«МАТЕМАТИКА 4 КЛАСС Методическое пособие Под редакцией Р.Г. Чураковой МосКвА АКАдЕМКНИГА/УЧЕбНИК 2012 УДК 51(072.2) ББК 74.262.21 Ч-37 Чекин А.Л. Ч-37 Математика [Текст] : 4 кл. : Методическое пособие / А.Л. Чекин; под. ...»

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий Примечание. Для рассмотренной формы записи, которую мы назвали записью столбиком, часто употребляется и другое название. Эту запись еще называют записью «уголком».

Такое название тоже имеет право на существование, но мы остановили свой выбор на первом варианте названия, так как он очень хорошо укладывается в логику используемой терминологии для других арифметических действий.

При выполнении задания 227 учащиеся смогут поупражняться в построении записи столбиком на основании имеющейся записи деления с остатком в строчку.

В задании 228 от учащихся требуется осуществить обратные действия (по отношению к тем действиям, о которых речь шла в предыдущем задании): по данной записи столбиком построить запись деления с остатком в строчку.

тема: «Способ поразрядного нахождения результата деления» (1 урок) Этой темой мы продолжаем целенаправленную работу по освоению учащимися алгоритма деления столбиком. В данном случае речь пойдет о способе поразрядного нахождения результата деления, когда этот результат (неполное частное или значение частного) является двузначным числом. Указанный способ основан на двукратном повторении деления с остатком с использованием записи столбиком. Вся подготовительная работа была проведена при изучении предыдущей темы.

В тексте задания 229 описан способ поразрядного нахождения результата деления. Для раскрытия смысла и идеи этого способа мы предлагаем учащимся проанализировать ситуацию, в которой весь интересующий нас способ разбит на отдельные шаги (действия), которые можно записать отдельными действиями, используя запись в строчку. При этом важно обратить внимание на то, что сложение двух полученных результатов деления (20 и 3) в такой записи осуществляется автоматически с помощью совмещения записей двух однозначных чисел (2 и 3) в запись одного двузначного числа (23).

В задании 230 учащимся предлагается самостоятельно повторить алгоритм, описанный в предыдущем задании, на примере деления числа 96 на число 3.

В задании 231 описан алгоритм поразрядного деления для случая, когда число десятков не делится нацело на данный делитель (первый шаг предполагает выполнение деления с остатком), что требует выполнения еще одного дополнительного шага по сравнению с алгоритмом, описанным в задании 229.

В задании 232 учащимся предлагается самостоятельно повторить алгоритм, описанный в предыдущем задании, на примере деления числа 86 на число 3.

В процессе выполнения задания 233, сравнивая результаты выполнения заданий 230 и 232, учащиеся знакомятся с возможными особенностями поразрядного способа нахождения результата деления.

В задании 234 учащимся предлагается применить рассмотренный способ деления, но не в полном объеме, а частично. Остановить процесс следует тогда, когда будет получена цифра разряда десятков искомого значения частного, т. е. после выполнения первого шага, в котором осуществляется деление соответствующего числа десятков делимого на данный делитель. Полученную цифру нужно как-то выделить, например подчеркнуть. После этого процесс деления можно продолжить и определить цифру разряда единиц значения частного в каждом из предложенных случаев.

Выполняя задание 235, учащиеся расширят свои познания в применении указанного способа деления. Если ранее им предлагалось в качестве делимого использовать только круглые двузначные числа (см. задание 234), то теперь речь идет об использовании в качестве делимого произвольного двузначного числа. Особенность этого случая заключается в том, что получение делимого для второго деления (16) осуществляется не только с помощью выражения остатка от первого деления (1 дес.) в единицах соседнего «младшего»

разряда, как это делалось раньше, но еще и прибавления к этому числу числа единиц (6) из соответствующего разряда первоначального делимого (1 дес. = 10, 10 + 6 = 16).

В задании 236 учащимся сначала предлагается выполнить поразрядным способом деление с остатком для данных пар чисел, используя сначала запись в строчку, а уже потом запись столбиком.

В задании 237 предлагается поупражняться в переводе записи столбиком поразрядного способа выполнения деления двузначного числа на однозначное в соответствующие записи в строчку.

Выполняя задание 238, учащиеся получают возможность поупражняться в выполнении деления с остатком, используя как запись в строчку, так и запись столбиком. Дополнительно мы напоминаем учащимся, что равенство остатка нулю означает выполнение деления нацело.

Выполняя задание 239, учащиеся еще раз получают возможность повторить названия и роли всех чисел, которые участвуют в записи деления столбиком.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий тема: «Поупражняемся в делении столбиком»

Предлагаем подборку заданий, которые можно использовать для формирования умения выполнять деление столбиком. При этом предлагаемые задания имеют не только тренировочный характер, но и содержат новую для учащихся информацию.

В задании 240 учащиеся поупражняются в делении столбиком, когда деление выполняется нацело. Случаи деления 72 на 6 и на 5 приводят к результату, в котором в разряде десятков находится цифра 1. Случаи деления 58 на 2 и 92 на 4 приводят к результату, в котором в разряде десятков находится цифра 2.

В задании 241 предлагается решить простую задачу на деление.

При вычислении ответа нужно выполнить деление столбиком.

Выполнение задания 242 потребует от учащихся не только умения выполнять деление столбиком, но и детального знания того, как можно получить ту или иную цифру в каждом элементе записи деления столбиком. Рассматривая предложенную запись с пропусками, следует обратить внимание учащихся на то, что еще до нахождения первой из цифр значения частного можно определить количество цифр в нем и обозначить их точками. В дальнейшем эти точки будут постепенно заменяться цифрами.

В задании 243 учащимся предлагается решить задачу, решением которой будет следующее выражение: 45•2 : 2. Для вычисления значения этого выражения нужно применить деление столбиком.

Не исключено, что кто-то из учащихся вообще не станет умножать и делить, а воспользуется известным им свойством: если число сначала увеличить в какое-то число раз, а потом уменьшить в это же число раз, то число в итоге не измениться. Предложившего такой вариант нахождения ответа задачи следует обязательно поощрить.

При выполнении задания 244 учащиеся познакомятся со случаем деления трехзначного числа на однозначное, когда в результате получается двузначное число. Это знакомство осуществляется на основе рассмотрения вспомогательных случаев деления с остатком, записанных в строчку.

В задании 245 учащимся предлагается сравнить две записи:

запись деления столбиком и запись умножения столбиком. Результатом сравнения должно стать понимание того, что запись умножения связана с записью деления, так как в ней описан процесс умножения делителя на значение частного из первой записи. По этой причине в результате должно получиться делимое (число 76), о чем можно было сказать еще до выполнения самого умножения. Более того, при умножении делителя на значение частного (а не наоборот) в качестве промежуточных результатов получаются именно те числа (36 и 4 дес.), которые фигурируют в записи деления столбиком. Это совсем не случайно, так как число 4 дес. и число 36 получаются в результате последовательного умножения разрядных слагаемых значения частного 19 на делитель 4 (1 дес.•4 = 4 дес., 9•4 = 36).

В задании 246 мы знакомим учащихся с новым случаем деления трехзначного числа на однозначное, который характеризуется тем, что в результате получается трехзначное число. Процедура нахождения значения частного в этом случае ничем принципиально не отличается от рассмотренных выше случаев, за исключением того, что теперь нужно выполнять промежуточное деление трижды, а не дважды, как это было ранее. Анализ данной записи деления столбиком поможет учащимся разобраться в этих изменениях и в дальнейшем самим выполнять деления для аналогичных случаев.

тема: «Вычисления с помощью калькулятора»

Эту тему мы регулярно, начиная со 2 класса, включаем в каждую учебную книгу. Ее место в тематическом планировании также остается неизменным – данной темой мы ориентировочно разделяем учебные материалы двух четвертей соответствующего учебного полугодия. Не меняется и характер изучения данной темы – он остается факультативным.

В задании 247 мы знакомим учащихся с возможностями калькулятора, которые позволяют ускорить процесс вычисления значений выражений типа 23 + 23 + 23 + 23 + 23, т. е. таких выражений, в которых несколько раз складываются одинаковые слагаемые. Понятно, что это выражение можно заменить на произведение, а потом вычислить его значение, но это совсем другой вариант решения проблемы сокращения вычислений. В данном случае мы хотели познакомить учащихся именно с той возможностью калькулятора, о которой речь идет в данном задании.

Задание 248 аналогично предыдущему заданию, только в нем речь идет не о сумме одинаковых слагаемых, а о произведении одинаковых множителей. И для таких выражений калькулятор предоставляет аналогичные возможности сокращенных вычислений.

В задании 249 учащимся предлагается сначала вычислить сокращенным способом с помощью калькулятора значения данных выражений, а уже потом с помощью калькулятора осуществить проТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий верку их правильности. Эта проверка предполагает, что в первом случае сумма одинаковых слагаемых будет заменена соответствующим произведением (47•6), а во втором – полученное число нужно будет последовательно четыре раза разделить на 9 (в итоге должно получиться число 9).

В задании 250 учащимся предлагается восстановить пропущенные цифры, используя калькулятор. Начинать восстановление нужно с первого промежуточного результата умножения (надо умножить 867 на 6 и записать на соответствующее место вместо четырех звездочек этой строки). Далее нужно определить число в разряде десятков второго множителя (для этого надо 3 468 разделить на 867) и записать его вместо звездочки в записи второго множителя. После этого следует выполнить сложение двух промежуточных результатов умножения и записать это число вместо пяти звездочек последней строки.

При выполнении задания 251 учащиеся смогут не только поупражняться в знакомых им вычислениях с помощью калькулятора, но и освоить новые технические возможности, которые заключаются в использовании клавиши «М+». С помощью «М+» можно запомнить промежуточный результат с положительным знаком, а с помощью клавиши «MR» этот результат можно восстановить из памяти для дальнейшего использования.

В задании 252 мы продолжаем обучать учащихся пользоваться «памятью» калькулятора. Анализ предложенной последовательности нажатия клавиш должен привести учащихся к восстановлению следующего выражения, значение которого было вычислено:

Понятно, что можно написать и другое выражение, которое получается из приведенного выше перестановкой множителей, но указанный вариант в точности соответствует тому, какое число в проводимых вычислениях выступало в роли первого множителя, а какое – в роли второго множителя.

тема: «Час, минута и секунда» (1 урок) Изучая данную тему, учащиеся получают возможность расширить свои знания о единицах времени: в дополнение к уже известным им единицам времени они знакомятся еще и с такой единицей, как секунда. Рассмотрение этой темы именно сейчас продиктовано тем, что для изучения понятия «скорость» (к чему мы переходим в следующей теме) нам потребуется знание всех указанных в данной теме единиц времени.

При выполнении задания 253 учащиеся познакомятся с понятием «секунда» и с соотношением, которое имеет место между минутой и секундой. На этом этапе урока желательно продемонстрировать учащимся настенные часы с секундной стрелкой, что сделает изучение данной темы более предметным и наглядным.

В задании 254 учащимся предлагается выразить в секундах данные временные промежутки, которые измерены в минутах. Для этого они должны воспользоваться соотношением из предыдущего задания.

