«В. С. Ермолин, В. С. Королев, И. Ю. Потоцкая ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Часть I. Кинематика Учебное пособие Санкт -Петербург 2013 УДК 51-72 Печатается по постановлению Редакционно–издательского совета Факультета Прикладной ...»

- 52 На рисунке координатная ось с номером i обозначена (i ), i 1,2,3. Координатная линия с номером i обозначена (qi ). Координатная поверхность с номером i обозначена i. Координатные линии выделены жирным цветом.

Так как r (q1, q2, q3 ) — дважды непрерывно дифференцируемая функция, то функция r (q1, q20, q30 ) будет также дважды непрерывно дифференцируемой по q1. Аналогичное утверждение справедливо для функции r (q10, q2, q30 ) относительно q 2 и для функции r (q10, q20, q3 ) относительно q 3. Поэтому касательные к координатным линиям в точке P0 существуют.

Направляющие векторы этих касательных будут коллинеарны, соответственно, векторам натами q10, q 20, q30.

Обозначим орты этих векторов ei, i 1,2,3. Тогда где Очевидно, вектор ei указывает направление изменения положения r точки P относительно точки P0 при возрастании координаты q i.

Величина H i называется коэффициентом Ламе, соответствующим криволинейной координате q i.

Тройка единичных векторов e1, e2, e3, построенная по формуле (1.5.5) по криволинейным координатам q10, q 20, q30 точки P0, является линейно независимой. Поэтому можно принять ее в качестве базиса аффинной системы координат с полюсом в точке P0. Будем обозначать такую систему P0 (1) ( 2) (3) (см. рис. 1.5.4).

Аффинную систему координат P0 (1) ( 2) (3) с базисом e1, e2, e3 будем называть основной системой координат, соответствующей криволинейным координатам q1, q 2, q 3, а координаты (1), ( 2), (3) произвольной точки P в этой системе — контравариантными координатами точки P.

Из определения 1 (для криволинейных координат), формулы (1.5.5) и определения 4 (основной системы) следует, что основная система координат P0 (1) ( 2) (3) существует в любой в точке P0. Положение ее полюса P0 относительно точки отсчета O в абсолютном пространстве и базис e1, e2, e3 однозначно определяются по формулам (1.5.1) и (1.5.5) при любых фиксированных значениях q10, q 20, q30 криволинейных координат q1, q 2, q 3 из области Q. Обозначим P0 P радиус-вектор точки P относительно точки P0. Его связь с контравариантными координатами задается разложением по векторам e1, e2, e3 :

Связь произвольных положений точки P относительно точек отсчета O и P определяется соотношением В нем OP и OP0 обозначают положения относительно точки отсчета O точек P и P0, соответственно, а P0 P — положение точки P относительно точки отсчета P0.

Пусть (q1, q2, q3 ) и (q10, q20, q30 ) — криволинейные координаты точек P и P0, соответственно. Тогда согласно (1.5.1) вектора OP и OP0 определяются равенствами OP r (q1, q2, q3 ) и OP r (q10, q20, q30 ), и указанную связь можем переписать в следующей форме Равенство (1.5.6) определяет в неявном виде зависимость обобщенных координат q1, q 2, q 3 точки P от ее контравариантных координат и от криволинейных координат точки P0, в которой построена соответствующая основная система P0 (1) ( 2) (3).

Из формулы (1.5.6) легко получить также связь декартовых координат x, y, z с контравариантными координатами (1), ( 2), (3). Действительно, в (1.5.6) базисные вектора e1, e2, e3 основной системы вычисляются через криволинейные координаты q10, q 20, q30 точки P0, соответственно, по формулам Поэтому, проектируя (1.5.6) на оси Ox, Oy, Oz, получим искомую связь:

где вычисляются в точке P0, x, y, z — декартовые координаты точки P, x 0, y 0, z 0 — декартовые координаты точки P0.

В матричном виде соотношения (1.5.7) запишутся так:

где Матрица B называется матрицей перехода от основной системы координат P0 ( 2) (3) к декартовой прямоугольной системе Oxyz.

Ее элементы вычисляются через криволинейные координаты q10, q 20, q30 точки P0. Столбцы матрицы состоят из направляющих косинусов векторов ei относительно осей системы Oxyz.

Из (1.5.8) находим обратную зависимость (1), ( 2), (3) от x, y, z :

Матрица B 1 называется матрицей перехода от системы Oxyz к основной системе P0 (1) ( 2) (3).

основной системы координат с криволинейными координатами q1, q 2, q 3. Поскольку gij (ei, e j ), то, подставляя (1.5.5), находим Очевидно, gii 1 при i 1,2,3, так как ei 1. Поэтому в общем случае основная система координат, построенная в любой точке P0, является косоугольной.

Легко видеть, что через матрицу B матрица G может быть представлена произведением g (e1, e2, e3 ) det B обозначает смешанное произведение векторов e1, e2, e3.

5. Ортогональные криволинейные координаты и условия ортогональности Если e1, e2, e3 взаимно ортогональны, то основная система координат называется ортогональной.

Если основная система координат ортогональна при любых значениях q10, q 20, q30 из области Q, то криволинейные координаты q1, q 2, q 3 называются ортогональными.

Справедливо следующее утверждение.

Криволинейные координаты ортогональны тогда и только тогда, когда при любых q10, q 20, q30 из области Q выполняются условия Утверждение очевидно.

Следует отметить, что условия (1.5.9) ортогональности криволинейных координат должны выполняться при любых значениях криволинейных координат q10, q 20, q из области Q. Иначе говоря, равенства (1.5.9) должны быть справедливы в любом положении точки P0. Этот вывод вытекает из определения 6 ортогональных криволинейных координат.

Но данное требование равносильно тому, что соотношения (1.5.9) должны выполняться в любой точке P, имеющей координаты (q1, q2, q3 ) Q.

Поэтому при вычислении векторов ei и e j по формулам (1.5.5) можно заменить в (1.5.5) координаты q10, q 20, q30 точки P0 на координаты q1, q 2, q 3 точки P.

Такое действие позволяет исключить индекс «0» в обозначении тов q10, q 20, q30 при вычислении производных от вектор-функции r (q1, q2, q3 ) в формулах (1.5.6) и требовать от равенств (1.5.9), чтобы они выполнялись при любых значениях (q1, q2, q3 ) Q.

С учетом сказанного условия (1.5.9) в скалярной форме примут вид:

векторов e1, e2, e3 :

При этом выполняется свойство:

– если тройка векторов e1, e2, e3 правая, то – если тройка векторов e1, e2, e3 левая, то 6. Линейные перемещения точки и их связь с линейными перемещениями Определение 7.

Дифференциал dr вектор-функции r (q1, q2, q3 ), вычисленный в точке P0, называется линейным перемещением точки P из положения P0.

Дифференциал dqi криволинейной координаты q i называется линейным перемещением точки P по обобщенной координате q i, а дифференциал d (i ) — линейным перемещением точки P по контравариантной координате (i ).

Линейное перемещение dr, линейные перемещения dq1, dq2, dq3 и линейные перемещения d (i ), i 1,2,3, по контравариантным координатам (i ) связаны между собой следующими соотношениями Здесь коэффициенты Ламе H i и базисные векторы ei, i 1,2,3, вычисляются в точке P0.

Согласно определению дифференциала вектор-функции r (q1, q2, q3 ), имеем Вектор dr имеет своим началом точку P0. Его контравариантные координаты обозначаем через d (i ), так что можем записать где С другой стороны, учтем связь (1.5.6) вектор-функции r с контравариантными координатами (i ), i 1,2,3.

Здесь векторы r (q10, q20, q30 ) и ei, i 1,2,3, не зависят от (1), ( 2), (3). Тогда, согласно определению дифференциала функции r, рассматриваемой как векторная функция переменных (1), ( 2), (3) и задаваемой этой формулой, можем записать:

(1.5.11) и (1.5.12), видим, что величины d (i ), являющиеся коэффициентами при ei в (1.5.11), должны совпадать с коэффициентами при ei в формуле (1.5.12). Иначе говоря, дифференциалы d (i ) в (1.5.12) являются координатами вектора dr в основной системе:

Вернемся к соотношению (1.5.10). Преобразуем его правую часть, учитывая, что из (1.5.5) можем записать равенства Подставляя их в правую часть (1.5.10), придем к следующему представлению линейного перемещения dr :

Сопоставляя его с (1.5.12), получаем Здесь коэффициенты Ламе вычисляются в точке P0. Таким образом, установили связь линейных перемещений по контравариантной координате (i ) с линейными перемещениями по криволинейной координате qi. Такая связь формулируется следующим образом.

Дифференциал контравариантной координаты (i ) равен произведению коэффициента Ламе, вычисленного в точке P0, на дифференциал криволинейной координаты qi.

При естественном способе задания движения точки ее траектория часто задается с использованием криволинейных координат.

где q1 (u ), q2 (u ), q3 (u ) — дважды непрерывно дифференцируемые функции на промежутке,.

Для того чтобы перейти к естественному способу задания движения, требуется построить естественную параметризацию траектории. Для этого, как показано в §2, необходимо определить связь длины дуги с параметром u, являющимся внутренней переменной заданной траектории. Искомая связь будет установлена, если укажем зависимость дифференциала ds длины дуги от дифференциала du внутренней переменной.

С целью решения поставленной задачи построим параметризацию ~ (u ) траек- r тории, заданной параметрически функциями q1 (u ), q2 (u ), q3 (u ). Параметризацию натные функции q1 (u ), q2 (u ), q3 (u ), соответственно. В результате придем к следующему векторному соотношению которое при каждом значении u, задает положение в пространстве точки P, имеющей криволинейные координаты q1, q 2, q 3 на заданной траектории. А тогда можем записать где d~ — линейное перемещение точки P по кривой ~ (u ).

Из (1.5.13) находим и, следовательно, Здесь g ij — метрические коэффициенты основной системы координат, а H i и H j — коэффициенты Ламе. Все коэффициенты вычисляются в произвольном положении точки P на заданной кривой.

Если не фиксировать траекторию точки P (считать ее произвольной), то, учитывая, что линейное перемещение dr связано с линейными перемещениями dq1, dq2, dq3 криволинейных координат q1, q 2, q 3 соотношением dr H i dqi ei, поi лучим следующее выражение для дифференциала дуги ds на любой траектории:

Здесь следует положить - 59 в том случае, когда траектория фиксирована и определяется криволинейными координатами q1 q1 (u), q2 q2 (u), q3 q3 (u). В результате такой замены придем к соотношению (1.5.14).

Пусть a — произвольный вектор; e1, e2, e3 — базис основной системы координат; G gij, i, j 1,2,3 — матрица метрических коэффициентов этой системы, gij (ei, e j ) ; a (1), a ( 2), a (3) — координаты вектора a в основной системе. Как отмечено выше, они называются контравариантными координатами вектора a. Введем следующее понятие.

