«МАТЕМАТИКА 4 КЛАСС Методическое пособие Под редакцией Р.Г. Чураковой МосКвА АКАдЕМКНИГА/УЧЕбНИК 2012 УДК 51(072.2) ББК 74.262.21 Ч-37 Чекин А.Л. Ч-37 Математика [Текст] : 4 кл. : Методическое пособие / А.Л. Чекин; под. ...»

А.Л. ЧЕКИН

МАТЕМАТИКА

4 КЛАСС

Методическое пособие

Под редакцией Р.Г. Чураковой

МосКвА

АКАдЕМКНИГА/УЧЕбНИК

2012

УДК 51(072.2)

ББК 74.262.21

Ч-37

Чекин А.Л.

Ч-37 Математика [Текст] : 4 кл. : Методическое пособие /

А.Л. Чекин; под. ред. Р.Г. Чураковой. – М. : Академкнига/Учебник, 2012. – 256 с.

ISBN 978-5-49400-126-9 Методическое пособие разработано в соответствии с требованиями федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования второго поколения и концепцией комплекта «Перспективная начальная школа».

Методическое пособие предназначено для учителей начальных классов, обучающих детей по учебнику «Математика», 4 класс, в 2-х частях (автор – А.Л. Чекин). В него включены: общие методические рекомендации по реализации авторской концепции данного учебного курса; методические рекомендации по развитию основных содержательных линий учебника (по учебным полугодиям); примерное тематическое планирование (по учебным полугодиям); методические указания к заданиям, основные виды учебной деятельности учащихся в процессе освоения курса «Математика», примерные варианты письменных контрольных работ.

Пособие может быть полезно студентам педагогических вузов и колледжей.

УДК 51(072.2) ББК 74.262. Учебное издание Чекин Александр Леонидович МАтеМАтикА. 4 класс Методическое пособие Подписано в печать 21.06.2012. Формат 60х90/16.

Гарнитура NewtonC.

Объем 16 печ. л. Тираж 1000 экз. Тип. зак.

ООО «Издательство «Академкнига/Учебник»

117997 Москва, ул. Профсоюзная. д. 90, оф. Тел.: (495) 334-76-21, факс: (499) 234-63- E-mail: [email protected] www.akademkniga.ru © Чекин А.Л., © Оформление. ООО «Издательство ISBN 978-5-49400-126-9 «Академкнига/Учебник»,

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КУРСА

Программа курса разработана на основе федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования второго поколения с учетом межпредметных и внутрипредметных связей, логики учебного процесса, задачи формирования у младшего школьника умения учиться.

Предлагаемый начальный курс математики имеет цели:

Математическое развитие младшего школьника: использование математических представлений для описания окружающей действительности в количественном и пространственном отношении; формирование способности к продолжительной умственной деятельности, основ логического мышления, пространственного воображения, математической речи и аргументации, способности различать верные и неверные высказывания, делать обоснованные выводы.

Освоение начальных математических знаний. Формирование умения решать учебные и практические задачи математическими средствами: вести поиск информации (фактов, сходства, различий, закономерностей, оснований для упорядочивания и классификации, вариантов); понимать значение величин и способов их измерения; использовать арифметические способы для разрешения сюжетных ситуаций (строить простейшие математические модели);

работать с алгоритмами выполнения арифметических действий, решения задач, проведения простейших построений. Проявлять математическую готовность к продолжению образования.

Воспитание критичности мышления, интереса к умственному труду, стремления использовать математические знания в повседневной жизни.

Общая характеристика курса Таким образом, предлагаемый начальный курс математики призван не только ввести ребенка в абстрактный мир математических понятий и их свойств, охватывающий весь материал, содержащийся в примерной программе по математике в рамках федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования второго поколения, но и дать первоначальные навыки ориентации в той части реальной действительности, которая описывается (моделируется) с помощью этих понятий, а именно:

окружающий мир как множество форм, как множество предметов, отличающихся величиной, которую можно выразить числом, как разнообразие классов конечных равночисленных множеств и т. п., а также предложить ребенку соответствующие способы познания окружающей действительности.

Основная дидактическая идея курса может быть выражена следующей формулой: через рассмотрение частного к пониманию общего для решения частного. При этом ребенку предлагается постичь суть предмета через естественную связь математики с окружающим миром. Все это означает, что знакомство с тем или иным математическим понятием осуществляется при рассмотрении конкретной реальной или псевдореальной (учебной) ситуации, соответствующий анализ которой позволяет обратить внимание ученика на суть данного математического понятия. В свою очередь, такая акцентуация дает возможность добиться необходимого уровня обобщений без многочисленного рассмотрения частностей. Наконец, понимание общих закономерностей и знание общих приемов решения открывает ученику путь к выполнению данного конкретного задания даже в том случае, когда с такого типа заданиями ему не приходилось еще сталкиваться. Логико-дидактической основой реализации первой части формулы является неполная индукция, которая в комплексе с целенаправленной и систематической работой по формированию у младших школьников таких приемов умственной деятельности, как анализ и синтез, сравнение, классификация, аналогия и обобщение, приведет ученика к самостоятельному «открытию» изучаемого математического факта. Вторая же часть формулы носит дедуктивный характер и направлена на формирование у учащихся умения конкретизировать полученные знания и применять их к решению поставленных задач.

Отличительной чертой настоящего курса является значительное увеличение той роли, которую мы отводим изучению геометрического материала и изучению величин, что продиктовано той группой поставленных целей, в которых затрагивается связь математики с окружающим миром. Без усиления этих содержательных линий невозможно достичь указанных целей, так как ребенок восприниОбщая характеристика курса мает окружающий мир, прежде всего, как совокупность реальных предметов, имеющих форму и величину. Изучение же арифметического материала, оставаясь стержнем всего курса, осуществляется с возможным паритетом теоретической и прикладной составляющих, а в вычислительном плане особое внимание уделяется способам и технике устных вычислений.

Содержание всего курса можно представить как взаимосвязанное развитие пяти основных содержательных линий: арифметической, геометрической, величинной, алгоритмической (обучение решению задач) и информационной (работа с данными). Что же касается вопросов алгебраического характера, то они рассматриваются в других содержательных линиях, главным образом – в арифметической и алгоритмической.

ОСОБЕННОСТИ РАЗВИТИЯ ОСНОВНЫХ

СОДЕРЖАТЕЛЬНЫХ ЛИНИЙ КУРСА

ПЕРВОГО ПОЛУГОДИЯ

изучение чисел Изучение чисел в первом полугодии 4 класса, с одной стороны, осуществляется по уже хорошо известной схеме (введение новой разрядной единицы, устная и письменная нумерация «расширенного»

числового множества, сравнение чисел на основе нумерации), а с другой стороны, мы предлагаем рассмотреть классификацию натуральных чисел на четные и нечетные, что связано с возможным остатком при делении натурального числа на число 2.

Введение новой разрядной единицы – миллиона осуществляется по аналогии с введением такой разрядной единицы, как тысяча.

Напомним, что геометрической моделью для числа 1 000 мы избрали куб, который построен из «единичных» кубиков и имеет размер 10 куб.•10 куб.•10 куб. Если теперь 10 таких кубов выстроить в ряд, то получится модель для числа 10 тысяч. Если далее расположить 100 таких кубов в виде квадрата, то получится модель для числа 100 тысяч. Наконец, если из 1000 таких кубов снова составить куб, то получится модель для числа 1000 тысяч или для числа 1 000 000.

С числом миллион учащиеся познакомились еще в 3 классе при изучении темы «Квадратный километр и квадратный метр», но сейчас речь пойдет не только об этом числе, но и о числах класса миллионов. Знакомство учащихся с классом миллионов, применяемым для устной нумерации, происходит на основе введения в рассмотрение седьмого разряда – разряда единиц миллионов. Названия для двух оставшихся разрядов этого класса учащиеся уже могут предложить самостоятельно по аналогии с названиями разрядов второго класса – класса тысяч.

Примечание. Полученные возможности использования чисел третьего класса мы не распространяем на задания вычислительного характера, так как это выходит за рамки утвержденного обязательного минимума.

После того как учащиеся познакомились с числами третьего класса, мы предлагаем им рассмотреть ситуацию, когда трех классов для записи числа недостаточно. На основе анализа этой ситуации учащиеся должны самостоятельно прийти к выводу о том, что процесс образования новых разрядов и классов может и должен быть продолжен. Для этого нужно лишь ввести для новых классов соответствующие названия.

Так, для четвертого класса применяется название «класс миллиардов», с которым мы и знакомим учащихся. Других названий классов мы на страницах учебника не приводим, но если учащиеся проявят интерес к этому вопросу (что вероятно), то учитель может познакомить их и с другими названиями: класс триллионов, класс квадриллионов, класс квинтиллионов и т. д. Изучение блока тем, посвященных нумерации чисел третьего и четвертого классов, мы предлагаем завершить выполнением заданий на сравнение чисел на основе нумерации.

После того как учащиеся детально познакомятся с таким действием, как деление с остатком, мы предлагаем им воспользоваться полученными знаниями для разбиения всех натуральных чисел на два класса: класс четных чисел и класс нечетных чисел. Это разбиение осуществляется на основе того факта, что при делении натурального числа на число 2 может получиться в остатке либо число 0 (что определяет четные числа), либо число 1 (что определяет нечетные числа). При этом обязательно нужно обратить внимание на то, что число 0 относится к четным числам (по определению).

После введения в рассмотрение четных и нечетных чисел имеет смысл поговорить о том, как эти числа располагаются в натуральном ряду чисел (принцип чередования), а также о том, как четность (нечетность) компонентов действий влияет на четность (нечетность) результата. Этот последний вопрос мы предлагаем рассмотреть применительно для всех арифметических действий на основе подтверждающих или опровергающих примеров. Более подробные рекомендации мы дадим далее, когда речь пойдет о методических рекомендациях к теме «Какой остаток может получиться при делении на 2?» и к заданиям этой темы.

изучение действий над числами В первом полугодии 4 класса вопрос изучения действий над числами в основном сводится к изучению действия деления с остатком.

Особенности развития основных содержательных линий курса первого полугодия При этом мы, естественно, не забываем о тренировочной работе по выполнению алгоритмов сложения, вычитания и умножения столбиком. Более того, первая тема этого направления арифметической содержательной линии посвящена рассмотрению алгоритма умножения столбиком. Напомним, что вся необходимая подготовительная работа по освоению этого алгоритма была проделана в 3 классе. Сейчас нам остается только повторить уже изученный материал и сделать соответствующий завершающий вывод. Таким выводом как раз и будет введение в арсенал вычислительных умений учащихся алгоритма умножения столбиком в полном его объеме.

