«Геометрия некоммутативных главных расслоений ...»

Московский государственный университет

имени М.В. Ломоносова

механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 514.7

Шарыгин Георгий Игорьевич

Геометрия некоммутативных

главных расслоений

01.01.04 – геометрия и топология

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

Профессор, доктор физикоматематических наук, Ю. П. Соловьёв Москва 2000 Предисловие 1. Актуальность темы Главной задачей диссертации является разработать возможно более полную теорию характеристических классов алгебр, на которых кодействует та или иная квантовая группа, или, более общо, алгебра Хопфа.

С формальной точки зрения такие объекты аналогичны, точнее, двойственны, пространствам, на которых действует группа Ли. В самом деле, если рассмотреть алгебры функций на пространстве и на группе, то отображение, двойственное умножению на элементы группы, определит обратный гомоморфизм на указанных алгебрах, удовлетворяющий (при некоторых не слишком ограничительных предположениях) всем условиям, задающим кодействие. Преимущество такого чисто алгебраического подхода состоит в возможности рассматривать не только коммутативные алгебры, тем самым значительно расширяя область применимости теории. Конечно, полученным таким образом результатам нельзя дать непосредственной геометрической интерпретации, однако в последнее время и, прежде всего, в рамках так называемой некоммутативной геометрии появились многочисленные примеры некоммутативных алгебр, тесно связанных с геометрическими объектами, изучение которых приносит значительую информацию о самом объекте. Прежде всего речь идёт о C -алгебре слоения. Кроме того, можно рассматривать скрещённые произведения алгебр функций на многообразиях и групповых алгебр дискретных групп, изучение которых, несомненно, даёт достаточно информации о действии группы. Далее, теория групп и алгебр Ли поставляет два класса естествеено возникающих некоммутативных алгебр: универсальные обёртывающие алгебры алгебр Ли и алгебры функций относительно свёртки. Другие обширные классы примеров некоммутативных алгебр приходят из теории деформационного квантования, квантовой механики и квантовой теории поля. Все эти и другие примеры некоммутативных алгебр дают широкое поле для применения идей и методов некоммутативной геометрии, одним из разделов которой является теория некоммутативных главных расслоений.

Термин некоммутативная геометрия был предложен в начале 1980-х годов французским математиком А.Конном, [21], в связи с его исследованиями по теории слоений.

Хотя некоммутативные алгебры, в частности C -алгебра слоения, не могут быть отождествлены с алгебрами функций ни на каком топологическом пространстве, но оказалось чрезвычайно полезным рассматривать их в таком качестве и по мере возможностей применять к ним те же конструкции, которые имеются в обычной дифференциальной геометрии. На этом пути были получены многочисленные результаты, прежде всего в теории характеристических классов (см. [21, 22, 19, 18]). Оказалось, что конструкция Чженя-Вейля, позволяющая строить характеристические классы векторных расслоений над гладкими многообразиями, почти дословно переносится на случай конечнопорождённых проективных модулей над произвольными ассоциативными унитальными алгебрами. С другой стороны, известно, что в классическом случае характеристические классы векторных расслоений являются частным случаем характеристических классов соответствующего главного расслоения. Поэтому естественным желанием исследователей было построить аналогичную конструкцию и в некоммутативном случае.

Прежде всего, необходимо найти замену структурной группы некоммутативного главного расслоения. Ясно, что некоммутативными аналогами групп Ли являтся алгебры Хопфа. Однако, произвольная алгебра Хопфа слишком общий объект для этих целей. Достаточно богатый класс алгебр Хопфа, обладающх многими свойствами алгебр функций на группах Ли, был обнаружен в середине 80-х годов. Речь идёт о квантовых группах, появившихся одновременно в работах нескольких математиков, см. например [13, 2].

В течение 90-х годов было предпринято несколько попыток создать на основе теории квантовых групп разумную теорию некоммутативных (квантовых) главных расслоений и изучить геометрию с квантовой структурной группой. К числу таких работ относятся, например [20, 17]. Наиболее последовательная и развитая теория была создана югославским математиком Джорджевичем (Durdevic). Не вдаваясь в подробности его определений, аккуратно изложенных в тексте диссертации, см. Главу 1, скажем, что одной из главных трудностей было дать правильную алгебраическую интерпретацию свободного действия группы. Тем интереснее кажется факт, что это условие оказывается слегка ослабленным определением расширения Галуа-Хопфа, объекта давно изучавшегося в алгебре. Именно работы Джорджевича и послужили отпраной точкой данной диссертации.

2. Содержание диссертации Первая глава В этой главе мы даём определения и обсуждаем основные свойства квантовых групп и квантовых главных расслоений. В главе практически нет утверждений и теорем, полученных автором диссертации, за исключением конструкции обобщённого гомоморфизма Вейля для случая немультипликативной регулярной связности, являющейся, по-существу, небольшим уточнением соответствующего результата для мультипликативных связностей, принадлежащего Джорджевичу. Кроме того, автору принадлежит конструкция замены структурной группы при помощи гомоморфизма.

Первый параграф посвящён теории квантовых групп. Основными источниками нам служат работы Вороновича [1]-[4]. Следует указать, что определения и результаты, которыми мы пользуемся, основаны на интерпретации квантовых групп, как некоммутативных алгебр функций на квантовом пространстве, а не как деформированных универсальных обёртывающих алгебр, каковое описание принято в большинстве работ, посвящённых вопросу. То, что эти два подхода эквивалентны, следует, например, из основополагающей работы [13]. Содержание этого параграфа естественно разбивается на три части. Во-первых, мы даём определение (Определение 1.1) и описываем основные свойства квантовых групп, в частности мы вводим понятие классической части квантовой группы (см. Определение 1.2). Далее, мы, следуя работам [1] и [3] описываем свойства дифференциальных исчислений на квантовых группах. Конец первого параграфа посвящён основам теории представлений квантовых групп в смысле Вороновича (см. [2]). Не претендуя на полноту изложения, мы ограничиваемся фактами, которые нам потребуются позднее для работы с главными расслоениями. Теоремы 1. и 1.3 являются сводками результатов работ [3] и [2, 4] соответственно.

В следующих четырёх параграфах мы последовательно излагаем теорию квантовых главных расслоений, связностей на них и характеристических классов, при этом мы опираемся на работы Джорджевича [5]-[9]. Некоторые другие подходы к теории квантовых главных расслоений и вообще некоммутативной дифференциальной геометрии с квантовыми структурными группами можно найти также в работах [20, 17].

Во втором параграфе даётся определение квантового главного расслоения по Джорджевичу (Определение 1.3), обсуждается его геометрический смысл, в частности указывается на связь этих объектов с расширениями Галуа-Хопфа. В конце параграфа приводятся примеры некоммутативных (квантовых) главных расслоений. В качестве одного из способов построения квантовых главных расслоений рассматривается принадлежащая автору конструкция замены структурной группы (см. пример 1.2.5 и предложение 1.4).

Третий параграф посвящён теории дифференциального исчисления на некоммутативных главных расслоениях. В начале параграфа даётся определение дифференциального исчисления на тотальном пространстве расслоения, согласованного с исчислением на структурной группе (Определение 1.4) и приводится пример, доказывающий существование таких объектов. Далее мы определяем алгебру дифференциальных форм на базе расслоения, (M), алгебру горизонтальных дифференциальных форм, hor(P ), алгебру разложимых дифференциальных форм vh(P ) (при этом мы показываем, что два возможных способа определить её эквивалентны, Предложение 1.5).

В четвёртом параграфе излагаются основные результаты работы Джорджевича [6].

Именно, дав вслед за этим автором определение псевдотензориальных, тензориальных форм и связностей на некоммутативном главном расслоении (Определение 1.5), мы формулируем без доказательства теорему о существовании связностей (Теорема 1.6). Далее мы определяем мультипликативные связности (условие 1.30) и отображение m : vh(P ) (P ). Затем мы приводим без доказательства ещё одно техническое утверждение, принадлежащее Джорджевичу, Теор. 1.7.

Вслед за этим, при помощи отображения m определятся горизонтальное проектирование (формула 1.31), и ковариантное дифференцирование (Определение 1.6). Теорема 1.8, принадлежащая Джорджевичу, содержит список свойств ковариантного дифференцирования, построеннного по произвольной связности.

Совершенно аналогично случаю обычного главного расслоения, мы определяем кривизну R связности, Опр. 1.7. Список свойств форм кривизны общих связностей на некоммутативном главном расслоении содержится в Теореме 1.9. Её, как и предыдущую теорему мы приводим без доказательства.

Чтобы обойти трудности, связанные с немультипликативностью связности, мы вводим "накрывающее отображение"R : ker hor(P ) и доказываем, что квадрат ковариантного дифференцирования равен умножению на форму, определяемую при помощи этого отображения (Предложение 1.10). Это отображение не рассматривалось Джорджевичем явно, однако, все доказательства свойств формы кривизны основывались, по существу, на рассмотрении этого отображения.

Следующее определение, Опр. 1.8, является ключевым для всего нижеследующего изложения. Именно, в нём мы выделяем важнейший для нас класс связностей регулярные связности. На идейном уровне, связность называется регулярной, если она фиксированным образом коммутирует с горизонтальными формами на расслоении (см.

формулы (1.39) и (1.39 )). Существование этого требования, как нетривиального условия чисто квантовый феномен, не существующий в обычном случае. Понятие регулярной связности введено Джорджевичем, им же исследованы свойства регулярных связностей, а так же горизонталной проекции, ковариантного дифференцирования и формы кривизны, определяемых регулярной связностью. Список этих свойств, без доказательств, которые, будучи чисто техническими, заняли бы весьма много места, мы приводим в виде теоремы (Теорема 1.11). При этом, мы переформулируем некоторые из свойств в терминах отображения R (свойства (iii) и (iv )). Грубо говоря, регулярные связности естественно выделяемый класс связностей, по своим свойствам максимально напоминающих обычные связности на главных расслоениях. Именно эти свойства и позволяют использовать их при построении гомоморфизма Вейля. Именно, оказывается, что очевидная перефразировка классической конструкции Чженя-Вейля (см., например [16]), позволяет почти дословно перенести доказательства из книги на случай регулярной связности на некоммутативном главном расслоении (Теорема 1.12). Отметим, что в работах Джорджевича не ставится вопроса о существовании регулярных связностей на некоммутативных главных расслоениях, ответ на который даётся в третьей главе данной диссертации.

Завершается параграф несколькими замечаниями, касающимися образа и области определения отображения из теоремы 1.12, а также её переформулировкой на случай немультипликативной регулярной связности (Теорема 1.13 и следующие за ней замечания). В конце параграф мы определяем гоморфизм Вейля в случае регулярной (мультипликативной или немультипликативной) связности, как отображение, фигурирующее в теоремах 1.12 или 1.13.

Последний параграф первой главы посвящён теории векторных расслоений, ассоциированных с данным главным. Вслед за определением и списком основных свойств этих объектов (опр. 1.10 и теорема 1.14) мы возвращаемся к предложению 1.4 и доказываем недостающие утверждения. Далее, мы описываем связь между категорией ассоциированных векторных расслоений некоторого главного квантового расслоения и самим расслоением (теорема 1.17), что позволяет нам строить новые примеры некомутативных главных расслоений. Аналогично ранее данному определению векторного расслоения Eu, ассоциированному с некоммутативным главным расслоением при помощи некоторого представления структурной квантовой группы, мы определяем пространство Eu -значных дифференциальных форм на базе. Список свойств этих пространств содержится в теореме 1.18.

