«МАТЕМАТИКА 4 КЛАСС Методическое пособие Под редакцией Р.Г. Чураковой МосКвА АКАдЕМКНИГА/УЧЕбНИК 2012 УДК 51(072.2) ББК 74.262.21 Ч-37 Чекин А.Л. Ч-37 Математика [Текст] : 4 кл. : Методическое пособие / А.Л. Чекин; под. ...»

В первый столбик они должны записать числа 25 698, и 23 564 (четные и пятизначные), а во второй – числа 25 698, 35 471, 8 946, 54 718 и 23 564 (четные или пятизначные). Следует обратить внимание учащихся на то, что все числа из первого столбика обязательно должны входить во второй столбик. При этом во втором столбике записаны и другие числа (35 471 и 8 946), которые не входили в первый столбик, так как эти числа удовлетворяют только одному из двух данных условий: число 35 471 – пятизначное, но не является четным; число 8 946 – не пятизначное, но четное.

При выполнении задания 229 учащиеся познакомятся с понятием двойного неравенства, которое представляет собой соединение двух соответствующих неравенств в одно двойное неравенство с помощью союза «и».

В задании 230 учащимся предлагается самим составить двойное неравенство с данным знаком и данными числами.

Задание 231 относится к заданиям повышенной сложности.

В нем учащимся предлагается самостоятельно сформулировать условие, которое учитывает все возможные случаи получения числа 0 при умножении двух чисел. Сложность этого задания заключается в том, что в этом условии нужно учесть сразу три случая:

1) первый множитель равен 0, а второй – не равен 0; 2) второй множитель равен 0, а первый – не равен 0; 3) оба множителя равны 0.

Все эти три случая легко объединить с помощью союза «или».

Именно такой логический смысл и заключает в себе этот союз. Таким образом, искомое условие может быть сформулировано следующим образом: «Значение произведения двух множителей равно 0, если первый множитель равен 0 или второй множитель равен (хотя бы один из двух множителей равен 0)».

При выполнении задания 232 учащиеся имеют возможность познакомиться со знаками «нестрогого» неравенства («», «»), смысл которых заключается в соединении соответствующего случая «строгого» неравенства («»)и случая равенства (« = ») с помощью союза «или».

В задании 233 предлагается выписать все натуральные числа, которые удовлетворяют данному «нестрогому» неравенству (фактически речь идет о решении данного неравенства в натуральных числах). Этими числами будут все натуральные числа от 1 до 12 включительно. На число 12 следует обратить особое внимание.

В задании 234 предлагается выписать пять натуральных чисел, которые удовлетворяют данному «нестрогому» неравенству. Говорить о выписывании всех таких чисел (см. предыдущее задание) в данном случае не имеет смысла, так как таких чисел бесконечно много. Особое внимание и в этом задании нужно обратить на число 12. Это число также удовлетворяет данному неравенству.

В задании 235 учащимся фактически предлагается решить сюжетную арифметическую задачу, но ответ ее записать в виде «нестрогого» неравенства, что для учащихся является не совсем привычным делом. Рассуждать учащиеся должны таким образом: если дачник окажется на платформе к моменту отправления электропоезда, то он успеет на эту электричку. Но он тем более успеет на нее, если будет двигаться с большей скоростью, чем в первом случае.

Поэтому нужно найти эту минимально возможную скорость и записать ответ в виде «нестрогого» неравенства со знаком «». Чтобы пройти за полчаса (30 минут) расстояние в 2 км нужно двигаться со скоростью 4 км/ч. Следовательно, ответ на данное задание будет выглядеть следующим образом: v 4 км/ч.

При выполнении задания 236 основное внимание учащихся нужно обратить на «граничные» случаи, а именно: для тех двойных неравенств, в которых используется знак «нестрогого» неравенства (для одной из границ, либо для двух границ сразу), в перечень искомых чисел нужно обязательно включать числа, которые и являются соответствующей границей.

В задании 237 предлагается выписать те утверждения, в которых союз «или» можно заменить на союз «и», не нарушая истинности этого утверждения. Сделать это можно только в тех случаях, когда две части утверждения, соединенные союзом «или», могут выполняться одновременно. Таким свойством обладают утверждения под номерами 3, 4 и 5.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий тема: «когда выполнение одного условия обеспечивает выполнение другого» (1 урок) При изучении данной темы мы знакомим учащихся с логическими конструкциями, в которых выполнение первого условия обеспечивает (гарантирует) выполнение второго условия. Фактически речь пойдет об отношении логического следования. Такие логические конструкции являются основой доказательства теорем, поэтому их изучение имеет большое пропедевтическое значение.

При выполнении задания 238 учащиеся познакомятся с логической конструкцией, о которой речь шла выше. Особенность такой конструкции заключается в том, что она строится с помощью логической связки «если …, то…» или с помощью других равнозначных логических связок («когда …, тогда …», «из того, что …, следует …»

и т. п.). При этом истинность первого утверждения обеспечивает истинность второго. В данном задании мы предлагаем познакомиться с логическим смыслом такой конструкции на примере описания реальной ситуации.

Так как Миша уверен, что Маша должна выполнить свое обязательство, то это означает, что первое условие им выполнено, т. е. Миша получил «пять» за контрольную работу по математике. Нарушить свое обещание Маша может только в одном случае, если Миша получит «пять» за контрольную работу, а она не подарит ему набор наклеек о футболе. Если же Миша не получит «пять» за контрольную работу, то любое поведение Маши не нарушит их договоренности (даже если она подарит Мише обещанный набор).

Решением задания 239 должно стать следующее утверждение:

«Если у прямоугольника все стороны равны, то этот прямоугольник является квадратом».

В задании 240 учащимся предлагается завершить построение следующих утверждений так, чтобы они получились верными. Приведем пример решения этого задания:

а) если запись числа оканчивается на четную цифру, то это число является четным;

б) если в треугольнике есть прямой угол, то этот треугольник является прямоугольным;

в) если первую фигуру можно разместить внутри второй, то площадь первой фигуры меньше, чем площадь второй фигуры;

г) Если сложить два нечетных числа, то в результате получится четное число;

д) если длины сторон двух квадратов равны, то периметры этих квадратов равны;

е) если хотя бы один из множителей равен 0, то значение произведения равно 0.

Для выполнения этого задания учащиеся должны не только знать, как правильно построить утверждение с логической связкой «если …, то …», но и хорошо помнить перечисленные факты из ранее изученного материала.

тема: «Не только одно, но и другое» (1 урок) Очень часто логические конструкции строятся с помощью логической связки «не только …, но и …» (см., например, последнее предложение в рекомендациях к заданию 240). На первый взгляд мы имеем дело с новой логической конструкцией, но на самом деле смысл такой конструкции совпадает с логическим смыслом использования союза «и». Именно на этот факт мы и хотим обратить внимание учащихся.

Примечание.Термин «только» при формулировке математических утверждений играет очень важную роль, особенно это касается того случая, когда речь идет о необходимом и достаточном условиях. Так, утверждение «Натуральное число является четным тогда, когда его запись оканчивается цифрой 2» будет верным потому, что оно равносильно следующему утверждению: «Если запись натурального числа оканчивается цифрой 2, то это число четное». Если же исходное утверждение дополнить словом «только», то полученное утверждение «Натуральное число является четным только тогда, когда его запись оканчивается цифрой 2» становится неверным потому, что оно равносильно следующему утверждению: «Если натуральное число четное, то его запись оканчивается цифрой 2».

Ложность последнего утверждения очевидна. Мы на данном этапе обучения не будем предлагать учащимся разбираться в этих логических тонкостях, но со смыслом термина «только»

мы их познакомим. Для этого мы будем анализировать некоторые утверждения, в которых этот термин употребляется.

При выполнении задания 241 учащиеся познакомятся со смыслом логической связки «не только …, но и …» на конкретном примере описания реальной ситуации. Для проведения логического анализа этой ситуации имеет смысл предложить учащимся рассмотреть отдельно ее составляющие.

Во-первых, сравнить по смыслу данное утверждение со следующим утверждением: «Миша всегда очень радуется только тогда, Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий когда сам получает «пятерки», которое несет другой смысл не только с позиции логики, но и с нравственных позиций, на что обязательно нужно обратить внимание учащихся.

Во-вторых, в исходной формулировке не исключается тот факт, что Миша радуется своим успехам в учебе, но присутствует и другое: он радуется успехам в учебе и своих одноклассников.

В формулировке задания 242 присутствует логическая связка, о которой речь идет в формулировке темы урока. Учащиеся должны научиться правильно истолковывать утверждения такого типа.

Обязательно нужно обратить внимание учащихся, что в первой части этого утверждения («Запиши решение данной задачи не только по действиям»), хотя и содержится частица «не», заключена все же позитивная информация. Это означает, что вариант решения по действиям нужно записывать. Но нужно записывать и другой вариант решения – в виде одного выражения. К такой ситуации приводит наличие слова «только». Если его исключить, то получится следующая формулировка: «Запиши решение данной задачи не по действиям, а с помощью одного выражения». В такой формулировке вариант решения по действиям записывать не нужно.

При выполнении задания 243 учащимся предлагается продемонстрировать то, как они поняли смысл употребления изучаемой логической связки. Для этого они должны выписать все числа (из данных чисел), в записи которых есть цифра 3 и которые являются нечетными. Таких чисел три: 7 583, 53 381, 3 333.

В задании 244 предлагается дополнить данные предложения так, чтобы получились верные утверждения. Приведем возможный вариант решения этого задания:

а) треугольник бывает не только равнобедренным, но и разносторонним;

б) натуральные числа бывают не только четными, но и нечетными;

в) единицей вместимости является не только литр, но и кубический сантиметр;

г) длину можно измерять не только с помощью линейки, но и с помощью рулетки;

д) величину можно не только умножать на натуральное число, но и делить на натуральное число.

Эти же утверждения можно переформулировать с помощью союза «и», сохранив их смысл:

а) треугольник бывает равнобедренным и разносторонним;

б) натуральные числа бывают четными и нечетными;

в) единицей вместимости является литр и кубический сантиметр;

г) длину можно измерять с помощью линейки и с помощью рулетки;

д) величину можно умножать на натуральное число и делить на натуральное число.

тема: «Учимся решать логические задачи» (1 урок) Мы предлагаем посвятить урок решению логических задач. При этом речь пойдет как об использовании полученных знаний при изучении вопросов, затронутых в данном тематическом блоке, так и о развитии логических умений, базирующихся на интуитивных логических познаниях учащихся.

Для правильного выполнения задания 245 учащиеся должны истолковать предложенную характеристику искомого числа, как логическую конструкцию, состоящую из трех частей и соединенную союзами «и». В свою очередь, это должно быть истолковано следующим образом: каждое из указанных трех условий должно быть выполнено для искомого числа. Если мы будем рассматривать шестизначные числа, которые меньше, чем число 100 010, то их будет всего десять: 100 009, 100 008, 100 007, …, 100 001 и 100 000. Среди них только последнее число является «круглым». Это число 100 000.

Оно и будет искомым.

