«В. С. Ермолин, В. С. Королев, И. Ю. Потоцкая ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Часть I. Кинематика Учебное пособие Санкт -Петербург 2013 УДК 51-72 Печатается по постановлению Редакционно–издательского совета Факультета Прикладной ...»

Санкт-Петербургский государственный университет

В. С. Ермолин, В. С. Королев, И. Ю. Потоцкая

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Часть I. Кинематика

Учебное пособие

Санкт -Петербург 2013

УДК 51-72

Печатается по постановлению Редакционно–издательского совета

Факультета Прикладной Математики — Процессов Управления

Санкт–Петербургского государственного университета Ермолин В. С., Королев В. С., Потоцкая Е. Ю.

Н74 Теоретическая механика. Часть I. Кинематика. Учебное пособие.— СПб: СПбГУ, ВВМ, 2013. — 225 с.

ISBN 978-5-9651-0695-0 Предлагаемый учебник составлен на основе прочитанных курсов лекций для студентов различных специальностей факультета ПМ-ПУ СПбГУ с использованием многих классических учебников по теоретической механике.

Предназначается для подготовки студентов по направлениям «прикладная математика и информатика», «прикладная математика и физика».

Рассматриваются различные способы описания движения материальной точки, твердого тела для простейших случаев и сложное движение механической системы. Содержатся традиционные разделы и задачи классической механики, а также новые методические подходы к изложению материала.

Пособие может быть полезным бакалаврам, специалистам и магистрам физико-математических специальностей и направлений университетов.

ISBN 978-5-9651-0695-0 © В. С. Ермолин, В. С. Королев, И. Ю. Потоцкая Теоретическая механика. Часть 1. Кинематика.

Стр.

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ

ВВЕДЕНИЕ

§1. Предмет курса теоретической механики.....................

1. Основные задачи физической механики. 2. Основа и средства теоретической механики. 3. Основные задачи теоретической механики. 3.1. Основные задачи кинематики и статики. 3.2. Основные задачи динамики. §2. Основные понятия теоретической механики..................

1. Пространство и время. 1.1. Абсолютное пространство. 1.2. Абсолютное время. 1.3.Связь «абсолютного пространства» и «абсолютного времени». 1.4. Единицы измерения пространства и времени. 2. Точка отсчета и система отсчета. 2.1. Понятие радиус-вектора геометрической точки P и ее положения. 2.2. Понятие «точки отсчета» и «системы отсчета». §3. Математические модели материальных объектов............... 1. Материальная точка. 2. Понятие механической системы. 3. Понятие неизменяемой системы. 4. Понятие «абсолютно твердого тела». §4. Понятия положения и движения материальных объектов..........

1. Понятие положения материальной точки. 2. Понятие положения механической системы и твердого тела. 3. Понятие движения материальной точки. 4. Понятие движения механической системы и твердого тела. 5. Понятие «покоя» материальной точки, механической системы и твердого тела. §5. Понятие кинематических характеристик материальных объектов......

1. Скорость и ускорение материальной точки. 2. Скорость и ускорение механической системы и твердого тела. 3. Кинематические характеристики материальных объектов. 4. Вопросы для тестирования к разделу «Введение» Глава 1. Кинематика точки.

§1. Векторный и координатный способы задания движения точки.......

1. Векторный способ задания движения точки. 1.1. Описание векторного способа задания движения. 1.2. Вычисление скорости и ускорения при векторном задании движения. 1.3. Построение движения через задание скорости или ускорения. 2. Координатный способ задания движения точки. 2.1. Описание координатного способа задания движения. 2.2. Вычисление скорости и ускорения при координатном способе. §2. Естественный способ задания движения точки.................

§4. Задание движения точки в полярных координатах...............

§5. Задание движения материальной точки в криволинейных координатах..

5. Ортогональные криволинейные координаты и условия ортогональности. 6. Линейные перемещения точки и их связь с линейными перемещениями 7. Союзная система координат и ее связь с основной. Ковариантные §6. Кинематические характеристики точки в цилиндрических координатах.

§7. Кинематические характеристики точки в сферических координатах....

§8. Примеры решения задач и вопросы/.......................

Глава 2. Кинематика системы материальных точек.

§2. Ограничения, накладываемые геометрическими связями на скорости и ускорения материальных точек.................

1. Ограничения, накладываемые геометрическими связями на скорости. 2. Ограничения, накладываемые геометрическими связями на ускорения. §3. Линейные дифференциальные связи первого порядка и условия их 1. Линейные дифференциальные связи первого порядка и их приведение 3. Условия интегрируемости уравнения в полных дифференциалах 4. Условия интегрируемости линейных дифференциальных связей 5. Понятие голономных и неголономных механических систем.

§4. Обобщенные координаты голономной системы.................

2. Число степеней свободы положения в голономных механических §5. Обобщенные координаты и число степеней свободы движения 1. Условия, накладываемые на математические модели связей §6. Обобщенные скорости и ускорения. Основные кинематические 1. Обобщенные скорости и ускорения и их связь со скоростями и 3. Ограничения, накладываемые голономными связями на обобщенные 4. Ограничения на обобщенные координаты и обобщенные скорости, Глава 3. Кинематика твердого тела.

§1. Связанная система координат...........................

1. Анализ взаимного расположения точек жесткой системы при движении. §2. Способы задания движения твердого тела..... ..............

3. Матричная и векторно-матричная формы записи задания движения тела. §3. Матрица ориентации, ее геометрический смысл и основные свойства.

§4. Теорема Эйлера. Построение матрицы ориентации твердого тела §5. Выражение матриц ориентации твердого тела через самолетные §6. Алгебраический метод построения матрицы ориентации...........

§7. Число степеней свободы свободного твердого тела...............

§8. Мгновенная угловая скорость твердого тела...................

2. Понятие вектора мгновенной угловой скорости подвижной системы §9. Распределение скоростей в твердом теле................ .....

§10. Распределение ускорений в твердом теле....................

§11. Поступательное движение твердого тела....................

§12. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси...............

1. Структура матрицы ориентации твердого тела при его вращении §13. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки............ .

§14. Плоское движение твердого тела.........................

2. Связь движения плоской фигуры с плоским движением твердого тела. 3. Задание движения плоской фигуры. Кинематические характеристики. 4. Мгновенный центр скоростей. Подвижная и неподвижная центроиды. §15. Примеры решения задач и вопросы.......................

Глава 4. Сложное движение.

§1. Сложное движение материальной точки.....................

2. Связь между составляющими движениями в сложном движении §2. Связь кинематических характеристик в сложном движении точки.....

1. Понятие кинематических характеристик составляющих движений 2. Дифференцирование вектора, заданного в проекциях на подвижные оси. §3. Сложное движение твердого тела.........................

2. Связь абсолютного движения твердого тела с его составляющими 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела в переносном 4.1. Формула для скоростей точек твердого тела в сложном движении. §4. Кинематические уравнения Эйлера........................

§5. Задача Дарбу. Кинематические уравнения Пуассона..............

§6. Примеры решения задач и вопросы........................

Список литературы.

Предлагаемое учебное пособие основано на курсе лекций по теоретической механике, прочитанных студентам факультета прикладной математики – процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета в течение многих лет. Особенностью этого курса является изложение теоретической механики как типично прикладной науки, на примере которой демонстрируются все основные «инструменты» таких фундаментальных дисциплин как математический анализ, геометрия, высшая алгебра, дифференциальное исчисление. В связи с этим, наряду с понятиями и задачами механики, курс охватывает широкий спектр вопросов из перечисленных дисциплин, позволяющих эти вопросы решать. Подобное изложение облегчает восприятие излагаемого материала, так как его изучение требует минимума дополнительной литературы.

Годовой курс лекций по теоретической механике разбит на два основных раздела, которые представлены отдельными книгами: «Часть 1. Кинематика» и «Часть 2.

Динамика».

Информация разделена по тематике (главы, параграфы, разделы), которая определяет тройную нумерацию формул и рисунков (номер главы и параграфа, а затем номер формулы или рисунка).

Раздел «Кинематика» охватывает основные понятия кинематики точки, системы материальных точек и твердого тела. Рассматриваются различные способы описания движения материальной точки, твердого тела для простейших случаев и сложное движение механической системы. Содержатся традиционные разделы и задачи классической механики, а также новые методические подходы к изложению материала.

Раздел «Динамика» состоит из шести глав. В первой из них излагаются основные понятия и аксиомы динамики. Во второй главе рассматриваются уравнения аналитической динамики в декартовых и обобщенных координатах. Третья глава описывает геометрию масс. Следующие главы посвящены основным динамическим характеристикам движения. Здесь излагаются их свойства и основные теоремы об изменении. Глава шестая, которая подготовлена В.С. Королевым, содержит основы космической динамики и механической системы переменной массы.

Основное содержание пособия написано по своим лекциям В.С. Ермолиным.

Учебное пособие содержит много примеров, а также дополнено вариантами задач с подробным описанием возможных способов их решения, что позволяет закрепить полученные теоретические знания и делает их более полными. Для лучшего усвоения в конце каждой главы приведены тестовые вопросы для самоконтроля, акцентирующие внимание на основных моментах изучаемого материала. Примеры решения задач и вопросы подготовлены И.Ю. Потоцкой.

Авторы выражают искреннюю признательность и глубокую благодарность за большую работу при подготовке электронной версии курса лекций, которую выполнили преподаватели и сотрудники факультета ПМ-ПУ СПбГУ Э.В. Демьянова, В.В. Еремеев, Г.А. Ермолина, Е.Б. Погребняк, А.А. Федорова под редакцией В.С.Королева.

Пособие рекомендуется студентам и аспирантам математических и механикоматематических специальностей университетов.

Механика – это наука о движении материальных объектов и их взаимодействии между собой и окружающим миром при таком движении. Как наука она зародилась в IV веке до новой эры в трудах Аристотеля (384-322 г.г. до н.э.) и развивалась вплоть до первого века в трудах Доне, Евклида, Архимеда, Герона, Гипарха, Птолемея.

Дальнейшее развитие она получила в эпоху возрождения (в 15 -16 веках) в трудах Леонардо да Винчи (1452-1519г.г.), Николая Коперника (1473-1543г.г.), в 16-17 веках в трудах Симона Стевина (1548-1620г.г.), Галилео Галилея (1564-1642г.г.), Иоганна Кеплера (1571-1630г.г.); в 17-ом, 18-ом и в начале 19-го веков в трудах Христиана Гюйгенса (1629-1695г.г.), Исаака Ньютона (1643-1727г.г.), Готфрида Лейбница (1646-1716г.г.), Иоганна Бернулли (1667-1748г.г.), Леонарда Эйлера (1707-1783г.г.), Жана Даламбера (1717-1783г.г.), Жозефа Лагранжа (1736-1813г.г.).