При выполнении задания 255 учащиеся смогут установить соотношение между часом и секундой. Установление данного соотношения (1 ч = 3 600 с) основано на двукратном увеличении в 60 раз 1 секунды, т. е. 1 ч = 60•60•1 с = 3 600 с.

В задании 256 требуется выразить данные временные промежутки в секундах. Для этого учащиеся должны воспользоваться при необходимости как соотношением из задания 253, так и соотношением из предыдущего задания.

Например: 1 ч 10 мин = 1 ч + 10 мин = 3600 с + 600 с = 4 200 с.

Для выполнения задания 257 учащиеся сначала должны вычислить с помощью сложения продолжительность урока и перемены (45 мин + 15 мин = 60 мин = 1 ч), а уже потом выразить эту продолжительность в секундах (1 ч = 3 600 с). Если переводить в секунды отдельно продолжительность урока и продолжительность перемены, то это потребует достаточно сложных вычислений.

Для того чтобы выполнить задание 258, учащиеся должны сначала перевести все временные промежутки в секунды, а уже потом расположить их в порядке возрастания. Для перевода величины 59 мин 59 с в секунды нужно воспользоваться следующими рассуждениями: 59 мин 59 с = 1 ч – 1 с = 3600 с – 1 с = 3 599 с. Данные временные промежутки должны быть выстроены следующим образом: 59 мин 59 с; 1 ч 10 с; 1 ч 1 мин = 60 мин 60 с; 1 ч 1 мин 1 с; 62 мин.

В задании 259 от учащихся требуется вычислить в секундах продолжительность мультфильма, если он длится 9 мин 20 с. Для этого достаточно выразить в секундах 9 минут (60•9 = 540 (с)), после чего увеличить полученную величину на 20 с (540+20 = 560 (с)).

В задании 260 учащимся предлагается определить победителя соревнований по бегу, если известны результаты бежавших спортсменов. Для этого они должны выбрать самый маленький по продолжительности результат. Удобнее это делать тогда, когда все результаты выражены в одних и тех же единицах, в частности в секундах. Быстрее всех пробежал спортсмен под номером 4, так как затраченное им время является наименьшим.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий Для ответа на вопрос, поставленный в задании 261, учащиеся сначала должны выразить продолжительность телепередачи в секундах (1 ч 10 мин = 3 600 с + 600 с = 4 200 с). После этого можно вычислять продолжительность самого сюжета передачи:

4 200 с – 360 с = 3 840 с.

В задании 262 требуется по данным из таблицы (тариф и продолжительность) вычислить стоимость телефонных переговоров.

Для этого сначала нужно провести согласование используемых единиц (продолжительность выразить в минутах). Так, например, 300 с = 5 мин, 3 руб./мин •5 мин = 15 руб. Аналогично выполняются и другие вычисления. Можно в пропедевтическом плане обратить внимание учащихся на то, что величина «тариф» аналогична величине «скорость».

тема: «кто или что движется быстрее?» (1 урок) При изучении данной темы учащиеся на основании имеющегося у них опыта будут анализировать предлагаемые ситуации с позиции отношения «быстрее-медленнее». Такая работа позволит целенаправленно подвести учащихся к рассмотрению понятия скорости.

В задании 263 учащимся предлагается объяснить, каким образом судьи определяют место спортсмена в соревнованиях по бегу. Для этого они могут опираться на результаты выполнения задания 260.

Итогом выполнения данного задания должно стать понимание следующей зависимости: чем меньше затраченное время, тем быстрее бежал спортсмен, а значит, тем выше его результат. Таким образом, первое место занимает тот, кто показывает самый меньший по времени результат.

Примечание. Проведенные выше рассуждения имеют право на существование лишь при условии, что все спортсмены пробежали одну и ту же дистанцию, т. е. когда длина пройденного пути остается постоянной.

В задании 264 учащимся предлагается проанализировать принципиально другую ситуацию по сравнению с предыдущим заданием. Теперь постоянным является затраченное время, а изменяется длина пройденного пути. В итоге учащиеся должны понять, что быстрее движется тот объект, который за одно и то же время преодолевает большее расстояние.

Для выполнения задания 265 учащиеся должны применить вывод, сделанный в предыдущем задании. Но предварительно они должны выполнить сравнение расстояний, выраженных в разных единицах (так как 2 км = 2 000 м, то 2 км больше, чем 1 500 м). Таким образом, быстрее двигался автомобиль.

При выполнении задания 266 учащиеся сначала должны определить, какое максимальное расстояние Миша может преодолеть за 1 ч 30 мин. Сделать это они могут следующим образом: если за 1 ч Миша может преодолеть 3 км, то за 30 мин (половина часа) он может преодолеть 1500 м = 1 км 500 м, а за 1 ч 30 мин – 4 км 500 м (3 км + 1 км 500 м = 4 км 500 м). Таким образом, расстояние в 5 км Миша преодолеть не сможет.

В задании 267 учащимся предлагается назвать из известных им средств передвижения самое быстрое. Скорее всего, они назовут ракету, но могут назвать и самолет, если ракету не отнесут к средствам передвижения. Во второй части задания учащиеся должны расположить указанные средства передвижения по порядку от самого быстрого к самому медленному. Искомая последовательность должна быть такой: ракета, самолет, вертолет, автомобиль, велосипед, лодка без мотора.

В задании 268 учащимся предлагается назвать животных, которые могут очень быстро передвигаться по земле. Такими животными являются страусы, антилопы, гепарды и некоторые другие. Самый быстрый зверь на земле – это гепард.

В задании 269, наоборот, речь идет о самых медленных животных. Примеры таких животных вошли в разговорную практику как символы медлительности. Такими общепринятыми символами медлительности являются черепаха и улитка.

Задание 270 относится к заданиям повышенной сложности.

В процессе его выполнения мы фактически подводим учащихся к введению понятия скорости. Так как автомобиль по условию задания движется равномерно, то интересующее расстояние можно вычислить на основе сравнения временных промежутков: во сколько раз отличаются временные промежутки, во столько же раз отличаются пройденные расстояния. Так как 120 мин в 2 раза больше, чем 1 ч, то пройденное расстояние будет в 2 раза больше данного, т. е. 160 км (80 км •2 = 160 км). Так как 30 мин в 2 раза меньше, чем 1 ч, то пройденное расстояние будет в 2 раза меньше данного, т. е.

40 км (80 км :2 = 40 км). За 15 мин можно преодолеть расстояние еще в 2 раза меньше, чем за 30 мин, т. е. 20 км (40 км : 2 = 20 км).

Последний вопрос данного задания возвращает учащихся к оценке возможной скорости транспортного средства. За 1 ч преодолеть 1 000 км можно на самолете. (Для справки: реактивный пассажирский самолет развивает скорость до 960 км/ч, а сверхзвуковой (Конкорд, ТУ-144) – более 2 000 км/ч.) Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий тема: «Длина пути в единицу времени, или скорость»

(1 урок) В процессе изучения данной темы состоится знакомство учащихся с таким понятием, как «скорость». При этом мы будем вести речь лишь о средней скорости как длине пути, пройденной в единицу времени. Более того, когда мы будем определять скорость движения на некотором участке пути или в некоторый промежуток времени, то мы будем исходить из предположения, что весь процесс движения происходит с постоянной скоростью, даже если об этом специально ничего не сказано.

От учащихся мы не будем требовать обязательного употребления термина «средний» при упоминании скорости – им разрешается употреблять просто термин «скорость», но понимать, что речь идет о средней скорости должны все, прежде всего, сам учитель, а также и учащиеся.

При выполнении задания 271 учащиеся познакомятся с понятием средней скорости и с наиболее распространенным наименованием этой величины (км/ч). Для второго автомобиля они должны записать скорость 75 км/ч.

В задании 272 требуется вычислить скорость самолета при условии, что она была постоянна. В этом случае учащиеся вычислят среднюю скорость (1 800 : 2 = 900 (км/ч)), но она же будет совпадать со скоростью этого самолета в любой момент рассматриваемого промежутка времени (с мгновенной скоростью), так как скорость в рассматриваемый промежуток времени была постоянной.

В задании 273 учащиеся вновь должны рассмотреть процесс движения с постоянной скоростью. В этом случае изменение времени в какое-то число раз приводит к изменению расстояния в такое же число раз. Следовательно, если за 10 с спортсмен пробегает 100 м, то за 1 с он пробегает в 10 раз меньше, т. е. 10 м, а за 1 мин он пробегает в 6 раз больше, т. е. 600 м. Учащиеся могут сказать, что за 1 мин реальный спортсмен не может пробежать 600 м, и будут правы, но мы специально подчеркнули, что нас интересует данный результат в предположении, что скорость спортсмена остается постоянной. При выполнении этого задания можно предложить учащимся вычислить скорость спортсмена. В этом случае они должны получить следующий результат: 10 м/с.

В задании 274 учащимся предлагается объяснить справедливость соотношений между различными единицами скорости. Для обоснования соотношения 1 м/с = 60 м/мин нужно сказать лишь о том, что в 1 мин в 60 раз больше, чем 1 с, следовательно, за 1 мин можно преодолеть расстояние в 60 раз больше, чем за 1 с, в данном случае 60 м. Для обоснования соотношения 1 м/мин = 60 м/ч нужно провести рассуждения совершенно аналогичные тем, которые были проведены для предыдущего соотношения. Для обоснования соотношения 1 м/с = 3600 м/ч нужно опираться на тот факт, что 1 ч = 3600 с.

В задании 275 учащимся предлагается выразить данные скорости в км/ч при условии, что скорости даны в м/с. Для такого перевода нужно сначала выразить 10 м/с в км/ч. Использовать для установления соотношения скорость 1 м/с мы не можем, так как тогда скорость, выраженная в км/ч не будет представлена целым числом. Из предыдущего задания известно, что 1 м/с = 3600 м/ч, следовательно, 10 м/с = 36000 м/ч = 36 км/ч. Таким образом, мы установили очень важное соотношение: 10 м/с = 36 км/ч. Исходя из этого соотношения, легко получить, что 20 м/с = 72 км/ч, 5 м/с = 18 км/ч, 30 м/с = 108 км/ч, 15 м/с = 54 км/ч.

В задании 276 учащимся предлагается выразить данные скорости в м/с, если даны они в м/мин. Для такого перевода нужно использовать соотношение 1 м/с = 60 м/мин. Исходя из этого соотношения, легко получить, что 120 м/мин = 2 м/с, 240 м/мин = 4 м/с, 600 м/мин = = 10 м/с, 300 м/мин = 5 м/с.

Для того чтобы расположить данные в задании 277 скорости в порядке возрастания, нужно привести их к одной единице скорости, например к км/ч. Для этого воспользуемся результатами задания 275, которые позволяют установить, что 10 м/с = 36 км/ч. Для перевода 100 м/мин нужно рассуждать следующим образом: 100 м/мин = = 6000 м/ч = 6 км/ч. Таким образом, выстраивается следующая последовательность скоростей:100 м/мин, 10 м/с, 90 км/ч, 900 км/ч.

Используя эти скорости, можно сформулировать задачу на кратное сравнение. Например, можно сравнить скорость самолета со скоростью автомобиля.

В задании 278 учащимся предлагается выразить скорость 30 м/с сначала в м/ч, а потом в км/ч. В результате должны получиться следующие соотношения: 30 м/с = 1800 м/мин = 108000 м/ч = 108 км/ч.

