«СИСТЕМНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В ЭНЕРГЕТИКЕ Ретроспектива научных направлений СЭИ–ИСЭМ Ответственный редактор член-корреспондент РАН Н.И. Воропай НОВОСИБИРСК НАУКА 2010 УДК 621.311.1 ББК 31.2 С 34 Системные исследования в ...»

Так, в [27] показано, что функции экономических затрат вогнуты по осям расходов и выпуклы по осям давлений, поэтому задача их минимизации в общем случае не сводится к задачам выпуклого программирования. Поскольку допустимая область решений, определяемая условиями материального баланса и неотрицательности расходов, представляет линейный многогранник, минимум затрат достигается в одной из его вершин. Так как число ненулевых компонентов в вершине не превышает числа независимых переменных, то точке оптимума при отсутствии дополнительных ограничений (на надежность энергоснабжения, возможности реконструкции существующих ветвей и т.д.) соответствует граф сети в виде дерева и оптимальный вариант должен отыскиваться среди множества деревьев избыточной схемы. Для решения задачи оптимизации потерь давления (выбора диаметров труб) важным оказалось выявленное В.Я. Хасилевым свойство исключительно большой пологости экономического функционала вблизи точки оптимума.

Подлинным открытием стало установление им свойства независимости изменения относительных экономических затрат (выраженных в долях от оптимальных значений) от входящих в их формулы коэффициентов, которые определяются видом транспортируемой жидкости, удельными затратами на используемую энергию, удельными капиталовложениями в трубопроводы разных диаметров, нормами отчислений на амортизацию и ремонты и другими подобными факторами. Единственной влияющей на рост относительных затрат величиной оказался показатель степени в гидродинамическом соотношении между потерей давления и расходом. Конечно, отмеченными показателями определяются абсолютные значения затрат и их изменения при отклонении расходов или потерь давления от оптимума (см. ниже уравнения (1.1)– (1.7)).

Анализ В.Я. Хасилева стал не только теоретической основой развития методов оптимального синтеза в ТГЦ, но и образцом искусства физико-математикоэкономического моделирования и стимулировал дальнейшее междисциплинарные исследования в ИСЭМ. Его идеи и комплексный подход к решению техникоэкономических задач нашли применение в работах учеников и созданной им лаборатории (впоследствии отдела) трубопроводных и гидравлических систем [30–34]. Метод дискретного динамического программирования, впервые использованный А.П. Меренковым для оптимизации параметров трубопроводных сетей [30, 32, 35], был распространен на случаи, когда для вариантов развития моделируемых систем задаются самые разнообразные ограничения, различающиеся не только математическим характером (равенства, неравенства, наборы допустимых численных значений переменных и т.д.), но и научной, дисциплинарной ориентацией. Последняя может быть и технической (ограничения на давление в узлах, конструкции трубопроводов и др.), и социальной (требования удовлетворения надежности и качества энергоснабжения, комфортных условий в отапливаемых и кондиционируемых помещениях), и физической (задание допустимых режимов течения жидкости, например, по условиям теплообмена). В [35] рассмотрено влияние «разнодисциплинарных» ограничений на свойства экономических функционалов (например, их разрывов и многоэкстремальности) и вид оптимального графа гидравлической цепи, раскрыты условия перехода от оптимальных схем в виде «дерева Хасилева» к замкнутым схемам.

«Многоотраслевизм» и междисциплинарность ТГЦ были подтверждены ее применениями в ряде организаций, в частности для расчетов систем удаления вредных производственных отходов и масляного охлаждения трансформаторов. Возможности дальнейшего расширения областей междисциплинарных применений положений и методов теории гидравлических цепей следуют из сделанного еще в 40-х годах прошлого века Л.В. Канторовичем вывода [36] о том, что даже для таких очевидно непотенциальных транспортных сетей, как автомобильные или железнодорожные, в которых стоимость перевозок между двумя заданными узлами зависит от выбранного маршрута, оптимальному решению соответствуют потенциальные транспортные потоки. Свойства физических величин – потенциалов в этом решении принимают экономические величины – цены перевозок (внешних расходов в узлах). Разности узловых цен не зависят от выбора пути на схеме оптимального потокораспределения.

Физическая, экономическая и другие «дисциплинарные» составляющие ТГЦ в лаборатории Термодинамики ИСЭМ были переведены на единый язык классической равновесной термодинамики, что, с одной стороны, позволило обоснованно применять экстремальные принципы физики в анализе многоконтурных гидравлических систем, а с другой – способствовало эффективному использованию накопленного в ТГЦ опыта междисциплинарного моделирования в исследованиях, не относящихся непосредственно к области приложений этой теории.

Чтобы разъяснить возможности термодинамического описания ТГЦ, представим в термодинамической форме поставленную В.Я. Хасилевым задачу оптимального синтеза цепей [37]:

найти при условиях где F и Fi – стоимостные (экономические) характеристики всей сети и ее – й ветви;

внешних притоков и стоков в узлах; y – вектор исходных значений потоков на ветвях (в общей формулировке разрабатываемой в лаборатории Термодинамики модели экстремальных промежуточных состояний (МЭПС) – варьируемая величина (см. ниже), в данном случае ее значение задается); Dt ( y) – множество термодинамической достижимости из y ; r и r – лимитируемая кинетическая функция r –го компонента x и ее предельное значение; R lim – набор индексов ограничений на макроскопическую кинетику;

a, b и c – коэффициенты; и – показатели степени, зависящие от значения показателя степени при xi в (1.6).

Равенство (1.2) представляет материальный баланс, записанный на основе первого закона Кирхгофа, а уравнение (1.3) – баланс производимой и потребляемой в сети энергий.

Ограничение (1.4) отображает обусловливаемое вторым законом термодинамики требование монотонности характеристической функции систем. Знак « » внутри фигурных скобок в (1.4) имеет термодинамический смысл: x y, если из y можно перейти в x по непрерывной траектории, вдоль которой характеристическая функция монотонно не возрастает. С помощью неравенства (1.5) задаются кинетические, дополнительные относительно определяемых принципами термодинамики ограничения на достижимые значения искомых переменных. Эти ограничения могут быть связаны, например, с установкой в моделируемой системе регуляторов или с ненормальностями в ее работе. Так, в негерметичной сети давления не превышают определенных значений из-за роста утечек. Первое слагаемое в правой части равенства (1.7) пропорционально расходу энергии на перемещение жидкости, второе – капиталовложениям (для трубопроводной сети – диаметрам труб), третье представляет постоянную часть затрат.

Единство описания с помощью модели (1.1)–(1.7) физической (поиска распределения потоков на заданной избыточной схеме) и технико-экономической (выбора конструкций, например, диаметров труб, сетей) составляющих оптимального синтеза цепей достигается благодаря включению в нее термодинамического ограничения (1.4). Этим ограничением определяется монотонная минимизация характеристической функции моделируемой системы – «физико-экономической» энтропии. При оптимизации распределения потерь давления эта функция уменьшается вследствие уменьшения диссипации (бесполезного расходования) капитала, а при поиске оптимального потокораспределения – вследствие уменьшения диссипации энергии. Монотонность изменения энтропии позволяет дать и физическое (физико-экономическое) обоснование сходимости предложенного С.В. Сумароковым метода многоконтурной оптимизации [33, 34], предназначенного для одновременного выбора расходов и потерь давления на замкнутых избыточных схемах.

«Негидравлическое» использование ТГЦ в ИСЭМ началось с создания модификаций общей модели экстремальных промежуточных состояний (МЭПС), к которым относится и модель (1.1)–(1.7), основанных на представлении моделируемой системы в виде графа, по ветвям которого распределяются условные потоки вещества, вступающего в тот или иной физико-химический процесс [37–39]. Эти модели предназначались для анализа механизмов процессов и, в частности, для изучения процессов сжигания и переработки топлив и загрязнения природы энергетическими и другими антропогенными выбросами.

Примером их практического применения может служить задача выбора катализаторов синтеза вторичных энергоносителей. Именно для проверки реализуемости и плодотворности идеи термодинамического моделирования на условных графах были созданы МЭПС реальных гидравлических систем, обнаруживших свою теоретическую и практическую значимость, не связанную с анализом механизмов. Комбинирование моделей действительных и фиктивных потоков осуществлено в теории гетерогенных гидравлических цепей [40], в которой при анализе распределения потоков на реальных схемах режим движения жидкости определяется из условия фазового равновесия между вымышленными турбулентной струей и окружающим ее ламинарным цилиндром. В этой теории, применимой для изучения многоконтурных систем с движущейся многофазной и многокомпонентной средой, анализ потокораспределения, представляющий одну из основных задач ТГЦ, объединяется с термодинамическим анализом химических превращений и фазовых переходов.

Термодинамический анализ энергетических процессов, технологий и систем, возникновение которого в ИСЭМ исторически связано с развитием В.Я. Хасилевым, А.П. Меренковым и их учениками теории гидравлических цепей, стал одним из основных междисциплинарных направлений научной деятельности института. Междисциплинарность этого направления определяется универсальностью термодинамики, которую можно определить как учение о наиболее общих закономерностях макроскопического мира. Ее второй закон является универсальным принципом эволюции, равновесия и экстремальности и позволяет объяснять свойства замкнутых и открытых систем, обратимых и необратимых процессов. Положения термодинамики распространяются на физическую, химическую, биологическую и социально-экономическую формы движения материи. Термодинамическое моделирование самых разнообразных явлений в наибольшей степени способствует выработке единого языка у специалистов, рассматривающих различные аспекты сложной междисциплинарной проблемы. Это суждение в первую очередь относится к энергетикам, поскольку термодинамика наряду с приведенным ранее имеет другое распространенное определенние – наука о преобразованиях энергии. Пример термодинамической модели, пригодной для одновременного описания физических и экономических особенностей энергетической системы, прдставлен системой (1.1)–(1.7). Очевидным объектом приложений этой модели являются системы централизованного теплоснабжения.

Универсальность и даже всеобщность приложений термодинамики подтверждаются еще одним ее определением, данным Л.Д. Ландау (по воспоминаниям коллег [41]), как науки о равновесиях. При предположении о справедливости третьего закона Ньютона (равенства действия и противодействия) описание любого движения: обратимого и необратимого, стационарного и нестационарного – можно перевести на язык равновесий. Примеры и анализ изложения на языке равновесной термодинамики в работах классиков физики таких принципиально необратимых процессов, как выделение теплоты в электрических цепях; горение и взрыв; диффузия; излучение, распространение, поглощение и рассеивание света; движение вязкой жидкости, приводились в [37–39].