Трудами этих ученых было завершено построение основ современной классической механики, положено начало анализу бесконечно малых. Разработан курс механики, который излагался строго аналитическим методом на основе общего математического начала и анализа бесконечно малых (без чертежей). Этот курс получил название «аналитическая механика».

Дальнейшее развитие аналитической механики связано с трудами Пьера Лапласа (1749-1827г.г.), Жана Батиста Фурье (1768-1830г.г.), Карла Гаусса (1777-1855г.г.), Симеона Пуассона (1781-1840г.г.), М.В.Остроградского (1801-1861г.г.), Карла Якоби (1804-1851г.г.), Уильяма Гамильтона (1805-1887г.г.), Германа Гельмгольца (1821г.г.), П.Л.Чебышева (1821-1894г.г.), Н.В.Маевского (1823-1892г.г.), Густава Кирхгофа (1824-1887г.г.), Н.П.Петрова (1836-1920г.г.), С.В.Ковалевской (1850г.г.), Генриха Герца (1857-1894г.г.), Н.Е.Жуковского (1857-1918г.г.), А.М.Ляпунова (1857-1918г.г.), К.Э.Циолковского (1857-1935г.г.), И.В.Мещерского (1859-1935г.г.), А.Н.Крылова (1863-1945г.г.), С.А.Чаплыгина (1869-1942г.г.), Альберта Эйнштейна (1879-1955г.г.).

В 20-м веке и в настоящее время решением проблем механики и прежде всего проблем механики управляемого движения занимались коллективы ученых из многих стран мира благодаря развитию промышленности и использованию робототехники, появлению космических исследований и вычислительных машин.

Как наука о движении она подразделяется:

– на физическую (наблюдательную, экспериментальную) механику;

– на теоретическую (классическую) механику.

Такими задачами являются следующие:

– вывести и описать закономерности механических явлений;

– установить природу механических движений и причины (силы), по которым возникают механические движения;

– установить природу сил и законы их изменения;

– установить связь свойств материальных объектов (их характеристик) с механическими движениями и силами, которые вызывают эти движения;

– установить общие законы, по которым совершаются движения.

1. Закон движения – это индуктивное заключение о природе движения, основанное на достаточно большом числе согласующихся между собой опытных фактов. Закон движения (его формулировка) содержит описание одного или нескольких свойств механических движений, которые справедливы с той или иной точностью.

2. Законом изменения силы называется зависимость силы от свойств материальной среды, в которой происходит движение материального объекта, от характеристик движения и параметров объекта, совершающего движение.

Теоретическая механика - это наука о математических моделях механических движений материальных объектов. Она является математической дисциплиной.

Основой (базой) для создания и развития математической теории механических движений, которая в ней излагается, как и во всякой другой математической дисциплине, являются:

– аксиомы, постулаты, определения; аксиомами служат законы механических движений и законы изменения сил, установленные в физической механике;

– математические модели материальных (физических) объектов, теория механических движений которых разрабатывается.

В теоретической механике строятся теории механических движений не реальных (физически существующих или создаваемых человеком) материальных объектов, а движений некоторых «идеальных» («идеализированных», обладающих ограниченным количеством характеристик, существенных для практики) материальных объектов.

Причем учитываются такие характеристики, по которым можно судить о характере движения реальных механических объектов в определенных условиях с той или иной точностью. Иначе говоря, теоретическая механика – это математическая наука о механических движениях математических моделей материальных объектов.

Средствами для построения и развития теоретической механики служат:

– математический аппарат, развитый в смежных математических дисциплинах;

– специальный математический аппарат, разрабатываемый самой теоретической механикой и отсутствующий в смежных математических дисциплинах.

Теоретическая механика методически традиционно делится на три основные части: кинематику, статику и динамику.

Основными задачами кинематики являются:

– разработка способов задания и описания механических движений материальных объектов;

– разработка способов вычисления кинематических характеристик движения (положения, скорости, ускорения материальных объектов).

Основными задачами статики являются:

– определение условий, при которых механические системы остаются в покое;

– построение математических моделей, описывающих равновесие механических систем, и разработка методов анализа таких моделей;

-9построение способов эквивалентных преобразований систем сил, обеспечивающих равновесие материальных объектов.

Эти задачи были сформулированы еще Исааком Ньютоном в трактате «Математические начала натуральной философии», первое издание которого вышло в 1687 году. В этом трактате даны основные исходные положения теории, которую теперь называют классической механикой. Поскольку у истоков этой теории стоял Галилео Галилей, то классическую механику принято называть механикой Ньютона-Галилея.

В указанном трактате определены две основные задачи.

Первая задачи динамики – по заданному движению определить силы, которые создают это движение, т.е. являются причинами его существования.

Вторая задача динамики – по заданным силам определить движение материального объекта.

Для решения этих задач в разделе динамика разрабатываются:

– методы построения математических моделей движения механических объектов в тесной связи с причинами (силами), которые эти движения создают;

– математические методы исследования и изучения свойств механических движений построенных математических моделей.

В 20-м веке в связи с потребностями практики широкое развитие получили направления исследований, нацеленные на построение управляемых механических систем. Решения проблем, связанных с построением управлений такими системами, послужили основой для создания новой научной дисциплины под названием «Механика управляемого движения», а затем дисциплины «Математическая теория управления».

Основной проблемой механики управляемого движения является построение сил (управлений), обеспечивающих существование механических движений материальных объектов (а точнее, математических моделей таких объектов) с наперед заданными свойствами, и управлений, которые позволяют реализовывать такие движения.

Для достижения поставленной цели в механике управляемого движения строится аналитическая теория, и разрабатываются математические методы для решения следующих задач:

– построение программных движений и управлений;

– разработка аналитических и качественных методов исследования устойчивости механических движений;

– разработка методов для решения задач наблюдения и определения элементов движения;

– решение проблем идентификации;

– построение законов управления для решения задач стабилизации программных движений и положений равновесия;

– построение оптимальных движений и оптимальных управлений (программных и синтезирующих).

§2. Основные понятия теоретической механики Как и всякая наука, классическая механика в своих началах опирается на первичные категории, которые вводятся и объясняются через описание их свойств. Такими категориями в механике являются понятия «абсолютное пространство», «абсолютное время», «точка отсчета», «система отсчета».

Исходно в механике постулируется: «Все изменения материальных объектов реального мира происходят в пространстве и во времени».

В классической механике постулируется также существование «абсолютного пространства» и «абсолютного времени».

1.1. Абсолютное пространство.

Абсолютное пространство — это трехмерное, однородное, изотропное евклидово пространство.

Данное утверждение означает, что абсолютное пространство обладает следующими свойствами:

1) оно имеет три независимых линейных измерения, это независимые измерения в трех линейно независимых направлениях;

2) пространство не зависит от движения и изменения материи в нем («однородность»); оно имеет одинаковые свойства для всех материальных объектов (независимо от их природы);

3) изменение свойств движений материальных объектов во всех направлениях одинаковое («изотропность»);

4) в пространстве действует геометрия Евклида.

Абсолютное время – это:

- непрерывно изменяющаяся величина;

- изменение ее происходит от «прошлого» к «будущему»;

- однородная величина (в том смысле, что она не зависит от движения и изменения материи и одинакова во всех точках пространства).

1.3. Связь «абсолютного пространства» и «абсолютного времени»

В классической механике постулируется, что абсолютное пространство и абсолютное время никак не связаны друг с другом (в отличие от модели пространства и времени в общей теории относительности, где эти понятия взаимозависимы).

Единица длины в пространстве – это 1 метр (м) (эталон находится в Париже в «Палате мер и весов»).

Единица времени – 1 секунда (с.). Она является составной частью суток.

где [сутки] – это средние солнечные сутки, определяемые астрономическими наблюдениями и являющиеся составной частью тропического года.

Средние солнечные сутки вычисляются через тропический год по формуле:

Тропический год определяется по астрономическим наблюдениям как период времени между двумя последовательными прохождениями точки «Весны» центром солнечного диска на Гринвичском меридиане.

Однако из-за неравномерности вращения Земли вокруг своей оси и нутационных колебаний этой оси изменяется длительность тропического года. Это влечет за собой изменение эталона времени (секунды).

времени в порядке эксперимента была принята атомная секунда, которая применялась при расчетах некоторых астрономических параметров.

При введении этой единицы измерения времени использовался периодический процесс колебаний излучения атома цезия и период этих колебаний как составная часть длительности одной секунды.

Шкала атомного времени строилась с применением высокостабильных молекулярных и атомных эталонов частоты для регулировки кварцевых часов. Она отличалась почти совершенной равномерностью и не зависела от вращения Земли. Эта шкала атомного времени формировалась на основе применения нескольких атомных часов.

Эксперимент показал, что она может считаться равномерной с точностью до 10 11 секунды, тогда как единица времени, определяемая по гелиоцентрическому движению Земли, точна до 2 10 9 секунды.

Одна атомная секунда по этой шкале соответствует продолжительности 9 млрд 192 млн 631 тыс 770 периодов колебаний излучения атома цезия-133. Поэтому с 2002 года атомная секунда была принята как единица времени в Международной системе единиц СИ.

Время обозначается буквой t. Область его значений определяется следующим образом.

Фиксируется некоторое событие как начало отсчета времени t, т.е. момент времени t0, когда это событие произошло, считается равным нулю t0=0. Всем событиям, произошедшим до фиксированного, присваивается отрицательное значение времени t (они произошли «в прошлом»), а всем событиям, которые будут происходить после фиксированного, присваивается положительное значение времени t. При этом по величине время t будет равно длине промежутка времени от фиксированного события до того события, которое произошло или будет происходить. Поэтому принято считать, что время t может принимать любое значение из промежутка (, ).

2.1. Понятие радиус-вектора геометрической точки P и ее положения Прежде, чем дать понятие точки отсчета и системы отсчета, напомним некоторые определения из геометрии евклидова пространства. Фиксируем в пространстве две геометрические точки — точку A и точку B (см. рис.0.2.1).

Определение 1.

Вектором называется направленный отрезок, соединяющий две заданные точки (точку A и точку B ), в котором одна точка (например, точка A ) определяется как начальная, а другая точка (точка B ) называется конечной. Направление отрезка определяется от начала (от точки A ) к концу (к точке B ) отрезка. Это направление геометрически обозначается стрелкой, острием направленной к концу (к точке B ).

Длиной вектора называется длина отрезка AB.

