«УНИВЕРСИТЕТ НАУК И ТЕХНОЛОГИЙ (ЛИЛЛЬ, ФРАНЦИЯ) RUSSIAN ACADEMY OF SCIENCES A. M. OBUKHOV INSTITUTE OF ATMOSPHERIC PHYSICS UNIVERSITE DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LILLE (FRANCE) V. P. Goncharov, V. I. Pavlov ...»

Что касается расположения материала книги, то в первой части подготавливается методическая база — излагаются общетеоретические аспекты гамильтоновского формализма. Во второй части рассматривается гамильтонизация систем гидродинамического типа самого общего вида. Принципиальная проблема ввода канонических переменных для гидродинамических моделей обсуждается в третьей части. Четвертая часть посвящена развитию гамильтоновского подхода к моделям контурной динамики. Формализм нормальных мод, его обобщения и приложения к проблемам излучения и волновым взаимодействиям обсуждены в пятой части книги. В последней, шестой, части рассматриваются гидродинамические модели и методы, основанные на прямом моделировании волновых и вихревых структур, изучение которых является решающим фактором для понимания процессов перемешивания и дезинтеграции течений.

Мы старались изложить материал на уровне тех знаний, которые должен иметь студент старших курсов физических факультетов университетов и инженерно-физических специализаций политехнических институтов. Насколько наша попытка удалась — судить читателю. Читатель, знакомый с векторным анализом и тензорными обозначениями, не должен встретить затруднений с чисто математическим содержанием этой книги. Работая над книгой, мы исходили из того, что она достигнет своей цели, только если сможет пробудить интерес к этой новой области науки. При таком интересе читатель, мы надеемся, просмотрит более специализированные работы из списка литературы, где найдет более детальное обсуждение некоторых вопросов.

Что касается списка литературы, то авторы ограничились лишь ссылками на работы, результаты которых непосредственно используются или обсуждаются в данной книге, а также на работы обзорного характера, в которых содержится дополнительная библиография.

Мы надеемся, что книга поможет восстановить интерес к аналитическим методам исследования в гидродинамике, которые, по-видимому, незаслуженно отодвинуты в сторону мощным развитием «современных» численных методов и подходов. Мы также рассчитываем, что эта книга окажется полезной широкой аудитории, включающей научных работников, преподавателей, аспирантов и студентов старших курсов университетов и инженерно-физических вузов, интересующихся теоретическими проблемами нелинейной динамики жидкостей, плазмы, астро- и геофизики, физики атмосферы и океана.

Монография в значительной мере опирается на результаты и методы, полученные и разработанные в ходе исследований, которые проводились при поддержке грантов РФФИ (проекты №№ 06-05-64185, 03-05-64247, 01-05-64466, 00-05-6419, 96-05-64991, 94-05-16950), программы президиума РАН «Математические методы в нелинейной динамике», гранта Президента РФ НШ-4166. 2006. 5 и гранта РФФИ—Франция (проект № 07-05-92211-НЦНИЛ_а).

Пользуясь случаем, авторы выражают глубокую благодарность Г. С. Голицыну, В. М. Грянику, Ф. В. Должанскому, В. И. Кляцкину, В. М. Пономареву, Н. Н. Романовой, И. Г. Якушкину за ценные замечания и плодотворные дискуссии, которые способствовали прояснению ряда затронутых в книге вопросов.

ОБЩЕТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ

ГАМИЛЬТОНОВСКОГО

ФОРМАЛИЗМА

Если не ограничить класс задач, эта рекомендация вряд ли может служить универсальным руководством к действию. Однако для консервативных моделей можно предложить другой более продуктивный путь, основанный на широком использовании гамильтоновых методов. В последние годы этот подход прочно вошел в арсенал современной теоретической физики и зарекомендовал себя как мощный инструмент исследования проблем динамики в широком круге приложений. Одна из причин его привлекательности состоит в том, что он позволяет осуществить выбор удобных динамических переменных, исходя из свойств симметрии задачи и наличия в арсенале методов, которые были бы адекватны изучаемой проблеме в соответствующей формулировке.

В первую часть книги включены базовые элементы гамильтоновского подхода, к которым неоднократно будем обращаться в ходе последующего изложения. В первой главе изложены основные понятия функционального анализа и приведены правила дифференцирования функционалов.

Во второй и третьей главах обсуждаются два альтернативных способа определения континуальных гамильтоновых систем. Первый основан на скобках Пуассона, а второй — на дифференциальных 2-формах. Обсуждаются свойства скобок Пуассона и геометрические свойства фазовых пространств, в которых эволюционируют гамильтоновы системы. Приводятся примеры гидродинамических моделей, обладающих скрытой гамильтоновой структурой с нетривиальной скобкой Пуассона. Введение канонических переменных с помощью представления Клебша разобрано на простейшем примере уравнения Кортевега—де Вриза (КдВ).

Обобщение вариационного принципа на неканонические гамильтоновы системы, основанные на дифференциальных 2-формах, рассматривается в четвертой главе. Один из примеров таких систем — модель вихревой нити — демонстрирует существование вариационного принципа для систем с вырожденной 2-формой. Гамильтоновские системы, основанные на вырожденной скобке Пуассона, и сопутствующие им интегралы движения (казимиры) обсуждаются в последнем разделе этой главы.

В пятой главе рассмотрены канонические преобразования и производящие функционалы. Введение канонических переменных для поверхностных волн — один из примеров плодотворного использования точечных канонических преобразований для выбора удобных динамических переменных.

Преобразования симметрии, их классификация и связанные с ними законы сохранения обсуждаются в шестой главе. Связь калибровочных симметрий с вырожденными гамильтоновыми системами иллюстрируется примерами, которые позволяют сделать вывод, что калибровочная свобода — непременный атрибут таких систем — проявляется как определенный произвол при выборе канонических переменных.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ

§ 1.1. Функционалы и вариационные производные В этом разделе мы представим некоторые основные понятия функционально анализа, а затем сформулируем правила функционального дифференцирования.

Как мы увидим (см., например: [106–108, 135, 161]), эти правила во многом аналогичны обычным правилам дифференцирования и являются в некотором смысле их обобщением.

В теории поля, функционалы и вариационное исчисление играют такую же важную роль, как динамические функции и дифференциальное исчисление в классической механике дискретных систем. Примерами функционалов могут служить кинетическая энергия жидкости K, ее полный импульс P, полная масса M. Эти физически важные величины характеризуют непрерывную гидродинамическую систему в целом и могут быть представлены следующими объемными интегралами:

где переменные (x, t) и v (x, t) — поля, характеризующие распределение плотности и гидродинамической скорости; x — радиус-вектор; t — время, а интегрирование распространяется на весь объем V, занятый жидкостью.

Прежде всего дадим общее определение функционала. Будем говорить, что задан функционал F [u] или что F [u] функционально зависит от u, если имеется правило, по которому каждой реализации u(x) из некоторой совокупности функций, зависящих от пространственной координаты x и составляющих область определения функционала, ставится в соответствие число F, называемое значением функционала на этой функции. Если величина F не зависит от детального вида функции u(x), а зависит только от ее интегрального поведения, то в обозначении F [u] можно не указывать зависимость от аргумента x. В тех случаях, когда необходимо подчеркнуть, что F не только функционал u, но также и явная функция независимой переменной x или параметра t, будут использоваться обозначения F [u; x] или F [u; t], соответственно.

Простейшим примером является линейный функционал где A(x) — заданная функция.

Для непрерывно-полевых моделей достаточно типичными являются так называемые локально-полевые функционалы. В частном случае одномерного скалярного поля u(x) такой функционал имеет вид где плотность функционала h — функция, зависящая от аргумента x, полевой переменной u и ее производных u(s) s u/xs (s = 1,..., k < ). В более общем случае h может быть функцией векторного аргумента x, совокупности полевых переменных и их производных конечного порядка относительно x.

Часто возникает необходимость рассматривать более сложные функциональные объекты, примером которых может служить величина где B(x, x ) — заданная функция двух параметров.

