«Сорокина М.М. О развитии критического мышления у студентов средствами учебной дисциплины Теория автоматов и формальных языков....................... 619 Мельников О.И. Белорусский опыт развития ...»

представление о содержании образования меняется. В структуре общеобразовательной школы содержится компетентность в сфере самостоятельной познавательной деятельности, которая включает в себя постановку и решение учебных задач, продуктивное познание, интеллектуальную деятельность. «В зоне первичного внимания находится деятельность самого ученика, его внутреннее образовательное приращение и развитие. Образование в этом случае – не столько передача ученику знаний, сколько формирование себя.

Учебный материал становится не предметом усвоения, а внешней составляющей образования, образовательной средой для самостоятельной деятельности ученика» [13, с.107].

Согласимся, что учебники прошлого века – это источники информации по соответствующему учебному предмету.

Подчеркнем, что в учебниках нового времени, учебный материал становится образовательной средой, т.е. включает в себя познавательный инструментарий, помогающий учащимся «проникать в сущность предмета познания, его составных частей»

[7, с. 89]. Таким образом, в содержание любого учебного предмета, в том числе и математики, включаются как основные научные понятия, факты, законы, методы, теории, так и виды деятельности, с помощью которых осуществляется процесс познания. Говоря о содержании обучения, традиционная дидактика ограничивается рассмотрением методов, средств, форм сообщения учащимся «готовых» знаний, в то время как современная дидактика стоит на системно-деятельностном подходе к обучению, который выступает образовательной среды является в первую очередь школьный учебник. От того, каково содержание учебника, как оно способствует организации деятельности учащегося, зависит технология обучения – обучающая деятельность, и в конечном итоге система знаний учащихся.

Проблеме школьного учебника всегда уделялось достаточно много внимания. Уже в 70-е годы ХХ века, предваряя появление новой образовательной парадигмы, в ряде дидактических исследований, основанных на учении П.Я Гальперина, Н.Ф.

Талызиной, было отмечено, например, что «… деятельность учащегося, организуемая учебником, предварительно не анализируется автором на основе требований теории усвоения.

Поэтому сплошь и рядом оказываются пропущенными необходимые этапы формирования действия, а это препятствует эффективному построению процесса обучения» [9, с. 106]. В другой работе этого времени убедительно аргументировано, что в содержание образования, а значит, и в учебники следует включать определенный комплекс методологических знаний (знаний о методах научного познания, о методах и формах изложения научной информации) [Там же, с. 78], основное назначение которого – служить средством изучения, осмысления предметных знаний.

Позднее в фундаментальных дидактических исследованиях самостоятельной познавательной деятельности школьников была описана внутренняя природа акта познания школьника. П.И.

Пидкасистым установлено, что основным условием самостоятельности учащихся является знание ими предмета познавательной деятельности, его структуры, составляющих его элементов. В школьном обучении таким предметом является научное знание, изложенное с учетом принципов дидактики (научности и доступности). Использование психологической теории деятельности позволило выявить и обосновать условия обучения учащихся предмету деятельности, имеющему форму и содержание.

Формой научного знания (логико-операционной стороной) П.И.

Пидкасистый называет символы, слова, их структурные связи. К содержательной стороне научного знания относятся признаки, свойства, качества, отношения реального мира, т.е. все то, о чем информируют слова, символы и знаки. Поэтому, чтобы самостоятельно конструировать знания, школьнику надо знать, что (определение понятия, аксиому или теорему) и как конструировать.

В традиционном (информационно-объяснительном) обучении школьники могут осуществлять познавательную деятельность, не зная ее предмета. Учитель объясняет учебный материал, формулирует определение, показывает образец доказательства теоремы и ее оформления, пример решения задачи. При этом основное внимание учащихся сосредоточено на содержательной стороне научного знания, а процессуальной, логико-операционной стороной научного знания (формой) учащиеся в должной степени не овладевают. Поэтому «для того, чтобы учащиеся могли самостоятельно, на творческом уровне добывать знания, они должны знать предмет своей познавательной деятельности и знать, как с ним работать. И этому их нужно специально обучать» [7, с. 88].

Чтобы «открывать знания», а не получать их в готовом виде, учащемуся необходимо знать форму научного знания, ее составляющие. При изучении математики такими составляющими являются понятие, термин, определение понятия, свойство понятия (аксиома или теорема), доказательство, закон, правило. Опыт обучения математике в условиях реализации деятельностного подхода убеждает, что даже пятиклассники овладевают сущностью определения: его описанием [3], структурой (определяемым и определяющим понятиями). Овладение учащимися предметом познавательной деятельности зафиксировано в требованиях ФГОС к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования: личностным, метапредметным и предметным [11].

В качестве примера включения в содержание обучения знаний, ориентированных на освоение обучающимися метапредметных результатов, рассмотрим учебный материал по геометрии седьмого класса. Как известно, геометрия – дедуктивная наука, в основу ее построения положен аксиоматический метод. Основные понятия и аксиомы – фундамент для построения геометрии. Так, выделив небольшое число основных, т. е. неопределяемых понятий и отношений, другие понятия определяются через основные. Все утверждения формулируются при помощи основных понятий и отношений, а также понятий, уже получивших определение.

Выделяется небольшое число утверждений, принимаемых без доказательства (аксиом). Эти утверждения описывают свойства основных понятий и связи между ними. Все остальные утверждения последовательно доказываются в качестве теорем.

Однако в изложении школьного курса геометрии невозможно осуществить строгое логическое построение, поэтому не все понятия определяются. Часть из них изучается с опорой на опыт и интуицию учащихся, часть понятий вообще опускается. Не все свойства понятий формулируются и, тем более, доказываются. Однако в целом дедуктивный характер школьного курса геометрии сохраняется. И показать это учащимся – задача учителя.

Итак, в школьном курсе геометрии есть основные понятия и отношения, есть система аксиом, есть определяемые (производные) понятия и отношения, есть стремление обосновывать (доказать) новое суждение на основе имеющихся понятий и утверждений.

Таким образом, школьный курс геометрии отражает дедуктивный характер научного геометрического знания. Как следует из изложенного выше, перечисленные термины составляют форму научного знания – школьного курса геометрии. Это самые общие понятия, описание которых дополняет форму геометрического знания. Это – определение понятия и его структура; аксиома и теорема как вид утверждения; вид теоремы, структура теоремы (условие и заключение); доказательство теоремы как цепочка силлогизмов.

Анализ требований ФГОС к метапредметным результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования в сочетании с предметом познавательной деятельности при изучении геометрии позволил вычленить следующие специфические для школьного курса геометрии умения:

«умение определять понятия, создавать обобщения, устанавливать аналогии, классифицировать, самостоятельно выбирать основания и критерии для классификации, устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение (индуктивное, дедуктивное и по аналогии) и делать выводы;

умение создавать, применять и преобразовывать знаки и символы, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач;

смысловое чтение …» [11, с. 9].

В ФГОС система основных элементов научного знания в средней школе, как указано в пояснительной записке по математике, включает «овладение следующими общематематическими понятиями и методами:

Определения и начальные (неопределяемые) понятия.

Доказательства; аксиомы и теоремы. Гипотезы и опровержения.

Контпример. Типичные ошибки в рассуждениях.

Прямая и обратная теоремы. Существование и единственность объекта. Необходимое и достаточное условие верности утверждения. Доказательство от противного….

Математическая модель…» [12, с. 36].

Школьный курс геометрии 7 класса – для учащихся новый предмет с большим количеством новых понятий, терминов, новой символики, новым содержанием задачного материала, резким повышением уровня строгости логических рассуждений. Учащиеся должны понимать, что утверждения, не являющиеся аксиомами, необходимо доказывать, не ссылаясь на очевидность, что требует убеждения учащихся в необходимости доказательства. Для этого рекомендуется использовать, например, зрительные иллюзии.

Традиционно считалось, что сущность аксиоматического метода формируется у учащихся по мере изучения геометрии, что учащиеся постепенно будут проникаться идеей ее дедуктивного построения. Однако в этом и состоит противоречие. С одной стороны, для самостоятельного изучения геометрии (для формирования предметных результатов), для «открытия» нового знания учащиеся должны владеть формой научного знания (метапредметным результатом). С другой стороны, содержание геометрических знаний в учебниках изложено, следуя аксиоматическому методу, без формирования (или с запоздалым формированием) у учащихся метапредметных знаний и, к тому же, – в «готовом виде». Продемонстрируем сказанное посредством таблицы, используя учебники А.В. Погорелова [8] и Л.С. Атанасяна и др. [1] (табл. 1).

Когда и как учащиеся знакомятся с тем, что такое определение понятия, аксиома, теорема, доказательство? (табл.2).

А.В. Погорелов. Геометрия 7-9 Л.С. Атанасян и др. Геометрия 7- Автор называет точку и прямую Точка и прямая включены во основными фигурами геометрии. «введение» без всякого указания их Вопрос о взаимном расположении прямых и точек на плоскости рассматривается сразу после рассмотрения основных понятий (гл. I, п. 1).

Для этого изучаются отношение Отношение принадлежности, принадлежности точки прямой и отношение лежать между, понятие отношение порядка, а также наложения. Обозначение:

величины: длина отрезка и градусная мера угла ([8, с.7], [8, с. 9]).

Раскрываются свойства основных Свойства основных понятий понятий в аксиомах (сначала не (аксиомы) включены в текст объявляя, что это аксиомы). учебного материала, без указания А.В. Погорелов. Геометрия 7-9 Л.С. Атанасян. Геометрия 7- §1. Основные свойства простейших Глава II. § 4. Задачи на построение.

геометрических фигур. «Предложение, в котором разъясп. 13. Аксиомы. «Дать определение няется смысл того или иного вырачему-либо – значит объяснить, что жения или названия, называется «Утверждения, содержащиеся в геометрии.

простейших фигур, не свойствах геометрических фигур доказываются и называются принимаются в качестве исходных аксиомами» [8, с. 15]. положений, на основе которых «Правильность утверждения о вертикальные и углы.

