«Щуров Илья Валерьевич Решения-утки в быстро-медленных системах на торе 01.01.02 – дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Диссертация на соискание ученой степени кандидата ...»

Московский государственный университет

имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 517

Щуров Илья Валерьевич

Решения-утки в быстро-медленных системах на торе

01.01.02 – дифференциальные уравнения, динамические

системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

д.ф.-м.н., проф. Ильяшенко Ю.С.

Москва, 2010 Оглавление Введение 1. Выпуклая медленная поверхность 1.1. Быстро-медленные системы на торе и отображение Пуанкаре.. 1.1.1. Предварительная формулировка основного результата 1.1.2. Полная формулировка основного результата...... 1.1.3. Отображение Пуанкаре................... 1.1.4. Существование уток.................... 1.2. Нормализация............................... 1.2.1. Нелинейное вращение.................... 1.2.2. Нормализация вблизи медленной кривой........ 1.2.3. Грубая оценка производной отображения Пуанкаре. 1.3. Обоснование свойств отображения Пуанкаре............ 1.3.1. Искажение: доказательство леммы 1.1......... 1.3.2. Выпуклость: доказательство леммы 1.3......... 1.3.3. Монотонность: доказательство леммы 1.2....... 1.4. Влияние точки срыва: доказательство технических утверждений 1.4.1. Динамика вблизи точки срыва.............. 1.4.2. Лемма об искажении: доказательство утверждения 1. 2. Невыпуклая медленная поверхность 2.1. Основные результаты........................... 2.1.1. Предварительная формулировка основного результата 2.1.2. Общий случай: оценка сверху на число уточных циклов 2.1.3. Оценка снизу на число уточных циклов........ 2.2. Отображение Пуанкаре: обзор доказательства............ 2.2.1. Структура доказательства................. 2.2.2. Основные факты и обозначения............. 2.2.3. Области на прямой.................... 2.3. Нормализация и оценки производных................. 2.4. Оценка второй производной отображения Пуанкаре........ 2.4.1. Эвристическое описание.................. 2.4.2. Предельное поведение траекторий и оценки производных............................... 2.4.3. Нейтральные точки..................... 2.4.4. Оценка сверху на число нейтральных контуров.... 2.4.5. Бассейны притяжения................... 2.5. Максимальное число уточных циклов................. 2.6. Нелинейные эффекты.......................... 2.6.1. Сингулярные траектории................. 2.6.2. Экспоненциальное сжатие................. 2.6.3. Нейтральные траектории и нейтральные контуры.. 2.6.4. Оценка второй производной................ Литература Введение Актуальность темы.

Работа посвящена исследованиям в качественной теории дифференциальных уравнений и теории динамических систем, точнее в теории быстро-медленных систем (также известной под названиями теория сингулярно-возмущенных систем или теория релаксационных колебаний). Указанные системы естественным образом возникают в физических и биологических моделях, а также в теоретических исследованиях.

В работе изучаются быстро-медленные системы на двумерном торе, которые обладают свойствами, не встречающимися у аналогичных систем на плоскости.

Впервые релаксационные колебания были обнаружены в радиотехнике. Для описания колебаний в контуре, включающем в себя два сопротивления, емкость, индукцию и тетрод, Б. Ван-дер-Поль предложил [25] дифференциальное уравнение второго порядка, зависящее от параметра, который мы будем обозначать через µ. Указанный параметр выражался через параметры элементов контура. При малых µ колебания в контуре были близки к гармоническим, однако с увеличением µ их характер менялся, и при больших значениях параметра в динамике колебательного процесса стали выделяться участки двух типов: медленного изменения параметров и быстрых скачков с одного состояния на другое. Ван-дерПоль предложил называть такие колебания релаксационными, и выдвинул гипотезу, что при µ + соответствующие решения становятся разрывными.

Аналогичные эффекты также наблюдались и в других физических системах. В частности, в ходе анализа различных схем мультивибраторов, А. А. Андроновым и А. А. Виттом было обнаружено (см. [1] и цитированные там работы), что некоторые паразитные параметры (такие как самоиндукция проводника), традиционно отбрасываемые в силу своей относительной малости при построении модели, могут существенно влиять на поведение системы: например, участвовать в образовании положительных обратных связей и тем самым играть ключевую роль в возникновении автоколебаний. Таким образом, их отбрасывание приводило к неадекватной модели. Первоначально влияние малых параметров удалось учесть путем введения постулата скачка, предложенного Л. И. Мандельштамом, в соответствии с которым из физических соображений декларировалось, что достигнув некоторого критического состояния система мгновенно переходит в другое состояние.

Математическое обоснование постулата скачка было получено Н. А. Железцовым и Л. В. Родыгиным [16, 17], и потребовало рассмотрения уравнений, в которых паразитный малый параметр входил коэффициентом при старшей производной, и его учет повышал порядок уравнения или, иными словами, размерность фазового пространства соответствующей системы.

Таким образом, с 40-х годов различными исследователями стали рассматриваться системы вида или, после перехода к другому масштабу времени t = /:

где x и y могут быть, вообще говоря, многомерными координатами, а малый параметр. К системе аналогичного вида приводится классическое уравнение Ван-дер-Поля с помощью преобразования Льенара (при этом 1/µ). Такие системы в современной терминологии получили название быстро-медленных : координата x быстрая, y медленная. Интерес представляет асимптотическое поведение решений при 0.

Фазовые портреты систем () и () при фиксированном = 0 совпадают, но предельное поведение при 0 различно: предел () называется медленной системой (она задает движение в медленном времени ), а быстрой. Трактории быстрой системы лежат в плоскостях предел () y = const, а множество нулей M := {(x, y) | f (x, y, 0) = 0} функции f, называемое медленной поверхностью, целиком состоит из особых (неподвижных) точек быстрой системы. Наоборот, траектории медленной системы целиком лежат на медленной поверхности.

Рассмотрение этих предельных систем позволило объяснить появление мгновенных скачков. Медленная система соответствует модели, при построении которой паразитные малые параметры были отброшены. Она адекватно описывает поведение реальной системы при малых, но лишь до тех пор, пока движение происходит вблизи участков медленной поверхности, состоящих из устойчивых особых точек быстрой системы. Однако, траектория медленной системы может в какой-то момент достигнуть границы притягивающего участка. В этот момент траектория реальной системы при = 0 может испытать срыв: уйти из окрестности медленной поверхности и переключиться с медленного движения на быстрое, задающееся быстрой системой. Это и есть наблюдающийся скачок (в медленном масштабе времени он происходит мгновенно, то есть траектория имеет разрыв; в быстром за время порядка O(1)), который невозможно объяснить, пренебрегая малыми параметрами. При этом траектория, следуя быстрой динамике, может вновь попасть на устойчивый участок медленной поверхности, после чего быстрое движение снова сменится медленным, и т.д.

Таким образом, стало возможным описывать поведение решений быстро-медленных систем, рассматривая в них чередующиеся фазы медленного движения вдоль устойчивых участков медленной поверхности, определяемых медленной системой, и срывов вдоль траекторий быстрой системы. В случае, если быстрая и медленная координаты одномерны (т.е.

рассматриваются быстро-медленные системы на плоскости), этому описанию удовлетворяет типичная траектория типичной системы. Замкнутая траектория, проходящая через участки быстрых и медленных движений, является релаксационным циклом, ответственным за появление релаксационных колебаний.

Дальнейшие исследования в этой области были направлены преимущественно на нахождение асимптотик по для различных параметров истинных траекторий системы при 0 (например, периода релаксационных колебаний). Существенные трудности вызвал анализ динамики в окрестности точек срыва, где и происходит переключение с быстрого движения на медленное. Эта задача была решена Л. С. Понтрягиным и Е. Ф. Мищенко в конце 50-х годов [26, 21]. Важные результаты были получены А. Н.Тихоновым, А. Б. Васильевой, Л. Флэтто, Н. Левинсоном и др. (см. работы, цитируемые в [2] и [22]). Первые члены асимптотического ряда для периода релаксационных колебаний в уравнении Ван-дер-Поля были впервые посчитаны А. А. Дородницыным [9]. Ряд асимптотик для общего случая быстро-медленной системы на плоскости были получены Дж. Хаагом в 40-х годах [12, 13]. Методы, разработанные Понтрягиным и Мищенко, позволили получить полные асимптотики решений типичных быстро-медленных систем на плоскости, изложенные в монографии Е. Ф. Мищенко и Н. Х. Розова [22], ставшей классической. Эти результаты широко используются в настоящей работе.

Однако, оказалось, что указанное простое качественное описание не исчерпывает всех возможных типов траекторий быстро-медленных систем.

Так, в 70-х годах Л. С. Понтрягиным было обнаружено явление затягивания потери устойчиовсти: оказалось, что в аналитических быстромедленных системах с двумерной быстрой координатой после прохождения границы устойчивости траектория может находиться длительное время вблизи уже неустойчивой части медленной поверхности (проходя вдоль неё отделенное от нуля расстояние), и лишь затем претерпевать срыв и переключаться на быстрое движение. На конкретном примере этот эффект был исследован в работе М. А. Шишковой [28] в 1973, проведенной под руководством Понтрягина; общий случай проанализировал А. И. Нейштадт [24] в 1985 г.

Близкий эффект был обнаружен учениками Дж. Риба (Е. Бенуа, Дж. Калло, Ф. Дьене, М. Дьене) [5, 7] в начале 80-х годов в быстромедленных системах с одной быстрой и одной медленной переменной. Они исследовали рождение релаксационного предельного цикла в системе Вандер-Поля с дополнительным параметром. Оказалось, что когда при фиксированном этот параметр проходит экспоненциально узкий (по ) интервал, предельный цикл, рождающийся из особой точки в результате бифуркации Андронова Хопфа проходит через несколько стадий эволюции прежде чем приобрести вид классического релаксационного цикла. При этом для промежуточных значений параметра соответствующие предельные циклы проходят вблизи некоторых дуг неустойчивой части медленной кривой. Такие траектории получили название уток (canard, сейчас также используется английское duck) частично благодаря контринтуитивности эффекта, который поначалу был воспринят как газетная утка, частично из-за своей формы, отдаленно напоминающей летящую утку [2, 31].

Уточные решения были обнаружены в различных химических, биологических и других моделях. (См. напр. [23] и цитированные там работы.) Первоначально, уточные решения исследовались методами нестандартного анализа, однако вскоре к ним удалось применить ставшие уже классическими методы асимптотических рядов (У. Эккауз [11], Е. Ф. Мищенко, А. Ю. Колесов, Ю. С. Колесов, Н. Х. Розов [18, 20]), а позже геометрическую теорию сингулярно-возмущенных систем (разработанную Н. Феничелем [14]) с помощью метода раздутия (Ф. Дюмортье и Р. Руссари [10], М. Крупа и П. Смолян [19]). Оказалось, что уточные решения являются редким явлением в системах на плоскости. В частности, притягивающие уточные циклы, которые могут быть обнаружены в ходе численного эксперимента, появляются только при наличии дополнительного параметра, причем множество уточных значений этого параметра при фиксированным является экспоненциально узким по.

В 2001 году Ю. С. Ильяшенко и Дж. Гукенхеймер обнаружили [15] принципиально новое поведение для быстро-медленных систем на двумерном торе. Было показано, что для некоторого конкретного семейства систем, в отсутствие дополнительных параметров, для сколь угодно малого значения система может иметь устойчивый уточный цикл. Однако, рассмотренные ими системы обладали симметрией, и поэтому не были типичными. В то же время, в указанной работе была выдвинута гипотеза, что обнаруженный эффект наблюдается в открытом множестве в пространстве быстро-медленных систем, то есть в (локально) типичном случае.