Действие деления с остатком мы предлагаем учащимся рассмотреть в сопоставлении с действием деления «нацело», т. е. с тем действием, которое им уже хорошо знакомо. Именно такое сопоставление позволяет нам акцентировать внимание учащихся на основных особенностях действия деления с остатком. Во-первых, следует обратить внимание учащихся на тот факт, что результатом этого действия является не одно число (как это имело место для всех ранее изученных арифметических действий), а пара чисел, из которых первое показывает, какое максимальное число раз делитель содержится в делимом, а второе – какое еще число остается при этом в остатке. Для первого числа мы вводим термин «неполное частное», а для второго – «остаток».

Примечание. Вместо термина «неполное частное», опираясь на принятую нами систему терминов, следовало бы ввести термин «значение неполного частного», но мы этого не делаем, так как, во-первых, такой термин выглядит излишне громоздким, а во-вторых, в нем нет необходимости в силу того, что термин «неполное частное» в других ситуациях не применяется и никакой терминологической путаницы это Практически с самого начала рассмотрения действия деления с остатком мы обращаем внимание учащихся на связь между делителем и остатком, показывая, что остаток всегда должен быть меньше делителя. Указанный факт мы рассматриваем как условие однозначности нахождения неполного частного и остатка, что является обязательным требованием к результату любой операции (любого арифметического действия). Продолжая разговор об остатке, мы предлагаем учащимся познакомиться со случаями деления с остатком, в которых остаток равен 0. Эти случаи приводят к рассмотрению деления «нацело», что позволяет в дальнейшем рассматривать деление «нацело» как частный случай деления с остатком.

Особого внимания заслуживают случаи деления с остатком, в которых делимое меньше делителя. Такие случаи отличаются тем, что неполное частное в них равно 0, а остаток совпадает с делимым. Не следует думать, что эти случаи представляют интерес только с точки зрения их теоретической осуществимости. Они имеют и вполне определенную практическую направленность. Дело в том, что эти случаи деления с остатком могут встречать в качестве промежуточных шагов при выполнении алгоритма деления с остатком столбиком. В этих случаях от учащихся потребуется понимание того, что при делении с остатком меньшего числа на большее в неполном частном получается (этот 0 нужно обязательно записывать в соответствующий разряд окончательного результата деления), а имеющееся делимое переходит в категорию остатка, и дальнейшая работа с этим числом происходит по правилам работы с остатком.

Изучая действие деления, мы предлагали учащимся рассматривать его как кратное вычитание. Такая связь деления и вычитания может рассматриваться и при изучении деления с остатком. Мы предлагаем учащимся обратить внимание на тот факт, что неполное частное можно трактовать как число, которое показывает, какое наибольшее число раз можно вычесть делитель из делимого. При этом остаток показывает, какое еще число после такого вычитания остается.

Опираясь на условие, которому должен удовлетворять остаток при делении с остатком, мы предлагаем учащимся выяснить, какие возможны остатки при делении целых неотрицательных чисел на число 2. Учитывая, что такими остатками могут быть только числа и 1, мы вводим в рассмотрение понятия «четное число» и «нечетное число». Об изучении свойств таких чисел было сказано выше в разделе «Изучение чисел». Напомним только о том, что свойства эти непосредственно связаны со всеми изученными ранее арифметическими действиями.

Своеобразным итогом работы по изучению действия деления с остатком является переход от записи этого действия в строчку к записи в столбик. Предлагаемая форма записи в столбик сначала рассматривается для случаев, когда неполное частное является однозначным числом, а после изучения способа поразрядного нахождения результата деления, и для случаев многозначного неполного частного. Завершающий этап работы по введению в вычислительную практику учащихся алгоритма деления столбиком отнесен на второе учебное полугодие.

Арифметический материал дополняется, как и ранее, вопросами, относящимися к изучению числовых последовательностей.

Особенности развития основных содержательных линий курса первого полугодия изучение геометрического материала Геометрический материал, который мы предлагаем рассмотреть в первом полугодии, связан с вопросами разбиения и составления плоских геометрических фигур, а через них с вопросами изучения площади, ее измерения и вычисления. Геометрический блок состоит всего лишь из пяти тем, при этом только первые две темы можно отнести к собственно геометрической линии, а оставшиеся относятся к типу «пограничных» тем, по которым «пересекаются»

геометрическая и величинная содержательные линии данного курса. Рассматривая различные способы разбиения многоугольников на треугольники (а именно такой подход позволяет свести вопрос о вычислении площади многоугольника к умению вычислять площадь треугольника), мы предлагаем познакомить учащихся с таким понятием, как диагональ многоугольника. Это знакомство осуществляется на основе сопоставления таких двух элементов многоугольника, как сторона и диагональ. У этих элементов есть общее свойство: это отрезки, соединяющие вершины многоугольника, но есть и отличие, которое заключается в том, что только сторона является звеном ломаной, образующей границу многоугольника. Кроме этого, для выпуклых многоугольников (а именно такие многоугольники мы и рассматриваем) диагональ (кроме ее концов) состоит из внутренних точек многоугольника. Между числом сторон и числом диагоналей многоугольника имеется определенная зависимость, которую мы демонстрируем на примерах. У треугольника нет ни одной диагонали. У четырехугольника число диагоналей равно 2.

У пятиугольника число диагоналей будет уже равно 5.

Примечание. Если речь идет о выпуклом n-угольнике, то число диагоналей в этом случае равно (n•(n–3)) : 2. Знание этой формулы может быть полезно учителям, так как с ее помощью легко вычислить число диагоналей в каждом конкретном случае. Так, если учащихся заинтересует вопрос о числе диагоналей шестиугольника, то данная формула дает в качестве ответа на этот вопрос число 9.

Если проводить все возможные диагонали из одной вершины многоугольника (а таких диагоналей будет на 3 меньше, чем число вершин этого многоугольника), то данный многоугольник будет разбит на треугольники, причем число этих треугольников будет на 1 больше, чем число проведенных диагоналей.

Изучение вопроса о разбиении многоугольника на треугольники не только позволяет уяснить учащимся возможность вычисления площади многоугольника через сложение площадей полученных треугольников, но и сделать очень важный вывод обратного характера: если известна площадь многоугольника и этот многоугольник разбит на равные треугольники, то площадь одного такого треугольника можно вычислить, разделив площадь многоугольника на число получившихся треугольников. Если этот вывод применить к прямоугольнику, который разбит с помощью диагонали на два равных прямоугольных треугольника, то не составляет особого труда сделать вывод, что площадь такого треугольника в 2 раза меньше, чем площадь соответствующего прямоугольника. Так как площадь прямоугольника мы уже находить умеем, то, разделив эту площадь пополам, мы получим площадь прямоугольного треугольника. Этот факт может быть записан и с помощью соответствующей словесной формулировки. Возможна запись этого факта и в виде формулы с использованием буквенного выражения, но только в этой формуле пока еще мы не можем использовать в качестве знака деления дробную черту. Один из вариантов такой формулы выглядит следующим образом: S = (a•b):2.

После того как мы научились вычислять площадь прямоугольного треугольника, можно перейти к рассмотрению вопроса о вычислении площади произвольного треугольника. Этот переход также осуществляется на основе идеи разбиения данной плоской фигуры на части, площадь которых мы вычислять умеем.

Так, любой треугольник можно разбить на два прямоугольных треугольника, если провести высоту из вершины наибольшего угла.

В этом случае проведенная высота будет являться катетом как одного, так и другого из получающихся треугольников. Если теперь достроить каждый из двух прямоугольных треугольников до соответствующего прямоугольника (как мы это делали ранее), то площадь составленного из них «большого» прямоугольника можно вычислить, умножив основание треугольника на высоту. Это, в свою очередь, означает, что искомая площадь треугольника равна половине площади построенного «большого» прямоугольника, т. е. равна половине произведения основания на высоту данного треугольника.

Примечание. Материал, связанный с изучением вопроса о вычислении площади треугольника выходит за рамки обязательного минимума, предусмотренного федеральным образовательным стандартом. По этой причине мы поместили данный материал на «цветных» страницах, что показывает (как и ранее) факультативный характер этого материала. Учитель по своему усмотрению может решать вопрос о включении данного материала в учебный процесс, но мы рекомендуем не оставлять этот материал без внимания, так как он окажет существенную помощь учащимся при дальнейшем изучении соответствующих геометрических вопросов.

Особенности развития основных содержательных линий курса первого полугодия Обучение решению текстовых (сюжетных) арифметических задач Вопросы обучения решению текстовых (сюжетных) арифметических задач занимают центральное место среди всех вопросов, изучаемых в первом учебном полугодии 4 класса. Уже в первых трех темах (мы не берем в расчет тему «Сначала займемся повторением») учащиеся знакомятся с новыми типами задач, которые можно классифицировать как задачи, в которых известен результат либо разностного сравнения, либо кратного сравнения, либо и того и другого.

Сначала остановимся более подробно на задачах, в которых известен результат разностного сравнения величин (чисел). Эти задачи можно разделить еще на две группы: 1) когда дополнительно известен результат сложения величин (чисел); 2) когда дополнительно известен результат разностного сравнения других величин (чисел). В первом случае такие задачи принято еще называть задачами «на сумму и разность», а во втором – задачами «на две разности».

Задачи «на сумму и разность» удобно решать с использованием схемы, на которой каждая из двух неизвестных величин изображается в виде полосы определенной длины (учитывается результат сравнения величин), при этом полосы расположены так, что они образуют общую полосу, которая изображает сумму этих величин.

Примечание. При построении схемы вместо полос можно использовать отрезки, строить которые учащимся гораздо легче, чем полосы. Использование полос на страницах учебника обусловлено тем, что полосы использовались нами при построении диаграмм сравнения и учащиеся уже хорошо знакомы с возможностью и правилами изображения величин (чисел) с помощью полос определенной длины.

Основная идея решения задач «на сумму и разность» состоит в том, что уменьшение известной суммы на величину известной разности приводит к получению удвоенной меньшей искомой величины. Если же известную сумму увеличить на величину известной разности, то получится удвоенная большая искомая величина. Оба эти факта очень хорошо можно проиллюстрировать на описанных выше линейных схемах, что существенно упрощает для учащихся поиск решения задач такого типа.

Задачи «на сумму и разность» могут быть еще названы задачами на деление величины (числа) на две части в данном разностном отношении, что позволяет выразить в названии математическую сущность указанной процедуры.

Обучение решению текстовых (сюжетных) арифметических задач Задачи на две разности не требуют никакой схематической наглядности для поиска их решения. Для таких задач достаточно понимания того, что оба данных результата разностного сравнения относятся к одним и тем же величинам, но выраженным в разных единицах. Если такое понимание имеется, то решение задачи состоит лишь в том, чтобы с помощью деления сначала установить соотношение между различными единицами данных величин, а уже потом вычислить значение искомых величин.

