«Учебно-дидактический комплекс по физике для студентов физико-технического факультета Кафедра общей физики Томского Политехнического университета г. Томск 2006 1 Борисов В.П. Ларионов В.В. Шошин Э.Б. Поздеева Э.В. 2 ...»

Из (5а), используя полученное (6), Задача 11. Небольшой брусок помещен на доску, которую поднимают за один конец так, что она постепенно переходит из горизонтального положения в вертикальное (см. рисунок). Коэффициенты трения покоя и скольжения бруска соответственно равны µтр1 и µтр2 (при этом µтр1 < 1 и µтр Fтр, и брусок начнет возрастать в соответствии с (1), а сила трения, действующая на брусок, сначала уменьшается до величины µтр2 mg cos Задача 12. Парашютист массой 60 кг, совершает затяжной прыжок с самолета, движущегося горизонтально. Определите, через какой промежуток времени скорость движения парашютиста будет равна 0,8 от скорости падения при установившемся его движении. Силу сопротивления FС воздуха Дано:

кг пропорциональна скорости тела и v0y = 0 противоположна ей по направлению:

кг/с пропорциональности), зависящий от Запишем уравнение для тела по II закону Ньютона в векторном виде;

заменив FС, согласно (1) Спроецируем все составляющие уравнения (2) на выбранную в направлении движения ось y Разделяя переменные, получим Проведем интегрирование, принимая во внимание, что при t = 0, v = 0, а при t =, v = 0,8 vуст (см. рис).

Подставляем пределы интегрирования Определим коэффициент сопротивления k. При установившемся отсутствует и алгебраическая сумма проекций (на ось y) всех сил, действующих на тело, равна нулю.

Подставим это выражение для k в соотношение (4) Задание. Решите данную задачу при условии, что сила сопротивления Дайте вывод расчетной формулы для определения в новых условиях задачи.

Задача 13. По двум гладким наклонным плоскостям, образующим одинаковые углы с горизонтом, движутся, касаясь, друг друга, цилиндр и клин, одна из плоскостей которого вертикальна. Масса цилиндра m1, масса клина m2. Определите силу давления Fд клина на цилиндр. Трением между цилиндром и клином пренебречь.

Дан m1, тяжести m1g, сила нормальной реакции плоскости и сила нормальной реакции N3 со стороны клина. При заданFтр (Fд силой давления клина на цилиндр.

N3) вдоль левой наклонной плоскости, запишем уравнение движения цилиндра в проекции на ось x1, используя вспомогательный рис. 2:

здесь a1x – проекция ускорения движения цилиндра на ось x1.

На клин действуют: сила тяжести m2g, сила нормальной реакции N2 со стороны правой наклонной плоскости и сила нормальной реакции со стороны цилиндра N4.

По второму закону Ньютона для клина запишем Направив координатную ось x2 так, как показано на рис. 1, т.е. вдоль правой наклонной плоскости, запишем уравнение движения цилиндра в проекции на ось x2, используя вспомогательный рис. 3 и равенство (3):

где a2x – проекция ускорения движения клина на ось x2.

В процессе движения клин соприкасается с цилиндром, поэтому, если перемещение клина вдоль оси x2 равно x, то центр цилиндра (вместе с вертикальной гранью клина) сместится наклонной плоскости, т.е. вдоль оси x1, центр цилиндра сместится на x (рис. 4). Это означает, что в процессе движения клина и цилиндра выполняется соотношение Решим совместно полученные уравнения и определим искомую силу N Поделив (7) на (8) и выполнив преобразования, получим выражение для ускорения a Из (5) выразим N3 и подставим в полученное (9) 1. Тело массой 3 кг движется так, что координата х его движения изменяется во времени по закону: х = А + Bt + Ct2, где В = 4 м/с; С = 3 м/с2. Определите скорость v, ускорение а, импульс Р тела, силу F, действующую на тело, и его кинетическую энергию WК в конце четвертой секунды движения.

торможении до полной остановки автомобиль прошел S = 300 м. Определите силу сопротивления движения (силу трения) F и коэффициент трения между шинами колес автомобиля и поверхностью дороги µ.

3. Мяч массой 600 г упруго ударяется о неподвижную вертикальную стену со скоростью м/с, которая направлена под углом импульса мяча Р, импульс Рст, полученный стенкой в результате соударения, а также среднюю силу F, действующую на мяч при ударе, длящемся в течение времени t = 0,2 с.

4. Вертолет массой m = 2,5 т с ротором, диаметр d которого равен 15 м, находится в воздухе над одной и той же точкой поверхности Земли. Ротор отбрасывает вертикально вниз струю воздуха со скоростью v = 15 м/с. Определите, какая масса воздуха ежесекундно отбрасывается ротором вертолета вертикально вниз. (Считайте, что диаметр струи приблизительно равен диаметру вращающегося ротора; плотность воздуха = 1,32 кг/м2).

Определите также реактивную силу F двигателей корабля.

5. Маленькие шарики, размерами которых можно пренебречь в условиях данной стержню длиной l = 1 м так, как показано на рисунке. Стержень может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О. В нижней силу, с которой стержень действует на массу m1 в этот момент.

6. Катер массой m = 2 т, трогаясь с места, в течение некоторого времени достигает скорости v = 5 м/с (принять, что движение катера происходит в спокойной воде озера). Сила тяги мотора постоянна и равна F = 1,5103 Н. Принимая, что сила сопротивления Fсопр движению катера пропорциональна скорости (Fсопр = kv, где коэффициент сопротивления k = 100 кг/с), определите время, за которое катер достигает указанной скорости.

7. Груз массой m = 1 кг, привязанный к резиновому жгуту длиной l, отклоненному от вертикали на угол = 45 °, описывает в горизонтальной плоскости окружность, вращаясь с частотой n = 1 об/с. Коэффициент жесткости жгута k = 0,5 кН/м. Определите длину l нерастянутого резинового жгута.

8. Мотоциклист движется по закруглению дороги радиуса 100 м. Коэффициент трения скольжения µ между шинами колес мотоцикла и асфальта равен 0,5. Определите угол отклонения мотоциклиста от вертикали, когда он движется по закруглению, а также наибольшую возможную скорость vmax, при которой его не заносит при данных условиях движения.

9. Машина с песком движется под действием постоянной силы F = 100 кН. В начальный момент времени масса машины с песком равна m0 = 10 т, а ее скорость равна нулю.

Постепенно песок высыпают из машины, при этом потеря массы примерно составляет k = кг/с. Определите скорость и ускорение вагонетки через 10 с после начала движения.

10. Груз, привязанный к веревке, равномерно вращают в вертикальной плоскости.

Определите массу груза m, если разница между максимальным и минимальным значениями веса груза составляет Р = 10 Н.

11. Маленький шарик массой 0,02 кг, прикрепленный к резиновому шнуру длиной 0,5 м, равномерно вращается в горизонтальной плоскости. Каково удлинение пружины l жесткостью 500 Н/м, если число оборотов в секунду равно 10?

12. Тепловоз тянет состав, состоящий из 10 одинаковых вагонов с ускорением а = 15 м/с2.

Определите силу натяжения сцепки между пятым и шестым вагонами (считая от начала сопротивления движению µ = 0,15.

пренебрегаем (см. рисунок) 14. По наклонной плоскости скользят два груза массами m1 = 2 кг и m2 = кг, связанные невесомой и нерастяжимой нитью. Коэффициенты трения между грузами и плоскостью равны соответственно: µ1 = 0,8, µ2 = 0,6.

Определите силу натяжения нити, если угол наклона плоскости к горизонту = 20 °.

15. Определите силу натяжения каната, связывающего грузы массой пренебрегаем).

Вопросы и задачи для самостоятельной и индивидуальной работы 1.1. Дайте определение инерциальной и неинерциальной систем отсчета.

Приведите примеры.

1.2. Приведите примеры физических моделей, используемых при изучении механических явлений.

1.3. Сформулируйте три закона Ньютона. В каких системах отсчета они справедливы? Какова взаимосвязь между этими законами?

1.4. Что называют массой тела? Каков физический смысл понятия «сила»?

1.5. Покажите на примерах различие между результирующей и равнодействующей нескольких сил.

1.6. Как могут двигаться относительно друг друга инерциальные системы отсчета? Запишите преобразования Галилея.

1.7. В чем состоит механический принцип относительности?

1.8. Получите уравнение движения тела переменной массы. От чего зависит возникающая в данном случае реактивная сила; определите ее направление.

1.9. Дайте определение импульса силы.

1.10. Получите выражение, определяющее изменение импульса тела P при действии на него переменной силы.

1.11. Приведите примеры траекторий (плоских и пространственных) с постоянным радиусом кривизны.

1.12. Дайте определение центра инерции или центра масс системы материальных точек.

1.13. Дайте определение внутренних и внешних сил, действующих в системе материальных точек.

1.14. Получите выражение, определяющее скорость центра масс системы материальных точек.

1.15. Как определить ускорение движения центра масс системы тел?

1.16. Как определяется вектор полного импульса системы материальных точек?

1.17. Докажите инвариантность уравнений Ньютона для материальной точки, а также для произвольных систем материальных точек относительно преобразований Галилея, соответствующих переходу от одной инерциальной системы к другой.

1.18. Примените второй закон Ньютона к движению заряженных частиц в электрическом и магнитных полях.

1.19. Докажите, что третий закон Ньютона не выполняется в случае взаимодействия заряженных частиц, движущихся относительно друг друга с большими скоростями.

1.20. Получите классическую формулу сложения скоростей.

1.21. Приведите закон Гука и дайте определение модуля Юнга.

1.22. Приведите классификацию и дайте определение сил трения.

1.23. Приведите примеры движения тела в состоянии невесомости.

1.24. Приведите примеры сил, играющих роль центростремительной силы.

Определите характер движения.

1.25. Получите выражение, определяющее связь силы со скоростью и с ускорением в случае переменной массы.

2.1. Координата тела массой 1 кг, движущегося прямолинейно, изменяется от времени по закону y = at2 – bt3, где а = 2 м/с2, b = 1 м/с2. Определите силу, действующую на тело в конце второй секунды движения.

Ответ: F = m(2a – 6bt); F = 8 Н.

2.2. Координаты х и y тела массой 2 кг изменяются во времени по следующим законам соответственно: х = А1 – В1t + C1t2, y = A2 + + D2t3, где С1 = м/с2, D2 = 2 м/с3. Определите ускорение тела в начале шестой секунды.

Ответ: a = 4C12 + 36 D22 t 2 = 60 м/с2.

2.3. Зависимость координаты тела задана уравнением где А = 2 см, = 2 рад/с. Определите ускорение тела через 0,5 с после начала движения.

Ответ: а = 0,8 м/с2.

2.4. Зависимость координаты тела массой 0,5 кг, движущегося прямолинейно, задана уравнением х = А + Вt – Ct2 + Dt3, где B = 1 м/с, С = 5 м/с2 и D = м/с3. Определите импульс тела и действующую на него силу по истечении 10 с после начала движения.

Ответ: Р = 2200 (кгм)/с; F = 145 Н.

2.5. Тело массой 2 кг движется так, что его координаты y и z изменяются во времени. Зависимость y(t) задана соотношением z(t) определяется выражением z = В2t C2t2, где В1 = 2 м/с; С1 = 4 м/с2; В2 = м/с; С2 = 2 м/с2. Определите кинетическую энергию тела в конце третьей секунды движения.