Настоящая диссертация посвящена доказательству этой гипотезы, а также дальнейшим исследованиям уточных решений в быстро-медленных системах на двумерном торе. В работе практически полностью исследован весьма широкий класс локально-типичных систем без дополнительных параметров, обладающих притягивающими уточными циклами для сколь угодно малого значения параметра, что является принципиально новым явлением в теории быстро-медленных систем. Актуальность работы следует из вышесказанного.

Цель работы. Целью работы является изучение уточных решений быстро-медленных систем на двумерном торе. Основные результаты работы посвящены формулировке необходимых и достаточных условий для существования притягивающих уточных предельных циклов, а также нахождению верхних и нижних оценок на их количество.

Методы исследования. В работе используются асимптотические разложения траекторий быстро-медленных систем вблизи точки срыва (Л. С. Понтрягин, Е. Ф. Мищенко, Н. Х.Розов [22]), методы геометрической теории сингулярно-возмущенных систем (Н. Феничель [14]), теория нормальных форм в приложении к быстро-медленным системам на торе (Ю.С. Ильяшенко, Дж. Гукенхеймер, [15]), а также новые технические результаты, полученные в работе и описывающие быстро-медленную динамику на торе вблизи точки срыва.

Научная новизна. Результаты работы являются новыми. В работе получено три основных результата:

• Доказано, что в типичных быстро-медленных системах на двумерном торе, обладающих выпуклой медленной кривой, выполняется аналог теоремы Ильяшенко–Гукенхеймера: а именно, система обладает единственным притягивающим уточным циклом (совершающим 1 оборот вдоль оси y) для сколь угодно малых значений параметра.

• Доказано, что в типичных быстро-медленных системах на двумерном торе, обладающих невыпуклой медленной кривой, число притягивающих уточных предельных циклов, совершающих 1 оборот вдоль оси y, не превосходит половины от числа складок медленной поверхности при проектировании вдоль оси быстрого движения x.

• Доказано, что указанная оценка является точной в следующем смысле: она достигается для систем из некоторого открытого множества.

Помимо этого, получено описание динамики вблизи точки срыва в быстромедленных системах на торе.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты относятся к качественной теории дифференциальных уравнений и теории динамических систем. Разработанные в диссертации методы позволяют эффективно оценивать число притягивающих уточных циклов (которые могут наблюдаться в численных или физических экспериментах) без интегрирования рассматриваемой системы. Эти результаты, а также разработанная техника анализа быстромедленных систем на торе, могут быть полезны специалистам для решения математических и физических задач.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:

• на семинаре Динамические системы под руководством д. ф.-м. н., профессора Ю. С. Ильяшенко (механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова) в 2006 г. и 2008 гг;

• на летней школе Динамические системы под руководством д. ф.м. н., профессора Ю. С. Ильяшенко (механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова, при поддержке РФФИ и Laboratoire J.-V.Poncelet) в 2009 г;

• на Международной конференции Дифференциальные уравнения и смежные вопросы, посвященной памяти И.Г.Петровского. (г. Москва, МГУ, 21–26 мая 2007 г.) • на Международной конференции Топология, геометрия и динамика памяти В. А. Рохлина (Euler International Mathematical Institute, Санкт-Петербург, 11–16 января 2010).

• на совместном заседании семинаров кафедры дифференциальных уравнений и кафедры численного функционального анализа Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского Публикации. Основные результаты работы опубликованы в статьях [29], [30].

Структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, и списка литературы, содержащего 31 наименование. Общий объем диссертации 136 страниц.

В работе рассматривается быстро-медленная система вида (), где (x, y) T2, g > 0, функции f и g являются достаточно гладкими, медленная кривая M целиком лежит в некоторой фундаментальной области универсальной накрывающей тора. В описаниях, ось x считается вертикальной и направленной вверх, ось y горизонтальной и направленной вправо.

В главе 1 исследуется случай системы, имеющей выпуклую медленную кривую. Ее основным результатом является следующая теорема, сформулированная в параграфе 1.1.1:

Теорема 1.1. В некоторой открытой области пространства быстромедленных динамических систем на торе имеет место следующее. Существует накапливающаяся к нулю последовательность интервалов, для всякого из которой система имеет замкнутое притягивающее уточное решение. Бассейном притяжения этого решения является весь тор, за исключением одной неустойчивой периодической траектории.

В параграфе 1.1.2 дается более подробная формулировка основного результата. В параграфе 1.1.3 дается обзор доказательства, сводящего данную теорему к серии лемм, которые доказываются в следующих параграфах. В разделе 1.2 приводятся теоремы о нормальных формах, необходимые для дальнейшего. В разделе 1.3 доказываются сформулированные ранее леммы. В разделе 1.4 доказываются вспомогательные технические утверждения.

Эвристическая идея, лежащая в основе доказательства, состоит в следующем. В силу выпуклости, медленная кривая имеет две точки срыва.

Зафиксируем некоторую вертикальную окружность = {y = const}, не пересекающую медленную кривую. Рассмотрим произвольную точку, проектирующуюся на медленную кривую вдоль оси быстрого движения, не попадая при этом на точки срыва. (См. рис. 0.1). Траектория, проходящая через эту точку, в прямом времени быстро попадает в окрестность устойчивой части медленной кривой, после чего медленно движется вправо до точки срыва, претерпевает срыв, и дальше движется по тору, совершая большое количество оборотов (порядка 1/), после чего пересекает.

Обозначим точку пересечения через R(). В обратном времени, траектоРис. 0.1: Уточная траектория системы с выпуклой медленной кривой рия притягивается к отталкивающей части медленной кривой, движется влево до точки (обратного) срыва, претерпевает срыв, после чего движется по тору, совершая большое количество оборотов вплоть до пересечения с в точке, которую мы обозначим через L(). Эта траектория является уточной, поскольку проходит вблизи дуги отталкивающей части медленной кривой.

При уменьшении > 0, траектории системы при движении вне окрестности медленной кривой становятся более вертикальными (близкими к траекториям быстрого движения). Следовательно, точка R() при этом сдвигается вверх, а точка L() сдвигается вниз. Из соображений непрерывности, найдется такое 1, что точки совпадут: R(1) = L(1). Тем самым, для данного система имеет уточный цикл. При дальнейшем уменьшении, произойдет еще одно совпадение, и т.д. Таким образом, для последовательности значений = k, сходящейся к нулю, система имеет уточные циклы. Подходящим выбором начальной точки, мы можем добиться устойчивости уточного цикла. Малое шевеление начальной точки приводит к шевелению соответствующих значений k, которые тем самым заметают уточные интервалы, существование которых утверждается в теореме.

Ключевым инструментом анализа является отображение Пуанкаре P с трансверсали на себя вдоль фазовых кривых системы. В силу условия g > 0, указанное отображение является всюду определенным диффеоморфизмом окружности. Его периодические (в частности, неподвижные) точки соответствуют периодическим траекториям системы. Обозначим график отображения P через. Неподвижные точки отображения Пуанкаре соответствуют точкам пересечения графика с диагональю D := {y = x}.

Практически во всех точках окружности-прообраза (за исключением малой дуги) отображение P имеет производную, близкую к 0, то есть сильно сжимает. В то же время, оставшаяся малая дуга под действием P сильно растягивается, и её образом является почти вся окружность; в точках этой дуги производная отображения Пуанкаре может быть очень велика.

Геометрически, это соответствует тому, что график содержится в объединении двух узких полос: вертикальной и горизонтальной, см. рис. 1.3.

Ширина полос экспоненциально мала вместе с (лемма 1.1). Полосы строятся таким образом, что все точки графика, лежащие в вертикальной полосе, соответствуют уточным решениям системы.

Вне прямоугольника, являющегося пересечением полос, наклон графика либо очень мал (график проходит почти горизонтально), либо очень велик (график почти вертикален). Тем самым, точки графика, в которых производная P равна 1 (мы будем называть их нейтральными), могут находиться только внутри указанного прямоугольника. Максимальное количество точек пересечения диагонали D с графиком оценивается сверху через число нейтральных точек (лемма Ролля). Когда D проходит через нейтральную точку, происходит либо рождение, либо уничтожение очередной пары циклов: устойчивого и неустойчивого. Соответствующие точки на графике отображения Пуанкаре близки к нейтральным точкам, и значит лежат внутри вертикальной полосы, т.е. соответствуют уточным решением. Когда монотонно убывает к нулю, график движется как целое из правого нижнего угла в верхний левый (лемма 1.2), поэтому существует счетный набор интервалов значений, накапливающийся к нулю, для которых диагональ D пересекает график вблизи нейтральных точек, и система имеет уточные притягивающие циклы (см. параграф 1.1.4).

Оказывается, в случае выпуклой медленной кривой, отображение Пуанкаре имеет ровно две нейтральные точки (лемма 1.1). Это означает, что может родиться ровно одна пара уточных циклов. Доказательство этого факта приведено в параграфе 1.3.2. Оно сопряжено с преодолением технических трудностей, и требует анализа поведения быстро-медленной системы на торе в окрестности точки срыва, с учетом того факта, что траектория проходит в этой окрестности неограниченное число раз при 0.

Указанный анализ проводится в параграфе 1.4 путем применения леммы об искажении Данжуа–Шварца (лемма 1.6).

В главе 2 рассматривается случай произвольной типичной быстромедленной системы на торе, без ограничения на выпуклость медленной кривой. Условия типичности задаются в явном виде: исключительное множество нетипичных систем является объединением конечного числа семейств положительной коразмерности, выделяемых явными условиями типа равенства. Основным результатом этой главы являются следующие две теоремы, сформулированные в параграфе 2.1.1:

Теорема 2.1 (Оценка сверху на число уточных циклов). Типичная быстро-медленная система на торе обладает следующим свойством. На оси существует накапливающаяся к нулю последовательность интервалов, такая что для всякого из них система обладает притягивающими замкнутыми уточными решения (уточными циклами), совершающими один оборот вдоль оси y. Бассейн притяжения каждого из этих циклов (на всем торе) имеет равномерно ограниченную снизу меру. Их количество не превосходит половины от количества точек складки медленной кривой (то есть точек кривой M, в которых касательная к M вертикальна).

Теорема 2.2 (Точность оценки). Существует открытое множество систем, обладающих максимальным количеством уточных решений (равным числу складок на медленной кривой) для всех из некоторого набора интервалов, накапливающихся к нулю.

Доказательство использует методы, разработанные в первой главе. Основные соображения, позволяющие доказать существование уточных циклов, переносятся со случая выпуклой медленной кривой без существенных изменений. Однако оценка числа уточных циклов требует привлечения новых соображений, составляющих основное содержание второй главы. Обзор доказательства приведен в разделе 2.2. В разделе 2.3 приведена более удобная формулировка основного технического результата, полученного в главе 1. В разделе 2.4 доказывается первый основной результат главы:

теорема 2.1. В разделе 2.5 доказывается второй основной результат главы:

теорема 2.2. Раздел 2.6, завершающий диссертацию, посвящен доказательству технических утверждений.

