«ТУННЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ В ТЕОРИИ НАДПОРОГОВОЙ ИОНИЗАЦИИ И ПРЕРАССЕЯНИЯ ...»

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

На правах рукописи

ПОПРУЖЕНКО Сергей Васильевич

ТУННЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ В ТЕОРИИ НАДПОРОГОВОЙ

ИОНИЗАЦИИ И ПРЕРАССЕЯНИЯ

01.04.02. – теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель – доктор физико-математических наук, профессор Гореславский С.П.

Автор:

Москва - 2000 ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ 3

ГЛАВА 1. ТУННЕЛЬНАЯ ИОНИЗАЦИЯ В ЭЛЛИПТИЧЕСКИ

ПОЛЯРИЗОВАННОМ ПОЛЕ

1.1 Приближение Келдыша 1.2. Распределение по импульсам 1.3. Угловые распределения 1.4. Энергетический спектр 1.5. Статический предел в спектрально-угловом распределении

ГЛАВА 2. ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ ФОТОЭЛЕКТРОНА В ПРОЦЕССЕ

ТУННЕЛЬНОЙ ИОНИЗАЦИИ

2.1. Волновая функция ионизованного электрона в координатном представлении 2.2. Волновой пакет в линейно поляризованном поле 2.3. Случай эллиптической поляризации

ГЛАВА 3. ТУННЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ В ТЕОРИИ

ПЕРЕРАССЕЯНИЯ 3.1 Амплитуда перерассеяния в туннельном режиме 3.2. Спектрально-угловое распределение 3.3. Интерференционная структура спектра 3.4. Угловые распределения 3.5. Атомный потенциал и форма спектра 3.6. Полная вероятность перерассеяния 3.7. Трехступенчатая модель ионизации ЗАКЛЮЧЕНИЕ РИСУНКИ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ.

Диссертация посвящена теоретическому исследованию процессов надпороговой ионизации и перерассеяния в сильном низкочастотном лазерном поле. Актуальность направления исследований связана с достигнутым в последнее время существенным прогрессом в технике эксперимента, позволившим более детально изучить спектры и угловые распределения фотоэлектронов и приведшим к открытию ряда новых физических эффектов, непосредственно связанных с процессом надпороговой ионизации.

Само явление надпороговой ионизации состоит в том, что при взаимодействии сильного электромагнитного излучения с атомами (или другими квантовыми системами – ионами, молекулами, кластерами) наблюдаются ионизованные электроны, поглотившие большее число фотонов, чем это необходимо для выхода в континуум. Эффект надпороговой многофотонной ионизации атомов впервые наблюдался в 1979г. [1] и стал широко доступен для экспериментального исследования с появлением лазеров, создающих когерентные электромагнитные поля интенсивностью свыше Вт/см 2. В настоящее время число экспериментальных работ, посвященных изучению надпороговой ионизации, очень велико (см. литературу, цитируемую в обзорах [2,3]).

Начало теоретических исследований явления надпороговой ионизации, относится к середине 60-х годов. Так, в работе [4] впервые был предложен метод расчета вероятности ионизации электрона, связанного в потенциале нулевого радиуса действия, полем сильной линейно поляризованной лазерной волны с поглощением произвольного (над порогом ионизации) числа фотонов.

Там же впервые было показано, что характер процесса надпороговой ионизации электрического поля. Область > > 1 называется областью слабого поля (или высоких частот). Другое название этого случая – многофотонный режим ионизации. При этом вероятность ионизации с поглощением n фотонов пропорциональна интенсивности поля в степени n, а число представленных в спектре надпороговых пиков невелико. В обратном случае сильного поля ( < < 1) осуществляется туннельный режим ионизации. При этом вероятность процесса пропорциональна туннельной экспоненте exp 2( 2 I ) 3 / 2 / 3F, а в спектре присутствует большое число надпороговых пиков сравнимой высоты.

Появление работы [4] стимулировало дальнейшие теоретические исследования, посвященные всестороннему изучению процесса надпороговой ионизации. В работах [5-9] результаты, полученные в [4], были обобщены на релятивистской) лазерной волны. Там же исследована надпороговая ионизация из произвольного состояния в короткодействующем потенциале, а в низкочастотном пределе и из состояния в кулоновом поле. Таким образом, в работах [4-9] заложен теоретический фундамент для описания надпороговой ионизации атомов в сильных лазерных полях. В более поздних работах [10,11] по сути те же, что и в [4-9] результаты были получены в рамках S - матричного подхода. Наконец, в [12] найдены простые аналитические выражения для полной вероятности ионизации произвольного атома полем сильной лазерной волны.

Основное физическое приближение, на котором базируются полученные в [4-12] результаты состоит в том, что конечное состояние электрона аппроксимируется плоской волковской волной [13,14], то есть, предполагается, что влиянием атомного поля на состояние электрона в континууме можно пренебречь. Именно это общее для работ [4-12] приближение позволяет рассматривать изложенный в них подход к описанию надпороговой ионизации как единый. В современной литературе модель фотоионизации, основанную на аппроксимации конечного состояния электрона плоской волковской волной, принято называть моделью Келдыша. Ниже мы также будем придерживаться этого термина.

Подробный анализ условий применимости модели Келдыша приведен в монографиях [15,16] и показывает, что она обеспечивает адекватное описание спектров надпороговой ионизации атомов именно в туннельном пределе. При переходе к многофотонному ( > > 1) режиму вступают в игру резонансные явления, начинает сказываться и влияние дальнодействующего поля атомного остова на движение электрона в континууме. Эти факторы, не учитываемые моделью Келдыша, существенно влияют на форму спектра и угловых распределений фотоэлектронов [17,18].

Результаты работ [4-9] первоначально использовались для описания экспериментальных данных, относящихся к полной вероятности ионизации в экспериментального исследования из-за недостаточно высокой интенсивности лазерных импульсов. По той же причине вплоть до начала 90-х годов исследования надпороговой ионизации ограничивались многофотонным режимом. Как уже отмечалось, в такой ситуации применимость модели Келдыша к описанию спектрально-угловых распределений фотоэлектронов по крайней мере сомнительна. Таким образом, в течение длительного времени после появления пионерских работ [4-9] дальнейшее развитие заложенного в них подхода не представлялось актуальной задачей.

Ситуация существенно изменилась в последнее десятилетие благодаря прогрессу в лазерной технике, сделавшему возможным получение коротких (длительностью до десятков фемтосекунд) мощных (с интенсивностью 1013 1016 Вт/cм 2 ) лазерных импульсов и обеспечившему возможность экспериментальных исследований надпороговой ионизации расширился по крайней мере в двух направлениях.

Во-первых, исследования перешли в область туннельного режима фотоэлектронов. Таким образом, возникла насущная потребность в более подробном теоретическом исследовании распределений фотоэлектронов в туннельном режиме. При этом выяснилось, что полученные ранее результаты не всегда пригодны для анализа экспериментальных данных. Так, замкнутое аналитическое выражение для импульсного распределения фотоэлектронов в обеспечивает переход к пределу циркулярной поляризации. Не изучались проинтегрированные по энергиям угловые распределения при произвольном значении эллиптичности. Между тем, потребность в подобных формулах обусловлена тем, что угловое распределение (в отличие от импульсного) легко доступно для экспериментального измерения [19]. Выражения для спектральноугловых распределений фотоэлектронов в поле с произвольной эллиптической произведений функций Бесселя. Однако, выражения такого типа плохо приспособлены для вычисления в туннельном режиме, когда большое число членов ряда имеют сравнимую величину. Численные же расчеты крайне затрудняют выявление качественных закономерностей в поведении спектров в зависимости от параметров поля и атома. Изложенные обстоятельства объясняют необходимость получения замкнутых аналитических выражений для спектрально-угловых и угловых распределений фотоэлектронов в туннельном режиме, применимых при произвольной поляризации поля, что и является одной из целей настоящей диссертации.

Во-вторых, с продвижением эксперимента в диапазон интенсивностей взаимодействием электрона с атомным остатком: генерация высоких гармоник лазерного излучения, перерассеяние на родительском ионе, многоэлектронная ионизация [22]. Эти эффекты не рассматривались в основополагающих работах [4-12], их теоретическое исследование началось сравнительно недавно и в настоящий момент еще далеко от завершения. Часть диссертации посвящена перерассеянных родительским ионом.

Само явление перерассеяния состоит в том, что первоначально ионизованный электрон, находясь в сильном лазерном поле, взаимодействует с родительским ионом, поглощая большое число квантов волны накачки и приобретая значительную энергию. Вклад таких электронов в спектры надпороговой ионизации наблюдается в виде протяженного плато, граница амплитудной напряженностью F интенсивности лазера 1014 1015 Вт/см 2 десятки и сотни электрон-вольт.

выполненных в многофотонном режиме. Объяснение физической природы эффекта и оценка протяженности высокоэнергетического плато были первоначально даны на основе анализа классической кинематики электрона в сильном лазерном поле [25]. В настоящее время разработан последовательный квантово-механический подход к расчету спектра перерассеяния в случае, когда атом моделируется потенциалом нулевого радиуса [26]. Применимость модели ограничена тем, что в ней исключены из рассмотрения эффекты, связанные с влиянием кулонова поля атомного остова на процесс рассеяния электронов.

Анализ экспериментальных данных показывает, однако, что это влияние весьма существенно [27-29]. Другой недостаток результатов работы [26] состоит в том, что конечное выражение для амплитуды перерассеяния имеет вид двукратного интеграла, который приходится вычислять с использованием ЭВМ. Это обстоятельство существенно затрудняет исследование зависимости эффекта от параметров поля и атома. Поэтому представляется важным получить простое аналитическое описание спектров перерассеяния. В работе [30] теория перерассеяния была развита в аналитическом виде, причем с учетом многократного взаимодействия ионизованного электрона с родительским ионом. Однако, полученные результаты применимы только в глубоком многофотонном режиме поглощаемых электроном в каждом элементарном акте взаимодействия, невелико, так что наиболее интересная область параметра адиабатичности – туннельный предел - осталась незатронутой. В [31] вероятность перерассеяния найдена методом Ландау-Дыхне [32]. Однако, авторам удалось выполнить вычисления только с экспоненциальной точностью, что недостаточно для адекватного описания основных особенностей эффекта перерассеяния.

феноменологическая трехступенчатая модель фотоионизации [25,27-29], идейно близкая к известной двухступенчатой модели прямой надпороговой ионизации [33]. Попытки (во многом успешные) применить этот подход к описанию спектра и углового распределения перерассеяния иногда приводят к результатам, находящимся в противоречии с данными эксперимента и численными расчетами, выполненными в рамках последовательного квантовомеханического подхода [26]. Причина расхождений между полуклассическими и квантовыми расчетами оставалась неясной до появления работ, включенных в настоящую диссертацию. Не был также понятен физический механизм интерференции в спектрах перерассеяния, отсутствовали простые аналитические формулы для спектрально-угловых распределений фотоэлектронов перерассеяния, оставались неизвестными буквенные параметры, по которым эффект перерассеяния мал в сравнении с прямой надпороговой ионизацией. В настоящей диссертации изложено решение перечисленных выше проблем.