Обозначение [u; x] подразумевает, что величина (1.1.2) не только обладает функциональной зависимостью от u, но также является функцией аргумента x.

Рис. 1.1. К определению вариаци- нулю всюду, кроме некоторой малой окрестности x точки x0 (см. рис. 1.1, который иллюонной производной По определению (см., например, [108, 135, 161]), функциональной (вариационной) производной функционала F [u] в точке x0 называется предел при условии, что этот предел существует и не зависит ни от вида u(x), ни от способа стягивания к нулю объема окрестности x, ни от закона, по которому стремится к нулю максимум модуля функции u(x).

1.2. Дифференцирование функционалов Отметим, что для функциональной производной более общепринято сокращенное обозначение F [u]/u(x0 ), в котором нормировка на элемент объема dx опускается. Во избежание недоразумений об этом полезно помнить, например, при вычислении и сопоставлении размерностей величин, в которые входят функциональные производные.

Из определения (1.1.3), в частности, следует, что вариация функционала и вариация функции связаны линейным интегральным соотношением Ограничиваясь далее функционалами, по отношению к которым операция (1.1.3) может быть заведомо выполнена, можно предложить более удобную формулу для вычисления вариационной производной, если в качестве функции u(x) взять дельта-функцию вида (x x0 ), где — малый амплитудный параметр.

Тогда, подставляя это выражение в (1.1.3), найдем Формула (1.1.5) позволяет свести операцию вычисления функциональной (вариационной) производной к обычному дифференцированию.

§ 1.2. Дифференцирования функционалов дифференцирования помощью (1.1.5) можно сформулировать все основные правила функционального дифференцирования:

Фигурирующая в последнем соотношении (1.2.3), F () — композиция функций F и, а F = F/ — производная внешней функций по аргументу.

Чтобы выполнять функциональное дифференцирование на практике, правила (1.2.1)–(1.2.3) необходимо дополнить важной формулой которую легко получить из (1.1.5), полагая F [u] = u(x).

Формулы (1.2.1)–(1.2.4) позволяют дифференцировать большинство функционалов, с которыми приходится встречаться на практике. Из (1.1.5) вытекает важное следствие, что операция функционального дифференцирования по переменной u коммутирует с любыми другими операторами, от u не зависящими. В частности, можно производить функциональное дифференцирование под знаком интеграла или производной. Это обстоятельство позволяет ввести самостоятельный символ функционального дифференцирования /u, правила обращения с которым во многом аналогичны правилам обращения с дифференциальным оператором /x x.

В качестве примера приведем правило дифференцирования сложного функционала F [f1, f2,..., fN ], в котором внутренние функции f1,..., fN, в свою очередь, функционально зависят от функции (x).

Это правило имеет вид и внешне напоминает правило обычного дифференцирования сложной функции.

В выражении (1.2.5) и далее, если не оговорено иное, по повторяющемуся дискретному индексу подразумевается суммирование, а штрихованные полевые переменные обозначают зависимость от штрихованных пространственных координат:

u = u(x ), u = u(x ).

локально-полевого функционала локально-полевого функционала (1.1.1) по полю u(x). Используя формулу (1.2.5), получим Откуда, учитывая соотношения:

найдем2, что Формулу (1.2.4) можно рассматривать как бесконечномерный (непрерывный) аналог формулы ui /uj = j, где ui — дискретные величины, а j — дельта-символ Кронекера, который определяi i ется правилом: j = 1, если i = j, и j = 0, если i = j.

Другой вывод формулы (1.2.6) может быть получен перестановкой оператора /u и интеграла с последующим вычислением производной h /u по правилу (1.2.3).

1.2. Дифференцирование функционалов Линейный оператор E Дифференцирование функционалов и частную производные.

Для примера рассмотрим сложный функционал F [u1, u2,..., uN ; t], зависящий от времени t как явно, так и неявно, т. е. через функциональную зависимость от внутренних функций ui (t, x), (i = 1, 2,..., N ).

Приведем правило дифференцирования такого функционала по времени:

Здесь слева стоит полная производная dF/dt, а справа — частная производная по явному времени t F, которая берется при фиксированных внутренних функциях ui. Частные производные по времени для внутренних функций t ui дают интегральный вклад, определяемый вариационными производными.

Для доказательства формулы (1.2.7) ограничимся случаем, когда функционал F [u; t] зависит только от одной внутренней функции u(t, x), и рассмотрим полную производную по параметру t как предел отношения Этот предел можно представить в виде суммы двух пределов:

Первый предел есть не что иное, как частная производная t F, т. е. производная по явному времени при фиксированной функции u(t, x). Второй легко вычисляется, если заметить, что, по существу, под знаком предела в числителе стоит вариация функционала F.

Так как эта вариация является откликом на вариацию функции u = tt u, она определяется функциональной производной и, согласно (1.1.4), выражается через интеграл Таким образом, после вычисления пределов из (1.2.8) для полной производной окончательно получим формулу обобщение которой на более общий случай (1.2.7) представляется очевидным.

Разложение функционалов что такого рода степенные разложения лежат в основе различных версий теории возмущений, к которым часто прибегают, например, при исследовании линейных и нелинейных проблем волновой и вихревой динамики (см. части V и VI). В частности, для простейшего однополевого функционала F [u + ], рассматривая поле u(x) как основное состояние, а поле (x) как возмущение, можно написать следующее разложение:

Если правую часть представить в операторном виде:

и заметить, что в фигурных скобках имеет место степенное разложение экспоненты, формулу (1.2.9) можно переписать в более изящном виде По аналогии с псевдодифференциальным оператором ehx, который действует на функцию (x) по правилу и сдвигает ее аргумент x на величину h, оператор exp иногда называют операdx (x) u(x) тором функционального сдвига.

ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

О БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ

ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМАХ

Наиболее известна каноническая форма записи, когда система описывается четным числом уравнений вида относительно двух групп полевых переменных — обобщенных координат q 1,..., q N и обобщенных импульсов p1,..., pN, которые являются функциями времени t и пространственных координат x. Переменные, обеспечивающие такую структуру уравнений, называются каноническими, а величина H, стоящая под знаком вариационных производных и функционально зависящая от этих переменных, — гамильтонианом.

Для консервативных гидродинамических моделей, однако, типична иная ситуация, когда переменные, на фазовом пространстве которых рассматривается динамика, не являются каноническими, а гамильтонова структура уравнений и выглядит совсем иначе, чем (2.1.1).

Иными словами, возможны и другие многочисленные версии гамильтоновых систем, которые известны как неканонические. Например, в приложениях часто приходится сталкиваться с проблемами, которые приводят к уравнениям вида где x — одна из пространственных координат в выделенном направлении, а ui — полевые переменные, которые зависят от времени t, x, но, вообще говоря, могут зависеть и от других пространственных координат.

В частности, если в качестве гамильтониана в (2.1.2) взять по очереди выражения:

28 Глава 2. Основные представления о гамильтоновых системах то из (2.1.2) получим соответственно два известных уравнения:

Если в первом уравнении, которое известно как уравнение Кортевега—де Вриза (КдВ), динамическая переменная u — функция одной пространственной переменной x, т. е. u = u (x, t), то во втором, которое известно как уравнение Кадомцева— Петвиашвили (КП), u является функцией двух пространственных переменных x, y, т. е. u = u (x, y, t).

Забегая вперед (см. главу 30), отметим, что в форме (2.1.2) записываются уравнения, описывающие эволюцию границ раздела, которые разбивают двухмерное течение несжимаемой жидкости на слои с постоянной плотностью и завихренностью.

Каковы же общие требования, предъявляемые к структуре уравнений, описывающих эволюцию бесконечномерных гамильтоновых систем максимально общего вида, и каковы отличительные признаки, позволяющие распознать гамильтоновость?

В основе одного из способов современного определения таких систем лежит понятие функциональной скобки Пуассона (см., например: [74, 137, 139, 140]).

