ФГБОУ ВПО Московский государственный университет

имени М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

на правах рукописи

УДК 511.3

Горяшин Дмитрий Викторович

Об аддитивных свойствах

арифметических функций

01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел

диссертация на соискание учной степени е кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В. Н. Чубариков Москва 2013 Содержание Обозначения Введение 1 Точные квадраты вида [n] 1.1 Вспомогательные леммы....................... 1.2 Сведение к оценке тригонометрических сумм........... 1.3 Лемма об оценке тригонометрической суммы........... 1.4 Завершение доказательства теоремы................ 2 Бесквадратные числа вида [n] 2.1 Сведение задачи к оценке тригонометрических сумм....... 2.2 Оценки тригонометрических сумм с бесквадратными числами. 2.3 Следствие о бесквадратных числах вида [n] с чтным и е нечтным числом простых делителей............... е 3 Аддитивные задачи с бесквадратными числами 3.1 Тернарная задача........................... 3.1.1 Применение кругового метода............... 3.1.2 Интеграл I1 : выделение главного члена.......... 3.1.3 Оценка интеграла I2..................... 3.1.4 Окончание доказательства теоремы............ 3.2 Бинарная задача........................... 3.2.1 Выделение главного члена................. 3.2.2 Оценки тригонометрических сумм............. 4 Бесквадратные числа вида p 1 4.1 Асимптотика количества бесквадратных чисел вида p 1.... 4.2 Бесквадратные числа вида p 1 для простых чисел p, принадлежащих арифметической прогрессии............... Литература Используемые обозначения Буквами a, b, d, k, l, m, n, r, s,... обозначаются целые или натуральные числа, p простые числа, M, N, K, P,..., x, y,... достаточно большие натуральные или вещественные числа; произвольное сколь угодно малое положительное число.

Кроме того, в диссертации используются следующие стандартные обозначения:

[x] целая часть вещественного числа x;

{x} = x [x] дробная часть числа x;

x = min({x}, 1{x}) = min |xn| расстояние от числа x до ближайшего nZ целого числа;

(n) = 1 функция делителей (количество делителей числа n);

d|n 1, если n = k 2 для некоторого k N;

(n) = 0, в противном случае характеристическая функция множества точных квадратов;

1, если n = 1;

(1)r, если n = p1 p2... pr, pi простые числа;

µ(n) = функция Мбиуса;

(в частности, характеристическая функция множества бесквадратных чисел, т. е. чисел, не делящихся на квадрат простого числа);

(N ) = 1 количество простых чисел, не превосходящих N ;

в арифметической прогрессии kn + l, n = 0, 1, 2,...;

И. М. Виноградова) при x означают, что существуют положительные Остальные обозначения вводятся непосредственно в тексте диссертации.

Настоящая диссертация относится к аналитической теории чисел. Одним из е объектов исследования является асимптотическое поведение арифмее тических (теоретико-числовых) функций, т. е. функций натурального аргумента. В первую очередь изучаются характеристические функции множеств натуральных чисел, обладающих специальными аддитивными или мультипликативными свойствами: например, простых чисел, чисел, представимых в виде суммы двух квадратов и т. п. Задачи об асимптотическом поведении средних значений этих функций сводятся к распределению соответствующих множеств чисел в натуральном ряду. Большой интерес представляют также вопросы о поведении арифметических функций и распределении последовательностей в заданных подмножествах множества натуральных чисел, таких как арифметические прогрессии, сдвинутые простые числа и т. п.

Наряду с обычными арифметическими прогрессиями в последнее время активно изучаются свойства обобщенных арифметических прогрессий вещественное число ( первый член прогрессии )1.

В 1975 г. Д. Лейтман и Д. Вольке [31] рассмотрели задачу о распределении В англоязычной литературе последовательность чисел такого вида называют Beatty sequence по имени американского математика Самюэла Битти (Samuel Beatty), предложившего в 1926 г. в журнале American Mathematical Monthly [7] (см. также [57, гл. II, вопрос 3]) задачу о следующем свойстве таких последовательностей: если, > 1 иррациональные числа и + = 1, то каждое натуральное число принадлежит ровно одной из последовательностей [n] и [n], т. е. N = [n] [n].

простых чисел в такой последовательности. Они установили, что если (N ) количество всех простых чисел, не превосходящих N, а (N, ) количество тех из них, которые принадлежат последовательности [n], то для почти всех значений > 0 при N справедлива асимптотическая формула где > 0 произвольно. Таким образом, среди чисел вида [n], n N, содержится правильная доля всех простых чисел.

