«В. С. Ермолин, В. С. Королев, И. Ю. Потоцкая ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Часть I. Кинематика Учебное пособие Санкт -Петербург 2013 УДК 51-72 Печатается по постановлению Редакционно–издательского совета Факультета Прикладной ...»

На основании следствий 1 и 2 можем сделать следующие выводы.

1. Отрезок P Q, соединяющий две точки твердого тела, перемещается параллельно самому себе, ибо rp (t, t 0 ) rq (t, t 0 ), rpq (t ) rpq (t 0 ).

P(t0 ), Q(t0 ) — положение точек P и Q в момент времени t0 ;

P(t ) и Q(t ) — положение точек P и Q в момент времени t ;

Как видно из рисунка, согласно свойству 1 перемещения образуют параллелограмм.

2. При поступательном движении твердого тела положение любых его точек в любой момент t можно вычислить через положение какой-либо одной точки P тела, известное в момент t, и положение тела относительно точки P, заданное в какойлибо фиксированный момент времени t0.

Доказательство.

Действительно, поскольку то в соответствии со следствием 1 получаем rq (t ) rp (t ) rpq (t0 ).

Утверждение доказано 1. Структура матрицы ориентации твердого тела при его вращении В настоящем параграфе мы будем отождествлять твердое тело со всем пространством, определяемым связанной системой координат. Рассмотрим группу движений твердого тела, называемую вращением твердого тела вокруг неподвижной оси.

Определение 1.

Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси на промежутке времени J называется такое движение, при котором две точки тела имеют скорость, равную Прямая, проходящая через указанные две точки, называется осью вращения твердого тела.

В следствии 6 из формулы Эйлера (§9, п.3) доказывается, что все точки, лежащие на оси вращения, имеют скорость, равную нулю. Кроме того, там же доказано, что вектор мгновенной угловой скорости твердого тела на всем промежутке времени J коллинеарен оси вращения. Иначе говоря, если обозначим через k орт оси вращения, Если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, то существует такая система отсчета Oxyz и связанная система Oxyz, что матрица ориентации будет иметь вид:

При этом вектор мгновенной угловой скорости твердого тела связан со скоростью изменения угла соотношением где k и k — орты осей Oz и Oz, соответственно.

Возьмем в качестве точки отсчета O любую точку на оси вращения. Она неподвижна в теле и в абсолютном пространстве, поскольку ее скорость равна нулю при всех t J. Поэтому можем считать ее полюсом абсолютной и связанной систем координат.

В качестве орта k (орта оси Oz ) берем орт направляющего вектора оси Oz.

В качестве орта k (орта оси Oz ) берем тот же орт k. Это возможно, поскольку ось вращения неподвижна в теле и в абсолютном пространстве. Тогда будем иметь В качестве ортов i и j берем два взаимно ортогональных орта, фиксированные в абсолютном пространстве и ортогональные оси вращения, причем i, j, k — правая тройка векторов.

В качестве ортов i, j берем орты, неподвижные в теле, взаимно ортогональные и ортогональные оси вращения, так что i, j, k — правая тройка векторов.

Поскольку k и k совпадают при всех t, то матрица ориентации системы Oxyz будет иметь вид причем элементы a11, a12, a 21, a 22 при всех t удовлетворяют тождествам Положим в этих тождествах где — угол, принимающий значения из промежутка [0, 2 ).

При такой замене (3.12.5) тождества (3.12.4) будут выполняться при любых t для любых. Обратно, если знаем элементы a11, a12, a 21, a 22, то угол будет однозначно определен по этим элементам из соотношений (3.12.5).

- 170 Подстановка зависимостей (3.12.5) элементов a,, 1,2, от угла в матрицу (3.12.3) приводит к выражению (3.12.1) для матрицы A. Первое утверждение теоремы доказано.

Докажем второе утверждение — справедливость формулы (3.12.2). Из (3.12.1) можем записать По определению вектора имеем Дифференцируем (3.12.6) по t :

получаем:

Теорема доказана.

1. Обозначим (, k ). Как следует из (3.12.2),, и справедливы неравенства 0 при 0 и 0 при 0. Величина является скоростью изменения угла.

Вектор, построенный при изучении вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, получил название вектор мгновенной угловой скорости. Такое же название дано тому вектору, который вычисляется по формуле (3.12.7) на движениях тела, отличных от вращения вокруг неподвижной оси, а также на движениях других механических систем и подвижных систем координат.

Однако следует заметить, что при рассмотрении движений общего характера данное название вектора нельзя увязывать с существованием какого-либо угла, по скорости изменения которого можно было бы судить о модуле этого вектора.

2. Из доказательства теоремы следует, что твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы.

Действительно, положение r любой точки P твердого тела относительно фиксированной точки O, находящейся на оси вращения, определяется по формуле Здесь — положение точки P в связанной системе координат.

Как показано в теореме, матрица ориентации A полностью определена в любой момент времени t, если в этот момент известен угол поворота твердого тела вокруг неподвижной оси. Таким образом, для определения положения тела необходимо и достаточно знать одну угловую координату.

Вектор углового ускорения при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси коллинеарен оси вращения и задается формулой Утверждение очевидно.

Здесь речь пойдет о скоростях точек P твердого тела, не лежащих на оси вращения, поскольку скорости точек, лежащих на этой оси, известны — они равны нулю.

По формуле Эйлера можем записать Из нее вытекают следующие свойства:

1. V p ортогонален плоскости, проходящей через ось вращения и точку P, так как потому угол между ними остается постоянным.

Определение 2.

Плоскость, ортогональная оси Oz и проходящая через точку P, называется плоскостью вращения точки P.

Так как (rp (t ), k ) (rp (t ), k ) const при любых t J, то точка P находится в одной и той же плоскости вращения при всех t.

Уравнение этой плоскости Следует иметь в виду, что каждая точка P находится в своей плоскости вращения. Такое движение твердого тела иначе называется плоским движением твердого тела.

Поскольку d rp sin const — это расстояние от точки P до оси вращения, и оно остается постоянным, то точка P движется по окружности.

Скорость ее движения Vp d d совпадает по величине с круговой скоростью.

По формуле Ривальса ускорение WP точки P можно записать в виде суммы Поскольку WO 0, k, k, то приходим к следующему представлению вектора W p :

где Wвр — вращательное ускорение точки P ; оно совпадает с вращательным ускорением при круговом движении точки по окружности радиуса P1 — точка пересечения плоскости вращения точки P с осью вращения Wос — осестремительное ускорение точки P ; оно совпадает с центростремительным ускорением при круговом движении точки по окружности указанного радиуса.

§13. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки Если твердое тело имеет одну точку, неподвижную при всех t J, и не имеет ни одной другой точки с этим свойством, то такая группа движений называется вращением твердого тела вокруг неподвижной точки.

В данном определении, как всегда, J обозначает промежуток времени, на котором рассматривается движение твердого тела.

В определении 1 исключаются ситуации, когда хотя бы одна точка твердого тела, отличная от указанной в определении, имеет равную нулю скорость при всех t J.

В противном случае имеет место вращение твердого тела вокруг неподвижной оси или твердое тело находится в покое.

Неподвижную точку обозначим O и примем за точку отсчета в абсолютной и связанной системах координат. Тогда по определению жесткой системы для любой точки P твердого тела выполняется тождество Это означает, что любая точка P твердого тела остается на сфере постоянного радиуса с центром в неподвижной точке. А потому такое движение по-другому называется сферическим движением твердого тела.

При сферическом движении в твердом теле можно указать прямую, все точки которой будут иметь мгновенную скорость, равную нулю.

Доказательство.

По формуле Эйлера любая точка P тела при вращении вокруг неподвижной точки O имеет скорость где OP — это положение точки P относительно точки отсчета O в момент времени t. Оно может задаваться как вектором p (t ) с координатами в связанной системе ( x, y, z), и тогда эти координаты будут постоянны, так и вектором rp (t ) с координатами в абсолютной системе ( x(t ), y(t ), z(t )), и тогда эти координаты будут функциями времени, причем где A (t ) — матрица ориентации.

Положим в (3.13.1) Vp (t ) 0 (в фиксированный момент времени t ). В таком случае из (3.13.1) вытекает для любого (, ).

Если рассматривать соотношение (3.13.2) в абсолютном пространстве, то следует положить в нем OP rp (t ), а вектор (t ) считать заданным своими координатами в абсолютной системе.

При фиксированном значении времени t и произвольных значениях соотношение (3.13.2) задает параметрическое уравнение прямой, проходящей через неподвижную точку O.

Каждая такая прямая является геометрическим местом тех положений в абсолютном пространстве точек P твердого тела, в которых они (точки P ) имеют скорость, равную нулю в момент времени t.

Если рассматривать равенство (3.13.2) применительно к векторам OP, задаваемым в подвижном пространстве (в системе Oxyz, связанной с твердым телом), то в (3.13.2) следует положить OP p (t ). Тогда и вектор угловой скорости (t ) должен рассматриваться в проекциях на связанные оси.

В таком случае при фиксированном значении времени t соотношение (3.13.2) является параметрическим уравнением прямой в связанной системе. Оно задает положения в теле всех тех его точек, которые в момент t имеют скорость, равную нулю.

Теорема доказана.

Прямая, проходящая через точку O, все точки P которой в фиксированный момент времени t имеют скорость Vp (t ) 0, называется мгновенной осью вращения твердого тела.

Как следует из доказательства теоремы, ее уравнение в векторной форме имеет вид (3.13.2).

2. Подвижный и неподвижный аксоиды твердого тела Запишем уравнение (3.13.2) в виде на подвижные оси Oxyz :

Вектор, стоящий в левой части (3.13.3), определяется координатами x, y, z Будем смотреть на величины и t как на обобщенные координаты геометрической точки P, имеющей положение OP в системе Oxyz. При таком рассмотрении правую часть (3.13.3) можно трактовать как вектор-функцию (, t ) (t ), задающую связь обобщенных координат, t точки P с ее декартовыми координатами x, y, z в подвижной системе Oxyz.

В координатной форме эта связь записывается в виде:

Система координат Oxyz является связанной системой для твердого тела, совершающего сферическое движение. Уравнение (3.13.3), рассматриваемое при фиксированном значении времени t, задает в ней положения всех таких точек P, которые в этот момент находятся на мгновенной оси вращения твердого тела.

Если рассматривать уравнение (3.13.3) при всех значениях и t из области их изменения, то легко заметить, что оно определяет в системе Oxyz годограф векторфункции (, t ). Годограф образует в подвижном пространстве поверхность, которая состоит из точек пространства Oxyz. Каждая точка ее хотя бы в один момент времени t принадлежит мгновенной оси вращения твердого тела. Уравнения (3.13.4) являются параметрическими уравнениями указанной поверхности. Эту поверхность можно трактовать как абсолютно твердое тело, для которого Oxyz служит связанной системой координат.

Поверхность, задаваемая векторным уравнением (3.13.3) в пространстве Oxyz или в координатной форме системой уравнений (3.13.4), называется подвижным аксоидом.