Скобка Пуассона для двух величин F и G на фазовом пространстве, состоящем из совокупности функционально независимых друг от друга полевых переменных ui (t, x), i = 1, 2,..., N, задается тензорным полем U ij [u; x, x ] по правилу Запись U ij [u; x, x ] отражает то обстоятельство, что ядро интеграла — так называемый тензор Пуассона U ij, вообще говоря, может являться не только функцией координат x и x, но и функционалом полей ui.

Подстановка F = ui (t, x), G = uj (t, x ) в (2.2.1) приводит к соотношению которое выражает очевидный факт: тензор Пуассона может быть задан через так называемые фундаментальные скобки Пуассона {ui (x), uj (x )} от базисных функций ui, образующих фазовое пространство.

Используя (2.2.2), можно переписать (2.2.1) в виде 2.3. Гамильтоновские системы общего вида По определению, скобки Пуассона должны обладать двумя основными свойствами. Во-первых, свойством антисимметричности Во-вторых, скобки Пуассона должны удовлетворить тождеству или свойству Якоби где сокращенная запись «ц.п.» обозначает слагаемые, полученные из первого циклической перестановкой по индексам и аргументам.

Чтобы подчеркнуть особый геометрический смысл свойства (2.2.4), иногда рассматривают так называемый тензор Якоби [225] T ijk (x, x, x ) = {ui (x), {uj (x ), uk (x )}} + ц.п. = который играет роль аналога тензора кривизны (см. § 3.2), но для фазового пространства динамической системы. Тогда гамильтоновые системы, требующие соблюдения тождества Якоби, можно охарактеризовать условием которое можно интерпретировать как отсутствие «кривизны» в фазовом пространстве динамических переменных.

§ 2.3. Гамильтоновские системы общего вида Скобки Пуассона, заданные на фазовом пространстве полей u1,..., uN, позволяют определить так называемые гамильтоновские системы как системы, которые эволюционируют по закону где H — гамильтониан системы — величина, функционально зависящая от полей ui.

Отметим, что возможность формальной записи уравнений движения в интегральном виде (2.3.1) еще не означает гамильтоновости системы, если для тензорного поля U ij не выполняется свойство антисимметричности и не соблюдается тождество Якоби Нарушение хотя бы одного из этих свойств, что возможно при некоторых аппроксимациях, — явный признак потери консервативности, т. е. разрушения интегралов движения.

Если гамильтониан системы явно не зависит от времени и, следовательно, t H = 0, закон сохранения энергии автоматически следует из данной формулировки, так как равенство выполняется в силу свойства антисимметричности (2.2.3).

С точки зрения данных выше определений канонический гамильтоновский формализм (2.1.1) соответствует скобкам Пуассона вида где j — дельта-символ Кронекера — определяется правилом: j = 1, если i = j, и j = 0, если i = j.

В другом примере (2.1.2) гамильтонова структура определяется скобками Пуассона вида Оба примера являются тривиальными в том отношении, что соответствующее им тензорное поле U ij не зависит функционально от полевых переменных, и, следовательно, свойство (2.2.4) выполняется автоматически.

К числу нетривиальных, но сравнительно простых континуальных гамильтоновых систем относятся системы, у которых тензорное поле U ij [u; x, x ] линейно зависит от полевых переменных. К этому виду, например, принадлежит уравнение Ландау—Лифшица [126] Здесь знак «» — обозначает векторное произведение. Это уравнение встречается в физике твердого тела (см.: [110, 128]) и используется для описания динамики классического спинового поля n (x, t) в ферромагнетиках в приближении сплошной среды.

Скобки Пуассона, соответствующие структуре уравнения Ландау—Лифшица (2.3.4), определяются уравнением Напомним (см. более подробно по этому поводу текст на с. 25), что полная производная d/dt от функционала [u1,..., uN ; t], который может зависеть от времени t как явно, так и неявно через функции u1,..., uN, берется следующим образом где t — частная производная функционала по явному времени берется при фиксированных значениях u1,..., uN.

2.4. Локальные скобки Пуассона и их свойства где eikj — единичный антисимметричный тензор (символ Леви—Чивита) — задается следующим правилом: eikj = 0, если среди индексов ikj есть два одинаковых, и eikj = ±1, если все индексы различны. Причем знак «+» реализуется, если упорядоченная система индексов ikj образует четную круговую перестановку чисел 1, 2, 3, и знак «», если нечетную перестановку.

Подавляющее число моделей, с которыми приходится иметь дело в гидродинамике и физике плазмы, обладают скрытой гамильтоновой структурой с нетривиальной скобкой Пуассона. Типичной иллюстрацией является уравнение описывающее эволюцию поля завихренности = v (v — гидродинамическое поле скорости) в однородной несжимаемой жидкости.

Как было показано В. И. Арнольдом [4], на фазовом пространстве поля это уравнение можно записать в виде где функционал является кинетической энергией жидкости, а векторное поле (H /) есть не что иное, как гидродинамическая скорость v.

Нетрудно убедиться, что уравнение (2.3.6) является гамильтоновым, а фундаментальная скобка Пуассона дается выражением Здесь и далее i = /xi — операторы дифференцирования2 по пространственным координатам (i = 1, 2, 3).

§ 2.4. Локальные скобки Пуассона и их свойства Перечисленные выше скобки (2.3.2), (2.3.3), (2.3.5), (2.3.8) — типичные представители так называемых локальных скобок Пуассона.

По определению [74], локальные скобки Пуассона общего вида представляются конечной суммой Эта сумма составлена из дельта-функции (x x ) и ее производных с тензорij ными коэффициентами Bk [ui ; x], которые зависят от полей ui и их производных По умолчанию, если что-то не оговорено особо, операторы дифференцирования действуют на все, что стоит справа.

32 Глава 2. Основные представления о гамильтоновых системах в точке x. По поводу других используемых обозначений предполагается, что k = = (k1, k2, k3 ) — мультииндекс, по которому в (2.4.1) подразумевается суммироkkk вание, k = 1 1 2 2 3 3 — оператор дифференцирования по пространственным координатам i = /xi, (i = 1, 2, 3). Суммирование в (2.4.1), как уже говорилось, является конечным и идет по повторяющемуся мультииндексу k так, что суммарный индекс |k| = k1 + k2 + k3 пробегает все целые числа от 0 до K. Целое число K называется порядком скобки.

Класс локальных скобок Пуассона естественно возникает при рассмотрении различных консервативных полевых теорий, удовлетворяющих требованию локальности. Физически это требование означает, что эволюция полей в точке x должна зависеть только от значений полей и их производных, взятых в той же самой точке пространства.

Последнее условие, например, выполняется для скобок (2.4.1) и локальных гамильтонианов специального вида у которых плотность гамильтониана h является аналитической функцией, зависящей от x, ui и частных производных k ui ui, где k — мультииндекс, используемый в соответствии с установленным выше правилом k = 1 1 2 2 3 3.

Как легко показать, в этом случае гамильтоновы уравнения (2.3.1) приводят к системе уравнений в частных производных с конечным числом членов. Действительно, в соответствии с правилом (1.2.5), найдем, что вариационная производная локального функционала (2.4.2) определяется выражением Подставляя (2.4.3) в (2.3.1) и принимая во внимание (2.4.1), получим:

где s, так же, как и k, — мультииндекс.

Тензорные функции Bk не являются произвольными и должны удовлетворять вполне определенным требованиям, вытекающим из свойств скобок Пуассона.

Так, свойство антисимметричности приводит к условию Равенство (2.4.4) необходимо понимать в смысле обобщенных функций. Собирая подобные члены, имеющие одинаковый характер сингулярности в точке x = x, и приравнивая затем полученный результат нулю, можно показать, что (2.4.4) эквивалентно конечной системе линейных соотношений на функции Bk, их частные производные по x и на частные производные Bk по полям ui.

2.4. Локальные скобки Пуассона и их свойства Дополнительные ограничения на функции Bk накладывает тождество Якоби.

Подстановка (2.4.1) в (2.2.4) приводит к условиям где s, p и t — мультииндексы.

