А - хотя бы одна пуля попадет в цель, событие В - ни одна пуля не попадет в цель ;
в) событие А - из полного комплекта домино вынута кость "дубль", событие В вынута кость не "дубль".
7. Если событие А1 - выигрыш по билету одной лотереи, А2- выигрыш по билету другой лотереи, то что означают события:
8. Используя диаграмму Эйлера-Венна, докажите, что а) A B A B ;
9. Бросается игральная кость. Какие из следующих событий не могут произойти одновременно:
а) А - выпало четное число очков, В - выпало нечетное число очков;
в) А - выпало нечетное число очков, В - выпало число очков, кратное 3;
в) А - выпало простое число очков, В - выпало четное число очков.
10. Имеется 25 электрических лампочек, из которых 4 – нестандартные.
Выбирается 2 лампочки. Пусть событие А состоит в том, что первая из выбранных лампочек нестандартная, а событие В -нестандартна вторая лампочка. В чем состоят события А. В, А + В?
11. Испытание: наблюдение за работой рабочего. Событие А – простой по вине рабочего, событие В - простой не по его вине. В чем состоит событие А + В?
12. Испытание: наблюдается работа двух моторов. Событие А – первый мотор работаем с полной нагрузкой, событие В - второй мотор работает с полной нагрузкой. В чем состоит событие А. B + В. A ?
6. Классическое определение вероятности.
Во многих случаях возможно перечислить все события, которые могут быть исходами данного испытания.
П р и м е р 1. Испытание: подбрасывают игральный кубик. Исходы испытания: U1 - выпало 1 очко, U2 - выпало 2 очка, U3 - выпало 3 очка, U4 выпало 4 очка, U5 - выпало 5 очков, U6 - выпало 6 очков.
Определение 6.1. Под полной группой событий понимают совокупность событий, обладающих свойствами:
1) при данном испытании какое-то одно из событий осуществится;
2) каждое событие исключает все другие события.
П р и м е р 2. Испытание: наблюдение за работой рабочего. Полная группа событий: U1 - рабочий в данный момент работает, U2 - у рабочего в данный момент простой по причине отсутствия тока, U3 - у рабочего простой по причине отсутствия материалов, U4 - у рабочего простой по другим причинам. События U1, U2, U3, U4 образуют полную группу событий.
Определение 6.2. События U1, U2,…, Un образующие полную группу событий называют элементарными событиями, если 1) все события равновозможны;
2) при каждом испытании наблюдается одно и только одно из событий.
События U1, U2, U3, U4, U5, U6 из примера 1 – это элементарные события, а события U1, U2, U3, U4, из примера 2 – не элементарные, так как они не равновозможны.
Пусть события U1, U2,…, Un элементарные. По отношению к событию А они распадаются на две группы, а именно, «благоприятствующие А» и «не благоприятствующие А».
П р и м е р 4. Испытание: подбрасывание игрального кубика. События U1,…, U6 – элементарные (см. пример 1). Событие А – выпадение чётного числа очков.
Благоприятствуют событию А события U2, U4, U6.
Основное определение.
Определение 6.3. (Классическое определение вероятности.) Вероятностью события А называется отношение числа элементарных событий, благоприятствующих А, к числу всех элементарных событий.
Если обозначить символом P(А) (пэ от А) вероятность события А, k-число элементарных событий, благоприятствующих А, l- число всех элементарных событий, то Свойства вероятности.
1. Вероятность достоверного события равна 1, то есть 2. Вероятность невозможного события равна 0, то есть 3. Вероятность любого события – это число между 0 и 1, то есть 0 P( A) В частности, чем ближе вероятность события к единице, тем больше шансов, что событие наступит. Вероятность – объективная мера того, что событие осуществится.
П р и м е р 5. Из 35 экзаменационных билетов с номерами от 1 до 35 наудачу извлекается один. Какова вероятность того, что номер вытянутого билета есть число, кратное трём?