Пусть в пространстве заданы точка O и точка P (см. рис.0.2.2).

Определение 2.

Радиус-вектором точки P относительно точки O называется вектор т.е. вектор, в котором точка P является концом, а точка O - началом.

Положением точки P относительно точки O называется радиус-вектор точки P относительно точки O.

Определение 4.

Точкой отсчета называется геометрическая точка, фиксированная в пространстве, относительно которой рассматриваются положения всех других точек пространства или какого-либо множества точек из этого пространства.

Определение 5.

Системой отсчета называется фиксированная декартовая прямоугольная система координат (ДПСК) с началом в точке отсчета O.

или иначе, полюс декартовой прямоугольной системы координат; i, j, k — базис ДПСК (единичные взаимно-ортогональные векторы); x, y, z — координатные оси системы отсчета.

На рис.0.2.3 в качестве примера изображена система отсчета O i j k, и в ней — положения r1 и r2 точек P1 и P2.

Иногда вместо ДПСК в качестве системы отсчета бывает удобнее использовать аффинную систему координат (см. рис.0.2.4). В таких случаях этот выбор оговаривается особо. Однако при любом выборе аффинной системы ее начало совпадает с заданной точкой отсчета O. При этом указывается базис e1, e2, e3 вместе с матрицей метрических коэффициентов G размерности [3 3]. Матрица G — симметричная. Ее элементы g ij, i, j 1,2,3, называются метрическими коэффициентами. Они связаны с базисными векторами e1, e2, e3 соотношениями Геометрический смысл метрических коэффициентов легко устанавливается, исходя из понятия скалярного произведения векторов. Можем (0.2.1) переписать в виде где ij — угол между векторами ei и e j, а | ei | и | e j | — их длины. Следовательно, Отсюда заключаем, что диагональные элементы метрической матрицы задают квадраты длин базисных векторов, а по остальным элементам определяются углы между базисными векторами.

В частности, если все базисные векторы — единичные (по диагонали матрицы G стоят единицы), то такая аффинная система координат называется косоугольной.

На рис.0.2.4 изображена система отсчета O e1 e2 e3, в которой указаны положения r1 и r2 точек P1 и P2 ; O — точка отсчета (полюс аффинной системы координат O q (1) q ( 2) q (3) ); e1, e2, e3 — базис аффинной системы координат; q (1), q ( 2), q (3) — ее координатные оси.

В основе теории механических движений в классической механике лежат следующие математические модели реальных материальных объектов:

– система материальных точек (механическая система);

– абсолютно твердое тело (неизменяемая механическая система);

– система материальных точек и твердых тел (произвольная механическая система);

– деформируемые тела, жидкие и газообразные среды.

Замечание.

В предлагаемом здесь курсе теоретической механики деформируемые тела, жидкие и газообразные среды не рассматриваются.

Дадим определения каждой из рассматриваемых моделей.

Определение 1.

Материальная точка – это часть материи, достаточно малая для того, чтобы в любой момент времени t можно было определить ее положение в абсолютном пространстве как положение объекта, не имеющего геометрических размеров, т.е.

объекта, являющегося геометрической точкой.

По-другому материальную точку можно трактовать как геометрическую точку, наделенную совокупностью параметров.

Эти параметры связывают материальный объект, сосредоточенный в момент времени t в данной геометрической точке, с причинами (сила ми), создающими его механическое движение. Такими параметрами могут служить масса, величина заряда, жесткость пружины, коэффициент вязкого трения и т.п.

Определение 2.

Любая совокупность конечного числа материальных точек, взаимосвязанных между собой по каким-либо правилам, называется механической системой или, иначе, системой материальных точек.

При этом учитываются только такие взаимные связи и правила, которые оказывают влияние на движение точек.

Неизменяемой (жесткой) механической системой называется такая механическая система, в которой расстояния между любыми двумя точками ее остаются постоянными на любых движениях этой системы.

Определение 4.

Неизменяемая механическая система, состоящая из континуума материальных точек, называется абсолютно твердым телом (или просто — твердым телом).

Из определения следует, что твердое тело представляет собой жесткую механическую систему, состоящую из несчетного множества материальных точек.

Примечание.

В евклидовом пространстве континуумом называется связное, замкнутое, ограниченное множество, всюду плотное в себе.

Исходя из этих понятий, под континуумом материальных точек в определении понимается совокупность материальных точек, состоящая из несчетного их множества, причем геометрическим образом этой совокупности в евклидовом пространстве в любой момент времени t является ограниченное, замкнутое, связное множество, всюду плотное в себе.

Под всюду плотным в себе множеством G точек евклидова пространства понимается множество, которое обладает следующим свойством. Любая фиксированная точка из G в любой сколь угодно малой окрестности содержит точки множества G, отличные от фиксированной.

Определение 1.

Положением материальной точки в момент времени t относительно точки отсчета O называется радиус-вектор той геометрической точки пространства, с которой в данный момент времени t совпадает материальная точка.

2. Понятие положения механической системы и твердого тела Положением механической системы в момент времени t относительно точки отсчета O называется совокупность положений относительно точки O в этот момент времени t всех материальных точек, входящих в состав данной системы.

Таким образом, если механическая система состоит из N материальных точек P, и r – это положение в момент времени t точки P, 1, N, входящей в ее состав, то положение механической системы в момент t - это совокупность векторов r1,..., rN.

Положение механической системы будем обозначать r (r1,..., rN ) {r } 1. N.

Положением твердого тела в момент времени t относительно точки отсчета O называется совокупность положений в этот момент времени t всех его точек относительно точки O.

Из определения 3 следует, что в любой момент времени положение твердого тела представляется множеством векторов, состоящим из положений всех его точек относительно точки отсчета O, которые они занимают в этот момент. Таким образом, каждый элемент множества является радиус-вектором одной из точек твердого тела. Поскольку твердое тело содержит бесчисленное множество точек, то способы задания его положения отличаются от способов, которыми определяется положение механической системы, состоящей из конечного числа материальных точек.

В кинематике твердого тела показывается (см. главу 3 раздела «Кинематика»), что положение тела относительно точки отсчета O определяется по положению одной из его точек, фиксированной в теле, по положениям остальных точек тела относительно этой фиксированной точки и по угловым параметрам ориентации или по матрице ориентации тела относительно абсолютного пространства.

Под движением материальной точки понимается вектор-функция r (t ), по которой каждому моменту времени t ставится в соответствие положение r = r (t ) материальной точки относительно точки отсчета O.

При этом в механике, как правило, рассматриваются только такие векторфункции r (t ) (законы), которые имеют непрерывные вторые производные по t. А потому дадим следующее определение движения материальной точки.

Определение 4.

Движением материальной точки называется дважды непрерывно дифференцируемая на промежутке времени J R1 вектор-функция r (t ), которая в каждый момент времени t J задает положение r = r (t ) материальной точки относительно выбранной точки отсчета O.

Как отмечалось в §2 п.1, время t может принимать любые вещественные значения из промежутка (, ). Множество вещественных чисел в дальнейшем будем обозначать R1. Промежуток времени из R1 (отрезок; открытый или полуоткрытый интервал; конечный, бесконечный или полубесконечный интервал) обозначаем J в тех случаях, когда нет необходимости в указании граничных точек этого промежутка. В противном случае, если представляет интерес начальная и конечная точки задаваемого промежутка, то вместо J обозначаем его t0,t1, где t 0 — начальная точка, t1 — конечная точка. При этом сам промежуток обозначается t0,t1, если безразлично, будет ли он отрезком, интервалом или полуинтервалом. Для отрезка, интервала и полуинтервала будем применять стандартные обозначения [ t0, t1 ], (t0, t1 ), [ t0, t1 ) и (t0, t1 ], соответственно.

4. Понятие движения механической системы и твердого тела Движением механической системы, состоящей из N материальных точек, называется совокупность дважды непрерывно дифференцируемых вектор-функций r (t ), 1, N, задающих движения на промежутке времени J R1 всех материальных точек, входящих в состав этой системы.

Аналогично, понятие движения твердого тела дается следующим определением.

Движением твердого тела на промежутке времени J R1 называется совокупность дважды непрерывно дифференцируемых при всех t J вектор-функций, задающих движение всех его точек.

5. Понятие «покоя» материальной точки, механической Покой — это одно из движений материальной точки. Дадим его определение.

Движение r (t ) материальной точки называется покоем на заданном промежутке времени J R1, если на этом движении точка сохраняет свое положение неизменным на всем промежутке времени J. Иначе говоря, выполняется равенство где r (t ) – движение материальной точки, r0 – постоянный вектор.

По аналогии с определениями 5, 6 и 7 даются понятия покоя механической системы и твердого тела.

Механическая система находится в покое на заданном промежутке времени, если все точки, входящие в ее состав, находятся в покое на этом промежутке.

Твердое тело находится в покое на заданном промежутке времени, если все его точки находятся в покое на этом промежутке.

Мгновенной скоростью (скоростью) материальной точки в момент времени t называется производная по времени от ее движения, вычисленная для этого момента времени.

Скорость, как правило, обозначается V. Таким образом, если r (t ) – движение материальной точки, то где V (t ) — скорость материальной точки в момент времени t.

В механике дифференцирование по времени t принято обозначать точкой над функцией, от которой вычисляется производная. Согласно этому замечанию, равенство (0.5.1) принимает вид Мгновенным ускорением (ускорением) материальной точки в момент времени t называется производная от вектора скорости.

Ускорение точки, как правило, обозначается W (t ). Так что с учетом (0.5.1) и замечания к определению 1 можем записать 2. Скорость и ускорение механической системы и твердого тела Определение 3.

Мгновенной скоростью (мгновенным ускорением) механической системы в момент времени t называется совокупность векторов, являющихся скоростями (ускорениями) в этот момент всех материальных точек, входящих в систему.

Из определения 3 следует, что скорость V (t ) и ускорение W (t ) механической системы — это совокупности, соответственно, векторов V (t ) и W (t ) :

Здесь V (t ) — скорость механической системы в момент времени t, W (t ) — ускорение механической системы в момент времени t, N — количество точек в системе, V (t ) и W (t ) — скорость и ускорение в момент времени t точки P, входящей в состав механической системы; 1, N.

По аналогии с понятиями скорости и ускорения механической системы определяются скорость и ускорение твердого тела.

Мгновенной скоростью (мгновенным ускорением) твердого тела в момент времени t называется совокупность мгновенных скоростей (мгновенных ускорений) всех его точек в этот момент.

нем точки, по положениям всех остальных его точек относительно фиксированной, по матрице ориентации или угловым параметрам ориентации и по вектору, названному мгновенной угловой скоростью твердого тела.