Аналогичные рассуждения приводят нас к заключению, что равенство (2.4.5) равносильно конечной системе уравнений, квадратичных относительно функций Bk и их частных производных по x и по ui. m Несмотря на ограничения (2.4.4), (2.4.5), в выборе структурных функций Bk остается значительный произвол. При построении скобок Пуассона этот произвол преодолевается либо в рамках классификационного подхода, который опирается на теоретико-групповой анализ структуры скобок Пуассона (см., например, [137, 140] и цитируемую там литературу), либо в рамках феноменологического подхода. Последний исходит из ряда фундаментальных физических принципов, которые накладывают дополнительные ограничения на скобки Пуассона (см., например, [211]).

Некоторые из этих принципов могут быть сформулированы как требование инвариантности гамильтоновских систем относительно тех или иных преобразований. В контексте данного раздела ограничимся обсуждением лишь одного наиболее тривиального следствия, связанного со свойством однородности координатного пространства. Более подробное обсуждение проблемы инвариантности гамильтоновых систем и вытекающих отсюда ограничений на скобки Пуассона отложим на будущее (см. главы 7,8,12).

Поскольку свойство однородности координатного пространства предполагает отсутствие физически выделенных точек, это означает, что перенос системы координат как целого не должен сказываться на физических следствиях, вытекающих из математических формулировок, или, как говорят, должна иметь место трансляционная инвариантность теории. Очевидно, что удовлетворяющие этому требованию локальные скобки Пуассона, а, следовательно, и структурные функции Bk, не должны зависеть явно от пространственных координат x. Такие скобки называются трансляционно инвариантными.

Аналогичным образом можно рассмотреть ограничения на выбор структурij ных функций Bk, возникающие вследствие инвариантности относительно поворотов осей координат. Как известно, это свойство, обусловленное равноправием всех направлений в пространстве, называется изотропностью, а соответствующие скобки Пуассона — изотропными. Однако следует иметь в виду, что для этого в каждом конкретном случае необходимо знать, как ведут себя при поворотах осей координат полевые переменные ui, которые, вообще говоря, могут иметь не только скалярный или векторный, но и более сложный геометрический характер [34].

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

ФАЗОВЫХ ПРОСТРАНСТВ.

СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

основанные на концепции дифференциальных 2-форм К подобным гамильтоновым системам можно прийти естественным образом.

Рассмотрим с этой целью гамильтоновы системы (2.3.1) с невырожденной скобкой Пуассона. Невырожденность скобки означает, что интегральное уравнение не имеет относительно функционала C, который не зависит от времени явно, никаких других решений, кроме C = const. В этом случае тензор Пуассона U ik имеет обратный ik, и они связаны друг с другом соотношением Воспользовавшись (3.1.1), легко установить, что в этом случае эволюционное уравнение (2.3.1) приводится к виду где тензорное поле ik (x, x ) обладает свойствами:

3.1. Гамильтоновы системы, основанные на концепции 2-форм Эти свойства являются прямым следствием соответствующих свойств (2.2.3), (2.2.4), которыми обладает скобка Пуассона.

Не вдаваясь глубоко в теорию внешних дифференциальных форм, укажем, что в конечномерном случае с антисимметричными тензорами ik связывают так называемые внешние дифференциальные 2-формы, на языке которых гамильтонов формализм излагается столь же последовательно, как и на языке скобок Пуассона. Для более детального знакомства с этим предметом можно рекомендовать специальную математическую литературу (см., например, [5, 75, 143, 181]).

Можно перенести терминологию и результаты дифференциальной геометрии из конечномерных фазовых пространств на бесконечномерные, если иметь в виду специфику последних. Это легко сделать, если считать, что независимые переменные (компоненты пространственных координат) играют роль непрерывных индексов, и распространить на них (с соответствующим обобщением) правила обращения с дискретными индексами. Согласно этому обобщению обычные дифференциалы d переходят в функциональные, а суммирование по повторяющимся непрерывным индексам равносильно интегрированию по повторяющимся аргументам.

Напомним, что в конечномерном случае внешняя дифференциальная 2-форма, соответствующая антисимметричному тензору ik, записывается как где знак «» обозначает внешнее произведение, а ui — независимые переменные.

В бесконечномерном случае, когда ui и ik являются непрерывными функциями пространственной координаты x, эта формула должна быть переписана в соответствии с установленным выше правилом как Чтобы подчеркнуть отличие от (3.1.4), выражения, подобные (3.1.5), называют функциональными 2-формами.

Можно показать, что свойство (3.1.3) является условием замкнутости этой формы, т. е. вытекает из требования равенства нулю ее внешнего функционального дифференциала Тензорное поле Sikl определяется выражением и возникает как результат процедуры антисимметризации для тензора ik /ul под знаком интеграла (3.1.6).

Легко убедиться, что т. е. тензор Sikl представляет собой ковариантный аналог тензора Якоби T ikl, определяемого выражением (2.2.5).

По аналогии со скобкой Пуассона, функциональная 2-форма называется невырожденной, если интегральное уравнение не имеет относительно k никаких других решений, кроме k = 0.

В соответствии с общепринятой в дифференциальной геометрии терминологией [5, 75, 143, 181], замкнутая невырожденная дифференциальная 2-форма (3.1.5) называется симплектической структурой, а фазовое пространство, на котором она определена, симплектическим.

Очевидно, что для дискретных систем симплектическое пространство обязательно имеет четную размерность, поскольку в противном случае det ik = 0.

На непрерывные (полевые) системы это утверждение не переносится, так как под размерностью фазового пространства нельзя понимать только дискретную компоненту размерности, которая определяется числом полей ui, перечисляемых дискретным индексом i = 1, 2,..., N, а нужно еще иметь в виду бесконечномерность самих полевых переменных ui.

Иллюстрацией однополевого симплектического пространства может служить фазовое пространство уравнения где (x) = 1 sign(x) при x = 0 и (x) = 0 при x = 0.

Как будет показано далее в § 4.2, уравнение (3.1.8) — просто иная форма записи хорошо знакомого уравнения КдВ. Соответствующая симплектическая форма имеет вид Замкнутость формы очевидна, так как /u = 0. Остается проверить невырожденность, которая означает, что уравнение не имеет нетривиальных решений. Действительно, после дифференцирования (3.1.10) по x, получим решение (x) = 0.

3.2. Аналогия метрических и симплектических пространств Замечательным свойством симплектических пространств дискретных систем является то, что подходящей заменой динамических переменных тензор ik, а, следовательно, и U ik могут быть одновременно приведены к каноническому виду (где E — единичная матрица) в по крайней мере малой окрестности любой точки фазового пространства [143]. Переменные, в которых тензоры ik и U ik принимают специальный вид (3.2.1), как известно, называются каноническими.

Этот факт составляет содержание известной теоремы Дарбу и имеет наглядную геометрическую интерпретацию, основанную на качественной аналогии между геометрией метрических пространств и геометрией фазовых пространств гамильтоновых систем [181, 225, 273].

Чтобы провести такую аналогию, напомним вначале некоторые сведения из метрической геометрии (см., например, [157]). Хорошо известно, что метрическое пространство характеризуется симметричным невырожденным метрическим тензором gik, который полностью определяет всю геометрию этого пространства.

Если в евклидовом пространстве всегда можно перейти в декартову систему координат, в которой метрический тензор gik принимает диагональный единичный вид, то в римановом этого, вообще говоря, сделать нельзя. Препятствием служит отличие от нуля тензора кривизны.

Примером неевклидового пространства является сфера, на поверхности которой невозможно глобально ввести декартовы координаты. Однако любое неевклидово пространство можно сделать евклидовым, вложив его в пространство более высокой размерности. Очевидной иллюстрацией этого утверждения может служить вложение двумерной сферы в трехмерное декартово пространство.

Вернемся к рассмотрению гамильтоновых систем. Как уже говорилось, динамика таких систем разворачивается в кососимметричных фазовых пространствах, геометрические свойства которых исчерпывающим образом характеризуются тензором ik или U ik.

