Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 517.982.256

515.124.4

Беднов Борислав Борисович

Кратчайшие сети в банаховых пространствах

01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный анализ диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, доцент П.А. Бородин Москва 2014 Содержание Введение.................................................................. Глава I. Кратчайшие сети и минимальные заполнения.......... §1. Существование кратчайших сетей................................. §2. Пространства со свойством 3.2.I.P.................................. §3. Пространства, реализующие минимальные заполнения............ Глава II. Сети типа звезды........................................... §1. Минимальные заполнения типа звезды............................. §2. Характеризация пространства L1 в терминах точек Штейнера.... §3. Точки Штейнера в пространстве C................................. §4. Некоторые дополнения............................................. Глава III. N антипроксиминальные множества................... §1. Вспомогательные результаты....................................... §2. Пространства C..................................................... §3. Пространства L1.................................................... Список литературы.................................................... Введение Диссертация посвящена вопросам геометрии банаховых пространств, связанным с понятиями кратчайшей сети, минимального заполнения, точек Штейнера (и соответствующих им кратчайших сетей типа звезды) для конечных подмножеств этих пространств. В работе исследуются существование кратчайшей сети, существование и единственность точки Штейнера, реализуемость минимальных заполнений и минимальных заполнений типа звезды в общих банаховых и конкретных функциональных пространствах, а также существование элемента наилучшего nприближения.

Пусть (X, ) метрическое пространство и G = (V, E) связный граф со множеством вершин V и множеством ребер E. Отображение : V X называется сетью в X, параметризованной графом G, или сетью типа G.

Вершинами сети называются точки (v), v V, ребрами сети называются пары (v), (w) при условии, что пара v, w соединена ребром в графе G.

Длиной ребра (v)(w) называется число ((v), (w)), а длиной || сети сумма длин всех ее ребер. Если M X конечное множество и M (V ), то говорят, что сеть соединяет (или затягивает) множество M. Множество M называется границей сети.

Число |smt|(M, X) = inf{|| : сеть соединяет M} называется длиной кратчайшей сети для M в X, а smt(M, X) = { : сеть в X, соединяющая M, || = |smt|(M, X)} есть (возможно, пустое) множество кратчайших сетей для M в X.

Теория кратчайших сетей (и более общо, экстремальных сетей) составляет обширную область метрической геометрии. Теорией кратчайших сетей интересовался Гаусс: в письме к Шумахеру [42] он задал вопрос о том, как построить кратчайшую систему дорог, соединяющих четыре города. Общая задача о поиске кратчайшей сети (то есть связного графа минимальной длины), соединяющей заданное конечное множество точек плоскости, была поставлена Ярником и Кесслером [48] в 1934 году. В книге Куранта и Роббинса [18] эта задача называется проблемой Штейнера. Сейчас теория экстремальных сетей в метрических пространствах развивается в нашей стране благодаря исследованиям, в основном, А.О. Иванова, А.А. Тужилина и их учеников. Наиболее полно теория кратчайших сетей изложена в работах [31], [46], [47], [12].

Типы связных графов, задающих кратчайшие сети, удовлетворяют достаточно жестким условиям, сформулированным в следующей хорошо известной лемме.

Лемма А. Пусть Mn n-точечное множество в метрическом пространстве X. При поиске графа, параметризующего кратчайшую сеть smt(Mn, X), достаточно рассматривать деревья, которые имеют не более n 2 дополнительных (отличных от прообразов точек из Mn ) вершин, причем каждая из этих дополнительных вершин имеет степень не меньше 3.

Доказательство. Рассмотрим сеть, соединяющую Mn в X. Пусть в графе G = (V, E), параметризующем, есть цикл. Рассмотрим граф G, полученный из G удалением произвольного ребра из этого цикла. Множество вершин и связность G как у G. Тогда сеть, параметризованная графом G, соединяет Mn и имеет длину меньше длины.

Рассмотрим дополнительную вершину t V. Если степень её равна 1, то построим граф G из G удалением вершины t и соответствующего ей ребра.

Длина также меньше длины. Если же степень дополнительной вершины t равна 2, то из G удалим t с соответствующими ей двумя рёбрами tx1, tx и добавим ребро x1x2. Получим граф G и соответствующую ему сеть с длиной не больше (по неравенству треугольника), чем у.

Рассмотрим теперь дерево G = (V, E), параметризующее сеть, причём Mn (V ) и степень каждой дополнительной вершины графа G не менее 3.

Пусть множество V состоит из n + N точек (то есть в графе G ровно N дополнительных вершин), а множество E состоит из p элементов. Так как G дерево, то p = n + N 1. Так как из каждой дополнительной вершины выходит не менее трёх рёбер, а из остальных выходит хотя бы по одному ребру, то количество рёбер в G не меньше (3N + n)/2. Следовательно, p = n + N 1 (3N + n)/2, что эквивалентно условию N n 2.

Таким образом, для любой сети, соединяющей Mn, найдётся сеть меньшей или равной длины, также соединяющая Mn, со следующими свойствами:

параметризована деревом G; каждая дополнительная вершина в G имеет степень не меньше 3; дополнительных вершин в G не более n 2.

Лемма доказана.

Из леммы A следует, что граф, параметризующий кратчайшую сеть для nточечного множества, можно искать среди графов конечного числа различных типов. Действительно, число топологически различных деревьев с не более чем n + N 2n 2 вершинами конечно.

В банаховом пространстве (X, · ) сети можно представлять себе как связные конечные объединения отрезков, соединяющих точки этого пространства, то есть как связные графы в X с ребрами–отрезками.

Для трехточечных множеств M3 кратчайшая сеть в силу леммы A состоит из трех (возможно, вырожденных) отрезков, соединяющих точки из M3 с их точкой Штейнера, то есть точкой, сумма расстояний от которой до точек из M3 минимальна.

В дальнейшем нам понадобится общее определение: для заданного набора M = {x1,..., xn} X множество точек Штейнера (в англоязычной литерамедиан) st(M, X) состоит из таких точек s X, для которых туре В случае гильбертова пространства X = H точка Штейнера s(x1, x2, x3) существует и единственна (см., например, [18, глава 7, § 5]): она лежит в плоскости точек x1, x2, x3 и либо совпадает с одной из них (если в треугольнике x1x2x3 есть угол, не меньший 120), либо совпадает с точкой Торричелли (из которой все стороны треугольника видны под углом 120).

В широком классе метрических пространств кратчайшая сеть существует для любого набора точек. В книге [47, глава 2, § 2] приведено доказательство существования кратчайшей сети на полном римановом многообразии, частным случаем которого является евклидова плоскость (доказательство для плоскости есть также в [20, приложение Б]). Некоторые результаты для метрических пространств имеются в [25, глава 4, § 5].

В бесконечномерном банаховом пространстве X кратчайшие сети могут не существовать уже для трехточечных множеств M3 другими словами, множества smt(M3, X) и st(M3, X) могут быть пустыми. Первый пример таких X и M3 построил А.Л. Гаркави [8] в 1974 г.

Имеются и другие примеры [60, 27, 56, 4]. Л. Веселы [60] доказал, что всякое нерефлексивное банахово пространство X можно так эквивалентно перенормировать, что в новой норме некоторая тройка M3 X не затягивается кратчайшей сетью. Конструкция новой нормы у Л. Веселы основана на идее С.В. Конягина [17]. В.М. Кадец [49], не зная о работе Веселы, доказал этот результат иным способом. Наконец, Н.П. Стрелкова в работе [64] для всякого n 3 построила пример банахова пространства X и n-точечного множества Mn X, для которых множество smt(Mn, X) кратчайших сетей пусто. Построение Стрелковой основывается на примере из [4], для которого свойство несуществования точки Штейнера приводимых троек x1, x2, x устойчиво: для любых троек элементов x1, x2, x3, достаточно близких по норме к x1, x2, x3 соответственно, точка Штейнера также не существует. Пример в [8] также обладает этим свойством устойчивости.

В I главе диссертации доказывается, что во всяком банаховом пространстве X, 1дополняемом в своем втором сопряженном (в частности, в любом сопряжённом пространстве, а также в любом пространстве L1 ) множество smt(M, X) непусто для всякого конечного M X.

Недавно в работе А.О. Иванова и А.А. Тужилина [13] наметилось новое направление теории кратчайших сетей, связанное с введенным ими понятием минимального заполнения.

Пусть (M, ) конечное метрическое пространство. Число где inmum берется по всем изометричным вложениям пространства M в различные метрические пространства Y, называется длиной минимального заполнения пространства M, а сети элементы множества mf(M) = {smt((M), Y ) : |smt|((M), Y ) = |mf|(M)} называются минимальными заполнениями пространства M.

Для всякого конечного множества M в метрическом пространстве (X, ), рассматриваемого как метрическое пространство с той же метрикой, выполнено очевидное неравенство |smt|(M, X) |mf|(M).

Отметим, что определение минимального заполнения аналогично определению минимального поперечника, введённому Р.С. Исмагиловым [15].

В отличие от кратчайших сетей, минимальные заполнения всегда существуют [13], то есть mf(M) непусто для всякого конечного метрического пространства M.

ное заполнение можно получить [13] в четырехточечном расширении ({x1, x2, x3, s}, ), где (i = 1, 2, 3, {i, j, k} = {1, 2, 3}) в виде сети–дерева с ребрами sx1, sx2 и sx3.

При этом где P (x1, x2, x3) периметр треугольника x1x2x3.

Для четырехточечного пространства M4 = ({x1, x2, x3, x4}, ) минимальное заполнение имеет длину где max(M4 ) и min(M4 ) соответственно максимальная и минимальная из сумм (x1, x2) + (x3, x4), (x1, x3) + (x2, x4), (x1, x4) + (x2, x3), и может быть реализовано сетью в некотором не более чем 6точечном расширении M4 [13].

Для произвольных конечных метрических пространств M величина |mf|(M) как функция расстояний между точками из M может быть вычислена по некоторой переборной формуле, полученной А.Ю. Ереминым [11].

Будем говорить, что метрическое пространство (X, ) реализует минимальное заполнение для своего конечного подмножества M, если |smt|(M, X) = |mf|(M) и множество smt(M, X) непусто.

А.О. Иванов и А.А. Тужилин поставили [24] задачу об описании всех метрических пространств, реализующих минимальные заполнения для всех своих конечных подмножеств, и вместе со своими учениками [13, 14] привели нетривиальные примеры таких пространств. В частности, З.Н. Овсянников [14] доказал, что таким пространством является пространn ство l для всякого натурального n (n-мерное действительное пространство с нормой x = max{|x1 |,..., |xn|}), а также пространство l ограниченных последовательностей.

В случае банаховых пространств эта задача полностью решается в главе I диссертации. Именно, оказалось, что банахово пространство реализует минимальные заполнения для всех своих конечных подмножеств в точности тогда, когда оно обладает так называемым свойством 4.2.I.P. (предуально к L1, является пространством Линденштраусса).

Напомним необходимые сведения из геометрии банаховых пространств.

Пусть n 3 натуральное число. Говорят, что банахово пространство X обладает свойством n.2.I.P. (n.2 Intersection Property), если всякие n попарно пересекающихся замкнутых шаров в X имеют непустое пересечение.

Теорема А (Гротендик [43], Линденштраусс [54], см. также [53]). Для действительного банахова пространства X следующие свойства эквивалентны:

(1) X обладает свойством n.2.I.P. для всякого n 3;

(2) X обладает свойством 4.2.I.P.;

(3) X изометрически изоморфно L1(µ) = L1 (E,, µ) для некоторого множества E, некоторой -алгебры подмножеств E и некоторой аддитивной меры µ, определенной на ;

(4) X 1-дополняемо в любом содержащем его банаховом пространстве Z (то есть существует линейный проектор P : Z X нормы 1).