свойстве той или иной (Свойства смежных и вертикальных геометрической фигуры углов изложены без термина рассуждения. Это рассуждение Глава II. §1. Первый признак называется доказательством. А равенства треугольников. «В само утверждение, которое математике каждое утверждение, Приводится пример рассуждения называется теоремой, а сами состоит из двух частей. В одной Глава III. § 2. п. 29. «Во всякой части говорится о том, что дано. Эта теореме различают две части:

часть называется условием теоремы. условие и заключение. Условие В другой части говорится о том, что теоремы – это то, что дано, а должно быть доказано. Эта часть заключение – то, что требуется называется заключением теоремы» доказать» [1, с. 63].

[8, с. 14].

Логические операции «классификация» и «обобщение» понятия в обоих учебниках присутствуют неявно.

п. 7. Угол (в т.ч. развернутый угол) [8, Глава I. §2. п. 4.Угол (в т.ч.

§2. п. 14. Смежные углы. (Острый, §5. п.9. Градусная мера угла прямой, тупой углы) [8, с. 21]. (острый, прямой, тупой углы) [1, с.

Как видно из содержания таблиц, понятиям, относящимся к метапредметным знаниям, в цитируемых учебниках даются либо неудовлетворительные описания, либо отводится место, не удовлетворяющее принципам деятельностного подхода к обучению.

Поэтому решение проблемы построения курса геометрии для седьмого класса, отвечающего требования ФГОС, представляется возможным в разработке учебных текстов, способствующих организации таких видов учебной деятельности школьников как «деятельность введения понятия», «деятельность изучения утверждения (аксиомы, теоремы)», «процесс решения задачи» [2].

В проектировании указанных видов учебной деятельности учитывается положение о единстве психической и внешней материальной деятельности. Суть его состоит в том, что оба эти вида деятельности имеют идентичное строение. Другой аспект этого единства в том, что «внутренняя, психическая деятельность есть преобразованная внешняя, материальная» [10, с.14]. Это важнейшее положение теории деятельности во взаимосвязи его с принципом предметности деятельности является основой методической реализации деятельностного подхода в обучении, в обновлении содержания обучения. Только выстраивая внешнюю, материальную учебную деятельность во всей ее полноте, сообразно предмету, его форме, с учетом специфики научного знания, можно прогнозировать адекватное формирование внутренней, психической деятельности учащегося.

Приведем пример формирования дедуктивного рассуждения при решении задачи «на вычисление» первого раздела курса планиметрии. Заметим, что решение задачи на вычисление требует обоснования решения, т.е. дедуктивного рассуждения. Покажем, каким, на наш взгляд, должен быть фрагмент учебной деятельности семиклассника в отличие от решения этой же задачи в пятом классе.

Задача. Определите длину стороны ВС треугольника АВС, если точка К принадлежит стороне ВС, а длины отрезков ВК и СК равны соответственно 3 см и 4 см.

Процесс решения задачи (ПРЗ) как вид деятельности включает в себя следующие действия: 1) изучение структуры задачи; 2) поиск плана решения задачи; 3) осуществление плана решения (синтез); 4) проверка решения задачи; 5) изучение полученных результатов.

Понимание задачи – первая цель деятельности учащихся при ее решении. Цель порождает первое действие, которое осуществляется различными операциями. Результатом выполнения этого действия должно быть уяснение учеником сути задачи; осознание смысла отдельных слов и отношений между данными задачи, осмысление условий, при которых возможна данная задачная ситуация;

выделение главного вопроса задачи. Операции, составляющие действие «изучение структуры задачи» следующие: а) чтение задачи; б) выделение условия и требования задачи; в) анализ текста задачи (внутренняя деятельность, результат ее материализованных действий — модель). Чтение задачи, сопровождающееся построением чертежа (наглядной модели), выполнением краткой записи, в которой выделены условие и требование задачи, означает наращивание операций, составляющих действие «изучение задачи»

— первое действие ПРЗ [2].

В решении первых геометрических задач важно «открыть» с учащимися их особенность, которая состоит в выделении в тексте задачи условия, в использовании математической символики, а также в применении изученных ранее знаний для обоснования решения.

В школьном курсе математики решение задач и доказательства не разбиваются на силлогизмы при изложении их в учебной математической литературе. «Однако, чтобы учащиеся осознавали сущность доказательства и его структуру, такие цепочки силлогизмов необходимо демонстрировать на соответствующем этапе обучения математике» [4, с. 72]. Этого требует деятельностный подход к обучению – овладение учащимися предметом познавательной деятельности, формой научного знания.

Решение первых геометрических задач служит пропедевтикой для обучения доказательству теорем. В результате решения подобных задач, на основе выполнения действия контроля и оценки деятельности (процесса решения задачи) формируется представление о дедуктивном рассуждении как цепочке силлогизмов. Удается наглядно показать учащимся как из условия задачи с использованием изученных знаний (теории) выводится ответ. Уместно предварительно организовать работу со словарями для выяснения смысла слова «дедукция» (от лат. deductio – выведение), обсудить с учащимися, какое отношение имеет это слово к решению задач.

Принцип единства внешней (материальной) и внутренней (психической) деятельности способствует созданию многогранного образа изучаемого объекта. Так, абстрактное, вербальное описание свойства медианы равнобедренного треугольника (медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является биссектрисой угла при вершине), формулировка теоремы в умственном плане, материализуется (конкретизируется) выполнением рисунка, введением обозначений и четким выделением условия и заключения теоремы во внешней деятельности. Причем первые теоремы должны быть простыми, условной (импликативной) структуры. В этом случае удается корректно ввести понятие условия и заключения теоремы.

Этого требует формирование представления учащихся о форме научного знания – структуре дедуктивного рассуждения («от условия к заключению»). В дальнейшем, когда учащиеся поймут, как строится доказательство, каким образом из условия теоремы выводится заключение, т.е. овладеют метапредметными знаниями, от развернутого изложения очень быстро можно перейти к свернутому рассуждению, к синтетическому изложению, как в учебнике. При этом элементы дедуктивного рассуждения включаются в условие теоремы или задачи.

[АС] – основание [АС] – основание

АВМ МВС

Формирование представления учащихся о структуре дедуктивного рассуждения освобождает учащихся от заучивания доказательства утверждения без понимания того, как оно строится, откуда, что и как появляется в изложении. Принцип единства внешней и внутренней деятельности, с одной стороны, способствует выведению следствий из условия теоремы на основе определений равнобедренного треугольника, медианы треугольника и свойства углов равнобедренного треугольника (построению силлогизмов).

Возникающий на основе этого восприятия синтез знаний позволяет выстроить дедуктивное рассуждение (табл. 4), показать структуру доказательства – форму научного знания, что способствует формированию метапредметных результатов.

Особо следует обратить внимание на включение в учебник геометрии упражнений на формирование «действия классификации (или обобщения)» при введении понятий и на иллюстрацию различных классификаций одного и того же понятия. Такие примеры широко используются в методике обучения математике. Приведем некоторые из них (рисунки 3 – 4).

равнобедренный неравносторонний равносторонний Для анализа ситуации с формированием в ходе изучения геометрии умения классифицировать (или обобщать) понятие вновь обратимся к таблице 2. В конце таблицы указано место изложения видов углов в двух анализируемых учебниках. Легко видеть, что в изложении этого вопроса в обоих учебниках нарушены требования и системности изучения и деятельностного подхода. Аргументируем данное утверждение. В логике «деятельности введения понятия»

действие классификации следует включать в содержание учебного материала по теме «Угол», ([1, с. 8]; [8, с. 7]). Поясним это, приведением полной структуры деятельности «введение понятия».

Этот вид деятельности как система действий включает в себя следующие действия:

определение понятия;

выведение следствий из определения;

подведение под понятие;

классификация (или обобщение) понятия [2, c. 78].

Каждое из перечисленных действий имеет свою структуру, определяемую частной целью:

1) выделить свойства изучаемого понятия, с помощью которых объекты, входящие в объем нового понятия, будут отличаться от других математических объектов;

2) научиться распознавать, принадлежит ли предъявленный объект объему введенного понятия (действие «подведение под понятие»);

3) соотнести введенное понятие (его видовые отличия) с ранее изученными фактами (вывести следствия из определения);

4) включить изученное определение в систему имеющихся знаний: выявить частные виды нового понятия или установить, видом какого понятия является вновь изученное понятие (действие «классификация» или «обобщение» понятия).

Первая цель задает действие определения понятия. Его структуру составляют операции:

выделение родового понятия и видовых отличий (реализуемое «приемом отбора» или «конструктивным приемом»);

введение термина и обозначения (если оно предусмотрено);

формулировка определения в текстовой форме;

формулировка определения в знаковой форме (символьная запись определения).

Положение о формировании у учащихся метапредметных знаний [11] требует, чтобы для осуществления действия определения понятия ученик знал смысл слова «определение»1 и операциональный состав действия. Сформированность метапредметных знаний учащихся, относящихся к овладению определением понятия, означает, что при самостоятельном изучении нового понятия ученик должен вычленять в тексте:

определяемое понятие (термин), его обозначение;

текст определения (или описания);

определяющее понятие (родовое понятие и логическую конструкцию2, соединяющую видовые отличия);

символьную запись определения (уметь выполнить в случае отсутствия ее в тексте учебника);

Школьниками достаточно успешно усваивается, что «определением называют предложение, в котором разъясняется смысл новых слов» [3, с.165].

Конъюнктивную или дизъюнктивную.

примеры на «да», на «нет»3;

выводы двух видов: если для какого-то объекта выполняются свойства, отраженные в определении, то объект относится к рассматриваемому понятию; если объект относится к рассматриваемому понятию, то для него выполняются все условия, отраженные в определении (уметь формулировать эти выводы в случае отсутствия ее в тексте учебника);

виды изученного понятия (уметь выделить их, т.е.

выполнить классификацию понятия, выбрав её основание).

При изучении таких понятий как «смежные углы», «вертикальные углы» целесообразно планировать формирование действия обобщения этих понятий до их родового понятия: «два угла», т.е. прийти к рассмотрению множества видов пар углов.

Выделение пар углов, полученных при пересечении двух прямых третьей, может быть использовано для мотивации введения понятий односторонних, соответственных, накрест лежащих и других углов.

При изучении понятия «треугольник» в анализируемых учебниках упущена прекрасная возможность формирования у учащихся действия классификации на примере треугольников (выбор разных оснований), классификации отрезков с концами в вершине треугольника и на противолежащей ей стороне треугольника. Проектируя в изложении учебника геометрии такую учебную деятельность школьников как «введение понятия», удается оптимизировать реализацию принципа системности знаний.

