Главная >> Диссертации - все темы

Pages: |

| 2 |

«Ройзнер Михаил Александрович Элементарная эквивалентность колец эндоморфизмов и групп автоморфизмов абелевых p-групп 01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел Диссертация на соискание ученой степени ...»

-- [ Страница 1 ] --

Московский государственный университет

имени М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 512.541.6 + 510.67

Ройзнер Михаил Александрович

Элементарная эквивалентность колец

эндоморфизмов и групп

автоморфизмов абелевых p-групп

01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители:

д. ф.-м. н.

Бунина Елена Игоревна д. ф.-м. н., профессор Михалев Александр Васильевич Москва Оглавление Введение 1 Основные понятия 1.1 Предварительные сведения об абелевых группах...... 1.2 Языки и модели второго порядка............... 2 Прямые теоремы и разделение задачи на случаи 2.1 Доказательство “более легких” импликаций в теореме.... 2.2 Подготовительная работа в группе автоморфизмов..... 2.3 Подготовительная работа в кольце эндоморфизмов..... 2.4 Разделение задачи на случаи.................. 3 Ограниченные p-группы. 3.1 Разделение пар инволюций................... 3.2 Выделение специальных множеств (по Шелаху)....... 3.3 Специальные множества для случая ограниченных групп. 3.4 Интерпретация группы A для каждого элемента F..... 3.5 Доказательство первого случая в теореме.......... 4 Прямые суммы делимых и ограниченных p-групп. 4.1 Сравнение мощностей множеств экстремальных инволюций. 4.2 Доказательство второго случая в теореме.......... 5 Группы с неограниченной базисной подгруппой. 5.1 Сравнение порядков экстремальных инволюций....... 5.2 Выделение базисной подгруппы................ 5.3 Выделение формульных множеств в базисной подгруппе. 5.4 Введение структуры на базисной подгруппе......... 5.5 Интерпретация теорий второго порядка подгрупп B и D. 5.6 Интерпретация логики первого порядка группы A..... 5.7 Интерпретация ограниченной логики второго порядка группы G............................ 5.8 Интерпретация фактор-группы G/B............. 5.9 Разложение фактор-группы G/B на прямые слагаемые.. 5.10 Интерпретация логики второго порядка группы A..... 6 Заключение: критерий элементарной эквивалентности Литература Введение

Работа посвящена элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов и групп автоморфизмов абелевых p-групп и ее связи со свойствами второго порядка самих групп.

Две модели U и U одного языка первого порядка L (например, две группы или два кольца) называются элементарно эквивалентными, если любое предложение языка L истинно в модели U тогда и только тогда, когда оно истинно в модели U. Любые две конечные модели одного языка элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда они изоморфны. Любые две изоморфные модели элементарно эквивалентны, однако для бесконечных моделей обратное неверно. Например, поле C комплексных чисел и поле Q алгебраических чисел элементарно эквивалентны, но не изоморфны, так как имеют различную мощность (для более подробных примеров см. [5]).

Классической книгой по теории моделей (в том числе, и по элементарной эквивалентности) является книга [5]. Подробным обзором 1984 года результатов по элементарной эквивалентности и смежным вопросам является обзор [11] В. Н. Ремесленникова и В. А. Романькова “Теоретико-модельные и алгоритмические вопросы теории групп”. Более новые результаты включены в обзоры Е.И. Буниной и А.В. Михалева [17] и [18], а также в обзор В. Гоулда, А.В. Михалева, Е.А. Палютина, А.А. Степановой [2]. Справочным материалом по теории моделей могут служить книги [13], [3], [10], [12]. Испытательным полигоном для большинства результатов теории моделей служат алгебра, теория чисел и анализ. Среди многочисленных книг и обзоров по приложениям теории моделей можно выделить те, в которых затрагиваются приложения к теории групп. Основные методы доказательств разрешимости и неразрешимости элементарных теорий изложены в книгах Тарского, Мостовского, Робинсона [33] и Ю. Л. Ершова [3]. Кроме того, в книге Ю. Л. Ершова приведена классификация полных теорий абелевых групп и показано на примерах из алгебры, как работает метод модельной полноты и родственное понятие относительной алгебраической замкнутости. Результаты по проблеме разрешимости элементарных теорий до 1964 года с подробным изложением методов доказательств освещены в обзоре Ю. Л. Ершова, И. А. Лаврова, А. Д. Тайманова, М. А. Тайцлинa [4]. Вопросы разрешимости расширенных теорий, особенно расширенных теорий абелевых групп, разобраны в обзоре А. И. Кокорина и А. Г. Пинуса [6].

Известная теорема Бэра–Капланского 4 утверждает, что периодическая абелева группа определяется своим кольцом эндоморфизмов:

если две группы имеют изоморфные кольца эндоморфизмов, то сами группы также изоморфны. В 1960 году Лептин доказал аналогичную теорему 8 для групп автоморфизмов абелевых p-групп для p 5: если две группы имеют изоморфные группы автоморфизмов, то сами группы также изоморфны. В 1989 году Либерт доказал такую же теорему для случая p 3. Также Либерт в работе [27] классифицировал все изоморфизмы между группами автоморфизмов двух абелевых p-групп (p 3). Наконец, в 1998 году Шульц в статье [30] доказал аналогичную теорему 10 для случая p = 2. Однако затем в этой статье была найдена ошибка, не устранимая внутренними методами. Таким образом, случай p = 2 все еще остается открытым.

В работе [1] Е.И. Бунина и А.В. Михалев установили связь между свойствами второго порядка абелевой p-группы и свойствами первого порядка ее кольца эндоморфизмов. В этой работе были раздельно доказаны необходимые и достаточные условия элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов для различных случаев (теоремы 5, 6, 7), однако критерий получен не был оставались некоторые случаи, в которых эти условия не совпадали между собой.

Цель работы состоит в развитии старых и создании новых методов для выражения свойств второго порядка абелевых p-групп с помощью свойств первого порядка таких производных структур, как группы автоморфизмов и кольца эндоморфизмов, в установлении связи между элементарной эквивалентностью производных структур и эквивалентностью второго порядка самих групп. Основным задачами диссертации являются: продолжение теоремы Бэра–Капланского об изоморфизмах колец эндоморфизмов абелевых p-групп на случай элементарной эквивалентности, продолжение теорем Лептина и Либерта об изоморфизмах групп автоморфизмов абелевых p-групп на случай элементарной эквивалентности, усиление результата Е.И. Буниной и А.В. Михалева об элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов абелевых p-групп, получение критерия элементарной эквивалентности групп автоморфизмов и колец эндоморфизмов абелевых p-групп в терминах эквивалентности второго порядка самих групп.

В работе используются классические методы теории абелевых групп, теории автоморфизмов и эндоморфизмов периодических абелевых групп, теории моделей и математической логики. Также разработаны некоторые новые методы выражения свойств второго порядка абелевых p-групп через свойства первого порядка их групп автоморфизмов (для p 3) и колец эндоморфизмов.

Основные результаты работы являются новыми. Среди них:

• усиление результата Е.И. Буниной и А.В. Михалева об элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов абелевых p-групп в виде полного критерия элементарной эквивалентности.

• интерпретация логики второго порядка абелевой p-группы (p 3) в группе ее автоморфизмов, разработка методов кодирования элементов абелевой группы в группе ее автоморфизмов.

• критерий элементарной эквивалентности групп автоморфизмов редуцированных абелевых p-групп (p 3).

• критерий элементарной эквивалентности групп автоморфизмов абелевых p-групп (p 3) с ненулевой делимой частью.

Доказанные в диссертации теоремы могут быть обобщены в одну следующим образом.

Теорема 1 (теорема 41). Кольца эндоморфизмов абелевых p-групп (либо группы автоморфизмов абелевых p-групп, p 3) A1 и A2 элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда 1) если одна из групп A1 или A2 является редуцированной, то где 1, 2 это мощности базисных подгрупп групп A1 и A2, соответственно;

2) если одна из групп A1, A2 не является редуцированной, то Замечание 1. Заметим, что в любом случае две абелевы группы, у которых кольца эндоморфизмов или группы автоморфизмов элементарно эквивалентны, либо обе являются редуцированными, либо обе таковыми не являются.

Следствие 1. При p 3 элементарные теории группы автоморфизмов абелевой p-группы и ее кольца эндоморфизмов взаимно интерпретируемы.

Для простоты изложения мы будем принимать континуумгипотезу. Введем основные определения.

Абелева группа A называется n-ограниченной, если nA = 0. Группа называется ограниченной, если она n-ограничена для некоторого натурального n. Если такого n не существует, то такая группа называется неограниченной.

Будем говорить, что элемент a группы A делится на натуральное число n (обозначение: n|a), если уравнение nx = a (a A) имеет решение в группе A. Группа D называется делимой, если n|a для всех a D и всех натуральных чисел n. Группы Q, Zp служат примерами делимых групп. Группа A называется редуцированной, если она не имеет ненулевых делимых подгрупп.

Теорема 2 (теорема 22). Всякая группа A является прямой суммой делимой группы D и редуцированной группы G, Подгруппа D здесь определена однозначно и называется делимой частью группы A, подгруппа G определена однозначно с точностью до изоморфизма.

Подгруппа G группы A называется сервантной, если уравнение nx = g G, имеющее решение во всей группе A, имеет решение и в G.

Подгруппа G сервантна в группе A тогда и только тогда, когда Подгруппа B группы A называется p-базисной, если выполнены следующие три условия:

1) подгруппа B является прямой суммой циклических p-групп и бесконечных циклических групп;

2) B есть сервантная подгруппа группы A;

3) факторгруппа A/B является p-делимой группой.

Всякая группа для любого простого числа p содержит p-базисные подгруппы ([14]).

Нам в дальнейшем будут важны p-группы и их p-базисные подгруппы. Если A есть p-группа и q простое число, отличное от p, то группа A имеет лишь одну q-базисную подгруппу, равную 0. Поэтому в случае p-групп мы будем называть p-базисные подгруппы просто базисными.

Так как базисная подгруппа B имеет базис, а факторгруппа A/B прямая сумма групп, изоморфных группе Z(p ) (т. е. A/B также имеет систему образующих, которую легко описать), то естественно объединить эти системы образующих и таким путем получить систему образующих группы A.

(n = 1, 2,... ), то в группе A можно выбрать элементы cjn c того же порядка, что и c. Тогда получится следующая система соотношений:

где элемент bjn должен иметь порядок, не превышающий pn, так как o(cjn ) = pn.

Систему элементов {ai, cjn }iI,jJ,n мы будем называть квазибазисом группы A.

Теорема 3 ([14]). Если {ai, cjn } квазибазис p-группы A, то любой элемент a A можно записать в виде где si и tj целые числа, ни одно tj не делится на p и индексы i1,..., im, так же как и индексы j1,..., jr все различны. Запись (1.1) единственна в том смысле, что в ней однозначно определены члены sai и tcjn.

Теперь введем некоторые понятия, связанные с логикой второго порядка.

Язык второго порядка определяется так же, как и язык первого порядка, с тем лишь отличием, что в нем добавлены предикатные переменные. Именно, если P l предикатная переменная, а t1,..., tl термы, то знакосочетание P l (t1,..., tl ) является формулой, а если формула, то знакосочетание (P l (v1,..., vl ) ) также является формулой, и вхождение переменной P l в нее является связанным. Выполнимость произвольной формулы в модели U с универсумом A определяется естественным образом так, что предикатным переменным вида P l сопоставляются произвольные подмножества множества Al. Теорией второго порядка модели U называется множество выполнимых в ней предложений второго порядка (обозначение: Th2 (U )). Две модели эквивалентны в логике второго порядка, если их теории второго порядка совпадают.

Важным примером для нас будет групповой язык. Мы будем считать, что в нем нет функциональных и константных символов и есть единственный трехместный предикатный символ Q3, отвечающий за умножение. Вместо Q3 (x1, x2, x3 ) мы будем писать x1 = x2 · x3 или, если речь идет об абелевых группах, то x1 = x2 +x3. В качестве примера предложения второго порядка можно привести предложение, выражающее простоту группы:

Пусть некоторое кардинальное число. Выполнимость формулы в модели U с универсумом A с ограничением определяется так же, как и обычная выполнимость в логике второго порядка с тем лишь отличием, что предикатным переменным вида P l сопоставляются произвольные подмножества множества Al мощности не больше. Ограниченной теорией второго порядка модели U называется множество выполнимых в ней предложений второго порядка с ограничением (обозначение: Th (U )). Две модели эквивалентны в логике второго порядка, ограниченной, если совпадают их -ограниченные теории втоA|, то теории Th2 (U ) и Th (U ) совпадают. Если же <, то эквивалентность в ограниченной логике второго порядка равносильна элементарной эквивалентности.

Эндоморфизмы абелевой группы A образуют кольцо относительно операций сложения и композиции гомоморфизмов. Это кольцо мы будем обозначать через End (A).

