Главная >> Монографии

Pages: | 1 |

| 3 | 4 | ... | 6 |

«Новочеркасск НОК 2011 1 УДК 512 ББК 87.21:72 М 73 Рецензенты: Галушкин Н.Е., доктор техн. наук, профессор; Кравченко П.Д., доктор техн. наук, профессор. М 73 Коротков А.В., Мешков В.Е., Чураков В.С., Бабкина Т.А., ...»

-- [ Страница 2 ] --

8. Класс 1 играет роль единицы при умножении классов, именно, а1=а при любом а.

3. Приведенная система вычетов и примитивные классы.

Предложение 6. Если d = н. о. д. (а, т) и a 1 = a(mod m), то н. о. д. (а1, m) = d.

В частности, если одно из чисел класса по модулю m взаимно просто с т, то и все числа этого класса взаимно просты с т.

Классы, состоящие из чисел, взаимно простых с модулем, называются примитивными классами. Для любого модуля примитивные классы существуют; такими будут, в частности, классы 1 и т-1.

Предложение 7. Для того чтобы сравнение ах=1 (mod m) имело решение, необходимо и достаточно, чтобы а было взаимно просто с m.

Предложение 7 можно в терминах классов сформулировать так:

для того чтобы класс а имел обратный a-1, т. е. такой, что а a-1 = 1, необходимо и достаточно, чтобы класс а был примитивным.

Если модуль есть простое число р, то все классы, кроме нулевого, примитивны.

Предложение 8. Сравнение ах = b(mod т), если а взаимно просто с m, имеет единственный класс решений.

Если модуль m есть простое число, то все классы, кроме нулевого, примитивны, так что в этом случае возможно деление на любой класс, кроме нулевого.

Классы по модулю m образуют коммутативное ассоциативное кольцо с единицей. Оно называется кольцом вычетов по модулю m.

Если m-составное число, то это кольцо не будет областью целостности. Если же m-простое число, то кольцо вычетов по нему есть не только область целостности, но даже поле. В частности кольцо вычетов по модулю 2, состоящее из двух элементов 0 и 1 (классы четных и нечетных чисел), является полем. Полем также является кольцо вычетов по модулю 3.

Приведем таблицы истинности для колец вычетов по модулю 2, 3 и 4 (таблицы 7, 8, 9). В таблице 7 две переменные a и b с двумя состояниями образуют 4=2 2 комбинации состояний и зависящие от них 16=24 функций. В таблице 8 две переменные a и b с тремя состояниями образуют 9=3 2 комбинаций состояний и зависящие от них 19683=39 функций. В таблице 9 две переменные a и b с четырьмя состояниями образуют 16=4 2 комбинаций состояний и зависящее от них 4 294 967 296=4 16 функций.

Таблица истинности для кольца вычетов по модулю 2 существенно отличается от таблицы истинности для булевой алгебры логики. Она двухзначна. Трехзначная алгебра логики для кольца вычетов по модулю 3, а также четырехзначная алгебра логики для кольца вычетов по модулю 4 включают ровное число функций и по этой причине совершенно не используются. Вместе с тем, они вполне применимы для построения трехзначных и четырехзначных логических устройств. Приведенные выше законы выполнения операций применимы для каждой из трех систем построения логических устройств.

...

1. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов. – М.: Наука, 1984.– 416с.

МНОГОМЕРНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ

Одномерной булевой алгеброй называется [1] класс S объектов a=a1, b=b1, c=c1, …, в котором определены две бинарные операции, обозначаемые как (логические) сложение и умножение, со следующими свойствами:

для всех a=a1, b=b1, c=c1, … из S имеют место 1) (замкнутость) S содержит a1+b1=a+b;

a1b1=ab;

2) (коммутативные законы) a1+b1=b1+a1, т.е. a+b= b+a a1b1=b1a1, т.е. ab= ba;

3) (ассоциативные законы) a1+(b1+c1)=(a1+b1)+c1, т.е. a+(b+c)=(a+b)+c a1(b1c1)=(a1b1)c1, т.е. a(bc)=(ab)c;

4) (дистрибутивные законы) a1(b1+c1)=a1b1+a1c1, т.е. a(b+c)=(ab)+(ac) a1+(b1c1)=(a1+b1)(a1+c1),т.е.a+(bc)=(a+b)(a+c);

5) (свойства идемпотентности) a1+a1=a1, т.е. a+a=a a1a1=a1, т.е. aa=a;

6) (свойства совместимости) a1+b1=a1, если a1b1=b1, b1, если a1b1=a т.е. a+b=a, если ab=b b, если ab=a b1, если a1+b1=a b, если a+b=a;

7) S содержит элементы 1=1 и 0=0 такие, что для всякого элемета a=a1 из S a1+0=a1, т.е. a+0=a a11=a1, т.е. a1=a a10=0, т.е. a0= a1+1=1, т.е. a+1=1;

8) для каждого элемента a=a1 класс S содержит элемент a =a (дополнение элемента a=a1) такой, что a1+ a 1=1, т.е. a+a = a1a 1=0, т.е. aa =0.

В каждой одномерной булевой алгебре имеют место:

9) (законы поглощения) a1(a1+b1)=a1, т.е. a(a+b)=a, a1+a1b1=a1, т.е. a+ab=a;

10) (двойственность, законы де Моргана) 11) a 1=a1, т.е. a =a, 12) a1+ a 1b1=a1+b1, т.е. a+a b=a+b, a1(a 1+b1)=a1b1, т.е. a(a +b)=ab;

13) a1b1+a1c1+b1c 1=a1с1+b1c 1, т.е. ab+ac+bc =aс+bc, (a1+b1)(a1+c1)(b1+c 1)=(a1+c1)(b1+ c 1), т.е. (a+b)(a+c)(b+c )=(a+c)(b+c ).

Двумерной булевой алгеброй назовем класс S объектов a=(a1, a2), b=(b1, b2), c=(c1, c2), …, в котором определены две бинарные операции, обозначаемые как (логические) сложение и умножение, со следующими свойствами:

для всех a=(a1, a2), b=(b1, b2), c=(c1, c2), … из S имеют место 1) (замкнутость) S содержит (a1, a2)+(b1, b2)=(a1+b1, a2+b2)=a+b;

(a1, a2)(b1, b2)=(a1b1, a2b2)=ab;

2) (коммутативные законы) (a1, a2)+(b1, b2)= (a1+b1, a2+b2) (b1, b2)+(a1, a2)= (b1+a1, b2+a2), т.е. a+b= b+a (a1, a2)(b1, b2)= (a1b1, a2b2) (b1, b2)(a1, a2)= (b1a1, b2a2), т.е. ab= ba;

3) (ассоциативные законы) (a1, a2)+((b1, b2)+(c1, c2))= =(a1+(b1+c1), a2+(b2+c2)) ((a1, a2)+(b1, b2))+(c1, c2)= =((a1+b1)+c1, (a2+b2)+c2), т.е. a+(b+c)=(a+b)+c (a1, a2)((b1, b2)(c1, c2))= (a1(b1c1), a2(b2c2)) ((a1, a2)(b1, b2))(c1, c2)= ((a1b1)c1, (a2b2)c2), т.е. a(bc)=(ab)c;

4) (дистрибутивные законы) (a1, a2)((b1, b2)+(c1, c2))=(a1(b1+c1), a2(b2+c2)) (a1,a2)(b1,b2)+(a1,a2)(c1,c2)= =(a1b1+a1c1, a2b2+a2c2), т.е. a(b+c)=(ab)+(ac), (a1, a2)+((b1, b2)(c1, c2))=(a1+(b1c1), a2+(b2c2)) ((a1,a2)+(b1,b2))((a1,a2)+(c1,c2))= =((a1+b1)(a1+c1),(a2+b2)(a2+c2)), т.е.a+(bc)=(a+b)(a+c);

5) (свойства идемпотентности) (a1, a2)+(a1, a2)=(a1, a2), т.е. a+a=a (a1, a2)(a1, a2)=(a1, a2), т.е. aa=a;

6) (свойства совместимости) (a1, a2)+(b1, b2)=(a1+b1, a2+b2)= =(a1+a1b1, a2+a2b2)=(a1, a2), если (a1, a2)(b1, b2)= (b1, b2) (a1b1+b1, a2b2+b2)=(b1, b2), если (a1, a2)(b1, b2)= (a1, a2), т.е. a+b= a, если ab=b (a1, a2)(b1, b2)=(a1b1, a2b2)= = (a1(a1+b1), a2(a2+b2))=(a1, a2), если (a1, a2)+(b1, b2)= (b1, b2) ((a1+b1)b1, (a2+b2)b2)=(b1, b2), если (a1, a2)+(b1, b2)= (a1, a2), 7) S содержит элементы 1=(1, 1) и 0=(0, 0) такие, что для всякого элемента a=(a1, a2) из S (a1, a2)+(0, 0)=(a1, a2), т.е. a+0=a (a1, a2)(1, 1)=(a1, a2), т.е. a1=a (a1, a2)(0, 0)=(0, 0), т.е. a0= (a1, a2)+(1, 1)=(1, 1), т.е. a+1=1;

8) для каждого элемента a=(a1, a2) класс S содержит элемент a =( a 1, a 2) (дополнение элемента a=(a1, a2)) такой, что (a1, a2)+( a 1, a 2)=(a1+ a 1, a2+ a 2)=(1, 1), (a1, a2)( a 1, a 2)= (a1 a 1, a2 a 2)=(0, 0), В каждой двумерной булевой алгебре имеют место:

9) (законы поглощения) (a1,a2)((a1,a2)+(b1,b2))=(a1(a1+b1),a2(a2+b2))= =(a1,a2), т.е. a(a+b)=a, (a1,a2)+((a1,a2)(b1,b2))=(a1+(a1b1),a2+(a2b2))= =(a1,a2), т.е. a+ab=a;

10) (двойственность, законы де Моргана) 11) (a1, a 2 ) =( a 1, a 2)=(a1, a2), (1, 1 )=(1,1 )=(0, 0), 12) (a1,a2)+( a 1,a 2)(b1,b2)= (a1+ a 1b1, a2+a 2b2)= =(a1+b1, a2+b2)=(a1,a2)+(b1,b2), т.е. a+a b=a+b, (a1,a2)(( a 1,a 2)+(b1,b2))= =(a1(a 1+b1), a2(a 2+b2))= =(a1b1, a2b2)=(a1,a2)(b1,b2), т.е. a(a +b)=ab;

13) (a1, a2)(b1, b2)+(a1,a2)(c1, c2)+ +(b1, b2)(c 1, c 2)= =(a1b1+a1c1+b1 c 1, a2b2+a2c2+b2 c 2)= (a1с1+b1c 1, a2с2+b2c 2), т.е. ab+ac+bc =aс+bc, ((a1, a2)+(b1, b2))((a1,a2)+(c1, c2))((b1, b2) +(c 1, c 2))=((a1+b1)(a1+c1)(b1+c 1), (a2+b2)(a2+c2)(b2+ c 2))= ((a1+с1)(b1+ c 1), (a2+с2)(b2+c 2)), т.е.

(a+b)(a+c)(b+c )=(a+c)(b+c ).

n-мерной булевой алгеброй назовем класс S объектов a=(a1,a2,…,an), b=(b1,b2,…,bn), c=(c1,c2,…,cn), …, в котором определены две бинарные операции, обозначаемые как (логические) сложение и умножение, со следующими свойствами:

для всех a=(a1,a2,…,an), b=(b1,b2,…,bn), c=(c1,c2,…,cn), … из S имеют место 1) (замкнутость) S содержит (a1,a2,…,an)+(b1,b2,…,bn)= =(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)=a+b;

(a1,a2,…,an)(b1,b2,…,bn)= =(a1b1,a2b2,…,anbn)=ab;

2) (коммутативные законы) (a1,a2,…,an)+(b1,b2,…,bn)=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn) (b1,b2,…,bn)+(a1,a2,…,an)=(b1+a1,b2+a2,…,bn+an), т.е. a+b= b+a (a1,a2,…,an)(b1,b2,…,bn)=(a1b1, a2b2,…,anbn) (b1,b2,…,bn)(a1,a2,…,an)=(b1a1,b2a2,…,bnan), т.е. ab= ba;

3) (ассоциативные законы) (a1,a2,…,an)+((b1,b2,…,bn)+(c1,c2,…,cn))= =(a1+(b1+c1),a2+(b2+c2),…,an+(bn+cn)) ((a1,a2,…,an)+(b1,b2,…,bn))+(c1,c2,…,cn)= =((a1+b1)+c1,(a2+b2)+c2,…,(an+bn)+cn), т.е. a+(b+c)=(a+b)+c (a1,a2,…,an)((b1,b2,…,bn)(c1,c2,…,cn))= = (a1(b1c1),a2(b2c2),…,an(bncn)) ((a1,a2,…,an)(b1,b2,…,bn))(c1,c2,…,cn)= = ((a1b1)c1,(a2b2)c2,…,(anbn)cn), т.е. a(bc)=(ab)c;

4) (дистрибутивные законы) (a1,a2,…,an)((b1,b2,…,bn)+(c1,c2,…,cn))= =(a1(b1+c1),a2(b2+c2),…,an(bn+cn)) (a1,a2,…,an)(b1,b2,…,bn)+(a1,a2,…,an)(c1,c2,…,cn)= =(a1b1+a1c1, a2b2+a2c2,…,anbn+ancn), т.е. a(b+c)=(ab)+(ac), (a1,a2,…,an)+((b1,b2,…,bn)(c1,c2,…,cn))= =(a1+(b1c1),a2+(b2c2),…,an+(bncn)) ((a1,a2,…,an)+(b1,b2,…,bn))((a1,a2,…,an)+ +(c1,c2,…,cn))= =((a1+b1)(a1+c1),(a2+b2)(a2+c2),…,(an+bn)(an+cn)), т.е.a+(bc)=(a+b)(a+c);

5) (свойства идемпотентности) (a1,a2,…,an)+(a1,a2,…,an)=(a1,a2,…,an), т.е. a+a=a (a1,a2,…,an)(a1,a2,…,an)=(a1,a2,…,an), т.е. aa=a;

6) (свойства совместимости) (a1,a2,…,an)+(b1,b2,…,bn)=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)= (a1+a1b1,a2+a2b2,…,an+anbn)=(a1,a2,…,an), =если (a1,a2,…,an)(b1,b2,…,bn)=(b1,b2,…,bn) (a1b1+b1,a2b2+b2,…,anbn+bn)=(b1,b2,…,bn), если (a1,a2,…,an)(b1,b2,…,bn)=(a1,a2,…,an), т.е.a+b= a, если ab=b b, если ab=a (a1,a2,…,an)(b1,b2,…,bn)=(a1b1,a2b2,…,anbn)= (a1(a1+b1),a2(a2+b2),…,an(an+bn))=(a1,a2,…,an), = если (a1,a2,…,an)+(b1,b2,…,bn)=(b1,b2,…,bn) ((a1+b1)b1,(a2+b2)b2,…,(an+bn)bn)=(b1,b2,…,bn), если (a1,a2,…,an)+(b1,b2,…,bn)=(a1,a2,…,an), т.е.ab=a, если a+b=b b, если a+b=a;

7) S содержит элементы 1=(1,1,…,1) и 0=(0,0,...,0) такие, что для всякого элемента a=(a1,a2,…,an) из S (a1,a2,…,an)+(0,0,…,0)=(a1,a2,…,an), т.е. a+0=a (a1,a2,…, an)(1,1,…,1)=(a1,a2,…,an), т.е. a1=a (a1,a2,…,an)(0,0,…,0)=(0,0,…,0), т.е. a0= (a1,a2,…,an)+(1,1,…,1)=(1,1,…,1), т.е. a+1=1;

8) для каждого элемента a=(a1,a2,…,an) класс S содержит элемент a =(a 1,a 2,…, a n) (дополнение элемента a=(a1, a2,…, an)) такой, что (a1,a2,…,an)+( a 1,a 2,…, a n)= =(a1+ a 1,a2+a 2,…,an+ a n)=(1,1,…,1), т.е. a+a = (a1,a2,…,an)( a 1,a 2,…,a n)= =(a1 a 1,a2a 2,…,an a n)=(0,0,…,0), т.е. aa =0.

