«МАТЕМАТИКА 4 КЛАСС Методическое пособие Под редакцией Р.Г. Чураковой МосКвА АКАдЕМКНИГА/УЧЕбНИК 2012 УДК 51(072.2) ББК 74.262.21 Ч-37 Чекин А.Л. Ч-37 Математика [Текст] : 4 кл. : Методическое пособие / А.Л. Чекин; под. ...»

В задании 102 предлагается сформулировать задачу на нахождение двух седьмых массы, которая равна 70 кг. Примером такой задачи может быть следующая задача: «Масса внука составляет две седьмых массы дедушки. Чему равна масса внука, если масса дедушки равна 70 кг?»

Рекомендуемый вариант записи решения такой задачи по действиям выглядит следующим образом: 1) 70 кг : 7 = 10 кг, 2) 10 кг•2 = 20 кг. Возможно использовать и другой вариант записи: 1) 70 : 7 = 10 (кг), 2) 10•2 = 20 (кг), но в этом варианте процедура нахождения доли от величины заменяется на нахождение указанной доли от соответствующего числа, что на данном этапе изучения этого вопроса мы считаем преждевременным. Для каждого из указанных вариантов записи решения задачи по действиям можно построить свое выражение. В первом случае таким выражением будет выражение 70 кг : 7•2, а во втором – числовое выражение 70 : 7•2.

Примечание. С математической точки зрения нахождение части от величины осуществляется с помощью умножения данной величины на соответствующую дробь. По этой причине не будет ошибкой при решении данной задачи и другая последовательность выполнения указанных выше действий, а именно: 1) 70 кг•2 = 140 кг, 2) 140 кг : 7 = 20 кг. Но такая последовательность действий не согласуется с тем правилом, которое мы ввели в задании 97. Эта последовательность действий требует другого обоснования, которое мы не предлагали учащимся. По этой причине лучше пока не использовать другой способ нахождения части от величины.

Выполняя задание 103, учащиеся получают возможность сначала на конкретном примере, а потом и в общем виде убедиться в том, что две третьих и четыре шестых от одной и той же величины равны. На этот факт нужно обратить особое внимание, так как с подобными ситуациями учащимся предстоит встретиться еще не один раз, и все такие ситуации должны работать на введение в дальнейшем правила равенства дробей.

При выполнении задания 104 учащиеся получают возможность установить связь между данной долей величины и структурой величины, если она состоит из соответствующего числа равных слагаемых. Другими словами, если туристы каждый день преодолевали одно и то же расстояние и за неделю преодолели 175 км, то за 1 день они преодолевали по 25 км (175 км : 7 = 25 км), т. е. одну седьмую всего расстояния. Тогда за 3 дня они преодолели 75 км (25 км•3 = 75 км), что составляет три седьмых всего расстояния.

тема: «Нахождение величины по ее части» (1 урок) Вопрос о нахождении величины по ее части мы логически связываем с вопросом о нахождении величины по ее доле. Если нам известна часть некоторой величины, представляющая собой число одинаковых долей, то, разделив данную величину на это число, можно узнать, чему равняется соответствующая доля искомой величины, а далее вступает в силу правило, с помощью которого учащиеся уже умеют находить величину по ее доле.

Выполняя задание 105, учащиеся получают возможность познакомиться с процедурой нахождения величины по ее части, которая состоит из двух этапов: сначала с помощью деления величины на число находят, чему равняется соответствующая доля искомой величины, а потом с помощью умножения полученной величины на соответствующее число находят искомую величину. Если применить эту процедуру для решения данной задачи, то получится следующий вариант решения по действиям: 1) 270 кг : 3 = 90 кг, 2) 90 кг•4 = 360 кг. Его можно записать и в виде одного выражения: 270 кг : 3•4.

В задании 106 сначала предлагается найти длину одной седьмой части электропровода, если четыре седьмых всей длины составляют 156 м. Выполнить эту часть задания учащиеся должны без особого труда, так как им хорошо известно, что четыре седьмых в 4 раза больше, чем одна седьмая от одной и той же величины (156 м : 4 = 39 м). Но эта часть задания нас интересует не сама по себе, а как первый этап процедуры нахождения величины по ее части. Именно с этих позиций и нужно рассматривать подобного рода задания, так как вне данного контекста они малоинтересны. После того как одна седьмая доля найдена (39 м), нужно перейти ко второму этапу процедуры нахождения величины по ее части, который заключается в увеличении полученной доли в соответствующее число раз (39 м•7 = 273 м). В последней части задания учащимся предлагается самостоятельно продемонстрировать то, как они усвоили предложенную им процедуру нахождения величины по ее части.

Примечание. С математической точки зрения нахождение величины по ее части осуществляется с помощью деления данной величины на соответствующую дробь. По этой причине не будет ошибкой при решении данной задачи и другая Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий последовательность выполнения указанных выше действий, а именно: 1) 156 м•7 = 1092 м, 2) 1092 м : 4 = 273 м. Но такая последовательность действий не согласуется с тем правилом, которое мы ввели в задании 105. Эта последовательность действий требует другого обоснования, которое мы не предлагали учащимся. Кроме того, этот вариант с точки зрения вычислений является более сложным. По этим причинам лучше пока не использовать этот способ нахождения величины по В задании 107 учащимся предлагается найти величину, если известно две пятых этой величины. При этом предлагается рассмотреть три возможных варианта значения этой части.

В задании 108 предлагается найти величину, если известна часть этой величины, которая составляет 24 л. При этом предлагается рассмотреть три варианта значения этой части.

В задании 109 предлагается решить задачу на нахождение всей величины, если известна часть этой величины. Решение может быть записано как по действиям: 1) 6 сот. : 3 = 2 сот., 2) 2 сот.•5 = 10 сот., так и в виде одного выражения (6 сот. : 3•5).

Задание 110 аналогично заданию 103. Отличие состоит лишь в том, что в данном случае доказывается равенство двух пятых и четырех десятых (а не трех четвертых и шести восьмых) от одной и той же величины. Есть небольшие отличия и в работе со схемой: если в задании 103 соответствующая часть полоски была закрашена, то теперь эту работу должны выполнить учащиеся, но сделать это они должны не в учебнике, а в тетради.

Задание 111 принципиально отличается от предыдущего задания, и на это нужно обязательно обратить внимание учащихся. Две третьих и три четвертых это разные части, и их равенство возможно только в том случае, когда они взяты не от одной и той же величины (см. предыдущее задание), а от разных величин. Именно эти две разные величины и нужно найти по известной части каждой из них.

В первом случае получается величина 81 л (54 л : 2•3 = 81 л), а во втором – величина 72 л (54 л : 3•4 = 72 л). После этого можно без особого труда выполнить разностное сравнение вместимостей этих двух баков (81 л – 72 л = 9 л).

тема: «Деление величины на величину» (1 урок) Действие деления величины на величину мы предлагаем рассмотреть в двух вариантах. Во-первых, деление величины на величину того же рода (деление однородных величин). Этот вариант учащимДеление величины на величину»

ся уже хорошо известен. Он представляет собой процедуру кратного сравнения и может быть истолкован как процесс измерения делимого в единицах делителя. Во-вторых, деление величины на величину другого рода (деление разнородных величин). И с этим вариантом учащиеся также знакомы, но не так детально, как с первым вариантом. Они, например, знают, что при делении длины на время получается скорость, а при делении стоимости на количество получается цена, но не знают, что при делении массы собранного урожая на площадь участка, с которого этот урожай был собран, получается величина, которая называется урожайностью. В результате изучения этой темы учащиеся узнают о существовании и других подобных величин (плотность населения, плотность вещества).

В задании 112 предлагается выполнить кратное сравнение для данных пар однородных величин. Для этого учащиеся должны разделить большую величину на меньшую, предварительно выразив их в одной и той же единице (если это еще не сделано). Действие деления они могут выполнять как устно, так и письменно в столбик.

В качестве пары величин, в которой одна величина отличается от другой в 25 раз, должна быть названа пара, состоящая из 5 т и 2 ц.

По результатам выполненных делений можно установить, какую долю меньшая величина составляет от большей величины. Так, 2 ц составляют 25-ю долю от 5 т.

В задании 113 мы хотим еще раз обратить внимание учащихся на тот факт, что при делении длины пройденного пути на затраченное время получается «новая» величина – скорость. Единицей этой величины в данном случае является км/ч, но могут быть и другие единицы. Например: м/с, м/мин, км/с и т. п. В ответе на последний вопрос задания должна четко прозвучать фраза о том, что единица скорости движения транспортного средства всегда построена из единицы длины и единицы времени.

Примечание. Мы специально подчеркиваем, что в данном задании речь идет о скорости транспортного средства, а не о скорости любого объекта. Например, если говорить о скорости вращения, то она определяется числом оборотов в единицу времени.

При выполнении задания 114 учащиеся еще раз встретятся с такой величиной, как цена. Прежде всего нужно еще раз подчеркнуть, что цена получается в результате деления стоимости на количество.

Учитывая, что стоимость может быть выражена в рублях (хотя возможно выражение стоимости и в копейках, и в долларах, и в евро), а количество в зависимости от вида товара – в единицах либо длины, либо массы, либо вместимости, либо площади и т. п., то и едиТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий ниц цены существует достаточно большое количество вариантов.

Что касается примеров товаров, цена которых выражается в руб./ кв. м, то это могут быть покрытия для пола (линолеум, ковролин) или облицовочная плитка.

При выполнении задания 115 учащиеся познакомятся с новой для них величиной, которая называется урожайностью. Получается эта величина с помощью деления массы собранного урожая на площадь участка, с которого этот урожай собрали. Единицей этой величины чаще всего является единица «ц/га».

В задании 116 предлагается сформулировать и решить задачу, в которой требуется найти производительность токаря за час работы. В данном случае нас интересует не столько умение учащихся формулировать и решать задачи, сколько процесс получения искомой величины, которой является производительность. Важно еще раз обратить внимание учащихся на тот факт, что производительность получается в результате деления объема работы на время работы, что и находит отражение в структуре любой единицы производительности. Так, если объем работы выражен в деталях (дет.), время работы в часах (ч), то производительность будет выражена в дет./ч.

Задание 117 предлагается учащимся с целью закрепления знания того факта, о котором было сказано в рекомендациях к предыдущему заданию. Для получения различных примеров единиц производительности учащиеся имеют возможность варьировать как единицы объема работы (м, кг, л, кв. м, куб. м и т. д.), так и единицы времени работы (смена, сутки, неделя, квартал, минута, секунда и т. д.).

При выполнении задания 118 учащиеся имеют возможность познакомиться с новой для них величиной, которая называется плотностью населения. На основе анализа единицы этой величины (чел./кв. км) учащиеся должны прийти к выводу, что для получения этой величины нужно число всех жителей данного региона разделить на площадь этого региона.