Отметим также, что для случая иррациональных алгебраических значений Д. Лейтман и Д. Вольке получили асимптотическую формулу где c = c() > 0 некоторая постоянная.

Отечественные исследования по этой тематике инициировали профессора Г. И. Архипов и В. Н. Чубариков, поставившие своим ученикам ряд задач, связанных с изучением различных свойств антье-последовательностей.

В 2004 г. А. В. Бегунц [53] получил новую оценку остаточного члена в этих асимптотических формулах. Его результат формулируется следующим образом. Пусть > 0 иррациональное число, 2, и пусть неравенство имеет место для любых достаточно больших значений q и всех чисел a, взаимно простых с q. Тогда справедлива асимптотическая формула где = max(1 2 ; 0,8), а > 0 произвольно. В частности, оценка остаточного члена в этой формуле вида O(N 0,8+ ) верна в двух следующих случаях:

а) если иррациональное число имеет ограниченные неполные частные или является алгебраическим; б) для почти всех вещественных значений > 0.

В этих же двух случаях многими авторами изучалось распределение значений других арифметических функций на числах вида [n]: функции делителей (n) (А. Г. Аберкромби [1], А. В. Бегунц [54], Ж. С. Лю и В. Г. Жай [32]) и многомерной функции делителей k (n) (В. Г. Жай [47]), функции суммы делителей (n) и функции Эйлера (n) (А. В. Бегунц [55]), характеров Дирихле (В. Д. Бэнкс и И. Е. Шпарлинский [4, 5]), различных мультипликативных функций (А. М. Гулоглу и К. В. Неванс [24]), в частности, характеристических функций чисел, представимых в виде суммы двух квадратов, бесквадратных чисел и чисел, свободных от k-х степеней, r4 (n) количества представлений в виде суммы четырех квадратов и т. д. Для всех перечисленных арифметических функций доказываются результаты вида где R(N ) остаточный член. Оценка величины R(N ), как правило, сводится к оценке тригонометрических сумм вида В 2009 г. А. Г. Аберкромби, В. Д. Бэнкс и И. Е. Шпарлинский [2], применяя несколько другой подход, доказали асимптотическую формулу вида (1) для произвольной арифметической функции f (n) и для почти всех значений > 1 со следующей оценкой остаточного члена:

где M (f, N ) = 1 + max{|f (n)|, n неприменимы для случая каких-либо конкретных иррациональных значений (например, алгебраических).

Первые две главы настоящей диссертации посвящены продолжению исследований распределения арифметических функций в последовательности вида [n]. В первой главе решается задача о распределении точных квадратов в этой последовательности, т. е. о нахождении асимптотической формулы для величины S(N, ) количества точных квадратов среди чисел вида [n], n N. Более точно, доказывается следующая теорема.

Теорема 1.1. Пусть иррациональное число > 1 имеет ограниченные неполные частные или является алгебраическим. Тогда для любого > при N справедлива асимптотическая формула Эта формула верна также для почти всех вещественных значений > 1.

Ключевым моментом доказательства этой теоремы является лемма об оценке двойной тригонометрической суммы вида (3) с функцией f (n) = (n).

Метод оценки таких сумм был разработан Г. Вейлем [46] (его именем названы однократные суммы с многочленом в показателе экспоненты). Применяя метод Г. Вейля, мы сводим оценку рассматриваемой суммы к оценкам линейных тригонометрических сумм и получаем требуемый результат.

В некотором смысле противоположными по мультипликативным свойствам к точным квадратам являются бесквадратные числа натуральные числа, не делящиеся на квадраты простых чисел. Они имеют вид n = p1 p2... ps, т. е. каждое простое число входит в каноническое разложение n не более чем в первой степени. Таким образом, функция µ2 (n), где µ(n) функция Мбиуса, является характеристической функцией множее ства бесквадратных чисел. Известно (см., например, [26, теорема 334]), что для количества бесквадратных чисел, не превосходящих N, имеет место асимптотическая формула т. е. в отличие от точных квадратов или простых чисел множество бесквадQ(N ) ральном ряду.