Теорема 4 (Бэр [15], Капланский [25]). Если A и C периодические группы, кольца изоморфизмов которых изоморфны, то группы A и C изоморфны.

Если группа A = DG, где группа D делима, группа G редуцированна, то выразимым рангом группы A мы будем называть кардинальное число группы G.

Теорема 5 ([1]). Для любых бесконечных p-групп A1 и A2 из элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов End (A1 ) и End (A2 ) следует совпадение теорий второго порядка Th2exp (A1 ) и Th2exp (A2 ) групп A1 и A2, ограниченных кардинальными числами rexp (A1 ) и rexp (A2 ) соответственно.

Теорема 6 ([1]). Для любых абелевых групп A1 и A2 если группы A1 и A2 эквивалентны в языке второго порядка L2, то кольца End (A1 ) и End (A2 ) элементарно эквивалентны.

Теорема 7 ([1]). Если абелевы группы A1 и A2 редуцированны и их базисные подгруппы счетны, то из Th (A1 ) = Th (A2 ) следует элементарная эквивалентность колец End (A1 ) и End (A2 ).

Автоморфизмы абелевой группы A образуют группу относительно операции композиции. Эту группу мы будем обозначать через Aut (A).

Теорема 8 (Лептин [26]). Если p 5 и A, C некоторые p-группы с изоморфными группами автоморфизмов, то группы A и C изоморфны.

Теорема 9 (Либерт [27]). Если p 3 и A, C некоторые p-группы с изоморфными группами автоморфизмов, то группы A и C изоморфны.

Теорема 10 (Шульц [30]). Если p 2 и A, C некоторые p-группы с изоморфными группами автоморфизмов, то группы A и C изоморфны.

Аналогичные теоремы об элементарной эквивалентности групп автоморфизмов доказываются в данной диссертации.

В главе 1 вводятся определения и известные теоремы, необходимые в данной работе. Первый параграф посвящен сведениям из теории абелевых групп. В нем вводятся основные понятия об абелевых pгруппах, рангах абелевых групп, делимых группах, сервантных и базисных подгруппах, кольцах эндоморфизмов и группах автоморфизмов абелевых p-групп. Второй параграф посвящен необходимым сведениям из теории моделей. В нем определяются язык и модели второго порядка, эквивалентность второго порядка, язык второго порядка абелевых групп, ограниченные теории второго порядка.

Глава 2 посвящена доказательству импликаций теоремы 41 в обратную (“легкую”) сторону, а также подготовке к доказательству импликаций в прямую сторону.

В первом параграфе выражается элементарная теория кольца эндоморфизмов (а значит, и группы автоморфизмов) в теории второго порядка абелевой группы. Доказывается следующая теорема.

Теорема 11 (теорема 32). Для любых абелевых групп A1 и A2 если группы A1 и A2 эквивалентны в языке второго порядка L2, то кольца End (A1 ) и End (A2 ) (и, значит, группы автоморфизмов Aut A1 и Aut A2 ) элементарно эквивалентны.

Далее для того, чтобы полностью доказать простую импликацию в теореме 41, в языке второго порядка абелевой группы записывается формула, которая выполняется для редуцированных p-групп, базисные подгруппы которых меньше их по мощности (и поэтому счетны), и только для них. Тем самым, доказательство простой импликации завершается следующей теоремой.

Теорема 12 (теорема 33). Если абелевы группы A1 и A2 редуцированны и их базисные подгруппы счетны, то из T h (A1 ) = T h (A2 ) следует элементарная эквивалентность колец End A1 и End A2 (и, значит, элементарная эквивалентность групп Aut A1 и Aut A2 ).

Вся дальнейшая часть работы посвящена прямой импликации теоремы 41.

Во втором параграфе вводятся дополнительные понятия для работы с группой автоморфизмов: инволюции и экстремальные инволюции. Основные факты об инволюциях взяты из книги [14], том 2. Инволюции используются для того, чтобы выразить разделение абелевой группы в прямую сумму двух подгрупп. Экстремальные инволюции используются для выделения неразложимых прямых слагаемых. Так как с помощью одной инволюции нельзя выразить произвольное прямое слагаемое, а можно выразить только разделение на прямую сумму двух слагаемых, вводится понятие пары инволюции набора из двух коммутирующих инволюций, одна из которых экстремальная. С помощью таких пар можно выразить произвольные прямые слагаемые группы.

Приводятся формулы, выражающие отношения между прямыми слагаемыми (такие как прямая сумма, пересечение, подмножество).

В третьем параграфе вводятся понятия для работы с кольцом эндоморфизмов. Эти понятия нужны только для случая p = 2, так как из элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов следует элементарная эквивалентность групп автоморфизмов, и в случае p 3 можно просто воспользоваться результатом для групп автоморфизмов. Для выделения прямых слагаемых и неразложимых прямых слагаемых вводятся понятия проекторов и неразложимых проекторов. В случае p 3 проекторы однозначно соответствуют инволюциям. Все отношения между прямыми слагаемыми также выражаются формулами для проекторов.

В четвертом параграфе все абелевы p-группы разделяются на следующие три подкласса:

1) ограниченные p-группы;

2) группы вида D G, где D ненулевая делимая группа, G ограниченная группа;

3) группы с неограниченной базисной подгруппой.

Для каждого из подклассов приводится формула первого порядка группы автоморфизмов, выделяющая этот подкласс. В следующих главах для каждого случая в теории первого порядка группы автоморфизмов или кольца эндоморфизмов выражается теория второго порядка (возможно, ограниченная) самой группы.

Глава 3 посвящена подклассу ограниченных p-групп. В первом параграфе выделяются прямые слагаемые, отвечающие разложению группы на “слои”. Каждый “слой” состоит из неразложимых прямых слагаемых определенного порядка.

В работе [1] Е.И. Бунина и А.В. Михалев доказали вариант теоремы Шелаха для выделения множеств эндоморфизмов формулами.

Теорема 13. Существует формула (... ), удовлетворяющая следующему условию. Пусть {fi }iµ множество элементов из End (A ).

Тогда можно найти вектор g такой, что формула (f, g) истинна в End (A ) тогда и только тогда, когда f = fi для некоторого i µ.

Во втором параграфе эта теорема адаптируется для случая группы автоморфизмов. В следующих частях эта теорема используется для выделения необходимых множеств инволюций (или проекторов). В частности, в третьем параграфе выделяется множество прямых слагаемых, которые нужны для интерпретации элементов группы. Именно, выделяется µ = |A| прямых слагаемых, каждое из которых счетнопорожденное. В следующем параграфе показывается, как на каждом из этих слагаемых интерпретировать произвольный элемент группы. Это делается с помощью разложения элемента по базису и отображения элементов прямого слагаемого в соответствующие элементы разложения.

Наконец, в последнем параграфе показывается, как, интерпретируя на каждом слагаемом один элемент группы, выразить на всех слагаемых последовательности элементов мощности µ и тем самым выразить теорию второго порядка всей группы.

Глава 4 посвящена второму подклассу групп. Этот случай отличается от предыдущего наличием неограниченного “слоя” делимой части. Доказательство теоремы для этого подкласса во многом повторяет предыдущее. Отличие заключается в том случае, когда неограниченный слой является самым мощным, и служебные счетно-порожденные прямые слагаемые надо выделять в нем. Тогда отображать элементы этих слагаемых в элементы базиса группы с помощью автоморфизмов или эндоморфизмов невозможно, так как все гомоморфизмы из делимой группы в редуцированную тривиальны. Чтобы обойти эту трудность, выделяется дополнительное прямое слагаемое в делимой части, в которую отображаются все элементы редуцированной части, и с помощью которой они интерпретируются.

Глава 5 посвящена третьему подклассу группам с неограниченной базисной подгруппой. В этом случае базисная подгруппа не всегда совпадает со всей редуцированной подгруппой. Именно в этом случае проявляется разница в критериях элементарной эквивалентности в зависимости от наличия ненулевой делимой части.

В первых двух параграфах базисная группа выделяется формулой. Она задается одним автоморфизмом, выражающем соответствие между циклическими слагаемыми всей группы и циклическими слагаемыми базисной подгруппы. Такое соответствие существует благодаря теореме 29.

В третьем параграфе вновь доказывается применимость теоремы Шелаха, теперь для случая прямых слагаемых базисной группы.

Теорема 14 (теорема 37). Существует формула (... ), удовлетворяющая следующему условию. Пусть {fi }iµ множество элементов из множества экстремальных инволюций, соответствующих прямым слагаемым базисной подгруппы. Тогда можно найти вектор g такой, что формула (f, g) истинна в тогда и только тогда, когда f = fi для некоторого i µ.

Четвертый параграф посвящен заданию структуры на базисной подгруппе. В нем выделяется множество автоморфизмов для каждой пары циклических слагаемых в базисной подгруппе, которые переводят фиксированные порождающие элементы этих слагаемых друг в друга.

В пятом параграфе мы выражаем теорию второго порядка делимой части и базисной подгруппы в языке первого порядка группы автоморфизмов. Это делается по уже известной схеме из предыдущих двух случаев. Отличие возникает в случае, когда группа счетна, и может не существовать слоя, равномощного всей группе. Тогда служебные слагаемые выделяется не в одном слое, а одновременно во всех слоях редуцированной подгруппы. Тем самым, доказывается следующая теорема.

Теорема 15 (теорема 38). Если кольца эндоморфизмов абелевых pгрупп (либо группы автоморфизмов абелевых p-групп, p 3) A1 и A элементарно эквивалентны, то группы сами группы A1 и A2 обладают эквивалентными в логике второго порядка делимыми частями и базисными подгруппами.

В шестом параграфе мы выражаем логику первого порядка всей группы. Это делается с помощью автоморфизмов, которые сопоставляют произвольному элементу группы некоторый элемент базисной подгруппы. В следующем параграфе интерпретируется ограниченная логика второго порядка редуцированой группы. Сначала интерпретируется логика, ограниченная финальным рангом базисной подгруппы. Это делается так же, как и прежде, с помощью выделения соответствующего количества счетно-порожденных прямых слагаемых базисной подгруппы, на каждом из которых выражается элемент группы. Затем интерпретируется логика, ограниченная мощностью всей базисной подгруппы.

Для этого используется выражение логики второго порядка базисной подгруппы и теорема 28 о плотности базисной подгруппы в p-адической топологии. Тем самым, доказывается Теорема 16 (теорема 39). Пусть G и G редуцированные абелевы pгруппы с базисными подгруппами B и B соответственно, p 3. Тогда если Aut G Aut G, то T h2 (G) = T h2 (G ).

Оставшаяся часть главы относятся к группам с ненулевой делимой частью D. В восьмом параграфе мы интерпретируем фактор-группу редуцированной группы G по базисной подгруппе B в языке первого порядка группы автоморфизмов. Эта фактор-группа делимая, поэтому для того, чтобы ее интерпретировать, достаточно выразить квазибазисы ее квазициклических слагаемых, каждый из которых может быть задан одним автоморфизмом. Наличие делимой части делает возможным интерпретацию теории первого порядка группы Hom (G/B, D) и выражение независимости системы квазициклических слагаемых. С помощью этого в параграфе 9 показывается применимость теоремы Шелаха для случая квазициклических слагаемых из фактор-группы.

Наконец, в последнем параграфе мы интерпретируем полную теорию второго порядка всей группы. Это делается так же, как и раньше, но теперь в интерпретации участвуют не только делимая часть и базисная подгруппа, но и фактор-группа G/B. Так как эта фактор-группа делимая, то она участвует так же, как и делимая часть, и служебные прямые слагаемые для интерпретации выделяются из делимой части или из фактор-группы в зависимости от того, кто из них больше по мощности.

Последняя глава подводит итог всей работе и объединяет все результаты для всех случаев. В ней формулируется критерий элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов (или групп автоморфизмов) теорема 1 (теорема 41).

Таким образом, более детально результаты диссертации, выносимые на защиту, можно сформулировать следующим образом:

1. Доказано, что для любых абелевых групп A1 и A2 из их эквивалентности второго порядка следует элементарная эквивалентность колец End (A1 ) и End (A2 ) и групп Aut (A1 ) и Aut (A2 ) (Теорема 32).

2. Доказано, что для любых редуцированных абелевых групп A и A2 с счетным базисными подгруппами из условия T h (A1 ) = T h (A2 ) следует элементарная эквивалентность колец End (A1 ) и End (A2 ) и групп Aut A1 и Aut A2 (Теорема 33).

3. Доказано, что для любых абелевых групп A1 и A2 если кольца эндоморфизмов абелевых p-групп (либо группы автоморфизмов абелевых p-групп, p 3) A1 и A2 элементарно эквивалентны, то сами группы A1 и A2 обладают эквивалентными в логике второго порядка делимыми частями и базисными подгруппами (теорема 38).