Пространства, удовлетворяющие условиям теоремы A, называются предуальными к L1 или пространствами Линденштраусса. К этому классу пространств относятся все пространства C(Q) действительнозначных функций, непрерывных на (хаусдорфовом) компакте Q, пространства c0 (E), l и многие другие. Пространство размерности n предуально к L1 тогда и только тогда, когда оно изометрически изоморфно l.

Отметим, что класс предуальных к L1 пространств уже известен как описывающий экстремальное геометрическое свойство.

Теорема B (Рао [58]). Действительное банахово пространство X предуально к L1 тогда и только тогда, когда для всякого конечного множества M X его чебышевский радиус равен половине диаметра M.

Нетрудно видеть, что для всякого ограниченного множества в произвольном банаховом пространстве X имеет место неравенство rC (M) diam(M)/2. При этом в [58] показано, что чебышевский центр (точка e, для которой supxM xe = rC (M)) в предуальном к L1 пространстве существует для всякого конечного множества M, то есть предуальные к L1 пространства и только они реализуют ”минимальные заполнения” всех своих конечных подмножеств в смысле чебышевских центров.

Во II главе диссертации доказывается аналог теоремы B, в котором вместо чебышевских центров фигурируют точки Штейнера. Приведем необходимые определения.

Помимо общих минимальных заполнений, в работе [13] вводятся еще так называемые параметрические минимальные заполнения конечных метрических пространств (M, ), в определении которых изометрично вложенное пространство (M) соединяется в пространстве Y кратчайшей сетью заданного типа. Один из таких типов, специально рассматриваемый в [13], получил название звезды: рассматриваемые сети параметризуются графами–деревьями, в которых одна вершина соединена со всеми остальными. Дадим точное определение в терминах точек Штейнера.

Число где inmum берется по всем изометричным вложениям пространства M в различные метрические пространства Y, называется длиной минимального заполнения типа звезды множества M.

Для трехточечных метрических пространств M3 величина |st|(M3 ) совпадает с |mf|(M3) и равна полупериметру треугольника с вершинами из M3.

Для четырехточечных метрических пространств M4 нетрудно показать, что |st|(M4) совпадает с определенной в формуле (0.2) величиной max(M4 ).

Будем говорить, что метрическое пространство (X, ) реализует минимальное заполнение типа звезды для своего конечного подмножества M, если |st|(M, X) = |st|(M) и множество st(M, X) непусто.

Теперь можно сформулировать доказываемый во II главе аналог теоремы B: банахово пространство реализует минимальные заполнения типа звезды тогда и только тогда, когда оно предуально к L1.

Остальные результаты II главы посвящены точкам Штейнера (или, что то же, кратчайшим сетям типа звезды) в пространствах L1 и C.

В пространстве L1 (M,, µ) действительнозначных функций, суммируемых на множестве M по мере µ, определенной на сигма-алгебре подмножеств M, точки Штейнера описываются достаточно просто. Для трех функций f1, f2, f3 из этого пространства точка Штейнера s существует, единственна и почти в каждой точке t M значение s(t) равно среднему из чисел f1(t), f2(t), f3(t). При этом выполнено равенство Нетрудно заметить, что в любом банаховом пространстве для любых элементов x1, x2, x3 и любой их точки Штейнера s = s(x1, x2, x3) верно неравенxk s 1 ( x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ).

Таким образом, пространство L1 реализует минимальные заполнения (они же минимальные заполнения типа звезды) для всех своих трехточечных множеств (см. формулу (0.1) выше).

Как показано во II главе, это свойство вместе со свойством единственности точки Штейнера s(f1, f2, f3) полностью характеризует пространство L1 среди всех банаховых пространств.

Отметим, что это не первый результат, в котором пространство L1 характеризуется во ”внутренне–метрических” терминах. Например, справедлива Теорема C (Лима [53, теорема 3.10]). Действительное банахово пространство X изометрично пространству L1 тогда и только тогда, X обладает R4свойством, то есть для любых x1, x2, x3 X существуют такие uij X, 1 i < j 4, что Отметим также, что в терминах точек Штейнера были охарактеризованы гильбертовы пространства.

Теорема D (Бенитез, Фернандез, Сориано [28]). Действительное банахово пространство X размерности не меньше 3 является гильбертовым тогда и только тогда, когда выпуклая оболочка любых трёх точек из X содержит их точку Штейнера.

Кроме того, во II главе диссертации приводится описание множеств точек Штейнера для троек точек в пространстве непрерывных функций и изучаются свойства этих множеств.

Наряду с точками Штейнера можно (по аналогии с чебышевскими центрами) рассматривать и относительные точки Штейнера, когда для заданных точек x1,..., xn банахова пространства X точка s, минимизирующая сумму x1 s + · · · + xn s, ищется не во всем пространстве X, а в заданном множестве M X. Такие точки s составляют так называемую метрическую n-проекцию PM (x1,..., xn) точек x1,..., xn на множество M.

Исследование свойств метрической n-проекции относительно новый раздел теории приближений в нормированных пространствах [5]. В частности, в [5] поставлен вопрос об исследовании nантипроксиминальных множеств.

положим (x1,..., xn, M) = inf zM i= Непустое множество M назовём nантипроксиминальным, если для любых таких x1,..., xn X, что (x1,..., xn, M) > (x1,..., xn, X), выполнено PM (x1,..., xn) \ {xi}n =.

При n = 1 это определение дает обычные антипроксиминальные множества (то есть такие множества M X, что для любой точки x X \ M во множестве M нет точки, ближайшей к x), исследование которых составляет заметную область в геометрической теории приближений.

Кли [51] сформулировал вопрос о существовании в банаховом пространстве выпуклого замкнутого ограниченного антипроксиминального множества. Антипроксиминальные множества начал исследовать Зингер в книге [59, глава 1, § 2 и Appendix 1, § 2]. Он называл такие множества "very nonproximinal". Пространство X содержит выпуклое замкнутое антипроксиминальное множество M тогда и только тогда, когда оно не рефлексивно (M ядро функционала, не достигающего своей нормы). Холмс [45, § 30] ввёл термин "антипроксиминальное множество". Эдельштейн [37] доказал, что в сепарабельном сопряжённом пространстве выпуклых замкнутых ограниченных антипроксиминальных множеств нет. Эдельштейн и Томпсон [39] построили первое выпуклое замкнутое ограниченное антипроксиминальное тело (в пространстве c0). Кобзаш [16], [33], [34] привёл примеры таких тел в пространствах, изоморфных c0, и доказал, что если измеримое пространство (E,, µ) содержит атом относительно меры µ, то в пространстве L1 (E,, µ), для которого сопряжённое пространство канонически изоморфно L (E,, µ), выпуклых замкнутых ограниченных антипроксиминальных множеств нет [32].

Борвейн [29], Эдельштейн [38] и Фелпс [57] доказали отсутствие выпуклых замкнутых ограниченных множеств в пространствах X со свойством РадонаНикодима. Флорет [40] доказал несуществование таких множеств в пространствах X = X1 X2 с нормой x1 + x2 = x1 + x2, где рефлексивное пространство X2 = {0}. В.П. Фонф [22] построил выпуклые замкнутые ограниченные антипроксиминальные тела в широком классе пространств непрерывных функций и доказал [23], что произвольное бесконечномерное банахово пространство можно так эквивалентно перенормировать, что выпуклых замкнутых ограниченных антипроксиминальных множеств в новой норме существовать не будет. В.С. Балаганский [1] построил пример такого множества в бесконечномерном пространстве C(Q) для произвольного топологического хаусдорфового пространства Q, а также в некоторых пространствах Гротендика [2]. Борвейн, Хименез-Севилла и Морено [30] доказали, что в пространстве X = Y c0 с нормой x = max{ y, z } есть выпуклое замкнутое ограниченное антипроксиминальное тело. Теория антипроксиминальных множеств развивалась и в других направлениях. Подробнее см. обзор [35].

Одна из самых интересных нерешённых задач теории антипроксиминальных множеств формулируется так: существует ли выпуклое замкнутое ограниченное антипроксиминальное тело в L1[0, 1]?

В главе III диссертации исследуется вопрос о существовании выпуклых замкнутых nантипроксиминальных множеств в пространствах непрерывных функций и суммируемых функций.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы из 66 наименований. Общий объем диссертации страниц. В каждой главе принята сквозная нумерация теорем, лемм, примеров и формул.

Перейдем к обзору результатов по главам.

В I главе исследуется вопрос существования кратчайших сетей и минимальных заполнений для конечных множеств в банаховых пространствах.

Теорема 1.1. В банаховом пространстве X, для которого существует проектор P : X X нормы 1 (в частности, в любом сопряжённом пространстве или в пространстве L1 [36]), для любого натурального n и для любых точек x1,..., xn существует соединяющая их кратчайшая сеть.

Оказывается, что пространства со свойством 3.2.I.P. и только они реализуют минимальные заполнения для произвольной тройки своих элементов.

Далее m[a, b] обозначает метрический отрезок с концами a и b в банаховом пространстве X:

Теорема 1.2. Пусть X действительное банахово пространство. Следующие свойства эквивалентны:

(1) X реализует минимальное заполнение для всякой тройки своих точек;

(2) для всякой тройки a, b, c X множество st({a, b, c}, X) непусто и |st|({a, b, c}, X) = 2 P (a, b, c);

(3) для всякой тройки a, b, c X пересечение m[a, b] m[b, c] m[c, a] непусто;

(4) X обладает свойством 3.2.I.P.

При этом во всяком таком пространстве X для всякой тройки точек выполнено равенство st({a, b, c}, X) = m[a, b] m[b, c] m[c, a].

Приводится пример четырёх точек в пространстве l1 (обладающего свойством 3.2.I.P.), для которых минимальное заполнение не реализуется.

Следующая теорема характеризует банаховы пространства, реализующие минимальные заполнения для произвольного конечного множества своих элементов.

Теорема 1.4. Для действительного банахова пространства X следующие условия эквивалентны:

(1) X реализует минимальное заполнение для всякого конечного набора своих точек;

(2) X реализует минимальное заполнение для всякого набора из 4 своих точек;

(3) X предуально к L1.

Из этой теоремы следует, что в пространстве непрерывных функций для любого конечного набора точек существует кратчайшая сеть, которая является минимальным заполнением для этого набора.

В главе II исследуются свойства сетей типа звезды и множеств точек Штейнера в банаховых пространствах.

Теорема 2.1. Для действительного банахова пространства X следующие свойства эквивалентны:

(1) X реализует минимальное заполнение типа звезды для всякого конечного набора своих точек;

(2) X реализует минимальное заполнение типа звезды для всех троек и четверок своих точек;

(3) X предуально к L1.

Теорема 2.2. Для действительного банахова пространства X следующие условия эквивалентны:

(1) для всяких трех точек a, b, c X существует и единственна точка s = st(a, b, c), для которой выполнено равенство (2) для всяких трех точек a, b, c X пересечение m[a, b] m[b, c] m[c, a] одноточечно;

(3) X изометрически изоморфно некоторому пространству L1(µ).

В пространстве непрерывных функций на хаусдорфовом компакте K описано множество точек Штейнера для произвольной тройки функций, выявлены тройки функций, для которых точка Штейнера единственна, и построена липшицева выборка из отображения St, ставящего в соответствие тройке функций множество их точек Штейнера.