Что же касается задач, в которых известен результат кратного сравнения, то такие задачи можно сокращенно называть задачами на «сумму и частное». Для поиска решения таких задач также удобно использовать схематическую наглядность. В этом случае построение схемы начинается с построения полосы, которая будет изображать меньшую величину (эта величина условно принимается за одну часть). К этой полосе пристраивается вторая полоса, длина которой (в выбранных частях) определяется данным результатом кратного сравнения. Эта вторая полоса будет изображать вторую величину. Получившаяся общая полоса будет изображать сумму искомых величин. После того как такая схема построена, не составляет особого труда определить с помощью деления величину 1 части и вычислить величину оставшихся частей. Как и ранее, при построении схемы вместо полос можно использовать отрезки.

Завершается этот блок тем рассмотрением задач, в которых известны результаты как разностного, так и кратного сравнения одних и тех же величин (чисел). Для такого типа задач также удобно использовать схематическую иллюстрацию с изображением данного числа частей с помощью полос определенной длины. В этом случае из двух построенных полос уже не обязательно строить одну общую полосу, а можно расположить их друг под другом (как это делается на диаграмме сравнения) для того, чтобы было легко указать ту часть, которая изображает результат разностного сравнения.

После этого учащимся уже не составит особого труда вычислить с помощью деления величину одной части, а уже потом вычислить и величину другой части.

Кроме указанного блока тем учащимся в первом полугодии будет предложено для изучения еще три блока тем, в которых рассматриваются вопросы, связанные с сюжетными арифметическими задачами. Эти блоки тем посвящены соответственно задачам на процессы «купли-продажи», движения и работы. Особенностью изучения этих блоков тем является то, что с математической точки зрения задачи, рассматриваемые в этих блоках, являются совершенно аналогичными. Именно использование принципа аналогии позволяет при рассмотрении задач на движение сопоставлять их Особенности развития основных содержательных линий курса первого полугодия с соответствующими задачами на процесс «купли-продажи». Для того чтобы эту аналогию сделать более явной, мы предлагаем записывать наименование для цены по тому же принципу, что и наименование для скорости. Например, если используется наименование руб./кг, то оно относится к цене в рублях за 1 кг товара.

Когда же учащиеся перейдут к рассмотрению производительности, то уже в названии темы мы ориентируем их на то, что производительность – это скорость выполнения работы. Наименование для производительности также строится по указанному выше принципу.

Например, наименование стр./ч означает, что речь идет о чтении (печати) количества страниц за 1 час. Таким образом, задачи всех трех блоков можно изучать в комплексе, что существенно упрощает и сокращает по времени решение данной учебной задачи.

При рассмотрении задач на движение важно обратить внимание учащихся на тот факт, что, как правило, во всех таких задачах речь идет о движении с постоянной скоростью, о чем говорится в условии задачи. Если об этом ничего не сказано, то по известному значению скорости (а мы в нашем курсе используем определение средней скорости) ничего нельзя сказать о скорости движении объекта на какой-то части пройденного пути или в какой-то частичный промежуток всего затраченного времени. Это же замечание относится к скорости выполнения работы, т. е. к производительности.

В теме «Разные задачи» мы предлагаем учащимся познакомиться с некоторыми видами логических и комбинаторных задач. Для решения таких задач не требуется каких-то дополнительных знаний, но способы решения таких задач существенно отличаются от тех, с которыми учащиеся уже хорошо знакомы. Методические рекомендации по работе с каждой такой «нестандартной» задачей будут представлены далее в соответствующем разделе.

изучение величин В первом полугодии 4 класса мы продолжаем работу с ранее изученными величинами и знакомим учащихся с «новыми» величинами, которые называются «цена», «скорость», «производительность», а также «вместимость» и «объем». Две последние величины между собой очень тесно связаны, но между ними есть и определенные различия, которые относятся к сфере их практического применения. На это мы хотим обратить пристальное внимание как учителей (с помощью соответствующих разъяснений методического характера), так и учащихся (с помощью соответствующих заданий учебника).

Существует определенная связь и между величинами «цена», «скоИзучение величин рость» и «производительность», о чем мы уже говорили выше, когда анализировали задачи на процессы «купли-продажи», «движения»

и «работы». Более подробно мы еще об этом поговорим, но сначала – о тех величинах, которые учащимся уже хорошо знакомы.

Задания, в которых учащиеся выполняют известные им виды работы с известными величинами и их единицами, не требуют специальных дополнительных пояснений. Единственным исключением здесь являются задания с величиной «время», для измерения которой вводится в рассмотрение новая единица – секунда. До этого момента мы не знакомили учащихся с секундой, так как не возникало необходимости в ее использовании. Сейчас ситуация изменилась. Знание такой единицы времени, как секунда, потребуется учащимся при изучении скорости, так как одной из наиболее распространенных единиц скорости (наряду с единицей «км/ч») является такая единица, как «м/с». Методика введения в рассмотрение секунды как единицы времени ничем принципиально не отличается от введения других единиц времени (час, минута), что позволяет нам не заниматься повторением.

Особого объяснения заслуживают такие величины, как «цена», «скорость» и «производительность». Все эти величины имеют общую математическую природу: они характеризуют приращение одной величины на единицу приращения другой величины (данный факт находит отражение и в принципе построения наименования каждой из этих величин). Так, цена характеризует приращение стоимости на единицу количества товара, скорость – приращение пути на единицу времени, а производительность – приращение объема выполненной работы на единицу времени. Таким образом, все эти величины являются производными от соответствующих величин и их единицы именуются соответственно. Отмеченный теоретический факт позволяет нам построить изучение этих величин по принципу аналогии. Аналогия будет иметь место не только для самих этих величин, их измерения и вычисления их значений, но и для соответствующих сюжетных арифметических задач, связанных с этими величинами.

Изучению величин в первом полугодии посвящен еще один тематический блок. Речь идет о такой величине, как «вместимость», и тесно связанной с ней величиной «объем». Рассмотрение величины «вместимость», которая является частным случаем величины «объем», продиктовано, во-первых, требованиями образовательного стандарта, во-вторых, тем, что «вместимость» позволяет построить ее изучение на более наглядном и доступном уровне. Так, с помощью простых и понятных манипуляций по переливанию жидкости (реальных или умозрительных) учащиеся легко решают вопрос Особенности развития основных содержательных линий курса первого полугодия о сравнении вместимости различных сосудов и емкостей, а также знакомятся со стандартной единицей вместимости – литром.

Изучение «объема» мы рассматриваем как подъем на более высокую ступень абстракции, но вполне посильную для учащихся 4 класса. Изучение «объема» требует рассмотрения и соответствующих единиц этой величины. Ввести величину «объем» мы предлагаем на основе сопоставления двух емкостей различной формы, но одинаковой вместимости. Такое сопоставление позволяет нам сказать о том, что жидкости, заполняющие эти емкости, имеют одинаковый объем. Особое внимание мы обращаем на правильное использование соответствующих понятий. Например, если мы говорим о вместимости чашки, то имеем в виду объем жидкости, который максимально помещается в этой чашке. Если же мы говорим об объеме этой чашки, то имеем в виду объем жидкости, которую вытесняет эта чашка при полном погружении в жидкость (этот объем складывается из объема дна, стенок и ручки данной чашки). С таких же позиций нужно подходить к рассмотрению объема и вместимости любых других емкостей.

Примечание. Вместимость чашки и ее объем – это совсем не одно и то же, хотя в повседневной жизни эти понятия часто отождествляют. Чашки (как и другие емкости) могут иметь одинаковый объем, но разную вместимость, а могут иметь разный объем, но одинаковую вместимость.

Для измерения объема вводятся в рассмотрение соответствующие единицы. Сначала мы знакомим учащихся с такой единицей, как кубический сантиметр. Введение кубического сантиметра можно осуществить по аналогии с введением квадратного сантиметра.

Учащиеся должны усвоить, что куб со стороной 1 см занимает определенную часть пространства, объем которой и принято называть кубическим сантиметром. Если в распоряжении учителя имеется модель куба со стороной 1 см, сделанная из «тяжелого» материала, то погружение этой модели в жидкость приведет к вытеснению жидкости, объем которой составит 1 куб. см. Можно предложить и другой способ получения жидкости в объеме 1 куб. см. Для этого нужно с помощью прочной и твердой модели куба со стороной 1 см сделать углубление в мягкой глине (пластилине). Это углубление должно иметь форму данного куба. Если теперь заполнить это углубление жидкостью, то объем жидкости будет равен 1 куб. см.

Следующей единицей объема, которую мы определяем для обязательного изучения, является кубический дециметр. Переход от кубического сантиметра к кубическому дециметру осуществляется по той же логической схеме, которую мы использовали при перехоРабота с данными де от квадратного сантиметра к квадратному дециметру. Включение кубического дециметра в перечень изучаемых единиц продиктовано следующими соображениями. Во-первых, мы сохраняем логику изучения всех геометрических величин (длины, площади, объема).

Во-вторых, эта единица совпадает с рассмотренной ранее единицей вместимости литром, которая включена в перечень понятий, обязательных для изучения в начальной школе.

Особое внимание следует обратить на изучение темы «Литр и килограмм». В этой теме мы делаем попытку на пропедевтическом уровне познакомить учащихся с таким физическим понятием, как «плотность». Мы не предлагаем вводить соответствующий термин, но хотим акцентировать внимание учащихся на том, что разные тела (твердые, жидкие) имеют разную плотность. Этот факт приводит к тому, что лишь для пресной воды (и то приблизительно) 1 л такой воды имеет массу 1 кг. Если же тело имеет большую плотность, то масса 1 л превышает 1 кг. Если плотность меньше, чем у пресной воды, то масса 1 л меньше, чем 1 кг. С соотношением плотности связано такое природное явление, как плавучесть.

Работа с данными Работа с данными, как и ранее, должна проводиться в двух видах: вопервых, в процессе выполнения заданий, которые в явном виде относятся к информационно-содержательной линии, во-вторых, в процессе выполнения заданий (в виде вспомогательной сопутствующей работы), относящихся к другим содержательным линиям. В первом случае мы включаем в перечень изучаемых тем такие, которые напрямую относятся к информационно-содержательной линии, наполняя их заданиями по работе с данными в явном виде. Во втором случае наибольший объем работы с данными приходится на задания, связанные с обучением решению текстовых задач (алгоритмическая линия), и на задания, связанные с изучением чисел и с формированием вычислительных умений (арифметическая линия). Но эта работа носит уже, как правило, неявный (вспомогательный, сопутствующий) характер с точки зрения поставленных учебных задач.