Основные сведения, относящиеся к процессу надпороговой ионизации атомов, подробно изложены в монографиях [15,16,34,35] и цитируемой там литературе, а также в обзоре [36]. Вопросы, связанные с динамикой волновых пакетов фотоэлектронов в поле сильного лазерного излучения также разобраны [15,16]. Обобщенная модель Келдыша в приложении к описанию процесса перерассеяния подробно изложена в [26,37,38]. Результаты экспериментов по измерению спектрально-угловых распределений фотоэлектронов перерассеяния в туннельном режиме содержатся в работах [27-29], а также в обзоре [22].

изложенные в ней, опубликованы в работах [39-47]. Сама диссертация состоит из трех глав. Первая глава посвящена исследованию спектрально-угловых распределений фотоэлектронов в сильном низкочастотном эллиптически поляризованном лазерном поле. Во второй главе рассмотрена пространственновременная динамика волнового пакета фотоэлектрона, возникающего в процессе туннелирования в переменном электрическом поле. В третьей главе излагается теория перерассеяния фотоэлектронов родительским ионом в туннельном режиме.

В первой главе в рамках модели Келдыша вычисляется амплитуда перехода электрона под действием поля эллиптически поляризованной лазерной волны из основного состояния в потенциале нулевого радиуса в состояние континуума. Для вычисления временного интеграла, определяющего амплитуду перехода, используется метод, основанный на разложении фазы вблизи нуля второй ее производной [48]. Найдено приближенное решение уравнения для стационарной точки, хорошо аппроксимирующее точное решение при всех значениях эллиптичности. С использованием этого приближенного решения получаются замкнутые аналитические выражения для спектрально-угловых, угловых и энергетических распределений фотоэлектронов. Найденные выражения исследованы как функции эллиптичности поля. Подробно рассматривается эффект вытягивания углового распределения в направлении, поперечном максимальному электрическому полю, возникающий при промежуточных значениях эллиптичности. Приводится сравнение представленных расчетов угловых распределений с экспериментальными данными [19], демонстрирующее качественное согласие. Далее излагается формулировка статического предела в спектрально-угловом распределении и выводится распределение по скоростям электронов в момент ионизации. Дается обоснование феноменологической двухступенчатой модели фотоионизации [33] и адиабатического подхода к вычислению полной вероятности ионизации в низкочастотном эллиптически поляризованном лазерном поле [6].

Во второй главе рассчитывается пространственно-временная структура электронного волнового пакета в процессе туннелирования в низкочастотном лазерном поле. Получено удобное интегральное представление для зависящей от времени амплитуды прямой надпороговой ионизации, позволяющее вычислить координатную волновую функцию в замкнутом аналитическом виде.

Подробно рассмотрена эволюция волнового пакета в процессе его выхода изпод потенциального барьера и последующее движение в лазерном поле.

Найдено характерное время формирования пакета, поперечная и продольная ширина в момент выхода, скорость расплывания. Подробно исследуется наиболее интересный случай линейной поляризации поля. Приводятся оценки поляризованном поле.

фотоэлектронов родительским ионом в туннельном режиме. Излагается итерационная процедура вычисления амплитуды фотоионизации, основанная на разложении по взаимодействию фотоэлектрона с родительским ионом в конечном состоянии. Нулевой член ряда представляет собой амплитуду прямой надпороговой ионизации. Следующий член описывает вклад в спектры от однократного перерассеяния. С использованием интегрального представления для амплитуды прямой ионизации, полученного во второй главе, амплитуда перерассеяния вычисляется в замкнутом аналитическом виде. Для расчета амплитуды перерассеяния вблизи классической границы спектра применяется метод перевала, обобщенный на случай, когда квадратичное разложение фазы подынтегральной функции вблизи перевальной точки оказывается недостаточным и приводит к сингулярности.

Приведен подробный анализ спектрально-углового распределения. В частности, исследована интерференционная структура в спектрах и угловых распределениях, выделена зависимость сечения перерассеяния от параметров атома, определено поведение вероятности вблизи классической границы спектра. Сравнение с результатами экспериментов [27-29] показывает, что предложенная теория не только качественно, но и количественно описывает всю совокупность экспериментальных данных, относящихся к перерассеянию на реальных атомах.

Полученные спектрально-угловые распределения преобразуются к новым переменным, используемым в трехступенчатой полуклассической модели фотоионизации. На основе сравнения квантовых и полуклассических результатов делаются выводы о границах применимости трехступенчатой модели.

Кратко сформулируем основные положения, выносимые на защиту по результатам, полученным в диссертации.

• Результаты расчетов импульсного распределения фотоэлектронов в сильном обеспечивающие предельный переход к случаю циркулярной поляризации.

• Аналитические выражения для углового распределения и спектра фотоэлектронов в сильном эллиптически поляризованном лазерном поле.

• Распределение фотоэлектронов по скоростям в момент ионизации сильным эллиптически поляризованным лазерным полем.

• Результаты расчета пространственно-временной структуры волнового пакета фотоэлектрона в сильном линейно поляризованном лазерным поле.

Аналитические выражения для импульсного распределения фотоэлектронов перерассеяния, рассчитанные с учетом интерференционных эффектов.

me = = e = 1 ). Для описания электрона с каноническим импульсом p в поле лазерного излучения выбраны волковские волновые функции [13,14] в калибровке векторного потенциала:

где ( t ) = p + A( t ) - зависящая от времени кинетическая энергия электрона. Само лазерное поле описывается в дипольном приближении, а векторный потенциал задается в виде:

В диссертации повсеместно используется понятие пондеромоторного Во избежание путаницы между величинами, описывающими прямую надпороговую ионизацию и перерассеяние, будем снабжать первые индексом ”dir” (direct ionization), а вторые - индексом “r” (rescattering).

ГЛАВА 1. ТУННЕЛЬНАЯ ИОНИЗАЦИЯ В ЭЛЛИПТИЧЕСКИ

ПОЛЯРИЗОВАННОМ ПОЛЕ.

Цель данной главы - получить замкнутые аналитические выражения для низкочастотном поле с произвольной эллиптической поляризацией. Особое внимание будет уделено предельному переходу к случаю циркулярной поляризации, так как полученные ранее выражения для импульсного распределения [7] не применимы при 1. Замкнутые выражения для угловых распределений в эллиптически поляризованном поле будут найдены впервые.

Кроме того, будет показано, каким образом формулируется статический предел в спектрально-угловых распределениях фотоэлектронов.

электронов при ионизации эллиптически поляризованным полем в туннельном режиме служат исходные выражения модели Келдыша [10]. Лазерное поле с векторным потенциалом (2), которому соответствует электрическое поле:

Согласно [4-11], ионизация рассматривается, как квантовый переход из континуума, которое аппроксимируется нерелятивистским решением Волкова (1), описывающим электрон с определенным значением канонического импульса p. Амплитуда перехода под воздействием возмущения имеет вид [10]:

Приведем здесь вывод выражения (1.3) для амплитуды перехода, позволяющий более четко определить условия применимости приближения Келдыша [42,47].

Волновая функция атомного электрона, взаимодействующего с лазерным полем, удовлетворяет уравнению Шредингера До включения поля, при t, атом находился в связанном состоянии.

Решение ищем в виде суммы волновой функции начального состояния и новой неизвестной функции ( r, t ) = 0 ( r, t ) + ( r, t ). Переход к импульсному представлению и последующее исключение с помощью экспоненциальной подстановки диагональных матричных элементов кинетической энергии состояниям (1). Амплитуды разложения удовлетворяют начальному условию где 0 ( p ) и U ( q ) есть Фурье - образы начального состояния и атомного мало второе слагаемое, отвечающее за взаимодействие волковского электрона с атомным остатком.

Решение нулевого приближения имеет вид:

амплитудой ионизации (1.3). Таким образом, выражение (1.3) для амплитуды ионизации применимо при условии, что в уравнении (1.5) можно ограничится нулевым приближением по отношению к интегральному члену.

Вклад интегрального слагаемого в спектры фотоионизации подробно обсуждается в третьей главе диссертации. Отметим только, что отброшенное слагаемое заведомо мало в случае, когда волковское состояние слабо искажается атомным полем, то есть рассеяние электрона на атомном остатке можно рассматривать в борновском приближении. Поскольку характерные энергии электрона в волковском состоянии составляют U P, условие применимости борновского приближения запишется в виде что эквивалентно < < 1. Другое ограничение на применимость (1.3) возникает из-за того, что с отбрасыванием интегрального члена в (1.5) теряется эффект истощения основного состояния [42]. Для того, чтобы эффект истощения был несущественным в течение всего времени действия лазерного импульса, требуется по крайней мере выполнение условия означающего, что электрическое поле лазерной волны существенно меньше атомного. Таким образом, приближение (1.3) для амплитуды ионизации заведомо применимо в туннельном режиме и в относительно слабых полях.

Отметим, что условие (1.7) является достаточным, но отнюдь не необходимым, так что фактическая область применимости (1.3) может оказаться более широкой (см. Главу 3). Далее всюду считаем условия (1.7), (1.8) выполненными.

Скорость ионизации (в единицу времени), вычисленную из (1.6), т.е. без учета интегрального члена в (1.5), будем называть, как это принято, скоростью прямой ионизации. Последняя связана с амплитудой (1.6) соотношением:

где - время действия лазерного импульса. Из (1.6) и (1.9) получаем:

с амплитудой перехода за один период, равной градиентной силой несущественно, канонический импульс является интегралом движения, так что электрон детектируется вне поля с импульсом p и энергией = p 2 / 2 (при условии, что энергия удовлетворяет одному из законов сохранения в (1.10)).

Интегрирование по энергии превратило бы (1.10) в сумму угловых распределений, относящихся к отдельным надпороговым пикам. В туннельном режиме слагаемые в этой сумме плавно зависят от номера надпорогового пика, и сумму по n можно заменить интегралом [49,39,40]. В результате получим импульсное распределение фотоэлектронов в виде:

Зависимость от энергии в (1.12) соответствует огибающей надпороговых пиков, а отношение d / дает число надпороговых пиков в интервале энергий d.

Перейдем к вычислению парциальной амплитуды B0 ( p ). В условиях туннельного режима фаза подынтегрального выражения в (1.11) велика воспользоваться методом перевала [4,6,7]. Предлагаемая нами реализация метода перевала отличается от традиционной тем, что предварительно (до отыскания самих перевальных точек) показатель экспоненты раскладывается в ряд в окрестности точки (или точек) t 0, где кинетическая энергия достигает минимума [49], т.е.:

Условие (1.13) эквивалентно обращению в нуль второй производной фазы в (1.11).

Такой подход к вычислению интеграла оправдан только в туннельном режиме, кода мнимая часть стационарной точки мала ( Im t s / < < 1 / ), так что существенно упрощает вычисления, а кроме того, как будет показано в разделе 1.5, позволяет перейти к статическому пределу в импульсном распределении.