В каждой n-мерной булевой алгебре имеют место:

9) (законы поглощения) (a1,a2,…, an)((a1,a2,…,an)+(b1,b2,…,bn))= =(a1(a1+b1),a2(a2+b2),…,an(an+bn))=(a1,a2,…,an), т.е. a(a+b)=a, (a1,a2,…,an)+((a1,a2,…,an)(b1,b2,…,bn))= =(a1+(a1b1),a2+(a2b2),…,an+(anbn))=(a1,a2,…,an), т.е. a+ab=a;

10) (двойственность, законы де Моргана) =( a 1 b 1,a 2 b 2,…, a n b n)=(a 1, a 2,…, a n)( b 1, b 2,…, b n), т.е. a b =a b, (a1, a 2,...,a n ) (b1, b2,..., bn ) = =( a 1+ b 1,a 2+ b 2,…,a n+ b n)= =( a 1,a 2,…,a n)+( b 1, b 2,…, b n), 11) (a1, a 2,...,a n ) =( a 1, a 2,…, a n)= =(a1, a2,…, an), т.е. a =a, (1, 1,...,1)=(1,1,…,1 )=(0, 0,…,0), т.е. 1=0, ( 0, 0,...,0)=( 0, 0,…, 0 )=(1, 1,…,1), т.е. 0 =1;

12)(a1,a2,…,an)+( a 1,a 2,…, a n)(b1,b2,…,bn)= =(a1+ a 1b1,a2+a 2b2,…,an+ a nbn)= =(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)= =(a1,a2,…,an)+(b1,b2,…,bn), т.е. a+a b=a+b, (a1,a2,…,an)(( a 1,a 2,…, a n)+(b1,b2,…,bn))= =(a1(a 1+b1),a2(a 2+b2),…,an(a n+bn))= =(a1b1,a2b2,…,anbn)=(a1,a2,…,an)(b1,b2,…,bn), т.е. a(a +b)=ab;

13) (a1,a2,…,an)(b1,b2,…,bn)+ +(a1,a2,…,an)(c1,c2,…,cn)+ +(b1, b2,…,bn)(c 1,c 2,…,c n)= =(a1b1+a1c1+b1 c 1,a2b2+a2c2+b2 c 2,…,anbn+ +ancn+bn c n)= (a1с1+b1c 1,a2с2+b2c 2,…,anсn+bnc n), т.е. ab+ac+bc =aс+bc, ((a1,a2,…,an)+(b1,b2,…,bn))((a1,a2,…,an)+ +(c1,c2,…,c n))((b1,b2,…,bn)+(c 1,c 2,…,c n))= =((a1+b1)(a1+c1)(b1+c 1),(a2+b2)(a2+c2)(b2+c 2),…, (an+bn)(an+cn)(bn+c n))= ((a1+с1)(b1+c 1),(a2+с2)(b2+c 2),...,(an+сn)(bn+c n)), т.е. (a+b)(a+c)(b+c )=(a+c)(b+c ).

Таким образом, свойства многомерных булевых алгебр повторяют свойства одномерной булевой алгебры.

1.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) – М.: Наука, 1977. – 832с.

НЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

Булевой алгеброй называется [1] класс S объектов a=a1, b=b1, c=c1, …, в котором определены две бинарные операции, обозначаемые как (логические) сложение и умножение, со следующими свойствами:

операция сложения операция умножения для всех a=a1, b=b1, c=c1, … из S имеют место 1) (замкнутость) S содержит a1+b1=a+b;

a1b1=ab;

2) (коммутативные законы) a1+b1=b1+a1, т.е. a+b= b+a a1b1=b1a1, т.е. ab= ba;

3) (ассоциативные законы) a1+(b1+c1)=(a1+b1)+c1, т.е.

a+(b+c)=(a+b)+c a1(b1c1)=(a1b1)c1, т.е. a(bc)=(ab)c;

4) (дистрибутивные законы) a(b+c)=(ab)+(ac) a1+(b1c1)=(a1+b1)(a1+c1),т.е.a+(bc)=(a+b)(a+c);

5) (свойства идемпотентности) a1+a1=a1, т.е. a+a=a a1a1=a1, т.е. aa=a;

6) (свойства совместимости) a1+b1=a1, если a1b1=b1, т.е. a+b= a, если ab=b 7) S содержит элементы 1=1 и 0=0 такие, что для всякого элемета a=a1 из S a1+0=a1, т.е. a+0=a a11=a1, т.е. a1=a a10=0, т.е. a0= a1+1=1, т.е. a+1=1;

8) для каждого элемента a=a1 класс S содержит элемент a =a (дополнение элемента a=a1) такой, что a1+a 1=1, т.е. a+a = a1a 1=0, т.е. aa =0.

В каждой одномерной булевой алгебре имеют место:

9) (законы поглощения) a1(a1+b1)=a1, т.е. a(a+b)=a, a1+a1b1=a1, т.е. a+ab=a;

10) (двойственность, законы де Моргана) a1(a 1+b1)=a1b1, т.е. a(a +b)=ab;

13) a1b1+a1c1+b1c 1=a1с1+b1c 1, т.е. ab+ac+bc =aс+bc, (a1+b1)(a1+c1)(b1+c 1)=(a1+c1)(b1+ c 1), т.е.

(a+b)(a+c)(b+c )=(a+c)(b+c ).

Выполнение этих операций подтверждается таблицей 1 истинности.

Примером небулевой алгебры логики может являться класс вычетов по модулю два (класс четных и нечетных чисел), как класс S объектов a=a1, b=b1, c=c1, …, в котором определены две бинарные операции, обозначаемые как (логические) сложение и умножение, со следующими свойствами:

операция сложения операция умножения для всех a=a1, b=b1, c=c1, … из S имеют место 1) (замкнутость) S содержит a1+b1=a+b;

a1b1=ab;

2) (коммутативные законы) a1+b1=b1+a1, т.е. a+b= b+a a1b1=b1a1, т.е. ab= ba;

a+(b+c)=(a+b)+c a1(b1c1)=(a1b1)c1, т.е. a(bc)=(ab)c;

a(b+c)=(ab)+(ac) a1+(b1c1)(a1+b1)(a1+c1),т.е.a+(bc) (a+b)(a+c);

5) (свойства идемпотентности) a1+a1=0, т.е. a+a=0, т.е. a1+a1a или a+aa a1a1=a1, т.е. aa=a;

6) (свойства совместимости) a(bc) (ab)c a+bc (a+b)(a+c) ab=a ab=b a(a+b) a+ab a( a +b) ab+ac+b c aс+b c (a+b)(a+c)(b+ c ) (a+c)(b+ c ) 7) S содержит элементы 1=1 и 0=0 такие, что для всякого элемента a=a1 из S a1+0=a1, т.е. a+0=a a1+1= a 1, т.е. a+1=a, т.е. a1+11 или a+11;

8) для каждого элемента a=a1 класс S содержит элемент a =a a1a 1=0, т.е. aa =0.

В каждой небулевой алгебре логики имеют место:

9) (законы поглощения) a1(a1+b1)=a1 b 1, т.е. a(a+b)=ab, a1+a1b1=a1 b 1, т.е. a+ab=ab ;

10) (двойственность, законы де Моргана) 11) a 1=a1, т.е. a =a, 1 =0, т.е. 1 =0, 0 =1, т.е. 0 =1;

12) a1 b 1+a 1b1=a1+b1, т.е. ab +a b=a+b, a1(a 1+b1)=a1b1, т.е. a(a +b)=ab;

13) a1b1+a1c1+b1c 1a1с1+b1c 1, т.е. ab+ac+bc aс+bc, (a1+b1)(a1+c1)(b1+ c 1)=(a1+c1)(b1+ c 1), т.е.

(a+b)(a+c)(b+c )=(a+c)(b+c ).

Выполнение этих операций подтверждается таблицей 2 истинности.

Таким образом, булевы алгебры логики не являются единственным способом построения алгебр логики и логических устройств.

a(bc) (ab)c a+bc (a+b)(a+c) ab=a a(a+b) a+ab a( a +b) ab+ac+b c aс+b c (a+b)(a+c)(b+ c ) (a+c)(b+ c ) 1.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). – М.: Наука, 1977. – 832с.

N-ПОЗИЦИОННЫЕ АЛГЕБРЫ

В литературе повсеместно рассматриваются однопозиционные алгебры над полем действительных чисел [1, 2]. Вместе с тем представляют определенный интерес не только однопозиционные, но и n-позиционные алгебры над полями действительных чисел, кольцами целых чисел и алгебры над кольцами и полями сравнений по модулю m (в частности по модулю m=2), а также булевы алгебры.

Практическая значимость таких алгебр может быть в использовании указанных алгебр в тех приложениях, где дискретность величин приобретает существенное значение. В случае применения однопозиционных полей действительных чисел имеют место очевидные действия.

1.1 Алгебра однопозиционных полей I. Однопозиционными действительными числами а назовем элементы полей действительных чисел а=(а1), для которых понятия равенства, суммы, произведения и отождествления некоторых чисел вводятся согласно следующим определениям (аксиомам):

1. Числа а=(a1) и b=(b1) считаются равными в том и только в том случае, когда равны их соответствующие компоненты.

В символической записи:

т. е. (a1)=(b1), если a1=b1.

2. Суммой чисел а=(a1) и b=(b1) называется число а+b=( a1+b1), т.е. а+b=(a1)+(b1)= (a1+b1)=a1+b1.

3. Произведением чисел а=(a1) и b=(b1) называется число аb=(a1)(b1) т. е. ab=(a1)(b1)=(a1b1)= a1b1, 4. Число (a0) отождествляется с числом a0, т.е. а=(a1)=а1.

При этом из аксиом 3 и 4 следует mа=(m)(a1)=(ma1), т.е. mа=(ma1)= ma1, где m-действительное число.

II. Свойства действий.

1. Ассоциативность сложения:

(а+b)+с=((a1)+(b1))+(с1)=((a1+b1)+с1), а+(b+с)=(a1)+((b1)+(с1))=(a1+(b1+с1)), т.е. (а+b)+с=а+(b+с).

2. Коммутативность сложения:

а+b=(a1)+(b1)=(a1+b1), b+а=(b1)+(a1)= (b1+a1), т.е. а+b=b+а.

3. Наличие нуля:

а+0=(a1)+(0), а+0=(a1+0)=(a1), т.е. а+0= а, так что число (0) отождествляется с числом 0.

4. Наличие противоположного числа:

а+(-а)=(a1)+(-a1), т.е. а+(-а)=(a1-a1)=(0), т.е. а+(-а)=0, так что число (-a0) отождествляется с числом -а.

5. Ассоциативность умножения:

(аb)с=((a1)(b1))(с1)=(a1b1)(с1), а(bс)=(a1)((b1)(с1))=(a1)(b1с1), т.е. (аb)с=а(bс).

6. Коммутативность умножения:

аb=(a1)(b1)=(a1b1), bа=(b1)(a1)=(b1a1), т.е. аb=bа.

7. Дистрибутивность:

(а+ b)с=((a1)+(b1))(с1)=(a1+b1)(с1)=((a1+b1)с1)), ас+bс =(a1с1)+(b1с1)=((a1+b1)с1)), т.е. (а+b)с=ас+bс.

8. Наличие единицы:

а1=(a1)(1), а1=(a11)=(a1), т.е. а1=а.

Итак, однопозиционные действительные числа составляют коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей.

9. Наличие обратного числа a-1, т.е. а=(1/a1) при a10.

Таким образом, однопозиционные действительные числа составляют коммутативное, ассоциативное поле.

1.2 Алгебра n-позиционных полей I. N-позиционными действительными числами а назовем элементы полей действительных чисел а=(a1,…,an), для которых понятия равенства, суммы, произведения и отождествления некоторых чисел вводятся согласно следующим определениям (аксиомам):

1. Числа а=(a1,…,an) и b=(b1,…,bn) считаются равными в том и только в том случае, когда равны их соответствующие компоненты.

В символической записи:

т. е. (a1,…,an)=(b1,…,bn), если a1 =b1,…,an =bn.

2. Суммой чисел а=(a1,…,an) и b=(b1,…,bn) называется число а+b=(a1+b1,…,an+bn), т.е. а+b=(a1,…,an)+(b1,…,bn)= (a1+b1,…,an+bn).

3. Произведением чисел а=(a1,…,an) и b=(b1,…,bn) называется число аb=(a1,…,an)(b1,…,bn), т. е. ab=(a1,…,an)(b1,…,bn)=(a1b1,…, anbn).

4. Число а=(a1,…,an) отождествляется с числом a1,…,an, т.е. а=(a1,…,an)= a1,…,an.

При этом из аксиом 3 и 4 следует mа=(m)(a1,…,an)=(ma1,…,man), т.е. mа=(ma1,…,man), где m-действительное число.

II. Свойства действий.

1. Ассоциативность сложения:

(а+b)+с=((a1,…,an)+(b1,…,bn))+(с1,…,сn)=((a1,…,an )+(b1,…,bn))+(с1,…,сn), а+(b+с)=(a1,…,an)+(( b1,…,bn)+(с1,…,сn))=(a1,…,an )+((b1,…,bn) +(с1,…,сn)), т.е. (а+b)+с=а+(b+с).

2. Коммутативность сложения:

а+b=(a1,…,an)+(b1,…,bn), b+а=(b1,…,bn)+(a1,…,an), т.е. а+b=b+а.

3. Наличие нуля:

а+0=(a1,…,an)+(0,…,0), а+0=(a1,…,an)+(0,…,0)=(a1,…,an), т.е. а+0= а, так что число 0=(0,…,0)=0,…,0 отождествляется с числом 0,…,0.

4. Наличие противоположного числа:

а+(-а)=(a1,…,an)+(-a1,…,-an), т.е. а+(-а)=((a1,…,an)+(-a1,…,-an))=(0,…,0), т.е. а+(-а)=0, так что число (-a1,…,-an) отождествляется с числом -а.

5. Ассоциативность умножения:

(аb)с=((a1,…,an)(b1,…,bn))(c1,…,cn)=((a1,…,an)(b1,…,bn))(c1,…,cn), а(bс)=(a1,…,an)((b1,…,bn)(c1,…,cn))=(a1,…,an)((b1,…,bn)(c1,…,cn)), т.е. (аb)с=а(bс).

