«В. С. Ермолин, В. С. Королев, И. Ю. Потоцкая ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Часть I. Кинематика Учебное пособие Санкт -Петербург 2013 УДК 51-72 Печатается по постановлению Редакционно–издательского совета Факультета Прикладной ...»

2) функции f (, t ) — дважды непрерывно дифференцируемые по, t, 1, l ;

Для определенности считаем, что ранг реализуется на первых l столбцах матрицы Якоби Bl.

В противном случае изменим нумерацию компонент вектора и составим из них вектор. Изменение нумерации произведем так, чтобы первые l компонент вектора совпали с теми компонентами вектора, на которых реализуется ранг матрицы. Построенный таким образом вектор и его компоненты по-прежнему буЯкоби дем обозначать и i, i 1, 3N, соответственно.

Будем смотреть на уравнения связей (2.4.2) как на систему уравнений относительно переменных 1,..., l, считая остальные независимые переменные l 1,..., 3 N, t параметрами. Иначе говоря, считаем, что система уравнений неявно задает l функций:

Пусть в точке (0, t0 ) G выполняются равенства (2.4.5). Поскольку для функций f (, t ), 1, l, справедливы условия 1,2,3', то система уравнений (2.4.5) удовлетворяет теореме о неявных функциях. Из этой теоремы следует существование указанных функций (2.4.6), обладающих следующими свойствами.

1. По любой точке 3N 1 -мерного пространства (0, t0 ) G, удовлетворяющей системе уравнений (2.4.5) при выполнении условия (2.4.4), можно построить окрестность G точки ( l01,..., 30N, t0 ) 3N l 1 -мерного пространства такую, что функции (2.4.6) будут определены и непрерывно дифференцируемы в области G столько раз, сколько раз непрерывно дифференцируемы функции В точке ( l01,..., 30N, t0 ) выполняются соотношения Подстановка (2.4.6) в уравнения (2.4.5) обращает систему уравнений связей (2.4.5) в тождества относительно переменных l 1,..., 3 N, t.

Из соотношений (2.4.6) следует, что l первых координат 1,..., l вектора в любой момент времени t зависят от остальных координат l 1,..., 3 N этого вектора.

Значения координат l 1,..., 3 N могут выбираться независимо друг от друга из области G, где определены функции ( l 1,..., 3 N, t ), 1, l. При таком выборе указанных координат уравнения связей (2.4.2) будут выполняться тождественно, если только первые l компонент вектора вычисляются по формуле (2.4.6).

Число n 3N l называется числом степеней свободы положения механической системы.

Как следует из проведенного анализа, число n соответствует количеству независимых координат, с помощью которых в каждый фиксированный момент времени t может быть задано любое положение механической системы, подчиненной l голономным связям. В свою очередь, отмеченное свойство координат, с помощью которых определяется положение механической системы, позволяет сделать заключение о способе задания ее движения.

А именно, для того чтобы задать любое движение механической системы, подчиненной связям (2.4.2), необходимо и достаточно указать n 3N l дважды непрерывно дифференцируемых функций l 1 (t ),..., 3 N (t ), позволяющих определить в каждый момент времени n независимых координат l 1,..., 3 N этой системы. Через них остальные l координат 1,..., l как функции времени вычисляются заменой в формулах (2.4.6) переменных l 1,..., 3 N на заданные функции l 1 (t ),..., 3 N (t ), соответственно. Построенная таким образом вектор-функция (t ) будет обращать уравнения связей в тождества, справедливые для всех t, где определено движение.

3. Обобщенные координаты голономных механических систем Введем обозначения:

Записывая их в векторно-матричной форме, будем иметь Тогда зависимости (2.4.6) координат 1,..., l от переменных q 1,..., ql примут вид Объединяя их с (2.4.7), можем записать где En — единичная матрица размерности [n n], n 3N l.

Иначе (в векторном виде) система соотношений (2.4.8) запишется так:

Если сопоставить систему (2.4.9) с (2.4.7), то легко заметить, что соотношения (2.4.7) образуют обратную зависимость переменных q1,..., qn от переменных Таким образом, соотношения (2.4.7) представляют собой обратные по отношению к (2.4.9) зависимости Время t выступает в (2.4.8) и (2.4.10) как параметр.

Матрица Якоби, вычисленная по отношению к функциям ( q, t ) по переменным q, имеет ранг, равный n, ибо последние n столбцов этой матрицы образуют блок Функции q (, t ) обладают такими же свойствами дифференцируемости по, t, как и функции ( q, t ) по переменным q, t.

Наконец отметим, что подстановка функций ( q, t ) в уравнения связей (2.4.5) обращает эти уравнения в тождества по q, t, ибо функции ( q, t ), 1, l, построены из данных уравнений после подстановки в них замен (2.4.7) вместо l j, j 1, n.

Если перейдем от переменных 1,..., 3 N к переменным x, y, z 1, N, исходя из ранее введенных обозначений то вместо ( q, t ) и q q (, t ) соотношения (2.4.9) и (2.4.10) примут вид Из доказанных выше свойств функций ( q1,..., qn, t ) и q (, t ) вытекают следующие свойства функций r (q, t ), 1, N, и q ( r1,..., rN, t ).

1. Существуют такие переменные q (q1,..., qn ) и функции r (q, t ), 1, N, что любое положение механической системы r 1,N из области G в любой момент соотношений 2. Функции r (q, t ) определены и дважды непрерывно дифференцируемы по совокупности переменных q и t, принимающих значения из области G.

3. Ранг матрицы Якоби, вычисленный по переменным q от функций r (q, t ), т.е.

4. Система соотношений (2.4.11) однозначно разрешима относительно переменных q (q1,..., qn ) в любой момент времени t в любом допустимом положении r 1,N механической системы. Иначе говоря, существуют функции qi (r1,..., rN, t ), вещественные и однозначные при любых значениях векторов ( r1,..., rN ) и времени t из области G такие, что подстановка qi qi (r1,..., rN, t ), i 1, n, в правые части системы (2.4.11) обращают ее в совокупность тождеств r r, 1, N.

5. Функции qi (r1,..., rN, t ) определены и дважды непрерывно дифференцируемы по компонентам векторов ( r1,..., rN ) и по времени t в области G.

6. Подстановка функций r (q, t ), 1, N, вместо векторов r, 1, N, в уравнения (2.4.1) геометрических связей обращают их в тождества по совокупности переменных q и t.

Независимые переменные q1,..., qn, связанные с положениями механической системы зависимостями r r (q, t ), 1, N, и обладающие свойствами 1–6, называются обобщенными координатами голономной механической системы.

Таким образом, доказали следующую теорему.

В любой момент времени t любое положение r 1,N механической системы в области G, где определены уравнения геометрических связей (2.4.1), может быть задано с помощью n 3N l независимых координат q1,..., qn, удовлетворяющих условиям 1–6.

Доказанная теорема носит название теоремы существования обобщенных координат.

Как видно из приведенного выше доказательства теоремы, оно основано на том, что в качестве таких переменных q1,..., qn, с помощью которых может быть задано любое положение механической системы, берут ее n последних декартовых координат.

А далее устанавливается, что данные координаты в любых положениях обладают свойствами 1–6. Однако, как показывает практика, свойствами 1–6 могут обладать и другие переменные q1,..., qn, выбранные из каких-либо геометрических, физических, механических, математических соображений. Важно лишь то, чтобы при любом выборе переменных q в качестве обобщенных координат функции, задающие связь их с положениями механической системы, обладали бы свойствами 1–6, описанными выше.

так, чтобы указанные условия были справедливы в некоторой области G1, содержащейся в G. Затем подбирают другие обобщенные координаты q для дополнения множества G1 до G.

Если не удается подобрать координаты q для всего дополнения, то подбирают q для какой-либо части этого дополнения. Затем подбирают их для оставшейся области, и т.д. Так продолжают процесс построения q до тех пор, пока не покроется вся исходная область G. Тем самым будет создана так называемая карта ввода обобщенных координат q. Согласно теореме 1, существуют такие переменные q, для которых справедливы условия 1–6 во всей области G.

Ясно, что в части области G, оставшейся непокрытой, ничто не мешает в качестве обобщенных координат q ввести n независимых декартовых координат, использованных при доказательстве теоремы. Поэтому процесс построения карты ввода обобщенных координат q конечен.

Рассмотрим теперь случай, когда голономные связи — стационарны. Для таких связей теорему о существовании обобщенных координат можно сформулировать в следующем виде.

Если голономные связи стационарны, то существуют такие обобщенные координаты q, что зависимость положений механической системы от этих координат будет иметь вид r r (q), 1, N. Иначе говоря, в правые части соотношений (2.4.11) время t не будет входить явно.

Справедливость утверждения следует из доказательства теоремы. В нем надо учесть, что, поскольку уравнения связей не содержат явно время t, то правые части системы (2.4.6) также не будут содержать t в явном виде. А это значит, что время не войдет явно в функции ( q, t ) системы (2.4.9), и соответственно, системы (2.4.11).

Следствие доказано.

Часто обобщенные координаты q вводятся без предварительного вывода уравнений связей (2.4.1) прямо по описанию механической системы и условий, в которых осуществляется ее движение. В таких ситуациях функциональная зависимость положения r 1,N механической системы от обобщенных координат q строится не из уравнений связи, а исходя из геометрических и физических соображений.

Здесь уместно заметить, что если полученная таким образом зависимость положения r 1,N от переменных q, определяемая соотношениями (2.4.11), будет содержать в явном виде t, то этот факт еще не означает, что связи (2.4.1), являются нестационарными. Построенная по описанному способу явная зависимость функций r от времени t может оказаться результатом неудачного выбора переменных q в качестве обобщенных координат.

Пусть материальная точка P движется по поверхности планеты. Планета равномерно вращается вокруг своей оси с угловой скоростью. Ось планеты сохраняет неизменным свое направление в абсолютном пространстве. Будем считать, что поверхность планеты имеет форму поверхности вращения, образованной поворотом эллипса вокруг одной из своих осей, причем эта ось совпадает с осью планеты (см. рис.2.4.1).

примем точку O — центр планеты, за ось Oz — ось вращения планеты, за оси Ox и Oy — взаимно ортогональные оси, расположенные в плоскости экватора и выбранные так, чтобы система Oxyz была правой.

Положение точки P на поверхности планеты будем определять сферическими координатами, :

– угол — долгота точки P ; отсчитывается в экваториальной плоскости от некоторого фиксированного на планете меридиана, называемого нулевым, до меридиана, проходящего через точку P ; угол называется планетоцентрической – угол — широта точки P ; отсчитывается в плоскости меридиана точки P от плоскости экватора до положения этой точки.

нулевой меридиан Пусть точка P движется по параллели планеты с фиксированной широтой 0 const. Тогда для задания движения точки P достаточно определить только одну обобщенную координату. В качестве такой обобщенной координаты возьмем планетоцентрическую долготу, т.е. положим q1.

При таком введении обобщенной координаты связь положения точки P в абсолютном пространстве с обобщенной координатой q1 будет задаваться формулами где R ( 0 ) cos 0, R ( 0 ) — радиус планеты на широте 0, 0 (t ) — угол между положительным направлением оси Ox и плоскостью нулевого меридиана планеты в момент времени t.