Идея доказательства состоит в следующем. Нейтральные точки разбивают график на несколько дуг, на каждой из которых вторая производная отображения Пуанкаре сохраняет свой знак. Геометрически, это означает, что в указанном прямоугольнике график имеет вид лесенки со ступеньками разной ширины и высоты (лемма 2.4).

Информация о производных отображения Пуанкаре, необходимая для анализа нейтральных точек, находится из следующих геометрических соображений. Рассмотрим базовую полосу в фазовом пространстве, ограниченную вертикальными окружностями, проходящими через крайнюю правую и крайнюю левую точки срыва, и содержащую медленную кривую M.

Любая траектория, проходящая через фиксированную точку этой полосы w M, в прямом времени попадает на устойчивый участок медленной кривой, проходит вправо вдоль этого участка до точки срыва, претерпевает срыв, после чего либо выходит из базовой полосы, либо попадает на другой устойчивый участок и движется вдоль него до следующей точки срыва, после чего процесс повторяется вплоть до выхода из полосы. В обратном времени траектория попадает на неустойчивый участок медленной кривой, движется влево вдоль него до точки обратного срыва, претерпевает обратный срыв, и либо выходит из базовой полосы, либо попадает на другой неустойчивый участок и т.д. вплоть до выхода из полосы. Таким образом, траектория проходит вблизи некоторых дуг устойчивых и неустойчивых участков медленной кривой. (См. рис. 2.1 и построение в параграфе 2.4.2.) В точке w происходит переключение, называемое уточным срывом :

левее неё траектория движется вблизи устойчивых участков, а правее вблизи неустойчивых. При движении вблизи устойчивых (неустойчивых) участков накапливается сближение (разбегание) траекторий. Производная отображения Пуанкаре определяется суммой интегралов fx(x, y, 0)dy по указанным дугам.

Рассмотрим траекторию, проходящую через точку (x, ). Она претерпевает не более чем один уточный срыв. В зависимости от его направления (вниз или вверх), при увеличении x, уточный срыв смещается вправо либо влево. В первом случае производная отображения Пуанкаре возрастает, поскольку увеличивается время, которое траектория проходит вблизи неустойчивых участков медленной кривой. Аналогично, во втором случае производная отображения Пуанкаре убывает. Переключение между режимом возрастания и режимом убывания происходит при достижении уточным срывом какой-либо точки складки медленной кривой. (См. эвристическое описание в параграфе 2.4.1.) Таким образом, производная отображения Пуанкаре кусочномонотонна, причем число интервалов монотонности не превосходит числа складок медленной кривой. (См. лемму 2.3 и её доказательство в разделе 2.4.) Это доказывает, что число нейтральных точек (а значит, и уточных циклов) не превосходит числа складок. Явным построением можно показать (см. раздел 2.5), что максимальное число уточных циклов реализуется на открытом множестве систем (теорема 2.2).

Выражаю свою искреннюю признательность моему учителю, Юлию Сергеевичу Ильяшенко за постановку задачи, постоянное внимание и интерес к работе, многочисленные плодотворные обсуждения и ценные замечания по тексту. Я также признателен В. А. Клепцыну за многочисленные обсуждения и идею использования леммы об искажении.

Глава Выпуклая медленная поверхность 1.1 Быстро-медленные системы на торе и отображение Пуанкаре 1.1.1 Предварительная формулировка основного результата Рассмотрим быстро-медленную систему на торе:

где функции f и g достаточно гладкие для выполнения всех утверждений.

Следствием основного результата (теоремы 1.2) является следующее утверждение:

Теорема 1.1. В некоторой открытой области пространства быстромедленных динамических систем на торе имеет место следующее. Существует накапливающаяся к нулю последовательность интервалов, для всякого из которой система имеет замкнутое притягивающее уточное решение. Бассейном притяжения этого решения является весь тор, за исключением одной неустойчивой периодической траектории.

Строгое определение понятия “уточное решение”, а также накладываемые на систему требования сформулированы в следующем параграфе.

Теорема 1.2 уточняет и усиливает вышеприведенный результат.

1.1.2 Полная формулировка основного результата Обозначим через M медленную кривую:

Наложим на систему (1.1) следующие требования локальной типичности:

1. Скорость медленного движения отделена от нуля: g > 0.

2. M является гладкой кривой.

3. Поднятие кривой M на накрывающую координатную плоскость принадлежит внутренности квадрата {|x| <, |y| < } и выпукло. При этом существуют две точки срыва (прямого и обратного), являющиеся крайней правой и левой точками M (см. рис. 1.1). Обозначим их G и G+ соответственно.

4. Выполняются условия невырожденности в точках срыва:

Требования 1–4 выделяют открытое множество в пространстве быстромедленных систем на торе.

Рис. 1.1: Быстро-медленная система на торе. Координатная ось x направлена вертикально, красным цветом показаны траектории системы.

Замечание 1.1. При необходимости меняя направление оси x, без ограничения общности можно считать, что Пусть M ± устойчивая () и неустойчивая (+) части медленной кривой. Зафиксируем трансверсаль J +, пересекающую неустойчивую часть медленной кривой M + в окрестности точки срыва G+ (точное расположение этой трансверсали будет указано ниже; J + не пересекает M ).

Определение 1.1. Назовем уточным любое решение, пересекающее J +.

Основной инструмент дальнейшего исследования отображение Пуанкаре P с трансверсали = {y = } на себя вдоль траекторий системы (1.1). Оно всегда определено и является диффеоморфизмом окружности на себя, поскольку функция g отделена от нуля. Периодические (в частности, неподвижные) точки P соответствуют циклам системы (1.1).

Обозначим через () число вращения P.

Теорема 1.2 (Основной результат). Для всякой системы вида (1.1), удовлетворяющей условиям 1–4, существует последовательность {Rn } непересекающихся отрезков Rn = [n, n] и две последовательности непересекающихся интервалов Cn Rn со следующими свойствами:

1. |Rn | = O(eCn ) для некоторого C > 0.

2. n = O(1/n) 3. Для малых, не принадлежащих объединению Rn, число вращения () = 0 (mod 2Z). Существуют ровно две гиперболические периодические траектории системы устойчивая и неустойчивая, причем неустойчивая является уткой.

4. Для малых из Cn у системы есть ровно две гиперболические периодические траектории (устойчивая и неустойчивая), обе являются утками.

Замечание 1.2. Здесь и в дальнейшем под словами для малого подразумевается следующее: существует 0 > 0 такое, что утверждение является верным для любого (0, 0]. При этом 0 можно выбрать одинаковым во всех утверждениях.

Замечание 1.3. Отметим, что, не ограничивая общности, требование выпуклости медленной кривой M можно опустить, заменив его на существование ровно двух точек кривой с вертикальной касательной. Действительно, гладкой заменой координат, сохраняющей y, любую невыпуклую кривую такого вида можно сделать выпуклой. С другой стороны, такая замена не нарушит других условий локальной типичности.

Как уже было сказано, основным инструментом исследования, применяемым для доказательства основного результата, является отображение Пуанкаре P. В параграфе 1.1.3 будут сформулированы три леммы (1.1, 1.2 и 1.3), описывающие поведение отображения Пуанкаре при 0+. В параграфе 1.1.4 из этих трех лемм будет выведена теорема 1.2.

1.1.3 Отображение Пуанкаре Замечание 1.4. Поскольку g > 0 и нас интересует только вид фазовых кривых, но не их параметризация, можно поделить систему (1.1) на g. Тем самым, в системе (1.1) без ограничения общности можно считать g = 1 и рассматривать систему Рассмотрим график S 1 S 1 отображения Пуанкаре P. Следующая лемма показывает, что при 0+ он стремится к пересечению двух окружностей вертикальной и горизонтальной. Иными словами, почти во всех точках трансверсали производная отображения Пуанкаре весьма мала (точнее, экспоненциально мала), кроме (экспоненциально) малого отрезка.

Лемма 1.1 (Лемма о графике). Существуют такие константы c± > 0, что для любого достаточного малого > 0 существуют интервалы D и D в прообразе и образе отображения P, обладающие следующими свойствами:

1. |D | = O(ec1 / ) 2. |P ||S 1\D = O(ec2 /) 4. Обозначая + := D S 1 и := S 1 D, будем иметь:

Лемма 1.1 будет доказана в параграфе 1.3.1. Следующая лемма формализует утверждение о том, что график монотонно движется влево и вверх при 0+. Для формулировки нам потребуется ввести некоторые обозначения.

Рассмотрим произвольные точки a и b на ориентированной окружности S 1. Они разбивают окружность на две дуги. Обозначим через [a, b дугу от точки a до точки b (в смысле ориентации окружности S 1 ), ориентированную так же, как S 1. Через a, b] обозначим ту же дугу, ориентированную противоположным образом (см. рис. 1.2).

Обозначим через P отображение Пуанкаре вдоль фазовых кривых системы (1.1) с трансверсали y = a на трансверсаль y = b в прямом времеa,b] [a,b ни (то есть вдоль дуги [a, b ). Положим P = P. Это отображение является отображением Пуанкаре в обратном времени с трансверсали y = b на трансверсаль y = a, что подчеркивается обозначением дуги (направление угловой скобки указывает на направление времени).

Далее во всех выражениях, содержащих знаки ±, следует читать либо только верхние знаки, либо только нижние.

Пусть точки срыва G± имеют координаты ( ±, ±) соответственно (медленная кривая M лежит в полосе { + y } в силу своей выпуклости, рис. 1.1). Для некоторых малых фиксированных положительных + и определим следующие объекты:

1. Трансверсали ±, пересекающие медленную кривую M вблизи точек 2. Отрезки J + и J трансверсалей ±, пересекающие неустойчивый и устойчивые участки медленной кривой соответственно:

3. Отрезки D, существование которых утверждается в лемме 1.1:

Выбранная трансверсаль J + фигурирует в определении 1.1 уточного решения. Все траектории, пересекающие отрезкок D, пересекают также J +, а значит являются утками.

Далее, пусть B и B точки на графике, в которых производная P равна 1. Как будет показано ниже (см. лемму 1.3), таких точек действительно ровно две. Для определенности будем считать, что x(B ) < x(B ). Из леммы 1.1 следует, что точки B находятся в прямоугольнике K := D D, поскольку вне его производная P очень мала или очень велика и не может быть близкой к 1.

Обозначим далее через A+ и A точки графика, лежащие над концами отрезка D :

а через E и E соответственно левый верхний и правый нижний углы прямоугольника K :

Пусть C поднятие на универсальную накрывающую над тором точки C, непрерывно зависящее от. (Под C здесь подразумевается одна из точек B, A±, E, определенных выше.) Лемма 1.2 (Лемма о монотонности). Справедливы следующие утверждения:

2. Уравнение (y x)(E ) = 2n имеет корень = n для всякого n, Замечание 1.5. Из второго утверждения леммы следует, что при = n диагональ проходит через левый верхний угол прямоугольника K.

Доказательство леммы 1.2 приведено в параграфе 1.3.3.

Следующая лемма показывает, как устроен график отображения Пуанкаре в окрестности точек B. Обозначим через U множество начальных условий, в которых производная отображения Пуанкаре близка к 1:

Лемма 1.3 (Лемма о выпуклости). Множество U состоит из двух дуг, лежащих в D. На одной дуге P возрастает, на другой Отсюда, в частности, следует, что существует ровно два решения уравнения P (x) = 1. Лемма 1.3 будет доказана в параграфе 1.3.2.

Теперь мы можем доказать теорему 1.2.