1) Испытание: извлечение одного билета.
2) Элементарные события:
U1 – извлечен билет с номером 1, U2 – извлечен билет с номером 2, и т. д.
U35 – извлечен билет с номером 35.
Число всех элементарных событий l=35.
3) Событие А состоит в том, что номер вытянутого билета есть число, кратное трем. Ему благоприятствуют элементарные события U3, U6, U9, U12, U15, U18, U21, U24, U27, U30, U33. Их будет k= П р и м е р 6. Из 1000 рабочих завода садовые участки имеют 200. Какова вероятность того, что наудачу взятый рабочий имеет садовый участок?
1) Испытание: выбирается один рабочий.
2) Число всех элементарных событий l=1000.
3) Событие А состоит в том, что выбран рабочий, имеющий садовый участок.
Число элементарных событий, благоприятствующих событию А, то есть число рабочих, имеющих садовый участок, равно k=200.
4). Вероятность события А равна План решения задач на классическое определение вероятности:
1. Выяснить, в чем состоит испытание.
Подсчитать число всех элементарных событий, то есть число l.
Выяснить, в чем состоит событие А, и подсчитать число всех элементарных событий, благоприятствующих событию А, то есть число k.
Определить вероятность события А по формуле Упражнения 1. Какова вероятность того, что число на вырванном наудачу листке нового календаря:
а) кратно 5;
б) равно 29, если в году 365 дней?
2. По режиму работы станка за одну смену (8 часов) станок работал с полной нагрузкой 3 часа. Какова вероятность застать станок работающим с полной нагрузкой в данный момент времени этой смены?
3. В кондитерском магазине имеется 18 сортов конфет и 6 сортов печенья.
Известно, что покупатель купил только один сорт кондитерских изделий.
Какова вероятность того, что он купил конфеты?
Ответ: 18/ 4. В автобусном парке имеется 450 автобусов. Из них неисправны 50 автобусов.
Какова вероятность того, что наудачу выбранный автобус неисправен?
Ответ: 1/ 5. На четырех карточках написаны числа 1,2,3 и 4. Какова вероятность того, что сумма чисел на трех произвольно выбранных карточках делится на 3?
Ответ: 1/ Указание: 1). Испытание: извлечение трех карточек.
2). Все элементарные события: {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4},{2,3,4}.
6. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет падает выигрыш 500 руб., на билетов - выигрыш по 100 руб., на 50 билетов выигрыш по 20 руб., на билетов - выигрыш по 5 руб., а остальные билеты не выигрышные. Некто покупает один билет, Найти вероятность выиграть не менее 20 рублей.
0твет: 61 / 6. При страховании жизни для расчетов употребляется таблицы смертности.
Они дают распределение по годам смертных случаев для некоторой группы лиц одинакового возраста. Сокращенная таблица числа лиц, доживших до определенного возраста из 100000 родившихся такова:
Найти:
а) вероятность того, что новорожденный доживет до 30 лет;
б) вероятность того, что новорожденный не доживет до 75 лет;
в) вероятность того, что новорожденный доживет до 100 лет;
г) вероятность того, что человек умрет в возрасте от 45 до 50 лет.
Ответ: a) 0, 93405; б) 0,47108; в) 0, 8. На клумбе растут 20 красных, 30 синих и 40 белых астр. Какова вероятность сорвать в темноте окрашенную астру, если срывается одна астра?
9. В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих, 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной шар?
10. Какова вероятность того, что при подбрасывании двух игральных костей выпадает в сумме 7 очков?
Ответ: 6/ Указание: 1). Испытание: подбрасывание двух игральных костей.
2). Элементарные события удобно обозначить U11, U12, U15 и т.д. Скажем, событие U62 означает, что на первой кости выпало 6 очков, на второй – 2.Число всех исходов l A 11. Карточка "Спортлото" содержит 49 чисел. В тираже участвуют 6 чисел.
Какова вероятность того, что будет угадано ровно 6 чисел?