Вопрос о распределении бесквадратных чисел в арифметической прогрессии рассматривал в 1958 г. К. Прахар [39] в связи с задачей о наименьшем бесквадратном числе в арифметической прогрессии. Он доказал, что где постоянная в знаке O не зависит от k и l. Более того, он показал, что в случае растущего k остаточный член в этой формуле есть O(N 2 k 4 + +k 2 + ).

В дальнейшем ряд авторов занимались оценкой остаточного члена в этой формуле в среднем и среднеквадратичном (см. [17, 45, 36]).

В 2008 г. А. М. Гулоглу и К. В. Неванс [24], опираясь на оценку тригонометрической суммы вида (2) с мультипликативными коэффициентами f (n), полученную Х. Монтгомери и Р. Воном [33], доказали следующую теорему:

некоторая постоянная, то В частности, для случая мультипликативной функции f (n) = µ2 (n) в качестве следствия получается следующая асимптотическая формула для количества Q(N, ) бесквадратных чисел вида [n], 1 n N:

При этом для почти всех > 1 упомянутая выше теорема из работы [2] дает более точную оценку остаточного члена: O(N 3 + ), однако не позволяет указать какие-либо конкретные значения, для которых верна такая формула.

Вторая глава настоящей диссертации посвящена улучшению оценки остаточного члена в формуле (4) для случая имеющих ограниченные неполные частные и алгебраических. Основной результат формулируется следующим образом.

Теорема 2.1. Пусть иррациональное число > 1 имеет ограниченные неполные частные или является алгебраическим. Тогда при N справедлива асимптотическая формула где A = A(N ) = max 2 (m).

Числами конечного типа являются почти все вещественные числа, а также все алгебраические числа.

но малых > 0) остаточный член в этой формуле есть O(N 6 + ). Как и в теореме 1.1, доказательство основано на получении новой оценки тригонометрической суммы с бесквадратными числами, т. е. суммы вида (3) с функцией f (n) = µ2 (n).

Из теоремы 2.1 и оценки тригонометрической суммы с функцией Мбиуса, принадлежащей Д. Хаджеле и Б. Смиту [25], мы выводим также следующее утверждение.

Следствие 2.3. Пусть Q0 (N, ) и Q1 (N, ) количества бесквадратных чисел вида [n], 1 n N, имеющих четное и нечетное число простых делителей соответственно, а иррациональное число > 1 имеет ограниченные неполные частные или является алгебраическим. Тогда справедливы асимптотические формулы и, таким образом, Более того, в предположении справедливости гипотезы Римана о нулях дзета-функции остаточный член в этих асимптотических формулах для Q0 (N, ), Q1 (N, ) можно заменить на O AN 6 ln5 N, где A = A(N ) = max (m).

1 m N Это следствие показывает, что бесквадратные числа с чтным и нечтным числом простых делителей распределены в последовательности [n] асимптотически поровну.

Следует отметить также результаты, связанные с распределением бесквадратных чисел в другой антье-последовательности, а именно последовательности чисел вида [nc ], где c > 1 нецелое4. В 1998 г. Х. Као и В. Жай [14] доказали, что при некотором > 0 и 1 < c < 36. В 2008 г. теми же авторами верхняя граница для c была увеличена до в статье [15], содержащей лишь набросок доказательства. Подробное доказательство опубликовали в 2013 г. Р. Бейкер и др. [3] в числе других результатов, связанных с распределением арифметических функций в последовательностях вида [nc ].

Методы аналитической теории чисел находят также широкое применение при решении аддитивных задач. Одна из наиболее известных среди них знаменитая тернарная проблема Гольдбаха о представлении нечетных чисел в виде суммы трех простых чисел, решенная в 1937 г. И. М. Виноградовым [59] (доказательство изложено также в его книге [58]). Для решения этой проблемы И. М. Виноградов применил свой, усовершенствованный вариант кругового метода, разработанного в начале XX в. Г. Г. Харди, Дж. Литтлвудом и С. Рамануджаном (см., например, [60]), который с успехом применялся к решению проблемы Варинга (о представлении натуральных чисел суммой k-х степеней) и других задач. Более того, И. М. Виноградов не только доказал представимость каждого достаточно большого нечетного числа N суммой трех простых чисел, но и вывел асимптотическую формулу для количества таких представлений:

Последовательность чисел такого вида называют также последовательностью Пятецкого-Шапиро по имени И. И. Пятецкого-Шапиро, впервые рассмотревшего задачу о распределении простых чисел в этой последовательности [67]. Он доказал асимптотический закон распределения таких простых чисел при 1 < c < 11. В дальнейшем верхняя граница для числа c неоднократно уточнялась.