При выполнении задания 119 учащиеся получают возможность познакомиться с еще одной новой величиной под названием плотность вещества, но название мы не сообщаем всем учащимся, так как это выходит за рамки программы нашего курса и будет специально рассматриваться в курсе физики. Для нас сейчас важно не то, как называется эта величина, а то, как эта величина получается. Итак, если разделить массу некоторого объекта на его объем, то получается величина, которая показывает массу единицы объема.

В международной системе единиц единицей такой величины является кг/куб. м, но можно использовать и другие единицы, например г/куб. см.

В задании 120 предлагается сформулировать задачу, в ответе которой получается величина 8 км/с. Так как искомая величина, судя по ее единице, является скоростью, то нужно сначала установить, какой объект может двигаться с такой скоростью. Для многих учащихся уже хорошо известно, что с такой скоростью могут двигаться космические аппараты (ракета-носитель, космический корабль, спутник). Других транспортных средств, передвигающихся с такой большой скоростью, мы назвать не сможем.

тема: «Поупражняемся в действиях над величинами»

Мы предлагаем подборку заданий на закрепление и повторение вопросов, связанных с действиями над величинами.

При выполнении задания 121 учащиеся имеют возможность поупражняться в сложении однородных величин. При этом все вычисления следует выполнять столбиком.

При выполнении задания 122 учащиеся имеют возможность поупражняться в вычитании однородных величин. При этом все вычисления следует выполнять столбиком.

При выполнении задания 123 учащиеся поупражняются в умножении величины на число. При этом все вычисления следует выполнять столбиком.

При выполнении задания 124 (115) учащиеся поупражняются в умножении числа на величину. При этом все вычисления следует выполнять столбиком.

При выполнении задания 125 учащиеся имеют возможность поупражняться в делении величины на число. При этом все вычисления следует выполнять столбиком.

В задании 126 предлагается найти треть каждой из данных величин.

Сделать это учащиеся могут с помощью деления соответствующей величины на число 3. Само деление можно выполнить столбиком.

В задании 127 предлагается найти всю величину по известной ее четверти. Необходимое для этого действие умножения учащиеся должны выполнить столбиком.

В задании 128 предлагается найти три четвертых каждой из данных величин. Необходимые для этого вычисления действия (деление и умножение) учащиеся должны выполнить столбиком.

В задании 129 учащимся предлагается найти всю величину по известной ее части. Необходимые для этого вычисления (действия деления и умножения) они должны выполнить столбиком.

В задании 130 предлагается выполнить кратное сравнение для данных пар однородных величин. Другими словами, нужно выполТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий нить в каждой паре деление большей величины на меньшую величину.

При выполнении задания 131 учащиеся еще раз могут поупражняться в нахождении скорости (средней) с помощью деления пройденного пути на затраченное время. Объектами, которые передвигаются с полученными скоростями, могут быть следующие:

автомобиль, пешеход, пловец, ракета.

При выполнении задания 132 учащиеся еще раз могут поупражняться в нахождении цены с помощью деления стоимости товара на количество этого товара.

При выполнении задания 133 учащиеся еще раз поупражняются в нахождении производительности с помощью деления объема выполненной работы на затраченное время работы.

В задании 134 сначала предлагается решить задачу на нахождение расхода материала (краски) на единицу площади окрашиваемой поверхности. После этого учащиеся должны сформулировать две обратные задачи и решить их (с вычислением и записью ответа).

Для ответа на последний вопрос задания им нужно сравнить полученный показатель расхода материала (900 г/кв. м) с нормативным показателем (950 г/кв. м). Результат этого сравнения (900 г/кв. м < 950 г/кв. м) позволяет дать положительный ответ на этот вопрос.

тема: «когда время движения одинаково» (1 урок) Данной темой открывается новый тематический блок, в котором мы будем рассматривать вопросы, связанные с обучением решению задач «на движение». При этом нас будут интересовать и вопросы зависимости между величинами, характеризующими процесс движения одного объекта, и вопросы нахождения скорости изменения расстояния между двумя движущимися объектами как при движении этих объектов в одном направлении, так и при их движении в противоположных направлениях. Прежде всего, мы предлагаем обратить внимание учащихся на наличие прямой пропорциональной зависимости пройденного пути от скорости при постоянном времени.

Эту зависимость можно выразить следующим образом: если при постоянном времени движения скорость увеличивается (уменьшается) в некоторое число раз, то и пройденный путь увеличивается (уменьшается) в это же число раз. Данный факт имеет смысл рассматривать не только как характеристику процесса движения одного объекта, но и как основу для кратного сравнения скорости и пройденного пути двух разных объектов движения при условии, что время движения этих объектов одинаково.

В задании 135 учащимся предлагается самим ответить на вопрос о сути соревнования бегунов, которое называется «суточный бег». В своих рассуждениях они должны опираться только на смысл предложенного названия. Из этого названия следует, что участники данного соревнования должны бежать в течение суток (с небольшими перерывами на отдых). Выигрывает соревнование тот спортсмен, который за это время преодолеет самое большое расстояние.

Если во всех традиционных соревнованиях по бегу постоянной характеристикой является длина дистанции, а победитель определяется по наименьшему времени, затраченному на преодоление этой дистанции, то в «суточном беге» постоянной характеристикой является время движения, а победитель определяется по наибольшей длине пройденного пути. На самом деле оба указанных типа соревнований по бегу можно описать с помощью одной общей характеристики – и в том, и в другом случае победителем является тот спортсмен, у которого средняя скорость передвижения была больше, чем у других. Другими словами, при одинаковом времени движения большее расстояние преодолеет тот объект, у которого средняя скорость движения больше. Именно на этот факт и нужно обратить внимание учащихся при выполнении данного задания.

Что касается вычисления средней скорости участника соревнования по «суточному бегу», то она легко вычисляется с помощью деления всего пройденного пути (120 км) на затраченное время (24 ч).

В итоге получается 5 км/ч.

В задании 136 учащимся сначала предлагается вычислить время, которое затратил туристический автобус на преодоление первой части пути (160 км) и второй части пути (150 км). Так как средняя скорость движения на каждой части пути была своя (80 км/ч и 75 км/ч), то время оказывается одинаковым (2 ч). Анализ этой ситуации показывает, что если время движения не изменяется, то с увеличением (уменьшением) скорости увеличивается (уменьшается) пройденный путь. Этот факт характеризует прямую зависимость пройденного пути от скорости при постоянном времени, но пока мы еще ничего не говорим о пропорциональном характере этой зависимости.

При выполнении задания 137 учащиеся должны обратить внимание не только на существование прямой зависимости пройденного пути от скорости при постоянном времени, но и на наличие свойства пропорциональности в этой зависимости. Это свойство может быть выражено следующим образом: при одинаковом вреТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий мени во сколько раз отличаются скорости, во столько же раз пройденные пути. Если теперь объединить указанные выше две характеристики (характеристику прямой зависимости и характеристику пропорциональной зависимости), то мы получим характеристику прямой пропорциональной зависимости, которая звучит следующим образом: при постоянном времени движения увеличение (уменьшение) скорости движения в некоторое число раз приводит к увеличению (уменьшению) пройденного пути в это же число раз. Опираясь на данные из заполненной таблицы, учащиеся имеют возможность убедиться в справедливости этого факта, примененного для сравнения соответствующих показателей движения разных объектов.

В результате выполнения задания 138 учащиеся еще раз должны сформулировать правило, в котором речь идет о прямой пропорциональной зависимости пройденного пути от скорости при постоянном времени движения.

В задании 139 предлагается решить задачу «на движение». Особенность предложенной задачи состоит в том, что если не использовать «открытое» ранее правило прямой пропорциональной зависимости пройденного пути от скорости, когда время движения постоянно, то решение этой задачи осуществить совсем не просто (как идейно, так и технически). Если же обратить внимание на тот факт, что время движения на автобусе и пешком является одинаковым, то можно применить правило прямой пропорциональной зависимости и сразу вычислить расстояние, которое дачник преодолевает на автобусе. Так как средняя скорость автобуса в 15 раз больше, чем средняя скорость дачника-пешехода, то и расстояние, которое преодолевает дачник на автобусе в 15 раз больше, чем расстояние, которое он преодолевает пешком. Таким образом, по известному второму расстоянию (3 км) легко можно вычислить первое расстояние (3 км•15 = 45 км). Далее остается только сложить два имеющихся расстояния, и мы получим ответ на требование задачи (15 км + 3 км = 18 км).

При выполнении задания 140 учащиеся получают возможность подвести своеобразный итог установленным выше фактам. Этот итог должен быть представлен в виде получения соответствующей формулы, в которой пройденный путь (s) выражен через скорость (v) и время (t) : s = v•t. Анализируя эту формулу с точки зрения влияния изменения одного множителя на значение произведения (при постоянном другом множителе), учащиеся еще раз имеют возможность убедиться в справедливости правила, характеризующего зависимость пройденного пути от скорости при постоянном времени, которое они установили эмпирически.

тема: «когда длина пройденного пути одинаковая» (1 урок) В этой теме учащиеся познакомятся с еще одним типом зависимости между величинами, характеризующими процесс движения.

Речь пойдет о зависимости между скоростью и временем при постоянном расстоянии (пройденном пути). Эта зависимость является обратной пропорциональной. Обратный характер данной зависимости хорошо знаком учащимся, так как они не раз встречались в повседневной жизни с ее проявлениями: чем быстрее движется объект (чем больше его скорость), тем меньше времени ему нужно на преодоление данного расстояния. Именно на этом свойстве основаны все традиционные соревнования «на скорость», особенно это важно, когда речь идет о заочном соперничестве. К таким соревнованиям относятся соревнования по бегу на лыжах, по бегу на коньках и т. п. В них побеждает тот участник, который затратил самое маленькое время на преодоление данной дистанции. Это означает, что его средняя скорость на дистанции была самой большой. Что касается пропорционального характера рассматриваемой зависимости, то эта сторона вопроса для учащихся малоизвестна, поэтому на нее нужно обратить самое пристальное внимание.

В процессе выполнения задания 141 учащиеся получают возможность познакомиться с существованием обратной пропорциональной зависимости между скоростью и временем при одинаковой длине пройденного пути. Отмеченный тип зависимости может быть выражен в следующей формулировке: при постоянной длине пройденного пути увеличение скорости в некоторое число раз (в 2 раза) приводит к уменьшению времени в это же число раз (также в 2 раза).

В задании 142 предлагается решить задачу, решение которой основано на использовании обратной пропорциональной зависимости между скоростью и временем при одинаковой длине пройденного пути. По условию задачи длина пройденного пути остается постоянной (не изменяется), а время должно измениться: вместо 2 ч (для велосипедиста) должно быть 30 мин (для автомобиля). Прежде всего нужно выполнить кратное сравнение двух данных временных промежутков (2 ч : 30 мин = 120 мин : 30 мин = 4 (раза)). После этого можно сделать вывод, что скорость автомобиля должна отличаться от скорости велосипедиста также в 4 раза (пропорциональный характер зависимости), но она должна быть больше (обратный характер зависимости), а не меньше.