Легко видеть, что подвижный аксоид является конической поверхностью с вершиной в неподвижной точке O. На это указывают уравнение (3.13.3) и уравнения (3.13.4), ибо (3.13.3) является векторным уравнением такой поверхности, а (3.13.4) — ее уравнениями в координатной форме.

Запишем теперь уравнение (3.13.2) в виде:

Будем считать, что векторы r и (t ) определяются, соответственно, проекциями x, y, z и x (t ), y (t ), z (t ) на неподвижные оси, т.е.

В координатной форме уравнение (3.13.5) примет вид:

Если рассматривать всю совокупность точек в пространстве Oxyz, координаты которых определяются правыми частями уравнений (3.13.6), то такая совокупность представляет собой двух параметрическое геометрическое место точек, образующее поверхность в абсолютном пространстве.

- 175 Каждая точка этой поверхности обладает следующими свойствами: прямая, проходящая через нее (точку) и начало координат O, содержит все положения, которые занимают в абсолютном пространстве точки мгновенной оси вращения твердого тела хотя бы в один момент времени t.

Определение 4.

Поверхность, задаваемая в пространстве Oxyz векторным уравнением (3.13.5) или в координатной форме системой уравнений (3.13.6), называется неподвижным аксоидом.

Неподвижный аксоид, как и подвижный, является конической поверхностью с вершиной в неподвижной точке O. Это следует из вида уравнений (3.13.5) и (3.13.6).

При изменении времени t J все точки неподвижного аксоида сохраняют свои положения в абсолютном пространстве. Однако точки мгновенной оси вращения изменяют свое положение на этом аксоиде и, тем самым, совершают движение в пространстве Oxyz.

Данное утверждение следует из того, что направляющим вектором мгновенной оси вращения является вектор мгновенной угловой скорости (t ), проекции x, y, z которого на координатные оси Ox, Oy, Oz зависят от времени t.

Подвижный аксоид при изменении времени t J в общем случае меняет свою ориентацию в абсолютном пространстве, поскольку меняет ориентацию связанная с ним система координат Oxyz.

Мгновенная ось вращения совершает в абсолютном пространстве так называемое сложное движение. Оно вызвано, прежде всего, тем, что подвижный аксоид движется в абсолютном пространстве и, тем самым, мгновенная ось движется вместе с ним.

Кроме того, сама мгновенная ось движется по подвижному аксоиду, поскольку проекции p(t ), q(t ), r (t ) на подвижные оси Oxyz ее направляющего вектора (t ) также меняют свои значения при изменении времени t.

Вопрос о связи движения подвижного аксоида с неподвижным при сферическом движении твердого тела был изучен Пуансо, и результат сформулирован в виде следующей теоремы, которую приведем здесь без доказательства.

Теорема 2 (Пуансо).

При сферическом движении подвижный аксоид катится по неподвижному без проскальзывания; при этом в каждый момент времени подвижный и неподвижный аксоиды касаются друг друга в точках мгновенной оси вращения.

3. Скорости точек твердого тела при сферическом движении Скорости точек твердого тела определяются по формуле Эйлера Эта формула имеет тот же вид, что и для скорости точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Однако существенным отличием является то, что при вращении вокруг неподвижной оси вектор при всех t коллинеарен оси вращения, которая не изменяет свою ориентацию в абсолютном пространстве, а при сферическом движении вектор коллинеарен мгновенной оси вращения, но эта ось может изменять свою ориентацию в абсолютном пространстве.

Поэтому при сферическом движении, как и при вращении вокруг неподвижной оси, каждая точка твердого тела имеет мгновенную скорость, совпадающую по величине с ее круговой скоростью, т.е. со скоростью, которую она имела бы при круговом осью вращения. Угловая скорость кругового движения при таком вращении совпадает с вектором (t ).

Однако в отличие от вращения вокруг неподвижной оси, на сферическом движении плоскость кругового движения точки при изменении t не будет занимать неизменное положение в абсолютном пространстве. Она будет менять свою ориентацию в нем вместе с изменением ориентации мгновенной оси вращения и менять свое положение вместе с этой осью и материальной точкой.

Из формулы (3.13.7) следует, что при решении практических задач, связанных с построением скоростей точек твердого тела, можно поступить следующим образом.

Определить вектор (t ). Затем построить мгновенную ось вращения. Она проходит через неподвижную точку O и коллинеарна вектору (t ). Далее, для построения мгновенных скоростей точек твердого тела применить все те приемы, которые разработаны для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, считая, что неподвижной является построенная мгновенная ось вращения.

4. Ускорения точек твердого тела при сферическом движении В соответствии с формулой Ривальса имеем:

Wвр r — вращательное ускорение точки твердого тела, Wос ( r ) — осестремительное ускорение точки твердого тела.

Положим (t ) e (t ), где e (t ) — орт мгновенной оси вращения. Тогда 1 (t ) (t ) e (t ) — угловое ускорение вокруг мгновенной оси вращения, 2 (t ) (t ) — угловое ускорение, возникающее из-за изменения В этих обозначениях формула для вращательного ускорения примет вид Первое слагаемое, стоящее в правой части, совпадает с вращательным ускорением, которое имеет точка при вращении тела с угловой скоростью (t ) вокруг неподвижной - 177 оси. Ось совпадает с мгновенной осью вращения. Наличие второго слагаемого показывает, что ее вращательное ускорение при сферическом движении твердого тела не совпадает с Wвр при вращении твердого тела вокруг мгновенной оси вращения, если считать эту ось неподвижной.

Теперь обратимся к осестремительному ускорению. Выражение для ускорения Wос приводится к следующей форме (см. рис.3.13.1) Из нее следует, что Wос при сферическом движении тела совпадает с осестремительным ускорением точки, которое она имеет при его вращении с угловой скоростью (t ) вокруг неподвижной оси, если за неподвижную ось взять мгновенную ось вращения с направляющим ортом e.

Пусть известна ориентация твердого тела в моменты времени t 0 и t1. Справедлива следующая теорема.

Теорема 3 (Эйлера-Даламбера).

При сферическом движении произвольное положение твердого тела, заданное в момент t1, можно получить из заданного в момент t 0 начального положения одним поворотом вокруг неподвижной оси, проходящей через неподвижную точку O, на некоторый угол.

Доказательство теоремы можно найти, например, в учебнике [4, стр.52-53].

Определение 1.

Движение твердого тела называется плоским, если существует орт e, неподвижный в абсолютном пространстве, такой, что на этом движении для любой точки P твердого тела при всех t J выполняется тождество где p — некоторая постоянная (быть может, своя для каждой точки P ).

В тождестве (3.14.1) rp (t ) — это вектор-функция, которой задается движение точки P относительно точки отсчета O на промежутке времени J.

Если обозначим x p (t ), y p (t ), z p (t ) координаты точки P в некоторый момент времени t J в абсолютной системе координат Oxyz, а e x, e y, e z — направляющие косинусы орта e в этой же системе, то тождество (3.14.1) запишется в виде следующего равенства, которое справедливо в любой момент времени t на движениях точки P :

Из (3.14.2) можем сделать следующие выводы.

1. Каждая точка P твердого тела движется в одной и той же плоскости, причем плоскости движения всех точек параллельны.

2. Скорость V и ускорение W этой точки находятся в той же плоскости.

постоянным и равно модулю величины P, ибо p (rp, e ) rp cos, где — угол между вектором rp и ортом e.

В качестве абсолютной системы координат возьмем систему Oxyz, в которой орт k совпадает с ортом e, т.е. k e (см. рис.3.14.1). Точка O может быть любой фиксированной в абсолютном пространстве.

Представим вектор rP (t ) в виде суммы — точка, являющаяся ортогональной проекцией точки P на плосЗдесь P кость Oxy. Легко видеть, что в равенстве (3.14.3) величина p задает расстояние полюса O до плоскости, в которой происходит движение точки P.

Пусть Q — любая другая точка твердого тела, не совпадающая с точкой P, и rq (t ) — положение точки Q в момент времени t. Обозначим Q ортогональную проекцию точки Q на плоскость Oxy, а rq ' (t ) — положение точки Q. Можем записать где q — постоянная, определяющая плоскость, в которой движется точка Q. Она задается в соответствии с формулой (3.14.1), в которой вместо rp (t ) следует подставить rq (t ), а вместо p — постоянную q.

На основе формул (3.14.3) и (3.14.4) легко доказываются следующие утверждения.

На любом плоском движении твердого тела расстояние между точками P и Q остается постоянным.

Доказательство.

Поскольку для точек P и Q твердого тела справедливо уравнение связи то, подставляя в него (3.14.3) и (3.14.4), получим Второе слагаемое равно нулю, так как (rp (t ), e ) 0, (rq ' (t ), e ) 0. Поскольку q p const, из (3.14.5) устанавливаем, что Следствие 1 доказано.

Если точки P и Q в какой-либо момент времени t находятся на прямой, параллельной орту e, то и при всех t они будут находиться на прямой, параллельной орту e.

Иначе говоря, если положения точек P и Q в некоторый момент времени t совпадают, то и для всех t t при плоском движении твердого тела их положения будут совпадать.

Доказательство.

Из условия следствия 2 в момент времени t имеем:

ибо P и Q совпадают в момент t. А тогда согласно следствию 1 будет выполняться при всех t, т.е. rq (t ) rp (t ). Это означает, что точки P и Q совпадают при всех t.

Следствие 2 доказано.

Если точки P и Q твердого тела в некоторый момент времени t находятся на прямой, параллельной орту e, то:

перемещение точки P за время t t0 совпадает с перемещением точки Q за скорости точек P и Q совпадают по величине и направлению со скоростью ускорения точек P и Q совпадают с ускорением точки P.

Доказательство.

Поскольку точки P и Q находятся на прямой, параллельной орту e в момент времени t, то согласно следствию 2 точки P и Q совпадают в любой момент. Поэтому в соотношениях (3.14.3) и (3.14.4) равенство (3.14.4) можно записать так:

А тогда из (3.14.3) и (3.14.6) следуют все утверждения следствия 3. Действительно, по определению перемещения rp (t, t 0 ) точки P за время t t0 имеем Подставляя равенство (3.14.3), записанное для моментов времени t и t0, получим Аналогично для точек Q и Q с учетом (3.14.4) будем иметь прямой, параллельной орту e. Поэтому, согласно следствию 2, положения точек P и Q совпадают при всех t, т.е.

Утверждение 1) доказано.

Справедливость утверждений 2) и 3) будет установлена, если продифференцируем дважды по t соотношения (3.14.3) и (3.14.6). Будем иметь Следствие 3 доказано.

2. Связь движения плоской фигуры и твердого тела Геометрическое место точек, образованное ортогональными проекциями всех точек твердого тела в некоторый момент времени t на плоскость, ортогональную e и проходящую через заданную точку отсчета O, называется плоской фигурой твердого тела.

На рисунке 3.14.2 приведен пример плоской фигуры твердого тела, являющегося эллипсоидом, одна из канонических осей которого коллинеарна орту e. Плоская фигура совпадает с сечением цилиндра плоскостью.

Пусть Oxyz — декартовая прямоугольная система координат, в которой полюс O — заданная точка отсчета, Oz — нормаль к плоскости фигуры. Тогда плоская фигура — это совокупность точек, каждая из которых совершает движение в плоскости Oxy. При всех t плоскость фигуры совпадает с плоскостью Oxy.