1.1.4 Существование уток В этом разделе из лемм 1.1, 1.2 и 1.3 будет выведена теорема 1. Эвристические рассуждения Точки пересечения графика с диагональю := {y = x (mod 2Z)} соответствуют неподвижным точкам отображения Пуанкаре, то есть замкнутым траекториям системы. Знак производной отображения Пуанкаре в неподвижной точке определяет устойчивость соответствующего цикла.

Нас в особенности будут интересовать неподвижные точки, лежащие на отрезке D, поскольку они соответствуют замкнутым уточным решениям.

Леммы 1.1 и 1.2 показывают, как изменяется поведение системы при 0+. График находится внутри объединения вертикальной и горизонтальной полос, ширина каждой из которых экспоненциально стремится к нулю, при этом график монотонно смещается из “правого нижнего” угла в “левый верхний”. Теоретически возможны следующие варианты взаимного расположения диагонали и графика (рис. 1.3).

1. Диагональ не пересекает прямоугольник K. В этом случае она пересекает в двух точках, одна из них (неустойчивая) лежит в полосе +, другая (устойчивая) в полосе, над дополнением к отрезку D.

2. Диагональ пересекает прямоугольник K, но расположение устойчивой особой точки такое же, как в предыдущем случае. (Заметим, что расположение неустойчивой особой точки нас не интересует.) 3. Диагональ пересекает в двух точках, причем устойчивая особая точка лежит в прямоугольнике K. В таком случае она соответствует устойчивому уточному циклу, доказательство существования которого и является целью настоящего исследования. Отсутствие других точек пересечения следует из леммы 1.3 (о выпуклости).

4. Диагональ касается в одной из точек B.

5. Диагональ не пересекается с Из леммы 1.2 и соображений непрерывности следует, что при 0+ последовательно реализуются варианты 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1 и далее они циклически повторяются. При этом те значения, для которых реализуется вариант 3, образуют интервалы Cn, о которых идет речь в формулировке теоремы 1. В дальнейшем эти утверждения будут строго доказаны.

Области на прямой Доказательство теоремы 1.2. Определим отрезки Rn следующим образом:

Иными словами, Rn тогда и только тогда, когда диагональ пересекает прямоугольник K. Покажем, что в этом случае Rn удовлетворяют утверждениям 1 и 2 теоремы 1.2.

Из утверждения 1 леммы 1.2 (о монотонности) следует, что Rn действительно является отрезком (как прообраз отрезка под действием непрерывного монотонного отображения). Далее, = n есть решение уравнения (y x)(E ) = 2n относительно и, согласно утверждению 2 леммы 1.2, n = O(1/n) утверждение 2 доказано.

Оценим длину отрезка Rn. Покажем, что |Rn | = O(eC/) для некоторого C > 0. Из утверждения 1 леммы 1.1 о графике следует, что Вместе с утверждением 1 леммы о монотонности это влечет необходимую оценку длины |Rn |. Тем самым утверждения 1 и 2 теоремы 1.2 для выбраных Rn доказаны.

Рис. 1.3: График отображения Пуанкаре. При 0+ последовательно реализуются варианты 1, 2, 3, 4, 5, повторно 4, затем 3, 2, 1 (не показаны), после чего они циклически повторяются Покажем, что если не лежит в объединении отрезков Rn, то выполняется конфигурация 1 из предыдущего пункта. Из этого следует утверждение 3 теоремы 1.2.

Предложение 1.1. Пусть K =. Тогда () = 0 (mod 2Z) и у P есть ровно две гиперболические неподвижные точки (притягивающая и отталкивающая).

Доказательство. Фактически доказательство проведено в [15] (Proposition 1, с. 34). Мы воспроизводим его здесь с незначительными изменениями.

На дуге S 1\D график отображения P имеет наклон меньший, чем 1.

Концы графика лежат в точках A+ и A на сторонах прямоугольника K.

Если мы соединим эти точки отрезком внутри K, то получим непрерывную замкнутую кривую на T2, обозначаемую h. Она имеет гомотопический тип (1, 0), поскольку вне K ее наклон меньше 1, и она пересекает каждую “вертикальную” окружность y = const ровно в одной точке. Следовательно, кривая пересечет ровно в одной точке ps. Эта точка не может лежать внутри K, поскольку не пересекает K. Следовательно, это действительно неподвижная точка P. Поскольку ps лежит вне K, она является устойчивой.

Повторяя те же рассуждения в приложении к функции P1, что соответствует обращению времени, получим неустойчивую неподвижную точку pu, лежащую вне K.

Докажем утверждение 4 теоремы 1.2: существование и единственность уточных решений. Определим множества Cn и Cn следующим образом:

Из лемм о монотонности и выпуклости следует, что при больших n множества Cn являются непустыми и открытыми, а следовательно содержат некоторые интервалы. Обозначим их через Cn. По определению, Эти интервалы не пересекаются (в силу взаимной однозначности отображения P ). Пусть Cn (случай Cn рассматривается аналогично).

Рассмотрим участок графика с концами A и B, лежащий в K.

По определению Cn, его концы лежат по разные стороны от и, следовательно, он пересекает. Точка пересечения лежит в K. Из леммы о выпуклости 1.3 следует, что эта точка единственна и наклон в ней меньше 1, то есть она соответствует устойчивой точке отображения Пуанкаре.

Существование неустойчивой особой точки отображения Пуанкаре следует из соображений непрерывности и периодичности. Ее единственность следует из леммы о выпуклости.

Теорема 1.2 доказана.

1.2 Нормализация В этом и следующих двух разделах доказаны леммы 1.1, 1.2 и 1.3. Лемма 1.1 доказана в параграфе 1.3.1. Лемма 1.2 доказана в параграфе 1.3.3.

Лемма 1.3 доказана в параграфе 1.3.2 по модулю технической теоремы 1.5, доказательству которой посвящен раздел 1.4.

Для дальнейшего нам потребуются две теоремы о нормальных формах быстро-медленных систем на торе, принадлежащие Гукенхеймеру и Ильяшенко.

1.2.1 Нелинейное вращение Следующая теорема показывает, как устроена быстро-медленная динамика на торе вне окрестности медленной кривой.

x S 1 = R/Z, y R, определенное системой a = {y = a} на b = {y = b} имеет вид где T () и G1,2 диффеоморфизмы окружности, G1,2 G1,2 при 0+, причем G1,2 - также диффеоморфизмы окружности.

Иными словами, отображение соответствия с фиксированной вертикальной трансверсали на фиксированную вертикальную трансверсаль заменой координат в образе и прообразе приводится к повороту на угол T (), стремящийся к бесконечности при 0+. Важно отметить, что соответствующие замены координат имеют ограниченные производные при 0+ и стремятся к гладким заменам.

Теорема 1.3 доказана в [15] (Theorem 2, с. 35).

1.2.2 Нормализация вблизи медленной кривой Следующая теорема показывает, что вблизи медленной кривой вне окрестности точки срыва система (1.1) гладко эквивалентна линейной системе.

Теорема 1.4 ([15]). Рассмотрим систему Пусть соответствующая быстрая система имеет кривую гиперболических неподвижных точек (невырожденную медленную кривую). Тогда при малых > 0 в окрестности кривой неподвижных точек (вне фиксированных окрестностей точек срыва) система гладко орбитально эквивалетнтна семейству Доказательство этой теоремы можно найти в [15] (Theorem 3, с. 38). Из теоремы Феничеля (см. [14], а также [3] и [4]) следует, что в окрестности устойчивой (неустойчивой) части медленной кривой M (M + ) существует гладкое инвариантное многообразие S (S ), которое может быть представлено как график функции x = s (y, ) (соответственно, x = s+ (y, )).

Из уравнения в вариациях следует, что функция a(y, ) в теореме 1.4 имеет вид:

Замечание 1.6. В действительности истинные медленные кривые S определены неоднозначно. Однако расстояние между такими кривыми имеет порядок O(eC/) (то есть они экспоненциально близки) и мы можем выбрать любую из них.

1.2.3 Грубая оценка производной отображения Пуанкаре Сформулируем еще одно утверждение, позволяющее очень грубо оценивать производную отображения Пуанкаре.

Замечание 1.7. В дальнейшем буквой C (без индексов) обозначаются положительные константы, не зависящие от. Они могут быть различными в разных формулах.

Лемма 1.4. Рассмотрим быстро-медленную систему [a,b : a b будет справедлива оценка Доказательство. Пусть x = x(y; x0, ) фазовая кривая, проходящая через точку (x0, a) при данном. Поскольку fx ограничена на торе (сверху и снизу), из уравнения в вариациях по начальным условиям следует, что Аналогичная оценка справедлива для обратного отображения. Логарифмируя, получаем требуемую оценку на модуль.

Данная лемма будет использоваться в окрестности точки срыва. Более тонкие оценки на производную отображения Пуанкаре в окрестности точки срыва будут получены в параграфе 1.4.1.

1.3 Обоснование свойств отображения Пуанкаре В этом и следующих двух разделах будут доказаны леммы 1.1, 1.2 и 1.3.

1.3.1 Искажение: доказательство леммы 1. Напомним введенные обозначения:

D = (Q)1 (J +).

Предложение 1.2. Для любого достаточно малого + существуют такие константы c1,2 (+) > 0, что справедливы следующие оценки:

1. |D | = O(ec1 (+ )/);

При этом c1,2 (+) 0+ при + 0+.

Замечание 1.8. Обозначим через Q отображение Пуанкаре (в прямом времени). Для системы с обращенным временем справедливы аналоги утверждений предложения 1.2 для некоторых других констант c1,2.

1. |D | = O(ec1 ( )/);

При этом c1,2() 0+ при 0+.

Они доказываются дословным повтором доказательств “прямых” утверждений в приложении к системе с обращенным временем.

Доказательство предложения 1.2. Для доказательства пункта 1 оценим производную отображения Q на отрезке J +. Рассмотрим трансверсали Обозначим через отрезок [ + + +, ], и пусть S и S над отрезком. Обозначим также через + отрезок [ + + +, + + + ].

Отображение Q1 представляется в виде композиции отображений Пуанкаре:

Мы будем использовать нормальные формы для исследования отображений Q1 и Q3 и лемму 1.4 для оценки производной отображения Q2.

Линейное сжатие: окрестность истинной медленной кривой Покажем, что справедлива следующая оценка:

где C, C1 положительные константы, не зависящие от +.

Траектории, пересекающие J +, в обратном времени за время O(1) попадают в окрестность неустойчивой части истинной медленной кривой M.

Таким образом, для исследования отображения Q1 можно воспользоваться нормальной формой (1.13) (см. теорему 1.4).

Переместим начало координат в точку срыва G+ = ( +, +):

Мы будем применять нормальную форму (1.13) над отрезком + при малых ±. (Заметим, что + не зависит от.) Покажем, что при y1 + функция a(y1, ) имеет вид:

где o(1) есть функция от y1 и, равномерно стремящаяся к нулю при + 0 и O+ () имеет порядок при фиксированном +. Действительно, из условий невырожденности (1.4) и теоремы о неявной функции следует, что медленная кривая M + может быть задана в виде графика функции Следовательно, истинная медленная кривая задается как график функции Подставляя (1.23) в выражение для a(y1, ) (см. (1.14)), имеем:

a(y1, ) = fx (s(y1, ), y, ) = где fxx |0 > 0 в соответствии с (1.4).