Ковариантными координатами вектора a называются величины a i, определяемые по формуле:

Геометрический смысл ковариантных координат вектора a следующий:

— если вектора ei, i 1,2,3, являются ортами, то a i — это ортогональные проекции вектора a на координатные оси основной системы координат, — если вектора ei, i 1,2,3, не являются ортами, то a i — это ортогональные проекции вектора a на указанные оси, умноженные на g ii, где Введем следующие три вектора e (1), e ( 2), e (3) :

и изучим их свойства. В формулах (1.5.15) буквой g обозначена величина смешанного произведения векторов e1, e2, e3 :

Как показано в п.5, в этих обозначениях будем иметь det G g 2.

Справедлива формула для всех i, j 1,2,3.

Докажем утверждение для i 1. При j 1 в силу (1.5.17) имеем:

При j =2,3 можем записать Векторы e (1), e ( 2), e (3) линейно независимы, и для смешанного произведения этих векторов справедлива формула Для доказательства утверждения вычислим сначала векторное произведение векторов e ( 2) и e (3) :

В данной записи воспользовались третьей формулой в соотношениях (1.5.15) и формулой двойного векторного произведения.

Согласно (1.5.17) имеем (e ( 2), e2 ) 1 и (e ( 2), e1 ) 0. Поэтому окончательно находим Подставляя (1.5.19) в смешанное произведение векторов e (1), e ( 2), e (3) и учитывая (1.5.17) для i j 1, получим Что и требовалось доказать.

Введем аффинную систему координат с полюсом в точке P и базисными векторами, совпадающими с e (1), e ( 2), e (3).

Эта система координат называется союзной по отношению к исходной, т.е. основной, системе координат с базисом e1, e2, e3 и полюсом в точке P.

Матрицу метрических коэффициентов союзной системы будем обозначать G, а элементы этой матрицы — g ij, i, j 1,2,3. Так что будем иметь:

Пусть a 1, a 2, a 3 — координаты вектора a в союзной системе координат, и a (1), a ( 2), a (3) — координаты этого вектора в основной системе координат, другими словами — его контравариантные координаты.

Покажем, что координаты вектора a в союзной системе совпадают с его ковариантными координатами, т.е. справедлива формула Действительно, по определению координат вектора a в союзной системе можем записать Умножая это равенство скалярно на ei, слева (по определению ковариантных координат вектора a ) будем иметь где a i — i -я ковариантная координата вектора a.

Таким образом, равенства (1.5.20) доказаны.

Установим связь между матрицами G и G. А именно, докажем справедливость соотношения Действительно, для любого вектора a можем записать Умножая (1.5.22) последовательно (для i 1,2,3 ) скалярно на ei, получим Эта система в матричном представлении имеет вид:

Умножая (1.5.22) последовательно (для i 1,2,3 ) скалярно на e (i ), находим Соответственно, в матричном представлении:

Подставляя в левую часть соотношение (1.5.23), придем к системе где E — единичная матрица размерности [ 3 3 ]. В силу произвольности вектора a получаем Отсюда следует справедливость соотношения (1.5.21).

Докажем следующее утверждение. Для этого проделаем построения:

по заданной исходной основной системе координат построим союзную построенную союзную систему возьмем в качестве новой основной;

по ней построим систему, союзную к этой новой основной.

Результатом такого построения будет союзная система, совпадающая с изначально заданной основной системой.

Коротко это утверждение формулируется так:

Утверждение будет доказано, если покажем, что Докажем, например, справедливость первой формулы (остальные — доказываются аналогично).

Выше было установлено (см. (1.5.19)) e ( 2) e (3) e1. Кроме того, из (1.5.18) (свойство 2) имеем g. Поэтому для e можем записать что и требовалось доказать.

Из доказанных свойств, в частности, вытекает, что если основной базис является ортонормированным ортогональным базисом, то союзная система координат совпадает с основной. В этом случае ковариантные координаты вектора a (величины a i ) совпадают с соответствующими контравариантными координатами (величинами a (i ) ).

Поясним смысл терминов «ковариантные» и «контравариантные» координаты.

Выше доказали формулу (1.5.23):

где a i, i 1,2,3, — координаты вектора a в союзной системе, a (i ), i 1,2,3, — координаты этого же вектора в основной системе, G — матрица метрических коэффициентов основной системы.

Из (1.5.23) заключаем, что G имеет второй смысл.

Она является матрицей перехода от основной к союзной системе координат.

Заметим, что основное правило, по которому осуществляется расчет координат вектора a в любой новой системе координат по координатам этого вектора, известным в некоторой фиксированной аффинной системе, является соотношение вида ~ — координаты вектора a в «новой» системе координат, a (i ), i 1,2,3, — когде ai ординаты вектора a в заданной (фиксированной, «старой») системе, A — неособая матрица, называемая матрицей перехода от «старой» системы к «новой» системе координат.

Фиксируем неособую матрицу A. Будем говорить, что координаты (a1, a 2, a 3 ) любого вектора a согласованно изменяются по отношению к его координатам a, i 1,2,3, заданным в фиксированной основной системе координат, если они расi ) считываются по формуле (1.5.24).

Система координат, для которой A является матрицей перехода от фиксированной основной системы, называется согласованной с основной системой через матрицу A.

Из (1.5.23) следует, что союзная система является согласованной с основной через матрицу G метрических коэффициентов основной системы. Поэтому координаты векторов a в этой (союзной) системе называются ковариантными (слово «ковариантные» в переводе с французского означает «согласованно изменяющиеся»). Они согласованно изменяются через матрицу G.

Основные координаты вектора a могут быть вычислены через согласованные координаты a i (координаты этого вектора в новой системе координат) при фиксированной матрице A по формуле Очевидно, матрица A является матрицей перехода от «новой» системы координат к «старой» (основной) системе.

В этом случае выражение (1.5.25) можем трактовать как обратный закон пересчета координат, а координаты a (i ) вектора a в основной («старой») системе могут рассматриваться как координаты «противоположно меняющиеся» при фиксированной матрице A по отношению к новым координатам.

Поэтому координаты вектора a в основной системе (координаты a (i ) ) по отношению к союзной системе принято называть контравариантными координатами (при переводе с французского слово «контравариантные» означает «обратно изменяющиеся»).

Термин «контравариантные координаты» имеет и другой смысл. А именно, он означает, что эти координаты меняются (рассчитываются) по обратному закону относительно некоторой фиксированной системы координат. Если матрица A задана, то согласно определению 9 эти координаты согласованы с заданной фиксированной системой координат через обратную матрицу A1.

Применим это правило к основной и союзной системам координат.

Если считать, что координаты союзной системы фиксированы (заданы), а основной — пересчитываются по ним, то этот пересчет осуществляется с помощью обратной матрицы G 1. А тогда согласно указанному выше правилу координаты основной системы следует называть «контравариантными», поскольку они согласованы с фиксированными (союзными) через обратную матрицу G 1.

8. Скорость точки в криволинейной системе координат Пусть задано движение точки в криволинейных координатах Определение 10.

Величина q i называется обобщенной скоростью точки P по координате q i в момент времени t. Величина q i называется обобщенным ускорением точки P по координате q i в момент времени t.

8.2. Связь скорости точки и ее координат с обобщенными скоростями Установим формулу связи скорости V и ее контравариантных координат V (i ) с обобщенными скоростями q i в произвольный момент времени t. Поскольку в векторной форме движение задается формулой то по определению скорости V можем записать С одной стороны, вычисляя производную с учетом того, что функция, стоящая под символом, является суперпозицией вектор-функции r от трех переменных q1, q 2, q 3 и заданных функций q1 (t ), q 2 (t ), q3 (t ), зависящих от времени t, будем иметь С другой стороны, вектор V можем разложить по базису e1, e2, e3, вычисленному в точке P, имеющей значения криволинейных координат q1 q1 (t ), q2 q2 (t ), q3 q3 (t ) в заданный момент времени t. И тогда придем к следующему выражению для V :

Согласно определению координат любого вектора, множители V (1), V ( 2), V (3) при базисных векторах e1, e2, e3 в разложении (1.5.27) называются контравариантными координатами скорости V в аффинной системе, имеющей начало в точке P.

Сопоставляя (1.5.26) и (1.5.27), получаем Здесь H i — коэффициент Ламе по координате q i, соответствующий моменту времени t.

Формула (1.5.28) дает связь контравариантных координат скорости V с обобщенными скоростями q i, i 1,2,3.

С учетом (1.5.27) и (28), находим выражение для квадрата модуля скорости:

Установим теперь связь ковариантных координат Vi, i 1,2,3, с обобщенными скоростями q i. Согласно определению ковариантной координаты имеем Vi (V, ei ).

Подставляя (1.5.27) и (1.5.28), находим искомую связь В частности, из (1.5.28), (1.5.29) и (1.5.30) можем сделать следующий вывод.

Если e1, e2, e3 — ортогональный ортонормированный базис при любых значениях q1, q 2, q 3 (т.е. криволинейные координаты q1, q 2, q 3 — ортогональные), то - 65 В общем случае (когда криволинейные координаты — не ортогональные) ковариантные и контравариантные координаты будут отличаться друг от друга:

Дадим другой способ вычисления координат Vi. Для этого сначала введем в рассмотрение функцию V, зависящую от шести независимых переменных, и докажем лемму Лагранжа, устанавливающую связь производных от функции V и от функции Указанную функцию V определим следующей формулой Независимыми переменными в ней будем считать криволинейные координаты q1, q 2, q 3 и обобщенные скорости q1, q 2, q 3. Следует заметить, что точка, стоящая в обозначениях переменных q1, q 2, q 3, не означает дифференцирование переменных q1, q 2, q 3 по времени t. Это всего лишь символ в данных обозначениях.

В правой части равенства (1.5.31) вектор r является вектор-функцией r ( q1, q2, q3 ), задающей связь (1.5.1) криволинейных координат точки с декартовыми.

и при любых значениях q1, q 2, q 3.

Поскольку r ( q1, q2, q3 ) дважды непрерывно дифференцируема по своим аргументам, то V ( q1, q2, q3, q1, q2, q3 ) будет непрерывно дифференцируема по переменным q1, q 2, q 3. Кроме того, она линейна по обобщенным скоростям q1, q 2, q 3. Пусть задано произвольное движение точки P в криволинейных координатах qi qi (t ), i 1,2,3. Вычислим значения функции V ( q1, q2, q3, q1, q2, q3 ) на этом движеdq (t ) нии, полагая, что переменные q i, i 1,2,3, связаны с обобщенными скоростями i в любой момент времени t на данном движении равенствами Для того чтобы вычислить искомое значение функции, необходимо заменить в правой части равенства (1.5.31) переменные q i на qi (t ), а q i — на i, i 1,2,3. Действительно, согласно определению мгновенной скорости V в момент времени t, необходимо вычислить движение r r ( q1 (t ), q2 (t ), q3 (t )), а затем взять производную по t от него. Так что будем иметь Это выражение будет совпадать со значением функции V, задаваемым формуdq (t ) совпадающий по значению с вектором V, вычисленным по формуле (1.5.26).

Поскольку установленное таким образом равенство справедливо на любом движении и в любой момент времени t, то можем сделать заключение о том, что формула (1.5.31) дает связь обобщенных скоростей точки с ее скоростью в абсолютном пространстве в соответствующем положении гранжа. Прежде чем формулировать лемму Лагранжа, введем понятие производной от rqi ( q1, q2, q3 ). Пусть задано движение точки P в криволинейных координатах Определим значения функции rqi ( q1, q2, q3 ), которые она может принимать на движении (1.5.32). Ясно, что эти значения задаются вектор-функцией rqi ( q1 (t ), q2 (t ), q3 (t )), которая получается заменой в rqi ( q1, q2, q3 ) аргументов q1, q2, q на правые части (1.5.32).