4. Доказано, что для любых редуцированных абелевых групп A и A2 с базисными подгруппами B1 и B2 соответственно если кольца эндоморфизмов абелевых p-групп (либо группы автоморфизмов абелевых p-групп, p T h2 2 (A2 ) (Теорема 39).

5. Доказано, что для любых абелевых групп A1 и A2 с базисными подгруппами B1 и B2 кольца эндоморфизмов абелевых p-групп (либо группы автоморфизмов абелевых p-групп, p 3) A1 и A2 элеB | ментарно эквивалентны тогда и только тогда, когда либо T h2 1 (A1 ) = T h2 2 (A2 ) и одна из групп A1 или A2 является редуцированной, либо когда T h2 (A1 ) = T h2 (A2 ) (Теорема 41).

Благодарности Автор выражает благодарность своим научным руководитлям д. ф.м. н., профессору Михалеву Александру Васильевичу и д. ф.-м. н., профессору Буниной Елене Игоревне за постановку задач и постоянный интерес к работе. Автор выражает благодарность всем сотрудникам кафедры высшей алгебры за внимание к работе и доброжедательное отношение.

Глава Основные понятия 1.1 Предварительные сведения об абелевых группах Здесь мы приведем самые основные сведения об абелевых группах, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Примарной группой или p-группой называется группа, порядки элементов которой являются степенями фиксированного простого числа p.

Если a A, то наибольшее неотрицательное целое число r, для которого уравнение pr x = a имеет решение x A, назовем p-высотой hp (a) элемента a. Если уравнение pr x = a имеет решение при любом r, то a называется элементом бесконечной p-высоты, hp (a) =.

Пусть p простое число. Корни степени p из единицы, где n N {0}, образуют бесконечную мультипликативную группу; мы перейдем к аддитивной записи. Получится группа, называемая квазициклической или группой типа p (Z(p )), которую можно определить следующим образом: она порождается элементами c1, c2,..., cn,..., где pc1 = 0, pc2 = c1,..., pcn+1 = cn,.... Здесь o(cn ) = pn и всякий элемент из Z(p ) кратен некоторому cn. Очевидно, что все квазициклические группы, соответствующие одному и тому же простому числу p, изоморфны между собой.

Система {a1,..., ak } ненулевых элементов группы A называется независимой, если из равенства всегда вытекает, что Система элементов называется зависимой, если она не независима.

Бесконечная система L = {ai }iI элементов группы A называется независимой, если в L всякая конечная подсистема независима. Независимая система M элементов группы A называется максимальной, если в A не существует независимой системы, строго содержащей M. Рангом r(A) группы A называется мощность ее максимальной независимой системы, содержащей только элементы бесконечного порядка или порядка, равного степени простого числа.

Предложение 1.1. Ранг r(A) группы A является инвариантом этой группы.

Теорема 17. ([28], [16]) Ограниченная группа является прямой суммой циклических групп.

Теорема 18. ([14]) Любые два разложения группы в прямую сумму циклических групп бесконечного порядка и порядков, равных степеням простых чисел, изоморфны.

Теорема 19. ([8]) Подгруппы прямых сумм циклических групп сами являются прямыми суммами циклических групп.

Будем говорить, что элемент a группы A делится на натуральное число n (n|a), если уравнение nx = a (a A) имеет решение в группе A.

Группа D называется делимой, если n|a для всех a D и всех натуральных чисел n. Группы Q, Z(p ) служат примерами делимых групп.

Теорема 20. Всякая делимая группа D является прямой суммой квазициклических групп и групп, изоморфных Q. Мощности множеств компонент Z(p ) (для каждого p) и Q составляют полную и независимую систему инвариантов группы D.

Таким образом, всякая делимая p-группа D является прямой суммой групп Z(p ). Мощность множества компонент Z(p ) является единственным инвариантом группы D.

Теорема 21 ([14]). Для группы D эквивалентны следующие условия:

2) D служит прямым слагаемым для всякой содержащей ее группы.

Теорема 22 ([14]). Всякая группа A является прямой суммой делимой группы D и редуцированной группы G, Подгруппа D здесь определена однозначно и называется делимой частью группы A, подгруппа G определена однозначно с точностью до изоморфизма.

Подгруппа G сервантна в группе A тогда и только тогда, когда Предложение 1.2. ([31]) Предположим, что подгруппа B группы A является прямой суммой циклических групп одного и того же порядка pk. Тогда эквивалентны следующие утверждения:

1) B сервантная подгруппа группы A;

Таким образом, всякий элемент порядка p и конечной высоты можно вложить в конечное циклическое прямое слагаемое группы.

Теорема 23. ([7]) Всякая ограниченная сервантная подгруппа выделяется прямым слагаемым.

Следствие 2. ([20]) p-группу B группы A можно вложить в ограниченное прямое слагаемое группы A тогда и только тогда, когда высоты отличных от нуля элементов группы B (взятые в совокупности) ограничены.

Следствие 3. Элемент a, порядок которого степень простого числа, принадлежит конечному прямому слагаемому группы тогда и только тогда, когда подгруппа a не содержит отличных от нуля элементов бесконечной высоты.

Подгруппа B группы A называется p-базисной, если выполнены следующие три условия:

1) подгруппа B является прямой суммой циклических p-групп и бесконечных циклических групп;

2) B есть сервантная подгруппа группы A;

3) факторгруппа A/B является p-делимой группой.

Подгруппа B обладает базисом, который называется p-базисом группы A.

Всякая группа для любого простого числа p содержит p-базисные подгруппы ([21]).

групп Z(pn ), служит базисной подгруппой для p-группы A тогда и только тогда, когда при любом целом n > 0 подгруппа B1 · · · Bn является максимальным pn -ограниченным прямым слагаемым группы A.

где Подгруппа B является базисной подгруппой группы A тогда и только тогда, когда где n N, Так как подгруппа B имеет базис, а факторгруппа A/B прямая сумма групп, изоморфных группе Z(p ) (т. е. A/B также имеет систему образующих, которую легко описать), то естественно объединить эти системы образующих и таким путем получить систему образующих группы A.

где элемент bjn должен иметь порядок Систему элементов {ai, cjn }iI,jJ,n мы будем называть квазибазисом группы A.

Предложение 1.3. ([22]) Если {ai, cjn } квазибазис p-группы A, то любой элемент a A можно записать в виде где si и tj целые числа, ни одно tj не делится на p и индексы i1,..., im, так же как и индексы j1,..., jr все различны. Запись (1.1) единственна в том смысле, что в ней однозначно определены члены sai и tcjn.

Теорема 26 (Куликов [9]). Если B базисная подгруппа редуцированной p-группы A, то Финальным рангом базисной подгруппы B p-группы A назовем минимум кардинальных чисел r(pn B). Заметим, что если ранг группы B равен µ1, а финальный ранг B равен µ2, то A = A1 A2, где группа A1 ограниченна и имеет ранг µ1, а базисная подгруппа группы A2 имеет ранг µ2, совпадающий с ее финальным рангом.

Теорема 27. Если два эндоморфизма редуцированной абелевой группы совпадают на некоторой ее базисной подгруппе, то они равны.

Теорема 28 ([24]). Если на абелевой группе A определена p-адическая топология, то p-базисная подгруппа B плотна в A в этой топологии.

Теорема 29 ([14], т. 1, стр. 179). Базисная подгруппа p-группы A является эндоморфным образом группы A.

Нам понадобится несколько утверждений о кольце End (A):

1) Существует взаимно-однозначное соответствие между конечными прямыми разложениями группы A и разложениями кольца End (A) в конечные прямые суммы левых идеалов именно, если Ai = ei A, где e1,..., en попарно ортогональные идемпотенты, то Li = End (A)ei.

2) Идемпотент e = 0 называется примитивным, если его нельзя представить в виде суммы двух ненулевых ортогональных идемпотентов. Если e = 0 идемпотент кольца End (A), то eA является неразложимым прямым слагаемым группы A тогда и только тогда, когда e примитивный идемпотент.

B в том и только том случае, когда существуют такие элементы, End (A), что Теорема 30 (Шарль [23], Капланский [25]). Центр кольца эндоморфизмов End (A) любой p-группы A состоит из умножения на целые p-адические числа или на вычеты по модулю pk в зависимости от того, является ли группа A неограниченной или pk служит наименьшей верхней гранью порядков ее элементов.

Теорема 31 ([14], теорема 115.1). Центр группы автоморфизмов pгруппы A состоит из умножений на p-адические единицы, если A неограниченная группа, и из умножений на целые числа k, где (k, p) = из A.

1.2 Языки и модели второго порядка Помимо языков первого порядка мы будем вынуждены рассматривать языки второго порядка, в которых можно также навешивать кванторы на предикатные символы, то есть использовать предикатные символы как переменные. Такие языки будут описаны ниже. Мы будем говорить, что две модели одного языка (например, второго порядка) L эквивалентны в этом языке, если для любого предложения языка L его истинность в первой модели равносильна его истинности во второй модели.

Мы считаем известными основные понятия теории моделей понятия языка первого порядка, формул первого порядка, теории, модели теории, выполнимости формулы в модели.

Так как описание понятий, связанных с языками и теориями второго порядка, встречается редко, то мы приведем его здесь.

Язык L2 второго порядка это совокупность символов, состоящая из 1) скобок (, ); 2) связок (“и”) и ¬ (“не”); 3) квантора (для всех); 4) символа равенства =; 5) счетного множества предметных переменных xi ; 6) счетного множества предикатных переменных Pil ; 7) не более чем счетного множества предикатных символов Qn (n 1); 8) не более чем счетного множества функциональных символов Fin (n 1);

9) не более чем счетного множества константных символов ci.

Tермы языка L2 определяются следующим образом:

1) предметная переменная есть терм;

2) константный символ есть терм;

термы, то F n (t1,..., tn ) терм;

4) Знакосочетание является термом в том и только том случае, если это можно показать с помощью конечного числа применений правил 1)–3).

Таким образом, термы языка L2 совпадают с термами языка L.

Элементарные формулы языка L2 определяются так:

формула;

2) если P l предикатная переменная, t1,..., tl термы, то знакосочетание P l (t1,..., tl ) является элементарной формулой;

Например элементарные формулы группового языка второго порядка имеют вид xi = xj, xi = xj · xk и P l (xi1,..., xil ), l 1.

Формулы языка L2 определяются следующим образом:

1) всякая элементарная формула есть формула;

из знакосочетаний (¬), ( ), (x ) есть формула;

является формулой.

4) знакосочетание является формулой только в том случае, если это можно показать с помощью конечного числа применений правил 1)– 3).

Договоримся о сокращениях (дополнительных к обычным сокращениям для языка первого порядка):

(P11 (v1,..., vl1 ))... (Pnn (v1,..., vln ));

(P11 (v1,..., vl1 ))... (Pnn (v1,..., vln )).

Введем понятие свободного и связанного вхождения предикатной переменной в формулу языка L2.

1) Все вхождения всех предикатных переменных элементарной формулы являются свободными вхождениями.

2) Всякое свободное (связанное) вхождение переменной P l в формулу является свободным (связанным) вхождением переменной P l в формулы (¬), ( ) и ( ).

3) Каково бы ни было вхождение переменной P l в формулу, вхождение переменной P l в формулу P l (v1,..., vl ) является связанl ным. Если вхождение переменной P1 в формулу свободно (связанно), то таковым же является вхождение переменной P1 в формулы x и P2 (v1,..., vm ).

Всякую формулу, свободные предметные и предикатные переменные которой образуют подмножество множества будем обозначать через (x1,..., xn, P11,..., Pkk ).

К обычным логическим аксиомам языка первого порядка добавляется еще одна чисто логическая аксиома:

если не содержит свободных вхождений переменной P n.

К аксиомам равенства тоже добавляется новая аксиома:

Кроме того, правило вывода по обобщению можно заменить на “из формулы выводится x и P n (v1,..., vn )”.

Моделью языка второго порядка L2 называется пара U = A, I, состоящая из объекта A (т. е. класса или множества) и какого-либо соответствия I, относящего каждому предикатному символу Qn некоторое n-местное отношение в A, каждому функциональному символу F n содержатся среди x1,..., xq, P11,..., Psls, и пусть a1,..., aq, bl1,..., bls довательности a1,..., aq, bl1,..., bls в модели U.

1. Значение терма t(x1,..., xq, P11,..., Psls ) на последовательности a1,..., aq, bl1,..., bls определяется следующим образом (мы обозначаем это значение через t[a1,..., aq, bl1,..., bls ]):

I(c).

термы. Формула выполняется на элементах a1,..., aq, bl1,..., bls, если термы, а Qn n-местный предикатный символ. Формула выполняется на элементах a1,..., aq, bl1,..., bls, если термы. Формула выполняется на элементах a1,..., aq, bl1,..., bls, если ременные которой содержатся среди x1,..., xq, P11,..., Psls.