6. Коммутативность умножения:

аb=(a1,…,an)(b1,…,bn), bа=(b1,…,bn)(a1,…,an), т.е. аb=bа.

7. Дистрибутивность:

(а+ b)с=((a1,…,an)+(b1,…,bn))(c1,…,cn), ас+bс =(a1,…,an)(c1,…,cn)+(b1,…,bn)(c1,…,cn), т.е. (а+b)с=ас+bс.

8. Наличие единицы:

а1=(a1,…,an)(1,…,1), а1=(a1,…,an)(1,…,1)=(a1,…,an), т.е. а1=а.

Итак, n-позиционные действительные числа составляют коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей.

9. Наличие обратного числа a-1 при а=(1,…,1)/(a1,…,an) и (a1,…,an )0.

Таким образом, n-позиционные действительные числа составляют коммутативное, ассоциативное поле.

2.1 Алгебры одно- и n-позиционных колец Алгебры одно- и n-позиционных колец целых чисел описываются совершенно аналогично описанию алгебр одно- и n-позиционных полей действительных чисел, если пренебречь свойством 9, т. е.

свойством наличия обратного числа. Такие алгебры приобретают целый ряд дополнительных свойств, придающих им свойства однои n-позиционных алгебр логики.

3.1 Алгебры одно- и n-позиционных колец Основу алгебр одно- и n-позиционных колец и полей сравнений по модулю m составляют алгебр одно- и n-позиционных колец целых чисел, если все целые числа разбить на m классов по отношению к числу m, дающих один и тот же остаток при делении на m.

Такие алгебры приобретают целый ряд дополнительных свойств, придающих им свойства одно- и n-позиционных алгебр логики.

4.1 Алгебры одно- и n-позиционных полей Основу алгебр одно- и n-позиционных полей сравнений по модулю m=2 составляют алгебры одно- и n-позиционных колец целых чисел, если все целые числа разбить на два класса (четных и нечетных чисел) по отношению к числу m=2, дающих один и тот же остаток при делении на два. Такие алгебры приобретают целый ряд дополнительных свойств, придающих им свойства одно- и nпозиционных не булевых алгебр логики [3].

5.1 Одно- и n-позиционные булевы алгебры логики Основу одно- и n-позиционных булевых алгебр логики составляют алгебры одно- и n-позиционных целых чисел, принимающих значения 0 и 1 и предусматривающие сложение чисел булевого типа. Такие алгебры также приобретают целый ряд дополнительных свойств, придающих им свойства одно- и n-позиционных булевых алгебр логики [4].

1. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. 416с.

2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1977. 832 с.

3. Коротков А. В. Многомерные небулевы алгебры логики. Современная Россия: реализация экономического, интеллектуального и технического потенциала: Межвузовский сб. научн. трудов IV Региональной научно-практической конференции / Под ред. В. С. Чуракова. – Новочеркасск: Изд-во «НОК», 2009. (с.147-151).

4. Коротков А. В. Многомерные булевы алгебры. Современная Россия: реализация экономического, интеллектуального и технического потенциала: Межвузовский сб. научн. трудов IV Региональной научно-практической конференции / Под ред. В. С. Чуракова. – Новочеркасск: Изд-во «НОК», 2009. (с.151-154).

ПИФАГОРОВЫ ЧИСЛА

И ДВОЙНАЯ (ТРОЙНАЯ) СПИРАЛИ

Более 50 лет назад Джеймс Ватсон и Фрэнсис Крик открыли двойную спиральную структуру молекулы ДНК и свели генетику к химии, наметив путь развития биологии на вторую половину двадцатого столетия. Сегодня тысячи исследователей расшифровывают генетические коды, записанные в ДНК. Используя современные биотехнические методы, можно создавать длинные молекулы ДНК с желаемой последовательностью функциональных блоков, реализуя возможности, не используемые природой в ходе развития жизни, а также другие небиологические применения ДНК, например, создание структур и устройств из элементов в нанотехнологии (а также биомолекулярные компьютеры, или ДНК-компьютеры [5; 7]).

Решетки с ДНК могут удерживать множество копий больших биологических молекул.

ДНК – структура наноразмеров состоит из двух базовых цепей, между которыми расположены комплементарные пары оснований связанные слабыми связями. Наиболее обычная ДНК – это В – ДНК, которая закручена правосторонней двойной спиралью диаметром около 2 нанометров. Один полный оборот спирали занимает приблизительно 3,5 нанометра на которых помещается до 10 пар оснований. Иногда ДНК может образовывать левостороннюю двойную спираль, называемую Z-ДНК [6].

Вместе с тем математическая основа ДНК – структур двойных спиралей до сих пор не изучена. Было бы замечательно, если бы в математике нашлись аналоги двуспиральных структур. В связи с этим проанализируем ДНК – структуру двойных спиралей.

1. ДНК – структуры двойных спиралей являются двухзаходной спиралью.

2. ДНК – структуры двойных спиралей могут представлять не только линейные, но и разветвленные (двухмерные и трехмерные) 3. ДНК – структуры двойных спиралей объединяют отдельные спирали в двойную структуру с помощью четырех типов связей между молекулами спиралей.

ДНК – структуры двойных спиралей повторяют свойства элементов спиралей по всей длине.

В математике подобные структуры удивительным образом напоминают бесконечные последовательности решений уравнения Диофанта в целых числах [4; 9].

t2-ax2=±b.

Эти две последовательности решений, бесконечные в обоих направлениях представлены в таблице 1 двумя первыми столбцами для t и x соответственно. При различных значениях а и для b=1.

Можно построить бесконечное множество таких двойных последовательностей чисел, причем не только для указанных значений a и b=1, но и для других значений a и b. Отметим удивительную закономерность двойных последовательностей чисел, а именно, определитель двух соседних строк (составленный из четырех соседних чисел) всегда равен одному и тому же числу по всей бесконечной длине двойных числовых цепочек.

Необходимо отметить, что с четверками соседних чисел можно пытаться связать физические (а в частности, геометрические) величины. Это показано в [4] для а=2 и b=d2, где d – модуль разности длин катетов прямоугольных треугольников. Уравнения Диофанта при этом определяются соотношениями:

n2- 2m2=±d2, так что (c2+t2)=2(z2+p2), где четверки чисел z,c,p,t двух последовательностей чисел m и n характеризуют соответственно гипотенузы, суммы катетов, периметры и суммы периметров с гипотенузами, причем пары чисел z,c и p,t получаются чересстрочной разверткой числовых последовательностей m и n, определяемые уравнением Пифагора x2+y2=z2, (2mn)2+(m2-n2)2=(m2+n2)2, где х и у – катеты бесконечной последовательности прямоугольных треугольников, определяемых одним и тем же значением модуля разности катетов (таблица 2). Модуль разности катетов отмечен нижним индексом. В таблице 2 значения рядов z, с, p и t, а также чисел m и n, могут быть продолжены в обоих направлениях, причем используются одни и те же рекуррентные соотношения mk+1=2mk+ mk-1, nk+1=2nk+nk-1, zk+1=6zk – zk-1, ck+1=6ck -ck-1, pk+1=6pk – pk-1, tk+1=6tk -tk-1.

Эти числа в каждом ряду в результате располагаются на линейке бесконечной длины в обе стороны.

Последовательности чисел m и n, z и с, p и t, получаются с точностью до знака при одном и том же значении di2 и определителя i (таблица 3).

Таким образом, каждая из таблиц 3 дает классификацию всего бесконечного ряда числовых последовательностей, соответствующих данному значению модуля разности катетов. То же самое относится к рядам числовых последовательностей m, n, z, c и p, t.

Величина разности между катетами x и y повторяется для разных рядов значений пифагоровых троек, например, число 7 для разности между катетами повторяется для двух рядов, причем, обязательно встречается одна из троек, в которой сумма катетов равна тому же числу. Эта закономерность позволяет попарно объединить ряды пифагоровых троек с одним и тем же значением разности между катетами, формируя плоскости числовых последовательностей.

В свою очередь полученные пары плоскостей числовых последовательностей могут быть классифицированы определенным образом. Так, в разностях катетов 1, 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49 плоскости с модулем разности катетов 1, 7, 41 представляют определенную совокупность плоскостей с той же последовательностью, относящимся уже к сумме длин катетов (…-7, -1, 1, 7, 41,…). Следующей плоскостью в этой числовой последовательности будет плоскость с разностью 239, и так далее до бесконечности в обоих направлениях.

Таким образом, можно говорить о бесконечном числе трехмерных пространств числовых последовательностей бесконечной протяженности во всех шести направлениях, т.е. о, своего рода, трехмерных “кристаллах” числовых последовательностей [4].

Вопрос классификации пифагоровых чисел, по-видимому, связан с классификацией физических величин. В одной из моих работ отмечалось, что числа x и y имеют прямое отношение к классификации волновых чисел излучения атомов [3]. Отметим к тому же, что четверки чисел также фигурируют в трехмерном спинорном исчислении при классификации элементарных частиц с полуединичным спином. Эти четверки чисел характеризуют две пары частиц, так что имеется прямая аналогия с парами чисел z, c, p и t определяемых уравнением Диофанта. Это, между прочим, говорит о возможной связи пифагоровых чисел с двойными спиралями ДНКструктур и со спиральностью суперструн [1; 2; 3].

Отметим также, что уравнение Пифагора может быть записано не только в двумерном, но и n-мерном варианте, что соответствует евклидовому n-мерному пространству. Уравнение второй степени с тремя переменными в целых числах [4] может быть записано в виде t2-(x12+ x22)=±s2.

Это уравнение отвечает метрике трехмерного времениподобного и пространственноподобного псевдоевклидового пространства индекса один. Отметим уникальную особенность решений полиномиальных уравнений второй степени с тремя переменными, заключающуюся в том, что как и в случае двух переменных, четверки чисел решений уравнения образуют периодическую зависимость, определяемую рекуррентным соотношениями tk+1=6tk- tk-1, xk+1=6xk- xk-1, где в качестве tk+1, tk, tk-1 и xk+1, xk, xk-1 выступают три последовательных значения величины t или x при одном и том же значении величины s. Некоторые из последовательностей решений представлены в таблице 4.

2,314,821,879 3,326,1818,1847 2,285,1386, Характерной особенностью таких числовых последовательностей являются постоянное значение определителей между соседними четверками чисел в каждой паре из трех числовых рядов x1, x2, t и постоянство значения s (таблица 5), так что выполняется уравнение t2-(x12+ x22)=±s2, при s=const.

Отметим возможность формирования некоторых троек последовательностей чисел бесконечной длины. Так ti2-2pi2=di2 и сi2-2zi2=-di2, а, также. (2ci)2-8zi2=-(2di) 2 и (2ti)2-8pi2=(2di) 2, т. е (2di)2+(2ci)2+zi2=(3zi)2 и -(2di)2+(2ti)2+pi2=(3pi)2.

Эти два способа формирования последовательностей троек чисел определяют для разных di бесконечное число последовательностей чисел бесконечной длины псевдоевклидового характера (таблица 6), причем эти последовательности определены значениями четверок чисел z, c, p и t. Это соответствует трехзаходным спиралям (3спирали). Они характеризуются шестью значениями чисел на каждой ступени, которые определяются (в данном случае) параметрами исходных двухзаходных спиралей. Таким образом, можно считать, что трехзаходные спиральные последовательности чисел являются функциями двухзаходных спиральных последовательностей.

Справедливость этого показана в таблице 7. В ней приведены три типа трехзаходных спиралей (x1, x2, t1), являющихся линейными комбинациями со сдвигом, последовательностей чисел zi, ci, pi и ti для di=1, 7, 17, 23,....

di +pi +pi2=ti Отметим возможность формирования некоторых четверок последовательностей чисел бесконечной длины. Четверки последовательностей чисел определяют для разных si бесконечное число последовательностей чисел бесконечной длины псевдоевклидового характера (таблица 8), причем эти последовательности определены значениями четверок чисел z, c, p и t. Это соответствует четырехзаходным спиралям (4-спирали). Они характеризуются восьмью значениями чисел на каждой ступени, которые определяются (в данном случае) параметрами исходных двухзаходных спиралей. Таким образом, можно считать, что четырехзаходные спиральные последовательности чисел являются функциями двухзаходных спиральных последовательностей.

Справедливость этого показана в таблице 8. В ней приведены три типа четырехзаходных спиралей (x1, x2, x3, t), являющихся линейными комбинациями со сдвигом, последовательностей чисел zi, ci, pi и ti для di=1, 7, 17, 23,....

Характерной особенностью таких числовых последовательностей является постоянное значение определителей между соседними четверками чисел в каждой паре из четырех числовых рядов x1, x2, x3, t и постоянство значения s (таблица 8), так что выполняется уравнение t2-(x12+ x22+x32)=±s2, Аналогично времениподобному пространству формируется пространственноподобное пространство с другим знаком при s2.

Отметим возможность формирования некоторых пятерок (шестерок, семерок, восьмерок) последовательностей чисел бесконечной длины. Пятерки (шестерки, семерки, восьмерки) последовательностей чисел определяют для разных si бесконечное число последовательностей чисел бесконечной длины псевдоевклидового характера (таблица 8), причем эти последовательности определены значениями четверок чисел z, c, p и t. Это соответствует пяти (шести-, семи-, восьми-) заходным спиралям (5-, 6-, 7-, 8-спирали). Они характеризуются удвоенными значениями чисел на каждой ступени, которые определяются (в данном случае) параметрами исходных двухзаходных спиралей. Таким образом, можно считать, что пяти (шести-, семи-, восьми-) заходные спиральные последовательности чисел являются функциями двухзаходных спиральных последовательностей.

Справедливость этого показана в таблице 9. В ней приведены два типа пяти (шести-, семи-, восьми-) заходных спиралей ( x1, x2,…, xn, t), являющихся линейными комбинациями со сдвигом, последовательностей чисел zi, ci, pi и ti для di=1, 7, 17, 23,....

Характерной особенностью таких числовых последовательностей является постоянное значение определителей между соседними пятерками (шестерками, семерками, восьмерками) чисел в каждой паре из пяти (шести-, семи-, восьми-) числовых рядов x1, x2,…, xn, t и постоянство значения s (таблица 9), так что выполняется уравнение t2-(x12+ x22+…+xn2)=±s2, при s=s1=1, где блоки соответствуют времениподобному и пространственноподобному интервалам.

Аналогичным образом можно привести совокупности последовательностей чисел бесконечной длины для других значений s так для s=s7 эти последовательности имеют вид Таким образом, можно найти решения основного уравнения специальной теории относительности t2-(x12+ x22+x32)=±s и аналогичного уравнения восьмимерного пространства – времени t2-(x12+ x22+…+x72)=±s в целых числах при различных значениях квадрата интервала для времениподобного и пространственноподобного вариантов. Эти решения являются основой для получения иных соотношений, определяемых целочисленными значениями t, xi, s, например, скорости, так что можно говорить о квантованности физических величин.

Вообще говоря, возможно построение n-мерного соотношения для квадрата интервала. Однако таким решениям не будет соответствовать определенная векторная алгебра, т. е. видимо, такой вариант не приемлем.