Ответ Указание: 1). Испытание: зачеркивание любых 6 чисел.
2). Элементарное событие - это любой набор из таких 6 чисел. Число l равно числу сочетаний из 49 по 6.
12. Из 200 валиков, изготовленных на автомате, имеется 2 валика c диаметром менее 9,99 мм; 15 - от 9,99 до 10,00 мм ; 120 от 10,00 до 10,01 мм;60 - от 10, до 10,02; 3 - от 10,02 и более. Для сборки узла пригодны валики с диаметром от 9,99 до 10,02 мм. Какова вероятность того, что наудачу взятый валик пригоден для сборки?
13. В мужскую секцию магазина поступила партия обуви из 1000 пар. Из них 44-го размера - 120 пар, 45-го - 40 пар, 46-го и большего размера - 1О пар.
Найти вероятность того, что очередной будет продана пара обуви а) размера не менее 44-го; 2) размера меньше 44го.
14. На остановке троллейбусов № 2, № 4, № б, № 7 стоит школьник. Для него попутными является маршруты № 6 и № 7. Найти вероятность того, что к остановке первым подойдет попутный троллейбус, если по линии маршрутов № 2, № 4, № 6 и № 7 курсируют соответственно 5, 7, 6, 5 машин.
Протяженность маршрутов считают одинаковой.
Ответ:
Практическое занятие № 7. Применение комбинаторики к нахождению вероятностей.
Исследование и решение задач на вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики проводится в соответствии с планом, помещенным в п.6. Вычисление числа всех элементарных событий, то есть числа l, и числа элементарных событий, благоприятствующих рассматриваемому событию А, то есть числа k, осуществляется по плану, приведенному в п 3.
П р и м е р 1. Из пяти видов открыток, имеющихся в автомате, наудачу выбираются 3 открытки. Какова вероятность того, что все отобранные открытки будут разные?
I. Испытание состоит в выборе трех открыток.
II. Элементарное событие - это определенный набор из трех открыток. Число всех элементарных событии l равно числу всех наборов, состоящих из трех открыток. Найдем число l по плану из п. 3.
1. Множество S ={а, б, в, г, д}, где буквами а, б, в, г, д обозначены виды открыток, n = 5.
2. Пример выборки: {а, а, г}, m = 3.
3 а). Выборка неупорядоченная, так как не важен порядок, в котором выбирались открытки, а важен только состав тройки.
б). Выборка с повторениями.
Итак, имеем сочетание с повторениями из 5 элементов по 3 элемента.
III. Событие А состоит в том, что все отобранные открытки разные. Найдем число всех элементарных событий, благоприятствующих событию А, то есть число к. Число к равно числу всех наборов, состоящих из разных открыток.
Найдем число к по плану из п. 3.
1. множество S = {а, б, в, г, д}, n = 5.
3 а). Выборка неупорядоченная.
б). Выборка без повторений, потому что событию А благоприятствуют только выборки, состоящие из разных открыток.
Итак, имеем сочетание без повторений из 5 элементов по 3 элемента.
IV. Определяем вероятность события А:
Приведенное нами решение для читателя, имеющего некоторый опыт в решении комбинаторных задач, излишне подробно. Однако, начинающему мы рекомендуем придерживаться этого образца.
П р и м е р 2. Партия из 10 деталей содержит одну нестандартную деталь.
Какова вероятность, что при случайной выборке 5 деталей из этой партии все они будут стандартными?
I. Испытание состоит в случайной выборке 5 деталей.
II. Элементарное событие - это определенный набор из 5 деталей. Число всех элементарных событий l равно числу всех наборов, состоящих из деталей. Найдем число l по плану из п. 3.
I. Множество S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, H} где цифрами 1, 2,..., 9 обозначены стандартные детали, а буквой Н обозначена нестандартная деталь, n1 = 10.
Пример выборки: {5, 8, 2, 1, H}, m1 = 5.
4. Находим: l = C510.