Если обозначить t — момент времени, в который плоскость нулевого меридиана проходит через положительное направление оси Ox, то можем записать А тогда связь положения ( x, y, z ) точки P с обобщенной координатой q1 принимает вид В векторном представлении эту связь можем записать в форме (2.4.11) Хотя в вектор-функцию r (q1, t ) время t входит явно, тем не менее, легко показать, что связи, накладываемые на положение материальной точки, являются стационарными.

Действительно, все положения точки подчинены двум условиям. Одно из них — это требование, чтобы точка P в любой момент времени находилась на заданной поверхности вращения. Вторым является требование, чтобы широта 0 точки в любом ее положении оставалась неизменной. Математически эти два условия в декартовых координатах могут быть записаны в виде следующих равенств задающих ограничения на координаты ( x, y, z ) положения точки P в любой момент времени t.

В них 0 — заданная широта, а R ( 0 ) — известная функция, отражающая зависимость радиуса планеты от широты.

В функциях f ( x, y, z ), 1,2, время t отсутствует, а потому данная механическая система, состоящая из одной материальной точки, является стационарной. Она имеет одну степень свободы, и ее движение вполне определено, если задан закон изменения координаты q1 : q1q1(t ).

Таким образом, с одной стороны, соотношения (2.4.12) показывают, что описание движения точки P по параллели с помощью планетоцентрической долготы приводит к нестационарным зависимостям абсолютного положения точки P от этой долготы.

С другой стороны, поскольку голономные связи данной механической системы стационарны, то согласно доказанному выше следствию 1 из теоремы 1 для данной механической системы должна существовать обобщенная координата q, которая связана с абсолютным положением точки P стационарными зависимостями.

Легко видеть, что такой обобщенной координатой q может служить абсолютная долгота меридиана, на котором находится точка P в момент времени t. Под такой долготой понимается угол между положительным направлением оси Ox и плоскостью меридиана места точки P. Очевидно, этот угол (обозначим его q ) связан с планетоцентрической долготой q1 точки P следующей зависимостью Формулы связи положения ( x, y, z ) точки P с этой обобщенной координатой q будут иметь вид Как видим, в них время t не входит явно (в отличие зависимостей x, y, z от q по формулам (2.4.12)).

§5. Обобщенные координаты и число степеней свободы движения Неголономные механические системы с линейными кинематическими связями описываются следующими уравнениями Считаем, что все интегрируемые связи проинтегрированы и вошли в первую группу уравнений, т.е. вторая группа содержит только неинтегрируемые дифференциальные связи. Причем вторая группа уравнений обязательно присутствует.

В обозначениях, принятых в §4 для вектора-столбца ( 1,..., 3 N ) *, составленного из координат точек механической системы система уравнений (2.5.1), (2.5.2) примет вид (сохраняем за ней ту же нумерацию):

Как и в §4, требуем, чтобы уравнения голономных связей удовлетворяли условиям, сформулированным в этом параграфе:

б) функции f (, t ), 1, l — определены и дважды непрерывно дифференцируемы по совокупности переменных, t из области G ;

в) rang На кинематические связи (2.5.2) дополнительно накладываем следующие условия.

1. s n 3N l, т.е. общее количество связей (голономных и неголономных) 2. Функции a (, t ) и a (, t ), 1, s, определены и непрерывно дифференцируемы по совокупности переменных, t из области G.

Прежде чем сформулировать третье условие, составим матрицу B размерности [(l s) 3N ]. Представим ее в блочном виде где Bl — матрица размерности [l 3N ], совпадающая с матрицей Якоби, составленной по переменным от функций f (, t ), 1, l ; Bs — матрица коэффициентов при скоростях в уравнениях (2.5.2).

Матрица Bl определяется формулой (2.4.3) §4, а матрица Bs имеет вид В (2.5.4) введены обозначения:

a x, a y, a z — координаты вектора a (, t ) в заданной системе отсчета.

Тогда последнее условие (условие 3), накладываемое на кинематические связи, состоит в требовании, чтобы Поясним смысл условия 3. Для этого определим, какие ограничения на скорости точек неголономной механической системы накладываются всеми ее связями.

Перейдем от уравнений связи (2.5.1) к их дифференциальной форме и присоединим к ним уравнения кинематических связей. Придем к следующей системе уравнений дифференциальных связей Легко видеть, что матрица B, имеющая вид (2.5.3), совпадает с матрицей коэффициентов при скоростях в системе (2.5.6), (2.5.7). Каждое уравнение системы (2.5.6), (2.5.7) при любых фиксированных положениях в моменты времени t из области G задает ограничения на скорости механической системы, которые она может иметь в эти моменты времени в указанных положениях. Следовательно, механическая система может иметь в положении, которое она занимает в момент времени t, только такие скорости, которые являются решениями системы уравнений (2.5.6), (2.5.7).

Из вида системы уравнений (2.5.6), (2.5.7) легко устанавливается смысл условия 3, которое следует наложить на кинематические связи, действующие на механическую систему совместно с голономными связями.

А именно, согласно теореме об условиях независимости функций (см. §4, п.1) равенство (2.5.5) означает независимость функций, задающих левые части равенств (2.5.6), (2.5.7). В этих функциях в качестве аргументов выступают скорости механической системы, а ее положения и время рассматриваются как параметры.

Следовательно: условие 3 обеспечивает выполнение требования, чтобы ограничения, которые накладываются на скорости точек механической системы в любой момент времени t в любом положении, допускаемом голономными связями (2.5.1), были независимыми.

Нетрудно заметить, что выполнение равенства (2.5.5) влечет за собой выполнение следующих равенств Равенство (2.5.9) совпадает с условием в), накладываемым на голономные связи.

Поэтому при выполнении условия 3, накладываемого в неголономных механических системах на дифференциальные связи в виде равенства (2.5.5), нет необходимости выделять условие в), предъявляемое в этих системах к связям геометрическим.

Однако справедливость (2.5.8) и (2.5.9) при выполнении (2.5.5) будет учитываться в дальнейшем.

2. Обобщенные координаты в неголономной механической системе Определение 1.

Обобщенными координатами неголономной механической системы называются обобщенные координаты голономной системы, которая строится из неголономной системы исключением кинематических связей из состава действующих связей.

Иначе говоря, обобщенные координаты неголономной системы вводятся через уравнения геометрических связей (2.5.1) таким же образом, как это делается в голо- 3. Число степеней свободы движения механической системы Определение 2.

Число m n s 3N (l s) называется числом степеней свободы движения неголономной механической системы.

Из уравнений (2.5.6), (2.5.7) и условия (2.5.5) можно сделать следующий вывод:

число m задает количество независимых компонент скоростей точек, входящих в состав неголономной механической системы.

Действительно, из уравнений (2.5.6), (2.5.7) при выполнении условия (2.5.5), согласно теореме о неявных функциях, можно выразить l s компонент скоростей через 3N (l s) m оставшихся независимых компонент этих скоростей.

Если неголономные связи отсутствуют, т.е. механическая система является голономной, то отсутствуют уравнения (2.5.7). А тогда из системы (2.5.6) можем выразить l компонент скоростей V, 1, N, точек, входящих в состав голономной механической системы. Эти компоненты будут выражаться через 3N l n остальных независимых компонент.

В таком случае, если распространим понятие числа степеней свободы движения и на голономные системы, то будем иметь:

т.е. для голономных систем число степеней свободы движения m совпадает с числом степеней свободы положения n.

Иначе говоря, в голономных системах количество независимых координат положения механической системы и число независимых компонент скоростей совпадают.

Что касается неголономных систем, то для них всегда имеет место неравенство 1. Обобщенные скорости и ускорения и их связь со скоростями Пусть задано движение механической системы q j q j (t ), j 1, n, через обобщенные координаты.

Определение.

Производная q j по времени t от обобщенной координаты q j на движении qi qi (t ), i 1, n, механической системы называется обобщенной скоростью по обобщенной координате q j, j 1, n.

Вторая производная q j по t называется обобщенным ускорением механической системы по координате q j, j 1, n.

Установим связь обобщенных скоростей q j и ускорений q j, j 1, n, со скоростями V и ускорениями W, 1, N, точек механической системы.

W, 1, N, точек механической системы от обобщенных скоростей q j и обобщенных ускорений q j, j 1, n. Затем найдем искомые обратные зависимости q j и q j, j 1, n, Согласно определению обобщенных координат любое положение r 1,N связано с обобщенными координатами q j, j 1, n, соотношениями Тогда на движении q q(t ) имеем Дифференцируя (2.6.2) дважды по t, получим прямые зависимости V и W, 1, N, от qi и q j, соответственно:

Проведем анализ этих соотношений. Равенства (2.6.3) можем записать в матричном виде:

где D — матрица Якоби размерности [3N n] системы (2.6.1), составленная по переq, t ) [3N 1], соответственно.

Поэлементно они представляются так:

Звездочки обозначают операцию транспонирования.

- 122 Согласно определению обобщенных координат неголономной механической системы и условию 3, которое накладывается на соотношения (2.6.1) в определении обобщенных координат голономной системы (см. п.3, §4), имеем Прежде чем продолжить анализ соотношений (2.6.1) – (2.6.5), докажем следующее утверждение.

Пусть дана любая прямоугольная матрица D размерности [k n], k n.

Для того чтобы столбцы матрицы D были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы матрица была неособой, т.е. det A 0.

Доказательство.

Очевидно, матрица A является квадратной размерности [n n].

Необходимость. Пусть столбцы матрицы D линейно независимы. Тогда для любого вектора c 0 размерности [n 1] выполняется Предположим, что A — особая матрица. Тогда существует вектор c 0 такой, что A c 0, или, подставляя A D*D, получаем Поскольку c 0, то, умножая равенство (2.6.8) на c слева, получаем Этот результат противоречит условию (2.6.7), так как оно выполняется для любого вектора c 0 (в частности, оно справедливо и для c c ). Значит, предположение о том, что det A 0, неверно. Необходимость доказана.

Достаточность.

Пусть det A 0. Предположим противное, что столбцы матрицы D линейно зависимы. Тогда существует вектор c 0 размерности [n 1] такой, что После умножения равенства (2.6.9) на D * слева, получим Отсюда следует, что вектор c 0 является решением однородной системы уравнений. Матрица коэффициентов этой системы совпадает с матрицей A, которая имеет det A 0. А это означает, что такая система может иметь только нулевое решение c 0. Пришли к противоречию с условием c 0. Лемма доказана.

Вернемся к равенствам (2.6.5). Они справедливы на любых движениях и любых положениях механической системы. Умножая равенства (2.6.5) на D * слева, получаем Учитывая условие (2.6.6) и утверждение леммы (из условия (2.6.6) следует, что столбцы матрицы D линейно независимы; из леммы следует тогда, что матрица A D* D неособая при любых r1,..., rN, t ) находим q q(r1,..., rN, t ), получаемой из соотношений (2.6.1), то формула (2.6.10) даст однозначную зависимость обобщенных скоростей q от скоростей V1,..., VN на любом положении r1,..., rN механической системы в любой момент времени t. Поэтому из (2.6.10) можно сделать вывод:

обобщенные скорости на любых движениях и в любых положениях однозначно связаны со скоростями механической системы.

Объединяя теперь равенства (2.6.5) и (2.6.10), приходим к следующему заключению относительно связи между скоростью и обобщенными скоростями механической системы:

любых ее положениях существует взаимно однозначное соответствие, определяемое формулами (2.6.5) и (2.6.10).

