«ПОЛЕЙ ...»

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. В. А. СТЕКЛОВА

РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

ЗЫКИН АЛЕКСЕЙ ИВАНОВИЧ

УДК 512.754, 512.742, 511.23, 511.331

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГЛОБАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ

01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители:

д. ф.-м. н. Цфасман Михаил Анатольевич;

д. ф.-м. н. Сергеев Армен Глебович.

Москва 2010 Оглавление Введение I Асимптотические свойства дзета и L-функций 1 Теоремы Брауэра–Зигеля и Цфасмана–Влэдуца для почти нормальных расширений числовых полей 1.1 Введение.............................. 1.2 Доказательство теоремы 1.1.1.................. 1.3 Доказательство теоремы 1.1.4.................. 2 Логарифмическая производная дзета-функций в семействах глобальных полей (совместно с Ф. Лебаком) 2.1 Введение.............................. 2.2 Доказательство теоремы 2.1.1.................. 2.3 Доказательство теоремы 2.1.2.................. 2.3.1 Сумма по простым.................... 2.3.2 Архимедовы члены.................... 2.3.3 Сумма по нулям: главный член............. 2.3.4 Сумма по нулям: остаточный член............ 2.3.5 Сумма по нулям: трудная часть............. 2.4 Доказательство теоремы 2.1.4 и следствий.......... 3 Равномерное распределение нулей L-функций модулярных форм 3.1 Введение.............................. 3.2 Доказательство теоремы 3.1.1.................. 4 Асимптотические свойства дзета-функций над конечными полями 4.1 Введение.............................. 4.2 Дзета и L-функции........................ 4.2.1 Определения....................... 4.2.2 Явные формулы..................... 4.2.3 Примеры......................... 4.3 Семейства дзета и L-функций................. 4.3.1 Определения и простейшие свойства.......... 4.3.2 Примеры......................... 4.4 Основные неравенства...................... 4.4.1 Основное неравенство для L-функций......... 4.4.2 Основное неравенство для дзета-функций....... 4.4.3 Примеры......................... 4.5 Обобщения теоремы Брауэра–Зигеля............. 4.5.1 Предельные дзета-функции и теорема Брауэра–Зигеля 4.5.2 Поведение в центральной точке............. 4.5.3 Примеры......................... 4.6 Распределение нулей....................... 4.6.1 Основные результаты.................. 4.6.2 Примеры......................... 4.7 Открытые вопросы и дальнейшие направления для исследования............................... 5 Якобианы и абелевы многообразия размерности 3: формула Клейна и вопрос Серра (совместно с Ж. Лашо и К.

5.3 Инварианты и модулярные формы............... 5.3.2 Геометрические инварианты неособых плоских квартик 5.4.2 Якобианы и трехмерные абелевы многообразия.... 5.4.3 Случай большей размерности.............. Введение Диссертация состоит из двух основных частей. Первая часть посвящена изучению асимптотических свойств дзета-функций, L-функций, глобальных полей и многообразий над глобальными полями. Цель второй части изучение якобианов среди трехмерных абелевых многообразий. Ввиду обширности тематики, дадим описание каждой части и каждой главы.

Первая часть.

Асимптотическая теория глобальных полей была заложена в 1990e годы С.

Г. Влэдуцем и М. А. Цфасманом, сначала для функциональных, а затем и для числовых полей. Исходной точкой для развития теории послужила следующая проблема: для положительного целого числа g и степени простого числа q найти максимальное число точек на кривой рода g над конечным полем Fq. Задача оказывается весьма сложной и полный ответ в настоящее время известен лишь для g = 1 и g = 2. Также имеются частичные результаты для g = 3, которые получаются с помощью рассмотрения якобианов среди абелевых многообразий размерности 3, что является предметом изучения во второй части этой диссертации.

С. Г. Влэдуц, В. Г. Дринфельд и М. А. Цфасман получили интересные результаты, рассматривая эту проблему под несколько другим углом.

Более конкретно, им удалось доказать асимптотические границы для максимального числа точек на кривых, когда g, а q фиксировано. Эти границы оказываются оптимальными, если q квадрат целого числа. Их идеи имели многочисленные приложения в теории кодирования, в теории упаковок сфер и т. п.

Сама асимптотическая теория была развита далеко за пределы этих границ для числа точек и объединяет в настоящее время самые разнообразные результаты. Несколько примеров: обобщенная теорема Брауэра– Зигеля для функциональных и числовых полей, границы для регуляторов и дискриминантов, асимптотическая теория дзета-функций глобальных полей, границы для числа точек на многообразиях над конечными полями...

Целью первой части диссертации является, прежде всего, более глубокое изучение асимптотической теории глобальных полей, в особенности, числовых полей, где многие результаты менее точны, чем в функциональном случае из-за возникающих аналитических трудностей. Затем мы рассматриваем другие ситуации, где асимптотическая теория может быть применена. Более точно, мы изучаем следующие три случая с разных точек зрения: дзета-функции многообразий большей размерности над конечными полями, L-функции эллиптических поверхностей над конечными полями и L-функции модулярных форм. Думается, что эти три случая лишь предвестники общей теории, которую еще предстоит развить.

Теперь опишем содержание каждой из глав.

Глава 1.

В этой главе мы изучаем обобщения классической теоремы Брауэра– Зигеля для числовых полей. Мы называем поле алгебраических чисел почти нормальным, если существует конечная башня числовых полей Q = K0 K1 · · · Km = K такая, что все расширения Ki /Ki являются нормальными. Ослабляя условие одно из условий классической теоремы Брауэра–Зигеля, мы доказываем следующее ее обобщение на случай почти нормальных расширений числовых полей:

Теорема 0.0.1 (см. теорему 1.1.1). Пусть K = {Ki } семейство почти нормальных числовых полей, для которого nKi / log |DKi | 0, когда i. Тогда где hK, RK и DK число классов идеалов, регулятор и дискриминант поля K соответственно.

Асимптотически хороший случай (т. е., когда lim nk / log |Dk | > 0) был уже известен в этой общности благодаря работам С. Г. Влэдуца и М. А.

Цфасмана. Однако, их методы оказываются неприменимыми в асимптотически плохом случае. Мы используем идеи Х. Старка, а также некоторые неравенства С. Лобутена для доказательства нашего результата.

Затем, используя подход, предложенный К. Мэром и Ф. Хаджиром, мы строим башни асимптотически хороших расширений (башни полей класlog Rk сов) со значениями отношения Брауэра–Зигеля lim, меньшими, чем в примерах известных ранее.

Глава 2.

Эта глава выполнена в соавторстве с Филиппом Лебаком.

В этой главе мы изучаем асимптотическое поведение логарифмических производных дзета-функций в семействах глобальных полей. Эта задача важна и интересна так как, с одной стороны, она связана с основным неравенством Цфасмана–Влэдуца (в случае функциональных полей оно дает оценку на число точек на кривых над конечным полем), а, с другой стороны, с явной теоремой Брауэра–Зигеля. Наш основной результат таков:

Теорема 0.0.2 (см. теоремы 2.1.1 и 2.1.2). Для всякого глобального поля место:

1. в случае функционального поля K, являющегося расширением Fr (t), 2. в случае числового поля K в предположении обобщенной гипотезы Римана для дзета-функций Дедекинда нальном случае и gK = log логарифмическая производная дзета-функции Дедекинда поля K.

Кроме того, в той же главе получены результаты, улучшающие остаточный член в явной теореме Брауэра–Зигеля, доказанной ранее Ф. Лебаком.

Основной метод доказательств в этой главе явные формулы А. Вейля.

Однако, применение их в числовом случае сопряжено с весьма тонкими аналитическими рассмотрениями.

Глава 3.

Эта глава посвящена изучению распределения нулей L-функций модулярных форм. Каждой примитивной модулярной форме f веса kf относительно 0 (Nf ) сопоставляется мера где t() =, а пробегает все нетривиальные нули L-функции Lf (s); здесь a обозначает атомарную меру (меру Дирака), сосредоточенную в a.

Мы доказываем следующий результат:

Теорема 0.0.3 (см. теорему 3.1.1). В предположении обобщенной гипотезы Римана для L-функций модулярных форм, для любого семейства {fj (z)} примитивных форм веса kj и уровня Nj с kj + Nj предел существует в пространстве мер медленного роста на R и равен мере с плотностью 1 (т. е. нули L-функций модулярных форм становятся равномерно распределенными).

Глава 4.

В этой главе мы изучаем асимптотические свойства семейств дзета- и L-функций над конечными полями. Мы занимаемся следующими тремя проблемами: основное неравенство, результаты, обобщающие теорему Брауэра–Зигеля и распределение нулей. Мы аксиоматически определяем класс дзета и L-функций, к которым применимы наши методы, таким образом, что большинство предыдущих результатов С. Г. Влэдуца, Ж. Лашо и М. А. Цфасмана касательно сходных проблем для дзета-функций кривых и многообразий над конечными полями включаются в нашу схему. Мы изучаем, до какой степени их результаты для кривых остаются верными в этом общем контексте.

Далее мы даем несколько конкретных приложений. Самый интересный случай это случай L-функций семейств эллиптических поверхностей, недавно изучавшийся Б. Э. Кунявским, М. А. Цфасманом, М. Андри и А. Пачеко. Полученные нами результаты позволяют приблизиться к доказательству некоторых их гипотез, связанных с обобщением теоремы Брауэра–Зигеля на подобные семейства и описывающих асимптотическое поведение группы Шафаревича–Тейта и регулятора эллиптических поверхностей. Кроме того, наши методы позволяют получить обобщение результатов Ф. Мишеля о равномерной распределенности нулей L-функций эллиптических кривых над Fq (t).

В классическом случае кривых над конечным полем, как следствие более общих результатов, нам удается получить теорему о предельных дзетафункциях, являющуюся обобщением одного из результатов Я. Ихары об асимптотическом поведении постоянных Эйлера–Кронекера функциональных полей.

Вторая часть.

Эта часть выполнена в соавторстве с Ж. Лашо и К. Ритценталером.

Исторически вопросы, рассматриваемые в этой части диссертации, мотивированы той же задачей, что и в первой части: найти максимальное число точек на кривых над конечными полями. Здесь нас интересует случай малых родов g, тогда как в первой части, напротив, предполагалось, что g. Разница между методами применимыми в этих ситуациях весьма значительна.

Один из подходов к этой проблеме, предложенный Ж.-П. Серром, состоит в том, чтобы ответить на выше сформулированный вопрос для абелевых многообразий (что несложно, благодаря теореме Хонды–Тейта), а затем, выбрать среди всех абелевых многообразий, те, которые соответствуют якобианам. Этой последней проблемой мы и занимаемся в этой части диссертации.

Используя модулярные формы Зигеля мы даем полный ответ на данный вопрос в случае, когда g = 3 и поле определения абелевых многообразий k содержится в C. Более точно, мы реализуем следующую стратегию. Для поля k и модулярной формы Зигеля f над k веса h 0 и рода g > мы определяем инвариант k-классов изоморфизма главнополяризованных абелевых многообразий (A, a). Кроме того, если (A, a) является якобианом гладкой плоской проективной кривой, мы показываем, как сопоставить f классический плоский инвариант.

Как первое следствие этих конструкций, для g = 3 и k C мы получаем новое (строгое) доказательство формулы Клейна, связывающей модулярную форму Зигеля 18 с дискриминантом плоских квартик.

Вторым следствием является ответ на основной вопрос этой главы. Он дается с помощью модулярных форм Зигеля 18 и 140, которые были определены Д.-И. Игусой как произведение всех функций тета-нуль с четными характеристиками и как тридцать пятая элементарная симметрическая функция от восьмых степеней функций тета-нуль с четными характеристиками соответственно. Мы доказываем следующий критерий:

Теорема 0.0.4 (см. теорему 5.4.5). Пусть (A, a) главнополяризованное трехмерное абелево многообразие, определенное над полем k C. Пусть зис (для поляризации a) пространства H1 (A, Z), так что является матрицей периодов (A, a). Положим = 1 1 H3.