Вычислим производную по t от функции rqi ( q1 (t ), q2 (t ), q3 (t )).

скорости изменения функции rqi ( q1, q2, q3 ) вдоль движения (1.5.32). В правой части (1.5.33) указывается ее аналитический вид, построенный по правилам дифференцирования по времени t функции rqi ( q1, q2, q3 ) как сложной функции, в которой аргументы q j, j 1,2,3, задаются движением (1.5.32).

Как известно, правило дифференцирования сложной функции предполагает выполнение следующих операций.

1. Вычисление частных производных от функции rqi ( q1, q2, q3 ). В результате получают три функции, производится суммирование по j 1,2,3 всех построенных произведений. В результате будет построена функция, зависящая от шести переменных q1, q2, q3 и q1, q2, q3. Будем ( ). В явном выражении этот оператор принимает вид:

dt qi 3. В построенной на этапе 2 функции (1.5.34) переменные q j заменяются функdq j (t ) циями q j (t ), а переменные q j — производными части (1.5.32), определяющие заданное движение материальной точки.

Результатом произведенных действий, описанных на этапах 1,2,3, является функция, зависящая только от одной независимой переменной — от времени t, которая совпадает с правой частью равенства (1.5.33).

Обратимся к функции (1.5.34), построенной в процессе вычислений на этапе 2.

Функция, определяемая правой частью (1.5.34), называется производной от В отличие от функции (1.5.33), функция (1.5.34) зависит от шести переменных q1, q2, q3 и q1, q2, q3. Из ее построения следует, что подстановкой в нее вместо q j любого фиксированного движения материальной точки, заданного в криволинейных координатах, и подстановкой в нее вместо q j — обобщенных скоростей на данном фиксированном движении, будет определена скорость изменения функции rqi ( q1, q2, q3 ) вдоль этого движения. Иначе говоря, зная функцию (1.5.34), можно определить скорость изменения функции rqi ( q1, q2, q3 ) на любом заданном движении, а не только на движении (1.5.32). Поэтому функция (1.5.34) играет в дальнейшем важную роль.

Отметим, что функция, стоящая в правой части равенства (1.5.34), получена на основе действий, описанных в первых двух этапах вычисления производной по времени t от функции rqi ( q1, q2, q3 ). В таких случаях говорят, что «она получена дифференцированием функции rqi ( q1, q2, q3 ) вдоль движений (на движениях) материальной точd r ки». Применительно к ее обозначению ( ), записанному в левой части (1.5.34), также говорят, что «в левой части равенства (1.5.34) дифференцирование функции rqi ( q1, q2, q3 ) по времени t производится вдоль движений материальной точки». В указанных случаях результат дифференцирования, т.е. правая часть равенства (1.5.34), задающая явный вид построенной функции, как правило, не приводится.

Докажем следующее утверждение.

Лемма Лагранжа.

При всех ( q1, q2, q3 ) Q и любых значениях переменных q1, q 2, q 3 выполняются равенства равенства (1.5.34).

Доказательство.

Равенство б) проверяется непосредственным вычислением левой и правой части. Вычисляя левую часть равенства б) в формулировке леммы Лагранжа, получим:

Последнее равенство в соотношении (1.5.35) записано на основе того, что функция r (q) дважды непрерывно дифференцируема по переменным q1, q 2, q 3. А тогда смешанные производные от r ( q1, q2, q3 ) по q i и q j будут непрерывными и, следовательно, порядок дифференцирования при их вычислении можно переставлять. При такой перестановке значения смешанных производных будут совпадать:

Сопоставляя (1.5.35) и (1.5.34), видим, что правая и левая части равенства б) совпадают. Лемма доказана.

8.6. Вывод второй формулы для расчета ковариантных координат скорости Применим лемму Лагранжа к выводу формулы для вычисления ковариантных координат Vi, i 1,2,3, скорости V. Поскольку то можем записать Подставляя соотношение а) из леммы Лагранжа и учитывая, что V задается формулой (1.5.31), а для нее справедливо очевидное равенство где T (V,V ), окончательно находим Отметим здесь, что полученная формула (1.5.36) для Vi отличается по виду от (1.5.30). Однако легко видеть, что она совпадает с (1.5.30), если учесть в (1.5.36), что функция 2T V 2 задается правой частью равенства (1.5.29). На практике часто бывает удобнее сначала построить функцию T, а затем для вычисления Vi применить формулу (1.5.36) вместо непосредственного применения (1.5.30).

8.7. Связь декартовых координат скорости с обобщенными скоростями точки Установим связь декартовых и криволинейных координат скорости. Очевидно Отсюда круговой перестановкой координат x y z и ортов i j k получим выражения для V y и V z :

В матричной записи полученные выражения для V x, V y и V z примут вид:

где B — матрица перехода от аффинной системы к декартовой прямоугольной системе координат, В данном выражении элементы матрицы B вычисляются в точке P (а не в точке P0 ).

Вычислим ускорение точки W согласно определению W. Учтем, что ускорения W в зависимости от вектор-функции r ( q1, q2, q3 ), обобщенных скоростей q j и обобщенных ускорений qi, i 1,2,3 :

В проекциях на абсолютные оси i, j, k оно примет вид:

Запишем разложение ускорения W по базису e1, e2, e3 основной системы с началом в точке P и по базису i, j, k ДПСК:

Умножая обе части равенства последовательно на i, j, k скалярно, находим:

В матричном представлении данные соотношения примут вид:

или Они дают связь контравариантных координат W (1), W ( 2), W (3) ускорения W с его декартовыми координатами,,. Из равенства | W |2 (W,W ) подстановкой в него разложения (1.5.37) получаем формулу для W 2 :

где W — модуль ускорения W.

Построим формулу Лагранжа для вычисления ковариантных координат Wi, i 1,2,3, ускорения W. Согласно определению ковариантных координат можем записать Wi (W, ei ), i 1,2,3. Подставим в правую часть этого равенства значение орта ei, вычисленное в точке P, и вынесем за знак скалярного произведения. В результате придем к следующему выражению для Wi :

В нем, в соответствии с определением понятия ускорения точки, производная вычисляется вдоль движения q1 q1 (t ), q2 q2 (t ), q3 q3 (t ). Поэтому в множитеdt жение для Wi примет вид Введем функцию T V 2 ( q1, q2, q3, q1, q2, q3 ), где V задается формулой (1.5.31). Будем иметь Подставляя в (1.5.38), окончательно найдем Эта формула называется формулой Лагранжа для вычисления ковариантных координат ускорения точки. Таким образом, доказали следующую теорему.

Теорема Лагранжа.

Ковариантные координаты вектора W ускорения материальной точки выражаются по формуле (1.5.39).

случае формула (1.5.38) позволяет вычислить контравариантные координаты W (i ) вектора W.

Оператор Eqi называется оператором Эйлера-Лагранжа. Через него формула Лагранжа записывается следующим образом §6. Кинематические характеристики точки в цилиндрических координатах Полагаем 1. Вычислим базис криволинейных координат в произвольной точке P Для этого находим коэффициенты Ламе:

Подставляя формулы (1.6.1) для x, y, z и вычисляя производные по, получим H q1 H 1.

Направления векторов e, e, e показаны на рис.1.5.1.

2. Непосредственным вычислением ei и (ei, e j ) для i, j 1,2,3 легко показать, что e1, e2, e3 — ортонормированный ортогональный базис, т.е. цилиндрическая система координат — это ортогональная криволинейная система координат.

3. Вычислим скорость V в проекциях на орты e, e, e. Поскольку цилиндрическая система координат ортогональная, то Из последней формулы легко находятся направляющие косинусы V в декартовой системе координат Oxyz :

4. Вычислим ускорение W в проекциях на орты e, e, e. Применим формулу Лагранжа. Для этого определим функцию T :

Следовательно, W 2.

Проведя аналогичные расчеты для координат и, получим:

или Направляющие косинусы W в системе Oxyz будут выражаться по формулам:

Формулы для направляющих косинусов вектора V и вектора W получены проектированием на орты i, j, k векторов §7. Кинематические характеристики точки в сферических координатах Как отметили в §5, формулы связи декартовых и сферических координат имеют Полагаем 1. Вычислим базис криволинейной аффинной системы координат Коэффициенты Ламе H i будут выражаться через криволинейные координаты r,, по формулам:

А тогда 2. Легко показать, что (ei, e j ) 0, ei 1, i j, i, j 1,2,3, т.е. сферическая система координат — ортогональная.

3. Вычислим скорость V в проекциях на орты er, e, e, т.е. вычислим ковариантные координаты V1, V2, V3 скорости V. Поскольку сферическая система координат ортогональная, то Из этих соотношений легко находятся направляющие косинусы V в системе Oxyz :

4. Вычислим ускорение W в проекциях на орты er, e, e, используя формулу Лагранжа. Для этого построим T :

находим Аналогично для W2 получаем В свою очередь, для W3 будем иметь Подстановкой (1.7.1), (1.7.2), (1.7.3) в формулу W W W12 W22 W32 можем выписать выражение для модуля ускорения W.

Подстановка W, W1, W2, W3 в соотношения дает формулы связи направляющих косинусов вектора W в системе Oxyz с криволинейными координатами r,,, обобщенными скоростями r,, и обобщенными ускорениями,,.

В этом пункте приводятся примеры использования теоретического материала, изложенного в первой главе, для решения задач кинематики точки. Задачи 1, 2 посвящены определению траектории и закона движения точки по траектории. В задачах 3, находятся скорость и ускорение в декартовой и естественной системах координат. В задаче 5 рассматривается круговое движение точки. Соответствующий теоретический материал излагается в §2 (задачи 1-4) и §3 (задача 5).

Задача 1. Даны уравнения движения точки М в координатном виде:

где a и k – положительные постоянные. Определить уравнение движения точки в векторном виде. Определить также траекторию и закон движения точки по траектории, отсчитывая расстояние от начального положения точки.

Решение: Задано движение точки М в координатном виде, то есть x=x(t), y=y(t).

Вектор-функция для радиус-вектора точки М имеет вид:

что соответствует векторному заданию движения.

Чтобы определить траекторию, нужно исключить время t из уравнений движения. Для этого преобразуем эти уравнения с помощью формулы Возводя каждое из преобразованных уравнений в квадрат и складывая их, мы исключим время t и получим уравнение траектории в виде Это окружность радиуса a с центром в точке с координатами (a,0). Закон движения s =s(t) точки М по этой окружности находим по формуле для дифференциала дуги Последовательно вычисляем:

где С – постоянная интегрирования, получаемая из начальных условий движения. Так как в начальный момент времени t =0, s =0, то C =0.

Задача 2. Пусть уравнения движения точки М заданы в виде - 77 Определить уравнение движения точки в векторном виде. Определить также траекторию и закон движения точки по траектории, отсчитывая расстояние от начального положения точки.