В задании 143 предлагается на основе рассмотренного примера (и на основе результатов двух предыдущих заданий) сформулировать Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий правило, показывающее зависимость между скоростью и временем при постоянной длине пройденного пути. Сама формулировка может быть либо такой, какую мы привели в рекомендациях к заданию 141, либо отличаться от нее тем, что время и скорость в формулировке меняются местами: при постоянной длине пройденного пути увеличение времени в некоторое число раз (в 2 раза) приводит к уменьшению скорости в это же число раз (также в 2 раза).

При выполнении задания 144 учащиеся получают возможность подвести своеобразный итог установленным выше фактам. Этот итог должен быть представлен в виде получения соответствующей формулы, в которой скорость (v) выражена через пройденный путь (s) и время (t): v = s : t. Анализируя эту формулу с точки зрения влияния изменения делителя на значение частного (при постоянном делимом), учащиеся еще раз имеют возможность убедиться в справедливости правила, характеризующего зависимость скорости от времени при постоянной длине пройденного пути, которое они установили эмпирически.

Задание 145 относится к заданиям повышенной сложности.

В нем предлагается решить составную задачу, основой которой является задача «на разность и частное». Но чтобы это установить, учащиеся сначала должны применить правило, о котором речь шла в предыдущих заданиях данной темы: так как расстояние является одинаковым, а скорость автобуса в 2 раза меньше, чем скорость автомобиля, то время автобуса в 2 раза больше, чем время автомобиля. Итак, время автобуса на 2 ч больше и в 2 раза больше, чем время автомобиля. Это означает, что время автобуса равно 4 ч (время автобуса – 2 части, а время автомобиля – 1 часть, и время автобуса на 2 ч больше, следовательно, на 1 часть приходится 2 часа, а время автобуса равно 4 часам). После этого легко вычислить среднюю скорость автобуса (160 км: 4 ч = 40 км/ч).

тема: «Движение в одном и том же направлении»

(1–2 урока) При изучении данной темы мы предлагаем учащимся рассмотреть вопросы, которые также относятся к формированию умения решать задачи «на движение», но теперь речь пойдет о задачах, в сюжете которых описывается движение двух объектов. При этом указанные объекты движутся в одном и том же направлении.

Во всех задачах такого класса имеется одна общая основа, которая заключается в том, что скорость изменения расстояния между движущимися объектами может быть выражена как разДвижение в одном и том же направлении»

ность между большей и меньшей скоростями этих объектов, т. е.

v изм. р. = v1 – v2. Установление этой взаимосвязи и является главной целью изучения данной темы. Разнообразие задач данного класса связано с возможной вариацией начальных условий. Сами же начальные условия могут варьироваться: 1) либо за счет одновременного начала движения из разных пунктов, 2) либо за счет неодновременного начала движения из одного пункта, 3) либо за счет неодновременного начала движения из разных пунктов.

Что касается третьего случая, то он является наиболее трудным, и учащимся начальной школы задачи такого типа мы не рекомендуем предлагать. Вполне достаточно освоить решение задач первых двух типов, так как третий тип можно рассматривать как комбинацию первых двух. Любые начальные условия нужны для того, чтобы установить взаимное расположение объектов на момент, когда движение начинает второй (по времени) объект.

Если к этому моменту объекты находятся в одном и том же пункте, то далее речь может идти только об удалении одного объекта от другого (о нахождении скорости изменения расстояния между объектами было сказано выше).

Если объекты находятся в разных пунктах, то далее расстояние между ними может как увеличиваться, так и сокращаться (все зависит от того, у какого объекта скорость больше). Таким образом, прежде всего учащихся нужно научить правильно описывать процесс изменения расстояния между объектами, когда они одновременно начинают движение либо из одного пункта, либо из разных пунктов, а уже потом вести работу по формированию умения правильно интерпретировать начальные условия.

Примечание. Когда речь идет о скорости, то обычно сразу представляют некоторый движущийся объект, но не следует забывать, что можно говорить и о скорости протекания некоторого процесса (скорость химической реакции), и о скорости изменения некоторой величины (скорости роста растения). В случае движения двух объектов в одном и том же направлении (либо в противоположных направлениях) мы предлагаем говорить о скорости изменения расстояния между этими объектами, т. е. применить понятие скорости для процесса изменения величины. Конечно, мы понимаем, что скорость изменения расстояния между объектами есть не что иное, как скорость одного объекта по отношению к другому, но такую трактовку скорости изменения расстояния мы в данном случае не применяем, так как считаем ее достаточно сложной для восприятия учащимися этого возраста.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий В задании 146 в процессе заполнения таблицы и получения ответов на поставленные вопросы учащиеся должны прийти к очень важному выводу, что скорость увеличения расстояния между движущимися объектами при движении в одном и том же направлении (движение началось одновременно из одного пункта) представляет собой разность между большей и меньшей скоростями этих объектов.

В задании 147 предлагается проанализировать ситуацию, которая отличается от ситуации из предыдущего задания лишь начальными условиями. Теперь движение начинается одновременно, но из разных пунктов, расстояние между которыми составляет 200 м. Так как скорость второго (по направлению движения) объекта больше, чем скорость первого, то сначала расстояние между объектами начнет уменьшаться (скорость уменьшения расстояния находится так же, как и скорость увеличения расстояния в предыдущем задании, поэтому далее можно говорить о скорости изменения расстояния), а после того как второй объект догонит первый объект, начнется процесс увеличения расстояния между ними (повторится ситуация из предыдущего задания). Так как скорость изменения расстояния в данной ситуации равна 50 м/мин (см. предыдущее задание), то для устранения преимущества в 200 м Мише потребуется 4 мин (200 м : 50 м/мин = 4 мин). Но за 4 мин он проезжает всю дистанцию в 1 км (см. предыдущее задание). Таким образом, Миша догонит Машу на самом финише, т. е. к финишу они приедут одновременно.

При выполнении задания 148 учащиеся познакомятся с тем, как надо анализировать начальные условия в том случае, когда движение начинается из одного пункта, но с некоторым временным интервалом. В результате такого анализа учащиеся должны усвоить, что указанные начальные условия приводят к ситуации, когда на момент начала движения сразу двух объектов между ними будет такое расстояние, которое без особого труда можно вычислить:

1) 60 км/ч•1 ч = 60 км. Другими словами, после установления указанного факта, мы пришли к задаче, аналогичной той, которую мы рассматривали в предыдущем задании. Поэтому дальнейшее решение уже не должно вызывать у учащихся никаких затруднений:

2) 80 км/ч – 60 км/ч = 20 км/ч, 3) 60 км : 20 км/ч = 3 ч.

В задании 149 учащимся предлагается самостоятельно проанализировать ситуацию (фактически решить задачу), которая аналогична задаче из предыдущего задания, только начальное расстояние между объектами вычислять не нужно, так как оно уже известно (15 м). Таким образом, ответ на первое требование можно получить в два действия: 1) 6 м/с – 5 м/с = 1 м/с, 2) 15 м : 1 м/с = 15 с.

Для ответа на второе требование нужно вычислить время преодоления последнего этапа второй командой: 90 м:6 м/с = 15 с.

Это означает, что на момент финиша команды сравняются, т. е.

победителями окажутся обе команды. Если бы длина последнего этапа была меньше 90 м, то победила бы команда 4 «Б» класса, а если бы эта длина была больше 90 м, то победила бы команда 4 «А» класса.

В процессе выполнения задания 150 учащиеся знакомятся с формулировкой правила, которое связывает скорость изменения расстояния между объектами, движущимися в одном и том же направлении, со скоростями этих объектов. Суть этого правила учащимся уже хорошо известна, так как в предыдущих заданиях этой темы была проведена соответствующая подготовительная работа.

В данном задании учащимся предлагается поупражняться в применении этого правила для вычисления скорости изменения расстояния между объектами, скорости которых известны, но эти скорости выражены в разных единицах.

Задание 151 относится к заданиям повышенной сложности.

В этом задании мы знакомим учащихся с ситуацией движения по реке, когда движение осуществляется по течению реки. В этом случае скорость катера складывается из скорости катера в стоячей воде и скорости течения реки, а скорость плота совпадает со скоростью течения реки. Так как плот и катер движутся в одном и том же направлении, то для нахождения скорости изменения расстояния между ними нужно применить правило из предыдущего задания, а это означает, что искомая разность будет равна скорости катера в стоячей воде (скорость течения реки при вычитании уничтожается). Таким образом, через 2 часа движения расстояние между катером и плотом будет равно 40 км (20 км/ч•2 ч = 40 км).

А вот для нахождения расстояния, которое прошел катер за 2 часа движения, нужно знать еще скорость течения реки. Если она равна 2 км/ч, то катер вниз по течению реки двигался со скоростью 22 км/ч (20 км/ч + 2 км/ч = 22 км/ч). Следовательно, за 2 часа он преодолел расстояние в 44 км (22 км/ч•2 ч = 44 км).

В задании 152 предлагается сформулировать задачу на движение в одном и том же направлении, которое началось одновременно из одного пункта. Числовые данные учащиеся должны взять из предложенной схемы. Этими данными являются скорости 50 км/ч и 70 км/ч. Приведем пример такой задачи: «От одной автостанции одновременно в одном и том же направлении отправились автобус и маршрутное такси. Средняя скорость автобуса 50 км/ч, а такси – 70 км/ч. Через сколько часов расстояние между такси и автобусом будет 40 км?»

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий тема: «Движение в противоположных направлениях»

(1 урок) Изучение данной темы построено по той же схеме, что и изучение предыдущей. И здесь основной целью является усвоение правила, которое связывает скорость изменения расстояния со скоростями движущихся объектов. Отличие состоит лишь в том, что при движении в противоположных направлениях скорость изменения расстояния равна сумме скоростей движущихся объектов. По всем другим параметрам (место и время начала движения), которые определяют тип ситуации (происходит удаление или сближение объектов), можно проводить полную аналогию с предыдущей темой.

При выполнении задания 153 учащиеся познакомятся с тем, как определяется скорость изменения расстояния между движущимися в противоположных направлениях объектами, при условии, что движение началось одновременно из одного пункта (именно с момента встречи двух поездов), мы предлагаем учащимся начать анализировать ситуацию. То движение, которое происходило ранее, нас не должно интересовать: мы о нем ничего не знаем. Важно обратить внимание учащихся на тот факт, что скорость увеличения расстояния между поездами равна сумме скоростей этих поездов (150 км/ч = 80 км/ч + 70 км/ч).