Далее мы, следуя работе Джорджевича [6] вкратце излагаем теорию характеристических классов ассоциированных векторных расслоений. Для этого мы определдяем канонический след градуированного автоморфизма пространства Eu -значных дифференциальных форм на базе (см. диаграмму (1.48)), который нам затем понадобится в третьей главе при изучении препятствий. Оказывается, что канонический след квадрата транспонируемого дифференцирования (см. Опр. 1.12) такого модуля задаёт характеристические классы в когомолгиях центра алгебры базы, не зависящие от выбора такого дифференцирования (теор. 1.22 и следствие 1.23). В том случае, когда дифференцирование, фигурирующее в указанных утверждениях порождено регулярной связностью на некоммутативном главном расслоении, построенные таким образом классы оказываются в образе обобщённого гомоморфизма Вейля (предл. 1.24).

Заканчивается параграф ещё одной теоремой Джорджевича (теор. 1.25), описывающей связь между дифференцированиями пространств Eu -значных дифферециальных форм и регулярными связностями.

Вторая глава В этой главе, состоящей из трёх параграфов, мы описываем явно, во что превращаются общие конструкции предыдущей главы в важных для приложений частных случаях.

Так, в первом параграфе мы разбираем случай локально-тривиального главного квантового расслоения над гладким многобразием. Именно, взяв за основу работу [5], мы, вслед за Джорджевичем определяем локально-тривиальные квантовые расслоения, как алгебры B, для которых существуют тривиализующие гомеоморфизмы (Определение 2.1). Прежде, чем приступить к исследованию данного класса квантовых главных расслоений, мы приводим пример не локально-тривиального некоммутативного главного расслоения над гладкой базой, с квантовой структурной группой S 1. Возвращаясь после этого к локально-тривиальному случаю, мы доказываем (Теорема 2.5), что в этом образ обобщённого гомоморфизма Вейля W такого расслоения состоит из характеристических классов классической части расслоения P, определение которой приводится выше (см. Теорему 2.1). Теорема 2.5, является основным содержанием данного раздела. Прежде, чем доказать её, приходится провести много вспомогательных рассуждений. Так, мы описываем набор векторных расслоений, асоциированных с локально-тривиальным квантовым главным рассллоением (Лемма 2.4 и Теорема 2.3) и, пользуясь этим результатом и Теоремой 2.2, взятой из [5], мы описываем связности на локально-тривиальном главном квантовом расслоением над гладким многообразием как навбор связностей на ассоциированных векторных расслоениях (Теорема 2.3).

Все эти результаты используются при доказательстве теоремы 2.5, однако они предсатвляют интерес и сами по себе, например в связи с возможными исследованиями структуры пространств связностей и уравнения Янга-Миллса для некоммутативного главного расслоения.

Далее, в параграфах 2.2 и 2.3 мы разбираем более общий случай, когда базой расслоения (необязательно локально-тривиального) служит произвольная унитальная алгебра M. В этом случае мы строим алгебру полуклассических горизонтальных дифференциальных форм на расслоении P, hor (P )), удовлетворяющую всем условиям пункта (ii) теоремы 1.25. После этого мы доказываем, что понятие связности в этом случае эквивалентно понятию лифта дифференцирований, а теория характеристических классов ассоциированных векторных расслоений во многом аналогична теории, развитой в работах [18], [19].

Параграф 2.2 посвящён описанию полуклассического дифференциального исчисления на главном квантовом расслоении, точнее, алгебры полуклассических горизонтальных форм на главном квантовом расслоении, построенной по алгебре Ли дифференцирований базы. Определение этой алгебры (Опр. 2.3) полностью аналогично определению алгебры дифференциальных форм, построенной по дифференцированиям произвольной ассоциативной алгебры (см. Опр. 2.1), данной в [18]. Небольшое отличие проявлется в том, что нам приходится работать с алгебрами, снабжёнными инволюцией, в связи с чем определения указанной работы было необходимо несколько видоизменить (см. Определение 2.2). Другое отличие состоит в необходимости описывать кодействие квантовой структурной группы на этой алгебре.

Основной теоремой данного параграфа является Теорема 2.10, описывающая свойства алгебры полуклассических дифференциальных форм на квантовом главном расслоении. Оказывается, что для построенной алгебры справедливы все разложения, которые выполняются для алгебр горизонтальных диффенренциальных форм на главном квантовом расслоении (сравни Теор. 1.25). Важность этого утверждения в том, что мы не предъявляем никакого дифференциального исчисления на квантовом раслоении, алгеброй горизонтальных форм которого могла бы служить hor (P ), однако, благодаря утверждению (ii) теоремы 1.25, мы можем говорить о регулярных связностях на главном расслоении, заменяя их на подходящие дифференцирования алгебры hor (P ). Боsc лее того, ограничиваясь одним из модулей, входящих в разложения Теоремы 2.10, мы можем изучать классы Чженя соответствующего ассоциированного векторного расслоения, изучая транспонируемые дифференцирования указанного модуля, см. §1.5.

В последнем параграфе второй главы мы изучаем связности и кривизны на главных квантовых расслоениях в случае, когда алгебра горизонтальных форм полуклассическая. А именнно, в предложении 2.12 вводится понятие лифта дифференцирований, аналогичное классическому понятию лифта векторных полей, см. [16], и доказывается, что задание лифта дифференцирований на алгебре полуклассических горизонтальных дифференциальных форм эквивалентно заданию регулярной связности на подходящем дифференциальном исчислении на главном квантовом расслоении. Далее мы изучаем структуру кривизны в случае полуклассического дифференциального исчисления на главном квантовом расслоении. Оказывается (см. предложение 2.13), что кривизна, определяемая общими методами из главы 1, совпадает в рассматтриваемом случае с тем, что дают конструкции из работ [19], [18].

Третья глава Последняя глава диссертации посвящена следующему важному вопросу: существуют ли на гланом квантовом расслоении регулярные связности? Дело в том, что все конструкции Джорджевича, описанию которых посвящена первая глава, никак не отвечая на поставленный вопрос, тем не менее целиком и полностью основываются на предположении, что ответ на него положительный. В качестве оправдания, в работе [6] приводится конструкция, позволяющая изменить дифференциальное исчисление на главном расслоении таким образом, что необходимые для работы связности появляются. Однако, структуру нового дифференциального исчисления, полученного подобным путём, совершенно невозможно предсказать. Например, может случиться, что новое дифференциальное исчисление будет тривиальным (равным нулю в размерностях выше нулевой).

То же самое касается и второй из представленных в главе 1 конструкций характеристических классов, связанных с ассоциированными векторными расслоениями (см. §1.5):

вопрос о существовании необходимых для её успешной реализации транспонируемых дифференцирований соответствующих бимодулей никак не решается.

Решению этих двух проблем и посвящена третья глава. В первом параграфе мы изучаем вопрос о существовании регулярных связностей. Оказывается, основываясь на произвольной связности на расслоении, можно построить класс в когомологиях специально построенного по алгебре hor(P ) пространству inv коцепного комплекса (см.

формулы (3.4) и (3.5)), служащий препятствием для существования связности на главном квантовом расслоении – равенство этого класса нулю необходимо и достаточно для существования регулярной связности (теорема 3.5 и следствие 3.6). Более того, при помощи этого препятствия мы построим аналог гомоморфизма Вейля, принимающий значение в Хохшильдовых когомологиях алгебры M, со значениями в (M)(или, более общо, в когомологиях Хохшильда градуированной алгебры (M), см. теорему 3. и замечание после неё).

В общем случае, однако, вычислить подобное препятствие не представляется возможным. Поэтому во втором параграфе мы разарабатываем более простой аналог вышеуказанной конструкции, позволяющий ответить на второй из поставленных вопросов:

существование дифференцирований на присоединённых векторных расслоениях, прежде всего, в случае полу-классического дифференциального исчисления (см. главу 2). В начале параграфа разбирается более простой вопрос, а именно, впрос о препятствии для существования связности на произвольном правом модуле над алгеброй M. В этом случае удаётся построить несложный комплекс и указать класс в его гомологиях, служащий препятствием для существования связности, см. (3.15), (3.17) и предложение 3.10. В случае, когда модуль E проективный, мы получаем, в качестве следствия из предыдущих конструкций, хорошо известный езультат (см. [18], [21], [22]), гласящий, что на E существует связность, предл. 3.11. Далее мы приводим аналогичную конструкцию, позволяющую строить препятствия для существования связности на бимодулях, см. (3.18) - (3.21) и предложение 3.12. В случае, когда бимодуль E является векторным расслоением, ассоциированным с некоторым некоммутативным главным расслоением, его свойства (см. теор. 1.14) позволяют значительно упростить данную конструкцию, а именно, вместо достаточно громоздкого комплекса (3.18), являющегося на самом деле тотальным комплексом бикомплекса (3.23), мы можем рассмотреть более простой комплекс (3.23), (3.25), при этом препятствие будет задаваться коциклом (3.27). После этого мы приводим два примера вычислений значения данного препятствия. Наконец, в конце этого параграфа мы описываем связь между препятствиями к существованию дифференцирований присоединённых векторных расслоений и построенными в конце параграфа 3.1 классами в Хохшильдовых когомологиях алгебры M (предложение 3.14).

Оглавление Глава Квантовые группы и главные расслоения В этой главе мы даём определения и обсуждаем основные свойства квантовых групп и квантовых главных расслоений. В теории квантовых групп нашими основными источниками являются работы Вороновича [2]-[4]. Следует указать, что определения и результаты, которыми мы пользуемся, основаны на интерпретации квантовых групп, как некоммутативных алгебр функций на квантовом пространстве, а не как деформированных универсальных обёртывающих алгебр. Такое описание принято в большинстве работ, посвящённых вопросу. То, что эти два подхода эквивалентны, следует, например, из основополагающей работы [13]. Теории квантовых групп посвящён первый из пяти параграфов данной главы. Его содержание естественно разбивается на три части. Вопервых, мы даём определение и описываем основные свойства квантовых групп, в частности мы вводим понятие классической части квантовой группы. Далее, мы описываем свойства дифференциальных исчислений на квантовых группах, и излагаем основы теории представлений квантовых групп, ровно в том объёме, который нам потребуется позднее для работы с главными расслоениями. Далее мы последовательно излагаем теорию квантовых главных расслоений, связностей на них и характеристических классов, при этом мы опираемся на работы Джорджевича [5]-[9]. Некоторые другие подходы к теории квантовых главных расслоений и вообще некоммутативной дифференциальной геометрии с квантовыми структурными группами можно найти также в работах [20, 17]. Из результатов этой главы для дальнейшего особенно важны конструкция гомоморфизма Вейля (§1.4) и конструкция характеристических классов ассоциированных векторных расслоений (§1.5).

1.1 Квантовые группы Вслед за [2] дадим следующее определение:

Определение 1.1. Компактной матричной псевдогруппой G, или квантовой группой, называется C -алгебра A, для которой определён -гомоморфизм : AA A и в которой выделена всюду плотная -подалгебра A, порождённая элементами (uij )i,j=1,...n так, что выполняются следующие условия 1. Ограничение отображения на A задаёт отображение : A A A, при этом 2. Задан -гомоморфизм : A C такой, что 3. Задан антиизоморфизм : A A, такой, что где m : A A A – умножение, и где T : A A A – тасующее отображение, 4. Выполняется равенство Равенства (1.1)–(1.4) показывают, что отображения, и задают на A структуру алгебры Хопфа. В самом деле, из равенства (1.1) и того, что A порождена элементами uij следует, что выполняется равенство то есть коумножение коассоциативно, и все аксиомы алгебры Хопфа выполняются (при этом отображения и служат, соответственно, антиподом и коединицей). К сожалению, в общем случае не существует непрерывных отображений, распространяющих и на всю алгебру A, поэтому мы не можем говорить, что C -алгебра A является C -алгеброй Хопфа.