Утверждение о том, что зависит только от значений a1,..., ap, bl1,..., blt, где p < q, s < t, звучит совершенно так же, как и это утверждение для языков и теорий первого порядка.

Мы будем говорить, что две модели языка второго порядка эквивалентны в языке второго порядка, если для любого предложения этого языка его истинность в первой модели равносильна его истинности во второй модели.

Мы будем рассматривать модели второго порядка абелевых групп, т. е. рассматривать групповой язык второго порядка, в котором трехместный предикатный символ будет обозначать не умножение, а сложение (т. е. мы будем писать x1 = x2 + x3 вместо P 3 (x1, x2, x3 )).

Как мы видим, формулы (... ) языка L2 должны состоять из следующих подформул:

2) x1 = x2 и x1 = x2 +x3, где каждая из переменных x1, x2, x3 либо является свободной переменной формулы, либо определена в формуле ранее (с помощью подформул xi или xi, i = 1, 2, 3);

“предикатная” переменная P (v1,..., vn ) либо являются свободными переменными формулы, либо определены в этой формуле с помощью подформул xi, xi, P (v1,..., vn ), P (v1,..., vn ).

Эквивалентность двух абелевых групп A1 и A2 в языке L2 мы будем обозначать через Как мы помним, теорией данного языка L на модели U называется множество всех предложений языка L, выполненных в этой модели.

В некоторых случаях мы, наравне с теориями вида T h2 (A) = T hL2 (A), будем рассматривать теории вида T h (A), в которые входят только те предложения языка L2, которые выполнены на любой последовательности совпадают.

Глава Прямые теоремы и разделение задачи на случаи 2.1 Доказательство “более легких” импликаций в Докажем две теоремы, дающих нам более легкую импликацию основной теоремы.

Теорема 32. Для любых абелевых групп A1 и A2 если группы A1 и A2 эквивалентны в языке второго порядка L2, то кольца End (A1 ) и End (A2 ) (и, значит, группы автоморфизмов Aut A1 и Aut A2 ) элементарно эквивалентны.

P (v1, v2 ) мы будем называть соответствием на группе A. Соответствие P (v1, v2 ) на группе A будем называть функцией на группе A (и писать в этом случае F unc(P (v1, v2 )) или просто F unc(P )), если оно удовлетворяет условию Функцию P (v1, v2 ) будем называть эндоморфизмом на группе A (и писать в этом случае Endom(P (v1, v2 )) или просто Endom(P )), если она удовлетворяет дополнительному условию Теперь рассмотрим некоторое произвольное предложение языка первого порядка теории колец. В это предложение могут входить подформулы Переведем это предложение в предложение языка второго порядка теории групп по следующему алгоритму.

1) подформула x(... ) переводится в подформулу 2) подформула x(... ) переводится в подформулу 3) подформула x1 = x2 переводится в подформулу 4) подформула x1 = x2 + x3 переводится в подформулу 5) подформула x1 = x2 · x3 переводится в подформулу Нам нужно показать, что предложение истинно в модели End (A) тогда и только тогда, когда предложение истинно в модели A.

Если A это модель абелевой группы, то модель End (A) состоит из множеств пар элементов модели A x = { u1, u2 | u1, u2 A} с условиями Таким образом, последовательность a1,..., aq, на которой должна выполняться формула в модели End (A), это последовательность множеств пар элементов модели A, удовлетворяющих условиям 1)–3).

Установим тождественную биекцию между элементами модели End (A) и соответствующими множествами пар модели A. Пусть при этой биекции элементу ai модели End (A) соответствует множество 1. Если формула имеет вид xi = xj, то выполнимость формулы на последовательности a1,..., aq означает, что ai = aj, т. е. ai и aj совпадающие эндоморфизмы модели End (A), а множества Ai и Aj состоят из одних и тех же элементов, т. е. в модели A на последовательности A1,..., Aq выполнена формула 2. Если формула имеет вид xi = xj + xk, то выполнимость формулы на последовательности a1,..., aq означает, что ai = aj + ak, т. е. эндоморфизм ai есть сумма эндоморфизмов aj и ak, а это означает, что в модели A для каждого элемента b A и для каждых b1, b2, b A таких, что b, b1 Ai, b, b2 Aj, b, b3 Ak, мы имеем b1 = b2 + b3 (т. е., формально говоря, b1, b2, b3 I(Q3 )). Это и равносильно выполнимости в модели A формулы.

3. Если формула имеет вид xi = xj · xk, то выполнимость формулы на последовательности a1,..., aq означает, что ai = aj · ak, т. е.

эндоморфизм ai есть композиция эндоморфизмов aj и ak, а это означает, что в модели A для каждого элемента b1 A и для каждого b2 A такого, что b1, b2 Ai, существует b3 A такое, что b1, b3 Aj и b3, b2 Ak. Это и равносильно выполнимости в модели A формулы.

4. Если имеет вид 1 2, 1 и 2 выполняются в модели End (A) на последовательности a1,..., aq тогда и только тогда, когда 1 и 2 выполняются в модели A на последовательности A1,..., Aq, то очевидно, что формула выполняется в модели End (A) на последовательности a1,..., aq тогда и только тогда, когда формула выполняется в модели A на последовательности A1,..., Aq, так как 5. Аналогично обстоит дело с формулой, имеющей вид ¬, так как 6. Наконец, предположим, что формула имеет вид xi.

Формула выполняется в модели End (A) на последовательности a1,..., aq тогда и только тогда, когда формула выполняется в модели End (A) на последовательности a1,..., ai1, a, ai+1,..., aq для любого a End (A), т. е. формула выполняется в модели A на последовательности A1,..., Ai1, A, Ai+1,..., Aq для любого множества A A A, являющегося эндоморфизмом кольца A, т. е. удовлетворяющего формуле Endom. Таким образом, формула выполняется в модели End (A) на последовательности a1,..., aq тогда и только тогда, когда формула выполняется на последовательности A1,..., Aq в модели A.

Предположим теперь, что абелевы группы A1 и A2 эквивалентны в языке L2. Рассмотрим произвольное предложение языка первого порядка теории колец, истинное в кольце End (A1 ). Тогда предложение истинно в группе A1, а значит, и в группе A2. Следовательно, предложение истинно в кольце End (A2 ). Таким образом, кольца End (A1 ) и End (A2 ) элементарно эквивалентны.

Для следующей теоремы нам понадобится написать несколько формул.

Gr(P (v)) := ab(P (a) P (b) c(c = a + b P (c)) P (0) истинна для множеств {a A | P (a)}, являющихся подгруппами в A, и только для них.

Cycl(P (v)) := Gr(P (v))a(P (a)Pa (v)(Gr(Pa (v))Pa (a) b(P (b) Pa (b))) характеризует циклические подгруппы в A.

DCycl(P (v)) := Gr(P (v))a(P (a) P1 (v)P2 (v)(P1 (a)Cycl(P1 (v)) b¬(P1 (b) P2 (b)) b(P (b) b1 b2 (P1 (b1 ) P2 (b2 ) b = b1 + b2 ))) характеризует подгруппы в A, являющиеся прямыми суммами циклических групп.

Gra (Pa (v)) := Pa (a)Gr(Pa (v))P (v)(P (a)Gr(P (v)) b(Pa (b) P (b))) выделяет в A подгруппу {b A | Pa (b)} всех степеней элемента a; формула (o(a1 ) истинна тогда и только тогда, когда порядок элемента a1 не больше порядка элемента a2 ; формула показывает, что порядки элементов a1 и a2 совпадают; формула показывает, что порядок элемента a1 строго меньше порядка элемента a2.

выполняется для подгрупп, ограниченных порядком элемента a, и только для них.

M ulta (x, b) := P (v)Px,b (v1, v2 )(Cycl(P ) P (x) P (b) выполняется для тех и только тех элементов x и b, для которых x = o(a) · b.

Serv(P (v)) := Gr(P )ax(P (x) b(M ulta (x, b) c(P (c)M ulta (x, c))) выполняется для сервантных подгрупп группы A, и только для них.

F D(P (v)) := Gr(P ) abx1 x2 (P (x1 ) P (x2 ) a + x1 = p(b + x2 )) группа, и только для них.

9. Из всего этого следует, что формула определяет базисные подгруппы группы A.

Очевидно, что если у нас есть некоторая подгруппа G группы G, то мы аналогичным образом можем написать формулу BaseG (P ), истинную для базисных подгрупп группы G, и только для них.

определяет в A делимые группы.

11. Предложение Exept := P (Gr(P ) ¬(D(P ))) P (v)(Base(P ) выполняется для редуцированных p-групп, базисные подгруппы которых меньше их по мощности (и поэтому счетны), и только для них.

Таким образом, если B1 базисная подгруппа группы A1, B базисная подгруппа группы A2, 1 = |B1 |, 2 = |B2 |, то из следует, что либо обе группы A1 и A2 редуцированны, их базисные подгруппы счетны, а сами они несчетны, либо это не так для обеих групп A1 и A2.

Теорема 33. Если абелевы группы A1 и A2 редуцированны и их базисные подгруппы счетны, то из T h (A1 ) = T h (A2 ) следует элементарная эквивалентность колец End A1 и End A2 (и, значит, элементарная эквивалентность групп Aut A1 и Aut A2 ).

Доказательство. Мы знаем (см. теорему 27), что для редуцированной p-группы A действие любого эндоморфизма End (A) полностью определяется его действием на базисной подгруппе B. Более того, пусть A A, B также является и базисной подгруппой в A. Тогда любой гомоморфизм : A A также полностью определяется своим действием на B. Действительно, если 1, 2 : A A, 1 (b) = 2 (b) для всех b B, то для := 1 2 : A A мы имеем (b) = 0 для всех b B. Значит, индуцирует гомоморфизм : A /B A. Но группа A /B делима, а группа A редуцированная, т. е. = 0. Следовательно, = 0.

Заметим, что для любого элемента a A существует счетная подгруппа A A, содержащая a и группу B в качестве базисной подгруппы.

Действительно, рассмотрим квазибазис группы A, имеющий вид где {ai } базис группы B, pcj,1 = 0, pcj,n+1 = cj,n bj,n, bj,n B, o(bj,n ) Как мы помним, любой элемент a A можно записать в виде где si и tj целые числа, ни одно tj не делится на p и индексы i1,..., im, j1,..., jr все различны. Кроме того, эта запись единственна в том смысле, что в ней однозначно определены члены sai и tcj,n.

Рассмотрим разложение нашего элемента a и подгруппу в A, порожденную группой B и всеми ck,n, где n, k {j1,..., jr }. Эта группа A счетна, содержит a и B A является ее базисной подгруппой.

Пусть теперь предикат B(v) удовлетворяет в A формуле Base(B), т. е. определяет в A базисную подгруппу B = {x | B(x)}.

Соответствие P (v1, v2 ) называется гомоморфизмом группы B в группу A (обозначение: HomB (P )), если x(B(x) y(P (x, y))) xy1 y2 (P (x, y1 ) P (x, y2 ) y1 = y2 ) Очевидно, что такой предикат P (v1, v2 ) может употребляться в предложениях из T h (A), так как группа B счетна.

Рассмотрим некоторую B(v) такую, что выполняется формула Base(B), предикат (v1, v2 ) такой, что HomB (), и a A.

Будем писать b = (a), если ¬B(a) G(v) Gr(G) G(a) x B(x) G(x) BaseG (B) Для каждого a A существует не более одного b A такого, что b = (a), и что если гомоморфизм : B A продолжается до эндоморфизма A A, то он всегда существует.

Теперь будем рассматривать такие (v1, v2 ), что EndomB () := HomB () ab(b = (a)) Эти (v1, v2 ) и будут в нашем случае кодировать эндоморфизмы из End (A).

Покажем алгоритм перевода формул в этом случае.

Предложение переводится в предложение где формула получается из предложения следующим образом:

1) подформула x(... ) переводится в подформулу 2) подформула x(... ) переводится в подформулу 3) подформула x1 = x2 переводится в подформулу 4) подформула x1 = x2 + x3 переводится в подформулу 5) подформула x1 = x2 · x3 переводится в подформулу Далее доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы.

Далее в диссертации мы будем доказывать другую, более сложную импликацию.

2.2 Подготовительная работа в группе автоморфизмов.

В этом параграфе нас будут интересовать группы автоморфизмов Автоморфизм группы A называется инволюцией, если 2 = 1.

Следующие факты мы взяли из книги [14], том 2, стр. 296–297:

1) Прямое разложение дает k коммутирующих инволюций: i определяется как автоморфизм группы A, для которого i |Ci = 1 и i |Cj = 1 при i = j. Будем говорить, что система {1,..., k } принадлежит разложению (2.5).

2) Для инволюции группы A положим Тогда A = A+ A ; следовательно, инволюции = ±1 дают нетривиальные прямые разложения группы A. Ассоциированные с таким разэто отображения 2 (1 + ) и 2 (1 ).