Глава III посвящена исследованию nантипроксиминальных множеств в пространствах непрерывных и суммируемых функций.

Теорема 3.1. Пусть M выпуклое замкнутое множество в пространстве c0, и n N. Множество M nантипроксиминально тогда и только тогда, когда M антипроксиминально.

на бесконечном хаусдорфовом компакте 1) антипроксиминальQ 2антипроксиминальности; 2) не существует выпуклых замкнутых ограниченных nантипроксиминальных тел при n = 3, 4,....

nантипроксиминальных множеств при n = 3, 4,....

Здесь c обозначает пространство сходящихся последовательностей с равномерной нормой.

Приведён пример, показывающий, что аналог теоремы 3.3 для произвольного пространства C[Q] неверен.

Теорема 3.4. Для пространства L1(E,, µ), сопряжённое к которому канонически изоморфно L (E,, µ), в частности, для пространства L1(E,, µ) с конечной мерой µ, верны следующие утверждения:

1) антипроксиминальность выпуклого замкнутого множества M эквивалентна его 2антипроксиминальности;

2) не существует выпуклого замкнутого nантипроксиминального множества при n = 3, 4... ;

3) если алгебра содержит хотя бы один атом относительно меры µ, то в пространстве L1 (E,, µ) нет выпуклых замкнутых ограниченных 2антипроксиминальных множеств.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [62], [63], [64], [65], [66], приведенных в конце списка литературы. Из работы [64] в диссертацию включены только результаты, доказанные автором без участия Н.П. Стрелковой. Все теоремы из [65] получены совместно с П.А. Бородиным и включены в диссертацию. В каждой из них автору принадлежит либо первая, либо вторая половина доказательства.

Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории приближений и граничным свойствам функций в МГУ под руководством профессора Е.П. Долженко, на семинаре по теории приближений в МГУ под руководством профессора И.Г. Царькова и доцента А.С. Кочурова, на семинаре по теории функций в МГУ под руководством академика РАН Б.С. Кашина, чл.корр. РАН С.В. Конягина, проф. Б.И. Голубова и проф. М.И. Дьяченко, на семинаре по геометрической теории приближений в МГУ под руководством доцента П.А. Бородина, на научном семинаре кафедры высшей математикик МФТИ под руководством профессора Е.С. Половинкина, на международной конференции Теория приближений, посвященной 90-летию со дня рождения С. Б. Стечкина (2010), на школе С.Б. Стечкина по теории функций в г.Миасс (2011, 2013) и на 17 Саратовской зимней школе Современные проблемы теории функций и их приложения (2014).

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю П.А. Бородину за постановку задач, их обсуждение и постоянную поддержку в работе.

Автор благодарен И.Г. Царькову, Б.С. Кашину, А.Р. Алимову, О.Н. Косухину за ценные замечания.

Глава I. Кратчайшие сети и минимальные заполнения §1. Существование кратчайших сетей линейное нормированное пространство, пространства X и X Пусть X первое и второе сопряжённые к X соответственно.

Напомним, что непустое множество T называется направленным, если на нём введена частичная упорядоченность, удовлетворяющая следующему условию: для всяких t, s T найдётся такое u T, что t u и s u.

Направленностью (см., например, [3, глава 1, §9]) в топологическом пространстве X называется набор элементов {xt}tT в X, индексируемых направленным множеством T.

Направленность {xt}tT называется поднаправленностью направленности {ys }sS, если есть такое отображение : T S, что xt = y(t) и для всякого s0 S найдётся t0 T с условием (t) s0 при всех t t0.

По определению, направленность {xt}tT в топологическом пространстве X сходится к элементу x X, если для всякого открытого множества U, содержащего x, найдётся такой индекс t0, что xt U для всех t T с условием Теорема 1.1. В банаховом пространстве X, для которого существует проектор P : X X нормы 1 (в частности, в любом сопряжённом пространстве или в пространстве L1 [36]), для любого натурального n и для любых точек x1,..., xn существует соединяющая их кратчайшая сеть.

Доказательство. Рассмотрим сети в пространстве X с границей x1,..., xn X. Заметим, что дополнительные вершины кратчайшей сети тром в нуле. Действительно, любая дополнительная вершина связной сети соединяется со всеми xi, i {1,..., n}, по ломаным, и если некоторая вершина al кратчайшей сети лежит вне шара B, то длина этой сети больше противоречит тому, что сеть является кратчайшей.

Фиксируем один тип сетей. На множестве S сетей данного типа в пространстве X X с границей x1,..., xn X введём частичный порядок:

1 2 тогда и только тогда, когда |1 | |2 |. Заметим, что любые две сети одного типа при таком упорядочивании сравнимы.

Пусть у сетей данного типа d дополнительных вершин и N рёбер. Сети s S данного типа поставим в соответствие элемент s = (a1,..., ad ) (X )d, состоящий из её дополнительных вершин. Множество S направлено, поэтому множество {s }sS является направленностью.

ется хаусдорфовым в *-слабой топологии, и замкнутый шар B d в этом пространстве *-слабо компактен по теореме Банаха-Алаоглу ([3, глава 6, §7]) как шар в пространстве, сопряжённом к (X )d. По теореме 1.9.10 из [3, глава 1, §9], всякая бесконечная направленность в (X )d имеет поднаправленность, сходящуюся (относительно -слабой топологии) к некоторому элементу из (X )d. Поэтому существует сходящаяся к = (a1,..., ad ) (X )d поднаправленность {gs }sSS {t }tS. Сеть данного типа с дополнительными вершинами a1,..., ad и границей x1,..., xn обозначим.

Докажем, что кратчайшая сеть данного типа, соединяющая точки x1,..., xn в X. Можно считать || > 0.

Рассмотрим произвольную дополнительную вершину ai сети s данного типа. Пусть из неё выходит ni рёбер к вершинам ai,..., ai i, xi,..., xii сети s, li + ki = ni. Занумеруем рёбра вершины ai в некотором порядке. Рассмотрим *-слабую окрестность точки. Здесь функционал fji X, fji = 1 при каждом i {1,..., d} и j {1,..., ni} выбирается так, что если ai соединена ребром с ak (тогда и ai соединена ребром с ak ), то |fji(ai ak )| > (1 ) ai ak, а если ai соединена рёбер, соединяющих ai с ak и xl соответственно. Тогда для элементов набора (a1,..., ad ) U выполнены следующие неравенства : ai ak |fji(ai ak )| = при соединении ребром вершин ai и ak и ai xl |fm (ai xl )| = |fm ((ai ai ) + (ai xl ))| |fm (ai xl )| (1 ) ai xl при соединении ребром вершин ai и xl.

Для сети данного типа, имеющей дополнительные вершины в точках )|| 2N. То есть для любого элемента (a1,..., ad ) U и соответствующей сети верно || (1 )|| 2N.

Пусть в направленности {t }tS есть элемент 1, соответствующая которому сеть 1 имеет длину меньше ||. Тогда (по определению поднаправленности) в {gs }sSS найдётся элемент, длина соответствующей которому сети не больше |1 |.

Рассмотрим и соответствующую ему сеть. Пусть || + = || при некотором > 0. Тогда найдётся такое > 0, что U (, ). Действительно, для каждого U (, ) верно неравенство || (1 )|| 2N, при некотором > 0 несовместное с равенством || + = ||.

По определению сходящейся направленности для указанного существуют такие элемент 0 = 0 () и соответствующая ему сеть 0, что все {gs }sS с условием || |0 | попадают в U (, ). Для 0 U (, ) выполнено неравенство |0 | (1 )|| 2N > || =, то есть || < |0 |, что влечёт U (, ).

Полученное противоречие доказывает отсутствие элемента 1 {t }tS, соответствующая которому сеть 1 имеет длину меньше.

Таким образом, в X существует кратчайшая сеть данного типа.

Подействовав на проектором P из условия, получим сеть в пространстве X с длиной, не превосходящей ||. Таким образом, в пространстве X для каждого типа есть кратчайшая сеть. В силу леммы A при поиске кратчайшей сети можно ограничиваться конечным числом различных типов, поэтому существует кратчайшая сеть.

Теорема доказана.

Пространства, предуальные к L1 (в частности, пространства непрерывных функций на хаусдорфовом компакте), не охватываются теоремой 1.1. Далее из теоремы 1.4 будет выведено, что в этих пространствах кратчайшая сеть также существует для любого конечного набора точек см. следствие 1.1.

§2. Пространства со свойством 3.2.I.P.

Напомним, что банахово пространство X обладает свойством 3.2.I.P., если всякие 3 попарно пересекающихся замкнутых шара в X имеют непустое пересечение.

Конечномерные банаховы пространства со свойством 3.2.I.P. полностью описаны в работе [44]: это пространства, получаемые из одномерных последовательным применением операций l1 - и l -суммирования (из пары пространств X и Y образуется прямая сумма X Y с нормой x + y или max{ x, y } соответственно). Единичные шары таких пространств называются многогранниками Ханнера.

Теорема 1.2. Пусть X действительное банахово пространство. Следующие свойства эквивалентны:

(1) X реализует минимальное заполнение для всякой тройки своих точек;

(2) для всякой тройки a, b, c X множество st({a, b, c}, X) непусто и |st|({a, b, c}, X) = 2 P (a, b, c);

(3) для всякой тройки a, b, c X пересечение m[a, b] m[b, c] m[c, a] непусто;

(4) X обладает свойством 3.2.I.P.

При этом во всяком таком пространстве X для всякой тройки точек выполнено равенство st({a, b, c}, X) = m[a, b] m[b, c] m[c, a].

Эквивалентность утверждений (3) и (4) фактически доказывалась в [53, Теорема 3.2].

Доказательство. Утверждение (1) = (2) следует из отмечавшихся выше (во Введении) структуры кратчайшей сети и формулы (0.1) длины минимального заполнения для трехточечных множеств.

(2) = (3). Если s st({a, b, c}, X) и sa + sb + sc = 1 P (a, b, c), то в каждом из неравенств sa + sb ab, sb + sc bc, sc + sa ca должно быть равенство, то есть s m[a, b]m[b, c] m[c, a].

(3) = (4). Пусть B(a, ra), B(b, rb), B(c, rc) три попарно пересекающихся шара в X. Возьмем какую-нибудь точку s m[a, b] m[b, c] m[c, a]. Сеть = [a, s] [b, s] [c, s] обладает тем свойством, что расстояние вдоль этой сети между любыми двумя ее точками x, y равно xy. Поэтому множества B(a, ra), B(b, rb) и B(c, rc) связны и попарно пересекаются. Следовательно (например, по теореме Хелли для графов), эти множества имеют общую точку, а значит, и исходные шары имеют общую точку.

(4) = (1). Пусть x1, x2, x3 X. Положим Поскольку ri + rj = xi xj, шары B(xi, ri) (i = 1, 2, 3) попарно пересекаются, а значит, имеют общую точку s. Длина сети 3 [xi, s] не превосходит r1 + r2 + r3 = 2 P (x1, x2, x3) = |mf|({x1, x2, x3}), то есть X реализует минимальное заполнение для {x1, x2, x3}.

Теорема доказана.

Теорема 1.3. Пусть действительное банахово пространство X обладает свойством 3.2.I.P. Тогда для всякого четырехточечного множества M4 X справедливо равенство где min(M4) определяется так же, как в (0.2).