Задание 246 внешне похоже на предыдущее задание: в нем также нужно найти числа, которые удовлетворяют данной характеристике (данному характеристическому свойству). Принципиальное отличие состоит в том, что отдельные условия этого характеристического свойства связывает союз «или», а не союз «и», как это было в предыдущем задании. Логический смысл союза «или» говорит о том, что искомое число должно удовлетворять хотя бы одному из указанных требований: быть круглым двузначным или быть двузначным, которое меньше 15. Перечислим все такие числа: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 14, 13, 12, 11. Из всех этих чисел есть одно, которое удовлетворяет сразу двум данным требованиям. Это число 10. Оно и круглое двузначное, и двузначное, которое меньше 15. Но соединительный смысл союза «или» допускает такую возможность.

Поэтому число 10 также входит в список искомых чисел.

При выполнении задания 247 учащиеся столкнуться с характеристическим свойством геометрических фигур, которое с логической точки зрения состоит из двух частей, соединенных союзом «или».

При этом каждая из указанных частей, в свою очередь, состоит из двух частей, соединенных союзом «и». Это означает, что сначала учащиеся могут отобрать те фигуры, которые удовлетворяют перТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий вой «половине» всего характеристического свойства, т. е. речь идет о фигурах, которые являются треугольниками и в них есть прямой угол. Фактически речь идет о прямоугольных треугольниках. После этого они должны к выбранным фигурам добавить те фигуры, которые удовлетворяют второй «половине» всего характеристического свойства, т. е. добавить четырехугольники, у которых есть прямой угол (добавить прямоугольную трапецию). Таким образом, невыбранными останутся три фигуры: остроугольный и тупоугольный треугольники (в них нет прямого угла) и пятиугольник с прямым углом (он не является ни треугольником, ни четырехугольником).

В задании 248 предлагается выбрать из данных верные утверждения и доказать это. Приведем соответствующие доказательства для каждого из данных утверждений:

а) утверждение верно, так как все треугольники делятся на три типа – остроугольные, прямоугольные и тупоугольные, и в каждом таком треугольнике обязательно есть острый угол (полная индукция);

б) утверждение неверно, так как, например, в остроугольном треугольнике не может быть прямого угла по определению;

в) утверждение верно, так как оно фактически является определением прямоугольного треугольника;

г) утверждение неверно, так как, например, в прямоугольном треугольнике есть прямой угол, но он не является остроугольным;

д) утверждение неверно, так как, например, в прямоугольнике все углы прямые, а он является четырехугольником;

е) утверждение неверно, так как прямоугольная трапеция является четырехугольником, имеющим прямой угол, но она не является прямоугольником;

ж) утверждение верно, так как оно фактически является определением прямоугольника.

В задании 249 предлагается логическая задача, для решения которой достаточно внимательно проанализировать предложенную ситуацию. Так, ответ на первый вопрос будет отрицательным, так как по условию один из двух мальчиков (Витя или Сережа) обязан сидеть с Колей, а это означает, что вместе они сидеть не могут (все парты двухместные).

Ответом на второй вопрос будет формулировка условия, при котором Витя и Сережа могут сидеть вместе. Этим условием будет отсутствие Коли на уроке.

Ответ на последнюю часть задания будет положительным, так как условие «Петя сидит вместе с Сережей» не противоречит исходному условию о том, что Коля всегда сидит с Витей или с Сережей, так как остается возможность его выполнить. Для этого нужно Колю посадить с Витей, что и является ответом на самый последний вопрос задания.

Задание 250 относится к заданиям повышенной сложности.

Это связано с тем, что такого типа задания мы еще не предлагали учащимся, хотя мы не исключаем, что с ними учащиеся встречались при знакомстве с другими учебниками или учебными пособиями. Прежде всего, учащимся нужно четко разъяснить правило кодирования цифр, которое сформулировано в самом задании. После этого можно предложить учащимся разгадать первый или второй ребус на выбор. Если начинать с первого ребуса, то сначала нужно обратить внимание на разряд десятков.

Указанную ситуацию можно реализовать только в том случае, когда буква «Р» обозначает цифру «0». После этого можно расшифровать и другие цифры. Например, буква «И» может обозначать цифру «1», тогда буква «А» обозначает цифру «2». После этого можно перейти к расшифровке буквы «Т». Она может обозначать цифру «3», тогда буква «Ы» обозначает цифру «6». Остается буква «Д», которая может обозначать любую из оставшихся пяти «свободных» цифр: 4, 5, 7, 8, 9.

Для расшифровки второго ребуса достаточно заметить, что в нем записано вычитание однозначного числа из четырехзначного при условии, что в результате получается трехзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами. Такая ситуация возможна лишь тогда, когда записан следующий случай вычитания: 1000 – 1 = 999.

Это и есть расшифровка данного ребуса.

Расшифровка третьего ребуса представляет собой гораздо более сложную задачу. Для ее решения учащиеся сначала должны обратить внимание на разряд десятков тысяч (буква «К» обозначает цифру «1»), а потом на разряд единиц и разряд единиц тысяч. Зашифрованные в этих разрядах цифры могут быть найдены простым перебором, начиная с разряда единиц. Такой перебор показывает, что буква «Л» обозначает цифру «3», а буква «С» – цифру «6». После этого можно расшифровать буквы в разряде десятков: буква «О»

обозначает, например, цифру «4», а буква «У» – цифру «2». Наконец, переходим к разряду сотен: буква «Т» может обозначать цифру «5», а буква «А» – цифру «0».

тема: «Поупражняемся в вычислениях и повторим пройденное»

Предлагаем подборку заданий на закрепление и повторение некоторых вопросов, изученных ранее.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий При выполнении задания 251 учащиеся получают возможность поупражняться в вычислениях столбиком и повторить правила порядка выполнения действий.

В задании 252 предлагается решить составную задачу, в структуру которой входят: задача «на увеличение на несколько единиц»

в косвенной форме и задача «на уменьшение в несколько раз» также в косвенной форме.

В задании 253 предлагается начертить прямоугольник, длину сторон которого предварительно нужно найти. Для нахождения длин сторон прямоугольника учащимся нужно решить задачу «на разность и частное». Сделать это они могут с привлечением соответствующей схемы (на схеме в виде отрезков представлена 1 часть и 4 части и показано, что представляет разность этих отрезков (3 части или 75 мм)).

Решение задачи выглядит следующим образом: 1) 4 – 1 = 3 (ч.);

2) 75 мм : 3 = 25 мм; 3) 25 мм•4 = 100 мм. Таким образом, стороны искомого прямоугольника имеют длины соответственно 25 мм и 100 мм. Остается только начертить такой прямоугольник.

При выполнении задания 254 учащиеся имеют возможность поупражняться в вычислении площади квадрата по известной длине стороны этого квадрата и в выполнении кратного сравнения найденных площадей квадратов. Подводя итог выполнения этого задания, можно обратить внимание учащихся на тот факт, что увеличение стороны квадрата в 3 раза приводит к увеличению площади в 9 раз (3•3 = 9).

В задании 255 мы хотим напомнить учащимся о том, что между периметром и площадью нет ни прямой, ни обратной зависимости.

При увеличении периметра прямоугольника площадь может как увеличиваться (что очевидно), так и уменьшаться (что не так очевидно, но что и должны подтвердить учащиеся, выполняя данное задание). Для этого они могут построить два прямоугольника: один с длинами сторон 9 см и 2 см, а другой – 6 см и 4 см. Периметр первого прямоугольника больше, чем второго, а площадь – меньше.

Задание 256 относится к заданиям повышенной сложности. Для его выполнения можно воспользоваться идеей, с помощью которой было выполнено предыдущее задание.

Если одну сторону прямоугольника делать большой по длине, а другую очень маленькой, то можно достичь как угодно большого периметра (он будет приблизительно равен удвоенной длине большей стороны) и как угодно маленькой площади (она может быть близка к 0 за счет достаточно маленькой длины второй стороны).

Если воспользоваться этой идеей, то искомый прямоугольник должен иметь приблизительно следующие размеры: длина большей стороны чуть меньше 500 м, а длина меньшей стороны очень близКвадрат и куб»

ка к нулю и отличается от нуля на столько, на сколько длина большей стороны отличается от 500 м.

Примечание. Только для учителя мы даем более точную информацию о размере искомого прямоугольника. Эти размеры должны быть приблизительно такими: 49 999,99 998 см При выполнении задания 257 учащиеся имеют возможность поупражняться в делении столбиком.

тема: «квадрат и куб» (1 урок) Данная тема открывает новый тематический блок, в котором будут рассмотрены вопросы геометрического характера. При этом практически все задания первых трех тем этого блока построены на идее сопоставления плоской и объемной фигур, что, в свою очередь, приводит к сопоставлению таких геометрических величин, как площадь и объем. Заключительные темы этого блока посвящены задаче измерения площади с помощью палетки в тех случаях, когда изза формы фигуры не удается поместить палетку так, чтобы сеткой палетки измеряемая фигура разбивалась на целое число «полных»

единичных квадратов.

При выполнении задания 258 учащиеся познакомятся с таким понятием, как поверхность куба, которая состоит из шести квадратов. Суммарная площадь этих квадратов (граней этого куба) представляет собой площадь поверхности куба. Для нахождения объема куба с ребром 2 см учащиеся должны мысленно (или с помощью рисунка) разбить этот куб на кубы с ребром 1 см. Таких «единичных» кубов будет 8, и объем каждого из них равен 1 куб. см. Поэтому объем данного куба равен 8 куб. см.

Для решения задачи из задания 259 учащиеся сначала должны воспользоваться результатами предыдущего задания и вычислить площадь поверхности куба с длиной ребра 50 см. Для этого они должны вычислить площадь квадрата с длиной стороны 50 см (площадь одной грани этого куба): 50 см•50 см = 2 500 кв. см.

После чего можно вычислить и площадь поверхности куба:

2 500 кв. см•6 = 15 000 кв. см. Полученную площадь нужно выразить в квадратных метрах: 15 000 кв. см = 1 кв. м 5 000 кв. см = = 1 кв. м + 5 000 кв. см. Далее можно рассуждать следующим образом: 5 000 кв. см составляют половину 1 кв. м, поэтому для покраски этой площади нужна «половинная» норма расхода краски для 1 кв. м, т. е. нужно 50 г краски (100 г : 2 = 50 г). Это количество Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий краски нужно сложить с количеством краски для 1 кв. м, в результате чего получается 150 г (50 г + 100 г = 150 г). Это и будет ответ на требование задачи.

Для ответа на требование задания 260 учащимся нужно сначала вычислить объем аквариума, сделанного из 5 квадратных листов стекла со стороной 1 м. Такой аквариум будет иметь форму куба с длиной ребра 1 м (без верхней грани), и его вместимость будет приблизительно равна объему этого куба, т. е. 1 куб. м. Далее нужно выразить 1 куб. м в литрах: 1 куб. м = 1 000 куб. дм = 1 000 л. Таким образом, аквариум нужной вместимости получился.