Аналогично, ускорение твердого тела может быть определено по ускорению фиксированной точки тела, по положениям всех остальных его точек относительно фиксированной, по его матрице ориентации или угловым параметрам ориентации, по мгновенной угловой скорости твердого тела и по вектору, названному мгновенным угловым ускорением твердого тела.

3. Кинематические характеристики материальных объектов Определение 5.

Кинематическими характеристиками материальной точки называются ее положение, скорость и ускорение в момент времени t.

Определение 6.

Кинематическими характеристиками механической системы называются положение, скорость и ускорение в момент времени t всех ее материальных точек.

Определение 7.

Кинематическими характеристиками твердого тела называются положение в абсолютном пространстве одной из точек, фиксированной в твердом теле, положения всех остальных его точек относительно фиксированной, скорость и ускорение фиксированной точки, угловые параметры ориентации или матрица ориентации тела, мгновенная угловая скорость и мгновенное угловое ускорение твердого тела.

4. Вопросы для тестирования к разделу «Введение»

Основные задачи механики.

Понятия материальной точки.

Понятие твердого тела.

Понятие механической системы.

Что такое система отсчета.

Что такое аффинные системы координат.

Что называют декартовой прямоугольной системы координат.

Определения положения, движения, покоя материальной точки и механической 9. Что называют скоростью и ускорением механической системы.

10. Что такое кинематические характеристики материальных объектов.

§1. Векторный и координатный способы задания движения точки Как отмечалось во введении, кинематика решает задачу построения способов задания и описания движений и способов вычисления их кинематических характеристик.

Решение данной задачи не связывается с причинами, по которым возникают движения.

А потому в кинематике не делается различий между материальной и геометрической точкой. При этом, как было отмечено в п.1 §4 Введения, под положением материальной точки относительно заданной точки отсчета в фиксированный момент времени t понимается положение той геометрической точки в евклидовом пространстве, с которой материальная точка совпадает в указанный момент времени.

Движением материальной точки, согласно определению 3 из п.3 (§4 Введения), называется дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция r (t ), значения которой в каждый момент времени t соответствует положению материальной точки в этот момент..

1.1. Описание векторного способа задания движения Из определения 3 (п.3 §4 Введения) вытекает, что для того, чтобы задать движение материальной точки, необходимо:

1) выбрать точку отсчета (обозначим ее O ), 2) задать вектор-функцию r (t ) на том промежутке времени J, где хотим знать о движении, причем вектор-функция должна быть дважды непрерывно дифференцируема по t при всех t J, 3) задать положение точки в момент времени t относительно точки отсчета равенством где r OP — радиус-вектор той геометрической точки абсолютного пространства, с которой в момент времени t по своему положению совпадает материальная точка P.

Таким образом, на равенство (1.1.1) можем смотреть, как на способ задания движения материальной точки. Такой способ называется векторным заданием движения точки.

1.2. Вычисление скорости и ускорения при векторном задании движения Из (1.1.1) согласно определениям скорости и ускорения вытекает, что скорость и ускорение точки при известном ее движении r (t ) вычисляются по формулам Заметим, что векторы V (t ) и W (t ), задаваемые формулами (1.1.2), имеют своим началом геометрическую точку P, которая служит концом радиус-вектора r, устанавливающего положение материальной точки в момент времени t.

Соотношение (1.1.1) — это векторный способ задания движения, позволяющий определить положение точки P в любой момент времени t.

Соотношение (1.1.2) — это способ вычисления недостающих кинематических характеристик в этот момент (скорости и ускорения материальной точки) по заданному движению.

Однако движение может быть определено и в том случае, когда задана скорость или ускорение материальной точки.

Действительно, если в любой момент времени t задана скорость V (t ), то имеем Справа стоит известная вектор-функция V (t ). Слева — вектор-функция r (t ), определяющая движение точки, является неизвестной.

На формулу (1.1.3) можем смотреть, как на уравнение для определения движения. Из него следует, что r (t ) является первообразной для функции V (t ), а потому Здесь C — некоторый постоянный вектор, а F (t ) = V ( ) d — первообразная функция вектор-функции V (t ).

Соотношение (1.1.4) задает семейство движений, каждое из которых имеет в любой момент времени t заданную скорость V (t ).

Чтобы из формулы (1.1.4) выделить конкретное движение, проходящее через заданную геометрическую точку с радиус-вектором r0 при t t0 J, надо положить в (1.1.4) слева t t 0 и r (t 0 ) = r0. Тогда получим где F (t 0 ) — значение первообразной F (t ) = V ( ) d в момент t t 0.

Выразив отсюда C, получим Поскольку F (t ) - F (t 0 ) = V ( ) d — это определенный интеграл от векторной функции V (t ), то можем записать Формула (1.1.5) — это векторная форма определения движения точки при задании ее скорости V (t ) как функции времени. Чтобы однозначно определить по скорости V (t ) движение точки P, необходимо, кроме скорости V (t ), дополнительно указать положение, которое точка может занимать в фиксированный момент времени t0.

Пусть теперь известно ускорение W (t ) в любой момент времени t. Тогда движение будет связано с ним следующим соотношением:

Если учесть, что скорость V (t ) связана с ускорением W (t ) (по определению) соотношением то из (1.1.7) мы можем определить скорость V (t ) по известному вектору W (t ). Для этого воспользуемся формулой (1.1.5), в которой r, r (t ), r0, V ( ) заменим соответственно на V, V (t ), V0, W ( ) ; где V0 обозначает вектор скорости, которую имеет материальная точка в момент времени t t 0. Получим Учитывая связь (1.1.3) скорости V (t ) с движением r (t ), подставим найденную функцию V (t ) в (1.1.5). Тогда найдем вектор-функцию r (t ), задающую такое движение материальной точки, которое имеет ускорение, совпадающее в каждый момент времени t с заданным ускорением W (t ) :

На этом движении материальная точка в момент времени t 0 проходит через положение r0 и имеет в нем скорость V0. Из (1.1.9) следует, что для однозначного построения движения материальной точки по заданному ускорению W (t ) требуется знать не только положение r0 в момент t t 0, но и скорость V0.

Если известна скорость V (t ), то, как следует из сказанного, движение определяется из уравнения (1.1.3) посредством вычисления интеграла от вектора скорости. В уравнение (1.1.3) движение входит через свою производную по времени.

Равенство, в которое входят производные от неизвестной функции, зависящей от одного аргумента, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Порядком уравнения называют наивысший порядок производной от неизвестной функции, с которым эта функция входит в данное уравнение. Сама функция может входить или не входить в него.

Как видим, уравнение (1.1.3) является дифференциальным уравнением первого порядка относительно вектор-функции r (t ), а уравнение (1.1.6) — дифференциальным уравнением второго порядка.

Функция, дифференцируемая в количестве раз, совпадающем с порядком дифференциального уравнения, и обращающая это уравнение в тождество относительно независимой переменной, называется решением данного дифференциального уравнения.

Согласно данному определению, вектор-функция r (t ), задаваемая формулами (1.1.5) и (1.1.9), является решением уравнения (1.1.3) и (1.1.6), соответственно.

Таким образом, если движение точки задается скоростью или ускорением, то оно строится как решение векторного обыкновенного дифференциального уравнения.

- 22 В таких случаях дифференциальное уравнение, решением которого является закон движения материальной точки, называется математической моделью ее движения.

Зафиксируем в пространстве точку отсчета O и систему отсчета. Если в качестве системы отсчета выбрана декартовая прямоугольная система координат, то, как отмечено во Введении, она будет обозначаться Oi j k или Oxyz, где i, j, k — базис, а x, y, z — координаты точек в ней.

Если в качестве системы отсчета принимается аффинная система координат, то будем обозначать ее Oe1e2e3 или Oq(1) q ( 2) q (3), где e1, e2, e3 — базис, а q (1), q ( 2), q (3) — координаты точек. При выборе аффинной системы считается известной (задается) также матрица метрических коэффициентов G gij i, j 1, 2,3, где g ij = (ei, e j ), i, j 1,2,3.

Напомним определения из векторной алгебры.

Определение 1.

Координатами вектора a в заданной системе отсчета называются коэффициенты в разложении вектора a по базисным векторам.

Из определения следует, что если обозначить a x, a y, a z — координаты вектора a в декартовой системе Oxyz, а a (1), a ( 2), a (3) — координаты этого же вектора a в аффинной системе Oq(1) q ( 2) q (3), то можем записать Координаты радиус-вектора r OP точки P относительно точки отсчета O в заданной системе отсчета называются координатами этой точки P в указанной системе отсчета.

Согласно определению 2 с учетом принятых обозначений координат точки в системах отсчета Oi j k и Oe1e2e3 можем записать Если задать в каждый момент времени t J координаты x, y, z точки P в виде дважды непрерывно дифференцируемых функций x(t ), y (t ), z (t ), то будем иметь Тогда, подставляя (1.1.12) в (1.1.10), получим Соотношение (1.1.13) позволяет определить положение точки P в любой момент t из промежутка времени, где заданы правые части равенств (1.1.12). Причем, поскольку функции x(t ), y (t ), z (t ) дважды непрерывно дифференцируемы, то векторфункция r (t ), связанная с ними равенством (1.1.13), будет также дважды непрерывно дифференцируема. А это значит, что (1.1.12) задают движение материальной точки.

Аналогично, задавая в каждый момент времени t аффинные координаты q (1), q ( 2), q (3) точки P в виде дважды непрерывно дифференцируемых функций q (1) (t ), q ( 2) (t ), q (3) (t ), при t J будем иметь Подставляя (1.1.14) в (1.1.11), получим, что положение r точки P в любой момент времени t может быть вычислено по формуле которая так же, как и (1.1.13), определяет движение точки P при всех t J.

В отличие от (1.1.13), по формуле (1.1.15) движение определяется координатными функциями (1.1.14), задающими положение точки в аффинной системе отсчета.

Определение 3.

Способ задания движения материальной точки по формуле (1.1.12) или (1.1.14) называется координатным.

Для координатного способа, в отличие от векторного, существенным является выбор системы отсчета (выбор системы координат), в которой дается описание движения.

2.2. Вычисление скорости и ускорения при координатном способе По определению скорости точки P имеем где r (t ) — вектор-функция, задающая движение этой точки.

При координатном способе задания движения вектор-функция r (t ) вычисляется через координатные функции x(t ), y (t ), z (t ) по формуле (1.1.13), либо через координатные функции q (1) (t ), q ( 2) (t ), q (3) (t ) по формуле (1.1.15).