Разложим фазу в ряд вблизи t 0 с удержанием членов, кубичных по интеграл выражается через функцию Эйри [50], которую в силу условия (1.8) положительных значений аргумента [50]. Эта замена эквивалентна тому, что после разложения показателя экспоненты вблизи t 0 применен обычный метод перевала. В итоге импульсное распределение принимает вид [39,40]:

уравнения (1.13) на периоде. Несложный анализ показывает, что таких решений одно или два в зависимости от степени поляризации. Слагаемое, возникающее от интерференции вкладов двух стационарных точек, отброшено, так как в туннельном режиме является быстро осциллирующим [6]. Подробное исследование интерференционных эффектов в спектрах прямой ионизации в многофотонном режиме содержится в работе [51].

Выражение (1.14) задает искомое импульсное распределение неявным образом. Для отыскания явных выражений необходимо выразить t 0 ( p ) из (1.13). Сделаем это приближенно, исходя из следующих соображений. При выполнении условия (1.8) свойства распределения (1.14) определяются в экспоненты достаточно очевидно, что максимум распределения приходится на такие импульсы p, для которых в момент перехода t 0 = t 0 ( p ), определяемый уравнением (1.13), кинетическая энергия равна нулю, а поле максимально. Для дальнейшего изложения удобно ввести в рассмотрение полевой импульс p F ( t ) = A( t ) / c и величину p F = F /. В течение оптического периода вектор p F ( t ) описывает в импульсном пространстве эллипс, лежащий в плоскости поляризации лазерного поля, который мы в дальнейшем будем называть полевым эллипсом. Абсолютный минимум кинетической энергии, равный нулю, достигается, очевидно, когда p z = 0, а полевой импульс антипараллелен p. Отсюда для векторов p, лежащих на полевом эллипсе, находим связь фазы поля = t 0 с азимутальным углом, задающим направление импульса:

Поле в момент перехода:

Для импульсов p, не находящихся на полевом эллипсе, кинетическая энергия в момент перехода отлична от нуля, что приводит в полях с напряженностью ниже атомной к резкому убыванию распределения. Поэтому импульсное распределение сосредоточено в тонкой трубке вокруг полевого эллипса, так что для нахождения явного вида функции p ( t 0 ( p ) ) можно воспользоваться соотношениями (1.15), (1.16), пригодными, строго говоря, только на полевом эллипсе. Используя их совместно с условием экстремума (1.13), получим после несложных вычислений:

где p x = p cos. Угол отсчитывается от оси z, а азимутальный угол - от большой оси эллипса поляризации. Подставляя (1.15-1.17) в (1.14), получим для импульсного распределения:

Два слагаемых в (1.18) возникают из-за того, что на каждом оптическом периоде имеются две стационарные точки t 0, являющиеся решениями (1.13). В линейно поляризованном поле ( = 0) существует два симметричных минимума функции так что слагаемые в квадратных скобках (1.18) одинаковы по несущественным.

Выражение (1.18) представляет собой основной результат данной главы.

Оно описывает эволюцию импульсного распределения при изменении поляризации от циркулярной к линейной. Используя (1.18), легко рассчитать критические значения эллиптичности, вблизи которых импульсное и угловое распределения испытывают качественные изменения. Эффективная область импульсного пространства, в которой распределение (1.18) существенно отлично от нуля, представляет собой тонкую трубку вокруг некоторой, мал в сравнении с атомным импульсом и не зависит от эллиптичности. В циркулярно поляризованном поле ( = 1) эффективная область содержит всю окружность радиусом p x ( p x ) eff = p F F / Fa 1 2, то есть у полевого эллипса исключаются участки около концов большой оси (рис.1а). С уменьшением эллиптичности размер ( p x ) eff уменьшается. Поперечные компоненты импульса в эффективной области имеют величину порядка p y распределение представляет собой два вытянутых вдоль большой оси эллипса поляризации узких всплеска, отстоящих от начала координат на величину ( p y ) eff. Распределение при таких эллиптичностях представлено на рис.1б, и становится сравнимой с радиусом трубки – эффективная область превращается в цилиндр длиной p F F / Fa. С дальнейшим уменьшением эллиптичности вплоть до = 0 существенных изменений распределения уже не происходит.

Распределение при < 2 показано на рис.2б.

Если степень поляризации поля не очень близка к циркулярной, существенной области отвечают азимутальные углы, близкие к / 2 :

и разлагая при < < 1 функцию (1.17) по степеням. Оба указанных упрощения, каждое из которых справедливо в своем интервале значений, приводят к одному и тому же результату, впервые полученному в [7]:

Поскольку (1.20) получается из общего выражения (1.18) как при 3 > > > > 1, так и при < < 1, его применение оправдано и в промежуточной области 1.

Асимптотически, при F / Fa 0, область применимости распределения (20) распространяется на весь интервал эллиптичностей. Однако, при значениях напряженности поля, характерных для современных экспериментов, различия между распределением (1.18) и его упрощенной формой (1.20) отчетливо видны уже при промежуточных эллиптичностях, формально относящихся к области применимости (1.20). Так, при параметрах рис.1, заметные различия между (1.18) и (1.20) возникают при > 0,7, а в полях с большей интенсивностью это произойдет еще раньше. Качественно различие проявляется в том, что с приближением к единице эффективная область в (1.18) начинает изгибаться вдоль полевого эллипса (см. рис.1), в то время, как в (1.20) она остается параллельной большой оси эллипса поляризации.

вытекающий из анализа (1.18), состоит в том, что при промежуточных значениях эллиптичности фотоэлектроны вылетают в основном вдоль малой оси эллипса поляризации - в направлении, перпендикулярном максимальному электрическому полю [7,39,40]. Кроме того, полученное выражение для импульсного распределения корректно описывает предельный переход к распределения.

качественных выводов необходим эксперимент, в котором бы измерялось непосредственно распределение по импульсам (то есть по энергии и углу вылета электронов). С технической точки зрения гораздо проще измерить угловое (проинтегрированное по энергиям) распределение или энергетический спектр. Поэтому представляется важным исследовать эти интегральные характеристики.

Квадратичная зависимость показателя экспоненты от модуля импульса в (1.18) позволяет выполнить интегрирование по этой переменной аналитически и получить угловое распределение в виде:

Здесь D - константа, а f, g, h - функции эллиптичности и сферических углов, определяемые следующим образом:

При любых значениях эллиптичности распределение, как функция полярного угла, сосредоточено вблизи плоскости поляризации. Поэтому для анализа эволюции углового распределения достаточно рассмотреть (1.21) при = / 2.

Представленные на рис.3 диаграммы направленности, пронумерованные в порядке убывания эллиптичности, дают наглядное представление об эволюции углового распределения в плоскости поляризации. В соответствии с характером кривых можно выделить четыре стадии.

окружность на рисунках не представлена) и близкое к изотропному распределение в узком интервале эллиптичностей 3 < < 1 (кривая Распределение вытянуто вдоль малой оси эллипса поляризации, то есть фотоэлектроны вылетают преимущественно в направлении, перпендикулярном максимальному электрическому полю (кривые 2, 3 на рис.3). Максимум около = / 2 формируется быстро, при небольшом изменении в окрестности 3 и сохраняется в широком качественно меняется: возникает второй, по началу более слабый первоначального максимума убывает, а его положение сдвигается от первоначального максимума исчезают при = ( F / Fa ) 1 / 3 [40].

При < 1 распределение с одним максимумом вытянуто вдоль большой оси эллипса поляризации (кривая 6) и качественно не отличается от распределения в линейно поляризованном поле.

В широком интервале эллиптичностей 2 < < 1 показатель экспоненты в (1.21) содержит большой множитель ( / 1 ) 2, что позволяет существенно упростить формулу для углового распределения. Проводя в (1.21) разложение При = 1 зависимость от азимутального угла в (1.22) отсутствует. При других значениях эллиптичности распределение имеет максимум при = / 2 и компенсирует большой множитель ( / 1 ) 2, распределение плавное и не сильно отличается от изотропного. Вблизи эллиптичности 3 = 1 F / Fa происходит перестройка распределения, обусловленная тем, что коэффициент перед cos в (1.22) становится большим: формируется максимум в направлении малой оси эллипса поляризации. Ширина максимума уменьшается с уменьшением вплоть до = 1 / 2. При дальнейшем уменьшении эллиптичности ширина начинает расти, достигая значений порядка единицы при = 2. Значительное увеличение ширины и изотропизация распределения по азимутальному углу в окрестности 2 представляют собой промежуточную стадию в превращении распределение, вытянутое вдоль его большой оси, как это должно быть в линейно поляризованном поле.

Несмотря на то, что в переходной области характерные значения эллиптичности малы по сравнению с единицей, существенно упростить выражение (1.21) не удается. Угловое распределение формируется здесь как результат совместного влияния всех факторов. Только при < 1 вид распределения задается одним множителем g 3 / 2 и с точностью до поправок порядка ( / 1 ) 2 совпадает с распределением в линейно поляризованном поле [36].

В недавнем эксперименте [19], выполненном уже после появления работ [39,40], впервые были измерены угловые распределения фотоэлектронов в процессе туннельной ионизации эллиптически поляризованным лазерным интенсивностью J 1018 Вт/см 2 ( = 0,05; F / Fa = 0,07 ). Сравнение угловых диаграмм, рассчитанных из (1.21) (рис.3) с представленными в [19] экспериментальными результатами демонстрирует вполне удовлетворительное согласие.

В отличие от углового распределения получить единую, применимую при произвольной эллиптичности формулу для энергетического спектра не удается. На рис.4 представлен результат численного интегрирования по углам импульсного распределения (1.18). Приведенные графики демонстрируют общую картину эволюции спектра при изменении эллиптичности от единицы до перемещается в сторону меньших энергий, сохраняя при этом практически неизменную ширину (кривая 1 на рис.4). Начиная с некоторого значения эллиптичности, пик становится асимметричным за счет того, что растет его ширина со стороны больших энергий, в то время как максимум продолжает движение в сторону малых.

Сравнительно простые аналитические формулы для спектра получаются в предельных случаях больших и малых значений. Интегрируя распределение (1.18), предварительно разложив показатель экспоненты по малым отклонениям азимутального угла от / 2, находим:

где z = Произведение exp( z ) I 0 ( z ) является монотонной функцией с простыми асимптотиками:

Выражение (1.23) применимо при условии 2 < < 1. При = 1 из (1.23), (1.24) получается известный спектр в циркулярно поляризованном поле [35,36]. При достаточно большом отклонении от циркулярной поляризации имеем:

При < 2 спектр получается интегрированием (1.20):

где функция двух переменных R( x, y ) определена как В случае линейной поляризации из (1.26), (1.27) мгновенно получаем известные выражения [35,36]. Тот же вид спектра сохраняется, пока < 1. При больших поведение функции R (и, соответственно, спектра) при p > p F такое же, как и при = 0. При p < p F функция R пропорциональна появляется еще один фактор, подавляющий спектр в области малых p. Провал около начала координат расширяется до величины p F, на которую приходится положение максимума. Описанная ситуация сохраняется до тех пор, эллиптичности, кроме самых малых, положение максимума энергетического спектра определяется одним и тем же соотношением p max = p F.