Таким образом, нами показано, что предметом познания учащихся при изучении геометрии должна стать не только содержательная сторона знания, но также структурная и операционная (процессуальная). Приведенные примеры убеждают, на наш взгляд, в том, что представление в школьном учебнике геометрии метапредметных знаний будет способствовать организации учебной деятельности школьников, что востребовано ФГОС.

1. Атанасян, Л.С. Геометрия, 7-9 : Учеб. для общеобразоват.

Учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.– 14-е изд.– М. : Просвещение, 2004. – 384 с.

Пример «да» – пример понятия, входящего в объем определяемого понятия; пример «нет» – не входящего.

2. Васильева, Г.Н. Методические аспекты деятельностного подхода при обучении математике в средней школе: практико-ориентированная монография / Г. Н. Васильева; Перм. гос. пед. ун-т. — Пермь, 2009. – 136 с.

3. Дорофеев, Г.В. Математика. 5 класс. Часть 1. Изд. 2-е, перераб. / Г.В.

Дорофеев, Л.Г. Петерсон. – М. : Издательство «Ювента», 2013. – 176 с.

4. Иванова, Т.А. Теория и технология обучения математике в средней школе: учеб. пособие для студентов математических специальностей педагогических вузов /Т.А. Иванова, Е.Н. Перевощикова, Л.И. Кузнецова и др. Под ред. Т.А. Ивановой. 2-е изд., испр. и доп. – Н.Новгород: НГПУ, 2009. – 355с.

5. Маркова, А. К. Формирование мотивации учения: кн. для учителя/ А.

К. Маркова, Т.А. Матис, А.Б. Орлов.– М. : Просвещение, 1990. – 192 с.

6. Об образовании в Российской Федерации / Федеральный закон http://www.rg.ru/2012/12/30/obrazovanie-doc.html 7. Пидкасистый, П.И. Самостоятельная познавательная деятельность школьников: теоретико-экспериментальное исследование / П.И.

Пидкасистый. М.: Педагогика, 1980. – 240 с.

8. Погорелов, А.В. Геометрия: Учеб. для 7-9 классов общеобразоват.

учреждений. – 10-е изд.– М.: Просвещение, 2009. – 224 с.

9. Проблемы школьного учебника: сб. статей. – М. : Просвещение, 1974.

– 252 с.

10. Талызина, Н. Ф. Педагогическая психология : учеб. для студентов учеб. заведений сред. проф. образования / Н. Ф. Талызина. – М. :

Академия, 2003. – 288 с.

11. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования / М-во образования и науки Рос.

Федерации. – М.: Просвещение, 2011. – 48 с. – (Стандарты второго поколения).

12. Фундаментальное ядро содержания общего образования / Рос. акад.

наук, Рос. акад. образования; под ред.В.В. Козлова, А.М. Кондакова. — 4е изд., дораб. — М. : Просвещение, 2011. — 78 с. — (Стандарты второго поколения).

13. Хуторской, А.В. Деятельность как содержание образование / А.В.

Хуторской // Народное образование, 2003. № 8. – С. 107-114.

УКРАИНСКИЙ ОПЫТ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМ

СОВРЕМЕННОГО УЧЕБНИКА ГЕОМЕТРИИ

Черкасский национальный университет имени Богдана Современные изменения в системе общего образования Российской федерации, отраженные в новых государственных документах, ориентируют научный педагогический поиск и школьную практику на создание благоприятных условий для становления и формирования личности обучающегося, развития его индивидуальных способностей, положительной мотивации. В связи с этим выдвигаются новые требования к системе средств обучения, главным из которых является учебник.

В статье Васильевой Г.Н. рассматриваются некоторые аспекты проблемы содержания учебного материала в учебнике по математике, реализующие деятельностную теорию учения и личностно ориентированный тип образования.

Мы вполне разделяем позицию автора в том, что в учебниках нового времени, учебный материал становится образовательной средой, т.е. включает в себя познавательный инструментарий, помогающий учащимся проникать в сущность предмета познания, его составных частей. Мы также поддерживаем тезис автора о том, что формирование метапредметных знаний, особенно при изучении геометрии, является необходимым. И такой учебный результат должен быть, безусловно, своевременным – любое его отдаление от первой необходимости оперирования, например, определением понятия переводит ученика из статуса субъекта учения в статус объекта обучения, что противоречит духу и букве личностно ориентированной парадигмы образования.

Приведенные автором аргументы и их иллюстрации вполне убедительны.

Вопрос к автору.

В статье автор создает ареол, в некотором смысле отрицательный, вокруг такого элемента освоения доказательства утверждения, как заучивание. Мы согласны с тем, что без понимания того, как строится доказательство, откуда, что и как появляется в изложении, невозможно реализовать принцип сознательности обучения. Но для достаточно большого количества учащихся в силу особенностей системы памяти и мышления такая деятельность возможна лишь после того, как доказательство заучено. Является ли возможным, по мнению автора, учесть такие особенности школьников в учебных текстах учебника, в его аппарате организации усвоения и если да, то как именно это можно сделать?

ДИСКУССИЯ ПО ПРОБЛЕМАМ СОВРЕМЕННОГО

УЧЕБНИКА ГЕОМЕТРИИ

1. Без понимания того, как строится доказательство, откуда, что и как появляется в изложении, невозможно реализовать принцип сознательности обучения. Но для достаточно большого количества учащихся в силу особенностей системы памяти и мышления такая деятельность возможна лишь после того, как доказательство заучено. Является ли возможным, по мнению автора, учесть такие особенности школьников в учебных текстах учебника, в его аппарате организации усвоения и если да, то как именно это можно сделать?

Спасибо автору вопроса из Украины, я признательна Вам за проявленный интерес!

В предложенной к публикации статье реализована цель изложения некоторых результатов исследования, относящихся к проблеме содержания материала в учебнике по математике.

Конкретно это относится к представлению теоретических положений деятельностной теории учения, ориентированному на создание условий для реализации системно-деятельностного подхода в обучении геометрии (второй абзац статьи). В этом смысле «автор создает ареол», скорее, предмету деятельности, а не отрицает ни в коей мере, элемент заучивания при «освоении доказательства утверждения».

Действительно, в статье есть предложение, о том, что формирование представлений учащихся о структуре дедуктивного рассуждения освобождает их от заучивания доказательства утверждения без понимания того, как оно строится, откуда, что и как появляется в изложении. Но это вовсе не означает отрицание необходимости требовать от учащихся самостоятельной подготовки к воспроизведению доказательства теоремы!

Личный опыт автора статьи по обучению школьников (учебник А.В. Погорелова, 1989 – 1999 г.; учебник Л.С. Атанасяна и др., – 2006 г.) позволяет ответить на Ваш вопрос.

Что касается возможности «учесть … особенности школьников в учебных текстах учебника, в его аппарате организации усвоения …, как именно это можно сделать?» ответить можно следующим образом.

Во-первых, в тексте учебника, на наш взгляд, особенно в первых разделах, следует изложению примеров решения задач предварять поиск плана решения. Например, к задаче, приведенной в статье (Определите длину стороны ВС треугольника АВС, если точка К принадлежит стороне ВС, а длины отрезков ВК и СК равны соответственно 3 см и 4 см), сформулируем вопросы поиска плана решения и ответы на них.

– Что достаточно знать, чтобы найти длину стороны ВС?

(Достаточно знать, что точка K принадлежит отрезку ВС, а также длины отрезков ВК и КС) – Что достаточно знать, чтобы утверждать, что ВС – отрезок?

Или иначе – откуда следует, что ВС – отрезок? ( Чтобы утверждать, что ВС – отрезок, достаточно знать, что АВС – треугольник (определение треугольника)).

– Каков план решения задачи? (1) Обосновать, что ВС – отрезок;

2) применить аксиому измерения отрезков для отрезка ВС и условия K BC ; 3) выполнить вычисления).

Во-вторых, далее полезно привести подробное решение (представление всех силлогизмов, табл. 3 статьи).

Ниже приводится синтетическое (обычное) решение задачи.

Р е ш е н и е. ВС – сторона треугольника АВС, поэтому ВС – отрезок, т.е. K BC. По аксиоме измерения отрезков следует, что |ВС| = |ВК|+ |КС|. Зная, что |ВК| = 3 см, |СК| = 4 см, находим, что |ВС| = 3 + 4 = 7 (см).

На наш взгляд, одного-двух примеров решения геометрической задачи в тексте учебника будет достаточно. При необходимости убедить ученика в недостаточной аргументации решения той или иной задачи, учитель сможет прибегнуть к этим примерам.

Аналогично можно поступить и с изложением доказательства теоремы.

Приведем пример материализованной модели поиска доказательства, рассмотренного в статье свойства медианы равнобедренного треугольника — рассуждения, осуществляемого методом восходящего анализа (схема 1). Включение данной модели в текст учебника создает условия для формирования как предметных, так и метапредметных результатов (См. цитирование ФГОС в статье).

([ВМ] – биссектриса АВС) (АВМ МВС) (АВМ = СВМ) При необходимости данную схему можно представить текстом, аналогичным тому, что приведен в рассмотрении решения задачи.

РЕАЛИЗАЦИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО ПОДХОДА С

ПРИМЕНЕНИЕМ КОМПЬЮТЕРНЫХ СРЕД ОБУЧЕНИЯ

ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ РАЗВИТИЯ УУД В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Уральский федеральный университет имени первого Президента Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя образовательная школа №20, В концепции ФГОС среднего образования одним из ключевых моментов является установка на формирование и развитие универсальных учебных действий (УУД).

Современная педагогика под универсальными учебными действиями понимает совокупность обобщенных действий учащегося, а также связанных с ними умений и навыков учебной работы, обеспечивающих способность субъектов к самостоятельному усвоению новых знаний, умений и компетентностей, к сознательному и активному присвоению нового социального опыта, к саморазвитию и самосовершенствованию [3].

В широком значении термин «универсальные учебные действия» означает умение учиться, т.е. способность субъекта к саморазвитию и самосовершенствованию путем сознательного и активного присвоения нового социального опыта.

В более узком (собственно психологическом значении) этот термин можно определить как совокупность способов действия учащегося (а также связанных с ними навыков учебной работы), обеспечивающих его способность к самостоятельному усвоению новых знаний и умений, включая организацию этого процесса [1].