1.Грин Б. Ткань космоса: Пространство, время и текстура реальности. Пер. с англ./Под ред. В.О.Малышенко и А.Д.Панова.

М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. 608с.

2.Грин Б. Элегантная Вселенная. Суперструны, скрытые размерности и поиски окончательной гипотезы. Пер. с англ. /Общ. Ред.

В.О.Малышенко. М.: Едиториал УРСС, 2004. 288с.

3.Коротков А.В. Пифагоровы тройки чисел и классификация спектральных линий атомов//Сознание и физическая реальность.

2009. №11. (с.17-31).

4.Коротков А. В. Элементы классификации пифагоровых чисел. Новочеркасск: Набла, 2009. 73 с.

5.Макдональд Д., Стефанович Д., Стоянович Д. ДНКкомпьютеры для работы и развлечений//В мире науки. 2010. №3.

(с.62-71).

6.Нейдриен С. Нанотехнологии и двойная спираль//В мире науки. 2004. № 9. – (с.22-31).

7.Паун Г., Розенберг Г., Саломаа А. ДНК-компьютер. Новая парадигма вычислений: Пер. с англ. М.: Мир, 2003. 528с.

8. Пенроуз Р. Путь к реальности, или законы, управляющие Вселенной. Полный путеводитель. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007. 912с.

9. Сяхович В. И. Пифагоровы точки. Минск: Изд. Центр БГУ, 2007.288с.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

В ВИДЕ СУММЫ ВОСЬМИ КВАДРАТОВ

Каждое натуральное число представимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел [1]. Доказательство этого замечательного факта сделал Лагранж и оно опирается на известное алгебраическое тождество Эйлера (a02+a12+a22+a32)(b02+b12+b22+b32)=c02+c12+c22+c32, с0=a0b0+a1b1+a2b2+a3b3, с1= a0b1-a1b0+a2b3 -a3b2, с2= a0b2-a2b0+a3b1-a1b3, с3= a0b3-a3b0+a1b2-a2b1.

Справедливость этого тождества нетрудно уточнить. Действительно с02+ с12+ с22+ с32=( a0b0+a1b1+a2b2+a3b3)2+ +( a0b1 -a1b0+a2b3 -a3b2)2+ +( a0b2 -a2b0+a3b1-a1b3)2+ +( a0b3 -a3b0+a1b2-a2b1)2= =(a0b0)2+2a0b0a1b1+(a1b1)2+2(a0b0+a1b1)(a2b2+a3b3)+(a2b2)2+2a2b2a b3+(a3b3)2+ + (a0b1)2-2a0b1a1b0 +(a1b0)2+2(a0b1-a1b0)(a2b3-a3b2) +(a2b3)2a2b3a3b2 + (a3b2)2+ + (a0b2)2-2a0b2a2b0 +(a2b0)2+2(a0b2-a2b0)(a3b1-a1b3)+(a3b1)2 – 2a3b1a1b3 + (a1b3)2+ + (a0b3)2-2a0b3a3b0 +(a3b0)2+2(a0b3-a3b0)(a1b2-a2b1)+(a1b2)2 – 2a1b2a2b1 + (a2b1)2= =2(a0b0a1b1+a0b0a2b2+ a0b0a3b3+a1b1a2b2 + a1b1a3b3+a2b2a3b3- -a0b1a1b0+a0b1a2b3 – a0b1a3b2 -a1b0a2b3 + a1b0a3b2 -a2b3a3b2- -a0b2a2b0+a0b2a3b1 – a0b2a1b3 -a2b0a3b1 + a2b0a1b3 -a3b1a1b3- -a0b3a3b0+a0b3a1b2 – a0b3a2b1 -a3b0a1b2 + a3b0a2b1 -a1b2a2b1)+ + (a0b0)2+(a1b1)2+(a2b2)2+(a3b3)2+ + (a0b1)2 +(a1b0)2+(a2b3)2+ (a3b2)2+ + (a0b2)2+(a2b0)2+(a3b1)2 + (a1b3)2+ + (a0b3)2+(a3b0)2+(a1b2)2 + (a2b1)2.

Первая часть последнего тождества обращается в нуль, так что (a02+a12+a22+a32)(b02+b12+b22+b32)= с02+с12+с22+с32.

Справедливость этого тождества при любых (a0, a1, a2, a3) и (b0, b1, b2, b3) легко проверяется также непосредственным вычислением.

Нужно отметить, что это не единственная возможность разложения чисел на сумму квадратов. Попытки представить натуральные числа в виде суммы двух квадратов дают желаемый результат также в случае двухкомпонентных переменных (a0, a1) и (b0, b1) когда (a02+a12)(b02+b12)=c02+c12, с0=a0b0+a1b1, с1= a0b1-a1b0, что, в частности, справедливо для простых чисел вида 4n+1. В то время как простые числа 4n+1 представимы в виде суммы двух квадратов натуральных чисел, простые числа вида 4n+3 не всегда представимы даже в виде суммы трех квадратов. Как отметил Лагранж, каждое натуральное число представимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Это одна из причин классификации натуральных (в частности простых) чисел с применением сравнений по модулю 4. В этой классификации простые числа при p2 составляют два вида чисел: 4n+1 и 4n+3.

Вместе с тем внимательное рассмотрение алгебраического тождества Эйлера, в частности его компонент (a0, a1, a2, a3), (b0, b1, b2, b3) и (c0, c1, c2, c3) показывает, что четыре числа (c0, c1, c2, c3) формируют скалярное и векторное произведения двух векторов трехмерной векторной алгебры. Кроме трех мерной векторной алгебры описаны семимерные векторные алгебры. В них, в частности, определены скалярные и векторные произведения, которые следуют из координатной записи восьмикомпонентных величин. Так, полагая (a0, a1,…, a7), (b0, b1,…, b7) и (c0, c1,…, c7) имеем [2] с0= a0b0+a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5+a6b6+a7b7, с1= a0b1 – a1b0+a2b3 – a3b2+a4b5 -a5b4+a7b6-a6b7, с2= a0b2 – a2b0+a4b6 – a6b4+a5b7 -a7b5+a3b1-a1b3, с3= a0b3 – a3b0+a6b5 – a5b6+a1b2 -a2b1+a4b7-a7b4, с4= a0b4 – a4b0+a5b1 – a1b5+a7b3 -a3b7+a6b2-a2b6, с5= a0b5 – a5b0+a7b2- a2b7+a3b6 -a6b3+a1b4-a4b1, с6= a0b6 – a6b0+a1b7 – a7b1+a2b4 -a4b2+a5b3-a3b5, с7= a0b7 – a7b0+a3b4 – a4b3+a6b1 -a1b6+a2b5-a5b2.

Справедливость этого тождества уточняется аналогично четырехмерному тождеству Эйлера c02+ c12+ c22+ c32+ c42+ c52+ c62+ c72= =( a0b0+a1b1+ a2b2+a3b3+a4b4+a5b5+a6b6+a7b7)2+ +( a0b1 -a1b0 + a2b3 -a3b2 +a4b5-a5b4+ a7b6-a6b7)2+ +( a0b2 -a2b0 + a4b6 -a6b4 +a5b7-a7b5+ a3b1-a1b3)2+ +( a0b3 -a3b0 + a6b5 -a5b6 +a1b2-a2b1+ a4b7-a7b4)2+ +( a0b4 -a4b0 + a5b1 -a1b5 +a7b3-a3b7+ a6b2-a2b6)2+ +( a0b5 -a5b0 + a7b2 -a2b7 +a3b6-a6b3+ a1b4-a4b1)2+ +( a0b6 -a6b0 +a1b7 -a7b1 +a2b4-a4b2+ a5b3-a3b5)2+ +( a0b7 -a7b0 +a3b4 -a4b3 +a6b1-a1b6+ a2b5-a5b2)2= =(a0b0+a1b1+a2b2+a3b3)2+2(a0b0+a1b1+a2b2+a3b3)(a4b4+a5b5+a6b6+a7b7)+ +(a4b4+a5b5+a6b6+a7b7)2+(a0b1-a1b0+a2b3-a3b2)2+2(a0b1-a1b0+a2b3-a3b2) (a4b5-a5b4+a7b6-a6b7)+(a4b5-a5b4+a7b6-a6b7)2+(a0b7-a7b0+a3b4-a4b3)2+ +2(a0b7-a7b0+a3b4-a4b3)(a6b1-a1b6+a2b5-a5b2)+(a6b1-a1b6+a2b5a5b2)2=(a0b0)2+2a0b0a1b1+(a1b1)2+2(a0b0+a1b1)(a2b2+a3b3)+(a2b2)2+2a2b2a 3b3+(a3b3) +2(a0b0+a1b1+a2b2+a3b3)( a4b4+a5b5+a6b6+a7b7)+ +(a4b4)2+2a4b4a5b5+(a5b5)2+2(a4b4+a5b5)(a6b6+a7b7)+(a6b6)2+2a6b6a7b7+ +(a7b7)2+(a0b1)2-2a0b1a1b0+(a1b0)2+2(a0b1-a1b0)(a2b3-a3b2)+(a2b3)2- 2a2b3a3b2+(a3b2)2+2(a0b1-a1b0+a2b3-a3b2)( a4b5-a5b4+a7b6-a6b7)+ +(a4b5)2-2a4b5a5b4+(a5b4)2+2(a4b5-a5b4)(a7b6-a6b7)+(a7b6)2- 2a7b6a6b7+(a6b7)2+(a0b7)2-2a0b7a7b0+(a7b0)2+2(a0b7-a7b0)(a3b4- 4b3)+(a3b4) -2a3b4a4b3+(a4b3) +2(a0b7-a7b0+a3b4-a4b3)(a6b1-a1b6+a2b5- a5b2)+(a6b1)2-2a6b1a1b6+(a1b6)2+2(a6b1-a1b6)(a2b5-a5b2)+(a2b5)2- 2a2b5a5b2+(a5b2)2= =2( (a0b0+a1b1)(a2b2+a3b3)+(a0b0+a1b1+a2b2+a3b3) ( a4b4+a5b5+a6b6+a7b7)+(a4b4+a5b5)(a6b6+a7b7)+(a0b1-a1b0) (a2b3-a3b2)+(a0b1-a1b0+a2b3-a3b2)(a4b5-a5b4+a7b6-a6b7)+(a4b5-a5b4)(a7b6- a6b7)+(a0b7-a7b0)(a3b4-a4b3)+(a0b7-a7b0+a3b4-a4b3)( a6b1-a1b6+a2b5- a5b2)+(a6b1-a1b6)(a2b5-a5b2))+2(a0b0a 1b1 +a2b2a3b3+a4b4a5b5 +a7b7a6b6- a0b1a1b0 -a2b3a3b2-a4b5a5b4-a7b6a6b7-a0b7a7b0 -a3b4a4b3-a6b1a1b6 -a2b5a5b2) + +((a0b0)2+(a1b1)2+(a2b2)2+(a3b3)2+(a4b4)2 +(a5b5)2+(a6b6)2+(a7b7)2+ +(a0b1)2 +(a1b0)2+(a2b3)2+(a3b2)2+(a4b5)2+(a5b4)2+(a7b6)2+(a6b7)2+ +(a0b2)2+(a2b0)2+ (a4b6)2+(a6b4)2+(a5b7)2+(a7b5)2+ (a3b1)2+(a1b3)2+ +(a0b3)2+(a3b0)2+ (a6b5)2+(a5b6)2+(a1b2)2+(a2b1)2+(a4b7)2+(a7b4)2+ +(a0b4)2+(a4b0)2+(a5b1)2+(a1b5)2+(a7b3)2+(a3b7)2+(a6b2)2+(a2b6)2+ +(a0b5)2+(a5b0)2+(a7b2)2+(a2b7)2+(a3b6)2+(a6b3)2+(a1b4)2+(a4b1)2+ +(a0b6)2+(a6b0)2+(a1b7)2+(a7b1)2+(a2b4)2+(a4b2)2+(a5b3)2+(a3b5)2+ +(a0b7)2+(a7b0)2+(a3b4)2+(a4b3)2+(a6b1)2+(a1b6)2+(a2b5)2+(a5b2)2).

Значительная часть этого тождества обращается в нуль, а последний блок не нулевой, причем соответствует соотношению (a02+a12+a22+a32+a42+a52+a62+a72)(b02+b12+b22+b32+b42+b52+b62+b72)= =с02+с12+с22+с32+с42+с52+с62+с72.

Для восстановления недостающего текста, отмеченного тремя точками, следует пользоваться следующими подстановками индексов во 2, 3, 4, 5, 6 строчках формул.

Таким образом, получено представление суммы восьми квадратов как произведение двух сумм из восьми квадратов и имеют место следующие соотношения:

- в случае двухкомпонентных величин с0=a0b0+a1b1, с1=a0b1 -a1b0;

(a02+a12)(b02+b12)=c02+c - в случае четырехкомпонентных величин с0= a0b0+a1b1+a2b2+a3b3, с1= a0b1 -a1b0+a2b3 -a3b2, с2= a0b2 -a2b0+ a3b1-a1b3, с3= a0b3 -a3b0+ a1b2-a2b1;

(a02+a12+a22+a32)(b02+b12+b22+b32)=c02+c12+c22+c32;

- в случае восьмикомпонентных величин с0=a0b0+a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5+a6b6+a7b7, с1=a0b1 -a1b0+a2b3 -a3b2+a4b5 -a5b4+a7b6 -a6b7, с2=a0b2 -a2b0+a4b6 -a6b4+a5b7 -a7b5+a3b1 -a1b3, с3=a0b3 -a3b0+a6b5 -a5b6+a1b2 -a2b1+a4b7 -a7b4, с4=a0b4 -a4b0+a5b1 -a1b5+a7b3 -a3b7+a6b2 -a2b6, с5=a0b5 -a5b0+a7b2 -a2b7+a3b6 -a6b3+a1b4 -a4b1, с6=a0b6 -a6b0+a1b7 -a7b1+a2b4 -a4b2+a5b3 -a3b5, с7=a0b7 -a7b0+a3b4 -a4b3+a6b1 -a1b6+a2b5 -a5b (a02+a12+a22+a32+a42+a52+a62+a72)(b02+b12+b22+b32+b42+b52+b62+b72) =c02+c12+c22+c32+c42+c52+c62+c72.

Очевидно также, что:

- каждое простое число представимо в виде суммы восьми квадратов;

- каждое натуральное число представимо в виде суммы восьми квадратов.

Доказательство аналогично теоремам 302 и 303 [1].

Возникает вопрос о единственности представления чисел. В двумерном случае возможно единственное представление величины (с0, с1) произведением сумм квадратов (a0, a1) и (b0, b1). В четырехмерном случае возможны два вида векторных произведений и, следовательно, два вида представлений числа. В восьмимерном случае возможное число векторных произведений равно 480 [2]. Так в указанной таблице подстановки индексов соответствуют четыре различные семимерные векторные алгебры с векторными произведениями двух векторов [аb] вида:

[аb]1=|123|+|246|+|365|+|451|+|572|+|617|+|734|, [аb]2=|132|+|264|+|356|+|415|+|527|+|671|+|743|, [аb]3=|125|+|247|+|362|+|453|+|576|+|614|+|731|, [аb]4=|152|+|274|+|326|+|435|+|567|+|641|+|713|, где символом |ijk| обозначен определитель из координат векторов a, b и ортов системы координат Вместе с тем имеют место 120 систем подстановок индексов и, следовательно, 480 семимерных векторных произведений. Им соответствует определенные представления натуральных чисел в виде сумм восьми квадратов. Покажем это на примере.