1.5. Статический предел в спектрально-угловом распределении.

Начиная с работ [33,52,53] для анализа спектров надпороговой ионизации широко применяется основанная на идеологии туннелирования феноменологическая двухступенчатая модель ионизации, основные положения которой можно сформулировать следующим образом.

Процесс ионизации и детектирования электрона рассматривается как состоящий из двух этапов. На первом этапе в некоторый момент времени t происходит мгновенный переход электрона из связанного состояния в континуум. Вероятность такого перехода равна вероятности ионизации атома статическим полем Wstat [ F ( t0 ) ], величина которого суть модуль напряженности лазерного поля в момент ионизации:

момент выхода в континуум электрон имеет скорость равную нулю: v ( t 0 ) = 0.

На втором этапе рассчитывается классическая траектория электрона в лазерном поле. Получающаяся при этом асимптотическая (устанавливающаяся по выходе электрона за пределы лазерного фокуса или по выключении самого поля) скорость электрона определяет импульс, с которым тот попадает в детектор. В случае коротких лазерных импульсов, когда канонический импульс электрона p является интегралом движения, связь между импульсом электрона на бесконечности и его начальной скоростью имеет вид: p = v ( t 0 ) A( t 0 ) / c, что с учетом условия v ( t 0 ) = 0 дает:

Распределение фотоэлектронов по наблюдаемым величинам p получается суммированием по оптическому периоду вкладов всех моментов t 0 с весом Wstat [ F ( t0 ) ] при учете (1.28). В работе [54] двухступенчатая модель была усовершенствована путем введения узкого изотропного распределения по начальным скоростям фотоэлектронов с максимумом при v ( t0 ) = 0.

В случае линейной и циркулярной поляризации было показано, что полученное в рамках изложенной процедуры импульсное распределение электронов мало отличается от рассчитанного в рамках модели Келдыша [52].

Однако, нерешенным оставался вопрос о том, в какой мере результаты двухступенчатой модели (с распределением по скоростям или без него) соответствуют более строгим квантовым расчетам.

В данном разделе устанавливается соответствие между результатами, полученными выше в рамках последовательного квантово-механического подхода и двухступенчатой моделью ионизации.

Обратимся к импульсному распределению, записанному в форме (1.14).

Здесь t 0 ( p ) - вещественная величина, имеющая смысл момента времени, вблизи которого, происходит квантовый переход в состояние p. Распределение по моментам ионизации t0 в духе двухступенчатой модели можно получить, переходя в (1.14) к новым переменным. Для этого введем скорость электрона в момент ионизации:

В новых переменных { t 0, v ( t 0 )} уравнение (1.13) записывается в виде:

Перейдем в пространстве скоростей в систему координат, вращающуюся вокруг направления распространения волны (ось z ) синхронно с вектором полевого импульса p F ( t ). Единичные вектора новой системы координат в плоскости поляризации направлены вдоль мгновенного электрического поля F ( t 0 ) и по нормали к нему. Условие (1.30) означает равенство нулю проекции мгновенной скорости на направление электрического поля:

Две другие компоненты скорости произвольны и могут быть выбраны в качестве независимых переменных. Вычисляя якобиан перехода от переменных { px, p y, pz } к новым переменным { v n, v z, t 0 } при условии (1.31), получим из (1.14):

мгновенному электрическому полю F ( t 0 ). Если электрон мгновенно рождается в момент времени t последующее движение в поле короткого лазерного импульса задается выражением:

По выключении лазерного импульса при t значение импульса, с которым детектируется электрон:

Распределение (1.32), дополненное условием (1.34) эквивалентно результату (1.14) и отличается только выбором независимых переменных. С ионизации и по скоростям в момент ионизации.

После интегрирования (1.32) по скоростям получим распределение по моментам ионизации:

которое в точности совпадает с отнесенной к оптическому периоду вероятностью ионизации в единицу времени из потенциала нулевого радиуса постоянным электрическим полем напряженностью F ( t 0 ). Распределения (1.32) и (1.35) зависят от эллиптичности только через величину поля F ( t0 ).

Интеграл по периоду от (1.35) дает вероятность ионизации в единицу времени переменным низкочастотным эллиптически поляризованным полем:

Результат, в точности совпадающий с (1.36), впервые был получен в работе [6] на основе адиабатического подхода к описанию ионизации в низкочастотном поле. Таким образом, мы показали, что основная формула адиабатической модели фотоионизации (1.36) напрямую и без каких-либо дополнительных упрощений следует из модели Келдыша при условии < < 1. Более того, предшествующий результат (1.32) демонстрирует, что переход к статическому пределу в теории надпороговой ионизации может быть реализован на стадии импульсного распределения.

Обратим внимание на то, что распределение по скоростям (1.32) сосредоточено в плоскости, перпендикулярной мгновенному направлению электрического поля, это есть является существенно анизотропным. Как уже отмечалось, в работе [54] для модернизации полуклассической модели использовалась эмпирическая форма распределения по скоростям, предполагавшая его полную изотропию. Видно, что такое предположение о характере распределения оказывается совершенно неправильным. Тем не менее, экспериментальными данными. Причина здесь в том, что при значениях параметров поля и атома, соответствующих условиям эксперимента ( Ne8 +, J = 1018 W / cm 2, = 0.05 ) характерный разброс по начальным энергиям in = v / 2 (ширина распределения (1.32)) составляет in IF / Fa 7eV, что примерно на порядок меньше разрешения по энергиям, достигнутого в [54]. В более поздней работе тех же авторов [55] распределение по начальным скоростям введено уже в рамках изложенного выше подхода.

ГЛАВА 2. ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ ФОТОЭЛЕКТРОНА В

ПРОЦЕССЕ ТУННЕЛЬНОЙ ИОНИЗАЦИИ.

Пространственное распределение электронной плотности при ионизации сильным лазерным полем рассчитывалось путем численного решения уравнения Шредингера [56-58]. Однако, полученные в прямых численных расчетах результаты не выглядят слишком информативными и обычно используются для качественной демонстрации расплывания электронного облака и его ярко выраженной интерференционной структуры на начальной стадии туннелирования [56].

Одним из исключений, когда результаты численных расчетов привели к формулировке ясной физической картины поведения атома в сильном поле, стало наблюдение дихотомического распределения электронной плотности и стабилизации атома в высокочастотном поле [59-62]. Однако, этот случай относится к распределению плотности связанного, а не ионизованного электрона, а кроме того соответствует многофотонному режиму ионизации.

Простая аналитическая картина эволюции волновой функции электрона в процессе надбарьерной ионизации была предложена в работе [63].

Предполагалось, что ионизация происходит мгновенно, волновая функция электрона в момент ионизации совпадает с волновой функцией атома в основном состоянии, а последующее движение электрона происходит в электрическом поле лазерной волны при слабом влиянии атомного потенциала.

Другими словами, модель [63] предполагает мгновенное и полное истощение основного состояния. Было отмечено, что взаимодействие расплывающегося волнового пакета с атомом претерпевает качественное изменение, когда его ширина становится больше амплитуды колебаний пакета в лазерном поле.

Перечисленные случаи не затрагивают туннельного режима ионизации.

Таким образом, в современной литературе отсутствуют простые аналитические результаты, описывающие динамику волнового пакета ионизованного электрона в туннельном пределе. Между тем, понимание этой динамики необходимо при рассмотрении эффектов, связанных с взаимодействием ионизованного электрона с атомным остатком: генерации высоких гармоник, многоэлектронной ионизации и перерассеяния.

В данной главе изложены результаты расчета пространственновременной картины ионизации в туннельном пределе ( = 2 I / F < < 1 ), когда, в отличие от надбарьерного развала, истощение основного состояния происходит за много оптических периодов, так что картина ионизации оказывается квазипериодической. Основное внимание уделено исследованию быстрых (происходящих за время, сравнимое с оптическим периодом) пульсаций электронной плотности в точке расположения атома. Подробно рассмотрена также структура электронного волнового пакета в процессе его выхода из-под создаваемого полем потенциального барьера.

2.1. Волновая функция ионизованного электрона в координатном В предыдущей главе найдена волновая функция фотоэлектрона в p представлении и при t. Нам остается обобщить этот результат на случай произвольного момента времени t и перейти к координатному представлению.

Далее за исключением особо оговоренных случаев рассматриваем линейно поляризованное поле с векторным потенциалом:

Искомая координатная волновая функция ионизованного электрона есть:

Выражение для амплитуды ионизации ( 0 ) k, t приведено в (1.6), а волковские волновые функции Вычислим амплитуду (1.6) методом перевала. В линейно поляризованном поле (2.1) уравнение для точек перевала интеграла (1.6) имеет вид где v x ( t ) = k x + p F cos t и p F = F /. В туннельном режиме комплексные корни t s уравнения (2.3) расположены вблизи вещественной оси. С точностью до членов порядка < < 1 мнимая часть корня равна времени пролета электрона под барьером /, которое составляет малую долю оптического периода [4]. С той же точностью вещественная часть точки t s совпадает с реальным моментом времени t 0, когда достигает минимума кинетическая энергия электрона. Для существенных в спектре прямой ионизации импульсов k x < p F в этот момент обращается в ноль проекция скорости на направление линейной поляризации (подробнее см. Главу 1):

Вклад отдельной точки перевала, вычисленный с точностью до членов куда нужно еще подставить найденную из (2.4) зависимость t 0 = t 0 ( k x ). В (2.5) обозначено: k - импульс в плоскости ортогональной оси x ; F ( t ) = F sin t t множитель соответствует ионизации из ямы нулевого радиуса.

Амплитуда (1.6) может быть представлена в виде суммы вкладов всех стационарных точек, попадающих в пределы интегрирования:

Здесь ( x ) - ступенчатая функция, а сумма берется по всем решениям уравнения (2.4). Амплитуда ионизации в представлении (2.6) выглядит так, как будто вклад каждой стационарной точки формируется мгновенно. На самом деле, это происходит за малое время tr = / [41]. Поэтому при рассмотрении временной эволюции волновой функции мы вынуждены будем ограничиться временными масштабами, превосходящими tr. Ниже будет показано, что tr есть характерное время формирования поперечной структуры электронного волнового пакета.

Подставляя (2.6) в (2.2), получим, что координатная волновая функция парциальных вкладов от отдельных оптических периодов. Этот результат несложно понять, учитывая, что при суммировании по k в (2.2) стационарная точка t 0n k не выводится за пределы одного оптического полупериода.

Поскольку фактор истощения основного состояния атома оказывается неучтенным (см. Главу 1), достаточно рассмотреть вклад в волновую функцию, формирующийся на одном периоде лазерного поля и его эволюцию со временем. Для определенности будем иметь ввиду период < t 0 <. Вклад в амплитуду ионизации (2.6) от стационарных точек, расположенных на данном периоде, удобно представить в виде интеграла:

где обозначено = t. В результате получаем для вклада в волновую функцию от одного периода:

Интегрирование по поперечным импульсам в (2.8) выполняется аналитически.