Теоретически для изучения любых явлений макроскопической природы можно обойтись только одним из двух альтернативных способов их описания: либо кинетическим (формализованным представлением траекторий движения), либо термодинамическим (сводящимся к моделированию состояний покоя – равновесия). В действительности, конечно, необходимо обладание обоими методами познания, чтобы в каждом конкретном случае иметь возможность выбирать наиболее удобный инструмент для исследований. В конкурентной борьбе этих методов при стремительном развитии вычислительных техники и математики область эффективного приложения термодинамического подхода, связанного с применением сравнительно простых моделей и алгоритмов, непрерывно расширяется. Простота и универсальность предпосылок равновесной термодинамики позволяют обеспечить междисциплинарность ее применений в рамках анализа чисто физико-химических проблем, одновременно учитывая при моделировании ограничения, накладываемые гидродинамикой, электрофизикой, химией, тепло- и массообменом.

Для решения междисциплинарных энергетических проблем в лаборатории Термодинамики ИСЭМ был создан ряд модификаций МЭПС [37–39]. В отличие от традиционных термодинамических моделей, предназначенных для поиска единственной точeq ки конечного равновесия x, МЭПС позволяет исследовать всю область достижимости из заданного исходного состояния моделируемой системы и отыскивать в ней точку с экстремальным значением интересующего пользователя свойства (например, максимального выхода целевых или вредных продуктов происходящего в системе процесса).

Одна из наиболее общих формулировок МЭПС физико-химической системы с фиксированными температурой T и давлением P имеет вид:

найти при условиях где x = (x1,...,xn )T – вектор количеств молей компонентов реакционной смеси;

y = y(y1,...,y ) – вектор количеств молей исходных реагентов, y x ; Jext – набор индексов компонентов, экстремальную концентрацию смеси которых требуется определить; c j – коэффициент, ранжирующий полезность или вредность j –го компонента вектора x, c j 0 ; J 0 – набор индексов исходных компонентов, эффективность использования которых представляет интерес; g j – коэффициент, ранжирующий ценность j – го исходного реагента, g j 0 ; M – мольная масса; A m n – матрица содержаний элементов в компонентах системы; b – вектор количеств молей элементов; и – коэффициенты; k – индекс неравенства (равенства); K – набор индексов исходных реагентов, на количества которых накладываются ограничения; J k – набор индексов исходных реагентов, учитываемых в k –м ограничении; G и G j – энергии Гиббса (те части полной энергии, которые может быть преобразованы в требуемые формы, например в электроэнергию или механическую работу) системы и ее j -го компонента.

Вид целевой функции (1.8) обусловлен тем обстоятельством, что при поиске оптимального состава вектора y, нас часто может интересовать не эффективное использование исходной смеси реагентов в целом, а лишь ее отдельных компонентов. Например, при изучении процессов горения оценить возможности экономного использования дефицитного топлива важнее, чем воздуха. При несущественном различии в ценности исходных компонентов знаменатель выражения в правой части (1.8) можно принять равным единице, т.е. перейти к использованию линейной целевой функции.

С помощью уравнения (1.9) количества исходных реагентов нормируются относительно единицы их массы. Матричные уравнения (1.10) и (1.11) выражают условия сохранения количеств молей элементов для каждого из варьируемых значений y. Неравенствами (равенствами) (1.12) определяются допустимые соотношения между значениями различных компонентов вектора y.

Выражение (1.13) аналогично (1.5) в модели (1.1)–(1.7) отображает область термодинамической достижимости при фиксированном значении y. Знак « » внутри фигурных скобок в (1.13) используется в том же смысле, что и в (1.4). Ограничение на макроскопическую кинетику (1.14), которое позволяет учитывать самые разнообразные факторы, лимитирующие скорости происходящих в системе процессов, определяет междисциплинарный характер МЭПС. Именно оно дает возможность записывать в термодинамической форме (без использования переменной времени) условия, налагаемые на осуществимость искомых состояний законами химической кинетики и процессов переноса энергии, вещества и зарядов.

МЭПС вида (1.8)–(1.16) и ее непрерывно совершенствуемые модификации стали применяться их создателями прежде всего в прогнозном анализе развития энергетических технологий [42] производства электрической и тепловой энергий, сжигания и переработки топлив, трубопроводного транспорта энергоносителей. В соответствии с предложенной в [42] методикой прогнозирования на его первом физико-химическом этапе находились определяемые термодинамикой пределы совершенствования технологических процессов. Затем совершался переход от оценки физико-химического совершенства к оценке предельных конструкционных (технических) и экономических показателей энергетических установок. Характеристики установок, в свою очередь, использовались для прогнозов перспективных технологических структур энергетических систем. Отмеченные этапы прогнозного анализа позволяют выделить два уровня иерархии в используемых в нем междисциплинарных исследованиях: нижний уровень, связанный с применением различных дисциплин из одной и той же области знания (например, естествознания или общественных наук), и верхний уровень, на котором совместно применяются естественные и социально-экономические науки. Конечно, приведенная иерархическая схема является приближенной. Так, согласно модели (1.1)– (1.7), оптимальные схемы сетей выбирались с помощью одновременного использования физики и экономики. Однако даже приближенное отображение структуры междисциплинарных исследований ИСЭМ помогает представить их многогранность.

В прогнозные исследования лаборатории Термодинамики естественно вошли экологическая, математическая и информационная (связанная с использованием современных информационных технологий) составляющие. Предметом экологического анализа стали образование вредных веществ в процессах сжигания и переработки топлив, различные способы очистки от таких ингредиентов, воздействие энергетических и других антропогенных выбросов на природу. В область приложений МЭПС наряду с прогнозными вошли и задачи оценки экологических характеристик существующих и проектируемых (разрабатываемых) энергетических технологий: сжигания топлив в котельных и печных топках и камерах сгорания авиационных двигателей, газификации угля и древесины и др. [37–39].

Математическая составляющая термодинамических исследований включила не только анализ возможностей (применительно к решаемым задачам) и реализацию в виде вычислительных алгоритмов известных методов математического программирования, но и создание принципиально новых методов, связанных с термодинамическим моделированием (двухэтапный метод Е.Г. Анциферова оптимизации систем с заданными в неявном виде характеристическими функциями, метод И.А. Ширкалина решения задач с большим разбросом значений искомых переменных и др.) Важнейшим элементом информационной составляющей термодинамических исследований стала разработка вычислительных систем, обеспечивающих эффективное взаимодействие человека и компьютера. Напомним, что пионером информационного направления работ в ИСЭМ, как и междисциплинарного, стал В.Я. Хасилев, который еще в 40-е годы прошлого века занялся созданием аналоговых вычислительных машин, предназначенных для расчетов многоконтурных гидравлических систем. В 1960-е годы такие машины еще эксплуатировались в институте.

Все более ярко выраженный междисциплинарный характер приобретают ведущиеся в ИСЭМ оптимизационные исследования тепловых электростанций и комбинированных установок, одновременно производящих вторичные жидкие и газообразные энергоносители и электроэнергию [43]. В этих исследованиях, являющихся развитием работ, которые начались под руководством Г.Б. Левенталя и Л.С. Попырина, техникоэкономическая оптимизация основывается на предварительном использовании моделей тепло- и массообмена, гидродинамики, термодинамики, химической кинетики. Важное место в теплоэнергетических работах занимают информационные технологии, в частности оригинальные способы машинного построения вычислительных программ. Детально проводимый в ИСЭМ анализ междисциплинарных проблем развития энергетических технологий, систем и комплексов излагается в последующих главах.

1.4. Особенности математического моделирования Общая характеристика условий и возможностей математического моделирования СЭ. Из основных свойств СЭ вытекает ряд обстоятельств, важных для математического моделирования [5]. Нужно отметить, что на протяжении своего жизненного цикла, включая этапы управления развитием и функционированием, СЭ подвергаются воздействию множества закономерных и случайных факторов, которые нельзя воспроизвести на испытательных стендах, полигонах и невозможно до конца идентифицировать, различать и т.п. Отсюда вытекают необходимость имитации при исследовании и требование к гибкости, быстродействию и адаптивности управления.

Большинство СЭ в настоящее время – это не вновь создающиеся, а постоянно развивающиеся и реконструируемые системы, что заставляет при их проектировании учитывать наличие существующих частей, а также ограниченные и дискретные возможности их развития и реконструкции.

Свойства СЭ диктуют требования к математическим моделям и методам. Вопервых, не может быть и речи о создании какой-либо одной абсолютной математической модели, скажем, энергетики нашей страны или главных ее составляющих. Необходимы разнообразные комплексы и целые «арсеналы» математических моделей, дифференцированных по целям и задачам управления, типу и назначению системы, степени детализации, параметрам используемых ЭВМ и т.д. Эти «арсеналы» математических моделей должны представлять собой иерархические системы моделей. Во-вторых, в этой иерархической системе модели должны рациональным образом отражать экономическую, энергетическую и технологическую (физико-техническую) сущность рассматриваемых СЭ. Если на самых верхних уровнях иерархии управления развитием экономики энергетика выступает в основном как одна из ее отраслей, то при переходе к более низким ступеням этой иерархии все более существенным становится учет схемно-структурных особенностей конкретных СЭ, их физико-технических характеристик и условий функционирования.

С иерархией управления СЭ, а также с различиями в целях и содержании управления их развитием и функционированием связан и различный подход к постановке и решению проблемы адекватности математических моделей моделируемым процессам на разных уровнях иерархии. При управлении развитием СЭ в математических моделях должны быть:

четко выделены не только основные схемно-структурные и физико-технические переменные, подлежащие оптимизации, но и «внешние» варьируемые параметры (экзогенные переменные), отражающие взаимодействие данной СЭ с «внешней средой»

верхними уровнями иерархии и со смежными системами;

правильно отражена взаимосвязь основных переменных с перспективными технико-экономическими показателями систем и общесистемным критерием;

предусмотрена ориентация информационного обеспечения на работу с первичными материалами и документами, циркулирующими в реальных процессах планирования и проектирования, а для автоматизации перехода от первичных данных к основным математическим моделям должны разрабатываться специальные подмодели. Кроме того, модели развития СЭ должны быть приспособлены для многовариантного счета и использования в режиме имитации.