Задание 261 относится к заданиям повышенной сложности. Для выполнения этого задания учащимся нужно привлечь все свое «геометрическое воображение», хотя в некоторые моменты они могут опираться и на имеющуюся иллюстрацию. Приведем правильные ответы на все вопросы данного задания:

1) раскрашенными оказались 54 «маленькие» грани (9•6 = 54);

2) нераскрашенным оказался только 1 «маленький» кубик, который был расположен в центре «большого» кубика;

3) раскрашена только одна грань у 6 «маленьких» кубиков, которые были расположены в центре каждой грани «большого» кубика;

4) раскрашены две грани у 12 «маленьких» кубиков, которые были расположены между «угловыми» кубиками;

5) раскрашены три грани у 8 «маленьких» кубиков, которые были расположены в углах «большого» кубика.

Таким образом, мы описали тип раскрашивания для всех 27 «маленьких» кубиков (1 + 6 + 12 + 8 = 27).

Для выполнения задания 262 учащиеся должны найти число ребер куба. Это число равно 12.

Задание 263 относится к заданиям повышенной сложности. Его можно считать продолжением задания 261. Отличие состоит в том, что теперь речь пойдет о ребрах «маленьких» кубиков, а в задании 261 речь шла о гранях этих кубиков. Приведем правильные ответы на все предложенные вопросы:

1) ни одно ребро не раскрашено у 7 «маленьких» кубиков, которые были расположены либо в центре «большого» кубика (1), либо в центре каждой грани «большого кубика (6);

2) одно ребро раскрашены у 12 «маленьких» кубиков, которые были расположены между угловыми кубиками;

3) три ребра раскрашены у 8 «маленьких» кубиков, которые были расположены в углах «большого» кубика.

Таким образом, мы описали все 27 «маленьких» кубиков (7 + 12 + 8 = 27). Это доказывает, что других типов раскрашивания ребер у «маленьких» кубиков не существует.

Примечание. Подводя итог выполнения заданий 261 и 263, было бы желательно вместе с учащимися проверить полученные результаты практически, построив и раскрасив соответствующие модели. Но такая работа требует от учителя серьезной подготовки в технологическом плане, а также достаточно большого времени при ее проведении. По этой причине мы и говорим об этом виде работы только в рекомендательном плане.

тема: «круг и шар» (1 урок) При изучении данной темы мы предлагаем учащимся расширить свои познания о свойствах таких «важных» геометрических фигур, как круг и шар.

При выполнении задания 264 учащиеся на примере глобуса Земли имеют возможность повторить то, что им известно о линиях на глобусе (на поверхности шара), которые называются меридианами и параллелями, а также получить первые представления о сечении шара плоскостью. При этом важно знать, что все меридианы – это окружности одного и того же радиуса, совпадающего с радиусом шара, а параллели – это окружности разных радиусов, которые измеряются в пределах от 0 до радиуса шара. Если параллель имеет радиус, равный радиусу шара, то эта параллель называется экватором. В сечении шара плоскостью, проходящей через центр, получается круг.

В задании 265 описан путь по глобусу, который возможен только в том случае, когда движение начинается из точки, называемой полюсом. Таких точек на глобусе две: Северный и Южный полюс.

Траектория описанного в этом задании перемещения по глобусу напоминает треугольник, только стороны этого «треугольника» будут образованы не отрезками, а дугами.

Задание 266 является логическим продолжением предыдущего задания. Если перенести путешествие белого медведя с поверхности земли на глобус, то мы столкнемся с ситуацией, описанной в задании 265 (передвижение строго на юг и строго на север можно осуществить только по меридианам, а строго на восток – только по параллелям). Так как белый медведь оказался в той же точке, из которой он начал свой путь, то этой точкой является Северный полюс. Южный полюс не подходит, так как первый этап движения был осуществлен в направлении на юг, а из Южного полюса на юг двигаться нельзя.

Примечание. Задачу можно усложнить, заменив вопрос задачи другим: «Какого цвета был медведь?» На первый взгляд с таким вопросом задача превращается в неуместную шутку, Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий и никакого решения иметь не может. Если провести рассуждения, как и при решении задания 266, то мы получим, что медведь первоначально находился на Северном полюсе, и это означает, что он белого цвета, т. е. цвет медведя мы смогли При выполнении задания 267 учащиеся еще раз смогут обратить внимание на тот факт, что круг – это плоская фигура, а шар – это объемная фигура. Кроме этого, они узнают о том, какой отрезок называется радиусом шара.

При выполнении задания 268 учащиеся познакомятся с числами, которые называются «треугольными» (но сам этот термин мы не сообщаем учащимся). Происхождение такого названия вполне понятно из приведенной иллюстрации. Нахождение других «треугольных» чисел (кроме данного числа 6) учащиеся должны осуществить опытным путем с помощью построения фигур, аналогичных изображенной на рисунке. Нетрудно догадаться, что если убрать ряд из трех кругов, то оставшаяся фигура также будет напоминать по форме равносторонний треугольник. Это означает, что число также будет относиться к «треугольным» числам. К изображенной на рисунке фигуре можно добавить ряд из 4 кругов и снова получить фигуру, которая будет напоминать равносторонний треугольник.

Следовательно, число 10 относится к «треугольным» числам (этот факт используется в учебниках Н.Б. Истоминой при изображении десятка в виде треугольника). Вообще, если сложить все натуральные числа от числа 1 до некоторого числа n, то в результате получится «треугольное» число (1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 3 + 4 = 10, Примечание. Без особого труда можно вывести и формулу «треугольных» чисел. Для этого достаточно знать формулу суммы членов арифметической прогрессии. Тогда получается, что 1 + 2 + … + n = (n•(n + 1))/2. Правая часть этого равенства и есть формула «треугольных» чисел. Но эти сведения мы сообщаем только учителю. Для учащихся их пока рассматривать рано, хотя для особо подготовленных учащихся можно предложить поработать и с приведенной выше формулой.

Указанные фигуры, которые по форме напоминают треугольник, можно строить не только из кругов, но и из шаров. Так, из 15 шаров можно построить фигуру, которая по форме напоминает равносторонний треугольник. Этот факт используется в такой игре с шарами, как бильярд. В следующем задании мы предлагаем учащимся поработать с конструкциями, построенными из одинаковых шаров.

В задании 269 учащимся предлагается рассмотреть конструкции, которые построены из одинаковых шаров, а по форме напоминают правильную треугольную пирамиду. Такие конструкции можно построить следующим образом: сначала взять несколько подряд идущих (начиная с 1 шара) «треугольных» конструкций, построенных из шаров. Например, конструкцию из 1 шара (ее также принято считать треугольной), конструкцию из 3 шаров, конструкцию из 6 шаров и т. д., а потом на самый большой «треугольник» разместить предшествующий, на него – ему предшествующий и дойти до конструкции из 1 шара, которая и будет завершать построение этой «пирамиды». Если следовать этому правилу, то изображенную на рисунке «пирамиду» можно дополнить еще одним треугольным слоем, состоящем из 6 шаров. Тогда получится «пирамида», состоящая из 10 шаров.

Примечание. Возможное число шаров для построения такой «пирамиды» получается как результат сложения подряд идущих треугольных чисел, начиная с числа 1 (1 + 3 = 4, 1 + 3 + 6 = 10, учащимся об этой закономерности пока говорить еще рано, но для учителя эти знания не будут лишними.

тема: «Площадь и объем» (1 урок) При изучении данной темы мы еще раз хотим обратить внимание учащихся на принципиальное отличие объемных фигур от плоских фигур. Но при этом не следует забывать, что некоторые объемные фигуры можно рассматривать как результат вращения соответствующей плоской фигуры относительно специально выбранной оси.

При выполнении задания 270 учащиеся должны продемонстрировать свое понимание тех принципиальных отличий, которые имеются между плоскостными (плоскими) и объемными фигурами и умение отличать плоскостные и объемные фигуры по их изображениям.

В задании 271 учащимся не только предлагается на данной иллюстрации указать объемные фигуры, но и обратить внимание на те фигуры, поверхность которых состоит из многоугольников. Таким образом, мы подводим учащихся к понятию «многогранник».

Указанный термин мы не вводим в активный словарь учащихся, но получить некоторые сведения о многогранниках учащиеся могут из словаря учебника (ч. 2, с. 123). Куб относится к многогранникам и у него 6 граней. Он также относится к призмам и прямоугольным параллелепипедам как их частный случай.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий Примечание. Наличие 6 граней у куба является основанием для другого его названия, которое имеет греческое происхождение. Куб называют еще гексаэдром, т. е. шестигранником.

В задании 272 учащимся предлагается сначала распознать фигуры, имеющие форму многогранника. К таким фигурам относятся третья фигура (имеет форму призмы) и пятая фигура (имеет форму усеченной пирамиды). Оставшиеся фигуры не имеют форму многогранника. Они имеют форму цилиндра (первая фигура), шара (вторая фигура) и усеченного конуса (четвертая фигура), т. е.

форму некоторых фигур вращения, к детальному рассмотрению которых мы перейдем в следующем задании. При выполнении же данного задания учащимся можно предложить назвать реальные предметы, которые по форме напоминают каждую из перечисленных фигур.

При выполнении задания 273 учащиеся получают возможность познакомиться с тремя основными фигурами (телами) вращения – шаром, цилиндром и конусом. Более подробные сведения об этих фигурах учащиеся могут получить из словаря.

В задании 274 учащимся предлагается найти радиус шара, если известна длина ребра куба, в который этот шар вписан. Понятно, что никакого определения вписанной фигуры мы не даем учащимся, но из тех сведений, которые сообщаются учащимся, нетрудно сделать вывод, что диаметр шара имеет длину, равную длине ребра куба (4 см). Следовательно, радиус шара равен 2 см (4 см : 2 = 2 см).

тема: «измерение площади с помощью палетки» (2 урока) В этой теме мы познакомим учащихся с тем, как применяется палетка для измерения площадей произвольных фигур. Сначала речь пойдет о тех случаях, когда с помощью палетки фигура разбивается на несколько единичных квадратов и на несколько половинок единичных квадратов. В этих случаях площадь фигуры складывается из числа «полных» квадратов и половины числа «половинок» квадратов.

Примечание. Учитывая, что учащиеся не владеют дробными числами, мы предлагаем рассматривать случаи, в которых число «половинок» является четным. Это позволяет разделить данное число на 2 нацело. Если же все-таки получается нечетное число «половинок», то это число можно заменить четным число, которое либо ему предшествует, либо за ним следует. В этом допущении нет никакой принципиальной ошибки, так как и при первом способе мы, как правило, измеряем площадь фигуры приближенно.

При выполнении задания 275 учащиеся познакомятся со способом измерения площади фигуры (прямоугольного треугольника) с помощью палетки, когда палетка разбивает фигуру как на «полные» единичные квадраты, так и на «половинки» единичных квадратов. О том, как найти число, с помощью которого можно выразить площадь данной фигуры, было рассказано выше в общих рекомендациях к данной теме. В рассмотренном случае мы имеем возможность «точно» измерить площадь треугольника, что можно подтвердить соответствующими вычислениями его площади без проведения измерения с помощью палетки.