Событие А состоит в том, что в выборке все детали стандартные. Найдем III.
число всех элементарных событий, благоприятствующих событию А, то есть число к, по плану из п. 3.
1. Множество S2={1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9}. Обратите внимание, что в S2 не входит нестандартная деталь. Число элементов в S2 n2 = 9.
2. Пример выборки {3, 6, 7, 8, 9}, m2 = 5.
3 а). Выборка неупорядоченная. сочетание без повторений из 4. Находим: k C95.
IV. Определим вероятность события А:
Упражнения.
1. На трех карточках написаны буквы У, К, Ж. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом.
Какова вероятность того, что получится слово "жук"?
Ответ: 2. В коробке находятся 6 новых и 2 израсходованные батарейки для карманного фонарика. Какова вероятность того, что две вынутые из коробки наудачу батарейки окажутся новыми?
3. Найдите вероятность того, что наудачу выбранное двузначное число не содержит ни одной двойки?
Ответ: 4/5.
4. В коробке находятся 4 красных и 6 зеленых карандашей. Из нее случайно выпали 3 карандаша. Какова вероятность того, что они все зеленые?
5. Из 60 вопросов, включенных в экзамен, школьник подготовил 50. Какова вероятность того, что из предложенных ему трех вопросов он не знает ни одного вопроса?
Ответ:
7. Всем известна спортивная лотерея "5 из 36". Какова вероятность не угадать ни одного номера в этой лотерее на один билет 7. Среди 50 электрических лампочек три нестандартные. Найти вероятность того, что две взятые подряд лампочки окажутся нестандартными.
Ответ:
8. На четырех карточках написаны буквы А, Е, П, Р. Карточки перемешиваются и раскладываются в ряд. Какова вероятность, что получится слово "РЕПА"?
Ответ:
9. В урне находится 15 шаров, из них 9 красных и 6 синих. Найти вероятность того, что вынутые наугад два шара оба окажутся красными?
Ответ: 2.
10. На пяти одинаковых шарах написаны числа 1, 2, 3, 4 и 5 -по одной на каждом. Шары положены в урну и тщательно перемешаны. Какова вероятность, того что вынимая наудачу один за другим три шара без возврата их обратно в урну, получим все три шара нечетных номеров?
Ответ:
11. Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд кубиков, на которых написаны буквы и, ы, о, б, с, т, е, получится слово "событие"?
12. Из имеющихся в магазине семи видов телевизоров наудачу выбирают телевизора. Какова вероятность того, что все отобранные телевизоры будут разных марок?
13. В популярной телеигре "Поле чудес" неизвестное игрокам слово АЛГОРИТМ на табло изображено в виде Какова вероятность угадать слово назвав случайно три различные буквы?
Указание: в русском алфавите 36 букв.
Практическое занятие № 8. Условная вероятность. Независимые события.
Определение 7.1. Два события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события А и В называются зависимыми.
П р и м е р 1. В урне находятся 3 черных и 2 белых шара. Событие А вынут белый шар, событие В - вынут черный шар. Покажем, что вероятность события В может зависеть от того, произошло событие А или нет. Рассмотрим случай, когда А происходит раньше В.
а). Из урны достаем белый шар (событие А осуществилось), фиксируем его, возвращаем в урну, достаем наудачу шар. Какова вероятность того, что вынут черный шар: РА(В) = ?
б). Из урны достаём белый шар (событие А осуществилось), фиксируем его и в урну не возвращаем. Достаем наудачу шар. Какова вероятность того, что вынут черный шар: PA(B)= ?
События А и B в этих условиях зависимы.
Определение 7.2. Условной вероятностью РА(В) события В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже произошло.
События А и В будут независимыми, если РА(В)= Р(В).