Основными объектами по работе с данными в первом полугодии 4 класса являются:

таблица как средство описания характеристик предметов, объектов, событий. При этом речь пойдет о таблицах с несколькими «подлежащими» (содержит список объектов) и несколькими «сказуемыми» (содержит список свойств этих объектов);

диаграмма сравнения в столбчатой и полосчатой форме.

Особенности развития основных содержательных линий курса первого полугодия изучение алгебраического материала и алгебраическая пропедевтика Представленный в данном учебнике алгебраический материал может быть охарактеризован как материал функциональной пропедевтики.

Такая характеристика относится и к темам, в которых речь идет о переменной величине и о зависимости одной величины от другой, и к теме, в которой вводится в рассмотрение буквенное выражение. Понятие переменной величины является важнейшим понятием современной математики, поэтому формированию этого понятия нужно уделять самое пристальное внимание с самого первого этапа его изучения. Мы предлагаем рассматривать понятие переменной величины в сопоставлении с понятием постоянной величины, что позволяет расставить нужные акценты без рассмотрения большого количества однотипных примеров. При этом важно обратить внимание учащихся на тот факт, что мы рассматриваем процесс изменения величины, который может происходить для одного объекта с течением времени, а может происходить для разных объектов при переходе от одного объекта к другому.

Буквенное выражение мы предлагаем рассматривать как выражение с переменной или переменными. Именно такая позиция находит отражение в предлагаемых заданиях. В этом смысле для нас важно научить учащихся вычислять значение выражения с переменной (переменными) при заданных значениях этой переменной (этих переменных), а также научить их записывать основные математические законы с помощью равенства буквенных выражений (с помощью тождества) и составлять формулы для вычисления таких геометрических величин, как периметр и площадь.

При рассмотрении вопроса о зависимости одной величины от другой важно обратить внимание учащихся на существование такого типа зависимости, при котором по данному значению одной величины можно однозначно найти значение другой величины. В требовании однозначности как раз и заключается идея функциональной зависимости, пропедевтикой которой мы в данном случае и намерены заниматься.

Примечание. Вопросы функциональной пропедевтики тесно связаны с вопросами изучения величин. По этой причине все темы, в которых речь идет об изучении зависимости между различными величинами («цена–количество–стоимость», «скорость–время–пройденный путь», «производительность– время–объем выполненной работы») можно с полным правом отнести и к величинной, и к алгоритмической, и к алгебраической содержательным линиям данного курса. Этот факт следует учитывать при расчете учебных часов, отводимых на изучение каждой содержательной линии.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

И РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ТЕМ

И ОТДЕЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

ПЕРВОГО ПОЛУГОДИЯ

Дадим некоторые методические рекомендации по изучению отдельных тем и выполнению отдельных заданий. При этом для каждой темы будет указано количество уроков, которое следует отвести на ее изучение. Для некоторых тем такое указание является вариативным и имеет вид «1–2 урока». На изучение примерно половины тем с таким вариативным указанием учитель, по своему усмотрению, может отвести по два урока, а на остальные – по одному. Окончательное поурочное планирование следует проводить, исходя из общего количества уроков математики в первом учебном полугодии.

Примечание. Предлагаемое распределение учебных часов, отводимых на изучение той или иной темы, не является строго обязательным. Учитель вправе внести изменения в тематическое планирование, исходя из реальной ситуации. Эти изменения могут касаться и сроков окончания работы по первой части учебника. Обращаем внимание на то, что количество часов, рассчитанное для каждого раздела программы на основе примерного тематического планирования не может полностью совпадать с количеством часов, указанным в программе. Дело в том, что большое число тематических уроков нельзя в полном объеме относить только к тому разделу программы, к которому относится тема этого урока. Как правило, на таких уроках осуществляется изучение материала и из других разделов программы. Особенно это касается двух разделов программы: «Действия над числами» и «Арифметические сюжетные задачи». Указанное в программе количество часов следует трактовать как суммарное время, которое мы Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий примерно планируем отвести на изучение данного раздела программы на всех уроках, а не только на уроках соответствующей тематики.

тема: «Сначала займемся повторением» (3 урока) Название этой темы четко определяет ее методическое назначение.

В течение первых трех (четырех) уроков мы предлагаем учащимся повторить основные вопросы программы 3 класса. Осуществляться это повторение будет в процессе выполнения предлагаемых заданий. Эти задания во многом аналогичны тем, которые мы использовали для повторения в конце 3-го года обучения.

В задании 1 мы предлагаем учащимся повторить разрядный принцип записи чисел и нумерацию разрядов. При этом номер разряда мы отождествляем с соответствующей цифрой. Указанному в задании требованию соответствует число 765432. В пропедевтическом плане мы еще подводим учащихся к необходимости расширения разрядной таблицы за счет использования номера 7-го разряда.

Задание 2 направлено на повторение знаний о письменной нумерации многозначных чисел, а также на повторение поразрядного принципа сравнения многозначных чисел. Кроме этого, при выполнении данного задания учащиеся должны проявить и некоторые комбинаторные умения. Во всяком случае, они сначала должны понять, что наибольшее число получится только тогда, когда, начиная со старшего разряда, все разряды заполняются самыми большими возможными числами. После этого учащиеся могут конструировать искомое число. В первых трех старших разрядах можно записать цифру 9. В оставшихся трех разрядах нужно записать цифру 1, так как другой возможности использовать три раза цифру 1 уже не будет. Если же цифру 1 записать ранее, то полученное шестизначное число будет меньше, чем то, запись которого начинается с трех девяток. Итак, искомое число 999111.

В задании 3 учащимся предлагается составить и записать пары чисел, каждая из которых состоит из шестизначного числа и пятизначного числа, а результат разностного сравнения между ними равен 5. Таких пар существует всего пять. Это 100 000 и 99 995, и 99 996, 100 002 и 99 997, 100 003 и 99 998, 100 004 и 99 999. Как мы видим, все эти пары располагаются вблизи границы, разделяющей на числовом луче пятизначные и шестизначные числа. Именно с рассмотрения наименьшего шестизначного (или наибольшего пятизначного) числа учащиеся и должны начать конструирование искомых пар. Можно обратить внимание учащихся на тот факт, что между числами в каждой из искомых пар располагается еще четыре натуральных числа.

Для выполнения задания 4 от учащихся потребуется вспомнить правила деления на «круглые» числа. Для данной пары разрядных единиц результат кратного сравнения может быть вычислен без особого труда: 1 000 : 10 = 100, так как практически все хорошо помнят правило деления на число 10. Вторая часть задания потребует от учащихся рассуждений следующего плана. Для того чтобы результат деления не изменился, нужно увеличивать делимое и делитель в одно и то же число раз. Так как речь идет о разрядных единицах, то такое увеличение можно осуществлять только в 10, 100, 1 000 и т. д.

раз. Эти рассуждения приводят к рассмотрению таких пар разрядных единиц, как 10 000 и 100, 100 000 и 1000, 1 000 000 и 10 000. Этот процесс можно и продолжить, но здесь могут возникнуть проблемы с тем, что числа больше 1 000 000 мы пока не рассматривали. По этой причине четвертой искомой парой будет пара, состоящая из чисел 100 и 1, которые также являются разрядными единицами.

В задании 5 учащимся предлагается устно вычислить значение данного выражения. Сделать это можно без особого труда, если учащиеся обратят внимание на тот факт, что значения выражений, записанных в первых двух скобках, равны (используется переместительное свойство сложения). После этого становится очевидным результат деления, так как в этом случае некоторое число делится само на себя и вычислять это число для нахождения результата деления не требуется (результатом деления будет число 1). Значение выражения в третьей скобке легко вычисляется устно, и оно равно числу 4. Таким образом, в итоге получается число 4.

При выполнении задания 6 учащиеся сначала должны устно вычислить значение каждого выражения. Для вычисления значения первого выражения нужно обратить внимание на то, что вычитаемое на 144 меньше, чем уменьшаемое, что означает получение числа 144 в качестве искомого значения. Это же число будет являться значением и второго выражения, так как 14 400 : 100 = 144, а значение выражения в скобках равно числу 1.

В задании 7 учащимся предлагается сначала повторить способ умножения многозначного числа на однозначное число столбиком.

После этого они должны выполнить умножение этого же многозначного числа на двузначное число столбиком. Так как число десятков данного двузначного числа равно числу единиц этого же числа и равно однозначному числу, на которое мы уже умножали, то умножение на двузначное число сводится лишь к правильной записи полученных промежуточных результатов, которые далее нужно будет сложить. Записать эти два числа можно либо в полном Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий виде (с использованием 0 в разряде единиц результата умножения на 2 десятка), либо в сокращенном виде (когда 0 в разряде единиц не пишется, но разряд располагается под соответствующим разрядом, и запись приобретает ступенчатый вид).

В задании 8 учащимся предлагается вычислить периметр и площадь прямоугольника, длины сторон которого известны. При вычислении периметра можно не выражать длины сторон в миллиметрах, а сгруппировать слагаемые следующим образом:

При вычислении площади прямоугольника сначала нужно выразить его длину и ширину в миллиметрах (55 мм и 30 мм), а потом вычислить площадь в квадратных миллиметрах (55 мм • 30 мм = = 1 650 кв. мм).

При выполнении задания 9 учащиеся смогут поупражняться в построении прямоугольников по заданной длине сторон, а также в вычислении периметра и площади прямоугольника. Вторая часть этого задания направлена на установление того факта, что прямоугольники могут иметь одинаковую площадь, но разный периметр.

Задание 10 аналогично предыдущему заданию. Отличие состоит лишь в том, что, выполняя вторую часть этого задания, учащиеся смогут убедиться, что прямоугольники могут иметь одинаковый периметр, но разные площади.

Задание 11 относится к заданиям повышенной сложности. Для его выполнения учащиеся сначала должны с помощью деления установить длину стороны данного квадрата (32 дм : 4 = 8 дм). После этого им нужно установить, на сколько дециметров нужно увеличить сторону квадрата, чтобы его периметр увеличился на 12 дм.

Так как все четыре стороны квадрата имеют одинаковую длину, то искомая длина равна 3 дм (12 дм : 4 = 3 дм). После этого можно вычислить сторону «нового» квадрата (8 дм + 3 дм = 11 дм) и его площадь (11 дм • 11 дм = 121 кв. дм). Для выполнения разностного сравнения нам нужно еще вычислить площадь «старого» квадрата (8 дм • 8 дм = 64 кв. дм). Тогда результатом разностного сравнения будет 57 кв. дм (121 кв. дм – 64 кв. дм = 57 кв. дм).

Выполняя задание 12, учащиеся смогут повторить способ измерения площади прямоугольника с помощью палетки.