В задании 276 учащимся предлагается самостоятельно осуществить процедуру измерения по той схеме, с которой они познакомились при выполнении предыдущего задания.

Чтобы измерить с помощью палетки площадь фигуры из задания 277, учащиеся сначала должны убедиться в том, что верхний ряд разбиения этой фигуры состоит из «половинок» единичных квадратов. Когда квадрат разбивался на половинки с помощью диагонали, такой проверки не требовалось. А теперь ситуация изменилась:

без дополнительных измерений мы не знаем, будут ли полученные прямоугольники «половинками» единичного квадрата.

В результате выполнения задания 278 учащиеся познакомятся со способом измерения (приближенного) площади произвольной фигуры (которая по форме напоминает «лужу») с помощью палетки. Вся процедура подробно описана в задании, а также в общих рекомендациях к данной теме. Поэтому нам остается только сформулировать правило, к выводу которого должны прийти учащиеся самостоятельно. Это правило формулируется так: «Площадь фигуры в данных единицах площади приближенно равна числу, которое получается в результате сложения числа клеток палетки, полностью расположенных в границе данной фигуры, и половине числа клеток, которые лишь частично расположены в пределах границы данной фигуры». Это правило основано на том предположении, что произвольность измеряемой фигуры обеспечивает для каждой «неполной» клеточки наличие другой «неполной» клеточки, которые вместе дают такую же площадь, как и 1 «полная» клеточка. Практика измерения показывает, что это предположение, как правило, хорошо работает.

При выполнении задания 279 учащиеся имеют возможность поупражняться в теоретическом применении правила, которое было сформулировано при выполнении предыдущего задания.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий При выполнении задания 280 учащиеся имеют возможность поупражняться в практическом применении правила, которое было сформулировано при выполнении задания 278.

В задании 281 мы знакомим учащихся с тем, как надо поступать в ситуации, когда число «неполных» клеточек является нечетным числом. Как мы уже говорили ранее, это число нужно заменить ближайшим четным числом. Таких чисел будет два: одно предшествует данному нечетному числу, а другое за ним следует.

При выполнении задания 282 учащиеся получают возможность поупражняться в практическом применении правила, о котором речь шла в предыдущем задании.

тема: «Поупражняемся в нахождении площади и объема»

(1 урок) Данный урок мы предлагаем посвятить решению задач на нахождение площади и объема фигур.

В задании 283 учащимся предлагается найти площадь данных фигур с помощью палетки. При этом для каждого из двух данных прямоугольников мы предлагаем сравнить результат нахождения площади с помощью палетки с результатом вычисления площади на основе измерения длин сторон этого прямоугольника.

Задание 284 относится к заданиям повышенной сложности.

В нем учащимся предлагается найти вместимость бака, имеющего форму куба с ребром 2 дм. Так как мы не знакомили учащихся с формулой вычисления объема куба, то учащиеся должны найти «обходной» путь решения этого задания. Один из таких путей заключается в умении «мысленно разбить» данный куб на «единичные» кубы с ребром 1 дм. Так как данный куб можно «разбить» на 8 «единичных» кубов, то искомый объем равен 8 куб. дм или 8 л.

В задании 285 учащимся сначала предлагается найти объем воды, которая помещается в бассейне прямоугольной формы данных размеров. Другими словами, учащимся нужно найти вместимость этого бассейна. Сделать это они смогут тем же способом, которым мы пользовались при выполнении предыдущего задания.

Для этого воду, заполняющую весь бассейн, нужно «мысленно разбить» на «единичные» кубы с ребром 1 м. Таких кубов получится 15. Это означает, что искомый объем равен 15 куб. м. Во второй части задания учащимся предлагается вычислить площадь дна и стенок бассейна. Все они имеют форму прямоугольников, размеры которых нам известны. Дно бассейна имеет площадь 15 кв. м (5 м•3 м = 15 кв. м), каждая из «длинных» стенок имеет площадь 5кв. м (5 м•1 м = 5 кв. м), а каждая из «коротких» стенок имеет площадь 3 кв. м (3 м•1 м = 3 кв. м).

В задании 286 предлагается построить 5 различных многоугольников, каждый из которых имеет площадь 12 кв. см. Для этого они должны воспользоваться «клетчатой основой» тетрадного листа.

Так как площадь 1 кв. см имеет фигура, состоящая из 4 клеток (этот факт устанавливается с помощью соответствующих вычислений), то искомые фигуры должны состоять из 48 клеток. Остается такие фигуры построить.

В задании 287 мы еще раз возвращаем учащихся к вопросу нахождения объема куба по известной длине ребра этого куба. Используя метод «разбиения» куба на «единичные» кубы, можно установить, что в данном кубе содержится 125 «единичных» кубов с ребром 1 дм (5 слоев по 25 «единичных» кубов). Следовательно, вместимость аквариума равна 125 куб. дм или 125 л. Поэтому для заполнения этого аквариума требуется 25 пятилитровых банок (125 л : 5 л = 25 (б.)).

тема: «Поупражняемся в вычислениях и повторим пройденное»

Предлагаем подборку заданий на закрепление и повторение ранее изученного материала.

При выполнении задания 288 учащиеся имеют возможность поупражняться в вычислениях столбиком.

В задании 289 предлагается решить задачу «на движение навстречу друг другу». Начинать решение данной задачи нужно с учета начальных условий, которые заключаются в том, что до начала совместного движения автобус двигался 2 ч, а всего до встречи с автомобилем он двигался 4 ч. Это означает, что автомобиль был в движении 2 ч (4 ч – 2 ч = 2 ч). Теперь можно вычислить пройденный автобусом путь, так как скорость его мы знаем. Этот путь равен 240 км (60 км/ч•4 ч = 240 км). А также – пройденный автомобилем путь. Он равен 160 км (80 км/ч•2 ч = 160 км). Следовательно, искомое расстояние равно 400 км (240 км+160 км = 400 км).

В задании 290 учащимся предлагается начертить два квадрата, площади которых предварительно нужно найти. Задача нахождения площадей этих квадратов является задачей «на сумму и частное». Таких задач мы уже рассмотрели достаточно много. Для ее решения нужно выполнить три действия: 1) 1 ч. + 9 ч. = 10 ч., 2) 1 000 кв. мм : 10 = 100 кв. мм, 3) 100 кв. мм•9 = 900 кв. мм. Таким образом, нужно построить квадраты, имеющие площадь соответственно 100 кв. мм и 900 кв. мм. Для построения таких квадратов Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий имеет смысл сначала выразить площадь в квадратных сантиметрах.

В результате получим, что площадь первого квадрата равна 1 кв. см, а второго – 9 кв. см. Построить такие квадраты уже не составляет особого труда: у первого квадрата длина стороны равна 1 см, а у второго – 3 см.

Задание 291 имеет смысл рассматривать в паре с предыдущим заданием. В этом задании также идет речь о построении квадратов с предварительным вычислением их площадей. Отличие состоит в том, что по сравнению с предыдущим заданием, нахождение площадей квадратов сводится не к решению задачи «на сумму и кратное», а к решению задачи «на сумму и разность». И такие задачи учащиеся уже хорошо умеют решать. Площади квадратов находятся в три действия: 1) 1000 кв. мм – 800 кв. мм = 200 кв. мм, 2) 200 кв. мм : 2 = 100 кв. мм, 3) 100 кв. мм + 800 кв. мм = 900 кв. мм.

Таким образом, искомые квадраты имеют площадь соответственно 100 кв. мм и 900 кв. мм, т. е. точно такую же, как и квадраты из предыдущего задания. По этой причине можно для иллюстрации воспользоваться квадратами, построенными при выполнении предыдущего задания.

При выполнении задания 292 учащиеся имеют возможность не только поупражняться в вычислении значений выражений со скобками и без скобок, но и вспомнить смысл понятия «двойное неравенство».

Задание 293 возвращает учащихся к вопросам раскрашивания граней кубика, которые носят комбинаторный характер. Так как у кубика имеется 3 пары противоположных граней, а противоположные грани должны быть раскрашены одним цветом, то для решения задания нужно иметь краски трех различных цветов, и раскрасить каждой из них свою пару противоположных граней.

В таком случае понятно, что соседние грани будут раскрашены разным цветом.

В задании 294 предлагается начертить прямоугольник, предварительно вычислив длину каждой его стороны. Для этого от учащихся потребуется вспомнить, что если длина одной стороны составляет одну шестую часть длины другой стороны, то результатом кратного сравнения длин этих сторон является число 6. После этого по известному периметру можно найти сумму длин этих сторон: 210 мм : 2 = 105 мм. Теперь мы имеем дело с известной задачей «на сумму и частное». Решить ее не составляет особого труда (1 ч. + 6 ч. = 7 ч., 105 мм : 7 = 15 мм, 15 мм•6 = 90 мм). Таким образом, стороны искомого прямоугольника имеют длину 15 мм и 90 мм. Построить такой прямоугольник и вычислить его площадь уже не составляет особого труда (1 5мм•90 мм = 1 350 кв. мм).

В задании 295 учащимся сначала нужно вычислить длину второй стороны прямоугольника, применив правило нахождения величины по ее доле (2 см•3 = 6 см). После этого не составляет труда вычислить периметр этого прямоугольника ((2 см+6 см)•2 = 16 см) и его площадь (2 см•6 см = 12 кв. см), а также начертить такой прямоугольник.

В задании 296 учащимся сначала нужно вычислить длину второй стороны прямоугольника, применив правило нахождения части от величины (8 см:4•3 = 6 см). После этого не составляет труда вычислить периметр этого прямоугольника ((8 см+6 см)•2 = 28 см) и его площадь (8 см•6 см = 48 кв. см).

В задании 297 учащимся сначала нужно вычислить длину второй стороны прямоугольника, применив правило нахождения величины по ее части (6 см:2•3 = 9 см). После этого не составляет труда вычислить периметр этого прямоугольника ((6 м+9 см)•2 = 30 см) и его площадь (6 см•9 см = 54 кв. см).

тема: «Уравнение. корень уравнения» (1 урок) Данной темой мы открываем новый тематический блок, состоящий всего из двух тем, в которых рассматривается алгебраический материал и осуществляется алгебраическая пропедевтика. При изучении первой из этих тем будут рассмотрены вопросы, относящиеся к одному из основных алгебраических понятий – понятию уравнения. В другой теме будет рассмотрен вопрос о приложении уравнений к решению арифметических сюжетных задач. С понятиями уравнения и корня уравнения учащиеся уже встречались и не раз. На данном этапе обучения мы хотим систематизировать и обобщить имеющиеся у них знания в этой области. Основное направление обобщения связано с отношением равносильности между уравнениями, о котором мы в явном виде учащимся не говорим, но к пониманию сути этого отношения по возможности готовим.

Примечание. Напомним, что два уравнения называются равносильными на некотором множестве, если множества решений этих уравнений совпадают на этом множестве, т. е. мы считаем, что оба уравнения определены на этом множестве.

При выполнении задания 298 учащиеся имеют возможность не только вспомнить на конкретных примерах суть понятия уравнения, но и познакомиться в явном виде с определением понятия «корень уравнения».