Решение: Согласно уравнениям движения, проекция N точки М на плоскость Oxy описывает окружность радиуса R. Поскольку для точки N угол поворота (t ) t, то она совершает один оборот вокруг точки O по этой окружности за время T 2 /, так как (T ) T 2. В начальный момент времени точки M и N находились на оси Ox. Координата z точки M пропорциональна времени t и в момент времени t=T:

Таким образом, точка M, поднимаясь пропорционально времени, за время полного оборота своей проекции N, т.е. за время T, поднимается по вертикали на высоту h. Такое движение точки называется винтовым, а величина h – шагом винта. Уравнения движения являются параметрическими уравнениями винтовой линии. Из последнего уравнения имеем, что t 2 z /(h), и, подставляя это значение в первые уравнения, будем иметь Каждое из этих уравнений определяет в пространстве поверхность, а совокупность обоих уравнений – кривую, образованную пересечением этих поверхностей. Эта кривая и является траекторией движения, т.е., в данном случае, винтовой линией. Чтобы получить закон движения по этой траектории, применим соответствующую формулу дифференциала дуги пространственной кривой:

Пользуясь уравнениями (1.2.15), последовательно получаем:

где С – постоянная интегрирования, получаемая из начальных условий движения. Так как в начальный момент времени t =0, s =0, то C =0.

В заключение примера напишем выражение для радиуса-вектора r (t ) точки соответствующее векторному способу задания движения.

Задача 3. Найти радиус кривизны при x =y =0 траектории точки, описывающей фигуру Лиссажу согласно уравнениям Решение: Фигура Лиссажу – траектория, возникающая в результате наложения двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

Вычислим проекции скорости и ускорения на декартовы оси координат:

Найдем момент времени, когда декартовы координаты точки принимают значения x =y =0:

Проекции ускорения при найденном значении времени будут равны нулю, следовательно ускорение С другой стороны, в естественной системе координат Следовательно, так как n 0, то.

Точка М движется по винтовой линии согласно уравнениям Найти скорость, ускорение и радиус кривизны траектории для точки М. Определить годографы скорости и ускорения для этой точки.

Решение: Найдем проекции скорости точки М на декартовы оси, исходя из уравнений движения (1.8.1):

Вектор скорости v запишется в виде а его модуль равен Направляющие косинусы вектора скорости равны где 4 2 R 2 h 2. Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице, как это и должно быть в силу известной формулы аналитической геометрии. Поскольку cos(v, z) const, то касательная к винтовой линии в каждой её точке образует с осью z постоянный угол:

Поскольку модуль скорости постоянен во все время движения, то заданное уравнениями (1.8.1) движение по винтовой линии является равномерным. В этом случае путь, пройденный точкой М от нулевого положения, определяется формулой Найдем теперь проекции ускорения точки М на декартовы оси, исходя из уравнений движения (1.8.1):

а его модуль равен есть величина постоянная. Направляющие косинусы вектора ускорения определяются формулами:

Из последней формулы следует, что r т.е. при движении точки М вектор ускорения всегда перпендикулярен оси Oz и, значит, расположен в плоскости, параллельной Oxy. Так как модуль скорости есть величина постоянная, то проекция вектора ускорения точки на касательную равна нулю Если касательное ускорение равно нулю, то нормальное ускорение wn будет совпадать с полным ускорением точки w и, следовательно, Радиус кривизны траектории (винтовой линии) найдется из формулы:

Теперь перейдем к определению годографов скорости и ускорения. Уравнения годографа скорости получим, исключая из уравнений (1.8.2) время t. Будем иметь Эти уравнения определяют окружность, лежащую в плоскости vz h /( 2 ) с центром на оси Ovz и радиусом R. Годограф ускорения получим, если из уравнений (1.8.3) исключим время t. Будем иметь Эти уравнения определяют окружность, лежащую в плоскости Owx wy с центром в начале координат О и радиусом R 2.

Задача 5. Колесо радиуса R вращается равномерно замедленно вокруг неподвижной оси, перпендикулярной плоскости колеса, и, сделав N оборотов, останавливается. Начальная угловая скорость 0 0. Найти угловое ускорение колеса и ускорение точки М обода колеса.

Решение: Движение колеса происходит равнозамедленно, следовательно, угловая скорость колеса изменяется равномерно по закону а закон изменения угла поворота колеса Угол отсчитывается от нулевого положения, поэтому 0 0. За один оборот колесо поворачивается на угол 2. В момент Т остановки колесо, сделав N оборотов, останавливается. Следовательно, угол поворота в этот момент (T ) 2N, а угловая скорость (T ) 0 T 0. Из последней формулы находим, что T 0 /. Подставляя это выражение и значение (T ) в формулу (1.8.5), получаем Отсюда находим 0 /( 4N ).

Перейдем к поиску ускорения точки М обода колеса. Это ускорение складывается из касательной и нормальной составляющих. Проекция ускорения на касательную к ободу колеса Так как w 0, то касательная составляющая ускорения направлена противоположно движению.

Чтобы найти нормальную составляющую, необходимо знать закон изменения угловой скорости колеса. Формула (1.8.4) с учетом найденного углового ускорения, принимает следующий вид:

следовательно, Модуль ускорения точки М Для определения направления ускорения w, найдем тангенс угла между этим ускорением и направлением нормали:

Перечислите способы задания движения материальной точки.

Как найти скорость и ускорения при векторном задании движения?

Как найти скорости и ускорения при координатном способе задания движения.

Что такое годограф вектор-функции, задающей движение?

Какая связь между годограф вектор-функции и траекторией движения?

Что называется естественным трехгранником?

Что такое кривизна кривой и радиус кривизны кривой в точке Р?

Что такое репер Френе?

Какова связь между естественным способом задания движения и векторным 10. В какой плоскости лежит мгновенное ускорение точки Р и чему оно равно, согласно теореме Гюйгенса?

11. При каком движении радиус кривизны траектории остается постоянным?

13. Приведите формулу Ривальса для кругового движения.

14. Какими свойствами по определению должны обладать криволинейные координаты?

15. Что такое полярная система координат.

16. Что такое цилиндрическая система координат.

17. Что такое сферическая система координат.

18. Что такое координатные поверхности и координатные линии? Объясните эти понятия на примере цилиндрической системы координат.

19. Приведите формулу для вычисления коэффициентов Ламе.

20. Какова связь между декартовыми и контравариантными координатами?

21. Условия ортогональности криволинейной системы координат.

22. Что такое ковариантные координаты?

23. Определите скорость точки в полярной системе координат, используя коэффициенты Ламе.

24. Определите ускорение точки в цилиндрической системе координат.

- 82 ГЛАВА 2. КИНЕМАТИКА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК

Во введении были даны понятия механической системы (МС), твердого тела, положения механической системы, ее движения, скорости и ускорения.

В соответствии с понятием механической системы, для того чтобы совокупность материальных точек образовывала механическую систему, необходимо, чтобы движение каждой точки данной совокупности оказывало влияние на движение хотя бы одной из точек, входящих в ее состав. Такое влияние осуществляется через связи.

Дадим понятие связи и поясним способы их задания. Здесь и далее N обозначает количество материальных точек, входящих в состав механической системы.

Ограничения, накладываемые на кинематические характеристики и (или) на движения точек механической системы, называются связями.

В механике приняты два способа описания связей.

Один способ — это описание связей с помощью задания сил взаимодействия или силовых полей. Такой способ называется динамическим.

Другой способ — это описание (или иначе, — задание) связей с помощью математических соотношений в виде равенств или неравенств. Такой способ называется кинематическим.

Чтобы пояснить суть динамического способа описания связей, дадим следующие определения.

Причина, по которой возникает ускорение материальной точки, называется силой, действующей на эту материальной точку (или иначе, силой, приложенной к данной точке).

Пусть заданы две материальные точки P1 и P2.

Если причиной возникновения ускорения материальной точки P1 является присутствие в пространстве точки P2, то эта причина (сила) называется силой действия (воздействия) точки P2 на точку P1.

Если при этом точка P1 является причиной возникновения ускорения точки P2, то это значит, что присутствуют две силы: сила действия точки P1 на точку P2 и сила действия точки P2 на точку P1. В таком случае любая из этих двух сил называется силой взаимодействия точек P1 и P2.

Динамический способ состоит в описании сил взаимодействия, возникающих между точками. При описании сил среди взаимодействующих точек одна обязательно принадлежит материальной системе, а другая взаимодействующая с ней точка может принадлежать или не принадлежать этой системе.

Пример 1 (динамического способа описания связей).

Рассмотрим механическую систему, состоящую из двух материальных точек, соединенных пружиной (рис. 2.1.1). Силы взаимодействия точек P1 и P2 с точками крепления пружины подчиняются закону Гука:

F12 — сила, действующая со стороны пружины на точку P2 ;

F 21 — сила, действующая со стороны пружины на точку P1 ;

c — жесткость пружины;

l — длина пружины в уравновешенном (свободном) состоянии;

В данном примере связь точек P1 и P2 реализуется пружиной. Не будем включать пружину в состав элементов механической системы. Однако влияние пружины на движения точек P1 и P2 заменим силами ее реакций F 21 и F12. Тем самым полагаем, что движение точек P1 и P2, связанных пружиной, происходит таким образом, что на точки P1 и P2 действуют силы F 21 и F12, подчиняющиеся законам (2.1.1) и (2.1.2).

В такой трактовке, согласно определению 4, силы F 21 и F12 являются силами взаимодействия точек P1 и P2. Причем законы изменения этих сил известны и имеют вид (2.1.1) и (2.1.2).

Таким образом, пришли к модели механической системы, состоящей из двух материальных точек с заданными законами взаимодействия этих точек. Описанная модель дает пример системы с динамическим способом описания связи.

Другим примером механической системы со связями, описываемыми динамическим способом, может служить Солнечная система. Элементами (материальными объектами) ее будем считать Солнце и планеты, движущиеся вокруг него. Связи элементов такой механической системы реализуется гравитационными силовыми полями, создаваемыми каждым элементом. Реакцией связи, действующей на любой элемент Солнечной системы со стороны другого ее элемента, является сила притяжения силового поля, создаваемого этим (другим) элементом. Она вычисляется через потенциал силового поля, построенный на основе закона всемирного тяготения Ньютона.

Таким образом, данный пример является примером механической системы, в которой в качестве связей выступают силовые поля, и эти связи описываются динамическим способом.

В приведенном выше примере 1 силы взаимодействия F 21 и F12 также можно трактовать, как силы, которые действуют в силовых полях, называемых силовыми полями упругого взаимодействия. При этом считать, что эти силовые поля создаются материальными точками P1 и P2.

Поясним теперь суть кинематического способа задания связей. Выше было отмечено, что при таком способе описания связей ограничения на движения и кинематические характеристики материальных объектов задаются математическими соотношениями, записанными в виде равенств и (или) неравенств.

Определение 4.

Математическое соотношение, описывающее связь кинематическим способом, называется математической моделью связи.

Таким образом, математическая модель связи при кинематическом способе задания в общем случае может иметь вид:

или В механической системе могут присутствовать связи, описываемые любым способом, как кинематическим, так и динамическим. В зависимости от того, какие связи присутствуют в механической системе, в механике различают свободные и несвободные механические системы.

Определение 5.