Ниже мы будем работать исключительно с алгеброй A – алгеброй гладких функций на квантовой группе, поэтому мы зачастую будем называть квантовой группой саму алгебру A и говорить квантовая группа A, а не квантовая группа G. Приведём примеры квантовых групп.

Пример 1.1.1 (Классические матричные группы Ли). Пусть G GLN (C) компактная матричная группа Ли. C - aлгебра непрерывных функций на G, C(G) – коммутативна.

Выберем в C(G) всюду плотную подалгебру A, состоящую из полиномиальных функций от матричных элементов.

Алгебра A порождена набором функций (wij )i,j=1...N на группе G, значение функции wij на элементе g G равно элементу стоящему на пересечении i строки и j столбца матрицы, задающей g. Коумножение в A задаётся по правилу для любых g, h G, если (f ) f(1) f(2) = (f ). Из формулы для произведения матриц следует, что коумножение функций wij задаётся формулой Антипод определяется как значение функции на обратном элементе:

а коединица в A это значение функций из A на единице группы G.

Несложно проверить, что выполняются все условия из определения 1.1. Полученная таким образом квантовая группа – G задаётся коммутативными алгебрами A, A.

Верно и обратное, любая квантовая группа G, у которой алгебра A коммутативная, совпадает с некоторой квантовой группой из описанных в этом примере (см. [2]).

В дальнейшем мы будем работать исключительно с алгебрами гладких функций A, поэтому в оставшихся примерах мы ограничимся описаниями алгебр A.

Пример 1.1.2 (Квантовая группа SUµ (2)). Матрица образующих элементов u имеет вид где µ (1; 1) \ {0} парамеметр. Соотношения, которым удовлетворяют элементы образующих элементах uij формулой или, в терминах {,,, }:

Пример 1.1.3 (Квантовые группы SUµ (n)). Пусть µ (1; 1)\{0} произвольное число.

Тогда Sµ U (n) -это алгебра, порождённая элементами (uij )i,j=1,...,n удовлетворяющими соотношениям где Ei1...in = (µ)I(i), I(i) число инверсий в последовательности i1,... in. Опять анuij ) = ij.

типод определяется формулой (1.6), а коединица Пример 1.1.4 (Универсальная квантовая группа UF (n)).

Пусть F положительно-определённая матрица в GLn (C), такая, что tr(F ) = tr(F 1 ). Тогда мы можем рассматривать алгебру UF (n), порожденую элементами матрицы u = (uij )i,j=1,...,n и соотношениями Пусть теперь A произвольная квантовая группа. Рассмотрим множество характеров алгебры A (то есть множество -гомоморфизмов алгебры A в C). Формула задаёт умножение в множестве характеров (мы воспользовались записью предложенной в [12]). Как доказано в [2], эта операция превращает множество характеров на A в компактную подгруппу в унитарной группе U (n), n размерность матрицы u из определения 1.1.

Определение 1.2. Эта группа называется классической частью квантовой группы A и обозначается Gcl, или Acl (второе обозначение мы будем часто использовать при разговоре о полиномиальных функциях на Gcl ).

Во многих случаях можно явно указать, какая группа будет классической частью той или иной квантовой группы. Так, например, в рассмотренных выше примерах, класS 1, сическими частями будут: в первом примере в случае квантовой группы SUµ (n) n 1-мерный тор T. Классическая часть универсальной квантовой группы UF (n) зависит от структуры корневых пространств оператора F, см. [5]. Наконец, укажем, что алгебру Ли lie(Acl ) можно рассматривать, как множество таких линейных отображений A C, что Заметим, что формула задаёт отображение s : A Acl. Нетрудно проверить, что это отбражение является сюръективным морфизмом алгебры Хопфа A на алгебру полиномиальных функций на Gcl, см. первый пример.

Теперь мы вкратце расскажем о том, что мы будем называть дифференциальным исчислением на квантовой группе. Пусть, для начала, A произвольная унитальная алгебра. Мы будем называть дифференциальным исчислением на алгебре A такой бимодуль над A, для которого существует отображение Пример 1.1.5. Рассмотриим множество Отображение d задаётся формулой dx = 1xx1. Несложно проверить, что все условия выполнены. Это дифференциальное исчисление мы будем называть тривиальным и обозначать triv, или 0 (A).

В случае, когда A = A квантовая группа, мы будем накладывать на дифференциальное исчисление несколько дополнительных условий. Именно, мы требуем, чтобы формулы корректно задавали отображения : A и : A, и чтобы формула корректно определяла *-структуру на. Дифференциальное исчислением, удовлетворяющее всем этим условиям мы будем называть биковариантным. Если же выполняется толлько одно из условий (1.8) или (1.9) (и условие (1.10)), то такое дифференциальное исчисление мы будем называть лево- (соотв. право-) ковариантным.

Пример 1.1.6. Если A алгебра полиномиальных функций на матричной группе Ли, то в качестве можно взять пространство обыкновенных полиномиальных 1-форм на группе, 1 (Gcl ). Конечно, такое дифференциальное исчисление будет биковариантным.

Для произвольной квантовой группы A можно рассмотреть тогда отображение превращающее 1 (Gcl ) = cl в дифференциальное исчисление на A. Это дифференциальное исчисление, вообще говоря, не является ни лево-, ни правоковариантным.

Однако, эту конструкцию можно исправить: рассмотрим отображения Образы этих отображений, очевидно, будут соответственно лево-, право- и биковариантным дифференциальным исчислением на квантовой группе A. Можно доказать, что образ первого отображения совпадает с пространством тензорным произведением A и cl над Acl. Аналогично, во втором случае образом служит пространство cl Acl A, а в третьем A Acl cl Acl A.

Слдедующая теорема доказана в [3] и [5].

Теорема 1.1. (i) Пусть левоковариантое дифференциальное исчисление. Обозначим Тогда справедливо разложение A inv. (Для право-ковариантного дифференциального исчисления справедливо аналогичное утверждение, только inv следует заменить на аналогичное пространство inv.) (ii) Рассмотрим отображение : A, (мы пропустили очевидный знак суммы). Тогда эпиморфное отображение ker( ) на inv. Ядро, R правый идеал в ker( ). (Например, идеал, соответствующий triv равен нулю и отображение в этом случае принимает вид (a) = a (a).) Если при этом биковариантное дифференциальное исчисление, удовлетворяющее условию (1.10), то Здесь ad : A A A присоединённое кодействие:

Пусть произвольное дифференциальное исчяисление на произвольной алгебре A. Самый простой способ продолжить его до исчисления дифференциальных форм высших порядков следующий. Достаточно рассмотреть фактор-алгебру идеал в A, порождённый пространством где S Очевидно, что дифференциал d : A продолжается до дифференциала d :, обладающего всеми свойствами дифференциала градуированной алгебры. Эту алгебру мы тоже будем называть дифференциальным исчислением на квантовой группе. Очевидно, полученное распространение универсально в следующем смысле (см. [5]):

Предложение 1.2. Пусть произвольная дифференциальная градуированная алгебра с дифференциалом d. Пусть : A гомоморфизм, такой, что отображение, adb (a)d ((b)) корректно определено. Тогда существует единственное продолжение : гомоморфизма до гомоморфизма дифференциальных градуированных алгебр.

В частности, из теоремы 1.1 и этого предложения следует, что для дифференциального исчисления, построенного по triv, определены эпиморфные отображения на все возможные дифференциальные исчисления на квантовой группе.

Если биковариантный, то из предложения 1.2 следует, что отображения и продолжаются до аналогичных отображений и. Тогда, из теоремы 1.1 следует, что существует разложение причём идеал Sinv = S порождён пространством Кроме того, -структура на продолжается до -струтуре на дифференциальной градуированной алгебре. В терминах отображения, дифференциал и -структура на задаются формулами:

Например, из этого следует, что совпадает с кобар-резольвентой алгебры A.

Наконец, заметим, что правое кодействие при ограничении на пространство inv определяет кодействие : inv inv A. В терминах кодействия, имеем Другие примеры дифференциальных исчислений на квантовых группах можно найти в [3]. Полная классификация дифференциальных исчислений на некоторых классах квантовых групп содержится, например, в [14] и [15].

Закончим параграф описанием представлений кватовых групп. Конечно-мерным представлением u квантовой группы A, мы будем называть пару u = (, Hu ), где u = пространстрво, на котором справа кодействует квантовая группа A, то есть определено отображение так что в некотором базисе e1,..., enu действие задаётся формулой Элементы (uij )i,j=1,...,nu мы будем называть матричными элементами представления u в базисе e1,... e2. Из (1.11) и (1.12) следует, что Из определения 1.1 в частности следует, что матрица (uij )i,j=1,...,n элементов, порождающих A, задаёт представление квантовой группы A на пространстве Cn. Это представление мы будем называть фундаментальным.

Cуммой uv представлений u и v называется представление на пространстве Hu Hv заданное матрицей размерности (nu + nv ) (nu + nv ) Аналогично, тензорным произведением представления u и представления v, взятых в указанном порядке, называется предсталение u v на пространстве Hu Hv, определяемое матрицей размерности nu nv nu nv с элементами uij vkl.

Морфизмом представления u в представление v называется линейное отображение f : Hu Hv, такое, что Множество морфизмов представлений является векторным пространством и обозначается Mor(u, v). Представления u и v называются изоморфными, если существует морфизм f Mor(u, v), который является изоморфизмом соответствующих векторных пространств. Если представления u и v изоморфны, то их матрицы связаны соотношением f 1 v f = u. Например, в отличие от классического случая, представления u v и v u, вообще говоря, не изоморфны, если только квантовая группа не совпадает с одной из групп из примера 1.1.1.

Представление u называется приводимым, если в пространстве Hu существует подпространство H, отличное от Hu и ненулевое, для которого выполняется вложение u (H) H A. В противном случае представление u неприводимое. Представление u вполне приводимо, если оно изоморфно прямой сумме неприводимых представлений.

Для каждого представления u квантовой группы A определено сопряжённое, или контрагредиентное представление, u, действуещее на пространстве Hu = Hu линейных функционалов на Hu. Матрица представления в двойственном базисе, u, u определяется формулой Скалярное произведение на Hu задаёт антиизоморфизм векторных пространств ju :

Hu Hu = Hu. Оператор является морфизмом представлений, он называется каноническим морфизмом. Это положительно-определённое линейное отображение, однозначно определяемое требованием tr(Cu ) = tr(Cu ). Пусть ()u – эрмитово скалярное произведение на Hu. Тогда справедлива следующая формула, связывающая скалярные произведения в сопряжённых представлениях Для любой пары сопряжённых представлений u, u определены канонические морu физмы представлений: спаривание : Hu Hu H = C (тут – тривиальное представление квантовой группы A на пространстве C, матрица которого состоит из единицы группы A) и вложение единичного оператора Iu : C Hu Hu. Аналогично, меняя местами u и u, получаем морфизмы u : Hu Hu C и Iu : C Hu Hu ; в явном виде:

Представления квантовой группы A образуют категорию, согласно теминологии статьи [4], такая категория называется конкретной моноидальной W -категорией. Эту категорию мы будем обозначать R(G), или R(A). В работах [2, 4] доказано следуещее утверждение:

Теорема 1.3. (i ) Все представления любой квантовой группы A вполне приводимы.