Что касается управления функционированием СЭ, то оно требует прежде всего обязательного отражения в математических моделях фактической топологии и структуры конкретных систем, их физико-технических особенностей. Вместе с тем одним из обязательных условий является решение проблемы идентификации управляемого объекта, что приводит к необходимости выделять прямые и обратные задачи управления.

Если первые реализуют «разыгрывание» различных функций управления и анализ последействия управляющих воздействий с целью обоснования принимаемых решений, то вторые должны обеспечить их обратную связь с самой системой и слежение за ее фактическими параметрами, опираясь на множество всевозможных замеров различных режимных и технических параметров и другие выходы системы. Кроме того, во многих случаях математические модели должны отвечать требованию максимального быстродействия при их реализации на ЭВМ, если речь идет об управлении в реальном времени, особенно при аварийных ситуациях в ЭЭС, ТСС или ЕСГ.

Общность всех СЭ проявляется в иерархичности структуры и задач управления, неполноте информации, наличии временных разрезов, составе основных свойств и др.

Это свойственно для энергетики в целом. При переходе к отдельным специализированным системам общность становится все меньше и исследования ведутся уже на уровне конкретных свойств применительно к какой-либо проблеме или задаче с привлечением самых разнообразных математических методов. Тем не менее можно попытаться выделить некоторые общие моменты, характеризующие не только необходимость и эффективность применения математических методов и ЭВМ, но и их ограниченность. Остановимся главным образом на оптимизационных задачах (задачах математического программирования), поскольку они в значительной мере составляют основу для математического и алгоритмического обеспечения управления СЭ.

Последние шестьдесят лет были периодом становления и бурного развития математической теории и численных методов оптимизации, требующих использования все более мощных ЭВМ. Параллельно создавалась и совершенствовалась методология системного анализа и исследования операций. Вслед за линейным программированием выделялись и исследовались другие классы экстремальных задач: квадратичного, выпуклого, блочного, стохастического, дискретного и динамического программирования, оптимального управления, комбинаторные, многоэкстремальные, многокритериальные и игровые задачи и т.д. Сведение какой-либо практической задачи к одной из известных математических постановок, имеющих разработанные методы решения, давало возможность получать строго обоснованные в рамках принятых постановок оптимальные решения и проводить их анализ. К этому вначале и сводилось большинство работ в области приложений математических методов. Вместе с тем практика все больше выдвигала такие задачи, которые не вписывались в имеющиеся типовые математические разработки.

Действительно, нетрудно увидеть, что в энергетике оптимизационные задачи, как правило, нелинейные, динамические, дискретные, имеют большие размеры и недостаточную (с формальной точки зрения) информационную базу. В теории же математического программирования нет общих методов решения оптимизационных задач, практически эффективных для такого сочетания характеристик. Единственный рациональный путь – это выделение того или иного класса энергетических задач, максимальный учет его специфики, творческое применение и развитие имеющегося арсенала математических методов оптимизации. Именно такой подход позволил, например, создать одно из основных средств управления режимами для использования в АСДУ ЭЭС – метод приведенного градиента [44, 45].Специфика ЭЭС позволила проводить декомпозицию на задачи меньшей размерности, аналитически вычислять первые и вторые производные целевой функции, учитывать ограничения нелинейного вида, преобразовывать координаты и т.д.

Даже наиболее полно разработанные с математической точки зрения общие методы (например, линейное программирование) пока не могут считаться абсолютно работоспособными по следующим причинам:

– стремление к постоянному повышению размеров решаемых задач наталкивается на ограничения, связанные, во-первых, с недостаточностью параметров даже наиболее мощных ЭВМ, а во-вторых, с неустойчивостью в работе самих численных методов оптимизации;

– большие модели математического программирования, реализованные для многовариантных расчетов, оказываются практически неэффективными, если они не «погружены» в реальные процессы планирования и проектирования, не говоря уже о необходимости соответствующей автоматизации процесса использования ЭВМ;

– современные методы системного анализа и исследования операций, особенно для решения задач оптимизации в условиях неопределенности, с учетом нескольких критериев и т.п., которые требуют многократного обращения к моделям для получения зоны оптимальных решений, анализа их чувствительности к варьированию исходных данных, построения платежных матриц и т.д., часто оказываются абстрактными из-за противоречия с реальной возможностью решения сложных задач математического программирования большого размера на имеющихся ЭВМ. В связи с этим приходится идти по указанному пути, используя также специальные приемы построения моделей.

Основные приемы математического моделирования СЭ. Бурное развитие методологии и математического аппарата моделирования систем, стремительный рост параметров используемых ЭВМ не упрощают проблему исследования СЭ с помощью ЭВМ, а, наоборот, еще более повышают значение различных подходов и приемов, опирающихся на профессиональное знание практики и реальных процессов планирования, проектирования и эксплуатации в области энергетики и на творческое применение математических методов оптимизации и современные методы использования ЭВМ. Можно указать следующие основные приемы математического моделирования [5].

Сведение задачи к одной из известных типовых математических постановок и прежде всего к наиболее эффективным и популярным моделям линейного и динамического программирования. Этому стремлению подчиняется весь процесс математического моделирования рассматриваемой задачи: вводимые допущения, переход от дискретных к непрерывным параметрам, линеаризация или другая специальная аппроксимация нелинейных зависимостей и т.п. Данный подход может иметь и более сложное проявление, когда исходная математическая формулировка сложнее, чем какая-либо из типовых моделей, но последние используются уже в процессе алгоритмизации и составляют отдельные вычислительные модули внутри более общей итерационной процедуры.

Агрегирование 5, или упрощение задачи, которое может исходить как из ее содержательного смысла, так и из формальной математической постановки с учетом тех или иных допущений. В первом случае, например, это переход к рассмотрению более простых (укрупненных) по структуре систем. Типичной и весьма распространенной иллюстрацией такого топологического агрегирования являются сетевые задачи, в которых В электроэнергетике распространен термин «эквивалентирование», который имеет примерно тот же смыл, что «агрегирование», т.е. снижение размерности модели из-за неучета различия между близкими переменными и представления их одной, обобщенной.

схема оптимизируемой системы (даже если она кольцевая) заменяется древовидной или ищется в виде графов-деревьев. Эффективность оперирования деревьями заключается в том, что, во-первых, фактически не надо (легко) решать задачи о потокораспределении энергоносителя, а самое главное – оказывается возможным применять для оптимизации метод динамического программирования, т.е. пошаговые процедуры построения и наращивания множества условно-оптимальных решений. Как известно, этот метод позволяет избавиться от таких трудностей, как дискретность переменных, невыпуклость функций и др., которые с трудом преодолеваются, если вообще преодолимы, другими методами. Данный подход с успехом применяется при оптимизации развития трубопроводных систем [46].

Декомпозиция общей задачи на некоторую иерархию или сеть взаимосвязанных задач (подзадач), что так же, как и агрегирование, может носить двоякий характер. В одном случае оно отвечает реальной последовательности задач, которые можно выделить уже на этапе содержательной постановки исходной общей задачи в соответствии с реальной пространственной структурой СЭ или исходя из отдельных рассматриваемых интервалов времени. В другом случае декомпозиция представляет более формальное расщепление задачи по каким-либо группам переменных или уравнений, учитывающее их физический смысл в значительно меньшей степени 6. Дело в том, что среди множества переменных почти всегда можно выделить те, которые характеризуют структурные особенности СЭ (конфигурацию, места расположения и типы источников, «сильные» и «слабые» связи между элементами); относятся к отдельным элементами системы (например, сечения проводников и диаметры труб, длины участков и др.); описывают потокораспределение, т.е. режимы работы систем; определяют «внешние» связи или граничные условия данной системы (выделяемые ресурсы, нагрузки у потребителей и их изменение во времени, экономические показатели) и др.

При этом естественным и широко используемым приемом является поочередное фиксирование различных групп переменных с формированием и решением частных подзадач. Далее могут проводиться фиксирование какой-либо части полученных промежуточных решений, пересчет «смежных» переменных, переход к координирующей подзадаче и т.д. В общем случае строятся и исследуются сложные алгоритмы оптимизации в виде итерационных процессов из взаимосвязанных численных и логических задач с созданием соответствующих пакетов прикладных программ. Отметим, что релаксационные схемы не всегда обеспечивают сходимость процесса и достижимость оптимального решения. Учет специфики решаемой задачи и эвристические подходы направлены, как правило, на преодоление именно этой трудности.

Имитация части явлений и процессов во внешней среде или в самой исследуемой системе, если эти явления и процессы не могут быть описаны на основе строгой теории и надежной информации. Прием имитации интуитивно использовался исследователями СЭ довольно давно, но его самостоятельное методологическое значение было осознано лишь в 1970–1980-е годы, чему способствовал выход известных книг Т. Нейлора [47] и Р. Шеннона [48]. Далее этот прием будет обсужден более подробно.

Имитационный подход к исследованию СЭ. Всегда существует стремление сблизить процессы исследования СЭ и принятия решений об их управлении. Оно приводит к необходимости расширять и развивать модель системы в следующих направлениях:

вместо единственного критерия оптимальности задавать множество имеющихся целей с возможностью их варьирования и даже изменения в процессе вычислительного эксперимента. Другими словами, включать процесс целеполагания в процесс вычислиПримером может служить выделение так называемых «искусственных подсистем» в ЭЭС исходя из требований к объему решаемой задачи [23].

тельного эксперимента, не разделяя исследование на этапы целеполагания и расчеты при фиксированной цели;

рассматривать в ходе вычислительного эксперимента широкий спектр внешних условий и ограничений (обеспеченность ресурсами, уровни потребления, научнотехнический прогресс, экономические условия и т.д.). Это означает, с одной стороны, расширение модели и превращение некоторых переменных, ранее задававшихся экзогенно, во внутренние и подлежащие определению и оптимизации, а с другой – вовлечение в вычислительный эксперимент самого исследователя;

учитывать в явной форме некоторые факторы случайной природы, если о них имеется надежная вероятностная информация;

обеспечивать доступность для понимания на содержательном уровне всех этапов обработки информации при проведении вычислительного эксперимента для выработки управленческого решения;

прослеживать в динамике развитие процессов в исследуемой системе с учетом варьирования внешних условий и предлагаемых вариантов управления.