Аналогичным путем из (2.6.4) получаем где W и (r1,..., rN, V1,..., VN, t ) обозначают векторы-столбцы размерности [3N 1], составленные из компонент W x, W y, W z ускорений W и компонент x, y, z векr1,..., rN, V1,..., VN, t ), 1, N, Чтобы получить (r1,..., rN, V1,..., VN, t ), необходимо в (2.6.12) заменить аргументы q на q q (r1,..., rN, t ), а обобщенные скорости q — на их зависимость от r1,..., rN, V1,..., VN, t, найденную по формулам (2.6.10).

Обобщая сказанное, можем утверждать, что соотношения (2.6.1), (2.6.3), (2.6.4) дают прямые зависимости положений, скоростей и ускорений от обобщенных координат, обобщенных скоростей и обобщенных ускорений.

Их можно рассматривать как аналитические зависимости положений, скоростей и ускорений механической системы, однозначно разрешимые относительно обобщенных координат, обобщенных скоростей и обобщенных ускорений.

Обратная зависимость обобщенных скоростей и обобщенных ускорений от скорости и ускорения W механической системы задается соотношениями (2.6.10) и (2.6.11), соответственно.

Для функций (2.6.1), (2.6.3) на любых движениях механической системы справедлива следующая кинематическая лемма Лагранжа.

Лемма Лагранжа.

На любых движениях механической системы справедливы следующие соотношения:

водную по времени t от вектор-функции вдоль движения механической системы (см. гл.1, §5, п.8, определение 11).

Равенства (2.6.13) и (2.6.14) называются основными кинематическими соотношениями Лагранжа при дифференцировании функций r (q, t ) и V (q, q, t ), задаваемых формулами (2.6.1) и (2.6.3), соответственно.

Доказательство этой леммы дословно повторяет доказательство аналогичных утверждений, содержащихся в лемме Лагранжа в главе 1, §5, п.8.

3. Ограничения, накладываемые голономными связями В этом пункте дадим ответ на вопрос, какие ограничения на обобщенные координаты и обобщенные скорости накладывают связи в голономных механических системах.

Ответ на этот вопрос следует искать в тех требованиях, которые предъявляются к обобщенным координатам при их выборе для описания движений механических систем, а также в условиях, которым должны удовлетворять математические модели связей в таких системах.

Согласно определению обобщенных координат голономных механических систем и условий, которые накладываются на выбор обобщенных координат, можно записать следующее.

Подстановка в уравнения геометрических связей функций r r (q, t ), 1, N, задающих связь обобщенных координат q и положений точек механической системы, обращают равенства (2.6.15) в тождества по q и t Тождества (2.6.16) будут справедливы для функций r r (q, t ), 1, N, соответствующих любому выбору переменных q, который позволяют сделать уравнения связей (2.6.15).

Из этого свойства получаем следующее.

При любом выборе обобщенных координат, который допускают геометрические связи (2.6.15), уравнения связей не накладывают никаких ограничений на значения этих координат.

Проверим теперь, будут ли уравнения голономных связей накладывать ограничения на значения обобщенных скоростей q (q1,..., qn ).

В соответствии с ранее сделанными выводами (см. §2, п.1) эти уравнения действительно накладывают ограничения на скорости V1,..., VN. Они имеют вид (задаются уравнениями (2.2.5) из §2, п.1):

Подставим зависимость (2.6.3) скоростей V, 1, N, от обобщенных скоростей q в ограничения (2.6.17). Придем к равенствам в которых 1, l. Продифференцируем тождества (2.6.16) по q j, j 1, n, и по t при любых, Раскрывая левую часть тождеств (2.6.20) и сравнивая с (2.6.19), можем записать Учитывая (2.6.20), приходим к требуемым тождествам:

Голономные связи не накладывают никаких ограничений на обобщенные скорости.

4. Ограничения на обобщенные координаты и обобщенные скорости, В неголономных системах, так же, как и в голономных, выбор обобщенных координат q (q1,..., qn ) для описания движений механической системы производится на основе уравнений (2.6.15) геометрических связей. Эти уравнения входят в состав математических моделей связей в неголономных системах, задаваемых кинематическим способом. Неинтегрируемые дифференциальные связи, обязательно присутствующие в описании неголономной системы, на выбор и на область допустимых значений переменных q1,..., qn не влияют. Тем самым они не накладывают никаких ограничений на обобщенные координаты.

Выше (в п.3) показано, что геометрические связи (2.6.15) также не накладывают ограничений на эти координаты. Следовательно, вывод 1, сделанный для голономных систем, справедлив и для неголономных.

Обратимся теперь к решению вопроса, какими уравнениями описываются ограничения на обобщенные скорости, создаваемые связями в неголономных системах.

Ранее было показано (см. §5, п.1), что связи, действующие в таких системах, накладывают ограничения на скорости V, 1, N. Они задаются уравнениями Матрица коэффициентов при скоростях в системе (2.6.21) совпадает с матрицей, определяемой по формуле (2.5.3) из §5:

где Bl обозначает матрицу вида (2.4.2) из §4, а Bs — матрицу вида (2.5.4) из §5.

Ранг матрицы B удовлетворяет условию (2.5.5) из §5:

Как отмечалось в п.2 из §5, это условие позволяет утверждать, что l + s компонент скоростей V, 1, N, можно выразить из уравнений (2.6.21) как функции остальных 3N (l s) m компонент. Поэтому можно записать:

где (Vx1,Vy1,Vz1,..., VxN,VyN,VzN ) *, а ( r1,..., rN,V1,...,Vm, t ) — вектор-функция размерности [3N 1].

Величины V1,, Vm обозначают те m компонент вектора скорости механической системы V 1, N, через которые выразили из уравнений (2.6.21) l s остальных компонент.

Подставляя зависимости (2.6.22) в равенство (2.6.10), связывающее q и век- тор, находим:

Отсюда делаем вывод, что независимыми являются не все обобщенные скорости q1,…, q n, а только m из них. Данное заключение вытекает из того, что n обобщенных скоростей зависят от m n независимых компонент V1,, Vm.

Таким образом, относительно неголономных систем справедливы следующие утверждения.

1. Связи, действующие в неголономных системах, накладывают ограничения на обобщенные скорости.

2. Из этих ограничений обобщенные скорости могут быть выражены как функции от m независимых переменных V1,, Vm, являющихся координатами векторов скоростей V1,, VN точек механической системы.

Покажем, что ограничения на обобщенные скорости q, которые накладывают кинематические связи в неголономных системах, можно записать в форме уравнений дифференциальных связей, зависящих от q, q и t. Для этого в уравнения (2.6.21) подставим вместо скоростей V, 1, N, их зависимости от обобщенных скоростей q, задаваемые формулами (2.6.3), а вместо векторов r, 1, N — их зависимости (2.6.1) от q и t.

Проделав указанные подстановки, будем иметь:

Группа уравнений (2.6.23) совпадает с системой (2.6.18). Как было показано, левые части (2.6.18) при любых значениях q, q и t принимают нулевые значения. Следовательно, (2.6.23) является системой тождеств относительно q, q и t.

Поэтому ограничения на q будут задаваться только уравнениями (2.6.24), которые после очевидных преобразований приводятся к следующему виду:

В (2.6.25) введены обозначения Запишем теперь в матричной форме вторую группу уравнений (2.6.21) и уравнений (2.6.25), задающих ограничения на скорости V, 1, N, и на обобщенные скорости q.

Матричная запись второй группы уравнений (2.6.21) примет вид а система (2.6.25) запишется в форме В (2.6.26) матрица Bs определяется формулой (2.5.4) из §5, а вектор-столбец a (a1,..., as ) * составлен из свободных членов a, 1, s, левых частей второй группы уравнений (2.6.21).

В (2.6.27) вектор-столбец b (b1,..., bs ) * составлен из свободных членов b, 1, s, левых частей (2.6.25). Матрица Bq имеет размерность [ s n]. Она связана с матрицами Bs и D следующей зависимостью Таким образом, подводя итог проведенному анализу неголономных связей с целью построения ограничений, накладываемых ими на обобщенные скорости, можем сделать следующее заключение.

1. Ограничения на обобщенные скорости неголономной системы определяются системой линейных уравнений (2.6.25) или в матричной форме — системой (2.6.27). В ней матрица коэффициентов Bq связана с матрицей Bs исходной системы кинематических связей соотношением (2.6.28).

2. Среди n обобщенных скоростей q1,..., qn независимыми являются m обобщенных скоростей, а s остальных зависят от них.

На этом завершаем изложение кинематики системы материальных точек. В заключение дадим здесь несколько понятий, связанных с переменными q j и q j, j 1, n.

- 128 Пространство переменных q1,..., qn называется координатным пространством, или иначе, пространством конфигураций, а значения переменных q1,..., qn называются координатами точки в пространстве конфигураций.

Точка пространства конфигураций, координаты которой совпадают со значениями обобщенных координат механической системы в момент времени t, называется изображающей точкой.

Обобщенные координаты q, обобщенные скорости q и время t, рассматриваемые как независимые переменные, называются переменными Лагранжа.

В соответствии с этими определениями уравнения (2.6.27) являются уравнениями линейных дифференциальных связей в пространстве конфигураций. Легко доказать, что эти уравнения будут неинтегрируемыми. Поэтому связи, математическими моделями которых они являются, в пространстве конфигураций называются неголономными.

5. Вопросы для тестирования к разделу «Глава 2»

1. Приведите примеры кинематического и динамического задания связей.

2. Что такое свободная механическая система и свободная жесткая механическая 3. Классификация связей при кинематическом способе их описания.

4. Какими связями всегда можно заменить геометрические связи?

5. В каком случае дифференциальную связь второго порядка можно назвать интегрируемой?

6. Что доказывается в теоремах Фробениуса?

7. Каким условиям должны удовлетворять уравнения голономных связей?

8. Как определить число степеней свободы положения голономной механической 9. Какими свойствами обладают обобщенные координаты?

10. В каком случае число степеней свободы совпадает с числом обобщенных координат?

11. Каким условиям должны удовлетворять уравнения неголономных связей?

12. Как определить число степеней свободы движения механической системы?

13. Какие ограничения накладываются геометрическими связями на обобщенные координаты и обобщенные скорости?

14. Что такое пространство конфигураций?

15. Что называют переменными Лагранжа?

В этом параграфе показывается существование такой системы координат, в которой координаты любой точки жесткой системы остаются постоянными при любых ее движениях.

Доказательство проводится на основе анализа уравнений связи const, которым подчиняются любые две точки P и P.

1. Анализ взаимного расположения точек жесткой системы Пусть P1 и P — две фиксированные точки жесткой системы. Обозначим r1 (t ) и r (t ) — положения этих точек относительно выбранной точки отсчета O, а 1 (t ) — их разность (см. рис.3.1.1).

В соответствии с понятием положения точки P относительно точки P1 вектор 1 (t ) задает такое положение, поскольку P1 P – это радиус-вектор точки P относительно точки P1 в момент времени t. Очевидно, он может быть вычислен через положения r (t ) точки P и r1 (t ) точки P1 по формуле:

Обозначим 1 (t ) 1 (t ) – расстояние от точки P1 до точки P в момент времени t, e1 (t ) — орт направления из точки P1 в точку P, Так как механическая система является жесткой, то для всех t и на любых движениях механической системы выполняются следующие свойства:

2) e1 (t ) — дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция времени так же, 3) если известны вектор-функция r1 (t ) и вектор-функция e1 (t ), то положение точки P относительно точки P1 по этим функциям определяется по формуле от движения жесткой системы.