При этом мы еще раз обращаем внимание учащихся на следующее соотношение: 10 м/с = 36 км/ч. Что касается обоснования этого соотношения, то о нем речь шла в задании 275.

В задании 279 учащимся предлагается проанализировать ситуацию на основе сравнения скоростей. Для этого сначала нужно установить, что 5 м/с = 18 км/ч (об этом речь шла в задании 275).

Учитывая, что скорость попутного ветра совпадает со скоростью движения велосипедиста, можно сделать вывод о том, что ветер двигаться велосипедисту не помогает (но и не мешает).

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий Для выполнения задания 280 учащимся сначала нужно определить интересующую нас скорость (180 : 3 = 60 (км/ч)). После этого можно уже искать и соответствующее транспортное средство. Это может быть автомобиль, мотоцикл, поезд.

тема: «Учимся решать задачи»

Предлагаем подборку задач «на процесс движения», которые, как правило, следует рассматривать в паре с соответствующими задачами на процесс «купли-продажи». Такое сопоставление помогает учащимся увидеть единую математическую природу этих процессов, а это, в свою очередь, позволяет рассматривать проблему обучения решению задач «на процесс движения» и на процесс «куплипродажи» в комплексе. Задания можно использовать выборочно на соответствующих уроках, а можно построить самостоятельный урок на учебном материале данной темы.

При выполнении задания 281 учащиеся на примере сопоставления двух задач, из которых в одной нужно найти пройденный путь, а в другой – стоимость, получают возможность убедиться в том, что предложенные задачи по своей математической сути совершенно аналогичны. При этом аналогия устанавливается не только в плане решения, но и в плане существующей зависимости между величинами. Более того, важно подчеркнуть, что величине «скорость» аналогична величина «цена», что находит отражение и в соответствующих наименованиях для этих величин.

В задании 282 предлагается для данной задачи «на движение»

сформулировать аналогичную задачу на процесс «купли-продажи».

Приведем пример такой задачи: «За 3 ч катания на лодке нужно заплатить 270 руб. Какова цена (тариф) проката лодки?»

В задании 283 учащимся предлагается рассмотреть и объяснить каждый из двух вариантов решения задачи на кратное сравнение расстояний. В первом варианте предлагается решить данную задачу на основе вычисления средней скорости движения, которая по условию задачи остается постоянной. Этот вариант является очевидным, но далеко не самым рациональным. Если рассмотреть второй вариант, то число действий и характер вычислений в нем на первый взгляд ничем принципиально не отличаются от первого варианта. На самом же деле, во втором варианте решения можно ограничиться лишь выполнением первого действия, второе и третье действия выполнены лишь для того, чтобы учащиеся удостоверились, что изменение расстояния происходит в такое же число раз, как и изменение времени (при постоянной скорости). В этом проявляется свойство прямой пропорциональной зависимости.

С аналогичной ситуацией учащиеся уже сталкивались при выполнении задания 135, но тогда речь шла о количестве и стоимости (при постоянной цене).

В задании 284 учащимся сначала предлагается сформулировать задачу по данной краткой записи. Приведем пример такой задачи:

«Первая группа туристов за 2 ч преодолела расстояние 12 км. Сколько километров за 3 ч преодолеет вторая группа туристов, если будет двигаться с такой же скоростью?» Для решения этой задачи сначала нужно вычислить скорость передвижения первой группы туристов (12 : 2 = 6 (км/ч)). С этой же скоростью двигалась и вторая группа туристов, поэтому за 3 ч она преодолела 18 км (6•3 = 18 (км)). Если же в графе «Время» 3 ч заменить на 4 ч, то можно обойтись без вычисления скорости. Для этого достаточно выяснить, во сколько раз отличается одно время от другого (4 : 2 = 2 (раза)), и увеличить в это число раз данное расстояние (12•2 = 24 (км)). Хотя в этом случае число действий остается тем же самым, но сами действия выполнить несколько проще.

Задание 285 относится к заданиям повышенной сложности. Для его выполнения учащиеся самостоятельно должны высказать предположение о том, что увеличение скорости в 3 раза приводит к увеличению расстояния также в 3 раза, если время движения остается постоянным (фактически речь идет о прямой пропорциональной зависимости между расстоянием и скоростью при постоянном времени). К такому выводу они должны прийти на основании рассмотрения нескольких примеров.

Задание 286 относится к заданиям повышенной сложности.

Это задание нужно рассматривать в паре с предыдущим заданием.

Для его выполнения учащиеся самостоятельно должны высказать предположение о том, что уменьшение цены в 2 раза приводит к уменьшению стоимости также в 2 раза, если количество остается постоянным (фактически речь идет о прямой пропорциональной зависимости между стоимостью и ценой при постоянном количестве). К такому выводу они должны прийти на основании рассмотрения нескольких примеров.

Задание 287 относится к заданиям повышенной сложности. В нем учащимся предлагается записать решение задачи с помощью буквенного выражения, которое должно выглядеть так: 15•t. В этом выражении первый множитель выражает скорость, а второй – время.

В заключительной части задания учащимся предлагается вычислить значение этого выражения при данных значениях переменной t.

При выполнении задания 288 учащиеся получают возможность поупражняться в решении задачи на нахождение четвертого проТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий порционального на основе вычисления коэффициента пропорциональности (скорости).

При выполнении задания 289 учащиеся познакомятся с основами моделирования задач на движение с помощью отрезков и направленных отрезков. При таком моделировании длина отрезков должна в определенном масштабе изображать расстояния, в том числе и расстояние, которое преодолевает движущийся объект за единицу времени. Такой принцип изображения величин знаком учащимся по известным им диаграммам сравнения.

В первой части задания 290 учащимся предлагается вычислить расстояние по известным скорости и времени. Использовать для этого действие умножения учащиеся смогут только в первом случае, если выразят 120 минут в часах (120 мин = 2 ч). В двух других случаях рассуждения должны быть иными: так как за 1 ч автомобиль преодолевает 80 км, то за 30 мин (половина часа) он преодолеет в 2 раза меньшее расстояние (80 : 2 = 40 (км)), а за 15 мин – еще в 2 раза меньшее (40 : 2 = 20 (км)).

тема: «какой сосуд вмещает больше?» (1 урок) Данной темой открывается большой тематический блок, в котором будут рассмотрены вопросы, связанные с изучением таких понятий, как «вместимость» и «объем». Особенность изучения этих понятий состоит в том, что с самого начала мы ориентируем учащихся на правильное употребление соответствующей терминологии, учитывая то, что в повседневной жизни термины «вместимость» и «объем» часто путают, называя объемом сосуда его вместимость. Так, вместимость стакана – это объем жидкости, которая может поместиться в этот стакан, а объем стакана – это часть пространства, которую этот стакан занимает как физическое тело. Определяется объем стакана площадью поверхности и толщиной боковых стенок и дна стакана. Измерить объем стакана можно способом, который предложил еще Архимед: для этого достаточно полностью погрузить стакан в воду и измерить объем вытесненной им воды. Таким образом, объем стакана равен объему воды, вытесненной этим стаканом при полном погружении, а вместимость стакана равна объему воды, которой этот стакан можно наполнить.

При выполнении задания 291 учащиеся получают возможность познакомиться с понятием вместимости некоторого сосуда. В качестве примера рассматриваются чашка, стакан, блюдце и молочный пакет. Так как молоком, содержащимся в пакете, можно наполнить сразу и чашку, и стакан, и блюдце, то вместимость пакета больше, чем вместимость каждого из данных сосудов в отдельности, и даже больше, чем вместимость стакана и чашки вместе.

При выполнении задания 292 учащиеся еще раз получают возможность поупражняться в сравнении вместимостей различных сосудов или емкостей, в частности таза и банки.

В задании 293 предлагается сравнить вместимости бочки и ванны на основании измерения этих вместимостей с помощью вместимости ведра. Сам процесс измерения принципиально ничем не отличается от процесса измерения других величин.

В задании 294 учащимся предлагается выразить вместимость детского бассейна в «новых» единицах, если известен результат измерения в «старых» единицах и соотношение между этими единицами.

При этом речь идет о такой ситуации, когда перевод выполняется с помощью деления, а деление нацело выполнить нельзя. По этой причине нужно выполнить деление с остатком (32 : 3 = 10 (ост. 2)) и получить ответ с помощью неполного частного (10). В результате должно получиться, что в бассейне помещается 10 полных ведер воды, но они не заполняют бассейн полностью (еще можно добавить одно неполное ведро).

В задании 295 учащимся предлагается сравнить вместимости двух бассейнов прямоугольной формы. Если говорить точнее, то имеется в виду, что бассейн имеет форму прямоугольного параллелепипеда, но мы учащихся не знакомили с этим термином, поэтому мы его и не употребляем. Так как ширина и длина двух сравниваемых бассейнов совпадают, то отличие вместимости имеет место только за счет глубины. При этом совершенно понятно, что чем больше глубина, тем больше и вместимость. Более того, имеет место не только прямая зависимость (на основании чего и был получен ответ на данное требование), но и прямая пропорциональная зависимость (на основании чего можно утверждать, что вместимость второго бассейна в 2 раза больше, чем первого, так как такое же соотношение имеет место между глубиной одного и другого.

В задании 296 учащимся предлагается сравнить вместимости двух кастрюль, если эти вместимости измерены в разных единицах (12 чашек и 20 стаканов) и известно соотношение между этими единицами (в 2 чашках помещается столько же, сколько в 3 стаканах).

Для сравнения вместимостей нужно перевести результат измерения в одних единицах, например в чашках, в другие единицы – стаканы. Чтобы получить 12 чашек, нужно по 2 чашки взять 6 раз (12 : 2 = 6 (раз)). Поэтому 12 чашек вмещают столько же, сколько 18 стаканов (3•6 = 18 (ст.)). Таким образом, в первой кастрюле поТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий мещается 18 стаканов, а во второй – 20 таких стаканов. Следовательно, вторая кастрюля имеет большую вместимость.

При выполнении задания 298 учащиеся получают возможность поупражняться в тех действиях, которые выполнялись ими при решении предыдущего задания. Сначала они должны выяснить, сколько раз по 5 стаканов вмещается в кастрюле (15 : 5 = 3 (раза)).

После этого нужно увеличить вместимость 4 чашек в полученное число раз (4•3 = 12 (ч.)). Таким образом, кастрюля вмещает 12 чашек воды.

При выполнении задания 299 учащиеся в пропедевтическом плане познакомятся с объемом куба на основе рассмотрения вместимости аквариума, имеющего форму куба. В дальнейшем мы перейдем к рассмотрению стандартных единиц объема, где объем куба будет выполнять определяющую роль. Что касается получения половины, трети, четверти вместимости аквариума, то сделать это можно за счет заполнения (по высоте) аквариума наполовину (30 м), на треть (20 см), на четверть (15 см).

тема: «Литр. Сколько литров?» (1 урок) При изучении данной темы учащиеся познакомятся со стандартной единицей вместимости, имеющей название литр, и научатся выполнять измерения в литрах.