разных полупериодов разнесены во времени и поэтому могут быть рассмотрены представляет собой нормированный двумерный гауссов волновой пакет для свободной частицы, родившейся в момент времени t 0 с начальной шириной волновой функции основного состояния. Ширина волнового пакета (2.10) в момент времени t есть:

где v = 1 - скорость расплывания в поперечном направлении.

под интегралом (2.9) можно интерпретировать, как координатную волновую функцию электрона, мгновенно инжектированного в континуум в момент времени t 0. Она представляет собой волновой пакет в плоскости, поперечной электрическому полю и плоскую волковскую волну в направлении линейной поляризации. Пространственно-временная структура парциального волнового таких состояний с комплексными весами В отличие от поперечной, продольная структура волнового пакета формируется не мгновенно, а непрерывным образом, причем основной вклад возникает от точек, близких к / 2, когда туннельная экспонента exp близка к =. Очевидно, это есть время, в течение которого осциллирующий потенциальный барьер остается открытым.

стандартной квантово-механической постановки, состоит в том, что в состав волнового пакета непрерывно включаются новые волны вида (2.12), в то время самосогласованность физической картины, в которой присутствуют различные пространственной структуры волновой функции, обеспечивается условием > = tr. Последнее неравенство можно переписать в виде:

Условие (2.14) выполняется с ростом поля F и накладывает ограничение на применимость нашего приближения, которое, как видно, адекватно описывает пространственно-временную картину ионизации только в достаточно глубоком туннельном режиме.

Прежде чем переходить к рассмотрению приближенных аналитических формул, обратимся непосредственно к результатам численного интегрирования выражения (2.9). Продольный профиль парциального волнового пакета, рассчитанный из (2.9) при = 0, изображен на рисунках 5-7. Кривая, представленная на рис.5 отвечает моменту времени t1 в самом начале интервала формирования волнового пакета. Узкий асимметричный пик имеет максимум в точке рожденными в моменты времени t 0 < t1 с комплексными амплитудами (2.13), равна нулю. Если рассматривать задачу об ионизации в калибровке скалярного потенциала, величина x0 приобретает смысл точки поворота, в которой туннелирующий электрон выходит из-под потенциального барьера. Таким образом, электрон возникает в континууме на расстоянии, значительно превышающем боровский радиус ( x0 > > a = 1 / 2 I ). Плавно спадающая часть волновой функции справа от пика формируется благодаря расплыванию той части волнового пакета, которая была инжектирована в континуум в предшествующие моменты времени. Ширину этой части волновой функции представленных в спектре продольных импульсов. В туннельном режиме эта величина значительно превосходит ширину потенциального барьера x0.

Момент времени t2 (кривая 1 на рис.6) также выбран внутри интервала формирования пакета, но расположен уже после прохождения напряженности поля через максимум ( t 2 > / 2 ) и на большем расстоянии от этого максимума ( t 2 / 2 > / 2 t1 ). Здесь узкий пик при x x0 ниже, чем на предыдущем графике из-за меньшего значения туннельной экспоненты. В тоже время, плавная правая часть волновой функции становится шире, так как содержит более широкий спектр импульсов.

Момент времени t3 (кривая 2 на рис.6) расположен вне области формирования пакета, но относится к тому же полупериоду, на котором пакет формируется. Здесь инжекция электронов в континуум уже прекратилась, что привело к исчезновению узкого пика. Формирование пакета практически закончилось, и он начинает движение в электрическом поле. Кривые 1 и 2 на рис.7 изображают профиль пакета в моменты времени, когда его центр впервые достигает наибольшего удаления от атома и при первом возврате к атому, соответственно. Из-за сильного расплывания абсолютные значения электронной плотности в момент возврата существенно меньше, чем в период формирования пакета, а его ширина существенно превосходит как атомный размер, так и ширину потенциального барьера.

описывающих эволюцию пакета. В принципе, для вычисления интеграла (2.9) можно воспользоваться методом перевала, поскольку фаза подынтегрального учесть два обстоятельства, усложняющие вычисления: 1) когда текущий момент времени лежит внутри интервала формирования пакета, вклад концевой точки в производная фазы в (2.9) мала, и интеграл сходится за счет высших членов в разложении фазы. Таким образом, при t / 2 x :

Выражение (2.15) описывает узкий пик на рис.5 и 6, причем первый множитель в (2.15) ответственен за изменение высоты пика со временем. Профиль пика описывается интегральным множителем в (2.15), который может быть выражен через функции Эйри [50]. Максимум этой функции расположен в точке l = x0 ( F / Fa ) 2 / 3 < < x0, так что по обе стороны от максимума интеграл (2.15) может быть заменен асимптотическими выражениями [50]. При x x0 > профиль пакета изрезан частыми осцилляциями, характерными для функции Эйри отрицательного аргумента, а его огибающая спадает по закону ( x x0 ) 1 / 2.

Осциллирующая структура пакета возникает как результат интерференции волн (2.13), инжектированных в континуум в различные моменты времени.

x = l = x0 ( F / Fa ) 2 / 3. Интерференционный вид профиля волнового пакета в момент выхода из-под потенциального барьера отмечался в работе [56]. В подбарьерную область электронная плотность спадает как l 2 / ( x x0 ) 2.

Более простые аналитические выражения для (2.9) могут быть получены на временах, лежащих далеко за пределами интервала формирования пакета.

При этом вклад концевой точки в интеграл пренебрежимо мал, и можно воспользоваться обычным методом перевала. Волновая функция выглядит, как трехмерный гауссов волновой пакет, сформировавшийся мгновенно при одномерный гауссов волновой пакет для свободной частицы:

поляризованном лазерном поле:

Продольная ширина волнового пакета (2.17) растет со временем как:

смысл начальной ширины в продольном направлении. Скорость расплывания в продольном направлении больше, чем в поперечном в 1 / раз.

Отметим, что выражения (2.16) – (2.19) применимы только при условии / 2 > > x, и не описывают пакет на начальной стадии эволюции. В частности, в процессе формирования продольный размер волнового пакета никогда не бывает равным x, а существенно превышает эту величину.

полупериоде, когда электрическое поле направлено в противоположную сторону, представляет собой зеркальное отражение пакета (2.16) относительно ( y, z ). Каждый из парциальных пакетов имеет равную нулю плоскости электрического поля, одновременно расплываясь как свободный.

Таким образом, вклад в волновую функцию от всех волновых пакетов за исключением находящегося в стадии формирования последнего, можно представить в виде:

где парциальный пакет n0 ) ( r, t ) задается выражениями (2.16)-(2.19), в которых произведена замена / 2 n / 2. Каждый из парциальных пакетов в (2.20) имеет норму, равную вероятности ионизации за полпериода, однако, их вклад в формирование электронной плотности в месте расположения атома различен. Для нескольких «новых» пакетов, сформировавшихся на последних по времени оптических периодах, продольная ширина (2.19) меньше амплитуды осцилляций F / Вклад этих, относительно узких, пакетов в электронную плотность в начале координат испытывает существенные осцилляции. Для «старых» пакетов продольная ширина превышает амплитуду колебаний в поле, и их вклад в электронную плотность является практически стационарным. Если число периодов в лазерном импульсе N > > N eff, вклад таких пакетов в плотность является определяющим, а сам процесс ионизации выходит на стационарный (при отсутствии истощения) режим.

Заметим также, что два парциальных пакета, сформировавшихся на соседних полупериодах, возвращаются к симметричным по отношению к расположению атома точкам ± x0, так что их вклад в электронную плотность в начале координат в момент возврата одинаков. Как следствие, электронная плотность вблизи атомного остова изменяется с частотой 2, что является причиной удвоенного по частоте шага в спектре высоких гармоник.

2.3. Случай эллиптической поляризации.

Рассмотрим теперь кратко случай эллиптической поляризации. При выполнении условия: 1 > > F / Fa, когда поляризация не слишком близка к циркулярной, формирование продольной структуры волнового пакета поFa прежнему происходит вблизи максимума туннельной экспоненты exp.

Соответственно, как и в линейно поляризованном поле, на оптическом периоде возникают два парциальных волновых пакета – каждый вблизи своего максимума поля. Время формирования остается малым по сравнению с оптическим периодом, и может быть оценено как:

Существенно новым элементом, который привносится с переходом к эллиптически поляризованному полю, является появление дрейфа парциальных пакетов вдоль малой оси эллипса поляризации. Например, центр волнового пакета, возникшего вблизи 0 = / 2, движется вдоль малой оси эллипса поляризации по закону:

Центр пакета дрейфует в положительном направлении со скоростью v dr = p F.

Пакет, рожденный на соседнем полупериоде, дрейфует в противоположном направлении. Скорость поперечного расплывания по-прежнему дается выражением (2.11).

Наличие ненулевого поперечного дрейфа приводит к подавлению процессов перерассеяния [53,64] и привносит качественные изменения в форму углового распределения. Существенное ослабление взаимодействия электрона с атомным остатком происходит, как только поперечное смещение пакета при первом возврате превысит его поперечную же ширину. Как следует из (2.11) и (2.22), такая ситуация возникает при > 1 = F / Fa. Этому же значению эллиптичности отвечает и начало перехода от вытянутого вдоль оси x углового дрейфа в поперечном направлении становится больше скорости продольного расплывания, что приводит к вытягиванию углового распределения в направлении, поперечном максимальному электрическому полю. Наконец, в случае поляризации, близкой к циркулярной экспонента в (2.9) перестает зависеть от времени, и парциальный пакет формируется непрерывно в течение всего оптического цикла.

Основные качественные выводы, вытекающие из анализа изложенных в данной главе результатов, можно сформулировать следующим образом:

• В процессе туннельной ионизации волновой пакет фотоэлектрона формируется на краю потенциального барьера, на расстоянии, существенно превышающем размер атома. Как следствие, процессы перерассеяния в этот момент времени подавлены и эффективно происходят только при возвратах волнового пакета к атомному остатку.

• В линейно поляризованном поле волновые пакеты обладают нулевой дрейфовой скоростью. В результате, в достаточно длительных лазерных импульсах создается ненулевое фоновое значение электронной плотности в точке расположения атома, возникающее при сложении многих сильно расплывшихся пакетов.

ГЛАВА 2. ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ ФОТОЭЛЕКТРОНА В

ПРОЦЕССЕ ТУННЕЛЬНОЙ ИОНИЗАЦИИ.

Пространственное распределение электронной плотности при ионизации сильным лазерным полем рассчитывалось путем численного решения уравнения Шредингера [56-58]. Однако, полученные в прямых численных расчетах результаты не выглядят слишком информативными и обычно используются для качественной демонстрации расплывания электронного облака и его ярко выраженной интерференционной структуры на начальной стадии туннелирования [56].

Одним из исключений, когда результаты численных расчетов привели к формулировке ясной физической картины поведения атома в сильном поле, стало наблюдение дихотомического распределения электронной плотности и стабилизации атома в высокочастотном поле [59-62]. Однако, этот случай относится к распределению плотности связанного, а не ионизованного электрона, а кроме того соответствует многофотонному режиму ионизации.