Пусть теперь заданы три фиксированные точки P, P2, P3 жесткой системы. Обозначим Угол между векторами 12 (t ) и 13 (t ) остается постоянным на любых движениях жесткой системы.

Доказательство.

Вычислим квадрат длины вектора 23 (t ). Получим Поскольку 23 const, 13 const, 12 const, а ( e12 (t ), e13 (t ) cos (t ), где (t ) — угол между векторами 12 (t ) и 13 (t ), то cos (t ) const. Следовательно, const.

Что и требовалось доказать.

Если три точки P, P2, P3 жесткой механической системы лежат на одной прямой (в какой-либо момент времени), то и при любых t они будут находиться на одной прямой. Сама прямая может при этом каким-либо образом перемещаться в пространстве. Ориентация точек на этой прямой по отношению друг к другу остается неизменной на любом движении жесткой системы.

Утверждение очевидно.

Рассмотрим теперь движение четырех точек Pi, i 1,2,3,4, жесткой системы, не лежащих на одной прямой.

Обозначим 1i P Pi, i 2, 3, 4. Для определенности будем считать, что точки P, P2, P3 не лежат на одной прямой. Обозначим — плоскость, в которой находятся точки P, P2, P3. Эта плоскость изменяет свое положение при движении жесткой механической системы.

Расстояние от точки P4 до плоскости остается постоянным при любых t на любых движениях жесткой системы.

Ориентация точки P4 относительно плоскости остается неизменной при любых t и любых движениях жесткой системы.

Поясним, что понимается под ориентацией точки P4 относительно плоскости. Обозначим n (t ) — нормаль к плоскости в любой момент времени t. Определим ее направление вектором m (t ), задаваемым по формуле:

Очевидно, в любой момент времени t вектор m (t ) ортогонален плоскости, проходящей через точки P, P2, P3 (см. рис.3.1.2).

Под ориентацией плоскости понимается направление орта нормали 12 (t ) и 13 (t ). На любом движении имеем 12 (t ) const, 13 (t ) const (согласно уравнениям связей), sin (t ) const (согласно лемме 1), sin (t ) 0 (поскольку точки P, P2, P3 не находятся на одной прямой). Поэтому m (t ) const 0.

Следовательно, вектор n (t ) может быть вычислен на любом заданном движении жесткой системы в любой момент времени t. Он определяет положительное и отрицательное полупространства относительно плоскости в соответствии с неравенствами:

– для любой точки P, находящейся в положительном полупространстве, выполняется – для любой точки P, находящейся в отрицательном полупространстве, выполняется Здесь r — положение точки P, взятой произвольно в абсолютном пространстве r1 — положение фиксированной нами точки P1 жесткой системы в момент времени t ; через точку P1 проходит плоскость в любой момент времени t.

Будем говорить, что точка P имеет положительную (отрицательную) ориентацию по отношению к плоскости в момент времени t, если выполняется неравенство (3.1.1) (неравенство (3.1.2)). Точка P имеет нулевую ориентацию, если она находится в плоскости, т.е. выполняется равенство Таким образом, лемма 2 утверждает, что ориентация точки P4 по отношению к плоскости сохраняется при любых t, т.е. если в некоторый момент t выполняется одно из условий (3.1.1), (3.1.2), (3.1.3) для вектора то это же самое условие будет выполняться и в любой другой момент времени t (независимо от того, какое движение совершает жесткая механическая система).

Доказательство леммы 2.

Введем орты e1, e2, e3 по следующим формулам:

Эти орты имеют общее начало в точке P1 (см. рис.3.1.3). Очевидно, Тройка векторов e1, e2, e3 является правой, а векторы e1, e2, e3 — единичные.

Разложим вектор 14 (t ), задающий положение любой точки P4 механической системы относительно точки P1, по векторам e1, e2, e3.

Покажем, что x, y, z на любых движениях механической системы остаются постоянными. Умножим 14 (t ) на e1 (t ) скалярно. Получим, согласно лемме 1, Умножим 14 (t ) на e2 (t ) скалярно. Учитывая формулу (3.1.4), слева получим Скалярные произведения ( 14, 13 ), ( 14, 12 ), ( 12, 13 ), согласно лемме 1, остаются постоянными. Поэтому y(t ) const.

Далее, из тождества 14 (t ) 14 const, справедливого для жесткой системы, и из соотношения (3.1.5) следует Отсюда заключаем, что непрерывны по t на любых движениях, то функция z (t ) также непрерывна на любых движениях. А тогда из непрерывности z (t ) и тождества (3.1.6) следует, что z (t ) const.

утверждения леммы 2.

Докажем следующую теорему.

Для любой жесткой механической системы можно указать декартовую прямоугольную систему координат, в которой все точки механической системы сохраняют неизменными значения координат при любых ее движениях.

Пусть механическая система содержит хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой в какой-либо фиксированный момент времени t. Согласно лемме 1, они не будут находиться на одной прямой в любой момент времени t на любых движениях.

В таком случае справедливы условия леммы 2, и можно ввести следующую систему координат.

Начало ее в любой момент времени t совпадает с точкой P1, а базис совпадает с ортами e1, e2, e3, построенными при доказательстве леммы 2. Заметим, что эта система координат изменяет свое положение в абсолютном пространстве вместе с точками P, P2, P3, поскольку меняет свое положение ее полюс P1 и изменяют направления базисные векторы e1, e2, e3. Как следует из доказательства леммы 2, введенная таким образом система координат удовлетворяет условиям теоремы.

Рассмотрим теперь другую ситуацию.

Пусть механическая система состоит из точек, лежащих на одной прямой в некоторый момент времени t. Тогда на любых движениях все ее точки будут находиться на одной прямой, и их ориентация относительно друг друга будет сохраняться (согласно следствию из леммы 1).

Строим систему координат следующим образом:

– полюс ее фиксируем в точке P1 указанной прямой;

– в качестве базисного орта e1 берем направляющий вектор прямой;

– два других базисных орта e2 и e3 выбираем взаимно ортогональными и ортогональными орту e1 так, чтобы тройка векторов e1, e2, e3 была правой.

Тогда для любой точки P механической системы можем записать где 1 const — расстояние от точки P до точки P1 ; e (t ) — орт, коллинеарный орту e1 (t ), направленный из точки P1 в точку P.

Из леммы 1 вытекает, что если e (t ) совпадает (противоположно направлен) с e1 (t ) в какой-либо момент времени t, то и в любой момент времени t он будет совпадать (противоположно направлен) с e1 (t ).

Это доказывает, что вектор (t ) для любого t имеет постоянную проекцию на e1 (t ), равную 1 при e (t ) e1 (t ) ( 1 при e (t ) e1 (t ), а также то, что (t ) ортогонален ортам e2 и e3. Теорема доказана полностью.

Рассмотрим жесткую механическую систему, состоящую из N 4 материальных точек, среди которых, по крайней мере, три точки не лежат на одной прямой. Обозначим их P, P2, P3.

- 134 Пусть M — точка, которая совершает какое-либо движение в абсолютном пространстве. В частности, она может находиться в покое в этом пространстве.

Следствие (теорема о трех точках).

Если при движениях жесткой механической системы и точки M расстояния от точек P, P2, P3, не лежащих на одной прямой, до точки M остаются неизменными, то расстояния от любой другой точки жесткой системы до точки M будут также неизменными.

Доказательство.

Пусть при всех t для точки M и для точек P, P2, P3, не лежащих на одной прямой, выполняются тождества Пусть P — произвольная точка механической системы (см. рис.3.1.4). Надо показать, что MP const при всех t.

Вводим систему координат, о которой говорится в теореме. Тогда в этой системе координаты x M, y M, z M точки M будут постоянными, так как Поэтому можем записать где xM const, yM const, zM const.

Для любой точки P механической системы также можем записать Координаты xP, yP, zP, согласно теореме, также будут постоянны. А тогда Отсюда получаем Определение.

Декартовая прямоугольная система координат, в которой координаты любой точки жесткой системы остаются постоянными во все время движения, называется связанной системой координат.

Для любой жесткой системы существует связанная система координат.

Жесткая система неподвижна в том пространстве, которое задается связанной системой координат.

3. За полюс связанной системы координат можно брать любую точку жесткой механической системы, а также любую точку того пространства, в котором жесткая система неподвижна.

4. За базис связанной системы координат можно брать любые три ортогональных орта из указанного пространства.

1. Неизменяемая (жесткая) механическая система имеет бесчисленное множество связанных систем координат.

2. Неизменяемая механическая система определяет пространство, в котором эта механическая система неподвижна. Все точки этого пространства движутся вместе с механической системой.

3. Поскольку твердое тело — это неизменяемая система, то все сказанное справедливо и для твердого тела.

1. Векторный способ задания движения твердого тела В соответствии с понятием движения системы материальных точек (см. определение 4 в §4 Введения) дадим следующее определение движения твердого тела.

Движением твердого тела на промежутке времени t0,t1 будем называть совокупность вектор-функций, состоящую из движений rp (t ) на этом промежутке всех его точек.

Движение твердого тела считается заданным, если описан алгоритм, по которому может быть построено движение любой его точки.

Пусть P — точка твердого тела, Oa — точка отсчета в абсолютном пространстве, r Oa P — положение точки P в абсолютном пространстве относительно точки Oa в некоторый момент времени t (см. рис. 3.2.1).

Пусть O — полюс связанной системы координат, i, j, k — ее ортонормированный ортогональный базис. Указанная система координат определяет (задает) пространство, движущееся вместе с твердым телом.

В нем (в указанном пространстве) все точки твердого тела находятся в покое независимо от того, какие движения они совершают в абсолютном пространстве. Другими словами, если обозначим OP — радиус-вектор точки P относительно полюса O, а x, y, z — ее координаты в связанной системе, то положение P в этой системе можно вычислить по формуле x i y j z k. Величины x, y, z являются постоянными при всех t на любых движениях точки P.

Обозначим rO rO (t ) — положение точки O относительно точки отсчета Oa в момент времени t. Тогда положение r Oa P точки P в абсолютном пространстве в этот момент относительно точки отсчета Oa можно представить в виде суммы двух - 136 векторов: вектора OaO rO (t ), задающего положение точки O относительно точки отсчета Oa, и вектора OP (t ), соответствующего положению точки P относительно точки отсчета O.

Таким образом, по правилу сложения векторов можем записать Oa P OaO OP, или иначе, Поскольку в (3.2.1) величины x, y, z постоянны, то их можно считать известными для каждой точки P твердого тела. Они являются координатами точки P в связанной системе, не зависят от движения твердого тела в абсолютном пространстве и могут быть вычислены заранее (до начала его движения).

А тогда, если известны законы изменения по времени четырех векторов rO (t ), i (t ), j(t ), k (t ), то соотношение (3.2.1) позволяет вычислить движение r (t ) любой точки P твердого тела по заданным ее координатам x, y, z в связанной системе.

Отсюда делаем заключение.