Рассмотренному способу умножения величин a и b соответствуют значения восьми координат числа с=ab a0b0+a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5+a6b6+a7b7, a0b1 -a1b0+a2b3 -a3b2+a4b5 -a5b4+a7b6 -a6b7, a0b2 -a2b0+a4b6 -a6b4+a5b7 -a7b5+a3b1 -a1b3, a0b3 -a3b0+a6b5 -a5b6+a1b2 -a2b1+a4b7 -a7b4, a0b4 -a4b0+a5b1 -a1b5+a7b3 -a3b7+a6b2 -a2b6, a0b5 -a5b0+a7b2 -a2b7+a3b6 -a6b3+a1b4 -a4b1, a0b6 -a6b0+a1b7 -a7b1+a2b4 -a4b2+a5b3 -a3b5, a0b7 -a7b0+a3b4 -a4b3+a6b1 -a1b6+a2b5 -a5b2.

При этом выполняется равенство 281*620=174220.

Квадрат координаты с0 характеризует скалярное произведение восьмимерных величин и определяется первой строчкой произведения векторов. Остальные семь компонент величины сi2 характеризуют набор квадратов его векторных компонент. Нижняя строчка таблицы 1 соответствуют сумме квадратов аi2 и bi2 и произведению сумм квадратов аi2 и bi2. Покажем характер изменений суммы квадратов восьми компонент для восьмимерного случая характеризуемого векторным произведением [аb]3=|125|+|247|+|362|+|453|+|576|+|614|+|731|, или a0b0+a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5+a6b6+a7b7, a0b1 -a1b0+a2b5 -a5b2+a4b6 -a6b4+a7b3 -a3b7, a0b2 -a2b0+a4b7 -a7b4+a5b1 -a1b5+a3b6 -a6b3, a0b3 -a3b0+a6b2 -a2b6+a1b7 -a7b1+a4b5 -a5b4, a0b4 -a4b0+a5b3 -a3b5+a7b2 -a2b7+a6b1 -a1b6, a0b5 -a5b0+a7b6 -a6b7+a3b4 -a4b3+a1b2 -a2b1, a0b6 -a6b0+a1b4 -a4b1+a2b3 -a3b2+a5b7 -a7b5, a0b7 -a7b0+a3b1 -a1b3+a6b5 -a5b6+a2b4 -a5b2.

При этом имеем расчетную таблицу в виде таблицы 2.

Как показано в таблицах 1 и 2 величина c02, а также величина суммы квадратов ci2,сохраняют свои значения. Величина суммы квадратов c12+ c22+…+c также сохраняется. Вместе с тем квадраты семи оставшихся координат изменяются от системы к системе и определяются векторным произведением векторов данной системы (таблица 3).

152100 152100 152100 152100 152100 152100 152100 Из таблицы 3 следует, что все n=480 систем восьмимерных векторов дают одно и то же значение скалярного произведения и суммы квадратов координат векторов. Отдельные координаты векторов могут совпадать, однако, набор координат в каждой системе индивидуальный. Квадраты семи векторных координат также характеризуют одно и то же значение суммы. Аналогичная картина имеет место для сумм четырех, а также сумм двух квадратов.

1. Бухштаб А. А. Теория чисел: Учебное пособие. 3-е изд., стер. СПб: Издательство «Лань», 2008. 384с.

2. Коротков А. В. Элементы семимерного векторного исчисления. Алгебра. Геометрия. Теория поля. Новочеркасск:

СТРУКТУРА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

ПИФАГОРОВЫХ ЧИСЕЛ

Бесконечные последовательности чисел можно получить путем рассмотрения решений уравнения Диофанта t2-ax2=±b в целых числах [1]. При этом, как правило, возникают произвольные ряды целых чисел.

Рассмотрим последовательности пифагоровых чисел. С четверками пифагоровых чисел в паре последовательностей можно связать физические (в частности, геометрические) величины. Это показано в [2] для а=2 и b=x02, где x0=const. При этом выполняются уравнения (Диофанта):

Здесь четверки чисел z,c,p,r характеризуют соответственно гипотенузы, суммы катетов, периметры и суммы периметров с гипотенузами. При этом в правой части уравнения Диофанта стоит величина x02 квадрата модуля разности катетов прямоугольных треугольников.

Выполняется также теорема Пифагора t2-( x12+ x22)=0, где x1 и x2 – катеты бесконечной последовательности прямоугольных треугольников, определяемых одним и тем же значением модуля разности катетов (Таблица 1). Величина модуля разности катетов отмечена нижним индексом. Очевидно, что уравнение Пифагора соответствует двумерной проекции “светового” конуса в трехмерном псевдоевклидовом пространстве-времени [2]. Это придает уравнению Пифагора особое значение и позволяет рассмотреть широкий класс уравнений вида t2-( x12+ x22+…+ xn2)= ± x02, включающий времени подобный и пространственно подобный случаи в целочисленных решениях для многомерного уравнения Пифагора, когда x0=0.

В таблице 1 значения рядов z, с, p и r, а также чисел m и n, могут быть безгранично продолжены в обоих вертикальных направлениях, причем используются одни и те же рекуррентные соотношения [3] mk+1=2mk+ mk-1, nk+1=2nk+nk-1, zk+1=6zk – zk-1, ck+1=6ck -ck-1, pk+1=6pk – pk-1, rk+1=6rk -rk-1.

Эти числа в каждом ряду располагаются по вертикальной линейке бесконечной длины в обе стороны. Последовательности чисел m и n, z и с, p и r, получаются с точностью до знака при одном и том же значении x0i2 и определителя i (таблица 2).

Таблица 2 дает классификацию рядов m и n бесконечных числовых последовательностей, соответствующих данному значению модуля разности катетов.

То же самое относится к рядам числовых последовательностей z,c, и p, r. Отметим, что величина x0i может принимать значения из двух классов вычетов по модулю восемь -1,17,41,49,73,89,97,113,…,(т.е. чисел вида 8n+1) или 7,23,31,47,71,79,103,119,…, (т.е. чисел вида 8n+7), составленных из соответствующих простых чисел, их произведений и степеней.

Рассмотрим процедуру формирования пифагоровых чисел и их последовательностей. В случае двумерного уравнения Пифагора известен ряд способов формирования троек пифагоровых чисел [3].

Нами найдено уравнение, упрощающее процесс нахождения троек пифагоровых чисел в виде x12+((( x12/d)-d)/2)2=((( x12/d)+d)/2)2.

Здесь d-разность между гипотенузой t и катетом x2. Результаты расчетов приведены в таблице 3.

Для последовательностей чисел, характеризующих гипотенузы прямоугольных треугольников используется рекуррентное соотношение tn+1=6tn-tn-1, а для последовательностей чисел, характеризующих как гипотенузы, так и катеты прямоугольных треугольников – соотношение xn+1=5(xn+xn-1)-xn-2, где в качестве tn+1, tn, tn-1 и xn+1, xn, xn-1 выступают величины x1, x2 и t при одном и том же значении величины x0.

Отметим уникальную особенность решений уравнения второй степени с двумя переменными, заключающуюся в том, что как и в случае x0=0, тройки чисел целочисленных решений уравнения образуют последовательности, определяемые этими рекуррентными соотношениями (таблица 4).

d= d= d= Рассмотрим структуру формирования пифагоровых четверок чисел и числовых последовательностей из них.

Отметим уникальную особенность решений уравнения второй степени с тремя переменными, заключающуюся в том, что, как и в случае x0=0, четверки чисел целочисленных решений уравнения Пифагора, также как и тройки Пифагора, образуют последовательности, однако, определяемые рекуррентными соотношениями tk+1=6tk- tk-1, xk+1=6xk- xk-1, где в качестве tk+1, tk, tk-1 и xk+1, xk, xk-1 выступают три последовательные значения величины t или xi при одном и том же значении величины x0. Некоторые из бесконечных последовательностей решений при положительном x02 представлены в левой части таблицы Характерной особенностью таких числовых последовательностей являются постоянное значение определителей между соседними четверками чисел в каждой паре из трех числовых рядов x1, x2, t и постоянство значения x0, так что выполняется уравнение t2-(x12+ x22)= ± x02, при x0=const.

Такие же последовательности решений имеют место при отрицательном x02 (правая часть таблицы 5). В таблице 6 приведены некоторые четверки пифагоровых чисел. Все указанные таблицы можно продлевать в обоих направлениях по вполне понятным алгоритмам.

В [3] показаны различные методы формирования четверок пифагоровых чисел и числовых последовательностей, в том числе при отрицательном знаке при x02 (правая часть таблицы 6).

Нами найдено соотношение связи компонентов четверок пифагоровых чисел, облегчающее их поиск, в виде x02+ x12+(((( x02+ x12) /d)-d)/2)2=(((( x02+ x12)/d)+d)/2)2, где d=t-x2.

При x0=0 имеем двумерную теорему Пифагора в непривычном виде x12+((( x12/d)-d)/2)2=((( x12/d)+d)/2)2.

Приведем некоторые последовательности четверок пифагоровых чисел (таблица 7). Отметим уникальную особенность решений уравнения второй степени с тремя переменными, заключающуюся в том, что как и в случае рассмотрения пифагоровых троек (x0=0), четверки чисел целочисленных решений уравнения образуют последовательности, определяемые рекуррентными соотношениями tk+1=6tk- tk-1, xk+1=6xk- xk-1, где в качестве tk+1, tk, tk-1 и xk+1, xk, xk-1 выступают величины x1, x и t при одном и том же значении величины x0.

Приведенные таблицы можно легко продлить как угодно далеко в четырех направлениях. Тем самым создается набор взаимно простых четверок чисел удовлетворяющих уравнению Пифагора. Этот набор чисел позволяет сформировать бесконечные последовательности четверок чисел, некоторые из которых приведены в таблице 8. Для каждой из них важно согласовать только три четверки чисел.

Более того, бесконечные последовательности четверок чисел связаны между собой простым и очевидным образом и могут быть легко расширены по горизонтали и вертикали (таблица 8).

Особо выделим, что отдельные последовательности четверок связаны с величинами p, r и d прямоугольных треугольников. Для формирования последовательностей четверок чисел могут использоваться пары соседних четверок. Приведем некоторые четверки пифагоровых чисел.

Очевидно, что увеличение числа компонент последовательностей приводит к трудностям в получении состава компонент и последовательностей из них, связанных с увеличением самих чисел.

Усложняются также используемые методы.

Нами найдено соотношение связи компонентов пятерок чисел, облегчающее их поиск, в виде x02+ x12+ x22+(((( x02+ x12+ x22) /d)-d)/2)2=(((( x02+ x12+ x22)/d)+d)/2)2, где d=t-x3.

При x0=0 имеем трехмерную теорему Пифагора в непривычном виде x12+ x22+( ((( x12+ x22)/d)-d)/2)2=(((( x12+ x22)/d)+d)/2)2.

Для формирования последовательностей пятерок чисел могут использоваться пары соседних пятерок. Приведем некоторые пятерки пифагоровых чисел (таблица 9).

Уже эти пятерки чисел позволяют сформировать множество бесконечных последовательностей пятерок чисел комбинацией соседних пар, например таблицу 10 и 11.

Особо выделим последовательности отдельных пятерок связанных с величинами z, r и d прямоугольных треугольников.

Используемые ранее методы нахождения компонент чисел и тем более формирования последовательностей слабо работают при таком большом числе компонентов.

Нами найдено соотношение связи компонентов шестерок чисел, сильно облегчающее их поиск, в виде x02+ x12+… +x32+(((( x02+ x12+… +x32) /d)-d)/2)2=(((( x02+ x12+… + x32)/d)+d)/2)2, где d=t-x4.

При x0=0 имеем четырехмерную теорему Пифагора в непривычном виде x12+…+ x32+( ((( x12+…+ x32)/d)-d)/2)2=(((( x12+…+x32)/d)+d)/2)2.

Более того эти формулы пригодны для многомерных случаев x0 + x12+… +xn2+(((( x02+ x12+… +xn2) /d)-d)/2)2=(((( x02+ x12+… + xn2)/d)+d)/2)2, где d=t-xn+1.

При x0=0 имеем n+1 мерную теорему Пифагора в непривычном виде x12+…+ xn2+( ((( x12+…+ xn2)/d)-d)/2)2=(((( x12+…+xn2)/d)+d)/2)2.

С их помощью находим компоненты пифагоровых шестерок (таблица 12).

Уже эти шестерки чисел позволяют сформировать множество бесконечных последовательностей шестерок чисел рассмотрением соседних пар, например таблицу 14 для x0=1.

Эти последовательности позволяют продлить их как угодно далеко во всех четырех направлениях. Процесс поиска компонент многомерных пифагоровых чисел можно продолжать сколь угодно долго. Этот процесс позволяет найти компоненты n-мерных чисел и составить числовые последовательности из них.

Удачно работает многомерное уравнение x0 + x12+… +xn2+(((( x02+ x12+… +xn2) /d)-d)/2)2=(((( x02+ x12+… + xn2)/d)+d)/2)2, где d=t-xn+1.

В этой работе рассмотрены лишь некоторые малочисленные примеры. С ростом n процесс поиска компонент и составление числовых последовательностей из них усложняется. Тем не менее, он остается достаточно простым. Важным случаем является случай восьмимерного пространства времени (например, таблица 13).

1,1,1,1,1,1,1,3,4 1,1,1,1,1,2,2,6,7 1,1,1,1,1,3,3,11,12 1,1,1,1,1,4,4,18, 1,1,1,1,1,1,3,7,8 1,1,1,1,1,2,4,12,13 1,1,1,1,1,3,5,19,20 1,1,1,1,1,4,6,28, 1,1,1,1,1,1,5,15,16 1,1,1,1,1,2,6,22,23 1,1,1,1,1,3,7,31,32 1,1,1,1,1,4,8,42, 1,1,1,1,1,1,7,27,28 1,1,1,1,1,2,8,36,37 1,1,1,1,1,3,9,47,48 1,1,1,1,1,4,10,60, 1,1,1,1,1,1,9,43,44 1,1,1,1,1,2,10,54,55 1,1,1,1,1,3,11,67,68 1,1,1,1,1,4,12,82, 1,1,1,1,1,1,11,63,64 1,1,1,1,1,2,12,76,77 1,1,1,1,1,3,13,91,92 1,1,1,1,1,4,14,108, 1,1,1,1,1,2,14,102,10 1,1,1,1,1,3,15,119, 1,1,1,1,1,1,15,115,11 1,1,1,1,1,2,16,132,13 1,1,1,1,1,3,17,151,15 1,1,1,1,1,4,18,172, Не будем останавливаться на поиске многомерных пифагоровых чисел и построении числовых последовательностей из них.

Приведем в заключение таблицу числовых последовательностей из шестерок пифагоровых чисел при x0=1 (таблица 14) и таблицы 15характеризуемые стандартным модулем разности между катетами. Напомним, что каждая из этих таблиц дает множество бесконечных последовательностей собранных по этому признаку.