Тензорный характер ik и U ik следует из ковариантности уравнений (2.3.1), описывающих движение гамильтоновых систем, при преобразованиях динамических переменных.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим взаимооднозначное преобразование к новым полевым переменным Легко показать, что в терминах полей ai уравнение (2.3.1) сохраняет свою гамильтонову структуру где новый тензор Пуассона U ik получен из старого U ik как результат преобразования Оказывается, что канонические переменные для описания гамильтоновых систем играют ту же роль, что и декартовы координаты в метрической геометрии.

Подобно декартовым координатам канонические переменные без изменения размерности фазового пространства могут быть введены только при соблюдении двух условий: невырожденности кососимметричной метрики (det ik = 0 или det U ik = 0) и обращении в нуль тензора T ikl. Тензор Якоби T ikl служит грубой аналогией тензора кривизны в метрическом пространстве [225].

Для каждого симплектического пространства существует бесконечно много систем канонических координат, взаимосвязанных каноническими преобразованиями. При этом канонические преобразования являются аналогом твердотельного вращения систем декартовых координат в евклидовом пространстве.

Наконец, точно так же, как любое неевклидово пространство можно сделать евклидовым, вложив его в пространство более высокой размерности, любую негамильтоновую систему можно записать в «гамильтоновом» виде, расширив первоначальное фазовое пространство за счет введения дополнительных переменных.

§ 3.3. Введение канонических переменных стемы могут быть сформулированы в «канонической» форме за счет введения дополнительных переменных, рассмотрим метод удвоения переменных.

Для системы динамических уравнений этот метод реализуется следующим образом.

Полагая переменные ui каноническими координатами, введем сопряженные полевые переменные pi, играющие роль канонических импульсов, и построим «гамильтониан»:

Тогда, с одной стороны, канонические уравнения (2.1.1), соответствующие такому «гамильтониану», воспроизводят исходную систему уравнений (3.3.1), а с другой — приводят к системе ассоциированных уравнений решения которой никак не влияют на решения (3.3.1).

3.3. Введение канонических переменных Данный математический трюк необходимо понимать не более как иллюстрацию геометрической идеи переустройства негамильтонового фазового пространства за счет введения дополнительных полевых переменных. Его нельзя использовать как метод преобразования реальных гамильтоновых систем к каноническому виду.

Причина состоит в том, что, когда говорят о гамильтоновости, например, системы (3.3.1), то, в соответствии с определением (см. § 2.3), подразумевают существование не только определенной структуры, т. е. скобок Пуассона, но и гамильтониана, заданного в том же фазовом пространстве u1,..., uN.

Для реальных физических систем это означает, что гамильтониан не может содержать искусственные переменные типа pi, которые не выражались бы через исходные (физические) переменные ui. Такое свойство, тесно связанное с так называемой калибровочной инвариантностью теории, имеет глубокий физический смысл, и более подробно будет обсуждаться в § 6.3.

Геометрическую идею введения канонических переПреобразование Клебша менных за счет расширения числа полей, составляющих фазовое пространство, можно реализовать другим способом.

Этот способ продемонстрируем на уже знакомом уравнении КдВ для которого скобка Пуассона имеет вид Что значит ввести канонические переменные? Очевидно, один из возможных ответов на этот вопрос состоит в том, чтобы суметь выразить переменную u через две другие q и p, которые удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям (условиям каноничности):

Таким образом, проблема сводится к поиску такой функциональной зависимости u[q, p], где q и p — канонические переменные, которая бы воспроизводила соотношение (3.3.3).

Такого типа зависимости известны как представления или преобразования Клебша, а канонические переменные q и p называют потенциалами или переменными Клебша. Исторически эти названия связаны с А. Клебшем [202], который впервые использовал подобное преобразование для гидродинамической скорости в несжимаемой жидкости 1.

В 1859 г. А. Клебш нашел, что разложение поля гидродинамической скорости позволяет переписать уравнения движения идеальной однородной несжимаемой жидкости в замкнутом виде как Нетрудно догадаться (подсказкой служит вид правой части (3.3.3)), что соответствующее представление Клебша для u[q, p] должно быть билинейным по переменным q, p, и оператору x, т. е.

где 1, 2, 1, 2 — некоторые константы.

Подстановка (3.3.5) в (3.3.3) с использованием (3.3.4) приводит к одному соотношению на четыре коэффициента 1, 2, 1, 2. Поэтому (3.3.6) ограничивает, но не устраняет полностью произвол в выборе этих констант.

Воспользовавшись оставшимся произволом в выборе констант и положив 1 = 1, 2 = 1/2, 2 = 1 = 0, можно привести (3.3.5) к более простому виду Отметим, что тот же самый результат мог быть достигнут сразу с помощью аффинного преобразования которое при условии (3.3.6) является каноническим, т. е. вводит новую координату Q и сопряженный импульс P.

Однако, кроме параметрического произвола, который удается таким образом устранить, остается еще функциональный, связанный с неоднозначностью выбора канонического базиса q и p при фиксированном «физическом» поле u.

Как увидим далее (см. более подробное обсуждение в § 6.3), такая ситуация весьма типична и отражает потенциальную возможность канонических калибровочных преобразований, оставляющих инвариантными все физические величины теории, а, следовательно, существование специфических законов сохранения. С геометрической точки зрения эти законы сохранения фиксируют поверхность, на которой сосредоточено действительное движение системы в симплектическом пространстве q, p.

с наложенным на скалярные переменные (потенциалы), µ, и дополнительным ограничением которое имеет место в силу условия несжимаемости · v = 0.

Хотя Клебш понимал, что полученная система эквивалентна некоторой вариационной задаче, о канонической сопряженности потенциалов и µ он не догадывался. Этот факт стал осознан позже (первый шаг был сделан вероятно Г. Лэмбом, 1932 г.), сразу после того, как уравнения Клебша были переписаны в виде где в качестве гамильтониана взята полная энергия несжимаемой жидкости

ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП

НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ.

ВЫРОЖДЕННЫЕ

ГАМИЛЬТОНОВСКИЕ СИСТЕМЫ

Ограничиваясь рассмотрением только гамильтоновых систем, вначале выясним существование принципа наименьшего действия применительно к самому простому случаю — каноническим гамильтоновым системам (2.1.1).

В этом случае принцип (4.1.1), (4.1.2) формулируется в следующем виде:

с дополнительным условием:

которое означает, что вариация действия берется при фиксированном начальном и конечном состоянии системы в координатном секторе канонического фазового пространства.

Обобщение вариационного принципа (4.1.3), (4.1.4) на неканонические гамильтоновы системы можно получить, если в качестве лагранжиана рассмотреть величину а в качестве дополнительных условий взять равенства полагая при этом, что величины Ai u1,..., uN ; x — некоторые функционалы, зависящие явно, быть может, от координаты x, но только не от времени t.

Легко проверить, что уравнения которые были получены в рамках гамильтоновского формализма, основанного на концепции дифференциальных 2-форм, в точности следуют из обобщенного вариационного принципа, если тензор ik определить как Следует особо подчеркнуть, что правая сторона (4.1.8) автоматически удовлетворяет необходимым условиям антисимметричности (3.1.2) и замкнутости (3.1.3). Поэтому на языке внешних дифференциальных форм соотношение (4.1.8) означает, что где 1-форма определяется выражением В этом случае принято говорить, что форма является точной.

Таким образом, для существования вариационного принципа наименьшего действия у гамильтоновых систем необходимо, чтобы соответствующая замкнутая 2-форма была точной глобально, т. е. во всей области фазового пространства, на котором определены решения уравнений (4.1.7).

Является ли замкнутая форма точной глобально (локально это всегда так) зависит от топологических свойств фазового пространства. Препятствием для этого может оказаться неодносвязность. Если же область фазового пространства односвязна, т. е., если любой замкнутый путь или петля стягивается по этой области в точку, условие замкнутости (3.1.3) в данной области интегрируется соотношением (4.1.8).

Изучением топологических свойств, определяющих связь между замкнутыми и точными формами, занимается теория когомологий, краткий экскурс в которую можно найти в [133, 187].

4.1. Обобщение вариационного принципа Модель вихревой нити (более подробное обсуждение см. в § 28.5 и § 28.6) — один из примеров неканонических гамильтоновских систем, которые имеют вариационный принцип наименьшего действия.