ложением проекции 3) Две инволюции, группы A коммутируют в том и только том случае, когда выполняется равенство 4) Коммутирующие инволюции 1,..., n группы A единственным образом определяют такое разложение (2.5) группы A, что l |Ci = ± при всех i, l и для данных i = j найдется такое l, что одно из ограничений l |Ci и i |Cj есть +1, а другое 1.

5) Пусть система инволюций {1,..., k } принадлежит прямому разложению (2.5). Централизатором системы {1,..., k } назовем множество автоморфизмов Имеем место разложение Воспользуемся некоторыми дополнительными сведениями из книги [14] (том 2, стр. 310):

а) Группа A является ограниченной и pn является наибольшим из порядков ее элементов тогда и только тогда, когда Z( Aut A) Zpn1 (p1).

ния A = A+ A следующим образом можно выяснить, имеет ли место ограниченность одного из слагаемых или обоих: группы Z(C()) не содержит подгрупп, изоморфных Jp, или содержит такую подгруппу или прямое произведение двух групп, изоморфных Jp, в соответствии с тем, являются ли обе группы A+ и A неограниченными или ограниченной будет одна из них или обе. А с помощью помощью пункта а) легко определяется граница порядков элементов для ограниченных компонент.

в) Если A = A1 · · ·Ak, где Ai = 0, и {1,..., k } система инволюций, принадлежащая этому разложению, то группа Z(C{1,..., k }) содержит ровно 2k инволюций.

Инволюция называется экстремальной, если одна из групп A+ и A отлична от нуля и неразложима. Эту неразложимую группу мы мальной инволюции мы будем называть порядок ее неразложимой группы A.

г) Инволюция экстремальна тогда и только тогда, когда в группе Z(C{, }) содержится не более 8 инволюций при любом C{}.

Последнее утверждение позволяет нам записать экстремальность инволюции в виде формулы в языке первого порядка. Назовем эту формулу Extreme().

Лемма 2.1. Экстремальные инволюции 1 и 2 коммутируют в том и только том случае, когда либо они совпадают, либо A1 A и Доказательство. Пусть A1 A и A2 A. Докажем, что инволюции 1 и 2 коммутируют. Согласно равенству (2.6), нам надо показать, что Это очевидно следует из условия, что A1 A2 = 0, A A2 = A2, Пусть 1 и 2 коммутируют и не совпадают. Тогда верно (2.4).

Если A1 A2 = 0 и это пересечение выделяется прямым слагаемым, что противоречит (2.4). Следовательно A1 A2 = 0. Тогда ни одно из слагаемых A A2 и A1 A не может быть нулевым, что и означает, что A1 A и A2 A (в силу неразложимости A1 и A2 ).

По инволюции мы не сможем отличить в языке первого порядка группы A+ и A. Поэтому мы будем иметь дело с парами (, ), для которых Extreme() =. Для таких пар A A+ или A A.

A и будет нам указывать на нужную из групп A+ и A (обозначим ее A(,) ). Свойство быть парой мы будем обозначать формулой Вместо (P air(, ) (... )) и (P air(, ) (... )) мы будем писать соответственно (, ) и (, ). Выразим некоторые операции с инволюциями формулами.

Лемма 2.2. Формула для экстремальных, 1, 2, таких что 1 2 = 2 1, означает, что Доказательство. Пусть A A1 A2 и A A A. Докажем для любой экстремальной инволюции, отличной от 1 и 2 и коммутирующей с ними, что она коммутирует и с. По лемме 2.1, A A, как по условию A A1 A2. Аналогично, A A A A.

Пусть, напротив, выполнена формула 1, 2. Если A A A2, то мы можем выбрать такие A A A и A A1 A2, A A, которые будут соответствовать инволюции, коммутирующей с 1 и 2, но не коммутирующей с. Если же A A A, то можем выбрать такие A A1 A2 и A A A, A A, которые также будут соответствовать такой инволюции.

Утверждения следующей леммы проверяются непосредственно.

Лемма 2.3. 1) Формула для экстремальной 2 и пары (1, 1 ) означает, что A2 A(2,2 ).

означает A(1,1 ) A(2,2 ).

означает A(1,1 ) = A(2,2 ).

означает A(3,3 ) = A(1,1 ) A(2,2 ).

означает A(1,1 ) A(2,2 ) = A.

2.3 Подготовительная работа в кольце эндоморфизмов.

Если бы для кольца эндоморфизмов абелевой p-группы мы не рассматривали случай p = 2 (который пока не получается для группы автоморфизмов), то этот параграф можно было не писать, так как из элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов следует элементарная эквивалентность групп автоморфизмов абелевых групп, поэтому можно было бы просто воспользоваться результатом для групп автоморфизмов.

Однако для колец эндоморфизмов случай p = 2 ничем не отличается от случая p 3, поэтому нам требуется отдельно показать, что для кольца эндоморфизмов проходят те же методы.

Если в случае групп автоморфизмов мы действуем (будем действовать) с помощью инволюций и экстремальных инволюций, дающих нам, соответственно, прямые и неразложимые прямые слагаемые абелевой группы, то для колец эндоморфизмов мы сможем действовать еще более “напрямую” за прямые слагаемые отвечают проекторы на эти прямые слагаемые (то есть произвольные эндоморфизмы– идемпотенты), а за неразложимые прямые слагаемые самые “маленькие” проекторы, где проекторы частично упорядочены следующим отношением:

(это в точности означает, что eA f A).

Каждому проектору e однозначно соответствует инволюция (e) = 2e 1. Действительно, если ea = a, то a = 2a a = a, если ea = 0, то a = a.

Если p = 2, то данное преобразование можно обратить:

Установим те же факты (выпишем формулы) про проекторы, аналогичные фактам и формулам про инволюции из предыдущего параграфа.

1) Прямое разложение дает k коммутирующих взаимно ортогональных проекторов, в сумме дающих единичных автоморфизм.

2) Для проектора e группы A положим 3) Два проектора e, f группы A коммутируют в том и только том случае, когда выполняется равенство 4) Напомним, что по теореме 30 центр кольца эндоморфизмов End (A) любой p-группы A состоит из умножения на целые p-адические числа или на вычеты по модулю pk в зависимости от того, является ли группа A неограниченной или pk служит наименьшей верхней гранью порядков ее элементов.

Пусть e проектор группы A, e = 0, 1. Тогда для разложения A = A+ A следующим образом можно выяснить, имеет ли место ограe e ниченность одного из слагаемых или обоих: группа Z(C(e)) не содержит целых p-адических чисел, или содержит их, или содержит прямое произведение двух экземпляров p-адических чисел, в соответствии с тем, являются ли обе группы A+ и A неограниченными или ограниченной будет одна из них или обе. А с помощью помощью того, что pk служит наименьшей верхней гранью порядков элементов центра, легко определяется граница порядков элементов для ограниченных компонент.

Таким образом, мы можем научиться определять порядки ограниченных прямых слагаемых.

5) Как мы уже сказали выше, мы легко можем определять формульно проекторы на неразложимые слагаемые (будем называть их либо неразложимыми проекторами, либо экстремальными проекторами, по аналогии с инволюциями).

По аналогии с прошлым параграфом будем обозначать соответствующую формулу через Extreme(e).

6) Ясно, что мы можем (точно так же, как и для инволюций) выразить некоторые операции с прямыми слагаемыми формулами с участием проекторов:

7) Кроме того, формула для экстремальных проекций e, f и произвольного эндоморфизма означает, что 8) Формула ord(e) < ord(f ) означает, что порядок слагаемого Ae меньше порядка слагаемого Af. Также вводятся и остальные операции сравнения порядков.

Заметим, что в результате мы научились выражать с помощью инволюций и экстремальных инволюций и проекций и экстремальных проекций одни и те же операции над прямыми слагаемыми.

Значит, в дальнейшем, если нужные нам формулы будут использовать только эти операции, мы сможем не различать случаи языка кольца эндоморфизмов и языка группы автоморфизмов.

2.4 Разделение задачи на случаи.

В этом параграфе все доказательства будем проводить для группы автоморфизмов, так как для кольца эндоморфизмов они строго проще и не сильно отличаются.

Разделим класс всех абелевых p-групп на следующие три подкласса:

1) ограниченные p-группы;

2) группы вида D G, где D ненулевая делимая группа, G ограниченная группа;

3) группы с неограниченной базисной подгруппой.

Покажем, как найти предложения, разделяющие группы из разных типов.

Если группа A ограничена, то по теореме 31 центр ее группы автоморфизмов конечен, а для любой неограниченной группы он бесконечен.

Следовательно, мы можем отличить ограниченные группы от неограниченных с помощью формулы.

Следующая формула позволит нам “подсчитать количество” различных разложений группы A1 A2 для экстремальных 1, 2 в прямые слагаемые. Лемма проверяется непосредственно.

Лемма 2.4. Формула для экстремальных 1, 2, 1, 2 означает A1 A2 = A1 A2 и Заметим, что если две пары коммутирующих экстремальных инволюций (1, 2 ) и (1, 2 ), удовлетворяющие этой формуле, задают одинаковое разложение группы A1 A2, т. е. A1 = A1 и A2 = A2, то, по лемме 2.1, прямые дополнения соответствующих им слагаемых также совпадают, т. е. A = A и A = A, а значит, эти пары равны.

Это означает, что количество различных разложений группы A1 A равно количеству пар коммутирующих экстремальных инволюций 1 и 2, удовлетворяющих этой формуле.

В нашем случае группы A1 и A2 имеют вид Zpk, k = 1, 2,..., или Zp. Нам понадобится следующая лемма.

Лемма 2.5. 1) Группа Zpk Zpm (k и p2k1 + (pk pk1 )2 при k = m различных разложений на прямые слагаемые.

2) Группа Zpk Zp допускает pk различных разложений на прямые слагаемые, причем всегда одним из слагаемых будет исходное Zp.

3) Группа Zp Zp допускает бесконечное число различных разложений на прямые слагаемые.

Доказательство. 1) Пусть исходные слагаемые порождены элементами a и b соответственно: a = Zpk, b = Zpm. У любого разложения можно выбрать порождающие элементы прямых слагаемых в виде a + pmk b и b + a, где 0, < pk (множитель pmk у первого порождающего нужен, чтобы его порядок был равен pk ). Слагаемые, порожденные такими элементами, не являются прямыми (т. е. имеют нетривиальное пересечение) тогда и только тогда, когда существуют такие и, 0 < < pk, 0 < < pm, что Это равносильно существованию такого, 0 < < pk, что Последнее утверждение имеет место тогда и только тогда, когда Если k < m, то это условие не выполнено никогда, а значит, и можно выбирать произвольным образом, т. е. всего p2k различных разложений. Рассмотрим случай m = k. Последние условие равносильно 1 mod p. Если. p, то этому условию не удовлетворяет никакое. Если. p, то таких, удовлетворяющих этому условию, всего pk1.

Значит, различных разложений всего 2) Пусть исходное слагаемое Zpk порождено элементом a, а слагаемое Zp элементами c1, c2,.... Так как в любой группе делимая часть выделяется единственным образом, то в любом разложении одним из слагаемых будет исходное Zp. У второго слагаемого (порядка pk ) всеpk. Следогда можно выбрать образующий в виде a + ck, где вательно, всего существует pk различных разложений.

3) Пусть исходные слагаемые порождены элементами c1, c2,... и d1, d2,... соответственно. Тогда в качестве разложений можно брать такие, в которых первое слагаемое остается на месте, а второе порождается элементами d1 + cl, d2 + cl+1, d3 + cl+2,..., где l = 1, 2,... и 0 < < pl. Ясно, что таких разложений бесконечно много.

Теперь мы можем записать формулу для пары (, ), отвечающей разложению группы A на делимую и редуцированную части.

Лемма 2.6. Формула для пары (D, D ) означает, что A(D,D ) делимая, а A(D,D ) редуцированная части группы A.

Доказательство. Следует из леммы 2.5 (так как только в разложениях группы вида Zpk Zp одно из прямых слагаемых всегда совпадает с исходным).

Благодаря лемме 2.5 и тому, что мы можем выделить разложение группы A на делимую и редуцированную части, мы теперь можем узнать, ограниченна ли редуцированная часть группы A. Построим предложения l := 1, 2 (Extreme(1 ) Extreme(2 ) где вместо #{... } l подставим формулу, выполняющуюся для множеств из не более чем l элементов. Предложение l означает, что в редуцированной части все подгруппы вида Zpk Zpm имеют не более l разложений. Согласно лемме 2.5, это ограничение равносильно ограничению на порядки циклических подгрупп редуцированной части. Поэтому если хоть одно из предложений l истинно, то редуцированная часть ограничена, иначе неограничена.

Следовательно, для любых двух групп A1 и A2 из разных классов существует предложение, на котором различаются группы Aut (A1 ) и Aut (A2 ).