Являясь по своей сути надпредметными, УУД, особенно познавательные, в значительной степени формируются в рамках освоения учебного материала. По словам А. Г. Асмолова уже в начальное школе основой развития познавательных УУД, в первую очередь логических, включая и знаково-символические, выступает учебный предмет «Математика» (см. [1]). Процесс изучения математики в средней школе также предоставляет широкие возможности для развития УУД у учащихся. При этом, как указывает И. В. Петрова [2], одним из непременных условий формирования УУД на всех ступенях образования является обеспечение преемственности в освоении учащимися этих действий.

На наш взгляд, мощным средством для формирования и развития УУД при изучении математики в средней школе являются интерактивные геометрические системы (ИГС), история которых на сегодняшний день насчитывает уже около 20 лет.

Под интерактивной геометрической средой понимается компьютерная программа, позволяющая создавать динамические чертежи, т.е. компьютерные геометрические чертежи-модели, исходные данные которых можно варьировать с сохранением всего алгоритма построения, а также просматривать такие чертежи и работать с ними [4].

ИГС является электронным аналогом готовальни, с дополнительными динамическими возможностями, такими как озвучивание чертежей, создание геометрических мультфильмов и так далее. Основными инструментами ИГС являются виртуальные линейка и циркуль. Имеется хорошо развитая система измерений длин, углов, площадей, периметров, отношений с достаточно большой точностью. Система преобразований позволяет производить над объектами такие операции как отражение, растяжение, сдвиги, повороты.

Указанные возможности ИГС позволяют формулировать задание учащимся так, чтобы ответ в нём был получен из опыта планируемой деятельности по получению необходимой информации. В такой ситуации происходит дальнейшее развитие регулятивных УУД, формирование которых было начато в начальной школе, поскольку в таком задании учащимся нужно провести целеполагание на основе соотнесения того, что уже им было известно, и того, какой информации им недостает, планирование последовательности действий для получения недостающей информации, прогнозирование результата и т.д.

Развиваются также и познавательные УУД – как общеучебные, так и логические. Интерактивность ИГС позволяет выстраивать индивидуализированные траектории в освоении учебного материала и развития УУД. В то же время, весьма продуктивным оказывается организация работы в малых группах, поскольку она в процессе групповой коммуникации вынуждает учащихся к рефлексии своей деятельности по получению результата. Одновременно это способствует развитию коммуникативных УУД, направленных на сотрудничество в рамках решения поставленной проблемы.

Рассмотрим пример постановки подобного задания на уроке математики по теме: «Сумма углов треугольника».

Отметим, что методика изучения данной темы (в том числе с применением компьютерных средств) очень активно обсуждается в педагогическом сообществе. Мы проанализируем только один, но типичный пример построения методики изучения этой темы на уроке, который назван автором «Урок–исследование на тему «Сумма углов треугольника»». Вот этот фрагмент:

«Приступим к нашему исследованию. Предположим, дан треугольник DBC, у которого D = 30, C = 50. Определить вид треугольника.

Какие виды треугольников можно определить в зависимости от углов? (Ожидаемый ответ: тупоугольные, прямоугольные, остроугольные.) Проблема заключается в том, чтобы найти B, так как от него зависит вид треугольника. Как его найти? Можно его измерить, но если треугольник очень велик или недоступен, то этого сделать нельзя.

Вывод. Надо найти какую-то взаимосвязь между углами треугольника.

Для этого проведем опыт. У каждого ученика на столе лежат треугольники разного вида. 1-й ряд работает с остроугольными треугольниками, 2-й ряд – с прямоугольными, 3-й ряд – с тупоугольными. Каждый вырезает углы своего треугольника, я По этическим соображениям мы не приводим фамилию автора и ссылку на web-сайт, где размещена данная методическая разработка.

проделаю это со своим. Вырезали. Теперь приложим эти углы друг к другу. Какой угол у вас получился? Правильно, развернутый. Какова его градусная мера? 180. Какое предположение можно сделать?

Предположение. Сумма углов любого треугольника равна 180.

Но вдруг эта гипотеза верна только для наших треугольников или у нас это получилось случайно? Давайте докажем это предположение.

Доказательство.

Далее учителем предъявляется доказательство.

На наш взгляд, здесь имеет место целый ряд методических просчетов и упущенных дидактических возможностей.

Во-первых, в исходной постановке вовсе не стоит задача найти B. Вполне могло оказаться так, что определить B нельзя, но вид треугольника, тем не менее, установить можно. Например, если дан только D, равный 110. И хотя угол B в этом случае найти нельзя, вид треугольника определяется однозначно. А при данном преобразовании формулировки исходной задачи к задаче нахождения третьего угла происходит формирование у школьников ложной ментальной связи: для определения вида треугольника надо всегда знать величины двух углов и по ним вычислять величину третьего. Такое скрытое преобразование одной проблемы в другую, ей неэквивалентную (а более сильную), создает препятствие к правильному формированию регулятивных УУД, а именно правильному целеполаганию.

Во-вторых, сама мысль, что третий угол треугольника однозначно определяется двумя другими, рождена не школьниками, а привнесена учителем, т.е. не использована возможность прогнозирования результата самими учащимися.

В-третьих, план проведения экспериментального исследования (вырезание углов, их складывание, обращение внимания на то, чему равна сумма) продиктован учителем, т.е. не формируются действия, отмеченные в составе группы регулятивных действий как «определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата; составление плана и последовательности действий», и действие из группы общеучебных действий такое, как «постановка и формулирование проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера».

В-четвертых, установление, что сумма дает развернутый угол, проводится, по-видимому, «на глазок», поскольку никакие инструменты контроля (например, линейку) применить не предлагается. Это препятствует формированию у учащихся УУД «контроль и оценка процесса и результатов деятельности».

В-пятых, совершенно не мотивировано в доказательстве появляется прямая, параллельная стороне треугольника. Для школьников это логически необъяснимый шаг, что фактически противодействует развитию таких логических универсальных действий как «анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных)» и «синтез, т.е. составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с восполнением недостающих компонентов».

Несмотря на высказанную критику, данная разработка является, по нашему мнению, одной из лучших из десятка проанализированных нами – в ней присутствует мотивированная проблемность, деятельностная, хотя и неполная, структура эксперимента, указание на недостаточность экспериментальной проверки для того, чтобы считать гипотезу доказанной. В большинстве случаев в качестве экспериментальной части учащимся сразу предлагается измерить углы треугольника (непонятно, зачем), а затем сложить получившиеся числа (в надежде, что у всех получится один и тот же ответ 180, что бывает далеко не всегда).

Нами предложен и апробирован на группе учащихся следующий вариант изучения данной темы, практически не реализуемый без использования ИГС.

Учащиеся ко времени изучения данной темы уже знают, что не из любых трёх отрезков можно составить треугольник. Поэтому совершенно естественно звучит следующая проблемная ситуация:

любые ли три заданных угла могут быть углами одного треугольника.

Учитель предлагает учащимся рассмотреть шесть различных углов (например, таких, как на рис. 2), из которых требуется подобрать тройки углов таким образом, чтобы они образовывали треугольник.

Напрашивается вывод учащихся о том, что необходимо перебрать все возможные тройки углов. Однако метод полного перебора является одним из наименее эффективных, и это важно продемонстрировать. Этот метод по существу является разновидностью метода проб и ошибок, который всего лишь позволяет сформировать множество верных вариантов, но не дает при своей реализации никаких подходов к анализу ситуации.

Методы анализа вынуждены привноситься извне в уже готовом виде, что не отвечает дидактическим целям данного задания. Данное предложение не решает главного в проблеме, поставленной учителем, ибо неясно, что делать после того, как выбраны 3 угла.

Само обсуждение, что делать дальше, когда нами отобраны тройки углов, которые могут принадлежать одному треугольнику, – это важный момент формирования регулятивных УУД, относящихся к планированию познавательной деятельности. При этом обсуждении получает развитие еще одно познавательное УУД, входящее в группу общеучебных действий: «выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий». Самый очевидный путь решения – перебор всех возможных троек углов, является наименее рациональным, при этом этот способ не дает ответа на поставленный вопрос, а значит, учащиеся вынуждены искать другие, более рациональные и эффективные пути решения, что и способствует развитию обозначенного выше общеучебного действия.

В ходе обсуждения предложения учащихся о том, что необходимо перебрать все возможные тройки углов делается вывод, что такой перебор не дает ответа на вопрос: как узнать, можно ли из выбранной тройки углов составить треугольник? Чтобы решить эту задачу необходимо рассмотреть пары углов (всего таких пар будет 15, т.е. значительно меньше, чем троек), расположенных таким образом, чтобы одна из сторон у них была общая, но соответствующие им лучи были направлены в противоположные стороны, а две другие стороны этих углов лежали в одной полуплоскости.

Для дальнейшей работы учащиеся разбиваются на группы по 2человека. Каждая группа, используя средства ИГС, проверяет пары углов, пытаясь получить из них треугольник. Организация продуктивной работы в группе способствует развитию коммуникативных УУД (как с точки зрения «планирования учебного сотрудничества с учителем и сверстниками, включающее определение цели, функций участников, способов взаимодействия», так и в аспекте «постановки вопросов, т.е. инициативном сотрудничестве в поиске и сборе информации»).

Использование ИГС позволяет учащимся совмещать пары углов, размещая их вершины на различных расстояниях (это важно для дальнейшего исследования), а также точно совмещать третий угол с тем, который получился в треугольнике, образовавшемся после совмещения двух углов. Учитель сопровождает выполнение эксперимента не конкретными указаниями измерить что-либо или предложениями сформулировать, как могут быть связаны между собой углы треугольника, а вопросами, стимулирующими к формулированию результатов эксперимента через выделение признаков (свойств), дающих возможность считать поставленную задачу в той или иной степени решенной. Подобные вопросы формулируются учителем в следующей форме: «Проведя эксперимент, вы обнаружили, что не для каждой пары углов получается треугольник. Как бы вы сформулировали, для каких пар углов треугольник точно не получится?»

На первой стадии эксперимента учащиеся достаточно быстро (и совершенно самостоятельно) приходят к выводу, что нельзя получить треугольник, если взять два тупых угла, тупой и прямой углы, два прямых угла (провести эксперимент с двумя прямыми углами догадываются далеко не все, поскольку в первоначальном комплекте углов нет двух прямых углов; для учителя это может служить косвенным признаком большей креативности тех школьников, которые догадались до такого эксперимента и такого вывода).