При выполнении задания 13 учащиеся имеют возможность вспомнить существующую зависимость между прямым углом и поворотом минутной стрелки на 15 минут. Так как 5 минут составляют третью часть от 15 минут, то угол поворота минутной стрелки за 5 минут также составляет третью часть от прямого угла.

Для выполнения задания 14 учащимся нужно выполнить следующий чертеж (рис. 1).

Задание 15 относится к заданиям повышенной сложности. Сначала учащимся предлагается методом подбора определить размеры прямоугольника, если его площадь равна 20 кв. см. Другими словами, нужно представить число 20 в виде произведения двух множителей. Например, 20 = 5 • 4. Это означает, что длина и ширина искомого прямоугольника могут быть равны соответственно 5 см и 4 см. Чтобы построить треугольник с площадью 10 кв. см, достаточно построить прямоугольник с площадью 20 кв. см (это может быть прямоугольник со сторонами 5 см и 4 см), а потом разбить его на два равных прямоугольных треугольника с помощью диагонали.

Площадь одного такого треугольника и будет равна 10 кв. см.

В задании 16 учащимся предлагается поработать с краткой записью задачи, составленной в виде таблицы. По данной краткой записи они должны сформулировать задачу. Наличие двух вопросительных знаков в таблице говорит о том, что сформулированная задача должна быть составной. При этом в ней присутствует простая задача на уменьшение на несколько единиц в косвенной форме и простая задача на уменьшение на несколько единиц в прямой форме. Приведем пример такой задачи. «Свете 14 лет, и она на 3 года старше Иры. Сколько лет Марине, если она на 1 год моложе Иры?» Сформулированную задачу учащиеся должны решить с вычислением и записью ответа.

В задании 17 учащимся сначала предлагается сделать краткую запись к задаче. Эта запись должна быть аналогична той, с которой учащиеся имели дело в предыдущем задании. Принципиальное отличие состоит лишь в том, что в этой задаче речь идет не только об увеличении (в косвенной форме) на несколько единиц, но и об уменьшении (в прямой форме) в несколько раз.

При выполнении задания 18 учащиеся не только смогут продемонстрировать свои умения по формулированию задачи на основании данного ее решения, но и повторить правило порядка выТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий полнения действий в выражении без скобок. В качестве примера интересующей нас задачи можно привести следующую задачу: «Для участия в спартакиаде школьников прибыло 10 команд по 12 спортсменов и 8 команд по 15 спортсменов в каждой команде. Сколько всего спортсменов прибыло для участия в спартакиаде?»

Задание 19 направлено на повторение вопроса о представлении данных с помощью диаграммы сравнения и приемов устного деления двузначного числа на двузначное. Сначала из данной диаграммы учащиеся должны получить числа 90 и 15, после этого с полученными числами они должны сформулировать задачу на кратное сравнение и решить сформулированную задачу с устным вычислением ответа.

Задание 20 относится к заданиям повышенной сложности. Эта задача аналогична задаче № 444 из учебника 3 класса, часть 2. При решении данной задачи можно применить очевидный, но не самый рациональный путь: сначала вычислить число оставшихся упаковок с яблочным соком (40 – 18 = 22), потом число оставшихся упаковок с апельсиновым соком (18 + 3 = 21, 35 – 21 = 14) и, наконец, выполнить разностное сравнение полученных чисел (22 – 14 = 8 ).

Если же поставить вопрос о нахождении рационального пути решения (а об этом идет речь в формулировке задания), то этот путь заключается в использовании всего двух действий: 1) сначала мы выясняем, на сколько больше было на складе упаковок с яблочным соком, чем с апельсиновым (40 – 35 = 5); 2) потом выясняем, как изменилось это число, если упаковок с апельсиновым соком увезли на 3 больше, чем с яблочным (5 + 3 = 8).

В задании 21 учащимся еще раз предлагается поработать с диаграммой сравнения. Из данной диаграммы учащиеся могут получить информацию о результате кратного сравнения двух величин (этот результат равен 4). Именно число 4 как результат кратного сравнения должно присутствовать в качестве одного из данных в формулировке интересующей нас задачи. Так как формулируемая задача должна быть задачей на разностное сравнение, то в качестве еще одного данного нужно выбрать одну из величин, участвующих в кратном сравнении. Приведем пример такой задачи: «В одно овощехранилище привезли 50 ц картофеля, а в другое – в 4 раза больше. На сколько центнеров картофеля больше привезли во второе хранилище, чем в первое?» Решение такой задачи предполагает выполнение двух действий: умножения и вычитания.

Задание 22 относится к заданиям повышенной сложности.

Это связано с тем, что выбор данных этой задачи (в отличие от предыдущего задания) не может быть произвольным. Так как формулируемая задача должна быть задачей на кратное сравнение, то выбранные данные должны позволить выполнить это сравнение, т. е. соответствующее действие деления должно быть выполнимо. Приведем пример такой задачи: «В одно хранилище привезли 5 т картофеля, а в другое – на 15 т больше. Во сколько раз больше тонн картофеля привезли во второе хранилище, чем в первое?»

тема: «когда известен результат разностного сравнения»

(2 урока) В данной теме мы предлагаем учащимся познакомиться с двумя типами задач, которые в методике называются задачами «на сумму и разность» и задачами «на две разности». В первом случае мы фактически должны научить учащихся выполнять разбиение (деление) данной величины (числа) на две неравные части, результат разностного сравнения которых уже известен. Делать это очень удобно с помощью графической схемы, построенной на основе изображения данной величины и искомых ее частей в виде полоски (отрезка), разбитой на две части с учетом результата разностного сравнения.

Если теперь большую часть уменьшить на величину результата разностного сравнения, то полученная полоска будет изображать удвоенную меньшую искомую часть. Эта иллюстрация и подсказывает путь решения задач такого типа. Сначала всю величину (сумму искомых частей) нужно уменьшить на результат разностного сравнения, а потом полученную величину разделить пополам; в результате мы получим меньшую из искомых частей; большую же часть можно вычислить по известной меньшей части, прибавляя к ней результат разностного сравнения (или вычитая ее из всей величины).

Примечание. При решении задачи «на сумму и разность»

можно использовать и другой путь: сначала увеличить всю величину (сумму искомых частей) на результат разностного сравнения, а потом полученную величину разделить пополам. В результате мы получим большую из искомых частей.

Меньшую же часть можно вычислить по известной большей части, вычитая из нее результат разностного сравнения (или вычитая ее из всей величины).

Задачи «на две разности» не требуют для своего решения построения специальных схем. Они могут быть решены на основе простого сопоставления результатов разностного сравнения одних и тех же величин, но выраженных в разных единицах. Так как речь идет о сравнении одних и тех же величин, то результат разностного сравнения (в каких бы единицах он ни был представлен) выражает одну Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий и ту же величину. Этот факт позволяет приравнять два результата разностного сравнения, а полученное равенство будет описывать соотношение между разными единицами, применяемыми для измерения сравниваемых величин. Установив такое соотношение (например, между ящиками и килограммами), можно выражать искомые величины в нужных нам единицах. Если в такой задаче известен только один результат разностного сравнения, то другой результат нужно предварительно вычислить, используя знание о том, как выражается каждая искомая величина в определенных единицах.

На задание 23 нужно обратить особое внимание, так как именно из этого задания учащиеся могут получить всю необходимую информацию о способе решения задач «на сумму и разность». При этом иллюстрацию к этой задаче, которую в данный момент следует рассматривать как предметную, в дальнейшем (для других аналогичных задач) можно и нужно использовать как схематическую. По данной иллюстрации учащиеся без особого труда (даже визуально) смогут определить, что удвоенную длину меньшей части полоски можно вычислить с помощью выражения 10 – 2. После этого они вычисляют значение этого выражения и делят его пополам, устанавливая тем самым длину меньшей части полоски (10 – 2 = 8, 8 : 2 = 4). Длину большей части полоски можно вычислить с помощью сложения (4 + 2 = 6) или с помощью вычитания (10 – 4 = 6).

Итак, мы нашли длину каждой части полоски (4 см и 6 см). После этого можно вернуться к началу данного задания и рассмотреть выражение 10 + 2. Для этого выражения можно провести аналогичные рассуждения, только теперь речь пойдет не о меньшей, а о большей части полоски. Вычислив значение этого выражения (10 + 2 = 12) и разделив его пополам (12 : 2 = 6), можно найти длину большей части полоски, а затем с помощью вычитания (6 – 2 = 4 или 10 – 6 = 4) вычислить длину меньшей ее части. И в этом случае мы нашли длину каждой части полоски (6 см и 4 см). Таким образом, мы познакомим учащихся с двумя вариантами решения задач «на сумму и разность».

В задании 24 мы предлагаем учащимся описание практического выполнения процедуры, описанной в предыдущем задании на математическом языке. От них требуется составить соответствующую математическую запись. Сначала они должны описать процесс отгибания части ленточки длиной 20 см. Это должно выглядеть так:

После этого Маша разрезала оставшуюся после отгибания часть пополам. Это записывается следующим образом: 80 : 2 = 40 (см).

Итак, мы получили длину меньшей части ленточки. Если теперь распрямить часть ленточки с ранее отогнутыми 20 см, то получится большая часть ленточки, а ее длину можно вычислить двумя способами: с помощью сложения (40 + 20 = 60) или с помощью вычитания (100 – 40 = 60). Итак, мы вычислили длину каждой части ленточки (40 см и 60 см). Сделать так, чтобы одна часть ленточки была на 20 см длиннее, чем другая, Маше удалось за счет первоначального отгибания 20 см ленточки. Это и будет ответом на последний вопрос задания.

В задании 25 учащимся предлагается проанализировать два варианта решения задачи и установить, какой из них соответствует данной задаче «на сумму и разность». Опираясь на записи выполнения двух предыдущих заданий, учащимся не составляет особого труда установить, что интересующим нас вариантом решения будет 2-й вариант. Этому выбору будет способствовать не только содержательная сторона изучаемого вопроса, но и имеющаяся числовая аналогия: в задании № 23 получались длины 4 см и 6 см, в задании № 24 – длины 40 см и 60 см, а в этом задании речь идет о массе 400 г и 600 г. Помочь в выборе правильного варианта решения должна и предлагаемая учащимся схема.

В задании 26 учащимся предлагается самостоятельно решить задачу «на сумму и разность». Если учащиеся будут испытывать затруднения в поиске решения, то можно предложить им построить соответствующую схему (рис. 2).

В задании 27 учащимся предлагается самим сформулировать задачу «на сумму и разность» по данной краткой записи. Краткая запись содержит информацию не только о данных и искомом соответствующей задачи, но и о возможном сюжете. Таким образом, формулировка задачи определяется практически однозначно. Приведем пример такой задачи: «В двух бригадах работает 47 человек.