Укажем на одну особенность формирования числовых последовательностей из пифагоровых чисел. Она связана с тем обстоятельством, что числовые последовательности могут представлять собой не только линейки произвольной длины, но также плоскости произвольной площади. Так из одной последовательности …,1,1,5,29,… направленных в двух перпендикулярных направлениях формируется числовая плоскость (таблица 19), которая обладает свойствами симметрии в горизонтальном, вертикальном и в диагональных направлениях.

Эта последовательность чисел в горизонтальном и вертикальном направлениях определяется двумя осями симметрии. Такие же оси симметрии действуют в диагональных направлениях при этом вдоль вертикальных и горизонтальных осей действуют одно и тоже рекуррентное тождество yn+1=6*yn-yn- а по диагоналям квадрат этого соотношения, определяемый тождеством yn+1=35*(yn-yn-1)+yn-2.

Каждая ячейка из соседних четырех чисел дает один и тот же определитель на всей числовой плоскости. В данном случае определитель равен нулю. Очевидна исключительная симметричность такой структуры чисел. Причем, эта структура полностью определяется четверкой начальных значений в данном случае цифрами 1,1,1,1. Такая симметричность структуры аналогична кристаллической решетке твердых тел.

Менее строгой степенью симметрии обладают подобные структуры с совпадающими значениями цифр значащего квадрата, например, цифры 1,3,1,3 дают последовательность, определяющую лишь диагональную симметрию (таблица 20).

Четверка различных чисел значащего квадрата дает еще менее серьезную симметрию последовательностей. Например, диагональная симметрия нарушается (таблица 21).

Таким образом, степень симметрии плоскостных последовательностей чисел определяется совокупностью четырех чисел, чем задается тот или иной вид симметрии. Эти же четыре цифры определяют набор линейных последовательностей.

Таким образом, задача получения значений пифагоровых чисел для большого числа измерений пространства вполне разрешима.

Также разрешима задача получения последовательностей пифагоровых чисел для большого числа измерений пространства. Возможность представления пифагоровых чисел и их последовательностей в виде координат физического пространства- времени позволяет рассмотреть вопрос решения уравнения для квадрата интервала такого пространства в целых числах. При этом уравнению «светового конуса» соответствует значение x0=0, что отвечает теореме Пифагора для многомерного пространства.

Число решений уравнения Пифагора либо уравнения квадрата интервала в целых числах бесконечно велико. Бессмысленно рассматривать все варианты решения этой задачи, однако, для большинства практических задач целесообразно иметь набор, как значений многомерных пифагоровых чисел, так и набора их последовательностей. Возможен также набор плоскостных пифагоровых чисел, что может представлять интерес для кристаллографии, причем не только плоской, но и пространственной.

1. Сяхович В. И. Пифагоровы точки. Минск: Изд. Центр БГУ, 2. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теория поля. М: Наука, 1988. –512с.

3. Коротков А.В. Элементы классификации пифагоровых чисел.

Новочеркасск: Набла, 2009. – 73 с.

К НАХОЖДЕНИЮ РЕШЕНИЙ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Общим направлением задач алгебраической геометрии является выяснение числа решений полиномиального уравнения в рациональных числах. Это, прежде всего так называемая задача о конгруэнтных числах: т.е. выяснение того, какие рациональные числа могут быть площадями прямоугольных треугольников с рациональными длинами сторон.

Ответ таков: n-конгруэнтное число тогда и только тогда, когда число рациональных решений уравнения S=t2=m3-p2m бесконечно. Это уравнение относится к классу эллиптических кривых, заданных одним из уравнений Вейерштрасса t2= m3+am+b.

Такие уравнения сейчас находят применение в криптографии.

Вместе с тем не менее важным направлением задач алгебраической геометрии является выяснение числа решений полиномиального уравнения в целых числах, т.е. выяснение того, какие целые числа могут быть площадями прямоугольных треугольников с целыми длинами сторон [1]. Для выяснения этого вопроса необходимо было найти способ определения целочисленных сторон прямоугольных треугольников.

Из [2] известно, что x=2mn, y=m2-n2, z=m2+n2, где m, n – взаимно простые числа, а x, y, z – соответственно катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника.

В этом случае на множестве натуральных чисел справедливо тождество:

(2mn)2+(m2-n2)2=(m2+n2)2, т.е. x2+y2=z2, что соответствует теореме Пифагора. Это тождество строго фиксирует возможные значения величин m и n, а вслед за ними также значения x, y, z в целых числах. Вместе с тем, теперь величины m и n могут принимать не только целые, но и рациональные числа. Это, соответственно, дает возможность находить решение полиномиальных уравнений в рациональных числах. Для примера в таблице 1 приведены тройки чисел соответствующих прямоугольным треугольникам с целыми длинами трех сторон. Несложно показать, что величины m и n определяются взаимно простыми числами разной четности. В таблице 1, выделенные жирным шрифтом тройки целых чисел, соответствуют прямоугольным треугольникам с целыми длинами сторон. Значения m и n могут занимать бесконечный ряд чисел. Вместе с тем можно попытаться классифицировать значения m и n, а, следовательно, x, y, z по определенным признакам. Одним из таких признаков может являться величина разности между длинами катетов x и y. В таблице 2 представлены тройки пифагоровых чисел, соответствующие величине модуля разности d между длинами катетов x и y равной 1, 7, 23, 47, 79 в каждом из столбцов таблицы. Первая строка этой таблицы соответствует пифагоровым тройкам чисел, представленным в таблице 1 в первом столбце.

Необходимо отметить удивительную закономерность построения рядов пифагоровых троек в каждом из классов, а именно:

zk+1=6zk- zk-1, где zk+1 и zk-1 соответственно гипотенузы следующего и предыдущего zk прямоугольных треугольников в столбце.

Второй, не менее удивительной, закономерностью построения рядов пифагоровых троек в каждом из классов является:

(x+y)k+1=6(x+y)k-(x+y)k-1.

Это соотношение выполняется для суммы длин катетов и не выполняется для катетов в отдельности. Вместе с тем для катетов выполнимы следующие рекуррентные соотношения:

xk+1=5(xk+xk-1)-xk- yk+1=5(yk+yk-1)-yk-2.

Можно привести целый ряд рекуррентных взаимосвязей между сторонами прямоугольных треугольников для каждого столбца рассматриваемых таблиц, например, xk+1+xk=yk+1+yk=zk+1-zk, xk+1+xk=6(xk+xk-1)-(xk-1+xk-2), yk+1+yk=6(yk+yk-1)-(yk-1+yk-2), zk+1-zk=6(zk-zk-1)-(zk-1-zk-2).

Естественно, что каждому прямоугольному треугольнику с целочисленными значениями сторон x, y, z соответствуют определенные целочисленные значения m и n. Поскольку удается классифицировать прямоугольные треугольники по величине разности между длинами катетов, то этому способу классификации должен соответствовать определенный способ классификации значений m и n.

Этот способ классификации приведен в таблице 3, в которой каждому столбцу значений пифагоровых троек из таблицы 2 соответствует определенный столбец значений, определяющих эти тройки величин m и n в таблице 3. В ней каждой последовательной паре значений чисел соответствует определенная пифагорова тройка из таблицы 2. Так значениям n=1 и m=2 в верхнем левом углу таблицы 3 соответствуют значения x=2mn=4, y=m2-n2=3, z=m2+n2=5 в верхнем левом углу таблицы 2. В каждой последовательной паре значений чисел столбцов таблицы 3 величина m следует за величиной n.

Поскольку ряды пифагоровых троек связаны строгими рекуррентными соотношениями, то аналогичными соотношениями должны быть связаны также ряды определяющих их величин m и n.

Записывая m как mk+1, а n как mk, имеем рекуррентное соотношение mk+1=2mk+ mk-1, не менее удивительное, чем предыдущее и определяющее ряды пифагоровых троек с определенной разностью между длинами катетов, причем, (mk+12-mk2)2+(2mk+1mk)2=(mk+12+mk2)2.

Отметим так же, что число рядов пифагоровых троек, как и само число троек, бесконечно велико. Бессмысленно перечислять все ряды троек. Однако, чтобы продемонстрировать применимость приведенных выше рекуррентных соотношений в общем случае в таблице 4 представлены значения пифагоровых троек для верхнего (диагонального) ряда троек из таблицы 1. В таблице 4 оказываются представленными тройки пифагоровых чисел, соответствующие величине разности между длинами катетов x и y равной 1, 7, 17, 31, 49 в каждом из столбцов таблицы. Все приведенные выше рекуррентные соотношения оказываются выполнимыми для троек из таблицы 4.

Аналогично, таблица 5 для чисел m и n соответствует пифагоровым тройкам из таблицы 4. Отметим, что разность, а также сумма длин катетов, принимает дискретные строго определенные, зачастую простые значения. Величина разности между катетами x и y, очевидно, повторяется для разных рядов значений пифагоровых троек, например, число 7 для разности между катетами повторяется для двух рядов, причем, обязательно встречается одна из троек, в которой сумма катетов равна тому же числу. Эта закономерность позволяет попарно объединить ряды пифагоровых троек с одним и тем же значением разности между катетами. Это осуществлено в таблицах 6 и 7 для значений разности между катетами 1, 7, 23, 47, 79 в таблице 6 и значений разности между катетами 1, 7, 17, 31, 49 в таблице 7. Для упрощения записи таблиц вместо пифагоровых троек чисел приведены лишь значения гипотенуз z. В этих таблицах значения рядов пифагоровых троек продолжены в обратных направлениях, причем использованы одни и те же рекуррентные соотношения. Числа, соответствующие гипотенузам из пифагоровых троек в каждом ряду в результате располагаются на линейке бесконечной в обе стороны. Выделенные жирным шрифтом строчки в таблицах 6 и 7 имеют вспомогательное значение.

Выясним теперь, какие целые числа могут быть площадями прямоугольных треугольников с целыми длинами сторон? Площадь прямоугольного треугольника S=xy/2=mn(m2-n2)= nm3-n3m, так что это уравнение относится к классу эллиптических уравнений и является одним из уравнений Вейерштрасса. Очевидно, число целых решений этого уравнения бесконечно. Значения площадей прямоугольных треугольников однозначно определены величинами m и n и определяются рядами значений заданных разностью между длинами катетов. Для примера в таблице 8 приведены результаты значения площадей прямоугольных треугольников для верхней части треугольников из таблицы 2. Расчет площадей прямоугольных треугольников в каждом ряду соответствующей разностью между длинами катетов может осуществляться не только по приведенной выше формуле, но также в связи с рекуррентным соотношением:

Sn+1=35(Sn-Sn-1)+Sn-2, соответствующим каждому из рядов пифагоровых троек. Таким образом, пожалуй, получен ответ на поставленный вопрос о числе решений полиномиальных уравнений второй степени в целых числах.

Это относится ко всем остальным числам. В результате можно говорить не о рядах бесконечной протяженности в обоих направлениях, а о плоскостях формируемых перпендикулярно расположенными числовыми последовательностями с пересечением в данном числе. Таким образом, формируются уже не линейки чисел, а плоскости числовых последовательностей классифицируемых по определенному признаку. Фрагменты таких плоскостей чисел представлены в таблицах 9.1 – 9.12. Необходимо помнить, что эти фрагменты представляют часть плоскости, которая может быть продлена до бесконечности во всех четырех направлениях. В горизонтальных направлениях действует рекуррентное соотношение zk+1=6zk- zk-1, а в вертикальных направлениях это соотношение корректируется на величину числа указанного в верхней строчке над данным рядом чисел. Само число, на которое корректируется рекуррентное соотношение, получается из аналогичного числа, указанного в таблице 9.1 путем умножения на величину разностей длин катетов.

В свою очередь полученные плоскости числовых последовательностей могут быть классифицированы определенным образом.

Так из приведенных таблиц 9.1 – 9.12 с указанными разностями катетов 1, 7, 17, 23, 31, 41, 47. 49, 71, 73, 79, 89, 97 плоскости с разностями 1, 7, 41 представляют определенную совокупность плоскостей с одним и тем же рекуррентным соотношением, относящимся уже к сумме длин катетов:

41=6*7-1.

Следующей плоскостью в этой числовой последовательности будет плоскость с разностью 239:

239=6*41- и так далее до бесконечности в обоих направлениях.

Таким образом, можно говорить о бесконечном числе кубов числовых последовательностей бесконечной протяженности во всех шести направлениях, т.е. о своего рода трехмерных “кристаллах” числовых последовательностей.

5406093004 18073356848 38160932052 65668818616 5406093003 18073356855 38160932075 65668818663 7645370045 25559586377 53967707677 92869733945 31509019100 105339243312 222418211556 382745923832 31509019101 105339243305 222418211533 382745923785 44560482149 148972186537 314546851285 541284476393 183648021600 613962102996 1296348337192 2230806724188 183648021599 613962103003 1296348337215 2230806724235 259717522849 868273532845 1833313400033 3154837124413 1070379110496 3578433374692 7555671811688 13002094421484 1070379110497 3578433374685 7555671811665 13002094421437 1513744654945 5060669010533 10685333548913 18387738270085 6238626641380 20856638145128 44037682532844 75781759804528 6238626641379 20856638145135 44037682532867 75781759804575 8822750406821 29495740530353 62278687893445 107171592496097 36361380737780 121561395496104 256670423385468 441688464405872 36361380737781 121561395496097 256670423385445 441688464405825 51422757785981 171913774171585 362986793811757 624641816706497 1311738121 2398417561 3485097001 4571776441 3166815962 5790292204 8413768446 11037244688 7645370045 13979001969 20312633893 26646265817 18457556052 33748296142 49039036232 64329776322 44560482149 81475594253 118390706357 155305818461 107578520350 196699484648 285820448946 374941413244 259717522849 474874563549 690031604249 905188644949 627013566048 1146448611746 1665883657444 2185318703142 1513744654945 2767771787041 4021798919137 5275826051233 3654502875938 6681992185828 9709481495718 12736970805608 8822750406821 16131756158697 23440761910573 30749767662449 21300003689580 38945504503222 56591005316864 74236506130506 5406093004 13594802772 25493668224 41102689360 5406093003 13594802765 25493668207 41102689329 7645370045 19225954453 36053491345 58127980721 31509019100 79236317208 148587987328 239564029460 31509019101 79236317215 148587987345 239564029491 44560482149 112057074433 210135146897 338794699541 183648021600 461823100504 866034255812 1396281487524 183648021599 461823100497 866034255795 1396281487493 259717522849 653116492145 1224757390037 1974640216525 1070379110496 2691702285788 5047617547476 8138124895560 1070379110497 2691702285795 5047617547493 8138124895591 1513744654945 3806641878437 7138409193325 11509046599609 6238626641380 15688390614252 29419671029112 47432467885960 6238626641379 15688390614245 29419671029095 47432467885929 8822750406821 22186734778477 41605697769913 67079639381129 36361380737780 91438641399696 171470408627128 276456682420076 36361380737781 91438641399703 171470408627145 276456682420107 51422757785981 129313766792425 242495777426153 390968789687165 1311738121 2080136522 2848534923 3616933324 3166815962 5021893803 6876971644 8732049485 7645370045 12123924128 16602478211 21081032294 18457556052 29269742059 40081928066 50894114073 44560482149 70663408246 96766334343 122869260440 107578520350 170596558551 233614596752 296632634953 259717522849 411856525348 563995527847 716134530346 627013566048 994309609247 1361605652446 1728901695645 1513744654945 2400475743842 3287206832739 4173937921636 3654502875938 5795261096931 7936019317924 10076777538917 8822750406821 13990997937704 19159245468587 24327492999470 21300003689580 33777256972339 46254510255098 58731763537857 1513744654945 22186734778477 113441728156577 275278724789245 259717522849 3806641878437 19463523473585 47230362308293 44560482149 653116492145 3339412684933 8103449060513 7645370045 112057074433 572952636013 1390332054785 1311738121 19225954453 98303131145 238543268197 7645370045 25559586377 53967707677 92869733945 44560482149 148972186537 314546851285 541284476393 259717522849 868273532845 1833313400033 3154837124413 1513744654945 5060669010533 10685333548913 18387738270085 8822750406821 29495740530353 62278687893445 107171592496097 51422757785981 171913774171585 362986793811757 624641816706497 1513744654945 29495740530353 92768738033045 191332737163021 259717522849 5060669010533 15916599117997 32827507845241 44560482149 868273532845 2730856674937 5632309908425 7645370045 148972186537 468540931625 966351605309 1311738121 25559586377 80388914813 165799723429 7645370045 19225954453 36053491345 58127980721 44560482149 112057074433 210135146897 338794699541 259717522849 653116492145 1224757390037 1974640216525 1513744654945 3806641878437 7138409193325 11509046599609 8822750406821 22186734778477 41605697769913 67079639381129 51422757785981 129313766792425 242495777426153 390968789687165 9508687656 106275021990 473796123780 1403046171954 323015470680 3610222303410 16095120956124 47662268037030 1. Николенко С. Проблемы 2000 года: Гипотеза Берча-СвиннертонДайера// Компьютерра.№ 47-48 [619-620].20 декабря 2005.