Доказательство. Пусть > 0. Возьмем точку s X со свойxk s < |st|(M4, X) +. Без ограничения общности счиством k= таем, что min(M4) = s st({x1, x2, s}, X) и s st({x3, x4, s}, X). Тогда сеть, состоящая из отрезков [x1, s], [x2, s], [s, s], [s, s], [s, x3], [s, x4], соединяет M4 и имеет длину Отсюда в силу произвольности получаем знак ”” в формуле (1.1).

Пусть теперь сеть-дерево соединяет M4 в X, и || < |smt|(M4, X) +.

Возьмем на точку s так, чтобы она разбила на два поддерева 1 и 2, 1 2 = {s}, каждое из которых содержало бы ровно две точки из M4.

Пусть, скажем, 1 содержит xi и xj, а 2 содержит xl и xm. Тогда |smt|(M4, X) + > || = |1 | + |2 | |st| {xi, xj, s}, X + |st| {xl, xm, s}, X Отсюда в силу произвольности получаем знак ”” в (1.1).

Теорема доказана.

Из теоремы 1.3 и формулы (0.2) минимального заполнения для 4точечного метрического пространства следует, что банахово пространство X со свойством 3.2.I.P., вообще говоря, не реализует минимальные заполнения для четверок своих точек. Приведем соответствующий пример в пространстве l3, которое обладает свойством 3.2.I.P. (см. замечание в начале параграфа).

Пример 1.1. В пространстве l1 для множества имеет место равенство |smt|(M4, l1 ) = 5 |mf|(M4 ).

Доказательство. Все попарные расстояния в этом множестве M4 равны 2, поэтому по формуле (0.2) получаем |mf|(M4 ) = 2 (4+4) = 4. Множество st(M4, l1 ) состоит из всех точек (t1, t2, t3), для которых tj [0, 1], поэтому |st|(M4, l1 ) = 6, и по теореме 1.3 получаем |smt|(M4, l1 ) = 1 (6 + 4) = 5.

Доказательство окончено.

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), ( 3, 1, 3 ) и изометричной указанной в примере 1.1 четверке M4 (все попарные расстояния также равны 2), имеет место равенство |smt|(M4, l1 ) = |mf|(M4 ) = 4, то есть минимальное заполнение реализуется.

§3. Пространства, реализующие минимальные заполнения Банаховы пространства, обладающие свойством 3.2.I.P., составляют класс более широкий, чем класс предуальных к L1 пространств (см. теорему А во Введении). Типичные примеры пространств со свойством 3.2.I.P., не предуальных к L1 (то есть не обладающих свойством 4.2.I.P.) представляют собой различные виды пространств L1: L1 [0, 1] (пространство действительнозначn ных функций, интегрируемых по Лебегу на отрезке), l1 (n-мерное действительное пространство с нормой x = |x1| + · · · + |xn |) при n 3, l1 (пространство суммируемых последовательностей). Эта типичность проявляется в следующем утверждении, которое нам понадобится.

Теорема E (Лима [53, следствие 4.5]). Пусть действительное банахово пространство X обладает свойством 3.2.I.P., но не обладает свойством 4.2.I.P. Тогда для всякого > 0 найдётся линейное вложение A : l1 X, Кроме того, нам понадобится Теорема F ([26]). Всякое предуальное к L1 пространство X обладает следующим свойством: если a1,..., an X и замкнутые шары B (ai, ri) = Напомним, что банахово пространство реализует минимальное заполнение для своего конечного подмножества M, если M соединяется кратчайшей сетью в X и |smt|(M) = |mf|(M) (см. Введение).

Теорема 1.4. Для действительного банахова пространства X следующие условия эквивалентны:

(1) X реализует минимальное заполнение для всякого конечного набора своих точек;

(2) X реализует минимальное заполнение для всякого набора из 4 своих точек;

(3) X предуально к L1.

Доказательство. Утверждение (1) = (2) очевидно.

(2) = (3). Пространство X реализует минимальное заполнение для всякой тройки своих точек (всякую тройку можно считать четверкой с двумя склеенными точками). По теореме 1.2 пространство X обладает свойством 3.2.I.P.

Предположим, что X не обладает свойством 4.2.I.P. Тогда по теореме E для всякого > 0 найдется линейное вложение A : l1 X со свойствами и линейный проектор P : X A(l1 ) с P 1 +.

Возьмем в l1 4-точечное множество M4 из примера 1.1. По условию множество A(M4) соединяется в X кратчайшей сетью, длина которой || = |mf|(A(M4)) (1 + )|mf|(M4 ) (из формулы (0.2) и свойств оператора A). Тогда сеть P () затягивает A(M4) в A(l1 ) и имеет длину не более чем (1 + )|| (1 + )2|mf|(M4). В таком случае сеть A1(P ()), соединяющая M4 в самм l1, имеет длину также не больше чем (1 + )2|mf|(M4). Но и при (1 + )2 < получается противоречие.

(3) = (1). Пусть X предуально к L1. Докажем индукцией по n 3, что X реализует минимальные заполнения для всякого набора из n своих точек.

Для n = 3 это верно, поскольку X обладает свойством 3.2.I.P.

Пусть n 4, X реализует минимальное заполнение для всякого (n 1)точечного своего подмножества и M = {x1, x2,..., xn} X. Возьмем какое-нибудь минимальное заполнение 0 mf(M).

Нам понадобится Лемма 1.1 (о склейке метрических пространств). Пусть два метрических пространства (X1, 1 ) и (X2, 2) как множества имеют непустую общую часть X1 X2, на которой метрики 1 и 2 совпадают, причем X1 X полно относительно этой метрики. Тогда существует метрика на X1 X2, сужение которой на Xk совпадает с k, k = 1, 2.

Эта лемма без условия полноты X1 X2 и для полуметрик вместо метрик следует из упражнения 3.1.13 книги [6].

Искомая метрика на X1 X2 определяется так: (x1, x2) := k (x1, x2) при x1, x2 Xk (k = 1, 2) и при x1 X1 \ X2 и x2 X2 \ X1. Новые расстояния, определяемые этой формулой, положительны в силу полноты X1 X2, а неравенства треугольников для треугольников, содержащих эти новые расстояния, нетрудно проверить.

Продолжим доказательство теоремы.

По лемме 1.1 на X 0 можно так определить метрику, что все расстояния внутри X и внутри 0 сохранятся. Вложим полученное метрическое пространство X 0 изометрично в какое-нибудь универсальное банахово пространство C (см. например, [3, глава 1, § 2]). При этом X вкладывается линейно по теореме Мазура–Улама. По теореме А пространство X 1дополняемо в C, так что сеть 0 C можно спроектировать в сеть X, соединяющую множество M в X и имеющую ту же длину |mf|(M) (меньше длина сети уже не может стать).

На дереве возьмем точку p, разбивающую его на два дерева 1 и (1 2 = {p}), каждое из которых содержит не более n 2 точек из M.

Положим Mi = M i, i = 1, 2.

В пространстве X рассмотрим замкнутые шары с центрами xk M и p лежит в каждом из них), следовательно, по теореме F они имеют общую точку p X.

По индуктивному предположению X реализует mf(M1 {p}) в виде сети 1, длина которой равна |mf|(M1 {p}) |mf|(M1 {p}) = |1 | (поскольку все расстояния во множестве M1 {p } не больше соответствующих расстояний во множестве M1 {p}). Аналогично, X реализует сеть 2 mf(M2 {p}) и |2 | |2 |. Отсюда |1 2 | |1 2 | = || = |mf|(M), и, следовательно, X реализует минимальное заполнение для множества M.

Теорема доказана.

Следствие 1.1. В пространстве C(Q) действительнозначных функций, непрерывных на хаусдорфовом компакте Q, для любого конечного множества M C(Q) существует кратчайшая сеть.

Глава II. Сети типа звезды §1. Минимальные заполнения типа звезды Напомним (см. Введение), что банахово пространство X реализует минимальное заполнение типа звезды для конечного набора M своих точек, если в X существует точка Штейнера для M и |st|(M, X) = |st|(M).

Теорема 2.1. Для действительного банахова пространства X следующие свойства эквивалентны:

(1) X реализует минимальное заполнение типа звезды для всякого конечного набора своих точек;

(2) X реализует минимальное заполнение типа звезды для всех троек и четверок своих точек;

(3) X предуально к L1.

Эта теорема аналогична теореме B о чебышевских центрах (см. Введение).

Доказательство. Утверждение (1) = (2) очевидно.

(2) = (3). Пусть M4 = {a, b, c, d} X, s st(M4, X). Для четырехточечных метрических пространств M4 нетрудно показать, что |st|(M4 ) совпадает с определенной в формуле (0.2) величиной max(M4). По условию |st|(M4, X) = max(M4) = a b + c d (последнее равенство мем какие-нибудь s1 st({a, c, s}, X) и s2 st({b, d, s}, X). Тогда сеть [a, s1] [c, s1] [s1, s] [s, s2] [s2, b] [s2, d] соединяет M4 в X и имеет длину (первое равенство - в силу того, что X реализует минимальное заполнение типа звезды для всех троек). Таким образом, в силу формулы (0.2) X реализует минимальное заполнение для всякой четверки своих точек, и по теореме 1.4 X предуально к L1.

(3) = (1). Пусть X предуально к L1 и M = {x1,..., xn} произвольное конечное множество в X. Возьмем какое-нибудь минимальное заполнение 0 st(M) типа звезды.

По лемме 1.1 на X 0 можно так определить метрику, что все расстояния внутри X и внутри 0 сохранятся. Вложим метрическое пространство X 0 изометрично в какое-нибудь универсальное банахово пространство C.

При этом X вкладывается линейно по теореме Мазура–Улама. Пространство X 1-дополняемо в C, так что сеть 0 C можно спроектировать в сеть X, соединяющую M в X и имеющую ту же длину |st|(M). Сеть представляет собой объединение отрезков [xk, s], где s некоторая точка точку s в X, а значит, по теореме F они имеют общую точку s X. Сеть = n [xk, s ] типа звезды соединяет M в X и имеет длину не больше, чем xk s = |st|(M). Следовательно, X реализует минимальное заполнеk= ние типа звезды для M.

Теорема доказана.

§2. Характеризация пространства L1 в терминах точек Штейнера Среди действительных банаховых пространств, обладающих свойством 3.2.I.P., пространства L1 (µ) выделяется тем, что в каждом из них для всякой тройки точек точка Штейнера единственна. В самом деле, множество st({f1, f2, f3}, L1(E,, µ)) состоит из единственной функции s, средней для функций f1, f2, f3 (для почти всех t E значение s(t) является средним из значений f1 (t), f2 (t), f3 (t)). Оказывается, это свойство единственности точки Штейнера характеризует пространства L1 (µ) в классе пространств из теоремы 1.2.

Теорема 2.2. Для действительного банахова пространства X следующие условия эквивалентны:

(1) для всяких трех точек a, b, c X существует и единственна точка s = st(a, b, c), для которой выполнено равенство (2) для всяких трех точек a, b, c X пересечение m[a, b] m[b, c] m[c, a] одноточечно;

(3) X изометрически изоморфно некоторому пространству L1(µ).

Теорема 2.2 может быть (нетривиально) сведена к следствию 3.8 работы [53]. Мы приведем прямое Доказательство. Эквивалентность условий (1) и (2) доказывается так же, как в теореме 1.2. Импликация (3) = (1) уже отмечалась выше (перед теоремой).

Для доказательства (1) = (3) покажем, что при условии (1) пространство X удовлетворяет условиям следующего утверждения, характеризующего пространство L1 в классе банаховых решеток.

Теорема G (Какутани [50], см. также [55, гл. 1, § b]) Пусть X банахова решетка со свойством Тогда X изометрически изоморфно (с сохранением порядка) некоторому пространству L1(µ).