Простая аналитическая картина эволюции волновой функции электрона в процессе надбарьерной ионизации была предложена в работе [63].

Предполагалось, что ионизация происходит мгновенно, волновая функция электрона в момент ионизации совпадает с волновой функцией атома в основном состоянии, а последующее движение электрона происходит в электрическом поле лазерной волны при слабом влиянии атомного потенциала.

Другими словами, модель [63] предполагает мгновенное и полное истощение основного состояния. Было отмечено, что взаимодействие расплывающегося волнового пакета с атомом претерпевает качественное изменение, когда его ширина становится больше амплитуды колебаний пакета в лазерном поле.

Перечисленные случаи не затрагивают туннельного режима ионизации.

Таким образом, в современной литературе отсутствуют простые аналитические результаты, описывающие динамику волнового пакета ионизованного электрона в туннельном пределе. Между тем, понимание этой динамики необходимо при рассмотрении эффектов, связанных с взаимодействием ионизованного электрона с атомным остатком: генерации высоких гармоник, многоэлектронной ионизации и перерассеяния.

В данной главе изложены результаты расчета пространственновременной картины ионизации в туннельном пределе ( = 2 I / F < < 1 ), когда, в отличие от надбарьерного развала, истощение основного состояния происходит за много оптических периодов, так что картина ионизации оказывается квазипериодической. Основное внимание уделено исследованию быстрых (происходящих за время, сравнимое с оптическим периодом) пульсаций электронной плотности в точке расположения атома. Подробно рассмотрена также структура электронного волнового пакета в процессе его выхода из-под создаваемого полем потенциального барьера.

2.1. Волновая функция ионизованного электрона в координатном В предыдущей главе найдена волновая функция фотоэлектрона в p представлении и при t. Нам остается обобщить этот результат на случай произвольного момента времени t и перейти к координатному представлению.

Далее за исключением особо оговоренных случаев рассматриваем линейно поляризованное поле с векторным потенциалом:

Искомая координатная волновая функция ионизованного электрона есть:

Выражение для амплитуды ионизации ( 0 ) k, t приведено в (1.6), а волковские волновые функции Вычислим амплитуду (1.6) методом перевала. В линейно поляризованном поле (2.1) уравнение для точек перевала интеграла (1.6) имеет вид где v x ( t ) = k x + p F cos t и p F = F /. В туннельном режиме комплексные корни t s уравнения (2.3) расположены вблизи вещественной оси. С точностью до членов порядка < < 1 мнимая часть корня равна времени пролета электрона под барьером /, которое составляет малую долю оптического периода [4]. С той же точностью вещественная часть точки t s совпадает с реальным моментом времени t 0, когда достигает минимума кинетическая энергия электрона. Для существенных в спектре прямой ионизации импульсов k x < p F в этот момент обращается в ноль проекция скорости на направление линейной поляризации (подробнее см. Главу 1):

Вклад отдельной точки перевала, вычисленный с точностью до членов куда нужно еще подставить найденную из (2.4) зависимость t 0 = t 0 ( k x ). В (2.5) обозначено: k - импульс в плоскости ортогональной оси x ; F ( t ) = F sin t t множитель соответствует ионизации из ямы нулевого радиуса.

Амплитуда (1.6) может быть представлена в виде суммы вкладов всех стационарных точек, попадающих в пределы интегрирования:

Здесь ( x ) - ступенчатая функция, а сумма берется по всем решениям уравнения (2.4). Амплитуда ионизации в представлении (2.6) выглядит так, как будто вклад каждой стационарной точки формируется мгновенно. На самом деле, это происходит за малое время tr = / [41]. Поэтому при рассмотрении временной эволюции волновой функции мы вынуждены будем ограничиться временными масштабами, превосходящими tr. Ниже будет показано, что tr есть характерное время формирования поперечной структуры электронного волнового пакета.

Подставляя (2.6) в (2.2), получим, что координатная волновая функция парциальных вкладов от отдельных оптических периодов. Этот результат несложно понять, учитывая, что при суммировании по k в (2.2) стационарная точка t 0n k не выводится за пределы одного оптического полупериода.

Поскольку фактор истощения основного состояния атома оказывается неучтенным (см. Главу 1), достаточно рассмотреть вклад в волновую функцию, формирующийся на одном периоде лазерного поля и его эволюцию со временем. Для определенности будем иметь ввиду период < t 0 <. Вклад в амплитуду ионизации (2.6) от стационарных точек, расположенных на данном периоде, удобно представить в виде интеграла:

где обозначено = t. В результате получаем для вклада в волновую функцию от одного периода:

Интегрирование по поперечным импульсам в (2.8) выполняется аналитически.

разных полупериодов разнесены во времени и поэтому могут быть рассмотрены представляет собой нормированный двумерный гауссов волновой пакет для свободной частицы, родившейся в момент времени t 0 с начальной шириной волновой функции основного состояния. Ширина волнового пакета (2.10) в момент времени t есть:

где v = 1 - скорость расплывания в поперечном направлении.

под интегралом (2.9) можно интерпретировать, как координатную волновую функцию электрона, мгновенно инжектированного в континуум в момент времени t 0. Она представляет собой волновой пакет в плоскости, поперечной электрическому полю и плоскую волковскую волну в направлении линейной поляризации. Пространственно-временная структура парциального волнового таких состояний с комплексными весами В отличие от поперечной, продольная структура волнового пакета формируется не мгновенно, а непрерывным образом, причем основной вклад возникает от точек, близких к / 2, когда туннельная экспонента exp близка к =. Очевидно, это есть время, в течение которого осциллирующий потенциальный барьер остается открытым.

стандартной квантово-механической постановки, состоит в том, что в состав волнового пакета непрерывно включаются новые волны вида (2.12), в то время самосогласованность физической картины, в которой присутствуют различные пространственной структуры волновой функции, обеспечивается условием > = tr. Последнее неравенство можно переписать в виде:

Условие (2.14) выполняется с ростом поля F и накладывает ограничение на применимость нашего приближения, которое, как видно, адекватно описывает пространственно-временную картину ионизации только в достаточно глубоком туннельном режиме.

Прежде чем переходить к рассмотрению приближенных аналитических формул, обратимся непосредственно к результатам численного интегрирования выражения (2.9). Продольный профиль парциального волнового пакета, рассчитанный из (2.9) при = 0, изображен на рисунках 5-7. Кривая, представленная на рис.5 отвечает моменту времени t1 в самом начале интервала формирования волнового пакета. Узкий асимметричный пик имеет максимум в точке рожденными в моменты времени t 0 < t1 с комплексными амплитудами (2.13), равна нулю. Если рассматривать задачу об ионизации в калибровке скалярного потенциала, величина x0 приобретает смысл точки поворота, в которой туннелирующий электрон выходит из-под потенциального барьера. Таким образом, электрон возникает в континууме на расстоянии, значительно превышающем боровский радиус ( x0 > > a = 1 / 2 I ). Плавно спадающая часть волновой функции справа от пика формируется благодаря расплыванию той части волнового пакета, которая была инжектирована в континуум в предшествующие моменты времени. Ширину этой части волновой функции представленных в спектре продольных импульсов. В туннельном режиме эта величина значительно превосходит ширину потенциального барьера x0.

Момент времени t2 (кривая 1 на рис.6) также выбран внутри интервала формирования пакета, но расположен уже после прохождения напряженности поля через максимум ( t 2 > / 2 ) и на большем расстоянии от этого максимума ( t 2 / 2 > / 2 t1 ). Здесь узкий пик при x x0 ниже, чем на предыдущем графике из-за меньшего значения туннельной экспоненты. В тоже время, плавная правая часть волновой функции становится шире, так как содержит более широкий спектр импульсов.

Момент времени t3 (кривая 2 на рис.6) расположен вне области формирования пакета, но относится к тому же полупериоду, на котором пакет формируется. Здесь инжекция электронов в континуум уже прекратилась, что привело к исчезновению узкого пика. Формирование пакета практически закончилось, и он начинает движение в электрическом поле. Кривые 1 и 2 на рис.7 изображают профиль пакета в моменты времени, когда его центр впервые достигает наибольшего удаления от атома и при первом возврате к атому, соответственно. Из-за сильного расплывания абсолютные значения электронной плотности в момент возврата существенно меньше, чем в период формирования пакета, а его ширина существенно превосходит как атомный размер, так и ширину потенциального барьера.

описывающих эволюцию пакета. В принципе, для вычисления интеграла (2.9) можно воспользоваться методом перевала, поскольку фаза подынтегрального учесть два обстоятельства, усложняющие вычисления: 1) когда текущий момент времени лежит внутри интервала формирования пакета, вклад концевой точки в производная фазы в (2.9) мала, и интеграл сходится за счет высших членов в разложении фазы. Таким образом, при t / 2 x :

Выражение (2.15) описывает узкий пик на рис.5 и 6, причем первый множитель в (2.15) ответственен за изменение высоты пика со временем. Профиль пика описывается интегральным множителем в (2.15), который может быть выражен через функции Эйри [50]. Максимум этой функции расположен в точке l = x0 ( F / Fa ) 2 / 3 < < x0, так что по обе стороны от максимума интеграл (2.15) может быть заменен асимптотическими выражениями [50]. При x x0 > профиль пакета изрезан частыми осцилляциями, характерными для функции Эйри отрицательного аргумента, а его огибающая спадает по закону ( x x0 ) 1 / 2.

Осциллирующая структура пакета возникает как результат интерференции волн (2.13), инжектированных в континуум в различные моменты времени.

x = l = x0 ( F / Fa ) 2 / 3. Интерференционный вид профиля волнового пакета в момент выхода из-под потенциального барьера отмечался в работе [56]. В подбарьерную область электронная плотность спадает как l 2 / ( x x0 ) 2.

Более простые аналитические выражения для (2.9) могут быть получены на временах, лежащих далеко за пределами интервала формирования пакета.

При этом вклад концевой точки в интеграл пренебрежимо мал, и можно воспользоваться обычным методом перевала. Волновая функция выглядит, как трехмерный гауссов волновой пакет, сформировавшийся мгновенно при одномерный гауссов волновой пакет для свободной частицы:

поляризованном лазерном поле:

Продольная ширина волнового пакета (2.17) растет со временем как:

смысл начальной ширины в продольном направлении. Скорость расплывания в продольном направлении больше, чем в поперечном в 1 / раз.

Отметим, что выражения (2.16) – (2.19) применимы только при условии / 2 > > x, и не описывают пакет на начальной стадии эволюции. В частности, в процессе формирования продольный размер волнового пакета никогда не бывает равным x, а существенно превышает эту величину.

полупериоде, когда электрическое поле направлено в противоположную сторону, представляет собой зеркальное отражение пакета (2.16) относительно ( y, z ). Каждый из парциальных пакетов имеет равную нулю плоскости электрического поля, одновременно расплываясь как свободный.