Если на механическую систему не накладываются связи, описываемые кинематическим способом, то такая система называется свободной.

Из понятия «механической системы» и из определения 5 следует, что свободной может быть только такая система материальных точек, в которой все связи описываются лишь динамическим способом.

Понятие свободной механической системы, данное в определении 5, нельзя применить к жестким (неизменяемым) системам, ибо в жестких системах существенным является условие, согласно которому взаимное расстояние между точками, входящими в ее состав, остаются постоянными на любых движениях.

Математически данное условие представляется следующей системой равенств В (2.1.3) обозначено P P, где P и P — точки жесткой системы; — положение точки P относительно точки P в любой момент времени t на любом движении механической системы.

Равенства (2.1.3), согласно определению 4, представляют собой математические модели связей, действующих в жесткой системе, которые описываются кинематическим способом. Они задают ограничения на взаимные расположения точек такой системы.

В определении 5 о свободной механической системе говорится как о системе, в которой полностью отсутствуют связи, задаваемые кинематическим способом (стало быть, должны отсутствовать и связи (2.1.3)). Но отсутствие связей (2.1.3) не позволяет судить о механической системе как о системе жесткой. В связи с этим класс свободных жестких систем выделяется следующим определением.

Если в жесткой механической системе нет связей, описываемых кинематическим способом, кроме связей (2.1.3), то такая система называется свободной.

В разделе «Динамика» курса теоретической механики рассматриваются механические системы со связями, описываемые любым способом, как кинематическим, так и динамическим.

В разделе «Кинематика» рассматриваются механические системы только со связями, которые описываются кинематическим способом.

При кинематическом способе описания связей принята следующая их классификация в зависимости от вида математических моделей.

Связи удерживающие (двухсторонние, неосвобождающие) — таковыми являются связи, математические модели которых представимы в виде равенств:

Связи неудерживающие (односторонние, освобождающие) — это связи, математические модели которых представимы неравенствами:

Примечание 1. В дальнейшем рассматриваются только удерживающие связи.

Геометрическая (голономная, конечная) связь — связь, имеющая математическую модель следующего вида:

f (r1,..., rN, t) 0 (отсутствуют скорости и ускорения всех точек).

Дифференциальные связи.

Дифференциальная связь первого порядка — таковой называется связь, уравнение которой имеет вид:

(обязательно присутствует скорость V хотя бы одной точки, и отсутствуют ускорения всех точек).

Дифференциальная связь второго порядка — связь, которая задается уравнением:

(обязательно присутствует ускорение W хотя бы одной точки).

Стационарные (склерономные) голономные связи:

К таким связям относятся голономные связи, в математические модели которых время не входит явно.

6. Нестационарные (реаномные) голономные связи:

К ним относятся голономные связи, в математические модели которых время входит явно.

7. Внутренняя связь.

Внутренней называется связь, в математической модели которой участвуют кинематические характеристики только тех материальных точек, которые входят в состав механической системы. Такая связь накладывает ограничения на взаимные расположения, и, быть может, на относительные скорости и ускорения этих точек при их движении друг относительно друга.

8. Внешняя связь.

Внешней называется связь, которая накладывает ограничения на кинематические характеристики точек механической системы относительно точек, которые не входят в ее состав. Иначе говоря, внешняя связь накладывает ограничения на абсолютные положения, абсолютные скорости и абсолютные ускорения точек системы.

Понятие стационарных (дифференциальных) неголономных связей будет дано ниже в §3, п. 5.

§2. Ограничения, накладываемые геометрическими связями 1. Ограничения, накладываемые геометрическими связями Пусть заданы геометрические связи Здесь и в дальнейшем рассматриваются только такие геометрические связи, в которых функции f (r1,..., rN, t ) дважды непрерывно дифференцируемы по совокупности аргументов. Если механическая система, подчиненная связям (2.2.1), совершает движение то это значит, что при любых t выполняется В таком случае о движении (2.2.2) будем говорить, что оно тоже подчиняется связям (2.2.1) ) и называть его возможным или, иначе, допустимым движением.

Дифференцируя по t данные тождества, получим Для сокращения записи формул будем применять следующие обозначения:

Здесь i, j, k — орты фиксированной системы отсчета. Тогда, учитывая, что в системе отсчета имеет место равенство x i y j z k V, где V — скорость точки P механической системы, тождества (2.2.3) можно записать в виде Вектор grad f называется градиентом функции f по переменным x, y, z, или, иначе, градиентом функции f по радиус-вектору r.

Введем следующие кинематические уравнения связей первого порядка:

Уравнения (2.2.5) получены из формулы (2.2.4) заменой тождеств на равенства.

Из (2.2.4) следует, что голономные связи (2.2.1) накладывают ограничения вида (2.2.5) на скорости точек механической системы, так как если движения механической системы подчиняются голономным связям (2.2.1), то на таких движениях выполняются и кинематические связи (2.2.5).

Геометрические связи (2.2.1) всегда можно заменить дифференциальными связями первого порядка вида (2.2.5). Дифференциальные связи (2.2.5) задают ограничения на скорости точек механической системы.

где c — произвольно выбранные (фиксированные) постоянные. Эти движения, как и движения r r (t ), 1, N, удовлетворяющие уравнениям связи (2.2.1), обращают уравнения дифференциальных связей (2.2.5) в тождества.

Это означает, что дифференциальные связи (2.2.5), заменяющие уравнения геометрических связей (2.2.1), задают не только связи (2.2.1), но и связи (2.2.6). Связи (2.2.1) принадлежат l -параметрическому семейству связей (2.2.6) и получаются из него, если положить c 0, 1, l. А потому, если в момент времени t 0 в положении r 0 1,N механической системы выполняется и движение системы удовлетворяет уравнениям дифференциальных связей (2.2.5) при всех t, то на нем будут выполняться уравнения геометрических связей (2.2.1).

Из приведенных рассуждений следует, что при замене связей (2.2.1) на дифференциальные связи (2.2.5) необходимо дополнительно задать ограничения (2.2.7) на положения механической системы в некоторый момент времени t 0.

Такое дополнение требуется для того, чтобы выделить из всего семейства движений, удовлетворяющих уравнениям дифференциальных связей (2.2.5), только такие, которые удовлетворяют уравнениям геометрических связей (2.2.1), или иначе, уравнениям (2.2.6) при c 0, 1, l.

2. Ограничения, накладываемые геометрическими связями Найдем ограничения, которые накладывают голономные связи на ускорения точек механической системы. Для этого продифференцируем тождества (2.2.3) вдоль движений (2.2.2). Получим Символически в векторной форме эти тождества будем записывать в следующем виде:

вектору r на ускорение W точки P механической системы, а слагаемое ( grad ( grad f,V ),V ) символически заменяет собой следующее выражение:

Правая часть его является формой второго порядка относительно компонент скоростей V и V :

В третьем члене тождества (2.2.8) скалярное произведение частной производной grad f на скорость V в дальнейшем символически будем представлять также в виде:

Запишем вместо тождеств (2.2.8) равенства:

При записи соотношения (2.2.9) учтен тот факт, что ибо f — дважды непрерывно дифференцируемые функции по совокупности аргументов.

Уравнения (2.2.9) являются уравнениями дифференциальных связей второго порядка. Из тождеств (2.2.8) вытекает, что движения (2.2.2) удовлетворяют полученным уравнениям дифференциальных связей (2.2.9).

Это означает, что геометрические связи (2.2.1) накладывают ограничения вида (2.2.9) на ускорения точек механической системы.

В свою очередь это означает также, что, как и в п.1, справедлив вывод о том, что геометрические связи вида (2.2.1) можно заменить дифференциальными связями второго порядка вида (2.2.9).

Однако при такой замене следует указывать дополнительно не только ограничения (2.2.7) на начальное положение механической системы, но и ограничения на начальные скорости V 0 1, N в момент времени t 0 следующего вида свободные члены, 1, l, вычисляются в начальном положении r 0 1, N в моt мент времени t 0.

Из выше сказанного делаем общий вывод о том, что любая геометрическая связь (2.2.1) с номером может быть представлена как дифференциальная (вида (2.2.5) или вида (2.2.9)).

Однако обратное утверждение неверно: не всегда можно заменить дифференциальную связь геометрической. Это будет показано далее в §3 на примере линейных дифференциальных связей.

Определение.

Если дифференциальную связь второго порядка можно заменить дифференциальной связью первого порядка, то такая связь называется интегрируемой, в противном случае — неинтегрируемой.

Если дифференциальную связь первого порядка можно заменить геометрической, то такая связь также называется интегрируемой, в противном случае — неинтегрируемой.

В следующем параграфе будут даны необходимые и достаточные условия интегрируемости линейных дифференциальных связей первого порядка.

§3. Линейные дифференциальные связи первого порядка 1. Линейные дифференциальные связи первого порядка и их приведение к дифференциальным уравнениям в полных дифференциалах Уравнения связей вида называются линейными дифференциальными связями.

Здесь векторы a и скалярные функции a, 1, s, зависящие от векторов r1,..., rN и времени t, являются непрерывно дифференцируемыми функциями компонент x, y, z, 1, N, и времени t.

В скалярной форме уравнения линейных дифференциальных связей записываются так:

Перейдем к матричной записи этих уравнений. Введем обозначения:

(1,..., 3 N ) * — вектор-столбец размерности [ 3N 1] ;

a (a1,..., as ) * — вектор-столбец размерности [ s 1] ;

Bs — матрица размерности [s 3N ], составленная из коэффициентов при x, y, z уравнений (2.3.2). Тогда система (2.3.2) примет вид:

На матрицу (2.3.3) накладываем следующие условия:

1) матрица Bs и вектор a непрерывно дифференцируемы по компонентам вектора 2) rang Bs s, т.е. строки матрицы Bs линейно независимы при любых Умножим каждое уравнение системы (2.3.2) на dt. Получим систему Учтем, что на движениях механической системы dt d и введем обозначения:

Здесь d j — элемент матрицы Bs под номером j, a — элемент вектора a.

Присоединим к матрице Bs столбец a. Новую матрицу обозначим Bs. Тогда (2.3.2) примет вид Здесь d j — дифференциал функции j ; j j (1,...,n ) — функции, непрерывно дифференцируемые по всем аргументам.

На уравнения (2.3.4) можно смотреть как на уравнения в полных дифференциалах (или точных дифференциалах), которые должны выполняться при любых значениях d j вдоль движений механической системы, удовлетворяющих уравнениям связей.

В общем случае под системой уравнений в полных дифференциалах понимается следующая система уравнений – коэффициенты j j (1,...,n ) — функции, заданные и непрерывно дифференцируемые по совокупности аргументов при всех значениях 1,...,n ;

– s переменных j1,..., js среди 1,...,n являются функциями, зависящими от остальных переменных k, k 1, n, k { j1,..., js } ; функции j1,..., js предполагаются непрерывно дифференцируемыми по своим аргументам;

– если Bs обозначим матрицу коэффициентов Bs j, 1, s, j 1, n, то для нее выполняется условие:

Такая система уравнений называется системой уравнений в полных дифференциалах.