Уравнения движения вихревой нити (см., например, [131]) формулируются в виде с гамильтонианом Здесь x(s) — пространственные координаты вихревой нити, параметрически заданной с помощью натурального параметра s; s = /s; H — гамильтониан, а — константа, характеризующая интенсивность вихревой нити.

Легко проверить, что в фазовом пространстве динамических переменных xi (s, t), (i = 1, 2, 3) уравнение (4.1.11) может быть переписано как (4.1.7) с тензорным полем ik вида Зная ik, из (4.1.8) можно найти соответствующие «потенциалы» Ai :

и построить лагранжиан (4.1.5).

В результате, для модели вихревой нити, согласно (4.1.1), можно найти интеграл действия, который описывается выражением:

Покажем, что рассматриваемая гамильтонова система (4.1.11), описывающая движение вихревой нити, вырождена. Действительно, согласно уравнению (3.1.7), которое в данном случае принимает вид:

и подстановкой (4.1.12) сводится к уравнению:

существует нетривиальное решение = f s x, где f (s) — произвольная скалярная функция натурального параметра s.

Этот пример поучителен в том отношении, что демонстрирует существование вариационного принципа не только для невырожденных гамильтоновых систем, но и для вырожденных — тех, в основе которых лежит вырожденная форма.

с вырожденными скобками Пуассона.

Остановимся теперь кратко на гамильтоновых системах, в основе которых лежит вырожденная скобка Пуассона. К таковым принадлежат практически все известные консервативные гидродинамические модели, сформулированные на языке естественных физических переменных в эйлеровом представлении.

Достаточно простое и краткое изложение вопросов, касающихся гамильтоновых систем с вырожденной скобкой Пуассона, можно найти в работе [241] (для более подробного ознакомления с предметом см. [143]).

Как уже отмечалось в § 3.1, вырожденность скобки Пуассона означает, что интегральное уравнение обладает некоторым набором нетривиальных и независимых решений Cn, где целочисленный индекс n пробегает значения n = 1,..., K.

Независящие явно от времени функционалы Cn называются аннуляторами скобок Пуассона, или функционалами Казимира, или просто казимирами.

Из (4.2.1) следует, что казимир Cn коммутирует с любым функционалом F, заданным на фазовом пространстве переменных ui (i = 1,..., N ), т. е. их взаимная скобка Пуассона обращается в нуль В частности, в качестве F может выступать гамильтониан системы H. Поэтому казимиры обладают свойством и, следовательно, являются сохраняющимися величинами или инвариантами движения Так как в силу (4.2.1) существование сохраняющихся функционалов Cn целиком определяется структурой скобки Пуассона, следует подчеркнуть, что в отличие от обычных интегралов движения казимиры являются инвариантами движения для систем с любым гамильтонианом в данном классе скобок Пуассона.

С геометрической точки зрения совокупность K независимых равенств (4.2.2) выделяет в исходном фазовом пространстве K-параметрическую поверхность, на которой и сосредоточено действительное движение гамильтоновой системы.

Роль параметров, фиксирующих поверхность, играют константы в правой части (4.2.2). Каждому набору из K параметров соответствует своя поверхность, на которой вырожденная скобка Пуассона становится невырожденной. Геометрически это означает, что первоначальное фазовое пространство расслаивается на семейство симплектических поверхностей — фазовых подпространств, обладающих в силу теоремы Дарбу каноническим базисом.

4.2. Гамильтоновские системы с вырожденными скобками Пуассона Сказанное выше проиллюстрируем конкретными примерами.

Простейшим примером однополевой вырожденной гамильтоновой системы является уравнение КдВ со скобкой Пуассона В этом случае интегральное уравнение (4.2.1) принимает вид из которого следует, что Таким образом, в фазовом пространстве исходной системы, состоящем из одного единственного поля u, условие C = const выделяет подпространство — множество функций u(x, t), достаточно быстро убывающих при |x| так, чтобы существовал интеграл (4.2.5). На таком подпространстве скобка (4.2.4) становится уже невырожденной ввиду обратимости оператора x. Можно показать, что в этом случае уравнение (4.2.3) приводится к виду а соответствующая невырожденная форма оказывается точной, т. е. удовлетворяет соотношениям (4.1.9), (4.1.10).

Потенциал формы определяется выражением Следовательно, система (4.2.6) имеет вариационный принцип (4.1.5), (4.1.6), основанный на лагранжиане В качестве второго примера рассмотрим динамику спинового поля со скобкой Пуассона Этот пример уже рассматривался нами в § 2.3 (см. уравнение движения (2.3.4) и скобку Пуассона (2.3.5) этого раздела).

Инварианты Казимира для спиновой системы находятся из уравнения имеющего элементарное решение C = n2, которое в соответствии с условием (4.2.2) приводит к ограничению n2 = const.

По существу, это означает, что движение спиновой системы в фазовом пространстве векторного поля n происходит по поверхности сферы так, что фазовое пространство расслаивается на сферы (рис. 4.1).

Выбирая без ограничения общности радиус сферы равным единице, что соответствует C = 1, в описании можно оставить только две переменные, например, n1 и n2, которые образуют симплектический базис. Тогда третья компонента n исключается подстановкой Один из способов введения канонических переменных на симплектическом базисе n1, n2 можно осуществить с помощью преобразования:

где a и a — комплексные канонически сопряженные переменные (символ «»

обозначает комплексное сопряжение), i — мнимая единица.

Другой способ решить эту проблему состоит в том, чтобы представить единичный вектор спина n в сферических координатах:

4.2. Гамильтоновские системы с вырожденными скобками Пуассона Как показано на рис. 4.1, динамические переменные и, которые описывают динамику спинового поля, имеют простой геометрический смысл — полярного и азимутального угла, соответственно.

Переменные и так же, как и n1 и n2, образуют симплектический базис и могут быть выражены в терминах канонически сопряженных переменных a, a :

В терминах канонически сопряженных переменных a, a уравнение движения (4.2.8) принимает вид где гамильтониан H [a, a ] для канонического описания получается из исходного гамильтониана H [n] заменой переменных (4.2.9), (4.2.10).

Преобразование (4.2.10) от векторного поля n к канонически сопряженным переменным a, a является классическим аналогом преобразования Гольдштейна—Примакова [2, 59] и впервые использовалось в работе [276] для анализа нелинейных процессов в ферромагнетиках.

В качестве последнего примера рассмотрим уравнение движения несжимаемой однородной жидкости в форме Арнольда Этот пример также уже обсуждался в § 2.3 (см. уравнение движения (2.3.6) и гамильтониан (2.3.7) из этого раздела).

Скобка Пуассона соответствующая этой модели, является вырожденной, поскольку уравнение имеет нетривиальное решение Этот инвариант, как известно [250], несет топологический смысл, а именно: характеризует запутанность вихревых линий и называется спиральностью.

Существование топологических инвариантов типично для тех динамических систем, которые эволюционируют так, что топологическая классификация начальных условий переносится без изменений на решения уравнений в произвольный момент времени [185].

Приведем простую и наглядную интерпретацию инварианта спиральности (4.2.12), используя модель двух замкнутых вихревых нитей. Сформулируем вначале описание подобного рода вихревых объектов.

Пусть завихренность жидкости, связанная со скоростью v соотношением = v, сконцентрирована на замкнутом контуре x, который задан в параметрической виде с помощью параметра s.

Это значит, что в терминах обобщенных функций линейная плотность завихренности описывается распределением где независящая от времени величина a является функцией только параметра s.

Интегрируя равенство (4.2.13), получим контурный интеграл где в силу соленоидальности поля вихря · = 0, функция a(s) удовлетворяет условию Постоянная называется циркуляцией или интенсивностью и является индивидуальной характеристикой нити.

Рассмотрим теперь две замкнутые вихревые нити x1 и x2 с интенсивностями 1 и 2, соответственно.