Ответ: WК = 605 Дж.

2.6. По поверхности льда пущена шайба, которая, пройдя путь S = 400 м, остановилась через t = 40 с. Определите коэффициент трения µ шайбы об лед.

2.7. После включения тормозной системы тепловоз массой m = 100 т прошел путь S = 200 м до полной остановки за время t = 40 с. Определите силу торможения.

2.8. При выключении двигателя автомобиль, движущийся со скоростью v = км/ч, проехал по инерции 100 м. Определите коэффициент трения автомобиля о поверхность дороги.

2.9. Поезд массой m = 150 т двигался со скоростью v = 72 км/ч. При торможении до полной остановки поезд прошел путь S = 500 м.

Определите силу сопротивления движению.

2.10. Пущенная по поверхности льда шайба со скоростью v = 30 м/с остановилась через время t = 50 с. Определите силу сопротивления движению и коэффициент трения µ, если масса шайбы m = 500 г.

2.11. Тело массой m = 3 кг брошено под углом = 60 ° к горизонту с начальной скоростью v = 20 м/с. Определите, на сколько изменился импульс тела в верхней точке траектории по сравнению с начальным импульсом Р0 = mv0.

Ответ: Р = mv0sin 52 (кгм)/с.

2.12. Материальная точка массой m = 2 кг, двигаясь равномерно по окружности, проходит путь, равный длинам двух с половиной окружностей, т.е. S = 2,52R.

Определите, сколько раз в течение всего времени движения изменение импульса точки становится равным удвоенному значению ее начального импульса. Определите изменение импульса точки, если она прошла три четверти окружности радиусом 1 м за 6 с.

Ответ: N = 3; Р = Р2 – Р1 ; Р 2,2 (кгм)/с.

2.13. Мячик массой m = 400 г упруго ударяется о неподвижную вертикальную стенку со скоростью v0 = 20 м/с, которая направлена под углом = 60 ° к поверхности стенки. Определите изменение импульса мячика и импульс, полученный стенкой в результате соударения.

Ответ: Р =2mvcos = 13,8 (кгм)/с; Рст = 13,8 (кгм)/с.

2.14. Тело массой 4 кг брошено горизонтально с некоторой начальной скоростью с высоты 45 м. Определите изменение импульса тела за время его движения, а также импульс силы, действующей на тело за это время. (Силой сопротивления воздуха пренебрегаем).

Ответ: Р = 120 (кгм)/с; Ft = Р = 120 (кгм)/с.

2.15. Шарик массой 200 г упал свободно с высоты 5 м на горизонтальную массивную плиту и отскочил от нее вверх после упругого удара. Определите импульс, полученный плитой при ударе шарика, а также среднюю силу, действующую на шарик при ударе, длящемся в течение времени t = 0,1 с.

Ответ: Рпл = 4 (кгм)/с; Fср = 40 Н.

2.16. Космический корабль имеет массу m = 3 т. При движении расход горючего в единицу времени составляет m = 0,3 кг, при этом из его двигателей вырывается струя газа со скоростью v = 900 м/с. Определите ускорение, с которым движется корабль.

2.17. При маневрировании космического корабля из его двигателей вырывается струя газов со скоростью v = 850 м/с, при этом расход горючего составляет = 0,25 кг/с. Определите реактивную силу двигателей корабля.

2.18. Вертолет массой m = 3 т с ротором, диаметр d которого равен 15 м, находится в воздухе над одной и той же точкой поверхности Земли («висит» в воздухе). С какой скоростью ротор отбрасывает вертикально вниз струю воздуха, если считать, что диаметр струи приблизительно равен диаметру вращающегося ротора? (Плотность воздуха = 1,32 кг/м3).

2.19. Вертолет с ротором, диаметр d которого равен 14 м, находится в воздухе над одной и той же точкой поверхности Земли. Ротор отбрасывает вертикально вниз струю воздуха со скоростью v = 10 м/с. Определите, какая масса воздуха ежесекундно отбрасывается ротором вертолета вертикально вниз (считайте, что диаметр струи приблизительно равен диаметру вращающегося ротора;

плотность воздуха = 1,32 кг/м3).

2.20. Ракета массой 1,5 т, запущенная вертикально вверх с поверхности Земли, поднимается с ускорением а = 1,5g. Определите скорость струи газов, вырывающихся из сопла, если расход горючего составляет = 25 кг/с.

2.21. Катер массой m = 2,5 т развивает максимальную скорость vmax = 30 м/с.

После выключения двигателей в течение времени t = 30 с катер теряет половину своей скорости. Определите мощность, развиваемую катером при включенных двигателях. (Принять, что сила сопротивления движению катера изменяется пропорционально квадрату скорости).

Ответ: N= 2.22. Катер массой 1,5 т, трогаясь с места, в течение некоторого времени достигает скорости v = 5 м/с (считать, что движение катера происходит в спокойной воде). Сила тяги мотора постоянна и равна F = 103 Н. Принимая, что сила сопротивления Fсопр движению катера пропорциональна скорости (Fсопр = kv, где коэффициент сопротивления k = 100 кг/с), определите время, за которое катер достигает указанной скорости.

2.23. При движении в воздухе пули массой m = 20 г ее скорость уменьшилась от v0 = 700 м/с до v = 100 м/с за время t = 1 с. Считая силу сопротивления воздуха пропорциональной квадрату скорости, определите коэффициент сопротивления движению k (Действием силы тяжести пренебрегаем).

2.24. Снаряд массой m = 20 кг выпущен из орудия вертикально вверх со скоростью v0 = 700 м/с. Определите время подъема снаряда на высоту, равную половине максимальной высоты, считая силу сопротивления постоянной и пропорциональной скорости движения (коэффициент сопротивления движению k = 0,2 кг/c).

2.25. С большой высоты на Землю сброшен груз массой m = 20 кг.

Принимая, что сила сопротивления воздуха движению груза изменяется пропорционально скорости, определите, через какой промежуток времени t ускорение движения груза будет равно одной трети ускорения свободного падения. (Коэффициент сопротивления движению k = 10 кг/с).

3.1. Под действием некоторой силы тележка, двигаясь из состояния покоя, прошла путь 0, м. Когда на тележку положили груз массой 0,2 кг, то под действием той же силы за тоже время тележка прошла из состояния покоя путь 0,2 м. Какова масса тележки, если мы трением пренебрегаем?

Ответ: m = 0,2 кг 3.2. Тело начинает скользить по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 45 °. Пройдя по ней расстояние 0,355 м, тело приобрело скорость 2 м/c. Определите коэффициент трения тела о плоскость (g 10 м/с2).

Ответ: µ 0,2.

3.3. Шарик, прикрепленный к нити, движется в горизонтальной плоскости по окружности с постоянной скоростью (конический маятник). Расстояние от точки подвеса до горизонтальной плоскости равно h. Определите период колебания обращения шарика.

Ответ: T = 2 h / g.

3.4. В нижней точке мертвой петли реактивный самолет движется со скоростью 1200 км/час. Определите, какую нагрузку (отношение прижимающей силы к гравитационной) испытывает летчик, если радиус петли равен 1 км.

Ответ: Fнагр = 12,34 Н.

3.5. Груз на нити, вращаясь со скоростью 1 об/с, описывает в горизонтальной плоскости окружность радиусом 10 см. Какой угол образует нить с вертикалью?

Ответ: 22 °.

3.6. Центробежная стиральная машина наполнена мокрым бельем и вращается со скоростью 1200 об/мин. Во сколько раз центростремительная сила к моменту отрыва капли воды от ткани больше веса капли, если капля находится на расстоянии 0,3 м от оси вращения.

Ответ: Fц / Fтяж = 483.

3.7. В вертикальной плоскости вращается груз весом 20 Н с частотой 2 об/с.

Шнур, на котором подвешен груз, может выдержать нагрузку 320 Н. Выдержит ли шнур натяжения в те моменты, когда груз проходит через высшую и низшую точки окружности? Определите максимальную и минимальную силы натяжения шнура, если его длина равна 1 м.

Ответ: Fmax = 368,6 H; Fmin = 328,6 H.

3.8. Поезд движется по закруглению радиусом 500 м. Ширина железнодорожной колеи 152, см. Наружный рельс расположен на 12 см выше внутреннего. При какой скорости движения поезда на закруглении колеса не оказывают давления на рельсы?

Ответ: v = 19,64 м/c.

3.9. Платформа движется по закруглению с линейной скоростью v. Шарик, подвешенный на нити на этой платформе, отклоняется на угол. Определите радиус закругления.

3.10. Какова должна быть скорость движения мотоциклиста, чтобы он мог описывать горизонтальную окружность на внутренней поверхности вертикального кругового цилиндра радиусом r, если при езде по горизонтальной поверхности с таким же коэффициентом трения скольжения минимальный радиус поворота при скорости v1 равен R?

3.11. Груз, подвешенный к невесомой нити, описывает горизонтальную окружность с постоянной скоростью (конический маятник). Расстояние от точки подвеса до центра окружности равно h. Определите число оборотов маятника за 1 с.

3.12. Вертикально расположенная пружина соединяет два груза. Масса верхнего груза 2 кг, нижнего 3 кг. Когда система подвешена за верхний груз, длина пружины равна 0,1 м. Если же систему поставить вертикально на подставку, длина пружины равна 4 см. Определить длину ненапряженной пружины.

Ответ: 0,064 м.

3.13. Шарик подвешен на нити длиной 1 м. Шарик расположили так, что он начал двигаться равномерно по окружности в горизонтальной плоскости с периодом 1,57 с. При этом угол, образованный нитью с вертикалью, равен / рад. Определите линейную скорость и центростремительное ускорение при движении шарика по окружности.

Ответ: v = 2 м/с; ацс = 8 м/с2.

3.14. Горизонтально летящая пуля пробила вращающийся с частотой 10 с вертикальный барабан по его диаметру, равному 1 м. Какова скорость пули внутри барабана, если расстояние по окружности между пробоинами оказалось равным 0,942 м?

Ответ: v = 33 м/с.

3.15. Бусинка может скользить по обручу радиусом 4,5 м, который вращается относительно вертикальной оси, проходящей через его центр и лежащей в плоскости обруча, с угловой скоростью 2 рад/с. На какую максимальную высоту относительно нижней точки обруча может подняться бусинка?

Ответ: h = 2 м.

3.16. Через вращающийся вокруг горизонтальной оси блок перекинута нить – невесомая и нерастяжимая, к концам которой привязаны грузы m1 = 0,5 кг и m = 0,6 кг. Определите давление блока на ось при движении грузов и ускорение грузов (массой блока и трением в блоке пренебречь).

Ответ: Fд = 10,9 Н; а = 0,91 м/с2.

3.17. На внутренней поверхности сферы радиусом 0,1 м, вращающейся вокруг вертикальной оси, находится небольшой предмет. С какой постоянной частотой должна вращаться сфера, чтобы предмет находился в точке, направление на которую составляет угол 45 °? Коэффициент трения между предметом и поверхностью сферы равен 0,2 (g 10 м/с2).

Ответ: n = 1,55 об/с.