(ii) Любое неприводимое представление квантовой группы встречается в разложении на неприводимые представления подходящей тензорной степени фундаментального представления, или представления, сопряжённого фундаментальному.

(iii) Любое представление квантовой группы эквивалентно унитарному представлению, то есть такому представлению, матрица которого является унитарным элементом в тензорном произведении B(Hu ) A, где B(Hu ) алгебра опреаторов на гильбертовом пространстве Hu. Для матрицы унитарного представления выполнено условие (iv ) Пусть T множество неприводимых неэквиваленитных представлений квантовой группы A. Тогда алгебра A, как векторное пространство, распадается в прямую сумму подпространств Hu, порождённых матричными элементами uij представлений T. При этом все элементы u между собой линейноij независимы.

(v ) Любая квантовая группа A однозначно восстанавливается по своей категории представлений R(A).

1.2 Определение квантовых расслоений. Примеры Прежде всего дадим определения основного объекта с которым нам предстоит работать.

Определение 1.3. Некоммутативным (или квантовым) главным расслоением P с базой M – унитальной, ассоциативной, но необязательно коммутативной *-алгеброй, и со структурной группой A (A алгебра гладких функций на квантовой группе G) называется унитальная ассоциативная (но некоммутативная) *-алгебра B, для которой существует гомоморфизм *-алгебр F : B B A, такой, что где, – соответственно коумножение и коединица квантовой группы A. При этом должны быть выполнены следующие два важных условия:

(кгр1 ) Существует вложение *-алгебр i : M B, такое, что (кгр2 ) Отображение X : B B B A заданное формулой Равенства (1.16) и (1.17) означают, что алгебра Хопфа A ко-действует на алгебре B (или, что квантовая группа G действует на P ). Мы будем иногда опускать приставку ко- и говорить, что... алгебра A действует на алгебре B..., или на какой-нибудь другой алгебре.

В дальнейшем мы будем отождествлять алгебру M и образ вложения i. Поэтому можно считать, по-определению, что база расслоения P состоит из A - инвариантных элементов:

В самом деле, ясно, что 1 M и что, если m M, то и m M. Кроме того, так как отображение F является гомоморфизмом алгебр, то сумма и произведение любых двух элементов из M тоже принадлежат M, то есть множество M B является *подалгеброй в B.

Обсудим теперь условие (кгр2 ). Заметим, прежде всего, что та же самая формула 1.18 может быть использована для того, чтобы задать отображение X : B M B B A. Иначе говоря, отображение X пропускается через B M B. Кроме того, оба отображения, и X, и X, являются морфизмами левых B модулей. Поэтому условие (кгр2 ) эквивалентно следующему условию (кгр2 ) Для любого a A существуют элементы pk, qk B, что Объясним, наконец, геометрический смысл определения 2.1. В классическом случае главное расслоение P со структурной группой G это пространство, на котором свободно действует группа Ли G. Действие группы G задаётся отображением f : P G P, таким, что коммутативны следующие диаграммы:

умножение в группе Ли G, и i1 (p) = p {e}. База расслоения P тогда Здесь отождествляется с фактор-пространством M = P / G.

В соответсвие с общей идеологией, описанной во Введении, мы должны заменить сами пространства на соответствующие алгебры (гладких) функций и при этом обратить все стрелки в диаграммах. Тогда несложно проверить, что отображение пространств f при этом превращается в отображение -алгебр F, удовлетворяющее уравнениям (2.1) и (2.2). (Ср. §1.1, определение представлений квантовой группы.) База расслоения становится множеством M A-инвариантных элементов алгебры B.

В классическом случае условие свободности действия f эквивалентно инъективности следующего отображения где p · g = f (p, g). Очевидно, что образ отображения Y лежит в подпространстве где : P M – естественная проекция. Но инъективное отображение пространств, очевидно, индуцирует сюръективное отображение алгебр функций. В результате обращения стрелок в определении отображения Y, получается отображение X (или X).

Следовательно условие (кгр2 ) является обобщением классического условия свободности действия структурной группы на пространстве расслоения.

Замечание. Несложно проверить, что, на самом деле, в классическом случае образ отображения Y совпадает с пространством P M P. На языке алгебр функций это утверждение эквивалентно следующему условию:

В квантовом случае, однако, автору не известно доказательство того, что из условия (кгр2 ) следует изоморфность отображения X.

Если на алгебре B действует справа алгебра Хопфа A, так что выполняется условие (ргх ) то говорят, что B является расширением Галуа – Хопфа алгебры M при помощи алгебры Хопфа A. Эти объекты изучаются, например в статье [11].

Закончим этот раздел примерами квантовых главных расслоений.

Пример 1.2.1 (Тривиальные главные квантовые расслоения). Пусть M произвольная унитальная *-алгебра, A квантовая группа. Положим B = M A. Кодействие F на коумножение в квантовой группе A. То, что отображение F является кодействием (то есть верны формулы (2.1) и (2.2) ) и то, что алгебра M совпадает со множеством A-инвариантных элементов этого кодействия очевидно.

Проверим, что действие группы A на B – свободное, то есть, что выполняется условие (2 ). Рассмотрим произвольный элемент a A. Пусть (a) = k bk ck, тогда для квантовая группа A является тривиальным расслоением над точкой: C (pt) = C.

Пример 1.2.2. Пусть алгебра (некоммутативных) дифференциальных форм на квантовой группе A. Алгебра A действует на справа (Напомним, что мы рассматриваем только би-ковариантные дифференциальные исчисления.) Множество неподвижных точек этого действия состоит из право-инвариантных дифференциальных форм на группе, inv (см. §1.1). Чтобы проверить выполнение условия (2 ), достаточно вспомнить, что существует разложение Далее, так же как в Примере 2.1, берём pk = 1 (bk ), qk = 1 ck, где k bk ck = (a).

Пример 1.2.3 (Скрещённые произведения). Примеры 2.1 и 2.2 частные случаи следующей общей конструкции. Пусть -алгебра Хопфа A действует слева, (в обычном смысле!) на унитальной -алгебре M, так что выполняются следующие условия:

для любого a A, m, n M, (a) a(1) a(2) = (a) и a(m) результат действия элемента a на m.

Тогда можно определить алгебру M A. Именно: как векторное пространство M A M A, а умножение и -структура на M A задаются при помощи формул На M A справа очевидным образом ко-действует алгебра Хопфа A, так что множество неподвижных точек этого кодействия совпадает с M. Если A квантовая группа, то, чтобы доказать, что мы получили квантовое главное расслоение, осталось проверить выполнение условия (кгр2 ), что делается точно так же, как в предыдущих двух примерах.

Чтобы теперь получить из этой общей конструкции тривиальное главное расслоение примера 1.2.1, надо положить, что a A действует на m M по формуле а в примере 1.2.2 M = inv и действие задаётся формулой (см. §1.1).

Совершенно аналогично можно определить скрещённое произведение в случае, когда алгебра Хопфа действует на унитальной алгебре N справа, в этом случае пишут A N. Кроме того, скрещённые произведения можно определить когда алгебра Хопфа A действует слева (соотв. справа) на алгебре M и ко-действует справа (соотв. слева) на алгебре N. Полученная алгебра обозначается M N (соотв. N M). Подробности можно найти, например, в книге [12] (см. также [20]).

Пример 1.2.4 (Однородные пространства). Пусть задано вложение квантовых групп : G G, то есть эпиморфное отображение алгебр Хопфа : A A. Тогда можно построить некоммутативное главное расслоение со структурной группой G. Алгеброй гладких функций на пространстве этого расслоения служит A, действие A на A определяется формулой В силу эпиморфности отображения условие (кгр2) выполняется. Следовательно, (A, FA ) квантовое главное расслоение со структурной группой A и базой Заметим, кстати, что эта же конструкция позволяет из произвольного главного расслоения со структурной квантовой группой A получить главное A -расслоение.

Пример 1.2.5 (Замена структурной группы). Пусть задано квантовое главное расслоение P = (B, F ) и пусть f : A A гомоморфизм квантовых групп (то есть морфизм алгебр Хопфа). Определим квантовое главное расслоение P, с базой M, ассоциированное с P при помощи гомоморфизма f. Именно, рассмотрим подпространство B AA BA:

где A F (a ) = (a ) f (a(1) ) a(2). Пространство B A называется тензорным произвеA дением B и A над алгеброй Хопфа A.

Предложение 1.4. Пространство B A A является алгеброй гладких функций на квантовом главном расслоении со структурной группой A и базой M, то есть это алгебра для которой существует правое ко-действие F : B A A B A A A, такое, что выполняется условие (кгр2) и подалггебра, неподвижная относительноэтого кодействия, изоморфна M.

Доказательство. Так как оба отображения, и F idA, и idB A F гомоморфизмы *-алгебр, то пространство B A A является *-подалгеброй в B A с единицей B AA.

Действие группы G на B A A задаётся как ограничение на B A A отображения idB : B A B A A (здесь – коумножение в A ). В самом деле, очевидно, что Поэтому ( idA )(idB ) = (idBA ), и значит (idB )(ker ) ker() A.

неподвижную подалгебру. Предположим, что Это значит, что где (a ) ai,(1) ai,(2) = (a ). Без ограничения общности можно считать, что все bi B – линейно-независимы. Поэтому, сравнивая коэффициенты при bi, получаем, что (ai ) = ai 1, для всех i и значит ai C. Следовательно Наконец, нам осталось доказать, что выполняется условие (кгр2 ). Однако, это утверждение требует более основательного знакомства с устройством алгебры B и мы отложим его до §1.5, посвящённого описанию структуры ассоциированных векторных расслоений.

Замечание. Пусть биалгебра A действует справа на векторном пространстве R и действует слева на пространстве L. Тогда, точно так же, как и выше можно определить тензорное произведение над A правого A-комодуля R и левого A-комодуля L, пространство R A L. Ясно, что если R и L *-алгебры, и A действует на них гомоморфизмами алгебр, то и пространство R A L будет алгеброй.

1.3 Дифференциальные исчисления Как обычно, под дифференциальным исчислением следует понимать алгебру (некоммутативных) дифференциальных форм на расслоении. Ясно, что для успешной работы с главным расслоением следует потребовать, чтобы эта алгебра была согласована с дифференциальным исчислением на квантовой структурной группе A. Точный смысл этого требования становится ясен из определения 1.3 ниже.

Именно, пусть P = (B, F ) структурной квантовой группой A. Фиксируем на квантовой группе A биковариантное дифференциальное исчисление. Следующее определение взято из [6]:

Определение 1.4. Дифференциальным исчислением на квантовом главном расслоении P, согласованным с, называется дифференциальная градуированная *-алгебра (P, ) = (P ), такая, что 2. (P ) порождена 0 (P ) как дифференциальная градуированная алгебра;

3. Существует отображение дифференциальных градуированных алгебр Прежде, чем мы продолжим давать определения, заметим, что для любого фиксированного биковариантного дифференциального исчисления на квантовой группе A на любом квантовом главном расслоении P существует соответствующее дифференциальное исчисление (P, ). В самом деле, достаточно взять в качестве (P ) тривиальное диффернциальное исчисление, triv (B), существующее для любой ассоциативной унитальной алгебры, см. §1.1. Напомним, что Так как F – гомоморфизм алгебр, то F 2 (B 2 ) (B A)2, и значит отображение F естественным образом распространяется до отображения а значит и до отображения указанного типа. С другой стороны, как указано в §1.1, для любого дифференциального исчисления на A существует единственный эпиморфизм дифференциальных градуировнных алгебр g : triv (A) =. Поэтому мы можем положить С любым дифференциальным исчислением (P ) на P можно связать несколько важных градуированных алгебр.