3. Условия интегрируемости уравнения в полных дифференциалах В случае s 1 уравнение в полных дифференциалах имеет вид:

непрерывно дифференцируемыми по переменным 1,..., n. Буквой обозначен вектор размерности [n 1], компонентами которого являются переменные 1,..., n. Область G — открытое связное множество.

Из условия, накладываемого на матрицу коэффициентов Bs ( rang Bs s ), вытекает, что для любой точки 0 (10,...,n0 ) G существует такой коэффициент i ( ), что В силу непрерывности функции i ( ) это неравенство справедливо в некоторой окрестности точки 0, содержащейся в области G.

Введем следующие обозначения. Если какая-либо функция ( ) не зависит явно от переменной i из совокупности n переменных (1,...,n ), то совокупность переменных (1,...,i1,i1,...,n ) будем обозначать, а функцию ( ), соответственно, i ( ).

Дадим понятия интегрируемости уравнения (2.3.5) и определение решения уравнения (2.3.5).

Уравнение (2.3.5) называется интегрируемым при 0 G, если существует индекс i, i [1, n], и функция i ( ), обладающие следующими свойствами:

– функция i ( ) зависит от n 1 переменной 1,..., i1, i1,..., n и не зависит от i ; при всех из области G значения функции i ( ) также принадлежат области G ;

– справедливо равенство – функция i ( ) определена и непрерывно дифференцируема по совокупности переменных в окрестности точки 0 ;

– при подстановке функции i ( ) и дифференциала этой функции d i ( ) в уравнение (2.3.5) вместо переменной i и дифференциала d i оно обращается в всех из окрестности точки 0.

Определение 3.

Функция i i ( ) со свойствами, указанными в определении 2, называется решением уравнения (2.3.5), проходящим через точку 0.

Определение 4.

Уравнение (2.3.5) называется вполне интегрируемым в области G, если оно интегрируемо при 0 G.

Докажем условия интегрируемости уравнения (2.3.5). Рассмотрим сначала случай, когда левая часть уравнения (2.3.5) совпадает с дифференциалом некоторой функции f ( ). Укажем необходимые и достаточные условия, при которых возникает такая ситуация.

Для того чтобы левая часть уравнения (2.3.5) была полным дифференциалом некоторой функции f ( ), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия Здесь тождества рассматриваются по переменным 1,..., n при всех, где определена функция f ( ).

Доказательство. Докажем необходимость условий (2.3.6), (2.3.7).

Пусть левая часть уравнения (2.3.5) есть полный дифференциал некоторой функции f ( ), определенной в области G1 G. Это значит, что:

1) функция f ( ) — непрерывно дифференцируема (ибо существует ее полный дифференциал);

2) ее дифференциал имеет вид Здесь d j — дифференциалы переменных j, т.е. (по определению дифференциала) — это независимые сколь угодно малые произвольные величины.

Согласно нашему условию, правая часть формулы (2.3.8) совпадает с левой частью уравнения (2.3.5) при всех значениях G1 и дифференциалов d j, j 1, n :

Отсюда в силу произвольности d j для всех значений 1,..., n из области G получаем т.е. выполнено условие (2.3.6).

менным 1,..., n.

В свою очередь, это означает, что функция f ( ) должна быть дважды непрерывно дифференцируема по переменным 1,..., n. Кроме того, из непрерывности смешанных производных второго порядка от функции f ( ) следует справедливость тождеств Дифференцируя (2.3.9) по i, получаем Запишем условие (2.3.9) для индекса i и продифференцируем это соотношение по переменным j. Получим Достаточность (см. [16, Т.3, стр.50-55]).

Доказательство будем проводить для случая n 3. Это доказательство легко распространяется на случай n 3.

и являются непрерывно дифференцируемыми по этим переменным в области G.

Покажем, что если выполнены условия (2.3.7), то можно построить такую непрерывно дифференцируемую функцию f (1,2,3 ) в некоторой области G1 G, для которой будет выполняться Если это будет доказано, то из непрерывной дифференцируемости функции f ( ) следует существование полного дифференциала df этой функции а из тождеств (2.3.13) — его совпадение с левой частью уравнения (2.3.5):

Итак, докажем существование такой функции f (1,2,3 ).

Зафиксируем любую точку 0 G и выберем ограниченную область G1 G, которая содержит эту точку. Положим Здесь интегрирование осуществляется по каждой координате i, i 1,2,3, вне зависимости от значений двух других координат j, j 1,2,3, i j. Кроме того, f (10,20,30 ) — это произвольно выбранное фиксированное значение функции f ( ) в точке 0.

Очевидно, функция f ( ) определена и непрерывна по совокупности переменных 1, 2, 3 в некоторой области G2, целиком содержащейся в области G1. Такой областью G2, например, является параллелепипед с гранями, параллельными соответствующим координатным осям 1, 2, 3, вписанный в область G1 и содержащий точку 0.

Из вида функции f ( ) заключаем, что она непрерывно дифференцируема по переменным 1, 2, 3, поскольку интегралы непрерывно дифференцируемы по верхнему пределу, подынтегральные функции непрерывно дифференцируемы по параметрам, и интегралы берутся по ограниченному промежутку изменения переменных (ибо область G2 ограничена).

ведливы тождества (2.3.13) при любом G2. Очевидно, при G2 будем иметь т.е. справедливо первое тождество в (2.3.13).

Покажем справедливость второго тождества в (2.3.13). При G2 согласно правилу Лейбница вычисления производной интеграла, зависящего от параметра (см. [16, Т.2, стр. 661]), можем записать:

Воспользуемся тождеством (2.3.7), записанным для функций 1 и 2, и справедливым для всех G, а значит, и для G2.

Подставляя его в интеграл, стоящий в правой части (2.3.14), получим для этого интеграла:

Подставляя в правую часть формулы (2.3.14), получаем Данное равенство справедливо при любом G2. Этим доказали справедливость второго тождества в (2.3.13).

Докажем справедливость третьего тождества в (2.3.13). Применяя правило Лейf бница при вычислении, получим Учитывая тождества (2.3.7) и подставляя их в интегралы, получим Отсюда следует:

Теорема доказана.

Теорема 2 (достаточные условия интегрируемости уравнения (2.3.5)).

Если левая часть уравнения (2.3.5) является полным дифференциалом некоторой функции f ( ) в области G, то уравнение (2.3.5) вполне интегрируемо.

Доказательство. Пусть существует функция f ( ) такая, что Тогда из доказательства теоремы 1 следует 1) функция f ( ) дважды непрерывно дифференцируема;

Обозначим D ( ) вектор-строку, элементами которой являются коэффициенты j j ( ), j 1, n, уравнения (2.3.5). Поскольку rang D ( ) 1, то для любого 0 существует индекс i такой, что i (0 ) 0 (для заданной точки 0 ). Это значит Рассмотрим уравнение Оно обладает свойствами:

А тогда по теореме о неявной функции оно задает функцию обладающую свойствами:

1) i дважды непрерывно дифференцируема;

2) i 0 i (10,...,i1,0,i1,0,...,n0 ) ;

3) справедливо следующее тождество по переменным 1,..., i1, i1,..., n Вычислим дифференциал функции ( ), задаваемой формулой (2.3.15):

Он совпадает с дифференциалом функции f и левой частью уравнения (2.3.5).

Вычислим дифференциал функции ( ) с учетом того, что Для этого, с одной стороны, надо в функции ( ) заменить компоненту i вектора функцией i i ( ). Тогда получим тождество (2.3.16). Из тождества (2.3.16) следует, что дифференциал его левой части совпадает с дифференциалом правой части.

А потому он будет тождественно равен нулю:

В (2.3.18) тождество рассматривается по всем переменным 1,..., i1, i1,..., n и d1,..., di1, di1,..., dn.

С другой стороны, можем подставить функцию i i ( ) в правую часть выражения (2.3.17) и заменить в ней d i (дифференциал переменной i ) на di ( ) (на дифференциал функции i ( ) ). Результат этих действий должен быть одинаков с результатом, полученным при вычислении d ( ) i i ( ) через дифференцирование тождества (2.3.16), т.е. должен совпасть с (2.3.18) (с нулем).

Поскольку второй путь вычисления d ( ) i i ( ) означает подстановку функции i ( ) в левую часть уравнения (2.3.5), то можем сделать вывод, что функция i ( ) является решением уравнения (2.3.5). Теорема доказана.

Из теорем 1 и 2 следует, что условия теоремы 1 являются достаточными для интегрируемости уравнения (2.3.5).

Установим теперь необходимые и достаточные условия интегрируемости уравнения (2.3.5). Они даются теоремой Фробениуса.

Теорема 3 (первая теорема Фробениуса).

Для того чтобы уравнение (2.3.5) было вполне интегрируемо, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия хотя бы для одного индекса Тождества рассматриваются относительно переменных 1,...,n во всей области задания коэффициентов уравнения (2.3.5).

Вообще говоря, тождества (2.3.19) можно рассматривать и при значениях индекса p i либо индекса q i.

Легко проверить, что при p i либо при q i тождества (2.3.19) выполняются.

Поэтому смысл последней оговорки в условиях теоремы (оговорка, что p i и q i ) заключается в том, что нет нужды строить левые части (2.3.19) для значений p и q, совпадающих с индексом i, поскольку при p i либо при q i тождества (2.3.19) всегда выполняются.

Тождество (2.3.19) выполняется также и при p q. Кроме того, условия (2.3.19) симметричны относительно равенства p q. Поэтому, по существу, условия (2.3.19) следует рассматривать только при p q либо при p q.

Доказательство теоремы.

Необходимость. Пусть уравнение (2.3.5) вполне интегрируемо. Проведем предварительное преобразование уравнения (2.3.5).

окрестности точки 0, то можем записать уравнение (2.3.5) в виде Поскольку уравнение (2.3.5) вполне интегрируемо, то существует функция i ( ), которая при подстановке в левую часть уравнения (2.3.5) i i ( ) и дифференциала di di ( ) вместо переменной i и дифференциала d i обращает ее в тождественный нуль. Это значит, что при такой замене i и d i в обеих частях равенства (2.3.20) оно также обращается в тождество. Отсюда можем сделать вывод, что правая часть соотношения (2.3.20) при подстановке в нее вместо i функции i ( ), т.е.

при замене в ней в коэффициентах i и p переменной i на i ( ), представляет собой полный дифференциал функции i ( ).

А тогда для правой части равенства (2.3.20) (если ее рассматривать как функцию переменных 1,..., i1, i1,..., n и d1,..., di1, di1,..., dn ) справедливы условия теоремы 1.

Запишем эти условия для p (коэффициентов правой части равенства (2.3.20)), учитывая, что в них сделана замена i i ( ). Тогда будем иметь, учитывая, что в условиях теоремы 1 роль функции f играет функция а роль коэффициентов p — коэффициенты уравнения (2.3.20), имеющие вид где (1) обозначает совокупность переменных Тогда условие (2.3.6) примет вид:

вие (2.3.7) запишется так:

Раскроем условие (2.3.22) с учетом (2.3.21). Получим Заменим множитель, стоящий в первой и второй скобках правой части, по формуp ле (2.3.21) и умножим обе части равенства на i2. Получим Поступая аналогично с правой частью условия (2.3.22), будем иметь Согласно условию (2.3.22), левые части равенств (2.3.23) и (2.3.24) совпадают.