Для определения движения твердого тела на промежутке времени t0,t1 достаточно задать дважды непрерывно дифференцируемые на этом промежутке времени вектор-функции Если указанные функции заданы, то движение точки P твердого тела, имеющей геометрические характеристики x, y, z, будет определяться соотношением (3.2.1).

Поскольку (3.2.1) справедливо для любой точки твердого тела, то индекс в соотношении (3.2.1) можем опустить и записать его в виде В (3.2.2) x, y, z — координаты любой точки твердого тела в связанной системе. Они являются постоянными величинами.

и для любой точки пространства, задаваемого связанной системой координат (это следует из теоремы о трех точках).

Соотношение (3.2.2) называется векторным способом задания движения твердого тела.

2. Координатный способ задания движения твердого тела Обозначим i, j, k — орты абсолютной системы Oa xyz, x, y, z — координаты вектора r в абсолютной системе, xO (t ), yO (t ), zO (t ) — координаты вектора rO (t ). Тогда после умножения (3.2.2) скалярно на i, j, k получим Обозначим в (3.2.3) a (t ), 1,2,3, 1,2,3, — коэффициенты при x, y, z.

Обозначим A матрицу коэффициентов Определение 2.

Матрица A называется матрицей перехода от связанной системы координат к абсолютной, или иначе, матрицей ориентации твердого тела в абсолютном пространстве.

Из соотношений (3.2.3) делаем следующий вывод.

Если задано движение полюса связанной системы координат тремя дважды непрерывно дифференцируемыми координатными функциями xO (t ), yO (t ), zO (t ), и задана матрица A (t ) ориентации твердого тела в абсолютном пространстве, то движение твердого тела определяется соотношениями (3.2.3).

Выражения (3.2.3) — это координатный способ задания движения твердого тела.

Перепишем соотношения (3.2.3) в матричном виде Согласно этой форме необходимо задать столбцовую матрицу yO (t ) и матриz (t ) цу A (t ). Элементы матриц должны быть дважды непрерывно дифференцируемыми функциями времени t. И тогда вектор ( x, y, z ) *, вычисляемый по формуле (3.2.4), определяет движение твердого тела.

В (3.2.4) вектор ( x, y, z) * является постоянным. Этим вектором задаются геометрические характеристики выбранной точки твердого тела. Таковыми являются координаты указанной точки в той связанной системе координат, которая служит основой для описания ориентации тела. Обозначим через вектор Под вектором r A будем понимать вектор с компонентами в абсолютном пространстве, которые задаются соотношениями Начало вектора r совпадает с полюсом O связанной системы.

Тогда (3.2.4) можно записать в виде Выражение (3.2.5) – это векторно-матричная форма записи задания движения твердого тела.

§3. Матрица ориентации, ее геометрический смысл и основные свойства Отметим основные свойства матрицы ориентации A.

Твердое тело имеет бесчисленное множество матриц ориентации. Это следует из того, что твердое тело имеет бесчисленное множество связанных систем координат.

Для каждой фиксированной связанной системы матрица A – единственная.

Матрица A не зависит от выбора полюса связанной системы.

Столбцами матрицы A являются направляющие косинусы ортов связанной системы в абсолютной системе координат, а строками – координаты ортов абсолютной системы в связанной. Поэтому матрицу A называют также матрицей направляющих косинусов. Таков ее геометрический смысл.

Элементы a ij (t ) матрицы A на любых движениях твердого тела удовлетворяют следующим тождествам по времени t :

Из векторных соотношений получаем девять условий, связывающих элементы a (t ),, 1, 2, 3, матрицы A, следующего типа:

Из соотношений (3.3.1) и (3.3.2) вытекает Здесь A 1 – обратная матрица, A * – транспонированная.

Тождества (3.3.1) означают, что на 9 элементов матрицы A наложено 6 ограничений (в любой момент времени t ). Отсюда делаем вывод, что матрица A (в общем случае) может быть задана с помощью трех независимых переменных.

Пусть имеем две связанные системы координат Ox1 y1 z1 и Ox2 y2 z. Обозначим A1 – матрицу ориентации системы Ox1 y1 z1, A2 – матрицу ориентации системы Ox2 y2 z и B – матрицу перехода от Ox2 y2 z к Ox1 y1 z1.

Очевидно, что при любых t матрица B остается постоянной, поскольку ее элементами являются направляющие косинусы ортов Ox2 y2 z (если смотреть по столбцам) y1 z1. А так как орты любой связанной системы неподвижны в теле, то их в системе Ox направляющие косинусы остаются постоянными в любой связанной системе координат.

Для любой точки P с координатами x, y, z в абсолютном пространстве можно записать:

Здесь x1, y1, z1 – координаты точки P в системе Oxi yizi, i 1,2.

Поскольку координаты точки P в системе Ox1 y1 z1 связаны с ее координатами в системе Ox2 y2 z через матрицу B соотношением то, подставляя (3.3.4) в (3.3.3), получим Равенства (3.3.5) справедливы для любой точки P, т.е. для любых значений координат x2, y2, z. А тогда из (3.3.5) следует, что в любой момент времени t будет выполняться Формула (3.3.6) устанавливает связь двух матриц ориентации твердого тела в любой момент времени t.

§4. Теорема Эйлера. Построение матрицы ориентации Справедлива следующая теорема.

Теорема Эйлера.

Любое положение ортов связанной системы координат может быть задано через векторные функции, зависящие не более чем от трех независимых угловых параметров. Все элементы матрицы ориентации определяются через эти угловые параметры однозначно.

Доказательство.

Не нарушая общности, можно считать, что полюсы абсолютной и связанной систем совпадают. Обозначим эти полюсы буквой O. Рассмотрим наиболее общую ситуацию, когда оси связанной системы Oxyz не совпадают с осями абсолютной системы Oxyz.

Для определенности считаем, что Oz и Oz не совпадают (см. рис.3.4.1).

обозначения:

n1 k n – орт линии пересечения плоскости Oxy и плоскости Ozz, n2 k n – орт линии пересечения плоскости Oxy и плоскости Ozz, Кроме угла, введем углы:

– угол, отсчитываемый в плоскости Oxy от орта i оси Ox до орта n линии узлов; диапазон значений [0, 2 ) ; угол однозначно задает орт n в плоскости Oxy по формуле n cos i sin j ;

– угол, отсчитываемый в плоскости Oxy от орта n линии узлов до положительного направления оси Ox, т.е. до орта i ; диапазон значений [0, 2 ) ;

угол однозначно задает орт n в плоскости Oxy по формуле n cos i sin j.

Напомним, что за положительное направление отсчета угла в ориентированной плоскости принято считать направление изменения этого угла против часовой стрелки, если смотреть на плоскость с конца орта нормали, задающего ее ориентацию.

Запишем разложение векторов i, j по векторам n и n2.

Очевидно, n и n2 взаимно ортогональны; векторы n, n2, i, j находятся в одной плоскости Oxy (см. рис.3.4.2). Орт n2 является направляющим вектором линии пересечения плоскостей Ozz и Oxy, а орт n – направляющим вектором линии узлов (линии пересечения плоскостей Oxy и Oxy ). Проектируя i, j ' на орты n и n2, получим Запишем разложение n2 и k по векторам n1 и k. Очевидно, орт n1 ортогонален k, орт n2 ортогонален k, и орты n1, n2, k, k лежат в одной плоскости Ozz (см. рис.3.4.3).

Орт n2 является направляющим вектором линии пересечения плоскостей Ozz и Oxy, а n1 — направляющим вектором линии пересечения плоскостей Oxy и Ozz.

Проектируя n2 и k на орты n1 и k, найдем их разложение:

Подставим (3.4.3) в (3.4.1) и (3.4.2). Тогда вместе с (3.4.4) можем записать Воспользуемся, наконец, тем, что векторы n, n1, i, k находятся в одной плоскости Oxy (см. рис.3.4.4). Орт n является направляющим ортом линии пересечения плоскостей Oxy и Oxy ; n1 — направляющим ортом линии пересечения плоскостей Oxy и Ozz ; орты n и n1 взаимно ортогональны. Проектируя n и n1 на орты i и j, будем иметь:

Подставляя данные зависимости ортов n и n1 от i и j в (3.4.5), окончательно находим разложения векторов i, j, k по i, j, k :

- 143 В них коэффициенты при ортах i, j, k в разложении i (первое равенство) являются элементами первого столбца матрицы A. Аналогично, в разложении j ' коэффициенты при ортах i, j, k — элементы второго столбца, а в разложении k — третьего.

Таким образом, матрица A имеет вид:

Теорема доказана.

Определение.

Углы,,, введенные при построении матрицы ориентации в доказательстве теоремы Эйлера, называются углами Эйлера.

Знание углов Эйлера в любой момент времени t при движении твердого тела позволяет вычислить матрицу ориентации твердого тела на данном движении.

Доказательство теоремы Эйлера позволяет сформулировать простые правила и построить схему ввода углов Эйлера. Правила и схему легко обобщить на случай ввода любых других трех независимых угловых величин, по которым может быть однозначно вычислена матрица ориентации.

Пусть в момент времени t известны углы Эйлера,,. Перенумеруем оси в любой декартовой прямоугольной системе координат. Будем называть Ox осью 1, Oy – осью 2, Oz – осью 3. Соответственно, Ox – это также ось с номером 1, Oy – ось с номером 2, Oz – ось с номером 3 в связанной системе.

Обозначим Ox0 y0 z0 систему координат, совпадающую в момент времени t с абсолютной системой Oxyz. Покажем, как, зная углы,,, с помощью трех последовательных поворотов системы Ox0 y0 z0 можно совместить ее со связанной системой Oxyz.

Процесс совмещения будем проводить в три этапа. На первом этапе повернем систему Ox0 y0 z0 вокруг третьей оси, т.е. вокруг оси Oz0, так, чтобы ось Ox0 совпала с линией узлов. Это значит, что между новым положением оси Ox0 и старым образовался угол. Новое положение системы Ox0 y0 z0 обозначим Ox1 y1 z1. Произведенное нами действие сформулируем в виде первого правила:

«Первый поворот совершается вокруг оси 3 на угол ».

Схематически действие по такому правилу обозначим:

на угол на первом этапе.

На втором этапе повернем систему Ox1 y1 z1 вокруг оси Ox1 (т.е. вокруг оси 1) так, чтобы ось Oz1 совпала с положением оси Oz связанной системы. Поставленная цель достигается поворотом на угол вокруг линии узлов Ox1. Новое положение осей Ox1 y1 z1 обозначим Ox2 y2 z2. Описанное действие формулируется в виде второго правила:

«Второй поворот совершается вокруг оси 1 на угол ».

Действие схематически изобразим по аналогии с действием по правилу 1:

Цифра 1 внутри круга указывает номер оси, вокруг которой происходит поворот на угол на данном этапе.

Поскольку действие по правилу 2 производится только после того, как сделан поворот на угол на первом этапе, то, объединяя последовательность двух поворотов в единую схему, получим:

Здесь стрелка указывает на то, что поворот вокруг оси 1 на угол осуществляется после поворота вокруг оси 3 на угол.

На третьем этапе систему Ox2 y2 z2, полученную из Oxyz двумя первыми поворотами на углы и, повернем вокруг оси Oz (оси 3) так, чтобы она совместилась полностью с окончательным положением осей Oxyz. Совмещение осей будет достигнуто, если повернем систему Ox2 y2 z2 на угол.