Поэтому из (1.1.13) и (1.1.15) будем иметь, соответственно, скорости V (t ) :

– при задании движения в декартовых координатах x, y, z это выражение примет – при задании движения в аффинных координатах q (1), q ( 2), q (3), соответственно, Обозначим V x, V y, V z — координаты вектора V в системе отсчета Oxyz, а V (1),V ( 2),V (3) — координаты вектора V в аффинной системе Oq(1) q ( 2) q (3). По определению координат вектора можем записать t координаты скорости V совпадают с производными от координат вектора r (t ) в системе Oxyz, если движение задается декартовыми координатами и с производными от координат вектора r (t ) в системе Oq(1) q ( 2) q (3), если движение задается аффинными координатами:

Геометрически координаты вектора скорости V (t ) можем получить путем совмещения начала вектор-функции r (t ) с точкой отсчета O и проектирования конца вектора r (t ) на соответствующие координатные оси.

Для вычисления ускорения точки действуем аналогично. Учитывая, что по определению ускорения W точки имеем получим:

– при задании движения в декартовых координатах x, y, z выполняются равенства – при задании движения в аффинных координатах q (1), q ( 2), q (3) эти равенства приобретают вид Если обозначим W x, W y, W z — декартовые координаты вектора W, а W (1), W ( 2), W (3) — его аффинные координаты, то связь W x, W y, W z со вторыми производными от заданных координатных функций x(t ), y (t ), z (t ), q (1) (t ), q ( 2) (t ), q (3) (t ) будет такова:

Из полученных выражений для V и W легко выписываются формулы для вычисления модуля скорости и модуля ускорения, а также для направляющих косинусов этих векторов.

Для направляющих косинусов V x, V y, V z0 вектора скорости V имеем:

В аффинной системе координат формула для вычисления модуля скорости V может быть получена из следующих соотношений:

где введены обозначения: q q ( 2) (t ) — вектор-столбец, составленный из производq (t ) ных от заданных координатных функций q (i ) (t ), i 1,2,3 ; G gij i, j 1, 2,3 — матрица метрических коэффициентов аффинной системы координат; символ обозначает операцию транспонирования.

Здесь q q ( 2 ) (t ) — вектор-столбец, составленный из вторых производных от заданq (t ) ных координатных функций q (i ) (t ), i 1,2,3.

Пусть движение точки задается координатным способом. Тогда формулы (1.1.13) и (1.1.15) определяют вектор-функцию r (t ), которая является основой для векторного способа задания движения.

Пусть движение точки задается векторным способом. Тогда из (1.1.13) и (1.1.15) можем получить координатный способ задания движения, если вычислим координаты вектор-функции r (t ). Если системой отсчета является система Oxyz, то, умножая (1.1.13) скалярно на i, j, k последовательно, получим Здесь x(t ), y (t ), z (t ) — координаты точки, вычисленные по ее заданному положению r (t ) в любой момент времени t. Как видно из этих выражений, геометрические координаты точки в любой момент времени t равны ортогональным проекциям вектор-функции r (t ) на оси системы отсчета Oxyz в момент времени t.

Аналогично, если система отсчета является аффинной Oq(1) q ( 2) q (3), то, умножая (1.1.15) последовательно скалярно на векторы e2 e3, e3 e1, e1 e2, получим где введено обозначение g (e1, e2, e3 ).

Легко показать, что g det G, если система координат правая; g det G, если эта система левая.

Аналогично (при умножении на (e3 e1 ) и на (e1 e2 ) ), получим Такими действиями находятся координаты q (1), q ( 2), q (3) точки P в аффинной системе при известном векторе r (t ).

Выражения (1.1.20) и (1.1.21) легко можно записать, зная формулу (1.1.19). Обозначим последовательность индексов у переменных q (i ), i 1,2,3 в виде и последовательность индексов у ортов e также в виде Тогда соотношение (1.1.20) получается из (1.1.19) заменой в равенстве (1.1.19) индекса «1» при q на следующий за ним в последовательности (1.1.22) индекс «2», и заменой индексов «2» и «3» у ортов e на следующие за ними в последовательности (1.1.23) индексы «3» и «1».

После записи выражения (1.1.20) соотношение (1.1.21) строится аналогичным образом из (1.1.20) по правилу замены индексов при q и e согласно схемам (1.1.22) и (1.1.23).

Если две или более формулы выводятся последовательно друг из друга заменой переменных и (или) индексов на их другие значения из заданных упорядоченных последовательностей, то говорят, что последовательность формул строится по правилу круговой перестановки заданных переменных и (или) индексов.

Таким образом, согласно данной формулировке можно сказать, что последовательность формул (1.1.19), (1.1.20), (1.1.21) строится круговой перестановкой переменных q(1) q( 2) q(3) q (1) и ортов e1 e2 e3 e1, или круговой перестановкой индексов 1 2 3 1 у переменных q и ортов e.

Пусть движение материальной точки описывается векторным способом где J — промежуток времени (отрезок или интервал, или полуинтервал), на котором рассматривается движение, J R1, R1 — множество вещественных чисел.

Вектор-функция r (t ) — вещественная, однозначная, дважды непрерывно дифференцируемая. Соотношение (1.2.1) в каждый момент времени t задает в евклидовом пространстве E 3 геометрическую точку, в которой находится в этот момент движущаяся материальная точка.

- 27 Если дополнить пространство E 3 четвертым независимым измерением — временной осью t, то в этом четырехмерном пространстве уравнение (1.2.1) при изменении координаты t задает кривую, которая называется графиком движения.

Будем теперь в соотношении (1.2.1) смотреть на t как на параметр, принимающий значения из промежутка J.

В абсолютном пространстве E 3 построим множество M точек P, образованное концами векторов r (t ) при всех значениях этого параметра. За начало векторов r (t ) при всех t будем брать точку отсчета O. Очевидно, что множество M состоит из положений материальной точки, каждое из которых она может занимать в абсолютном пространстве хотя бы при одном значении времени t, совершая движение r (t ).

Геометрическое место точек в абсолютном пространстве, состоящее из всех положений материальной точки, каждое из которых она может занимать, совершая движение r (t ), называется траекторией материальной точки.

Аналитически траектория описывается равенством (1.2.1). Оно, по сути, является непрерывным отображением множества J R1 вещественной оси R1 на трехмерное евклидово пространство E 3. Такое отображение задает в E 3 однопараметрическое семейство точек, которое в геометрии называется кривой.

Следовательно, траектория движения материальной точки — это кривая в трехмерном евклидовом пространстве. В отличие от графика движения, который строится в четырехмерном пространстве, где четвертой координатой служит время t, траектория строится в трехмерном пространстве и является проекцией графика движения на абсолютное пространство E 3.

Траектория отличается от графика движения еще и тем, что график движения — всегда самонепересекающаяся кривая, а траектория может быть как самонепересекающейся, так и самопересекающейся и (или) замкнутой кривой. Кроме того, траектория может быть геометрической точкой, а график движения — нет.

Соотношение (1.2.1) дает векторное описание траектории. Если в пространстве E 3 фиксирована система отсчета Oxyz, то траектория движения определяется в координатной форме тремя равенствами где x(t ), y (t ), z (t ) — координатные функции вектор-функции r (t ).

Пусть точка совершает движение в плоскости Oxy на промежутке времени [0, T ] по закону Графиком ее движения, очевидно, будет являться винтовая линия на цилиндре радиуса R с осью, совпадающей с координатной осью изменения времени t (см. рис. 1.2.1).

Траекторией движения является окружность радиуса R в плоскости Oxy (см.

рис. 1.2.2). Стрелками указано направление движения точки по этой траектории при возрастании t.

В механике для любой вектор-функции a (t ), заданной и непрерывной на некотором промежутке времени J, вводится понятие ее годографа.

Годографом вектор-функции a (t ) называется геометрическое место точек в абсолютном пространстве, образованное концами векторов a (t ), имеющих своим началом точку отсчета O.

Понятие годографа чаще всего применяется к скорости движения точки (называется годографом скорости) и к ее ускорению (годограф ускорения).

Если известна скорость V (t ) материальной точки при всех t J, то для построения ее годографа следует параллельным переносом совместить начало вектора скорости точки P с точкой отсчета O в каждый момент времени t J. Тогда геометрическое место концов построенного таким образом множества векторов при всех t J будет являться годографом вектора скорости V (t ) точки P. Аналогично строится годограф ускорения W (t ) этой точки.

Годограф скорости V (t ) в трехмерном пространстве параметрически задается уравнениями где Vx, Vy, Vz — координаты точек годографа скорости, а Vx (t ), Vy (t ), Vz (t ) — координаты скорости материальной точки.

Аналогично для годографа ускорения W (t ) параметрические уравнения имеют вид где Wx, Wy, Wz — координаты точек годографа ускорения, а Wx (t ), Wy (t ), Wz (t ) — координаты ускорения материальной точки.

2. Основные определения из дифференциальной геометрии Как показано в п.1, в трехмерном пространстве E 3 с системой отсчета Oxyz траектория представляет собой кривую линию. Поэтому задать траекторию — это значит задать кривую в трехмерном пространстве. Как известно из дифференциальной геометрии, кривая в пространстве E 3 с системой координат Oxyz может быть задана одним из следующих способов: векторный, параметрический, явное задание кривой, неявное задание кривой.

Задается векторная функция r (u ), u, и полагается Здесь r — радиус-вектор точки на кривой, u — параметр, принимающий все значения из промежутка,.

Векторная функция r (u ) называется параметризацией кривой.

Если сделаем замену при которой промежуток 1, 1 изменения параметра u1 однозначно отображается в промежуток, изменения параметра u, то подстановкой u (u1 ) в (1.2.2) получим ~(u ) r (u(u )). Соотношение (1.2.3) задает геометрически ту же кривую, что и согде r 1 отношение (1.2.2). В таком случае говорят, что данная кривая задается в параметризации ~(u1 ).

2). Параметрический способ.

В декартовой прямоугольной системе координат Oxyz задаются координаты точки на кривой 3). Явное задание кривой.

В декартовой прямоугольной системе координат Oxyz оно имеет вид:

При явном задании кривой роль параметра играет одна из координат (в указанном здесь задании — это координата x ).

4). Неявное задание кривой.

Такое задание имеет вид:

2.2. Некоторые понятия из дифференциальной геометрии Пусть дана кривая ( ) (см. рис. 1.2.3). На этой кривой P0 обозначает некоторую фиксированную точку, а P — произвольную точку.

Определение 3.

Кривая ( ) называется регулярной степени k кривой, если существует параметризация r (u ) такая, что вектор-функция r (u ) будет k раз непрерывно дифференцируема, и ru(u ) 0 в любой точке кривой. Здесь Если k 1, то кривая называется гладкой.