Выполняя задание 300, учащиеся познакомятся с тем, в каких емкостях помещается 1 литр жидкости (литровый пакет, литровая банка, литровая кружка и т. п.). На основании имеющегося у них опыта они должны сами привести примеры ситуаций, в которых фигурирует такая единица вместимости, как литр. Здесь же нужно познакомить учащихся с сокращением, которое используется для записи литра: (л).

В задании 301 учащимся предлагается вычислить в литрах общую вместимость всех привезенных в столовую пакетов сока. Для этого они должны сначала вычислить число литровых пакетов (12•3 = 36 (п.)), потом число двухлитровых пакетов (8•2 = 16 (п.)). После этого можно вычислять общую вместимость:

1•36 + 2•16 = 68 (л).

В задании 302 учащимся предлагается вычислить число литровых пакетов молока, которые можно купить на 100 руб., если пакет молока стоит 15 руб. Сделать это можно с помощью действия деления, но выполнить нужно деление с остатком: 100 : 15 = 6 (ост. 10).

При выполнении этого действия можно использовать запись столбиком, а можно и в строчку. В итоге должно получиться, что на 100 руб. можно купить 6 л молока в пакетах. При этом 10 руб. останется в виде сдачи.

В задании 303 учащимся предлагается решить задачу, в сюжете которой фигурируют 5-литровые емкости и остатки воды, измеряемые 2 л и 1 л. Для решения этой задачи учащиеся сначала должны вычислить вместимость всех канистр с водой, которые они взяли в поход (5•6 = 30 (л)), потом объем оставшейся воды (2 + 1 = 3 (л)), и, наконец, объем израсходованной воды (30 – 3 = 27 (л)). Термин «объем» нам предстоит ввести только в следующей теме, но в пропедевтическим плане об этом можно говорить уже сейчас, не акцентируя на этом внимания.

тема: «Вместимость и объем» (1–2 урока) При изучении данной темы учащиеся познакомятся с понятием «объем», которое следует трактовать как способность реальных тел (или геометрических фигур) занимать часть пространства.

Начинаем мы с рассмотрения объема жидких (или сыпучих) тел, так как в этом случае их объем можно легко связать с вместимостью тех сосудов, которые они заполняют. После этого мы перейдем к рассмотрению объемов твердых тел и геометрических фигур.

При выполнении задания 304 учащиеся познакомятся с тем, как связано понятие «вместимость» с понятием «объем». Мы предлагаем трактовать эту ситуацию следующим образом: если какие-либо две емкости имеют одинаковую вместимость (это можно проверить с помощью переливания жидкости), то жидкость, заполняющая одну из этих емкостей, имеет такой же объем, что и жидкость, заполняющая другую емкость. Другими словами, вместимость сосуда равна объему жидкости, которой этот сосуд можно заполнить.

Таким образом, если вместимость пакета молока 1 л, то объем молока в полном пакете должен быть равен 1 л. Для того чтобы сравнить объемы 1 кг муки и 1 кг крахмала, сначала нужно отмерить данное количество каждого продукта, потом насыпать каждый продукт в одинаковые емкости (например, в двухлитровые банки), сделав верхнюю границу продукта горизонтальной. После этого можно сравнивать объемы по высоте заполнения емкостей.

В задании 305 учащимся предлагается дать объяснение хорошо известному им физическому факту с замораживанием воды в бутылке, что приводит в итоге к лопнувшей бутылке. Это объяснение должно касаться сравнения объема воды в бутылке и объема льда, Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий получившегося из этой воды. Так как объем льда заметно больше, чем объем воды, то он не может поместиться в этой бутылке, и бутылка раскалывается под воздействием соответствующих сил.

В задании 306 учащимся предлагается сравнить объемы твердых тел. Сначала они должны рассмотреть бревно цилиндрической формы, которое распилено в середине на две части. В этом случае объемы этих частей равны, что достаточно очевидно. Этот факт может быть распространен на сравнение объемов жидкостей, заполняющих частично сосуд цилиндрической формы. Например, если такой сосуд заполнен наполовину высоты, то это означает, что он вообще заполнен наполовину. Аналогичная ситуация имеет место и при заполнении на другие части высоты (треть, четверть и т. д.).

Измерительная шкала на таком сосуде будет равномерной. Другое бревно имеет конусовидную форму. При распиле такого бревна в середине длины получаться две части, которые уже не будут равны по объему: «тонкая» часть меньше по объему, чем «толстая» часть.

Если сосуд имеет конусовидную форму, то для него имеет место аналогичная ситуация: жидкость одного и того же объема в «толстой» части будет «подниматься» на меньшую высоту, чем в «тонкой» его части. Измерительная шкала на таком сосуде (например, на измерительной кружке) уже не будет равномерной.

При выполнении задания 307 учащиеся столкнутся с необходимостью сравнить объемы фигур, построенных из одинаковых кубиков, что является непосредственной пропедевтикой введения таких единиц объема, которые принято называть кубическими.

Более того, рассматриваемые фигуры позволяют без особого труда осуществить переход от измерения объема предметов к измерению объема геометрических фигур. Для сравнения объемов указанных фигур нужно подсчитать для каждой фигуры число кубиков, из которых она построена. Фигура № 1 состоит из 7 кубиков, фигура № 2 – из 8 кубиков, фигура № 3 – из 9 кубиков (все кубики одинаковые).

Задание 308 относится к заданиям повышенной сложности.

В нем дается описание опыта, который повторяет идею опыта Архимеда по измерению объема предмета произвольной формы. Учащиеся должны прийти к выводу, что объем погруженного в жидкость предмета равен объему вытесненной им жидкости. Если эту вытесненную жидкость как-то собрать и измерить ее объем, то, таким образом, будет измерен объем и данного предмета.

Задание 309 также относится к заданиям повышенной сложности. В нем продолжается развитие идеи, рассмотренной в предыдущем задании. Эта идея применяется для того, чтобы измерить объем стакана как реального предмета (как физического тела): если полностью погрузить стакан в воду и измерить объем вытесненной им воды, то это и будет объем данного стакана (не путать с его вместимостью!). Представленная иллюстрация призвана помочь учащимся описать интересующую нас практическую работу. Это описание может состоять из нескольких шагов:

1) полностью погрузить стакан (без воздушных пробок) в кастрюлю, до краев наполненную водой, которая стоит в сухом тазу – вся вытекшая при этом из кастрюли в таз вода имеет объем, равный объему стакана;

2) воду из таза перелить в такой же стакан (он будет заполнен частично);

3) рядом с частично заполненным стаканом из пункта 2 поставить такой же стакан, который заполнен полностью (объем воды во втором стакане равен вместимости этого стакана), и сделать вывод, что вместимость стакана больше его объема.

В задании 310 учащимся для анализа предложены известные им геометрические фигуры. Нужно разбить их на две группы: в первую отнести те фигуры, которые имеют объем (это шар, конус, цилиндр, куб, пирамида), а во второй останутся плоские фигуры, которые объема не имеют (квадрат, прямоугольник, круг, треугольник). Полезно будет напомнить учащимся, что фигуры второй группы имеют площадь.

С помощью задания 311 мы хотим подвести учащихся к рассмотрению объема куба как основы для введения стандартной единицы объема. Куб обладает тем свойством, что для равенства объемов двух кубов необходимо и достаточно, чтобы были равны длины сторон (ребер) этих кубов. Другими словами, любые два куба, у которых равны длины сторон (например, они равны 1 см), будут иметь одинаковые объемы. Этот факт делает удобным использование объема куба в качестве единицы объема (аналогичная ситуация имела место с площадью квадрата в качестве единицы площади). Для сравнения объемов кубов с длиной ребра 1 см и длиной ребра 2 см достаточно по рисунку установить, сколько «маленьких» кубов входит в состав «большого» куба (8). Поэтому объем второго куба в 8 раз больше, чем объем первого куба.

тема: «кубический сантиметр и измерение объема» (1 урок) При изучении данной темы учащиеся познакомятся со стандартной единицей объема, которая называется кубическим сантиметром.

Логика изучения стандартных единиц объема повторяет логику изучения стандартных единиц длины и площади. Важно подчеркнуть, Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий что учащиеся при изучении единиц объема могут и должны обращаться к словарю учебника (ч. 1, с. 115).

Из словаря они смогут узнать о существовании другого обозначения для кубического сантиметра (см3), которое принято в международной системе единиц. Мы это обозначение не будем активно использовать, так как считаем, что обозначение «куб. см» на данном этапе обучения является более целесообразным в силу ряда причин. Во-первых, обозначение «куб. см» для учащихся является понятным и осмысленным, чего нельзя сказать об обозначении «см3».

Во-вторых, обозначение «куб. см» укладывается в логику принятых в начальной школе сокращений. В-третьих, обозначение «куб. см»

нельзя перепутать с обозначениями соответствующих единиц длины и площади. Для обозначений «см», «см2» и «см3» этого гарантировать нельзя.

Все перечисленные выше причины, на наш взгляд, перевешивают тот негативный момент, который связан с использованием обозначения «куб. см». Этот момент связан с необходимостью в дальнейшем перехода на обозначение «см3» (речь идет об основной школе), но этот переход должен пройти без особых осложнений, так как, с одной стороны, мы учащихся к нему подготовили, а с другой стороны, в основной школе обозначение «см3» уже можно обосновать, используя смысл обозначения возведения в степень.

При выполнении задания 312 учащиеся не только познакомятся с кубическим сантиметром как единицей объема, но и попробуют найти объем куба (в кубических сантиметрах) со стороной 2 см. Для этого они могут использовать результаты задания 311.

В задании 313 учащимся предлагается определить объем жидкости в каждом мерном сосуде, изображенном на рисунке. Так как каждое деление соответствует 10 куб. см, то объем жидкости в первом сосуде составляет 10 куб. см, во втором – 30 куб. см, в третьем – 70 куб. см.

Для того чтобы выполнить задание 314, учащимся сначала имеет смысл подсчитать число кубиков, которые можно уложить в один слой по всей коробке. Таких кубиков будет 50 (5•10 = 50).

Во всю коробку можно поместить 4 слоя кубиков. Поэтому всего в коробку можно поместить 200 кубиков (50•4 = 200). Следовательно, вместимость этой коробки равна 200 куб. см. Важно обратить внимание учащихся на тот факт, что число 200 является значением произведения 5•10•4.

В задании 315 учащимся предлагается описать практическую работу по измерению объема металлического шарика с использованием предложенного оборудования. Приведем пример такого описания: так как мерный сосуд заполнен водой до определенного уровня (10 куб. см), то после полного погружения шарика в воду ее уровень повысится на величину объема шарика. Поэтому нужно определить этот «новый» уровень (он должен быть чуть выше 14 куб. см) и, выполнив разностное сравнение «нового» и «старого»

уровней, определить объем шарика (приблизительно 4 куб. см).

Для выполнения задания 316 учащиеся должны рассуждать аналогично тому, как они рассуждали при выполнении задания 314. Так как данная фигура состоит из 24 «единичных» кубиков (4•3•2 = 24), то ее объем равен 24 куб. см.

тема: «кубический дециметр и кубический сантиметр»

(1 урок) Тема продолжит знакомство учащихся со стандартными единицами объема. Теперь мы предлагаем рассмотреть кубический дециметр (куб. дм) и установить его соотношение с кубическим сантиметром. Что касается используемого обозначения (куб. дм), то ситуация здесь полностью повторяет ту, о которой мы подробно сказали в методических рекомендациях к предыдущей теме.