Поэтому, вычитая (2.3.23) из (2.3.24), получим что и требовалось доказать. Необходимость доказана.

Достаточность.

Доказательство достаточности можно найти в монографии [17, стр. 144-163].

Рассмотрим два частных случая.

1. Уравнение (2.3.5) имеет вид Здесь P Q R 0, P, Q, R — непрерывно дифференцируемые функции.

R Q P R Q P

Следствие 1.

Для того чтобы уравнение (2.3.25) было вполне интегрируемо, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие или иначе

R Q P R Q P

Доказательство состоит в записи условий Фробениуса для частного случая, описываемого уравнением (2.3.25).

2. Пусть уравнение (2.3.5) имеет вид Здесь P Q 0, P, Q — непрерывно дифференцируемые функции.

Для того чтобы уравнение (2.3.27) было вполне интегрируемо, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из условий Доказательство вытекает из проверки условия (2.3.26).

1. Движение конька.

На рисунке 2.3.1 конек схематично представлен в виде отрезка AB, положение которого зафиксировано в некоторый момент времени t в плоскости Oxy его движения. Движение конька рассматриваем в системе отсчета Oxyz с направляющими ортами i, j, k.

Обозначим rP OP — радиус-вектор любой точки P лезвия конька, а rc OC — радиус-вектор некоторой фиксированной точки C этого лезвия. На рис.2.3.1 в качестве точки C выбрана середина лезвия конька.

- 100 Обозначим e (t ) — направляющий орт прямой AB, на которой в момент времени t находится лезвие конька. Направляющий вектор этой прямой совпадает с направлением стопы фигуриста от пятки к пальцам.

Пусть CP. Тогда можем записать Здесь const — расстояние от точки C до точки P в любой момент времени t.

Отсюда следует, что движение любой точки лезвия конька определено, если определены движение rc (t ) точки C и закон изменения направления орта e (t ). Это значит, что для того, чтобы знать движение любой точки лезвия конька, достаточно определить движение rc (t ) точки C и движение орта e (t ).

Введем следующие обозначения:

– — угол между ортом e и плоскостью Oxy, отсчитываемый от плоскости Oxy – — угол, отсчитываемый от орта i оси Ox в плоскости Oxy до проекции орта e на эту плоскость; угол отсчитывается в положительном направлении оси Ox относительно орта k ; [0, 2 ).

В этих обозначениях будем иметь Отсюда следует, что для определения движения конька, достаточно знать закон изменения пяти координат: xc (t ), yc (t ), zc (t ), (t ), (t ).

Будем рассматривать следующую модель движения конька.

Движение лезвия при всех t происходит в плоскости Oxy (конек не отрывается от плоскости льда).

2. Точка C движется так, что ее скорость VC остается параллельной орту e (t ).

Из условия 1 вытекает, что в предлагаемой модели движения должны выполняться ограничения, являющиеся голономными стационарными связями:

Если обозначить V x, V y, V z компоненты вектора VC в системе Oxyz, то из второго условия предлагаемой модели движения находим следующие ограничения, которые имеют вид дифференциальных связей первого порядка:

Учитывая, что Vx xc, Vx yc, Vz zc, от этих уравнений переходим к уравнениям в полных дифференциалах:

- 101 Дифференциальная связь (2.3.30) интегрируема. После ее интегрирования придем к геометрической связи (2.3.29). Поэтому связь (2.3.30) можно исключить из рассмотрения.

Покажем, что связь (2.3.31) неинтегрируема. Уравнение этой связи по виду совпадает с уравнением (2.3.27), в котором следует переобозначить переменную z буквой, а коэффициенты P и Q заменить функциями Поэтому, применяя следствие 2, можем записать, что необходимое и достаточное условие интегрируемости связи (2.3.31) задается тождеством (2.3.28):

Подставляя в левую часть этого тождества явное выражение для P и Q, получаем Поскольку данное соотношение не является тождеством, то из следствия 2 делаем вывод, что связь (2.3.31) неинтегрируемая.

2. Пусть даны две дифференциальные связи, которые описываются уравнениями в полных дифференциалах следующего вида:

Уравнения связей заданы при x 2 y 2 0 и любых значениях z1 и z 2. Проверим условие интегрируемости каждой связи в отдельности.

Рассматриваем первую связь (2.3.32). В обозначениях, которые приняты для уравнений в полных дифференциалах, из этой связи находим:

Запишем условие Фробениуса (2.3.19) для i 1, p 2, q 3. Подстановка функций (2.3.33) в левую часть (2.3.19) приведет ее к следующему виду:

Поскольку функция 2 x z1 y не является тождественным нулем, то это значит, что условие Фробениуса (2.3.19) не выполняется. А тогда из теоремы Фробениуса следует, что первое уравнение из (2.3.32) неинтегрируемо.

Аналогично устанавливается, что и вторая дифференциальная связь из (2.3.32) не будет интегрируемой. Действительно, для второй связи имеем:

А тогда для i 2, p 1, q 3 получим левую часть условия Фробениуса в виде функции 2 xyz1, которая не является тождественным нулем. Это значит, что условие Фробениуса не выполняется.

Однако если эти две связи рассматривать совместно (как систему уравнений в полных дифференциалах), то такая система связей будет вполне интегрируемой. Это докажем в следующем пункте после того, как дадим вывод необходимых и достаточных условий интегрируемости системы уравнений в полных дифференциалах в случае s 1.

В случае s 1 линейные дифференциальные связи описываются системой уравнений в полных дифференциалах:

являются функциями от переменных 1,..., n, заданными и непрерывно дифференцируемыми при любом. Коэффициенты j образуют матрицу Bs размерности [ s n].

Будем считать, что rang Bs ( ) s при любых.

Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что rang Bs ( ) определяется по первым s столбцам, т.е. определитель матрицы Bs, составленный из первых s столбцов, в любой фиксированной точке отличен от нуля.

В силу непрерывности элементов матрицы Bs, рассматриваемых как функции от, этот определитель будет отличен от нуля в некоторой окрестности G E n фиксированной точки.

Поэтому систему (2.3.34) можем разрешить относительно s дифференциалов d1,..., ds (рассматривая ее как линейную систему алгебраических уравнений относительно d1,..., d s ).

Обозначим y — вектор-столбец размерности [ s 1], составленный из первых s компонент вектора, z — вектор-столбец размерности [m 1], m n s 2, составленный из оставшихся компонент вектора :

Тогда система (2.3.34) перепишется в виде Здесь матрица H ( y, z ) hi j ( y, z ) размерности [ s m] определена и непрерывно дифференцируема по компонентам векторов y и z в области G ; dy и dz — вектора, составленные из дифференциалов dy, 1, s, и dz j, j 1, m.

Определение 5.

Система (2.3.35) называется интегрируемой при y y0 и z z0, если существует вектор-функция y (z ), такая, что:

– при любом z, где определена вектор-функция y (z ), точка ( y ( z), z ) G ;

– вектор-функция y (z ) непрерывно дифференцируема в области ее определения;

– при z z0 выполняется равенство y0 y ( z0 ) ;

– при подстановке вектор-функции y (z ) в систему (2.3.35) эта система обращается в систему тождеств относительно z и dz.

Вектор-функция y (z ), удовлетворяющая определению 5, называется решением задачи Коши системы уравнений (2.3.35), проходящим через точку ( y0, z0 ).

Определение 7.

Система (2.3.35) называется вполне интегрируемой в области G, если она интегрируема при любых ( y0, z0 ) G.

Необходимые и достаточные условия интегрируемости системы (2.3.35) даются теоремой Фробениуса.

Теорема 4 (вторая теорема Фробениуса).

Для того чтобы система (2.3.35) была вполне интегрируема в области G, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

Здесь тождества (2.3.36) рассматриваются по всем значениям переменных y1,..., ys, z1,..., zm в области G.

Доказательство. Необходимость.

Пусть система (2.3.35) вполне интегрируема в области G. Это значит, что для любых ( y0, z0 ) G существуют функции y (z ), 1, s, являющиеся компонентами вектора y, со свойствами, указанными в определении 5. Тогда подстановка функций y (z ) в систему (2.3.35) обращает уравнения в тождества. Из этих тождеств делаем вывод о том, что правые части уравнений (2.3.35) являются полными дифференциалами функций y (z ), 1, s.

Тогда, согласно теореме 1 из п.3, для коэффициентов h p ( y( z ), z ) и h q ( y( z ), z ), p 1, m, q 1, m, p q, каждого из уравнений с номером, 1, s, справедливы тождества для всех z, для которых определены функции y (z ). Здесь в последнем тождестве чеD D рез и обозначены операторы вычисления частной производной по координаDz p Dzq те z p и z q, соответственно, от суперпозиции функций h p ( y, z ) и y (z ) (для оператора Dzq Раскроем левую часть тождества (2.3.39). Будем иметь чательно получим Аналогично, вычисляя правую часть тождества (2.3.39) и учитывая тождество (2.3.37) для i, найдем После подстановки функций (2.3.40) и (2.3.41) в соотношение (2.3.39), оно примет вид:

Эти тождества справедливы для всех z, для которых определены функции y (z ).

Полагая в них z z0 и учитывая, что y ( z0 ) y0, придем к системе равенств которая формируется при следующих значениях индексов В силу произвольности выбора точки ( y0, z0 ) G полученные равенства справедливы для всех точек области G. А это значит, что имеют место система тождеств (2.3.36) по ( y, z ) G. Необходимость доказана.

Достаточность.

Доказательство достаточности можно найти в монографии [17, стр. 144-163].

Обратимся к примеру 2 предыдущего пункта (п.3). Приведем систему (2.3.32) к виду (2.3.35). Обозначим y1 x, y2 y, s 2, m 2. Тогда, разделив первое и второе уравнения на x 2 y 2, придем к системе:

Правые части определены при всех ( y1, y2, z1, z2 ), кроме множества y12 y2 0.

Имеем Проверяем условия второй теоремы Фробениуса. Полагаем для 1 :

Следует заметить, что условия Фробениуса симметричны относительно p q при любом фиксированном. Поэтому проверять их можно только для значений Запишем левую часть условия (2.3.36) при 1, p 1, q 2 :

Легко видеть, что она приводится к виду:

Вычислим правую часть условий Фробениуса для 1, p 1, q 2 :

Сопоставляя (2.3.42) и (2.3.43), видим, что условия Фробениуса для 1 выполняются. Проверим эти условия для 2 и p 1, q 2. Вычислим левую часть:

Аналогично находим выражение для правой части Сопоставляя левую и правую части, видим, что они совпадают, т.е. условия Фробениуса для 2 выполняются.

Таким образом, выполнены все условия второй теоремы Фробениуса. Поэтому система (2.3.32) вполне интегрируема при y0 x0 0.

Пример 2 показывает, что если уравнение хотя бы одной дифференциальной связи не интегрируемо, то это еще не значит, что в совокупности с другими уравнениями связей оно не будет интегрируемо.

5. Понятие голономных и неголономных механических систем Будем рассматривать механические системы, на которые наложены связи, задаваемые кинематическим способом. Полагаем, что среди них имеются l геометрических и s дифференциальных связей первого порядка. В дальнейшем будем рассматривать только такие механические системы, в которых дифференциальные связи являются линейными. Дадим понятие голономных и неголономных механических систем.