Методологию конструирования подобных моделей и проведения с их помощью вычислительных экспериментов принято называть имитационным подходом. В качестве примера имитационного подхода к исследованию СЭ можно указать систему, созданную для изучения развития энергетического комплекса СССР [49]. Рассматривается процесс вовлечения в производство различных топливных ресурсов и технологий их переработки на длительную перспективу. С учетом большой неопределенности многих условий, в первую очередь таких, как запасы топлива, уровень потребления энергии, сроки освоения технологий, и некоторых других, задачу оптимизации процесса в целом поставить невозможно. Приходится оптимизировать использование энергетических ресурсов для отдельных сочетаний условий (сценариев). При их формировании граничными считаются пессимистические и оптимистические оценки условий развития. Кроме того, могут рассматриваться сценарии и для некоторых средних значений.

Интерактивный характер исследовательского процесса позволяет отсекать заведомо нереальные и тупиковые варианты развития. При накоплении определенного объема исследовательского материала достигается возможность интерактивного планирования эксперимента на основе оценок целесообразности вариантов по регрессионным уравнениям. Рассмотрим некоторые особенности моделирования СЭ на основе имитационного подхода.

Из-за сложности исследуемой системы, возрастающей в результате расширения ее границ и многоаспектности рассмотрения, поведение системы в целом описать причинно-следственными связями невозможно. Следовательно, нельзя построить и функционально подобную модель. Поэтому первой особенностью моделирования при имитационном подходе является построение структурно подобной модели системы, в которой ее элементы отображаются своими моделями, а взаимодействие элементов – взаимодействием их моделей.

Поясним различие понятий функционального и структурного подобия. Системы (модели) функционально подобны, если значения входных и выходных переменных и параметров одной из них являются известными функциями аналогичных переменных и параметров другой. Условия функционального подобия определяются соответствующими критериями, разрабатываемыми для различных систем и типов моделей [50, 51].

Системы структурно подобны, если подсистемам или элементам одной из них поставлены в соответствие подсистемы или элементы другой, а вхождения поставленных в соответствие подсистем или элементов связаны известными преобразованиями. Под вхождением понимается совокупность отношений подсистемы с остальными элементами системы. Принимается допущение, что для подсистем или элементов, как для объектов более простой природы, чем система в целом, функциональное подобие может быть достигнуто, а свойства системы в значительной большей степени зависят от организации взаимодействия подсистем, чем от их внутренней структуры [52]. Предполагается, что эксперимент, проведенный на структурно подобной модели, позволяет сделать вывод о функционировании системы, т.е. из структурного подобия следует подобие функциональное. Это предположение в каждом конкретном случае требует обоснования, так как структуры системы и модели не изоморфны, а всего лишь подобны, причем количественно подобие не всегда измеряется.

Элементы системы всегда можно выбрать так, чтобы для них выполнялось функциональное подобие моделей. Затруднения возникают, когда количество определенных таким образом элементов слишком велико или если на поведение системы заметно влияют параметры не отдельного элемента, а некоторой совокупности элементов, т.е.

подсистемы. Для некоторых систем разработаны методы приближенного агрегирования, как правило позволяющие построить функционально подобную модель и для подсистемы. Такая возможность существует для ЭЭС [44, 53]. В противном случае возникает иерархическая структура модели: подсистеме соответствует структурно подобная подмодель. Необходимы эксперименты с полной моделью, чтобы получить функционально подобное описание выделенной подсистемы, которое затем можно использовать для упрощения полной модели.

Трудности построения функционально подобных моделей подсистем связаны с огромным количеством факторов, потенциально влияющих на эффективность систем с большим числом элементом. Это обстоятельство препятствует естественному стремлению учитывать возможно большее число исходных влияющих факторов и порождает проблему отсеивания несущественных факторов уже на этапе содержательной постановки задачи до формирования модели системы в целом. Для решения данной проблемы могут потребоваться эксперименты с полными моделями подсистем. С учетом этого разделение процесса построения модели системы на этапы содержательной постановки задачи и формального конструирования модели становятся весьма условными.

Содержательная интерпретация моделей элементов определяется конкретными исследовательскими задачами. В математическом смысле модели элементов весьма разнообразны и классифицируются по используемым математическим методам. Не претендуя на полноту характеристики, приведем основные типы моделей элементов с точки зрения их математического содержания. Динамический «траекторный» характер исследований предполагает наличие в системе элементов, процессы в которых представляют собой некоторое движение. Эти элементы описываются дифференциальными уравнениями. Существуют специальные языки моделирования, в основу которых положен принцип описания элементов системы дифференциальными уравнениями.

В тех же самых элементах системы в определенных условиях и в других элементах во всех случаях могут протекать стационарные процессы. Для их описания используются системы алгебраических уравнений. Элементы системы можно определить таким образом, что в их состав будут включаться локальные органы управления. Их деятельность можно имитировать решением оптимизационной задачи с критерием, соответствующим цели локального органа управления. Элементы трех перечисленных типов могут изменять свое функционирование при выполнении определенных логических условий, на их траектории можно наложить некоторые ограничения. Поэтому математические описания этих элементов, как правило, дополняются заданием допустимой области решений в форме систем алгебраических неравенств. Органы управления, в частности автоматического, можно выделить в качестве специальных элементов системы. Для их описания используют системы логических уравнений, например на основе конечно-автоматных моделей.

Из внешней среды в исследуемую систему поступают материальные и информационные потоки, составляющие совокупность условий существования и воздействий на нее. Часть их задается экзогенно в виде исходных данных, а остальные могут быть представлены выходными параметрами модели внешней среды, которую допустимо рассматривать наравне с моделями элементов системы. Для того чтобы создать модель внешней среды, отражающую все условия, воздействия и все реакции внешней среды на поведение системы, нужно построить замкнутую модельную систему, в наибольшей степени отвечающую идее имитационного подхода. На деле это никогда не удается сделать либо по принципиальным, либо по чисто практическим соображениям, и замыкание модели системы выполняется через исследователя, что и является основной причиной необходимости интерактивной организации модели.

Поскольку целостную модель внешней среды создать не удается, материальные и информационные потоки из внешней среды в систему представляются отдельными, иногда коррелированными, а чаще независимыми моделями. Они не могут быть основаны на строгой теории и строятся в лучшем случае как стохастические либо заменяются сценариями. Их смысл состоит в задании будущих условий и возмущений для системы. Основой для этого могут служить натурные наблюдения, экспериментальные данные, экспертные оценки и априорные предположения и гипотезы. Соответственно различным будетбыть и математический аппарат моделирования. При наличии предшествующего опыта для непрерывных процессов это могут быть модели прогнозирования или обучения, а для регулярных дискретных событий – модели систем массового обслуживания, например. Наиболее универсальным, но одновременно и наиболее трудоемким в этом случае является метод Монте-Карло. В литературе именно этому аспекту – моделированию внешней среды – уделяется наибольшее внимание [48].

Описанные особенности модели внешней среды, задание экзогенных параметров в виде набора сценариев, а также необходимость иметь вероятностную меру наблюдаемых параметров и оценок требуют многовариантных расчетов, а в худшем случае – полного перебора значений всех варьируемых факторов. В наиболее развитых модельных комплексах обязательной составной частью должны быть модули, реализующие методы планирования эксперимента. В частных случаях выбор вариантов расчетов может быть продиктован нормируемыми расчетными условиями, соответствующими наиболее вероятному или наиболее тяжелому развитию процесса, возможностью получения экспертных оценок условий только на уровнях оптимистических и пессимистических предположений и их средних и т.п.

Процесс в системе един и охватывает все ее элементы. При формализации допускается разделение единого процесса на элементарные, носителями которых в системе служат элементы, а в модели системы – их модели. Если модель системы реализуется на однопроцессорной ЭВМ с последовательным выполнением команд, то в модели одновременно может протекать только один элементарный процесс при фиксированных состояниях всех остальных элементов. Для последующей синхронизации элементарных процессов «системные часы» регистрируют значение времени в каждом элементе системы.

1.5. Учет неопределенности информации в системных Свойство неопределенности (неполноты, неоднозначности) информации, объективно присущее СЭ, создает существенные трудности при управлении их развитием и функционированием. В большинстве задач управления неполнота информации (а также многокритериальность) приводит к неопределенности при принятии решений, в связи с чем требуются специальные методы учета этого свойства. Их разработка и применение составляют важный компонент системного подхода и специальную область системных исследований в энергетике [5].

Должный учет неполноты информации, с одной стороны, отражается на самой методологии управления, т.е. на общей организации процесса управления, а с другой – требует применения специальных методов при проведении конкретных исследования и формализованном решении отдельных задач управления. Рассмотрим эти вопросы более подробно.

Можно указать три основных пути «борьбы с неопределенностью»:

1) повышение точности самой информации;

2) принятие решений с минимально допустимой заблаговременностью;

3) разработка и применение специальных формализованных методов оптимизации и принятия решений в условиях неопределенности.

Первый путь наиболее очевиден и естествен – речь идет об улучшении постановки дел со сбором и распространением информации, совершенствовании статистических методов ее обработки, разработке новых методов прогнозирования случайных процессов и других подобных работах. При этом основное внимание нужно уделять тем исходным показателям, неопределенность которых наиболее сильно влияет на результаты решения соответствующих задач. Желательно, конечно, использовать все разумные возможности, имеющиеся на этом пути. Подчеркнем «разумные», так как иногда затраты на уточнение информации могут превысить эффект, который дает само уточнение. Поэтому в необходимых случаях следует соизмерять такие затраты и эффект.

Заметим, что выявление показателей, по отношению к которым решение оказывается наиболее чувствительным, и соизмерение затрат на уточнение информации с достигаемым при этом эффектом сами по себе представляют значительные трудности. Однако на этих вопросах мы останавливаться не будем.

Используя первый путь, можно повысить точность информации, но нельзя полностью устранить ее неопределенность. Неполнота наших знаний о будущем объективно неизбежна, поэтому существует определенный предел, до которого возможно уточнение информации.

Второй путь преодоления неопределенности связан со свойством информации иметь тем большую неточность, чем более отдален период времени, рассматриваемый при управлении. По мере приближения к какому-либо конкретному календарному сроку происходит естественное уточнение относящейся к нему информации о внешних условиях, структуре и составе системы, технико-экономических показателях объектов и т.д. В связи с этим желательно обосновывать и принимать решения как можно позже, непосредственно перед началом их реализации. При этом будем использовать каждый раз наиболее свежую информацию, имеющую минимально возможную неопределенность.