Из описанных действий следует, что система координат Ox0 y0 z0, совпадающая в момент времени t с абсолютной системой Oxyz, может быть совмещена с угловым положением связанной системы Oxyz с помощью трех последовательных поворотов на конечные углы,, вокруг одной из координатных осей промежуточных систем координат.

Каждая промежуточная система получается из предшествующей поворотом на один из перечисленных углов.

На последнем, третьем этапе действий необходимо руководствоваться правилом:

Схематически этап 3 можно представить так:

В расшифровке предложенная схема означает, что поворот координатных осей должен проводиться вокруг оси 3 на угол из положения, которое система достигла после поворота вокруг оси 1 на угол.

- 145 Объединяя схемы действий, описанных на каждом этапе процесса перевода системы Ox0 y0 z0 в положение связанной системы Oxyz, задаваемое в момент времени t углами Эйлера,,, приходим к следующей общей схеме такого перехода:

Она называется схемой ввода углов ориентации. В данном контексте она отражает схему ввода углов Эйлера.

Поясним физический смысл углов Эйлера. Рассмотрим их на примере движения волчка.

Наблюдения показывают, если пренебречь трением опоры волчка, то ось симметрии волчка совершает следующее движение.

Обозначим K — конец орта оси симметрии, начало системы координат — O, а K — проекцию точки K на плоскость Oxy.

Точка K находится в плоскости Oxy во все время движения, причем, если конструктивно волчок выполнен точно (т.е. является симметричным относительно оси вращения, и все его массы расположены симметрично), то точка K движется по окружности. Радиус окружности равен sin, где – угол между осями Oz и Oz (см. рис.3.4.5).

Об этом движении говорят, что волчок совершает прецессию. Точнее говоря, прецессией волчка называют вращение вокруг вертикальной оси Oz плоскости, проходящей через эту ось и ось симметрии волчка.

Если симметрия волчка конструктивно нарушена, то точка K одновременно с прецессией, т.е. вращением вокруг полюса O в плоскости Oxy, совершает колебательное движение между двумя окружностями радиуса 1 sin1 и 2 sin (см. рис.3.4.6). Здесь 1 – минимальное значение угла, а 2 – максимальное. Иначе говоря, (t ) – колебательная функция. Такое движение волчка называется его нутационным колебанием.

Все остальные материальные точки волчка, расположенные вне оси симметрии, по отношению к этой оси совершают круговые движения по углу. Их движения называется собственным вращением волчка.

4. Построение углов Эйлера по заданной матрице ориентации Дадим ответ на следующий вопрос: если матрица A задана, то можно ли определить углы Эйлера по ее элементам? Из третьего столбца матрицы A находим Из третьей строки матрицы A получим Эти соотношения справедливы только в том случае, когда a33 1, т.е. при и. При 0 и матрица A, соответственно, принимает вид:

Из данных выражений матрицы A можно вычислить по первому столбцу Эта особенность принципиальная, ибо при 0 и при плоскости Oxy и Oxy совпадают, и понятие линии узлов отсутствует. В такой ситуации в качестве линии узлов можно взять любую прямую, находящуюся в плоскости Oxy.

И если по общему правилу задать углы и относительно линии узлов, то по этим углам однозначно будут вычисляться элементы матрицы A, поскольку положение осей Oxy по отношению к Oxy при 0 определяется суммой углов, а при — разностью углов.

Однако обратная задача — задача определения значений углов Эйлера по элементам матрицы A — не будет иметь решения, поскольку углы и не могут быть §5. Выражение матриц ориентации твердого тела При описании движений самолетов используется следующая связанная система координат (см. рис.3.5.1).

Ось Ox — продольная ось симметрии самолета; положительное направление от хвоста к кабине самолета.

Ось Oy — в продольной плоскости симметрии, направлена от шасси вверх по вертикали.

Ось Oz — в направлении правого крыла перпендикулярно продольной плоскости симметрии.

Для задания ориентации самолета применяется следующая схема ввода углов ориентации:

Матрица ориентации имеет вид:

При описании движений кораблей используется следующая связанная система координат (см. рис.3.5.2).

Ось Ox — по оси симметрии от кормы к носовой части.

Ось Oy — ортогональна продольной плоскости симметрии, направлена Ось Oz — в продольной плоскости симметрии от днища корабля вверх к палубе.

Схема ввода углов ориентации:

Матрица ориентации имеет вид:

§6. Алгебраический метод построения матрицы ориентации Определение.

Будем называть матрицей элементарного поворота матрицу перехода от системы координат, построенной поворотом исходной системы координат вокруг одной из ее координатных осей на один угол.

Очевидно, существует три независимых элементарных поворота.

1. Поворот вокруг 1-ой оси (оси Ox ) на угол 1 (см. рис.3.6.3). Тогда 2. Поворот вокруг 2-ой оси (оси Oy ) на угол 2 (см. рис.3.6.4). Тогда 3. Поворот вокруг 3-ой оси (оси Oz ) на угол 3 (см. рис.3.6.5). Тогда Если обозначить исходную систему координат через Oxyz, а систему, полученную элементарным поворотом с номером i на угол i, через O xi yi z i, то можем записать Теперь обратимся к схеме ввода углов ориентации.

Как отмечено в п.2 §4, эти углы вводятся тремя последовательными поворотами вокруг одной из осей согласно схеме, задающей последовательность поворотов и углов, на которые осуществляется поворот. Например, для углов Эйлера имеем Тогда после первого поворота можем записать После второго и третьего поворотов соответственно получим Подставляя зависимость ( x2, y2, z2 ) от ( x, y, z) в предшествующую формулу, а затем полученную зависимость ( x1, y1, z1 ) в формулу связи с ( x, y, z ), получим где ( x, y, z ) и ( x, y, z) — координаты любой (произвольной) точки соответственно в системе Oxyz и Oxyz, то отсюда находим Аналогично для самолетных и корабельных углов будем иметь:

Этот способ вычисления матрицы ориентации может применяться к любой схеме ввода углов ориентации.

§7. Число степеней свободы положения свободного твердого тела Твердое тело называется свободным, если на его точки не наложено никаких других связей, задаваемых кинематическим способом, кроме условий, входящих в определение понятия жесткой системы:

«расстояния между любыми точками твердого тела остаются постоянными на любых движениях твердого тела».

1. Пусть тело состоит из точек, лежащих на одной прямой.

Тогда положение любой его точки P можно определить по формуле где rO (t ) — радиус-вектор полюса связанной системы относительно заданной e (t ) — орт оси, жестко связанной с телом, т.е. оси, на которой находятся все точки твердого тела, const (для каждой точки P — свое значение).

Орт e (t ) будет определен в любой момент времени t, если в этот момент зададим два угловых параметра, поскольку для него справедливо Таким образом, для того, чтобы можно было вычислить (определить) положение любой точки твердого тела, достаточно знать:

— два угловых параметра для определения направления орта e (t ).

Очевидно также, что если хотя бы одна из перечисленных координат точки O или один из угловых параметров вектора e неизвестны, то нельзя определить положения всех точек твердого тела. Поэтому знание указанных параметров в любой момент времени t необходимо и достаточно для определения положения твердого тела. Отсюда делаем следующее заключение.

Если твердое тело состоит из точек, лежащих на одной прямой, то оно имеет пять степеней свободы положения.

2. Пусть среди точек твердого тела имеется хотя бы три, не лежащие на одной прямой.

В соответствии с матричным способом задания движения твердого тела можем записать:

три свободные (независимые) координаты xO (t ), yO (t ), zO (t ), задающие положение полюса связанной системы в любой момент времени t ;

три независимых угла ориентации для определения матрицы A (t ).

Итого, необходимо и достаточно знать шесть независимых координат для того, чтобы определить положение любой точки твердого тела в момент времени t.

Если твердое тело содержит хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой, то оно имеет шесть степеней свободы положения.

Поскольку в общем случае свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы положения, то это значит, что положение любой его точки в любой момент времени t можно задать (определить) с помощью шести независимых координат. Такими координатами, например, могут служить декартовые координаты положения полюса связанной системы координат xO, yO, zO и углы Эйлера,,, через которые может быть построена матрица ориентации A твердого тела. Зная эти шесть обобщенных координат в момент времени t, можно вычислить положение любой точки твердого тела по формуле (3.7.1), подставив значения x, y, z геометрических характеристик этой точки.

1. Система векторных уравнений типа Эйлера-Пуассона Рассмотрим следующую систему векторных уравнений относительно неизвестного вектора :

Систему уравнений (3.8.1) будем называть уравнениями типа Эйлера-Пуассона.

В ней:

а) e1, e2, e3 — заданная правая ортонормированная тройка векторов, так что б) b1, b2, b3 — произвольные векторы.

Установим, каким условиям должны удовлетворять векторы b1, b2, b3, чтобы существовало решение системы (3.8.1). Справедлива следующая лемма.

Для того чтобы существовало решение системы уравнений (3.8.1), необходимо и достаточно, чтобы векторы b1, b2, b3 удовлетворяли следующим условиям:

Доказательство. Необходимость.

Пусть существует решение системы (3.8.1). Тогда из i –го, i 1,2,3, равенства для этого решения умножением скалярно на ei получаем т.е. справедливо условие (3.8.3).

Умножая скалярно i –ое равенство на e j, а j –ое равенство на ei, i j, и учитывая, что получаем справедливость условий (3.8.4).

Достаточность.

Пусть условия (3.8.3), (3.8.4) выполняются. Умножим векторно слева первое равенство в системе (3.8.1) на e1, второе — на e2, третье — на e3 и сложим. Получим при умножении i –го равенства на ei Просуммируем данные равенства по i от 1 до 3.

В квадратных скобках получили разложение вектора по ортогональному ортонормированному базису e1, e2, e3. Поэтому Подставляя в (3.8.5), получим 2 ei bi, или иначе, Покажем, что при выполнении условий (3.8.3), (3.8.4) система уравнений (3.8.1) совместна. Для этого достаточно показать, что формула (3.8.6) действительно задает решение данной системы.

Подставим (3.8.6) в первое уравнение системы (3.8.1). Справа получим Применяя формулу двойного векторного произведения, получим Учитывая условия (3.8.2), (3.8.3), (3.8.4), окончательно можем записать Установили, что правая часть первого уравнения системы (3.8.1) совпадает с левой частью этого уравнения. Этим доказали, что вектор, задаваемый формулой (3.8.6), является решением первого уравнения системы (3.8.1) при выполнении условий (3.8.3), (3.8.4).

Аналогично устанавливается справедливость второго и третьего уравнения системы (3.8.1) для вектора, задаваемого формулой (3.8.6).

Если существует решение системы (3.8.1), то оно единственное.

Доказательство.

(3.8.1), т.е. имеем Вычитая одно уравнение из другого, получим Отсюда следует, что вектор 1 2 коллинеарен трем взаимно ортогональным векторам e1, e2, e3. А это значит 1 2 0. Получили противоречие с исходной посылкой о том, что 1 2. Лемма 2 доказана.

Объединяя результаты, сформулированные в леммах 1 и 2, приходим к следующей теореме.

Для того чтобы существовало решение системы (3.8.1), необходимо и достаточно выполнение условий (3.8.3), (3.8.4).