1. Если 140 ( ) = 0 и 18 ( ) = 0, то (A, a) разложимо над k. В частности, оно не является якобианом.

2. Если 140 ( ) = 0 и 18 ( ) = 0, то существует гиперэллиптическая 3. Если 18 ( ) = 0, то (A, a) изоморфно якобиану над k тогда и только является квадратом в k.

Эта теорема дает ответ на вопрос Ж.-П. Серра о характеризации якобианов среди трехмерных абелевых многообразий. Ее доказательство использует, во-первых, формулу Клейна, а, во-вторых, описание действия изоморфизмов на значения модулярных форм Зигеля.

Благодарности Я благодарю моих научных руководителей Михаила Анатольевича Цфасмана и Армена Глебовича Сергеева за постоянное внимание к данной работе и многочисленные советы. Выражаю благодарность Ж. Лашо, Ф.

Лебаку и К. Ритценталеру за возможность работать в соавторстве. Также благодарю М. Балазара, С. Г. Влэдуца, С. Лобутена и Э. Руае за полезные обсуждения.

Асимптотические свойства дзета и Глава Теоремы Брауэра–Зигеля и Цфасмана–Влэдуца для почти нормальных расширений числовых полей 1.1 Введение Пусть K поле алгебраических чисел степени nK = [K : Q]. Пусть DK его дискриминант. Определим род поля K как gK = log DK. Будем обозначать через hK число классов идеалов K, а через RK его регулятор.

Назовем последовательность {Ki } числовых полей семейством, если Ki не изоморфно Kj при i = j. Семейство называется башней, если Ki Ki+ для всех i. Для семейств числовых полей мы изучаем предел Классическая теорема Брауэра–Зигеля, доказанная Брауэром [3], утверждает, что для семейства K = {Ki } мы имеем BS(K) = 1, если K удовлетворяет следующим двум условиям:

(ii) выполнена обобщенная гипотеза Римана (GRH) или все поля Ki нормальны над Q.

Мы называем числовое поле почти нормальным, если существует конечная башня числовых полей Q = K0 K1 · · · Km = K такая, что все расширения Ki /Ki1 являются нормальными. Ослабляя условие (ii), мы доказываем следующее обобщение классической теоремы Брауэра– Зигеля на случай почти нормальных расширений числовых полей:

Теорема 1.1.1. Пусть K = {Ki } семейство почти нормальных числовых полей, для которого nKi /gKi 0, когда i. Тогда BS(K) = 1.

М. А. Цфасман и С. Г. Влэдуц показали, что, принимая во внимание вклад неархимедовых точек, можно обобщить теорему Брауэра–Зигеля на случай расширений полей, для которых условие (i) не выполняется.

Для степени простого числа q положим где P (Ki ) множество простых идеалов кольца целых поля Ki. Положим также R (Ki ) = r1 (Ki ) and C (Ki ) = r2 (Ki ), где r1 и r2 число вещественных и комплексных нормирований поля Ki соответственно.

Для удобства введем множество индексов A = {R, C; 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9,...}, состоящее из степеней простых чисел и двух вспомогательных символов R и C. Семейство K = {Ki } называется асимптотически точным, если для всякого A существует предел Мы называем асимптотически точное семейство K асимптотически хорошим (соответственно, асимптотически плохим), если существует A такое, что > 0 (соответственно, = 0 для всех A). Для асимптотически хороших башен глобальных полей следующее обобщение теоремы Брауэра–Зигеля было доказано в [67, теорема 7.3]:

Теорема 1.1.2 (Цфасман–Влэдуц). Предположим, что для асимптотически хорошей башни K выполнено одно из следующих условий:

• верна GRH • все поля Ki почти нормальны над Q.

где сумма распространяется на все степени простых q.

Для асимптотически плохой башни числовых полей мы имеем R = C = 0, а также q = 0 для всех степеней простых q, так что правая часть формулы (1.1) равна единице. Мы также замечаем, что семейство асимптотически плохое тогда и только тогда, когда lim = 0. Таким обi gKi разом, объединяя теорему 1.1.1 с теоремой 1.1.2, мы получаем следующее следствие:

Следствие 1.1.3. Для всякой башни K = {Ki }, K1 K2... почти нормальных числовых полей предел BS(K) существует, и имеет место равенство где q пробегает степени простых.

В [67] даются границы на предельное отношение BS(K), а также примеры, показывающие, что значение BS(K) может быть отлично от 1. Мы исправляем некоторые из неверных границ из [67], а также уточняем некоторые оценки в примерах. Кроме того, используя бесконечные слаборазветвленные башни полей, найденные Хаджиром и Мером [20], мы (в предположении GRH) получаем новые примеры вполне вещественных и вполне комплексных полей, для которых значения BS(K) меньше известных ранее из [67]. Результат может быть сформулирован следующим образом:

Теорема 1.1.4. 1. Пусть k = Q(), где корень многочлена f (x) = Тогда K вполне комплексное расширение, имеющее бесконечную башню K слаборазветвленных 2-расширений, для которой, в предположении GRH, имеет место где BSlower 0.56498..., BSupper 0.59748....

2. Пусть k = Q(), где 4x3 + 29x2 + 3x 13. Пусть K = k( 2993 5 + 7230 4 + 18937 3 38788 2 32096 + 44590).

Тогда K вполне вещественное расширение, имеющее бесконечную башню K слаборазветвленных 2-расширений, для которой, в предположении GRH, имеет место где BSlower 0.79144..., BSupper 0.81209....

Стоит отметить, что безусловные результаты (т. е. без предположения GRH) для вышеупомянутых примеров вполне комплексных полей, получаемые методами Цфасмана и Влэдуца, несколько хуже, нежели те, что уже известны из [67]. Это является следствием наличия довольно большого числа простых идеалов с малой нормой в полях K. По тем же причинам верхние границы для отношения Брауэра Зигеля в остальных примерах из [20] слишком высоки, хотя нижние границы все еще хороши.

Наконец, дадим таблицу, где все границы и оценки сведены воедино, представляющую собой улучшенную версию таблицы из [67]:

GRH вполне вещественные 0.7419 0.7914-0.8121 1.0602-1.0798 1. Безусловно вполне вещественные 0.6625 0.8009-0.9081 1.0602-1.1133 1. 1.2 Доказательство теоремы 1.1. Пусть K (s) дзета-функция Дедекинда числового поля K, а K ее вычет в точке s = 1. Обозначим через wK число корней из единицы в K, а через r1, r2 число вещественных и комплексных нормирований K соответственно. Имеет место следующая формула для вычета [41, глава VIII, §3]:

Так как то мы замечаем, что wK 2n2, а значит log wKj /gKj 0. Значит, достаточно показать, что log Kj / log DKj 0.

Верхяя граница может быть получена из следующей теоремы [45, теорема 1]:

Теорема 1.2.1. Пусть K Более того, если Используя оценку (1.2), мы получаем (без предположения нормальности) "легкое неравенство":

Нижнюю границу получить значительно тяжелее, так что для продолжения доказательства мы используем еще несколько вспомогательных утверждений.

Пусть K числовое поле, отличное от Q. Вещественное число называется исключительным нулем функции K (s), если K () = 0 и исключительный ноль функции K (s) называется нулем Зигеля, если Наше доказательство будет основано на следующем важном свойстве нулей Зигеля, доказанном Старком [61, Лемма 10]:

K (s). Тогда существует квадратичное поле k, являющееся подполем K, такое, что k () = 0.

Следующая оценка на вычет также получена Старком ([61, лемма 4] или [46, теорема 1]):

Теорема 1.2.3. Пусть K числовое поле, а исключительный ноль K (s), если он существует и = 1 (4 log DK )1, иначе. Тогда существует абсолютная постоянная c < 1 (эффективно вычислимая) такая, что Наше доказательство теоремы 1.1.1 похоже на доказательство классической теоремы Брауэра–Зигеля, данное в [47]. Мы будем использовать теорему Брауэра–Зигеля для квадратичных полей, простое доказательство которой приводится в [17]. Рассмотрим два случая.

1. Предположим, что Kj (s) не имеет нулей Зигеля. Из (1.4) следует, что 2. Предположим, что Kj (s) имеет ноль Зигеля. Из теоремы 1.2.2 мы видим, что существует квадратичное подполе kj поля Kj такое, что kj () = 0. Применяя (1.3) и (1.4), мы получаем:

Если множество числовых полей Kj, для которых выполнен второй случай, конечно, то используя тот факт, что log DKj, мы получаем необходимую нижнюю оценку из (1.5).

Иначе, мы замечаем, что для числового поля существует не более одного исключительного нуля [61, лемма 3]. Значит, применяя это утверждение к полям kj, мы находим, что лишь конечное число из них может быть изоморфно друг другу, а значит Dkj, когда j. Теперь мы можем применить теорему Брауэра–Зигеля для квадратичных полей:

Наконец, из (1.6) мы получаем:

Это завершает доказательство теоремы.

Замечание 1.2.4. Наше доказательство теоремы 1.1.1 дает эффективную оценку на BS, если все поля в семействе K не содержат квадратичных подполей, а значит соответствующие дзета-функции не имеют нулей Зигеля.

1.3 Доказательство теоремы 1.1. Напомним сначала некоторые конструкции, связанные с башнями полей классов. Зафиксируем простое число. Для конечно порожденной про- группы G положим d(G) = dimF H 1 (G, F ) минимальное число образующих G. Пусть T конечное множество идеалов числового поля K такое, что ни один из простых идеалов из T не делит. Обозначим через KT максимальное -расширение K, не разветвленное вне T, GT = Gal(KT /K). Положим Тогда имеет место утверждение [59, теоремы 1 и 5]:

Теорема 1.3.1. Если d(GT ) 2 + 2 r1 (K) + r2 (K) + K,T, то KT является бесконечным расширением Q.

Для оценки d(GT ) нам потребуется следующая теорема [48, §2]:

Теорема 1.3.2. Пусть K/k конечное расширение Галуа, r1 = r1 (k), r2 = r2 (k), число вещественных нормирований поля k, разветвленных в K, t число простых из k, разветвленных в K. Положим = 1, если k содержит примитивный корень степени из единицы и = 0 иначе. Тогда имеет место оценка:

Вычисления в числовых полях, использующихся для построения примеров в теореме 1.1.4, были в основном выполнены с использованием компьютерной системы PARI.

Однако, мы бы хотели представить наши примеры в виде, подходящем для некомпьютерной проверки. Мы приводим здесь доказательство оценок из первой части теоремы, так как доказательство второй ее части состоит в применении тех же шагов, что приведены здесь, к другим расширениям полей.

Следующая конструкция взята из [20]. Положим k = Q(), где корень многочлена f (x) = x6 + x4 4x3 7x2 x + 1. Тогда k поле сигнатуры (4, 1) с дискриминантом df = dk = 23 · 35509. Его кольцо целых Ok = Z[], а его число классов идеалов равно 1. Главный идеал с нормой 7 · 13 · 192 · 232 · 29 · 31, порожденный = 671 5 + 467 994 3 + 3360 2 + 2314 961 распадается в произведение восьми различных простых идеалов в Ok. На самом деле, можно видеть, что = 7 13 19 19 23 23 29 31, где K = k( ) вполне комплексное поле степени 12 над Q с относительным дискриминантом DK/k, равным (), так как = 2 + 4, где = 5 + 4 + 3 + 1, = 173 5 + 112 4 270 3 + 815 2 + 576 237. Из этих вычислений мы видим, что dK = 7 · 13 · 192 · 232 · 29 · 31 · 232 · 355092. Из теоремы 1.3.2 мы получаем, что Правая часть неравенства из теоремы 1.3.1 равна 2 + 2 6 6.8989 < 7, а значит нам достаточно показать, что d(GT ) > d(G ). Для этого мы строим множество простых идеалов T и расширение K, разветвленное точно в T.