Определение 4.

Точка P кривой называется особой, если для любой параметризации r (u ) в точке P выполняется равенство ru(u ) 0.

Предельное положение хорды P0 P (если оно существует), когда точка P стремится к точке P0 (по кривой), называется касательной прямой в точке P0 к кривой ( ).

На рисунке обозначены: ( ) – заданная кривая; P0 – фиксированная точка на кривой ( ) ; P – переменная точка на кривой ( ) ; (a) – касательная прямая в точке P0 ;

O – точка отсчета в пространстве; r (u0 ) – положение точки P0 относительно точки O ;

r (u ) – положение точки P относительно точки O ; () – плоскость, проходящая через касательную (a) и хорду P0 P.

Предельное положение плоскости ( ) при P P0 (если оно существует) называется соприкасающейся плоскостью.

В дифференциальной геометрии доказано, что если можно указать параметризацию кривой r (u ) такую, что существуют ru(u ) и ruu (u ) в точке P0, и при этом ru(u0 ) ruu (u0 ) 0, то в точке P0 существует соприкасающаяся плоскость, и нормаль к этой плоскости коллинеарна вектору Здесь штрихом обозначена производная по u, а u 0 — значение параметра, соответствующее точке P0.

Нормалью в точке P0 к кривой ( ) называется любая прямая, перпендикулярная к касательной в точке P0.

Плоскость, перпендикулярная к касательной в точке P0, называется нормальной плоскостью в точке P0 (см. рис.1.2.4).

Главной нормалью в точке P0 называется линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей. Иначе, главная нормаль — это нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости (см. рис.1.2.4).

Определение 10.

Бинормаль в точке P0 — это прямая, перпендикулярная соприкасающейся плоскости в точке P0 (см. рис.1.2.4).

Спрямляющей плоскостью в точке P0 называется плоскость, перпендикулярная главной нормали в точке P0 (см. рис.1.2.4).

Очевидно, спрямляющая плоскость проходит через касательную прямую и бинормаль в точке P0.

Определение 12.

Естественным трехгранником в точке P0 называется трехгранник, образованный нормальной, соприкасающейся и спрямляющей плоскостями точки P0 (см.

рис.1.2.4).

Определение 13.

Длиной дуги кривой называется предел, к которому стремится периметр ломаной, вписанной в дугу, когда количество звеньев стремится к бесконечности, а максимальная длина звена стремится к нулю.

Дифференциал дуги кривой ds связан с параметризацией r (u ) кривой следующей зависимостью Здесь Формула для ds справедлива в декартовой прямоугольной системе координат.

В аффинной системе имеем Поэтому ds через q выражается следующим образом Определение 14.

Параметризация называется естественной, если в качестве параметра при задании кривой выступает s — длина дуги кривой, исчисляемая от некоторой фиксированной точки на этой кривой.

Справедливо утверждение: для регулярной кривой (т.е. кривой без особых точек) всегда имеет место неравенство rs( s) 0 для любого s.

Иначе говоря, регулярная кривая в естественной параметризации при любых s имеет значения rs( s) 0. Более того, из (1.2.4) следует, что rs( s) 1.

Обозначим через r (s) и r (s s) положения точек P0 и P на кривой (см. рис.1.2.5). Проведем касательные (a) и (a1 ) к ней в этих точках. Угол, образованный касательными, называется углом смежности.

Определение 15.

Если существует предел то он называется кривизной кривой ( ) в точке P0.

Очевидно, кривизна k кривой ( ) всегда неотрицательна, т.е. k 0.

В дифференциальной геометрии доказано, что если кривая задается в параметризации r (u ), то в любой неособой точке, где существуют ru и ruu, кривизна кривой может быть вычислена по формуле k 3.

Если кривая задается в естественной параметризации, то k.

Определение 16.

Величина называется радиусом кривизны кривой в точке P0.

Здесь k — кривизна кривой в точке P0.

Справедливы следующие формулы Френе, устанавливающие связь направляющих ортов касательной, главной нормали и бинормали с естественной параметризацией кривой:

b n — орт, коллинеарный бинормали в точке P0.

Отсюда следует, что Векторы, n, b являются взаимно ортогональными единичными векторами и образуют правую тройку.

Тройка векторов, n, b с началом в точке P0 называется репером Френе.

Определение 18.

Естественной системой координат называется декартовая прямоугольная система координат с полюсом в выбранной точке P на кривой и базисом, совпадающим с репером Френе в этой точке.

3. Описание естественного способа задания движения Суть естественного способа задания движения материальной точки состоит в следующем:

– задается регулярная кривая не ниже второй кратности (без особых точек) – задается закон движения по этой кривой где s(t ) — дважды непрерывно дифференцируемая функция от t.

Установим связь естественного способа задания движения с векторным. Подставим (1.2.6) в (1.2.5). Получим Соотношение (1.2.7) — это векторный способ задания движения.

Установим обратную связь. Пусть движение материальной точки задается векторным способом Дадим алгоритм перехода к естественному способу.

Будем смотреть на соотношение (1.2.8) как на векторное задание кривой в абсолютном пространстве. В нем t является параметром, принимающим значения из промежутка J, а вектор-функция r (t ) – параметризацией кривой. По определению, данная кривая является траекторией движения. Однако ее параметризация r (t ) не является естественной.

При естественном способе требуется, чтобы траектория задавалась в естественной параметризации ~( s). Ясно, что алгоритм перехода от векторного способа задания - 34 движения к естественному способу должен содержать описание действий, направленных на построение естественной параметризации.

Поскольку параметризация r (t ), вообще говоря, не является естественной для данной траектории, то алгоритм перехода от векторного способа к естественному должен содержать описание действий, направленных на построение естественной параметризации ~( s).

Чтобы определить функцию ~( s), достаточно найти связь t (s) между длиной дуги s траектории и временем t. Если такая связь будет найдена, то, заменив в правой части равенства (1.2.8) аргумент t на t (s), получим естественную параметризацию ~( s).

Зависимость t (s) может быть найдена из закона движения s s(t ) как обратная функция по отношению к нему. Этот закон s(t ), как и естественная параметризация траектории, должен быть известен при естественном способе задания движения. А потому задача перехода от векторного способа к естественному будет решена, если укажем алгоритм построения s(t ) по вектор-функции r (t ).

Поставленную задачу будем решать при следующем ограничении на r (t ) (только при его выполнении возможен переход к естественному способу):

– траектория, определяемая заданием (1.2.8), является регулярной кривой второй кратности и без особых точек.

Установим вид функции s(t ), соответствующей движению r (t ). Для этого выполним следующие операции.

– Находим s(t ), используя формулу для дифференциала дуги С этой целью фиксируем t0 J и интегрируем данное соотношение в пределах от t до t ; в результате получим искомую функцию s(t ) Очевидно, s(t ) является неубывающей, так как под интегралом стоит неотрицательная функция r( ).

Находим обратную функцию к функции s s(t ), задаваемой формулой (1.2.9), Такая функция t (s) существует, по крайней мере, для всех t, при которых rt (t ) 0, т.е.

при тех t, где s(t ) строго монотонно возрастает.

– Подставим (1.2.10) в (1.2.8); в совокупности с (1.2.9) будем иметь Таким образом, приходим к естественному способу задания движения.

1. В формуле (1.2.9) s0 обозначает длину дуги траектории, ограниченной точкой отсчета длин дуг и положением на траектории материальной точки в момент t 0. Если в качестве точки отсчета длин дуг взять положение r (t0 ), то s0 0.

2. Если в формуле (1.2.9) окажется, что rt( t ) 0 при каких-то значениях t, то подбираем новую параметризацию (u ), в которой параметр u связан со временем t соотношением допускающим однозначное и дважды непрерывно дифференцируемое обращение t t (u). Основное требование к указанной параметризации следующее: векторфункция должна иметь значение u (u ) 0 при u (t ).

Поскольку траектория движения r (t ) является регулярной кривой без особых точек, то параметризация (u ) существует. Данное утверждение следует из того, что для таких кривых всегда существует естественная параметризация ~( s). А в естественr ной параметризации при всех значениях длины дуги s выполняется равенство После построения параметризации (u ) функцию u u (s) находим путем обращения функции s s(u), где s(u ) имеет следующую зависимость от (u ) :

Соотношение (1.2.13) выводится по той же схеме, по которой получено (1.2.9).

Так как функция s(u ), определяемая по формуле (1.2.13), обладает свойством su (u) uu u (u ) 0, то в окрестности точки u u, s s(u ) она допускает обращение Подстановка функции (1.2.14) в соотношение (1.2.12) и функции (1.2.11) в (1.2.13) дает окончательно r r (t (u(s))), s s( (t )) — естественный способ задания движения.

4. Скорость и ускорение при естественном способе задания движения По определению скорости материальной точки можем записать V (t ).

Здесь ~ ~(t ) – движение точки P, заданное векторным способом; V (t ) – ее скорость в момент времени t.

Согласно связи векторного способа с естественным имеем ~(t ) r (s(t )), где r (s) – естественная параметризация траектории движения, а s(t ) – закон движения по этой траектории. Дифференцируя r ( s(t )) по t, получаем где — орт касательной к траектории в той ее точке, с которой совпадает положение материальной точки P в момент времени t.

Из (1.2.15) можем сделать следующие заключения:

а) скорость V (t ) параллельна — орту касательной к траектории в том положении точки P, которое она занимает в момент времени t ;

ной точки. По определению имеем W. Подставляя правую часть (1.2.15) вместо V и дифференцируя по t, получим Воспользуемся формулой Френе где n – орт главной нормали к траектории в том положении, которое занимает на ней точка P в момент времени t ; k – кривизна, а – радиус кривизны траектории в этом положении. Тогда выражение для W примет вид:

Вектор W называется касательным (тангенциальным) ускорением точs ки P, а вектор Wn n n – ее нормальным ускорением.

Величина скорости обозначена V V s. Формула (1.2.16) составляет предмет теоремы Гюйгенса.

Теорема Гюйгенса.

Вектор W мгновенного ускорения точки P (ускорения в момент времени t ) находится в соприкасающейся плоскости к траектории ее движения и равен векторной сумме касательного (тангенциального) ускорения W и нормального ускореs 5. Кинематический способ вычисления кривизны кривой Из теоремы Гюйгенса имеем:

Действительно, из (1.2.15) находим V 2 s 2. Тогда, дифференцируя это равенство по t, получим Возводим в квадрат и, учитывая, что s 2 V 2, приходим к соотношению Отсюда следует равенство (1.2.18).

Таким образом, формулы (1.2.17) и (1.2.18) позволяют вычислить радиус кривизны, если известны W, V и V.