(с.72-74).

2. Начала Евклида. Книги I-VI. М.-Л.: Гос. изд. техн.-теор. лит., 1950.

К ВОПРОСУ КЛАССИФИКАЦИИ

ПИФАГОРОВЫХ ЧИСЕЛ

Общим направлением задач алгебраической геометрии является выяснение числа решений полиномиального уравнения в рациональных числах. Это, прежде всего, так называемая задача о конгруэнтных числах: т.е. выяснение того, какие рациональные числа могут быть площадями прямоугольных треугольников с рациональными длинами сторон.

Такие уравнения сейчас находят применение в криптографии.

Вместе с тем не менее важным направлением задач алгебраической геометрии является выяснение числа решений полиномиального уравнения в целых числах, т.е. выяснение того, какие целые числа могут быть площадями прямоугольных треугольников с целыми длинами сторон [2]. Для выяснения этого вопроса необходимо было найти способ определения целочисленных сторон прямоугольных треугольников.

Из [3] известно, что x=2mn, y=m2-n2, z=m2+n2, где m, n – взаимно простые числа, а x, y, z – соответственно катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника.

В этом случае на множестве натуральных чисел справедливо тождество:

(2mn)2+(m2-n2)2=(m2+n2)2, что соответствует теореме Пифагора. Это тождество строго фиксирует возможные значения величин m и n, а вслед за ними также значения x, y, z в целых числах. Вместе с тем теперь величины m и n могут принимать не только целые, но и вещественные значения. Это, соответственно, дает возможность находить решения полиномиальных уравнений в вещественных числах.

В таблице 1 [2] приведены тройки чисел, соответствующих прямоугольным треугольникам с целыми длинами их сторон. Несложно показать, что величины m и n определяются взаимно простыми числами разной четности. Для примера в таблице 1 [2], выделенные жирным шрифтом тройки целых чисел, соответствуют прямоугольным треугольникам с целыми длинами сторон. Значения m и n могут занимать бесконечный ряд чисел. Вместе с тем удается классифицировать значения m и n, а, следовательно, x, y, z по определенным признакам. Одним из таких признаков является величина модуля разности di между длинами катетов xi и yi. Действительно таблица 1 [2] позволяет каждой тройке пифагоровых чисел сопоставить пару значений определяющих величины d=|x-y| и с=x+y (таблица 1). Эта таблица позволяет сделать следующие выводы:

значения гипотенуз прямоугольных треугольников определяются последовательностью целых чисел класса 1 вычетов по mod 4 (1, 5, 13, 17, 25, 29, 37, 41, 53, 61, 65, 65, 73, 85, 85, 89, 97,…), в которой представлены простые числа класса вычетов по mod 4 (1,5, 13, 17,…), а также их степени (25=5*5) и произведения простых чисел класса 1 вычетов по mod 4 (65=5*13 и 85=5*17…), причем составные числа представлены по крайней мере парой значений;

один из катетов прямоугольных треугольников определяется последовательностью четных чисел класса 0 вычетов по mod 4(0,4, 8, 12, 16, 20, 24,…), в которой представлены все четные числа класса 0 вычетов по mod 4;

другой из катетов прямоугольных треугольников определяется последовательностью нечетных чисел классов 1 и 3 вычетов по mod 4 (1,3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,…), в которой представлены все нечетные числа классов 1 и 3 вычетов по mod 4;

модуль разности катетов прямоугольных треугольников определяется последовательностью отдельных нечетных чисел классов 1 и 3 вычетов по mod 4 (1, 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 79, 89, 97, 103, 113, 119,…), в которой представлены простые числа из классов 1 и 3 вычетов по mod 4 (1,7, 17, 23, 31, 41, 47, 71, 79, 89,…), а также их степени (49=7*7) и произведения этих чисел (119=7*17), причем составные числа представлены по крайней мере парой значений;

сумма катетов прямоугольных треугольников определяется последовательностью отдельных нечетных чисел классов 1 и 3 вычетов по mod 4 (1, 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 79, 89, 97, 103, 113, 119,…), в которой представлены простые числа из классов 1 и 3 вычетов по mod 4 (1,7, 17, 23, 31, 41, 47, 71, 79, 89,…), а также их степени (49=7*7) и произведения этих чисел (119=7*17), причем составные числа представлены по крайней мере парой значений;

модуль разности и сумма катетов прямоугольных треугольников, очевидно, определяются одними и теми же последовательностями отдельных чисел (1,7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 79, 89, 97, 103, 113, 119,…), в которой представлены простые числа из классов 1 и 3 вычетов по mod 4 (1,7, 17, 23, 31, 41, 47, 71, 79, 89,…), а также их степени (49=7*7) и произведения этих чисел (119=7*17), причем составные числа представлены по крайней мере парой значений;

модули разности катетов прямоугольных треугольников имеют одно и тоже значение при разных значениях гипотенуз (…, 29, 5, 1, 1, 5, 29,… при |x-y|=1 или …,73, 13, 5, 17, 79,… при |x-y|=7,…) причем значения |x-y| повторяют отдельные значения x+y, так что из этих чисел может быть сформировано бесконечное число последовательностей z бесконечной длины (…, 29, 5, 1, 1, 5, 29,… или …, 73, 13, 5, 17, 97,…) (таблица 2);

последовательности гипотенуз прямоугольных треугольников определяют последовательности сумм катетов (…, -41, при |x-y|=1 или …, -103, -17, 1, 23, 137,… при |x-y|=7,…) причем значения |x-y| повторяют отдельные значения x+y, так что из этих чисел может быть сформировано бесконечное число последовательностей c бесконечной длины (…, -41, -7, 1, 1, 7, 41,… при |x-y|=1 или …,-103, -17, 1, 23, 137,… при |x-y|=7,…);

последовательности гипотенуз z и сумм катетов c прямоугольных треугольников полностью определяют последовательности пифагоровых троек чисел, поскольку полусумма и полуразность значений |x-y| и x+y определяют величины x и y для каждого значения z;

модуль разности и сумма катетов прямоугольных треугольников относится к числам вида 8n±1, где n=0,1,2,…, т.е. к последовательности mod 4 (1, 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 79, 89, 97, 103, 113, 119,…).

Необходимо отметить удивительную закономерность построения рядов пифагоровых троек для каждого модуля разности катетов, а именно:

zk+1=6zk- zk-1, где zk+1 и zk-1 соответственно гипотенузы следующего и предыдущего zk прямоугольных треугольников в каждой из последовательностей (…,1=6*1-5, 5=6*1-1, 29=6*5-1,… или …5=6*13-73, 17=6*5-13, 97=6*17Второй, не менее удивительной, закономерностью построения рядов пифагоровых троек в каждой из последовательностей является:

ck+1=6ck-ck-1.

где ck+1 и ck-1 соответственно суммы катетов следующего и предыдущего ck прямоугольных треугольников в каждой из последовательностей (…,1=6*(-1)-(-7), 7=6*1-(-1), 41=6*7-1,… или …1=6*(-17)-(-103), 23=6*1-(-17), 137=6*23-1,…).

Рассмотренные рекуррентные соотношения выполняются для гипотенуз и сумм катетов и не выполняются для катетов в отдельности. Вместе с тем для катетов выполнимы следующие рекуррентные соотношения:

xk+1=5(xk+xk-1)-xk- yk+1=5(yk+yk-1)-yk-2.

Они определяются величинами катетов не из двух предыдущих значений, а трех и поэтому менее удобны. Таким образом, пифагоровы тройки чисел формируют бесконечное число рядов значений гипотенуз z и сумм катетов c бесконечной протяженности в обоих направлениях, соответствующих определенным значениям модуля разности катетов. В свою очередь сами катеты формируют бесконечное число рядов значений определяемых как полусумма и полуразность величин |x-y| и x+y, т. е. d и c.

То же самое можно сказать о построении рядов периметров p и рядов t=p+z прямоугольных треугольников (таблицы 3.1-3.8) (x+y+z)k+1=6(x+y+z)k-(x+y+z)k-1, т.е. pk+1=6pk-pk- tk+1=6(p+z)k-(p+z)k-1, т.е. tk+1= 6tk-tk- и бесконечном числе других рядов подобного рода.

Необходимо отметить, что размеры прямоугольных треугольников в каждом из рядов интенсивно нарастают, причем они определяются взаимно простыми числами, среди которых часто встречаются простые, так что эти ряды определяют генераторы взаимно простых и простых чисел. Из таблицы 7 видно, что каждая тройка гипотенуз последовательных прямоугольных треугольников попарно проста. Это представляет практический интерес для задач криптографии. Отметим также, что число рядов пифагоровых троек, как и само число троек, бесконечно велико.

Отметим, что модуль разности d, а также сумма длин катетов c, принимает дискретные строго определенные, зачастую простые значения. Величина разности между катетами x и y, очевидно, повторяется для разных рядов значений пифагоровых троек, например, число 7 для разности между катетами повторяется для двух рядов, причем, обязательно встречается одна из троек, в которой сумма катетов равна тому же числу. Эта закономерность позволяет попарно объединить ряды пифагоровых троек с одним и тем же значением разности между катетами. Это осуществлено в таблицах 1 и 2 для значений разности между катетами 1, 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49. Для упрощения записи таблиц вместо пифагоровых троек чисел приведены лишь значения гипотенуз z, суммы катетов с, периметров p и суммы периметров с гипотенузами t. Модуль разности катетов отмечен нижним индексом. В таблице 2 значения рядов z, с, p и t, а также чисел m и n могут быть продолжены в обоих направлениях, причем используются одни и те же рекуррентные соотношения mk+1=2mk+ mk-1, nk+1=2nk+nk-1, ck+1=6ck -ck-1, pk+1=6pk – pk-1, tk+1=6tk -tk-1.

Эти числа в каждом ряду в результате располагаются на линейке бесконечной длины в обе стороны.

Выясним теперь, какие целые числа могут быть площадями прямоугольных треугольников с целыми длинами сторон. Площадь прямоугольного треугольника S=xy/2=mn(m2-n2)= nm3-n3m, так что это уравнение относится к классу эллиптических уравнений и является одним из уравнений Вейерштрасса. Очевидно, число целых решений этого уравнения бесконечно. Значения площадей прямоугольных треугольников однозначно определены величинами m и n и определяются рядами значений заданных разностью между длинами катетов.

Отметим также интересную особенность классификации пифагоровых троек. Во-первых, пифагоровы тройки создают ряды бесконечной протяженности в обоих направлениях, если они соответствуют определенному модулю разности длин катетов. Во-вторых, каждой гипотенузе соответствует два ряда пифагоровых троек. Так, например, число 13 встречается в последовательностях гипотенуз …, 73, 13, 5, 17, 97, … и …, 137, 25, 13, 53, 305,…, так что имеет место пересечение двух рассмотренных последовательностей в значении 13. Это относится ко всем остальным числам. В результате можно говорить не о рядах гипотенуз (а также других величин) бесконечной протяженности в обоих направлениях, а о плоскостях, формируемых перпендикулярно расположенными числовыми последовательностями, с пересечением в данном числе. Таким образом, формируются уже не линейки, а плоскости числовых последовательностей, классифицируемых по определенному признаку.

Фрагменты таких плоскостей чисел представлены в таблицах 3.1 – 3.8. Необходимо помнить, что эти фрагменты представляют часть плоскостей, которые могут быть продлены до бесконечности во всех четырех направлениях. В горизонтальных направлениях действуют рекуррентные соотношения zk+1=6zk- zk-1, ck+1=6ck- ck-1, pk+1=6pk- pk-1, tk+1=6tk- tk- и т. д., а в вертикальных направлениях эти соотношения корректируются на величину числа указанного в верхней строчке над данным рядом чисел. Само число, на которое корректируется рекуррентное соотношение, получается из аналогичного числа, указанного в таблице 3.1 путем умножения на величину модуля разности длин катетов. Центральный столбик бесконечной последовательности гипотенуз z корректируется на число 0, т. е. определяется тем же рекуррентным соотношением. Столбики слева и справа от центрального получаются различными путями, в частности, цифра центрального столбика умножается на 3 и корректируется в сторону уменьшения и увеличения на удвоенный модуль разности катетов, значение которого приведено во второй части таблицы. Цифры, отмеченные жирным шрифтом, в значениях d и c имеют вспомогательное значение.

Можно также говорить о рядах сумм катетов c бесконечной протяженности в обоих направлениях и о плоскостях сумм катетов, формируемых перпендикулярно расположенными числовыми последовательностями. Формируются не линейки сумм катетов, а плоскости числовых последовательностей сумм катетов, классифицируемых по определенному признаку. Фрагменты таких плоскостей чисел представлены в правой части таблиц 3.1 – 3.8. Необходимо помнить, что эти фрагменты представляют части плоскостей, которые могут быть продлены до бесконечности во всех четырех направлениях. В горизонтальных направлениях действует рекуррентное соотношение ck+1=6ck-ck-1, а в вертикальных направлениях это соотношение корректируется на величину числа указанного в верхней строчке над данным рядом чисел. Само число, на которое корректируется рекуррентное соотношение, получается из аналогичного числа, указанного в таблице 3.1 путем умножения на величину модуля разности длин катетов. Центральный столбик бесконечной последовательности чисел с определяется величиной модуля разности катетов. Столбики слева и справа от центрального получаются различными путями, в частности, цифра центрального столбика умножается на 3 и корректируется в сторону уменьшения и увеличения на учетверенную величину zk, значение которой приведено в правой части таблицы.