3.18. С какой скоростью движется конькобежец по закруглению ледяной дорожки радиусом 10 м, если, проходя этот поворот, он наклоняется к горизонту под углом 76 °?

Ответ: v = 5 м/с.

3.19. Самолет летит горизонтально с ускорением. Шарик, подвешенный на нити в самолете, отклоняется от вертикали на угол. Определите ускорение самолета.

Ответ: а = tg.

3.20. Девочка массой 35 кг качается на качелях. Длина веревок качелей 2 м.

Определите силу натяжения веревок в тот момент, когда качели проходят положение равновесия, если максимальная скорость движения равна 3 м/с.

Ответ: 70 Н.

3.21. Космическая ракета движется вертикально вверх с ускорением 5 м/с2.

Определите вес космонавта, если его масса 75 кг Ответ: Р = 1125 Н.

3.22. Автомобиль массой 100 кг движется по горизонтальному участку шоссе с ускорением 2 м/с2. При этом мотор развивает силу тяги 500 Н. Определите силу сопротивления движению.

Ответ: Fсопр = 300 Н.

3.23. К пружине жесткостью 500 Н/кг подвесили груз массой 1 кг, при этом длина пружины стала 0,12 м. До какой длины растянется пружина, если к ней подвесить еще один груз массой 1 кг?

Ответ: l2 = 0,14 м.

лифта. Определите, с какой силой человек массой 60 кг, Ответ: Fд = 576 Н.

3.25. Угол наклона доски к горизонту можно изменять от 0 °С до 90 °С. На доску помещен груз, который начинает скользить при значении угла = 0 = °. Определите ускорение груза при его движении по доске, если угол = 1 = 60 °.

Ответ: а 3,7 м/с2.

4.1. Дорожка для велосипедных гонок имеет закругление радиусом 40 м. В месте закругления дорожка выполнена с наклоном 40 ° к горизонту. На какую скорость езды рассчитан такой наклон?

Ответ: v = 18 м/с.

4.2. Мотоциклист на мотоцикле участвует в гонках по вертикали и едет по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиусом R = 15 м, при этом центр тяжести мотоцикла с человеком расположен на расстоянии d = 75 см от поверхности цилиндра. Угол наклона мотоциклиста к плоскости горизонта составляет 30 °. Чему равен коэффициент трения µ покрышек колес мотоцикла о поверхность цилиндра? С какой минимальной скоростью vmin должен ехать мотоциклист, чтобы не сорваться со стены?

4.3. Велосипедист движется по закруглению дороги радиуса R = 45 м с наибольшей возможной в данных условиях скоростью vmax = 15 м/с. (Это предельная скорость, при которой велосипедиста не заносит при данных условиях движения). Определите коэффициент трения скольжения µ между шинами и асфальтом, а также угол отклонения велосипедиста от вертикали, когда он движется по закруглению.

4.4. С какой максимальной скоростью vmax может устойчиво, не опрокидываясь, двигаться вагон по закруглению радиусом R = 150 м, если высота центра масс вагона от уровня рельс Н = 1,8 м, а расстояние между рельсами d = 1,5 м.

4.5. Определите наименьший радиус R круга, по которому сможет проехать велосипедист со скоростью v = 30 км/ч, если коэффициент трения скольжения между колесами и землей µ = 0,25. Определите также наибольший угол наклона велосипеда, при котором велосипедист еще не будет падать.

4.6. Космический корабль совершает мягкую посадку на Луну (ускорение свободного падения вблизи поверхности Луны корабль движется равнозамедленно в вертикальном направлении (относительно Луны) с ускорением находящегося в этом корабле.

Ответ: 700 Н.

4.7. Определите вес пассажира массой 60 кг, находящегося в движущемся лифте, в начале и конце подъема, а также в начале и в конце спуска. Ускорение (по модулю) лифта для всех случаев считать одинаковым.

Ответ: 720 Н; 480 Н; 480 Н; 720 Н.

4.8. С какой силой давит груз массой m = 60 кг на подставку, если подставка вместе с грузом движется вниз равнозамедленно с ускорением а = 1 м/с2?

Ответ: F = m(g + a) = 600 Н.

А и В равны соответственно R1 = 20 м и R2 = 10 м, а скорости движения тела в точках А и В равны соответственно v1 = 10 м/с и v2 = 5 м/с.

Ответ: РА = 600 Н; РВ = 300 Н.

4.10. Тело массой m = 2,5 кг движется вертикально вниз с ускорением а = 19, м/с2. Определите силу F, действующую на тело одновременно с силой тяжести mg во время движения. Сила сопротивления воздуха равна 10 Н.

Ответ: F = m(a – g) + Fсопр = 34,5 Н.

4.11. Через неподвижный блок перекинута нить, к концам которой подвешены два груза массой 200 г. Какой добавочный груз нужно поместить на один из висящих грузов, чтобы каждый из них переместился на 150 см за 5 с.

Ответ: 5 г.

4.12. Тепловоз тянет состав, состоящий из 5 одинаковых вагонов с ускорением а = 10 м/с2. Определите силу натяжения сцепки между третьим и четвертым вагонами (считая от начала состава), если масса каждого вагона m = 100 кг, а коэффициент сопротивления µ = 0,1.

4.13. Через блок перекинут шнур, к концам которого прикреплены грузы массами m1 = 3 кг и m2 = 6 кг. Блок подвешен к пружинным весам. Определите показание весов при движении грузов (массой блока и шнура, а также трением в блоке пренебрегаем (см. рисунок)).

лежащему на столе. (Силой трения между столом и бруском пренебрегаем). К висящим концам шнуров подвешены гири, массы которых m1 = 1,5 кг и m2 = 2, кг. Определите силу натяжения каждого из шнуров. (Массой блоков и трением в блоках пренебрегаем).

Ответ: Fнат1 = m1(g + a) = 17,1 Н; Fнат2 = m2(g – a) = 21,5 Н.

4.15. На наклонной плоскости находится легкая тележка, которая может скатываться с наклонной плоскости без трения. На тележке укреплен кронштейн с шариком массой m = 10 г на невесомой и нерастяжимой нити. До начала скатывания нить удерживалась в направлении, перпендикулярном к наклонной плоскости. Определите ускорение тележки, силу натяжения нити отвеса при свободном скатывании тележки, если угол наклона плоскости к горизонту равен 30 °. (Силой трения тележки о плоскость пренебрегаем).

Ответ: а = gsin ; Fнат = mgcos = 0,087 Н.

грузами и µ2 = 0,6. Определите силу натяжения нити, если угол наклона плоскости к горизонту = 30 °.

4.18. На наклонной плоскости, угол наклона которой к горизонту составляет °, лежит тело массой 1 кг. Коэффициент трения тела о плоскость µ = 0,5.

Определите силу трения, действующую на тело. Определите зависимость силы трения, действующей на тело, от угла наклона плоскости к горизонту.

Ответ: Fтр = mgsin = 5 H; Fтр = mgsin, при tg µ;

Fтр = µmgcos, при tg µ.

Ответ: Fнат = 32,75 Н.

первого тела о наклонную плоскость µ2 = 0,2. Угол наклона плоскости к горизонту = 30 °. (Трением в блоке пренебрегаем).

Ответ: Fнат1 = 8,8 Н; Fнат2 = 28,2 Н.

4.21. На платформе, вращающейся с частотой 3 об/мин, находится груз массой 0,2 кг. Груз прикреплен к центру платформы невесомой абсолютно упругой пружинкой длиной 10 см. При вращении платформы пружинка растягивается на 2 см. Определите силу реакции пружины, принимая во внимание силу трения (покоя) между грузом и платформой. Результат представьте в миллиньютонах.

Ответ: 1,2 мН; 60 мН/м.

4.22. Вертикально расположенная пружина соединяет два груза. Масса верхнего груза 3 кг, нижнего 4 кг. Если эту систему поставить вертикально на подставку, длина пружины равна 3 см. Если же систему подвесить за верхний груз, а к нижнему грузу еще прикрепить груз 1 кг с помощью дополнительной нити, то длина пружины станет равной 12 см. Определите длину ненагруженной пружины. Результат представьте в сантиметрах и округлите до целого числа.

Ответ: 6 см.

4.23. К резиновому шнуру прикреплен шарик массой m = 50 г. Длина шнура в нерастянутом состоянии l = 30 см. Известно, что под влиянием силы, равной F = 9,8 Н, шнур растянется на пропорциональным приложенной силе, определите, на сколько удлинится шнур при вращении шарика со скоростью n = 180 об/мин.

где k – коэффициент жесткости пружины.

4.24. Тело массой m = 0,01 кг, прикрепленное к пружине длиной l0 = 0,3 м, равномерно вращается в горизонтальной плоскости. При каком числе оборотов в единицу времени пружина удлинится на l = 0,05 м, если жесткость пружины равна 400 Н/м.

4.25. Шарик массой m, прикрепленный к резиновому шнуру, совершает вращательное движение в горизонтальной плоскости с угловой скоростью.

Длина нерастянутого резинового шнура равна l0. Определите радиус окружности R, по которой будет двигаться шарик и силу натяжения Fнат шнура, считая, что при растяжении шнура выполняется закон Гука, т.е. сила натяжения шнура растет пропорционально его растяжению (Fнат = kl, здесь k – коэффициент жесткости пружины).

3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И

МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Основные формулы и краткие теоретические сведения т.е. Р = const – импульс замкнутой системы тел (точек).

Работа силы: A = Fdr = FS dS, где dr – элементарное перемещение точки приложения силы F; dS – элемент пути;

векторами F и dr.

Изменение кинетической энергии частицы где А – работа всех сил, действующих на частицу.

Убыль потенциальной энергии U частицы в поле U1 – U2 = Aсп, где Асп – работа силы поля.

Связь между силой и потенциальной энергией частицы в поле где i, j, k – единичные векторы (орты).

Приращение полной механической энергии Е системы в поле E2 E1 = Aвнеш + Авнутр, где Aвнеш работа внешних сторонних сил, т.е. не принадлежащих к силам данного поля; Aвнутр работа внутренних диссипативных сил.

Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или растянутой Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле тяжести:

U = mgh.

Закон сохранения энергии в механике выполняется в замкнутой системе, в + U = const.

Примеры решения задач Задача 1. Шар массой m1, движущийся горизонтально с некоторой скоростью v1, столкнулся с неподвижным шаром массы m2. Шары свободно упругие, удар прямой. Какую долю своей энергии первый шар передал второму?

кинетическая энергия второго шара после удара.

Запишем законы сохранения импульса и механической энергии:

m1v1 = m1u1 + m2u2:

m1v12 m1u12 m2 u Решая совместно два последних уравнения, найдем Данное соотношение показывает, что доля переданной энергии зависит только от масс столкнувшихся шаров.

Задача 2. На доске, плавающей в воде, сидит лягушка массы m. Доска имеет массу М и длину l. С какой наименьшей скоростью и под каким углом к горизонту должна прыгнуть лягушка, чтобы попасть с одного конца доски на другой. Трение между доской и водой мало.

mv0 cos Mu = 0, соответственно. Тогда Время полета найдем из условия y = 0:

За время прыжка лягушка переместилась по горизонтали на Задача 3. Стальная проволока выдерживает покоящийся груз массой m0 = кг. На той же проволоке длиной l = 1 м подвешивают тело массой m = 100 кг, отклоняют его от вертикали на угол = 90 ° и отпускают, сообщив телу начальную скорость v0 = 2 м/с, вертикально вниз. Выдержит ли проволока действие силы растяжения при прохождении телом положения равновесия? Если не выдержит, то на какой высоте от нижнего уровня произойдет ее разрыв?