Для сведния теоремы 2.2 к теореме G надо сделать из нашего простране ства X банахову решетку, то есть ввести на X частичный порядок, удовлетворяющий аксиомам (см., например, [55, гл. 1, § a]):

c) для всяких x, y X существует точная верхняя грань x y (x существования x y вытекает и существование точной нижней грани x y, которая определяется аналогично и участвует в свойстве (2.1) в теореме G ;

d) из |x| |y| следует x y (здесь |x| := x (x)).

Кроме того, вводимый порядок должен удовлетворять условию (2.1) теоремы G.

Возьмем функционал f0 S(X0 ), грань J(f0) = {x : f0 (x) = 1}S(X) которого максимальна (то есть не существует такого функционала f0 S(X0 ), что его грань J(f ) содержит J(f0) как собственное подмножество; существование функционалов с максимальной гранью нетрудно доказать с помощью леммы Цорна).

Введем на X частичный порядок:

Для этого порядка аксиомы a) и b) банаховой решетки очевидно выполняются. Свойство (2.1) из теоремы G также выполнено: при x, y 0 (что слабее, чем x y = 0) имеем x + y f0(x + y) = f0(x) + f0(y) = x + y, что вместе с неравенством треугольника дает равенство x + y = x + y.

Осталось проверить аксиомы c) и d).

Лемма 2.1. Для всякого x X существует и единствен такой элемент x+, что x+ 0, x+ m[0, x] и Доказательство. Возьмем два элемента u, v m[0, x], u 0, v 0.

Пусть w = st(x, u+v, 0). Имеем w m[0, x] и w 0 (поскольку w m[0, u+v] Пусть w = st(x, u + v, u). Докажем, что w = w.

Во-первых, w m[x, u + v] в силу своего определения.

Во-вторых, откуда w m[0, x].

В-третьих, из w m[u, u + v] и u m[0, u + v] следует w m[0, u + v].

Итак, w m[x, u + v] m[0, x] m[0, u + v], то есть w = st(0, u + v, x) = w (именно здесь используется единственность точки Штейнера).

Из доказанного равенства w = w следует, что w m[u, u + v], откуда Аналогично доказывается, что w v.

Таким образом, w m[0, x], w 0, w u, w v. Следовательно, Это неравенство показывает, что всякая последовательность un X со свойствами un 0, un m[0, x], un p(x) фундаментальна и сходится к искомому элементу x+.

Лемма доказана.

Положим x = (x)+. Нетрудно видеть, что x 0 и x m[0, x], и что x имеет наибольшую норму среди всех векторов u со свойствами u 0, u m[0, x].

Лемма 2.2. Для всякого вектора x X справедливо равенство Доказательство. Пусть a = st(x+, x, x). Из a m[x, x] следует, что a x m[0, x], а из a m[x, x+] следует, что a x 0. Таким образом, Аналогично доказывается, что Отсюда так что в (2.2) и (2.3) имеем равенства.

лемме 2.1 получаем a x = x+, а поскольку еще a m[x+, x], имеем Лемма доказана.

Докажем теперь, что x = x+ + x для всякого x X.

Пусть для какого-то x = x+ + x + x0 имеем x0 = 0.

Возьмем произвольный элемент a 0 и положим v = st(x0, a, 0). Имеем v [0, a], откуда v 0. Из включения v m[0, x0] и леммы 2.2 получаем т.е. v + x+ [0, x]. Кроме того, v + x+ 0, так что по определению x+ имеем Поскольку v m[x0, a] и v = 0, имеем Аналогично доказывается, что для всякого a 0 справедливо равенство Из (2.4), в частности, следует, что единичный вектор s = x0/ x0 не лежит в грани J(f0) функционала f0 (иначе для a = x0 в (2.4) получим 0 = 2 x0 ).

Покажем, что вектор x0 (а значит, и вектор s) не лежит в замыкании линейного подпространства Действительно, (в первом равенстве использованы равенства (2.4) и (2.5)).

На линейном подпространстве определим функционал f1 равенством f1 (u + s) = f0 (u) +. Для всякого поскольку, например, при a b в силу (2.4) и (2.5) имеем Таким образом, норма функционала f1 в Y равна 1. Продолжив функционал f1 без увеличения нормы на все пространство X по теореме Хана–Банаха, получим функционал нормы 1, опорная грань которого на сфере S(X) содержит грань J(f0) и еще вектор s, что противоречит максимальности грани J(f0).

Итак, x = x+ + x для всякого x X.

Положим и проверим оставшиеся аксиомы c) и d) банаховой решетки (равенство |x| = x (x) для так определенных операций | · | и, очевидно, выполнено).

Имеем (последнее равенство по лемме 2.2), откуда следует справедливость аксиомы d:

Далее, если какой-то элемент z X удовлетворяет неравенствам z x, откуда zx + zy = f0 (zx)+(zy) f0 |xy| = |xy| = xy (последнее равенство в силу (2.6)), что вместе с неравенством треугольника дает равенство в (2.7), а значит, и равенство z = x y. Таким образом, определенный выше элемент x y действительно точная верхняя грань.

Теорема доказана.

§3. Точки Штейнера в пространстве C Пусть C[Q] пространство непрерывных функций на фаусдорфовом компакте Q. В этом параграфе описываются множества точек Штейнера для каждой тройки f1, f2, f3 C[Q]. Существование точек Штейнера для троек функций в пространстве C доказано в работе [61].

Напомним,что rba(Q) обозначает сопряженное к C[Q] линейное пространство, состоящее из регулярных ограниченных аддитивных функций (мер) множества, определенных на алгебре, порожденной замкнутыми множествами. Нормой меры µ rba(Q) является ее полная вариация [9, гл. 4, § 6].

Основным инструментом для исследования (относительных) точек Штейнера является следующая хорошо известная Лемма B ([21], [5]). Пусть Y замкнутое линейное подпространство банахова пространства X и x1,..., xn X. Элемент y0 Y принадлежит тогда и только тогда, когда найдутся такие функционалы f1,..., fn X, что 2) max fj = 1;

Последнее равенство означает, что либо fj = 1, либо xj = y0.

В [21] доказано более общее утверждение: вместо линейного подпространства рассматривается выпуклое множество Y, вместо суммы расстояний минимизируется сумма расстояний с неотрицательными весами. В то же время эта лемма является обобщением хорошо известного критерия элемента наилучшего приближения для случая n = 1 [59].

В случае Y = X в лемме B вместо PY (x1,..., xn) получается st(x1,..., xn), а условие 1) выглядит как j=1 fj = 0. Для пространства C[Q] сформулируем явно Лемма B. Пусть f1,..., fn C[Q]. Элемент g C[Q] принадлежит множеству st(f1,..., fn) тогда и только тогда, когда найдутся такие функционалы F1,..., Fn rba(Q), что 2) max Fj = 1;

Рассмотрим такие две необязательно непрерывные функции f и g, что f (t) g(t) для любого t Q. Напомним, что интервалом f ; g в C[Q] называется (см. [41], а также [7]) множество Теорема 2.3. Пусть f1, f2, f3 C[Q].

(1) Функция s st(f1, f2, f3) тогда и только тогда, когда для любых i, j {1, 2, 3}, i = j, найдется такая точка t = tij Q, что fi s и fj s достигают в t своих норм с противоположным знаком.

Доказательство. (1). Заметим, что st(f1, f2, f3) g = st(f1 g, f g, f3 g). Поэтому без ограничения общности считаем, что 0 st(f1, f2, f3).

Необходимость. При совпадении всех функций f1 = f2 = f3 единственная точка Штейнера совпадает с f1, поэтому 0 = s = f1, и утверждение (1) верно.

При совпадении двух функций f1 = f2 единственная точка Штейнера также совпадает с f1, ибо f3 s +2 f1 s f3 f1 + f1 s f3 f1, поэтому 0 = s = f1, и (1) верно.

При различных fi по лемме B найдутся такие F1, F2, F3 rba(Q), что max Fj = 1, F1 + F2 + F3 = 0, Fi(fi) = fi, i = 1, 2, 3. Пусть Fi = Fi+ + Fi разложение Хана меры Fi, A± носители Fi± соответственно. Если fi = 0, то функционал Fi достигает нормы на fi, откуда A+ {t Q : fi(t) = По крайней мере у двух функционалов из F1, F2, F3 норма равна 1 по лемме B (точка Штейнера может совпадать лишь с одной из функций).

Предположим, что Fi > 0 для любого i = 1, 2, 3. Пусть, например, для пары i = 1, j = 3 не выполнено условие теоремы, т.е. функции f1 и f3 не достигают одновременно своих норм с разными знаками ни в какой точке t Q. Следовательно, A+ A = и A A+ =.

Из того, что F1 = (F2 + F3), следует, что A A+ A+, к тому же и A A+ =, поэтому A A+, и аналогично A A+. Тогда A+ A A. Но, так как F2 = (F1 + F3), имеем A+ A A. Таким образом, A+ = A A. Аналогично A = A+ A+. Отсюда F2 = (F1 + F3 ), F2 = F1 + F3 > 1 (поскольку хотя бы одно из чисел F1 и F3 равно 1, а другое положительно), что противоречит неравенству F2 1.

Если же одно из чисел Fi = 0, скажем F1 = 0, то по лемме B имеем f1 = s = 0. Тогда F2 = F3. Возьмем точку t из общего носителя F2 и F3.

Пусть для определенности t A+ = A. Поскольку f2 (t) = f2 и f3(t) = f3 для любого t A+ = A, то это и есть искомая точка t23 и она же подойдет в качестве t13 и t12.

Достаточность. Возьмем произвольную функцию g C[Q]. Существует такая точка t = t12 Q, что f1(t) · f2 (t) = f1 · f2. Имеем g f1 + g f2 |(g f1)(t)| + |(g f2 )(t)| |(f1 f2)(t)| = f1 + f2. Аналогичные точки t23, t13 Q найдутся для пар f2, f3 и f1, f3 соответственно (точки tij могут совпадать). Тогда g f1 + g f2 + g f3 = 2 ( g f1 + g f2 )+ f2 + f3 ) = f1 + f2 + f3. Следовательно, s = 0 st(f1, f2, f3).

Утверждение (2) сразу следует из теоремы 2.1. Приведём более простое доказательство.

Покажем, что любая функция s st(f1, f2, f3) лежит в пересечении указанных интервалов. Согласно п. (1), существует точка tij Q : (fi s)(tij ) · fi fj, и, следовательно, |(fi fj )(tij )| = fi fj = fi s + fj s.

Отсюда i = 1, 2, 3, {i, j, k} = {1, 2, 3}. Поэтому s(t) [fi(t) ri ; fi(t) + ri ] для любого Для любой пары функций fi, fj и любого t Q имеем В последней совокупности одно из двойных неравенств верно. Таким образом, при каждом t Q любые два из отрезков [fi(t)ri; fi(t)+ri] пересекаются, а значит, все эти три отрезка имеют непустое пересечение и это пересечение непрерывно зависит от t. Следовательно, пересечение 3 fi ri, fi +ri всегда не пусто.

Покажем, что любая функция s 3 fi ri, fi + ri принадлежит множеству точек Штейнера st(f1, f2, f3).

Нетрудно видеть, что s fi ri. Для любой пары i, j {1, 2, 3} существует такая точка t Q, что fi (t) fj (t) = ± fi fj. В точке t пересечение отрезков [fi(t) ri ; fi(t) + ri ] [fj (t) rj ; fj (t) + rj ] одноточечно, так как ri + rj = fi fj. В точке t функция s однозначно определена и равна либо fi(t) ri = fj (t) + rj, либо fi (t) + ri = fj (t) rj. Поэтому s удовлетворяет условиям п. (1).