где особый ряд (S(N ) > 1). Доказательство этой формулы стало возможным благодаря оценке тригонометрической суммы с простыми числами.

До сих пор нерешенной остается бинарная проблема Гольдбаха о представлении четных чисел суммой двух простых чисел. В отличие от тернарной проблемы круговой метод в этой задаче не позволяет получить асимптотическую формулу, однако оценки И. М. Виноградова тригонометрических сумм с простыми числами дали возможность доказать, что почти все четные числа представимы: множество четных чисел, не превосходящих N и не представимых суммой двух простых чисел (так называемое особое, или исN фиксированного A > 0 (этот результат доказан в 1937–1938 гг. независимо пятью авторами: Ван дер Корпут, Н. Г. Чудаков, Т. Эстерман, Г. Хейльбронн, Хуа Ло-ген). Современная оценка мощности особого множества имеет вид |E(N )| = O(N 1 ), для некоторой постоянной > 0 (Х. Л. Монтгомери и Р. К. Вон [35], Чен Джин Ран и Лю Ян Мин ( = 0,05) [16]).

В 1997 г. Г. И. Архипов, К. Буриев и В. Н. Чубариков [48] рассмотрели особое множество в другой бинарной проблеме гольдбахова типа о представлении натурального числа N в виде p1 +[p2 ], где p1, p2 простые числа.

Для его мощности они получили следующую оценку: если алгебраичеN 9 +. В 2000 г. Й. Брюдерн [10] показал, что из ское число, то |E(N, )| дачу о представлении N в виде [1 p1 ]+[2 p2 ], где p1, p2 простые числа. Для особого множества в этой задаче он получил оценку |E(N, 1, 2 )| если 1, алгебраические числа, причем 1, 1, линейно независимы над полем Q. В 2002 г. Г. И. Архипов и В. Н. Чубариков [50] при одном лишь условии, что иррациональное алгебраическое число, получили более стве играет лемма о мере множества больших дуг в разбиении Фарея (ее полное доказательство опубликовано в статье Г. И. Архипова и В. Н. Чубарикова [51]; см. также [9, лемма 4]).

В 1999 г. С. Ю. Фаткина [70] рассмотрела видоизмененную тернарную проблему Гольдбаха и, пользуясь методами работ Г. И. Архипова, К. Буриева и В. Н. Чубарикова, доказала асимптотическую формулу для числа представлений натурального числа N в виде N = p1 + p2 + [ 2p3 ] (p1, p2, p3 простые числа) с почти равными слагаемыми, т. е. с условиями U < p1 < + U, некоторая константа) она доказала следующую асимптотическую формулу для количества таких представлений:

В. Д. Бэнкс, А. М. Гулоглу и К. В. Неванс [6] рассматривали также задачу о представлении достаточно больших натуральных чисел в виде N = p1 + p2 +...+p, где p1, p2,..., p простые числа из последовательности [n+], 3, иррациональное число, 1 < <. А. Кумчев [30] обобщил их результаты на случай, когда каждое из простых чисел pi принадлежит своей последовательности вида [i n + i ], где хотя бы одно из отношений i /j Наряду с задачами с простыми числами многими авторами рассматривались также аддитивные задачи с бесквадратными числами. В 1929–1933 гг.

К. Эвелин и Е. Линфут в серии работ [22] получили следующие асимптотические формулы для количества r (N ) представлений числа в виде суммы Оценки остаточного члена в этих формулах для случаев различных в дальнейшем неоднократно уточнялись (Л. Мирский [34], Д. Р. Хиз-Браун [28], Й. Брюдерн и А. Перелли [12], Д. И. Толев [42] и др.). Последний результат в этой задаче при 3 принадлежит Й. Брюдерну и А. Перелли [12], которые в 1999 г. круговым методом доказали оценку остаточного члена с () = при 3. В случае = 2 более простое доказательство оценки остаточного члена с (2) = предложил в 1931 г. Т. Эстерман [19].

В третьей главе настоящей диссертации рассматриваются две следующие аддитивные задачи. Пусть > 1 фиксированное иррациональное число и пусть r2 (N, ) и r3 (N, ) равны соответственно количествам разбиений натурального числа N на одно и два бесквадратных слагаемых и слагаемое вида [q], где q также бесквадратное, т. е. числу представлений числа N в виде и в виде соответственно, где q1, q2, q3 бесквадратные числа. Тогда имеют место следующие утверждения.