Решение: Запишем условие равновесия Дано:

m0 = 300 груза, висящего на проволоке: m0g + T кг = 0, где Т0 – сила натяжения проволоки.

v0 = 2 м/с Максимальное натяжение проволока испытывает при прохождении движущимся телом положения равновесия. Запишем для этого тела уравнение второго закона Ньютона в скалярной форме относительно оси OY:

Т – mg = man, где an = v2/l – центростремительное (нормальное) ускорение; m – масса тела.

Подставляя значение an, получим Т – mg = mv2/l.

Для нахождения скорости тела в точке В применим закон сохранения энергии тела, движущегося из точки А в точку В:

Определив скорость и подставив ее выражение в (1), получим Расчеты показывают, что Т > Т0, следовательно, проволока разорвется, не достигнув положения равновесия.

Пусть в точке С траектории произойдет разрыв проволоки при движении тела по дуге АС, а искомая высота равна Н. Выяснив, какие силы действуют на тело в точке С, и записав уравнение второго закона Ньютона в проекциях на ось OY, а также закон сохранения энергии при движении тела из точки А в С, получим Так как разрыв проволоки произойдет при условии Т1 > Т0 (предельный случай преобразуем к виду Решая совместно эту систему уравнений относительно неизвестного Н, Подстановка числовых значений в последнюю формулу даст значение Н:

Задача 4. Какова работа силы трения за один оборот аэросаней, движущихся по вертикальной круговой дорожке? Скорость саней постоянна и равна v, масса саней m, коэффициент трения µ.

Решение: По второму закону Ньютона ma = Fтр + mg + N.

Aтр = Fтр dl cos180o = Fтр dl.

Элемент перемещения dl = Rd.

= –2mv2.

Задача 5. Небольшое тело А начинает скользить с высоты h по наклонному желобу, переходящему в полуокружность радиуса h/2. Пренебрегая трением, найти скорость тела в наивысшей точке его траектории (после отрыва от желоба).

Решение: В точке отрыва от желоба реакция опоры равна нулю. Тогда mg cos = Из закона сохранения механической энергии имеем Из уравнения (1) имеем Подставим в уравнение (2):

hR= Отсюда В верхней точке полета сохранится горизонтальная составляющая скорости Задача 6. Два бруска масс m1 и m2, соединенные недеформированной пружинкой, лежат на горизонтальной плоскости. Коэффициент трения между брусками и плоскостью равен µ. Какую минимальную постоянную силу F нужно приложить в горизонтальном направлении к бруску m1, чтобы другой Решение: Сила упругости Fтр1 = µN 1 = µm1 g Тогда kx1 = µm2g соответствует минимальной силе упругости, сдвигающей брусок:

До тех пор, пока F > kx + Fтр1, тело 1 движется ускоренно, затем, когда F < kx + Fтр1, – замедленно.

Минимальная величина силы F соответствует минимальной работе этой силы, т.е. при растяжении пружины на х1 скорость 1-го тела можно принять равной нулю. Работа силы F и трения равна приращению механической энергии Атр + АF = Е2 – Е1, механическая энергия растянутой пружины.

Атр = Fтр1х1 = µm1gx1; АF = Fx1;

Задачи для аудиторных занятий 1. На спокойной воде пруда стоит лодка длиной L и массой М перпендикулярно берегу, обращенная к нему носом. На корме стоит человек массой m. На какое расстояние S приблизится лодка к берегу, если человек перейдет с кормы на нос лодки? Трением о воду и воздух пренебречь.

2. Вертолет массой m = 3 т висит в воздухе. Определить мощность N, расходуемую на поддержание вертолета в этом положении. Диаметр d ротора равен 8 м. При расчете принять, что ротор отбрасывает вниз цилиндрическую струю воздуха диаметром, равным диаметру ротора.

проводу, изогнутому в горизонтальной плоскости в виде дуги окружности радиуса R = 50 см. В точке 1, где скорость муфточки v0 = 7,5 м/с, на нее начала действовать постоянная горизонтальная сила F. Найти скорость муфточки в точке 2, если F = 30 Н.

сравнению с первоначальным уровнем) она поднимется после отрыва от тела М? Трения нет.

5. Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины, поставленной на подставке, сжимает ее на х = 2 мм. На сколько сожмет пружину та же гиря, упавшая на конец пружины с высоты h = 5 см?

6. Потенциальная энергия частицы имеет вид U = a(x/y – y/z), где а – константа.

Найти: а) силу F, действующую на частицу; б) работу А, совершаемую над частицей силами поля при переходе частицы из точки (1, 1, 1) в точку (2, 2, 3).

трения между шайбой и доской шайба тормозится и, начиная с некоторого момента, движется вместе с доской как единое целое. Найти суммарную работу сил трения в этом процессе.

8. Пушка массы М начинает свободно скользить вниз по гладкой плоскости, составляющей угол с горизонтом. Когда пушка прошла путь l, произвели горизонтальном направлении, а пушка остановилась. Пренебрегая массой снаряда, найти продолжительность выстрела.

Вопросы и задачи для самостоятельной и индивидуальной работы 1.1. На основе однородности пространства получите закон сохранения импульса.

1.2. Используя III закон, Ньютона получите закон сохранения импульса.

1.3. Сформулируйте теорему о движении центра масс системы частиц.

1.4. Докажите, что в отсутствие внешних сил скорость центра масс постоянна.

Сделайте рисунок, приведите пример.

1.5. Ядро распадается на три частицы, разлетающиеся по разным направлениям.

Будет ли неизменным скорость центра масс этих трех частиц? Сделайте рисунок, приведите доказательство.

1.6. На каком принципе основана работа ускорителя на встречных пучках?

Приведите расчеты.

1.7. Запишите уравнение Мещерского. Что называют реактивной силой?

1.8. Запишите аналитическое выражение для фразы: «Происходит переход энергии от тела, со стороны которого действует сила, к тому, на которое она действует».

1.9. Какую часть потребляемой электроэнергии вырабатывают ГЭС в настоящее время? Какую мощность развивает водопад?

1.10. Как вычисляется потенциальная энергия взаимодействия двух тел?

1.11. Приведите примеры консервативных и неконсервативных сил. Сделайте рисунок.

1.12. Как рассчитать потенциальную энергию силы тяжести?

1.13. Какой закон налагает строгие ограничения на возможности извлечения энергии и ее потребления? Приведите примеры.

1.14. Какая величина остается неизменной для материальной точки, находящейся в поле фундаментальных сил? Получите эту формулу.

1.15. Как из скалярной величины «построить» вектор? Покажите это на примере потенциальной энергии.

1.16. Если на тело действует несколько сил, например гравитационная и упругая. Чему равна полная потенциальная энергия такого тела?

1.17. Сформулируйте закон сохранения энергии для системы материальных точек.

1.18. Чему равна энергия двух протонов в гравитационном поле Земли?

1.19. Приведите несколько примеров вычисления импульса силы.

1.20. Докажите, что при любом нецентральном соударении двух 1.21. При лобовом ударении грузовика и легкового автомобиля грузовик теряет около 20 % своей скорости. Докажите это.

1.22. Приведите несколько диаграмм потенциальной энергии и объясните их.

1.23. В чем состоит различие понятий: «энергия в химии» и «энергия в биологии»? Приведите примеры.

1.24. Как оценить расход топлива автомобиля? Приведите конкретные расчеты.

2.1. Шарик массой 200 г ударился о стену и отскочил от нее. Определить импульс, полученный стеной, если в последний момент перед ударом шарик имел скорость 10 м/с, направленную под углом 30 ° к поверхности результате упругого столкновения с покоящейся частицей массой m2 = 41024 г она сообщает ей кинетическую энергию Е2 = 5 нДж. Определить угол, на который отклонится частица от своего первоначального направления.

2.3. Тело массой 1 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно по закону s = (2t2 + 4t + 1) м. Определить работу силы за 10 с от начала ее действия.

2.4. Насос выбрасывает струю воды диаметром d = 2 см со скоростью v = м/с. Найти мощность N, необходимую для выбрасывания воды.

2.5. Гладкий неупругий шарик из мягкого свинца налетает на такой же шарик, первоначально покоящийся. После столкновения второй шарик летит под углом к направлению скорости первого шарика до столкновения. Определить угол, под которым разлетаются шары после столкновения. Какая часть кинетической энергии перейдет при столкновении в тепло?

2.6. Тележка массы m1 вместе с человеком массы m2 движется со скоростью u.

Человек начинает идти с постоянной скоростью по тележке в том же направлении. При какой скорости человека относительно тележки она остановится? Трением колес тележки о землю пренебречь.

2.7. Гладкая упругая нить длины l и жесткости k подвешена одним концом к точке О. На нижнем конце имеется невесомый упор. Из точки О начала падать небольшая муфта массы m. Найти: а) максимальное растяжение нити; б) убыль механической энергии системы к моменту установления равновесия (из-за сопротивления воздуха).

2.8. Боек автоматического молота массой 100 кг падает на заготовку детали, масса которой вместе с наковальней 2000 кг. Скорость молота в момент удара м/с. Считая удар абсолютно неупругим, определить энергию, идущую на деформацию заготовки.

2.9. Брусок массы m = 1,00 кг находится на горизонтальной плоскости с коэффициентом трения µ = 0,27. В некоторый момент ему сообщили начальную скорость v0 = 1,50 м/с. Найти среднюю мощность силы трения за все время движения бруска.

2.10. Пуля, летевшая горизонтально со скоростью v = 400 м/с, попадет в брусок, подвешенный на нити длиной l = 4 м, и застревает в нем. Определить угол, на который отклонится брусок, если масса пули m1 = 20 г и масса бруска m2 = 5 кг.

летит шар массой m = 2 кг с горизонтальной скоростью v1 = 7 м/с. Шар после встречи с тележкой застрял в песке. В какую сторону и с какой скоростью u покатится тележка после падения шара? Масса тележки М = 10 кг.

2.12. Две пружины с жесткостями k1 = 0,3 кН/м и k2 = 0,5 кН/м скреплены последовательно и растянуты так, что абсолютная деформация х2 второй пружины равна 3 см. Вычислить работу А растяжения пружины.

2.13. Для получения медленных нейтронов их пропускают сквозь вещества, содержащие водород (например, парафин). Найти, какую наибольшую часть своей кинетической энергии нейтрон с массой m0 может передать: 1) протону (масса m0) и 2) ядру атома свинца (масса m = 207m0). Наибольшая часть передаваемой энергии соответствует упругому центральному удару.

работу совершает сила трения? б) Чему равна постоянная сила трения? в) Если покрыть наклонную плоскость масляной пленкой и уменьшить силу трения в раз, то каким будет значение скорости бруска у основания наклонной плоскости?

2.15. Самолет для взлета должен иметь скорость 25 м/с. Длина его пробега перед взлетом 100 м. Какова должна быть мощность моторов при взлете, если масса самолета 1 т, коэффициент сопротивления 0,02?