При выполнении задания 317 учащиеся должны самостоятельно сформулировать название единицы объема, которую представляет куб с ребром 1 дм. Кроме этого, они должны обосновать имеющееся соотношение между кубическим дециметром и кубическим сантиметром. Для этого обоснования можно мысленно представить куб с ребром 1 дм, разбитый на «маленькие» кубы с ребром 1 см.

Число «маленьких» кубов можно вычислить с помощью произведения 10•10•10. Поэтому и получается, что 1 куб. дм = 1000 куб. см.

В задании 318 учащимся предлагается выразить вместимость коробки в кубических дециметрах. Сделать это они могут по аналогии с выполнением задания 314. В итоге должно получиться, что объем коробки равен 6 куб. дм (3•2•1 = 6 (куб. дм)).

В задании 319 предлагается установить существующую закономерность между соответствующими единицами длины, площади и объема.

В задании 320 учащимся предлагается выразить кубические дециметры в кубических сантиметрах, после чего выполнить сложение объемов.

При выполнении задания 321 учащиеся получают возможность поупражняться в выполнении сложения и вычитания столбиком.

В задании 322 учащимся предлагается данные объемы выразить в кубических сантиметрах. Для выполнения этого задания они должны привлечь результаты выполнения задания 320.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий В задании 323 учащимся предлагается получить 1 куб. дм воды с помощью чашки вместимостью 250 куб. см. Заполняя последовательно данную таблицу, они должны обратить свое внимание на тот момент, когда получается 1 000 куб. см.

В задании 324 предлагается установить размеры аквариума, чтобы его можно было полностью заполнить водой, заполняющей данный аквариум наполовину. Для этого совсем не обязательно устанавливать вместимость данного аквариума или объем воды, находящейся в нем. Можно просто сохранить размеры аквариума по длине и ширине (6 дм и 5 дм), но уменьшить в 2 раза его высоту (4 : 2 = 2 (дм)).

Можно поступить и по-другому: сохранить ширину и высоту (5 дм и 4 дм), но уменьшить в 2 раза длину (6 : 2 = 3 (дм)). Задание повышенного уровня трудности.

В задании 325 учащимся предлагается расположить в порядке возрастания данные объемы. Для этого все объемы нужно выразить в кубических сантиметрах, после чего расположить их в нужном порядке не составит особого труда. В итоге должна получится следующая последовательность: 10 куб. дм; 5 куб.см; 10 куб. дм; 50 куб. см;

10 500 куб. см; 10 550 куб. см; 10 куб. дм; 555 куб. см; 15 000 куб. см.

Для выполнения задания 326 сначала нужно выразить объем 10 куб. дм в кубических сантиметрах (10 куб. дм = 10 000 куб. см), а уже потом выполнить кратное сравнение данных объемов (10 000 : 100 = 100 (раз)). Таким образом, объем 10 куб. дм в 100 раз больше, чем объем 100 куб. см.

тема: «кубический дециметр и литр» (1 урок) При изучении данной темы учащиеся узнают о том, что 1 куб. дм и 1 л – это единицы объема (вместимости), которые равны между собой.

При выполнении задания 327 учащимся предлагается проанализировать ситуацию, участниками которой являются Маша и Миша.

В их диалоге и поднимается вопрос о совпадении двух единиц объема: кубического дециметра и литра.

Для выполнения задания 328 учащимся сначала нужно установить вместимость бака в кубических дециметрах (6 куб. дм), а потом записать эту вместимость в литрах (6 л). При этом дно бака может иметь разные размеры при сохранении площади в 6 кв. дм. Такими размерами могут быть, например, 6 дм и 1 дм, 3 дм и 2 дм.

В задании 329 учащимся предлагается определить вместимость бака, имеющего форму куба. Сначала можно установить вместиЛитр и килограмм»

мость в кубических дециметрах (2•2•2 = 8 (куб. дм)), а потом выразить эту вместимость в литрах (8 л).

Для выполнения задания 330 учащимся нужно выразить объем 5 л в кубических сантиметрах. Сделать это можно в два этапа:

Сначала перевести литры в кубические дециметры (5 л = 5 куб. дм), а потом перевести кубические дециметры в кубические сантиметры (5 куб. дм = 5 000 куб. см). Поэтому 5 л воды можно налить в кастрюлю вместимостью 5 500 куб. см.

Для выполнения задания 331 учащиеся сначала должны перевести вместимость 5 л в кубические сантиметры (5 л = 5000 куб. см).

О том, как это сделать, было сказано в рекомендациях к предыдущему заданию. После этого можно получившуюся величину разделить пополам (5 000 : 2 = 2 500 (куб. см)). Таким образом, вместимость одной кастрюли 2 500 куб. см.

В задании 332 учащимся предлагается определить, сколько кубических сантиметров дополняет объем 2 300 куб. см до объема 3 л.

Для этого сначала объем 3 л нужно перевести в кубические сантиметры (3 л = 3 000 куб. см), а потом выполнить соответствующее разностное сравнение (3 000 – 2 300 = 700 (куб. см)). Таким образом, искомый объем равен 700 куб. см.

тема: «Литр и килограмм» (1 урок) В этой теме затрагиваются вопросы, которые имеют отношение к такому физическому понятию, как «плотность». Естественно, мы не будем вводить это понятие и не будем использовать соответствующую терминологию, но в пропедевтическом плане (на интуитивном уровне) постараемся познакомить учащихся с существованием такой физической характеристики, как плотность, – масса связана с объемом посредством плотности. При этом зависимость носит прямо пропорциональный характер.

При выполнении задания 333 учащиеся смогут узнать о том, что 1 л пресной воды имеет массу 1 кг. То небольшое отличие от 1 кг, которое может иметь место в реальной действительности, мы не учитываем в силу его малости.

При выполнении задания 334 учащиеся смогут установить объем 1 г воды. Учитывая, что 1 кг = 1 000 г, 1 л = 1 000 куб. см, и результат предыдущего задания, можно утверждать, что объем 1 г воды равен 1 куб. см.

В задании 335 учащимся предлагается проанализировать ситуацию, основанную на эффекте плавучести бензина в воде. Этот эффект основан на том, что плотность бензина меньше плотности Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий воды, а это, в свою очередь, означает, что масса 1 л бензина меньше, чем масса 1 л воды. Другими словами, бензин легче воды, поэтому бензин в воде плавает.

В задании 336 предлагается сравнить массы 1 л мороженого и 1 л воды. Приведем примерный вариант рассуждения учащихся. Если 100 кг воды «расфасовывать» в коробочки вместимостью 1 л, то потребовалось бы 100 коробочек (см. задание 333).

Для расфасовки 100 кг мороженого потребовалось 120 таких коробочек. Следовательно, объем 100 кг мороженого больше, чем объем 100 кг воды. Это означает, что вода тяжелее мороженого (при одинаковых объемах). В частности, 1 л воды тяжелее 1 л мороженого.

Задание 337 относится к заданиям повышенной сложности.

В нем учащимся предлагается самостоятельно сравнить 1 л масла и 1 кг масла. Сделать это они смогут, если воспользуются рассуждениями, которые проводились при выполнении задания 335. Так как масло плавает на поверхности воды, то масло легче воды, что выражается в следующей зависимости масс: 1 л масла легче 1 л воды, 1 л воды совпадает с 1 кг воды, 1 кг воды совпадает с 1 кг масла, следовательно, 1 л масла легче 1 кг воды. Последний вывод означает, что в 1 л масла меньше, чем в 1 кг. Это означает, что если взять 1 кг масла, то им можно заполнить бутылку вместимостью 1 л, и еще какая-то часть масла останется. Эту же ситуацию можно перевести на язык стоимости: если за 1 л масла и 1 кг масла предлагается заплатить одну и ту же стоимость, то покупателю выгоднее купить 1 кг масла.

тема: «Разные задачи» (1–2 урока) Мы предлагаем подборку задач, которые принципиально отличаются от задач, рассмотренных ранее. В основном это будут задачи комбинаторного характера. Подходы к решению таких задач существенно отличаются от тех подходов, которые мы применяли при решении рассмотренных ранее арифметических сюжетных задач.

Поэтому к каждой задаче из этой темы нужно отнестись максимально сосредоточенно. Применяемые для их решения методы будут использоваться и при дальнейшем обучении в основной школе.

В задании 338 предлагается для решения несложная задача «на переливание». Для ее решения учащимся достаточно составить выражение из чисел 5 и 2 с помощью действий сложения и вычитания, значение которого будет равно числу 1, т. е. искомому числу литров воды в кастрюле. Таким выражением будет следующее: 5–2–2.

С позиции «переливания» его можно истолковать следующим образом: сначала нужно налить 5 л воды в пятилитровую банку, потом из этой банки отлить 2 л в двухлитровую банку (в пятилитровой банке останется 3 л воды), далее освободить двухлитровую банку и налить в нее еще 2 л воды из пятилитровой банки (в пятилитровой банке останется 1 л воды). Наконец, оставшийся в пятилитровой банке 1 л воды нужно перелить в кастрюлю.

В задании 339 учащимся предлагается решить стандартную комбинаторную задачу «на правило произведения». Согласно этому правилу, если первую координату пары можно выбрать k способами, а вторую – m способами (причем эти выборы не зависят друг от друга), то упорядоченную пару можно составить k•m способами. В нашем случае это означает, что упорядоченную пару «открытка-конверт» можно выбрать 4•3 способами, т. е. 12 способами.

Учащиеся такой способ решения применить не могут, но они могут перечислить все возможные пары и назвать их число. Для перечисления пар удобно пользоваться их шифрованием, о чем мы сообщаем учащимся. После введения соответствующего буквенноцифрового шифра все возможные пары могут быть перечислены следующим образом: 1А, 2А, 3А, 4А, 1Б, 2Б, 3Б, 4Б, 1В, 2В, 3В, 4В.

Всего получается 12 пар.

В задании 340 мы снова возвращаем учащихся к задачам «на переливание». Подход к решению этой задачи должен быть таким же, как подход, используемый при выполнении задания 338. Отличие состоит лишь в том, что искомое выражение должно быть построено на основе действия сложения (об этом есть указание в самом тексте задания), а не действия вычитания, как это было при решении задания 338. Приведем варианты искомых выражений:

а) 2+2+2+2+2+2+2+3, б) 2+2+2+2+3+3+3, в) 2+3+3+3+3+3. По любому такому выражению легко установить, сколько раз нужно воспользоваться двухлитровой банкой, а сколько – трехлитровой.

Другие выражения, которые отличаются от приведенных лишь порядком следования слагаемых, для нас интереса не представляют, так как не дают новых вариантов решения задачи.