В задании 154 предлагается проанализировать другую ситуацию с движущимися в противоположных направлениях поездами (скорости этих поездов такие же, как и в предыдущем задании). Отличие этой ситуации состоит в том, что поезда движутся из разных пунктов навстречу друг другу. Хотя в этой ситуации происходит уменьшение расстояния между поездами, но скорость этого изменения находится точно так же, как и скорость изменения расстояния в ситуации из предыдущего задания. Этот факт зафиксирован в соответствующем правиле. Таким образом, встреча поездов произойдет через 2 ч (300 км : 150 км/ч = 2 ч), через 3 ч после встречи расстояние между поездами будет равно 450 км (150 км/ч•3 ч = 450 км).

В задании 155 учащимся предлагается сформулировать задачу, при решении которой можно воспользоваться правилом из предыдущего задания, а числовые данные взять из предложенной схемы.

Приведем пример такой задачи: «Из двух населенных пунктов, расстояние между которыми 280 км, по одному маршруту одновременно отправились навстречу друг другу автобус и легковая машина.

Через сколько часов они встретятся, если скорости их движения постоянны и равны соответственно 60 км/ч и 80 км/ч?»

Задание 156 относится к заданиям повышенной сложности. Это задание аналогично заданию 151, только в нем речь идет о движеУчимся решать задачи»

нии катера вверх по течению. В этом случае скорость движения катера относительно пристани равна разности скоростей катера в стоячей воде и скорости течения реки. Так как катер и плот движутся в противоположных направлениях, то скорость изменения расстояния между ними складывается из фактической скорости катера и скорости плота, которая равна скорости течения реки. Таким образом, скорость катера в стоячей воде сначала нужно уменьшить на скорость течения реки, а потом увеличить на эту же скорость.

В итоге получится, что скорость катера в стоячей воде будет равна скорости изменения расстояния между катером и плотом. Это означает, что для ответа на требование задачи скорость течения реки знать необязательно. Через 2 ч движения расстояние между катером и плотом будет равно 40 км (20 км/ч•2 ч = 40 км).

Для ответа на вторую часть задания скорость течения реки знать нужно. Если эта скорость равна 2 км/ч, то за 2 ч движения катер преодолел расстояние в 36 км (20 км/ч – 2 км/ч = 18 км/ч и 18 км/ч•2 ч = 36 км).

В задании 157 предлагается сформулировать задачу на движение в противоположных направлениях из одного и того же пункта со скоростями 50 км/ч и 70 км/ч. При этом сначала можно предложить учащимся в качестве дополнительного условия одновременное начало движения, а потом – неодновременное. Приведем пример задачи для случая неодновременного начала движения: «От одной станции в противоположных направлениях отправились два поезда, только первый поезд двигался со скоростью 50 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч, причем второй поезд выехал на 1 ч позже.

Какое расстояние будет между поездами через 2 ч после того, как начал движение второй поезд?» Решая такую задачу, учащиеся, прежде всего, должны обратить внимание на тот факт, что к моменту, когда начал движение второй поезд, первый уже был в движении 1 ч и проехал за это время 50 км (50 км/ч•1 ч = 50 км). За 2 ч совместного движения расстояние между поездами увеличилось еще на 240 км (50 км/ч + 70 км/ч = 120 км/ч и 120 км/ч•2 ч = 240 км).

Таким образом, искомое расстояние между поездами будет равно 290 км (50 км + 240 км = 290 км).

тема: «Учимся решать задачи» (1–2 урока) После того как были рассмотрены различные типы задач «на движение», мы предлагаем провести специальный урок (или даже два урока, если это удается спланировать по времени), посвященный закреплению изученных ранее правил и формированию умений реТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий шать различные задачи «на движение» с опорой на соответствующие схемы.

Особое внимание на этом уроке нужно обратить на правильное применение учащимися правил нахождения скорости изменения расстояния между движущимися объектами, а также на умение правильно проанализировать начальные условия совместного движения двух объектов. Еще раз подчеркнем, что начальные условия нужно определять на момент, когда начинается совместное движение двух объектов. Что происходило до этого момента, если один из объектов начал движение раньше другого, анализируется и переводится в расстояние между ними на момент начала их совместного движения.

При выполнении задания 158 учащиеся получают возможность с помощью данных схем закрепить знания о характере процесса движения в одном и том же направлении при одновременном начале этого движения. Различие заключается в том, как изначально расположены эти объекты.

На схеме (а) речь идет о движении из одного пункта. При таком движении один объект постоянно будет удаляться от другого.

На схеме (б) речь идет о движении из разных пунктов при условии, что скорость второго объекта («догоняющего») больше, чем скорость первого объекта («убегающего»). При таком движении расстояние между объектами сначала будет сокращаться (до тех пор, пока второй объект не догонит первый), а потом будет увеличиваться (второй объект начнет удаляться от первого).

На схеме (в) речь идет о движении из разных пунктов при условии, что скорость второго объекта меньше скорости первого объекта. В этом случае первый объект будет еще дальше удаляться от второго.

Если говорить о схематической иллюстрации предложенной задачи, то для нее будет подходить схема (б). Нас интересует время, когда пассажирский поезд догонит товарный. Чтобы его вычислить, нужно сначала узнать скорость изменения расстояния между поездами. Она будет равна 20 км/ч (80 км/ч – 60 км/ч = 20 км/ч), а потом вычислить время, за которое исходное расстояние между поездами (80 км) будет «ликвидировано» (80 км : 20 км/ч = 4 ч).

Что касается ответа на дополнительное требование, то его получить достаточно просто. Это расстояние будет равно 40 км (20 км/ч•2 ч = 40 км). Полезно предложить учащимся проиллюстрировать с помощью одной из данных схем задачу, которая определяется этим новым требованием (скорости поездов остаются теми же самыми). Для этого они должны выбрать схему (а).

Задание 159 аналогично предыдущему заданию, только в нем речь идет о движении объектов в противоположных направлениях.

При анализе данных схем обязательно нужно обратить внимание на то, что схемы (а) и (в) описывают процесс движения, в котором происходит постоянное удаление одного объекта от другого, а схема (б) – процесс, в котором сначала объекты сближаются (до момента их встречи), а потом начинают удаляться друг от друга. Для иллюстрации данной задачи учащиеся должны выбрать схему (а). С ее помощью они без особого труда должны решить предложенную задачу. Для этого сначала они должны найти скорость изменения расстояния между поездами (60 км/ч + 80 км/ч = 140 км/ч), а потом вычислить, каким будет это расстояние через 3 ч, если движение они начали из одного пункта (140 км/ч•3 ч = 420 км).

Задание 160 является логическим продолжением задания 159. Их обязательно нужно рассматривать как общее задание. Разбиение на два задания было продиктовано лишь техническими причинами (текст одного задания не должен располагаться на двух сторонах одного и того же листа учебника). Что касается решения задачи из предыдущего задания, то мы его уже привели выше. А для ответа на требование из данного задания нужно лишь вычислить время, за которое при скорости 140 км/ч расстояние между поездами станет равным 280 км. Это время равно 2 ч (280 км : 140 км/ч = 2 ч).

В результате выполнения задания 161 учащиеся получают возможность еще раз продемонстрировать понимание сути изученных правил нахождения скорости изменения расстояния между двумя движущимися объектами. Так как скорость одного объекта известна (40 км/ч) и известна скорость изменения расстояния между объектами (60 км/ч), то скорость второго объекта можно найти, только однозначного ответа не получится.

Если движение осуществляется в одном и том же направлении, то разность скоростей этих объектов должна равняться 60 км/ч.

Следовательно, скорость второго объекта будет равна 100 км/ч (100 км/ч – 40 км/ч = 60 км/ч). Если же объекты движутся в противоположных направлениях, то сумма скоростей этих объектов должна равняться 60 км/ч. Следовательно, скорость второго объекта равна 20 км/ч (40 км/ч + 20 км/ч = 60 км/ч).

В задании 162 предлагается сформулировать задачу по каждой из предложенных схем движения. При формулировке задач прежде всего учащиеся должны определиться с выбором транспортных средств так, чтобы данные скорости соответствовали этим транспортным средствам. Только потом формулировать условие, в котором будет идти речь о движении из одного пункта с данными скоростями, и требование, в котором будет идти речь либо о расстоянии, либо о времени, которые определяются скоростью изменения расстояния между объектами.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий тема: «Поупражняемся в вычислениях и повторим пройденное»

Предлагается подборка заданий, которые можно использовать в качестве заданий для закрепления и повторения некоторых изученных ранее вопросов.

При выполнении задания 163 учащиеся имеют возможность поупражняться в делении столбиком. Можно предложить им использовать как полную, так и сокращенную (если это возможно) форму записи.

В задании 164 предлагается решить задачу «на разность и частное». Для поиска решения этой задачи учащиеся могут воспользоваться схемой, составление которой они могут выполнить под руководством учителя.

В задании 165 учащимся предлагается сформулировать и решить задачу на движение в одном и том же направлении, опираясь на данную схему. Приведем пример такой задачи: «Из двух населенных пунктов, расположенных на одной трассе на расстоянии 50 км друг от друга, одновременно в одном и том же направлении отправились два автомобиля: грузовой и легковой. Скорость грузового автомобиля 70 км/ч, а скорость легкового автомобиля 80 км/ч. Грузовой автомобиль двигался вслед за легковым. Какое расстояние будет между автомобилями через 2 часа движения?»

В задании 166 предлагается сформулировать и решить задачу на движение в противоположных направлениях, опираясь на данную схему. Приведем пример такой задачи: «От двух станций, расположенных на расстоянии 330 км, одновременно навстречу друг другу отправились два поезда: товарный и пассажирский. Скорость товарного поезда 50 км/ч, а скорость пассажирского поезда 60 км/ч.

Через сколько часов расстояние между поездами будет равно 110 км?»

тема: «когда время работы одинаковое» (1 урок) Данной темой мы открываем новый тематический блок, в котором будут рассматриваться вопросы, относящиеся к обучению решению задач «на работу». Этот класс задач по своей математической сути ничем принципиально не отличается от задач «на движение». Отличие лишь внешнее, которое связано с сюжетом и используемыми для описания этого сюжета величинами. Величины «производительность», «время», «объем работы» связаны такой же зависимостью, что и величины «скорость», «время», «пройКогда время работы одинаковое»

денный путь». Аналогия проявляется не только в существующей пропорциональной зависимости (прямой или обратной) между этими величинами, но и в вычислении производительности при совместной работе, которая может быть выражена либо суммой, либо разностью индивидуальных производительностей (сравните с правилами получения скорости изменения расстояния при движении в противоположных направлениях, либо при движении в одном и том же направлении). При этом сумма производительностей возникает в том случае, когда два объекта выполняют одну и ту же работу, а разность производительностей – когда два объекта выполняют «противоположную» работу. Например, разность производительностей возникает в том случае, когда один объект привозит продукцию на склад, а другой – увозит эту продукцию.

Приведем и другой пример, который можно назвать «классическим». Речь идет о бассейне, в который с помощью одной трубы вода наливается, а с помощью другой – сливается.