Сколько человек работает в каждой бригаде, если во 2-й бригаде работает на 7 человек больше, чем в 1-й?» Решение составленной задачи можно находить с помощью схемы, а можно по аналогии с решением задачи из предыдущего задания.

В задании 28 учащимся предлагается найти два числа, для которых известны результаты их сложения и результат их разностного сравнения. Другими словами, речь идет о задаче «на сумму и разность», только сюжет этой задачи не бытовой, а арифметический. Выполнять Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий это задание нужно тем же способом, который применялся ранее при решении задач этой темы. В процессе вычислений от учащихся потребуется выполнить деление числа 480 (или числа 620) на число 2.

Сделать это они смогут, если будут рассматривать указанные числа как соответствующее число десятков (48 дес. или 62 дес.). Дальнейшие вычисления уже не составят особого труда.

Задание 29 относится к заданиям повышенной сложности.

В этом задании учащимся предлагается решить задачу, которую можно в чистом виде назвать задачей «на сумму и разность». Для того чтобы эта задача приняла знакомый для учащихся вид, достаточно истолковать результат вычитания искомых чисел как результат их разностного сравнения. После этого данную задачу можно решать по аналогии с решением предыдущей задачи.

Задание 30 относится к заданиям повышенной сложности. Его трудность определяется не тем, что учащимся нужно самим сформулировать задачу «на сумму и разность». Это они могут сделать по аналогии с задачей из предыдущего задания. Трудность состоит в том, что нужно выбрать такие числовые данные, чтобы эту задачу учащиеся смогли решить.

В задании 31 предлагается решить несколько задач, которые объединены общим условием и отличаются соответствующими требованиями. Если к данному условию присоединить только первое требование, то получится задача «на сумму и разность», в которой требуется найти большее из двух слагаемых. Решение такой задачи можно записать в два действия (52 + 4 = 56 (руб.) и 56 : 2 = 28 (руб.)). После этого с помощью еще одного действия (28 – 4 = 24 (руб.)) можно ответить на второе требование этого задания. Ответы на оставшиеся два требования получаются в результате решения соответствующих простых задач на умножение (28 • 3 = 84 (руб.) и 24 • 10 = 240 (руб.)).

В задании 32 предлагается для изучения уже совсем другая задача, хотя в ее формулировке также речь идет о результате разностного сравнения. Принципиальное отличие состоит в том, что к данному результату разностного сравнения искомых величин (чисел) добавляется информация не о результате сложения этих величин (чисел), а о результате еще одного разностного сравнения этих же величин (чисел), только выраженных в других единицах (в лукошках, а не в граммах). Тот факт, что речь идет о разностном сравнении одних и тех же величин, позволяет приравнять два полученных результата и установить соотношение между этими единицами. Таким образом, если мы рассмотрим предлагаемое решение с вычисленным ответом, то без особого труда можно установить, что первым действием выполняется разностное сравнение двух величин, первая из котоКогда известен результат разностного сравнения»

рых характеризует малину, собранную Машей, а вторая – собранную Мишей, причем измеряется эта малина лукошками. Во втором действии предлагается разделить результат разностного сравнения указанных выше величин в граммах на результат сравнения этих же величин в лукошках. В результате такого деления мы устанавливаем, сколько граммов малины помещается в 1 лукошке. Учащиеся могут сказать, что такое действие выполнять необязательно, так как и без него понятно, что в 1 лукошке как раз и помещаются те 900 г малины, на которые Маша превзошла Мишу. Действительно, в данной ситуации необходимость второго действия не так очевидна, как если бы в результате выполнения первого действия получилось число, отличное от 1. Например, если бы Маша собрала на 2 лукошка больше, то уже необходимость деления на число 2 была бы более очевидна. Именно этот пример и может убедить учащихся в том, что второе действие выполнять необходимо и его результат далеко не всегда можно считать очевидным.

Примечание. В подтверждение сказанных выше слов можно предложить учащимся предварительно решить следующую задачу: «В одном хранилище находилось 2 одинаковых мешка с мукой, а в другом 7 таких же мешков с мукой. Сколько килограммов муки было в каждом хранилище, если во втором было на 250 кг больше, чем в первом?»

После того как учащиеся установят, что в 1 лукошке помещается 900 г малины, они уже могут отвечать на оставшиеся два требования: сколько граммов малины собрал Миша (900•2 = 1 800 (г)) и сколько граммов малины собрала Маша (900•3 = 2 700 (г)).

В задании 33 учащимся еще раз предлагается рассмотреть задачу «на сумму и разность», только теперь мы акцентируем внимание на построении соответствующей схемы самими учащимися. При этом мы как бы не говорим о схеме, а говорим об изображении двухцветного карандаша определенной длины (15 см) с тем условием, что его красная часть на 3 см больше, чем синяя часть. Изображение такого карандаша с помощью двухцветной полоски как раз и позволит учащимся построить схему для решения задачи «на сумму и разность». Важным элементом этой схемы является указание соответствующих длин с помощью дуг. Когда такая схема построена, то уже без особого труда можно записать выражение, с помощью которого можно вычислить удвоенную длину большей (красной) части карандаша (15 + 3 = 18 (см)) и удвоенную длину меньшей (синей) части карандаша (15 – 3 = 12 (см)). Разделив полученные величины пополам, можно вычислить длину каждой части (18 : 2 = 9 (см) и 12 : 2 = 6 (см)).

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий тема: «когда известен результат кратного сравнения»

(2 урока) При изучении этой темы мы познакомим учащихся с задачами, которые в методике принято называть задачами «на сумму и частное».

Для решения таких задач имеет смысл применять схематическое моделирование, аналогичное тому, которое мы применяли для задач «на сумму и разность». Основой такого моделирования является понятие «части», которое позволяет достаточно легко строить полоски (отрезки), изображающие результат кратного сравнения двух величин (чисел): если, например, нужно проиллюстрировать две величины, одна из которых в 4 раза больше, чем другая, то меньшую величину мы принимаем за 1 часть и изображаем ее некоторой полоской (отрезком); вторая величина будет составлять 4 части и изображаться четырьмя такими полосками (отрезками). Так как в условии рассматриваемых задач имеется информация о сумме искомых величин, то окончательная схема должна представлять полоску (отрезок), составленную из двух ранее построенных полосок (отрезков). На основании такой схемы без особого труда можно найти решение соответствующей задачи. Сачала нужно узнать, сколько частей составляет сумма искомых величин, после этого с помощью деления определить величину 1 части (это и будет меньшая из искомых величин), а потом с помощью умножения или вычитания величину всех оставшихся частей (это и будет большая из искомых величин).

В задании 34 мы предлагаем проанализировать ситуацию, в которой описывается сюжет задачи на «сумму и частное». Этот анализ мы помогаем провести учащимся за счет системы вопросов, отвечая на которые учащиеся как раз и смогут акцентировать внимание на всех этапах решения задачи «на сумму и частное». Во-первых, они должны четко понимать, что если меньшая из искомых величин принимается за 1 часть, то во всей сумме число частей на 1 больше, чем результат кратного сравнения искомых величин. Так, в рассматриваемом случае во всей сумме 8 частей, а результат кратного сравнения искомых величин равен 7. Во-вторых, они должны усвоить, что с помощью деления величины всей суммы на число всех частей можно узнать величину 1 части (или меньшую из искомых величин). Что касается второй искомой величины, то ее можно вычислить либо с помощью умножения (увеличив величину 1 части в соответствующее число раз), либо с помощью вычитания (вычитая найденную уже меньшую искомую величину из всей суммы).

В задании 35 предлагается формулировка стандартной задачи «на сумму и кратное». При этом данная задача сопровождается соответКогда известен результат кратного сравнения»

ствующей схематической иллюстрацией. При анализе этой схемы нужно обратить внимание учащихся на то, что вся полоска разделена на 6 равных частей (1 + 5 = 6 (ч.)) и что известна длина всех 6 частей. Это означает, что с помощью деления легко можно узнать длину 1 части, а потом с помощью вычитания длину оставшихся 5 частей. После такого анализа учащиеся без особого труда смогут остановить свой выбор на 1-м варианте как варианте решения данной задачи.

В задании 36 учащиеся решают задачу «на сумму и частное». В помощь им предлагается схематическая иллюстрация, но она является незавершенной: на схеме не показано число учеников, занимающихся в двух кружках, т. е. число 45. Целесообразно предложить учащимся перечертить данную схему в свою тетрадь и дополнить ее информацией о числе учащихся, занимающихся в двух кружках.

После этого решение данной задачи можно выполнять по аналогии с решением задачи из предыдущего задания.

В задании37 учащимся предлагается сформулировать задачу по данной краткой записи. Информация, имеющаяся в краткой записи, четко определяет не только тип задачи (речь идет о задаче «на сумму и частное»), но и сюжет этой задачи. Приведем пример такой задачи: «В двух бригадах работало 48 человек. Сколько человек работало в каждой бригаде, если во 2-й бригаде работало в 3 раза больше людей, чем в первой?» Для решения такой задачи учащиеся могут использовать построение соответствующей схемы, а могут этого и не делать, если они уже усвоили способ решения таких задач.

В задании 38 учащиеся решают задачу «на сумму и частное», сюжет которой носит не бытовой, а арифметический характер.

Предлагаемая диаграмма сравнения, иллюстрирующая искомые числа, призвана помочь учащимся в их поиске. Из этой диаграммы легко получается уже привычная им схематическая иллюстрация задачи «на сумму и частное». Для этого нужно лишь соединить две разноцветные полоски в одну и обозначить на схеме величину всей полоски (350) и число частей в каждой из разноцветных полосок (1 ч. и 9 ч.). После получения такой иллюстрации решение задачи выполняется по уже известной учащимся схеме.

В задании 39 учащимся предлагается самим сформулировать задачу «на сумму и частное». При этом начать они должны с выбора двух двузначных чисел, для которых можно вычислить значение их частного. Эти числа как раз и будут являться искомыми в сформулированной далее задаче. Начинать с выбора этих чисел вынуждает нас то обстоятельство, которое связано с ограничениями в выТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий полнении действия деления на множестве натуральных чисел: если заранее не позаботится о том, чтобы деление было выполнимо, то учащиеся, скорее всего, сформулируют задачу, в которой они не смогут вычислить ответ. После того как такие числа выбраны и вычислены значение их суммы и значение их частного, учащиеся могут формулировать задачу по отысканию этих чисел, если известно значение их суммы и известно, во сколько раз одно число больше другого. Решать такую задачу ученику, который ее формулировал, не имеет смысла, так как он с самого начала знал искомые числа.

Поэтому сформулированную задачу нужно предложить для решения соседу по парте.

Задание 40 относится к заданиям повышенной сложности.