Теорема 7.1. Теорема умножения. Вероятность произведения двух событий А и В равна произведению вероятности события А на вероятность события В, при условии, что событие А уже наступило:
Доказательство. Пусть число всех элементарных событий равно l, из них благоприятствуют событиям А и В одновременно, а, значит, благоприятствует событию А. В. Тогда по классическому определению вероятности получим:
Следствие 1. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:
Доказательство. Если события А и В независимы, то РА(В) = Р(В) и далее по теореме 7.1.
П р и м е р 2. Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 4 % всей продукции является браком, а 75 % не бракованных изделий удовлетворяет требованиям 1 сорта.
Решение. Пусть событие А состоит в том, что выбранное изделие не бракованное, а событие В - выбранное изделие первосортное. События А и В в этих условиях независимы. Дано Р(А)= 1 - 0,04 = 0,95;
Тогда П р и м е р 3. Имеется 25 лампочек, из которых 4 нестандартные. Найти нестандартными.
Пусть А - событие состоящее в том, что нестандартна первая выбранная лампочка, В - нестандартна вторая выбранная лампочка. Искомое событие является произведением событий А. В. Тогда нестандартных уменьшилось на единицу в результате наступления события А.
Решите эту задачу с помощью классического определения вероятности.
П р и м е р 4. Вероятность того, что космический корабль каждого из астронавтов Билла и Тома попадет в аварию, равна 0,0001. Том попадает в аварию и его подбирает на свой корабль Билл. Затем свой путь они продолжают вместе. Найти вероятность того, что их корабль вновь попадет в аварию.
Правильный ответ 0,0001, но не 0,0001. 0,0001, так как теорему умножения здесь применять нельзя. После аварии Том и Билл путешествуют вместе на одном корабле, а для этого корабля вероятность аварии прежняя: 0,0001.
Упражнения.
1. Вероятность того, что в мужской обувной секции магазина очередной будет продана пара обуви 41-го размера, равна 0,25. Какова вероятность того, что первые две пары проданной обуви будут 41-го размера?
Ответ: 0,0625.
2. Считая вероятность безотказной работы автомашины в течение смены равной 0,9, найти вероятность того, что две автомашины в течение смены будут работать безотказно.
Ответ: 0,81.
3. Для покупателя, вошедшего в промтоварный магазин, вероятность того, что он обратится в обувной отдел, равна 0,2. Для покупателя обувного отдела вероятность того, что он потребует обувь 40-го размера, равна 0,3. Найти вероятность того, что вошедший в магазин покупатель потребует обувь 40-го размера.
4. Вероятность работы с полной нагрузкой каждого из двух моторов равна 0,4.
Какова вероятность того, что оба мотора работают с полной нагрузкой, если моторы работают независимо друг от друга?
5. Какова вероятность того, что в условиях задачи 4 ни один из моторов не работает с полной нагрузкой?
6. Ученик два раза извлекает по одному билету из 34, предлагаемых на экзамене. Какова вероятность того, что ученик успешно сдаст экзамен, если он подготовил только 30 билетов и первый раз вынул неудачный билет?
Неудачный билет откладывается в сторону.
Ответ: 0,107.
7. Буквы слова "задача" написаны на одинаковых карточках. Наудачу по одной последовательно извлекаются 4 карточки без возвращения в игру. Какова вероятность, что при этом получится слово "дача"?
Указание: Введите четыре события: А - первой выбрана карточка с буквой "д", В - второй выбрана карточка с буквой "а", С - третьей выбрана карточка с буквой "ч", Д - четвертой выбрана карточка с буквой "a", и примените формулу 8. Вероятность сдачи студентом зачета равна 0,8. Если зачет сдан, то студент допускается к экзамену, вероятность сдачи которого равна 0,9. Какова вероятность того, что студент сдает и зачет и экзамен?
Ответ: 0,72.
9. Вероятность попадания стрелка в цель равна 0,8. Если стрелок попадает в цель при первом выстреле, то ему предоставляется право стрелять во вторую цель. Вероятность поражения обеих целей равна 0,6. Какова вероятность поражения стрелком второй цели?
Ответ: 0,75.