В данной теме мы рассматриваем вопрос о прямой пропорциональной зависимости объема выполненной работы от производительности при условии, что время работы остается постоянным.

Изучение этого вопроса основано на полной аналогии, существующей между этой зависимостью и зависимостью пройденного пути от скорости при постоянном времени движения.

В задании 167 мы предлагаем учащимся сопоставить две задачи, одна из которых является задачей «на движение», а другая – соответствующей задачей «на работу». Именно на основе сопоставления таких задач мы и показываем учащимся, что математическая суть рассматриваемых зависимостей одна и та же.

При выполнении задания 168 учащиеся получают возможность убедиться в том, что объем выполненной работы (произведенной продукции) находится в прямой пропорциональной зависимости от производительности, если время работы постоянно. Этот факт можно выразить с помощью следующего правила: если время работы одинаковое, то увеличение (уменьшение) производительности в некоторое число раз приводит к увеличению (уменьшению) объема выполненной работы в это же число раз.

При выполнении задания 169 учащиеся закрепляют вывод, к которому они пришли при выполнении предыдущего задания. Отличие от предыдущего задания состоит лишь в том, что в данном задании речь идет об уменьшении объема произведенной продукции, а в предыдущем задании речь шла об увеличении произведенной продукции. Однако это не означает, что характер зависимости изменился: и в первом, и во втором случае зависимость остается прямой пропорциональной.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий тема: «когда объем выполненной работы одинаковый»

(1 урок) В данной теме мы рассматриваем зависимость между производительностью и временем выполнения работы при условии, что объем выполненной работы остается постоянным. Эта зависимость носит обратный пропорциональный характер, и она полностью аналогична той зависимости, которая существует между скоростью и временем при постоянной длине пройденного пути. Именно на этой аналогии и построен методический прием, который лежит в основе изучения данной темы.

При выполнении задания 170 учащиеся на конкретном примере имеют возможность убедиться в том, что при увеличении производительности в 2 раза время работы уменьшается в 2 раза, если объем выполненной работы остается одним и тем же. Для соответствующих величин другой пары печатающих устройств имеет место та же самая обратная пропорциональная зависимость, только коэффициент пропорциональности равен не числу 2, а числу 3.

Для выполнения задания 171 учащиеся должны применить установленное выше правило, связывающее производительность и время при постоянном объеме работы. Но перед этим учащиеся должны выполнить кратное сравнение данных промежутков времени (12 ч и 360 мин). Сделать это будет совсем легко, если выразить второй временной промежуток в часах (360 мин = 6 ч).

Тогда новое время в 2 раза меньше старого (12 ч : 6 ч = 2 (раза)).

Это означает, что новая производительность должна быть в 2 раза больше старой, т. е. производительность должна увеличиться в 2 раза.

В задании 172 мы предлагаем учащимся еще раз удостовериться в справедливости правила, связывающего производительность и время работы при одном и том же объеме работы. Причем в данном случае это правило мы формулируем в самом тексте задания.

В задании 173 учащимся предлагается решить задачу на применение правила из предыдущего задания.

В задании 174 учащимся предлагается сначала сделать вывод о том, как изменится время по выполнению данного объема работы при увеличении производительности в 2 раза и проверить его на конкретном примере. После этого они должны сформулировать соответствующее правило, которое отличается от правила из задания 172 тем, что меняется направление зависимости между величинами (в данном случае время зависит от производительности).

тема: «Производительность при совместной работе» (1 урок) В данной теме мы предлагаем рассмотреть задачи, в которых речь идет о том, как связана общая производительность с индивидуальными производительностями при совместной работе, что соответствует задачам на совместное движение двух объектов. Причем речь пойдет как о совместной одинаковой работе, что соответствует движению в противоположных направлениях, так и о работе «противоположного» характера, что соответствует движению в одном и том же направлении. Учителю важно понимать, что существует аналогия между задачами на совместную работу и соответствующими задачами на движение, но активно использовать эту аналогию в работе с учащимися не рекомендуется, так как их может запутать несогласованность используемой терминологии: одинаковая работа соответствует движению в противоположных направлениях, а «противоположная»

работа соответствует движению в одном и том же направлении.

Примечание. Для хорошо подготовленных учащихся такую аналогию можно продемонстрировать, но тогда движение в одном и том же направлении следует трактовать как реализацию противоположных целей движущимися объектами:

один объект «убегает», а другой его «догоняет». В свою очередь, движение в противоположных направлениях следует трактовать как реализацию одинаковых целей: либо оба объекта удаляются друг от друга, либо оба сближаются друг При выполнении задания 175 учащиеся познакомятся с таким понятием, как производительность совместной работы, и научатся находить эту производительность в том случае, когда выполняется одинаковая работа.

При выполнении задания 176 мы еще раз предлагаем учащимся установить взаимосвязь общей производительности и индивидуальных производительностей при выполнении совместной одинаковой работы. При этом важно акцентировать внимание учащихся на том действии, с помощью которого эту взаимосвязь и можно выразить (речь идет о действии сложения).

При выполнении задания 177 учащиеся познакомятся с другим типом зависимости «итоговой» производительности (скорости заполнения склада готовой продукцией) от «исходных» индивидуальных производительностей (от скорости привоза этой продукции на склад и скорости ее реализации со склада). Указанная зависимость выражается уже не с помощью действия сложения, а с помощью действия вычитания.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий В задании 178 предлагается решить задачу с использованием того типа зависимости «итоговой» производительности от «исходных»

производительностей, о котором речь шла в предыдущем задании.

Сначала учащиеся должны найти «исходные» производительности за сутки. Они будут равны 80 куб. м/сут. и 72 куб. м/сут.

(3 куб. м/ч•24 ч = 72 куб. м). После этого следует вычислить «итоговую» производительность: 80 куб. м/сут. – 72 куб. м/сут. = = 8 куб. м/сут., а также найти вместимость половины бассейна:

320 куб. м : 2 = 160 куб. м. После этого уже можно вычислять искомое время: 160 куб. м : 8 куб. м/сут. = 20 сут.

В задании 179 предлагается сформулировать задачу по данной краткой записи. Приведем пример такой задачи: «Первая бригада за 5 ч работы обрабатывает 135 деталей. Если эту же работу вместе с первой бригадой будет выполнять и вторая бригада, то за 3 ч они смогут обработать 150 деталей. С какой производительностью в этом случае будет работать вторая бригада, если производительность первой бригады не будет меняться?» При решении такой задачи учащиеся должны воспользоваться правилом, в котором «итоговая»

производительность выражается в виде суммы «исходных» производительностей. Только искомой в этом равенстве является одна из «исходных» производительностей, поэтому она находится с помощью действия вычитания. Приведем запись решения сформулированной задачи с вычислением ее ответа: 1) 135 дет : 5 ч = 27 дет./ч; 2) 150 дет. : 3 ч = 50 дет./ч; 3) 50 дет./ч – 27 дет./ч = 23 дет./ч.

В задании 180 учащимся предлагается решить задачу, суть которой заключается в том, чтобы использовать связь между «итоговой» производительностью и «исходными» производительностями для нахождения одной из «исходных» производительностей. С аналогичной ситуацией учащиеся уже имели дело при выполнении предыдущего задания, поэтому мы предлагаем записать решение этой задачи сразу в виде одного выражения. Искомым выражением является следующее выражение: 20 000 экз. : 4 дн. – 3 000 экз./дн.

(или 20 000 : 4 – 3 000 (экз./дн.)).

Примечание. При выполнении двух последних заданий учащиеся столкнулись с ситуацией, когда искомую производительность находят с помощью вычитания одной производительности из другой. Но это не имеет отношения к случаю, когда «итоговая» производительность выражается через разность «исходных» индивидуальных производительностей (когда работа объектов имеет «противоположную» направленность). В рассматриваемых случаях неизвестной величиной является одна из «исходных» производительностей, сумма которых и дает «итоговую» производительность. Так как нам нужно найти неизвестное слагаемое, то мы и применяем для этого действие вычитания.

тема: «Время совместной работы» (1 урок) При изучении данной темы мы познакомим учащихся с задачами «на совместную работу», в которых искомой величиной является время совместной работы. В задачах «на движение» мы, как и для других видов задач, можем найти аналогичные задачи. К ним относятся задачи, в которых два объекта движутся в противоположных направлениях и нужно найти время, за которое расстояние между ними изменится на данную величину. Но мы не стали выделять такие задачи «на движение» в отдельную тему, так как они не представляют такого практического интереса, как аналогичные задачи «на работу».

С самого начала изучения данной темы нужно обратить внимание учащихся на тот факт, что при совместной работе складываются индивидуальные производительности, а вот индивидуальное время работы друг с другом складывать не имеет смысла – при совместной работе времени нужно меньше, чем на выполнение этой работы затрачивает любой из объектов, выполняющих работу индивидуально.

В задании 181 учащимся сначала предлагается по имеющимся данным составить перечень бригад, которые вместе за 1 год смогут построить 12 зданий. Для выполнения этой части задания учащиеся должны воспользоваться правилом о сложении «индивидуальных»

производительностей. Для получения «итоговой» производительности в 12 зд./год нужно сложить производительности 1-й, 2-й и 3-й бригад. После этого учащиеся должны найти для каждой из выбранных бригад число месяцев, которое нужно соответствующей бригаде для строительства 1 здания. Так как производительность бригад остается постоянной, то время и объем выполненной работы связаны прямой пропорциональной зависимостью. Поэтому на основании известной производительности бригады (например, для 1-й бригады это 4 зд./год) можно легко вычислить время строительства 1 здания этой бригадой. Оно будет во столько же раз меньше 1 года (12 месяцев), во сколько объем работы при строительстве 1 здания меньше, чем объем работы при строительстве 4 таких зданий (12 мес. : 4 = 3 мес.). Аналогично вычисляем интересующее нас время для двух других бригад: 12 мес. : 6 = 2 мес. (для 2-й бригады) и 12 мес. : 2 = 6 мес. (для 3-й бригады).

После этого можно вычислять для каждой бригады время, которое потребуется для строительства 12 зданий одной бригадой.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий Для этого нужно увеличить в 12 раз время строительства 1 здания. Тогда получим следующее: 3 мес.•12 = 36 мес. = 3 года (для 1-й бригады), 2 мес.•12 = 24 мес. = 2 года (для 2-й бригады) и 6 мес.•12 = 72 мес. = 6 лет (для 3-й бригады). Если же эти бригады будут работать вместе, то 12 зданий они построят за 1 год (это следует из производительности их совместной работы). Таким образом, полученное время совместной работы меньше, чем время любой индивидуальной работы при выполнении одного и того же объема работы.