2.16. Какова мощность N воздушного потока сечением S = 0,55 м2 при скорости воздуха v = 20 м/с и нормальных условиях?

2.17. Акробат массой 60 кг прыгает с высоты 10 м на растянутую сетку. На сколько прогнется при этом сетка? Когда акробат стоит неподвижно на сетке, ее статический прогиб равен 5 см.

2.18. Человек, сидящий в лодке, бросает камень вдоль нее под углом 60 ° к горизонту. Масса камня 1 кг, масса человека и лодки 150 кг, начальная скорость камня относительно берега 10 м/с. Найти расстояние между точкой падения камня и лодкой в момент, когда камень коснется воды.

2.19. Груз массы m, подвешенный на пружине жесткости k, находится на подставке. Пружина при этом не деформирована. Подставку быстро убирают.

Определите максимальное удлинение пружины и максимальную скорость груза.

2.20. Молекула распадается на два атома. Масса одного из атомов в n = 3 раза больше, чем другого. Пренебрегая начальной кинетической энергией и импульсом молекулы, определить кинетические энергии Е1 и Е2 атомов, если их суммарная кинетическая энергия Е = 0,032 нДж.

2.21. Шарик соскальзывает без трения по наклонному желобу, образующему «мертвую петлю» радиусом R. С какой высоты шарик должен начать движение, чтобы не оторваться от желоба в верхней точке петли? Сопротивление воздуха не учитывайте.

сталкивается с В. При соударении оба бруска слипаются и после соударения движутся как единое целое. а) Чему равна скорость обоих брусков непосредственно после соударения? б) Как высоко они могут подняться над поверхностью?

2.23. Пуля массой m1 = 10 г вылетает со скоростью v = 300 м/с из дула автоматического пистолета, масса m2 затвора которого равна 200 г. Затвор пистолета прижимается к стволу пружиной жесткостью k = 25 кН/м. На какое расстояние l отойдет затвор после выстрела? Считать пистолет жестко закрепленным.

2.24. Конькобежец весом Р = 700 Н, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой 3 кг со скоростью v = 8 м/с. Найти, на какое расстояние откатится при этом конькобежец, если известно, что коэффициент трения коньков о лед µ = 0,02.

2.25. а) Какая работа требуется для поднятия массы 10 кг по наклонной плоскости без трения длиной 3 м и высотой 0,5 м? б) Предположим, что теперь между телом и наклонной плоскостью существует сила трения 0,700 Н. Какая работа необходима в этом случае?

3.1. Небольшому телу массой m, находящемуся на горизонтальной плоскости, сообщили скорость v0. Коэффициент трения зависит от пройденного пути s по закону µ = s, где постоянная. Найти максимальную мгновенную мощность силы.

3.2. Небольшой шарик массой 0,5 кг, брошенный вертикально вниз с высоты 120 м, углубился в песок на глубину 0,1 м. Определите среднюю силу сопротивления грунта, если начальная скорость падения шарика 14 м/с.

Сопротивление воздуха не учитывать.

3.3. Боек свайного молота массой m1 = 500 кг падает с некоторой высоты на сваю массой m2 = 100 кг. Найти к.п.д. удара бойка, считая удар неупругим.

Изменением потенциальной энергии сваи при углублении ее пренебречь.

3.4. Брусок массой m = 2,0 кг медленно подняли по шероховатой наклонной поверхности на высоту h = 51 см при помощи нити, параллельной этой плоскости. При этом совершили работу А = 16 Дж. На высоте h нить отпустили. Найти скорость бруска, достигшего первоначального положения.

3.5. Граната массой 1 кг разорвалась на высоте 6 м над землей на два осколка.

Непосредственно перед взрывом скорость гранаты была направлена горизонтально и равна 10 м/с. Один из осколков массой 0,4 кг полетел вертикально вниз и упал на землю под местом взрыва со скоростью 10 м/с.

Чему равен модуль скорости второго осколка сразу после взрыва?

3.6. Шайба массой m = 50 г соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости, составляющей угол = 30 ° с горизонтом, и, пройдя по горизонтальной плоскости расстояние l = 50 см, останавливается. Найти работу сил трения на всем пути, считая всюду коэффициент трения µ = 0,15.

3.7. Автомобиль с работающим двигателем въезжает на обледенелую гору, поверхность которой образует угол с горизонтом. Какой высоты гору может преодолеть автомобиль, если его начальная скорость при въезде на нее равна v, а коэффициент трения колес о лед µ < tg ?

3.8. Две одинаковые тележки движутся друг за другом по инерции (без трения) с одной и той же скоростью v0. На задней тележке находится человек массой m.

В некоторый момент человек прыгнул в переднюю тележку со скоростью u относительно своей тележки. Имея в виду, что масса каждой тележки равна М, найти скорости, с которыми будут двигаться обе тележки после этого.

3.9. Молот массой m1 = 5 кг ударяет небольшой кусок железа, лежащий на наковальне. Масса m2 наковальни равна 100 кг. Массой куска железа пренебречь. Удар неупругий. Определить к.п.д. удара молота при данных условиях.

3.10. Частица находится в двумерном силовом поле, где ее потенциальная энергия U = xy, = 6,0 Дж/м2. Найти модуль силы, действующей на частицу в точке, где U = 0,24 Дж и вектор силы составляет угол = 15 ° с ортом оси Y.

3.11. Легкий пластмассовый шарик для игры в настольный теннис роняют с высоты h. В нижней точке его траектории по нему ударяют ракеткой снизу вверх, после чего шарик подпрыгивает на высоту, в n раз большую первоначальной. Определить скорость ракетки в момент удара. Считать удар упругим, сопротивлением воздуха пренебречь. Масса ракетки много больше массы шарика.

3.12. Камешек скользит с наивысшей точки купола, имеющего форму полусферы. Какую дугу опишет камешек, прежде чем оторваться от поверхности купола? Трением пренебречь.

3.13. Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид U = a/r2 – b/r, где а и b – положительные постоянные; r – расстояние от центра поля. Найти: а) значение r0, соответствующее равновесному положению частицы; выяснить, устойчиво ли это положение; б) максимальное значение силы притяжения;

изобразить примерные графики зависимостей U(r) и Fr(r) 3.14. Для откачки нефти с глубины Н = 1000 м поставлен насос мощностью N = 10 кВт. Коэффициент полезного действия насоса = 0,8. Какова масса m нефти, добытой за t = 10 ч работы насоса, при подаче нефти на поверхность земли со скоростью v = 0,1 м/с. Каков радиус трубы, по которой подается нефть?

Считать, что уровень нефтяного пласта не понижается.

наклонной плоскости с помощью блока и троса. При этом совершается работа А. Затем трос отпускают, и груз скользит вниз. Какую скорость он приобретет, скатившись до исходной точки?

3.16. На чашку, подвешенную на пружине с коэффициентом жесткости k = Н/м, падает с высоты h = 1 м груз массой m = 1 кг и остается на чашке, то есть удар груза о дно чашки можно считать абсолютно неупругим. Чашка начинает колебаться. Рассчитайте амплитуду колебаний чашки. Массой чашки пренебречь.

3.17. Цепочка массой m = 0,8 кг и длиной l = 1,5 м лежит на шероховатом столе так, что один ее конец свешивается у его края. Цепочка начинает сама соскальзывать, когда ее свешивающаяся часть составляет = 1/3 длины цепочки. Какую работу совершат силы трения, действующие на цепочку, при ее полном соскальзывании со стола?

он скользит по гладкому желобу и взмывает по внутренней поверхности круглой петли радиуса R. Высота h такова, что автомобиль совершает «мертвую петлю», не теряя соприкосновения с желобом. Выразите высоту h через R. Какова сила реакции желоба на автомобиль в точке В?

3.19. Бассейн площадью S, заполненный водой до уровня h, разделен пополам вертикальной перегородкой. Перегородку медленно передвигают в горизонтальном направлении так, что она делит бассейн в отношении 1:3.

Какую для этого нужно совершить работу? Плотность воды.

3.20. Нить длины l с привязанным к ней шариком массой m отклонили на 90 ° от вертикали и отпустили. На каком наименьшем расстоянии под точкой подвеса нужно поставить гвоздь, чтобы нить, зацепившись за него, порвалась, если она выдерживает силу натяжения Т?

3.21. Артиллеристы стреляют так, чтобы ядро попало в неприятельский лагерь.

В момент выстрела ядра из пушки на него садится верхом барон Мюнхгаузен, и потому ядро падает, не долетая до цели. Какую часть пути Мюнхгаузену придется пройти пешком, чтобы добраться до вражеского лагеря? Принять, что Мюнхгаузен впятеро тяжелее ядра. Посадку барона на ядро считать абсолютно неупругим ударом.

3.22. Два тела массой m1 и m2 соединены недеформированной пружиной жесткости k. Затем к телам одновременно приложили противоположно направленные силы F. Найдите максимальную кинетическую энергию тел и относительная скорость тел?

3.23. Два одинаковых шарика налетают друг на друга со скоростями v1 и v2 под углом и разлетаются после абсолютно упругого удара со скоростями u1 и u2.

Найти угол разлета шариков после соударения.

3.24. Космонавт массой m1 приближается к космическому кораблю массой m2 с помощью легкого троса. Первоначально корабль и космонавт неподвижны, а расстояние между ними равно l. Какое расстояние пройдут корабль и космонавт до встречи?

3.25. Три лодки массой М каждая движутся по инерции друг за другом с одинаковыми скоростями v. Из средней лодки в крайние одновременно перебрасывают грузы массой m каждый со скоростью u относительно лодок.

Какие скорости v1, v2, v3 будут иметь лодки после перебрасывания грузов?

4.1. Частица массой m испытала столкновение с покоившейся частицей массой M, в результате которого частица m отклонилась на угол /2, а частица М отскочила под углом = 30 ° к первоначальному направлению частицы m. На сколько процентов и как изменилась кинетическая энергия этой системы после столкновения, если М/m = 5,0?

4.2. Замкнутая система состоит из двух одинаковых частиц, которые движутся со скоростями v1 и v2 так, что угол между направлениями их движения равен.

После упругого столкновения скорости частиц оказались равными v1 и v2.

Найти угол между направлениями их разлета.

4.3. С какой по величине и направлению скоростью должен прыгнуть человек массой m, стоящий на краю тележки массой М и длиной l, чтобы попасть на другой конец к моменту остановки тележки. Коэффициент трения тележки о землю равен µ.

4.4. Тонкая цепочка массой m = 25 г и длиной l = 100 см лежит на столе в виде небольшой кучки. К одному из концов цепочки приложили направленную вертикально вверх силу F = y, где = 0,47 Н/м; y – высота подъема от поверхности стола. Найти скорость цепочки в момент отрыва ее нижнего конца от стола.

направление которых составляет угол с прямой, их соединяющей. Масса каждой частицы m, сила отталкивания зависит от расстояния r между частицами как а/r2, где а – известная постоянная. Найти наименьшее расстояние, на которое сблизятся частицы.

4.6. Тело массой m начинают поднимать с поверхности земли, приложив к нему силу F, которую изменяют с высотой подъема y по закону F = 2(ay – 1)mg, где а – положительная постоянная. Найти работу этой силы и приращение потенциальной энергии тела в поле тяжести Земли на первой половине пути подъема.