Воспользовавшись представлением (4.2.14), (4.2.15), согласно принципу суперпозиции, находим, что полное поле завихренности для двух вихревых нитей может быть представлено как Подставляя (4.2.16) в (4.2.12) и интегрируя по x, найдем Интегралы в (4.2.17) есть не что иное, как циркуляции скорости v по замкнутым жидким контурам, в качестве которых служат сами вихревые нити.

В соответствии с теоремой Стокса [132] можно показать, что где m — число зацеплений или число витков, которые делает одна нить вокруг другой. Знак m зависит от взаимной ориентации этих вихревых нитей (рис. 4.2).

4.2. Гамильтоновские системы с вырожденными скобками Пуассона Рис. 4.2. Характер зацепления двух замкнутых вихревых нитей x1 и x2. Выбор знака в вариантах б и в определяется относительной ориентацией вихревых нитей Принято считать, что m является положительным, если направления обхода по замкнутым вихревым нитям x1 и x2 составляют правовинтовую систему, как на рис. 4.2, в, и отрицательным, если направления обхода по этим нитям составляют левовинтовую систему, как на рис. 4.2, б. Для практического определения знака существует простое «правило буравчика». Согласно этому правилу, если при повороте ручки буравчика (правой нарезки) по направлению обхода одного контура острие буравчика пойдет по направлению обхода другого контура, то выбирается знак плюс, если — против, то выбирается знак минус.

Подставляя (4.2.18) в (4.2.17), получим Это выражение для спиральности можно без труда обобщить на любое дискретное или непрерывное распределение вихревого поля.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

В ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМАХ

или свойств (3.1.2), (3.1.3):

при различных преобразованиях переменных типа (3.2.2):

Другими словами, новые уравнения, к которым приводят такие преобразования, остаются гамильтоновыми, хотя при этом может изменяться не только скобка Пуассона, но и гамильтониан. Это специфическое качество гамильтоновых систем открывает большие возможности для различных обобщений и упрощений.

В методическом отношении гамильтонов формализм представляет собой образец структурного подхода, суть которого может быть сформулирована словами Н. Бурбаки [21, с. 104]: «Структуры являются орудиями математика, каждый раз, когда он замечает, что между элементами, изучаемыми им, имеют место отношения, удовлетворяющие аксиомам структуры определенного типа, он сразу может воспользоваться всем арсеналом общих теорем, относящихся к структурам этого типа, тогда как раньше он должен был бы мучительно выковывать сам средства, необходимые для того, чтобы штурмовать рассматриваемую проблему, причем их мощность зависела бы от его личного таланта, и они были бы отягчены часто излишне стеснительными предположениями, обусловленными особенностями изучаемой проблемы».

С этой точки зрения степень значимости гамильтоновой формулировки с той или иной структурой скобки Пуассона может быть различна и определяется наличием в ее арсенале методов, которые были бы адекватны изучаемой проблеме.

Это обстоятельство следует иметь в виду всегда, когда существует альтернатива в выборе гамильтоновой формулировки.

5.1. Канонические преобразования и производящие функционалы В частности, особые требования к структуре скобки Пуассона предъявляет необходимость применения асимптотических методов. Очевидно, что наиболее просто такие методы реализуются в рамках тех гамильтоновых формулировок, которые задаются тензором Пуассона, не зависящим от полевых переменных. Действительно, в этом случае объектом для аппроксимационных процедур является одна единственная величина — гамильтониан. Для сравнения отметим, что при традиционном подходе приближения делаются непосредственно в уравнениях движения, поэтому необходимые вычисления тиражируются по числу уравнений и, как правило, носят громоздкий характер.

Другой привлекательной стороной гамильтоновых формулировок является то, что при использовании приближенных методов существует возможность автоматически гарантировать консервативность получаемых уравнений в любом порядке теории возмущений. Эта возможность осуществляется, если приближения не затрагивают скобки Пуассона, что легко контролируется в гамильтоновских формулировках. Для традиционного подхода, имеющего дело с уравнениями движения, в которых информация о скобках Пуассона содержится неявно, такой контроль затруднителен, если вообще возможен. Поэтому формальное применение приближенных методов непосредственно к уравнениям иногда может нарушать скобки Пуассона и приводить к эволюционным уравнениям, которые в отличие от исходных не являются консервативными.

Подобного рода примером в гидродинамике была попытка по аналогии с двумерными точечными вихрями ввести трехмерные — «вортоны» [138], которые бы служили базовыми элементами для построения конечномерных моделей, описывающих трехмерные вихревые течения в идеальной жидкости. Во всех таких случаях потерю консервативности легко объяснить, если обратить внимание на то, что свойство Якоби (2.2.4) или (3.1.3) может разрушаться, например, при конечно-разностных аппроксимациях.

Особое значение это замечание имеет в связи с широким использованием в современной теоретической и вычислительной физике дискретных моделей, возникающих из непрерывных аналогов как результат их точной или приближенной конечномерной редукции (см., по этому поводу работы [1, 14, 74, 91, 171, 172] и цитируемую там литературу).

В этом свете каноническую формулировку следует рассматривать как один из наиболее развитых в методическом отношении вариантов гамильтонова формализма, не только отвечающего требованию структурной простоты, но и имеющего в своем арсенале целый ряд стандартных подходов к решению разнообразных проблем гидродинамики, физики плазмы и т.д. [1, 84, 87–89, 92, 156, 171, 172, 273].

§ 5.1. Канонические преобразования С канонической формулировкой связан важный для приложений класс преобразований, который не изменяет структуру скобки Пуассона, а, следовательно, и структуру уравнений (2.1.1). Такие преобразования, называемые каноническими, подробно описаны в любом курсе классической механики для конечномерных систем (см., например, [5, 28, 33]). Поэтому результаты, изложенные ниже, следует считать своего рода обобщением уже известных на континуальные системы.

Как уже отмечалось в § 4.1, канонические уравнения (2.1.1) можно сформулировать в виде вариационного принципа наименьшего действия с дополнительным условием где t1 и t2 — начальный и конечный момент времени, соответственно.

Будем интересоваться лишь такими преобразованиями:

при которых новые переменные Qi и Pi опять являются каноническими, и, следовательно, имеют место уравнения:

где H — новый гамильтониан системы.

Уравнения (5.1.3), так же, как и (2.1.1), можно сформулировать в виде принципа наименьшего действия с дополнительным условием Для того чтобы оба принципа (5.1.1) и (5.1.4) были эквивалентны, необходимо и достаточно выполнение двух требований.

Во-первых, подынтегральные выражения, стоящие в скобках (5.1.1) и (5.1.4), могут отличаться лишь на полную производную по времени от некоторого функционала 1 :

где может зависеть от времени как явно, так и неявно (через функциональную зависимость по полевым переменным q i, pi, Qi, Pi ).

Доказательство этого утверждения для континуальных систем совершенно аналогично доказательству для дискретных систем (см., например, [66, 120]).

5.1. Канонические преобразования и производящие функционалы Во-вторых, будем полагать, что фиксированы не только начальные и конечные координаты, но и импульсы:

Всякое каноническое преобразование характеризуется своим функционалом [q i, pi, Qi, Pi ; t], который называется производящим, поскольку с его помощью находят искомое преобразование. Соответствующая процедура формулируется следующим образом.

Найдем выражение для полной производной d/dt в развернутом виде. Учитывая, что может зависеть от времени как явно, так и неявно (через функциональную зависимость по полевым переменным q i, pi, Qi, Pi ), согласно правилу дифференцирования (1.2.7), получим где t — частная производная производящего функционала по явному времени, которая берется при фиксированных q i, pi, Qi, Pi.

После подстановки (5.1.6) в (5.1.5) и перегруппировки подобных членов под знаком интеграла, найдем Очевидно, что для реализующихся динамических процессов производные t q i, t pi, t Qi, t Pi не равны тождественно нулю. Поэтому, приравнивая нулю коэффициенты при этих производных, приходим к формулам:

определяющим каноническое преобразование.

Рассмотрим четыре наиболее распространенных вида канонических преобразований.