Теорема доказана.

Установим еще несколько свойств множеств st(f1, f2, f3) в пространстве C[Q].

Теорема 2.4. Множество st(f1, f2, f3) состоит из единственной функции s тогда и только тогда, когда выполнено одно из двух условий:

(1) для каждого t Q найдется такая пара функций fi, fj, что |fi (t) fj (t)| = fi fj (и при этом s(t) = fa (t) + ra, где a = a(t) таково, что fa(t) = min{fi (t), fj (t)});

(2) для некоторого i {1, 2, 3} справедливо равенство fj fk = fi fj + fi fk (и при этом s = fi ).

Доказательство. Необходимость. Пусть функция s st(f1, f2, f3) единственна, тогда три отрезка [fi(t) ri; fi(t) + ri], i = 1, 2, 3, для любого t Q пересекаются в одной точке.

Если cуществует такое j {1, 2, 3}, что rj = fj s = 0, тогда выполнен случай (2).

Если не cуществует такого l {1, 2, 3}, что rl = fl s = 0, то в каждой точке t выполнено одно из равенств fi (t) ± ri = fj (t) rj для некоторых i, j.

Тогда (fi fj )(t) = (ri + rj ) = fi fj, s(t) = fa (t) + ra, где a = a(t) таково, что fa (t) = min{fi(t), fj (t)}, т.е. выполнен случай (1).

Достаточность. Пусть выполнен случай (1). Так как для любого t Q найдутся такие i, j, что |fi (t) fj (t)| = fi fj = ri + rj, то пересечение отрезков [fi(t) ri; fi(t) + ri ], [fj (t) rj ; fj (t) + rj ] есть точка, и 3 fi ri, fi + ri состоит из единственной функции.

Пусть выполнен случай (2). Если для некоторого i {1, 2, 3} справедливо равенство fj fk = fi fj + fi fk, то ri = 0, и, согласно п. (2) теоремы 2.3, fi st(f1, f2, f3) единственная точка Штейнера.

Теорема доказана.

Лемма 2.3. Для функций f1, f2, s найдется точка t Q, в которой (f1 s)(t) · (f2 s)(t) = f1 s · f2 s, тогда и только тогда, когда Доказательство. Необходимость. Имеем |(f1 f2)(t)| = f1 s + f s f1 f2, и, следовательно, |(f1 f2)(t)| = f1 f2 = f1 s + f2 s.

Достаточность. Рассмотрим точку t0 Q, в которой |(f1 f2 )(t0)| = f1 f2. Если в ней не достигается хотя бы одна из норм f1 s, f2 s, то f1 f2 < f1 s + f2 s, что противоречит условию. Значит, в точке t0 обе функции f1 s и f2 s достигают норм, причем с разными знаками.

Лемма доказана.

Лемма 2.4. Всякая функция s St(f1, f2, 0) достигает нормы во всех точках t, в которых достигает нормы хотя бы одна из функций fi, i = 1, 2, причем знаки s(t) и fi(t) совпадают.

Действительно, по теореме 1 для любого i = 1, 2 найдется точка ti Q, в которой fi s и s достигают норм с противоположными знаками. При этом fi = fi s + s по лемме 2.3. Поэтому во всех точках, где fi достигает нормы, s достигает нормы с тем же знаком.

Лемма 2.5. Для функций f1, f2 найдется точка t Q, в которой f1 (t) · f2(t) = f1 · f2, тогда и только тогда, когда St(f1, f2, 0) = {0}.

Действительно, по лемме 2.3 существование указанной точки t равносильно равенству f1 f2 = f1 + f2, что в свою очередь в силу теоремы любого s St(f1, f2, 0).

В связи с теоремой 2.3 естественно возникает вопрос о существовании хорошей выборки из многозначного отображения st : (f1, f2, f3) st(f1, f2, f3) = max (fi ri), min (fi + ri). Оказывается, что существует липшицева выборка V : (C[Q]) C[Q] из этого отображения.

Теорема 2.5. Отображение V (f1, f2, f3)(t) = min{f1(t) + r1, f2(t) + r2, f3(t) + r3} является липшицевой выборкой из отображения st (здесь рического пространства Q модуль непрерывности функции V удовлетворяет неравенству (V, ) max (fi, ), > 0.

теоремы 2.3.

Докажем липшицевость. Возьмем две тройки непрерывных функций min{f1(t) + r1, f2(t) + r2, f3(t) + r3}, q(t) = min{g1(t) + r1, g2 (t) + r2, g3(t) + r3}.

В каждой фиксированной точке t Q оценим разность s(t) q(t). Для этого рассмотрим случаи.

(а) Допустим, что s(t) = fi(t) + ri и q(t) = gi(t) + ri. Тогда 2fi(t)2gi(t)+ fj fi + fk fi fk fj gj gi gk gi + gk gj Заметим, что Тогда |s(t)q(t)| 2 fi gi + fj gj + fk gk 2( f1 g1 + f2 g2 + f3 g3 ).

(б) Пусть теперь s(t) = fi (t) + ri и q(t) = gj (t) + rj, i = j. Без ограничения общности считаем, что max{fi(t)+ri, gj (t)+rj } = fi(t)+ri. Поскольку fi(t)+ ri fj (t) + rj и |s(t) q(t)| = fi(t) + ri gj (t) rj fj (t) + rj gj (t) rj, то последнее выражение в силу неравенств (2.8) и (2.9) не превосходит 2( f Докажем утверждение касательно модуля непрерывности. Возьмем две точки a, b Q с (a, b). Без ограничения общности V (b) V (a). Пусть, скажем, min(fi + ri)(a) = f1(a) + r1. Имеем |V (b) V (a)| = V (b) V (a) f1(b) + r1 (f1(a) + r1 ) = f1(b) f1(a) (f1, ), что и требовалось.

Теорема доказана.

Можно ставить вопросы о существовании других выборок из отображения st, сохраняющих какие-либо структурные свойства функций f1, f2, f3.

Приведем пример такой тройки f1, f2, f3 C[1, 1] многочленов степени не выше n N, что ни одна точка Штейнера этой тройки не является многочленом степени не выше n. Рассмотрим четное n = 2k, где k > 3 и не кратно двум, и f1(t) = Tn(t), f2(t) = Tn4(t), f3 0 на отрезке [1; 1], где Tn (t) = cos(n arccos t) многочлен Чебышева степени n. У функций f и f2 нет точки, где они одновременно достигают нормы с разными знаками.

Поэтому по утверждению (1) теоремы 2.3 имеем 0 st(f1, f2, f3). По лемме 2.4 количество глобальных экстремумов у любой функции s st(f1, f2, f3) не меньше n + 1 + n 3 3 = 2n 5. Здесь n + 1 и n 3 число точек экстремума у Tn и Tn4 соответственно, а в трех точках t = 1, 0, 1 эти многочлены равны друг другу и достигают нормы. Поскольку 2n 5 > n + 1 при n > 6, любая функция s st(f1, f2, f3) не является многочленом степени не выше n.

§4. Некоторые дополнения Интересно описать все (для начала хотя бы двумерные) банаховы пространства X, в которых для всяких a, b, c X величина |st|({a, b, c}, X) зависит только от длин сторон треугольника abc. В класс пространств, обладающих указанным в этой задаче свойством, заведомо входят пространства, предуальные к L1, а также гильбертовы (евклидовы) пространства. Приведем пример двумерного пространства, не обладающего таким свойством.

Пример 2.1 двумерного банахова пространства X2, в котором есть два треугольника T и T с попарно равными сторонами, но |st|(T, X2) = |st|(T, X2).

Возьмем двумерное пространство X2, единичная сфера в котором правильный шестиугольник (см. рис. 1). Пусть T = { ac, ca, b} (светлые точки на рисунке), T = {a, a, b+c } (темные точки).

Нетрудно показать, что в каждом из этих треугольников длины сторон равны 2, 3, 2. Для треугольника T пространство X2 реализует минимальное заполнение с вершиной 2 :

Если бы у треугольника T также реализовывалось минимальное заполнение, то в X2 нашлась бы такая точка p, что pa = p+a = (2+ 2 3 )/2 = Таким образом, |smt|(T, X2) > = |mf|(T ) = |smt|(T, X2).

Можно показать, что st(T, X2) 0, то есть |smt|(T, X2 ) = 3.

Рассмотрение примера закончено.

В связи с теоремой 1.4 возникает естественный вопрос: во сколько раз величина |smt|(M, X) может быть больше величины |mf|(M) для какого-либо конечного множества M в банаховом пространстве X? Оказывается, не более чем в 2 раза. В работе [13] введено суботношение Штейнера метрического пространства X. В работе [19] показано, что для всякого метрического пространства X справедливы неравенства В этой терминологии теорема 1.4 описывает банаховы пространства X с ssr(X) = 1 и дополнительным условием существования кратчайших сетей у всех конечных подмножеств.

Правое неравенство в (2.10) очевидно, а левое доказывается достаточно просто. Для всякого X и M = {x1,..., xn} X всякая сеть–дерево mf(M) имеет обход, при котором каждое ребро в проходится по 2 раза.

В этом обходе длина каждой ломаной от вершины xi до следующей за ней (в порядке обхода) вершины xj не меньше xi xj. Если L замкнутая ломаная в X с вершинами только в точках xk, обходящая эти точки в том же порядке, то получается, что откуда и следует левое неравенство в (2.10).

В связи с этим возникает вопрос: существует ли банахово пространство X с ssr(X) = 1/2?

Покажем, что это равенство не может выполняться для банаховых пространств малых размерностей.

Пусть M конечное подмножество банахова пространства X размерности d. Возьмем какое-нибудь минимальное заполнение 0 mf(M).

По лемме 1.1 на X 0 можно так определить метрику, что все расстояния внутри X и внутри 0 сохранятся. Вложим полученное метрическое пространство X 0 изометрично в какое-нибудь универсальное банахово пространство C. Существует линейный проектор P : C X нормы не больше абсолютной проекционной константы d. Сеть P (0 ) соединяет множество M в X и имеет длину не больше d |0 |. Таким образом, откуда ssr(X) 1/d. Известно [52], что 2 = 4/3, 3 ( 5 + 1)/2, 4 (3 6 + 2)/5. Эти три числа меньше 2, поэтому для всех не более чем четырехмерных пространств X получается ssr(X) > 1/2.

Было бы интересно вычислить величины ssr(d) := inf{ssr(X) : dim X = d}. Так, уже можно отметить неравенства Левые неравенства здесь только что доказаны, а правые получаются из примеров 2.1 и 1.1 соответственно.

Глава III. N антипроксиминальные множества Рассмотрим банахово пространство (X, · ) и непустое множество M в нём.

Для точки x X определим метрическую проекцию PM (x) = {y M :

x y = (x, M)}, где (x, M) = inf zM x z. Множество M называется антипроксиминальным, если для любой точки x X \ M во множестве M нет ближайшей точки, то есть PM (x) =.

nантипроксиминальных множеств. Введём следующее Определение.

nантипроксиминальным, если для любых таких x1,..., xn X, что (x1,..., xn, M) > (x1,..., xn, X), выполнено PM (x1,..., xn) \ {xi}n =.

Геометрически свойство множества M быть антипроксиминальным означает, что для любой точки x X \ M замкнутый шар B(x, (x, M)) не имеет с M общих точек. Аналогично nантипроксиминальность означает, что для любых точек x1,..., xn X с условием (x1,..., xn, M) > (x1,..., xn, X) заn (x1,..., xn, M)} не имеет с M общих точек, кроме, быть может, xi.