4.7. Частицы массой m попадают в область, где на них действует встречная тормозящая сила. Глубина х проникновения частиц в эту область зависит от импульса р частиц как х = р, где заданная постоянная. Найти зависимость модуля тормозящей силы от х.

4.8. Гладкий легкий горизонтальный стержень АВ может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец А. На стержне находится небольшая муфточка массой m, соединенная пружинкой длиной l0 с концом А.

Жесткость пружины равна k. Какую работу надо совершить, чтобы эту систему медленно раскрутить до угловой скорости ?

4.9. Прямая цепочка массой m = 50 г и длиной l = 52 см лежит на гладкой горизонтальной полуплоскости у ее границы с другой горизонтальной полуплоскостью, где коэффициент трения перпендикулярно границе раздела полуплоскостей. Какую работу необходимо совершить, чтобы, действуя горизонтальной силой на конец цепочки, находящейся у границы раздела, медленно перетащить всю цепочку через эту границу?

4.10. На подставке лежит гиря массой m = 1,00 кг, подвешенная на недеформированной пружине с жесткостью k = 80 Н/м. Подставку начали опускать с ускорением а = 5,0 м/с2. Пренебрегая массой пружины, найти максимальное растяжение пружины в этом процессе.

4.11. Небольшая шайба массой m = 5,0 г начинает скользить, если ее положить на шероховатую поверхность полусферы на высоте h1 = 60 см от отрывается от полусферы на высоте h2 = 25 см. Найти работу сил трения, действующих на шайбу при ее соскальзывании.

4.12. С помощью электролебедки вверх по наклонной плоскости поднимают груз, причем канат параллелен наклонной плоскости. При каком угле наклона плоскости к горизонту скорость груза будет минимальной, если коэффициент трения 0,4, а мощность двигателя 1,5 кВт?

4.13. В аттракционе поезд, как показано на рисунке, скатывается с горы кг? (Если бы Fтр была бы больше, то поезд не смог бы достичь второй вершины.

Силу Fтр считать постоянной).

4.14. Цепочка массой m = 1,0 кг и длиной l = 1,40 м висит на нити, касаясь поверхности стола своим нижним концом. После пережигания нити цепочка упала на стол. Найти полный импульс, который она передала столу.

4.15. К небольшому бруску массой m = 50 г, лежащему на горизонтальной плоскости, приложили постоянную горизонтальную силу F = 0,10 Н. Найти работу сил трения за время движения бруска, если коэффициент трения зависит от пройденного пути х как µ = х, где постоянная.

4.16. Небольшое тело массой m медленно втащили на горку, действуя силой F, которая в каждой точке направлена по касательной к траектории. Найти работу этой силы, если высота горки h, длина ее основания и коэффициент трения k.

4.17. К потолку привязан резиновый шнур, свободный конец которого находится на высоте h над полом. Если подвесить к нему небольшой тяжелый груз, который затем плавно опустить, то конец шнура с грузом опустится на расстояние h/3. На какую наименьшую высоту над полом надо затем поднять груз, чтобы после того, как его отпустят, он ударился о пол. Как изменится ответ при замене резинового шнура пружиной?

веревку, натягивая ее с силой Т. Какую скорость он приобретет, проезжая под перекладиной? Начальная длина веревки 2l, масса мальчика с санками m.

Трением пренебречь.

4.19. Водомерный двигатель катера забирает воду из реки и выбрасывает ее со скоростью u = 10,0 м/с относительно катера назад. Масса катера М = 1000 кг.

Масса ежесекундно выбрасываемой воды постоянна и равна m = 10,0 кг/с.

Пренебрегая сопротивлением движению катера, определить: а) скорость катера v спустя время t = 1,00 мин после начала движения; б) какой предельной скорости vmax может достичь катер.

4.20. Небольшой шарик массой m = 50 г прикреплен к концу упругой нити, жесткость которой k = 63 Н/м. Нить с шариком отвели в горизонтальное положение, не деформируя нить, и осторожно отпустили. Когда нить проходила вертикальное положение, ее длина оказалась l = 1,5 м и скорость шарика v = 3,0 м/с. Найти силу натяжения нити в этом положении.

4.21. На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска АВ длиной l = 100 см, на конце А которой находится небольшая шайба. Масса доски в = 10 раз больше массы шайбы, коэффициент трения между ними µ = 0,15. Какую начальную скорость надо сообщить шайбе в направлении от А к В, чтобы она смогла соскользнуть с доски?

4.22. Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины, сжимает ее на мм. Насколько сожмет пружину эта гиря, брошенная вертикально вниз с высоты 0,2 м со скоростью 1 м/с?

расстояние S? Чему оно равно?

площадка лыжников, чтобы они, закончив закругление, начали свободный полет? Угол склона, радиус закругления R, коэффициент трения между лыжами и склоном µ < tg. Стартовой скоростью лыжников пренебречь.

Кубик находится в положении, в котором пружина не деформирована. Кубик отпускают без начальной скорости. Определите максимальную скорость кубика кН/м, коэффициент трения µ = 0,1 (µ < tg ), g = 10 м/c2.

ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ

Основные формулы и краткие теоретические сведения 1. Закон всемирного тяготения где F – сила гравитационного взаимодействия (притяжения) двух материальных точек массами m1 и m2; r – расстояние между ними; G – гравитационная постоянная.

материальные точки (или одну из них) заменить сплошными или полыми шарами со сферически симметричным распределением масс. В этом случае расстояние r есть расстояние между центрами шаров (или между центром шара и материальной точкой).

2. Гравитационное поле (ускорение свободного падения) где F – сила тяготения, действующая на материальную точку массы m, помещенную в данную точку поля тяготения.

3. Гравитационное поле планеты, звезды или вообще какого-либо шара со сферически симметричным распределением массы где М – масса планеты, звезды или шара; r – расстояние от центра каждого из этих тел до интересующей нас точки поля.

При этом данная точка должна находиться вне тел, создающих поле тяготения. Если же эта точка находится внутри планеты, звезды или шара, то в выражении для гравитационного поля учитывается только та масса, которая охвачена поверхностью сферы радиуса r.

4. Потенциал поля тяготения где U – потенциальная энергия материальной точки массой m, помещенной в интересующую нас точку поля тяготения.

5. Потенциал поля тяготения планеты, звезды или вообще какого-либо шара со сферически симметричным распределением массы где М – масса планеты, звезды или шара; r – расстояние от центра каждого из этих тел до интересующей нас точки поля. При этом данная точка должна находиться вне тел, создающих поле тяготения.

6. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами m1 и m2 или шаров со сферически симметричным распределением масс где r – расстояние между материальными точками или центрами шаров.

7. Законы Кеплера:

первый закон – все планеты Солнечной системы движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце;

второй закон – радиус-вектор планеты в равные промежутки времени описывает равные площади;

третий закон – квадраты периодов Т обращения любых двух планет относятся как кубы больших полуосей а их орбит Законы Кеплера справедливы не только для движения планет Солнечной системы, но и для движения спутников вокруг планет.

Примеры решения задач Задача 1. В задаче предлагается схема устройства аттракциона «Ракета» для создания на короткое время состояния невесомости. Две кабины разделены штангой длиной 20 м и вращаются со скоростью v в вертикальной плоскости.

Какой должна быть скорость v, чтобы пассажиры оказались в состоянии невесомости в верхней точке траектории? Чему равен их кажущийся вес, когда кабина достигнет нижней точки?

Дано: Решение: В верхней точке траектории м невесомости, если на них будет дейv=? ствовать только сила тяжести mg. Согласно FK = ? второму закону Ньютона В нижней точке траектории на пассажиров кроме силы тяжести mg действует сила реакции N пола кабины. В этом случае второй закон Ньютона запишется в виде или в проекциях на ось Оy Согласно третьему закону Ньютона или по модулю где FК – кажущийся вес пассажиров (сила, с которой пассажиры давят на пол кабины).

С учетом (3) и (9) уравнение (7) примет вид Следовательно, кажущийся вес пассажиров FK = 2mg.

Задача 2. Масса тонкого стержня длиной 3 м равна 5 кг. На продолжении оси стержня на расстоянии 20 см от ближайшего его конца находится стальной шарик радиусом 1 мм. Найдите силу гравитационного взаимодействия шарика со стержнем. Плотность = 7,8103 кг/м3.

Дано:

М = 5 кг взаимодействия материальных точек а = 0,2 м или же тел сферической формы. По R = 1103 м условию задачи одно из тел – = 7,8103 стержень не удовлетворяет этому кг/м виде где m – масса шарика; х – расстояние от шарика до участка dx стержня; dM – масса этого участка. Массу участка dx можно найти как произведение массы стержня, приходящейся на единицу его длины (M/m), и длины участка:

С учетом (2) формулу (1) запишем в виде Для нахождения полной силы взаимодействия шарика со стержнем применим принцип суперпозиции:

Массу m стального шарика найдем как произведение его объема на Произведем вычисления Задача 3. Пусть имеется полая сферическая оболочка массой m с внешним радиусом R2 и внутренним R1, так что толщина оболочки равна R2 – R1. Чему равно поле тяготения внутри оболочки, т.е. при R1 < r < R2? Запишите ответ через G, m, R1 и R2, предполагая плотность оболочки однородной.

Решение: Предположим, что полая Дано:

сплошного шара точку Р и проведем через нее вспомогательную сферу радиуса r. Гравитационное поле а1 в этой точке создается только шаром радиуса r где m1 – масса шара радиуса r.

определим по формуле где m2 – масса шара радиуса R2 (масса вещества, заполняющего внутреннюю часть оболочки).

гравитационное поле а в точке Р найдем как разность полей а1 и а В формулах (5) и (6) плотность вещества оболочки.

С учетом (5) и (6) выражение (3) примет вид Плотность вещества оболочки найдем, исходя из ее массы m и объема V Подставляя (8) в (7), получим выражение для поля тяготения внутри оболочки Задача 4. В стальном шаре радиусом R1 = 40 см сделана сферическая полость радиусом R2 = 25 см. Расстояние l между центрами шара и полости равно 10 см.

На расстоянии r = 5 м от центра шара находится маленький шарик. Во сколько раз сила F1 гравитационного взаимодействия маленького шарика с шаром без полости больше силы F2 гравитационного взаимодействия маленького шарика с шаром, имеющим полость?

Решение: Предположим, что большой Дано:

R1 = 0,4 шар не имеет полости и его масса м распределена сферически симметрично 0,25 м гравитационного взаимодействия l = 0,1 м маленького шарика с шаром без полости r=5м может быть представлена на основе заF1/F2 = ? кона всемирного тяготения до центра маленького шарика.

Теперь предположим, что большой шар отсутствует, а пространство его полости занимает сплошной со сферически симметричным распределением массы стальной шар с центром в точке О2, радиус которого равен радиусу R полости. Тогда сила F гравитационного взаимодействия маленького шарика радиусом R2 может быть также представлена на основе закона всемирного тяготения:

где М2 – масса шара, занимающего пространство полости; l – расстояние между центрами полости и шара с полостью (см. рисунок).

Очевидно, что силу F2 гравитационного взаимодействия маленького шарика с шаром, имеющим полость, можно найти методом вычитания, т.е.