Очевидно, что нельзя допускать и задержек в принятии решений, так как это может привести к еще худшим последствиям, чем риск или перерасход, обусловленный неточным знанием предстоящих условий. Некоторые виды решений, например о разработке новых технологий производства или преобразования энергии, которые требуют длительного времени для реализации, должны приниматься с достаточно большой заблаговременностью. Однако для общего уменьшения неопределенности информации важно, чтобы окончательные решения не принимались преждевременно, а лишь тогда, когда они уже назрели и не терпят дальнейшего отлагательства.

Данное положение было названо в [5] принципом «принятия решений с минимально допустимой заблаговременностью». Практическая реализация этого принципа требует соответствующей организации управления. Так, при проектировании непрерывно развивающихся систем окончательные решения должны приниматься только по первоочередным объектам или для ближайшего интервала времени. По остальным объектам или интервалам времени окончательные решения следует принимать позднее, когда лучше прояснится реальная обстановка.

Кроме того, целесообразно разбивать (когда это возможно) принятие решений на этапы. Например, раздельно принимать решения о начале проектирования и о начале строительства объектов с параллельным проектированием нескольких конкурирующих объектов. При этом, с одной стороны, в процессе проектирования уточняются техникоэкономические показатели объектов, с другой – за время, необходимое для проектирования, проясняются прочие внешние условия, что уменьшает неопределенность информации при принятии окончательного решения о строительстве объектов.

Учет рассмотренного принципа особенно сильно влияет на методологию управления развитием тех видов систем энергетики, для которых характерны технические связи и непрерывное развитие, например электроэнергетических. Процесс проектирования и планирования развития таких систем должен представлять собой непрерывный («скользящий») процесс последовательного обоснования и принятия различного рода конкретных решений о рациональной структуре системы, проектировании и строительстве отдельных объектов, сроках ввода их в эксплуатацию и др.

К сожалению, второй путь, так же как и первый, не может полностью устранить неопределенность информации при принятии решений. Даже минимально необходимая заблаговременность бывает, как правило, достаточно большой, вследствие чего неопределенность информации, хотя и уменьшается, но сохраняется. Поэтому приходится использовать Третий путь – применение формализованных методов исследования. Заметим, что эти методы существенно зависят от характера и смысла рассматриваемой задачи.

При этом можно выделить два класса задач:

1) задачи обоснования конкретных решений о развитии или функционировании отдельных систем энергетики и их объектов; такие задачи наиболее распространены и многочисленны;

2) «уникальные» задачи исследования и выбора перспективной структуры энергетического комплекса и единых отраслевых систем страны (ЕЭС, ЕСГ и т.п.).

Смысл задач второго класса состоит в выявлении рациональных пропорций и прогрессивных тенденций развития ЭК и единых отраслевых систем энергетики на перспективу 10–15 лет и более. При этом еще не требуется обосновывать какие-либо конкретные решения (хотя и имеется в виду сделать это в последующем). Необходимо получить лишь общие «контрольные цифры» (управляющую информацию) и основные закономерности, или правила, которых следует придерживаться при последующем обосновании конкретных решений для обеспечения оптимального развития энергетики и ее основных систем в целом.

Такие цифры и правила очень важны для управления, они должны обосновываться специальными исследованиями, но пока еще не представляют собой окончательные решения, которые будут непосредственно реализовываться. Поэтому результаты решения таких «уникальных» задач могут получаться в виде диапазонов или вариантов значений соответствующих показателей, некоторых зависимостей, общих тенденций и правил.

Подходы к решению задач второго класса еще не вполне сформировались – принципиальное отличие необходимых результатов этих задач от задач первого класса, где требуется находить однозначные решения (принимаемые к реализации), было понятно относительно недавно. Ранее к ним пытались применять те же методы, что и для задач первого класса. Определенное значение для таких подходов имеет удаленность рассматриваемого периода. В дальнейшем следует попытаться более подробно проанализировать (и, если можно, обобщить) подходы к решению задач второго класса.

Здесь будем иметь в виду задачи первого класса. К ним отнесены динамические задачи развития систем, в которых требуется выбрать однозначные первоочередные решения (непосредственно принимаемые к исполнению), относящиеся, как правило, к ближайшему планируемому интервалу времени («первому шагу»).

Отметим, что методы, о которых идет речь, направлены на формализацию процесса обоснования решений, на корректную оценку последствий тех или иных действий и на разработку рекомендаций для лиц, принимающих решения. Применение этих методов позволяет уменьшить отрицательные последствия (ущерб, перерасход), обусловленные неточным знанием будущего. Однако они не дают возможности избежать этих последствий полностью. При неопределенности информации любое принятое решение может оказаться не наилучшим для тех условий, которые сложатся фактически. Поэтому некоторый перерасход или риск неизбежен. Единственное, что можно сделать, принимая решения, – это постараться свести такой перерасход к минимуму.

С точки зрения математических постановок и методов решения задач выделяют следующие категории условий оптимизации и принятия решений [54].

1. Определенные условия, когда вся исходная информация является (или принимается) точно известной (детерминированной) (рис. 1.2, а) 2. Вероятностно-определенные условия, когда помимо детерминированных исходных данных имеются случайные величины с точно известными вероятностными характеристиками (см. рис. 1.2, б). Эти условия в [54] называются «при риске», мы же будем придерживаться своей терминологии, подчеркивая этим, что исходная информация определена в вероятностном смысле.

3. Условия неопределенности, когда наряду с первыми двумя категориями информации имеются величины, для которых неточно известно (см. рис. 1.2, в) или совсем неизвестно (см. рис. 1.2, г) вероятностное описание. Разновидность этих условий, когда присутствуют только «вероятностно-неопределенные» величины (см. рис. 1.2, в), мы будем называть условиями частичной неопределенности.

Сделаем несколько замечаний по формам количественного описания величин, приведенных на рис. 1.2. Задание серии функций или рядов распределения (см. рис. 1.2, в) представляется естественным, когда имеющихся сведений о рассматриваемой случайной величине недостаточно для уверенного построения одной функции распределения.

При этом следует выделять некоторые «крайние» распределения, выход за пределы которых уже нереален, и несколько «промежуточных» распределений, которые на основании имеющихся сведений кажутся возможными. Очевидно, что вероятности самих функций распределения, вошедших в намеченную серию, являются неизвестными, в том числе отдельные функции распределения не могут считаться равновероятными.

Если бы это было не так, то можно свести такую серию характеристик к единственному распределению и получить тем самым вероятностно-определенную величину. Фактически мы имеем здесь дело с неопределенностью вероятностного описания случайной величины. Если по тем или иным соображениям достаточно уверенно устанавливается общий вид закона распределения, то вместо серии функций распределения можно задать интервалы числовых характеристик распределения – диапазоны математического ожидания, дисперсии и т.п.

в) вероятностно- Серия функций распределения Рис. 1.2. Формы количественного представления исходной информации.

Форма задания величины диапазоном (см. рис. 1.2, г) предполагает полное отсутствие сведений о вероятностях различных значений внутри диапазона. Это может относиться либо к случайным величинам, по которым нет никаких статистических данных, либо к объективно детерминированным, точные значения которых нам пока неизвестны (например, длины трасс электропередач или трубопроводов на ранних стадиях проектирования). Вопрос об определении границ (крайних значений) диапазонов обычно далеко не прост. Как правило, это приходится делать экспертным путем на основе интуиции и опыта специалистов, причем ни в коей мере нельзя автоматически принимать равномерный закон распределения внутри диапазона. Равномерное распределение может быть принято иногда как одна из возможных гипотез. Однако почти всегда значения, расположенные ближе к границам диапазона, будут казаться менее вероятными, чем значения в средней его части. Это следует хотя бы из того факта, что эксперт, выбирая границы диапазона, стремится расширить его настолько, чтобы включить значения, которые представляются маловероятными, но все-таки практически возможными.

Следовательно, если из-за отсутствия сведений или по каким-то другим соображениям мы не решаемся задать вероятностные характеристики хотя бы вариантно (как для предыдущей категории), то нужно просто полагать, что мы их не имеем, и оперировать только с диапазоном.

Теперь рассмотрим вопрос о методах решения задач. При определенных условиях оптимизации можно использовать огромный арсенал детерминированных методов математического программирования (линейного, нелинейного, динамического). При решении задач в остальных категориях условий оптимизации необходимо варьировать значениями исходных данных и для каждого конкурирующего варианта решения рассчитывать эффект (или последствия) при нескольких их возможных сочетаниях. При этом возникает важный вопрос о соизмерении значений целевой или оценочной функции, полученных для разных сочетаний информации.

В вероятностно-определенных условиях достаточно хорошим критерием для такого соизмерения может служить математическое ожидание. Если рассматривается S сочетаний исходных данных, которые представляются как полная группа случайных событий (сумма их вероятностей равна единице), то математическое ожидание целевой функции для некоторого i-го варианта решения определяется по формуле где значение целевой функции (наиболее часто – затрат) при i-м варианте решения и s-м сочетании исходных данных; ps – вероятность s-го сочетания. При этом достигается единая (единственная) оценка каждого варианта решения, что позволяет вполне определенно выбирать лучший вариант 7. Тем самым, несмотря на неоднозначность информации и неизбежность некоторого перерасхода (риска), в вероятностно-определенных условиях обеспечивается однозначный выбор оптимального варианта решения. На основе критерия (1.17) разработаны специальные методы стохастического программирования [13, 55–57; и др.].

Области применения вероятностных методов в задачах обоснования решений о развитии и функционировании систем энергетики имеют существенные методические и технические (вычислительные) ограничения [58]. Так, применение вероятностных методов вполне правомочно лишь в тех случаях, когда имеет место сочетание следующих условий: а) возможно получение достоверного (объективного) вероятностного описания неоднозначных исходных данных, что практически осуществимо лишь для массовых величин, обладающих свойством статистической устойчивости; б) случайные величины (процессы) являются столь стационарными, что имеется достаточная уверенность в обоснованности переноса (экстраполяции) прошлых их тенденций (законов распределения) на будущее; в) используемые случайные величины не находятся под субъективным воздействием. Технические ограничения на применение вероятностных методов возникают в случаях, когда выполнение вероятностных расчетов оказывается слишком трудоемким (неосуществимым или нецелесообразным экономически). В связи с этим возможность отнесения той или иной задачи к категории вероятностноопределенных условий оптимизации и решения ее стохастическими методами должна специально рассматриваться и обосновываться.