1. Прежде всего, определим алгебру (M) дифференциальное исчисление на базе M расслоения P :

Заметим, что ограничение на (M) дифференциала d алгебры (P ) переводит алгебру (M) в себя. Таким образом (M) является дифференциальной градуированной *подалгеброй в (P ), через dM мы будем обозначать дифференциал в (M).

Конечно, дифференциальная градуированная -подалгебра (M) в (P ), порождённая -алгеброй M B, лежит в (M). Обратное утверждение, однако, вообще говоря, неверно.

2. Во-вторых, определим алгебру hor(P ), горизонтальных дифференциальных форм на расслоении P :

Очевидно, что hor(P ) является градуированной *-подалгеброй в (P ), причём (M) hor(P ), hor0 (P ) = B. Однако, в отличие от (M), d(hor(P )) hor(P ), так что hor(P ) не является дифференциальной подалгеброй в (P ). Наконец, ограничение на подалгебру hor(P ) отображения F индуцирует на ней правое (ко-)действие квантовой группы A.

Это кодействие мы будем обозначать F.

3. Рассмотрим алгебру лево-инвариантных дифференциальных форм на квантовой группе A:

см. §1.1. Напомним, что формула задаёт на правое действие алгебры A, удовлетворяющее условиям из примера 1.2.3.

Поэтому мы можем построить по и hor(P ) скрещённое произведение hor(P ) (см. §1.2, пример 1.2.3), которое естественным образом будет наделено структурой алгебры, на которой справа кодействует алгебра Хопфа A (кодействие задаётся как тензорное произведение отображений F : hor(P ) hor(P ) A и : A, см. §1.1).

Кроме того, по правому A-комодулю hor(P ) и левому A-комодулю мы можем построить тензорное произведение над A, (см. §1.2, пример 1.2.5). Это пространство тоже будет -алгеброй с правым действием квантовой группы.

Предложение 1.5.

причём действия квантовых групп при этом отождествлении совпадают Доказательство. Напомним, что справедливо следующее разложение (напомним, что 0 = 0 = C), левое действие A на при этом совпадает с отобраinv inv жением id. Но несложно заметить, что для любой коалгебры C и любого правого C-комодуля D существует изоморфизм D C C D. В самом деле, очевидно, что следующие два отображения взаимно-обратны где (C : D D C – кодействие).

Таким образом получили изоморфизм векторных пространств которое собвпадает с умножением в hor(P ) достаточно заметить (см. [3],[5]) что умножение в задаётся формулой (мы воспользовались разложением (1.25)). Аналогично проверяем, что изоморфизм f сохраняет -структуру и A -кодействие.

Полученная нами алгебра называется алгеброй разложимых дифференциалдьных форм на главном расслоении P и обозначается vh(P ). Правое кодействие квантовой группы A на vh(P ) мы будем обозначать Fvh.

Замечание. Вместо алгебры hor(P ) в этой конструкции можно исплользовать её *подалгебру hor0 (P ) = B. При этом получается градуированная *-подалгебра в vh(P ), называемая алгеброй вертикализованных дифференциальных форм на раслоении. На ней тоже определено правое кодействие квантовой группы A.

4. Расссмотрим отображение проектирование на формы нулевой степени в, то есть A. Очевидно, что где pr F является отображением градуированных -алгебр и задаёт правое кодействие квантовой группы A на (P ). Очевидно, что на hor(P ) это отображение совпадает с уже построенным в пункте 2 кодействием (поэтому мы и не вводим для него отдельного обозначения).

1.4 Связности и гомоморфизм Вейля Вслед за работой [6] дадим определение:

Определение 1.5. (a) Псевдотензориальной формой на квантовом главном расслоении P = (B, F ) со структурной квантовой группой A и диффернециальным исчислением (P ) = (P, ) называется -линейное отображение : inv (P ), такое, что диаграмма коммутативна. Пространство псевдотензориальных форм на P является градуированным векторным пространством (градуировка индуцируется из (P )). Мы будем обозначать его (P ).

(b) Псевдотензориальная форма (P ) называется тензориальной, если (inv ) hor(P ). Тензориальные формы на расслоении P образуют градуированное подпространство в пространстве всех псевдотензориальных форм, которое мы будем обозначать (c) Связностью на главном квантовом расслоении P с дифференциальным исчислением (P ) называют произвольную псевдотензориальную форму, для которой выполняются равенства Следующая важная теорема доказана в работе [6].

Теорема 1.6. (i ) На любом главном квантовом расслоении P с любым дифференциального исчисления (P ) существуют связности.

(ii) Если 1, 2 две связности на главном квантовом расслоении P с дифференциальным исчислением (P ), то их разность, 1 2 (P ), является тензориальной 1-формой на расслоении.

В дальнейшем при разговоре о связностях мы больше не будем указывать на дифференциальное исчисление на P.

Пусть теперь некоторая связность на главном квантовом расслоении P. В цитированной статье показано, что для любого дифференциального исчисления на квантовой группе существует сечение : естественной проекции такое, что Положим Это отображение, конечно, в общем случае зависит от выбора сечения. Связности, для которых отображение определено канонически, то есть независимо от выбора, называются мультипликативными, так как они, очевидно, задают гомоморфизм *алгебр (P ). Вспомним, что ядро естественной проекции порождено векторным подпространством где R ker( ) правый идеал, определяющий дифференциальное исчиение на квантовой группе. Поэтому условие мультипликативности связности есть В частности, если = поэтому все связности будут мультипликативными. В общем случае, однако, условие (1.30) нетривиально.

Определим теперь для произвольной связности отображение векторных пространств m : vh(P ) (P ) по формуле Следующая теорем взята из [6] Теорема 1.7. (i ) Отображение векторных пространств m – биективно;

(ii) диаграмма коммутативна.

Теперь, при помощи отображения m мы можем определить горизонтальное проектирование h дифференциальных форм на расслоении P :

Из теоремы 1.7 следует, что отображение h следующая диаграмма:

Кроме того, очевидно, что (h )|hor(P ) = id.

Определение 1.6. Ковариантной производной на квантовом главном расслоении P, ассоциированной со связностью, называется отображение дифференциал в (P )).

Следующая теорема даёт список основных свойств ковариантного дифференцирования, см. [6]:

Теорема 1.8. (i ) D (n (P )) horn+1 (P );

(ii) диаграмма коммутативна;

(iii) (D )|(M) = d|(M) = dM ;

(iv ) ограничение отображения D на подалгебру hor(P ) задаётся формулой Пусть теперь (P ) произвольная псевдотензориальная форма. В силу коммутативности диаграмм (1.32) и (1.34), композиции отображения c h и D будут тензориальными формами на расслоении P. Эти тензориальные формы мы будем обозначать h () и D ().

Определение 1.7. Формой кривизны связности называется тензориальная 2-форма произвольная ассоциативная алгебра и пусть, : inv при помощи формул где m – умножение в, а d : inv 2 – ограничение на inv дифференциала на.

Заметим, в частности, что отображение, определено неканонически, оно зависит от выбора сечения. Сформулируем очередную теорему.

Теорема 1.9. (i ) Пусть (P ) – произвольная тензориальная форма. Тогда ковариантная производная от равна (ii) Форма кривизны связности равна (iii) Справедливо следуещее равенство (обобщённое тождество Бьянки):

Кроме того, правая часть равенства (1.37) равна нулю, если связность мультипликативна.

Мы видим, что в общем случае значение формы кривизны зависит от выбора сечения, если связность не является мультипликативной. Однако, это затруднение можно обойти, если рассмотреть отображение R : ker hor(P ), "накрывающее"форму кривизны:

Ясно, что в случае, когда связность – мультипликативная, R (a) = R ((a)).

Предложение 1.10. Справедливо равенство для любой горизонтальной дифференциальной формы hor(P ).

Доказательство. Воспользуемся формулой (1.35):

Осталось заметить, что выражение, стоящее в фигурных скобках в последней сумме равно R (ck (ck )).

Отсюда, в частности, следует, что для мультипликативной связности выполняется равенство Хотя мультипликативность очень важное свойство связностей на квантовых главных расслоениях, его недостаточно, чтобы можно было развивать теорию харктеристических классов, аналогичную классической. В нижеследуещем определении мы формулируем дополнительные ограничения на, выделяющие класс связностей, по своим свойствам приближающихся к связностям на обычных главных расслоениях.

Определение 1.8. Связность на главном квантовом расслоении называется регулярной, если для любой горизонтальной дифференциальной формы hor(P ) и любого элемента inv выполнено равенство или, эквивалентно Сформулируем в виде теоремы список основных свойств регулярных связностей:

Теорема 1.11 (см. [6]). Пусть – регулярная связность, тогда (i) для любой горизонтальной дифференциальной формы на расслоении выполняется равенство (ii) для любых, hor(P ) выполняется равенство Таким образом, отображение D|hor(P ) является эрмитовым антидифференцированием алгебры hor(P ).

(iii) Для любой горизонтальной дифференциальной формы на расслоении P и любого a ker выполняются равенства или, эквивалентно, (iv ) для любой тензориальной формы на P, независимо от выбора сечения выполняется равенство в частности, обобщённое тожество Бьянки (1.37) принимает вид а композиция D c отображением R равна нулю.

Если, кроме того, связность мультипликативная, то (v ) отображение m является изоморфизмом -алгебр;

(vi) горизонтальное проектирование h является гомоморфизмом -алгебр и для любых двух дифференциальных форм, (P ) выполняется равенство (vii) отображения h и D (viii) форма кривизны связности корректно определена и для любой горизонтальной дифференциальной формы на P и любого inv выполнены следующие или, эквивалентно, (ix ) тождество Бьянки (1.37) принимает классический вид Наконец, если хоть одна регулярная связность на P мультипликативна, то и все остальные регулярные связности на P тоже мультипликативны.

Пусть на P существуют регулярные связности. Фиксируем одну из таких связностей. Будем временно считать, что она мультипликативна (например, можно предположить, что дифференциальное исчисление на группе тривиально, то есть, что идеал R равен нулю). В этом случае можно построить отображение, аналогичное классическому гомоморфизму Вейля.

значим через R : hor(P ) отображение, задающееся формулой Тогда (i) R () (M) (ii) dM (R () = (iii) класс когомологий не зависит от выбора регулярной связности.

Доказательство. Для полноты картины мы приведём его полностью. Оно копирует классические рассуждения теории Чженя-Вейля (см., например, [16]).