Таким образом, в дальнейшем мы можем считать, что если группы Aut (A1 ) и Aut (A2 ) элементарно эквивалентны, то группы A1 и A лежат в одном классе, и, если они обе лежат в первом или втором классе, то соответственно они сами или их редуктивные прямые слагаемые ограничены одним и тем же числом n = pk, которое можно считать известным.

Глава Ограниченные p-группы.

3.1 Разделение пар инволюций.

ограничена числом n. Так как группа A бесконечна, то µl = max µi бесконечно и совпадает с мощностью группы A. Для каждого i мы хотим найти формулу, которая выполняется для экстремальных инволюций, соответствующих прямым слагаемым группы A, изоморфным Zpi, и только для них.

Рассмотрим для каждого l формулу l (1 ) := Extreme(1 ) 2 (Extreme(2 )) (1 2 = 2 1 ) С помощью этих формул (и леммы 2.5) мы можем различать экстремальные инволюции разных порядков, за исключением одного случая. Если группа A имеет ровно одно прямое слагаемое максимального порядка и ровно одно слагаемое второго по максимальности порядка, то экстремальные инволюции, отвечающие этим двум слагаемым, мы отличить друг от друга не можем. В этом случае мы знаем порядок этих двух слагаемых. Покажем, как различить этот случай. Возьмем максимальное l, для которого формула l выполнима. Эта формула должна выполняться ровно для двух независимых экстремальных инволюций, и эти инволюции должны соответствовать прямым слагаемым разных порядков. Последнее свойство выражается формулой f (f 1 f 1 = 2 ) для экстремальных инволюций 1 и 2.

Обозначим через ordi () формулу, выполняющуюся для экстремальных инволюций, соответствующим прямым слагаемым порядка pi, а в случае, когда мы не можем отличить две экстремальные инволюции, соответствующие прямым слагаемым порядков pk1 и pk, через ordk1 () обозначим формулу, выполняющуюся только для одной из них, а ordk () только для другой.

Теперь рассмотрим следующую формулу:

Будем считать, что пары (1, 1 ),..., (k, k ) из формулы Comp(... ) фиксированы. Для того, чтобы отличать их от других пар, будем обозначать их через (1, 1 ),..., (k, k ).

Число l из множества {1,..., k}, для которого выполнено предложение является номером группы Al с |Al | = |A| = µ.

Формула Cardl показывает, что можно написать формулы, определяющие для любых двух пар (1, 1 ) и (2, 2 ), выполнено ли |A(1,1 ) | < |A(2,2 ) |, |A(1,1 ) | > |A(2,2 ) | или |A(1,1 ) | = |A(2,2 ) |. Будем обозначать эти формулы через |(1, 1 )| < |(2, 2 )|, |(1, 1 )| > |(2, 2 )| и |(1, 1 )| = |(2, 2 )| соответственно.

означает, что группа A(,) конечно порождена.

выполняется для проекций на счетно порожденные группы, и только для них.

3.2 Выделение специальных множеств (по Шелаху).

В этом параграфе мы будем полностью следовать статье С. Шелаха [29].

Для начала пусть у нас фиксирована абелева p-группа A Z(pl ), где µ бесконечное кардинальное число, и кольцо End (A) ее эндоморфизмов.

Пусть множество {ai | i I} A независимо, все его элементы имеют один и тот же порядок pl, и пусть A = {ai | i I}.

В работе [1] была доказана теорема Шелаха для эндоморфизмов.

Теорема 34. Существует формула (... ), удовлетворяющая следующему условию. Пусть {fi }iµ множество элементов из End (A ).

Если мы рассматриваем не кольцо эндоморфизмов, а группу автоморфизмов, то рассуждений выше не достаточно. Нам требуется “закодировать” каждый эндоморфизм указанного вида некоторым специальным набором автоморфизмов.

Так как при работе с эндоморфизмами мы будем их только перемножать и проверять на равенство, то достаточно будет построить формулы для таких наборов, соответствующие умножению и сравнению на равенство эндоморфизмов.

Пусть пара h = (, ) отвечает за группу A1 (т. е. A(,) = A1 ). Мы будем “кодировать” эндоморфизм f указанного вида тройкой (f1, f2, f3 ) (где f1 автоморфизм, а f2 и f3 пары) следующим образом. f2 будет отвечать за образ эндоморфизма f, f3 за ядро. Для каждого набора прямых слагаемых Zpl A1, имеющих одинаковый образ при эндоморфизме f, ровно одно из них при автоморфизме f1 будет переходить в этот образ, а остальные в “свободные” (т. е. в которые ничего больше не переходит) слагаемые группы A2. Прямые слагаемые Zpl A2 при f1 переходят в “свободные” прямые слагаемые групп A1 и A2 (ясно, что “свободных” прямых слагаемых хватит).

Лемма 3.1. 1) Для экстремальных инволюций 1, 2 и произвольного автоморфизма f1 формула означает f1 (A1 ) = A2.

2) Для экстремальных инволюций 1, 2 h и построенной тройки (f1, f2, f3 ), “кодирующей” эндоморфизм f формула означает f (A1 ) = A2 .

Доказательство. 1) Пусть f1 (A1 ) = A2. Тогда возьмем x A1, тогда 1 (x) = ±x, f1 1 (x) = ±f1 (x), 2 f1 1 (x) = 2 (±f1 (x)) = ±f1 (x). Теперь возьмем x A, тогда аналогично 1 (x) = x, f1 1 (x) = f1 (x), 2 f1 1 (x) = 2 ( f1 (x)) = ±f1 (x).

Обратно, пусть f1 = 2 f1 1 или f1 = 2 f1 1, предположим, что f1 (A1 ) = A2. Тогда существует такой элемент a A1, что f1 (a) A2.

Пусть для определенности 1 |A1 = 1, 2 |A2 = 1 (в других случаях рассуждения аналогичны). Рассмотрим 2 f1 1 (a) = 2 f1 (a) = 2 f1 (a) = ±f1 (a). Так как f1 (a) A2, то такое возможно только при f1 (a) A. В этом случае знак будет “”. Рассмотрим произвольный элемент b A. Для него f1 (b) = 2 f1 1 (b) = 2 f1 (b). Значит, f1 (b) A2, но это не может выполняться для всех b A, так как f автоморфизм.

С помощью этой леммы мы теперь можем выразить формулами умножение и сравнение на равенство троек, а также корректность тройки (т. е. что она действительно “кодирует” эндоморфизм). Утверждения следующей леммы проверяются непосредственно.

Лемма 3.2. 1) Тройка (f1, f2, f3 ) отвечает за какой-либо эндоморфизм указанного вида тогда и только тогда, когда !1 2 0 (Extreme(1 ) Extreme(2 ) Extreme(0 ) означает, что эндоморфизмы f и g, “кодируемые” соответственно тройками (f1, f2, f3 ) и (g1, g2, g3 ), равны.

означает f g = h, где f, g и h эндоморфизмы, “кодируемые” соответственно тройками (f1, f2, f3 ), (g1, g2, g3 ) и (h1, h2, h3 ).

Обозначим множество всех таких троек через. Теперь благодаря тому, что мы можем “кодировать” эндоморфизмы, получаем Теорема 35. Существует формула (... ), удовлетворяющая следующему условию. Пусть {fi }iµ множество элементов из. Тогда можно найти вектор g такой, что формула (f, g) истинна в тогда и только тогда, когда f = fi для некоторого i µ.

Еще нам понадобится пользоваться теоремой Шелаха для случая неразложимых прямых слагаемых базисной подгруппы B. Для этого нужно интерпретировать отображения множества экстремальных инволюций из B в себя. Для этого по отображению f построим согласно предыдущему параграфу два автоморфизма f1 и f2, соответствующие базисной подгруппе B, и положим Композиция отображений очевидным образом выражается через последнюю формулу.

Таким образом, мы получаем теорему Шелаха в следующем виде. Пусть множество экстремальных инволюций, соответствующих прямым слагаемым из B.

Теорема 36. Существует формула (... ), удовлетворяющая следующему условию. Пусть {fi }iµ множество элементов из. Тогда можно найти вектор g такой, что формула (f, g) истинна в тогда и только тогда, когда f = fi для некоторого i µ.

3.3 Специальные множества для случая ограниченных групп.

Сначала сформулируем, какие специальные множества мы хотим получить. Нам требуется получить два множества. Первое из них должно содержать µi независимых экстремальных инволюций подгруппы Ai, для каждого i = 1,..., k, второе µ = µl независимых экстремальных инволюций подгруппы Al (также независимых с инволюциями первого множества), а третье µ пар инволюций, соответствующим независимым прямым слагаемым группы Al, каждое из которых является суммой счетного числа слагаемых, соответствующих инволюциям второго множества.

По теореме 2.35 мы видим, что существует формула (g; f ), удовлетворяющая следующему условию. Если {fi }iµ множество элементов из, то существует вектор g такой, что формула (g; f ) истинна в тогда и только тогда, когда f = fi для некоторого i µ. Зафиксируем эту формулу.

Пусть мы имеем некоторое фиксированное i {1,..., k}. Рассмотрим следующую формулу:

i (g) := f ((g, f ) Extreme(f ) f (i, i )) Часть f ((g, f ) Extreme(f ) f (i, i )) выполняется только для экстремальных инволюций f, соответствующих прямым слагаемым группы Ai.

|(, )| = |(i, i )|) означает, что любая подгруппа группы Ai, содержащая все такие слагаемые Af, что (g, f ), имеет ту же мощность, что и Ai, т. е. что мощность множества этих f равна µi.

Последняя часть формулы означает, что для любого f такого, что (g, f ), группа, порожденная всеми остальными f такими, что (g, f ), не пересекается с f, т. е. множество всех f таких, что (g, f ), независимо.

Это множество мы будем обозначать через Fi. Оно состоит из µi независимых экстремальных инволюций, соответствующих прямым слагаемым группы Ai. Естественно, такое множество получается для любого вектора g i, удовлетворяющего формуле i (g i ), поэтому следовало бы писать не Fi, а Fi (g i ), что мы и будем делать далее. Однако в случаях, когда параметр несущественен, мы будем его опускать.

Объединение всех Fi для i = 1,..., k мы будем обозначать через F. Множество F зависит от параметра g = (g 1,..., g k ).

Теперь нам нужно получить множество F, состоящее из µ = µl независимых экстремальных инволюций подгруппы Al. Это делается совершенно аналогично предыдущему случаю, следует лишь добавить условие независимости этих инволюций и инволюций из Fl. Обозначим соответствующую формулу через (g l, g ).

Теперь получим множество F, состоящее из µ пар инволюций, соответствующим независимым прямым слагаемым группы Al. Это также можно сделать аналогично предыдущим двум случаям, но теперь вместо одного вектора g надо рассматривать два вектора g и g такие, что g отвечает за обычные инволюции в парах, а g за экстремальные инволюции. Инволюция, такая что (g, ), и экстремальная инволюция, такая что (g, ), будут соответствовать друг другу, если (это определение однозначно).

Кроме того, нужно добавить условие Обозначим полученную формулу через (g, g, g ).

3.4 Интерпретация группы A для каждого элемента F.

Под интерпретацией группы A для каждого элемента из F мы будем понимать следующее. Мы имеем µ независимых прямых слагаемых Fi (i µ), каждое из которых есть прямая сумма счетного числа циклических групп порядка pl. Если мы сможем каждому элементу группы A сопоставлять автоморфизм, тождественный на прямом дополнении к Fi, то мы научимся каждому множеству элементов группы A мощности µ сопоставлять некоторый автоморфизм, что нам и будет далее требоваться для получения теории второго порядка группы A. По этой причине в этом параграфе мы сосредоточимся на биективном соответствии между некоторыми автоморфизмами тождественными на дополнении к Fi и элементами группы A, причем введем на множестве таких автоморфизмов операцию, которая при этой биекции будет соответствовать сложению на группе A.

Фиксируем некоторую пару (, ) F. Рассмотрим множество Aut(,) всех автоморфизмов h Aut A, удовлетворяющих следующим условиям:

что означает, что для любой экстремальной инволюции f из нашего специального множества F, такой что Af A(,), либо h(Af ) = Af, либо h(Af ) Af Af (причем h(Af ) = Af ) для некоторой экстремальной инволюции f F;

что означает, что лишь для конечного числа инволюций f F выполнено h(Af ) = Af (т. е. h(Af ) Af Af для некоторой f F);

что означает, что для каждого i = 1,..., k и f Fi число таких f F (f (, )), что h(Af ) Af Af, не превышает pi 1.