идеала нормы 3 в Ok, а T множество, состоящее из простого идеала OK, лежащего в точности в 3 и в 19. Но 19 является разветвленным в K, а значит K( 3 19 )/K разветвлено в точности в T. Таким образом, мы показали, что d(GT ) 7 и расширение KT /K бесконечно.

Для завершения доказательства теоремы нам понадобятся еще несколько результатов. Во-первых, напомним так называемое основное неравенство [67, теорема 3.1]:

Теорема 1.3.3. Для асимптотически точного семейства в предположении GRH имеем:

где q пробегает степени простых.

Во-вторых, следующий результат Хаджира [20, теорема 1]:

Теорема 1.3.4. Пусть K числовое поле степени n над Q, такое что KT бесконечно.

Для построенного нами поля K род равен gK 25.3490.... Из теоремы 1.3.4 мы граница для BS(KT ) очевидным образом равна Зная разложение в K малых простых из Q, мы можем применить метод линейного программирования для получения верхней границы на BS(KT ). Это делается с использованием явной формулы для отношения Брауэра–Зигеля (1.1), основного неравенства (1.7) и неравенства в качестве ограничений. Это было сделано с использованием программы PARI. Так как вычисления весьма громоздки, мы приведем здесь лишь окончательный результат:

BSupper 0.59748... ; граница достигается при 7 = 9 = 13 = 0.03944..., 19 = 0.01002....

Глава Логарифмическая производная дзета-функций в семействах глобальных полей (совместно с Ф.

Лебаком) 2.1 Введение Цель этой главы доказать формулу для предела логарифмических производных дзета-функций в семействах глобальных полей (в предположении обобщенной гипотезы Римана в числовом случае) с явным остаточным членом. Этот результат близок по духу, одновременно к явным теоремам Брауэра–Зигеля и Мертенса из [43], а также к обобщенным теоремам Брауэра–Зигеля из главы 4 (где рассматривается исключительно функциональный случай). Мы также улучшаем остаточный член в явной теореме Брауэра–Зигеля из [43], если разрешить зависимость этого остаточного члена от рассматриваемого семейства глобальных полей.

В данной главе константы в O и абсолютные и эффективные (и, на самом деле, не очень большие). Пусть K глобальное поле, то есть конечное расширение поля Q или конечное расширение поля Fr (t), в последнем случае K = Fr (X) для гладкой абсолютно неприводимой проективной кривой X над полем Fr, где Fr конечное поле из r элементов. Мы будем использовать сокращения NF и FF для обозначения утверждений, доказываемых в числовом и функциональном случаях соответственно. Мы будем опускать индекс K в наших обозначениях, если это не вызывает путаницы.

Для числового поля K обозначим через nK и DK его степень и дискриминант соответственно. Пусть gK род функционального поля K, т. е. род соответствующей гладкой проективной кривой; положим gK = log DK в случае числового поля K.

простых идеалов нормы q в K, т. е. q = |{p P(K)|Np = q}|. В числовом случае мы поля K соответственно.

Напомним, что дзета-функция глобального поля K определяется как где произведение берется по всем степеням простых q. Обозначим через ZK (s) = логарифмическую производную K (s). Известно, что K (s) допускает анаq s литическое продолжение на всю комплексную плоскость и удовлетворяет функциональному уравнению, связывающему K (s) и K (1 s). Более того, в функциональном случае, K (s) и |j | = r (гипотеза Римана). В оставшейся части этой главы мы предполагаем, что обобщенная гипотеза Римана (GRH) выполнена для дзета-функций числовых полей, то есть, что все нетривиальные нули K (s) лежат на прямой Re s = 1.

Вот наши первые основные результаты в этой главе:

Теорема 2.1.1 (FF). Для всякого функционального поля K, целого числа N 10 и Теорема 2.1.2 (NF, GRH). Для любого числового поля K, целого числа N 10 и Объясним более подробно значение этих теорем. Ранее было известно (см. главу 4, а также ниже), что равенства в этих теоремах (без остаточных членов) верны в асимптотическом смысле (когда N = и g = для семейств глобальных полей).

Наши теоремы дают эти результаты “на конечном уровне”. Они позволяют оценить, насколько хорошо частичные суммы рядов для ZK (s) приближают эту функцию вне области сходимости этих рядов (они сходятся в полуплоскости Re s > 1), когда мы меняем K.

Мы доказываем эти теоремы в §2.2 и §2.3 соответственно. Оба доказательства основаны на явных формулах Вейля. Однако, в числовом случае аналитические трудности весьма впечатляющи, так что явную формулу приходится применять трижды с разным выбором тестовых функций. Заметим, что, как показано в замечаниях к соответствующим параграфам, в обоих случаях (в числовом и в функциональном) мы получаем новые доказательства основных неравенств из [65] и [67].

В наших следующих результатах рассматриваются семейства глобальных полей {Ki } с растущим родом gi = g(Ki ). Напомним ([66], [67]), что семейство глобальных полей называется асимптотически точным, если пределы существуют для всех, являющихся степенями r в функциональном случае и для всех степеней простых чисел и = R, C в числовом случае. Числа называются инвариантами Цфасмана–Влэдуца семейства {Ki }. С настоящего момента и до конца главы мы предполагаем, что все рассматриваемые семейства асимптотически точные.

Введем предельную дзета-функцию семейства {Ki } как основного неравенства (см. [65] и [67] или §2.2 и §2.3 этой главы) следует, что произведение и ряд сходятся абсолютно при Re s 2, а значит определяют аналитические функции для Re s > 1.

Прежде всего, сформулируем следствие из теорем 2.1.1 и 2.1.2.

Следствие 2.1.3. Для асимптотически точного семейства глобальных полей {Ki }, 1. в функциональном случае:

2. в числовом случае в предположении GRH:

Это следствие, в частности, влечет сходимость логарифмических производных дзета-функций глобальных полей к логарифмической производной предельной дзетафункции при Re s >. Этот результат (без явного остаточного члена, но с гораздо более простым доказательством) получен также в главе 4.

Следующий наш результат связан с поведением Z{Ki } (s) в точке s = 1.

Теорема 2.1.4. Для асимптотически точного семейства глобальных полей {Ki } существует число > 0, зависящее от {Ki }, такое, что 1. в функциональном случае:

2. в числовом случае, в предположении GRH:

Сформулируем следствие из этой теоремы, которое усиливает явную теорему Брауэра–Зигеля из [43]. Обозначим через Ki = Ress=1 Ki (s) вычет Ki (s) в точке точного семейства этот предел существует и равен log {Ki } (1) (мы предполагаем, что в числовом случае выполнена GRH). На самом деле, в случае числовых полей, этот результат может рассматриваться как обобщение классической теоремы Брауэра–Зигеля (см. [41]).

Следствие 2.1.5. Для асимптотически точного семейства глобальных полей {Ki } существует число > 0, зависящее от {Ki }, такое что:

1. в функциональном случае:

2. в предположении GRH в числовом случае:

Мы доказываем теорему 2.1.4, а также следствия 2.1.3 и 2.1.5 в §2.4.

2.2 Доказательство теоремы 2.1. Мы используем следующий аналог явной формулы Вейля для дзета-функций функциональных полей, см. [57] или [38] (в случае многообразий над конечными полями) для доказательства.

где j, j n= ее в явную формулу, мы получаем S0 (N, ) = S1 (N, ) + S2 (N, ) S3 (N, ), где Оценим каждую из сумм Si.

Оценка S0 :

Прежде всего, поменяем порядок суммирования в S0 :

Теперь Переходя к абсолютным величинам, можно предположить, что вещественно. Суммируя геометрическую прогрессию, мы получаем Воспользуемся неравенством Вейля f rf rf + 1 + 2g rf, а затем разделим сумму, рассматриваемую выше, на две части следующим образом. Для f > [N/2] имеем [N/f ] = 1, а для f [N/2] мы используем неравенство f [N/f ] N f.

Оценка S1 :

Оценка S2 :

Оценка S3 :

Абсолютное значение правой части этого равенства может быть оценено, используя тот факт, что |j | r 2 :

Из формулы (2.1) для K (s), выражающей ее как рациональную функцию переменной t = rs, легко выводится следующее выражение для ее логарифмической производной:

Объединяя все эти вычисления, мы получаем утверждение теоремы.

Замечание 2.2.2. Используя нашу теорему, несложно получить новое доказательство Из теоремы мы получаем, что Разделим обе части неравенства на g. Затем, сначала устремим g (меняя K), затем все это, мы получим основное неравенство из [65]:

2.3 Доказательство теоремы 2.1. Нашей отправной точкой будет явная формула Вейля, доказательство которой может быть найдено в [53] или в [41, глава XVII] (с несколько более общими предположениями на тестовые функции).

Рассмотрим класс (W ) четных вещественно-значных функций, удовлетворяющих следующим условиям:

2. существует > 0 такое, что F (x)e( 2 + )x имеет ограниченную вариацию;

Для такой функции F определим (здесь мы взяли N + 2, чтобы избежать взятия некоторых членов с множителем 2 ).

Теперь оценим каждый член в (2.3).

2.3.1 Сумма по простым Требуется оценить сумму:

Переходя к абсолютным значениям, мы можем считать, что вещественно. Суммируя геометрическую прогрессию, мы получаем:

Принимая во внимание тот факт, что log Np[log N/ log Np] log N log Np, если log Np [log Np], мы получаем:

эффективная версия теоремы о простых идеалах [39, теорема 9.1] влечет следующую оценку:

мы видим, что C(x) интегрируема на компактных подмножествах (1, +). Используя рассуждения, похожие на те, что применялись в прошлом параграфе, можно получить, что ряд для E(x) абсолютно и равномерно сходится на компактных подмножествах [1, +), а значит E(x) непрерывна на этом интервале. Из всего этого мы заключаем, что ряд для D(x) также сходится к локально интегрируемой функции.

Если положить x = ey, то мы получим что равно e 2 A(y) с точностью до члена, соответствующего возможному нулю K (s) в точке = 1.

Так как ряд для C(x) не является равномерно сходящимся, то нам придется работать с распределениями, определяемыми C(x), D(x) и E(x). Основные понятия и результаты, используемые здесь, могут быть почерпнуты из [55]. Из того факта, что сходящийся ряд распределений можно дифференцировать почленно, мы заключаем, что имеет место следующее равенство:

Применим (2.10) к правой части этой формулы и проинтегрируем от 1+ до x (здесь > 0). Полученное равенство будет верно в смысле распределений, а значит почти всюду для локально интегрируемых функций, определяющих эти распределения. Так как функция E(x) непрерывна, то мы видим, что получающееся тождество на самом деле имеет место поточечно на [1 +, +). Для оценки t(t) воспользуемся (2.11). Легко видеть, что все интегралы сходятся, когда 0. Из [40, 10.RH] следует, где первая сумма равна нулю, так как члены с и 1 сокращаются друг с другом.

Последняя сумма может быть оценена с использованием (2.9). Это дает |E(1)| g + n.

Соединяя все воедино, мы видим, что |E(x)| x log2 x(n + g) может быть получена непосредственно с использованием (2.11). Таким образом, мы заключаем, что |A(y)| Объединяя все вместе, мы получаем:

Эта оценка вместе с (2.4), (2.5), (2.6) и (2.8) завершает доказательство теоремы.

Замечание 2.3.2. Используя нашу теорему, мы можем передоказать основное неравенство из [67]. Действительно, применим формулу (2.8), чтобы выразить ZK + через, плюс некоторые архимедовы члены. Для вещественного положительного = 1 +it < 1 последняя сумма неотрицательна, а значит Теперь разделим на g и устремим g (меняя K). Затем перейдем к пределу, факт, что ( 1 ) = 2 log 2 и ( 1 ) = 3 log 2, мы получаем основное неравенство из [65]:

Замечание 2.3.3. Выбор тестовой функции FN, (x) в явной формуле Вейля неслучаен.

Действительно, получающиеся формулы “приближают” формулу Старка (2.7), когда 2.4 Доказательство теоремы 2.1.4 и следствий Мы проведем доказательства в функциональном случае, так как вычисления в случае числовых полей абсолютно такие же.

метим, что Взяв > 0, выберем целое число N такое, что первая сумма меньше (это возможно, заключаем, что вся сумма Теперь следствие немедленно вытекает из теоремы 2.1.1 и (2.12). Хотя изначально как все функции непрерывны (и даже аналитичны) при Re > 0.

Замечание 2.4.1. Формула (2.12) становится неверной при = 0, что может быть увиgK 1. На самом деле, равенство в (2.12) имеет место тогда дено из равенства ZK и только тогда, когда семейство является асимптотически оптимальным. Вопрос о том, выполняется ли подобное равенство для log K (s), а не для его производной, кажется весьма трудным. Даже для квадратичных полей он совершенно неочевиден. Известно, что в числовом случае существует последовательность (di ) чисел из N, плотности не меньшей 2, такая, что (см. [31]). Техника вычисления сглаженных моментов L-функций Дирихле, используемая в работе [31], весьма трудна. В общем случае можно доказать верхнюю границу для предела (см. главу 4 для функционального случая). Это аналог так называемого “легкого” неравенства из классической теоремы Брауэра–Зигеля.

Интерес к изучению поведения log K может быть, в некоторой степени, объяснен связью этого вопроса с вопросом об асимптотическом поведении порядка группы Шафаревича–Тейта и регулятора для постоянных суперсингулярных эллиптических кривых над функциональными полями. Такая связь имеет место благодаря гипотезе Берча–Свиннертона-Дайера. В общем случае, аналогичный вопрос может быть задан о поведении этих инвариантов в произвольных семействах эллиптических кривых. Некоторое обсуждение этой проблемы присутствует в [36] (заметим, однако, что доказательство основного результата этой статьи не может быть признано верным, так как перестановка предельных переходов, являющаяся ключевым моментом доказательства, не обоснована).

Доказательство теоремы 2.1.4: Из основного неравенства следует, что ряд, определяющий log {Ki } (s), сходится абсолютно при Re s 1. Функция log {Ki } (s) имеет разложение в ряд Дирихле с положительными коэффициентами, сходящийся при Re s 2.

Значит, из стандартного утверждения про ряды Дирихле (см. [30, лемма 5.56]), этот ляя в ней аналитическую функцию. Следовательно, в той же области ряд для Z{Ki } (s) сходится. Выбирая произвольное такое, что 0 < < 0, мы получаем:

Это и дает требуемый результат.

Доказательство следствия 2.1.5: Мы используем теорему 2.1.4 для получения нужной оценки, применяя тот же метод, что и при доказательстве самой теоремы 2.1.4.

Используя теорему Брауэра–Зигеля для функциональных полей для получения значения, мы имеем:

Действительно, функция N (r 2 1) log rN 1 не возрастает при N 2, откуда и получается требуемая оценка.

Замечание 2.4.2. Наш метод дает простое и концептуальное доказательство явной версии теоремы Брауэра–Зигеля из [43] (утверждение которой, грубо говоря, является утверждением следствия 2.1.5 с = 0). Это показывает, что остаточный член в явной теореме Брауэра–Зигеля, в сущности, зависит от того, как далеко влево аналитична функция {Ki } (s). В числовом случае наше следствие дает оценку остаточного члена, лучшую, чем в [43] на log2 N.

Глава Равномерное распределение нулей L-функций модулярных форм 3.1 Введение Хорошо известно, что нули L-функций содержат важную информацию об арифметических свойствах объектов, с которыми эти L-функции ассоциированы. Вопрос о распределении этих нулей на критической прямой изучался многими авторами. Проблема может рассматриваться с различных точек зрения: пропорция нулей на критической прямой, низколежащие нули, расстояние между нулями и т. д.

В этой главе мы изучаем распределение нулей L-функций на критической прямой при изменении модулярной формы, с которой эта L-функция ассоциирована. Похожий вопрос рассматривался С. Ленгом [40] и М. А. Цфасманом, С. Г. Влэдуцем [67] для дзета-функции Дедекинда числовых полей.

Пусть f (z) параболическая форма веса k = kf относительно группы 0 (N ), так положим, что f (z) является примитивной формой в смысле Аткина–Ленера [1]. Тогда L-функция Lf (s) может быть определена с помощью Эйлеровского произведения Обозначим через p и p два комплексно сопряженных корня многочлена 1 ap ps + p2s. Делинь показал [8], что |p | = | p | = 1 для p Петерсона). С другой стороны, известно [1], что для p | N имеет место неравенство |ap | 1.

Определим гамма-множитель где ck = 2(3k)/2. Функция (s) = N s/2 f (s)Lf (s) является целой и удовлетворяет функциональному уравнению (s) = w(1 s), где w = ±1. Обобщенная гипотеза Римана (GRH) для L-функций модулярных форм утверждает, что все нетривиальные нули этих L-функций лежат на критической прямой Re s = 2. В этой главе мы предполагаем что GRH выполняется для L-функций модулярных форм.

Аналитический кондуктор qf (см. [30]) определяется как когда k. Мы используем это последнее выражение (или, более точно, его логарифм за вычетом константы) как вес во всех суммах по нулям в этой главе.

С каждой примитивной формой f (z) можно ассоциировать меру где t() =, а пробегает все нетривиальные нули Lf (s); здесь a обозначает атомарную меру (меру Дирака), сосредоточенную в a. Так как мы предполагаем, что выполнена GRH, то f дискретная мера на R. Более того, несложно видеть, что f мера медленного роста (см. §3.2).

Основной результат этой главы следующий:

Теорема 3.1.1. В предположении GRH, для любого семейства {fj (z)} примитивных форм с qfj предел существует в пространстве мер медленного роста на R и равен мере с плотностью 1 (т. е. dx).

3.2 Доказательство теоремы 3.1. Наш метод доказательства похож на используемый в [67], где подобный вопрос рассматривается в случае дзета-функций Дедекинда. В нашем случае детали даже упрощаются, так как рассматриваемое семейство является “асимптотически плохим”.

Напомним некоторые факты и определения из теории распределений. Мы будем использовать [55] как основной источник для ссылок. Напомним, что пространства Шварца S = S(R) это пространство вещественно-значных бесконечно дифференцируемых функций на R, быстро убывающих на бесконечности (т. е. (x) и все ее производные стремятся к нулю, когда |x|, быстрее, чем любая степень |x|). Пространство D(R) определяется как пространство всех вещественно-значных бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем на R. Оба пространства S(R) и D(R) имеют структуру топологических векторных пространств.

Пространство D (соответственно, S ), топологически двойственное к D (соответственно, к S) называется пространством распределений (соответственно, умеренных распределений). Мы определяем пространство мер M как топологически двойственное к пространству вещественно-значных непрерывных функций с компактным носителем на R. Пространство M содержит конус положительных мер M+, т. е. мер, принимающих положительные значения на положительных функциях. Имеют место следующие включения: S D и M+ M D. Пересечение Msl = MS называется пространством мер медленного роста. Мера µ медленного роста может быть охарактеризована следующим свойством: для всякого натурального числа k интеграл сходится [55, теорема VII главы VII]). В частности, из этого критерия и из того факта, ||2 сходится [30, лемма 5.5], мы видим, что f является мерой медленного что ряд роста для всех f.

Наконец, заметим, что на пространствах S и S определено преобразование Фурье, являющееся топологическим автоморфизмом этих пространств. Пространство D плотно в S, а значит D также плотно в S = S. Чтобы проверить, что µ мера медленного роста, достаточно проверить, что она определена на плотном подмножестве и непрерывна на этом плотном подмножестве в топологии S. Аналогично, для того, чтобы проверить, что последовательность мер медленного роста сходится к мере медленного роста, достаточно проверить ее сходимость на плотном подмножестве к мере, непрерывной на этом плотном подмножестве. Это следует из определения мер как линейных функционалов.

Нашим основным инструментом будет явная формула Вейля для L-функций модулярных форм, доказываемая в [49] или в [30, главе V] (в последнем источнике накладываются некоторые дополнительные условия на тестовые функции).

Пусть F S(R) удовлетворяет для некоторого > 0 следующему условию:

Положим где s = 2 +it. Следующее предложение дает нам явную формулу, необходимую для того, чтобы связать сумму по нулям с суммой коэффициентов Фурье модулярных форм.

Предложение 3.2.1. Пусть f (z) примитивная параболическая форма уровня N и веса k. Тогда предел формулу:

Для L(s) имеется функциональное уравнение вида где g = deg L(u) и = ±1 корневое число. Это может быть доказано следующим Здесь мы использовали тот факт, что все коэффициенты многочлена L(u) вещественны, так что все его комплексные корни идут в парах и.

L-функций в степенях ±1 :

Для логарифма дзета-функции также имеется разложение в ряд Дирихле:

сходящийся при Re s > d.

4.2.2 Явные формулы В этом параграфе мы доказываем аналоги явных формул Вейля и Старка для наших дзета и L-функций. Доказательство явной формулы Вейля может быть найдено в [57] для случая кривых и в [38] для случая многообразий над конечными полями. Явная формула для L-функций эллиптических поверхностей доказывается в [6]. В нашем доказательстве мы следуем методу, использованному в работе [6].

Напомним, что основным объектом нашего изучения являются дзета-функции Li (s)wi, где L-функции Li (s) заданы произведением (s) = Доказательство. Докажем эту формулу для L-функций. Формула для дзета-функций будет следовать из аддитивности.

uf в разложении в ряд uL (u)/L(u) равен равенство:

Отображение (q d )1 переставляет нули {}, а значит, для любого f 1 мы имеем:

Умножая последнее тождество на vf tf и суммируя для f = 1, 2,..., мы получаем утверждение теоремы.

Из этой теоремы можно получить более привычную версию явной формулы для Lфункций (похожую на ту, что доказывается в [57] для случая кривых над конечными полями).

Следствие 4.2.4. Пусть L(s) f : [, ] C четный тригонометрический многочлен Тогда имеет место явная формула:

Доказательство. Мы полагаем t = q 2 в явной формуле выше и замечаем, что сумма по нулям может быть записана, используя cos, так как все невещественные нули приходят в комплексно сопряженных парах.

В дальнейшем мы будем использовать также так называемую формулу Старка (которая берет свое имя от числового аналога из [61]).

Предложение 4.2.5 (Формула Старка). Для дзета-функции (s) мы имеем:

Доказательство. Первое равенство тривиальное следствие формул, выражающих Li (u) как многочлен от u.

Второе равенство вытекает из разложения в ряд 4.2.3 Примеры Мы рассматриваем три типа примеров: дзета-функции кривых над конечными полями, дзета-функции многообразий над конечными полями и L-функции эллиптических кривых над функциональными полями.

гладкая проективная кривая рода g над конечным полем Fq из q элементов. Пусть f число точек степени f на X. Дзета-функция кривой X определяется для Re s > как Известно, что X (s) является рациональной функцией от u = q s. Более того, где |j | = q 2. Легко видеть, что в этом случае f = Nf (X) равно числу Fqf -точек на кривой X Fq Fqf. Важным свойством, присущим этому примеру и отсутствующим в общем случае, является тот факт, что f 0 для всех f.

Хотя X (s) и не является L-функцией, во всех асимптотических рассмотрениях знаменатель не будет играть роли, а значит, X (s) будет вести себя как L-функция.

Этот пример будет служить мотивацией для наших последующих рассмотрений, так как большинство (но не все, см. §4.5) результатов, доказываемых нами для общих дзета и L-функций, известны в этой ситуации.

Пример 4.2.7 (Многообразия над конечными полями). Пусть X неособое абсолютно неприводимое проективное многообразие размерности n, определенное над конечным полем Fq. Обозначим через |X| множество замкнутых точек X. Положим Xf = X Fq |{v |X| | deg(v) = f }|. Число Fqf -точек многообразия Xf, обозначаемое Nf, равно Пусть bs (X) = dimQl H s (X, Ql ) l-адические числа Бетти многообразия X. Дзетафункция X определяется для Re(s) > d с помощью Эйлеровского произведения где Nv = q deg v. Если положить ZX (u) = X (s), где u = q s, то функция ZX (u) оказывается рациональной функцией переменной u и может быть представлена в виде где и |ij | = q i/2. Более того, P0 (X, u) = 1 u и P2n (X, u) = 1 q d u. Как и раньше, мы имеем, что f = Nf (X) 0.

Предыдущий пример очевидным образом содержится в этом. Однако, оказывается целесообразным рассматривать эти примеры отдельно, так как в случае дзетафункций общих многообразий над конечными полями удается получить несколько меньше результатов. Тогда как дзета-функции кривых асимптотически ведут себя как L-функции, дзета-функции произвольных многообразий являются “настоящими” дзета-функциями. Таким образом, часть свойств просто не выполняется в общем случае (например, некоторые из тех, что связаны с распределением нулей).

Пример 4.2.8 (Эллиптические кривые над функциональными полями). Пусть E непостоянная эллиптическая кривая над функциональным полем K = Fq (X) с конечным полем констант Fq. Кривая E может рассматриваться как эллиптическая поверхность над конечным полем Fq. Пусть g род кривой X. Нормирования поля K (т.

е. точки кривой X) будут обозначаться через v. Пусть dv = deg v, |v| = Nv = q deg v и положим Fv = FNv поле вычетов точки v.

Для каждого нормирования v поля K определим av из равенства |Ev (Fv )| = |v| + 1 av, где |Ev (Fv )| число точек на редукции Ev кривой E. Локальные множители Lv (s) определяются так:

Re s > и определяет аналитическую функцию в этой полуплоскости. Определим кондуктор NE кривой E как дивизор nv v с nv = 1 в точках v мультипликативной редукции, nv = 2 в точках аддитивной редукции, если char Fq > 3 (и возможно больше, Известно, что (см. [6]) LE (s) является полиномом LE (u) от u = q s степени nE + 4g 4. Многочлен LE (u) имеет вещественные коэффициенты, удовлетворяет LE (0) = 1, и все его корни по модулю равны q 1.

пусть v = av и v = 0 для точки v плохой редукции. Тогда, из определения LE (s), легко вывести, что где сумма берется по всем точкам v поля K и m 1 таким, что m deg v = f.

Этот пример будет для нас основным, в том смысле, что все наши результаты для L-функций доказываются с идеей применить их к этому конкретному случаю. Такие L-функции особенно интересны с арифметической точки зрения, в частности, ввиду наличия связи специальных значений L-функций в точке s = 1 с арифметическими инвариантами соответствующих эллиптических кривых (порядком группы Шафаревича– Тейта и регулятором), которая получается из гипотезы Берча и Свиннертона-Дайера.

4.3 Семейства дзета и L-функций 4.3.1 Определения и простейшие свойства Нас интересуют последовательности дзета и L-функций. Зафиксируем конечное поле Определение 4.3.1. Назовем последовательность {Lk (s)}k=1... L-функций семейством, если все L-функции из последовательности имеют один и тот же вес d, а степень gk стремится к бесконечности.

Определение 4.3.2. Назовем последовательность {k (s)}k=1... = дзета-функций семейством, если полная степень gk = gki стремится к бесконечi= ности. Здесь gki степени L-функций Lki (s), входящих в k (s).

Замечание 4.3.3. В определении семейства дзета-функций мы предполагаем, что d = dk и wi = wki одни и те же для всех k. Очевидным образом, любое семейство L-функций является семейством дзета-функций.

Определение 4.3.4. Семейство {k (s)}k=1... дзета или L-функций называется асимптотически точным, если пределы существуют для всех i = 0,..., d и всех f Z, f 1. Оно называется асимптотически плохим, если f = 0 для всех f и асимптотически хорошим в противном случае.

Следующее простое предложение будет для нас важным.

Предложение 4.3.5. Пусть L(s) L-функция. Тогда 1. для каждого f имеется оценка |f | q 2 g;

2. существует число C(q, d, s), зависящее от q, d, s, но не от g такое, что Доказательство. Для доказательства первой части мы используем предложение 4.2.3.

Применяя его к последовательности, состоящей из одного ненулевого члена, мы получаем:

Абсолютное значение правой части этого равенства ограничено q 2 g.

Для доказательства второй части предложения допустим сначала, что Re s = + d >. Имеем оценку:

Случай Re s < получается применением функционального уравнения (4.1).

Предложение 4.3.6. Любое семейство дзета и L-функций содержит асимптотически хорошее подсемейство.

последовательности это очевидно, а вторая ограничена по предложению 4.3.5. Теперь мы можем использовать диагональный метод, чтобы выбрать подсемейство, для которого существуют пределы.

Как и в случае кривых над конечными полями, мы должны рассмотреть отдельно множители в дзета-функциях, являющиеся асимптотически пренебрежимыми. Это может быть сделано с помощью предложения 4.3.5.

Определение 4.3.7. Пусть {k (s)} асимптотически точное семейство дзетафункций. Определим множество I {0... d} условием: i I тогда и только тогда, когда i = 0. Определим через n,k (s) = e,k (s) = i I}.

Замечание 4.3.8. Функции n,k (s) и e,k (s) имеют смысл только для семейств дзетафункций, но не для индивидуальных дзета-функций. Заметим также, что определения существенной и пренебрежимой частей тривиальны для семейств L-функций.

Следующее предложение, несмотря на свою очевидность, оказывается весьма полезным.

Предложение 4.3.9. Для асимптотически точного семейства дзета-функций {i (s)} мы имеем: f (i (s)) = f (e,i (s)).

Доказательство. Это очевидно следует из предложения 4.3.5.

Условие асимптотической точности на семейство оказывается достаточным в случае многообразий над конечными полями благодаря неотрицательности коэффициентов f. Однако, в общем случае нам потребуется накладывать несколько более жесткое условие на семейства.

Определение 4.3.10. Мы говорим, что асимптотически точное семейство дзета или L-функций является асимптотически очень точным, если ряд сходится.

Пример 4.3.11. Очивидным примером семейства, являющегося асимптотически точным, но не очень точным, является семейство L-функций Lk (s) = (1 q s )k. Мы имеем f = 1 для всех f и ряд (1), очевидно, расходится.

Предложение 4.3.12. Предположим, что имеется асимптотически точное семейd также являются асимптотически точными. Тогда семейство {k (s)} асимптотически очень точное тогда и только тогда, когда семейство {Lkde (s)} является асимптотически очень точным.

Доказательство. Это следует из предложений 4.3.5 и 4.3.9.

На практике это предложение означает, что асимптотическое поведение дзетаde функций при Re s >, в сущности, такое же, как поведение их частей веса de.

Таким образом, большинство асимптотических вопросов о дзета-функциях сводится к соответствующим вопросам об L-функциях.

4.3.2 Примеры Как и раньше мы рассматриваем три типа примеров: кривые над конечными полями, многообразия над конечными полями и эллиптические кривые над функциональными полями.

Пример 4.3.13 (Кривые над конечными полями). Пусть {Xj } семейство кривых над Fq. Напомним (см. [66]), что Цфасман и Влэдуц определили асимптотически хорошее семейство кривых как семейство, для которого существуют пределы небольшую разницу в нормализации коэффициентов: в случае кривых мы полагаем f ({Xj }) = lim, так как 2gj степень многочлена числителе Xj (s), а авторы [66] Для асимптотически точного семейства дзета-функций кривых пренебрежимой частью X (s) является знаменатель (1q s )(1q 1s ), а существенной частью числитель.

Таким образом, дзета-функции кривых асимптотически ведут себя как L-функции.

Как показывает основное неравенство из [66] (см. также следствие 4.4.2 ниже), всякое асимптотически точное семейство кривых является асимптотически очень точным.

Причина этого, как мы увидим ниже, кроется в положительности чисел f.

Пример 4.3.14 (Многообразия над конечными полями). В случае многообразий над конечными полями имеется аналогичное понятие асимптотически точного семейства [38], а именно, требуется существование пределов где b(Xj ) = bi (Xj ) сумма чисел Бетти. Как и раньше, это определение и наше определение 4.3.4 эквивалентны.

В этом случае множители (1 q s ) и (1 q ds ) в знаменателе также всегда пренебрежимы. Однако, как показывает следующий пример, может случиться, что пренебрежимых множителей будет больше.

Рассмотрим произведение C C, где C кривая рода g. Размерность средней группы когомологий H 2 растет как g 2, при этом b1 = b3 = g (формула Кюннета).

Таким образом, CC (s) ведет себя как функция, обратная к L-функции. Если для асимптотически точного семейства мы имеем de = 2d 1, то это семейство автоматически является асимптотически очень точным, как показывает основное неравенство [38, (8.8)] (из него вытекает, что ряд 4.4.6 ниже.

Пример 4.3.15 (Эллиптические кривые над функциональными полями). В последнем примере нас будут интересовать два конкретным типа асимптотически точных семейств.

Асимптотически плохие семейства. Зафиксируем функциональное поле K = Fq (X) и рассмотрим последовательность всех попарно неизоморфных эллиптических кривых Ei /K. Мы получаем семейство L-функций, так как при этом nEi. Из (4.2) мы заключаем, что |f | 2 dv q 2, что не зависит от nEi. Значит, семейство является асимптотически точным и асимптотически плохим, т. е. f = 0 для всех f 1. Это будет единственным фактом, важным для асимптотических рассмотрений.

Для нас не будет никакой разницы в изучении этого конкретного семейства или любого другого асимптотически плохого семейства L-функций.

Это семейство рассматривалось в [22] в связи с обобщенной теоремой Брауэра– Зигеля. Основной результат статьи [22] сведение утверждения о поведении порядка группы Шафаревича–Тейта и регулятора эллиптических кривых над функциональными полями к утверждению о значениях их L-функций в точке s = 1. См. также [21], где подобная проблема изучается в случае числовых полей.

Замена базы. Рассмотрим семейство, которое, в некотором смысле, ортогонально к предыдущему. Пусть K = Fq (X) функциональное поле, и пусть E/K эллиптическая кривая над ним. Пусть f : E X соответствующая эллиптическая поверхность.

Рассмотрим семейство накрытий кривых X = X0 X1 · · · Xi... и семейство эллиптических поверхностей Ei, получающееся заменой базы:

Пусть v,f (Xi ) таких, что их поле вычетов имеет степень f над Fv.

Лемма 4.3.16. Пределы всегда существуют.

Доказательство. Мы будем следовать доказательству похожего утверждения для f из [67, лемма 2.4]. Пусть K2 K1 K конечное расширение функциональных полей.

Из формулы Римана–Гурвица мы получаем неравенство g(K2 ) 1 [K2 : K1 ](g(K1 ) 1), где [K2 : K1 ] степень соответствующего расширения. Теперь, если зафиксировать точку поля K1 над v и рассмотреть ее разложение {w1,..., wr } в K2, то мы будем иметь:

любого фиксированного n, а значит, имеет предел. Беря n = 1, мы видим, что v, существует, беря n = 2, мы выводим существование v,2 и т. д.

подобное равенство верно и для v.

Для нашего семейства можно получить конкретное выражение для коэффициентов разложения в ряд Дирихле логарифма L-функций. Действительно, (4.2) дает нам Лемма 4.3.17. Пусть Ei /Ki семейство эллиптических кривых, полученное заменой чено константой, зависящей только от E0 /K0.

Если, кроме того, char Fq = 2, 3 или расширения Ki /K0 являются расширениями Доказательство. Доказательство, в сущности, состоит в рассмотрении определения кондуктора и применении того же метода, что и при проверке леммы 4.3.16. Напомним, что, если E/K эллиптическая кривая над локальным полем K, Tl (E) ее модуль Тейта, l = char Fq, Vl (E) = Tl (E) Ql, I(K/K) подгруппа инерции Gal(K/K), то ручная часть кондуктора определяется как Легко видеть, что это выражение не возрастает при расширении поля K. Более того, известно, что 0 (E/K) 2 (см. [60, Глава IV, §10]).

Если положить L = K(E[l]), gi (L/K) = |Gi (L/K)|, где Gi (L/K) группа ветвления с номером i расширения L/K, то дикая часть кондуктора определяется как Можно доказать [60, Глава IV, §10], что (E/K) обращается в ноль, если характеристика поля вычетов K не равна 2 или 3. В любом случае, определение показывает, что (E/M ) может принимать лишь конечное число значений для фиксированной кривой E при изменении расширения M/K.

Показатель кондуктора кривой E над локальным полем K определяется как f (E/K) = (E/K) + (E/K).

Из предыдущего обсуждения мы видим, что отношение ограничено. Если, кроме того, char Fq = 2, 3, то рассуждение, похожее, на то, что использовалось в доказательстве леммы 4.3.16, и тот факт, что nw (E) nv (E) если w лежит над v в расширении полей, показывают, что последовательность не возрастает, а значит, имеет предел = ({Ei /Ki }).

В случае расширений Галуа мы замечаем, что nw (E) должно стабилизироваться в башне, а значит, предыдущее рассуждение снова применимо.

Теперь мы готовы доказать следующее важное предложение:

Предложение 4.3.18. Всякое семейство эллиптических кривых, полученное заменой базой, содержит асимптотически очень точное подсемейство. Если, кроме того, char Fq = 2, 3 или расширения Ki /K0 являются расширениями Галуа для всех i, то семейство само является асимптотически очень точным.

Доказательство. Напомним, что, для каждого расширения Ei /Ki, степень соответствующей L-функции равна ni +4gi 4. Из предыдущей леммы следует, что достаточно Первое утверждение является прямым следствием леммы 4.3.16 и (4.5). Что касается второго утверждения, то мы имеем следующую оценку:

следствие 1].

Замечание 4.3.19. Было бы интересно понять, верно ли утверждение предыдущего предложения без дополнительных предположений, т. е. всегда ли семейство, полученное заменой базы, является асимптотически точным. Это зависит от условий, при которых доказывается лемма 4.3.17 и которую нам не удалось доказать в общем случае.

Семейство эллиптических кривых, получаемое заменой базы, изучалось в [36] также в связи с попытками получить обобщение теоремы Брауэра–Зигеля на этот случай.

Кунявский и Цфасман формулируют гипотезу об асимптотическом поведении порядка группы Шафаревича–Тейта и регулятора в таких семействах (см. гипотезу 4.5.25 ниже). Они более детально рассматривают случай постоянных эллиптических кривых. К сожалению, доказательство их основного результата [36, теорема 2.1] содержит пробелы (перестановка пределов не обоснована, при этом возможность такой перестановки кажется фактом более, чем трудным).

Замечание 4.3.20. Если, на минуту, мы снова рассмотрим общие семейства эллиптических поверхностей, возникает следующий естественный вопрос:

Вопрос 4.3.21. Верно ли, что всякое семейство эллиптических поверхностей содержит асимптотически очень точное подсемейство?

То, что этот факт верен для двух “ортогональных” случаев, внушает некоторый оптимизм.

4.4 Основные неравенства В этом параграфе мы, наконец, начинаем выполнят программу по обобщению асимптотических результатов со случая кривых над конечными полями на случай общих дзета и L-функций. Мы начнем со случая L-функций, где можно сказать несколько больше.

Затем мы докажем несколько более слабый результат для семейств дзета-функций.

4.4.1 Основное неравенство для L-функций Наша цель доказать следующую теорему, обобщающую основное неравенство из [65].

Теорема 4.4.1. Пусть задано асимптотически точное семейство L-функций {Li (s)} веса d или асимптотически точное семейство дзета-функций {i (s)} такое, что e,i (s) является L-функцией веса d для всех i. Тогда для всех b N выполняется следующее неравенство:

Доказательство. Используя предложение 4.3.9, легко видеть, что достаточно доказать утверждение теоремы для L-функций.

Как и в доказательстве для кривых, нашим основным инструментом будет так наd зываемое неравенство Дринфельда. Рассмотрим L-функцию L(s) и положим i = q 2 i, корни многочлена L(u), так что |i | = 1. Для каждого i мы имеем:

где i Значит, b+1 (b+1j)(i +i ). Просуммируем неравенства для i = 1,..., g. Так Теперь, меняя Li (s), так что gi, мы получаем требуемое неравенство.

К сожалению, мы не можем сказать ничего большего в общем случае, когда не известны дополнительные свойства j. Однако, следующее следствие показывает, что иногда можно усилить результат.

Следствие 4.4.2. Если семейство {Li (s)} асимптотическо точно, то при выполнении одного из следующих условий:

1. семейство асимптотически очень точно или Доказательство. Для доказательства утверждения следствия при выполнении перdj вого условия мы выбираем выбираем b так, что <. Теперь, мы можем применить неравенство из теоремы 4.4.1 с b = b. Мы получаем:

Значит, первая часть следствия верна.

Для доказательства утверждения при выполнении второго условия, мы используем ибо j 0. Это дает нам вторую часть следствия.

Замечание 4.4.3. Заметим, что из следствия вытекает, что любое асимптотически точное семейство L-функций, удовлетворяющее j 0 для всех j, является асимптотически очень точным. Это утверждение и утверждение следствия остаются верными, если предположить, что j 0 для всех, кроме конечного числа j N.

Замечание 4.4.4. Методы §4.6 позволяют доказать несколько более сильное утверждение. Более подробно см. в замечании 4.6.4.

4.4.2 Основное неравенство для дзета-функций Как мы заметили в предыдущем параграфе, даже для случая L-функций мы не получаем полных результатов без предположения о том, что семейство является асимптотически очень точным или, что коэффициенты f положительны. При работе с дзетафункциями возникает та же проблема. Однако, мы обходим ее другим способом из-за отсутствуя общей нижней границы для сумм типа (4.6), тогда как такая нижняя граница оказывается необходимой, ибо дзета-функции являются произведениями L-функций как в положительных, так и в отрицательных степенях.

Теорема 4.4.5. Пусть {k (s)} асимптотически точное семейство дзета-функций.

и для семейств с j 0 для всех j мы имеем:

2. Если семейство является асимптотически очень точным, то функция lim (s) 3. Если для семейства выполнено j 0 для всех j и wde = 1, то ряд для log lim (s) Доказательство. Первая часть предложения очевидным образом следует из предложений 4.3.5 и 4.3.9.

По определению асимптотически очень точного семейства, ряд для log lim (s) схоde дится равномерно и абсолютно при Re s, а значит, определяет в этой области непрерывную функцию. Таким образом, и вторая часть предложения доказана.

Чтобы получить третью часть, мы применяем следствие 4.4.6, чтобы вывести, что семейство асимптотически очень точное. Затем мы используем хорошо известный результат о том, что областью сходимости ряда Дирихле с неотрицательными коэффициентами является открытая полуплоскость Re s >.

Оказывается немаловажным понять, в какой мере предельные дзета-функции являются пределами соответствующих дзета-функций над конечными полями. Ответ на этот вопрос дается теоремой Брауэра–Зигеля. Прежде чем сформулировать ее, дадим еще одно определение.

Определение 4.5.5. Для асимптотически точного семейства дзета-функций {k (s)} предел lim называется отношением Брауэра–Зигеля этого семейства.

Теорема 4.5.6 (Обобщенная теорема Брауэра–Зигеля). Для асимптотически точноde Если, кроме того, 2 Re s Z, то Доказательство. Чтобы получить первое утверждение теоремы мы применяем предложение 4.3.9 и переставляем предел, когда k, и суммирование. Это можно сделать, так как рассматриваемый ряд абсолютно и равномерно сходится в маленькой (но фиксированной) окрестности s.

Для того, чтобы получить второе утверждение, мы применяем предложение 4.3.5, которое дает нам:

Теперь, вторая часть теоремы следует из первой.

Замечание 4.5.7. Может показаться неясным, почему мы называем теоремой Брауэра– Зигеля утверждение последней теоремы. Мы увидим ниже в §4.5.3, что из теоремы 4.5.6 действительно следует естественный аналог теоремы Брауэра–Зигеля для кривых и многообразий над конечными полями. Стоит отметить, насколько простым становится доказательство обобщенной теоремы Брауэра–Зигеля, если дать подходящие определения.

Замечание 4.5.8. Наметим другой способ доказательства обобщенной теоремы Брауэра–Зигеля. Он может показаться излишне сложным, но имеет то преимущество, что он остается применимым в случае числовых полей, где ряд для log Lk (s) может расходиться при Re s >. Мы будем рассматривать L-функции, чтобы упростить обозначения. Основная идея доказать, используя формулу Старка (предложение что Re s +. Затем мы применяем теорему Витали из комплексного анализа, утверждающую, что для последовательности ограниченных голоморфных функций в области D достаточно проверить сходимость на множестве точек D, имеющем предельную точку в D.

Замечание 4.5.9. Естественно задать вопрос о том, каково поведение предельных дзеde как функциональное уравнение или гипотеза Римана, перестают быть верными для Llim (s). Это может быть увидено уже на примере семейств дзета-функций кривых.

Проблема состоит в том, что поведение Llim (s) может значительно отличаться от поlog Lk (s) ведения lim, когда мы проходим через критическую прямую.

4.5.2 Поведение в центральной точке Зададимся вопросом о том, какова связь между предельной дзета-функцией и пределом Связь эта представляется весьма непростой. Например, несложно видеть, что предел lim 1 k всегда равен 1 для семейств кривых (это получается из функционального k gk k (1/2) Однако, знание этой связи важно для некоторых арифметических приложений (см.

пример эллиптических поверхностей в следующем параграфе). Кажется, что для “хороших” семейств утверждение обобщенной теоремы Брауэра–Зигеля должно быть верde ным и при s =. Имеется очень небольшое число случаев, когда мы умеем доказывать это (см. обсуждение в §4.7) и, на самом деле, мы даже не можем сформулировать подходящей гипотезы, так как не ясно, какие условия необходимо накладывать на рассматриваемые L-функции.

Тем не менее, в общем случае мы можем доказать “легкое” неравенство. Термин “легкое” позаимствован из классической теоремы Брауэра–Зигеля из числового случая, где верхняя граница является безусловной (и ее не очень сложно доказать), тогда как нижняя граница не доказана в общем случае (требуется предположить, либо, что выполнена обобщенная гипотеза Римана, либо некоторое условие нормальности на рассматриваемые числовые поля). Эта аналогия, однако, не идет слишком далеко, так как в классической теореме Брауэра–Зигеля изучается поведение дзета-функций вдали от критической прямой, здесь же нас интересует более тонкий вопрос о поведении дзетафункций на критической прямой.

Пусть {k (s)} асимптотически точное семейство дзета-функций. Определим rk и ck из разложения в ряд Тейлора:

Теорема 4.5.10. Для асимптотически очень точного семейства дзета-функций {k (s)} такого, что wde = 1 мы имеем:

Доказательство. Заменяя семейство {k (s)} на семейство {e,k (s)}, мы можем предполагать, что d = de.

Запишем ложим s = +, где > 0 маленькое положительное число. Имеем следующее равенство:

Для доказательства теоремы достаточно построить последовательность k такую, что Для всякого натурального числа N найдем убывающую последовательность (N ), удовлетворяющую условию Затем, выберем такую последовательность k (N ), что для любого [(N + 1), (N )] и любого k k (N ). Это можно сделать ввиду теоремы 4.5.6. Теперь, выберем k (N ) так, что для всех k k (N ). Такой выбор возможен, так как следствие 4.6.2 гарантирует нам, ющую последовательность k(N ) такую, что k(N ) max(k (N ), k (N )) для всех N.

Теперь, если определить N = N (k) из условия k(N ) k k(N +1) и положить k = (N (k)), то, из наложенных выше ограничений на k, мы автоматически получаем (1) и (2). Более тонким является условие (3). Применим формулу Старка из предложения Первый член в правой части равенства, очевидным образом, ограничен снизу числом log q. Первая сумма, включающая в себя L-функции также ограничена снизу постоянной C1, что можно заключить, применяя формулу Старка к каждой из L-функций, а затем, используя предложение 4.3.5. Последняя сумма неотрицательна. Таким обраd Это доказывает (3), а значит, и утверждение теоремы.

Замечание 4.5.11. Доказательство теоремы показывает важность “низколежащих” нулей дзета-функций (т. е. нулей, близких к s = d ) в изучении отношения Брауэра–Зигеля Замечание 4.5.12. Если ограничиться рассмотрением L-функций с целыми коэффициентами (т. е. таких, что многочлен L(u) имеет целые коэффициенты), то можно видеть, что отношение gk Это следует из простого наблюдения, что, если многочлен с целыми коэффициентами принимает ненулевое значение в целой точке, то это значение по абсолютной величине не меньше единицы. Можно задать вопрос, имеется ли такая нижняя граница для всех d и выполняется ли нечто подобное в числовом случае.

4.5.3 Примеры Пример 4.5.13 (Кривые над конечными полями). Прежде всего, покажем, что классическая теорема Брауэра–Зигеля для кривых над конечными полями, доказанная в [66], является следствием обобщенной теоремы Брауэра–Зигеля 4.5.6.

Пусть hX число Fq -рациональных точек на якобиане кривой X, т. е. hX = | Pic0 q (X)|.

Следствие 4.5.14. Для асимптотически точного семейства кривых {Xi } над конечным полем Fq имеет место равенство:

Доказательство. Хорошо известно, что для кривой X число hX может быть выражено как hX = LX (1), где LX (u) числитель дзета-функции X. Используя функциональное уравнение для X (s), мы видим, что LX (0) = LX (1) + g log q.

Правая часть равенства (4.8) может быть записана как log q + 2 log {Xi } (1), где {Xi } (s) предельная дзета-функция (множитель 2 появляется из определения log {Xi } (s), в котором мы делим на 2g, а не на g). Значит, достаточно доказать, что Это немедленно следует из первого равенства теоремы 4.5.6.

Почти такое же доказательство дает еще один результат об асимптотическом поведении инвариантов функциональных полей. Чтобы сформулировать его, определим так называемые постоянные Эйлера–Кронекера кривой X (см. [29]):

Определение 4.5.15. Пусть X кривая над конечным полем Fq, рассмотрим разлоX (s) Тогда X = X называется постоянной Эйлера–Кронекера кривой X, а X, k называются высшими постоянными Эйлера–Кронекера X.

Определим также асимптотические постоянные Эйлера–Кронекера {Xi } из равенства:

({Xi } (s) является голоморфной функцией, не обращающейся в ноль в точке s = 1, так что ее логарифмическая производная не имеет полюса в этой точке).

Следующий результат обощает теорему 2 из [29]:

Следствие 4.5.16. Для асимптотически точного семейства кривых {Xi } имеем:

для всякого целого неотрицательного k. В частности, Доказательство.. Применим первое равенство из теоремы 4.5.6. Используя явное выражение (1 q s )(1 q 1s ) для пренебрежимой части дзета-функций, мы видим, что области a < |s 1| < b для достаточно малых a и b. Теперь, чтобы получить утверждение следствия, мы дифференцируем обе части равенства и используем интегральную формулу Коши.

Замечание 4.5.17. Весьма интересным было бы изучить поведение X “на конечном уровне”, т. е. попытаться получить границы на X для конкретных кривых X. Это было сделано в [29] для X. В общем случае может быть полезной явная версия обобщенной теоремы Брауэра–Зигеля из главы 2.

Замечание 4.5.18. Стоит отметить, что все следствия выше описывают соотношение между log Xi (s) и log {Xi } (s) в окрестности точки s = 1. Теорема 4.5.6 значительно сильнее, так как она дает это соотношение при всех s с Re s > 2.

Пример 4.5.19 (Многообразия над конечными полями). Как и для кривых, для многообразий над конечными полями мы получаем аналогичные следствия, касательно асимптотического поведения Xi (s) в окрестности точки s = d. Мы приводим лишь формулировки, так как доказательства почти дословно повторяют предыдущие.

Следующий результат (теорема Брауэра–Зигеля для многообразий) был ранее доказан в [70].

Следствие 4.5.20. Для асимптотически точного семейства многообразий {Xi } размерности d над конечным полем Fq мы имеем:

где i = Ress=d Xi (s).

В следующем следствии для многообразий над конечными полями мы используем то же определение постоянных Эйлера–Кронекера, что и для кривых (см. предыдущий пример).

Следствие 4.5.21. Для асимптотически точного семейства многообразий {Xi } мы Пример 4.5.22 (Эллиптические кривые над функциональными полями). Напомним, прежде всего, гипотезы, обобщающие теорему Брауэра–Зигеля на случай эллиптических кривых над функциональными полями, сформулированные Андри–Пачеко [22] и Кунявским–Цфасманом [36].

Для эллиптической кривой E/K, K = Fq (X) определим cE/K и rE/K из равенства LE/K (s) = cE/K (s1)rE/K +o ((s 1)rE/K ). Инварианты rE/K и cE/K важны с арифметической точки зрения, так как, согласно гипотезе Берча и Свиннертона-Дайера, число rE/K равно рангу группы K-рациональных точек кривой E/K, а cE/K выражается через порядок группы Шафаревича–Тейта, кообъем решетки Морделла–Вейля (регулятор) и некоторые другие инварианты E/K, которые более просто контролировать.

Гипотеза 4.5.23 (Андри–Пачеко). Пусть Ei пробегает семейство попарно неизоморфных эллиптических кривых над фиксированным функциональным полем K. Тогда где h(Ei ) логарифмическая высота Ei.

Замечание 4.5.24. В утверждении этой гипотезы мы могли делить log |cEi /K | на nEi, так как h(Ei ) и nEi имеют схожий порядок роста.

Гипотеза 4.5.25 (Кунявский–Цфасман). Для семейства эллиптических кривых {Ei /Ki }, полученного заменой базы, имеет место равенство:

Несложно видеть, что обе гипотезы являются утверждениями, подобными тем, что рассматривались в §4.5.2. Это довольно очевидно для первой гипотезы, а для второй гипотезы это ясно из следующего явного выражения для предельной L-функции:

Можно объединить эти гипотезы следующим образом:

Гипотеза 4.5.26. Для асимптотически очень точного семейства {Ei /Ki } эллиптических кривых над функциональными полями имеет место равенство:

где gi степень L-функции LEi /Ki (s).

Из теорем 4.5.6 и 4.5.10 получается следующий результат в направлении гипотез, сформулированных выше:

Теорема 4.5.27. Для асимптотически очень точного семейства эллиптических кривых {Ei /Ki } при Re s > 1 верно равенство (здесь gi = nEi + 4gKi 4). Более того, Замечание 4.5.28. Если рассматривать семейства постоянных эллиптических кривых (т. е. Ei = E Xi, где E/Fq фиксированная эллиптическая кривая), то из доказательства теоремы 2.1 из [36] следует, что вопрос о поведении LEi /Xi (s) в точке s = сводится к вопросу о поведении Xi (s) на критической прямой. Например, если кривая E суперсингулярна, то гипотеза 4.5.26 выполняется тогда и только тогда, когда log |Xi (1/2)| lim = log {Xi } (1/2) (где Xi (1/2) понимается как первый ненулевой коэфgi фициент в разложении Xi (s) в ряд Тейлора в точке s = 2 ). Таким образом, для доказательства простейшего случая гипотезы 4.5.26 необходимо понять асимптотическое поведение дзета-функций кривых над конечными полями на критической прямой.

4.6 Распределение нулей 4.6.1 Основные результаты В этом параграфе мы доказываем результаты о предельном распределении нулей в семействах L-функций. Как следствие этих результатов, мы увидим, что кратности нулей в асимптотически очень хороших семействах L-функций не могут расти очень быстро.

Пусть C = C[, ] пространство вещественно-значных непрерывных функций на [, ] с топологией равномерной сходимости. Пространство мер µ на [, ] по определению есть пространство M, топологически двойственное к C. На M имеется -слабая топология: µi µ тогда и только тогда, когда µi (f ) µ(f ) для всех f C.

Пространство C может рассматриваться как подпространство M : если (x) C, Пусть L(s) L-функция и пусть 1,..., g нули соответствующего многочлена L(u). Определим k (, ] из формулы k = q d/2 eik. Функции L(s) можно сопоставить меру:

где k Основной результат этого параграфа таков:

Теорема 4.6.1. Пусть {Lj (s)} асимптотически очень точное семейство Lфункций. Тогда предел Mlim = lim Mj существует. Более того, Mlim неотриj цательная непрерывная функция, задаваемая абсолютно и равномерно сходящимся рядом:

Доказательство. Абсолютная и равномерная сходимость ряда следует из определения асимптотически очень точного семейства. Достаточно доказать сходимость мер на пространстве C.

Линейные комбинации cos(mx) и sin(mx) плотны в пространстве непрерывных функций C, а значит, достаточно доказать, что для всех m = 0, 1, 2,... имеются равенства:

Следствие 4.2.4 показывает, что для m = 0, и Mj (1) = gj. Деля на gj и переходя к пределу при j, мы получаем (4.10).

Теперь заметим, что, если = ei с = k является корнем L(u), то = ei(+) также корень L(u) той же кратности. Значит, Mj (sin(mx)) = 0 = Mlim (sin(mx)) для всех j и m, т. е. мы получаем (4.11). Теорема доказана.

Следствие 4.6.2. Пусть {j (s)} асимптотически очень точное семейство дзетафункций, удовлетворяющее условию wde = 1. Пусть rj порядок нуля j (s) в точке Доказательство. Предположим, что lim sup gj = > 0. Переходя к подпоследовательj ности, можно предполагать, что lim =. Еще раз переходя к подпоследовательj gj ности с использованием предложения 4.3.12, мы можем предположить, что работаем с асимптотически точным семейством L-функций {Lj (s)} = {Ljde (s)}, для которого выполняется то же условие на рост rj.

По предыдущей теореме lim Mj = Mlim. Возьмем непрерывную неотрицаj тельную функцию f (x) C[, ] с носителем, содержащимся в (, ), где и мы приходим к противоречию.

Замечание 4.6.3. То же самое доказательство позволяет увидеть, что кратность нуля в фиксированной точке на критической прямой растет асимптотически медленнее, чем Замечание 4.6.4. Используя теорему 4.6.1, можно получить еще одно доказательство основного неравенства для асимптотически очень точных семейств L-функций (следствие 4.4.2). Действительно, все меры, определенные равенством (4.9), неотрицательны.

Значит, и предельная мера Mlim должна иметь неотрицательную плотность в любой точке, в частности, в точке x = 0. Это дает нам в точности основное неравенство. Кроме этого, мы получаем интерпретацию разности между правой и левой частями основного неравенства: это “асимптотическое число нулей Lj (s), собирающихся в окрестности s = d ”.

На самом деле, используя предыдущее рассуждение, мы получаем целое семейство неравенств (которые представляют интерес, когда не все коэффициенты f неотрицательны):

для всякого x R.

4.6.2 Примеры Пример 4.6.5 (Кривые над конечными полями). В случае кривых над конечными полями мы получаем в точности теорему 2.1 из [66]:

Следствие 4.6.6. Для асимптотически точного семейства {Xi } кривых над конечным полем Fq предел M{Xi } = lim MXi является непрерывной функцией, задающейся абсолютно и равномерно сходящимся рядом:

где Доказательство. Это следует из теоремы 4.6.1 и следующего разложения в ряд:

Пример 4.6.7 (Многообразия над конечными полями). Мы не можем сказать многого в этом случае, так как теорема о распределении нулей 4.6.1 применима только к Lфункциям. Единственный результат, который мы получаем, это то, что кратность нулей на прямой Re s = d 2, деленная на сумму чисел Бетти, стремится к нулю (следствие 4.6.2).

Пример 4.6.8 (Эллиптические кривые над функциональными полями). Рассмотрим сначала асимптотически плохие семейства эллиптических кривых. Мы имеем следующее следствие теоремы 4.6.1.

Следствие 4.6.9. Для асимптотически плохого семейства эллиптических кривых {Ei } над функциональными полями нули LEi (s) равномерно распределены на критической прямой, когда i.

Это результат для семейств эллиптических кривых над полем Fq (t) был получен в [50]. На самом деле, в отличие от нас, Мишель получает оценку для разности Mi M{Ei } в терминах кондуктора nEi. Было бы интересно получить такую оценку в общем случае.

Следствие 4.6.10. Для асимптотически очень хорошего семейства эллиптических кривых {Ei /Ki }, полученного заменой базы, предел M{Ei /Ki } = lim MEi /Ki является непрерывной функцией, задаваемой абсолютно и равномерно сходящимся рядом:

Следствие 4.6.11. Для семейства эллиптических кривых {Ei /Ki }, получаемого заменой базы, Доказательство. По предложению 4.3.18 всякое такое семейство содержит асимптотически точное подсемейство, а значит, мы можем применить следствие 4.6.2.

Замечание 4.6.12. Для фиксированного поля K и эллиптических кривых над ним похожее утверждение может быть получено из оценок, приведенных в [6]. Однако, в случае замены базы, оценки Брюмера не позволяют получить следствие 4.6.2. Было бы интересным получить оценки на ранг эллиптических кривых, дающие хорошие результаты при изменении поля K. Должно быть возможным получить такие оценки с помощью подходящего выбора тестовой функции в явных формулах.

4.7 Открытые вопросы и дальнейшие направления В этом параграфе мы даем сводку открытых проблем и вопросов, возникающих естественным образом в связи с результатами, полученными в предыдущих параграфах этой главы. Начнем с общих вопросов. Прежде всего:

Вопрос 4.7.1. До какой степени формальные дзета и L-функции, определенные в §4.2, приходят из геометрии?

Можно уточнить этот вопрос несколькими способами. Например, можно спросить, верно ли, что всякая L-функция веса d, такая что L(u) имеет целые коэффициенты, является характеристическим многочленом автоморфизма Фробениуса, действующего на d-ой группе когомологий некоторого многообразия V /Fq. Частичный ответ на этот вопрос при d = 1 дается теоремой Хонды–Тейта об абелевых многообразиях [62]. Аналогичный вопрос можно задать для мотивов над Fq. Все это напоминает гипотезы для L-функций из класса Сельберга в случае числовых полей (модулярность, представления Галуа и т. д.) [63].

Вопрос 4.7.2. Описать множество {(1, 2,... )} для асимптотически точных (очень точных) семейств дзета-функций (L-функций).

Имеются некоторые ограничения на это множество, задаваемые основными неравенствами (теоремы 4.4.1 и 4.4.5, замечание 4.6.4). Было бы интересно понять, имеются ли другие ограничения. Подчеркнем, что проблема не является арифметической по своей сути, так как мы не предполагаем, что коэффициенты многочленов, соответствующих L-функциям, являются целыми. Интересно было бы понять, какие дополнительные ограничения вносит такое условие целочисленности. Заметим, что, используя геометрические конструкции, Цфасман и Влэдуц [66] доказали, что все множества параметров f, удовлетворяющие f 0 для всех f, а также основному неравенству, реализуются в случае, когда q квадрат, а d = 1. Из этого следует аналогичное утверждение для L-функций c любыми q и d. Однако, новые L-функции уже не обязательно будут иметь целые коэффициенты.

Вопрос 4.7.3. Как много асимптотически хороших (очень хороших) семейств имеется среди всех семейств?

Стоит уточнить понятие “как много” в этом вопросе. Один из возможных способов сделать это таков. Рассмотрим множество Vg векторов коэффициентов многочленов, соответствующих L-функциям степени g и его подмножество Vg (f, a, b), состоящее из векторов коэффициентов многочленов, соответствующих L-функциям с a < < b.

Естественный вопрос: верно ли, что отношение объема Vg (f, a, b) к объему Vg имеет предел, когда g, и чему этот предел равен. См. работу [11] для дополнительной информации о множестве Vg. Этот вопрос частично основывается на том факте, что асимптотически хорошие семейства кривых строить трудно, и нам бы хотелось понять, почему это так.

Зададим теперь вопросы, касательно конкретных результатов об L-функциях, доказанных в предыдущих параграфах.

Вопрос 4.7.4. Верно ли, что обобщенная теорема Брауэра–Зигеля 4.5.6 имеет место на прямой Re s = для некоторых (большинства) асимптотически очень точных семейств?

Очень вероятно, что без дополнительных арифметических условий на семейство утверждение не будет выполняться. Наиболее интересно изучать в данном контексте семейства эллиптических кривых над функциональными полями, рассмотренные в §4.5.3, из-за приложений данного вопроса к арифметическим проблемам. На данный момент, автору не известно ни единого семейства, происходящего из геометрии, для которого был бы известен этот результат. Можно попытаться проверить результат для конкретных семейств кривых над конечными полями, для которых дзета-функции более или менее известны. Таковы, например, семейства кривых Ферма [33] или кривых Якоби [35].

Известные нам примеры в пользу положительного ответа на вопрос приходят из числового случая. Известно, что существует последовательность {di } натуральных чисел, имеющая плотность, не меньшую 1, такая, что (см. [31]). Метод подсчета сглаженных моментов L-функций Дирихле, использованный в этой статье, весьма сложен. Было бы интересно узнать, можно ли получить аналогичные результаты в функциональном случае. Схожи вопросы для функциональных полей изучались в [33]. Не ясно, могут ли результаты про плотноcти уровня один для нулей, полученные в этой работе, быть применены к вопросу о получении нижней граlog |ci | ницы на для некоторой положительной пропорции полей (как в числовом, так и в функциональном случаях).

Вопрос 4.7.5. Доказать обобщенную теорему Брауэра–Зигеля 4.5.6 с явным остаточным членом.

Это было сделано для кривых над конечными полями в главе 2 и, кажется, подобный метод работает в общем случае. Также интересно было бы посмотреть на конкретные приложения, которые мог бы иметь такой результат, в частности, для получения оценок на постоянные Эйлера–Кронекера “на конечном уровне”.

Вопрос 4.7.6. Как охарактеризовать меры, соответствующие асимптотически очень точным семействам?

Это было сделано в [66] для семейств, удовлетворяющих f 0 для всех f. Общий случай остается открытым.

Вопрос 4.7.7. Оценить остаточный член в теореме 4.6.1.

Как было упомянуто ранее, в случае эллиптических кривых над полем Fq (t) оценки были даны в [50].

Вопрос 4.7.8. Найти явные границы на порядок нулей L-функций на прямой Re s = d.

ных семейств (здесь ri кратность нуля). Для частного случая эллиптических кривых над фиксированным функциональным полем, Брюмер в работе [6] доказывает границы, которые асимптотически растут медленнее кондуктора. Используя явные формулы с подходящим выбором тестовых функций, должно быть возможным доказать такие верхние границы для семейств эллиптических кривых, полученных заменой базы, если не в общем случае.

Зададим, наконец, еще несколько общих вопросов.

Вопрос 4.7.9. Как можно применить результаты этой главы для получения информации об арифметических или геометрических свойствах объектов, по которым строятся L-функции?

Мы (по крайней мере, в некоторой степени) ответили на этот вопрос в случае кривых и многообразий над конечными полями и эллиптических кривых над функциональными полями. Дополнительные примеры подобного рода были бы более чем интересны.

Наконец, Вопрос 4.7.10. Каковы анлоги результатов, полученных в этой главе, для числовых полей?

Кажется, что большинство результатов переносится на L-функции из класса Сельберга (в определении, данном, например, в [30, Глава 5]), если предположить некоторые естественные дополнительные гипотезы (такие как Обобщенная Гипотеза Римана, Обобщенная Гипотеза Рамануджана и т. д.). Конечно, для того, чтобы сделать это, потребуется преодолеть немалое количество аналитических сложностей (ср., например, [66] и [67]).

Мы надеемся обратиться к этой весьма многообещающей теме в дальнейшем.

Абелевы многообразия размерности Глава Якобианы и абелевы многообразия размерности 3: формула Клейна и вопрос Серра (совместно с Ж. Лашо и К. Ритценталером) 5.1 Введение 5.1.1 Теорема Торелли утверждает, что для гладкой неприводимой проективной кривой X рода g, определенной над k, отображение X (Jac X, j), ставящее в соответствие кривой X ее якобиан вместе с канонической поляризацией j, является инъективным. Вопрос об определении образа этого отображения изучается с весьма давних времен.

Пусть Ag пространство модулей главнополяризованных абелевых многообразий размерности g, а Mg пространство модулей гладких алгебраических кривых рода g.

Если g = 3, то Ag и Mg имеют размерность g(g + 1)/2 = 3g 3 = 6. Хойт [23], Орт и Уено [52] показали, что образом M3 при отображении Торелли является пространство неразложимых главнополяризованных абелевых многообразий размерности 3. Более того, в случае, когда k = C, Игуса [28] дал характеризацию множества разложимых трехмерных абелевых многообразий и множества гиперэллиптических якобианов, используя модулярные формы Зигеля 140 и 18. Похожая характеризация существует и для случая g = 2 (см. [44]).

Предположим теперь, что поле k произвольно и g 1. Ж.-П. Серр заметил в [42], что уточненная форма теоремы Торелли показывает существование препятствия для того, чтобы якобианы над алгебраическим замыканием поля k (геометрические якобианы) были якобианами над k. Более точно, он доказал следующее:

Теорема 5.1.1. Пусть (A, a) главнополяризованное абелево многообразие размерности g 1 над полем k. Предположим, что (A, a) изоморфно над k якобиану кривой X0 рода g, определенной над k. Тогда имеет место следующая альтернатива:

1. Если X0 гиперэллиптическая, то существует кривая X/k, изоморфная X над k, такая что (A, a) изоморфно якобиану (Jac X, j) над полем k.

2. Если X0 не гиперэллиптическая, то существует кривая X/k, изоморфная X над k и квадратичный характер такие, что подкрученное абелево многообразие (A, a) изоморфно (Jac X, j) над полем k. Характер тривиален тогда и только тогда, когда (A, a) является k-якобианом.