С учетом (1) и (2) выражение (3) запишется в виде Выразим М2 через М1:

Здесь плотность стали.

Разделив почленно (5) на (6), получим С учетом (8) выражение (4) примет вид Отношение сил гравитационного взаимодействия маленького шарика с шаром без полости и с шаром, имеющим полость, найдем, разделив почленно (1) на (10):

или (после сокращений в правой части (11)) Подставим числовые значения величин в формулу (12) и произведем Задача 5. Телу сообщили на полюсе Земли скорость v0 = 2 км/с, направленную вертикально вверх. Зная радиус Земли и ускорение свободного падения на ее Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано:

м/с 6,37106 м м/с h=? действия системы «тело – Земля»

равна нулю, закон сохранения энергии можно записать в виде где m и М – соответственно массы тела и Земли; R – радиус Земли; h – максимальная высота подъема тела; v0 – его начальная скорость.

Разделив обе части уравнения (1) на массу m тела, получим Поскольку на поверхности Земли ускорение свободного падения то уравнение (2) можно представить в виде Отсюда максимальная высота подъема тела над поверхностью Земли Произведем вычисления:

Задача 6. Космическое тело движется в направлении к Солнцу, имея вдали от него скорость v1 = 8,3 км/с и предельный параметр = 2,81 а.е. Определите наименьшее расстояние rmin, на которое это тело приблизится к Солнцу.

Дано:

v1 = 8,3 км/с = Солнцу, космическое тело 8,3103 м/с попадает в поле тяготения = 2,81 а.е. Солнца, и траектория тела 4,21011 м показано на рисунке. Поле тяготения Солнца является полем центральных механической энергии системы «космическое тело – Солнце» должен выполняться и закон сохранения момента Если принять потенциальную энергию взаимодействия космического тела и Солнца бесконечно удаленных друг от друга равной нулю, то закон сохранения полной механической энергии можно записать в виде где m – масса космического тела; М = 1,981030 кг – масса Солнца; rmin – минимальное расстояние, на которое космическое тело приблизится к Солнцу;

v1 и v2 – скорости космического тела, соответственно, вдали от Солнца и на расстоянии от него, равном rmin; G – гравитационная постоянная.

Закон сохранения момента импульса космического тела где предельный параметр, т.е. наименьшее расстояние между Солнцем и первоначальным направлением движения космического тела (см. рисунок).

Разделив обе части уравнений (1) и (2) на массу m космического тела, получим Уравнения (3) и (4) содержат два неизвестных – rmin и v2.

Скорость v2 выразим из (3) Подставляя (5) в (4), получим После соответствующих математических преобразований уравнение (6) запишется в виде Таким образом, уравнение относительно rmin является квадратным уравнением.

Оно содержит два корня:

Однако физический смысл имеет только значение rmin > 0. Следовательно, Подставляя в формулу (9) числовые данные, получим Задача 7. Космический корабль, запущенный на Марс, движется по эллиптической орбите. Большая ось эллипса равна сумме расстояний от Земли и Марса до Солнца. На рисунке орбита корабля показана кораблю, чтобы достичь Марса? Расстояние r1 между Солнцем и Марсом равно 2,281011 м.

Здесь r2 = 1,491011 м – расстояние от Земли до Солнца (точнее, от центра Земли до центра Солнца).

Период Т2 движения Земли вокруг Солнца равен 365 суток, а ее эллиптическая орбита практически не отличается от круговой. Это означает, что большая полуось а2 земной орбиты равна расстоянию r Периоды Т1 и Т2 связаны между собой в соответствии с III законом Кеплера С учетом (1) и (2) выражение для периода Т1 примет вид Время t, необходимое космическому кораблю, чтобы достичь Марса, найдем после подстановки (6) в (1) Произведем вычисление Задача 8. После того как у звезды происходит выгорание термоядерного горючего, она испытывает гравитационный коллапс и сжимается. В силу закона сохранения момента импульса величина R2/T (Т – период обращения) должна оставаться постоянной. Каким будет минимальный радиус Солнца, прежде чем оно начнет «разлетаться на части»? Солнце совершает оборот вокруг своей оси за 27 сут.

Дано:

R2/T = const вращающуюся систему Т1 = 27 сут = отсчета xyz, угловая скорость 2,333106 с вращения которой такая В формулах (1) и (2) m – масса некоторой части поверхности звезды; М – масса всей звезды; R и ее радиус и угловая скорость вращения; G – гравитационная постоянная.

Очевидно, минимальный радиус звезды (после гравитационного коллапса), прежде чем она начнет «разлетаться на части», должен удовлетворять уравнению где Т – период обращения звезды накануне ее разлета на части. Его можно выразить из условия где R1 и Т1 – радиус и период обращения звезды до гравитационного коллапса.

Из (6) находим Т:

Решая систему уравнений (4) и (7) относительно Rmin, получим Подставляя в правую часть формулы (8) числовые значения Солнца, его массы М = 1,981030 кг и периода обращения Т1 = 2,333106 с, найдем минимальный радиус Солнца, при котором после гравитационного коллапса возможен его «разлет на части»:

1. Получите формулы для потенциальной энергии и силы гравитационного взаимодействия сплошного однородного шара массы М с материальной точкой массы m, находящейся на расстоянии r от центра шара.

2. Определите гравитационную энергию сплошного однородного шара радиуса R, объемная плотность вещества которого равна.

3. Масса тонкого однородного стержня длиной l = 2 м равна 3 кг. На расстоянии r0 = 50 см от стержня против его середины находится маленький шарик массой m = 10 г. Найти силу гравитационного взаимодействия шарика со стержнем.

4. Предположим, что наша Галактика состоит из 1011 звезд со средней массой 1030 каждая. На краю Галактики звезда движется по круговой орбите с радиусом 50 тыс. световых лет. Каковы ее скорость и период обращения?

Считать, что звезда ведет себя так, как если бы вся масса Галактики сосредоточена в центре Галактики.

5. Космическое тело с нулевой начальной скоростью в гелиоцентрической системе отсчета падает на Солнце с расстояния, равного радиусу земной орбиты. Сколько времени продолжалось падение?

6. Пусть комета движется вокруг Солнца по эллиптической Напишите отношение скоростей v2/v1 через а и b, а также через эксцентриситет б) Выведите формулу, связывающую период обращения с m, G и R.

1.1. Сформулируйте и запишите закон всемирного тяготения согласно ньютоновской теории тяготения. Каковы пределы применимости этого закона?

1.2. Материальная точка взаимодействует с телом произвольной геометрической формы, которое материальной точкой считать нельзя. Можно ли применить закон всемирного тяготения в этом случае? Если можно, то каким образом?

1.3. Как определить ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли, Луны, Марса и других небесных тел, зная массу и размеры этих тел?

1.4. Как изменяется ускорение свободного падения в зависимости от высоты h над поверхностью Земли? Получите зависимость g(h).

1.5. Кто первым предложил способ измерения очень малых сил, и каким образом на основе этого способа была определена экспериментально гравитационная постоянная?

1.6. Опишите способ «взвешивания» Солнца, Земли и других планет.

1.7. Сформулируйте три закона Кеплера. Сопроводите первый и второй законы поясняющими рисунками. Напишите формулу, выражающую третий закон Кеплера.

1.8. Какие точки орбит, по которым движутся планеты, называются перигеем и апогеем? В какой из этих точек скорость движения планеты максимальна?

1.9. Какие скорости называются первой и второй космической скоростями? Как вычислить эти скорости?

1.10. Какой искусственный спутник Земли называется стационарным? Как определить радиус орбиты такого спутника?

1.11. Законы сохранения каких физических величин применяются при описании движения планет и спутников? Сформулируйте и запишите эти законы.

1.12. Какое состояние тела называется состоянием невесомости?

1.13. Можно ли создать состояние невесомости в кабине самолета? Если можно, то каким способом?

1.14. Равны ли между собой сила тяжести и вес тела. Какой вес называют кажущимся весом?

1.15. Как определить кажущийся вес пассажира автобуса, движущегося с ускорением?

1.16. Каким способом можно создать искусственную тяжесть для пассажиров космического корабля?

1.17. Сформулируйте принцип эквивалентности. Докажите, что инертная и гравитационная массы точно совпадают.

1.18. Как определить поле тяготения Земли в зависимости от расстояния до ее центра? Приведите график этой зависимости.

1.19. Как определить поле тяготения шарового слоя со сферическим распределением массы? Приведите график зависимости гравитационного поля шарового слоя от расстояния до его центра.

1.20. Какая физическая величина называется потенциалом поля тяготения?

Напишите формулу потенциала поля тяготения Земли для точек поля, расстояние которых до центра Земли больше или равно ее радиусу.

1.21. Напишите формулу, выражающую потенциальную энергию взаимодействия Земли и какого-либо ее искусственного спутника.

1.22. Сформулируйте основные положения теории тяготения Эйнштейна.

1.23. Сформулируйте принцип эквивалентности Эйнштейна.

1.24. Какое влияние оказывает поле тяготения на связь промежутков времени в неподвижной и подвижной системах отсчета? Напишите формулу, выражающую эту связь.

1.25. Как изменяется частота света при его приближении к космическим телам, создающим поля тяготения? Напишите формулу, выражающую это изменение частоты света.

2.1. Определите силу, с которой притягивается к Земле тело массой 1 кг, находящееся на поверхности Луны.

2.2. На каком расстоянии от поверхности Земли сила притяжения космического корабля к ней в 9 раз меньше, чем на старте?

2.3. Каково отношение сил тяготения, действующих на ракету на поверхности Земли и на высоте, равной радиусу Земли?

2.4. Как изменится сила гравитационного притяжения между шарами, изготовленными из материала одинаковой плотности, если объем одного шара в 2 раза увеличить, а другого – в 2 раза уменьшить, не изменяя расстояние между центрами шаров?

2.5. На каком расстоянии от поверхности Земли находится точка, в которой стальной шарик одинаково притягивается и Землей, и Луной?

2.6. Ускорение свободного падения на Луне равно 0,17g, где g – ускорение свободного падения на Земле. Диаметр Луны в 3,7 раза меньше диаметра Земли. Во сколько раз масса Земли больше массы Луны?

2.7. Если бы тело, находящееся на экваторе Земли, было бы в состоянии невесомости, то при какой продолжительности суток на Земле это было бы возможным?

2.8. На каком расстоянии от поверхности Земли ускорение свободного падения равно 1 м/с2?

2.9. На какой высоте ускорение свободного падения составляет 25 % ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли?

2.10. На какой высоте над поверхностью Земли сила тяготения уменьшится на 10 %?

2.11. Ракета поднялась на высоту 1600 км над поверхностью Земли. На сколько процентов уменьшится сила тяготения, действующая на ракету?

2.12. Определите ускорение свободного падения на поверхности некоторой планеты, средняя плотность которой равна средней плотности Земли, но радиус в n раз больше земного радиуса.

2.13. Определите массу Солнца, если известно, что средняя угловая скорость движения Земли вокруг Солнца равна 0,99 ° в сутки.

2.14. С увеличением высоты полета искусственного спутника Земли его скорость уменьшилась с 7,79 км/с до 7,36 км/с. На сколько увеличился период обращения спутника вокруг Земли?