Таким образом, вклад в волновую функцию от всех волновых пакетов за исключением находящегося в стадии формирования последнего, можно представить в виде:

где парциальный пакет n0 ) ( r, t ) задается выражениями (2.16)-(2.19), в которых произведена замена / 2 n / 2. Каждый из парциальных пакетов в (2.20) имеет норму, равную вероятности ионизации за полпериода, однако, их вклад в формирование электронной плотности в месте расположения атома различен. Для нескольких «новых» пакетов, сформировавшихся на последних по времени оптических периодах, продольная ширина (2.19) меньше амплитуды осцилляций F / Вклад этих, относительно узких, пакетов в электронную плотность в начале координат испытывает существенные осцилляции. Для «старых» пакетов продольная ширина превышает амплитуду колебаний в поле, и их вклад в электронную плотность является практически стационарным. Если число периодов в лазерном импульсе N > > N eff, вклад таких пакетов в плотность является определяющим, а сам процесс ионизации выходит на стационарный (при отсутствии истощения) режим.

Заметим также, что два парциальных пакета, сформировавшихся на соседних полупериодах, возвращаются к симметричным по отношению к расположению атома точкам ± x0, так что их вклад в электронную плотность в начале координат в момент возврата одинаков. Как следствие, электронная плотность вблизи атомного остова изменяется с частотой 2, что является причиной удвоенного по частоте шага в спектре высоких гармоник.

2.3. Случай эллиптической поляризации.

Рассмотрим теперь кратко случай эллиптической поляризации. При выполнении условия: 1 > > F / Fa, когда поляризация не слишком близка к циркулярной, формирование продольной структуры волнового пакета поFa прежнему происходит вблизи максимума туннельной экспоненты exp.

Соответственно, как и в линейно поляризованном поле, на оптическом периоде возникают два парциальных волновых пакета – каждый вблизи своего максимума поля. Время формирования остается малым по сравнению с оптическим периодом, и может быть оценено как:

Существенно новым элементом, который привносится с переходом к эллиптически поляризованному полю, является появление дрейфа парциальных пакетов вдоль малой оси эллипса поляризации. Например, центр волнового пакета, возникшего вблизи 0 = / 2, движется вдоль малой оси эллипса поляризации по закону:

Центр пакета дрейфует в положительном направлении со скоростью v dr = p F.

Пакет, рожденный на соседнем полупериоде, дрейфует в противоположном направлении. Скорость поперечного расплывания по-прежнему дается выражением (2.11).

Наличие ненулевого поперечного дрейфа приводит к подавлению процессов перерассеяния [53,64] и привносит качественные изменения в форму углового распределения. Существенное ослабление взаимодействия электрона с атомным остатком происходит, как только поперечное смещение пакета при первом возврате превысит его поперечную же ширину. Как следует из (2.11) и (2.22), такая ситуация возникает при > 1 = F / Fa. Этому же значению эллиптичности отвечает и начало перехода от вытянутого вдоль оси x углового дрейфа в поперечном направлении становится больше скорости продольного расплывания, что приводит к вытягиванию углового распределения в направлении, поперечном максимальному электрическому полю. Наконец, в случае поляризации, близкой к циркулярной экспонента в (2.9) перестает зависеть от времени, и парциальный пакет формируется непрерывно в течение всего оптического цикла.

Основные качественные выводы, вытекающие из анализа изложенных в данной главе результатов, можно сформулировать следующим образом:

• В процессе туннельной ионизации волновой пакет фотоэлектрона формируется на краю потенциального барьера, на расстоянии, существенно превышающем размер атома. Как следствие, процессы перерассеяния в этот момент времени подавлены и эффективно происходят только при возвратах волнового пакета к атомному остатку.

• В линейно поляризованном поле волновые пакеты обладают нулевой дрейфовой скоростью. В результате, в достаточно длительных лазерных импульсах создается ненулевое фоновое значение электронной плотности в точке расположения атома, возникающее при сложении многих сильно расплывшихся пакетов.

ГЛАВА 3. ТУННЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ В ТЕОРИИ

ПЕРЕРАССЕЯНИЯ.

Выполненные в последнее время эксперименты [23,24,27-29] показали, что в сильном линейно поляризованном лазерном поле спектр фотоэлектронов, детектируемых вдоль некоторого фиксированного направления, состоит из двух участков с существенно различными свойствами. Начальный отрезок, вплоть до энергий порядка объясняется механизмом прямой надпороговой ионизации (подробнее см. Главу 1). Здесь спектр быстро убывает с ростом энергии электрона. Далее следует протяженный участок с относительно медленным убыванием, известный как высокоэнергетическое плато. Эта часть спектра формируется за счет перерассеяния. Наиболее отчетливо структура высокоэнергетической части спектра проявляется в туннельном режиме ионизации [27-29].

Цель данной главы – в рамках последовательного квантовомеханического подхода исследовать спектрально-угловые распределения фотоэлектронов в высокоэнергетической части спектра. Основное внимание уделено выявлению качественных закономерностей и исследованию зависимости эффекта перерассеяния от параметров лазерного поля и атома.

Рассмотрение ограничено туннельным режимом ионизации, когда доля перерассеянных электронов относительно невелика, так что описание самого эффекта может быть построено на основе итерационной процедуры решения уравнения (1.5) для амплитуды ионизации. Материал, изложенный в главе, соответствует содержанию работ [43-47].

3.1. Амплитуда перерассеяния в туннельном режиме.

рассмотрим вклад интегрального члена в спектры. При выполнении условий (1.7) и (1.8) интегральное слагаемое представляет собой малую добавку, так что уравнение (1.5) можно решать итерациями. Решение нулевого приближения (1.6) подробно рассмотрено в первой главе диссертации и представляет собой амплитуду прямой надпороговой ионизации, вычисленную в рамках модели Келдыша. В линейно поляризованном поле вклад амплитуды (1.6) в спектр ионизации существенен при < 2U P.

Выполняя следующую итерацию в (1.5), находим Выражение (3.1) имеет простой смысл: это вычисленная в первом порядке сформированного ионизацией когерентного пакета волковских состояний (2.2) в конечное состояние p ( r, t ). Если в качестве начального состояния в (3.1) взять отдельную волковскую волну, получим борновскую амплитуду вынужденного тормозного эффекта [65]. Таким образом, (3.1) описывает вклад в амплитуду фотоионизации, возникающий от однократного перерассеяния электрона на родительском ионе. Выражения, близкие по структуре к (3.1), получены в работах [26,37] на основе S - матричного подхода.

( 0 ) ( r, t ) = k ( 0 ) k, t ( r,t) описывает расплывающееся электронное облако, а ее норма при F < < Fa растет линейно с временем [42]. Это позволяет при ионизации в единицу времени. С учетом первой итерации в этой вероятности для конечных состояний с энергиями = p / 2 < 2U p преобладает прямая амплитуд обратное, то интересующая нас вероятность ионизации в состояния с большими энергиями определяется амплитудой перерассеяния (3.1). Узкую слагаемых, мы не рассматриваем.

После стандартной процедуры выделения периодической части в подынтегральном выражении (3.1) получим вероятность перерассеяния в единицу времени в виде:

где = p 2 / 2 + I + U P, а парциальная амплитуда Bn определена ниже. В условиях туннельного режима энергия лазерного кванта является наименьшим энергетическим масштабом задачи и, заменив в вероятности сумму по n интегралом, получим импульсное (спектрально – угловое) распределение, которое описывает огибающую надпороговых пиков:

В (3.3) коэффициенты ряда Фурье обозначены как Bn1) Дальнейшие вычисления основаны на использовании интегрального представления (2.7) для амплитуд нулевого приближения, которое в данном случае удобно записать в виде:

где Выражение (3.5) отличается от (2.5) множителем C ( F ), описывающим влияние формы атомного потенциала на вероятность прямой ионизации [9,66]. При правильный статический предел для случая кулонова поля. Таким образом, полученные нами результаты будут пригодны для описания перерассеяния на реальных атомах.

После подстановки (3.4), (3.5) в (3.1) амплитуда перерассеяния принимает вид пятикратного интеграла, который вычисляется следующим образом. Поскольку функция (0 ) k, t быстро убывает при k > ( F / Fa ) гауссовым, и его вычисление приводит к появлению в знаменателе подынтегральной функции комплексной поперечной ширины расплывающегося волнового пакета (см. ниже (3.6)). В остающемся двукратном интеграле изменяем порядок интегрирования и переходим к безразмерным временам необходимым свойством периодичности, обеспечивающей правильную форму закона сохранения энергии при ионизации. С учетом описанных выше преобразований амплитуда B ( 1) в (3.3) принимает вид Здесь фаза определена соотношением момент ионизации [42].

z F = 4U p / > > 1, двукратный интеграл (3.6) можно вычислить методом уравнениям:

которой зависит от конечной энергии электрона = p 2 / 2 и угла вылета, быть как комплексными, так и вещественными. Последние представляют первостепенный интерес, поскольку их вклад не содержит дополнительной экспоненциальной малости по сравнению с присутствующей под знаком интеграла туннельной экспонентой. Именно по этой причине в энергетическом спектре возникает плато. Неявные функциональные соотношения между четырьмя вещественными параметрами, определяемые уравнениями (3.8), (3.9), подробно изучены в трехступенчатой модели перерассеяния [25]. Эти результаты, переформулированные должным образом, используются нами для нахождения стационарных точек. В терминах трехступенчатой модели уравнение (3.8) гласит, что ионизованный электрон, покинувший атом в момент времени с нулевой начальной скоростью и движущийся после этого в лазерном поле, в момент времени 1 возвращается к началу координат. В момент возврата электрон испытывает упругое рассеяние в соответствии с решений достаточно провести на одном полупериоде лазерного поля, например, 0< <. Для моментов ионизации в промежутке 0 < 0 < / 2 возвраты одного до нескольких (вплоть до бесконечного числа) возвратов. Вклад от более поздних возвратов быстро убывает из-за поперечного расплывания волнового пакета, и в дальнейшем мы будем принимать во внимание только первый возврат. Для электронов, ионизованных в промежутке времени / 2 < 0 < и имеющих конечную энергию p / 2 > 2U p, направления вылета заключены в фигурирующая в законе сохранения энергии (3.9), поворачивается на угол / 2 < 0 <, т.е. электрон рассеивается назад по отношению к направлению скорости, которую он имел непосредственно перед актом рассеяния. Углы и связаны соотношением [25] Перерассеяние в интервал 0 < < / 2 происходит на смежном полупериоде с противоположным направлением поля. Энергия перерассеянного электрона, рассматриваемая как функция от момента ионизации, имеет на отрезке /2< 0 < изолированный максимум (см. рис. 8). Высота максимума = cl ( ) - суть верхняя граница спектра, предсказываемая полуклассической моделью для электронов перерассеянных под углом. Из существования рис.8), соответствующие перерассеянию в направлении Согласно уравнению (3.8) им соответствуют моменты возврата 1 и 1+. Для вычисления амплитуды перерассеяния методом перевала нужно разложить фазу двумерный гауссов интеграл и просуммировать результаты. Суммирование вкладов указанных стационарных точек порождает интерференцию в амплитуде перерассеяния [43].