Из вида нормальной формы (1.13) следует, что отображение Q1, записанное в нормализующих координатах, является линейным. Для упрощения обозначений будем считать = +. Подставляя в нормальную форму (1.13) представление (1.24) для функции a(y, ) и интегрируя, получим:

Переход от нормализующих координат к исходным лишь домножит правую часть на константу, что не испортит оценки (1.19).

Окрестность точки срыва Покажем, что для достаточно малого возможное растяжение, происходящее в окрестности точки срыва (между трансверсалями 1 и 2) много меньше, чем сжатие, накопленное за время движения вблизи окрестности медленной кривой. Действительно, лемма 1.4 мгновенно дает оценку:

Оценка производной отображения Q Отображение Q3 является вращением в некоторой системе координат. Его производная ограничена равномерно по.

Используя теорему о производной сложной функции, имеем:

Следовательно, Пункт 1 предложения 1.2 доказан. Вместе с замечанием 1.8 это доказывает пункт 1 леммы 1.1.

Докажем пункт 2 предложения 1.2. Рассмотрим отображение Q :

Производная отображения (Q3 )1 оценивается с помощью теоремы 1.3 и не превосходит константы. Время движения от трансверсали 2 до + не превосходит 2+. Из леммы 1.4 следует необходимая оценка. Это завершает доказательство предложения.

Докажем утверждение 4 леммы 1.1. Представим P в виде композиции трех отображений Пуанкаре:

По определению, траектории, стартующие вне D, пересекают трансверсаль + вне отрезка J + :

Поскольку вне окрестности медленной кривой функция f отделена от нуля, за время O(1) траектория, пересекающая + \J + попадет в окрестность устойчивой части медленной кривой M. В соответствии с нормальной формой (1.13), для отображения P+ справедлива оценка причем константа C отделена от 0 при ± 0.

Следовательно, образ отрезка + \J + имеет экспоненциально малую длину и пересекает истинную медленную кривую. Таким образом, P+ (+\J +) J для достаточно малых > 0. Имеем:

откуда следует утверждение 4 леммы 1.1.

Докажем утверждение 2 леммы 1.1 (утверждение 3 доказывается теми же рассуждениями, примененными к системе с обращенным временем). Из оценки (1.32), следует, что для траекторий, пересекающих \D, производная отображения P+ меньше 1 и, более того, она экспоненциально мала.

Аналогично (1.27) можно показать, что производная Q также экспоненциально мала на отрезке J. Производная отображения Q не превосходит O(ec(+ )/ ) в соответствии с утверждением 2 предложения 1.2, причем константа c(+) может быть сделана сколь угодно малой уменьшением +.

Следовательно, возможное растяжение Q контролируется последующим сжатием P+ и производная P экспоненциально мала.

Лемма 1.1 доказана.

1.3.2 Выпуклость: доказательство леммы 1. В этом параграфе будет доказана лемма 1.3. Напомним, что рассматривается множество U начальных условий u, при которых Мы хотим показать, что U состоит из двух дуг на окружности : на одной производная отображения Пуанкаре возрастает (график является выпуклым вниз), на другой убывает. На протяжении доказательства этой леммы всегда считается, что начальные условия всех рассматриваемых траекторий лежат в U.

Эвристические рассуждения: мотивировка Как показано в лемме 1.1, вне отрезка D производная отображения Пуанкаре P экспоненциально мала. Следовательно, интересующая нас область U лежит в D и соответствующие траектории пересекают J +.

После пересечения J + траектория некоторое время движется в окрестности неустойчивой части медленной кривой M +, после чего срывается вверх или вниз, уходит из этой окрестности и за время O(1) попадает в окрестность устойчивой части медленной кривой M. При движении в окрестности M + производная отображения Пуанкаре увеличивается (это следует из нормальной формы (1.13)), при движении в окрестности M уменьшается. Траектории, которые проводят слишком много времени в окрестности M + или M, мы не рассматриваем: соответствующая производная отображения Пуанкаре слишком велика или мала. Интересующие нас траектории срываются “где-то посередине” и проводят “примерно равное” время в окрестностях M + и M. (В дальнейшем будет показано, что это значит.) После срыва (который может происходить в направлении “вверх” или “вниз”), эти траектории пересекают трансверсаль J, срываются в окрестности точки G и пересекают трансверсаль в D.

Пусть продолжение (в обратном времени) истинной медленной кривой M пересекает трансверсаль в точке u0. Очевидно, u0 D. Рассмотрим траектории, стартующие из точек u D, лежащих ниже u0. Чем ближе u к u0, тем ближе соответствующая траектория к истинной медленной кривой S, и тем больше времени она проводит в окрестности M + в M. Соответственно, при увеличении u производная отоби меньше ражения Пуанкаре увеличивается. Когда u совпадает с u0, она достигает своего максимума, поскольку траектория в этом случае совпадает с S.

При дальнейшем увеличении u производная отображения Пуанкаре будет уменьшаться по аналогичным причинам: время, проведенное траекторией в окрестности M +, будет уменьшаться в пользу времени, проведенного в окрестности M.

Дальнейший анализ обосновывает эти “наивные” рассуждения.

Общая стратегия доказательства Мы будем применять тот же подход к исследованию отображения P, что уже использовался при доказательстве леммы 1.1: представление P в виде композиции отображений соответствия. Анализируя динамику в окрестностях M + и M, мы покажем, что интересующие нас траектории (в которых производная отображения Пуанкаре близка к 1) покидают окрестность M + вблизи некоторой фиксированной трансверсали y = y+. Далее, используя уравнение в вариациях, мы оценим вторую производную отображения Пуанкаре.

Для проведения всех необходимых оценок нам понадобится дополнительная информация о динамике системы в окрестности точки срыва.

Теорема 1.5. Для некоторой константы > 0 и произвольного малого + существует такое C + (+), что для произвольного x D справедливо следующее представление отображения Пуанкаре R = Q1 = P :

причем C +(+) < 0 непрерывно зависит от + и монотонно стремится к нулю при + Замечание 1.9. Аналогичное утверждение (с другой константой C ( ) < 0, монотонно стремящейся к нулю при 0) справедливо Теорема 1.5 будет доказана в разделе 1.4.

Обозначим через (x+, y) и (x, y) нормализующие координаты вблизи неустойчивой и устойчивой части медленной кривой соответственно. Положим U ± = {|x±| < b} для некоторого b > 0. Рассмотрим сначала ситуацию, когда срыв c S + на S происходит в отрицательном направлении (“вниз”). Пусть траектория покидает окрестность U + при y = y + и попадает в U при y = y. Очевидно, что y = y + + O() (поскольку вне окрестностей U ± функция f отделена от нуля). Далее будем считать, что в координатах (x±, y) система (1.1) принимает вид Обозначим Функции (+) показывают накопленное сближение (разбегание) траекторий при движении вблизи устойчивой (неустойчивой) части медленной кривой (иными словами, вклад этих участков в сжатие (растяжение) отображения Пуанкаре). Поскольку a+ (y, ) > 0 и a (y, ) < 0, но + < y <, имеем ± (y, ) > 0, причем + возрастает по y, а убывает. Пусть y = y+ корень уравнения Очевидно, что для выполнения условия (1.34) требуется, чтобы y ± были близки к y+ иначе сближение или разбегание траекторий будет доминировать, а для выполнения (1.34) требуется, чтобы они были скомпенсированы. Следующая лемма формализует это утверждение.

Лемма 1.5. При правильно выбранных малых ± и некоторого > 0 для любой траектории с начальным условием из U имеют место следующие эквивалентные оценки:

Доказательство. Как и раньше, представим отображение P в виде композиции где Q = R. Из теоремы о производной сложной функции следует, что Оценим снизу второе слагаемое. Из теоремы 1.4 и уравнения в вариациях следует, что | ln(P+ ) | = a (y, ) < 0.

В то же время, согласно теореме 1.5, Причем, из свойств констант C± следует, что существуют такие малые ±, что C+ (+) = C(). В этом случае из (1.34) имеем:

Откуда где k1 (y +, ) некоторая гладкая функция.

Продифференцируем представление (1.40):

Мы покажем, что знак логарифмической производной отображения Пуанкаре определяется вторым слагаемым этого выражения. Первое и третье слагаемое оцениваются следующим образом:

Доказательство этих оценок можно найти в [15], с. 44. Оно использует только ограниченность функции f и ее производной, а также утверждение 2 предложения 1.2, и переносится на случай произвольной системы без изменений.

Предложение 1.3. Пусть выполняется (1.34). Положим Тогда для малых будет справедливо Нетрудно видеть, что в этом случае второе слагаемое в сумме (1.46) доминирует, и, как будет показано, производная положительна в рассмотренном случае (когда траектории срываются “вниз”; аналогичные рассуждения показывают, что если траектории срываются “вверх”, производная отрицательна). Остается доказать предложение 1.3.

Доказательство. Введем на трансверсали J + в окрестности медленной кривой нормализующую координату, а на J координату. Пусть траектория, пересекающая J + в точке с координатой, пересекает J в точке с координатой (). В рассматриваемом случае (траектории срываются “вниз”) < 0. Функция () задает отображение P+ в нормализующих координатах. Как показывается прямыми вычислениями, подробно проведенными в [15] (стр. 43), В то же время, в соответствии с (1.39), имеем:

где k2 (y +, ) некоторая гладкая функция.

С другой стороны, по определению y +, Знак “минус” связан с тем, что в рассматриваемом случае < 0 (траектории срываются “вниз”) и будет противоположным, если траектории срываются “вверх”.

Подставляя в 1.49 представление для разности следующее из (1.50) и используя 1.51, имеем:

где k(y +, ) некоторая гладкая функция.

Покажем, что функция () ведет себя как const · 1, то есть выпукла вниз при < 0.

Из уравнения (1.51) следует, что Функция + (y +, ) монотонна по y +. Следовательно, существует обратная функция. Обозначим ее через z. Тогда Таким образом, Подставляя (1.55) в (1.52) и дифференцируя, получим:

Очевидно, По (1.51) Таким образом, Переход от нормализующих координат к исходным лишь домножит производную на ограниченную функцию, что не испортит оценку:

Из теоремы о производной сложной функции и оценки утверждения предложения 1.2, следует, что В случае, когда траектории срываются “вверх”, оценка примет вид:

1.3.3 Монотонность: доказательство леммы 1. В этом разделе будет доказана лемма 1.2. Покажем, что справедливы следующие утверждения:

2. Уравнение (y x)(E ) = 2n имеет корень = n для всякого n, Рассмотрим трансверсаль 0 := {y = y0 } для фиксированного y0 [+, ]. Рассмотрим также отображения Пуанкаре с трансверсали 0 на трансверсаль = {y = } в прямом и обратном времени:

Обозначим через R поднятие этих отображений на универсальную накрывающую, непрерывно зависящее от (при этом y0 считаем фиксированным параметром, и поднятие осуществляем только относительно аргумента x).

Доказательство леммы основано на следующем предложении.

Предложение 1.4. Существуют такие положительные константы C ±, что для произвольного фиксированного x0 S 1 и любого достаточно малого > 0, справедливы следующие утверждения:

Доказательство предложения 1.4 можно найти в [15], (см. доказательство леммы о монотонности для точек d и A±, с. 45–46). В указанной работе оно приводится для системы определенного вида, но это доказательство переносится на общий случай без каких-либо изменений.