Если условия (3.8.3), (3.8.4) выполнены, то решение системы (3.8.1) — единственное и задается формулой (3.8.6).

Будем рассматривать подвижную систему координат Oxyz с базисом i, j, k и полюсом O. Пусть rO OaO — положение полюса O относительно абсолютной точки отсчета Oa.

Чтобы задать движение подвижной системы координат, надо задать движение полюса rO rO (t ) и задать в любой момент времени t положение ортов i, j, k.

Положение ортов i, j, k можно определить одним из двух способов:

— либо через известные векторные функции i (t ), j (t ), k (t ) ;

— либо через известную матрицу ориентации A(t ).

Векторные функции rO (t ), i (t ), j (t ), k (t ) будем считать дважды непрерывно дифференцируемыми по времени t.

Пусть положение ортов i, j, k определяется через функции i (t ), j (t ), k (t ) :

Тогда в каждый момент времени известны скорости изменения направления этих ортов.

Поскольку функции i (t ), j (t ), k (t ) образуют правую ортонормированную тройку векторов в любой момент времени t, то справедливы следующие тождества:

Пусть теперь положение ортов i, j, k задается через матрицу A(t ) перехода к абсолютной системе Oa xyz.

Обозначим через i, j, k орты абсолютной системы, а через a (t ),, 1,2,3, — элементы матрицы перехода A(t ). Тогда, исходя из определения матрицы перехода, можем записать Дифференцируя по t каждое из этих равенств, получим элементы матрицы. Поскольку матрица A(t ) задана, то элементы матрицы можно считать известными. Тем самым в любой момент времени t известны векторы dt dt dt Заметим, что матрицу A(t ) можно считать заданной и в том случае, когда задаются функции i (t ), j (t ), k (t ), ибо столбцы матрицы A(t ) совпадают с координатами векторов i (t ), j (t ), k (t ) в абсолютной системе координат. Таким образом, из проведенных рассуждений можно сделать следующие выводы.

1. При любом способе задания движения подвижной системы координат в любой момент времени будут известны векторы i (t ), j (t ), k (t ), если положение ортов i, j, k в каждый момент времени t задается через указанные функции.

В случае, когда положение ортов i, j, k в каждый момент времени t задаетd i dj dk лам (3.8.10).

3. При всех значениях времени t будут выполняться тождества (3.8.7) и (3.8.8).

Обратимся теперь к уравнениям (3.8.1). Обозначим в них Тогда в любой момент времени t для векторов ei (t ), i 1,2,3, справедливы соотношения (3.8.2). Кроме того, для векторов bi (t ), i 1,2,3, задаваемых формулами (3.8.11) в совокупности с векторами ei (t ), i 1,2,3, справедливы условия (3.8.3), (3.8.4). Указанные свойства проверяются подстановкой (3.8.11) и (3.8.12) в формулы (3.8.7) и (3.8.8).

А потому справедлива теорема 1, доказанная выше (п.1), т.е. существует единственный вектор (t ), задаваемый формулой который в любой момент времени t является решением следующей системы векторных уравнений Вектор (t ), вычисляемый по формуле (3.8.13), называется вектором мгновенной угловой скорости подвижной системы координат.

Из теоремы 1 следует, что он является единственным решением уравнений (3.8.14).

Уравнения (3.8.14) называются уравнениями Эйлера. Они устанавливают связь мгновенной угловой скорости (t ) с базисными вектор-функциями i (t ), j (t ), k (t ) и их производными по времени t.

Поскольку i (t ), j (t ), k (t ) — дважды непрерывно дифференцируемые векторные функции, то из формулы (3.8.13) следует, что вектор (t ), рассматриваемый как функция времени t, также непрерывно дифференцируемая векторная функция. Это свойство вектора (t ) позволяет ввести следующее понятие.

Вектор (t ), задаваемый формулой называется вектором мгновенного углового ускорения подвижной системы координат. Здесь (t ) — вектор мгновенной угловой скорости подвижной системы координат.

i (t ), j (t ), k (t ) и их вторыми производными по времени t :

Вычислим проекции вектора (t ) на подвижные оси Ox, Oy, Oz. Для этого последовательно умножим скалярно на i (t ), j (t ), k (t ) равенство (3.8.13). При умножении на орт i (t ) получим:

Здесь учли, что Из тождеств (3.8.8) имеем:

Поэтому окончательно находим Выражения для y ', z ' получим из формулы (3.8.15) круговой перестановкой Будем иметь Справедливость их легко проверить умножением формулы (3.8.13) на векторы j и k скалярно.

Если в формулы (3.8.15), (3.8.16) подставить (3.8.9) и (3.8.10) — выражения для получим связь проекций вектора (t ) на подвижные оси x, y, z с направляющими косинусами векторов i, j, k и их производными. Эта связь имеет вид:

Формулы (3.8.17) позволяют вычислить вектор (t ) в проекциях на связанные 3. Понятие вектора мгновенной угловой скорости твердого тела Как отмечено в §3, твердое тело имеет несчетное множество связанных систем координат. Все они обладают общими свойствами:

при любых движениях твердого тела;

б) базис каждой связанной системы координат сохраняет неизменными проекции на оси всех других связанных систем координат.

В отношении второго свойства (свойства б)) следует сделать оговорку. Оно справедливо для твердых тел, не являющихся стержнями, т.е. таких тел, все точки которых не сосредоточены на одной прямой.

В случае, когда моделью тела является отрезок прямой, любая система координат, которая одной своей координатной осью совпадает с точками твердого тела, а две другие оси ортогональны этой прямой и могут вращаться вокруг нее, также будет удовлетворять условию а), т.е. будет удовлетворять определению понятия «связанной системы координат».

Чтобы не усложнять дальнейшие выводы, в случае твердого тела, сосредоточенного на одной прямой, в качестве связанных систем будем рассматривать только такие, которые неподвижны друг относительно друга(т.е. находятся в покое относительно друг друга).

Покажем, что векторы у всех связанных систем координат одного и того же Пусть x i y j z k — вектор, неподвижный в связанной системе координат.

Для любого вектора, неподвижного в связанной системе координат, справедлива формула Здесь — вектор мгновенной угловой скорости связанной системы координат по отношению к заданной абсолютной.

Первое слагаемое, обозначенное круглыми скобками, равно нулю, так как ний Эйлера (3.8.14). Получим Пусть теперь в твердом теле заданы две связанные системы координат Ox y z, Обозначим через s, s 1, 2, векторы мгновенной угловой скорости соответствующих связанных систем координат относительно абсолютной.

Векторы s, s 1, 2, связанных систем координат совпадают в любой момент времени t.

Доказываем от противного. Пусть 1 (t ) 2 (t ) в некоторый момент времени t.

В соответствии с определением 1 s (t ) удовлетворяют уравнениям Эйлера (3.8.14) в любой момент времени t.

Поскольку векторы i 2, j 2, k 2 неподвижны в первой связанной системе координат, то, согласно лемме 3 и формуле (3.8.18) в любой момент времени t выполняется В частности, соотношения (3.8.19), (3.8.20) выполняются и в момент времени t.

Получили, что векторы i2, j2, k2 в момент времени t удовлетворяют уравнениям Эйлера (3.8.19) и (3.8.20) для двух различных 1 (t ) и 2 (t ). Это невозможно, т.е.

должно быть 1 (t ) 2 (t ) в силу единственности решения уравнения Эйлера при фиксированной тройке векторов e1, e2, e3 (в нашем случае e1 i2(t ), e2 j2 (t ), e3 k2 (t ) ).

Пришли к противоречию с исходной посылкой о том, что 1 (t ) 2 (t ).

Вектором мгновенной угловой скорости твердого тела по отношению к заданной системе отсчета называется вектор мгновенной угловой скорости системы координат, жестко связанной с твердым телом.

1. Из теоремы 2 следует, что твердое тело имеет единственный вектор мгновенной угловой скорости, который может быть определен по движению любой связанной системы координат.

Его каноническое представление задается формулой (3.8.13), где в качестве ортов i, j, k могут быть взяты орты любой системы координат, жестко связанной с твердым телом.

производные в той системе отсчета, по отношению к которой определяется вектор мгновенной угловой скорости твердого тела (иначе говоря, по отношению к которой рассматривается движение твердого тела).

2. Проекции вектора твердого тела на оси связанной системы координат, как правило, обозначаются p, q, r. Они зависят от выбора связанной системы.

Однако сам вектор (его величина и направление в заданной системе отсчета) не зависит от выбора связанной системы.

3. Связь величин p, q, r с элементами матрицы ориентации a (t ) и их производными a,, 1,2,3, определяется соотношениями (3.8.17), в которых следует положить x ' p, y ' q, z ' r. В векторной записи эта связь имеет вид (3.8.15) и (3.8.16).

- 159 Отсюда делаем вывод, что — это свободный вектор. Он не зависит от координат полюса связанной системы, а лишь зависит от матрицы ориентации A и ее производной по времени.

При векторном задании движения твердого тела для любой точки P твердого тела можем записать Здесь r — положение точки P твердого тела в момент времени t относительно заданной точки отсчета в абсолютном пространстве, rO (t ) — положение полюса O связанной системы координат в момент времени t, (t ) — положение точки P относительно полюса связанной системы координат.

Положение точки P в связанной системе определено координатами x, y, z, которые постоянны на любых движениях твердого тела. Поэтому можем записать (t ) x i (t ) y j (t ) z k (t ), где i (t ), j (t ), k (t ) — положения ортов связанной системы координат в момент времени t относительно абсолютного пространства.

Дифференцируя (3.9.1) по t, получим Поскольку вектор в связанной системе координат неподвижен, то согласно лемме 3 (§8, п.3) имеем где — вектор мгновенной угловой скорости твердого тела.

Подставляя в (3.9.2), окончательно получим где VO — скорость полюса связанной системы.

Равенство (3.9.3) называется формулой Эйлера для скоростей точек твердого тела.

Вывод формулы Эйлера позволяет сформулировать следующее правило построения вектора V — скорости любой точки твердого тела.

Для того чтобы построить скорость V, необходимо скорость VO полюса связанной системы координат и вектор параллельным переносом совместить своими началами с точкой O — с полюсом абсолютной системы. Построить сумму этих векторов по правилу параллелограмма.

Полученный таким образом вектор V параллельным переносом совместить началом с точкой P, поскольку скорость V точки P связана с этой точкой.

- 160 Иначе говоря, для построения вектора V можно применить правило суммирования свободных векторов, являющихся составляющими вектора V, а затем результат сложения перенести в точку P своим началом.

Исходя из формулы Эйлера, можно выделить следующие группы движений твердого тела, т.е. дать следующую классификацию его движений.

1. Если VO (t ) 0 и (t ) 0 в некоторый момент времени t, то такое движение называется «мгновенным покоем твердого тела».

2. Если VO (t ) 0 и (t ) 0 в некоторый момент времени t, то движение называется «мгновенным поступательным движением твердого тела».

3. Если VO (t ) 0 и (t ) 0 в некоторый момент времени t, то такое движение называется «мгновенным вращением твердого тела вокруг неподвижной точки».

Если существуют две точки твердого тела, скорости которых равны нулю в некоторый момент времени t, и при этом (t ) 0, то движение твердого тела называется «мгновенным вращением твердого тела вокруг неподвижной оси».