После обнаружения и формулировки вывода, что даже не для каждой пары углов можно построить подходящий треугольник, с учащимися обсуждается, что по существу в исходной задаче выделена подзадача для двух углов. Декомпозиция задачи на подзадачи, постановка промежуточных целей также относится к числу важнейших умственных умений, которые фигурируют в списке УУД как «планирование, т.е. определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата; составление плана и последовательности действий». Сам процесс выделения подзадачи должен быть осознан учащимися в общем виде, т.е. с пониманием, что это общий подход к решению задач, примененный конкретно в ходе решения данной задачи. Более того, этот общий подход реализуется как метапредметное умение выделения подзадач путем рассмотрения конфигураций с меньшим числом объектов, удовлетворяющим заданным требованиям.

На рисунке 3 показаны примеры пар углов, которые могут являться углами одного треугольника, и две пары углов (6-3 и 6-4), которые быть углами одного треугольника не могут. Всего для данного набора углов у учащихся должно получиться тринадцать пар углов, которые могут являться углами одного треугольника.

Однако исследование исходной проблемы не завершено, значит, учащимся нужно продолжить работу. В этой ситуации учитель просто обращает внимание учащихся на различие между достигнутым результатом и исходной постановкой проблемы. Здесь получает развитие познавательное УУД, входящее в группу общеучебных действий «рефлексия способов и условий действия;

контроль и оценка процесса и результатов деятельности», состоящее в выделении и осознание учащимся того, что уже достигнуто и что еще предстоит сделать. Проделанная работа позволяет учащимся в ходе совместного обсуждения сделать вывод о том, что тупой и прямой углы не могут быть углами одного треугольника, а также о том, что не всякая пара «тупой-острый угол» может образовывать треугольник. Этот вывод может быть подвергнут дополнительной экспериментальной проверке с углами, которые по своему выбору строят учащиеся в ИГС.

формулирование вывода, что позволяет говорить о развитии еще одного познавательного УУД, входящего в группу общеучебных действий «осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной и письменной форме». Также формируется метапредметное умение выделения подзадач путем рассмотрения конфигураций с меньшим числом объектов, удовлетворяющим заданным требованиям.

Но поскольку изначальная задача не была решена, учащиеся приходят к выводу о том, что надо сравнить оставшиеся углы с третьим углом в получившихся треугольниках.

Учащиеся в группах по 2-3 человека выполняют эту работу и составляют краткий отчет: для каких пар углов нашелся третий угол из числа заданных, а для каких нет.

На рисунке 4 показано, что только для трех пар углов (1-2, 2-5 и 1найдется третий подходящий угол из числа заданных.

В результате проделанной работы учащиеся выдвигают и формулируют предположение, что если какие-либо два угла могут являться углами некоторого треугольника, то третий его угол определяется однозначно. Поделанная работа способствует развитию, по крайней мере, трёх УУД: выдвижение гипотез, осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной и письменной форме, умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации; владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка. На этом шаге ликвидирован один из принципиальных дидактических просчетов цитированной выше методической разработки.

Но здесь важно сразу обратить внимание учащихся на вполне ясный смысл слов «определяется однозначно». Учитель инициирует дискуссию о том, зависит ли величина третьего угла от размеров треугольника? Может быть, в большом треугольнике она будет больше, а в маленьком меньше? Учащиеся с помощью ИГС строят треугольники разных размеров с двумя заданными углами и убеждаются в том, что третий угол получается всегда одной и той же величины (см. рис. 5).

Учащиеся самостоятельно выдвигают гипотезу о том, что величина третьего угла не зависит от размера треугольника, В ходе данной работы получает развитие познавательное УУД, входящее в группу логических действий «выдвижение гипотез и их обоснование».

К этому времени учащиеся еще не знакомы с понятием подобия фигур и тем более с признаками подобия треугольников. Поэтому подтверждение правильности выдвинутой гипотезы не может быть ими получено на этом пути.

Далее осуществляется переход от эмпирического знания к теоретическому обоснованию, путем доказательства того, что если у двух треугольников два угла соответственно равны, то и третьи углы тоже равны.

Чтобы подвести учащихся к идее доказательства, им предлагается следующий компьютерный эксперимент: один из углов откладывается от одной и той же точки и остается неподвижным, а второй скользит вдоль их общей стороны (см. рис. 6).

Параллельность получающихся прямых не только наблюдается учащимися, но и легко ими обосновывается – эти прямые образуют с общей секущей одинаковые соответственные углы. Но тогда из свойств параллельных прямых и секущей следует, что и третьи углы во всех получающихся треугольниках одинаковы. Гипотеза доказана и превращается в теорему.

Данная работа способствует развитию познавательного УУД, входящего в группу общеучебных действий «применение методов информационного поиска, в том числе с помощью компьютерных средств», а также УУД группы логических действий «построение логической цепи рассуждений, доказательство». Учащиеся самостоятельно в ходе практической деятельности ищут пути доказательства выдвинутого ранее предположения.

Итак, доказано, что величина третьего угла треугольника зависит только от величин двух других углов. Возникает естественная проблема, какой именно является эта зависимость.

Здесь осуществляется переход от установления факта существования зависимости к выявлению математического соотношения, что способствует развитию познавательного УУД, входящего в группу знаково-символических действий «преобразование объекта из чувственной формы в модель, где выделены существенные характеристики объекта».

При всей естественности возникновения указанной проблемы учащиеся, как правило, оказываются не способными явным образом её сформулировать. Это свидетельствует о несформированности у учащихся такого УУД как «формулирование проблемы». Мы не нашли подходящей косвенной постановки вопросов, при которой учащиеся могли бы сами поставить перед собой задачу обнаружения зависимости между углами. Поэтому она была сформулирована учителем как предложение к дальнейшему исследованию. Отметим, что в проведенном нами эксперименте учащиеся с энтузиазмом восприняли это предложение, что свидетельствует об их достаточно высокой познавательной активности, однако они, недолго думая, стали предлагать возможные варианты такой зависимости без всякого анализа уже имеющейся у них информации. На наш взгляд, это означает несформированность у них умения проводить анализ объектов с целью выделения свойств и признаков (существенных, несущественных).

К сожалению, методик формирования этих УУД фактически не существует. В школьном курсе информатики этому вопросу уделяется значительное внимание при изучении моделирования, поскольку в построении модели следующим шагом после формулировки цели моделирования как раз является этап выделения существенных факторов, которые должны быть учтены в модели. Но и там обучение проводится в основном методом проб и ошибок:

учащимся предлагается назвать те факторы, которые им представляются существенными для достижения поставленной цели, а затем – уже после построения модели – проверкой на адекватность и достигнутость поставленной цели определяется, все ли существенные факторы были учтены.

Если исходный объект или его модель представляет собой систему, то для построения соответствующей методики можно воспользоваться идеями, предложенными в Теории решения изобретательских задач (ТРИЗ). А именно, приведение системы в состояние, пограничное с разрушением – в этом случае становится понятным, какой именно фактор (или какая их совокупность) «несет ответственность» за целостность системы и в чем проявляется его существенность при построении модели.

Любой математический объект (в частности, геометрический) всегда представляет собой систему – это всегда совокупность связанных между собой элементов, причем связи обеспечивают целостность и эмерджентность системы. В нашем случае мы изучаем треугольник как систему, состоящую из трех углов, в которой два угла имеют общую сторону с противоположно направленными лучами. Можно считать, что первый угол закреплен неподвижно, а второй скользит вдоль общей стороны. Если движение происходит вправо (см. рис. 7 а), то система не разрушается. Если же второй угол смещается влево, то в момент совмещения вершин углов треугольник исчезает (см. рис. 7 б).

Треугольник исчез, но в этой конфигурации мгновенно возникает доказательство требуемого факта, поскольку 3 как внутренний накрест лежащий при двух параллельных и секущей равен тому углу, который дополняет 1 и 2 до развернутого (см.

рис. 8).

Здесь снова получают развитие УУД «выдвижение гипотез и их обоснование» и «построение логической цепи рассуждений, доказательство». Учащиеся самостоятельно выдвигают гипотезу, после чего проводят поиск доказательства.

Значимо также то, что здесь осуществляется переход от эмпирических наблюдений к теоретическому обоснованию, причем используется важный метапредметный метод исследования – рассмотрение положения объектов в экстремальных (возможно, вырожденных) ситуациях. В данном случае при «экстремальном»

перемещении угла треугольник исчез – выродился в точку, – но оказалось, что это полезно для решения задачи.

После доказательства теоремы о сумме углов треугольника учащимся предлагается вернуться к рассмотрению возможности построения треугольника, имеющего одновременно тупой и прямой угол. Высказанная ранее гипотеза, полученная путем экспериментальных исследований, получает теоретическое обоснование. Осуществляется рефлексия результата; рассмотрение ранее полученной информации с точки зрения новых сведений.

Далее учащимся предлагается решить следующую задачу:

«Даны 6 углов, величины которых составляют 27, 55, 112, 41, 32 и 36. Какие тройки углов могут быть углами одного треугольника?»

В ходе обсуждения решения этой задачи учащиеся приходят к выводу о том, что им уже не нужно строить данные углы, достаточно лишь вычислить их суммы. Построение математической модели исходной задачи полностью завершено. Теперь эта модель применяется для решения задач в свернутом виде. Важный метапредметный методологический этап: от исследования через построение модели к её применению в решении задач.

С целью дальнейшего освоения учащимися УУД – «преобразование модели с целью выявления общих законов, определяющих данную предметную область» и «анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных)» – весьма полезно, на наш взгляд, продолжить обсуждение полученных результатов в следующем направлении.

Учитель обращает внимание учащихся, что живём мы, однако, не на плоскости, а на планете Земля, для поверхности которой более адекватной моделью является сфера. Конечно, мы не учились измерять углы на сфере (хотя на практике это делаем, считая, что на малом участке можно заменить сферу большого радиуса частью плоскости), но все понимают, что, скажем, любой меридиан перпендикулярен экватору. Построим два меридиана из двух точек экватора. Они пересекутся на северном полюсе (как и на южном).

Получится треугольник. Можно ли в этом случае утверждать, что третий угол треугольника однозначно определяется двумя другими?