Примечание. Между полученными выше временными промежутками (3 года, 2 года, 6 лет и 1 год) существует достаточно простая связь: сумма обратных величин индивидуальных временных промежутков равна обратной величине итогового временного промежутка (1/3 + 1/2 + 1/6 = 1/1), но познакомить учащихся с этой зависимостью мы пока еще не имеем возможности (оперировать с обыкновенными дробями они В задании 182 учащимся сначала предлагается решить задачу на нахождение времени совместной работы. Сделать это они могут следующим образом: 1) 48 сот. : 6 дн. = 8 сот./дн., 2) 48 сот. : 3 дн. = 16 сот./дн., 3) 8 сот./дн. + 16 сот./дн. = 24 сот./дн., 4) 48 сот. : 24 сот./дн. = 2 дн.

После этого учащимся предлагается проверить, измениться ли ответ задачи, если все данные задачи сохранить, кроме одного, а одно изменить (площадь участка 48 соток нужно заменить на 24 сотки или на 18 соток). Итогом проверки должен стать вывод о том, что искомое время не изменяется. Это объясняется тем, что искомое время связано не с объемом выполненной работы, а с индивидуальным временем выполнения этого объема работы каждой бригадой (см. примечание к предыдущему заданию).

В задании 183 предлагается определить время «совместной работы» по съеданию данного объема кормов несколькими коровами.

Учащиеся уже знают, что это время зависит только от индивидуального времени каждого объекта (в данном случае все объекты затрачивают одинаковое время, равное 6 дням), но никак не зависит от объема работы (от объема кормов). Для того чтобы подчеркнуть этот факт, мы в условии задания даже не указали конкретный объем запаса кормов (данный объем работы). Для ответа на поставленные вопросы учащиеся должны рассуждать следующим образом.

Пусть речь идет о двух коровах. «Так как все коровы поедают корма с одинаковой скоростью, то две коровы съедят весь запас кормов за то же время, за которое одна корова съест половину этого запаса.

Но половину запаса кормов одна корова съест за 3 дня, так как весь запас кормов одна корова съедает за 6 дней (6 дн. : 2 = 3 дн.)».

Пусть речь идет о трех коровах. Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что «искомое время равно времени, за которое одна корова съедает третью часть всех кормов, т. е. за 2 дня (6 дн. : 3 = 2 дн.)».

Пусть речь идет о шести коровах. Рассуждая аналогично, приходим к выводу, «что искомое время равно времени, за которое одна корова съедает шестую часть всех кормов, т. е. за 1 день (6 дн. : 6 = 1 дн.)».

В задании 184 предлагается решить задачу, в которой искомое время работы можно найти, разделив объем работы на соответствующую производительность. Что же касается нахождения этой производительности, то для этого учащиеся должны воспользоваться тем правилом, о котором речь шла в примечании к заданию 180.

Решение выглядит следующим образом: 1) 48 ап. : 8 ч = 6 ап./ч, 2) 48 ап. : 12 ч = 4 ап./ч, 3) 6 ап./ч–4 ап./ч = 2 ап./ч, 4) 48 ап. :

: 2 ап./ч = 24 ч.

В задании 185 предлагается сформулировать задачу по данной краткой записи. Приведем пример такой задачи: «Первая бригада за 9 дней работы может выпустить 36 т продукции. Вторая бригада этот же объем продукции может выпустить за 18 дней. Сколько дней потребуется этим двум бригадам для выпуска этой же продукции, если они будут работать совместно и с той же производительностью?»

Задание 186 относится к заданиям повышенной сложности. В нем учащимся предлагается установить, как связано время совместной работы со временем работы одной бригады по выполнению одного и того же объема работы, если две бригады работают с одинаковой производительностью.

Особенность этого задания заключается в том, что в нем практически нет никаких числовых данных, кроме того, что в совместной работе участвуют 2 бригады. Но имеющейся информации вполне достаточно, чтобы получить ответ на поставленный вопрос. Рассуждать учащиеся должны таким же образом, как им было рекомендовано рассуждать при выполнении задания 183.

«Итак, если 2 бригады работают с одинаковой производительностью, то для выполнения всей работы им нужно столько же времени, как для выполнения половины всей работы одной бригадой (вторую половину работы выполняет вторая бригада). Но для выполнения половины всей работы одной бригаде нужно в 2 раза меньше времени, чем на выполнение всей работы. Поэтому время совместной работы двух бригад будет также в 2 раза меньше, чем время работы одной бригады».

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий В задании 187 учащимся предлагается устно решить задачу на нахождение времени работы одного землекопа. Такую или аналогичную задачу можно встретить во многих сборниках занимательных задач по арифметике. Для ее решения нужны не столько знания зависимости между величинами, описывающими процесс работы, сколько внимательное прочтение и анализ условия задачи. Если 5 землекопов за 5 дней могут вырыть 5 км траншеи, то это означает, что 1 землекоп за эти же 5 дней может вырыть 1 км траншеи (производительность всех землекопов по условию задачи одинаковая). Поэтому ответом данной задачи будет 5 дней, а не 1 день, как может подумать ученик, который отнесется к анализу задачи поверхностно.

тема: «Учимся решать задачи и повторяем пройденное»

Предлагаем подборку заданий, с помощью которых учащиеся получают возможность закрепить и повторить некоторые изученные ранее вопросы. Прежде всего это касается вопросов обучения решению задач «на работу».

В задании 188 учащимся предлагается решить задачу «на совместную работу» двух бригад проходчиков. При этом условие данной задачи они могут проиллюстрировать с помощью схемы движения навстречу друг другу двух объектов из разных пунктов.

Решается такая задача в два действия: 1) 2 м/дн. + 3 м/дн. = 5 м/дн., 2) 1 000 м : 5 м/дн. = 200 дн. Таким образом, через 200 рабочих дней бригады встретятся при соединении двух частей тоннеля.

В задании 189 учащимся предлагается сформулировать и решить задачу по данной краткой записи. Приведем пример такой задачи: «За 8 ч работы в 1-м цехе выпустили 2 568 м ткани. Сколько метров ткани за это же время выпустили во 2-м цехе, если производительность во 2-м цехе на 10 м/ч больше, чем в 1-м?» Решить эту задачу можно в три действия: 1) 2 568 м : 8 ч = 321 м/ч, 2) 321 м/ч + 10 м/ч = 331 м/ч, 3) 331 м/ч•8 ч = 2 648 м. Но можно предложить и более рациональный путь решения: 1) 10 м/ч•8 ч = 80 м, 2) 2 568 м + 80 м = 2648 м.

При выполнении задания 190 учащиеся поупражняются в делении столбиком, используя сокращенную форму записи.

В задании 191 учащимся сначала предлагается решить задачу «на нахождение четвертого пропорционального» двумя способами: вычисляя и не вычисляя производительность. При этом второй вариант решения они не могут использовать в том случае, когда число выпущенных автомобилей равно 160.

В задании 192 предлагается решить задачу «на совместную работу», в которой вычисление производительности ученика представляет собой задачу «на сумму и частное». Для вычисления производительности ученика учащиеся могут воспользоваться предложенной схемой, в которой вся полоска изображает «совместную» производительность мастера и ученика, равную 12 дет./ч (24 дет. : 2 ч = 12 дет./ч). Одна часть этой полоски изображает производительность ученика, которая равна 3 дет./ч (1 + 3 = 4 (части), 12 дет./ч : 4 = 3 дет./ч).

В задании 193 предлагается решить задачу «на совместную работу», в которой вычисление производительности ученика представляет собой задачу «на сумму и разность». Для вычисления производительности ученика учащиеся могут воспользоваться предложенной схемой, в которой вся полоска изображает совместную производительность мастера и ученика, равную 12 дет./ч (24 дет. : 2 ч = 12 дет./ч). Половина незакрашенной части этой полоски изображает производительность ученика, которая равна 3 дет./ч (12 дет./ч – 6 дет./ч = 6 дет./ч, 6 дет./ч : 2 = 3 дет./ч).

В задании 194 предлагается решить задачу «на движение», которая по своей математической сути является задачей «на две разности». Ее решение выглядит следующим образом: 1) 10 ч–7 ч = 3 ч, 2) 12 км : 3 ч = 4 км/ч, 3) 10 ч + 7 ч = 17 ч, 4) 4 км/ч•17 ч = 68 км.

В задании 195 учащимся предлагается вычислить значения данных выражений. При их вычислении они имеют возможность повторить правила порядка выполнения действий в выражениях со скобками и поупражняться в выполнении всех четырех арифметических действий столбиком.

тема: «когда количество одинаковое» (1 урок) Данной темой мы открываем новый тематический блок, в котором будут рассматриваться вопросы, относящиеся к обучению решению задач «на куплю-продажу». Этот класс задач по своей математической сути ничем принципиально не отличается от задач «на движение» и задач «на работу». Отличие лишь внешнее, которое связано с сюжетом и используемыми для описания этого сюжета величинами. Величины «цена», «количество», «стоимость» связаны такой же зависимостью, что и величины «скорость», «время», «пройденный путь» или величины «производительность», «время», «объем выполненной работы».

Аналогия присутствует не только в существующей пропорциональной зависимости (прямой или обратной) между этими велиТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий чинами, но и в вычислении цены набора товаров, которая выражается суммой индивидуальных цен (сравните с правилом получения скорости изменения расстояния при движении в противоположных направлениях, либо с правилом получения производительности при совместной одинаковой работе).

В данной теме мы рассматриваем вопрос о прямой пропорциональной зависимости стоимости от цены при условии, что количество купленного товара остается постоянным. Изучение этого вопроса основано на полной аналогии, существующей между этой зависимостью и зависимостью пройденного пути от скорости при постоянном времени движения, а также зависимостью объема выполненной работы от производительности при постоянном времени работы.

При выполнении задания 196 учащиеся получают возможность еще раз убедиться в существовании полной аналогии в зависимости соответствующих величин при описании трех процессов – процесса движения, процесса работы и процесса купли-продажи.

Для решения трех предложенных задач можно использовать одно и то же числовое выражение, которое выглядит следующим образом: (40•2•4) : (40•4). Так как в этом выражении делимое в 2 раза больше, чем делитель, то значение этого выражения равно числу 2. Именно в 2 раза стоимость второй покупки будет больше, чем стоимость первой. Другими словами, мы еще раз предложили учащимся убедиться в том, что при увеличении цены в несколько раз стоимость увеличивается в это же число раз (если, конечно, количество остается постоянным).

В задании 197 учащимся предлагается ответить на вопрос, как должна измениться цена товара, чтобы стоимость той же самой покупки увеличилась в 3 раза. На основании факта существования прямой пропорциональной зависимости между этими величинами (и здесь можно опираться на принцип аналогии) учащиеся должны прийти к выводу, что цена должна также увеличиться в 3 раза.

Задание 198 аналогично предыдущему заданию, только в нем речь идет не о пропорциональном увеличении стоимости от цены, а о пропорциональном уменьшении указанных величин.