При управлении развитием систем энергетики область применения вероятностных методов ограничена, как правило, задачами, решаемыми с заблаговременностью до одного-двух лет. Для задач, в которых рассматривается более отдаленный период, веМы не будем обсуждать здесь обоснованность критерия (1.17) и некоторые тонкости в его использовании, что подробно рассмотрено в [54].

роятностные методы могут иногда сочетаться со специальными приемами учета неопределенности информации, играя при этом вспомогательную роль (для определения «расчетных» значений отдельных случайных величин, для решения отдельных подзадач, на которые разделяется основная задача, и т.п.).

Для задач функционирования систем энергетики вероятностные методы могут использоваться намного шире, так как в этом аспекте в большей мере сказывается влияние геофизических процессов, случайных ошибок приборных измерений и т.п., а также потому, что имеются большие основания для экстраполяции ретроспективных статистических оценок. В целом же в подавляющем большинстве задач управления СЭ среди исходных данных присутствуют неопределенные (и вероятностно-неопределенные) величины, поэтому третья категория условий оптимизации представляет наибольший интерес.

Для условий неопределенности критерий (1.17) можно использовать для учета частично имеющихся сведений о вероятностях различных значений или сочетаний исходных данных, в первую очередь для вероятностно-неопределенных величин (см. рис.

1.2,в). Учитывая, что таких величин, как правило, бывает несколько и нас интересует совместное распределение вероятностей всей их совокупности, при учете имеющихся сведений о вероятностях приходится прибегать к экспертной оценке. За рубежом такие оценки называются «субъективными вероятностями» [58–60; и др.]. Более удачным представляется несколько иной термин – «субъективные оценки вероятностей» [61].

Использование субъективных оценок вероятностей можно рассматривать также как один из приемов «раскрытия» неопределенности с участием человека (специалистов) в условиях «полной» неопределенности (при отсутствии вероятностного описания неоднозначных величин). Дело в том, что формализованное решение задач в условиях неопределенности в общем случае (если неопределенность велика) не может выявить один (единственный) оптимальный вариант. Можно найти лишь несколько (зону) рациональных решений, среди которых окончательный выбор должен делаться интуитивным путем самим человеком (лицами, принимающими решение). При этом использование интуитивных представлений о вероятностях предстоящих в будущем условий (сочетаний исходной информации) оказывается весьма полезным, так как резко сужает зону неопределенности решений.

Предполагая субъективные оценки вероятностей, нужно учитывать, что они не могут быть однозначными – давать одно вполне определенное распределение вероятностей. Более правильной, лучше отвечающей действительности, представляется ориентация на получение субъективным путем серии возможных функций распределения.

Такое положение следует признать естественным, так как человек интуитивно может «ощущать» лишь некоторую область возможных распределений, а не какое-то одно конкретное распределение. Тем более это относится к оценкам, даваемым разными экспертами. Стремление получить субъективным путем одно «точное» распределение было бы самообманом.

Поэтому следует ориентироваться на использование нескольких субъективных распределений вероятностей рассматриваемых сочетаний исходных данных. Причем для каждого конкурирующего варианта решения определяются математические ожидания оценочной функции, соответствующие разным предполагаемым функциям распределения, и из них составляется матрица, которая служит основой для последующего анализа и выбора решений.

Для условий «полной» неопределенности (когда совершенно отсутствуют сведения о вероятностях неоднозначных исходных величин) нет и, по-видимому, не может быть достаточно хорошего критерия выбора. Предложено несколько критериев – Вальда, Лапласа, Сэвиджа, Гурвица и другие, каждый из которых имеет свои достоинства и недостатки [54]. Они позволяют формализовать анализ неопределенных ситуаций и выбирать решения (мы назовем их «рациональными»), которые хороши в том или ином отношении.

Однако, учитывая недостатки указанных критериев, нельзя применять какой-либо один из них для окончательного выбора решения. В общем случае (когда рекомендации разных критериев не совпадают) имеется неоднозначность выбора, т.е. не удается найти единственный оптимальный вариант. Такое положение следует считать естественным – неопределенность информации приводит в конечном итоге к неопределенности решения. Окончательный выбор среди полученных рациональных вариантов неизбежно должен осуществляться с участием человека – с использованием опыта и интуиции специалистов, ответственных за принятие решения. Это важное положение следует учитывать при разработке и применении методов решения оптимизационных задач в условиях неопределенности.

Рассмотрим теперь коротко различные подходы, применяемые для формализованного обоснования решений в условиях неопределенности.

Впервые, по-видимому, игровой подход, разработанный для антагонистической игры двух лиц, был распространен на так называемые «игры с природой» [54]. При этом вместо действий второго игрока (противника) рассматриваются возможные «состояния природы». Поскольку природа – не сознательный противник, наряду с минимаксным критерием (критерием Вальда) для анализа «платежной матрицы» был предложен еще ряд критериев – Лапласа, Сэвиджа, Гурвица и др.

Данный подход в своем непосредственном виде позволяет решать лишь очень простые по структуре задачи, которые характеризуются дискретными и конечными наборами возможных действий (вариантов решения) и «состояний природы» (сочетаний значений исходных данных). Такие ситуации встречаются довольно редко. Большинство практических задач гораздо сложнее – они имеют непрерывные множества оптимизационных параметров и неоднозначных исходных данных, носят динамический характер и т.п. Поэтому были разработаны и продолжают разрабатываться другие подходы, допускающие решение более сложных практических задач. Укажем, как минимум, четыре таких подхода:

– подход, основанный на «субъективных вероятностях»; иногда он сочетается с применением «функций полезности»;

– подход, предполагающий построение и последующий анализ «платежной матрицы» в сложных задачах;

– программное решение оптимизационных задач по специальным критериям теории решений (критериям Вальда, Лапласа, Сэвиджа и др.);

– подход, основанный на понятии нечетких (размытых, расплывчатых) множеств и переменных.

Первый подход, получивший распространение за рубежом [60, 62; и др.], предполагает сведение неопределенных условий оптимизации к вероятностно-определенным путем субъективного назначения вероятностей различных возможных в будущем условий («состояний природы») и принятия решения по критерию математического ожидания целевой функции (1.17). При этом иногда учитывается неодинаковая «полезность»

различных сумм денег (затрат, платежей) и вместо непосредственной денежной оценки эффекта (или затрат) для разных вариантов решения используются оценки их «полезности». Понятие «полезности» применяется также для сведения к единому критерию различных по своей природе последствий от принимаемых решений (экономических, экологических, социальных и др.), т.е. при наличии нескольких целей (многокритериальной оптимизации). Решение задач предполагает, как правило, дискретную схему – рассмотрение конечной последовательности возможных действий (совершаемых в разные моменты времени) и дискретные варианты неопределенных условий, которые проясняются к тому или иному будущему моменту времени.

Достоинством данного подхода является то, что он позволяет выбирать единственное решение (по критерию (1.17)) и учитывать многокритериальность, а также достаточно глубокая его формализация. Разработана система аксиом для обоснования критериев выбора, способов проведения экспертизы и т.п. В числе недостатков можно указать на субъективность, стремление формализованным путем получить единственное решение (что противоречит самой сущности неопределенных условий оптимизации), неприменимость в «чистом» виде для решения сложных задач с непрерывными параметрами.

Второй подход, разработанный в СЭИ, ИВТАН, Энергосетьпроекте и в некоторых других организациях [60, 63–65; и др.], основан на отмечавшихся первоначальных идеях составления и анализа «платежной матрицы». При этом задачи решаются в традиционных постановках, принятых в математическом программировании (для детерминированных или стохастических задач), однако общая схема решения предполагает расчет «платежной матрицы» с последующим ее анализом. Решение состоит из нескольких этапов, почти на каждом из которых предполагается участие человека, т.е.

подход ориентирован на «человеко-машинную» схему решения. При этом конечной целью решения не ставится обязательное нахождение единственного оптимального варианта (хотя иногда это может оказаться возможным) – требуется найти рациональные варианты (в общем случае их будет несколько), которые хороши в том или ином отношении.

Третий подход – программная оптимизация – предполагает численное (в едином алгоритме) нахождение вариантов, оптимальных по одному из критериев теории решений, аналогично методам стохастического программирования (когда используется критерий математического ожидания целевой функции). Такой подход весьма привлекателен, так как сразу выявляются рациональные варианты, из которых будет делаться последующий выбор. При его использовании для обоснования конкретных решений необходимо выдержать два требования:

– определить оптимальные (рациональные) варианты, как минимум, для трех главных критериев: Вальда, Лапласа, Сэвиджа. Еще лучше иметь возможность находить варианты, оптимальные для некоторого сочетания этих критериев.

– оценить варианты, оптимальные по какому-либо критерию, по другим (остальным) критериям, т.е. составить полную матрицу оценок всех полученных вариантов по всем отмеченным критериям.

Эти требования вызваны тем, что ни один из указанных критериев не может считаться вполне удовлетворительным и использоваться в одиночку. Конкурирующие варианты следует анализировать по всем критериям.

Вычислительные трудности решения задач по указанным критериям (особенно по критерию Сэвиджа – минимаксного риска) и требование обязательной оптимизации по всем трем критериям приводят к тому, что практически данный подход можно применять для относительно простых задач (линейных, небольшой размерности и т.п.). В качестве примера можно указать работы [66–69].

Четвертый подход связан с применением понятий лингвистических переменных и нечетких множеств, введенных Л. Заде [70–72; и др.], к задачам принятия решений в условиях неопределенности.

Помимо рассмотренных четырех подходов, имеются и другие, представляющие практический интерес, предложения по приемам решения задач оптимизации в условиях неопределенности. Можно отметить, например, прием сведения «неопределенностных» (и стохастических) задач к последовательности их детерминированных эквивалентов [73].

1.6. Методы оптимизации в системных исследованиях энергетики Общая характеристика исследований. Исследования по теории и методам оптимизации изначально представляли одно из важнейших направлений научной деятельности СЭИ, поскольку центральной задачей института было создание математических моделей для выбора наилучших вариантов сложных энергетических объектов и систем. Это требовало поддержания на высоком научном уровне исследований в области прикладной и вычислительной математики. Следует также отметить, что с момента создания Иркутского научного центра СО АН СССР СЭИ играл роль вычислительного центра для научных и учебных заведений Иркутска и области. Это также требовало широкого привлечения в институт программистов и математиков.