Два элемента h1 и h2 множества Aut(,) будем считать эквивалентными (h1 (,) h2 ), если выполняется следующая формула:

Это означает, что существует автоморфизм h, переводящий h1 в автоморфизм h1 h1 h Aut(,), действующий так же, как и h2 (т. е. образ любого слагаемого Af (f F, f (, )) одновременно при действии обоих этих автоморфизмов либо совпадает с этим слагаемым, либо лежит внутри Af Af для одного и того же f F). Таким образом получившееся множество Aut(,) / (,) обозначим через Aut(,). Элементы этого множества можно интерпретировать как множество, состоящее из конечных наборов экстремальных инволюций множества F с тем условием, что каждая инволюция из Fi может входить в такой набор не более pi 1 раз. Соответственно, каждый элемент множества Aut(,) можно интерпретировать как множество пар, где первый элемент в паре это инволюция f из F, а второй элемент где i таково, что f Fi, причем почти все (все, кроме конечного числа) вторые компоненты пар равны 0. Теперь можно построить биективное отображение между множеством Aut(,) и группой A, положив образом описанного выше множества { fj, lj |j J} элемент lj bj = a A, где bj это некоторый заранее фиксированный образующий циклической группы Afj.

Осталось ввести на множестве Aut(,) сложение так, чтобы полученное нами биективное отображение стало изоморфизмом абелевых групп.

Зададим сложение формулой (h1, h2, h3 Aut(,) ) Теперь мы видим, что для каждой (, ) F имеется формульное множество Aut(,) с операцией сложения, изоморфное группе A.

3.5 Доказательство первого случая в теореме.

Предложение 3.1. Для двух бесконечных абелевых p-групп A1 и A2, ограниченных числом pk, из элементарной эквивалентности групп Aut (A1 ) и Aut (A2 ) следует эквивалентность групп A1 и A2 в языке L2.

Доказательство. Для (1, 1 ), (2, 2 ) F введем формулу Эта формула означает, что автоморфизм h изоморфно отображает друг в друга слагаемые A(1,1 ) и A(2,2 ).

Как и раньше, рассмотрим произвольное предложение в логике второго порядка теории групп и укажем алгоритм, переводящий это предложение в предложение первого порядка языка теории колец такое, что выполняется в Aut (A) тогда и только тогда, когда выполняется в A.

Переведем предложение в предложение где формула (... ) получается из предложения с помощью следующих замен подформул, входящих в :

1) подформула x заменяется на подформулу x Aut(,) ;

2) подформула x заменяется на подформулу x Aut(,) ;

3) подформула Pm (v1,..., vm )(... ) заменяется на подформулу 4) подформула Pm (v1,..., vm )(... ) заменяется на подформулу 5) подформула x1 = x2 заменяется на подформулу x1 (,) x2 ;

6) подформула x1 = x2 + x3 заменяется на подформулу x1 (,) x2 x3 ;

7) Подформула Pm (x1,..., xm ) заменяется на подформулу Объясним словами, что означают переводы. Благодаря наличию множества F, мы имеем µ групп Aut(,) для (, ) F, каждая из которых изоморфна группе A. Мы фиксируем один заранее выбранный элемент (, ) F, и, таким образом, фиксируем одну группу Aut(,), изоморфную A. Естественно, все подформулы x, x, x1 = x2, x1 = x2 + x (относящиеся к логике первого порядка) мы будем переводить в соответствующие подформулы для группы Aut(,). Теперь нам нужно какимто образом интерпретировать в кольце Aut (A) произвольное отношение Pm (v1,..., vm ) на множестве A. Такое отношение есть некоторое подмножество в Am, т. е. набор упорядоченных m-ок элементов из A. Всего таких m-ок не может больше µ, поэтому множество Pm (v1,..., vm ) можно считать множеством из µ m-ок элементов из A (некоторые из них могут совпадать). Мы рассматриваем m автоморфизмов f1,..., fm Aut (A), каждый из которых является элементом Aut(,) для любого (, ) F.

Таким образом, для каждого (, ) F ограничение автоморфизмов f P,..., f P на A(,) является m-кой элементов группы Aut = изоморфизм между Aut(,) и Aut(,) осуществляется с помощью некоторого изоморфизма h.

Отсюда видно, что предложение выполняется в группе A тогда и только тогда, когда предложение выполняется в кольце Aut (A).

Отсюда, как и в предыдущем параграфе, следует окончание доказательства.

Именно такую схему доказательства мы будем использовать в следующих параграфах для других случаев.

Глава Прямые суммы делимых и ограниченных p-групп.

Любая бесконечная конечно порожденная абелева p-группа A имеет вид D G, где D делимая конечно порожденная группа, G конечная группа. Не нуждается в доказательстве следующее предложение.

Предложение 4.1. Если абелевы p-группы A1 и A2 конечно порождены, то из элементарной эквивалентности их групп автоморфизмов Aut (A1 ) и Aut (A2 ) следует, что группы A1 и A2 изоморфны.

Теперь мы будем иметь дело с бесконечно порожденными группами. Нам потребуется сравнивать мощности некоторых конечных множеств экстремальных инволюций.

4.1 Сравнение мощностей множеств экстремальных инволюций.

В этом параграфе мы будем считать, что у нас есть множества G1, G2, G3, G0, F экстремальных инволюций одного порядка (т. е. соответствующих квазициклическим прямым слагаемым или циклическим слагаемым одного порядка) и множество F пар инволюций, соответствующих счетно порожденным прямым слагаемым того же порядка, причем множества G1, G2, G3, G0 конечны, а |F | = |F | = µ. Внутри каждого из множеств G1, G2, G3, G0, F экстремальные инволюции независимы, однако разные множества могут содержать зависимые или даже совпадающие инволюции. Кроме того, каждое счетно порожденное прямое слагаемое из F разбивается на неразложимые прямые слагаемые, соответствующие экстремальным инволюциям из F.

Лемма 4.1. Следующие свойства можно выразить формулами в языке первого порядка группы автоморфизмов:

|G0 |, |G3 | < |G0 |), Доказательство. 1) |G1 | |G2 | f (f 2 = 1 g G1 (f (g) G2 )) G1 f2 (g) G2 )) |G1 |+|G2 | |G3 | mod |G0 | |G1 |+|G2 | = |G3 ||G1 |+|G2 | = |G3 |+|G0 |, где свойство |G1 | + |G2 | = |G3 | + |G0 | выражается аналогично предыдущему параграфу.

Последняя формула означает, что существует такой набор из |G0 | + 1 пар инволюций, в котором есть одна пара инволюций, у которой соответствующее прямое слагаемое имеет |G1 | образующих, одна пара, у которой соответствующее прямое слагаемое имеет |G2 | образующих, а остальные пары выстроены в ряд, где соответствующее прямое слагаемое у каждой следующей пары имеет в p раз больше образующих, чем у предыдущей.

6) Условие |G1 | = p|G0 | |G2 | равносильно формуле = p|{f F |f (, )(0, 0 )}|)|{f F |f (, )(0, 0 )}| = |G1 |) 4.2 Доказательство второго случая в теореме.

Zp. С помощью формулы Cardl из параграфа 3.1 найдем такое l, что |Al | = |A| = µ, l {1,..., k, }. Аналогично параграфу 3.2 выделим следующие специальные множества:

1) множества Fi (i {1,..., k, }) из µi независимых экстремальных инволюций порядка pi ;

2) множества Fi (i {1,..., k, }) из µi независимых экстремальных инволюций порядка pl, соответствующих экстремальным инволюциям из Fi ;

3) множества Fi (i {1,..., k, }) из µi пар инволюций, каждая из которых содержит экстремальную инволюцию из Fi и соответствующую экстремальную инволюцию из Fl ;

4) множества F, Fc, Fd из µ независимых экстремальных инволюций порядка pl ;

5) множества F, F0 из µi независимых пар инволюций, соответствующим независимым прямым слагаемым группы Al, каждое из которых является суммой счетного числа слагаемых, соответствующих инволюциям F, Fc Fd соответственно (причем в каждой паре инволюций из F0 содержится счетное число инволюций и из Fc, и из Fd ).

Для инволюции f Fi через Cor(f ) мы будем обозначать соответствующую инволюцию из Fi, т. е. такую инволюцию f Fi, что Интерпретация элемента из ограниченной части группы A полностью аналогична параграфу 3.3, следует лишь в определениях Aut(,), Теперь нам надо проинтерпретировать элемент из делимой части группы A. Для этого, как и в параграфу 3.3, зафиксируем пару (, ) и определим множество Aut(,), предикат эквивалентности (,) и и операцию. Итак, рассмотрим множество Aut(,) таких автоморфизмов h Aut A, удовлетворяющих следующим условиям:

что означает, что для любой экстремальной инволюции f из Fc Fd, такой что Af A(,), либо h(Af ) = Af, либо h(Af ) Af ACor(f ) (причем h(Af ) = Af ) для некоторой экстремальной инволюции f F ;

что означает, что лишь для конечного числа инволюций f Fc Fd выполнено h(Af ) = Af (т. е. h(Af ) Af ACor(f ) для некоторой f что означает, что для каждого f F число таких f Fc (f (, )), (f (, )), что h(Af ) Af ACor(f ).

Два элемента h1 и h2 множества Aut(,) будем считать эквивалентными (h1 (,) h2 ), если выполняется следующая формула:

p|{f Fd |f (,)h2 (f ) f,Cor(f ) }||{f Fd |f (,)h1 (f ) f,Cor(f ) }| ) Так же, как и в параграфе 3.3 получившееся множество Aut(,) / (,) обозначим через Aut(,). Но, в отличие от параграфа 3.3, каждый элемент этого множества можно интерпретировать как множество не пар, а троек, где первый элемент в тройке это инволюция f из F (напомним, инволюция f отвечает квазициклическому слагаемому, которое порождается элементами c1,..., cn,..., где pc1 = 0, pc2 = c1,..., pcn+1 = cn,..., и каждый элемент в котором может быть представлен в виде cn, где 0 < pn ), второй элемент (|{f Fd |f (, ) h(f ) f, Cor(f ) }|) это натурально число, обозначающее номер порождающего элемента, а третий элемент порождающим. Теперь можно построить биективное отображение между множеством Aut(,) и группой A, положив образом описанного выше заранее фиксированный образующий с номером nj квазициклической группы Afj.

Зададим сложение для h1, h2, h3 Aut(,) формулой h3 = h1 h2.

(h3 = h1 h2 ) := f F h1 Aut(,) h2 Aut(,) h3 Aut(,) Остаток доказательства повторяет параграф 3.4. Тем самым, мы доказали Предложение 4.2. Для двух бесконечно порожденных абелевых pгрупп A1 и A2, редуцированные части которых ограничены числом pk, из элементарной эквивалентности групп Aut (A1 ) и Aut (A2 ) следует эквивалентность групп A1 и A2 в языке L2.

Глава Группы с неограниченной базисной подгруппой.

Всегда в этой главе мы будем предполагать, что A = D G, группа D делима (она может быть нулевой), группа G редуцирована и имеет неограниченную базисную подгруппу B, где Мы считаем фиксированной пару инволюций (D, D ), отвечающую подгруппе D.

5.1 Сравнение порядков экстремальных инволюций.

Мы хотим сравнить порядки двух экстремальных инволюций 1 и 2. Пусть порядок инволюции 0, независимой с данными инволюциями, больше их порядков. Тогда, по лемме 2.5, 0, 1 содержит в себе больше экстремальных инволюций, чем 0, 2. Это дает нам возможность сравнивать порядки 1 и 2 формулой. Пусть у нас есть бесконечное множество F независимых экстремальных инволюций.

Лемма 5.1. Формула для экстремальных инволюций 1 и 2 означает, что порядки групп A1 и A2 совпадают.

Доказательство. Действительно, если существует автоморфизм f, переводящий A1 в A2, то порядки этих подгрупп должны совпасть.

Обратно, если порядки подгрупп A1 и A2 совпадают, то существует искомый автоморфизм f, например, меняющий местами A1 и A2, и тождественный на дополнении к A1 + A2.

Тогда формула 1 < 2 0 : 1 0 2 2 0 1 будет означать, что порядок инволюции 1 меньше порядка инволюции 2.

5.2 Выделение базисной подгруппы Рассмотрим теперь только редуцированную часть группы A G. Пусть ее мощность равна µG, а финальный ранг базисной подгруппы равен µf in. Существует разложение G = G1 G2 такое, что порядок любой неразложимой подгруппы G1 меньше порядка любой неразложимой подгруппы G2 и ранг базисной подгруппы G2 равен µf in. Покажем, как выделить такое разложение формулой:

Лемма 5.2. Введем формулу Формула F inal(0, 0 ) ByOrd(0, 0 ) выделяет описанное выше разложение G = G1 G2, где G1 = G(0,0 ), G2 = G(0,0 ).

Доказательство. Формула ByOrd выделяет разложения G = G(,) G(,), в которых порядок любой неразложимой подгруппы G(,) меньше порядка любой неразложимой подгруппы G(,). Назовем такие разложения разложениями по порядку. Формула F inal говорит, что разложение G = G(0,0 ) G(0,0 ), во-первых, должно быть разложением по порядку, а во-вторых, для любого разложения по порядку G(0,0 ) = G(1,1 ) G(0,0 )(1,1 ) ранг G(0,0 )(1,1 ) не превосходит ранга базисной подгруппы G(1,1 ). Последнее означает, что ранг базисной подгруппы G(0,0 ) равен финальному рангу µf in.