Алгоритм расчета величины радиуса кривизны в регулярной точке кривой строится на основе кинематических формул (1.2.17) и (1.2.18).

Пусть гладкая кривая задается параметрически:

1). Задаем какое-либо движение по кривой: u u(t ). Например, в качестве u (t ) берем функцию u t.

2). Вычислим величины V 2 и W 2. На движении u u(t ) будем иметь:

Здесь x(u ), y (u ), z (u ) — заданные функции (1.2.19). По величинам Vx, V y, Vz находим V 2 :

Аналогично, для вычисления ускорения находим:

Подставляя правые части соотношений (1.2.20) в формулу для квадрата модуля ускорения находим W 3). Определяем величину W2. Формулу для ее расчета получаем через последовательность следующих очевидных соотношений 4). Радиус кривизны получим подстановкой вычисленных значений величин V 2, W 2, W2, в формулу (1.2.17):

Применение алгоритма рассмотрим на примере вычисления радиуса кривизны эллипса в любой его точке. Уравнение эллипса в декартовых координатах имеет вид:

Задаем закон движения по эллипсу: u t. Тогда:

1) находим скорость 2) находим ускорение 3) находим производную от модуля скорости Подставляя V 2, W 2 и 2 в (1.2.17), получим формулу для вычисления радиуса кривизны эллипса в любой его точке В декартовых координатах она будет иметь вид В частности, если a b, то эллипс вырождается в окружность. Тогда x y a 2 b 2, и из (1.2.21) получим a в любой точке окружности.

Пусть a b. Вычисляем в вершинах эллипса. В вершинах на оси x имеем В этом параграфе на примере кругового движения точки будем рассматривать задание ее движения различными способами. Круговое движение точки является частным случаем плоского движения.

Движение материальной точки называется плоским, если траектория этой точки является плоской кривой.

Плоскость, в которой совершает свое движение точка, является соприкасающейся плоскостью ее траектории. Для описания плоского движения, как правило, используется следующая система отсчета (см. рис.1.3.1).

За начало отсчета (точка O ) выбирается какая-либо точка в плоскости движения. В системе отсчета плоскость Oxy совпадает с соприкасающейся плоскостью траектории; оси Ox и Oy взаимно ортогональны и имеют направляющие орты i и j.

Ось Oz ортогональна плоскости движения, и направляющий орт k дополняет систему Oxyz до правой. Орт k является нормалью к плоскости Oxy и определяет ее ориентацию в абсолютном пространстве.

Часто в плоскости движения в рассмотрение вводится угол поворота радиусвектора r точки P относительно произвольно выбранного, фиксированного вектора r0. В зависимости от ориентации плоскости движения (в зависимости от направления орта k ) задается правило выбора положительного направления изменения угла поворота.

Плоское движение точки называется круговым, если траекторией ее движения является окружность.

1. Координатный способ задания кругового движения За точку отсчета O берем центр окружности. Обозначим R радиус траектории материальной точки P. Выберем систему отсчета Oxyz описанным выше способом.

Обозначим угол, отсчитываемый от оси Ox до радиус-вектора r OP материальной точки P в положительном направлении (см. рис.1.3.2).

Определение 3.

За положительное направление изменения угла принимается направление его возрастания при движении точки P против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора k оси Oz на плоскость Oxy.

Движение точки P будет задано, если укажем закон изменения угла от времени t поскольку при круговом движении, согласно определению 2, выполняется тождество Таким образом, круговое движение можем задать в виде Формулы (1.3.3) дают координатный способ задания движения.

Обозначим er орт радиус-вектора r (t ) точки P относительно точки отсчета O.

Тогда, согласно определению 2, на круговом движении должно выполняться Тождества (1.3.5) выполняются при всех значениях t из промежутка времени, в течение которого совершается движение.

Орт er меняет свое направление при изменении времени. Задавая такой закон er (t ) изменения направления орта er, при котором выполняются тождества (1.3.5), и подставляя его в (1.3.4), придем к векторному способу задания кругового движения точки.

В частности, как и при координатном способе (см. п.1), направление орта er можно задавать не непосредственно в зависимости от времени t, а, например, через закон изменения угла поворота радиус-вектора точки P относительно некоторого фиксированного положения r0 этой точки (см. рис. 1.3.1). Тогда er будет представляться суперпозицией функций er er ( ) и (t ). В таком случае будем иметь er er ( (t )), а задание (1.3.4) кругового движения точки примет вид r R er ( (t )), где er ( (t )) и R удовлетворяют тождествам (1.3.5).

Например, если в качестве фиксированного положения точки P, от которого отсчитывается угол, взять положение r0 R i точки P0 (см. рис.1.3.2), то при всех t на круговом движении точки P будет выполняться равенство (t ) (t ), поскольку в таком случае определение угла совпадает с определением угла. Орт er и круговое движение точки P через закон изменение угла будут задаваться формулами Легко видеть, что два других тождества (1.3.5) для вектор-функции er ( (t )) выполняются.

3. Естественный способ задания кругового движения точки В формуле (1.3.6) вектор-функция er ( (t )) строится через угол , отсчитываемый от положительного направления оси Ox в плоскости движения материальной точки. Возможны и другие способы построения этой функции. Например, будем задавать ее через длину дуги окружности.

- 41 Будем отсчитывать длину дуги окружности от точки P0 (см. рис.1.3.2) пересечения окружности с осью Ox. Положительное направление отсчета длины дуги считаем совпадающим с положительным направлением отсчета угла. Тогда, как известно из геометрии, длина s дуги P0 P выражается через угол соотношением Подставляя закон движения (1.3.2), получаем Формула (1.3.8) дает закон движения точки P по окружности в естественной параметризации.

Используя соотношение (1.3.7), перейдем в (1.3.1) от параметра к длине дуги s. Получим естественную параметризацию траектории движения точки P в координатной форме В векторной форме она принимает вид Соотношения (1.3.9) в совокупности с (1.3.8) и (1.3.2) дают естественный способ задания кругового движения точки в координатной форме.

Построим явные зависимости ортов и n репера Френе от радиуса R и длины дуги s на круговом движении. Согласно формулам Френе, имеем где R — радиус кривизны. Здесь воспользовались известным соотношением R для окружности. Отсюда после подстановки (1.3.6),(1.3.7) в формулу для орта касательной находим Далее, введя обозначение e r и подставляя в него (1.3.6), получим зависиd мость орта e от угла в следующем виде:

А тогда, учитывая равенства (1.3.11) и (1.3.7), окончательно для орта будем иметь Зависимость орта n от R и s получим, если подставим орт из (1.3.12) во вторую формулу Френе (1.3.10). После дифференцирования по s выражение для вектора n примет вид Формулы (1.3.12) и (1.3.13) позволяют вычислить два орта репера Френе в любой точке окружности. Третий вектор репера Френе — орт бинормали совпадает с ортом k.

Он не зависит от положения точки на окружности.

4.2. Формулы для скорости и ускорения при круговом движении точки Дадим теперь выражения для скорости V и ускорения W в круговом движении.

Согласно выводам §2, скорость V и ускорение W будут вычисляться по формулам рение. Введем обозначения,. Тогда выражения для векторов V, W, Wn,W и их модулей примут следующий вид:

Если введем векторы то через них скорость V и ускорение W точки P в круговом движении можем записать в следующей форме:

Соотношение (1.3.16) называется формулой Эйлера для кругового движения материальной точки.

Соотношение (1.3.17) называется формулой Ривальса для ускорения материальной точки в круговом движении.

Справедливость формул (1.3.16), (1.3.17) легко устанавливается, если подставить в их левые части соотношения (1.3.14) для V и W, а в правые — соотношения (1.3.15), (1.3.12), (1.3.13) и учесть очевидные равенства которые выполняются на кругового движении.

Для векторов,, приняты следующие названия:

— вектор углового поворота точки в круговом движении;

— вектор мгновенной угловой скорости кругового движения точки;

— вектор мгновенного углового ускорения в круговом движении точки.

Из (1.3.15) следует, что в любой момент времени t вектора, и ортогональны плоскости движения материальной точки.

В §3 при описании кругового движения точки использовались две дополнительные переменные r и. Вводились они на основе геометрических построений. Далее, находились зависимости положений и координат материальной точки от этих переменных. Различные формы задания движения точки получали подстановкой в найденные зависимости законов изменения от времени переменных r и на круговом движении.

Такие переменные r и, как правило, наиболее часто применяются для описания любого плоского движения материальной точки. Их называют координатами точки в полярной системе координат.

Полярная система координат задается следующим образом (см. рис.1.4.1).

Фиксируем в плоскости движения точку отсчета O и ось Ox, проходящую через точку отсчета. Задаем положительное направление отсчета расстояний от точки O вдоль этой оси, задаваемое ортом i. Положительная полуось Ox называется полярной осью.

Пусть в некоторый момент времени t материальная точка P занимает на плоскости положение r, где r OP. Будем определять это положение расстоянием r OP r от точки O до точки P и углом, который образует вектор r с полярной осью. Угол отсчитываем от полярной оси Ox до вектора r.

Положительным направлением отсчета угла считается направление против часовой стрелки, если смотреть с конца орта k, выбранного для ориентации данной плоскости и ортогонального ей.

Построенная таким образом система координат называется полярной системой, а координаты r и называются полярными координатами точки.

Введем декартовую прямоугольную систему координат Oxyz (см. рис.1.4.1), в которой:

O — точка отсчета совпадает с полюсом полярной системы;

Ox — совпадает с полярной осью;

Oz — ортогональна плоскости движения, и орт k является ее базисным вектором, определяющим ориентацию плоскости Oxy ;

Тогда связь Oxyz и полярной системы задается очевидным соотношением Здесь x, y, t — декартовые координаты точки P ; r и — ее полярные координаты, причем они изменяются в пределах r 0 и 0 2.

Из (1.4.1) вытекает, что r и однозначно определяют координаты x и y точки P в плоскости Oxy. Из них легко получить обратную зависимость, т.е. зависимость полярных координат r и точки P от ее декартовых координат x и y, Второе равенство в (1.4.2) справедливо только при x 0. Если x 0, y 0, то из первого равенства в (1.4.1) получаем cos 0. А тогда с учетом второго равенства в (1.4.1) будем иметь:

Если x 0 и y 0, то r 0, и угол может принимать любые значения.

Таким образом, если x 2 y 2 0, то по координатам ( x, y) точки P однозначно определяются ее полярные координаты r и :

где функция arg называется функцией аргумент. Она имеет следующую аналитическую структуру:

Функция arg не определена в точке (0, 0) и однозначна во всех остальных точках плоскости Oxy.