С начала 60-х годов прошлого столетияна базе СЭИ регулярно издавался популярный сборник научных работ «Прикладная математика», трансформировавшийся в 90-х годах в научный журнал «Оптимизация, управление, интеллект». Организаторами его являлись не только сотрудники СЭИ. Сборник формировался на общегородской базе с редколлегией, объединяющей всех математиков Иркутска, в том числе ведущих специалистов математического факультета Иркутского государственного университета (ИГУ).

Бессменным главным редактором сборника был известный профессор математики Б.А.

Бельтюков, работавший в Иркутском педагогическом институте. Ведущие математики СЭИ В.П. Булатов и А.П. Меренков были заместителями главного редактора.

Широкую известность приобрела Байкальская международная школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения», которая была создана на базе СЭИ СО АН СССР в 60-х годах по инициативе академиков Н.Н. Моисеева и Л.А. Мелентьева. Регулярно, начиная с 1967 г. до настоящего времени, на берегах Байкала проводятся заседания этой школы, имеющей большое значение для координации исследований и подготовки молодых ученых в математическом программировании и прикладной математике. Байкальская школа по оптимизации всегда являлась крупным математическим мероприятием, организаторами которого выступали многие учреждения Иркутска и других городов. Так, в организации XIV школы, прошедшей в 2000 г. [74], самое активное участие приняли следующие вузы: Институт математики, экономики и информатики (в прошлом математический факультет) ИГУ, Иркутский государственный университет путей сообщения, Иркутская государственная сельскохозяйственная академия, а также Братский государственный университет.

В издании сборников «Прикладная математика» и в проведении школ по методам оптимизации огромная заслуга принадлежит профессору В.П. Булатову. Возглавляемый им долгое время отдел Прикладной математики был организатором математической жизни института. На базе отдела постоянно действовал математический семинар, где проходили детальную апробацию многие работы в области математического моделирования, теории и методов оптимизации, вычислительной математики. В институте считалось необходимым даже «чистым» энергетикам, которые занимаются математическим моделированием и вычислениями, посещать, в том числе при представлении диссертаций, математические семинары и конференции.

СЭИ создавался как сплав ученых нескольких направлений – энергетиков, экономистов и математиков. Это обеспечивало комплексность исследований проблем энергетики и способствовало развитию других наук. Так, для развития вычислительных методов очень важна была возможность их апробации на реальных примерах моделей энергетики.

Многие крупные разработки в СЭИ осуществлялись путем формирования групп разноплановых специалистов. При этом нередко происходила смена «окраски» ученых.

Некоторые априори «чистые» энергетики становились авторами мирового уровня в методах оптимизации. О двух таких случаях (Л.А. Крумм и Ш.С. Чурквеидзе) пойдет речь ниже.

Некоторые математики становились крупными учеными-энергетиками. Например, третий директор СЭИ, член-корреспондент РАН А.П. Меренков получил математическое образование в МГУ. Это не помешало ему стать вместе с Л.Я. Хасилевым основателем теории гидравлических цепей, создание которой по праву считается одним из крупных научных достижений института в исследованиях систем энергетики.

Экономисты по образованию могли «перековываться» в энергетиков и математиков. Так, В.З. Ткаченко, получивший экономическое образование в Новосибирском университете, стал автором оригинальной динамической модели межотраслевого баланса, разрабатывавшейся совместно с Ю.Д. Кононовым (модификации которой получили название в работах Ю.Д. Кононова модель «ИМПАКТ»). Эта модель предназначалась для определения во времени цепочки мероприятий, необходимых для достижения некоторых крупных экономических проектов или задач (в том числе в энергетике). Одновременно был разработан и оригинальный метод расчета модели, основанный на имитации экономических процессов в обратном времени от момента предполагаемой реализации проектов к предыдущим годам: что надо сделать в году t 1, чтобы обеспечить требуемые в году t мероприятия; что нужно сделать в году t 2 для обеспечения мероприятий года t 1 и т.д. [75].

Конкретизацию и программную реализацию модели «ИМПАКТ» в исходной и последующих вариантах осуществлял высококвалифицированный ученый-математик В.Н. Тыртышный, окончивший математический факультет НГУ. Им, в частности, был успешно использован алгоритм Зейделя для расчетов межотраслевых балансов, который был уместен в этом случае. В.Н. Тыртышный осуществил и ряд других крупных модельно-программных разработок, в которых проявил себя не только как математик и программист, но и как создатель оригинальных моделей.

Крупной разработкой СЭИ, потребовавшей привлечения специалистов разного профиля, являются созданные в начале 1970-х годов под руководством Ю.Н. Руденко методика, модели и комплексы программ анализа и синтеза надежности ЭЭС. В этой методике оптимизация присутствует на двух этапах: при выборе оптимального состава средств обеспечения надежности и при оценке состояния ЭЭС. К модели оценки состояния предъявляются во многом противоречивые требования. Например, важно чтобы эта модель максимально адекватно отражала сложные физико-технические процессы, протекающие при разных ситуациях в энергосистемах. При этом модель должна быть агрегированной, чтобы легко можно было осуществлять информационное накопление, и упрощенной, чтобы можно было быстро анализировать конкретные ситуации.

Для обеспечения «надежности» рассчитываемых показателей надежности необходимы многократные расчеты на модели оценки состояния – модели оценки дефицита мощности (ОДМ). Изначально модель ОДМ представлялась в виде линейной задачи о максимальном потоке, для решения которой использовали алгоритм Форда–Фалкерсона, что казалось вполне естественным.

Часто модель ОДМ имела неединственное решение, т.е. суммарный по системе минимальный дефицит мог распределяться несколькими способами между узлами. Алгоритм Форда–Фалкерсона приводит к «крайним» точкам множества оптимальных решений, т.е. дефицит распределяется в минимальном наборе из возможных дефицитных узлов. Причем выбор дефицитных узлов зависит от нумерации узлов. Этот факт влиял на получаемые оценки вероятности дефицита в отдельных узлах.

И. И. Дикин вскоре предложил хорошее решение данной проблемы, основанное на свойствах алгоритма внутренних точек вырабатывать оптимальное решение с минимальным набором активных ограничений. Если решение не единственное, то алгоритм внутренних точек приводит к решению, находящемуся внутри (точнее, в относительной внутренности) области оптимальных решений. Был предложен двухэтапный алгоритм.

Сначала методом внутренних точек решается задача минимизации суммарного дефицита мощности ЭЭС. В итоге в силу свойств метода определяются вершины, среди которых может перераспределяться дефицит. На втором этапе решается задача по распределению пропорционально нагрузкам среди этих узлов дефицита мощности [76]. Программную реализацию такого двухэтапного алгоритма внутренних точек осуществляли Г.М. Трошина и Л.М. Лебедева. До настоящего времени задача ОДМ в программных комплексах по оценке надежности ЭЭС решается алгоритмами внутренних точек. Этот случай показывает, насколько важно при разработке модели иметь не только хороших постановщиков-модельеров и программистов, но и профессиональных математиков.

В дальнейшем удалось несколько развить идеи И.И. Дикина – свести двухэтапную задачу определения минимального суммарного дефицита и его «равномерного»

распределения пропорционально нагрузкам к одноэтапной задаче, более точно выражающей «равномерность» распределения дефицита и, как показали проведенные Л.М.

Лебедевой расчеты, существенно быстрее решающей задачу ОДМ [77].

Г.Ф. Ковалев предложил учитывать потери в линиях в виде квадратичной зависимости от объемов передаваемой мощности. В этом случае модель ОДМ не будет иметь вид задачи линейного программирования, но и не будет задачей выпуклого программирования. Потребовались специальные исследования, чтобы убедиться в возможности решения такой задачи как задачи выпуклого программирования [77].

Изложенная схема решения задач анализа и синтеза надежности ЭСС в настоящее время является наиболее эффективной и универсальной. По аналогии с ней конструировались модели и вычислительные комплексы для исследования других проблем, в том числе надежности систем газоснабжения [78], теплоснабжения, для анализа и выбора средств резервирования в системах снабжения котельно-печным топливом [79], анализа эффективности механизмов страхования [80].

Л.А. Крумм. Метод приведенного градиента. Одним из пионеров в разработке специальных методов расчета допустимых и оптимальных режимов электроэнергетических систем был Л.А. Крумм, ныне академик Эстонской академии наук. Он длительное время работал в СЭИ и по праву может считаться одним из основателей электроэнергетического направления исследований института.

Л.А. Крумм – однин из создателей класса алгоритмов оптимизации, содержащего методы приведенного градиента в современной терминологии. Его первые работы по методам оптимизации появились в конце 50-х годов: в 1957 г. – в трудах Таллиннского политехнического института, в 1959 г. – в Известиях СО АН СССР [81–85].

Л.А. Крумм хорошо понимал, что разработанный им метод может использоваться не только для решения задач расчетов режимов электроэнергетических систем. При описании метода он, как правило, использовал общую запись задачи нелинейного программирования. При этом он рассматривал особый класс задач нелинейного программирования – с двусторонними ограничениями-неравенствами на переменные. Это означает, что множество допустимых решений (удовлетворяющих ограничениям задачи) заведомо либо ограниченное, либо пустое (ограничения противоречивые).

Пусть переменные задачи составляют вектор x R n. Заданы минимизируемая целевая функция f 0 и функции ограничений fi, i = 1,… m, а также векторы x, x из R n.

Рассматривается задача при ограничениях Считается, что функции fi, i = 0,…m, дифференцируемы. Следует отметить, что для моделей расчета электроэнергетических режимов функции fi существенно нелинейные. Они, как правило, являются квадратичными. Поэтому задача (1.18)–(1.20) относится к классу собственно нелинейных и даже невыпуклых задач оптимизации.

Центральная идея метода приведенного градиента состоит в том, чтобы представить ограничения-равенства (1.19) в виде выражения одних переменных через другие.

Пусть вектор переменных x разбит на два подвектора: вектор базисных или зависимых будем считать, что первые n m компонент вектора x составляют вектор y, а остальные m компонент – вектор z. Причем вектор z представляется в виде вектор-функции от вектора y, которая равносильна ограничениям (1.19). То есть ограничения (1.19) приобретают вид Такое представление нелинейных ограничений-равенств названо Л.А. Круммом «первым положением» метода приведенного градиента.

В результате преобразований (1.21) задача (1.18)–(1.20) запишется как при ограничениях Эта задача имеет меньшее число переменных, чем задача (1.18)–(1.20), и все условия заданы в виде ограничений-неравенств.