В этом задании предлагается «в чистом виде» задача «на сумму и частное». Для ее решения сначала нужно истолковать результат деления искомых чисел как результат их кратного сравнения. После этого задача приобретает знакомый учащимся вид: известен результат сложения двух чисел и результат их кратного сравнения.

Для нахождения решения можно построить соответствующую схему, а можно обойтись и без нее, приняв меньшее искомое число за 1 часть, что позволит большее искомое число рассматривать как 8 частей. Это будет означать, что в сумме искомых чисел содержится 9 частей, и можно вычислить величину 1 части, разделив 180 на 9. Таким образом, получится, что меньшее число равно 20, а большее – 160.

В задании 41 предлагается решить несколько задач, которые объединены общим условием. Если рассмотреть только первое из предложенных требований, то вместе с условием получится формулировка стандартной задачи «на сумму и частное», в которой требуется найти меньшую из двух искомых величин. Решение этой задачи не составит особого труда для учащихся, так как аналогичные задачи они уже много раз решали. После того как будет вычислена стоимость ручки (1 + 5 = 6 (ч.), 48 : 6 = 8 (руб.)), можно переходить к вычислению стоимости набора фломастеров (48 – 8 = 40 (руб.)).

Далее можно вычислить стоимость 10 таких ручек (8 • 10 = 80 (руб.)) и 3 таких наборов фломастеров (40 • 3 = 120 (руб.)). С помощью выражения 48 : (5 + 1)•5, которое приведено в тексте задания, можно вычислить стоимость 5 таких ручек.

тема: «Учимся решать задачи»

Мы предлагаем подборку задач, с помощью которых учащиеся смогут поупражняться в умении решать задачи, рассмотренные в предыдущих двух темах, а также развить эти умения в плане решения аналогичных задач, но с дополнительными усложнениями.

В задании 42 учащиеся сначала составят краткую запись к данной задаче «на сумму и разность», заполнив соответствующую таблицу в тетради. После этого они должны решить данную задачу, опираясь либо только на краткую запись, либо еще и на соответствующую схему, которую учитель может предложить им построить самостоятельно, а может оказать помощь в ее построении.

Задание 43 относится к заданиям повышенной сложности. Трудность этого задания заключается в том, что сразу эту задачу нельзя отнести к задачам «на сумму и разность», хотя по своей сути она таковой и является. Если учащиеся обратят внимание на тот факт, что, уменьшив число 240 в 2 раза, можно получить значение разности искомых чисел (240 : 2 = 120), то данная задача приобретает знакомый для учащихся вид: известно значение суммы двух чисел (240) и значение их разности (120), и нужно найти эти числа.

В задании 44 учащимся еще раз предлагается поупражняться в решении задачи «на сумму и разность». Особенностью этой задачи является использование в качестве единицы стоимости не только рублей, но и копеек. Соотношение между этими единицами мы на страницах учебника не вводили, но учащиеся должны быть с ним знакомы на основании имеющегося у них опыта повседневной жизни. Если же кто-то из учащихся такого опыта не имеет, то учитель без особого труда может устранить этот пробел, а главное, для выполнения данного задания знание этого соотношения не является обязательным: числовые данные подобраны таким образом, что для выполнения требуемых вычислений не нужно осуществлять перевод из рублей в копейки и, наоборот, из копеек в рубли. После выполнения всех вычислений будет установлено, что линейка стоит 20 руб., ручка – 25 руб. 50 коп., а 5 таких линеек – 100 руб.

В задании 45 учащимся предлагается сначала составить краткую запись данной задачи «на сумму и частное», заполнив в тетради соответствующую таблицу. После этого они должны самостоятельно сделать чертеж (составить схему) к данной задаче, приняв за 1 часть число учащихся, занимающихся в первой секции. Эта схема будет представлять собой полоску, изображающую число всех учащихся (80 чел.) и разбитую на 4 равные части, где 1 часть соответствует числу занимающихся в первой секции, а оставшиеся 3 части – числу занимающихся во второй секции. После составления такой схемы решить данную задачу не составит особого труда.

В задании 46 еще раз предлагается поупражняться в решении задачи «на сумму и разность», только теперь сюжет этой задачи имеет геометрический характер. По своей математической сути Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий это стандартная задача «на сумму и разность», поэтому ее решение учащиеся могут найти либо с помощью построенной предварительно схемы, либо по аналогии с решением других задач такого типа.

Задание 47 является естественным продолжением предыдущего задания. Это задание легко сводится к предыдущему, если учащиеся вспомнят о том, что, разделив данный периметр пополам, мы получим сумму длин двух сторон прямоугольника (24 : 2 = 12 (см)), то с этого момента данная задача будет полностью повторять предыдущую. По этой причине ответ на последний вопрос данного задания должен быть утвердительным.

Задание 48 по форме очень похоже на задание 46. Отличие состоит в том, что в этом задании учащимся предлагается уже не задача «на сумму и разность», а задача «на сумму и частное». При этом сюжет данной задачи имеет, как и в двух предыдущих заданиях, геометрический характер. Для поиска решения этой задачи они могут предварительно построить соответствующую схему, а могут рассуждать по аналогии, опираясь на опыт решения стандартных задач на «сумму и частное».

Задание 49 следует рассматривать в паре с предыдущим заданием. Для этой пары заданий имеет место ситуация совершенно аналогичная той, которую мы имели для заданий 46 и 47. Поэтому методика работы с заданием 49 будет полностью повторять методику работы с заданием 47.

В задании 50 учащимся предлагается решить задачу «на две разности», с которыми они познакомились при выполнении задания 32. Напомним, что идея решения таких задач состоит в сопоставлении двух результатов разностного сравнения одних и тех же величин, но выраженных в разных единицах. В данном случае речь пойдет о сравнении двух множеств тетрадей по числу элементов (10 – 7 = 3 (т.)), а в другом – по их стоимости (75 руб.). После сопоставления этих результатов можно установить стоимость 1 тетради (75 : 3 = 25 (руб.)), а далее вычислить стоимость 5 таких тетрадей (25•5 = 125 (руб.)).

В задании 51 учащимся предлагается самим сформулировать задачу «на две разности» по данной схематической иллюстрации. На основании данной схемы можно установить, что в задаче должна идти речь о 5 одинаковых мешках и 3-х таких же мешках с какимто продуктом, при этом в 5 мешках этого продукта содержится на 50 кг больше, чем в 3-х таких же мешках. Что же касается требования этой задачи, то оно на схеме не представлено, и выбрать его учащиеся могут по своему усмотрению. Можно спросить о массе продукта в 1-м мешке, можно спросить о массе продукта в 3-х таких мешках, а можно спрашивать и о массе продукта в любом другом количестве таких мешков.

Задание 52 можно рассматривать как задачу «на две разности» с недостающими данными: результат разностного сравнения площадей данных фигур известен (3 кв. см), но неизвестен результат разностного сравнения чисел квадратов, из которых состоит каждая фигура. Это недостающее данное легко узнать с помощью простого подсчета числа квадратов, составляющих каждую фигуру, и проведения разностного сравнения полученных чисел. Итак, первая фигура состоит из 7 квадратов, а вторая – из 10 таких квадратов. Результат разностного сравнения этих чисел равен 3. Это означает, что эти 3 квадрата имеют площадь 3 кв. см, то есть 1 квадрат имеет площадь 1 кв. см. После установления такого соотношения между квадратом и его площадью легко определить площадь каждой фигуры (1 кв. см •7 = = 7 кв. см и 1 кв. см •10 = 10 кв. см) тема: «Алгоритм умножения столбиком» (1–2 урока) При изучении данной темы мы вместе с учащимися завершаем построение алгоритма умножения столбиком. Вся подготовительная работа для этого была проделана ранее, во втором полугодии третьего класса. При этом необходимое повторение предусмотрено в процессе выполнения первых двух заданий данной темы. Что же касается формулировки самого алгоритма, то мы не требуем от учащихся в обязательном порядке ее воспроизведения в полном объеме. Для нас, прежде всего, важно, чтобы учащиеся умели правильно применять этот алгоритм и объяснять свои действия в процессе его применения. Описание самого алгоритма учащиеся смогут найти в словаре учебника (ч. 1, с. 115). Другими словами, изучение алгоритма умножения столбиком построено по той же методической схеме, что и изучение алгоритмов сложения и вычитания столбиком.

В задании 53 предлагается повторить способ умножения столбиком многозначного числа на однозначное. При этом речь идет не только о повторении этого способа умножения в практическом плане для конкретного случая умножения, но и о повторении соответствующих теоретических позиций, описывающих все возможные ситуации, с которыми можно столкнуться при выполнении умножения многозначного числа на однозначное столбиком. Особое внимание учащихся нужно обратить на те случаи умножения, когда имеет место переход через разряд.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий Задание 54 является логическим продолжением предыдущего задания. Во-первых, оно также направлено на повторение способа умножения столбиком, только теперь речь идет об умножении многозначного числа на двузначное. Во-вторых, учащимся предлагается рассмотреть случай умножения числа 2 052 на число 23, который включает в себя в качестве промежуточного случай умножения числа 2 052 на число 3, о котором речь шла в предыдущем задании. Особенностью данного задания по сравнению с предыдущим является то, что от учащихся мы не требуем практического выполнения способа умножения столбиком на двузначное число. Мы требуем только, опираясь на приведенный пример, дать объяснения всем основным этапам этого способа, обращая особое внимание на те отличия, которые существуют между случаем умножения на данное число единиц и случаем умножения на данное число десятков второго множителя. Очень важно подчеркнуть тот факт, что при умножении на данное число десятков запись получающегося результата следует начинать именно с разряда десятков, а в разряде единиц этого результата сразу можно писать цифру 0, либо оставлять это место свободным (получая тем самым запись промежуточных результатов умножения «лесенкой»), предполагая все же, что цифра 0 здесь должна быть записана, но для сокращения записи мы этого не делаем. Полученную таким образом запись столбиком двух промежуточных результатов умножения (результат умножения на число единиц и результат умножения на число десятков второго множителя) удобно использовать для выполнения заключительного этапа рассматриваемого способа умножения столбиком, который заключается в сложении этих результатов. Это сложение в таком случае можно выполнить с применением алгоритма сложения столбиком.

В задании 55 учащимся предлагается сформулировать алгоритм умножения столбиком, ответив на соответствующие вопросы и опираясь на данный пример. Важной методической особенностью приведенного в тексте задания примера является то, что он включает в себя в качестве составляющих случаи умножения числа 2052 на число 3 и на число 23, которые подробно рассматривались при выполнении двух предыдущих заданий. Перечень вспомогательных вопросов мы предлагаем, во-первых, для того, чтобы упростить для учащихся выполнение данного задания, а во-вторых, чтобы еще раз подчеркнуть, что для нас важно научить учащихся правильно выполнять данный алгоритм для любых многозначных чисел, а также правильно отвечать на вопросы, которые касаются его выполнения. Полную формулировку алгоритма учащимся ни запоминать, ни самостоятельно воспроизводить не нужно. При необходимости с возможным вариантом такой формулировки они могут познакомиться, если обратятся к словарю учебника (ч. 1, с. 115).