Доказательство леммы 1.2. Напомним, что По построению отрезков D = [p±, q ] (см. параграф 1.3.1 и рис. 1.1 на с. 24), Также очевидно, что Таким образом, Используя полученное представление для функций (x y)(C), нетрудно видеть, что утверждение 1 леммы о монотонности следует из утверждения 1 предложения 1.4, а утверждение 2 леммы следует из утверждений и 3 этого же предложения.

1.4 Влияние точки срыва: доказательство технических утверждений 1.4.1 Динамика вблизи точки срыва Композиция отображений Пуанкаре В этом разделе будет доказана теорема 1.5. Покажем, что для некоторого > 0 производная отображения Пуанкаре R = Q1 = P допускает следующее представление:

причем C(+) < 0 непрерывно зависит от + и монотонно стремится к нулю при + 0+.

При > 0 рассмотрим трансверсали где µ, (0, 1) некоторые константы, точное значение которых будет найдено ниже.

Представим отображение R в виде композиции:

Дифференцируя и логарифмируя, получим:

Из леммы 1.4 следует, что второе слагаемое в сумме оценивается через O(min(µ,)1 ). Далее будут доказаны следующие утверждения:

Полагая = min(µ, ) и складывая полученные оценки для слагаемых суммы (1.67), доказываем теорему 1.5.

Динамика вне медленной кривой Следующее утверждение может считаться обобщением теоремы 1.3. Оно позволяет оценить производную отображения Пуанкаре с неподвижной трансверсали на трансверсаль, “медленно” приближающуюся к точке срыва.

Перенесем начало координат в точку G+ = ( +, +). Будем считать, что трансверсаль = {y = } при этом переходит в трансверсаль {y = a} для некоторого a > 0 (его можно сделать произвольным подходящей гладкой заменой координат).

Обозначим через Q3 отображение Пуанкаре Утверждение 1.1. Производная отображения Q3 допускает оценку:

Утверждение 1.1 будет доказано в параграфе 1.4.2.

Истинная медленная кривая вблизи точки срыва Предложение 1.5. В условиях предыдущей теоремы для всех u +, лежащих в некоторой окрестности медленной кривой M +, справедливо следующее представление:

причем C(+) < 0, непрерывно зависит от + и монотонно стремится к нулю при + 0.

Для доказательства этого утверждения нам потребуется следующая теорема об асимптотике истинной медленной кривой в окрестности точки срыва:

Теорема 1.6 ([22], стр. 85). Существует такое µ (0, 1/3), что для истинной медленной кривой x = s(y, ) над отрезком [µ, +] выполняется оценка Замечание 1.10. Полученное из этой теоремы µ фигурирует в определении трансверсали 2.

Доказательство предложения 1.5. Рассмотрим фиксированную трансверсаль = {y = } для достаточного малого по сравнению с +.

Будем считать, что достаточно мало, чтобы выполнялось условие > µ.

Представим отображение R в виде композиции:

Рассмотрим точку (u, +). Пусть траектория, проходящая через нее, записывается в виде x = x(y, ). Из теоремы 1.4 следует, что отображение H в нормализующих координатах является экспоненциально сильным сжатием, имеющим порядок eC/. Следовательно, траектория, стартующая с некоторого отрезка трансверсали +, содержащего точку пересечения с медленной кривой M +, пересечет трансверсаль в точке, экспоненциально близкой к истинной медленной кривой s+. Имеем:

Время движения от трансверсали до 2 может быть сделано сколь угодно малым по сравнению со временем движения от + до с помощью правильного выбора трансверсали. Таким образом, из леммы 1.4 следует, что для всякого y [µ, ] справедлива оценка Иными словами, соответствующая траектория на участке от до 2 проходит экспоненциально близко к истинной медленной кривой.

Из уравнения в вариациях по начальным условиям следует, что ln(R ) (u) = ln(H )(u) + ln(H ) H (u) = где c3 (, +) > 0.

Применяя (1.76) и (1.73) ко второму слагаемому, получим:

ln(H ) Полагая C = (c3 + c4 ), из (1.77) и (1.78) получаем представление (1.72).

Монотонность C по + следует из положительности подинтегральных выражений.

1.4.2 Лемма об искажении: доказательство утверждения 1. В этом параграфе будет доказано утверждение 1.1. Основная идея доказательства: вместо отображения Пуанкаре с “вертикальной” трансверсали на “вертикальную” трансверсаль рассматривать отображение с “горизонтальной” трансверсали x = 0 на себя. Производная итераций этого отображения оценивается с помощью леммы об искажении, принадлежащей Данжуа и Шварцу. Необходимые для применения этой леммы оценки получаются из уравнения в вариациях.

Вертикальное отображение Пуанкаре Доказательство утверждения 1.1. Для каждого вместе с системой (1.1) рассмотрим две другие системы, имеющие те же фазовые портреты:

где В соответствии с замечанием 1.4, без ограничения общности можно считать g = 1 и v = f, w = 1/f.

Из условий невырожденности (1.4) следует, что при a < y < 0 для некоторых положительных констант cv, Cv, cw, Cw справедливы следующие эквивалентные оценки:

0 < cv (y + O()) < v(x, y, ) < Cv Для упрощения обозначений произведем замену координаты x, переводящую окружность длины 2 в окружность длины 1.

Обозначим прямую {x = 0} = {x = 1} через, отображение Пуанкаре через (см. рис. 1.4). Напомним, что рассматриваются трансверсали В дальнейшем для краткости вместо 1 пишем.

Пусть трансверсаль отображением соответствия (в прямом времени) переводится в интервал J0. Заметим, что разрывно в точке 0, поэтому в дальнейшем окружность будет рассматриваться как полуинтервал [0, 1), на котором непрерывно. Обозначим последовательно Нетрудно видеть, что полуинтервалы Jk не пересекаются и конец следующего совпадает с началом предыдущего. Пусть N = N () таково, что JN пересекается с. Пусть фазовая траектория, проходящая через (0, a) пересекает трансверсаль в точке.

Определим функцию : JN следующим образом: на интервале [0, она совпадает с отображением соответствия для фазового потока (1.1) в обратном времени, а на [, 1 в прямом. При этом в точке функция будет разрывной, но обратная функция будет непрерывной проекцией интервала JN на окружность вдоль фазовых кривых системы.

Разобьем Q в цепочку композиций:

Из правила дифференцирования сложной функции следует, что Мы докажем следующие оценки слагаемых в этой сумме, из которых следует искомое неравенство (1.71).

Замечание 1.12. В связи с разрывностью функций и в точках 0 и соответственно, неравенство (1.83) применяется ко всем точкам, кроме 0.

Это не является серьезным препятствием к доказательству оценок на всей окружности, поскольку можно определить другую трансверсаль (например, = {x = 2 }) и, проведя все последующие рассуждения с ней, доказать оценку и для x = 0.

Применение леммы об искажении В этом пункте будет доказано неравенство (1.85). Для доказательства нам потребуются сформулировать лемму об искажении.

Определение 1.2. Для любого диффеоморфизма : A B определим величину (), называемую коэффициентом искажения :

Лемма 1.6 (Лемма об искажении ([8], [27])). Рассмотрим цепочку диффеоморфизмов интервалов Предположим, что отображения i сюрьективны и сохраняют ориентацию. Тогда для композиции FN 1 = N 1 · · · 0 будет справедлива оценка Для полноты изложения, в пункте 1.4.2 приводится доказательство этой леммы.

Дальнейшая стратегия состоит в применеии леммы об искажении к композиции FN 1 итераций вертикального отображения Пуанкаре. Для реализации этого замысла нам потребуется оценка общей длины интервалов {Jk }N 1 и оценка коэффициента искажения отображения. На протяжеk= нии этого пункта рассматривается система (1.80).

Предложение 1.6. Для любого < 1/2 и достаточно малого имеет место оценка длины интервала JN :

Более того, если обозначить JN = [xN, xN +1), то xN +1 < 1. Из этого, в частности, следует, что сумма длин непересекающихся интервалов {Jk }N ограничена.

Доказательство. Обозначим через T ± проекцию фазового пространства на вдоль фазовых кривых в прямом (+) или обратном () времени.

Нетрудно видеть, что Рассмотрим траекторию, проходящую через точку (0, ). Во втором уравнении системы (1.80) правая часть положительна и оценивается сверху через y+O() (см. (1.82); в рассматриваемой области y < 0). Решая уравнение находим Следовательно, Последнее неравенство выполняется для достаточно малых, если только < 1/2.

T (0, ) > 2, откуда и следует утверждение предложения.

Замечание 1.13. Нетрудно видеть, что неравенства (1.82) влекут за собой выполнение следующих оценок для некоторых положительных CJN, CJ и cJ0 :

Предложение 1.7. При любом < 1/2 для отображения Пуанкаре : в области a < y < выполяются оценки:

Доказательство. Из предложения 1.6 следует, что траектория, стартующая из области {a y } не покидает область {aO() y /2} до пересечения с.

Пусть y = y(t; y0) y-координата решения системы (1.80) с начальными условиями x(0) = 0, y(0) = y0. Очевидно, Дифференцируя это равенство по y0, имеем:

Уравнение в вариациях для yy0 имеет вид:

Следовательно, и неравенство (1.96) доказано.

Для доказательства (1.97) продиффиренцируем равенство (1.101) по y при t = 1:

щью (1.100) и (1.102).

Следствие 1.1. Если < 1/4, то при 0 справедливо.

Таким образом, лемма об искажении дает следующую оценку для FN (индекс N 1 опускаем для краткости):

Отсюда следует, что В то же время, из теоремы о среднем значении следует, что для всякого достаточно малого > 0 найдется такая точка y0 J0, что В соответствии с оценками (1.89) и (1.95), имеем:

Логарифмируя (1.108) и используя соотношение (1.107), получим:

Таким образом, неравенство (1.85) доказано.

Проекция на горизонтальную трансверсаль В этом пункте будут доказаны неравенства (1.84) и (1.86). Рассматривается система (1.79).

Предложение 1.8. Для отображения : J0 выполняется оценка Доказательство. Зафиксируем x0, обозначим y0 := (x0). Представим отображение (x) в виде композиции (см. рис. 1.5):

где = {y = y0 } смещенная вертикальная трансверсаль, R отображение соответствия с на, окрестность точки x = 0 на в окрестность точки y = y0 прямой следующим образом:

где, напомним, T ± проекция фазового пространства на прямую вдоль траекторий системы в прямом (+) или обратном () времени.

Нетрудно видеть, что (1) = w(0, (x0), ), поскольку в окрестности точки (1, y0) отображение близко к линейной проекции с на вдоль вектора (1, w(1, y0, )).

В окрестности функция w отделена от нуля и бесконечности со всеми производными, следовательно | | имеет порядок.

Остается заметить, что время расстояние от до имеет порядок, а значит время движения между этими трансверсалями вдоль фазовых кривых системы (1.79) ограничено. Cледовательно, производная R ограничена (из уравнения в вариациях) и не может ухудшить оценку для Предложение 1.9. Для отображения : JN для всех точек x0, отличных от, выполняется оценка Доказательство. Аналогично предыдущему предложению, для фиксированного x0 разложим в композицию:

где = {y = (x0)} Согласно предложению 1.6, траектории, стартующие на, остаются в пределах сегмента 2 < y < 2 до пересечения с в прямом или обратном времени. Таким образом, время движения до пересечения с вдоль фазовых кривых системы (1.79), оценивается как t = C11. Поскольку функция v(x, y, ) гладка на всем торе, из уравнения в вариациях следует, что Для справедливы рассуждения предыдущего предложения:

что не ухудшает оценку для.