При выполнении задания 341 учащиеся познакомятся с одним из способов решения «классических» задач «на взвешивание», в которых требуется за минимальное число взвешиваний получить необходимую информацию. Суть этого способа изложена в тексте самого задания и заключается в следующем: для взвешивания из каждой группы предметов нужно взять их разное число. В данном случае из первого ящика взяли 1 деталь, из второго – 2 детали, из третьего – 3 детали. Таким образом, всего взяли для контроля 6 деталей Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий (1+2+3 = 6 (дет.)). Если бы все эти детали были стандартные, то они должны были бы иметь массу 5 400 г (900•6 = 5 400 (г)). На самом деле их масса 5 420 г, т. е. реальная масса превосходит стандартную на 20 г (5 420 – 5 400 = 20 (г)). Бракованная деталь имеет массу на 10 г больше, чем стандартная (910 – 900 = 10 (г)). Следовательно, превышение на 20 г дают 2 бракованные детали (20 : 10 = 2 (дет.)).

Но 2 детали мы брали из второго ящика, следовательно, во втором ящике и лежат бракованные детали.

Задание 342 относится к заданиям повышенной сложности.

В нем учащимся предлагается самостоятельно решить задачу «на взвешивание», применив тот способ, о котором речь шла при анализе предыдущего задания. Для этого учащиеся должны рассуждать следующим образом: сначала нужно взять 1 упаковку с первой линии, 2 упаковки со второй линии, 3 упаковки с третьей линии, 4 упаковки с четвертой линии. Таким образом, всего для контроля взяли 10 упаковок (1 + 2 + 3 + 4 = 10 (уп.)). Если бы все упаковки были бы стандартными, то масса всех 10 упаковок была бы равна 3000 г, но среди упаковок есть нестандартные, каждая из которых превышает стандартную на 30 г (330 – 300 = 30 (г)).

Если нестандартные упаковки получены на первой линии, то в контрольном наборе она одна, и итоговая контрольная масса должна быть 3030 г (3 000+30 = 3 030 (г)). Если нестандартные упаковки получены на второй линии, то в контрольном наборе их две, и итоговая контрольная масса должна быть 3 060 г (3 000 + 30•2 = 3 060 (г)).

Если нестандартные упаковки получены на третьей линии, то в контрольном наборе их три, и итоговая контрольная масса должна быть 3090 г (3 000 + 30•3 = 3 090 (г)). Если нестандартные упаковки получены на четвертой линии, то в контрольном наборе их четыре, и итоговая контрольная масса должна быть 3 120 г (3 000 + 30•4 = 3120 (г)).

Итак, проведя взвешивание контрольного набора и получив один из возможных результатов (3 030 г, 3 060 г, 3 090 г, 3 120 г), можно за одно взвешивание установить, на какой автоматической линии произошел сбой.

При выполнении задания 343 учащиеся познакомятся с еще одним типом комбинаторных задач, которые решаются с помощью графического моделирования (построения графа). С помощью изображенной на рисунке схемы возможных маршрутов от дома до реки можно легко подсчитать число этих маршрутов: для этого достаточно подсчитать число отрезков, которые непосредственно приводят «на берег реки». Таких отрезков будет 9, поэтому и различных маршрутов будет 9. Такой способ подсчета можно примеПоупражняемся в измерении объема»

нять только тогда, когда ни в одну точку, расположенную не «на берегу», не приходит два и более отрезков. В данном случае это условие выполнено.

Если бы и в точки, лежащие «на берегу», также не приходило бы два и более отрезков, то число маршрутов можно было бы подсчитать по числу точек «на берегу». В данном случае это условие для точек «на берегу» не выполняется и число маршрутов не совпадает с числом точек «на берегу»: маршрутов 9, а точек «на берегу» 7.

В задании 344 учащимся предлагается построить схему (граф), состоящую из точек и отрезков, их соединяющих, которая отвечает данной задаче. Для этого сначала нужно изобразить двумя точками 2 упаковки. Далее из каждой точки-«упаковки» провести по 3 отрезка, концы которых (точки) будут изображать коробки.

После этого из каждой точки-«коробки» провести по 6 отрезков, концы которых (точки) будут изображать карандаши. Таким образом, можно подсчитать по схеме искомое число карандашей: их будет 36. Вычислить это число можно с помощью следующего выражения: 2•3•6.

тема: «Поупражняемся в измерении объема»

Предлагаем подборку заданий, выполняя которые учащиеся имеют возможность поупражняться в измерении объема различных фигур.

В задании 345 учащимся предлагается сравнить объемы данных фигур, которые составлены из одинаковых кубиков. Для выполнения задания достаточно подсчитать число кубиков, из которых составлена каждая фигура. Так, первая фигура составлена из 11 кубиков, вторая – из 10 кубиков, третья – из 12 кубиков, четвертая – из 12 кубиков. Таким образом, одинаковый объем имеют фигуры под номерами 3 и 4.

В задании 346 предлагается определить объем фигуры, составленной из одинаковых кубиков с ребром 1 см. Таких кубиков в данной фигуре 30 (5•3•2 = 30), поэтому объем данной фигуры 30 куб. см.

Задание 347 относится к заданиям повышенной сложности. Сначала учащиеся должны на рисунке показать, как можно брусками данных размеров (5 дм •2 дм •1 дм) заполнить коробку нужного размера (8 дм •5 дм •3 дм). Так как длина бруска совпадает с шириной коробки, а ширина бруска целое число раз укладывается в длине коробки, то бруски можно укладывать в коробку слоями.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий Каждый слой должен состоять из четырех брусков, расположенных так, как показано на рис. 5.

Всего слоев должно быть 3. Поэтому в коробке помещается 12 брусков (4•3 = 12), которые полностью заполняют коробку. Так как объем каждого бруска равен 10 куб. дм, то объем заполненной коробки (толщина стенок не учитывается) равен 120 куб. дм (10•12 = 120 (куб. дм)). Можно сказать, что вместимость коробки равна 120 куб. дм.

В задании 348 учащимся предлагается в тетради дополнить фигуру, изображенную на рисунке до фигуры, имеющей объем 8 куб. см.

Для этого им нужно дорисовать еще 5 таких же кубиков. Сделать это можно, например, как показано на рисунке 6.

тема: «кто выполнил большую работу» (1 урок) Данной темой открывается новый тематический блок, в котором будут рассмотрены вопросы, связанные с решением задач «на работу». В сюжетах задач будут фигурировать такие величины, как «объем выполненной работы», «время работы», «производительность». Между этими величинами имеет место зависимость, которая ничем принципиально не отличается от зависимости, существующей между такими тройками величин, как «стоимость– количество–цена» или «пройденный путь–время–скорость». Этот математический факт позволяет нам построить обучение решению задач «на работу» по той же самой методической схеме, что была использована ранее при изучении задач на процесс «куплипродажи» и «на движение». Более того, мы постоянно будем проводить аналогии между соответствующими задачами на процесс «купли-продажи», «на движение» и «на работу». Задачи «на работу» мы начинаем изучать с вопроса о сравнении объемов выполненной работы, а также с вопроса о единицах, в которых этот объем можно измерять.

В задании 349 учащимся предлагается сравнить объемы выполненной работы двумя токарями, выразив каждый объем числом произведенных деталей. Сравнение объемов выполненной работы можно производить без учета времени выполнения работы, но чаще это делается при условии, что время выполнения работы является одним и тем же. В последнем случае результат сравнения объемов выполненной работы совпадает с результатом сравнения производительностей. Подробно о производительности мы будем говорить при рассмотрении следующей темы.

В задании 350 учащимся предлагается сравнить объемы выполненной работы Машей и Мишей. При этом объем работы будет выражаться числом грядок, которые дети пропололи в течение дня. Для этого нужно предварительно вычислить это число. В итоге должно получиться, что Миша прополол 14 грядок (6 + (6 + 2) = 14 (гр.)), а Маша прополола 15 грядок (5 + 5•2 = 15 (гр.)), т. е. Маша выполнила большую работу.

Для выполнения задания 351 учащимся нужно представить объем выполненной работы в виде площади обработанного участка. Для сравнения объемов выполненной работы нужно сравнить данные площади. Так как эти площади выражены в разных единицах, то предварительно их нужно привести к одной и той же единице, например к квадратному метру. Тогда площадь первого участка будет выражена как 8 500 кв. м, а площадь второго – 10000 кв. м. Следовательно, вторая бригада выполнила большую работу по этому показателю. В рассмотренной ситуации объем выполненной работы можно было бы выражать еще и массой собранной клубники, но для такого подхода у нас нет необходимой информации.

При выполнении задания 352 учащимся предложено выполнить кратное сравнение объемов выполненной работы при условии, что эти объемы выражены числом произведенных деталей. Для ответа на последний вопрос задания учащиеся сначала должны выполнить разностное сравнение данных объемов (90 – 45 = 45 (дет.)), а потом увеличить этот результат в 2 раза (45•2 = 90 (дет.)) и в 3 раза (45•3 = 135(дет.)).

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий В задании 353 предлагается сравнить объемы выполненной работы, которые представлены массой разгруженных бригадами грузчиков удобрений. Для сравнения предварительно массы нужно выразить в одних и тех же единицах, например в килограммах. В итоге должно получиться, что первая бригада разгрузила 3 500 кг удобрений, а другая – также 3 500 кг (35 ц = 3 500 кг). Следовательно, обе бригады выполнили одинаковый объем работы.

тема: «Производительность – это скорость выполнения работы» (1 урок) При изучении этой темы учащиеся познакомятся с такой величиной, как производительность. Смысл этой величины полностью отражен в названии темы: производительность – это величина, которая совершенно аналогична величине «скорость», уже знакомой учащимся. Так как мы ранее провели аналогию между такими величинами, как скорость и цена, то теперь можно говорить об аналогии, существующей между этими тремя величинами (цена, скорость, производительность). Внешне эта аналогия проявляется в одинаковой структуре наименований, используемых для этих величин.

При выполнении задания 354 учащимся предлагается познакомиться с величиной «производительность» на основе аналогии с величиной «скорость», о чем они узнают из формулировки данной темы. Учащиеся должны понять, что производительность – это объем выполненной работы в единицу времени. С помощью деления они сначала должны вычислить производительность данного рабочего (72 : 6 = 12 (дет./ч)). После этого они могут вычислить число произведенных деталей за смену (за 8 ч): 12•8 = 96 (дет.) и записать производительность за смену: 96 дет./см.

В задании 355 учащимся предлагается сформулировать задачу по предложенной краткой записи. У них должна получиться задача на вычисление общего объема работы двух токарей по известной производительности и известному времени работы каждого токаря.

Решение этой задачи заключается в решении сначала двух простых задач на вычисление объема работы каждого токаря в отдельности (8•8 = 64 (дет.) и 7•6 = 42 (дет.)), а потом в сложении полученных результатов (64 + 42 = 106 (дет.)).

В задании 356 учащимся предлагается составить краткую запись в виде таблицы к данной задаче (для составления краткой записи нужно ориентироваться только на первое из двух данных требований). Приведем пример такой краткой записи.

контролер контролер При ответе на второе требование задачи учащиеся сначала должны понять, что означает термин «совместная производительность».

Объяснить это нужно так: совместная производительность равна объему выполненной работы сразу двумя токарями в единицу времени. После такого объяснения становится понятно, что совместная производительность получается в результате сложения индивидуальных производительностей, если они выражены в одних и тех же единицах. Таким образом, в нашем случае совместная производительность будет равна 500 дет./ч (240 + (240 + 20) = 500 (дет./ч)).