Прежде всего, первое утверждение теоремы очевидно, так как форма кривизны связности эквивариантное отображение. Далее, воспользуемся тем, что на (M) ковариантное дифференцирование совпадает с дифференциалом dM, тогда dM (R ()) = D (R ()) = (Мы воспользовались тем, что D антидифференцирование алгебры hor(P ) и тождеством Бьянки (1.42).) Пусть теперь другая регулярная мультипликативная связность. Положим Для любого t [0; 1] псевдотензориальная форма t является регулярной мультипликативной связностью на P, 0 =, 1 =. Вычислим где = (мы активно пользовалис результатами теоремы 1.11). Поэтому где Интегрируя теперь последнее равенство по t от 0 до 1 получаем:

Сделаем несколько замечаний относительно образа и области определения отображения R.

Во-первых, в силу коммутационных соотношений (1.41), (1.41 ) элемент R () для любого I лежит в градуированном центре Z((M)) алгебры (M), являющемся градуированной дифференциальной *-подалгеброй в (M). Более того, из рассуждений, использованных при доказательстве пункта (iii) видно, что класс когомологий [R ()] Z((M)) корректно определён.

Во-вторых, пусть : 2 2 опрератор некоммутативной перестановки :

где, inv, l dl = (). Из тех же перестановочных соотношений (1.41), (1.41 ) следует, что а значит, в качестве области определения отображения R можно взять I() образ I при естественной проекции на = Im(id ) алгебру полиномиальных функций на алгебре Ли квантовой группы.

Наконец, если регулярная связность не является мультипликативной (а следовательно на расслоении P вообще нет регулярных мультипликативных связностей), то вместо отображения R надо рассматривать аналогичное отображение где (ker ) множество ad -инвариантных элементов, присоединённое действие квантовой группы на себе. Очевидно, что ad(ker( )) ker A. Следующая теорема является несложной переформулировкой Теоремы 1.12.

Теорема 1.13. Образ отображения R лежит в пространстве замкнутых форм на в (M), и соответствующие классы когомологий не зависят от выбора регулярной связности.

Кроме того, из коммутационных соотношений (1.40) и (1.40 ) следует, что, на самом деле, образ отображения R лежит в Z((M)) и что где Обозначим фактор-алгебру, соответствующую перестановке, через, а проекцию (ker )inv при отображении (ker ) через I().

Определение 1.9. Отображение произвольная регулярная мультипликативная связность на P, а pr : I I() естественная проекция, мы будем называть гомоморфизмом Вейля (то, что это отображение является гомоморфизмом градуированных -алгебр очевидно).

Аналогично, отображение где произвольная регулярная связность на P, мы будем называть обобщённым гомоморфизмом Вейля.

Ниже мы, всё же, будем обычно рассматривать W и W как отображения соответствующих подалгебр в inv и (ker ).

1.5 Векторные расслоения и классы Чженя.

квантовое главное расслоение с базой M и структурной группой Пусть P = (B, F ) A. Пусть u = (, Hu ) представление квантовой группы A.

Дадим определение векторного расслоения, ассоциированного с P при помощи представления u.

Определение 1.10. Векторным расслоением, ассоциированным с главным квантовым расслоением P при помощи представления u называется пространство морфизмов представлений Мы будем обозначать это пространство Eu.

Вообще, если M, N произвольные правые A-комодули, то Заметим теперь, что очевидные формулы задают на Eu структуру M -бимодуля.

Сформулируем теперь, в виде теоремы, список основных свойств ассоциированных векторных расслоений (см. [6]):

Теорема 1.14. (i) Для любого представления u пространство Eu ненулевой бимодуль над M, причём Eu проективен и как левый, и как правый модуль над M;

(ii) E = M;

(iii) для любых двух представлений u и v причём второй изоморфизм задаётся умножением в B:

(iv ) существует антиизоморфизм M-бимодулей u : Eu Eu, определяемый при помощи диаграммы:

(v ) любой морфизм представлений f Mor(u, v) индуцирует обратное отображение в частности, отображения u, u, Iu, I u индуцируют (в свете отожествлений пункта (iii) вложения бимодулей и спаривания (vi) алгебра B раскладывается в прямую сумму M - бимодулей где T множество всех неприводимых представлений квантовой группы A, Заметим, что из свойств (iv ) и (v ) следует, что формулы задают на Eu x, y невырожденные полуторалинейные спаривания (как левого и правого M–модуля соответственно). Кроме того, если элементы µk Eu, k Eu таковы, что то выполняется равенство В самом деле, из определений и сделанных отождествлений следует, что Теперь мы можем доказать последнее утверждение Предложения 1.4: квантовая группа A свободно действует на пространстве B A A.

Доказательство. Как известно (см. §1.1) любая квантовая группа A, как векторное пространство распадается в прямую сумму подпространств H порождённых матричными элементами (ui j )i,j =1,...,n всевозможных неэквивалентных неприводимых представлений T группы A. При этом, все такие элементы линейно независимы. Заметим, что в силу формулы пространство H является би-комодулем над A.

такой, что Очевидно, что формула задаёт на пространстве H структуру левого A комодуля. Этот комодуль мы будем обозначать H. Следующее утверждение очевидно.

Лемма 1.15. H H H как би-комодуль над A. Изоморфизм задаётся формулой Пусть f : A A гомоморфизм квантовых групп. Формулы определяют на H структуру левого (соотв. правого) комодуля над A, иначе говоря, пространство H становится пространством некоторого, может быть приводимого, представления группы A. Ясно, что если разложение пространства H в прямую сумму неприводимых представлений A относительно кодействия A, то Воспользуемся теперь результатами пункта (vi) теоремы 1.14:

Доказательство. Пусть e, i = 1,..., n, e, j = 1,..., n базисы в пространствах H, H, в которых правое действие квантовой группы задаётся формулой (1.13). Рассмотрим произвольный элемент i,j Cij e e H A H H H. Согласно опреi j делению тензорного произведения над коалгеброй, должно быть выполнено следующее равенство Сравнивая коэффициенты при e e, получаем Так как все элементы u и u линейно-независимы, то = и коэффициенты при u слева и справа совпадают. Поэтому ni Cjm = mi Cni для любых i, j, m, n = 1,..., n, откуда Cij = Cij, C C.

Итак, Теперь мы можем найти такие элементы pk, qk B A A, что X( k pk qk ) = 1 a для произвольного a A. В самом деле, можно считать, что a = uj для некоторых T, i, j = 1,..., n. Пусть µk Eu, k Eu определяются формулой Возьмём Мы воспользовались формулой (1.46) и тем, что Таким образом, ясно, что структура ассоциированных векторных расслоений тесно связана со структурой главного расслоения. На самом деле, главное расслоение можно восстановить по множеству ассоциированных векторных расслоений. Именно, пусть R(G) категория конечномерных представлений квантовой группы G. Пусть M некоторая ассоциативная унитальная -алгебра, (M) категория M- бимодулей, конечно-порождённых и проективных и как левые, и как правые M-модули. В качестве морфизмов категории R(G) мы будем рассматривать не только линейные, но и антилинейные морфизмы представлений. Под антилинейным морфизмом мы понимаем такое антилинейное отображение гильбертовых пространств f : Hu Hv, что v f = (f ) u. Множество антилинейных морфизмов представлений мы будем обозначать M(u, v). Тогда Аналогично, морфизмами в категории (M) мы будем считать не только гомоморфизмы бимодулей, но и антигомоморфизмы: такие отображения, что (mp) = (p)m (m M, p элемент бимодуля), и наоборот. Категории R(G) и (M), таким образом, становятся Z2 -градуированными.

Пусть, как обычно, обозначает тензорное произведение представлений в R(G). Мы будем говорить, что функтор градуированных категорий : R(G) (M) – мультипликативный, если существует естественная эквивалентность функторов (· M ·)(, ) и (· ·), такая, что для любых трёх представлений u, v, w R(G) выполнено равенство Следующая теорема составляет основное содержание статьи [8]:

Теорема 1.17. Для любого квантового главного расслоения с базой M соответствие u Eu определяет мультипликативный функтор градуированных катеR(G) горий : R(G) (M). Наоборот, для любого мультипликативного функтора : R(G) (M) существует единственное главное квантовое расслоение с базой M и со структурной квантовой группой G, такое, что (u) = Eu.

Теорема 1.17 позволяет описывать главные расслоения, если категория R(G) достаточно простая. Приведём примеры Пример 1.5.1. G = U (1). Главные U (1) -расслоения с базой M однозначно определяются бимодулем E над M, конечно-порождённым и проективным и как левый, и как правый модуль над M. При этом должны быть определены отображения бимодулей для которых µ id = id µ и µ id = id µ Тут E – сопряжённый бимодуль,то есть E = E, как векторные пространства а умножение в E определяется формулами Пример 1.5.2. Другая квантовая группа, категория представлений которой устроена достаточно просто универсальная матричная псевдогруппа UF (n), см. §1.1. Представления этой квантовой группы взаимно-однозначно соответствуют словам из u, u, где u фундаментальное представление, u его сопряжение, F канонический морфизм F : Hu Hu. Морфизмы в категории представлений этой квантовой группы порождены сопряжениями {ju, ju }, спариваниями {u, u } и вложениями единичных операторов {Iu, I u }, удовлетворяющими соотношениям, описанным в начале параграфа.

Тогда главные квантовые расслоения с такой структурной группой однозначно соответствуют парам антиизоморфных M -бимодулей Eu, Eu, для которых определены спаривания { +,, } и вложения {u, }.

В частности, для любого главного квантового расслоения P, любая пара ассоциированных векторных расслоений Eu, Eu, соответствующих соппряжённым представлениям u, u удовлетворяет всем описанным требованиям и следовательно определяет некоторое главное квантовое расслоение со структурной группой UCu (nu ).

Точно так же, как и ассоциированные векторные расслоения Eu, можно определить пространства Eu – значных дифференциальных форм на базе. Именно, положим:

Следующую тоерему см. [6, 8].

Теорема 1.18 (свойства пространств Fu ). (i) Для любого u, Fu градуированный бимодуль над градуированной алгеброй (M);

(ii) F = (M);

(iii) умножение на элементы из (M) задаёт изоморфизмы (iv ) пусть u : Eu M (M) (M) M Eu сквозной изоморфизм, m умножение (v ) для любых представлений u и v где uv : Eu M Ev Euv изоморфизм, описанный выше;

(vi) следуещие две диаграммы коммутативны где f : Hv Hu – морфизм представлений и [a, b](x y) = b(y) a(x) (заметим, что, тем самым, определены морфизм градуированных бимодулей f и антиизоu );

морфизм градуированных бимодулей (vii) алгебра hor(P ) распадается в прямую сумму и поэтому (viii) наоборот, если задана система градуированных бимодулей F, T над (M), удовлетворяющая условиям (i) - (vi) то по ним однозначно восстанавливается алгебра hor(P ).

Определим теперь канонический след произвольного градуированного автоморфизма A : Fu Fu градуированного бимодуля Fu, для чего рассмотрим диаграмму В этой диаграмме trM (A) морфизм градуированных бимодулей, восстанавливаемый при помощи диаграммы. Ясно, что морфизм trM (A) однозначно определяется своим значением на единице причём, так как trM (A) морфизм би-модулей, то trM Z((M)). Очевидно, trM (A B) = trM (A) + trM (B). Исследуем теперь поведение отображения trM относительно композиции морфизмов. Докажем, сначала, следуещее вспомогательное утверждение.

Лемма 1.19. Спаривания + (соотв. ) индуцируют изоморфизм пространства Eu как левого (соотв. как правого) модуля над M с пространством левых (соотв. правых) модульных морфизмов Eu M.