Из следствия 1 заключаем, что при любых плоских движениях твердого тела взаимные расстояния между точками плоской фигуры остаются неизменными.

Точку P плоской фигуры, полученную проектированием точки P твердого тела на плоскость, будем называть образом точки P.

- 181 Очевидно, любая точка P плоской фигуры является образом всех точек твердого тела, лежащих на прямой, параллельной орту e и проходящей через точку P.

Согласно следствию 3, для любой точки P твердого тела можем записать:

Из отмеченных свойств можем сделать следующие два вывода:

– движение и кинематические характеристики любой точки P твердого тела однозначно определяются через движение и кинематические характеристики той точки плоской фигуры, которая является образом точки P ;

– движение плоской фигуры можно рассматривать как движение жесткой механической системы, которая является плоским твердым телом, или как движение точки.

Плоская фигура является точкой в том случае, когда заданное твердое тело состоит из точек, находящихся на одной прямой, расположенной параллельно орту e.

Иначе говоря, моделью твердого тела является тонкий стержень, который совершает движение, перемещаясь параллельно самому себе и неподвижному орту e.

3. Задание движения плоской фигуры. Кинематические характеристики Для описания движения плоской фигуры введем следующие обозначения:

Oxyz — абсолютная система координат, в которой полюс O находится в плоскости движения фигуры, плоскость Oxy совпадает с плоскостью фигуры (с плоскостью ее движения), ось Oz — это нормаль к плоскости движения фигуры;

r — радиус-вектор точки P плоской фигуры;

V, W — скорость и ускорение точки P.

В соответствии со свойствами движения плоской фигуры для любых двух точек P и P фигуры можем записать:

Тождества (3.14.8) являются следствием тождеств (3.14.7). Поэтому тождества (3.14.7) можно расценивать как уравнения связей для точек плоской фигуры.

Введем связанную систему координат Oxy z плоской фигуры следующим образом (см. рис. 3.14.3):

– O — это любая точка, фиксированная в плоскости фигуры в некоторый момент времени t и перемещающаяся вместе с плоской фигурой так, что в процессе движения расстояние от нее до всех других точек фигуры остаются постоянными;

– Oz — прямая, ортогональная плоскости фигуры; базисный орт k этой прямой в некоторый момент времени t совпадает с ортом k ; здесь сразу же заметим, что поскольку плоскость фигуры во все время движения совпадает с плоскостью Oxy, то при всех t на любых движениях плоской фигуры будет выполняться тождество – оси Ox и Oy выбираем в плоскости фигуры взаимно ортогональными; направляющие орты этих осей i и j образуют с ортом k правую тройку векторов.

Поскольку на движениях плоской фигуры выполняется тождество (3.14.9), то согласно теореме, доказанной в §12 при рассмотрении вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси, матрица ориентации A плоской фигуры может быть задана одним углом. Через этот угол матрица A записывается в виде:

Вектор мгновенной угловой скорости фигуры при этом связан с производной по времени от угла следующей зависимостью Обозначим через положение точки P фигуры относительно полюса O в момент времени t. Тогда ее движение относительно точки отсчета O задается векторфункцией (t ). Очевидно, вектор-функция (t ) связана с движением r (t ) точки P в абсолютном пространстве относительно полюса O следующим соотношением Здесь rO (t ) — движение полюса O связанной системы координат относительно точки отсчета O. Из уравнений связей (3.14.7) следуют тождества На соотношения (3.14.12) можем смотреть как на ограничения движений точек фигуры, которые вытекают из определения плоской фигуры и из следующих ее свойств:

– фигура является плоским абсолютно твердым телом;

– она совершает движение по плоскости, совпадающей с плоскостью фигуры.

Поэтому векторную форму задания движения плоской фигуры можем записать, исходя из векторной формы задания движения, построенной для произвольного абсолютно твердого тела (см. (3.2.1) в §2). Затем дополнить уравнения, указанные в этой форме, связями (3.14.12), справедливыми для плоской фигуры.

С учетом обозначений, принятых в данном параграфе, уравнения (3.2.1) в § применительно к плоской фигуре примут вид где В них x, y обозначают координаты точки P в связанной системе (постоянные величины), а i (t ) и j(t ) — вектор-функции, описывающие ориентацию плоской фигуры.

Таким образом, соотношения (3.14.13) — это векторная форма задания движения плоской фигуры в абсолютном пространстве.

Координатный способ задания движения плоской фигуры получим, если (3.14.13) запишем в проекциях на абсолютные оси. Тогда с учетом (3.14.10) — (3.14.12) будем иметь:

Здесь xO ' xO ' (t ), yO ' yO ' (t ) — движение полюса связанной системы координат, заданное в координатной форме, а (t ) — угловое движение плоской фигуры.

Из (3.14.13), (3.14.14) следует, что если плоская фигура не является точкой, то она имеет три степени свободы положения (для описания любого ее движения необходимо знать законы изменения трех независимых координат: xO ', y O ', ).

Если плоская фигура — это точка, то для описания любого ее движения необходимо знать законы изменения двух координат: xO ', y O '. Следовательно, она имеет две степени свободы положения.

Распределение скоростей и ускорений точек плоской фигуры определим из формул Эйлера и Ривальса с учетом соотношения (3.14.11):

В результате получим причем, в этих соотношениях имеют место тождества 4. Мгновенный центр скоростей. Подвижная и неподвижная центроиды Определение 4.

Точка C плоскости Oxy плоской фигуры, которая в момент времени t имеет скорость, равную нулю, называется мгновенным центром скоростей (МЦС).

Справедлива следующая теорема.

Если движение плоской фигуры не является мгновенно поступательным или мгновенным покоем, то:

1) в плоскости Oxy плоской фигуры существует единственная точка C, скорость которой в заданный момент времени t равна нулю;

2) все другие точки плоской фигуры имеют такие скорости, какими они были бы при мгновенном вращении вокруг этой точки C.

Докажем первое утверждение. Будем смотреть на формулу Эйлера для скоростей точек плоской фигуры как на уравнение, задающее неявно вектор-функцию в зависимости от значения скорости V. Решив это уравнение относительно, найдем тем самым положения всех точек, имеющих одинаковые скорости. Затем, положив V 0, установим все точки, имеющие нулевую скорость.

Согласно формуле Эйлера, указанное уравнение имеет вид Перенесем VO в левую часть равенства и умножим обе части равенства векторно на орт k слева. Получим Поскольку (k, ) 0, то отсюда находим Согласно условию теоремы имеем (t ) 0. Поэтому при любом t справедливо равенство Из (3.14.15) заключаем, что если (t ) 0, то между положением точки плоской фигуры и ее скоростью выполняется взаимно однозначное соответствие.

Положим в (3.14.15) V 0. Этим самым найдем положение c той единственной точки C плоской фигуры, которая имеет скорость Vc 0 в момент времени t. Оно будет определяться по формуле:

Первое утверждение теоремы 1 доказано. Справедливость утверждения 2) будет установлена, если в формуле Эйлера в качестве точки O возьмем точку C. В результате она примет вид где c — радиус-вектор точки P относительно точки C. Теорема доказана.

Геометрическое место положений МЦС при всех t в абсолютном пространстве называется неподвижной центроидой.

Геометрическое место положений МЦС при всех t в подвижном пространстве, связанном с плоской фигурой, называется подвижной центроидой.

Выведем уравнения подвижной и неподвижной центроиды.

Уравнение (3.14.16) задает положение МЦС относительно подвижного полюса O в векторной форме. В этом уравнении c OC.

Проектируя его на подвижные оси, получим выражения для координат МЦС в подвижном пространстве в зависимости от времени t. Построенные таким способом выражения будут задавать уравнения подвижной центроиды в параметрической форме.

В них время t выступает как переменный параметр. Итак, умножая (3.14.16) скалярно на i и на j, получим Если учесть, что проекции скорости VO полюса подвижной системы на оси Ox, Oy выражаются через угол (t ) и проекции вектора VO (t ) на абсолютные оси по формулам то окончательно получим параметрическое уравнение подвижной центроиды:

Здесь VO 'x (t ), VO ' y (t ), (t ) — функции, определяемые из уравнений движения плоской фигуры.

Для вывода уравнений неподвижной центроиды запишем векторное соотношение, задающее положение МЦС rc OC относительно полюса абсолютной системы координат с его положением относительно подвижного полюса O.

Радиус-вектор rc связан с положением МЦС в подвижной системе (с вектором c OC ) соотношением где rO OО — положение полюса O подвижной системы. Из него, учитывая (3.14.16), находим Обозначим x c, y c — координаты МЦС в абсолютной системе. Умножим (3.14.17) скалярно на i и j. Получим уравнения неподвижной центроиды, записанные в параметрической форме:

Здесь xO ' (t ), yO ' (t ), (t ), VO ' y (t ), VO 'x (t ) — функции, определяемые из уравнений движения плоской фигуры. Время t играет роль внутреннего параметра кривой.

Справедлива следующая теорема Пуансо, которую приведем без доказательства.

Теорема 2 (Пуансо).

Подвижная и неподвижная центроиды в любой момент времени t касаются друг друга в точке, совпадающей в этот момент времени t с мгновенным центром скоростей.

Подвижная центроида при изменении t катится по неподвижной центроиде без проскальзывания.

5.1. Построение МЦС по скорости VA одной точки и по угловой скорости Пусть известна угловая скорость плоской фигуры и скорость одной из ее точек в некоторый момент времени. Точку обозначим A, а ее скорость VA. Покажем, как построить МЦС в такой ситуации.

По формуле (3.14.16) (принимая за O точку A ) можем записать Отсюда следует:

1) вектор c ортогонален VA ;

Из данных свойств получаем следующее правило построения МЦС (см. рис.3.14.4):

1) через начало вектора VA (через точку A ) проводим прямую, ортогональную 3) если 0, то поворачиваем вектор скорости VA вокруг точки A на угол против часовой стрелки, и вдоль построенной прямой откладываем от точки A отрезок длиной d 0 в направлении повернутого вектора VA.

В результате такого построения получаем точку C, совпадающую с концом отложенного отрезка. Эта точка является искомым МЦС;

4) если 0, то поворот вектора скорости VA вокруг точки A на угол делаем по часовой стрелке, и строим МЦС по правилу, указанному во второй части третьего пункта, а именно:

направлении повернутого вектора VA. Искомый МЦС, как и в ситуации 0, будет совпадать с концом отложенного отрезка.

5.2. Построение МЦС по скоростям, заданным в двух точках Пусть заданы точка A и ее скорость VA, а также точка B и ее скорость VB. Надо построить (геометрически) точку C (МЦС).

В соответствии с формулой (3.14.16) можем записать Из этих соотношений вытекает:

вектор AC ортогонален VA, вектор BC ортогонален VB.

Рассмотрим три ситуации, представленные схематично на рисунках 3.14.5, 3.14.6, 3.14.7.