Задать движение в полярных координатах — это значит задать закон изменения координат r и по времени Введем орты er и e, вычисляемые через полярные координаты точки P. Положим, по определению, где Очевидно, er — это орт радиус-вектора r точки P, e — орт, показывающий направление возрастания угла. Иначе, e — это орт касательной к окружности радиуса r с центром в точке O (касательной в точке P ). Орты er и e взаимно ортогональны.

Векторы er и e называются базисом полярной системы координат.

Используя закон движения (1.4.3) и первое соотношение в (1.4.4), получим Это векторный способ задания движения в полярных координатах. Здесь Дифференцируя (1.4.5), получим Формула (1.4.6) дает разложение вектора скорости V по базису полярной системы координат. Отсюда следует, что где r и r — полярные координаты скорости. Вектор Vr называется радиальной скоростью, а V — трансверсальной скоростью точки.

Учитывая ортогональность ортов er и e, из (1.4.6) находим выражение для модуля V вектора скорости V :

Дифференцируя (1.4.6) по времени t, получим где Из (1.4.6) и (1.4.7) легко получить формулы для скорости и ускорения в круговом движении с учетом того, что на таком движении выполняются тождества §5. Задание движения материальной точки в криволинейных координатах 1. Понятие криволинейных (обобщенных) координат точки Криволинейными или, иначе, обобщенными координатами материальной точки будем называть три независимые величины q1, q 2, q 3, которые обладают следующими свойствами.

1. Для любых значений q1, q 2, q 3 из некоторой области Q трехмерного пространства переменных q1, q 2, q 3 определена однозначная, дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция r (q1, q2, q3 ), такая, что ее векторное значение задает положение материальной точки в абсолютном пространстве при 2. Для любого положения материальной точки в абсолютном пространстве можно поставить в соответствие одно и только одно значение переменных q1, q 2, q 3.

3. При любых значениях q1, q 2, q 3 из области Q смешанное произведение векторов Если задана система отсчета O i j k, то в скалярной форме соотношение (1.5.1) можно записать в виде Из сформулированных выше свойств вытекает, что — функции x (q1, q2, q3 ), y (q1, q2, q3 ), z (q1, q2, q3 ) однозначны и дважды непрерывно дифференцируемы;

— система (1.5.3) разрешима относительно обобщенных координат q1, q 2, q 3, так Разрешимость следует из теоремы о неявной функции, поскольку якобиан правой части системы (1.5.3) отличен от нуля при всех (q1, q2, q3 ) из области Q. Действительно, матрица Якоби для системы (1.5.3) имеет вид:

Ее определитель совпадает с левой частью неравенства (1.5.2). А потому det J 0. Данное неравенство выполняется в любой точке ( q1, q2, q3 ) из области Q.

Поэтому из определения 1 обобщенных координат q1, q 2, q 3 следует, что справедливы условия теоремы о неявных функциях для системы уравнений (1.5.3), а из самой теоремы вытекает существование решений q1 ( x, y, z ), q2 ( x, y, z ), q3 ( x, y, z ) этой системы.

Часто криволинейные координаты вводят, исходя из описания специфики тех условий и ограничений, при которых происходят движения материальной точки. На основе этого описания устанавливается оценка допустимого множества G положений материальной точки. В таких случаях обобщенные координаты вводятся для описания движений точки в пределах этого множества.

Иногда удается подобрать переменные q1, q2, q3 не для всех точек множества G, а только для подмножества G1 G. На множестве точек, являющемся дополнением G до G, вводят другие обобщенные координаты – переменные q1, q2, q3.

Если снова не удается охватить переменными q1, q2, q3 все точки этого дополнения, то для описания координат точек множества G, неохваченных переменными q1, q2, q3 и q1, q2, q3, вводятся следующие обобщенные координаты q1, q2, q3.

Процесс ввода обобщенных координат продолжают до тех пор, пока не будут охвачены криволинейными координатами все точки множества G.

Процесс конечен, поскольку на любом этапе можно завершить его, приняв в оставшемся непокрытым множестве в качестве криволинейных координат декартовые координаты точки.

Итогом такого построения будет являться карта ввода криволинейных координат точки, охватывающая все множество возможных положений точки.

Приведем примеры криволинейных координат.

Положение точки P задается переменными,, (см. рис. 1.5.1), где — расстояние от полюса O до проекции точки P на плоскость Oxy ; 0 ; — угол в плоскости Oxy, отсчитываемый от положительного направления оси Ox до луча OP.

P — это проекция точки P на плоскость Oxy ; 0 2 ; положительное направление отсчета угла задается правилом правой руки; — проекция радиус-вектора r точки P на ось Oz ; | OP | | |, P — проекция точки P на ось Oz ; (, ).

Связь декартовых прямоугольных координат x, y, z точки P с цилиндрическими задается следующими формулами:

Обратная зависимость,, от x, y, z, т.е. связь цилиндрических координат с декартовыми, имеет вид:

Если x 2 y 2 0, то аналогичным образом можно ввести цилиндрические координаты 1, 1, 1 по отношению к системе координат O1 x1 y1 z1, у которой, например, полюс O1 смещен вдоль оси Oy, ось O1 y1 совпадает с осью Oy, а оси O1 x1 и O1 z1 коллинеарны осям Ox и Oz.

В тех случаях, когда движения точки могут приводить ее на ось Oz, следует переходить к описанию этих движений в переменных 1, 1, 1.

Положение точки P задается криволинейными координатами r,, (см. рис.

1.5.2). Они имеют следующий геометрический смысл.

Координата r r обозначает расстояние от полюса O декартовой прямоугольной системы координат до точки P. Она может принимать значения r 0.

Координата обозначает угол в плоскости Oxy, отсчитываемый от положительного направления оси Ox до проекции OP вектора r OP на плоскость Oxy.

Она может изменяться в диапазоне 0 2. Положительное направление отсчета угла задается правилом правой руки относительно орта k.

Координата определяется значением угла между плоскостью Oxy и радиусвектором r OP точки P. Угол отсчитывается от плоскости Oxy до радиус-вектора r OP и может изменяться в диапазоне. Он принимает значение, Угол положителен, если точка P принадлежит положительному полупространству ( z 0 ) относительно плоскости Oxy ; угол отрицателен, если P находится в отрицательном полупространстве ( z 0 ) относительно плоскости Oxy.

На рисунке 1.5.2 точка P обозначает ортогональную проекцию точки P на плоскость Oxy, а P — ортогональную проекцию точки P на ось Oz.

Связь декартовых прямоугольных координат x, y, z точки P со сферическими задается формулами:

Обратная зависимость, т.е. связь сферических координат с декартовыми, имеет вид:

Угол не определен, если точка P находится на оси Oz. Угол не определен, если точка P совпадает с точкой отсчета O.

2. Задание движения в криволинейных координатах Движением материальной точки в криволинейных координатах на промежутке времени J называем дважды непрерывно дифференцируемые функции q1 (t ), q 2 (t ), q3 (t ), задающие криволинейные координаты точки в каждый момент времени t J.

Задать движение в криволинейных координатах — это значит:

— задать закон изменения криволинейных координат материальной точки P от Если известно движение q1 (t ), q 2 (t ), q3 (t ) материальной точки в криволинейных координатах q1, q2, q3, то векторное задание ее движения получим подстановкой функций q1 (t ), q 2 (t ), q3 (t ) в вектор-функцию r (q1, q2, q3 ), устанавливающую связь положения точки с криволинейными координатами:

3. Геометрические характеристики криволинейных координат Пусть соотношение (1.5.1) задает связь криволинейных координат q1, q 2, q 3 вектора r с декартовыми x, y, z.

Зафиксируем одну из криволинейных координат. Например, положим в (1.5.1) q1 q10 const. В полученном соотношении координаты q 2, q 3 будем рассматривать как переменные параметры.

Очевидно, в пространстве Oxyz уравнение (1.5.4) задает поверхность. Она называется координатной поверхностью, отвечающей координате q1, или первой координатной поверхностью. Обозначим ее 1.

Аналогично определяются координатные поверхности, отвечающие координате q 2 и координате q 3 – вторая и третья координатные поверхности.

Обозначим их 2 и 3, соответственно. Уравнения поверхностей 2 и 3 получаются из (1.5.1) фиксированием одной из координат q2 q20 или q3 q30, соответственно.

Если зафиксируем в (1.5.1) значения двух криволинейных координат q2 q20 const и q3 q30 const, то будем иметь Это соотношение задает в пространстве Oxyz кривую, которая является пересечением координатных поверхностей 2 и 3 :

Такая кривая называется первой координатной линией. Аналогично определяются вторая и третья координатные линии. Их уравнения имеют вид r r (q10, q2, q30 ) и r r (q10, q20, q3 ), соответственно. Вторая координатная линия является пересечением координатных поверхностей 1 и 3 :

а третья координатная линия — пересечением поверхностей 1 и 2 :

- 51 Все координатные линии, очевидно, пересекаются в точке P0, обобщенные координаты которой имеют значения q10, q 20, q30. Здесь q10, q 20, q30 — значения переменных q1, q 2, q 3, по которым строились первая, вторая и третья координатные линии.

Положение r0 точки P0 определяется по формуле (1.5.1):

Обратимся снова к примеру 1. В цилиндрической системе координатные поверхности и координатные линии изображены на рис. 1.5.1.

Координатными поверхностями являются:

— первая – 1 – цилиндрическая поверхность (на рисунке изображена часть этой поверхности, ограниченная дугами AB и AB и отрезками AA и BB );

— вторая – 2 – полуплоскость, ограниченная осью Oz и проходящая через ось Oz и точку P (на рисунке – это плоскость прямоугольника OPPP );

— третья – 3 – плоскость, параллельная плоскости Oxy и проходящая через точку P (на рисунке – это плоскость сектора PAB ).

Координатные линии:

— (q1 ) ( ) – первая (луч PP с направляющим ортом e );

— (q2 ) ( ) ) – вторая (окружность радиуса с центром в точке P ; ее плоскость ортогональна орту k ; e – орт касательной в точке P );

— (q3 ) ( ) – третья (прямая PP2 с направляющим ортом e k ).

Зафиксируем точку P0 с криволинейными координатами q10, q 20, q30. Введем следующую аффинную систему координат.

Начало ее совпадает с точкой P0. Первая координатная ось совпадает с касательной в точке P0 к первой координатной линии. Вторая координатная ось совпадает с касательной в точке P0 ко второй координатной линии. Третья координатная ось совпадает с касательной в точке P0 к третьей координатной линии (см. рис. 1.5.3).