Значения катетов x и y находятся как полусумма и полуразность величин первой и второй части таблиц 3.1-3.8, так что каждому значению гипотенуз z из правой части таблиц находится пара значений x и y. Отметим, что центральному столбику правой части таблицы соответствует определенная величина модуля разности катетов. Таким образом, каждая из таблиц 3.1-3.8 дает классификацию всего бесконечного ряда числовых последовательностей, соответствующих данному значению модуля разности катетов. Тоже самое относится к рядам числовых последовательностей p и t.

В свою очередь полученные пары плоскостей числовых последовательностей могут быть классифицированы определенным образом. Так из приведенных таблиц 3.1 – 3.8 с указанными разностями катетов 1, 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49 плоскости с модулем разности катетов с разностями 1, 7, 41 представляют определенную совокупность плоскостей с той же последовательностью, относящимся уже к сумме длин катетов (…-7, -1, 1, 7, 41,…). Следующей плоскостью в этой числовой последовательности будет плоскость с разностью 239 и так далее до бесконечности в обоих направлениях.

Укажем на принципиально важную особенность последовательностей z, с, p и t, а также чисел m и n в том отношении, что определители, вычисленные для соответствующих строк каждой пары последовательностей, имеют определенные значения на всем протяжении столбцов [4], причем они определяются модулями разности катетов. Более того, для пар столбцов n и m, c и z, t и p выполняется уравнение Диофанта (таблицы 4.1-4.8) n2- 2m2=±d2, причем d2 равен квадрату модуля разности двух катетов. Определители из пар значений n и m равны Отметим, что последовательности значений c и z, t и p определяются черезстрочной разверткой последовательностей n и m (таблица 2).

Поскольку pi=ci+zi, то ряды периметров определяются последовательным суммированием гипотенуз и сумм катетов. Эти последовательности размножаются влево и вправо до беспредельно больших значений.

Число таких последовательностей тем более увеличивается, если учесть, что порядок следования z, c, p и t может быть произвольным.

Pages: | 1 |

| 3 | 4 | ... | 6 |

Главная >> Монографии

[ СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ ДОКУМЕНТА .pdf ]

Похожие работы:

«Д. В. Зеркалов СОЦИАЛЬНАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ Монография Электронное издание комбинированного использования на CD-ROM Киев „Основа” 2012 ББК 60 З-57 Зеркалов Д.В. Социальная безопасность [Электронный ресурс] : Монография / Д. В. Зеркалов. – Электрон. данные. – К. : Основа, 2012. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM); 12 см. – Систем. требования: Pentium; 512 Mb RAM; Windows 98/2000/XP; Acrobat Reader 7.0. – Название с тит. экрана. ISBN 978-966-699-651-3 © Зеркалов Д. В., 2012 1 НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ...»

«В.М. Фокин ТЕПЛОГЕНЕРАТОРЫ КОТЕЛЬНЫХ МОСКВА ИЗДАТЕЛЬСТВО МАШИНОСТРОЕНИЕ-1 2005 В.М. Фокин ТЕПЛОГЕНЕРАТОРЫ КОТЕЛЬНЫХ МОСКВА ИЗДАТЕЛЬСТВО МАШИНОСТРОЕНИЕ-1 2005 УДК 621.182 ББК 31.361 Ф75 Рецензент Доктор технических наук, профессор Волгоградского государственного технического университета В.И. Игонин Фокин В.М. Ф75 Теплогенераторы котельных. М.: Издательство Машиностроение-1, 2005. 160 с. Рассмотрены вопросы устройства и работы паровых и водогрейных теплогенераторов. Приведен обзор топочных и...»

«ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Ю. А. Бобров ГРУШАНКОВЫЕ РОССИИ Киров 2009 УДК 581.4 ББК 28.592.72 Б 72 Печатается по решению редакционно-издательского совета Вятского государственного гуманитарного университета Рецензенты: Л. В. Тетерюк – кандидат биологических наук, старший научный сотрудник отдела флоры и растительности Севера Института биологии Коми НЦ УрО РАН С. Ю. Огородникова – кандидат биологических наук, доцент кафедры экологии Вятского государственного гуманитарного...»

«MINISTRY OF NATURAL RESOURCES RUSSIAN FEDERATION FEDERAL CONTROL SERVICE IN SPHERE OF NATURE USE OF RUSSIA STATE NATURE BIOSPHERE ZAPOVEDNIK “KHANKAISKY” VERTEBRATES OF ZAPOVEDNIK “KHANKAISKY” AND PRIKHANKAYSKAYA LOWLAND VLADIVOSTOK 2006 МИНИСТЕРСТВО ПРИРОДНЫХ РЕСУРСОВ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ПО НАДЗОРУ В СФЕРЕ ПРИРОДОПОЛЬЗОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПРИРОДНЫЙ БИОСФЕРНЫЙ ЗАПОВЕДНИК ХАНКАЙСКИЙ...»

«СОВРЕМЕННАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ ИНСТИТУТ МЕЖДУНАРОДНОЙ ТОРГОВЛИ И ПРАВА М.Ф. СЕКАЧ ПСИХИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЧЕЛОВЕКА Монография Москва 2013 УДК 159.9 ББК 88.52 Секач М.Ф. Психическая устойчивость человека: Монография. – М.: АПКиППРО, 2013. – 356 с. Рецензенты: Кандыбович Сергей Львович, Заслуженный деятель науки РФ, лауреат премии Правительства РФ в области образования, лауреат премии Правительства РФ в области науки и техники, лауреат Государственной премии РФ им. Маршала Советского Союза...»

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ – ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ СТРАТЕГИИ РАЗВИТИЯ РОССИЙСКИХ ВУЗОВ: ответы на новые вызовы Под научной редакцией Н.Л. Титовой МОСКВА – 2008 Файл загружен с http://www.ifap.ru УДК 37 ББК 74.04(2) С83 Авторский коллектив: Андреева Н.В., к.э.н. – раздел 1.4 Балаева О.Н., к.э.н. – раздел 1.41 Бусыгин В.П., к.ф.-м.н. – Глава 4, Приложение 5 Муратова Ю.Р. – Глава 3, Приложение 4 Радаев В.В., д.э.н. – Предисловие, Глава 3, Приложение 4 Титова Н.Л., к.э.н. – Главы 1, 2, 5;...»

«ЯНКОВСКИЙ Н.А., МАКОГОН Ю.В., РЯБЧИН А.М., ГУБАТЕНКО Н.И. АЛЬТЕРНАТИВЫ ПРИРОДНОМУ ГАЗУ В УКРАИНЕ В УСЛОВИЯХ ЭНЕРГО- И РЕСУРСОДЕФИЦИТА: ПРОМЫШЛЕННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ Научное издание 2011 УДК 696.2 (477) Янковский Н.А., Макогон Ю.В., Рябчин А.М., Губатенко Н.И. Альтернативы природному газу в Украине в условиях энерго- и ресурсодефицита: промышленные технологии: Монография / под ред. Ю. В. Макогона. – Донецк: ДонНУ, 2011.–247 с. Авторы: Янковский Н.А. (введение, п.1.3., 2.3., 2.4., 3.1.), Макогон Ю.В....»

«Федеральное агентство по образованию Тверской государственный технический университет В.А. Миронов, Э.Ю. Майкова Социальные аспекты активизации научно-исследовательской деятельности студентов вузов Монография Тверь 2004 УДК 301:378:001.45 ББК 60.543.172+60.561.8 Миронов В.А., Майкова Э.Ю. Социальные аспекты активизации научноисследовательской деятельности студентов вузов: Монография. Тверь: ТГТУ, 2004. 100 с. Монография посвящена выявлению и анализу факторов, оказывающих влияние на...»

«Российская Академия Наук Институт философии СПЕКТР АНТРОПОЛОГИЧЕСКИХ УЧЕНИЙ Выпуск 2 Москва 2008 1 УДК 141 ББК 87.3 С 71 Ответственный редактор доктор филос. наук, доктор филол. наук П.С. Гуревич Рецензенты доктор филос. наук Ф.И. Гиренок доктор филос. наук В.М. Розин Спектр антропологических учений. Вып. 2 [Текст] / Рос. С 71 акад. наук, Ин-т философии ; Отв. ред. П.С. Гуревич. – М. : ИФРАН, 2008. – 000 с. ; 20 см. – Библиогр. в примеч. – 500 экз. – ISBN 978-5-9540-0121-1. Данная монография...»

«Иванов Д.В., Хадарцев А.А. КЛЕТОЧНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ВОССТАНОВИТЕЛЬНОЙ МЕДИЦИНЕ Монография Под редакцией академика АМТН, д.м.н., профессора А.Н. Лищука Тула – 2011 УДК 611-013.11; 616-003.9 Иванов Д.В., Хадарцев А.А. Клеточные технологии в восстановительной медицине: Монография / Под ред. А.Н. Лищука.– Тула: Тульский полиграфист, 2011.– 180 с. В монографии даны основные сведения о современном взгляде на клеточные технологии с позиций восстановительной медицины. Изложены основные понятия...»

«С.В. Сидоров ИННОВАЦИИ В СЕЛЬСКОЙ ШКОЛЕ: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА УПРАВЛЕНИЯ Монография Шадринск 2006 УДК 373 ББК 74.24 С 347 Сидоров С.В. Инновации в сельской школе: теория и С 347 практика управления: Монография / Под ред. С.А. Репина. – Шадринск: Изд-во ПО Исеть, 2006. – 266 с. Рецензенты А.Ф. Аменд, доктор педагогических наук, профессор (Челябинский государственный педагогический университет, г. Челябинск) Кафедра теории и практики профессионального образования Ленинградского областного института...»

«Д. В. Зеркалов ПРОДОВОЛЬСТВЕННАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ Монография Электронное издание комбинированного использования на CD-ROM Киев „Основа” 2012 УДК 338 ББК 65.5 З-57 Зеркалов Д.В. Продовольственная безопасность [Электронний ресурс] : Монография / Д. В. Зеркалов. – Электрон. данные. – К. : Основа, 2009. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM); 12 см. – Систем. требования: Pentium; 512 Mb RAM; Windows 98/2000/XP; Acrobat Reader 7.0. – Название с тит. экрана. ISBN 978-966-699-537-0 © Зеркалов Д. В. УДК ББК 65....»

«Казанцев А.А. Большая игра с неизвестными правилами: Мировая политика и Центральная Азия Москва 2008 Казанцев А.А. БольШАЯ ИгРА С НЕИзВЕСТНыМИ ПРАВИлАМИ: МИРоВАЯ ПолИТИКА И ЦЕНТРАльНАЯ АзИЯ В работе анализируется структура международных This monograph analyzes the structure of international взаимодействий, сложившаяся в Центральной Азии relations in Post-Soviet Central Asia and Caspian Sea в 1991-2008 годах, и ее влияние на региональные region. In the first part of the book the author studies...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова В.Н. Бурков, Д.А. Новиков, А.В. Щепкин МЕХАНИЗМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЭКОЛОГО-ЭКОНОМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ Под редакцией академика С.Н. Васильева Москва Физматлит 2008 ББК 32.81 Б 91 УДК 519 В.Н. БУРКОВ, Д.А. НОВИКОВ, А.В. ЩЕПКИН Механизмы управления эколого-экономическими системами / Под ред. академика С.Н. Васильева. – М.: Издательство физико-математической литературы, 2008. – 244 с. Монография содержит результаты разработки и...»

«Межрегиональные исследования в общественных науках Министерство образования и науки Российской Федерации ИНО-центр (Информация. Наука. Образование) Институт имени Кеннана Центра Вудро Вильсона (США) Корпорация Карнеги в Нью-Йорке (США) Фонд Джона Д. и Кэтрин Т. Мак-Артуров (США) Данное издание осуществлено в рамках программы Межрегиональные исследования в общественных науках, реализуемой совместно Министерством образования и науки РФ, ИНО-центром (Информация. Наука. Образование) и Институтом...»

«axl-rose ([email protected]) 1 ПРАВО И ИНТЕРНЕТ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ 2-е издание, дополненное И.М. РАССОЛОВ Рассолов Илья Михайлович - доктор юридических наук, специалист в области информационного права, права и управления. Заведующий кафедрой информационного, предпринимательского и торгового права Российского государственного торговоэкономического университета, член Общественного совета Московского бюро по правам человека. Член Союза писателей Москвы. За последние годы автором написаны и изданы...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН КОМИТЕТ НАУКИ ИНСТИТУТ ФИЛОСОФИИ И ПОЛИТОЛОГИИ КАЗАХСТАН В ГЛОБАЛЬНОМ МИРЕ: ВЫЗОВЫ И СОХРАНЕНИЕ ИДЕНТИЧНОСТИ Посвящается 20-летию независимости Республики Казахстан Алматы, 2011 1 УДК1/14(574) ББК 87.3 (5каз) К 14 К 14 Казахстан в глобальном мире: вызовы и сохранение идентичности. – Алматы: Институт философии и политологии КН МОН РК, 2011. – 422 с. ISBN – 978-601-7082-50-5 Коллективная монография обобщает результаты комплексного исследования...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.П. АСТАФЬЕВА О. В. БАРКАНОВА НАЦИОНАЛЬНОЕ САМОСОЗНАНИЕ ЛИЧНОСТИ Красноярск 2006 2 ББК 88 Б 25 Рецензенты: Доктор психологических наук, профессор С.Н. Орлова, Директор Центра психолого-медико-социального сопровождения №5 Сознание Л.П.Фальковская Барканова, О.В. Б 25 Национальное самосознание личности: монография / О.В. Барканова; Краснояр. гос. пед. ун-т. – Красноярск, 2006. – 171с. ISBN...»

«Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное научное учреждение Российский научно-исследовательский институт проблем мелиорации (ФГНУ РосНИИПМ) ПРОБЛЕМЫ И ПЕРСПЕКТИВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ВОДНЫХ РЕСУРСОВ В АГРОПРОМЫШЛЕННОМ КОМПЛЕКСЕ РОССИИ Под общей редакцией академика РАСХН, доктора технических наук, профессора В.Н. Щедрина Новочеркасск 2009 УДК 333.93:630:631.6 ГРНТИ 70.94 Рецензенты: член-корреспондент РАСХН, д-р техн. наук, проф. В.И. Ольгаренко...»

наверх

<< ГЛАВНАЯ | КОНТАКТЫ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА (Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

МНОГОМЕРНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ

НЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

N-ПОЗИЦИОННЫЕ АЛГЕБРЫ

ПИФАГОРОВЫ ЧИСЛА

И ДВОЙНАЯ (ТРОЙНАЯ) СПИРАЛИ

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

В ВИДЕ СУММЫ ВОСЬМИ КВАДРАТОВ

СТРУКТУРА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

ПИФАГОРОВЫХ ЧИСЕЛ

К НАХОЖДЕНИЮ РЕШЕНИЙ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

К ВОПРОСУ КЛАССИФИКАЦИИ

ПИФАГОРОВЫХ ЧИСЕЛ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)