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий В задании 299 предлагается найти корни данных уравнений, используя соответствующие свойства сложения и умножения. При этом учащиеся должны помнить определение корня уравнения.

Корнем первого уравнения будет число 37 541. Найти (подобрать) этот корень учащиеся смогут без особого труда, если воспользуются переместительным свойством сложения. Корнем второго уравнения будет число 4 173. Для нахождения (подбора) этого корня нужно воспользоваться сочетательным свойством сложения (правилом прибавления суммы к числу). Корнем третьего уравнения будет число 2 379. Подобрать этот корень учащиеся смогут на основе переместительного свойства умножения. Корнем четвертого уравнения является число 42. Подобрать этот корень учащиеся смогут на основе сочетательного свойства умножения (правила умножения числа на произведение).

В задании 300 предлагается из данных уравнений составить пары так, чтобы уравнения в паре имели один и тот же корень. Для решения этого задания учащимся совсем не обязательно находить корень каждого уравнения (хотя вполне и можно это сделать). Например, если рассмотреть второе и третье уравнения в первом столбике (х – 356 = 217 и х – 217 = 356), то можно легко установить, что за неизвестным уменьшаемым скрывается одно и то же число, так как равенство сохраняется, если вычитаемое и значение разности меняются местами. Такой же вывод можно сделать и для другой пары аналогичных уравнений (х – 25 698 = 356 и х–356 = 25 698). Для каждого уравнения оставшейся пары уравнений (х + 25 698 = 356 + и х – 217 = 356 – 217) можно легко подобрать корень, если воспользоваться особенностями построения этих уравнений. Число 356 очевидно будет корнем каждого из этих уравнений.

При выполнении задания 301 учащиеся познакомятся с новым для них способом решения уравнений, который основан на одном из свойств верных числовых равенств. С рассмотрения этого свойства и начинается данное задание.

После этого учащимся предлагается самим прийти к выводу о том, что если в уравнении с неизвестным слагаемым каждую часть уменьшить на известное слагаемое, то получится «новое» уравнение, в котором в одной части будет находиться неизвестное х, а в другой – разность между значением суммы и известным слагаемым. Очевидно, что значение последней разности и будет корнем как «нового»

уравнения, так и корнем исходного уравнения. Мы опираемся на соответствующее свойство верных числовых равенств, а фактически опираемся на одну из теорем о равносильных уравнениях.

Приведенный способ нахождения корня уравнения играет очень большую роль в пропедевтическом плане, так как готовит к освоеУчимся решать задачи с помощью уравнений»

нию того способа решения уравнений, которым учащиеся будут постоянно пользоваться при изучении школьного курса алгебры.

При выполнении задания 302 учащиеся получают возможность поупражняться в применении рассмотренного только что способа решения уравнений (см. задание 301).

Задание 303 практически полностью аналогично заданию 301.

Отличие состоит лишь в том, что в данном задании речь идет не об уменьшении, а об увеличении на одно и то же число. На методику работы с этим заданием указанное отличие никакого влияния не оказывает.

При выполнении задания 304 учащиеся получают возможность поупражняться в применении рассмотренного только что способа решения уравнений (см. задание 303).

тема: «Учимся решать задачи с помощью уравнений»

(1 урок) При изучении данной темы учащиеся имеют возможность расширить свои познания в вопросе решения арифметических сюжетных задач с помощью уравнений. На данном этапе обучения мы считаем целесообразным познакомить их с некоторыми общими приемами составления уравнений на основе анализа формулировки задачи.

В процессе выполнения задания 305 учащиеся знакомятся с одним из приемов составления уравнения на основе последовательного анализа формулировки задачи, который начинается с установления и соответствующего обозначения через х искомого этой задачи.

При выполнении задания 306 учащиеся имеют возможность поупражняться в применении приема решения задачи, с которым они познакомились в процессе выполнения предыдущего задания.

В задании 307 предлагается установить, с помощью какого из данных уравнений можно решить данную задачу. Для этого имеет смысл составить искомое уравнение, обозначив через х расстояние от дома до моста. Приведенные в тексте задания уравнения можно рассматривать в этом случае сначала как своеобразную помощь в составлении уравнения (даже их внешний вид уже является некоторой подсказкой), а потом и как своеобразный способ проверки. Искомым уравнением в данном случае является уравнение х + (х – 100) = 1 000.

В задании 308 предлагается сформулировать задачу, которую можно решить с помощью данного уравнения. Приведем пример такой задачи: «За альбом и книгу заплатили 280 руб. Сколько стоит альбом, если книга на 80 руб. дороже альбома?» Метод подбора поТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий зволяет легко найти корень данного уравнения. Корнем будет число 100. После этого можно уже записывать ответ сформулированной задачи. В качестве дополнительного задания можно предложить учащимся решить сформулированную задачу арифметическим способом. В этом случае они смогут применить способ решения задач «на сумму и разность».

В задании 309 учащимся сначала предлагается составить два разных уравнения к одной и той же задаче. Обозначив через х цену хрестоматии, учащиеся могут рассуждать следующими двумя способами:

1) если цену одной хрестоматии умножить на их количество, то получится стоимость всех хрестоматий (искомое уравнение будет таким: х•45 = 2 250);

2) если стоимость всех хрестоматий разделить на цену одной хрестоматии, то получится их количество (искомое уравнение будет таким: 2 250 : х = 45).

После этого учащимся нужно найти корень каждого уравнения, воспользовавшись соответствующим правилом. Этим общим корнем будет число 50 (х = 2 250:45). Далее они переходят к записи ответа задачи.

Последняя часть этого задания связана с формулировкой двух обратных задач. Эти задачи будут получаться в том случае, если в качестве искомого в данном сюжете будет выбрано либо количество хрестоматий, либо их стоимость. Приведем пример таких задач:

1. Для школьной библиотеки закупили одинаковые хрестоматии по цене 50 руб./шт. Сколько хрестоматий было куплено, если за них заплатили 2 250 рублей?

2. Для школьной библиотеки закупили 45 одинаковых хрестоматий по цене 50 руб./шт. Сколько стоят эти хрестоматии?

Составим уравнение для каждой задачи, обозначив через х искомое. Могут получиться следующие уравнения: 1) 2 250 : х = 50, 2) х : 45 = 50. Далее эти уравнения нужно решить, воспользовавшись соответствующим правилом, и записать ответ каждой из сформулированных обратных задач.

тема: «Поупражняемся в вычислениях и повторим пройденное»

Предлагаем подборку заданий на закрепление и повторение некоторых изученных ранее вопросов.

При выполнении задания 310 учащиеся получают возможность поупражняться и в решении уравнений (в нахождении корней уравнений) и в вычислении столбиком.

В задании 311 предлагается решить задачу «на движение в противоположных направлениях». Для ее решения учащиеся сначала должны найти скорость изменения расстояния между катером и теплоходом. Она будет равна 60 км/ч (120 км : 2 ч = 60 км/ч).

После этого нужно вспомнить, что эта скорость равна сумме скоростей теплохода и катера. Тогда оставшаяся часть работы превращается в решение задачи «на сумму и частное»: 1 ч. + 2 ч. = 3 ч., 60 км/ч : 3 = 20 км/ч.

При выполнении задания 312 учащиеся имеют возможность поупражняться в составлении уравнения к задаче. Обозначив через х длину боковой стороны равнобедренного треугольника, можно без особого труда составить выражение, которое описывает периметр данного треугольника: х + х + 20. После этого уже легко можно составить и само уравнение: х + х + 20 = 190. Корнем этого уравнения будет число 85.

В задании 313 предлагается решить задачу, в которой фигурирует стоимость набора товаров (трехлитровая банка и 3 л сока). Данная задача решается с помощью следующего выражения: (63 – 3) : 3.

Вычислив значение этого выражения, мы найдем цену сока (20 руб./л).

тема: «Разные задачи» (1–2 урока) Данная тема является последней из тем, в которых учащимся предлагается изучение нового материала. Все последующие темы относятся к категории тем, при изучении которых осуществляется систематическое повторение материала всего курса.

Название данной темы является традиционным для нашего курса, и мы в эту тему решили включить задания, при выполнении которых учащиеся получат возможность познакомиться с некоторыми идеями вероятностного (стохастического) описания (моделирования) реальных ситуаций. Эти задачи в явном виде ориентируют учащихся на работу с данными, что является основной составляющей информационно-содержательной линии нашего курса. Никаких специальных терминов и понятий теории вероятностей мы в употребление не вводим, но основной смысл понятия вероятности (классический подход) до понимания учащихся нам хотелось бы довести.

В результате выполнения задания 314 обучающиеся научатся математически объяснять некоторые закономерности, которые имеют вероятностный характер. Так, подмеченная Машей и Мишей закономерность того, что при бросании двух кубиков на них 7 очков Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий в сумме выпадает гораздо чаще, чем 12 очков, имеет очень простое объяснение. Семь очков может получиться шестью разными способами (1 + 6 = 7, 2 + 5 = 7, 3 + 4 = 7, 4 + 3 = 7, 5 + 2 = 7, 6 + 1 = 7), а 12 очков только одним способом (6 + 6 = 12). Поэтому появление на двух кубиках 7 очков гораздо вероятнее (в 6 раз вероятнее) появления 12 очков (в данном случае кратное сравнение вероятностей можно производить на основе кратного сравнения количества благоприятных вариантов (исходов) для каждого события, так как число всевозможных исходов и здесь, и там одинаково (оно равно 36)).

Задание 315 – естественное продолжение предыдущего задания.

Используя данные из заполненной таблицы задания 314, учащиеся без особого труда смогут установить:

1) что число 7 встречается в этой таблице 6 раз, 2) что наименьшее число раз в таблице встречается число и число 12 (по 1 разу), 3) что наибольшее число раз встречается уже упоминавшееся число 7 (6 раз).

Все эти наблюдения и объясняют описанный в предыдущем задании факт. Для каждого числа из таблицы нетрудно указать количество раз, которое оно в этой таблице встречается: 2 (1 раз), 3(2 раза), 4 (3 раза), 5 (4 раза), 6 (5 раз), 7 (6 раз) 8 (5 раз), 9 (4 раза), 10 (3 раза), 11 (2 раза), 12 (1 раз). Указанные данные говорят о том, что 8 очков имеет больше благоприятных исходов, чем 9 очков (5 > 4). Поэтому выпадение 8 очков более вероятно, чем выпадение 9 очков. А это означает, что при достаточно большом количестве бросаний Маша (ей нужно, чтобы выпало 8 очков) должна выиграть у Миши (ему нужно, чтобы выпало 9 очков).

При выполнении задания 316 учащиеся опытным путем должны убедиться в том, что выпадение любого данного количества очков на игральном кубике имеет одинаковую вероятность (мы предполагаем, что игральный кубик имеет правильную форму и в нем не смещен центр тяжести). При этом в подтверждение данного факта они должны фиксировать для каждого возможного выпадения числа очков частоту, с которой это число очков повторяется. При достаточно большом количестве бросаний полученные числа не должны сильно отличаться друг от друга. Если такое отличие есть и оно носит стабильный характер, то это означает, что кубик не является «правильным».