В ситуации а), изображенной на рисунке 3.14.5, скорости VA и VB коллинеарны и сонаправлены. Очевидно, в этом случае для существования МЦС необходимо, чтобы VA VB. В противном случае будем иметь 0, т.е. плоская фигура совершает поступательное движение.

Согласно следствию 2 из формулы Эйлера, в ситуации а) прямая AB должна быть ортогональна скоростям VA и VB. Поскольку МЦС находится на прямой, ортогональной скоростям VA и VB, то он будет находиться на прямой AB.

Из (3.14.18) следует, что AC и BC сонаправлены, поскольку векторы VA и VB сонаправлены. Следовательно, точка C находится на прямой, соединяющей точки A и B, и не принадлежит отрезку AB.

Соединим концы векторов VA и VB прямой и продолжим ее до пересечения с прямой AB. Из треугольников AAC и BBC следует, что Данное отношение совпадает с отношением (3.14.19). Следовательно, точка C — это МЦС.

В ситуации б), изображенной на рисунке 3.14.6, скорости VA и VB коллинеарны и противоположно направлены. В таком случае согласно тому же следствию 2 из формулы Эйлера вытекает, что AB VA и AB VB.

Из (3.14.18) заключаем:

МЦС находится между точками A и B, поскольку AC и BC противоположно направлены.

Соединим концы скоростей VA и VB (точки A и B ) прямой AB. Построенная прямая пересечет прямую AB в точке C. Из подобных треугольников AAC и BBC находим:

Это отношение совпадает с отношением (3.14.19). А потому точка C является мгновенным центром скоростей.

В ситуации в), изображенной на рисунке 3.14.7, скорости VA и VB не коллинеарны. Тогда точка C должна находиться на прямых, ортогональных скоростям VA и VB. Если через точку A и точку B проведем прямые, ортогональные VA и VB, то их пересечение даст единственную точку C.

Очевидно, построенная таким образом точка C совпадает с МЦС.

Данное утверждение следует из того факта, что МЦС должен находиться на указанных перпендикулярах, а также из теоремы существования и единственности МЦС.

Следует иметь в виду, что согласно следствию 1 из формулы Эйлера для заданных скоростей VA и VB должно выполняться равенство Поэтому прежде, чем делать построение МЦС, в ситуации в) следует проверить выполнение равенства проекций заданных скоростей VA и VB на прямую AB с направляющим вектором AB.

Если проекции не равны по величине или противоположны по направлению, то задача построения МЦС в ситуации в) не имеет решения, так как исходные данные некорректны.

Определение 6.

Точка Q плоскости Oxy плоской фигуры, имеющая ускорение, равное нулю в момент времени t, называется мгновенным центром ускорений (МЦУ).

(t ) 0, то в этот момент времени существует единственная точка Q плоской фигуры, ускорение которой равно нулю.

Согласно формуле Ривальса, для любой точки P плоской фигуры можем записать:

Считая W известным, найдем из (3.14.20) зависимость от вектора W. Для этого умножим (3.14.20) векторно на орт k слева. Получим Соединяя с уравнением (3.14.20), приходим к системе векторных уравнений относительно и (k ) :

Из нее, умножая первое уравнение на 2, а второе на и складывая, получим Разрешая относительно, окончательно будем иметь Положим в правой части W 0 и тем самым найдем положение точки Q, которая будет иметь ускорение, равное нулю. Очевидно, такая точка единственная в силу однозначной зависимости от W. Ее положение определяется формулой:

Теорема доказана.

Если точку Q принять за полюс связанной системы в момент t, то формула Ривальса для ускорения W любой точки P плоской фигуры будет иметь вид:

где,, QP — радиус-вектор точки P плоской фигуры относительно точки Q. Из нее находим величину ускорения.

В этом пункте приводятся примеры использования теоретического материала, изложенного в третьей главе, для решения задач кинематики твердого тела. Задача посвящена движению твердого тела с неподвижной точкой. В задачах 2-4 рассматривается плоское движение твердого тела. В частности, в задаче 2 находятся уравнения центроид. Задачи 3,4 являются примерами вычисления скоростей точек твердого тела при 5. Соответствующий теоретический материал излагается в §13 (задача 1) и §14 (задачи 2-5).

Задача 1. Конус, вершина О которого неподвижна, катится по плоскости без скольжения (на рисунке 3.15.1 показано осевое сечение конуса вертикальной плоскостью). Высота конуса CO равна h, а угол при вершине равен 90о. Точка С, центр основания конуса, движется вокруг оси Oz с постоянной угловой скоростью z 2. Определить скорость конца В диаметра АВ, угловое ускорение конуса и ускорение точки Решение: При качении без скольжения мгновенной осью вращения является образующая ОА – линия соприкосновения поверхности конуса с неподвижной плоскостью Oxy – так как все точки ОА в данный момент имеют скорость, равную нулю. Поверхность конуса будет подвижным аксоидом, а горизонтальная плоскость – неподвижным.

WВ Wос где l – кратчайшее расстояние от мгновенной оси вращения до точки С. Так как модуль l h cos 45o, то z 2 const. Направлена угловая скорость, согласно векторному произведению, по оси Oy.

Рассмотрим точку В. Её скорость VB OB. Так как OB h / cos 45o h 2, то и коллинеарна оси Ox.

Определим теперь угловое ускорение конуса. Так как const, то вектор изменяется только по направлению, вращаясь вокруг вертикали Oz с угловой скоростью z. Тогда, согласно формуле, причем вектор совпадает по направлению с осью Ox. Замечая, что z, будем иметь:

После этого находим по теореме Ривальса, что WB Wвр Wос, где вектор Wвр OB направлен перпендикулярно к ОВ, а вектор Wос 2 OB перпендикулярен к ОА и направлен от В к О. По модулю Оба вектора лежат в плоскости сечения ОАВ и угол между ними равен 90о. Следовательно, Задача 2. Найти геометрически неподвижную и подвижную центроиды шатуна АВ (рис. 3.15.2), длина которого равна длине кривошипа:

Решение: Прежде всего, необходимо построить мгновенный центр скоростей Р для шатуна АВ. Точка Р – точка пересечения перпендикуляров к скоростям точек А и В шатуна. Скорость точки В направлена по горизонтали, скорость точки А направлена по касательной к её траектории, т.е. перпендикулярна кривошипу ОА. Следовательно, мгновенный центр скоростей – точка пересечения продолжения ОА и перпендикуляра к ОВ.

В качестве неподвижной системы координат выберем оси x и y с центром в точке О.

Принимая AOB и вычисляя координаты точки Р в системе Oxy, находим:

Исключая из этих уравнений, получаем траекторию мгновенного центра скоростей в неподвижной системе координат:

Следовательно, неподвижная центроида – окружность с центром в точке О и радиусом 2r.

За подвижную систему координат примем оси и с центром в точке А. Координаты точки Р в системе O Исключая из этих уравнений, получаем траекторию мгновенного центра скоростей в подвижной системе координат:

Следовательно, подвижная центроида – окружность с центром в точке А и радиусом r.

Задача 3. Стержень АВ совершает плоское движение. Скорость точки А образует угол 30o со стержнем и равна в данный момент по величине VA. Скорость точки В в этот же момент составляет угол 60o с продолжением стержня (рис.3.15.3 а). Определить величину скорости точки В, положение мгновенного центра скоростей, а также угловую скорость стержня, если его длина АВ =l. Найти также скорость точки D, середины стержня.

Способ 1. Воспользуемся для поиска скорости точки В формулой Эйлера. В качестве полюса выберем точку А. Тогда - 192 Согласно формуле (3.15.1) строим треугольник скоростей. Из произвольной точки откладываем в избранном масштабе скорость V A, известную по величине и направлению.

Из конца V A проводим прямую, параллельную VAB, т. е. перпендикулярную к стержню АВ. Величина вектора VAB неизвестна.

Воспользуемся тем, что известно направление скорости VB. Из начала вектора V A проводим прямую, параллельную направлению VB, до пересечения с прямой VAB.

Таким образом, получен замкнутый треугольник скоростей, стороны которого в избранном масштабе определяют скорость точки В и вращательную скорость точки В вокруг полюса А. В этом треугольнике известны одна сторона VA и все три угла (рис.3.15.3 б). Решая этот треугольник, находим Замечая, что определяем величину угловой скорости:

Скорость точки D середины стержня AB, может быть найдена при помощи формулы распределения скоростей Для построения треугольника скоростей (рис.3.15.3 в) из произвольной точки откладываем скорость V A. Из конца V A откладываем вектор, равный 1 / 2VAB. Соединяя начало вектора V A с концом вектора 1 / 2VAB, находим искомую скорость точки D. Величина скорости точки D легко определяется из треугольника скоростей. Две стороны этого треугольника равны по величине VA 1 / 2VAB, а угол между этими сторонами равен 60о.

Следовательно, этот треугольник равносторонний. Величина скорости точки D равна также VA.

- 193 Способ 2. Эту задачу можно решить и при помощи мгновенного центра скоростей. Для нахождения мгновенного центра скоростей стержня АВ построим перпендикуляры к скоростям точек А и В (рис.3.15.3 г). Пересечение этих прямых определяет положение мгновенного центра скоростей Р. В прямоугольном треугольнике АВР известны сторона АВ и два прилегающих угла BAP 60o, ABP 30o. Находим мгновенные радиусы AP и BP:

Величина угловой скорости стержня и, следовательно, величина скорости точки B Для определения скорости середины стержня, точки D, проведем мгновенный радиус PD. Из треугольника ADP следует, что AP =AD = l. Следовательно, треугольник равносторонний и DP = l. Тогда скорость точки D направлена перпендикулярно к мгновенному радиусу DP.

В этой задаче оба метода решения равноценны. Они одинаково быстро позволяют получить ответ на все вопросы, поставленные в задаче. Если бы требовалось найти лишь величину скорости точки B, то проще всего было бы применить теорему о равенстве проекций скоростей двух точек плоской фигуры на направление отрезка, соединяющего эти точки:

откуда Задача 4. Круглый цилиндр А обмотан тонкой нитью, конец которой B закреплен неподвижно. Цилиндр падает без начальной скорости, разматывая нить. Значение скорости оси цилиндра определяется формулой, где g – ускорение силы тяжести; y – расстояние, пройденное центром цилиндра, отсчитываемое от начального положения по вертикали. Радиус цилиндра равен r. Определить скорости точек обода цилиндра на горизонтальном и вертикальном диаметре.

Решение: Выбираем неподвижную систему координат с началом в точке О, где центр цилиндра находился в начале движения. Ось y направляем по вертикали вниз, ось ось, равная производной от координаты y по времени, будет Разделяя переменные, находим Интегрируя это дифференциальное уравнение, получаем Произвольная постоянная интегрирования С1 определяется по начальным данным: при t=0, y=0. Внося эти данные в последнее уравнение, находим С1=0. Следовательно, окончательный вид уравнения движения центра цилиндра Переходим к определению второго уравнения движения – зависимости угла поворота цилиндра от времени. Мгновенный центр скоростей цилиндра находится в точке D.

Следовательно, Внося в это уравнение полученное значение y, находим Но z d / dt, следовательно, Переменные разделены. Интегрируя, находим Произвольная постоянная С2 определяется начальными условиями движения:

Переходим к определению скоростей точек цилиндра. Мгновенный центр скоростей находится в точке D, где неподвижная часть нити BD соприкасается с цилиндром.