тема: «когда стоимость одинаковая» (1 урок) В данной теме мы рассматриваем зависимость между ценой и количеством купленного товара при условии, что стоимость всей покупки остается постоянной. Эта зависимость носит обратный пропорциоКогда стоимость одинаковая»

нальный характер, и она полностью аналогична той зависимости, которая существует между скоростью и временем при постоянной длине пройденного пути или между производительностью и временем при постоянном объеме выполненной работы. Именно на этой аналогии и построен тот методический прием, который лежит в основе изучения данной темы.

При выполнении задания 199 учащиеся на конкретном примере имеют возможность убедиться в том, что при увеличении цены в 2 раза количество товара уменьшается в 2 раза, если стоимость покупки остается одной и той же. Для соответствующих величин другой пары товаров имеет место та же самая обратная пропорциональная зависимость с тем же самым коэффициентом пропорциональности.

В задании 200 мы не только предлагаем учащимся познакомиться с формулировкой правила, в котором выражена обратная пропорциональная зависимость между ценой и количеством при постоянной стоимости, но и еще раз убедиться в его справедливости на конкретном примере.

В задании 201 предлагается решить задачу с использованием правила из предыдущего задания. Для этого они сначала должны выполнить кратное сравнение количества огурцов, купленных по одной цене и по другой цене (напоминаем, что стоимость покупок остается одной и той же). В результате у них получится, что во втором случае они купили огурцов в 5 раз больше (15 кг : 3 кг = 5 (раз)).

После этого можно обратиться к правилу и сделать вывод о том, что цена огурцов уменьшилась в 5 раз.

В задании 202 предлагается решить еще одну задачу с использованием правила из задания 200. Отличие состоит лишь в том, что теперь нужно начать с выполнения кратного сравнения цен. Результат этого сравнения равен числу 2 (30 руб./кг : 15 руб./кг = 2 (раза)).

Следовательно, помидоров можно на эти же деньги купить в 2 раза меньше, чем огурцов, т. е. 10 кг (20 кг : 2 = 10 кг). Данную задачу можно было бы решить и по другому, вычислив в первом действии стоимость покупки (15 руб./кг•20 кг = 300 руб.), а во втором – количество купленных помидоров (300 руб. : 30 руб./кг = 10 кг), но при таком способе решения мы никак не используем сформулированное выше правило, что с методической точки зрения будет не совсем правильно.

В задании 203 учащимся предлагается сформулировать и решить задачу по данной краткой записи. Приведем пример такой задачи:

«За 4 кг кур заплатили 300 руб. Купленная рыба по цене оказалась в 2 раза дороже, чем куры. Сколько килограммов рыбы купили, если за нее заплатили столько же, сколько и за кур?» При решении Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий этой задачи можно опираться на нахождение цены каждого вида товара и тогда решение задачи будет состоять из трех действий:

1) 300 руб. : 4 кг = 75 руб./кг, 2) 75 руб./кг•2 = 150 руб./кг, 3) 300 руб. : 150 руб./кг = 2 кг.

Если же воспользоваться правилом из задания 200, то решение данной задачи будет состоять из одного действия: 1) 4 кг : 2 = 2 кг.

В задании 204 учащимся предлагается сформулировать правило, которое будет отличаться от правила из задания 200 только тем, что количество и цена в нем меняются ролями – цена становится исходной независимой величиной, а количество зависит от цены. Все остальные составляющие правила не изменяются.

тема: «Цена набора товаров» (1 урок) При изучении данной темы учащиеся познакомятся с тем, как складывается цена набора товаров из индивидуальных стоимостей соответствующих товаров. Эта ситуация в чем-то аналогична той, которая имеет место при сложении производительностей при совместной работе, но она имеет и свои особенности, главная из которых заключается в том, что для получения цены набора нужно складывать не цены, а стоимости товаров, составляющих этот набор.

В результате выполнения задания 205 учащиеся познакомятся с понятием «цена набора товаров» на примере набора, состоящего из 1 кг ягод и 1 кг сахарного песка. Для этого учащиеся сначала должны найти стоимость каждого из этих видов товара:

1) 120 руб. : 3 = 40 руб., 2) 120 руб. : 6 = 20 руб. После этого можно с помощью сложения найти стоимость набора товаров, который состоит из 1 кг ягод и 1 кг сахарного песка: 3) 40 руб. + 20 руб. = = 60 руб., эта стоимость и определяет цену данного набора товаров (60 руб./наб.). Теперь можно находить количество таких наборов, которые можно купить на 120 руб.: 4) 120 руб. :

: 60 руб./наб. = 2 наб.

При выполнении задания 206 учащиеся имеют возможность поупражняться в вычислении цены набора товаров, которая будет складываться из стоимостей каждого вида товара, входящего в этот набор. Сначала нужно вычислить эти стоимости. Так, стоимость 1 книги равна 103 руб. (2575 руб. : 25 = 103 руб.), стоимость 1 ручки – 10 руб. (250 руб. : 25 = 10 руб.) и стоимость 1 тетради – 20 руб.

(500 руб. : 25 = 20 руб.).

После этого можно находить стоимость 1 набора, состоящего из 1 книги, 1 ручки и 1 тетради. Она будет равна 133 руб.

(103 руб. + 10 руб. + 20 руб. = 133 руб.). Это означает, что цена интересующего нас набора равна 133 руб./наб.

При выполнении задания 207 учащиеся получают возможность продемонстрировать свое умение формировать набор заданной цены по известным ценам отдельных товаров. Для этого они сначала должны определить, какой должна быть цена искомого набора. В данном случае цена равняется 160 руб./наб.

(800 руб. : 5 наб. = 160 руб./наб.). После этого можно составлять набор по данным ценам, которые указаны в таблице. Например, это может быть набор, состоящий из 1 альбома и 4 фломастеров, или из 4 коробок карандашей и 3 фломастеров. Можно предложить и другие варианты. Главное, чтобы суммарная стоимость всех товаров из набора составляла 160 руб.

тема: «Учимся решать задачи» (1 урок) При изучении данной темы мы предлагаем учащимся задания, с помощью которых можно продолжить формирование умений по решению сюжетных арифметических задач на примере задач «на куплю-продажу».

В задании 208 учащимся предлагается решить задачу на нахождение «четвертого пропорционального» на основе вычисления цены как коэффициента пропорциональности. Здесь же учащимся предлагается творческое задание, связанное с изменением данных в формулировке задачи таким образом, чтобы новую задачу можно было решить, не вычисляя цены.

Для выполнения творческого задания учащиеся сначала должны вспомнить правило, которое связывает стоимость покупки и количество купленного товара при постоянной цене, а уже потом выбрать такое количество коробок при второй покупке, чтобы можно было выполнить кратное сравнение этого количества с количеством коробок при первой покупке. Например, можно 20 коробок заменить на 30 коробок или на 45 коробок. Таких вариантов может быть сколько угодно.

В задании 209 (учащимся сначала предлагается решить задачу на вычитание стоимостей. С помощью такого вычитания можно сначала определить стоимость 1 кг черешни (330 руб. – 200 руб. = = 13 руб.), а потом – 1 кг клубники (330 руб. – 210 руб. = 120 руб.).

После этого можно вычислить и стоимость 1 кг абрикосов (210 руб. – 130 руб. = 80 руб. или 200 руб.–120 руб. = 80 руб.).

Для выполнения разностного сравнения цены черешни и цены клубники сначала нужно эти цены записать в том виде, как приТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий нято записывать цены, а именно: 130 руб./кг – цена черешни, 120 руб./кг – цена клубники.

После этого можно выполнять разностное сравнение этих цен:

130 руб./кг – 120 руб./кг = 10 руб./кг. Но этот результат можно найти и не вычисляя цену черешни и цену клубники. Для этого достаточно обратить внимание, что стоимость 1 кг черешни и 1 кг абрикосов равна 210 руб., а стоимость 1 кг клубники и 1 кг абрикосов отличается от первой стоимости на 10 руб. (210 руб. – – 200 руб. = 10 руб.).

При этом в каждую стоимость входит составной частью стоимость 1 кг абрикосов, что при проведении разностного сравнения на результат никакого влияния не оказывает. Значит, имеющаяся разница в 10 руб. возникла за счет разницы в стоимости 1 кг черешни и стоимости 1 кг клубники. Это и означает, что результат разностного сравнения цен черешни и клубники равен 10 руб./кг.

Умение учащихся рассуждать подобным образом позволяет говорить об уходе от некоторых стереотипов, которые могут возникнуть у учащихся в процессе решения задач. В данном случае привычные схемы не работают, и если учащиеся могут от них отойти, то это означает, что к процессу поиска решения задачи они подходят с правильных позиций, основанных на общих умениях решать сюжетные арифметические задачи.

В задании 210 предлагается решить задачу на нахождение стоимости по известной цене и количеству, которое предварительно нужно вычислить. Для вычисления количества купленной ткани учащиеся должны найти количество ткани, которое требуется для пошива 12 костюмов, если на 1 костюм расходуется 3 м ткани. Это количество равно 36 м (3 м•12 = 36 м). После этого можно находить и стоимость всей покупки. Она равна 12 600 руб.

(350 руб./м•36 м = 12 600 руб.).

Задание 211 относится к заданиям повышенной сложности. Причиной тому является тот факт, что ранее учащимся еще не предлагались для решения задачи такого типа. Однако это совсем не означает, что учащиеся не подготовлены к выполнению этого задания и доля их самостоятельного участия в его выполнении должна быть сведена к минимуму. Скорее, наоборот, имеет смысл предоставить учащимся максимум самостоятельности в поиске решения предложенной задачи, так как они (без помощи учителя или при минимальном его участии) могут и должны увидеть то, что эта задача полностью аналогична хорошо известным им задачам на движение в противоположных направлениях (когда требуется найти время преодоления заданного расстояния) или задачам на совместную работу (когда требуется найти время выполнения заданного объема работы).

Рассуждая по аналогии, учащиеся сначала смогут найти общую цену проката лодки и велосипеда (80 руб./ч + 120 руб./ч = 200 руб./ч), а потом вычислить искомое время (600 руб. : 200 руб./ч = 3 ч).

При выполнении второго действия от учащихся потребуется умение делить на число 200. Выполнение такого деления может быть осуществлено разными способами. Здесь можно использовать правило деления на произведение, можно подобрать значение частного с опорой на связь между умножением и делением, а можно воспользоваться кратным вычитанием. Выбор способа остается за учащимися. В качестве дополнения к этому заданию можно предложить учащимся самим сформулировать несколько задач, при решении которых необходимо выполнить сложение цен.