Теорема 3.1. Пусть > 1 иррациональное алгебраическое число. Тогда при любом > 0 для количества r3 (N, ) решений уравнения q1 +q2 +[q3 ] = N в бесквадратных числах q1, q2, q3 справедлива асимптотическая формула Теорема 3.2. Пусть > 1 иррациональное алгебраическое число. Тогда при любом > 0 для величины r2 (N, ) справедлива асимптотическая формула Доказательства этих теорем существенно различаются. В случае r3 (N, ) асимптотическая формула выводится с помощью кругового метода Харди– Литтлвуда–Рамануджана в форме тригонометрических сумм И. М. Виноградова (параграф 3.1). При этом, как и в работе [50], существенную роль в доказательстве играет аналог леммы Г. И. Архипова и В. Н. Чубарикова о мере множества больших дуг в разбиении Фарея (лемма 3.3). Применяя круговой метод, мы также опираемся на теорему об оценке тригонометрической суммы с бесквадратными числами по малым дугам [11, 42, 40] (лемма 3.1). В случае r2 (N, ) мы применяем аналог элементарного подхода Т. Эстермана (параграф 3.2).

Многими авторами исследовались также задачи об асимптотическом поведении средних значений арифметических функций в последовательности сдвинутых простых чисел, т. е. на множестве вида {p1 | p простое число}.

Как правило, порядок роста среднего значения для многих арифметических функций на этом множестве соответствует порядку их роста по всем подряд идущим натуральным числам. Одной из наиболее известных задач такого типа является проблема делителей Титчмарша об асимптотическом поведении суммы при N, где (n) функция делителей. Для суммы T (N ) Е. Титчмарш [41] в 1930 г. в предположении справедливости расширенной гипотезы Римана получил асимптотическую формулу Ю. В. Линник [64] с помощью разработанного им (весьма сложного) дисперсионного метода опубликовал безусловное доказательство этого результата.

В конце 60-х годов прошлого века был разработан метод большого решета, на основе которого была доказана теорема о распределении простых чисел в среднем по арифметическим прогрессиям (теорема Э. Бомбьери А. И. Виноградова), позволившая значительно упросить доказательство. В 1986 г. Э.

Бомбьери, Ж. Фридландер и Г. Иванец [13] доказали, что оценку остаточного ного A > 0.

Рядом авторов рассматривались суммы вида (5) с другими арифметическими функциями (см. К. Хооли [29], Ж. Портер [38], Р. Вон [44], А. Фуджи [23], С. Пиллай [37], П. Эллиотт и Х. Халберстам [18], М. Б. Барбан [52], Т. М. Федулова [69], Е. П. Давлетярова [61] и др.). Отметим, что задача о точных квадратах вида p 1 является одной из труднейших нерешенных задач теории простых чисел. Доказать бесконечность точных квадратов в этой последовательности, или, другими словами, бесконечность простых чисел вида n2 + 1, одна из знаменитых четырх проблем, сформулированных Э. Ландау на Пятом Международном математическом конгрессе в Кембридже (Великобритания) в 1912 г., ни одна из которых не решена до сих пор.

Четвртая глава диссертации посвящена исследованию распределения бесе квадратных чисел на множестве сдвинутых простых чисел, т. е. задаче о нахождении асимптотического поведения суммы вида (5) с арифметической получаем асимптотические формулы для сумм Приведем формулировки соответствующих теорем.

Теорема 4.1. При N для любого A > 0 справедлива асимптотическая формула гральный логарифм.

Теорема 4.2. Пусть справедлива асимптотическая формула где постоянная в символе O зависит только от параметров a, k, и Отметим следующее следствие теоремы 4.2, показывающее, что бесквадратные числа распределены по множествам сдвинутых простых чисел, принадлежащим различным прогрессиям по модулю k, P (a, k) = Следствие 4.1. Пусть N для любого A > 0 справедлива асимптотическая формула зависит только от параметров a, k.

Таким образом, для каждого из (k) значений a в множества P (a, k) попадают асимптотически неравные количества бесквадратных чисел: при услоc1 c так как (k) = k в отличие от исследованного во второй главе распределения значений µ2 (n) на множестве чисел вида [n] по множествам P (a, k) значения этой функции распределены асимптотически неравномерно.