Доказательство. Мы докажем первое утверждение, второе доказывается полностью аналогично. Итак, то, что спаривание + индуцирует морфизм указанных градуироu ванных модулей очевидно. Из равенства где, как обычно k µk k =, следует, что этот морфизм (мы будем его обозначать + ) инъективный. Чтобы доказать это равенство, достаточно применить правую и левую часть к вектору e и воспользоваться равенствами (1.44) и (1.46). Пусть :

Eu M произвольное M- линейное отображение. Рассмотрим тогда элемент = для любого Eu, то есть + эпиморфное отображение.

В свете этого утверждения ясно, что для любого градуированного автоморфизма A : Fu Fu формулы задают градуированные автоморфизмы A, A : Fu Fu сопряжённого бимодуля (здесь, + спаривания градуированных бимодулей Fu и Fu, построенные по морu u физмам представлений Iu, I, см теорему 1.18).

Определение 1.11. Автоморфизм A бимодуля Fu называется транспонируемым, если Прежде, чем иы сформулируем следуещее утверждение, заметим, что диаграмма (1.48) позволяет определить канонический след даже если отображение A сохраняет только структуру левого модуля. Конечно, в этом случае след уже не обязан быть элементом центра алгебры (M). Следующий результат см. в [7].

любого морфизма левых градуированных модулей A, Доказательство. В силу утверждения леммы, мы можем теперь считать, что A = x, где Eu, x Fu. Тогда BA = B(x), (1)AB AB = B () x и значит в силу транспонируемости B.

Пусть D : Fu Fu отображение градуированных пространств степени 1. Мы полняются равенства:

для любых Fu, (M).

Для произвольного дифференцирования D модуля Fu cледующие формулы опять пользуемся утверждением леммы 1.19).

Определение 1.12. Дифференцирование D называется транспонируемым, если D = В качестве примера транспонируемого дифференцирования можно, прежде всего, привести отображение D,u : Fu Fu, индуцированное ковариантной производной, ассоциированной с произвольной регулярной связностью на P. Это отображение отправляет морфизм Fu = Mor(u, F ) в композицию D. В силу диаграммы (1.34) эта композиция тоже принадлежит Fu. Очевидно, что дифференцирования (D,u ) и (D,u ) оба равны D,.

Пусть теперь A произвольный автоморфизм бимодуля Fu, D произвольное диффернцирование. Заметим, что отображение тоже будет морфизмом бимодулей.

Предложение 1.21. Если дифференнцирование D транспонируемо, то для любого Доказательство. Воспользуемся опять утверждением леммы 1.19. Мы можем считать, что A = x, тогда DA = D () x и (1)a AD = (1) D(x), и поэтому Фиксируем теперь представление квантовой группы u R(G). Для произвольного z Z((M)) и транспонируемого дифференцирования D : Fu Fu положим Теорема 1.22. (i ) dM n (z, D) = n (dM z, D), в частности, если dM z = 0 то и (ii) в случае, если dM z = 0, класс когомологий [n (z, D)] H 2n+z (Z((M))) не зависит от выбора транспонируемого дифференцирования D (и от выбора элемента в классе когомологий [z]).

Доказательство. Утверждение (i ) следует из (1.50). Докажем (ii). Пусть dM z = 0, и другое транспонируемое дифференцирование. Положим D D = S : Fu пусть D Fu и определим семейство транспонируемых дифференцирований Dt, t [0; 1], D0 = D, D1 = D при помощи формулы Вычислим где (Здесь z рассматривается как бимодульный морфизм z : Fu Fu.) Интегрируя по t от 0 до 1, получаем, что классы когомологий [n (z, D)] и [n (z, D )] совпадают. То, что выбор элемента в классе [z] также не влияет на класс [n (z, D)], следует из (i).

Следствие 1.23. Для каждого целого n 1 и каждого векторного расслоения Eu, ассоциированного с главным квантовым расслоением P при помощи представления u, такого, что существуют транспонируемые дифференцирования D модуля Fu, определены классы n H 2n (Z((M))), n = [n (1, D)]. В частности, если на P существуu u ют регулярные связности, то классы n определены для всех u R(G).

Вспомним, что, когда на P существуют регулярные связности, мы в §1.4 определили характеристические классы расслоения P при помощи обобщённого гомоморфизма Вейля W, принимающего значения также в H 2 (Z((M))). Связь между этими хаu рактеристическими классами и классами n ассоциированных векторных расслоений устанавливается следующим образом.

Прежде всего, заметим, что на матричном элементе uij представления u присоёдинённое действие ad задаётся фолрмулой Следовательно, пространство Hu инвариантно относительно этого кодействия. Более того, представление ad|Hu изоморфно тензорному произведению Hu Hu (изоморфизм задаётся соответствием ei ej uij ). Так как I : C Hu Hu морфизм представлений, то мы заключаем, что образ сквозного отображения C Hu элемент a(u) = tr(Cu u) ad-инвариантен ( = (uij ) матрица представления u).

Для любого n 1 положим где (a) a(1) (u)... a(n) (u) = n1 (a(u)) и n определяется по индукции: 1 =, n = ( id... id)n1 – id стоит n 1 раз. Очевидно, an (u) (ker ).

Предложение 1.24. n = W (n (u)) Доказательство. Это прямое следствие формул (1.38), (1.45) и (1.46).

В заключение главы 1, сформулируем ещё два принадлежащих Джорджевичу утверждения, описывающие связь между дифференцированиями модулей Fu и регулярными связностями на P.

Теорема 1.25. (i ) Пусть {Du }uR(G) такой набор дифференцирований модулей Fu, что выполнены следующие условия:

для любых u, v R(G), Fu, Fv, f Mor(u, v) (мы воспользовались изоморфизмом Fu (M) Fv Fuv ). Тогда существует (единственное) дифференцирование D алгебры hor(P ), такое, что (D id)F = F D, индуцируещее на любом модуле Fu дифференцирование Du.

положим, что на horP задано правое кодействие квантовой группы: FP : horP horP A, совпадающее на B с F. Пусть на *-подалгебре (M) = FP (horP A) задан дифференциал dM, удовлетворяющий всем свойствам дифференциалов *алгебр. Обозначим через der(P ) аффинное пространство линейных отображений D : horP horP, таких, что Тогда для любого подпространства L der(P ) существуют такие дифференциальные исчисления на A и (P ) = (P, ) на P, что horP совпадает с алгеброй горизонтальных дифференциальных форм на P, и все D L задаются как ковариантные дифференцирования, построенные по регулярным связностям на P.

Глава Полуклассическая теория В этой главе мы описываем, во что превращается общая теория из главы 1, если в качестве дифференциального исчисления на базе использовать дифференциальную градуированную алгебру, построенную по алгебре Ли дифференцирований алгебры M. Так, в первом параграфе мы разбираем случай локально-тривиального главного квантового расслоения над гладким многобразием. Мы докажем, что в этом случае образ обобщённого гомоморфизма Вейля W (ср. §1.4), который в этом случае можно определить для произвольной, необязательно регулярной, связности состоит из характеристических классов классической части расслоения P. Далее, в параграфах 2.2 и 2.3 мы разбираем более общий случай, когда базой расслоения служит произвольная унитальная алгебра M. В этом случае мы строим алгебру полуклассических дифференциальных форм на расслоении P, hor (P ), удовлетворяющую всем условиям пункта (ii) теоремы 1.25. После этого мы доказываем, что понятие связности в этом случае эквивалентно понятию лифта дифференцирований, а теория характеристических классов ассоциированных векторных расслоений во многом аналогична теории, развитой в работах [18], [19].

Основное отличие теории, рассматриваемой в диссертации, от работ [18], [19], состоит в том, что векторные расслоения, ассоциированные с некоторым главным квантовым расслоением, являются бимодулями над M алгеброй функций нак базе. Поэтому, например, связности на них не всегда существуют (см. Главу 3, а также [24]). Кроме того, канонический след trM см. §1.5, не является следом морфизмов правых, или левых, модулей в смысле вышеуказанных работ, так как условие trM (AB) = trM (BA) выполняется только если один из морфизмов транспонируемый.

Таким образом возникает много вопросов, прежде всего: как связаны характеристические классы векторных расслоений, построенные в Главе 1, с классами из работ [18], [19]? Конечно, предполагается, что дифференциальное исчисление, которое используется нами полуклассическое. Оказывается, например, что регулярные связности в полуклассической теории являются связностями в смысле указанных работ, а формы кривизны таких связностей в смысле первой главы и в смысле этих работ совпадают (см. Предложение 2.13).

2.1 Локально-тривиальные квантовые расслоения В случае, когда база M = C (M ), где M некоторое гладкое (C ) компактное многообразие, можно выделить важный класс квантовых главных расслоений, называемых локально–тривиальными. Дадим точное определение (см. [5]).

Определение 2.1. Локально–тривиальным квантовым главным расслоением над многообразием M с квантовой структурной группой A называется унитальная -алгебра B, удовлетворяющая следующим условиям:

1) Существует отображение F : B B A, являющееся ко–действием;

2) Существует –гомоморфизм i : C (M ) B;

3) Для любой точки x M существует окрестность U x, для которой определен –гомоморфизм U : B C (M ) A, такой, что U (i(f )) = f |U 1;

Заметим, что из определения 2.1, конечно, следует, что B будет квантовым главным расслоением со структурной группой A и базой M в обычном смысле (для доказательства того, что выполняется условие (кгр2 ), достаточно рассмотреть разбиение единицы (U )uU для некоторого конечного покрытия U). Обратное утверждение, однако, неверно: существуют квантовые главные расслоения, база M которых равна C (M ) для некоторого компактного многообразия M, но которые при этом не являются локально– тривиальными. Рассмотрим пример.

Пусть A = S 1. Как указано в §1.5, задание расслоения со сотруктурной группой A эквивалентно заданию двух сопряженных модулей E, E над M и отображений спаривания Если M = C (M ), то можно в качестве модуля E взять (), где некоторое классическое линейное расслоение, E = (). Однако структуру бимодуля в E мы введем немного исказив ее. Пусть : C (M ) C (M ) –автоморфизм алгебры M (например, индуцированный некоторым диффеоморфизмом многообразия M ). Спаривания µ и µ мы определим при помощи формул где E µ E, E µ E, µ0, µ0 стандартные спаривания сечений линейного расслоения с сечениями двойственного расслоения, а U функция на M такая, что т.е. U действительнозначная функция. Ясно, что если = id, то полученное главное расслоение не будет локально–тривиальным. Однако и база, и даже структурная группа этого расслоения классические.

Теперь вернемся к локально–тривиальным расслоениям. После того, как дано определение, можно доказать следующее утверждение (см. [5]):

Теорема 2.1. Любое квантовое главное расслоение со структурной группой A, получается при помощи следующей конструкции из некоторого (однозначно определенного) главного расслоения со структурной группой Gcl. Пусть Группа Gcl действует на алгебре C (Pcl ) по правилу: (g·)(x) = (g·x); кроме того, она действует на алгебре A: g (a) = g(S(a(1) ))a(2). Тогда B = {w C (Pcl ) A | g(w) = Итак, после того, как мы построили главное расслоение, надо заняться построением дифференциального исчисления (то есть алгебры дифференциальных форм) на квантовых главных расслоениях. Конечно, можно воспользоваться общей конструкцией, описанной в главе 1 (§1.3). Однако, естественно было бы потребовать чтобы, во-первых, алгебра (M), построенная по (P ), совпадала с алгеброй классических дифференциальных форм на многообразии M, а во-вторых, чтобы -алгебра (P ) была локальнотривиальной в естетственном смысле, то есть чтобы тривиализующие отображения U распространялись до отображений U : (P ) (M)|U, где (M)|U = (M )|U образ алгебры обычных дифференциальных форм на M при ограничении на U. Как показано в статье [5], далеко не всякое дифференицальное исчисление на квантовой группе можно использовать для этих целей: необходимое и достаточное условие, выделяющее те, которые допускают такое распространение для произвольных B, а не только тривиальных B C (M ) A (мы будем называть такие допустимыми) выражается следующей формулой:

Здесь lie(Acl ) алгебра Ли группы Ли Acl.