В задании 357 предлагается решить задачу на вычисление объема выпущенной продукции с предварительным вычислением ежедневной производительности фабрики, которая остается постоянной.

Сначала учащиеся должны эту ежедневную производительность и вычислить. У них должно получиться, что ежедневная производительность фабрики составляет 8 000 м/д. (48 000 : 6 = 8 000 (м/д.)).

После этого можно вычислять объем выпущенной продукции за месяц (за 26 рабочих дней): 8000•26 = 20 8000 (м) = 208 (км).

Задание 358 относится к заданиям повышенной сложности.

В нем учащимся предлагается самостоятельно сформулировать характер зависимости, существующей между объемом выполненной работы и производительностью при постоянном времени работы.

Эта зависимость носит прямо пропорциональный характер, о чем учащиеся могут догадаться либо на основании анализа соответствующих примеров, либо на основании аналогии с зависимостью между пройденным путем и скоростью при постоянном времени.

Таким образом, в ответе должно прозвучать, что если производительность увеличивается в 2 раза (уменьшается в 3 раза), то и объем выполненной работы увеличивается в 2 раза (уменьшается в 3 раза).

При выполнении задания 359 учащиеся поупражняются в переводе производительности из одних единиц в другие. Делать это нужно точно так же, как мы это делали при переводе скорости из Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий одних единиц в другие. Приведем пример рассуждений учащихся:

если производительность равна 60 стр./мин., то это означает, что за 1 минуту устройство может напечатать 60 стр.; время 1 с (1 ч) в 60 раз меньше (больше), чем 1 мин, поэтому за 1 с (за 1 ч) можно напечатать в 60 раз меньше (больше), чем за 1 мин; следовательно, 60 стр./мин = 1 стр./с = 3600 стр./ч.

В задании 360 предлагается сравнить две производительности, которые выражены в разных единицах. Для этого они должны привести производительности к общей единице, используя те соотношения, с которыми они познакомились в результате выполнения предыдущего задания. Например, можно перевести производительность 2 стр./с в производительность, выраженную в стр./ч (2 стр./с = 7200 стр./ч, так как 1 стр./с = 3600 стр./ч). Таким образом, с большей скоростью работает копировальная машина с производительностью 2 стр./с.

В задании 361 предлагается решить стандартную задачу «на сумму и разность», где в роли неизвестных величин выступают производительности. Решать такие задачи учащиеся уже умеют. Им только нужно обязательно следить за правильным использованием наименований. Так, если записать совместную производительность в виде 500 дет./ч, то далее можно производить обычную последовательность действий: 1) 500 – 20 = 480 (дет./ч), 2) 480 : 2 = 240 (дет./ч), 3) 240 + 20 = 260 (дет./ч).

В задании 362 учащиеся решают стандартную задачу «на сумму и частное», где в роли неизвестных величин выступают производительности. Решать такие задачи они уже умеют. Им только нужно обязательно следить за правильным использованием наименований. Так, если записать совместную производительность в виде 60 дет./ч, то далее можно производить обычную последовательность действий: 1) 3+1 = 4 (ч.), 2) 60:4 = 15 (дет./ч), 3) 15•3 = 45 (дет./ч).

Таким образом, токарь работает с производительностью 45 дет./ч, а его ученик – 15 дет./ч.

тема: «Учимся решать задачи»

Предлагаем подборку заданий, в результате выполнения которых учащиеся смогут убедиться в том, что решение соответствующих задач на процесс «купли-продажи», «на движение» и «на работу»

ничем принципиально не отличаются друг от друга (именно этот факт лежит в основе методического подхода, который мы используем при обучении решению задач указанных типов), а также поупражняться в решении разнообразных задач «на работу».

В задании 363 предлагается сравнить между собой три задачи по формулировке и по найденным решениям. Каждая из задач является простой задачей на нахождение, соответственно, цены, скорости, производительности. Соответствующие числовые данные в этих задачах одинаковые. Если сравнить решения этих задач и полученные ответы, то они будут одинаковыми в числовом плане (360 : 3 = 120), а отличаться будут только используемыми наименованиями.

В задании 364 учащимся предлагается самостоятельно сформулировать три задачи: одну – на нахождение скорости, другую – на нахождение производительности и еще одну – на нахождение цены, решение которых может быть записано в виде выражения 450 : 5.

Действовать они должны с опорой на предыдущее задание.

В задании 365 предлагается решить задачу на вычисление времени по известному объему выполненной работы (этот объем представлен в виде двух отдельных частей, которые предварительно нужно сложить) и известной производительности.

В задании 366 учащиеся решают задачу, основу решения которой составляет умение вычислять производительность по известному объему выполненной работы и известному времени. Кроме этого, они вспомнят, как вычисляется совместная производительность (нужно складывать индивидуальные производительности, выраженные в одних и тех же единицах). В заключительной части этого задания нужно вычислить объем совместной выполненной работы за 8 ч. Сделать это можно двумя способами: либо складывая объемы выполненной работы за 8 ч каждой бригадой (160 + 240 = 400 (кв. м)), либо используя найденную совместную производительность (50•8 = 400 (кв. м)).

В задании 367 учащимся предлагается сформулировать задачу по данной краткой записи. Приведем пример такой задачи: «Первая переводчица работает с производительностью 5 стр./ч, а вторая – на 2 стр./ч больше. Сколько страниц переведут они вместе, если первая будет работать 7 ч, а вторая – 5 ч?» Решение такой задачи не должно вызывать никаких затруднений.

В задании 368 учащимся предлагается решить задачу, которая сводится к задаче «на сумму и разность». Для того чтобы произвести такое сведение данной задачи к знакомому учащимся типу задач, нужно сначала вычислить, на сколько больше деталей изготовил первый токарь за смену (за 8 ч). Так как производительность первого токаря на 2 дет./ч больше, чем второго, то за 8 ч первый токарь изготовит на 16 деталей больше, чем второй (2•8 = 16 (дет.)).

После этого задача приобретает вид стандартной задачи «на сумму и разность», которую можно сформулировать так: «Два токаря изТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий готовили за смену 90 деталей. При этом первый токарь изготовил на 16 деталей больше, чем второй. Сколько деталей изготовил каждый токарь за смену?» Для решения этой задачи сначала нужно вычислить удвоенное число деталей, которые изготовил второй токарь (90 – 16 = 74 (дет.)). После этого уже можно вычислить число деталей, которые изготовил за смену второй токарь (74 : 2 = 37 (дет.)) и которые изготовил первый токарь (37 + 16 = 53 (дет.)).

тема: «Отрезки, соединяющие вершины многоугольника»

(1 урок) Данной темой мы открываем последний тематический блок первой части учебника. В нем будут рассмотрены вопросы геометрического характера. Начинаем мы с рассмотрения такого нового геометрического понятия, как диагональ многоугольника. Понятие диагонали будет в дальнейшем использовано при проведении разбиения многоугольника на треугольники.

При выполнении задания 369 учащиеся познакомятся с понятием диагонали многоугольника как отрезка, соединяющего вершины многоугольника, но не входящего в состав границы этого многоугольника, т. е. не являющегося стороной многоугольника. Для примера построения диагоналей многоугольника желательно рассматривать только выпуклые многоугольники, т. е. такие, для которых любая диагональ не выходит за границу этого многоугольника.

При выполнении задания 370 учащиеся на практике смогут установить зависимость между числом диагоналей и числом сторон рассматриваемого многоугольника. Так, у четырехугольника две диагонали, у шестиугольника их уже девять, а у треугольника их нет совсем.

При выполнении задания 371 учащиеся поупражняются в разбиении прямоугольника на два прямоугольных треугольника с помощью диагонали.

В задании 372 учащимся предлагается определить число диагоналей, выходящих из одной вершины десятиугольника. Для ответа на этот вопрос учащиеся могут воспользоваться соответствующим чертежом, но могут обойтись и без чертежа. Для этого они должны понять, что из данной вершины десятиугольника можно провести диагонали в 7 вершин этого многоугольника, так как нельзя провести диагональ в эту же вершину, а также в две соседние.

Задание 373 относится к заданиям повышенной сложности. Для его выполнения учащиеся должны вспомнить понятие «ось симметрии». Многоугольником, у которого диагональ лежит на оси симметрии, может быть квадрат, а может быть и произвольный ромб.

Задание 374 относится к заданиям повышенной сложности.

В нем учащимся предлагается сравнить по длине сторону и диагональ, которые выходят из одной вершины многоугольника. На первый взгляд может показаться, что диагональ всегда длиннее стороны, и примеров тому можно привести достаточно много (рис. 7).

На самом деле это не так: диагональ может быть и короче стороны (рис. 8).

Задание 375 относится к заданиям повышенной сложности.

В нем учащимся предлагается начертить многоугольник, у которого ровно 9 диагоналей. В результате выполнения задания 370 учащиеся уже узнали, что у шестиугольника ровно 9 диагоналей. Поэтому начертить учащиеся могут любой выпуклый шестиугольник.

тема: «Разбиение многоугольника на треугольники» (1 урок) При изучении темы учащиеся научатся разбивать данный многоугольник на треугольники как с помощью диагоналей, так и без их помощи.

При выполнении задания 376 учащиеся научатся разбивать шестиугольник на треугольники с помощью диагоналей, проведенных из одной вершины. Таких треугольников получится четыре.

В задании 377 учащимся предлагается сначала начертить прямоугольник, а потом разбить его на 4 треугольника. Сделать это можно с помощью двух диагоналей.

В задании 378 предлагается разбить данный восьмиугольник на 6 треугольников. Сделать это можно с помощью диагоналей, проведенных из одной вершины. Для того чтобы разбить этот восьмиТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий угольник на 8 треугольников, нужно выбрать некоторую внутреннюю точку восьмиугольника, и из нее провести отрезки в каждую вершину многоугольника.

В задании 379 учащимся предлагается начертить остроугольный треугольник и разбить его на три треугольника. Сделать это можно так: провести из вершины остроугольного треугольника два отрезка к противоположной стороне (рис. 9).

В задании 380 учащимся предлагается начертить остроугольный треугольник и разбить его на два треугольника так, чтобы один из них был остроугольным, а другой – тупоугольным. Сделать это можно следующим образом (рис. 10).

В результате выполнения задания 381 учащиеся должны удостовериться в том, что диагональ разбивает прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника.

В задании 382 учащимся предлагается разбить остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники на два прямоугольных треугольника. Сделать это они смогут, если проведут высоту соответственно из вершины острого угла, из вершины прямого угла, из вершины тупого угла (рис. 11).

В задании 383 предлагается разбить каждый из данных многоугольников на 5 треугольников. На рис. 12 показано, как это можно сделать.

тема: «Записываем числовые последовательности»

(1–2 урока) Данной темой мы возвращаем учащихся к рассмотрению вопросов, относящихся к числовым последовательностям. Работа над предлагаемыми заданиями позволит учащимся научиться записывать числовые последовательности, вычисляя несколько первых членов данной последовательности, а также устанавливать арифметическую закономерность в предложенной последовательности геометрических фигур.

В задании 384 учащимся предлагается выбрать одну из трех данных последовательностей по известному первому члену последовательности и правилу получения следующего члена из предыдущего, которое состоит в выполнении двух действий (сначала умножения на число 2, а потом сложения с числом 2). Под указанные требования подходит только последовательность (в), причем это различие проявляется на третьем члене данных последовательностей.