В задании 317 заключено две идеи: во-первых, мы предлагаем учащимся поупражняться в разбиение данного числа на сумму однозначных слагаемых (эта работа аналогична работе по выявлению состава числа); во-вторых, мы предлагаем проанализировать данную ситуацию на предмет сравнения вероятностей двух указанных событий. Так как сравнение вероятностей мы производим по числу благоприятных исходов (число всевозможных исходов для данных случаев одно и то же), то получается, что выписывать варианты для числа 11 лучше, чем для числа 12: число благоприятных исходов для числа 11 равно 8, а для числа 12 – равно 7.

В задании 318 учащимся предлагается сравнить шансы (фактически вероятности) оказаться у доски мальчику или девочке из данного класса при условии, что вызвать могут любого ученика с равной вероятностью. Для ответа на этот вопрос им достаточно сравнить число девочек с числом мальчиков (сравнить число благоприятных вариантов для одного события с числом благоприятных вариантов для другого события). Так как это сравнение в результате дает число 2 (18 : 9 = 2 (раза)), то и ответ будет соответствующим: «Оказаться у доски в 2 раза шансов больше у девочки, чем у мальчика».

При выполнении задания 319 учащимся, как и в предыдущем задании, нужно сравнить шансы (вероятности) осуществления двух событий. Только теперь речь не идет о кратном сравнении. Достаточно произвести сравнение числа благоприятных исходов каждого события на уровне отношения «больше» («меньше»). Так как среди натуральных чисел от 1 до 99 нечетных чисел больше, чем четных (55 > 54), то шансов вынуть шар с нечетным номером больше, чем с четным.

В задании 320 учащимся предлагается сравнить, какой результат встречается в таблице сложения однозначных натуральных чисел чаще: 9 или 10. Это можно сделать, либо непосредственно воспользовавшись указанной таблицей, либо составив и пересчитав соответствующие варианты. Число 9 встречается 8 раз, а число 10 – 9 раз.

Примечание. В учебнике (ч. 2), в задании 320, допущена опечатка: вместо числа 0 должно быть число 10.

Задание 321 аналогично предыдущему заданию, только в нем речь идет о таблице умножения однозначных натуральных чисел. В этой таблице число 12 встречается 4 раза (2•6 = 12, 3•4 = 12, 4•3 = 12, 6•2 = 12), а число 16 – 3 раза (2•8 = 16, 4•4 = 16, 8•2 = 16).

При выполнении задания 322 учащиеся должны еще раз проанализировать таблицы сложения и умножения однозначных натуральных чисел на предмет сравнения количества четных и нечетных результатов в этих таблицах.

В таблице сложения в каждом столбике будет либо 5 четных результатов и 4 нечетных, либо наоборот: 5 нечетных и 4 четных. При этом столбиков первого типа на 1 больше, чем столбиков второТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий го типа. Поэтому четных результатов на 1 больше, чем нечетных (41 четный результат и 40 нечетных результатов).

Для таблицы умножения ответ является более очевидным. В этой таблице четных результатов гораздо больше. Объясняется это тем, что нечетный результат умножения может получиться только тогда, когда оба множителя являются нечетными числами. В остальных случаях (а их гораздо больше) результат будет четным числом. Так, если, например, взять второй столбик этой таблицы (умножение числа 2), то в нем результаты будут только четными числами.

тема: «Натуральные числа и число 0 (повторение)»

(1–2 урока) Данной темой открывается заключительный тематический блок учебника, в который включены темы, имеющие целью обеспечить повторение всех основных вопросов курса. При этом повторение проводится по всем основным содержательным линиям курса и включает необходимые элементы обобщения.

Задания данной темы посвящены вопросам повторения основных свойств целых неотрицательных чисел, что является составной частью арифметической содержательной линии.

При выполнении задания 323 учащиеся должны вспомнить и назвать самое маленькое натуральное число (число 1), еще раз обратить внимание на тот факт, что число 0 не является натуральным числом, доказать, что самого большого натурального числа не существует (опираться нужно на тот факт, что если к данному натуральному числу прибавить число 1, то результат будет также натуральным числом, причем этот результат будет больше данного числа). Что же касается названия самого большого числа, которое известно учащимся, то ответы могут быть самыми разными. Однако число миллиард должно прозвучать (об этом числе мы вели речь на страницах учебника). Скорее всего, будут названы и другие числа, которые больше миллиарда.

Например, число 1 000 000 000 000, которое называется триллионом.

В задании 324 предлагается записать самое маленькое и самое большое из пятизначных натуральных чисел. Это будут соответственно числа 10 000 и 99 999. Для того чтобы ответить на вопрос о числе всех пятизначных чисел, можно выполнить разностное сравнение этих чисел (99 999 – 10 000 = 89 999) и к полученному результату прибавить число 1 (чтобы учесть и само число 10 000). Следовательно, получается, что искомое число равно 90 000 (89 999 + 1 = 90 000).

При выполнении задания 325 учащиеся смогут повторить поразрядный способ сравнения натуральных чисел. В порядке возНатуральные числа и число 0 (повторение)»

растания данные числа выстраиваются следующим образом: 23 654, 68 736, 96 542, 142 578, 687 369.

При выполнении задания 326 учащиеся еще раз смогут повторить поразрядный способ сравнения натуральных чисел. В порядке убывания данные числа выстраиваются следующим образом: 857 931, 389 621, 125 369, 96547, 84 635.

В задании 327 учащимся предлагается назвать натуральное число, которое расположено между данными числами. Этим числом будет число 458 962. Записать этот факт можно с помощью следующего двойного неравенства: 458 961 < 458 962 < 458 963. Отметим, что найденное число будет единственным натуральным числом, расположенным между данными числами.

В задании 328 сначала предлагается записать все возможные числа с помощью перестановки цифр в записи числа 123. Эта часть задания носит комбинаторный характер. Учащиеся методом перебора должны получить следующие числа: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Мы записали эти числа в порядке возрастания, осуществляя перебор в определенной системе. От учащихся этого требовать необязательно, но желательно. Наибольшим из этих чисел будет число 321. Что же касается последнего вопроса, то ответ очевиден: «Нечетных чисел среди них больше». Этот факт объясняется тем, что в записи данного числа присутствуют две «нечетные» цифры и только одна «четная» цифра.

В задании 329 предлагается определить, каким будет значение выражения – четным или нечетным, не вычисляя этого значения. Для выполнения этого задания учащиеся должны вспомнить соответствующие свойства четных и нечетных чисел. Так, если рассмотреть первое выражение, то оно представляет разность двух сумм. Значение первой суммы будет четным числом, так как складываются два нечетных числа. Значение второй суммы будет нечетным числом, так как складывается нечетное число с четным. Наконец, значение разности будет нечетным числом, так как из четного числа вычитается нечетное число. Второе выражение представляет собой произведение двух сумм. Значение первой суммы будет нечетным числом, так как к четному числу прибавляется нечетное число. Значение второй суммы будет также нечетным числом, и обоснование будет тем же самым. Наконец, значение произведения будет нечетным числом, так как перемножаются нечетные числа.

В задании 330 предлагается найти натуральное число, которое делится нацело на 2, 3 и 5. Самый простой способ получения такого числа заключается в их перемножении (учащиеся знают, что значение произведения всегда делится на каждый множитель). Тогда получается, что искомое число равно 30 (2•3•5 = 30). После этого можно брать любое число, которое кратно (делится нацело) чисТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий лу 30, и оно также будет обладать указанным свойством. Например, число 60 или число 90.

Задание 331 следует рассматривать в паре с предыдущим заданием. Учитывая, что в задании 330 было найдено число, которое делится нацело на числа 2, 3 и 5 (например, это число 30), то из него получить число, которое при делении на 2, на 3 и на 5 дает в остатке число 1. Для этого достаточно увеличить полученное ранее число (число 30) на число 1. Искомое число будет равно числу 31.

При выполнении задания 332 учащиеся должны продемонстрировать, что они помнят о существовании случая, когда значение выражения нельзя вычислить. Этот случай связан с делением на число 0, которое невозможно выполнить. Таким образом, искомым выражением является выражение пункта (г). Именно в этом выражении мы сталкиваемся с ситуацией деления на число 0 (значение выражения во второй скобке равно числу 0). Что касается выражения из пункта (в), то его значение легко вычислить: оно будет равно числу 0, так как при умножении любого числа на число 0 получается число 0.

Задание 333 относится к заданиям повышенной сложности. Оно носит комбинаторный характер. Выполнить его можно с помощью непосредственного конструирования интересующих нас чисел.

Сконструируем первое число: в первый разряд запишем цифру 0, тогда во втором разряде нужно записать цифру 2, в третьем – цифру 4, в четвертом – цифру 6, в пятом – цифру 8. В итоге получается число 86 420. Если бы мы начали заполнять первый разряд не цифрой 0, а цифрой 1, то у нас получилось бы число 97 531. Никакие другие цифры (кроме 0 и 1) в первом разряде записаны быть не могут, так как в противном случае мы не сможем выполнить требование об увеличении на 2 числа единиц в каждом следующем разряде. Значит, интересующих нас чисел существует всего два – это числа 86 420 и 97 531.

Задание 324 носит творческий характер. Учащимся предлагается составить и записать выражение, которое содержит все четыре действия и значение которого равно 1000. После того как каждый ученик составит свое выражение, можно предложить провести парную работу: сосед по парте должен проверить, правильно ли выполнено задание.

тема: «Алгоритмы вычисления столбиком (повторение)»

(1–2 урока) При выполнении заданий учащиеся смогут повторить все основные вопросы, имеющие отношение к алгоритмам вычисления столбиДействия с величинами (повторение)»

ком для четырех арифметических действий. Эта тема, как и предыдущая, является составной частью арифметической содержательной линии.

При выполнении задания 335 учащиеся не только смогут продемонстрировать, как они умеют выполнять сложение столбиком, но и вспомнить переместительное свойство сложения и взаимосвязь, которая существует между сложением и вычитанием. Последние два факта лежат в основе способов проверки сложения соответственно с помощью сложения и с помощью вычитания. Учащиеся эти способы должны сформулировать и применить. Эту часть задания вполне можно отнести к элементам обобщения полученных знаний.

Задание 336 аналогично заданию 335. Отличие состоит лишь в том, что в этом задании речь идет об алгоритме вычитания столбиком и о соответствующих свойствах вычитания. Но из-за этого методику работы с заданием принципиально изменять не требуется.

Задание 337 аналогично заданию 335. Отличие лишь в том, что в этом задании речь идет об алгоритме умножения столбиком и о соответствующих свойствах умножения. Но из-за этого методику работы с заданием принципиально изменять не требуется.

Задание 338 аналогично заданию 335. Отличие лишь в том, что в этом задании речь идет об алгоритме деления столбиком и о соответствующих свойствах деления. Но из-за этого методику работы с заданием тоже принципиально изменять не требуется.

При выполнении задания 339 учащиеся имеют возможность продемонстрировать свои умения по выполнению вычислений столбиком для всех четырех арифметических действий, а также вспомнить правила порядка выполнения действий в выражениях со скобками и без скобок.