Примечание. При выполнении данного задания учащиеся впервые сталкиваются с ситуацией, когда возникает необходимость сложения цен. До этого момента мы не предлагали учащимся анализировать подобные ситуации. Даже в теме «Цена набора товаров» речь не шла о сложении цен: для нахождения искомой итоговой цены учащиеся предварительно складывали соответствующие стоимости, а не цены. Возможность и необходимость сложения цен возникает лишь тогда, когда цена выражает стоимость некоторой услуги в единицу времени (как это имело место в задании 211). Такого типа цены на практике принято называть тарифами (тариф на телефонные переговоры, тариф на перевозки и т. п.). Именно в тех задачах, в которых речь идет о пользовании сразу двумя (или более) услугами в одно и то же время, итоговый тариф может быть найден как результат сложения отдельных составляющих тарифов (см., например, первое действие решения задачи из задания 211). И именно такие задачи допускают полную аналогию с соответствующими задачами на совместное движение и на совместную работу. В других случаях сложение цен не имеет какого-либо разумного истолкования.

тема: «Поупражняемся в вычислениях и повторим пройденное»

Предлагаем подборку заданий для закрепления и повторения некоторых изученных ранее вопросов.

При выполнении задания 212 учащиеся получают возможность поупражняться в делении столбиком, используя сокращенную форму записи.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий В задании 213 учащимся предлагается решить задачу «на движение в противоположных направлениях», основной структурной составляющей которой является задача «на сумму и разность». При этом необходимую сумму скоростей предварительно нужно вычислить. Она оказывается равной 140 км/ч (280 км : 2 ч = 140 км/ч).

Разность же этих скоростей известна по условию. Она равна 20 км/ч. После такой предварительной работы остается решить стандартную задачу «на сумму и разность». Учащиеся могут использовать любой из известных им способов решения таких задач.

Например, они могут сначала найти удвоенную меньшую скорость:

140 км/ч – 20 км/ч = 120 км/ч. А потом и саму меньшую скорость:

120 км/ч : 2 = 60 км/ч. Тогда большая скорость будет равна 80 км/ч (60 км/ч + 20 км/ч = 80 км/ч).

В задании 214 предлагается решить задачу «на движение в одном и том же направлении», в которой требуется найти скорость более медленного транспортного средства по известной скорости другого транспортного средства и по вычисляемой скорости изменения расстояния между этими транспортными средствами. Анализируя формулировку задачи, не составляет особого труда заметить, что по имеющимся данным можно вычислить скорость изменения расстояния между катером и теплоходом.

Она равна 25 км/ч (75 км : 3 ч = 25 км/ч). Так как скорость изменения расстояния между транспортными средствами при движении в одном и том же направлении равна разности скоростей этих транспортных средств, то при вычитании ее из большей индивидуальной скорости получится меньшая индивидуальная скорость (45 км/ч – 25 км/ч = 20 км/ч).

В задании 215 учащимся предлагается начертить прямоугольник, периметр которого известен, а длина одной стороны на 4 см больше, чем длина другой стороны. Это задание геометрического характера фактически является арифметической задачей «на сумму и разность», если не учитывать сам процесс построения прямоугольника, а говорить только о вычислении длин этого прямоугольника. Дело в том, что разность длин соседних сторон известна по условию (она равна 4 см), а сумму этих длин можно легко вычислить, разделив периметр пополам. Эта сумма будет равна 90 мм (180 мм : 2 = 90 мм).

Для осуществления дальнейших вычислений нужно привести указанные длины к одной единице, а именно: выразить 4 см в миллиметрах. После этого можно применять хорошо известный способ решения задач «на сумму и разность»: 90 мм – 40 мм = 50 мм, 50 мм : 2 = 25 мм, 90 мм – 25 мм = 65 мм. Таким образом, стороны имеют длины соответственно 65 мм и 25 мм. Остается только начертить прямоугольник с такими сторонами.

В задании 216 учащимся предлагается начертить прямоугольник, периметр которого известен, а длина одной стороны в 3 раза больше, чем длина другой стороны. Это задание геометрического характера фактически является арифметической задачей «на сумму и частное», если не учитывать сам процесс построения прямоугольника, а говорить только о вычислении длин этого прямоугольника. Дело в том, что результат кратного сравнения длин соседних сторон известен по условию (длина одной стороны в 3 раза больше, чем длина другой), а сумму этих длин можно легко вычислить, разделив периметр пополам. Эта сумма будет равна 100 мм (200 мм : 2 = 100 мм).

После этого можно применить хорошо известный способ решения задач «на сумму и частное»: 1 ч. + 3 ч. = 4 ч., 100 мм : 4 = 25 мм, 25 мм•3 = 75 мм. Таким образом, стороны имеют длины соответственно 25 мм и 75 мм. Остается только начертить прямоугольник с такими сторонами.

В задании 217 предлагается решить задачу на использование правила нахождения цены набора товаров. При этом нам известна стоимость набора (гвоздики в упаковке). Она составляет 100 руб. Если из этой стоимости вычесть стоимость 1 упаковки, т. е. 25 руб., то останется стоимость 5 гвоздик. Так как эта стоимость равна 75 руб.

(100 руб. – 25 руб. = 75 руб.), то стоимость одной гвоздики равна 15 руб. (75 руб. : 5 = 15 руб.). Следовательно, гвоздики продаются по цене 15 руб./шт.

тема: «Вычисления с помощью калькулятора»

Данную тему мы регулярно, начиная со 2 класса, включаем в каждую учебную книгу. Ее место в тематическом планировании также остается неизменным: данной темой мы ориентировочно разделяем учебные материалы двух четвертей соответствующего учебного полугодия. Не меняется и характер изучения данной темы: он остается факультативным.

При выполнении задания 218 учащиеся познакомятся с тем, как можно использовать калькулятор для выполнения деления с остатком. Чтобы найти неполное частное, нужно в результате, который показывает калькулятор после деления данных чисел, взять только число, которое записано до десятичной точки (только целую часть полученного дробного результата). После этого, вычитая из делимого результат умножения делителя на неполное частное, получают остаток. Если при выполнении деления в результате получилось целое число, то оно и будет неполным частным, а остаток в этом случае равен 0.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий При выполнении задания 219 учащиеся имеют возможность познакомиться с сокращенным способом вычитания из данного числа одного и того же числа несколько раз. При этом процедуру многократного вычитания одного и того же числа мы связываем с выполнением деления с остатком.

В задании 220 предлагается найти неполное частное, выполняя кратные вычитания делителя из делимого. При этом остаток в результате такого кратного вычитания также вычисляется.

В задании 221 учащимся сначала предлагается найти с помощью калькулятора неполное частное при делении числа 45 689 на число 17.

О том, как это можно сделать, было сказано в задании 218. После этого предлагается выполнить деление столбиком указанных чисел.

При условии, что неполное частное уже найдено, его можно записать на соответствующем месте и использовать при выполнении всех промежуточных этапов деления в алгоритме деления столбиком.

При выполнении задания 222 учащиеся имеют возможность поупражняться в выполнении деления столбиком с помощью калькулятора. При этом они могут использовать как способ из задания 218, так и способ из задания 220. В помощь учащимся мы предлагаем формулировку правила по нахождению остатка.

Выполняя задание 223, учащиеся фактически упражняются в нахождении неполного частного при делении каждого из данных чисел на число 47.

Задание 224 относится к заданиям повышенной сложности. Для того чтобы его выполнить, учащиеся прежде всего должны понять, что сначала данное число нужно уменьшить на величину остатка, а уже потом полученное число можно уменьшать (или увеличивать) на величину делителя любое число раз. Это означает, что сначала нужно найти интересующий нас остаток. Как это сделать, учащиеся уже знают (см. правило из задания 222). Остаток в данном случае равен 36. Тогда искомое число равно 387 885 (387 921 – 36 = 387921).

Другие два числа могут быть такими: 387 790 (387 885 – 95 = 387790) и 387 695 (387 790 – 95 = 387 695).

Задание 225 относится к заданиям повышенной сложности. Для того чтобы его выполнить, учащиеся прежде всего должны понять, что сначала данное число нужно увеличить на значение разности между делителем и остатком, а уже потом это полученное число можно уменьшать (или увеличивать) на величину делителя любое число раз. Это означает, что сначала нужно найти интересующий нас остаток. Как это сделать, учащиеся уже знают. Остаток в данном случае равен 2. Тогда искомое число равно (258 317 + (85 – 2) = 258 400). Другие два числа могут быть такими:

258 485 (258 400 + 85 = 258 485) и 258 570 (258 485 + 85 = 258 570).

В задании 226 предлагается вычислить значения данных выражений. При этом от учащихся потребуется не только умение выполнять арифметические действия с помощью калькулятора, но и знание правила порядка выполнения действий.

тема: «как в математике применяют союз “и” и союз “или”»

(1–2 урока) Данной темой открывается новый тематический блок, в который включены вопросы логического характера. Мы не делаем попытку обучить младших школьников основам математической логики. Мы лишь хотим привести в некоторую систему те интуитивные логические знания и умения, которыми обладают учащиеся на уровне «естественной» логики, т. е. той логики, которая в обязательном порядке сопровождает развитие речи и мышления учащихся.

Так, смысл союза «и» и союза «или» учащимся известен из практики употребления их в повседневной жизни, но есть и строгий логический смысл этих союзов при построении математических предложений. Именно с этих позиций мы и хотим сейчас рассмотреть данные союзы, тем более что смысловая нагрузка союза «или»

в математике несколько отличается от его смысловой нагрузки в повседневной речи (для союза «и» такой проблемы не существует). В повседневной речи союз «или» употребляется, как правило, в разделительном смысле, т. е. его употребляют в том же смысле, что и союз «либо». Например, фраза: «Я сегодня вечером пойду в кино или в театр» означает, что «Я сегодня вечером пойду либо в кино, либо в театр».

В математике (в математической логике) союз «или» употребляется в соединительном смысле, т. е. по смыслу его можно заменить словосочетанием «хотя бы одно из …». Например, фразу:

«Объединение множеств А и В состоит из всех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству В» можно заменить фразой: «Объединение множеств А и В состоит из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств»

(это означает, что элементы, которые являются общими для множеств А и В также входят в состав объединения). Фраза: «Число является однозначным или нечетным» с точки зрения повседневной логики не совсем «логична», но с точки зрения математической логики она верная, так как союз «или» соединяет два верных высказывания: 1) «Число 5 является однозначным», 2) «Число является нечетным».

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий С точки зрения математической логики верным будет и такое высказывание: «Дважды два равно 4 или 5», с чем учащимся очень трудно согласиться, так как это противоречит их интуитивным представлениям о смысле союза «или» (они обязательно будут разделять это высказывание на две части и говорить, что первая часть верная, а вторая неверная, но соединить их в одно верное высказывание для них будет совсем не просто). Наша задача состоит в том, чтобы постараться примирить эти существующие противоречия и научить учащихся воспринимать союз «или» так, как это принято в математике.

В задании 227 мы предлагаем учащимся познакомиться с тем, в каком смысле употребляются союзы «и» и «или». При этом мы знакомим их не с обыденным смыслом этих союзов, а с математическим, но на примере ситуации из повседневной жизни.

При выполнении задания 228 учащиеся получают возможность продемонстрировать то, как они понимают смысл союзов «и»

и «или» на основе их сопоставления.