Зафиксируем пару (0, 0 ) и обозначим Glow = G(0,0 ), Gf in = G(0,0 ).

Лемма 5.3. Для любой редуцированной неограниченной абелевой pгруппы G существует автоморфизм, такой что = id и для бого b B существует a Gf in такой, что (a) = a + b, и, наоборот, для любого a Gf in (a) = a + b для некоторого b B.

Доказательство. Возьмем базисную подгруппу B, такую что Glow B.

ord (a). Тогда построим автоморфизм независимо на Glow и Gf in таким требуемый автоморфизм.

Сопоставим автоморфизму подгруппу B с помощью формулы.

Следующая формула показывает, когда неразложимая подгруппа, соответствующая экстремальной инволюции, лежит в группе B :

InBase(, ) low, f in Extreme(low ) Extreme(f in ) Лемма 5.4. Для автоморфизма, определяемого в лемме 5.3, соответствующая подгруппа B совпадает с исходной базисной подгруппой Доказательство. Пусть G лежит в B. Тогда G лежит в прямой сумме Glow Gf in, где Glow B Glow =: Blow и Gf in B Gf in =: Bf in.

Пусть Gf in = b. Тогда существует элемент a Gf in большего порядка, чем b, такой что (a) = a + b. Тогда в качестве можно взять экстремальную инволюцию, соответствующую неразложимой подгруппе a, Обратно, пусть для экстремальной инволюции выполнена формула InBase. Тогда, очевидно, Glow лежит в B. Теперь рассмотрим Gf in = b. Пусть G = a, (a) = ka + lb. По построению, k = 1.

Так как a ka + lb = a b, то l. Тогда для некоторого m (ma) = ma + b, т. е. b B. Утверждение доказано.

Теперь нам надо записать условие на о том, что подгруппа B является базисной. Для этого введем обозначения.

выделяет пары инволюций (1, 1 ), которым соответствуют прямые суммы циклических групп порядка, не превосходящего ord(G ).

M axRest (1, 1 ) Rest (1, 1 ) выделяет пары инволюций (1, 1 ), которым соответствуют максимальные прямые суммы циклических групп порядка, не превосходящего ord(G ).

Лемма 5.5. Для автоморфизма формула IsBase() 0 Extreme(0 ) (, ) (, ) истинна тогда и только тогда, когда подгруппа B базисная.

Доказательство. Условие IsBase() означает, что любое ограничение порядком ord (0 ) подгруппы B является максимальным ord (0 )ограниченным слагаемым группы G. Утверждение леммы следует из теоремы 24.

5.3 Выделение формульных множеств в базисной Для того, чтобы пользоваться теоремой Шелаха для случая неразложимых прямых слагаемых базисной подгруппы B, нужно интерпретировать отображения множества экстремальных инволюций из B в себя.

Для этого по отображению f построим согласно предыдущему параграфу два автоморфизма f1 и f2, соответствующие базисной подгруппе B, и положим Композиция отображений очевидным образом выражается через последнюю формулу.

Теорема 37. Существует формула (... ), удовлетворяющая следующему условию. Пусть {fi }iµ множество элементов из. Тогда можно найти вектор g такой, что формула (f, g) истинна в тогда и только тогда, когда f = fi для некоторого i µ.

Pages: |

| 2 |

Главная >> Диссертации - все темы

[ СКАЧАТЬ ОРИГИНАЛ ДОКУМЕНТА .pdf ]

«ХУСАИНОВ Радмир Расимович ОБОСНОВАНИЕ КОМБИНИРОВАННОЙ ТЕХНОЛОГИИ ПОВЫШЕНИЯ НЕФТЕОТДАЧИ ПЛАСТОВ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПОВЕРХНОСТНО-АКТИВНЫХ ВЕЩЕСТВ И ПЛАЗМЕННОИМПУЛЬСНОЙ ТЕХНОЛОГИИ Специальность 25.00.17 – Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений ДИССЕРТАЦИЯ на...»

«АЛЮКОВ Сергей Викторович НАУЧНЫЕ ОСНОВЫ ИНЕРЦИОННЫХБЕССТУПЕНЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ ПОВЫШЕННОЙ НАГРУЗОЧНОЙ СПОСОБНОСТИ 05.02.02 Машиноведение, системы приводов и детали машин диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук...»

«Омельченко Галина Георгиевна ГИПЕРГРАФОВЫЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель доктор физ.-мат.наук, профессор В.А. Перепелица Черкесск - Содержание ВВЕДЕНИЕ...»

«Соловьева Татьяна Михайловна ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА ЭФФЕКТИВНЫХ МЕТОДИК ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО КОНТРОЛЯ МЕТОДОМ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 05.11.15 – Метрология и метрологическое обеспечение Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук...»

«Буреломова Анастасия Сергеевна СОЦИАЛЬНО-ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ЦЕННОСТЕЙ СОВРЕМЕННЫХ ПОДРОСТКОВ 19.00.05 – Социальная психология (психологические наук и) Диссертация на соискание ученой степени кандидата психологических наук Научный руководитель : доктор психологических наук, профессор, академик РАО Собкин В.С. Москва – 2013 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ Глава 1. Социально-психологические особенности ценностных...»

«ЗАКЛЮЧЕНИЕ ДИССЕРТАЦИОЛННОГО СОВЕТА Д 212.198.06 НА БАЗЕ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ В СООТВЕТСТВИИ С ПРИКАЗОМ МИНОБРНАУКИ РОССИИ №428/НК ОТ 12 АВГУСТА 2013 Г. ПО ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА НАУК, аттестационное дело №_ решение диссертационного совета от 16 июня 2014 г., протокол № 8 О присуждении САМБУР МАРИНЕ ВЛАДИМИРОВНЕ, ГР. РФ степени...»

«Мельникова Инна Ивановна Духовная культура Ставрополья XIX – XX вв. (на примере фольклорных традиций) Специальность 07.00.02 – Отечественная история Диссертация на соискание ученой степени кандидата исторических наук Научный руководитель – доктор исторических наук, профессор Асриянц Г. Г. Ставрополь - 2003 2 Содержание Введение..с. 3-39 Глава 1. Исторические предпосылки развития духовных традиций Ставропольской губернии..с. 40- 1.1...»

«Федотова Наталья Анатольевна УДК 621.65 ВЗАИМОСВЯЗЬ ФОРМЫ МЕРИДИАННОЙ ПРОЕКЦИИ РАБОЧЕГО КОЛЕСА ЛОПАСТНОГО НАСОСА И МОМЕНТА СКОРОСТИ ПОТОКА ПЕРЕД НИМ 05.05.17 – Гидравлические машины и гидропневмоагрегаты Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук Научный руководитель Гусак Александр Григорьевич кандидат технических наук Сумы СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ РАЗДЕЛ 1 СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА, АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ 1.1. Обзор...»

«УДК 612.821.6; 612.825 НОВИКОВА Маргарита Робертовна РОЛЬ ОРБИТО-ФРОНТАЛЬНОЙ КОРЫ И ГИППОКАМПА В АДАПТИВНО-КОМПЕНСАТОРНЫХ ПРОЦЕССАХ ПРИ ПОРАЖЕНИИ СТВОЛА МОЗГА КРЫС Специальность 03.00.13 Физиология Биологические наук и Диссертация на соискание ученой степени кандидата биологических наук Научные руководители: Д.б.н., проф. В.П.Подачин Д.б.н. Е.В.Шарова Москва – СОДЕРЖАНИЕ: Стр. ОГЛАВЛЕНИЕ.. ВВЕДЕНИЕ.. ГЛАВА 1....»

«КРЫЛОВ ИГОРЬ БОРИСОВИЧ Окислительное C-O сочетание алкиларенов, -дикарбонильных соединений и их аналогов с оксимами, N-гидроксиимидами и N-гидроксиамидами 02.00.03 – Органическая химия Диссертация на соискание ученой степени кандидата химических наук Научный руководитель : д.х.н., Терентьев А.О. Москва – ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ОКИСЛИТЕЛЬНОЕ...»

«ШАБАЛОВ Михаил Юрьевич СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ОРГАНИЗАЦИОННОЭКОНОМИЧЕСКОГО МЕХАНИЗМА РАЦИОНАЛЬНОГО ОБРАЩЕНИЯ С МУНИЦИПАЛЬНЫМИ ТВЕРДЫМИ ОТХОДАМИ Специальность 08.00.05 – Экономика и управление народным хозяйством (экономика природопользования) ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой...»

«ТУРКИНА ОЛЬГА ВАЛЕНТИНОВНА МЕТОДЫ ОЦЕНКИ И МЕХАНИЗМЫ СГЛАЖИВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ДИСПРОПОРЦИЙ В СОЦИАЛЬНОЭКОНОМИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ РЕГИОНОВ (НА ПРИМЕРЕ РЕГИОНОВ ЮГА РОССИИ) Специальность 08.00.05 - Экономика и управление народным хозяйством (региональная экономика) ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата экономических наук Научный...»

«АБРОСИМОВА Светлана Борисовна СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МЕТОДОВ СЕЛЕКЦИИ КАРТОФЕЛЯ НА УСТОЙЧИВОСТЬ К ЗОЛОТИСТОЙ ЦИСТООБРАЗУЮЩЕЙ НЕМАТОДЕ (GLOBODERA ROSTOCHIENSIS (WOLL.) Специальность: 06.01.05 – селекция и семеноводство сельскохозяйственных растений ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени кандидата...»

«КРЮЧКОВА НАТАЛЬЯ ДМИТРИЕВНА ОБРАЗ ЖИЗНИ БРИТАНСКОЙ ЭЛИТЫ В ТРЕТЬЕЙ ЧЕТВЕРТИ XIX ВЕКА Специальность 07.00.03. – Всеобщая история Диссертация на соискание ученой степени кандидата исторических наук Научный руководитель : доктор исторических наук профессор Аникеев А.А. Ставрополь – 2004 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение.. Глава I. Изменение положения британской элиты в третьей четверти XIX в. §1. Распределение...»

«УДК 539.12.04 Курилик Александр Сергеевич Определение атомного номера вещества объектов по ослаблению пучков фотонов с энергиями до 10 МэВ Специальность 01.04.16 физика атомного ядра и элементарных частиц ДИССЕРТАЦИЯ на...»

«Мухаммед Тауфик Ахмед Каид МОРФОБИОЛОГИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ГЕНОТИПОВ АЛЛОЦИТОПЛАЗМАТИЧЕСКОЙ ЯРОВОЙ ПШЕНИЦЫ, ОТОБРАННЫХ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ МОЛЕКУЛЯРНОГО МАРКИРОВАНИЯ И УРОВНЮ ИХ СТРЕССТОЛЕРАНТНОСТИ К МЕТЕОТРОПНЫМ РИСКАМ Специальность: 03.02.07 – генетика; 06.01.05 – селекция и семеноводство Диссертация на соискание ученой степени кандидата биологических наук Научный руководитель кандидат биологических наук доцент О.Г.Семенов Москва - ОГЛАВЛЕНИЕ...»

«ВОРОБЬЕВА Ольга Вадимовна СРАВНИТЕЛЬНЫЙ И ИСТОРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕТОДИЧЕСКОГО ПРОГРЕССА В АЛЛЕРГОЛОГИИ: АЛЛЕРГЕН-СПЕЦИФИЧЕСКАЯ ИММУНОТЕРАПИЯ 14.03.09 – клиническая иммунология, аллергология Диссертация на соискание ученой степени кандидата медицинских наук Научный руководитель : доктор медицинских наук, профессор, член-корреспондент...»

«ИЗ ФОНДОВ РОССИЙСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННОЙ БИБЛИОТЕКИ Гениатулина, Ирина Анатольевна Улучшение условий и охраны труда работников животноводства и птицеводства путем разработки и внедрения озонаторных установок Москва Российская государственная библиотека diss.rsl.ru 2006 Гениатулина, Ирина Анатольевна. Улучшение условий и охраны труда работников животноводства и птицеводства путем разработки и внедрения озонаторных установок [Электронный ресурс] : Дис. . канд. техн. наук...»

«Сушко Ольга Петровна Прогнозирование ценовой динамики на целлюлозно-бумажную продукцию российских и мировых производителей Специальность 08.00.05. – Экономика и управление народным хозяйством: (экономика, организация и управление предприятиями, отраслями, комплексами - промышленность) Диссертация на соискание ученой степени кандидата экономических наук Научный руководитель – доктор экономических наук,...»

наверх

<< ГЛАВНАЯ | КОНТАКТЫ

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА (Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
(Авторефераты, диссертации, методички, учебные программы, монографии)