Вклад отдельной стационарной точки имеет вид (индексы ± опущены) В (3.11), (3.12) введены обозначения: s = S / z F, где фаза S определена формулой (3.7) без малого слагаемого I 0 ; s + = s + s - разность приведенных поперечной ширины волнового пакета ионизованного электрона в момент возврата [42]; D = s 00 s11 ( s 01 ) фазы по и 1 в точке разложения (здесь и ниже частные производные стационарных точек, поэтому интерференционное слагаемое в (3.11) содержит синус, а не косинус разности фаз.

Процедура суммирования вкладов независимых стационарных точек не = ( 0, ), и их нельзя считать изолированными. Проявлением этого в бесконечность из-за D 0 в знаменателе. На самой границе D = 0, и это Для состояний, лежащих вблизи классической границы, методика вычислений интеграла модифицируется следующим образом. Интересуясь (, cl ( ) ), которому на плоскости переменных интегрирования соответствуют Тейлора следующего вида В (3.13) энергия является свободным параметром, и поэтому в выбранной точке разложения s1 0, в то время как независящая от производная s 0 = 0 и что при вычислении амплитуды (3.7) в условиях D 0 расходится интеграл по переменной. Для его регуляризации достаточно учесть следующий член существенной для интеграла области можно положить, как это сделано в (3.13), s s111. C разложением (3.12) интеграл (3.6) вычисляется аналитически, что классической границы [45]:

Плавная функция порядка единицы обращается в ноль на классической границе и принимает положительные и сингулярности на классической границе и описывает переход от монотонного затухания за пределами классической области к интерференционной структуре с минимумами и максимумами в ее внутренней части.

Распределения (3.11) и (3.14) сшиваются в классически разрешенной области, но только после усреднения по интерференционным осцилляциям.

Точная (без усреднения) сшивка невозможна из-за того, что в разложении (3.13) отброшены все третьи производные фазы кроме s. Однако наложение спектров, табулированных по полным формулам (3.11) и (3.14), показывает, что на небольшом участке (отмечен стрелкой на рис. 9) интерференционные всплески обеих кривых совпадают с графической точностью. Оценка [47] * ( ) cl ( ) ( 40 60) z F2 / 3U p. Наличие сшивки является дополнительным аргументом в пользу приближения (3.13).

интерференционной картины в спектрально-угловом распределении.

На рис. 9 показан энергетический спектр электронов вдоль направления поля, рассчитанный согласно (3.11) и (3.14). Как и в [26,37], размеры интерференционных всплесков увеличивается при приближении к границе плато так, что самым широким и высоким является последний максимум, за которым распределение затухает в классически недоступную область.

Изменение интенсивности лазера меняет количество всплесков в пределах плато. Вычисления показывают, что функция монотонно убывает по закону близкому к линейному от значения s + ( 2,0 ) = 1, до нуля при = 10U p. Отсюда следует, что в пределах плато имеется примерно z F / 4 интерференционных максимумов, ширина которых 8 на большей части плато не зависит от интенсивности. Иной характерный масштаб получается из (3.14), (3.14) для нескольких интерференционных максимумов, примыкающих к классической границе. Так, расстояние между наибольшим части спектра изменится только численный коэффициент.

Снижение интенсивности лазера уменьшает не только количество всплесков, но и глубину модуляции интерференционной картины (см. кривую на рис.9). Причина в том, что при большой величине отношения Fa / F из-за туннельной экспоненты сильнее отличаются друг от друга интерферирующие амплитуды. Рельефная интерференционная структура сохраняется только в конце плато, где величины w и w+ всегда сближаются.

спектра находятся в количественном согласии с результатами модельных численных расчетов [26,37,67,68].

существованию таковой и в угловом распределении, вычисленном при фиксированной конечной энергии. Как следствие, угловое распределение резко обрывается при = cl ( ) (здесь cl ( ) есть функция, обратная по отношению к cl ( ) ) [25]. Внутри классически разрешенных углов распределения обладают направленности, представленная на рис.10 демонстрирует эволюцию углового распределения с изменением конечной энергии фотоэлектрона.

Когда конечная энергия электрона близка к абсолютному максимуму в 10U P, распределение вытянуто вдоль направления поляризации (первые две кривые на рис.10). С уменьшением энергии в распределении возникает первый интерференционный провал (кривые 3,4), постепенно достигающий нуля.

Одновременно растет угол cl ( ), ограничивающий раствор конуса, в который интерференционных всплесков невелико (на рис.10 такой ситуации отвечают определяется в основном функцией Эйри. В области 30 o, 8U p при условии z F / 3 > 7.7 ее аргумент хорошо аппроксимируется выражением которое позволяет легко находить в явном виде положение характерных точек и критические значения энергии, определяющие качественное изменение формы углового распределения. В частности, предсказываемое (3.16) при z F = С уменьшением ниже 8U p конус рассеяния расширяется, и растет количество интерференционных всплесков. В этих угловых диаграммах распределение (3.14) описывает большой крайний максимум и его ближайшую окрестность. Остальную часть распределения следует рассчитывать по формуле (3.11). В окрестности = 0, всплески ниже, чем вблизи предельного угла и, соответственно, усредняя распределение по интерференционным колебаниям (фактически отбрасывая последнее слагаемое в (3.11)), получим гладкое угловое распределение с минимумом в направлении поля. Для энергий вблизи 8U p отношение высоты этого минимума к высоте главного бокового максимума, оцененное с помощью (3.14) и (3.16), оказывается равным z F1 / 3 [45]. Отсюда следует, что минимум в усредненном угловом распределении при = 0, выглядит как глубокий провал при z 1 / 3 > > 1 и как небольшое понижение при z 1 / 3 порядка единицы. Угловое распределение перерассеянных электронов с глубоким провалом вдоль направления поля впервые было предсказано в рамках трехступенчатой модели [25]. При этом был сделан вывод, что модель недооценивает перерассеяние на углы, близкие к 0,. Однако, как показано в разделе 3.7., трехступенчатая модель адекватно описывает именно эту область углов, но неприменима в окрестности большого бокового максимума и, следовательно, не может корректно предсказать его высоту.

В измеренных в туннельном режиме угловых распределениях на плато [28] провал не виден. Причиной этого является неоднородность лазерного излучения. В поле с огибающей F ( r, t ) вклад пространственно – временной точки в измеряемую плотность импульсного распределения пропорционален w(,, F ( r, t ) ) d 3 rdt, где w(,, F ) определено в (3.11) или (3.14).

Последовательно интегрируя это выражение по отдельным переменным, можно интенсивностям лазерного поля, усредняет и смазывает интерференционную картину. Особенно легко это сделать в случае гауссова профиля поля в пространстве и времени, когда результат n - кратного интегрирования ( 1 n ) имеет вид где F ( u ) = F0 exp u / 2 и F0 - пиковое поле в фокусированном лазерном импульсе. Следует подчеркнуть, что в интеграле (3.17) энергия электрона фиксирована, а безразмерная комбинация импульсном распределении, зависит от переменной интегрирования. На рис. показана эволюция углового распределения электронов с = 7U p ( 0) при последовательных усреднениях. Последняя диаграмма свидетельствует о том, что при стандартных для современного эксперимента параметрах поля и атома, полное усреднение по объему фокуса и по времени полностью замазывает и интерференционную картину, и ожидаемый минимум углового распределения вдоль направления поляризации. Эта диаграмма качественно согласуется с позволяет, по крайней мере в принципе, наблюдать интерференционную картину в угловом распределении. Однако и в этом случае наблюдение интерференций возможно только вблизи классических границ спектра, где интерференционные осцилляции становятся более плавными.

уточнялась. Вопрос о выборе потенциала не возникает, если обсуждается перерассеяния (3.1) должен быть тем же, что и при нахождении начальной волновой функция в амплитуде прямой ионизации. Если же модель с одним активным электроном применяется к многоэлектронному атому, естественно считать, что ионизуемый электрон движется в среднем поле атомного остова.

Для расчета начального состояния внешнего электрона в этом сложном потенциале существенны большие расстояния, где заряд ядра экранирован практически до единицы. В то же время электроны, возвращающиеся к родительскому иону, имеют энергии порядка U p > > I, и их рассеяние в состояния на плато определяется структурой среднего потенциала на малых расстояниях. Поэтому физически вполне оправдано использовать разные потенциалы для расчета прямой ионизации и перерассеяния.

Наблюдаемые экспериментально закономерности в распределениях электронов на плато [27-29] хорошо описываются выражениями (3.11), (3.12), (3.14) с потенциалом вида где для гелия электронная плотность n( q ) = 1 / 1 + q 2 / 16, а для однократного иона сложного атома n( q ) = ( Z 1) / 1 + 0,48qZ 1 / состояния на плато переданный импульс q определяется в основном величиной конечного импульса p. Поэтому множитель U 2 ( q ) в (3.12), (3.14) существенно влияет на энергетический спектр и слабо сказывается на форме углового распределения. Небольшой наклон плато в сторону больших энергий [28] обусловлен кулоновским фактором q 2 в (3.18). С рассеивающим потенциалом нулевого радиуса плато получается горизонтальным [26]. На большей части плато переданный импульс значительно больше атомного, и эффективный заряд в (3.18) близок к заряду ядра Z, т.е. при прочих равных условиях перерассеяние более эффективно на тяжелых атомах [28,43].

Уровень плато по отношению к спектру прямой ионизации понижается при увеличении интенсивности лазера [28] (см. рис.9). Учитывая, что (3.12) имеет вид dWr / d p C ( F ) F exp( 2 Fa / 3F ), в то время как для прямой ионизации плотностей вероятности убывает с ростом поля как F 6. Умножая плотности на соответствующие фазовые объемы перерассеяния p F F 3 и прямой ионизации состояния плато изменяется с полем как µ = Wr / Wd F 5.5. Экспериментально измеренная зависимость дает µ exp F 5 [28]. Заметим, что µ не зависит от кулоновской поправки C ( F ), но существенно зависит от формы рассеивающего потенциала. Для рассеяния потенциалом нулевого радиуса µ F 1.5, что сильно отличается от экспериментального значения.

Wr = I 6 exp( 2 Fa / 3F ), где - число порядка единицы, возникающее при вероятность прямой ионизации атома водорода линейно поляризованным получим отношение вероятности перерассеяния к вероятности прямой ионизации:

Напомним теперь, что все полученные соотношения основаны на применении итерационной процедуры для решения уравнения (1.5). При этом, естественно, предполагается малость эффекта перерассеяния в сравнении с прямой ионизацией, т.е. должно быть < < 1. Из (3.19) видно, что в линейно поляризованном поле итерационная процедура расчета амплитуды ионизации применима только в туннельном или промежуточном ( 1) режиме. То же относится и к приближению Келдыша, основанному, как видно из (1.5), (1.6) на удержании первого члена итерационного ряда. В эллиптически поляризованном приближения Келдыша может оказаться шире.