Замечание 1.14. В качестве в определении трансверсали = 1 можно взять любое число из интервала (0, 1/4).

Искажение В этом пункте приводится доказательство леммы 1.6 (об искажении).

Доказательство. Нетрудно видеть, что коэффициент искажения субаддитивен относительно композиции функций:

Остается заметить, что Применяя субаддитивность к цепочке композиций FN 1 и оценивая каждое из слагаемых по неравенству (1.118), получаем требуемое.

Глава Невыпуклая медленная поверхность 2.1 Основные результаты В этом разделе приводятся необходимые определения и формулируются основные результаты работы.

2.1.1 Предварительная формулировка основного результата В этом параграфе мы строго сформулируем два результата, полученные в настоящей работе, минимизируя при этом количество предварительных построений. В параграфах 2.1.2 и 2.1.3 приводятся формулировки аналогичных, но более точных результатов.

Рассмотрим быстро-медленную систему на торе:

где функции f и g достаточно гладкие для выполнения всех дальнейших утверждений. На протяжении всей работы мы будем считать, что скорость медленного движения отделена от нуля (для определенности, g > 0), и поднятие медленной кривой M := {(x, y) | f (x, y, 0) = 0} на накрывающую координатную плоскость принадлежит внутренности квадрата {|x| <, |y| < }. Мы также потребуем, чтобы для любой точки (x, y) M, отличной от точек складок, выполнялось неравенство fx (x, y, 0) = 0. Эти условия задают открытое множество в пространстве всех быстро-медленных систем на торе. Без ограничения общности, можно считать, что f (x, 0, 0) > 0 (вне внутренности медленной поверхности быстрое движение направлено в положительном направлении). Поскольку нас интересуют только фазовые кривые системы (2.1), но не их параметризация, мы можем разделить векторное поле системы на g и без ограничения общности считать, что g 1.

Нас будут интересовать уточные решения, то есть решения, проходящие при 0+ отделенное от нуля расстояние вблизи неустойчивой части медленной кривой. Точное определение будет дано ниже (см. определение 2.2 в следующем параграфе). Основной целью является анализ уточных циклов, совершающих один оборот вдоль оси y.

Теорема 2.1 (Оценка сверху на число уточных циклов). Типичная система вида (2.1) обладает следующим свойством. На оси существует накапливающаяся к нулю последовательность интервалов, такая что для всякого из них система обладает притягивающими замкнутыми уточными решения (уточными циклами), совершающими один оборот вдоль оси y. Бассейн притяжения каждого из этих циклов (на всем торе) имеет равномерно ограниченную снизу меру. Их количество не превосходит половины от количества точек срыва (то есть точек кривой M, в которых касательная к M вертикальна).

Теорема 2.1 является следствием более точной и сильной теоремы 2.3, сформулированной в следующем параграфе, вместе с предложением 2.1.

Она дает оценку сверху на число уточных циклов типичной системы. Для случая, когда M является выпуклой кривой (точнее, содержит ровно две точки срыва), теорема доказана в главе 1. В данной главе рассматривается случай невыпуклой медленной кривой M.

Следующую теорему можно считать оценкой снизу на число уточных циклов.

Теорема 2.2 (Точность оценки). Существует открытое множество систем, обладающих максимальным количеством уточных решений (равным числу складок на медленной кривой) для всех из некоторого набора интервалов, накапливающихся к нулю.

Теорема 2.2 доказана в разделе 2.5. В параграфе 2.1.3 сформулирован частный результат такого типа в простейшем невыпуклом случае: для этого случая сформулированы явные необходимые и достаточные условия существования максимального числа притягивающих уточных циклов, и тем самым явно описано открытое множество систем, фигурирующее в данной теореме.

2.1.2 Общий случай: оценка сверху на число уточных циклов Нам потребуется наложить дополнительные требования на систему (2.1):

исключить из рассмотрения системы, удовлетворяющие конечному числу условий типа равенства, которые будут формулироваться по тексту статьи. В частности, всюду в дальнейшем мы будем требовать выполнения дополнительного условия невырожденности: все точки складок медленной кривой M невырождены:

для всякой точки складки G кривой M. Мы также требуем, чтобы все точки складок имели различные y–координаты:

По ходу доказательства результатов нам потребуется наложить на систему еще два условия невырожденности такого же типа, формулировка которых требует дополнительных построений (см. (2.13) и (2.26)).

Определение 2.1. Точка складки G медленной кривой M называется точкой прямого (обратного) срыва, если в её малой окрестности участок медленной кривой располагается слева (справа) от G.

Обозначим через G± крайнюю левую () и крайную правую (+) точки срыва (они определены однозначно в силу условий невырожденности (2.2) и (2.3)).

Рис. 2.1: Простейший невыпуклый случай: 4 точки срыва. E и G точки прямого срыва, G+ и D обратного. Тройной стрелкой показано направление быстрого движения Пусть J + некоторый фиксированный отрезок, трансверсальный к неустойчивой части медленной кривой M, близкий к точке обратного срыва G+ (см. рис. 2.1) и не пересекающий устойчивую часть медленной кривой. Его точное расположение будет определено ниже (см. стр. 85).

Определение 2.2. Траектория называется уточной, если она пересекает Траектория, стартующая с J +, в обратном времени быстро притягивается к медленной кривой и почти все расстояние до точки срыва проводит вблизи неустойчивой части медленной кривой. Таким образом, формальное определение 2.2 соответствует эвристическому описанию уточных решений, приведенному в параграфе 2.1.1.

На рисунке 2.1 изображен простейший случай невыпуклой медленной кривой. Рассмотрим траекторию, проходящую вблизи отталкивающей дуги медленной кривой DG. Обратим время: при этом дуга DG становится притягивающей, и траектория движется влево вблизи этой дуги вплоть до обратного срыва вблизи D, после чего притягивается к участку G+ F, снова двигаясь влево вплоть до точки срыва G+. Следовательно, она пересекает отрезок J +, и тем самым будет уточной в смысле приведенного определения. В более сложных случаях траектория, проходящая вблизи какой-либо неустойчивой дуги медленной кривой, в обратном времени может претерпевать серию обратных срывов, после которых пересечет J +.

Рассмотрим невырожденную систему вида (2.1) с 2N точками срыва.

Теорема 2.3. Существует положительное число k N, последовательность непересекающихся отрезков Rn := [n, n] и набор из k поi следовательностей непересекающихся непустых интервалов Cn Rn, i = 1,..., k таких, что выполняются следующие свойства (см. рис. 2.2):

1. |Rn | = O(eCn );

2. n = O(1/n).

3. Для малых, не принадлежащих объединению Rn, система обладает ровно двумя гиперболическими периодическими траекториями устойчивой и неустойчивой, причем неустойчивая является уткой.

4. Для малых из Cn у системы есть ровно i пар гиперболических периодических траекторий (устойчивая и неустойчивая), все периодические траектории являются утками.

5. Для любых малых > 0, общее число предельных циклов, делающих 1 оборот вдоль оси y, не превосходит 2k.

Предложение 2.1. Для всякого Cn мера бассейна притяжения (отталкивания) каждого уточного цикла равномерно отделена от нуля.

Число k зависит от формы медленной кривой M и значений интегралов функции fx по специальным наборам дуг медленной кривой и вычисляется явным образом по системе.

2.1.3 Оценка снизу на число уточных циклов Рассмотрим систему вида (2.1), обладающую четырьмя складками: две из них будут точками прямого срыва, и две обратного. Согласно теореме 2.3, она обладает не более чем двумя парами уточных циклов. В этом разделе мы сформулируем явные условия, при которых система обладает в точности двумя парами уточных циклов (или, что то же самое, двумя притягивающими уточными циклами).

Рассмотрим случай, изображенный на рисунке 2.1. Другие случаи взаимного расположения точек срыва рассматриваются аналогично.

Введем обозначение:

где U некоторая дуга медленной кривой M, x = x(y) задает график этой дуги. Выпуская две близкие траектории из окрестности начала этой дуги и интегрируя уравнение в вариациях для них, нетрудно видеть, что данный интеграл определяет скорость сближения (или разбегания ) траекторий за время движения вблизи дуги. Он отрицателен, если U является притягивающей дугой, и положителен, если U отталкивает.

Теорема 2.4. Пусть невырожденная система вида (2.1) соответствует рисунку 2.1 и выполняются дополнительные соотношения, называемые условиями балансировки :

1. (G+E) + (BG) > 2. (G+F ) + (DE) + (BG) < Тогда в теореме 2.3 число k пар уточных циклов максимально и равно N = 2.

2.2 Отображение Пуанкаре: обзор доказательства 2.2.1 Структура доказательства Доказательство основных результатов разбивается в серию из нескольких лемм, сформулированных в следующем параграфе. Леммы 2.1 (о графике) и 2.2 (о монотонности) практически повторяют аналогичные леммы из работы [15] (с незначительными изменениями). Они позволяют доказать утверждения 1–4 теоремы 2.3 для k = 1 (то есть доказать существование притягивающих уточных циклов для малых значений параметров). Эта часть доказательства практически не отличается от доказательства аналогичных утверждений для случая выпуклой медленной кривой. Леммы 2. и 2.4 позволяют доказать основные результаты (теоремы 2.3 и 2.4) в полной общности. Выводу этих теорем из сформулированных лемм посвящен параграф 2.2.3.

В разделе 2.3 приведены необходимые факты о нормальных формах и оценках производных отображений Пуанкаре.

Более тонкий анализ, позволяющий доказать леммы 2.3 и 2.4, а с помощью них оценить количество рождающихся уточных циклов и доказать утверждение 5 теоремы 2.3, а также теорему 2.4, требует получения оценок на вторую производную отображения Пуанкаре. Он существенно отличается от выпуклого случая и составляет основное содержание настоящей работы (раздел 2.4). Мы рассмотрим эффекты, связанные с невыпуклостью, на простом примере (см. эвристическое описание в параграфе 2.4.1).

Затем мы проанализируем общий случай и докажем теоремы 2.3 и 2.4 (см.

параграфы 2.4.2–2.4.4).

В разделе 2.5 мы докажем теорему 2.2.

Технические утверждения, необходимые для оценок производных отображения Пуанкаре, доказаны в разделе 2.6.

2.2.2 Основные факты и обозначения В этом параграфе мы напомним некоторые обозначения, которые будут использоваться по тексту работы, и сформулируем несколько лемм, описывающих свойства отображения Пуанкаре.

Следующая лемма формализует утверждение о том, что график отображения Пуанкаре лежит в объединении двух узких полос (см. рис. 2.4).

Лемма 2.1 (О графике). Существуют такие константы c± > 0, что для любого достаточно малого > 0 существуют интервалы D и D в прообразе и образе отображения P соотв., обладающие следующими свойствами:

1. |D | = O(ec1 / ) 2. |P ||S 1\D = O(ec2 /) 4. Рассмотрим полосы + := D S 1 и := S 1 D. График лежит в их объединении: + Доказательство этой леммы для случая выпуклой медленной кривой проведено в главе 1 (см. пункт 1.3.1) и переносится на общий случай без изменений, поскольку не использует факт выпуклости каким-либо существенным образом.

Следующая лемма формализует утверждение о том, что график монотонно движется влево и вверх при 0+.