2.15. Определите период обращения искусственного спутника, движущегося в непосредственной близости от поверхности планеты, средняя плотность вещества которой равна.

2.16. На каком расстоянии от поверхности Земли должен находиться ее искусственный спутник, если он движется в плоскости экватора с периодом, равным периоду вращения Земли вокруг своей оси?

2.17. Первый спутник движется по круговой орбите на высоте, равной радиусу планеты, а второй – на высоте, в 7 раз большей. Во сколько раз скорость первого спутника больше скорости второго?

2.18. Скорость спутника, движущегося по круговой орбите на высоте 5000 км над поверхностью планеты, равна 5 км/с. Ускорение свободного падения на поверхности этой планеты 10 м/с2. Определите радиус планеты.

2.19. Средняя высота спутника над поверхностью Земли равна 1600 км.

Определите его скорость.

2.20. Определите первую космическую скорость вблизи планеты Венера, если масса этой планеты 4,91024 кг, а ее радиус 6100 км.

2.21. Определите первую космическую скорость вблизи планеты Марс, если радиус этой планеты 3380 км, а ускорение свободного падения 3,86 м/с2.

2.22. Период искусственного спутника Земли равен 2 ч. Считая орбиту спутника круговой, определите, на какой высоте над поверхностью Земли движется спутник.

2.23. Радиус планеты Марс 3,4106 м, а ее масса 6,41023 кг. Определите гравитационное поле на поверхности Марса.

2.24. Получите в общем виде выражение для поля тяготения на поверхности планеты радиуса R, средняя плотность вещества которой равна.

2.25. Определите значение потенциала поля тяготения на поверхности Земли и Солнца.

3.1. Тонкий однородный диск радиусом R имеет массу М. Определить силу гравитационного взаимодействия между этим диском и материальной точкой массой т, лежащей в центре диска.

3.2. По какому закону падало бы тело по трубе, проложенной от Северного к Южному полюсу через центр Земли? За какой промежуток времени оно прошло бы это расстояние при отсутствии сопротивления? Землю считать однородной сферой.

3.3. В однородной сфере плотности и радиуса R проделано вдоль оси узкое цилиндрическое отверстие. Определить работу, совершаемую против гравитационной силы при перемещении тела малой массы m из центра сферы на ее поверхность А0.

3.4. Бур поднимают на поверхность Земли из скважины глубиной h. Вычислить относительную погрешность, допускаемую при определении работы по поднятию бура без учета изменения его веса.

3.5. Каким должен быть радиус однородной сферы плотностью = 5500 кг/м3, чтобы потенциал ее гравитационного поля в точке, лежащей на поверхности сферы, был равен 104 Дж/кг?

3.6. Каким должен быть радиус однородной сферы плотностью 5500 кг/м3, поверхности сферы, в гравитационном поле этой сферы была равной 1, Дж?

3.7. Какую работу необходимо совершить, чтобы вывести тело массой 500 кг на орбиту искусственной планеты Солнечной системы?

3.8. Для осуществления всемирной телевизионной связи достаточно иметь три спутника Земли, вращающихся по круговой орбите в плоскости экватора с запада на восток и расположенных друг относительно друга под углом 120 °.

Период обращения каждого спутника Т = 24 ч. Определить радиус орбиты и линейную скорость такого спутника.

3.9. Вычислить вторую космическую скорость для Луны. Как она отличается от соответствующей скорости для Земли?

3.10. На какой высоте должен вращаться искусственный спутник Земли, чтобы он находился все время над одной и той же точкой Земли?

3.11. Найти вес тела m = 1 кг, находящегося между Землей и Луной на расстоянии х = 108 м от центра Земли.

3.12. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы переместить тело массой m с поверхности Луны на Землю? Считать, что в процессе движения взаимное расстояние Н между Луной и Землей не меняется.

r0 – расстояние от Луны до точки, где сила тяготения равна нулю.

3.13. Найти выражение для напряженности поля и силы гравитационного взаимодействия между тонким однородным кольцом радиусом R и массой М и материальной точкой массой т, лежащей на высоте h на перпендикуляре, восставленном из центра кольца к его плоскости.

создаваемого тонкой сферической оболочкой радиусом R внутри и вне оболочки. Масса единицы поверхности оболочки. Построить график зависимости E = f(r).

3.15. Определить напряженность гравитационного поля (ускорение свободного падения), создаваемого сплошной однородной сферой радиусом R внутри сферы. Плотность материала сферы. Построить график зависимости E = f(r).

3.16. Найти силу гравитационного взаимодействия между тонкой однородной нитью длиной l и массой М и материальной точкой массой т, лежащей на Рассмотреть также случай l >> r0.

3.17. Вычислить напряженность гравитационного поля в пространстве между двумя тонкими бесконечными однородными плоскостями и вне их. Масса единицы поверхности равна.

3.18. Определить напряженность гравитационного поля тонкой бесконечной однородной плоскости, масса единицы поверхности которой 3.19. Определить напряженность гравитационного поля, создаваемого тонкой бесконечной однородной нитью на расстоянии r0. Масса единицы длины нити. Задачу решить методом Гаусса.

3.20. Во сколько раз вес тела на полюсе отличается от веса тела на экваторе?

Задачу решить двумя способами: 1) считая Землю шарообразной; 2) взяв значения ускорений свободного падения из таблицы.

Сравнить полученные результаты и объяснить расхождение между ними.

3.21. Считая Землю шарообразной, найти зависимость ускорения свободного падения от широты местности. Вычислить g на полюсе, экваторе и на широте ( = 50 °).

3.22. Тонкое однородное полукольцо радиусом R имеет массу М. Найти выражение для силы взаимодействия между этим полукольцом и телом массой m, помещенным в центре кривизны, и для напряженности гравитационного поля полукольца в этой точке.

3.23. Доказать, что для случая точечной массы М поток вектора напряженности гравитационного поля через замкнутую сферическую поверхность произвольного радиуса, охватывающую массу М, равен N = 4CM.

3.24. Найти изменение ускорения свободного падения тела на глубине h от поверхности Земли. На какой глубине ускорение свободного падения составит 0,3 от ускорения свободного падения на поверхности Земли? Плотность Земли считать постоянной. Считать, что со стороны вышележащего слоя тело не испытывает никакого притяжения.

3.25. Найти зависимость ускорения свободного падения от высоты тела над уровнем моря на полюсе Земли. На каком расстоянии от поверхности Земли ускорение уменьшается вдвое?

4.1. Считая известным ускорение g свободного падения у поверхности Земли и ее радиус R, определите радиус круговой орбиты искусственного спутника, который движется по ней со скоростью v.

4.2. Определите период обращения вокруг Солнца искусственной планеты, если известно, что большая полуось ее эллиптической орбиты превышает большую полуось земной орбиты на 4.3. Минимальное удаление космического корабля от поверхности Земли равно 182 км, а максимальное – на 68 км больше минимального. Определите период обращения космического корабля вокруг Земли.

4.4. Большая ось орбиты одного из искусственных спутников Земли меньше большой оси орбиты второго спутника на 700 км. Период обращения вокруг Земли первого спутника равен 78 мин. Определите величину большой оси второго спутника.

4.5. Большая ось орбиты одного из искусственных спутников Земли меньше большой оси орбиты второго спутника на 580 км. Период обращения вокруг Земли первого спутника равен 83 мин. Определите период обращения вокруг Земли второго спутника.

4.6. Планета Марс имеет два спутника – Фобос и Деймос. Первый из них находится на расстоянии от центра Марса, равном 9500 км, а второй – на расстоянии 24000 км. Во сколько раз период обращения вокруг Марса Деймоса больше, чем период обращения Фобоса?

4.7. Две материальные точки массами m1 и m2 вращаются с угловой скоростью вокруг общего центра масс. Определите расстояние r между этими точками, считая, что в процессе их вращения расстояние r не изменяется.

4.8. Отношение работы А1 на поднятие спутника на высоту h над поверхностью Земли к работе А2 на сообщение спутнику скорости движения по круговой орбите равно 1,8. Определите радиус орбиты этого спутника.

4.9. Комета огибает Солнце, двигаясь по орбите, которую можно считать параболической. Определите скорость движения кометы в тот момент, когда она находится в перигее, если расстояние от кометы до центра Солнца в этот момент равно 51010 м.

4.10. Комета движется вокруг Солнца по эллипсу с эксцентриситетом = 0,8.

Во сколько раз скорость кометы в ближайшей к Солнцу точке орбиты больше, чем в наиболее удаленной точке.

4.11. Искусственный спутник движется вокруг Земли по эллипсу с эксцентриситетом = 0,2. Во сколько раз скорость спутника в перигее больше, чем в апогее.

4.12. С какой скоростью упадет на поверхность Луны метеорит, скорость которого вдали от Луны пренебрежимо мала. Атмосфера на Луне отсутствует.

4.13. На какое расстояние от поверхности Земли удалилось бы тело, брошенное вертикально вверх со скоростью 5 км/с, если бы атмосфера у Земли отсутствовала.

На расстоянии l = 10 м от центра шара находится маленький шарик, который можно рассматривать как материальную точку. Во сколько раз сила F гравитационного взаимодействия шара без полости больше силы F гравитационного взаимодействия шара с полостью с маленьким шариком?

4.15. На расстоянии а = 0,25 м от бесконечно длинной тонкой проволоки против ее середины находится материальная точка массой 10 г. Масса нити равномерно распределена по ее длине с линейной плотностью = 0,01 кг/м.

Определите величину силы гравитационного притяжения материальной точки к нити.

радиусом r = 0,5R, которая касается поверхности шара, как шара без полости равна 3,6104 кг. Определите величину силы гравитационного притяжения маленького шарика к шару с полостью.

4.17. На оси кольца радиусом R, изготовленным из тонкой соотношении между расстоянием l от центра кольца до материальной точки и радиусом R сила гравитационного взаимодействия между кольцом и материальной точкой имеет максимальное значение?

4.18. Сила гравитационного взаимодействия между кольцом, изготовленным из тонкой проволоки, и материальной точкой, находящейся на оси кольца, имеет максимальное значение, когда точка находится на расстоянии lmax от центра кольца. Во сколько раз сила гравитационного взаимодействия между кольцом и материальной точкой, находящейся на расстоянии l = 0,5lmax от центра кольца, меньше максимальной силы?

4.19. Сила гравитационного взаимодействия между кольцом, изготовленным из тонкой проволоки, и материальной точкой, находящейся на оси кольца, имеет максимальное значение, когда точка находится на расстоянии lmax от центра кольца. Во сколько раз сила гравитационного взаимодействия между кольцом и материальной точкой, находящейся на расстоянии l = 0,25lmax от центра кольца, меньше максимальной силы?

4.20. Два медных шара диаметрами d1 = 8 см и d2 = 10 см находятся в соприкосновении друг с другом. Определите потенциальную энергию взаимодействия этих шаров.

4.21. Два одинаковых однородных шара, изготовленных из одинакового материала, соприкасаются друг с другом. Как изменится сила гравитационного притяжения этих шаров, если массу каждого шара увеличить в 5 раз за счет увеличения их размеров, не нарушая при этом соприкосновение шаров?

4.22. Два однородных шара радиусами R1 и R2 соприкасаются друг с другом.