При n = 1 nантипроксиминальное множество есть в точности антипроксиминальное множество. Действительно, неравенство (x1,..., xn, M) > (x1,..., xn, X) становится неравенством (x, M) > (x, X), что эквивалентно условию x M, и условие PM (x) \ {x} = выполнено для антипроксиминального множества M.

Неравенство (x1,..., xn, M) > (x1,..., xn, X) в определении означает, что метрическая проекция PM (x1,..., xn) не пересекается со множеством точек Штейнера PX (x1,..., xn) = st(x1,..., xn). Если это условие убрать, то определение потеряет смысл: при n = 2 для всякого непустого множества M = X можно найти такие две точки x1, x2, что интервал (x1, x2) пересекает M; тогда PM (x1, x2) \ {x1, x2} (x1, x2) M, и получится, что 2антипроксиминальных выпуклых множеств вообще нет.

Если же условие PM (x1,..., xn)\{xi}n = заменить на PM (x1,..., xn) =, то получится более узкий класс Zn (X) множеств в пространстве X, при n = 1, 2 совпадающий с уже введённым. Действительно, (1)шар B(x, (x, M)) и 2шар B(x1, x2, (x1, x2, M)) содержат соответственно точки x и x1, x2 строго внутри себя (при условиях (x, M) > (x, X) = 0 и (x1, x2, M) > (x1, x2, X) = x1 x2 соответственно), и если PM (x)\{x} = или PM (x1, x2)\{x1, x2} =, то и PM (x) = или PM (x1, x2) = соответственно. При натуральном n 3 класс Zn(X) в любом банаховом пространстве X не содержит выпуклых замкнутых множеств (см. ниже утверждение 3.1), поэтому исследование этого класса Zn(X) представляется бессодержательным.

§1. Вспомогательные результаты kантипроксиминальным. В частности, всякое nантипроксиминальное множество антипроксиминально.

Доказательство. При фиксированном n = kl рассмотрим k точек x1,..., xk X с условием (x1,..., xk, M) > (x1,..., xk, X). Пусть ypk+r = xr при каждом фиксированном натуральном числе r {1,..., k} и каждом натуральном p {1,..., l 1}. Множества PM (y1,..., yn ) и PM (x1,..., xk ) одинаковы и, в силу nантипроксиминальности множества M, множество PM (y1,..., yn ) \ {yi}n = PM (x1,..., xk ) \ {xi}k пусто, то есть M kантипроксиминально.

Лемма доказана.

Функционал f X называется опорным к выпуклому замкнутому множеству A X, если найдётся такой элемент x A, что f (x) = sup{f (z) :

z A} или f (x) = inf{f (z) : z A} (см., например, [16]). Функционал f, опорный к единичному шару B(X) пространства X, достигает нормы на некотором ненулевом элементе x X, то есть f (x) = f · x. Единичную сферу пространства X обозначим S(X).

Лемма C ([39], [1]). Непустое выпуклое замкнутое множество M X антипроксиминально тогда и только тогда, когда любой ненулевой функционал, опорный к M, не является опорным к B(X).

В [39] эта лемма доказывалась при дополнительном условии ограниченности множества M.

Лемма 3.2. Непустое выпуклое замкнутое множество M nантипроксиминально тогда и только тогда, когда для всякого опорного к M ненулевого функционала f не существует таких f1,..., fn X и x1,..., xn S(X), что:

4) 0 PX (x1,..., xn).

Доказательство. Если множество M не nантипроксиминально, то существуют x1,..., xn X с условием (x1,..., xn, M) > (x1,..., xn, X), для которых найдётся y0 PM (x1,..., xn), причём y0 = xi для каждого i = 1,..., n. Имеем y0 B(x1,..., xn, (x1,..., xn, M)) M. Множества M и B := B(x1,..., xn, (x1,..., xn, M)) выпуклы и замкнуты. Множество B имеет непустую внутренность. По лемме об отделимости [45, § 3g], существует гиперплоскость Y = {x X : f (x) = f (y0)} y0, разделяющая M и B.

Ясно, что функционал f является опорным как к M, так и к B, и y PY (x1,..., xn). Рассмотрим подпространство Y0 = Y y0. Для точек x y0,..., xn y0 множество PY0 (x1 y0,..., xn y0) содержит точку 0. По лемме B причём все xj y0 отличны от нуля, что эквивалентно раскладываемости функционала f в сумму n опорных к B(X) функционалов одинаковой нормы.

При этом точка 0 PX (x1 y0,..., xn y0), поскольку y0 PX (x1,..., xn).

Обратно, пусть для некоторого функционала f, опорного ко множеству M в точке z0, существуют опорные к B(X) функционалы f1,..., fn X и точки x1,..., xn S(X), удовлетворяющие условиям 1)-4). По лемме B из § 3 главы II в ядре Y функционала f для таких x1,..., xn точка 0 является ближайшей, но не точкой Штейнера, то есть выполнено условие (x1,..., xn, Y ) > (x1,..., xn, X). Поэтому nшар B := B(x1,..., xn, (x1,..., xn, Y )) имеет непустую внутренность. Следовательно, z0 PY +z0 (x1 + z0,..., xn + z0 ). Так как либо B + z0, либо B + z0 отделяется от M гиперплоскостью Y + z0 и ±xk + z0 = z0, то множество M не nантипроксиминально.

Утверждение 3.1. Для всякого натурального n 3 класс Zn (X) в произвольном банаховом пространстве X не содержит выпуклых замкнутых множеств.

Действительно, рассмотрим произвольный опорный функционал f, f = 1, к выпуклому замкнутому множеству M X в точке y M. По теореме Бишопа-Фелпса [10, глава 1] множество опорных к B(X) функционалов плотно в X, поэтому найдётся такой опорный к B(X) функционал g, что f g < 1/(n 1), g = 1. Возьмём такую точку x = 0, лы f1 = · · · = fn1 = g/(n 1), fn = f g удовлетворяют условию леммы B из § 3 главы II, поэтому PKerf (x1,..., xn) 0. Так как nшар B := B(x1,..., xn, (x1,..., xn, Kerf )) имеет непустую внутренность, то либо B + y, либо B + y отделяется от M гиперплоскостью Kerf + y, а значит, получаем M Zn (X).

§2. Пространства C Теорема 3.1. Пусть M выпуклое замкнутое множество в пространстве c0, и n N. Множество M nантипроксиминально тогда и только тогда, когда M антипроксиминально.

Доказательство. Напомним, что функционал f c0 = l1 не является опорным к B(c0) тогда и только тогда, когда f имеет бесконечное число ненулевых координат.

Необходимость следует из леммы 3.1.

Докажем достаточность. По лемме C любой опорный к антипроксиминальному множеству M функционал f0 не является опорным к B(c0). Ясно, что такой f0 c0 не раскладывается в конечную сумму опорных к B(c0) функционалов, так как конечная сумма функционалов, у каждого из которых конечное число ненулевых координат, имеет конечное число ненулевых координат. Поэтому по лемме 3.2 множество M nантипроксиминально для любого n N.

Теорема доказана.

Антипроксиминальное выпуклое замкнутое ограниченное тело V, построенное Эдельштейном и Томпсоном [39] в пространстве c0, есть образ T (B(c0)) под действием обратимого линейного непрерывного оператора T : c0 c0, для которого сопряжённый оператор T переводит всякий функционал, достигающий нормы, в функционал, не достигающий нормы.

Следствие 3.1. Множество V из [39] nантипроксиминально для любого натурального n.

В связи с доказательством теоремы 3.1 интересно описать все банаховы пространства X, для которых множество функционалов, достигающих нормы, образует собственное линейное подпространство в X. Примером такого X является c0.

Пусть Q хаусдорфов компакт, C[Q] пространство непрерывных функций на компакте Q. Напомним, что C [Q] = rba(Q) обозначает линейное пространство, состоящее из регулярных ограниченных аддитивных функций множества (мер), определенных на алгебре, порожденной замкнутыми множествами из Q. Нормой меры µ rba(Q) является ее полная вариация [9, гл. 4, § 6].

Пусть µ+ + µ = µ есть разложение Хана для функционала µ C [Q], S = S(µ) Напомним, что функционал µ rba(Q) не достигает нормы тогда и только тогда, когда пересечение замкнутых множеств S + (µ) и S (µ) не пусто (см., например, [59, гл. 1, § 1]). Обозначим t, t Q, функционал означивания:

t (x) = x(t), x C[Q].

Если компакт Q конечен, то пространство C[Q] конечномерно, следовательно, рефлексивно. В таком пространстве нет выпуклых замкнутых антипроксиминальных множеств, а значит нет и выпуклых замкнутых nантипроксиминальных множеств.

2антипроксиминальности; 2) не существует выпуклых замкнутых ограниченных nантипроксиминальных тел при n = 3, 4,....

Доказательство. 1) По лемме 3.1 из 2антипроксиминальности множества M следует его антипроксиминальность. Для доказательства 2антипроксиминальности выпуклого замкнутого антипроксиминального множества M рассмотрим функционал µ C [Q], опорный к этому множеству. По лемме C такой функционал не достигает нормы, то есть S + (µ) S (µ) =. Пусть существуют такие опорные к B(C[Q]) функционалы µ1, µ одинаковой нормы, что µ1 + µ2 = µ. Тогда точка t S + (µ) S (µ) принадлежит либо множеству S + (µ1 ) S (µ2 ), либо множеству S (µ1 ) S +(µ2 ), и хотя бы одно из этих множеств не пусто. Это означает, что в точке t функции x1, x2 C[Q], для которых µi (xi) = µi · xi, i = 1, 2, достигают нормы с разными знаками, то есть x1 + x2 = x1 x2 и 0 PC[Q] (x1, x2). Поэтому разложение µ = µ1 + µ2 не удовлетворяет условию 4) леммы 3.2, и множество M является 2антипроксиминальным.

2) Зафиксируем произвольную точку t Q и натуральное число n 3.

По теореме Бишопа-Фелпса [10, глава 1] для произвольного выпуклого замкнутого ограниченного тела M C[Q] существует такой опорный к нему функционал µ C [Q], что µ = 1 (в частности, |µ({t})| 1) и µt < n.

Это означает, что если разложение Хана меры µ µ({t})t есть µ+ + µ, Рассмотрим функционал f S(c), не достигающий нормы. Без ограничения общности считаем, что f0 0, следовательно, у функционала f бесконечное число отрицательных координат. Фиксируем n 3. Рассмотрим такой функционал g, имеющий только отрицательные координаты, что g 1/n и f g достигает нормы (то есть имеет конечное число отрицательных координат). Обозначим и рассмотрим такую точку t S (g), что (f g)(t) = 0. Определим функционалы g1 = g (n 1)t, gk = (f g)/(n 1) + t, k = 2,..., n. Каждый из них достигает нормы; g1 = g + (n 1) = f g /(n 1) + = gk, k = для почти всех t E, и выполнено равенство x1 + x2 = x1 x2. Поэтому разложение любого не опорного к B(L1) функционала в сумму двух опорных не удовлетворяет условию 4) леммы 3.2, и множество M является 2антипроксиминальным.

2) Докажем, что любой не опорный к B(L1) единичный функционал f раскладывается в сумму n 3 различных опорных к B(L1) функционалов.