В этом месте скорости точек нити и цилиндра равны между собой и, следовательно, равны нулю. Скорости остальных точек пропорциональны расстояниям до мгновенного центра скоростей и перпендикулярны мгновенным радиусам. Для определения модулей этих скоростей будем учитывать уравнение (3.15.2). Модуль скорости точки E определится из пропорции Направление VE перпендикулярно к мгновенному радиусу DE, т.е. параллельно скорости точки А. Скорости точек C и H равны по модулю, так как они отстоят от точки D на одинаковых расстояниях DC DH r 2. Модули этих скоростей определяются из пропорции Учитывая уравнение (3.16.3), найдем скорости этих точек как функции времени:

Задача 5. Прямоугольник ABCD (рис.3.15.5) совершает плоское движение.

Ускорение точки А в данный момент равно wA 2см / c 2 и составляет угол 30о с прямой АВ. Ускорение точки В равно wB 6см / c 2 и образует угол 60о с прямой ВА. Длины сторон: АВ = 10 см, BС = 5 см. Определить мгновенную угловую скорость и мгновенное угловое ускорение прямоугольника, а также ускорение точки С.

Решение: Выбираем точку A за полюс. Тогда ускорение точки B, согласно формуле Ривальса В формуле (3.15.4) приняты обозначения: WBA k AB, WBA 2 AB.

Проектируем векторное равенство (3.15.4) на оси х и у (рис.3.15.5 а). В проекции на ось х имеем откуда Теперь найдем величину мгновенной угловой скорости фигуры:

Проектируя векторное равенство (*) на ось y, получаем Отсюда определяется вращательное ускорение точки В:

Далее, находим величину мгновенного углового ускорения фигуры:

Угловое ускорение фигуры направлено по оси z в отрицательную сторону.

Переходим к определению ускорения точки С. Согласно формуле распределения ускорений, выбирая точку В за полюс, имеем (рис.3.15.5 б):

Теперь легко найдется модуль ускорения точки C:

Направление WC определяется формулами 15.2. Вопросы для тестирования к разделу «Глава 3»

Что такое связанная система координат?

Какими свойствами обладают жесткие системы?

Перечислите способы задания движения твердого тела.

Каков геометрический смысл матрицы ориентации?

Как вводятся углы Эйлера?

Что такое самолетные и корабельные углы?

Сколько степеней cвободы положения имеет свободное твердое тело?

Что называется мгновенной угловой скоростью подвижной системы координат?

Как связана угловая скорость подвижной системы координат со скоростью изменения направления базиса (формула Эйлера)?

10. Как определяется мгновенной угловое ускорение подвижной системы координат?

11. Сколько векторов мгновенной угловой скорости имеет твердое тело?

12. Приведите формулу Эйлера для скоростей точек твердого тела.

13. Что называется «мгновенным вращением твердого тела вокруг неподвижной 14. В каких мгновенных состояниях твердого тела скорости всех его точек одинаковы?

15. Какая формула позволяет вычислить ускорение любой точки твердого тела?

16. Какими свойствами обладает поступательное движение?

17. Как направлены вектора угловой скорости и углового ускорения при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси?

18.Дайте определение сферического движения твердого тела?

19.Что такое мгновенная ось вращения?

20. Что называется подвижным и неподвижным аксоидами?

21. Как определяется плоское движение твердого тела?

22. Что такое мгновенный центр скоростей и каковы геометрические способы его 23. Сформулируйте теорему Пуансо о центроидах.

24. Что называется мгновенным центром ускорений?

С абсолютным пространством свяжем систему отсчета Oa (см. рис.4.1.1).

Обозначим r Oa P — положение произвольной точки P относительно точки отсчета Oa ; i0, j0, k 0 — ортонормированный базис системы отсчета Oa ;,, — координаты точки P в этой системе. Тогда можем записать Пусть задано движение точки P в абсолютном пространстве с системой отсчета Oa по закону В пространстве Oa выберем другую декартовую прямоугольную систему координат с полюсом в точке O и ортонормированным базисом i, j, k. Положение точки P в ней обозначим OP, а её координаты — x, y, z. В этих обозначениях положение точки P в системе Oxyz задается следующим разложением по базисным векторам i, j, k :

Определение 1.

Будем говорить, что система координат Oxyz является подвижной системой координат в абсолютном пространстве Oa, если и (или) ее полюс O совершает движение в абсолютном пространстве, и (или) базис i, j, k изменяет свою ориентацию с течением времени.

- 198 Обозначим rO — положение точки O в системе Oa и A — матрицу перехода от системы координат Oxyz к системе Oa. Чтобы задать движение системы Oxyz, необходимо задать вектор-функцию rO (t ) и ортогональную матрицу A (t ), по которым в каждый момент времени t должны вычисляться положение полюса O и матрица ориентации A системы Oxyz :

Если координаты вектор-функции rO (t ) в системе Oa обозначить O (t ), O (t ), O (t ), то первое равенство в (4.1.3), задающее движение полюса O, можно записать в виде:

Если известно положение (4.1.2) точки P в подвижной системе Oxyz и задано движение (4.1.3) этой системы, то положение точки P в абсолютном пространстве можно считать также известным. Оно определяется по формулам преобразования координат.

Будем называть подвижным пространством, связанным с системой отсчета Oxyz, множество точек P, которые в этой системе отсчета сохраняют значения своих координат неизменными с течением времени t.

Иначе говоря, согласно определению 2, точки подвижного пространства находятся в покое относительно системы отсчета Oxyz. Его можно интерпретировать как некоторое фиктивное твердое тело неограниченных размеров, для которого система Oxyz является связанной системой координат.

Движение точки P по отношению к абсолютной системе координат Oa называется абсолютным движением.

Абсолютное движение точки P задается вектор-функцией r (t ) и соотношением (4.1.1):

Определение 4.

Движение точки P по отношению к подвижной системе координат Oxyz называется относительным движением.

Движение точки P в подвижном пространстве Oxyz будем определять дважды непрерывно дифференцируемой вектор-функцией r (t ), которая в каждый момент времени t задает положение точки P в системе координат Oxyz. А это значит, что в каждый момент времени t имеет место равенство:

где OP — положение точки P в системе Oxyz, имеющее разложение по базису i, j, k данной системы в виде (4.1.2).

Если xr (t ), yr (t ), zr (t ) — координаты вектор-функции r (t ) в системе Oxyz, то равенство (4.1.5) примет вид:

- 199 Таким образом, относительное движение задается вектор-функцией r (t ) и равенствами (4.1.5) или (4.1.6), в которых обозначает положение точки P в подвижном пространстве, имеющем систему отсчета Oxyz. Индекс r у функции r (t ) выделяет функцию r (t ) в классе дважды непрерывно дифференцируемых векторных функций как функцию, задающую определенное относительное движение точки.

Определение 5.

Переносным движением пространства будем называть абсолютное движение всех точек подвижного пространства, связанного с системой отсчета Oxyz, совершающей движение в абсолютном пространстве с системой отсчета Oa.

Иначе говоря, переносное движение пространства — это движение фиктивного твердого тела в абсолютном пространстве.

Пусть P — произвольная точка фиктивного твердого тела, и ее положение задается вектором OP в системе Oxyz и вектором r Oa P в системе Oa. Тогда движение точки P в абсолютном пространстве определяется равенством Если обозначить правую часть (4.1.7) векторной функцией re (t, ), зависящей от времени t и положения точки P, то (4.1.7) перепишется в виде Очевидно, соотношение (4.1.9), рассматриваемое при всевозможных значениях векторов с постоянными координатами в системе Oxyz, задает семейство движений в абсолютном пространстве, зависящее от векторов. Согласно определению 5 это семейство называется переносным движением пространства в задаче о сложном движении точки.

Если фиксировать какое-либо одно значение в системе отсчета Oxyz, то вектор-функция re (t, ) выделяет из семейства (4.1.9) движение в абсолютном пространстве той точки P, которая занимает неизменное положение OP в подвижном пространстве. Поэтому ее движение и кинематические характеристики определяются по тем методам и формулам, которые разработаны в кинематике твердого тела и жестких систем.

Определение 6.

Переносным движением точки P называется абсолютное движение точки P фиктивного твердого тела, с которой по своему положению в момент времени t совпадает точка P.

Из определения 6 вытекает, что переносное движение точки P задается равенствами (4.1.8)-(4.1.9), в которых следует положить, где OP — фиксированное в момент времени t положение точки P в системе отсчета Oxyz. Иначе говоря, переносное движение точки P определяется по формуле определяется положение точки P в абсолютном пространстве при ее переносном движением.

Определение 7.

Абсолютное движение точки P, задаваемое ее переносным и относительным движением, называется сложным движением этой точки.

Основная задача кинематики сложного движения:

– установить связь между абсолютным движением точки и ее движениями переносным и относительным;

– установить связь между кинематическими характеристиками указанных движений точки.

Движения переносное и относительное называются составляющими сложного движения материальной точки.

2. Связь между составляющими движениями в сложном движении Найдем связь между абсолютным, переносным и относительным движениями материальной точки.

Пусть в фиксированный момент времени t точка P занимает в абсолютном пространстве положение r r (t ). Согласно определению ее переносного движения в этот момент времени точка P по положению совпадает с той точкой P фиктивного твердого тела, которая занимает в абсолютном пространстве положение r Oa P, вычисляемое по формуле (4.1.10) переносного движения В этой формуле OP — положение точки P в системе Oxyz, совпадающее в момент времени t с положением OP точки P.

Из совпадения в момент времени t положений r Oa P и r Oa P в абсолютном пространстве точек P и P следует равенство Согласно определению относительного движения положение OP точки P в системе Oxyz в момент времени t определяется по формуле Подставляя (4.1.12) в (4.1.11), приходим к формуле связи абсолютного движения точки и составляющих движений Этот результат сформулируем в виде теоремы.

Теорема.

Абсолютное движение r (t ) точки P является суперпозицией её переносного движения re (t, ) и относительного движения r (t ).

Данная теорема называется теоремой связи абсолютного движения и составляющих движений в сложном движении точки.

определяется по формуле (4.1.10), то (4.1.13) принимает вид §2. Связь кинематических характеристик в сложном движении точки 1. Понятие кинематических характеристик составляющих движений Определение 1.

Абсолютной скоростью точки P называется вектор Абсолютным ускорением точки P называется вектор Определение 2.

Относительной скоростью точки P называется вектор Относительным ускорением точки P называется вектор В (4.2.3) и (4.2.4) оператор обозначает относительную производную вектора, заданного своими координатами в подвижных осях (производная вектора, заданного проекциями на подвижные оси). По определению такой производной (условной производной) осуществляется дифференцирование по времени только координат вектора, а базисные векторы, хотя они и меняются по времени, не дифференцируются.

Определение 3.

Переносной скоростью Ve и переносным ускорением We точки P в момент времени t называются абсолютные скорость и ускорение точки P фиктивного твердого тела, положение которой в этот момент совпадает с положением точки P.