Каждому ученику очевидно, что нет – у построенного треугольника два угла прямые, но третий угол может иметь любую положительную величину, не превосходящую 360. Ясно, что этот угол будет тем больше, чем больше длина дуги экватора между точками, где восставлены меридианы. Школьники легко формулируют гипотезу, что величина угла прямо пропорциональна длине дуги экватора между точками, где восставлены меридианы.

Компьютерный эксперимент позволяет им укрепиться во мнении, что эта гипотеза справедлива. Но учитель объясняет, что их знаний пока недостаточно, чтобы превратить эту гипотезу в теорему. Здесь образовательный процесс может выстраиваться так, что он будет способствовать развитию целого ряда УУД – «самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели», «структурирование знаний», «моделирование, т.е. преобразование объекта из чувственной формы в модель, где выделены существенные характеристики объекта (пространственнографическая или знаково-символическая)», «преобразование модели с целью выявления общих законов, определяющих данную предметную область», «формулирование проблемы», «анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных)», «выбор оснований и критериев для сравнения, сериации, классификации объектов», «выдвижение гипотез и их обоснование».

1. Как проектировать универсальные учебные действия в начальной школе : от действия к мысли: пособие для учителя [Текст] / А. Г. Асмолов, Г. В. Бурменская, И. А. Володарская и др.; под ред.

А. Г. Асмолова. — М. : Просвещение, 2008. – 151 с.

2. Петрова, И. В. Средства и методы формирования универсальных учебных действий младшего школьника [Текст] / И. В. Петрова // Молодой ученый. – 2011. – №5. Т.2. – С. 151-155.

3. Сюсюкина, И. Е. Формирование универсальных учебных действий младших школьников в оценочной деятельности : дис. … канд. пед.

наук [Текст] / И. Е. Сюсюкина. – Магнитогорск, 2010. – 205 с.

4. Дубровский, В. Н., 1С: Математический конструктор – новая программа динамической геометрии [Текст] / В. Н. Дубровский, Н.

А. Лебедева, О. А. Белайчук // Компьютерные инструменты в образовании. 2007. № 3. С. 47-56.

БЕЛОРУССКИЙ ОПЫТ РЕАЛИЗАЦИИ

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО ПОДХОДА С ПРИМЕНЕНИЕМ

КОМПЬЮТЕРНЫХ СРЕД

Мозырский государственный педагогический университет имени Гениальный писатель Л.Н.Толстой утверждает: «Если ученик в школе не научился сам ничего творить, то в жизни он всегда будет только подражать, копировать, так как мало таких, которые бы, научившись копировать, умели сделать самостоятельное приложение этих сведений». Такая мысль является актуальной и для современной общеобразовательной школы. Именно в процессе обучения у учащихся должны быть заложены психологические основы универсальным учебным действиям. Важную роль в формировании таких действий играет школьный курс математики.

Содержание учебного материала позволяет воспитывать у учащихся устойчивый интерес к его изучению, развить математическую интуицию, формировать умения подмечать закономерности и делать обобщенные выводы, воспитывать активность, самостоятельность, развивать математические способности, творческое мышление.

В основе любого математического творчества лежит догадка, гипотеза, рассуждения, критическая оценка, сопоставление, доказательство.

В статье А.Г. Гейн, И.А. Журавлева рассматриваются различные подходы формирования УУД средством ИГС на примере такой темы как «Сумма углов треугольника». Анализируются достоинства и недостатки различных методик изучения данной темы. Предложенный способ формирования УУД средством ИГС заслуживает огромного внимания и требует разработки методик формирования УУД для более сложных тем школьного курса математики.

Эффективность любого урока, в том числе и урока математики, зависит, прежде всего, от подготовленности учителя. Проведение урока с использованием компьютерных технологий, в силу своей специфики, требует от учителя дополнительных усилий.

Большинство учителей математики Беларуси используют ИГС фрагментально, а именно для распознавания существенных признаков того или иного геометрического понятия, для подведения учащихся к формулировке той или иной теоремы, как демонстрационное средство при подаче учебного материала крупным блоком.

Приведем пример. Для того, чтобы учащиеся смогли выявить условия, которые обеспечивают параллельность прямой и плоскости, им предложено решить следующую задачу. Дан тетраэдр ABCD и точки M и N. Точка M принадлежит АВ, точка N принадлежит AD. Построить точку пересечения прямой MN с плоскостью BCD. Учащиеся исследуя возможные случаи расположения прямой MN и плоскости BCD самостоятельно пришли к выводу о том, что, если MN параллельна BD, то данная прямая и данная плоскость не пересекаются. Тем самым им удалось сформулировать теорему, выражающую признак параллельности прямой и плоскости.

Вопросы авторам статьи.

1) Как относятся учителя математики к формированию УУД средством ИГС?

2) Будут ли авторы в дальнейшем заниматься данной проблемой? Какие темы школьной геометрии они выберут?

УКРАИНСКИЙ ОПЫТ РЕАЛИЗАЦИИ

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО ПОДХОДА С ПРИМЕНЕНИЕМ

КОМПЬЮТЕРНЫХ СРЕД

Сумский государственный педагогический университет Современное обучение не видится сегодня без использования информационных технологий. Уроки математики с поддержкой компьютерных программ перешли на качественно новый уровень, дающий возможность учителю организовать экспериментальное исследование, а ученику самому «сделать открытие» некоторых фактов. Именно этому посвящена статья «Реализация исследовательского подхода с применением компьютерных сред обучения геометрии для развития УДД в средней школе» (авторы А.Г. Гейн и И.А. Журавлев).

Авторам удалось подробно описать не только методику организации такого исследования при изучении темы «Сумма углов треугольника», но и возможные мысли и действия учеников, которые «открывают» для себя известную теорему планиметрии.

Импонирует то, что авторам удалось провести естественные параллели между действиями всех субъектов учебного процесса и требованиями ФГОС среднего образования. Такое изложение проблемы не только показывает глубокое владение методическими приёмами обучения, но и свидетельствует о высоком творческом потенциале авторов описанной проблемной ситуации, которая побуждает школьников к действиям и конечным правильным выводам.

Было бы интересным узнать ответы на следующие вопросы.

1. Какое время требуется учителю для формирования описанных УУД. Достаточно ли одного урока для выдвижения и доказательства гипотезы или часть вопросов выносится на самостоятельную работу?

2. Есть ли авторские разработки по формированию УУД, связанные с другими темами. Представлены ли эти материалы в Интернет?

3. С какими ИГС работают авторы и их подопечные?

Что касается опыта нашей работы в этой области, то отметим следующее. В СумДПУ им. А.С. Макаренко методические особенности использования компьютерных инструментов на уроках математики изучаются на курсах «Методика математики», «Использование компьютера на уроках математики» и «Вычислительный практикум». Каждый курс с различных сторон описывает методические аспекты работы с программами динамической геометрии (в статье они названы ИГС). В частности, анализируются возможности использования того или иного программного продукта, акцентируется внимание на рациональности использования как инструмента, так и метода решения той или иной задачи.

ДИСКУССИЯ ПО ПРОБЛЕМЕ РЕАЛИЗАЦИИ

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО ПОДХОДА С ПРИМЕНЕНИЕМ

КОМПЬЮТЕРНЫХ СРЕД

1. Как относятся учителя математики к формированию УУД средством ИГС?

Отношение учителей – как тех, кто был на открытых уроках, так и тех, кто только слышал об этом в наших докладах на различных учительских семинарах – естественное: им нравится, что предлагается конкретный подход (а не общие слова) к формированию УУД, причем результаты наблюдаемы и ощутимы, но сразу же высказывается скепсис в возможности регулярного проведения подобных занятий. Мы уже говорили, что речь не идет о том, чтобы каждое занятие проводить в таком ключе. Совершенно ясно, что нужны уроки и традиционной методики, направленные на закрепление знаний, отработку умений и т.д. Но, на наш взгляд, для знаний, полученных школьниками предложенным нами способом, потребуется меньше времени и усилий в их закреплении и отработке умений применять эти знания.

2. Будут ли авторы в дальнейшем заниматься данной проблемой? Какие темы школьной геометрии они выберут?

Да, разработкой этой проблемы мы будем заниматься систематически. Более того, мы намерены предложить на этой основе методику диагностирования уровня развития УУД у школьников. Что касается отбора тем, то из предложенного подхода ясно, что "претендовать" могут те темы, в которых ясно выражена возможность открытия геометрического феномена средствами компьютерного эксперимента. В настоящий момент такая разработка сделана для тем "Вписанные и описанные четырехугольники".

3. Какое время требуется учителю для формирования описанных УУД. Достаточно ли одного урока для выдвижения и доказательства гипотезы или часть вопросов выносится на самостоятельную работу?

Конечно, речь не идет о том, чтобы за один урок сформировать у обучающихся те или иные УУД в полной мере. Но проведение такого урока способствует значительному продвижению в таком формировании. Что касается конкретно описанного в статье урока по теме "Сумма углов треугольника", то как показывает практика (а один из авторов – учитель в самой обыкновенной школе, и он непосредственно разрабатывал план-конспекты этих уроков и проводил их) вся планиметрическая часть – эксперимент, выдвижение гипотез и обнаружение доказательства – укладывается в урок. Но ничего больше – ни предварительного опроса с проверкой домашнего задания, ни решения задач по данной теме. Так что закрепление данного материала происходит уже на следующем уроке. Собственно, еще в 70-е годы прошлого века, когда активно разрабатывался проблемный подход в обучении, было отмечено, что его реализация требует большего времени, чем традиционное декларативное обучение. Поэтому проблемный подход не может применяться непрерывно. Но его использование, с одной стороны, дает необходимый развивающий импульс, с другой стороны, когда такое развитие мышления учащимися достигнуто, это позволяет сократить время на усвоение других тем, компенсируя имевшийся проигрыш во времени. Существенную роль играет и организация работы в группах. Мы сейчас готовим статью по методике организации такой работы. Стереометрический фрагмент на уроке рассмотреть не удается, и это больше тема для факультативного занятия с заинтересовавшимися школьниками.

4. Есть ли авторские разработки по формированию УУД, связанные с другими темами. Представлены ли эти материалы в Интернет?