При выполнении задания 340 учащиеся получают возможность вспомнить о существовании сокращенной формы записи для алгоритма деления столбиком на конкретном примере ее применения, а также поупражняться в проверке правильности выполнения деления с помощью действия умножения.

Задание 341 носит творческий характер и предполагает парную работу: один ученик составляет задание на вычитание столбиком, а другой это задание выполняет. Учитель может отметить самые сложные и интересные задания.

тема: «Действия с величинами (повторение)» (1–2 урока) При рассмотрении данной темы учащиеся получают возможность повторить основные вопросы, относящиеся к выполнению дейТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий ствий над величинами. В содержательном плане все эти вопросы можно отнести как к арифметической, так и к величинной содержательной линии.

Для выполнения заданий 342 и 343 учащиеся должны вспомнить о том, что сложение и вычитание величин возможно (имеет смысл) только для однородных величин. Для разнородных величин эти действия теряют смысл. Что же касается самих вычислений, то они ничем принципиально не отличаются от аналогичных вычислений с натуральными числами. Единственное, на что обязательно нужно обратить внимание, так это на необходимость предварительного выражения данных величин в одной и той же единице.

При выполнении задания 344 учащиеся должны продемонстрировать, как они умеют умножать величину на натуральное число.

При этом процесс последовательного поэтапного увеличения в несколько раз можно заменить однократным увеличением, но в такое число раз, которое получается при умножении соответствующих чисел, выступающих в роли коэффициента увеличения на каждом этапе. Так, увеличение в 2 раза, а потом в 5 раз можно заменить увеличением сразу в 10 раз.

При выполнении задания 345 учащиеся должны продемонстрировать, как они умеют делить величину на натуральное число. При этом процесс последовательного поэтапного уменьшения в несколько раз можно заменить однократным уменьшением, но в такое число раз, которое получается при умножении соответствующих чисел, выступающих в роли коэффициента уменьшения на каждом этапе. Так, уменьшение в 2 раза, а потом в 5 раз можно заменить уменьшением сразу в 10 раз.

В задании 346 предлагается выполнить разностное сравнение для данных пар величин. Перед тем как производить вычитание, учащиеся должны привести величины в паре к одной и той же единице.

В задании 347 предлагается выполнить кратное сравнение для данных пар величин. Перед тем как производить деление, учащиеся должны привести величины в паре к одной и той же единице.

В задании 348 учащимся предлагается уменьшить каждую из данных величин в 9 раз. Для этого они должны выполнить деление соответствующей величины на натуральное число 9. Выполнить такое деление можно, применив алгоритм деления столбиком. При выполнении данного задания следует помнить, что точно таким же образом можно найти одну девятую долю данной величины.

В задании 349 учащимся предлагается найти три одиннадцатых каждой из данных величин. Для этого они сначала должны соответствующую величину разделить на число 11, а потом умножить полученный результат на число 3.

В задании 350 предлагается найти всю величину, если известно, чему равняется четыре седьмых этой величины. Для этого учащиеся сначала должны разделить данную часть величины на число 4, а потом умножить полученный результат на число 7.

При выполнении задания 351 учащиеся должны выполнить деление разнородных величин (массу на длину) и дать полученному результату смысловое толкование. Выполнив предложенное деление, они должны получить «новую» величину 30 г/м, которую можно трактовать как массу единицы длины данного провода.

С помощью этой величины легко рассчитать массу любой длины данного провода. Например, масса 20 м данного провода равна 600 г (30 г/м•20 м = 600 г).

В задании 352 мы еще раз возвращаем учащихся к операции деления однородных величин, которую можно трактовать и как процедуру кратного сравнения, а можно трактовать как процедуру измерения величины-делимого в единицах величины-делителя.

тема: «как мы научились решать задачи (повторение)»

(2 урока) В данной теме мы предлагаем задания, с помощью которых можем проверить, как учащиеся научились решать различные арифметические сюжетные задачи.

В задании 353 — решение составных задач на сложение и вычитание. Выражение, с помощью которого можно записать решение данной задачи, выглядит следующим образом: 240 мин – 1 ч 25 мин – – (1 ч 25 мин + 45 мин).

В задании 354 предлагается построить схему к задаче «на движение навстречу друг другу» и решить ее. В ходе решения учащиеся сначала должны найти скорость изменения расстояния между автобусами. Она будет равна 110 км/ч (220 км : 2 ч = 110 км/ч).

После этого можно вычислить среднюю скорость второго автобуса: 110 км/ч – 60 км/ч = 50 км/ч. Для ответа на дополнительное требование к этой задаче нужно вычислить расстояния, которые преодолели автобусы до встречи, т. е. за 2 ч (60 км/ч•2 ч = 120 км и 50 км/ч•2 ч = 100 км).

Задание 355 относится к заданиям повышенной сложности.

В нем учащимся предлагается решить задачу «на движение», которая на первый взгляд может быть воспринята как задача «на совместное движение», но никакое совместное движение в этой задаче не рассматривается: информация о движении первого самолета нужна лишь для того, чтобы установить время движения Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий второго самолета. О том, как это можно сделать, сказано в самом тексте задания. Если следовать этим рекомендациям, то сразу можно установить, что первый самолет вылетел в 9.00, а приземлился в 11.00, так как он был в полете 2 часа (1 800 км : 900 км/ч = 2 ч).

Тогда второй самолет вылетел в 10.00 (на 1 ч позже, чем первый), а приземлился в 11.40 (на 40 мин позже, чем первый). Теперь легко можно определить время полета второго самолета. Оно равно 1 ч 40 мин = 100 мин (11 ч 40 мин – 10 ч = 1 ч 40 мин).

Далее уже можно вычислить скорость второго самолета:

1 800 км : 100 мин = 18 км/мин. Полученную скорость можно выразить и в км/ч (18 км/мин = 1 080 км/ч).

При выполнении задания 356 учащиеся получают возможность продемонстрировать, как они умеют решать задачи «на нахождение четвертого пропорционального»: 1) 96 : 16 = 6 (б.), 2) 360 : 6 = 60 (к.), 3) 60 – 16 = 44 (к.).

В задании 357 предлагается решить задачу «на сумму и частное».

Для определения цены абрикосов и яблок учащимся предлагается построить схему. На этой схеме стоимость 1 кг яблок должна быть выражена отрезком, принятым за 1 часть, а стоимость 1 кг абрикосов – отрезком в 2 раза длиннее (2 части). Стоимость набора, состоящего из 1 кг яблок и 1 кг абрикосов, нужно предварительно вычислить: 600 : 5 = 120 (руб.). Эту стоимость и представляет весь отрезок (3 части) на схеме. После этого уже не составляет труда вычислить стоимость 1 кг яблок (120 руб. : 3 = 40 руб.) и 1 кг абрикосов (40 руб.•2 = 80 руб.), а также ответить на требование задачи:

240 руб. : 80 руб./кг = 3 кг.

При выполнении задания 358 учащиеся имеют возможность продемонстрировать свое умение решать задачи «на движение в противоположных направлениях», составной частью которой является задача «на сумму и разность». Для того чтобы «свести» эту задачу к задаче «на сумму и разность», сначала учащиеся должны найти сумму скоростей двух данных катеров. Сделать это они смогут на основании правила сложения скоростей при движении в противоположных направлениях (140 км : 2 ч = 70 км/ч). После этого уже можно применять известный учащимся прием решения задач «на сумму и разность» (70 км/ч–10 км/ч = 60 км/ч, 60 км/ч : 2 = 30 км/ч, 30 км/ч+10 км/ч = 40 км/ч). Таким образом, искомые скорости равны соответственно 30 км/ч и 40 км/ч.

При выполнении задания 359 учащиеся должны продемонстрировать то, как они понимают связь между скоростью объекта в стоячей воде и скоростью этого объекта по течению (или против течения). Если это понимание есть, то ответить на последний вопрос задания им не составит особого труда: для вычисления скорости течения реки нужно найти половину разности между скоростью по течению и скоростью против течения.

В задании 360 предлагается решить составную задачу, в которой сначала необходимо вычислить количество закупленной шерсти, опираясь на знание цены шерсти и стоимости покупки (6 000 руб. : 2 000 руб./кг = 3 кг), а уже потом вычислить количество связанных свитеров, опираясь на известное количество шерсти и на известный расход шерсти на 1 свитер (3 000 г : 600 г = 5 (шт.)).

В задании 361 учащимся предлагается решить задачу «на работу».

Особенность этой задачи состоит в том, что она допускает два варианта решения. Один вариант связан с нахождением производительности и может быть реализован в 3 действия: 1) 1200 бат. : 8 ч = 150 бат./ч, 2) 150 бат./ч•2 = 300 бат./ч, 3) 300 бат./ч•8 = 2 400 бат.

Другой вариант основывается на существовании прямой пропорциональной зависимости объема работы от производительности при постоянном времени работы. Этот вариант реализуется в 1 действие (1 200 бат.•2 = 2 400 бат.) и является более рациональным, чем первый.

При выполнении задания 362 учащимся предлагается продемонстрировать, как они умеют решать задачи «на совместную работу».

Для решения этой задачи сначала нужно найти производительность при совместной работе (150 пан. : 3 ч = 50 пан./ч), потом вычислить производительность одного рабочего (135 пан. : 5 ч = 27 пан./ч) и, наконец, найти производительность второго рабочего (50 пан./ч – 27 пан./ч = 23 пан./ч). Таким образом, производительность второго рабочего равна 23 пан./ч.

При выполнении задания 363 учащиеся могут продемонстрировать свои умения по нахождению недостающих данных. Сделать это они смогут с помощью географического атласа. В нем представлены и площадь озер (Ладожское – 17 700 кв. км, Онежское – 9 690 кв. км), и высота над уровнем моря горных вершин (Эльбрус – 5 642 м, Казбек – 5 033 м).

тема: «Геометрические фигуры и их свойства (повторение)»

(1–2 урока) При выполнении заданий данной темы учащиеся получают возможность повторить основные свойства изученных геометрических фигур. Вместе со свойствами фигур они повторяют и некоторые основные геометрические построения.

Задание 364 является многоцелевым. В процессе его выполнения учащиеся должны построить прямоугольник с данными длинами Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий сторон, построить диагональ этого прямоугольника, измерить эту диагональ (ее длина должна быть равна 10 см), вычислить периметр треугольника (8 см + 6 см + 10 см = 24 см), вычислить площадь прямоугольника (8 см•6 см = 48 кв. см) и площадь треугольника (48 кв. см : 2 = 24 кв. см), измерить площадь треугольника с помощью палетки и сравнить полученный результат измерения с соответствующим результатом вычисления.

При выполнении задания 365 учащиеся не только смогут повторить основные характеристики окружности и поупражняться в построении окружности заданного радиуса с заданным центром, но и познакомиться с одним из способов построения правильного шестиугольника.

В задании 366 учащимся сначала предлагается построить (с помощью циркуля и линейки) равносторонний треугольник с длиной стороны 4 см. После этого построенный треугольник нужно разбить на 4 одинаковых равносторонних треугольника. Сделать это можно, если попарно соединить отрезками середины сторон данного треугольника.