В процессе выполнения задания 385 учащиеся получают возможность познакомиться с последовательностью квадратов натуральных чисел (1, 4, 9, 16, 25, 36 и т. д.) на примере рассмотрения последовательности соответствующих геометрических фигур с последующим переходом к арифметическому выражению представленной закономерности.

Задание 386 является логическим продолжением предыдущего задания. Только теперь речь идет не о последовательности квадратов натуральных чисел, а о последовательности кубов натуральных чисел со всеми вытекающими из этого факта последствиями: рассматривается последовательность кубов, составленных из 1, 8, и т. д. одинаковых кубиков, что позволяет перейти к рассмотрению соответствующей арифметической закономерности, выражающейся последовательностью чисел 1, 8, 27, 64 и т. д.

Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий В задании 387 учащимся предлагается поупражняться в вычислении нескольких (пяти) первых членов последовательности, заданной с помощью «двойного» правила (сначала предыдущее число нужно увеличить в 3 раза, а потом полученный результат увеличить на 3) и указания первого члена последовательности.

С аналогичной ситуацией учащиеся уже сталкивались при решении задания 384, поэтому алгоритм действий им должен быть понятен, а заменить число 2 на число 3 в вычислительном плане не сложная проблема.

На первый взгляд в задании 388 учащимся предлагается поработать с последовательностью, которая устроена аналогично последовательности из задания 384, но здесь есть одно принципиальное отличие, которое выражается в том, что после увеличения предыдущего числа в 2 раза осуществляется процедура уменьшения (а не увеличения) полученного результата на 2. Учитывая, что первое число в этой последовательности равно 2, мы получаем последовательность, все члены которой равны числу 2. Учащихся не должен смущать тот факт, что последовательность может состоять из бесконечного повторения одинаковых чисел. Им нужно объяснить, что такое вполне возможно. В данном случае это будет следующая последовательность чисел: 2, 2, 2, 2, 2 и т. д.

тема: «Работа с данными» (1–2 урока) Тема имеет прямое отношение к той содержательной линии нашего курса, которую мы назвали информационной. С такими заданиями учащиеся уже сталкивались. Изучение данной темы предполагает проведение целенаправленной работы с данными в ситуации, когда эта работа является основной, а не сопутствующей. Предлагаемые задания могут быть использованы как дополнительные на разных уроках, так и при проведении тематического урока, построенного на этих заданиях. Их можно также использовать в качестве домашних заданий исследовательского характера.

Задание 389 направлено на формирование умения получать необходимую информацию из табличной формы представления данных, а также представлять полученную информацию с помощью диаграмм сравнения (в столбчатой или полосчатой форме). Так, для построения диаграммы, иллюстрирующей число учеников в двух первых классах, двух вторых, двух третьих и двух четвертых классах, посещающих спортивные секции в субботу, нужно сначала вычислить необходимые число с помощью табличных данных:

для первых классов это число равно 11, для вторых – 11, для треСловарь тьих – 12, для четвертых – 16. После этого уже можно начинать строить столбчатую диаграмму, состоящую из четырех столбиков (по числу классов) соответствующей высоты (11, 11, 12 и 16). Аналогично выполняются и другие задания. Так, последнее задание требует сначала произвести сложение отдельно в каждом столбике данной таблицы, а уже потом осуществить построение столбчатой диаграммы со столбиками высотой 50, 21, 34 и 31, которые будут иллюстрировать число учеников начальной школы, занимающихся, соответственно, в спортивных секциях, в музыкальном кружке, в проектной деятельности «Человек и природа», в кружке изобразительного искусства.

В задании 390 учащимся предлагается провести работу, аналогичную той, которую они проводили в предыдущем задании (анализ таблицы, получение необходимой информации из таблицы, построение диаграмм), но для работы предлагается использовать данные по количеству учебных часов, которые отводятся на изучение соответствующего раздела программы по математике в начальной школе. Для ответа на последний вопрос задания учащиеся должны упорядочить (в порядке убывания) числа, выражающие число учебных часов по каждому разделу программы (190, 110, 70, 50, 40, 40, 40). При этом последние три раздела программы можно указывать в любой последовательности.

В задании 391 учащимся предлагается построить таблицу, в которой будет показано, сколько очков в каждом виде спорта набрал каждый участник. Сделать это они смогут, если сначала проанализируют и сопоставят две таблицы на предмет выяснения того, сколько очков за каждый вид соревнования получил каждый участник. (Для этого сначала нужно определить, какое место он занял в этом соревновании, а уже потом – сколько очков он за это получил.) Завершается выполнение задания составлением итоговой таблицы по результатам спартакиады, в которой все участники расставлены по занятым ими местам.

Словарь В данном приложении содержится фрагмент толкового словаря математических терминов. Перечень терминов, которые включены в этот фрагмент, определяется программным материалом первой части учебника «Математика», а также значимостью и сложностью соответствующих понятий. Работа со словарем уже хорошо знакома учащимся, и мы продолжаем ее проводить. Те задания, при выполнении которых имеет смысл обратиться к данному словарю, спеТематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий циального обозначения не имеют, но в тексте самих заданий есть специальное указание на использование соответствующей статьи словаря. Мы совсем не исключаем, что некоторые учащиеся ознакомятся с содержанием словаря еще до того момента, когда соответствующая информация им потребуется. Такой познавательный интерес учащихся можно только поощрять, но считать такой подход обязательным нецелесообразно.

Приложение 1. тема: «Площадь прямоугольного треугольника»

Данная тема, как и две последующие, отнесены нами к разряду факультативных, поэтому они включены в приложение. Это объясняется тем, что материал этих тем предполагает углубленное изучение вопросов геометрического характера. При этом вопросы, которые в них рассматриваются, вполне доступны четвероклассникам, а их изучение имеет пропедевтическую значимость.

Поэтому мы рекомендуем учителю изыскать возможность для рассмотрения этих тем.

Результатом рассмотрения данной темы должно стать понимание учащимися того, как можно вычислить площадь прямоугольного треугольника, если опираться на площадь соответствующего прямоугольника.

При выполнении задания 1 учащиеся самостоятельно должны сформулировать способ получения прямоугольника из двух равных прямоугольных треугольников. Этот факт позволяет утверждать, что площадь такого прямоугольника в 2 раза больше, чем площадь соответствующего прямоугольного треугольника.

В задании 2 учащиеся еще раз должны обратить внимание на тот факт, о котором речь шла в предыдущем задании. Только теперь эти рассуждения сопровождаются еще и вычислениями. Вычислив сначала площадь прямоугольника (4•3 = 12 (кв. см)), учащиеся далее должны вычислить и площадь соответствующего прямоугольного треугольника (12 : 2 = 6 (кв. см)).

В задании 3 учащимся предлагается выбрать из данного набора те правила, с помощью которых можно вычислить площадь прямоугольного треугольника. К таким правилам относятся правила из пунктов а) и б).

В задании 4 предлагается разрезать прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см на две части, из которых можно составить прямоугольник со сторонами 3 см и 2 см. На рис. 13 показано, как это можно сделать.

В задании 5 предлагается вычислить площадь каждого из закрашенных треугольников (все они прямоугольные), проведя необходимые измерения. Для выполнения этого задания учащиеся прежде всего должны обратить внимание на то, что площадь треугольника составляет половину от площади соответствующего прямоугольника. После этого нужно измерить стороны прямоугольников, далее вычислить площади этих прямоугольников и, наконец, вычислить площади соответствующих треугольников.

тема: «Вычисление площади треугольника»

При изучении этой темы учащиеся должны усвоить, что площадь произвольного треугольника можно вычислить на основе вычисления площади соответствующих прямоугольных треугольников, на которые можно разбить любой треугольник (см. задание 382).

При выполнении задания 6 учащиеся познакомятся со способом вычисления площади равнобедренного треугольника, который можно сформулировать в виде следующего правила: площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Результатом выполнения задания 7 должно стать понимание учащимися того, что площадь любого треугольника можно вычислять по формуле, описанной в предыдущем задании, а именно: площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Обоснование этой формулы построено на сравнении площади треугольника с площадью соответствующего прямоугольника.

В задании 8 учащимся предлагается выбрать из данного набора те правила, с помощью которых можно вычислить площадь треугольника. Такими правилами являются правила из пунктов а), б), г).

В задании 9 учащимся предлагается провести необходимые разбиения и измерения для того, чтобы вычислить площадь каждого закрашенного треугольника. Площадь каждого такого треугольника равна половине площади соответствующего прямоугольника (это легко установить с помощью соответствующих разбиений). Так как Тематическое планирование и рекомендации по изучению тем и отдельных заданий все прямоугольники имеют одинаковые размеры (4 см и 2 см), то площади всех треугольников будут равны (4 кв. см).

тема: «Поупражняемся в вычислении площади»

В этой теме дана подборка заданий на вычисление площади различных фигур и реальных объектов. В основе практически всех необходимых для решения заданий вычислений лежит формула площади прямоугольника. В последнем задании фигурирует и формула площади треугольника.

В задании 10 учащимся предлагается вычислить площадь каждой из закрашенных фигур, выполнив предварительно необходимые измерения. На рисунке представлены многоугольники двух типов:

без «отверстий» и с «отверстиями». Фигуры, которые не имеют «отверстий», могут быть разбиты на прямоугольники, площадь которых может быть легко вычислена после проведения необходимых измерений. Для фигур с «отверстиями» нужно применить другой способ: сначала нужно вычислить площадь всей фигуры, считая, что в ней нет «отверстий»; потом нужно вычислить площадь «отверстий»; наконец, с помощью вычитания полученных площадей нужно вычислить площадь искомой фигуры. Для вычисления площади «отверстий» там, где это требуется, их также нужно разбить на прямоугольники, а в случае, когда имеется два «отверстия» размером 2 см на 5 мм, лучше их объединить, получив общее «отверстие»

размером 2 см на 1 см.

В задании 11 учащимся предлагается вычислить жилую площадь квартиры, которая складывается из площадей трех комнат. Размеры каждой комнаты можно узнать из данной таблицы. Так как комнаты имеют прямоугольную форму, то для вычисления их площади нужно воспользоваться формулой площади прямоугольника.

Для выполнения задания 12 сначала нужно сравнить площадь данного листа бумаги (7•7 = 49 (кв. см)) с общей площадью 50 «единичных» квадратов (1•50 = 50 (кв. см)). Так как общая площадь квадратов больше площади листа бумаги, то вырезать это число квадратов из данного листа бумаги нельзя ни при каком способе разрезания!

Квадрат со стороной 2 см имеет площадь 4 кв. см. Поэтому максимальное число таких квадратов, которые можно вырезать из данного листа бумаги, если не учитывать возникающие при выкраивании ограничения, можно определить с помощью деления с остатком: 49 : 4 = 12 (ост. 1), т. е. в лучшем случае таких квадратов можно вырезать 12 штук. На самом деле их будет меньше. Реально удается вырезать только 9 «целых» квадратов (рис. 14).

Если разрезать нужным образом оставшиеся полоски, то из их частей можно было бы сложить еще 3 таких квадрата (12 – 9 = 3).