Л.А. Крумм особо исследовал случай, когда текущее приближение y, где k – номер итерации, является допустимым для задачи (1.22)–(1.24). Вектор s определяетk ся как направление уменьшения целевой функции от точки y в области допустимых решений. Например, вектор s можно определить как результат решения задачи при условиях Затем вычисляем шаг k с тем, чтобы вектор оставался в области допустимых решений задачи (1.22)–(1.24) и минимизировал значение целевой функции.

Такой алгоритм в современной терминологии называется методом условного градиента решения задачи (1.22)–(1.24). Для исходной задачи (1.18)–(1.20) использование преобразования (1.21) означает, что приведенный алгоритм будет методом приведенного градиента. Необходимо отметить, что Л.А. Крумм рассматривал более общий подход к постановке вспомогательной задачи выбора направления (1.22)–(1.24), в рамках которого, например, можно было использовать не только линейную, но и квадратичную аппроксимацию целевой функции g ( y ).

Для решения вспомогательной задачи (1.25)–(1.27) и ее модификаций могут использоваться разные методы. Одно время с подачи Ш.С. Чурквеидзе для ее решения применяли метод вспомогательных функций, называемый чаще методом модифицированной функции Лагранжа. Об этом методе, разработанным Ш.С. Чурквеидзе, пойдет речь ниже.

В дальнейшем А.М. Тришечкин и затем О.Н. Войтов стали использовать в качестве вспомогательной линеаризованную задачу (1.25)–(1.27) с применением для ее решения метода внутренних точек.

И.И. Дикин. Метод внутренних точек. И.И. Дикин является автором оригинального метода внутренних точек решения задач линейного и на его базе нелинейного программирования. Уже в 1970-х годах этот метод нашел применение в реализации нескольких моделей СЭИ, в том числе при решении вспомогательной задачи поиска направления улучшения в обсуждавшемся ранее методе приведенного градиента для решения задачи расчета режимов электроэнергетических систем. Метод внутренних точек использовался также в программно-вычислительных комплексах анализа надежности электроэнергетических систем [86], в задачах выбора оптимальных графиков ремонта оборудования [87], с 1980-х годов – в моделях термодинамики.

Исходной основой И.И. Дикина в разработке алгоритма внутренних точек послужила очень любопытная и простая идея академика Л.В. Канторовича по определению рациональной системы цен в случае неоптимального плана (речь конкретно шла о планах использования посевных площадей, хотя предложенный Л.В. Канторовичем подход вполне годится и для других проблем, в том числе для планов развития и ценообразования в энергетике).

Рассмотрим взаимно двойственные задачи линейного программирования где – множества допустимых решений исходной (1.28) и двойственной (1.29) задач. Заданn m ными являются векторы c R, b R, матрица A размером m n. Переменные соn m ставляют векторы x R, u R.

Пусть задача (1.28) моделирует процесс производства и использования некоторых видов продукции, составляющей вектор b, вектор x состоит из показателей интенсивности технологии j = 1,…, n, матрица A состоит из коэффициентов удельных расходов или выпусков продукции i = 1,…, m для технологий j = 1,…, n. Итак, задача (1.28) заключается в определении неотрицательных интенсивностей заданного набора технологий, при которых обеспечивается выпуск заданного набора продукции при заданных ресурсах производства. Среди допустимых наборов технологий, составляющих множество X, требуется выбрать набор с минимальными затратами. Вектор c состоит из удельных затрат на единицу каждой технологии.

Двойственная задача (1.29) выражает проблему определения рациональной системы экономических оценок продукции, составляющих вектор u. Задачи (1.28)–(1.29) тесно взаимосвязаны. В частности, справедливо следующее утверждение: для того чтобы вектор x X был оптимальным решением задачи (1.28) необходимо и достаточно, чтобы существовал вектор u U, при котором выполняется условие дополняющей нежесткости Приведенное условие играет важную роль в экономической интерпретации. Компоненты вектора u интерпретируются как набор цен, «зовущих к оптимуму», а компоненты вектора g (u ) – в качестве экономических оценок эффективности отдельных технологий.

По каким-то причинам, например из-за несовершенств линейной модели, может быть выбран неоптимальный с позиций задачи (1.28) план. Для случая, когда принятое решение x X неоптимально, Л.В. Канторович в 1965 г. предложил методику формирования приближенных оценок ресурсов, основанную на минимизации взвешенной суммы квадратов отклонений в условиях дополняющей нежесткости (1.32).

Пусть имеется допустимое решение xk X с положительными компонентами x k > 0, j = 1, …, n. По одному из вариантов методики Л.В. Канторовича для такого решения вектор оценок определяется правилом где В используемом методе наименьших квадратов веса ( xk )2 зависят от интенсивноj сти использования конкретных технологий. Если интенсивность невелика, величина x k j близка к нулю, то компонента j играет меньшую роль в формировании вектора цен u k.

Если вектор x – неоптимальное решение задачи (1.28), то у вектора g (u ) будут как положительные, так и отрицательные компоненты. По экономическим соображениям из того, что g j (u ) > 0, следует необходимость увеличения интенсивности использоваk ния данной технологии j в целях уменьшения суммарных затрат. Если g j (u ) < 0, то технология j имеет отрицательную рентабельность в рамках цен u и интенсивность ее использования должна быть сокращена.

На основе приведенного правила получения экономических оценок ресурсов и технологий И.И. Дикин в 1960-х годах разработал алгоритм итеративного улучшения решения задачи (1.28), в котором следующее решение xk +1 X определяется по формуле при Первые программные реализации такого «непривычного» на фоне широко использовавшегося в те годы симплекс-метода показали хорошую работоспособность.

Эти первые реализации осуществлялись С.М. Анцизом в Институте математики СО РАН.

И.И. Дикин предложил геометрическую форму представления данного алгоритk + ма: получаемый в результате итеративного перехода вектор x является оптимальным решением задачи при условиях где – вписанный в неотрицательный ортант эллипсоид. То есть в обсуждаемом алгоритме исходное условие неотрицательности переменных заменяется на условие принадлежности следующего решения эллипсоиду, зависящему от предыдущего решения.

Активно этот алгоритм стал применяться с начала 1970-х годов в СЭИ после переезда в Иркутск И.И. Дикина. Им были доказаны следующие важные факты (при предположении о невырожденности задачи (1.28)). Если задача (1.28) имеет оптимальное решение, то последовательность векторов x k, k = 1, 2,..., будет сходиться к одному из оптимальных решений. Причем получаемое оптимальное решение обладает важной особенностью – оно имеет минимальный набор активных ограничений по сравнению с другими оптимальными решениями. Скорость сходимости значения целевой функции cT xk к ее оптимальному значению – линейная, т.е. по геометрической прогрессии. Поk следовательность векторов u будет сходиться к оптимальному решению двойственной задачи [88–91].

В дальнейших работах многих математиков алгоритм внутренних точек получил существенное развитие, в частности для решения задач нелинейного программирования. Получены интересные результаты в теоретическом обосновании алгоритма, установлена связь с «классическим» методом внутренних точек, базирующимся на логарифмической штрафной функции (такой метод также успешно применялся в институте в разработках А.М. Клера).

Ш.С. Чурквеидзе. Метод вспомогательной функции и модифицированной функции Лагранжа. В конце 1960-х годов Ш. С. Чурквеидзе предложил использовать для решения разных проблем в оптимизации специальные и вместе с тем простые вспомогательные функции – особые конструкции квадратичных добавок. С помощью таких добавок можно было решать проблемы плохой устойчивости к погрешностям вычислений задач безусловной и условной оптимизации, эффективно учитывать ограничения на переменные.

Фактически им был создан новый оригинальный метод решения широкого класса задач оптимизации, в том числе линейного и нелинейного программирования, который сразу нашел эффективное применение в СЭИ при оптимизации краткосрочных и долгосрочных режимов электроэнергетических систем. Этот метод используется до сих пор в лаборатории В.В. Труфанова в программно-вычислительном комплексе, предназначенном для выбора оптимальных вариантов долгосрочного развития электроэнергетических систем.

Первые публикации Ш.С. Чурквеидзе с изложением разработанного им метода вышли в 1970 г. (в статьях, опубликованных в СЭИ и Иркутском политехническом институте совместно с Ю.П. Сыровым и В.В. Посекалиным) [92–96]. Эти публикации привлекли внимание столичных математиков. Уже в 1972 и 1973 гг. ими были написаны статьи с изложением нового подхода к решению задач оптимизации. При этом делались необходимые ссылки на работы Ш.С. Чурквеидзе.

Идеи Ш.С. Чурквеидзе уже в 70-х годах вылились в особое направление методов оптимизации, получившее название метода модифицированной функции Лагранжа.

Теоретическими исследованиями и разработками этого метода сначала занимались только российские математики, в том числе Б.Т. Поляк, В.В. Третьяк, А.С. Антипин [97–99]. Затем произошел некоторый бум по поводу этого метода во всем мире.

В настоящее время метод модифицированной функции Лагранжа по праву считается одним из интереснейших в идейном плане и эффективным в вычислительном отношении подходом в теории и методах оптимизации. Этот метод почти в обязательном порядке в том либо ином варианте входит в учебники по математическому программированию. К сожалению, теперь даже в российских книгах нет ссылок на автора исходной идеи.

Рассмотрим задачу оптимизации при ограничениях в форме равенств. Пусть f0 – целевая функция, fi, i = 1, …, m, – функции-ограничения от вектора переменных x Rn. Обсуждается задача при ограничениях Будем считать, что все функции дифференцируемые.

Наличие ограничений даже только в форме равенств усложняет проблему поиска экстремума по сравнению с задачами безусловной оптимизации. Лагранж, буквально в одном абзаце, высказал общую очень плодотворную идею перехода от задачи (1.42), (1.43) к задаче без ограничений. Он предложил добавить к целевой функции f0 функции ограничений, просуммированные с некоторыми множителями, т.е. перейти к функции где i – коэффициенты, называемые множителями Лагранжа; L – функция Лагранжа, зависящая от вектора исходных переменных x и вектора множителей Лагранжа В результате приравнивания производных функции Лагранжа нулю, получим необходимые условия оптимальности. Равенство частных производных L по переменным i дает собственно не что иное, как выполнение условий (1.43):

где f – вектор-функция с компонентами fi, i = 1, …, m.

приравнивание частных производных L по x к нулю дает соотношение Итак, равенство частных производных функций Лагранжа нулю означает, что полученное решение x является допустимым, т.е. удовлетворяющим условиям (1.43).