Определение 4.

Переносной мгновенной угловой скоростью e и переносным мгновенным угловым ускорением e называются мгновенная угловая скорость и мгновенное угловое ускорение подвижной системы координат Oxyz относительно абсолютного пространства.

Из определения 4 и определения вектора мгновенной угловой скорости подвижной системы координат (см. гл.3, §8) следует Вектор e является решением уравнений Эйлера i (t ), j (t ), k (t ) базиса системы Oxyz в фиксированный момент времени t.

Вектор e мгновенного углового ускорения переносного движения связан с e зависимостью Выведем формулы для переносной скорости Ve (t ) и переносного ускорения We точки P.

В соответствии с определением 3 переносная скорость Ve (t ) точки P в момент времени t совпадает с абсолютной скоростью V p (t ) той точки P фиктивного твердого тела, которая в этот момент совпадает по своему положению с точкой P.

Абсолютная скорость V p (t ) любой точки P твердого тела задается формулой Эйлера где OP — положение точки P в системе Oxyz ; VО (t ) — абсолютная скорость полюса O ; (t ) — вектор мгновенной угловой скорости фиктивного твердого тела.

Поскольку по определению фиктивного твердого тела система Oxyz является для него связанной системой координат, то вектор угловой скорости (t ) фиктивного твердого тела совпадает с вектором угловой скорости этой системы. Вектор угловой скорости системы Oxyz, согласно определению 4, является вектором переносной мгновенной угловой скорости e (t ). Следовательно, (t ) e (t ).

Кроме того, согласно определению 3, положение OP точки P совпадает в момент времени t с положением точки P, которое, в свою очередь, на относительном движении совпадает с r (t ).

Поэтому, подставляя (t ) e (t ) и OP r (t ) в выражение для скорости V p (t ) и учитывая, что согласно определению 3 переносная скорость Ve (t ) точки P совпадает со скоростью V p (t ) точки P, окончательно находим Действуя аналогично, по определению 3 получим выражение для переносного ускорения We точки P, используя формулу Ривальса для ускорения точек твердого тела Здесь WО (t ) 2О О — абсолютное ускорение точки O ; e — вектор мгновенной угловой скорости переносного движения; e — вектор мгновенного углового ускорения подвижной системы координат Oxyz, определяемый по вектору e по полюса O подвижной системы, заданный проекциями на подвижные оси.

2. Дифференцирование вектора, заданного в проекциях на подвижные оси Выведем формулу для дифференцирования любого вектора, заданного своими проекциями на подвижные оси.

Итак, пусть вектор a (t ) задается в проекциях на подвижные оси:

где i (t ), j (t ), k (t ) — орты подвижной системы координат, ax (t ), a y (t ), az (t ) — координаты вектора a (t ) в этой системе координат. Дифференцируя по t обе части равенства, получим По определению относительной производной можем записать Согласно формулам (4.2.6) Эйлера будем иметь Поэтому, подставляя в правую часть равенства (4.2.10) полученные выражения для сумм векторов, окончательно находим:

Формула (4.2.11) устанавливает правило дифференцирования по времени любого вектора, заданного в проекциях на подвижные оси.

Следующая теорема называется теоремой о сложении скоростей. Докажем ее.

Абсолютная скорость точки P в сложном движении равна сумме переносной скорости точки P и ее относительной скорости, т.е. справедливо равенство Доказательство.

Как показано в п.2§1, положение r (t ) точки P в абсолютном пространстве в момент времени t можем представить в виде суммы (см. рис. 4.2.1) где rO (t ) — положение в абсолютном пространстве полюса O подвижной системы Oxyz, задаваемое в момент времени t проекциями на неподвижные оси; (t ) — положение точки P в момент времени t относительно полюса O, задаваемое проекциями на подвижные оси.

Дифференцируем равенство (4.2.13) по времени t :

Согласно (4.1.6) из §1 вектор-функция (t ) задается в проекциях на подвижные оси, так как (t ) r (t ). Применяя к вектору (t ) формулу (4.2.11), получим В правой части этого равенства имеем:

– в соответствии с определением 1 из §2, VО — это абсолютная скорость точки O (полюса подвижной системы);

– в соответствии с определением 2 из §2, – согласно формуле (4.2.8), VО e r Ve (t ) — переносная скорость точки P.

Заменяя в правой части (4.2.14) указанные выражения на Vr и Ve, придем к равенству (4.2.12). Теорема доказана.

Докажем следующую теорему, которая называется теоремой о сложении ускорений.

Теорема Кориолиса.

Абсолютное ускорение точки в сложном движении равно сумме переносного We, относительного Wr и кориолисова Wk ускорений, где Доказательство.

Дифференцируя (4.2.12), получим В этих преобразованиях использовали:

– формулу (4.2.8) для переносной скорости точки P ;

– выражение (4.2.3) для относительной скорости точки P ;

– применительно к векторам r и Vr формулу (4.2.11) дифференцирования вектора, заданного своими проекциями на подвижные оси А также применили формулы:

– (4.2.2) для абсолютного ускорения Wa точки P ;

– (4.2.9) для переносного ускорения We ;

– (4.2.4) для относительного ускорения Wr ;

– (4.2.15) для кориолисова ускорения Wk.

Теорема доказана.

1. Постановка задачи о сложном движении твердого тела Будем говорить, что тело совершает сложное движение, если оно движется в пространстве, которое, в свою очередь, движется, т.е. является подвижным пространством.

Определение 1.

Движение твердого тела относительно подвижного пространства и движение подвижного пространства относительно абсолютного называются составляющими сложного движения твердого тела.

Подвижное пространство (в котором движется твердое тело) может совершать движение в другом подвижном пространстве, т.е. в пространстве, движущемся в абсолютном. Тогда также говорят, что это дополнительное подвижное пространство является составляющим движением сложного движения. Очевидно, в общем случае можем говорить, что твердое тело совершает сложное движение с n составляющими движениями.

Основными задачами кинематики сложного движения является задача установления связи между абсолютным движением твердого тела и составляющими движениями, а также задача установления связи между кинематическими характеристиками составляющих движений и абсолютного движения твердого тела.

Будем рассматривать решение указанных задач в случае n 2. Результаты решения задач для n 2 легко распространяются на случай n 2.

- 206 Прежде чем приступить к решению поставленных задач, введем понятия мгновенной угловой скорости и мгновенного углового ускорения переносного и относительного движения твердого тела. Для этого сначала введем обозначения (см. рис.4.3.1):

– Oa — абсолютная система координат с полюсом в точке Oa – Oxyz — подвижная система координат с полюсом в точке O – Cxyz — связанная с твердым телом система координат с полюсом в точке C – A1 (t ) — матрица ориентации подвижной системы Oxyz в абсолютном пространстве, иначе, матрица перехода от Oxyz к Oa ; A1 (t ) a) (t ),, 1,2,3 ;

– A 2 (t ) — матрица ориентации твердого тела в подвижном пространстве Oxyz, иначе, матрица перехода от Cxyz к Oxyz ; A2 (t ) a) (t ), , 1,2,3.

Пусть P — произвольно выбранная точка твердого тела. Введем обозначения для следующих векторов:

Здесь r О — положение полюса O подвижной системы Oxyz относительно точки отсчета Oa, выбранной в абсолютном пространстве; оно задается абсолютными rc — положение полюса C связанной с твердым телом системы координат относительно точки отсчета Oa ; задается абсолютными координатами c,c, c ;

— положение точки P твердого тела в связанной системе Cxyz ; задается r — положение точки P твердого тела в подвижном пространстве Oxyz ; задается координатами x, y, z ;

r — положение точки P твердого тела относительно точки отсчета Oa в абсолютном пространстве; задается абсолютными координатами,,.

Приступим теперь к решению первой задачи кинематики сложного движения твердого тела — установим связь между его абсолютным движением и составляющими движениями. Для этого воспользуемся теоремой связи абсолютного движения и составляющих движений материальной точки, доказанной в §1, п.2.

Каждая точка P твердого тела совершает сложное движение. В соответствии с указанной теоремой ее абсолютное движение r (t ) связано с переносным re (t, ) и относительным r (t ) движениями по формуле (4.1.13) из §1, п. В задаче о сложном движении твердого тела переносное движение точки P определяется функцией Здесь r OP – положение точки P в подвижном пространстве Oxyz, которое при построении функции re (t, r ) условно считается постоянным. Относительное движение точки описывается функцией определяемой из формулы задания движения твердого тела в подвижной системе координат Oxyz. В ней CP – положение точки P в связанной системе Cxyz. Оно является неизменным в этой системе.

Суперпозиция функций re (t, r ) и r r (t, ), задающих переносное и относительное движения точки P, с одной стороны, приводит к соотношению С другой стороны, согласно указанной теореме, она определяет связь абсолютного движения и составляющих движений точки P.

Поскольку полученное соотношение (4.3.1) справедливо для любой точки твердого тела, то этим установлена связь абсолютного и составляющих движений твердого тела.

Итак, доказали следующий результат:

Формула связи абсолютного движения с составляющими движениями твердого тела в его сложном движении имеет вид 3.1. Понятия переносной угловой скорости и переносного углового Дадим понятия векторов мгновенной угловой скорости и мгновенного углового ускорения твердого тела в его переносном движении.

Переносной мгновенной угловой скоростью 1 и переносным мгновенным угловым ускорением 1 твердого тела в его сложном движении называются соответственно вектор мгновенной угловой скорости и вектор мгновенного углового ускорения подвижной системы координат Oxyz относительно абсолютного пространства.

Сопоставляя данное определение 2 с определением 4 из §2 для векторов e и e, видим, что k k (t ) системы Oxyz в абсолютном пространстве в любой момент времени t соотношением (4.2.5) § В (4.3.2) вектор-функции i i (t ), j j (t ), k k (t ) задаются своими проекциями на оси абсолютной системы координат, которые совпадают в каждый момент t с элементами матрицы A1 (t ), соответственно: проекции вектор-функции i (t ) совпадают с элементами первого столбца, j (t ) — второго, k (t ) — третьего столбца. Поэтому можем записать цированием по времени t соотношений (4.3.3) момент времени t совпадают с элементами соответствующих столбцов матрицы A1 (t ) :

Вектор 1 определяется либо дифференцированием вектора 1, т.е. 1 1, либо по формуле мент времени t получается дифференцированием по t соотношений (4.3.4). Таким образом, будем иметь 3.2. Понятия относительной угловой скорости и относительного углового Дадим понятия векторов мгновенной угловой скорости и мгновенного углового ускорения твердого тела в его относительном движении.

Определение 3.

Вектором мгновенной угловой скорости 2 и вектором мгновенного углового ускорения 2 относительного движения твердого тела называются, соответственно, вектор мгновенной угловой скорости и вектор мгновенного углового ускорения твердого тела при его движении относительно подвижной системы координат Oxyz, условно принимаемой неподвижной.