Рис. 2.3: Невыпуклая медленная кривая быстро-медленной системы на торе; медленное движение направлено горизонтально Напомним, что через через G± обозначаются крайняя левая (+) и крайняя правая () точки срыва (мы будем называть их главными точками обратного и прямого срыва соответственно; они определены однозначно в силу условий невырожденности, см. пункт 2.1.2). Пусть они имеют координаты ( ±, ± ) соответственно (медленная кривая M лежит в полосе { + y }). Для некоторых малых фиксированных положительных + и определим следующие объекты:

1. Трансверсали ±, пересекающие медленную кривую M вблизи главРис. 2.4: График отображения Пуанкаре ных точек срыва (см. рис. 2.3):

2. Отрезки J + и J трансверсалей ±, пересекающие неустойчивый и устойчивые участки медленной кривой соответственно.

3. Отрезки D, существование которых утверждается в лемме 2.1:

Итак, мы выбрали отрезок J +, фигурирующий в определении 2.2 уточного решения, которое, тем самым, завершено. Все траектории, пересекающие отрезок D, пересекают также J +, а значит являются утками.

Обозначим далее через A+ и A точки графика, лежащие над концами отрезка D (см. рис. 2.4):

а через E и E соответственно левый верхний и правый нижний углы прямоугольника K := D D :

Пусть C поднятие на универсальную накрывающую над тором точки C, непрерывно зависящее от. (Под C здесь подразумевается одна из точек A±, E, определенных выше.) Обозначим также (C) := y(C) x(C) для некоторой точки C на универсальной накрывающей над тором.

Лемма 2.2 (Лемма о монотонности). Справедливы следующие утверждения:

2. Уравнение (E ) = 2n имеет корень = n для всякого n, причем Замечание 2.1. Из второго утверждения леммы следует, что при = n диагональ проходит через левый верхний угол прямоугольника K.

Доказательство леммы 2.2 для случая выпуклой медленной кривой, приведенное в главе 1 (см. пункт 1.3.3), переносится на общий случай без каких-либо изменений.

Определение 2.3. Точка x называется нейтральной для отображения Пуанкаре P, если P (x) = 1. Также нейтральной называется соответствующая точка графика отображения Пуанкаре.

Геометрический смысл следующей леммы таков: график отображения Пуанкаре вблизи нейтральных точек имеет вид лесенки (см. рис. 2.5).

Ниже мы покажем (см. лемму 2.7), что относительные логарифмические размеры её ступенек не меняются при уменьшении.

Лемма 2.3 (О лесенке). В условиях теоремы 2.3 для некоторого натурального K справедливы следующие утверждения:

1. Множество U = {x | P (x) [1/2, 2]} является объединением 2K непересекающихся дуг, на каждой из которых вторая производная P сохраняет свой знак, а при переходе между соседними дугами меняет знак.

2. Число 2K не превосходит общего числа 2N точек складок медленной кривой.

3. На каждой из описанных дуг находится ровно одна нейтральная точка. Занумеруем их циклически и обозначим последовательно как i, i = 1,..., 2K. Для упрощения обозначений, положим также i+2K i.

4. U D и все точки i лежат внутри прямоугольника K.

5. Для любых двух точек i, j, i = j, выражение (i) (j ) отлично от нуля и его знак не зависит от.

6. Для любой точки i, справедливо: ±((A±) (i)) > 0.

Лемма 2.4 (О ступеньке). В условиях теоремы 2.4, число 2K в предыдущей лемме принимает максимальное значение: 4.

Леммы 2.3 и 2.4 будут доказаны в разделе 2.4.

2.2.3 Области на прямой В этом параграфе мы выведем теоремы 2.4 и 2.3 из лемм, сформулированных в предыдущем параграфе.

Доказательство теоремы 2.3. Определим отрезки Rn следующим образом:

Из лемм 2.1 и 2.2 следует, что для определенных таким образом Rn выполняются утверждения 1, 2 и 3 теоремы 2.3. Доказательство этого факта переносится из главы 1 без изменений (см. пункт 1.1.4).

Рассмотрим функцию (x) = P (x) x и некоторое её поднятие на универсальную накрывающую (x), непрерывно зависящее от. Рассмотрим отрезки K := (K) = [(E ), (E )] и L := [(A), (A+)] (см. рис. 2.5). Очевидно, L K. Согласно утверждению 3 леммы 2.3, производная (x) обращается в нуль в нейтральных точках xk () = x(k ()), k = 1,..., 2K. Согласно утверждению 6 той же леммы, uk () = (xk ()) = (k ) L. Утверждение 5 той же леммы влечет, что порядок следования точек uk () не меняется при 0+. Тем самым, Рис. 2.5: Прямоугольник K (закрашен) и нейтральные точки на графике отображения Пуанкаре точки uk () разбивают окружность на 2K интервалов; обозначим эти интервалы через Ij (), j = 1,... 2K. В силу утверждения 1 леммы 2.3, для всякого b Ij (), функция (x) b имеет фиксированное для данного j четное число простых нулей; обозначим его через 2lj. Когда b проходит через одну из точек uk (), число нулей увеличивается или уменьшается на два.

Предложение 2.2. Существует и единственно такое j, что lj = 0.

Это предложение будет доказано ниже. Из него следует, что lj K для любого j. Обозначим через k максимум из всех lj. Тогда количество корней уравнения (x) = 0 (они соответствуют неподвижным точкам отображения P ) не превосходит 2k, что доказывает пункт 5 теоремы 2.3.

Для всякого i k найдется такой интервал Ij, что lj = i.

Из утверждения 2 леммы о монотонности 2.2 следует, что при = n = O(1/n) верхний конец отрезка K проходит через точку 2n.

Положим берем из каждого по интервалу Cn. По построению, для всякого Cn, уравнение (x) = 0 имеет 2i корней, являющихся неподвижными точками для отображения P. Поскольку 2n L, диагональ D пересекает график в точках, лежащих над отрезком D. Следовательно, все неподвижные точки отображения Пуанкаре соответствуют замкнутым уточным решениям, и утверждение 4 теоремы 2.3 доказано для определенных таким образом Cn и такого k. Теорема доказана полностью.

Вместе с предложением 2.1 (доказательство см. в параграфе 2.4.5), это доказывает также теорему 2.1.

Доказательство теоремы 2.4. Из леммы 2.4, а также из предложения 2. следует, что в условиях теоремы 2.4 окружность разбивается на 4 интервала Ij, и следовательно число k в формулировке теоремы 2.3 равно 2.

Действительно, при переходе к соседнему интервалу число lj меняется на 1, и значит если lj = 0, то lj+2 = 0 либо lj+2 = 2. Но первый случай невозможен в силу предложения 2.2. Это доказывает теорему 2.4.

Доказательство предложения 2.2. Выбирая координаты (различные в образе и прообразе), положим без ограничения общности, что P (0) = 0 и рассмотрим фундаментальный квадрат [0, 2]2. График при этом становится графиком монотонно возрастающей функции, который соединяет левый нижний угол фундаментального квадрата с правым верхним. Рассмотрим точки A, B. Будем считать без ограничения общности, что x(B) > x(A) и следовательно (в силу монотонности), y(B) > y(A). Покажем, что |(A) (B)| < 2. Действительно:

|(A) (B)| = |(y x)(A) (y x)(B)| = = |(x(B) x(A)) (y(B) y(A))| max(x(B) x(A), y(B) y(A)) Из (2.7) и соображений непрерывности следует, что () является отрезком, длина которого меньше 2. Проектируя () на окружность R/2Z, получаем некоторую дугу. Обозначая дополнение до этой дуги через I, имеем: для всякого b из I (и только для них!), диагональ (x, y) = b не пересекает, т.е. (x) = b не имеет решений. Поскольку максимум и минимум | достигается в точках k, интервал I представляется в виде I = [(i), (j )] для некоторых i, j. Других точек (k ) на интервале нет. Следовательно, I совпадает с одним из интервалов Ik для некоторого 2.3 Нормализация и оценки производных Напомним с небольшим изменением формулировки теорему 1.5 из главы 1, описывающую поведение системы в окрестности точки срыва (см. также замечание 1.11 из главы 1):

Теорема 2.5. В обозначениях параграфа 2.2.2 (см. стр. 84), положим T ± = J ± M. Тогда для некоторого > 0 справедливо следующее:

где O( ) равномерно по x.

2.4 Оценка второй производной отображения Пуанкаре В этом разделе мы докажем леммы 2.3 и 2.4.

2.4.1 Эвристическое описание Рассмотрим систему вида (2.1), соответствующую рисунку 2.1 (см. стр. 78).

В этом разделе мы эвристически опишем её динамику и покажем причины возникновения двух пар уточных решений при выполнении условий балансировки.

Рис. 2.6: Истинные медленные кривые в системе с двумя складками: масштабы существенно искажены в целях наглядности Напомним (см. параграф 1.2.2), что в окрестности каждого участка медленной кривой M, состоящего из регулярных особых точек быстрого движения, для малых существует инвариантное многообразие, O()-близкое к соответствующему участку M, называемое истинной медленной кривой. Для фиксированного участка медленной кривой, истинные медленные кривые определены неоднозначно, но они экспоненциально близки друг к другу, и мы можем выбирать любую из них. Рассмотрим максимальные истинные медленные кривые, соответствующие участкам G+ E, ED и DG.

Обозначим их через S1, S2 и S3 соответственно. Продолжим их за соответствующие точки срыва (вперед и назад во времени, см. рис. 2.6). Введем обозначение: uj = Sj J +, j = 1, 2, 3. Отметим, что попарные расстояния между точками uj экспоненциально малы.

Рассмотрим траекторию, проходящую через точку u J +. Напомним, что динамика в окрестности участка медленной кривой описывается линейным уравнением вида (1.13) из главы 1. В случае неустойчивого участка это означает, что траектория проводит какое-то время вблизи истинной медленной кривой (записывающейся как x = 0 в нормализующих координатах), после чего покидает окрестность неустойчивого участка медленной кривой и за время O() вновь попадает в окрестность медленной кривой.

Здесь возможны два варианта:

1. Траектория попадает в окрестность устойчивой части медленной кривой, и далее двигается вдоль неё. Мы будем называть это явлением уточным срывом.

2. Траектория попадает в окрестность точки обратного срыва и претерпевает обратный срыв, двигаясь затем какое-то время вблизи неустойчивой части медленной кривой. (См. рис. 2.6, такими являются траектории, проходящие вблизи u3 и пересекающие JD ).

Из нормальной формы (1.13) (глава 1) следует, что по мере движения в окрестности неустойчивого участка медленной кривой, производная решения по начальному условию u растет (накапливается разбегание ), а по мере движения вдоль устойчивого участка уменьшается (накапливается сжатие ). По правилу дифференцирования сложной функции, производные указанного вида на различных участках траектории вносят свой вклад в производную отображения Пуанкаре P. Таким образом, для оценки второй производной отображения Пуанкаре необходимо изучить, какую долю времени траектория проходит вблизи устойчивых участков медленной кривой, а какую вблизи неустойчивых.

Возможны следующие случаи:

1. u < u1. По мере приближения начального условия к u1 снизу, время, проводимое траекторией вблизи устойчивого участка G+ E, увеличивается за счет времени, проводимого вблизи неустойчивого участка G G+. Таким образом, производная растет и достигает своего максимума в точке u1 (в этом случае траектория совпадает с истинной медленной кривой S1 ).

2. u (u1, u2). По мере перемещения начального условия от u1 к u2, траектория проводит меньше времени в окрестности неустойчивого участка G+ E за счет устойчивого участка ED. Производная уменьшается и достигает своего минимума в точке u2.