Задание 367 относится к заданиям повышенной сложности. Для его выполнения учащиеся должны вспомнить, как можно с помощью циркуля и линейки разделить отрезок пополам. Когда данный отрезок будет разделен пополам, то такой же процедуре нужно подвергнуть и каждую половину данного отрезка. В итоге данный отрезок будет разделен на 4 равные части.

Выполняя задание 368, учащиеся могут продемонстрировать свои умения по построению прямого угла, используя клетчатую основу тетрадного листа.

Выполнение задания 369 нужно начинать с построения острого угла. После этого на одной из сторон построенного угла нужно отложить отрезок длиной 10 см. Затем выбрать точку на другой стороне угла так, чтобы при соединении ее с концом отложенного отрезка получился остроугольный треугольник. Для этого достаточно на второй стороне угла также отложить отрезок длиной 10 см и взять в качестве искомой точки конец этого отрезка (получится равнобедренный треугольник с острым углом при вершине, который обязательно является остроугольным треугольником).

Выполнение задания 370 нужно начинать с построения тупого угла. После этого на одной из сторон построенного угла нужно отложить отрезок длиной 10 см, а на другой стороне выбрать любую точку и соединить ее с концом отложенного отрезка. Полученный треугольник будет искомым.

Выполнение задания 371 нужно начинать с построения прямого угла. После этого на одной из сторон построенного угла нужно отБуквенные выражения и уравнения (повторение)»

ложить отрезок длиной 10 см, а на другой стороне выбрать любую точку и соединить ее с концом отложенного отрезка. Полученный треугольник будет искомым.

Задание 372 относится к заданиям повышенной сложности. Для его выполнения учащиеся сначала должны построить две прямые, которые пересекаются под прямым углом. Потом на одной из прямых от точки пересечения отложить отрезок длиной 4 см (это будет высота), а на другой – отрезок длиной 8 см (это будет основание треугольника). Второй отрезок может располагаться как угодно, но для учащихся будет более понятна ситуация, когда точка пересечения прямых лежит внутри этого отрезка. Теперь для построения треугольника достаточно соединить концы второго отрезка с концом первого отрезка, который не совпадает с точкой пересечения прямых.

При выполнении задания 373 учащиеся познакомятся с одним из важнейших фактов элементарной геометрии. Речь идет о том, что вписанный треугольник, у которого одна из сторон совпадает с диаметром данной окружности, обязательно является прямоугольным.

Доказательство этого факта, естественно, мы не приводим (об этом пойдет речь в систематическом курсе геометрии), но на эмпирической основе учащиеся с ним знакомятся и даже учатся применять при решении задач на построение. Так, при ответе на последнее требование задания учащиеся могут сначала начертить окружность диаметром 4 см, а потом вписанный треугольник, сторона которого совпадает с диаметром построенной окружности. Это и будет искомый треугольник.

тема: «Буквенные выражения и уравнения (повторение)»

(2 урока) Само название этой темы говорит о том, что она посвящена повторению вопросов алгебраического характера, а алгебраический материал позволяет нам «перекинуть мостик» между начальным курсом математики и математикой основной школы. Поэтому повторение и обобщение изученного алгебраического материала имеет очень большое пропедевтическое значение.

При выполнении задания 374 учащиеся получают возможность продемонстрировать свои умения по вычислению значений выражений с переменной, используя вычисления столбиком.

В задании 375 предлагается для каждого данного многоугольника записать буквенное выражение, с помощью которого можно вычислить периметр этого многоугольника. Они хорошо знают формулы для вычисления периметра прямоугольника и квадрата. Теперь им Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий предстоит найти такие формулы для параллелограмма, ромба и равнобедренной трапеции (сами термины не вводятся). Легко заметить, что формула для параллелограмма (P = (a + b)•2) будет точно такой же, как для прямоугольника, а формула для ромба (P = a•4) – точно такой же, как для квадрата. Новая формула появится только для равнобедренной трапеции (P = a + b + c•2).

При выполнении задания 376 учащиеся имеют возможность не только вспомнить правило сложения с числом 0, но и записать соответствующее свойство с помощью равенства с привлечением буквенного выражения (a + 0 = a).

При выполнении задания 377 учащиеся имеют возможность не только вспомнить правила вычитания с числом 0, но и записать соответствующие свойства в виде равенств с привлечением буквенных выражений (a – 0 = a, a – a = 0).

При выполнении задания 378 учащиеся имеют возможность не только вспомнить правило умножения некоторого числа на число 0 и на число 1, но и записать соответствующие свойства с помощью равенств с привлечением буквенных выражений (a•0 = и a•1 = a).

При выполнении задания 379 учащиеся не только вспомнят правило деления числа 0 на некоторое натуральное число, но и должны записать соответствующее свойство с помощью равенства и неравенства с привлечением буквенного выражения (0 : a = 0, если a 0).

При выполнении задания 380 учащиеся могут не только вспомнить правило деления некоторого числа на число 1 и правило деления некоторого натурального числа на само себя, но и записать соответствующие свойства с помощью равенств с привлечением буквенных выражений (a : 1 = a и a : a = 1, если a 0).

В задании 381 предлагается найти корни данных уравнений. Сделать это учащиеся могут, если вспомнят правила нахождения неизвестных компонентов соответствующих арифметических действий.

В задании 382 предлагается составить уравнение по данному условию. В результате должно получиться следующее уравнение:

(х + 38) : 25 = 8.

В задании 383 продолжается работа с уравнением, которое было составлено при выполнении предыдущего задания. Отвечая на поставленные вопросы, учащиеся познакомятся с одним из способов решения таких «усложненных» уравнений. Предполагая, что неизвестным является делимое, учащиеся могут его найти, умножив значение частного на делитель (8•25 = 200). После этого они могут составить новое уравнение с тем же самым неизвестным: х + 38 = 200.

Это новое уравнение будет иметь тот же самый корень, что и исходУчимся находить последовательности»

ное уравнение (оно будет равносильно исходному). Поэтому, вычислив корень нового уравнения (200 – 38 = 162), учащиеся найдут и корень исходного уравнения (х = 162).

При выполнении задания 384 учащиеся могут продемонстрировать свое умение проверять с помощью вычислений, является ли данное число корнем данного уравнения.

Задание 385 носит творческий характер. В нем учащимся предлагается составить три разных уравнения, корнем каждого из которых будет являться число 725. Приведем примеры таких уравнений:

х + 275 = 1000, х : 5 = 145, х – 25 = 700. Все эти уравнения являются равносильными.

тема: «Учимся находить последовательности»

Данной темой мы возвращаем учащихся к рассмотрению вопросов, относящихся к изучению числовых последовательностей.

В процессе выполнения задания 386 учащиеся получают возможность познакомиться с одной из «замечательных» числовых последовательностей, которая допускает два способа задания: арифметический и геометрический. В первом случае мы получаем следующую арифметическую закономерность: 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 и т. д. Во втором случае мы предлагаем рассматривать фигуры, составленные из одинаковых кругов и по форме напоминающие равносторонний треугольник. Для построения таких фигур требуется (по порядку) 3 круга, 6 кругов, 10 кругов, 15 кругов и т. д. Если сложить указанные числа (3 + 6 + 10 + 15 = 34), то легко установить, почему Мише не хватило вырезанных им кругов, чтобы составить четвертую фигуру (у Миши было всего 33 вырезанные модели круга).

Примечание. Фигуру, состоящую из 1 круга, формально также можно было бы включить в эту последовательность, но мы этого не делаем, чтобы избежать не очень нужных нам сейчас формальных объяснений, что фигуру, состоящую из 1 круга, можно считать по форме также напоминающей равносторонний треугольник. Учитывая показанную связь указанных чисел с геометрической формой равностороннего треугольника, можно объяснить смысл названия чисел 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 и т. д., которые в математике принято называть «треугольными».

Для выполнения задания 387 от учащихся потребуется умение находить первые несколько членов (в данном случае достаточно Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий найти первые три члена) последовательности по известному правилу получения следующего числа из предыдущего. При этом первое число последовательности считается известным (в данном случае оно равно 5). Вычисления показывают, что только правило пункта (в) позволяет получить нужные три числа (отличие в использование данных правил проявляется, начиная с третьего числа последовательности). Вычисление четвертого числа последовательности по этому правилу дает число 70.

В задании 388 предлагается поработать с первыми шестью числами последовательности нечетных натуральных чисел. Правило, по которому получается каждое следующее число этой последовательности из предыдущего, учащиеся могут и должны сформулировать самостоятельно. Вычислив четвертое, пятое и шестое числа этой последовательности (это числа 7, 9 и 11), учащиеся должны провести ряд других вычислений, которые иллюстрируют свойства этой последовательности. Так, они должны убедиться, что значения сумм первого и шестого, второго и пятого, третьего и четвертого чисел этой последовательности равны между собой (в каждом случае должно получиться число 12). Если же сложить полученные значения (12 + 12 + 12 = 36), то результат этого сложения будет равен значению суммы всех шести первых чисел этой последовательности (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36).

тема: «Работа с данными»

При изучении темы учащиеся познакомятся с разными способами записи алгоритмов: построчной и с помощью блок-схем, а также поработают с круговыми диаграммами, иллюстрирующими количественную структуру данных множеств по определенным признакам.

В процессе выполнения задания 389 учащиеся смогут не только внимательно познакомиться с построчной формой записи очень важного и полезного для повседневной жизни алгоритма, но и самостоятельно построить построчную запись аналогичного алгоритма:

Подойти к началу перехода и остановиться.

Дождаться разрешающего переход сигнала светофора (должен загореться «зеленый человечек»).

Перейти улицу.

Задание 390 относится к заданиям повышенной сложности.

Основной целью задания является знакомство учащихся с такой формой записи алгоритма, которую принято называть блок-схемой.

При этом важно обратить внимание учащихся на то, какие геомеРабота с данными»

трические фигуры используются для построения блок-схемы и что обозначает каждый блок.

Если учащиеся правильно поняли алгоритм, записанный с помощью блок-схемы, то они без особого труда смогут сделать построчную запись этого алгоритма. Далее они должны сформулировать построчно алгоритм вычисления периметра прямоугольника, который основан на другом правиле.

1. Узнать (измерить, вычислить) длину и ширину прямоугольника.

2. Длину прямоугольника умножить на 2.

3. Ширину прямоугольника умножить на 2.

4. Получить периметр прямоугольника как результат сложения величин, вычисленных в пунктах 1 и 2.

В заключительной части задания учащиеся получают возможность поупражняться в переходе от построчной записи алгоритма к записи в виде блок-схемы. При этом они должны ориентироваться на имеющуюся в задании блок-схему, внеся в нее соответствующие изменения.

В задании 391 предлагается поупражняться в составлении алгоритма вычисления периметра квадрата, используя две формы записи. Построчная запись в этом случае будет выглядеть так:

1. Узнать (измерить, вычислить) длину стороны квадрата.

2. Длину стороны квадрата умножить на 4.