Из данного определения следует, что Здесь и 2 означают условные производные первого и второго порядка от вектор-функций i (t ), j (t ), k (t ), заданных своими проекциями на оси подвижной системы Oxyz через элементы матрицы A 2 (t ) ориентации твердого тела в подвижном пространстве. При таком дифференцировании базис i, j, k системы Oxyz условно - 210 принимается неподвижным. Легко заметить, что выражения (4.3.7) и (4.3.8) для векторов 2 и 2 получаются из формул (4.3.2) и (4.3.5) путем замены в правых частях равенств (4.3.2) и (4.3.5):

– подвижного базиса i, j, k переносного движения — на базис связанной – дифференцирования в абсолютной системе — на условное дифференциdt Поскольку векторы i, j, k в проекциях на базис i, j, k «условно неподвижной» системы координат Oxyz в момент времени t задаются элементами соответствующих столбцов матрицы A 2 (t ) перехода от связанной системы к системе Oxyz, то можем записать В (4.3.9) векторы i, j, k, вообще говоря, зависят от времени t. Однако в определении относительного движения твердого тела зависимость их от времени не учитывается. Иначе говоря, при описании движения твердого тела по отношению к системе отсчета Oxyz полагается, что такое движение тело совершает в пространстве Oxyz, условно принятом за абсолютное пространство.

Тем самым относительное движение тела определяется относительным движением полюса его связанной системы и движением базиса i (t ), j (t ), k (t ) этой системы относительно базиса i, j, k, условно принятого неподвижным.

цированием по времени t соотношений (4.3.9), причем дифференцируются только направляющие косинусы a),, 1,2,3, а базис i, j, k не дифференцируется:

Таким же дифференцированием равенств (4.3.10) строятся разложения векторов Очевидно, для векторов 1 и 2 в любой момент времени t справедливы формулы Эйлера Соотношения (4.3.11) следуют из определения вектора мгновенной угловой скорости подвижной системы координат Oxyz относительно абсолютного пространства Oa (см. определение 4 в §2).

Формулы (4.3.12) вытекают из определения относительной производной от векторов i, j, k, заданных своими проекциями на оси подвижной системы Oxyz, и из определения 3 вектора мгновенной угловой скорости относительно системы Oxyz (условно принятой неподвижной).

4.1. Формула для скоростей точек твердого тела в сложном движении Пусть P — произвольная точка твердого тела. Она участвует в сложном движении. Одно движение (переносное) — это движение подвижной системы Oxyz. Другое движение — относительное (это движение точки P в подвижной системе Oxyz ). Поэтому можем применить теорему о сложении скоростей:

где Va — абсолютная скорость, Ve — переносная скорость, Vr — относительная скорость точки P.

По определению переносной скорости можем записать Поскольку VО 1 rc Vec — переносная скорость точки C, то переносная скорость Ve точки P представляется в виде По определению относительной скорости точки P согласно формуле Эйлера для скоростей точек твердого тела имеем где Vrc — относительная скорость полюса связанной системы Cxyz (скорость точки C относительно системы Oxyz ), 2 — вращательная скорость точки P относительно подвижной системы Oxyz.

Подставляя (4.3.14) и (4.3.15) в (4.3.13), придем к следующему выражению для скорости Va :

Поскольку Vес Vrc Vас — абсолютная скорость точки C, то окончательно получим Таким образом, доказали теорему.

Абсолютная скорость любой точки P твердого тела равна сумме абсолютной скорости полюса C связанной с телом системы координат и векторного произведения суммы мгновенных угловых скоростей составляющих движений на радиус-вектор точки P относительно полюса C.

Пусть — вектор мгновенной угловой скорости твердого тела относительно абсолютного пространства Oa. Справедливо следующее утверждение.

Вектор мгновенной угловой скорости твердого тела относительно абсолютного пространства в сложном движении равен векторной сумме мгновенных угловых скоростей i, i 1,2, составляющих движений Утверждение следствия 1 легко распространяется на случай n составляющих движений.

Если твердое тело участвует в n составляющих движениях, то формула (4.3.17) имеет вид:

Действительно, если равенство (4.3.17) будет доказано, то по индукции легко устанавливается справедливость формулы (4.3.18). Поэтому докажем равенство (4.3.17) (случай n 2 ).

По формуле Эйлера абсолютная скорость Va любой точки твердого тела определяется через вектор следующим соотношением:

С другой стороны, рассматривая движение твердого тела как сложное, имеющее два составляющих движения, согласно формуле (4.3.16) имеем Сопоставляя с (4.3.19), в силу произвольности получаем 1 2, что и требовалось доказать.

Доказанное следствие носит название теоремы о сложении угловых скоростей.

Установим связь вектора угловой скорости твердого тела с производными от углов ориентации. В качестве углов ориентации выберем углы Эйлера,,. Докажем справедливость следующего равенства Здесь:

орт k — направляющий вектор оси Oz подвижной системы координат, связанной с твердым телом;

– орт n — направляющий вектор линии узлов.

Соотношение (4.4.1) называется векторным кинематическим уравнением Эйлера.

В основу вывода этого уравнения положим теорему о сложении угловых скоростей. Обратимся к правилам ввода углов Эйлера для задания ориентации подвижной системы координат в абсолютном пространстве.

Напомним кинематическую схему Углы вводились последовательными поворотами:

– на угол вокруг третьей оси (ось с направляющим ортом k );

– на угол вокруг линии узлов, совпадающей с тем положением в плоскости, образованной первой и второй осью, которое (положение) займет первая ось после поворота на угол ; орт этой оси обозначался n, причем n ;

– на угол вокруг третьей оси, которая является неподвижной в теле; направляющий орт этой оси совпадает с ортом k.

Такие последовательные повороты можно рассматривать как три составляющих движения:

– первое движение — это вращение системы Ox1 y1 z1 вокруг оси Oz1 Oz относительно абсолютной системы Oxyz ;

– второе движение — это вращение системы Ox2 y 2 z 2 вокруг оси Ox2 Ox1 относительно первой подвижной системы Ox1 y1 z1 ;

– третье движение — это вращение твердого тела вокруг оси Oz Oz2 относительно второй подвижной системы Ox2 y 2 z 2.

Таким образом, каждое составляющее движение является элементарным вращением вокруг одной оси, неподвижной в предшествующей системе координат.

Как было показано в кинематике твердого тела, каждое такое движение имеет вектор мгновенной угловой скорости вращения относительно предшествующей системы, коллинеарный оси вращения. Причем, проекция его на эту ось совпадает с производной по времени от угла поворота, т.е. i i ei, где ei — орт оси поворота, i — угол поворота, i, i 1,2,3.

Применим приведенные здесь рассуждения к углам Эйлера. Будем иметь Теперь для определения — вектора мгновенной угловой скорости твердого тела относительно абсолютного пространства применим теорему о сложении угловых скоростей. Согласно этой теореме можем записать Справедливость формулы (4.4.1) доказана.

Запишем уравнение (4.4.1) в проекциях на связанные оси. Для этого последовательно умножим скалярно на орты i, j, k обе части равенства (4.4.1).

В результате придем к трем равенствам Разрешая относительно производных,,, получим систему трех дифференциальных уравнений первого порядка, записанную в нормальной форме:

Система уравнений (4.4.2) называется кинематическими уравнениями Эйлера.

Они являются нелинейными дифференциальными уравнениями относительно функций,,, если считать в них проекции p, q, r вектора на связанные оси заданными функциями времени.

2. Общая схема построения кинематических уравнений Эйлера Вывод кинематических уравнений Эйлера, данный в п.1, позволяет сформулировать общую схему построения кинематических уравнений, связывающих вектор угловой скорости с любыми другими углами ориентации и их производными по времени.

Общая схема построения этих уравнений такова.

1. В соответствии с заданной последовательностью поворотов вокруг координатных осей при вводе углов ориентации определяется последовательность s угловых скоростей s - ой системы координат относительно ( s 1) - ой системы.

Вектор s вычисляется по формуле где es — орт той оси, номер которой указывается в схеме на этапе ввода угла s. Эта ось является общей для систем с номером s и s 1. Вокруг нее осуществляется поворот на угол s при построении s - ой системы координат.

Таким образом, в кинематической схеме вместе с углами ориентации указываются вектора s s es, где es — орт той оси, номер которой задан в схеме.

2. Применяется теорема о сложении угловых скоростей, и для вектора угловой скорости твердого тела записывается равенство Оно рассматривается как векторное кинематическое уравнение, связывающее проекции вектора на оси выбранной системы отсчета с введенными углами ориентации и их производными.

Уравнение можно проектировать на связанные оси (или любые другие) и получать явную зависимость проекций вектора на выбранные оси от углов ориентации и их производных.

Покажем реализацию данного алгоритма построения кинематических уравнений на примере самолетных углов.

Для самолетных углов схема их ввода такова:

Эта схема дополнена указанием угловых скоростей элементарных вращений. В ней По теореме сложения угловых скоростей записываем векторное кинематическое уравнение Проектируем векторное уравнение (4.4.3) на связанные оси. Умножим его последовательно скалярно на орты i, j, k и учтем следующие соотношения, полученные при построении матрицы ориентации через самолетные углы:

В результате придем к трем скалярным уравнениям нения для самолетных углов:

§5. Задача Дарбу. Кинематические уравнения Пуассона В правые части кинематических уравнений Эйлера, построенных в §4, входят функции p, q, r, являющиеся проекциями вектора мгновенной угловой скорости на оси, связанные с твердым телом:

Если p, q, r известны как функции времени, то система кинематических уравнений становится замкнутой.

известна его мгновенная угловая скорость в любой момент времени и заданы значения углов ориентации в некоторый фиксированный момент t 0.

Эта задача называется задачей Дарбу.

При известных начальных значениях углов ориентации решение задачи Дарбу сводится к построению решения задачи Коши для кинематических дифференциальных уравнений Эйлера (4.5.1). Однако эти уравнения имеют следующие особенности, которые необходимо учитывать в процессе построения решения поставленной задачи.

Во-первых, они являются нелинейными уравнениями относительно углов ориентации, что само по себе уже приводит к определенным трудностям их интегрирования.

Во-вторых, правые части уравнений при некоторых значениях углов ориентации не определены. Тем самым, эти значения углов являются критическими для данных кинематических уравнений, и если твердое тело совершает одно из движений, на которых углы ориентации принимают критические значения хотя бы в один момент времени, то это движение не будет решением данных уравнений.

В связи с отмеченными особенностями, при построении решения задачи Дарбу должны быть предусмотрены действия по распознаванию таких движений и переход к интегрированию кинематических уравнений, записанных для других угловых параметров.

Иначе говоря, после того, как будет установлено, что на искомом решении хотя бы один из углов ориентации близок к критическому значению, необходимо перейти к описанию движений другими углами. А именно, такими углами, критические значения которых отличаются от критических значений прежних углов ориентации. Затем построить соответствующие кинематические уравнения для новых углов и решать задачу Дарбу с использованием выведенных для них уравнений.

Такой процесс определения ориентации твердого тела по известной угловой скорости неизбежен при выборе в качестве расчетных любых углов ориентации (будут ли это углы Эйлера или самолетные, и т.д.), поскольку критические значения существуют в кинематических уравнениях, построенных для любых углов ориентации.

Ниже (в п.3) показано, как избежать указанных трудностей при построении решения задачи Дарбу.