10. Вероятность выживания для вновь созданной биржи в течение года равна 0,7. В городе вновь создано 2 биржи. Какова вероятность того, что через год будут существовать обе биржи?
Ответ: 0,49.
9. Статистическое определение вероятности.
Классическое определение вероятности непригодно для изучения произвольных случайных событий, так как на практике мы чаще имеем дело с неравновозможными элементарными событиями.
При подбрасывании правильной игральной кости вероятность выпадения очков равна 1/6. Если же в игральной кости смещен центр тяжести, то выпадение I, 2,..., 6 очков становится не равновозможным, и использовать классическое определение вероятности уже нельзя. Но, тем не менее очевидно, что вероятность выпадения 6 очков и в этом случае существует. Таким образом, приходим к необходимости введения статистического определения вероятности, которое дается через относительную частоту.
Определение 8.1. Пусть произведено n испытаний, при этом некоторое событие А наступило m раз. Число m называют частотой события А, а отношение( A) m называется относительной частотой события А.
Вероятностью события А в данном испытании называется число P(А), около которого группируются значения относительных частот P * (А) при больших n.
Вернемся к примерам с игральными костями. Для определения вероятности выпадения 6 очков при подбрасывании неправильной игральной кости необходимо провести серию испытаний и в каждой серии вычислить P * (А). О значении вероятности Р(А) можно судить по наблюдаемым значениям относительных частот P * (А). Для правильной игральной кости вероятность выпадения 6 очков, определенная классически и статистически, одинакова и Устойчивый характер группировки относительных частот вокруг вероятности замечен человеком в давние времена. Так, фальшивые игральные кости обнаружены еще в гробницах фараонов. Шарлатаны, которые утяжеляли с помощью свинца одну из граней игральной кости, использовали идею устойчивости относительных частот, то есть группировки этих частот вокруг вероятности.
П р и м е р 1. Было проведено 10 серий бросаний монет по 1000 бросаний в каждой серии. Относительные частоты выпадений герба оказались равными:
0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Эти частоты группируются возле числа 0,5, которое следует принять за вероятность выпадения герба.
П р и м е р 2. Чтобы найти вероятность изготовления на данном станке годной детали, поступают так: проверяют большую партию деталей (лучше проверить даже несколько партий), изготовленных данным станком, подсчитывают количество годных деталей, вычисляют относительную частоту.
Вероятность принимают равной относительной частоте. Например, пусть при проверке партии из 200 деталей 190 оказались годными. Тогда вероятность для наудачу выбранной детали быть годной равна Следует иметь в виду, что вероятность найдена приближенно, так как 0,95 - это относительная частота.
1. Найдите относительную частоту в опытах с бросанием монеты выпадений герба:
2. ОТК обнаружил 5 бракованных книг в партии из 100 книг. Найти относительную частоту появления бракованных книг.
Ответ: 0,05.
3. При использовании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего было проверено 200 приборов.
4. Ответ: 180.
Сколькими способами можно рассадить 7 учащихся на 8 свободных местах?
Ответ: А 2. Сколько различных шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 при условии, что каждая цифра в записи встречается один раз?
каждая цифра в записи может повторяться?
3. Решить уравнения: а) А42х2 90 б) Ах2 3 Сх Ответ: а) 10; б) 10.
4. Найти разложение степени бинома (х-3у)4.
5. Найти два средних члена бинома (3 x y ) 6. Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманное число содержит цифру 9 в своей десятичной записи.
7 а). Найти ошибку в "решении" задачи: брошены две игральные кости; найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна трём (событие А).
"Решение". Испытание имеет два исхода; сумма очков равна трем, сумма очков не равна трем. Событии А благоприятствует один исход, общее число б) Привести верное решение задачи.
Ответ: 2/36. Указание: число исходов 36.
8. Монета брошена 2 раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится герб.
Указание: найдите вероятность того, что ни разу не появится герб, то есть оба раза выпадет цифра.
«