Преобразования первого вида В этом случае, согласно (5.1.7), находим:

Разрешая первые две системы равенств относительно Qi и Pi, каноническое преобразование можно сформулировать в виде (5.1.2).

Преобразования второго вида После подстановки (5.1.8) в (5.1.7), находим:

Преобразования третьего вида После подстановки (5.1.10) в (5.1.7) получим:

которое, в соответствии с (5.1.7), приводит к следующим формулам:

Приведем некоторые примеры, иллюстрирующие использование производящих функционалов.

§ 5.2. Канонические точечные преобразования Очень часто в приложениях возникает необходимость совершать так называемые точечные преобразования, при которых старые координаты выражаются только через новые координаты 5.3. Канонические переменные для поверхностных волн Таким каноническим преобразованиям отвечает производящий функционал третьего вида (5.1.10), для которого Следовательно, в соответствии с (5.1.11) новые импульсы Pi и новый гамильтониан H определяются как Аналогичное точечное преобразование для импульсов задается производящим функционалом и, согласно (5.1.9), приводит к преобразованию Следует иметь в виду, что в каноническом формализме различие между импульсами и координатами чисто номенклатурное, т. е. всегда с помощью производящего функционала можно произвести преобразование которое осуществляет взаимное переименование координат и импульсов.

Несмотря на относительную простоту, точечные преобразования позволяют получать достаточно глубокие и полезные результаты. Поучительной иллюстрацией к этому могут служить канонические переменные для поверхностных волн в несжимаемой однородной жидкости.

Эти переменные, а ими оказались форма поверхности и потенциал гидродинамической скорости на поверхности, долгое время оставались в гидродинамике эвристическим фактом, внимание на который, по-видимому, впервые обратил В. Е. Захаров [81]. Этот факт, однако, может быть установлен простым и, что более важно, регулярным способом из первых принципов.

Напомним вначале один исторически предшествующий работе [81] промежуточный результат [194], согласно которому при потенциальных движениях сжимаемой идеальной безграничной жидкости канонической координатой служит плотность, а импульсом — гидродинамический потенциал.

Рис. 5.1. Модель двухслойной без- снизу (рис. 5.1).

вихревой жидкости с контактной ющие самоиндуцированную эволюцию контактной поверхности, является использование функции Хевисайда, которая обладает свойством С помощью -функции распределение плотности и гидродинамического потенциала в такой модели можно записать в виде разложений:

где +, — гидродинамические потенциалы соответственно для верхнего и нижнего слоев жидкости.

Во-первых, такая запись в математически корректной форме учитывает существование контактной поверхности, а во-вторых, открывает возможность для прямого использования сформулированного выше правила, согласно которому для данной модели роль канонической координаты играет плотность (5.3.1), а импульса — гидродинамический потенциал (5.3.2).

Рассмотрим теперь соотношение (5.3.1) как точечное преобразование к новой обобщенной координате, роль которой играет форма поверхности. Отметим попутно, что при этом размерность задачи снижается на единицу.

Согласно формулам (5.2.1) и (5.2.2), такому преобразованию соответствует производящий функционал поэтому новый импульс определяется как 5.4. Преобразование канонических переменных при замене координат В случае свободной границы раздела, когда + = 0, в соответствии с (5.3.3) канонический импульс определяется как Полученный результат совпадает с результатом [81] с точностью до постоянного множителя, который без ограничения общности можно положить равным единице или убрать с помощью простейшего канонического неунивалентного преобразования где H — исходный гамильтониан модели, в качестве которого обычно берут полную энергию.

Отметим, что переход к каноническим переменным (, ), описывающим контактную границу, предполагает, что уравнения движения, а, следовательно, и гамильтониан будут сформулированы замкнутым образом в терминах только этих переменных. Типичная процедура, которая возникает на этом пути, — решение краевой задачи для определения гидродинамических потенциалов. Для рассматриваемой здесь модели несжимаемой жидкости такая задача формулируется как Здесь первое краевое условие выражает связь (5.3.3), а второе означает непрерывность нормальной компоненты гидродинамической скорости на контактной границе. При необходимости данная краевая задача дополняется краевыми условиями на внешних границах области, занятой жидкостью.

§ 5.4. Преобразование канонических переменных при замене пространственных координат Другой пример использования точечных канонических преобразований — это преобразование пространственных координат. Как известно, использование соответствующей криволинейной системы координат очень часто существенно упрощает решение задачи. Поэтому желательно иметь ковариантную формулировку канонического гамильтонова формализма. Оказывается, что решить этот вопрос не представляет труда, если он уже решен в рамках декартовых координат.

Для иллюстрации рассмотрим взаимооднозначное непрерывное зависящее от времени преобразование пространственных координат x и.

Используя (5.4.1), совершим точечное каноническое преобразование выражающее тот простой факт, что новые импульсы Pi получаются из старых pi путем обычной замены переменных (5.4.1).

Учитывая, что система (5.4.1) разрешима относительно координаты, и, следовательно, существует обратное преобразование отношение (5.4.2) можно записать в несколько ином виде Сравнивая (5.4.3) с (5.2.3), легко прийти к выводу, что преобразование (5.4.3) соответствует производящему функционалу Теперь можно определить новые обобщенные координаты Qi. Принимая во внимание известное свойство трехмерной дельта-функции где g 1/2 — якобиан преобразования (5.4.1), получим Чтобы найти новый гамильтониан H, необходимо продифференцировать производящий функционал (5.4.4) по времени при фиксированных полях q i, Pi. В результате, интегрируя по частям и опуская дивергентный член, найдем где t = /t|x=x(, t).

С точки зрения приложений кроме канонических преобразований заслуживают внимание и другие преобразования. В самом общем случае преобразования полевых переменных приводят к изменению как скобок Пуассона, т. е. структуры уравнений, так и гамильтониана. Это обстоятельство позволяет устанавливать взаимное соответствие между гамильтоновыми системами различного типа.

Примером подобного преобразования является преобразование от векторного поля завихренности к так называемому n-полю [214] где n2 = 1, а A — некоторая размерная константа.

Преобразование (5.4.6) переводит уравнения (2.3.4) и (2.3.6) друг в друга, устанавливая, таким образом, взаимное соответствие между гидродинамической и спиновой системами.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИММЕТРИИ

И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Инструментом, позволяющим получать выражения для сохраняющихся со временем величин, которые называются инвариантами движения или динамическими инвариантами, является теорема Нетер. Существует два варианта формулировки этой теоремы — лагранжева и гамильтонова. Мы отойдем здесь от лагранжевой формулировки теоремы Нетер, которая общепринята в теории поля [10, 60, 278, 279], и приведем ее гамильтонову формулировку [196].

в канонических системах. Теорема Нетер В общем случае преобразования симметрии, которые допускаются гамильтоновыми системами, должны удовлетворять двум требованиям. Во-первых, они должны оставлять без изменения структуру уравнений, а, следовательно, скобки Пуассона и, во-вторых, должны обеспечивать неизменность гамильтониана системы.

Отметим, что для канонических гамильтоновых систем первое требование удовлетворяется автоматически, если ограничиться только каноническими преобразованиями. Поэтому является или нет каноническое преобразование преобразованием симметрии — зависит от выполнения второго требования.

Рассмотрим бесконечно малое (инфинитезимальное) каноническое преобразование, при котором канонические переменные q i и pi изменяются на бесконечно малые величины. Очевидно, что производящий функционал такого преобразования также бесконечно мало отличается от функционала тождественного преобразования и имеет вид где — бесконечно малый параметр преобразования.

Тогда, согласно равенствам (5.1.9), получим:

где Qi — новые координаты, Pi — новые импульсы, функционалы H и H — соответственно новый и старый гамильтониан, а t G — частная производная по времени при фиксированных qi, Pi.

Введем величину которая называется генератором бесконечно малого канонического преобразования. Как будет показано ниже, эта величина играет важную роль в формулировке теоремы Нетер.

Так как старые и новые импульсы бесконечно мало отличаются друг от друга, с точностью до величин первого порядка малости по в равенствах (6.1.1) можно заменить G на I и G/Pi на I/pi.