Откажемся от определения ориентации твердого тела через угловые параметры и будем вычислять его ориентацию по матрице перехода от связанной системы координат к абсолютной. С этой целью выведем дифференциальные уравнения, по решениям которых могут быть построены элементы указанной матрицы.

Пусть e — орт, неподвижный в абсолютном пространстве. Обозначим 1, 2, — его проекции на подвижные оси, в качестве которых берем оси связанной с твердым телом системы координат.

Тогда можем записать Продифференцируем по t данное равенство. В результате получим векторное уравнение следующего вида - 217 При дифференцировании учли, что e — орт, неподвижный в абсолютном пространстве, задается проекциями на подвижные оси. Поэтому для его производной справедлива формула (4.2.11) из §2, п.2. Поскольку где i, j, k — орты связанной системы координат, то, проектируя (4.5.2) на оси Ox, Oy, Oz, придем к следующей системе Уравнения (4.5.3) называются уравнениями Пуассона.

Это линейные дифференциальные уравнения относительно неизвестных функций 1, 2, 3.

Матрица коэффициентов в них, взятых со знаком «минус», имеет вид Она является кососимметрической матрицей.

Если обозначить через x вектор-столбец то система (4.5.3) в матричном виде запишется так:

где матрица задается формулой (4.5.4).

В задаче Дарбу матрица является известной матричной функцией времени.

Уравнение (4.5.5) — это система уравнений Пуассона (4.5.3), записанная в матричной форме.

Выведем теперь дифференциальные уравнения для матрицы ориентации A твердого тела. Для этого установим связь решений уравнения (4.5.5) с матрицей ориентации твердого тела.

В качестве вектора e последовательно возьмем орты i, j, k абсолютной системы координат. Поскольку координаты орта i совпадают с элементами первой строки матрицы A, орта j — с элементами второй строки, орта k — с элементами третьей строки, то в уравнении (4.5.5) можно последовательно положить где As — вектор-строка с номером s, s 1,2,3, в матрице ориентации A :

Тогда уравнение (4.5.5) для векторов A, s 1,2,3, запишется в виде Объединяя эти три уравнения, приходим к следующему матричному дифференциальному уравнению для транспонированной матрицы A :

Уравнение (4.5.7) — это дифференциальное уравнение Пуассона для матрицы ориентации.

- 218 По существу, уравнение (4.5.7) образует систему девяти линейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно элементов матрицы ориентации A твердого тела. Эта система не зависит явно от углов ориентации. Тем самым она не зависит от выбора угловых параметров ориентации и не зависит от диапазона допустимых значений таких углов. Матричное дифференциальное уравнение (4.5.7) не вырождается ни при каких значениях матрицы A.

Таким образом, кинематическое уравнение Пуассона (4.5.7) не имеет тех особенностей, о которых говорилось в п.1.

Ясно, что задача Дарбу будет решена, если построим решение задачи Коши для уравнения (4.5.7) с начальными условиями:

Здесь A0 — заданное значение матрицы ориентации A при t t0.

Матричное уравнение (4.5.7) эквивалентно системе трех уравнений (4.5.6) для векторов A1, A2, A3. Напомним, что A1, A2, A3 суть столбцы транспонированной матрицы A*. Каждое из уравнений (4.5.6) с точностью до обозначений искомых функций Ai, i 1,2,3, и вектора-столбца x совпадает с уравнением (4.5.5).

Поэтому решения каждого уравнения (4.5.6) могут быть получены на основе интегрирования уравнения (4.5.5).

Покажем, как построить матрицу A через решения уравнения Пуассона (4.5.5).

Сначала отметим основные свойства решений уравнения (4.5.5).

1. Уравнение (4.5.5) имеет первый интеграл Утверждение легко проверяется непосредственным дифференцированием функции x * x, вычисленной на решениях уравнения (4.5.5). Данный интеграл выражает собой условие того, что длина вектора x не меняется на решениях уравнения (4.5.5).

Нас будут интересовать только такие решения уравнения (4.5.5), на которых 2. Если x (1) и x ( 2) — два частных решения уравнения (4.5.5), то вектор является ее решением.

Здесь под x (s ), s 1,2,3, понимаем вектор координаты которого в связанной системе совпадают с элементами соответствующего вектора-столбца Действительно, уравнения (4.5.5) в обозначениях (4.5.9) примет вид Тогда, если x, s 1,2 — решения уравнения (4.5.10), то можно записать является решением уравнения (4.5.10). Дифференцируя (4.5.12), получим Заменим x Раскрываем правую часть по формуле двойного векторного произведения:

Сравнивая с (4.5.10), куда следует подставить x (3) ( x (1) x ( 2) ), видим, что x (3) — решение уравнения (4.5.10).

3. Если x (1) и x ( 2) — два частных решения уравнения (4.5.5), то при любых t справедливо равенство Здесь x и x — векторы, построенные через решения x (1) и x ( 2) по формуле (4.5.9). В справедливости свойства легко убедиться, если продифференцировать скалярное произведение ( x (1), x ( 2) ) и учесть соотношения (4.5.11).

Из доказанных свойств 1,2,3 вытекает следующий алгоритм построения решения задачи Дарбу.

Для построения матрицы ориентации твердого тела достаточно получить два взаимно ортогональных решения x (1) и x ( 2) уравнения (4.5.10) (или уравнения (4.5.5)), удовлетворяющих условиям Действительно, построим решение x (1) уравнения (4.5.5) с начальными условиями, совпадающими в момент времени t0 с направляющими косинусами вектора i абсолютной системы координат относительно связанных осей. Очевидно, такое решение будет определять положение вектора i в связанной системе в любой момент времени Другими словами, компоненты решения x (1) будут являться элементами первой строки матрицы A в любой момент времени t.

Затем возьмем в качестве начальных условий в момент t0 направляющие косинусы вектора j абсолютной системы координат в связанной системе и по ним построим решение x ( 2) уравнения (4.5.5).

Компоненты этого решения будут давать положение вектора j в связанной системе в любой момент времени t и совпадать с элементами второй строки матрицы A.

В силу свойства 2 решений уравнения (4.5.5) вектор x (3), определяемый по векторам x и x согласно формуле является ее решением. Иначе говоря, компоненты вектора x при любых t будут совпадать с элементами третьей строки матрицы ориентации A (t ). В (4.5.13) векторы x (1) и x ( 2) строятся через решения x (1) и x ( 2) уравнения (4.5.5) по формуле (4.5.9).

уравнения Пуассона (4.5.7) в виде матрицы A :

Здесь x (1) и x ( 2) — решения уравнения (4.5.5) с указанными выше начальными условиями.

Если компоненты столбца x (1) обозначим x (i1), i 1,2,3, а столбца x ( 2) — x (i2 ), i 1,2,3, то элементы третьего столбца матрицы A (их обозначим x (i3), i 1,2,3 ) связаны с ними следующими соотношениями:

Если начальные условия в задаче Дарбу задаются через значения углов ориентации, то для построения решения по описанному алгоритму необходимо предварительно вычислить матрицу ориентации в заданный момент времени t0 по формулам связи элементов этой матрицы с углами ориентации, подставив в них заданные начальные значения углов.

Далее использовать вычисленные элементы первой и второй строки матрицы ориентации A в качестве начальных условий для построения решений x (1) и x ( 2).

В этом пункте приводятся примеры решения задач сложного движения точки и твердого тела. В задаче 1 рассматривается сложение угловых скоростей твердого тела.

Задача 2 иллюстрирует применение теоремы о сложении скоростей материальной точки. Задача 3 посвящена вычислению ускорения сложного движения материальной точки. Соответствующий теоретический материал излагается в § 3 (задача 1) и § 2 (задачи 2, 3).

равна. Определить величину и направление абсолютной угловой скорости волчка.

Рис.4.6.1 – вращение вокруг оси z с угловой скоростью. Тогда, по теореме о сложении угловых скоростей, Угол между векторами и 1 равен. Следовательно, величина абсолютной угловой скорости волчка, по теореме косинусов, равна Для определения направления вектора используем направляющий косинус где z – проекция на ось z. Находим следовательно, Задача 2. Корабль плывет на юг со скоростью 36 2км / ч. Второй корабль идет курсом на юго-восток со скоростью 36км/ч. Найти величину и направление скорости второго корабля, определяемые наблюдателем, находящимся на палубе первого корабля.

Решение: Рассмотрим движение второго корабля как сложное. Примем за абсолютное движение второго корабля его движение относительно Земли. Относительным будем считать движение второго корабля по отношению к первому кораблю. За переносное движение примем поступательное движение вместе с первым кораблем. Тогда его абсолютная скорость по теореме о сложении скоростей можно представить как Здесь Ve – скорость первого корабля; Vr – неизвестная скорость второго корабля относительно первого.

Из значений Vrx и Vry следует, что вектор vr находится в первой четверти плоскости Oxy и, кроме того Следовательно, относительная скорость второго корабля направлена на северо-восток.

Задача 3. Для сообщения поступательного движения в станках применяют механизм (рис.4.6.3 a), состоящий из прямолинейного стержня, вращающегося с постоянной угловой скоростью вокруг точки O так, что угол t. Дойдя до упора, стержень начинает вращаться с той же угловой скоростью в противоположном направлении. Ползун A вращается вместе со стержнем и одновременно может перемещаться вдоль стержня. Прямая AB, шарнирно соединенная с ползуном, движется в горизонтальных направляющих, осуществляя возвратно-поступательное движение. Зная расстояние l от шарнира O до прямой AB, определить ее скорость и ускорение в поступательном движении.

Решение: Первый способ. Проведем неподвижные оси координат с началом в шарнире O. Тогда координаты точки A определяются уравнениями Величина скорости точки A тогда будет:

так как точка A движется прямолинейно. Величина ускорения точки A определится как производная от скорости по времени Второй способ. Рассмотрим абсолютное движение точки A ползуна как составное: переносное – вращение вместе со стержнем OA и относительное – прямолинейное движение вдоль стержня OA. Тогда модуль переносной скорости точки A будет:

Направлена переносная скорость перпендикулярно к стержню OA, следовательно, она образует со стержнем AB угол 90о – это. Относительная скорость (в прямолинейном движении по OA) равна производной от величины OA по времени и направлена по OA Проектируя векторное равенство (рис. 4.6.3 б) определяющее абсолютную скорость точки A, на направление AB, находим что совпадает с (4.6.2).

Переходим к определению абсолютного ускорения точки A. Согласно теореме сложения ускорений Так как const, то величина переносного ускорения будет Оно направлено от A к центру O (рис. в). Значение относительного ускорения в прямолинейном движении равно Оно направлено по прямой OA. Ускорение Кориолиса равно Направление этого ускорения определится поворотом вектора относительной скорости на 90о в сторону переносного вращения, так как в рассматриваемом случае V r перпендикулярно. Проектируя, далее, векторное равенство Wa на направление абсолютного ускорения совпадающего с осью х, находим:

что совпадает с (4.6.3).

6.2 Вопросы для тестирования к разделу «Глава 4»

1. Дайте определения абсолютного, относительного и переносного движения материальной точки.

2. Как определить абсолютное движение материальной точки, зная её относительное и переносное движение?