Если положить R = {a ker | (X id)ad(a) = 0, X lie(Acl )}, то (см. [5]) множество R является правым ad–инвариантным идеалом в ker.

Определение 2.2. Минимальным допустимым дифференциальным исчислением на квантовой группе A называется дифференциальное исчисление 1, соответствующее идеалу R.

Прилагательное минимальный в данном контексте подразумевает, что для любого другого допустимого модуля выполнено вложение R R. К сожалению, даже в случае группы SUµ (2), пространство (1 )inv является бесконечномерным. Кроме того, с этим дифференциальным исчислением не всегда удобно работать (например, непонятно, какие связности будут в этом случае регулярными, или мультипликативными).

Поэтому нашим основным примером будет, все-таки, = 0 ker, соответствующее нулевому идеалу R.

Замечание. Минимальное допустимое дифференциальное исчисление, как нетрудно видеть, совпадает с построенным в §1.1 исчислением A,A (напомним, что A,A = A Acl (Gcl ) Acl A).

Кроме того, в дальнейшем мы будем изучать образ гомоморфизма Вейля в этом случае. В этот раз он лежит в алгебре обычных когомологий де Рама многообразия M. Как указано в §1.3, этот гомоморфизм (обобщенный) отображает пространство ad –инвариантных элементов из (ker ) в когомологии H ev (M, R). Но, как известно, ker = (0 )inv, так что в результате описание образа W, данное в данном разделе для простейшего дифференциального исчисления 0, годится и для образа обобщенного гомоморфизма Вейля W (ниже мы подробнее остановимся на этом вопросе).

Мы будем использовать следующие обозначения:

U = {U } атлас расслоения P (то есть, набор открытых множеств U, таких, что M = U и для каждого определен –гомоморфизм U : P C (U ) A). Если мы будем работать только с компактными многообразиями M, то можно считать, что атлас U конечен (в противном случае мы предполагаем, что он локально–конечен);

Pcl классическая часть P главное расслоение со структурной группой Gcl ;

U отображения, распространяющие на (P ) отображения U –карты расслоения;

{gU V }U V = коцикл классической части расслоения P, т.е. U, V U, и отображения gU V : U V Gcl, такие, что единица группы Gcl ).

Заметим, что в рассматриваемом случае алгебра горизонтальных форм может быть описана по-другому. Именно, Кроме того, можно дать и описание в локальных терминах тензориальных форм и связностей. Следующая теорема доказана в [5] (определения тензориальных форм и связностей см. в §1.4).

Теорема 2.2. (i ) Любая тензориальная форма степени n однозначно определяется своей локальной записью:

где () = gU V : U V Gcl функция перехода для расслоения Pcl. И наоборот: любой набор {U : inv (U )}U U, удовлетворяющий (2.1), определяет некоторую тензориальную форму степени n.

(ii) Любая связность однозначно определяется своими локальными калибровочными потенциалами {AU : inv 1 (U )}U U :

где U V ((a)) = gV U (a(1) )d(gU V (a(2) )) в случае, когда допустимое дифференциальное исчисление, это выражение не зависит от выбора представителя из a A, (a) =. И наоборот, любой набор локальных калибровочных потенциалов {AU : inv 1 (U )}U U, удовлетворяющий (2.2), определяет некоторую связность на расслоении P.

(iii) Форма кривизны связности определяется набором –линейных отображений {FU : inv 2 (U )}U U, определяемых по формуле где последнее слагаемое равно (ср. §1.4).

(iv ) Условие регулярности связности в терминах калибровочных потенциалов {AU }U U имеет вид:

для любого U U, a A, inv. Все регулярные связности на P мультипликативны и могут быть интерпретированы как связности на классическом главном расслоении Pcl, классической части расслоения P.

Пусть теперь дифференциальное исчисление на группе A тривиальное. Тогда мы можем описать связности на локально–тривиальном главном расслоении более точно.

Именно, верна следующая теорема.

Теорема 2.3. В описанной ситуации задание связности на главном расслоении P эквивалентно выбору линейной связности для каждого векторного расслоения, ассоциированного с P при помощи некоторого неприводимого унитарного представления квантовой группы (заметим, что мы не говорим о регулярности связности, получающейся таким образом).

Доказательство. Прежде всего, дадим описание векторных расслоений, ассоциированных с локально–тривиальным квантовым главным расслоением. Для этого нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 2.4. Пусть P = (B, F ) произвольное квантовое главное расслоение, Hu пространство представления u, на котором A действует слева (см. §1.5). Тогда Доказательство. Достаточно провести его для случая, когда представление u = u неприводимо. Но тогда, согласно разложению из п. (vii) теоремы 1. Последнее равенство следует из леммы 1.16.

В нашем случае, когда расслоение P локально тривиально, согласно теореме 2.1, Все равенства записаны для бимодулей над C (M ), на которых ко-действует (справа) квантовая группа A, при этом мы активно использовали результаты §1.5. Тогда Итак, векторное расслоение E, ассоциированное с локально–тривиальным главным квантовым расслоением при помощи (неприводимого) представления u, равно C (Pcl ) Gcl H (как бимодуль над C (M )). Теперь можно дать описание этих пространств в терминах функций перехода.

Для этого заметим, что выполнено следующее равенство:

Тут (g)(e) = (gidH ) (e), где H, и группа Gcl интерпретируется как множество характеров алгебры A. Заметим, что : Gcl U (n ) унитарное представление группы Gcl (n = dim H ); в самом деле:

(g1 g2 )(e) = (g1 g2 id) (e) = Унитарность следует из того, что матрица (u ), определяющая представление u, унитарный элемент в B(H ) A.

С другой стороны, очевидно, что Cinv (Pcl, H ) = (Pcl Gcl H ) = (Pcl Cn ), и мы будем в дальнейшем говорить, что расслоение Pcl Cn ассоциировано с квантовым главным расслоением P при помощи u.

Далее, как указано в §1.1, см. также [2], в качестве базиса алгебры A можно взять следующий набор: {u | i, j = 1,..., n, T }, где множество T все неэквивалентij ные унитарные представления квантовой группы A, n = dim H, и элементы u ij матричные элементы представления u (см. §§1.1 и 1.5).

Напомним условие унитарности представления u :

При отождествлении (0 )inv ker, проекция : A (0 )inv принимает вид (a) = a (a) · 1. Пусть {} T обозначает тривиальное одномерное представление (матрица этого представления состоит из единственного элемента 1). Тогда очевидно, что множество будет базисом в (0 )inv.

Итак, фиксируем T и выберем какую–нибудь карту U U. Мы можем рассмотреть матрицу A = (U a )n, U a = AU ((u )), U a 1 (U ). Тогда, во-первых, вспомним, что AU –линейное отображение, то есть, AU ( ) = AU (). Но –структура на вводится таким образом, что (см. [5]) (a) = ((a) ). Следовательно, Поэтому то есть матрица A косоэрмитова.

Теперь мы найдем закон преобразования матричных элементов U a при изменении карты. Для этого вспомним, что ((a)) = (a) (a(2) ) (a(1) )a(3). Значит Тогда (см. формулу (2.2)) где матрица ((RU V )ij )n = RU V (x) равна (gU V (x)), и аналогично Переписывая теперь (2.6) с учетом (2.7) и (2.8), получаем, что матрицы {A }U U преU образуются по закону Мы видим, что набор {A }U U задает линейную связность в векторном расслоении, ассоциированном с Pcl при помощи представления.

(FU ((u )))n }U U равны внешний дифференциал на (U )) и преобразуются по закону то есть этот набор матриц совпадает с формой кривизны вышеуказанной линейной связности.

Квантовое тождество Бьянки в локальной записи выглядит следующим образом:

В этой формуле левая и правая части –линейные отображения из inv в 3 (U ), произведение ·, · определяется так же, как и выше, а [FU, AU ]q () = FU (k ) AU ((ck )), где () = k ck (см. §1.4). Кроме того, ковариантная производная, стоящая в левой части, равна Поэтому в случае, когда произведение ·, · корректно определено, как у нас, правая часть в (2.9) равна нулю и если переписать (2.9) для базисного элемента (u ), получим равенство или, на матричном языке, То есть, тождество (2.9) переходит для конкретного выбора = 0 в обычное тождество Бьянки для линейных связностей.

Замечание. В случае, когда произвольное допустимое дифференциальное исчисление, рассмотрим вместо формы связности : inv (P ), отображение : ker = 0 (P ), Оно корректно определено и однозначно задаётся локальными калибровочными потенциалами удовлетворяющими условиям Правда, так как (P ) в этот раз построен по дифференциальному исчислению = 0, эти потенциалы нельзя использовать дя построения связности на расслоении P относительно дифференциального исчисления 0.

Совершенно аналогично вышеприведенным вычислениям доказывается, что матрицы {A | U U }, A = (U a ) = (AU (u )) образуют для каждого линейную связность на ассоциированном векторном расслоении. Тогда обобщенная формула кривизны R (см. §1.4) связности, может быть отождествлена в локальных терминах с набором форм кривизны указанных линейных связностей:

Единственное отличие от вышеописанного случая состоит в том, что матрица A лежит не просто в пространстве косоэрмитовых матриц, то есть в u(n ), но в некотором векторном подпространстве в u(n ), выделенном в u(n ) при помощи соотношений где где R идеал, определяющий дифференциальное исчисление. (Мы рассматриваем все матрицы A одновременно для всех T ). Cуществует некоторая минимальная подалгебра Ли g в подалгебра содержит подалгебру каждом векторном расслоении Pcl Cn задана линейная связность со значениями в g = g u(n ), тогда матрицы (U Rij ) определяют кривизну этой связности.

Теперь мы можем сформулировать основную теорему данного параграфа. Она касается образа гомоморфизма Вейля. В §1.4 мы определили гомоморфизм Вейля в случае, когда на расслоении P задана регулярная связность. Если, однако, квантовое расслоение P локально–тривиально, то все регулярные связности мультипликативны и могут быть интерпретированы как связности на классической части Pcl расслоения P (см.

пункт (iv ) Теоремы 2.2). Очевидно, что образ гомоморфизма Вейля для таких связностей состоит из характеристических классов расслоений Pcl. Мы докажем, что и для произвольных, не обязательно регулярных, связностей верно аналогичное утверждение.

Именно, пусть произвольная мультипликативная связность. Тогда, точно так же, как и в §1.4, мы можем определить отображение R : (M). (В случае немульinv типликативной связности алгебру inv следует заменить на (ker ) и рассматривать отображение R ). Тогда справедлива ) таков, что для любой (необязательно регулярной) связности на любом локально– тривиальном квантовом расслоении P, d(R ()) = 0 (соответственно d(R ()) = дифференциал в (M) = (M ), то образ W () (соответственно W ()) 0), где d лежит в множестве характеристических классов Чженя, классической части Pcl расслоения P.