Уравнения линейных дифференциальных связей, как отмечено выше, имеют вид:

Запишем для каждой связи с номером соответствующее ей уравнение в полных дифференциалах Линейная дифференциальная связь с номером (в системе (2.3.44)) называется интегрируемой, если существует решение уравнения (2.3.45) с номером в полных дифференциалах при любых начальных условиях r (t0 ), 1, N и t0 J.

Линейные дифференциальные связи с номерами 1,..., k, k s, в системе (2.3.44) называются интегрируемыми в совокупности, если при любых r (t0 ), 1, N, и t0 J является интегрируемой система уравнений в полных дифференциалах:

Определение 10.

Исключим из рассмотрения в системе (2.3.44) все интегрируемые и интегрируемые по совокупности 1,..., k связи. Оставшиеся связи называются неинтегрируемыми линейными дифференциальными связями, а исключенные связи называются интегрируемыми.

Определение 11.

Неинтегрируемые дифференциальные связи называются «неголономными», или «кинематическими связями».

Определение 12.

Интегрируемые связи в совокупности с геометрическими называются голономными связями.

Название «кинематические связи» не следует смешивать с кинематическим способом задания связей.

Кинематический способ задания связей — это способ задания связей с помощью математических моделей, причем эти модели могут задавать как голономные, так и неголономные связи.

«Кинематические связи» — это класс связей (подмножество связей) во всем множестве связей, задаваемых «кинематическим способом».

Определение 13.

Линейная дифференциальная связь с номером называется стационарной дифференциальной связью, если все коэффициенты a, 1, N, не зависят явно от t, а свободный член a отсутствует, т.е. a 0.

чтобы a 0. Поясним смысл этого условия, т.е. чем оно вызвано.

Если связь интегрируема, то, как показано ранее, путем интегрирования можно заменить ее модель математической моделью геометрической связи. Если коэффициенты a, 1, N, не зависят явно от t, а коэффициент a 0, то можно привести примеры, когда математическая модель соответствующей геометрической связи после интегрирования дифференциальной связи будет явно зависеть от t. Иначе говоря, геометрическая связь, соответствующая такой интегрируемой дифференциальной связи, будет нестационарной. Чтобы исключить такие ситуации, требуется, чтобы коэффициент Пример нестационарной геометрической связи, соответствующей интегрируемой линейной дифференциальной связи, в которой a 0, хотя все коэффициенты a и a, 1, N, в ее уравнении не зависят явно от t, — тривиален.

Тогда после интегрирования соответствующей дифференциальной связи получим функцию f (r1,..., rN, t ), для которой df 0 :

Соответствующая геометрическая связь задается формулой Если в ее математической модели a 0, то такая связь не является стационарной.

Определение 14.

Линейная дифференциальная связь с номером называется «стационарной кинематической связью», если все коэффициенты a, 1, N, не зависят явно от t, a 0, и связь с номером является неинтегрируемой в любой совокупности 1,..., k, включающей в себя и связь.

По аналогии с линейной кинематической связью, нелинейную кинематическую связь будем называть стационарной, если время t явно не входит в уравнение связи, и при V 0, 1, N, уравнение связи обращается в тождественный нуль. Тождество рассматривается по положениям r 1, N точек механической системы.

Определение 15.

Механическая система называется голономной, если все связи, накладываемые на нее кинематическим способом, являются голономными.

Такая система называется стационарной голономной, если все эти связи стационарны. Если хотя бы одна из связей нестационарна, то голономная механическая система называется нестационарной.

Определение 16.

Механическая система называется неголономной, если среди связей, накладываемых на нее кинематическим способом, имеется хотя бы одна кинематическая, т.е.

имеется хотя бы одна связь, неинтегрируемая в любой совокупности с другими дифференциальными связями.

Такая система называется стационарной неголономной системой, если все ее она называется нестационарной неголономной системой.

1. Требования, накладываемые на уравнения голономных связей Будем рассматривать механические системы с голономными связями. Сформулируем требования, которым должны удовлетворять левые части уравнений голономных связей. Эти уравнения имеют вид Сюда включены и интегрируемые дифференциальные связи, предварительно проинтегрированные. Аргументами функций f являются время t и векторы r x i y j z k, 1, N, где x, y, z — координаты точки P, 1, N, механической системы в выбранной системе отсчета.

Будем смотреть на эти равенства как на систему уравнений относительно положений r, 1, N, точек механической системы, считая при этом время t параметром.

Ясно, что при таком взгляде на систему уравнений (2.4.1) можно трактовать эту систему следующим образом.

Она определяет (задает) в каждый момент времени t множество допустимых положений материальных точек — положений, которые «связи позволяют материальной системе занимать в момент времени t ».

Такие положения будем называть возможными или допустимыми положениями механической системы, а совокупность положений r, 1, N, являющихся решением системы уравнений (2.4.1) в фиксированный момент времени t, — множеством допустимых (возможных) положений в этот момент времени.

Запишем систему уравнений (2.4.1) в зависимости от координат материальных точек. Введем обозначения:

После подстановки в (2.4.1) будем иметь Здесь для зависимостей левых частей равенств (2.4.2) от новых переменных ( 1,..., 3 N ) и t. сохранено обозначение f из равенств (2.4.1). Ясно, что системой уравнений (2.4.2) множества допустимых положений в момент времени t задаются в координатной форме.

В механике принято считать, что количество связей l и функции f (, t ) удовлетворяют следующим трем условиям:

2. Функции f (, t ) определены и дважды непрерывно дифференцируемы в области изменения переменных и t.

Область изменения либо совпадает со всем 3N - мерным пространством, либо определяется областью допустимых положений механической системы в период времени, в течение которого могут происходить ее движения.

Область изменения переменных и t, в которой задаются функции f (, t ), 3. Функции f (, t ), 1, l, независимы друг от друга в области G.

Поясним смысл данных требований. Условие 1 означает, что количество l 3N, то система уравнений (2.4.2), вообще говоря, определяла бы конкретную функцию (t ) (при l 3N ), либо была бы несовместна. В том и другом случае нет смысла изучать движения таких механических систем.

Условие 2 диктуется следующими обстоятельствами. Согласно законам, лежащим в основе всех математических моделей движения, причинами возникновения и развития механического движения являются силы, создающие ускорения материальных точек, входящих в состав механической системы. Потому для построения таких математических моделей возникает необходимость вычисления ускорений на движениях механических систем при действии связей (2.4.2). А это, в свою очередь, требует наложения условия 2 на функции f (, t ).

Прежде чем пояснить смысл условия 3, заметим следующее. Пусть определена функция где 1,, k принимают значения из множества {1,2,, l}. Аргументами функции ские связи. Пусть ( 0,..., 0) 0. Введем другую функцию — функцию (, t ), построенную по формуле Если на движениях (t ) выполняются тождества f1 (, t ) 0,, fk (, t ) 0, то на таких движениях будет обязательно выполняться тождество ( f1 (, t ),..., fk (, t )) 0.

Иначе говоря, если введем дополнительную связь то она не будет накладывать никаких дополнительных ограничений на движения (t ), если (t ) обращает уравнения связей в тождества.

Поэтому, если для какой-либо функции f (, t ) можно найти зависимость f (, t ) ( f1,..., fk ) от других функций f1,..., fk, входящих в систему (2.4.2), то связь под номером можно исключить из ограничений, задаваемых данной системой.

Такая связь является лишней. Она автоматически реализуется, если на движениях выполнены ограничения, задаваемые функциями f1,..., fk : f j (, t ) 0, j 1, k.

Теперь обратимся к третьему условию, накладываемому на уравнения связей.

Смысл условия 3 состоит в том, что в совокупности функций f1,..., f l нет ни одной такой функции f, которую можно было бы представить в виде функции f ( f1,..., fk ), где 1,, k — какой-либо набор индексов из множества {1,2,, l}. Иначе говоря, в указанной совокупности нет ни одной функции f (, t ), зависимой от остальных. Дадим определение независимых функций (см. [16, т.1, стр. 477–483]).

Пусть имеется l функций y1,..., yl вида:

Зафиксируем функцию y с номером i.

Определение 1.

Если существует функция ( y1,..., yi1, yi1,..., yl ) такая, что равенство обращается в тождество по и t в области G в том случае, когда в него вместо y, 1, l, подставить y f (, t ), 1, l, то функция yi называется зависимой от остальных в области G.

Функции f, 1, l, называются зависимыми в области G, если одна из них (все равно какая) зависима от остальных.

Если ни в области G, ни в какой-либо частично в ней содержащейся области G для любого i 1, l и для любой функции ( y1,..., yi1, yi1,..., yl ) не имеет место тождество относительно, t вида yi ( y1,..., yi1, yi1,..., yl ), где y f (, t ), 1, l, то функции y1,..., yl называются независимыми в области G.

Таким образом, условие 3, накладываемое на уравнения голономных связей, требует, чтобы функции f (, t ), 1, l, удовлетворяли определению 3.

Условия 1 и 2, накладываемые на функции f (, t ) в математических моделях голономных связей, проверяются легко. Сложнее с условием 3. Известны лишь достаточные условия независимости функций. Они доказаны в курсе математического анализа. Приведем их применительно к функциям f1,..., f l. Напомним, что в нашем случае, согласно условию 2, f (, t ) заданы и дважды непрерывно дифференцируемы по совокупности переменных и t в области G.

Введем следующую матрицу Bl, называемую матрицей Якоби:

В соотношения (2.4.3) включены различные формы представления матрицы Bl, которые будут использоваться в дальнейшем. Матрица Bl имеет размерность [l 3N ].

В ней grad f обозначает вектор-столбец где символ *(звездочка) соответствует операции транспонирования.

Иногда, в более короткой записи, матрицу Bl будем представлять в виде, где под f и понимаются векторы-столбцы доказанная в курсе математического анализа.

Теорема (об условиях независимости функций) Если ранг матрицы Якоби равен 1, и этот ранг достигается в точке (0, t0 ), то в некоторой окрестности G точки (0, t0 ) будут независимы функций из числа заданных f (, t ), 1, l, а остальные от них зависят. А именно, независимыми будут те функций, производные от которых входят в определитель - го порядка, не равный нулю в точке (0, t0 ) и по которому определяется ранг.

Теорема дает достаточные условия независимости функций.

В дальнейшем будем считать, что применительно к функциям f (, t ), 1, l, выполнены условия данной теоремы во всей области G, причем в этих условиях l.

Тем самым вместо условия 3, накладываемого на функции f (, t ), будем считать выполненным условие 3', которое формулируется следующим образом.

Условие 3': Ранг матрицы Якоби для функций f (, t ), 1, l, вычисленной по переменным 1,..., 3 N, при всех значениях переменных, t из области G задания функций f, равен l, где l — количество связей:

Из условия 3' следует, что уравнения геометрических связей независимы во всей области задания функций f (, t ).

2. Число степеней свободы положения в голономных механических системах Покажем, что в голономных системах можно уменьшить количество координат, с помощью которых задается любое положение механической системы.

Итак, пусть выполняются условия 1,2,3', указанные в п.1 для уравнений голономных связей: