«Составление портфелей ценных бумаг на основе прогнозирования совместной функции распределения доходностей ...»

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

На правах рукописи

Балаев Алексей Иванович

Составление портфелей ценных бумаг на основе прогнозирования

совместной функции распределения доходностей

Специальность: 08.00.13 «Математические и инструментальные методы экономики»

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель Профессор, доктор ф.-м. наук Шведов Алексей Сергеевич Москва – Оглавление Введение

Глава 1. Моделирование многомерных тяжелых хвостов для распределений доходностей фондовых индексов различных стран... 1.1 Постановка задачи

1.2 Литература о моделировании многомерных тяжелых хвостов.. 1.3 Данные и предварительный анализ

1.4 Условные распределения доходностей

1.5 Сравнение моделей на основе KLIC теста

1.6 Выводы

Глава 2. Моделирование многомерных распределений доходностей и составление портфелей из акций российских компаний

2.1 Постановка задачи

2.2 Литература о моделировании доходностей и составлении финансовых портфелей

2.3 Данные и предварительный анализ

2.4 Модели и результаты оценивания

2.5 Оптимизация портфелей

2.6 Выводы

Глава 3. Теоретические свойства многомерного t-распределения с вектором степеней свободы, используемые при составлении портфелей ценных бумаг

3.1 Постановка задачи

3.2 Стандартизованная форма и моменты

3.3 Одномерные маргинальные функции плотности

3.4 Характеристические функции одномерных маргинальных распределений

3.5 Примеры

3.6 Алгоритм симулирования

3.7 Выбор расположения активов в векторе доходностей.............. 3.8 Выводы

Глава 4. Введение скошенности в многомерное t-распределение с вектором степеней свободы

4.1 Постановка задачи

4.2 Литература о многомерных скошенных распределениях......... 4.3 Построение многомерного скошенного t-распределения......... 4.4 Применение в моделях VAR-MGARCH

4.5 Выводы

Глава 5. t-копула с вектором степеней свободы

5.1 Постановка задачи

5.2 Литература о классической t-копуле

5.3 Построение t-копулы с вектором степеней свободы................. 5.4 Стандартизованная копула

5.5 Применение в моделях VAR-MGARCH

5.6 Симулирование t-копулы с вектором степеней свободы........... 5.7 Выводы

Заключение

Список литературы

Приложение главы 1

П 1.1 Оценки параметров моделей доходностей фондовых индексов на основе многомерного t-распределения с вектором степеней свободы

П 1.2 Оценки параметров моделей доходностей фондовых индексов на основе многомерного t-распределения со скаляром степеней свободы

П 1.3 Оценки параметров моделей доходностей фондовых индексов на основе многомерного обобщенного распределения ошибки..... П 1.4 Оценки параметров моделей доходностей фондовых индексов на основе многомерного распределения Грама – Шарлье.............. П 1.5 Результаты KLIC теста внутри и вне выборки, использованной для оценки моделей

Приложение главы 2

П 2.1 Оценки параметров моделей доходностей акций на основе многомерного нормального распределения

П 2.2 Оценки параметров моделей доходностей акций на основе многомерного t-распределения со скаляром степеней свободы..... П 2.3 Оценки параметров моделей доходностей акций на основе многомерного t-распределения с вектором степеней свободы....... П 2.4 Динамика стоимости AMV, CMV и CME портфелей............ Составление оптимального портфеля ценных бумаг является важной практической задачей на фондовом рынке. Эта задача всегда сохраняет свою актуальность, поскольку стремление оптимально распределить капитал среди доступных активов является естественным для рационального инвестора.1 Целями оптимизации финансового портфеля могут быть, в частности, максимизация ожидаемой доходности или минимизация дисперсии доходности с учетом информации, доступной к данному моменту времени и ограничений на торговлю, имеющихся на рынке. С точки зрения портфельной теории2 для решения таких задач инвестору может требоваться знание совместного распределения доходностей имеющихся на рынке активов, учитывающего всю доступную информацию. Однако на практике инвестор таким знанием не обладает, и ему необходимо построить прогноз этого условного распределения. Таким образом, построение прогнозов условных распределений доходностей также является актуальной практической задачей для участников финансовых рынков. Для прогнозирования эконометрические методы. Обзор данных методов применительно к составлению портфелей приведен, например, в книге (Scherer, 2002).

Байесовские методы прогнозирования распределений доходностей применительно к задаче портфельного выбора рассматриваются в работах (Winkler, 1973), (Polson, Tew, 2000) и (Gohout, Specht, 2007).

Составление портфелей с помощью байесовского подхода на основе Общие вопросы рационального инвестирования рассматриваются в книгах (Богл, 2013) и (Грэхем, Цвейг, 2007). Задачи и инструментарий инвестиционного анализа детально рассмотрены в фундаментальной книге (Шарп и др., 2010).

Вопросы портфельной теории рассмотрены, например, в книгах (Винс, 2007), (Гибсон, 2008), (Фабоцци, 2000).

методов Монте-Карло с цепями Маркова рассмотрено в работе (Greyserman et al., 2006). Работы (Young, Lenk, 1998) и (Aguilar, West, 2000) посвящены составлению портфелей с помощью факторных моделей.

эконометрических моделей значительную роль играет выбор многомерного распределения доходностей активов, лежащего в основе модели. Одним из наиболее популярных распределений, применяемых для составления портфелей, является классическое многомерное t-распределение со скалярным параметром степеней свободы (см., например, (Kotz, Nadarajah, 2004; 2008) и (Ku, 2008)), которое приспособлено для учета многомерных тяжелых хвостов (см.

(Fiorentini et al., 2003)). Данным свойством обладают также многомерные устойчивые распределения, описанные в работе (Samorodinsky, Taqqu, 1994), предложенные в (Fernandez et al., 1995), распределение Грама – Шарлье, рассмотренное в (Mauleon, Perote, 1999), эллиптические функции плотности из (Branco, Dey, 2001), а также поли tраспределение из (Dreze, 1978)3. Большое внимание в литературе уделяется также учету асимметрии многомерных распределений финансовых доходностей (см., например, (Vlaar, Palm, 1993), (Jones, 2001; 2002) и (Ferreira, Steel, 2003)). В работе (Bauwens, Laurent, 2005) предложен один из вариантов многомерного скошенного tраспределения со скаляром степеней свободы, которое дает хорошие результаты в задаче предсказания условного распределения доходностей по сравнению с некоторыми другими известными распределениями (см., например, (Балаев, 2011б)). Другой вариант В силу достаточно сложного соотношения параметров и моментов поли tраспределение не находит широкого применения на практике несмотря на более общий вид, чем у классического многомерного t-распределения.

многомерного скошенного t-распределения со скаляром степеней свободы предложен в (Sahu et al., 2003).

эксцесса распределения доходностей для всех активов, однако на практике эксцесс распределений может существенно варьироваться от актива к активу, что продемонстрировано в следующей таблице:

Эксцесс распределений доходностей фондовых индексов* * Дневные доходности за период с ноября 1990 г. по октябрь 2012 г.

По этой причине многомерное t-распределение со скалярным параметром степеней свободы является недостаточно гибким для практического применения, что породило одну его специфическую модификацию – многомерное t-распределение с вектором степеней распределение позволяет учитывать больше информации при моделировании финансовых доходностей и составлении портфелей, чем классическое многомерное t-распределение, за счет наличия индивидуального параметра эксцесса у каждого актива5.

Многомерное t-распределение с вектором степеней свободы является новым, и его теоретические и эмпирические свойства еще недостаточно изучены. По этой причине рассмотрение эмпирических теоретических свойств является актуальной задачей как с позиции практики многомерного моделирования финансовых доходностей и Теоретические аспекты данного распределения рассмотрены также в (Шведов, 2010; 2012), эмпирическое приложение – в (Шведов, 2011).

В работе (Jondeau, Rockinger, 2012) продемонстрирован альтернативный подход к учету индивидуального эксцесса распределения доходности каждого актива.

составления портфелей активов, так и с точки зрения теории многомерных вероятностных распределений. Данная задача решается в настоящей диссертации, что обосновывает ее актуальность и практическую значимость. В работе, во-первых, впервые рассмотрено применение многомерного t-распределения с вектором степеней свободы в задачах прогнозирования доходностей мировых фондовых индексов и составления портфелей из российских акций, и во-вторых, исследованы его маргинальные распределения и моменты, предложен алгоритм симулирования, рассмотрена возможная асимметричная модификация данного распределения и построена копула на его основе. В работе также предложен возможный алгоритм выбора расположения активов в векторе доходностей, который моделируется с помощью многомерного t-распределения с вектором степеней свободы.

Объектом исследования в настоящей диссертации является многомерное t-распределение с вектором степеней свободы, а предметом исследования – качество соответствия данным и предсказательная способность многомерных моделей доходностей на основе данного распределения, а также эмпирические свойства оптимальных портфелей, составленных с помощью таких моделей.

Предметами исследования также являются теоретические аспекты многомерного t-распределения с вектором степеней свободы: его моменты и маргинальные распределения, симулирование данного распределения, выбор расположения активов в векторе доходностей с данным распределением, его модификация с введением параметров асимметрии, а также копула на основе данного распределения.

Основной целью работы является рассмотрение практического применения многомерного t-распределения с вектором степеней свободы для прогнозирования распределений доходностей фондовых индексов и составления портфелей акций. В работе были также поставлены цели построения асимметричной модификации многомерного t-распределения с вектором степеней свободы и вывод копулы на его основе. К другим целям диссертации относились вывод теоретических свойств данного распределения и построение алгоритма его симулирования, а также алгоритма выбора распределением. Достижение заявленных целей потребовало решения следующих задач:

1. Разработка методики построения произвольной многомерной GARCH модели на основе многомерного t-распределения с вектором степеней свободы.

2. Эмпирическое сравнение многомерного t-распределения с вектором степеней свободы с другими гибкими параметризациями в задаче прогнозирования условного распределения доходностей фондовых индексов.

3. Сравнение эмпирических свойств оптимальных портфелей акций, составленных с помощью модели на основе многомерного tраспределения с вектором степеней свободы и моделей на основе других распределений.

4. Вывод общей формулы и условий существования смешанного момента многомерного t-распределения с вектором степеней свободы для составления портфелей акций различных типов.

5. Вывод формул одномерных маргинальных функций плотности и характеристических функций для многомерного t-распределения с вектором степеней свободы.

6. Получение алгоритма симулирования многомерного tраспределения с вектором степеней свободы на основе свойств матричного гамма-распределения Беллмана6.

7. Разработка алгоритма выбора расположения активов в векторе доходностей, который моделируется с помощью многомерного tраспределения с вектором степеней свободы.

8. Построение многомерного t-распределения с вектором параметров скошенности и вектором степеней свободы.

9. Построение копулы на основе многомерного t-распределения с вектором степеней свободы и ее стандартизованной версии, более удобной с вычислительной точки зрения.

Научная новизна настоящей работы заключается в первом многомерного t-распределения с вектором степеней свободы при моделировании доходностей фондовых индексов и составлении различных оптимальных портфелей акций, а также в выводе теоретических свойств данного распределения. Иными словами, в работе решены сформулированные выше задачи 1 – 9, что и составляет ее научную новизну.

Методологической базой настоящей работы выступают модели многомерных временных рядов финансовых доходностей. Основное внимание уделяется моделям вида VAR-MGARCH7. В качестве эконометрики, анализа временных рядов, эмпирических финансов, портфельной теории, теории специальных функций, стохастических процессов, теории вероятностей и математической статистики.

См. (Bellman, 1956), (Gupta, Nagar, 1999).

См., например, (Ku, 2008).

выведенные свойства многомерного t-распределения с вектором степеней свободы и объекты, построенные на его основе, обладают некоторыми привлекательными свойствами и с их помощью развиваются существующие эконометрические модели и строятся новые. Теоретические факты о многомерном t-распределении с вектором степеней свободы, полученные в данной работе, дают возможность использовать данное распределение в широком спектре приложений, в первую очередь в эконометрических моделях для финансовых доходностей, и в этом заключается практическая значимость результатов работы.

Апробация результатов настоящей диссертации была проведена на следующих конференциях и научных семинарах:

1. Совместный научный семинар кафедры математической экономики и эконометрики и лаборатории макроструктурного моделирования экономики России. НИУ ВШЭ, Москва, 10 июля 2012 г.

2. IV Международная научно-практическая конференция студентов и аспирантов «Статистические методы анализа экономики и общества».

НИУ ВШЭ, Москва, 16 мая 2013 г.

3. Семинар «Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов». ЦЭМИ РАН, Москва, 22 мая 2013 г.

4. Научно-практическая конференция «Эконометрические методы в исследовании глобальных экономических процессов», совместный доклад с Шведовым А.С. МГИМО, Москва, 29 октября 2013 г.

5. Семинар исследовательского проекта Российской Экономической Школы «Econometrics of many financial assets», РЭШ, 7 февраля Результаты работы также обсуждались на научных семинарах кафедры математической экономики и эконометрики НИУ ВШЭ.

публикациях общим объемом 8,7 п.л. Три из них опубликованы в российских рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ.

Настоящая работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений к главам 1 и 2. Общий объем диссертации – 160 стр. основного текста, включая 25 таблиц и рисунков и 147 стр. приложений и списка литературы.

В первой главе проведено сравнение нескольких известных многомерных вероятностных моделей динамики финансовых доходностей с моделью на основе многомерного t-распределения с вектором степеней свободы, которое ранее не рассматривалось в эмпирических работах. Оценка и тестирование проводятся на выборках дневных доходностей фондовых индексов S&P 500 (США), FTSE 100 (Великобритания), CAC 40 (Франция), DAX (Германия), Hang Seng (Китай) и Nikkei 225 (Япония). При сравнении моделей основное внимание уделяется учету так называемых многомерных тяжелых хвостов распределений доходностей.

Во второй главе построены многомерные модели доходностей акций крупнейших российских компаний из 10 основных отраслей экономики (банки, газ, металлы, нефть, ритейл, связь, транспорт, уголь, удобрения, энергетика), и на основе этих моделей составлены оптимальные финансовые портфели различных типов в зависимости от приоритетов, определяемых инвестором. Рассматриваются модели на основе многомерного нормального распределения, а также многомерных t-распределений со скаляром и вектором степеней свободы. Составленные с помощью моделей портфели сравниваются с точки зрения выгоды и риска соответствующей торговой стратегии.

В третьей главе доказаны некоторые теоремы о многомерном tраспределении с вектором степеней свободы, которое используется в моделях доходностей в главах 1 и 2. Выведена общая формула и условия существования моментов данного распределения, а также формулы его одномерных маргинальных функций плотности и характеристических функций. Полученные формулы проиллюстрированы примерами. Кроме того, в данной главе предложен алгоритм симулирования многомерного t-распределения с вектором степеней свободы, а также алгоритм выбора расположения активов в векторе доходностей с данным распределением.

В четвертой главе предложена модификация многомерного tраспределения с вектором степеней свободы. Построено многомерное t-распределение с вектором параметров скошенности и вектором степеней свободы, которое является обобщением широко известного многомерного скошенного t-распределения со скаляром степеней свободы. Рассмотрен пример применения данного распределения в финансовых приложениях, когда меры скошенности и толщины хвостов для доходностей различных активов существенно разнятся.

В пятой главе построена копула на основе многомерного tраспределения с вектором степеней свободы, которая позволяет более гибко моделировать различия хвостовых зависимостей между компонентами случайного вектора, чем классическая t-копула, за счет наличия индивидуальных параметров степеней свободы у компонент случайного вектора. В главе также рассмотрена стандартизованная версия t-копулы с вектором степеней свободы, более удобная с вычислительной точки зрения, и приведен пример ее применения в моделях многомерных финансовых временных рядов.

Глава 1. Моделирование многомерных тяжелых хвостов для распределений доходностей фондовых индексов различных стран В этой главе рассматривается задача сравнения соответствия данным и пригодности для прогнозирования некоторых известных вероятностных моделей для доходностей мировых фондовых индексов и новой вероятностной модели, построенной на основе эмпирические свойства которого применительно к финансовым рынкам ранее не исследовались.8 Одним из важных эмпирических фактов о распределениях финансовых доходностей является наличие у этих распределений тяжелых хвостов. Сравнение моделей в настоящей главе проводится в терминах качества внутривыборочной подгонки и предсказательной способности вне выборки при предсказании условного распределения в целом.9 Основное внимание уделяется эффектам, порождаемым формой распределения, в особенности, так называемым многомерным тяжелым хвостам.

Рассматриваются, с одной стороны, t-распределение с вектором и скаляром степеней свободы и, с другой стороны, модификации многомерного нормального распределения, приспособленные для учета тяжелых хвостов: обобщенное распределение ошибки и распределение Грама – Шарлье. Все модели оцениваются и тестируются на выборках дневных доходностей фондовых индексов Результаты главы 1 представлены в работах (Балаев, 2013а) и (Балаев, Шведов, 2014).

Вопросам моделирования условной плотности распределения, а также более частных объектов (условное среднее и дисперсия, условный квантиль, условная вероятность) посвящена, например, работа (Анатольев, 2013).

различных стран. С помощью теста, основанного на информационном критерии Кульбака – Лейблера (KLIC) проводится попарное сравнение построенных моделей внутри и вне выборки. Модели упорядочиваются по качеству подгонки и предсказательной способности, а затем определяется их рейтинг. В данной главе также обсуждаются причины превосходства той или иной спецификации функции плотности над другой внутри или вне выборки.

Настоящая глава 1 имеет следующую структуру. В разделе 1. приведен обзор литературы о моделировании многомерных тяжелых хвостов для распределений финансовых доходностей. В разделе 1. описанию различных параметризаций условных функций плотности, которые используются для учета многомерных тяжелых хвостов в распределениях векторов доходностей. В разделе 1.5 приведено описание KLIC теста и результатов сравнения построенных моделей.

Наконец, раздел 1.6 содержит выводы данной главы.

1.2 Литература о моделировании многомерных тяжелых хвостов Моделированию многомерных тяжелых хвостов посвящено достаточно много публикаций. Ниже дается краткое описание лишь некоторых работ, имеющих принципиальное значение.

В работе (Fernandez et al., 1995) предложен класс многомерных непрерывных распределений, известных как -сферические, которые позволяют учитывать наличие многомерных тяжелых хвостов.

устойчивые распределения (см., например, (Samorodinsky, Taqqu, 1994)). Однако функцию плотности этих распределений, как правило, нельзя записать в аналитическом виде, и для них известна лишь характеристическая функция, что затрудняет моделирование на практике. Достаточно широкий класс эллиптических функций плотности, позволяющих учитывать многомерные тяжелые хвосты, предложен в работе (Branco, Dey, 2001). Данные функции плотности представляют собой обобщение многомерного асимметричного нормального распределения, рассмотренного в (Azzalini, Dalla Valle, 1996) и (Azzalini, Capitanio, 1999). Наличие многомерных тяжелых хвостов допускает также распределение Грама – Шарлье, функция плотности которого получается урезанием многомерного разложения Грама – Шарлье после третьего члена. В работе (Mauleon, Perote, 1999) данное распределение применяется при моделировании шоков в двумерных GARCH моделях.

В (Fiorentini et al., 2003) для учета многомерных тяжелых хвостов предложено использовать многомерное t-распределение со скалярным параметром степеней свободы. Как показано в работе (Балаев, 2011б), t-распределение со скаляром степеней свободы дает хорошие параметризациями. Широкий класс многомерных распределений представляют поли t-распределения, частным случаем которых является многомерное t-распределение со скаляром степеней свободы.

Поли t-распределения получаются как апостериорные распределения в байесовском анализе и позволяют учитывать наличие тяжелых хвостов10. Однако соотношение параметров и моментов поли tраспределений достаточно сложно, что затрудняет их применение на практике.

В работе (Шведов, 2009) предложено обобщение многомерного tраспределения со скаляром степеней свободы на случай вектора См., например, (Dreze, 1978).

степеней свободы (см. также Шведов, 2010; 2011; 2012). Это обобщение дает дополнительную гибкость при моделировании, поскольку позволяет задавать разную толщину хвостов распределения доходностей для различных активов. В настоящей главе многомерное t-распределение с вектором степеней свободы впервые применяется для моделирования динамики финансовых доходностей.

В этом разделе приведено описание использованных данных и отмечены некоторые их свойства, которые предполагается учесть при построении многомерных условных распределений доходностей в разделе 1.411.

Данные Используются дневные цены закрытия фондовых индексов различных стран: S&P 500 (США), FTSE 100 (Великобритания), CAC 40 (Франция), DAX (Германия), Hang Seng (Китай), Nikkei (Япония).12 Исходные данные по ценам охватывают период с ноября 1990 г. (первый день расчета индекса DAX) по 18 октября г. Построение моделей и все прочие расчеты в данной главе проводятся для логарифмических доходностей индексов, то есть для величин rt 100ln( St / St 1 ), где S t – значение фондового индекса в момент времени t 13. При этом для построения многомерных моделей Для предварительного анализа в этом разделе нами используются базовые статистические методы. Совместное распределение доходностей можно также анализировать с помощью методов многомерного статистического анализа. См.

(Айвазян, 2010), (Айвазян, Мхитарян, 1998).

Использована база данных Yahoo Finance http://finance.yahoo.com/ В настоящей диссертации рассматриваются модели с дискретным временем.

Важную роль играют также стохастические финансовые модели в непрерывном возникла необходимость синхронизировать данные: доходности рассчитаны на основе цен закрытия только в такие дни, когда одновременно торговались все 6 упомянутых фондовых индексов.

Соответственно, из исходных рядов дневных цен закрытия для наблюдений. Поэтому, строго говоря, рассчитанные доходности фондовых индексов соответствуют временным промежуткам различной длины. В Таблице 1.1 приведено распределение длин временных промежутков, соответствующих построенным рядам доходностей.

Таблица 1.1 Временные интервалы доходностей индексов Дней между торгами Накопленные наблюдения Накопленная доля, % Наличие двухдневных пропусков (главным образом, это суббота и воскресенье) естественно при работе с дневными доходностями.

Потенциально, проблемными могут оказаться доходности за период в 3 и более дней. Однако, как видно из Таблицы 1.1, для рассматриваемых данных такие доходности составляют 8,3% всех наблюдений, что в целом является приемлемым. По этой причине специфика доходностей, соответствующих промежуткам в 3 и более дней, не учитывается и все доходности рассматриваются как однородные.

времени. Их подробное описание можно найти в фундаментальной двухтомной монографии (Ширяев, 1998а; 1998б).

Построенный массив данных состоит из 4891 наблюдения для каждого из 6 рядов доходностей. Данные разделены на 2 части:

первые 3261 наблюдение используются для построения моделей, а последние 1630 наблюдений – для расчета прогнозов и оценки предсказательной способности построенных моделей. Соотношение числа наблюдений в первой и второй частях данных составляет 2:1.

Это обеспечивает достаточно большой размер выборки для построения моделей, но при этом также остается много наблюдений для проверки точности прогнозов.

Отметим, что осенью 2008 г. вследствие финансового кризиса на фондовых рынках наблюдалась ультравысокая волатильность. Период кризисной волатильности не входит в первую часть рассматриваемых данных и потому не создает проблем при оценке моделей. Однако этот период целиком входит во вторую часть данных, что негативно влияет на точность построенных прогнозов.

Таблица 1.2 Описательные статистики доходностей индексов В Таблице 1.2 представлены описательные статистики для полных рядов доходностей из 4891 наблюдения. Заметим, что распределения всех рассматриваемых доходностей имеют тяжелые хвосты: коэффициент эксцесса для каждого фондового индекса существенно превышает 0. Это один из известных эмпирических фактов о маргинальных распределениях финансовых доходностей.

Отметим также, что доходность фондового индекса Hang Seng имеет наибольший эксцесс и стандартное отклонение – этот индекс наиболее волатилен среди рассматриваемых.

Связи между доходностями В рассматриваемых рядах логарифмических доходностей значимую автокорреляцию показывает только индекс S&P 500.

Гипотеза о постоянном нулевом условном среднем в простой AR(1) модели с константой не отвергается на 5% уровне значимости тестом Вальда для всех индексов, кроме S&P 500, как показано в Таблице 1.3.

Таким образом, в доходностях большинства рассматриваемых фондовых индексов отсутствует значимая автокорреляция, и при построении одномерных моделей условное среднее можно было бы зафиксировать на нулевом уровне без значительных потерь качества модели. Однако в многомерном моделировании такой подход будет некорректен, поскольку существуют значимые корреляции между доходностями различных индексов.

Таблица 1.3 Тест Вальда на нулевое условное среднее в моделях Статистика 18,06 5,22 1,37 2,40 3,52 3, P-значение 0,00 0,07 0,50 0,30 0,17 0, В Таблице 1.4 приведены корреляции доходностей каждого индекса с доходностями других индексов в текущий и предыдущий момент времени. Наличие значимых корреляций в этой таблице можно объяснить географическим расположением фондовых рынков, которое определяет время торгов. Для рассматриваемых индексов временные границы торговых сессий выглядят следующим образом (указано приблизительное время): по московскому времени рынки в Японии и Гонконге открываются в 3.00 и закрываются в 11.00, европейские рынки открываются в 9.00 и закрываются в 17.00, американский рынок открывается в 16.00 и закрывается в 00.00.

Динамика на фондовых рынках, где торговля осуществляется раньше, является информацией для участников рынков, где торгуют позже.

Этим можно объяснить существенную положительную корреляцию между лагированной доходностью индекса S&P 500 и текущими доходностями индексов Nikkei 225 и Hang Seng. По той же причине коррелирует с текущими доходностями европейских индексов FTSE 100, CAC 40 и DAX. Корреляции в этом случае ниже, чем для Nikkei 225 и Hang Seng, поскольку с момента закрытия американского рынка до момента открытия европейских рынков проходит больше времени и поступает больше информации. Аналогичные связи можно наблюдать для временных пар Восточная Азия – Европа и Европа – США.

Таблица 1.4 Одновременные и лагированные корреляции (-1) означает лагированную доходность.

Среди рассматриваемых индексов S&P 500 приносит на мировой фондовый рынок наиболее важную информацию и значимо влияет на практически отсутствует: доходность S&P 500 несущественно зависит от информации о реализовавшихся доходностях других индексов. Это продемонстрировано в Таблице 1.5, в которой приведены оценки параметров VAR(1) модели для вектора доходностей всех рассматриваемых индексов.

Таблица 1.5 Оценки параметров 6-мерной модели VAR(1) S&P 500 (-1) FTSE 100 (-1) CAC 40 (-1) DAX (-1) Hang Seng (-1) Nikkei 225 (-1) Оценки получены методом максимального квазиправдоподобия.

В скобках приведены стандартные ошибки.

Жирным показана значимость на 5% уровне.

Согласно оцененной векторной авторегрессии, лагированная доходность индекса S&P 500 имеет прямое статистически значимое (коэффициенты в первой строке Таблицы 1.5), но в обратную сторону такого влияния нет (коэффициенты в первом столбце). Таким образом, текущая доходность индекса S&P 500 – особенная переменная, которая может рассматриваться как предиктор будущих доходностей других индексов. При построении моделей в разделе 1.4 отмеченные динамические связи между доходностями различных индексов учитываются также с помощью модели VAR(1) для вектора условных средних.

Рис. 1.1 Динамика логарифмических доходностей индексов - - На Рис. 1.1 изображена динамика логарифмических доходностей рассматриваемых фондовых индексов в полных рядах по наблюдению. Очевидна классическая кластеризация волатильности, которая, как правило, наблюдается в рядах финансовых доходностей.

Можно также заметить, что периоды высокой волатильности одного индекса в той или иной мере перекрываются или совпадают с периодами высокой волатильности других индексов. Таким образом, возможна некоторая связь между волатильностями доходностей различных индексов. В моделях, рассматриваемых в разделе 1.4, использована одна из известных GARCH конструкций для условной ковариационной матрицы. Это позволяет учесть как индивидуальную кластеризацию волатильности, так и возможные связи между волатильностями различных фондовых индексов.

Тяжелые хвосты условных распределений Источником тяжелых хвостов маргинального распределения финансовых доходностей может быть не только переменная волатильность, которая видна на Рис. 1.1, но и наличие тяжелых хвостов у соответствующего условного распределения.14 В данном разделе для доходностей рассматриваемых фондовых индексов проведена пробная оценка “веса” хвостов условных распределений.

Для этого построены непараметрические оценки одномерных условных функций плотности распределения доходностей, а затем на их основе рассчитаны условные коэффициенты эксцесса.

стационарным, так что неизвестные совместные функции плотности f rt,rt 1 ( x, y ) и маргинальные функции плотности f rt ( x) не зависят от времени. Тогда условная функция плотности f rt |rt 1 ( x | y ) также не зависит от времени и может быть оценена по имеющимся наблюдениям, в частности, непараметрическими методами. Здесь для простоты в доступную к моменту времени t 1 информацию I t включено только значение rt 1.

Динамика цен финансовых активов может также характеризоваться наличием скачков. Данное явление рассмотрено, например, в работе (Белоусов, 2006).

Используется одношаговая непараметрическая оценка условной функции плотности15, основанная на стандартных ядерных оценках.

Пусть h1 и h2 это ширина окон для rt и rt 1 соответственно и Ядерная оценка Надарайа – Уотсона16 совместной функции плотности распределения rt и rt 1 определяется следующим образом:

а оценка маргинальной функции плотности распределения rt 1 имеет вид определяется на основе f rt,rt 1 ( x, y ) и f rt 1 ( y ) по формуле В качестве условия задано rt 1 0, то есть для всех фондовых индексов построены функции f rt |rt 1 0 ( x | 0). Используется гауссово ядро K ( x) exp, а ширина окна вычисляется по правилу Сильвермана17 h1 h2 1,06 rT 1/5, где r – выборочное стандартное отклонение доходности, а T 4891 – размер выборки.18 Построенные функции f rt |rt 1 0 ( x | 0) были центрированы и нормированы с помощью рассчитанных по ним же условному среднему и дисперсии. На Рис.

Данная оценка рассмотрена, например, в работе (Hansen, 2004).

Оценка названа в честь авторов работ (Nadaraya, 1965) и (Watson, 1964).

Правило предложено в книге (Silverman, 1986).

Использован пакет «np» в языке программирования R.

1. плотности стандартного нормального распределения.

Рис. 1.2 Стандартизованные непараметрические оценки условных Как известно, коэффициент эксцесса нормального распределения равен 0. В Таблице 1.6 приведены коэффициенты условного эксцесса, вычисленные по функциям f rt |rt 1 0 ( x | 0). Оценки условного эксцесса для всех фондовых индексов положительны, и таким образом оцененные условные распределения доходностей имеют тяжелые хвосты19. При этом фондовый индекс S&P 500 имеет наибольший условный эксцесс при условии rt 1 0. На Рис. 1.2 превышение условным эксцессом нуля проявляется в большей “пиковости” стандартного нормального распределения.

Таблица 1.6 Оценки условного эксцесса при rt Эксцесс 2,259 1,312 0,843 1,237 0,785 0, распределений доходностей должно учитываться при построении соответствующих многомерных распределений. Рассматриваемые в разделе 1.4 функции плотности имеют параметры, позволяющие контролировать вероятностную массу в центре распределения и многомерных тяжелых хвостов.

1.4 Условные распределения доходностей В данном разделе рассмотрены три модели для вектора доходностей фондовых индексов: во-первых, модель на основе tраспределения с вектором степеней свободы, включающая как частный случай модель со скаляром степеней свободы, во-вторых, модель с обобщенным распределением ошибки (GED), и в-третьих, модель с распределением Грама – Шарлье.

Моделирование условной скошенности и эксцесса распределений финансовых доходностей рассмотрено, например, в работах (Франгуриди, 2014) и (Leon et al., 2005).

Многомерное нормальное распределение входит в качестве распределение Грама – Шарлье. В данном разделе приведены теоретические аспекты каждой модели, а также примеры оценок их параметров на данных, описанных в разделе 1.3. Последующее сравнение оцененных моделей проводится в разделе 1.5. Целью эмпирического сравнения моделей является выявление среди них той, которая способна наилучшим образом учитывать многомерные тяжелые хвосты распределений доходностей.

Толщина многомерных хвостов распределения в значительной степени определяется первыми 4-мя моментами. В данной главе для tраспределения, обобщенного распределения ошибки и распределения Грама – Шарлье используются одинаковые принципы определения 1 – 3 условных моментов, а 4-ый условный момент моделируется различно за счет специфики каждого распределения. Это в некоторой мере позволяет выявить наилучший способ моделирования 4-го условного момента для учета многомерных тяжелых хвостов условного распределения доходностей.

Вектор условных ожиданий доходностей фондовых индексов для распределений, рассматриваемых в данном разделе, определяется одинаково и его уравнение имеет вид VAR(1):

соответственно (в данной главе рассмотрен случай d 2 ). Выше было отмечено, что лагированное значение доходности одного фондового индекса может быть значимым предиктором доходности другого индекса из-за разницы во времени между торговыми сессиями на различных мировых фондовых рынках. Именно по этой причине в модель вводится матрица Q, обеспечивающая зависимость Et 1 ( rt ) от rt 1.

Вторым общим свойством рассматриваемых распределений является одинаковое уравнение динамики условной ковариационной называемая BEKK(1,1)20 многомерная GARCH модель, которая имеет вид где – d d нижняя треугольная матрица с положительными диагональными элементами, A и B – произвольные d d матрицы, а t – вектор шоков в момент t, то есть Использование модели BEKK выгодно по двум причинам. Вопервых, в данной модели матрица H t в любой момент времени t положительно определена по построению, что существенно облегчает техническую процедуру вычисления оценок параметров модели. И вовторых, BEKK является одной из наиболее гибких моделей среди тех, в которых H t всегда положительно определена. В разделе 1.3 было показано, что для рассматриваемых в данной различных рынках происходит в определенной мере синхронно.

классическую кластеризацию волатильности на отдельных рынках, так и возможные связи между волатильностями на разных рынках.

Модель Baba-Engle-Kraft-Kroner, предложенная в работе (Engle, Kroner, 1995).

Обзор многомерных GARCH моделей можно найти, например, в работе (Silvennoinen, Terasvirta, 2008).

Учет этих связей достигается за счет внедиагональных элементов матриц A и B.

обобщенное распределение ошибки имеют нулевую асимметрию, и соответственно все третьи центральные условные моменты для них распределение Грама – Шарлье допускает наличие асимметрии, что дает ему некоторое преимущество. Поэтому в распределении Грама – обеспечения равноправия при его сравнении с t-распределением и обобщенным распределением ошибки. Однако было проверено, что наличие или отсутствие асимметрии в распределении Грама – Шарлье не влияет на результаты его эмпирического сравнения с другими распределениями. По этой причине для распределения Грама – Et 1 t t t D3 const, и построенные на его основе модели имеют некоторую асимметрию.

Далее приведено описание рассматриваемых многомерных моделей. Для каждой из них отмечены некоторые теоретические свойства, приведена формула логарифма функции плотности для вычисленных оценок.

О полноценном максимальном правдоподобии можно говорить в том случае, если маргинальное распределение первого наблюдения во временном ряду не зависит от оцениваемых параметров. Проверить эту гипотезу, как правило, не представляется возможным. Поэтому на практике этим пренебрегают и максимизируют функцию квазиправдоподобия.

Модели на основе t-распределения с вектором и скаляром степеней свободы Рассматриваемое в данном разделе t-распределение с вектором степеней свободы было предложено в работе (Шведов, 2009). Его теория развивается в главах 3, 4 и 5 настоящей диссертации, а также в работах (Балаев, 2011а; 2012; 2014а) и (Шведов, 2010; 2012).

Практическое применение данного распределения реализовано в главах 1 и 2 настоящей диссертации, а также в работе (Шведов, 2011).

вектором степеней свободы, приведенное в разделе 3.2 или работе (Шведов, 2009), запишем для случая d 2 условную функцию плотности распределения вектора доходностей в следующем виде:

Она соответствует t-распределению с вектором степеней свободы, В работе (Шведов, 2010) показано, что вектор rt может быть представлен в виде rt t P, где PPt At, а случайный вектор имеет функцию плотности распределения (1.3) с параметрами t 0, At I 2 и тем же вектором, что и для rt. Таким образом, распределение не зависит от времени и поэтому индекс t для него был изначально опущен. В главе 3, а также в работе (Балаев, 2012) выполнены. Тогда для вектора условных средних имеем Et 1 (rt ) t, а условная ковариационная матрица вектора rt имеет вид Отсюда Тогда, определяя At PPt в формуле (1.3), получим Vt 1 (rt ) H t.

Динамика t и H t задается формулами (1.1) и (1.2) соответственно, что завершает построение модели.

Следует отметить, что можно было бы изначально задать динамику положительно определенной матрицы At, например, по формуле аналогичной (1.2). Однако в этом случае Vt 1 (rt ) могла бы не следовать BEKK(1,1) динамике и был бы нарушен принятый выше принцип одинаковой динамики условных ковариационных матриц для распределений, рассматриваемых в данной главе.

Для вектора шоков имеем t rt t, поэтому логарифм условной функции плотности распределения rt в модели с t-распределением с вектором степеней свободы запишется в виде:

Модель на основе t-распределения со скалярным параметром степеней свободы получается введением ограничения 1 2. При этом лишь упрощаются вышеприведенные формулы.

В настоящее время известно, что включение числа степеней свободы многомерного t-распределения в состав аргументов, по которым максимизируется функция правдоподобия (как, например, в (Liu, Rubin, 1995)), является не вполне корректным с вычислительной точки зрения. Возникающие в случае такого включения проблемы рассмотрены в работах (Fernandez, Steel, 1999) и (Lucas, 1997). В силу наличия этих проблем, при оценке моделей с t-распределением в настоящей главе скалярный и векторный параметры степеней свободы выбирается и фиксируется скаляр или вектор степеней свободы, а затем проводится максимизация функции квазиправдоподобия по остальным параметрам. Выбор значения для скаляра или вектора степеней свободы основан на результатах эмпирического сравнения, пример дается в разделе 1.5.

В Таблице 1.7 представлены примеры оценок параметров моделей на основе t-распределения со скаляром и вектором степеней свободы. Данные оценки получены с предварительной фиксацией степеней свободы и последующей максимизацией по остальным аргументам функции квазиправдоподобия, основанной на (1.4).

двумерному t-распределению со скаляром степеней свободы. Здесь и далее в качестве примеров взяты пары индексов (S&P 500, DAX), (S&P 500, Hang Seng) и (DAX, Hang Seng). Для остальных 12 пар проведены аналогичные расчеты (см. приложение главы 1).

Таблица 1.7 Оценки параметров моделей на основе tраспределений со скаляром и вектором степеней свободы Оценки получены методом максимального квазиправдоподобия с предварительной фиксацией степеней свободы.

В скобках приведены стандартные ошибки.

Жирным показана значимость на 5% уровне.

Модель на основе обобщенного распределения ошибки (GED) рассматривается в работе (Giller, 2005). Запишем для случая d условную функцию плотности распределения вектора доходностей в следующем виде:

По определению, приведенному в работе (Giller, 2005), функция плотности (1.5) соответствует обобщенному распределению ошибки, матрица t и 0. В (Giller, 2005) устанавливается, что в данном Тогда используя эту формулу для t в (1.5), будем иметь Vt 1 (rt ) H t.

Динамика t и H t, как и для модели с t-распределением, задается формулами (1.1) и (1.2) соответственно, что завершает построение модели.

Вектор шоков определяется как t rt t, поэтому логарифм обобщенным распределением ошибки запишется в виде:

Таблица 1.8 Оценки параметров моделей на основе обобщенного Оценки получены методом максимального квазиправдоподобия.

В скобках приведены стандартные ошибки.

Жирным показана значимость на 5% уровне.

Отметим, что при многомерное обобщенное распределение ошибки сводится к многомерному нормальному распределению, и в этом случае имеем (rt | It 1 ) ~ N2 (t, t ). При многомерные хвосты обобщенного распределения ошибки имеют больший «вес», чем многомерные хвосты нормального распределения, и с ростом толщина хвостов увеличивается. В проведенных в данной главе расчетах параметр включается в список аргументов, по которым проводится максимизация функции квазиправдоподобия.

В Таблице 1.8 приведены примеры оценок параметров моделей с квазиправдоподобия, основанном на функции (1.6).

Модель на основе распределения Грама – Шарлье Функция плотности распределения Грама – Шарлье получается на основе разложения истинной условной функции плотности для вектора доходностей в ряд Грама – Шарлье вокруг нормального распределения N (t, H t ). В полученном ряде все члены после 3-го Подробное описание построения данной функции можно найти, например, в работе (Del Brio et al., 2008).

Для условной ковариационной матрицы H t определим нижнюю треугольную с положительными диагональными элементами матрицу Pt такую, что PPt H t. Запишем для случая d 2 условную функцию плотности распределения вектора доходностей в следующем виде:

интегрированием может быть установлено, что Et 1 (rt ) t и Vt 1 (rt ) H t. Кроме того, для матрицы 3-их центральных нормированных моментов имеем а для матрицы 4-ых моментов получаем Таким образом, для функции (1.7) и распределения на ее основе имеем следующие результаты. Во-первых, если значения параметров таковы, что для любого rt выполнено ft 1 (rt ) 0, то ft 1 (rt ) является функцией плотности. Обрывание ряда Грама – Шарлье на 3-ем члене приводит к тому, что функция ft 1 (rt ) имеет области отрицательности для некоторых значений параметров. Тем не менее, на практике при моделировании многомерных распределений доходностей параметры подобной модели, как правило, оказываются таковы, что ft 1 (rt ) всюду и проблем с отрицательностью не возникает. Во-вторых, вектор условных ожиданий и условная ковариационная матрица оказываются ровно такими, какие требуются от модели. При этом динамика t и H t по-прежнему задается формулами (1.1) и (1.2) соответственно. И соответственно. Матрица D3 определяет асимметрию распределения, а матрица контролирует вероятностную массу в центре распределения, и соответственно «вес» многомерных хвостов.

плотности распределения rt в модели на основе распределения Грама – Шарлье запишется в виде:

Таблица 1.9 Оценки параметров моделей на основе распределения D3, D3, D3, D3, D4, D4, D4, D4, D4, Оценки получены методом максимального квазиправдоподобия.

В скобках приведены стандартные ошибки.

Жирным показана значимость на 5% уровне.

Распределение Грама – Шарлье, также как и обобщенное распределение ошибки, сводится к нормальному распределению при D4 3 vec( I 2 ) vec( I2 ), получаем (rt | It 1 ) ~ N2 (t, Ht ).

В Таблице 1.9 приведены примеры оценок параметров моделей с квазиправдоподобия, основанном на функции (1.8).

доходностей23. Модели, представленные в предыдущем разделе, являются невложенными, и для их сравнения может быть использован информационный критерий Кульбака – Лейблера. Сравнение двух функций плотности проводится в форме теста на основе этого методология KLIC теста, а также проблемы, возникающие при его проведении, рассмотрены в работе (Vuong, 1989). В данном разделе Различные методы тестирования предположений о функциональной форме распределений рассмотрены, например, в работе (Хейфец, 2011). Оценке качества прогнозов условной плотности распределения доходностей посвящены работы (Diebold et al., 1998) и (Hong et al., 2007).

KLIC тест описан в контексте моделирования условной функции плотности вектора доходностей rt.

плотности для вектора доходностей ft 1 (rt | ) и g t 1 ( rt | ). Чтобы выбрать из них лучшую с точки зрения качества подгонки внутри выборки или предсказательной способности вне ее (при предсказании условной функции плотности в целом), проводится следующий тест.

Нулевая гипотеза состоит в эквивалентности сравниваемых функций плотности:

Формально эквивалентность функций плотности определяется как равенство нулю расстояния Кульбака – Лейблера24 между ними:

где * и * – это псевдоистинные значения параметров для двух рассматриваемых функций плотности.

случаям, когда одна модель предпочтительнее другой:

Обозначим через * дисперсию логарифмической разности рассматриваемых функций плотности:

Эту дисперсию можно состоятельно оценить следующим образом:

Данное понятие было впервые рассмотрено в работе (Kullback, Leibler, 1951), где вместо слова “расстояние” применяется словосочетание “средняя информация”. Термин “расстояние Кульбака – Лейблера” вошел в употребление позже.

где и – это оценки параметров двух моделей функции плотности методом максимального квазиправдоподобия.

Далее, обозначим через LR сумму выборочных логарифмических разностей рассматриваемых функций плотности:

KLIC тест основан на следующих асимптотических результатах в предположении о верности каждой из гипотез:

Данный тест может быть проведен как внутри выборки, на которой оцениваются модели (для сравнения качества подгонки), так и вне ее (для сравнения предсказательной способности при предсказании условного распределения в целом).

Потенциальная проблема данного подхода к сравнению моделей – возможность ситуации 0, когда KLIC тест неприменим. Для проверки равенства 0 следует проводить так называемое предварительное тестирование. Однако, существующий на данный момент тест для проверки гипотезы 0 использует статистику с нестандартным и непивотальным распределением, и для упрощения расчетов предварительное тестирование в настоящей главе не проводится.

Эмпирический критерий выбора между функциями плотности f и g на основе KLIC теста выглядит следующим образом. Функция KLIC 1,96, и f предпочтительнее g, если KLIC 1,96. Если же 1,96 KLIC 1,96, то функции плотности и g признаются эквивалентными на 5%-ом уровне значимости.

На основе данного критерия было проведено попарное сравнение рассмотренных в главе моделей внутри и вне выборки, на которой они построены. При проведении теста внутри выборки T 3261 и величины и LR рассчитаны по первым 3261 наблюдению. При проведении теста вне выборки T 1630 и величины и LR рассчитаны по последним 1630 наблюдениям. При этом для внутривыборочного и вневыборочного KLIC теста использованы одни и те же оценки параметров функций плотности, вычисленные на основе первых 3261 наблюдения. Из 6 временных рядов доходностей рассматриваемых фондовых индексов составлены 15 различных пар, и на каждой паре рядов сравнивается каждая пара моделей, рассмотренных в разделе 1.4.

Для рассматриваемой пары временных рядов доходностей назовем победой по KLIC тесту Модели 1 над Моделью 2 такую ситуацию, когда Модель 1 превосходит Модель 2 согласно упомянутому эмпирическому критерию. Соответственно, поражением по KLIC тесту Модели 1 перед Моделью 2 будем считать обратную ситуацию. По результатам KLIC теста для каждой модели было подсчитано число ее побед над другими моделями внутри и вне выборки. На основе этого был определен рейтинг каждой модели по качеству подгонки к данным и предсказательной способности при предсказании условной функции плотности в целом.

Модель на основе распределения Грама – Шарлье имеет предсказательной способности (см. приложение главы 1): 1 победа из 15 внутри выборки против распределения GED и 0 побед по всем остальным тестам. Несмотря на большое число параметров и наличие асимметрии, эта модель уступает моделям с GED распределением и tраспределением. Вероятная причина более низкого качества данной модели в том, что она представляет собой модификацию модели с нормальным распределением. Разложение истинной условной функции плотности в ряд Грама – Шарлье производится вокруг функции плотности нормального распределения. Поэтому обрывание ряда Грама – Шарлье на 3-ем члене дает функцию плотности, пусть и с новыми параметрами, но все еще достаточно похожую на функцию плотности нормального распределения. В результате модель с распределением Грама – Шарлье показывает низкое качество подгонки и предсказательную способность.

Модель с обобщенным распределением ошибки (GED) обходит модель с распределением Грама – Шарлье как по качеству подгонки (14 побед из 15), так и по предсказательной способности (15 побед из внутри выборки, 2 случая эквивалентности и 1 победа вне выборки).

Условные функции плотности в моделях с распределением GED и tраспределением со скаляром степеней свободы имеют одинаковое число параметров и строятся по схожему принципу: в обеих есть скалярный параметр, контролирующий величину вероятностной массы в центре распределения ( 1 2 для t-распределения и для распределения GED). Поэтому данные модели качественно похожи и превосходство t-распределения со скаляром степеней свободы над распределением GED объясняется исключительно особенностями форм функций плотности данных распределений: для t-распределения моделировании распределения рассматриваемых финансовых доходностей.

Наконец, модели на основе t-распределения со скаляром и вектором степеней свободы имеют наивысший рейтинг как по качеству подгонки, так и по предсказательной способности. Для модели со скалярным параметром степеней свободы были рассмотрены случаи от 1 2 2 до 1 2 10 с шагом 0,5. Среди этих случаев был выбран тот, в котором обеспечивалось наибольшее доминирование по KLIC тесту модели с t-распределением над моделями с распределениями GED и Грама – Шарлье. Таковым оказался случай 1 2 4 : внутри выборки в нем обеспечивается по 15 побед t-распределения над распределениями GED и Грама – Шарлье, а вне выборки – 12 побед над распределением GED и побед над распределением Грама – Шарлье. По этой причине в качестве модели на основе t-распределения со скаляром степеней свободы взят именно случай 1 2 4. Модели с векторным параметром степеней свободы строились путем некоторой корректировки вектора 1. При этом сумма степеней свободы сохранялась постоянной на уровне 8. Таким путем были построены модели с 1 и 1. Согласно результатам KLIC теста, модель с 1 оказывается предпочтительнее модели с одновременно внутри и вне выборки в 3 случаях из 15, а модель с 1 – в 5 случаях из 15. При этом случаи успеха и приходятся на непересекающиеся наборы пар индексов.

Таким образом, для 8 из 15 пар рассмотренных фондовых индексов удалось найти модель на основе t-распределения с вектором степеней свободы, которая является более предпочтительной, чем модель со скаляром степеней свободы одновременно по качеству подгонки к данным и по предсказательной способности. Это показывает, что использование моделей не только с одинаковыми, но и с различными 1 и 2 для значительной части рядов позволяет получить более высокие результаты. Проведенные в данной главе расчеты подтверждают, что t-распределение с вектором степеней свободы может быть полезно при моделировании распределения финансовых доходностей на практике.

В настоящей главе было проведено сравнение соответствия данным и пригодности для прогнозирования нескольких двумерных моделей для логарифмических доходностей индексов крупнейших мировых фондовых рынков. Рассмотрены 4 спецификации многомерной условной функции плотности распределения доходностей: t-распределение с вектором и скаляром степеней свободы, обобщенное распределение ошибки и распределение Грама – Шарлье. С помощью теста, основанного на информационном критерии Кульбака – Лейблера, проведено попарное сравнение оцененных моделей. На основе попарных сравнений получен следующий рейтинг распределений по качеству подгонки модели внутри выборки и предсказательной способности вне выборки: 1 – tраспределение со скалярным и векторным параметром степеней свободы, 2 – обобщенное распределение ошибки, 3 – распределение Грама – Шарлье. Кроме того, показано, что t-распределение с векторным параметром степеней свободы, которое предложено в работе (Шведов, 2009), а в настоящей главе впервые использовано в задаче прогнозирования, чуть больше чем в половине рассмотренных случаев является более предпочтительным, чем классическое tраспределение со скаляром степеней свободы, как по качеству подгонки к данным, так и по предсказательной способности вне выборки. В следующей главе t-распределение с вектором степеней свободы используется для построения многомерных моделей динамики доходностей акций с целью составления оптимального финансового портфеля.

Глава 2. Моделирование многомерных распределений доходностей и составление портфелей из акций российских многомерных моделей доходностей акций российских компаний с целью формирования портфелей из этих акций25. Рассмотрены модели на основе многомерного нормального распределения, многомерного tраспределения со скаляром степеней свободы и многомерного tраспределения с вектором степеней свободы. С помощью построенных моделей составлены различные портфели акций, и проведено их сравнение с точки зрения риска и выгоды вложений.

Как было отмечено во введении, формирование оптимального портфеля активов является важной задачей для участников финансового рынка. При построении оптимального портфеля возникают такие задачи, как максимизация ожидаемой доходности или минимизация дисперсии доходности с учетом информации, доступной к данному моменту времени и ограничений на торговлю, имеющихся на рынке. В теории для решения подобных задач инвестору может быть необходимо знание совместного распределения доходностей имеющихся на рынке активов, учитывающего доступную на данный момент информацию26. Однако на практике инвестор таким знанием не обладает, и ему необходимо оценить это условное Результаты главы 2 представлены в работах (Балаев, 2013б) и (Balaev, 2014).

См., например, (Ширяев, 2009) и (Шведов, 1999). Знание условного распределения доходностей одного или нескольких активов необходимо также для оценки различных производных финансовых инструментов. См. (Халл, 2007) и Финансовые инструменты: Пер. с англ. / Под редакцией Фабоцци Ф. – М.:

Эксмо, 2010. – 864 с.

распределение, для чего применяются различные эконометрические методы27. Обзор таких методов применительно к составлению финансовых портфелей и учету рисков в процессе принятия инвестиционных решений дан, например, в книге (Scherer, 2002).

Применение эконометрических методов в задачах управления риском рассмотрено также в работе (Фантаццини, 2008).

Глава 2 построена следующим образом. В разделе 2.2 приведен обзор литературы о моделировании многомерных распределений доходностей применительно к составлению финансовых портфелей.

Раздел 2.3 содержит описание использованных данных о доходностях российских акций, а также результаты предварительного эмпирического анализа. В разделе 2.4 приведено описание и оценки параметров многомерных моделей доходностей, учитывающих приведены характеристики портфелей, составленных с помощью построенных многомерных моделей доходностей, и проведено их сравнение с точки зрения риска и выгоды вложений. Наконец, в разделе 2.6 сформулированы выводы главы 2.

2.2 Литература о моделировании доходностей и составлении прогнозов финансовых доходностей и составления портфелей активов Существуют альтернативные методы прогнозирования динамики на финансовых рынках. Например, в книге (Петерс, 2000) рассмотрены методы построения долгосрочных прогнозов для рынков акций, облигаций и валюты, основанные на применении фрактального анализа. Широкое применение находят технический и фундаментальный анализ (см., (Содерлинд, 2006)).

на их основе достаточно широко освещено в литературе. Здесь дается лишь краткое описание некоторых из наиболее важных работ.

Работа (Winkler, 1973) относится к ранним публикациям, посвященным применению байесовских методов прогнозирования распределений доходностей применительно к задаче портфельного выбора. Работа (Polson, Tew, 2000) также посвящена использованию байесовских методов в задаче портфельного выбора: в ней строятся прогнозные распределения доходностей акций, входящих в индекс S&P 500 и на их основе оптимизируются финансовые портфели. В работе (Gohout, Specht, 2007) на основе байесовских методов построены многомерные модели доходностей акций из индекса DAX и проведен эмпирический анализ результативности торговых стратегий, основанных на применении этих моделей. В работе (Greyserman et al., 2006) оптимизация портфелей проводится путем максимизации ожидаемой полезности, которая вычисляется с помощью методов Монте-Карло с цепями Маркова на основе прогнозных распределений доходностей, построенных с помощью байесовского подхода.

Работа (Young, Lenk, 1998) посвящена составлению финансовых портфелей с помощью так называемых факторных моделей, в которых доходности активов предсказываются на основе динамики фондовых макроэкономических индикаторов и других переменных. В работе (Aguilar, West, 2000) для многомерных временных рядов обменных курсов основных мировых валют строятся факторные модели со стохастической волатильностью, на основе которых вычисляются краткосрочные прогнозы и проводится оптимизация финансовых портфелей.

Работа (Первозванский, 1999) посвящена проблеме учета эффективности рынка при формировании оптимального портфеля.

Автор рассматривает данную проблему на примере российского рынка ценных бумаг.

В работе (Артемьев, Якунин, 2001) рассмотрена многомерная модель динамики цен акций, представляющая собой систему стохастических дифференциальных уравнений, анализируется вопрос оценивания данной модели, и на ее основе проводятся численные эксперименты по построению множества допустимых портфелей.

Для нейтрализации больших выбросов при анализе рядов доходностей активов и составлении портфелей можно применять робастные методы. В работе (Жидков и др., 2003) рассматривается задача прогнозирования временных рядов доходностей и построения эффективных портфелей с помощью метода на основе робастных линейных сглаживающих сплайнов и метода на основе робастных ортогональных полиномов.

В литературе рассматриваются также вопросы прогнозирования доходностей и составления портфелей из долговых инструментов.

Например, в работе (Первозванский, Баринов, 1997) предложена модель прогнозирования доходности государственных краткосрочных облигаций (ГКО) и приведен пример построения оптимального портфеля ГКО с помощью данной модели.

эконометрических моделей значительную роль играет выбор многомерного распределения, лежащего в основе модели. Одним из популярных распределений, применяемых для составления портфелей, является многомерное t-распределение со скаляром степеней свободы, которому посвящена, в частности, работа (Kotz, Nadarajah, 2008), в которой содержится краткий обзор практических приложений этого распределения, среди которых составление финансовых портфелей. Применение t-распределения со скаляром степеней свободы может давать хорошие результаты при составлении портфелей. Например, в работе (Ku, 2008) показано, что применение tраспределения в многомерных GARCH моделях дает существенно большую эффективность хеджирования портфелей, чем применение нормального распределения.

В одной из эконометрических моделей, рассмотренных в предыдущей главе, используется многомерное t-распределение с вектором степеней свободы, предложенное в работе (Шведов, 2009).

Это распределение позволяет учитывать больше информации при скалярным параметром степеней свободы, поскольку вектор степеней свободы предоставляет возможность моделировать для каждой доходности свой индивидуальный эксцесс. В настоящей главе многомерное t-распределение с вектором степеней свободы впервые применяется в задаче составления финансовых портфелей.

Проводится сравнение портфелей из акций российских компаний, составленных с использованием t-распределения с вектором степеней свободы и портфелей, составленных с использованием нормального распределения, а также t-распределения со скаляром степеней свободы.

Эмпирический анализ проводится на основе данных о дневных ценах закрытия для акций крупнейших российских компаний, котировавшихся на бирже ММВБ в 2008-2013 гг. (после слияния ММВБ и РТС в декабре 2011 г. – на Московской Бирже), входящих в индекс ММВБ и имеющих достаточный уровень ликвидности. Для анализа можно было бы также использовать данные о котировках в системе РТС. Однако до слияния с ММВБ торговлю в РТС осуществляли главным образом инвесторы, которые совершали относительно редкие крупные сделки, в то время как на ММВБ шла более интенсивная торговля со значительным количеством сделок небольшого объема. По этой причине акции, торговавшиеся на ММВБ были более ликвидны, чем акции, торговавшиеся в РТС, и соответственно выбор в пользу ММВБ позволяет обеспечить более высокое качество данных для моделирования. Кроме того, для включения в индекс ММВБ компания должна была удовлетворять более жестким требованиям по финансовым показателям, чем для включения в индекс РТС. Поэтому ориентировка на индекс ММВБ позволяет также обеспечить более качественный отбор акций для составления оптимальных портфелей.

Часть входящих в индекс ММВБ акций крупных компаний имеют относительно низкую ликвидность. Это в первую очередь акции, динамика цен которых слабо зависит от финансовых показателей эмитентов и в значительной степени определяется лидирующего положения эмитента в той или иной отрасли, не рассматриваются в настоящей диссертации. В частности, из анализа исключены акции компаний строительного сектора и практически всех телекоммуникационных компаний. Среди остальных акций крупных компаний, входящих в индекс ММВБ, выбирались наиболее ликвидные, то есть предпочтение отдавалось акциям, имеющим низкий спред между ценой покупки (bid) и ценой продажи (ask) за Использована функция px_last в базе данных Bloomberg.

счет постоянного наличия большого количества покупателей и продавцов.

В результате были отобраны акции 14 компаний, являющихся лидерами или ключевыми игроками в 10 основных отраслях российской экономики. Для четырех отраслей с наибольшей ликвидностью акций (нефтяной, газовой, металлургической и банковской) рассматривались акции двух лидирующих компаний, для остальных отраслей – акции одной компании. В Таблице 2. представлена информация об акциях компаний, отобранных для анализа.

Таблица 2.1 Акции, использованные при составлении Компания Тикер Отрасль Ликвидность * Данные портала http://stocks.investfunds.ru на 19 февраля 2013 г.

Исходные временные ряды цен закрытия охватывают период с июля 2008 г. по 19 февраля 2013 г. Как и в главе 1, на основе данных о ценах для рассматриваемых акций были рассчитаны логарифмические доходности вида rt 100ln( St / St 1 ), где S t – цена последней сделки в основной торговой сессии ММВБ в день t.

Для обеспечения возможности оценивать многомерные модели данные были синхронизированы аналогично тому, как это сделано в главе 1. Доходности рассчитывались с использованием цен только в те дни, когда торговались все 14 выбранных акций, и поэтому из каждого временного ряда для цен акций были исключены некоторые рассчитывались для периода длиной в один день. В Таблице 2. приведены длины периодов, за которые рассчитывались доходности акций, и их доли в общем числе наблюдений.

Таблица 2.2 Временные интервалы доходностей акций наблюдения Накопленная Число пропусков длиной 3 дня и более в построенной выборке мало: из Таблицы 2.2 следует, что они составляют лишь 2,6% всех наблюдений, и ими можно пренебречь. Поэтому в дальнейшем, как и в главе 1, при построении моделей и анализе оптимальных портфелей специфика доходностей, соответствующих периодам длиной 3 дня и более, не учитывается, и все доходности рассматриваются как дневные.

Используемые данные состоят из 14 рядов доходностей по наблюдений каждый. Данные были разделены на 2 части: первые наблюдений используются для построения моделей, а последние наблюдений – для оценки качества моделей на основе динамики стоимости оптимальных портфелей. Как и в главе 1, первая часть данных имеет в два раза больше наблюдений, чем вторая, что дает достаточно большие выборки как для построения моделей, так и для оценки их прогнозной силы.

Период высокой кризисной волатильности осени 2008 г. входит в первую часть рассматриваемых данных, что затрудняет сходимость процедур оптимизации при оценке моделей.29 Однако эта проблема решается за счет аккуратного подбора стартовых значений параметров.

Таблица 2.3 Описательные статистики доходностей акций

AFLT DIXY GAZP GMKN IRAO LKOH MTSS

Максимум 21,59 28,12 31,09 20,78 45,90 26,78 29, Минимум -24,43 -35,67 -23,49 -39,34 -47,51 -23,00 -25, Эксцесс 17,90 30,09 18,62 20,54 23,60 17,01 21,

NLMK NVTK RASP ROSN SBER URKA VTBR

Максимум 34,93 35,84 20,36 45,99 44,80 45,22 46, Минимум -24,14 -16,63 -25,98 -27,24 -26,41 -46,16 -37, В Таблице 2.3 представлены описательные статистики для полных рядов доходностей из 1139 наблюдений. Заметим, что маргинальные распределения всех рассматриваемых акций имеют тяжелые хвосты: коэффициент эксцесса для каждой акции существенно превышает 0, что является одним из известных эмпирических фактов о распределениях финансовых доходностей.

Отметим также, что коэффициенты асимметрии и эксцесса Эконометрический анализ российского фондового рынка в период финансового кризиса 2008-2009 гг. проводится в работе (Лукашин, 2010).

распределений доходностей существенно разнятся от акции к акции.

При этом преобладает положительная асимметрия, что, как правило, не характерно для рядов финансовых доходностей.

Некоторые из рассматриваемых рядов доходностей акций имеют значимую автокорреляцию. В Таблице 2.4 показано, что гипотеза о нулевой автокорреляции в модели AR(1) с константой отвергается на 5% уровне значимости тестом Вальда для 6 из 14 рядов доходностей.

Таким образом, при построении многомерных моделей необходимо уравнении для вектора условных средних.

Таблица 2.4 Тест Вальда на нулевую автокорреляцию в моделях Статистика Вальда 3,17 2,97 1,80 52,45 57,67 1,79 1, P-значение 0,08 0,09 0,18 0,00 0,00 0,18 0, Статистика Вальда 8,92 0,30 22,50 1,34 0,02 20,12 7, В Таблице 2.5 приведены корреляции доходностей каждой акции с доходностями других акций в текущий и предыдущий момент времени. Положительная корреляция доходностей различных акций за один и тот же период в некоторой степени объясняется общими макроэкономических показателей и общий оптимизм инвесторов увеличивает спрос в той или иной мере на все акции и в результате между их доходностями возникает положительная корреляция.

Однако имеются и другие, более специфические причины наличия корреляций. Например, доходности акций компаний из одной и той же отрасли имеют значимую положительную корреляцию вследствие наличия общих отраслевых факторов, определяющих финансовые показатели этих компаний. Для рассматриваемых акций корреляция доходностей составляет 0,6 для металлургической отрасли, 0,7 для газовой отрасли и 0,8 для нефтяной и банковской отраслей. Значимая положительная корреляция наблюдается и между доходностями акций компаний из разных отраслей: для менее ликвидных акций (например, Аэрофлот, Дикси, ИНТЕР РАО) она составляет от 0,2 до 0,5, для более ликвидных (например, Роснефть, Газпром, Сбербанк) – от 0,5 до 0,9.

Крупные инвесторы, как правило, покупают наборы из высоколиквидных акций, так называемых “голубых фишек”, с целью диверсификации портфеля, что объясняет более высокую корреляцию доходностей этих акций.

Из Таблицы 2.5 также следует, что для рассматриваемых рядов корреляция между лагированной доходностью одной акции и текущей доходностью другой акции блика к нулю: лишь в отдельных случаях она составляет -0,1 или 0,1. Однако, не смотря на близкую к нулю корреляцию, динамические связи между доходностями различных акций все же существуют, как показывает анализ оценок параметров модели VAR(1) с нормальным распределением, приведенных в Таблице 2.6. Лагированные доходности всех рассматриваемых акций, за исключением акций компании Роснефть, имеют статистически значимое влияние на текущие доходности других акций: почти в каждой строке Таблицы 2.6 имеется хотя бы один коэффициент, значимый на 5%-уровне значимости.

Таблица 2.5 Одновременные и лагированные корреляции логарифмических доходностей акций (-1) означает лагированную доходность.

Знаки и величина коэффициентов в полученной векторной авторегрессии отражают сложившиеся на рынке приоритеты и типичную реакцию инвесторов на рост стоимости тех или иных акций. Например, рост стоимости акции 1 повышает спрос инвесторов на нее, но для диверсификации портфеля они могут покупать также и акцию 2. В этом случае влияние лагированной доходности акции 1 на текущую доходность акции 2, вероятно, будет положительным. В то же время при росте стоимости акции 1 инвесторы могут приобретать дополнительное ее количество за счет частичного вывода средств из акции 3. Тогда динамическая связь между доходностями акций 1 и может быть отрицательной.

Таблица 2.6 Оценки параметров 14-мерной модели VAR(1) AFLT(-1) DIXY(-1) GAZP(-1) GMKN(-1) IRAO(-1) LKOH(-1) MTSS(-1) NLMK(-1) NVTK(-1) RASP(-1) ROSN(-1) SBER(-1) URKA(-1) VTBR(-1) Оценки получены методом максимального квазиправдоподобия.

В скобках приведены стандартные ошибки.

Рис. 2.1 Динамика логарифмических доходностей акций, % в день

GAZP GMKN

IRAO LKOH

MTSS NLMK

NVTK RASP

ROSN SBER

Вопрос наличия автокорреляции и динамических связей между доходностями важен, поскольку для их учета в многомерных моделях требуется много параметров, что значительно усложняет оценивание этих моделей. В разделе 2.4 наличие автокорреляции и динамических связей между доходностями различных акций учитывается также с помощью векторной авторегрессии.

Как и в главе 1, на графиках динамики доходностей, изображенных на Рис. 2.1, видна классическая кластеризация волатильности, характерная для рядов финансовых доходностей.

Особенно заметны большие кластеры волатильности, приходящиеся на период финансового кризиса.

Наличие кластеризации волатильности также подтверждается значимостью и высокими значениями оценок параметров 2 в GARCH(1,1) моделях с t-распределением, приведенных в Таблице 2.7. Таблица 2.7 Оценки параметров моделей GARCH(1,1) с Модель вида доходности в момент времени t. Для доходности rt использовано tраспределение с степенями свободы. См. (Bollerslev, 1987).

Оценки получены методом максимального квазиправдоподобия.

В скобках приведены стандартные ошибки.

Жирным показана значимость на 5% уровне.

На Рис. 2.1 также заметно, что для различных акций характерны примерно одни и те же периоды высокой волатильности. Это может означать наличие динамических связей между волатильностями доходностей различных акций. Для описания динамики условной ковариационной матрицы доходностей в разделе 2.4, как и в главе 1, используется известная многомерная GARCH модель, которая позволяет учесть индивидуальную кластеризацию волатильности и динамические связи между волатильностями доходностей различных акций.

Как упоминалось в главе 1, маргинальное распределение финансовых доходностей может иметь тяжелые хвосты, во-первых, в силу переменной волатильности, которую можно наблюдать на Рис.

2.1, и во-вторых, за счет тяжелых хвостов условного распределения. В параметров степеней свободы достаточно малы, и соответственно условные распределения доходностей рассматриваемых акций имеют тяжелые хвосты. При этом число степеней свободы существенно разнится от акции к акции, то есть условные распределения доходностей акций имеют разную толщину хвостов.

Рис. 2.2 Стандартизованные непараметрические оценки условных распределений доходностей акций при rt

GAZP GMKN

IRAO LKOH

MTSS NLMK

NVTK RASP

доходностей, в том числе и толщину их хвостов, можно определить на основе непараметрических оценок одномерных условных функций плотности. С помощью процедуры построения непараметрических оценок, описанной в разделе 1.3, для всех 14 рассматриваемых акций были вычислены функции f r |r ( x | 0) – оценки условных функций плотности распределения доходностей при условии rt 1 0, то есть при нулевой доходности в предыдущий день.

стандартного нормального распределения, а в Таблице 2.8 приведены оценки среднего, стандартного отклонения, асимметрии и эксцесса, отрицательна для некоторых акций, то есть толщина хвостов условного распределения их доходностей меньше, чем у нормального распределения. На Рис. 2.2 величина условного эксцесса проявляется функциями плотности стандартного нормального распределения. Эта “пиковость” и соответствующие оценки эксцесса в Таблице 2. существенно разнятся от акции к акции, что также указывает на различия в толщине хвостов условных распределений доходностей.

Таблица 2.8 Оценки параметров условного распределения Желательно, чтобы различия в “весе” хвостов одномерных маргинальных распределений доходностей акций учитывались при построении многомерных моделей. В разделе 2.4 эти различия учитываются в модели, построенной на основе многомерного tраспределения с вектором степеней свободы.

Из рассматриваемых 14 акций российских компаний были сформированы наборы, состоящие из 10 акций. Наборы различаются составом в части наиболее ликвидных акций (оценки ликвидности портала http://stocks.investfunds.ru, см. Таблицу 2.1). Имеется рассматриваются 2 варианта наиболее ликвидных акций, а для остальных 6 отраслей – один вариант, что дает 16 различных наборов.

Полученные наборы сначала были упорядочены по убыванию количества входящих в них высоколиквидных акций, а затем наборы, в которых количество ликвидных акций оказалось одинаковым, были дополнительно упорядочены по убыванию суммарной капитализации компаний-эмитентов. Таким образом, в целом построенные наборы были упорядочены по убыванию степени соответствия входящих в них акций понятию «голубые фишки», то есть по убыванию размера эмитентов и их «популярности» на фондовом рынке. Такое упорядочивание удобно, поскольку позволяет сравнивать эффективность использования той или иной модели при составлении Упорядоченные наборы акций представлены в Таблице 2.9. В рассматриваемых ниже моделях порядок акций в векторе доходностей для каждого набора соответствует порядку в Таблице 2.9, где отрасли расположены по убыванию ликвидности относящихся к ним акций.

Это позволяет выявить возможные зависимости оценок параметров, относящихся к той или иной акции, от уровня ее ликвидности.

Таблица 2.9 Наборы акций для составления портфелей

1 Нефть ROSN LKOH ROSN LKOH ROSN LKOH ROSN ROSN

2 Банки SBER SBER VTBR VTBR SBER SBER VTBR SBER

GAZP GAZP GAZP GAZP GAZP GAZP GAZP

GMKN GMKN GMKN GMKN GMKN

1 Нефть LKOH LKOH ROSN LKOH ROSN LKOH ROSN LKOH

2 Банки VTBR SBER VTBR VTBR SBER SBER VTBR VTBR

3 Газ NVTK NVTK NVTK NVTK NVTK NVTK NVTK

GMKN GMKN GMKN

Фиксированные составляющие портфелей: 5 Удобрения URKA, Связь MTSS, 7 Энергетика IRAO, 8 Транспорт AFLT, 9 Уголь RASP, 10 Ритейл DIXY.

Жирным выделены высоколиквидные акции, согласно http://stocks.investfunds.ru Для каждого из наборов акций, представленных в Таблице 2.9, рассмотрены две модели вектора доходностей: модель на основе включающая как частный случай модель со скаляром степеней распределения.

Как и в главе 1, вектор условных ожиданий доходностей акций Et 1 ( rt ) t определяется одинаково вне зависимости от типа распределения и его уравнение соответствует модели VAR(1):

соответственно (для оцениваемых моделей упомянуто в предыдущем разделе, лагированная доходность одной акции может иметь статистически значимое влияние на текущую доходность другой акции из-за сложившихся на рынке приоритетов и типичного поведения инвесторов в той или иной ситуации. Для учета такого влияния в модель вводится матрица Q.

t rt Et 1 (rt ) rt c Qrt 1, и уравнение динамики его условной ковариационной матрицы H t Vt 1 ( t ), как и в главе 1, задано одинаковым вне зависимости от типа распределения. Используется достаточно популярная в эконометрической литературе DCCGARCH(1,1)31 модель, в которой динамика условных дисперсий и корреляций моделируется по отдельности. Условная ковариационная матрица разложена в произведение диагональных матриц условных стандартных отклонений Dt diag{ t,1,..., t,d } и условной корреляционной матрицы Rt следующим образом:

Для каждой условной дисперсии задана стандартная GARCH(1,1) динамика, то есть Dynamic conditional correlation, модель, предложенная в работе (Engle, 2002).

Пример применения данной модели к эмпирическому анализу финансовых рынков приведен в работе (Колоколов, 2011).

Предполагается, что некоторая положительно определенная матрица Qt изменяется в соответствии с уравнением где a 0, b 0, a b 1, S – матрица безусловных корреляций вектора шоков t и стартовая матрица Q0 положительно определена.

Матрица Qt положительно определена в каждый момент времени, но не является корреляционной матрицей. Условная корреляционная матрица Rt получается нормированием матрицы Qt по формуле Rt diag{Qt1/2,..., Qtdd }Qt diag{Qt1/2,..., Qtdd } Отметим, что в классической DCC-GARCH модели в уравнении (2.4) используются не исходные шоки t,i, а их нормированные версии t,i t,i / t,i. Однако деление шоков на стандартные отклонения существенно увеличивает нелинейность модели по параметрам, что рассматриваемых данном в разделе. По этой причине в используемой задействованы именно ненормированные шоки t,i. Это упрощение несущественно влияет на характер модели, поскольку матрица Qt в любом случае нормируется по формуле (2.5). При переходе от нормированных к ненормированным шокам меняется лишь порядок оценки параметра a.

В модели DCC-GARCH, так же, как и в модели BEKK, рассмотренной в главе 1, матрица H t положительно определена в любой момент времени t, что упрощает процедуру оценивания возможность изменения условных корреляций доходностей во времени, но при этом имеет относительно немного параметров по сравнению с другими многомерными GARCH моделями, в которых H t всегда положительно определена (см. (Silvennoinen, Terasvirta, 2008)).

В предположении, что вектор условных средних следует динамике VAR(1), а условная ковариационная матрица – динамике DCC-GARCH(1,1), частный случай классическое t-распределение со скаляром степеней свободы.

Для модели с многомерным нормальным распределением условная функция плотности распределения вектора доходностей имеет стандартный вид:

соответственно.

Данная модель учитывает автокорреляцию, динамические связи между доходностями, кластеризацию волатильностей, а также связи между волатильностями для различных акций. Однако использование нормального распределения не позволяет учесть наличие тяжелых хвостов у одномерных маргинальных распределений доходностей, что является существенным ограничением. В данной главе модель на основе нормального распределения рассматривается в качестве базовой простой спецификации, с которой удобно сравнивать модели на основе t-распределения со скаляром и вектором степеней свободы, учитывающие наличие тяжелых хвостов.

Для модели на основе многомерного t-распределения с вектором степеней свободы, предложенного в работе (Шведов, 2009), условная функция плотности распределения вектора доходностей запишется следующим образом (см. определение в разделе 3.2):

(1,..., d ) выполнено многомерная гамма-функция () определяется через одномерную () как и (rt t )[ d j ] обозначает вектор из первых [d j ] компонент вектора rt t, а At[ d j ] – матрицу из первых [d j ] строк и столбцов матрицы Модель на основе t-распределения со скалярным параметром степеней свободы получается из модели с вектором степеней свободы введением ограничения 1 2... d. Как уже упоминалось в главе 1 и разделе 2.2, многомерное t-распределение с вектором степеней свободы дает больше гибкости для учета различий в распределениях доходностей акций, чем распределение со скаляром степеней свободы, поскольку появляется возможность моделировать эксцесс распределения отдельно для каждой акции.

Для вычисления функции правдоподобия на основе формул (2.1) – (2.5) и функции плотности (2.7) требуется перейти от матрицы H t к матрице At. Аналогично тому, как это сделано в главе 1, представим вектор rt в виде rt t P (см. (Шведов, 2010)), где Pt – нижняя треугольная матрица с положительными диагональными элементами такая, что PPt At, а вектор имеет функцию плотности (2.7) с параметрами t 0, At I d и тем же вектором, что и для rt. Как показано в главе 3 и работе (Балаев, 2012), ковариационная матрица ковариационная матрица H t запишется в виде Представив ковариационную матрицу в виде H t U tU t, где U t – нижняя треугольная матрица с положительными диагональными размерности d с помощью алгоритма разложения Холецкого), получим что позволяет вычислить матрицу At PPt.

Альтернативный подход заключается в задании динамики матрицы At напрямую. При этом можно было бы использовать формулы, аналогичные (2.2) – (2.5). Однако для корректного распределения необходимо, чтобы динамике вида DCC-GARCH(1,1) следовала именно матрица H t, а не At.

Для каждого из 16 наборов акций, представленных в Таблице 2.9, были оценены 10-мерные модели VAR(1)-DCC-GARCH(1,1) для вектора rt с нормальным распределением, t-распределением со скаляром степеней свободы и t-распределением с вектором степеней свободы. Оценивание производилось методом максимального квазиправдоподобия на основе функций плотности (2.6) и (2.7) с использованием первых 760 наблюдений в выборке.

Многомерное нормальное распределение удобно для применения метода максимального квазиправдоподобия, и при его использовании проблем с оцениванием параметров, как правило, не возникает.

Однако этого нельзя сказать о многомерном t-распределении. Как упоминалось в главе 1, максимизация функции правдоподобия для многомерного t-распределения по всем аргументам, включая степени свободы, сопряжена с вычислительными проблемами. По этой причине при оценке моделей в главе 1 параметры степеней свободы фиксировались перед максимизацией функции правдоподобия.

Однако в настоящей главе применение такого подхода к модели с векторным параметром степеней свободы наталкивается на проблему предварительного выбора индивидуального числа степеней свободы для каждой акции. На данный момент в литературе не предложен принцип предварительного подбора вектора степеней свободы для применения метода максимального квазиправдоподобия. Поэтому, чтобы избежать произвола при оценке моделей, в настоящей главе векторный параметр степеней свободы все же включается в состав аргументов максимизации функции правдоподобия. Кроме того, для обеспечения равноправия при сравнении оцененных моделей скалярный параметр степеней свободы также приходится включать в состав аргументов оптимизации.

Учет наличия динамических связей, автокорреляций, а также перекрестных корреляций между доходностями 10 акций приводит к большому числу параметров в рассматриваемых VAR(1)-DCCGARCH(1,1) моделях. В модели с нормальным распределением, основанной на функции плотности (2.6), имеется 187 параметров, а в моделях с t-распределением со скаляром и вектором степеней свободы, основанных на функции плотности (2.7), – 188 и параметров соответственно. Такое количество параметров осложняет оценивание моделей и требует аккуратного подбора стартовых значений параметров для адекватной сходимости оптимизационных процедур. Стартовые значения для вектора c и матрицы Q подбирались на основе результатов оценки 10-мерных моделей VAR(1) для каждого из 16 наборов акций, для векторов,, и параметров степеней свободы – на основе оценок параметров одномерных GARCH(1,1) моделей с t-распределением для каждой корреляционной матрицы доходностей. Для a и b в уравнении (2.4) стартовые значения выбирались вручную.

В Таблицах 2.10 – 2.12 представлены оценки параметров VAR(1)DCC-GARCH(1,1)32 моделей с нормальным распределением, tраспределением со скаляром степеней свободы и t-распределением с вектором степеней свободы для набора акций №1. Результаты оценивания моделей для остальных наборов качественно схожи с результатами для набора №1 (см. приложение главы 2). Полученные оценки показывают, что рассматриваемые модели адекватно учитывают эмпирические свойства данных, отмеченные в разделе 2.3.

Автором были опробованы и более сложные известные многомерные GARCH модели (в том числе BEKK), содержащие до 300 – 400 параметров. Однако в силу небольшой выборки в 760 наблюдений, такие модели демонстрировали плохую сходимость, и было решено остановиться на спецификации DCC-GARCH(1,1).

Статистически значимых положительных или отрицательных трендов в ценах акций набора 1 не прослеживается: большинство компонент вектора c незначимы. Значимые динамические связи между доходностями, наблюдавшиеся в 14-мерной модели VAR(1) в разделе 2.3, присутствуют и в полученных более сложных моделях: в матрице Q имеются как положительные так и отрицательные значимые элементы, которые отражают сложившуюся на рынке типичную реакцию инвесторов на рост цен тех или иных акций.

Кластеризация волатильностей в модели учтена за счет значимых и близких к 1 компонент вектора, а оценка матрицы S близка к безусловной корреляционной матрице доходностей, приведенной в разделе 2.3. Наконец, достаточно низкие значения оценок параметров степеней свободы указывают на наличие тяжелых хвостов у маргинальных распределений доходностей акций. При этом они существенно различаются в случае вектора степеней свободы, а следовательно толщина хвостов разнится от акции к акции.

Высокое значение оценки b говорит о том, что если корреляции доходностей большинства акций в наборе выросли в какой-то момент, их высокие значения сохраняются еще достаточно продолжительное время. Данное свойство согласуется с интуитивным представлением о влиянии новостей на фондовые рынки. Одновременное повышение корреляций доходностей многих акций часто происходит при выходе новостей долгосрочного характера, например, макроэкономических данных, и поэтому влияние таких новостей на корреляции доходностей сохраняется в течение некоторого продолжительного периода после их выхода. Оценка параметра a значима, но имеет значительно меньший порядок, чем оценка b вследствие того, что в уравнении (2.4) используются ненормированные шоки t,i.

Таблица 2.10 Оценки параметров модели VAR(1)-DCC-GARCH(1,1)

ROSN SBER GAZP GMKN URKA MTSS IRAO AFLT RASP DIXY

ROSN SBER GAZP GMKN URKA MTSS IRAO AFLT RASP DIXY Оценки получены методом максимального квазиправдоподобия.

В скобках приведены стандартные ошибки.

Жирным показана значимость на 5% уровне.

Таблица 2.11 Оценки параметров модели VAR(1)-DCC-GARCH(1,1) с t-распределением со скаляром степеней свободы для набора акций №

ROSN SBER GAZP GMKN URKA MTSS IRAO AFLT RASP DIXY

ROSN SBER GAZP GMKN URKA MTSS IRAO AFLT RASP DIXY Оценки получены методом максимального квазиправдоподобия.

В скобках приведены стандартные ошибки.

Жирным показана значимость на 5% уровне.

Таблица 2.12 Оценки параметров модели VAR(1)-DCC-GARCH(1,1) с t-распределением с вектором степеней свободы для набора акций №

ROSN SBER GAZP GMKN URKA MTSS IRAO AFLT RASP DIXY

ROSN SBER GAZP GMKN URKA MTSS IRAO AFLT RASP DIXY Оценки получены методом максимального квазиправдоподобия.

В скобках приведены стандартные ошибки.

Жирным показана значимость на 5% уровне.

фундаментальных работах (Markowitz, 1959) и (Sharpe, 1970).

Обозначим через wt (w1t, w2t,..., wNt ) вектор долей акций в момент оптимизировать тем или иным образом в момент времени t 1. По определению, для данного вектора всегда выполнено wt 1, где (1,1,...,1). Положительные компоненты вектора wt соответствуют длинным позициям по тем или иным акциям, а отрицательные компоненты – коротким позициям.

Отметим, что для рассматриваемых в данной главе российских акций существуют определенные ограничения на короткие продажи, которые затрудняют составление тех или иных финансовых рассматривается и возможные ограничения на короткие продажи при составлении портфелей игнорируются. Рассматриваемые 14 акций являются одними из наиболее ликвидных на российском фондовом рынке, и ограничения на их короткие продажи не являются жесткими.

Тем не менее, полученные в главе выводы из сравнительного анализа показателей портфелей, оптимизированных в рамках различных моделей, верны в той степени, в которой ограничения на короткие продажи не препятствуют составлению этих портфелей.