Если оказывается, что равенства или неравенства, которым удовлетворяют вектор-функции VO (t ), (t ) и V (t ) в данной классификации, выполняются на некотором промежутке времени t (т.е. справедливы при всех t, ), то слово «мгновенный»

опускается. Тогда движения называются соответственно «покой», «поступательное», «вращение вокруг неподвижной точки», «вращение вокруг неподвижной оси».

Пусть e, где A и B — две любые, несовпадающие точки твердого тела (см. рис.3.9.1).

Обозначим VA и VB скорости точки A и точки B, соответственно.

В любой момент времени t справедливо равенство:

Иначе говоря, в любой момент времени t совпадают проекции скоростей двух точек твердого тела на ориентированную прямую, соединяющую эти две точки,.

Возьмем в качестве полюса связанной системы точку A. Тогда в любой момент t согласно формуле Эйлера будем иметь Умножая скалярно на орт e, получим Что и требовалось доказать.

Если скорости VA и VB двух точек A и B твердого тела коллинеарны в момент времени t, причем в том случае, когда они сонаправлены — величины этих скоростей не равны между собой, то VA и VB в этот момент ортогональны прямой, соединяющей точки A и B (см. рис.3.9.2).

Доказательство.

Пусть в момент времени t VB VA, где — любое вещественное число, кроме 1. Тогда для этого момента t по формуле Эйлера можем записать Подставим VB VA. Получим Поскольку 1, то отсюда следует, что VA ортогонален AB, а тогда (поскольку VB коллинеарен VA ) и вектор VB будет ортогонален AB.

Что и требовалось доказать.

VA A A VA

В произвольный момент времени t скорость любой точки твердого тела однозначно может быть вычислена по известным в этот момент скоростям и положениям трех его точек, не лежащих на одной прямой.

Доказательство.

Пусть в момент времени t для трех точек P0, P, P2 твердого тела, не лежащих на одной прямой, известны скорости V0,V1,V2 и положения r0, r1, r2, соответственно.

Поскольку P0, P, P2 не лежат на одной прямой, то 1 и 2 — неколлинеарные векторы. Введем вектор 3 1 2 и аффинную систему координат с полюсом в точке В этой системе можем записать Согласно формуле Эйлера имеем двух векторных уравнений относительно неизвестных 1, 2, 3 :

Умножим каждое из уравнений скалярно на 3 и найдем 1,2 :

Умножим первое уравнение скалярно на 2. В результате найдем 3 :

Подставим 1, 2, 3 в соотношение (3.9.4) для угловой скорости. Получим:

Тогда согласно формуле Эйлера для любой точки P твердого тела скорость V будет определяться по следующей формуле:

где P0 P. Что и требовалось доказать.

Если в момент времени t 0, то скорости всех точек одинаковы. Иначе говоря, в состоянии мгновенного покоя и мгновенного поступательного движения скорости всех точек одинаковы.

Доказательство.

Действительно, если 0 в момент времени t, то согласно формуле Эйлера Здесь V — скорость любой точки P твердого тела. Из формулы следует, что она совпадает с VO (t ) — скоростью полюса связанной системы координат.

Согласно принятой классификации движений, при (t ) 0 тело либо находится в мгновенном покое (тогда VO (t ) 0 ), либо совершает мгновенное поступательное движение (тогда VO (t ) 0 ). Этим доказано утверждение следствия 4.

Если в момент времени t скорости трех точек твердого тела, не лежащих на одной прямой, равны по величине и направлению, то тело совершает мгновенное поступательное движение или находится в мгновенном покое.

Доказательство.

Из равенства (3.9.5) в момент t вытекает, что 0 при выполнении условий следствия. Если VO (t ) 0, то тело находится в мгновенном покое.

Если VO (t ) 0, то тело совершает мгновенное поступательное движение (согласно принятой классификации движений). Следствие 5 доказано.

Объединяя следствия 4 и 5, можем сделать вывод:

находится в мгновенном покое или совершает мгновенное поступательное движение тогда и только тогда, когда в момент времени t указанные три его точки имеют одинаковые скорости.

Если в момент времени t скорости двух точек P0 и P1 твердого тела равны нулю, то:

все точки прямой, проходящей через них, имеют скорость, равную нулю;

вектор мгновенной угловой скорости твердого тела коллинеарен этой прямой или равен нулю;

тело совершает мгновенное вращение вокруг неподвижной оси или находится в мгновенном покое.

Доказательство.

Пусть для точек P0 и P1 твердого тела в некоторый момент времени t имеем V0 0 и V1 0, где V0 — скорость точки P0, V1 — скорость точки P1.

1). Покажем сначала, что в этот момент вектор коллинеарен прямой, проходящей через точки P0 и P1.

Действительно, согласно формуле Эйлера имеем Отсюда при выполнении условия V1 V0 0 следует равенство Из него находим т.е. вектор в момент t коллинеарен указанной прямой.

2). Покажем, что если точка P твердого тела находится на прямой, проходящей через точки P0 и P1, то ее скорость V будет равна нулю.

Ранее было доказано, что если точка P находится на данной прямой в некоторый момент времени t0, то и при всех t она будет находиться на ней на любых движениях твердого тела. Поэтому P0 P P0 P в любой момент времени t. Здесь — постоянная величина.

0, если точки P и P1 находятся по одну сторону от точки P0 ;

0, если точки P и P1 находятся по разные стороны от точки P0.

По формуле Эйлера находим скорость V точки P в момент t :

Поскольку в этот момент вектор коллинеарен P0 P1, и вектор P0 P также коллинеарен P0 P1, то векторы и P0 P коллинеарны. А потому P0 P 0 и, следовательно, V 0.

проходящей через точки P0 и P1, будут иметь в момент времени t скорости, равные нулю.

3). Покажем теперь справедливость утверждения 3) следствия.

Действительно, если в момент t в (3.9.7) имеем 0, то тело будет находиться в мгновенном покое, так как 0 и V0 0 в указанный момент.

Если 0 в момент t, то тело совершает мгновенное вращение вокруг оси P0 P, ибо 0, а точки P0 и P1 имеют скорости, равные нулю. При этом все точки твердого тела, принадлежащие оси P0 P, также имеют скорости, равные нулю. Следствие 6 доказано.

Выведем формулу для вычисления ускорения любой точки твердого тела. По определению ускорения любой точки P можем записать где V — скорость точки P, а W — ее ускорение.

Согласно формуле Эйлера скорости точек твердого тела определяются следующей зависимостью от векторов VO, и :

где VO — скорость полюса связанной системы координат, rO (t ) — положение полюса связанной системы координат относительно — вектор мгновенной угловой скорости твердого тела, — положение точки P твердого тела в связанной системе координат, x, y, z — координаты точки P в связанной системе (постоянные величины), i (t ), j (t ), k (t ) — базис связанной системы координат.

Подставляя (3.10.2) в (3.10.1) и дифференцируя V по t, получим определению).

Поскольку вектор неподвижен в связанной системе координат, то согласно лемме 3 (из п.3 §8) имеем Введем обозначение:

Вектор (t ), задаваемый формулой (3.10.6), где — вектор мгновенной угловой скорости твердого тела, называется вектором мгновенного углового ускорения твердого тела.

Подставляя (3.10.5) и (3.10.6) в правую часть соотношения (3.10.4) и заменяя в нем первое слагаемое на WO, приходим к следующему выражению для ускорения W :

Оно называется формулой Ривальса.

Формулу (3.10.7) запишем в виде В ней каждое слагаемое имеет свое название. А именно, WO — ускорение полюса связанной системы координат;

WB — вращательное ускорение точки твердого тела при ее вращении вокруг WОC ( ) — осестремительное ускорение точки твердого тела.

Формула Ривальса позволяет вычислить ускорение любой точки P твердого тела по ее положению в теле и кинематическим характеристикам этого тела, заданным в любой момент времени t.

Кинематическими характеристиками твердого тела называются вектора rO (t ) — положение полюса связанной системы координат;

VO (t ) — скорость полюса связанной системы координат;

WO (t ) — ускорение полюса связанной системы координат;

(t ) — вектор мгновенной угловой скорости твердого тела;

(t ) — вектор мгновенного углового ускорения твердого тела;

A (t ) — матрица ориентации твердого тела.

Знание этих векторов и матрицы ориентации позволяет вычислить положение, скорость и ускорение любой точки твердого тела, если заданы ее координаты в связанной системе координат.

Пусть вектор задается своими проекциями на связанные оси Установим связь проекций на связанные оси вектора мгновенного углового ускорения твердого тела с производными по времени от проекций p, q, r вектора мгновенной угловой скорости на эти оси.

Справедливо следующее равенство Доказательство.

Дифференцируя обе части равенства (3.10.8) по t и учитывая формулы Эйлера (3.8.14) из § получим Поскольку 0, то приходим к (3.10.9). Теорема доказана Формула (3.10.9) показывает, что проекции вектора углового ускорения твердого тела на связанные оси совпадают с производными от соответствующих проекций на эти оси вектора угловой скорости.

Определение 1.

Поступательным движением твердого тела на промежутке времени J R называется такое его движение, при котором выполняется тождество Отметим основные свойства поступательного движения твердого тела.

Пусть твердое тело совершает поступательное движение. Тогда из формул Эйлера и Ривальса с учетом тождества (3.11.1) вытекают следующие свойства скоростей и ускорений точек твердого тела.

1. Скорости V всех точек твердого тела одинаковы по величине и направлению и совпадают со скоростью VO полюса связанной системы.

2. Ускорения W всех точек твердого тела одинаковы по величине и направлению и совпадают с ускорением WO полюса связанной системы.

3. Любая матрица ориентации твердого тела остается постоянной во все время Третье свойство выводится из уравнений Эйлера Действительно, поскольку (t ) 0, то Отсюда следует, что матрица ориентации постоянна. На основе этих свойств выведем свойства перемещений точек твердого тела. Пусть P и Q — две точки твердого тела.

Вектор rpq (t ) rq (t ) rp (t ) называется перемещением точки Q относительно точки P в момент времени t, или иначе, отклонением точки Q от точки P в момент времени t.

Определение 3.

Вектор rp (t, t 0 ) rp (t ) rp (t 0 ) называется перемещением точки P за время t t 0 вдоль движения точки P :

В определениях 2 и 3 r p и rq обозначают радиус-векторы точек P и Q относительно заданной неподвижной точки отсчета O, соответственно: rp OP, rq OQ.

Здесь O обозначает точку отсчета.

Из равенства скоростей точек P и Q при поступательном движении твердого тела можем сделать следующие выводы.

Отклонение точки Q от точки P твердого тела остается постоянным на его поступательном движении, т.е.

Доказательство.

По определению отклонения имеем где rq (t ), rp (t ) — движения точек Q и P, соответственно. Дифференцируя это равенство по t и учитывая, что на поступательном движении твердого тела скорости любых его точек одинаковы получим Отсюда следует rpq (t ) rpq (t0 ) const. Следствие 1 доказано.

Перемещение точки Q относительно своего начального положения за время t t 0 совпадает по величине и направлению с перемещением точки P относительно своего начального положения за то же время, т.е.

Иначе говоря, перемещения всех точек твердого тела за время t t 0 одинаковы по величине и направлению.

Доказательство.

Вычитая, получаем rp (t, t0 ) rq (t, t0 ) 0. Что и требовалось доказать.