Есть. Разработана и апробирована тема "Описанные четырёхугольники". В разработке тема "Вписанные четырёхугольники". У нас пока нет алгоритма, который позволял бы поставить "на поток" подобные разработки, каждый раз это довольно кропотливая работа. Тем не менее, нам кажется, что в геометрии почти каждая тема могла бы быть реализована в таком подходе. Как сказано выше, это вовсе не означает, что все уроки должны проводиться в данной технологии – по-видимому, это могли бы быть регулярные вкрапления в общую ткань преподавания геометрии, и только учителю решать, в какой момент они уместны и полезны. В Интернете эти материалы не представлены, просто потому, что мы об этом не подумали.

5. С какими ИГС работают авторы и их подопечные?

Мы проводим уроки с использованием ИГС "Живая геометрия", но только потому, что школа закупила именно этот пакет. Что касается планиметрической части, то годится любой подобный пакет, например, "1С: Математический Конструктор" или "Кабри".

Для стереометрических исследований нужен пакет 3D-геометрии, здесь мы пользуемся продуктами, созданными в Уральском педагогическом университете для внутреннего пользования.

ПРЕДМЕТНЫЕ КОМПЕТЕНЦИИ

ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО

КУРСА МАТЕМАТИКИ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

Брянский государственный университет имени И.Г.Петровского Компетентностный подход, как единая идеология общего, среднего и высшего профессионального образования, направлен на интеграцию личностных профессионально-социальных качеств обучающихся в системе:

(общекультурных, профессиональных, внутренних) качеств обучающихся;

средств становления профессиональных, коммуникативных видов деятельности;

инновационных форм субъект-субъектного учебного взаимодействия.

В общедидактическом плане содержательно-целевой компонент методической системы в компетентностном подходе не затрагивается, однако целостный характер методической системы предполагает и их адекватное изменение. Лишь предположительный характер изменения целей и содержания помимо неопределенного требования адекватности сталкивается с практикой нормативного следования программе учебного предмета, федеральному учебному комплекту, разработанными безотносительно конкретных компетенций.

Во взаимоотношении классического описания методикой обучения целей, содержания и определенных стандартами систем компетенций методическую трудность составляет преимущественная представленность компетентностного подхода общекультурными (общими, ключевыми) компетенциями:

личностно-социальной жизнедеятельности;

целостной системы образования;

деятельности;

формулировкой.

А.В.Хуторской ([5], [6]) в процессе систематизации сферы компетенций образовательной деятельности помимо группы ключевых компетенций выделяет группу общепредметных, а также группу предметных компетенций – в соответствии с уровнями (метапредметным, межпредметным, предметным) учебной методологии. С позиции дидактики « в перечне компетенций, формируемых при изучении разных дисциплин, важно определить наиболее важные ( ключевые) компетенции. Именно они дадут успех в формировании внутрипредметных компетенций, не отвлекут от главных и важных» ([7], с.134). Приоритетный характер формирования компетенций определен А.В.Хуторским в качестве методологической закономерности: как предметные цели, содержание методической системы, так и предметные компетенции проектируются, формируются в содержании ключевых (рис.1).

Рис 1. Структура компетенций образовательной деятельности В исследованиях А.В.Хуторского [5], И.А.Зимней [4 ], Э.Ф.Зеера [8 ], В.В.Серикова [9], Б.Д.Эльконина [10] выделены группы ключевых компетенций, установлены их различные классификации, представлены конкретные компетенции в каждой из групп. А.В.Хуторским определены в качестве ключевых следующие группы компетенций: ценностно-смысловые (ориентации в окружающем мире, осознания своей роли, выбора целевых установок), общекультурные (познания общечеловеческой культуры, духовно-нравственных основ жизни человека, науки, религии, традиций), учебно-познавательные (самостоятельной познавательной деятельности, ее планирования, рефлексии, оценки), информационные (владения современными средствами поиска, обработки, хранения информации), коммуникативные (освоения различных социальных ролей в коллективе, языковая коммуникация), социально-трудовые (выполнения гражданских, правовых, экономических ролей, профессиональное самоопределение), личностного самосовершенствования (освоения способов саморазвития, саморегуляции, безопасной жизнедеятельности).

И.А.Зимней проведена классификация ключевых компетенций с позиции характеристики личности в системе отношений к обществу, другим людям, к себе, к труду:

1. Компетенции, относящиеся к самому человеку как личности, субъекту деятельности, общения (здоровьесберегающие, ценностносмысловой ориентации в мире, гражданственности, самосовершенствования).

2. Компетенции, относящиеся к социальному взаимодействию человека и социальной сферы.

3. Компетенции, относящиеся к деятельности человека (познавательная, в сфере информационных технологий).

Общий характер групп ключевых компетенций, их качественное описание вне точного перечня, условность отнесения конкретной компетенции к определенной группе, лишь интуитивные подходы к их формированию, диагностированию – таковы реалии практики компетентностного подхода на уровне ключевых компетенций.

В описании ключевых компетенций, их классификации и систематизации в значительной степени прослеживается их соответствие целям, содержанию общего образования:

образование должно обеспечить адекватный мировому уровень общей и профессиональной культуры общества, интеграцию личности в национальную и мировую культуру, формирование у обучающихся адекватной современному уровню знаний картины мира;

самоопределения личности, создание условий для ее самореализации;

содержание образования синтезирует опыт познавательной деятельности в форме знаний, опыт осуществления известных способов деятельности в форме умений, опыт творческой деятельности, опыт эмоционально-ценностных отношений.

Понятие общепредметных (межпредметных) компетенций в образовательной сфере – теоретический конструкт, выступающий аналогом системы общепрофессиональных компетенций в социопрофессиональной сфере жизнедеятельности ( Д. Равен). Его теоретические основы:

интегральный характер компетенции как личностного социо-поведенческого результата деятельности;

деятельности, обобщенных способов деятельности, их взаимопроникновение;

система общеучебных умений, способов деятельности как обязательный компонент содержания образования, выступающих проявлением общепредметных компетенций;

целостный характер продукта – индивидуальная система работы, как результат личностных, коллективных усилий в содержании модуля учебных предметов.

В то же время понятие межпредметных компетенций имеет противоречивый характер:

в предмето-центристском построении образования представление общепредметой компетенции в виде «суммы»

предметных компонент приводит к утрате характеристического свойства ее интегративности;

в мировоззренческом, методологическом, общекультурном планах общепредметные компетенции выступают в качестве проекции ключевых – не имеют самостоятельного характера;

в системе общедидактических и предметнометодических исследований общепредметные компетенции занимают промежуточную позицию, не выступают объектом изучения.

Не выкристаллизованность системы общепредметных компетенций в методологическом плане указывает на гипотетическую закономерность их выделения, классификации на базе предметных, а не из ключевых компетенций. Однако гипотеза о взаимной связи, целостной иерархии различных типов (не уровней) компетенций не может быть проверена в силу недостаточной разработанности компетентностного подхода «на предметном уровне».

В теории и методике обучения математике неразработанность системы предметных (математических) компетенций проявляется в преимущественной реализации двух направлений:

изучения единой для общеобразовательного курса математики познавательной математической компетенции;

определенного спектра ключевых компетенций.

Исходными в процедуре выделения, классификаций математических компетенций уровня общего образования выступают принципы:

1. Соответствия спектра компетенций целям математического образования.

2. Адекватности фундаментальных подходов (личностного, методологического, общекультурного) в проектировании содержания математического образования и формируемых групп математических компетенций.

3. Отражения как общеучебных, так и математикоспецифических (абстрагирования, доказательности, аксиоматизации, моделирования) видов познавательной деятельности.

В целевом подходе к классификации математических компетенций проявляется закономерность методологического плана:

цели математического образования выступают не только предметным проявлением целей общего образования (общеобразовательный целевой компонент), но и отражают специфику познавательной математической деятельности, связанную с абстрагированием, доказательностью, универсальностью математических моделей (специфический целевой компонент). Насколько цели математического образования отражают цели общего образования, настолько математические (предметные) компетенции конкретизируют ключевые, общепредметные (рис 2).

Методология содержательно-целевой классификации компетенций приводит, в свою очередь, к следующим закономерностям компетентностного подхода в образовании:

1. В дидактике, в методике обучения сложились, функционируют различные классификации целей общего, предметного образования. Схема «цели образования - компетенции образовательной деятельности» обосновывает правомерность различных классификаций, систематизаций компетенций (И.А.

Зимняя, А.В. Хуторской, Д. Равен).

2. Соответствие целей общего образования и целей математического (предметного) образования предполагает различные трактовки, содержательно закамуфлировано. В этой связи следует признать правомерным неочевидный характер взаимной связи ключевых, общепредметных и предметных (математических) компетенций.

Рис. 2. Соответствие целей и компетенций предметного В детальном выделении, обосновании математических компетенций, соответствующих каждой из целей, определяющими выступают характеристики компетенции ([9], с. 186; [3 ], с.145 - 146):

образ предмета и способов предстоящей деятельности;

понятийное знание о сущности создаваемого в этой деятельности предмета или процесса;

набор апробированных в собственном опыте способов самореализации);

опыт выполнения деятельности в проблемных условиях;

механизм рефлексии и самоконтроля.

Базой для классификации компетентностей математической мировоззренческой, личностной, методологической и общекультурной целей.

Мировоззренческая цель направлена на овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования. Мировоззренческую целевую сферу составляют:

1. Основные математические объекты (число, функция, фигура, вектор), образованные в процедурах математического абстрагирования окружающего мира, человеческой жизнедеятельности. Производные математические объекты, сконструированные в логической системе определений, адекватные реальному миру, человеческой практике, составляющие базу модельно-математического подхода к их исследованию. Системы математических понятий, формирующих целостное представление, определенную теорию вместе с ее моделями.

Абстрагирование и конкретизация, определение, классификация, систематизация формируют целостную математическую деятельность, общую для всех теорий, их приложений, формирующую понятийный компонент математического мировоззрения (мир абстрактных математических объектов).

математических объектов (понятий), зафиксированных в системе эквивалентных определений. Абстрактный, мысленный характер математических объектов не позволяет проверить справедливость их свойств в эксперименте, в практической деятельности.

Доказательство – последовательность предложений, опирающихся на содержание понятий и выстроенных в соответствии с правилами логического вывода – выступает единственным способом исследования свойств понятий, главной характеристикой математики как области познавательной деятельности.