При выполнении задания 56 учащиеся смогут закрепить полученные умения по выполнению умножения многозначных чисел столбиком. При анализе выполнения этого задания учитель еще раз может поставить перед учащимися вопросы, на которые они отвечали в предыдущем задании.

При выполнении задания 57 от учащихся на первом этапе потребуется умение выполнять умножение столбиком. Если изученный алгоритм умножения столбиком они выполнят правильно, то легко смогут установить, какая из записей второй строки соответствует записи первой строки. Для того чтобы записи второй строки были расположены в правильном порядке, достаточно поменять местами первую и вторую записи. Если учащиеся сделают попытку восстановить правильные записи в полном объеме без выполнения алгоритма умножения столбиком для каждого из указанных случаев, то они для этого могут привлечь имеющиеся у них знания об умножении столбиком и о свойствах действия умножения. Например, можно опираться на тот факт, что число 540 отличается от числа в 10 раз. На основании этого можно сделать вывод, что результаты умножения числа 467 на число 54 и на число 540 также будут отличаться в 10 раз. В качестве такой пары результатов у нас имеются числа 25 218 и 252 180. Таким образом, можно установить, что «столбик» с результатом 252 180 соответствует случаю умножения числа 467 на число 540 (т. е. расположен во второй строке на правильном месте), а «столбик» с результатом 25 218 соответствует случаю умножения числа 467 на число 54 и должен быть расположен во второй строке на втором месте. Все это означает, что оставшийся «столбик» с результатом 235 368 соответствует случаю умножения числа 467 на число 504 и должен быть расположен во второй строке на первом месте. Учащиеся могут рассмотреть и другие обоснования установления соответствия между заданиями на умножение столбиком и записью их выполнения, но в каждом таком случае учитель должен детально разобраться и оценить их состоятельность.

тема: «Поупражняемся в вычислениях столбиком»

В данной теме мы предлагаем подборку заданий, которые позволят учащимся поупражняться в сложении, вычитании и умножении столбиком.

В задании 58 учащимся предлагается выполнить сложение столбиком для случая, когда число слагаемых равно трем. При этом Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий количество цифр в записи каждого слагаемого варьируется, и учащиеся получают возможность поупражняться в таких случаях сложения столбиком, которые чем-то напоминают случаи сложения, возникающие в результате применения алгоритма умножения столбиком (речь идет о расположении слагаемых «лесенкой»). Особое внимание следует обратить на последний случай, так как именно он будет входить составной частью в запись умножения столбиком, с которой они будут работать при выполнении следующего задания.

В задании 59 учащимся предлагается проанализировать пример выполнения умножения столбиком на трехзначное число. Сначала они должны проверить правильность умножения числа 2 052 на каждое разрядное слагаемое второго множителя, а уже потом объяснить, почему можно не записывать нули в конце записи результатов умножения на 2 десятка и на 4 сотни. В этом объяснении обязательно должна быть ссылка на то, что при записи в столбик четко определяется местоположение каждого разряда, и отсутствие цифры в данной позиции означает, что эту позицию занимает цифра 0, хотя она и не написана. При анализе выполнения алгоритма умножения столбиком на этапе сложения полученных промежуточных результатов можно обратить внимание учащихся на то, что в четвертом столбике из предыдущего задания как раз и записаны те же самые слагаемые, только все нули в этой записи явно присутствуют. Если же мы обратим свое внимание на третий столбик предыдущего задания, то при поверхностном анализе может показаться, что речь идет о тех же самых числах, хотя на самом деле это не так – лишь первое число (6 156) совпадает, а второе (4 104) и третье (8 208) соответственно в 10 и 100 раз меньше, чем полученные при выполнении алгоритма умножения столбиком.

В задании 60 предлагается поупражняться в умножении столбиком. При этом выполнение каждого следующего задания можно осуществлять, опираясь на предыдущее. Это позволит несколько упростить вычисления.

При выполнении задания 61 учащиеся имеют возможность не только поупражняться в выполнении алгоритмов сложения, вычитания и умножения столбиком, но и повторить правила порядка выполнения действий.

тема: «тысяча тысяч, или миллион» (1 урок) Данной темой открывается тематический блок, который посвящен изучению вопросов нумерации. Сначала речь пойдет о введении новой разрядной единицы – миллиона. С числом 1 000 000 учащиеся уже познакомились в 3 классе, но как разрядную единицу это число они еще не рассматривали. Тем более речь еще пока не заходила о классе миллионов. Из названия темы легко установить, что миллион мы будем вводить на основе другой классообразующей разрядной единицы – тысячи. Именно рассмотрение тысячи тысяч и позволит нам ввести миллион.

В результате выполнения задания 62 учащиеся смогут познакомиться с наглядной моделью миллиона, построенной на основе куба размером 10х10х10 (ед.), который разбит на 1000 маленьких кубиков. Если из 1 000 таких кубов построить новый куб, то в нем будет содержаться 1 000•1 000 маленьких кубиков. Используя правило умножения на число 1 000, учащиеся самостоятельно могут установить, что значением такого произведения будет число 1 000 000, которое им знакомо как наименьшее семизначное число и которое носит название миллион.

При выполнении заданий 63 и 64 учащиеся познакомятся с двумя другими вариантами получения числа миллион с помощью умножения. Оба эти варианта можно получить на основе правил умножения на число 100 и на число 10 (1 000 000 = 10 000•100, 1 000 000 = 100 000•10).

При выполнении заданий 65 и 66 учащиеся имеют возможность зафиксировать местоположение числа 1 000 000 в натуральном ряду чисел: будут записаны числа 999 999 и 1 000 001, первое из которых непосредственно предшествует числу 1 000 000, а второе – за ним непосредственно следует. Внимание учащихся следует обратить и на тот факт, что результатом разностного сравнения натуральных соседних чисел всегда является число 1.

В задании 67 предлагается выполнить кратное сравнение чисел 1 000 000 и 10. Сделать это они могут на основе правила деления на число 10.

В задании 68 учащиеся решают простую задачу на умножение, решение которой можно записать в виде произведения числа на число 1 000. При вычислении ответа этой задачи они могут воспользоваться уже известным им соотношением из задания 62.

В задании 69 учащимся предлагается сформулировать задачу, при вычислении ответа которой получалось бы число 1 000 000.

Сделать это они могут либо по аналогии с формулировкой задачи из предыдущего задания, либо используя другие известные им способы получения числа 1000000, например с помощью произведения 100 000•10. В этом случае можно предложить учащимся в качестве одного из данных использовать 100 т = 100 000 кг или 100 км = 100 000 м. Приведем пример такой задачи: «В хозяйстве Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий собрали 100 т картофеля, а свеклы в 10 раз больше. Сколько килограммов свеклы собрали в этом хозяйстве?»

тема: «Разряд единиц миллионов и класс миллионов»

(1 урок) При изучении данной темы учащиеся познакомятся с седьмым разрядом разрядной таблицы, который называется разрядом единиц миллионов, а также с классом миллионов, в состав которого входят седьмой, восьмой и девятый разряды, т. е. разряд единиц миллионов, разряд десятков миллионов и разряд сотен миллионов.

При выполнении задания 70 учащиеся получают возможность познакомиться с разрядом единиц миллионов, который имеет седьмой порядковый номер и к необходимости введения которого учащиеся приходят самостоятельно на основе выхода из проблемной ситуации, связанной с записью в разрядную таблицу числа 1 000 000.

В задании 71 учащимся предлагается сначала записать число 1 111 111 в разрядную таблицу, а потом представить его в виде суммы разрядных слагаемых. Самое большое из этих слагаемых (1 000 000) не будет относиться ни к разрядным слагаемым класса единиц (1, 10 и 100), ни к разрядным слагаемым класса тысяч (1 000, и 100 000). Это слагаемое относится к третьему классу – классу миллионов, о чем и сообщается учащимся. При этом учащиеся вспоминают, что в каждом классе должно быть по три разряда, следовательно, класс миллионов состоит из седьмого, восьмого и девятого разрядов, названия которым учащиеся могут дать самостоятельно по аналогии с названиями разрядов класса тысяч.

В задании 72 предлагается записать в порядке возрастания все разрядные слагаемые, которые относятся к разряду единиц миллионов. В результате должна получиться следующая последовательность чисел: 1 000 000, 2 000 000, 3 000 000, …, 9 000 000.

При выполнении задания 73 учащиеся имеют возможность поупражняться в построении таблицы разрядов и классов (для трех классов) и в записывании числа в эту таблицу. При этом им предлагается записать девятизначное число, в состав которого входят разрядные слагаемые всех девяти разрядов (в записи этого числа не используется цифра 0).

При выполнении задания 74 учащиеся получают возможность применить знакомые им принципы устной нумерации для построения названия девятизначного числа. В качестве примера используется то же самое число, о котором речь шла в предыдущем задании. Это сделано для того, чтобы установить смысловую связь между процедурой разбиения записи числа на классы и процедурой записи числа в таблицу разрядов и классов. Особо следует обратить внимание учащихся на то, что разбиение на классы нужно производить, отсчитывая по 3 разряда справа налево. Для данного числа это не имеет принципиального значения, так как в старшем классе заполнены все три разряда, но в других случаях отсчет классов слева направо может привести к серьезной ошибке. Таким образом, учащиеся должны четко усвоить, что для построения названия числа нужно разбить его запись на классы (отсчитывая по три разряда справа налево), после чего называть каждое из полученных трехзначных чисел с добавлением названия соответствующего. При этом начинать называть нужно со старшего класса, а класс единиц называть не нужно. В качестве дополнения к этому заданию можно рассмотреть названия чисел, запись которых содержит цифру 0. Например, можно рассмотреть числа 125 603 250, 36 008 012, 5 005 005 и др.

В задании 75 предлагается восстановить цифровую запись числа по его названию и записать соответствующее число в таблицу разрядов и классов. Для этих целей можно использовать таблицу, построенную при выполнении задания 73. Данное задание лучше выполнять в два этапа: сначала перевести название числа в цифровую запись, а потом перенести эту запись в таблицу. Особое внимание нужно обратить на случаи пропуска разрядов в названии числа: каждый такой пропущенный разряд в цифровой записи должен быть обозначен цифрой 0, за исключением тех старших разрядов, которые предшествуют первой значащей (отличной от 0) цифре.

тема: «когда трех классов для записи числа недостаточно»