Без ограничения общности можем считать, что множество U + := {t E :

f (t) f 1/(n 1)} имеет положительную меру. Тогда U + либо имеет непрерывную часть положительной меры, либо содержит бесконечное число атомов (так как µ({t E : |f (t)| = f }) = 0). В случае существования непрерывной части рассмотрим n непересекающихся множеств U1,..., Un U + положительной меры. В случае бесконечного числа атомов во множестве U + выберем n атомов U1,..., Un U +. Построим функционалы такой элемент xi S(L1), равный нулю вне (U1 · · · Un) \ Ui и равный положительной константе на (U1 · · · Un) \ Ui, для которого gi (xi) = gi · xi. Так как для почти всех t U1 · · ·Un только одна функция из {xk }n равна нулю, а остальные положительны, то точка 0 PL1 (x1,..., xn).

Пусть M выпуклое замкнутое множество в L1, f ненулевой функционал, опорный к M. Если f достигает своей нормы, то M не антипроксиминально, а значит, и не nантипроксиминально (леммы C и 3.1). Если же f не достигает нормы, то из приведённого выше разложения f = g1 + · · · + gn в силу леммы 3.2 получаем, что M не nантипроксиминально.

3) Если алгебра содержит хоть один атом относительно меры µ, то в пространстве L1(E,, µ), сопряжённое к которому канонически изоморфно L, нет выпуклых замкнутых ограниченных антипроксиминальных множеств [32]. По лемме 3.1 в таком пространстве L1 нет выпуклых замкнутых ограниченных 2антипроксиминальных множеств.

Теорема доказана.

В каждом из рассмотренных в этой главе пространств антипроксиминальность выпуклого замкнутого множества эквивалентна его 2антипроксиминальности. Возникает вопрос: существует ли антипроксиминальное, но не 2антипроксиминальное выпуклое замкнутое множество?

Список литературы [1] Балаганский В.С. Антипроксиминальные множества в пространствах непрерывных функций// Математические заметки. 1996. 60, № 5. 643Балаганский В.С. Об антипроксиминальных множествах в пространстве Гротендика// Труды института математики и механики УрО РАН.

2012.18, № 4. 90-103.

[3] Богачёв В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс, Москва, Ижевск, НИЦ РХД, 2009.

[4] Бородин П.А. Пример несуществования точки Штейнера в банаховом пространстве// Матем. заметки, 2010, Т. 87, №4, С. 514–518.

[5] Бородин П.А. О выпуклости N чебышёвских множеств // Изв. РАН.

Сер. Матем., 2011. 75, № 5. 19-46.

[6] Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии, Москва–Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004.

[7] Васильева А.А. Замкнутые промежутки в векторнозначных функциональных пространствах и их аппроксимативные свойства // Изв. РАН.

Сер. матем. 2004. 68, № 4. 75–116.

[8] Гаркави А.Л., Шматков В.А. О точке Ламе и ее обобщениях в нормированном пространстве // Матем. сб., 1974, Т. 95(137), №2(10), С. 272–293.

[9] Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962.

[10] Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств. Киев: Вища Школа, [11] Еремин А.Ю. Формула веса минимального заполнения конечного метрического пространства // Матем. сб., 2013, 204, 9, С. 51-72.

[12] Иванов А.О., Тужилин А.А. Теория экстремальных сетей, М., Ижевск:

ИКИ, 2003.

[13] Иванов А.О., Тужилин А.А. Одномерная проблема Громова о минимальном заполнении// Матем. сб., 2012, Т. 203, №5, С. 65–118.

[14] Иванов А.О., Тужилин А.А., Еремин А.Ю., Ероховец Е.С., Овсянников З.Н., Пахомова А.С., Рублева О.В., Стрелкова Н.П., Филоненко Е.И.

Минимальные заполнения псевдометрических пространств // Труды семинара по векторному и тензорному анализу с их приложениями к геометрии, механике и физике, 2011, Т. 27, С. 83–105.

[15] Исмагилов Р.С. Минимальные поперечники метрических пространств // Функц. анализ и его прил., 1999, Т. 33 №4, С. 38–49.

[16] Кобзаш С. Выпуклые антипроксиминальные множества в пространствах c0 и c// Матем. Заметки. 1975. 17. 449-457.

[17] Конягин С.В. Замечание о перенормировке нерефлексивных пространств и существовании чебышёвского центра// Вестник МГУ, 1988, Т. 2, С. [18] Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.; Ижевск: РХД, 2001.

[19] Пахомова А.С. Оценки для суботношения Штейнера и отношения Штейнера–Громова// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ., 2013, (в печати) [20] Протасов В.Ю. Максимумы и минимумы в геометрии, М., Издательство МЦНМО, 2005.

[21] Рубинштейн Г.Ш. Об одной экстремальной задаче в линейном нормированном пространстве // Сибирский математический журнал, 1965. VI, № 3. 711-714.

[22] Фонф В.П. Об антипроксиминальных множествах в пространствах непрерывных функций на бикомпактах// Математические заметки.

1983. 33, № 3. 549-558.

[23] Фонф В.П. О сильно антипроксиминальных множествах в банаховых пространствах// Математические заметки. 1990. 47, № 2. 130-136.

[24] Edelsbrunner H., Ivanov A., Karasev R. Current Open Problems in Discrete and Computational Geometry // Модел. и анализ информ. систем, 2012, Т. 19, №5, С. 5–17.

[25] Ambrosio L., Tilli P. Topics on analysis in metric spaces, Oxford, 2004.

[26] Bandyopadhyay P., Rao T. S. S. R. K. Central subspaces of Banach spaces// J. Approx. Th., 2000, Т. 103, №2, С. 206–222.

[27] Baronti M., Casini E., Papini P.L. Equilateral sets and their central points // Rend. Mat. Appl., 1993, Т. 13, №1, С. 133–148.

[28] Bentez C., Fernndez M., Soriano M.L. Location of Fermat–Torricelli medians of three points // Trans. Amer. Math. Soc., 2002, Т. 354, №12, С. 5027–5038.

[29] Borwein J.M. Some remarks on a paper of S. Cobzas on antiproximinal sets// Bull. Calcutta Math. Soc. 1981. 73. 5-8.

[30] Borwein J.M., Jimnez-Sevilla M., Moreno J.P. Antiproximinal Norms in Banach Spaces// Journal of Approximation Theory. 2002. 114. 57–69.

[31] Cieslik D. Steiner Minimal Trees, Kiuwer Academic Publishers, BostonLondon-Dordrecht, 1998.

[32] Cobza S. Antiproximinal sets in some Banach spaces// Math. Balkanica.

1974. 4. 79-82.

[33] Cobza S. Antiproximinal sets in Banach spaces of continuous functions// Anal. Numer. Theorie Approx. 1976. 5. 127-143.

[34] Cobza S. Antiproximinal sets in Banach spaces of c0 type// Rev. Anal.

Numer. Theorie Approx. 1978. 7. 141-145.

[35] Cobza S. Antiproximinal ѕets in Banach ѕpaces// Acta Universitatis Carolinae. Mathematica et Physica. 1999. 40, № 2. 43-52.

[36] Dixmier J. Sur un thor`me de Banach// Duke Math. J., 1948, V. 15, P. [37] Edelstein M. A note on nearest points// Quart. J. Math. 1970. 21. 403-407.

[38] Edelstein M. Weakly proximinal sets// Journal of Approx. Theory. 1976. 18, [39] Edelstein M., Thompson A.C. Some results on nearest points and support properties of convex sets in c0// Pacic J. Math. 1972. 40, № 3. 553-560.

[40] Floret K. On the sum of two closed convex sets// Methods of Operation Research. 1978. 36. 73-85.

[41] Franchetti C., Cheney E.W. The embedding of proximinal sets // J.

Approxim. Theory. 1986. 48, № 2. 213-223.

[42] Gauss C.F. Briefwechsel Gauss–Schuhmacher, в книге: Werke Bd. X, 1, pp.

459–468, Gttingen, 1917.

[43] Grothendieck A. Une caractrisation vectorielle-mtrique des espaces L1 // Canad. J. Math., 1955, Т. 7, №4, C. 552–561.

[44] Hansen A.B., Lima A. The structure of nite dimensional Banach spaces with the 3.2. Intersection property// Acta Mathematica, 1981, Т. 146, №1, С. 1– [45] Holmes R.B. A course on optimization and best approximation// Lecture Notes Math. vol. 257, Springer Verlag, Berlin, 1972.

[46] Hwang F.K., Richards D., Winter P. The Steiners Tree Problem, Elsevier Science Publishers, 1992.

[47] Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. Minimal networks: the Steiner problem and its generalizations. London–Tokyo, CRC Press, Boca Raton Ann Arbor, 1994.

[48] Jarnk V., Kssler M. O minimalnich grafeth obeahujicich u danijch bodu, Cas. Pest. Mat. a Fys., 63, pp. 223-235, 1934.

[49] Kadets V. Under a suitable renorming every nonreexive Banach space has a nite subset without a Steiner point// Matematychni Studii, 2011, Т. 36, №2, С. 197-–200.

[50] Kakutani S. Concrete representation of

Abstract

(L)-spaces and the mean ergodic theorem// Ann. Math., 1941, Т. 42, №2, С. 523–537.

[51] Klee V. Remarks on nearest points in normed linear spaces//Proc. Colloq.

Convexity, Copenhagen 1965. 161-176. Copenhagen 1967.

[52] Knig H., Tomczak–Jaegermann N. Norms of minimal projections// J. Funct.

Anal., 1994, Т. 119, №2, С. 253–280.

[53] Lima A. Intersection properties of balls and subspaces in Banach spaces// Trans. Amer. Math. Soc., 1977, Т. 227, С. 1–62.

[54] Lindenstrauss J. Extension of compact operators // Mem. Amer. Math. Soc., 1964, Т. 48, С. 1–112.

[55] Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces, II, Berlin–Heidelberg– New York, Springer, 1979.

[56] Papini P.L. Two new examples of sets without medians and centers// Sociedad de Estad 315–320.

[57] Phelps R.R. Counterexamples concerning support theorems for convex sets in Hilbert space // Canad. Math. Bull. 1988. 31, № 1. 121–128.

[58] Rao T. S. S. R. K. Chebyshev centers and centrable sets// Proc. Amer. Math.

Soc., 2002, Т. 130, №9, С. 2593–2598.

[59] Singer I. Best approximation in normed linear spaces by elements of linear subspaces. Bucharest-Berlin: Editura Academiei and Springer Verlag, 1970.

[60] Vesel L. A characterization of reexivity in the terms of the existence of generalized centers // Extracta Mathematicae, 1993, Т. 8, №2–3, С. 125– [61] Vesel L. Generalized centers of nite sets in Banach spaces // Acta Math.Univ. Comenianae, 1997, Т. 66, №1, С. 83–115.

[62] Беднов Б.Б. О точках Штейнера в пространстве непрерывных функций // Вестник МГУ, Математика, Механика, 2011. № 6. 26-31.

[63] Беднов Б.Б. О точках Штейнера в пространстве непрерывных функций // Международная конференция по теории приближений, посвященная 90-летию С.Б. Стечкина, Тезисы докладов, 2010, С. 9.

[64] Беднов Б.Б., Стрелкова Н.П. О существовании кратчайших сетей в банаховых пространствах // Матем. заметки, 2013, Т. 94, №1, С. 46–54.

[65] Беднов Б.Б., Бородин П.А. Банаховы пространства, реализующие минимальные заполнения // Матем. сб., 2014, 205, 4, С. 3–21.

[66] Беднов Б.Б. Об nантипроксиминальных множествах // Материалы 17й международной Саратовской зимней школы, С. 33–34.