В методологическом плане доказательство – это:

объективная процедура установления свойств понятий, как непосредственно видимых (из определения, из чертежа, из конструкции, по интуиции), так и глубинных, фундаментального плана;

средство построения иерархии понятий в их логикосодержательном анализе;

форма становления методов доказательства (методов логических рассуждений) как базовых средств математикоинтеллектуального развития учащихся, ведущего компонента его логической культуры.

Доказательство как средство установления свойств понятий, как математико-специфический метод установления истины, как объект рефлексивного анализа, как форма человеческого мышления на разных классах математических объектов (чисел, фигур, функций, событий) формирует целостную деятельность фундаментального плана, деятельностный компонент математической картины мира.

3. Базовые математические теории, структурируемые либо на содержательно-аксиоматическом (евклидова геометрия; теория числовых систем; теория групп на моделях векторной алгебры, движений, подобий, биективных функций; евклидово векторное пространство; теория меры на множествах отрезков, углов, плоских фигур, тел), либо на содержательно-интуитивном (уравнений, неравенств, систем; функций; дифференциальное и интегральное исчисление) уровнях представленности.

Методологическая роль теорий:

формирование целостных представлений о системе понятий (объектов) теории, их свойствах, методах доказательства;

выделение классов задач и обобщенных способов их решения в системе объектов теории;

разделение теории и ее базовых моделей, анализ прикладных аспектов теории в смежных дисциплинах, в практической деятельности, в познании явлений реального мира;

формирование аксиоматического метода построения теории в качестве фундаментального;

целостное теоретико-структурное представление мира математических объектов.

внутритеоретических представлений (понятий, теорем, задач, способов решения) и теоретико-модельных представлений ( модели как средство приложения теории в человеческой практике) приводит к становлению научной методологии.

4. Интеграция системно-структурных представлений каждой из математических теорий в единый образ – математическую картину мира (рис.3).

Интуитивно-содержательная система свойств Классы задач теоретической,прикладной направленности и общие способы их решения Рис.3. Структура математической теории и ее приложений Видение понятия, теоремы, задачи в содержании конкретной математической теории, во взаимной связи теории и ее модели, обоснование общего способа деятельности из системно-структурных представлений математических теорий формирует интегральную содержательно-мировоззренческую компетенцию, адекватную мировоззренческой цели обучения математике.

Проведенная детализация целевой мировоззренческой сферы приводит к выделению структуры компетенций (рис.4).

СОДЕРЖАТЕЛЬНО- МИРОВОЗЗРЕНЧЕСКАЯ

КОМПЕТЕНЦИЯ

содержательного содержательного содержательной математической абстрагирования Рис.4.Структура содержательно-мировоззренческой компетенции Исследование личностной, методологической, общекультурной целей математической деятельности позволяет выделить целостную структуру предметных математических компетенций, построить их классификацию.

1. Сборник нормативных документов. Математика /Сост. Э. Д. Днепров, А. Г. Аркадьев, М.: Дрофа, 2004, 79с.

2. Болотов В. А. Сериков В. В. Компетентностная модель: от идеи к образовательной программе //Педагогика, 2003, №10, с.8 – 14.

3. Горбачев В. И., Гессе Л. С. Структура и содержание компетентностей учебной математической деятельности учащихся //Вестник Брянского госуниверситета, 2008, №1, с.144 – 148.

4.Зимняя И. А. Ключевые компетенции – новая парадигма результата образования // Высшее образование сегодня, 2003, №5,с. 34 – 42.

5.Хуторской А. В. Ключевые компетенции как компонент личностноориентированного образования //Народное образование,2003, №2, с. 58 – 64.

6. Хуторской А. В. Определение общепредметного содержания и ключевых компетенций как характеристика нового подхода к конструированию образовательных стандартов // Компетенции в образовании: опыт проектирования. Сб. науч. тр./Под ред.А. В.

Хуторского. М.:ИНЭК, 2007, с. 18 – 20.

7. Хуторской А. В., Хуторская Л. Н. Компетентность как дидактическое понятие: содержание, структура и модели конструирования// Проектирование и организация самостоятельной работы студентов в контексте компетентностного подхода: Межвузовский сборник научных трудов/ Под ред.А. А. Орлова. –Тула. Изд-во Тул. гос. пед. ун-та, 2008,Вып. 1.С.117 – 137.

8. Зеер Э. Ф. Модернизация образования. Компетентностный подход //Образование и наука.2004, №3 (27),с. 42 – 53.

9. Сериков В. В. Обучение как вид педагогической деятельности : учеб.

Пособие для студ. высш. учеб. заведений / В. В. Сериков: под ред.В. А.

Сластенина, И. А. Колесниковой. –М.: Академия, 2008.-256с.

10. Эльконин Б. Д. Понятие компетентности с позиции развивающего обучения // Современные подходы к компетентностно-ориентированному образованию. Красноярск, 2002, 267с.

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ КЛАССИФИКАЦИИ

ПРЕДМЕТНЫХ КОМПЕТЕНЦИЙ

ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ

Гомельский государственный университет имени Ф.Скорины Наряду с тем, что в рассматриваемой статье проанализированы общеобразовательного курса математики, в ней содержатся также важные точки опоры для оценки общего состояния теории компетентностного подхода и практики его применения.

Принципиальным, на наш взгляд, является утверждение «о недостаточной разработанности этого подхода на предметном уровне». Из него вытекает, что при всей интенсивности разработок по данному направлению специфика математики, вообще говоря, учитывалась слабо. Для математического образования обнажающаяся таким образом неполнота теории очень опасна, поэтому статья В.И. Горбачева вызывает нечто похожее на вздох облегчения – наконец-то началась работа по устранению столь существенного изъяна. Исходя из высказывания И.В. Гёте о том, что «решением всякой проблемы служит новая проблема», можно предположить, что этот шаг не является окончательным, и тогда возникает вопрос, который естественно адресовать автору, сумевшему выйти из сформировавшейся «научной колеи», – вопрос о том, какими должны быть следующие шаги в разработке теории компетентностного подхода.

Идя к ответу на этот вопрос «параллельным курсом», отметим, что неожиданное и «взрывное» повышение интереса к проблеме компетенций и компетентности специалистов произошло в ситуации обостряющегося противоречия между личностью и культурой.

Н.И. Бердяев уже давно говорил о страшном ускорении времени, за которым человек не может угнаться, а Г. Уэллс писал о том, что история цивилизации напоминает всё ускоряющиеся гонки между образованием и катастрофой. К тому же и наука вышла на уровень, для обозначения которого М.К. Петров использовал термин «нечеловекоразмерность». Это сопоставление позволяет заключить, что в основе наблюдаемой активности в разработке данного подхода лежит неудовлетворенность результатами работы системы высшего образования. Усугубляет ситуацию также и резкое сокращение временнго интервала между научным открытием и его промышленным массовым использованием, из-за которого процесс систематического переобучения выпускника на рабочем месте не позволяет выдерживать темп гонки инноваций. Отсутствие времени для адаптации выпускника к реальным условиям деятельности – достаточная причина для появления срочного заказа системе образования, который, что не вполне корректно, сформулирован исключительно в терминах итоговых результатов работы и безотносительно к тому, есть ли у системы образования внутренние ресурсы, требуемые для его исполнения.

Примечательно, что такой же по структуре и направленности внешний заказ системе образования в истории уже встречался. В начале двадцатого столетия Альфреда Бине и Теофила Симона попросили заняться проблемой школьной неуспешности, которая обострилась в связи с развитием общественного образования во Франции. Усилия этих психологов и их последователей на протяжении целого столетия привели к известному IQтестированию, но исходная задача при этом не была решена. Всё свелось к выявлению врождённых способностей, а это мало помогает в осуществлении адресного корректирующего вмешательства в учебную ситуацию.

На основе философско-логического анализа старой методики обучения счёту Э.В. Ильенков в книге «Об идолах и идеалах»

показал, что «сравнительно малый процент способных к математическому мышлению мы получаем до сих пор вовсе не потому, что матушка-природа столь скупа на раздачу математических способностей, а совсем по другой причине. А прежде всего потому, что в сферу математического мышления мы зачастую вводим маленького человека вверх ногами, задом наперед». Следовательно, «природа тут ни капельки не виновата, виновата дидактика».

Сравнение достижений Бине и Симона с работами П.Я. Гальперина по классификации методов и типов обучения и анализу их влияния на умственное развитие ребёнка показывает, что неудача в данном случае была обусловлена методологическими просчётами. Задача психологам была поставлена прямолинейно, решалась она в отрыве от совершенствования учебного процесса, без учёта его узких мест и неиспользованных резервов. Так что если и компетентностный подход будет разрабатываться без тесной связи с поиском более эффективных методов управления образовательными процессами, то, как несложно понять, всё закончится точно так же.

Зависимость конечного результата от пути, к нему ведущему, наглядно демонстрирует следующий пример из мира техники.

Стремление людей увеличить скорость самолётов породило проблему: под крылом самолёта стал образовываться воздушный пузырь, резко снижающий подъёмную силу крыла. При решении этой проблемы были использованы оригинальные идеи: на кромку крыла подают звуковой сигнал, он меняет структуру потока воздуха, образование пузыря задерживается, на этой остаточной подъёмной силе, защищённой от полного исчезновения, полёт и осуществляется.

Н.Н. Нечаев в работе «Профессионализм как основа профессиональной мобильности» показал, что «для того, чтобы профессионально необходимого психологического развития будущего специалиста, студент должен как бы заново пройти весь виток "спирали" формирования специфических способов профессиональной деятельности, образующих в системе его "профессиональное сознание"». Такой взгляд на профессиональную мобильность (а какая мобильность может быть без компетентности?) действительно позволяет считать и модель специалиста и компетентностный подход направленными на «интеграцию личностных профессионально-социальных качеств обучающихся», на обеспечение «целостного характера методической системы».

Вместе с тем, с этой позиции легче увидеть «подводные камни» на пути к заявленным целям.

Их много, некоторые из них далеко не очевидны, но непременно должны учитываться. В качестве простого примера такого рода отметим вывод, полученный при исследовании проблемы образования двигательного навыка в машинописи: навык низшего порядка не может достичь своего полного становления и автоматизации до тех пор, пока не войдет составной частью в навык более высокого порядка. Следовательно, пытаться довести промежуточный навык до полного автоматизма неправильно – и ввиду недостижимости этой цели, и потому, что это может стать помехой при формировании навыка следующего порядка.